Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 15 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 12, weil ja 3 ⋅ 4 = 12 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 15 - 12 = 3.
Somit gilt: 15 mod 4 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 53 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 51, weil ja 17 ⋅ 3 = 51 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 53 - 51 = 2.
Somit gilt: 53 mod 3 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 20 ⋅ 3
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 60 und erhalten so 62.
Somit gilt: 62 ≡ 53 ≡ 2 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 + 36008) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 + 36008) mod 9 ≡ (88 mod 9 + 36008 mod 9) mod 9.
88 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88
= 90
36008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36008
= 36000
Somit gilt:
(88 + 36008) mod 9 ≡ (7 + 8) mod 9 ≡ 15 mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 71) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 ⋅ 71) mod 6 ≡ (70 mod 6 ⋅ 71 mod 6) mod 6.
70 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 11 ⋅ 6 + 4 ist.
71 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 66 + 5 = 11 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(70 ⋅ 71) mod 6 ≡ (4 ⋅ 5) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
112 mod m = 142 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 112 aus, ob zufällig 112 mod m = 142 mod m gilt:
m=2: 112 mod 2 = 0 = 0 = 142 mod 2
m=3: 112 mod 3 = 1 = 1 = 142 mod 3
m=4: 112 mod 4 = 0 ≠ 2 = 142 mod 4
m=5: 112 mod 5 = 2 = 2 = 142 mod 5
m=6: 112 mod 6 = 4 = 4 = 142 mod 6
m=7: 112 mod 7 = 0 ≠ 2 = 142 mod 7
m=8: 112 mod 8 = 0 ≠ 6 = 142 mod 8
m=9: 112 mod 9 = 4 ≠ 7 = 142 mod 9
m=10: 112 mod 10 = 2 = 2 = 142 mod 10
m=11: 112 mod 11 = 2 ≠ 10 = 142 mod 11
m=12: 112 mod 12 = 4 ≠ 10 = 142 mod 12
m=13: 112 mod 13 = 8 ≠ 12 = 142 mod 13
m=14: 112 mod 14 = 0 ≠ 2 = 142 mod 14
m=15: 112 mod 15 = 7 = 7 = 142 mod 15
m=16: 112 mod 16 = 0 ≠ 14 = 142 mod 16
m=17: 112 mod 17 = 10 ≠ 6 = 142 mod 17
m=18: 112 mod 18 = 4 ≠ 16 = 142 mod 18
m=19: 112 mod 19 = 17 ≠ 9 = 142 mod 19
m=20: 112 mod 20 = 12 ≠ 2 = 142 mod 20
m=21: 112 mod 21 = 7 ≠ 16 = 142 mod 21
m=22: 112 mod 22 = 2 ≠ 10 = 142 mod 22
m=23: 112 mod 23 = 20 ≠ 4 = 142 mod 23
m=24: 112 mod 24 = 16 ≠ 22 = 142 mod 24
m=25: 112 mod 25 = 12 ≠ 17 = 142 mod 25
m=26: 112 mod 26 = 8 ≠ 12 = 142 mod 26
m=27: 112 mod 27 = 4 ≠ 7 = 142 mod 27
m=28: 112 mod 28 = 0 ≠ 2 = 142 mod 28
m=29: 112 mod 29 = 25 ≠ 26 = 142 mod 29
m=30: 112 mod 30 = 22 = 22 = 142 mod 30
m=31: 112 mod 31 = 19 ≠ 18 = 142 mod 31
m=32: 112 mod 32 = 16 ≠ 14 = 142 mod 32
m=33: 112 mod 33 = 13 ≠ 10 = 142 mod 33
m=34: 112 mod 34 = 10 ≠ 6 = 142 mod 34
m=35: 112 mod 35 = 7 ≠ 2 = 142 mod 35
m=36: 112 mod 36 = 4 ≠ 34 = 142 mod 36
m=37: 112 mod 37 = 1 ≠ 31 = 142 mod 37
m=38: 112 mod 38 = 36 ≠ 28 = 142 mod 38
m=39: 112 mod 39 = 34 ≠ 25 = 142 mod 39
m=40: 112 mod 40 = 32 ≠ 22 = 142 mod 40
