Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 80, weil ja 16 ⋅ 5 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 83 - 80 = 3.

Somit gilt: 83 mod 5 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 72, weil ja 8 ⋅ 9 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 78 - 72 = 6.

Somit gilt: 78 mod 9 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 6 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 60, z.B. 54 = 6 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 6 mod 9 sein, also addieren wir noch 6 auf die 54 und erhalten so 60.

Somit gilt: 60 ≡ 78 ≡ 6 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 + 23999) mod 8 ≡ (81 mod 8 + 23999 mod 8) mod 8.

81 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80+1 = 8 ⋅ 10 +1.

23999 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23999 = 23000+999 = 8 ⋅ 2875 +999.

Somit gilt:

(81 + 23999) mod 8 ≡ (1 + 7) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 18) mod 9 ≡ (79 mod 9 ⋅ 18 mod 9) mod 9.

79 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 72 + 7 = 8 ⋅ 9 + 7 ist.

18 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 2 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 18) mod 9 ≡ (7 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 70 aus, ob zufällig 70 mod m = 100 mod m gilt:

m=2: 70 mod 2 = 0 = 0 = 100 mod 2

m=3: 70 mod 3 = 1 = 1 = 100 mod 3

m=4: 70 mod 4 = 2 ≠ 0 = 100 mod 4

m=5: 70 mod 5 = 0 = 0 = 100 mod 5

m=6: 70 mod 6 = 4 = 4 = 100 mod 6

m=7: 70 mod 7 = 0 ≠ 2 = 100 mod 7

m=8: 70 mod 8 = 6 ≠ 4 = 100 mod 8

m=9: 70 mod 9 = 7 ≠ 1 = 100 mod 9

m=10: 70 mod 10 = 0 = 0 = 100 mod 10

m=11: 70 mod 11 = 4 ≠ 1 = 100 mod 11

m=12: 70 mod 12 = 10 ≠ 4 = 100 mod 12

m=13: 70 mod 13 = 5 ≠ 9 = 100 mod 13

m=14: 70 mod 14 = 0 ≠ 2 = 100 mod 14

m=15: 70 mod 15 = 10 = 10 = 100 mod 15

m=16: 70 mod 16 = 6 ≠ 4 = 100 mod 16

m=17: 70 mod 17 = 2 ≠ 15 = 100 mod 17

m=18: 70 mod 18 = 16 ≠ 10 = 100 mod 18

m=19: 70 mod 19 = 13 ≠ 5 = 100 mod 19

m=20: 70 mod 20 = 10 ≠ 0 = 100 mod 20

m=21: 70 mod 21 = 7 ≠ 16 = 100 mod 21

m=22: 70 mod 22 = 4 ≠ 12 = 100 mod 22

m=23: 70 mod 23 = 1 ≠ 8 = 100 mod 23

m=24: 70 mod 24 = 22 ≠ 4 = 100 mod 24

m=25: 70 mod 25 = 20 ≠ 0 = 100 mod 25

m=26: 70 mod 26 = 18 ≠ 22 = 100 mod 26

m=27: 70 mod 27 = 16 ≠ 19 = 100 mod 27

m=28: 70 mod 28 = 14 ≠ 16 = 100 mod 28

m=29: 70 mod 29 = 12 ≠ 13 = 100 mod 29

m=30: 70 mod 30 = 10 = 10 = 100 mod 30

m=31: 70 mod 31 = 8 ≠ 7 = 100 mod 31

m=32: 70 mod 32 = 6 ≠ 4 = 100 mod 32

m=33: 70 mod 33 = 4 ≠ 1 = 100 mod 33

m=34: 70 mod 34 = 2 ≠ 32 = 100 mod 34

m=35: 70 mod 35 = 0 ≠ 30 = 100 mod 35

m=36: 70 mod 36 = 34 ≠ 28 = 100 mod 36

m=37: 70 mod 37 = 33 ≠ 26 = 100 mod 37

m=38: 70 mod 38 = 32 ≠ 24 = 100 mod 38

m=39: 70 mod 39 = 31 ≠ 22 = 100 mod 39

m=40: 70 mod 40 = 30 ≠ 20 = 100 mod 40

m=41: 70 mod 41 = 29 ≠ 18 = 100 mod 41

m=42: 70 mod 42 = 28 ≠ 16 = 100 mod 42

m=43: 70 mod 43 = 27 ≠ 14 = 100 mod 43

m=44: 70 mod 44 = 26 ≠ 12 = 100 mod 44

m=45: 70 mod 45 = 25 ≠ 10 = 100 mod 45

m=46: 70 mod 46 = 24 ≠ 8 = 100 mod 46

m=47: 70 mod 47 = 23 ≠ 6 = 100 mod 47

m=48: 70 mod 48 = 22 ≠ 4 = 100 mod 48

m=49: 70 mod 49 = 21 ≠ 2 = 100 mod 49

m=50: 70 mod 50 = 20 ≠ 0 = 100 mod 50

m=51: 70 mod 51 = 19 ≠ 49 = 100 mod 51

m=52: 70 mod 52 = 18 ≠ 48 = 100 mod 52

m=53: 70 mod 53 = 17 ≠ 47 = 100 mod 53

m=54: 70 mod 54 = 16 ≠ 46 = 100 mod 54

m=55: 70 mod 55 = 15 ≠ 45 = 100 mod 55

m=56: 70 mod 56 = 14 ≠ 44 = 100 mod 56

m=57: 70 mod 57 = 13 ≠ 43 = 100 mod 57

m=58: 70 mod 58 = 12 ≠ 42 = 100 mod 58

m=59: 70 mod 59 = 11 ≠ 41 = 100 mod 59

m=60: 70 mod 60 = 10 ≠ 40 = 100 mod 60

m=61: 70 mod 61 = 9 ≠ 39 = 100 mod 61

m=62: 70 mod 62 = 8 ≠ 38 = 100 mod 62

m=63: 70 mod 63 = 7 ≠ 37 = 100 mod 63

m=64: 70 mod 64 = 6 ≠ 36 = 100 mod 64

m=65: 70 mod 65 = 5 ≠ 35 = 100 mod 65

m=66: 70 mod 66 = 4 ≠ 34 = 100 mod 66

m=67: 70 mod 67 = 3 ≠ 33 = 100 mod 67

m=68: 70 mod 68 = 2 ≠ 32 = 100 mod 68

m=69: 70 mod 69 = 1 ≠ 31 = 100 mod 69

m=70: 70 mod 70 = 0 ≠ 30 = 100 mod 70

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (100 - 70) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30