Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Vektor auf Punkt addieren

Beispiel: Der Vektor

\vec{v}

=

(\begin{matrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{matrix})

verschiebt den Punkt P

(-1 | -5 | 1)

auf den Punkt Q. Gib die Koordinaten von Q an.

Lösung einblenden

Wenn der Punkt P $(-1 | -5 | 1)$ mit dem Vektor $\vec{v}$ = $(\begin{matrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{matrix})$ verschoben wird, so wird ja die x₁-Kooridnate um -1, die x₂-Kooridnate um -2 und die x₃-Kooridnate um 3 verschoben. Es gilt also Q(-1-1|-5-2|1+3) = Q $(-2 | -7 | 4)$

Vektor auf Punkt addieren (rw.)

Beispiel:

Der Vektor $\vec{v}$ = $(\begin{matrix} -4 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})$ verschiebt den Punkt P auf den Punkt Q $(2 | 1 | 4)$ . Gib die Koordinaten von P an.

Lösung einblenden

Wenn der Punkt Q $(2 | 1 | 4)$ durch den Vektor $\vec{v}$ = $(\begin{matrix} -4 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})$ verschoben worden ist, so muss ja beim Ausgangspunkt P jeweils die x₁-Kooridnate um -4, die x₂-Kooridnate um 0 und die x₃-Kooridnate um 2 kleiner gewesen sein, als bei Q. Es gilt also P(2 - ( - 4 ) | 1 - 0 | 4 - 2) = P $(6 | 1 | 2)$

Vektor zwischen zwei Punkten

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Vektors $\vec{PQ}$ der den Punkt P $(3 | 2 | 3)$ auf den Punkt Q $(3 | 4 | -2)$ abbildet.

Lösung einblenden

Um vom Punkt P $(3 | 2 | 3)$ zum Punkt Q $(3 | 4 | -2)$ zu gelangen, mus...

... in x₁-Richtung die Differenz der x₁-Werte, also 3-3
... in x₂-Richtung die Differenz der x₂-Werte, also 4-2
... in x₃-Richtung die Differenz der x₃-Werte, also -2-3

gegangen werden. Es gilt also $\vec{PQ}$ = $(\begin{matrix} 3-3 \\ 4-2 \\ -2-3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ -5 \end{matrix})$

Linearkombination (einfach)

Beispiel:

Berechne:
-4 ⋅ $(\begin{matrix} 1 \\ -4 \\ -2 \end{matrix})$ -1 ⋅ $(\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ -5 \end{matrix})$

Lösung einblenden

-4 ⋅

(\begin{matrix} 1 \\ -4 \\ -2 \end{matrix})

-1 ⋅

(\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ -5 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -4 ⋅1 \\ -4 ⋅(-4) \\ -4 ⋅(-2) \end{matrix})

+

(\begin{matrix} -1 ⋅5 \\ -1 ⋅0 \\ -1 ⋅(-5) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -4 \\ 16 \\ 8 \end{matrix})

+

(\begin{matrix} -5 \\ 0 \\ 5 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -4-5 \\ 16+0 \\ 8+5 \end{matrix})

= $(\begin{matrix} -9 \\ 16 \\ 13 \end{matrix})$

Vektorkette erkennen

Beispiel:

Der Vektor $\vec{EA}$ verschiebt den Punkt E auf den Punkt A.

Stelle $\vec{EA}$ durch die Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{d}$ dar:

Lösung einblenden

Wir gehen einfach vom Punkt E zum Punkt A entlang der Vektoren.

Wenn wir in Pfeilrichtung gehen, nehmen wir hierfür einfach den Vektor, wenn wir gegen die Pfeilrichtung gehen müssen, nehmen wir den Gegenvektor, also den Vektor mit einem negativen Vorzeichen:

$\vec{EA}$ = $\vec{d}$ -2⋅ $\vec{b}$ - $\vec{a}$

Endpunkt von Vektorkette finden

Beispiel:

Der Vektor $\vec{EA}$ verschiebt den Punkt E $(-4 | 3 | 3)$ auf den Punkt A.

