Aufgabenbeispiele von Anwendungen
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Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
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=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 49,333
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 4 Minuten sind 10 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 7 Minuten darin?
=
=
=
=
=
=
=
=
= 0,3
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 1 so, dass =
=
=
=
=
=
Diese Integralfunktion soll ja den Wert annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :
= | | |
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
u2 =
Da u=
Mittelwerte
Beispiel:
Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)=
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
≈ 18,667
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Der Graph der Funktion f mit f(x)=
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
=
=
=
=
=
=
Für u → ∞ gilt: A(u) =
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.056
Maximaler Bestand rückwärts
Beispiel:
Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.
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= | |
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= | |⋅
|
|
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= | |
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t1 | = |
|
=
|
t2 | = |
|
=
|
Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 3 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:
=
=
=
=
=
Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 6 m³
Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 40 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 40 m³ - 6 m³ ≈ 34 m³ vorhanden gewesen sein.
Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B0 = 34 m³.
minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)
Beispiel:
- Nach wie vielen Stunden sind die meisten Besucher auf dem Festival-Gelände?
- Nach wie vielen Stunden sind die wenigsten Besucher auf dem Festival-Gelände?
Man erkennt schnell, dass von 0 bis 2 die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände liegt, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zunimmt.
Von 2 bis 4 liegt dann die Austrittssrate aus dem Festival-Gelände über der Eintrittsrate ins Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände abnimmt.
Von 4 bis 10 liegt dann wieder die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände wieder zunimmt.
Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 2: ca. 6.7
Hundert Personen
von 2 bis 4: ca. -1.3 Hundert Personen
- Zeitpunkt des größten Bestands
Nachdem die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zwischen t = 0 und t = 2 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 2 und t = 4 deutlich kleiner als der Zuwachs zwischen t = 4 und t = 10, so dass der Höchststand erst bei t = 10 erreicht wird.
Somit wird die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände bei t = 10 Stunden maximal. - Zeitpunkt des kleinsten Bestands
Da zwischen 0 und 2 mehr Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 2 und 4, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand gleich zu Beginn, also bei t = 0 Stunden.