Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 48, weil ja 8 ⋅ 6 = 48 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 53 - 48 = 5.

Somit gilt: 53 mod 6 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 32, weil ja 4 ⋅ 8 = 32 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 38 - 32 = 6.

Somit gilt: 38 mod 8 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 6 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 60, z.B. 56 = 7 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 6 mod 8 sein, also addieren wir noch 6 auf die 56 und erhalten so 62.

Somit gilt: 62 ≡ 38 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29996 - 246) mod 6 ≡ (29996 mod 6 - 246 mod 6) mod 6.

29996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29996 = 30000-4 = 6 ⋅ 5000 -4 = 6 ⋅ 5000 - 6 + 2.

246 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 246 = 240+6 = 6 ⋅ 40 +6.

Somit gilt:

(29996 - 246) mod 6 ≡ (2 - 0) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 ⋅ 23) mod 5 ≡ (65 mod 5 ⋅ 23 mod 5) mod 5.

65 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 65 + 0 = 13 ⋅ 5 + 0 ist.

23 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 4 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(65 ⋅ 23) mod 5 ≡ (0 ⋅ 3) mod 5 ≡ 0 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 87 aus, ob zufällig 87 mod m = 114 mod m gilt:

m=2: 87 mod 2 = 1 ≠ 0 = 114 mod 2

m=3: 87 mod 3 = 0 = 0 = 114 mod 3

m=4: 87 mod 4 = 3 ≠ 2 = 114 mod 4

m=5: 87 mod 5 = 2 ≠ 4 = 114 mod 5

m=6: 87 mod 6 = 3 ≠ 0 = 114 mod 6

m=7: 87 mod 7 = 3 ≠ 2 = 114 mod 7

m=8: 87 mod 8 = 7 ≠ 2 = 114 mod 8

m=9: 87 mod 9 = 6 = 6 = 114 mod 9

m=10: 87 mod 10 = 7 ≠ 4 = 114 mod 10

m=11: 87 mod 11 = 10 ≠ 4 = 114 mod 11

m=12: 87 mod 12 = 3 ≠ 6 = 114 mod 12

m=13: 87 mod 13 = 9 ≠ 10 = 114 mod 13

m=14: 87 mod 14 = 3 ≠ 2 = 114 mod 14

m=15: 87 mod 15 = 12 ≠ 9 = 114 mod 15

m=16: 87 mod 16 = 7 ≠ 2 = 114 mod 16

m=17: 87 mod 17 = 2 ≠ 12 = 114 mod 17

m=18: 87 mod 18 = 15 ≠ 6 = 114 mod 18

m=19: 87 mod 19 = 11 ≠ 0 = 114 mod 19

m=20: 87 mod 20 = 7 ≠ 14 = 114 mod 20

m=21: 87 mod 21 = 3 ≠ 9 = 114 mod 21

m=22: 87 mod 22 = 21 ≠ 4 = 114 mod 22

m=23: 87 mod 23 = 18 ≠ 22 = 114 mod 23

m=24: 87 mod 24 = 15 ≠ 18 = 114 mod 24

m=25: 87 mod 25 = 12 ≠ 14 = 114 mod 25

m=26: 87 mod 26 = 9 ≠ 10 = 114 mod 26

m=27: 87 mod 27 = 6 = 6 = 114 mod 27

m=28: 87 mod 28 = 3 ≠ 2 = 114 mod 28

m=29: 87 mod 29 = 0 ≠ 27 = 114 mod 29

