Nach dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis gilt immer:

(sin(α))² + (cos(α))² = 1

Umgestellt nach cos(α):

(cos(α))² = 1 - (sin(α))²

= 1 - ${\left(\frac{3}{5}\right)}^2$

= 1 - $\frac{9}{25}$

= $\frac{16}{25}$

Damit glit für cos(α):

cos(α) = $\frac{4}{5}$ = 0.8

Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(35°) und cos(35°) ablesen:

sin(35°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin(35°) ≈ 0.57

Am Einheitskreis kann man den Wert für α ablesen:

cos(α) = 0.45 bedeutet, dass der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, 0.45 sein muss. Wenn man den den Winkel auf 63.3° setzt, so sieht man, dass der cos(63.3)°, also die Länge der orangen Strecke eben ≈ 0.45 ist.

cos(63.3°) ≈ 0.45

Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(53°) und cos(53°) ablesen:

sin(53°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die (vorzeichenbehaftete) Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin(53°) ≈ 0.8

Am Einheitskreis kann man die beiden Werte für α ablesen:

cos(α) = -0.25 bedeutet, dass der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, -0.25 sein muss. In der Skizze sieht man, dass dies sowohl für α₁ = 104.5° als auch für α₂ = 360° - α₁ = 255.5° der Fall ist, weil in beiden Fällen die Länge der orangen Strecke eben ≈ -0.25 ist.

cos(104.5°) ≈ -0.25 und cos(255.5°) ≈ -0.25

Da ja ein (Einheits-)Kreis 360° als Gesamtwinkel hat, gelangt man nach weiterer Drehung um +360° oder -360° wieder genau zum ursprünglichen Punkt auf dem Einheitskreis (der somit natürlich wieder die gleichen Sinus- und Kosinuswerte besitzt).

Und da unser Ausgangswinkel -40° < 0° ist, müssen wir eben so lange 360° addieren, bis unser Winkel zwischen 0 und 360° ist:

α = -40 + 360° = 320°

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 190° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -190°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

α = -190° + 360° = 170°

So erhalten wir die Funktion f(α) = 130 ⋅ sin(α).

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 16 ms

Um nun die gesuchte Höhe zur gegebenen Zeit zu berechnen, müssen wir zuerst den Winkel bestimmen, der nach 16 ms erreicht wurde. Weil ja immer gleich viel Winkel pro Zeit 'zurückgelegt' wird, genügt hierfür ein Dreisatz :

40 ms ≙ 360°
1 ms ≙ $\frac{\mathrm{360}}{\mathrm{40}}$ ° = 9°
16 ms ≙ 9 ⋅ 16° ≈ 144°

sin(144°) ≈ 0.59, entsprechend ist 130 ⋅ sin(144°) ≈ 76.41

Also ist nach 16 ms der y-Wert 76,41 V.

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 52 V

Wir können nun nach dem Winkel suchen, bei dem f(α) = 130 ⋅ sin(α) = 52 gilt.

130 ⋅ sin(α) = 52 |: 130

sin(α) = 0.4 | arcsin(⋅) (WTR: sin^-1)

α ≈ 23.6°

Jetzt müssen wir den Dreisatz eben anders rum wie oben machen:

360° ≙ 40 ms
1 ° ≙ $\frac{\mathrm{40}}{\mathrm{360}}$ ms = $\frac{1}{9}$ ms
23.6° ≙ $\frac{1}{9}$ ⋅ 23.6 ms ≈ 2.622 ms

Somit ist nach 2,622 ms die Höhe h = 52 V erreicht.

Am Schaubild sehen wir, dass es aber auch noch einen zweiten Winkel β mit 130 ⋅ sin(α) = 52 bzw. sin(β) = 0.4. Durch die Symmetrie erkennen wir, dass dieser weitere Winkel β gleich weit von 180° entfernt ist wie α, es gilt also β = 180°-α = 180°-23.6 = 156.4°.

Auch hier müssen wir wieder mit dem Dreisatz die zugehörige Zeit ermitteln:

360° ≙ 40 ms
1 ° ≙ $\frac{\mathrm{40}}{\mathrm{360}}$ ms = $\frac{1}{9}$ ms
156.4° ≙ $\frac{1}{9}$ ⋅ 156.4 ms ≈ 17.378 ms

Somit ist nach auch 17,378 ms die Höhe h = 52 V erreicht.