Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 28, weil ja 7 ⋅ 4 = 28 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 31 - 28 = 3.

Somit gilt: 31 mod 4 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 83 - 81 = 2.

Somit gilt: 83 mod 9 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 2 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 60, z.B. 63 = 7 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 2 mod 9 sein, also addieren wir noch 2 auf die 63 und erhalten so 65.

Somit gilt: 65 ≡ 83 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(358 + 360) mod 9 ≡ (358 mod 9 + 360 mod 9) mod 9.

358 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 358 = 360-2 = 9 ⋅ 40 -2 = 9 ⋅ 40 - 9 + 7.

360 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 360 = 360+0 = 9 ⋅ 40 +0.

Somit gilt:

(358 + 360) mod 9 ≡ (7 + 0) mod 9 ≡ 7 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(37 ⋅ 30) mod 6 ≡ (37 mod 6 ⋅ 30 mod 6) mod 6.

37 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 6 ⋅ 6 + 1 ist.

30 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 5 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(37 ⋅ 30) mod 6 ≡ (1 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 237 aus, ob zufällig 237 mod m = 312 mod m gilt:

m=2: 237 mod 2 = 1 ≠ 0 = 312 mod 2

m=3: 237 mod 3 = 0 = 0 = 312 mod 3

m=4: 237 mod 4 = 1 ≠ 0 = 312 mod 4

m=5: 237 mod 5 = 2 = 2 = 312 mod 5

m=6: 237 mod 6 = 3 ≠ 0 = 312 mod 6

m=7: 237 mod 7 = 6 ≠ 4 = 312 mod 7

m=8: 237 mod 8 = 5 ≠ 0 = 312 mod 8

m=9: 237 mod 9 = 3 ≠ 6 = 312 mod 9

m=10: 237 mod 10 = 7 ≠ 2 = 312 mod 10

m=11: 237 mod 11 = 6 ≠ 4 = 312 mod 11

m=12: 237 mod 12 = 9 ≠ 0 = 312 mod 12

m=13: 237 mod 13 = 3 ≠ 0 = 312 mod 13

m=14: 237 mod 14 = 13 ≠ 4 = 312 mod 14

m=15: 237 mod 15 = 12 = 12 = 312 mod 15

m=16: 237 mod 16 = 13 ≠ 8 = 312 mod 16

m=17: 237 mod 17 = 16 ≠ 6 = 312 mod 17

m=18: 237 mod 18 = 3 ≠ 6 = 312 mod 18

m=19: 237 mod 19 = 9 ≠ 8 = 312 mod 19

m=20: 237 mod 20 = 17 ≠ 12 = 312 mod 20

m=21: 237 mod 21 = 6 ≠ 18 = 312 mod 21

m=22: 237 mod 22 = 17 ≠ 4 = 312 mod 22

m=23: 237 mod 23 = 7 ≠ 13 = 312 mod 23

m=24: 237 mod 24 = 21 ≠ 0 = 312 mod 24

m=25: 237 mod 25 = 12 = 12 = 312 mod 25

m=26: 237 mod 26 = 3 ≠ 0 = 312 mod 26

m=27: 237 mod 27 = 21 ≠ 15 = 312 mod 27

