Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mengen-Operationen elementar

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {1; 3; 5; 6; 10}. Bestimme $\overline{B}$ .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {1; 3; 5; 6; 10}.

Die Menge $\overline{B}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge B={1; 3; 5; 6; 10} sind,
also $\overline{B}$ = {2; 4; 7; 8; 9}

Mengen-Operationen (allg.)

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {2; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}. Bestimme $\overline{B}$ .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {2; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}.

Die Menge $\overline{B}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge B={2; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} sind,
also $\overline{B}$ = {1; 3}

Mengen-Operationen Anwendungen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Bestimme alle Sektoren, deren Zahl nicht durch 3 teilbar ist und deren Hintergrund eingefärbt ist.

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} und die Mengen A = {3; 4; 7} und B = {3; 6}.

Um die Menge $A$ ∩ $\overline{B}$ bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge $\overline{B}$ bestimmen.

Die Menge $\overline{B}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, die nicht in der Menge B={3; 6} sind,
also $\overline{B}$ = {1; 2; 4; 5; 7}

Die Menge $A$ ∩ $\overline{B}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, die sowohl in der Menge A={3; 4; 7}, als auch in der Menge $\overline{B}$ ={1; 2; 4; 5; 7} sind,
also $A$ ∩ $\overline{B}$ = {4; 7}

Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit

Beispiel:

In einer Urne sind 13 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 13 beschriftet. Es wird eine Kugel zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl dieser Kugel durch 3 teilbar ist oder dass die Zahl dieser Kugel höchstens die 5 ist.

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13} und die Mengen A = {3; 6; 9; 12} und B = {1; 2; 3; 4; 5}.

Die Menge $A$ ∪ $B$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13}, die in der Menge A={3; 6; 9; 12} oder in der Menge B={1; 2; 3; 4; 5} sind,
also $A$ ∪ $B$ = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 9; 12}

Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:

P( $A$ ∪ $B$ ) = $\frac{| A \cup B |}{|S|}$ = $\frac{8}{13}$

Vierfeldertafel mit Anzahlen

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

346 + 265 = H(B + $\overline{B}$ )

Somit gilt: H(B + $\overline{B}$ ) = 346 + 265 = 611

	$B$	$\overline{B}$
$A$			306
$\overline{A}$	174
	346	265	611

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(A ∩ B) + 174 = 346

Somit gilt: H(A ∩ B) = 346 - 174 = 172

	$B$	$\overline{B}$
$A$	172		306
$\overline{A}$	174
	346	265	611

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

306 + H( $\overline{A}$ ) = 611

Somit gilt: H( $\overline{A}$ ) = 611 - 306 = 305

	$B$	$\overline{B}$
$A$	172		306
$\overline{A}$	174		305
	346	265	611

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

172 + H(A ∩ $\overline{B}$ ) = 306

Somit gilt: H(A ∩ $\overline{B}$ ) = 306 - 172 = 134

	$B$	$\overline{B}$
$A$	172	134	306
$\overline{A}$	174		305
	346	265	611

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

174 + H( $\overline{A}$ ∩ $\overline{B}$ ) = 305

Somit gilt: H( $\overline{A}$ ∩ $\overline{B}$ ) = 305 - 174 = 131

	$B$	$\overline{B}$
$A$	172	134	306
$\overline{A}$	174	131	305
	346	265	611

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( $\overline{A}$ ) = P(B)+P( $\overline{B}$ ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass $\overline{A}$ gilt 100%.

	$B$	$\overline{B}$
$A$		0,12
$\overline{A}$	0,75
	0,86		1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.86 + P( $\overline{B}$ ) = 1

Somit gilt: P( $\overline{B}$ ) = 1 - 0.86 = 0.14

	$B$	$\overline{B}$
$A$		0,12
$\overline{A}$	0,75
	0,86	0,14	1

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A ∩ B) + 0.75 = 0.86

Somit gilt: P(A ∩ B) = 0.86 - 0.75 = 0.11

	$B$	$\overline{B}$
$A$	0,11	0,12
$\overline{A}$	0,75
	0,86	0,14	1

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.12 + P( $\overline{A}$ ∩ $\overline{B}$ ) = 0.14

Somit gilt: P( $\overline{A}$ ∩ $\overline{B}$ ) = 0.14 - 0.12 = 0.02

	$B$	$\overline{B}$
$A$	0,11	0,12
$\overline{A}$	0,75	0,02
	0,86	0,14	1

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.11 + 0.12 = P(A)

