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Aufgabenbeispiele von Stammfunktionen

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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -5 x 3 .

Lösung einblenden

f(x)= -5 x 3

F(x)= - 5 4 x 4

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 1 x 3 .

Lösung einblenden

f(x)= 1 x 3

= x -3

=> F(x) = - 1 2 x -2

F(x)= - 1 2 x 2

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= ( -2x +5 ) 3 +1 .

Lösung einblenden

f(x)= ( -2x +5 ) 3 +1

F(x)= - 1 8 ( -2x +5 ) 4 + 1 · x

= - 1 8 ( -2x +5 ) 4 + x

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x 2 für die F(1) = -5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 2

F(x)= 5 3 x 3 + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= 5 3 ⋅ 1 3 + c

= 5 3 ⋅1 + c

= 5 3 + c

wegen F(1) = -5 gilt:

5 3 + c = -5 | - 5 3

c= -5 - 5 3 = - 15 3 - 5 3 = - 20 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 5 3 x 3 - 20 3

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 x 4 für die F(1) = 2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 3 x 4

= 3 x -4

=> F(x) = - x -3

F(x)= - 1 x 3 + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= - 1 1 3 + c

= -1 + c

wegen F(1) = 2 gilt:

-1 + c = 2 | +1

c= 2 +1 = 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - 1 x 3 +3

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3⋅ cos( x - 1 2 π) für die F( 1 2 π ) = -5 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 3⋅ cos( x - 1 2 π)

F(x)= 3⋅ sin( x - 1 2 π) + c

x= 1 2 π in F(x) eingesetzt:

F( 1 2 π )= 3⋅ sin( 1 2 π - 1 2 π) + c

= 3⋅ sin(0) + c

= 3⋅0 + c

= 0 + c

= c

wegen F( 1 2 π ) = -5 gilt:

0 + c = -5 |0

c= -5 +0 = -5

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 3⋅ sin( x - 1 2 π) -5

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 5 x für die F(1) = 2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 5 x

= -5 x - 1 2

=> F(x) = -10 x 1 2

F(x)= -10 x + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= -10 1 + c

= -10⋅1 + c

= -10 + c

wegen F(1) = 2 gilt:

-10 + c = 2 | +10

c= 2 +10 = 12

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= -10 x +12

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 3 e x -1 für die F(0) = -1 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 3 e x -1

F(x)= 3 e x -1 + c

x=0 in F(x) eingesetzt:

F(0)= 3 e 0 -1 + c

= 3 e -1 + c

wegen F(0) = -1 gilt:

3 e -1 + c = -1 | -3 e -1

c= -1 -3 e -1

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 3 e x -1 -3 e -1 -1