Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{4.43cm}}{\mathrm{5cm}}$=0.886 und somit β=62.4°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 27.6°.

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Als Nebenwinkel von γ muss natürluch auch δ ein recher Winkel sein.

Aufgrund der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt δ + ε + 23° = 180°.

Daraus folgt ε = 180° - 90° - 23° = 67°.

Mit Hilfe der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks kann mann nun β bestimmen: Es gilt ε + 2⋅β = 180°. Daraus folgt β = $\frac{\mathrm{180°\; -\; \epsilon }}{2}$ = $\frac{\mathrm{113°}}{2}$ = 56.5°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(56.5°) = $\frac{g}{\mathrm{6cm}}$

Damit folgt g = sin(56.5°) ⋅ 6cm ≈ 5cm

Nun können wir im zweiten Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(67°)=$\frac{5}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{5}{\mathrm{sin(67°)}}$ = 5.4cm

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(36.5°)=$\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(25.5°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 15}}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(36.5°)=$\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(36.5°) ⋅ x =h |:tan(36.5°)

(I) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(36.5°)}}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(25.5°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 15}}$ | ⋅ (x+ 15)

(II) tan(25.5°) ⋅ (x+ 15) = h |:tan(36.5°)

(II) x + 15= $\frac{h}{\mathrm{tan(25.5°)}}$ | -15

(II) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(25.5°)}}$ - 15

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{\mathrm{tan(36.5°)}}$ = $\frac{h}{\mathrm{tan(25.5°)}}$ - 15

$\frac{h}{\mathrm{0.74}}$ = $\frac{h}{\mathrm{0.477}}$ - 15

$\frac{1}{\mathrm{0.74}}$ ⋅ h = $\frac{1}{\mathrm{0.477}}$ ⋅ h - 15

1.3514 h = 2.0965 h - 15 | - 1.3514 + 15

15 = 0.7451 h | : 0.7451

20.131 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=20.1m hoch.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 5 und (zwischen A und B) c = 4 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

b² = 5² + 4²

b² = 25 + 16

b² = 41

b = $\sqrt{\mathrm{41}}$ ≈ 6.4

Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{5}{4}$ = 1.25

Daraus folgt: α = arctan(1.25) ≈ 51.3°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-51.3° = 38.7°