Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $\sqrt{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $19$ Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $28$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

19

und

28

:

\int_{19}^{28} \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[\frac{2}{3} {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{2}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{2}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 64$

= $\frac{250}{3} - \frac{128}{3}$

= $\frac{122}{3}$

≈ 40,667

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

19

und der Änderung zwischen

19

und

28

zusammen:

B = 13 + $\frac{122}{3}$ = $\frac{161}{3}$ ≈ 53.67

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 e^{2 x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 14 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 3:

\int_{2}^{3} 5 e^{2 x - 3} ⅆ x

= ${[\frac{5}{2} e^{2 x - 3}]}_{2}^{3}$

$=$ $\frac{5}{2} e^{2 \cdot 3 - 3} - \frac{5}{2} e^{2 \cdot 2 - 3}$

= $\frac{5}{2} e^{6 - 3} - \frac{5}{2} e^{4 - 3}$

= $\frac{5}{2} e^{3} - \frac{5}{2} e^{1}$

= $\frac{5}{2} e^{3} - \frac{5}{2} e$

≈ 43,418

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 3 zusammen:

B = 14 + $\frac{5}{2} e^{3} - \frac{5}{2} e$ ≈ 57.42

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 0 so, dass $\int_{0}^{u} (- 4 x + 5) ⅆ x$ = $- 18$

Lösung einblenden

\int_{0}^{u} (- 4 x + 5) ⅆ x

= ${[- 2 x^{2} + 5 x]}_{0}^{u}$

$=$ $- 2 u^{2} + 5 u - (- 2 \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0)$

= $- 2 u^{2} + 5 u - (- 2 \cdot 0 + 0)$

= $- 2 u^{2} + 5 u - (0 + 0)$

= $- 2 u^{2} + 5 u + 0$

= $- 2 u^{2} + 5 u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 18$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 2 u^{2} + 5 u

=

- 18

|

+ 18

$- 2 u^{2} + 5 u + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 18}}{2 \cdot (- 2)}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{- 4}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{169}}{- 4}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{- 5+13}{- 4}$ = $\frac{8}{- 4}$ = $- 2$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{- 5-13}{- 4}$ = $\frac{- 18}{- 4}$ = $4,5$

Da u= $- 2$ < 0 ist u= $4,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{2 x - 3}$ (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute $\frac{7}{2}$ und Minute $14$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{14 - \frac{7}{2}}

\int_{\frac{7}{2}}^{14} 4 \sqrt{2 x - 3} ⅆ x

=

\frac{2}{21}

\int_{\frac{7}{2}}^{14} 4 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= $\frac{2}{21}$ ${[\frac{4}{3} {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{7}{2}}^{14}$

= $\frac{2}{21}$ ${[\frac{4}{3} {(\sqrt{2 x - 3})}^{3}]}_{\frac{7}{2}}^{14}$

$=$ $\frac{2}{21} (\frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot 14 - 3})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{2 \cdot (\frac{7}{2}) - 3})}^{3})$

= $\frac{2}{21} (\frac{4}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{7 - 3})}^{3})$

= $\frac{2}{21} (\frac{4}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{4}{3} {(\sqrt{4})}^{3})$

= $\frac{2}{21} (\frac{4}{3} \cdot 5^{3} - \frac{4}{3} \cdot 2^{3})$

= $\frac{2}{21} (\frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{4}{3} \cdot 8)$

= $\frac{2}{21} (\frac{500}{3} - \frac{32}{3})$

= $\frac{2}{21} \cdot 156$

= $\frac{104}{7}$

≈ 14,857

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{\sqrt{2 x - 6}}$ schließt mit der x-Achse, der Geraden x= $3,5$ und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{u}^{3,5} \frac{1}{\sqrt{2 x - 6}} ⅆ x

=

\int_{u}^{3,5} {(2 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[{(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}_{u}^{3,5}$

= ${[\sqrt{2 x - 6}]}_{u}^{3,5}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 3,5 - 6} - \sqrt{2 u - 6}$

