Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{5.45cm}}{\mathrm{6.5cm}}$=0.838 und somit β=57°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 33°.

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 32° = 180°.

Daraus folgt β = 180° - 90° - 32° = 58°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(58°) = $\frac{g}{\mathrm{6cm}}$

Damit folgt g = sin(58°) ⋅ 6cm ≈ 5.1cm

Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.

Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+32°) gleich groß sein. Damit gilt 58° = α + 32°, woraus folgt: α = 26°

Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 26° = 64°

Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(64°)=$\frac{\mathrm{5.1}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{5.1}}{\mathrm{sin(64°)}}$ ≈ 5.7cm

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(42.8°)=$\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(30.8°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 15}}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(42.8°)=$\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(42.8°) ⋅ x =h |:tan(42.8°)

(I) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(42.8°)}}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(30.8°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 15}}$ | ⋅ (x+ 15)

(II) tan(30.8°) ⋅ (x+ 15) = h |:tan(42.8°)

(II) x + 15= $\frac{h}{\mathrm{tan(30.8°)}}$ | -15

(II) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(30.8°)}}$ - 15

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{\mathrm{tan(42.8°)}}$ = $\frac{h}{\mathrm{tan(30.8°)}}$ - 15

$\frac{h}{\mathrm{0.926}}$ = $\frac{h}{\mathrm{0.5961}}$ - 15

$\frac{1}{\mathrm{0.926}}$ ⋅ h = $\frac{1}{\mathrm{0.5961}}$ ⋅ h - 15

1.0799 h = 1.6775 h - 15 | - 1.0799 + 15

15 = 0.5976 h | : 0.5976

25.0998 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=25.1m hoch.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 4 und (zwischen A und C) b = 6 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

c² = 4² + 6²

c² = 16 + 36

c² = 52

c = $\sqrt{\mathrm{52}}$ ≈ 7.21

Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{4}{6}$ ≈ 0.667

Daraus folgt: α = arctan(0.667) ≈ 33.7°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-33.7° = 56.3°