= ${\left[e^{3x-5}\right]}_0^3$

$=$ $e^{3\cdot 3-5}-e^{3\cdot 0-5}$

= $e^{9-5}-e^{0-5}$

= $e^4-e^{-5}$

= ${\left[\frac{2}{3}{\left(3x-3\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}}$

= ${\left[\frac{2}{3}{\left(\sqrt{3x-3}\right)}^3\right]}_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}}$

$=$ $\frac{2}{3}{\left(\sqrt{3\cdot \left(\frac{28}{3}\right)-3}\right)}^3-\frac{2}{3}{\left(\sqrt{3\cdot \left(\frac{19}{3}\right)-3}\right)}^3$

= $\frac{2}{3}{\left(\sqrt{28-3}\right)}^3-\frac{2}{3}{\left(\sqrt{19-3}\right)}^3$

= $\frac{2}{3}{\left(\sqrt{25}\right)}^3-\frac{2}{3}{\left(\sqrt{16}\right)}^3$

= $\frac{2}{3}\cdot 5^3-\frac{2}{3}\cdot 4^3$

= $\frac{2}{3}\cdot 125-\frac{2}{3}\cdot 64$

= $\frac{250}{3}-\frac{128}{3}$

= $\frac{122}{3}$

= ${\left[4x^2-2x\right]}_1^u$

$=$ $4u^2-2u-\left(4\cdot 1^2-2\cdot 1\right)$

= $4u^2-2u-\left(4\cdot 1-2\right)$

= $4u^2-2u-\left(4-2\right)$

= $4u^2-2u-1·2$

= $4u^2-2u-2$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $40$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$2u^2-u-21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·2·\left(-21\right)}}{2\cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+168}}{4}$

u_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{169}}{4}$

u₁ = $\frac{1+\sqrt{169}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>13</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{14}{4}$ = $\mathrm{3,5}$

u₂ = $\frac{1-\sqrt{169}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>13</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-12}{4}$ = $-3$

Da u= $-3$ < 1 ist u= $\mathrm{3,5}$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{2}$ ${\left[\frac{3}{2}{e}^{2x-3}\right]}_0^2$

$=$ $\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}{e}^{2\cdot 2-3}-\frac{3}{2}{e}^{2\cdot 0-3}\right)$

= $\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}{e}^{4-3}-\frac{3}{2}{e}^{0-3}\right)$

= $\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}{e}^1-\frac{3}{2}{e}^{-3}\right)$

= $\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}e-\frac{3}{2}{e}^{-3}\right)$

= $\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{2}{e}^{-3}+\frac{3}{2}e\right)$

= ${\left[-2{\left(x-3\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}_u^{19}$

= ${\left[-2\sqrt{x-3}\right]}_u^{19}$

$=$ $-2\sqrt{19-3}+2\sqrt{u-3}$

= $-2\sqrt{16}+2\sqrt{u-3}$

= $-2\cdot 4+2\sqrt{u-3}$

= $-8+2\sqrt{u-3}$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $2\sqrt{u-3}-8$ → $0-8$ = $-8$ ≈ -8

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 8

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen, dass bei der Sinus-Funktion die fallende Nullstelle nach einer halben Periode ist.
Die Periode von f ist p = $\frac{2\pi }{\frac{1}{4}\pi }$ = 8. Somit ist die fallende Nullstelle nach einer halben Periode bei t = 4.

Da beim Sinus die Teilflächen über und unter der x-Achse gleich groß sind, wird dieser maximale Bestand zwar noch zu anderen Zeitpunkten erreicht, aber nie übertroffen.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 4 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

= ${\left[-\frac{4}{\mathrm{0,7854}}\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\pi t\right)\right]}_0^4$

$=$ $-\frac{4}{\mathrm{0,7854}}\cdot \cos (\frac{1}{4}\pi ·4)+\frac{4}{\mathrm{0,7854}}\cdot \cos (\frac{1}{4}\pi ·0)$

= $-\frac{4}{\mathrm{0,7854}}\cdot \cos \left(\pi \right)+\frac{4}{\mathrm{0,7854}}\cdot \cos \left(0\right)$

= $-\frac{4}{\mathrm{0,7854}}\cdot \left(-1\right)+\frac{4}{\mathrm{0,7854}}\cdot 1$

= $\mathrm{5,093}+\mathrm{5,093}$

= $\mathrm{10,1859}$

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 10,186 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 40 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 40 m³ - 10,186 m³ ≈ 29,814 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 29,814 m³.

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers liegt, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers zunimmt.

Von 1 bis 7 liegt dann die Geschwindigkeit des 2. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 1. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers abnimmt.

Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.1 Meter
von 1 bis 7: ca. -12 Meter

1. Zeitpunkt des kleinsten Bestands

   Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 7 s.

2. kleinster Bestand

   Da der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und t = 7 erst 1.1 Meter zu- und dann wieder 12 Meter abgenommen hat, muss der geringste Bestand zum Zeitpunkt t =7 sein (bevor es danach wieder zunimmt). Für diesen minimalen Bestand gilt dann:
   B₇ = 36.9+1.1-12 = 26 Meter .

3. reiner Zuwachs nach 2 s

   Da ja die blaue Kurve der Graph der Zunahme darstellt, müssen wir einfach die Fläche zwischen der blauen Kurve und der x-Achse im Intervall [0;2] ablesen. Diese ist ca. Z₂ = 9.6 Meter .