Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Integralanwendungen BF

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= $e^{x - 2}$ (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 1 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 3 Minuten darin?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 1 und 3:

\int_{1}^{3} e^{x - 2} ⅆ x

= ${[e^{x - 2}]}_{1}^{3}$

$=$ $e^{3 - 2} - e^{1 - 2}$

= $e^{1} - e^{- 1}$

= $e - e^{- 1}$

≈ 2,35

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 1 und der Änderung zwischen 1 und 3 zusammen:

B = 13 + $- e^{- 1} + e$ ≈ 15.35

Integralanwendungen

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 \sqrt{3 x - 3}$ (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach $\frac{19}{3}$ s hat er bereits 16 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach $\frac{28}{3}$ Sekunden?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen

\frac{19}{3}

und

\frac{28}{3}

:

\int_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}} 4 \sqrt{3 x - 3} ⅆ x

=

\int_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}} 4 {(3 x - 3)}^{\frac{1}{2}} ⅆ x

= ${[\frac{8}{9} {(3 x - 3)}^{\frac{3}{2}}]}_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}}$

= ${[\frac{8}{9} {(\sqrt{3 x - 3})}^{3}]}_{\frac{19}{3}}^{\frac{28}{3}}$

$=$ $\frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{28}{3}) - 3})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{3 \cdot (\frac{19}{3}) - 3})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{28 - 3})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{19 - 3})}^{3}$

= $\frac{8}{9} {(\sqrt{25})}^{3} - \frac{8}{9} {(\sqrt{16})}^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 5^{3} - \frac{8}{9} \cdot 4^{3}$

= $\frac{8}{9} \cdot 125 - \frac{8}{9} \cdot 64$

= $\frac{1000}{9} - \frac{512}{9}$

= $\frac{488}{9}$

≈ 54,222

Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei

\frac{19}{3}

und der Änderung zwischen

\frac{19}{3}

und

\frac{28}{3}

zusammen:

B = 16 + $\frac{488}{9}$ = $\frac{632}{9}$ ≈ 70.22

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass $\int_{1}^{u} (6 x + 3) ⅆ x$ = $101,25$

Lösung einblenden

\int_{1}^{u} (6 x + 3) ⅆ x

= ${[3 x^{2} + 3 x]}_{1}^{u}$

$=$ $3 u^{2} + 3 u - (3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1)$

= $3 u^{2} + 3 u - (3 \cdot 1 + 3)$

= $3 u^{2} + 3 u - (3 + 3)$

= $3 u^{2} + 3 u - 1 \cdot 6$

= $3 u^{2} + 3 u - 6$

Diese Integralfunktion soll ja den Wert $101,25$ annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

3 u^{2} + 3 u - 6

=

101,25

|

- 101,25

$3 u^{2} + 3 u - 107,25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 107,25)}}{2 \cdot 3}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 1 287}}{6}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1 296}}{6}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1 296}}{6}$ = $\frac{- 3+36}{6}$ = $\frac{33}{6}$ = $5,5$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1 296}}{6}$ = $\frac{- 3-36}{6}$ = $\frac{- 39}{6}$ = $- 6,5$

Da u= $- 6,5$ < 1 ist u= $5,5$ die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge an Wasser in einem Wassertank zur Zeit x (in min) kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $4 e^{x - 2}$ beschrieben werden. Wieviel Wasser sind während der ersten 3 Minuten durchschnittlich im Tank?

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m =

\frac{1}{3 + 0}

\int_{0}^{3} 4 e^{x - 2} ⅆ x

= $\frac{1}{3}$ ${[4 e^{x - 2}]}_{0}^{3}$

$=$ $\frac{1}{3} (4 e^{3 - 2} - 4 e^{0 - 2})$

= $\frac{1}{3} (4 e^{1} - 4 e^{- 2})$

= $\frac{1}{3} (4 e - 4 e^{- 2})$

= $\frac{1}{3} (- 4 e^{- 2} + 4 e)$

≈ 3,444

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{2}{{(\sqrt{3 x - 7})}^{3}}$ schließt mit der x-Achse und der Geraden x= $\frac{16}{3}$ eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.

