Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 66, weil ja 6 ⋅ 11 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 75 - 66 = 9.

Somit gilt: 75 mod 11 ≡ 9.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 54, weil ja 6 ⋅ 9 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 55 - 54 = 1.

Somit gilt: 55 mod 9 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 1 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 40, z.B. 45 = 5 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 1 mod 9 sein, also addieren wir noch 1 auf die 45 und erhalten so 46.

Somit gilt: 46 ≡ 55 ≡ 1 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35999 - 177) mod 9 ≡ (35999 mod 9 - 177 mod 9) mod 9.

35999 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35999 = 36000-1 = 9 ⋅ 4000 -1 = 9 ⋅ 4000 - 9 + 8.

177 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 177 = 180-3 = 9 ⋅ 20 -3 = 9 ⋅ 20 - 9 + 6.

Somit gilt:

(35999 - 177) mod 9 ≡ (8 - 6) mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 ⋅ 25) mod 10 ≡ (32 mod 10 ⋅ 25 mod 10) mod 10.

32 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 3 ⋅ 10 + 2 ist.

25 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 20 + 5 = 2 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(32 ⋅ 25) mod 10 ≡ (2 ⋅ 5) mod 10 ≡ 10 mod 10 ≡ 0 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 8 aus, ob zufällig 8 mod m = 12 mod m gilt:

m=2: 8 mod 2 = 0 = 0 = 12 mod 2

m=3: 8 mod 3 = 2 ≠ 0 = 12 mod 3

m=4: 8 mod 4 = 0 = 0 = 12 mod 4

m=5: 8 mod 5 = 3 ≠ 2 = 12 mod 5

m=6: 8 mod 6 = 2 ≠ 0 = 12 mod 6

m=7: 8 mod 7 = 1 ≠ 5 = 12 mod 7

m=8: 8 mod 8 = 0 ≠ 4 = 12 mod 8

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (12 - 8) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4