= ${\left[e^{3x-3}\right]}_1^3$

$=$ $e^{3\cdot 3-3}-e^{3\cdot 1-3}$

= $e^{9-3}-e^{3-3}$

= $e^6-e^0$

= $e^6-1$

= ${\left[-4{\left(x-2\right)}^{-1}\right]}_3^4$

= ${\left[-\frac{4}{x-2}\right]}_3^4$

$=$ $-\frac{4}{4-2}+\frac{4}{3-2}$

= $-\frac{4}{2}+\frac{4}{1}$

= $-4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)+4\cdot 1$

= $-2+4$

= $2$

= ${\left[7e^{\mathrm{0,9}x-\mathrm{0,6}}\right]}_0^u$

$=$ $7e^{\mathrm{0,9}u-\mathrm{0,6}}-7e^{\mathrm{0,9}\cdot 0-\mathrm{0,6}}$

= $7e^{\mathrm{0,9}u-\mathrm{0,6}}-7e^{0-\mathrm{0,6}}$

= $7e^{\mathrm{0,9}u-\mathrm{0,6}}-7e^{-\mathrm{0,6}}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $12$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{3}$ ${\left[6e^{x-3}\right]}_2^5$

$=$ $\frac{1}{3}\left(6e^{5-3}-6e^{2-3}\right)$

= $\frac{1}{3}\left(6e^2-6e^{-1}\right)$

= ${\left[{\left(-2x+5\right)}^{-1}\right]}_4^u$

= ${\left[\frac{1}{-2x+5}\right]}_4^u$

$=$ $\frac{1}{-2u+5}-\frac{1}{-2\cdot 4+5}$

= $\frac{1}{-2u+5}-\frac{1}{-8+5}$

= $\frac{1}{-2u+5}-\frac{1}{\left(-3\right)}$

= $\frac{1}{-2u+5}-\left(-\frac{1}{3}\right)$

= $\frac{1}{-2u+5}+\frac{1}{3}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{-2u+5}+\frac{1}{3}$ → $0+\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.333

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.333

Der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen, dass bei der Sinus-Funktion die fallende Nullstelle nach einer halben Periode ist.
Die Periode von f ist p = $\frac{2\pi }{\frac{1}{4}\pi }$ = 8. Somit ist die fallende Nullstelle nach einer halben Periode bei t = 4.

Da beim Sinus die Teilflächen über und unter der x-Achse gleich groß sind, wird dieser maximale Bestand zwar noch zu anderen Zeitpunkten erreicht, aber nie übertroffen.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 4 der Bestand (Höhe des Fahrstuhls) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

= ${\left[-\frac{2}{\mathrm{0,7854}}\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\pi t\right)\right]}_0^4$

$=$ $-\frac{2}{\mathrm{0,7854}}\cdot \cos (\frac{1}{4}\pi ·4)+\frac{2}{\mathrm{0,7854}}\cdot \cos (\frac{1}{4}\pi ·0)$

= $-\frac{2}{\mathrm{0,7854}}\cdot \cos \left(\pi \right)+\frac{2}{\mathrm{0,7854}}\cdot \cos \left(0\right)$

= $-\frac{2}{\mathrm{0,7854}}\cdot \left(-1\right)+\frac{2}{\mathrm{0,7854}}\cdot 1$

= $\mathrm{2,5465}+\mathrm{2,5465}$

= $\mathrm{5,093}$

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 5,093 m

Wenn der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) aber 60 m ist müssen ja zu Beginn bereits 60 m - 5,093 m ≈ 54,907 m vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Höhe des Fahrstuhls betrug demnach B₀ = 54,907 m.

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Zuflussrate über der Abflussrate liegt, so dass hier das Wasservolumen zunimmt.

Von 1 bis 7 liegt dann die Abflussrate über der Zuflussrate, so dass hier das Wasservolumen abnimmt.

Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Zuflussrate über der Abflussrate, so dass hier das Wasservolumen wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.1 Liter
von 1 bis 7: ca. -12 Liter

1. Zeitpunkt des kleinsten Bestands

   Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 7 min.

2. kleinster Bestand

   Da das Wasservolumen zwischen t = 0 und t = 7 erst 1.1 Liter zu- und dann wieder 12 Liter abgenommen hat, muss der geringste Bestand zum Zeitpunkt t =7 sein (bevor es danach wieder zunimmt). Für diesen minimalen Bestand gilt dann:
   B₇ = 32.9+1.1-12 = 22 Liter .

3. reiner Zuwachs nach 3 min

   Da ja die blaue Kurve der Graph der Zunahme darstellt, müssen wir einfach die Fläche zwischen der blauen Kurve und der x-Achse im Intervall [0;3] ablesen. Diese ist ca. Z₃ = 8.7 Liter .