$$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(6\; -\; 3)\; \cdot \; <mn>2</mn>}}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit gilt:

$$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₂ = $$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = 3 = 3

= ${\left[-\frac{1}{3}{x}^3+x\right]}_1^2$

$=$ $-\frac{1}{3}\cdot 2^3+2-\left(-\frac{1}{3}\cdot 1^3+1\right)$

= $-\frac{1}{3}\cdot 8+2-\left(-\frac{1}{3}\cdot 1+1\right)$

= $-\frac{8}{3}+2-\left(-\frac{1}{3}+1\right)$

= $-\frac{8}{3}+\frac{6}{3}-\left(-\frac{1}{3}+\frac{3}{3}\right)$

= $-\frac{2}{3}-1·\frac{2}{3}$

= $-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}$

= $-\frac{4}{3}$

= ${\left[-e^x+\frac{1}{2}\cdot \sin \left(x\right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-e^{\frac{3}{2}\pi }+\frac{1}{2}\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)-\left(-e^0+\frac{1}{2}\cdot \sin \left(0\right)\right)$

= $-e^{\frac{3}{2}\pi }+\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)-\left(-1+\frac{1}{2}\cdot 0\right)$

= $-e^{\frac{3}{2}\pi }-\frac{1}{2}-\left(-1+0\right)$

= $-e^{\frac{3}{2}\pi }-\frac{1}{2}+1$

= $-e^{\frac{3}{2}\pi }+\frac{1}{2}$

= ${\left[\frac{1}{3}{e}^{-3x+3}\right]}_0^1$

$=$ $\frac{1}{3}{e}^{-3\cdot 1+3}-\frac{1}{3}{e}^{-3\cdot 0+3}$

= $\frac{1}{3}{e}^{-3+3}-\frac{1}{3}{e}^{0+3}$

= $\frac{1}{3}{e}^0-\frac{1}{3}{e}^3$

= $\frac{1}{3}-\frac{1}{3}{e}^3$

= ${\left[\sin \left(x\right)-4\cdot \cos \left(x\right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)-4\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)-\left(\sin \left(0\right)-4\cdot \cos \left(0\right)\right)$

= $-1-4\cdot 0-\left(0-4\cdot 1\right)$

= $-1+0-\left(0-4\right)$

= $-1+4$

= $3$

= ${\left[\frac{1}{3}{\left(3x-7\right)}^3-4x\right]}_2^3$

$=$ $\frac{1}{3}\cdot {\left(3\cdot 3-7\right)}^3-4\cdot 3-\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(3\cdot 2-7\right)}^3-4\cdot 2\right)$

= $\frac{1}{3}\cdot {\left(9-7\right)}^3-12-\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(6-7\right)}^3-8\right)$

= $\frac{1}{3}\cdot 2^3-12-\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(-1\right)}^3-8\right)$

= $\frac{1}{3}\cdot 8-12-\left(\frac{1}{3}\cdot \left(-1\right)-8\right)$

= $\frac{8}{3}-12-\left(-\frac{1}{3}-8\right)$

= $\frac{8}{3}-\frac{36}{3}-\left(-\frac{1}{3}-\frac{24}{3}\right)$

= $-\frac{28}{3}-1·\left(-\frac{25}{3}\right)$

= $-\frac{28}{3}+\frac{25}{3}$

= $-1$

= ${\left[-\frac{1}{2}{x}^4+2t^2{x}^2\right]}_0^4$

$=$ $-\frac{1}{2}\cdot 4^4+2t^2\cdot 4^2-\left(-\frac{1}{2}\cdot 0^4+2t^2\cdot 0^2\right)$

= $-\frac{1}{2}\cdot 256+2t^2\cdot 16-\left(-\frac{1}{2}\cdot 0+2t^2\cdot 0\right)$

= $-128+32t^2-\left(0+0\right)$

= $32t^2-128+0$

= $32t^2-128$

Dieses Integral $32t^2-128$ muss nun gleich $-56$ sein:

Der gesuchte t-Wert ist somit $\frac{3}{2}$ = 1,5.