Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Wir erkennen bei x = 3 einen VZW in der Funktion f ' von + nach -. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = 3 einen Hochpunkt haben.

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 1 und x = 3.

Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion f ', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;-2] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [-2;6] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung 0 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = 0 haben. Es muss also f '(x) = 0 gelten.

Am Schaubild kann man f '(-3) = 0 und f '(1) = 0 ablesen.

Die gesuchten Stellen sind also x₁ = -3 und x₂ = 1.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente F '(-1) = f(-1) = $-2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich F(-1) = 2 am Schaubild ablesen:

Also gilt: F(-1) + f(-1) = 2 + ( - 2 ) = $0$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = $-1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-2)) = f($-1$).

f($-1$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-2)) = f($-1$) = $-\mathrm{1,5}$.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a) oder $$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f\text{'}(x)}dx$$ = f(b)- f(a)

Wir können im Schaubild f(0) = 0 und f(1) = -1 ablesen.

Also gilt $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}(x)}dx$$ = f(1)- f(0) = -1 - 0 = -1.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a)

Wir können also F(3)- F(0) durch den Wert des Integrals $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [0;3] einschließt.

Den gesuchten Flächeninhalt können wir über die eingezeichnete Dreiecksfläche berechnen:

I = $\frac{1}{2}$⋅( - 6 )⋅3 = -9

Somit gilt: F(3)-F(0) = -9

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a) oder $$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f\text{'}(x)}dx$$ = f(b)- f(a)

Oder anders ausgedrückt f(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als f(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -2 und x = 1 die Werte von f ' alle positiv sind, die Originalfunktion f ist hier also monton steigend. Also muss f(1) > f(-2) sein.

Zwischen x=1 und x=3 sind die Werte von f ' dagegen alle negativ, die Originalfunktion f muss hier also monton fallend sein. Folglich ist f(3) < f(1).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte f(1) der größte der drei Werte ist.

Um nun noch herauszufinden. ob f(-2)>f(3) oder f(3)>f(-2) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

$$\left|\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}(x)}dx\right|$$ > $$\left|\underset{1}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}(x)}dx\right|$$

Das bedeutet, dass der Zuwachs im linken Interval zwischen -2 und 1 größer ist als die Abnahme im rechten Interval zwischen 1 und 3.

Also muss f(-2) kleiner als f(3) sein. Insgesamt gilt:

f(-2) < f(3) < f(1)

Die Steigung der Tangente an den Graph von F, kurz die Tangentensteigung von F, ist f, die Ableitung von F.

Da die Gerade g die Steigung -2 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -2 haben. Es muss also f(x) = -2 gelten.

Am Schaubild kann man f(1) = -2 ablesen.

Die gesuchte Stelle ist also x = 1.

1. Eine Nullstelle hat natürlich jede Integralfunktion, nämlich die untere Intergralgrenze, da ja $$\underset{\mathrm{c}}{\overset{\mathrm{c}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 für alle c gilt. Somit ist x = -4 eine Nullstelle von J_-4.
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
2. Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = -2 erkennen, weil man am Graph beim Integral $$\underset{-4}{\overset{-2}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $$\underset{-4}{\overset{-2}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ =0 und J_-4(-2) = 0, J_-4 hat also bei x = -2 eine Nullstelle.
3. Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = 1 erkennen, weil man am Graph beim Integral $$\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $$\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ =0 und J_-4(1) = $$\underset{-4}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = $$\underset{-4}{\overset{-2}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ + $$\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 + 0 = 0, J_-4 hat also bei x = 1 eine Nullstelle.

An den Rändern kann man erkennen, dass es keine weiteren Teilflächen gibt, die sich aufheben könnten.

Somit hat die Integralfunktion J_-4(x) = $$\underset{-4}{\overset{\mathrm{x}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ im abgebildeten Bereich 3 Nullstellen.