= ${\left[5e^{x-1}\right]}_1^2$

$=$ $5e^{2-1}-5e^{1-1}$

= $5e^1-5e^0$

= $5e-5$

= ${\left[e^{2x-3}\right]}_0^2$

$=$ $e^{2\cdot 2-3}-e^{2\cdot 0-3}$

= $e^{4-3}-e^{0-3}$

= $e^1-e^{-3}$

= $e-e^{-3}$

= ${\left[2x^2+2x\right]}_3^u$

$=$ $2u^2+2u-\left(2\cdot 3^2+2\cdot 3\right)$

= $2u^2+2u-\left(2\cdot 9+6\right)$

= $2u^2+2u-\left(18+6\right)$

= $2u^2+2u-1·24$

= $2u^2+2u-24$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $\mathrm{217,5}$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$2u^2+2u-\mathrm{241,5}$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·2·\left(-\mathrm{241,5}\right)}}{2\cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+1932}}{4}$

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{1936}}{4}$

u₁ = $\frac{-2+\sqrt{1936}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>44</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{42}{4}$ = $\mathrm{10,5}$

u₂ = $\frac{-2-\sqrt{1936}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>44</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-46}{4}$ = $-\mathrm{11,5}$

Da u= $-\mathrm{11,5}$ < 3 ist u= $\mathrm{10,5}$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{2}$ ${\left[-3{\left(x-3\right)}^{-1}\right]}_5^7$

= $\frac{1}{2}$ ${\left[-\frac{3}{x-3}\right]}_5^7$

$=$ $\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{7-3}+\frac{3}{5-3}\right)$

= $\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}+\frac{3}{2}\right)$

= $\frac{1}{2}\left(-3\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+3\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}+\frac{3}{2}\right)$

= $\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}+\frac{6}{4}\right)$

= $\frac{1}{2}·\frac{3}{4}$

= $\frac{3}{8}$

= ${\left[\frac{1}{3}\ln \left(\left|$ -3x+3$\right|\right)\right]}_3^u$

$=$ $\frac{1}{3}\ln \left(\left|$ -3\left(u\right)+3$\right|\right)-\frac{1}{3}\ln \left(\left|$ -3\cdot 3+3$\right|\right)$

= $\frac{1}{3}\ln \left(\left|$ -3u+3$\right|\right)-\frac{1}{3}\ln \left(\left|$ -9+3$\right|\right)$

= $\frac{1}{3}\ln \left(\left|$ -3u+3$\right|\right)-\frac{1}{3}\ln \left(6\right)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $-\frac{1}{3}\ln \left(6\right)+\frac{1}{3}\ln \left(\left|$ -3x+3$\right|\right)$ → $\infty$

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 7 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

= ${\left[-\frac{1}{21}{x}^3+7x\right]}_0^7$

$=$ $-\frac{1}{21}\cdot 7^3+7\cdot 7-\left(-\frac{1}{21}\cdot 0^3+7\cdot 0\right)$

= $-\frac{1}{21}\cdot 343+49-\left(-\frac{1}{21}\cdot 0+0\right)$

= $-\frac{49}{3}+49-\left(0+0\right)$

= $-\frac{49}{3}+\frac{147}{3}+0$

= $\frac{98}{3}$

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 32,667 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 45 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 45 m³ - 32,667 m³ ≈ 12,333 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 12,333 m³.

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Zuflussrate über der Abflussrate liegt, so dass hier das Wasservolumen zunimmt.

Von 1 bis 9 liegt dann die Abflussrate über der Zuflussrate, so dass hier das Wasservolumen abnimmt.

Von 9 bis 10 liegt dann wieder die Zuflussrate über der Abflussrate, so dass hier das Wasservolumen wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 0.5 Liter
von 1 bis 9: ca. -10.7 Liter

1. Zeitpunkt des größten Bestands

   Nachdem das Wasservolumen zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 9 jedoch größer als der Zuwachs zwischen t = 9 und t = 10, so dass der Höchststand von t = 1 nicht wieder erreicht wird.
   Somit wird das Wasservolumen bei t = 1 min maximal.

2. Zeitpunkt des kleinsten Bestands

   Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 9, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 9 min.

3. reiner Zuwachs nach 4 min

   Da ja die blaue Kurve der Graph der Zunahme darstellt, müssen wir einfach die Fläche zwischen der blauen Kurve und der x-Achse im Intervall [0;4] ablesen. Diese ist ca. Z₄ = 17.2 Liter .