= ${\left[4e^{x-1}\right]}_0^1$

$=$ $4e^{1-1}-4e^{0-1}$

= $4e^0-4e^{-1}$

= $4-4e^{-1}$

= ${\left[-\frac{1}{2}{\left(2x-1\right)}^{-1}\right]}_2^3$

= ${\left[-\frac{1}{2\left(2x-1\right)}\right]}_2^3$

$=$ $-\frac{1}{2\left(2\cdot 3-1\right)}+\frac{1}{2\left(2\cdot 2-1\right)}$

= $-\frac{1}{2\left(6-1\right)}+\frac{1}{2\left(4-1\right)}$

= $-\frac{1}{2\cdot 5}+\frac{1}{2\cdot 3}$

= $-\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)$

= $-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}$

= $-\frac{3}{30}+\frac{5}{30}$

= $\frac{1}{15}$

= ${\left[-7e^{-\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,2}}\right]}_0^u$

$=$ $-7e^{-\mathrm{0,6}u+\mathrm{0,2}}+7e^{-\mathrm{0,6}\cdot 0+\mathrm{0,2}}$

= $-7e^{-\mathrm{0,6}u+\mathrm{0,2}}+7e^{0+\mathrm{0,2}}$

= $-7e^{-\mathrm{0,6}u+\mathrm{0,2}}+7e^{\mathrm{0,2}}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{3}$ ${\left[\frac{2}{9}{\left(3x-3\right)}^3+\frac{3}{2}{x}^2\right]}_2^5$

$=$ $\frac{1}{3}(\frac{2}{9}\cdot {\left(3\cdot 5-3\right)}^3+\frac{3}{2}\cdot 5^2-\left(\frac{2}{9}\cdot {\left(3\cdot 2-3\right)}^3+\frac{3}{2}\cdot 2^2\right))$

= $\frac{1}{3}(\frac{2}{9}\cdot {\left(15-3\right)}^3+\frac{3}{2}\cdot 25-\left(\frac{2}{9}\cdot {\left(6-3\right)}^3+\frac{3}{2}\cdot 4\right))$

= $\frac{1}{3}(\frac{2}{9}\cdot {12}^3+\frac{75}{2}-\left(\frac{2}{9}\cdot 3^3+6\right))$

= $\frac{1}{3}(\frac{2}{9}\cdot 1728+\frac{75}{2}-\left(\frac{2}{9}\cdot 27+6\right))$

= $\frac{1}{3}(384+\frac{75}{2}-\left(6+6\right))$

= $\frac{1}{3}(\frac{768}{2}+\frac{75}{2}-1·12)$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{843}{2}-12\right)$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{843}{2}-\frac{24}{2}\right)$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{843}{2}-12\right)$

= $\frac{1}{3}·\frac{819}{2}$

= ${\left[-{\left(2x-2\right)}^{-1}\right]}_2^u$

= ${\left[-\frac{1}{2x-2}\right]}_2^u$

$=$ $-\frac{1}{2u-2}+\frac{1}{2\cdot 2-2}$

= $-\frac{1}{2u-2}+\frac{1}{4-2}$

= $-\frac{1}{2u-2}+\frac{1}{2}$

= $-\frac{1}{2u-2}+\frac{1}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $-\frac{1}{2u-2}+\frac{1}{2}$ → $0+\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 4 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

= ${\left[-\frac{10}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{1,2}}-x\right]}_0^4$

$=$ $-\frac{10}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}\cdot 4+\mathrm{1,2}}-4-\left(-\frac{10}{3}{e}^{-\mathrm{0,3}\cdot 0+\mathrm{1,2}}-0\right)$

= $-\frac{10}{3}{e}^{-\mathrm{1,2}+\mathrm{1,2}}-4-\left(-\frac{10}{3}{e}^{0+\mathrm{1,2}}+0\right)$

= $-\frac{10}{3}{e}^0-4-\left(-\frac{10}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}+0\right)$

= $-\frac{10}{3}-4+\frac{10}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}$

= $-\frac{10}{3}-\frac{12}{3}+\frac{10}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}$

= $-\frac{22}{3}+\frac{10}{3}{e}^{\mathrm{1,2}}$

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 3,734 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 50 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 50 m³ - 3,734 m³ ≈ 46,266 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 46,266 m³.

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Zuflussrate über der Abflussrate liegt, so dass hier das Wasservolumen zunimmt.

Von 1 bis 5 liegt dann die Abflussrate über der Zuflussrate, so dass hier das Wasservolumen abnimmt.

Von 5 bis 10 liegt dann wieder die Zuflussrate über der Abflussrate, so dass hier das Wasservolumen wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.2 Liter
von 1 bis 5: ca. -5.3 Liter

1. Zeitpunkt des größten Bestands

   Nachdem das Wasservolumen zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 5 deutlich kleiner als der Zuwachs zwischen t = 5 und t = 10, so dass der Höchststand erst bei t = 10 erreicht wird.
   Somit wird das Wasservolumen bei t = 10 min maximal.

2. Zeitpunkt des kleinsten Bestands

   Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 5, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 5 min.