Aufgabenbeispiele von Änderungsrate -> Bestand
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Integrale graphisch BF
Beispiel:
Den Zuwachs des Bestands (Wasser in einen Wassertank) zwischen 0 und 10 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).
Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:
I1 (von 0 bis 3): Dreiecksfläche I1 = = = 7.5.
I2 (von 3 bis 4):
Rechtecksfläche I2 = (4 - 3) ⋅
I3 (von 4 bis 7):
Trapezfläche I3 = (7 - 4) ⋅
= 3 ⋅
I4 (von 7 bis 10):
Rechtecksfläche I4 = (10 - 7) ⋅
Für den Zuwachs des Bestands (Wasser in einen Wassertank) zwischen 0 und 10 gilt somit:
Iges = 7.5
Integrale graphisch BF (mit Startwert)
Beispiel:
Den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 7 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).
Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:
I1 (von 0 bis 3): Dreiecksfläche I1 = = = 6.
I2 (von 3 bis 5): Dreiecksfläche I2 = = = -1.
I3 (von 5 bis 7):
Rechtecksfläche I3 = (7 - 5) ⋅
Für den Zuwachs (bzw. die Abnahme) des Bestands (Entfernung der Lok vom Bahnhof) zwischen 0 und 7 gilt somit:
Iges = 6
Da zu Begin ja bereits 25 cm vorhanden waren, sind es nun nach 7 s
I7 = 25 cm
Integrale graphisch BF (mit Endwert)
Beispiel:
Den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 10 können wir durch den orientierten (mit Vorzeichen behafteten) Inhalt der Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse ablesen (bzw. berechnen).
Dazu unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogrammen und ggf. Dreiecke:
I1 (von 0 bis 3):
Rechtecksfläche I1 = (3 - 0) ⋅
I2 (von 3 bis 5): Dreiecksfläche I2 = = = 2.
I3 (von 5 bis 8): keine Fläche in diesem Abschnitt, also I = 0.
I4 (von 8 bis 10): Dreiecksfläche I4 = = = 6.
Für den Zuwachs des Bestands (Personen auf dem Festivalgelände) zwischen 0 und 10 gilt somit:
Iges = 6
Da ja nach 10 s 68 Personen vorhanden sind, und zwischen t=0 und t=10 insgesamt 14 Personen dazu kam,
müssen es zu Beginn
Istart =
68 Personen -
Min. und Maximum bei graph. Integral
Beispiel:
Im ersten Teil zwischen t=0 und t=2 nimmt der Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) ausschließlich ab, und zwar um:
IAbnahme =
I1 (von 0 bis 2): Dreiecksfläche I1 = = = -4.
Somit nimmt der Bestand bis t=2 um -4 ab.
Weil danach der Bestand wieder ständig zunimmt, ist zum Zeitpunkt t=2 der minimale Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) erreicht mit:
Bmin = 28 Personen
Die anschließende Zunahme lässt sich wieder über die Dreiecks-, Rechtecks- bzw. Trapezflächen berechnnen:
I2 (von 2 bis 4): Dreiecksfläche I2 = = = 4.
I3 (von 4 bis 6):
Rechtecksfläche I3 = (6 - 4) ⋅
I4 (von 6 bis 9):
Trapezfläche I4 = (9 - 6) ⋅
= 3 ⋅
Damit ergibt sich am Ende des Beobachtungszeitraums ein Bestand (Personen auf dem Festivalgelände) von Bend = 24 Personen
Da dies mehr ist als zu Beginn der Beobachtung (28 Personen), ist dies der maximale Bestand(Personen auf dem Festivalgelände):
Bmax = 45 Personen