Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten (also die beiden Seiten, die am rechten Winkel anliegen) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

4² + 3² = a²

16 + 9 = a²

25 = a² | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

5 = a

Die gesuchte Länge ist somit a = 5 cm.

Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

11² + c² = 61²

121 + c² = 3721 | - 121

c² = 3600 | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

c = 60

Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

42² + c² = 64²

1764 + c² = 4096 | - 1764

c² = 2332 | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

c ≈ 48.29

Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

56² + c² = 71²

3136 + c² = 5041 | - 3136

c² = 1905 | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

c ≈ 43.65

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

36 + 9² = A

36 + 81 = A

117 = A

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = 117 mm².

Als erstes berechnen wir die Länge der anderen Kathete:

Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

11² + b² = 61²

121 + b² = 3721 | - 121

b² = 3600 | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

b = 60

Da im rechtwinkligen Dreieck ja immer die eine Kathete gleichzeitig die Höhe auf der andere Kathete ist, kann man den Flächeninhalt ganz einfach berechnen als:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 11 mm ⋅ 60 mm

also A = 330 mm²

Im vorliegenden Rechteck sind teilt die rote Diagonale das Rechteck in zwei (kongruente) Dreiecke. In einem dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die fehlende Strecke a berechnen.

4² + a² = 7²

16 + a² = 49 | - 16

a² = 33 | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

a = $\sqrt{\mathrm{33}}$ ≈ 5.74

Die gesuchte Länge ist somit a ≈ 5.74 mm.

Im vorliegenden gleichschenkligen Dreieck teilt die Höhe das Dreieck in zwei kongruente Hälften. Bei diesen beiden Teildreiecken ist demnach also jeweils die untere waagrechte Seite 3 mm lang.

In einem dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die fehlende Strecke a berechnen.

3² + 9² = a²

9 + 81 = a²

90 = a² | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

a = $\sqrt{\mathrm{90}}$ ≈ 9.49

Die gesuchte Länge ist somit a ≈ 9.49 mm.

Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras können wir die Länge der Diagonalen eines Quadrats in Abhängigkeit von der Kantenlänge a ausdrücken. Dabei gilt:

a² + a² = d²

2a² = d² | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

also gilt d= $\sqrt{\mathrm{2a²}}$ = $\sqrt{2}$⋅ a

oder eben a =

Somit gilt in unserem Fall: a = ≈ 4.95

Für den Umfang gilt dann: U = 4 ⋅ a ≈ 4 ⋅ 4.95 cm ≈ 19.8 cm

Wenn wir die beiden Seitenlängen des Rechtecks a und b nennen, gilt für den Umfang:

I: U=2⋅a + 2⋅b

Außerdem können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die Länge der Diagonalen eines Rechtecks in Abhängigkeit von a und b ausdrücken. Dabei gilt:

II: a² + b² = d²

Konkret in dieser Aufgabe bedeutet das:

I: 158=2⋅a + 2⋅b | :2

II: a² + b² = 65²

vereinfacht

I: 79=a + b

II: a² + b² = 4225

Wenn wir nun die erste Gleichung nach b auflösen erhalten wir

I: b = 79 - a

II: a² + b² = 4225

Jetzt setzen wir das b in Gleichung I in die Gleichung II ein:

II: a² + (79 - a)² = 4225

Durch Ausmultiplizieren mit der binomischen Formel erhalten wir:

$a^2+a^2-158a+6241$	=	$4225$
$2a^2-158a+6241$	=	$4225$	| $-4225$

$2a^2-158a+2016$ = 0 |:2

$a^2-79a+1008$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

a_1,2 = $\frac{+79\pm \sqrt{{\left(-79\right)}^2-4·1·1008}}{2\cdot 1}$

a_1,2 = $\frac{+79\pm \sqrt{6241-4032}}{2}$

a_1,2 = $\frac{+79\pm \sqrt{2209}}{2}$

a₁ = $\frac{79+\sqrt{2209}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>79</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>47</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{126}{2}$ = $63$

a₂ = $\frac{79-\sqrt{2209}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>79</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>47</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{32}{2}$ = $16$

Man kann erkennen, dass die Summe der beiden Lösungen gerade wieder den halben Umfang ergibt (vergleiche Gleichung I oben)

(I) 79 = 63 + 16

Das bedeutet, dass die beiden Lösungen gerade die beiden gesuchten Seitenlängen des Rechtecks sind.

Jetzt ist der Flächeninhalt des Rechtecks leicht zu berechnnen:

A = a ⋅ b = 63 m ⋅ 16 m = 1008 m²

Wie man in der Skizze rechts gut erkennen kann, lässt sich der Abstand zwischen zwei Punkten als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

Dabei ist die Länge der waagrechten Kathete gerade die Differenz der x-Werte der beiden Punkte:
dx = 1 - ( - 5 ) = 6

Und die Länge der senkrechten Kathete ist die Differenz der y-Werte der beiden Punkte:
dy = 3 - 1 = 2

Jetzt können wir den Satz des Pythagoras anwenden:

d² = 6² + 2²

d² = 36 + 4

d² = 40

d = $\sqrt{\mathrm{40}}$ ≈ 6.32

Für den Abstand der beiden Punkte gilt also: d ≈ 6.32

Es gilt:

4.5² + 6² =h²

20.25 +36 = h²

56.25 = h² | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

7.5 ≈ h

Um die gesuchte Fläche zu berechnen, muss nun zunächst diese Hypotenuse mit 8m multipliziert werden.

Somit erhalten wir für eine Hälfte der gesuchten Fläche: A_H ≈ 60m²

Für die Gesamtfläche gilt dann:
A ≈ 120m²