Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 31 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 28, weil ja 7 ⋅ 4 = 28 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 31 - 28 = 3.
Somit gilt: 31 mod 4 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 83 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 83 - 81 = 2.
Somit gilt: 83 mod 9 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 2 mod 9.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 60, z.B. 63 = 7 ⋅ 9
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 2 mod 9 sein, also addieren wir noch 2 auf die 63 und erhalten so 65.
Somit gilt: 65 ≡ 83 ≡ 2 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (358 + 360) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(358 + 360) mod 9 ≡ (358 mod 9 + 360 mod 9) mod 9.
358 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 358
= 360
360 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 360
= 360
Somit gilt:
(358 + 360) mod 9 ≡ (7 + 0) mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 30) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 30) mod 6 ≡ (37 mod 6 ⋅ 30 mod 6) mod 6.
37 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 6 ⋅ 6 + 1 ist.
30 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 5 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 30) mod 6 ≡ (1 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
237 mod m = 312 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 237 aus, ob zufällig 237 mod m = 312 mod m gilt:
m=2: 237 mod 2 = 1 ≠ 0 = 312 mod 2
m=3: 237 mod 3 = 0 = 0 = 312 mod 3
m=4: 237 mod 4 = 1 ≠ 0 = 312 mod 4
m=5: 237 mod 5 = 2 = 2 = 312 mod 5
m=6: 237 mod 6 = 3 ≠ 0 = 312 mod 6
m=7: 237 mod 7 = 6 ≠ 4 = 312 mod 7
m=8: 237 mod 8 = 5 ≠ 0 = 312 mod 8
m=9: 237 mod 9 = 3 ≠ 6 = 312 mod 9
m=10: 237 mod 10 = 7 ≠ 2 = 312 mod 10
m=11: 237 mod 11 = 6 ≠ 4 = 312 mod 11
m=12: 237 mod 12 = 9 ≠ 0 = 312 mod 12
m=13: 237 mod 13 = 3 ≠ 0 = 312 mod 13
m=14: 237 mod 14 = 13 ≠ 4 = 312 mod 14
m=15: 237 mod 15 = 12 = 12 = 312 mod 15
m=16: 237 mod 16 = 13 ≠ 8 = 312 mod 16
m=17: 237 mod 17 = 16 ≠ 6 = 312 mod 17
m=18: 237 mod 18 = 3 ≠ 6 = 312 mod 18
m=19: 237 mod 19 = 9 ≠ 8 = 312 mod 19
m=20: 237 mod 20 = 17 ≠ 12 = 312 mod 20
m=21: 237 mod 21 = 6 ≠ 18 = 312 mod 21
m=22: 237 mod 22 = 17 ≠ 4 = 312 mod 22
