= ${\left[4e^{x-1}\right]}_2^5$

$=$ $4e^{5-1}-4e^{2-1}$

= $4e^4-4e^1$

= $4e^4-4e$

= ${\left[4e^{x-3}\right]}_0^1$

$=$ $4e^{1-3}-4e^{0-3}$

= $4e^{-2}-4e^{-3}$

= ${\left[3e^{\mathrm{0,5}x-\mathrm{0,7}}\right]}_0^u$

$=$ $3e^{\mathrm{0,5}u-\mathrm{0,7}}-3e^{\mathrm{0,5}\cdot 0-\mathrm{0,7}}$

= $3e^{\mathrm{0,5}u-\mathrm{0,7}}-3e^{0-\mathrm{0,7}}$

= $3e^{\mathrm{0,5}u-\mathrm{0,7}}-3e^{-\mathrm{0,7}}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $9$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{2}$ ${\left[\frac{2}{3}{\left(x-3\right)}^3+5x\right]}_2^4$

$=$ $\frac{1}{2}(\frac{2}{3}\cdot {\left(4-3\right)}^3+5\cdot 4-\left(\frac{2}{3}\cdot {\left(2-3\right)}^3+5\cdot 2\right))$

= $\frac{1}{2}(\frac{2}{3}\cdot 1^3+20-\left(\frac{2}{3}\cdot {\left(-1\right)}^3+10\right))$

= $\frac{1}{2}(\frac{2}{3}\cdot 1+20-\left(\frac{2}{3}\cdot \left(-1\right)+10\right))$

= $\frac{1}{2}(\frac{2}{3}+20-\left(-\frac{2}{3}+10\right))$

= $\frac{1}{2}(\frac{2}{3}+\frac{60}{3}-\left(-\frac{2}{3}+\frac{30}{3}\right))$

= $\frac{1}{2}(\frac{62}{3}-1·\frac{28}{3})$

= $\frac{1}{2}\left(\frac{62}{3}-\frac{28}{3}\right)$

= $\frac{1}{2}·\frac{34}{3}$

= $\frac{17}{3}$

= ${\left[-\frac{3}{4}{\left(2x-4\right)}^{-2}\right]}_3^u$

= ${\left[-\frac{3}{4{\left(2x-4\right)}^2}\right]}_3^u$

$=$ $-\frac{3}{4{\left(2u-4\right)}^2}+\frac{3}{4{\left(2\cdot 3-4\right)}^2}$

= $-\frac{3}{4{\left(2u-4\right)}^2}+\frac{3}{4{\left(6-4\right)}^2}$

= $-\frac{3}{4{\left(2u-4\right)}^2}+\frac{3}{4\cdot 2^2}$

= $-\frac{3}{4{\left(2u-4\right)}^2}+\frac{3}{4}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)$

= $-\frac{3}{4{\left(2u-4\right)}^2}+\frac{3}{16}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $-\frac{3}{4{\left(2u-4\right)}^2}+\frac{3}{16}$ → $0+\frac{3}{16}$ = $\frac{3}{16}$ ≈ 0.188

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.188

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen, dass bei der Sinus-Funktion die fallende Nullstelle nach einer halben Periode ist.
Die Periode von f ist p = $\frac{2\pi }{\frac{1}{10}\pi }$ = 20. Somit ist die fallende Nullstelle nach einer halben Periode bei t = 10.

Da beim Sinus die Teilflächen über und unter der x-Achse gleich groß sind, wird dieser maximale Bestand zwar noch zu anderen Zeitpunkten erreicht, aber nie übertroffen.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 10 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

= ${\left[-\frac{5}{\mathrm{0,3142}}\cdot \cos \left(\frac{1}{10}\pi t\right)\right]}_0^{10}$

$=$ $-\frac{5}{\mathrm{0,3142}}\cdot \cos (\frac{1}{10}\pi ·10)+\frac{5}{\mathrm{0,3142}}\cdot \cos (\frac{1}{10}\pi ·0)$

= $-\frac{5}{\mathrm{0,3142}}\cdot \cos \left(\pi \right)+\frac{5}{\mathrm{0,3142}}\cdot \cos \left(0\right)$

= $-\frac{5}{\mathrm{0,3142}}\cdot \left(-1\right)+\frac{5}{\mathrm{0,3142}}\cdot 1$

= $\mathrm{15,9155}+\mathrm{15,9155}$

= $\mathrm{31,831}$

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 31,831 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 40 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 40 m³ - 31,831 m³ ≈ 8,169 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 8,169 m³.

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände liegt, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zunimmt.

Von 1 bis 5 liegt dann die Austrittssrate aus dem Festival-Gelände über der Eintrittsrate ins Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände abnimmt.

Von 5 bis 10 liegt dann wieder die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.2 Hundert Personen
von 1 bis 5: ca. -5.3 Hundert Personen

1. Zeitpunkt des größten Bestands

   Nachdem die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 5 deutlich kleiner als der Zuwachs zwischen t = 5 und t = 10, so dass der Höchststand erst bei t = 10 erreicht wird.
   Somit wird die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände bei t = 10 Stunden maximal.

2. kleinster Bestand

   Da die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zwischen t = 0 und t = 5 erst 1.2 Hundert Personen zu- und dann wieder 5.3 Hundert Personen abgenommen hat, muss der geringste Bestand zum Zeitpunkt t =5 sein (bevor es danach wieder zunimmt). Für diesen minimalen Bestand gilt dann:
   B₅ = 34.1+1.2-5.3 = 30 Hundert Personen .

3. reiner Zuwachs nach 2 Stunden

   Da ja die blaue Kurve der Graph der Zunahme darstellt, müssen wir einfach die Fläche zwischen der blauen Kurve und der x-Achse im Intervall [0;2] ablesen. Diese ist ca. Z₂ = 8 Hundert Personen .