Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\frac{5}{{(x - 3)}^{4}}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 5 Minuten sind 20 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 7 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 5 und 7:

\int_{5}^{7} \frac{5}{{(x - 3)}^{4}} ⅆ x

=

\int_{5}^{7} 5 {(x - 3)}^{- 4} ⅆ x

= ${[- \frac{5}{3} {(x - 3)}^{- 3}]}_{5}^{7}$

= ${[- \frac{5}{3 {(x - 3)}^{3}}]}_{5}^{7}$

$=$ $- \frac{5}{3 {(7 - 3)}^{3}} + \frac{5}{3 {(5 - 3)}^{3}}$

= $- \frac{5}{3 \cdot 4^{3}} + \frac{5}{3 \cdot 2^{3}}$

= $- \frac{5}{3} \cdot (\frac{1}{64}) + \frac{5}{3} \cdot (\frac{1}{8})$

= $- \frac{5}{192} + \frac{5}{24}$

= $- \frac{5}{192} + \frac{40}{192}$

= $\frac{35}{192}$

≈ 0,182

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 5 und der Änderung zwischen 5 und 7 zusammen:

B = 20 + $\frac{35}{192}$ = $\frac{3875}{192}$ ≈ 20.18

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $6 \sqrt{3 x - 5}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $3$ s hat er bereits 17 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{14}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

3

und

\frac{14}{3}

:

\int_{3}^{\frac{14}{3}} 6 \sqrt{3 x - 5} ⅆ x

=

\int_{3}^{\frac{14}{3}} 6 {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} {(3 x - 5)}^{\frac{3}{2}}]}_{3}^{\frac{14}{3}}$

= ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{3 x - 5})}^{3}]}_{3}^{\frac{14}{3}}$

$=$ $\frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{14}{3}) - 5})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{3 \cdot 3 - 5})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{14 - 5})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{9 - 5})}^{3}$

= $\frac{4}{3} {(\sqrt{9})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{4})}^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 3^{3} - \frac{4}{3} \cdot 2^{3}$

= $\frac{4}{3} \cdot 27 - \frac{4}{3} \cdot 8$

= $36 - \frac{32}{3}$

= $\frac{108}{3} - \frac{32}{3}$

= $\frac{76}{3}$

≈ 25,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

3

und der Änderung zwischen

3

und

\frac{14}{3}

zusammen:

B = 17 + $\frac{76}{3}$ = $\frac{127}{3}$ ≈ 42.33

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} 3 e^{0,6 x - 0,4} ⅆ x$ = $20$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} 3 e^{0,6 x - 0,4} ⅆ x

= ${[5 e^{0,6 x - 0,4}]}_{0}^{u}$

$=$ $5 e^{0,6 u - 0,4} - 5 e^{0,6 \cdot 0 - 0,4}$

= $5 e^{0,6 u - 0,4} - 5 e^{0 - 0,4}$

= $5 e^{0,6 u - 0,4} - 5 e^{- 0,4}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $20$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$5 e^{0,6 u - 0,4} - 5 e^{- 0,4}$	=	$20$	\| $+ 5 e^{- 0,4}$
$5 e^{0,6 u - 0,4}$	=	$5 e^{- 0,4} + 20$
$5 e^{0,6 u - 0,4}$	=	$23,3516$	\|: $5$
$e^{0,6 u - 0,4}$	=	$4,6703$	\|ln(⋅)
$0,6 u - 0,4$	=	$\ln (4,6703)$

$0,6 u - 0,4$	=	$1,5412$	\| $+ 0,4$
$0,6 u$	=	$1,9412$	\|: $0,6$
$u$	=	$3,2353$

Mittelwerte

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= $3 {(x - 1)}^{3}$ zwischen 0 und 2.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{2 + 0}

\int_{0}^{2} 3 {(x - 1)}^{3} ⅆ x

= $\frac{1}{2}$ ${[\frac{3}{4} {(x - 1)}^{4}]}_{0}^{2}$

$=$ $\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot {(2 - 1)}^{4} - \frac{3}{4} \cdot {(0 - 1)}^{4})$

= $\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 1^{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{4})$

= $\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 1 - \frac{3}{4} \cdot 1)$

