Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 x -1 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 17 s hat er bereits 19 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 26 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 17 und 26:
17 26 6 x -1 x
= 17 26 6 ( x -1 ) 1 2 x

= [ 4 ( x -1 ) 3 2 ] 17 26

= [ 4 ( x -1 ) 3 ] 17 26

= 4 ( 26 -1 ) 3 -4 ( 17 -1 ) 3

= 4 ( 25 ) 3 -4 ( 16 ) 3

= 4 5 3 -4 4 3

= 4125 -464

= 500 -256

= 244

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 17 und der Änderung zwischen 17 und 26 zusammen:
B = 19 + 244 = 263

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 3 ( 2x -2 ) 2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 3 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:
2 3 3 ( 2x -2 ) 2 x
= 2 3 3 ( 2x -2 ) -2 x

= [ - 3 2 ( 2x -2 ) -1 ] 2 3

= [ - 3 2( 2x -2 ) ] 2 3

= - 3 2( 23 -2 ) + 3 2( 22 -2 )

= - 3 2( 6 -2 ) + 3 2( 4 -2 )

= - 3 2 4 + 3 2 2

= - 3 2 ( 1 4 ) + 3 2 ( 1 2 )

= - 3 8 + 3 4

= - 3 8 + 6 8

= 3 8


= 0,375
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:
B = 4 + 3 8 = 35 8 ≈ 4.38

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass 1 u -6x x = -213,75

Lösung einblenden
1 u -6x x

= [ -3 x 2 ] 1 u

= -3 u 2 +3 1 2

= -3 u 2 +31

= -3 u 2 +3

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -213,75 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-3 u 2 +3 = -213,75 | -3
-3 u 2 = -216,75 |: ( -3 )
u 2 = 72,25 | 2
u1 = - 72,25 = -8,5
u2 = 72,25 = 8,5

Da u= -8,5 < 1 ist u= 8,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 2x -5 zwischen 21 2 und 15 .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 15 - 21 2 21 2 15 2x -5 x
= 2 9 21 2 15 ( 2x -5 ) 1 2 x

= 2 9 [ 1 3 ( 2x -5 ) 3 2 ] 21 2 15

= 2 9 [ 1 3 ( 2x -5 ) 3 ] 21 2 15

= 2 9 ( 1 3 ( 215 -5 ) 3 - 1 3 ( 2( 21 2 ) -5 ) 3 )

= 2 9 ( 1 3 ( 30 -5 ) 3 - 1 3 ( 21 -5 ) 3 )

= 2 9 ( 1 3 ( 25 ) 3 - 1 3 ( 16 ) 3 )

= 2 9 ( 1 3 5 3 - 1 3 4 3 )

= 2 9 ( 1 3 125 - 1 3 64 )

= 2 9 ( 125 3 - 64 3 )

= 2 9 · 61 3

= 122 27


≈ 4,519

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2x -2 schließt mit der x-Achse, der Geraden x= 3 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
A(u)= u 3 1 2x -2 x
= u 3 ( 2x -2 ) - 1 2 x

= [ ( 2x -2 ) 1 2 ] u 3

= [ 2x -2 ] u 3

= 23 -2 - 2u -2

= 6 -2 - 2u -2

= 4 - 2u -2

= 2 - 2u -2

= - 2u -2 +2

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = - 2u -2 +2 0 +2 = 2 ≈ 2

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Die Funktion f mit f(t)= 2 e -0,5t +1 -2 beschreibt die Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Wassermenge im Tank beträgt im abgebildeten Zeitraum 45 m³. Bestimme die Wassermenge im Tank zu Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

2 e -0,5t +1 -2 = 0 | +2
2 e -0,5t +1 = 2 |:2
e -0,5t +1 = 1 |ln(⋅)
-0,5t +1 = 0
-0,5t +1 = 0 | -1
-0,5t = -1 |:(-0,5 )
t = 2

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 2 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
I = 0 2 ( 2 e -0,5t +1 -2 ) t

= [ -4 e -0,5x +1 -2x ] 0 2

= -4 e -0,52 +1 -22 - ( -4 e -0,50 +1 -20 )

= -4 e -1 +1 -4 - ( -4 e 0 +1 +0)

= -4 e 0 -4 - ( -4 e 1 +0)

= -4 -4 - (-4e+0)

= -8 +4e


≈ 2,873

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 2,873 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 45 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 45 m³ - 2,873 m³ ≈ 42,127 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B0 = 42,127 m³.

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Bei Beobachtungsbeginn fährt der Radfahrer 2 einige Meter hinter Radfahrer 1 her. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die Geschwindigkeit des Radfahrers 1 in Meter pro Sekunde, der rote Graph die Geschwindigkeit der Radfahrers 2 (in m/s). Die x-Achse zeigt die Zeit in Sekunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Sekunden nach Beobachtungsbeginn.
  1. Nach wie vielen Sekunden ist der Vorsprung von Radfahrer1 gegenüber Radfahrer2 am kleinsten?
  2. Der geringste Vorsprung von Radfahrer1 auf Radfahrer2 ist im abgebildeten Zeitraum ca. 12,1 Meter. Bestimme den Vorsprung von Radfahrer1 auf Radfahrer2 bei Beobachtungsbeginn.
  3. Wie viele Meter ist der Radfahrer1 in den ersten 2 Sekunden gefahren?

Lösung einblenden

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers liegt, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers zunimmt.

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Von 1 bis 7 liegt dann die Geschwindigkeit des 2. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 1. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers abnimmt.

Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.1 Meter
von 1 bis 7: ca. -12 Meter

  1. Zeitpunkt des kleinsten Bestands

    Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 7 s.

  2. Anfangsbestand

    Da der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und seinem Tiefstand bei t = 7 (bevor es danach wieder zunimmt) erst 1.1 Meter zu- und dann wieder 12 Meter abgenommen hat, also insgesamt um |1.1-12| = 10.9 Meter weniger wurde, muss es beim Beobachtungsbeginn t = 0 bereits 12.1+10.9 = 23 Meter betragen haben.

  3. reiner Zuwachs nach 2 s

    Da ja die blaue Kurve der Graph der Zunahme darstellt, müssen wir einfach die Fläche zwischen der blauen Kurve und der x-Achse im Intervall [0;2] ablesen. Diese ist ca. Z2 = 8.5 Meter .