Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 x -3 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 19 s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 28 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 19 und 28:
19 28 3 x -3 x
= 19 28 3 ( x -3 ) 1 2 x

= [ 2 ( x -3 ) 3 2 ] 19 28

= [ 2 ( x -3 ) 3 ] 19 28

= 2 ( 28 -3 ) 3 -2 ( 19 -3 ) 3

= 2 ( 25 ) 3 -2 ( 16 ) 3

= 2 5 3 -2 4 3

= 2125 -264

= 250 -128

= 122

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 19 und der Änderung zwischen 19 und 28 zusammen:
B = 17 + 122 = 139

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von e x -3 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 24 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

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Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:
1 2 e x -3 x

= [ e x -3 ] 1 2

= e 2 -3 - e 1 -3

= e -1 - e -2


≈ 0,233
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:
B = 24 + e -1 - e -2 ≈ 24.23

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass 1 u ( -10x +2 ) x = -228

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1 u ( -10x +2 ) x

= [ -5 x 2 +2x ] 1 u

= -5 u 2 +2u - ( -5 1 2 +21 )

= -5 u 2 +2u - ( -51 +2 )

= -5 u 2 +2u - ( -5 +2 )

= -5 u 2 +2u -1 · ( -3 )

= -5 u 2 +2u +3

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -228 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-5 u 2 +2u +3 = -228 | +228

-5 u 2 +2u +231 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -2 ± 2 2 -4 · ( -5 ) · 231 2( -5 )

u1,2 = -2 ± 4 +4620 -10

u1,2 = -2 ± 4624 -10

u1 = -2 + 4624 -10 = -2 +68 -10 = 66 -10 = -6,6

u2 = -2 - 4624 -10 = -2 -68 -10 = -70 -10 = 7

Da u= -6,6 < 1 ist u= 7 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= x -3 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 19 und Minute 28 .

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 28 -19 19 28 x -3 x
= 1 9 19 28 ( x -3 ) 1 2 x

= 1 9 [ 2 3 ( x -3 ) 3 2 ] 19 28

= 1 9 [ 2 3 ( x -3 ) 3 ] 19 28

= 1 9 ( 2 3 ( 28 -3 ) 3 - 2 3 ( 19 -3 ) 3 )

= 1 9 ( 2 3 ( 25 ) 3 - 2 3 ( 16 ) 3 )

= 1 9 ( 2 3 5 3 - 2 3 4 3 )

= 1 9 ( 2 3 125 - 2 3 64 )

= 1 9 ( 250 3 - 128 3 )

= 1 9 · 122 3

= 122 27


≈ 4,519

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= 1 ( -3x +6 ) 3 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


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A(u)= 4 u 1 ( -3x +6 ) 3 x
= 4 u ( -3x +6 ) -3 x

= [ 1 6 ( -3x +6 ) -2 ] 4 u

= [ 1 6 ( -3x +6 ) 2 ] 4 u

= 1 6 ( -3u +6 ) 2 - 1 6 ( -34 +6 ) 2

= 1 6 ( -3u +6 ) 2 - 1 6 ( -12 +6 ) 2

= 1 6 ( -3u +6 ) 2 - 1 6 ( -6 ) 2

= 1 6 ( -3u +6 ) 2 - 1 6 ( 1 36 )

= 1 6 ( -3u +6 ) 2 - 1 216

Für u → ∞ gilt: A(u) = 1 6 ( -3u +6 ) 2 - 1 216 0 - 1 216 = - 1 216 ≈ -0.005

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.005

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

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Die Funktion f mit f(t)= 4 sin( 1 8 π t ) beschreibt die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer (f(t) in m/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Dabei stehen positive Werte für Geschwindigkeiten nach oben, negative für Geschwindigkeiten nach unten. Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Höhe des Fahrstuhls beträgt im abgebildeten Zeitraum 50 m. Bestimme die Höhe des Fahrstuhls zu Beobachtungsbeginn.

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Der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen, dass bei der Sinus-Funktion die fallende Nullstelle nach einer halben Periode ist.
Die Periode von f ist p = 2π 1 8 π = 16. Somit ist die fallende Nullstelle nach einer halben Periode bei t = 8.

Da beim Sinus die Teilflächen über und unter der x-Achse gleich groß sind, wird dieser maximale Bestand zwar noch zu anderen Zeitpunkten erreicht, aber nie übertroffen.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 8 der Bestand (Höhe des Fahrstuhls) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

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I = 0 8 4 sin( 1 8 π t ) t

= [ - 4 0,3927 cos( 1 8 π t ) ] 0 8

= - 4 0,3927 cos( 1 8 π · 8 ) + 4 0,3927 cos( 1 8 π · 0)

= - 4 0,3927 cos(π) + 4 0,3927 cos(0)

= - 4 0,3927 ( -1 ) + 4 0,3927 1

= 10,1859 +10,1859

= 20,3718


≈ 20,372

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 20,372 m

Wenn der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) aber 50 m ist müssen ja zu Beginn bereits 50 m - 20,372 m ≈ 29,628 m vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Höhe des Fahrstuhls betrug demnach B0 = 29,628 m.

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

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Bei Beobachtungsbeginn fährt der Radfahrer 2 einige Meter hinter Radfahrer 1 her. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die Geschwindigkeit des Radfahrers 1 in Meter pro Sekunde, der rote Graph die Geschwindigkeit der Radfahrers 2 (in m/s). Die x-Achse zeigt die Zeit in Sekunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Sekunden nach Beobachtungsbeginn.
  1. Nach wie vielen Sekunden ist der Vorsprung von Radfahrer1 gegenüber Radfahrer2 am größten?
  2. Bei Beobachtungsbeginn ist der Radfahrer1 ca. 24,1 Meter vor Radfahrer2. Bestimme den kleinsten Vorsprung von Radfahrer1 auf Radfahrer2 im abgebildeten Zeitraum.

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Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers liegt, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers zunimmt.

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Von 1 bis 5 liegt dann die Geschwindigkeit des 2. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 1. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers abnimmt.

Von 5 bis 10 liegt dann wieder die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.2 Meter
von 1 bis 5: ca. -5.3 Meter

  1. Zeitpunkt des größten Bestands

    Nachdem der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 5 deutlich kleiner als der Zuwachs zwischen t = 5 und t = 10, so dass der Höchststand erst bei t = 10 erreicht wird.
    Somit wird der Vorsprung des 1. Radfahrers bei t = 10 s maximal.

  2. kleinster Bestand

    Da der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und t = 5 erst 1.2 Meter zu- und dann wieder 5.3 Meter abgenommen hat, muss der geringste Bestand zum Zeitpunkt t =5 sein (bevor es danach wieder zunimmt). Für diesen minimalen Bestand gilt dann:
    B5 = 24.1+1.2-5.3 = 20 Meter .