Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 6 ( x -3 ) 2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 4 Minuten sind 2 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 6 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 6:
4 6 6 ( x -3 ) 2 x
= 4 6 6 ( x -3 ) -2 x

= [ -6 ( x -3 ) -1 ] 4 6

= [ - 6 x -3 ] 4 6

= - 6 6 -3 + 6 4 -3

= - 6 3 + 6 1

= -6( 1 3 ) +61

= -2 +6

= 4

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 6 zusammen:
B = 2 + 4 = 6

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 4 e 3x -7 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 1 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:
0 1 4 e 3x -7 x

= [ 4 3 e 3x -7 ] 0 1

= 4 3 e 31 -7 - 4 3 e 30 -7

= 4 3 e 3 -7 - 4 3 e 0 -7

= 4 3 e -4 - 4 3 e -7


≈ 0,023
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:
B = 13 + 4 3 e -4 - 4 3 e -7 ≈ 13.02

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass 3 u 10x x = 360

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3 u 10x x

= [ 5 x 2 ] 3 u

= 5 u 2 -5 3 2

= 5 u 2 -59

= 5 u 2 -45

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 360 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

5 u 2 -45 = 360 | +45
5 u 2 = 405 |:5
u 2 = 81 | 2
u1 = - 81 = -9
u2 = 81 = 9

Da u= -9 < 3 ist u= 9 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 e x -3 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 4 Minuten durchschnittlich im Tank?

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 4 +0 0 4 4 e x -3 x

= 1 4 [ 4 e x -3 ] 0 4

= 1 4 ( 4 e 4 -3 -4 e 0 -3 )

= 1 4 ( 4 e 1 -4 e -3 )

= 1 4 (4e -4 e -3 )

= 1 4 ( -4 e -3 +4e)


≈ 2,668

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= 3 2x -5 schließt mit der x-Achse und der Geraden x= 21 2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


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A(u)= 21 2 u 3 2x -5 x
= 21 2 u 3 ( 2x -5 ) - 1 2 x

= [ 3 ( 2x -5 ) 1 2 ] 21 2 u

= [ 3 2x -5 ] 21 2 u

= 3 2u -5 -3 2( 21 2 ) -5

= 3 2u -5 -3 21 -5

= 3 2u -5 -3 16

= 3 2u -5 -34

= 3 2u -5 -12

Für u → ∞ gilt: A(u) = 3 2u -5 -12

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

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Die Funktion f mit f(t)= e -0,3t +0,9 -1 beschreibt die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer (f(t) in m/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Dabei stehen positive Werte für Geschwindigkeiten nach oben, negative für Geschwindigkeiten nach unten. Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Höhe des Fahrstuhls beträgt im abgebildeten Zeitraum 60 m. Bestimme die Höhe des Fahrstuhls zu Beobachtungsbeginn.

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Der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

e -0,3t +0,9 -1 = 0 | +1
e -0,3t +0,9 = 1 |ln(⋅)
-0,3t +0,9 = 0
-0,3t +0,9 = 0 | -0,9
-0,3t = -0,9 |:(-0,3 )
t = 3

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 3 der Bestand (Höhe des Fahrstuhls) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

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I = 0 3 ( e -0,3t +0,9 -1 ) t

= [ - 10 3 e -0,3x +0,9 - x ] 0 3

= - 10 3 e -0,33 +0,9 - 3 - ( - 10 3 e -0,30 +0,9 - 0 )

= - 10 3 e -0,9 +0,9 -3 - ( - 10 3 e 0 +0,9 +0)

= - 10 3 e -0 -3 - ( - 10 3 e 0,9 +0)

= - 10 3 -3 + 10 3 e 0,9

= - 10 3 - 9 3 + 10 3 e 0,9

= - 19 3 + 10 3 e 0,9


≈ 1,865

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 1,865 m

Wenn der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) aber 60 m ist müssen ja zu Beginn bereits 60 m - 1,865 m ≈ 58,135 m vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Höhe des Fahrstuhls betrug demnach B0 = 58,135 m.

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

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Bei einem großen Festival werden die hereinkommenden und die herausgehenden Besucher gemessen. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die momentane Eintrittsrate in Hundert Personen pro Stunde, der rote Graph die momentane Austrittssrate (in Hundert Personen pro Stunde). Die x-Achse zeigt die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Stunden nach Beobachtungsbeginn.
  1. Nach wie vielen Stunden sind die meisten Besucher auf dem Festival-Gelände?
  2. Die geringste Besucherzahl auf dem Festival-Gelände im abgebildeten Zeitraum sind ca. 25,9 Hundert Personen. Bestimme die Besucherzahl auf dem Festival-Gelände bei Beobachtungsbeginn.

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Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände liegt, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zunimmt.

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Von 1 bis 5 liegt dann die Austrittssrate aus dem Festival-Gelände über der Eintrittsrate ins Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände abnimmt.

Von 5 bis 10 liegt dann wieder die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.2 Hundert Personen
von 1 bis 5: ca. -5.3 Hundert Personen

  1. Zeitpunkt des größten Bestands

    Nachdem die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 5 deutlich kleiner als der Zuwachs zwischen t = 5 und t = 10, so dass der Höchststand erst bei t = 10 erreicht wird.
    Somit wird die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände bei t = 10 Stunden maximal.

  2. Anfangsbestand

    Da die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zwischen t = 0 und seinem Tiefstand bei t = 5 (bevor es danach wieder zunimmt) erst 1.2 Hundert Personen zu- und dann wieder 5.3 Hundert Personen abgenommen hat, also insgesamt um |1.2-5.3| = 4.1 Hundert Personen weniger wurde, muss es beim Beobachtungsbeginn t = 0 bereits 25.9+4.1 = 30 Hundert Personen betragen haben.