Aufgabenbeispiele von Vierfeldertafel

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Mengen-Operationen elementar

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {1; 3; 9; 10}. Bestimme B .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {1; 3; 9; 10}.

Die Menge B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge B={1; 3; 9; 10} sind,
also B = {2; 4; 5; 6; 7; 8}

Mengen-Operationen (allg.)

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 3; 4; 5; 6; 9; 10} und B = {1; 6; 7; 9}. Bestimme A B .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 3; 4; 5; 6; 9; 10} und B = {1; 6; 7; 9}.

Um die Menge A B bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge A bestimmen.

Die Menge A umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={1; 3; 4; 5; 6; 9; 10} sind,
also A = {2; 7; 8}

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die in der Menge A ={2; 7; 8} oder in der Menge B={1; 6; 7; 9} sind,
also A B = {1; 2; 6; 7; 8; 9}

Mengen-Operationen Anwendungen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 7 beschriftet. Bestimme alle Kugeln deren Zahl nicht durch 4 teilbar ist, aber mindestens die 7 ist.

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} und die Mengen A = {4} und B = {7}.

Um die Menge A B bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge A bestimmen.

Die Menge A umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, die nicht in der Menge A={4} sind,
also A = {1; 2; 3; 5; 6; 7}

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, die sowohl in der Menge A ={1; 2; 3; 5; 6; 7}, als auch in der Menge B={7} sind,
also A B = {7}

Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit

Beispiel:

In einer Urne sind 14 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 14 beschriftet. Es wird eine Kugel zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl dieser Kugel durch 5 teilbar ist oder dass die Zahl dieser Kugel höchstens die 3 ist.

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14} und die Mengen A = {5; 10} und B = {1; 2; 3}.

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14}, die in der Menge A={5; 10} oder in der Menge B={1; 2; 3} sind,
also A B = {1; 2; 3; 5; 10}

Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:

P( A B ) = | A B | |S| = 5 14

Vierfeldertafel mit Anzahlen

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

124 + 33 = H(A)

Somit gilt: H(A) = 124 + 33 = 157

  B B  
A 12433157
A  95 
 198  

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

124 + H( A ∩ B) = 198

Somit gilt: H( A ∩ B) = 198 - 124 = 74

  B B  
A 12433157
A 7495 
 198  

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

33 + 95 = H( B )

Somit gilt: H( B ) = 33 + 95 = 128

  B B  
A 12433157
A 7495 
 198128 

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

74 + 95 = H( A )

Somit gilt: H( A ) = 74 + 95 = 169

  B B  
A 12433157
A 7495169
 198128 

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

198 + 128 = H(B + B )

Somit gilt: H(B + B ) = 198 + 128 = 326

  B B  
A 12433157
A 7495169
 198128326

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( A ) = P(B)+P( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A  0,290,36
A  0,14 
   1

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A ∩ B) + 0.29 = 0.36

Somit gilt: P(A ∩ B) = 0.36 - 0.29 = 0.07

  B B  
A 0,070,290,36
A  0,14 
   1

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.29 + 0.14 = P( B )

Somit gilt: P( B ) = 0.29 + 0.14 = 0.43

  B B  
A 0,070,290,36
A  0,14 
  0,431

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.36 + P( A ) = 1

Somit gilt: P( A ) = 1 - 0.36 = 0.64

  B B  
A 0,070,290,36
A  0,140,64
  0,431

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P( A ∩ B) + 0.14 = 0.64

Somit gilt: P( A ∩ B) = 0.64 - 0.14 = 0.5

  B B  
A 0,070,290,36
A 0,50,140,64
  0,431

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(B) + 0.43 = 1

Somit gilt: P(B) = 1 - 0.43 = 0.57

  B B  
A 0,070,290,36
A 0,50,140,64
 0,570,431

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

VFT Anwend. Häufigkeiten

Beispiel:

