Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 51, weil ja 17 ⋅ 3 = 51 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 52 - 51 = 1.

Somit gilt: 52 mod 3 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 48, weil ja 6 ⋅ 8 = 48 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 54 - 48 = 6.

Somit gilt: 54 mod 8 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 6 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 5 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 6 mod 8 sein, also addieren wir noch 6 auf die 40 und erhalten so 46.

Somit gilt: 46 ≡ 54 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(240 + 117) mod 6 ≡ (240 mod 6 + 117 mod 6) mod 6.

240 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 240 = 240+0 = 6 ⋅ 40 +0.

117 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 117 = 120-3 = 6 ⋅ 20 -3 = 6 ⋅ 20 - 6 + 3.

Somit gilt:

(240 + 117) mod 6 ≡ (0 + 3) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 68) mod 6 ≡ (92 mod 6 ⋅ 68 mod 6) mod 6.

92 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 15 ⋅ 6 + 2 ist.

68 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 11 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 68) mod 6 ≡ (2 ⋅ 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 252 aus, ob zufällig 252 mod m = 327 mod m gilt:

m=2: 252 mod 2 = 0 ≠ 1 = 327 mod 2

m=3: 252 mod 3 = 0 = 0 = 327 mod 3

m=4: 252 mod 4 = 0 ≠ 3 = 327 mod 4

m=5: 252 mod 5 = 2 = 2 = 327 mod 5

m=6: 252 mod 6 = 0 ≠ 3 = 327 mod 6

m=7: 252 mod 7 = 0 ≠ 5 = 327 mod 7

m=8: 252 mod 8 = 4 ≠ 7 = 327 mod 8

m=9: 252 mod 9 = 0 ≠ 3 = 327 mod 9

m=10: 252 mod 10 = 2 ≠ 7 = 327 mod 10

m=11: 252 mod 11 = 10 ≠ 8 = 327 mod 11

m=12: 252 mod 12 = 0 ≠ 3 = 327 mod 12

m=13: 252 mod 13 = 5 ≠ 2 = 327 mod 13

m=14: 252 mod 14 = 0 ≠ 5 = 327 mod 14

m=15: 252 mod 15 = 12 = 12 = 327 mod 15

m=16: 252 mod 16 = 12 ≠ 7 = 327 mod 16

m=17: 252 mod 17 = 14 ≠ 4 = 327 mod 17

m=18: 252 mod 18 = 0 ≠ 3 = 327 mod 18

m=19: 252 mod 19 = 5 ≠ 4 = 327 mod 19

m=20: 252 mod 20 = 12 ≠ 7 = 327 mod 20

m=21: 252 mod 21 = 0 ≠ 12 = 327 mod 21

m=22: 252 mod 22 = 10 ≠ 19 = 327 mod 22

m=23: 252 mod 23 = 22 ≠ 5 = 327 mod 23

m=24: 252 mod 24 = 12 ≠ 15 = 327 mod 24

m=25: 252 mod 25 = 2 = 2 = 327 mod 25

m=26: 252 mod 26 = 18 ≠ 15 = 327 mod 26

m=27: 252 mod 27 = 9 ≠ 3 = 327 mod 27

m=28: 252 mod 28 = 0 ≠ 19 = 327 mod 28

m=29: 252 mod 29 = 20 ≠ 8 = 327 mod 29

m=30: 252 mod 30 = 12 ≠ 27 = 327 mod 30

