Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 58 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 57, weil ja 19 ⋅ 3 = 57 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 58 - 57 = 1.
Somit gilt: 58 mod 3 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 78 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 76, weil ja 19 ⋅ 4 = 76 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 78 - 76 = 2.
Somit gilt: 78 mod 4 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 2 mod 4.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 90, z.B. 88 = 22 ⋅ 4
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 2 mod 4 sein, also addieren wir noch 2 auf die 88 und erhalten so 90.
Somit gilt: 90 ≡ 78 ≡ 2 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16003 - 160) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16003 - 160) mod 4 ≡ (16003 mod 4 - 160 mod 4) mod 4.
16003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16003
= 16000
160 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160
= 160
Somit gilt:
(16003 - 160) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 89) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 89) mod 11 ≡ (79 mod 11 ⋅ 89 mod 11) mod 11.
79 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 77 + 2 = 7 ⋅ 11 + 2 ist.
89 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 88 + 1 = 8 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 89) mod 11 ≡ (2 ⋅ 1) mod 11 ≡ 2 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 19 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 19 mod m gilt:
m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2
m=3: 13 mod 3 = 1 = 1 = 19 mod 3
m=4: 13 mod 4 = 1 ≠ 3 = 19 mod 4
m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 4 = 19 mod 5
m=6: 13 mod 6 = 1 = 1 = 19 mod 6
m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 5 = 19 mod 7
m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 3 = 19 mod 8
m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 1 = 19 mod 9
m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 9 = 19 mod 10
m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 8 = 19 mod 11
m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 7 = 19 mod 12
m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 6 = 19 mod 13
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 13) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
