Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 69 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 68, weil ja 17 ⋅ 4 = 68 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 69 - 68 = 1.
Somit gilt: 69 mod 4 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 23 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 18, weil ja 2 ⋅ 9 = 18 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 23 - 18 = 5.
Somit gilt: 23 mod 9 ≡ 5.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 5 mod 9.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 1 ⋅ 9
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 5 mod 9 sein, also addieren wir noch 5 auf die 9 und erhalten so 14.
Somit gilt: 14 ≡ 23 ≡ 5 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20995 - 3500) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20995 - 3500) mod 7 ≡ (20995 mod 7 - 3500 mod 7) mod 7.
20995 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20995
= 21000
3500 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3500
= 3500
Somit gilt:
(20995 - 3500) mod 7 ≡ (2 - 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 57) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(64 ⋅ 57) mod 5 ≡ (64 mod 5 ⋅ 57 mod 5) mod 5.
64 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 12 ⋅ 5 + 4 ist.
57 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 55 + 2 = 11 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(64 ⋅ 57) mod 5 ≡ (4 ⋅ 2) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
154 mod m = 204 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 154 aus, ob zufällig 154 mod m = 204 mod m gilt:
m=2: 154 mod 2 = 0 = 0 = 204 mod 2
m=3: 154 mod 3 = 1 ≠ 0 = 204 mod 3
m=4: 154 mod 4 = 2 ≠ 0 = 204 mod 4
m=5: 154 mod 5 = 4 = 4 = 204 mod 5
m=6: 154 mod 6 = 4 ≠ 0 = 204 mod 6
m=7: 154 mod 7 = 0 ≠ 1 = 204 mod 7
m=8: 154 mod 8 = 2 ≠ 4 = 204 mod 8
m=9: 154 mod 9 = 1 ≠ 6 = 204 mod 9
m=10: 154 mod 10 = 4 = 4 = 204 mod 10
m=11: 154 mod 11 = 0 ≠ 6 = 204 mod 11
m=12: 154 mod 12 = 10 ≠ 0 = 204 mod 12
m=13: 154 mod 13 = 11 ≠ 9 = 204 mod 13
m=14: 154 mod 14 = 0 ≠ 8 = 204 mod 14
m=15: 154 mod 15 = 4 ≠ 9 = 204 mod 15
m=16: 154 mod 16 = 10 ≠ 12 = 204 mod 16
m=17: 154 mod 17 = 1 ≠ 0 = 204 mod 17
m=18: 154 mod 18 = 10 ≠ 6 = 204 mod 18
m=19: 154 mod 19 = 2 ≠ 14 = 204 mod 19
m=20: 154 mod 20 = 14 ≠ 4 = 204 mod 20
m=21: 154 mod 21 = 7 ≠ 15 = 204 mod 21
m=22: 154 mod 22 = 0 ≠ 6 = 204 mod 22
m=23: 154 mod 23 = 16 ≠ 20 = 204 mod 23
m=24: 154 mod 24 = 10 ≠ 12 = 204 mod 24
m=25: 154 mod 25 = 4 = 4 = 204 mod 25
m=26: 154 mod 26 = 24 ≠ 22 = 204 mod 26
m=27: 154 mod 27 = 19 ≠ 15 = 204 mod 27
m=28: 154 mod 28 = 14 ≠ 8 = 204 mod 28
