Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 88, weil ja 11 ⋅ 8 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 94 - 88 = 6.

Somit gilt: 94 mod 8 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 56, weil ja 7 ⋅ 8 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 62 - 56 = 6.

Somit gilt: 62 mod 8 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 6 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 50, z.B. 48 = 6 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 6 mod 8 sein, also addieren wir noch 6 auf die 48 und erhalten so 54.

Somit gilt: 54 ≡ 62 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4002 - 1202) mod 4 ≡ (4002 mod 4 - 1202 mod 4) mod 4.

4002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4002 = 4000+2 = 4 ⋅ 1000 +2.

1202 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1202 = 1200+2 = 4 ⋅ 300 +2.

Somit gilt:

(4002 - 1202) mod 4 ≡ (2 - 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 54) mod 5 ≡ (98 mod 5 ⋅ 54 mod 5) mod 5.

98 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 95 + 3 = 19 ⋅ 5 + 3 ist.

54 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 10 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 54) mod 5 ≡ (3 ⋅ 4) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 33 aus, ob zufällig 33 mod m = 43 mod m gilt:

m=2: 33 mod 2 = 1 = 1 = 43 mod 2

m=3: 33 mod 3 = 0 ≠ 1 = 43 mod 3

m=4: 33 mod 4 = 1 ≠ 3 = 43 mod 4

m=5: 33 mod 5 = 3 = 3 = 43 mod 5

m=6: 33 mod 6 = 3 ≠ 1 = 43 mod 6

m=7: 33 mod 7 = 5 ≠ 1 = 43 mod 7

m=8: 33 mod 8 = 1 ≠ 3 = 43 mod 8

m=9: 33 mod 9 = 6 ≠ 7 = 43 mod 9

m=10: 33 mod 10 = 3 = 3 = 43 mod 10

m=11: 33 mod 11 = 0 ≠ 10 = 43 mod 11

m=12: 33 mod 12 = 9 ≠ 7 = 43 mod 12

m=13: 33 mod 13 = 7 ≠ 4 = 43 mod 13

m=14: 33 mod 14 = 5 ≠ 1 = 43 mod 14

m=15: 33 mod 15 = 3 ≠ 13 = 43 mod 15

m=16: 33 mod 16 = 1 ≠ 11 = 43 mod 16

m=17: 33 mod 17 = 16 ≠ 9 = 43 mod 17

m=18: 33 mod 18 = 15 ≠ 7 = 43 mod 18

m=19: 33 mod 19 = 14 ≠ 5 = 43 mod 19

m=20: 33 mod 20 = 13 ≠ 3 = 43 mod 20

m=21: 33 mod 21 = 12 ≠ 1 = 43 mod 21

m=22: 33 mod 22 = 11 ≠ 21 = 43 mod 22

m=23: 33 mod 23 = 10 ≠ 20 = 43 mod 23

m=24: 33 mod 24 = 9 ≠ 19 = 43 mod 24

m=25: 33 mod 25 = 8 ≠ 18 = 43 mod 25

m=26: 33 mod 26 = 7 ≠ 17 = 43 mod 26

m=27: 33 mod 27 = 6 ≠ 16 = 43 mod 27

m=28: 33 mod 28 = 5 ≠ 15 = 43 mod 28

m=29: 33 mod 29 = 4 ≠ 14 = 43 mod 29

m=30: 33 mod 30 = 3 ≠ 13 = 43 mod 30

m=31: 33 mod 31 = 2 ≠ 12 = 43 mod 31

m=32: 33 mod 32 = 1 ≠ 11 = 43 mod 32

m=33: 33 mod 33 = 0 ≠ 10 = 43 mod 33

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (43 - 33) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10