Aufgabenbeispiele von Vierfeldertafel
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Mengen-Operationen elementar
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {6; 7; 8; 10}. Bestimme .
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {6; 7; 8; 10}.
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge A={6; 7; 8; 10} sind,
also
= {1; 2; 3; 4; 5; 9}
Mengen-Operationen (allg.)
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {1; 3; 6; 7; 10}. Bestimme .
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {1; 3; 6; 7; 10}.
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge B={1; 3; 6; 7; 10} sind,
also
= {2; 4; 5; 8; 9}
Mengen-Operationen Anwendungen
Beispiel:
In einer Urne sind 14 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 14 beschriftet. Bestimme alle Kugeln deren Zahl nicht durch 5 teilbar ist, aber mindestens die 7 ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14} und die Mengen A = {5; 10} und B = {7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14}.
Um die Menge
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14},
die nicht in der Menge A={5; 10} sind,
also
= {1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9; 11; 12; 13; 14}
Die Menge
also
Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
Ein Glücksrad wie rechts abgebildet wird einmal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl des gewählten Sektors nicht durch 5 teilbar ist und deren Hintergrund eingefärbt ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {3; 7; 8} und B = {5}.
Um die Menge
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8},
die nicht in der Menge B={5} sind,
also
= {1; 2; 3; 4; 6; 7; 8}
Die Menge
also
Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:
P(
Vierfeldertafel mit Anzahlen
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
176 + H(A ∩ ) = 294
Somit gilt: H(A ∩ ) = 294 - 176 = 118
| 176 | 118 | 294 | |
| 232 | |||
| 297 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
118 + H( ∩ ) = 297
Somit gilt: H( ∩ ) = 297 - 118 = 179
| 176 | 118 | 294 | |
| 179 | 232 | ||
| 297 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
294 + 232 = H(B + )
Somit gilt: H(B + ) = 294 + 232 = 526
| 176 | 118 | 294 | |
| 179 | 232 | ||
| 297 | 526 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H( ∩ B) + 179 = 232
Somit gilt: H( ∩ B) = 232 - 179 = 53
| 176 | 118 | 294 | |
| 53 | 179 | 232 | |
| 297 | 526 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(B) + 297 = 526
Somit gilt: H(B) = 526 - 297 = 229
| 176 | 118 | 294 | |
| 53 | 179 | 232 | |
| 229 | 297 | 526 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( ) = P(B)+P( ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass gilt 100%.
| 0,36 | 0,79 | ||
| 0,1 | |||
| 1 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.36 + P(A ∩ ) = 0.79
Somit gilt: P(A ∩ ) = 0.79 - 0.36 = 0.43
| 0,36 | 0,43 | 0,79 | |
| 0,1 | |||
| 1 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.43 + 0.1 = P( )
Somit gilt: P( ) = 0.43 + 0.1 = 0.53
| 0,36 | 0,43 | 0,79 | |
| 0,1 | |||
| 0,53 | 1 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.79 + P( ) = 1
Somit gilt: P( ) = 1 - 0.79 = 0.21
| 0,36 | 0,43 | 0,79 | |
| 0,1 | 0,21 | ||
| 0,53 | 1 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P( ∩ B) + 0.1 = 0.21
Somit gilt: P( ∩ B) = 0.21 - 0.1 = 0.11
| 0,36 | 0,43 | 0,79 | |
| 0,11 | 0,1 | 0,21 | |
| 0,53 | 1 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(B) + 0.53 = 1
Somit gilt: P(B) = 1 - 0.53 = 0.47
| 0,36 | 0,43 | 0,79 | |
| 0,11 | 0,1 | 0,21 | |
| 0,47 | 0,53 | 1 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
VFT Anwend. Häufigkeiten
Beispiel:
