= ${\left[\frac{2}{3}{e}^{3x-5}\right]}_0^1$

$=$ $\frac{2}{3}{e}^{3\cdot 1-5}-\frac{2}{3}{e}^{3\cdot 0-5}$

= $\frac{2}{3}{e}^{3-5}-\frac{2}{3}{e}^{0-5}$

= $\frac{2}{3}{e}^{-2}-\frac{2}{3}{e}^{-5}$

= ${\left[\ln \left(\left|$ 3x-5$\right|\right)\right]}_3^4$

$=$ $\ln \left(\left|$ 3\cdot 4-5$\right|\right)-\ln \left(\left|$ 3\cdot 3-5$\right|\right)$

= $\ln \left(\left|$ 12-5$\right|\right)-\ln \left(\left|$ 9-5$\right|\right)$

= $\ln \left(7\right)-\ln \left(\left|$ 9-5$\right|\right)$

= $\ln \left(7\right)-\ln \left(4\right)$

= ${\left[2x^2\right]}_2^u$

$=$ $2u^2-2\cdot 2^2$

= $2u^2-2\cdot 4$

= $2u^2-8$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $24$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Da u= $-4$ < 2 ist u= $4$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{2}{\pi }$ ${\left[-\frac{1}{2}\cdot \cos \left(2x-\frac{3}{2}\pi \right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $\frac{2}{\pi }·\left(-\frac{1}{2}\cdot \cos \left(2\cdot \pi -\frac{3}{2}\pi \right)+\frac{1}{2}\cdot \cos \left(2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)-\frac{3}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{2}{\pi }·\left(-\frac{1}{2}\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)+\frac{1}{2}\cdot \cos \left(-\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{2}{\pi }·\left(-\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot 0\right)$

= $\frac{2}{\pi }·\left(0+0\right)$

= $\frac{2}{\pi }·0$

= 0

= ${\left[e^{-2x+1}\right]}_1^u$

$=$ $e^{-2u+1}-e^{-2\cdot 1+1}$

= $e^{-2u+1}-e^{-2+1}$

= $e^{-2u+1}-e^{-1}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $e^{-2u+1}-e^{-1}$ → $0-e^{-1}$ = $-e^{-1}$ ≈ -0.368

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.368

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 6 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

= ${\left[-10e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{1,2}}-2x\right]}_0^6$

$=$ $-10e^{-\mathrm{0,2}\cdot 6+\mathrm{1,2}}-2\cdot 6-\left(-10e^{-\mathrm{0,2}\cdot 0+\mathrm{1,2}}-2\cdot 0\right)$

= $-10e^{-\mathrm{1,2}+\mathrm{1,2}}-12-\left(-10e^{0+\mathrm{1,2}}+0\right)$

= $-10e^0-12-\left(-10e^{\mathrm{1,2}}+0\right)$

= $-10-12+10e^{\mathrm{1,2}}$

= $-22+10e^{\mathrm{1,2}}$

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 11,201 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 50 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 50 m³ - 11,201 m³ ≈ 38,799 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 38,799 m³.

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers liegt, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers zunimmt.

Von 1 bis 7 liegt dann die Geschwindigkeit des 2. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 1. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers abnimmt.

Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.1 Meter
von 1 bis 7: ca. -12 Meter
von 7 bis 10: ca. 12 Meter

1. Zeitpunkt des kleinsten Bestands

   Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 7 s.

2. Bestand nach 3 s

   Die Änderung des Bestands kann man einfach durch die Flächen zwischen dem Kurven ablesen, wobei man hier natürlich die Vorzeichen übernehmen muss. Durch Abzählen der Kästchen der eingeschlossenen Flächen im Interval [0;3] kann man einen Zuwachs von ca. -2 erkennen.
   Für der Vorsprung des 1. Radfahrers nach 3 s gilt somit B₃ = 24 + -2 = 22 Meter .