$$\underset{3}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $$\underset{3}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(5\; -\; 3)\; \cdot \; <mn>3</mn>}}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $$\underset{5}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 9.

Somit gilt:

$$\underset{3}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₂ + I₃ = $$\underset{3}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{5}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = 3 +9 = 12

= ${\left[-2x^2+3x\right]}_1^3$

$=$ $-2\cdot 3^2+3\cdot 3-\left(-2\cdot 1^2+3\cdot 1\right)$

= $-2\cdot 9+9-\left(-2\cdot 1+3\right)$

= $-18+9-\left(-2+3\right)$

= $-9-1·1$

= $-9-1$

= $-10$

= ${\left[\frac{1}{2}{e}^{-2x}-\frac{2}{3}\cdot \sin \left(x\right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot \pi }-\frac{2}{3}\cdot \sin \left(\pi \right)-\left(\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot \left(0\right)}-\frac{2}{3}\cdot \sin \left(0\right)\right)$

= $\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot \pi }-\frac{2}{3}\cdot 0-\left(\frac{1}{2}{e}^0-\frac{2}{3}\cdot 0\right)$

= $\frac{1}{2}{e}^{-2\cdot \pi }+0-\left(\frac{1}{2}+0\right)$

= $\frac{1}{2}{e}^{-2\pi }-\left(\frac{1}{2}+0\right)$

= $\frac{1}{2}{e}^{-2\pi }-\frac{1}{2}$

= ${\left[-3e^{x-3}\right]}_2^5$

$=$ $-3e^{5-3}+3e^{2-3}$

= $-3e^2+3e^{-1}$

= ${\left[4\cdot \cos \left(x\right)+5\cdot \sin \left(x\right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $4\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)+5\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)-\left(4\cdot \cos \left(0\right)+5\cdot \sin \left(0\right)\right)$

= $4\cdot 0+5\cdot \left(-1\right)-\left(4\cdot 1+5\cdot 0\right)$

= $0-5-\left(4+0\right)$

= $-5-4$

= $-9$

= ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x-7\right)}^3-\frac{3}{2}{x}^2\right]}_2^4$

$=$ $\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 4-7\right)}^3-\frac{3}{2}\cdot 4^2-\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 2-7\right)}^3-\frac{3}{2}\cdot 2^2\right)$

= $\frac{1}{9}\cdot {\left(12-7\right)}^3-\frac{3}{2}\cdot 16-\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(6-7\right)}^3-\frac{3}{2}\cdot 4\right)$

= $\frac{1}{9}\cdot 5^3-24-\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(-1\right)}^3-6\right)$

= $\frac{1}{9}\cdot 125-24-\left(\frac{1}{9}\cdot \left(-1\right)-6\right)$

= $\frac{125}{9}-24-\left(-\frac{1}{9}-6\right)$

= $\frac{125}{9}-\frac{216}{9}-\left(-\frac{1}{9}-\frac{54}{9}\right)$

= $-\frac{91}{9}-1·\left(-\frac{55}{9}\right)$

= $-\frac{91}{9}+\frac{55}{9}$

= $-4$

= ${\left[-\frac{2}{3}{x}^3+2t{x}^2\right]}_0^3$

$=$ $-\frac{2}{3}\cdot 3^3+2t\cdot 3^2-\left(-\frac{2}{3}\cdot 0^3+2t\cdot 0^2\right)$

= $-\frac{2}{3}\cdot 27+2t\cdot 9-\left(-\frac{2}{3}\cdot 0+2t\cdot 0\right)$

= $-18+18t-\left(0+0\right)$

= $18t-18+0$

= $18t-18$

Dieses Integral $18t-18$ muss nun gleich $45$ sein:

Der gesuchte t-Wert ist somit $\frac{7}{2}$ = 3,5.