Alle SchülerInnen eines Gymnasiums kommen entweder mit dem Fahrrad bzw. zu Fuß oder aber mit dem Bus oder einem Auto zur Schule. Von denen, die nicht weiter als 2 km von der Schule entfernt wohnen fahren trotzdem 231 mit dem Bus oder Auto. Von den 550 SchülerInnen, die weiter als 2 km von der Schule entfernt wohnen, kommen aber immerhin 61 mit dem Fahrrad oder zu Fuß. Insgesamt fahren 229 mit dem Fahrrad oder gehen zu Fuß. Wie viele SchülerInnen hat die Schule ?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : nah

A : nicht nah, also entfernt

B : Fahrrad/Fuß

B : nicht Fahrrad/Fuß, also Bus/Auto

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Fahrrad/Fuß)
B
(Bus/Auto)
 
A
(nah)
 231 
A
(entfernt)
61 550
 229  

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

  B
(Fahrrad/Fuß)
B
(Bus/Auto)
 
A
(nah)
168231399
A
(entfernt)
61489550
 229720949

Der gesuchte Wert, Anzahl der Schüler der Schule, ist also 949.

VFT Anwend. prozentual (leichter)

Beispiel:

In einer groß angelegten Umfrage waren 50% der Befragten weiblich. Während 27% der männlichen Befragten angaben, Fußballfans zu sein, waren das bei den weiblichen Befragten nur 16%. Wie viel Prozent der Fußballfans sind weiblich?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : weiblich

A : nicht weiblich, also männlich

B : Fußballfan

B : nicht Fußballfan, also kein Fan

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
  0,5
A
(männlich)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
  0,5
A
(männlich)
  0,5
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "weiblich" sind es 16% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,5 0,16 = 0,08 berechnen.

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
0,08 0,5
A
(männlich)
  0,5
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "männlich" sind es 27% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,5 0,27 = 0,135 berechnen.

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
0,08 0,5
A
(männlich)
0,135 0,5
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
0,080,420,5
A
(männlich)
0,1350,3650,5
 0,2150,7851

Gesucht ist ja, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, also P B ( A ) = P( B A ) P( B ) = 0.08 0.215


Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, ist also 0.3721 = 37.21%.

VFT Anwend. prozentual (schwerer)

Beispiel:

Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Insgesamt ist die App auf 30,4% aller Smartphones installiert. 23,68% der installierten Apps sind auf einem iPhone. 56,8% aller Smartphones waren keine iPhones und hatten die App nicht installiert. Als Smartphones gibt es iPhones und Nicht-iPhones. Wie groß ist der Prozentsatz der iPhones unter allen Smartphones?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : iPhone

A : nicht iPhone, also anderes Smartphone

B : installiert

B : nicht installiert, also nicht installiert

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
   
A
(anderes Smartphone)
 0,568 
 0,304  

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
 0,128 
A
(anderes Smartphone)
 0,568 
 0,3040,6961

Aus der Information von der Teilgruppe mit "installiert" sind es 23.68% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( B A ) = 0,304 0,2368 = 0,072 berechnen.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,0720,128 
A
(anderes Smartphone)
 0,568 
 0,3040,6961

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,0720,1280,2
A
(anderes Smartphone)
0,2320,5680,8
 0,3040,6961

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz iPhones unter allen Smartphones, ist also 0.2 = 20%.

bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P A ( B ) .

  B B  
A 174663
A 414990
 5895153

Lösung einblenden

P A ( B ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für B unter der Vorraussetzung, dass A bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob A gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von A - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für B weiter.)

= 63 153
= 90 153
=x
= 17 153
= 46 153
= 41 153
= 49 153

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( A ) P A ( B ) = P ( A B ) | : P ( A )

P A ( B ) = P( A B ) P( A )

oder hier im speziellen:
90 153 x = 49 153 = |:90 ⋅153
also
P A ( B ) = x = 49 90 ≈ 0,5444

bedingte Wahrsch. (nur Prozente)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P A ( B ) .

