Aufgabenbeispiele von Anwendungen
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 12 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
=
=
=
=
=
=
=
Integralanwendungen
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von einer Wachstumsrate von Bakterien pro Minute zur Zeit x (in Minuten) aus. Zu Zeitpunkt x=0 sind 37 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 3 Minuten?
=
=
=
≈ 22,112
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 0 so, dass =
=
=
=
Diese Integralfunktion soll ja den Wert annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :
| = | | | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = |
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen und .
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
=
=
=
=
=
=
≈ -1,273
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Der Graph der Funktion f mit f(x)= schließt mit der x-Achse, der Geraden x= und der Geraden x=3 eine nach oben bzw. unten offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
=
=
=
=
=
=
Für u → 3 (u>3, also von rechts) gilt: A(u) = → = ≈ 9
Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 9
Maximaler Bestand rückwärts
Beispiel:
Der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.
Wir wissen, dass bei der Sinus-Funktion die fallende Nullstelle nach einer halben Periode ist.
Die Periode von f ist p =
=
20. Somit ist die fallende Nullstelle nach einer halben Periode bei t = 10.
Da beim Sinus die Teilflächen über und unter der x-Achse gleich groß sind, wird dieser maximale Bestand zwar noch zu anderen Zeitpunkten erreicht, aber nie übertroffen.
Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 10 der Bestand (Höhe des Fahrstuhls) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:
=
=
=
=
=
≈ 31,831
Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 31,831 m
Wenn der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) aber 50 m ist müssen ja zu Beginn bereits 50 m - 31,831 m ≈ 18,169 m vorhanden gewesen sein.
Der Anfangs-Höhe des Fahrstuhls betrug demnach B0 = 18,169 m.
minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)
Beispiel:
- Nach wie vielen Stunden sind die wenigsten Besucher auf dem Festival-Gelände?
- Die geringste Besucherzahl auf dem Festival-Gelände im abgebildeten Zeitraum sind ca. 18,1 Hundert Personen. Bestimme die Besucherzahl auf dem Festival-Gelände bei Beobachtungsbeginn.
Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände liegt, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zunimmt.
Von 1 bis 7 liegt dann die Austrittssrate aus dem Festival-Gelände über der Eintrittsrate ins Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände abnimmt.
Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände wieder zunimmt.
Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.1
Hundert Personen
von 1 bis 7: ca. -12 Hundert Personen
- Zeitpunkt des kleinsten Bestands
Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 7 Stunden.
- Anfangsbestand
Da die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zwischen t = 0 und seinem Tiefstand bei t = 7 (bevor es danach wieder zunimmt) erst 1.1 Hundert Personen zu- und dann wieder 12 Hundert Personen abgenommen hat, also insgesamt um |1.1-12| = 10.9 Hundert Personen weniger wurde, muss es beim Beobachtungsbeginn t = 0 bereits 18.1+10.9 = 29 Hundert Personen betragen haben.
