Aufgabenbeispiele von Vierfeldertafel
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Mengen-Operationen elementar
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {1; 3; 9; 10}. Bestimme .
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {1; 3; 9; 10}.
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge B={1; 3; 9; 10} sind,
also
= {2; 4; 5; 6; 7; 8}
Mengen-Operationen (allg.)
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 3; 4; 5; 6; 9; 10} und B = {1; 6; 7; 9}. Bestimme
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 3; 4; 5; 6; 9; 10} und B = {1; 6; 7; 9}.
Um die Menge
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge A={1; 3; 4; 5; 6; 9; 10} sind,
also
= {2; 7; 8}
Die Menge
also
Mengen-Operationen Anwendungen
Beispiel:
In einer Urne sind 7 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 7 beschriftet. Bestimme alle Kugeln deren Zahl nicht durch 4 teilbar ist, aber mindestens die 7 ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} und die Mengen A = {4} und B = {7}.
Um die Menge
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7},
die nicht in der Menge A={4} sind,
also
= {1; 2; 3; 5; 6; 7}
Die Menge
also
Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit
Beispiel:
In einer Urne sind 14 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 14 beschriftet. Es wird eine Kugel zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl dieser Kugel durch 5 teilbar ist oder dass die Zahl dieser Kugel höchstens die 3 ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14} und die Mengen A = {5; 10} und B = {1; 2; 3}.
Die Menge
also
Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:
P(
Vierfeldertafel mit Anzahlen
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
124 + 33 = H(A)
Somit gilt: H(A) = 124 + 33 = 157
124 | 33 | 157 | |
95 | |||
198 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
124 + H( ∩ B) = 198
Somit gilt: H( ∩ B) = 198 - 124 = 74
124 | 33 | 157 | |
74 | 95 | ||
198 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
33 + 95 = H( )
Somit gilt: H( ) = 33 + 95 = 128
124 | 33 | 157 | |
74 | 95 | ||
198 | 128 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
74 + 95 = H( )
Somit gilt: H( ) = 74 + 95 = 169
124 | 33 | 157 | |
74 | 95 | 169 | |
198 | 128 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
198 + 128 = H(B + )
Somit gilt: H(B + ) = 198 + 128 = 326
124 | 33 | 157 | |
74 | 95 | 169 | |
198 | 128 | 326 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( ) = P(B)+P( ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass gilt 100%.
0,29 | 0,36 | ||
0,14 | |||
1 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(A ∩ B) + 0.29 = 0.36
Somit gilt: P(A ∩ B) = 0.36 - 0.29 = 0.07
0,07 | 0,29 | 0,36 | |
0,14 | |||
1 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.29 + 0.14 = P( )
Somit gilt: P( ) = 0.29 + 0.14 = 0.43
0,07 | 0,29 | 0,36 | |
0,14 | |||
0,43 | 1 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.36 + P( ) = 1
Somit gilt: P( ) = 1 - 0.36 = 0.64
0,07 | 0,29 | 0,36 | |
0,14 | 0,64 | ||
0,43 | 1 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P( ∩ B) + 0.14 = 0.64
Somit gilt: P( ∩ B) = 0.64 - 0.14 = 0.5
0,07 | 0,29 | 0,36 | |
0,5 | 0,14 | 0,64 | |
0,43 | 1 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(B) + 0.43 = 1
Somit gilt: P(B) = 1 - 0.43 = 0.57
0,07 | 0,29 | 0,36 | |
0,5 | 0,14 | 0,64 | |
0,57 | 0,43 | 1 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
VFT Anwend. Häufigkeiten
Beispiel:
