Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 71 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 70, weil ja 10 ⋅ 7 = 70 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 71 - 70 = 1.
Somit gilt: 71 mod 7 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 68 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 66, weil ja 11 ⋅ 6 = 66 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 68 - 66 = 2.
Somit gilt: 68 mod 6 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 2 mod 6.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 50, z.B. 48 = 8 ⋅ 6
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 2 mod 6 sein, also addieren wir noch 2 auf die 48 und erhalten so 50.
Somit gilt: 50 ≡ 68 ≡ 2 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23992 + 3200) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23992 + 3200) mod 8 ≡ (23992 mod 8 + 3200 mod 8) mod 8.
23992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23992
= 23000
3200 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3200
= 3200
Somit gilt:
(23992 + 3200) mod 8 ≡ (0 + 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 73) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 73) mod 7 ≡ (58 mod 7 ⋅ 73 mod 7) mod 7.
58 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 8 ⋅ 7 + 2 ist.
73 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 10 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 73) mod 7 ≡ (2 ⋅ 3) mod 7 ≡ 6 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
16 mod m = 22 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 16 aus, ob zufällig 16 mod m = 22 mod m gilt:
m=2: 16 mod 2 = 0 = 0 = 22 mod 2
m=3: 16 mod 3 = 1 = 1 = 22 mod 3
m=4: 16 mod 4 = 0 ≠ 2 = 22 mod 4
m=5: 16 mod 5 = 1 ≠ 2 = 22 mod 5
m=6: 16 mod 6 = 4 = 4 = 22 mod 6
m=7: 16 mod 7 = 2 ≠ 1 = 22 mod 7
m=8: 16 mod 8 = 0 ≠ 6 = 22 mod 8
m=9: 16 mod 9 = 7 ≠ 4 = 22 mod 9
m=10: 16 mod 10 = 6 ≠ 2 = 22 mod 10
m=11: 16 mod 11 = 5 ≠ 0 = 22 mod 11
m=12: 16 mod 12 = 4 ≠ 10 = 22 mod 12
m=13: 16 mod 13 = 3 ≠ 9 = 22 mod 13
m=14: 16 mod 14 = 2 ≠ 8 = 22 mod 14
m=15: 16 mod 15 = 1 ≠ 7 = 22 mod 15
m=16: 16 mod 16 = 0 ≠ 6 = 22 mod 16
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (22 - 16) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
