$\text{f(x)}=$ $4x+1$

$\text{F(x)}=$ $2x^2+1·x$

= $2x^2+x$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{x^4}$

= $-5x^{-4}$

=> F(x) = $\frac{5}{3}{x}^{-3}$

$\text{F(x)}=$ $\frac{5}{3x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(x+\frac{1}{2}\pi \right)$

$\text{F(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x+\frac{1}{2}\pi \right)$

$\text{f(x)}=$ $-2x^3-5$

$\text{F(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^4-5·x+c$

= $-\frac{1}{2}{x}^4-5x+c$

x=1 in F(x) eingesetzt:

$\text{F(1)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 1^4-5·1+c$

= $-\frac{1}{2}\cdot 1-5+c$

= $-\frac{1}{2}-5+c$

= $-\frac{1}{2}-\frac{10}{2}+c$

= $-\frac{11}{2}+c$

wegen F(1) = -4 gilt:

$-\frac{11}{2}$ + c = -4 | $+\frac{11}{2}$

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$\text{F(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^4-5x+\frac{3}{2}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{x^4}$

= $-3x^{-4}$

=> F(x) = $x^{-3}$

$\text{F(x)}=$ $\frac{1}{x^3}+c$

x=-1 in F(x) eingesetzt:

$\text{F(-1)}=$ $\frac{1}{{\left(-1\right)}^3}+c$

= $\left(-1\right)+c$

wegen F(-1) = -4 gilt:

$-1$ + c = -4 | $+1$

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$\text{F(x)}=$ $\frac{1}{x^3}-3$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(-3x+4\right)}^2$

$\text{F(x)}=$ $-\frac{2}{9}{\left(-3x+4\right)}^3+c$

x=1 in F(x) eingesetzt:

$\text{F(1)}=$ $-\frac{2}{9}\cdot {\left(-3\cdot 1+4\right)}^3+c$

= $-\frac{2}{9}\cdot {\left(-3+4\right)}^3+c$

= $-\frac{2}{9}\cdot 1^3+c$

= $-\frac{2}{9}\cdot 1+c$

= $-\frac{2}{9}+c$

wegen F(1) = -1 gilt:

$-\frac{2}{9}$ + c = -1 | $+\frac{2}{9}$

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$\text{F(x)}=$ $-\frac{2}{9}{\left(-3x+4\right)}^3-\frac{7}{9}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x}$

= $x^{-1}$

$\text{F(x)}=$ $\ln \left(\left|$ x$\right|\right)+c$

x=1 in F(x) eingesetzt:

$\text{F(1)}=$ $\ln \left(\left|$ 1$\right|\right)+c$

= $c$

wegen F(1) = -4 gilt:

$\ln \left(1\right)$ + c = -4 | $-\ln \left(1\right)$

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$\text{F(x)}=$ $\ln \left(\left|$ x$\right|\right)-4$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(-2x-\frac{3}{2}\pi \right)$

$\text{F(x)}=$ $\frac{3}{2}\cdot \cos \left(-2x-\frac{3}{2}\pi \right)+c$

x= $\frac{1}{2}\pi$ in F(x) eingesetzt:

$\text{F( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $\frac{3}{2}\cdot \cos \left(-2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)-\frac{3}{2}\pi \right)+c$

= $\frac{3}{2}\cdot \cos \left(-\frac{5}{2}\pi \right)+c$

= $\frac{3}{2}\cdot 0+c$

= $0+c$

= $c$

wegen F( $\frac{1}{2}\pi$) = 4 gilt:

0 + c = 4 |0

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$\text{F(x)}=$ $\frac{3}{2}\cdot \cos \left(-2x-\frac{3}{2}\pi \right)+4$