Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mengen-Operationen elementar

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {1; 4; 6; 8; 10}. Bestimme $\overline{B}$ .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {1; 4; 6; 8; 10}.

Die Menge $\overline{B}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge B={1; 4; 6; 8; 10} sind,
also $\overline{B}$ = {2; 3; 5; 7; 9}

Mengen-Operationen (allg.)

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {4; 5; 6; 7; 9; 10} und B = {2; 3; 5; 10}. Bestimme $\overline{A}$ ∩ $B$ .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {4; 5; 6; 7; 9; 10} und B = {2; 3; 5; 10}.

Um die Menge $\overline{A}$ ∩ $B$ bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge $\overline{A}$ bestimmen.

Die Menge $\overline{A}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={4; 5; 6; 7; 9; 10} sind,
also $\overline{A}$ = {1; 2; 3; 8}

Die Menge $\overline{A}$ ∩ $B$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die sowohl in der Menge $\overline{A}$ ={1; 2; 3; 8}, als auch in der Menge B={2; 3; 5; 10} sind,
also $\overline{A}$ ∩ $B$ = {2; 3}

Mengen-Operationen Anwendungen

Beispiel:

In einer Urne sind 12 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 12 beschriftet. Bestimme alle Kugeln deren Zahl durch 2 teilbar ist oder deren Zahl höchstens die 4 ist.

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Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12} und die Mengen A = {2; 4; 6; 8; 10; 12} und B = {1; 2; 3; 4}.

Die Menge $A$ ∪ $B$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}, die in der Menge A={2; 4; 6; 8; 10; 12} oder in der Menge B={1; 2; 3; 4} sind,
also $A$ ∪ $B$ = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 10; 12}

Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie rechts abgebildet wird einmal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl des gewählten Sektors durch 2 teilbar ist und der Hintergrund dieses Sektors eingefärbt ist.

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {5; 6; 8} und B = {2; 4; 6; 8}.

Die Menge $A$ ∩ $B$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, die sowohl in der Menge A={5; 6; 8}, als auch in der Menge B={2; 4; 6; 8} sind,
also $A$ ∩ $B$ = {6; 8}

Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:

P( $A$ ∩ $B$ ) = $\frac{| A \cap B |}{|S|}$ = $\frac{2}{8}$ = $\frac{1}{4}$

Vierfeldertafel mit Anzahlen

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

95 + H(A ∩ $\overline{B}$ ) = 251

Somit gilt: H(A ∩ $\overline{B}$ ) = 251 - 95 = 156

	$B$	$\overline{B}$
$A$	95	156	251
$\overline{A}$	141	5

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

141 + 5 = H( $\overline{A}$ )

Somit gilt: H( $\overline{A}$ ) = 141 + 5 = 146

	$B$	$\overline{B}$
$A$	95	156	251
$\overline{A}$	141	5	146

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

95 + 141 = H(B)

Somit gilt: H(B) = 95 + 141 = 236

	$B$	$\overline{B}$
$A$	95	156	251
$\overline{A}$	141	5	146
	236

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

156 + 5 = H( $\overline{B}$ )

Somit gilt: H( $\overline{B}$ ) = 156 + 5 = 161

	$B$	$\overline{B}$
$A$	95	156	251
$\overline{A}$	141	5	146
	236	161

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

251 + 146 = H(B + $\overline{B}$ )

Somit gilt: H(B + $\overline{B}$ ) = 251 + 146 = 397

	$B$	$\overline{B}$
$A$	95	156	251
$\overline{A}$	141	5	146
	236	161	397

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( $\overline{A}$ ) = P(B)+P( $\overline{B}$ ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass $\overline{A}$ gilt 100%.