= $\sqrt{7 - 6} - \sqrt{2 u - 6}$

= $\sqrt{1} - \sqrt{2 u - 6}$

= $1 - \sqrt{2 u - 6}$

= $- \sqrt{2 u - 6} + 1$

Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = $- \sqrt{2 u - 6} + 1$ → $0 + 1$ = $1$ ≈ 1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Die Funktion f mit

f(t) =

2 e^{- 0,3 t + 0,9} - 2

beschreibt die Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Wassermenge im Tank beträgt im abgebildeten Zeitraum 55 m³. Bestimme die Wassermenge im Tank zu Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

$2 e^{- 0,3 t + 0,9} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 e^{- 0,3 t + 0,9}$	=	$2$	\|: $2$
$e^{- 0,3 t + 0,9}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 0,3 t + 0,9$	=	0

$- 0,3 t + 0,9$	=	0	\| $- 0,9$
$- 0,3 t$	=	$- 0,9$	\|:( $- 0,3$ )
$t$	=	$3$

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 3 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

I =

\int_{0}^{3} (2 e^{- 0,3 t + 0,9} - 2) ⅆ t

= ${[- \frac{20}{3} e^{- 0,3 x + 0,9} - 2 x]}_{0}^{3}$

$=$ $- \frac{20}{3} e^{- 0,3 \cdot 3 + 0,9} - 2 \cdot 3 - (- \frac{20}{3} e^{- 0,3 \cdot 0 + 0,9} - 2 \cdot 0)$

= $- \frac{20}{3} e^{- 0,9 + 0,9} - 6 - (- \frac{20}{3} e^{0 + 0,9} + 0)$

= $- \frac{20}{3} e^{- 0} - 6 - (- \frac{20}{3} e^{0,9} + 0)$

= $- \frac{20}{3} - 6 + \frac{20}{3} e^{0,9}$

= $- \frac{20}{3} - \frac{18}{3} + \frac{20}{3} e^{0,9}$

= $- \frac{38}{3} + \frac{20}{3} e^{0,9}$

≈ 3,731

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 3,731 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 55 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 55 m³ - 3,731 m³ ≈ 51,269 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 51,269 m³.

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

Bei Beobachtungsbeginn fährt der Radfahrer 2 einige Meter hinter Radfahrer 1 her. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die Geschwindigkeit des Radfahrers 1 in Meter pro Sekunde, der rote Graph die Geschwindigkeit der Radfahrers 2 (in m/s). Die x-Achse zeigt die Zeit in Sekunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Sekunden nach Beobachtungsbeginn.

Nach wie vielen Sekunden ist der Vorsprung von Radfahrer1 gegenüber Radfahrer2 am kleinsten?
2 Sekunden nach Beobachtungsbeginn ist Radfahrer1 ca. 31,3 Meter vor Radfahrer2. Bestimme den Vorsprung von Radfahrer1 auf Radfahrer2 bei Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 4 die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers liegt, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers zunimmt.

Von 4 bis 8 liegt dann die Geschwindigkeit des 2. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 1. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers abnimmt.

Von 8 bis 10 liegt dann wieder die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 4: ca. 6.7 Meter
von 4 bis 8: ca. -1.3 Meter
von 8 bis 10: ca. 1.3 Meter

Zeitpunkt des kleinsten Bestands
Da zwischen 0 und 4 mehr Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 4 und 8, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand gleich zu Beginn, also bei t = 0 s.
Anfangsbestand
Die Änderung des Bestands kann man einfach durch die Flächen zwischen dem Kurven ablesen, wobei man hier natürlich die Vorzeichen übernehmen muss. Durch Abzählen der Kästchen der eingeschlossenen Flächen im Interval [0;2] kann man einen Zuwachs von ca. 5.3 erkennen.
Bei Beobachtungsbeginn muss somit der Vorsprung des 1. Radfahrers um 5.3 Meter niedriger als die 31.3 nach 2 s gewesen sein:
B₀ = 31.3 - 5.3 = 26 Meter .

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale

Maximaler Bestand rückwärts

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)