Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 21, weil ja 3 ⋅ 7 = 21 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 23 - 21 = 2.

Somit gilt: 23 mod 7 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 90, weil ja 30 ⋅ 3 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 90 - 90 = 0.

Somit gilt: 90 mod 3 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 10 ⋅ 3

Somit gilt: 30 ≡ 90 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15003 + 90) mod 3 ≡ (15003 mod 3 + 90 mod 3) mod 3.

15003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15003 = 15000+3 = 3 ⋅ 5000 +3.

90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90+0 = 3 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(15003 + 90) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 93) mod 10 ≡ (44 mod 10 ⋅ 93 mod 10) mod 10.

44 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 4 ⋅ 10 + 4 ist.

93 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 9 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 93) mod 10 ≡ (4 ⋅ 3) mod 10 ≡ 12 mod 10 ≡ 2 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 176 aus, ob zufällig 176 mod m = 221 mod m gilt:

m=2: 176 mod 2 = 0 ≠ 1 = 221 mod 2

m=3: 176 mod 3 = 2 = 2 = 221 mod 3

m=4: 176 mod 4 = 0 ≠ 1 = 221 mod 4

m=5: 176 mod 5 = 1 = 1 = 221 mod 5

m=6: 176 mod 6 = 2 ≠ 5 = 221 mod 6

m=7: 176 mod 7 = 1 ≠ 4 = 221 mod 7

m=8: 176 mod 8 = 0 ≠ 5 = 221 mod 8

m=9: 176 mod 9 = 5 = 5 = 221 mod 9

m=10: 176 mod 10 = 6 ≠ 1 = 221 mod 10

m=11: 176 mod 11 = 0 ≠ 1 = 221 mod 11

m=12: 176 mod 12 = 8 ≠ 5 = 221 mod 12

m=13: 176 mod 13 = 7 ≠ 0 = 221 mod 13

m=14: 176 mod 14 = 8 ≠ 11 = 221 mod 14

m=15: 176 mod 15 = 11 = 11 = 221 mod 15

m=16: 176 mod 16 = 0 ≠ 13 = 221 mod 16

m=17: 176 mod 17 = 6 ≠ 0 = 221 mod 17

m=18: 176 mod 18 = 14 ≠ 5 = 221 mod 18

m=19: 176 mod 19 = 5 ≠ 12 = 221 mod 19

m=20: 176 mod 20 = 16 ≠ 1 = 221 mod 20

m=21: 176 mod 21 = 8 ≠ 11 = 221 mod 21

m=22: 176 mod 22 = 0 ≠ 1 = 221 mod 22

m=23: 176 mod 23 = 15 ≠ 14 = 221 mod 23

m=24: 176 mod 24 = 8 ≠ 5 = 221 mod 24

m=25: 176 mod 25 = 1 ≠ 21 = 221 mod 25

m=26: 176 mod 26 = 20 ≠ 13 = 221 mod 26

m=27: 176 mod 27 = 14 ≠ 5 = 221 mod 27

m=28: 176 mod 28 = 8 ≠ 25 = 221 mod 28

m=29: 176 mod 29 = 2 ≠ 18 = 221 mod 29

m=30: 176 mod 30 = 26 ≠ 11 = 221 mod 30

m=31: 176 mod 31 = 21 ≠ 4 = 221 mod 31

m=32: 176 mod 32 = 16 ≠ 29 = 221 mod 32

m=33: 176 mod 33 = 11 ≠ 23 = 221 mod 33

m=34: 176 mod 34 = 6 ≠ 17 = 221 mod 34

m=35: 176 mod 35 = 1 ≠ 11 = 221 mod 35

m=36: 176 mod 36 = 32 ≠ 5 = 221 mod 36

m=37: 176 mod 37 = 28 ≠ 36 = 221 mod 37

m=38: 176 mod 38 = 24 ≠ 31 = 221 mod 38

m=39: 176 mod 39 = 20 ≠ 26 = 221 mod 39

m=40: 176 mod 40 = 16 ≠ 21 = 221 mod 40

m=41: 176 mod 41 = 12 ≠ 16 = 221 mod 41

m=42: 176 mod 42 = 8 ≠ 11 = 221 mod 42

m=43: 176 mod 43 = 4 ≠ 6 = 221 mod 43

m=44: 176 mod 44 = 0 ≠ 1 = 221 mod 44

