Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 56, weil ja 7 ⋅ 8 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 60 - 56 = 4.

Somit gilt: 60 mod 8 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 96, weil ja 16 ⋅ 6 = 96 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 99 - 96 = 3.

Somit gilt: 99 mod 6 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 3 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 50, z.B. 48 = 8 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 3 mod 6 sein, also addieren wir noch 3 auf die 48 und erhalten so 51.

Somit gilt: 51 ≡ 99 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16000 - 400) mod 4 ≡ (16000 mod 4 - 400 mod 4) mod 4.

16000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16000 = 16000+0 = 4 ⋅ 4000 +0.

400 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 400 = 400+0 = 4 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(16000 - 400) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 44) mod 6 ≡ (99 mod 6 ⋅ 44 mod 6) mod 6.

99 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 16 ⋅ 6 + 3 ist.

44 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 7 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 44) mod 6 ≡ (3 ⋅ 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 177 aus, ob zufällig 177 mod m = 227 mod m gilt:

m=2: 177 mod 2 = 1 = 1 = 227 mod 2

m=3: 177 mod 3 = 0 ≠ 2 = 227 mod 3

m=4: 177 mod 4 = 1 ≠ 3 = 227 mod 4

m=5: 177 mod 5 = 2 = 2 = 227 mod 5

m=6: 177 mod 6 = 3 ≠ 5 = 227 mod 6

m=7: 177 mod 7 = 2 ≠ 3 = 227 mod 7

m=8: 177 mod 8 = 1 ≠ 3 = 227 mod 8

m=9: 177 mod 9 = 6 ≠ 2 = 227 mod 9

m=10: 177 mod 10 = 7 = 7 = 227 mod 10

m=11: 177 mod 11 = 1 ≠ 7 = 227 mod 11

m=12: 177 mod 12 = 9 ≠ 11 = 227 mod 12

m=13: 177 mod 13 = 8 ≠ 6 = 227 mod 13

m=14: 177 mod 14 = 9 ≠ 3 = 227 mod 14

m=15: 177 mod 15 = 12 ≠ 2 = 227 mod 15

m=16: 177 mod 16 = 1 ≠ 3 = 227 mod 16

m=17: 177 mod 17 = 7 ≠ 6 = 227 mod 17

m=18: 177 mod 18 = 15 ≠ 11 = 227 mod 18

m=19: 177 mod 19 = 6 ≠ 18 = 227 mod 19

m=20: 177 mod 20 = 17 ≠ 7 = 227 mod 20

m=21: 177 mod 21 = 9 ≠ 17 = 227 mod 21

m=22: 177 mod 22 = 1 ≠ 7 = 227 mod 22

m=23: 177 mod 23 = 16 ≠ 20 = 227 mod 23

m=24: 177 mod 24 = 9 ≠ 11 = 227 mod 24

m=25: 177 mod 25 = 2 = 2 = 227 mod 25

m=26: 177 mod 26 = 21 ≠ 19 = 227 mod 26

m=27: 177 mod 27 = 15 ≠ 11 = 227 mod 27

m=28: 177 mod 28 = 9 ≠ 3 = 227 mod 28

m=29: 177 mod 29 = 3 ≠ 24 = 227 mod 29

m=30: 177 mod 30 = 27 ≠ 17 = 227 mod 30

m=31: 177 mod 31 = 22 ≠ 10 = 227 mod 31

m=32: 177 mod 32 = 17 ≠ 3 = 227 mod 32

m=33: 177 mod 33 = 12 ≠ 29 = 227 mod 33

m=34: 177 mod 34 = 7 ≠ 23 = 227 mod 34

m=35: 177 mod 35 = 2 ≠ 17 = 227 mod 35

m=36: 177 mod 36 = 33 ≠ 11 = 227 mod 36

m=37: 177 mod 37 = 29 ≠ 5 = 227 mod 37

m=38: 177 mod 38 = 25 ≠ 37 = 227 mod 38

m=39: 177 mod 39 = 21 ≠ 32 = 227 mod 39

m=40: 177 mod 40 = 17 ≠ 27 = 227 mod 40

m=41: 177 mod 41 = 13 ≠ 22 = 227 mod 41

m=42: 177 mod 42 = 9 ≠ 17 = 227 mod 42

