Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 64, weil ja 16 ⋅ 4 = 64 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 65 - 64 = 1.

Somit gilt: 65 mod 4 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 21, weil ja 3 ⋅ 7 = 21 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 22 - 21 = 1.

Somit gilt: 22 mod 7 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 1 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 40, z.B. 42 = 6 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 1 mod 7 sein, also addieren wir noch 1 auf die 42 und erhalten so 43.

Somit gilt: 43 ≡ 22 ≡ 1 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14996 + 198) mod 5 ≡ (14996 mod 5 + 198 mod 5) mod 5.

14996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14996 = 14000+996 = 5 ⋅ 2800 +996.

198 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 198 = 190+8 = 5 ⋅ 38 +8.

Somit gilt:

(14996 + 198) mod 5 ≡ (1 + 3) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 37) mod 11 ≡ (93 mod 11 ⋅ 37 mod 11) mod 11.

93 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 88 + 5 = 8 ⋅ 11 + 5 ist.

37 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 33 + 4 = 3 ⋅ 11 + 4 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 37) mod 11 ≡ (5 ⋅ 4) mod 11 ≡ 20 mod 11 ≡ 9 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 107 aus, ob zufällig 107 mod m = 134 mod m gilt:

m=2: 107 mod 2 = 1 ≠ 0 = 134 mod 2

m=3: 107 mod 3 = 2 = 2 = 134 mod 3

m=4: 107 mod 4 = 3 ≠ 2 = 134 mod 4

m=5: 107 mod 5 = 2 ≠ 4 = 134 mod 5

m=6: 107 mod 6 = 5 ≠ 2 = 134 mod 6

m=7: 107 mod 7 = 2 ≠ 1 = 134 mod 7

m=8: 107 mod 8 = 3 ≠ 6 = 134 mod 8

m=9: 107 mod 9 = 8 = 8 = 134 mod 9

m=10: 107 mod 10 = 7 ≠ 4 = 134 mod 10

m=11: 107 mod 11 = 8 ≠ 2 = 134 mod 11

m=12: 107 mod 12 = 11 ≠ 2 = 134 mod 12

m=13: 107 mod 13 = 3 ≠ 4 = 134 mod 13

m=14: 107 mod 14 = 9 ≠ 8 = 134 mod 14

m=15: 107 mod 15 = 2 ≠ 14 = 134 mod 15

m=16: 107 mod 16 = 11 ≠ 6 = 134 mod 16

m=17: 107 mod 17 = 5 ≠ 15 = 134 mod 17

m=18: 107 mod 18 = 17 ≠ 8 = 134 mod 18

m=19: 107 mod 19 = 12 ≠ 1 = 134 mod 19

m=20: 107 mod 20 = 7 ≠ 14 = 134 mod 20

m=21: 107 mod 21 = 2 ≠ 8 = 134 mod 21

m=22: 107 mod 22 = 19 ≠ 2 = 134 mod 22

m=23: 107 mod 23 = 15 ≠ 19 = 134 mod 23

m=24: 107 mod 24 = 11 ≠ 14 = 134 mod 24

m=25: 107 mod 25 = 7 ≠ 9 = 134 mod 25

m=26: 107 mod 26 = 3 ≠ 4 = 134 mod 26

m=27: 107 mod 27 = 26 = 26 = 134 mod 27

m=28: 107 mod 28 = 23 ≠ 22 = 134 mod 28

m=29: 107 mod 29 = 20 ≠ 18 = 134 mod 29

m=30: 107 mod 30 = 17 ≠ 14 = 134 mod 30

m=31: 107 mod 31 = 14 ≠ 10 = 134 mod 31

m=32: 107 mod 32 = 11 ≠ 6 = 134 mod 32

m=33: 107 mod 33 = 8 ≠ 2 = 134 mod 33

m=34: 107 mod 34 = 5 ≠ 32 = 134 mod 34

m=35: 107 mod 35 = 2 ≠ 29 = 134 mod 35

m=36: 107 mod 36 = 35 ≠ 26 = 134 mod 36

m=37: 107 mod 37 = 33 ≠ 23 = 134 mod 37

m=38: 107 mod 38 = 31 ≠ 20 = 134 mod 38

m=39: 107 mod 39 = 29 ≠ 17 = 134 mod 39

