Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mengen-Operationen elementar

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {1; 4; 7; 9; 10}. Bestimme $\overline{B}$ .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {1; 4; 7; 9; 10}.

Die Menge $\overline{B}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge B={1; 4; 7; 9; 10} sind,
also $\overline{B}$ = {2; 3; 5; 6; 8}

Mengen-Operationen (allg.)

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {1; 2; 6; 7; 8; 10}. Bestimme $\overline{A}$ .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {1; 2; 6; 7; 8; 10}.

Die Menge $\overline{A}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={1; 2; 6; 7; 8; 10} sind,
also $\overline{A}$ = {3; 4; 5; 9}

Mengen-Operationen Anwendungen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 8 beschriftet. Bestimme alle Kugeln deren Zahl durch 2 teilbar ist oder deren Zahl höchstens die 3 ist.

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {2; 4; 6; 8} und B = {1; 2; 3}.

Die Menge $A$ ∪ $B$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, die in der Menge A={2; 4; 6; 8} oder in der Menge B={1; 2; 3} sind,
also $A$ ∪ $B$ = {1; 2; 3; 4; 6; 8}

Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie rechts abgebildet wird einmal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl des gewählten Sektors nicht durch 3 teilbar ist und deren Hintergrund eingefärbt ist.

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {1; 2; 3; 7; 8} und B = {3; 6}.

Um die Menge $A$ ∩ $\overline{B}$ bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge $\overline{B}$ bestimmen.

Die Menge $\overline{B}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, die nicht in der Menge B={3; 6} sind,
also $\overline{B}$ = {1; 2; 4; 5; 7; 8}

Die Menge $A$ ∩ $\overline{B}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, die sowohl in der Menge A={1; 2; 3; 7; 8}, als auch in der Menge $\overline{B}$ ={1; 2; 4; 5; 7; 8} sind,
also $A$ ∩ $\overline{B}$ = {1; 2; 7; 8}

Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:

P( $A$ ∩ $\overline{B}$ ) = $\frac{| A \cap \overline{B} |}{|S|}$ = $\frac{4}{8}$ = $\frac{1}{2}$

Vierfeldertafel mit Anzahlen

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

22 + 133 = H(A)

Somit gilt: H(A) = 22 + 133 = 155

	$B$	$\overline{B}$
$A$	22	133	155
$\overline{A}$		189	307

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H( $\overline{A}$ ∩ B) + 189 = 307

Somit gilt: H( $\overline{A}$ ∩ B) = 307 - 189 = 118

	$B$	$\overline{B}$
$A$	22	133	155
$\overline{A}$	118	189	307

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

22 + 118 = H(B)

Somit gilt: H(B) = 22 + 118 = 140

	$B$	$\overline{B}$
$A$	22	133	155
$\overline{A}$	118	189	307
	140

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

133 + 189 = H( $\overline{B}$ )

Somit gilt: H( $\overline{B}$ ) = 133 + 189 = 322

	$B$	$\overline{B}$
$A$	22	133	155
$\overline{A}$	118	189	307
	140	322

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

155 + 307 = H(B + $\overline{B}$ )

Somit gilt: H(B + $\overline{B}$ ) = 155 + 307 = 462

	$B$	$\overline{B}$
$A$	22	133	155
$\overline{A}$	118	189	307
	140	322	462

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( $\overline{A}$ ) = P(B)+P( $\overline{B}$ ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass $\overline{A}$ gilt 100%.