Somit gilt: P(A) = 0.11 + 0.12 = 0.23

	$B$	$\overline{B}$
$A$	0,11	0,12	0,23
$\overline{A}$	0,75	0,02
	0,86	0,14	1

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.75 + 0.02 = P( $\overline{A}$ )

Somit gilt: P( $\overline{A}$ ) = 0.75 + 0.02 = 0.77

	$B$	$\overline{B}$
$A$	0,11	0,12	0,23
$\overline{A}$	0,75	0,02	0,77
	0,86	0,14	1

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

VFT Anwend. Häufigkeiten

Beispiel:

Alle SchülerInnen eines Gymnasiums kommen entweder mit dem Fahrrad bzw. zu Fuß oder aber mit dem Bus oder einem Auto zur Schule. Von denen, die weiter als 2 km von der Schule entfernt wohnen, fahren 382 mit dem Bus oder Auto. Von den 305 SchülerInnen, die nicht weiter als 2 km von der Schule entfernt wohnen, kommen aber immerhin 198 mit dem Fahrrad oder zu Fuß. Insgesamt fahren 293 mit dem Fahrrad oder gehen zu Fuß. Wie viele SchülerInnen hat die Schule ?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$ : nah

$\overline{A}$ : nicht nah, also entfernt

$B$ : Fahrrad/Fuß

$\overline{B}$ : nicht Fahrrad/Fuß, also Bus/Auto

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (Fahrrad/Fuß)	$\overline{B}$ (Bus/Auto)
$A$ (nah)	198		305
$\overline{A}$ (entfernt)		382
	293

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

198 + H(A ∩ $\overline{B}$ ) = 305

Somit gilt: H(A ∩ $\overline{B}$ ) = 305 - 198 = 107

	$B$ (Fahrrad/Fuß)	$\overline{B}$ (Bus/Auto)
$A$ (nah)	198	107	305
$\overline{A}$ (entfernt)		382
	293

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

198 + H( $\overline{A}$ ∩ B) = 293

Somit gilt: H( $\overline{A}$ ∩ B) = 293 - 198 = 95

	$B$ (Fahrrad/Fuß)	$\overline{B}$ (Bus/Auto)
$A$ (nah)	198	107	305
$\overline{A}$ (entfernt)	95	382
	293

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

107 + 382 = H( $\overline{B}$ )

Somit gilt: H( $\overline{B}$ ) = 107 + 382 = 489

	$B$ (Fahrrad/Fuß)	$\overline{B}$ (Bus/Auto)
$A$ (nah)	198	107	305
$\overline{A}$ (entfernt)	95	382
	293	489

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

95 + 382 = H( $\overline{A}$ )

Somit gilt: H( $\overline{A}$ ) = 95 + 382 = 477

	$B$ (Fahrrad/Fuß)	$\overline{B}$ (Bus/Auto)
$A$ (nah)	198	107	305
$\overline{A}$ (entfernt)	95	382	477
	293	489

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

293 + 489 = H(B + $\overline{B}$ )

Somit gilt: H(B + $\overline{B}$ ) = 293 + 489 = 782

	$B$ (Fahrrad/Fuß)	$\overline{B}$ (Bus/Auto)
$A$ (nah)	198	107	305
$\overline{A}$ (entfernt)	95	382	477
	293	489	782

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

	$B$ (Fahrrad/Fuß)	$\overline{B}$ (Bus/Auto)
$A$ (nah)	198	107	305
$\overline{A}$ (entfernt)	95	382	477
	293	489	782

Der gesuchte Wert, Anzahl der Schüler der Schule, ist also 782.

VFT Anwend. prozentual (leichter)

Beispiel:

Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind von den Anhängern seiner eigenen Partei, deren Anteil 36% der Bevölkerung ausmacht, 67% zufrieden. Bei denen, die aber keine Anhängern dessen Partei sind, liegen die Zustimmungswerte nur bei 22%. Wie viel Prozent der Bevölkerung sind insgesamt mit der Arbeit des Regierungschefs zufrieden?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$ : eigene Partei

$\overline{A}$ : nicht eigene Partei, also andere Partei

$B$ : zufrieden

$\overline{B}$ : nicht zufrieden, also unzufrieden

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (zufrieden)	$\overline{B}$ (unzufrieden)
$A$ (eigene Partei)			0,36
$\overline{A}$ (andere Partei)

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P (A)$ + $P (\overline{A})$ = $P (B)$ + $P (\overline{B})$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\overline{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (zufrieden)	$\overline{B}$ (unzufrieden)
$A$ (eigene Partei)			0,36
$\overline{A}$ (andere Partei)			0,64
			1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "eigene Partei" sind es 67% kann man die Wahrscheinlichkeit
$P (A \cap B)$ = 0,36 ⋅ 0,67 = 0,2412 berechnen.

