Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 78 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 78 - 77 = 1.
Somit gilt: 78 mod 11 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 98 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 98, weil ja 14 ⋅ 7 = 98 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 98 - 98 = 0.
Somit gilt: 98 mod 7 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 0 mod 7.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 80, z.B. 84 = 12 ⋅ 7
Somit gilt: 84 ≡ 98 ≡ 0 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (499 + 148) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(499 + 148) mod 5 ≡ (499 mod 5 + 148 mod 5) mod 5.
499 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 499
= 400
148 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 148
= 140
Somit gilt:
(499 + 148) mod 5 ≡ (4 + 3) mod 5 ≡ 7 mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 65) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32 ⋅ 65) mod 3 ≡ (32 mod 3 ⋅ 65 mod 3) mod 3.
32 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 10 ⋅ 3 + 2 ist.
65 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 21 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(32 ⋅ 65) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
20 mod m = 26 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 26 mod m gilt:
m=2: 20 mod 2 = 0 = 0 = 26 mod 2
m=3: 20 mod 3 = 2 = 2 = 26 mod 3
m=4: 20 mod 4 = 0 ≠ 2 = 26 mod 4
m=5: 20 mod 5 = 0 ≠ 1 = 26 mod 5
m=6: 20 mod 6 = 2 = 2 = 26 mod 6
m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 5 = 26 mod 7
m=8: 20 mod 8 = 4 ≠ 2 = 26 mod 8
m=9: 20 mod 9 = 2 ≠ 8 = 26 mod 9
m=10: 20 mod 10 = 0 ≠ 6 = 26 mod 10
m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 4 = 26 mod 11
m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 2 = 26 mod 12
m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 0 = 26 mod 13
m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 12 = 26 mod 14
m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 11 = 26 mod 15
m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 10 = 26 mod 16
m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 9 = 26 mod 17
m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 8 = 26 mod 18
m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 7 = 26 mod 19
m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 6 = 26 mod 20
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (26 - 20) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
