Aufgabenbeispiele von Vierfeldertafel

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Mengen-Operationen elementar

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {1; 6; 7; 8; 10}. Bestimme A .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {1; 6; 7; 8; 10}.

Die Menge A umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={1; 6; 7; 8; 10} sind,
also A = {2; 3; 4; 5; 9}

Mengen-Operationen (allg.)

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {3}. Bestimme A .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {3}.

Die Menge A umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={3} sind,
also A = {1; 2; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

Mengen-Operationen Anwendungen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Bestimme alle Sektoren, deren Zahl durch 5 teilbar ist oder deren Hintergrund eingefärbt ist.

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {1; 2; 3; 5; 6; 7; 8} und B = {5}.

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, die in der Menge A={1; 2; 3; 5; 6; 7; 8} oder in der Menge B={5} sind,
also A B = {1; 2; 3; 5; 6; 7; 8}

Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie rechts abgebildet wird einmal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl des gewählten Sektors durch 3 teilbar ist oder der Hintergrund dieses Sektors eingefärbt ist.

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {3; 6; 7; 8} und B = {3; 6}.

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, die in der Menge A={3; 6; 7; 8} oder in der Menge B={3; 6} sind,
also A B = {3; 6; 7; 8}

Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:

P( A B ) = | A B | |S| = 4 8 = 1 2

Vierfeldertafel mit Anzahlen

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

141 + H(A ∩ B ) = 147

Somit gilt: H(A ∩ B ) = 147 - 141 = 6

  B B  
A 1416147
A  176 
 307  

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

141 + H( A ∩ B) = 307

Somit gilt: H( A ∩ B) = 307 - 141 = 166

  B B  
A 1416147
A 166176 
 307  

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

6 + 176 = H( B )

Somit gilt: H( B ) = 6 + 176 = 182

  B B  
A 1416147
A 166176 
 307182 

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

166 + 176 = H( A )

Somit gilt: H( A ) = 166 + 176 = 342

  B B  
A 1416147
A 166176342
 307182 

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

307 + 182 = H(B + B )

Somit gilt: H(B + B ) = 307 + 182 = 489

  B B  
A 1416147
A 166176342
 307182489

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( A ) = P(B)+P( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A  0,05 
A  0,680,84
   1

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P( A ∩ B) + 0.68 = 0.84

Somit gilt: P( A ∩ B) = 0.84 - 0.68 = 0.16

  B B  
A  0,05 
A 0,160,680,84
   1

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.05 + 0.68 = P( B )

Somit gilt: P( B ) = 0.05 + 0.68 = 0.73

  B B  
A  0,05 
A 0,160,680,84
  0,731

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A) + 0.84 = 1

Somit gilt: P(A) = 1 - 0.84 = 0.16

  B B  
A  0,050,16
A 0,160,680,84
  0,731

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A ∩ B) + 0.05 = 0.16

Somit gilt: P(A ∩ B) = 0.16 - 0.05 = 0.11

  B B  
A 0,110,050,16
A 0,160,680,84
  0,731

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(B) + 0.73 = 1

Somit gilt: P(B) = 1 - 0.73 = 0.27

  B B  
A 0,110,050,16
A 0,160,680,84
 0,270,731

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

VFT Anwend. Häufigkeiten

Beispiel:

In der Jahrgangstufe der 10-Klässler müssen die 89 Schülerinnen und Schüler ihre Kurse für die Kurstufe wählen. Jeder muss entweder Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Mädchen wählen 22 das Leistungsfach. 17 von den insgesamt 46 Basisfachwahlen kommen von den Jungs. Wieviel Mädchen sind in der Jahrgangstufe ?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : Mädchen

A : nicht Mädchen, also Jungs

B : Leistungsfach

B : nicht Leistungsfach, also Basisfach

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
22  
A
(Jungs)
 17 
  4689

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
222951
A
(Jungs)
211738
 434689

Der gesuchte Wert, Anzahl Mädchen, ist also 51.

