Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten (also die beiden Seiten, die am rechten Winkel anliegen) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

6² + 8² = b²

36 + 64 = b²

100 = b² | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

10 = b

Die gesuchte Länge ist somit b = 10 mm.

Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

11² + a² = 61²

121 + a² = 3721 | - 121

a² = 3600 | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

a = 60

Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten (also die beiden Seiten, die am rechten Winkel anliegen) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

64² + 63² = b²

4096 + 3969 = b²

8065 = b² | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

89.81 ≈ b

Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten (also die beiden Seiten, die am rechten Winkel anliegen) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

64² + 63² = c²

4096 + 3969 = c²

8065 = c² | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

89.81 ≈ c

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

49 + A = 10²

49 + A = 100 | - 49

A = 51

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = 51 cm².

Als erstes berechnen wir die Länge der anderen Kathete:

Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

55² + b² = 73²

3025 + b² = 5329 | - 3025

b² = 2304 | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

b = 48

Da im rechtwinkligen Dreieck ja immer die eine Kathete gleichzeitig die Höhe auf der andere Kathete ist, kann man den Flächeninhalt ganz einfach berechnen als:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 48 m ⋅ 55 m

also A = 1320 m²

Im vorliegenden gleichschenkligen Dreieck teilt die Höhe das Dreieck in zwei kongruente Hälften. Bei diesen beiden Teildreiecken ist demnach also jeweils die untere waagrechte Seite 5 mm lang.

In einem dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die fehlende Strecke a berechnen.

5² + 6² = a²

25 + 36 = a²

61 = a² | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

a = $\sqrt{\mathrm{61}}$ ≈ 7.81

Die gesuchte Länge ist somit a ≈ 7.81 mm.

Im vorliegenden gleichschenkligen Dreieck teilt die Höhe das Dreieck in zwei kongruente Hälften. Bei diesen beiden Teildreiecken ist demnach also jeweils die untere waagrechte Seite 3.5 cm lang.

In einem dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die fehlende Strecke h berechnen.

3.5² + h² = 12²

12.25 + h² = 144 | - 12.25

h² = 131.75 | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

h = $\sqrt{\mathrm{131.75}}$ ≈ 11.48

Die gesuchte Länge ist somit h ≈ 11.48 cm.

Für den Flächeninhalt im Dreieck gilt: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ c ⋅ h_c

In unserem Fall also:

28 = $\frac{1}{2}$ ⋅ 8 ⋅ h = 4 ⋅ h |:4

7 = h

Wenn wir jetzt nur das rechte Teildreieck anschauen, können wir mit dem Satz des Pythagoras die Länge der beiden gleichlangen Schenkel a berechnen:

a² = 4² + 7²

a² = 16 + 49

a² = 65| $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

a = $\sqrt{\mathrm{65}}$ ≈ 8.06

Somit gilt für den Umfang U ≈ 8.06 cm + 8.06 cm + 8 cm = 24.12 cm

Wenn wir die beiden Seitenlängen des Rechtecks a und b nennen, gilt für den Umfang:

I: U=2⋅a + 2⋅b

Außerdem können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die Länge der Diagonalen eines Rechtecks in Abhängigkeit von a und b ausdrücken. Dabei gilt:

II: a² + b² = d²

Konkret in dieser Aufgabe bedeutet das:

I: 246=2⋅a + 2⋅b | :2

II: a² + b² = 87²

vereinfacht

I: 123=a + b

II: a² + b² = 7569

Wenn wir nun die erste Gleichung nach b auflösen erhalten wir

I: b = 123 - a

II: a² + b² = 7569

Jetzt setzen wir das b in Gleichung I in die Gleichung II ein:

II: a² + (123 - a)² = 7569

Durch Ausmultiplizieren mit der binomischen Formel erhalten wir:

$a^2+a^2-246a+15129$	=	$7569$
$2a^2-246a+15129$	=	$7569$	| $-7569$

$2a^2-246a+7560$ = 0 |:2

$a^2-123a+3780$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

a_1,2 = $\frac{+123\pm \sqrt{{\left(-123\right)}^2-4·1·3780}}{2\cdot 1}$

a_1,2 = $\frac{+123\pm \sqrt{15129-15120}}{2}$

a_1,2 = $\frac{+123\pm \sqrt{9}}{2}$

a₁ = $\frac{123+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>123</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{126}{2}$ = $63$

a₂ = $\frac{123-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>123</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{120}{2}$ = $60$

Man kann erkennen, dass die Summe der beiden Lösungen gerade wieder den halben Umfang ergibt (vergleiche Gleichung I oben)

(I) 123 = 63 + 60

Das bedeutet, dass die beiden Lösungen gerade die beiden gesuchten Seitenlängen des Rechtecks sind.

Jetzt ist der Flächeninhalt des Rechtecks leicht zu berechnnen:

A = a ⋅ b = 63 cm ⋅ 60 cm = 3780 cm²

Wie man in der Skizze rechts gut erkennen kann, lässt sich der Abstand zwischen zwei Punkten als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

Dabei ist die Länge der waagrechten Kathete gerade die Differenz der x-Werte der beiden Punkte:
dx = 2 - ( - 2 ) = 4

Und die Länge der senkrechten Kathete ist die Differenz der y-Werte der beiden Punkte:
dy = 4 - ( - 5 ) = 9

Jetzt können wir den Satz des Pythagoras anwenden:

d² = 4² + 9²

d² = 16 + 81

d² = 97

d = $\sqrt{\mathrm{97}}$ ≈ 9.85

Für den Abstand der beiden Punkte gilt also: d ≈ 9.85

Im ersten Dreieck gilt:

8² + k1² = 10²

64 + k1² = 100 |-64

k1² = 36 | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

k1 ≈ 6

Im zweiten Dreieck gilt:

8² + k2² = 15²

64 + k2² = 225 |-64

k2² = 161 | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

k2 ≈ 12.69

Beide Strecken zusammen ergeben somit:
d = k1 + k2 ≈ 18.69m