$$\underset{3}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $$\underset{3}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(5\; -\; 3)\; \cdot \; <mn>2</mn>}}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $$\underset{5}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₃ = (8 - 5) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

Somit gilt:

$$\underset{3}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₂ + I₃ = $$\underset{3}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{5}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = 2 +6 = 8

= ${\left[-\frac{1}{2}{x}^2+3x\right]}_0^4$

$=$ $-\frac{1}{2}\cdot 4^2+3\cdot 4-\left(-\frac{1}{2}\cdot 0^2+3\cdot 0\right)$

= $-\frac{1}{2}\cdot 16+12-\left(-\frac{1}{2}\cdot 0+0\right)$

= $-8+12-\left(0+0\right)$

= $4+0$

= $4$

= ${\left[2\cdot \cos \left(x\right)-\frac{2}{5}{x}^5\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $2\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)-\frac{2}{5}\cdot {\left(\frac{3}{2}\pi \right)}^5-\left(2\cdot \cos \left(0\right)-\frac{2}{5}\cdot {\left(0\right)}^5\right)$

= $2\cdot 0-\frac{2}{5}\cdot {\left(\frac{3}{2}\pi \right)}^5-\left(2\cdot 1-\frac{2}{5}\cdot 0\right)$

= $0-\frac{2}{5}\cdot {\left(\frac{3}{2}\pi \right)}^5-\left(2+0\right)$

= $-\frac{243}{80}\cdot {\pi }^5-2$

= ${\left[\frac{1}{4}{\left(x-2\right)}^4\right]}_0^2$

$=$ $\frac{1}{4}\cdot {\left(2-2\right)}^4-\frac{1}{4}\cdot {\left(0-2\right)}^4$

= $\frac{1}{4}\cdot 0^4-\frac{1}{4}\cdot {\left(-2\right)}^4$

= $\frac{1}{4}\cdot 0-\frac{1}{4}\cdot 16$

= $0-4$

= $-4$

= ${\left[-3\cdot \sin \left(x\right)-3\cdot \cos \left(x\right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-3\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)-3\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)-\left(-3\cdot \sin \left(0\right)-3\cdot \cos \left(0\right)\right)$

= $-3\cdot \left(-1\right)-3\cdot 0-\left(-3\cdot 0-3\cdot 1\right)$

= $3+0-\left(0-3\right)$

= $3+3$

= $6$

= ${\left[-2e^{-x+1}\right]}_0^2$

$=$ $-2e^{-2+1}+2e^{-0+1}$

= $-2e^{-1}+2e^1$

= $-2e^{-1}+2e$

= ${\left[-\frac{3}{4}{x}^4+3t{x}^3\right]}_0^2$

$=$ $-\frac{3}{4}\cdot 2^4+3t\cdot 2^3-\left(-\frac{3}{4}\cdot 0^4+3t\cdot 0^3\right)$

= $-\frac{3}{4}\cdot 16+3t\cdot 8-\left(-\frac{3}{4}\cdot 0+3t\cdot 0\right)$

= $-12+24t-\left(0+0\right)$

= $24t-12+0$

= $24t-12$

Dieses Integral $24t-12$ muss nun gleich $24$ sein:

Der gesuchte t-Wert ist somit $\frac{3}{2}$ = 1,5.