Aufgabenbeispiele von Vierfeldertafel

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Mengen-Operationen elementar

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {1; 2; 3; 4; 7; 9; 10}. Bestimme A .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {1; 2; 3; 4; 7; 9; 10}.

Die Menge A umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={1; 2; 3; 4; 7; 9; 10} sind,
also A = {5; 6; 8}

Mengen-Operationen (allg.)

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {2; 4; 5; 8; 9} und B = {1; 3; 6; 9; 10}. Bestimme A B .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {2; 4; 5; 8; 9} und B = {1; 3; 6; 9; 10}.

Um die Menge A B bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge A bestimmen.

Die Menge A umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={2; 4; 5; 8; 9} sind,
also A = {1; 3; 6; 7; 10}

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die sowohl in der Menge A ={1; 3; 6; 7; 10}, als auch in der Menge B={1; 3; 6; 9; 10} sind,
also A B = {1; 3; 6; 10}

Mengen-Operationen Anwendungen

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 2; 4; 5} und B = {3; 7; 9}. Bestimme A B .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 2; 4; 5} und B = {3; 7; 9}.

Um die Menge A B bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge A bestimmen.

Die Menge A umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={1; 2; 4; 5} sind,
also A = {3; 6; 7; 8; 9; 10}

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die sowohl in der Menge A ={3; 6; 7; 8; 9; 10}, als auch in der Menge B={3; 7; 9} sind,
also A B = {3; 7; 9}

Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie rechts abgebildet wird einmal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl des gewählten Sektors durch 3 teilbar ist oder der Hintergrund dieses Sektors eingefärbt ist.

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {1; 2; 5} und B = {3; 6}.

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, die in der Menge A={1; 2; 5} oder in der Menge B={3; 6} sind,
also A B = {1; 2; 3; 5; 6}

Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:

P( A B ) = | A B | |S| = 5 8

Vierfeldertafel mit Anzahlen

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

193 + H(A ∩ B ) = 249

Somit gilt: H(A ∩ B ) = 249 - 193 = 56

  B B  
A 19356249
A 111111 
    

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

111 + 111 = H( A )

Somit gilt: H( A ) = 111 + 111 = 222

  B B  
A 19356249
A 111111222
    

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

193 + 111 = H(B)

Somit gilt: H(B) = 193 + 111 = 304

  B B  
A 19356249
A 111111222
 304  

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

56 + 111 = H( B )

Somit gilt: H( B ) = 56 + 111 = 167

  B B  
A 19356249
A 111111222
 304167 

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

249 + 222 = H(B + B )

Somit gilt: H(B + B ) = 249 + 222 = 471

  B B  
A 19356249
A 111111222
 304167471

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( A ) = P(B)+P( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A  0,27 
A  0,50,64
   1

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P( A ∩ B) + 0.5 = 0.64

Somit gilt: P( A ∩ B) = 0.64 - 0.5 = 0.14

  B B  
A  0,27 
A 0,140,50,64
   1

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.27 + 0.5 = P( B )

Somit gilt: P( B ) = 0.27 + 0.5 = 0.77

  B B  
A  0,27 
A 0,140,50,64
  0,771

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A) + 0.64 = 1

Somit gilt: P(A) = 1 - 0.64 = 0.36

  B B  
A  0,270,36
A 0,140,50,64
  0,771

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A ∩ B) + 0.27 = 0.36

Somit gilt: P(A ∩ B) = 0.36 - 0.27 = 0.09

  B B  
A 0,090,270,36
A 0,140,50,64
  0,771

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(B) + 0.77 = 1

Somit gilt: P(B) = 1 - 0.77 = 0.23

  B B  
A 0,090,270,36
A 0,140,50,64
 0,230,771

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

VFT Anwend. Häufigkeiten

Beispiel:

Ein Fahrradhändler hat in einem Jahr 1200 Fahrräder verkauft. Davon waren 390 Mountainbikes ohne zusätzlichen Elektroantrieb. Insgesamt wurden 504 E-Bikes verkauft. Von den Rädern, die kein Mountainbike sind, wurden insgesamt (E-Bike und andere zusammen) 679 Stück verkauft. Wie viele Fahrräder wurden verkauft, die weder ein Mountainbike noch ein E-Bike sind?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : E-Bike

