Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 77 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 75, weil ja 25 ⋅ 3 = 75 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 77 - 75 = 2.
Somit gilt: 77 mod 3 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 57 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 56, weil ja 7 ⋅ 8 = 56 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 57 - 56 = 1.
Somit gilt: 57 mod 8 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 1 mod 8.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 5 ⋅ 8
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 1 mod 8 sein, also addieren wir noch 1 auf die 40 und erhalten so 41.
Somit gilt: 41 ≡ 57 ≡ 1 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (362 - 356) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(362 - 356) mod 9 ≡ (362 mod 9 - 356 mod 9) mod 9.
362 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 362
= 360
356 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 356
= 360
Somit gilt:
(362 - 356) mod 9 ≡ (2 - 5) mod 9 ≡ -3 mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 22) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32 ⋅ 22) mod 11 ≡ (32 mod 11 ⋅ 22 mod 11) mod 11.
32 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 22 + 10 = 2 ⋅ 11 + 10 ist.
22 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 22 + 0 = 2 ⋅ 11 + 0 ist.
Somit gilt:
(32 ⋅ 22) mod 11 ≡ (10 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 19 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 19 mod m gilt:
m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2
m=3: 13 mod 3 = 1 = 1 = 19 mod 3
m=4: 13 mod 4 = 1 ≠ 3 = 19 mod 4
m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 4 = 19 mod 5
m=6: 13 mod 6 = 1 = 1 = 19 mod 6
m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 5 = 19 mod 7
m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 3 = 19 mod 8
m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 1 = 19 mod 9
m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 9 = 19 mod 10
m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 8 = 19 mod 11
m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 7 = 19 mod 12
m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 6 = 19 mod 13
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 13) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
