Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{5.85cm}}{\mathrm{7cm}}$=0.836 und somit β=56.7°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 33.3°.

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Als Nebenwinkel von γ muss natürluch auch δ ein recher Winkel sein.

Aufgrund der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt δ + ε + 29° = 180°.

Daraus folgt ε = 180° - 90° - 29° = 61°.

Mit Hilfe der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks kann mann nun β bestimmen: Es gilt ε + 2⋅β = 180°. Daraus folgt β = $\frac{\mathrm{180°\; -\; \epsilon }}{2}$ = $\frac{\mathrm{119°}}{2}$ = 59.5°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(59.5°) = $\frac{g}{\mathrm{5.5cm}}$

Damit folgt g = sin(59.5°) ⋅ 5.5cm ≈ 4.7cm

Nun können wir im zweiten Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(61°)=$\frac{\mathrm{4.7}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{4.7}}{\mathrm{sin(61°)}}$ = 5.4cm

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(23.4°)=$\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(17.2°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 12}}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(23.4°)=$\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(23.4°) ⋅ x =h |:tan(23.4°)

(I) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(23.4°)}}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(17.2°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 12}}$ | ⋅ (x+ 12)

(II) tan(17.2°) ⋅ (x+ 12) = h |:tan(23.4°)

(II) x + 12= $\frac{h}{\mathrm{tan(17.2°)}}$ | -12

(II) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(17.2°)}}$ - 12

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{\mathrm{tan(23.4°)}}$ = $\frac{h}{\mathrm{tan(17.2°)}}$ - 12

$\frac{h}{\mathrm{0.4327}}$ = $\frac{h}{\mathrm{0.3096}}$ - 12

$\frac{1}{\mathrm{0.4327}}$ ⋅ h = $\frac{1}{\mathrm{0.3096}}$ ⋅ h - 12

2.3109 h = 3.2305 h - 12 | - 2.3109 + 12

12 = 0.9196 h | : 0.9196

13.0489 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=13m hoch.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 3 und (zwischen A und C) b = 4 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

c² = 3² + 4²

c² = 9 + 16

c² = 25

c = $\sqrt{\mathrm{25}}$ ≈ 5

Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{3}{4}$ = 0.75

Daraus folgt: α = arctan(0.75) ≈ 36.9°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-36.9° = 53.1°