Alle SchülerInnen eines Gymnasiums kommen entweder mit dem Fahrrad bzw. zu Fuß oder aber mit dem Bus oder einem Auto zur Schule. Von denen, die nicht weiter als 2 km von der Schule entfernt wohnen fahren trotzdem 231 mit dem Bus oder Auto. Von den 550 SchülerInnen, die weiter als 2 km von der Schule entfernt wohnen, kommen aber immerhin 61 mit dem Fahrrad oder zu Fuß. Insgesamt fahren 229 mit dem Fahrrad oder gehen zu Fuß. Wie viele SchülerInnen hat die Schule ?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: nah
: nicht nah, also entfernt
: Fahrrad/Fuß
: nicht Fahrrad/Fuß, also Bus/Auto
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(Fahrrad/Fuß) |
(Bus/Auto) | ||
---|---|---|---|
(nah) | 231 | ||
(entfernt) | 61 | 550 | |
229 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
61 + H( ∩ ) = 550
Somit gilt: H( ∩ ) = 550 - 61 = 489
(Fahrrad/Fuß) |
(Bus/Auto) | ||
---|---|---|---|
(nah) | 231 | ||
(entfernt) | 61 | 489 | 550 |
229 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ B) + 61 = 229
Somit gilt: H(A ∩ B) = 229 - 61 = 168
(Fahrrad/Fuß) |
(Bus/Auto) | ||
---|---|---|---|
(nah) | 168 | 231 | |
(entfernt) | 61 | 489 | 550 |
229 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
231 + 489 = H( )
Somit gilt: H( ) = 231 + 489 = 720
(Fahrrad/Fuß) |
(Bus/Auto) | ||
---|---|---|---|
(nah) | 168 | 231 | |
(entfernt) | 61 | 489 | 550 |
229 | 720 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
168 + 231 = H(A)
Somit gilt: H(A) = 168 + 231 = 399
(Fahrrad/Fuß) |
(Bus/Auto) | ||
---|---|---|---|
(nah) | 168 | 231 | 399 |
(entfernt) | 61 | 489 | 550 |
229 | 720 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
229 + 720 = H(B + )
Somit gilt: H(B + ) = 229 + 720 = 949
(Fahrrad/Fuß) |
(Bus/Auto) | ||
---|---|---|---|
(nah) | 168 | 231 | 399 |
(entfernt) | 61 | 489 | 550 |
229 | 720 | 949 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
(Fahrrad/Fuß) |
(Bus/Auto) | ||
---|---|---|---|
(nah) | 168 | 231 | 399 |
(entfernt) | 61 | 489 | 550 |
229 | 720 | 949 |
Der gesuchte Wert, Anzahl der Schüler der Schule, ist also 949.
VFT Anwend. prozentual (leichter)
Beispiel:
In einer groß angelegten Umfrage waren 50% der Befragten weiblich. Während 27% der männlichen Befragten angaben, Fußballfans zu sein, waren das bei den weiblichen Befragten nur 16%. Wie viel Prozent der Fußballfans sind weiblich?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: weiblich
: nicht weiblich, also männlich
: Fußballfan
: nicht Fußballfan, also kein Fan
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,5 | ||
(männlich) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe + = + = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass gilt oder dass gilt 100%.
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,5 | ||
(männlich) | 0,5 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "weiblich" sind es
16% kann man die Wahrscheinlichkeit
=
0,5 ⋅
0,16 =
0,08 berechnen.
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,08 | 0,5 | |
(männlich) | 0,5 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "männlich" sind es
27% kann man die Wahrscheinlichkeit
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,08 | 0,5 | |
(männlich) | 0,135 | 0,5 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,08 | 0,42 | 0,5 |
(männlich) | 0,135 | 0,365 | 0,5 |
0,215 | 0,785 | 1 |
Gesucht ist ja, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, also
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, ist also 0.3721 = 37.21%.
