Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 21, weil ja 3 ⋅ 7 = 21 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 26 - 21 = 5.

Somit gilt: 26 mod 7 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 40, weil ja 5 ⋅ 8 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 44 - 40 = 4.

Somit gilt: 44 mod 8 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 4 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 90, z.B. 88 = 11 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 4 mod 8 sein, also addieren wir noch 4 auf die 88 und erhalten so 92.

Somit gilt: 92 ≡ 44 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39996 - 40006) mod 8 ≡ (39996 mod 8 - 40006 mod 8) mod 8.

39996 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39996 = 39000+996 = 8 ⋅ 4875 +996.

40006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40006 = 40000+6 = 8 ⋅ 5000 +6.

Somit gilt:

(39996 - 40006) mod 8 ≡ (4 - 6) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(37 ⋅ 23) mod 11 ≡ (37 mod 11 ⋅ 23 mod 11) mod 11.

37 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 33 + 4 = 3 ⋅ 11 + 4 ist.

23 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 22 + 1 = 2 ⋅ 11 + 1 ist.

Somit gilt:

(37 ⋅ 23) mod 11 ≡ (4 ⋅ 1) mod 11 ≡ 4 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 172 aus, ob zufällig 172 mod m = 217 mod m gilt:

m=2: 172 mod 2 = 0 ≠ 1 = 217 mod 2

m=3: 172 mod 3 = 1 = 1 = 217 mod 3

m=4: 172 mod 4 = 0 ≠ 1 = 217 mod 4

m=5: 172 mod 5 = 2 = 2 = 217 mod 5

m=6: 172 mod 6 = 4 ≠ 1 = 217 mod 6

m=7: 172 mod 7 = 4 ≠ 0 = 217 mod 7

m=8: 172 mod 8 = 4 ≠ 1 = 217 mod 8

m=9: 172 mod 9 = 1 = 1 = 217 mod 9

m=10: 172 mod 10 = 2 ≠ 7 = 217 mod 10

m=11: 172 mod 11 = 7 ≠ 8 = 217 mod 11

m=12: 172 mod 12 = 4 ≠ 1 = 217 mod 12

m=13: 172 mod 13 = 3 ≠ 9 = 217 mod 13

m=14: 172 mod 14 = 4 ≠ 7 = 217 mod 14

m=15: 172 mod 15 = 7 = 7 = 217 mod 15

m=16: 172 mod 16 = 12 ≠ 9 = 217 mod 16

m=17: 172 mod 17 = 2 ≠ 13 = 217 mod 17

m=18: 172 mod 18 = 10 ≠ 1 = 217 mod 18

m=19: 172 mod 19 = 1 ≠ 8 = 217 mod 19

m=20: 172 mod 20 = 12 ≠ 17 = 217 mod 20

m=21: 172 mod 21 = 4 ≠ 7 = 217 mod 21

m=22: 172 mod 22 = 18 ≠ 19 = 217 mod 22

m=23: 172 mod 23 = 11 ≠ 10 = 217 mod 23

m=24: 172 mod 24 = 4 ≠ 1 = 217 mod 24

m=25: 172 mod 25 = 22 ≠ 17 = 217 mod 25

m=26: 172 mod 26 = 16 ≠ 9 = 217 mod 26

m=27: 172 mod 27 = 10 ≠ 1 = 217 mod 27

m=28: 172 mod 28 = 4 ≠ 21 = 217 mod 28

m=29: 172 mod 29 = 27 ≠ 14 = 217 mod 29

m=30: 172 mod 30 = 22 ≠ 7 = 217 mod 30

m=31: 172 mod 31 = 17 ≠ 0 = 217 mod 31

m=32: 172 mod 32 = 12 ≠ 25 = 217 mod 32

m=33: 172 mod 33 = 7 ≠ 19 = 217 mod 33

m=34: 172 mod 34 = 2 ≠ 13 = 217 mod 34

m=35: 172 mod 35 = 32 ≠ 7 = 217 mod 35

m=36: 172 mod 36 = 28 ≠ 1 = 217 mod 36

m=37: 172 mod 37 = 24 ≠ 32 = 217 mod 37

m=38: 172 mod 38 = 20 ≠ 27 = 217 mod 38

m=39: 172 mod 39 = 16 ≠ 22 = 217 mod 39

