Wir stellen zuerst mit dem Ortsvektor von A als Stützvektor und dem Verbindungvektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ als Richtungsvektor die Gerade durch A und B auf:

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -3\end{array}\right)$

Somit gilt für die Gerade durch A und B: $\overrightarrow{x}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0A}}$ + t ⋅ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, also :

$\overrightarrow{x}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -3\end{array}\right)$ + t ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade ja parallel zur Geraden durch A und B sein soll, können wir für diese doch einfach den gleichen Richtungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -3\end{array}\right)$ nehmen. Lediglich als Stützvektor ersetzen wir nun den Ortsvektor von A mit dem von C:

Somit gilt für die Gerade durch A und B: $\overrightarrow{x}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ + t ⋅ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, also :

$\overrightarrow{x}$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 4\end{array}\right)$ + t ⋅ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -3\end{array}\right)$

Um zu überprüfen, ob P auf der Geraden g liegt, setzen wir diesen einfach in die Geradengleichung ein:

$\left(\begin{array}{c}7\\ -31\\ 39\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -12\\ 12\end{array}\right)$

7 = -5 +4t |+5
-31 = 5 -12t |-5
39 = 3 +12t |-3

12 = 4t, also t = $3$
-36 = -12t, also t = $3$
36 = 12t, also t = $3$

Für t= $3$ stimmen alle drei Gleichungen, es gilt also $\left(\begin{array}{c}7\\ -31\\ 39\end{array}\right)$ =

Wir müssen somit den (in der Abbildung orange dargestellten) Richtungsvektor um den Faktor $3$ verlängern bzw. kürzen, um vom Aufpunkt der Geraden $\left(-5|5|3\right)$ zum gesuchten Punkt P zu gelangen (siehe roter Pfeil in der Abbildung).

Wenn der Punkt P auf der Geraden liegen soll, kann man dessen Ortsvektor ja in die Geradengleichung ganz links für das $\overrightarrow{x}$ einsetzen:

$\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -1\end{array}\right)$

Wir betrachten nun jede Zeile für sich und versuchen das t zu bestimmen, falls kein a in der Zeile vorkommt:

a = 1+4⋅t

0 = -2-2⋅t=> -2⋅t = 2 also t = -1

-2 = -3-1⋅t=> -1⋅t = 1 also t = -1

Setzen wir nun diese t = -1 in die 1-te Zeile ein, so erhalten wir:
a = 1-4, also gilt: a = -3

Wir beginnen mit dem Richtungsvektor, der ja ein Vielfaches des Richtungsvektors der gegebenen Geraden $\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ sein muss.

Es muss also gelten:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ = r ⋅ $\left(\begin{array}{c}-2\\ \mathrm{x2}\\ \mathrm{x3}\end{array}\right)$

Man sieht schnell, dass r = $-\frac{1}{2}$ sein muss.

Somit muss auch -4 = $-\frac{1}{2}$ ⋅ x2, also x2 = 8 sein .

Somit muss auch 1 = $-\frac{1}{2}$ ⋅ x3, also x3 = -2 sein .

Der gesuchte Richtungsvektor ist also $\left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ -2\end{array}\right)$ und wir können g entweder als $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ oder als $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ -2\end{array}\right)$ schreiben.

Jetzt brauchen wir noch einen Punkt auf der Geraden mit 0 in der x3-Koordinate, den wir als Stützvektor benutzen können.

Um diesen zu bestimmen nehmen wir am besten die Geradendarstellung mit den kleineren Zahlen im Richtungsvektor. Wir suchen also s1 und s2 damit gilt:

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{s1}\\ \mathrm{s2}\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 1\end{array}\right)$

Hier betrachten wir natürlich die 3. Zeile, in der steht:
0 = -3 + t ⋅ 1 | +3
3 = t ⋅ 1
3 = t

Wenn wir also t=3 in die Geradengleichung einsetzen erhalten wir als Ortsvektor eines Geradenpunkts $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -3\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -16\\ 0\end{array}\right)$.

Dieser hat an der x3-Koordinate die geforderte und kann als Stützvektor benutzt werden. Die gesuchte Geradengleichung ist damit:
$\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ -16\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ -2\end{array}\right)$

Da die beiden Geraden identisch miteinander sind, muss der Richtungsvektor von h gleich dem von g oder ein Vielfaches davon sein. Weil in der Aufgabenstellung steht, dass sie nicht gleich sein dürfen, können wir beispielweise den doppelten Richtungsvektor von g als den Richtungsvektor von h nehmen: $\left(\begin{array}{c}4\\ -10\\ 10\end{array}\right)$.

