$$\underset{3}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $$\underset{3}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(5\; -\; 3)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-8}}{2}$ = -4.

Somit gilt:

$$\underset{3}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₂ = $$\underset{3}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = -4 = -4

= ${\left[\frac{5}{2}{x}^2+2x\right]}_{-2}^0$

$=$ $\frac{5}{2}\cdot 0^2+2\cdot 0-\left(\frac{5}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2+2\cdot \left(-2\right)\right)$

= $\frac{5}{2}\cdot 0+0-\left(\frac{5}{2}\cdot 4-4\right)$

= $0+0-\left(10-4\right)$

= $0-1·6$

= $-6$

= ${\left[-8\cdot \cos \left(x\right)-\frac{6}{5}{x}^5\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $-8\cdot \cos \left(\pi \right)-\frac{6}{5}\cdot {\pi }^5-\left(-8\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)-\frac{6}{5}\cdot {\left(\frac{1}{2}\pi \right)}^5\right)$

= $-8\cdot \left(-1\right)-\frac{6}{5}\cdot {\pi }^5-\left(-8\cdot 0-\frac{6}{5}\cdot {\left(\frac{1}{2}\pi \right)}^5\right)$

= $8-\frac{6}{5}\cdot {\pi }^5-\left(0-\frac{6}{5}\cdot {\left(\frac{1}{2}\pi \right)}^5\right)$

= $8-\frac{6}{5}\cdot {\pi }^5+\frac{3}{80}\cdot {\pi }^5$

= $8-\frac{93}{80}\cdot {\pi }^5$

= ${\left[e^{3x-6}\right]}_2^5$

$=$ $e^{3\cdot 5-6}-e^{3\cdot 2-6}$

= $e^{15-6}-e^{6-6}$

= $e^9-e^0$

= $e^9-1$

= ${\left[-\frac{7}{2}\cdot \sin \left(x\right)-2x^{-1}\right]}_{\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

= ${\left[-\frac{7}{2}\cdot \sin \left(x\right)-\frac{2}{x}\right]}_{\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\frac{7}{2}\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)-\frac{2}{\frac{3}{2}\pi }-\left(-\frac{7}{2}\cdot \sin \left(\pi \right)-\frac{2}{\pi }\right)$

= $-\frac{7}{2}\cdot \left(-1\right)-\frac{2}{\frac{3}{2}\pi }-\left(-\frac{7}{2}\cdot 0-\frac{2}{\pi }\right)$

= $\frac{7}{2}-\frac{2}{\frac{3}{2}\pi }-\left(0-\frac{2}{\pi }\right)$

= $\frac{7}{2}-\frac{4}{3\pi }+\frac{2}{\pi }$

= $\frac{7}{2}+\frac{2}{3\pi }$

= ${\left[-e^{-2x+5}\right]}_0^2$

$=$ $-e^{-2\cdot 2+5}+e^{-2\cdot 0+5}$

= $-e^{-4+5}+e^{0+5}$

= $-e^1+e^5$

= $-e+e^5$

= ${\left[-\frac{1}{2}{x}^4+3t^2{x}^2\right]}_0^4$

$=$ $-\frac{1}{2}\cdot 4^4+3t^2\cdot 4^2-\left(-\frac{1}{2}\cdot 0^4+3t^2\cdot 0^2\right)$

= $-\frac{1}{2}\cdot 256+3t^2\cdot 16-\left(-\frac{1}{2}\cdot 0+3t^2\cdot 0\right)$

= $-128+48t^2-\left(0+0\right)$

= $48t^2-128+0$

= $48t^2-128$

Dieses Integral $48t^2-128$ muss nun gleich $460$ sein:

Der gesuchte t-Wert ist somit $\frac{7}{2}$ = 3,5.