Aufgabenbeispiele von Stammfunktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -4 x 2 -1 .

Lösung einblenden

f(x)= -4 x 2 -1

F(x)= - 4 3 x 3 -1 · x

= - 4 3 x 3 - x

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 x 4 .

Lösung einblenden

f(x)= 2 x 4

= 2 x -4

=> F(x) = - 2 3 x -3

F(x)= - 2 3 x 3

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -2 sin( 3x - π) .

Lösung einblenden

f(x)= -2 sin( 3x - π)

F(x)= 2 3 cos( 3x - π)

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -5 x 2 - x für die F(-2) = -5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= -5 x 2 - x

F(x)= - 5 3 x 3 - 1 2 x 2 + c

x=-2 in F(x) eingesetzt:

F(-2)= - 5 3 ( -2 ) 3 - 1 2 ( -2 ) 2 + c

= - 5 3 ( -8 ) - 1 2 4 + c

= 40 3 -2 + c

= 40 3 - 6 3 + c

= 34 3 + c

wegen F(-2) = -5 gilt:

34 3 + c = -5 | - 34 3

c= -5 - 34 3 = - 15 3 - 34 3 = - 49 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 5 3 x 3 - 1 2 x 2 - 49 3

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= x für die F(25) = 4 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= x

= x 1 2

=> F(x) = 2 3 x 3 2

F(x)= 2 3 ( x ) 3 + c

x=25 in F(x) eingesetzt:

F(25)= 2 3 ( 25 ) 3 + c

= 2 3 5 3 + c

= 2 3 125 + c

= 250 3 + c

wegen F(25) = 4 gilt:

250 3 + c = 4 | - 250 3

c= 4 - 250 3 = 12 3 - 250 3 = - 238 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 2 3 ( x ) 3 - 238 3

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 cos( -x - 3 2 π) für die F( 0 ) = 2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 3 cos( -x - 3 2 π)

F(x)= -3 sin( -x - 3 2 π) + c

x= 0 in F(x) eingesetzt:

F( 0 )= -3 sin( -( 0 ) - 3 2 π) + c

= -3 sin( - 3 2 π) + c

= -31 + c

= -3 + c

wegen F( 0 ) = 2 gilt:

-3 + c = 2 | +3

c= 2 +3 = 5

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= -3 sin( -x - 3 2 π) +5

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 1 x für die F(-1) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 1 x

= - x -1

F(x)= - ln( | x | ) + c

x=-1 in F(x) eingesetzt:

F(-1)= - ln( | 1 | ) + c

= c

wegen F(-1) = -2 gilt:

- ln( 1 ) + c = -2 | + ln( 1 )

c= -2 + ln( 1 ) = -2 +0 = -2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - ln( | x | ) -2

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 ( -x +1 ) 3 -2 für die F(2) = 3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 3 ( -x +1 ) 3 -2

F(x)= - 3 4 ( -x +1 ) 4 -2 · x + c

= - 3 4 ( -x +1 ) 4 -2x + c

x=2 in F(x) eingesetzt:

F(2)= - 3 4 ( -2 +1 ) 4 -2 · 2 + c

= - 3 4 ( -1 ) 4 -4 + c

= - 3 4 1 -4 + c

= - 3 4 -4 + c

= - 3 4 - 16 4 + c

= - 19 4 + c

wegen F(2) = 3 gilt:

- 19 4 + c = 3 | + 19 4

c= 3 + 19 4 = 12 4 + 19 4 = 31 4

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 3 4 ( -x +1 ) 4 -2x + 31 4