  B B  
A 0,360,060,42
A 0,520,060,58
 0,880,121

Lösung einblenden

P A ( B ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für B unter der Vorraussetzung, dass A bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob A gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von A - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für B weiter.)

=0,42
=0,58
=x
=0,36
=0,06
=0,52
=0,06

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( A ) P A ( B ) = P ( A B ) | : P ( A )

P A ( B ) = P( A B ) P( A )

oder hier im speziellen:
0,42x = 0,36 = |:0,42
also
P A ( B ) = x = 0,36 0,42 ≈ 0,8571

bedingte Wahrsch. Anwendungen

Beispiel:

Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Insgesamt ist die App auf 30,68% aller Smartphones installiert. Auf den iPhones ist sie sogar auf 36% der Geräte installiert. Bei der Untersuchung waren 24% aller Smartphones iPhones. Ein Bekannter erzählt, dass er die App installiert hat. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass dieser ein iPhones hat?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : iPhone

A : nicht iPhone, also anderes Smartphone

B : installiert

B : nicht installiert, also nicht installiert

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
  0,24
A
(anderes Smartphone)
   
 0,3068  

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
  0,24
A
(anderes Smartphone)
  0,76
 0,30680,69321
=0,24
iPhone
=0,76
anderes Smartphone
=0,36
installiert
nicht installiert
installiert
nicht installiert
=0,0864

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "iPhone" sind es 36%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,24 0,36 = 0,0864
berechnen.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,0864 0,24
A
(anderes Smartphone)
  0,76
 0,30680,69321

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,08640,15360,24
A
(anderes Smartphone)
0,22040,53960,76
 0,30680,69321

Gesucht ist ja "die Wahrscheinlichkeit. dass ein Handy mit der App ein iPhone ist", also die Wahrscheinlichkeit für A (iPhone) unter der Vorraussetzung, dass B (installiert) bereits eingetroffen ist - kurz P B ( A ) .

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B (installiert) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B (installiert) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A (iPhone) weiter.)

=0,3068
installiert
=0,6932
nicht installiert
=x
iPhone
anderes Smartphone
iPhone
anderes Smartphone
=0,0864
=0,2204
=0,1536
=0,5396

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
0,3068x = 0,0864 = |:0,3068
also
P B ( A ) = x = 0,0864 0,3068 ≈ 0,2816


Der gesuchte Wert (die Wahrscheinlichkeit. dass ein Handy mit der App ein iPhone ist) ist also 0,2816 = 28,16%.

Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen

Beispiel:

Ein Fahrradhändler hat in einem Jahr 2600 Fahrräder verkauft. Davon waren 517 Mountainbikes ohne zusätzlichen Elektroantrieb. Insgesamt wurden 1274 E-Bikes verkauft. Von den Rädern, die kein Mountainbike sind, wurden insgesamt (E-Bike und andere zusammen) 1586 Stück verkauft. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "Mountainbike" und "E-Bike" stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : E-Bike

A : nicht E-Bike, also kein E-Bike

B : Mountainbike

B : nicht Mountainbike, also kein Mountainbike

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Mountainbike)
B
(kein Mountainbike)
 
A
(E-Bike)
  1274
A
(kein E-Bike)
517  
  15862600

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

  B
(Mountainbike)
B
(kein Mountainbike)
 
A
(E-Bike)
4977771274
A
(kein E-Bike)
5178091326
 101415862600

Um zu überprüfen, ob die beiden Ereignisse A (E-Bike) und B (Mountainbike) stochatisch unabhängig sind, müssen wir die absoluten Zahlen zuerst in relative Häufigkeiten umwandeln. Dazu teilen wir einfach alle Zellen durch den Gesamtwert in der rechten unteren Zelle: 2600. und runden diese auf drei Stellen hinter dem Komma. Wir erhalten so erhalten:

  B B  
A 0,1910,2990,49
A 0,1990,3110,51
 0,390,611

Jetzt können wir P(A)=0.49 mit P(B)=0.39 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.191, also:

P(A) ⋅ P(B) = 0.49 ⋅ 0.39 = 0.1911 ≈ 0.191 ≈ 0.191 = P(A ∩ B),
A und B sind also näherungsweise stochastisch unabhängig.

