Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Integralanwendungen BF

Beispiel:

Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 2 ( 2x -3 ) 4 (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach 3s hat er bereits 20 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach 4 Sekunden?

Lösung einblenden
Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 3 und 4:
3 4 2 ( 2x -3 ) 4 x
= 3 4 2 ( 2x -3 ) -4 x

= [ - 1 3 ( 2x -3 ) -3 ] 3 4

= [ - 1 3 ( 2x -3 ) 3 ] 3 4

= - 1 3 ( 24 -3 ) 3 + 1 3 ( 23 -3 ) 3

= - 1 3 ( 8 -3 ) 3 + 1 3 ( 6 -3 ) 3

= - 1 3 5 3 + 1 3 3 3

= - 1 3 ( 1 125 ) + 1 3 ( 1 27 )

= - 1 375 + 1 81

= - 27 10125 + 125 10125

= 98 10125


≈ 0,01
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 3 und der Änderung zwischen 3 und 4 zusammen:
B = 20 + 98 10125 = 202.598 10125 ≈ 20.01

Integralanwendungen

Beispiel:

Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= 3 3x -4 (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?

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Zuerst berechnen wir die Änderung des Bestands zwischen 2 und 5:
2 5 3 3x -4 x
= 2 5 3 ( 3x -4 ) -1 x

= [ ln( | 3x -4 | ) ] 2 5

= ln( | 35 -4 | ) - ln( | 32 -4 | )

= ln( | 15 -4 | ) - ln( | 6 -4 | )

= ln( 11 ) - ln( | 6 -4 | )

= ln( 11 ) - ln( 2 )


≈ 1,705
Der neue Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand bei 2 und der Änderung zwischen 2 und 5 zusammen:
B = 13 + ln( | 11 | ) - ln( | 2 | ) ≈ 14.7

Integralfunktion - Gleichung

Beispiel:

Bestimme u > 1 so, dass 1 u 8x x = 285

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1 u 8x x

= [ 4 x 2 ] 1 u

= 4 u 2 -4 1 2

= 4 u 2 -41

= 4 u 2 -4

Diese Integralfunktion soll ja den Wert 285 annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :

4 u 2 -4 = 285 | +4
4 u 2 = 289 |:4
u 2 = 289 4 | 2
u1 = - 289 4 = - 17 2
u2 = 289 4 = 17 2

Da u= - 17 2 < 1 ist u= 17 2 die einzige Lösung.

Mittelwerte

Beispiel:

Die Menge eines Wirkstoffs im Blut eines Patienten kann zur Zeit x (in min) näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= 6 ( 3x -6 ) 2 (in mg) beschrieben werden. Berechne die mittlere Wirkstoffmenge in mg zwischen Minute 3 und Minute 5.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:

m = 1 5 -3 3 5 6 ( 3x -6 ) 2 x
= 1 2 3 5 6 ( 3x -6 ) -2 x

= 1 2 [ -2 ( 3x -6 ) -1 ] 3 5

= 1 2 [ - 2 3x -6 ] 3 5

= 1 2 ( - 2 35 -6 + 2 33 -6 )

= 1 2 ( - 2 15 -6 + 2 9 -6 )

= 1 2 ( - 2 9 + 2 3 )

= 1 2 ( -2( 1 9 ) +2( 1 3 ) )

= 1 2 ( - 2 9 + 2 3 )

= 1 2 ( - 2 9 + 6 9 )

= 1 2 · 4 9

= 2 9


≈ 0,222

uneigentliche Integrale

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= 3 e -3x +6 schließt mit der x-Achse und der Geraden x=2 eine nach rechts offene Fläche ein.
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.


