Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3 2x -2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 9 Minuten sind 17 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 27 2 Minuten darin?

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Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 9 und 27 2 :
9 27 2 3 2x -2 x
= 9 27 2 3 ( 2x -2 ) 1 2 x

= [ ( 2x -2 ) 3 2 ] 9 27 2

= [ ( 2x -2 ) 3 ] 9 27 2

= ( 2( 27 2 ) -2 ) 3 - ( 29 -2 ) 3

= ( 27 -2 ) 3 - ( 18 -2 ) 3

= ( 25 ) 3 - ( 16 ) 3

= 5 3 - 4 3

= 125 - 64

= 61

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 9 und der Änderung zwischen 9 und 27 2 zusammen:
B = 17 + 61 = 78

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von 4 e 2x -5 Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 34 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

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Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
2 5 4 e 2x -5 x

= [ 2 e 2x -5 ] 2 5

= 2 e 25 -5 -2 e 22 -5

= 2 e 10 -5 -2 e 4 -5

= 2 e 5 -2 e -1


≈ 296,091
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 34 + 2 e 5 -2 e -1 ≈ 330.09

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass 0 u ( -10x -1 ) x = -12,75

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0 u ( -10x -1 ) x

= [ -5 x 2 - x ] 0 u

= -5 u 2 - u - ( -5 0 2 - 0 )

= -5 u 2 - u - ( -50 +0)

= -5 u 2 - u - (0+0)

= -5 u 2 - u +0

= -5 u 2 - u

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -12,75 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-5 u 2 - u = -12,75 | +12,75

-5 u 2 - u +12,75 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · ( -5 ) · 12,75 2( -5 )

u1,2 = +1 ± 1 +255 -10

u1,2 = +1 ± 256 -10

u1 = 1 + 256 -10 = 1 +16 -10 = 17 -10 = -1,7

u2 = 1 - 256 -10 = 1 -16 -10 = -15 -10 = 1,5

Da u= -1,7 < 0 ist u= 1,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= 4 2x -5 zwischen 3 und 6.

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 6 -3 3 6 4 2x -5 x
= 1 3 3 6 4 ( 2x -5 ) -1 x

= 1 3 [ 2 ln( | 2x -5 | ) ] 3 6

= 1 3 (2 ln( | 26 -5 | ) -2 ln( | 23 -5 | ) )

= 1 3 (2 ln( | 12 -5 | ) -2 ln( | 6 -5 | ) )

= 1 3 (2 ln( 7 ) -2 ln( | 6 -5 | ) )

= 1 3 (2 ln( 7 ) -2 ln( 1 ) )

= 1 3 (2 ln( 7 ) +0)

= 2 3 ln( 7 )


≈ 1,297

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= -3 e -x +3 schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


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A(u)= 0 u -3 e -x +3 x

= [ 3 e -x +3 ] 0 u

= 3 e -u +3 -3 e -0 +3

= 3 e -u +3 -3 e 3

Für u → ∞ gilt: A(u) = 3 e -u +3 -3 e 3 0 -3 e 3 = -3 e 3 ≈ -60.257

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 60.257

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

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Die Funktion f mit f(t)= 3 sin( 1 3 π t ) beschreibt die Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Wassermenge im Tank beträgt im abgebildeten Zeitraum 40 m³. Bestimme die Wassermenge im Tank zu Beobachtungsbeginn.

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Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen, dass bei der Sinus-Funktion die fallende Nullstelle nach einer halben Periode ist.
Die Periode von f ist p = 2π 1 3 π = 6. Somit ist die fallende Nullstelle nach einer halben Periode bei t = 3.

Da beim Sinus die Teilflächen über und unter der x-Achse gleich groß sind, wird dieser maximale Bestand zwar noch zu anderen Zeitpunkten erreicht, aber nie übertroffen.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 3 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

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I = 0 3 3 sin( 1 3 π t ) t

= [ - 3 1,0472 cos( 1 3 π t ) ] 0 3

= - 3 1,0472 cos( 1 3 π · 3 ) + 3 1,0472 cos( 1 3 π · 0)

= - 3 1,0472 cos(π) + 3 1,0472 cos(0)

= - 3 1,0472 ( -1 ) + 3 1,0472 1

= 2,8648 +2,8648

= 5,7296


≈ 5,73

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 5,73 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 40 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 40 m³ - 5,73 m³ ≈ 34,27 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B0 = 34,27 m³.

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

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Bei Beobachtungsbeginn fährt der Radfahrer 2 einige Meter hinter Radfahrer 1 her. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die Geschwindigkeit des Radfahrers 1 in Meter pro Sekunde, der rote Graph die Geschwindigkeit der Radfahrers 2 (in m/s). Die x-Achse zeigt die Zeit in Sekunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Sekunden nach Beobachtungsbeginn.
  1. Nach wie vielen Sekunden ist der Vorsprung von Radfahrer1 gegenüber Radfahrer2 am kleinsten?
  2. Bei Beobachtungsbeginn fährt Radfahrer1 ca. 27,9 Meter vor Radfahrer2. Bestimme den Vorsprung von Radfahrer1 auf Radfahrer2 nach 4 Sekunden.

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Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers liegt, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers zunimmt.

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Von 1 bis 7 liegt dann die Geschwindigkeit des 2. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 1. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers abnimmt.

Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.1 Meter
von 1 bis 7: ca. -12 Meter

von 7 bis 10: ca. 12 Meter

  1. Zeitpunkt des kleinsten Bestands

    Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 7 s.

  2. Bestand nach 4 s

    Die Änderung des Bestands kann man einfach durch die Flächen zwischen dem Kurven ablesen, wobei man hier natürlich die Vorzeichen übernehmen muss. Durch Abzählen der Kästchen der eingeschlossenen Flächen im Interval [0;4] kann man einen Zuwachs von ca. -4.9 erkennen.
    Für der Vorsprung des 1. Radfahrers nach 4 s gilt somit B4 = 27.9 + -4.9 = 23 Meter .