Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 57, weil ja 19 ⋅ 3 = 57 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 58 - 57 = 1.

Somit gilt: 58 mod 3 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 30, weil ja 3 ⋅ 10 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 34 - 30 = 4.

Somit gilt: 34 mod 10 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 80 für die gilt: n ≡ 4 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 7 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 4 mod 10 sein, also addieren wir noch 4 auf die 70 und erhalten so 74.

Somit gilt: 74 ≡ 34 ≡ 4 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 + 39993) mod 8 ≡ (84 mod 8 + 39993 mod 8) mod 8.

84 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80+4 = 8 ⋅ 10 +4.

39993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39993 = 39000+993 = 8 ⋅ 4875 +993.

Somit gilt:

(84 + 39993) mod 8 ≡ (4 + 1) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 50) mod 8 ≡ (98 mod 8 ⋅ 50 mod 8) mod 8.

98 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 12 ⋅ 8 + 2 ist.

50 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 6 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 50) mod 8 ≡ (2 ⋅ 2) mod 8 ≡ 4 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 27 aus, ob zufällig 27 mod m = 35 mod m gilt:

m=2: 27 mod 2 = 1 = 1 = 35 mod 2

m=3: 27 mod 3 = 0 ≠ 2 = 35 mod 3

m=4: 27 mod 4 = 3 = 3 = 35 mod 4

m=5: 27 mod 5 = 2 ≠ 0 = 35 mod 5

m=6: 27 mod 6 = 3 ≠ 5 = 35 mod 6

m=7: 27 mod 7 = 6 ≠ 0 = 35 mod 7

m=8: 27 mod 8 = 3 = 3 = 35 mod 8

m=9: 27 mod 9 = 0 ≠ 8 = 35 mod 9

m=10: 27 mod 10 = 7 ≠ 5 = 35 mod 10

m=11: 27 mod 11 = 5 ≠ 2 = 35 mod 11

m=12: 27 mod 12 = 3 ≠ 11 = 35 mod 12

m=13: 27 mod 13 = 1 ≠ 9 = 35 mod 13

m=14: 27 mod 14 = 13 ≠ 7 = 35 mod 14

m=15: 27 mod 15 = 12 ≠ 5 = 35 mod 15

m=16: 27 mod 16 = 11 ≠ 3 = 35 mod 16

m=17: 27 mod 17 = 10 ≠ 1 = 35 mod 17

m=18: 27 mod 18 = 9 ≠ 17 = 35 mod 18

m=19: 27 mod 19 = 8 ≠ 16 = 35 mod 19

m=20: 27 mod 20 = 7 ≠ 15 = 35 mod 20

m=21: 27 mod 21 = 6 ≠ 14 = 35 mod 21

m=22: 27 mod 22 = 5 ≠ 13 = 35 mod 22

m=23: 27 mod 23 = 4 ≠ 12 = 35 mod 23

m=24: 27 mod 24 = 3 ≠ 11 = 35 mod 24

m=25: 27 mod 25 = 2 ≠ 10 = 35 mod 25

m=26: 27 mod 26 = 1 ≠ 9 = 35 mod 26

m=27: 27 mod 27 = 0 ≠ 8 = 35 mod 27

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (35 - 27) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8