Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{5.48cm}}{\mathrm{6.5cm}}$=0.843 und somit β=57.5°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 32.5°.

Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.

Mit α+32.5°=β=57.5° gilt nun: α = 24.9°

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Als Nebenwinkel von γ muss natürluch auch δ ein recher Winkel sein.

Aufgrund der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt δ + ε + 22° = 180°.

Daraus folgt ε = 180° - 90° - 22° = 68°.

Mit Hilfe der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks kann mann nun β bestimmen: Es gilt ε + 2⋅β = 180°. Daraus folgt β = $\frac{\mathrm{180°\; -\; \epsilon }}{2}$ = $\frac{\mathrm{112°}}{2}$ = 56°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(56°) = $\frac{g}{\mathrm{6.5cm}}$

Damit folgt g = sin(56°) ⋅ 6.5cm ≈ 5.4cm

Nun können wir im zweiten Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(68°)=$\frac{\mathrm{5.4}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{5.4}}{\mathrm{sin(68°)}}$ = 5.8cm

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(29.9°)=$\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(24.3°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 9}}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(29.9°)=$\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(29.9°) ⋅ x =h |:tan(29.9°)

(I) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(29.9°)}}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(24.3°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 9}}$ | ⋅ (x+ 9)

(II) tan(24.3°) ⋅ (x+ 9) = h |:tan(29.9°)

(II) x + 9= $\frac{h}{\mathrm{tan(24.3°)}}$ | -9

(II) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(24.3°)}}$ - 9

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{\mathrm{tan(29.9°)}}$ = $\frac{h}{\mathrm{tan(24.3°)}}$ - 9

$\frac{h}{\mathrm{0.575}}$ = $\frac{h}{\mathrm{0.4515}}$ - 9

$\frac{1}{\mathrm{0.575}}$ ⋅ h = $\frac{1}{\mathrm{0.4515}}$ ⋅ h - 9

1.7391 h = 2.2148 h - 9 | - 1.7391 + 9

9 = 0.4757 h | : 0.4757

18.9194 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=18.9m hoch.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 4 und (zwischen A und C) b = 5 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

c² = 4² + 5²

c² = 16 + 25

c² = 41

c = $\sqrt{\mathrm{41}}$ ≈ 6.4

Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{4}{5}$ = 0.8

Daraus folgt: α = arctan(0.8) ≈ 38.7°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-38.7° = 51.3°