Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 64, weil ja 8 ⋅ 8 = 64 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 71 - 64 = 7.

Somit gilt: 71 mod 8 ≡ 7.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 33, weil ja 3 ⋅ 11 = 33 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 36 - 33 = 3.

Somit gilt: 36 mod 11 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 61 für die gilt: n ≡ 3 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 50, z.B. 55 = 5 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 3 mod 11 sein, also addieren wir noch 3 auf die 55 und erhalten so 58.

Somit gilt: 58 ≡ 36 ≡ 3 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(249 + 155) mod 5 ≡ (249 mod 5 + 155 mod 5) mod 5.

249 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 249 = 240+9 = 5 ⋅ 48 +9.

155 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 155 = 150+5 = 5 ⋅ 30 +5.

Somit gilt:

(249 + 155) mod 5 ≡ (4 + 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 36) mod 10 ≡ (17 mod 10 ⋅ 36 mod 10) mod 10.

17 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 10 + 7 = 1 ⋅ 10 + 7 ist.

36 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 30 + 6 = 3 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 36) mod 10 ≡ (7 ⋅ 6) mod 10 ≡ 42 mod 10 ≡ 2 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 32 aus, ob zufällig 32 mod m = 44 mod m gilt:

m=2: 32 mod 2 = 0 = 0 = 44 mod 2

m=3: 32 mod 3 = 2 = 2 = 44 mod 3

m=4: 32 mod 4 = 0 = 0 = 44 mod 4

m=5: 32 mod 5 = 2 ≠ 4 = 44 mod 5

m=6: 32 mod 6 = 2 = 2 = 44 mod 6

m=7: 32 mod 7 = 4 ≠ 2 = 44 mod 7

m=8: 32 mod 8 = 0 ≠ 4 = 44 mod 8

m=9: 32 mod 9 = 5 ≠ 8 = 44 mod 9

m=10: 32 mod 10 = 2 ≠ 4 = 44 mod 10

m=11: 32 mod 11 = 10 ≠ 0 = 44 mod 11

m=12: 32 mod 12 = 8 = 8 = 44 mod 12

m=13: 32 mod 13 = 6 ≠ 5 = 44 mod 13

m=14: 32 mod 14 = 4 ≠ 2 = 44 mod 14

m=15: 32 mod 15 = 2 ≠ 14 = 44 mod 15

m=16: 32 mod 16 = 0 ≠ 12 = 44 mod 16

m=17: 32 mod 17 = 15 ≠ 10 = 44 mod 17

m=18: 32 mod 18 = 14 ≠ 8 = 44 mod 18

m=19: 32 mod 19 = 13 ≠ 6 = 44 mod 19

m=20: 32 mod 20 = 12 ≠ 4 = 44 mod 20

m=21: 32 mod 21 = 11 ≠ 2 = 44 mod 21

m=22: 32 mod 22 = 10 ≠ 0 = 44 mod 22

m=23: 32 mod 23 = 9 ≠ 21 = 44 mod 23

m=24: 32 mod 24 = 8 ≠ 20 = 44 mod 24

m=25: 32 mod 25 = 7 ≠ 19 = 44 mod 25

m=26: 32 mod 26 = 6 ≠ 18 = 44 mod 26

m=27: 32 mod 27 = 5 ≠ 17 = 44 mod 27

m=28: 32 mod 28 = 4 ≠ 16 = 44 mod 28

m=29: 32 mod 29 = 3 ≠ 15 = 44 mod 29

m=30: 32 mod 30 = 2 ≠ 14 = 44 mod 30

m=31: 32 mod 31 = 1 ≠ 13 = 44 mod 31

m=32: 32 mod 32 = 0 ≠ 12 = 44 mod 32

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (44 - 32) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12