	$B$
$A$		0,26
$\overline{A}$	0,4
	0,62	1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.62 + P( $\overline{B}$ ) = 1

Somit gilt: P( $\overline{B}$ ) = 1 - 0.62 = 0.38

	$B$	$\overline{B}$
$A$			0,26
$\overline{A}$	0,4
	0,62	0,38	1

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A ∩ B) + 0.4 = 0.62

Somit gilt: P(A ∩ B) = 0.62 - 0.4 = 0.22

	$B$	$\overline{B}$
$A$	0,22		0,26
$\overline{A}$	0,4
	0,62	0,38	1

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.26 + P( $\overline{A}$ ) = 1

Somit gilt: P( $\overline{A}$ ) = 1 - 0.26 = 0.74

	$B$	$\overline{B}$
$A$	0,22		0,26
$\overline{A}$	0,4		0,74
	0,62	0,38	1

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.22 + P(A ∩ $\overline{B}$ ) = 0.26

Somit gilt: P(A ∩ $\overline{B}$ ) = 0.26 - 0.22 = 0.04

	$B$	$\overline{B}$
$A$	0,22	0,04	0,26
$\overline{A}$	0,4		0,74
	0,62	0,38	1

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.4 + P( $\overline{A}$ ∩ $\overline{B}$ ) = 0.74

Somit gilt: P( $\overline{A}$ ∩ $\overline{B}$ ) = 0.74 - 0.4 = 0.34

	$B$	$\overline{B}$
$A$	0,22	0,04	0,26
$\overline{A}$	0,4	0,34	0,74
	0,62	0,38	1

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

VFT Anwend. Häufigkeiten

Beispiel:

In einem Monat mit 30 Tagen gab es 10 Tage, an denen keine Schule war. Dummerweise gab es 9 Tage an denen Schule und schönes Wetter war und 5 Tage an denen keine Schule und kein schönes Wetter war. Wieviele schulfreie Tage mit schönem Wetter gab es?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$ : Schule

$\overline{A}$ : nicht Schule, also schulfrei

$B$ : schönes Wetter

$\overline{B}$ : nicht schönes Wetter, also schlechtes Wetter

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (schönes Wetter)	$\overline{B}$ (schlechtes Wetter)
$A$ (Schule)	9
$\overline{A}$ (schulfrei)		5	10
			30

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H( $\overline{A}$ ∩ B) + 5 = 10

Somit gilt: H( $\overline{A}$ ∩ B) = 10 - 5 = 5

	$B$ (schönes Wetter)	$\overline{B}$ (schlechtes Wetter)
$A$ (Schule)	9
$\overline{A}$ (schulfrei)	5	5	10
			30

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

9 + 5 = H(B)

Somit gilt: H(B) = 9 + 5 = 14

	$B$ (schönes Wetter)	$\overline{B}$ (schlechtes Wetter)
$A$ (Schule)	9
$\overline{A}$ (schulfrei)	5	5	10
	14		30

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(A) + 10 = 30

Somit gilt: H(A) = 30 - 10 = 20

	$B$ (schönes Wetter)	$\overline{B}$ (schlechtes Wetter)
$A$ (Schule)	9		20
$\overline{A}$ (schulfrei)	5	5	10
	14		30

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

9 + H(A ∩ $\overline{B}$ ) = 20

Somit gilt: H(A ∩ $\overline{B}$ ) = 20 - 9 = 11

	$B$ (schönes Wetter)	$\overline{B}$ (schlechtes Wetter)
$A$ (Schule)	9	11	20
$\overline{A}$ (schulfrei)	5	5	10
	14		30

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

14 + H( $\overline{B}$ ) = 30

Somit gilt: H( $\overline{B}$ ) = 30 - 14 = 16

	$B$ (schönes Wetter)	$\overline{B}$ (schlechtes Wetter)
$A$ (Schule)	9	11	20
$\overline{A}$ (schulfrei)	5	5	10
	14	16	30

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

	$B$ (schönes Wetter)	$\overline{B}$ (schlechtes Wetter)
$A$ (Schule)	9	11	20
$\overline{A}$ (schulfrei)	5	5	10
	14	16	30

Der gesuchte Wert, Anzahl schulfreie schöne Tage, ist also 5.

