Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3 e x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 8 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

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Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:
0 2 3 e x -3 x

= [ 3 e x -3 ] 0 2

= 3 e 2 -3 -3 e 0 -3

= 3 e -1 -3 e -3


≈ 0,954
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:
B = 8 + 3 e -1 -3 e -3 ≈ 8.95

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 4 e 2x -4 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 58 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

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Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 4:
2 4 4 e 2x -4 x

= [ 2 e 2x -4 ] 2 4

= 2 e 24 -4 -2 e 22 -4

= 2 e 8 -4 -2 e 4 -4

= 2 e 4 -2 e 0

= 2 e 4 -2


≈ 107,196
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 4 zusammen:
B = 58 + 2 e 4 -2 ≈ 165.2

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 2,4 e 0,8x -0,3 x = 20

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0 u 2,4 e 0,8x -0,3 x

= [ 3 e 0,8x -0,3 ] 0 u

= 3 e 0,8u -0,3 -3 e 0,80 -0,3

= 3 e 0,8u -0,3 -3 e 0 -0,3

= 3 e 0,8u -0,3 -3 e -0,3

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 20 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 e 0,8u -0,3 -3 e -0,3 = 20 | +3 e -0,3
3 e 0,8u -0,3 = 3 e -0,3 +20
3 e 0,8u -0,3 = 22,2225 |:3
e 0,8u -0,3 = 7,4075 |ln(⋅)
0,8u -0,3 = ln( 7,4075 )
0,8u -0,3 = 2,0025 | +0,3
0,8u = 2,3025 |:0,8
u = 2,8781

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 sin( 3x - π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 1 2 π und π .

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 π - 1 2 π 1 2 π π 6 sin( 3x - π) x

= 2 π [ -2 cos( 3x - π) ] 1 2 π π

= 2 π · ( -2 cos( 3π - π) +2 cos( 3( 1 2 π ) - π) )

= 2 π · ( -2 cos(2π) +2 cos( 1 2 π) )

= 2 π · ( -21 +20 )

= 2 π · ( -2 +0 )

= 2 π · ( -2 )

= - 4 π


≈ -1,273

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= -3 e -x +2 schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


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A(u)= 0 u -3 e -x +2 x

= [ 3 e -x +2 ] 0 u

= 3 e -u +2 -3 e -0 +2

= 3 e -u +2 -3 e 2

Für u → ∞ gilt: A(u) = 3 e -u +2 -3 e 2 0 -3 e 2 = -3 e 2 ≈ -22.167

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 22.167

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

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Die Funktion f mit f(t)= 5 sin( 1 5 π t ) beschreibt die Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Wassermenge im Tank beträgt im abgebildeten Zeitraum 45 m³. Bestimme die Wassermenge im Tank zu Beobachtungsbeginn.

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Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen, dass bei der Sinus-Funktion die fallende Nullstelle nach einer halben Periode ist.
Die Periode von f ist p = 2π 1 5 π = 10. Somit ist die fallende Nullstelle nach einer halben Periode bei t = 5.

Da beim Sinus die Teilflächen über und unter der x-Achse gleich groß sind, wird dieser maximale Bestand zwar noch zu anderen Zeitpunkten erreicht, aber nie übertroffen.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 5 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

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I = 0 5 5 sin( 1 5 π t ) t

= [ - 5 0,6283 cos( 1 5 π t ) ] 0 5

= - 5 0,6283 cos( 1 5 π · 5 ) + 5 0,6283 cos( 1 5 π · 0)

= - 5 0,6283 cos(π) + 5 0,6283 cos(0)

= - 5 0,6283 ( -1 ) + 5 0,6283 1

= 7,9577 +7,9577

= 15,9155


≈ 15,915

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 15,915 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 45 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 45 m³ - 15,915 m³ ≈ 29,085 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B0 = 29,085 m³.

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

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Ein Wassertank hat einen Zu- und einen Abfluss. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die momentane Zuflussrate in Liter pro Minute, der rote Graph die momentane Abflussrate (Liter pro Minute). Die x-Achse zeigt die Zeit in Minuten nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Minuten nach Beobachtungsbeginn.
  1. Nach wie vielen Minuten ist am meisten Wasser im Tank?
  2. Nach wie vielen Minuten ist am wenigsten Wasser im Tank?

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Man erkennt schnell, dass von 0 bis 2 die Zuflussrate über der Abflussrate liegt, so dass hier das Wasservolumen zunimmt.

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Von 2 bis 4 liegt dann die Abflussrate über der Zuflussrate, so dass hier das Wasservolumen abnimmt.

Von 4 bis 10 liegt dann wieder die Zuflussrate über der Abflussrate, so dass hier das Wasservolumen wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 2: ca. 6.7 Liter
von 2 bis 4: ca. -1.3 Liter

  1. Zeitpunkt des größten Bestands

    Nachdem das Wasservolumen zwischen t = 0 und t = 2 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 2 und t = 4 deutlich kleiner als der Zuwachs zwischen t = 4 und t = 10, so dass der Höchststand erst bei t = 10 erreicht wird.
    Somit wird das Wasservolumen bei t = 10 min maximal.

  2. Zeitpunkt des kleinsten Bestands

    Da zwischen 0 und 2 mehr Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 2 und 4, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand gleich zu Beginn, also bei t = 0 min.