Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 94 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 92, weil ja 23 ⋅ 4 = 92 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 94 - 92 = 2.
Somit gilt: 94 mod 4 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 78 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 72, weil ja 8 ⋅ 9 = 72 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 78 - 72 = 6.
Somit gilt: 78 mod 9 ≡ 6.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 6 mod 9.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 20, z.B. 18 = 2 ⋅ 9
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 6 mod 9 sein, also addieren wir noch 6 auf die 18 und erhalten so 24.
Somit gilt: 24 ≡ 78 ≡ 6 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (159 - 1996) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(159 - 1996) mod 4 ≡ (159 mod 4 - 1996 mod 4) mod 4.
159 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 159
= 160
1996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1996
= 1900
Somit gilt:
(159 - 1996) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 100) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(69 ⋅ 100) mod 8 ≡ (69 mod 8 ⋅ 100 mod 8) mod 8.
69 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 64 + 5 = 8 ⋅ 8 + 5 ist.
100 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 96 + 4 = 12 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(69 ⋅ 100) mod 8 ≡ (5 ⋅ 4) mod 8 ≡ 20 mod 8 ≡ 4 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
15 mod m = 21 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 15 aus, ob zufällig 15 mod m = 21 mod m gilt:
m=2: 15 mod 2 = 1 = 1 = 21 mod 2
m=3: 15 mod 3 = 0 = 0 = 21 mod 3
m=4: 15 mod 4 = 3 ≠ 1 = 21 mod 4
m=5: 15 mod 5 = 0 ≠ 1 = 21 mod 5
m=6: 15 mod 6 = 3 = 3 = 21 mod 6
m=7: 15 mod 7 = 1 ≠ 0 = 21 mod 7
m=8: 15 mod 8 = 7 ≠ 5 = 21 mod 8
m=9: 15 mod 9 = 6 ≠ 3 = 21 mod 9
m=10: 15 mod 10 = 5 ≠ 1 = 21 mod 10
m=11: 15 mod 11 = 4 ≠ 10 = 21 mod 11
m=12: 15 mod 12 = 3 ≠ 9 = 21 mod 12
m=13: 15 mod 13 = 2 ≠ 8 = 21 mod 13
m=14: 15 mod 14 = 1 ≠ 7 = 21 mod 14
m=15: 15 mod 15 = 0 ≠ 6 = 21 mod 15
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (21 - 15) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
