Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 62 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 60, weil ja 15 ⋅ 4 = 60 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 62 - 60 = 2.
Somit gilt: 62 mod 4 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 61 für die gilt n ≡ 76 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 66, weil ja 6 ⋅ 11 = 66 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 76 - 66 = 10.
Somit gilt: 76 mod 11 ≡ 10.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 61 für die gilt: n ≡ 10 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 50, z.B. 44 = 4 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 10 mod 11 sein, also addieren wir noch 10 auf die 44 und erhalten so 54.
Somit gilt: 54 ≡ 76 ≡ 10 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (117 - 599) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(117 - 599) mod 3 ≡ (117 mod 3 - 599 mod 3) mod 3.
117 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 117
= 120
599 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 599
= 600
Somit gilt:
(117 - 599) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 37) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 ⋅ 37) mod 4 ≡ (33 mod 4 ⋅ 37 mod 4) mod 4.
33 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 32 + 1 = 8 ⋅ 4 + 1 ist.
37 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 9 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(33 ⋅ 37) mod 4 ≡ (1 ⋅ 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 19 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 19 mod m gilt:
m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2
m=3: 13 mod 3 = 1 = 1 = 19 mod 3
m=4: 13 mod 4 = 1 ≠ 3 = 19 mod 4
m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 4 = 19 mod 5
m=6: 13 mod 6 = 1 = 1 = 19 mod 6
m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 5 = 19 mod 7
m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 3 = 19 mod 8
m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 1 = 19 mod 9
m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 9 = 19 mod 10
m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 8 = 19 mod 11
m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 7 = 19 mod 12
m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 6 = 19 mod 13
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 13) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
