Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 50, weil ja 5 ⋅ 10 = 50 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 57 - 50 = 7.

Somit gilt: 57 mod 10 ≡ 7.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 70, weil ja 14 ⋅ 5 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 72 - 70 = 2.

Somit gilt: 72 mod 5 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 2 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 10, z.B. 10 = 2 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 2 mod 5 sein, also addieren wir noch 2 auf die 10 und erhalten so 12.

Somit gilt: 12 ≡ 72 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(266 + 9006) mod 9 ≡ (266 mod 9 + 9006 mod 9) mod 9.

266 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 266 = 270-4 = 9 ⋅ 30 -4 = 9 ⋅ 30 - 9 + 5.

9006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9006 = 9000+6 = 9 ⋅ 1000 +6.

Somit gilt:

(266 + 9006) mod 9 ≡ (5 + 6) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(50 ⋅ 97) mod 7 ≡ (50 mod 7 ⋅ 97 mod 7) mod 7.

50 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 49 + 1 = 7 ⋅ 7 + 1 ist.

97 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 91 + 6 = 13 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(50 ⋅ 97) mod 7 ≡ (1 ⋅ 6) mod 7 ≡ 6 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 243 aus, ob zufällig 243 mod m = 318 mod m gilt:

m=2: 243 mod 2 = 1 ≠ 0 = 318 mod 2

m=3: 243 mod 3 = 0 = 0 = 318 mod 3

m=4: 243 mod 4 = 3 ≠ 2 = 318 mod 4

m=5: 243 mod 5 = 3 = 3 = 318 mod 5

m=6: 243 mod 6 = 3 ≠ 0 = 318 mod 6

m=7: 243 mod 7 = 5 ≠ 3 = 318 mod 7

m=8: 243 mod 8 = 3 ≠ 6 = 318 mod 8

m=9: 243 mod 9 = 0 ≠ 3 = 318 mod 9

m=10: 243 mod 10 = 3 ≠ 8 = 318 mod 10

m=11: 243 mod 11 = 1 ≠ 10 = 318 mod 11

m=12: 243 mod 12 = 3 ≠ 6 = 318 mod 12

m=13: 243 mod 13 = 9 ≠ 6 = 318 mod 13

m=14: 243 mod 14 = 5 ≠ 10 = 318 mod 14

m=15: 243 mod 15 = 3 = 3 = 318 mod 15

m=16: 243 mod 16 = 3 ≠ 14 = 318 mod 16

m=17: 243 mod 17 = 5 ≠ 12 = 318 mod 17

m=18: 243 mod 18 = 9 ≠ 12 = 318 mod 18

m=19: 243 mod 19 = 15 ≠ 14 = 318 mod 19

m=20: 243 mod 20 = 3 ≠ 18 = 318 mod 20

m=21: 243 mod 21 = 12 ≠ 3 = 318 mod 21

m=22: 243 mod 22 = 1 ≠ 10 = 318 mod 22

m=23: 243 mod 23 = 13 ≠ 19 = 318 mod 23

m=24: 243 mod 24 = 3 ≠ 6 = 318 mod 24

m=25: 243 mod 25 = 18 = 18 = 318 mod 25

m=26: 243 mod 26 = 9 ≠ 6 = 318 mod 26

