Aufgabenbeispiele von Vierfeldertafel

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Mengen-Operationen elementar

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 4; 5; 6; 7; 8; 10} und B = {3; 6; 7; 10}. Bestimme A B .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 4; 5; 6; 7; 8; 10} und B = {3; 6; 7; 10}.

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die sowohl in der Menge A={1; 4; 5; 6; 7; 8; 10}, als auch in der Menge B={3; 6; 7; 10} sind,
also A B = {6; 7; 10}

Mengen-Operationen (allg.)

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {5; 8; 9; 10}. Bestimme A .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {5; 8; 9; 10}.

Die Menge A umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={5; 8; 9; 10} sind,
also A = {1; 2; 3; 4; 6; 7}

Mengen-Operationen Anwendungen

Beispiel:

In einer Urne sind 13 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 13 beschriftet. Bestimme alle Kugeln deren Zahl durch 2 teilbar ist oder deren Zahl höchstens die 3 ist.

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13} und die Mengen A = {2; 4; 6; 8; 10; 12} und B = {1; 2; 3}.

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13}, die in der Menge A={2; 4; 6; 8; 10; 12} oder in der Menge B={1; 2; 3} sind,
also A B = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 10; 12}

Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie rechts abgebildet wird einmal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl des gewählten Sektors durch 2 teilbar ist und der Hintergrund dieses Sektors eingefärbt ist.

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {1; 2; 5; 6} und B = {2; 4; 6; 8}.

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, die sowohl in der Menge A={1; 2; 5; 6}, als auch in der Menge B={2; 4; 6; 8} sind,
also A B = {2; 6}

Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:

P( A B ) = | A B | |S| = 2 8 = 1 4

Vierfeldertafel mit Anzahlen

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

118 + 64 = H(A)

Somit gilt: H(A) = 118 + 64 = 182

  B B  
A 11864182
A 9469 
    

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

94 + 69 = H( A )

Somit gilt: H( A ) = 94 + 69 = 163

  B B  
A 11864182
A 9469163
    

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

118 + 94 = H(B)

Somit gilt: H(B) = 118 + 94 = 212

  B B  
A 11864182
A 9469163
 212  

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

64 + 69 = H( B )

Somit gilt: H( B ) = 64 + 69 = 133

  B B  
A 11864182
A 9469163
 212133 

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

182 + 163 = H(B + B )

Somit gilt: H(B + B ) = 182 + 163 = 345

  B B  
A 11864182
A 9469163
 212133345

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( A ) = P(B)+P( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A 0,12  
A 0,19 0,55
   1

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.19 + P( A B ) = 0.55

Somit gilt: P( A B ) = 0.55 - 0.19 = 0.36

  B B  
A 0,12  
A 0,190,360,55
   1

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.12 + 0.19 = P(B)

Somit gilt: P(B) = 0.12 + 0.19 = 0.31

  B B  
A 0,12  
A 0,190,360,55
 0,31 1

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A) + 0.55 = 1

Somit gilt: P(A) = 1 - 0.55 = 0.45

  B B  
A 0,12 0,45
A 0,190,360,55
 0,31 1

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.12 + P(A ∩ B ) = 0.45

Somit gilt: P(A ∩ B ) = 0.45 - 0.12 = 0.33

  B B  
A 0,120,330,45
A 0,190,360,55
 0,31 1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.31 + P( B ) = 1

Somit gilt: P( B ) = 1 - 0.31 = 0.69

  B B  
A 0,120,330,45
A 0,190,360,55
 0,310,691

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

VFT Anwend. Häufigkeiten

Beispiel:

Ein Fahrradhändler hat in einem Jahr 1600 Fahrräder verkauft. Davon waren 455 Mountainbikes ohne zusätzlichen Elektroantrieb. Insgesamt wurden 672 E-Bikes verkauft. Von den Rädern, die kein Mountainbike sind, wurden insgesamt (E-Bike und andere zusammen) 890 Stück verkauft. Wie viele Fahrräder wurden verkauft, die weder ein Mountainbike noch ein E-Bike sind?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : E-Bike

A : nicht E-Bike, also kein E-Bike

B : Mountainbike

B : nicht Mountainbike, also kein Mountainbike

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Mountainbike)
B
(kein Mountainbike)
 
A
(E-Bike)
  672
A
(kein E-Bike)
455  
  8901600

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

  B
(Mountainbike)
B
(kein Mountainbike)
 
A
(E-Bike)
255417672
A
(kein E-Bike)
455473928
 7108901600

Der gesuchte Wert, Anzahl verkaufter "normaler" Fahrräder, ist also 473.