m=28: 237 mod 28 = 13 ≠ 4 = 312 mod 28

m=29: 237 mod 29 = 5 ≠ 22 = 312 mod 29

m=30: 237 mod 30 = 27 ≠ 12 = 312 mod 30

m=31: 237 mod 31 = 20 ≠ 2 = 312 mod 31

m=32: 237 mod 32 = 13 ≠ 24 = 312 mod 32

m=33: 237 mod 33 = 6 ≠ 15 = 312 mod 33

m=34: 237 mod 34 = 33 ≠ 6 = 312 mod 34

m=35: 237 mod 35 = 27 ≠ 32 = 312 mod 35

m=36: 237 mod 36 = 21 ≠ 24 = 312 mod 36

m=37: 237 mod 37 = 15 ≠ 16 = 312 mod 37

m=38: 237 mod 38 = 9 ≠ 8 = 312 mod 38

m=39: 237 mod 39 = 3 ≠ 0 = 312 mod 39

m=40: 237 mod 40 = 37 ≠ 32 = 312 mod 40

m=41: 237 mod 41 = 32 ≠ 25 = 312 mod 41

m=42: 237 mod 42 = 27 ≠ 18 = 312 mod 42

m=43: 237 mod 43 = 22 ≠ 11 = 312 mod 43

m=44: 237 mod 44 = 17 ≠ 4 = 312 mod 44

m=45: 237 mod 45 = 12 ≠ 42 = 312 mod 45

m=46: 237 mod 46 = 7 ≠ 36 = 312 mod 46

m=47: 237 mod 47 = 2 ≠ 30 = 312 mod 47

m=48: 237 mod 48 = 45 ≠ 24 = 312 mod 48

m=49: 237 mod 49 = 41 ≠ 18 = 312 mod 49

m=50: 237 mod 50 = 37 ≠ 12 = 312 mod 50

m=51: 237 mod 51 = 33 ≠ 6 = 312 mod 51

m=52: 237 mod 52 = 29 ≠ 0 = 312 mod 52

m=53: 237 mod 53 = 25 ≠ 47 = 312 mod 53

m=54: 237 mod 54 = 21 ≠ 42 = 312 mod 54

m=55: 237 mod 55 = 17 ≠ 37 = 312 mod 55

m=56: 237 mod 56 = 13 ≠ 32 = 312 mod 56

m=57: 237 mod 57 = 9 ≠ 27 = 312 mod 57

m=58: 237 mod 58 = 5 ≠ 22 = 312 mod 58

m=59: 237 mod 59 = 1 ≠ 17 = 312 mod 59

m=60: 237 mod 60 = 57 ≠ 12 = 312 mod 60

m=61: 237 mod 61 = 54 ≠ 7 = 312 mod 61

m=62: 237 mod 62 = 51 ≠ 2 = 312 mod 62

m=63: 237 mod 63 = 48 ≠ 60 = 312 mod 63

m=64: 237 mod 64 = 45 ≠ 56 = 312 mod 64

m=65: 237 mod 65 = 42 ≠ 52 = 312 mod 65

m=66: 237 mod 66 = 39 ≠ 48 = 312 mod 66

m=67: 237 mod 67 = 36 ≠ 44 = 312 mod 67

m=68: 237 mod 68 = 33 ≠ 40 = 312 mod 68

m=69: 237 mod 69 = 30 ≠ 36 = 312 mod 69

m=70: 237 mod 70 = 27 ≠ 32 = 312 mod 70

m=71: 237 mod 71 = 24 ≠ 28 = 312 mod 71

m=72: 237 mod 72 = 21 ≠ 24 = 312 mod 72

m=73: 237 mod 73 = 18 ≠ 20 = 312 mod 73

m=74: 237 mod 74 = 15 ≠ 16 = 312 mod 74

m=75: 237 mod 75 = 12 = 12 = 312 mod 75

m=76: 237 mod 76 = 9 ≠ 8 = 312 mod 76

m=77: 237 mod 77 = 6 ≠ 4 = 312 mod 77

m=78: 237 mod 78 = 3 ≠ 0 = 312 mod 78

m=79: 237 mod 79 = 0 ≠ 75 = 312 mod 79

m=80: 237 mod 80 = 77 ≠ 72 = 312 mod 80

m=81: 237 mod 81 = 75 ≠ 69 = 312 mod 81

m=82: 237 mod 82 = 73 ≠ 66 = 312 mod 82

m=83: 237 mod 83 = 71 ≠ 63 = 312 mod 83

m=84: 237 mod 84 = 69 ≠ 60 = 312 mod 84