Ein Fahrradhändler hat in einem Jahr 2500 Fahrräder verkauft. Davon waren 666 Mountainbikes ohne zusätzlichen Elektroantrieb. Insgesamt wurden 875 E-Bikes verkauft. Von den Rädern, die kein Mountainbike sind, wurden insgesamt (E-Bike und andere zusammen) 1580 Stück verkauft. Wie viele Fahrräder wurden verkauft, die weder ein Mountainbike noch ein E-Bike sind?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: E-Bike
: nicht E-Bike, also kein E-Bike
: Mountainbike
: nicht Mountainbike, also kein Mountainbike
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
|
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
|---|---|---|---|
|
(E-Bike) | 875 | ||
|
(kein E-Bike) | 666 | ||
| 1580 | 2500 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(B) + 1580 = 2500
Somit gilt: H(B) = 2500 - 1580 = 920
|
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
|---|---|---|---|
|
(E-Bike) | 875 | ||
|
(kein E-Bike) | 666 | ||
| 920 | 1580 | 2500 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ B) + 666 = 920
Somit gilt: H(A ∩ B) = 920 - 666 = 254
|
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
|---|---|---|---|
|
(E-Bike) | 254 | 875 | |
|
(kein E-Bike) | 666 | ||
| 920 | 1580 | 2500 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
875 + H( ) = 2500
Somit gilt: H( ) = 2500 - 875 = 1625
|
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
|---|---|---|---|
|
(E-Bike) | 254 | 875 | |
|
(kein E-Bike) | 666 | 1625 | |
| 920 | 1580 | 2500 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
254 + H(A ∩ ) = 875
Somit gilt: H(A ∩ ) = 875 - 254 = 621
|
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
|---|---|---|---|
|
(E-Bike) | 254 | 621 | 875 |
|
(kein E-Bike) | 666 | 1625 | |
| 920 | 1580 | 2500 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
666 + H( ∩ ) = 1625
Somit gilt: H( ∩ ) = 1625 - 666 = 959
|
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
|---|---|---|---|
|
(E-Bike) | 254 | 621 | 875 |
|
(kein E-Bike) | 666 | 959 | 1625 |
| 920 | 1580 | 2500 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
|
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
|---|---|---|---|
|
(E-Bike) | 254 | 621 | 875 |
|
(kein E-Bike) | 666 | 959 | 1625 |
| 920 | 1580 | 2500 |
Der gesuchte Wert, Anzahl verkaufter "normaler" Fahrräder, ist also 959.
VFT Anwend. prozentual (leichter)
Beispiel:
Bei einer neuen Viruskrankkeit, geht man davon aus, dass 16% der Menschen, die älter als 80 Jahre sind, diese nicht überleben. Von den jüngeren sterben nur 1,51% daran. In einem Land sind 7% der Bevölkerung älter als 80 Jahre. Wie hoch ist in diesem Land das Risiko, an dieser Krankheit zu sterben?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: über 80
: nicht über 80, also höchstens 80
: sterben
: nicht sterben, also überleben
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
|
(sterben) |
(überleben) | ||
|---|---|---|---|
|
(über 80) | 0,07 | ||
|
(höchstens 80) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe + = + = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass gilt oder dass gilt 100%.
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
|
(sterben) |
(überleben) | ||
|---|---|---|---|
|
(über 80) | 0,07 | ||
|
(höchstens 80) | 0,93 | ||
| 1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "über 80" sind es
16% kann man die Wahrscheinlichkeit
=
0,07 ⋅
0,16 =
0,0112 berechnen.
|
(sterben) |
(überleben) | ||
|---|---|---|---|
|
(über 80) | 0,0112 | 0,07 | |
|
(höchstens 80) | 0,93 | ||
| 1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "höchstens 80" sind es
1.51% kann man die Wahrscheinlichkeit
|
(sterben) |
(überleben) | ||
|---|---|---|---|
|
(über 80) | 0,0112 | 0,07 | |
|
(höchstens 80) | 0,014 | 0,93 | |
| 1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
|
(sterben) |
(überleben) | ||
|---|---|---|---|
|
(über 80) | 0,0112 | 0,0588 | 0,07 |
|
(höchstens 80) | 0,014 | 0,916 | 0,93 |
| 0,0252 | 0,9748 | 1 |
Der gesuchte Wert, die Wahrscheinlichkeit an der Krankheit zu sterben, ist also 0.0252 = 2.52%.
