= ${\left[e^{2x-5}\right]}_2^4$

$=$ $e^{2\cdot 4-5}-e^{2\cdot 2-5}$

= $e^{8-5}-e^{4-5}$

= $e^3-e^{-1}$

= ${\left[2\ln \left(\left|$ 2x-3$\right|\right)\right]}_3^6$

$=$ $2\ln \left(\left|$ 2\cdot 6-3$\right|\right)-2\ln \left(\left|$ 2\cdot 3-3$\right|\right)$

= $2\ln \left(\left|$ 12-3$\right|\right)-2\ln \left(\left|$ 6-3$\right|\right)$

= $2\ln \left(9\right)-2\ln \left(\left|$ 6-3$\right|\right)$

= $2\ln \left(9\right)-2\ln \left(3\right)$

= ${\left[-2e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,2}}\right]}_0^u$

$=$ $-2e^{-\mathrm{0,4}u+\mathrm{0,2}}+2e^{-\mathrm{0,4}\cdot 0+\mathrm{0,2}}$

= $-2e^{-\mathrm{0,4}u+\mathrm{0,2}}+2e^{0+\mathrm{0,2}}$

= $-2e^{-\mathrm{0,4}u+\mathrm{0,2}}+2e^{\mathrm{0,2}}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $2$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{5}$ ${\left[\frac{1}{2}{e}^{2x-4}\right]}_0^5$

$=$ $\frac{1}{5}\left(\frac{1}{2}{e}^{2\cdot 5-4}-\frac{1}{2}{e}^{2\cdot 0-4}\right)$

= $\frac{1}{5}\left(\frac{1}{2}{e}^{10-4}-\frac{1}{2}{e}^{0-4}\right)$

= $\frac{1}{5}\left(\frac{1}{2}{e}^6-\frac{1}{2}{e}^{-4}\right)$

= ${\left[-\frac{3}{2}{\left(-x+3\right)}^{-2}\right]}_5^u$

= ${\left[-\frac{3}{2{\left(-x+3\right)}^2}\right]}_5^u$

$=$ $-\frac{3}{2{\left(-u+3\right)}^2}+\frac{3}{2{\left(-5+3\right)}^2}$

= $-\frac{3}{2{\left(-u+3\right)}^2}+\frac{3}{2{\left(-2\right)}^2}$

= $-\frac{3}{2{\left(-u+3\right)}^2}+\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)$

= $-\frac{3}{2{\left(-u+3\right)}^2}+\frac{3}{8}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $-\frac{3}{2{\left(-u+3\right)}^2}+\frac{3}{8}$ → $0+\frac{3}{8}$ = $\frac{3}{8}$ ≈ 0.375

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.375

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 8 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

= ${\left[-\frac{1}{24}{x}^3+8x\right]}_0^8$

$=$ $-\frac{1}{24}\cdot 8^3+8\cdot 8-\left(-\frac{1}{24}\cdot 0^3+8\cdot 0\right)$

= $-\frac{1}{24}\cdot 512+64-\left(-\frac{1}{24}\cdot 0+0\right)$

= $-\frac{64}{3}+64-\left(0+0\right)$

= $-\frac{64}{3}+\frac{192}{3}+0$

= $\frac{128}{3}$

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 42,667 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 40 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 40 m³ - 42,667 m³ ≈ -2,667 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = -2,667 m³.

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände liegt, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zunimmt.

Von 1 bis 9 liegt dann die Austrittssrate aus dem Festival-Gelände über der Eintrittsrate ins Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände abnimmt.

Von 9 bis 10 liegt dann wieder die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 0.5 Hundert Personen
von 1 bis 9: ca. -10.7 Hundert Personen
von 9 bis 10: ca. 0.5 Hundert Personen

1. Anfangsbestand

   Da die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zwischen t = 0 und seinem Tiefstand bei t = 9 (bevor es danach wieder zunimmt) erst 0.5 Hundert Personen zu- und dann wieder 10.7 Hundert Personen abgenommen hat, also insgesamt um |0.5-10.7| = 10.2 Hundert Personen weniger wurde, muss es beim Beobachtungsbeginn t = 0 bereits 9.8+10.2 = 20 Hundert Personen betragen haben.

2. Zeitpunkt des größten Bestands

   Nachdem die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 9 jedoch größer als der Zuwachs zwischen t = 9 und t = 10, so dass der Höchststand von t = 1 nicht wieder erreicht wird.
   Somit wird die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände bei t = 1 Stunden maximal.