Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 83 - 77 = 6.

Somit gilt: 83 mod 11 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 64 - 55 = 9.

Somit gilt: 64 mod 11 ≡ 9.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 91 für die gilt: n ≡ 9 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 80, z.B. 77 = 7 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 9 mod 11 sein, also addieren wir noch 9 auf die 77 und erhalten so 86.

Somit gilt: 86 ≡ 64 ≡ 9 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27005 - 3591) mod 9 ≡ (27005 mod 9 - 3591 mod 9) mod 9.

27005 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27005 = 27000+5 = 9 ⋅ 3000 +5.

3591 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3591 = 3600-9 = 9 ⋅ 400 -9 = 9 ⋅ 400 - 9 + 0.

Somit gilt:

(27005 - 3591) mod 9 ≡ (5 - 0) mod 9 ≡ 5 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(50 ⋅ 95) mod 8 ≡ (50 mod 8 ⋅ 95 mod 8) mod 8.

50 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 6 ⋅ 8 + 2 ist.

95 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 88 + 7 = 11 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(50 ⋅ 95) mod 8 ≡ (2 ⋅ 7) mod 8 ≡ 14 mod 8 ≡ 6 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 73 aus, ob zufällig 73 mod m = 93 mod m gilt:

m=2: 73 mod 2 = 1 = 1 = 93 mod 2

m=3: 73 mod 3 = 1 ≠ 0 = 93 mod 3

m=4: 73 mod 4 = 1 = 1 = 93 mod 4

m=5: 73 mod 5 = 3 = 3 = 93 mod 5

m=6: 73 mod 6 = 1 ≠ 3 = 93 mod 6

m=7: 73 mod 7 = 3 ≠ 2 = 93 mod 7

m=8: 73 mod 8 = 1 ≠ 5 = 93 mod 8

m=9: 73 mod 9 = 1 ≠ 3 = 93 mod 9

m=10: 73 mod 10 = 3 = 3 = 93 mod 10

m=11: 73 mod 11 = 7 ≠ 5 = 93 mod 11

m=12: 73 mod 12 = 1 ≠ 9 = 93 mod 12

m=13: 73 mod 13 = 8 ≠ 2 = 93 mod 13

m=14: 73 mod 14 = 3 ≠ 9 = 93 mod 14

m=15: 73 mod 15 = 13 ≠ 3 = 93 mod 15

m=16: 73 mod 16 = 9 ≠ 13 = 93 mod 16

m=17: 73 mod 17 = 5 ≠ 8 = 93 mod 17

m=18: 73 mod 18 = 1 ≠ 3 = 93 mod 18

m=19: 73 mod 19 = 16 ≠ 17 = 93 mod 19

m=20: 73 mod 20 = 13 = 13 = 93 mod 20

m=21: 73 mod 21 = 10 ≠ 9 = 93 mod 21

m=22: 73 mod 22 = 7 ≠ 5 = 93 mod 22

m=23: 73 mod 23 = 4 ≠ 1 = 93 mod 23

m=24: 73 mod 24 = 1 ≠ 21 = 93 mod 24

m=25: 73 mod 25 = 23 ≠ 18 = 93 mod 25

m=26: 73 mod 26 = 21 ≠ 15 = 93 mod 26

m=27: 73 mod 27 = 19 ≠ 12 = 93 mod 27

m=28: 73 mod 28 = 17 ≠ 9 = 93 mod 28

m=29: 73 mod 29 = 15 ≠ 6 = 93 mod 29

m=30: 73 mod 30 = 13 ≠ 3 = 93 mod 30

m=31: 73 mod 31 = 11 ≠ 0 = 93 mod 31

m=32: 73 mod 32 = 9 ≠ 29 = 93 mod 32

m=33: 73 mod 33 = 7 ≠ 27 = 93 mod 33

m=34: 73 mod 34 = 5 ≠ 25 = 93 mod 34

m=35: 73 mod 35 = 3 ≠ 23 = 93 mod 35

m=36: 73 mod 36 = 1 ≠ 21 = 93 mod 36

m=37: 73 mod 37 = 36 ≠ 19 = 93 mod 37

m=38: 73 mod 38 = 35 ≠ 17 = 93 mod 38

m=39: 73 mod 39 = 34 ≠ 15 = 93 mod 39

m=40: 73 mod 40 = 33 ≠ 13 = 93 mod 40

m=41: 73 mod 41 = 32 ≠ 11 = 93 mod 41

m=42: 73 mod 42 = 31 ≠ 9 = 93 mod 42

m=43: 73 mod 43 = 30 ≠ 7 = 93 mod 43

m=44: 73 mod 44 = 29 ≠ 5 = 93 mod 44

m=45: 73 mod 45 = 28 ≠ 3 = 93 mod 45

m=46: 73 mod 46 = 27 ≠ 1 = 93 mod 46

m=47: 73 mod 47 = 26 ≠ 46 = 93 mod 47

m=48: 73 mod 48 = 25 ≠ 45 = 93 mod 48

m=49: 73 mod 49 = 24 ≠ 44 = 93 mod 49

m=50: 73 mod 50 = 23 ≠ 43 = 93 mod 50

m=51: 73 mod 51 = 22 ≠ 42 = 93 mod 51

m=52: 73 mod 52 = 21 ≠ 41 = 93 mod 52

m=53: 73 mod 53 = 20 ≠ 40 = 93 mod 53

m=54: 73 mod 54 = 19 ≠ 39 = 93 mod 54

m=55: 73 mod 55 = 18 ≠ 38 = 93 mod 55

m=56: 73 mod 56 = 17 ≠ 37 = 93 mod 56

m=57: 73 mod 57 = 16 ≠ 36 = 93 mod 57

m=58: 73 mod 58 = 15 ≠ 35 = 93 mod 58

m=59: 73 mod 59 = 14 ≠ 34 = 93 mod 59

m=60: 73 mod 60 = 13 ≠ 33 = 93 mod 60

m=61: 73 mod 61 = 12 ≠ 32 = 93 mod 61

m=62: 73 mod 62 = 11 ≠ 31 = 93 mod 62

m=63: 73 mod 63 = 10 ≠ 30 = 93 mod 63

m=64: 73 mod 64 = 9 ≠ 29 = 93 mod 64

m=65: 73 mod 65 = 8 ≠ 28 = 93 mod 65

m=66: 73 mod 66 = 7 ≠ 27 = 93 mod 66

m=67: 73 mod 67 = 6 ≠ 26 = 93 mod 67

m=68: 73 mod 68 = 5 ≠ 25 = 93 mod 68

m=69: 73 mod 69 = 4 ≠ 24 = 93 mod 69

m=70: 73 mod 70 = 3 ≠ 23 = 93 mod 70

m=71: 73 mod 71 = 2 ≠ 22 = 93 mod 71

m=72: 73 mod 72 = 1 ≠ 21 = 93 mod 72

m=73: 73 mod 73 = 0 ≠ 20 = 93 mod 73

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (93 - 73) = 20 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 5; 10; 20