	$\overline{B}$
$A$	0,36	0,61
$\overline{A}$	0,14
		1

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A ∩ B) + 0.36 = 0.61

Somit gilt: P(A ∩ B) = 0.61 - 0.36 = 0.25

	$B$	$\overline{B}$
$A$	0,25	0,36	0,61
$\overline{A}$		0,14
			1

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.36 + 0.14 = P( $\overline{B}$ )

Somit gilt: P( $\overline{B}$ ) = 0.36 + 0.14 = 0.5

	$B$	$\overline{B}$
$A$	0,25	0,36	0,61
$\overline{A}$		0,14
		0,5	1

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.61 + P( $\overline{A}$ ) = 1

Somit gilt: P( $\overline{A}$ ) = 1 - 0.61 = 0.39

	$B$	$\overline{B}$
$A$	0,25	0,36	0,61
$\overline{A}$		0,14	0,39
		0,5	1

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P( $\overline{A}$ ∩ B) + 0.14 = 0.39

Somit gilt: P( $\overline{A}$ ∩ B) = 0.39 - 0.14 = 0.25

	$B$	$\overline{B}$
$A$	0,25	0,36	0,61
$\overline{A}$	0,25	0,14	0,39
		0,5	1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(B) + 0.5 = 1

Somit gilt: P(B) = 1 - 0.5 = 0.5

	$B$	$\overline{B}$
$A$	0,25	0,36	0,61
$\overline{A}$	0,25	0,14	0,39
	0,5	0,5	1

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

VFT Anwend. Häufigkeiten

Beispiel:

In der Jahrgangstufe der 10-Klässler müssen die 91 Schülerinnen und Schüler ihre Kurse für die Kurstufe wählen. Jeder muss entweder Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Mädchen wählen 24 das Leistungsfach. 26 von den insgesamt 43 Basisfachwahlen kommen von den Jungs. Wieviel Mädchen sind in der Jahrgangstufe ?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$ : Mädchen

$\overline{A}$ : nicht Mädchen, also Jungs

$B$ : Leistungsfach

$\overline{B}$ : nicht Leistungsfach, also Basisfach

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (Leistungsfach)	$\overline{B}$ (Basisfach)
$A$ (Mädchen)	24
$\overline{A}$ (Jungs)		26
		43	91

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(B) + 43 = 91

Somit gilt: H(B) = 91 - 43 = 48

	$B$ (Leistungsfach)	$\overline{B}$ (Basisfach)
$A$ (Mädchen)	24
$\overline{A}$ (Jungs)		26
	48	43	91

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

24 + H( $\overline{A}$ ∩ B) = 48

Somit gilt: H( $\overline{A}$ ∩ B) = 48 - 24 = 24

	$B$ (Leistungsfach)	$\overline{B}$ (Basisfach)
$A$ (Mädchen)	24
$\overline{A}$ (Jungs)	24	26
	48	43	91

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(A ∩ $\overline{B}$ ) + 26 = 43

Somit gilt: H(A ∩ $\overline{B}$ ) = 43 - 26 = 17

	$B$ (Leistungsfach)	$\overline{B}$ (Basisfach)
$A$ (Mädchen)	24	17
$\overline{A}$ (Jungs)	24	26
	48	43	91

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

24 + 17 = H(A)

Somit gilt: H(A) = 24 + 17 = 41

	$B$ (Leistungsfach)	$\overline{B}$ (Basisfach)
$A$ (Mädchen)	24	17	41
$\overline{A}$ (Jungs)	24	26
	48	43	91

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

24 + 26 = H( $\overline{A}$ )

Somit gilt: H( $\overline{A}$ ) = 24 + 26 = 50

	$B$ (Leistungsfach)	$\overline{B}$ (Basisfach)
$A$ (Mädchen)	24	17	41
$\overline{A}$ (Jungs)	24	26	50
	48	43	91

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

	$B$ (Leistungsfach)	$\overline{B}$ (Basisfach)
$A$ (Mädchen)	24	17	41
$\overline{A}$ (Jungs)	24	26	50
	48	43	91

Der gesuchte Wert, Anzahl Mädchen, ist also 41.

VFT Anwend. prozentual (leichter)

Beispiel:

In einer groß angelegten Umfrage waren 41% der Befragten weiblich. Während 27% der männlichen Befragten angaben, Fußballfans zu sein, waren das bei den weiblichen Befragten nur 9%. Wie hoch ist der Prozentsatz der Fußballfans unter allen Befragten?

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Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$ : weiblich

$\overline{A}$ : nicht weiblich, also männlich

$B$ : Fußballfan

$\overline{B}$ : nicht Fußballfan, also kein Fan

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (Fußballfan)	$\overline{B}$ (kein Fan)
$A$ (weiblich)			0,41
$\overline{A}$ (männlich)

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P (A)$ + $P (\overline{A})$ = $P (B)$ + $P (\overline{B})$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\overline{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (Fußballfan)	$\overline{B}$ (kein Fan)
$A$ (weiblich)			0,41
$\overline{A}$ (männlich)			0,59
			1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "weiblich" sind es 9% kann man die Wahrscheinlichkeit
$P (A \cap B)$ = 0,41 ⋅ 0,09 = 0,0369 berechnen.