m=27: 243 mod 27 = 0 ≠ 21 = 318 mod 27

m=28: 243 mod 28 = 19 ≠ 10 = 318 mod 28

m=29: 243 mod 29 = 11 ≠ 28 = 318 mod 29

m=30: 243 mod 30 = 3 ≠ 18 = 318 mod 30

m=31: 243 mod 31 = 26 ≠ 8 = 318 mod 31

m=32: 243 mod 32 = 19 ≠ 30 = 318 mod 32

m=33: 243 mod 33 = 12 ≠ 21 = 318 mod 33

m=34: 243 mod 34 = 5 ≠ 12 = 318 mod 34

m=35: 243 mod 35 = 33 ≠ 3 = 318 mod 35

m=36: 243 mod 36 = 27 ≠ 30 = 318 mod 36

m=37: 243 mod 37 = 21 ≠ 22 = 318 mod 37

m=38: 243 mod 38 = 15 ≠ 14 = 318 mod 38

m=39: 243 mod 39 = 9 ≠ 6 = 318 mod 39

m=40: 243 mod 40 = 3 ≠ 38 = 318 mod 40

m=41: 243 mod 41 = 38 ≠ 31 = 318 mod 41

m=42: 243 mod 42 = 33 ≠ 24 = 318 mod 42

m=43: 243 mod 43 = 28 ≠ 17 = 318 mod 43

m=44: 243 mod 44 = 23 ≠ 10 = 318 mod 44

m=45: 243 mod 45 = 18 ≠ 3 = 318 mod 45

m=46: 243 mod 46 = 13 ≠ 42 = 318 mod 46

m=47: 243 mod 47 = 8 ≠ 36 = 318 mod 47

m=48: 243 mod 48 = 3 ≠ 30 = 318 mod 48

m=49: 243 mod 49 = 47 ≠ 24 = 318 mod 49

m=50: 243 mod 50 = 43 ≠ 18 = 318 mod 50

m=51: 243 mod 51 = 39 ≠ 12 = 318 mod 51

m=52: 243 mod 52 = 35 ≠ 6 = 318 mod 52

m=53: 243 mod 53 = 31 ≠ 0 = 318 mod 53

m=54: 243 mod 54 = 27 ≠ 48 = 318 mod 54

m=55: 243 mod 55 = 23 ≠ 43 = 318 mod 55

m=56: 243 mod 56 = 19 ≠ 38 = 318 mod 56

m=57: 243 mod 57 = 15 ≠ 33 = 318 mod 57

m=58: 243 mod 58 = 11 ≠ 28 = 318 mod 58

m=59: 243 mod 59 = 7 ≠ 23 = 318 mod 59

m=60: 243 mod 60 = 3 ≠ 18 = 318 mod 60

m=61: 243 mod 61 = 60 ≠ 13 = 318 mod 61

m=62: 243 mod 62 = 57 ≠ 8 = 318 mod 62

m=63: 243 mod 63 = 54 ≠ 3 = 318 mod 63

m=64: 243 mod 64 = 51 ≠ 62 = 318 mod 64

m=65: 243 mod 65 = 48 ≠ 58 = 318 mod 65

m=66: 243 mod 66 = 45 ≠ 54 = 318 mod 66

m=67: 243 mod 67 = 42 ≠ 50 = 318 mod 67

m=68: 243 mod 68 = 39 ≠ 46 = 318 mod 68

m=69: 243 mod 69 = 36 ≠ 42 = 318 mod 69

m=70: 243 mod 70 = 33 ≠ 38 = 318 mod 70

m=71: 243 mod 71 = 30 ≠ 34 = 318 mod 71

m=72: 243 mod 72 = 27 ≠ 30 = 318 mod 72

m=73: 243 mod 73 = 24 ≠ 26 = 318 mod 73

m=74: 243 mod 74 = 21 ≠ 22 = 318 mod 74

m=75: 243 mod 75 = 18 = 18 = 318 mod 75

m=76: 243 mod 76 = 15 ≠ 14 = 318 mod 76

m=77: 243 mod 77 = 12 ≠ 10 = 318 mod 77

m=78: 243 mod 78 = 9 ≠ 6 = 318 mod 78

m=79: 243 mod 79 = 6 ≠ 2 = 318 mod 79

m=80: 243 mod 80 = 3 ≠ 78 = 318 mod 80

m=81: 243 mod 81 = 0 ≠ 75 = 318 mod 81

m=82: 243 mod 82 = 79 ≠ 72 = 318 mod 82

m=83: 243 mod 83 = 77 ≠ 69 = 318 mod 83

m=84: 243 mod 84 = 75 ≠ 66 = 318 mod 84

m=85: 243 mod 85 = 73 ≠ 63 = 318 mod 85

