Aufgabenbeispiele von Vierfeldertafel
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Mengen-Operationen elementar
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {1; 2; 3; 4; 7; 9; 10}. Bestimme .
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {1; 2; 3; 4; 7; 9; 10}.
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge A={1; 2; 3; 4; 7; 9; 10} sind,
also
= {5; 6; 8}
Mengen-Operationen (allg.)
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {2; 4; 5; 8; 9} und B = {1; 3; 6; 9; 10}. Bestimme
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {2; 4; 5; 8; 9} und B = {1; 3; 6; 9; 10}.
Um die Menge
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge A={2; 4; 5; 8; 9} sind,
also
= {1; 3; 6; 7; 10}
Die Menge
also
Mengen-Operationen Anwendungen
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 2; 4; 5} und B = {3; 7; 9}. Bestimme
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 2; 4; 5} und B = {3; 7; 9}.
Um die Menge
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge A={1; 2; 4; 5} sind,
also
= {3; 6; 7; 8; 9; 10}
Die Menge
also
Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
Ein Glücksrad wie rechts abgebildet wird einmal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl des gewählten Sektors durch 3 teilbar ist oder der Hintergrund dieses Sektors eingefärbt ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {1; 2; 5} und B = {3; 6}.
Die Menge
also
Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:
P(
Vierfeldertafel mit Anzahlen
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
193 + H(A ∩ ) = 249
Somit gilt: H(A ∩ ) = 249 - 193 = 56
193 | 56 | 249 | |
111 | 111 | ||
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
111 + 111 = H( )
Somit gilt: H( ) = 111 + 111 = 222
193 | 56 | 249 | |
111 | 111 | 222 | |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
193 + 111 = H(B)
Somit gilt: H(B) = 193 + 111 = 304
193 | 56 | 249 | |
111 | 111 | 222 | |
304 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
56 + 111 = H( )
Somit gilt: H( ) = 56 + 111 = 167
193 | 56 | 249 | |
111 | 111 | 222 | |
304 | 167 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
249 + 222 = H(B + )
Somit gilt: H(B + ) = 249 + 222 = 471
193 | 56 | 249 | |
111 | 111 | 222 | |
304 | 167 | 471 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( ) = P(B)+P( ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass gilt 100%.
0,27 | |||
0,5 | 0,64 | ||
1 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P( ∩ B) + 0.5 = 0.64
Somit gilt: P( ∩ B) = 0.64 - 0.5 = 0.14
0,27 | |||
0,14 | 0,5 | 0,64 | |
1 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.27 + 0.5 = P( )
Somit gilt: P( ) = 0.27 + 0.5 = 0.77
0,27 | |||
0,14 | 0,5 | 0,64 | |
0,77 | 1 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(A) + 0.64 = 1
Somit gilt: P(A) = 1 - 0.64 = 0.36
0,27 | 0,36 | ||
0,14 | 0,5 | 0,64 | |
0,77 | 1 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(A ∩ B) + 0.27 = 0.36
Somit gilt: P(A ∩ B) = 0.36 - 0.27 = 0.09
0,09 | 0,27 | 0,36 | |
0,14 | 0,5 | 0,64 | |
0,77 | 1 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(B) + 0.77 = 1
Somit gilt: P(B) = 1 - 0.77 = 0.23
0,09 | 0,27 | 0,36 | |
0,14 | 0,5 | 0,64 | |
0,23 | 0,77 | 1 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
VFT Anwend. Häufigkeiten
Beispiel:
Ein Fahrradhändler hat in einem Jahr 1200 Fahrräder verkauft. Davon waren 390 Mountainbikes ohne zusätzlichen Elektroantrieb. Insgesamt wurden 504 E-Bikes verkauft. Von den Rädern, die kein Mountainbike sind, wurden insgesamt (E-Bike und andere zusammen) 679 Stück verkauft. Wie viele Fahrräder wurden verkauft, die weder ein Mountainbike noch ein E-Bike sind?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: E-Bike
: nicht E-Bike, also kein E-Bike
: Mountainbike
: nicht Mountainbike, also kein Mountainbike
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 504 | ||
(kein E-Bike) | 390 | ||
679 | 1200 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(B) + 679 = 1200
Somit gilt: H(B) = 1200 - 679 = 521
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 504 | ||
(kein E-Bike) | 390 | ||
521 | 679 | 1200 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ B) + 390 = 521
Somit gilt: H(A ∩ B) = 521 - 390 = 131
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 131 | 504 | |
(kein E-Bike) | 390 | ||
521 | 679 | 1200 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
504 + H( ) = 1200
Somit gilt: H( ) = 1200 - 504 = 696
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 131 | 504 | |
(kein E-Bike) | 390 | 696 | |
521 | 679 | 1200 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
131 + H(A ∩ ) = 504
Somit gilt: H(A ∩ ) = 504 - 131 = 373
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 131 | 373 | 504 |
(kein E-Bike) | 390 | 696 | |
521 | 679 | 1200 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
390 + H( ∩ ) = 696
Somit gilt: H( ∩ ) = 696 - 390 = 306
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 131 | 373 | 504 |
(kein E-Bike) | 390 | 306 | 696 |
521 | 679 | 1200 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 131 | 373 | 504 |
(kein E-Bike) | 390 | 306 | 696 |
521 | 679 | 1200 |
Der gesuchte Wert, Anzahl verkaufter "normaler" Fahrräder, ist also 306.
