Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 77, weil ja 11 ⋅ 7 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 77 - 77 = 0.

Somit gilt: 77 mod 7 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 51 - 44 = 7.

Somit gilt: 51 mod 11 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 21 für die gilt: n ≡ 7 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 10, z.B. 11 = 1 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 7 mod 11 sein, also addieren wir noch 7 auf die 11 und erhalten so 18.

Somit gilt: 18 ≡ 51 ≡ 7 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1600 - 39994) mod 8 ≡ (1600 mod 8 - 39994 mod 8) mod 8.

1600 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600 = 1600+0 = 8 ⋅ 200 +0.

39994 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39994 = 39000+994 = 8 ⋅ 4875 +994.

Somit gilt:

(1600 - 39994) mod 8 ≡ (0 - 2) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 ⋅ 57) mod 3 ≡ (59 mod 3 ⋅ 57 mod 3) mod 3.

59 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 57 + 2 = 19 ⋅ 3 + 2 ist.

57 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 57 + 0 = 19 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(59 ⋅ 57) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 30 aus, ob zufällig 30 mod m = 38 mod m gilt:

m=2: 30 mod 2 = 0 = 0 = 38 mod 2

m=3: 30 mod 3 = 0 ≠ 2 = 38 mod 3

m=4: 30 mod 4 = 2 = 2 = 38 mod 4

m=5: 30 mod 5 = 0 ≠ 3 = 38 mod 5

m=6: 30 mod 6 = 0 ≠ 2 = 38 mod 6

m=7: 30 mod 7 = 2 ≠ 3 = 38 mod 7

m=8: 30 mod 8 = 6 = 6 = 38 mod 8

m=9: 30 mod 9 = 3 ≠ 2 = 38 mod 9

m=10: 30 mod 10 = 0 ≠ 8 = 38 mod 10

m=11: 30 mod 11 = 8 ≠ 5 = 38 mod 11

m=12: 30 mod 12 = 6 ≠ 2 = 38 mod 12

m=13: 30 mod 13 = 4 ≠ 12 = 38 mod 13

m=14: 30 mod 14 = 2 ≠ 10 = 38 mod 14

m=15: 30 mod 15 = 0 ≠ 8 = 38 mod 15

m=16: 30 mod 16 = 14 ≠ 6 = 38 mod 16

m=17: 30 mod 17 = 13 ≠ 4 = 38 mod 17

m=18: 30 mod 18 = 12 ≠ 2 = 38 mod 18

m=19: 30 mod 19 = 11 ≠ 0 = 38 mod 19

m=20: 30 mod 20 = 10 ≠ 18 = 38 mod 20

m=21: 30 mod 21 = 9 ≠ 17 = 38 mod 21

m=22: 30 mod 22 = 8 ≠ 16 = 38 mod 22

m=23: 30 mod 23 = 7 ≠ 15 = 38 mod 23

m=24: 30 mod 24 = 6 ≠ 14 = 38 mod 24

m=25: 30 mod 25 = 5 ≠ 13 = 38 mod 25

m=26: 30 mod 26 = 4 ≠ 12 = 38 mod 26

m=27: 30 mod 27 = 3 ≠ 11 = 38 mod 27

m=28: 30 mod 28 = 2 ≠ 10 = 38 mod 28

m=29: 30 mod 29 = 1 ≠ 9 = 38 mod 29

m=30: 30 mod 30 = 0 ≠ 8 = 38 mod 30

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (38 - 30) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8