A : nicht E-Bike, also kein E-Bike

B : Mountainbike

B : nicht Mountainbike, also kein Mountainbike

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Mountainbike)
B
(kein Mountainbike)
 
A
(E-Bike)
  504
A
(kein E-Bike)
390  
  6791200

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

  B
(Mountainbike)
B
(kein Mountainbike)
 
A
(E-Bike)
131373504
A
(kein E-Bike)
390306696
 5216791200

Der gesuchte Wert, Anzahl verkaufter "normaler" Fahrräder, ist also 306.

VFT Anwend. prozentual (leichter)

Beispiel:

Bei einer neuen Viruskrankkeit, geht man davon aus, dass 11% der Menschen, die älter als 80 Jahre sind, diese nicht überleben. Von den jüngeren sterben nur 0,4% daran. In einem Land sind 5% der Bevölkerung älter als 80 Jahre. Wie hoch ist in diesem Land das Risiko, an dieser Krankheit zu sterben?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : über 80

A : nicht über 80, also höchstens 80

B : sterben

B : nicht sterben, also überleben

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(sterben)
B
(überleben)
 
A
(über 80)
  0,05
A
(höchstens 80)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(sterben)
B
(überleben)
 
A
(über 80)
  0,05
A
(höchstens 80)
  0,95
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "über 80" sind es 11% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,05 0,11 = 0,0055 berechnen.

  B
(sterben)
B
(überleben)
 
A
(über 80)
0,0055 0,05
A
(höchstens 80)
  0,95
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "höchstens 80" sind es 0.4% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,95 0,004 = 0,0038 berechnen.

  B
(sterben)
B
(überleben)
 
A
(über 80)
0,0055 0,05
A
(höchstens 80)
0,0038 0,95
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(sterben)
B
(überleben)
 
A
(über 80)
0,00550,04450,05
A
(höchstens 80)
0,00380,94620,95
 0,00930,99071

Der gesuchte Wert, die Wahrscheinlichkeit an der Krankheit zu sterben, ist also 0.0093 = 0.93%.

VFT Anwend. prozentual (schwerer)

Beispiel:

Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Insgesamt ist die App auf 32,3% aller Smartphones installiert. Auf den iPhones ist sie sogar auf 36% der Geräte installiert. Bei der Untersuchung waren 26% aller Smartphones iPhones. Wie groß ist der Prozentsatz der Smartphones, die keine iPhones sind und die App nicht installiert haben, unter allen Smartphones?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : iPhone

A : nicht iPhone, also anderes Smartphone

B : installiert

B : nicht installiert, also nicht installiert

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
  0,26
A
(anderes Smartphone)
   
 0,323  

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
  0,26
A
(anderes Smartphone)
  0,74
 0,3230,6771

Aus der Information von der Teilgruppe mit "iPhone" sind es 36% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,26 0,36 = 0,0936 berechnen.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,0936 0,26
A
(anderes Smartphone)
  0,74
 0,3230,6771

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,09360,16640,26
A
(anderes Smartphone)
0,22940,51060,74
 0,3230,6771

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz von nicht iPhone und ohne die App, ist also 0.5106 = 51.06%.

bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P B ( A ) .

  B B  
A 73163236
A 19126217
 264189453

Lösung einblenden

P B ( A ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für A unter der Vorraussetzung, dass B bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A weiter.)

= 264 453
= 189 453
=x
= 73 453
= 191 453
= 163 453
= 26 453

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
189 453 x = 26 453 = |:189 ⋅453
also
P B ( A ) = x = 26 189 ≈ 0,1376

bedingte Wahrsch. (nur Prozente)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P A ( B ) .

  B B  
A 0,090,040,13
A 0,430,440,87
 0,520,481

Lösung einblenden

P A ( B ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für B unter der Vorraussetzung, dass A bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob A gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von A - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für B weiter.)

