Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 32, weil ja 4 ⋅ 8 = 32 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 32 - 32 = 0.

Somit gilt: 32 mod 8 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 82 - 77 = 5.

Somit gilt: 82 mod 11 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 31 für die gilt: n ≡ 5 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 20, z.B. 22 = 2 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 5 mod 11 sein, also addieren wir noch 5 auf die 22 und erhalten so 27.

Somit gilt: 27 ≡ 82 ≡ 5 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2097 + 2094) mod 7 ≡ (2097 mod 7 + 2094 mod 7) mod 7.

2097 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2097 = 2100-3 = 7 ⋅ 300 -3 = 7 ⋅ 300 - 7 + 4.

2094 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2094 = 2100-6 = 7 ⋅ 300 -6 = 7 ⋅ 300 - 7 + 1.

Somit gilt:

(2097 + 2094) mod 7 ≡ (4 + 1) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 34) mod 7 ≡ (30 mod 7 ⋅ 34 mod 7) mod 7.

30 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 4 ⋅ 7 + 2 ist.

34 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 28 + 6 = 4 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 34) mod 7 ≡ (2 ⋅ 6) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 62 aus, ob zufällig 62 mod m = 87 mod m gilt:

m=2: 62 mod 2 = 0 ≠ 1 = 87 mod 2

m=3: 62 mod 3 = 2 ≠ 0 = 87 mod 3

m=4: 62 mod 4 = 2 ≠ 3 = 87 mod 4

m=5: 62 mod 5 = 2 = 2 = 87 mod 5

m=6: 62 mod 6 = 2 ≠ 3 = 87 mod 6

m=7: 62 mod 7 = 6 ≠ 3 = 87 mod 7

m=8: 62 mod 8 = 6 ≠ 7 = 87 mod 8

m=9: 62 mod 9 = 8 ≠ 6 = 87 mod 9

m=10: 62 mod 10 = 2 ≠ 7 = 87 mod 10

m=11: 62 mod 11 = 7 ≠ 10 = 87 mod 11

m=12: 62 mod 12 = 2 ≠ 3 = 87 mod 12

m=13: 62 mod 13 = 10 ≠ 9 = 87 mod 13

m=14: 62 mod 14 = 6 ≠ 3 = 87 mod 14

m=15: 62 mod 15 = 2 ≠ 12 = 87 mod 15

m=16: 62 mod 16 = 14 ≠ 7 = 87 mod 16

m=17: 62 mod 17 = 11 ≠ 2 = 87 mod 17

m=18: 62 mod 18 = 8 ≠ 15 = 87 mod 18

m=19: 62 mod 19 = 5 ≠ 11 = 87 mod 19

m=20: 62 mod 20 = 2 ≠ 7 = 87 mod 20

m=21: 62 mod 21 = 20 ≠ 3 = 87 mod 21

m=22: 62 mod 22 = 18 ≠ 21 = 87 mod 22

m=23: 62 mod 23 = 16 ≠ 18 = 87 mod 23

m=24: 62 mod 24 = 14 ≠ 15 = 87 mod 24

m=25: 62 mod 25 = 12 = 12 = 87 mod 25

m=26: 62 mod 26 = 10 ≠ 9 = 87 mod 26

m=27: 62 mod 27 = 8 ≠ 6 = 87 mod 27

m=28: 62 mod 28 = 6 ≠ 3 = 87 mod 28

m=29: 62 mod 29 = 4 ≠ 0 = 87 mod 29

m=30: 62 mod 30 = 2 ≠ 27 = 87 mod 30

m=31: 62 mod 31 = 0 ≠ 25 = 87 mod 31

m=32: 62 mod 32 = 30 ≠ 23 = 87 mod 32

m=33: 62 mod 33 = 29 ≠ 21 = 87 mod 33

m=34: 62 mod 34 = 28 ≠ 19 = 87 mod 34

m=35: 62 mod 35 = 27 ≠ 17 = 87 mod 35

m=36: 62 mod 36 = 26 ≠ 15 = 87 mod 36

m=37: 62 mod 37 = 25 ≠ 13 = 87 mod 37

m=38: 62 mod 38 = 24 ≠ 11 = 87 mod 38

m=39: 62 mod 39 = 23 ≠ 9 = 87 mod 39

m=40: 62 mod 40 = 22 ≠ 7 = 87 mod 40

m=41: 62 mod 41 = 21 ≠ 5 = 87 mod 41

m=42: 62 mod 42 = 20 ≠ 3 = 87 mod 42

m=43: 62 mod 43 = 19 ≠ 1 = 87 mod 43

m=44: 62 mod 44 = 18 ≠ 43 = 87 mod 44

m=45: 62 mod 45 = 17 ≠ 42 = 87 mod 45

m=46: 62 mod 46 = 16 ≠ 41 = 87 mod 46

m=47: 62 mod 47 = 15 ≠ 40 = 87 mod 47

m=48: 62 mod 48 = 14 ≠ 39 = 87 mod 48

m=49: 62 mod 49 = 13 ≠ 38 = 87 mod 49

m=50: 62 mod 50 = 12 ≠ 37 = 87 mod 50

m=51: 62 mod 51 = 11 ≠ 36 = 87 mod 51

m=52: 62 mod 52 = 10 ≠ 35 = 87 mod 52

m=53: 62 mod 53 = 9 ≠ 34 = 87 mod 53

m=54: 62 mod 54 = 8 ≠ 33 = 87 mod 54

m=55: 62 mod 55 = 7 ≠ 32 = 87 mod 55

m=56: 62 mod 56 = 6 ≠ 31 = 87 mod 56

m=57: 62 mod 57 = 5 ≠ 30 = 87 mod 57

m=58: 62 mod 58 = 4 ≠ 29 = 87 mod 58

m=59: 62 mod 59 = 3 ≠ 28 = 87 mod 59

m=60: 62 mod 60 = 2 ≠ 27 = 87 mod 60

m=61: 62 mod 61 = 1 ≠ 26 = 87 mod 61

m=62: 62 mod 62 = 0 ≠ 25 = 87 mod 62

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (87 - 62) = 25 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

5; 25