Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 78, weil ja 26 ⋅ 3 = 78 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 80 - 78 = 2.

Somit gilt: 80 mod 3 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 64, weil ja 8 ⋅ 8 = 64 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 67 - 64 = 3.

Somit gilt: 67 mod 8 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 3 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 50, z.B. 48 = 6 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 3 mod 8 sein, also addieren wir noch 3 auf die 48 und erhalten so 51.

Somit gilt: 51 ≡ 67 ≡ 3 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5005 + 20000) mod 5 ≡ (5005 mod 5 + 20000 mod 5) mod 5.

5005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5005 = 5000+5 = 5 ⋅ 1000 +5.

20000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000 = 20000+0 = 5 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(5005 + 20000) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 50) mod 5 ≡ (53 mod 5 ⋅ 50 mod 5) mod 5.

53 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 10 ⋅ 5 + 3 ist.

50 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50 + 0 = 10 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 50) mod 5 ≡ (3 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 28 aus, ob zufällig 28 mod m = 37 mod m gilt:

m=2: 28 mod 2 = 0 ≠ 1 = 37 mod 2

m=3: 28 mod 3 = 1 = 1 = 37 mod 3

m=4: 28 mod 4 = 0 ≠ 1 = 37 mod 4

m=5: 28 mod 5 = 3 ≠ 2 = 37 mod 5

m=6: 28 mod 6 = 4 ≠ 1 = 37 mod 6

m=7: 28 mod 7 = 0 ≠ 2 = 37 mod 7

m=8: 28 mod 8 = 4 ≠ 5 = 37 mod 8

m=9: 28 mod 9 = 1 = 1 = 37 mod 9

m=10: 28 mod 10 = 8 ≠ 7 = 37 mod 10

m=11: 28 mod 11 = 6 ≠ 4 = 37 mod 11

m=12: 28 mod 12 = 4 ≠ 1 = 37 mod 12

m=13: 28 mod 13 = 2 ≠ 11 = 37 mod 13

m=14: 28 mod 14 = 0 ≠ 9 = 37 mod 14

m=15: 28 mod 15 = 13 ≠ 7 = 37 mod 15

m=16: 28 mod 16 = 12 ≠ 5 = 37 mod 16

m=17: 28 mod 17 = 11 ≠ 3 = 37 mod 17

m=18: 28 mod 18 = 10 ≠ 1 = 37 mod 18

m=19: 28 mod 19 = 9 ≠ 18 = 37 mod 19

m=20: 28 mod 20 = 8 ≠ 17 = 37 mod 20

m=21: 28 mod 21 = 7 ≠ 16 = 37 mod 21

m=22: 28 mod 22 = 6 ≠ 15 = 37 mod 22

m=23: 28 mod 23 = 5 ≠ 14 = 37 mod 23

m=24: 28 mod 24 = 4 ≠ 13 = 37 mod 24

m=25: 28 mod 25 = 3 ≠ 12 = 37 mod 25

m=26: 28 mod 26 = 2 ≠ 11 = 37 mod 26

m=27: 28 mod 27 = 1 ≠ 10 = 37 mod 27

m=28: 28 mod 28 = 0 ≠ 9 = 37 mod 28

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (37 - 28) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9