Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \sqrt{2 x - 4}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $10$ s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{29}{2}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

10

und

\frac{29}{2}

:

\int_{10}^{\frac{29}{2}} 3 \sqrt{2 x - 4} ⅆ x

=

\int_{10}^{\frac{29}{2}} 3 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 4)}^{\frac{3}{2}}]}_{10}^{\frac{29}{2}}$

= ${[{(\sqrt{2 x - 4})}^{3}]}_{10}^{\frac{29}{2}}$

$=$ ${(\sqrt{2 \cdot (\frac{29}{2}) - 4})}^{3} - {(\sqrt{2 \cdot 10 - 4})}^{3}$

= ${(\sqrt{29 - 4})}^{3} - {(\sqrt{20 - 4})}^{3}$

= ${(\sqrt{25})}^{3} - {(\sqrt{16})}^{3}$

= $5^{3} - 4^{3}$

= $125 - 64$

= $61$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

10

und der Änderung zwischen

10

und

\frac{29}{2}

zusammen:

B = 17 + $61$ = $78$

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{x - 2}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $11$ s hat er bereits 18 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $18$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

11

und

18

:

\int_{11}^{18} 6 \sqrt{x - 2} ⅆ x

=

\int_{11}^{18} 6 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[4 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}]}_{11}^{18}$

= ${[4 {(\sqrt{x - 2})}^{3}]}_{11}^{18}$

$=$ $4 {(\sqrt{18 - 2})}^{3} - 4 {(\sqrt{11 - 2})}^{3}$

= $4 {(\sqrt{16})}^{3} - 4 {(\sqrt{9})}^{3}$

= $4 \cdot 4^{3} - 4 \cdot 3^{3}$

= $4 \cdot 64 - 4 \cdot 27$

= $256 - 108$

= $148$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

11

und der Änderung zwischen

11

und

18

zusammen:

B = 18 + $148$ = $166$

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} - 10 x ⅆ x$ = $- 360$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} - 10 x ⅆ x

= ${[- 5 x^{2}]}_{3}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} + 5 \cdot 3^{2}$

= $- 5 u^{2} + 5 \cdot 9$

= $- 5 u^{2} + 45$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 360$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 u^{2} + 45$	=	$- 360$	\| $- 45$
$- 5 u^{2}$	=	$- 405$	\|: $(- 5)$
$u^{2}$	=	$81$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{81}$	= $- 9$
u₂	=	$\sqrt{81}$	= $9$

Da u= $- 9$ < 3 ist u= $9$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{3 x - 4}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 2 und Minute 3.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 - 2}

\int_{2}^{3} \frac{1}{3 x - 4} ⅆ x

=

1

\int_{2}^{3} {(3 x - 4)}^{- 1} ⅆ x

= $1$ ${[\frac{1}{3} \ln (| 3 x - 4 |)]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} \ln (| 3 \cdot 3 - 4 |) - \frac{1}{3} \ln (| 3 \cdot 2 - 4 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (| 9 - 4 |) - \frac{1}{3} \ln (| 6 - 4 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (5) - \frac{1}{3} \ln (| 6 - 4 |)$

= $\frac{1}{3} \ln (5) - \frac{1}{3} \ln (2)$

≈ 0,305

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(3 x - 5)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=3 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{3}^{u} \frac{1}{{(3 x - 5)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{3}^{u} {(3 x - 5)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} {(3 x - 5)}^{- 1}]}_{3}^{u}$

= ${[- \frac{1}{3 (3 x - 5)}]}_{3}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{3 (3 u - 5)} + \frac{1}{3 (3 \cdot 3 - 5)}$

= $- \frac{1}{3 (3 u - 5)} + \frac{1}{3 (9 - 5)}$

= $- \frac{1}{3 (3 u - 5)} + \frac{1}{3 \cdot 4}$

= $- \frac{1}{3 (3 u - 5)} + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{1}{3 (3 u - 5)} + \frac{1}{12}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{3 (3 u - 5)} + \frac{1}{12}$ → $0 + \frac{1}{12}$ = $\frac{1}{12}$ ≈ 0.083

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.083

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Die Funktion f mit

f(t) =

e^{- 0,5 t + 1} - 1

beschreibt die Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Wassermenge im Tank beträgt im abgebildeten Zeitraum 50 m³. Bestimme die Wassermenge im Tank zu Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

$e^{- 0,5 t + 1} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$e^{- 0,5 t + 1}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 0,5 t + 1$	=	0

$- 0,5 t + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 0,5 t$	=	$- 1$	\|:( $- 0,5$ )
$t$	=	$2$

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 2 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

I =

\int_{0}^{2} (e^{- 0,5 t + 1} - 1) ⅆ t

= ${[- 2 e^{- 0,5 x + 1} - x]}_{0}^{2}$

$=$ $- 2 e^{- 0,5 \cdot 2 + 1} - 2 - (- 2 e^{- 0,5 \cdot 0 + 1} - 0)$

= $- 2 e^{- 1 + 1} - 2 - (- 2 e^{0 + 1} + 0)$

= $- 2 e^{0} - 2 - (- 2 e^{1} + 0)$

= $- 2 - 2 - (- 2 e + 0)$

= $- 4 + 2 e$

≈ 1,437

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 1,437 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 50 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 50 m³ - 1,437 m³ ≈ 48,563 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 48,563 m³.

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

Bei Beobachtungsbeginn fährt der Radfahrer 2 einige Meter hinter Radfahrer 1 her. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die Geschwindigkeit des Radfahrers 1 in Meter pro Sekunde, der rote Graph die Geschwindigkeit der Radfahrers 2 (in m/s). Die x-Achse zeigt die Zeit in Sekunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Sekunden nach Beobachtungsbeginn.

Der geringste Vorsprung von Radfahrer1 auf Radfahrer2 ist im abgebildeten Zeitraum ca. 10,8 Meter. Bestimme den Vorsprung von Radfahrer1 auf Radfahrer2 bei Beobachtungsbeginn.
Nach wie vielen Sekunden ist der Vorsprung von Radfahrer1 gegenüber Radfahrer2 am größten?

Lösung einblenden

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers liegt, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers zunimmt.

Von 1 bis 9 liegt dann die Geschwindigkeit des 2. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 1. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers abnimmt.

Von 9 bis 10 liegt dann wieder die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 0.5 Meter
von 1 bis 9: ca. -10.7 Meter
von 9 bis 10: ca. 0.5 Meter

Anfangsbestand
Da der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und seinem Tiefstand bei t = 9 (bevor es danach wieder zunimmt) erst 0.5 Meter zu- und dann wieder 10.7 Meter abgenommen hat, also insgesamt um |0.5-10.7| = 10.2 Meter weniger wurde, muss es beim Beobachtungsbeginn t = 0 bereits 10.8+10.2 = 21 Meter betragen haben.
Zeitpunkt des größten Bestands
Nachdem der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 9 jedoch größer als der Zuwachs zwischen t = 9 und t = 10, so dass der Höchststand von t = 1 nicht wieder erreicht wird.
Somit wird der Vorsprung des 1. Radfahrers bei t = 1 s maximal.

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale

Maximaler Bestand rückwärts

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)