VFT Anwend. prozentual (schwerer)
Beispiel:
Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Insgesamt ist die App auf 30,4% aller Smartphones installiert. 23,68% der installierten Apps sind auf einem iPhone. 56,8% aller Smartphones waren keine iPhones und hatten die App nicht installiert. Als Smartphones gibt es iPhones und Nicht-iPhones. Wie groß ist der Prozentsatz der iPhones unter allen Smartphones?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | |||
(anderes Smartphone) | 0,568 | ||
0,304 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,128 | ||
(anderes Smartphone) | 0,568 | ||
0,304 | 0,696 | 1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "installiert" sind es
23.68% kann man die Wahrscheinlichkeit
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,072 | 0,128 | |
(anderes Smartphone) | 0,568 | ||
0,304 | 0,696 | 1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,072 | 0,128 | 0,2 |
(anderes Smartphone) | 0,232 | 0,568 | 0,8 |
0,304 | 0,696 | 1 |
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz iPhones unter allen Smartphones, ist also 0.2 = 20%.
bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 17 | 46 | 63 |
| 41 | 49 | 90 |
58 | 95 | 153 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
also
bedingte Wahrsch. (nur Prozente)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 0,36 | 0,06 | 0,42 |
| 0,52 | 0,06 | 0,58 |
0,88 | 0,12 | 1 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,42 ⋅ x
= 0,36 = |:0,42
also
bedingte Wahrsch. Anwendungen
Beispiel:
Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Insgesamt ist die App auf 30,68% aller Smartphones installiert. Auf den iPhones ist sie sogar auf 36% der Geräte installiert. Bei der Untersuchung waren 24% aller Smartphones iPhones. Ein Bekannter erzählt, dass er die App installiert hat. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass dieser ein iPhones hat?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,24 | ||
(anderes Smartphone) | |||
0,3068 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,24 | ||
(anderes Smartphone) | 0,76 | ||
0,3068 | 0,6932 | 1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "iPhone" sind es 36%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,0864 | 0,24 | |
(anderes Smartphone) | 0,76 | ||
0,3068 | 0,6932 | 1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,0864 | 0,1536 | 0,24 |
(anderes Smartphone) | 0,2204 | 0,5396 | 0,76 |
0,3068 | 0,6932 | 1 |
Gesucht ist ja "die Wahrscheinlichkeit. dass ein Handy mit der App ein iPhone ist", also die Wahrscheinlichkeit für
Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,3068 ⋅ x
= 0,0864 = |:0,3068
also
Der gesuchte Wert (die Wahrscheinlichkeit. dass ein Handy mit der App ein iPhone ist) ist also 0,2816 = 28,16%.
Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen
Beispiel:
Ein Fahrradhändler hat in einem Jahr 2600 Fahrräder verkauft. Davon waren 517 Mountainbikes ohne zusätzlichen Elektroantrieb. Insgesamt wurden 1274 E-Bikes verkauft. Von den Rädern, die kein Mountainbike sind, wurden insgesamt (E-Bike und andere zusammen) 1586 Stück verkauft. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "Mountainbike" und "E-Bike" stochastisch unabhängig sind.
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 1274 | ||
(kein E-Bike) | 517 | ||
1586 | 2600 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(B) + 1586 = 2600
Somit gilt: H(B) = 2600 - 1586 = 1014
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 1274 | ||
(kein E-Bike) | 517 | ||
1014 | 1586 | 2600 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ B) + 517 = 1014
Somit gilt: H(A ∩ B) = 1014 - 517 = 497
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 497 | 1274 | |
(kein E-Bike) | 517 | ||
1014 | 1586 | 2600 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
1274 + H(
Somit gilt: H(
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 497 | 1274 | |
(kein E-Bike) | 517 | 1326 | |
1014 | 1586 | 2600 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
497 + H(A ∩
Somit gilt: H(A ∩
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 497 | 777 | 1274 |
(kein E-Bike) | 517 | 1326 | |
1014 | 1586 | 2600 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
517 + H(
Somit gilt: H(
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 497 | 777 | 1274 |
(kein E-Bike) | 517 | 809 | 1326 |
1014 | 1586 | 2600 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 497 | 777 | 1274 |
(kein E-Bike) | 517 | 809 | 1326 |
1014 | 1586 | 2600 |
Um zu überprüfen, ob die beiden Ereignisse A (E-Bike) und B (Mountainbike) stochatisch unabhängig sind, müssen wir die absoluten Zahlen zuerst in relative Häufigkeiten umwandeln. Dazu teilen wir einfach alle Zellen durch den Gesamtwert in der rechten unteren Zelle: 2600. und runden diese auf drei Stellen hinter dem Komma. Wir erhalten so erhalten:
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,191 | 0,299 | 0,49 |
| 0,199 | 0,311 | 0,51 |
0,39 | 0,61 | 1 |
Jetzt können wir P(A)=0.49 mit P(B)=0.39 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.191, also:
P(A) ⋅ P(B) = 0.49 ⋅ 0.39 = 0.1911 ≈ 0.191
≈ 0.191 = P(A ∩ B),
A und B sind also näherungsweise stochastisch unabhängig.
