$\text{f(x)}=$ $4x^3+1$

$\text{F(x)}=$ $x^4+1·x$

= $x^4+x$

$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{\sqrt{x}}$

= $4x^{-\frac{1}{2}}$

=> F(x) = $8x^{\frac{1}{2}}$

$\text{F(x)}=$ $8\sqrt{x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{{\left(-2x+3\right)}^2}$

= ${\left(-2x+3\right)}^{-2}$

=> F(x) = $\frac{1}{2}{\left(-2x+3\right)}^{-1}$

$\text{F(x)}=$ $\frac{1}{2\left(-2x+3\right)}$

$\text{f(x)}=$ $3x^2-2x$

$\text{F(x)}=$ $x^3-x^2+c$

x=1 in F(x) eingesetzt:

$\text{F(1)}=$ $1^3-1^2+c$

= $1-1+c$

= $0+c$

wegen F(1) = 5 gilt:

0 + c = 5 |0

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$\text{F(x)}=$ $x^3-x^2+5$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{x^4}$

= $-4x^{-4}$

=> F(x) = $\frac{4}{3}{x}^{-3}$

$\text{F(x)}=$ $\frac{4}{3x^3}+c$

x=-3 in F(x) eingesetzt:

$\text{F(-3)}=$ $\frac{4}{3{\left(-3\right)}^3}+c$

= $\frac{4}{3}\cdot \left(-\frac{1}{27}\right)+c$

= $-\frac{4}{81}+c$

wegen F(-3) = 5 gilt:

$-\frac{4}{81}$ + c = 5 | $+\frac{4}{81}$

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$\text{F(x)}=$ $\frac{4}{3x^3}+\frac{409}{81}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(x-1\right)}^2$

$\text{F(x)}=$ $-\frac{2}{3}{\left(x-1\right)}^3+c$

x=0 in F(x) eingesetzt:

$\text{F(0)}=$ $-\frac{2}{3}\cdot {\left(0-1\right)}^3+c$

= $-\frac{2}{3}\cdot {\left(-1\right)}^3+c$

= $-\frac{2}{3}\cdot \left(-1\right)+c$

= $\frac{2}{3}+c$

wegen F(0) = 1 gilt:

$\frac{2}{3}$ + c = 1 | $-\frac{2}{3}$

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$\text{F(x)}=$ $-\frac{2}{3}{\left(x-1\right)}^3+\frac{1}{3}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{x^4}$

= $-4x^{-4}$

=> F(x) = $\frac{4}{3}{x}^{-3}$

$\text{F(x)}=$ $\frac{4}{3x^3}+c$

x=2 in F(x) eingesetzt:

$\text{F(2)}=$ $\frac{4}{3\cdot 2^3}+c$

= $\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)+c$

= $\frac{1}{6}+c$

wegen F(2) = 5 gilt:

$\frac{1}{6}$ + c = 5 | $-\frac{1}{6}$

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$\text{F(x)}=$ $\frac{4}{3x^3}+\frac{29}{6}$

$\text{f(x)}=$ $-\sin \left(x-\frac{1}{2}\pi \right)$

$\text{F(x)}=$ $\cos \left(x-\frac{1}{2}\pi \right)+c$

x= $\frac{1}{2}\pi$ in F(x) eingesetzt:

$\text{F( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $\cos \left(\frac{1}{2}\pi -\frac{1}{2}\pi \right)+c$

= $\cos \left(0\right)+c$

= $1+c$

wegen F( $\frac{1}{2}\pi$) = -1 gilt:

$1$ + c = -1 | $-1$

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$\text{F(x)}=$ $\cos \left(x-\frac{1}{2}\pi \right)-2$