Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{4.35cm}}{\mathrm{5cm}}$=0.87 und somit β=60.5°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 29.5°.

Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.

Mit α+29.5°=β=60.5° gilt nun: α = 30.9°

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 34° = 180°.

Daraus folgt β = 180° - 90° - 34° = 56°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(56°) = $\frac{g}{\mathrm{5cm}}$

Damit folgt g = sin(56°) ⋅ 5cm ≈ 4.1cm

Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.

Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+34°) gleich groß sein. Damit gilt 56° = α + 34°, woraus folgt: α = 22°

Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 22° = 68°

Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(68°)=$\frac{\mathrm{4.1}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{4.1}}{\mathrm{sin(68°)}}$ ≈ 4.4cm

In beiden Dreiecken gilt für den Tangens: tan(α)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$.
Da nach der Gegenkathete gesucht wird, stellen wir um zu
Gegenkathete g1=Ankathete ⋅ tan(α)=14 ⋅ tan(80°) ≈79.3979

Genau gleich verfahren wir mit dem anderen Dreieck:
Gegenkathete g2=Ankathete ⋅ tan(β)=14 ⋅ tan(35°) ≈9.8029

Die gesuchte Strecke ist nun gerade die Differenz der beiden Gegenkatheten:
s=79.398 - 9.803 ≈ 69.595 m.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 8 und (zwischen A und B) c = 5 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

b² = 8² + 5²

b² = 64 + 25

b² = 89

b = $\sqrt{\mathrm{89}}$ ≈ 9.43

Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{8}{5}$ = 1.6

Daraus folgt: α = arctan(1.6) ≈ 58°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-58° = 32°