= ${\left[\frac{8}{3}{\left(x-1\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_5^{10}$

= ${\left[\frac{8}{3}{\left(\sqrt{x-1}\right)}^3\right]}_5^{10}$

$=$ $\frac{8}{3}{\left(\sqrt{10-1}\right)}^3-\frac{8}{3}{\left(\sqrt{5-1}\right)}^3$

= $\frac{8}{3}{\left(\sqrt{9}\right)}^3-\frac{8}{3}{\left(\sqrt{4}\right)}^3$

= $\frac{8}{3}\cdot 3^3-\frac{8}{3}\cdot 2^3$

= $\frac{8}{3}\cdot 27-\frac{8}{3}\cdot 8$

= $72-\frac{64}{3}$

= $\frac{216}{3}-\frac{64}{3}$

= $\frac{152}{3}$

= ${\left[\frac{4}{9}{\left(3x-5\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_3^{10}$

= ${\left[\frac{4}{9}{\left(\sqrt{3x-5}\right)}^3\right]}_3^{10}$

$=$ $\frac{4}{9}{\left(\sqrt{3\cdot 10-5}\right)}^3-\frac{4}{9}{\left(\sqrt{3\cdot 3-5}\right)}^3$

= $\frac{4}{9}{\left(\sqrt{30-5}\right)}^3-\frac{4}{9}{\left(\sqrt{9-5}\right)}^3$

= $\frac{4}{9}{\left(\sqrt{25}\right)}^3-\frac{4}{9}{\left(\sqrt{4}\right)}^3$

= $\frac{4}{9}\cdot 5^3-\frac{4}{9}\cdot 2^3$

= $\frac{4}{9}\cdot 125-\frac{4}{9}\cdot 8$

= $\frac{500}{9}-\frac{32}{9}$

= $52$

= ${\left[3e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,5}}\right]}_0^u$

$=$ $3e^{\mathrm{0,2}u-\mathrm{0,5}}-3e^{\mathrm{0,2}\cdot 0-\mathrm{0,5}}$

= $3e^{\mathrm{0,2}u-\mathrm{0,5}}-3e^{0-\mathrm{0,5}}$

= $3e^{\mathrm{0,2}u-\mathrm{0,5}}-3e^{-\mathrm{0,5}}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $5$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{3}$ ${\left[\frac{1}{2}\ln \left(\left|$ 2x-4$\right|\right)\right]}_3^6$

$=$ $\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\ln \left(\left|$ 2\cdot 6-4$\right|\right)-\frac{1}{2}\ln \left(\left|$ 2\cdot 3-4$\right|\right)\right)$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\ln \left(\left|$ 12-4$\right|\right)-\frac{1}{2}\ln \left(\left|$ 6-4$\right|\right)\right)$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\ln \left(8\right)-\frac{1}{2}\ln \left(\left|$ 6-4$\right|\right)\right)$

= $\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\ln \left(8\right)-\frac{1}{2}\ln \left(2\right)\right)$

= ${\left[2{\left(-x+1\right)}^{-1}\right]}_2^u$

= ${\left[\frac{2}{-x+1}\right]}_2^u$

$=$ $\frac{2}{-u+1}-\frac{2}{-2+1}$

= $\frac{2}{-u+1}-\frac{2}{\left(-1\right)}$

= $\frac{2}{-u+1}-2\cdot \left(-1\right)$

= $\frac{2}{-u+1}+2$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{2}{-u+1}+2$ → $0+2$ = $2$ ≈ 2

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 2

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 2 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

= ${\left[-\frac{1}{6}{x}^3+2x\right]}_0^2$

$=$ $-\frac{1}{6}\cdot 2^3+2\cdot 2-\left(-\frac{1}{6}\cdot 0^3+2\cdot 0\right)$

= $-\frac{1}{6}\cdot 8+4-\left(-\frac{1}{6}\cdot 0+0\right)$

= $-\frac{4}{3}+4-\left(0+0\right)$

= $-\frac{4}{3}+\frac{12}{3}+0$

= $\frac{8}{3}$

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 2,667 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 55 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 55 m³ - 2,667 m³ ≈ 52,333 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 52,333 m³.

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 3 die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände liegt, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zunimmt.

Von 3 bis 7 liegt dann die Austrittssrate aus dem Festival-Gelände über der Eintrittsrate ins Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände abnimmt.

Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 3: ca. 3.4 Hundert Personen
von 3 bis 7: ca. -1.3 Hundert Personen
von 7 bis 10: ca. 3.4 Hundert Personen

1. Zeitpunkt des kleinsten Bestands

   Da zwischen 0 und 3 mehr Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 3 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand gleich zu Beginn, also bei t = 0 Stunden.

2. größter Bestand

   Da der Zuwachs zwischen t = 7 und t = 10 größer ist als die Abnahme zwischen t = 3 und t = 7, wird der maximale Bestand erst nach 10 Stunden erreicht. Bis zu diesem Zeitpunkt hat sich die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände um 3.4 -1.3 + 3.4 = 5.5 Hundert Personen vermehrt.
   Der maximale Bestand ist somit B₁₀ = 19.5 + 5.5 = 25 Hundert Personen .