VFT Anwend. prozentual (leichter)

Beispiel:

In einer groß angelegten Umfrage waren 56% der Befragten weiblich. Während 34% der männlichen Befragten angaben, Fußballfans zu sein, waren das bei den weiblichen Befragten nur 9%. Wie viel Prozent der Fußballfans sind weiblich?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : weiblich

A : nicht weiblich, also männlich

B : Fußballfan

B : nicht Fußballfan, also kein Fan

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
  0,56
A
(männlich)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
  0,56
A
(männlich)
  0,44
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "weiblich" sind es 9% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,56 0,09 = 0,0504 berechnen.

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
0,0504 0,56
A
(männlich)
  0,44
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "männlich" sind es 34% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,44 0,34 = 0,1496 berechnen.

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
0,0504 0,56
A
(männlich)
0,1496 0,44
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
0,05040,50960,56
A
(männlich)
0,14960,29040,44
 0,20,81

Gesucht ist ja, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, also P B ( A ) = P( B A ) P( B ) = 0.0504 0.2


Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, ist also 0.252 = 25.2%.

VFT Anwend. prozentual (schwerer)

Beispiel:

Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Insgesamt ist die App auf 31,76% aller Smartphones installiert. Auf den iPhones ist sie sogar auf 44% der Geräte installiert. Bei der Untersuchung waren 28% aller Smartphones iPhones. Wie groß ist der Prozentsatz der Smartphones, die keine iPhones sind und die App nicht installiert haben, unter allen Smartphones?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : iPhone

A : nicht iPhone, also anderes Smartphone

B : installiert

B : nicht installiert, also nicht installiert

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
  0,28
A
(anderes Smartphone)
   
 0,3176  

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
  0,28
A
(anderes Smartphone)
  0,72
 0,31760,68241

Aus der Information von der Teilgruppe mit "iPhone" sind es 44% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,28 0,44 = 0,1232 berechnen.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,1232 0,28
A
(anderes Smartphone)
  0,72
 0,31760,68241

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,12320,15680,28
A
(anderes Smartphone)
0,19440,52560,72
 0,31760,68241

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz von nicht iPhone und ohne die App, ist also 0.5256 = 52.56%.

bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P A ( B ) .

  B B  
A 28121149
A 53148201
 81269350

Lösung einblenden

P A ( B ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für B unter der Vorraussetzung, dass A bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob A gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von A - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für B weiter.)

= 149 350
= 201 350
=x
= 28 350
= 121 350
= 53 350
= 148 350

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( A ) P A ( B ) = P ( A B ) | : P ( A )

P A ( B ) = P( A B ) P( A )

oder hier im speziellen:
201 350 x = 53 350 = |:201 ⋅350
also
P A ( B ) = x = 53 201 ≈ 0,2637

bedingte Wahrsch. (nur Prozente)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P A ( B ) .

  B B  
A 0,230,130,36
A 0,040,60,64
 0,270,731

Lösung einblenden

P A ( B ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für B unter der Vorraussetzung, dass A bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob A gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von A - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für B weiter.)

=0,36
=0,64
=x
=0,23
=0,13
=0,04
=0,6

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( A ) P A ( B ) = P ( A B ) | : P ( A )

P A ( B ) = P( A B ) P( A )

oder hier im speziellen:
0,64x = 0,6 = |:0,64
also
P A ( B ) = x = 0,6 0,64 ≈ 0,9375

bedingte Wahrsch. Anwendungen

Beispiel:

Schätzungen zufolge sind 0,3% der Bevölkerung an einem Virus infiziert. Ein Testverfahren auf diesen Virus liefert bei 99,1% der tatsächlich infizierten auch einen positives Ergebnis. Bei den nicht infizierten zeigt dies der Test auch zu 98,5% an. Beim Blutspenden wird ein Mensch positiv auf dieses Virus getestet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auch tatsächlich mit diesem Virus infiziert ist?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : infiziert