m=29: 154 mod 29 = 9 ≠ 1 = 204 mod 29
m=30: 154 mod 30 = 4 ≠ 24 = 204 mod 30
m=31: 154 mod 31 = 30 ≠ 18 = 204 mod 31
m=32: 154 mod 32 = 26 ≠ 12 = 204 mod 32
m=33: 154 mod 33 = 22 ≠ 6 = 204 mod 33
m=34: 154 mod 34 = 18 ≠ 0 = 204 mod 34
m=35: 154 mod 35 = 14 ≠ 29 = 204 mod 35
m=36: 154 mod 36 = 10 ≠ 24 = 204 mod 36
m=37: 154 mod 37 = 6 ≠ 19 = 204 mod 37
m=38: 154 mod 38 = 2 ≠ 14 = 204 mod 38
m=39: 154 mod 39 = 37 ≠ 9 = 204 mod 39
m=40: 154 mod 40 = 34 ≠ 4 = 204 mod 40
m=41: 154 mod 41 = 31 ≠ 40 = 204 mod 41
m=42: 154 mod 42 = 28 ≠ 36 = 204 mod 42
m=43: 154 mod 43 = 25 ≠ 32 = 204 mod 43
m=44: 154 mod 44 = 22 ≠ 28 = 204 mod 44
m=45: 154 mod 45 = 19 ≠ 24 = 204 mod 45
m=46: 154 mod 46 = 16 ≠ 20 = 204 mod 46
m=47: 154 mod 47 = 13 ≠ 16 = 204 mod 47
m=48: 154 mod 48 = 10 ≠ 12 = 204 mod 48
m=49: 154 mod 49 = 7 ≠ 8 = 204 mod 49
m=50: 154 mod 50 = 4 = 4 = 204 mod 50
m=51: 154 mod 51 = 1 ≠ 0 = 204 mod 51
m=52: 154 mod 52 = 50 ≠ 48 = 204 mod 52
m=53: 154 mod 53 = 48 ≠ 45 = 204 mod 53
m=54: 154 mod 54 = 46 ≠ 42 = 204 mod 54
m=55: 154 mod 55 = 44 ≠ 39 = 204 mod 55
m=56: 154 mod 56 = 42 ≠ 36 = 204 mod 56
m=57: 154 mod 57 = 40 ≠ 33 = 204 mod 57
m=58: 154 mod 58 = 38 ≠ 30 = 204 mod 58
m=59: 154 mod 59 = 36 ≠ 27 = 204 mod 59
m=60: 154 mod 60 = 34 ≠ 24 = 204 mod 60
m=61: 154 mod 61 = 32 ≠ 21 = 204 mod 61
m=62: 154 mod 62 = 30 ≠ 18 = 204 mod 62
m=63: 154 mod 63 = 28 ≠ 15 = 204 mod 63
m=64: 154 mod 64 = 26 ≠ 12 = 204 mod 64
m=65: 154 mod 65 = 24 ≠ 9 = 204 mod 65
m=66: 154 mod 66 = 22 ≠ 6 = 204 mod 66
m=67: 154 mod 67 = 20 ≠ 3 = 204 mod 67
m=68: 154 mod 68 = 18 ≠ 0 = 204 mod 68
m=69: 154 mod 69 = 16 ≠ 66 = 204 mod 69
m=70: 154 mod 70 = 14 ≠ 64 = 204 mod 70
m=71: 154 mod 71 = 12 ≠ 62 = 204 mod 71
m=72: 154 mod 72 = 10 ≠ 60 = 204 mod 72
m=73: 154 mod 73 = 8 ≠ 58 = 204 mod 73
m=74: 154 mod 74 = 6 ≠ 56 = 204 mod 74
m=75: 154 mod 75 = 4 ≠ 54 = 204 mod 75
m=76: 154 mod 76 = 2 ≠ 52 = 204 mod 76
m=77: 154 mod 77 = 0 ≠ 50 = 204 mod 77
m=78: 154 mod 78 = 76 ≠ 48 = 204 mod 78
m=79: 154 mod 79 = 75 ≠ 46 = 204 mod 79
m=80: 154 mod 80 = 74 ≠ 44 = 204 mod 80
m=81: 154 mod 81 = 73 ≠ 42 = 204 mod 81
m=82: 154 mod 82 = 72 ≠ 40 = 204 mod 82
m=83: 154 mod 83 = 71 ≠ 38 = 204 mod 83
m=84: 154 mod 84 = 70 ≠ 36 = 204 mod 84
m=85: 154 mod 85 = 69 ≠ 34 = 204 mod 85
m=86: 154 mod 86 = 68 ≠ 32 = 204 mod 86
m=87: 154 mod 87 = 67 ≠ 30 = 204 mod 87
m=88: 154 mod 88 = 66 ≠ 28 = 204 mod 88
m=89: 154 mod 89 = 65 ≠ 26 = 204 mod 89
m=90: 154 mod 90 = 64 ≠ 24 = 204 mod 90
m=91: 154 mod 91 = 63 ≠ 22 = 204 mod 91
m=92: 154 mod 92 = 62 ≠ 20 = 204 mod 92
m=93: 154 mod 93 = 61 ≠ 18 = 204 mod 93
m=94: 154 mod 94 = 60 ≠ 16 = 204 mod 94
m=95: 154 mod 95 = 59 ≠ 14 = 204 mod 95
