Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{4.53cm}}{\mathrm{5cm}}$=0.906 und somit β=65°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 25°.

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 34° = 180°.

Daraus folgt β = 180° - 90° - 34° = 56°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(56°) = $\frac{g}{\mathrm{5.5cm}}$

Damit folgt g = sin(56°) ⋅ 5.5cm ≈ 4.6cm

Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.

Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+34°) gleich groß sein. Damit gilt 56° = α + 34°, woraus folgt: α = 22°

Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 22° = 68°

Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(68°)=$\frac{\mathrm{4.6}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{4.6}}{\mathrm{sin(68°)}}$ ≈ 5cm

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(20.8°)=$\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(17.4°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 6}}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(20.8°)=$\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(20.8°) ⋅ x =h |:tan(20.8°)

(I) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(20.8°)}}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(17.4°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 6}}$ | ⋅ (x+ 6)

(II) tan(17.4°) ⋅ (x+ 6) = h |:tan(20.8°)

(II) x + 6= $\frac{h}{\mathrm{tan(17.4°)}}$ | -6

(II) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(17.4°)}}$ - 6

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{\mathrm{tan(20.8°)}}$ = $\frac{h}{\mathrm{tan(17.4°)}}$ - 6

$\frac{h}{\mathrm{0.3799}}$ = $\frac{h}{\mathrm{0.3134}}$ - 6

$\frac{1}{\mathrm{0.3799}}$ ⋅ h = $\frac{1}{\mathrm{0.3134}}$ ⋅ h - 6

2.6325 h = 3.191 h - 6 | - 2.6325 + 6

6 = 0.5585 h | : 0.5585

10.7433 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=10.7m hoch.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 4 und (zwischen A und C) b = 3 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

c² = 4² + 3²

c² = 16 + 9

c² = 25

c = $\sqrt{\mathrm{25}}$ ≈ 5

Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.333

Daraus folgt: α = arctan(1.333) ≈ 53.1°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-53.1° = 36.9°