Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 27, weil ja 9 ⋅ 3 = 27 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 27 - 27 = 0.

Somit gilt: 27 mod 3 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 80, weil ja 8 ⋅ 10 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 82 - 80 = 2.

Somit gilt: 82 mod 10 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 100 für die gilt: n ≡ 2 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 9 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 2 mod 10 sein, also addieren wir noch 2 auf die 90 und erhalten so 92.

Somit gilt: 92 ≡ 82 ≡ 2 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 - 14004) mod 7 ≡ (71 mod 7 - 14004 mod 7) mod 7.

71 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70+1 = 7 ⋅ 10 +1.

14004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14004 = 14000+4 = 7 ⋅ 2000 +4.

Somit gilt:

(71 - 14004) mod 7 ≡ (1 - 4) mod 7 ≡ -3 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 20) mod 9 ≡ (98 mod 9 ⋅ 20 mod 9) mod 9.

98 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 90 + 8 = 10 ⋅ 9 + 8 ist.

20 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 2 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 20) mod 9 ≡ (8 ⋅ 2) mod 9 ≡ 16 mod 9 ≡ 7 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 96 aus, ob zufällig 96 mod m = 123 mod m gilt:

m=2: 96 mod 2 = 0 ≠ 1 = 123 mod 2

m=3: 96 mod 3 = 0 = 0 = 123 mod 3

m=4: 96 mod 4 = 0 ≠ 3 = 123 mod 4

m=5: 96 mod 5 = 1 ≠ 3 = 123 mod 5

m=6: 96 mod 6 = 0 ≠ 3 = 123 mod 6

m=7: 96 mod 7 = 5 ≠ 4 = 123 mod 7

m=8: 96 mod 8 = 0 ≠ 3 = 123 mod 8

m=9: 96 mod 9 = 6 = 6 = 123 mod 9

m=10: 96 mod 10 = 6 ≠ 3 = 123 mod 10

m=11: 96 mod 11 = 8 ≠ 2 = 123 mod 11

m=12: 96 mod 12 = 0 ≠ 3 = 123 mod 12

m=13: 96 mod 13 = 5 ≠ 6 = 123 mod 13

m=14: 96 mod 14 = 12 ≠ 11 = 123 mod 14

m=15: 96 mod 15 = 6 ≠ 3 = 123 mod 15

m=16: 96 mod 16 = 0 ≠ 11 = 123 mod 16

m=17: 96 mod 17 = 11 ≠ 4 = 123 mod 17

m=18: 96 mod 18 = 6 ≠ 15 = 123 mod 18

m=19: 96 mod 19 = 1 ≠ 9 = 123 mod 19

m=20: 96 mod 20 = 16 ≠ 3 = 123 mod 20

m=21: 96 mod 21 = 12 ≠ 18 = 123 mod 21

m=22: 96 mod 22 = 8 ≠ 13 = 123 mod 22

m=23: 96 mod 23 = 4 ≠ 8 = 123 mod 23

m=24: 96 mod 24 = 0 ≠ 3 = 123 mod 24

m=25: 96 mod 25 = 21 ≠ 23 = 123 mod 25

m=26: 96 mod 26 = 18 ≠ 19 = 123 mod 26

m=27: 96 mod 27 = 15 = 15 = 123 mod 27

m=28: 96 mod 28 = 12 ≠ 11 = 123 mod 28

m=29: 96 mod 29 = 9 ≠ 7 = 123 mod 29

m=30: 96 mod 30 = 6 ≠ 3 = 123 mod 30

m=31: 96 mod 31 = 3 ≠ 30 = 123 mod 31

m=32: 96 mod 32 = 0 ≠ 27 = 123 mod 32

m=33: 96 mod 33 = 30 ≠ 24 = 123 mod 33