m=86: 243 mod 86 = 71 ≠ 60 = 318 mod 86

m=87: 243 mod 87 = 69 ≠ 57 = 318 mod 87

m=88: 243 mod 88 = 67 ≠ 54 = 318 mod 88

m=89: 243 mod 89 = 65 ≠ 51 = 318 mod 89

m=90: 243 mod 90 = 63 ≠ 48 = 318 mod 90

m=91: 243 mod 91 = 61 ≠ 45 = 318 mod 91

m=92: 243 mod 92 = 59 ≠ 42 = 318 mod 92

m=93: 243 mod 93 = 57 ≠ 39 = 318 mod 93

m=94: 243 mod 94 = 55 ≠ 36 = 318 mod 94

m=95: 243 mod 95 = 53 ≠ 33 = 318 mod 95

m=96: 243 mod 96 = 51 ≠ 30 = 318 mod 96

m=97: 243 mod 97 = 49 ≠ 27 = 318 mod 97

m=98: 243 mod 98 = 47 ≠ 24 = 318 mod 98

m=99: 243 mod 99 = 45 ≠ 21 = 318 mod 99

m=100: 243 mod 100 = 43 ≠ 18 = 318 mod 100

m=101: 243 mod 101 = 41 ≠ 15 = 318 mod 101

m=102: 243 mod 102 = 39 ≠ 12 = 318 mod 102

m=103: 243 mod 103 = 37 ≠ 9 = 318 mod 103

m=104: 243 mod 104 = 35 ≠ 6 = 318 mod 104

m=105: 243 mod 105 = 33 ≠ 3 = 318 mod 105

m=106: 243 mod 106 = 31 ≠ 0 = 318 mod 106

m=107: 243 mod 107 = 29 ≠ 104 = 318 mod 107

m=108: 243 mod 108 = 27 ≠ 102 = 318 mod 108

m=109: 243 mod 109 = 25 ≠ 100 = 318 mod 109

m=110: 243 mod 110 = 23 ≠ 98 = 318 mod 110

m=111: 243 mod 111 = 21 ≠ 96 = 318 mod 111

m=112: 243 mod 112 = 19 ≠ 94 = 318 mod 112

m=113: 243 mod 113 = 17 ≠ 92 = 318 mod 113

m=114: 243 mod 114 = 15 ≠ 90 = 318 mod 114

m=115: 243 mod 115 = 13 ≠ 88 = 318 mod 115

m=116: 243 mod 116 = 11 ≠ 86 = 318 mod 116

m=117: 243 mod 117 = 9 ≠ 84 = 318 mod 117

m=118: 243 mod 118 = 7 ≠ 82 = 318 mod 118

m=119: 243 mod 119 = 5 ≠ 80 = 318 mod 119

m=120: 243 mod 120 = 3 ≠ 78 = 318 mod 120

m=121: 243 mod 121 = 1 ≠ 76 = 318 mod 121

m=122: 243 mod 122 = 121 ≠ 74 = 318 mod 122

m=123: 243 mod 123 = 120 ≠ 72 = 318 mod 123

m=124: 243 mod 124 = 119 ≠ 70 = 318 mod 124

m=125: 243 mod 125 = 118 ≠ 68 = 318 mod 125

m=126: 243 mod 126 = 117 ≠ 66 = 318 mod 126

m=127: 243 mod 127 = 116 ≠ 64 = 318 mod 127

m=128: 243 mod 128 = 115 ≠ 62 = 318 mod 128

m=129: 243 mod 129 = 114 ≠ 60 = 318 mod 129

m=130: 243 mod 130 = 113 ≠ 58 = 318 mod 130

m=131: 243 mod 131 = 112 ≠ 56 = 318 mod 131

m=132: 243 mod 132 = 111 ≠ 54 = 318 mod 132

m=133: 243 mod 133 = 110 ≠ 52 = 318 mod 133

m=134: 243 mod 134 = 109 ≠ 50 = 318 mod 134

m=135: 243 mod 135 = 108 ≠ 48 = 318 mod 135

m=136: 243 mod 136 = 107 ≠ 46 = 318 mod 136

m=137: 243 mod 137 = 106 ≠ 44 = 318 mod 137

m=138: 243 mod 138 = 105 ≠ 42 = 318 mod 138

m=139: 243 mod 139 = 104 ≠ 40 = 318 mod 139

