Aufgabenbeispiele von Anwendungen
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Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 3 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 2 Minuten darin?
=
=
=
≈ 0,542
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=2 sind 37 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Minuten?
=
=
=
≈ 12,778
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
=
=
=
Diese Integralfunktion soll ja den Wert annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :
= | | | ||
= | |||
= | |: | ||
= | |ln(⋅) | ||
= |
= | | | ||
= | |:() | ||
= |
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen und .
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
=
=
=
=
=
=
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Der Graph der Funktion f mit f(x)= schließt mit der x-Achse und der Geraden x= eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
=
=
=
=
=
Für u → ∞ gilt: A(u) = →
Maximaler Bestand rückwärts
Beispiel:
Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.
= | | | ||
= | |⋅ | ||
= | | | ||
t1 | = |
|
=
|
t2 | = |
|
=
|
Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 2 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:
=
=
=
=
=
≈ 2,667
Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 2,667 m³
Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 50 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 50 m³ - 2,667 m³ ≈ 47,333 m³ vorhanden gewesen sein.
Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B0 = 47,333 m³.
minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)
Beispiel:
- Nach wie vielen Stunden sind die wenigsten Besucher auf dem Festival-Gelände?
- Bei Beobachtungsbeginn sind ca. 32,9 Hundert Personen auf dem Festival-Gelände. Bestimme die niedrigste Besucherzahl auf dem Festival-Gelände im abgebildeten Zeitraum.
Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände liegt, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zunimmt.
Von 1 bis 7 liegt dann die Austrittssrate aus dem Festival-Gelände über der Eintrittsrate ins Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände abnimmt.
Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände wieder zunimmt.
Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.1
Hundert Personen
von 1 bis 7: ca. -12 Hundert Personen
- Zeitpunkt des kleinsten Bestands
Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 7 Stunden.
- kleinster Bestand
Da die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zwischen t = 0 und t = 7 erst 1.1 Hundert Personen zu- und dann wieder 12 Hundert Personen abgenommen hat, muss der geringste Bestand zum Zeitpunkt t =7 sein (bevor es danach wieder zunimmt). Für diesen minimalen Bestand gilt dann:
B7 = 32.9+1.1-12 = 22 Hundert Personen .