Aufgabenbeispiele von Anwendungen
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Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?
=
=
=
≈ 0,318
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 62 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?
=
=
=
≈ 0,542
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
=
=
=
Diese Integralfunktion soll ja den Wert annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :
= | | | ||
= | |||
= | |: | ||
= | |ln(⋅) | ||
= |
= | | | ||
= | |:() | ||
= |
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 1 und Minute 2.
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Der Graph der Funktion f mit f(x)= schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
=
=
=
=
=
Für u → ∞ gilt: A(u) = → = ≈ 0.2
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.2
Maximaler Bestand rückwärts
Beispiel:
Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.
Wir wissen, dass bei der Sinus-Funktion die fallende Nullstelle nach einer halben Periode ist.
Die Periode von f ist p =
=
16. Somit ist die fallende Nullstelle nach einer halben Periode bei t = 8.
Da beim Sinus die Teilflächen über und unter der x-Achse gleich groß sind, wird dieser maximale Bestand zwar noch zu anderen Zeitpunkten erreicht, aber nie übertroffen.
Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 8 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:
=
=
=
=
=
≈ 20,372
Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 20,372 m³
Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 55 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 55 m³ - 20,372 m³ ≈ 34,628 m³ vorhanden gewesen sein.
Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B0 = 34,628 m³.
minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)
Beispiel:
- Der geringste Inhalt an Litern Wasser im abgebildeten Zeitraum sind ca. 13,8. Bestimme den Inhalt des Tanks in Litern Wasser bei Beobachtungsbeginn.
- Nach wie vielen Minuten ist am meisten Wasser im Tank?
- Wie viele Liter Wasser fließen in den ersten 3 Minuten in den Tank hinein?
Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Zuflussrate über der Abflussrate liegt, so dass hier das Wasservolumen zunimmt.
Von 1 bis 9 liegt dann die Abflussrate über der Zuflussrate, so dass hier das Wasservolumen abnimmt.
Von 9 bis 10 liegt dann wieder die Zuflussrate über der Abflussrate, so dass hier das Wasservolumen wieder zunimmt.
Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 0.5
Liter
von 1 bis 9: ca. -10.7 Liter
von 9 bis 10: ca. 0.5 Liter
- Anfangsbestand
Da das Wasservolumen zwischen t = 0 und seinem Tiefstand bei t = 9 (bevor es danach wieder zunimmt) erst 0.5 Liter zu- und dann wieder 10.7 Liter abgenommen hat, also insgesamt um |0.5-10.7| = 10.2 Liter weniger wurde, muss es beim Beobachtungsbeginn t = 0 bereits 13.8+10.2 = 24 Liter betragen haben.
- Zeitpunkt des größten Bestands
Nachdem das Wasservolumen zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 9 jedoch größer als der Zuwachs zwischen t = 9 und t = 10, so dass der Höchststand von t = 1 nicht wieder erreicht wird.
Somit wird das Wasservolumen bei t = 1 min maximal. - reiner Zuwachs nach 3 min
Da ja die blaue Kurve der Graph der Zunahme darstellt, müssen wir einfach die Fläche zwischen der blauen Kurve und der x-Achse im Intervall [0;3] ablesen. Diese ist ca. Z3 = 12.6 Liter .