Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 87 - 77 = 10.

Somit gilt: 87 mod 11 ≡ 10.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 82 - 81 = 1.

Somit gilt: 82 mod 9 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 1 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 1 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 1 mod 9 sein, also addieren wir noch 1 auf die 9 und erhalten so 10.

Somit gilt: 10 ≡ 82 ≡ 1 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6001 + 8999) mod 3 ≡ (6001 mod 3 + 8999 mod 3) mod 3.

6001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6001 = 6000+1 = 3 ⋅ 2000 +1.

8999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8999 = 9000-1 = 3 ⋅ 3000 -1 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 2.

Somit gilt:

(6001 + 8999) mod 3 ≡ (1 + 2) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 80) mod 9 ≡ (79 mod 9 ⋅ 80 mod 9) mod 9.

79 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 72 + 7 = 8 ⋅ 9 + 7 ist.

80 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 72 + 8 = 8 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 80) mod 9 ≡ (7 ⋅ 8) mod 9 ≡ 56 mod 9 ≡ 2 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 246 aus, ob zufällig 246 mod m = 321 mod m gilt:

m=2: 246 mod 2 = 0 ≠ 1 = 321 mod 2

m=3: 246 mod 3 = 0 = 0 = 321 mod 3

m=4: 246 mod 4 = 2 ≠ 1 = 321 mod 4

m=5: 246 mod 5 = 1 = 1 = 321 mod 5

m=6: 246 mod 6 = 0 ≠ 3 = 321 mod 6

m=7: 246 mod 7 = 1 ≠ 6 = 321 mod 7

m=8: 246 mod 8 = 6 ≠ 1 = 321 mod 8

m=9: 246 mod 9 = 3 ≠ 6 = 321 mod 9

m=10: 246 mod 10 = 6 ≠ 1 = 321 mod 10

m=11: 246 mod 11 = 4 ≠ 2 = 321 mod 11

m=12: 246 mod 12 = 6 ≠ 9 = 321 mod 12

m=13: 246 mod 13 = 12 ≠ 9 = 321 mod 13

m=14: 246 mod 14 = 8 ≠ 13 = 321 mod 14

m=15: 246 mod 15 = 6 = 6 = 321 mod 15

m=16: 246 mod 16 = 6 ≠ 1 = 321 mod 16

m=17: 246 mod 17 = 8 ≠ 15 = 321 mod 17

m=18: 246 mod 18 = 12 ≠ 15 = 321 mod 18

m=19: 246 mod 19 = 18 ≠ 17 = 321 mod 19

m=20: 246 mod 20 = 6 ≠ 1 = 321 mod 20

m=21: 246 mod 21 = 15 ≠ 6 = 321 mod 21

m=22: 246 mod 22 = 4 ≠ 13 = 321 mod 22

m=23: 246 mod 23 = 16 ≠ 22 = 321 mod 23

m=24: 246 mod 24 = 6 ≠ 9 = 321 mod 24

m=25: 246 mod 25 = 21 = 21 = 321 mod 25

m=26: 246 mod 26 = 12 ≠ 9 = 321 mod 26

m=27: 246 mod 27 = 3 ≠ 24 = 321 mod 27

m=28: 246 mod 28 = 22 ≠ 13 = 321 mod 28

m=29: 246 mod 29 = 14 ≠ 2 = 321 mod 29

