Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 96, weil ja 16 ⋅ 6 = 96 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 100 - 96 = 4.

Somit gilt: 100 mod 6 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 54, weil ja 6 ⋅ 9 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 54 - 54 = 0.

Somit gilt: 54 mod 9 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 0 mod 9.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 10, z.B. 18 = 2 ⋅ 9

Somit gilt: 18 ≡ 54 ≡ 0 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2401 - 1593) mod 8 ≡ (2401 mod 8 - 1593 mod 8) mod 8.

2401 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2401 = 2400+1 = 8 ⋅ 300 +1.

1593 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1593 = 1600-7 = 8 ⋅ 200 -7 = 8 ⋅ 200 - 8 + 1.

Somit gilt:

(2401 - 1593) mod 8 ≡ (1 - 1) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 80) mod 3 ≡ (53 mod 3 ⋅ 80 mod 3) mod 3.

53 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 51 + 2 = 17 ⋅ 3 + 2 ist.

80 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 78 + 2 = 26 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 80) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 139 aus, ob zufällig 139 mod m = 189 mod m gilt:

m=2: 139 mod 2 = 1 = 1 = 189 mod 2

m=3: 139 mod 3 = 1 ≠ 0 = 189 mod 3

m=4: 139 mod 4 = 3 ≠ 1 = 189 mod 4

m=5: 139 mod 5 = 4 = 4 = 189 mod 5

m=6: 139 mod 6 = 1 ≠ 3 = 189 mod 6

m=7: 139 mod 7 = 6 ≠ 0 = 189 mod 7

m=8: 139 mod 8 = 3 ≠ 5 = 189 mod 8

m=9: 139 mod 9 = 4 ≠ 0 = 189 mod 9

m=10: 139 mod 10 = 9 = 9 = 189 mod 10

m=11: 139 mod 11 = 7 ≠ 2 = 189 mod 11

m=12: 139 mod 12 = 7 ≠ 9 = 189 mod 12

m=13: 139 mod 13 = 9 ≠ 7 = 189 mod 13

m=14: 139 mod 14 = 13 ≠ 7 = 189 mod 14

m=15: 139 mod 15 = 4 ≠ 9 = 189 mod 15

m=16: 139 mod 16 = 11 ≠ 13 = 189 mod 16

m=17: 139 mod 17 = 3 ≠ 2 = 189 mod 17

m=18: 139 mod 18 = 13 ≠ 9 = 189 mod 18

m=19: 139 mod 19 = 6 ≠ 18 = 189 mod 19

m=20: 139 mod 20 = 19 ≠ 9 = 189 mod 20

m=21: 139 mod 21 = 13 ≠ 0 = 189 mod 21

m=22: 139 mod 22 = 7 ≠ 13 = 189 mod 22

m=23: 139 mod 23 = 1 ≠ 5 = 189 mod 23

m=24: 139 mod 24 = 19 ≠ 21 = 189 mod 24

m=25: 139 mod 25 = 14 = 14 = 189 mod 25

m=26: 139 mod 26 = 9 ≠ 7 = 189 mod 26

m=27: 139 mod 27 = 4 ≠ 0 = 189 mod 27

m=28: 139 mod 28 = 27 ≠ 21 = 189 mod 28

m=29: 139 mod 29 = 23 ≠ 15 = 189 mod 29

m=30: 139 mod 30 = 19 ≠ 9 = 189 mod 30

