$$\underset{2}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $$\underset{2}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(4\; -\; 2)\; \cdot \; <mn>3</mn>}}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

I₃ = $$\underset{4}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{\mathrm{(6\; -\; 4)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-8}}{2}$ = -4.

I₄ = $$\underset{6}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 6) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

Somit gilt:

$$\underset{2}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₂ + I₃ + I₄ = $$\underset{2}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{4}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{6}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = 3 -4 -12 = -13

= ${\left[-\frac{4}{3}{x}^3+x^2\right]}_{-2}^2$

$=$ $-\frac{4}{3}\cdot 2^3+2^2-\left(-\frac{4}{3}\cdot {\left(-2\right)}^3+{\left(-2\right)}^2\right)$

= $-\frac{4}{3}\cdot 8+4-\left(-\frac{4}{3}\cdot \left(-8\right)+4\right)$

= $-\frac{32}{3}+4-\left(\frac{32}{3}+4\right)$

= $-\frac{32}{3}+\frac{12}{3}-\left(\frac{32}{3}+\frac{12}{3}\right)$

= $-\frac{20}{3}-1·\frac{44}{3}$

= $-\frac{20}{3}-\frac{44}{3}$

= $-\frac{64}{3}$

= ${\left[-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{4}{3}{e}^{-3x}\right]}_0^4$

$=$ $-\frac{1}{3}\cdot 4^3+\frac{4}{3}{e}^{-3\cdot 4}-\left(-\frac{1}{3}\cdot 0^3+\frac{4}{3}{e}^{-3\cdot 0}\right)$

= $-\frac{1}{3}\cdot 64+\frac{4}{3}{e}^{-12}-\left(-\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{4}{3}{e}^0\right)$

= $-\frac{64}{3}+\frac{4}{3}{e}^{-12}-\left(0+\frac{4}{3}\right)$

= $\frac{4}{3}{e}^{-12}-\frac{64}{3}-\left(0+\frac{4}{3}\right)$

= $\frac{4}{3}{e}^{-12}-\frac{64}{3}-\frac{4}{3}$

= $\frac{4}{3}{e}^{-12}-\frac{68}{3}$

= ${\left[2\cdot \cos (-x+\pi )\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $2\cdot \cos (-\left(\frac{3}{2}\pi \right)+\pi )-2\cdot \cos (-\left(\frac{1}{2}\pi \right)+\pi )$

= $2\cdot \cos \left(-\frac{1}{2}\pi \right)-2\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$

= $2\cdot 0-2\cdot 0$

= $0+0$

= 0

= ${\left[\frac{5}{3}{x}^3+5\cdot \sin \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $\frac{5}{3}\cdot {\pi }^3+5\cdot \sin \left(\pi \right)-\left(\frac{5}{3}\cdot {\left(\frac{1}{2}\pi \right)}^3+5\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{5}{3}\cdot {\pi }^3+5\cdot 0-\left(\frac{5}{3}\cdot {\left(\frac{1}{2}\pi \right)}^3+5\cdot 1\right)$

= $\frac{5}{3}\cdot {\pi }^3+0-\left(\frac{5}{3}\cdot {\left(\frac{1}{2}\pi \right)}^3+5\right)$

= $\frac{5}{3}\cdot {\pi }^3-\left(5+\frac{5}{24}\cdot {\pi }^3\right)$

= $-1·5-1·\frac{5}{24}\cdot {\pi }^3+\frac{5}{3}\cdot {\pi }^3$

= $-5-\frac{5}{24}\cdot {\pi }^3+\frac{5}{3}\cdot {\pi }^3$

= $-5+\frac{35}{24}\cdot {\pi }^3$

= ${\left[\frac{1}{3}{\left(x-1\right)}^3\right]}_1^2$

$=$ $\frac{1}{3}\cdot {\left(2-1\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(1-1\right)}^3$

= $\frac{1}{3}\cdot 1^3-\frac{1}{3}\cdot 0^3$

= $\frac{1}{3}\cdot 1-\frac{1}{3}\cdot 0$

= $\frac{1}{3}+0$

= $\frac{1}{3}+0$

= $\frac{1}{3}$

= ${\left[-\frac{1}{4}{x}^4+t^2{x}^2\right]}_0^2$

$=$ $-\frac{1}{4}\cdot 2^4+t^2\cdot 2^2-\left(-\frac{1}{4}\cdot 0^4+t^2\cdot 0^2\right)$

= $-\frac{1}{4}\cdot 16+t^2\cdot 4-\left(-\frac{1}{4}\cdot 0+t^2\cdot 0\right)$

= $-4+4t^2-\left(0+0\right)$

= $4t^2-4+0$

= $4t^2-4$

Dieses Integral $4t^2-4$ muss nun gleich $0$ sein:

Der gesuchte t-Wert ist somit $1$.