Aufgabenbeispiele von Vierfeldertafel

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Mengen-Operationen elementar

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {4; 7; 8; 9; 10}. Bestimme A .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {4; 7; 8; 9; 10}.

Die Menge A umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={4; 7; 8; 9; 10} sind,
also A = {1; 2; 3; 5; 6}

Mengen-Operationen (allg.)

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {2; 5; 7; 9}. Bestimme B .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {2; 5; 7; 9}.

Die Menge B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge B={2; 5; 7; 9} sind,
also B = {1; 3; 4; 6; 8; 10}

Mengen-Operationen Anwendungen

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {1; 2; 5; 6; 9}. Bestimme B .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {1; 2; 5; 6; 9}.

Die Menge B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge B={1; 2; 5; 6; 9} sind,
also B = {3; 4; 7; 8; 10}

Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie rechts abgebildet wird einmal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl des gewählten Sektors nicht durch 5 teilbar ist und deren Hintergrund eingefärbt ist.

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} und die Mengen A = {2; 3; 5; 7} und B = {5}.

Um die Menge A B bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge B bestimmen.

Die Menge B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, die nicht in der Menge B={5} sind,
also B = {1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9}

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, die sowohl in der Menge A={2; 3; 5; 7}, als auch in der Menge B ={1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9} sind,
also A B = {2; 3; 7}

Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:

P( A B ) = | A B | |S| = 3 9 = 1 3

Vierfeldertafel mit Anzahlen

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

150 + H( A B ) = 224

Somit gilt: H( A B ) = 224 - 150 = 74

  B B  
A  52 
A 15074224
   281

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

52 + 74 = H( B )

Somit gilt: H( B ) = 52 + 74 = 126

  B B  
A  52 
A 15074224
  126281

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(A) + 224 = 281

Somit gilt: H(A) = 281 - 224 = 57

  B B  
A  5257
A 15074224
  126281

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(A ∩ B) + 52 = 57

Somit gilt: H(A ∩ B) = 57 - 52 = 5

  B B  
A 55257
A 15074224
  126281

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(B) + 126 = 281

Somit gilt: H(B) = 281 - 126 = 155

  B B  
A 55257
A 15074224
 155126281

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( A ) = P(B)+P( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A 0,03 0,88
A 0,08  
   1

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.03 + P(A ∩ B ) = 0.88

Somit gilt: P(A ∩ B ) = 0.88 - 0.03 = 0.85

  B B  
A 0,030,850,88
A 0,08  
   1

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.03 + 0.08 = P(B)

Somit gilt: P(B) = 0.03 + 0.08 = 0.11

  B B  
A 0,030,850,88
A 0,08  
 0,11 1

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.88 + P( A ) = 1

Somit gilt: P( A ) = 1 - 0.88 = 0.12

  B B  
A 0,030,850,88
A 0,08 0,12
 0,11 1

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.08 + P( A B ) = 0.12

Somit gilt: P( A B ) = 0.12 - 0.08 = 0.04

  B B  
A 0,030,850,88
A 0,080,040,12
 0,11 1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.11 + P( B ) = 1

Somit gilt: P( B ) = 1 - 0.11 = 0.89

  B B  
A 0,030,850,88
A 0,080,040,12
 0,110,891

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

VFT Anwend. Häufigkeiten

Beispiel:

In der Jahrgangstufe der 10-Klässler müssen alle Schülerinnen und Schüler entweder Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Mädchen wählen 27 das Leistungsfach. 30 von den insgesamt 51 Basisfachwahlen kommen von den Jungs. Insgesamt sind 61 Jungs in der Jahrgangstufe. Wie groß ist dann die ganze Jahrgangstufe?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : Mädchen

A : nicht Mädchen, also Jungs

B : Leistungsfach

B : nicht Leistungsfach, also Basisfach

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
27  
A
(Jungs)
 3061
  51 

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
272148
A
(Jungs)
313061
 5851109

Der gesuchte Wert, Anzahl alle zusammen, ist also 109.

