Aufgabenbeispiele von Vierfeldertafel
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Mengen-Operationen elementar
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 4; 5; 6; 7; 8; 10} und B = {3; 6; 7; 10}. Bestimme
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 4; 5; 6; 7; 8; 10} und B = {3; 6; 7; 10}.
Die Menge
also
Mengen-Operationen (allg.)
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {5; 8; 9; 10}. Bestimme .
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {5; 8; 9; 10}.
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge A={5; 8; 9; 10} sind,
also
= {1; 2; 3; 4; 6; 7}
Mengen-Operationen Anwendungen
Beispiel:
In einer Urne sind 13 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 13 beschriftet. Bestimme alle Kugeln deren Zahl durch 2 teilbar ist oder deren Zahl höchstens die 3 ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13} und die Mengen A = {2; 4; 6; 8; 10; 12} und B = {1; 2; 3}.
Die Menge
also
Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
Ein Glücksrad wie rechts abgebildet wird einmal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl des gewählten Sektors durch 2 teilbar ist und der Hintergrund dieses Sektors eingefärbt ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {1; 2; 5; 6} und B = {2; 4; 6; 8}.
Die Menge
also
Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:
P(
Vierfeldertafel mit Anzahlen
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
118 + 64 = H(A)
Somit gilt: H(A) = 118 + 64 = 182
118 | 64 | 182 | |
94 | 69 | ||
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
94 + 69 = H( )
Somit gilt: H( ) = 94 + 69 = 163
118 | 64 | 182 | |
94 | 69 | 163 | |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
118 + 94 = H(B)
Somit gilt: H(B) = 118 + 94 = 212
118 | 64 | 182 | |
94 | 69 | 163 | |
212 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
64 + 69 = H( )
Somit gilt: H( ) = 64 + 69 = 133
118 | 64 | 182 | |
94 | 69 | 163 | |
212 | 133 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
182 + 163 = H(B + )
Somit gilt: H(B + ) = 182 + 163 = 345
118 | 64 | 182 | |
94 | 69 | 163 | |
212 | 133 | 345 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( ) = P(B)+P( ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass gilt 100%.
0,12 | |||
0,19 | 0,55 | ||
1 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.19 + P( ∩ ) = 0.55
Somit gilt: P( ∩ ) = 0.55 - 0.19 = 0.36
0,12 | |||
0,19 | 0,36 | 0,55 | |
1 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.12 + 0.19 = P(B)
Somit gilt: P(B) = 0.12 + 0.19 = 0.31
0,12 | |||
0,19 | 0,36 | 0,55 | |
0,31 | 1 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(A) + 0.55 = 1
Somit gilt: P(A) = 1 - 0.55 = 0.45
0,12 | 0,45 | ||
0,19 | 0,36 | 0,55 | |
0,31 | 1 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.12 + P(A ∩ ) = 0.45
Somit gilt: P(A ∩ ) = 0.45 - 0.12 = 0.33
0,12 | 0,33 | 0,45 | |
0,19 | 0,36 | 0,55 | |
0,31 | 1 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.31 + P( ) = 1
Somit gilt: P( ) = 1 - 0.31 = 0.69
0,12 | 0,33 | 0,45 | |
0,19 | 0,36 | 0,55 | |
0,31 | 0,69 | 1 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
VFT Anwend. Häufigkeiten
Beispiel:
Ein Fahrradhändler hat in einem Jahr 1600 Fahrräder verkauft. Davon waren 455 Mountainbikes ohne zusätzlichen Elektroantrieb. Insgesamt wurden 672 E-Bikes verkauft. Von den Rädern, die kein Mountainbike sind, wurden insgesamt (E-Bike und andere zusammen) 890 Stück verkauft. Wie viele Fahrräder wurden verkauft, die weder ein Mountainbike noch ein E-Bike sind?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: E-Bike
: nicht E-Bike, also kein E-Bike
: Mountainbike
: nicht Mountainbike, also kein Mountainbike
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 672 | ||
(kein E-Bike) | 455 | ||
890 | 1600 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(B) + 890 = 1600
Somit gilt: H(B) = 1600 - 890 = 710
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 672 | ||
(kein E-Bike) | 455 | ||
710 | 890 | 1600 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ B) + 455 = 710
Somit gilt: H(A ∩ B) = 710 - 455 = 255
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 255 | 672 | |
(kein E-Bike) | 455 | ||
710 | 890 | 1600 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
672 + H( ) = 1600
Somit gilt: H( ) = 1600 - 672 = 928
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 255 | 672 | |
(kein E-Bike) | 455 | 928 | |
710 | 890 | 1600 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
255 + H(A ∩ ) = 672
Somit gilt: H(A ∩ ) = 672 - 255 = 417
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 255 | 417 | 672 |
(kein E-Bike) | 455 | 928 | |
710 | 890 | 1600 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
455 + H( ∩ ) = 928
Somit gilt: H( ∩ ) = 928 - 455 = 473
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 255 | 417 | 672 |
(kein E-Bike) | 455 | 473 | 928 |
710 | 890 | 1600 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 255 | 417 | 672 |
(kein E-Bike) | 455 | 473 | 928 |
710 | 890 | 1600 |
Der gesuchte Wert, Anzahl verkaufter "normaler" Fahrräder, ist also 473.
