Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 33 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 30, weil ja 5 ⋅ 6 = 30 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 33 - 30 = 3.
Somit gilt: 33 mod 6 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 92 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 90, weil ja 18 ⋅ 5 = 90 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 92 - 90 = 2.
Somit gilt: 92 mod 5 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 2 mod 5.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 10, z.B. 10 = 2 ⋅ 5
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 2 mod 5 sein, also addieren wir noch 2 auf die 10 und erhalten so 12.
Somit gilt: 12 ≡ 92 ≡ 2 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (11996 - 180) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(11996 - 180) mod 6 ≡ (11996 mod 6 - 180 mod 6) mod 6.
11996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11996
= 12000
180 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 180
= 180
Somit gilt:
(11996 - 180) mod 6 ≡ (2 - 0) mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 62) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 62) mod 5 ≡ (61 mod 5 ⋅ 62 mod 5) mod 5.
61 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 12 ⋅ 5 + 1 ist.
62 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 12 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 62) mod 5 ≡ (1 ⋅ 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
24 mod m = 32 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 24 aus, ob zufällig 24 mod m = 32 mod m gilt:
m=2: 24 mod 2 = 0 = 0 = 32 mod 2
m=3: 24 mod 3 = 0 ≠ 2 = 32 mod 3
m=4: 24 mod 4 = 0 = 0 = 32 mod 4
m=5: 24 mod 5 = 4 ≠ 2 = 32 mod 5
m=6: 24 mod 6 = 0 ≠ 2 = 32 mod 6
m=7: 24 mod 7 = 3 ≠ 4 = 32 mod 7
m=8: 24 mod 8 = 0 = 0 = 32 mod 8
m=9: 24 mod 9 = 6 ≠ 5 = 32 mod 9
m=10: 24 mod 10 = 4 ≠ 2 = 32 mod 10
m=11: 24 mod 11 = 2 ≠ 10 = 32 mod 11
m=12: 24 mod 12 = 0 ≠ 8 = 32 mod 12
m=13: 24 mod 13 = 11 ≠ 6 = 32 mod 13
m=14: 24 mod 14 = 10 ≠ 4 = 32 mod 14
m=15: 24 mod 15 = 9 ≠ 2 = 32 mod 15
m=16: 24 mod 16 = 8 ≠ 0 = 32 mod 16
m=17: 24 mod 17 = 7 ≠ 15 = 32 mod 17
m=18: 24 mod 18 = 6 ≠ 14 = 32 mod 18
m=19: 24 mod 19 = 5 ≠ 13 = 32 mod 19
m=20: 24 mod 20 = 4 ≠ 12 = 32 mod 20
m=21: 24 mod 21 = 3 ≠ 11 = 32 mod 21
m=22: 24 mod 22 = 2 ≠ 10 = 32 mod 22
m=23: 24 mod 23 = 1 ≠ 9 = 32 mod 23
m=24: 24 mod 24 = 0 ≠ 8 = 32 mod 24
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (32 - 24) = 8 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4; 8