Berechne mithilfe der in der Skizze rechts eingezeichneten Vektoren $\vec{a}$ = $(\begin{matrix} -1 \\ 5 \\ 0 \end{matrix})$ , $\vec{c}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ -3 \\ 3 \end{matrix})$ die Koordinaten des Punkts A.

Lösung einblenden

Wir gehen einfach vom Punkt E zum Punkt A entlang der Vektoren.

Wenn wir in Pfeilrichtung gehen, nehmen wir hierfür einfach den Vektor, wenn wir gegen die Pfeilrichtung gehen müssen, nehmen wir den Gegenvektor, also den Vektor mit einem negativen Vorzeichen:

$\vec{EA}$ = -2⋅ $\vec{c}$ -2⋅ $\vec{a}$

= -2⋅ $(\begin{matrix} 0 \\ -3 \\ 3 \end{matrix})$ -2⋅ $(\begin{matrix} -1 \\ 5 \\ 0 \end{matrix})$
= $(\begin{matrix} 2 \\ -4 \\ -6 \end{matrix})$

Jetzt müssen wir den Vektor $\vec{EA}$ eben noch auf den Ortsvektor von E draufaddieren:

$\vec{OA}$ = $\vec{OE}$ + $\vec{EA}$

= $(\begin{matrix} -4 \\ 3 \\ 3 \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} 2 \\ -4 \\ -6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -2 \\ -1 \\ -3 \end{matrix})$

Somit gilt: A $(-2 | -1 | -3)$ .

Vektor in Vektorkette finden

Beispiel:

Der Vektor $\vec{BG}$ verschiebt den Punkt B $(2 | 2 | 1)$ auf den Punkt G $(16 | 14 | 13)$ .

Berechne mithilfe der in der Skizze rechts eingezeichneten Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{d}$ = $(\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{matrix})$ , $\vec{e}$ = $(\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})$ , $\vec{f}$ = $(\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 5 \end{matrix})$ die Koordinaten des Vektors $\vec{a}$ .

Lösung einblenden

Da die Koordinaten von B und G gegeben sind, können wir die Koordinaten des Verbindungsvektor $\vec{GB}$ (in der Skizze rechts in grau eingezeichnet) berechnen:

$\vec{GB}$ = $(\begin{matrix} 2-16 \\ 2-14 \\ 1-13 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -14 \\ -12 \\ -12 \end{matrix})$

Wenn wir nun die Vektorkette $\vec{BG}$ = 2⋅ $\vec{a}$ + $\vec{d}$ + $\vec{e}$ + $\vec{f}$ von B nach G durchlaufen und dann den direkten Weg $\vec{GB}$ wieder zurück gehen, landen wir ja wieder am Aufgangspunkt B, das heißt, wir haben effektiv den Nullvektor zurückgelegt:

2⋅ $\vec{a}$ + $\vec{d}$ + $\vec{e}$ + $\vec{f}$ + $\vec{GB}$ = $\vec{0}$ | -2 $\vec{a}$

Wenn wir nun den gesuchten Vektor $\vec{a}$ auf die andere Seite bringen erhalten wir:

$\vec{d}$ + $\vec{e}$ + $\vec{f}$ + $\vec{GB}$ = -2 $\vec{a}$

$(\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 5 \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} -14 \\ -12 \\ -12 \end{matrix})$ = -2 $\vec{a}$
$(\begin{matrix} 5 \\ -1 \\ -1 \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 5 \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} -14 \\ -12 \\ -12 \end{matrix})$ = -2 $\vec{a}$
$(\begin{matrix} 6 \\ 4 \\ 4 \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} -14 \\ -12 \\ -12 \end{matrix})$ = -2 $\vec{a}$
$(\begin{matrix} -8 \\ -8 \\ -8 \end{matrix})$ = -2 $\vec{a}$

Jetzt kennen wir den Vektor für -2 $\vec{a}$ . Um $\vec{a}$ zu erhalten, müssen wir nun lediglich den Vektor $(\begin{matrix} -8 \\ -8 \\ -8 \end{matrix})$ durch $- 2$ teilen:

Somit gilt: $\vec{a}$ = $(\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{matrix})$ .