	$B$ (zufrieden)
$A$ (eigene Partei)	0,2412	0,36
$\overline{A}$ (andere Partei)		0,64
		1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "andere Partei" sind es 22% kann man die Wahrscheinlichkeit
$P (\overline{A} \cap B)$ = 0,64 ⋅ 0,22 = 0,1408 berechnen.

	$B$ (zufrieden)
$A$ (eigene Partei)	0,2412	0,36
$\overline{A}$ (andere Partei)	0,1408	0,64
		1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (zufrieden)	$\overline{B}$ (unzufrieden)
$A$ (eigene Partei)	0,2412	0,1188	0,36
$\overline{A}$ (andere Partei)	0,1408	0,4992	0,64
	0,382	0,618	1

Der gesuchte Wert, Zustimmungsquote insgesamt, ist also 0.382 = 38.2%.

VFT Anwend. prozentual (schwerer)

Beispiel:

Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Insgesamt ist die App auf 34,4% aller Smartphones installiert. Auf den iPhones ist sie sogar auf 48% der Geräte installiert. Bei der Untersuchung waren 20% aller Smartphones iPhones. Wie groß ist der Prozentsatz der Smartphones, die keine iPhones sind und die App nicht installiert haben, unter allen Smartphones?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$ : iPhone

$\overline{A}$ : nicht iPhone, also anderes Smartphone

$B$ : installiert

$\overline{B}$ : nicht installiert, also nicht installiert

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (installiert)
$A$ (iPhone)		0,2
$\overline{A}$ (anderes Smartphone)
	0,344

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P (A)$ + $P (\overline{A})$ = $P (B)$ + $P (\overline{B})$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\overline{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (installiert)	$\overline{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)			0,2
$\overline{A}$ (anderes Smartphone)			0,8
	0,344	0,656	1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "iPhone" sind es 48% kann man die Wahrscheinlichkeit
$P (A \cap B)$ = 0,2 ⋅ 0,48 = 0,096 berechnen.

	$B$ (installiert)	$\overline{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)	0,096		0,2
$\overline{A}$ (anderes Smartphone)			0,8
	0,344	0,656	1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (installiert)	$\overline{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)	0,096	0,104	0,2
$\overline{A}$ (anderes Smartphone)	0,248	0,552	0,8
	0,344	0,656	1

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz von nicht iPhone und ohne die App, ist also 0.552 = 55.2%.

bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{A} (B)$ .

	$B$	$\overline{B}$
$A$	172	18	190
$\overline{A}$	128	59	187
	300	77	377

Lösung einblenden

$P_{A} (B)$ bedeutet die Wahrscheinlichkeit für $B$ unter der Vorraussetzung, dass $A$ bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $A$ gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $A$ - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $B$ weiter.)

=

\frac{190}{377}

=

\frac{187}{377}

=x

=

\frac{172}{377}

=

\frac{18}{377}

=

\frac{128}{377}

=

\frac{59}{377}

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
$P (A)$ ⋅ $P_{A} (B)$ = $P (A \cap B)$ | : $P (A)$

$P_{A} (B)$ = $\frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

oder hier im speziellen:
$\frac{190}{377}$ ⋅ x = $\frac{172}{377}$ = |:190 ⋅377
also
$P_{A} (B)$ = x = $\frac{172}{190}$ ≈ 0,9053

bedingte Wahrsch. (nur Prozente)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{\overline{A}} (\overline{B})$ .

	$B$	$\overline{B}$
$A$	0,09	0,22	0,31
$\overline{A}$	0,14	0,55	0,69
	0,23	0,77	1

Lösung einblenden

$P_{\overline{A}} (\overline{B})$ bedeutet die Wahrscheinlichkeit für $\overline{B}$ unter der Vorraussetzung, dass $\overline{A}$ bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $\overline{A}$ gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $\overline{A}$ - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $\overline{B}$ weiter.)

