Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 40 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 33, weil ja 3 ⋅ 11 = 33 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 40 - 33 = 7.
Somit gilt: 40 mod 11 ≡ 7.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 92 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 88, weil ja 11 ⋅ 8 = 88 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 92 - 88 = 4.
Somit gilt: 92 mod 8 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 4 mod 8.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 5 ⋅ 8
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 4 mod 8 sein, also addieren wir noch 4 auf die 40 und erhalten so 44.
Somit gilt: 44 ≡ 92 ≡ 4 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1794 - 2702) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1794 - 2702) mod 9 ≡ (1794 mod 9 - 2702 mod 9) mod 9.
1794 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1794
= 1800
2702 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2702
= 2700
Somit gilt:
(1794 - 2702) mod 9 ≡ (3 - 2) mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 21) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17 ⋅ 21) mod 5 ≡ (17 mod 5 ⋅ 21 mod 5) mod 5.
17 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 15 + 2 = 3 ⋅ 5 + 2 ist.
21 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 4 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(17 ⋅ 21) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
33 mod m = 45 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 33 aus, ob zufällig 33 mod m = 45 mod m gilt:
m=2: 33 mod 2 = 1 = 1 = 45 mod 2
m=3: 33 mod 3 = 0 = 0 = 45 mod 3
m=4: 33 mod 4 = 1 = 1 = 45 mod 4
m=5: 33 mod 5 = 3 ≠ 0 = 45 mod 5
m=6: 33 mod 6 = 3 = 3 = 45 mod 6
m=7: 33 mod 7 = 5 ≠ 3 = 45 mod 7
m=8: 33 mod 8 = 1 ≠ 5 = 45 mod 8
m=9: 33 mod 9 = 6 ≠ 0 = 45 mod 9
m=10: 33 mod 10 = 3 ≠ 5 = 45 mod 10
m=11: 33 mod 11 = 0 ≠ 1 = 45 mod 11
m=12: 33 mod 12 = 9 = 9 = 45 mod 12
m=13: 33 mod 13 = 7 ≠ 6 = 45 mod 13
m=14: 33 mod 14 = 5 ≠ 3 = 45 mod 14
m=15: 33 mod 15 = 3 ≠ 0 = 45 mod 15
m=16: 33 mod 16 = 1 ≠ 13 = 45 mod 16
m=17: 33 mod 17 = 16 ≠ 11 = 45 mod 17
m=18: 33 mod 18 = 15 ≠ 9 = 45 mod 18
m=19: 33 mod 19 = 14 ≠ 7 = 45 mod 19
m=20: 33 mod 20 = 13 ≠ 5 = 45 mod 20
m=21: 33 mod 21 = 12 ≠ 3 = 45 mod 21
m=22: 33 mod 22 = 11 ≠ 1 = 45 mod 22
m=23: 33 mod 23 = 10 ≠ 22 = 45 mod 23
m=24: 33 mod 24 = 9 ≠ 21 = 45 mod 24
m=25: 33 mod 25 = 8 ≠ 20 = 45 mod 25
m=26: 33 mod 26 = 7 ≠ 19 = 45 mod 26
m=27: 33 mod 27 = 6 ≠ 18 = 45 mod 27
m=28: 33 mod 28 = 5 ≠ 17 = 45 mod 28
m=29: 33 mod 29 = 4 ≠ 16 = 45 mod 29
m=30: 33 mod 30 = 3 ≠ 15 = 45 mod 30
m=31: 33 mod 31 = 2 ≠ 14 = 45 mod 31
m=32: 33 mod 32 = 1 ≠ 13 = 45 mod 32
m=33: 33 mod 33 = 0 ≠ 12 = 45 mod 33
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (45 - 33) = 12 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 4; 6; 12
