Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 99 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 96, weil ja 16 ⋅ 6 = 96 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 99 - 96 = 3.
Somit gilt: 99 mod 6 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 40 für die gilt n ≡ 89 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 80, weil ja 8 ⋅ 10 = 80 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 89 - 80 = 9.
Somit gilt: 89 mod 10 ≡ 9.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 40 für die gilt: n ≡ 9 mod 10.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 3 ⋅ 10
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 9 mod 10 sein, also addieren wir noch 9 auf die 30 und erhalten so 39.
Somit gilt: 39 ≡ 89 ≡ 9 mod 10.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15000 - 2505) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15000 - 2505) mod 5 ≡ (15000 mod 5 - 2505 mod 5) mod 5.
15000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000
= 15000
2505 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2505
= 2500
Somit gilt:
(15000 - 2505) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 36) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 36) mod 11 ≡ (47 mod 11 ⋅ 36 mod 11) mod 11.
47 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 4 ⋅ 11 + 3 ist.
36 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 33 + 3 = 3 ⋅ 11 + 3 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 36) mod 11 ≡ (3 ⋅ 3) mod 11 ≡ 9 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
28 mod m = 37 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 28 aus, ob zufällig 28 mod m = 37 mod m gilt:
m=2: 28 mod 2 = 0 ≠ 1 = 37 mod 2
m=3: 28 mod 3 = 1 = 1 = 37 mod 3
m=4: 28 mod 4 = 0 ≠ 1 = 37 mod 4
m=5: 28 mod 5 = 3 ≠ 2 = 37 mod 5
m=6: 28 mod 6 = 4 ≠ 1 = 37 mod 6
m=7: 28 mod 7 = 0 ≠ 2 = 37 mod 7
m=8: 28 mod 8 = 4 ≠ 5 = 37 mod 8
m=9: 28 mod 9 = 1 = 1 = 37 mod 9
m=10: 28 mod 10 = 8 ≠ 7 = 37 mod 10
m=11: 28 mod 11 = 6 ≠ 4 = 37 mod 11
m=12: 28 mod 12 = 4 ≠ 1 = 37 mod 12
m=13: 28 mod 13 = 2 ≠ 11 = 37 mod 13
m=14: 28 mod 14 = 0 ≠ 9 = 37 mod 14
m=15: 28 mod 15 = 13 ≠ 7 = 37 mod 15
m=16: 28 mod 16 = 12 ≠ 5 = 37 mod 16
m=17: 28 mod 17 = 11 ≠ 3 = 37 mod 17
m=18: 28 mod 18 = 10 ≠ 1 = 37 mod 18
m=19: 28 mod 19 = 9 ≠ 18 = 37 mod 19
m=20: 28 mod 20 = 8 ≠ 17 = 37 mod 20
m=21: 28 mod 21 = 7 ≠ 16 = 37 mod 21
m=22: 28 mod 22 = 6 ≠ 15 = 37 mod 22
m=23: 28 mod 23 = 5 ≠ 14 = 37 mod 23
m=24: 28 mod 24 = 4 ≠ 13 = 37 mod 24
m=25: 28 mod 25 = 3 ≠ 12 = 37 mod 25
m=26: 28 mod 26 = 2 ≠ 11 = 37 mod 26
m=27: 28 mod 27 = 1 ≠ 10 = 37 mod 27
m=28: 28 mod 28 = 0 ≠ 9 = 37 mod 28
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (37 - 28) = 9 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 9