VFT Anwend. prozentual (schwerer)
Beispiel:
Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind 39% der Bevölkerung zufrieden. Unter den Anhängern seiner eigenen Partei, deren Anteil 38,72% der Bevölkerung ausmacht, hat er sogar Zustimmungswerte von 68,49%. Wie viel Prozent der Bevölkerung ist weder Anhänger seiner Partei noch zufrieden mit der Arbeit des Regierungschefs?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
|
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
|---|---|---|---|
|
(zufrieden) | 0,39 | ||
|
(unzufrieden) | |||
| 0,3872 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
|
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
|---|---|---|---|
|
(zufrieden) | 0,39 | ||
|
(unzufrieden) | 0,61 | ||
| 0,3872 | 0,6128 | 1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "eigene Partei" sind es
68.49% kann man die Wahrscheinlichkeit
|
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
|---|---|---|---|
|
(zufrieden) | 0,2652 | 0,39 | |
|
(unzufrieden) | 0,61 | ||
| 0,3872 | 0,6128 | 1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
|
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
|---|---|---|---|
|
(zufrieden) | 0,2652 | 0,1248 | 0,39 |
|
(unzufrieden) | 0,122 | 0,488 | 0,61 |
| 0,3872 | 0,6128 | 1 |
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz von unzufrieden und kein Anhänger der Partei, ist also 0.488 = 48.8%.
bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | | ||
|---|---|---|---|
| | 107 | 138 | 245 |
| | 165 | 71 | 236 |
| 272 | 209 | 481 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
also
bedingte Wahrsch. (nur Prozente)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | | ||
|---|---|---|---|
| | 0,05 | 0,6 | 0,65 |
| | 0,23 | 0,12 | 0,35 |
| 0,28 | 0,72 | 1 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,35 ⋅ x
= 0,23 = |:0,35
also
bedingte Wahrsch. Anwendungen
Beispiel:
Schätzungen zufolge sind 4% der Lehrer Informatiklehrer. Von den anderen Lehrern nutzen 94% das MS-Office. Von den Informatik-Lehrern bevorzugen aber 85% ein anderes Office-Paket wie OpenOffice oder LibreOffice. Wie hoch ist der Anteil der Informatiklehrer an den Lehrern die ein offenes Office nutzen?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
|
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
|---|---|---|---|
|
(Informatiklehrer) | 0,04 | ||
|
(andere Lehrer) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
|
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
|---|---|---|---|
|
(Informatiklehrer) | 0,04 | ||
|
(andere Lehrer) | 0,96 | ||
| 1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "Informatiklehrer" sind es 85%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
|
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
|---|---|---|---|
|
(Informatiklehrer) | 0,034 | 0,04 | |
|
(andere Lehrer) | 0,96 | ||
| 1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "andere Lehrer" sind es 94%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
|
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
|---|---|---|---|
|
(Informatiklehrer) | 0,034 | 0,04 | |
|
(andere Lehrer) | 0,9024 | 0,96 | |
| 1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
|
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
|---|---|---|---|
|
(Informatiklehrer) | 0,006 | 0,034 | 0,04 |
|
(andere Lehrer) | 0,9024 | 0,0576 | 0,96 |
| 0,9084 | 0,0916 | 1 |
Gesucht ist ja "der Prozentsatz der Informatiklehrer an den OpenOffice-Nutzern", also die Wahrscheinlichkeit für
Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,0916 ⋅ x
= 0,034 = |:0,0916
also
Der gesuchte Wert (der Prozentsatz der Informatiklehrer an den OpenOffice-Nutzern) ist also 0,3712 = 37,12%.
Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen
Beispiel:
Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Insgesamt ist die App auf 28,2% aller Smartphones installiert. 47,87% der installierten Apps sind auf einem iPhone. 55,3% aller Smartphones waren keine iPhones und hatten die App nicht installiert. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "iPhone" und "App ist installiert" stochastisch unabhängig sind.
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
|
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
|---|---|---|---|
|
(iPhone) | |||
|
(anderes Smartphone) | 0,553 | ||
| 0,282 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
|
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
|---|---|---|---|
|
(iPhone) | 0,165 | ||
|
(anderes Smartphone) | 0,553 | ||
| 0,282 | 0,718 | 1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "installiert" sind es 47.87%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
|
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
|---|---|---|---|
|
(iPhone) | 0,135 | 0,165 | |
|
(anderes Smartphone) | 0,553 | ||
| 0,282 | 0,718 | 1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
|
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
|---|---|---|---|
|
(iPhone) | 0,135 | 0,165 | 0,3 |
|
(anderes Smartphone) | 0,147 | 0,553 | 0,7 |
| 0,282 | 0,718 | 1 |
Jetzt können wir P(A)=0.3 mit P(B)=0.282 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.135, also:
P(A) ⋅ P(B) = 0.3 ⋅ 0.282 = 0.0846 ≈ 0.085
≠ 0.135 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch abhängig.
