Aufgabenbeispiele von Änderungsrate -> Bestand
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Integrale graphisch BF
Beispiel:
Den Zuwachs des Bestands zwischen 0 und 8 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).
Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:
I1 (von 0 bis 3):
Trapezfläche I1 = (3 - 0) ⋅
= 3 ⋅
I2 (von 3 bis 6):
Rechtecksfläche I2 = (6 - 3) ⋅
I3 (von 6 bis 8):
Trapezfläche I3 = (8 - 6) ⋅
= 2 ⋅
Für den Zuwachs des Bestands zwischen 0 und 8 gilt somit:
Iges = 13.5
Integrale graphisch BF (mit Startwert)
Beispiel:
Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 9 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).
Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:
I1 (von 0 bis 3):
Rechtecksfläche I1 = (3 - 0) ⋅
I2 (von 3 bis 5): Dreiecksfläche I2 = = = 4.
I3 (von 5 bis 7): Dreiecksfläche I3 = = = -1.
I4 (von 7 bis 9):
Rechtecksfläche I4 = (9 - 7) ⋅
Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Wasser im Wassertank) zwischen 0 und 9 gilt somit:
Iges = 12
Da zu Begin ja bereits 48 m³ vorhanden waren, sind es nun nach 9 min
I9 = 48 m³
Integrale graphisch BF (mit Endwert)
Beispiel:
Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 7 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).
Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:
I1 (von 0 bis 2):
Rechtecksfläche I1 = (2 - 0) ⋅
I2 (von 2 bis 5): Dreiecksfläche I2 = = = 6.
I3 (von 5 bis 7): Dreiecksfläche I3 = = = -3.
Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 7 gilt somit:
Iges = 8
Da ja nach 7 s 73 cm vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=7 insgesamt 11 cm dazu kam,
müssen es zu Beginn
Istart =
73 cm -
Min. und Maximum bei graph. Integral
Beispiel:
Im ersten Teil zwischen t=0 und t=3 nimmt der Bestand (Wasser im Wassertank) ausschließlich ab, und zwar um:
IAbnahme =
I1 (von 0 bis 3): Dreiecksfläche I1 = = = -3.
Somit nimmt der Bestand bis t=3 um -3 ab.
Weil danach der Bestand wieder ständig zunimmt, ist zum Zeitpunkt t=3 der minimale Bestand (Wasser im Wassertank) erreicht mit:
Bmin = 29 m³
Die anschließende Zunahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:
I2 (von 3 bis 6): Dreiecksfläche I2 = = = 4.5.
I3 (von 6 bis 9):
Rechtecksfläche I3 = (9 - 6) ⋅
Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Wasser im Wassertank) von Bend = 26 m³
Da dies mehr ist als zu Beginn der Beobachtung (29 m³), ist dies der maximale Bestand(Wasser im Wassertank):
Bmax = 39.5 m³
