= ${\left[3e^{2x-2}\right]}_1^4$

$=$ $3e^{2\cdot 4-2}-3e^{2\cdot 1-2}$

= $3e^{8-2}-3e^{2-2}$

= $3e^6-3e^0$

= $3e^6-3$

= ${\left[\frac{8}{3}{\left(x-1\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_{10}^{17}$

= ${\left[\frac{8}{3}{\left(\sqrt{x-1}\right)}^3\right]}_{10}^{17}$

$=$ $\frac{8}{3}{\left(\sqrt{17-1}\right)}^3-\frac{8}{3}{\left(\sqrt{10-1}\right)}^3$

= $\frac{8}{3}{\left(\sqrt{16}\right)}^3-\frac{8}{3}{\left(\sqrt{9}\right)}^3$

= $\frac{8}{3}\cdot 4^3-\frac{8}{3}\cdot 3^3$

= $\frac{8}{3}\cdot 64-\frac{8}{3}\cdot 27$

= $\frac{512}{3}-72$

= $\frac{512}{3}-\frac{216}{3}$

= $\frac{296}{3}$

= ${\left[3e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,2}}\right]}_0^u$

$=$ $3e^{\mathrm{0,3}u-\mathrm{0,2}}-3e^{\mathrm{0,3}\cdot 0-\mathrm{0,2}}$

= $3e^{\mathrm{0,3}u-\mathrm{0,2}}-3e^{0-\mathrm{0,2}}$

= $3e^{\mathrm{0,3}u-\mathrm{0,2}}-3e^{-\mathrm{0,2}}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $15$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{5}$ ${\left[\frac{2}{3}{e}^{3x-6}\right]}_0^5$

$=$ $\frac{1}{5}\left(\frac{2}{3}{e}^{3\cdot 5-6}-\frac{2}{3}{e}^{3\cdot 0-6}\right)$

= $\frac{1}{5}\left(\frac{2}{3}{e}^{15-6}-\frac{2}{3}{e}^{0-6}\right)$

= $\frac{1}{5}\left(\frac{2}{3}{e}^9-\frac{2}{3}{e}^{-6}\right)$

= ${\left[-6{\left(x-3\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}_u^4$

= ${\left[-6\sqrt{x-3}\right]}_u^4$

$=$ $-6\sqrt{4-3}+6\sqrt{u-3}$

= $-6\sqrt{1}+6\sqrt{u-3}$

= $-6\cdot 1+6\sqrt{u-3}$

= $-6+6\sqrt{u-3}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $6\sqrt{u-3}-6$ → $0-6$ = $-6$ ≈ -6

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 6

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 3 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

= ${\left[-\frac{1}{9}{x}^3+3x\right]}_0^3$

$=$ $-\frac{1}{9}\cdot 3^3+3\cdot 3-\left(-\frac{1}{9}\cdot 0^3+3\cdot 0\right)$

= $-\frac{1}{9}\cdot 27+9-\left(-\frac{1}{9}\cdot 0+0\right)$

= $-3+9-\left(0+0\right)$

= $6+0$

= $6$

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 6 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 45 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 45 m³ - 6 m³ ≈ 39 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 39 m³.

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers liegt, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers zunimmt.

Von 1 bis 5 liegt dann die Geschwindigkeit des 2. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 1. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers abnimmt.

Von 5 bis 10 liegt dann wieder die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.2 Meter
von 1 bis 5: ca. -5.3 Meter

1. Zeitpunkt des größten Bestands

   Nachdem der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 5 deutlich kleiner als der Zuwachs zwischen t = 5 und t = 10, so dass der Höchststand erst bei t = 10 erreicht wird.
   Somit wird der Vorsprung des 1. Radfahrers bei t = 10 s maximal.

2. kleinster Bestand

   Da der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und t = 5 erst 1.2 Meter zu- und dann wieder 5.3 Meter abgenommen hat, muss der geringste Bestand zum Zeitpunkt t =5 sein (bevor es danach wieder zunimmt). Für diesen minimalen Bestand gilt dann:
   B₅ = 34.1+1.2-5.3 = 30 Meter .