Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 49 - 44 = 5.

Somit gilt: 49 mod 11 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 70, weil ja 7 ⋅ 10 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 70 - 70 = 0.

Somit gilt: 70 mod 10 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 70 für die gilt: n ≡ 0 mod 10.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 6 ⋅ 10

Somit gilt: 60 ≡ 70 ≡ 0 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40005 + 320) mod 8 ≡ (40005 mod 8 + 320 mod 8) mod 8.

40005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40005 = 40000+5 = 8 ⋅ 5000 +5.

320 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 320 = 320+0 = 8 ⋅ 40 +0.

Somit gilt:

(40005 + 320) mod 8 ≡ (5 + 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 45) mod 3 ≡ (34 mod 3 ⋅ 45 mod 3) mod 3.

34 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 33 + 1 = 11 ⋅ 3 + 1 ist.

45 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 15 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 45) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 196 aus, ob zufällig 196 mod m = 246 mod m gilt:

m=2: 196 mod 2 = 0 = 0 = 246 mod 2

m=3: 196 mod 3 = 1 ≠ 0 = 246 mod 3

m=4: 196 mod 4 = 0 ≠ 2 = 246 mod 4

m=5: 196 mod 5 = 1 = 1 = 246 mod 5

m=6: 196 mod 6 = 4 ≠ 0 = 246 mod 6

m=7: 196 mod 7 = 0 ≠ 1 = 246 mod 7

m=8: 196 mod 8 = 4 ≠ 6 = 246 mod 8

m=9: 196 mod 9 = 7 ≠ 3 = 246 mod 9

m=10: 196 mod 10 = 6 = 6 = 246 mod 10

m=11: 196 mod 11 = 9 ≠ 4 = 246 mod 11

m=12: 196 mod 12 = 4 ≠ 6 = 246 mod 12

m=13: 196 mod 13 = 1 ≠ 12 = 246 mod 13

m=14: 196 mod 14 = 0 ≠ 8 = 246 mod 14

m=15: 196 mod 15 = 1 ≠ 6 = 246 mod 15

m=16: 196 mod 16 = 4 ≠ 6 = 246 mod 16

m=17: 196 mod 17 = 9 ≠ 8 = 246 mod 17

m=18: 196 mod 18 = 16 ≠ 12 = 246 mod 18

m=19: 196 mod 19 = 6 ≠ 18 = 246 mod 19

m=20: 196 mod 20 = 16 ≠ 6 = 246 mod 20

m=21: 196 mod 21 = 7 ≠ 15 = 246 mod 21

m=22: 196 mod 22 = 20 ≠ 4 = 246 mod 22

m=23: 196 mod 23 = 12 ≠ 16 = 246 mod 23

m=24: 196 mod 24 = 4 ≠ 6 = 246 mod 24

m=25: 196 mod 25 = 21 = 21 = 246 mod 25

m=26: 196 mod 26 = 14 ≠ 12 = 246 mod 26

m=27: 196 mod 27 = 7 ≠ 3 = 246 mod 27

m=28: 196 mod 28 = 0 ≠ 22 = 246 mod 28

m=29: 196 mod 29 = 22 ≠ 14 = 246 mod 29

m=30: 196 mod 30 = 16 ≠ 6 = 246 mod 30

m=31: 196 mod 31 = 10 ≠ 29 = 246 mod 31

m=32: 196 mod 32 = 4 ≠ 22 = 246 mod 32

