Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{2 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $6$ s hat er bereits 15 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $14$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

6

und

14

:

\int_{6}^{14} 6 \sqrt{2 x - 3} ⅆ x

=

\int_{6}^{14} 6 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[2 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{6}^{14}$

= ${[2 {(\sqrt{2 x - 3})}^{3}]}_{6}^{14}$

$=$ $2 {(\sqrt{2 \cdot 14 - 3})}^{3} - 2 {(\sqrt{2 \cdot 6 - 3})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - 2 {(\sqrt{12 - 3})}^{3}$

= $2 {(\sqrt{25})}^{3} - 2 {(\sqrt{9})}^{3}$

= $2 \cdot 5^{3} - 2 \cdot 3^{3}$

= $2 \cdot 125 - 2 \cdot 27$

= $250 - 54$

= $196$

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

6

und der Änderung zwischen

6

und

14

zusammen:

B = 15 + $196$ = $211$

Integralanwendungen

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von $4 e^{3 x - 7}$ Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=1 sind 74 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 4:

\int_{1}^{4} 4 e^{3 x - 7} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} e^{3 x - 7}]}_{1}^{4}$

$=$ $\frac{4}{3} e^{3 \cdot 4 - 7} - \frac{4}{3} e^{3 \cdot 1 - 7}$

= $\frac{4}{3} e^{12 - 7} - \frac{4}{3} e^{3 - 7}$

= $\frac{4}{3} e^{5} - \frac{4}{3} e^{- 4}$

≈ 197,86

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 4 zusammen:

B = 74 + $\frac{4}{3} e^{5} - \frac{4}{3} e^{- 4}$ ≈ 271.86

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 4,2 e^{0,7 x - 0,6} ⅆ x$ = $20$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 4,2 e^{0,7 x - 0,6} ⅆ x

= ${[6 e^{0,7 x - 0,6}]}_{0}^{u}$

$=$ $6 e^{0,7 u - 0,6} - 6 e^{0,7 \cdot 0 - 0,6}$

= $6 e^{0,7 u - 0,6} - 6 e^{0 - 0,6}$

= $6 e^{0,7 u - 0,6} - 6 e^{- 0,6}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $20$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$6 e^{0,7 u - 0,6} - 6 e^{- 0,6}$	=	$20$	\| $+ 6 e^{- 0,6}$
$6 e^{0,7 u - 0,6}$	=	$6 e^{- 0,6} + 20$
$6 e^{0,7 u - 0,6}$	=	$23,2929$	\|: $6$
$e^{0,7 u - 0,6}$	=	$3,8822$	\|ln(⋅)
$0,7 u - 0,6$	=	$\ln (3,8822)$

$0,7 u - 0,6$	=	$1,3564$	\| $+ 0,6$
$0,7 u$	=	$1,9564$	\|: $0,7$
$u$	=	$2,7949$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $4 \sqrt{2 x - 5}$ zwischen $7$ und $\frac{21}{2}$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{\frac{21}{2} - 7}

\int_{7}^{\frac{21}{2}} 4 \sqrt{2 x - 5} ⅆ x

=

\frac{2}{7}

\int_{7}^{\frac{21}{2}} 4 {(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{2}{7}$ ${[\frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{7}^{\frac{21}{2}}$

= $\frac{2}{7}$ ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{2 x - 5})}^{3}]}_{7}^{\frac{21}{2}}$

$=$ $\frac{2}{7} (\frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{21}{2}) - 5})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot 7 - 5})}^{3})$

= $\frac{2}{7} (\frac{4}{3} {(\sqrt{21 - 5})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{14 - 5})}^{3})$

= $\frac{2}{7} (\frac{4}{3} {(\sqrt{16})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{9})}^{3})$

= $\frac{2}{7} (\frac{4}{3} \cdot 4^{3} - \frac{4}{3} \cdot 3^{3})$

= $\frac{2}{7} (\frac{4}{3} \cdot 64 - \frac{4}{3} \cdot 27)$

= $\frac{2}{7} (\frac{256}{3} - 36)$

= $\frac{2}{7} (\frac{256}{3} - \frac{108}{3})$

= $\frac{2}{7} \cdot \frac{148}{3}$

= $\frac{296}{21}$

≈ 14,095

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{{(3 x - 3)}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{3}{{(3 x - 3)}^{3}} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} 3 {(3 x - 3)}^{- 3} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(3 x - 3)}^{- 2}]}_{2}^{u}$

