Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Da der Graph von f ' bei x = -3 die x-Achse berührt und f ' somit keinen VZW aufweist, kann der Graph der Originalfunktion f bei x = -3 auch keinen Extrempunkt haben (Er hat dort einen Sattelpunkt).

Wir erkennen bei x = 2 einen VZW in der Funktion f ' von + nach -. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = 2 einen Hochpunkt haben.

Wir erkennen bei x = 3 einen VZW in der Funktion f ' von - nach +. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = 3 einen Tiefpunkt haben.

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 1 und x = 3.

Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion von f ', also die 2. Ableitungsfunktion f '', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;-3] gilt: f ''(x) ≤ 0, also ist f ' monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [-3;1] gilt: f ''(x) ≥ 0, also ist f ' monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [1;4] gilt: f ''(x) ≤ 0, also ist f ' monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [4;6] gilt: f ''(x) ≥ 0, also ist f ' monoton steigend.

Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung -3 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -3 haben. Es muss also f '(x) = -3 gelten.

Am Schaubild kann man f '(2) = -3 und f '(0) = -3 ablesen.

Die gesuchten Stellen sind also x₁ = 2 und x₂ = 0.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(1) = 1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(1) + f '(1) = 1 + 0 = $1$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f(-1) = $-2$ entnehmen, weil ja f die Ableitungsfunktion von F ist und somit die Tangentensteigung von F angibt.

Wir suchen also F(f(-1)) = F($-2$).

F($-2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

F(f(-1)) = F($-2$) = $2$.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a)

Wir können im Schaubild F(-1) = 0 und F(0) = -3 ablesen.

Also gilt $$\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(0)- F(-1) = -3 - 0 = -3.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a)

Wir können also F(2)- F(0) durch den Wert des Integrals $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [0;2] einschließt.

Dazu zerlegen wir die Fläche in eine Rechtecks- und eine Dreiecksfläche:

I₁ = ( - 1 )⋅2 = -2 (Rechteck)

I₂ = $\frac{1}{2}$⋅( - 1 )⋅2 = -1 (Dreieck)

Wir erhalten also I=I₁+I₂ = -3 als orientierten Flächeninhalt.

Somit gilt: F(2)-F(0) = -3

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a)

Oder anders ausgedrückt F(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als F(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -3.1 und x = -0.75 die Werte von f alle positiv sind, die Stammfunktion F ist hier also monton steigend. Also muss F(-0.75) > F(-3.1) sein.

Zwischen x=-0.75 und x=0.9 sind die Werte von f dagegen alle negativ, die Stammfunktion F muss hier also monton fallend sein. Folglich ist F(0.9) < F(-0.75).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte F(-0.75) der größte der drei Werte ist.

Um nun noch herauszufinden. ob F(-3.1)>F(0.9) oder F(0.9)>F(-3.1) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

$$\left|\underset{-3.1}{\overset{-0.75}{\int }}\mathrm{f(x)}dx\right|$$ > $$\left|\underset{-0.75}{\overset{0.9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx\right|$$

Das bedeutet, dass der Zuwachs im linken Interval zwischen -3.1 und -0.75 größer ist als die Abnahme im rechten Interval zwischen -0.75 und 0.9.

Also muss F(-3.1) kleiner als F(0.9) sein. Insgesamt gilt:

F(-3.1) < F(0.9) < F(-0.75)

Die Steigung der Tangente an den Graph von F, kurz die Tangentensteigung von F, ist f, die Ableitung von F.

Da die Gerade g die Steigung -2 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -2 haben. Es muss also f(x) = -2 gelten.

Am Schaubild kann man f(1) = -2 ablesen.

Die gesuchte Stelle ist also x = 1.

1. Eine Nullstelle hat natürlich jede Integralfunktion, nämlich die untere Intergralgrenze, da ja $$\underset{\mathrm{c}}{\overset{\mathrm{c}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 für alle c gilt. Somit ist x = -2 eine Nullstelle von J_-2.
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
2. Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = 0.4 erkennen, weil man am Graph beim Integral $$\underset{-2}{\overset{0.4}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $$\underset{-2}{\overset{0.4}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ =0 und J_-2(0.4) = 0, J_-2 hat also bei x = 0.4 eine Nullstelle.
3. Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = 2.8 erkennen, weil man am Graph beim Integral $$\underset{0.4}{\overset{2.8}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $$\underset{0.4}{\overset{2.8}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ =0 und J_-2(2.8) = $$\underset{-2}{\overset{2.8}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = $$\underset{-2}{\overset{0.4}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ + $$\underset{0.4}{\overset{2.8}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 + 0 = 0, J_-2 hat also bei x = 2.8 eine Nullstelle.
4. Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = 5.2 erkennen, weil man am Graph beim Integral $$\underset{2.8}{\overset{5.2}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $$\underset{2.8}{\overset{5.2}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ =0 und J_-2(5.2) = $$\underset{-2}{\overset{5.2}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = $$\underset{-2}{\overset{2.8}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ + $$\underset{2.8}{\overset{5.2}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 + 0 = 0, J_-2 hat also bei x = 5.2 eine Nullstelle.
5. Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x=-4.4 erkennen, weil man am Graph beim Integral $$\underset{-4.4}{\overset{-2}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $$\underset{-4.4}{\overset{-2}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 und J_-2(-4.4) = $$\underset{-2}{\overset{-4.4}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = - $$\underset{-4.4}{\overset{-2}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0, J_-2 hat also bei x = -4.4 eine Nullstelle.

An den Rändern kann man erkennen, dass es keine weiteren Teilflächen gibt, die sich aufheben könnten.

Somit hat die Integralfunktion J_-2(x) = $$\underset{-2}{\overset{\mathrm{x}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ im abgebildeten Bereich 5 Nullstellen.