Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{4.63cm}}{\mathrm{5.5cm}}$=0.842 und somit β=57.3°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 32.7°.

Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.

Mit α+32.7°=β=57.3° gilt nun: α = 24.7°

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 33° = 180°.

Daraus folgt β = 180° - 90° - 33° = 57°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(57°) = $\frac{g}{\mathrm{7cm}}$

Damit folgt g = sin(57°) ⋅ 7cm ≈ 5.9cm

Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.

Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+33°) gleich groß sein. Damit gilt 57° = α + 33°, woraus folgt: α = 24°

Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 24° = 66°

Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(66°)=$\frac{\mathrm{5.9}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{5.9}}{\mathrm{sin(66°)}}$ ≈ 6.5cm

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(27.4°)=$\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(15.9°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 22}}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(27.4°)=$\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(27.4°) ⋅ x =h |:tan(27.4°)

(I) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(27.4°)}}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(15.9°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 22}}$ | ⋅ (x+ 22)

(II) tan(15.9°) ⋅ (x+ 22) = h |:tan(27.4°)

(II) x + 22= $\frac{h}{\mathrm{tan(15.9°)}}$ | -22

(II) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(15.9°)}}$ - 22

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{\mathrm{tan(27.4°)}}$ = $\frac{h}{\mathrm{tan(15.9°)}}$ - 22

$\frac{h}{\mathrm{0.5184}}$ = $\frac{h}{\mathrm{0.2849}}$ - 22

$\frac{1}{\mathrm{0.5184}}$ ⋅ h = $\frac{1}{\mathrm{0.2849}}$ ⋅ h - 22

1.9292 h = 3.5105 h - 22 | - 1.9292 + 22

22 = 1.5813 h | : 1.5813

13.9123 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=13.9m hoch.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 4 und (zwischen A und C) b = 3 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

c² = 4² + 3²

c² = 16 + 9

c² = 25

c = $\sqrt{\mathrm{25}}$ ≈ 5

Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.333

Daraus folgt: α = arctan(1.333) ≈ 53.1°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-53.1° = 36.9°