VFT Anwend. prozentual (leichter)

Beispiel:

In einer groß angelegten Umfrage waren 46% der Befragten weiblich. Während 34% der männlichen Befragten angaben, Fußballfans zu sein, waren das bei den weiblichen Befragten nur 9%. Wie hoch ist der Prozentsatz der Fußballfans unter allen Befragten?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$ : weiblich

$\overline{A}$ : nicht weiblich, also männlich

$B$ : Fußballfan

$\overline{B}$ : nicht Fußballfan, also kein Fan

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (Fußballfan)	$\overline{B}$ (kein Fan)
$A$ (weiblich)			0,46
$\overline{A}$ (männlich)

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P (A)$ + $P (\overline{A})$ = $P (B)$ + $P (\overline{B})$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\overline{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (Fußballfan)	$\overline{B}$ (kein Fan)
$A$ (weiblich)			0,46
$\overline{A}$ (männlich)			0,54
			1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "weiblich" sind es 9% kann man die Wahrscheinlichkeit
$P (A \cap B)$ = 0,46 ⋅ 0,09 = 0,0414 berechnen.

	$B$ (Fußballfan)
$A$ (weiblich)	0,0414	0,46
$\overline{A}$ (männlich)		0,54
		1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "männlich" sind es 34% kann man die Wahrscheinlichkeit
$P (\overline{A} \cap B)$ = 0,54 ⋅ 0,34 = 0,1836 berechnen.

	$B$ (Fußballfan)
$A$ (weiblich)	0,0414	0,46
$\overline{A}$ (männlich)	0,1836	0,54
		1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (Fußballfan)	$\overline{B}$ (kein Fan)
$A$ (weiblich)	0,0414	0,4186	0,46
$\overline{A}$ (männlich)	0,1836	0,3564	0,54
	0,225	0,775	1

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Fußballfans, ist also 0.225 = 22.5%.

VFT Anwend. prozentual (schwerer)

Beispiel:

In einer groß angelegten Umfrage bezeichneten sich 23% als Fußballfans. Weibliche Fußballfans waren nur 6,67% der Befragten. 47% der Befragten, die keine Fußballfans waren, waren männlich. Wie hoch ist der Prozentsatz der weiblichen Befragten unter allen Befragten?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$ : Fußballfan

$\overline{A}$ : nicht Fußballfan, also kein Fan

$B$ : weiblich

$\overline{B}$ : nicht weiblich, also männlich

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (weiblich)
$A$ (Fußballfan)	0,0667	0,23
$\overline{A}$ (kein Fan)

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P (A)$ + $P (\overline{A})$ = $P (B)$ + $P (\overline{B})$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\overline{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (weiblich)	$\overline{B}$ (männlich)
$A$ (Fußballfan)	0,0667	0,1633	0,23
$\overline{A}$ (kein Fan)			0,77
			1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "kein Fan" sind es 47% kann man die Wahrscheinlichkeit
$P (\overline{A} \cap \overline{B})$ = 0,77 ⋅ 0,47 = 0,3619 berechnen.

	$B$ (weiblich)	$\overline{B}$ (männlich)
$A$ (Fußballfan)	0,0667	0,1633	0,23
$\overline{A}$ (kein Fan)		0,3619	0,77
			1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (weiblich)	$\overline{B}$ (männlich)
$A$ (Fußballfan)	0,0667	0,1633	0,23
$\overline{A}$ (kein Fan)	0,4081	0,3619	0,77
	0,4748	0,5252	1

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz weiblicher Befragter, ist also 0.4748 = 47.48%.

bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{\overline{A}} (\overline{B})$ .

	$B$	$\overline{B}$
$A$	53	186	239
$\overline{A}$	98	43	141
	151	229	380

Lösung einblenden

$P_{\overline{A}} (\overline{B})$ bedeutet die Wahrscheinlichkeit für $\overline{B}$ unter der Vorraussetzung, dass $\overline{A}$ bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $\overline{A}$ gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $\overline{A}$ - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $\overline{B}$ weiter.)

