Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

15° sind aber nur ein $\frac{\mathrm{15°}}{\mathrm{360°}}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 15° auch nur $\frac{\mathrm{15°}}{\mathrm{360°}}$ ⋅ 2π = $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{180}}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{\mathrm{15°}}{\mathrm{180°}}$⋅π = $\frac{3}{36}$⋅π = $\frac{1}{12}$⋅π

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{19}{6}$π entspricht also dem Gradmaß $\frac{19}{6}$⋅180° = 570°

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

1.9 = $\frac{\mathrm{1.9}}{\pi }$⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{\mathrm{1.9}}{\pi }$⋅180° ≈ 108.9°

$-\frac{3}{2}\pi$ bedeutet $-\frac{3}{4}$ eines Kreises, also $-\frac{3}{4}$ von 360° = -270°.

Bei negativen Winkel muss man einfach in die andere Richtung, also im Urzeigersinn, im Einheitskreis vorgehen. Dabei landet man dann natürlich wieder an der gleichen Stelle wie bei -270° + 360° = 90°

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( $-\frac{3}{2}\pi$) bzw. für cos(-270°) ablesen:

cos $-\frac{3}{2}\pi$) bzw. cos(-270°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( $-\frac{3}{2}\pi$°) ≈ -0

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $\frac{23}{6}$π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= $\frac{12}{6}$π) vom gegebenen Winkel: $\frac{23}{6}$π - $\frac{12}{6}$π =$\frac{11}{6}$π.

Somit gilt x₁ = $\frac{11}{6}$π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Kosinuns-Werten symmetrisch bezüglich der x-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = - x₁ berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $-\frac{11}{6}$π einfach $-\frac{11}{6}$π + 2 π = $\frac{1}{6}$π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{11}{6}$π und x₂ = $\frac{1}{6}$π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $\frac{23}{6}$π als $\frac{23}{6}$⋅ 180° = 690° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 330°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 330° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -330°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -330° + 360° = 30°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{11}{6}$π und x₂ = $\frac{1}{6}$π

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$\sin \left(x\right)$

=

$-\mathrm{0,5}$

|sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.5235987755983

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\frac{11}{6}\pi$

1. Fall:

x1

=

$\frac{11}{6}\pi$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(x\right)$ = $-\mathrm{0,5}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{11}{6}\pi$=-2.618 bzw. bei -2.618+2π= $\frac{7}{6}\pi$ liegen muss.

2. Fall:

x2

=

$\frac{7}{6}\pi$

L={ $\frac{7}{6}\pi$; $\frac{11}{6}\pi$}