Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{4.83cm}}{\mathrm{5.5cm}}$=0.878 und somit β=61.4°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 28.6°.

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Als Nebenwinkel von γ muss natürluch auch δ ein recher Winkel sein.

Aufgrund der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt δ + ε + 24° = 180°.

Daraus folgt ε = 180° - 90° - 24° = 66°.

Mit Hilfe der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks kann mann nun β bestimmen: Es gilt ε + 2⋅β = 180°. Daraus folgt β = $\frac{\mathrm{180°\; -\; \epsilon }}{2}$ = $\frac{\mathrm{114°}}{2}$ = 57°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(57°) = $\frac{g}{\mathrm{6.5cm}}$

Damit folgt g = sin(57°) ⋅ 6.5cm ≈ 5.5cm

Nun können wir im zweiten Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(66°)=$\frac{\mathrm{5.5}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{5.5}}{\mathrm{sin(66°)}}$ = 6cm

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(25.9°)=$\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(18.1°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 16}}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(25.9°)=$\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(25.9°) ⋅ x =h |:tan(25.9°)

(I) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(25.9°)}}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(18.1°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 16}}$ | ⋅ (x+ 16)

(II) tan(18.1°) ⋅ (x+ 16) = h |:tan(25.9°)

(II) x + 16= $\frac{h}{\mathrm{tan(18.1°)}}$ | -16

(II) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(18.1°)}}$ - 16

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{\mathrm{tan(25.9°)}}$ = $\frac{h}{\mathrm{tan(18.1°)}}$ - 16

$\frac{h}{\mathrm{0.4856}}$ = $\frac{h}{\mathrm{0.3269}}$ - 16

$\frac{1}{\mathrm{0.4856}}$ ⋅ h = $\frac{1}{\mathrm{0.3269}}$ ⋅ h - 16

2.0594 h = 3.0595 h - 16 | - 2.0594 + 16

16 = 1.0001 h | : 1.0001

15.9986 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=16m hoch.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 7 und (zwischen A und B) c = 7 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

b² = 7² + 7²

b² = 49 + 49

b² = 98

b = $\sqrt{\mathrm{98}}$ ≈ 9.9

Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{7}{7}$ = 1

Daraus folgt: α = arctan(1) ≈ 45°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-45° = 45°