Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $6 e^{3 x - 6}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 59 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 6 e^{3 x - 6} ⅆ x

= ${[2 e^{3 x - 6}]}_{1}^{2}$

$=$ $2 e^{3 \cdot 2 - 6} - 2 e^{3 \cdot 1 - 6}$

= $2 e^{6 - 6} - 2 e^{3 - 6}$

= $2 e^{0} - 2 e^{- 3}$

= $2 - 2 e^{- 3}$

≈ 1,9

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 59 + $- 2 e^{- 3} + 2$ ≈ 60.9

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{4}{x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 4 Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 5:

\int_{4}^{5} \frac{4}{x - 2} ⅆ x

=

\int_{4}^{5} 4 {(x - 2)}^{- 1} ⅆ x

= ${[4 \ln (| x - 2 |)]}_{4}^{5}$

$=$ $4 \ln (| 5 - 2 |) - 4 \ln (| 4 - 2 |)$

= $4 \ln (3) - 4 \ln (| 4 - 2 |)$

= $4 \ln (3) - 4 \ln (2)$

≈ 1,622

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 5 zusammen:

B = 10 + $4 \ln (| 3 |) - 4 \ln (| 2 |)$ ≈ 11.62

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 0,2 e^{- 0,1 x + 0,6} ⅆ x$ = $1$

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\int_{0}^{u} 0,2 e^{- 0,1 x + 0,6} ⅆ x

= ${[- 2 e^{- 0,1 x + 0,6}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 2 e^{- 0,1 u + 0,6} + 2 e^{- 0,1 \cdot 0 + 0,6}$

= $- 2 e^{- 0,1 u + 0,6} + 2 e^{0 + 0,6}$

= $- 2 e^{- 0,1 u + 0,6} + 2 e^{0,6}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 2 e^{- 0,1 u + 0,6} + 2 e^{0,6}$	=	$1$	\| $- 2 e^{0,6}$
$- 2 e^{- 0,1 u + 0,6}$	=	$- 2 e^{0,6} + 1$
$- 2 e^{- 0,1 u + 0,6}$	=	$- 2,6442$	\|: $- 2$
$e^{- 0,1 u + 0,6}$	=	$1,3221$	\|ln(⋅)
$- 0,1 u + 0,6$	=	$\ln (1,3221)$

$- 0,1 u + 0,6$	=	$0,2792$	\| $- 0,6$
$- 0,1 u$	=	$- 0,3208$	\|:( $- 0,1$ )
$u$	=	$3,208$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $3 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π)$ zwischen $0$ und $\frac{3}{2} π$ .

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{3 π}$ ${[- \cos (3 x + \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3 π} \cdot (- \cos (3 \cdot (\frac{3}{2} π) + \frac{3}{2} π) + \cos (3 \cdot (0) + \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- \cos (6 π) + \cos (\frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 1 + 0)$

= $- \frac{2}{3 π}$

≈ -0,212

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= $- \frac{3}{\sqrt{x - 2}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $11$ und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{11} - \frac{3}{\sqrt{x - 2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{11} - 3 {(x - 2)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[- 6 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{11}$

= ${[- 6 \sqrt{x - 2}]}_{u}^{11}$

$=$ $- 6 \sqrt{11 - 2} + 6 \sqrt{u - 2}$

= $- 6 \sqrt{9} + 6 \sqrt{u - 2}$

= $- 6 \cdot 3 + 6 \sqrt{u - 2}$

= $- 18 + 6 \sqrt{u - 2}$

Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = $6 \sqrt{u - 2} - 18$ → $0 - 18$ = $- 18$ ≈ -18

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 18

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Die Funktion f mit

f(t) =

2 e^{- 0,3 t + 1,2} - 2

beschreibt die Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Wassermenge im Tank beträgt im abgebildeten Zeitraum 55 m³. Bestimme die Wassermenge im Tank zu Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

$2 e^{- 0,3 t + 1,2} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 e^{- 0,3 t + 1,2}$	=	$2$	\|: $2$
$e^{- 0,3 t + 1,2}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 0,3 t + 1,2$	=	0

$- 0,3 t + 1,2$	=	0	\| $- 1,2$
$- 0,3 t$	=	$- 1,2$	\|:( $- 0,3$ )
$t$	=	$4$

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 4 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

I =

\int_{0}^{4} (2 e^{- 0,3 t + 1,2} - 2) ⅆ t

= ${[- \frac{20}{3} e^{- 0,3 x + 1,2} - 2 x]}_{0}^{4}$

$=$ $- \frac{20}{3} e^{- 0,3 \cdot 4 + 1,2} - 2 \cdot 4 - (- \frac{20}{3} e^{- 0,3 \cdot 0 + 1,2} - 2 \cdot 0)$

= $- \frac{20}{3} e^{- 1,2 + 1,2} - 8 - (- \frac{20}{3} e^{0 + 1,2} + 0)$

= $- \frac{20}{3} e^{0} - 8 - (- \frac{20}{3} e^{1,2} + 0)$

= $- \frac{20}{3} - 8 + \frac{20}{3} e^{1,2}$

= $- \frac{20}{3} - \frac{24}{3} + \frac{20}{3} e^{1,2}$

= $- \frac{44}{3} + \frac{20}{3} e^{1,2}$

≈ 7,467

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 7,467 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 55 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 55 m³ - 7,467 m³ ≈ 47,533 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 47,533 m³.

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

Bei Beobachtungsbeginn fährt der Radfahrer 2 einige Meter hinter Radfahrer 1 her. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die Geschwindigkeit des Radfahrers 1 in Meter pro Sekunde, der rote Graph die Geschwindigkeit der Radfahrers 2 (in m/s). Die x-Achse zeigt die Zeit in Sekunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Sekunden nach Beobachtungsbeginn.

Nach wie vielen Sekunden ist der Vorsprung von Radfahrer1 gegenüber Radfahrer2 am größten?
Bei Beobachtungsbeginn ist der Radfahrer1 ca. 33,1 Meter vor Radfahrer2. Bestimme den kleinsten Vorsprung von Radfahrer1 auf Radfahrer2 im abgebildeten Zeitraum.
Wie viele Meter ist der Radfahrer1 in den ersten 3 Sekunden gefahren?

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Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers liegt, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers zunimmt.

Von 1 bis 5 liegt dann die Geschwindigkeit des 2. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 1. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers abnimmt.

Von 5 bis 10 liegt dann wieder die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.2 Meter
von 1 bis 5: ca. -5.3 Meter

Zeitpunkt des größten Bestands
Nachdem der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 5 deutlich kleiner als der Zuwachs zwischen t = 5 und t = 10, so dass der Höchststand erst bei t = 10 erreicht wird.
Somit wird der Vorsprung des 1. Radfahrers bei t = 10 s maximal.
kleinster Bestand
Da der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und t = 5 erst 1.2 Meter zu- und dann wieder 5.3 Meter abgenommen hat, muss der geringste Bestand zum Zeitpunkt t =5 sein (bevor es danach wieder zunimmt). Für diesen minimalen Bestand gilt dann:
B₅ = 33.1+1.2-5.3 = 29 Meter .
reiner Zuwachs nach 3 s
Da ja die blaue Kurve der Graph der Zunahme darstellt, müssen wir einfach die Fläche zwischen der blauen Kurve und der x-Achse im Intervall [0;3] ablesen. Diese ist ca. Z₃ = 9.2 Meter .

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale

Maximaler Bestand rückwärts

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)