Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 84, weil ja 12 ⋅ 7 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 86 - 84 = 2.

Somit gilt: 86 mod 7 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 85 - 81 = 4.

Somit gilt: 85 mod 9 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 4 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 1 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 4 mod 9 sein, also addieren wir noch 4 auf die 9 und erhalten so 13.

Somit gilt: 13 ≡ 85 ≡ 4 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2000 - 796) mod 4 ≡ (2000 mod 4 - 796 mod 4) mod 4.

2000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000 = 2000+0 = 4 ⋅ 500 +0.

796 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 796 = 700+96 = 4 ⋅ 175 +96.

Somit gilt:

(2000 - 796) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 ⋅ 60) mod 7 ≡ (80 mod 7 ⋅ 60 mod 7) mod 7.

80 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 11 ⋅ 7 + 3 ist.

60 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 8 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(80 ⋅ 60) mod 7 ≡ (3 ⋅ 4) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 29 aus, ob zufällig 29 mod m = 41 mod m gilt:

m=2: 29 mod 2 = 1 = 1 = 41 mod 2

m=3: 29 mod 3 = 2 = 2 = 41 mod 3

m=4: 29 mod 4 = 1 = 1 = 41 mod 4

m=5: 29 mod 5 = 4 ≠ 1 = 41 mod 5

m=6: 29 mod 6 = 5 = 5 = 41 mod 6

m=7: 29 mod 7 = 1 ≠ 6 = 41 mod 7

m=8: 29 mod 8 = 5 ≠ 1 = 41 mod 8

m=9: 29 mod 9 = 2 ≠ 5 = 41 mod 9

m=10: 29 mod 10 = 9 ≠ 1 = 41 mod 10

m=11: 29 mod 11 = 7 ≠ 8 = 41 mod 11

m=12: 29 mod 12 = 5 = 5 = 41 mod 12

m=13: 29 mod 13 = 3 ≠ 2 = 41 mod 13

m=14: 29 mod 14 = 1 ≠ 13 = 41 mod 14

m=15: 29 mod 15 = 14 ≠ 11 = 41 mod 15

m=16: 29 mod 16 = 13 ≠ 9 = 41 mod 16

m=17: 29 mod 17 = 12 ≠ 7 = 41 mod 17

m=18: 29 mod 18 = 11 ≠ 5 = 41 mod 18

m=19: 29 mod 19 = 10 ≠ 3 = 41 mod 19

m=20: 29 mod 20 = 9 ≠ 1 = 41 mod 20

m=21: 29 mod 21 = 8 ≠ 20 = 41 mod 21

m=22: 29 mod 22 = 7 ≠ 19 = 41 mod 22

m=23: 29 mod 23 = 6 ≠ 18 = 41 mod 23

m=24: 29 mod 24 = 5 ≠ 17 = 41 mod 24

m=25: 29 mod 25 = 4 ≠ 16 = 41 mod 25

m=26: 29 mod 26 = 3 ≠ 15 = 41 mod 26

m=27: 29 mod 27 = 2 ≠ 14 = 41 mod 27

m=28: 29 mod 28 = 1 ≠ 13 = 41 mod 28

m=29: 29 mod 29 = 0 ≠ 12 = 41 mod 29

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (41 - 29) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12