m=40: 172 mod 40 = 12 ≠ 17 = 217 mod 40

m=41: 172 mod 41 = 8 ≠ 12 = 217 mod 41

m=42: 172 mod 42 = 4 ≠ 7 = 217 mod 42

m=43: 172 mod 43 = 0 ≠ 2 = 217 mod 43

m=44: 172 mod 44 = 40 ≠ 41 = 217 mod 44

m=45: 172 mod 45 = 37 = 37 = 217 mod 45

m=46: 172 mod 46 = 34 ≠ 33 = 217 mod 46

m=47: 172 mod 47 = 31 ≠ 29 = 217 mod 47

m=48: 172 mod 48 = 28 ≠ 25 = 217 mod 48

m=49: 172 mod 49 = 25 ≠ 21 = 217 mod 49

m=50: 172 mod 50 = 22 ≠ 17 = 217 mod 50

m=51: 172 mod 51 = 19 ≠ 13 = 217 mod 51

m=52: 172 mod 52 = 16 ≠ 9 = 217 mod 52

m=53: 172 mod 53 = 13 ≠ 5 = 217 mod 53

m=54: 172 mod 54 = 10 ≠ 1 = 217 mod 54

m=55: 172 mod 55 = 7 ≠ 52 = 217 mod 55

m=56: 172 mod 56 = 4 ≠ 49 = 217 mod 56

m=57: 172 mod 57 = 1 ≠ 46 = 217 mod 57

m=58: 172 mod 58 = 56 ≠ 43 = 217 mod 58

m=59: 172 mod 59 = 54 ≠ 40 = 217 mod 59

m=60: 172 mod 60 = 52 ≠ 37 = 217 mod 60

m=61: 172 mod 61 = 50 ≠ 34 = 217 mod 61

m=62: 172 mod 62 = 48 ≠ 31 = 217 mod 62

m=63: 172 mod 63 = 46 ≠ 28 = 217 mod 63

m=64: 172 mod 64 = 44 ≠ 25 = 217 mod 64

m=65: 172 mod 65 = 42 ≠ 22 = 217 mod 65

m=66: 172 mod 66 = 40 ≠ 19 = 217 mod 66

m=67: 172 mod 67 = 38 ≠ 16 = 217 mod 67

m=68: 172 mod 68 = 36 ≠ 13 = 217 mod 68

m=69: 172 mod 69 = 34 ≠ 10 = 217 mod 69

m=70: 172 mod 70 = 32 ≠ 7 = 217 mod 70

m=71: 172 mod 71 = 30 ≠ 4 = 217 mod 71

m=72: 172 mod 72 = 28 ≠ 1 = 217 mod 72

m=73: 172 mod 73 = 26 ≠ 71 = 217 mod 73

m=74: 172 mod 74 = 24 ≠ 69 = 217 mod 74

m=75: 172 mod 75 = 22 ≠ 67 = 217 mod 75

m=76: 172 mod 76 = 20 ≠ 65 = 217 mod 76

m=77: 172 mod 77 = 18 ≠ 63 = 217 mod 77

m=78: 172 mod 78 = 16 ≠ 61 = 217 mod 78

m=79: 172 mod 79 = 14 ≠ 59 = 217 mod 79

m=80: 172 mod 80 = 12 ≠ 57 = 217 mod 80

m=81: 172 mod 81 = 10 ≠ 55 = 217 mod 81

m=82: 172 mod 82 = 8 ≠ 53 = 217 mod 82

m=83: 172 mod 83 = 6 ≠ 51 = 217 mod 83

m=84: 172 mod 84 = 4 ≠ 49 = 217 mod 84

m=85: 172 mod 85 = 2 ≠ 47 = 217 mod 85

m=86: 172 mod 86 = 0 ≠ 45 = 217 mod 86

m=87: 172 mod 87 = 85 ≠ 43 = 217 mod 87

m=88: 172 mod 88 = 84 ≠ 41 = 217 mod 88

m=89: 172 mod 89 = 83 ≠ 39 = 217 mod 89

m=90: 172 mod 90 = 82 ≠ 37 = 217 mod 90

m=91: 172 mod 91 = 81 ≠ 35 = 217 mod 91

m=92: 172 mod 92 = 80 ≠ 33 = 217 mod 92

m=93: 172 mod 93 = 79 ≠ 31 = 217 mod 93

m=94: 172 mod 94 = 78 ≠ 29 = 217 mod 94

m=95: 172 mod 95 = 77 ≠ 27 = 217 mod 95

m=96: 172 mod 96 = 76 ≠ 25 = 217 mod 96

m=97: 172 mod 97 = 75 ≠ 23 = 217 mod 97

m=98: 172 mod 98 = 74 ≠ 21 = 217 mod 98

m=99: 172 mod 99 = 73 ≠ 19 = 217 mod 99

m=100: 172 mod 100 = 72 ≠ 17 = 217 mod 100

m=101: 172 mod 101 = 71 ≠ 15 = 217 mod 101

m=102: 172 mod 102 = 70 ≠ 13 = 217 mod 102

m=103: 172 mod 103 = 69 ≠ 11 = 217 mod 103

m=104: 172 mod 104 = 68 ≠ 9 = 217 mod 104

m=105: 172 mod 105 = 67 ≠ 7 = 217 mod 105

m=106: 172 mod 106 = 66 ≠ 5 = 217 mod 106

m=107: 172 mod 107 = 65 ≠ 3 = 217 mod 107

m=108: 172 mod 108 = 64 ≠ 1 = 217 mod 108

m=109: 172 mod 109 = 63 ≠ 108 = 217 mod 109

