$$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(6\; -\; 3)\; \cdot \; <mn>4</mn>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{12}}{2}$ = 6.

Somit gilt:

$$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₂ = $$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = 6 = 6

= ${\left[-\frac{1}{3}{x}^3+3x\right]}_0^3$

$=$ $-\frac{1}{3}\cdot 3^3+3\cdot 3-\left(-\frac{1}{3}\cdot 0^3+3\cdot 0\right)$

= $-\frac{1}{3}\cdot 27+9-\left(-\frac{1}{3}\cdot 0+0\right)$

= $-9+9-\left(0+0\right)$

= $0+0$

= $0$

= ${\left[-\frac{7}{4}\cdot \cos \left(x\right)-e^x\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\frac{7}{4}\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)-e^{\frac{3}{2}\pi }-\left(-\frac{7}{4}\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)-e^{\frac{1}{2}\pi }\right)$

= $-\frac{7}{4}\cdot 0-e^{\frac{3}{2}\pi }-\left(-\frac{7}{4}\cdot 0-e^{\frac{1}{2}\pi }\right)$

= $0-e^{\frac{3}{2}\pi }-\left(0-e^{\frac{1}{2}\pi }\right)$

= $-e^{\frac{3}{2}\pi }+e^{\frac{1}{2}\pi }$

= ${\left[\frac{2}{3}\cdot \cos \left(3x+\frac{1}{2}\pi \right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{2}{3}\cdot \cos \left(3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)+\frac{1}{2}\pi \right)-\frac{2}{3}\cdot \cos \left(3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)+\frac{1}{2}\pi \right)$

= $\frac{2}{3}\cdot \cos \left(5\pi \right)-\frac{2}{3}\cdot \cos \left(2\pi \right)$

= $\frac{2}{3}\cdot \left(-1\right)-\frac{2}{3}\cdot 1$

= $-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}$

= $-\frac{4}{3}$

= ${\left[5\cdot \cos \left(x\right)-x^5\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $5\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)-{\left(\frac{3}{2}\pi \right)}^5-\left(5\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)-{\left(\frac{1}{2}\pi \right)}^5\right)$

= $5\cdot 0-{\left(\frac{3}{2}\pi \right)}^5-\left(5\cdot 0-{\left(\frac{1}{2}\pi \right)}^5\right)$

= $0-{\left(\frac{3}{2}\pi \right)}^5-\left(0-{\left(\frac{1}{2}\pi \right)}^5\right)$

= $-\frac{243}{32}\cdot {\pi }^5+\frac{1}{32}\cdot {\pi }^5$

= $-\frac{121}{16}\cdot {\pi }^5$

= ${\left[\frac{1}{2}{e}^{2x-4}\right]}_0^2$

$=$ $\frac{1}{2}{e}^{2\cdot 2-4}-\frac{1}{2}{e}^{2\cdot 0-4}$

= $\frac{1}{2}{e}^{4-4}-\frac{1}{2}{e}^{0-4}$

= $\frac{1}{2}{e}^0-\frac{1}{2}{e}^{-4}$

= $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{e}^{-4}$

= ${\left[-\frac{2}{3}{x}^3+t{x}^2\right]}_0^3$

$=$ $-\frac{2}{3}\cdot 3^3+t\cdot 3^2-\left(-\frac{2}{3}\cdot 0^3+t\cdot 0^2\right)$

= $-\frac{2}{3}\cdot 27+t\cdot 9-\left(-\frac{2}{3}\cdot 0+t\cdot 0\right)$

= $-18+9t-\left(0+0\right)$

= $9t-18+0$

= $9t-18$

Dieses Integral $9t-18$ muss nun gleich $0$ sein:

Der gesuchte t-Wert ist somit $2$.