Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 84, weil ja 14 ⋅ 6 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 89 - 84 = 5.

Somit gilt: 89 mod 6 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 84, weil ja 14 ⋅ 6 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 86 - 84 = 2.

Somit gilt: 86 mod 6 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 2 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 5 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 2 mod 6 sein, also addieren wir noch 2 auf die 30 und erhalten so 32.

Somit gilt: 32 ≡ 86 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8005 - 24006) mod 8 ≡ (8005 mod 8 - 24006 mod 8) mod 8.

8005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8005 = 8000+5 = 8 ⋅ 1000 +5.

24006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24006 = 24000+6 = 8 ⋅ 3000 +6.

Somit gilt:

(8005 - 24006) mod 8 ≡ (5 - 6) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28 ⋅ 31) mod 5 ≡ (28 mod 5 ⋅ 31 mod 5) mod 5.

28 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 25 + 3 = 5 ⋅ 5 + 3 ist.

31 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 6 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(28 ⋅ 31) mod 5 ≡ (3 ⋅ 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 199 aus, ob zufällig 199 mod m = 249 mod m gilt:

m=2: 199 mod 2 = 1 = 1 = 249 mod 2

m=3: 199 mod 3 = 1 ≠ 0 = 249 mod 3

m=4: 199 mod 4 = 3 ≠ 1 = 249 mod 4

m=5: 199 mod 5 = 4 = 4 = 249 mod 5

m=6: 199 mod 6 = 1 ≠ 3 = 249 mod 6

m=7: 199 mod 7 = 3 ≠ 4 = 249 mod 7

m=8: 199 mod 8 = 7 ≠ 1 = 249 mod 8

m=9: 199 mod 9 = 1 ≠ 6 = 249 mod 9

m=10: 199 mod 10 = 9 = 9 = 249 mod 10

m=11: 199 mod 11 = 1 ≠ 7 = 249 mod 11

m=12: 199 mod 12 = 7 ≠ 9 = 249 mod 12

m=13: 199 mod 13 = 4 ≠ 2 = 249 mod 13

m=14: 199 mod 14 = 3 ≠ 11 = 249 mod 14

m=15: 199 mod 15 = 4 ≠ 9 = 249 mod 15

m=16: 199 mod 16 = 7 ≠ 9 = 249 mod 16

m=17: 199 mod 17 = 12 ≠ 11 = 249 mod 17

m=18: 199 mod 18 = 1 ≠ 15 = 249 mod 18

m=19: 199 mod 19 = 9 ≠ 2 = 249 mod 19

m=20: 199 mod 20 = 19 ≠ 9 = 249 mod 20

m=21: 199 mod 21 = 10 ≠ 18 = 249 mod 21

m=22: 199 mod 22 = 1 ≠ 7 = 249 mod 22

m=23: 199 mod 23 = 15 ≠ 19 = 249 mod 23

m=24: 199 mod 24 = 7 ≠ 9 = 249 mod 24

m=25: 199 mod 25 = 24 = 24 = 249 mod 25

m=26: 199 mod 26 = 17 ≠ 15 = 249 mod 26

m=27: 199 mod 27 = 10 ≠ 6 = 249 mod 27

m=28: 199 mod 28 = 3 ≠ 25 = 249 mod 28

m=29: 199 mod 29 = 25 ≠ 17 = 249 mod 29

m=30: 199 mod 30 = 19 ≠ 9 = 249 mod 30

