Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f ''= 0, wir suchen also die Nullstellen der 2.Ableitungsfunktion f ''.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f ', um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f '' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten 2.Ableitungsfunktion f ''.

Wir erkennen bei x = -4 einen VZW in der Funktion f '' von + nach -. Also muss der Graph der Ableitungsfunktion f ' bei x = -4 einen Hochpunkt haben.

Da der Graph von f '' bei x = -1 die x-Achse berührt und f '' somit keinen VZW aufweist, kann der Graph der Ableitungsfunktion f ' bei x = -1 auch keinen Extrempunkt haben (Er hat dort einen Sattelpunkt).

Wir erkennen bei x = 4 einen VZW in der Funktion f '' von - nach +. Also muss der Graph der Ableitungsfunktion f ' bei x = 4 einen Tiefpunkt haben.

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 2.

Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion der Stammfunktion F, also der Funktion f, positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;-1] gilt: f(x) ≥ 0, also ist F monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [-1;0] gilt: f(x) ≤ 0, also ist F monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [0;6] gilt: f(x) ≥ 0, also ist F monoton steigend.

Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung -2 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -2 haben. Es muss also f '(x) = -2 gelten.

Am Schaubild kann man f '(1) = -2 ablesen.

Die gesuchte Stelle ist also x = 1.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente F '(-1) = f(-1) = $0$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich F(-1) = 0 am Schaubild ablesen:

Also gilt: F(-1) + f(-1) = 0 + 0 = $0$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f(3) = $2$ entnehmen, weil ja f die Ableitungsfunktion von F ist und somit die Tangentensteigung von F angibt.

Wir suchen also F(f(3)) = F($2$).

F($2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

F(f(3)) = F($2$) = $-\frac{3}{2}$.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a) oder $$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f\text{'}(x)}dx$$ = f(b)- f(a)

Wir können im Schaubild f(-1) = -4 und f(1) = 0 ablesen.

Also gilt $$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}(x)}dx$$ = f(1)- f(-1) = 0 - ( - 4 ) = 4.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a) oder $$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f\text{'}(x)}dx$$ = f(b)- f(a)

Wir können also f(0)- f(-3) durch den Wert des Integrals $$\underset{-3}{\overset{0}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}(x)}dx$$ aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [-3;0] einschließt.

Den gesuchten Flächeninhalt können wir über die eingezeichnete Dreiecksfläche berechnen:

I = $\frac{1}{2}$⋅3⋅3 = 4.5

Somit gilt: f(0)-f(-3) = 4.5

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a)

Oder anders ausgedrückt F(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als F(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -3.9 und x = -1.25 die Werte von f alle negativ sind, die Stammfunktion F ist hier also monton fallend. Also muss F(-1.25) < F(-3.9) sein.

Zwischen x=-1.25 und x=2.1 sind die Werte von f dagegen alle positiv, die Stammfunktion F muss hier also monton steigend sein. Folglich ist F(2.1) > F(-1.25).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte F(-1.25) der kleinste der drei Werte ist.

Um nun noch herauszufinden. ob F(-3.9)>F(2.1) oder F(2.1)>F(-3.9) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

$$\left|\underset{-3.9}{\overset{-1.25}{\int }}\mathrm{f(x)}dx\right|$$ < $$\left|\underset{-1.25}{\overset{2.1}{\int }}\mathrm{f(x)}dx\right|$$

Das bedeutet, dass die Abnahme im linken Interval zwischen -3.9 und -1.25 kleiner ist als der Zuwachs im rechten Interval zwischen -1.25 und 2.1.

Also muss F(-3.9) kleiner als F(2.1) sein. Insgesamt gilt:

F(-1.25) < F(-3.9) < F(2.1)

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a) oder $$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f\text{'}(x)}dx$$ = f(b)- f(a)

Wir können also f(0)- f(-2) durch den Wert des Integrals $$\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}(x)}dx$$ aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [-2;0] einschließt.

Dazu zerlegen wir die Fläche in eine Rechtecks- und eine Dreiecksfläche:

I₁ = 2⋅2 = 4 (Rechteck)

I₂ = $\frac{1}{2}$⋅1⋅2 = 1 (Dreieck)

Wir erhalten also I=I₁+I₂ = 5 als orientierten Flächeninhalt.

Somit gilt: f(0)-f(-2) = 5

1. Eine Nullstelle hat natürlich jede Integralfunktion, nämlich die untere Intergralgrenze, da ja $$\underset{\mathrm{c}}{\overset{\mathrm{c}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 für alle c gilt. Somit ist x = 1 eine Nullstelle von J₁.
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
2. Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x=-3 erkennen, weil man am Graph beim Integral $$\underset{-3}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $$\underset{-3}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 und J₁(-3) = $$\underset{1}{\overset{-3}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = - $$\underset{-3}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0, J₁ hat also bei x = -3 eine Nullstelle.

An den Rändern kann man erkennen, dass es keine weiteren Teilflächen gibt, die sich aufheben könnten.

Somit hat die Integralfunktion J₁(x) = $$\underset{1}{\overset{\mathrm{x}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ im abgebildeten Bereich 2 Nullstellen.