VFT Anwend. prozentual (leichter)
Beispiel:
Bei einer neuen Viruskrankkeit, geht man davon aus, dass 11% der Menschen, die älter als 80 Jahre sind, diese nicht überleben. Von den jüngeren sterben nur 0,4% daran. In einem Land sind 5% der Bevölkerung älter als 80 Jahre. Wie hoch ist in diesem Land das Risiko, an dieser Krankheit zu sterben?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: über 80
: nicht über 80, also höchstens 80
: sterben
: nicht sterben, also überleben
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(sterben) |
(überleben) | ||
---|---|---|---|
(über 80) | 0,05 | ||
(höchstens 80) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe + = + = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass gilt oder dass gilt 100%.
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(sterben) |
(überleben) | ||
---|---|---|---|
(über 80) | 0,05 | ||
(höchstens 80) | 0,95 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "über 80" sind es
11% kann man die Wahrscheinlichkeit
=
0,05 ⋅
0,11 =
0,0055 berechnen.
(sterben) |
(überleben) | ||
---|---|---|---|
(über 80) | 0,0055 | 0,05 | |
(höchstens 80) | 0,95 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "höchstens 80" sind es
0.4% kann man die Wahrscheinlichkeit
(sterben) |
(überleben) | ||
---|---|---|---|
(über 80) | 0,0055 | 0,05 | |
(höchstens 80) | 0,0038 | 0,95 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(sterben) |
(überleben) | ||
---|---|---|---|
(über 80) | 0,0055 | 0,0445 | 0,05 |
(höchstens 80) | 0,0038 | 0,9462 | 0,95 |
0,0093 | 0,9907 | 1 |
Der gesuchte Wert, die Wahrscheinlichkeit an der Krankheit zu sterben, ist also 0.0093 = 0.93%.
VFT Anwend. prozentual (schwerer)
Beispiel:
Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Insgesamt ist die App auf 32,3% aller Smartphones installiert. Auf den iPhones ist sie sogar auf 36% der Geräte installiert. Bei der Untersuchung waren 26% aller Smartphones iPhones. Wie groß ist der Prozentsatz der Smartphones, die keine iPhones sind und die App nicht installiert haben, unter allen Smartphones?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,26 | ||
(anderes Smartphone) | |||
0,323 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,26 | ||
(anderes Smartphone) | 0,74 | ||
0,323 | 0,677 | 1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "iPhone" sind es
36% kann man die Wahrscheinlichkeit
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,0936 | 0,26 | |
(anderes Smartphone) | 0,74 | ||
0,323 | 0,677 | 1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,0936 | 0,1664 | 0,26 |
(anderes Smartphone) | 0,2294 | 0,5106 | 0,74 |
0,323 | 0,677 | 1 |
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz von nicht iPhone und ohne die App, ist also 0.5106 = 51.06%.
bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 73 | 163 | 236 |
| 191 | 26 | 217 |
264 | 189 | 453 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
also
bedingte Wahrsch. (nur Prozente)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 0,09 | 0,04 | 0,13 |
| 0,43 | 0,44 | 0,87 |
0,52 | 0,48 | 1 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,87 ⋅ x
= 0,44 = |:0,87
also
bedingte Wahrsch. Anwendungen
Beispiel:
Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind von den Anhängern seiner eigenen Partei, deren Anteil 37% der Bevölkerung ausmacht, 50% zufrieden. Bei denen, die aber keine Anhängern dessen Partei sind, liegen die Zustimmungswerte nur bei 15%. Wie viel Prozent derjenigen, die mit der Arbeit des Regierungschefs zufrieden sind, sind auch Anhänger seiner Partei?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
---|---|---|---|
(eigene Partei) | 0,37 | ||
(andere Partei) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
---|---|---|---|
(eigene Partei) | 0,37 | ||
(andere Partei) | 0,63 | ||
1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "eigene Partei" sind es 50%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
---|---|---|---|
(eigene Partei) | 0,185 | 0,37 | |
(andere Partei) | 0,63 | ||
1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "andere Partei" sind es 15%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
---|---|---|---|
(eigene Partei) | 0,185 | 0,37 | |
(andere Partei) | 0,0945 | 0,63 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
---|---|---|---|
(eigene Partei) | 0,185 | 0,185 | 0,37 |
(andere Partei) | 0,0945 | 0,5355 | 0,63 |
0,2795 | 0,7205 | 1 |
Gesucht ist ja "der Anteil der Parteianhänger unter allen. die mit dem Regierungschef zufrieden sind", also die Wahrscheinlichkeit für
Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,2795 ⋅ x
= 0,185 = |:0,2795
also
Der gesuchte Wert (der Anteil der Parteianhänger unter allen. die mit dem Regierungschef zufrieden sind) ist also 0,6619 = 66,19%.
Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen
Beispiel:
Nach einer Umfrage könnten sich 26% der Befragten vorstellen, sich als nächstes Auto ein Elektroauto zu kaufen. 43% davon seien auch schon einmal in einem E-Auto gefahren. 42,18% der Befragten meinten, dass sie noch nie in einem E-Auto gesessen sind und sich sicher auch nie eines kaufen werden. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "E-Auto kaufen" und "Erfahrung mit E-Auto" stochastisch unabhängig sind.
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(E-Auto kennen) |
(nicht kennen) | ||
---|---|---|---|
(E-Auto kaufen) | 0,26 | ||
(nicht kaufen) | 0,4218 | ||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(E-Auto kennen) |
(nicht kennen) | ||
---|---|---|---|
(E-Auto kaufen) | 0,26 | ||
(nicht kaufen) | 0,3182 | 0,4218 | 0,74 |
1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "E-Auto kaufen" sind es 43%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(E-Auto kennen) |
(nicht kennen) | ||
---|---|---|---|
(E-Auto kaufen) | 0,1118 | 0,26 | |
(nicht kaufen) | 0,3182 | 0,4218 | 0,74 |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(E-Auto kennen) |
(nicht kennen) | ||
---|---|---|---|
(E-Auto kaufen) | 0,1118 | 0,1482 | 0,26 |
(nicht kaufen) | 0,3182 | 0,4218 | 0,74 |
0,43 | 0,57 | 1 |
Jetzt können wir P(A)=0.26 mit P(B)=0.43 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.112, also:
P(A) ⋅ P(B) = 0.26 ⋅ 0.43 = 0.1118 ≈ 0.112
≈ 0.112 = P(A ∩ B),
A und B sind also näherungsweise stochastisch unabhängig.
Stochast. Unabhängigkeit rückwärts
Beispiel:
Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,407 | ||
| |||
0,26 | 1 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.26 + P(
Somit gilt: P(
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,407 | ||
| |||
0,26 | 0,74 | 1 |
Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch
also
somit gilt:
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,407 | 0,55 | |
| |||
0,26 | 0,74 | 1 |
Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,143 | 0,407 | 0,55 |
| 0,117 | 0,333 | 0,45 |
0,26 | 0,74 | 1 |
Stochast. Unabhängigkeit rw (Anwend.)
Beispiel:
An einer Schule müssen alle Schülerinnen und Schüler der 10-ten Klassen für ihre Kurswahl entweder das Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Schülern, die keine Mädchen sind, wählen 32 das Leistungsfach. Insgesamt gibt es 96 Mädchen in dieser Klassenstufe. Man kann davon ausgehen, dass die beiden Ereignisse Geschlecht und Mathewahlen stochastisch unabhängig sind. Wie viele der insgeamt 160 Wahlen entfielen auf das Basisfach Mathe?
Als erstes tragen wir die Werte, die man aus dem Text herauslesen kann in einer Vierfeldertafel ein:
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 96 | ||
(Jungs) | 32 | ||
160 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
96 + H(
Somit gilt: H(
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 96 | ||
(Jungs) | 32 | 64 | |
160 |
Wir erkennen nun, dass der Anteil von "Leistungsfach" in der Zeile "Jungs"
Weil die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind, muss dann in allen Zeilen der prozentuale Anteil von "Leistungsfach" auch
Für den Wert in der Randzeile ergibt sich also
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 96 | ||
(Jungs) | 32 | 64 | |
80 | 160 |
Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 48 | 48 | 96 |
(Jungs) | 32 | 32 | 64 |
80 | 80 | 160 |
Die Anzahl der Schüler:innen mit Basisfach ist somit 80
VFT Anwend. prozentual (mit Kombis)
Beispiel:
Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Bei der Untersuchung waren 22% aller Smartphones iPhones. Bei den iPhones ist die App auf 46% der Geräte installiert. 45,4% aller untersuchten Smartphones sind iPhones oder haben diese App installiert. Wie groß ist der Prozentsatz der Smartphones, die die App nicht installiert haben?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,22 | ||
(anderes Smartphone) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,22 | ||
(anderes Smartphone) | 0,78 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "iPhone" sind es
46% kann man die Wahrscheinlichkeit
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,1012 | 0,22 | |
(anderes Smartphone) | 0,78 | ||
1 |
Die 45.4% von "iPhone oder installiert" verteilen sich ja auf die drei Felder von
also auf alle vier Felder außer
0,454 =
Damit gilt:
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,1012 | 0,22 | |
(anderes Smartphone) | 0,546 | 0,78 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,1012 | 0,1188 | 0,22 |
(anderes Smartphone) | 0,234 | 0,546 | 0,78 |
0,3352 | 0,6648 | 1 |
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Smartphones ohne die App, ist also 0.6648 = 66.48%.