Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 84 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 80, weil ja 16 ⋅ 5 = 80 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 84 - 80 = 4.
Somit gilt: 84 mod 5 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 92 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 90, weil ja 30 ⋅ 3 = 90 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 92 - 90 = 2.
Somit gilt: 92 mod 3 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 70, z.B. 69 = 23 ⋅ 3
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 69 und erhalten so 71.
Somit gilt: 71 ≡ 92 ≡ 2 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34995 - 2103) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34995 - 2103) mod 7 ≡ (34995 mod 7 - 2103 mod 7) mod 7.
34995 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34995
= 35000
2103 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2103
= 2100
Somit gilt:
(34995 - 2103) mod 7 ≡ (2 - 3) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 46) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(72 ⋅ 46) mod 7 ≡ (72 mod 7 ⋅ 46 mod 7) mod 7.
72 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 10 ⋅ 7 + 2 ist.
46 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 42 + 4 = 6 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(72 ⋅ 46) mod 7 ≡ (2 ⋅ 4) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
15 mod m = 21 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 15 aus, ob zufällig 15 mod m = 21 mod m gilt:
m=2: 15 mod 2 = 1 = 1 = 21 mod 2
m=3: 15 mod 3 = 0 = 0 = 21 mod 3
m=4: 15 mod 4 = 3 ≠ 1 = 21 mod 4
m=5: 15 mod 5 = 0 ≠ 1 = 21 mod 5
m=6: 15 mod 6 = 3 = 3 = 21 mod 6
m=7: 15 mod 7 = 1 ≠ 0 = 21 mod 7
m=8: 15 mod 8 = 7 ≠ 5 = 21 mod 8
m=9: 15 mod 9 = 6 ≠ 3 = 21 mod 9
m=10: 15 mod 10 = 5 ≠ 1 = 21 mod 10
m=11: 15 mod 11 = 4 ≠ 10 = 21 mod 11
m=12: 15 mod 12 = 3 ≠ 9 = 21 mod 12
m=13: 15 mod 13 = 2 ≠ 8 = 21 mod 13
m=14: 15 mod 14 = 1 ≠ 7 = 21 mod 14
m=15: 15 mod 15 = 0 ≠ 6 = 21 mod 15
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (21 - 15) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
