Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 48 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 48, weil ja 6 ⋅ 8 = 48 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 48 - 48 = 0.
Somit gilt: 48 mod 8 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 96 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 95, weil ja 19 ⋅ 5 = 95 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 96 - 95 = 1.
Somit gilt: 96 mod 5 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 1 mod 5.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 10, z.B. 10 = 2 ⋅ 5
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 1 mod 5 sein, also addieren wir noch 1 auf die 10 und erhalten so 11.
Somit gilt: 11 ≡ 96 ≡ 1 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1200 + 1199) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1200 + 1199) mod 3 ≡ (1200 mod 3 + 1199 mod 3) mod 3.
1200 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200
= 1200
1199 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199
= 1200
Somit gilt:
(1200 + 1199) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 38) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 ⋅ 38) mod 8 ≡ (93 mod 8 ⋅ 38 mod 8) mod 8.
93 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 88 + 5 = 11 ⋅ 8 + 5 ist.
38 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 32 + 6 = 4 ⋅ 8 + 6 ist.
Somit gilt:
(93 ⋅ 38) mod 8 ≡ (5 ⋅ 6) mod 8 ≡ 30 mod 8 ≡ 6 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
9 mod m = 13 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 9 aus, ob zufällig 9 mod m = 13 mod m gilt:
m=2: 9 mod 2 = 1 = 1 = 13 mod 2
m=3: 9 mod 3 = 0 ≠ 1 = 13 mod 3
m=4: 9 mod 4 = 1 = 1 = 13 mod 4
m=5: 9 mod 5 = 4 ≠ 3 = 13 mod 5
m=6: 9 mod 6 = 3 ≠ 1 = 13 mod 6
m=7: 9 mod 7 = 2 ≠ 6 = 13 mod 7
m=8: 9 mod 8 = 1 ≠ 5 = 13 mod 8
m=9: 9 mod 9 = 0 ≠ 4 = 13 mod 9
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (13 - 9) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