m=85: 237 mod 85 = 67 ≠ 57 = 312 mod 85

m=86: 237 mod 86 = 65 ≠ 54 = 312 mod 86

m=87: 237 mod 87 = 63 ≠ 51 = 312 mod 87

m=88: 237 mod 88 = 61 ≠ 48 = 312 mod 88

m=89: 237 mod 89 = 59 ≠ 45 = 312 mod 89

m=90: 237 mod 90 = 57 ≠ 42 = 312 mod 90

m=91: 237 mod 91 = 55 ≠ 39 = 312 mod 91

m=92: 237 mod 92 = 53 ≠ 36 = 312 mod 92

m=93: 237 mod 93 = 51 ≠ 33 = 312 mod 93

m=94: 237 mod 94 = 49 ≠ 30 = 312 mod 94

m=95: 237 mod 95 = 47 ≠ 27 = 312 mod 95

m=96: 237 mod 96 = 45 ≠ 24 = 312 mod 96

m=97: 237 mod 97 = 43 ≠ 21 = 312 mod 97

m=98: 237 mod 98 = 41 ≠ 18 = 312 mod 98

m=99: 237 mod 99 = 39 ≠ 15 = 312 mod 99

m=100: 237 mod 100 = 37 ≠ 12 = 312 mod 100

m=101: 237 mod 101 = 35 ≠ 9 = 312 mod 101

m=102: 237 mod 102 = 33 ≠ 6 = 312 mod 102

m=103: 237 mod 103 = 31 ≠ 3 = 312 mod 103

m=104: 237 mod 104 = 29 ≠ 0 = 312 mod 104

m=105: 237 mod 105 = 27 ≠ 102 = 312 mod 105

m=106: 237 mod 106 = 25 ≠ 100 = 312 mod 106

m=107: 237 mod 107 = 23 ≠ 98 = 312 mod 107

m=108: 237 mod 108 = 21 ≠ 96 = 312 mod 108

m=109: 237 mod 109 = 19 ≠ 94 = 312 mod 109

m=110: 237 mod 110 = 17 ≠ 92 = 312 mod 110

m=111: 237 mod 111 = 15 ≠ 90 = 312 mod 111

m=112: 237 mod 112 = 13 ≠ 88 = 312 mod 112

m=113: 237 mod 113 = 11 ≠ 86 = 312 mod 113

m=114: 237 mod 114 = 9 ≠ 84 = 312 mod 114

m=115: 237 mod 115 = 7 ≠ 82 = 312 mod 115

m=116: 237 mod 116 = 5 ≠ 80 = 312 mod 116

m=117: 237 mod 117 = 3 ≠ 78 = 312 mod 117

m=118: 237 mod 118 = 1 ≠ 76 = 312 mod 118

m=119: 237 mod 119 = 118 ≠ 74 = 312 mod 119

m=120: 237 mod 120 = 117 ≠ 72 = 312 mod 120

m=121: 237 mod 121 = 116 ≠ 70 = 312 mod 121

m=122: 237 mod 122 = 115 ≠ 68 = 312 mod 122

m=123: 237 mod 123 = 114 ≠ 66 = 312 mod 123

m=124: 237 mod 124 = 113 ≠ 64 = 312 mod 124

m=125: 237 mod 125 = 112 ≠ 62 = 312 mod 125

m=126: 237 mod 126 = 111 ≠ 60 = 312 mod 126

m=127: 237 mod 127 = 110 ≠ 58 = 312 mod 127

m=128: 237 mod 128 = 109 ≠ 56 = 312 mod 128

m=129: 237 mod 129 = 108 ≠ 54 = 312 mod 129

m=130: 237 mod 130 = 107 ≠ 52 = 312 mod 130

m=131: 237 mod 131 = 106 ≠ 50 = 312 mod 131

m=132: 237 mod 132 = 105 ≠ 48 = 312 mod 132

m=133: 237 mod 133 = 104 ≠ 46 = 312 mod 133

m=134: 237 mod 134 = 103 ≠ 44 = 312 mod 134

m=135: 237 mod 135 = 102 ≠ 42 = 312 mod 135

m=136: 237 mod 136 = 101 ≠ 40 = 312 mod 136

m=137: 237 mod 137 = 100 ≠ 38 = 312 mod 137

