Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 41 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 40, weil ja 5 ⋅ 8 = 40 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 41 - 40 = 1.
Somit gilt: 41 mod 8 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 82 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 78, weil ja 13 ⋅ 6 = 78 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 82 - 78 = 4.
Somit gilt: 82 mod 6 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 4 mod 6.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 10 ⋅ 6
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 4 mod 6 sein, also addieren wir noch 4 auf die 60 und erhalten so 64.
Somit gilt: 64 ≡ 82 ≡ 4 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32003 - 806) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32003 - 806) mod 8 ≡ (32003 mod 8 - 806 mod 8) mod 8.
32003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32003
= 32000
806 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 806
= 800
Somit gilt:
(32003 - 806) mod 8 ≡ (3 - 6) mod 8 ≡ -3 mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 15) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28 ⋅ 15) mod 9 ≡ (28 mod 9 ⋅ 15 mod 9) mod 9.
28 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 3 ⋅ 9 + 1 ist.
15 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 9 + 6 = 1 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(28 ⋅ 15) mod 9 ≡ (1 ⋅ 6) mod 9 ≡ 6 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
14 mod m = 20 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 20 mod m gilt:
m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 20 mod 2
m=3: 14 mod 3 = 2 = 2 = 20 mod 3
m=4: 14 mod 4 = 2 ≠ 0 = 20 mod 4
m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 0 = 20 mod 5
m=6: 14 mod 6 = 2 = 2 = 20 mod 6
m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 6 = 20 mod 7
m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 4 = 20 mod 8
m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 2 = 20 mod 9
m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 0 = 20 mod 10
m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 9 = 20 mod 11
m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 8 = 20 mod 12
m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 7 = 20 mod 13
m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 6 = 20 mod 14
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (20 - 14) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