A : nicht infiziert, also nicht infiziert

B : Test positiv

B : nicht Test positiv, also Test negativ

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
  0,003
A
(nicht infiziert)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
  0,003
A
(nicht infiziert)
  0,997
   1
=0,003
infiziert
=0,997
nicht infiziert
=0,991
Test positiv
Test negativ
=0,015
Test positiv
Test negativ
=0,002973

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "infiziert" sind es 99.1%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,003 0,991 = 0,002973
berechnen.

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
0,002973 0,003
A
(nicht infiziert)
  0,997
   1
=0,003
infiziert
=0,997
nicht infiziert
=0,991
Test positiv
Test negativ
=0,015
Test positiv
Test negativ
=0,002973
=0,014955

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "nicht infiziert" sind es 1.5%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,997 0,015 = 0,014955
berechnen.

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
0,002973 0,003
A
(nicht infiziert)
0,014955 0,997
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
0,0029730,0000270,003
A
(nicht infiziert)
0,0149550,9820450,997
 0,0179280,9820721

Gesucht ist ja "die Wahrscheinlichkeit nach positiven Test tatsächlich infiziert zu sein", also die Wahrscheinlichkeit für A (infiziert) unter der Vorraussetzung, dass B (Test positiv) bereits eingetroffen ist - kurz P B ( A ) .

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B (Test positiv) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B (Test positiv) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A (infiziert) weiter.)

=0,017928
Test positiv
=0,982072
Test negativ
=x
infiziert
nicht infiziert
infiziert
nicht infiziert
=0,002973
=0,014955
=0,000027
=0,982045

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
0,017928x = 0,002973 = |:0,017928
also
P B ( A ) = x = 0,002973 0,017928 ≈ 0,1658


Der gesuchte Wert (die Wahrscheinlichkeit nach positiven Test tatsächlich infiziert zu sein) ist also 0,1658 = 16,58%.

Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen

Beispiel:

In der Jahrgangstufe der 10-Klässler müssen die 100 Schülerinnen und Schüler ihre Kurse für die Kurstufe wählen. Jeder muss entweder Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Mädchen wählen 18 das Leistungsfach. 31 von den insgesamt 53 Basisfachwahlen kommen von den Jungs. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse Geschlecht und Mathewahlen stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : Mädchen

A : nicht Mädchen, also Jungs

B : Leistungsfach

B : nicht Leistungsfach, also Basisfach

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
18  
A
(Jungs)
 31 
  53100

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
182240
A
(Jungs)
293160
 4753100

Um zu überprüfen, ob die beiden Ereignisse A (Mädchen) und B (Leistungsfach) stochatisch unabhängig sind, müssen wir die absoluten Zahlen zuerst in relative Häufigkeiten umwandeln. Dazu teilen wir einfach alle Zellen durch den Gesamtwert in der rechten unteren Zelle: 100. und runden diese auf drei Stellen hinter dem Komma. Wir erhalten so erhalten:

  B B  
A 0,180,220,4
A 0,290,310,6
 0,470,531

Jetzt können wir P(A)=0.4 mit P(B)=0.47 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.18, also:

P(A) ⋅ P(B) = 0.4 ⋅ 0.47 = 0.188 ≈ 0.18 = P(A ∩ B),
A und B sind also näherungsweise stochastisch unabhängig.

Stochast. Unabhängigkeit rückwärts

Beispiel:

Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A 0,7656  
A    
 0,87 1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.87 + P( B ) = 1

Somit gilt: P( B ) = 1 - 0.87 = 0.13

  B B  
A 0,7656  
A    
 0,870,131

Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch A und B ) stochastisch unabhängig sind, muss gelten:

P ( A ) P ( B ) = P ( A B )

also P ( A ) ⋅ 0.87 = 0.7656 |: 0.87

somit gilt:

P ( A ) = 0.7656 0.87 = 0.88

  B B  
A 0,7656 0,88
A    
 0,870,131

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

  B B  
A 0,76560,11440,88
A 0,10440,01560,12
 0,870,131

Stochast. Unabhängigkeit rw (Anwend.)

