$$\underset{2}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $$\underset{2}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(5\; -\; 2)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-6}}{2}$ = -3.

I₃ = $$\underset{5}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{\mathrm{(7\; -\; 5)\; \cdot \; <mn>1</mn>}}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

Somit gilt:

$$\underset{2}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₂ + I₃ = $$\underset{2}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{5}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = -3 +1 = -2

= ${\left[\frac{1}{2}{x}^2+x\right]}_0^2$

$=$ $\frac{1}{2}\cdot 2^2+2-\left(\frac{1}{2}\cdot 0^2+0\right)$

= $\frac{1}{2}\cdot 4+2-\left(\frac{1}{2}\cdot 0+0\right)$

= $2+2-\left(0+0\right)$

= $4+0$

= $4$

= ${\left[-\frac{1}{2}{x}^{-1}+\frac{2}{3}{x}^3\right]}_2^6$

= ${\left[-\frac{1}{2x}+\frac{2}{3}{x}^3\right]}_2^6$

$=$ $-\frac{1}{2\cdot 6}+\frac{2}{3}\cdot 6^3-\left(-\frac{1}{2\cdot 2}+\frac{2}{3}\cdot 2^3\right)$

= $-\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)+\frac{2}{3}\cdot 216-\left(-\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{3}\cdot 8\right)$

= $-\frac{1}{12}+144-\left(-\frac{1}{4}+\frac{16}{3}\right)$

= $-\frac{1}{12}+\frac{1728}{12}-\left(-\frac{3}{12}+\frac{64}{12}\right)$

= $\frac{1727}{12}-1·\frac{61}{12}$

= $\frac{1727}{12}-\frac{61}{12}$

= $\frac{833}{6}$

= ${\left[-e^{-x+3}\right]}_1^4$

$=$ $-e^{-4+3}+e^{-1+3}$

= $-e^{-1}+e^2$

= ${\left[\frac{1}{8}{x}^4-\cos \left(x\right)\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $\frac{1}{8}\cdot {\left(\frac{1}{2}\pi \right)}^4-\cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)-\left(\frac{1}{8}\cdot {\left(0\right)}^4-\cos \left(0\right)\right)$

= $\frac{1}{8}\cdot {\left(\frac{1}{2}\pi \right)}^4-0-\left(\frac{1}{8}\cdot 0-1\right)$

= $\frac{1}{8}\cdot {\left(\frac{1}{2}\pi \right)}^4+0-\left(0-1\right)$

= $\frac{1}{128}\cdot {\pi }^4+1$

= ${\left[-3e^{-x+3}\right]}_1^2$

$=$ $-3e^{-2+3}+3e^{-1+3}$

= $-3e^1+3e^2$

= $-3e+3e^2$

= ${\left[-\frac{3}{4}{x}^4+t{x}^3\right]}_0^4$

$=$ $-\frac{3}{4}\cdot 4^4+t\cdot 4^3-\left(-\frac{3}{4}\cdot 0^4+t\cdot 0^3\right)$

= $-\frac{3}{4}\cdot 256+t\cdot 64-\left(-\frac{3}{4}\cdot 0+t\cdot 0\right)$

= $-192+64t-\left(0+0\right)$

= $64t-192+0$

= $64t-192$

Dieses Integral $64t-192$ muss nun gleich $-96$ sein:

Der gesuchte t-Wert ist somit $\frac{3}{2}$ = 1,5.