Aufgabenbeispiele von Änderungsrate -> Bestand

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Integrale graphisch BF

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Im Schaubild sieht man den Graph der Zuflussrate von Wasser in einen Wassertank (f(t) in m³/min, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn). Wie viel Wasser ist in den ersten 10 Minuten in den Tank hinein geflossen?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (Wasser in einen Wassertank) zwischen 0 und 10 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I1 (von 0 bis 3): Dreiecksfläche I1 = (3 - 0) ⋅ 5 2 = 15 2 = 7.5.

I2 (von 3 bis 4): Rechtecksfläche I2 = (4 - 3) ⋅ 5 = 1 ⋅ 5 = 5.

I3 (von 4 bis 7): Trapezfläche I3 = (7 - 4) ⋅ 5 + 6 2 = 3 ⋅ 5.5 = 16.5.

I4 (von 7 bis 10): Rechtecksfläche I4 = (10 - 7) ⋅ 6 = 3 ⋅ 6 = 18.

Für den Zuwachs des Bestands (Wasser in einen Wassertank) zwischen 0 und 10 gilt somit:

Iges = 7.5 +5 +16.5 +18 = 47

Integrale graphisch BF (mit Startwert)

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den Graph der Geschwindigkeit einer Modelleisenbahn (f(t) in cm/s, t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn). Negative Geschwindigkeiten bedeuten, dass die Lok rückwärts fährt. Bei Beobachtungsbeginn ist die Lok nach Verlassen des Bahnhofs 25 cm vom Bahnhof entfernt. Wie weit (in cm) ist die Modelleisenbahn nach t=7 Sekunden vom Bahnhof entfernt?

Lösung einblenden

Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 7 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I1 (von 0 bis 3): Dreiecksfläche I1 = (3 - 0) ⋅ 4 2 = 12 2 = 6.

I2 (von 3 bis 5): Dreiecksfläche I2 = (5 - 3) ⋅ ( - 1 ) 2 = -2 2 = -1.

I3 (von 5 bis 7): Rechtecksfläche I3 = (7 - 5) ⋅ ( - 1 ) = 2 ⋅ ( - 1 ) = -2.

Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 7 gilt somit:

Iges = 6 -1 -2 = 3

Da zu Begin ja bereits 25 cm vorhanden waren, sind es nun nach 7 s
I7 = 25 cm +3 cm = 28 cm .

Integrale graphisch BF (mit Endwert)

Beispiel:

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Bei einem Festival soll die Ankunftsrate durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Wie viele Personen wären nach diesem Modell bereits zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge auf dem Festivalgelände gewesen, wenn nach 10 Sekunden 68 Personen anwesend sind?

Lösung einblenden

Den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 10 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).

Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:

I1 (von 0 bis 3): Rechtecksfläche I1 = (3 - 0) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 6.

I2 (von 3 bis 5): Dreiecksfläche I2 = (5 - 3) ⋅ 2 2 = 4 2 = 2.

I3 (von 5 bis 8): keine Fläche in diesem Abschnitt, also I = 0.

I4 (von 8 bis 10): Dreiecksfläche I4 = (10 - 8) ⋅ 6 2 = 12 2 = 6.

Für den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 10 gilt somit:

Iges = 6 +2 +0 +6 = 14

Da ja nach 10 s 68 Personen vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=10 insgesamt 14 Personen dazu kam, müssen es zu Beginn
Istart = 68 Personen - 14 Personen = 54 Personen gewesen sein.

Min. und Maximum bei graph. Integral

Beispiel:

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Bei einem Festival soll die Ankunftsrate bzw. die Austrittsrate (bei negativen Funktionswerten) der Besucher durch die Funktion f näherungsweise beschrieben werden (f(t) in Personen/Sekunde, t in Sekunden nach Öffnung der Eingänge). Im Schaubild sieht man den Graph von f. Zum Zeitpunkt der Öffnung der Eingänge sind bereits 28 Personen auf dem Festivalgelände. Bestimme die maximale und die minimale Anzahl an Personen im abgebildeten Zeitraum zwischen t=0 und t=9 Sekunden.

Lösung einblenden

Im ersten Teil zwischen t=0 und t=2 nimmt der Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) ausschließlich ab, und zwar um:

IAbnahme =

I1 (von 0 bis 2): Dreiecksfläche I1 = (2 - 0) ⋅ ( - 4 ) 2 = -8 2 = -4.

Somit nimmt der Bestand bis t=2 um -4 ab.

Weil danach der Bestand wieder ständig zunimmt, ist zum Zeitpunkt t=2 der minimale Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) erreicht mit:
Bmin = 28 Personen -4 Personen = 24 Personen.

Die anschließende Zunahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:

I2 (von 2 bis 4): Dreiecksfläche I2 = (4 - 2) ⋅ 4 2 = 8 2 = 4.

I3 (von 4 bis 6): Rechtecksfläche I3 = (6 - 4) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 = 8.

I4 (von 6 bis 9): Trapezfläche I4 = (9 - 6) ⋅ 4 + 2 2 = 3 ⋅ 3 = 9.

Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) von Bend = 24 Personen +21 Personen = 45 Personen.

Da dies mehr ist als zu Beginn der Beobachtung (28 Personen), ist dies der maximale Bestand(Personen auf dem Festivalgelände):
Bmax = 45 Personen