m=41: 112 mod 41 = 30 ≠ 19 = 142 mod 41
m=42: 112 mod 42 = 28 ≠ 16 = 142 mod 42
m=43: 112 mod 43 = 26 ≠ 13 = 142 mod 43
m=44: 112 mod 44 = 24 ≠ 10 = 142 mod 44
m=45: 112 mod 45 = 22 ≠ 7 = 142 mod 45
m=46: 112 mod 46 = 20 ≠ 4 = 142 mod 46
m=47: 112 mod 47 = 18 ≠ 1 = 142 mod 47
m=48: 112 mod 48 = 16 ≠ 46 = 142 mod 48
m=49: 112 mod 49 = 14 ≠ 44 = 142 mod 49
m=50: 112 mod 50 = 12 ≠ 42 = 142 mod 50
m=51: 112 mod 51 = 10 ≠ 40 = 142 mod 51
m=52: 112 mod 52 = 8 ≠ 38 = 142 mod 52
m=53: 112 mod 53 = 6 ≠ 36 = 142 mod 53
m=54: 112 mod 54 = 4 ≠ 34 = 142 mod 54
m=55: 112 mod 55 = 2 ≠ 32 = 142 mod 55
m=56: 112 mod 56 = 0 ≠ 30 = 142 mod 56
m=57: 112 mod 57 = 55 ≠ 28 = 142 mod 57
m=58: 112 mod 58 = 54 ≠ 26 = 142 mod 58
m=59: 112 mod 59 = 53 ≠ 24 = 142 mod 59
m=60: 112 mod 60 = 52 ≠ 22 = 142 mod 60
m=61: 112 mod 61 = 51 ≠ 20 = 142 mod 61
m=62: 112 mod 62 = 50 ≠ 18 = 142 mod 62
m=63: 112 mod 63 = 49 ≠ 16 = 142 mod 63
m=64: 112 mod 64 = 48 ≠ 14 = 142 mod 64
m=65: 112 mod 65 = 47 ≠ 12 = 142 mod 65
m=66: 112 mod 66 = 46 ≠ 10 = 142 mod 66
m=67: 112 mod 67 = 45 ≠ 8 = 142 mod 67
m=68: 112 mod 68 = 44 ≠ 6 = 142 mod 68
m=69: 112 mod 69 = 43 ≠ 4 = 142 mod 69
m=70: 112 mod 70 = 42 ≠ 2 = 142 mod 70
m=71: 112 mod 71 = 41 ≠ 0 = 142 mod 71
m=72: 112 mod 72 = 40 ≠ 70 = 142 mod 72
m=73: 112 mod 73 = 39 ≠ 69 = 142 mod 73
m=74: 112 mod 74 = 38 ≠ 68 = 142 mod 74
m=75: 112 mod 75 = 37 ≠ 67 = 142 mod 75
m=76: 112 mod 76 = 36 ≠ 66 = 142 mod 76
m=77: 112 mod 77 = 35 ≠ 65 = 142 mod 77
m=78: 112 mod 78 = 34 ≠ 64 = 142 mod 78
m=79: 112 mod 79 = 33 ≠ 63 = 142 mod 79
m=80: 112 mod 80 = 32 ≠ 62 = 142 mod 80
m=81: 112 mod 81 = 31 ≠ 61 = 142 mod 81
m=82: 112 mod 82 = 30 ≠ 60 = 142 mod 82
m=83: 112 mod 83 = 29 ≠ 59 = 142 mod 83
m=84: 112 mod 84 = 28 ≠ 58 = 142 mod 84
m=85: 112 mod 85 = 27 ≠ 57 = 142 mod 85
m=86: 112 mod 86 = 26 ≠ 56 = 142 mod 86
m=87: 112 mod 87 = 25 ≠ 55 = 142 mod 87
m=88: 112 mod 88 = 24 ≠ 54 = 142 mod 88
m=89: 112 mod 89 = 23 ≠ 53 = 142 mod 89
m=90: 112 mod 90 = 22 ≠ 52 = 142 mod 90
m=91: 112 mod 91 = 21 ≠ 51 = 142 mod 91
m=92: 112 mod 92 = 20 ≠ 50 = 142 mod 92
m=93: 112 mod 93 = 19 ≠ 49 = 142 mod 93
m=94: 112 mod 94 = 18 ≠ 48 = 142 mod 94
m=95: 112 mod 95 = 17 ≠ 47 = 142 mod 95
m=96: 112 mod 96 = 16 ≠ 46 = 142 mod 96
m=97: 112 mod 97 = 15 ≠ 45 = 142 mod 97
m=98: 112 mod 98 = 14 ≠ 44 = 142 mod 98
m=99: 112 mod 99 = 13 ≠ 43 = 142 mod 99
m=100: 112 mod 100 = 12 ≠ 42 = 142 mod 100
m=101: 112 mod 101 = 11 ≠ 41 = 142 mod 101
m=102: 112 mod 102 = 10 ≠ 40 = 142 mod 102
m=103: 112 mod 103 = 9 ≠ 39 = 142 mod 103
m=104: 112 mod 104 = 8 ≠ 38 = 142 mod 104
m=105: 112 mod 105 = 7 ≠ 37 = 142 mod 105
m=106: 112 mod 106 = 6 ≠ 36 = 142 mod 106
m=107: 112 mod 107 = 5 ≠ 35 = 142 mod 107
m=108: 112 mod 108 = 4 ≠ 34 = 142 mod 108
m=109: 112 mod 109 = 3 ≠ 33 = 142 mod 109
m=110: 112 mod 110 = 2 ≠ 32 = 142 mod 110
m=111: 112 mod 111 = 1 ≠ 31 = 142 mod 111
m=112: 112 mod 112 = 0 ≠ 30 = 142 mod 112
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (142 - 112) = 30 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 5; 6; 10; 15; 30