Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f ''= 0, wir suchen also die Nullstellen der 2.Ableitungsfunktion f ''.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f ', um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f '' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten 2.Ableitungsfunktion f ''.

Wir erkennen bei x = -3 einen VZW in der Funktion f '' von - nach +. Also muss der Graph der Ableitungsfunktion f ' bei x = -3 einen Tiefpunkt haben.

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 0 und x = 2.

Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion von f ', also die 2. Ableitungsfunktion f '', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;-4] gilt: f ''(x) ≥ 0, also ist f ' monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [-4;6] gilt: f ''(x) ≤ 0, also ist f ' monoton fallend.

Die Steigung der Tangente an den Graph von F, kurz die Tangentensteigung von F, ist f, die Ableitung von F.

Da die Gerade g die Steigung -3 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -3 haben. Es muss also f(x) = -3 gelten.

Am Schaubild kann man f(0) = -3 und f(-2) = -3 ablesen.

Die gesuchten Stellen sind also x₁ = 0 und x₂ = -2.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(1) = $1$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(1) = -4 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(1) + f '(1) = -4 + 1 = $-3$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $-2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f($-2$).

f($-2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f($-2$) = 0.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a) oder $$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f\text{'}(x)}dx$$ = f(b)- f(a)

Wir können im Schaubild f(-3) = 0 und f(-2) = 3 ablesen.

Also gilt $$\underset{-3}{\overset{-2}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}(x)}dx$$ = f(-2)- f(-3) = 3 - 0 = 3.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a)

Wir können also F(4)- F(-3) durch den Wert des Integrals $$\underset{-3}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [-3;4] einschließt.

Dazu betrachten wir die beiden Dreiecksflächen:

I₁ = $\frac{1}{2}$⋅3⋅3 = 4.5 (links)

I₂ = $\frac{1}{2}$⋅( - 4 )⋅4 = -8 (rechts)

Wir erhalten also I=I₁+I₂ = -3.5 als orientierten Flächeninhalt.

Somit gilt: F(4)-F(-3) = -3.5

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a)

Oder anders ausgedrückt F(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als F(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -0.8 und x = -0.3 die Werte von f alle negativ sind, die Stammfunktion F ist hier also monton fallend. Also muss F(-0.3) < F(-0.8) sein.

Zwischen x=-0.3 und x=1.1 sind die Werte von f dagegen alle positiv, die Stammfunktion F muss hier also monton steigend sein. Folglich ist F(1.1) > F(-0.3).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte F(-0.3) der kleinste der drei Werte ist.

Um nun noch herauszufinden. ob F(-0.8)>F(1.1) oder F(1.1)>F(-0.8) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

$$\left|\underset{-0.8}{\overset{-0.3}{\int }}\mathrm{f(x)}dx\right|$$ < $$\left|\underset{-0.3}{\overset{1.1}{\int }}\mathrm{f(x)}dx\right|$$

Das bedeutet, dass die Abnahme im linken Interval zwischen -0.8 und -0.3 kleiner ist als der Zuwachs im rechten Interval zwischen -0.3 und 1.1.

Also muss F(-0.8) kleiner als F(1.1) sein. Insgesamt gilt:

F(-0.3) < F(-0.8) < F(1.1)

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a)

Wir können im Schaubild F(-2) = 0 und F(1) = -3 ablesen.

Also gilt $$\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(1)- F(-2) = -3 - 0 = -3.

1. Eine Nullstelle hat natürlich jede Integralfunktion, nämlich die untere Intergralgrenze, da ja $$\underset{\mathrm{c}}{\overset{\mathrm{c}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 für alle c gilt. Somit ist x = -3 eine Nullstelle von J_-3.
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
2. Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = -1 erkennen, weil man am Graph beim Integral $$\underset{-3}{\overset{-1}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $$\underset{-3}{\overset{-1}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ =0 und J_-3(-1) = 0, J_-3 hat also bei x = -1 eine Nullstelle.
3. Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x=-5 erkennen, weil man am Graph beim Integral $$\underset{-5}{\overset{-3}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $$\underset{-5}{\overset{-3}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 und J_-3(-5) = $$\underset{-3}{\overset{-5}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = - $$\underset{-5}{\overset{-3}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0, J_-3 hat also bei x = -5 eine Nullstelle.

An den Rändern kann man erkennen, dass es keine weiteren Teilflächen gibt, die sich aufheben könnten.

Somit hat die Integralfunktion J_-3(x) = $$\underset{-3}{\overset{\mathrm{x}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ im abgebildeten Bereich 3 Nullstellen.