m=31: 199 mod 31 = 13 ≠ 1 = 249 mod 31

m=32: 199 mod 32 = 7 ≠ 25 = 249 mod 32

m=33: 199 mod 33 = 1 ≠ 18 = 249 mod 33

m=34: 199 mod 34 = 29 ≠ 11 = 249 mod 34

m=35: 199 mod 35 = 24 ≠ 4 = 249 mod 35

m=36: 199 mod 36 = 19 ≠ 33 = 249 mod 36

m=37: 199 mod 37 = 14 ≠ 27 = 249 mod 37

m=38: 199 mod 38 = 9 ≠ 21 = 249 mod 38

m=39: 199 mod 39 = 4 ≠ 15 = 249 mod 39

m=40: 199 mod 40 = 39 ≠ 9 = 249 mod 40

m=41: 199 mod 41 = 35 ≠ 3 = 249 mod 41

m=42: 199 mod 42 = 31 ≠ 39 = 249 mod 42

m=43: 199 mod 43 = 27 ≠ 34 = 249 mod 43

m=44: 199 mod 44 = 23 ≠ 29 = 249 mod 44

m=45: 199 mod 45 = 19 ≠ 24 = 249 mod 45

m=46: 199 mod 46 = 15 ≠ 19 = 249 mod 46

m=47: 199 mod 47 = 11 ≠ 14 = 249 mod 47

m=48: 199 mod 48 = 7 ≠ 9 = 249 mod 48

m=49: 199 mod 49 = 3 ≠ 4 = 249 mod 49

m=50: 199 mod 50 = 49 = 49 = 249 mod 50

m=51: 199 mod 51 = 46 ≠ 45 = 249 mod 51

m=52: 199 mod 52 = 43 ≠ 41 = 249 mod 52

m=53: 199 mod 53 = 40 ≠ 37 = 249 mod 53

m=54: 199 mod 54 = 37 ≠ 33 = 249 mod 54

m=55: 199 mod 55 = 34 ≠ 29 = 249 mod 55

m=56: 199 mod 56 = 31 ≠ 25 = 249 mod 56

m=57: 199 mod 57 = 28 ≠ 21 = 249 mod 57

m=58: 199 mod 58 = 25 ≠ 17 = 249 mod 58

m=59: 199 mod 59 = 22 ≠ 13 = 249 mod 59

m=60: 199 mod 60 = 19 ≠ 9 = 249 mod 60

m=61: 199 mod 61 = 16 ≠ 5 = 249 mod 61

m=62: 199 mod 62 = 13 ≠ 1 = 249 mod 62

m=63: 199 mod 63 = 10 ≠ 60 = 249 mod 63

m=64: 199 mod 64 = 7 ≠ 57 = 249 mod 64

m=65: 199 mod 65 = 4 ≠ 54 = 249 mod 65

m=66: 199 mod 66 = 1 ≠ 51 = 249 mod 66

m=67: 199 mod 67 = 65 ≠ 48 = 249 mod 67

m=68: 199 mod 68 = 63 ≠ 45 = 249 mod 68

m=69: 199 mod 69 = 61 ≠ 42 = 249 mod 69

m=70: 199 mod 70 = 59 ≠ 39 = 249 mod 70

m=71: 199 mod 71 = 57 ≠ 36 = 249 mod 71

m=72: 199 mod 72 = 55 ≠ 33 = 249 mod 72

m=73: 199 mod 73 = 53 ≠ 30 = 249 mod 73

m=74: 199 mod 74 = 51 ≠ 27 = 249 mod 74

m=75: 199 mod 75 = 49 ≠ 24 = 249 mod 75

m=76: 199 mod 76 = 47 ≠ 21 = 249 mod 76

m=77: 199 mod 77 = 45 ≠ 18 = 249 mod 77

m=78: 199 mod 78 = 43 ≠ 15 = 249 mod 78

m=79: 199 mod 79 = 41 ≠ 12 = 249 mod 79

m=80: 199 mod 80 = 39 ≠ 9 = 249 mod 80

m=81: 199 mod 81 = 37 ≠ 6 = 249 mod 81

m=82: 199 mod 82 = 35 ≠ 3 = 249 mod 82

m=83: 199 mod 83 = 33 ≠ 0 = 249 mod 83

m=84: 199 mod 84 = 31 ≠ 81 = 249 mod 84

m=85: 199 mod 85 = 29 ≠ 79 = 249 mod 85

m=86: 199 mod 86 = 27 ≠ 77 = 249 mod 86

m=87: 199 mod 87 = 25 ≠ 75 = 249 mod 87

m=88: 199 mod 88 = 23 ≠ 73 = 249 mod 88

m=89: 199 mod 89 = 21 ≠ 71 = 249 mod 89

m=90: 199 mod 90 = 19 ≠ 69 = 249 mod 90