m=40: 107 mod 40 = 27 ≠ 14 = 134 mod 40

m=41: 107 mod 41 = 25 ≠ 11 = 134 mod 41

m=42: 107 mod 42 = 23 ≠ 8 = 134 mod 42

m=43: 107 mod 43 = 21 ≠ 5 = 134 mod 43

m=44: 107 mod 44 = 19 ≠ 2 = 134 mod 44

m=45: 107 mod 45 = 17 ≠ 44 = 134 mod 45

m=46: 107 mod 46 = 15 ≠ 42 = 134 mod 46

m=47: 107 mod 47 = 13 ≠ 40 = 134 mod 47

m=48: 107 mod 48 = 11 ≠ 38 = 134 mod 48

m=49: 107 mod 49 = 9 ≠ 36 = 134 mod 49

m=50: 107 mod 50 = 7 ≠ 34 = 134 mod 50

m=51: 107 mod 51 = 5 ≠ 32 = 134 mod 51

m=52: 107 mod 52 = 3 ≠ 30 = 134 mod 52

m=53: 107 mod 53 = 1 ≠ 28 = 134 mod 53

m=54: 107 mod 54 = 53 ≠ 26 = 134 mod 54

m=55: 107 mod 55 = 52 ≠ 24 = 134 mod 55

m=56: 107 mod 56 = 51 ≠ 22 = 134 mod 56

m=57: 107 mod 57 = 50 ≠ 20 = 134 mod 57

m=58: 107 mod 58 = 49 ≠ 18 = 134 mod 58

m=59: 107 mod 59 = 48 ≠ 16 = 134 mod 59

m=60: 107 mod 60 = 47 ≠ 14 = 134 mod 60

m=61: 107 mod 61 = 46 ≠ 12 = 134 mod 61

m=62: 107 mod 62 = 45 ≠ 10 = 134 mod 62

m=63: 107 mod 63 = 44 ≠ 8 = 134 mod 63

m=64: 107 mod 64 = 43 ≠ 6 = 134 mod 64

m=65: 107 mod 65 = 42 ≠ 4 = 134 mod 65

m=66: 107 mod 66 = 41 ≠ 2 = 134 mod 66

m=67: 107 mod 67 = 40 ≠ 0 = 134 mod 67

m=68: 107 mod 68 = 39 ≠ 66 = 134 mod 68

m=69: 107 mod 69 = 38 ≠ 65 = 134 mod 69

m=70: 107 mod 70 = 37 ≠ 64 = 134 mod 70

m=71: 107 mod 71 = 36 ≠ 63 = 134 mod 71

m=72: 107 mod 72 = 35 ≠ 62 = 134 mod 72

m=73: 107 mod 73 = 34 ≠ 61 = 134 mod 73

m=74: 107 mod 74 = 33 ≠ 60 = 134 mod 74

m=75: 107 mod 75 = 32 ≠ 59 = 134 mod 75

m=76: 107 mod 76 = 31 ≠ 58 = 134 mod 76

m=77: 107 mod 77 = 30 ≠ 57 = 134 mod 77

m=78: 107 mod 78 = 29 ≠ 56 = 134 mod 78

m=79: 107 mod 79 = 28 ≠ 55 = 134 mod 79

m=80: 107 mod 80 = 27 ≠ 54 = 134 mod 80

m=81: 107 mod 81 = 26 ≠ 53 = 134 mod 81

m=82: 107 mod 82 = 25 ≠ 52 = 134 mod 82

m=83: 107 mod 83 = 24 ≠ 51 = 134 mod 83

m=84: 107 mod 84 = 23 ≠ 50 = 134 mod 84

m=85: 107 mod 85 = 22 ≠ 49 = 134 mod 85

m=86: 107 mod 86 = 21 ≠ 48 = 134 mod 86

m=87: 107 mod 87 = 20 ≠ 47 = 134 mod 87

m=88: 107 mod 88 = 19 ≠ 46 = 134 mod 88

m=89: 107 mod 89 = 18 ≠ 45 = 134 mod 89

m=90: 107 mod 90 = 17 ≠ 44 = 134 mod 90

m=91: 107 mod 91 = 16 ≠ 43 = 134 mod 91

m=92: 107 mod 92 = 15 ≠ 42 = 134 mod 92

m=93: 107 mod 93 = 14 ≠ 41 = 134 mod 93

m=94: 107 mod 94 = 13 ≠ 40 = 134 mod 94

m=95: 107 mod 95 = 12 ≠ 39 = 134 mod 95

m=96: 107 mod 96 = 11 ≠ 38 = 134 mod 96

m=97: 107 mod 97 = 10 ≠ 37 = 134 mod 97

m=98: 107 mod 98 = 9 ≠ 36 = 134 mod 98

m=99: 107 mod 99 = 8 ≠ 35 = 134 mod 99

m=100: 107 mod 100 = 7 ≠ 34 = 134 mod 100

m=101: 107 mod 101 = 6 ≠ 33 = 134 mod 101

m=102: 107 mod 102 = 5 ≠ 32 = 134 mod 102

m=103: 107 mod 103 = 4 ≠ 31 = 134 mod 103

m=104: 107 mod 104 = 3 ≠ 30 = 134 mod 104

m=105: 107 mod 105 = 2 ≠ 29 = 134 mod 105

m=106: 107 mod 106 = 1 ≠ 28 = 134 mod 106

m=107: 107 mod 107 = 0 ≠ 27 = 134 mod 107

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (134 - 107) = 27 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9; 27