Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 x -2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 18 s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 27 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 18 und 27:
18 27 3 x -2 x
= 18 27 3 ( x -2 ) 1 2 x

= [ 2 ( x -2 ) 3 2 ] 18 27

= [ 2 ( x -2 ) 3 ] 18 27

= 2 ( 27 -2 ) 3 -2 ( 18 -2 ) 3

= 2 ( 25 ) 3 -2 ( 16 ) 3

= 2 5 3 -2 4 3

= 2125 -264

= 250 -128

= 122

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 18 und der Änderung zwischen 18 und 27 zusammen:
B = 9 + 122 = 131

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 2x -5 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 4s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 7:
4 7 5 2x -5 x
= 4 7 5 ( 2x -5 ) -1 x

= [ 5 2 ln( | 2x -5 | ) ] 4 7

= 5 2 ln( | 27 -5 | ) - 5 2 ln( | 24 -5 | )

= 5 2 ln( | 14 -5 | ) - 5 2 ln( | 8 -5 | )

= 5 2 ln( 9 ) - 5 2 ln( | 8 -5 | )

= 5 2 ln( 9 ) - 5 2 ln( 3 )


≈ 2,747
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 7 zusammen:
B = 20 + 5 2 ln( | 9 | ) - 5 2 ln( | 3 | ) ≈ 22.75

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 4,5 e -0,9x +0,9 x = 2

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0 u 4,5 e -0,9x +0,9 x

= [ -5 e -0,9x +0,9 ] 0 u

= -5 e -0,9u +0,9 +5 e -0,90 +0,9

= -5 e -0,9u +0,9 +5 e 0 +0,9

= -5 e -0,9u +0,9 +5 e 0,9

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 2 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-5 e -0,9u +0,9 +5 e 0,9 = 2 | -5 e 0,9
-5 e -0,9u +0,9 = -5 e 0,9 +2
-5 e -0,9u +0,9 = -10,298 |:-5
e -0,9u +0,9 = 2,0596 |ln(⋅)
-0,9u +0,9 = ln( 2,0596 )
-0,9u +0,9 = 0,7225 | -0,9
-0,9u = -0,1775 |:(-0,9 )
u = 0,1972

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 cos( x + 1 2 π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und π .

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π - 1 2 π 1 2 π π 4 cos( x + 1 2 π) x

= 2 π [ 4 sin( x + 1 2 π) ] 1 2 π π

= 2 π · ( 4 sin( π + 1 2 π) -4 sin( 1 2 π + 1 2 π) )

= 2 π · ( 4 sin( 3 2 π) -4 sin(π) )

= 2 π · ( 4( -1 ) -40 )

= 2 π · ( -4 +0 )

= 2 π · ( -4 )

= - 8 π


≈ -2,546

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= 3 x -3 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 7 und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


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A(u)= u 7 3 x -3 x
= u 7 3 ( x -3 ) - 1 2 x

= [ 6 ( x -3 ) 1 2 ] u 7

= [ 6 x -3 ] u 7

= 6 7 -3 -6 u -3

= 6 4 -6 u -3

= 62 -6 u -3

= 12 -6 u -3

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = -6 u -3 +12 0 +12 = 12 ≈ 12

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 12

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

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Die Funktion f mit f(t)= - 1 8 t 2 +8 beschreibt die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer (f(t) in m/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Dabei stehen positive Werte für Geschwindigkeiten nach oben, negative für Geschwindigkeiten nach unten. Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Höhe des Fahrstuhls beträgt im abgebildeten Zeitraum 40 m. Bestimme die Höhe des Fahrstuhls zu Beobachtungsbeginn.

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Der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

- 1 8 t 2 +8 = 0 | -8
- 1 8 t 2 = -8 |⋅ ( -8 )
t 2 = 64 | 2
t1 = - 64 = -8
t2 = 64 = 8

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 8 der Bestand (Höhe des Fahrstuhls) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

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I = 0 8 ( - 1 8 t 2 +8 ) t

= [ - 1 24 x 3 +8x ] 0 8

= - 1 24 8 3 +88 - ( - 1 24 0 3 +80 )

= - 1 24 512 +64 - ( - 1 24 0 +0)

= - 64 3 +64 - (0+0)

= - 64 3 + 192 3 +0

= 128 3


≈ 42,667

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 42,667 m

Wenn der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) aber 40 m ist müssen ja zu Beginn bereits 40 m - 42,667 m ≈ -2,667 m vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Höhe des Fahrstuhls betrug demnach B0 = -2,667 m.

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

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Bei Beobachtungsbeginn fährt der Radfahrer 2 einige Meter hinter Radfahrer 1 her. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die Geschwindigkeit des Radfahrers 1 in Meter pro Sekunde, der rote Graph die Geschwindigkeit der Radfahrers 2 (in m/s). Die x-Achse zeigt die Zeit in Sekunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Sekunden nach Beobachtungsbeginn.
  1. Nach wie vielen Sekunden ist der Vorsprung von Radfahrer1 gegenüber Radfahrer2 am kleinsten?
  2. 4 Sekunden nach Beobachtungsbeginn ist Radfahrer1 ca. 22,1 Meter vor Radfahrer2. Bestimme den Vorsprung von Radfahrer1 auf Radfahrer2 bei Beobachtungsbeginn.
  3. Wie viele Meter ist der Radfahrer1 in den ersten 4 Sekunden gefahren?

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Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers liegt, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers zunimmt.

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Von 1 bis 7 liegt dann die Geschwindigkeit des 2. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 1. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers abnimmt.

Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.1 Meter
von 1 bis 7: ca. -12 Meter

  1. Zeitpunkt des kleinsten Bestands

    Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 7 s.

  2. Anfangsbestand

    Die Änderung des Bestands kann man einfach durch die Flächen zwischen dem Kurven ablesen, wobei man hier natürlich die Vorzeichen übernehmen muss. Durch Abzählen der Kästchen der eingeschlossenen Flächen im Interval [0;4] kann man einen Zuwachs von ca. -4.9 erkennen.
    Bei Beobachtungsbeginn muss somit der Vorsprung des 1. Radfahrers um -4.9 Meter niedriger als die 22.1 nach 4 s gewesen sein:
    B0 = 22.1 - -4.9 = 27 Meter .

  3. reiner Zuwachs nach 4 s

    Da ja die blaue Kurve der Graph der Zunahme darstellt, müssen wir einfach die Fläche zwischen der blauen Kurve und der x-Achse im Intervall [0;4] ablesen. Diese ist ca. Z4 = 13.6 Meter .