Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 90, weil ja 10 ⋅ 9 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 91 - 90 = 1.

Somit gilt: 91 mod 9 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 60, weil ja 10 ⋅ 6 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 60 - 60 = 0.

Somit gilt: 60 mod 6 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 0 mod 6.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 80, z.B. 84 = 14 ⋅ 6

Somit gilt: 84 ≡ 60 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3999 - 314) mod 8 ≡ (3999 mod 8 - 314 mod 8) mod 8.

3999 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3999 = 4000-1 = 8 ⋅ 500 -1 = 8 ⋅ 500 - 8 + 7.

314 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 314 = 320-6 = 8 ⋅ 40 -6 = 8 ⋅ 40 - 8 + 2.

Somit gilt:

(3999 - 314) mod 8 ≡ (7 - 2) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 65) mod 8 ≡ (33 mod 8 ⋅ 65 mod 8) mod 8.

33 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 32 + 1 = 4 ⋅ 8 + 1 ist.

65 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 64 + 1 = 8 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 65) mod 8 ≡ (1 ⋅ 1) mod 8 ≡ 1 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 37 aus, ob zufällig 37 mod m = 47 mod m gilt:

m=2: 37 mod 2 = 1 = 1 = 47 mod 2

m=3: 37 mod 3 = 1 ≠ 2 = 47 mod 3

m=4: 37 mod 4 = 1 ≠ 3 = 47 mod 4

m=5: 37 mod 5 = 2 = 2 = 47 mod 5

m=6: 37 mod 6 = 1 ≠ 5 = 47 mod 6

m=7: 37 mod 7 = 2 ≠ 5 = 47 mod 7

m=8: 37 mod 8 = 5 ≠ 7 = 47 mod 8

m=9: 37 mod 9 = 1 ≠ 2 = 47 mod 9

m=10: 37 mod 10 = 7 = 7 = 47 mod 10

m=11: 37 mod 11 = 4 ≠ 3 = 47 mod 11

m=12: 37 mod 12 = 1 ≠ 11 = 47 mod 12

m=13: 37 mod 13 = 11 ≠ 8 = 47 mod 13

m=14: 37 mod 14 = 9 ≠ 5 = 47 mod 14

m=15: 37 mod 15 = 7 ≠ 2 = 47 mod 15

m=16: 37 mod 16 = 5 ≠ 15 = 47 mod 16

m=17: 37 mod 17 = 3 ≠ 13 = 47 mod 17

m=18: 37 mod 18 = 1 ≠ 11 = 47 mod 18

m=19: 37 mod 19 = 18 ≠ 9 = 47 mod 19

m=20: 37 mod 20 = 17 ≠ 7 = 47 mod 20

m=21: 37 mod 21 = 16 ≠ 5 = 47 mod 21

m=22: 37 mod 22 = 15 ≠ 3 = 47 mod 22

m=23: 37 mod 23 = 14 ≠ 1 = 47 mod 23

m=24: 37 mod 24 = 13 ≠ 23 = 47 mod 24

m=25: 37 mod 25 = 12 ≠ 22 = 47 mod 25

m=26: 37 mod 26 = 11 ≠ 21 = 47 mod 26

m=27: 37 mod 27 = 10 ≠ 20 = 47 mod 27

m=28: 37 mod 28 = 9 ≠ 19 = 47 mod 28

m=29: 37 mod 29 = 8 ≠ 18 = 47 mod 29

m=30: 37 mod 30 = 7 ≠ 17 = 47 mod 30

m=31: 37 mod 31 = 6 ≠ 16 = 47 mod 31

m=32: 37 mod 32 = 5 ≠ 15 = 47 mod 32

m=33: 37 mod 33 = 4 ≠ 14 = 47 mod 33

m=34: 37 mod 34 = 3 ≠ 13 = 47 mod 34

m=35: 37 mod 35 = 2 ≠ 12 = 47 mod 35

m=36: 37 mod 36 = 1 ≠ 11 = 47 mod 36

m=37: 37 mod 37 = 0 ≠ 10 = 47 mod 37

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (47 - 37) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10