Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 45 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 42, weil ja 7 ⋅ 6 = 42 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 45 - 42 = 3.
Somit gilt: 45 mod 6 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 71 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 64, weil ja 8 ⋅ 8 = 64 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 71 - 64 = 7.
Somit gilt: 71 mod 8 ≡ 7.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 7 mod 8.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 5 ⋅ 8
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 7 mod 8 sein, also addieren wir noch 7 auf die 40 und erhalten so 47.
Somit gilt: 47 ≡ 71 ≡ 7 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (399 + 1196) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(399 + 1196) mod 4 ≡ (399 mod 4 + 1196 mod 4) mod 4.
399 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 399
= 300
1196 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1196
= 1100
Somit gilt:
(399 + 1196) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 23) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 ⋅ 23) mod 11 ≡ (78 mod 11 ⋅ 23 mod 11) mod 11.
78 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 7 ⋅ 11 + 1 ist.
23 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 22 + 1 = 2 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(78 ⋅ 23) mod 11 ≡ (1 ⋅ 1) mod 11 ≡ 1 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
32 mod m = 47 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 32 aus, ob zufällig 32 mod m = 47 mod m gilt:
m=2: 32 mod 2 = 0 ≠ 1 = 47 mod 2
m=3: 32 mod 3 = 2 = 2 = 47 mod 3
m=4: 32 mod 4 = 0 ≠ 3 = 47 mod 4
m=5: 32 mod 5 = 2 = 2 = 47 mod 5
m=6: 32 mod 6 = 2 ≠ 5 = 47 mod 6
m=7: 32 mod 7 = 4 ≠ 5 = 47 mod 7
m=8: 32 mod 8 = 0 ≠ 7 = 47 mod 8
m=9: 32 mod 9 = 5 ≠ 2 = 47 mod 9
m=10: 32 mod 10 = 2 ≠ 7 = 47 mod 10
m=11: 32 mod 11 = 10 ≠ 3 = 47 mod 11
m=12: 32 mod 12 = 8 ≠ 11 = 47 mod 12
m=13: 32 mod 13 = 6 ≠ 8 = 47 mod 13
m=14: 32 mod 14 = 4 ≠ 5 = 47 mod 14
m=15: 32 mod 15 = 2 = 2 = 47 mod 15
m=16: 32 mod 16 = 0 ≠ 15 = 47 mod 16
m=17: 32 mod 17 = 15 ≠ 13 = 47 mod 17
m=18: 32 mod 18 = 14 ≠ 11 = 47 mod 18
m=19: 32 mod 19 = 13 ≠ 9 = 47 mod 19
m=20: 32 mod 20 = 12 ≠ 7 = 47 mod 20
m=21: 32 mod 21 = 11 ≠ 5 = 47 mod 21
m=22: 32 mod 22 = 10 ≠ 3 = 47 mod 22
m=23: 32 mod 23 = 9 ≠ 1 = 47 mod 23
m=24: 32 mod 24 = 8 ≠ 23 = 47 mod 24
m=25: 32 mod 25 = 7 ≠ 22 = 47 mod 25
m=26: 32 mod 26 = 6 ≠ 21 = 47 mod 26
m=27: 32 mod 27 = 5 ≠ 20 = 47 mod 27
m=28: 32 mod 28 = 4 ≠ 19 = 47 mod 28
m=29: 32 mod 29 = 3 ≠ 18 = 47 mod 29
m=30: 32 mod 30 = 2 ≠ 17 = 47 mod 30
m=31: 32 mod 31 = 1 ≠ 16 = 47 mod 31
m=32: 32 mod 32 = 0 ≠ 15 = 47 mod 32
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (47 - 32) = 15 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 15
