= ${\left[\frac{1}{2}{e}^{2x-2}\right]}_0^3$

$=$ $\frac{1}{2}{e}^{2\cdot 3-2}-\frac{1}{2}{e}^{2\cdot 0-2}$

= $\frac{1}{2}{e}^{6-2}-\frac{1}{2}{e}^{0-2}$

= $\frac{1}{2}{e}^4-\frac{1}{2}{e}^{-2}$

= ${\left[4\ln \left(\left|$ x-3$\right|\right)\right]}_5^6$

$=$ $4\ln \left(\left|$ 6-3$\right|\right)-4\ln \left(\left|$ 5-3$\right|\right)$

= $4\ln \left(3\right)-4\ln \left(\left|$ 5-3$\right|\right)$

= $4\ln \left(3\right)-4\ln \left(2\right)$

= ${\left[-2x^2-5x\right]}_1^u$

$=$ $-2u^2-5u-\left(-2\cdot 1^2-5\cdot 1\right)$

= $-2u^2-5u-\left(-2\cdot 1-5\right)$

= $-2u^2-5u-\left(-2-5\right)$

= $-2u^2-5u-1·\left(-7\right)$

= $-2u^2-5u+7$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $-5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$-2u^2-5u+12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·\left(-2\right)·12}}{2\cdot \left(-2\right)}$

u_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{25+96}}{-4}$

u_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{121}}{-4}$

u₁ = $\frac{5+\sqrt{121}}{-4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>11</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{16}{-4}$ = $-4$

u₂ = $\frac{5-\sqrt{121}}{-4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>11</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{-4}$ = $\mathrm{1,5}$

Da u= $-4$ < 1 ist u= $\mathrm{1,5}$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{3}$ ${\left[e^{x-1}\right]}_0^3$

$=$ $\frac{1}{3}\left(e^{3-1}-e^{0-1}\right)$

= $\frac{1}{3}\left(e^2-e^{-1}\right)$

= ${\left[{\left(-2x+4\right)}^{-1}\right]}_4^u$

= ${\left[\frac{1}{-2x+4}\right]}_4^u$

$=$ $\frac{1}{-2u+4}-\frac{1}{-2\cdot 4+4}$

= $\frac{1}{-2u+4}-\frac{1}{-8+4}$

= $\frac{1}{-2u+4}-\frac{1}{\left(-4\right)}$

= $\frac{1}{-2u+4}-\left(-\frac{1}{4}\right)$

= $\frac{1}{-2u+4}+\frac{1}{4}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{-2u+4}+\frac{1}{4}$ → $0+\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ ≈ 0.25

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.25

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 2 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

= ${\left[-2e^{-\mathrm{0,5}x+1}-x\right]}_0^2$

$=$ $-2e^{-\mathrm{0,5}\cdot 2+1}-2-\left(-2e^{-\mathrm{0,5}\cdot 0+1}-0\right)$

= $-2e^{-1+1}-2-\left(-2e^{0+1}+0\right)$

= $-2e^0-2-\left(-2e^1+0\right)$

= $-2-2-\left(-2e+0\right)$

= $-4+2e$

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 1,437 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 40 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 40 m³ - 1,437 m³ ≈ 38,563 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 38,563 m³.

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Zuflussrate über der Abflussrate liegt, so dass hier das Wasservolumen zunimmt.

Von 1 bis 7 liegt dann die Abflussrate über der Zuflussrate, so dass hier das Wasservolumen abnimmt.

Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Zuflussrate über der Abflussrate, so dass hier das Wasservolumen wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.1 Liter
von 1 bis 7: ca. -12 Liter

1. Zeitpunkt des kleinsten Bestands

   Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 7 min.

2. Bestand nach 4 min

   Die Änderung des Bestands kann man einfach durch die Flächen zwischen dem Kurven ablesen, wobei man hier natürlich die Vorzeichen übernehmen muss. Durch Abzählen der Kästchen der eingeschlossenen Flächen im Interval [0;4] kann man einen Zuwachs von ca. -4.9 erkennen.
   Für das Wasservolumen nach 4 min gilt somit B₄ = 28.9 + -4.9 = 24 Liter .