m=91: 199 mod 91 = 17 ≠ 67 = 249 mod 91

m=92: 199 mod 92 = 15 ≠ 65 = 249 mod 92

m=93: 199 mod 93 = 13 ≠ 63 = 249 mod 93

m=94: 199 mod 94 = 11 ≠ 61 = 249 mod 94

m=95: 199 mod 95 = 9 ≠ 59 = 249 mod 95

m=96: 199 mod 96 = 7 ≠ 57 = 249 mod 96

m=97: 199 mod 97 = 5 ≠ 55 = 249 mod 97

m=98: 199 mod 98 = 3 ≠ 53 = 249 mod 98

m=99: 199 mod 99 = 1 ≠ 51 = 249 mod 99

m=100: 199 mod 100 = 99 ≠ 49 = 249 mod 100

m=101: 199 mod 101 = 98 ≠ 47 = 249 mod 101

m=102: 199 mod 102 = 97 ≠ 45 = 249 mod 102

m=103: 199 mod 103 = 96 ≠ 43 = 249 mod 103

m=104: 199 mod 104 = 95 ≠ 41 = 249 mod 104

m=105: 199 mod 105 = 94 ≠ 39 = 249 mod 105

m=106: 199 mod 106 = 93 ≠ 37 = 249 mod 106

m=107: 199 mod 107 = 92 ≠ 35 = 249 mod 107

m=108: 199 mod 108 = 91 ≠ 33 = 249 mod 108

m=109: 199 mod 109 = 90 ≠ 31 = 249 mod 109

m=110: 199 mod 110 = 89 ≠ 29 = 249 mod 110

m=111: 199 mod 111 = 88 ≠ 27 = 249 mod 111

m=112: 199 mod 112 = 87 ≠ 25 = 249 mod 112

m=113: 199 mod 113 = 86 ≠ 23 = 249 mod 113

m=114: 199 mod 114 = 85 ≠ 21 = 249 mod 114

m=115: 199 mod 115 = 84 ≠ 19 = 249 mod 115

m=116: 199 mod 116 = 83 ≠ 17 = 249 mod 116

m=117: 199 mod 117 = 82 ≠ 15 = 249 mod 117

m=118: 199 mod 118 = 81 ≠ 13 = 249 mod 118

m=119: 199 mod 119 = 80 ≠ 11 = 249 mod 119

m=120: 199 mod 120 = 79 ≠ 9 = 249 mod 120

m=121: 199 mod 121 = 78 ≠ 7 = 249 mod 121

m=122: 199 mod 122 = 77 ≠ 5 = 249 mod 122

m=123: 199 mod 123 = 76 ≠ 3 = 249 mod 123

m=124: 199 mod 124 = 75 ≠ 1 = 249 mod 124

m=125: 199 mod 125 = 74 ≠ 124 = 249 mod 125

m=126: 199 mod 126 = 73 ≠ 123 = 249 mod 126

m=127: 199 mod 127 = 72 ≠ 122 = 249 mod 127

m=128: 199 mod 128 = 71 ≠ 121 = 249 mod 128

m=129: 199 mod 129 = 70 ≠ 120 = 249 mod 129

m=130: 199 mod 130 = 69 ≠ 119 = 249 mod 130

m=131: 199 mod 131 = 68 ≠ 118 = 249 mod 131

m=132: 199 mod 132 = 67 ≠ 117 = 249 mod 132

m=133: 199 mod 133 = 66 ≠ 116 = 249 mod 133

m=134: 199 mod 134 = 65 ≠ 115 = 249 mod 134

m=135: 199 mod 135 = 64 ≠ 114 = 249 mod 135

m=136: 199 mod 136 = 63 ≠ 113 = 249 mod 136

m=137: 199 mod 137 = 62 ≠ 112 = 249 mod 137

m=138: 199 mod 138 = 61 ≠ 111 = 249 mod 138

m=139: 199 mod 139 = 60 ≠ 110 = 249 mod 139

m=140: 199 mod 140 = 59 ≠ 109 = 249 mod 140

m=141: 199 mod 141 = 58 ≠ 108 = 249 mod 141

m=142: 199 mod 142 = 57 ≠ 107 = 249 mod 142

m=143: 199 mod 143 = 56 ≠ 106 = 249 mod 143

m=144: 199 mod 144 = 55 ≠ 105 = 249 mod 144

m=145: 199 mod 145 = 54 ≠ 104 = 249 mod 145

m=146: 199 mod 146 = 53 ≠ 103 = 249 mod 146