m=31: 252 mod 31 = 4 ≠ 17 = 327 mod 31

m=32: 252 mod 32 = 28 ≠ 7 = 327 mod 32

m=33: 252 mod 33 = 21 ≠ 30 = 327 mod 33

m=34: 252 mod 34 = 14 ≠ 21 = 327 mod 34

m=35: 252 mod 35 = 7 ≠ 12 = 327 mod 35

m=36: 252 mod 36 = 0 ≠ 3 = 327 mod 36

m=37: 252 mod 37 = 30 ≠ 31 = 327 mod 37

m=38: 252 mod 38 = 24 ≠ 23 = 327 mod 38

m=39: 252 mod 39 = 18 ≠ 15 = 327 mod 39

m=40: 252 mod 40 = 12 ≠ 7 = 327 mod 40

m=41: 252 mod 41 = 6 ≠ 40 = 327 mod 41

m=42: 252 mod 42 = 0 ≠ 33 = 327 mod 42

m=43: 252 mod 43 = 37 ≠ 26 = 327 mod 43

m=44: 252 mod 44 = 32 ≠ 19 = 327 mod 44

m=45: 252 mod 45 = 27 ≠ 12 = 327 mod 45

m=46: 252 mod 46 = 22 ≠ 5 = 327 mod 46

m=47: 252 mod 47 = 17 ≠ 45 = 327 mod 47

m=48: 252 mod 48 = 12 ≠ 39 = 327 mod 48

m=49: 252 mod 49 = 7 ≠ 33 = 327 mod 49

m=50: 252 mod 50 = 2 ≠ 27 = 327 mod 50

m=51: 252 mod 51 = 48 ≠ 21 = 327 mod 51

m=52: 252 mod 52 = 44 ≠ 15 = 327 mod 52

m=53: 252 mod 53 = 40 ≠ 9 = 327 mod 53

m=54: 252 mod 54 = 36 ≠ 3 = 327 mod 54

m=55: 252 mod 55 = 32 ≠ 52 = 327 mod 55

m=56: 252 mod 56 = 28 ≠ 47 = 327 mod 56

m=57: 252 mod 57 = 24 ≠ 42 = 327 mod 57

m=58: 252 mod 58 = 20 ≠ 37 = 327 mod 58

m=59: 252 mod 59 = 16 ≠ 32 = 327 mod 59

m=60: 252 mod 60 = 12 ≠ 27 = 327 mod 60

m=61: 252 mod 61 = 8 ≠ 22 = 327 mod 61

m=62: 252 mod 62 = 4 ≠ 17 = 327 mod 62

m=63: 252 mod 63 = 0 ≠ 12 = 327 mod 63

m=64: 252 mod 64 = 60 ≠ 7 = 327 mod 64

m=65: 252 mod 65 = 57 ≠ 2 = 327 mod 65

m=66: 252 mod 66 = 54 ≠ 63 = 327 mod 66

m=67: 252 mod 67 = 51 ≠ 59 = 327 mod 67

m=68: 252 mod 68 = 48 ≠ 55 = 327 mod 68

m=69: 252 mod 69 = 45 ≠ 51 = 327 mod 69

m=70: 252 mod 70 = 42 ≠ 47 = 327 mod 70

m=71: 252 mod 71 = 39 ≠ 43 = 327 mod 71

m=72: 252 mod 72 = 36 ≠ 39 = 327 mod 72

m=73: 252 mod 73 = 33 ≠ 35 = 327 mod 73

m=74: 252 mod 74 = 30 ≠ 31 = 327 mod 74

m=75: 252 mod 75 = 27 = 27 = 327 mod 75

m=76: 252 mod 76 = 24 ≠ 23 = 327 mod 76

m=77: 252 mod 77 = 21 ≠ 19 = 327 mod 77

m=78: 252 mod 78 = 18 ≠ 15 = 327 mod 78

m=79: 252 mod 79 = 15 ≠ 11 = 327 mod 79

m=80: 252 mod 80 = 12 ≠ 7 = 327 mod 80

m=81: 252 mod 81 = 9 ≠ 3 = 327 mod 81

m=82: 252 mod 82 = 6 ≠ 81 = 327 mod 82

m=83: 252 mod 83 = 3 ≠ 78 = 327 mod 83

m=84: 252 mod 84 = 0 ≠ 75 = 327 mod 84

m=85: 252 mod 85 = 82 ≠ 72 = 327 mod 85

m=86: 252 mod 86 = 80 ≠ 69 = 327 mod 86

m=87: 252 mod 87 = 78 ≠ 66 = 327 mod 87

m=88: 252 mod 88 = 76 ≠ 63 = 327 mod 88

m=89: 252 mod 89 = 74 ≠ 60 = 327 mod 89

m=90: 252 mod 90 = 72 ≠ 57 = 327 mod 90

