Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 72, weil ja 18 ⋅ 4 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 73 - 72 = 1.

Somit gilt: 73 mod 4 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 75, weil ja 25 ⋅ 3 = 75 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 76 - 75 = 1.

Somit gilt: 76 mod 3 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 1 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 30 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 1 mod 3 sein, also addieren wir noch 1 auf die 90 und erhalten so 91.

Somit gilt: 91 ≡ 76 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 + 12002) mod 4 ≡ (40 mod 4 + 12002 mod 4) mod 4.

40 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40+0 = 4 ⋅ 10 +0.

12002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002 = 12000+2 = 4 ⋅ 3000 +2.

Somit gilt:

(40 + 12002) mod 4 ≡ (0 + 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 94) mod 10 ≡ (38 mod 10 ⋅ 94 mod 10) mod 10.

38 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 30 + 8 = 3 ⋅ 10 + 8 ist.

94 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 9 ⋅ 10 + 4 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 94) mod 10 ≡ (8 ⋅ 4) mod 10 ≡ 32 mod 10 ≡ 2 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 30 aus, ob zufällig 30 mod m = 45 mod m gilt:

m=2: 30 mod 2 = 0 ≠ 1 = 45 mod 2

m=3: 30 mod 3 = 0 = 0 = 45 mod 3

m=4: 30 mod 4 = 2 ≠ 1 = 45 mod 4

m=5: 30 mod 5 = 0 = 0 = 45 mod 5

m=6: 30 mod 6 = 0 ≠ 3 = 45 mod 6

m=7: 30 mod 7 = 2 ≠ 3 = 45 mod 7

m=8: 30 mod 8 = 6 ≠ 5 = 45 mod 8

m=9: 30 mod 9 = 3 ≠ 0 = 45 mod 9

m=10: 30 mod 10 = 0 ≠ 5 = 45 mod 10

m=11: 30 mod 11 = 8 ≠ 1 = 45 mod 11

m=12: 30 mod 12 = 6 ≠ 9 = 45 mod 12

m=13: 30 mod 13 = 4 ≠ 6 = 45 mod 13

m=14: 30 mod 14 = 2 ≠ 3 = 45 mod 14

m=15: 30 mod 15 = 0 = 0 = 45 mod 15

m=16: 30 mod 16 = 14 ≠ 13 = 45 mod 16

m=17: 30 mod 17 = 13 ≠ 11 = 45 mod 17

m=18: 30 mod 18 = 12 ≠ 9 = 45 mod 18

m=19: 30 mod 19 = 11 ≠ 7 = 45 mod 19

m=20: 30 mod 20 = 10 ≠ 5 = 45 mod 20

m=21: 30 mod 21 = 9 ≠ 3 = 45 mod 21

m=22: 30 mod 22 = 8 ≠ 1 = 45 mod 22

m=23: 30 mod 23 = 7 ≠ 22 = 45 mod 23

m=24: 30 mod 24 = 6 ≠ 21 = 45 mod 24

m=25: 30 mod 25 = 5 ≠ 20 = 45 mod 25

m=26: 30 mod 26 = 4 ≠ 19 = 45 mod 26

m=27: 30 mod 27 = 3 ≠ 18 = 45 mod 27

m=28: 30 mod 28 = 2 ≠ 17 = 45 mod 28

m=29: 30 mod 29 = 1 ≠ 16 = 45 mod 29

m=30: 30 mod 30 = 0 ≠ 15 = 45 mod 30

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (45 - 30) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15