	$B$ (Fußballfan)
$A$ (weiblich)	0,0369	0,41
$\overline{A}$ (männlich)		0,59
		1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "männlich" sind es 27% kann man die Wahrscheinlichkeit
$P (\overline{A} \cap B)$ = 0,59 ⋅ 0,27 = 0,1593 berechnen.

	$B$ (Fußballfan)
$A$ (weiblich)	0,0369	0,41
$\overline{A}$ (männlich)	0,1593	0,59
		1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (Fußballfan)	$\overline{B}$ (kein Fan)
$A$ (weiblich)	0,0369	0,3731	0,41
$\overline{A}$ (männlich)	0,1593	0,4307	0,59
	0,1962	0,8038	1

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Fußballfans, ist also 0.1962 = 19.62%.

VFT Anwend. prozentual (schwerer)

Beispiel:

Bei einer neuen Viruskrankkeit, geht man davon aus, dass 1,58% der Bevölkerung diese nicht überleben. In einem Land sind 94% der Bevölkerung nicht älter als 80 Jahre. Von denen, die die Viruskrankheit nicht überleben, sind 64,56% über 80 Jahre alt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Infizierter nicht älter als 80 ist und die Krankheit überlebt?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$ : über 80

$\overline{A}$ : nicht über 80, also höchstens 80

$B$ : sterben

$\overline{B}$ : nicht sterben, also überleben

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (sterben)
$A$ (über 80)
$\overline{A}$ (höchstens 80)		0,94
	0,0158

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P (A)$ + $P (\overline{A})$ = $P (B)$ + $P (\overline{B})$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\overline{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (sterben)	$\overline{B}$ (überleben)
$A$ (über 80)			0,06
$\overline{A}$ (höchstens 80)			0,94
	0,0158	0,9842	1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "sterben" sind es 64.56% kann man die Wahrscheinlichkeit
$P (B \cap A)$ = 0,0158 ⋅ 0,6456 = 0,0102 berechnen.

	$B$ (sterben)	$\overline{B}$ (überleben)
$A$ (über 80)	0,0102		0,06
$\overline{A}$ (höchstens 80)			0,94
	0,0158	0,9842	1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (sterben)	$\overline{B}$ (überleben)
$A$ (über 80)	0,0102	0,0498	0,06
$\overline{A}$ (höchstens 80)	0,0056	0,9344	0,94
	0,0158	0,9842	1

Der gesuchte Wert, die Wahrscheinlichkeit für unter 80 Jahre und Krankheit überleben, ist also 0.9344 = 93.44%.

bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{\overline{A}} (\overline{B})$ .

	$B$	$\overline{B}$
$A$	87	34	121
$\overline{A}$	64	194	258
	151	228	379

Lösung einblenden

$P_{\overline{A}} (\overline{B})$ bedeutet die Wahrscheinlichkeit für $\overline{B}$ unter der Vorraussetzung, dass $\overline{A}$ bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $\overline{A}$ gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $\overline{A}$ - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $\overline{B}$ weiter.)

=

\frac{121}{379}

=

\frac{258}{379}

=x

=

\frac{87}{379}

=

\frac{34}{379}

=

\frac{64}{379}

=

\frac{194}{379}

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
$P (\overline{A})$ ⋅ $P_{\overline{A}} (\overline{B})$ = $P (\overline{A} \cap \overline{B})$ | : $P (\overline{A})$

$P_{\overline{A}} (\overline{B})$ = $\frac{P(\overline{A} \cap \overline{B})}{P(\overline{A})}$

oder hier im speziellen:
$\frac{258}{379}$ ⋅ x = $\frac{194}{379}$ = |:258 ⋅379
also
$P_{\overline{A}} (\overline{B})$ = x = $\frac{194}{258}$ ≈ 0,7519

bedingte Wahrsch. (nur Prozente)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{B} (A)$ .

