= ${\left[-{\left(2x-2\right)}^{-1}\right]}_2^4$

= ${\left[-\frac{1}{2x-2}\right]}_2^4$

$=$ $-\frac{1}{2\cdot 4-2}+\frac{1}{2\cdot 2-2}$

= $-\frac{1}{8-2}+\frac{1}{4-2}$

= $-\frac{1}{6}+\frac{1}{2}$

= $-\left(\frac{1}{6}\right)+\frac{1}{2}$

= $\frac{1}{3}$

= ${\left[\frac{10}{3}{\left(x-2\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_{18}^{27}$

= ${\left[\frac{10}{3}{\left(\sqrt{x-2}\right)}^3\right]}_{18}^{27}$

$=$ $\frac{10}{3}{\left(\sqrt{27-2}\right)}^3-\frac{10}{3}{\left(\sqrt{18-2}\right)}^3$

= $\frac{10}{3}{\left(\sqrt{25}\right)}^3-\frac{10}{3}{\left(\sqrt{16}\right)}^3$

= $\frac{10}{3}\cdot 5^3-\frac{10}{3}\cdot 4^3$

= $\frac{10}{3}\cdot 125-\frac{10}{3}\cdot 64$

= $\frac{1250}{3}-\frac{640}{3}$

= $\frac{610}{3}$

= ${\left[-2x^2-4x\right]}_0^u$

$=$ $-2u^2-4u-\left(-2\cdot 0^2-4\cdot 0\right)$

= $-2u^2-4u-\left(-2\cdot 0+0\right)$

= $-2u^2-4u-\left(0+0\right)$

= $-2u^2-4u+0$

= $-2u^2-4u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $-\mathrm{10,5}$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$-2u^2-4u+\mathrm{10,5}$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·\left(-2\right)·\mathrm{10,5}}}{2\cdot \left(-2\right)}$

u_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{16+84}}{-4}$

u_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{100}}{-4}$

u₁ = $\frac{4+\sqrt{100}}{-4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>10</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{14}{-4}$ = $-\mathrm{3,5}$

u₂ = $\frac{4-\sqrt{100}}{-4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>10</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{-4}$ = $\mathrm{1,5}$

Da u= $-\mathrm{3,5}$ < 0 ist u= $\mathrm{1,5}$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{1}{8}$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(2x-1\right)}^{\frac{3}{2}}\right]}_5^{13}$

= $\frac{1}{8}$ ${\left[\frac{4}{3}{\left(\sqrt{2x-1}\right)}^3\right]}_5^{13}$

$=$ $\frac{1}{8}\left(\frac{4}{3}{\left(\sqrt{2\cdot 13-1}\right)}^3-\frac{4}{3}{\left(\sqrt{2\cdot 5-1}\right)}^3\right)$

= $\frac{1}{8}\left(\frac{4}{3}{\left(\sqrt{26-1}\right)}^3-\frac{4}{3}{\left(\sqrt{10-1}\right)}^3\right)$

= $\frac{1}{8}\left(\frac{4}{3}{\left(\sqrt{25}\right)}^3-\frac{4}{3}{\left(\sqrt{9}\right)}^3\right)$

= $\frac{1}{8}\left(\frac{4}{3}\cdot 5^3-\frac{4}{3}\cdot 3^3\right)$

= $\frac{1}{8}\left(\frac{4}{3}\cdot 125-\frac{4}{3}\cdot 27\right)$

= $\frac{1}{8}\left(\frac{500}{3}-36\right)$

= $\frac{1}{8}\left(\frac{500}{3}-\frac{108}{3}\right)$

= $\frac{1}{8}·\frac{392}{3}$

= $\frac{49}{3}$

= ${\left[e^{-x+1}\right]}_2^u$

$=$ $e^{-u+1}-e^{-2+1}$

= $e^{-u+1}-e^{-1}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $e^{-u+1}-e^{-1}$ → $0-e^{-1}$ = $-e^{-1}$ ≈ -0.368

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.368

Der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 4 der Bestand (Höhe des Fahrstuhls) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

= ${\left[-\frac{1}{12}{x}^3+4x\right]}_0^4$

$=$ $-\frac{1}{12}\cdot 4^3+4\cdot 4-\left(-\frac{1}{12}\cdot 0^3+4\cdot 0\right)$

= $-\frac{1}{12}\cdot 64+16-\left(-\frac{1}{12}\cdot 0+0\right)$

= $-\frac{16}{3}+16-\left(0+0\right)$

= $-\frac{16}{3}+\frac{48}{3}+0$

= $\frac{32}{3}$

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 10,667 m

Wenn der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) aber 50 m ist müssen ja zu Beginn bereits 50 m - 10,667 m ≈ 39,333 m vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Höhe des Fahrstuhls betrug demnach B₀ = 39,333 m.

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers liegt, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers zunimmt.

Von 1 bis 9 liegt dann die Geschwindigkeit des 2. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 1. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers abnimmt.

Von 9 bis 10 liegt dann wieder die Geschwindigkeit des 1. Radfahrers über der Geschwindigkeit des 2. Radfahrers, so dass hier der Vorsprung des 1. Radfahrers wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 0.5 Meter
von 1 bis 9: ca. -10.7 Meter
von 9 bis 10: ca. 0.5 Meter

1. Anfangsbestand

   Da der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und seinem Tiefstand bei t = 9 (bevor es danach wieder zunimmt) erst 0.5 Meter zu- und dann wieder 10.7 Meter abgenommen hat, also insgesamt um |0.5-10.7| = 10.2 Meter weniger wurde, muss es beim Beobachtungsbeginn t = 0 bereits 14.8+10.2 = 25 Meter betragen haben.

2. Zeitpunkt des größten Bestands

   Nachdem der Vorsprung des 1. Radfahrers zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 9 jedoch größer als der Zuwachs zwischen t = 9 und t = 10, so dass der Höchststand von t = 1 nicht wieder erreicht wird.
   Somit wird der Vorsprung des 1. Radfahrers bei t = 1 s maximal.