Aufgabenbeispiele von Stammfunktionen

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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - x 2 +4x .

Lösung einblenden

f(x)= - x 2 +4x

F(x)= - 1 3 x 3 +2 x 2

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 x .

Lösung einblenden

f(x)= 3 x

= 3 x 1 2

=> F(x) = 2 x 3 2

F(x)= 2 ( x ) 3

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 2 ( -x +2 ) 3 .

Lösung einblenden

f(x)= - 2 ( -x +2 ) 3

= -2 ( -x +2 ) -3

=> F(x) = - ( -x +2 ) -2

F(x)= - 1 ( -x +2 ) 2

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3x für die F(2) = 3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 3x

F(x)= 3 2 x 2 + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= 3 2 2 2 + c

= 3 2 4 + c

= 6 + c

wegen F(2) = 3 gilt:

6 + c = 3 | -6

c= 3 -6 = -3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 3 2 x 2 -3

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 x 4 für die F(1) = -5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 3 x 4

= 3 x -4

=> F(x) = - x -3

F(x)= - 1 x 3 + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= - 1 1 3 + c

= -1 + c

wegen F(1) = -5 gilt:

-1 + c = -5 | +1

c= -5 +1 = -4

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 1 x 3 -4

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - sin( -x + π) für die F( 1 2 π ) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - sin( -x + π)

F(x)= - cos( -x + π) + c

x= 1 2 π in F(x) eingesetzt:

F( 1 2 π )= - cos( -( 1 2 π ) + π) + c

= - cos( 1 2 π) + c

= -0 + c

= c

wegen F( 1 2 π ) = -2 gilt:

0 + c = -2 |0

c= -2 +0 = -2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - cos( -x + π) -2

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -5 x für die F(16) = -1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -5 x

= -5 x 1 2

=> F(x) = - 10 3 x 3 2

F(x)= - 10 3 ( x ) 3 + c

x=16 in F(x) eingesetzt:

F(16)= - 10 3 ( 16 ) 3 + c

= - 10 3 4 3 + c

= - 10 3 64 + c

= - 640 3 + c

wegen F(16) = -1 gilt:

- 640 3 + c = -1 | + 640 3

c= -1 + 640 3 = - 3 3 + 640 3 = 637 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 10 3 ( x ) 3 + 637 3

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 1 ( -x +3 ) 2 für die F(4) = -4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 1 ( -x +3 ) 2

= ( -x +3 ) -2

=> F(x) = ( -x +3 ) -1

F(x)= 1 -x +3 + c

x=4 in F(x) eingesetzt:

F(4)= 1 -4 +3 + c

= 1 ( -1 ) + c

= ( -1 ) + c

wegen F(4) = -4 gilt:

-1 + c = -4 | +1

c= -4 +1 = -3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 -x +3 -3