Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 40 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 40, weil ja 8 ⋅ 5 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 40 - 40 = 0.

Somit gilt: 40 mod 5 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 41 für die gilt n ≡ 92 mod 11.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 92 - 88 = 4.

Somit gilt: 92 mod 11 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 41 für die gilt: n ≡ 4 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 30, z.B. 33 = 3 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 4 mod 11 sein, also addieren wir noch 4 auf die 33 und erhalten so 37.

Somit gilt: 37 ≡ 92 ≡ 4 mod 11.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (456 - 27000) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(456 - 27000) mod 9 ≡ (456 mod 9 - 27000 mod 9) mod 9.

456 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 456 = 450+6 = 9 ⋅ 50 +6.

27000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27000 = 27000+0 = 9 ⋅ 3000 +0.

Somit gilt:

(456 - 27000) mod 9 ≡ (6 - 0) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 50) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(76 ⋅ 50) mod 3 ≡ (76 mod 3 ⋅ 50 mod 3) mod 3.

76 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 75 + 1 = 25 ⋅ 3 + 1 ist.

50 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 16 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(76 ⋅ 50) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
14 mod m = 18 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 18 mod m gilt:

m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2

m=3: 14 mod 3 = 2 ≠ 0 = 18 mod 3

m=4: 14 mod 4 = 2 = 2 = 18 mod 4

m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 3 = 18 mod 5

m=6: 14 mod 6 = 2 ≠ 0 = 18 mod 6

m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 4 = 18 mod 7

m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 2 = 18 mod 8

m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 0 = 18 mod 9

m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 8 = 18 mod 10

m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 7 = 18 mod 11

m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 6 = 18 mod 12

m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 5 = 18 mod 13

m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 4 = 18 mod 14

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 14) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4