Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

195° sind aber nur ein $\frac{\mathrm{195°}}{\mathrm{360°}}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 195° auch nur $\frac{\mathrm{195°}}{\mathrm{360°}}$ ⋅ 2π = $\frac{\mathrm{195}}{\mathrm{180}}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{\mathrm{195°}}{\mathrm{180°}}$⋅π = $\frac{39}{36}$⋅π = $\frac{13}{12}$⋅π

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{5}{3}$π entspricht also dem Gradmaß $\frac{5}{3}$⋅180° = 300°

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

1.5 = $\frac{\mathrm{1.5}}{\pi }$⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{\mathrm{1.5}}{\pi }$⋅180° ≈ 85.9°

$\frac{3}{2}\pi$ bedeutet $\frac{3}{4}$ eines Kreises, also $\frac{3}{4}$ von 360° = 270°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( $\frac{3}{2}\pi$) bzw. für sin(270°) ablesen:

sin( $\frac{3}{2}\pi$) bzw. sin(270°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( $\frac{3}{2}\pi$°) ≈ -1

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $\frac{31}{12}$π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= $\frac{24}{12}$π) vom gegebenen Winkel: $\frac{31}{12}$π - $\frac{24}{12}$π =$\frac{7}{12}$π.

Somit gilt x₁ = $\frac{7}{12}$π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Kosinuns-Werten symmetrisch bezüglich der x-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = - x₁ berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $-\frac{7}{12}$π einfach $-\frac{7}{12}$π + 2 π = $\frac{17}{12}$π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{7}{12}$π und x₂ = $\frac{17}{12}$π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $\frac{31}{12}$π als $\frac{31}{12}$⋅ 180° = 465° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 105°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 105° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -105°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -105° + 360° = 255°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{7}{12}$π und x₂ = $\frac{17}{12}$π

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$\cos \left(x\right)$

=

$-1$

|cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$x$

=

$\pi$

L={ $\pi$}