m=96: 154 mod 96 = 58 ≠ 12 = 204 mod 96
m=97: 154 mod 97 = 57 ≠ 10 = 204 mod 97
m=98: 154 mod 98 = 56 ≠ 8 = 204 mod 98
m=99: 154 mod 99 = 55 ≠ 6 = 204 mod 99
m=100: 154 mod 100 = 54 ≠ 4 = 204 mod 100
m=101: 154 mod 101 = 53 ≠ 2 = 204 mod 101
m=102: 154 mod 102 = 52 ≠ 0 = 204 mod 102
m=103: 154 mod 103 = 51 ≠ 101 = 204 mod 103
m=104: 154 mod 104 = 50 ≠ 100 = 204 mod 104
m=105: 154 mod 105 = 49 ≠ 99 = 204 mod 105
m=106: 154 mod 106 = 48 ≠ 98 = 204 mod 106
m=107: 154 mod 107 = 47 ≠ 97 = 204 mod 107
m=108: 154 mod 108 = 46 ≠ 96 = 204 mod 108
m=109: 154 mod 109 = 45 ≠ 95 = 204 mod 109
m=110: 154 mod 110 = 44 ≠ 94 = 204 mod 110
m=111: 154 mod 111 = 43 ≠ 93 = 204 mod 111
m=112: 154 mod 112 = 42 ≠ 92 = 204 mod 112
m=113: 154 mod 113 = 41 ≠ 91 = 204 mod 113
m=114: 154 mod 114 = 40 ≠ 90 = 204 mod 114
m=115: 154 mod 115 = 39 ≠ 89 = 204 mod 115
m=116: 154 mod 116 = 38 ≠ 88 = 204 mod 116
m=117: 154 mod 117 = 37 ≠ 87 = 204 mod 117
m=118: 154 mod 118 = 36 ≠ 86 = 204 mod 118
m=119: 154 mod 119 = 35 ≠ 85 = 204 mod 119
m=120: 154 mod 120 = 34 ≠ 84 = 204 mod 120
m=121: 154 mod 121 = 33 ≠ 83 = 204 mod 121
m=122: 154 mod 122 = 32 ≠ 82 = 204 mod 122
m=123: 154 mod 123 = 31 ≠ 81 = 204 mod 123
m=124: 154 mod 124 = 30 ≠ 80 = 204 mod 124
m=125: 154 mod 125 = 29 ≠ 79 = 204 mod 125
m=126: 154 mod 126 = 28 ≠ 78 = 204 mod 126
m=127: 154 mod 127 = 27 ≠ 77 = 204 mod 127
m=128: 154 mod 128 = 26 ≠ 76 = 204 mod 128
m=129: 154 mod 129 = 25 ≠ 75 = 204 mod 129
m=130: 154 mod 130 = 24 ≠ 74 = 204 mod 130
m=131: 154 mod 131 = 23 ≠ 73 = 204 mod 131
m=132: 154 mod 132 = 22 ≠ 72 = 204 mod 132
m=133: 154 mod 133 = 21 ≠ 71 = 204 mod 133
m=134: 154 mod 134 = 20 ≠ 70 = 204 mod 134
m=135: 154 mod 135 = 19 ≠ 69 = 204 mod 135
m=136: 154 mod 136 = 18 ≠ 68 = 204 mod 136
m=137: 154 mod 137 = 17 ≠ 67 = 204 mod 137
m=138: 154 mod 138 = 16 ≠ 66 = 204 mod 138
m=139: 154 mod 139 = 15 ≠ 65 = 204 mod 139
m=140: 154 mod 140 = 14 ≠ 64 = 204 mod 140
m=141: 154 mod 141 = 13 ≠ 63 = 204 mod 141
m=142: 154 mod 142 = 12 ≠ 62 = 204 mod 142
m=143: 154 mod 143 = 11 ≠ 61 = 204 mod 143
m=144: 154 mod 144 = 10 ≠ 60 = 204 mod 144
m=145: 154 mod 145 = 9 ≠ 59 = 204 mod 145
m=146: 154 mod 146 = 8 ≠ 58 = 204 mod 146
m=147: 154 mod 147 = 7 ≠ 57 = 204 mod 147
m=148: 154 mod 148 = 6 ≠ 56 = 204 mod 148
m=149: 154 mod 149 = 5 ≠ 55 = 204 mod 149
m=150: 154 mod 150 = 4 ≠ 54 = 204 mod 150
m=151: 154 mod 151 = 3 ≠ 53 = 204 mod 151
m=152: 154 mod 152 = 2 ≠ 52 = 204 mod 152
m=153: 154 mod 153 = 1 ≠ 51 = 204 mod 153
m=154: 154 mod 154 = 0 ≠ 50 = 204 mod 154
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (204 - 154) = 50 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10; 25; 50
