Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 24, weil ja 3 ⋅ 8 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 24 - 24 = 0.

Somit gilt: 24 mod 8 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 90, weil ja 18 ⋅ 5 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 90 - 90 = 0.

Somit gilt: 90 mod 5 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 50, z.B. 50 = 10 ⋅ 5

Somit gilt: 50 ≡ 90 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16006 + 1606) mod 8 ≡ (16006 mod 8 + 1606 mod 8) mod 8.

16006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16006 = 16000+6 = 8 ⋅ 2000 +6.

1606 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1606 = 1600+6 = 8 ⋅ 200 +6.

Somit gilt:

(16006 + 1606) mod 8 ≡ (6 + 6) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 ⋅ 44) mod 9 ≡ (60 mod 9 ⋅ 44 mod 9) mod 9.

60 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 54 + 6 = 6 ⋅ 9 + 6 ist.

44 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 36 + 8 = 4 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(60 ⋅ 44) mod 9 ≡ (6 ⋅ 8) mod 9 ≡ 48 mod 9 ≡ 3 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 8 aus, ob zufällig 8 mod m = 12 mod m gilt:

m=2: 8 mod 2 = 0 = 0 = 12 mod 2

m=3: 8 mod 3 = 2 ≠ 0 = 12 mod 3

m=4: 8 mod 4 = 0 = 0 = 12 mod 4

m=5: 8 mod 5 = 3 ≠ 2 = 12 mod 5

m=6: 8 mod 6 = 2 ≠ 0 = 12 mod 6

m=7: 8 mod 7 = 1 ≠ 5 = 12 mod 7

m=8: 8 mod 8 = 0 ≠ 4 = 12 mod 8

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (12 - 8) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4