m=140: 243 mod 140 = 103 ≠ 38 = 318 mod 140

m=141: 243 mod 141 = 102 ≠ 36 = 318 mod 141

m=142: 243 mod 142 = 101 ≠ 34 = 318 mod 142

m=143: 243 mod 143 = 100 ≠ 32 = 318 mod 143

m=144: 243 mod 144 = 99 ≠ 30 = 318 mod 144

m=145: 243 mod 145 = 98 ≠ 28 = 318 mod 145

m=146: 243 mod 146 = 97 ≠ 26 = 318 mod 146

m=147: 243 mod 147 = 96 ≠ 24 = 318 mod 147

m=148: 243 mod 148 = 95 ≠ 22 = 318 mod 148

m=149: 243 mod 149 = 94 ≠ 20 = 318 mod 149

m=150: 243 mod 150 = 93 ≠ 18 = 318 mod 150

m=151: 243 mod 151 = 92 ≠ 16 = 318 mod 151

m=152: 243 mod 152 = 91 ≠ 14 = 318 mod 152

m=153: 243 mod 153 = 90 ≠ 12 = 318 mod 153

m=154: 243 mod 154 = 89 ≠ 10 = 318 mod 154

m=155: 243 mod 155 = 88 ≠ 8 = 318 mod 155

m=156: 243 mod 156 = 87 ≠ 6 = 318 mod 156

m=157: 243 mod 157 = 86 ≠ 4 = 318 mod 157

m=158: 243 mod 158 = 85 ≠ 2 = 318 mod 158

m=159: 243 mod 159 = 84 ≠ 0 = 318 mod 159

m=160: 243 mod 160 = 83 ≠ 158 = 318 mod 160

m=161: 243 mod 161 = 82 ≠ 157 = 318 mod 161

m=162: 243 mod 162 = 81 ≠ 156 = 318 mod 162

m=163: 243 mod 163 = 80 ≠ 155 = 318 mod 163

m=164: 243 mod 164 = 79 ≠ 154 = 318 mod 164

m=165: 243 mod 165 = 78 ≠ 153 = 318 mod 165

m=166: 243 mod 166 = 77 ≠ 152 = 318 mod 166

m=167: 243 mod 167 = 76 ≠ 151 = 318 mod 167

m=168: 243 mod 168 = 75 ≠ 150 = 318 mod 168

m=169: 243 mod 169 = 74 ≠ 149 = 318 mod 169

m=170: 243 mod 170 = 73 ≠ 148 = 318 mod 170

m=171: 243 mod 171 = 72 ≠ 147 = 318 mod 171

m=172: 243 mod 172 = 71 ≠ 146 = 318 mod 172

m=173: 243 mod 173 = 70 ≠ 145 = 318 mod 173

m=174: 243 mod 174 = 69 ≠ 144 = 318 mod 174

m=175: 243 mod 175 = 68 ≠ 143 = 318 mod 175

m=176: 243 mod 176 = 67 ≠ 142 = 318 mod 176

m=177: 243 mod 177 = 66 ≠ 141 = 318 mod 177

m=178: 243 mod 178 = 65 ≠ 140 = 318 mod 178

m=179: 243 mod 179 = 64 ≠ 139 = 318 mod 179

m=180: 243 mod 180 = 63 ≠ 138 = 318 mod 180

m=181: 243 mod 181 = 62 ≠ 137 = 318 mod 181

m=182: 243 mod 182 = 61 ≠ 136 = 318 mod 182

m=183: 243 mod 183 = 60 ≠ 135 = 318 mod 183

m=184: 243 mod 184 = 59 ≠ 134 = 318 mod 184

m=185: 243 mod 185 = 58 ≠ 133 = 318 mod 185

m=186: 243 mod 186 = 57 ≠ 132 = 318 mod 186

m=187: 243 mod 187 = 56 ≠ 131 = 318 mod 187

m=188: 243 mod 188 = 55 ≠ 130 = 318 mod 188

m=189: 243 mod 189 = 54 ≠ 129 = 318 mod 189

m=190: 243 mod 190 = 53 ≠ 128 = 318 mod 190

m=191: 243 mod 191 = 52 ≠ 127 = 318 mod 191

m=192: 243 mod 192 = 51 ≠ 126 = 318 mod 192