VFT Anwend. prozentual (leichter)
Beispiel:
In einer groß angelegten Umfrage waren 56% der Befragten weiblich. Während 34% der männlichen Befragten angaben, Fußballfans zu sein, waren das bei den weiblichen Befragten nur 9%. Wie viel Prozent der Fußballfans sind weiblich?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: weiblich
: nicht weiblich, also männlich
: Fußballfan
: nicht Fußballfan, also kein Fan
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,56 | ||
(männlich) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe + = + = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass gilt oder dass gilt 100%.
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,56 | ||
(männlich) | 0,44 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "weiblich" sind es
9% kann man die Wahrscheinlichkeit
=
0,56 ⋅
0,09 =
0,0504 berechnen.
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,0504 | 0,56 | |
(männlich) | 0,44 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "männlich" sind es
34% kann man die Wahrscheinlichkeit
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,0504 | 0,56 | |
(männlich) | 0,1496 | 0,44 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,0504 | 0,5096 | 0,56 |
(männlich) | 0,1496 | 0,2904 | 0,44 |
0,2 | 0,8 | 1 |
Gesucht ist ja, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, also
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, ist also 0.252 = 25.2%.
VFT Anwend. prozentual (schwerer)
Beispiel:
Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Insgesamt ist die App auf 31,76% aller Smartphones installiert. Auf den iPhones ist sie sogar auf 44% der Geräte installiert. Bei der Untersuchung waren 28% aller Smartphones iPhones. Wie groß ist der Prozentsatz der Smartphones, die keine iPhones sind und die App nicht installiert haben, unter allen Smartphones?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,28 | ||
(anderes Smartphone) | |||
0,3176 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,28 | ||
(anderes Smartphone) | 0,72 | ||
0,3176 | 0,6824 | 1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "iPhone" sind es
44% kann man die Wahrscheinlichkeit
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,1232 | 0,28 | |
(anderes Smartphone) | 0,72 | ||
0,3176 | 0,6824 | 1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,1232 | 0,1568 | 0,28 |
(anderes Smartphone) | 0,1944 | 0,5256 | 0,72 |
0,3176 | 0,6824 | 1 |
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz von nicht iPhone und ohne die App, ist also 0.5256 = 52.56%.
bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 28 | 121 | 149 |
| 53 | 148 | 201 |
81 | 269 | 350 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
also
bedingte Wahrsch. (nur Prozente)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 0,23 | 0,13 | 0,36 |
| 0,04 | 0,6 | 0,64 |
0,27 | 0,73 | 1 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,64 ⋅ x
= 0,6 = |:0,64
also
bedingte Wahrsch. Anwendungen
Beispiel:
Schätzungen zufolge sind 0,3% der Bevölkerung an einem Virus infiziert. Ein Testverfahren auf diesen Virus liefert bei 99,1% der tatsächlich infizierten auch einen positives Ergebnis. Bei den nicht infizierten zeigt dies der Test auch zu 98,5% an. Beim Blutspenden wird ein Mensch positiv auf dieses Virus getestet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auch tatsächlich mit diesem Virus infiziert ist?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(Test positiv) |
(Test negativ) | ||
---|---|---|---|
(infiziert) | 0,003 | ||
(nicht infiziert) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(Test positiv) |
(Test negativ) | ||
---|---|---|---|
(infiziert) | 0,003 | ||
(nicht infiziert) | 0,997 | ||
1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "infiziert" sind es 99.1%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(Test positiv) |
(Test negativ) | ||
---|---|---|---|
(infiziert) | 0,002973 | 0,003 | |
(nicht infiziert) | 0,997 | ||
1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "nicht infiziert" sind es 1.5%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(Test positiv) |
(Test negativ) | ||
---|---|---|---|
(infiziert) | 0,002973 | 0,003 | |
(nicht infiziert) | 0,014955 | 0,997 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(Test positiv) |
(Test negativ) | ||
---|---|---|---|
(infiziert) | 0,002973 | 0,000027 | 0,003 |
(nicht infiziert) | 0,014955 | 0,982045 | 0,997 |
0,017928 | 0,982072 | 1 |
Gesucht ist ja "die Wahrscheinlichkeit nach positiven Test tatsächlich infiziert zu sein", also die Wahrscheinlichkeit für
Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,017928 ⋅ x
= 0,002973 = |:0,017928
also
Der gesuchte Wert (die Wahrscheinlichkeit nach positiven Test tatsächlich infiziert zu sein) ist also 0,1658 = 16,58%.
Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen
Beispiel:
In der Jahrgangstufe der 10-Klässler müssen die 100 Schülerinnen und Schüler ihre Kurse für die Kurstufe wählen. Jeder muss entweder Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Mädchen wählen 18 das Leistungsfach. 31 von den insgesamt 53 Basisfachwahlen kommen von den Jungs. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse Geschlecht und Mathewahlen stochastisch unabhängig sind.
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 18 | ||
(Jungs) | 31 | ||
53 | 100 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(B) + 53 = 100
Somit gilt: H(B) = 100 - 53 = 47
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 18 | ||
(Jungs) | 31 | ||
47 | 53 | 100 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
18 + H(
Somit gilt: H(
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 18 | ||
(Jungs) | 29 | 31 | |
47 | 53 | 100 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩
Somit gilt: H(A ∩
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 18 | 22 | |
(Jungs) | 29 | 31 | |
47 | 53 | 100 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
18 + 22 = H(A)
Somit gilt: H(A) = 18 + 22 = 40
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 18 | 22 | 40 |
(Jungs) | 29 | 31 | |
47 | 53 | 100 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
29 + 31 = H(
Somit gilt: H(
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 18 | 22 | 40 |
(Jungs) | 29 | 31 | 60 |
47 | 53 | 100 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 18 | 22 | 40 |
(Jungs) | 29 | 31 | 60 |
47 | 53 | 100 |
Um zu überprüfen, ob die beiden Ereignisse A (Mädchen) und B (Leistungsfach) stochatisch unabhängig sind, müssen wir die absoluten Zahlen zuerst in relative Häufigkeiten umwandeln. Dazu teilen wir einfach alle Zellen durch den Gesamtwert in der rechten unteren Zelle: 100. und runden diese auf drei Stellen hinter dem Komma. Wir erhalten so erhalten:
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,18 | 0,22 | 0,4 |
| 0,29 | 0,31 | 0,6 |
0,47 | 0,53 | 1 |
Jetzt können wir P(A)=0.4 mit P(B)=0.47 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.18, also:
P(A) ⋅ P(B) = 0.4 ⋅ 0.47 = 0.188
≈ 0.18 = P(A ∩ B),
A und B sind also näherungsweise stochastisch unabhängig.