Stochast. Unabhängigkeit rückwärts
Beispiel:
Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
|
| ||
---|---|---|---|
| |||
| 0,1917 | ||
0,29 | 1 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(B) + 0.29 = 1
Somit gilt: P(B) = 1 - 0.29 = 0.71
|
| ||
---|---|---|---|
| |||
| 0,1917 | ||
0,71 | 0,29 | 1 |
Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch
also
somit gilt:
|
| ||
---|---|---|---|
| |||
| 0,1917 | 0,27 | |
0,71 | 0,29 | 1 |
Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,5183 | 0,2117 | 0,73 |
| 0,1917 | 0,0783 | 0,27 |
0,71 | 0,29 | 1 |
Stochast. Unabhängigkeit rw (Anwend.)
Beispiel:
An einer Schule müssen alle Schülerinnen und Schüler der 10-ten Klassen für ihre Kurswahl entweder das Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Schülern, die keine Mädchen sind, wählen 45 das Leistungsfach. Insgesamt gibt es 72 Mädchen in dieser Klassenstufe. Man kann davon ausgehen, dass die beiden Ereignisse Geschlecht und Mathewahlen stochastisch unabhängig sind. Wie viele der insgeamt 144 Wahlen entfielen auf das Basisfach Mathe?
Als erstes tragen wir die Werte, die man aus dem Text herauslesen kann in einer Vierfeldertafel ein:
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 72 | ||
(Jungs) | 45 | ||
144 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
72 + H(
Somit gilt: H(
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 72 | ||
(Jungs) | 45 | 72 | |
144 |
Wir erkennen nun, dass der Anteil von "Leistungsfach" in der Zeile "Jungs"
Weil die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind, muss dann in allen Zeilen der prozentuale Anteil von "Leistungsfach" auch
Für den Wert in der Randzeile ergibt sich also
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 72 | ||
(Jungs) | 45 | 72 | |
90 | 144 |
Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 45 | 27 | 72 |
(Jungs) | 45 | 27 | 72 |
90 | 54 | 144 |
Die Anzahl der Schüler:innen mit Basisfach ist somit 54
VFT Anwend. prozentual (mit Kombis)
Beispiel:
In einer groß angelegten Umfrage sind 53,6% der Befragten weiblich. 6,44% dieser weiblichen Befragten sind Fußballfans. 88,45% der Befragten sind keine Fußballfans oder weiblich. Wie hoch ist der Prozentsatz unter allen Befragten, die keine Fußballfans sind?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | |||
(kein Fan) | |||
0,536 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | |||
(kein Fan) | |||
0,536 | 0,464 | 1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "weiblich" sind es
6.44% kann man die Wahrscheinlichkeit
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,0345 | ||
(kein Fan) | |||
0,536 | 0,464 | 1 |
Die 88.45% von "kein Fan oder weiblich" verteilen sich ja auf die drei Felder von
also auf alle vier Felder außer
0,8845 =
Damit gilt:
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,0345 | 0,1155 | |
(kein Fan) | |||
0,536 | 0,464 | 1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,0345 | 0,1155 | 0,15 |
(kein Fan) | 0,5015 | 0,3485 | 0,85 |
0,536 | 0,464 | 1 |
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Nicht-Fußballfans, ist also 0.85 = 85%.