Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 72, weil ja 8 ⋅ 9 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 80 - 72 = 8.

Somit gilt: 80 mod 9 ≡ 8.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 90, weil ja 18 ⋅ 5 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 92 - 90 = 2.

Somit gilt: 92 mod 5 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 2 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 4 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 2 mod 5 sein, also addieren wir noch 2 auf die 20 und erhalten so 22.

Somit gilt: 22 ≡ 92 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(180 - 904) mod 9 ≡ (180 mod 9 - 904 mod 9) mod 9.

180 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 180 = 180+0 = 9 ⋅ 20 +0.

904 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 904 = 900+4 = 9 ⋅ 100 +4.

Somit gilt:

(180 - 904) mod 9 ≡ (0 - 4) mod 9 ≡ -4 mod 9 ≡ 5 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 32) mod 11 ≡ (100 mod 11 ⋅ 32 mod 11) mod 11.

100 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 9 ⋅ 11 + 1 ist.

32 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 22 + 10 = 2 ⋅ 11 + 10 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 32) mod 11 ≡ (1 ⋅ 10) mod 11 ≡ 10 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 27 aus, ob zufällig 27 mod m = 35 mod m gilt:

m=2: 27 mod 2 = 1 = 1 = 35 mod 2

m=3: 27 mod 3 = 0 ≠ 2 = 35 mod 3

m=4: 27 mod 4 = 3 = 3 = 35 mod 4

m=5: 27 mod 5 = 2 ≠ 0 = 35 mod 5

m=6: 27 mod 6 = 3 ≠ 5 = 35 mod 6

m=7: 27 mod 7 = 6 ≠ 0 = 35 mod 7

m=8: 27 mod 8 = 3 = 3 = 35 mod 8

m=9: 27 mod 9 = 0 ≠ 8 = 35 mod 9

m=10: 27 mod 10 = 7 ≠ 5 = 35 mod 10

m=11: 27 mod 11 = 5 ≠ 2 = 35 mod 11

m=12: 27 mod 12 = 3 ≠ 11 = 35 mod 12

m=13: 27 mod 13 = 1 ≠ 9 = 35 mod 13

m=14: 27 mod 14 = 13 ≠ 7 = 35 mod 14

m=15: 27 mod 15 = 12 ≠ 5 = 35 mod 15

m=16: 27 mod 16 = 11 ≠ 3 = 35 mod 16

m=17: 27 mod 17 = 10 ≠ 1 = 35 mod 17

m=18: 27 mod 18 = 9 ≠ 17 = 35 mod 18

m=19: 27 mod 19 = 8 ≠ 16 = 35 mod 19

m=20: 27 mod 20 = 7 ≠ 15 = 35 mod 20

m=21: 27 mod 21 = 6 ≠ 14 = 35 mod 21

m=22: 27 mod 22 = 5 ≠ 13 = 35 mod 22

m=23: 27 mod 23 = 4 ≠ 12 = 35 mod 23

m=24: 27 mod 24 = 3 ≠ 11 = 35 mod 24

m=25: 27 mod 25 = 2 ≠ 10 = 35 mod 25

m=26: 27 mod 26 = 1 ≠ 9 = 35 mod 26

m=27: 27 mod 27 = 0 ≠ 8 = 35 mod 27

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (35 - 27) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8