m=45: 176 mod 45 = 41 = 41 = 221 mod 45

m=46: 176 mod 46 = 38 ≠ 37 = 221 mod 46

m=47: 176 mod 47 = 35 ≠ 33 = 221 mod 47

m=48: 176 mod 48 = 32 ≠ 29 = 221 mod 48

m=49: 176 mod 49 = 29 ≠ 25 = 221 mod 49

m=50: 176 mod 50 = 26 ≠ 21 = 221 mod 50

m=51: 176 mod 51 = 23 ≠ 17 = 221 mod 51

m=52: 176 mod 52 = 20 ≠ 13 = 221 mod 52

m=53: 176 mod 53 = 17 ≠ 9 = 221 mod 53

m=54: 176 mod 54 = 14 ≠ 5 = 221 mod 54

m=55: 176 mod 55 = 11 ≠ 1 = 221 mod 55

m=56: 176 mod 56 = 8 ≠ 53 = 221 mod 56

m=57: 176 mod 57 = 5 ≠ 50 = 221 mod 57

m=58: 176 mod 58 = 2 ≠ 47 = 221 mod 58

m=59: 176 mod 59 = 58 ≠ 44 = 221 mod 59

m=60: 176 mod 60 = 56 ≠ 41 = 221 mod 60

m=61: 176 mod 61 = 54 ≠ 38 = 221 mod 61

m=62: 176 mod 62 = 52 ≠ 35 = 221 mod 62

m=63: 176 mod 63 = 50 ≠ 32 = 221 mod 63

m=64: 176 mod 64 = 48 ≠ 29 = 221 mod 64

m=65: 176 mod 65 = 46 ≠ 26 = 221 mod 65

m=66: 176 mod 66 = 44 ≠ 23 = 221 mod 66

m=67: 176 mod 67 = 42 ≠ 20 = 221 mod 67

m=68: 176 mod 68 = 40 ≠ 17 = 221 mod 68

m=69: 176 mod 69 = 38 ≠ 14 = 221 mod 69

m=70: 176 mod 70 = 36 ≠ 11 = 221 mod 70

m=71: 176 mod 71 = 34 ≠ 8 = 221 mod 71

m=72: 176 mod 72 = 32 ≠ 5 = 221 mod 72

m=73: 176 mod 73 = 30 ≠ 2 = 221 mod 73

m=74: 176 mod 74 = 28 ≠ 73 = 221 mod 74

m=75: 176 mod 75 = 26 ≠ 71 = 221 mod 75

m=76: 176 mod 76 = 24 ≠ 69 = 221 mod 76

m=77: 176 mod 77 = 22 ≠ 67 = 221 mod 77

m=78: 176 mod 78 = 20 ≠ 65 = 221 mod 78

m=79: 176 mod 79 = 18 ≠ 63 = 221 mod 79

m=80: 176 mod 80 = 16 ≠ 61 = 221 mod 80

m=81: 176 mod 81 = 14 ≠ 59 = 221 mod 81

m=82: 176 mod 82 = 12 ≠ 57 = 221 mod 82

m=83: 176 mod 83 = 10 ≠ 55 = 221 mod 83

m=84: 176 mod 84 = 8 ≠ 53 = 221 mod 84

m=85: 176 mod 85 = 6 ≠ 51 = 221 mod 85

m=86: 176 mod 86 = 4 ≠ 49 = 221 mod 86

m=87: 176 mod 87 = 2 ≠ 47 = 221 mod 87

m=88: 176 mod 88 = 0 ≠ 45 = 221 mod 88

m=89: 176 mod 89 = 87 ≠ 43 = 221 mod 89

m=90: 176 mod 90 = 86 ≠ 41 = 221 mod 90

m=91: 176 mod 91 = 85 ≠ 39 = 221 mod 91

m=92: 176 mod 92 = 84 ≠ 37 = 221 mod 92

m=93: 176 mod 93 = 83 ≠ 35 = 221 mod 93

m=94: 176 mod 94 = 82 ≠ 33 = 221 mod 94

m=95: 176 mod 95 = 81 ≠ 31 = 221 mod 95

m=96: 176 mod 96 = 80 ≠ 29 = 221 mod 96

m=97: 176 mod 97 = 79 ≠ 27 = 221 mod 97

m=98: 176 mod 98 = 78 ≠ 25 = 221 mod 98

m=99: 176 mod 99 = 77 ≠ 23 = 221 mod 99

m=100: 176 mod 100 = 76 ≠ 21 = 221 mod 100

m=101: 176 mod 101 = 75 ≠ 19 = 221 mod 101

m=102: 176 mod 102 = 74 ≠ 17 = 221 mod 102

m=103: 176 mod 103 = 73 ≠ 15 = 221 mod 103

m=104: 176 mod 104 = 72 ≠ 13 = 221 mod 104

m=105: 176 mod 105 = 71 ≠ 11 = 221 mod 105

m=106: 176 mod 106 = 70 ≠ 9 = 221 mod 106

m=107: 176 mod 107 = 69 ≠ 7 = 221 mod 107

m=108: 176 mod 108 = 68 ≠ 5 = 221 mod 108

m=109: 176 mod 109 = 67 ≠ 3 = 221 mod 109

m=110: 176 mod 110 = 66 ≠ 1 = 221 mod 110

m=111: 176 mod 111 = 65 ≠ 110 = 221 mod 111

m=112: 176 mod 112 = 64 ≠ 109 = 221 mod 112

m=113: 176 mod 113 = 63 ≠ 108 = 221 mod 113

