Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 41 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 40, weil ja 4 ⋅ 10 = 40 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 41 - 40 = 1.
Somit gilt: 41 mod 10 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 66 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 66, weil ja 22 ⋅ 3 = 66 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 66 - 66 = 0.
Somit gilt: 66 mod 3 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 80, z.B. 81 = 27 ⋅ 3
Somit gilt: 81 ≡ 66 ≡ 0 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (796 - 1602) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(796 - 1602) mod 4 ≡ (796 mod 4 - 1602 mod 4) mod 4.
796 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 796
= 700
1602 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1602
= 1600
Somit gilt:
(796 - 1602) mod 4 ≡ (0 - 2) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 70) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(89 ⋅ 70) mod 3 ≡ (89 mod 3 ⋅ 70 mod 3) mod 3.
89 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 87 + 2 = 29 ⋅ 3 + 2 ist.
70 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 69 + 1 = 23 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(89 ⋅ 70) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
35 mod m = 50 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 35 aus, ob zufällig 35 mod m = 50 mod m gilt:
m=2: 35 mod 2 = 1 ≠ 0 = 50 mod 2
m=3: 35 mod 3 = 2 = 2 = 50 mod 3
m=4: 35 mod 4 = 3 ≠ 2 = 50 mod 4
m=5: 35 mod 5 = 0 = 0 = 50 mod 5
m=6: 35 mod 6 = 5 ≠ 2 = 50 mod 6
m=7: 35 mod 7 = 0 ≠ 1 = 50 mod 7
m=8: 35 mod 8 = 3 ≠ 2 = 50 mod 8
m=9: 35 mod 9 = 8 ≠ 5 = 50 mod 9
m=10: 35 mod 10 = 5 ≠ 0 = 50 mod 10
m=11: 35 mod 11 = 2 ≠ 6 = 50 mod 11
m=12: 35 mod 12 = 11 ≠ 2 = 50 mod 12
m=13: 35 mod 13 = 9 ≠ 11 = 50 mod 13
m=14: 35 mod 14 = 7 ≠ 8 = 50 mod 14
m=15: 35 mod 15 = 5 = 5 = 50 mod 15
m=16: 35 mod 16 = 3 ≠ 2 = 50 mod 16
m=17: 35 mod 17 = 1 ≠ 16 = 50 mod 17
m=18: 35 mod 18 = 17 ≠ 14 = 50 mod 18
m=19: 35 mod 19 = 16 ≠ 12 = 50 mod 19
m=20: 35 mod 20 = 15 ≠ 10 = 50 mod 20
m=21: 35 mod 21 = 14 ≠ 8 = 50 mod 21
m=22: 35 mod 22 = 13 ≠ 6 = 50 mod 22
m=23: 35 mod 23 = 12 ≠ 4 = 50 mod 23
m=24: 35 mod 24 = 11 ≠ 2 = 50 mod 24
m=25: 35 mod 25 = 10 ≠ 0 = 50 mod 25
m=26: 35 mod 26 = 9 ≠ 24 = 50 mod 26
m=27: 35 mod 27 = 8 ≠ 23 = 50 mod 27
m=28: 35 mod 28 = 7 ≠ 22 = 50 mod 28
m=29: 35 mod 29 = 6 ≠ 21 = 50 mod 29
m=30: 35 mod 30 = 5 ≠ 20 = 50 mod 30
m=31: 35 mod 31 = 4 ≠ 19 = 50 mod 31
m=32: 35 mod 32 = 3 ≠ 18 = 50 mod 32
m=33: 35 mod 33 = 2 ≠ 17 = 50 mod 33
m=34: 35 mod 34 = 1 ≠ 16 = 50 mod 34
m=35: 35 mod 35 = 0 ≠ 15 = 50 mod 35
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (50 - 35) = 15 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 15
