Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $5 \sqrt{x - 3}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach $19$ Minuten sind 20 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach $28$ Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

19

und

28

:

\int_{19}^{28} 5 \sqrt{x - 3} ⅆ x

=

\int_{19}^{28} 5 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{10}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{19}^{28}$

= ${[\frac{10}{3} {(\sqrt{x - 3})}^{3}]}_{19}^{28}$

$=$ $\frac{10}{3} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{10}{3} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{10}{3} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{10}{3} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{10}{3} \cdot 5^{3} - \frac{10}{3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{10}{3} \cdot 125 - \frac{10}{3} \cdot 64$

= $\frac{1250}{3} - \frac{640}{3}$

= $\frac{610}{3}$

≈ 203,333

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

19

und der Änderung zwischen

19

und

28

zusammen:

B = 20 + $\frac{610}{3}$ = $\frac{670}{3}$ ≈ 223.33

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $4 e^{2 x - 5}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 0 Minuten sind 18 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 0 und 3:

\int_{0}^{3} 4 e^{2 x - 5} ⅆ x

= ${[2 e^{2 x - 5}]}_{0}^{3}$

$=$ $2 e^{2 \cdot 3 - 5} - 2 e^{2 \cdot 0 - 5}$

= $2 e^{6 - 5} - 2 e^{0 - 5}$

= $2 e - 2 e^{- 5}$

≈ 5,423

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 0 und der Änderung zwischen 0 und 3 zusammen:

B = 18 + $- 2 e^{- 5} + 2 e$ ≈ 23.42

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 2 so, dass $\int_{2}^{u} (- 10 x + 5) ⅆ x$ = $- 90$

Lösung einblenden

\int_{2}^{u} (- 10 x + 5) ⅆ x

= ${[- 5 x^{2} + 5 x]}_{2}^{u}$

$=$ $- 5 u^{2} + 5 u - (- 5 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2)$

= $- 5 u^{2} + 5 u - (- 5 \cdot 4 + 10)$

= $- 5 u^{2} + 5 u - (- 20 + 10)$

= $- 5 u^{2} + 5 u - 1 \cdot (- 10)$

= $- 5 u^{2} + 5 u + 10$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $- 90$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

- 5 u^{2} + 5 u + 10

=

- 90

|

+ 90

- 5 u^{2} + 5 u + 100

= 0 |:5

$- u^{2} + u + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1+9}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1-9}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- u^{2} + u + 20$ = 0 |: $- 1$

$u^{2} - u - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Da u= $- 4$ < 2 ist u= $5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $5 \cdot \sin (3 x - π)$ beschrieben werden. Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen $\frac{1}{2} π$ und $π$ .

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{π - \frac{1}{2} π}

\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 5 \cdot \sin (3 x - π) ⅆ x

= $\frac{2}{π}$ ${[- \frac{5}{3} \cdot \cos (3 x - π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{5}{3} \cdot \cos (3 \cdot π - π) + \frac{5}{3} \cdot \cos (3 \cdot (\frac{1}{2} π) - π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{5}{3} \cdot \cos (2 π) + \frac{5}{3} \cdot \cos (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{5}{3} \cdot 1 + \frac{5}{3} \cdot 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{5}{3} + 0)$

= $\frac{2}{π} \cdot (- \frac{5}{3})$

= $- \frac{10}{3 π}$

≈ -1,061

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{- 3 x + 4}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{2}^{u} \frac{1}{- 3 x + 4} ⅆ x

=

\int_{2}^{u} {(- 3 x + 4)}^{- 1} ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \ln (| - 3 x + 4 |)]}_{2}^{u}$

$=$ $- \frac{1}{3} \ln (| - 3 (u) + 4 |) + \frac{1}{3} \ln (| - 3 \cdot 2 + 4 |)$

= $- \frac{1}{3} \ln (| - 3 u + 4 |) + \frac{1}{3} \ln (| - 6 + 4 |)$

= $- \frac{1}{3} \ln (| - 3 u + 4 |) + \frac{1}{3} \ln (2)$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{1}{3} \ln (| - 3 x + 4 |) + \frac{1}{3} \ln (| 2 |)$ → $\infty$

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Die Funktion f mit

f(t) =

- \frac{1}{6} t^{2} + 6

beschreibt die Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Wassermenge im Tank beträgt im abgebildeten Zeitraum 40 m³. Bestimme die Wassermenge im Tank zu Beobachtungsbeginn.

Lösung einblenden

Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

$- \frac{1}{6} t^{2} + 6$	=	0	\| $- 6$
$- \frac{1}{6} t^{2}$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 6)$
$t^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
t₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 6 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

I =

\int_{0}^{6} (- \frac{1}{6} t^{2} + 6) ⅆ t

= ${[- \frac{1}{18} x^{3} + 6 x]}_{0}^{6}$

$=$ $- \frac{1}{18} \cdot 6^{3} + 6 \cdot 6 - (- \frac{1}{18} \cdot 0^{3} + 6 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{18} \cdot 216 + 36 - (- \frac{1}{18} \cdot 0 + 0)$

= $- 12 + 36 - (0 + 0)$

= $24 + 0$

= $24$

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 24 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 40 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 40 m³ - 24 m³ ≈ 16 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 16 m³.

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

Ein Wassertank hat einen Zu- und einen Abfluss. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die momentane Zuflussrate in Liter pro Minute, der rote Graph die momentane Abflussrate (Liter pro Minute). Die x-Achse zeigt die Zeit in Minuten nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Minuten nach Beobachtungsbeginn.

Nach wie vielen Minuten ist am wenigsten Wasser im Tank?
Bei Beobachtungsbeginn sind ca. 19,8 Liter Wasser im Tank. Bestimme den größtmöglichen Inhalt an Liter Wasser im abgebildeten Zeitraum.

Lösung einblenden

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 3 die Zuflussrate über der Abflussrate liegt, so dass hier das Wasservolumen zunimmt.

Von 3 bis 7 liegt dann die Abflussrate über der Zuflussrate, so dass hier das Wasservolumen abnimmt.

Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Zuflussrate über der Abflussrate, so dass hier das Wasservolumen wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 3: ca. 4.5 Liter
von 3 bis 7: ca. -1.8 Liter
von 7 bis 10: ca. 4.5 Liter

Zeitpunkt des kleinsten Bestands
Da zwischen 0 und 3 mehr Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 3 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand gleich zu Beginn, also bei t = 0 min.
größter Bestand
Da der Zuwachs zwischen t = 7 und t = 10 größer ist als die Abnahme zwischen t = 3 und t = 7, wird der maximale Bestand erst nach 10 min erreicht. Bis zu diesem Zeitpunkt hat sich das Wasservolumen um 4.5 -1.8 + 4.5 = 7.2 Liter vermehrt.
Der maximale Bestand ist somit B₁₀ = 19.8 + 7.2 = 27 Liter .

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Mittelwerte

uneigentliche Integrale

Maximaler Bestand rückwärts

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)