Beispiel:

Bei einer groß angelegten Blitzeraktion wird bei 660 Autos die Geschwindigkeit gemessen. Von den Autos, die nicht zu den E-Autos zählen, werden 99 mit zu hoher Geschwindigkeit geblitzt. Insgesamt fuhren 264 E-Autos durch die Geschwindigkeitskontrolle. Man kann davon ausgehen, dass die beiden Ereignisse "Antriebsart des Auto" und "Geschwindigkeitsübertretung" stochastisch unabhängig sind. Wie viele Autos insgesamt fuhren mit angemessener Geschwindigkeit und wurden nicht geblitzt?

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir die Werte, die man aus dem Text herauslesen kann in einer Vierfeldertafel ein:

  B
(geblitzte Autos)
B
(nicht geblitzte Autos)
 
A
(E-Autos)
  264
A
(Verbrenner)
99  
   660

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

264 + H( A ) = 660

Somit gilt: H( A ) = 660 - 264 = 396

  B
(geblitzte Autos)
B
(nicht geblitzte Autos)
 
A
(E-Autos)
  264
A
(Verbrenner)
99 396
   660

Wir erkennen nun, dass der Anteil von "geblitzte Autos" in der Zeile "Verbrenner" P A ( B ) = 99 396 = 1 4 ist.

Weil die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind, muss dann in allen Zeilen der prozentuale Anteil von "geblitzte Autos" auch 1 4 sein. Somit gilt auch P ( B ) = P A ( B ) = 1 4 .

Für den Wert in der Randzeile ergibt sich also 1 4 ⋅660 = 165

  B
(geblitzte Autos)
B
(nicht geblitzte Autos)
 
A
(E-Autos)
  264
A
(Verbrenner)
99 396
 165 660

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

  B
(geblitzte Autos)
B
(nicht geblitzte Autos)
 
A
(E-Autos)
66198264
A
(Verbrenner)
99297396
 165495660

Die Anzahl der nicht geblitzten Autos ist somit 495

VFT Anwend. prozentual (mit Kombis)

Beispiel:

Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind 54% der Bevölkerung unzufrieden. 25% dieser Unzufriedenen sind sogar Anhänger seiner eigenen Partei. 75,46% der Bevölkerung sind entweder unzufrieden mit seiner Arbeit oder Anhänger seiner Partei. Wie viel Prozent der Anhänger seiner eigenen Partei sind mit der Arbeit des Regierungschefs zufrieden?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : zufrieden

A : nicht zufrieden, also unzufrieden

B : eigene Partei

B : nicht eigene Partei, also andere Partei

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
   
A
(unzufrieden)
  0,54
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
  0,46
A
(unzufrieden)
  0,54
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "unzufrieden" sind es 25% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,54 0,25 = 0,135 berechnen.

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
  0,46
A
(unzufrieden)
0,135 0,54
   1

Nach Verrechnung der Zeilen- und Spaltensummen erhält man:

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
  0,46
A
(unzufrieden)
0,1350,4050,54
   1

Die 75.46% von "entweder unzufrieden oder eigene Partei" verteilen sich ja auf die beiden Felder von P ( A B ) und P ( A B ) weil ja sowohl "unzufrieden und eigene Partei" als auch "Weder unzufrieden noch eigene Partei" nicht in diesen 75.46% enthalten ist. Es gilt somit:

P ( A B ) + P ( A B ) = 0,7546, also
0.405 + P ( A B ) = 0,7546

Damit gilt: P ( A B ) = 0,7546 - 0.405 = 0.3496

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
0,3496 0,46
A
(unzufrieden)
0,1350,4050,54
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
0,34960,11040,46
A
(unzufrieden)
0,1350,4050,54
 0,48460,51541

Gesucht ist ja, der Prozentsatz der Zufriedenen unter den Anhängern der eigenen Partei, also P B ( A ) = P( B A ) P( B ) = 0.3496 0.4846 ≈ 0.7214


Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Zufriedenen unter den Anhängern der eigenen Partei, ist also 0.7214 = 72.14%.