Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 84, weil ja 14 ⋅ 6 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 87 - 84 = 3.

Somit gilt: 87 mod 6 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 68, weil ja 17 ⋅ 4 = 68 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 70 - 68 = 2.

Somit gilt: 70 mod 4 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 2 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 30, z.B. 28 = 7 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 2 mod 4 sein, also addieren wir noch 2 auf die 28 und erhalten so 30.

Somit gilt: 30 ≡ 70 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14004 - 28005) mod 7 ≡ (14004 mod 7 - 28005 mod 7) mod 7.

14004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14004 = 14000+4 = 7 ⋅ 2000 +4.

28005 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28005 = 28000+5 = 7 ⋅ 4000 +5.

Somit gilt:

(14004 - 28005) mod 7 ≡ (4 - 5) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 60) mod 3 ≡ (63 mod 3 ⋅ 60 mod 3) mod 3.

63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 21 ⋅ 3 + 0 ist.

60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 20 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 60) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 18 aus, ob zufällig 18 mod m = 26 mod m gilt:

m=2: 18 mod 2 = 0 = 0 = 26 mod 2

m=3: 18 mod 3 = 0 ≠ 2 = 26 mod 3

m=4: 18 mod 4 = 2 = 2 = 26 mod 4

m=5: 18 mod 5 = 3 ≠ 1 = 26 mod 5

m=6: 18 mod 6 = 0 ≠ 2 = 26 mod 6

m=7: 18 mod 7 = 4 ≠ 5 = 26 mod 7

m=8: 18 mod 8 = 2 = 2 = 26 mod 8

m=9: 18 mod 9 = 0 ≠ 8 = 26 mod 9

m=10: 18 mod 10 = 8 ≠ 6 = 26 mod 10

m=11: 18 mod 11 = 7 ≠ 4 = 26 mod 11

m=12: 18 mod 12 = 6 ≠ 2 = 26 mod 12

m=13: 18 mod 13 = 5 ≠ 0 = 26 mod 13

m=14: 18 mod 14 = 4 ≠ 12 = 26 mod 14

m=15: 18 mod 15 = 3 ≠ 11 = 26 mod 15

m=16: 18 mod 16 = 2 ≠ 10 = 26 mod 16

m=17: 18 mod 17 = 1 ≠ 9 = 26 mod 17

m=18: 18 mod 18 = 0 ≠ 8 = 26 mod 18

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (26 - 18) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8