Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{5.55cm}}{\mathrm{6.5cm}}$=0.854 und somit β=58.6°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 31.4°.

Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.

Mit α+31.4°=β=58.6° gilt nun: α = 27.3°

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 29° = 180°.

Daraus folgt β = 180° - 90° - 29° = 61°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(61°) = $\frac{g}{\mathrm{5cm}}$

Damit folgt g = sin(61°) ⋅ 5cm ≈ 4.4cm

Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.

Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+29°) gleich groß sein. Damit gilt 61° = α + 29°, woraus folgt: α = 32°

Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 32° = 58°

Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(58°)=$\frac{\mathrm{4.4}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{4.4}}{\mathrm{sin(58°)}}$ ≈ 5.2cm

In beiden Dreiecken gilt für den Tangens: tan(α)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$.
Da nach der Gegenkathete gesucht wird, stellen wir um zu
Gegenkathete g1=Ankathete ⋅ tan(α)=15 ⋅ tan(80°) ≈85.0692

Genau gleich verfahren wir mit dem anderen Dreieck:
Gegenkathete g2=Ankathete ⋅ tan(β)=15 ⋅ tan(40°) ≈12.5865

Die gesuchte Strecke ist nun gerade die Differenz der beiden Gegenkatheten:
s=85.069 - 12.586 ≈ 72.483 m.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 4 und (zwischen A und C) b = 5 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

c² = 4² + 5²

c² = 16 + 25

c² = 41

c = $\sqrt{\mathrm{41}}$ ≈ 6.4

Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{4}{5}$ = 0.8

Daraus folgt: α = arctan(0.8) ≈ 38.7°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-38.7° = 51.3°