VFT Anwend. prozentual (leichter)

Beispiel:

Schätzungen zufolge sind 9% der Lehrer Informatiklehrer. Von den anderen Lehrern nutzen 92% das MS-Office. Von den Informatik-Lehrern bevorzugen aber 80% ein anderes Office-Paket wie OpenOffice oder LibreOffice. Wie viel Prozent der Lehrer insgesamt nutzen nach diesen Schätzungen das MS-Office?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : Informatiklehrer

A : nicht Informatiklehrer, also andere

B : MS-Office

B : nicht MS-Office, also anderes Office

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(MS-Office)
B
(anderes Office)
 
A
(Informatiklehrer)
  0,09
A
(andere)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(MS-Office)
B
(anderes Office)
 
A
(Informatiklehrer)
  0,09
A
(andere)
  0,91
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "Informatiklehrer" sind es 80% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,09 0,8 = 0,072 berechnen.

  B
(MS-Office)
B
(anderes Office)
 
A
(Informatiklehrer)
 0,0720,09
A
(andere)
  0,91
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "andere" sind es 92% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,91 0,92 = 0,8372 berechnen.

  B
(MS-Office)
B
(anderes Office)
 
A
(Informatiklehrer)
 0,0720,09
A
(andere)
0,8372 0,91
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(MS-Office)
B
(anderes Office)
 
A
(Informatiklehrer)
0,0180,0720,09
A
(andere)
0,83720,07280,91
 0,85520,14481

Der gesuchte Wert, Prozentsatz an MS-Office, ist also 0.8552 = 85.52%.

VFT Anwend. prozentual (schwerer)

Beispiel:

Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind 39% der Bevölkerung zufrieden. 62% dieser Zufriedenen sind aber auch Anhänger seiner eigenen Partei. 45,75% der Bevölkerung ist weder Anhänger seiner Partei noch zufrieden mit der Arbeit des Regierungschefs. Wie viel Prozent der Bevölkerung sind Anhänger seiner Partei?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : zufrieden

A : nicht zufrieden, also unzufrieden

B : eigene Partei

B : nicht eigene Partei, also andere Partei

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
  0,39
A
(unzufrieden)
 0,4575 
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
  0,39
A
(unzufrieden)
0,15250,45750,61
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "zufrieden" sind es 62% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,39 0,62 = 0,2418 berechnen.

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
0,2418 0,39
A
(unzufrieden)
0,15250,45750,61
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
0,24180,14820,39
A
(unzufrieden)
0,15250,45750,61
 0,39430,60571

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz von Anhänger der Partei, ist also 0.3943 = 39.43%.

bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P A ( B ) .

  B B  
A 34144178
A 7187194
 41331372

Lösung einblenden

P A ( B ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für B unter der Vorraussetzung, dass A bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob A gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von A - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für B weiter.)

= 178 372
= 194 372
=x
= 34 372
= 144 372
= 7 372
= 187 372

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( A ) P A ( B ) = P ( A B ) | : P ( A )

P A ( B ) = P( A B ) P( A )

oder hier im speziellen:
194 372 x = 7 372 = |:194 ⋅372
also
P A ( B ) = x = 7 194 ≈ 0,0361

bedingte Wahrsch. (nur Prozente)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P B ( A ) .

  B B  
A 0,290,070,36
A 0,130,510,64
 0,420,581

Lösung einblenden

P B ( A ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für A unter der Vorraussetzung, dass B bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A weiter.)