m=138: 237 mod 138 = 99 ≠ 36 = 312 mod 138

m=139: 237 mod 139 = 98 ≠ 34 = 312 mod 139

m=140: 237 mod 140 = 97 ≠ 32 = 312 mod 140

m=141: 237 mod 141 = 96 ≠ 30 = 312 mod 141

m=142: 237 mod 142 = 95 ≠ 28 = 312 mod 142

m=143: 237 mod 143 = 94 ≠ 26 = 312 mod 143

m=144: 237 mod 144 = 93 ≠ 24 = 312 mod 144

m=145: 237 mod 145 = 92 ≠ 22 = 312 mod 145

m=146: 237 mod 146 = 91 ≠ 20 = 312 mod 146

m=147: 237 mod 147 = 90 ≠ 18 = 312 mod 147

m=148: 237 mod 148 = 89 ≠ 16 = 312 mod 148

m=149: 237 mod 149 = 88 ≠ 14 = 312 mod 149

m=150: 237 mod 150 = 87 ≠ 12 = 312 mod 150

m=151: 237 mod 151 = 86 ≠ 10 = 312 mod 151

m=152: 237 mod 152 = 85 ≠ 8 = 312 mod 152

m=153: 237 mod 153 = 84 ≠ 6 = 312 mod 153

m=154: 237 mod 154 = 83 ≠ 4 = 312 mod 154

m=155: 237 mod 155 = 82 ≠ 2 = 312 mod 155

m=156: 237 mod 156 = 81 ≠ 0 = 312 mod 156

m=157: 237 mod 157 = 80 ≠ 155 = 312 mod 157

m=158: 237 mod 158 = 79 ≠ 154 = 312 mod 158

m=159: 237 mod 159 = 78 ≠ 153 = 312 mod 159

m=160: 237 mod 160 = 77 ≠ 152 = 312 mod 160

m=161: 237 mod 161 = 76 ≠ 151 = 312 mod 161

m=162: 237 mod 162 = 75 ≠ 150 = 312 mod 162

m=163: 237 mod 163 = 74 ≠ 149 = 312 mod 163

m=164: 237 mod 164 = 73 ≠ 148 = 312 mod 164

m=165: 237 mod 165 = 72 ≠ 147 = 312 mod 165

m=166: 237 mod 166 = 71 ≠ 146 = 312 mod 166

m=167: 237 mod 167 = 70 ≠ 145 = 312 mod 167

m=168: 237 mod 168 = 69 ≠ 144 = 312 mod 168

m=169: 237 mod 169 = 68 ≠ 143 = 312 mod 169

m=170: 237 mod 170 = 67 ≠ 142 = 312 mod 170

m=171: 237 mod 171 = 66 ≠ 141 = 312 mod 171

m=172: 237 mod 172 = 65 ≠ 140 = 312 mod 172

m=173: 237 mod 173 = 64 ≠ 139 = 312 mod 173

m=174: 237 mod 174 = 63 ≠ 138 = 312 mod 174

m=175: 237 mod 175 = 62 ≠ 137 = 312 mod 175

m=176: 237 mod 176 = 61 ≠ 136 = 312 mod 176

m=177: 237 mod 177 = 60 ≠ 135 = 312 mod 177

m=178: 237 mod 178 = 59 ≠ 134 = 312 mod 178

m=179: 237 mod 179 = 58 ≠ 133 = 312 mod 179

m=180: 237 mod 180 = 57 ≠ 132 = 312 mod 180

m=181: 237 mod 181 = 56 ≠ 131 = 312 mod 181

m=182: 237 mod 182 = 55 ≠ 130 = 312 mod 182

m=183: 237 mod 183 = 54 ≠ 129 = 312 mod 183

m=184: 237 mod 184 = 53 ≠ 128 = 312 mod 184

m=185: 237 mod 185 = 52 ≠ 127 = 312 mod 185

m=186: 237 mod 186 = 51 ≠ 126 = 312 mod 186

m=187: 237 mod 187 = 50 ≠ 125 = 312 mod 187

m=188: 237 mod 188 = 49 ≠ 124 = 312 mod 188

