Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 24, weil ja 4 ⋅ 6 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 28 - 24 = 4.

Somit gilt: 28 mod 6 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 36, weil ja 6 ⋅ 6 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 40 - 36 = 4.

Somit gilt: 40 mod 6 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 4 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 80, z.B. 78 = 13 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 4 mod 6 sein, also addieren wir noch 4 auf die 78 und erhalten so 82.

Somit gilt: 82 ≡ 40 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18009 + 360) mod 9 ≡ (18009 mod 9 + 360 mod 9) mod 9.

18009 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18009 = 18000+9 = 9 ⋅ 2000 +9.

360 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 360 = 360+0 = 9 ⋅ 40 +0.

Somit gilt:

(18009 + 360) mod 9 ≡ (0 + 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 93) mod 11 ≡ (81 mod 11 ⋅ 93 mod 11) mod 11.

81 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 7 ⋅ 11 + 4 ist.

93 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 88 + 5 = 8 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 93) mod 11 ≡ (4 ⋅ 5) mod 11 ≡ 20 mod 11 ≡ 9 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 26 aus, ob zufällig 26 mod m = 34 mod m gilt:

m=2: 26 mod 2 = 0 = 0 = 34 mod 2

m=3: 26 mod 3 = 2 ≠ 1 = 34 mod 3

m=4: 26 mod 4 = 2 = 2 = 34 mod 4

m=5: 26 mod 5 = 1 ≠ 4 = 34 mod 5

m=6: 26 mod 6 = 2 ≠ 4 = 34 mod 6

m=7: 26 mod 7 = 5 ≠ 6 = 34 mod 7

m=8: 26 mod 8 = 2 = 2 = 34 mod 8

m=9: 26 mod 9 = 8 ≠ 7 = 34 mod 9

m=10: 26 mod 10 = 6 ≠ 4 = 34 mod 10

m=11: 26 mod 11 = 4 ≠ 1 = 34 mod 11

m=12: 26 mod 12 = 2 ≠ 10 = 34 mod 12

m=13: 26 mod 13 = 0 ≠ 8 = 34 mod 13

m=14: 26 mod 14 = 12 ≠ 6 = 34 mod 14

m=15: 26 mod 15 = 11 ≠ 4 = 34 mod 15

m=16: 26 mod 16 = 10 ≠ 2 = 34 mod 16

m=17: 26 mod 17 = 9 ≠ 0 = 34 mod 17

m=18: 26 mod 18 = 8 ≠ 16 = 34 mod 18

m=19: 26 mod 19 = 7 ≠ 15 = 34 mod 19

m=20: 26 mod 20 = 6 ≠ 14 = 34 mod 20

m=21: 26 mod 21 = 5 ≠ 13 = 34 mod 21

m=22: 26 mod 22 = 4 ≠ 12 = 34 mod 22

m=23: 26 mod 23 = 3 ≠ 11 = 34 mod 23

m=24: 26 mod 24 = 2 ≠ 10 = 34 mod 24

m=25: 26 mod 25 = 1 ≠ 9 = 34 mod 25

m=26: 26 mod 26 = 0 ≠ 8 = 34 mod 26

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (34 - 26) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8