m=23: 237 mod 23 = 7 ≠ 13 = 312 mod 23
m=24: 237 mod 24 = 21 ≠ 0 = 312 mod 24
m=25: 237 mod 25 = 12 = 12 = 312 mod 25
m=26: 237 mod 26 = 3 ≠ 0 = 312 mod 26
m=27: 237 mod 27 = 21 ≠ 15 = 312 mod 27
m=28: 237 mod 28 = 13 ≠ 4 = 312 mod 28
m=29: 237 mod 29 = 5 ≠ 22 = 312 mod 29
m=30: 237 mod 30 = 27 ≠ 12 = 312 mod 30
m=31: 237 mod 31 = 20 ≠ 2 = 312 mod 31
m=32: 237 mod 32 = 13 ≠ 24 = 312 mod 32
m=33: 237 mod 33 = 6 ≠ 15 = 312 mod 33
m=34: 237 mod 34 = 33 ≠ 6 = 312 mod 34
m=35: 237 mod 35 = 27 ≠ 32 = 312 mod 35
m=36: 237 mod 36 = 21 ≠ 24 = 312 mod 36
m=37: 237 mod 37 = 15 ≠ 16 = 312 mod 37
m=38: 237 mod 38 = 9 ≠ 8 = 312 mod 38
m=39: 237 mod 39 = 3 ≠ 0 = 312 mod 39
m=40: 237 mod 40 = 37 ≠ 32 = 312 mod 40
m=41: 237 mod 41 = 32 ≠ 25 = 312 mod 41
m=42: 237 mod 42 = 27 ≠ 18 = 312 mod 42
m=43: 237 mod 43 = 22 ≠ 11 = 312 mod 43
m=44: 237 mod 44 = 17 ≠ 4 = 312 mod 44
m=45: 237 mod 45 = 12 ≠ 42 = 312 mod 45
m=46: 237 mod 46 = 7 ≠ 36 = 312 mod 46
m=47: 237 mod 47 = 2 ≠ 30 = 312 mod 47
m=48: 237 mod 48 = 45 ≠ 24 = 312 mod 48
m=49: 237 mod 49 = 41 ≠ 18 = 312 mod 49
m=50: 237 mod 50 = 37 ≠ 12 = 312 mod 50
m=51: 237 mod 51 = 33 ≠ 6 = 312 mod 51
m=52: 237 mod 52 = 29 ≠ 0 = 312 mod 52
m=53: 237 mod 53 = 25 ≠ 47 = 312 mod 53
m=54: 237 mod 54 = 21 ≠ 42 = 312 mod 54
m=55: 237 mod 55 = 17 ≠ 37 = 312 mod 55
m=56: 237 mod 56 = 13 ≠ 32 = 312 mod 56
m=57: 237 mod 57 = 9 ≠ 27 = 312 mod 57
m=58: 237 mod 58 = 5 ≠ 22 = 312 mod 58
m=59: 237 mod 59 = 1 ≠ 17 = 312 mod 59
m=60: 237 mod 60 = 57 ≠ 12 = 312 mod 60
m=61: 237 mod 61 = 54 ≠ 7 = 312 mod 61
m=62: 237 mod 62 = 51 ≠ 2 = 312 mod 62
m=63: 237 mod 63 = 48 ≠ 60 = 312 mod 63
m=64: 237 mod 64 = 45 ≠ 56 = 312 mod 64
m=65: 237 mod 65 = 42 ≠ 52 = 312 mod 65
m=66: 237 mod 66 = 39 ≠ 48 = 312 mod 66
m=67: 237 mod 67 = 36 ≠ 44 = 312 mod 67
m=68: 237 mod 68 = 33 ≠ 40 = 312 mod 68
m=69: 237 mod 69 = 30 ≠ 36 = 312 mod 69
m=70: 237 mod 70 = 27 ≠ 32 = 312 mod 70
m=71: 237 mod 71 = 24 ≠ 28 = 312 mod 71
m=72: 237 mod 72 = 21 ≠ 24 = 312 mod 72
m=73: 237 mod 73 = 18 ≠ 20 = 312 mod 73
m=74: 237 mod 74 = 15 ≠ 16 = 312 mod 74
m=75: 237 mod 75 = 12 = 12 = 312 mod 75
m=76: 237 mod 76 = 9 ≠ 8 = 312 mod 76
m=77: 237 mod 77 = 6 ≠ 4 = 312 mod 77
m=78: 237 mod 78 = 3 ≠ 0 = 312 mod 78
m=79: 237 mod 79 = 0 ≠ 75 = 312 mod 79
m=80: 237 mod 80 = 77 ≠ 72 = 312 mod 80