= ${[- \frac{1}{2 {(3 x - 3)}^{2}}]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{2 {(3 u - 3)}^{2}} + \frac{1}{2 {(3 \cdot 2 - 3)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(3 u - 3)}^{2}} + \frac{1}{2 {(6 - 3)}^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(3 u - 3)}^{2}} + \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}$

= $- \frac{1}{2 {(3 u - 3)}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{9})$

= $- \frac{1}{2 {(3 u - 3)}^{2}} + \frac{1}{18}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{2 {(3 u - 3)}^{2}} + \frac{1}{18}$ → $0 + \frac{1}{18}$ = $\frac{1}{18}$ ≈ 0.056

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.056

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Die Funktion f mit

f(t) =

2 e^{- 0,5 t + 1} - 2

beschreibt die Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Wassermenge im Tank beträgt im abgebildeten Zeitraum 45 m³. Bestimme die Wassermenge im Tank zu Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

$2 e^{- 0,5 t + 1} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 e^{- 0,5 t + 1}$	=	$2$	\|: $2$
$e^{- 0,5 t + 1}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 0,5 t + 1$	=	0

$- 0,5 t + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 0,5 t$	=	$- 1$	\|:( $- 0,5$ )
$t$	=	$2$

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 2 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

I =

\int_{0}^{2} (2 e^{- 0,5 t + 1} - 2) ⅆ t

= ${[- 4 e^{- 0,5 x + 1} - 2 x]}_{0}^{2}$

$=$ $- 4 e^{- 0,5 \cdot 2 + 1} - 2 \cdot 2 - (- 4 e^{- 0,5 \cdot 0 + 1} - 2 \cdot 0)$

= $- 4 e^{- 1 + 1} - 4 - (- 4 e^{0 + 1} + 0)$

= $- 4 e^{0} - 4 - (- 4 e^{1} + 0)$

= $- 4 - 4 - (- 4 e + 0)$

= $- 8 + 4 e$

≈ 2,873

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 2,873 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 45 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 45 m³ - 2,873 m³ ≈ 42,127 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 42,127 m³.

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

Bei Beobachtungsbeginn fährt der Radfahrer 2 einige Meter hinter Radfahrer 1 her. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die Geschwindigkeit des Radfahrers 1 in Meter pro Sekunde, der rote Graph die Geschwindigkeit der Radfahrers 2 (in m/s). Die x-Achse zeigt die Zeit in Sekunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Sekunden nach Beobachtungsbeginn.

Bei Beobachtungsbeginn ist der Radfahrer1 ca. 32,2 Meter vor Radfahrer2. Bestimme den kleinsten Vorsprung von Radfahrer1 auf Radfahrer2 im abgebildeten Zeitraum.
Nach wie vielen Sekunden ist der Vorsprung von Radfahrer1 gegenüber Radfahrer2 am größten?

Lösung einblenden

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers liegt, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers zunimmt.

Von 1 bis 9 liegt dann die Geschwindigkeit des 2. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 1. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers abnimmt.

Von 9 bis 10 liegt dann wieder die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 0.5 Meter
von 1 bis 9: ca. -10.7 Meter
von 9 bis 10: ca. 0.5 Meter

kleinster Bestand
Da der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und t = 9 erst 0.5 Meter zu- und dann wieder 10.7 Meter abgenommen hat, muss der geringste Bestand zum Zeitpunkt t =9 sein (bevor es danach wieder zunimmt). Für diesen minimalen Bestand gilt dann:
B₉ = 32.2+0.5-10.7 = 22 Meter .
Zeitpunkt des größten Bestands
Nachdem der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 9 jedoch größer als der Zuwachs zwischen t = 9 und t = 10, so dass der Höchststand von t = 1 nicht wieder erreicht wird.
Somit wird der Vorsprung des 1. Radfahrers bei t = 1 s maximal.

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale

Maximaler Bestand rückwärts

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)