Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 40, weil ja 4 ⋅ 10 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 47 - 40 = 7.

Somit gilt: 47 mod 10 ≡ 7.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 63, weil ja 9 ⋅ 7 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 69 - 63 = 6.

Somit gilt: 69 mod 7 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 6 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 10 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 6 mod 7 sein, also addieren wir noch 6 auf die 70 und erhalten so 76.

Somit gilt: 76 ≡ 69 ≡ 6 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2995 + 183) mod 6 ≡ (2995 mod 6 + 183 mod 6) mod 6.

2995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2995 = 3000-5 = 6 ⋅ 500 -5 = 6 ⋅ 500 - 6 + 1.

183 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 183 = 180+3 = 6 ⋅ 30 +3.

Somit gilt:

(2995 + 183) mod 6 ≡ (1 + 3) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 25) mod 8 ≡ (56 mod 8 ⋅ 25 mod 8) mod 8.

56 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 7 ⋅ 8 + 0 ist.

25 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 3 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 25) mod 8 ≡ (0 ⋅ 1) mod 8 ≡ 0 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 38 aus, ob zufällig 38 mod m = 48 mod m gilt:

m=2: 38 mod 2 = 0 = 0 = 48 mod 2

m=3: 38 mod 3 = 2 ≠ 0 = 48 mod 3

m=4: 38 mod 4 = 2 ≠ 0 = 48 mod 4

m=5: 38 mod 5 = 3 = 3 = 48 mod 5

m=6: 38 mod 6 = 2 ≠ 0 = 48 mod 6

m=7: 38 mod 7 = 3 ≠ 6 = 48 mod 7

m=8: 38 mod 8 = 6 ≠ 0 = 48 mod 8

m=9: 38 mod 9 = 2 ≠ 3 = 48 mod 9

m=10: 38 mod 10 = 8 = 8 = 48 mod 10

m=11: 38 mod 11 = 5 ≠ 4 = 48 mod 11

m=12: 38 mod 12 = 2 ≠ 0 = 48 mod 12

m=13: 38 mod 13 = 12 ≠ 9 = 48 mod 13

m=14: 38 mod 14 = 10 ≠ 6 = 48 mod 14

m=15: 38 mod 15 = 8 ≠ 3 = 48 mod 15

m=16: 38 mod 16 = 6 ≠ 0 = 48 mod 16

m=17: 38 mod 17 = 4 ≠ 14 = 48 mod 17

m=18: 38 mod 18 = 2 ≠ 12 = 48 mod 18

m=19: 38 mod 19 = 0 ≠ 10 = 48 mod 19

m=20: 38 mod 20 = 18 ≠ 8 = 48 mod 20

m=21: 38 mod 21 = 17 ≠ 6 = 48 mod 21

m=22: 38 mod 22 = 16 ≠ 4 = 48 mod 22

m=23: 38 mod 23 = 15 ≠ 2 = 48 mod 23

m=24: 38 mod 24 = 14 ≠ 0 = 48 mod 24

m=25: 38 mod 25 = 13 ≠ 23 = 48 mod 25

m=26: 38 mod 26 = 12 ≠ 22 = 48 mod 26

m=27: 38 mod 27 = 11 ≠ 21 = 48 mod 27

m=28: 38 mod 28 = 10 ≠ 20 = 48 mod 28

m=29: 38 mod 29 = 9 ≠ 19 = 48 mod 29

m=30: 38 mod 30 = 8 ≠ 18 = 48 mod 30

m=31: 38 mod 31 = 7 ≠ 17 = 48 mod 31

m=32: 38 mod 32 = 6 ≠ 16 = 48 mod 32

m=33: 38 mod 33 = 5 ≠ 15 = 48 mod 33

m=34: 38 mod 34 = 4 ≠ 14 = 48 mod 34

m=35: 38 mod 35 = 3 ≠ 13 = 48 mod 35

m=36: 38 mod 36 = 2 ≠ 12 = 48 mod 36

m=37: 38 mod 37 = 1 ≠ 11 = 48 mod 37

m=38: 38 mod 38 = 0 ≠ 10 = 48 mod 38

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (48 - 38) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10