Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 54 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 54, weil ja 9 ⋅ 6 = 54 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 54 - 54 = 0.
Somit gilt: 54 mod 6 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 70 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 70, weil ja 10 ⋅ 7 = 70 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 70 - 70 = 0.
Somit gilt: 70 mod 7 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 0 mod 7.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 50, z.B. 56 = 8 ⋅ 7
Somit gilt: 56 ≡ 70 ≡ 0 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (57 - 1202) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(57 - 1202) mod 3 ≡ (57 mod 3 - 1202 mod 3) mod 3.
57 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57
= 60
1202 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1202
= 1200
Somit gilt:
(57 - 1202) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 98) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28 ⋅ 98) mod 6 ≡ (28 mod 6 ⋅ 98 mod 6) mod 6.
28 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 24 + 4 = 4 ⋅ 6 + 4 ist.
98 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 16 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(28 ⋅ 98) mod 6 ≡ (4 ⋅ 2) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
19 mod m = 25 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 19 aus, ob zufällig 19 mod m = 25 mod m gilt:
m=2: 19 mod 2 = 1 = 1 = 25 mod 2
m=3: 19 mod 3 = 1 = 1 = 25 mod 3
m=4: 19 mod 4 = 3 ≠ 1 = 25 mod 4
m=5: 19 mod 5 = 4 ≠ 0 = 25 mod 5
m=6: 19 mod 6 = 1 = 1 = 25 mod 6
m=7: 19 mod 7 = 5 ≠ 4 = 25 mod 7
m=8: 19 mod 8 = 3 ≠ 1 = 25 mod 8
m=9: 19 mod 9 = 1 ≠ 7 = 25 mod 9
m=10: 19 mod 10 = 9 ≠ 5 = 25 mod 10
m=11: 19 mod 11 = 8 ≠ 3 = 25 mod 11
m=12: 19 mod 12 = 7 ≠ 1 = 25 mod 12
m=13: 19 mod 13 = 6 ≠ 12 = 25 mod 13
m=14: 19 mod 14 = 5 ≠ 11 = 25 mod 14
m=15: 19 mod 15 = 4 ≠ 10 = 25 mod 15
m=16: 19 mod 16 = 3 ≠ 9 = 25 mod 16
m=17: 19 mod 17 = 2 ≠ 8 = 25 mod 17
m=18: 19 mod 18 = 1 ≠ 7 = 25 mod 18
m=19: 19 mod 19 = 0 ≠ 6 = 25 mod 19
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (25 - 19) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
