Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9

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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 28 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 28, weil ja 4 ⋅ 7 = 28 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 28 - 28 = 0.

Somit gilt: 28 mod 7 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 56 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 56, weil ja 8 ⋅ 7 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 56 - 56 = 0.

Somit gilt: 56 mod 7 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 0 mod 7.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 60, z.B. 63 = 9 ⋅ 7

Somit gilt: 63 ≡ 56 ≡ 0 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (265 + 364) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(265 + 364) mod 9 ≡ (265 mod 9 + 364 mod 9) mod 9.

265 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 265 = 270-5 = 9 ⋅ 30 -5 = 9 ⋅ 30 - 9 + 4.

364 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 364 = 360+4 = 9 ⋅ 40 +4.

Somit gilt:

(265 + 364) mod 9 ≡ (4 + 4) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 83) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(22 ⋅ 83) mod 4 ≡ (22 mod 4 ⋅ 83 mod 4) mod 4.

22 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 5 ⋅ 4 + 2 ist.

83 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 20 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(22 ⋅ 83) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
19 mod m = 27 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 19 aus, ob zufällig 19 mod m = 27 mod m gilt:

m=2: 19 mod 2 = 1 = 1 = 27 mod 2

m=3: 19 mod 3 = 1 ≠ 0 = 27 mod 3

m=4: 19 mod 4 = 3 = 3 = 27 mod 4

m=5: 19 mod 5 = 4 ≠ 2 = 27 mod 5

m=6: 19 mod 6 = 1 ≠ 3 = 27 mod 6

m=7: 19 mod 7 = 5 ≠ 6 = 27 mod 7

m=8: 19 mod 8 = 3 = 3 = 27 mod 8

m=9: 19 mod 9 = 1 ≠ 0 = 27 mod 9

m=10: 19 mod 10 = 9 ≠ 7 = 27 mod 10

m=11: 19 mod 11 = 8 ≠ 5 = 27 mod 11

m=12: 19 mod 12 = 7 ≠ 3 = 27 mod 12

m=13: 19 mod 13 = 6 ≠ 1 = 27 mod 13

m=14: 19 mod 14 = 5 ≠ 13 = 27 mod 14

m=15: 19 mod 15 = 4 ≠ 12 = 27 mod 15

m=16: 19 mod 16 = 3 ≠ 11 = 27 mod 16

m=17: 19 mod 17 = 2 ≠ 10 = 27 mod 17

m=18: 19 mod 18 = 1 ≠ 9 = 27 mod 18

m=19: 19 mod 19 = 0 ≠ 8 = 27 mod 19

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (27 - 19) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8