Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

135° sind aber nur ein $\frac{\mathrm{135°}}{\mathrm{360°}}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 135° auch nur $\frac{\mathrm{135°}}{\mathrm{360°}}$ ⋅ 2π = $\frac{\mathrm{135}}{\mathrm{180}}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{\mathrm{135°}}{\mathrm{180°}}$⋅π = $\frac{27}{36}$⋅π = $\frac{3}{4}$⋅π

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$3$π entspricht also dem Gradmaß $3$⋅180° = 540°

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

1.4 = $\frac{\mathrm{1.4}}{\pi }$⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{\mathrm{1.4}}{\pi }$⋅180° ≈ 80.2°

$-\frac{1}{4}\pi$ bedeutet $-\frac{1}{8}$ eines Kreises, also $-\frac{1}{8}$ von 360° = -45°.

Bei negativen Winkel muss man einfach in die andere Richtung, also im Urzeigersinn, im Einheitskreis vorgehen. Dabei landet man dann natürlich wieder an der gleichen Stelle wie bei -45° + 360° = 315°

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( $-\frac{1}{4}\pi$) bzw. für cos(-45°) ablesen:

cos $-\frac{1}{4}\pi$) bzw. cos(-45°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( $-\frac{1}{4}\pi$°) ≈ 0.71

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $-\frac{5}{4}$π. Dazu addieren wir einfach 2π (= $\frac{8}{4}$π) zum gegebenen Winkel: $-\frac{5}{4}$π + $\frac{8}{4}$π =$\frac{3}{4}$π.

Somit gilt x₁ = $\frac{3}{4}$π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Kosinuns-Werten symmetrisch bezüglich der x-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = - x₁ berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $-\frac{3}{4}$π einfach $-\frac{3}{4}$π + 2 π = $\frac{5}{4}$π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{3}{4}$π und x₂ = $\frac{5}{4}$π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $-\frac{5}{4}$π als $-\frac{5}{4}$⋅ 180° = -225° ins Gradmaß um und addieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 135°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 135° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -135°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -135° + 360° = 225°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{3}{4}$π und x₂ = $\frac{5}{4}$π

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$\sin \left(x\right)$

=

$-\mathrm{0,85}$

|sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -1.0159852938148

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\mathrm{5,267}$

1. Fall:

x1

=

$\mathrm{5,267}$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(x\right)$ = $-\mathrm{0,85}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.85 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{5,267}$=-2.1254 bzw. bei -2.1254+2π= $\mathrm{4,158}$ liegen muss.

2. Fall:

x2

=

$\mathrm{4,158}$

L={ $\mathrm{4,158}$; $\mathrm{5,267}$}