Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{5}{{(3 x - 7)}^{3}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 3 Minuten sind 12 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 5:

\int_{3}^{5} \frac{5}{{(3 x - 7)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{3}^{5} 5 {(3 x - 7)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{6} {(3 x - 7)}^{- 2}]}_{3}^{5}$

= ${[- \frac{5}{6 {(3 x - 7)}^{2}}]}_{3}^{5}$

$=$ $- \frac{5}{6 {(3 \cdot 5 - 7)}^{2}} + \frac{5}{6 {(3 \cdot 3 - 7)}^{2}}$

= $- \frac{5}{6 {(15 - 7)}^{2}} + \frac{5}{6 {(9 - 7)}^{2}}$

= $- \frac{5}{6 \cdot 8^{2}} + \frac{5}{6 \cdot 2^{2}}$

= $- \frac{5}{6} \cdot (\frac{1}{64}) + \frac{5}{6} \cdot (\frac{1}{4})$

= $- \frac{5}{384} + \frac{5}{24}$

= $- \frac{5}{384} + \frac{80}{384}$

= $\frac{25}{128}$

≈ 0,195

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 5 zusammen:

B = 12 + $\frac{25}{128}$ = $\frac{1561}{128}$ ≈ 12.2

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{2 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 5 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 5}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 2 - 5} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 0 - 5}$

= $\frac{5}{2} e^{4 - 5} - \frac{5}{2} e^{0 - 5}$

= $\frac{5}{2} e^{- 1} - \frac{5}{2} e^{- 5}$

≈ 0,903

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 3 + $\frac{5}{2} e^{- 1} - \frac{5}{2} e^{- 5}$ ≈ 3.9

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (- 6 x + 3) ⅆ x$ = $- 47,25$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (- 6 x + 3) ⅆ x

= ${[- 3 x^{2} + 3 x]}_{1}^{u}$

$=$ $- 3 u^{2} + 3 u - (- 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1)$

= $- 3 u^{2} + 3 u - (- 3 \cdot 1 + 3)$

= $- 3 u^{2} + 3 u - (- 3 + 3)$

= $- 3 u^{2} + 3 u - 1 \cdot 0$

= $- 3 u^{2} + 3 u + 0$

= $- 3 u^{2} + 3 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 47,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 3 u^{2} + 3 u

=

- 47,25

|

+ 47,25

$- 3 u^{2} + 3 u + 47,25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 47,25}}{2 \cdot (- 3)}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 567}}{- 6}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{576}}{- 6}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{576}}{- 6}$ = $\frac{- 3+24}{- 6}$ = $\frac{21}{- 6}$ = $- 3,5$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{576}}{- 6}$ = $\frac{- 3-24}{- 6}$ = $\frac{- 27}{- 6}$ = $4,5$

Da u= $- 3,5$ < 1 ist u= $4,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $5 \sqrt{x - 1}$ zwischen $5$ und $10$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{10 - 5}

\int_{5}^{10} 5 \sqrt{x - 1} ⅆ x

=

\frac{1}{5}

\int_{5}^{10} 5 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{5}$ ${[\frac{10}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}_{5}^{10}$

= $\frac{1}{5}$ ${[\frac{10}{3} {(\sqrt{x - 1})}^{3}]}_{5}^{10}$

$=$ $\frac{1}{5} (\frac{10}{3} {(\sqrt{10 - 1})}^{3} - \frac{10}{3} {(\sqrt{5 - 1})}^{3})$

= $\frac{1}{5} (\frac{10}{3} {(\sqrt{9})}^{3} - \frac{10}{3} {(\sqrt{4})}^{3})$

= $\frac{1}{5} (\frac{10}{3} \cdot 3^{3} - \frac{10}{3} \cdot 2^{3})$

= $\frac{1}{5} (\frac{10}{3} \cdot 27 - \frac{10}{3} \cdot 8)$

= $\frac{1}{5} (90 - \frac{80}{3})$

= $\frac{1}{5} (\frac{270}{3} - \frac{80}{3})$

= $\frac{1}{5} \cdot \frac{190}{3}$

= $\frac{38}{3}$

≈ 12,667

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= $- \frac{1}{{(x - 3)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{4}^{u} - \frac{1}{{(x - 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{4}^{u} - {(x - 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- 2}]}_{4}^{u}$

