= ${\left[\frac{1}{3}{e}^{3x-7}\right]}_0^3$

$=$ $\frac{1}{3}{e}^{3\cdot 3-7}-\frac{1}{3}{e}^{3\cdot 0-7}$

= $\frac{1}{3}{e}^{9-7}-\frac{1}{3}{e}^{0-7}$

= $\frac{1}{3}{e}^2-\frac{1}{3}{e}^{-7}$

= ${\left[2e^{x-3}\right]}_1^3$

$=$ $2e^{3-3}-2e^{1-3}$

= $2e^0-2e^{-2}$

= $2-2e^{-2}$

= ${\left[-e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}\right]}_0^u$

$=$ $-e^{-\mathrm{0,1}u+\mathrm{0,2}}+e^{-\mathrm{0,1}\cdot 0+\mathrm{0,2}}$

= $-e^{-\mathrm{0,1}u+\mathrm{0,2}}+e^{0+\mathrm{0,2}}$

= $-e^{-\mathrm{0,1}u+\mathrm{0,2}}+e^{\mathrm{0,2}}$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $1$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{2}{3\pi }$ ${\left[2\cdot \sin (x+\pi )\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{2}{3\pi }·\left(2\cdot \sin (\frac{3}{2}\pi +\pi )-2\cdot \sin (0+\pi )\right)$

= $\frac{2}{3\pi }·\left(2\cdot \sin \left(\frac{5}{2}\pi \right)-2\cdot \sin \left(\pi \right)\right)$

= $\frac{2}{3\pi }·\left(2\cdot 1-2\cdot 0\right)$

= $\frac{2}{3\pi }·\left(2+0\right)$

= $\frac{2}{3\pi }·2$

= $\frac{4}{3\pi }$

= ${\left[-{\left(x-3\right)}^{-1}\right]}_4^u$

= ${\left[-\frac{1}{x-3}\right]}_4^u$

$=$ $-\frac{1}{u-3}+\frac{1}{4-3}$

= $-\frac{1}{u-3}+\frac{1}{1}$

= $-\frac{1}{u-3}+1$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $-\frac{1}{u-3}+1$ → $0+1$ = $1$ ≈ 1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen, dass bei der Sinus-Funktion die fallende Nullstelle nach einer halben Periode ist.
Die Periode von f ist p = $\frac{2\pi }{\frac{1}{5}\pi }$ = 10. Somit ist die fallende Nullstelle nach einer halben Periode bei t = 5.

Da beim Sinus die Teilflächen über und unter der x-Achse gleich groß sind, wird dieser maximale Bestand zwar noch zu anderen Zeitpunkten erreicht, aber nie übertroffen.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 5 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

= ${\left[-\frac{5}{\mathrm{0,6283}}\cdot \cos \left(\frac{1}{5}\pi t\right)\right]}_0^5$

$=$ $-\frac{5}{\mathrm{0,6283}}\cdot \cos (\frac{1}{5}\pi ·5)+\frac{5}{\mathrm{0,6283}}\cdot \cos (\frac{1}{5}\pi ·0)$

= $-\frac{5}{\mathrm{0,6283}}\cdot \cos \left(\pi \right)+\frac{5}{\mathrm{0,6283}}\cdot \cos \left(0\right)$

= $-\frac{5}{\mathrm{0,6283}}\cdot \left(-1\right)+\frac{5}{\mathrm{0,6283}}\cdot 1$

= $\mathrm{7,9577}+\mathrm{7,9577}$

= $\mathrm{15,9155}$

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 15,915 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 50 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 50 m³ - 15,915 m³ ≈ 34,085 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 34,085 m³.

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers liegt, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers zunimmt.

Von 1 bis 5 liegt dann die Geschwindigkeit des 2. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 1. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers abnimmt.

Von 5 bis 10 liegt dann wieder die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.2 Meter
von 1 bis 5: ca. -5.3 Meter

1. Zeitpunkt des größten Bestands

   Nachdem der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 5 deutlich kleiner als der Zuwachs zwischen t = 5 und t = 10, so dass der Höchststand erst bei t = 10 erreicht wird.
   Somit wird der Vorsprung des 1. Radfahrers bei t = 10 s maximal.

2. kleinster Bestand

   Da der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und t = 5 erst 1.2 Meter zu- und dann wieder 5.3 Meter abgenommen hat, muss der geringste Bestand zum Zeitpunkt t =5 sein (bevor es danach wieder zunimmt). Für diesen minimalen Bestand gilt dann:
   B₅ = 31.1+1.2-5.3 = 27 Meter .