=

\frac{239}{380}

=

\frac{141}{380}

=x

=

\frac{53}{380}

=

\frac{186}{380}

=

\frac{98}{380}

=

\frac{43}{380}

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
$P (\overline{A})$ ⋅ $P_{\overline{A}} (\overline{B})$ = $P (\overline{A} \cap \overline{B})$ | : $P (\overline{A})$

$P_{\overline{A}} (\overline{B})$ = $\frac{P(\overline{A} \cap \overline{B})}{P(\overline{A})}$

oder hier im speziellen:
$\frac{141}{380}$ ⋅ x = $\frac{43}{380}$ = |:141 ⋅380
also
$P_{\overline{A}} (\overline{B})$ = x = $\frac{43}{141}$ ≈ 0,305

bedingte Wahrsch. (nur Prozente)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{A} (\overline{B})$ .

	$B$	$\overline{B}$
$A$	0,48	0,38	0,86
$\overline{A}$	0,08	0,06	0,14
	0,56	0,44	1

Lösung einblenden

$P_{A} (\overline{B})$ bedeutet die Wahrscheinlichkeit für $\overline{B}$ unter der Vorraussetzung, dass $A$ bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $A$ gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $A$ - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $\overline{B}$ weiter.)

=0,86

=0,14

=x

=0,48

=0,38

=0,08

=0,06

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
$P (A)$ ⋅ $P_{A} (\overline{B})$ = $P (A \cap \overline{B})$ | : $P (A)$

$P_{A} (\overline{B})$ = $\frac{P(A \cap \overline{B})}{P(A)}$

oder hier im speziellen:
0,86 ⋅ x = 0,38 = |:0,86
also
$P_{A} (\overline{B})$ = x = $\frac{0,38}{0,86}$ ≈ 0,4419

bedingte Wahrsch. Anwendungen

Beispiel:

Schätzungen zufolge sind 7% der Lehrer Informatiklehrer. Von den anderen Lehrern nutzen 92% das MS-Office. Von den Informatik-Lehrern bevorzugen aber 86% ein anderes Office-Paket wie OpenOffice oder LibreOffice. Wie hoch ist der Anteil der Informatiklehrer an den Lehrern die ein offenes Office nutzen?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$ : Informatiklehrer

$\overline{A}$ : nicht Informatiklehrer, also andere Lehrer

$B$ : MS-Office

$\overline{B}$ : nicht MS-Office, also anderes Office

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (MS-Office)	$\overline{B}$ (anderes Office)
$A$ (Informatiklehrer)			0,07
$\overline{A}$ (andere Lehrer)

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P (A)$ + $P (\overline{A})$ = $P (B)$ + $P (\overline{B})$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\overline{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (MS-Office)	$\overline{B}$ (anderes Office)
$A$ (Informatiklehrer)			0,07
$\overline{A}$ (andere Lehrer)			0,93
			1

=0,07

Informatiklehrer

=0,93

andere Lehrer

MS-Office

=0,86

anderes Office

=0,92

MS-Office

anderes Office

=0,0602

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "Informatiklehrer" sind es 86%, also $P_{A} (\overline{B})$ ,
die Wahrscheinlichkeit
$P (A \cap \overline{B})$ = $P (A)$ ⋅ $P_{A} (\overline{B})$ = 0,07 ⋅ 0,86 = 0,0602
berechnen.

	$\overline{B}$ (anderes Office)
$A$ (Informatiklehrer)	0,0602	0,07
$\overline{A}$ (andere Lehrer)		0,93
		1

=0,07

Informatiklehrer

=0,93

andere Lehrer

MS-Office

=0,86

anderes Office

=0,92

MS-Office

anderes Office

=0,0602

=0,8556

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "andere Lehrer" sind es 92%, also $P_{\overline{A}} (B)$ ,
die Wahrscheinlichkeit
$P (\overline{A} \cap B)$ = $P (\overline{A})$ ⋅ $P_{\overline{A}} (B)$ = 0,93 ⋅ 0,92 = 0,8556
berechnen.

