Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{4.55cm}}{\mathrm{5.5cm}}$=0.827 und somit β=55.8°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 34.2°.

Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.

Mit α+34.2°=β=55.8° gilt nun: α = 21.6°

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Als Nebenwinkel von γ muss natürluch auch δ ein recher Winkel sein.

Aufgrund der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt δ + ε + 23° = 180°.

Daraus folgt ε = 180° - 90° - 23° = 67°.

Mit Hilfe der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks kann mann nun β bestimmen: Es gilt ε + 2⋅β = 180°. Daraus folgt β = $\frac{\mathrm{180°\; -\; \epsilon }}{2}$ = $\frac{\mathrm{113°}}{2}$ = 56.5°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(56.5°) = $\frac{g}{\mathrm{7cm}}$

Damit folgt g = sin(56.5°) ⋅ 7cm ≈ 5.8cm

Nun können wir im zweiten Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(67°)=$\frac{\mathrm{5.8}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{5.8}}{\mathrm{sin(67°)}}$ = 6.3cm

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(39.4°)=$\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(28.7°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 14}}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(39.4°)=$\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(39.4°) ⋅ x =h |:tan(39.4°)

(I) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(39.4°)}}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(28.7°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 14}}$ | ⋅ (x+ 14)

(II) tan(28.7°) ⋅ (x+ 14) = h |:tan(39.4°)

(II) x + 14= $\frac{h}{\mathrm{tan(28.7°)}}$ | -14

(II) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(28.7°)}}$ - 14

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{\mathrm{tan(39.4°)}}$ = $\frac{h}{\mathrm{tan(28.7°)}}$ - 14

$\frac{h}{\mathrm{0.8214}}$ = $\frac{h}{\mathrm{0.5475}}$ - 14

$\frac{1}{\mathrm{0.8214}}$ ⋅ h = $\frac{1}{\mathrm{0.5475}}$ ⋅ h - 14

1.2174 h = 1.8265 h - 14 | - 1.2174 + 14

14 = 0.6091 h | : 0.6091

22.9841 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=23m hoch.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 9 und (zwischen A und B) c = 5 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

b² = 9² + 5²

b² = 81 + 25

b² = 106

b = $\sqrt{\mathrm{106}}$ ≈ 10.3

Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{9}{5}$ = 1.8

Daraus folgt: α = arctan(1.8) ≈ 60.9°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-60.9° = 29.1°