Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 99 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 96, weil ja 16 ⋅ 6 = 96 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 99 - 96 = 3.
Somit gilt: 99 mod 6 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 41 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 35, weil ja 5 ⋅ 7 = 35 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 41 - 35 = 6.
Somit gilt: 41 mod 7 ≡ 6.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 6 mod 7.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 10 ⋅ 7
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 6 mod 7 sein, also addieren wir noch 6 auf die 70 und erhalten so 76.
Somit gilt: 76 ≡ 41 ≡ 6 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (898 + 1498) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(898 + 1498) mod 3 ≡ (898 mod 3 + 1498 mod 3) mod 3.
898 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 898
= 900
1498 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1498
= 1500
Somit gilt:
(898 + 1498) mod 3 ≡ (1 + 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 43) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(55 ⋅ 43) mod 9 ≡ (55 mod 9 ⋅ 43 mod 9) mod 9.
55 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 54 + 1 = 6 ⋅ 9 + 1 ist.
43 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 36 + 7 = 4 ⋅ 9 + 7 ist.
Somit gilt:
(55 ⋅ 43) mod 9 ≡ (1 ⋅ 7) mod 9 ≡ 7 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
16 mod m = 22 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 16 aus, ob zufällig 16 mod m = 22 mod m gilt:
m=2: 16 mod 2 = 0 = 0 = 22 mod 2
m=3: 16 mod 3 = 1 = 1 = 22 mod 3
m=4: 16 mod 4 = 0 ≠ 2 = 22 mod 4
m=5: 16 mod 5 = 1 ≠ 2 = 22 mod 5
m=6: 16 mod 6 = 4 = 4 = 22 mod 6
m=7: 16 mod 7 = 2 ≠ 1 = 22 mod 7
m=8: 16 mod 8 = 0 ≠ 6 = 22 mod 8
m=9: 16 mod 9 = 7 ≠ 4 = 22 mod 9
m=10: 16 mod 10 = 6 ≠ 2 = 22 mod 10
m=11: 16 mod 11 = 5 ≠ 0 = 22 mod 11
m=12: 16 mod 12 = 4 ≠ 10 = 22 mod 12
m=13: 16 mod 13 = 3 ≠ 9 = 22 mod 13
m=14: 16 mod 14 = 2 ≠ 8 = 22 mod 14
m=15: 16 mod 15 = 1 ≠ 7 = 22 mod 15
m=16: 16 mod 16 = 0 ≠ 6 = 22 mod 16
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (22 - 16) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