	$B$ (MS-Office)	$\overline{B}$ (anderes Office)
$A$ (Informatiklehrer)		0,0602	0,07
$\overline{A}$ (andere Lehrer)	0,8556		0,93
			1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (MS-Office)	$\overline{B}$ (anderes Office)
$A$ (Informatiklehrer)	0,0098	0,0602	0,07
$\overline{A}$ (andere Lehrer)	0,8556	0,0744	0,93
	0,8654	0,1346	1

Gesucht ist ja "der Prozentsatz der Informatiklehrer an den OpenOffice-Nutzern", also die Wahrscheinlichkeit für $A$ (Informatiklehrer) unter der Vorraussetzung, dass $\overline{B}$ (anderes Office) bereits eingetroffen ist - kurz $P_{\overline{B}} (A)$ .

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $\overline{B}$ (anderes Office) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $\overline{B}$ (anderes Office) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $A$ (Informatiklehrer) weiter.)

=0,8654

MS-Office

=0,1346

anderes Office

Informatiklehrer

andere Lehrer

=x

Informatiklehrer

andere Lehrer

=0,0098

=0,8556

=0,0602

=0,0744

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
$P (\overline{B})$ ⋅ $P_{\overline{B}} (A)$ = $P (\overline{B} \cap A)$ | : $P (\overline{B})$

$P_{\overline{B}} (A)$ = $\frac{P(\overline{B} \cap A)}{P(\overline{B})}$

oder hier im speziellen:
0,1346 ⋅ x = 0,0602 = |:0,1346
also
$P_{\overline{B}} (A)$ = x = $\frac{0,0602}{0,1346}$ ≈ 0,4473

Der gesuchte Wert (der Prozentsatz der Informatiklehrer an den OpenOffice-Nutzern) ist also 0,4473 = 44,73%.

Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen

Beispiel:

In der Jahrgangstufe der 10-Klässler müssen die 120 Schülerinnen und Schüler ihre Kurse für die Kurstufe wählen. Jeder muss entweder Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Mädchen wählen 29 das Leistungsfach. 40 von den insgesamt 59 Basisfachwahlen kommen von den Jungs. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse Geschlecht und Mathewahlen stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$ : Mädchen

$\overline{A}$ : nicht Mädchen, also Jungs

$B$ : Leistungsfach

$\overline{B}$ : nicht Leistungsfach, also Basisfach

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (Leistungsfach)	$\overline{B}$ (Basisfach)
$A$ (Mädchen)	29
$\overline{A}$ (Jungs)		40
		59	120

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(B) + 59 = 120

Somit gilt: H(B) = 120 - 59 = 61

	$B$ (Leistungsfach)	$\overline{B}$ (Basisfach)
$A$ (Mädchen)	29
$\overline{A}$ (Jungs)		40
	61	59	120

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

29 + H( $\overline{A}$ ∩ B) = 61

Somit gilt: H( $\overline{A}$ ∩ B) = 61 - 29 = 32

	$B$ (Leistungsfach)	$\overline{B}$ (Basisfach)
$A$ (Mädchen)	29
$\overline{A}$ (Jungs)	32	40
	61	59	120

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(A ∩ $\overline{B}$ ) + 40 = 59

Somit gilt: H(A ∩ $\overline{B}$ ) = 59 - 40 = 19

	$B$ (Leistungsfach)	$\overline{B}$ (Basisfach)
$A$ (Mädchen)	29	19
$\overline{A}$ (Jungs)	32	40
	61	59	120

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

29 + 19 = H(A)

Somit gilt: H(A) = 29 + 19 = 48

	$B$ (Leistungsfach)	$\overline{B}$ (Basisfach)
$A$ (Mädchen)	29	19	48
$\overline{A}$ (Jungs)	32	40
	61	59	120

