Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{5.33cm}}{\mathrm{6cm}}$=0.888 und somit β=62.7°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 27.3°.

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 34° = 180°.

Daraus folgt β = 180° - 90° - 34° = 56°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(56°) = $\frac{g}{\mathrm{7cm}}$

Damit folgt g = sin(56°) ⋅ 7cm ≈ 5.8cm

Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.

Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+34°) gleich groß sein. Damit gilt 56° = α + 34°, woraus folgt: α = 22°

Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 22° = 68°

Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(68°)=$\frac{\mathrm{5.8}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{5.8}}{\mathrm{sin(68°)}}$ ≈ 6.3cm

In beiden Dreiecken gilt für den Tangens: tan(α)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$.
Da nach der Gegenkathete gesucht wird, stellen wir um zu
Gegenkathete g1=Ankathete ⋅ tan(α)=10 ⋅ tan(80°) ≈56.7128

Genau gleich verfahren wir mit dem anderen Dreieck:
Gegenkathete g2=Ankathete ⋅ tan(β)=10 ⋅ tan(25°) ≈4.6631

Die gesuchte Strecke ist nun gerade die Differenz der beiden Gegenkatheten:
s=56.713 - 4.663 ≈ 52.05 m.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 3 und (zwischen A und C) b = 8 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

c² = 3² + 8²

c² = 9 + 64

c² = 73

c = $\sqrt{\mathrm{73}}$ ≈ 8.54

Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{3}{8}$ = 0.375

Daraus folgt: α = arctan(0.375) ≈ 20.6°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-20.6° = 69.4°