=0,13
=0,87
=x
=0,09
=0,04
=0,43
=0,44

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( A ) P A ( B ) = P ( A B ) | : P ( A )

P A ( B ) = P( A B ) P( A )

oder hier im speziellen:
0,87x = 0,44 = |:0,87
also
P A ( B ) = x = 0,44 0,87 ≈ 0,5057

bedingte Wahrsch. Anwendungen

Beispiel:

Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind von den Anhängern seiner eigenen Partei, deren Anteil 37% der Bevölkerung ausmacht, 50% zufrieden. Bei denen, die aber keine Anhängern dessen Partei sind, liegen die Zustimmungswerte nur bei 15%. Wie viel Prozent derjenigen, die mit der Arbeit des Regierungschefs zufrieden sind, sind auch Anhänger seiner Partei?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : eigene Partei

A : nicht eigene Partei, also andere Partei

B : zufrieden

B : nicht zufrieden, also unzufrieden

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
  0,37
A
(andere Partei)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
  0,37
A
(andere Partei)
  0,63
   1
=0,37
eigene Partei
=0,63
andere Partei
=0,5
zufrieden
unzufrieden
=0,15
zufrieden
unzufrieden
=0,185

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "eigene Partei" sind es 50%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,37 0,5 = 0,185
berechnen.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,185 0,37
A
(andere Partei)
  0,63
   1
=0,37
eigene Partei
=0,63
andere Partei
=0,5
zufrieden
unzufrieden
=0,15
zufrieden
unzufrieden
=0,185
=0,0945

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "andere Partei" sind es 15%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,63 0,15 = 0,0945
berechnen.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,185 0,37
A
(andere Partei)
0,0945 0,63
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,1850,1850,37
A
(andere Partei)
0,09450,53550,63
 0,27950,72051

Gesucht ist ja "der Anteil der Parteianhänger unter allen. die mit dem Regierungschef zufrieden sind", also die Wahrscheinlichkeit für A (eigene Partei) unter der Vorraussetzung, dass B (zufrieden) bereits eingetroffen ist - kurz P B ( A ) .

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B (zufrieden) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B (zufrieden) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A (eigene Partei) weiter.)

=0,2795
zufrieden
=0,7205
unzufrieden
=x
eigene Partei
andere Partei
eigene Partei
andere Partei
=0,185
=0,0945
=0,185
=0,5355

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
0,2795x = 0,185 = |:0,2795
also
P B ( A ) = x = 0,185 0,2795 ≈ 0,6619


Der gesuchte Wert (der Anteil der Parteianhänger unter allen. die mit dem Regierungschef zufrieden sind) ist also 0,6619 = 66,19%.

Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen

Beispiel:

Nach einer Umfrage könnten sich 26% der Befragten vorstellen, sich als nächstes Auto ein Elektroauto zu kaufen. 43% davon seien auch schon einmal in einem E-Auto gefahren. 42,18% der Befragten meinten, dass sie noch nie in einem E-Auto gesessen sind und sich sicher auch nie eines kaufen werden. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "E-Auto kaufen" und "Erfahrung mit E-Auto" stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : E-Auto kaufen

A : nicht E-Auto kaufen, also nicht kaufen

B : E-Auto kennen

B : nicht E-Auto kennen, also nicht kennen

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(E-Auto kennen)
B
(nicht kennen)
 
A
(E-Auto kaufen)
  0,26
A
(nicht kaufen)
 0,4218 
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(E-Auto kennen)
B
(nicht kennen)
 
A
(E-Auto kaufen)
  0,26
A
(nicht kaufen)
0,31820,42180,74
   1
=0,26
E-Auto kaufen
=0,74
nicht kaufen
=0,43
E-Auto kennen
nicht kennen
E-Auto kennen
nicht kennen
=0,1118
=0,3182
=0,4218

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "E-Auto kaufen" sind es 43%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,26 0,43 = 0,1118
berechnen.