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

32 + 40 = H( $\overline{A}$ )

Somit gilt: H( $\overline{A}$ ) = 32 + 40 = 72

	$B$ (Leistungsfach)	$\overline{B}$ (Basisfach)
$A$ (Mädchen)	29	19	48
$\overline{A}$ (Jungs)	32	40	72
	61	59	120

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

	$B$ (Leistungsfach)	$\overline{B}$ (Basisfach)
$A$ (Mädchen)	29	19	48
$\overline{A}$ (Jungs)	32	40	72
	61	59	120

Um zu überprüfen, ob die beiden Ereignisse A (Mädchen) und B (Leistungsfach) stochatisch unabhängig sind, müssen wir die absoluten Zahlen zuerst in relative Häufigkeiten umwandeln. Dazu teilen wir einfach alle Zellen durch den Gesamtwert in der rechten unteren Zelle: 120. und runden diese auf drei Stellen hinter dem Komma. Wir erhalten so erhalten:

	$B$	$\overline{B}$
$A$	0,242	0,158	0,4
$\overline{A}$	0,267	0,333	0,6
	0,508	0,492	1

Jetzt können wir P(A)=0.4 mit P(B)=0.508 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.242, also:

P(A) ⋅ P(B) = 0.4 ⋅ 0.508 = 0.2033 ≈ 0.203 ≠ 0.242 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch abhängig.

Stochast. Unabhängigkeit rückwärts

Beispiel:

Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P (A)$ + $P (\overline{A})$ = $P (B)$ + $P (\overline{B})$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\overline{A}$ gilt 100%.

	$B$
$A$
$\overline{A}$	0,0972
	0,18	1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.18 + P( $\overline{B}$ ) = 1

Somit gilt: P( $\overline{B}$ ) = 1 - 0.18 = 0.82

	$B$	$\overline{B}$
$A$
$\overline{A}$	0,0972
	0,18	0,82	1

Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch $\overline{A}$ und $B$ ) stochastisch unabhängig sind, muss gelten:

$P (\overline{A})$ ⋅ $P (B)$ = $P (\overline{A} \cap B)$

also $P (\overline{A})$ ⋅ 0.18 = 0.0972 |: 0.18

somit gilt:

$P (\overline{A})$ = $\frac{0.0972}{0.18}$ = 0.54

	$B$	$\overline{B}$
$A$
$\overline{A}$	0,0972		0,54
	0,18	0,82	1

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

	$B$	$\overline{B}$
$A$	0,0828	0,3772	0,46
$\overline{A}$	0,0972	0,4428	0,54
	0,18	0,82	1

Stochast. Unabhängigkeit rw (Anwend.)

Beispiel:

In einem Land sind 9,36% aller Menschen sowohl volljährig als auch Linkshänder. Insgesamt sind 22% aller Menschen dieses Landes noch minderjährig. Man kann davon ausgehen, dass die beiden Ereignisse "Linkshänder" und "Minderjährigkeit" stochastisch unabhängig sind. Wie viel Prozent der Menschen dieses Landes müssten dann Rechtshänder sein?

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P (A)$ + $P (\overline{A})$ = $P (B)$ + $P (\overline{B})$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\overline{A}$ gilt 100%.

	$B$ (Linkshänder)
$A$ (Minderjährige)		0,22
$\overline{A}$ (Erwachsene)	0,0936
		1

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.22 + P( $\overline{A}$ ) = 1

Somit gilt: P( $\overline{A}$ ) = 1 - 0.22 = 0.78

	$B$ (Linkshänder)
$A$ (Minderjährige)		0,22
$\overline{A}$ (Erwachsene)	0,0936	0,78
		1

Wir erkennen nun, dass der Anteil von "Linkshänder" in der Zeile "Erwachsene" $P_{\overline{A}} (B)$ = $\frac{0.0936}{0.78}$ = $0,12$ ist.

