Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{5.85cm}}{\mathrm{7cm}}$=0.836 und somit β=56.7°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 33.3°.

Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.

Mit α+33.3°=β=56.7° gilt nun: α = 23.4°

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Als Nebenwinkel von γ muss natürluch auch δ ein recher Winkel sein.

Aufgrund der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt δ + ε + 25° = 180°.

Daraus folgt ε = 180° - 90° - 25° = 65°.

Mit Hilfe der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks kann mann nun β bestimmen: Es gilt ε + 2⋅β = 180°. Daraus folgt β = $\frac{\mathrm{180°\; -\; \epsilon }}{2}$ = $\frac{\mathrm{115°}}{2}$ = 57.5°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(57.5°) = $\frac{g}{\mathrm{6.5cm}}$

Damit folgt g = sin(57.5°) ⋅ 6.5cm ≈ 5.5cm

Nun können wir im zweiten Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(65°)=$\frac{\mathrm{5.5}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{5.5}}{\mathrm{sin(65°)}}$ = 6.1cm

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(36.3°)=$\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(24.2°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 19}}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(36.3°)=$\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(36.3°) ⋅ x =h |:tan(36.3°)

(I) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(36.3°)}}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(24.2°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 19}}$ | ⋅ (x+ 19)

(II) tan(24.2°) ⋅ (x+ 19) = h |:tan(36.3°)

(II) x + 19= $\frac{h}{\mathrm{tan(24.2°)}}$ | -19

(II) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(24.2°)}}$ - 19

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{\mathrm{tan(36.3°)}}$ = $\frac{h}{\mathrm{tan(24.2°)}}$ - 19

$\frac{h}{\mathrm{0.7346}}$ = $\frac{h}{\mathrm{0.4494}}$ - 19

$\frac{1}{\mathrm{0.7346}}$ ⋅ h = $\frac{1}{\mathrm{0.4494}}$ ⋅ h - 19

1.3613 h = 2.2251 h - 19 | - 1.3613 + 19

19 = 0.8638 h | : 0.8638

21.9967 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=22m hoch.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 9 und (zwischen A und C) b = 5 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

c² = 9² + 5²

c² = 81 + 25

c² = 106

c = $\sqrt{\mathrm{106}}$ ≈ 10.3

Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{9}{5}$ = 1.8

Daraus folgt: α = arctan(1.8) ≈ 60.9°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-60.9° = 29.1°