Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

315° sind aber nur ein $\frac{\mathrm{315°}}{\mathrm{360°}}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 315° auch nur $\frac{\mathrm{315°}}{\mathrm{360°}}$ ⋅ 2π = $\frac{\mathrm{315}}{\mathrm{180}}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{\mathrm{315°}}{\mathrm{180°}}$⋅π = $\frac{63}{36}$⋅π = $\frac{7}{4}$⋅π

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$2$π entspricht also dem Gradmaß $2$⋅180° = 360°

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

3.8 = $\frac{\mathrm{3.8}}{\pi }$⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{\mathrm{3.8}}{\pi }$⋅180° ≈ 217.7°

$\pi$ bedeutet $\frac{1}{2}$ eines Kreises, also $\frac{1}{2}$ von 360° = 180°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( $\pi$) bzw. für cos(180°) ablesen:

cos $\pi$) bzw. cos(180°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( $\pi$°) ≈ -1

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $\frac{55}{18}$π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= $\frac{36}{18}$π) vom gegebenen Winkel: $\frac{55}{18}$π - $\frac{36}{18}$π =$\frac{19}{18}$π.

Somit gilt x₁ = $\frac{19}{18}$π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Kosinuns-Werten symmetrisch bezüglich der x-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = - x₁ berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $-\frac{19}{18}$π einfach $-\frac{19}{18}$π + 2 π = $\frac{17}{18}$π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{19}{18}$π und x₂ = $\frac{17}{18}$π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $\frac{55}{18}$π als $\frac{55}{18}$⋅ 180° = 550° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 190°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 190° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -190°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -190° + 360° = 170°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{19}{18}$π und x₂ = $\frac{17}{18}$π

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$\cos \left(x\right)$

=

$\mathrm{0,8}$

|cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

1. Fall:

x1

=

$\mathrm{0,644}$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(x\right)$ = $\mathrm{0,8}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{0,644}$
bzw. bei - $\mathrm{0,644}$+2π= $\mathrm{5,64}$ liegen muss.

2. Fall:

x2

=

$\mathrm{5,64}$

L={ $\mathrm{0,644}$; $\mathrm{5,64}$}