$$\underset{0}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{\mathrm{(3\; -\; 0)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-9}}{2}$ = -4.5.

I₂ = $$\underset{3}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(5\; -\; 3)\; \cdot \; <mn>2</mn>}}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $$\underset{5}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₄ = $$\underset{7}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Trapezfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ $\frac{\mathrm{2\; +\; <mn>4</mn>}}{2}$ = 2 ⋅ 3 = 6.

Somit gilt:

$$\underset{0}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{3}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{5}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{7}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = -4.5 +2 +4 +6 = 7.5

= ${\left[-2x^2+3x\right]}_{-2}^{-1}$

$=$ $-2\cdot {\left(-1\right)}^2+3\cdot \left(-1\right)-\left(-2\cdot {\left(-2\right)}^2+3\cdot \left(-2\right)\right)$

= $-2\cdot 1-3-\left(-2\cdot 4-6\right)$

= $-2-3-\left(-8-6\right)$

= $-5-1·\left(-14\right)$

= $-5+14$

= $9$

= ${\left[\frac{5}{3}{x}^{-3}+\frac{5}{2}{e}^{-2x}\right]}_1^5$

= ${\left[\frac{5}{3x^3}+\frac{5}{2}{e}^{-2x}\right]}_1^5$

$=$ $\frac{5}{3\cdot 5^3}+\frac{5}{2}{e}^{-2\cdot 5}-\left(\frac{5}{3\cdot 1^3}+\frac{5}{2}{e}^{-2\cdot 1}\right)$

= $\frac{5}{3}\cdot \left(\frac{1}{125}\right)+\frac{5}{2}{e}^{-10}-\left(\frac{5}{3}\cdot 1+\frac{5}{2}{e}^{-2}\right)$

= $\frac{1}{75}+\frac{5}{2}{e}^{-10}-\left(\frac{5}{3}+\frac{5}{2}{e}^{-2}\right)$

= $\frac{5}{2}{e}^{-10}+\frac{1}{75}-\left(\frac{5}{2}{e}^{-2}+\frac{5}{3}\right)$

= $-\frac{5}{2}{e}^{-2}-1·\frac{5}{3}+\frac{5}{2}{e}^{-10}+\frac{1}{75}$

= $-\frac{5}{2}{e}^{-2}-\frac{5}{3}+\frac{5}{2}{e}^{-10}+\frac{1}{75}$

= $-\frac{5}{2}{e}^{-2}+\frac{5}{2}{e}^{-10}-\frac{5}{3}+\frac{1}{75}$

= $-\frac{5}{2}{e}^{-2}+\frac{5}{2}{e}^{-10}-\frac{124}{75}$

= ${\left[-e^{x-3}\right]}_0^3$

$=$ $-e^{3-3}+e^{0-3}$

= $-e^0+e^{-3}$

= $-1+e^{-3}$

= ${\left[2\cdot \sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $2\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)-\cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)-\left(2\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)-\cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $2\cdot \left(-1\right)-0-\left(2\cdot 1-0\right)$

= $-2+0-\left(2+0\right)$

= $-2-2$

= $-4$

= ${\left[\frac{1}{6}{\left(-2x+4\right)}^3-\frac{5}{2}{x}^2\right]}_1^4$

$=$ $\frac{1}{6}\cdot {\left(-2\cdot 4+4\right)}^3-\frac{5}{2}\cdot 4^2-\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(-2\cdot 1+4\right)}^3-\frac{5}{2}\cdot 1^2\right)$

= $\frac{1}{6}\cdot {\left(-8+4\right)}^3-\frac{5}{2}\cdot 16-\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(-2+4\right)}^3-\frac{5}{2}\cdot 1\right)$

= $\frac{1}{6}\cdot {\left(-4\right)}^3-40-\left(\frac{1}{6}\cdot 2^3-\frac{5}{2}\right)$

= $\frac{1}{6}\cdot \left(-64\right)-40-\left(\frac{1}{6}\cdot 8-\frac{5}{2}\right)$

= $-\frac{32}{3}-40-\left(\frac{4}{3}-\frac{5}{2}\right)$

= $-\frac{32}{3}-\frac{120}{3}-\left(\frac{8}{6}-\frac{15}{6}\right)$

= $-\frac{152}{3}-1·\left(-\frac{7}{6}\right)$

= $-\frac{152}{3}+\frac{7}{6}$

= $-\frac{99}{2}$

= ${\left[-\frac{3}{4}{x}^4+t{x}^3\right]}_0^4$

$=$ $-\frac{3}{4}\cdot 4^4+t\cdot 4^3-\left(-\frac{3}{4}\cdot 0^4+t\cdot 0^3\right)$

= $-\frac{3}{4}\cdot 256+t\cdot 64-\left(-\frac{3}{4}\cdot 0+t\cdot 0\right)$

= $-192+64t-\left(0+0\right)$

= $64t-192+0$

= $64t-192$

Dieses Integral $64t-192$ muss nun gleich $32$ sein:

Der gesuchte t-Wert ist somit $\frac{7}{2}$ = 3,5.