m=30: 87 mod 30 = 27 ≠ 24 = 114 mod 30

m=31: 87 mod 31 = 25 ≠ 21 = 114 mod 31

m=32: 87 mod 32 = 23 ≠ 18 = 114 mod 32

m=33: 87 mod 33 = 21 ≠ 15 = 114 mod 33

m=34: 87 mod 34 = 19 ≠ 12 = 114 mod 34

m=35: 87 mod 35 = 17 ≠ 9 = 114 mod 35

m=36: 87 mod 36 = 15 ≠ 6 = 114 mod 36

m=37: 87 mod 37 = 13 ≠ 3 = 114 mod 37

m=38: 87 mod 38 = 11 ≠ 0 = 114 mod 38

m=39: 87 mod 39 = 9 ≠ 36 = 114 mod 39

m=40: 87 mod 40 = 7 ≠ 34 = 114 mod 40

m=41: 87 mod 41 = 5 ≠ 32 = 114 mod 41

m=42: 87 mod 42 = 3 ≠ 30 = 114 mod 42

m=43: 87 mod 43 = 1 ≠ 28 = 114 mod 43

m=44: 87 mod 44 = 43 ≠ 26 = 114 mod 44

m=45: 87 mod 45 = 42 ≠ 24 = 114 mod 45

m=46: 87 mod 46 = 41 ≠ 22 = 114 mod 46

m=47: 87 mod 47 = 40 ≠ 20 = 114 mod 47

m=48: 87 mod 48 = 39 ≠ 18 = 114 mod 48

m=49: 87 mod 49 = 38 ≠ 16 = 114 mod 49

m=50: 87 mod 50 = 37 ≠ 14 = 114 mod 50

m=51: 87 mod 51 = 36 ≠ 12 = 114 mod 51

m=52: 87 mod 52 = 35 ≠ 10 = 114 mod 52

m=53: 87 mod 53 = 34 ≠ 8 = 114 mod 53

m=54: 87 mod 54 = 33 ≠ 6 = 114 mod 54

m=55: 87 mod 55 = 32 ≠ 4 = 114 mod 55

m=56: 87 mod 56 = 31 ≠ 2 = 114 mod 56

m=57: 87 mod 57 = 30 ≠ 0 = 114 mod 57

m=58: 87 mod 58 = 29 ≠ 56 = 114 mod 58

m=59: 87 mod 59 = 28 ≠ 55 = 114 mod 59

m=60: 87 mod 60 = 27 ≠ 54 = 114 mod 60

m=61: 87 mod 61 = 26 ≠ 53 = 114 mod 61

m=62: 87 mod 62 = 25 ≠ 52 = 114 mod 62

m=63: 87 mod 63 = 24 ≠ 51 = 114 mod 63

m=64: 87 mod 64 = 23 ≠ 50 = 114 mod 64

m=65: 87 mod 65 = 22 ≠ 49 = 114 mod 65

m=66: 87 mod 66 = 21 ≠ 48 = 114 mod 66

m=67: 87 mod 67 = 20 ≠ 47 = 114 mod 67

m=68: 87 mod 68 = 19 ≠ 46 = 114 mod 68

m=69: 87 mod 69 = 18 ≠ 45 = 114 mod 69

m=70: 87 mod 70 = 17 ≠ 44 = 114 mod 70

m=71: 87 mod 71 = 16 ≠ 43 = 114 mod 71

m=72: 87 mod 72 = 15 ≠ 42 = 114 mod 72

m=73: 87 mod 73 = 14 ≠ 41 = 114 mod 73

m=74: 87 mod 74 = 13 ≠ 40 = 114 mod 74

m=75: 87 mod 75 = 12 ≠ 39 = 114 mod 75

m=76: 87 mod 76 = 11 ≠ 38 = 114 mod 76

m=77: 87 mod 77 = 10 ≠ 37 = 114 mod 77

m=78: 87 mod 78 = 9 ≠ 36 = 114 mod 78

m=79: 87 mod 79 = 8 ≠ 35 = 114 mod 79

m=80: 87 mod 80 = 7 ≠ 34 = 114 mod 80

m=81: 87 mod 81 = 6 ≠ 33 = 114 mod 81

m=82: 87 mod 82 = 5 ≠ 32 = 114 mod 82

m=83: 87 mod 83 = 4 ≠ 31 = 114 mod 83

m=84: 87 mod 84 = 3 ≠ 30 = 114 mod 84

m=85: 87 mod 85 = 2 ≠ 29 = 114 mod 85

m=86: 87 mod 86 = 1 ≠ 28 = 114 mod 86

m=87: 87 mod 87 = 0 ≠ 27 = 114 mod 87

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (114 - 87) = 27 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9; 27