Stochast. Unabhängigkeit rückwärts

Beispiel:

Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A    
A 0,1917  
  0,291

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(B) + 0.29 = 1

Somit gilt: P(B) = 1 - 0.29 = 0.71

  B B  
A    
A 0,1917  
 0,710,291

Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch A und B ) stochastisch unabhängig sind, muss gelten:

P ( A ) P ( B ) = P ( A B )

also P ( A ) ⋅ 0.71 = 0.1917 |: 0.71

somit gilt:

P ( A ) = 0.1917 0.71 = 0.27

  B B  
A    
A 0,1917 0,27
 0,710,291

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

  B B  
A 0,51830,21170,73
A 0,19170,07830,27
 0,710,291

Stochast. Unabhängigkeit rw (Anwend.)

Beispiel:

An einer Schule müssen alle Schülerinnen und Schüler der 10-ten Klassen für ihre Kurswahl entweder das Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Schülern, die keine Mädchen sind, wählen 45 das Leistungsfach. Insgesamt gibt es 72 Mädchen in dieser Klassenstufe. Man kann davon ausgehen, dass die beiden Ereignisse Geschlecht und Mathewahlen stochastisch unabhängig sind. Wie viele der insgeamt 144 Wahlen entfielen auf das Basisfach Mathe?

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir die Werte, die man aus dem Text herauslesen kann in einer Vierfeldertafel ein:

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
  72
A
(Jungs)
45  
   144

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

72 + H( A ) = 144

Somit gilt: H( A ) = 144 - 72 = 72

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
  72
A
(Jungs)
45 72
   144

Wir erkennen nun, dass der Anteil von "Leistungsfach" in der Zeile "Jungs" P A ( B ) = 45 72 = 5 8 ist.

Weil die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind, muss dann in allen Zeilen der prozentuale Anteil von "Leistungsfach" auch 5 8 sein. Somit gilt auch P ( B ) = P A ( B ) = 5 8 .

Für den Wert in der Randzeile ergibt sich also 5 8 ⋅144 = 90

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
  72
A
(Jungs)
45 72
 90 144

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
452772
A
(Jungs)
452772
 9054144

Die Anzahl der Schüler:innen mit Basisfach ist somit 54

VFT Anwend. prozentual (mit Kombis)

Beispiel:

In einer groß angelegten Umfrage sind 53,6% der Befragten weiblich. 6,44% dieser weiblichen Befragten sind Fußballfans. 88,45% der Befragten sind keine Fußballfans oder weiblich. Wie hoch ist der Prozentsatz unter allen Befragten, die keine Fußballfans sind?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : Fußballfan

A : nicht Fußballfan, also kein Fan

B : weiblich

B : nicht weiblich, also männlich

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
   
A
(kein Fan)
   
 0,536  

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
   
A
(kein Fan)
   
 0,5360,4641

Aus der Information von der Teilgruppe mit "weiblich" sind es 6.44% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( B A ) = 0,536 0,0644 = 0,0345 berechnen.

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,0345  
A
(kein Fan)
   
 0,5360,4641

Die 88.45% von "kein Fan oder weiblich" verteilen sich ja auf die drei Felder von
P ( A B ) (Fußballfan und weiblich),
P ( A B ) (kein Fan und weiblich) und
P ( A B ) (kein Fan und männlich),
also auf alle vier Felder außer P ( A B ) (Fußballfan und männlich). Es gilt somit:

0,8845 = P ( A B ) + P ( A B ) + P ( A B ) = 1 - P ( A B )

Damit gilt: P ( A B ) = 1 - 0,8845 = 0.1155

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,03450,1155 
A
(kein Fan)
   
 0,5360,4641

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,03450,11550,15
A
(kein Fan)
0,50150,34850,85
 0,5360,4641

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Nicht-Fußballfans, ist also 0.85 = 85%.