VFT Anwend. prozentual (leichter)

Beispiel:

Schätzungen zufolge sind 9% der Lehrer Informatiklehrer. Von den anderen Lehrern nutzen 96% das MS-Office. Von den Informatik-Lehrern bevorzugen aber 84% ein anderes Office-Paket wie OpenOffice oder LibreOffice. Wie viel Prozent der Lehrer insgesamt nutzen nach diesen Schätzungen das MS-Office?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : Informatiklehrer

A : nicht Informatiklehrer, also andere

B : MS-Office

B : nicht MS-Office, also anderes Office

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(MS-Office)
B
(anderes Office)
 
A
(Informatiklehrer)
  0,09
A
(andere)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(MS-Office)
B
(anderes Office)
 
A
(Informatiklehrer)
  0,09
A
(andere)
  0,91
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "Informatiklehrer" sind es 84% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,09 0,84 = 0,0756 berechnen.

  B
(MS-Office)
B
(anderes Office)
 
A
(Informatiklehrer)
 0,07560,09
A
(andere)
  0,91
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "andere" sind es 96% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,91 0,96 = 0,8736 berechnen.

  B
(MS-Office)
B
(anderes Office)
 
A
(Informatiklehrer)
 0,07560,09
A
(andere)
0,8736 0,91
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(MS-Office)
B
(anderes Office)
 
A
(Informatiklehrer)
0,01440,07560,09
A
(andere)
0,87360,03640,91
 0,8880,1121

Der gesuchte Wert, Prozentsatz an MS-Office, ist also 0.888 = 88.8%.

VFT Anwend. prozentual (schwerer)

Beispiel:

In einer groß angelegten Umfrage bezeichneten sich 19% als Fußballfans. Weibliche Fußballfans waren nur 5,89% der Befragten. 46% der Befragten, die keine Fußballfans waren, waren männlich. Wie hoch ist der Prozentsatz der weiblichen Befragten unter allen Befragten?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : Fußballfan

A : nicht Fußballfan, also kein Fan

B : weiblich

B : nicht weiblich, also männlich

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,0589 0,19
A
(kein Fan)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,05890,13110,19
A
(kein Fan)
  0,81
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "kein Fan" sind es 46% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,81 0,46 = 0,3726 berechnen.

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,05890,13110,19
A
(kein Fan)
 0,37260,81
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,05890,13110,19
A
(kein Fan)
0,43740,37260,81
 0,49630,50371

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz weiblicher Befragter, ist also 0.4963 = 49.63%.

bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P B ( A ) .

  B B  
A 127161288
A 9085175
 217246463

Lösung einblenden

P B ( A ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für A unter der Vorraussetzung, dass B bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A weiter.)

= 217 463
= 246 463
=x
= 127 463
= 90 463
= 161 463
= 85 463

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
217 463 x = 90 463 = |:217 ⋅463
also
P B ( A ) = x = 90 217 ≈ 0,4147

bedingte Wahrsch. (nur Prozente)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P A ( B ) .

  B B  
A 0,50,030,53
A 0,30,170,47
 0,80,21

Lösung einblenden

P A ( B ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für B unter der Vorraussetzung, dass A bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob A gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von A - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für B weiter.)

=0,53
=0,47
=x
=0,5
=0,03
=0,3
=0,17

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( A ) P A ( B ) = P ( A B ) | : P ( A )

P A ( B ) = P( A B ) P( A )

oder hier im speziellen:
0,53x = 0,5 = |:0,53
also
P A ( B ) = x = 0,5 0,53 ≈ 0,9434

bedingte Wahrsch. Anwendungen

Beispiel:

