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Aufgabenbeispiele von Stammfunktionen

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beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x 2 +5 .

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 2 +5

F(x)= 5 3 x 3 + 5 · x

= 5 3 x 3 +5x

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 5 x 4 .

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 4

= 5 x -4

=> F(x) = - 5 3 x -3

F(x)= - 5 3 x 3

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= -2 ( 3x -3 ) 2 .

Lösung einblenden

f(x)= -2 ( 3x -3 ) 2

F(x)= - 2 9 ( 3x -3 ) 3

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 4 x 3 -2 für die F(1) = -3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 4 x 3 -2

F(x)= x 4 -2 · x + c

= x 4 -2x + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= 1 4 -2 · 1 + c

= 1 -2 + c

= -1 + c

wegen F(1) = -3 gilt:

-1 + c = -3 | +1

c= -3 +1 = -2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= x 4 -2x -2

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 1 x 2 für die F(1) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 1 x 2

= - x -2

=> F(x) = x -1

F(x)= 1 x + c

x=1 in F(x) eingesetzt:

F(1)= 1 1 + c

= 1 + c

wegen F(1) = -2 gilt:

1 + c = -2 | -1

c= -2 -1 = -3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 x -3

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 1 ( x -2 ) 2 für die F(4) = -3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 1 ( x -2 ) 2

= - ( x -2 ) -2

=> F(x) = ( x -2 ) -1

F(x)= 1 x -2 + c

x=4 in F(x) eingesetzt:

F(4)= 1 4 -2 + c

= 1 2 + c

= 1 2 + c

wegen F(4) = -3 gilt:

1 2 + c = -3 | - 1 2

c= -3 - 1 2 = - 6 2 - 1 2 = - 7 2

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 1 x -2 - 7 2

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= 2 x für die F(16) = 3 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= 2 x

= 2 x 1 2

=> F(x) = 4 3 x 3 2

F(x)= 4 3 ( x ) 3 + c

x=16 in F(x) eingesetzt:

F(16)= 4 3 ( 16 ) 3 + c

= 4 3 ⋅ 4 3 + c

= 4 3 ⋅64 + c

= 256 3 + c

wegen F(16) = 3 gilt:

256 3 + c = 3 | - 256 3

c= 3 - 256 3 = 9 3 - 256 3 = - 247 3

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= 4 3 ( x ) 3 - 247 3

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x)= - 1 x -3 für die F(5) = -2 gilt.

Lösung einblenden

f(x)= - 1 x -3

= - ( x -3 ) -1

F(x)= - ln( | x -3 | ) + c

x=5 in F(x) eingesetzt:

F(5)= - ln( | 2 | ) + c

wegen F(5) = -2 gilt:

- ln( 2 ) + c = -2 | + ln( 2 )

c= -2 + ln( 2 )

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

F(x)= - ln( | x -3 | ) + ln( 2 ) -2