Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 41 - 36 = 5.

Somit gilt: 41 mod 9 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 80, weil ja 10 ⋅ 8 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 87 - 80 = 7.

Somit gilt: 87 mod 8 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 7 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 30, z.B. 24 = 3 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 7 mod 8 sein, also addieren wir noch 7 auf die 24 und erhalten so 31.

Somit gilt: 31 ≡ 87 ≡ 7 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35006 + 3501) mod 7 ≡ (35006 mod 7 + 3501 mod 7) mod 7.

35006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35006 = 35000+6 = 7 ⋅ 5000 +6.

3501 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3501 = 3500+1 = 7 ⋅ 500 +1.

Somit gilt:

(35006 + 3501) mod 7 ≡ (6 + 1) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 54) mod 4 ≡ (93 mod 4 ⋅ 54 mod 4) mod 4.

93 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 92 + 1 = 23 ⋅ 4 + 1 ist.

54 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 52 + 2 = 13 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 54) mod 4 ≡ (1 ⋅ 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 9 aus, ob zufällig 9 mod m = 13 mod m gilt:

m=2: 9 mod 2 = 1 = 1 = 13 mod 2

m=3: 9 mod 3 = 0 ≠ 1 = 13 mod 3

m=4: 9 mod 4 = 1 = 1 = 13 mod 4

m=5: 9 mod 5 = 4 ≠ 3 = 13 mod 5

m=6: 9 mod 6 = 3 ≠ 1 = 13 mod 6

m=7: 9 mod 7 = 2 ≠ 6 = 13 mod 7

m=8: 9 mod 8 = 1 ≠ 5 = 13 mod 8

m=9: 9 mod 9 = 0 ≠ 4 = 13 mod 9

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (13 - 9) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4