Weil die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind, muss dann in allen Zeilen der prozentuale Anteil von "Linkshänder" auch $0,12$ sein. Somit gilt auch $P (B)$ = $P_{\overline{A}} (B)$ = $0,12$ .

	$B$ (Linkshänder)
$A$ (Minderjährige)		0,22
$\overline{A}$ (Erwachsene)	0,0936	0,78
	0,12	1

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

	$B$ (Linkshänder)	$\overline{B}$ (Rechtshänder)
$A$ (Minderjährige)	0,0264	0,1936	0,22
$\overline{A}$ (Erwachsene)	0,0936	0,6864	0,78
	0,12	0,88	1

Der prozentualer Anteil der Rechtshänder ist somit 88%

VFT Anwend. prozentual (mit Kombis)

Beispiel:

In einer groß angelegten Umfrage sind 54,75% der Befragten weiblich. 10,96% dieser weiblichen Befragten sind Fußballfans. 81% der Befragten sind keine Fußballfans oder weiblich. Wie hoch ist der Prozentsatz unter allen Befragten, die keine Fußballfans sind?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$ : Fußballfan

$\overline{A}$ : nicht Fußballfan, also kein Fan

$B$ : weiblich

$\overline{B}$ : nicht weiblich, also männlich

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (weiblich)	$\overline{B}$ (männlich)
$A$ (Fußballfan)
$\overline{A}$ (kein Fan)
	0,5475

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P (A)$ + $P (\overline{A})$ = $P (B)$ + $P (\overline{B})$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\overline{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (weiblich)	$\overline{B}$ (männlich)
$A$ (Fußballfan)
$\overline{A}$ (kein Fan)
	0,5475	0,4525	1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "weiblich" sind es 10.96% kann man die Wahrscheinlichkeit
$P (B \cap A)$ = 0,5475 ⋅ 0,1096 = 0,06 berechnen.

	$B$ (weiblich)	$\overline{B}$ (männlich)
$A$ (Fußballfan)	0,06
$\overline{A}$ (kein Fan)
	0,5475	0,4525	1

Die 81% von "kein Fan oder weiblich" verteilen sich ja auf die drei Felder von
$P (A \cap B)$ (Fußballfan und weiblich),
$P (\overline{A} \cap B)$ (kein Fan und weiblich) und
$P (\overline{A} \cap \overline{B})$ (kein Fan und männlich),
also auf alle vier Felder außer $P (A \cap \overline{B})$ (Fußballfan und männlich). Es gilt somit:

0,81 = $P (A \cap B)$ + $P (\overline{A} \cap B)$ + $P (\overline{A} \cap \overline{B})$ = 1 - $P (A \cap \overline{B})$

Damit gilt: $P (A \cap \overline{B})$ = 1 - 0,81 = 0.19

	$B$ (weiblich)	$\overline{B}$ (männlich)
$A$ (Fußballfan)	0,06	0,19
$\overline{A}$ (kein Fan)
	0,5475	0,4525	1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (weiblich)	$\overline{B}$ (männlich)
$A$ (Fußballfan)	0,06	0,19	0,25
$\overline{A}$ (kein Fan)	0,4875	0,2625	0,75
	0,5475	0,4525	1

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Nicht-Fußballfans, ist also 0.75 = 75%.

Aufgabenbeispiele von Vierfeldertafel

Mengen-Operationen elementar

Mengen-Operationen (allg.)

Mengen-Operationen Anwendungen

Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit

Vierfeldertafel mit Anzahlen

Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten

VFT Anwend. Häufigkeiten

VFT Anwend. prozentual (leichter)

VFT Anwend. prozentual (schwerer)

bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)

bedingte Wahrsch. (nur Prozente)

bedingte Wahrsch. Anwendungen

Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen

Stochast. Unabhängigkeit rückwärts

Stochast. Unabhängigkeit rw (Anwend.)

VFT Anwend. prozentual (mit Kombis)