Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 77 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 77 - 77 = 0.
Somit gilt: 77 mod 11 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 87 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 80, weil ja 10 ⋅ 8 = 80 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 87 - 80 = 7.
Somit gilt: 87 mod 8 ≡ 7.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 7 mod 8.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 30, z.B. 24 = 3 ⋅ 8
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 7 mod 8 sein, also addieren wir noch 7 auf die 24 und erhalten so 31.
Somit gilt: 31 ≡ 87 ≡ 7 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (155 - 244) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(155 - 244) mod 8 ≡ (155 mod 8 - 244 mod 8) mod 8.
155 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 155
= 160
244 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 244
= 240
Somit gilt:
(155 - 244) mod 8 ≡ (3 - 4) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 35) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(56 ⋅ 35) mod 6 ≡ (56 mod 6 ⋅ 35 mod 6) mod 6.
56 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 9 ⋅ 6 + 2 ist.
35 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 30 + 5 = 5 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(56 ⋅ 35) mod 6 ≡ (2 ⋅ 5) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 18 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 18 mod m gilt:
m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2
m=3: 12 mod 3 = 0 = 0 = 18 mod 3
m=4: 12 mod 4 = 0 ≠ 2 = 18 mod 4
m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 3 = 18 mod 5
m=6: 12 mod 6 = 0 = 0 = 18 mod 6
m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 4 = 18 mod 7
m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 2 = 18 mod 8
m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 0 = 18 mod 9
m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 8 = 18 mod 10
m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 7 = 18 mod 11
m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 6 = 18 mod 12
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 12) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