Länge eines Vektors (ganzzahlig)

Beispiel:

Bestimme die Länge des Vektors $\vec{v}$ = $(\begin{matrix} -6 \\ -6 \\ 3 \end{matrix})$ .

Lösung einblenden

Für die Länge dieses Vektors $\vec{v}$ gilt: $| \vec{v} |$ = $| (\begin{matrix} -6 \\ -6 \\ 3 \end{matrix}) |$ = $\sqrt{{(-6)}^{2} + {(-6)}^{2} + 3^{2}}$ = $\sqrt{81}$ = 9

Länge eines Vektors

Beispiel:

Bestimme die Länge des Vektors $\vec{v}$ = $(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$ .

Lösung einblenden

Für die Länge dieses Vektors $\vec{v}$ gilt: $| \vec{v} |$ = $| (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) |$ = $\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$ = $\sqrt{6}$ ≈ 2.45

Abstand zwischen zwei Punkten berechnen

Beispiel:

Bestimme den Abstand der beiden Punkte
A $(5 | 1 | -5)$ und B $(-2 | 7 | -11)$ !

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen A

(5 | 1 | -5)

und B

(-2 | 7 | -11)

:

\vec{AB}

=

(\begin{matrix} -2 - 5 \\ 7 - 1 \\ -11 - (-5) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -7 \\ 6 \\ -6 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen A und B
d=|

\vec{AB}

| =

| (\begin{matrix} -7 \\ 6 \\ -6 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-7)}^{2} + 6^{2} + {(-6)}^{2}}

=

\sqrt{121}

= 11

4. Punkt eines Parallelogramms

Beispiel:

Das Dreieck ABC mit A $(4 | 1 | -5)$ , B $(7 | 3 | -8)$ und C $(4 | -1 | 0)$ soll durch den Punkt D zu einem Parallelogramm ABCD erweitert werden. Bestimme den Punkt D.

Lösung einblenden

Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

\vec{OD}

=

\vec{OA}

+

\vec{BC}

=

(\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ -5 \end{matrix})

+

(\begin{matrix} -3 \\ -4 \\ 8 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 3 \end{matrix})

Schwerpunkt eines Dreiecks

Beispiel:

In jedem Dreieck schneiden sich die drei Verbindungslinien zwischen einem Seitenmittelpunkt und dem gegenüberliegenden Punkt im Schwerpunkt. Dabei teilen sich diese Schwerelinien immer im Verhältnis 2:1, d.h. die Strecke vom Schwerpunkt zu Eckpunkt ist doppelt so lang wie die zum Seitenmittelpunkt.

Bestimme den Schwerpunkt des Dreiecks ABC mit A $(4 | 3 | -3)$ , B $(12 | -7 | -1)$ und C $(20 | -5 | 10)$ .

Lösung einblenden

Wir sehen in der Skizze, dass wir - um den Ortsvektor $\vec{OS}$ des Schwerpunkts S zu erhalten - einfach einen Vektorzug vom Ursprung über A und die Seitenmitte M_AB zu S führen können.

Es gilt also:

$\vec{OS}$ = $\vec{OA}$ + $\vec{A M_{AB}}$ + $\vec{M_{AB} S}$ = $\vec{OA}$ + $\vec{A M_{AB}}$ + $\frac{1}{3}$ $\vec{M_{AB} C}$

Um diese Vektoren und damit den Ortsvektor des Schwerpunkts S berechnen zu können, brauchen wir M_AB, den Mittelpunkt zwischen A und B. Hierfür können wir ja einfach in jeder Koordinate den Mittelwert bilden: . M AB $(\frac{4 + 12}{2} | \frac{3 + (- 7)}{2} | \frac{-3 + (- 1)}{2})$ = M $(8 | -2 | -2)$

Damit gilt für $\vec{A M_{AB}}$ und $\vec{M_{AB} C}$ :

