Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 80, weil ja 10 ⋅ 8 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 87 - 80 = 7.

Somit gilt: 87 mod 8 ≡ 7.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 21, weil ja 3 ⋅ 7 = 21 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 25 - 21 = 4.

Somit gilt: 25 mod 7 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 4 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 50, z.B. 49 = 7 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 4 mod 7 sein, also addieren wir noch 4 auf die 49 und erhalten so 53.

Somit gilt: 53 ≡ 25 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2100 + 276) mod 7 ≡ (2100 mod 7 + 276 mod 7) mod 7.

2100 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2100 = 2100+0 = 7 ⋅ 300 +0.

276 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 276 = 280-4 = 7 ⋅ 40 -4 = 7 ⋅ 40 - 7 + 3.

Somit gilt:

(2100 + 276) mod 7 ≡ (0 + 3) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 75) mod 9 ≡ (91 mod 9 ⋅ 75 mod 9) mod 9.

91 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 10 ⋅ 9 + 1 ist.

75 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 8 ⋅ 9 + 3 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 75) mod 9 ≡ (1 ⋅ 3) mod 9 ≡ 3 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 29 aus, ob zufällig 29 mod m = 39 mod m gilt:

m=2: 29 mod 2 = 1 = 1 = 39 mod 2

m=3: 29 mod 3 = 2 ≠ 0 = 39 mod 3

m=4: 29 mod 4 = 1 ≠ 3 = 39 mod 4

m=5: 29 mod 5 = 4 = 4 = 39 mod 5

m=6: 29 mod 6 = 5 ≠ 3 = 39 mod 6

m=7: 29 mod 7 = 1 ≠ 4 = 39 mod 7

m=8: 29 mod 8 = 5 ≠ 7 = 39 mod 8

m=9: 29 mod 9 = 2 ≠ 3 = 39 mod 9

m=10: 29 mod 10 = 9 = 9 = 39 mod 10

m=11: 29 mod 11 = 7 ≠ 6 = 39 mod 11

m=12: 29 mod 12 = 5 ≠ 3 = 39 mod 12

m=13: 29 mod 13 = 3 ≠ 0 = 39 mod 13

m=14: 29 mod 14 = 1 ≠ 11 = 39 mod 14

m=15: 29 mod 15 = 14 ≠ 9 = 39 mod 15

m=16: 29 mod 16 = 13 ≠ 7 = 39 mod 16

m=17: 29 mod 17 = 12 ≠ 5 = 39 mod 17

m=18: 29 mod 18 = 11 ≠ 3 = 39 mod 18

m=19: 29 mod 19 = 10 ≠ 1 = 39 mod 19

m=20: 29 mod 20 = 9 ≠ 19 = 39 mod 20

m=21: 29 mod 21 = 8 ≠ 18 = 39 mod 21

m=22: 29 mod 22 = 7 ≠ 17 = 39 mod 22

m=23: 29 mod 23 = 6 ≠ 16 = 39 mod 23

m=24: 29 mod 24 = 5 ≠ 15 = 39 mod 24

m=25: 29 mod 25 = 4 ≠ 14 = 39 mod 25

m=26: 29 mod 26 = 3 ≠ 13 = 39 mod 26

m=27: 29 mod 27 = 2 ≠ 12 = 39 mod 27

m=28: 29 mod 28 = 1 ≠ 11 = 39 mod 28

m=29: 29 mod 29 = 0 ≠ 10 = 39 mod 29

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (39 - 29) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10