Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{5.3cm}}{\mathrm{6cm}}$=0.883 und somit β=62°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 28°.

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 28° = 180°.

Daraus folgt β = 180° - 90° - 28° = 62°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(62°) = $\frac{g}{\mathrm{5cm}}$

Damit folgt g = sin(62°) ⋅ 5cm ≈ 4.4cm

Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.

Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+28°) gleich groß sein. Damit gilt 62° = α + 28°, woraus folgt: α = 34°

Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 34° = 56°

Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(56°)=$\frac{\mathrm{4.4}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{4.4}}{\mathrm{sin(56°)}}$ ≈ 5.3cm

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(30.7°)=$\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(21.2°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 17}}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(30.7°)=$\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(30.7°) ⋅ x =h |:tan(30.7°)

(I) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(30.7°)}}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(21.2°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 17}}$ | ⋅ (x+ 17)

(II) tan(21.2°) ⋅ (x+ 17) = h |:tan(30.7°)

(II) x + 17= $\frac{h}{\mathrm{tan(21.2°)}}$ | -17

(II) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(21.2°)}}$ - 17

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{\mathrm{tan(30.7°)}}$ = $\frac{h}{\mathrm{tan(21.2°)}}$ - 17

$\frac{h}{\mathrm{0.5938}}$ = $\frac{h}{\mathrm{0.3879}}$ - 17

$\frac{1}{\mathrm{0.5938}}$ ⋅ h = $\frac{1}{\mathrm{0.3879}}$ ⋅ h - 17

1.6842 h = 2.5782 h - 17 | - 1.6842 + 17

17 = 0.894 h | : 0.894

19.0165 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=19m hoch.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 6 und (zwischen A und B) c = 6 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

b² = 6² + 6²

b² = 36 + 36

b² = 72

b = $\sqrt{\mathrm{72}}$ ≈ 8.49

Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{6}{6}$ = 1

Daraus folgt: α = arctan(1) ≈ 45°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-45° = 45°