Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 78 - 77 = 1.

Somit gilt: 78 mod 11 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 24, weil ja 6 ⋅ 4 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 25 - 24 = 1.

Somit gilt: 25 mod 4 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 10, z.B. 12 = 3 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 12 und erhalten so 13.

Somit gilt: 13 ≡ 25 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20003 - 16001) mod 4 ≡ (20003 mod 4 - 16001 mod 4) mod 4.

20003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20003 = 20000+3 = 4 ⋅ 5000 +3.

16001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16001 = 16000+1 = 4 ⋅ 4000 +1.

Somit gilt:

(20003 - 16001) mod 4 ≡ (3 - 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 79) mod 3 ≡ (46 mod 3 ⋅ 79 mod 3) mod 3.

46 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 15 ⋅ 3 + 1 ist.

79 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 78 + 1 = 26 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 79) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 31 aus, ob zufällig 31 mod m = 41 mod m gilt:

m=2: 31 mod 2 = 1 = 1 = 41 mod 2

m=3: 31 mod 3 = 1 ≠ 2 = 41 mod 3

m=4: 31 mod 4 = 3 ≠ 1 = 41 mod 4

m=5: 31 mod 5 = 1 = 1 = 41 mod 5

m=6: 31 mod 6 = 1 ≠ 5 = 41 mod 6

m=7: 31 mod 7 = 3 ≠ 6 = 41 mod 7

m=8: 31 mod 8 = 7 ≠ 1 = 41 mod 8

m=9: 31 mod 9 = 4 ≠ 5 = 41 mod 9

m=10: 31 mod 10 = 1 = 1 = 41 mod 10

m=11: 31 mod 11 = 9 ≠ 8 = 41 mod 11

m=12: 31 mod 12 = 7 ≠ 5 = 41 mod 12

m=13: 31 mod 13 = 5 ≠ 2 = 41 mod 13

m=14: 31 mod 14 = 3 ≠ 13 = 41 mod 14

m=15: 31 mod 15 = 1 ≠ 11 = 41 mod 15

m=16: 31 mod 16 = 15 ≠ 9 = 41 mod 16

m=17: 31 mod 17 = 14 ≠ 7 = 41 mod 17

m=18: 31 mod 18 = 13 ≠ 5 = 41 mod 18

m=19: 31 mod 19 = 12 ≠ 3 = 41 mod 19

m=20: 31 mod 20 = 11 ≠ 1 = 41 mod 20

m=21: 31 mod 21 = 10 ≠ 20 = 41 mod 21

m=22: 31 mod 22 = 9 ≠ 19 = 41 mod 22

m=23: 31 mod 23 = 8 ≠ 18 = 41 mod 23

m=24: 31 mod 24 = 7 ≠ 17 = 41 mod 24

m=25: 31 mod 25 = 6 ≠ 16 = 41 mod 25

m=26: 31 mod 26 = 5 ≠ 15 = 41 mod 26

m=27: 31 mod 27 = 4 ≠ 14 = 41 mod 27

m=28: 31 mod 28 = 3 ≠ 13 = 41 mod 28

m=29: 31 mod 29 = 2 ≠ 12 = 41 mod 29

m=30: 31 mod 30 = 1 ≠ 11 = 41 mod 30

m=31: 31 mod 31 = 0 ≠ 10 = 41 mod 31

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (41 - 31) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10