= ${\left[3e^{x-2}\right]}_2^5$

$=$ $3e^{5-2}-3e^{2-2}$

= $3e^3-3e^0$

= $3e^3-3$

= ${\left[-\frac{1}{2}{\left(2x-1\right)}^{-1}\right]}_1^3$

= ${\left[-\frac{1}{2\left(2x-1\right)}\right]}_1^3$

$=$ $-\frac{1}{2\left(2\cdot 3-1\right)}+\frac{1}{2\left(2\cdot 1-1\right)}$

= $-\frac{1}{2\left(6-1\right)}+\frac{1}{2\left(2-1\right)}$

= $-\frac{1}{2\cdot 5}+\frac{1}{2}$

= $-\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)+\frac{1}{2}\cdot 1$

= $-\frac{1}{10}+\frac{1}{2}$

= $-\frac{1}{10}+\frac{5}{10}$

= $\frac{2}{5}$

= ${\left[3x^2-x\right]}_1^u$

$=$ $3u^2-u-\left(3\cdot 1^2-1\right)$

= $3u^2-u-\left(3\cdot 1-1\right)$

= $3u^2-u-\left(3-1\right)$

= $3u^2-u-1·2$

= $3u^2-u-2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $\mathrm{14,25}$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$3u^2-u-\mathrm{16,25}$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·3·\left(-\mathrm{16,25}\right)}}{2\cdot 3}$

u_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+195}}{6}$

u_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{196}}{6}$

u₁ = $\frac{1+\sqrt{196}}{6}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>14</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{15}{6}$ = $\mathrm{2,5}$

u₂ = $\frac{1-\sqrt{196}}{6}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>14</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-13}{6}$ = $-\frac{13}{6}$ ≈ -2.17

Da u= $-\frac{13}{6}$ < 1 ist u= $\mathrm{2,5}$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{2}{9}$ ${\left[\frac{5}{3}{\left(2x-4\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_{10}^{\frac{29}{2}}$

= $\frac{2}{9}$ ${\left[\frac{5}{3}{\left(\sqrt{2x-4}\right)}^3\right]}_{10}^{\frac{29}{2}}$

$=$ $\frac{2}{9}\left(\frac{5}{3}{\left(\sqrt{2\cdot \left(\frac{29}{2}\right)-4}\right)}^3-\frac{5}{3}{\left(\sqrt{2\cdot 10-4}\right)}^3\right)$

= $\frac{2}{9}\left(\frac{5}{3}{\left(\sqrt{29-4}\right)}^3-\frac{5}{3}{\left(\sqrt{20-4}\right)}^3\right)$

= $\frac{2}{9}\left(\frac{5}{3}{\left(\sqrt{25}\right)}^3-\frac{5}{3}{\left(\sqrt{16}\right)}^3\right)$

= $\frac{2}{9}\left(\frac{5}{3}\cdot 5^3-\frac{5}{3}\cdot 4^3\right)$

= $\frac{2}{9}\left(\frac{5}{3}\cdot 125-\frac{5}{3}\cdot 64\right)$

= $\frac{2}{9}\left(\frac{625}{3}-\frac{320}{3}\right)$

= $\frac{2}{9}·\frac{305}{3}$

= $\frac{610}{27}$

= ${\left[\frac{1}{3}{\left(3x-7\right)}^{-2}\right]}_3^u$

= ${\left[\frac{1}{3{\left(3x-7\right)}^2}\right]}_3^u$

$=$ $\frac{1}{3{\left(3u-7\right)}^2}-\frac{1}{3{\left(3\cdot 3-7\right)}^2}$

= $\frac{1}{3{\left(3u-7\right)}^2}-\frac{1}{3{\left(9-7\right)}^2}$

= $\frac{1}{3{\left(3u-7\right)}^2}-\frac{1}{3\cdot 2^2}$

= $\frac{1}{3{\left(3u-7\right)}^2}-\frac{1}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)$

= $\frac{1}{3{\left(3u-7\right)}^2}-\frac{1}{12}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{3{\left(3u-7\right)}^2}-\frac{1}{12}$ → $0-\frac{1}{12}$ = $-\frac{1}{12}$ ≈ -0.083

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.083

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen, dass bei der Sinus-Funktion die fallende Nullstelle nach einer halben Periode ist.
Die Periode von f ist p = $\frac{2\pi }{\frac{1}{8}\pi }$ = 16. Somit ist die fallende Nullstelle nach einer halben Periode bei t = 8.

Da beim Sinus die Teilflächen über und unter der x-Achse gleich groß sind, wird dieser maximale Bestand zwar noch zu anderen Zeitpunkten erreicht, aber nie übertroffen.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 8 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

= ${\left[-\frac{4}{\mathrm{0,3927}}\cdot \cos \left(\frac{1}{8}\pi t\right)\right]}_0^8$

$=$ $-\frac{4}{\mathrm{0,3927}}\cdot \cos (\frac{1}{8}\pi ·8)+\frac{4}{\mathrm{0,3927}}\cdot \cos (\frac{1}{8}\pi ·0)$

= $-\frac{4}{\mathrm{0,3927}}\cdot \cos \left(\pi \right)+\frac{4}{\mathrm{0,3927}}\cdot \cos \left(0\right)$

= $-\frac{4}{\mathrm{0,3927}}\cdot \left(-1\right)+\frac{4}{\mathrm{0,3927}}\cdot 1$

= $\mathrm{10,1859}+\mathrm{10,1859}$

= $\mathrm{20,3718}$

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 20,372 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 40 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 40 m³ - 20,372 m³ ≈ 19,628 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 19,628 m³.

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 4 die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände liegt, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zunimmt.

Von 4 bis 8 liegt dann die Austrittssrate aus dem Festival-Gelände über der Eintrittsrate ins Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände abnimmt.

Von 8 bis 10 liegt dann wieder die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 4: ca. 5.3 Hundert Personen
von 4 bis 8: ca. -1.1 Hundert Personen
von 8 bis 10: ca. 1.1 Hundert Personen

1. Zeitpunkt des kleinsten Bestands

   Da zwischen 0 und 4 mehr Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 4 und 8, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand gleich zu Beginn, also bei t = 0 Stunden.

2. Anfangsbestand

   Die Änderung des Bestands kann man einfach durch die Flächen zwischen dem Kurven ablesen, wobei man hier natürlich die Vorzeichen übernehmen muss. Durch Abzählen der Kästchen der eingeschlossenen Flächen im Interval [0;4] kann man einen Zuwachs von ca. 5.3 erkennen.
   Bei Beobachtungsbeginn muss somit die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände um 5.3 Hundert Personen niedriger als die 29.3 nach 4 Stunden gewesen sein:
   B₀ = 29.3 - 5.3 = 24 Hundert Personen .