m=43: 177 mod 43 = 5 ≠ 12 = 227 mod 43

m=44: 177 mod 44 = 1 ≠ 7 = 227 mod 44

m=45: 177 mod 45 = 42 ≠ 2 = 227 mod 45

m=46: 177 mod 46 = 39 ≠ 43 = 227 mod 46

m=47: 177 mod 47 = 36 ≠ 39 = 227 mod 47

m=48: 177 mod 48 = 33 ≠ 35 = 227 mod 48

m=49: 177 mod 49 = 30 ≠ 31 = 227 mod 49

m=50: 177 mod 50 = 27 = 27 = 227 mod 50

m=51: 177 mod 51 = 24 ≠ 23 = 227 mod 51

m=52: 177 mod 52 = 21 ≠ 19 = 227 mod 52

m=53: 177 mod 53 = 18 ≠ 15 = 227 mod 53

m=54: 177 mod 54 = 15 ≠ 11 = 227 mod 54

m=55: 177 mod 55 = 12 ≠ 7 = 227 mod 55

m=56: 177 mod 56 = 9 ≠ 3 = 227 mod 56

m=57: 177 mod 57 = 6 ≠ 56 = 227 mod 57

m=58: 177 mod 58 = 3 ≠ 53 = 227 mod 58

m=59: 177 mod 59 = 0 ≠ 50 = 227 mod 59

m=60: 177 mod 60 = 57 ≠ 47 = 227 mod 60

m=61: 177 mod 61 = 55 ≠ 44 = 227 mod 61

m=62: 177 mod 62 = 53 ≠ 41 = 227 mod 62

m=63: 177 mod 63 = 51 ≠ 38 = 227 mod 63

m=64: 177 mod 64 = 49 ≠ 35 = 227 mod 64

m=65: 177 mod 65 = 47 ≠ 32 = 227 mod 65

m=66: 177 mod 66 = 45 ≠ 29 = 227 mod 66

m=67: 177 mod 67 = 43 ≠ 26 = 227 mod 67

m=68: 177 mod 68 = 41 ≠ 23 = 227 mod 68

m=69: 177 mod 69 = 39 ≠ 20 = 227 mod 69

m=70: 177 mod 70 = 37 ≠ 17 = 227 mod 70

m=71: 177 mod 71 = 35 ≠ 14 = 227 mod 71

m=72: 177 mod 72 = 33 ≠ 11 = 227 mod 72

m=73: 177 mod 73 = 31 ≠ 8 = 227 mod 73

m=74: 177 mod 74 = 29 ≠ 5 = 227 mod 74

m=75: 177 mod 75 = 27 ≠ 2 = 227 mod 75

m=76: 177 mod 76 = 25 ≠ 75 = 227 mod 76

m=77: 177 mod 77 = 23 ≠ 73 = 227 mod 77

m=78: 177 mod 78 = 21 ≠ 71 = 227 mod 78

m=79: 177 mod 79 = 19 ≠ 69 = 227 mod 79

m=80: 177 mod 80 = 17 ≠ 67 = 227 mod 80

m=81: 177 mod 81 = 15 ≠ 65 = 227 mod 81

m=82: 177 mod 82 = 13 ≠ 63 = 227 mod 82

m=83: 177 mod 83 = 11 ≠ 61 = 227 mod 83

m=84: 177 mod 84 = 9 ≠ 59 = 227 mod 84

m=85: 177 mod 85 = 7 ≠ 57 = 227 mod 85

m=86: 177 mod 86 = 5 ≠ 55 = 227 mod 86

m=87: 177 mod 87 = 3 ≠ 53 = 227 mod 87

m=88: 177 mod 88 = 1 ≠ 51 = 227 mod 88

m=89: 177 mod 89 = 88 ≠ 49 = 227 mod 89

m=90: 177 mod 90 = 87 ≠ 47 = 227 mod 90

m=91: 177 mod 91 = 86 ≠ 45 = 227 mod 91

m=92: 177 mod 92 = 85 ≠ 43 = 227 mod 92

m=93: 177 mod 93 = 84 ≠ 41 = 227 mod 93

m=94: 177 mod 94 = 83 ≠ 39 = 227 mod 94

m=95: 177 mod 95 = 82 ≠ 37 = 227 mod 95

m=96: 177 mod 96 = 81 ≠ 35 = 227 mod 96

m=97: 177 mod 97 = 80 ≠ 33 = 227 mod 97

m=98: 177 mod 98 = 79 ≠ 31 = 227 mod 98

m=99: 177 mod 99 = 78 ≠ 29 = 227 mod 99

m=100: 177 mod 100 = 77 ≠ 27 = 227 mod 100

m=101: 177 mod 101 = 76 ≠ 25 = 227 mod 101

m=102: 177 mod 102 = 75 ≠ 23 = 227 mod 102

m=103: 177 mod 103 = 74 ≠ 21 = 227 mod 103

m=104: 177 mod 104 = 73 ≠ 19 = 227 mod 104

m=105: 177 mod 105 = 72 ≠ 17 = 227 mod 105

m=106: 177 mod 106 = 71 ≠ 15 = 227 mod 106

m=107: 177 mod 107 = 70 ≠ 13 = 227 mod 107

m=108: 177 mod 108 = 69 ≠ 11 = 227 mod 108

m=109: 177 mod 109 = 68 ≠ 9 = 227 mod 109

m=110: 177 mod 110 = 67 ≠ 7 = 227 mod 110

m=111: 177 mod 111 = 66 ≠ 5 = 227 mod 111

m=112: 177 mod 112 = 65 ≠ 3 = 227 mod 112

m=113: 177 mod 113 = 64 ≠ 1 = 227 mod 113