m=189: 237 mod 189 = 48 ≠ 123 = 312 mod 189

m=190: 237 mod 190 = 47 ≠ 122 = 312 mod 190

m=191: 237 mod 191 = 46 ≠ 121 = 312 mod 191

m=192: 237 mod 192 = 45 ≠ 120 = 312 mod 192

m=193: 237 mod 193 = 44 ≠ 119 = 312 mod 193

m=194: 237 mod 194 = 43 ≠ 118 = 312 mod 194

m=195: 237 mod 195 = 42 ≠ 117 = 312 mod 195

m=196: 237 mod 196 = 41 ≠ 116 = 312 mod 196

m=197: 237 mod 197 = 40 ≠ 115 = 312 mod 197

m=198: 237 mod 198 = 39 ≠ 114 = 312 mod 198

m=199: 237 mod 199 = 38 ≠ 113 = 312 mod 199

m=200: 237 mod 200 = 37 ≠ 112 = 312 mod 200

m=201: 237 mod 201 = 36 ≠ 111 = 312 mod 201

m=202: 237 mod 202 = 35 ≠ 110 = 312 mod 202

m=203: 237 mod 203 = 34 ≠ 109 = 312 mod 203

m=204: 237 mod 204 = 33 ≠ 108 = 312 mod 204

m=205: 237 mod 205 = 32 ≠ 107 = 312 mod 205

m=206: 237 mod 206 = 31 ≠ 106 = 312 mod 206

m=207: 237 mod 207 = 30 ≠ 105 = 312 mod 207

m=208: 237 mod 208 = 29 ≠ 104 = 312 mod 208

m=209: 237 mod 209 = 28 ≠ 103 = 312 mod 209

m=210: 237 mod 210 = 27 ≠ 102 = 312 mod 210

m=211: 237 mod 211 = 26 ≠ 101 = 312 mod 211

m=212: 237 mod 212 = 25 ≠ 100 = 312 mod 212

m=213: 237 mod 213 = 24 ≠ 99 = 312 mod 213

m=214: 237 mod 214 = 23 ≠ 98 = 312 mod 214

m=215: 237 mod 215 = 22 ≠ 97 = 312 mod 215

m=216: 237 mod 216 = 21 ≠ 96 = 312 mod 216

m=217: 237 mod 217 = 20 ≠ 95 = 312 mod 217

m=218: 237 mod 218 = 19 ≠ 94 = 312 mod 218

m=219: 237 mod 219 = 18 ≠ 93 = 312 mod 219

m=220: 237 mod 220 = 17 ≠ 92 = 312 mod 220

m=221: 237 mod 221 = 16 ≠ 91 = 312 mod 221

m=222: 237 mod 222 = 15 ≠ 90 = 312 mod 222

m=223: 237 mod 223 = 14 ≠ 89 = 312 mod 223

m=224: 237 mod 224 = 13 ≠ 88 = 312 mod 224

m=225: 237 mod 225 = 12 ≠ 87 = 312 mod 225

m=226: 237 mod 226 = 11 ≠ 86 = 312 mod 226

m=227: 237 mod 227 = 10 ≠ 85 = 312 mod 227

m=228: 237 mod 228 = 9 ≠ 84 = 312 mod 228

m=229: 237 mod 229 = 8 ≠ 83 = 312 mod 229

m=230: 237 mod 230 = 7 ≠ 82 = 312 mod 230

m=231: 237 mod 231 = 6 ≠ 81 = 312 mod 231

m=232: 237 mod 232 = 5 ≠ 80 = 312 mod 232

m=233: 237 mod 233 = 4 ≠ 79 = 312 mod 233

m=234: 237 mod 234 = 3 ≠ 78 = 312 mod 234

m=235: 237 mod 235 = 2 ≠ 77 = 312 mod 235

m=236: 237 mod 236 = 1 ≠ 76 = 312 mod 236

m=237: 237 mod 237 = 0 ≠ 75 = 312 mod 237

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (312 - 237) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75