m=33: 196 mod 33 = 31 ≠ 15 = 246 mod 33

m=34: 196 mod 34 = 26 ≠ 8 = 246 mod 34

m=35: 196 mod 35 = 21 ≠ 1 = 246 mod 35

m=36: 196 mod 36 = 16 ≠ 30 = 246 mod 36

m=37: 196 mod 37 = 11 ≠ 24 = 246 mod 37

m=38: 196 mod 38 = 6 ≠ 18 = 246 mod 38

m=39: 196 mod 39 = 1 ≠ 12 = 246 mod 39

m=40: 196 mod 40 = 36 ≠ 6 = 246 mod 40

m=41: 196 mod 41 = 32 ≠ 0 = 246 mod 41

m=42: 196 mod 42 = 28 ≠ 36 = 246 mod 42

m=43: 196 mod 43 = 24 ≠ 31 = 246 mod 43

m=44: 196 mod 44 = 20 ≠ 26 = 246 mod 44

m=45: 196 mod 45 = 16 ≠ 21 = 246 mod 45

m=46: 196 mod 46 = 12 ≠ 16 = 246 mod 46

m=47: 196 mod 47 = 8 ≠ 11 = 246 mod 47

m=48: 196 mod 48 = 4 ≠ 6 = 246 mod 48

m=49: 196 mod 49 = 0 ≠ 1 = 246 mod 49

m=50: 196 mod 50 = 46 = 46 = 246 mod 50

m=51: 196 mod 51 = 43 ≠ 42 = 246 mod 51

m=52: 196 mod 52 = 40 ≠ 38 = 246 mod 52

m=53: 196 mod 53 = 37 ≠ 34 = 246 mod 53

m=54: 196 mod 54 = 34 ≠ 30 = 246 mod 54

m=55: 196 mod 55 = 31 ≠ 26 = 246 mod 55

m=56: 196 mod 56 = 28 ≠ 22 = 246 mod 56

m=57: 196 mod 57 = 25 ≠ 18 = 246 mod 57

m=58: 196 mod 58 = 22 ≠ 14 = 246 mod 58

m=59: 196 mod 59 = 19 ≠ 10 = 246 mod 59

m=60: 196 mod 60 = 16 ≠ 6 = 246 mod 60

m=61: 196 mod 61 = 13 ≠ 2 = 246 mod 61

m=62: 196 mod 62 = 10 ≠ 60 = 246 mod 62

m=63: 196 mod 63 = 7 ≠ 57 = 246 mod 63

m=64: 196 mod 64 = 4 ≠ 54 = 246 mod 64

m=65: 196 mod 65 = 1 ≠ 51 = 246 mod 65

m=66: 196 mod 66 = 64 ≠ 48 = 246 mod 66

m=67: 196 mod 67 = 62 ≠ 45 = 246 mod 67

m=68: 196 mod 68 = 60 ≠ 42 = 246 mod 68

m=69: 196 mod 69 = 58 ≠ 39 = 246 mod 69

m=70: 196 mod 70 = 56 ≠ 36 = 246 mod 70

m=71: 196 mod 71 = 54 ≠ 33 = 246 mod 71

m=72: 196 mod 72 = 52 ≠ 30 = 246 mod 72

m=73: 196 mod 73 = 50 ≠ 27 = 246 mod 73

m=74: 196 mod 74 = 48 ≠ 24 = 246 mod 74

m=75: 196 mod 75 = 46 ≠ 21 = 246 mod 75

m=76: 196 mod 76 = 44 ≠ 18 = 246 mod 76

m=77: 196 mod 77 = 42 ≠ 15 = 246 mod 77

m=78: 196 mod 78 = 40 ≠ 12 = 246 mod 78

m=79: 196 mod 79 = 38 ≠ 9 = 246 mod 79

m=80: 196 mod 80 = 36 ≠ 6 = 246 mod 80

m=81: 196 mod 81 = 34 ≠ 3 = 246 mod 81

m=82: 196 mod 82 = 32 ≠ 0 = 246 mod 82

m=83: 196 mod 83 = 30 ≠ 80 = 246 mod 83

m=84: 196 mod 84 = 28 ≠ 78 = 246 mod 84

m=85: 196 mod 85 = 26 ≠ 76 = 246 mod 85

m=86: 196 mod 86 = 24 ≠ 74 = 246 mod 86

m=87: 196 mod 87 = 22 ≠ 72 = 246 mod 87

m=88: 196 mod 88 = 20 ≠ 70 = 246 mod 88

m=89: 196 mod 89 = 18 ≠ 68 = 246 mod 89

m=90: 196 mod 90 = 16 ≠ 66 = 246 mod 90

m=91: 196 mod 91 = 14 ≠ 64 = 246 mod 91

