= ${\left[e^{3x-5}\right]}_0^1$

$=$ $e^{3\cdot 1-5}-e^{3\cdot 0-5}$

= $e^{3-5}-e^{0-5}$

= $e^{-2}-e^{-5}$

= ${\left[\frac{5}{3}{e}^{3x-4}\right]}_1^4$

$=$ $\frac{5}{3}{e}^{3\cdot 4-4}-\frac{5}{3}{e}^{3\cdot 1-4}$

= $\frac{5}{3}{e}^{12-4}-\frac{5}{3}{e}^{3-4}$

= $\frac{5}{3}{e}^8-\frac{5}{3}{e}^{-1}$

= ${\left[-4x^2\right]}_2^u$

$=$ $-4u^2+4\cdot 2^2$

= $-4u^2+4\cdot 4$

= $-4u^2+16$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $-65$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Da u= $-\frac{9}{2}$ < 2 ist u= $\frac{9}{2}$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{3}$ ${\left[\frac{5}{2}\ln \left(\left|$ 2x-1$\right|\right)\right]}_1^4$

$=$ $\frac{1}{3}\left(\frac{5}{2}\ln \left(\left|$ 2\cdot 4-1$\right|\right)-\frac{5}{2}\ln \left(\left|$ 2\cdot 1-1$\right|\right)\right)$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{5}{2}\ln \left(\left|$ 8-1$\right|\right)-\frac{5}{2}\ln \left(\left|$ 2-1$\right|\right)\right)$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{5}{2}\ln \left(7\right)-\frac{5}{2}\ln \left(\left|$ 2-1$\right|\right)\right)$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{5}{2}\ln \left(7\right)-\frac{5}{2}\ln \left(1\right)\right)$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{5}{2}\ln \left(7\right)+0\right)$

= $\frac{5}{6}\ln \left(7\right)$

= ${\left[-\frac{1}{6}{\left(-3x+5\right)}^{-2}\right]}_3^u$

= ${\left[-\frac{1}{6{\left(-3x+5\right)}^2}\right]}_3^u$

$=$ $-\frac{1}{6{\left(-3u+5\right)}^2}+\frac{1}{6{\left(-3\cdot 3+5\right)}^2}$

= $-\frac{1}{6{\left(-3u+5\right)}^2}+\frac{1}{6{\left(-9+5\right)}^2}$

= $-\frac{1}{6{\left(-3u+5\right)}^2}+\frac{1}{6{\left(-4\right)}^2}$

= $-\frac{1}{6{\left(-3u+5\right)}^2}+\frac{1}{6}\cdot \left(\frac{1}{16}\right)$

= $-\frac{1}{6{\left(-3u+5\right)}^2}+\frac{1}{96}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $-\frac{1}{6{\left(-3u+5\right)}^2}+\frac{1}{96}$ → $0+\frac{1}{96}$ = $\frac{1}{96}$ ≈ 0.01

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.01

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 2 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

= ${\left[-4e^{-\mathrm{0,5}x+1}-2x\right]}_0^2$

$=$ $-4e^{-\mathrm{0,5}\cdot 2+1}-2\cdot 2-\left(-4e^{-\mathrm{0,5}\cdot 0+1}-2\cdot 0\right)$

= $-4e^{-1+1}-4-\left(-4e^{0+1}+0\right)$

= $-4e^0-4-\left(-4e^1+0\right)$

= $-4-4-\left(-4e+0\right)$

= $-8+4e$

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 2,873 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 40 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 40 m³ - 2,873 m³ ≈ 37,127 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 37,127 m³.

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers liegt, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers zunimmt.

Von 1 bis 5 liegt dann die Geschwindigkeit des 2. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 1. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers abnimmt.

Von 5 bis 10 liegt dann wieder die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.2 Meter
von 1 bis 5: ca. -5.3 Meter

1. Zeitpunkt des größten Bestands

   Nachdem der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 5 deutlich kleiner als der Zuwachs zwischen t = 5 und t = 10, so dass der Höchststand erst bei t = 10 erreicht wird.
   Somit wird der Vorsprung des 1. Radfahrers bei t = 10 s maximal.

2. Zeitpunkt des kleinsten Bestands

   Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 5, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 5 s.

3. reiner Zuwachs nach 2 s

   Da ja die blaue Kurve der Graph der Zunahme darstellt, müssen wir einfach die Fläche zwischen der blauen Kurve und der x-Achse im Intervall [0;2] ablesen. Diese ist ca. Z₂ = 10.6 Meter .