Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{5.13cm}}{\mathrm{6cm}}$=0.855 und somit β=58.8°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 31.2°.

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Als Nebenwinkel von γ muss natürluch auch δ ein recher Winkel sein.

Aufgrund der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt δ + ε + 25° = 180°.

Daraus folgt ε = 180° - 90° - 25° = 65°.

Mit Hilfe der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks kann mann nun β bestimmen: Es gilt ε + 2⋅β = 180°. Daraus folgt β = $\frac{\mathrm{180°\; -\; \epsilon }}{2}$ = $\frac{\mathrm{115°}}{2}$ = 57.5°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(57.5°) = $\frac{g}{\mathrm{7cm}}$

Damit folgt g = sin(57.5°) ⋅ 7cm ≈ 5.9cm

Nun können wir im zweiten Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(65°)=$\frac{\mathrm{5.9}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{5.9}}{\mathrm{sin(65°)}}$ = 6.5cm

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(41.8°)=$\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(27°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 21}}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(41.8°)=$\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(41.8°) ⋅ x =h |:tan(41.8°)

(I) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(41.8°)}}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(27°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 21}}$ | ⋅ (x+ 21)

(II) tan(27°) ⋅ (x+ 21) = h |:tan(41.8°)

(II) x + 21= $\frac{h}{\mathrm{tan(27°)}}$ | -21

(II) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(27°)}}$ - 21

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{\mathrm{tan(41.8°)}}$ = $\frac{h}{\mathrm{tan(27°)}}$ - 21

$\frac{h}{\mathrm{0.8941}}$ = $\frac{h}{\mathrm{0.5095}}$ - 21

$\frac{1}{\mathrm{0.8941}}$ ⋅ h = $\frac{1}{\mathrm{0.5095}}$ ⋅ h - 21

1.1184 h = 1.9626 h - 21 | - 1.1184 + 21

21 = 0.8442 h | : 0.8442

24.8765 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=24.9m hoch.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 6 und (zwischen A und C) b = 6 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

c² = 6² + 6²

c² = 36 + 36

c² = 72

c = $\sqrt{\mathrm{72}}$ ≈ 8.49

Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{6}{6}$ = 1

Daraus folgt: α = arctan(1) ≈ 45°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-45° = 45°