Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 15, weil ja 3 ⋅ 5 = 15 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 19 - 15 = 4.

Somit gilt: 19 mod 5 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 24, weil ja 4 ⋅ 6 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 26 - 24 = 2.

Somit gilt: 26 mod 6 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 2 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 5 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 2 mod 6 sein, also addieren wir noch 2 auf die 30 und erhalten so 32.

Somit gilt: 32 ≡ 26 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1394 - 141) mod 7 ≡ (1394 mod 7 - 141 mod 7) mod 7.

1394 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1394 = 1400-6 = 7 ⋅ 200 -6 = 7 ⋅ 200 - 7 + 1.

141 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 141 = 140+1 = 7 ⋅ 20 +1.

Somit gilt:

(1394 - 141) mod 7 ≡ (1 - 1) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 75) mod 9 ≡ (33 mod 9 ⋅ 75 mod 9) mod 9.

33 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 27 + 6 = 3 ⋅ 9 + 6 ist.

75 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 8 ⋅ 9 + 3 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 75) mod 9 ≡ (6 ⋅ 3) mod 9 ≡ 18 mod 9 ≡ 0 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 26 aus, ob zufällig 26 mod m = 36 mod m gilt:

m=2: 26 mod 2 = 0 = 0 = 36 mod 2

m=3: 26 mod 3 = 2 ≠ 0 = 36 mod 3

m=4: 26 mod 4 = 2 ≠ 0 = 36 mod 4

m=5: 26 mod 5 = 1 = 1 = 36 mod 5

m=6: 26 mod 6 = 2 ≠ 0 = 36 mod 6

m=7: 26 mod 7 = 5 ≠ 1 = 36 mod 7

m=8: 26 mod 8 = 2 ≠ 4 = 36 mod 8

m=9: 26 mod 9 = 8 ≠ 0 = 36 mod 9

m=10: 26 mod 10 = 6 = 6 = 36 mod 10

m=11: 26 mod 11 = 4 ≠ 3 = 36 mod 11

m=12: 26 mod 12 = 2 ≠ 0 = 36 mod 12

m=13: 26 mod 13 = 0 ≠ 10 = 36 mod 13

m=14: 26 mod 14 = 12 ≠ 8 = 36 mod 14

m=15: 26 mod 15 = 11 ≠ 6 = 36 mod 15

m=16: 26 mod 16 = 10 ≠ 4 = 36 mod 16

m=17: 26 mod 17 = 9 ≠ 2 = 36 mod 17

m=18: 26 mod 18 = 8 ≠ 0 = 36 mod 18

m=19: 26 mod 19 = 7 ≠ 17 = 36 mod 19

m=20: 26 mod 20 = 6 ≠ 16 = 36 mod 20

m=21: 26 mod 21 = 5 ≠ 15 = 36 mod 21

m=22: 26 mod 22 = 4 ≠ 14 = 36 mod 22

m=23: 26 mod 23 = 3 ≠ 13 = 36 mod 23

m=24: 26 mod 24 = 2 ≠ 12 = 36 mod 24

m=25: 26 mod 25 = 1 ≠ 11 = 36 mod 25

m=26: 26 mod 26 = 0 ≠ 10 = 36 mod 26

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (36 - 26) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10