Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{5.28cm}}{\mathrm{6cm}}$=0.88 und somit β=61.6°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 28.4°.

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 33° = 180°.

Daraus folgt β = 180° - 90° - 33° = 57°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(57°) = $\frac{g}{\mathrm{7cm}}$

Damit folgt g = sin(57°) ⋅ 7cm ≈ 5.9cm

Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.

Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+33°) gleich groß sein. Damit gilt 57° = α + 33°, woraus folgt: α = 24°

Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 24° = 66°

Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(66°)=$\frac{\mathrm{5.9}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{5.9}}{\mathrm{sin(66°)}}$ ≈ 6.5cm

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(23.2°)=$\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(13.8°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 21}}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(23.2°)=$\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(23.2°) ⋅ x =h |:tan(23.2°)

(I) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(23.2°)}}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(13.8°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 21}}$ | ⋅ (x+ 21)

(II) tan(13.8°) ⋅ (x+ 21) = h |:tan(23.2°)

(II) x + 21= $\frac{h}{\mathrm{tan(13.8°)}}$ | -21

(II) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(13.8°)}}$ - 21

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{\mathrm{tan(23.2°)}}$ = $\frac{h}{\mathrm{tan(13.8°)}}$ - 21

$\frac{h}{\mathrm{0.4286}}$ = $\frac{h}{\mathrm{0.2456}}$ - 21

$\frac{1}{\mathrm{0.4286}}$ ⋅ h = $\frac{1}{\mathrm{0.2456}}$ ⋅ h - 21

2.3332 h = 4.0713 h - 21 | - 2.3332 + 21

21 = 1.7381 h | : 1.7381

12.0822 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=12.1m hoch.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 3 und (zwischen A und B) c = 5 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

b² = 3² + 5²

b² = 9 + 25

b² = 34

b = $\sqrt{\mathrm{34}}$ ≈ 5.83

Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{3}{5}$ = 0.6

Daraus folgt: α = arctan(0.6) ≈ 31°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-31° = 59°