$$\underset{0}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₁ = (3 - 0) ⋅ ( - 2 ) = 3 ⋅ ( - 2 ) = -6.

I₂ = $$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(6\; -\; 3)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-6}}{2}$ = -3.

I₃ = $$\underset{6}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{\mathrm{(8\; -\; 6)\; \cdot \; <mn>3</mn>}}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3.

Somit gilt:

$$\underset{0}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₁ + I₂ + I₃ = $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{6}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = -6 -3 +3 = -6

= ${\left[\frac{4}{3}{x}^3+x^2\right]}_{-2}^{-1}$

$=$ $\frac{4}{3}\cdot {\left(-1\right)}^3+{\left(-1\right)}^2-\left(\frac{4}{3}\cdot {\left(-2\right)}^3+{\left(-2\right)}^2\right)$

= $\frac{4}{3}\cdot \left(-1\right)+1-\left(\frac{4}{3}\cdot \left(-8\right)+4\right)$

= $-\frac{4}{3}+1-\left(-\frac{32}{3}+4\right)$

= $-\frac{4}{3}+\frac{3}{3}-\left(-\frac{32}{3}+\frac{12}{3}\right)$

= $-\frac{1}{3}-1·\left(-\frac{20}{3}\right)$

= $-\frac{1}{3}+\frac{20}{3}$

= $\frac{19}{3}$

= ${\left[-3\cdot \cos \left(x\right)-6\cdot \sin \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-3\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)-6\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)-\left(-3\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)-6\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-3\cdot 0-6\cdot \left(-1\right)-\left(-3\cdot 0-6\cdot 1\right)$

= $0+6-\left(0-6\right)$

= $6+6$

= $12$

= ${\left[-\frac{1}{3}{\left(-x+2\right)}^3-4x\right]}_1^3$

$=$ $-\frac{1}{3}\cdot {\left(-3+2\right)}^3-4\cdot 3-\left(-\frac{1}{3}\cdot {\left(-1+2\right)}^3-4\cdot 1\right)$

= $-\frac{1}{3}\cdot {\left(-1\right)}^3-12-\left(-\frac{1}{3}\cdot 1^3-4\right)$

= $-\frac{1}{3}\cdot \left(-1\right)-12-\left(-\frac{1}{3}\cdot 1-4\right)$

= $\frac{1}{3}-12-\left(-\frac{1}{3}-4\right)$

= $\frac{1}{3}-\frac{36}{3}-\left(-\frac{1}{3}-\frac{12}{3}\right)$

= $-\frac{35}{3}-1·\left(-\frac{13}{3}\right)$

= $-\frac{35}{3}+\frac{13}{3}$

= $-\frac{22}{3}$

= ${\left[-\cos \left(x\right)-5\cdot \sin \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $-\cos \left(\pi \right)-5\cdot \sin \left(\pi \right)-\left(-\cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)-5\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-\left(-1\right)-5\cdot 0-\left(-0-5\cdot 1\right)$

= $1+0-\left(0-5\right)$

= $1+5$

= $6$

= ${\left[\frac{3}{2}{e}^{2x-3}\right]}_1^4$

$=$ $\frac{3}{2}{e}^{2\cdot 4-3}-\frac{3}{2}{e}^{2\cdot 1-3}$

= $\frac{3}{2}{e}^{8-3}-\frac{3}{2}{e}^{2-3}$

= $\frac{3}{2}{e}^5-\frac{3}{2}{e}^{-1}$

= ${\left[-\frac{1}{2}{x}^4+2t^2{x}^2\right]}_0^4$

$=$ $-\frac{1}{2}\cdot 4^4+2t^2\cdot 4^2-\left(-\frac{1}{2}\cdot 0^4+2t^2\cdot 0^2\right)$

= $-\frac{1}{2}\cdot 256+2t^2\cdot 16-\left(-\frac{1}{2}\cdot 0+2t^2\cdot 0\right)$

= $-128+32t^2-\left(0+0\right)$

= $32t^2-128+0$

= $32t^2-128$

Dieses Integral $32t^2-128$ muss nun gleich $72$ sein:

Der gesuchte t-Wert ist somit $\frac{5}{2}$ = 2,5.