m=31: 139 mod 31 = 15 ≠ 3 = 189 mod 31

m=32: 139 mod 32 = 11 ≠ 29 = 189 mod 32

m=33: 139 mod 33 = 7 ≠ 24 = 189 mod 33

m=34: 139 mod 34 = 3 ≠ 19 = 189 mod 34

m=35: 139 mod 35 = 34 ≠ 14 = 189 mod 35

m=36: 139 mod 36 = 31 ≠ 9 = 189 mod 36

m=37: 139 mod 37 = 28 ≠ 4 = 189 mod 37

m=38: 139 mod 38 = 25 ≠ 37 = 189 mod 38

m=39: 139 mod 39 = 22 ≠ 33 = 189 mod 39

m=40: 139 mod 40 = 19 ≠ 29 = 189 mod 40

m=41: 139 mod 41 = 16 ≠ 25 = 189 mod 41

m=42: 139 mod 42 = 13 ≠ 21 = 189 mod 42

m=43: 139 mod 43 = 10 ≠ 17 = 189 mod 43

m=44: 139 mod 44 = 7 ≠ 13 = 189 mod 44

m=45: 139 mod 45 = 4 ≠ 9 = 189 mod 45

m=46: 139 mod 46 = 1 ≠ 5 = 189 mod 46

m=47: 139 mod 47 = 45 ≠ 1 = 189 mod 47

m=48: 139 mod 48 = 43 ≠ 45 = 189 mod 48

m=49: 139 mod 49 = 41 ≠ 42 = 189 mod 49

m=50: 139 mod 50 = 39 = 39 = 189 mod 50

m=51: 139 mod 51 = 37 ≠ 36 = 189 mod 51

m=52: 139 mod 52 = 35 ≠ 33 = 189 mod 52

m=53: 139 mod 53 = 33 ≠ 30 = 189 mod 53

m=54: 139 mod 54 = 31 ≠ 27 = 189 mod 54

m=55: 139 mod 55 = 29 ≠ 24 = 189 mod 55

m=56: 139 mod 56 = 27 ≠ 21 = 189 mod 56

m=57: 139 mod 57 = 25 ≠ 18 = 189 mod 57

m=58: 139 mod 58 = 23 ≠ 15 = 189 mod 58

m=59: 139 mod 59 = 21 ≠ 12 = 189 mod 59

m=60: 139 mod 60 = 19 ≠ 9 = 189 mod 60

m=61: 139 mod 61 = 17 ≠ 6 = 189 mod 61

m=62: 139 mod 62 = 15 ≠ 3 = 189 mod 62

m=63: 139 mod 63 = 13 ≠ 0 = 189 mod 63

m=64: 139 mod 64 = 11 ≠ 61 = 189 mod 64

m=65: 139 mod 65 = 9 ≠ 59 = 189 mod 65

m=66: 139 mod 66 = 7 ≠ 57 = 189 mod 66

m=67: 139 mod 67 = 5 ≠ 55 = 189 mod 67

m=68: 139 mod 68 = 3 ≠ 53 = 189 mod 68

m=69: 139 mod 69 = 1 ≠ 51 = 189 mod 69

m=70: 139 mod 70 = 69 ≠ 49 = 189 mod 70

m=71: 139 mod 71 = 68 ≠ 47 = 189 mod 71

m=72: 139 mod 72 = 67 ≠ 45 = 189 mod 72

m=73: 139 mod 73 = 66 ≠ 43 = 189 mod 73

m=74: 139 mod 74 = 65 ≠ 41 = 189 mod 74

m=75: 139 mod 75 = 64 ≠ 39 = 189 mod 75

m=76: 139 mod 76 = 63 ≠ 37 = 189 mod 76

m=77: 139 mod 77 = 62 ≠ 35 = 189 mod 77

m=78: 139 mod 78 = 61 ≠ 33 = 189 mod 78

m=79: 139 mod 79 = 60 ≠ 31 = 189 mod 79

m=80: 139 mod 80 = 59 ≠ 29 = 189 mod 80

m=81: 139 mod 81 = 58 ≠ 27 = 189 mod 81

m=82: 139 mod 82 = 57 ≠ 25 = 189 mod 82

m=83: 139 mod 83 = 56 ≠ 23 = 189 mod 83

m=84: 139 mod 84 = 55 ≠ 21 = 189 mod 84

m=85: 139 mod 85 = 54 ≠ 19 = 189 mod 85

m=86: 139 mod 86 = 53 ≠ 17 = 189 mod 86

m=87: 139 mod 87 = 52 ≠ 15 = 189 mod 87

