Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 28, weil ja 7 ⋅ 4 = 28 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 30 - 28 = 2.

Somit gilt: 30 mod 4 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 64, weil ja 8 ⋅ 8 = 64 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 65 - 64 = 1.

Somit gilt: 65 mod 8 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 1 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 10 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 1 mod 8 sein, also addieren wir noch 1 auf die 80 und erhalten so 81.

Somit gilt: 81 ≡ 65 ≡ 1 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(904 + 898) mod 9 ≡ (904 mod 9 + 898 mod 9) mod 9.

904 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 904 = 900+4 = 9 ⋅ 100 +4.

898 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 898 = 900-2 = 9 ⋅ 100 -2 = 9 ⋅ 100 - 9 + 7.

Somit gilt:

(904 + 898) mod 9 ≡ (4 + 7) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 ⋅ 72) mod 3 ≡ (65 mod 3 ⋅ 72 mod 3) mod 3.

65 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 21 ⋅ 3 + 2 ist.

72 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 24 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(65 ⋅ 72) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 118 aus, ob zufällig 118 mod m = 163 mod m gilt:

m=2: 118 mod 2 = 0 ≠ 1 = 163 mod 2

m=3: 118 mod 3 = 1 = 1 = 163 mod 3

m=4: 118 mod 4 = 2 ≠ 3 = 163 mod 4

m=5: 118 mod 5 = 3 = 3 = 163 mod 5

m=6: 118 mod 6 = 4 ≠ 1 = 163 mod 6

m=7: 118 mod 7 = 6 ≠ 2 = 163 mod 7

m=8: 118 mod 8 = 6 ≠ 3 = 163 mod 8

m=9: 118 mod 9 = 1 = 1 = 163 mod 9

m=10: 118 mod 10 = 8 ≠ 3 = 163 mod 10

m=11: 118 mod 11 = 8 ≠ 9 = 163 mod 11

m=12: 118 mod 12 = 10 ≠ 7 = 163 mod 12

m=13: 118 mod 13 = 1 ≠ 7 = 163 mod 13

m=14: 118 mod 14 = 6 ≠ 9 = 163 mod 14

m=15: 118 mod 15 = 13 = 13 = 163 mod 15

m=16: 118 mod 16 = 6 ≠ 3 = 163 mod 16

m=17: 118 mod 17 = 16 ≠ 10 = 163 mod 17

m=18: 118 mod 18 = 10 ≠ 1 = 163 mod 18

m=19: 118 mod 19 = 4 ≠ 11 = 163 mod 19

m=20: 118 mod 20 = 18 ≠ 3 = 163 mod 20

m=21: 118 mod 21 = 13 ≠ 16 = 163 mod 21

m=22: 118 mod 22 = 8 ≠ 9 = 163 mod 22

m=23: 118 mod 23 = 3 ≠ 2 = 163 mod 23

m=24: 118 mod 24 = 22 ≠ 19 = 163 mod 24

m=25: 118 mod 25 = 18 ≠ 13 = 163 mod 25

m=26: 118 mod 26 = 14 ≠ 7 = 163 mod 26

m=27: 118 mod 27 = 10 ≠ 1 = 163 mod 27

m=28: 118 mod 28 = 6 ≠ 23 = 163 mod 28

m=29: 118 mod 29 = 2 ≠ 18 = 163 mod 29

m=30: 118 mod 30 = 28 ≠ 13 = 163 mod 30

m=31: 118 mod 31 = 25 ≠ 8 = 163 mod 31

m=32: 118 mod 32 = 22 ≠ 3 = 163 mod 32

m=33: 118 mod 33 = 19 ≠ 31 = 163 mod 33

m=34: 118 mod 34 = 16 ≠ 27 = 163 mod 34

m=35: 118 mod 35 = 13 ≠ 23 = 163 mod 35

m=36: 118 mod 36 = 10 ≠ 19 = 163 mod 36

m=37: 118 mod 37 = 7 ≠ 15 = 163 mod 37

m=38: 118 mod 38 = 4 ≠ 11 = 163 mod 38

m=39: 118 mod 39 = 1 ≠ 7 = 163 mod 39

m=40: 118 mod 40 = 38 ≠ 3 = 163 mod 40

m=41: 118 mod 41 = 36 ≠ 40 = 163 mod 41

m=42: 118 mod 42 = 34 ≠ 37 = 163 mod 42

m=43: 118 mod 43 = 32 ≠ 34 = 163 mod 43

m=44: 118 mod 44 = 30 ≠ 31 = 163 mod 44

m=45: 118 mod 45 = 28 = 28 = 163 mod 45

m=46: 118 mod 46 = 26 ≠ 25 = 163 mod 46

