Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 20, weil ja 5 ⋅ 4 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 20 - 20 = 0.

Somit gilt: 20 mod 4 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 33, weil ja 3 ⋅ 11 = 33 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 38 - 33 = 5.

Somit gilt: 38 mod 11 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 61 für die gilt: n ≡ 5 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 50, z.B. 55 = 5 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 5 mod 11 sein, also addieren wir noch 5 auf die 55 und erhalten so 60.

Somit gilt: 60 ≡ 38 ≡ 5 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 + 136) mod 7 ≡ (65 mod 7 + 136 mod 7) mod 7.

65 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 70-5 = 7 ⋅ 10 -5 = 7 ⋅ 10 - 7 + 2.

136 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 136 = 140-4 = 7 ⋅ 20 -4 = 7 ⋅ 20 - 7 + 3.

Somit gilt:

(65 + 136) mod 7 ≡ (2 + 3) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 96) mod 8 ≡ (23 mod 8 ⋅ 96 mod 8) mod 8.

23 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 16 + 7 = 2 ⋅ 8 + 7 ist.

96 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 12 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 96) mod 8 ≡ (7 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 18 aus, ob zufällig 18 mod m = 24 mod m gilt:

m=2: 18 mod 2 = 0 = 0 = 24 mod 2

m=3: 18 mod 3 = 0 = 0 = 24 mod 3

m=4: 18 mod 4 = 2 ≠ 0 = 24 mod 4

m=5: 18 mod 5 = 3 ≠ 4 = 24 mod 5

m=6: 18 mod 6 = 0 = 0 = 24 mod 6

m=7: 18 mod 7 = 4 ≠ 3 = 24 mod 7

m=8: 18 mod 8 = 2 ≠ 0 = 24 mod 8

m=9: 18 mod 9 = 0 ≠ 6 = 24 mod 9

m=10: 18 mod 10 = 8 ≠ 4 = 24 mod 10

m=11: 18 mod 11 = 7 ≠ 2 = 24 mod 11

m=12: 18 mod 12 = 6 ≠ 0 = 24 mod 12

m=13: 18 mod 13 = 5 ≠ 11 = 24 mod 13

m=14: 18 mod 14 = 4 ≠ 10 = 24 mod 14

m=15: 18 mod 15 = 3 ≠ 9 = 24 mod 15

m=16: 18 mod 16 = 2 ≠ 8 = 24 mod 16

m=17: 18 mod 17 = 1 ≠ 7 = 24 mod 17

m=18: 18 mod 18 = 0 ≠ 6 = 24 mod 18

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (24 - 18) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6