= ${\left[\frac{2}{3}{e}^{3x-7}\right]}_0^1$

$=$ $\frac{2}{3}{e}^{3\cdot 1-7}-\frac{2}{3}{e}^{3\cdot 0-7}$

= $\frac{2}{3}{e}^{3-7}-\frac{2}{3}{e}^{0-7}$

= $\frac{2}{3}{e}^{-4}-\frac{2}{3}{e}^{-7}$

= ${\left[\frac{4}{3}{e}^{3x-6}\right]}_1^3$

$=$ $\frac{4}{3}{e}^{3\cdot 3-6}-\frac{4}{3}{e}^{3\cdot 1-6}$

= $\frac{4}{3}{e}^{9-6}-\frac{4}{3}{e}^{3-6}$

= $\frac{4}{3}{e}^3-\frac{4}{3}{e}^{-3}$

= ${\left[-9e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}\right]}_0^u$

$=$ $-9e^{-\mathrm{0,3}u+\mathrm{0,9}}+9e^{-\mathrm{0,3}\cdot 0+\mathrm{0,9}}$

= $-9e^{-\mathrm{0,3}u+\mathrm{0,9}}+9e^{0+\mathrm{0,9}}$

= $-9e^{-\mathrm{0,3}u+\mathrm{0,9}}+9e^{\mathrm{0,9}}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $6$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{2}$ ${\left[-4{\left(x-3\right)}^{-1}\right]}_5^7$

= $\frac{1}{2}$ ${\left[-\frac{4}{x-3}\right]}_5^7$

$=$ $\frac{1}{2}\left(-\frac{4}{7-3}+\frac{4}{5-3}\right)$

= $\frac{1}{2}\left(-\frac{4}{4}+\frac{4}{2}\right)$

= $\frac{1}{2}\left(-4\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\frac{1}{2}\left(-1+2\right)$

= $\frac{1}{2}·1$

= $\frac{1}{2}$

= ${\left[\frac{1}{2}{\left(-3x+5\right)}^{-2}\right]}_3^u$

= ${\left[\frac{1}{2{\left(-3x+5\right)}^2}\right]}_3^u$

$=$ $\frac{1}{2{\left(-3u+5\right)}^2}-\frac{1}{2{\left(-3\cdot 3+5\right)}^2}$

= $\frac{1}{2{\left(-3u+5\right)}^2}-\frac{1}{2{\left(-9+5\right)}^2}$

= $\frac{1}{2{\left(-3u+5\right)}^2}-\frac{1}{2{\left(-4\right)}^2}$

= $\frac{1}{2{\left(-3u+5\right)}^2}-\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{16}\right)$

= $\frac{1}{2{\left(-3u+5\right)}^2}-\frac{1}{32}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2{\left(-3u+5\right)}^2}-\frac{1}{32}$ → $0-\frac{1}{32}$ = $-\frac{1}{32}$ ≈ -0.031

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.031

Der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 4 der Bestand (Höhe des Fahrstuhls) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

= ${\left[-10e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{1,2}}-3x\right]}_0^4$

$=$ $-10e^{-\mathrm{0,3}\cdot 4+\mathrm{1,2}}-3\cdot 4-\left(-10e^{-\mathrm{0,3}\cdot 0+\mathrm{1,2}}-3\cdot 0\right)$

= $-10e^{-\mathrm{1,2}+\mathrm{1,2}}-12-\left(-10e^{0+\mathrm{1,2}}+0\right)$

= $-10e^0-12-\left(-10e^{\mathrm{1,2}}+0\right)$

= $-10-12+10e^{\mathrm{1,2}}$

= $-22+10e^{\mathrm{1,2}}$

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 11,201 m

Wenn der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) aber 50 m ist müssen ja zu Beginn bereits 50 m - 11,201 m ≈ 38,799 m vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Höhe des Fahrstuhls betrug demnach B₀ = 38,799 m.

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 3 die Zuflussrate über der Abflussrate liegt, so dass hier das Wasservolumen zunimmt.

Von 3 bis 5 liegt dann die Abflussrate über der Zuflussrate, so dass hier das Wasservolumen abnimmt.

Von 5 bis 10 liegt dann wieder die Zuflussrate über der Abflussrate, so dass hier das Wasservolumen wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 3: ca. 9 Liter
von 3 bis 5: ca. -0.7 Liter

1. Zeitpunkt des größten Bestands

   Nachdem das Wasservolumen zwischen t = 0 und t = 3 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 3 und t = 5 deutlich kleiner als der Zuwachs zwischen t = 5 und t = 10, so dass der Höchststand erst bei t = 10 erreicht wird.
   Somit wird das Wasservolumen bei t = 10 min maximal.

2. Zeitpunkt des kleinsten Bestands

   Da zwischen 0 und 3 mehr Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 3 und 5, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand gleich zu Beginn, also bei t = 0 min.

3. reiner Zuwachs nach 4 min

   Da ja die blaue Kurve der Graph der Zunahme darstellt, müssen wir einfach die Fläche zwischen der blauen Kurve und der x-Achse im Intervall [0;4] ablesen. Diese ist ca. Z₄ = 28.4 Liter .