Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $2 \sqrt{x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $19$ s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $28$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

19

und

28

:

\int_{19}^{28} 2 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} 2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 64$

= $\frac{500}{3} - \frac{256}{3}$

= $\frac{244}{3}$

≈ 81,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

19

und der Änderung zwischen

19

und

28

zusammen:

B = 9 + $\frac{244}{3}$ = $\frac{271}{3}$ ≈ 90.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $2 e^{3 x - 7}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 57 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 1:

\int_{0}^{1} 2 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} e^{3 x - 7}]}_{0}^{1}$

$=$ $\frac{2}{3} e^{3 \cdot 1 - 7} - \frac{2}{3} e^{3 \cdot 0 - 7}$

= $\frac{2}{3} e^{3 - 7} - \frac{2}{3} e^{0 - 7}$

= $\frac{2}{3} e^{- 4} - \frac{2}{3} e^{- 7}$

≈ 0,012

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 1 zusammen:

B = 57 + $\frac{2}{3} e^{- 4} - \frac{2}{3} e^{- 7}$ ≈ 57.01

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 2,8 e^{- 0,7 x + 0,8} ⅆ x$ = $1$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 2,8 e^{- 0,7 x + 0,8} ⅆ x

= ${[- 4 e^{- 0,7 x + 0,8}]}_{0}^{u}$

$=$ $- 4 e^{- 0,7 u + 0,8} + 4 e^{- 0,7 \cdot 0 + 0,8}$

= $- 4 e^{- 0,7 u + 0,8} + 4 e^{0 + 0,8}$

= $- 4 e^{- 0,7 u + 0,8} + 4 e^{0,8}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$- 4 e^{- 0,7 u + 0,8} + 4 e^{0,8}$	=	$1$	\| $- 4 e^{0,8}$
$- 4 e^{- 0,7 u + 0,8}$	=	$- 4 e^{0,8} + 1$
$- 4 e^{- 0,7 u + 0,8}$	=	$- 7,9022$	\|: $- 4$
$e^{- 0,7 u + 0,8}$	=	$1,9756$	\|ln(⋅)
$- 0,7 u + 0,8$	=	$\ln (1,9756)$

$- 0,7 u + 0,8$	=	$0,6809$	\| $- 0,8$
$- 0,7 u$	=	$- 0,1191$	\|:( $- 0,7$ )
$u$	=	$0,1701$

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $\cos (3 x - \frac{3}{2} π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $0$ und $\frac{1}{2} π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{1}{2} π + 0}

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} \cos (3 x - \frac{3}{2} π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[\frac{1}{3} \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (\frac{1}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π) - \frac{1}{3} \cdot \sin (3 \cdot (0) - \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{1}{3} \cdot \sin (0) - \frac{1}{3} \cdot \sin (- \frac{3}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 1)$

= $\frac{2}{π} \cdot (0 - \frac{1}{3})$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{1}{3})$

= $- \frac{2}{3 π}$

≈ -0,212

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= $e^{- 2 x + 3}$ schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{0}^{u} e^{- 2 x + 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{- 2 x + 3}]}_{0}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 3} + \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 0 + 3}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 3} + \frac{1}{2} e^{0 + 3}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 3} + \frac{1}{2} e^{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 3} + \frac{1}{2} e^{3}$ → $0 + \frac{1}{2} e^{3}$ = $\frac{1}{2} e^{3}$ ≈ 10.043

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 10.043

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Die Funktion f mit

f(t) =

e^{- 0,3 t + 1,2} - 1

beschreibt die Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Wassermenge im Tank beträgt im abgebildeten Zeitraum 60 m³. Bestimme die Wassermenge im Tank zu Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

$e^{- 0,3 t + 1,2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$e^{- 0,3 t + 1,2}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 0,3 t + 1,2$	=	0

$- 0,3 t + 1,2$	=	0	\| $- 1,2$
$- 0,3 t$	=	$- 1,2$	\|:( $- 0,3$ )
$t$	=	$4$

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 4 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

I =

\int_{0}^{4} (e^{- 0,3 t + 1,2} - 1) ⅆ t

= ${[- \frac{10}{3} e^{- 0,3 x + 1,2} - x]}_{0}^{4}$

$=$ $- \frac{10}{3} e^{- 0,3 \cdot 4 + 1,2} - 4 - (- \frac{10}{3} e^{- 0,3 \cdot 0 + 1,2} - 0)$

= $- \frac{10}{3} e^{- 1,2 + 1,2} - 4 - (- \frac{10}{3} e^{0 + 1,2} + 0)$

= $- \frac{10}{3} e^{0} - 4 - (- \frac{10}{3} e^{1,2} + 0)$

= $- \frac{10}{3} - 4 + \frac{10}{3} e^{1,2}$

= $- \frac{10}{3} - \frac{12}{3} + \frac{10}{3} e^{1,2}$

= $- \frac{22}{3} + \frac{10}{3} e^{1,2}$

≈ 3,734

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 3,734 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 60 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 60 m³ - 3,734 m³ ≈ 56,266 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 56,266 m³.

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

Ein Wassertank hat einen Zu- und einen Abfluss. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die momentane Zuflussrate in Liter pro Minute, der rote Graph die momentane Abflussrate (Liter pro Minute). Die x-Achse zeigt die Zeit in Minuten nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Minuten nach Beobachtungsbeginn.

Nach wie vielen Minuten ist am wenigsten Wasser im Tank?
2 Minuten nach Beobachtungsbeginn sind ca. 27,1 Liter Wasser im Tank. Bestimme den Inhalt des Tanks in Litern Wasser bei Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 3 die Zuflussrate über der Abflussrate liegt, so dass hier das Wasservolumen zunimmt.

Von 3 bis 7 liegt dann die Abflussrate über der Zuflussrate, so dass hier das Wasservolumen abnimmt.

Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Zuflussrate über der Abflussrate, so dass hier das Wasservolumen wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 3: ca. 3.4 Liter
von 3 bis 7: ca. -1.3 Liter

Zeitpunkt des kleinsten Bestands
Da zwischen 0 und 3 mehr Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 3 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand gleich zu Beginn, also bei t = 0 min.
Anfangsbestand
Die Änderung des Bestands kann man einfach durch die Flächen zwischen dem Kurven ablesen, wobei man hier natürlich die Vorzeichen übernehmen muss. Durch Abzählen der Kästchen der eingeschlossenen Flächen im Interval [0;2] kann man einen Zuwachs von ca. 3.1 erkennen.
Bei Beobachtungsbeginn muss somit das Wasservolumen um 3.1 Liter niedriger als die 27.1 nach 2 min gewesen sein:
B₀ = 27.1 - 3.1 = 24 Liter .

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale

Maximaler Bestand rückwärts

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)