Schätzungen zufolge sind 0,3% der Bevölkerung an einem Virus infiziert. Ein Testverfahren auf diesen Virus liefert bei 99,1% der tatsächlich infizierten auch einen positives Ergebnis. Bei den nicht infizierten zeigt dies der Test auch zu 98,8% an. Beim Blutspenden wird ein Mensch positiv auf dieses Virus getestet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auch tatsächlich mit diesem Virus infiziert ist?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : infiziert

A : nicht infiziert, also nicht infiziert

B : Test positiv

B : nicht Test positiv, also Test negativ

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
  0,003
A
(nicht infiziert)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
  0,003
A
(nicht infiziert)
  0,997
   1
=0,003
infiziert
=0,997
nicht infiziert
=0,991
Test positiv
Test negativ
=0,012
Test positiv
Test negativ
=0,002973

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "infiziert" sind es 99.1%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,003 0,991 = 0,002973
berechnen.

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
0,002973 0,003
A
(nicht infiziert)
  0,997
   1
=0,003
infiziert
=0,997
nicht infiziert
=0,991
Test positiv
Test negativ
=0,012
Test positiv
Test negativ
=0,002973
=0,011964

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "nicht infiziert" sind es 1.2%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,997 0,012 = 0,011964
berechnen.

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
0,002973 0,003
A
(nicht infiziert)
0,011964 0,997
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
0,0029730,0000270,003
A
(nicht infiziert)
0,0119640,9850360,997
 0,0149370,9850631

Gesucht ist ja "die Wahrscheinlichkeit nach positiven Test tatsächlich infiziert zu sein", also die Wahrscheinlichkeit für A (infiziert) unter der Vorraussetzung, dass B (Test positiv) bereits eingetroffen ist - kurz P B ( A ) .

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B (Test positiv) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B (Test positiv) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A (infiziert) weiter.)

=0,014937
Test positiv
=0,985063
Test negativ
=x
infiziert
nicht infiziert
infiziert
nicht infiziert
=0,002973
=0,011964
=0,000027
=0,985036

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
0,014937x = 0,002973 = |:0,014937
also
P B ( A ) = x = 0,002973 0,014937 ≈ 0,199


Der gesuchte Wert (die Wahrscheinlichkeit nach positiven Test tatsächlich infiziert zu sein) ist also 0,199 = 19,9%.

Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen

Beispiel:

Ein Fahrradhändler hat in einem Jahr 1100 Fahrräder verkauft. Davon waren 350 Mountainbikes ohne zusätzlichen Elektroantrieb. Insgesamt wurden 385 E-Bikes verkauft. Von den Rädern, die kein Mountainbike sind, wurden insgesamt (E-Bike und andere zusammen) 619 Stück verkauft. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "Mountainbike" und "E-Bike" stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : E-Bike

A : nicht E-Bike, also kein E-Bike

B : Mountainbike

B : nicht Mountainbike, also kein Mountainbike

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Mountainbike)
B
(kein Mountainbike)
 
A
(E-Bike)
  385
A
(kein E-Bike)
350  
  6191100

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

  B
(Mountainbike)
B
(kein Mountainbike)
 
A
(E-Bike)
131254385
A
(kein E-Bike)
350365715
 4816191100

Um zu überprüfen, ob die beiden Ereignisse A (E-Bike) und B (Mountainbike) stochatisch unabhängig sind, müssen wir die absoluten Zahlen zuerst in relative Häufigkeiten umwandeln. Dazu teilen wir einfach alle Zellen durch den Gesamtwert in der rechten unteren Zelle: 1100. und runden diese auf drei Stellen hinter dem Komma. Wir erhalten so erhalten:

  B B  
A 0,1190,2310,35
A 0,3180,3320,65
 0,4370,5631

Jetzt können wir P(A)=0.35 mit P(B)=0.437 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.119, also:

P(A) ⋅ P(B) = 0.35 ⋅ 0.437 = 0.153 ≈ 0.153 ≠ 0.119 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch abhängig.

