Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 42, weil ja 7 ⋅ 6 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 45 - 42 = 3.

Somit gilt: 45 mod 6 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 64, weil ja 8 ⋅ 8 = 64 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 71 - 64 = 7.

Somit gilt: 71 mod 8 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 7 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 5 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 7 mod 8 sein, also addieren wir noch 7 auf die 40 und erhalten so 47.

Somit gilt: 47 ≡ 71 ≡ 7 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(399 + 1196) mod 4 ≡ (399 mod 4 + 1196 mod 4) mod 4.

399 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 399 = 300+99 = 4 ⋅ 75 +99.

1196 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1196 = 1100+96 = 4 ⋅ 275 +96.

Somit gilt:

(399 + 1196) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 23) mod 11 ≡ (78 mod 11 ⋅ 23 mod 11) mod 11.

78 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 7 ⋅ 11 + 1 ist.

23 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 22 + 1 = 2 ⋅ 11 + 1 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 23) mod 11 ≡ (1 ⋅ 1) mod 11 ≡ 1 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 32 aus, ob zufällig 32 mod m = 47 mod m gilt:

m=2: 32 mod 2 = 0 ≠ 1 = 47 mod 2

m=3: 32 mod 3 = 2 = 2 = 47 mod 3

m=4: 32 mod 4 = 0 ≠ 3 = 47 mod 4

m=5: 32 mod 5 = 2 = 2 = 47 mod 5

m=6: 32 mod 6 = 2 ≠ 5 = 47 mod 6

m=7: 32 mod 7 = 4 ≠ 5 = 47 mod 7

m=8: 32 mod 8 = 0 ≠ 7 = 47 mod 8

m=9: 32 mod 9 = 5 ≠ 2 = 47 mod 9

m=10: 32 mod 10 = 2 ≠ 7 = 47 mod 10

m=11: 32 mod 11 = 10 ≠ 3 = 47 mod 11

m=12: 32 mod 12 = 8 ≠ 11 = 47 mod 12

m=13: 32 mod 13 = 6 ≠ 8 = 47 mod 13

m=14: 32 mod 14 = 4 ≠ 5 = 47 mod 14

m=15: 32 mod 15 = 2 = 2 = 47 mod 15

m=16: 32 mod 16 = 0 ≠ 15 = 47 mod 16

m=17: 32 mod 17 = 15 ≠ 13 = 47 mod 17

m=18: 32 mod 18 = 14 ≠ 11 = 47 mod 18

m=19: 32 mod 19 = 13 ≠ 9 = 47 mod 19

m=20: 32 mod 20 = 12 ≠ 7 = 47 mod 20

m=21: 32 mod 21 = 11 ≠ 5 = 47 mod 21

m=22: 32 mod 22 = 10 ≠ 3 = 47 mod 22

m=23: 32 mod 23 = 9 ≠ 1 = 47 mod 23

m=24: 32 mod 24 = 8 ≠ 23 = 47 mod 24

m=25: 32 mod 25 = 7 ≠ 22 = 47 mod 25

m=26: 32 mod 26 = 6 ≠ 21 = 47 mod 26

m=27: 32 mod 27 = 5 ≠ 20 = 47 mod 27

m=28: 32 mod 28 = 4 ≠ 19 = 47 mod 28

m=29: 32 mod 29 = 3 ≠ 18 = 47 mod 29

m=30: 32 mod 30 = 2 ≠ 17 = 47 mod 30

m=31: 32 mod 31 = 1 ≠ 16 = 47 mod 31

m=32: 32 mod 32 = 0 ≠ 15 = 47 mod 32

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (47 - 32) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15