Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{4.4cm}}{\mathrm{5cm}}$=0.88 und somit β=61.6°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 28.4°.

Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.

Mit α+28.4°=β=61.6° gilt nun: α = 33.3°

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Als Nebenwinkel von γ muss natürluch auch δ ein recher Winkel sein.

Aufgrund der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt δ + ε + 26° = 180°.

Daraus folgt ε = 180° - 90° - 26° = 64°.

Mit Hilfe der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks kann mann nun β bestimmen: Es gilt ε + 2⋅β = 180°. Daraus folgt β = $\frac{\mathrm{180°\; -\; \epsilon }}{2}$ = $\frac{\mathrm{116°}}{2}$ = 58°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(58°) = $\frac{g}{\mathrm{5cm}}$

Damit folgt g = sin(58°) ⋅ 5cm ≈ 4.2cm

Nun können wir im zweiten Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(64°)=$\frac{\mathrm{4.2}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{4.2}}{\mathrm{sin(64°)}}$ = 4.7cm

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(30.1°)=$\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(20.2°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 18}}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(30.1°)=$\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(30.1°) ⋅ x =h |:tan(30.1°)

(I) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(30.1°)}}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(20.2°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 18}}$ | ⋅ (x+ 18)

(II) tan(20.2°) ⋅ (x+ 18) = h |:tan(30.1°)

(II) x + 18= $\frac{h}{\mathrm{tan(20.2°)}}$ | -18

(II) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(20.2°)}}$ - 18

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{\mathrm{tan(30.1°)}}$ = $\frac{h}{\mathrm{tan(20.2°)}}$ - 18

$\frac{h}{\mathrm{0.5797}}$ = $\frac{h}{\mathrm{0.3679}}$ - 18

$\frac{1}{\mathrm{0.5797}}$ ⋅ h = $\frac{1}{\mathrm{0.3679}}$ ⋅ h - 18

1.7251 h = 2.7179 h - 18 | - 1.7251 + 18

18 = 0.9928 h | : 0.9928

18.13 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=18.1m hoch.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 8 und (zwischen A und C) b = 4 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

c² = 8² + 4²

c² = 64 + 16

c² = 80

c = $\sqrt{\mathrm{80}}$ ≈ 8.94

Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

Daraus folgt: α = arctan(2) ≈ 63.4°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-63.4° = 26.6°