  B
(E-Auto kennen)
B
(nicht kennen)
 
A
(E-Auto kaufen)
0,1118 0,26
A
(nicht kaufen)
0,31820,42180,74
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(E-Auto kennen)
B
(nicht kennen)
 
A
(E-Auto kaufen)
0,11180,14820,26
A
(nicht kaufen)
0,31820,42180,74
 0,430,571

Jetzt können wir P(A)=0.26 mit P(B)=0.43 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.112, also:

P(A) ⋅ P(B) = 0.26 ⋅ 0.43 = 0.1118 ≈ 0.112 ≈ 0.112 = P(A ∩ B),
A und B sind also näherungsweise stochastisch unabhängig.

Stochast. Unabhängigkeit rückwärts

Beispiel:

Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A  0,407 
A    
 0,26 1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.26 + P( B ) = 1

Somit gilt: P( B ) = 1 - 0.26 = 0.74

  B B  
A  0,407 
A    
 0,260,741

Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch A und B ) stochastisch unabhängig sind, muss gelten:

P ( A ) P ( B ) = P ( A B )

also P ( A ) ⋅ 0.74 = 0.407 |: 0.74

somit gilt:

P ( A ) = 0.407 0.74 = 0.55

  B B  
A  0,4070,55
A    
 0,260,741

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

  B B  
A 0,1430,4070,55
A 0,1170,3330,45
 0,260,741

Stochast. Unabhängigkeit rw (Anwend.)

Beispiel:

An einer Schule müssen alle Schülerinnen und Schüler der 10-ten Klassen für ihre Kurswahl entweder das Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Schülern, die keine Mädchen sind, wählen 32 das Leistungsfach. Insgesamt gibt es 96 Mädchen in dieser Klassenstufe. Man kann davon ausgehen, dass die beiden Ereignisse Geschlecht und Mathewahlen stochastisch unabhängig sind. Wie viele der insgeamt 160 Wahlen entfielen auf das Basisfach Mathe?

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir die Werte, die man aus dem Text herauslesen kann in einer Vierfeldertafel ein:

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
  96
A
(Jungs)
32  
   160

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

96 + H( A ) = 160

Somit gilt: H( A ) = 160 - 96 = 64

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
  96
A
(Jungs)
32 64
   160

Wir erkennen nun, dass der Anteil von "Leistungsfach" in der Zeile "Jungs" P A ( B ) = 32 64 = 1 2 ist.

Weil die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind, muss dann in allen Zeilen der prozentuale Anteil von "Leistungsfach" auch 1 2 sein. Somit gilt auch P ( B ) = P A ( B ) = 1 2 .

Für den Wert in der Randzeile ergibt sich also 1 2 ⋅160 = 80

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
  96
A
(Jungs)
32 64
 80 160

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
484896
A
(Jungs)
323264
 8080160

Die Anzahl der Schüler:innen mit Basisfach ist somit 80

VFT Anwend. prozentual (mit Kombis)

Beispiel:

Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Bei der Untersuchung waren 22% aller Smartphones iPhones. Bei den iPhones ist die App auf 46% der Geräte installiert. 45,4% aller untersuchten Smartphones sind iPhones oder haben diese App installiert. Wie groß ist der Prozentsatz der Smartphones, die die App nicht installiert haben?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : iPhone

A : nicht iPhone, also anderes Smartphone

B : installiert

B : nicht installiert, also nicht installiert

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
  0,22
A
(anderes Smartphone)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
  0,22
A
(anderes Smartphone)
  0,78
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "iPhone" sind es 46% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,22 0,46 = 0,1012 berechnen.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,1012 0,22
A
(anderes Smartphone)
  0,78
   1

Die 45.4% von "iPhone oder installiert" verteilen sich ja auf die drei Felder von
P ( A B ) (iPhone und installiert),
P ( A B ) (iPhone und nicht installiert) und
P ( A B ) (anderes Smartphone und installiert),
also auf alle vier Felder außer P ( A B ) (anderes Smartphone und nicht installiert). Es gilt somit:

0,454 = P ( A B ) + P ( A B ) + P ( A B ) = 1 - P ( A B )

Damit gilt: P ( A B ) = 1 - 0,454 = 0.546

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,1012 0,22
A
(anderes Smartphone)
 0,5460,78
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,10120,11880,22
A
(anderes Smartphone)
0,2340,5460,78
 0,33520,66481

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Smartphones ohne die App, ist also 0.6648 = 66.48%.