Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{5.25cm}}{\mathrm{6cm}}$=0.875 und somit β=61°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 29°.

Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.

Mit α+29°=β=61° gilt nun: α = 32.1°

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 27° = 180°.

Daraus folgt β = 180° - 90° - 27° = 63°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(63°) = $\frac{g}{\mathrm{5cm}}$

Damit folgt g = sin(63°) ⋅ 5cm ≈ 4.5cm

Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.

Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+27°) gleich groß sein. Damit gilt 63° = α + 27°, woraus folgt: α = 36°

Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 36° = 54°

Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(54°)=$\frac{\mathrm{4.5}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{4.5}}{\mathrm{sin(54°)}}$ ≈ 5.6cm

In beiden Dreiecken gilt für den Tangens: tan(α)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$.
Da nach der Gegenkathete gesucht wird, stellen wir um zu
Gegenkathete g1=Ankathete ⋅ tan(α)=13 ⋅ tan(50°) ≈15.4928

Genau gleich verfahren wir mit dem anderen Dreieck:
Gegenkathete g2=Ankathete ⋅ tan(β)=13 ⋅ tan(40°) ≈10.9083

Die gesuchte Strecke ist nun gerade die Differenz der beiden Gegenkatheten:
s=15.493 - 10.908 ≈ 4.585 m.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 5 und (zwischen A und B) c = 6 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

b² = 5² + 6²

b² = 25 + 36

b² = 61

b = $\sqrt{\mathrm{61}}$ ≈ 7.81

Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{5}{6}$ ≈ 0.833

Daraus folgt: α = arctan(0.833) ≈ 39.8°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-39.8° = 50.2°