Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Wir erkennen bei x = 1 einen VZW in der Funktion f ' von - nach +. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = 1 einen Tiefpunkt haben.

Da der Graph von f ' bei x = 2 die x-Achse berührt und f ' somit keinen VZW aufweist, kann der Graph der Originalfunktion f bei x = 2 auch keinen Extrempunkt haben (Er hat dort einen Sattelpunkt).

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = -1 und x = 1.

Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion f ', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;-4] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [-4;4] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [4;6] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung -1 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -1 haben. Es muss also f '(x) = -1 gelten.

Am Schaubild kann man f '(1) = -1 ablesen.

Die gesuchte Stelle ist also x = 1.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(2) = -3 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(2) + f '(2) = -3 + 2 = $-1$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f($0$) = 0.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a)

Wir können im Schaubild F(1) = 0 und F(3) = 4 ablesen.

Also gilt $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(3)- F(1) = 4 - 0 = 4.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a) oder $$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f\text{'}(x)}dx$$ = f(b)- f(a)

Wir können also f(0)- f(-6) durch den Wert des Integrals $$\underset{-6}{\overset{0}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}(x)}dx$$ aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [-6;0] einschließt.

Den gesuchten Flächeninhalt können wir über die eingezeichnete Dreiecksfläche berechnen:

I = $\frac{1}{2}$⋅6⋅6 = 18

Somit gilt: f(0)-f(-6) = 18

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a) oder $$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f\text{'}(x)}dx$$ = f(b)- f(a)

Oder anders ausgedrückt f(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als f(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -0.1 und x = 1.3 die Werte von f ' alle positiv sind, die Originalfunktion f ist hier also monton steigend. Also muss f(1.3) > f(-0.1) sein.

Zwischen x=1.3 und x=1.8 sind die Werte von f ' dagegen alle negativ, die Originalfunktion f muss hier also monton fallend sein. Folglich ist f(1.8) < f(1.3).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte f(1.3) der größte der drei Werte ist.

Um nun noch herauszufinden. ob f(-0.1)>f(1.8) oder f(1.8)>f(-0.1) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

$$\left|\underset{-0.1}{\overset{1.3}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}(x)}dx\right|$$ > $$\left|\underset{1.3}{\overset{1.8}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}(x)}dx\right|$$

Das bedeutet, dass der Zuwachs im linken Interval zwischen -0.1 und 1.3 größer ist als die Abnahme im rechten Interval zwischen 1.3 und 1.8.

Also muss f(-0.1) kleiner als f(1.8) sein. Insgesamt gilt:

f(-0.1) < f(1.8) < f(1.3)

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a)

Oder anders ausgedrückt F(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als F(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -2.1 und x = -0.7 die Werte von f alle negativ sind, die Stammfunktion F ist hier also monton fallend. Also muss F(-0.7) < F(-2.1) sein.

Zwischen x=-0.7 und x=-0.2 sind die Werte von f dagegen alle positiv, die Stammfunktion F muss hier also monton steigend sein. Folglich ist F(-0.2) > F(-0.7).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte F(-0.7) der kleinste der drei Werte ist.

Um nun noch herauszufinden. ob F(-2.1)>F(-0.2) oder F(-0.2)>F(-2.1) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

$$\left|\underset{-2.1}{\overset{-0.7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx\right|$$ > $$\left|\underset{-0.7}{\overset{-0.2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx\right|$$

Das bedeutet, dass die Abnahme im linken Interval zwischen -2.1 und -0.7 größer ist als der Zuwachs im rechten Interval zwischen -0.7 und -0.2.

Also muss F(-2.1) größer als F(-0.2) sein. Insgesamt gilt:

F(-0.7) < F(-0.2) < F(-2.1)

1. Eine Nullstelle hat natürlich jede Integralfunktion, nämlich die untere Intergralgrenze, da ja $$\underset{\mathrm{c}}{\overset{\mathrm{c}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 für alle c gilt. Somit ist x = -1 eine Nullstelle von J_-1.
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
2. Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = 1 erkennen, weil man am Graph beim Integral $$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ =0 und J_-1(1) = 0, J_-1 hat also bei x = 1 eine Nullstelle.
3. Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x=-4 erkennen, weil man am Graph beim Integral $$\underset{-4}{\overset{-1}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $$\underset{-4}{\overset{-1}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 und J_-1(-4) = $$\underset{-1}{\overset{-4}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = - $$\underset{-4}{\overset{-1}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0, J_-1 hat also bei x = -4 eine Nullstelle.

An den Rändern kann man erkennen, dass es keine weiteren Teilflächen gibt, die sich aufheben könnten.

Somit hat die Integralfunktion J_-1(x) = $$\underset{-1}{\overset{\mathrm{x}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ im abgebildeten Bereich 3 Nullstellen.