Lösung einblenden

A(u)=

\int_{\frac{16}{3}}^{u} \frac{2}{{(\sqrt{3 x - 7})}^{3}} ⅆ x

=

\int_{\frac{16}{3}}^{u} 2 {(3 x - 7)}^{- \frac{3}{2}} ⅆ x

= ${[- \frac{4}{3} {(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2}}]}_{\frac{16}{3}}^{u}$

= ${[- \frac{4}{3 \cdot \sqrt{3 x - 7}}]}_{\frac{16}{3}}^{u}$

$=$ $- \frac{4}{3 \cdot \sqrt{3 u - 7}} + \frac{4}{3 \cdot \sqrt{3 \cdot (\frac{16}{3}) - 7}}$

= $- \frac{4}{3 \cdot \sqrt{3 u - 7}} + \frac{4}{3 \cdot \sqrt{16 - 7}}$

= $- \frac{4}{3 \cdot \sqrt{3 u - 7}} + \frac{4}{3 \cdot \sqrt{9}}$

= $- \frac{4}{3 \cdot \sqrt{3 u - 7}} + \frac{4}{3 \cdot 3}$

= $- \frac{4}{3 \cdot \sqrt{3 u - 7}} + \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3})$

= $- \frac{4}{3 \cdot \sqrt{3 u - 7}} + \frac{4}{9}$

Für u → ∞ gilt: A(u) = $- \frac{4}{3 \cdot \sqrt{3 u - 7}} + \frac{4}{9}$ → $0 + \frac{4}{9}$ = $\frac{4}{9}$ ≈ 0.444

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 0.444

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

Die Funktion f mit

f(t) =

- \frac{1}{8} t^{2} + 8

beschreibt die Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Wassermenge im Tank beträgt im abgebildeten Zeitraum 60 m³. Bestimme die Wassermenge im Tank zu Beobachtungsbeginn.

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Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

$- \frac{1}{8} t^{2} + 8$	=	0	\| $- 8$
$- \frac{1}{8} t^{2}$	=	$- 8$	\|⋅ $(- 8)$
$t^{2}$	=	$64$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	$- \sqrt{64}$	= $- 8$
t₂	=	$\sqrt{64}$	= $8$

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 8 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

I =

\int_{0}^{8} (- \frac{1}{8} t^{2} + 8) ⅆ t

= ${[- \frac{1}{24} x^{3} + 8 x]}_{0}^{8}$

$=$ $- \frac{1}{24} \cdot 8^{3} + 8 \cdot 8 - (- \frac{1}{24} \cdot 0^{3} + 8 \cdot 0)$

= $- \frac{1}{24} \cdot 512 + 64 - (- \frac{1}{24} \cdot 0 + 0)$

= $- \frac{64}{3} + 64 - (0 + 0)$

= $- \frac{64}{3} + \frac{192}{3} + 0$

= $\frac{128}{3}$

≈ 42,667

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 42,667 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 60 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 60 m³ - 42,667 m³ ≈ 17,333 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B₀ = 17,333 m³.

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

Ein Wassertank hat einen Zu- und einen Abfluss. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die momentane Zuflussrate in Liter pro Minute, der rote Graph die momentane Abflussrate (Liter pro Minute). Die x-Achse zeigt die Zeit in Minuten nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Minuten nach Beobachtungsbeginn.

Nach wie vielen Minuten ist am meisten Wasser im Tank?
Nach wie vielen Minuten ist am wenigsten Wasser im Tank?

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Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Zuflussrate über der Abflussrate liegt, so dass hier das Wasservolumen zunimmt.

Von 1 bis 5 liegt dann die Abflussrate über der Zuflussrate, so dass hier das Wasservolumen abnimmt.

Von 5 bis 10 liegt dann wieder die Zuflussrate über der Abflussrate, so dass hier das Wasservolumen wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 1.2 Liter
von 1 bis 5: ca. -5.3 Liter

Zeitpunkt des größten Bestands
Nachdem das Wasservolumen zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 5 deutlich kleiner als der Zuwachs zwischen t = 5 und t = 10, so dass der Höchststand erst bei t = 10 erreicht wird.
Somit wird das Wasservolumen bei t = 10 min maximal.
Zeitpunkt des kleinsten Bestands
Da zwischen 0 und 1 weniger Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 1 und 5, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand wenn die Zuwachsrate wieder größer wird als die Abnahmerate, also bei t = 5 min.

Aufgabenbeispiele von Anwendungen

Integralanwendungen BF

Integralanwendungen

Integralfunktion - Gleichung

Mittelwerte

uneigentliche Integrale

Maximaler Bestand rückwärts

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)