Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{x - 1}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 35 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 5 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:

\int_{2}^{5} 5 e^{x - 1} ⅆ x

= ${[5 e^{x - 1}]}_{2}^{5}$

$=$ $5 e^{5 - 1} - 5 e^{2 - 1}$

= $5 e^{4} - 5 e^{1}$

= $5 e^{4} - 5 e$

≈ 259,399

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:

B = 35 + $5 e^{4} - 5 e$ ≈ 294.4

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $5 e^{3 x - 3}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 43 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 2 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 2:

\int_{0}^{2} 5 e^{3 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} e^{3 x - 3}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{5}{3} e^{3 \cdot 2 - 3} - \frac{5}{3} e^{3 \cdot 0 - 3}$

= $\frac{5}{3} e^{6 - 3} - \frac{5}{3} e^{0 - 3}$

= $\frac{5}{3} e^{3} - \frac{5}{3} e^{- 3}$

≈ 33,393

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 2 zusammen:

B = 43 + $\frac{5}{3} e^{3} - \frac{5}{3} e^{- 3}$ ≈ 76.39

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 3 so, dass $\int_{3}^{u} 6 x ⅆ x$ = $120$

Lösung einblenden

\int_{3}^{u} 6 x ⅆ x

= ${[3 x^{2}]}_{3}^{u}$

$=$ $3 u^{2} - 3 \cdot 3^{2}$

= $3 u^{2} - 3 \cdot 9$

= $3 u^{2} - 27$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $120$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$3 u^{2} - 27$	=	$120$	\| $+ 27$
$3 u^{2}$	=	$147$	\|: $3$
$u^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
u₂	=	$\sqrt{49}$	= $7$

Da u= $- 7$ < 3 ist u= $7$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{3 x - 5}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $3$ und Minute $7$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{7 - 3}

\int_{3}^{7} 4 \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\frac{1}{4}

\int_{3}^{7} 4 {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{1}{4}$ ${[\frac{8}{9} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{3}^{7}$

= $\frac{1}{4}$ ${[\frac{8}{9} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{3}^{7}$

$=$ $\frac{1}{4} (\frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot 7 - 5})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot 3 - 5})}^{3})$

= $\frac{1}{4} (\frac{8}{9} {(\sqrt{21 - 5})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{9 - 5})}^{3})$

= $\frac{1}{4} (\frac{8}{9} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{4})}^{3})$

= $\frac{1}{4} (\frac{8}{9} \cdot 4^{3} - \frac{8}{9} \cdot 2^{3})$

= $\frac{1}{4} (\frac{8}{9} \cdot 64 - \frac{8}{9} \cdot 8)$

= $\frac{1}{4} (\frac{512}{9} - \frac{64}{9})$

= $\frac{1}{4} \cdot \frac{448}{9}$

= $\frac{112}{9}$

≈ 12,444

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= $e^{- 2 x + 5}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} e^{- 2 x + 5} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} e^{- 2 x + 5}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 5} + \frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 2 + 5}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 5} + \frac{1}{2} e^{- 4 + 5}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 5} + \frac{1}{2} e^{1}$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 5} + \frac{1}{2} e$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2} e^{- 2 u + 5} + \frac{1}{2} e$ → $0 + \frac{1}{2} e$ = $\frac{1}{2} e$ ≈ 1.359

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1.359

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Die Funktion f mit

f(t) =

2 e^{- 0,3 t + 0,9} - 2

beschreibt die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer (f(t) in m/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Dabei stehen positive Werte für Geschwindigkeiten nach oben, negative für Geschwindigkeiten nach unten. Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Höhe des Fahrstuhls beträgt im abgebildeten Zeitraum 40 m. Bestimme die Höhe des Fahrstuhls zu Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

$2 e^{- 0,3 t + 0,9} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 e^{- 0,3 t + 0,9}$	=	$2$	\|: $2$
$e^{- 0,3 t + 0,9}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 0,3 t + 0,9$	=	0

$- 0,3 t + 0,9$	=	0	\| $- 0,9$
$- 0,3 t$	=	$- 0,9$	\|:( $- 0,3$ )
$t$	=	$3$

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 3 der Bestand (Höhe des Fahrstuhls) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

I =

\int_{0}^{3} (2 e^{- 0,3 t + 0,9} - 2) ⅆ t

= ${[- \frac{20}{3} e^{- 0,3 x + 0,9} - 2 x]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{20}{3} e^{- 0,3 \cdot 3 + 0,9} - 2 \cdot 3 - (- \frac{20}{3} e^{- 0,3 \cdot 0 + 0,9} - 2 \cdot 0)$

= $- \frac{20}{3} e^{- 0,9 + 0,9} - 6 - (- \frac{20}{3} e^{0 + 0,9} + 0)$

= $- \frac{20}{3} e^{- 0} - 6 - (- \frac{20}{3} e^{0,9} + 0)$

= $- \frac{20}{3} - 6 + \frac{20}{3} e^{0,9}$

= $- \frac{20}{3} - \frac{18}{3} + \frac{20}{3} e^{0,9}$

= $- \frac{38}{3} + \frac{20}{3} e^{0,9}$

≈ 3,731

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 3,731 m

Wenn der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) aber 40 m ist müssen ja zu Beginn bereits 40 m - 3,731 m ≈ 36,269 m vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Höhe des Fahrstuhls betrug demnach B₀ = 36,269 m.

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

Bei einem großen Festival werden die hereinkommenden und die herausgehenden Besucher gemessen. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die momentane Eintrittsrate in Hundert Personen pro Stunde, der rote Graph die momentane Austrittssrate (in Hundert Personen pro Stunde). Die x-Achse zeigt die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Stunden nach Beobachtungsbeginn.

Nach wie vielen Stunden sind die wenigsten Besucher auf dem Festival-Gelände?
Bei Beobachtungsbeginn sind ca. 38,9 Hundert Personen auf dem Festival-Gelände. Bestimme die niedrigste Besucherzahl auf dem Festival-Gelände im abgebildeten Zeitraum.

Lösung einblenden

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände liegt, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zunimmt.

Von 1 bis 7 liegt dann die Austrittssrate aus dem Festival-Gelände über der Eintrittsrate ins Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände abnimmt.

Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.1 Hundert Personen
von 1 bis 7: ca. -12 Hundert Personen

Zeitpunkt des kleinsten Bestands
Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 7 Stunden.
kleinster Bestand
Da die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zwischen t = 0 und t = 7 erst 1.1 Hundert Personen zu- und dann wieder 12 Hundert Personen abgenommen hat, muss der geringste Bestand zum Zeitpunkt t =7 sein (bevor es danach wieder zunimmt). Für diesen minimalen Bestand gilt dann:
B₇ = 38.9+1.1-12 = 28 Hundert Personen .

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale

Maximaler Bestand rückwärts

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)