Aufgabenbeispiele von Anwendungen
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Integralanwendungen BF
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 6 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?
=
=
=
=
≈ 1006,072
Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 16 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 4 Minuten darin?
=
=
=
=
≈ 1640,872
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
=
=
=
Diese Integralfunktion soll ja den Wert annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :
| = | | | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = |
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Mittelwerte
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert der Funktionswerte von f mit f(x)= zwischen 3 und 4.
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
=
=
=
=
=
=
=
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Der Graph der Funktion f mit f(x)= schließt mit der x-Achse, der Geraden x=3 und der y-Achse eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
=
=
=
=
Für u → 0 (u>0, also von rechts) gilt: A(u) = →
Maximaler Bestand rückwärts
Beispiel:
Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.
| = | | | ||
| = | |⋅ | ||
| = | | | ||
| t1 | = |
|
=
|
| t2 | = |
|
=
|
Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 4 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:
=
=
=
=
=
≈ 10,667
Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 10,667 m³
Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 40 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 40 m³ - 10,667 m³ ≈ 29,333 m³ vorhanden gewesen sein.
Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B0 = 29,333 m³.
minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)
Beispiel:
- Die geringste Besucherzahl auf dem Festival-Gelände im abgebildeten Zeitraum sind ca. 13,8 Hundert Personen. Bestimme die Besucherzahl auf dem Festival-Gelände bei Beobachtungsbeginn.
- Nach wie vielen Stunden sind die meisten Besucher auf dem Festival-Gelände?
Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände liegt, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zunimmt.
Von 1 bis 9 liegt dann die Austrittssrate aus dem Festival-Gelände über der Eintrittsrate ins Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände abnimmt.
Von 9 bis 10 liegt dann wieder die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände wieder zunimmt.
Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 0.5
Hundert Personen
von 1 bis 9: ca. -10.7 Hundert Personen
von 9 bis 10: ca. 0.5 Hundert Personen
- Anfangsbestand
Da die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zwischen t = 0 und seinem Tiefstand bei t = 9 (bevor es danach wieder zunimmt) erst 0.5 Hundert Personen zu- und dann wieder 10.7 Hundert Personen abgenommen hat, also insgesamt um |0.5-10.7| = 10.2 Hundert Personen weniger wurde, muss es beim Beobachtungsbeginn t = 0 bereits 13.8+10.2 = 24 Hundert Personen betragen haben.
- Zeitpunkt des größten Bestands
Nachdem die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 9 jedoch größer als der Zuwachs zwischen t = 9 und t = 10, so dass der Höchststand von t = 1 nicht wieder erreicht wird.
Somit wird die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände bei t = 1 Stunden maximal.