=0,31

=0,69

=x

=0,09

=0,22

=0,14

=0,55

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
$P (\overline{A})$ ⋅ $P_{\overline{A}} (\overline{B})$ = $P (\overline{A} \cap \overline{B})$ | : $P (\overline{A})$

$P_{\overline{A}} (\overline{B})$ = $\frac{P(\overline{A} \cap \overline{B})}{P(\overline{A})}$

oder hier im speziellen:
0,69 ⋅ x = 0,55 = |:0,69
also
$P_{\overline{A}} (\overline{B})$ = x = $\frac{0,55}{0,69}$ ≈ 0,7971

bedingte Wahrsch. Anwendungen

Beispiel:

Schätzungen zufolge sind 7% der Lehrer Informatiklehrer. Von den anderen Lehrern nutzen 92% das MS-Office. Von den Informatik-Lehrern bevorzugen aber 89% ein anderes Office-Paket wie OpenOffice oder LibreOffice. Wie hoch ist der Anteil der Informatiklehrer an den Lehrern die ein offenes Office nutzen?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$ : Informatiklehrer

$\overline{A}$ : nicht Informatiklehrer, also andere Lehrer

$B$ : MS-Office

$\overline{B}$ : nicht MS-Office, also anderes Office

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (MS-Office)	$\overline{B}$ (anderes Office)
$A$ (Informatiklehrer)			0,07
$\overline{A}$ (andere Lehrer)

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P (A)$ + $P (\overline{A})$ = $P (B)$ + $P (\overline{B})$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\overline{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (MS-Office)	$\overline{B}$ (anderes Office)
$A$ (Informatiklehrer)			0,07
$\overline{A}$ (andere Lehrer)			0,93
			1

=0,07

Informatiklehrer

=0,93

andere Lehrer

MS-Office

=0,89

anderes Office

=0,92

MS-Office

anderes Office

=0,0623

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "Informatiklehrer" sind es 89%, also $P_{A} (\overline{B})$ ,
die Wahrscheinlichkeit
$P (A \cap \overline{B})$ = $P (A)$ ⋅ $P_{A} (\overline{B})$ = 0,07 ⋅ 0,89 = 0,0623
berechnen.

	$\overline{B}$ (anderes Office)
$A$ (Informatiklehrer)	0,0623	0,07
$\overline{A}$ (andere Lehrer)		0,93
		1

=0,07

Informatiklehrer

=0,93

andere Lehrer

MS-Office

=0,89

anderes Office

=0,92

MS-Office

anderes Office

=0,0623

=0,8556

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "andere Lehrer" sind es 92%, also $P_{\overline{A}} (B)$ ,
die Wahrscheinlichkeit
$P (\overline{A} \cap B)$ = $P (\overline{A})$ ⋅ $P_{\overline{A}} (B)$ = 0,93 ⋅ 0,92 = 0,8556
berechnen.

	$B$ (MS-Office)	$\overline{B}$ (anderes Office)
$A$ (Informatiklehrer)		0,0623	0,07
$\overline{A}$ (andere Lehrer)	0,8556		0,93
			1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (MS-Office)	$\overline{B}$ (anderes Office)
$A$ (Informatiklehrer)	0,0077	0,0623	0,07
$\overline{A}$ (andere Lehrer)	0,8556	0,0744	0,93
	0,8633	0,1367	1

Gesucht ist ja "der Prozentsatz der Informatiklehrer an den OpenOffice-Nutzern", also die Wahrscheinlichkeit für $A$ (Informatiklehrer) unter der Vorraussetzung, dass $\overline{B}$ (anderes Office) bereits eingetroffen ist - kurz $P_{\overline{B}} (A)$ .

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $\overline{B}$ (anderes Office) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $\overline{B}$ (anderes Office) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $A$ (Informatiklehrer) weiter.)

=0,8633

MS-Office

=0,1367

anderes Office

Informatiklehrer

andere Lehrer

=x

Informatiklehrer

andere Lehrer

=0,0077

=0,8556

=0,0623

=0,0744

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
$P (\overline{B})$ ⋅ $P_{\overline{B}} (A)$ = $P (\overline{B} \cap A)$ | : $P (\overline{B})$

$P_{\overline{B}} (A)$ = $\frac{P(\overline{B} \cap A)}{P(\overline{B})}$

oder hier im speziellen:
0,1367 ⋅ x = 0,0623 = |:0,1367
also
$P_{\overline{B}} (A)$ = x = $\frac{0,0623}{0,1367}$ ≈ 0,4557

Der gesuchte Wert (der Prozentsatz der Informatiklehrer an den OpenOffice-Nutzern) ist also 0,4557 = 45,57%.

Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen

Beispiel:

Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Insgesamt ist die App auf 34,2% aller Smartphones installiert. 36,84% der installierten Apps sind auf einem iPhone. 50,4% aller Smartphones waren keine iPhones und hatten die App nicht installiert. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "iPhone" und "App ist installiert" stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$ : iPhone

$\overline{A}$ : nicht iPhone, also anderes Smartphone

$B$ : installiert

$\overline{B}$ : nicht installiert, also nicht installiert

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (installiert)	$\overline{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)
$\overline{A}$ (anderes Smartphone)		0,504
	0,342

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P (A)$ + $P (\overline{A})$ = $P (B)$ + $P (\overline{B})$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\overline{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (installiert)	$\overline{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)		0,154
$\overline{A}$ (anderes Smartphone)		0,504
	0,342	0,658	1

=0,342

installiert

=0,658

nicht installiert

=0,3684

iPhone

anderes Smartphone

iPhone

anderes Smartphone

=0,126

=0,154

=0,504

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "installiert" sind es 36.84%, also $P_{B} (A)$ ,
die Wahrscheinlichkeit
$P (B \cap A)$ = $P (B)$ ⋅ $P_{B} (A)$ = 0,342 ⋅ 0,3684 = 0,126
berechnen.

	$B$ (installiert)	$\overline{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)	0,126	0,154
$\overline{A}$ (anderes Smartphone)		0,504
	0,342	0,658	1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (installiert)	$\overline{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)	0,126	0,154	0,28
$\overline{A}$ (anderes Smartphone)	0,216	0,504	0,72
	0,342	0,658	1

Jetzt können wir P(A)=0.28 mit P(B)=0.342 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.126, also:

P(A) ⋅ P(B) = 0.28 ⋅ 0.342 = 0.0958 ≈ 0.096 ≠ 0.126 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch abhängig.

Stochast. Unabhängigkeit rückwärts

Beispiel:

Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P (A)$ + $P (\overline{A})$ = $P (B)$ + $P (\overline{B})$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\overline{A}$ gilt 100%.

	$B$
$A$
$\overline{A}$	0,3652	0,83
		1

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A) + 0.83 = 1

Somit gilt: P(A) = 1 - 0.83 = 0.17

	$B$
$A$		0,17
$\overline{A}$	0,3652	0,83
		1

Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch $\overline{A}$ und $B$ ) stochastisch unabhängig sind, muss gelten:

$P (\overline{A})$ ⋅ $P (B)$ = $P (\overline{A} \cap B)$

also 0.83 ⋅ $P (B)$ = 0.3652 |: 0.83

somit gilt:

$P (B)$ = $\frac{0.3652}{0.83}$ = 0.44

	$B$
$A$		0,17
$\overline{A}$	0,3652	0,83
	0,44	1

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

	$B$	$\overline{B}$
$A$	0,0748	0,0952	0,17
$\overline{A}$	0,3652	0,4648	0,83
	0,44	0,56	1

Stochast. Unabhängigkeit rw (Anwend.)

Beispiel:

In einem Land sind 13,6% aller Menschen sowohl volljährig als auch Linkshänder. Insgesamt sind 20% aller Menschen dieses Landes noch minderjährig. Man kann davon ausgehen, dass die beiden Ereignisse "Linkshänder" und "Minderjährigkeit" stochastisch unabhängig sind. Wie viel Prozent der Menschen dieses Landes müssten dann Rechtshänder sein?

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P (A)$ + $P (\overline{A})$ = $P (B)$ + $P (\overline{B})$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\overline{A}$ gilt 100%.

	$B$ (Linkshänder)
$A$ (Minderjährige)		0,2
$\overline{A}$ (Erwachsene)	0,136
		1

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.2 + P( $\overline{A}$ ) = 1

Somit gilt: P( $\overline{A}$ ) = 1 - 0.2 = 0.8

	$B$ (Linkshänder)
$A$ (Minderjährige)		0,2
$\overline{A}$ (Erwachsene)	0,136	0,8
		1

Wir erkennen nun, dass der Anteil von "Linkshänder" in der Zeile "Erwachsene" $P_{\overline{A}} (B)$ = $\frac{0.136}{0.8}$ = $0,17$ ist.

