Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 21, weil ja 3 ⋅ 7 = 21 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 22 - 21 = 1.

Somit gilt: 22 mod 7 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 33, weil ja 11 ⋅ 3 = 33 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 33 - 33 = 0.

Somit gilt: 33 mod 3 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 30 ⋅ 3

Somit gilt: 90 ≡ 33 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(235 + 174) mod 6 ≡ (235 mod 6 + 174 mod 6) mod 6.

235 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 235 = 240-5 = 6 ⋅ 40 -5 = 6 ⋅ 40 - 6 + 1.

174 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 174 = 180-6 = 6 ⋅ 30 -6 = 6 ⋅ 30 - 6 + 0.

Somit gilt:

(235 + 174) mod 6 ≡ (1 + 0) mod 6 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 26) mod 3 ≡ (70 mod 3 ⋅ 26 mod 3) mod 3.

70 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 69 + 1 = 23 ⋅ 3 + 1 ist.

26 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 8 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 26) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 9 aus, ob zufällig 9 mod m = 13 mod m gilt:

m=2: 9 mod 2 = 1 = 1 = 13 mod 2

m=3: 9 mod 3 = 0 ≠ 1 = 13 mod 3

m=4: 9 mod 4 = 1 = 1 = 13 mod 4

m=5: 9 mod 5 = 4 ≠ 3 = 13 mod 5

m=6: 9 mod 6 = 3 ≠ 1 = 13 mod 6

m=7: 9 mod 7 = 2 ≠ 6 = 13 mod 7

m=8: 9 mod 8 = 1 ≠ 5 = 13 mod 8

m=9: 9 mod 9 = 0 ≠ 4 = 13 mod 9

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (13 - 9) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4