m=88: 139 mod 88 = 51 ≠ 13 = 189 mod 88

m=89: 139 mod 89 = 50 ≠ 11 = 189 mod 89

m=90: 139 mod 90 = 49 ≠ 9 = 189 mod 90

m=91: 139 mod 91 = 48 ≠ 7 = 189 mod 91

m=92: 139 mod 92 = 47 ≠ 5 = 189 mod 92

m=93: 139 mod 93 = 46 ≠ 3 = 189 mod 93

m=94: 139 mod 94 = 45 ≠ 1 = 189 mod 94

m=95: 139 mod 95 = 44 ≠ 94 = 189 mod 95

m=96: 139 mod 96 = 43 ≠ 93 = 189 mod 96

m=97: 139 mod 97 = 42 ≠ 92 = 189 mod 97

m=98: 139 mod 98 = 41 ≠ 91 = 189 mod 98

m=99: 139 mod 99 = 40 ≠ 90 = 189 mod 99

m=100: 139 mod 100 = 39 ≠ 89 = 189 mod 100

m=101: 139 mod 101 = 38 ≠ 88 = 189 mod 101

m=102: 139 mod 102 = 37 ≠ 87 = 189 mod 102

m=103: 139 mod 103 = 36 ≠ 86 = 189 mod 103

m=104: 139 mod 104 = 35 ≠ 85 = 189 mod 104

m=105: 139 mod 105 = 34 ≠ 84 = 189 mod 105

m=106: 139 mod 106 = 33 ≠ 83 = 189 mod 106

m=107: 139 mod 107 = 32 ≠ 82 = 189 mod 107

m=108: 139 mod 108 = 31 ≠ 81 = 189 mod 108

m=109: 139 mod 109 = 30 ≠ 80 = 189 mod 109

m=110: 139 mod 110 = 29 ≠ 79 = 189 mod 110

m=111: 139 mod 111 = 28 ≠ 78 = 189 mod 111

m=112: 139 mod 112 = 27 ≠ 77 = 189 mod 112

m=113: 139 mod 113 = 26 ≠ 76 = 189 mod 113

m=114: 139 mod 114 = 25 ≠ 75 = 189 mod 114

m=115: 139 mod 115 = 24 ≠ 74 = 189 mod 115

m=116: 139 mod 116 = 23 ≠ 73 = 189 mod 116

m=117: 139 mod 117 = 22 ≠ 72 = 189 mod 117

m=118: 139 mod 118 = 21 ≠ 71 = 189 mod 118

m=119: 139 mod 119 = 20 ≠ 70 = 189 mod 119

m=120: 139 mod 120 = 19 ≠ 69 = 189 mod 120

m=121: 139 mod 121 = 18 ≠ 68 = 189 mod 121

m=122: 139 mod 122 = 17 ≠ 67 = 189 mod 122

m=123: 139 mod 123 = 16 ≠ 66 = 189 mod 123

m=124: 139 mod 124 = 15 ≠ 65 = 189 mod 124

m=125: 139 mod 125 = 14 ≠ 64 = 189 mod 125

m=126: 139 mod 126 = 13 ≠ 63 = 189 mod 126

m=127: 139 mod 127 = 12 ≠ 62 = 189 mod 127

m=128: 139 mod 128 = 11 ≠ 61 = 189 mod 128

m=129: 139 mod 129 = 10 ≠ 60 = 189 mod 129

m=130: 139 mod 130 = 9 ≠ 59 = 189 mod 130

m=131: 139 mod 131 = 8 ≠ 58 = 189 mod 131

m=132: 139 mod 132 = 7 ≠ 57 = 189 mod 132

m=133: 139 mod 133 = 6 ≠ 56 = 189 mod 133

m=134: 139 mod 134 = 5 ≠ 55 = 189 mod 134

m=135: 139 mod 135 = 4 ≠ 54 = 189 mod 135

m=136: 139 mod 136 = 3 ≠ 53 = 189 mod 136

m=137: 139 mod 137 = 2 ≠ 52 = 189 mod 137

m=138: 139 mod 138 = 1 ≠ 51 = 189 mod 138

m=139: 139 mod 139 = 0 ≠ 50 = 189 mod 139

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (189 - 139) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50