=0,42
=0,58
=x
=0,29
=0,13
=0,07
=0,51

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
0,58x = 0,07 = |:0,58
also
P B ( A ) = x = 0,07 0,58 ≈ 0,1207

bedingte Wahrsch. Anwendungen

Beispiel:

Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind von den Anhängern seiner eigenen Partei, deren Anteil 24% der Bevölkerung ausmacht, 49% zufrieden. Bei denen, die aber keine Anhängern dessen Partei sind, liegen die Zustimmungswerte nur bei 20%. Wie viel Prozent derjenigen, die mit der Arbeit des Regierungschefs zufrieden sind, sind auch Anhänger seiner Partei?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : eigene Partei

A : nicht eigene Partei, also andere Partei

B : zufrieden

B : nicht zufrieden, also unzufrieden

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
  0,24
A
(andere Partei)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
  0,24
A
(andere Partei)
  0,76
   1
=0,24
eigene Partei
=0,76
andere Partei
=0,49
zufrieden
unzufrieden
=0,2
zufrieden
unzufrieden
=0,1176

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "eigene Partei" sind es 49%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,24 0,49 = 0,1176
berechnen.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,1176 0,24
A
(andere Partei)
  0,76
   1
=0,24
eigene Partei
=0,76
andere Partei
=0,49
zufrieden
unzufrieden
=0,2
zufrieden
unzufrieden
=0,1176
=0,152

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "andere Partei" sind es 20%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,76 0,2 = 0,152
berechnen.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,1176 0,24
A
(andere Partei)
0,152 0,76
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,11760,12240,24
A
(andere Partei)
0,1520,6080,76
 0,26960,73041

Gesucht ist ja "der Anteil der Parteianhänger unter allen. die mit dem Regierungschef zufrieden sind", also die Wahrscheinlichkeit für A (eigene Partei) unter der Vorraussetzung, dass B (zufrieden) bereits eingetroffen ist - kurz P B ( A ) .

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B (zufrieden) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B (zufrieden) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A (eigene Partei) weiter.)

=0,2696
zufrieden
=0,7304
unzufrieden
=x
eigene Partei
andere Partei
eigene Partei
andere Partei
=0,1176
=0,152
=0,1224
=0,608

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
0,2696x = 0,1176 = |:0,2696
also
P B ( A ) = x = 0,1176 0,2696 ≈ 0,4362


Der gesuchte Wert (der Anteil der Parteianhänger unter allen. die mit dem Regierungschef zufrieden sind) ist also 0,4362 = 43,62%.

Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen

Beispiel:

Nach einer Umfrage könnten sich 46% der Befragten vorstellen, sich als nächstes Auto ein Elektroauto zu kaufen. 41% davon seien auch schon einmal in einem E-Auto gefahren. 42,66% der Befragten meinten, dass sie noch nie in einem E-Auto gesessen sind und sich sicher auch nie eines kaufen werden. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "E-Auto kaufen" und "Erfahrung mit E-Auto" stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : E-Auto kaufen

A : nicht E-Auto kaufen, also nicht kaufen

B : E-Auto kennen

B : nicht E-Auto kennen, also nicht kennen

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(E-Auto kennen)
B
(nicht kennen)
 
A
(E-Auto kaufen)
  0,46
A
(nicht kaufen)
 0,4266 
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(E-Auto kennen)
B
(nicht kennen)
 
A
(E-Auto kaufen)
  0,46
A
(nicht kaufen)
0,11340,42660,54
   1
=0,46
E-Auto kaufen
=0,54
nicht kaufen
=0,41
E-Auto kennen
nicht kennen
E-Auto kennen
nicht kennen
=0,1886
=0,1134
=0,4266

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "E-Auto kaufen" sind es 41%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,46 0,41 = 0,1886
berechnen.

  B
(E-Auto kennen)
B
(nicht kennen)
 
A
(E-Auto kaufen)
0,1886 0,46
A
(nicht kaufen)
0,11340,42660,54
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(E-Auto kennen)
B
(nicht kennen)
 
A
(E-Auto kaufen)
0,18860,27140,46
A
(nicht kaufen)
0,11340,42660,54
 0,3020,6981

Jetzt können wir P(A)=0.46 mit P(B)=0.302 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.189, also:

P(A) ⋅ P(B) = 0.46 ⋅ 0.302 = 0.1389 ≈ 0.139 ≠ 0.189 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch abhängig.

