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Aufgabenbeispiele von Stammfunktionen

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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= x 3 .

Lösung einblenden

f(x)= x 3

F(x)= 1 4 x 4

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -3 x .

Lösung einblenden

f(x)= -3 x

= -3 x 1 2

=> F(x) = -2 x 3 2

F(x)= -2 ( x ) 3

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3⋅ cos( -x + 3 2 π) .

Lösung einblenden

f(x)= 3⋅ cos( -x + 3 2 π)

F(x)= -3⋅ sin( -x + 3 2 π)

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -4 x 2 -3 für die F(2) = 3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -4 x 2 -3

F(x)= - 4 3 x 3 -3 · x + c

= - 4 3 x 3 -3x + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= - 4 3 ⋅ 2 3 -3 · 2 + c

= - 4 3 ⋅8 -6 + c

= - 32 3 -6 + c

= - 32 3 - 18 3 + c

= - 50 3 + c

wegen F(2) = 3 gilt:

- 50 3 + c = 3 | + 50 3

c= 3 + 50 3 = 9 3 + 50 3 = 59 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 4 3 x 3 -3x + 59 3

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -4 x für die F(9) = -5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -4 x

= -4 x 1 2

=> F(x) = - 8 3 x 3 2

F(x)= - 8 3 ( x ) 3 + c

x=9 in F(x) eingesetzt:

F(9)= - 8 3 ( 9 ) 3 + c

= - 8 3 ⋅ 3 3 + c

= - 8 3 ⋅27 + c

= -72 + c

wegen F(9) = -5 gilt:

-72 + c = -5 | +72

c= -5 +72 = 67

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 8 3 ( x ) 3 +67

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - e -2x +1 für die F(0) = 2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - e -2x +1

F(x)= 1 2 e -2x +1 + c

x=0 in F(x) eingesetzt:

F(0)= 1 2 e -2⋅0 +1 + c

= 1 2 e 0 +1 + c

= 1 2 e 1 + c

= 1 2 e + c

= 1 2 c + 2 2 c

= 3 2 c

wegen F(0) = 2 gilt:

1 2 e 1 + c = 2 | - 1 2 e 1

c= 2 - 1 2 e 1 = 2 - 1 2 e

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 2 e -2x +1 +2 - 1 2 e

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x 4 für die F(1) = -1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 4

= 5 x -4

=> F(x) = - 5 3 x -3

F(x)= - 5 3 x 3 + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= - 5 3⋅ 1 3 + c

= - 5 3 ⋅1 + c

= - 5 3 + c

wegen F(1) = -1 gilt:

- 5 3 + c = -1 | + 5 3

c= -1 + 5 3 = - 3 3 + 5 3 = 2 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 5 3 x 3 + 2 3

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -2⋅ cos( x + π) für die F( 0 ) = 5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -2⋅ cos( x + π)

F(x)= -2⋅ sin( x + π) + c

x= 0 in F(x) eingesetzt:

F( 0 )= -2⋅ sin( 0 + π) + c

= -2⋅ sin(π) + c

= -2⋅0 + c

= 0 + c

= c

wegen F( 0 ) = 5 gilt:

0 + c = 5 |0

c= 5 +0 = 5

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= -2⋅ sin( x + π) +5