Stochast. Unabhängigkeit rückwärts
Beispiel:
Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
|
|
| ||
|---|---|---|---|
|
| 0,22 | ||
|
| 0,6942 | ||
| 1 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.22 + P(
Somit gilt: P(
|
|
| ||
|---|---|---|---|
|
| 0,22 | ||
|
| 0,6942 | 0,78 | |
| 1 |
Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch
also 0.78 ⋅
somit gilt:
|
|
| ||
|---|---|---|---|
|
| 0,22 | ||
|
| 0,6942 | 0,78 | |
| 0,89 | 1 |
Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.
|
|
| ||
|---|---|---|---|
|
| 0,0242 | 0,1958 | 0,22 |
|
| 0,0858 | 0,6942 | 0,78 |
| 0,11 | 0,89 | 1 |
Stochast. Unabhängigkeit rw (Anwend.)
Beispiel:
In einem Land sind 13,77% aller Menschen sowohl volljährig als auch Linkshänder. Insgesamt sind 19% aller Menschen dieses Landes noch minderjährig. Man kann davon ausgehen, dass die beiden Ereignisse "Linkshänder" und "Minderjährigkeit" stochastisch unabhängig sind. Wie viel Prozent der Menschen dieses Landes müssten dann Rechtshänder sein?
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
|
(Linkshänder) |
(Rechtshänder) | ||
|---|---|---|---|
|
(Minderjährige) | 0,19 | ||
|
(Erwachsene) | 0,1377 | ||
| 1 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.19 + P(
Somit gilt: P(
|
(Linkshänder) |
(Rechtshänder) | ||
|---|---|---|---|
|
(Minderjährige) | 0,19 | ||
|
(Erwachsene) | 0,1377 | 0,81 | |
| 1 |
Wir erkennen nun, dass der Anteil von "Linkshänder" in der Zeile "Erwachsene"
Weil die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind, muss dann in allen Zeilen der prozentuale Anteil von "Linkshänder" auch
|
(Linkshänder) |
(Rechtshänder) | ||
|---|---|---|---|
|
(Minderjährige) | 0,19 | ||
|
(Erwachsene) | 0,1377 | 0,81 | |
| 0,17 | 1 |
Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.
|
(Linkshänder) |
(Rechtshänder) | ||
|---|---|---|---|
|
(Minderjährige) | 0,0323 | 0,1577 | 0,19 |
|
(Erwachsene) | 0,1377 | 0,6723 | 0,81 |
| 0,17 | 0,83 | 1 |
Der prozentualer Anteil der Rechtshänder ist somit 83%
VFT Anwend. prozentual (mit Kombis)
Beispiel:
Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind 44% der Bevölkerung zufrieden. 49% dieser Zufriedenen sind aber auch Anhänger seiner eigenen Partei. 89,36% der Bevölkerung sind keine Anhänger seiner Partei oder zufrieden mit der Arbeit des Regierungschefs. Wie viel Prozent der Bevölkerung sind Anhänger seiner Partei?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
|
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
|---|---|---|---|
|
(zufrieden) | 0,44 | ||
|
(unzufrieden) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
|
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
|---|---|---|---|
|
(zufrieden) | 0,44 | ||
|
(unzufrieden) | 0,56 | ||
| 1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "zufrieden" sind es
49% kann man die Wahrscheinlichkeit
|
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
|---|---|---|---|
|
(zufrieden) | 0,2156 | 0,44 | |
|
(unzufrieden) | 0,56 | ||
| 1 |
Die 89.36% von "zufrieden oder andere Partei" verteilen sich ja auf die drei Felder von
also auf alle vier Felder außer
0,8936 =
Damit gilt:
|
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
|---|---|---|---|
|
(zufrieden) | 0,2156 | 0,44 | |
|
(unzufrieden) | 0,1064 | 0,56 | |
| 1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
|
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
|---|---|---|---|
|
(zufrieden) | 0,2156 | 0,2244 | 0,44 |
|
(unzufrieden) | 0,1064 | 0,4536 | 0,56 |
| 0,322 | 0,678 | 1 |
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz von Anhänger der Partei, ist also 0.322 = 32.2%.
