$$\underset{2}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $$\underset{2}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(5\; -\; 2)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-9}}{2}$ = -4.5.

I₃ = $$\underset{5}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₃ = (7 - 5) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

Somit gilt:

$$\underset{2}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₂ + I₃ = $$\underset{2}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{5}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = -4.5 -6 = -10.5

= ${\left[\frac{1}{2}{x}^2+4x\right]}_1^3$

$=$ $\frac{1}{2}\cdot 3^2+4\cdot 3-\left(\frac{1}{2}\cdot 1^2+4\cdot 1\right)$

= $\frac{1}{2}\cdot 9+12-\left(\frac{1}{2}\cdot 1+4\right)$

= $\frac{9}{2}+12-\left(\frac{1}{2}+4\right)$

= $\frac{9}{2}+\frac{24}{2}-\left(\frac{1}{2}+\frac{8}{2}\right)$

= $\frac{33}{2}-1·\frac{9}{2}$

= $\frac{33}{2}-\frac{9}{2}$

= $12$

= ${\left[x^{-3}-\frac{9}{2}\cdot \cos \left(x\right)\right]}_{\pi }^{2\pi }$

= ${\left[\frac{1}{x^3}-\frac{9}{2}\cdot \cos \left(x\right)\right]}_{\pi }^{2\pi }$

$=$ $\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^3}-\frac{9}{2}\cdot \cos \left(2\pi \right)-\left(\frac{1}{{\pi }^3}-\frac{9}{2}\cdot \cos \left(\pi \right)\right)$

= $\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^3}-\frac{9}{2}\cdot 1-\left(\frac{1}{{\pi }^3}-\frac{9}{2}\cdot \left(-1\right)\right)$

= $\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^3}-\frac{9}{2}-\left(\frac{1}{{\pi }^3}+\frac{9}{2}\right)$

= $-\frac{9}{2}+\frac{1}{8{\pi }^3}-\left(\frac{9}{2}+\frac{1}{{\pi }^3}\right)$

= $-\frac{9}{2}+\frac{1}{8{\pi }^3}-1·\frac{9}{2}-1·\frac{1}{{\pi }^3}$

= $-\frac{9}{2}+\frac{1}{8{\pi }^3}-\frac{9}{2}-\frac{1}{{\pi }^3}$

= $-\frac{9}{2}-\frac{9}{2}+\frac{1}{8{\pi }^3}-\frac{1}{{\pi }^3}$

= $-9-\frac{7}{8{\pi }^3}$

= ${\left[-\frac{3}{2}{e}^{-2x+3}\right]}_0^3$

$=$ $-\frac{3}{2}{e}^{-2\cdot 3+3}+\frac{3}{2}{e}^{-2\cdot 0+3}$

= $-\frac{3}{2}{e}^{-6+3}+\frac{3}{2}{e}^{0+3}$

= $-\frac{3}{2}{e}^{-3}+\frac{3}{2}{e}^3$

= ${\left[-7\cdot \sin \left(x\right)-x^3\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $-7\cdot \sin \left(\pi \right)-{\pi }^3-\left(-7\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)-{\left(\frac{1}{2}\pi \right)}^3\right)$

= $-7\cdot 0-{\pi }^3-\left(-7\cdot 1-{\left(\frac{1}{2}\pi \right)}^3\right)$

= $0-{\pi }^3-\left(-7-{\left(\frac{1}{2}\pi \right)}^3\right)$

= $-{\pi }^3-\left(-7-\frac{1}{8}\cdot {\pi }^3\right)$

= $-1·\left(-7\right)-1·\left(-\frac{1}{8}\cdot {\pi }^3\right)-{\pi }^3$

= $7+\frac{1}{8}\cdot {\pi }^3-{\pi }^3$

= $7-\frac{7}{8}\cdot {\pi }^3$

= ${\left[-e^{-3x+4}\right]}_1^3$

$=$ $-e^{-3\cdot 3+4}+e^{-3\cdot 1+4}$

= $-e^{-9+4}+e^{-3+4}$

= $-e^{-5}+e^1$

= $-e^{-5}+e$

= ${\left[-x^3+\frac{9}{2}t{x}^2\right]}_0^3$

$=$ $-3^3+\frac{9}{2}t\cdot 3^2-\left(-0^3+\frac{9}{2}t\cdot 0^2\right)$

= $-27+\frac{9}{2}t\cdot 9-\left(-0+\frac{9}{2}t\cdot 0\right)$

= $-27+\frac{81}{2}t-\left(0+0\right)$

= $-\frac{54}{2}+\frac{81}{2}t+0$

= $\frac{81}{2}t-27$

Dieses Integral $\frac{81}{2}t-27$ muss nun gleich $\frac{189}{2}$ sein:

Der gesuchte t-Wert ist somit $3$.