m=114: 177 mod 114 = 63 ≠ 113 = 227 mod 114

m=115: 177 mod 115 = 62 ≠ 112 = 227 mod 115

m=116: 177 mod 116 = 61 ≠ 111 = 227 mod 116

m=117: 177 mod 117 = 60 ≠ 110 = 227 mod 117

m=118: 177 mod 118 = 59 ≠ 109 = 227 mod 118

m=119: 177 mod 119 = 58 ≠ 108 = 227 mod 119

m=120: 177 mod 120 = 57 ≠ 107 = 227 mod 120

m=121: 177 mod 121 = 56 ≠ 106 = 227 mod 121

m=122: 177 mod 122 = 55 ≠ 105 = 227 mod 122

m=123: 177 mod 123 = 54 ≠ 104 = 227 mod 123

m=124: 177 mod 124 = 53 ≠ 103 = 227 mod 124

m=125: 177 mod 125 = 52 ≠ 102 = 227 mod 125

m=126: 177 mod 126 = 51 ≠ 101 = 227 mod 126

m=127: 177 mod 127 = 50 ≠ 100 = 227 mod 127

m=128: 177 mod 128 = 49 ≠ 99 = 227 mod 128

m=129: 177 mod 129 = 48 ≠ 98 = 227 mod 129

m=130: 177 mod 130 = 47 ≠ 97 = 227 mod 130

m=131: 177 mod 131 = 46 ≠ 96 = 227 mod 131

m=132: 177 mod 132 = 45 ≠ 95 = 227 mod 132

m=133: 177 mod 133 = 44 ≠ 94 = 227 mod 133

m=134: 177 mod 134 = 43 ≠ 93 = 227 mod 134

m=135: 177 mod 135 = 42 ≠ 92 = 227 mod 135

m=136: 177 mod 136 = 41 ≠ 91 = 227 mod 136

m=137: 177 mod 137 = 40 ≠ 90 = 227 mod 137

m=138: 177 mod 138 = 39 ≠ 89 = 227 mod 138

m=139: 177 mod 139 = 38 ≠ 88 = 227 mod 139

m=140: 177 mod 140 = 37 ≠ 87 = 227 mod 140

m=141: 177 mod 141 = 36 ≠ 86 = 227 mod 141

m=142: 177 mod 142 = 35 ≠ 85 = 227 mod 142

m=143: 177 mod 143 = 34 ≠ 84 = 227 mod 143

m=144: 177 mod 144 = 33 ≠ 83 = 227 mod 144

m=145: 177 mod 145 = 32 ≠ 82 = 227 mod 145

m=146: 177 mod 146 = 31 ≠ 81 = 227 mod 146

m=147: 177 mod 147 = 30 ≠ 80 = 227 mod 147

m=148: 177 mod 148 = 29 ≠ 79 = 227 mod 148

m=149: 177 mod 149 = 28 ≠ 78 = 227 mod 149

m=150: 177 mod 150 = 27 ≠ 77 = 227 mod 150

m=151: 177 mod 151 = 26 ≠ 76 = 227 mod 151

m=152: 177 mod 152 = 25 ≠ 75 = 227 mod 152

m=153: 177 mod 153 = 24 ≠ 74 = 227 mod 153

m=154: 177 mod 154 = 23 ≠ 73 = 227 mod 154

m=155: 177 mod 155 = 22 ≠ 72 = 227 mod 155

m=156: 177 mod 156 = 21 ≠ 71 = 227 mod 156

m=157: 177 mod 157 = 20 ≠ 70 = 227 mod 157

m=158: 177 mod 158 = 19 ≠ 69 = 227 mod 158

m=159: 177 mod 159 = 18 ≠ 68 = 227 mod 159

m=160: 177 mod 160 = 17 ≠ 67 = 227 mod 160

m=161: 177 mod 161 = 16 ≠ 66 = 227 mod 161

m=162: 177 mod 162 = 15 ≠ 65 = 227 mod 162

m=163: 177 mod 163 = 14 ≠ 64 = 227 mod 163

m=164: 177 mod 164 = 13 ≠ 63 = 227 mod 164

m=165: 177 mod 165 = 12 ≠ 62 = 227 mod 165

m=166: 177 mod 166 = 11 ≠ 61 = 227 mod 166

m=167: 177 mod 167 = 10 ≠ 60 = 227 mod 167

m=168: 177 mod 168 = 9 ≠ 59 = 227 mod 168

m=169: 177 mod 169 = 8 ≠ 58 = 227 mod 169

m=170: 177 mod 170 = 7 ≠ 57 = 227 mod 170

m=171: 177 mod 171 = 6 ≠ 56 = 227 mod 171

m=172: 177 mod 172 = 5 ≠ 55 = 227 mod 172

m=173: 177 mod 173 = 4 ≠ 54 = 227 mod 173

m=174: 177 mod 174 = 3 ≠ 53 = 227 mod 174

m=175: 177 mod 175 = 2 ≠ 52 = 227 mod 175

m=176: 177 mod 176 = 1 ≠ 51 = 227 mod 176

m=177: 177 mod 177 = 0 ≠ 50 = 227 mod 177

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (227 - 177) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50