Aufgabenbeispiele von Anwendungen
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Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
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=
≈ 67,778
Integralanwendungen
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
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=
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
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=
Diese Integralfunktion soll ja den Wert annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | | | ||
| u1 | = |
|
=
|
| u2 | = |
|
=
|
Da u=
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)=
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
=
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=
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Der Graph der Funktion f mit f(x)=
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
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=
=
Für u → ∞ gilt: A(u) =
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.333
Maximaler Bestand rückwärts
Beispiel:
Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.
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= | |
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= | |ln(⋅) | |
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= |
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= | |
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= |
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|:( |
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= |
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Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 2 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:
=
=
=
=
=
≈ 1,437
Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 1,437 m³
Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 45 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 45 m³ - 1,437 m³ ≈ 43,563 m³ vorhanden gewesen sein.
Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B0 = 43,563 m³.
minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)
Beispiel:
- Nach wie vielen Sekunden ist der Vorsprung von Radfahrer1 gegenüber Radfahrer2 am kleinsten?
- 4 Sekunden nach Beobachtungsbeginn ist Radfahrer1 ca. 22,1 Meter vor Radfahrer2. Bestimme den Vorsprung von Radfahrer1 auf Radfahrer2 bei Beobachtungsbeginn.
Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers liegt, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers zunimmt.
Von 1 bis 7 liegt dann die Geschwindigkeit des 2. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 1. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers abnimmt.
Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers wieder zunimmt.
Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.1
Meter
von 1 bis 7: ca. -12 Meter
von 7 bis 10: ca. 12 Meter
- Zeitpunkt des kleinsten Bestands
Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 7 s.
- Anfangsbestand
Die Änderung des Bestands kann man einfach durch die Flächen zwischen dem Kurven ablesen, wobei man hier natürlich die Vorzeichen übernehmen muss. Durch Abzählen der Kästchen der eingeschlossenen Flächen im Interval [0;4] kann man einen Zuwachs von ca. -4.9 erkennen.
Bei Beobachtungsbeginn muss somit der Vorsprung des 1. Radfahrers um -4.9 Meter niedriger als die 22.1 nach 4 s gewesen sein:
B0 = 22.1 - -4.9 = 27 Meter .
