Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

270° sind aber nur ein $\frac{\mathrm{270°}}{\mathrm{360°}}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 270° auch nur $\frac{\mathrm{270°}}{\mathrm{360°}}$ ⋅ 2π = $\frac{\mathrm{270}}{\mathrm{180}}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{\mathrm{270°}}{\mathrm{180°}}$⋅π = $\frac{9}{6}$⋅π = $\frac{3}{2}$⋅π

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{10}{3}$π entspricht also dem Gradmaß $\frac{10}{3}$⋅180° = 600°

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

1 = $\frac{1}{\pi }$⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{1}{\pi }$⋅180° ≈ 57.3°

$-\frac{1}{10}\pi$ bedeutet $-\frac{1}{20}$ eines Kreises, also $-\frac{1}{20}$ von 360° = -18°.

Bei negativen Winkel muss man einfach in die andere Richtung, also im Urzeigersinn, im Einheitskreis vorgehen. Dabei landet man dann natürlich wieder an der gleichen Stelle wie bei -18° + 360° = 342°

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( $-\frac{1}{10}\pi$) bzw. für sin(-18°) ablesen:

sin( $-\frac{1}{10}\pi$) bzw. sin(-18°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( $-\frac{1}{10}\pi$°) ≈ -0.31

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $\frac{37}{12}$π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= $\frac{24}{12}$π) vom gegebenen Winkel: $\frac{37}{12}$π - $\frac{24}{12}$π =$\frac{13}{12}$π.

Somit gilt x₁ = $\frac{13}{12}$π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Kosinuns-Werten symmetrisch bezüglich der x-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = - x₁ berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $-\frac{13}{12}$π einfach $-\frac{13}{12}$π + 2 π = $\frac{11}{12}$π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{13}{12}$π und x₂ = $\frac{11}{12}$π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $\frac{37}{12}$π als $\frac{37}{12}$⋅ 180° = 555° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 195°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 195° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -195°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -195° + 360° = 165°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{13}{12}$π und x₂ = $\frac{11}{12}$π

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$\cos \left(x\right)$

=

$\mathrm{0,5}$

|cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966

1. Fall:

x1

=

$\frac{1}{3}\pi$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(x\right)$ = $\mathrm{0,5}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{3}\pi$
bzw. bei - $\frac{1}{3}\pi$+2π= $\frac{5}{3}\pi$ liegen muss.

2. Fall:

x2

=

$\frac{5}{3}\pi$

L={ $\frac{1}{3}\pi$; $\frac{5}{3}\pi$}