Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 86 - 81 = 5.

Somit gilt: 86 mod 9 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 20, weil ja 5 ⋅ 4 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 23 - 20 = 3.

Somit gilt: 23 mod 4 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 3 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 30, z.B. 28 = 7 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 3 mod 4 sein, also addieren wir noch 3 auf die 28 und erhalten so 31.

Somit gilt: 31 ≡ 23 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30000 + 594) mod 6 ≡ (30000 mod 6 + 594 mod 6) mod 6.

30000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30000 = 30000+0 = 6 ⋅ 5000 +0.

594 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 594 = 600-6 = 6 ⋅ 100 -6 = 6 ⋅ 100 - 6 + 0.

Somit gilt:

(30000 + 594) mod 6 ≡ (0 + 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 56) mod 4 ≡ (42 mod 4 ⋅ 56 mod 4) mod 4.

42 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 10 ⋅ 4 + 2 ist.

56 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 14 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 56) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 132 aus, ob zufällig 132 mod m = 182 mod m gilt:

m=2: 132 mod 2 = 0 = 0 = 182 mod 2

m=3: 132 mod 3 = 0 ≠ 2 = 182 mod 3

m=4: 132 mod 4 = 0 ≠ 2 = 182 mod 4

m=5: 132 mod 5 = 2 = 2 = 182 mod 5

m=6: 132 mod 6 = 0 ≠ 2 = 182 mod 6

m=7: 132 mod 7 = 6 ≠ 0 = 182 mod 7

m=8: 132 mod 8 = 4 ≠ 6 = 182 mod 8

m=9: 132 mod 9 = 6 ≠ 2 = 182 mod 9

m=10: 132 mod 10 = 2 = 2 = 182 mod 10

m=11: 132 mod 11 = 0 ≠ 6 = 182 mod 11

m=12: 132 mod 12 = 0 ≠ 2 = 182 mod 12

m=13: 132 mod 13 = 2 ≠ 0 = 182 mod 13

m=14: 132 mod 14 = 6 ≠ 0 = 182 mod 14

m=15: 132 mod 15 = 12 ≠ 2 = 182 mod 15

m=16: 132 mod 16 = 4 ≠ 6 = 182 mod 16

m=17: 132 mod 17 = 13 ≠ 12 = 182 mod 17

m=18: 132 mod 18 = 6 ≠ 2 = 182 mod 18

m=19: 132 mod 19 = 18 ≠ 11 = 182 mod 19

m=20: 132 mod 20 = 12 ≠ 2 = 182 mod 20

m=21: 132 mod 21 = 6 ≠ 14 = 182 mod 21

m=22: 132 mod 22 = 0 ≠ 6 = 182 mod 22

m=23: 132 mod 23 = 17 ≠ 21 = 182 mod 23

m=24: 132 mod 24 = 12 ≠ 14 = 182 mod 24

m=25: 132 mod 25 = 7 = 7 = 182 mod 25

m=26: 132 mod 26 = 2 ≠ 0 = 182 mod 26

m=27: 132 mod 27 = 24 ≠ 20 = 182 mod 27

m=28: 132 mod 28 = 20 ≠ 14 = 182 mod 28

m=29: 132 mod 29 = 16 ≠ 8 = 182 mod 29

m=30: 132 mod 30 = 12 ≠ 2 = 182 mod 30

m=31: 132 mod 31 = 8 ≠ 27 = 182 mod 31

m=32: 132 mod 32 = 4 ≠ 22 = 182 mod 32

m=33: 132 mod 33 = 0 ≠ 17 = 182 mod 33

m=34: 132 mod 34 = 30 ≠ 12 = 182 mod 34

m=35: 132 mod 35 = 27 ≠ 7 = 182 mod 35

m=36: 132 mod 36 = 24 ≠ 2 = 182 mod 36

m=37: 132 mod 37 = 21 ≠ 34 = 182 mod 37

m=38: 132 mod 38 = 18 ≠ 30 = 182 mod 38

m=39: 132 mod 39 = 15 ≠ 26 = 182 mod 39

m=40: 132 mod 40 = 12 ≠ 22 = 182 mod 40

m=41: 132 mod 41 = 9 ≠ 18 = 182 mod 41

m=42: 132 mod 42 = 6 ≠ 14 = 182 mod 42

m=43: 132 mod 43 = 3 ≠ 10 = 182 mod 43

m=44: 132 mod 44 = 0 ≠ 6 = 182 mod 44

m=45: 132 mod 45 = 42 ≠ 2 = 182 mod 45

m=46: 132 mod 46 = 40 ≠ 44 = 182 mod 46

m=47: 132 mod 47 = 38 ≠ 41 = 182 mod 47

m=48: 132 mod 48 = 36 ≠ 38 = 182 mod 48

m=49: 132 mod 49 = 34 ≠ 35 = 182 mod 49

m=50: 132 mod 50 = 32 = 32 = 182 mod 50

m=51: 132 mod 51 = 30 ≠ 29 = 182 mod 51

m=52: 132 mod 52 = 28 ≠ 26 = 182 mod 52

m=53: 132 mod 53 = 26 ≠ 23 = 182 mod 53

m=54: 132 mod 54 = 24 ≠ 20 = 182 mod 54

m=55: 132 mod 55 = 22 ≠ 17 = 182 mod 55

