= ${\left[\frac{2}{3}{e}^{3x-4}\right]}_0^2$

$=$ $\frac{2}{3}{e}^{3\cdot 2-4}-\frac{2}{3}{e}^{3\cdot 0-4}$

= $\frac{2}{3}{e}^{6-4}-\frac{2}{3}{e}^{0-4}$

= $\frac{2}{3}{e}^2-\frac{2}{3}{e}^{-4}$

= ${\left[\ln \left(\left|$ 3x-6$\right|\right)\right]}_4^7$

$=$ $\ln \left(\left|$ 3\cdot 7-6$\right|\right)-\ln \left(\left|$ 3\cdot 4-6$\right|\right)$

= $\ln \left(\left|$ 21-6$\right|\right)-\ln \left(\left|$ 12-6$\right|\right)$

= $\ln \left(15\right)-\ln \left(\left|$ 12-6$\right|\right)$

= $\ln \left(15\right)-\ln \left(6\right)$

= ${\left[-4x^2-x\right]}_3^u$

$=$ $-4u^2-u-\left(-4\cdot 3^2-3\right)$

= $-4u^2-u-\left(-4\cdot 9-3\right)$

= $-4u^2-u-\left(-36-3\right)$

= $-4u^2-u-1·\left(-39\right)$

= $-4u^2-u+39$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $-\mathrm{13,5}$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$-4u^2-u+\mathrm{52,5}$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·\left(-4\right)·\mathrm{52,5}}}{2\cdot \left(-4\right)}$

u_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+840}}{-8}$

u_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{841}}{-8}$

u₁ = $\frac{1+\sqrt{841}}{-8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>29</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{30}{-8}$ = $-\mathrm{3,75}$

u₂ = $\frac{1-\sqrt{841}}{-8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>29</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-28}{-8}$ = $\mathrm{3,5}$

Da u= $-\mathrm{3,75}$ < 3 ist u= $\mathrm{3,5}$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{2}$ ${\left[\frac{1}{3}{e}^{3x-6}\right]}_1^3$

$=$ $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}{e}^{3\cdot 3-6}-\frac{1}{3}{e}^{3\cdot 1-6}\right)$

= $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}{e}^{9-6}-\frac{1}{3}{e}^{3-6}\right)$

= $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}{e}^3-\frac{1}{3}{e}^{-3}\right)$

= ${\left[-4{\left(x-2\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}_u^{18}$

= ${\left[-4\sqrt{x-2}\right]}_u^{18}$

$=$ $-4\sqrt{18-2}+4\sqrt{u-2}$

= $-4\sqrt{16}+4\sqrt{u-2}$

= $-4\cdot 4+4\sqrt{u-2}$

= $-16+4\sqrt{u-2}$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $4\sqrt{u-2}-16$ → $0-16$ = $-16$ ≈ -16

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 16

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 2 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

= ${\left[-\frac{1}{6}{x}^3+2x\right]}_0^2$

$=$ $-\frac{1}{6}\cdot 2^3+2\cdot 2-\left(-\frac{1}{6}\cdot 0^3+2\cdot 0\right)$

= $-\frac{1}{6}\cdot 8+4-\left(-\frac{1}{6}\cdot 0+0\right)$

= $-\frac{4}{3}+4-\left(0+0\right)$

= $-\frac{4}{3}+\frac{12}{3}+0$

= $\frac{8}{3}$

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 2,667 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 40 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 40 m³ - 2,667 m³ ≈ 37,333 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 37,333 m³.

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände liegt, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zunimmt.

Von 1 bis 7 liegt dann die Austrittssrate aus dem Festival-Gelände über der Eintrittsrate ins Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände abnimmt.

Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.1 Hundert Personen
von 1 bis 7: ca. -12 Hundert Personen

1. Zeitpunkt des kleinsten Bestands

   Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 7 Stunden.

2. kleinster Bestand

   Da die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zwischen t = 0 und t = 7 erst 1.1 Hundert Personen zu- und dann wieder 12 Hundert Personen abgenommen hat, muss der geringste Bestand zum Zeitpunkt t =7 sein (bevor es danach wieder zunimmt). Für diesen minimalen Bestand gilt dann:
   B₇ = 32.9+1.1-12 = 22 Hundert Personen .