Aufgabenbeispiele von Anwendungen
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Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 8 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?
=
=
=
≈ 20,036
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach Minuten darin?
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 12,333
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
=
=
=
Diese Integralfunktion soll ja den Wert annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :
| = | | | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = |
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen und .
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
=
=
=
=
=
=
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Der Graph der Funktion f mit f(x)= schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
=
=
=
=
=
Für u → ∞ gilt: A(u) = → = ≈ -3
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3
Maximaler Bestand rückwärts
Beispiel:
Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.
Wir wissen, dass bei der Sinus-Funktion die fallende Nullstelle nach einer halben Periode ist.
Die Periode von f ist p =
=
8. Somit ist die fallende Nullstelle nach einer halben Periode bei t = 4.
Da beim Sinus die Teilflächen über und unter der x-Achse gleich groß sind, wird dieser maximale Bestand zwar noch zu anderen Zeitpunkten erreicht, aber nie übertroffen.
Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 4 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:
=
=
=
=
=
≈ 5,093
Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 5,093 m³
Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 45 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 45 m³ - 5,093 m³ ≈ 39,907 m³ vorhanden gewesen sein.
Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B0 = 39,907 m³.
minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)
Beispiel:
- Nach wie vielen Sekunden ist der Vorsprung von Radfahrer1 gegenüber Radfahrer2 am größten?
- Der geringste Vorsprung von Radfahrer1 auf Radfahrer2 ist im abgebildeten Zeitraum ca. 22,9 Meter. Bestimme den Vorsprung von Radfahrer1 auf Radfahrer2 bei Beobachtungsbeginn.
- Wie viele Meter ist der Radfahrer1 in den ersten 2 Sekunden gefahren?
Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers liegt, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers zunimmt.
Von 1 bis 5 liegt dann die Geschwindigkeit des 2. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 1. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers abnimmt.
Von 5 bis 10 liegt dann wieder die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers wieder zunimmt.
Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.2
Meter
von 1 bis 5: ca. -5.3 Meter
- Zeitpunkt des größten Bestands
Nachdem der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 5 deutlich kleiner als der Zuwachs zwischen t = 5 und t = 10, so dass der Höchststand erst bei t = 10 erreicht wird.
Somit wird der Vorsprung des 1. Radfahrers bei t = 10 s maximal. - Anfangsbestand
Da der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und seinem Tiefstand bei t = 5 (bevor es danach wieder zunimmt) erst 1.2 Meter zu- und dann wieder 5.3 Meter abgenommen hat, also insgesamt um |1.2-5.3| = 4.1 Meter weniger wurde, muss es beim Beobachtungsbeginn t = 0 bereits 22.9+4.1 = 27 Meter betragen haben.
- reiner Zuwachs nach 2 s
Da ja die blaue Kurve der Graph der Zunahme darstellt, müssen wir einfach die Fläche zwischen der blauen Kurve und der x-Achse im Intervall [0;2] ablesen. Diese ist ca. Z2 = 10.2 Meter .
