Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3 x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 19 Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 28 Minuten darin?

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Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 19 und 28:
19 28 3 x -3 x
= 19 28 3 ( x -3 ) 1 2 x

= [ 2 ( x -3 ) 3 2 ] 19 28

= [ 2 ( x -3 ) 3 ] 19 28

= 2 ( 28 -3 ) 3 -2 ( 19 -3 ) 3

= 2 ( 25 ) 3 -2 ( 16 ) 3

= 2 5 3 -2 4 3

= 2125 -264

= 250 -128

= 122

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 19 und der Änderung zwischen 19 und 28 zusammen:
B = 17 + 122 = 139

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3 x -1 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 6 Minuten darin?

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Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 6:
3 6 3 x -1 x
= 3 6 3 ( x -1 ) -1 x

= [ 3 ln( | x -1 | ) ] 3 6

= 3 ln( | 6 -1 | ) -3 ln( | 3 -1 | )

= 3 ln( 5 ) -3 ln( | 3 -1 | )

= 3 ln( 5 ) -3 ln( 2 )


≈ 2,749
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 6 zusammen:
B = 16 + 3 ln( | 5 | ) -3 ln( | 2 | ) ≈ 18.75

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u ( 6x -5 ) x = 94,25

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0 u ( 6x -5 ) x

= [ 3 x 2 -5x ] 0 u

= 3 u 2 -5u - ( 3 0 2 -50 )

= 3 u 2 -5u - ( 30 +0)

= 3 u 2 -5u - (0+0)

= 3 u 2 -5u +0

= 3 u 2 -5u

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 94,25 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 u 2 -5u = 94,25 | -94,25

3 u 2 -5u -94,25 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 3 · ( -94,25 ) 23

u1,2 = +5 ± 25 +1131 6

u1,2 = +5 ± 1156 6

u1 = 5 + 1156 6 = 5 +34 6 = 39 6 = 6,5

u2 = 5 - 1156 6 = 5 -34 6 = -29 6 = - 29 6 ≈ -4.83

Da u= - 29 6 < 0 ist u= 6,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 ( 2x -2 ) 2 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 5 Minuten durchschnittlich im Tank?

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 +0 0 5 5 ( 2x -2 ) 2 x

= 1 5 [ 5 6 ( 2x -2 ) 3 ] 0 5

= 1 5 ( 5 6 ( 25 -2 ) 3 - 5 6 ( 20 -2 ) 3 )

= 1 5 ( 5 6 ( 10 -2 ) 3 - 5 6 ( 0 -2 ) 3 )

= 1 5 ( 5 6 8 3 - 5 6 ( -2 ) 3 )

= 1 5 ( 5 6 512 - 5 6 ( -8 ) )

= 1 5 ( 1280 3 + 20 3 )

= 1 5 · 1300 3

= 260 3


≈ 86,667

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= - 1 2x -2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 5,5 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


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A(u)= u 5,5 - 1 2x -2 x
= u 5,5 - ( 2x -2 ) - 1 2 x

= [ - ( 2x -2 ) 1 2 ] u 5,5

= [ - 2x -2 ] u 5,5

= - 25,5 -2 + 2u -2

= - 11 -2 + 2u -2

= - 9 + 2u -2

= -3 + 2u -2

= 2u -2 -3

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = 2u -2 -3 0 -3 = -3 ≈ -3

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

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Die Funktion f mit f(t)= e -0,3t +1,2 -1 beschreibt die Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Wassermenge im Tank beträgt im abgebildeten Zeitraum 55 m³. Bestimme die Wassermenge im Tank zu Beobachtungsbeginn.

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Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

e -0,3t +1,2 -1 = 0 | +1
e -0,3t +1,2 = 1 |ln(⋅)
-0,3t +1,2 = 0
-0,3t +1,2 = 0 | -1,2
-0,3t = -1,2 |:(-0,3 )
t = 4

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 4 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

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I = 0 4 ( e -0,3t +1,2 -1 ) t

= [ - 10 3 e -0,3x +1,2 - x ] 0 4

= - 10 3 e -0,34 +1,2 - 4 - ( - 10 3 e -0,30 +1,2 - 0 )

= - 10 3 e -1,2 +1,2 -4 - ( - 10 3 e 0 +1,2 +0)

= - 10 3 e 0 -4 - ( - 10 3 e 1,2 +0)

= - 10 3 -4 + 10 3 e 1,2

= - 10 3 - 12 3 + 10 3 e 1,2

= - 22 3 + 10 3 e 1,2


≈ 3,734

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 3,734 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 55 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 55 m³ - 3,734 m³ ≈ 51,266 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B0 = 51,266 m³.

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

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Bei einem großen Festival werden die hereinkommenden und die herausgehenden Besucher gemessen. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die momentane Eintrittsrate in Hundert Personen pro Stunde, der rote Graph die momentane Austrittssrate (in Hundert Personen pro Stunde). Die x-Achse zeigt die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Stunden nach Beobachtungsbeginn.
  1. Nach wie vielen Stunden sind die meisten Besucher auf dem Festival-Gelände?
  2. Nach wie vielen Stunden sind die wenigsten Besucher auf dem Festival-Gelände?

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Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände liegt, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zunimmt.

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Von 1 bis 5 liegt dann die Austrittssrate aus dem Festival-Gelände über der Eintrittsrate ins Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände abnimmt.

Von 5 bis 10 liegt dann wieder die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.2 Hundert Personen
von 1 bis 5: ca. -5.3 Hundert Personen

  1. Zeitpunkt des größten Bestands

    Nachdem die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 5 deutlich kleiner als der Zuwachs zwischen t = 5 und t = 10, so dass der Höchststand erst bei t = 10 erreicht wird.
    Somit wird die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände bei t = 10 Stunden maximal.

  2. Zeitpunkt des kleinsten Bestands

    Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 5, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 5 Stunden.