Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 30, weil ja 5 ⋅ 6 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 34 - 30 = 4.

Somit gilt: 34 mod 6 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 95, weil ja 19 ⋅ 5 = 95 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 99 - 95 = 4.

Somit gilt: 99 mod 5 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 4 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 16 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 4 mod 5 sein, also addieren wir noch 4 auf die 80 und erhalten so 84.

Somit gilt: 84 ≡ 99 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36006 + 448) mod 9 ≡ (36006 mod 9 + 448 mod 9) mod 9.

36006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36006 = 36000+6 = 9 ⋅ 4000 +6.

448 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 448 = 450-2 = 9 ⋅ 50 -2 = 9 ⋅ 50 - 9 + 7.

Somit gilt:

(36006 + 448) mod 9 ≡ (6 + 7) mod 9 ≡ 13 mod 9 ≡ 4 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 42) mod 3 ≡ (75 mod 3 ⋅ 42 mod 3) mod 3.

75 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 25 ⋅ 3 + 0 ist.

42 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 14 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 42) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 46 aus, ob zufällig 46 mod m = 61 mod m gilt:

m=2: 46 mod 2 = 0 ≠ 1 = 61 mod 2

m=3: 46 mod 3 = 1 = 1 = 61 mod 3

m=4: 46 mod 4 = 2 ≠ 1 = 61 mod 4

m=5: 46 mod 5 = 1 = 1 = 61 mod 5

m=6: 46 mod 6 = 4 ≠ 1 = 61 mod 6

m=7: 46 mod 7 = 4 ≠ 5 = 61 mod 7

m=8: 46 mod 8 = 6 ≠ 5 = 61 mod 8

m=9: 46 mod 9 = 1 ≠ 7 = 61 mod 9

m=10: 46 mod 10 = 6 ≠ 1 = 61 mod 10

m=11: 46 mod 11 = 2 ≠ 6 = 61 mod 11

m=12: 46 mod 12 = 10 ≠ 1 = 61 mod 12

m=13: 46 mod 13 = 7 ≠ 9 = 61 mod 13

m=14: 46 mod 14 = 4 ≠ 5 = 61 mod 14

m=15: 46 mod 15 = 1 = 1 = 61 mod 15

m=16: 46 mod 16 = 14 ≠ 13 = 61 mod 16

m=17: 46 mod 17 = 12 ≠ 10 = 61 mod 17

m=18: 46 mod 18 = 10 ≠ 7 = 61 mod 18

m=19: 46 mod 19 = 8 ≠ 4 = 61 mod 19

m=20: 46 mod 20 = 6 ≠ 1 = 61 mod 20

m=21: 46 mod 21 = 4 ≠ 19 = 61 mod 21

m=22: 46 mod 22 = 2 ≠ 17 = 61 mod 22

m=23: 46 mod 23 = 0 ≠ 15 = 61 mod 23

m=24: 46 mod 24 = 22 ≠ 13 = 61 mod 24

m=25: 46 mod 25 = 21 ≠ 11 = 61 mod 25

m=26: 46 mod 26 = 20 ≠ 9 = 61 mod 26

m=27: 46 mod 27 = 19 ≠ 7 = 61 mod 27

m=28: 46 mod 28 = 18 ≠ 5 = 61 mod 28

m=29: 46 mod 29 = 17 ≠ 3 = 61 mod 29

m=30: 46 mod 30 = 16 ≠ 1 = 61 mod 30

m=31: 46 mod 31 = 15 ≠ 30 = 61 mod 31

m=32: 46 mod 32 = 14 ≠ 29 = 61 mod 32

m=33: 46 mod 33 = 13 ≠ 28 = 61 mod 33

m=34: 46 mod 34 = 12 ≠ 27 = 61 mod 34

m=35: 46 mod 35 = 11 ≠ 26 = 61 mod 35

m=36: 46 mod 36 = 10 ≠ 25 = 61 mod 36

m=37: 46 mod 37 = 9 ≠ 24 = 61 mod 37

m=38: 46 mod 38 = 8 ≠ 23 = 61 mod 38

m=39: 46 mod 39 = 7 ≠ 22 = 61 mod 39

m=40: 46 mod 40 = 6 ≠ 21 = 61 mod 40

m=41: 46 mod 41 = 5 ≠ 20 = 61 mod 41

m=42: 46 mod 42 = 4 ≠ 19 = 61 mod 42

m=43: 46 mod 43 = 3 ≠ 18 = 61 mod 43

m=44: 46 mod 44 = 2 ≠ 17 = 61 mod 44

m=45: 46 mod 45 = 1 ≠ 16 = 61 mod 45

m=46: 46 mod 46 = 0 ≠ 15 = 61 mod 46

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (61 - 46) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15