Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 86 - 77 = 9.

Somit gilt: 86 mod 11 ≡ 9.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 84, weil ja 14 ⋅ 6 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 87 - 84 = 3.

Somit gilt: 87 mod 6 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 3 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 10, z.B. 12 = 2 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 3 mod 6 sein, also addieren wir noch 3 auf die 12 und erhalten so 15.

Somit gilt: 15 ≡ 87 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(241 + 77) mod 8 ≡ (241 mod 8 + 77 mod 8) mod 8.

241 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 241 = 240+1 = 8 ⋅ 30 +1.

77 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 80-3 = 8 ⋅ 10 -3 = 8 ⋅ 10 - 8 + 5.

Somit gilt:

(241 + 77) mod 8 ≡ (1 + 5) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 41) mod 8 ≡ (68 mod 8 ⋅ 41 mod 8) mod 8.

68 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 64 + 4 = 8 ⋅ 8 + 4 ist.

41 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 5 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 41) mod 8 ≡ (4 ⋅ 1) mod 8 ≡ 4 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 33 aus, ob zufällig 33 mod m = 48 mod m gilt:

m=2: 33 mod 2 = 1 ≠ 0 = 48 mod 2

m=3: 33 mod 3 = 0 = 0 = 48 mod 3

m=4: 33 mod 4 = 1 ≠ 0 = 48 mod 4

m=5: 33 mod 5 = 3 = 3 = 48 mod 5

m=6: 33 mod 6 = 3 ≠ 0 = 48 mod 6

m=7: 33 mod 7 = 5 ≠ 6 = 48 mod 7

m=8: 33 mod 8 = 1 ≠ 0 = 48 mod 8

m=9: 33 mod 9 = 6 ≠ 3 = 48 mod 9

m=10: 33 mod 10 = 3 ≠ 8 = 48 mod 10

m=11: 33 mod 11 = 0 ≠ 4 = 48 mod 11

m=12: 33 mod 12 = 9 ≠ 0 = 48 mod 12

m=13: 33 mod 13 = 7 ≠ 9 = 48 mod 13

m=14: 33 mod 14 = 5 ≠ 6 = 48 mod 14

m=15: 33 mod 15 = 3 = 3 = 48 mod 15

m=16: 33 mod 16 = 1 ≠ 0 = 48 mod 16

m=17: 33 mod 17 = 16 ≠ 14 = 48 mod 17

m=18: 33 mod 18 = 15 ≠ 12 = 48 mod 18

m=19: 33 mod 19 = 14 ≠ 10 = 48 mod 19

m=20: 33 mod 20 = 13 ≠ 8 = 48 mod 20

m=21: 33 mod 21 = 12 ≠ 6 = 48 mod 21

m=22: 33 mod 22 = 11 ≠ 4 = 48 mod 22

m=23: 33 mod 23 = 10 ≠ 2 = 48 mod 23

m=24: 33 mod 24 = 9 ≠ 0 = 48 mod 24

m=25: 33 mod 25 = 8 ≠ 23 = 48 mod 25

m=26: 33 mod 26 = 7 ≠ 22 = 48 mod 26

m=27: 33 mod 27 = 6 ≠ 21 = 48 mod 27

m=28: 33 mod 28 = 5 ≠ 20 = 48 mod 28

m=29: 33 mod 29 = 4 ≠ 19 = 48 mod 29

m=30: 33 mod 30 = 3 ≠ 18 = 48 mod 30

m=31: 33 mod 31 = 2 ≠ 17 = 48 mod 31

m=32: 33 mod 32 = 1 ≠ 16 = 48 mod 32

m=33: 33 mod 33 = 0 ≠ 15 = 48 mod 33

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (48 - 33) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15