Stochast. Unabhängigkeit rückwärts

Beispiel:

Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A   0,84
A  0,1216 
   1

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.84 + P( A ) = 1

Somit gilt: P( A ) = 1 - 0.84 = 0.16

  B B  
A   0,84
A  0,12160,16
   1

Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch A und B ) stochastisch unabhängig sind, muss gelten:

P ( A ) P ( B ) = P ( A B )

also 0.16 ⋅ P ( B ) = 0.1216 |: 0.16

somit gilt:

P ( B ) = 0.1216 0.16 = 0.76

  B B  
A   0,84
A  0,12160,16
  0,761

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

  B B  
A 0,20160,63840,84
A 0,03840,12160,16
 0,240,761

Stochast. Unabhängigkeit rw (Anwend.)

Beispiel:

In einem Land sind 1,76% aller Menschen sowohl minderjährig als auch Linkshänder. Insgesamt sind 89% aller Menschen dieses Lands Rechtshänder. Man kann davon ausgehen, dass die beiden Ereignisse "Linkshänder" und "Minderjährigkeit" stochastisch unabhängig sind. Wie viel Prozent der Menschen dieses Landes müssten dann volljährige Erwachsene sein?

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B
(Linkshänder)
B
(Rechtshänder)
 
A
(Minderjährige)
0,0176  
A
(Erwachsene)
   
  0,891

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(B) + 0.89 = 1

Somit gilt: P(B) = 1 - 0.89 = 0.11

  B
(Linkshänder)
B
(Rechtshänder)
 
A
(Minderjährige)
0,0176  
A
(Erwachsene)
   
 0,110,891

Wir erkennen nun, dass der Anteil von "Minderjährige" in der Spalte "Linkshänder" P B ( A ) = 0.0176 0.11 = 0,16 ist.

Weil die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind, muss dann in allen Spalten der prozentuale Anteil von "Minderjährige" auch 0,16 sein. Somit gilt auch P ( A ) = P B ( A ) = 0,16.

  B
(Linkshänder)
B
(Rechtshänder)
 
A
(Minderjährige)
0,0176 0,16
A
(Erwachsene)
   
 0,110,891

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

  B
(Linkshänder)
B
(Rechtshänder)
 
A
(Minderjährige)
0,01760,14240,16
A
(Erwachsene)
0,09240,74760,84
 0,110,891

Der prozentualer Anteil der Erwachsenen ist somit 84%

VFT Anwend. prozentual (mit Kombis)

Beispiel:

Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind 36% der Bevölkerung zufrieden. 77% dieser Zufriedenen sind aber auch Anhänger seiner eigenen Partei. 85,92% der Bevölkerung sind keine Anhänger seiner Partei oder zufrieden mit der Arbeit des Regierungschefs. Wie viel Prozent der Bevölkerung sind Anhänger seiner Partei?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : zufrieden

A : nicht zufrieden, also unzufrieden

B : eigene Partei

B : nicht eigene Partei, also andere Partei

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
  0,36
A
(unzufrieden)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
  0,36
A
(unzufrieden)
  0,64
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "zufrieden" sind es 77% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,36 0,77 = 0,2772 berechnen.

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
0,2772 0,36
A
(unzufrieden)
  0,64
   1

Die 85.92% von "zufrieden oder andere Partei" verteilen sich ja auf die drei Felder von
P ( A B ) (zufrieden und eigene Partei),
P ( A B ) (zufrieden und andere Partei) und
P ( A B ) (unzufrieden und andere Partei),
also auf alle vier Felder außer P ( A B ) (unzufrieden und eigene Partei). Es gilt somit:

0,8592 = P ( A B ) + P ( A B ) + P ( A B ) = 1 - P ( A B )

Damit gilt: P ( A B ) = 1 - 0,8592 = 0.1408

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
0,2772 0,36
A
(unzufrieden)
0,1408 0,64
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
0,27720,08280,36
A
(unzufrieden)
0,14080,49920,64
 0,4180,5821

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz von Anhänger der Partei, ist also 0.418 = 41.8%.