Aufgabenbeispiele von Vierfeldertafel
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Mengen-Operationen elementar
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {1; 6; 7; 8; 10}. Bestimme .
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {1; 6; 7; 8; 10}.
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge A={1; 6; 7; 8; 10} sind,
also
= {2; 3; 4; 5; 9}
Mengen-Operationen (allg.)
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {3}. Bestimme .
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {3}.
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge A={3} sind,
also
= {1; 2; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
Mengen-Operationen Anwendungen
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
Bestimme alle Sektoren, deren Zahl durch 5 teilbar ist oder deren Hintergrund eingefärbt ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {1; 2; 3; 5; 6; 7; 8} und B = {5}.
Die Menge
also
Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
Ein Glücksrad wie rechts abgebildet wird einmal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl des gewählten Sektors durch 3 teilbar ist oder der Hintergrund dieses Sektors eingefärbt ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {3; 6; 7; 8} und B = {3; 6}.
Die Menge
also
Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:
P(
Vierfeldertafel mit Anzahlen
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
141 + H(A ∩ ) = 147
Somit gilt: H(A ∩ ) = 147 - 141 = 6
141 | 6 | 147 | |
176 | |||
307 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
141 + H( ∩ B) = 307
Somit gilt: H( ∩ B) = 307 - 141 = 166
141 | 6 | 147 | |
166 | 176 | ||
307 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
6 + 176 = H( )
Somit gilt: H( ) = 6 + 176 = 182
141 | 6 | 147 | |
166 | 176 | ||
307 | 182 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
166 + 176 = H( )
Somit gilt: H( ) = 166 + 176 = 342
141 | 6 | 147 | |
166 | 176 | 342 | |
307 | 182 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
307 + 182 = H(B + )
Somit gilt: H(B + ) = 307 + 182 = 489
141 | 6 | 147 | |
166 | 176 | 342 | |
307 | 182 | 489 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( ) = P(B)+P( ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass gilt 100%.
0,05 | |||
0,68 | 0,84 | ||
1 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P( ∩ B) + 0.68 = 0.84
Somit gilt: P( ∩ B) = 0.84 - 0.68 = 0.16
0,05 | |||
0,16 | 0,68 | 0,84 | |
1 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.05 + 0.68 = P( )
Somit gilt: P( ) = 0.05 + 0.68 = 0.73
0,05 | |||
0,16 | 0,68 | 0,84 | |
0,73 | 1 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(A) + 0.84 = 1
Somit gilt: P(A) = 1 - 0.84 = 0.16
0,05 | 0,16 | ||
0,16 | 0,68 | 0,84 | |
0,73 | 1 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(A ∩ B) + 0.05 = 0.16
Somit gilt: P(A ∩ B) = 0.16 - 0.05 = 0.11
0,11 | 0,05 | 0,16 | |
0,16 | 0,68 | 0,84 | |
0,73 | 1 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(B) + 0.73 = 1
Somit gilt: P(B) = 1 - 0.73 = 0.27
0,11 | 0,05 | 0,16 | |
0,16 | 0,68 | 0,84 | |
0,27 | 0,73 | 1 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
VFT Anwend. Häufigkeiten
Beispiel:
In der Jahrgangstufe der 10-Klässler müssen die 89 Schülerinnen und Schüler ihre Kurse für die Kurstufe wählen. Jeder muss entweder Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Mädchen wählen 22 das Leistungsfach. 17 von den insgesamt 46 Basisfachwahlen kommen von den Jungs. Wieviel Mädchen sind in der Jahrgangstufe ?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: Mädchen
: nicht Mädchen, also Jungs
: Leistungsfach
: nicht Leistungsfach, also Basisfach
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 22 | ||
(Jungs) | 17 | ||
46 | 89 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(B) + 46 = 89
Somit gilt: H(B) = 89 - 46 = 43
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 22 | ||
(Jungs) | 17 | ||
43 | 46 | 89 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
22 + H( ∩ B) = 43
Somit gilt: H( ∩ B) = 43 - 22 = 21
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 22 | ||
(Jungs) | 21 | 17 | |
43 | 46 | 89 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ ) + 17 = 46
Somit gilt: H(A ∩ ) = 46 - 17 = 29
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 22 | 29 | |
(Jungs) | 21 | 17 | |
43 | 46 | 89 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
22 + 29 = H(A)
Somit gilt: H(A) = 22 + 29 = 51
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 22 | 29 | 51 |
(Jungs) | 21 | 17 | |
43 | 46 | 89 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
21 + 17 = H( )
Somit gilt: H( ) = 21 + 17 = 38
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 22 | 29 | 51 |
(Jungs) | 21 | 17 | 38 |
43 | 46 | 89 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 22 | 29 | 51 |
(Jungs) | 21 | 17 | 38 |
43 | 46 | 89 |
Der gesuchte Wert, Anzahl Mädchen, ist also 51.
