Aufgabenbeispiele von Anwendungen
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Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 4 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 65,333
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 21 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?
=
=
=
≈ 7,051
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
=
=
=
Diese Integralfunktion soll ja den Wert annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :
| = | | | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = |
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 2 Minuten durchschnittlich im Tank?
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
=
=
=
≈ 16,696
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Der Graph der Funktion f mit f(x)= schließt mit der x-Achse, der Geraden x= und der Geraden x=2 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
=
=
=
=
=
=
Für u → 2 (u>2, also von rechts) gilt: A(u) = → = ≈ 3
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 3
Maximaler Bestand rückwärts
Beispiel:
Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.
| = | | | ||
| = | |⋅ | ||
| = | | | ||
| t1 | = |
|
=
|
| t2 | = |
|
=
|
Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 4 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:
=
=
=
=
=
≈ 10,667
Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 10,667 m³
Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 50 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 50 m³ - 10,667 m³ ≈ 39,333 m³ vorhanden gewesen sein.
Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B0 = 39,333 m³.
minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)
Beispiel:
- Nach wie vielen Minuten ist am wenigsten Wasser im Tank?
- 3 Minuten nach Beobachtungsbeginn sind ca. 32,4 Liter Wasser im Tank. Bestimme den Inhalt des Tanks in Litern Wasser bei Beobachtungsbeginn.
Man erkennt schnell, dass von 0 bis 3 die Zuflussrate über der Abflussrate liegt, so dass hier das Wasservolumen zunimmt.
Von 3 bis 7 liegt dann die Abflussrate über der Zuflussrate, so dass hier das Wasservolumen abnimmt.
Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Zuflussrate über der Abflussrate, so dass hier das Wasservolumen wieder zunimmt.
Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 3: ca. 3.4
Liter
von 3 bis 7: ca. -1.3 Liter
- Zeitpunkt des kleinsten Bestands
Da zwischen 0 und 3 mehr Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 3 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand gleich zu Beginn, also bei t = 0 min.
- Anfangsbestand
Die Änderung des Bestands kann man einfach durch die Flächen zwischen dem Kurven ablesen, wobei man hier natürlich die Vorzeichen übernehmen muss. Durch Abzählen der Kästchen der eingeschlossenen Flächen im Interval [0;3] kann man einen Zuwachs von ca. 3.4 erkennen.
Bei Beobachtungsbeginn muss somit das Wasservolumen um 3.4 Liter niedriger als die 32.4 nach 3 min gewesen sein:
B0 = 32.4 - 3.4 = 29 Liter .
