Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 3x -5 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 14 3 s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 7 Sekunden?

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Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 14 3 und 7:
14 3 7 6 3x -5 x
= 14 3 7 6 ( 3x -5 ) 1 2 x

= [ 4 3 ( 3x -5 ) 3 2 ] 14 3 7

= [ 4 3 ( 3x -5 ) 3 ] 14 3 7

= 4 3 ( 37 -5 ) 3 - 4 3 ( 3( 14 3 ) -5 ) 3

= 4 3 ( 21 -5 ) 3 - 4 3 ( 14 -5 ) 3

= 4 3 ( 16 ) 3 - 4 3 ( 9 ) 3

= 4 3 4 3 - 4 3 3 3

= 4 3 64 - 4 3 27

= 256 3 -36

= 256 3 - 108 3

= 148 3


≈ 49,333
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 14 3 und der Änderung zwischen 14 3 und 7 zusammen:
B = 20 + 148 3 = 208 3 ≈ 69.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 4 ( 2x -4 ) 2 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 4 Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 7 Minuten darin?

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Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 4 und 7:
4 7 4 ( 2x -4 ) 2 x
= 4 7 4 ( 2x -4 ) -2 x

= [ -2 ( 2x -4 ) -1 ] 4 7

= [ - 2 2x -4 ] 4 7

= - 2 27 -4 + 2 24 -4

= - 2 14 -4 + 2 8 -4

= - 2 10 + 2 4

= -2( 1 10 ) +2( 1 4 )

= - 1 5 + 1 2

= - 2 10 + 5 10

= 3 10


= 0,3
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 4 und der Änderung zwischen 4 und 7 zusammen:
B = 10 + 3 10 = 103 10 ≈ 10.3

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass 1 u ( -10x +3 ) x = -85,75

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1 u ( -10x +3 ) x

= [ -5 x 2 +3x ] 1 u

= -5 u 2 +3u - ( -5 1 2 +31 )

= -5 u 2 +3u - ( -51 +3 )

= -5 u 2 +3u - ( -5 +3 )

= -5 u 2 +3u -1 · ( -2 )

= -5 u 2 +3u +2

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -85,75 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-5 u 2 +3u +2 = -85,75 | +85,75

-5 u 2 +3u +87,75 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -3 ± 3 2 -4 · ( -5 ) · 87,75 2( -5 )

u1,2 = -3 ± 9 +1755 -10

u1,2 = -3 ± 1764 -10

u1 = -3 + 1764 -10 = -3 +42 -10 = 39 -10 = -3,9

u2 = -3 - 1764 -10 = -3 -42 -10 = -45 -10 = 4,5

Da u= -3,9 < 1 ist u= 4,5 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 3x -5 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 7 .

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 7 -3 3 7 6 3x -5 x
= 1 4 3 7 6 ( 3x -5 ) 1 2 x

= 1 4 [ 4 3 ( 3x -5 ) 3 2 ] 3 7

= 1 4 [ 4 3 ( 3x -5 ) 3 ] 3 7

= 1 4 ( 4 3 ( 37 -5 ) 3 - 4 3 ( 33 -5 ) 3 )

= 1 4 ( 4 3 ( 21 -5 ) 3 - 4 3 ( 9 -5 ) 3 )

= 1 4 ( 4 3 ( 16 ) 3 - 4 3 ( 4 ) 3 )

= 1 4 ( 4 3 4 3 - 4 3 2 3 )

= 1 4 ( 4 3 64 - 4 3 8 )

= 1 4 ( 256 3 - 32 3 )

= 1 4 · 224 3

= 56 3


≈ 18,667

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= - 1 ( -3x +6 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


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A(u)= 4 u - 1 ( -3x +6 ) 2 x
= 4 u - ( -3x +6 ) -2 x

= [ - 1 3 ( -3x +6 ) -1 ] 4 u

= [ - 1 3( -3x +6 ) ] 4 u

= - 1 3( -3u +6 ) + 1 3( -34 +6 )

= - 1 3( -3u +6 ) + 1 3( -12 +6 )

= - 1 3( -3u +6 ) + 1 3 ( -6 )

= - 1 3( -3u +6 ) + 1 3 ( - 1 6 )

= - 1 3( -3u +6 ) - 1 18

Für u → ∞ gilt: A(u) = - 1 3( -3u +6 ) - 1 18 0 - 1 18 = - 1 18 ≈ -0.056

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.056

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

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Die Funktion f mit f(t)= - 1 3 t 2 +3 beschreibt die Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Wassermenge im Tank beträgt im abgebildeten Zeitraum 40 m³. Bestimme die Wassermenge im Tank zu Beobachtungsbeginn.

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Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

- 1 3 t 2 +3 = 0 | -3
- 1 3 t 2 = -3 |⋅ ( -3 )
t 2 = 9 | 2
t1 = - 9 = -3
t2 = 9 = 3

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 3 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

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I = 0 3 ( - 1 3 t 2 +3 ) t

= [ - 1 9 x 3 +3x ] 0 3

= - 1 9 3 3 +33 - ( - 1 9 0 3 +30 )

= - 1 9 27 +9 - ( - 1 9 0 +0)

= -3 +9 - (0+0)

= 6 +0

= 6

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 6 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 40 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 40 m³ - 6 m³ ≈ 34 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B0 = 34 m³.

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

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Bei einem großen Festival werden die hereinkommenden und die herausgehenden Besucher gemessen. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die momentane Eintrittsrate in Hundert Personen pro Stunde, der rote Graph die momentane Austrittssrate (in Hundert Personen pro Stunde). Die x-Achse zeigt die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Stunden nach Beobachtungsbeginn.
  1. Nach wie vielen Stunden sind die meisten Besucher auf dem Festival-Gelände?
  2. Nach wie vielen Stunden sind die wenigsten Besucher auf dem Festival-Gelände?

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Man erkennt schnell, dass von 0 bis 2 die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände liegt, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zunimmt.

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Von 2 bis 4 liegt dann die Austrittssrate aus dem Festival-Gelände über der Eintrittsrate ins Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände abnimmt.

Von 4 bis 10 liegt dann wieder die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 2: ca. 6.7 Hundert Personen
von 2 bis 4: ca. -1.3 Hundert Personen

  1. Zeitpunkt des größten Bestands

    Nachdem die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zwischen t = 0 und t = 2 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 2 und t = 4 deutlich kleiner als der Zuwachs zwischen t = 4 und t = 10, so dass der Höchststand erst bei t = 10 erreicht wird.
    Somit wird die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände bei t = 10 Stunden maximal.

  2. Zeitpunkt des kleinsten Bestands

    Da zwischen 0 und 2 mehr Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 2 und 4, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand gleich zu Beginn, also bei t = 0 Stunden.