m=30: 246 mod 30 = 6 ≠ 21 = 321 mod 30

m=31: 246 mod 31 = 29 ≠ 11 = 321 mod 31

m=32: 246 mod 32 = 22 ≠ 1 = 321 mod 32

m=33: 246 mod 33 = 15 ≠ 24 = 321 mod 33

m=34: 246 mod 34 = 8 ≠ 15 = 321 mod 34

m=35: 246 mod 35 = 1 ≠ 6 = 321 mod 35

m=36: 246 mod 36 = 30 ≠ 33 = 321 mod 36

m=37: 246 mod 37 = 24 ≠ 25 = 321 mod 37

m=38: 246 mod 38 = 18 ≠ 17 = 321 mod 38

m=39: 246 mod 39 = 12 ≠ 9 = 321 mod 39

m=40: 246 mod 40 = 6 ≠ 1 = 321 mod 40

m=41: 246 mod 41 = 0 ≠ 34 = 321 mod 41

m=42: 246 mod 42 = 36 ≠ 27 = 321 mod 42

m=43: 246 mod 43 = 31 ≠ 20 = 321 mod 43

m=44: 246 mod 44 = 26 ≠ 13 = 321 mod 44

m=45: 246 mod 45 = 21 ≠ 6 = 321 mod 45

m=46: 246 mod 46 = 16 ≠ 45 = 321 mod 46

m=47: 246 mod 47 = 11 ≠ 39 = 321 mod 47

m=48: 246 mod 48 = 6 ≠ 33 = 321 mod 48

m=49: 246 mod 49 = 1 ≠ 27 = 321 mod 49

m=50: 246 mod 50 = 46 ≠ 21 = 321 mod 50

m=51: 246 mod 51 = 42 ≠ 15 = 321 mod 51

m=52: 246 mod 52 = 38 ≠ 9 = 321 mod 52

m=53: 246 mod 53 = 34 ≠ 3 = 321 mod 53

m=54: 246 mod 54 = 30 ≠ 51 = 321 mod 54

m=55: 246 mod 55 = 26 ≠ 46 = 321 mod 55

m=56: 246 mod 56 = 22 ≠ 41 = 321 mod 56

m=57: 246 mod 57 = 18 ≠ 36 = 321 mod 57

m=58: 246 mod 58 = 14 ≠ 31 = 321 mod 58

m=59: 246 mod 59 = 10 ≠ 26 = 321 mod 59

m=60: 246 mod 60 = 6 ≠ 21 = 321 mod 60

m=61: 246 mod 61 = 2 ≠ 16 = 321 mod 61

m=62: 246 mod 62 = 60 ≠ 11 = 321 mod 62

m=63: 246 mod 63 = 57 ≠ 6 = 321 mod 63

m=64: 246 mod 64 = 54 ≠ 1 = 321 mod 64

m=65: 246 mod 65 = 51 ≠ 61 = 321 mod 65

m=66: 246 mod 66 = 48 ≠ 57 = 321 mod 66

m=67: 246 mod 67 = 45 ≠ 53 = 321 mod 67

m=68: 246 mod 68 = 42 ≠ 49 = 321 mod 68

m=69: 246 mod 69 = 39 ≠ 45 = 321 mod 69

m=70: 246 mod 70 = 36 ≠ 41 = 321 mod 70

m=71: 246 mod 71 = 33 ≠ 37 = 321 mod 71

m=72: 246 mod 72 = 30 ≠ 33 = 321 mod 72

m=73: 246 mod 73 = 27 ≠ 29 = 321 mod 73

m=74: 246 mod 74 = 24 ≠ 25 = 321 mod 74

m=75: 246 mod 75 = 21 = 21 = 321 mod 75

m=76: 246 mod 76 = 18 ≠ 17 = 321 mod 76

m=77: 246 mod 77 = 15 ≠ 13 = 321 mod 77

m=78: 246 mod 78 = 12 ≠ 9 = 321 mod 78

m=79: 246 mod 79 = 9 ≠ 5 = 321 mod 79

m=80: 246 mod 80 = 6 ≠ 1 = 321 mod 80

m=81: 246 mod 81 = 3 ≠ 78 = 321 mod 81

m=82: 246 mod 82 = 0 ≠ 75 = 321 mod 82

m=83: 246 mod 83 = 80 ≠ 72 = 321 mod 83

m=84: 246 mod 84 = 78 ≠ 69 = 321 mod 84

m=85: 246 mod 85 = 76 ≠ 66 = 321 mod 85

m=86: 246 mod 86 = 74 ≠ 63 = 321 mod 86

m=87: 246 mod 87 = 72 ≠ 60 = 321 mod 87

