= ${\left[3e^{x-2}\right]}_1^2$

$=$ $3e^{2-2}-3e^{1-2}$

= $3e^0-3e^{-1}$

= $3-3e^{-1}$

= ${\left[\frac{1}{3}{e}^{3x-3}\right]}_0^1$

$=$ $\frac{1}{3}{e}^{3\cdot 1-3}-\frac{1}{3}{e}^{3\cdot 0-3}$

= $\frac{1}{3}{e}^{3-3}-\frac{1}{3}{e}^{0-3}$

= $\frac{1}{3}{e}^0-\frac{1}{3}{e}^{-3}$

= $\frac{1}{3}-\frac{1}{3}{e}^{-3}$

= ${\left[4x^2-x\right]}_1^u$

$=$ $4u^2-u-\left(4\cdot 1^2-1\right)$

= $4u^2-u-\left(4\cdot 1-1\right)$

= $4u^2-u-\left(4-1\right)$

= $4u^2-u-1·3$

= $4u^2-u-3$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $57$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$4u^2-u-60$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·4·\left(-60\right)}}{2\cdot 4}$

u_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+960}}{8}$

u_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{961}}{8}$

u₁ = $\frac{1+\sqrt{961}}{8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>31</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{32}{8}$ = $4$

u₂ = $\frac{1-\sqrt{961}}{8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>31</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-30}{8}$ = $-\mathrm{3,75}$

Da u= $-\mathrm{3,75}$ < 1 ist u= $4$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{8}$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(2x-3\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_6^{14}$

= $\frac{1}{8}$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(\sqrt{2x-3}\right)}^3\right]}_6^{14}$

$=$ $\frac{1}{8}\left(\frac{4}{3}{\left(\sqrt{2\cdot 14-3}\right)}^3-\frac{4}{3}{\left(\sqrt{2\cdot 6-3}\right)}^3\right)$

= $\frac{1}{8}\left(\frac{4}{3}{\left(\sqrt{28-3}\right)}^3-\frac{4}{3}{\left(\sqrt{12-3}\right)}^3\right)$

= $\frac{1}{8}\left(\frac{4}{3}{\left(\sqrt{25}\right)}^3-\frac{4}{3}{\left(\sqrt{9}\right)}^3\right)$

= $\frac{1}{8}\left(\frac{4}{3}\cdot 5^3-\frac{4}{3}\cdot 3^3\right)$

= $\frac{1}{8}\left(\frac{4}{3}\cdot 125-\frac{4}{3}\cdot 27\right)$

= $\frac{1}{8}\left(\frac{500}{3}-36\right)$

= $\frac{1}{8}\left(\frac{500}{3}-\frac{108}{3}\right)$

= $\frac{1}{8}·\frac{392}{3}$

= $\frac{49}{3}$

= ${\left[-\frac{1}{2}{\left(-3x+4\right)}^{-2}\right]}_2^u$

= ${\left[-\frac{1}{2{\left(-3x+4\right)}^2}\right]}_2^u$

$=$ $-\frac{1}{2{\left(-3u+4\right)}^2}+\frac{1}{2{\left(-3\cdot 2+4\right)}^2}$

= $-\frac{1}{2{\left(-3u+4\right)}^2}+\frac{1}{2{\left(-6+4\right)}^2}$

= $-\frac{1}{2{\left(-3u+4\right)}^2}+\frac{1}{2{\left(-2\right)}^2}$

= $-\frac{1}{2{\left(-3u+4\right)}^2}+\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)$

= $-\frac{1}{2{\left(-3u+4\right)}^2}+\frac{1}{8}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $-\frac{1}{2{\left(-3u+4\right)}^2}+\frac{1}{8}$ → $0+\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{8}$ ≈ 0.125

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.125

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen, dass bei der Sinus-Funktion die fallende Nullstelle nach einer halben Periode ist.
Die Periode von f ist p = $\frac{2\pi }{\frac{1}{3}\pi }$ = 6. Somit ist die fallende Nullstelle nach einer halben Periode bei t = 3.

Da beim Sinus die Teilflächen über und unter der x-Achse gleich groß sind, wird dieser maximale Bestand zwar noch zu anderen Zeitpunkten erreicht, aber nie übertroffen.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 3 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

= ${\left[-\frac{3}{\mathrm{1,0472}}\cdot \cos \left(\frac{1}{3}\pi t\right)\right]}_0^3$

$=$ $-\frac{3}{\mathrm{1,0472}}\cdot \cos (\frac{1}{3}\pi ·3)+\frac{3}{\mathrm{1,0472}}\cdot \cos (\frac{1}{3}\pi ·0)$

= $-\frac{3}{\mathrm{1,0472}}\cdot \cos \left(\pi \right)+\frac{3}{\mathrm{1,0472}}\cdot \cos \left(0\right)$

= $-\frac{3}{\mathrm{1,0472}}\cdot \left(-1\right)+\frac{3}{\mathrm{1,0472}}\cdot 1$

= $\mathrm{2,8648}+\mathrm{2,8648}$

= $\mathrm{5,7296}$

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 5,73 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 55 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 55 m³ - 5,73 m³ ≈ 49,27 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 49,27 m³.

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 3 die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers liegt, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers zunimmt.

Von 3 bis 7 liegt dann die Geschwindigkeit des 2. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 1. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers abnimmt.

Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 3: ca. 4.5 Meter
von 3 bis 7: ca. -1.8 Meter
von 7 bis 10: ca. 4.5 Meter

1. Zeitpunkt des kleinsten Bestands

   Da zwischen 0 und 3 mehr Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 3 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand gleich zu Beginn, also bei t = 0 s.

2. Anfangsbestand

   Da der Zuwachs zwischen t = 7 und t = 10 größer ist als die Abnahme zwischen t = 3 und t = 7, wird der maximale Bestand erst nach 10 s erreicht. Bis zu diesem Zeitpunkt hat sich der Vorsprung des 1. Radfahrers um 4.5 -1.8 + 4.5 = 7.2 Meter vermehrt.
   Bei Beobachtungsbeginn muss somit der Vorsprung des 1. Radfahrers um 7.2 Meter niedriger als die maximalen 37.2 Meter gewesen sein:
   B₀ = 37.2 - 7.2 = 30 Meter .