Aufgabenbeispiele von Quader
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Raumdiagonale
Beispiel:
Ein Quader hat die Kantenlängen a = 5 mm, b = 9 mm und c = 5 mm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.
Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 5 mm und b = 9 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d12 = a² +b² = (5 mm)2 + (9 mm)2 = 25 mm² + 81 mm² = 106 mm²
d1 = mm ≈ 10.296 mm
Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d2 = d1² + c² = ( mm)2 + (5 mm)2 = 106 mm² + 25 mm² = 131 mm²
Da d12 = a2 +b2 gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d2 = a2 + b2 + c2 = 25 mm² + 81 mm² +
25 mm² = 131 mm²
berechnen.
d = mm ≈ 11.446 mm
Diagonalen im Quader
Beispiel:
Ein Quader hat die Kantenlängen a = 9 mm, b = 7 mm und c = 6 mm.
Berechne die Weite des Winkels α.
Auch wenn es bei der 3-dimensionalen Darstellung vielleicht im ersten Moment nicht so aussieht, ist dennoch die eingezeichnete Diagonale die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks.
Um die graue Bodendiagonale dB als Gegenkathete von α zu bestimmen, müssen wir diese erst mit dem Satz des Pythagoras in dem rechtwinkligen Bodendreieck berechnen:
dB2 = a2 + b2 = 92 + 72 = 81 + 49 = 130
dB = ≈ 11.402
Die Länge der Ankathete vom Winkel α ist c = 6 mm und die Länge der Gegenkathete dB = 11.402 mm.
Mit dem Tangens können wir so also recht schnell die Weite des Winkels α berechnen:
tan(α) = =
α = arctan() ≈ 62.2°
Diagonalen im Quader 2
Beispiel:
Berechne die Länge der roten Seite x.
(Der gegebene Winkel ist 37°.)
Auch wenn es bei der 3-dimensionalen Darstellung vielleicht im ersten Moment nicht so aussieht, ist dennoch die eingezeichnete Diagonale die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks.
Aus dem Schaubild lässt sich herauslesen, dass die Länge der Hypotenuse d = 10 mm und der gegebene Winkel 37° ist.
Somit lässt sich folgende Gleichung aufstellen:
sin(37°) = | ⋅ 10 mm
x = 10 mm ⋅ sin(37°) ≈ 6.02 mm
Quader-Volumen rückwärts (schwer)
Beispiel:
Der abgebildete Quader mit b = 6 und α = 50° hat das Volumen 189.1 mm3.
Berechne die Breite a (von links nach rechts) des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet sich als V = a ⋅ b ⋅ c. Dummerweise ist aber nur eine der Kantenlängen bekannt und zwei unbekannt. Dafür kennen wir aber den Winkel in dem rechtwinkligen Dreieck, in dem die beiden fehlenen Kantenlängen die Katheten sind.
Dadurch können wir diese beiden fehlenden Kantenlängen a und c in Abhängigkeit von der gleichen Diagonalenlänge d bestimmen:
sin(50°) = ; also gilt a = d ⋅ sin(50°) ≈ 0,766 d
cos(50°) = ; also gilt c = d ⋅ cos(50°) ≈ 0,6428 d
Somit gilt für das Volumen V des Quaders:
V = 6 ⋅ 0,766 d ⋅ 0,643 d = 189.1
2.954 d2 = 189.1 | :2.954
d2 ≈ 64
d ≈ 8
Um nun die gesuchte Kantenlänge a zu erhalten, nutzen wir wieder die Gleichung von oben:
sin(50°) = ;
also gilt
a = d
⋅ sin(50°) ≈ 8 ⋅ 0,766
≈ 6,1
Die gesuchte Breite a (von links nach rechts) ist somit a ≈ 6.13 mm