m=91: 252 mod 91 = 70 ≠ 54 = 327 mod 91

m=92: 252 mod 92 = 68 ≠ 51 = 327 mod 92

m=93: 252 mod 93 = 66 ≠ 48 = 327 mod 93

m=94: 252 mod 94 = 64 ≠ 45 = 327 mod 94

m=95: 252 mod 95 = 62 ≠ 42 = 327 mod 95

m=96: 252 mod 96 = 60 ≠ 39 = 327 mod 96

m=97: 252 mod 97 = 58 ≠ 36 = 327 mod 97

m=98: 252 mod 98 = 56 ≠ 33 = 327 mod 98

m=99: 252 mod 99 = 54 ≠ 30 = 327 mod 99

m=100: 252 mod 100 = 52 ≠ 27 = 327 mod 100

m=101: 252 mod 101 = 50 ≠ 24 = 327 mod 101

m=102: 252 mod 102 = 48 ≠ 21 = 327 mod 102

m=103: 252 mod 103 = 46 ≠ 18 = 327 mod 103

m=104: 252 mod 104 = 44 ≠ 15 = 327 mod 104

m=105: 252 mod 105 = 42 ≠ 12 = 327 mod 105

m=106: 252 mod 106 = 40 ≠ 9 = 327 mod 106

m=107: 252 mod 107 = 38 ≠ 6 = 327 mod 107

m=108: 252 mod 108 = 36 ≠ 3 = 327 mod 108

m=109: 252 mod 109 = 34 ≠ 0 = 327 mod 109

m=110: 252 mod 110 = 32 ≠ 107 = 327 mod 110

m=111: 252 mod 111 = 30 ≠ 105 = 327 mod 111

m=112: 252 mod 112 = 28 ≠ 103 = 327 mod 112

m=113: 252 mod 113 = 26 ≠ 101 = 327 mod 113

m=114: 252 mod 114 = 24 ≠ 99 = 327 mod 114

m=115: 252 mod 115 = 22 ≠ 97 = 327 mod 115

m=116: 252 mod 116 = 20 ≠ 95 = 327 mod 116

m=117: 252 mod 117 = 18 ≠ 93 = 327 mod 117

m=118: 252 mod 118 = 16 ≠ 91 = 327 mod 118

m=119: 252 mod 119 = 14 ≠ 89 = 327 mod 119

m=120: 252 mod 120 = 12 ≠ 87 = 327 mod 120

m=121: 252 mod 121 = 10 ≠ 85 = 327 mod 121

m=122: 252 mod 122 = 8 ≠ 83 = 327 mod 122

m=123: 252 mod 123 = 6 ≠ 81 = 327 mod 123

m=124: 252 mod 124 = 4 ≠ 79 = 327 mod 124

m=125: 252 mod 125 = 2 ≠ 77 = 327 mod 125

m=126: 252 mod 126 = 0 ≠ 75 = 327 mod 126

m=127: 252 mod 127 = 125 ≠ 73 = 327 mod 127

m=128: 252 mod 128 = 124 ≠ 71 = 327 mod 128

m=129: 252 mod 129 = 123 ≠ 69 = 327 mod 129

m=130: 252 mod 130 = 122 ≠ 67 = 327 mod 130

m=131: 252 mod 131 = 121 ≠ 65 = 327 mod 131

m=132: 252 mod 132 = 120 ≠ 63 = 327 mod 132

m=133: 252 mod 133 = 119 ≠ 61 = 327 mod 133

m=134: 252 mod 134 = 118 ≠ 59 = 327 mod 134

m=135: 252 mod 135 = 117 ≠ 57 = 327 mod 135

m=136: 252 mod 136 = 116 ≠ 55 = 327 mod 136

m=137: 252 mod 137 = 115 ≠ 53 = 327 mod 137

m=138: 252 mod 138 = 114 ≠ 51 = 327 mod 138

m=139: 252 mod 139 = 113 ≠ 49 = 327 mod 139

m=140: 252 mod 140 = 112 ≠ 47 = 327 mod 140

m=141: 252 mod 141 = 111 ≠ 45 = 327 mod 141

m=142: 252 mod 142 = 110 ≠ 43 = 327 mod 142

m=143: 252 mod 143 = 109 ≠ 41 = 327 mod 143

m=144: 252 mod 144 = 108 ≠ 39 = 327 mod 144

m=145: 252 mod 145 = 107 ≠ 37 = 327 mod 145

