Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 15 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 15, weil ja 5 ⋅ 3 = 15 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 15 - 15 = 0.
Somit gilt: 15 mod 3 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 44 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 40, weil ja 5 ⋅ 8 = 40 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 44 - 40 = 4.
Somit gilt: 44 mod 8 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 4 mod 8.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 90, z.B. 88 = 11 ⋅ 8
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 4 mod 8 sein, also addieren wir noch 4 auf die 88 und erhalten so 92.
Somit gilt: 92 ≡ 44 ≡ 4 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (401 + 15999) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(401 + 15999) mod 4 ≡ (401 mod 4 + 15999 mod 4) mod 4.
401 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 401
= 400
15999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15999
= 15000
Somit gilt:
(401 + 15999) mod 4 ≡ (1 + 3) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 80) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(69 ⋅ 80) mod 6 ≡ (69 mod 6 ⋅ 80 mod 6) mod 6.
69 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 11 ⋅ 6 + 3 ist.
80 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 78 + 2 = 13 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(69 ⋅ 80) mod 6 ≡ (3 ⋅ 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
14 mod m = 20 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 20 mod m gilt:
m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 20 mod 2
m=3: 14 mod 3 = 2 = 2 = 20 mod 3
m=4: 14 mod 4 = 2 ≠ 0 = 20 mod 4
m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 0 = 20 mod 5
m=6: 14 mod 6 = 2 = 2 = 20 mod 6
m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 6 = 20 mod 7
m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 4 = 20 mod 8
m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 2 = 20 mod 9
m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 0 = 20 mod 10
m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 9 = 20 mod 11
m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 8 = 20 mod 12
m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 7 = 20 mod 13
m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 6 = 20 mod 14
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (20 - 14) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