Stochast. Unabhängigkeit rückwärts
Beispiel:
Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,7656 | ||
| |||
0,87 | 1 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.87 + P(
Somit gilt: P(
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,7656 | ||
| |||
0,87 | 0,13 | 1 |
Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch
also
somit gilt:
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,7656 | 0,88 | |
| |||
0,87 | 0,13 | 1 |
Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,7656 | 0,1144 | 0,88 |
| 0,1044 | 0,0156 | 0,12 |
0,87 | 0,13 | 1 |
Stochast. Unabhängigkeit rw (Anwend.)
Beispiel:
Bei einer groß angelegten Blitzeraktion wird bei 660 Autos die Geschwindigkeit gemessen. Von den Autos, die nicht zu den E-Autos zählen, werden 99 mit zu hoher Geschwindigkeit geblitzt. Insgesamt fuhren 264 E-Autos durch die Geschwindigkeitskontrolle. Man kann davon ausgehen, dass die beiden Ereignisse "Antriebsart des Auto" und "Geschwindigkeitsübertretung" stochastisch unabhängig sind. Wie viele Autos insgesamt fuhren mit angemessener Geschwindigkeit und wurden nicht geblitzt?
Als erstes tragen wir die Werte, die man aus dem Text herauslesen kann in einer Vierfeldertafel ein:
(geblitzte Autos) |
(nicht geblitzte Autos) | ||
---|---|---|---|
(E-Autos) | 264 | ||
(Verbrenner) | 99 | ||
660 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
264 + H(
Somit gilt: H(
(geblitzte Autos) |
(nicht geblitzte Autos) | ||
---|---|---|---|
(E-Autos) | 264 | ||
(Verbrenner) | 99 | 396 | |
660 |
Wir erkennen nun, dass der Anteil von "geblitzte Autos" in der Zeile "Verbrenner"
Weil die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind, muss dann in allen Zeilen der prozentuale Anteil von "geblitzte Autos" auch
Für den Wert in der Randzeile ergibt sich also
(geblitzte Autos) |
(nicht geblitzte Autos) | ||
---|---|---|---|
(E-Autos) | 264 | ||
(Verbrenner) | 99 | 396 | |
165 | 660 |
Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.
(geblitzte Autos) |
(nicht geblitzte Autos) | ||
---|---|---|---|
(E-Autos) | 66 | 198 | 264 |
(Verbrenner) | 99 | 297 | 396 |
165 | 495 | 660 |
Die Anzahl der nicht geblitzten Autos ist somit 495
VFT Anwend. prozentual (mit Kombis)
Beispiel:
Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind 54% der Bevölkerung unzufrieden. 25% dieser Unzufriedenen sind sogar Anhänger seiner eigenen Partei. 75,46% der Bevölkerung sind entweder unzufrieden mit seiner Arbeit oder Anhänger seiner Partei. Wie viel Prozent der Anhänger seiner eigenen Partei sind mit der Arbeit des Regierungschefs zufrieden?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
---|---|---|---|
(zufrieden) | |||
(unzufrieden) | 0,54 | ||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
---|---|---|---|
(zufrieden) | 0,46 | ||
(unzufrieden) | 0,54 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "unzufrieden" sind es
25% kann man die Wahrscheinlichkeit
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
---|---|---|---|
(zufrieden) | 0,46 | ||
(unzufrieden) | 0,135 | 0,54 | |
1 |
Nach Verrechnung der Zeilen- und Spaltensummen erhält man:
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
---|---|---|---|
(zufrieden) | 0,46 | ||
(unzufrieden) | 0,135 | 0,405 | 0,54 |
1 |
Die 75.46% von "entweder unzufrieden oder eigene Partei" verteilen sich ja auf die beiden Felder von
0.405 +
Damit gilt:
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
---|---|---|---|
(zufrieden) | 0,3496 | 0,46 | |
(unzufrieden) | 0,135 | 0,405 | 0,54 |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
---|---|---|---|
(zufrieden) | 0,3496 | 0,1104 | 0,46 |
(unzufrieden) | 0,135 | 0,405 | 0,54 |
0,4846 | 0,5154 | 1 |
Gesucht ist ja, der Prozentsatz der Zufriedenen unter den Anhängern der eigenen Partei, also
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Zufriedenen unter den Anhängern der eigenen Partei, ist also 0.7214 = 72.14%.