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A(u)= 2 u 3 e -3x +6 x

= [ - e -3x +6 ] 2 u

= - e -3u +6 + e -32 +6

= - e -3u +6 + e -6 +6

= - e -3u +6 + e 0

= - e -3u +6 +1

Für u → ∞ gilt: A(u) = - e -3u +6 +1 0 +1 = 1 ≈ 1

Für den Flächeninhalt (immer positiv) gilt also I = 1

Maximaler Bestand rückwärts

Beispiel:

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Die Funktion f mit f(t)= 3 e -0,3t +1,2 -3 beschreibt die Zu- bzw. Abflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Ihr Graph ist rechts abgebildet. Die maximale Wassermenge im Tank beträgt im abgebildeten Zeitraum 40 m³. Bestimme die Wassermenge im Tank zu Beobachtungsbeginn.

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Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.

3 e -0,3t +1,2 -3 = 0 | +3
3 e -0,3t +1,2 = 3 |:3
e -0,3t +1,2 = 1 |ln(⋅)
-0,3t +1,2 = 0
-0,3t +1,2 = 0 | -1,2
-0,3t = -1,2 |:(-0,3 )
t = 4

Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 4 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:

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I = 0 4 ( 3 e -0,3t +1,2 -3 ) t

= [ -10 e -0,3x +1,2 -3x ] 0 4

= -10 e -0,34 +1,2 -34 - ( -10 e -0,30 +1,2 -30 )

= -10 e -1,2 +1,2 -12 - ( -10 e 0 +1,2 +0)

= -10 e 0 -12 - ( -10 e 1,2 +0)

= -10 -12 +10 e 1,2

= -22 +10 e 1,2


≈ 11,201

Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 11,201 m³

Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 40 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 40 m³ - 11,201 m³ ≈ 28,799 m³ vorhanden gewesen sein.

Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B0 = 28,799 m³.

minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)

Beispiel:

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Bei einem großen Festival werden die hereinkommenden und die herausgehenden Besucher gemessen. In der Abbildung zeigt der blaue Graph die momentane Eintrittsrate in Hundert Personen pro Stunde, der rote Graph die momentane Austrittssrate (in Hundert Personen pro Stunde). Die x-Achse zeigt die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn. Betrachtet wird nur der Zeitraum zwischen 0 und 10 Stunden nach Beobachtungsbeginn.
  1. Nach wie vielen Stunden sind die wenigsten Besucher auf dem Festival-Gelände?
  2. Die höchste Besucherzahl auf dem Festival-Gelände im abgebildeten Zeitraum sind ca. 25,5 Hundert Personen. Bestimme die Besucherzahl auf dem Festival-Gelände bei Beobachtungsbeginn.

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Man erkennt schnell, dass von 0 bis 3 die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände liegt, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände zunimmt.

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Von 3 bis 7 liegt dann die Austrittssrate aus dem Festival-Gelände über der Eintrittsrate ins Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände abnimmt.

Von 7 bis 10 liegt dann wieder die Eintrittsrate ins Festival-Gelände über der Austrittssrate aus dem Festival-Gelände, so dass hier die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände wieder zunimmt.

Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 3: ca. 3.4 Hundert Personen
von 3 bis 7: ca. -1.3 Hundert Personen

von 7 bis 10: ca. 3.4 Hundert Personen

  1. Zeitpunkt des kleinsten Bestands

    Da zwischen 0 und 3 mehr Zuwachs abzulesen ist als die Abnahme zwischen 3 und 7, ist der Zeitpunkt mit dem geringsten Bestand gleich zu Beginn, also bei t = 0 Stunden.

  2. Anfangsbestand

    Da der Zuwachs zwischen t = 7 und t = 10 größer ist als die Abnahme zwischen t = 3 und t = 7, wird der maximale Bestand erst nach 10 Stunden erreicht. Bis zu diesem Zeitpunkt hat sich die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände um 3.4 -1.3 + 3.4 = 5.5 Hundert Personen vermehrt.
    Bei Beobachtungsbeginn muss somit die Menge der Besucher auf dem Festival-Gelände um 5.5 Hundert Personen niedriger als die maximalen 25.5 Hundert Personen gewesen sein:
    B0 = 25.5 - 5.5 = 20 Hundert Personen .