$$\underset{2}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $$\underset{2}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(5\; -\; 2)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-12}}{2}$ = -6.

I₃ = $$\underset{5}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

Somit gilt:

$$\underset{2}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₂ + I₃ = $$\underset{2}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{5}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = -6 -12 = -18

= ${\left[-\frac{1}{2}{x}^2+3x\right]}_{-3}^0$

$=$ $-\frac{1}{2}\cdot 0^2+3\cdot 0-\left(-\frac{1}{2}\cdot {\left(-3\right)}^2+3\cdot \left(-3\right)\right)$

= $-\frac{1}{2}\cdot 0+0-\left(-\frac{1}{2}\cdot 9-9\right)$

= $0+0-\left(-\frac{9}{2}-9\right)$

= $0-\left(-\frac{9}{2}-\frac{18}{2}\right)$

= $-1·\left(-\frac{27}{2}\right)$

= $\frac{27}{2}$

= ${\left[\frac{12}{5}{x}^{\frac{5}{4}}+\frac{1}{2}{x}^{-2}\right]}_1^{16}$

= ${\left[\frac{12}{5}{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^5+\frac{1}{2x^2}\right]}_1^{16}$

$=$ $\frac{12}{5}{\left(\sqrt[4]{16}\right)}^5+\frac{1}{2\cdot {16}^2}-\left(\frac{12}{5}{\left(\sqrt[4]{1}\right)}^5+\frac{1}{2\cdot 1^2}\right)$

= $\frac{12}{5}\cdot 2^5+\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{256}\right)-\left(\frac{12}{5}\cdot 1^5+\frac{1}{2}\cdot 1\right)$

= $\frac{12}{5}\cdot 32+\frac{1}{512}-\left(\frac{12}{5}\cdot 1+\frac{1}{2}\right)$

= $\frac{384}{5}+\frac{1}{512}-\left(\frac{12}{5}+\frac{1}{2}\right)$

= $\frac{196608}{2560}+\frac{5}{2560}-\left(\frac{24}{10}+\frac{5}{10}\right)$

= $\frac{196613}{2560}-1·\frac{29}{10}$

= $\frac{196613}{2560}-\frac{29}{10}$

= $\frac{196613}{2560}-\frac{7424}{2560}$

= $\frac{196613}{2560}-\frac{29}{10}$

= $\frac{189189}{2560}$

= ${\left[-2e^{-x+1}\right]}_0^1$

$=$ $-2e^{-1+1}+2e^{-0+1}$

= $-2e^0+2e^1$

= $-2+2e$

= ${\left[-\frac{3}{2}{x}^{-2}-\frac{1}{4}\cdot \sin \left(x\right)\right]}_{\pi }^{2\pi }$

= ${\left[-\frac{3}{2x^2}-\frac{1}{4}\cdot \sin \left(x\right)\right]}_{\pi }^{2\pi }$

$=$ $-\frac{3}{2{\left(2\pi \right)}^2}-\frac{1}{4}\cdot \sin \left(2\pi \right)-\left(-\frac{3}{2{\pi }^2}-\frac{1}{4}\cdot \sin \left(\pi \right)\right)$

= $-\frac{3}{2{\left(2\pi \right)}^2}-\frac{1}{4}\cdot 0-\left(-\frac{3}{2{\pi }^2}-\frac{1}{4}\cdot 0\right)$

= $-\frac{3}{2{\left(2\pi \right)}^2}+0-\left(-\frac{3}{2{\pi }^2}+0\right)$

= $-\frac{3}{8{\pi }^2}+\frac{3}{2{\pi }^2}$

= $-\frac{3}{8{\pi }^2}+\frac{12}{8{\pi }^2}$

= $\frac{9}{8{\pi }^2}$

= ${\left[\ln \left(\left|$ 2x-2$\right|\right)\right]}_2^4$

$=$ $\ln \left(\left|$ 2\cdot 4-2$\right|\right)-\ln \left(\left|$ 2\cdot 2-2$\right|\right)$

= $\ln \left(\left|$ 8-2$\right|\right)-\ln \left(\left|$ 4-2$\right|\right)$

= $\ln \left(6\right)-\ln \left(\left|$ 4-2$\right|\right)$

= $\ln \left(6\right)-\ln \left(2\right)$

= ${\left[-\frac{1}{2}{x}^4+t^2{x}^2\right]}_0^2$

$=$ $-\frac{1}{2}\cdot 2^4+t^2\cdot 2^2-\left(-\frac{1}{2}\cdot 0^4+t^2\cdot 0^2\right)$

= $-\frac{1}{2}\cdot 16+t^2\cdot 4-\left(-\frac{1}{2}\cdot 0+t^2\cdot 0\right)$

= $-8+4t^2-\left(0+0\right)$

= $4t^2-8+0$

= $4t^2-8$

Dieses Integral $4t^2-8$ muss nun gleich $1$ sein:

Der gesuchte t-Wert ist somit $\frac{3}{2}$ = 1,5.