Stochast. Unabhängigkeit rückwärts

Beispiel:

Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A 0,092  
A    
  0,61

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(B) + 0.6 = 1

Somit gilt: P(B) = 1 - 0.6 = 0.4

  B B  
A 0,092  
A    
 0,40,61

Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch A und B ) stochastisch unabhängig sind, muss gelten:

P ( A ) P ( B ) = P ( A B )

also P ( A ) ⋅ 0.4 = 0.092 |: 0.4

somit gilt:

P ( A ) = 0.092 0.4 = 0.23

  B B  
A 0,092 0,23
A    
 0,40,61

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

  B B  
A 0,0920,1380,23
A 0,3080,4620,77
 0,40,61

Stochast. Unabhängigkeit rw (Anwend.)

Beispiel:

An einer Schule müssen alle Schülerinnen und Schüler der 10-ten Klassen für ihre Kurswahl entweder das Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Mädchen wählen 33 das Leistungsfach. Auf das Basisfach fallen insgesamt 55 Wahlen. Man kann davon ausgehen, dass die beiden Ereignisse Geschlecht und Mathewahlen stochastisch unabhängig sind. Wie viele der 110 Schülerinnen und Schüler der 10-ten Klassen sind keine Mädchen?

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir die Werte, die man aus dem Text herauslesen kann in einer Vierfeldertafel ein:

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
33  
A
(Jungs)
   
  55110

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(B) + 55 = 110

Somit gilt: H(B) = 110 - 55 = 55

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
33  
A
(Jungs)
   
 5555110

Wir erkennen nun, dass der Anteil von "Mädchen" in der Spalte "Leistungsfach" P B ( A ) = 33 55 = 3 5 ist.

Weil die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind, muss dann in allen Spalten der prozentuale Anteil von "Mädchen" auch 3 5 sein. Somit gilt auch P ( A ) = P B ( A ) = 3 5 .

Für den Wert in der Randspalte ergibt sich also 3 5 ⋅110 = 66

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
33 66
A
(Jungs)
   
 5555110

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
333366
A
(Jungs)
222244
 5555110

Die Anzahl nicht weiblicher Schüler ist somit 44

VFT Anwend. prozentual (mit Kombis)

Beispiel:

In einer groß angelegten Umfrage sind 59,7% der Befragten weiblich. 6,03% dieser weiblichen Befragten sind Fußballfans. 88,6% der Befragten sind keine Fußballfans oder weiblich. Wie hoch ist der Prozentsatz unter allen Befragten, die keine Fußballfans sind?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : Fußballfan

A : nicht Fußballfan, also kein Fan

B : weiblich

B : nicht weiblich, also männlich

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
   
A
(kein Fan)
   
 0,597  

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
   
A
(kein Fan)
   
 0,5970,4031

Aus der Information von der Teilgruppe mit "weiblich" sind es 6.03% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( B A ) = 0,597 0,0603 = 0,036 berechnen.

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,036  
A
(kein Fan)
   
 0,5970,4031

Die 88.6% von "kein Fan oder weiblich" verteilen sich ja auf die drei Felder von
P ( A B ) (Fußballfan und weiblich),
P ( A B ) (kein Fan und weiblich) und
P ( A B ) (kein Fan und männlich),
also auf alle vier Felder außer P ( A B ) (Fußballfan und männlich). Es gilt somit:

0,886 = P ( A B ) + P ( A B ) + P ( A B ) = 1 - P ( A B )

Damit gilt: P ( A B ) = 1 - 0,886 = 0.114

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,0360,114 
A
(kein Fan)
   
 0,5970,4031

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,0360,1140,15
A
(kein Fan)
0,5610,2890,85
 0,5970,4031

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Nicht-Fußballfans, ist also 0.85 = 85%.