Weil die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind, muss dann in allen Zeilen der prozentuale Anteil von "Linkshänder" auch $0,17$ sein. Somit gilt auch $P (B)$ = $P_{\overline{A}} (B)$ = $0,17$ .

	$B$ (Linkshänder)
$A$ (Minderjährige)		0,2
$\overline{A}$ (Erwachsene)	0,136	0,8
	0,17	1

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

	$B$ (Linkshänder)	$\overline{B}$ (Rechtshänder)
$A$ (Minderjährige)	0,034	0,166	0,2
$\overline{A}$ (Erwachsene)	0,136	0,664	0,8
	0,17	0,83	1

Der prozentualer Anteil der Rechtshänder ist somit 83%

VFT Anwend. prozentual (mit Kombis)

Beispiel:

Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind 61% der Bevölkerung unzufrieden. 21% dieser Unzufriedenen sind sogar Anhänger seiner eigenen Partei. 78,22% der Bevölkerung sind entweder unzufrieden mit seiner Arbeit oder Anhänger seiner Partei. Wie viel Prozent der Anhänger seiner eigenen Partei sind mit der Arbeit des Regierungschefs zufrieden?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$ : zufrieden

$\overline{A}$ : nicht zufrieden, also unzufrieden

$B$ : eigene Partei

$\overline{B}$ : nicht eigene Partei, also andere Partei

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (eigene Partei)	$\overline{B}$ (andere Partei)
$A$ (zufrieden)
$\overline{A}$ (unzufrieden)			0,61

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P (A)$ + $P (\overline{A})$ = $P (B)$ + $P (\overline{B})$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\overline{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (eigene Partei)	$\overline{B}$ (andere Partei)
$A$ (zufrieden)			0,39
$\overline{A}$ (unzufrieden)			0,61
			1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "unzufrieden" sind es 21% kann man die Wahrscheinlichkeit
$P (\overline{A} \cap B)$ = 0,61 ⋅ 0,21 = 0,1281 berechnen.

	$B$ (eigene Partei)
$A$ (zufrieden)		0,39
$\overline{A}$ (unzufrieden)	0,1281	0,61
		1

Nach Verrechnung der Zeilen- und Spaltensummen erhält man:

	$B$ (eigene Partei)	$\overline{B}$ (andere Partei)
$A$ (zufrieden)			0,39
$\overline{A}$ (unzufrieden)	0,1281	0,4819	0,61
			1

Die 78.22% von "entweder unzufrieden oder eigene Partei" verteilen sich ja auf die beiden Felder von $P (A \cap B)$ und $P (\overline{A} \cap \overline{B})$ weil ja sowohl "unzufrieden und eigene Partei" als auch "Weder unzufrieden noch eigene Partei" nicht in diesen 78.22% enthalten ist. Es gilt somit:

$P (A \cap B)$ + $P (\overline{A} \cap \overline{B})$ = 0,7822, also
0.4819 + $P (\overline{A} \cap \overline{B})$ = 0,7822

Damit gilt: $P (A \cap B)$ = 0,7822 - 0.4819 = 0.3003

	$B$ (eigene Partei)	$\overline{B}$ (andere Partei)
$A$ (zufrieden)	0,3003		0,39
$\overline{A}$ (unzufrieden)	0,1281	0,4819	0,61
			1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (eigene Partei)	$\overline{B}$ (andere Partei)
$A$ (zufrieden)	0,3003	0,0897	0,39
$\overline{A}$ (unzufrieden)	0,1281	0,4819	0,61
	0,4284	0,5716	1

Gesucht ist ja, der Prozentsatz der Zufriedenen unter den Anhängern der eigenen Partei, also $P_{B} (A)$ = $\frac{P(B \cap A)}{P(B)}$ = $\frac{0.3003}{0.4284}$ ≈ 0.701

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Zufriedenen unter den Anhängern der eigenen Partei, ist also 0.701 = 70.1%.

Aufgabenbeispiele von Vierfeldertafel

Mengen-Operationen elementar

Mengen-Operationen (allg.)

Mengen-Operationen Anwendungen

Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit

Vierfeldertafel mit Anzahlen

Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten

VFT Anwend. Häufigkeiten

VFT Anwend. prozentual (leichter)

VFT Anwend. prozentual (schwerer)

bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)

bedingte Wahrsch. (nur Prozente)

bedingte Wahrsch. Anwendungen

Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen

Stochast. Unabhängigkeit rückwärts

Stochast. Unabhängigkeit rw (Anwend.)

VFT Anwend. prozentual (mit Kombis)