m=146: 252 mod 146 = 106 ≠ 35 = 327 mod 146

m=147: 252 mod 147 = 105 ≠ 33 = 327 mod 147

m=148: 252 mod 148 = 104 ≠ 31 = 327 mod 148

m=149: 252 mod 149 = 103 ≠ 29 = 327 mod 149

m=150: 252 mod 150 = 102 ≠ 27 = 327 mod 150

m=151: 252 mod 151 = 101 ≠ 25 = 327 mod 151

m=152: 252 mod 152 = 100 ≠ 23 = 327 mod 152

m=153: 252 mod 153 = 99 ≠ 21 = 327 mod 153

m=154: 252 mod 154 = 98 ≠ 19 = 327 mod 154

m=155: 252 mod 155 = 97 ≠ 17 = 327 mod 155

m=156: 252 mod 156 = 96 ≠ 15 = 327 mod 156

m=157: 252 mod 157 = 95 ≠ 13 = 327 mod 157

m=158: 252 mod 158 = 94 ≠ 11 = 327 mod 158

m=159: 252 mod 159 = 93 ≠ 9 = 327 mod 159

m=160: 252 mod 160 = 92 ≠ 7 = 327 mod 160

m=161: 252 mod 161 = 91 ≠ 5 = 327 mod 161

m=162: 252 mod 162 = 90 ≠ 3 = 327 mod 162

m=163: 252 mod 163 = 89 ≠ 1 = 327 mod 163

m=164: 252 mod 164 = 88 ≠ 163 = 327 mod 164

m=165: 252 mod 165 = 87 ≠ 162 = 327 mod 165

m=166: 252 mod 166 = 86 ≠ 161 = 327 mod 166

m=167: 252 mod 167 = 85 ≠ 160 = 327 mod 167

m=168: 252 mod 168 = 84 ≠ 159 = 327 mod 168

m=169: 252 mod 169 = 83 ≠ 158 = 327 mod 169

m=170: 252 mod 170 = 82 ≠ 157 = 327 mod 170

m=171: 252 mod 171 = 81 ≠ 156 = 327 mod 171

m=172: 252 mod 172 = 80 ≠ 155 = 327 mod 172

m=173: 252 mod 173 = 79 ≠ 154 = 327 mod 173

m=174: 252 mod 174 = 78 ≠ 153 = 327 mod 174

m=175: 252 mod 175 = 77 ≠ 152 = 327 mod 175

m=176: 252 mod 176 = 76 ≠ 151 = 327 mod 176

m=177: 252 mod 177 = 75 ≠ 150 = 327 mod 177

m=178: 252 mod 178 = 74 ≠ 149 = 327 mod 178

m=179: 252 mod 179 = 73 ≠ 148 = 327 mod 179

m=180: 252 mod 180 = 72 ≠ 147 = 327 mod 180

m=181: 252 mod 181 = 71 ≠ 146 = 327 mod 181

m=182: 252 mod 182 = 70 ≠ 145 = 327 mod 182

m=183: 252 mod 183 = 69 ≠ 144 = 327 mod 183

m=184: 252 mod 184 = 68 ≠ 143 = 327 mod 184

m=185: 252 mod 185 = 67 ≠ 142 = 327 mod 185

m=186: 252 mod 186 = 66 ≠ 141 = 327 mod 186

m=187: 252 mod 187 = 65 ≠ 140 = 327 mod 187

m=188: 252 mod 188 = 64 ≠ 139 = 327 mod 188

m=189: 252 mod 189 = 63 ≠ 138 = 327 mod 189

m=190: 252 mod 190 = 62 ≠ 137 = 327 mod 190

m=191: 252 mod 191 = 61 ≠ 136 = 327 mod 191

m=192: 252 mod 192 = 60 ≠ 135 = 327 mod 192

m=193: 252 mod 193 = 59 ≠ 134 = 327 mod 193

m=194: 252 mod 194 = 58 ≠ 133 = 327 mod 194

m=195: 252 mod 195 = 57 ≠ 132 = 327 mod 195

m=196: 252 mod 196 = 56 ≠ 131 = 327 mod 196

m=197: 252 mod 197 = 55 ≠ 130 = 327 mod 197

m=198: 252 mod 198 = 54 ≠ 129 = 327 mod 198

m=199: 252 mod 199 = 53 ≠ 128 = 327 mod 199

m=200: 252 mod 200 = 52 ≠ 127 = 327 mod 200

