Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{4.98cm}}{\mathrm{6cm}}$=0.83 und somit β=56.1°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 33.9°.

Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.

Mit α+33.9°=β=56.1° gilt nun: α = 22.2°

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 30° = 180°.

Daraus folgt β = 180° - 90° - 30° = 60°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(60°) = $\frac{g}{\mathrm{5cm}}$

Damit folgt g = sin(60°) ⋅ 5cm ≈ 4.3cm

Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.

Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+30°) gleich groß sein. Damit gilt 60° = α + 30°, woraus folgt: α = 30°

Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 30° = 60°

Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(60°)=$\frac{\mathrm{4.3}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{4.3}}{\mathrm{sin(60°)}}$ ≈ 5cm

In beiden Dreiecken gilt für den Tangens: tan(α)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$.
Da nach der Gegenkathete gesucht wird, stellen wir um zu
Gegenkathete g1=Ankathete ⋅ tan(α)=11 ⋅ tan(50°) ≈13.1093

Genau gleich verfahren wir mit dem anderen Dreieck:
Gegenkathete g2=Ankathete ⋅ tan(β)=11 ⋅ tan(30°) ≈6.3509

Die gesuchte Strecke ist nun gerade die Differenz der beiden Gegenkatheten:
s=13.109 - 6.351 ≈ 6.758 m.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 4 und (zwischen A und C) b = 7 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

c² = 4² + 7²

c² = 16 + 49

c² = 65

c = $\sqrt{\mathrm{65}}$ ≈ 8.06

Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{4}{7}$ ≈ 0.571

Daraus folgt: α = arctan(0.571) ≈ 29.7°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-29.7° = 60.3°