Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 72 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 70, weil ja 7 ⋅ 10 = 70 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 72 - 70 = 2.
Somit gilt: 72 mod 10 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 81 für die gilt n ≡ 84 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 84 - 77 = 7.
Somit gilt: 84 mod 11 ≡ 7.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 81 für die gilt: n ≡ 7 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 70, z.B. 66 = 6 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 7 mod 11 sein, also addieren wir noch 7 auf die 66 und erhalten so 73.
Somit gilt: 73 ≡ 84 ≡ 7 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (160 - 1200) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(160 - 1200) mod 4 ≡ (160 mod 4 - 1200 mod 4) mod 4.
160 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160
= 160
1200 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200
= 1200
Somit gilt:
(160 - 1200) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 54) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 ⋅ 54) mod 9 ≡ (84 mod 9 ⋅ 54 mod 9) mod 9.
84 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 81 + 3 = 9 ⋅ 9 + 3 ist.
54 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 6 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(84 ⋅ 54) mod 9 ≡ (3 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 18 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 18 mod m gilt:
m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2
m=3: 12 mod 3 = 0 = 0 = 18 mod 3
m=4: 12 mod 4 = 0 ≠ 2 = 18 mod 4
m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 3 = 18 mod 5
m=6: 12 mod 6 = 0 = 0 = 18 mod 6
m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 4 = 18 mod 7
m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 2 = 18 mod 8
m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 0 = 18 mod 9
m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 8 = 18 mod 10
m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 7 = 18 mod 11
m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 6 = 18 mod 12
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 12) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
