Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 98, weil ja 14 ⋅ 7 = 98 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 100 - 98 = 2.

Somit gilt: 100 mod 7 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 45, weil ja 5 ⋅ 9 = 45 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 46 - 45 = 1.

Somit gilt: 46 mod 9 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 1 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 1 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 1 mod 9 sein, also addieren wir noch 1 auf die 9 und erhalten so 10.

Somit gilt: 10 ≡ 46 ≡ 1 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2702 - 9001) mod 9 ≡ (2702 mod 9 - 9001 mod 9) mod 9.

2702 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2702 = 2700+2 = 9 ⋅ 300 +2.

9001 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9001 = 9000+1 = 9 ⋅ 1000 +1.

Somit gilt:

(2702 - 9001) mod 9 ≡ (2 - 1) mod 9 ≡ 1 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 76) mod 6 ≡ (54 mod 6 ⋅ 76 mod 6) mod 6.

54 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 9 ⋅ 6 + 0 ist.

76 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 12 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 76) mod 6 ≡ (0 ⋅ 4) mod 6 ≡ 0 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 33 aus, ob zufällig 33 mod m = 43 mod m gilt:

m=2: 33 mod 2 = 1 = 1 = 43 mod 2

m=3: 33 mod 3 = 0 ≠ 1 = 43 mod 3

m=4: 33 mod 4 = 1 ≠ 3 = 43 mod 4

m=5: 33 mod 5 = 3 = 3 = 43 mod 5

m=6: 33 mod 6 = 3 ≠ 1 = 43 mod 6

m=7: 33 mod 7 = 5 ≠ 1 = 43 mod 7

m=8: 33 mod 8 = 1 ≠ 3 = 43 mod 8

m=9: 33 mod 9 = 6 ≠ 7 = 43 mod 9

m=10: 33 mod 10 = 3 = 3 = 43 mod 10

m=11: 33 mod 11 = 0 ≠ 10 = 43 mod 11

m=12: 33 mod 12 = 9 ≠ 7 = 43 mod 12

m=13: 33 mod 13 = 7 ≠ 4 = 43 mod 13

m=14: 33 mod 14 = 5 ≠ 1 = 43 mod 14

m=15: 33 mod 15 = 3 ≠ 13 = 43 mod 15

m=16: 33 mod 16 = 1 ≠ 11 = 43 mod 16

m=17: 33 mod 17 = 16 ≠ 9 = 43 mod 17

m=18: 33 mod 18 = 15 ≠ 7 = 43 mod 18

m=19: 33 mod 19 = 14 ≠ 5 = 43 mod 19

m=20: 33 mod 20 = 13 ≠ 3 = 43 mod 20

m=21: 33 mod 21 = 12 ≠ 1 = 43 mod 21

m=22: 33 mod 22 = 11 ≠ 21 = 43 mod 22

m=23: 33 mod 23 = 10 ≠ 20 = 43 mod 23

m=24: 33 mod 24 = 9 ≠ 19 = 43 mod 24

m=25: 33 mod 25 = 8 ≠ 18 = 43 mod 25

m=26: 33 mod 26 = 7 ≠ 17 = 43 mod 26

m=27: 33 mod 27 = 6 ≠ 16 = 43 mod 27

m=28: 33 mod 28 = 5 ≠ 15 = 43 mod 28

m=29: 33 mod 29 = 4 ≠ 14 = 43 mod 29

m=30: 33 mod 30 = 3 ≠ 13 = 43 mod 30

m=31: 33 mod 31 = 2 ≠ 12 = 43 mod 31

m=32: 33 mod 32 = 1 ≠ 11 = 43 mod 32

m=33: 33 mod 33 = 0 ≠ 10 = 43 mod 33

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (43 - 33) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10