VFT Anwend. prozentual (leichter)
Beispiel:
Schätzungen zufolge sind 9% der Lehrer Informatiklehrer. Von den anderen Lehrern nutzen 92% das MS-Office. Von den Informatik-Lehrern bevorzugen aber 80% ein anderes Office-Paket wie OpenOffice oder LibreOffice. Wie viel Prozent der Lehrer insgesamt nutzen nach diesen Schätzungen das MS-Office?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: Informatiklehrer
: nicht Informatiklehrer, also andere
: MS-Office
: nicht MS-Office, also anderes Office
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,09 | ||
(andere) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe + = + = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass gilt oder dass gilt 100%.
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,09 | ||
(andere) | 0,91 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "Informatiklehrer" sind es
80% kann man die Wahrscheinlichkeit
=
0,09 ⋅
0,8 =
0,072 berechnen.
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,072 | 0,09 | |
(andere) | 0,91 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "andere" sind es
92% kann man die Wahrscheinlichkeit
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,072 | 0,09 | |
(andere) | 0,8372 | 0,91 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,018 | 0,072 | 0,09 |
(andere) | 0,8372 | 0,0728 | 0,91 |
0,8552 | 0,1448 | 1 |
Der gesuchte Wert, Prozentsatz an MS-Office, ist also 0.8552 = 85.52%.
VFT Anwend. prozentual (schwerer)
Beispiel:
Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind 39% der Bevölkerung zufrieden. 62% dieser Zufriedenen sind aber auch Anhänger seiner eigenen Partei. 45,75% der Bevölkerung ist weder Anhänger seiner Partei noch zufrieden mit der Arbeit des Regierungschefs. Wie viel Prozent der Bevölkerung sind Anhänger seiner Partei?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
---|---|---|---|
(zufrieden) | 0,39 | ||
(unzufrieden) | 0,4575 | ||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
---|---|---|---|
(zufrieden) | 0,39 | ||
(unzufrieden) | 0,1525 | 0,4575 | 0,61 |
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "zufrieden" sind es
62% kann man die Wahrscheinlichkeit
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
---|---|---|---|
(zufrieden) | 0,2418 | 0,39 | |
(unzufrieden) | 0,1525 | 0,4575 | 0,61 |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
---|---|---|---|
(zufrieden) | 0,2418 | 0,1482 | 0,39 |
(unzufrieden) | 0,1525 | 0,4575 | 0,61 |
0,3943 | 0,6057 | 1 |
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz von Anhänger der Partei, ist also 0.3943 = 39.43%.
bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 34 | 144 | 178 |
| 7 | 187 | 194 |
41 | 331 | 372 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
also
bedingte Wahrsch. (nur Prozente)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 0,29 | 0,07 | 0,36 |
| 0,13 | 0,51 | 0,64 |
0,42 | 0,58 | 1 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,58 ⋅ x
= 0,07 = |:0,58
also
bedingte Wahrsch. Anwendungen
Beispiel:
Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind von den Anhängern seiner eigenen Partei, deren Anteil 24% der Bevölkerung ausmacht, 49% zufrieden. Bei denen, die aber keine Anhängern dessen Partei sind, liegen die Zustimmungswerte nur bei 20%. Wie viel Prozent derjenigen, die mit der Arbeit des Regierungschefs zufrieden sind, sind auch Anhänger seiner Partei?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
---|---|---|---|
(eigene Partei) | 0,24 | ||
(andere Partei) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
---|---|---|---|
(eigene Partei) | 0,24 | ||
(andere Partei) | 0,76 | ||
1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "eigene Partei" sind es 49%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
---|---|---|---|
(eigene Partei) | 0,1176 | 0,24 | |
(andere Partei) | 0,76 | ||
1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "andere Partei" sind es 20%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
---|---|---|---|
(eigene Partei) | 0,1176 | 0,24 | |
(andere Partei) | 0,152 | 0,76 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
---|---|---|---|
(eigene Partei) | 0,1176 | 0,1224 | 0,24 |
(andere Partei) | 0,152 | 0,608 | 0,76 |
0,2696 | 0,7304 | 1 |
Gesucht ist ja "der Anteil der Parteianhänger unter allen. die mit dem Regierungschef zufrieden sind", also die Wahrscheinlichkeit für
Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,2696 ⋅ x
= 0,1176 = |:0,2696
also
Der gesuchte Wert (der Anteil der Parteianhänger unter allen. die mit dem Regierungschef zufrieden sind) ist also 0,4362 = 43,62%.
Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen
Beispiel:
Nach einer Umfrage könnten sich 46% der Befragten vorstellen, sich als nächstes Auto ein Elektroauto zu kaufen. 41% davon seien auch schon einmal in einem E-Auto gefahren. 42,66% der Befragten meinten, dass sie noch nie in einem E-Auto gesessen sind und sich sicher auch nie eines kaufen werden. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "E-Auto kaufen" und "Erfahrung mit E-Auto" stochastisch unabhängig sind.
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(E-Auto kennen) |
(nicht kennen) | ||
---|---|---|---|
(E-Auto kaufen) | 0,46 | ||
(nicht kaufen) | 0,4266 | ||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(E-Auto kennen) |
(nicht kennen) | ||
---|---|---|---|
(E-Auto kaufen) | 0,46 | ||
(nicht kaufen) | 0,1134 | 0,4266 | 0,54 |
1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "E-Auto kaufen" sind es 41%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(E-Auto kennen) |
(nicht kennen) | ||
---|---|---|---|
(E-Auto kaufen) | 0,1886 | 0,46 | |
(nicht kaufen) | 0,1134 | 0,4266 | 0,54 |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(E-Auto kennen) |
(nicht kennen) | ||
---|---|---|---|
(E-Auto kaufen) | 0,1886 | 0,2714 | 0,46 |
(nicht kaufen) | 0,1134 | 0,4266 | 0,54 |
0,302 | 0,698 | 1 |
Jetzt können wir P(A)=0.46 mit P(B)=0.302 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.189, also:
P(A) ⋅ P(B) = 0.46 ⋅ 0.302 = 0.1389 ≈ 0.139
≠ 0.189 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch abhängig.
Stochast. Unabhängigkeit rückwärts
Beispiel:
Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,092 | ||
| |||
0,6 | 1 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(B) + 0.6 = 1
Somit gilt: P(B) = 1 - 0.6 = 0.4
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,092 | ||
| |||
0,4 | 0,6 | 1 |
Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch
also
somit gilt:
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,092 | 0,23 | |
| |||
0,4 | 0,6 | 1 |
Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,092 | 0,138 | 0,23 |
| 0,308 | 0,462 | 0,77 |
0,4 | 0,6 | 1 |
Stochast. Unabhängigkeit rw (Anwend.)
Beispiel:
An einer Schule müssen alle Schülerinnen und Schüler der 10-ten Klassen für ihre Kurswahl entweder das Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Mädchen wählen 33 das Leistungsfach. Auf das Basisfach fallen insgesamt 55 Wahlen. Man kann davon ausgehen, dass die beiden Ereignisse Geschlecht und Mathewahlen stochastisch unabhängig sind. Wie viele der 110 Schülerinnen und Schüler der 10-ten Klassen sind keine Mädchen?
Als erstes tragen wir die Werte, die man aus dem Text herauslesen kann in einer Vierfeldertafel ein:
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 33 | ||
(Jungs) | |||
55 | 110 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(B) + 55 = 110
Somit gilt: H(B) = 110 - 55 = 55
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 33 | ||
(Jungs) | |||
55 | 55 | 110 |
Wir erkennen nun, dass der Anteil von "Mädchen" in der Spalte "Leistungsfach"
Weil die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind, muss dann in allen Spalten der prozentuale Anteil von "Mädchen" auch
Für den Wert in der Randspalte ergibt sich also
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 33 | 66 | |
(Jungs) | |||
55 | 55 | 110 |
Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 33 | 33 | 66 |
(Jungs) | 22 | 22 | 44 |
55 | 55 | 110 |
Die Anzahl nicht weiblicher Schüler ist somit 44
VFT Anwend. prozentual (mit Kombis)
Beispiel:
In einer groß angelegten Umfrage sind 59,7% der Befragten weiblich. 6,03% dieser weiblichen Befragten sind Fußballfans. 88,6% der Befragten sind keine Fußballfans oder weiblich. Wie hoch ist der Prozentsatz unter allen Befragten, die keine Fußballfans sind?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | |||
(kein Fan) | |||
0,597 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | |||
(kein Fan) | |||
0,597 | 0,403 | 1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "weiblich" sind es
6.03% kann man die Wahrscheinlichkeit
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,036 | ||
(kein Fan) | |||
0,597 | 0,403 | 1 |
Die 88.6% von "kein Fan oder weiblich" verteilen sich ja auf die drei Felder von
also auf alle vier Felder außer
0,886 =
Damit gilt:
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,036 | 0,114 | |
(kein Fan) | |||
0,597 | 0,403 | 1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,036 | 0,114 | 0,15 |
(kein Fan) | 0,561 | 0,289 | 0,85 |
0,597 | 0,403 | 1 |
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Nicht-Fußballfans, ist also 0.85 = 85%.