= ${\left[3e^{2x-1}\right]}_2^4$

$=$ $3e^{2\cdot 4-1}-3e^{2\cdot 2-1}$

= $3e^{8-1}-3e^{4-1}$

= $3e^7-3e^3$

= ${\left[5e^{x-1}\right]}_1^4$

$=$ $5e^{4-1}-5e^{1-1}$

= $5e^3-5e^0$

= $5e^3-5$

= ${\left[2x^2-2x\right]}_1^u$

$=$ $2u^2-2u-\left(2\cdot 1^2-2\cdot 1\right)$

= $2u^2-2u-\left(2\cdot 1-2\right)$

= $2u^2-2u-\left(2-2\right)$

= $2u^2-2u-1·0$

= $2u^2-2u+0$

= $2u^2-2u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $\mathrm{97,5}$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$2u^2-2u-\mathrm{97,5}$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·2·\left(-\mathrm{97,5}\right)}}{2\cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+780}}{4}$

u_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{784}}{4}$

u₁ = $\frac{2+\sqrt{784}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>28</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{30}{4}$ = $\mathrm{7,5}$

u₂ = $\frac{2-\sqrt{784}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>28</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-26}{4}$ = $-\mathrm{6,5}$

Da u= $-\mathrm{6,5}$ < 1 ist u= $\mathrm{7,5}$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{2}$ ${\left[2e^{x-1}\right]}_0^2$

$=$ $\frac{1}{2}\left(2e^{2-1}-2e^{0-1}\right)$

= $\frac{1}{2}\left(2e^1-2e^{-1}\right)$

= $\frac{1}{2}\left(2e-2e^{-1}\right)$

= $\frac{1}{2}\left(-2e^{-1}+2e\right)$

= ${\left[-\frac{4}{3}{\left(3x-4\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}_{\frac{8}{3}}^u$

= ${\left[-\frac{4}{3}\sqrt{3x-4}\right]}_{\frac{8}{3}}^u$

$=$ $-\frac{4}{3}\sqrt{3u-4}+\frac{4}{3}\sqrt{3\cdot \left(\frac{8}{3}\right)-4}$

= $-\frac{4}{3}\sqrt{3u-4}+\frac{4}{3}\sqrt{8-4}$

= $-\frac{4}{3}\sqrt{3u-4}+\frac{4}{3}\sqrt{4}$

= $-\frac{4}{3}\sqrt{3u-4}+\frac{4}{3}\cdot 2$

= $-\frac{4}{3}\sqrt{3u-4}+\frac{8}{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $-\frac{4}{3}\sqrt{3u-4}+\frac{8}{3}$ → $-\infty$

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen, dass bei der Sinus-Funktion die fallende Nullstelle nach einer halben Periode ist.
Die Periode von f ist p = $\frac{2\pi }{\frac{1}{4}\pi }$ = 8. Somit ist die fallende Nullstelle nach einer halben Periode bei t = 4.

Da beim Sinus die Teilflächen über und unter der x-Achse gleich groß sind, wird dieser maximale Bestand zwar noch zu anderen Zeitpunkten erreicht, aber nie übertroffen.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 4 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

= ${\left[-\frac{2}{\mathrm{0,7854}}\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\pi t\right)\right]}_0^4$

$=$ $-\frac{2}{\mathrm{0,7854}}\cdot \cos (\frac{1}{4}\pi ·4)+\frac{2}{\mathrm{0,7854}}\cdot \cos (\frac{1}{4}\pi ·0)$

= $-\frac{2}{\mathrm{0,7854}}\cdot \cos \left(\pi \right)+\frac{2}{\mathrm{0,7854}}\cdot \cos \left(0\right)$

= $-\frac{2}{\mathrm{0,7854}}\cdot \left(-1\right)+\frac{2}{\mathrm{0,7854}}\cdot 1$

= $\mathrm{2,5465}+\mathrm{2,5465}$

= $\mathrm{5,093}$

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 5,093 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 45 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 45 m³ - 5,093 m³ ≈ 39,907 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 39,907 m³.

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers liegt, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers zunimmt.

Von 1 bis 9 liegt dann die Geschwindigkeit des 2. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 1. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers abnimmt.

Von 9 bis 10 liegt dann wieder die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 0.5 Meter
von 1 bis 9: ca. -10.7 Meter
von 9 bis 10: ca. 0.5 Meter

1. Anfangsbestand

   Da der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und seinem Tiefstand bei t = 9 (bevor es danach wieder zunimmt) erst 0.5 Meter zu- und dann wieder 10.7 Meter abgenommen hat, also insgesamt um |0.5-10.7| = 10.2 Meter weniger wurde, muss es beim Beobachtungsbeginn t = 0 bereits 10.8+10.2 = 21 Meter betragen haben.

2. Zeitpunkt des größten Bestands

   Nachdem der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 9 jedoch größer als der Zuwachs zwischen t = 9 und t = 10, so dass der Höchststand von t = 1 nicht wieder erreicht wird.
   Somit wird der Vorsprung des 1. Radfahrers bei t = 1 s maximal.

3. reiner Zuwachs nach 3 s

   Da ja die blaue Kurve der Graph der Zunahme darstellt, müssen wir einfach die Fläche zwischen der blauen Kurve und der x-Achse im Intervall [0;3] ablesen. Diese ist ca. Z₃ = 12.8 Meter .