= $\frac{1}{2} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4})$

= $\frac{1}{2} \cdot 0$

= 0

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{{(2 x - 2)}^{2}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x=3 und der Geraden x=1 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{3} \frac{1}{{(2 x - 2)}^{2}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3} {(2 x - 2)}^{- 2} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} {(2 x - 2)}^{- 1}]}_{u}^{3}$

= ${[- \frac{1}{2 (2 x - 2)}]}_{u}^{3}$

$=$ $- \frac{1}{2 (2 \cdot 3 - 2)} + \frac{1}{2 (2 u - 2)}$

= $- \frac{1}{2 (6 - 2)} + \frac{1}{2 (2 u - 2)}$

= $- \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2 (2 u - 2)}$

= $- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2 (2 u - 2)}$

= $- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 (2 u - 2)}$

Für u → 1 (u>1, also von rechts) gilt: A(u) = $\frac{1}{2 (2 u - 2)} - \frac{1}{8}$ → $\infty$

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Die Funktion f mit

f(t) =

e^{- 0,3 t + 0,9} - 1

beschreibt die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer (f(t) in m/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Dabei stehen positive Werte für Geschwindigkeiten nach oben, negative für Geschwindigkeiten nach unten. Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Höhe des Fahrstuhls beträgt im abgebildeten Zeitraum 60 m. Bestimme die Höhe des Fahrstuhls zu Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

$e^{- 0,3 t + 0,9} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$e^{- 0,3 t + 0,9}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 0,3 t + 0,9$	=	0

$- 0,3 t + 0,9$	=	0	\| $- 0,9$
$- 0,3 t$	=	$- 0,9$	\|:( $- 0,3$ )
$t$	=	$3$

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 3 der Bestand (Höhe des Fahrstuhls) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

I =

\int_{0}^{3} (e^{- 0,3 t + 0,9} - 1) ⅆ t

= ${[- \frac{10}{3} e^{- 0,3 x + 0,9} - x]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{10}{3} e^{- 0,3 \cdot 3 + 0,9} - 3 - (- \frac{10}{3} e^{- 0,3 \cdot 0 + 0,9} - 0)$

= $- \frac{10}{3} e^{- 0,9 + 0,9} - 3 - (- \frac{10}{3} e^{0 + 0,9} + 0)$

= $- \frac{10}{3} e^{- 0} - 3 - (- \frac{10}{3} e^{0,9} + 0)$

= $- \frac{10}{3} - 3 + \frac{10}{3} e^{0,9}$

= $- \frac{10}{3} - \frac{9}{3} + \frac{10}{3} e^{0,9}$

= $- \frac{19}{3} + \frac{10}{3} e^{0,9}$

≈ 1,865

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 1,865 m

Wenn der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) aber 60 m ist müssen ja zu Beginn bereits 60 m - 1,865 m ≈ 58,135 m vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Höhe des Fahrstuhls betrug demnach B₀ = 58,135 m.

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

Ein Wassertank hat einen Zu- und einen Abfluss. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die momentane Zuflussrate in Liter pro Minute, der rote Graph die momentane Abflussrate (Liter pro Minute). Die x-Achse zeigt die Zeit in Minuten nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Minuten nach Beobachtungsbeginn.

Nach wie vielen Minuten ist am wenigsten Wasser im Tank?
Der geringste Inhalt an Litern Wasser im abgebildeten Zeitraum sind ca. 18,1. Bestimme den Inhalt des Tanks in Litern Wasser bei Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Zuflussrate über der Abflussrate liegt, so dass hier das Wasservolumen zunimmt.

Von 1 bis 7 liegt dann die Abflussrate über der Zuflussrate, so dass hier das Wasservolumen abnimmt.

Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Zuflussrate über der Abflussrate, so dass hier das Wasservolumen wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.1 Liter
von 1 bis 7: ca. -12 Liter

Zeitpunkt des kleinsten Bestands
Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 7 min.
Anfangsbestand
Da das Wasservolumen zwischen t = 0 und seinem Tiefstand bei t = 7 (bevor es danach wieder zunimmt) erst 1.1 Liter zu- und dann wieder 12 Liter abgenommen hat, also insgesamt um |1.1-12| = 10.9 Liter weniger wurde, muss es beim Beobachtungsbeginn t = 0 bereits 18.1+10.9 = 29 Liter betragen haben.

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale

Maximaler Bestand rückwärts

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)