Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $6 e^{2 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 6 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[3 e^{2 x - 3}]}_{0}^{3}$

$=$ $3 e^{2 \cdot 3 - 3} - 3 e^{2 \cdot 0 - 3}$

= $3 e^{6 - 3} - 3 e^{0 - 3}$

= $3 e^{3} - 3 e^{- 3}$

≈ 60,107

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 16 + $3 e^{3} - 3 e^{- 3}$ ≈ 76.11

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 \sqrt{3 x - 7}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $\frac{23}{3}$ Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $\frac{32}{3}$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{23}{3}

und

\frac{32}{3}

:

\int_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}} 4 \sqrt{3 x - 7} ⅆ x

=

\int_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}} 4 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{9} {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

= ${[\frac{8}{9} {(\sqrt{3 x - 7})}^{3}]}_{\frac{23}{3}}^{\frac{32}{3}}$

$=$ $\frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{32}{3}) - 7})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{23}{3}) - 7})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{32 - 7})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{23 - 7})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 5^{3} - \frac{8}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 125 - \frac{8}{9} \cdot 64$

= $\frac{1000}{9} - \frac{512}{9}$

= $\frac{488}{9}$

≈ 54,222

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{23}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{23}{3}

und

\frac{32}{3}

zusammen:

B = 2 + $\frac{488}{9}$ = $\frac{506}{9}$ ≈ 56.22

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} - 10 x ⅆ x$ = $- 106,25$

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\int_{3}^{u} - 10 x ⅆ x

= ${[- 5 x^{2}]}_{3}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} + 5 \cdot 3^{2}$

= $- 5 u^{2} + 5 \cdot 9$

= $- 5 u^{2} + 45$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 106,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 5 u^{2} + 45$	=	$- 106,25$	\| $- 45$
$- 5 u^{2}$	=	$- 151,25$	\|: $(- 5)$
$u^{2}$	=	$30,25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{30,25}$	= $- 5,5$
u₂	=	$\sqrt{30,25}$	= $5,5$

Da u= $- 5,5$ < 3 ist u= $5,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $3 \cdot \sin (x - π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{3}{2} π$ .

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{3}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (x - π) ⅆ x

= $\frac{2}{3 π}$ ${[- 3 \cdot \cos (x - π)]}_{0}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{3 π} \cdot (- 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π - π) + 3 \cdot \cos (0 - π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 3 \cdot \cos (- π))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 3 \cdot 0 + 3 \cdot (- 1))$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (0 - 3)$

= $\frac{2}{3 π} \cdot (- 3)$

= $- \frac{2}{π}$

≈ -0,637

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{{(x)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=3 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

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A(u)=

\int_{u}^{3} - \frac{1}{{(x)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3} - \frac{1}{x^{3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3} - x^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} x^{- 2}]}_{u}^{3}$

= ${[\frac{1}{2 x^{2}}]}_{u}^{3}$

$=$ $\frac{1}{2 \cdot 3^{2}} - \frac{1}{2 u^{2}}$

= $\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{9}) - \frac{1}{2 u^{2}}$

= $\frac{1}{18} - \frac{1}{2 u^{2}}$

Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = $\frac{1}{18} - \frac{1}{2 u^{2}}$ → $- \infty$

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Die Funktion f mit

f(t) =

e^{- 0,3 t + 1,2} - 1

beschreibt die Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Wassermenge im Tank beträgt im abgebildeten Zeitraum 50 m³. Bestimme die Wassermenge im Tank zu Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

$e^{- 0,3 t + 1,2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$e^{- 0,3 t + 1,2}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 0,3 t + 1,2$	=	0

$- 0,3 t + 1,2$	=	0	\| $- 1,2$
$- 0,3 t$	=	$- 1,2$	\|:( $- 0,3$ )
$t$	=	$4$

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 4 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

I =

\int_{0}^{4} (e^{- 0,3 t + 1,2} - 1) ⅆ t

= ${[- \frac{10}{3} e^{- 0,3 x + 1,2} - x]}_{0}^{4}$

$=$ $- \frac{10}{3} e^{- 0,3 \cdot 4 + 1,2} - 4 - (- \frac{10}{3} e^{- 0,3 \cdot 0 + 1,2} - 0)$

= $- \frac{10}{3} e^{- 1,2 + 1,2} - 4 - (- \frac{10}{3} e^{0 + 1,2} + 0)$

= $- \frac{10}{3} e^{0} - 4 - (- \frac{10}{3} e^{1,2} + 0)$

= $- \frac{10}{3} - 4 + \frac{10}{3} e^{1,2}$

= $- \frac{10}{3} - \frac{12}{3} + \frac{10}{3} e^{1,2}$

= $- \frac{22}{3} + \frac{10}{3} e^{1,2}$

≈ 3,734

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 3,734 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 50 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 50 m³ - 3,734 m³ ≈ 46,266 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 46,266 m³.

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

Ein Wassertank hat einen Zu- und einen Abfluss. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die momentane Zuflussrate in Liter pro Minute, der rote Graph die momentane Abflussrate (Liter pro Minute). Die x-Achse zeigt die Zeit in Minuten nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Minuten nach Beobachtungsbeginn.

Nach wie vielen Minuten ist am meisten Wasser im Tank?
Bei Beobachtungsbeginn sind ca. 27,1 Liter Wasser im Tank. Bestimme den kleinstmöglichen Inhalt an Liter Wasser im abgebildeten Zeitraum.

Lösung einblenden

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Zuflussrate über der Abflussrate liegt, so dass hier das Wasservolumen zunimmt.

Von 1 bis 5 liegt dann die Abflussrate über der Zuflussrate, so dass hier das Wasservolumen abnimmt.

Von 5 bis 10 liegt dann wieder die Zuflussrate über der Abflussrate, so dass hier das Wasservolumen wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.2 Liter
von 1 bis 5: ca. -5.3 Liter

Zeitpunkt des größten Bestands
Nachdem das Wasservolumen zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 5 deutlich kleiner als der Zuwachs zwischen t = 5 und t = 10, so dass der Höchststand erst bei t = 10 erreicht wird.
Somit wird das Wasservolumen bei t = 10 min maximal.
kleinster Bestand
Da das Wasservolumen zwischen t = 0 und t = 5 erst 1.2 Liter zu- und dann wieder 5.3 Liter abgenommen hat, muss der geringste Bestand zum Zeitpunkt t =5 sein (bevor es danach wieder zunimmt). Für diesen minimalen Bestand gilt dann:
B₅ = 27.1+1.2-5.3 = 23 Liter .

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale

Maximaler Bestand rückwärts

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)