= ${\left[2e^{3x-5}\right]}_1^3$

$=$ $2e^{3\cdot 3-5}-2e^{3\cdot 1-5}$

= $2e^{9-5}-2e^{3-5}$

= $2e^4-2e^{-2}$

= ${\left[2\ln \left(\left|$ x-2$\right|\right)\right]}_3^5$

$=$ $2\ln \left(\left|$ 5-2$\right|\right)-2\ln \left(\left|$ 3-2$\right|\right)$

= $2\ln \left(3\right)-2\ln \left(\left|$ 3-2$\right|\right)$

= $2\ln \left(3\right)-2\ln \left(1\right)$

= $2\ln \left(3\right)+0$

= $2\ln \left(3\right)$

= ${\left[-x^2-3x\right]}_3^u$

$=$ $-u^2-3u-\left(-3^2-3\cdot 3\right)$

= $-u^2-3u-\left(-9-9\right)$

= $-u^2-3u-1·\left(-9\right)-1·\left(-9\right)$

= $-u^2-3u+9+9$

= $-u^2-3u+18$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $-\mathrm{100,75}$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$-u^2-3u+\mathrm{118,75}$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·\left(-1\right)·\mathrm{118,75}}}{2\cdot \left(-1\right)}$

u_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{9+475}}{-2}$

u_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{484}}{-2}$

u₁ = $\frac{3+\sqrt{484}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>22</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{25}{-2}$ = $-\mathrm{12,5}$

u₂ = $\frac{3-\sqrt{484}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>22</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-19}{-2}$ = $\mathrm{9,5}$

Da u= $-\mathrm{12,5}$ < 3 ist u= $\mathrm{9,5}$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{\pi }$ ${\left[-2\cdot \cos \left(3x-\frac{3}{2}\pi \right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $\frac{1}{\pi }·\left(-2\cdot \cos \left(3\cdot \pi -\frac{3}{2}\pi \right)+2\cdot \cos \left(3\cdot \left(0\right)-\frac{3}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{1}{\pi }·\left(-2\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)+2\cdot \cos \left(-\frac{3}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{1}{\pi }·\left(-2\cdot 0+2\cdot 0\right)$

= $\frac{1}{\pi }·\left(0+0\right)$

= $\frac{1}{\pi }·0$

= 0

= ${\left[\frac{1}{2}{\left(-3x+6\right)}^{-2}\right]}_4^u$

= ${\left[\frac{1}{2{\left(-3x+6\right)}^2}\right]}_4^u$

$=$ $\frac{1}{2{\left(-3u+6\right)}^2}-\frac{1}{2{\left(-3\cdot 4+6\right)}^2}$

= $\frac{1}{2{\left(-3u+6\right)}^2}-\frac{1}{2{\left(-12+6\right)}^2}$

= $\frac{1}{2{\left(-3u+6\right)}^2}-\frac{1}{2{\left(-6\right)}^2}$

= $\frac{1}{2{\left(-3u+6\right)}^2}-\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{36}\right)$

= $\frac{1}{2{\left(-3u+6\right)}^2}-\frac{1}{72}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2{\left(-3u+6\right)}^2}-\frac{1}{72}$ → $0-\frac{1}{72}$ = $-\frac{1}{72}$ ≈ -0.014

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.014

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 6 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

= ${\left[-15e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{1,2}}-3x\right]}_0^6$

$=$ $-15e^{-\mathrm{0,2}\cdot 6+\mathrm{1,2}}-3\cdot 6-\left(-15e^{-\mathrm{0,2}\cdot 0+\mathrm{1,2}}-3\cdot 0\right)$

= $-15e^{-\mathrm{1,2}+\mathrm{1,2}}-18-\left(-15e^{0+\mathrm{1,2}}+0\right)$

= $-15e^0-18-\left(-15e^{\mathrm{1,2}}+0\right)$

= $-15-18+15e^{\mathrm{1,2}}$

= $-33+15e^{\mathrm{1,2}}$

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 16,802 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 40 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 40 m³ - 16,802 m³ ≈ 23,198 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 23,198 m³.

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers liegt, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers zunimmt.

Von 1 bis 5 liegt dann die Geschwindigkeit des 2. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 1. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers abnimmt.

Von 5 bis 10 liegt dann wieder die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.2 Meter
von 1 bis 5: ca. -5.3 Meter

1. Zeitpunkt des größten Bestands

   Nachdem der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 5 deutlich kleiner als der Zuwachs zwischen t = 5 und t = 10, so dass der Höchststand erst bei t = 10 erreicht wird.
   Somit wird der Vorsprung des 1. Radfahrers bei t = 10 s maximal.

2. Anfangsbestand

   Da der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und seinem Tiefstand bei t = 5 (bevor es danach wieder zunimmt) erst 1.2 Meter zu- und dann wieder 5.3 Meter abgenommen hat, also insgesamt um |1.2-5.3| = 4.1 Meter weniger wurde, muss es beim Beobachtungsbeginn t = 0 bereits 23.9+4.1 = 28 Meter betragen haben.