Aufgabenbeispiele von Anwendungen
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Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 9 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
=
=
=
=
=
=
=
≈ 81,333
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 57 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 1 Minuten?
=
=
=
≈ 0,012
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
=
=
=
Diese Integralfunktion soll ja den Wert annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :
| = | | | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = |
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen und .
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
=
=
=
=
=
=
=
≈ -0,212
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Der Graph der Funktion f mit f(x)= schließt mit der x-Achse und der y-Achse eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
=
=
=
Für u → ∞ gilt: A(u) = → = ≈ 10.043
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 10.043
Maximaler Bestand rückwärts
Beispiel:
Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.
| = | | | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = |
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 4 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:
=
=
=
=
=
=
≈ 3,734
Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 3,734 m³
Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 60 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 60 m³ - 3,734 m³ ≈ 56,266 m³ vorhanden gewesen sein.
Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B0 = 56,266 m³.
minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)
Beispiel:
- Nach wie vielen Minuten ist am wenigsten Wasser im Tank?
- 2 Minuten nach Beobachtungsbeginn sind ca. 27,1 Liter Wasser im Tank. Bestimme den Inhalt des Tanks in Litern Wasser bei Beobachtungsbeginn.
Man erkennt schnell, dass von 0 bis 3 die Zuflussrate über der Abflussrate liegt, so dass hier das Wasservolumen zunimmt.
Von 3 bis 7 liegt dann die Abflussrate über der Zuflussrate, so dass hier das Wasservolumen abnimmt.
Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Zuflussrate über der Abflussrate, so dass hier das Wasservolumen wieder zunimmt.
Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 3: ca. 3.4
Liter
von 3 bis 7: ca. -1.3 Liter
- Zeitpunkt des kleinsten Bestands
Da zwischen 0 und 3 mehr Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 3 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand gleich zu Beginn, also bei t = 0 min.
- Anfangsbestand
Die Änderung des Bestands kann man einfach durch die Flächen zwischen dem Kurven ablesen, wobei man hier natürlich die Vorzeichen übernehmen muss. Durch Abzählen der Kästchen der eingeschlossenen Flächen im Interval [0;2] kann man einen Zuwachs von ca. 3.1 erkennen.
Bei Beobachtungsbeginn muss somit das Wasservolumen um 3.1 Liter niedriger als die 27.1 nach 2 min gewesen sein:
B0 = 27.1 - 3.1 = 24 Liter .