m=92: 196 mod 92 = 12 ≠ 62 = 246 mod 92

m=93: 196 mod 93 = 10 ≠ 60 = 246 mod 93

m=94: 196 mod 94 = 8 ≠ 58 = 246 mod 94

m=95: 196 mod 95 = 6 ≠ 56 = 246 mod 95

m=96: 196 mod 96 = 4 ≠ 54 = 246 mod 96

m=97: 196 mod 97 = 2 ≠ 52 = 246 mod 97

m=98: 196 mod 98 = 0 ≠ 50 = 246 mod 98

m=99: 196 mod 99 = 97 ≠ 48 = 246 mod 99

m=100: 196 mod 100 = 96 ≠ 46 = 246 mod 100

m=101: 196 mod 101 = 95 ≠ 44 = 246 mod 101

m=102: 196 mod 102 = 94 ≠ 42 = 246 mod 102

m=103: 196 mod 103 = 93 ≠ 40 = 246 mod 103

m=104: 196 mod 104 = 92 ≠ 38 = 246 mod 104

m=105: 196 mod 105 = 91 ≠ 36 = 246 mod 105

m=106: 196 mod 106 = 90 ≠ 34 = 246 mod 106

m=107: 196 mod 107 = 89 ≠ 32 = 246 mod 107

m=108: 196 mod 108 = 88 ≠ 30 = 246 mod 108

m=109: 196 mod 109 = 87 ≠ 28 = 246 mod 109

m=110: 196 mod 110 = 86 ≠ 26 = 246 mod 110

m=111: 196 mod 111 = 85 ≠ 24 = 246 mod 111

m=112: 196 mod 112 = 84 ≠ 22 = 246 mod 112

m=113: 196 mod 113 = 83 ≠ 20 = 246 mod 113

m=114: 196 mod 114 = 82 ≠ 18 = 246 mod 114

m=115: 196 mod 115 = 81 ≠ 16 = 246 mod 115

m=116: 196 mod 116 = 80 ≠ 14 = 246 mod 116

m=117: 196 mod 117 = 79 ≠ 12 = 246 mod 117

m=118: 196 mod 118 = 78 ≠ 10 = 246 mod 118

m=119: 196 mod 119 = 77 ≠ 8 = 246 mod 119

m=120: 196 mod 120 = 76 ≠ 6 = 246 mod 120

m=121: 196 mod 121 = 75 ≠ 4 = 246 mod 121

m=122: 196 mod 122 = 74 ≠ 2 = 246 mod 122

m=123: 196 mod 123 = 73 ≠ 0 = 246 mod 123

m=124: 196 mod 124 = 72 ≠ 122 = 246 mod 124

m=125: 196 mod 125 = 71 ≠ 121 = 246 mod 125

m=126: 196 mod 126 = 70 ≠ 120 = 246 mod 126

m=127: 196 mod 127 = 69 ≠ 119 = 246 mod 127

m=128: 196 mod 128 = 68 ≠ 118 = 246 mod 128

m=129: 196 mod 129 = 67 ≠ 117 = 246 mod 129

m=130: 196 mod 130 = 66 ≠ 116 = 246 mod 130

m=131: 196 mod 131 = 65 ≠ 115 = 246 mod 131

m=132: 196 mod 132 = 64 ≠ 114 = 246 mod 132

m=133: 196 mod 133 = 63 ≠ 113 = 246 mod 133

m=134: 196 mod 134 = 62 ≠ 112 = 246 mod 134

m=135: 196 mod 135 = 61 ≠ 111 = 246 mod 135

m=136: 196 mod 136 = 60 ≠ 110 = 246 mod 136

m=137: 196 mod 137 = 59 ≠ 109 = 246 mod 137

m=138: 196 mod 138 = 58 ≠ 108 = 246 mod 138

m=139: 196 mod 139 = 57 ≠ 107 = 246 mod 139

m=140: 196 mod 140 = 56 ≠ 106 = 246 mod 140

m=141: 196 mod 141 = 55 ≠ 105 = 246 mod 141

m=142: 196 mod 142 = 54 ≠ 104 = 246 mod 142

m=143: 196 mod 143 = 53 ≠ 103 = 246 mod 143

m=144: 196 mod 144 = 52 ≠ 102 = 246 mod 144

m=145: 196 mod 145 = 51 ≠ 101 = 246 mod 145