m=114: 176 mod 114 = 62 ≠ 107 = 221 mod 114

m=115: 176 mod 115 = 61 ≠ 106 = 221 mod 115

m=116: 176 mod 116 = 60 ≠ 105 = 221 mod 116

m=117: 176 mod 117 = 59 ≠ 104 = 221 mod 117

m=118: 176 mod 118 = 58 ≠ 103 = 221 mod 118

m=119: 176 mod 119 = 57 ≠ 102 = 221 mod 119

m=120: 176 mod 120 = 56 ≠ 101 = 221 mod 120

m=121: 176 mod 121 = 55 ≠ 100 = 221 mod 121

m=122: 176 mod 122 = 54 ≠ 99 = 221 mod 122

m=123: 176 mod 123 = 53 ≠ 98 = 221 mod 123

m=124: 176 mod 124 = 52 ≠ 97 = 221 mod 124

m=125: 176 mod 125 = 51 ≠ 96 = 221 mod 125

m=126: 176 mod 126 = 50 ≠ 95 = 221 mod 126

m=127: 176 mod 127 = 49 ≠ 94 = 221 mod 127

m=128: 176 mod 128 = 48 ≠ 93 = 221 mod 128

m=129: 176 mod 129 = 47 ≠ 92 = 221 mod 129

m=130: 176 mod 130 = 46 ≠ 91 = 221 mod 130

m=131: 176 mod 131 = 45 ≠ 90 = 221 mod 131

m=132: 176 mod 132 = 44 ≠ 89 = 221 mod 132

m=133: 176 mod 133 = 43 ≠ 88 = 221 mod 133

m=134: 176 mod 134 = 42 ≠ 87 = 221 mod 134

m=135: 176 mod 135 = 41 ≠ 86 = 221 mod 135

m=136: 176 mod 136 = 40 ≠ 85 = 221 mod 136

m=137: 176 mod 137 = 39 ≠ 84 = 221 mod 137

m=138: 176 mod 138 = 38 ≠ 83 = 221 mod 138

m=139: 176 mod 139 = 37 ≠ 82 = 221 mod 139

m=140: 176 mod 140 = 36 ≠ 81 = 221 mod 140

m=141: 176 mod 141 = 35 ≠ 80 = 221 mod 141

m=142: 176 mod 142 = 34 ≠ 79 = 221 mod 142

m=143: 176 mod 143 = 33 ≠ 78 = 221 mod 143

m=144: 176 mod 144 = 32 ≠ 77 = 221 mod 144

m=145: 176 mod 145 = 31 ≠ 76 = 221 mod 145

m=146: 176 mod 146 = 30 ≠ 75 = 221 mod 146

m=147: 176 mod 147 = 29 ≠ 74 = 221 mod 147

m=148: 176 mod 148 = 28 ≠ 73 = 221 mod 148

m=149: 176 mod 149 = 27 ≠ 72 = 221 mod 149

m=150: 176 mod 150 = 26 ≠ 71 = 221 mod 150

m=151: 176 mod 151 = 25 ≠ 70 = 221 mod 151

m=152: 176 mod 152 = 24 ≠ 69 = 221 mod 152

m=153: 176 mod 153 = 23 ≠ 68 = 221 mod 153

m=154: 176 mod 154 = 22 ≠ 67 = 221 mod 154

m=155: 176 mod 155 = 21 ≠ 66 = 221 mod 155

m=156: 176 mod 156 = 20 ≠ 65 = 221 mod 156

m=157: 176 mod 157 = 19 ≠ 64 = 221 mod 157

m=158: 176 mod 158 = 18 ≠ 63 = 221 mod 158

m=159: 176 mod 159 = 17 ≠ 62 = 221 mod 159

m=160: 176 mod 160 = 16 ≠ 61 = 221 mod 160

m=161: 176 mod 161 = 15 ≠ 60 = 221 mod 161

m=162: 176 mod 162 = 14 ≠ 59 = 221 mod 162

m=163: 176 mod 163 = 13 ≠ 58 = 221 mod 163

m=164: 176 mod 164 = 12 ≠ 57 = 221 mod 164

m=165: 176 mod 165 = 11 ≠ 56 = 221 mod 165

m=166: 176 mod 166 = 10 ≠ 55 = 221 mod 166

m=167: 176 mod 167 = 9 ≠ 54 = 221 mod 167

m=168: 176 mod 168 = 8 ≠ 53 = 221 mod 168

m=169: 176 mod 169 = 7 ≠ 52 = 221 mod 169

m=170: 176 mod 170 = 6 ≠ 51 = 221 mod 170

m=171: 176 mod 171 = 5 ≠ 50 = 221 mod 171

m=172: 176 mod 172 = 4 ≠ 49 = 221 mod 172

m=173: 176 mod 173 = 3 ≠ 48 = 221 mod 173

m=174: 176 mod 174 = 2 ≠ 47 = 221 mod 174

m=175: 176 mod 175 = 1 ≠ 46 = 221 mod 175

m=176: 176 mod 176 = 0 ≠ 45 = 221 mod 176

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (221 - 176) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45