In der Aufgabenstellung steht auch, dass der Stützvektor von h ein anderer wie der von g sein muss. Wir benötigen also einen beliebigen anderen Punkt auf der Geraden g, dessen Ortsvektor wir als Stützvektor von h benutzen können. Am einfachsten setzen wir also eine 1 in die Geradengleichung von g ein und erhalten:

$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -2\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ 5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ -10\\ 3\end{array}\right)$

Es ergibt sich also als eine möglich Gerade h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}7\\ -10\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -10\\ 10\end{array}\right)$

Die beiden Richtungsvektoren $\left(\begin{array}{c}-12\\ -4\\ 5\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ der Geraden sind keine Vielfachen voneinander, die Geraden können also weder parallel noch identisch sein. Wir müssen deswegen noch prüfen, ob die Geraden einen Schnittpunkt haben oder nicht.
Wir setzen dazu die beiden Geraden gleich und lösen das so entstehende Lineare Gleichungssystem.

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ -4\\ 5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -10\\ -8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -5\end{array}\right)$

Für s=$1$ und t=$-3$ sind also alle 3 Gleichungen und damit die ursprüngliche Vektorgleichung erfüllt.

Wir setzen nun also entweder s=$1$ in g oder t=$-3$ in h ein und erhalten so den Ortsvektor des Schnittpunktes.

Wenn die beiden Geraden sich in einem gemeinsamen Punkt schneidend sein sollen, dürfen die beiden Richtungsvektoren keine Vielfache voneinander sein, es muss also gelten:

r ⋅ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ -9\end{array}\right)$ ≠ $\left(\begin{array}{c}2\\ b\\ 3\end{array}\right)$ (für alle r)

Man erkennt leicht, dass wegen der 3. und 1. Zeile ein Gleichheit nur für r = $-\frac{1}{3}$ möglich sein kann. Wenn wir also b = $-\frac{1}{3}$ ⋅ 9 = -3 setzen so gilt $-\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ -9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ b\\ 3\end{array}\right)$.

Somit darf b alles nur nicht -3 sein, also z.B. b = -2.

Mit diesem b wissen wir nun, dass die Richtungsvektoren der beiden Geraden keine Vielfache voneinander sind. Somit kann die gegenseitige Lage der beiden Geraden nur noch sich in einem gemeinsamen Punkt schneidend oder zueinander windschief sein.

Damit nun die beiden Geraden aber auch wirklich sich in einem gemeinsamen Punkt schneidend und nicht zueinander windschief sind, müssen wir sicherstellen, dass g und h einen gemeinsamen Punkt haben.
Der einfachste Fall zum Rechnen wäre, wenn zufällig bereits der Aufpunkt von h $\left(7|-9|\mathrm{a}\right)$ auf g liegen würde. Deswegen untersuchen wir mal, ob es ein a gibt, so dass der Aufpunkt von h $\left(7|-9|\mathrm{a}\right)$ auf g liegt.

Wir setzen also $\left(\begin{array}{c}7\\ -9\\ a\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ -9\end{array}\right)$,

Dazu betrachten wir die 1. Zeile :

und die 2. Zeile:

In beiden Fällen muss t also $-\frac{2}{3}$ sein. Setzen wir nun dieses t = $-\frac{2}{3}$ auch noch in die 3. Zeile ein, so erhalten wir:

a = -1 + $\left(-\frac{2}{3}\right)$ ⋅ ( - 9 ) = 5.

Für a = 5 würde also der Aufpunkt von h (7|-9|5) auf der Geraden g liegen, denn

$\left(\begin{array}{c}7\\ -9\\ 5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ -1\end{array}\right)+\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mo>-</mo>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ -9\end{array}\right)$

Also haben für a = 5 die beiden Geraden g und h den gemeinsamen Punkt (7|-9|5) und sind sich in einem gemeinsamen Punkt schneidend.

Zuerst berechnet man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$.
Damit können wir gleich mal den Abstand zwischen A und B berechnen: d_AB=|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$| = $\sqrt{3^2+2^2+6^2}$ = 7

Für die Gerade durch A und B gilt:
g_AB: $\overrightarrow{x}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + t ⋅ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, also $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$

Da der gesuchte Abstand 21 gerade 3 mal so lang ist wie die Länge des Richtungsvektors $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$ (|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$|=7), muss für die Ortsvektoren der gesuchten Punkte gelten:

= $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + 3 ⋅ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -5\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 13\end{array}\right)$, also 3 in die Geradengleichung eingesetzt.

= $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ - 3 ⋅ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -5\end{array}\right)-3\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ -4\\ -23\end{array}\right)$, also -3 in die Geradengleichung eingesetzt.

Die gesuchten Punkte sind also P₁$\left(4|8|13\right)$ und P₂$\left(-14|-4|-23\right)$.