Aufgabenbeispiele von Anwendungen
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Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 5s hat er bereits 11 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?
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= 0,5
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 6 Minuten darin?
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≈ 3,466
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass
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Diese Integralfunktion soll ja den Wert
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= | |: |
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= | |ln(⋅) | |
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|:( |
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Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)=
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
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≈ 8,167
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Der Graph der Funktion f mit f(x)=
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
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Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) =
Maximaler Bestand rückwärts
Beispiel:
Der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.
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= | |: |
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= | |ln(⋅) | |
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|:( |
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Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 5 der Bestand (Höhe des Fahrstuhls) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:
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=
≈ 7,183
Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 7,183 m
Wenn der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) aber 40 m ist müssen ja zu Beginn bereits 40 m - 7,183 m ≈ 32,817 m vorhanden gewesen sein.
Der Anfangs-Höhe des Fahrstuhls betrug demnach B0 = 32,817 m.
minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)
Beispiel:
- Nach wie vielen Stunden sind die wenigsten Besucher auf dem Festival-Gelände?
- Bei Beobachtungsbeginn sind ca. 19,8 Hundert Personen auf dem Festival-Gelände Wasser im Tank. Bestimme die Besucherzahl auf dem Festival-Gelände 2 Stunden nach Beobachtungsbeginn.
- Wie viele Hundert Personen treten in den ersten 2 Stunden in das Festival-Gelände ein?
Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände liegt, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zunimmt.
Von 1 bis 7 liegt dann die Austrittssrate aus dem Festival-Gelände über der Eintrittsrate ins Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände abnimmt.
Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände wieder zunimmt.
Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.1
Hundert Personen
von 1 bis 7: ca. -12 Hundert Personen
- Zeitpunkt des kleinsten Bestands
Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 7 Stunden.
- Bestand nach 2 Stunden
Die Änderung des Bestands kann man einfach durch die Flächen zwischen dem Kurven ablesen, wobei man hier natürlich die Vorzeichen übernehmen muss. Durch Abzählen der Kästchen der eingeschlossenen Flächen im Interval [0;2] kann man einen Zuwachs von ca. 0.2 erkennen.
Für die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände nach 2 Stunden gilt somit B2 = 19.8 + 0.2 = 20 Hundert Personen . - reiner Zuwachs nach 2 Stunden
Da ja die blaue Kurve der Graph der Zunahme darstellt, müssen wir einfach die Fläche zwischen der blauen Kurve und der x-Achse im Intervall [0;2] ablesen. Diese ist ca. Z2 = 10.1 Hundert Personen .