Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{4.45cm}}{\mathrm{5cm}}$=0.89 und somit β=62.9°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 27.1°.

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 28° = 180°.

Daraus folgt β = 180° - 90° - 28° = 62°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(62°) = $\frac{g}{\mathrm{6cm}}$

Damit folgt g = sin(62°) ⋅ 6cm ≈ 5.3cm

Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.

Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+28°) gleich groß sein. Damit gilt 62° = α + 28°, woraus folgt: α = 34°

Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 34° = 56°

Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(56°)=$\frac{\mathrm{5.3}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{5.3}}{\mathrm{sin(56°)}}$ ≈ 6.4cm

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(30.1°)=$\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(27.2°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 4}}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(30.1°)=$\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(30.1°) ⋅ x =h |:tan(30.1°)

(I) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(30.1°)}}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(27.2°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 4}}$ | ⋅ (x+ 4)

(II) tan(27.2°) ⋅ (x+ 4) = h |:tan(30.1°)

(II) x + 4= $\frac{h}{\mathrm{tan(27.2°)}}$ | -4

(II) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(27.2°)}}$ - 4

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{\mathrm{tan(30.1°)}}$ = $\frac{h}{\mathrm{tan(27.2°)}}$ - 4

$\frac{h}{\mathrm{0.5797}}$ = $\frac{h}{\mathrm{0.5139}}$ - 4

$\frac{1}{\mathrm{0.5797}}$ ⋅ h = $\frac{1}{\mathrm{0.5139}}$ ⋅ h - 4

1.7251 h = 1.9458 h - 4 | - 1.7251 + 4

4 = 0.2207 h | : 0.2207

18.1242 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=18.1m hoch.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 3 und (zwischen A und C) b = 3 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

c² = 3² + 3²

c² = 9 + 9

c² = 18

c = $\sqrt{\mathrm{18}}$ ≈ 4.24

Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{3}{3}$ = 1

Daraus folgt: α = arctan(1) ≈ 45°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-45° = 45°