Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 21, weil ja 3 ⋅ 7 = 21 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 25 - 21 = 4.

Somit gilt: 25 mod 7 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 96, weil ja 32 ⋅ 3 = 96 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 97 - 96 = 1.

Somit gilt: 97 mod 3 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 1 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 80, z.B. 81 = 27 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 1 mod 3 sein, also addieren wir noch 1 auf die 81 und erhalten so 82.

Somit gilt: 82 ≡ 97 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(356 + 179) mod 9 ≡ (356 mod 9 + 179 mod 9) mod 9.

356 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 356 = 360-4 = 9 ⋅ 40 -4 = 9 ⋅ 40 - 9 + 5.

179 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 179 = 180-1 = 9 ⋅ 20 -1 = 9 ⋅ 20 - 9 + 8.

Somit gilt:

(356 + 179) mod 9 ≡ (5 + 8) mod 9 ≡ 13 mod 9 ≡ 4 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 21) mod 3 ≡ (71 mod 3 ⋅ 21 mod 3) mod 3.

71 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 69 + 2 = 23 ⋅ 3 + 2 ist.

21 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 21 + 0 = 7 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 21) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 32 mod m gilt:

m=2: 22 mod 2 = 0 = 0 = 32 mod 2

m=3: 22 mod 3 = 1 ≠ 2 = 32 mod 3

m=4: 22 mod 4 = 2 ≠ 0 = 32 mod 4

m=5: 22 mod 5 = 2 = 2 = 32 mod 5

m=6: 22 mod 6 = 4 ≠ 2 = 32 mod 6

m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 4 = 32 mod 7

m=8: 22 mod 8 = 6 ≠ 0 = 32 mod 8

m=9: 22 mod 9 = 4 ≠ 5 = 32 mod 9

m=10: 22 mod 10 = 2 = 2 = 32 mod 10

m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 10 = 32 mod 11

m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 8 = 32 mod 12

m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 6 = 32 mod 13

m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 4 = 32 mod 14

m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 2 = 32 mod 15

m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 0 = 32 mod 16

m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 15 = 32 mod 17

m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 14 = 32 mod 18

m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 13 = 32 mod 19

m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 12 = 32 mod 20

m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 11 = 32 mod 21

m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 10 = 32 mod 22

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (32 - 22) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10