m=34: 96 mod 34 = 28 ≠ 21 = 123 mod 34

m=35: 96 mod 35 = 26 ≠ 18 = 123 mod 35

m=36: 96 mod 36 = 24 ≠ 15 = 123 mod 36

m=37: 96 mod 37 = 22 ≠ 12 = 123 mod 37

m=38: 96 mod 38 = 20 ≠ 9 = 123 mod 38

m=39: 96 mod 39 = 18 ≠ 6 = 123 mod 39

m=40: 96 mod 40 = 16 ≠ 3 = 123 mod 40

m=41: 96 mod 41 = 14 ≠ 0 = 123 mod 41

m=42: 96 mod 42 = 12 ≠ 39 = 123 mod 42

m=43: 96 mod 43 = 10 ≠ 37 = 123 mod 43

m=44: 96 mod 44 = 8 ≠ 35 = 123 mod 44

m=45: 96 mod 45 = 6 ≠ 33 = 123 mod 45

m=46: 96 mod 46 = 4 ≠ 31 = 123 mod 46

m=47: 96 mod 47 = 2 ≠ 29 = 123 mod 47

m=48: 96 mod 48 = 0 ≠ 27 = 123 mod 48

m=49: 96 mod 49 = 47 ≠ 25 = 123 mod 49

m=50: 96 mod 50 = 46 ≠ 23 = 123 mod 50

m=51: 96 mod 51 = 45 ≠ 21 = 123 mod 51

m=52: 96 mod 52 = 44 ≠ 19 = 123 mod 52

m=53: 96 mod 53 = 43 ≠ 17 = 123 mod 53

m=54: 96 mod 54 = 42 ≠ 15 = 123 mod 54

m=55: 96 mod 55 = 41 ≠ 13 = 123 mod 55

m=56: 96 mod 56 = 40 ≠ 11 = 123 mod 56

m=57: 96 mod 57 = 39 ≠ 9 = 123 mod 57

m=58: 96 mod 58 = 38 ≠ 7 = 123 mod 58

m=59: 96 mod 59 = 37 ≠ 5 = 123 mod 59

m=60: 96 mod 60 = 36 ≠ 3 = 123 mod 60

m=61: 96 mod 61 = 35 ≠ 1 = 123 mod 61

m=62: 96 mod 62 = 34 ≠ 61 = 123 mod 62

m=63: 96 mod 63 = 33 ≠ 60 = 123 mod 63

m=64: 96 mod 64 = 32 ≠ 59 = 123 mod 64

m=65: 96 mod 65 = 31 ≠ 58 = 123 mod 65

m=66: 96 mod 66 = 30 ≠ 57 = 123 mod 66

m=67: 96 mod 67 = 29 ≠ 56 = 123 mod 67

m=68: 96 mod 68 = 28 ≠ 55 = 123 mod 68

m=69: 96 mod 69 = 27 ≠ 54 = 123 mod 69

m=70: 96 mod 70 = 26 ≠ 53 = 123 mod 70

m=71: 96 mod 71 = 25 ≠ 52 = 123 mod 71

m=72: 96 mod 72 = 24 ≠ 51 = 123 mod 72

m=73: 96 mod 73 = 23 ≠ 50 = 123 mod 73

m=74: 96 mod 74 = 22 ≠ 49 = 123 mod 74

m=75: 96 mod 75 = 21 ≠ 48 = 123 mod 75

m=76: 96 mod 76 = 20 ≠ 47 = 123 mod 76

m=77: 96 mod 77 = 19 ≠ 46 = 123 mod 77

m=78: 96 mod 78 = 18 ≠ 45 = 123 mod 78

m=79: 96 mod 79 = 17 ≠ 44 = 123 mod 79

m=80: 96 mod 80 = 16 ≠ 43 = 123 mod 80

m=81: 96 mod 81 = 15 ≠ 42 = 123 mod 81

m=82: 96 mod 82 = 14 ≠ 41 = 123 mod 82

m=83: 96 mod 83 = 13 ≠ 40 = 123 mod 83

m=84: 96 mod 84 = 12 ≠ 39 = 123 mod 84

m=85: 96 mod 85 = 11 ≠ 38 = 123 mod 85

m=86: 96 mod 86 = 10 ≠ 37 = 123 mod 86

m=87: 96 mod 87 = 9 ≠ 36 = 123 mod 87

m=88: 96 mod 88 = 8 ≠ 35 = 123 mod 88

m=89: 96 mod 89 = 7 ≠ 34 = 123 mod 89

m=90: 96 mod 90 = 6 ≠ 33 = 123 mod 90

m=91: 96 mod 91 = 5 ≠ 32 = 123 mod 91

m=92: 96 mod 92 = 4 ≠ 31 = 123 mod 92

m=93: 96 mod 93 = 3 ≠ 30 = 123 mod 93

m=94: 96 mod 94 = 2 ≠ 29 = 123 mod 94

m=95: 96 mod 95 = 1 ≠ 28 = 123 mod 95

m=96: 96 mod 96 = 0 ≠ 27 = 123 mod 96

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (123 - 96) = 27 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9; 27