Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} - 5 x$ .

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} - 5 x$

$F(x) =$ $x^{3} - \frac{5}{2} x^{2}$

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{x^{4}}$ .

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{x^{4}}$

= $- x^{- 4}$

=> F(x) = $\frac{1}{3} x^{- 3}$

$F(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3}}$

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π)$ .

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π)$

$F(x) =$ $3 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π)$

best. Stammfunktion (einfach)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} - 3 x$ für die F(1) = 5 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} - 3 x$

$F(x) =$ $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + c$

x=1 in F(x) eingesetzt:

$F(1) =$ $1^{3} - \frac{3}{2} \cdot 1^{2} + c$

= $1 - \frac{3}{2} \cdot 1 + c$

= $1 - \frac{3}{2} + c$

= $\frac{2}{2} - \frac{3}{2} + c$

= $- \frac{1}{2} + c$

wegen F(1) = 5 gilt:

$- \frac{1}{2}$ + c = 5 | $+ \frac{1}{2}$

c =

5 + \frac{1}{2}

=

\frac{10}{2} + \frac{1}{2}

=

\frac{11}{2}

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{11}{2}$

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{x^{4}}$ für die F(-2) = 2 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{x^{4}}$

= $- x^{- 4}$

=> F(x) = $\frac{1}{3} x^{- 3}$

$F(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3}} + c$

x=-2 in F(x) eingesetzt:

$F(-2) =$ $\frac{1}{3 {(- 2)}^{3}} + c$

= $\frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{8}) + c$

= $- \frac{1}{24} + c$

wegen F(-2) = 2 gilt:

$- \frac{1}{24}$ + c = 2 | $+ \frac{1}{24}$

c =

2 + \frac{1}{24}

=

\frac{48}{24} + \frac{1}{24}

=

\frac{49}{24}

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3}} + \frac{49}{24}$

best. Stammfktn (verkettet) BF

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{- 3 x + 4}}$ für die F( $- 7$ ) = 5 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{- 3 x + 4}}$

= $- {(- 3 x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$

=> F(x) = $\frac{2}{3} {(- 3 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$

$F(x) =$ $\frac{2}{3} \sqrt{- 3 x + 4} + c$

x= $- 7$ in F(x) eingesetzt:

$F(- 7) =$ $\frac{2}{3} \sqrt{- 3 \cdot (- 7) + 4} + c$

= $\frac{2}{3} \sqrt{21 + 4} + c$

= $\frac{2}{3} \sqrt{25} + c$

= $\frac{2}{3} \cdot 5 + c$

= $\frac{10}{3} + c$

wegen F( $- 7$ ) = 5 gilt:

$\frac{10}{3}$ + c = 5 | $- \frac{10}{3}$

c =

5 - \frac{10}{3}

=

\frac{15}{3} - \frac{10}{3}

=

\frac{5}{3}

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $\frac{2}{3} \sqrt{- 3 x + 4} + \frac{5}{3}$

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{x}$ für die F(-3) = 2 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{x}$

= $- x^{- 1}$

$F(x) =$ $- \ln (| x |) + c$

x=-3 in F(x) eingesetzt:

$F(-3) =$ $- \ln (| 3 |) + c$

wegen F(-3) = 2 gilt:

$- \ln (3)$ + c = 2 | $+ \ln (3)$

c =

2 + \ln (3)

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $- \ln (| x |) + \ln (3) + 2$

best. Stammfunktionen (verkettet)

Beispiel:

Bestimme eine Stammfunktion von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x - 3}$ für die F(0) = 2 gilt.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x - 3}$

$F(x) =$ $- 3 e^{x - 3} + c$

x=0 in F(x) eingesetzt:

$F(0) =$ $- 3 e^{0 - 3} + c$

= $- 3 e^{- 3} + c$

wegen F(0) = 2 gilt:

$- 3 e^{- 3}$ + c = 2 | $+ 3 e^{- 3}$

c =

2 + 3 e^{- 3}

also gilt für die gesuchte Stammfunktion:

$F(x) =$ $- 3 e^{x - 3} + 3 e^{- 3} + 2$

Aufgabenbeispiele von Stammfunktionen

beliebige Stammfkt'n (ganzrational)

beliebige Stammfkt'n (rationale Potenz)

beliebige Stammfkt'n (verkettet)

best. Stammfunktion (einfach)

best. Stammfktn (ration. Potenzen) BF

best. Stammfktn (verkettet) BF

best. Stammfunktion (rationalen Potenzen)

best. Stammfunktionen (verkettet)