= ${[\frac{1}{2 {(x - 3)}^{2}}]}_{4}^{u}$

$=$ $\frac{1}{2 {(u - 3)}^{2}} - \frac{1}{2 {(4 - 3)}^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(u - 3)}^{2}} - \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}$

= $\frac{1}{2 {(u - 3)}^{2}} - \frac{1}{2} \cdot 1$

= $\frac{1}{2 {(u - 3)}^{2}} - \frac{1}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2 {(u - 3)}^{2}} - \frac{1}{2}$ → $0 - \frac{1}{2}$ = $- \frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Die Funktion f mit

f(t) =

e^{- 0,3 t + 1,2} - 1

beschreibt die Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Wassermenge im Tank beträgt im abgebildeten Zeitraum 50 m³. Bestimme die Wassermenge im Tank zu Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

$e^{- 0,3 t + 1,2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$e^{- 0,3 t + 1,2}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 0,3 t + 1,2$	=	0

$- 0,3 t + 1,2$	=	0	\| $- 1,2$
$- 0,3 t$	=	$- 1,2$	\|:( $- 0,3$ )
$t$	=	$4$

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 4 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

I =

\int_{0}^{4} (e^{- 0,3 t + 1,2} - 1) ⅆ t

= ${[- \frac{10}{3} e^{- 0,3 x + 1,2} - x]}_{0}^{4}$

$=$ $- \frac{10}{3} e^{- 0,3 \cdot 4 + 1,2} - 4 - (- \frac{10}{3} e^{- 0,3 \cdot 0 + 1,2} - 0)$

= $- \frac{10}{3} e^{- 1,2 + 1,2} - 4 - (- \frac{10}{3} e^{0 + 1,2} + 0)$

= $- \frac{10}{3} e^{0} - 4 - (- \frac{10}{3} e^{1,2} + 0)$

= $- \frac{10}{3} - 4 + \frac{10}{3} e^{1,2}$

= $- \frac{10}{3} - \frac{12}{3} + \frac{10}{3} e^{1,2}$

= $- \frac{22}{3} + \frac{10}{3} e^{1,2}$

≈ 3,734

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 3,734 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 50 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 50 m³ - 3,734 m³ ≈ 46,266 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 46,266 m³.

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

Bei Beobachtungsbeginn fährt der Radfahrer 2 einige Meter hinter Radfahrer 1 her. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die Geschwindigkeit des Radfahrers 1 in Meter pro Sekunde, der rote Graph die Geschwindigkeit der Radfahrers 2 (in m/s). Die x-Achse zeigt die Zeit in Sekunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Sekunden nach Beobachtungsbeginn.

Nach wie vielen Sekunden ist der Vorsprung von Radfahrer1 gegenüber Radfahrer2 am kleinsten?
Bei Beobachtungsbeginn fährt Radfahrer1 ca. 25,7 Meter vor Radfahrer2. Bestimme den Vorsprung von Radfahrer1 auf Radfahrer2 nach 2 Sekunden.

Lösung einblenden

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 4 die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers liegt, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers zunimmt.

Von 4 bis 8 liegt dann die Geschwindigkeit des 2. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 1. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers abnimmt.

Von 8 bis 10 liegt dann wieder die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 4: ca. 5.3 Meter
von 4 bis 8: ca. -1.1 Meter
von 8 bis 10: ca. 1.1 Meter

Zeitpunkt des kleinsten Bestands
Da zwischen 0 und 4 mehr Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 4 und 8, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand gleich zu Beginn, also bei t = 0 s.
Bestand nach 2 s
Die Änderung des Bestands kann man einfach durch die Flächen zwischen dem Kurven ablesen, wobei man hier natürlich die Vorzeichen übernehmen muss. Durch Abzählen der Kästchen der eingeschlossenen Flächen im Interval [0;2] kann man einen Zuwachs von ca. 4.3 erkennen.
Für der Vorsprung des 1. Radfahrers nach 2 s gilt somit B₂ = 25.7 + 4.3 = 30 Meter .

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale

Maximaler Bestand rückwärts

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)