$\vec{A M_{AB}}$ = $(\begin{matrix} 8 - 4 \\ -2 - 3 \\ -2 - (-3) \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 4 \\ -5 \\ 1 \end{matrix})$ , $\vec{M_{AB} C}$ = $(\begin{matrix} 20 - 8 \\ -5 - (-2) \\ 10 - (-2) \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 12 \\ -3 \\ 12 \end{matrix})$

Dies können wir nun in die obige Vektorgleichung einsetzen:

$\vec{OS}$ = $\vec{OA}$ + $\vec{A M_{AB}}$ + $\frac{1}{3}$ $\vec{M_{AB} C}$
= $(\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ -3 \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} 4 \\ -5 \\ 1 \end{matrix})$ + $\frac{1}{3}$ $(\begin{matrix} 12 \\ -3 \\ 12 \end{matrix})$
= $(\begin{matrix} 8 \\ -2 \\ -2 \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} 4 \\ - 1 \\ 4 \end{matrix})$
= $(\begin{matrix} 12 \\ - 3 \\ 2 \end{matrix})$

Die Koordinaten des gesuchten Schwerpunkts sind somit S $(12 | - 3 | 2)$ .

Fläche eines gleichschenkl. Dreiecks

Beispiel:

Gegeben ist das Dreieck ABC mit A $(-9 | 14 | -17)$ , B $(-1 | -10 | 19)$ und C $(4 | 8 | 3)$ .

Zeige, dass das Dreieck gleichschenklig ist und berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst einmal die drei Verbindungsvektoren jeweils zwischen zwei Punkten:

$\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 8 \\ -24 \\ 36 \end{matrix})$ , $\vec{AC}$ = $(\begin{matrix} 13 \\ -6 \\ 20 \end{matrix})$ und $\vec{BC}$ = $(\begin{matrix} 5 \\ 18 \\ -16 \end{matrix})$

Jetzt schauen wir uns die Längen der drei Vektoren an:

c=| $\vec{AB}$ | = $\sqrt{8^{2} + {(-24)}^{2} + 36^{2}} = \sqrt{1936} = 44$

b=| $\vec{AC}$ | = $\sqrt{13^{2} + {(-6)}^{2} + 20^{2}} = \sqrt{605}$

a=| $\vec{BC}$ | = $\sqrt{5^{2} + 18^{2} + {(-16)}^{2}} = \sqrt{605}$

Da | $\vec{AC}$ |=| $\vec{BC}$ |, ist das Dreieck gleichschenklig.

Die Höhe h_c trifft also genau in der Mitte auf AB.

Wir berechnen also den Mittelpunkt M_c. $(\frac{-9 + (- 1)}{2} | \frac{14 + (- 10)}{2} | \frac{-17 + 19}{2})$ = M_c $(-5 | 2 | 1)$ .

Die Strecke M_cC mit dem Verbindungsvektor $\vec{M_{c} C}$ = $(\begin{matrix} 9 \\ 6 \\ 2 \end{matrix})$ ist dann die Höhe auf die Seite c.

Die Höhe ist | $\vec{M_{c} C}$ | = $\sqrt{9^{2} + 6^{2} + 2^{2}} = \sqrt{121} = 11$

Für den Flächeninhalt gilt also:

A= $\frac{1}{2}$ ⋅| $\vec{M_{c} C}$ | ⋅ c = $\frac{1}{2}$ ⋅11⋅44 = 242

Aufgabenbeispiele von Vektorrechnung

Vektor auf Punkt addieren

Vektor auf Punkt addieren (rw.)

Vektor zwischen zwei Punkten

Linearkombination (einfach)

Vektorkette erkennen

Endpunkt von Vektorkette finden

Vektor in Vektorkette finden

Länge eines Vektors (ganzzahlig)

Länge eines Vektors

Abstand zwischen zwei Punkten berechnen

4. Punkt eines Parallelogramms

Schwerpunkt eines Dreiecks

Fläche eines gleichschenkl. Dreiecks