m=201: 252 mod 201 = 51 ≠ 126 = 327 mod 201

m=202: 252 mod 202 = 50 ≠ 125 = 327 mod 202

m=203: 252 mod 203 = 49 ≠ 124 = 327 mod 203

m=204: 252 mod 204 = 48 ≠ 123 = 327 mod 204

m=205: 252 mod 205 = 47 ≠ 122 = 327 mod 205

m=206: 252 mod 206 = 46 ≠ 121 = 327 mod 206

m=207: 252 mod 207 = 45 ≠ 120 = 327 mod 207

m=208: 252 mod 208 = 44 ≠ 119 = 327 mod 208

m=209: 252 mod 209 = 43 ≠ 118 = 327 mod 209

m=210: 252 mod 210 = 42 ≠ 117 = 327 mod 210

m=211: 252 mod 211 = 41 ≠ 116 = 327 mod 211

m=212: 252 mod 212 = 40 ≠ 115 = 327 mod 212

m=213: 252 mod 213 = 39 ≠ 114 = 327 mod 213

m=214: 252 mod 214 = 38 ≠ 113 = 327 mod 214

m=215: 252 mod 215 = 37 ≠ 112 = 327 mod 215

m=216: 252 mod 216 = 36 ≠ 111 = 327 mod 216

m=217: 252 mod 217 = 35 ≠ 110 = 327 mod 217

m=218: 252 mod 218 = 34 ≠ 109 = 327 mod 218

m=219: 252 mod 219 = 33 ≠ 108 = 327 mod 219

m=220: 252 mod 220 = 32 ≠ 107 = 327 mod 220

m=221: 252 mod 221 = 31 ≠ 106 = 327 mod 221

m=222: 252 mod 222 = 30 ≠ 105 = 327 mod 222

m=223: 252 mod 223 = 29 ≠ 104 = 327 mod 223

m=224: 252 mod 224 = 28 ≠ 103 = 327 mod 224

m=225: 252 mod 225 = 27 ≠ 102 = 327 mod 225

m=226: 252 mod 226 = 26 ≠ 101 = 327 mod 226

m=227: 252 mod 227 = 25 ≠ 100 = 327 mod 227

m=228: 252 mod 228 = 24 ≠ 99 = 327 mod 228

m=229: 252 mod 229 = 23 ≠ 98 = 327 mod 229

m=230: 252 mod 230 = 22 ≠ 97 = 327 mod 230

m=231: 252 mod 231 = 21 ≠ 96 = 327 mod 231

m=232: 252 mod 232 = 20 ≠ 95 = 327 mod 232

m=233: 252 mod 233 = 19 ≠ 94 = 327 mod 233

m=234: 252 mod 234 = 18 ≠ 93 = 327 mod 234

m=235: 252 mod 235 = 17 ≠ 92 = 327 mod 235

m=236: 252 mod 236 = 16 ≠ 91 = 327 mod 236

m=237: 252 mod 237 = 15 ≠ 90 = 327 mod 237

m=238: 252 mod 238 = 14 ≠ 89 = 327 mod 238

m=239: 252 mod 239 = 13 ≠ 88 = 327 mod 239

m=240: 252 mod 240 = 12 ≠ 87 = 327 mod 240

m=241: 252 mod 241 = 11 ≠ 86 = 327 mod 241

m=242: 252 mod 242 = 10 ≠ 85 = 327 mod 242

m=243: 252 mod 243 = 9 ≠ 84 = 327 mod 243

m=244: 252 mod 244 = 8 ≠ 83 = 327 mod 244

m=245: 252 mod 245 = 7 ≠ 82 = 327 mod 245

m=246: 252 mod 246 = 6 ≠ 81 = 327 mod 246

m=247: 252 mod 247 = 5 ≠ 80 = 327 mod 247

m=248: 252 mod 248 = 4 ≠ 79 = 327 mod 248

m=249: 252 mod 249 = 3 ≠ 78 = 327 mod 249

m=250: 252 mod 250 = 2 ≠ 77 = 327 mod 250

m=251: 252 mod 251 = 1 ≠ 76 = 327 mod 251

m=252: 252 mod 252 = 0 ≠ 75 = 327 mod 252

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (327 - 252) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75