Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9

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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 22 mod 11.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 22, weil ja 2 ⋅ 11 = 22 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 22 - 22 = 0.

Somit gilt: 22 mod 11 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 87 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 84, weil ja 14 ⋅ 6 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 87 - 84 = 3.

Somit gilt: 87 mod 6 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 3 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 10 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 3 mod 6 sein, also addieren wir noch 3 auf die 60 und erhalten so 63.

Somit gilt: 63 ≡ 87 ≡ 3 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44997 + 18000) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44997 + 18000) mod 9 ≡ (44997 mod 9 + 18000 mod 9) mod 9.

44997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44997 = 45000-3 = 9 ⋅ 5000 -3 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 6.

18000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18000 = 18000+0 = 9 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(44997 + 18000) mod 9 ≡ (6 + 0) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 85) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(73 ⋅ 85) mod 10 ≡ (73 mod 10 ⋅ 85 mod 10) mod 10.

73 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 7 ⋅ 10 + 3 ist.

85 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 8 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(73 ⋅ 85) mod 10 ≡ (3 ⋅ 5) mod 10 ≡ 15 mod 10 ≡ 5 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
17 mod m = 23 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 17 aus, ob zufällig 17 mod m = 23 mod m gilt:

m=2: 17 mod 2 = 1 = 1 = 23 mod 2

m=3: 17 mod 3 = 2 = 2 = 23 mod 3

m=4: 17 mod 4 = 1 ≠ 3 = 23 mod 4

m=5: 17 mod 5 = 2 ≠ 3 = 23 mod 5

m=6: 17 mod 6 = 5 = 5 = 23 mod 6

m=7: 17 mod 7 = 3 ≠ 2 = 23 mod 7

m=8: 17 mod 8 = 1 ≠ 7 = 23 mod 8

m=9: 17 mod 9 = 8 ≠ 5 = 23 mod 9

m=10: 17 mod 10 = 7 ≠ 3 = 23 mod 10

m=11: 17 mod 11 = 6 ≠ 1 = 23 mod 11

m=12: 17 mod 12 = 5 ≠ 11 = 23 mod 12

m=13: 17 mod 13 = 4 ≠ 10 = 23 mod 13

m=14: 17 mod 14 = 3 ≠ 9 = 23 mod 14

m=15: 17 mod 15 = 2 ≠ 8 = 23 mod 15

m=16: 17 mod 16 = 1 ≠ 7 = 23 mod 16

m=17: 17 mod 17 = 0 ≠ 6 = 23 mod 17

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (23 - 17) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6