Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von e 3x -7 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 79 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?

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Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:
0 3 e 3x -7 x

= [ 1 3 e 3x -7 ] 0 3

= 1 3 e 33 -7 - 1 3 e 30 -7

= 1 3 e 9 -7 - 1 3 e 0 -7

= 1 3 e 2 - 1 3 e -7


≈ 2,463
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:
B = 79 + 1 3 e 2 - 1 3 e -7 ≈ 81.46

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 2 e x -3 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 4 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

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Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:
1 3 2 e x -3 x

= [ 2 e x -3 ] 1 3

= 2 e 3 -3 -2 e 1 -3

= 2 e 0 -2 e -2

= 2 -2 e -2


≈ 1,729
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:
B = 4 + -2 e -2 +2 ≈ 5.73

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u 0,1 e -0,1x +0,2 x = 1

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0 u 0,1 e -0,1x +0,2 x

= [ - e -0,1x +0,2 ] 0 u

= - e -0,1u +0,2 + e -0,10 +0,2

= - e -0,1u +0,2 + e 0 +0,2

= - e -0,1u +0,2 + e 0,2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 1 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- e -0,1u +0,2 + e 0,2 = 1 | - e 0,2
- e -0,1u +0,2 = - e 0,2 +1
- e -0,1u +0,2 = -0,2214 |:-1
e -0,1u +0,2 = 0,2214 |ln(⋅)
-0,1u +0,2 = ln( 0,2214 )
-0,1u +0,2 = -1,5078 | -0,2
-0,1u = -1,7078 |:(-0,1 )
u = 17,078

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 cos( x + π) beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 0 und 3 2 π .

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 2 π+0 0 3 2 π 2 cos( x + π) x

= 2 3 π [ 2 sin( x + π) ] 0 3 2 π

= 2 3 π · ( 2 sin( 3 2 π + π) -2 sin( 0 + π) )

= 2 3 π · ( 2 sin( 5 2 π) -2 sin(π) )

= 2 3 π · ( 21 -20 )

= 2 3 π · ( 2 +0 )

= 2 3 π · 2

= 4 3 π


≈ 0,424

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= 1 ( x -3 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


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A(u)= 4 u 1 ( x -3 ) 2 x
= 4 u ( x -3 ) -2 x

= [ - ( x -3 ) -1 ] 4 u

= [ - 1 x -3 ] 4 u

= - 1 u -3 + 1 4 -3

= - 1 u -3 + 1 1

= - 1 u -3 + 1

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 u -3 +1 0 +1 = 1 ≈ 1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

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Die Funktion f mit f(t)= 5 sin( 1 5 π t ) beschreibt die Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Wassermenge im Tank beträgt im abgebildeten Zeitraum 50 m³. Bestimme die Wassermenge im Tank zu Beobachtungsbeginn.

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Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen, dass bei der Sinus-Funktion die fallende Nullstelle nach einer halben Periode ist.
Die Periode von f ist p = 2π 1 5 π = 10. Somit ist die fallende Nullstelle nach einer halben Periode bei t = 5.

Da beim Sinus die Teilflächen über und unter der x-Achse gleich groß sind, wird dieser maximale Bestand zwar noch zu anderen Zeitpunkten erreicht, aber nie übertroffen.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 5 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

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I = 0 5 5 sin( 1 5 π t ) t

= [ - 5 0,6283 cos( 1 5 π t ) ] 0 5

= - 5 0,6283 cos( 1 5 π · 5 ) + 5 0,6283 cos( 1 5 π · 0)

= - 5 0,6283 cos(π) + 5 0,6283 cos(0)

= - 5 0,6283 ( -1 ) + 5 0,6283 1

= 7,9577 +7,9577

= 15,9155


≈ 15,915

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 15,915 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 50 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 50 m³ - 15,915 m³ ≈ 34,085 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B0 = 34,085 m³.

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

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Bei Beobachtungsbeginn fährt der Radfahrer 2 einige Meter hinter Radfahrer 1 her. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die Geschwindigkeit des Radfahrers 1 in Meter pro Sekunde, der rote Graph die Geschwindigkeit der Radfahrers 2 (in m/s). Die x-Achse zeigt die Zeit in Sekunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Sekunden nach Beobachtungsbeginn.
  1. Nach wie vielen Sekunden ist der Vorsprung von Radfahrer1 gegenüber Radfahrer2 am größten?
  2. Bei Beobachtungsbeginn ist der Radfahrer1 ca. 31,1 Meter vor Radfahrer2. Bestimme den kleinsten Vorsprung von Radfahrer1 auf Radfahrer2 im abgebildeten Zeitraum.

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Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers liegt, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers zunimmt.

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Von 1 bis 5 liegt dann die Geschwindigkeit des 2. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 1. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers abnimmt.

Von 5 bis 10 liegt dann wieder die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.2 Meter
von 1 bis 5: ca. -5.3 Meter

  1. Zeitpunkt des größten Bestands

    Nachdem der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 5 deutlich kleiner als der Zuwachs zwischen t = 5 und t = 10, so dass der Höchststand erst bei t = 10 erreicht wird.
    Somit wird der Vorsprung des 1. Radfahrers bei t = 10 s maximal.

  2. kleinster Bestand

    Da der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und t = 5 erst 1.2 Meter zu- und dann wieder 5.3 Meter abgenommen hat, muss der geringste Bestand zum Zeitpunkt t =5 sein (bevor es danach wieder zunimmt). Für diesen minimalen Bestand gilt dann:
    B5 = 31.1+1.2-5.3 = 27 Meter .