Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 39, weil ja 13 ⋅ 3 = 39 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 41 - 39 = 2.

Somit gilt: 41 mod 3 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 78, weil ja 13 ⋅ 6 = 78 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 83 - 78 = 5.

Somit gilt: 83 mod 6 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 5 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 20, z.B. 18 = 3 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 5 mod 6 sein, also addieren wir noch 5 auf die 18 und erhalten so 23.

Somit gilt: 23 ≡ 83 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(122 - 42) mod 4 ≡ (122 mod 4 - 42 mod 4) mod 4.

122 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122 = 120+2 = 4 ⋅ 30 +2.

42 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40+2 = 4 ⋅ 10 +2.

Somit gilt:

(122 - 42) mod 4 ≡ (2 - 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36 ⋅ 55) mod 8 ≡ (36 mod 8 ⋅ 55 mod 8) mod 8.

36 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 32 + 4 = 4 ⋅ 8 + 4 ist.

55 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 48 + 7 = 6 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(36 ⋅ 55) mod 8 ≡ (4 ⋅ 7) mod 8 ≡ 28 mod 8 ≡ 4 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 15 aus, ob zufällig 15 mod m = 19 mod m gilt:

m=2: 15 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2

m=3: 15 mod 3 = 0 ≠ 1 = 19 mod 3

m=4: 15 mod 4 = 3 = 3 = 19 mod 4

m=5: 15 mod 5 = 0 ≠ 4 = 19 mod 5

m=6: 15 mod 6 = 3 ≠ 1 = 19 mod 6

m=7: 15 mod 7 = 1 ≠ 5 = 19 mod 7

m=8: 15 mod 8 = 7 ≠ 3 = 19 mod 8

m=9: 15 mod 9 = 6 ≠ 1 = 19 mod 9

m=10: 15 mod 10 = 5 ≠ 9 = 19 mod 10

m=11: 15 mod 11 = 4 ≠ 8 = 19 mod 11

m=12: 15 mod 12 = 3 ≠ 7 = 19 mod 12

m=13: 15 mod 13 = 2 ≠ 6 = 19 mod 13

m=14: 15 mod 14 = 1 ≠ 5 = 19 mod 14

m=15: 15 mod 15 = 0 ≠ 4 = 19 mod 15

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 15) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4