Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{5.33cm}}{\mathrm{6cm}}$=0.888 und somit β=62.7°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 27.3°.

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 34° = 180°.

Daraus folgt β = 180° - 90° - 34° = 56°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(56°) = $\frac{g}{\mathrm{7cm}}$

Damit folgt g = sin(56°) ⋅ 7cm ≈ 5.8cm

Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.

Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+34°) gleich groß sein. Damit gilt 56° = α + 34°, woraus folgt: α = 22°

Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 22° = 68°

Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(68°)=$\frac{\mathrm{5.8}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{5.8}}{\mathrm{sin(68°)}}$ ≈ 6.3cm

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(21.5°)=$\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(20.4°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 2}}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(21.5°)=$\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(21.5°) ⋅ x =h |:tan(21.5°)

(I) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(21.5°)}}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(20.4°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 2}}$ | ⋅ (x+ 2)

(II) tan(20.4°) ⋅ (x+ 2) = h |:tan(21.5°)

(II) x + 2= $\frac{h}{\mathrm{tan(20.4°)}}$ | -2

(II) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(20.4°)}}$ - 2

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{\mathrm{tan(21.5°)}}$ = $\frac{h}{\mathrm{tan(20.4°)}}$ - 2

$\frac{h}{\mathrm{0.3939}}$ = $\frac{h}{\mathrm{0.3719}}$ - 2

$\frac{1}{\mathrm{0.3939}}$ ⋅ h = $\frac{1}{\mathrm{0.3719}}$ ⋅ h - 2

2.5386 h = 2.6889 h - 2 | - 2.5386 + 2

2 = 0.1503 h | : 0.1503

13.3093 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=13.3m hoch.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 7 und (zwischen A und B) c = 6 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

b² = 7² + 6²

b² = 49 + 36

b² = 85

b = $\sqrt{\mathrm{85}}$ ≈ 9.22

Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{7}{6}$ ≈ 1.167

Daraus folgt: α = arctan(1.167) ≈ 49.4°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-49.4° = 40.6°