m=81: 237 mod 81 = 75 ≠ 69 = 312 mod 81
m=82: 237 mod 82 = 73 ≠ 66 = 312 mod 82
m=83: 237 mod 83 = 71 ≠ 63 = 312 mod 83
m=84: 237 mod 84 = 69 ≠ 60 = 312 mod 84
m=85: 237 mod 85 = 67 ≠ 57 = 312 mod 85
m=86: 237 mod 86 = 65 ≠ 54 = 312 mod 86
m=87: 237 mod 87 = 63 ≠ 51 = 312 mod 87
m=88: 237 mod 88 = 61 ≠ 48 = 312 mod 88
m=89: 237 mod 89 = 59 ≠ 45 = 312 mod 89
m=90: 237 mod 90 = 57 ≠ 42 = 312 mod 90
m=91: 237 mod 91 = 55 ≠ 39 = 312 mod 91
m=92: 237 mod 92 = 53 ≠ 36 = 312 mod 92
m=93: 237 mod 93 = 51 ≠ 33 = 312 mod 93
m=94: 237 mod 94 = 49 ≠ 30 = 312 mod 94
m=95: 237 mod 95 = 47 ≠ 27 = 312 mod 95
m=96: 237 mod 96 = 45 ≠ 24 = 312 mod 96
m=97: 237 mod 97 = 43 ≠ 21 = 312 mod 97
m=98: 237 mod 98 = 41 ≠ 18 = 312 mod 98
m=99: 237 mod 99 = 39 ≠ 15 = 312 mod 99
m=100: 237 mod 100 = 37 ≠ 12 = 312 mod 100
m=101: 237 mod 101 = 35 ≠ 9 = 312 mod 101
m=102: 237 mod 102 = 33 ≠ 6 = 312 mod 102
m=103: 237 mod 103 = 31 ≠ 3 = 312 mod 103
m=104: 237 mod 104 = 29 ≠ 0 = 312 mod 104
m=105: 237 mod 105 = 27 ≠ 102 = 312 mod 105
m=106: 237 mod 106 = 25 ≠ 100 = 312 mod 106
m=107: 237 mod 107 = 23 ≠ 98 = 312 mod 107
m=108: 237 mod 108 = 21 ≠ 96 = 312 mod 108
m=109: 237 mod 109 = 19 ≠ 94 = 312 mod 109
m=110: 237 mod 110 = 17 ≠ 92 = 312 mod 110
m=111: 237 mod 111 = 15 ≠ 90 = 312 mod 111
m=112: 237 mod 112 = 13 ≠ 88 = 312 mod 112
m=113: 237 mod 113 = 11 ≠ 86 = 312 mod 113
m=114: 237 mod 114 = 9 ≠ 84 = 312 mod 114
m=115: 237 mod 115 = 7 ≠ 82 = 312 mod 115
m=116: 237 mod 116 = 5 ≠ 80 = 312 mod 116
m=117: 237 mod 117 = 3 ≠ 78 = 312 mod 117
m=118: 237 mod 118 = 1 ≠ 76 = 312 mod 118
m=119: 237 mod 119 = 118 ≠ 74 = 312 mod 119
m=120: 237 mod 120 = 117 ≠ 72 = 312 mod 120
m=121: 237 mod 121 = 116 ≠ 70 = 312 mod 121
m=122: 237 mod 122 = 115 ≠ 68 = 312 mod 122
m=123: 237 mod 123 = 114 ≠ 66 = 312 mod 123
m=124: 237 mod 124 = 113 ≠ 64 = 312 mod 124
m=125: 237 mod 125 = 112 ≠ 62 = 312 mod 125
m=126: 237 mod 126 = 111 ≠ 60 = 312 mod 126
m=127: 237 mod 127 = 110 ≠ 58 = 312 mod 127
m=128: 237 mod 128 = 109 ≠ 56 = 312 mod 128
m=129: 237 mod 129 = 108 ≠ 54 = 312 mod 129
m=130: 237 mod 130 = 107 ≠ 52 = 312 mod 130
m=131: 237 mod 131 = 106 ≠ 50 = 312 mod 131
m=132: 237 mod 132 = 105 ≠ 48 = 312 mod 132
m=133: 237 mod 133 = 104 ≠ 46 = 312 mod 133
m=134: 237 mod 134 = 103 ≠ 44 = 312 mod 134
