Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 38 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 36, weil ja 6 ⋅ 6 = 36 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 38 - 36 = 2.
Somit gilt: 38 mod 6 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 81 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 80, weil ja 20 ⋅ 4 = 80 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 81 - 80 = 1.
Somit gilt: 81 mod 4 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 5 ⋅ 4
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 20 und erhalten so 21.
Somit gilt: 21 ≡ 81 ≡ 1 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (280 - 7006) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(280 - 7006) mod 7 ≡ (280 mod 7 - 7006 mod 7) mod 7.
280 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 280
= 280
7006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7006
= 7000
Somit gilt:
(280 - 7006) mod 7 ≡ (0 - 6) mod 7 ≡ -6 mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 86) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 86) mod 6 ≡ (58 mod 6 ⋅ 86 mod 6) mod 6.
58 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 9 ⋅ 6 + 4 ist.
86 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 14 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 86) mod 6 ≡ (4 ⋅ 2) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 17 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 17 mod m gilt:
m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 17 mod 2
m=3: 13 mod 3 = 1 ≠ 2 = 17 mod 3
m=4: 13 mod 4 = 1 = 1 = 17 mod 4
m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 2 = 17 mod 5
m=6: 13 mod 6 = 1 ≠ 5 = 17 mod 6
m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 3 = 17 mod 7
m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 1 = 17 mod 8
m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 8 = 17 mod 9
m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 7 = 17 mod 10
m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 6 = 17 mod 11
m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 5 = 17 mod 12
m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 4 = 17 mod 13
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (17 - 13) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