m=56: 132 mod 56 = 20 ≠ 14 = 182 mod 56

m=57: 132 mod 57 = 18 ≠ 11 = 182 mod 57

m=58: 132 mod 58 = 16 ≠ 8 = 182 mod 58

m=59: 132 mod 59 = 14 ≠ 5 = 182 mod 59

m=60: 132 mod 60 = 12 ≠ 2 = 182 mod 60

m=61: 132 mod 61 = 10 ≠ 60 = 182 mod 61

m=62: 132 mod 62 = 8 ≠ 58 = 182 mod 62

m=63: 132 mod 63 = 6 ≠ 56 = 182 mod 63

m=64: 132 mod 64 = 4 ≠ 54 = 182 mod 64

m=65: 132 mod 65 = 2 ≠ 52 = 182 mod 65

m=66: 132 mod 66 = 0 ≠ 50 = 182 mod 66

m=67: 132 mod 67 = 65 ≠ 48 = 182 mod 67

m=68: 132 mod 68 = 64 ≠ 46 = 182 mod 68

m=69: 132 mod 69 = 63 ≠ 44 = 182 mod 69

m=70: 132 mod 70 = 62 ≠ 42 = 182 mod 70

m=71: 132 mod 71 = 61 ≠ 40 = 182 mod 71

m=72: 132 mod 72 = 60 ≠ 38 = 182 mod 72

m=73: 132 mod 73 = 59 ≠ 36 = 182 mod 73

m=74: 132 mod 74 = 58 ≠ 34 = 182 mod 74

m=75: 132 mod 75 = 57 ≠ 32 = 182 mod 75

m=76: 132 mod 76 = 56 ≠ 30 = 182 mod 76

m=77: 132 mod 77 = 55 ≠ 28 = 182 mod 77

m=78: 132 mod 78 = 54 ≠ 26 = 182 mod 78

m=79: 132 mod 79 = 53 ≠ 24 = 182 mod 79

m=80: 132 mod 80 = 52 ≠ 22 = 182 mod 80

m=81: 132 mod 81 = 51 ≠ 20 = 182 mod 81

m=82: 132 mod 82 = 50 ≠ 18 = 182 mod 82

m=83: 132 mod 83 = 49 ≠ 16 = 182 mod 83

m=84: 132 mod 84 = 48 ≠ 14 = 182 mod 84

m=85: 132 mod 85 = 47 ≠ 12 = 182 mod 85

m=86: 132 mod 86 = 46 ≠ 10 = 182 mod 86

m=87: 132 mod 87 = 45 ≠ 8 = 182 mod 87

m=88: 132 mod 88 = 44 ≠ 6 = 182 mod 88

m=89: 132 mod 89 = 43 ≠ 4 = 182 mod 89

m=90: 132 mod 90 = 42 ≠ 2 = 182 mod 90

m=91: 132 mod 91 = 41 ≠ 0 = 182 mod 91

m=92: 132 mod 92 = 40 ≠ 90 = 182 mod 92

m=93: 132 mod 93 = 39 ≠ 89 = 182 mod 93

m=94: 132 mod 94 = 38 ≠ 88 = 182 mod 94

m=95: 132 mod 95 = 37 ≠ 87 = 182 mod 95

m=96: 132 mod 96 = 36 ≠ 86 = 182 mod 96

m=97: 132 mod 97 = 35 ≠ 85 = 182 mod 97

m=98: 132 mod 98 = 34 ≠ 84 = 182 mod 98

m=99: 132 mod 99 = 33 ≠ 83 = 182 mod 99

m=100: 132 mod 100 = 32 ≠ 82 = 182 mod 100

m=101: 132 mod 101 = 31 ≠ 81 = 182 mod 101

m=102: 132 mod 102 = 30 ≠ 80 = 182 mod 102

m=103: 132 mod 103 = 29 ≠ 79 = 182 mod 103

m=104: 132 mod 104 = 28 ≠ 78 = 182 mod 104

m=105: 132 mod 105 = 27 ≠ 77 = 182 mod 105

m=106: 132 mod 106 = 26 ≠ 76 = 182 mod 106

m=107: 132 mod 107 = 25 ≠ 75 = 182 mod 107

m=108: 132 mod 108 = 24 ≠ 74 = 182 mod 108

m=109: 132 mod 109 = 23 ≠ 73 = 182 mod 109

m=110: 132 mod 110 = 22 ≠ 72 = 182 mod 110

m=111: 132 mod 111 = 21 ≠ 71 = 182 mod 111

m=112: 132 mod 112 = 20 ≠ 70 = 182 mod 112

m=113: 132 mod 113 = 19 ≠ 69 = 182 mod 113

m=114: 132 mod 114 = 18 ≠ 68 = 182 mod 114

m=115: 132 mod 115 = 17 ≠ 67 = 182 mod 115

m=116: 132 mod 116 = 16 ≠ 66 = 182 mod 116

m=117: 132 mod 117 = 15 ≠ 65 = 182 mod 117

m=118: 132 mod 118 = 14 ≠ 64 = 182 mod 118

m=119: 132 mod 119 = 13 ≠ 63 = 182 mod 119

m=120: 132 mod 120 = 12 ≠ 62 = 182 mod 120

m=121: 132 mod 121 = 11 ≠ 61 = 182 mod 121

m=122: 132 mod 122 = 10 ≠ 60 = 182 mod 122

m=123: 132 mod 123 = 9 ≠ 59 = 182 mod 123

m=124: 132 mod 124 = 8 ≠ 58 = 182 mod 124

m=125: 132 mod 125 = 7 ≠ 57 = 182 mod 125

m=126: 132 mod 126 = 6 ≠ 56 = 182 mod 126

m=127: 132 mod 127 = 5 ≠ 55 = 182 mod 127

m=128: 132 mod 128 = 4 ≠ 54 = 182 mod 128

m=129: 132 mod 129 = 3 ≠ 53 = 182 mod 129

m=130: 132 mod 130 = 2 ≠ 52 = 182 mod 130

m=131: 132 mod 131 = 1 ≠ 51 = 182 mod 131

m=132: 132 mod 132 = 0 ≠ 50 = 182 mod 132

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (182 - 132) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50