m=135: 237 mod 135 = 102 ≠ 42 = 312 mod 135
m=136: 237 mod 136 = 101 ≠ 40 = 312 mod 136
m=137: 237 mod 137 = 100 ≠ 38 = 312 mod 137
m=138: 237 mod 138 = 99 ≠ 36 = 312 mod 138
m=139: 237 mod 139 = 98 ≠ 34 = 312 mod 139
m=140: 237 mod 140 = 97 ≠ 32 = 312 mod 140
m=141: 237 mod 141 = 96 ≠ 30 = 312 mod 141
m=142: 237 mod 142 = 95 ≠ 28 = 312 mod 142
m=143: 237 mod 143 = 94 ≠ 26 = 312 mod 143
m=144: 237 mod 144 = 93 ≠ 24 = 312 mod 144
m=145: 237 mod 145 = 92 ≠ 22 = 312 mod 145
m=146: 237 mod 146 = 91 ≠ 20 = 312 mod 146
m=147: 237 mod 147 = 90 ≠ 18 = 312 mod 147
m=148: 237 mod 148 = 89 ≠ 16 = 312 mod 148
m=149: 237 mod 149 = 88 ≠ 14 = 312 mod 149
m=150: 237 mod 150 = 87 ≠ 12 = 312 mod 150
m=151: 237 mod 151 = 86 ≠ 10 = 312 mod 151
m=152: 237 mod 152 = 85 ≠ 8 = 312 mod 152
m=153: 237 mod 153 = 84 ≠ 6 = 312 mod 153
m=154: 237 mod 154 = 83 ≠ 4 = 312 mod 154
m=155: 237 mod 155 = 82 ≠ 2 = 312 mod 155
m=156: 237 mod 156 = 81 ≠ 0 = 312 mod 156
m=157: 237 mod 157 = 80 ≠ 155 = 312 mod 157
m=158: 237 mod 158 = 79 ≠ 154 = 312 mod 158
m=159: 237 mod 159 = 78 ≠ 153 = 312 mod 159
m=160: 237 mod 160 = 77 ≠ 152 = 312 mod 160
m=161: 237 mod 161 = 76 ≠ 151 = 312 mod 161
m=162: 237 mod 162 = 75 ≠ 150 = 312 mod 162
m=163: 237 mod 163 = 74 ≠ 149 = 312 mod 163
m=164: 237 mod 164 = 73 ≠ 148 = 312 mod 164
m=165: 237 mod 165 = 72 ≠ 147 = 312 mod 165
m=166: 237 mod 166 = 71 ≠ 146 = 312 mod 166
m=167: 237 mod 167 = 70 ≠ 145 = 312 mod 167
m=168: 237 mod 168 = 69 ≠ 144 = 312 mod 168
m=169: 237 mod 169 = 68 ≠ 143 = 312 mod 169
m=170: 237 mod 170 = 67 ≠ 142 = 312 mod 170
m=171: 237 mod 171 = 66 ≠ 141 = 312 mod 171
m=172: 237 mod 172 = 65 ≠ 140 = 312 mod 172
m=173: 237 mod 173 = 64 ≠ 139 = 312 mod 173
m=174: 237 mod 174 = 63 ≠ 138 = 312 mod 174
m=175: 237 mod 175 = 62 ≠ 137 = 312 mod 175
m=176: 237 mod 176 = 61 ≠ 136 = 312 mod 176
m=177: 237 mod 177 = 60 ≠ 135 = 312 mod 177
m=178: 237 mod 178 = 59 ≠ 134 = 312 mod 178
m=179: 237 mod 179 = 58 ≠ 133 = 312 mod 179
m=180: 237 mod 180 = 57 ≠ 132 = 312 mod 180
m=181: 237 mod 181 = 56 ≠ 131 = 312 mod 181
m=182: 237 mod 182 = 55 ≠ 130 = 312 mod 182
m=183: 237 mod 183 = 54 ≠ 129 = 312 mod 183
m=184: 237 mod 184 = 53 ≠ 128 = 312 mod 184
m=185: 237 mod 185 = 52 ≠ 127 = 312 mod 185
m=186: 237 mod 186 = 51 ≠ 126 = 312 mod 186
m=187: 237 mod 187 = 50 ≠ 125 = 312 mod 187
