Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3 2x -1 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 5 Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 17 2 Minuten darin?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 17 2 :
5 17 2 3 2x -1 x
= 5 17 2 3 ( 2x -1 ) 1 2 x

= [ ( 2x -1 ) 3 2 ] 5 17 2

= [ ( 2x -1 ) 3 ] 5 17 2

= ( 2( 17 2 ) -1 ) 3 - ( 25 -1 ) 3

= ( 17 -1 ) 3 - ( 10 -1 ) 3

= ( 16 ) 3 - ( 9 ) 3

= 4 3 - 3 3

= 64 - 27

= 37

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 17 2 zusammen:
B = 10 + 37 = 47

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 4 x -2 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 11 s hat er bereits 10 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 18 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 11 und 18:
11 18 4 x -2 x
= 11 18 4 ( x -2 ) 1 2 x

= [ 8 3 ( x -2 ) 3 2 ] 11 18

= [ 8 3 ( x -2 ) 3 ] 11 18

= 8 3 ( 18 -2 ) 3 - 8 3 ( 11 -2 ) 3

= 8 3 ( 16 ) 3 - 8 3 ( 9 ) 3

= 8 3 4 3 - 8 3 3 3

= 8 3 64 - 8 3 27

= 512 3 -72

= 512 3 - 216 3

= 296 3


≈ 98,667
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 11 und der Änderung zwischen 11 und 18 zusammen:
B = 10 + 296 3 = 326 3 ≈ 108.67

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass 2 u ( -4x +2 ) x = -56

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2 u ( -4x +2 ) x

= [ -2 x 2 +2x ] 2 u

= -2 u 2 +2u - ( -2 2 2 +22 )

= -2 u 2 +2u - ( -24 +4 )

= -2 u 2 +2u - ( -8 +4 )

= -2 u 2 +2u -1 · ( -4 )

= -2 u 2 +2u +4

Diese Integralfunktion soll ja den Wert -56 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

-2 u 2 +2u +4 = -56 | +56
-2 u 2 +2u +60 = 0 |:2

- u 2 + u +30 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · ( -1 ) · 30 2( -1 )

u1,2 = -1 ± 1 +120 -2

u1,2 = -1 ± 121 -2

u1 = -1 + 121 -2 = -1 +11 -2 = 10 -2 = -5

u2 = -1 - 121 -2 = -1 -11 -2 = -12 -2 = 6

Da u= -5 < 2 ist u= 6 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 5 e x -3 beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

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Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 3 +0 0 3 5 e x -3 x

= 1 3 [ 5 e x -3 ] 0 3

= 1 3 ( 5 e 3 -3 -5 e 0 -3 )

= 1 3 ( 5 e 0 -5 e -3 )

= 1 3 ( 5 -5 e -3 )

= 1 3 ( -5 e -3 +5 )


≈ 1,584

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= 3 ( -2x +4 ) 2 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=4 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


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A(u)= 4 u 3 ( -2x +4 ) 2 x
= 4 u 3 ( -2x +4 ) -2 x

= [ 3 2 ( -2x +4 ) -1 ] 4 u

= [ 3 2( -2x +4 ) ] 4 u

= 3 2( -2u +4 ) - 3 2( -24 +4 )

= 3 2( -2u +4 ) - 3 2( -8 +4 )

= 3 2( -2u +4 ) - 3 2 ( -4 )

= 3 2( -2u +4 ) - 3 2 ( - 1 4 )

= 3 2( -2u +4 ) + 3 8

Für u → ∞ gilt: A(u) = 3 2( -2u +4 ) + 3 8 0 + 3 8 = 3 8 ≈ 0.375

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.375

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

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Die Funktion f mit f(t)= e -0,5t +1 -1 beschreibt die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer (f(t) in m/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Dabei stehen positive Werte für Geschwindigkeiten nach oben, negative für Geschwindigkeiten nach unten. Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Höhe des Fahrstuhls beträgt im abgebildeten Zeitraum 50 m. Bestimme die Höhe des Fahrstuhls zu Beobachtungsbeginn.

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Der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

e -0,5t +1 -1 = 0 | +1
e -0,5t +1 = 1 |ln(⋅)
-0,5t +1 = 0
-0,5t +1 = 0 | -1
-0,5t = -1 |:(-0,5 )
t = 2

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 2 der Bestand (Höhe des Fahrstuhls) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

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I = 0 2 ( e -0,5t +1 -1 ) t

= [ -2 e -0,5x +1 - x ] 0 2

= -2 e -0,52 +1 - 2 - ( -2 e -0,50 +1 - 0 )

= -2 e -1 +1 -2 - ( -2 e 0 +1 +0)

= -2 e 0 -2 - ( -2 e 1 +0)

= -2 -2 - (-2e+0)

= -4 +2e


≈ 1,437

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 1,437 m

Wenn der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) aber 50 m ist müssen ja zu Beginn bereits 50 m - 1,437 m ≈ 48,563 m vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Höhe des Fahrstuhls betrug demnach B0 = 48,563 m.

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

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Ein Wassertank hat einen Zu- und einen Abfluss. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die momentane Zuflussrate in Liter pro Minute, der rote Graph die momentane Abflussrate (Liter pro Minute). Die x-Achse zeigt die Zeit in Minuten nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Minuten nach Beobachtungsbeginn.
  1. Nach wie vielen Minuten ist am wenigsten Wasser im Tank?
  2. Bei Beobachtungsbeginn sind ca. 31,9 Liter Wasser im Tank. Bestimme den kleinstmöglichen Inhalt an Liter Wasser im abgebildeten Zeitraum.
  3. Wie viele Liter Wasser fließen in den ersten 3 Minuten in den Tank hinein?

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Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Zuflussrate über der Abflussrate liegt, so dass hier das Wasservolumen zunimmt.

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Von 1 bis 7 liegt dann die Abflussrate über der Zuflussrate, so dass hier das Wasservolumen abnimmt.

Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Zuflussrate über der Abflussrate, so dass hier das Wasservolumen wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.1 Liter
von 1 bis 7: ca. -12 Liter

  1. Zeitpunkt des kleinsten Bestands

    Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 7 min.

  2. kleinster Bestand

    Da das Wasservolumen zwischen t = 0 und t = 7 erst 1.1 Liter zu- und dann wieder 12 Liter abgenommen hat, muss der geringste Bestand zum Zeitpunkt t =7 sein (bevor es danach wieder zunimmt). Für diesen minimalen Bestand gilt dann:
    B7 = 31.9+1.1-12 = 21 Liter .

  3. reiner Zuwachs nach 3 min

    Da ja die blaue Kurve der Graph der Zunahme darstellt, müssen wir einfach die Fläche zwischen der blauen Kurve und der x-Achse im Intervall [0;3] ablesen. Diese ist ca. Z3 = 8.5 Liter .