Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

30° sind aber nur ein $\frac{\mathrm{30°}}{\mathrm{360°}}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 30° auch nur $\frac{\mathrm{30°}}{\mathrm{360°}}$ ⋅ 2π = $\frac{\mathrm{30}}{\mathrm{180}}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{\mathrm{30°}}{\mathrm{180°}}$⋅π = $\frac{1}{6}$⋅π

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{7}{6}$π entspricht also dem Gradmaß $\frac{7}{6}$⋅180° = 210°

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

0.7 = $\frac{\mathrm{0.7}}{\pi }$⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{\mathrm{0.7}}{\pi }$⋅180° ≈ 40.1°

$\frac{5}{2}\pi$ bedeutet $\frac{5}{4}$ eines Kreises, also $\frac{5}{4}$ von 360° = 450°.

Da dieser Winkel > 2π ist, kann man diesen einfach als 450° = 90° + 360° schreiben kann. Das bedeutet, dass man bei 450° wieder an der gleichen Stelle im Einheitskreis ist wie bei 90°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( $\frac{5}{2}\pi$) bzw. für sin(450°) ablesen:

sin( $\frac{5}{2}\pi$) bzw. sin(450°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( $\frac{5}{2}\pi$°) ≈ 1

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $-\frac{7}{6}$π. Dazu addieren wir einfach 2π (= $\frac{12}{6}$π) zum gegebenen Winkel: $-\frac{7}{6}$π + $\frac{12}{6}$π =$\frac{5}{6}$π.

Somit gilt x₁ = $\frac{5}{6}$π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Kosinuns-Werten symmetrisch bezüglich der x-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = - x₁ berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $-\frac{5}{6}$π einfach $-\frac{5}{6}$π + 2 π = $\frac{7}{6}$π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{5}{6}$π und x₂ = $\frac{7}{6}$π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $-\frac{7}{6}$π als $-\frac{7}{6}$⋅ 180° = -210° ins Gradmaß um und addieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 150°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 150° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -150°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -150° + 360° = 210°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{5}{6}$π und x₂ = $\frac{7}{6}$π

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$\sin \left(x\right)$

=

$\mathrm{0,7}$

|sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.77539749661075

1. Fall:

x1

=

$\mathrm{0,775}$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(x\right)$ = $\mathrm{0,7}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,775}$= $\mathrm{2,366}$ liegen muss.

2. Fall:

x2

=

$\mathrm{2,366}$

L={ $\mathrm{0,775}$; $\mathrm{2,366}$}