Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 56, weil ja 8 ⋅ 7 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 62 - 56 = 6.

Somit gilt: 62 mod 7 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 27, weil ja 3 ⋅ 9 = 27 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 29 - 27 = 2.

Somit gilt: 29 mod 9 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 2 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 1 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 2 mod 9 sein, also addieren wir noch 2 auf die 9 und erhalten so 11.

Somit gilt: 11 ≡ 29 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4495 + 894) mod 9 ≡ (4495 mod 9 + 894 mod 9) mod 9.

4495 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4495 = 4500-5 = 9 ⋅ 500 -5 = 9 ⋅ 500 - 9 + 4.

894 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 894 = 900-6 = 9 ⋅ 100 -6 = 9 ⋅ 100 - 9 + 3.

Somit gilt:

(4495 + 894) mod 9 ≡ (4 + 3) mod 9 ≡ 7 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 46) mod 9 ≡ (38 mod 9 ⋅ 46 mod 9) mod 9.

38 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 4 ⋅ 9 + 2 ist.

46 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 5 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 46) mod 9 ≡ (2 ⋅ 1) mod 9 ≡ 2 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 18 aus, ob zufällig 18 mod m = 24 mod m gilt:

m=2: 18 mod 2 = 0 = 0 = 24 mod 2

m=3: 18 mod 3 = 0 = 0 = 24 mod 3

m=4: 18 mod 4 = 2 ≠ 0 = 24 mod 4

m=5: 18 mod 5 = 3 ≠ 4 = 24 mod 5

m=6: 18 mod 6 = 0 = 0 = 24 mod 6

m=7: 18 mod 7 = 4 ≠ 3 = 24 mod 7

m=8: 18 mod 8 = 2 ≠ 0 = 24 mod 8

m=9: 18 mod 9 = 0 ≠ 6 = 24 mod 9

m=10: 18 mod 10 = 8 ≠ 4 = 24 mod 10

m=11: 18 mod 11 = 7 ≠ 2 = 24 mod 11

m=12: 18 mod 12 = 6 ≠ 0 = 24 mod 12

m=13: 18 mod 13 = 5 ≠ 11 = 24 mod 13

m=14: 18 mod 14 = 4 ≠ 10 = 24 mod 14

m=15: 18 mod 15 = 3 ≠ 9 = 24 mod 15

m=16: 18 mod 16 = 2 ≠ 8 = 24 mod 16

m=17: 18 mod 17 = 1 ≠ 7 = 24 mod 17

m=18: 18 mod 18 = 0 ≠ 6 = 24 mod 18

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (24 - 18) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6