m=47: 118 mod 47 = 24 ≠ 22 = 163 mod 47

m=48: 118 mod 48 = 22 ≠ 19 = 163 mod 48

m=49: 118 mod 49 = 20 ≠ 16 = 163 mod 49

m=50: 118 mod 50 = 18 ≠ 13 = 163 mod 50

m=51: 118 mod 51 = 16 ≠ 10 = 163 mod 51

m=52: 118 mod 52 = 14 ≠ 7 = 163 mod 52

m=53: 118 mod 53 = 12 ≠ 4 = 163 mod 53

m=54: 118 mod 54 = 10 ≠ 1 = 163 mod 54

m=55: 118 mod 55 = 8 ≠ 53 = 163 mod 55

m=56: 118 mod 56 = 6 ≠ 51 = 163 mod 56

m=57: 118 mod 57 = 4 ≠ 49 = 163 mod 57

m=58: 118 mod 58 = 2 ≠ 47 = 163 mod 58

m=59: 118 mod 59 = 0 ≠ 45 = 163 mod 59

m=60: 118 mod 60 = 58 ≠ 43 = 163 mod 60

m=61: 118 mod 61 = 57 ≠ 41 = 163 mod 61

m=62: 118 mod 62 = 56 ≠ 39 = 163 mod 62

m=63: 118 mod 63 = 55 ≠ 37 = 163 mod 63

m=64: 118 mod 64 = 54 ≠ 35 = 163 mod 64

m=65: 118 mod 65 = 53 ≠ 33 = 163 mod 65

m=66: 118 mod 66 = 52 ≠ 31 = 163 mod 66

m=67: 118 mod 67 = 51 ≠ 29 = 163 mod 67

m=68: 118 mod 68 = 50 ≠ 27 = 163 mod 68

m=69: 118 mod 69 = 49 ≠ 25 = 163 mod 69

m=70: 118 mod 70 = 48 ≠ 23 = 163 mod 70

m=71: 118 mod 71 = 47 ≠ 21 = 163 mod 71

m=72: 118 mod 72 = 46 ≠ 19 = 163 mod 72

m=73: 118 mod 73 = 45 ≠ 17 = 163 mod 73

m=74: 118 mod 74 = 44 ≠ 15 = 163 mod 74

m=75: 118 mod 75 = 43 ≠ 13 = 163 mod 75

m=76: 118 mod 76 = 42 ≠ 11 = 163 mod 76

m=77: 118 mod 77 = 41 ≠ 9 = 163 mod 77

m=78: 118 mod 78 = 40 ≠ 7 = 163 mod 78

m=79: 118 mod 79 = 39 ≠ 5 = 163 mod 79

m=80: 118 mod 80 = 38 ≠ 3 = 163 mod 80

m=81: 118 mod 81 = 37 ≠ 1 = 163 mod 81

m=82: 118 mod 82 = 36 ≠ 81 = 163 mod 82

m=83: 118 mod 83 = 35 ≠ 80 = 163 mod 83

m=84: 118 mod 84 = 34 ≠ 79 = 163 mod 84

m=85: 118 mod 85 = 33 ≠ 78 = 163 mod 85

m=86: 118 mod 86 = 32 ≠ 77 = 163 mod 86

m=87: 118 mod 87 = 31 ≠ 76 = 163 mod 87

m=88: 118 mod 88 = 30 ≠ 75 = 163 mod 88

m=89: 118 mod 89 = 29 ≠ 74 = 163 mod 89

m=90: 118 mod 90 = 28 ≠ 73 = 163 mod 90

m=91: 118 mod 91 = 27 ≠ 72 = 163 mod 91

m=92: 118 mod 92 = 26 ≠ 71 = 163 mod 92

m=93: 118 mod 93 = 25 ≠ 70 = 163 mod 93

m=94: 118 mod 94 = 24 ≠ 69 = 163 mod 94

m=95: 118 mod 95 = 23 ≠ 68 = 163 mod 95

m=96: 118 mod 96 = 22 ≠ 67 = 163 mod 96

m=97: 118 mod 97 = 21 ≠ 66 = 163 mod 97

m=98: 118 mod 98 = 20 ≠ 65 = 163 mod 98

m=99: 118 mod 99 = 19 ≠ 64 = 163 mod 99

m=100: 118 mod 100 = 18 ≠ 63 = 163 mod 100

m=101: 118 mod 101 = 17 ≠ 62 = 163 mod 101

m=102: 118 mod 102 = 16 ≠ 61 = 163 mod 102

m=103: 118 mod 103 = 15 ≠ 60 = 163 mod 103

m=104: 118 mod 104 = 14 ≠ 59 = 163 mod 104

m=105: 118 mod 105 = 13 ≠ 58 = 163 mod 105

m=106: 118 mod 106 = 12 ≠ 57 = 163 mod 106

m=107: 118 mod 107 = 11 ≠ 56 = 163 mod 107

m=108: 118 mod 108 = 10 ≠ 55 = 163 mod 108

m=109: 118 mod 109 = 9 ≠ 54 = 163 mod 109

m=110: 118 mod 110 = 8 ≠ 53 = 163 mod 110

m=111: 118 mod 111 = 7 ≠ 52 = 163 mod 111

m=112: 118 mod 112 = 6 ≠ 51 = 163 mod 112

m=113: 118 mod 113 = 5 ≠ 50 = 163 mod 113

m=114: 118 mod 114 = 4 ≠ 49 = 163 mod 114

m=115: 118 mod 115 = 3 ≠ 48 = 163 mod 115

m=116: 118 mod 116 = 2 ≠ 47 = 163 mod 116

m=117: 118 mod 117 = 1 ≠ 46 = 163 mod 117

m=118: 118 mod 118 = 0 ≠ 45 = 163 mod 118

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (163 - 118) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45