Aufgabenbeispiele von Anwendungen
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Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
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=
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=
=
=
≈ 40,667
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 80 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
=
=
=
=
≈ 5,423
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
=
=
=
Diese Integralfunktion soll ja den Wert annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | | | ||
| u1 | = |
|
=
|
| u2 | = |
|
=
|
Da u=
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)=
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
=
=
=
=
≈ 0,541
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Der Graph der Funktion f mit f(x)=
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
=
=
=
=
=
=
Für u → ∞ gilt: A(u) =
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5
Maximaler Bestand rückwärts
Beispiel:
Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.
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= | |
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= | |: |
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= | |ln(⋅) | |
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= |
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= | |
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= |
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|:( |
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= |
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Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 2 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:
=
=
=
=
=
≈ 2,873
Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 2,873 m³
Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 60 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 60 m³ - 2,873 m³ ≈ 57,127 m³ vorhanden gewesen sein.
Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B0 = 57,127 m³.
minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)
Beispiel:
- Der geringste Vorsprung von Radfahrer1 auf Radfahrer2 ist im abgebildeten Zeitraum ca. 17,8 Meter. Bestimme den Vorsprung von Radfahrer1 auf Radfahrer2 bei Beobachtungsbeginn.
- Nach wie vielen Sekunden ist der Vorsprung von Radfahrer1 gegenüber Radfahrer2 am größten?
- Wie viele Meter ist der Radfahrer1 in den ersten 3 Sekunden gefahren?
Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers liegt, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers zunimmt.
Von 1 bis 9 liegt dann die Geschwindigkeit des 2. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 1. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers abnimmt.
Von 9 bis 10 liegt dann wieder die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers wieder zunimmt.
Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 0.5
Meter
von 1 bis 9: ca. -10.7 Meter
von 9 bis 10: ca. 0.5 Meter
- Anfangsbestand
Da der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und seinem Tiefstand bei t = 9 (bevor es danach wieder zunimmt) erst 0.5 Meter zu- und dann wieder 10.7 Meter abgenommen hat, also insgesamt um |0.5-10.7| = 10.2 Meter weniger wurde, muss es beim Beobachtungsbeginn t = 0 bereits 17.8+10.2 = 28 Meter betragen haben.
- Zeitpunkt des größten Bestands
Nachdem der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 9 jedoch größer als der Zuwachs zwischen t = 9 und t = 10, so dass der Höchststand von t = 1 nicht wieder erreicht wird.
Somit wird der Vorsprung des 1. Radfahrers bei t = 1 s maximal. - reiner Zuwachs nach 3 s
Da ja die blaue Kurve der Graph der Zunahme darstellt, müssen wir einfach die Fläche zwischen der blauen Kurve und der x-Achse im Intervall [0;3] ablesen. Diese ist ca. Z3 = 12.4 Meter .
