Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

15° sind aber nur ein $\frac{\mathrm{15°}}{\mathrm{360°}}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 15° auch nur $\frac{\mathrm{15°}}{\mathrm{360°}}$ ⋅ 2π = $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{180}}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{\mathrm{15°}}{\mathrm{180°}}$⋅π = $\frac{3}{36}$⋅π = $\frac{1}{12}$⋅π

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$1$π entspricht also dem Gradmaß $1$⋅180° = 180°

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

0.3 = $\frac{\mathrm{0.3}}{\pi }$⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{\mathrm{0.3}}{\pi }$⋅180° ≈ 17.2°

$\frac{2}{3}\pi$ bedeutet $\frac{1}{3}$ eines Kreises, also $\frac{1}{3}$ von 360° = 120°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( $\frac{2}{3}\pi$) bzw. für sin(120°) ablesen:

sin( $\frac{2}{3}\pi$) bzw. sin(120°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( $\frac{2}{3}\pi$°) ≈ 0.87

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $-\frac{3}{4}$π. Dazu addieren wir einfach 2π (= $\frac{8}{4}$π) zum gegebenen Winkel: $-\frac{3}{4}$π + $\frac{8}{4}$π =$\frac{5}{4}$π.

Somit gilt x₁ = $\frac{5}{4}$π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Kosinuns-Werten symmetrisch bezüglich der x-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = - x₁ berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $-\frac{5}{4}$π einfach $-\frac{5}{4}$π + 2 π = $\frac{3}{4}$π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{5}{4}$π und x₂ = $\frac{3}{4}$π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $-\frac{3}{4}$π als $-\frac{3}{4}$⋅ 180° = -135° ins Gradmaß um und addieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 225°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 225° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -225°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -225° + 360° = 135°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{5}{4}$π und x₂ = $\frac{3}{4}$π

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$\cos \left(x\right)$

=

$-\mathrm{0,85}$

|cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.5867816206097

1. Fall:

x1

=

$\mathrm{2,587}$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(x\right)$ = $-\mathrm{0,85}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.85 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{2,587}$
bzw. bei - $\mathrm{2,587}$+2π= $\mathrm{3,696}$ liegen muss.

2. Fall:

x2

=

$\mathrm{3,696}$

L={ $\mathrm{2,587}$; $\mathrm{3,696}$}