m=110: 172 mod 110 = 62 ≠ 107 = 217 mod 110

m=111: 172 mod 111 = 61 ≠ 106 = 217 mod 111

m=112: 172 mod 112 = 60 ≠ 105 = 217 mod 112

m=113: 172 mod 113 = 59 ≠ 104 = 217 mod 113

m=114: 172 mod 114 = 58 ≠ 103 = 217 mod 114

m=115: 172 mod 115 = 57 ≠ 102 = 217 mod 115

m=116: 172 mod 116 = 56 ≠ 101 = 217 mod 116

m=117: 172 mod 117 = 55 ≠ 100 = 217 mod 117

m=118: 172 mod 118 = 54 ≠ 99 = 217 mod 118

m=119: 172 mod 119 = 53 ≠ 98 = 217 mod 119

m=120: 172 mod 120 = 52 ≠ 97 = 217 mod 120

m=121: 172 mod 121 = 51 ≠ 96 = 217 mod 121

m=122: 172 mod 122 = 50 ≠ 95 = 217 mod 122

m=123: 172 mod 123 = 49 ≠ 94 = 217 mod 123

m=124: 172 mod 124 = 48 ≠ 93 = 217 mod 124

m=125: 172 mod 125 = 47 ≠ 92 = 217 mod 125

m=126: 172 mod 126 = 46 ≠ 91 = 217 mod 126

m=127: 172 mod 127 = 45 ≠ 90 = 217 mod 127

m=128: 172 mod 128 = 44 ≠ 89 = 217 mod 128

m=129: 172 mod 129 = 43 ≠ 88 = 217 mod 129

m=130: 172 mod 130 = 42 ≠ 87 = 217 mod 130

m=131: 172 mod 131 = 41 ≠ 86 = 217 mod 131

m=132: 172 mod 132 = 40 ≠ 85 = 217 mod 132

m=133: 172 mod 133 = 39 ≠ 84 = 217 mod 133

m=134: 172 mod 134 = 38 ≠ 83 = 217 mod 134

m=135: 172 mod 135 = 37 ≠ 82 = 217 mod 135

m=136: 172 mod 136 = 36 ≠ 81 = 217 mod 136

m=137: 172 mod 137 = 35 ≠ 80 = 217 mod 137

m=138: 172 mod 138 = 34 ≠ 79 = 217 mod 138

m=139: 172 mod 139 = 33 ≠ 78 = 217 mod 139

m=140: 172 mod 140 = 32 ≠ 77 = 217 mod 140

m=141: 172 mod 141 = 31 ≠ 76 = 217 mod 141

m=142: 172 mod 142 = 30 ≠ 75 = 217 mod 142

m=143: 172 mod 143 = 29 ≠ 74 = 217 mod 143

m=144: 172 mod 144 = 28 ≠ 73 = 217 mod 144

m=145: 172 mod 145 = 27 ≠ 72 = 217 mod 145

m=146: 172 mod 146 = 26 ≠ 71 = 217 mod 146

m=147: 172 mod 147 = 25 ≠ 70 = 217 mod 147

m=148: 172 mod 148 = 24 ≠ 69 = 217 mod 148

m=149: 172 mod 149 = 23 ≠ 68 = 217 mod 149

m=150: 172 mod 150 = 22 ≠ 67 = 217 mod 150

m=151: 172 mod 151 = 21 ≠ 66 = 217 mod 151

m=152: 172 mod 152 = 20 ≠ 65 = 217 mod 152

m=153: 172 mod 153 = 19 ≠ 64 = 217 mod 153

m=154: 172 mod 154 = 18 ≠ 63 = 217 mod 154

m=155: 172 mod 155 = 17 ≠ 62 = 217 mod 155

m=156: 172 mod 156 = 16 ≠ 61 = 217 mod 156

m=157: 172 mod 157 = 15 ≠ 60 = 217 mod 157

m=158: 172 mod 158 = 14 ≠ 59 = 217 mod 158

m=159: 172 mod 159 = 13 ≠ 58 = 217 mod 159

m=160: 172 mod 160 = 12 ≠ 57 = 217 mod 160

m=161: 172 mod 161 = 11 ≠ 56 = 217 mod 161

m=162: 172 mod 162 = 10 ≠ 55 = 217 mod 162

m=163: 172 mod 163 = 9 ≠ 54 = 217 mod 163

m=164: 172 mod 164 = 8 ≠ 53 = 217 mod 164

m=165: 172 mod 165 = 7 ≠ 52 = 217 mod 165

m=166: 172 mod 166 = 6 ≠ 51 = 217 mod 166

m=167: 172 mod 167 = 5 ≠ 50 = 217 mod 167

m=168: 172 mod 168 = 4 ≠ 49 = 217 mod 168

m=169: 172 mod 169 = 3 ≠ 48 = 217 mod 169

m=170: 172 mod 170 = 2 ≠ 47 = 217 mod 170

m=171: 172 mod 171 = 1 ≠ 46 = 217 mod 171

m=172: 172 mod 172 = 0 ≠ 45 = 217 mod 172

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (217 - 172) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45