	$B$	$\overline{B}$
$A$	0,11	0,09	0,2
$\overline{A}$	0,68	0,12	0,8
	0,79	0,21	1

Lösung einblenden

$P_{B} (A)$ bedeutet die Wahrscheinlichkeit für $A$ unter der Vorraussetzung, dass $B$ bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $B$ gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $B$ - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $A$ weiter.)

=0,79

=0,21

=x

=0,11

=0,68

=0,09

=0,12

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
$P (B)$ ⋅ $P_{B} (A)$ = $P (B \cap A)$ | : $P (B)$

$P_{B} (A)$ = $\frac{P(B \cap A)}{P(B)}$

oder hier im speziellen:
0,79 ⋅ x = 0,11 = |:0,79
also
$P_{B} (A)$ = x = $\frac{0,11}{0,79}$ ≈ 0,1392

bedingte Wahrsch. Anwendungen

Beispiel:

Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Insgesamt ist die App auf 30% aller Smartphones installiert. Auf den iPhones ist sie sogar auf 48% der Geräte installiert. Bei der Untersuchung waren 28% aller Smartphones iPhones. Ein Bekannter erzählt, dass er die App installiert hat. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass dieser ein iPhones hat?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$ : iPhone

$\overline{A}$ : nicht iPhone, also anderes Smartphone

$B$ : installiert

$\overline{B}$ : nicht installiert, also nicht installiert

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (installiert)
$A$ (iPhone)		0,28
$\overline{A}$ (anderes Smartphone)
	0,3

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P (A)$ + $P (\overline{A})$ = $P (B)$ + $P (\overline{B})$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\overline{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (installiert)	$\overline{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)			0,28
$\overline{A}$ (anderes Smartphone)			0,72
	0,3	0,7	1

=0,28

iPhone

=0,72

anderes Smartphone

=0,48

installiert

nicht installiert

installiert

nicht installiert

=0,1344

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "iPhone" sind es 48%, also $P_{A} (B)$ ,
die Wahrscheinlichkeit
$P (A \cap B)$ = $P (A)$ ⋅ $P_{A} (B)$ = 0,28 ⋅ 0,48 = 0,1344
berechnen.

	$B$ (installiert)	$\overline{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)	0,1344		0,28
$\overline{A}$ (anderes Smartphone)			0,72
	0,3	0,7	1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (installiert)	$\overline{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)	0,1344	0,1456	0,28
$\overline{A}$ (anderes Smartphone)	0,1656	0,5544	0,72
	0,3	0,7	1

Gesucht ist ja "die Wahrscheinlichkeit. dass ein Handy mit der App ein iPhone ist", also die Wahrscheinlichkeit für $A$ (iPhone) unter der Vorraussetzung, dass $B$ (installiert) bereits eingetroffen ist - kurz $P_{B} (A)$ .

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $B$ (installiert) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $B$ (installiert) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $A$ (iPhone) weiter.)

=0,3

installiert

=0,7

nicht installiert

=x

iPhone

anderes Smartphone

iPhone

anderes Smartphone

=0,1344

=0,1656

=0,1456

=0,5544

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
$P (B)$ ⋅ $P_{B} (A)$ = $P (B \cap A)$ | : $P (B)$

$P_{B} (A)$ = $\frac{P(B \cap A)}{P(B)}$

oder hier im speziellen:
0,3 ⋅ x = 0,1344 = |:0,3
also
$P_{B} (A)$ = x = $\frac{0,1344}{0,3}$ ≈ 0,448

Der gesuchte Wert (die Wahrscheinlichkeit. dass ein Handy mit der App ein iPhone ist) ist also 0,448 = 44,8%.

Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen

Beispiel:

In der Jahrgangstufe der 10-Klässler müssen die 120 Schülerinnen und Schüler ihre Kurse für die Kurstufe wählen. Jeder muss entweder Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Mädchen wählen 43 das Leistungsfach. 28 von den insgesamt 57 Basisfachwahlen kommen von den Jungs. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse Geschlecht und Mathewahlen stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$ : Mädchen

$\overline{A}$ : nicht Mädchen, also Jungs

$B$ : Leistungsfach

$\overline{B}$ : nicht Leistungsfach, also Basisfach

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (Leistungsfach)	$\overline{B}$ (Basisfach)
$A$ (Mädchen)	43
$\overline{A}$ (Jungs)		28
		57	120