m=147: 199 mod 147 = 52 ≠ 102 = 249 mod 147

m=148: 199 mod 148 = 51 ≠ 101 = 249 mod 148

m=149: 199 mod 149 = 50 ≠ 100 = 249 mod 149

m=150: 199 mod 150 = 49 ≠ 99 = 249 mod 150

m=151: 199 mod 151 = 48 ≠ 98 = 249 mod 151

m=152: 199 mod 152 = 47 ≠ 97 = 249 mod 152

m=153: 199 mod 153 = 46 ≠ 96 = 249 mod 153

m=154: 199 mod 154 = 45 ≠ 95 = 249 mod 154

m=155: 199 mod 155 = 44 ≠ 94 = 249 mod 155

m=156: 199 mod 156 = 43 ≠ 93 = 249 mod 156

m=157: 199 mod 157 = 42 ≠ 92 = 249 mod 157

m=158: 199 mod 158 = 41 ≠ 91 = 249 mod 158

m=159: 199 mod 159 = 40 ≠ 90 = 249 mod 159

m=160: 199 mod 160 = 39 ≠ 89 = 249 mod 160

m=161: 199 mod 161 = 38 ≠ 88 = 249 mod 161

m=162: 199 mod 162 = 37 ≠ 87 = 249 mod 162

m=163: 199 mod 163 = 36 ≠ 86 = 249 mod 163

m=164: 199 mod 164 = 35 ≠ 85 = 249 mod 164

m=165: 199 mod 165 = 34 ≠ 84 = 249 mod 165

m=166: 199 mod 166 = 33 ≠ 83 = 249 mod 166

m=167: 199 mod 167 = 32 ≠ 82 = 249 mod 167

m=168: 199 mod 168 = 31 ≠ 81 = 249 mod 168

m=169: 199 mod 169 = 30 ≠ 80 = 249 mod 169

m=170: 199 mod 170 = 29 ≠ 79 = 249 mod 170

m=171: 199 mod 171 = 28 ≠ 78 = 249 mod 171

m=172: 199 mod 172 = 27 ≠ 77 = 249 mod 172

m=173: 199 mod 173 = 26 ≠ 76 = 249 mod 173

m=174: 199 mod 174 = 25 ≠ 75 = 249 mod 174

m=175: 199 mod 175 = 24 ≠ 74 = 249 mod 175

m=176: 199 mod 176 = 23 ≠ 73 = 249 mod 176

m=177: 199 mod 177 = 22 ≠ 72 = 249 mod 177

m=178: 199 mod 178 = 21 ≠ 71 = 249 mod 178

m=179: 199 mod 179 = 20 ≠ 70 = 249 mod 179

m=180: 199 mod 180 = 19 ≠ 69 = 249 mod 180

m=181: 199 mod 181 = 18 ≠ 68 = 249 mod 181

m=182: 199 mod 182 = 17 ≠ 67 = 249 mod 182

m=183: 199 mod 183 = 16 ≠ 66 = 249 mod 183

m=184: 199 mod 184 = 15 ≠ 65 = 249 mod 184

m=185: 199 mod 185 = 14 ≠ 64 = 249 mod 185

m=186: 199 mod 186 = 13 ≠ 63 = 249 mod 186

m=187: 199 mod 187 = 12 ≠ 62 = 249 mod 187

m=188: 199 mod 188 = 11 ≠ 61 = 249 mod 188

m=189: 199 mod 189 = 10 ≠ 60 = 249 mod 189

m=190: 199 mod 190 = 9 ≠ 59 = 249 mod 190

m=191: 199 mod 191 = 8 ≠ 58 = 249 mod 191

m=192: 199 mod 192 = 7 ≠ 57 = 249 mod 192

m=193: 199 mod 193 = 6 ≠ 56 = 249 mod 193

m=194: 199 mod 194 = 5 ≠ 55 = 249 mod 194

m=195: 199 mod 195 = 4 ≠ 54 = 249 mod 195

m=196: 199 mod 196 = 3 ≠ 53 = 249 mod 196

m=197: 199 mod 197 = 2 ≠ 52 = 249 mod 197

m=198: 199 mod 198 = 1 ≠ 51 = 249 mod 198

m=199: 199 mod 199 = 0 ≠ 50 = 249 mod 199

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (249 - 199) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50