Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{4.7cm}}{\mathrm{5.5cm}}$=0.855 und somit β=58.7°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 31.3°.

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Als Nebenwinkel von γ muss natürluch auch δ ein recher Winkel sein.

Aufgrund der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt δ + ε + 22° = 180°.

Daraus folgt ε = 180° - 90° - 22° = 68°.

Mit Hilfe der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks kann mann nun β bestimmen: Es gilt ε + 2⋅β = 180°. Daraus folgt β = $\frac{\mathrm{180°\; -\; \epsilon }}{2}$ = $\frac{\mathrm{112°}}{2}$ = 56°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(56°) = $\frac{g}{\mathrm{7cm}}$

Damit folgt g = sin(56°) ⋅ 7cm ≈ 5.8cm

Nun können wir im zweiten Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(68°)=$\frac{\mathrm{5.8}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{5.8}}{\mathrm{sin(68°)}}$ = 6.3cm

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(40.4°)=$\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(25.1°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 22}}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(40.4°)=$\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(40.4°) ⋅ x =h |:tan(40.4°)

(I) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(40.4°)}}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(25.1°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 22}}$ | ⋅ (x+ 22)

(II) tan(25.1°) ⋅ (x+ 22) = h |:tan(40.4°)

(II) x + 22= $\frac{h}{\mathrm{tan(25.1°)}}$ | -22

(II) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(25.1°)}}$ - 22

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{\mathrm{tan(40.4°)}}$ = $\frac{h}{\mathrm{tan(25.1°)}}$ - 22

$\frac{h}{\mathrm{0.8511}}$ = $\frac{h}{\mathrm{0.4684}}$ - 22

$\frac{1}{\mathrm{0.8511}}$ ⋅ h = $\frac{1}{\mathrm{0.4684}}$ ⋅ h - 22

1.175 h = 2.1348 h - 22 | - 1.175 + 22

22 = 0.9598 h | : 0.9598

22.922 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=22.9m hoch.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 5 und (zwischen A und B) c = 7 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

b² = 5² + 7²

b² = 25 + 49

b² = 74

b = $\sqrt{\mathrm{74}}$ ≈ 8.6

Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{5}{7}$ ≈ 0.714

Daraus folgt: α = arctan(0.714) ≈ 35.5°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-35.5° = 54.5°