= ${\left[-\frac{4}{9}{\left(3x-5\right)}^{-3}\right]}_2^4$

= ${\left[-\frac{4}{9{\left(3x-5\right)}^3}\right]}_2^4$

$=$ $-\frac{4}{9{\left(3\cdot 4-5\right)}^3}+\frac{4}{9{\left(3\cdot 2-5\right)}^3}$

= $-\frac{4}{9{\left(12-5\right)}^3}+\frac{4}{9{\left(6-5\right)}^3}$

= $-\frac{4}{9\cdot 7^3}+\frac{4}{9\cdot 1^3}$

= $-\frac{4}{9}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)+\frac{4}{9}\cdot 1$

= $-\frac{4}{3087}+\frac{4}{9}$

= $-\frac{4}{3087}+\frac{1372}{3087}$

= $\frac{152}{343}$

= ${\left[\frac{5}{3}{\left(2x-5\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_{\frac{21}{2}}^{15}$

= ${\left[\frac{5}{3}{\left(\sqrt{2x-5}\right)}^3\right]}_{\frac{21}{2}}^{15}$

$=$ $\frac{5}{3}{\left(\sqrt{2\cdot 15-5}\right)}^3-\frac{5}{3}{\left(\sqrt{2\cdot \left(\frac{21}{2}\right)-5}\right)}^3$

= $\frac{5}{3}{\left(\sqrt{30-5}\right)}^3-\frac{5}{3}{\left(\sqrt{21-5}\right)}^3$

= $\frac{5}{3}{\left(\sqrt{25}\right)}^3-\frac{5}{3}{\left(\sqrt{16}\right)}^3$

= $\frac{5}{3}\cdot 5^3-\frac{5}{3}\cdot 4^3$

= $\frac{5}{3}\cdot 125-\frac{5}{3}\cdot 64$

= $\frac{625}{3}-\frac{320}{3}$

= $\frac{305}{3}$

= ${\left[-5x^2\right]}_1^u$

$=$ $-5u^2+5\cdot 1^2$

= $-5u^2+5\cdot 1$

= $-5u^2+5$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $-\mathrm{6,25}$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Da u= $-\mathrm{1,5}$ < 1 ist u= $\mathrm{1,5}$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{\pi }$ ${\left[-\frac{3}{2}\cdot \cos \left(2x+\frac{3}{2}\pi \right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{1}{\pi }·\left(-\frac{3}{2}\cdot \cos \left(2\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)+\frac{3}{2}\pi \right)+\frac{3}{2}\cdot \cos \left(2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)+\frac{3}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{1}{\pi }·\left(-\frac{3}{2}\cdot \cos \left(\frac{9}{2}\pi \right)+\frac{3}{2}\cdot \cos \left(\frac{5}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{1}{\pi }·\left(-\frac{3}{2}\cdot 0+\frac{3}{2}\cdot 0\right)$

= $\frac{1}{\pi }·\left(0+0\right)$

= $\frac{1}{\pi }·0$

= 0

= ${\left[\ln \left(\left|$ -2x+1$\right|\right)\right]}_2^u$

$=$ $\ln \left(\left|$ -2\left(u\right)+1$\right|\right)-\ln \left(\left|$ -2\cdot 2+1$\right|\right)$

= $\ln \left(\left|$ -2u+1$\right|\right)-\ln \left(\left|$ -4+1$\right|\right)$

= $\ln \left(\left|$ -2u+1$\right|\right)-\ln \left(3\right)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $-\ln \left(3\right)+\ln \left(\left|$ -2x+1$\right|\right)$ → $\infty$

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen, dass bei der Sinus-Funktion die fallende Nullstelle nach einer halben Periode ist.
Die Periode von f ist p = $\frac{2\pi }{\frac{1}{4}\pi }$ = 8. Somit ist die fallende Nullstelle nach einer halben Periode bei t = 4.

Da beim Sinus die Teilflächen über und unter der x-Achse gleich groß sind, wird dieser maximale Bestand zwar noch zu anderen Zeitpunkten erreicht, aber nie übertroffen.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 4 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

= ${\left[-\frac{2}{\mathrm{0,7854}}\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\pi t\right)\right]}_0^4$

$=$ $-\frac{2}{\mathrm{0,7854}}\cdot \cos (\frac{1}{4}\pi ·4)+\frac{2}{\mathrm{0,7854}}\cdot \cos (\frac{1}{4}\pi ·0)$

= $-\frac{2}{\mathrm{0,7854}}\cdot \cos \left(\pi \right)+\frac{2}{\mathrm{0,7854}}\cdot \cos \left(0\right)$

= $-\frac{2}{\mathrm{0,7854}}\cdot \left(-1\right)+\frac{2}{\mathrm{0,7854}}\cdot 1$

= $\mathrm{2,5465}+\mathrm{2,5465}$

= $\mathrm{5,093}$

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 5,093 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 40 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 40 m³ - 5,093 m³ ≈ 34,907 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 34,907 m³.

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Zuflussrate über der Abflussrate liegt, so dass hier das Wasservolumen zunimmt.

Von 1 bis 9 liegt dann die Abflussrate über der Zuflussrate, so dass hier das Wasservolumen abnimmt.

Von 9 bis 10 liegt dann wieder die Zuflussrate über der Abflussrate, so dass hier das Wasservolumen wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 0.5 Liter
von 1 bis 9: ca. -10.7 Liter
von 9 bis 10: ca. 0.5 Liter

1. Anfangsbestand

   Da das Wasservolumen zwischen t = 0 und seinem Tiefstand bei t = 9 (bevor es danach wieder zunimmt) erst 0.5 Liter zu- und dann wieder 10.7 Liter abgenommen hat, also insgesamt um |0.5-10.7| = 10.2 Liter weniger wurde, muss es beim Beobachtungsbeginn t = 0 bereits 13.8+10.2 = 24 Liter betragen haben.

2. Zeitpunkt des größten Bestands

   Nachdem das Wasservolumen zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 9 jedoch größer als der Zuwachs zwischen t = 9 und t = 10, so dass der Höchststand von t = 1 nicht wieder erreicht wird.
   Somit wird das Wasservolumen bei t = 1 min maximal.