Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

285° sind aber nur ein $\frac{\mathrm{285°}}{\mathrm{360°}}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 285° auch nur $\frac{\mathrm{285°}}{\mathrm{360°}}$ ⋅ 2π = $\frac{\mathrm{285}}{\mathrm{180}}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{\mathrm{285°}}{\mathrm{180°}}$⋅π = $\frac{57}{36}$⋅π = $\frac{19}{12}$⋅π

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{3}{2}$π entspricht also dem Gradmaß $\frac{3}{2}$⋅180° = 270°

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

2 = $\frac{2}{\pi }$⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{2}{\pi }$⋅180° ≈ 114.6°

$-2\pi$ bedeutet $-1$ eines Kreises, also $-1$ von 360° = -360°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( $-2\pi$) bzw. für cos(-360°) ablesen:

cos $-2\pi$) bzw. cos(-360°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( $-2\pi$°) ≈ 1

canvas

Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $-\frac{11}{6}$π. Dazu addieren wir einfach 2π (= $\frac{12}{6}$π) zum gegebenen Winkel: $-\frac{11}{6}$π + $\frac{12}{6}$π =$\frac{1}{6}$π.

Somit gilt x₁ = $\frac{1}{6}$π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Kosinuns-Werten symmetrisch bezüglich der x-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = - x₁ berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $-\frac{1}{6}$π einfach $-\frac{1}{6}$π + 2 π = $\frac{11}{6}$π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{1}{6}$π und x₂ = $\frac{11}{6}$π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $-\frac{11}{6}$π als $-\frac{11}{6}$⋅ 180° = -330° ins Gradmaß um und addieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 30°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 30° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -30°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -30° + 360° = 330°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{1}{6}$π und x₂ = $\frac{11}{6}$π

canvas

$\sin \left(x\right)$

=

$-\mathrm{0,05}$

|sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.05002085680577

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\mathrm{6,233}$

1. Fall:

x1

=

$\mathrm{6,233}$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(x\right)$ = $-\mathrm{0,05}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.05 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{6,233}$=-3.0914 bzw. bei -3.0914+2π= $\mathrm{3,192}$ liegen muss.

2. Fall:

x2

=

$\mathrm{3,192}$

L={ $\mathrm{3,192}$; $\mathrm{6,233}$}