Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\frac{6}{{(2 x - 1)}^{4}}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 2s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 5 Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} \frac{6}{{(2 x - 1)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{2}^{5} 6 {(2 x - 1)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- {(2 x - 1)}^{- 3}]}_{2}^{5}$

= ${[- \frac{1}{{(2 x - 1)}^{3}}]}_{2}^{5}$

$=$ $- \frac{1}{{(2 \cdot 5 - 1)}^{3}} + \frac{1}{{(2 \cdot 2 - 1)}^{3}}$

= $- \frac{1}{{(10 - 1)}^{3}} + \frac{1}{{(4 - 1)}^{3}}$

= $- \frac{1}{9^{3}} + \frac{1}{3^{3}}$

= $- (\frac{1}{729}) + \frac{1}{27}$

= $\frac{26}{729}$

≈ 0,036

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 15 + $\frac{26}{729}$ = $\frac{10961}{729}$ ≈ 15.04

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{x - 2}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 76 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 2:

\int_{1}^{2} 4 e^{x - 2} ⅆ x

= ${[4 e^{x - 2}]}_{1}^{2}$

$=$ $4 e^{2 - 2} - 4 e^{1 - 2}$

= $4 e^{0} - 4 e^{- 1}$

= $4 - 4 e^{- 1}$

≈ 2,528

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 2 zusammen:

B = 76 + $- 4 e^{- 1} + 4$ ≈ 78.53

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} (8 x + 4) ⅆ x$ = $275$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} (8 x + 4) ⅆ x

= ${[4 x^{2} + 4 x]}_{3}^{u}$

$=$ $4 u^{2} + 4 u - (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3)$

= $4 u^{2} + 4 u - (4 \cdot 9 + 12)$

= $4 u^{2} + 4 u - (36 + 12)$

= $4 u^{2} + 4 u - 1 \cdot 48$

= $4 u^{2} + 4 u - 48$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $275$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u^{2} + 4 u - 48

=

275

|

- 275

$4 u^{2} + 4 u - 323$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 323)}}{2 \cdot 4}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 5 168}}{8}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{5 184}}{8}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{5 184}}{8}$ = $\frac{- 4+72}{8}$ = $\frac{68}{8}$ = $8,5$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{5 184}}{8}$ = $\frac{- 4-72}{8}$ = $\frac{- 76}{8}$ = $- 9,5$

Da u= $- 9,5$ < 3 ist u= $8,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $6 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π)$ zwischen $0$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π + 0}

\int_{0}^{π} 6 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= $\frac{1}{π}$ ${[3 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{π}$

$=$ $\frac{1}{π} \cdot (3 \cdot \sin (2 \cdot π - \frac{1}{2} π) - 3 \cdot \sin (2 \cdot (0) - \frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π) - 3 \cdot \sin (- \frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{π} \cdot (3 \cdot (- 1) - 3 \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{π} \cdot (- 3 + 3)$

= $\frac{1}{π} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(x - 1)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=3 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{3} \frac{3}{{(x - 1)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3} 3 {(x - 1)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{3}{2} {(x - 1)}^{- 2}]}_{u}^{3}$

= ${[- \frac{3}{2 {(x - 1)}^{2}}]}_{u}^{3}$

$=$ $- \frac{3}{2 {(3 - 1)}^{2}} + \frac{3}{2 {(u - 1)}^{2}}$

= $- \frac{3}{2 \cdot 2^{2}} + \frac{3}{2 {(u - 1)}^{2}}$

= $- \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{4}) + \frac{3}{2 {(u - 1)}^{2}}$

= $- \frac{3}{8} + \frac{3}{2 {(u - 1)}^{2}}$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $\frac{3}{2 {(u - 1)}^{2}} - \frac{3}{8}$ → $\infty$

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Die Funktion f mit

f(t) =

3 e^{- 0,3 t + 1,2} - 3

beschreibt die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer (f(t) in m/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Dabei stehen positive Werte für Geschwindigkeiten nach oben, negative für Geschwindigkeiten nach unten. Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Höhe des Fahrstuhls beträgt im abgebildeten Zeitraum 60 m. Bestimme die Höhe des Fahrstuhls zu Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

$3 e^{- 0,3 t + 1,2} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$3 e^{- 0,3 t + 1,2}$	=	$3$	\|: $3$
$e^{- 0,3 t + 1,2}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 0,3 t + 1,2$	=	0

$- 0,3 t + 1,2$	=	0	\| $- 1,2$
$- 0,3 t$	=	$- 1,2$	\|:( $- 0,3$ )
$t$	=	$4$

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 4 der Bestand (Höhe des Fahrstuhls) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

I =

\int_{0}^{4} (3 e^{- 0,3 t + 1,2} - 3) ⅆ t

= ${[- 10 e^{- 0,3 x + 1,2} - 3 x]}_{0}^{4}$

$=$ $- 10 e^{- 0,3 \cdot 4 + 1,2} - 3 \cdot 4 - (- 10 e^{- 0,3 \cdot 0 + 1,2} - 3 \cdot 0)$

= $- 10 e^{- 1,2 + 1,2} - 12 - (- 10 e^{0 + 1,2} + 0)$

= $- 10 e^{0} - 12 - (- 10 e^{1,2} + 0)$

= $- 10 - 12 + 10 e^{1,2}$

= $- 22 + 10 e^{1,2}$

≈ 11,201

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 11,201 m

Wenn der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) aber 60 m ist müssen ja zu Beginn bereits 60 m - 11,201 m ≈ 48,799 m vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Höhe des Fahrstuhls betrug demnach B₀ = 48,799 m.

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

Bei Beobachtungsbeginn fährt der Radfahrer 2 einige Meter hinter Radfahrer 1 her. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die Geschwindigkeit des Radfahrers 1 in Meter pro Sekunde, der rote Graph die Geschwindigkeit der Radfahrers 2 (in m/s). Die x-Achse zeigt die Zeit in Sekunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Sekunden nach Beobachtungsbeginn.

Bei Beobachtungsbeginn ist der Radfahrer1 ca. 30,2 Meter vor Radfahrer2. Bestimme den kleinsten Vorsprung von Radfahrer1 auf Radfahrer2 im abgebildeten Zeitraum.
Nach wie vielen Sekunden ist der Vorsprung von Radfahrer1 gegenüber Radfahrer2 am größten?

Lösung einblenden

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers liegt, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers zunimmt.

Von 1 bis 9 liegt dann die Geschwindigkeit des 2. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 1. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers abnimmt.

Von 9 bis 10 liegt dann wieder die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 0.5 Meter
von 1 bis 9: ca. -10.7 Meter
von 9 bis 10: ca. 0.5 Meter

kleinster Bestand
Da der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und t = 9 erst 0.5 Meter zu- und dann wieder 10.7 Meter abgenommen hat, muss der geringste Bestand zum Zeitpunkt t =9 sein (bevor es danach wieder zunimmt). Für diesen minimalen Bestand gilt dann:
B₉ = 30.2+0.5-10.7 = 20 Meter .
Zeitpunkt des größten Bestands
Nachdem der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 9 jedoch größer als der Zuwachs zwischen t = 9 und t = 10, so dass der Höchststand von t = 1 nicht wieder erreicht wird.
Somit wird der Vorsprung des 1. Radfahrers bei t = 1 s maximal.

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale

Maximaler Bestand rückwärts

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)