$$\underset{3}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $$\underset{3}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(5\; -\; 3)\; \cdot \; <mn>1</mn>}}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

I₃ = $$\underset{5}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2.

Somit gilt:

$$\underset{3}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₂ + I₃ = $$\underset{3}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{5}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = 1 +2 = 3

= ${\left[-\frac{1}{3}{x}^3+4x\right]}_{-3}^0$

$=$ $-\frac{1}{3}\cdot 0^3+4\cdot 0-\left(-\frac{1}{3}\cdot {\left(-3\right)}^3+4\cdot \left(-3\right)\right)$

= $-\frac{1}{3}\cdot 0+0-\left(-\frac{1}{3}\cdot \left(-27\right)-12\right)$

= $0+0-\left(9-12\right)$

= $0-1·\left(-3\right)$

= $3$

= ${\left[6\cdot \sin \left(x\right)-\frac{1}{6}{x}^{-3}\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

= ${\left[6\cdot \sin \left(x\right)-\frac{1}{6x^3}\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $6\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)-\frac{1}{6{\left(\frac{3}{2}\pi \right)}^3}-\left(6\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)-\frac{1}{6{\left(\frac{1}{2}\pi \right)}^3}\right)$

= $6\cdot \left(-1\right)-\frac{1}{6{\left(\frac{3}{2}\pi \right)}^3}-\left(6\cdot 1-\frac{1}{6{\left(\frac{1}{2}\pi \right)}^3}\right)$

= $-6-\frac{1}{6{\left(\frac{3}{2}\pi \right)}^3}-\left(6-\frac{1}{6{\left(\frac{1}{2}\pi \right)}^3}\right)$

= $-6-\frac{4}{81{\pi }^3}-\left(6-\frac{4}{3{\pi }^3}\right)$

= $-6-\frac{4}{81{\pi }^3}-1·6-1·\left(-\frac{4}{3{\pi }^3}\right)$

= $-6-\frac{4}{81{\pi }^3}-6+\frac{4}{3{\pi }^3}$

= $-6-6-\frac{4}{81{\pi }^3}+\frac{4}{3{\pi }^3}$

= $-12+\frac{104}{81{\pi }^3}$

= ${\left[-\frac{2}{3}{e}^{-3x+5}\right]}_0^1$

$=$ $-\frac{2}{3}{e}^{-3\cdot 1+5}+\frac{2}{3}{e}^{-3\cdot 0+5}$

= $-\frac{2}{3}{e}^{-3+5}+\frac{2}{3}{e}^{0+5}$

= $-\frac{2}{3}{e}^2+\frac{2}{3}{e}^5$

= ${\left[-e^{-2x}-8\cdot \sin \left(x\right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $-e^{-2\cdot \pi }-8\cdot \sin \left(\pi \right)-\left(-e^{-2\cdot \left(0\right)}-8\cdot \sin \left(0\right)\right)$

= $-e^{-2\cdot \pi }-8\cdot 0-\left(-e^0-8\cdot 0\right)$

= $-e^{-2\cdot \pi }+0-\left(-1+0\right)$

= $-e^{-2\pi }+1$

= ${\left[-\cos \left(-3x-\frac{1}{2}\pi \right)\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $-\cos \left(-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)-\frac{1}{2}\pi \right)+\cos \left(-3\cdot \left(0\right)-\frac{1}{2}\pi \right)$

= $-\cos \left(-2\pi \right)+\cos \left(-\frac{1}{2}\pi \right)$

= $-1+0$

= $-1$

= ${\left[-x^3+\frac{9}{2}t{x}^2\right]}_0^6$

$=$ $-6^3+\frac{9}{2}t\cdot 6^2-\left(-0^3+\frac{9}{2}t\cdot 0^2\right)$

= $-216+\frac{9}{2}t\cdot 36-\left(-0+\frac{9}{2}t\cdot 0\right)$

= $-216+162t-\left(0+0\right)$

= $162t-216+0$

= $162t-216$

Dieses Integral $162t-216$ muss nun gleich $270$ sein:

Der gesuchte t-Wert ist somit $3$.