Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 42, weil ja 6 ⋅ 7 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 42 - 42 = 0.

Somit gilt: 42 mod 7 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 60, weil ja 6 ⋅ 10 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 68 - 60 = 8.

Somit gilt: 68 mod 10 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 20 für die gilt: n ≡ 8 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 10, z.B. 10 = 1 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 8 mod 10 sein, also addieren wir noch 8 auf die 10 und erhalten so 18.

Somit gilt: 18 ≡ 68 ≡ 8 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3996 + 198) mod 4 ≡ (3996 mod 4 + 198 mod 4) mod 4.

3996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3996 = 3000+996 = 4 ⋅ 750 +996.

198 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 198 = 200-2 = 4 ⋅ 50 -2 = 4 ⋅ 50 - 4 + 2.

Somit gilt:

(3996 + 198) mod 4 ≡ (0 + 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 73) mod 7 ≡ (75 mod 7 ⋅ 73 mod 7) mod 7.

75 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70 + 5 = 10 ⋅ 7 + 5 ist.

73 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 10 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 73) mod 7 ≡ (5 ⋅ 3) mod 7 ≡ 15 mod 7 ≡ 1 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 24 aus, ob zufällig 24 mod m = 33 mod m gilt:

m=2: 24 mod 2 = 0 ≠ 1 = 33 mod 2

m=3: 24 mod 3 = 0 = 0 = 33 mod 3

m=4: 24 mod 4 = 0 ≠ 1 = 33 mod 4

m=5: 24 mod 5 = 4 ≠ 3 = 33 mod 5

m=6: 24 mod 6 = 0 ≠ 3 = 33 mod 6

m=7: 24 mod 7 = 3 ≠ 5 = 33 mod 7

m=8: 24 mod 8 = 0 ≠ 1 = 33 mod 8

m=9: 24 mod 9 = 6 = 6 = 33 mod 9

m=10: 24 mod 10 = 4 ≠ 3 = 33 mod 10

m=11: 24 mod 11 = 2 ≠ 0 = 33 mod 11

m=12: 24 mod 12 = 0 ≠ 9 = 33 mod 12

m=13: 24 mod 13 = 11 ≠ 7 = 33 mod 13

m=14: 24 mod 14 = 10 ≠ 5 = 33 mod 14

m=15: 24 mod 15 = 9 ≠ 3 = 33 mod 15

m=16: 24 mod 16 = 8 ≠ 1 = 33 mod 16

m=17: 24 mod 17 = 7 ≠ 16 = 33 mod 17

m=18: 24 mod 18 = 6 ≠ 15 = 33 mod 18

m=19: 24 mod 19 = 5 ≠ 14 = 33 mod 19

m=20: 24 mod 20 = 4 ≠ 13 = 33 mod 20

m=21: 24 mod 21 = 3 ≠ 12 = 33 mod 21

m=22: 24 mod 22 = 2 ≠ 11 = 33 mod 22

m=23: 24 mod 23 = 1 ≠ 10 = 33 mod 23

m=24: 24 mod 24 = 0 ≠ 9 = 33 mod 24

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (33 - 24) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9