$\text{f(x)}=$ $x^2+1$

$\text{F(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3+1·x$

= $\frac{1}{3}{x}^3+x$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{x^2}$

= $-3x^{-2}$

=> F(x) = $3x^{-1}$

$\text{F(x)}=$ $\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt{-3x+5}$

= $3{\left(-3x+5\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> F(x) = $-\frac{2}{3}{\left(-3x+5\right)}^{\frac{3}{2}}$

$\text{F(x)}=$ $-\frac{2}{3}{\left(\sqrt{-3x+5}\right)}^3$

$\text{f(x)}=$ $-3x-4$

$\text{F(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2-4·x+c$

= $-\frac{3}{2}{x}^2-4x+c$

x=3 in F(x) eingesetzt:

$\text{F(3)}=$ $-\frac{3}{2}\cdot 3^2-4·3+c$

= $-\frac{3}{2}\cdot 9-12+c$

= $-\frac{27}{2}-12+c$

= $-\frac{27}{2}-\frac{24}{2}+c$

= $-\frac{51}{2}+c$

wegen F(3) = 5 gilt:

$-\frac{51}{2}$ + c = 5 | $+\frac{51}{2}$

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$\text{F(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2-4x+\frac{61}{2}$

$\text{f(x)}=$ $4\sqrt{x}$

= $4x^{\frac{1}{2}}$

=> F(x) = $\frac{8}{3}{x}^{\frac{3}{2}}$

$\text{F(x)}=$ $\frac{8}{3}{\left(\sqrt{x}\right)}^3+c$

x=16 in F(x) eingesetzt:

$\text{F(16)}=$ $\frac{8}{3}{\left(\sqrt{16}\right)}^3+c$

= $\frac{8}{3}\cdot 4^3+c$

= $\frac{8}{3}\cdot 64+c$

= $\frac{512}{3}+c$

wegen F(16) = 1 gilt:

$\frac{512}{3}$ + c = 1 | $-\frac{512}{3}$

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$\text{F(x)}=$ $\frac{8}{3}{\left(\sqrt{x}\right)}^3-\frac{509}{3}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{2x-1}$

$\text{F(x)}=$ $-\frac{3}{2}{e}^{2x-1}+c$

x=0 in F(x) eingesetzt:

$\text{F(0)}=$ $-\frac{3}{2}{e}^{2\cdot 0-1}+c$

= $-\frac{3}{2}{e}^{0-1}+c$

= $-\frac{3}{2}{e}^{-1}+c$

wegen F(0) = -3 gilt:

$-\frac{3}{2}{e}^{-1}$ + c = -3 | $+\frac{3}{2}{e}^{-1}$

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$\text{F(x)}=$ $-\frac{3}{2}{e}^{2x-1}+\frac{3}{2}{e}^{-1}-3$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{x}$

= $-4x^{-1}$

$\text{F(x)}=$ $-4\ln \left(\left|$ x$\right|\right)+c$

x=-4 in F(x) eingesetzt:

$\text{F(-4)}=$ $-4\ln \left(\left|$ 4$\right|\right)+c$

wegen F(-4) = 1 gilt:

$-4\ln \left(4\right)$ + c = 1 | $+4\ln \left(4\right)$

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$\text{F(x)}=$ $-4\ln \left(\left|$ x$\right|\right)+4\ln \left(4\right)+1$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \cos (2x+\pi )$

$\text{F(x)}=$ $\frac{3}{2}\cdot \sin (2x+\pi )+c$

x= $0$ in F(x) eingesetzt:

$\text{F( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>)}=$ $\frac{3}{2}\cdot \sin (2\cdot \left(0\right)+\pi )+c$

= $\frac{3}{2}\cdot \sin \left(\pi \right)+c$

= $\frac{3}{2}\cdot 0+c$

= $0+c$

= $c$

wegen F( $0$) = 5 gilt:

0 + c = 5 |0

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$\text{F(x)}=$ $\frac{3}{2}\cdot \sin (2x+\pi )+5$