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(B) + 57 = 120

Somit gilt: H(B) = 120 - 57 = 63

	$B$ (Leistungsfach)	$\overline{B}$ (Basisfach)
$A$ (Mädchen)	43
$\overline{A}$ (Jungs)		28
	63	57	120

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

43 + H( $\overline{A}$ ∩ B) = 63

Somit gilt: H( $\overline{A}$ ∩ B) = 63 - 43 = 20

	$B$ (Leistungsfach)	$\overline{B}$ (Basisfach)
$A$ (Mädchen)	43
$\overline{A}$ (Jungs)	20	28
	63	57	120

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(A ∩ $\overline{B}$ ) + 28 = 57

Somit gilt: H(A ∩ $\overline{B}$ ) = 57 - 28 = 29

	$B$ (Leistungsfach)	$\overline{B}$ (Basisfach)
$A$ (Mädchen)	43	29
$\overline{A}$ (Jungs)	20	28
	63	57	120

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

43 + 29 = H(A)

Somit gilt: H(A) = 43 + 29 = 72

	$B$ (Leistungsfach)	$\overline{B}$ (Basisfach)
$A$ (Mädchen)	43	29	72
$\overline{A}$ (Jungs)	20	28
	63	57	120

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

20 + 28 = H( $\overline{A}$ )

Somit gilt: H( $\overline{A}$ ) = 20 + 28 = 48

	$B$ (Leistungsfach)	$\overline{B}$ (Basisfach)
$A$ (Mädchen)	43	29	72
$\overline{A}$ (Jungs)	20	28	48
	63	57	120

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

	$B$ (Leistungsfach)	$\overline{B}$ (Basisfach)
$A$ (Mädchen)	43	29	72
$\overline{A}$ (Jungs)	20	28	48
	63	57	120

Um zu überprüfen, ob die beiden Ereignisse A (Mädchen) und B (Leistungsfach) stochatisch unabhängig sind, müssen wir die absoluten Zahlen zuerst in relative Häufigkeiten umwandeln. Dazu teilen wir einfach alle Zellen durch den Gesamtwert in der rechten unteren Zelle: 120. und runden diese auf drei Stellen hinter dem Komma. Wir erhalten so erhalten:

	$B$	$\overline{B}$
$A$	0,358	0,242	0,6
$\overline{A}$	0,167	0,233	0,4
	0,525	0,475	1

Jetzt können wir P(A)=0.6 mit P(B)=0.525 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.358, also:

P(A) ⋅ P(B) = 0.6 ⋅ 0.525 = 0.315 ≠ 0.358 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch abhängig.

Stochast. Unabhängigkeit rückwärts

Beispiel:

Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P (A)$ + $P (\overline{A})$ = $P (B)$ + $P (\overline{B})$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\overline{A}$ gilt 100%.

	$B$
$A$	0,7387
$\overline{A}$
	0,89	1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.89 + P( $\overline{B}$ ) = 1

Somit gilt: P( $\overline{B}$ ) = 1 - 0.89 = 0.11

	$B$	$\overline{B}$
$A$	0,7387
$\overline{A}$
	0,89	0,11	1

Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch $A$ und $B$ ) stochastisch unabhängig sind, muss gelten:

$P (A)$ ⋅ $P (B)$ = $P (A \cap B)$

also $P (A)$ ⋅ 0.89 = 0.7387 |: 0.89

somit gilt:

$P (A)$ = $\frac{0.7387}{0.89}$ = 0.83

	$B$	$\overline{B}$
$A$	0,7387		0,83
$\overline{A}$
	0,89	0,11	1

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

	$B$	$\overline{B}$
$A$	0,7387	0,0913	0,83
$\overline{A}$	0,1513	0,0187	0,17
	0,89	0,11	1

Stochast. Unabhängigkeit rw (Anwend.)

Beispiel:

Bei einer groß angelegten Blitzeraktion wird bei 1050 Autos die Geschwindigkeit gemessen. Von den Autos, die nicht zu den E-Autos zählen, werden 84 mit zu hoher Geschwindigkeit geblitzt. Insgesamt fuhren 420 E-Autos durch die Geschwindigkeitskontrolle. Man kann davon ausgehen, dass die beiden Ereignisse "Antriebsart des Auto" und "Geschwindigkeitsübertretung" stochastisch unabhängig sind. Wie viele Autos insgesamt fuhren mit angemessener Geschwindigkeit und wurden nicht geblitzt?