m=193: 243 mod 193 = 50 ≠ 125 = 318 mod 193

m=194: 243 mod 194 = 49 ≠ 124 = 318 mod 194

m=195: 243 mod 195 = 48 ≠ 123 = 318 mod 195

m=196: 243 mod 196 = 47 ≠ 122 = 318 mod 196

m=197: 243 mod 197 = 46 ≠ 121 = 318 mod 197

m=198: 243 mod 198 = 45 ≠ 120 = 318 mod 198

m=199: 243 mod 199 = 44 ≠ 119 = 318 mod 199

m=200: 243 mod 200 = 43 ≠ 118 = 318 mod 200

m=201: 243 mod 201 = 42 ≠ 117 = 318 mod 201

m=202: 243 mod 202 = 41 ≠ 116 = 318 mod 202

m=203: 243 mod 203 = 40 ≠ 115 = 318 mod 203

m=204: 243 mod 204 = 39 ≠ 114 = 318 mod 204

m=205: 243 mod 205 = 38 ≠ 113 = 318 mod 205

m=206: 243 mod 206 = 37 ≠ 112 = 318 mod 206

m=207: 243 mod 207 = 36 ≠ 111 = 318 mod 207

m=208: 243 mod 208 = 35 ≠ 110 = 318 mod 208

m=209: 243 mod 209 = 34 ≠ 109 = 318 mod 209

m=210: 243 mod 210 = 33 ≠ 108 = 318 mod 210

m=211: 243 mod 211 = 32 ≠ 107 = 318 mod 211

m=212: 243 mod 212 = 31 ≠ 106 = 318 mod 212

m=213: 243 mod 213 = 30 ≠ 105 = 318 mod 213

m=214: 243 mod 214 = 29 ≠ 104 = 318 mod 214

m=215: 243 mod 215 = 28 ≠ 103 = 318 mod 215

m=216: 243 mod 216 = 27 ≠ 102 = 318 mod 216

m=217: 243 mod 217 = 26 ≠ 101 = 318 mod 217

m=218: 243 mod 218 = 25 ≠ 100 = 318 mod 218

m=219: 243 mod 219 = 24 ≠ 99 = 318 mod 219

m=220: 243 mod 220 = 23 ≠ 98 = 318 mod 220

m=221: 243 mod 221 = 22 ≠ 97 = 318 mod 221

m=222: 243 mod 222 = 21 ≠ 96 = 318 mod 222

m=223: 243 mod 223 = 20 ≠ 95 = 318 mod 223

m=224: 243 mod 224 = 19 ≠ 94 = 318 mod 224

m=225: 243 mod 225 = 18 ≠ 93 = 318 mod 225

m=226: 243 mod 226 = 17 ≠ 92 = 318 mod 226

m=227: 243 mod 227 = 16 ≠ 91 = 318 mod 227

m=228: 243 mod 228 = 15 ≠ 90 = 318 mod 228

m=229: 243 mod 229 = 14 ≠ 89 = 318 mod 229

m=230: 243 mod 230 = 13 ≠ 88 = 318 mod 230

m=231: 243 mod 231 = 12 ≠ 87 = 318 mod 231

m=232: 243 mod 232 = 11 ≠ 86 = 318 mod 232

m=233: 243 mod 233 = 10 ≠ 85 = 318 mod 233

m=234: 243 mod 234 = 9 ≠ 84 = 318 mod 234

m=235: 243 mod 235 = 8 ≠ 83 = 318 mod 235

m=236: 243 mod 236 = 7 ≠ 82 = 318 mod 236

m=237: 243 mod 237 = 6 ≠ 81 = 318 mod 237

m=238: 243 mod 238 = 5 ≠ 80 = 318 mod 238

m=239: 243 mod 239 = 4 ≠ 79 = 318 mod 239

m=240: 243 mod 240 = 3 ≠ 78 = 318 mod 240

m=241: 243 mod 241 = 2 ≠ 77 = 318 mod 241

m=242: 243 mod 242 = 1 ≠ 76 = 318 mod 242

m=243: 243 mod 243 = 0 ≠ 75 = 318 mod 243

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (318 - 243) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75