m=146: 196 mod 146 = 50 ≠ 100 = 246 mod 146

m=147: 196 mod 147 = 49 ≠ 99 = 246 mod 147

m=148: 196 mod 148 = 48 ≠ 98 = 246 mod 148

m=149: 196 mod 149 = 47 ≠ 97 = 246 mod 149

m=150: 196 mod 150 = 46 ≠ 96 = 246 mod 150

m=151: 196 mod 151 = 45 ≠ 95 = 246 mod 151

m=152: 196 mod 152 = 44 ≠ 94 = 246 mod 152

m=153: 196 mod 153 = 43 ≠ 93 = 246 mod 153

m=154: 196 mod 154 = 42 ≠ 92 = 246 mod 154

m=155: 196 mod 155 = 41 ≠ 91 = 246 mod 155

m=156: 196 mod 156 = 40 ≠ 90 = 246 mod 156

m=157: 196 mod 157 = 39 ≠ 89 = 246 mod 157

m=158: 196 mod 158 = 38 ≠ 88 = 246 mod 158

m=159: 196 mod 159 = 37 ≠ 87 = 246 mod 159

m=160: 196 mod 160 = 36 ≠ 86 = 246 mod 160

m=161: 196 mod 161 = 35 ≠ 85 = 246 mod 161

m=162: 196 mod 162 = 34 ≠ 84 = 246 mod 162

m=163: 196 mod 163 = 33 ≠ 83 = 246 mod 163

m=164: 196 mod 164 = 32 ≠ 82 = 246 mod 164

m=165: 196 mod 165 = 31 ≠ 81 = 246 mod 165

m=166: 196 mod 166 = 30 ≠ 80 = 246 mod 166

m=167: 196 mod 167 = 29 ≠ 79 = 246 mod 167

m=168: 196 mod 168 = 28 ≠ 78 = 246 mod 168

m=169: 196 mod 169 = 27 ≠ 77 = 246 mod 169

m=170: 196 mod 170 = 26 ≠ 76 = 246 mod 170

m=171: 196 mod 171 = 25 ≠ 75 = 246 mod 171

m=172: 196 mod 172 = 24 ≠ 74 = 246 mod 172

m=173: 196 mod 173 = 23 ≠ 73 = 246 mod 173

m=174: 196 mod 174 = 22 ≠ 72 = 246 mod 174

m=175: 196 mod 175 = 21 ≠ 71 = 246 mod 175

m=176: 196 mod 176 = 20 ≠ 70 = 246 mod 176

m=177: 196 mod 177 = 19 ≠ 69 = 246 mod 177

m=178: 196 mod 178 = 18 ≠ 68 = 246 mod 178

m=179: 196 mod 179 = 17 ≠ 67 = 246 mod 179

m=180: 196 mod 180 = 16 ≠ 66 = 246 mod 180

m=181: 196 mod 181 = 15 ≠ 65 = 246 mod 181

m=182: 196 mod 182 = 14 ≠ 64 = 246 mod 182

m=183: 196 mod 183 = 13 ≠ 63 = 246 mod 183

m=184: 196 mod 184 = 12 ≠ 62 = 246 mod 184

m=185: 196 mod 185 = 11 ≠ 61 = 246 mod 185

m=186: 196 mod 186 = 10 ≠ 60 = 246 mod 186

m=187: 196 mod 187 = 9 ≠ 59 = 246 mod 187

m=188: 196 mod 188 = 8 ≠ 58 = 246 mod 188

m=189: 196 mod 189 = 7 ≠ 57 = 246 mod 189

m=190: 196 mod 190 = 6 ≠ 56 = 246 mod 190

m=191: 196 mod 191 = 5 ≠ 55 = 246 mod 191

m=192: 196 mod 192 = 4 ≠ 54 = 246 mod 192

m=193: 196 mod 193 = 3 ≠ 53 = 246 mod 193

m=194: 196 mod 194 = 2 ≠ 52 = 246 mod 194

m=195: 196 mod 195 = 1 ≠ 51 = 246 mod 195

m=196: 196 mod 196 = 0 ≠ 50 = 246 mod 196

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (246 - 196) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50