Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 92 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 90, weil ja 15 ⋅ 6 = 90 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 92 - 90 = 2.
Somit gilt: 92 mod 6 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 91 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 88, weil ja 22 ⋅ 4 = 88 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 91 - 88 = 3.
Somit gilt: 91 mod 4 ≡ 3.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 3 mod 4.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 5 ⋅ 4
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 3 mod 4 sein, also addieren wir noch 3 auf die 20 und erhalten so 23.
Somit gilt: 23 ≡ 91 ≡ 3 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (699 - 7000) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(699 - 7000) mod 7 ≡ (699 mod 7 - 7000 mod 7) mod 7.
699 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 699
= 700
7000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7000
= 7000
Somit gilt:
(699 - 7000) mod 7 ≡ (6 - 0) mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 37) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 37) mod 11 ≡ (54 mod 11 ⋅ 37 mod 11) mod 11.
54 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 44 + 10 = 4 ⋅ 11 + 10 ist.
37 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 33 + 4 = 3 ⋅ 11 + 4 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 37) mod 11 ≡ (10 ⋅ 4) mod 11 ≡ 40 mod 11 ≡ 7 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
15 mod m = 21 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 15 aus, ob zufällig 15 mod m = 21 mod m gilt:
m=2: 15 mod 2 = 1 = 1 = 21 mod 2
m=3: 15 mod 3 = 0 = 0 = 21 mod 3
m=4: 15 mod 4 = 3 ≠ 1 = 21 mod 4
m=5: 15 mod 5 = 0 ≠ 1 = 21 mod 5
m=6: 15 mod 6 = 3 = 3 = 21 mod 6
m=7: 15 mod 7 = 1 ≠ 0 = 21 mod 7
m=8: 15 mod 8 = 7 ≠ 5 = 21 mod 8
m=9: 15 mod 9 = 6 ≠ 3 = 21 mod 9
m=10: 15 mod 10 = 5 ≠ 1 = 21 mod 10
m=11: 15 mod 11 = 4 ≠ 10 = 21 mod 11
m=12: 15 mod 12 = 3 ≠ 9 = 21 mod 12
m=13: 15 mod 13 = 2 ≠ 8 = 21 mod 13
m=14: 15 mod 14 = 1 ≠ 7 = 21 mod 14
m=15: 15 mod 15 = 0 ≠ 6 = 21 mod 15
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (21 - 15) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
