Aufgabenbeispiele von Anwendungen
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Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach Minuten darin?
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=
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
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=
=
=
=
=
=
≈ 98,667
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 2 so, dass =
=
=
=
=
=
Diese Integralfunktion soll ja den Wert annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :
= | | |
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
u2 =
Da u=
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)=
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
=
=
=
=
≈ 1,584
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Der Graph der Funktion f mit f(x)=
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
=
=
=
=
=
=
Für u → ∞ gilt: A(u) =
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.375
Maximaler Bestand rückwärts
Beispiel:
Der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.
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= | |
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= | |ln(⋅) | |
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= |
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= | |
|
|
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= |
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|:( |
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= |
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Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 2 der Bestand (Höhe des Fahrstuhls) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:
=
=
=
=
=
≈ 1,437
Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 1,437 m
Wenn der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) aber 50 m ist müssen ja zu Beginn bereits 50 m - 1,437 m ≈ 48,563 m vorhanden gewesen sein.
Der Anfangs-Höhe des Fahrstuhls betrug demnach B0 = 48,563 m.
minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)
Beispiel:
- Nach wie vielen Minuten ist am wenigsten Wasser im Tank?
- Bei Beobachtungsbeginn sind ca. 31,9 Liter Wasser im Tank. Bestimme den kleinstmöglichen Inhalt an Liter Wasser im abgebildeten Zeitraum.
- Wie viele Liter Wasser fließen in den ersten 3 Minuten in den Tank hinein?
Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Zuflussrate über der Abflussrate liegt, so dass hier das Wasservolumen zunimmt.
Von 1 bis 7 liegt dann die Abflussrate über der Zuflussrate, so dass hier das Wasservolumen abnimmt.
Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Zuflussrate über der Abflussrate, so dass hier das Wasservolumen wieder zunimmt.
Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.1
Liter
von 1 bis 7: ca. -12 Liter
- Zeitpunkt des kleinsten Bestands
Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 7 min.
- kleinster Bestand
Da das Wasservolumen zwischen t = 0 und t = 7 erst 1.1 Liter zu- und dann wieder 12 Liter abgenommen hat, muss der geringste Bestand zum Zeitpunkt t =7 sein (bevor es danach wieder zunimmt). Für diesen minimalen Bestand gilt dann:
B7 = 31.9+1.1-12 = 21 Liter . - reiner Zuwachs nach 3 min
Da ja die blaue Kurve der Graph der Zunahme darstellt, müssen wir einfach die Fläche zwischen der blauen Kurve und der x-Achse im Intervall [0;3] ablesen. Diese ist ca. Z3 = 8.5 Liter .