Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 80, weil ja 10 ⋅ 8 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 82 - 80 = 2.

Somit gilt: 82 mod 8 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 35, weil ja 5 ⋅ 7 = 35 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 39 - 35 = 4.

Somit gilt: 39 mod 7 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 4 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 20, z.B. 21 = 3 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 4 mod 7 sein, also addieren wir noch 4 auf die 21 und erhalten so 25.

Somit gilt: 25 ≡ 39 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3997 + 41) mod 4 ≡ (3997 mod 4 + 41 mod 4) mod 4.

3997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3997 = 3000+997 = 4 ⋅ 750 +997.

41 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40+1 = 4 ⋅ 10 +1.

Somit gilt:

(3997 + 41) mod 4 ≡ (1 + 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21 ⋅ 22) mod 9 ≡ (21 mod 9 ⋅ 22 mod 9) mod 9.

21 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 18 + 3 = 2 ⋅ 9 + 3 ist.

22 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 18 + 4 = 2 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(21 ⋅ 22) mod 9 ≡ (3 ⋅ 4) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 18 aus, ob zufällig 18 mod m = 26 mod m gilt:

m=2: 18 mod 2 = 0 = 0 = 26 mod 2

m=3: 18 mod 3 = 0 ≠ 2 = 26 mod 3

m=4: 18 mod 4 = 2 = 2 = 26 mod 4

m=5: 18 mod 5 = 3 ≠ 1 = 26 mod 5

m=6: 18 mod 6 = 0 ≠ 2 = 26 mod 6

m=7: 18 mod 7 = 4 ≠ 5 = 26 mod 7

m=8: 18 mod 8 = 2 = 2 = 26 mod 8

m=9: 18 mod 9 = 0 ≠ 8 = 26 mod 9

m=10: 18 mod 10 = 8 ≠ 6 = 26 mod 10

m=11: 18 mod 11 = 7 ≠ 4 = 26 mod 11

m=12: 18 mod 12 = 6 ≠ 2 = 26 mod 12

m=13: 18 mod 13 = 5 ≠ 0 = 26 mod 13

m=14: 18 mod 14 = 4 ≠ 12 = 26 mod 14

m=15: 18 mod 15 = 3 ≠ 11 = 26 mod 15

m=16: 18 mod 16 = 2 ≠ 10 = 26 mod 16

m=17: 18 mod 17 = 1 ≠ 9 = 26 mod 17

m=18: 18 mod 18 = 0 ≠ 8 = 26 mod 18

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (26 - 18) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8