= ${\left[6e^{x-1}\right]}_1^4$

$=$ $6e^{4-1}-6e^{1-1}$

= $6e^3-6e^0$

= $6e^3-6$

= ${\left[e^{x-2}\right]}_1^4$

$=$ $e^{4-2}-e^{1-2}$

= $e^2-e^{-1}$

= ${\left[-4x^2-5x\right]}_0^u$

$=$ $-4u^2-5u-\left(-4\cdot 0^2-5\cdot 0\right)$

= $-4u^2-5u-\left(-4\cdot 0+0\right)$

= $-4u^2-5u-\left(0+0\right)$

= $-4u^2-5u+0$

= $-4u^2-5u$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $-\mathrm{37,5}$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

$-4u^2-5u+\mathrm{37,5}$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·\left(-4\right)·\mathrm{37,5}}}{2\cdot \left(-4\right)}$

u_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{25+600}}{-8}$

u_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{625}}{-8}$

u₁ = $\frac{5+\sqrt{625}}{-8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>25</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{30}{-8}$ = $-\mathrm{3,75}$

u₂ = $\frac{5-\sqrt{625}}{-8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>25</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-20}{-8}$ = $\mathrm{2,5}$

Da u= $-\mathrm{3,75}$ < 0 ist u= $\mathrm{2,5}$ die einzige Lösung.

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

= $\frac{2}{3\pi }$ ${\left[-5\cdot \cos \left(x+\frac{3}{2}\pi \right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{2}{3\pi }·\left(-5\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi +\frac{3}{2}\pi \right)+5\cdot \cos \left(0+\frac{3}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{2}{3\pi }·\left(-5\cdot \cos \left(3\pi \right)+5\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{2}{3\pi }·\left(-5\cdot \left(-1\right)+5\cdot 0\right)$

= $\frac{2}{3\pi }·\left(5+0\right)$

= $\frac{2}{3\pi }·5$

= $\frac{10}{3\pi }$

= ${\left[\frac{1}{2}{e}^{-2x+2}\right]}_1^u$

$=$ $\frac{1}{2}{e}^{-2u+2}-\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot 1+2}$

= $\frac{1}{2}{e}^{-2u+2}-\frac{1}{2}{e}^{-2+2}$

= $\frac{1}{2}{e}^{-2u+2}-\frac{1}{2}{e}^0$

= $\frac{1}{2}{e}^{-2u+2}-\frac{1}{2}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $\frac{1}{2}{e}^{-2u+2}-\frac{1}{2}$ → $0-\frac{1}{2}$ = $-\frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.5

Der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 7 der Bestand (Höhe des Fahrstuhls) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

= ${\left[-\frac{1}{21}{x}^3+7x\right]}_0^7$

$=$ $-\frac{1}{21}\cdot 7^3+7\cdot 7-\left(-\frac{1}{21}\cdot 0^3+7\cdot 0\right)$

= $-\frac{1}{21}\cdot 343+49-\left(-\frac{1}{21}\cdot 0+0\right)$

= $-\frac{49}{3}+49-\left(0+0\right)$

= $-\frac{49}{3}+\frac{147}{3}+0$

= $\frac{98}{3}$

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 32,667 m

Wenn der maximale Bestand (Höhe des Fahrstuhls) aber 55 m ist müssen ja zu Beginn bereits 55 m - 32,667 m ≈ 22,333 m vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Höhe des Fahrstuhls betrug demnach B₀ = 22,333 m.

Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Zuflussrate über der Abflussrate liegt, so dass hier das Wasservolumen zunimmt.

Von 1 bis 7 liegt dann die Abflussrate über der Zuflussrate, so dass hier das Wasservolumen abnimmt.

Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Zuflussrate über der Abflussrate, so dass hier das Wasservolumen wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.1 Liter
von 1 bis 7: ca. -12 Liter

1. Zeitpunkt des kleinsten Bestands

   Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 7 min.

2. Anfangsbestand

   Die Änderung des Bestands kann man einfach durch die Flächen zwischen dem Kurven ablesen, wobei man hier natürlich die Vorzeichen übernehmen muss. Durch Abzählen der Kästchen der eingeschlossenen Flächen im Interval [0;2] kann man einen Zuwachs von ca. 0.2 erkennen.
   Bei Beobachtungsbeginn muss somit das Wasservolumen um 0.2 Liter niedriger als die 20.2 nach 2 min gewesen sein:
   B₀ = 20.2 - 0.2 = 20 Liter .

3. reiner Zuwachs nach 2 min

   Da ja die blaue Kurve der Graph der Zunahme darstellt, müssen wir einfach die Fläche zwischen der blauen Kurve und der x-Achse im Intervall [0;2] ablesen. Diese ist ca. Z₂ = 5.8 Liter .