Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 93 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 92, weil ja 23 ⋅ 4 = 92 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 93 - 92 = 1.
Somit gilt: 93 mod 4 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 46 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 45, weil ja 15 ⋅ 3 = 45 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 46 - 45 = 1.
Somit gilt: 46 mod 3 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 1 mod 3.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 80, z.B. 81 = 27 ⋅ 3
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 1 mod 3 sein, also addieren wir noch 1 auf die 81 und erhalten so 82.
Somit gilt: 82 ≡ 46 ≡ 1 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44995 + 17994) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44995 + 17994) mod 9 ≡ (44995 mod 9 + 17994 mod 9) mod 9.
44995 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44995
= 45000
17994 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17994
= 18000
Somit gilt:
(44995 + 17994) mod 9 ≡ (4 + 3) mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 44) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26 ⋅ 44) mod 7 ≡ (26 mod 7 ⋅ 44 mod 7) mod 7.
26 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 21 + 5 = 3 ⋅ 7 + 5 ist.
44 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 6 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(26 ⋅ 44) mod 7 ≡ (5 ⋅ 2) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 18 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 18 mod m gilt:
m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2
m=3: 12 mod 3 = 0 = 0 = 18 mod 3
m=4: 12 mod 4 = 0 ≠ 2 = 18 mod 4
m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 3 = 18 mod 5
m=6: 12 mod 6 = 0 = 0 = 18 mod 6
m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 4 = 18 mod 7
m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 2 = 18 mod 8
m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 0 = 18 mod 9
m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 8 = 18 mod 10
m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 7 = 18 mod 11
m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 6 = 18 mod 12
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 12) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
