Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 48, weil ja 12 ⋅ 4 = 48 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 51 - 48 = 3.

Somit gilt: 51 mod 4 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 84, weil ja 12 ⋅ 7 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 88 - 84 = 4.

Somit gilt: 88 mod 7 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 4 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 30, z.B. 28 = 4 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 4 mod 7 sein, also addieren wir noch 4 auf die 28 und erhalten so 32.

Somit gilt: 32 ≡ 88 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 - 2395) mod 6 ≡ (59 mod 6 - 2395 mod 6) mod 6.

59 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 60-1 = 6 ⋅ 10 -1 = 6 ⋅ 10 - 6 + 5.

2395 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2395 = 2400-5 = 6 ⋅ 400 -5 = 6 ⋅ 400 - 6 + 1.

Somit gilt:

(59 - 2395) mod 6 ≡ (5 - 1) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 39) mod 9 ≡ (81 mod 9 ⋅ 39 mod 9) mod 9.

81 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 81 + 0 = 9 ⋅ 9 + 0 ist.

39 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 36 + 3 = 4 ⋅ 9 + 3 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 39) mod 9 ≡ (0 ⋅ 3) mod 9 ≡ 0 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 28 aus, ob zufällig 28 mod m = 37 mod m gilt:

m=2: 28 mod 2 = 0 ≠ 1 = 37 mod 2

m=3: 28 mod 3 = 1 = 1 = 37 mod 3

m=4: 28 mod 4 = 0 ≠ 1 = 37 mod 4

m=5: 28 mod 5 = 3 ≠ 2 = 37 mod 5

m=6: 28 mod 6 = 4 ≠ 1 = 37 mod 6

m=7: 28 mod 7 = 0 ≠ 2 = 37 mod 7

m=8: 28 mod 8 = 4 ≠ 5 = 37 mod 8

m=9: 28 mod 9 = 1 = 1 = 37 mod 9

m=10: 28 mod 10 = 8 ≠ 7 = 37 mod 10

m=11: 28 mod 11 = 6 ≠ 4 = 37 mod 11

m=12: 28 mod 12 = 4 ≠ 1 = 37 mod 12

m=13: 28 mod 13 = 2 ≠ 11 = 37 mod 13

m=14: 28 mod 14 = 0 ≠ 9 = 37 mod 14

m=15: 28 mod 15 = 13 ≠ 7 = 37 mod 15

m=16: 28 mod 16 = 12 ≠ 5 = 37 mod 16

m=17: 28 mod 17 = 11 ≠ 3 = 37 mod 17

m=18: 28 mod 18 = 10 ≠ 1 = 37 mod 18

m=19: 28 mod 19 = 9 ≠ 18 = 37 mod 19

m=20: 28 mod 20 = 8 ≠ 17 = 37 mod 20

m=21: 28 mod 21 = 7 ≠ 16 = 37 mod 21

m=22: 28 mod 22 = 6 ≠ 15 = 37 mod 22

m=23: 28 mod 23 = 5 ≠ 14 = 37 mod 23

m=24: 28 mod 24 = 4 ≠ 13 = 37 mod 24

m=25: 28 mod 25 = 3 ≠ 12 = 37 mod 25

m=26: 28 mod 26 = 2 ≠ 11 = 37 mod 26

m=27: 28 mod 27 = 1 ≠ 10 = 37 mod 27

m=28: 28 mod 28 = 0 ≠ 9 = 37 mod 28

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (37 - 28) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9