Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 42, weil ja 6 ⋅ 7 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 48 - 42 = 6.

Somit gilt: 48 mod 7 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 48, weil ja 8 ⋅ 6 = 48 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 49 - 48 = 1.

Somit gilt: 49 mod 6 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 1 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 12 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 1 mod 6 sein, also addieren wir noch 1 auf die 72 und erhalten so 73.

Somit gilt: 73 ≡ 49 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20001 - 2001) mod 5 ≡ (20001 mod 5 - 2001 mod 5) mod 5.

20001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20001 = 20000+1 = 5 ⋅ 4000 +1.

2001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2001 = 2000+1 = 5 ⋅ 400 +1.

Somit gilt:

(20001 - 2001) mod 5 ≡ (1 - 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 23) mod 6 ≡ (53 mod 6 ⋅ 23 mod 6) mod 6.

53 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 8 ⋅ 6 + 5 ist.

23 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 18 + 5 = 3 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 23) mod 6 ≡ (5 ⋅ 5) mod 6 ≡ 25 mod 6 ≡ 1 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 52 aus, ob zufällig 52 mod m = 70 mod m gilt:

m=2: 52 mod 2 = 0 = 0 = 70 mod 2

m=3: 52 mod 3 = 1 = 1 = 70 mod 3

m=4: 52 mod 4 = 0 ≠ 2 = 70 mod 4

m=5: 52 mod 5 = 2 ≠ 0 = 70 mod 5

m=6: 52 mod 6 = 4 = 4 = 70 mod 6

m=7: 52 mod 7 = 3 ≠ 0 = 70 mod 7

m=8: 52 mod 8 = 4 ≠ 6 = 70 mod 8

m=9: 52 mod 9 = 7 = 7 = 70 mod 9

m=10: 52 mod 10 = 2 ≠ 0 = 70 mod 10

m=11: 52 mod 11 = 8 ≠ 4 = 70 mod 11

m=12: 52 mod 12 = 4 ≠ 10 = 70 mod 12

m=13: 52 mod 13 = 0 ≠ 5 = 70 mod 13

m=14: 52 mod 14 = 10 ≠ 0 = 70 mod 14

m=15: 52 mod 15 = 7 ≠ 10 = 70 mod 15

m=16: 52 mod 16 = 4 ≠ 6 = 70 mod 16

m=17: 52 mod 17 = 1 ≠ 2 = 70 mod 17

m=18: 52 mod 18 = 16 = 16 = 70 mod 18

m=19: 52 mod 19 = 14 ≠ 13 = 70 mod 19

m=20: 52 mod 20 = 12 ≠ 10 = 70 mod 20

m=21: 52 mod 21 = 10 ≠ 7 = 70 mod 21

m=22: 52 mod 22 = 8 ≠ 4 = 70 mod 22

m=23: 52 mod 23 = 6 ≠ 1 = 70 mod 23

m=24: 52 mod 24 = 4 ≠ 22 = 70 mod 24

m=25: 52 mod 25 = 2 ≠ 20 = 70 mod 25

m=26: 52 mod 26 = 0 ≠ 18 = 70 mod 26

m=27: 52 mod 27 = 25 ≠ 16 = 70 mod 27

m=28: 52 mod 28 = 24 ≠ 14 = 70 mod 28

m=29: 52 mod 29 = 23 ≠ 12 = 70 mod 29

m=30: 52 mod 30 = 22 ≠ 10 = 70 mod 30

m=31: 52 mod 31 = 21 ≠ 8 = 70 mod 31

m=32: 52 mod 32 = 20 ≠ 6 = 70 mod 32

m=33: 52 mod 33 = 19 ≠ 4 = 70 mod 33

m=34: 52 mod 34 = 18 ≠ 2 = 70 mod 34

m=35: 52 mod 35 = 17 ≠ 0 = 70 mod 35

m=36: 52 mod 36 = 16 ≠ 34 = 70 mod 36

m=37: 52 mod 37 = 15 ≠ 33 = 70 mod 37

m=38: 52 mod 38 = 14 ≠ 32 = 70 mod 38

m=39: 52 mod 39 = 13 ≠ 31 = 70 mod 39

m=40: 52 mod 40 = 12 ≠ 30 = 70 mod 40

m=41: 52 mod 41 = 11 ≠ 29 = 70 mod 41

m=42: 52 mod 42 = 10 ≠ 28 = 70 mod 42

m=43: 52 mod 43 = 9 ≠ 27 = 70 mod 43

m=44: 52 mod 44 = 8 ≠ 26 = 70 mod 44

m=45: 52 mod 45 = 7 ≠ 25 = 70 mod 45

m=46: 52 mod 46 = 6 ≠ 24 = 70 mod 46

m=47: 52 mod 47 = 5 ≠ 23 = 70 mod 47

m=48: 52 mod 48 = 4 ≠ 22 = 70 mod 48

m=49: 52 mod 49 = 3 ≠ 21 = 70 mod 49

m=50: 52 mod 50 = 2 ≠ 20 = 70 mod 50

m=51: 52 mod 51 = 1 ≠ 19 = 70 mod 51

m=52: 52 mod 52 = 0 ≠ 18 = 70 mod 52

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (70 - 52) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18