Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 63, weil ja 7 ⋅ 9 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 65 - 63 = 2.

Somit gilt: 65 mod 9 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 45, weil ja 9 ⋅ 5 = 45 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 48 - 45 = 3.

Somit gilt: 48 mod 5 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 3 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 18 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 3 mod 5 sein, also addieren wir noch 3 auf die 90 und erhalten so 93.

Somit gilt: 93 ≡ 48 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19999 - 116) mod 4 ≡ (19999 mod 4 - 116 mod 4) mod 4.

19999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19999 = 19000+999 = 4 ⋅ 4750 +999.

116 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 116 = 120-4 = 4 ⋅ 30 -4 = 4 ⋅ 30 - 4 + 0.

Somit gilt:

(19999 - 116) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21 ⋅ 94) mod 4 ≡ (21 mod 4 ⋅ 94 mod 4) mod 4.

21 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 5 ⋅ 4 + 1 ist.

94 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 92 + 2 = 23 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(21 ⋅ 94) mod 4 ≡ (1 ⋅ 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 26 mod m gilt:

m=2: 20 mod 2 = 0 = 0 = 26 mod 2

m=3: 20 mod 3 = 2 = 2 = 26 mod 3

m=4: 20 mod 4 = 0 ≠ 2 = 26 mod 4

m=5: 20 mod 5 = 0 ≠ 1 = 26 mod 5

m=6: 20 mod 6 = 2 = 2 = 26 mod 6

m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 5 = 26 mod 7

m=8: 20 mod 8 = 4 ≠ 2 = 26 mod 8

m=9: 20 mod 9 = 2 ≠ 8 = 26 mod 9

m=10: 20 mod 10 = 0 ≠ 6 = 26 mod 10

m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 4 = 26 mod 11

m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 2 = 26 mod 12

m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 0 = 26 mod 13

m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 12 = 26 mod 14

m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 11 = 26 mod 15

m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 10 = 26 mod 16

m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 9 = 26 mod 17

m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 8 = 26 mod 18

m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 7 = 26 mod 19

m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 6 = 26 mod 20

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (26 - 20) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6