$\text{f(x)}=$ $5x^3+1$

$\text{F(x)}=$ $\frac{5}{4}{x}^4+1·x$

= $\frac{5}{4}{x}^4+x$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{x}}$

= $x^{-\frac{1}{2}}$

=> F(x) = $2x^{\frac{1}{2}}$

$\text{F(x)}=$ $2\sqrt{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(-x+\frac{1}{2}\pi \right)$

$\text{F(x)}=$ $\cos \left(-x+\frac{1}{2}\pi \right)$

$\text{f(x)}=$ $-3x^3-3x^2$

$\text{F(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^4-x^3+c$

x=-1 in F(x) eingesetzt:

$\text{F(-1)}=$ $-\frac{3}{4}\cdot {\left(-1\right)}^4-{\left(-1\right)}^3+c$

= $-\frac{3}{4}\cdot 1-\left(-1\right)+c$

= $-\frac{3}{4}+1+c$

= $-\frac{3}{4}+\frac{4}{4}+c$

= $\frac{1}{4}+c$

wegen F(-1) = 4 gilt:

$\frac{1}{4}$ + c = 4 | $-\frac{1}{4}$

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$\text{F(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^4-x^3+\frac{15}{4}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{x^2}$

= $-x^{-2}$

=> F(x) = $x^{-1}$

$\text{F(x)}=$ $\frac{1}{x}+c$

x=3 in F(x) eingesetzt:

$\text{F(3)}=$ $\frac{1}{3}+c$

= $\frac{1}{3}+c$

wegen F(3) = 3 gilt:

$\frac{1}{3}$ + c = 3 | $-\frac{1}{3}$

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$\text{F(x)}=$ $\frac{1}{x}+\frac{8}{3}$

$\text{f(x)}=$ $-\sin (-3x-\pi )$

$\text{F(x)}=$ $-\frac{1}{3}\cdot \cos (-3x-\pi )+c$

x= $\frac{1}{2}\pi$ in F(x) eingesetzt:

$\text{F( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{3}\cdot \cos (-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)-\pi )+c$

= $-\frac{1}{3}\cdot \cos \left(-\frac{5}{2}\pi \right)+c$

= $-\frac{1}{3}\cdot 0+c$

= $0+c$

= $c$

wegen F( $\frac{1}{2}\pi$) = 4 gilt:

0 + c = 4 |0

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$\text{F(x)}=$ $-\frac{1}{3}\cdot \cos (-3x-\pi )+4$

$\text{f(x)}=$ $-4\sqrt{x}$

= $-4x^{\frac{1}{2}}$

=> F(x) = $-\frac{8}{3}{x}^{\frac{3}{2}}$

$\text{F(x)}=$ $-\frac{8}{3}{\left(\sqrt{x}\right)}^3+c$

x=16 in F(x) eingesetzt:

$\text{F(16)}=$ $-\frac{8}{3}{\left(\sqrt{16}\right)}^3+c$

= $-\frac{8}{3}\cdot 4^3+c$

= $-\frac{8}{3}\cdot 64+c$

= $-\frac{512}{3}+c$

wegen F(16) = -1 gilt:

$-\frac{512}{3}$ + c = -1 | $+\frac{512}{3}$

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$\text{F(x)}=$ $-\frac{8}{3}{\left(\sqrt{x}\right)}^3+\frac{509}{3}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(x-3\right)}^2$

$\text{F(x)}=$ $-{\left(x-3\right)}^3+c$

x=2 in F(x) eingesetzt:

$\text{F(2)}=$ $-{\left(2-3\right)}^3+c$

= $-{\left(-1\right)}^3+c$

= $-\left(-1\right)+c$

= $1+c$

wegen F(2) = -2 gilt:

$1$ + c = -2 | $-1$

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$\text{F(x)}=$ $-{\left(x-3\right)}^3-3$