Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 57, weil ja 19 ⋅ 3 = 57 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 58 - 57 = 1.

Somit gilt: 58 mod 3 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 88, weil ja 11 ⋅ 8 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 92 - 88 = 4.

Somit gilt: 92 mod 8 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 4 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 50, z.B. 48 = 6 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 4 mod 8 sein, also addieren wir noch 4 auf die 48 und erhalten so 52.

Somit gilt: 52 ≡ 92 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1500 + 500) mod 5 ≡ (1500 mod 5 + 500 mod 5) mod 5.

1500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500 = 1500+0 = 5 ⋅ 300 +0.

500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 500 = 500+0 = 5 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(1500 + 500) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 77) mod 10 ≡ (17 mod 10 ⋅ 77 mod 10) mod 10.

17 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 10 + 7 = 1 ⋅ 10 + 7 ist.

77 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 70 + 7 = 7 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 77) mod 10 ≡ (7 ⋅ 7) mod 10 ≡ 49 mod 10 ≡ 9 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 11 aus, ob zufällig 11 mod m = 15 mod m gilt:

m=2: 11 mod 2 = 1 = 1 = 15 mod 2

m=3: 11 mod 3 = 2 ≠ 0 = 15 mod 3

m=4: 11 mod 4 = 3 = 3 = 15 mod 4

m=5: 11 mod 5 = 1 ≠ 0 = 15 mod 5

m=6: 11 mod 6 = 5 ≠ 3 = 15 mod 6

m=7: 11 mod 7 = 4 ≠ 1 = 15 mod 7

m=8: 11 mod 8 = 3 ≠ 7 = 15 mod 8

m=9: 11 mod 9 = 2 ≠ 6 = 15 mod 9

m=10: 11 mod 10 = 1 ≠ 5 = 15 mod 10

m=11: 11 mod 11 = 0 ≠ 4 = 15 mod 11

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (15 - 11) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4