Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{4.78cm}}{\mathrm{5.5cm}}$=0.869 und somit β=60.4°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 29.6°.

Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.

Mit α+29.6°=β=60.4° gilt nun: α = 30.7°

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Als Nebenwinkel von γ muss natürluch auch δ ein recher Winkel sein.

Aufgrund der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt δ + ε + 33° = 180°.

Daraus folgt ε = 180° - 90° - 33° = 57°.

Mit Hilfe der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks kann mann nun β bestimmen: Es gilt ε + 2⋅β = 180°. Daraus folgt β = $\frac{\mathrm{180°\; -\; \epsilon }}{2}$ = $\frac{\mathrm{123°}}{2}$ = 61.5°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(61.5°) = $\frac{g}{\mathrm{5.5cm}}$

Damit folgt g = sin(61.5°) ⋅ 5.5cm ≈ 4.8cm

Nun können wir im zweiten Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(57°)=$\frac{\mathrm{4.8}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{4.8}}{\mathrm{sin(57°)}}$ = 5.7cm

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(29.7°)=$\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(20.9°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 14}}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(29.7°)=$\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(29.7°) ⋅ x =h |:tan(29.7°)

(I) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(29.7°)}}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(20.9°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 14}}$ | ⋅ (x+ 14)

(II) tan(20.9°) ⋅ (x+ 14) = h |:tan(29.7°)

(II) x + 14= $\frac{h}{\mathrm{tan(20.9°)}}$ | -14

(II) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(20.9°)}}$ - 14

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{\mathrm{tan(29.7°)}}$ = $\frac{h}{\mathrm{tan(20.9°)}}$ - 14

$\frac{h}{\mathrm{0.5704}}$ = $\frac{h}{\mathrm{0.3819}}$ - 14

$\frac{1}{\mathrm{0.5704}}$ ⋅ h = $\frac{1}{\mathrm{0.3819}}$ ⋅ h - 14

1.7532 h = 2.6187 h - 14 | - 1.7532 + 14

14 = 0.8656 h | : 0.8656

16.1746 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=16.2m hoch.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 4 und (zwischen A und B) c = 5 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

b² = 4² + 5²

b² = 16 + 25

b² = 41

b = $\sqrt{\mathrm{41}}$ ≈ 6.4

Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{4}{5}$ = 0.8

Daraus folgt: α = arctan(0.8) ≈ 38.7°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-38.7° = 51.3°