Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 16 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 16, weil ja 2 ⋅ 8 = 16 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 16 - 16 = 0.
Somit gilt: 16 mod 8 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 43 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 40, weil ja 10 ⋅ 4 = 40 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 43 - 40 = 3.
Somit gilt: 43 mod 4 ≡ 3.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 3 mod 4.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 30, z.B. 28 = 7 ⋅ 4
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 3 mod 4 sein, also addieren wir noch 3 auf die 28 und erhalten so 31.
Somit gilt: 31 ≡ 43 ≡ 3 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (698 - 27994) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(698 - 27994) mod 7 ≡ (698 mod 7 - 27994 mod 7) mod 7.
698 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 698
= 700
27994 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27994
= 28000
Somit gilt:
(698 - 27994) mod 7 ≡ (5 - 1) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 19) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 19) mod 3 ≡ (75 mod 3 ⋅ 19 mod 3) mod 3.
75 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 25 ⋅ 3 + 0 ist.
19 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 6 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 19) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
16 mod m = 22 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 16 aus, ob zufällig 16 mod m = 22 mod m gilt:
m=2: 16 mod 2 = 0 = 0 = 22 mod 2
m=3: 16 mod 3 = 1 = 1 = 22 mod 3
m=4: 16 mod 4 = 0 ≠ 2 = 22 mod 4
m=5: 16 mod 5 = 1 ≠ 2 = 22 mod 5
m=6: 16 mod 6 = 4 = 4 = 22 mod 6
m=7: 16 mod 7 = 2 ≠ 1 = 22 mod 7
m=8: 16 mod 8 = 0 ≠ 6 = 22 mod 8
m=9: 16 mod 9 = 7 ≠ 4 = 22 mod 9
m=10: 16 mod 10 = 6 ≠ 2 = 22 mod 10
m=11: 16 mod 11 = 5 ≠ 0 = 22 mod 11
m=12: 16 mod 12 = 4 ≠ 10 = 22 mod 12
m=13: 16 mod 13 = 3 ≠ 9 = 22 mod 13
m=14: 16 mod 14 = 2 ≠ 8 = 22 mod 14
m=15: 16 mod 15 = 1 ≠ 7 = 22 mod 15
m=16: 16 mod 16 = 0 ≠ 6 = 22 mod 16
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (22 - 16) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
