Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 39 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 30, weil ja 3 ⋅ 10 = 30 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 39 - 30 = 9.
Somit gilt: 39 mod 10 ≡ 9.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 81 für die gilt n ≡ 38 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 33, weil ja 3 ⋅ 11 = 33 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 38 - 33 = 5.
Somit gilt: 38 mod 11 ≡ 5.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 81 für die gilt: n ≡ 5 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 70, z.B. 66 = 6 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 5 mod 11 sein, also addieren wir noch 5 auf die 66 und erhalten so 71.
Somit gilt: 71 ≡ 38 ≡ 5 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2399 + 16003) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2399 + 16003) mod 8 ≡ (2399 mod 8 + 16003 mod 8) mod 8.
2399 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2399
= 2400
16003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16003
= 16000
Somit gilt:
(2399 + 16003) mod 8 ≡ (7 + 3) mod 8 ≡ 10 mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 60) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(91 ⋅ 60) mod 7 ≡ (91 mod 7 ⋅ 60 mod 7) mod 7.
91 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 91 + 0 = 13 ⋅ 7 + 0 ist.
60 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 8 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(91 ⋅ 60) mod 7 ≡ (0 ⋅ 4) mod 7 ≡ 0 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
16 mod m = 22 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 16 aus, ob zufällig 16 mod m = 22 mod m gilt:
m=2: 16 mod 2 = 0 = 0 = 22 mod 2
m=3: 16 mod 3 = 1 = 1 = 22 mod 3
m=4: 16 mod 4 = 0 ≠ 2 = 22 mod 4
m=5: 16 mod 5 = 1 ≠ 2 = 22 mod 5
m=6: 16 mod 6 = 4 = 4 = 22 mod 6
m=7: 16 mod 7 = 2 ≠ 1 = 22 mod 7
m=8: 16 mod 8 = 0 ≠ 6 = 22 mod 8
m=9: 16 mod 9 = 7 ≠ 4 = 22 mod 9
m=10: 16 mod 10 = 6 ≠ 2 = 22 mod 10
m=11: 16 mod 11 = 5 ≠ 0 = 22 mod 11
m=12: 16 mod 12 = 4 ≠ 10 = 22 mod 12
m=13: 16 mod 13 = 3 ≠ 9 = 22 mod 13
m=14: 16 mod 14 = 2 ≠ 8 = 22 mod 14
m=15: 16 mod 15 = 1 ≠ 7 = 22 mod 15
m=16: 16 mod 16 = 0 ≠ 6 = 22 mod 16
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (22 - 16) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