m=188: 237 mod 188 = 49 ≠ 124 = 312 mod 188
m=189: 237 mod 189 = 48 ≠ 123 = 312 mod 189
m=190: 237 mod 190 = 47 ≠ 122 = 312 mod 190
m=191: 237 mod 191 = 46 ≠ 121 = 312 mod 191
m=192: 237 mod 192 = 45 ≠ 120 = 312 mod 192
m=193: 237 mod 193 = 44 ≠ 119 = 312 mod 193
m=194: 237 mod 194 = 43 ≠ 118 = 312 mod 194
m=195: 237 mod 195 = 42 ≠ 117 = 312 mod 195
m=196: 237 mod 196 = 41 ≠ 116 = 312 mod 196
m=197: 237 mod 197 = 40 ≠ 115 = 312 mod 197
m=198: 237 mod 198 = 39 ≠ 114 = 312 mod 198
m=199: 237 mod 199 = 38 ≠ 113 = 312 mod 199
m=200: 237 mod 200 = 37 ≠ 112 = 312 mod 200
m=201: 237 mod 201 = 36 ≠ 111 = 312 mod 201
m=202: 237 mod 202 = 35 ≠ 110 = 312 mod 202
m=203: 237 mod 203 = 34 ≠ 109 = 312 mod 203
m=204: 237 mod 204 = 33 ≠ 108 = 312 mod 204
m=205: 237 mod 205 = 32 ≠ 107 = 312 mod 205
m=206: 237 mod 206 = 31 ≠ 106 = 312 mod 206
m=207: 237 mod 207 = 30 ≠ 105 = 312 mod 207
m=208: 237 mod 208 = 29 ≠ 104 = 312 mod 208
m=209: 237 mod 209 = 28 ≠ 103 = 312 mod 209
m=210: 237 mod 210 = 27 ≠ 102 = 312 mod 210
m=211: 237 mod 211 = 26 ≠ 101 = 312 mod 211
m=212: 237 mod 212 = 25 ≠ 100 = 312 mod 212
m=213: 237 mod 213 = 24 ≠ 99 = 312 mod 213
m=214: 237 mod 214 = 23 ≠ 98 = 312 mod 214
m=215: 237 mod 215 = 22 ≠ 97 = 312 mod 215
m=216: 237 mod 216 = 21 ≠ 96 = 312 mod 216
m=217: 237 mod 217 = 20 ≠ 95 = 312 mod 217
m=218: 237 mod 218 = 19 ≠ 94 = 312 mod 218
m=219: 237 mod 219 = 18 ≠ 93 = 312 mod 219
m=220: 237 mod 220 = 17 ≠ 92 = 312 mod 220
m=221: 237 mod 221 = 16 ≠ 91 = 312 mod 221
m=222: 237 mod 222 = 15 ≠ 90 = 312 mod 222
m=223: 237 mod 223 = 14 ≠ 89 = 312 mod 223
m=224: 237 mod 224 = 13 ≠ 88 = 312 mod 224
m=225: 237 mod 225 = 12 ≠ 87 = 312 mod 225
m=226: 237 mod 226 = 11 ≠ 86 = 312 mod 226
m=227: 237 mod 227 = 10 ≠ 85 = 312 mod 227
m=228: 237 mod 228 = 9 ≠ 84 = 312 mod 228
m=229: 237 mod 229 = 8 ≠ 83 = 312 mod 229
m=230: 237 mod 230 = 7 ≠ 82 = 312 mod 230
m=231: 237 mod 231 = 6 ≠ 81 = 312 mod 231
m=232: 237 mod 232 = 5 ≠ 80 = 312 mod 232
m=233: 237 mod 233 = 4 ≠ 79 = 312 mod 233
m=234: 237 mod 234 = 3 ≠ 78 = 312 mod 234
m=235: 237 mod 235 = 2 ≠ 77 = 312 mod 235
m=236: 237 mod 236 = 1 ≠ 76 = 312 mod 236
m=237: 237 mod 237 = 0 ≠ 75 = 312 mod 237
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (312 - 237) = 75 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 15; 25; 75
