$$\underset{3}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $$\underset{3}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(5\; -\; 3)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-6}}{2}$ = -3.

I₃ = $$\underset{5}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{\mathrm{(8\; -\; 5)\; \cdot \; <mn>2</mn>}}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit gilt:

$$\underset{3}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₂ + I₃ = $$\underset{3}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{5}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = -3 +3 = 0

= ${\left[-\frac{5}{2}{x}^2+3x\right]}_1^5$

$=$ $-\frac{5}{2}\cdot 5^2+3\cdot 5-\left(-\frac{5}{2}\cdot 1^2+3\cdot 1\right)$

= $-\frac{5}{2}\cdot 25+15-\left(-\frac{5}{2}\cdot 1+3\right)$

= $-\frac{125}{2}+15-\left(-\frac{5}{2}+3\right)$

= $-\frac{125}{2}+\frac{30}{2}-\left(-\frac{5}{2}+\frac{6}{2}\right)$

= $-\frac{95}{2}-1·\frac{1}{2}$

= $-\frac{95}{2}-\frac{1}{2}$

= $-48$

= ${\left[-\sin \left(x\right)+2x^{\frac{3}{2}}\right]}_0^1$

= ${\left[-\sin \left(x\right)+2{\left(\sqrt{x}\right)}^3\right]}_0^1$

$=$ $-\sin \left(1\right)+2{\left(\sqrt{1}\right)}^3-\left(-\sin \left(0\right)+2{\left(\sqrt{0}\right)}^3\right)$

= $-\sin \left(1\right)+2\cdot 1^3-\left(-0+2\cdot 0^3\right)$

= $-\sin \left(1\right)+2\cdot 1-\left(0+2\cdot 0\right)$

= $-\sin \left(1\right)+2-\left(0+0\right)$

= $-\sin \left(1\right)+2+0$

= $-\sin \left(1\right)+2$

= ${\left[\frac{3}{2}\cdot \sin (2x+\pi )\right]}_0^{\pi }$

$=$ $\frac{3}{2}\cdot \sin (2\cdot \pi +\pi )-\frac{3}{2}\cdot \sin (2\cdot \left(0\right)+\pi )$

= $\frac{3}{2}\cdot \sin \left(3\pi \right)-\frac{3}{2}\cdot \sin \left(\pi \right)$

= $\frac{3}{2}\cdot 0-\frac{3}{2}\cdot 0$

= $0+0$

= 0

= ${\left[-\frac{9}{2}\cdot \cos \left(x\right)+\frac{1}{2}\cdot \sin \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\frac{9}{2}\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)+\frac{1}{2}\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)-\left(-\frac{9}{2}\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)+\frac{1}{2}\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-\frac{9}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)-\left(-\frac{9}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot 1\right)$

= $0-\frac{1}{2}-\left(0+\frac{1}{2}\right)$

= $0-\frac{1}{2}-\left(0+\frac{1}{2}\right)$

= $-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$

= $-1$

= ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x-4\right)}^3\right]}_1^3$

$=$ $\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 3-4\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 1-4\right)}^3$

= $\frac{1}{9}\cdot {\left(9-4\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3-4\right)}^3$

= $\frac{1}{9}\cdot 5^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(-1\right)}^3$

= $\frac{1}{9}\cdot 125-\frac{1}{9}\cdot \left(-1\right)$

= $\frac{125}{9}+\frac{1}{9}$

= $14$

= ${\left[-\frac{3}{4}{x}^4+3t{x}^3\right]}_0^4$

$=$ $-\frac{3}{4}\cdot 4^4+3t\cdot 4^3-\left(-\frac{3}{4}\cdot 0^4+3t\cdot 0^3\right)$

= $-\frac{3}{4}\cdot 256+3t\cdot 64-\left(-\frac{3}{4}\cdot 0+3t\cdot 0\right)$

= $-192+192t-\left(0+0\right)$

= $192t-192+0$

= $192t-192$

Dieses Integral $192t-192$ muss nun gleich $384$ sein:

Der gesuchte t-Wert ist somit $3$.