= ${\left[-\frac{1}{2}{\left(2x-2\right)}^{-1}\right]}_2^4$

= ${\left[-\frac{1}{2\left(2x-2\right)}\right]}_2^4$

$=$ $-\frac{1}{2\left(2\cdot 4-2\right)}+\frac{1}{2\left(2\cdot 2-2\right)}$

= $-\frac{1}{2\left(8-2\right)}+\frac{1}{2\left(4-2\right)}$

= $-\frac{1}{2\cdot 6}+\frac{1}{2\cdot 2}$

= $-\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)+\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)$

= $-\frac{1}{12}+\frac{1}{4}$

= $-\frac{1}{12}+\frac{3}{12}$

= $\frac{1}{6}$

= ${\left[\frac{3}{2}{e}^{2x-3}\right]}_1^4$

$=$ $\frac{3}{2}{e}^{2\cdot 4-3}-\frac{3}{2}{e}^{2\cdot 1-3}$

= $\frac{3}{2}{e}^{8-3}-\frac{3}{2}{e}^{2-3}$

= $\frac{3}{2}{e}^5-\frac{3}{2}{e}^{-1}$

= ${\left[x^2-x\right]}_0^u$

$=$ $u^2-u-\left(0^2-0\right)$

= $u^2-u-\left(0+0\right)$

= $u^2-u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $20$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$u^2-u-20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-20\right)}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{1+\sqrt{81}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{1-\sqrt{81}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

Da u= $-4$ < 0 ist u= $5$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{2}$ ${\left[2e^{2x-2}\right]}_2^4$

$=$ $\frac{1}{2}\left(2e^{2\cdot 4-2}-2e^{2\cdot 2-2}\right)$

= $\frac{1}{2}\left(2e^{8-2}-2e^{4-2}\right)$

= $\frac{1}{2}\left(2e^6-2e^2\right)$

= ${\left[-\frac{1}{2}{\left(-3x+6\right)}^{-2}\right]}_3^u$

= ${\left[-\frac{1}{2{\left(-3x+6\right)}^2}\right]}_3^u$

$=$ $-\frac{1}{2{\left(-3u+6\right)}^2}+\frac{1}{2{\left(-3\cdot 3+6\right)}^2}$

= $-\frac{1}{2{\left(-3u+6\right)}^2}+\frac{1}{2{\left(-9+6\right)}^2}$

= $-\frac{1}{2{\left(-3u+6\right)}^2}+\frac{1}{2{\left(-3\right)}^2}$

= $-\frac{1}{2{\left(-3u+6\right)}^2}+\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{9}\right)$

= $-\frac{1}{2{\left(-3u+6\right)}^2}+\frac{1}{18}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $-\frac{1}{2{\left(-3u+6\right)}^2}+\frac{1}{18}$ → $0+\frac{1}{18}$ = $\frac{1}{18}$ ≈ 0.056

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.056

Der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen, dass bei der Sinus-Funktion die fallende Nullstelle nach einer halben Periode ist.
Die Periode von f ist p = $\frac{2\pi }{\frac{1}{3}\pi }$ = 6. Somit ist die fallende Nullstelle nach einer halben Periode bei t = 3.

Da beim Sinus die Teilflächen über und unter der x-Achse gleich groß sind, wird dieser maximale Bestand zwar noch zu anderen Zeitpunkten erreicht, aber nie übertroffen.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 3 der Bestand (Höhe des Fahrstuhls) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

= ${\left[-\frac{3}{\mathrm{1,0472}}\cdot \cos \left(\frac{1}{3}\pi t\right)\right]}_0^3$

$=$ $-\frac{3}{\mathrm{1,0472}}\cdot \cos (\frac{1}{3}\pi ·3)+\frac{3}{\mathrm{1,0472}}\cdot \cos (\frac{1}{3}\pi ·0)$

= $-\frac{3}{\mathrm{1,0472}}\cdot \cos \left(\pi \right)+\frac{3}{\mathrm{1,0472}}\cdot \cos \left(0\right)$

= $-\frac{3}{\mathrm{1,0472}}\cdot \left(-1\right)+\frac{3}{\mathrm{1,0472}}\cdot 1$

= $\mathrm{2,8648}+\mathrm{2,8648}$

= $\mathrm{5,7296}$

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 5,73 m

Wenn der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) aber 60 m ist müssen ja zu Beginn bereits 60 m - 5,73 m ≈ 54,27 m vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Höhe des Fahrstuhls betrug demnach B₀ = 54,27 m.

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 3 die Zuflussrate über der Abflussrate liegt, so dass hier das Wasservolumen zunimmt.

Von 3 bis 7 liegt dann die Abflussrate über der Zuflussrate, so dass hier das Wasservolumen abnimmt.

Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Zuflussrate über der Abflussrate, so dass hier das Wasservolumen wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 3: ca. 4.5 Liter
von 3 bis 7: ca. -1.8 Liter
von 7 bis 10: ca. 4.5 Liter

1. Zeitpunkt des kleinsten Bestands

   Da zwischen 0 und 3 mehr Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 3 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand gleich zu Beginn, also bei t = 0 min.

2. größter Bestand

   Da der Zuwachs zwischen t = 7 und t = 10 größer ist als die Abnahme zwischen t = 3 und t = 7, wird der maximale Bestand erst nach 10 min erreicht. Bis zu diesem Zeitpunkt hat sich das Wasservolumen um 4.5 -1.8 + 4.5 = 7.2 Liter vermehrt.
   Der maximale Bestand ist somit B₁₀ = 16.8 + 7.2 = 24 Liter .