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir die Werte, die man aus dem Text herauslesen kann in einer Vierfeldertafel ein:

	$B$ (geblitzte Autos)
$A$ (E-Autos)		420
$\overline{A}$ (Verbrenner)	84
		1050

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

420 + H( $\overline{A}$ ) = 1050

Somit gilt: H( $\overline{A}$ ) = 1050 - 420 = 630

	$B$ (geblitzte Autos)
$A$ (E-Autos)		420
$\overline{A}$ (Verbrenner)	84	630
		1050

Wir erkennen nun, dass der Anteil von "geblitzte Autos" in der Zeile "Verbrenner" $P_{\overline{A}} (B)$ = $\frac{84}{630}$ = $\frac{2}{15}$ ist.

Weil die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind, muss dann in allen Zeilen der prozentuale Anteil von "geblitzte Autos" auch $\frac{2}{15}$ sein. Somit gilt auch $P (B)$ = $P_{\overline{A}} (B)$ = $\frac{2}{15}$ .

Für den Wert in der Randzeile ergibt sich also $\frac{2}{15}$ ⋅1050 = 140

	$B$ (geblitzte Autos)
$A$ (E-Autos)		420
$\overline{A}$ (Verbrenner)	84	630
	140	1050

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

	$B$ (geblitzte Autos)	$\overline{B}$ (nicht geblitzte Autos)
$A$ (E-Autos)	56	364	420
$\overline{A}$ (Verbrenner)	84	546	630
	140	910	1050

Die Anzahl der nicht geblitzten Autos ist somit 910

VFT Anwend. prozentual (mit Kombis)

Beispiel:

In einer groß angelegten Umfrage bezeichneten sich 25% als Fußballfans. Weibliche Fußballfans waren nur 4,75% der Befragten. 69% der Befragten sind entweder Fußballfans oder weiblich. Wie hoch ist der Prozentsatz der weiblichen Befragten unter allen Befragten?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$ : Fußballfan

$\overline{A}$ : nicht Fußballfan, also kein Fan

$B$ : weiblich

$\overline{B}$ : nicht weiblich, also männlich

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (weiblich)
$A$ (Fußballfan)	0,0475	0,25
$\overline{A}$ (kein Fan)

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P (A)$ + $P (\overline{A})$ = $P (B)$ + $P (\overline{B})$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\overline{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (weiblich)	$\overline{B}$ (männlich)
$A$ (Fußballfan)	0,0475	0,2025	0,25
$\overline{A}$ (kein Fan)			0,75
			1

Die 69% von "entweder Fußballfan oder weiblich" verteilen sich ja auf die beiden Felder von $P (A \cap \overline{B})$ und $P (\overline{A} \cap B)$ weil ja sowohl "Fußballfan und weiblich" als auch "Weder Fußballfan noch weiblich" nicht in diesen 69% enthalten ist. Es gilt somit:

$P (A \cap \overline{B})$ + $P (\overline{A} \cap B)$ = 0,69, also
0.2025 + $P (\overline{A} \cap B)$ = 0,69

Damit gilt: $P (\overline{A} \cap B)$ = 0,69 - 0.2025 = 0.4875

	$B$ (weiblich)	$\overline{B}$ (männlich)
$A$ (Fußballfan)	0,0475	0,2025	0,25
$\overline{A}$ (kein Fan)	0,4875		0,75
			1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (weiblich)	$\overline{B}$ (männlich)
$A$ (Fußballfan)	0,0475	0,2025	0,25
$\overline{A}$ (kein Fan)	0,4875	0,2625	0,75
	0,535	0,465	1

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz weiblicher Befragter, ist also 0.535 = 53.5%.

Aufgabenbeispiele von Vierfeldertafel

Mengen-Operationen elementar

Mengen-Operationen (allg.)

Mengen-Operationen Anwendungen

Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit

Vierfeldertafel mit Anzahlen

Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten

VFT Anwend. Häufigkeiten

VFT Anwend. prozentual (leichter)

VFT Anwend. prozentual (schwerer)

bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)

bedingte Wahrsch. (nur Prozente)

bedingte Wahrsch. Anwendungen

Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen

Stochast. Unabhängigkeit rückwärts

Stochast. Unabhängigkeit rw (Anwend.)

VFT Anwend. prozentual (mit Kombis)