Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 54 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 48, weil ja 6 ⋅ 8 = 48 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 54 - 48 = 6.
Somit gilt: 54 mod 8 ≡ 6.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 84 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 84, weil ja 14 ⋅ 6 = 84 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 84 - 84 = 0.
Somit gilt: 84 mod 6 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 0 mod 6.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 12 ⋅ 6
Somit gilt: 72 ≡ 84 ≡ 0 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15996 - 31995) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15996 - 31995) mod 8 ≡ (15996 mod 8 - 31995 mod 8) mod 8.
15996 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15996
= 15000
31995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31995
= 31000
Somit gilt:
(15996 - 31995) mod 8 ≡ (4 - 3) mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 22) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 22) mod 9 ≡ (24 mod 9 ⋅ 22 mod 9) mod 9.
24 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 18 + 6 = 2 ⋅ 9 + 6 ist.
22 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 18 + 4 = 2 ⋅ 9 + 4 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 22) mod 9 ≡ (6 ⋅ 4) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
17 mod m = 23 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 17 aus, ob zufällig 17 mod m = 23 mod m gilt:
m=2: 17 mod 2 = 1 = 1 = 23 mod 2
m=3: 17 mod 3 = 2 = 2 = 23 mod 3
m=4: 17 mod 4 = 1 ≠ 3 = 23 mod 4
m=5: 17 mod 5 = 2 ≠ 3 = 23 mod 5
m=6: 17 mod 6 = 5 = 5 = 23 mod 6
m=7: 17 mod 7 = 3 ≠ 2 = 23 mod 7
m=8: 17 mod 8 = 1 ≠ 7 = 23 mod 8
m=9: 17 mod 9 = 8 ≠ 5 = 23 mod 9
m=10: 17 mod 10 = 7 ≠ 3 = 23 mod 10
m=11: 17 mod 11 = 6 ≠ 1 = 23 mod 11
m=12: 17 mod 12 = 5 ≠ 11 = 23 mod 12
m=13: 17 mod 13 = 4 ≠ 10 = 23 mod 13
m=14: 17 mod 14 = 3 ≠ 9 = 23 mod 14
m=15: 17 mod 15 = 2 ≠ 8 = 23 mod 15
m=16: 17 mod 16 = 1 ≠ 7 = 23 mod 16
m=17: 17 mod 17 = 0 ≠ 6 = 23 mod 17
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (23 - 17) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