m=88: 246 mod 88 = 70 ≠ 57 = 321 mod 88

m=89: 246 mod 89 = 68 ≠ 54 = 321 mod 89

m=90: 246 mod 90 = 66 ≠ 51 = 321 mod 90

m=91: 246 mod 91 = 64 ≠ 48 = 321 mod 91

m=92: 246 mod 92 = 62 ≠ 45 = 321 mod 92

m=93: 246 mod 93 = 60 ≠ 42 = 321 mod 93

m=94: 246 mod 94 = 58 ≠ 39 = 321 mod 94

m=95: 246 mod 95 = 56 ≠ 36 = 321 mod 95

m=96: 246 mod 96 = 54 ≠ 33 = 321 mod 96

m=97: 246 mod 97 = 52 ≠ 30 = 321 mod 97

m=98: 246 mod 98 = 50 ≠ 27 = 321 mod 98

m=99: 246 mod 99 = 48 ≠ 24 = 321 mod 99

m=100: 246 mod 100 = 46 ≠ 21 = 321 mod 100

m=101: 246 mod 101 = 44 ≠ 18 = 321 mod 101

m=102: 246 mod 102 = 42 ≠ 15 = 321 mod 102

m=103: 246 mod 103 = 40 ≠ 12 = 321 mod 103

m=104: 246 mod 104 = 38 ≠ 9 = 321 mod 104

m=105: 246 mod 105 = 36 ≠ 6 = 321 mod 105

m=106: 246 mod 106 = 34 ≠ 3 = 321 mod 106

m=107: 246 mod 107 = 32 ≠ 0 = 321 mod 107

m=108: 246 mod 108 = 30 ≠ 105 = 321 mod 108

m=109: 246 mod 109 = 28 ≠ 103 = 321 mod 109

m=110: 246 mod 110 = 26 ≠ 101 = 321 mod 110

m=111: 246 mod 111 = 24 ≠ 99 = 321 mod 111

m=112: 246 mod 112 = 22 ≠ 97 = 321 mod 112

m=113: 246 mod 113 = 20 ≠ 95 = 321 mod 113

m=114: 246 mod 114 = 18 ≠ 93 = 321 mod 114

m=115: 246 mod 115 = 16 ≠ 91 = 321 mod 115

m=116: 246 mod 116 = 14 ≠ 89 = 321 mod 116

m=117: 246 mod 117 = 12 ≠ 87 = 321 mod 117

m=118: 246 mod 118 = 10 ≠ 85 = 321 mod 118

m=119: 246 mod 119 = 8 ≠ 83 = 321 mod 119

m=120: 246 mod 120 = 6 ≠ 81 = 321 mod 120

m=121: 246 mod 121 = 4 ≠ 79 = 321 mod 121

m=122: 246 mod 122 = 2 ≠ 77 = 321 mod 122

m=123: 246 mod 123 = 0 ≠ 75 = 321 mod 123

m=124: 246 mod 124 = 122 ≠ 73 = 321 mod 124

m=125: 246 mod 125 = 121 ≠ 71 = 321 mod 125

m=126: 246 mod 126 = 120 ≠ 69 = 321 mod 126

m=127: 246 mod 127 = 119 ≠ 67 = 321 mod 127

m=128: 246 mod 128 = 118 ≠ 65 = 321 mod 128

m=129: 246 mod 129 = 117 ≠ 63 = 321 mod 129

m=130: 246 mod 130 = 116 ≠ 61 = 321 mod 130

m=131: 246 mod 131 = 115 ≠ 59 = 321 mod 131

m=132: 246 mod 132 = 114 ≠ 57 = 321 mod 132

m=133: 246 mod 133 = 113 ≠ 55 = 321 mod 133

m=134: 246 mod 134 = 112 ≠ 53 = 321 mod 134

m=135: 246 mod 135 = 111 ≠ 51 = 321 mod 135

m=136: 246 mod 136 = 110 ≠ 49 = 321 mod 136

m=137: 246 mod 137 = 109 ≠ 47 = 321 mod 137

m=138: 246 mod 138 = 108 ≠ 45 = 321 mod 138

m=139: 246 mod 139 = 107 ≠ 43 = 321 mod 139

m=140: 246 mod 140 = 106 ≠ 41 = 321 mod 140

m=141: 246 mod 141 = 105 ≠ 39 = 321 mod 141

m=142: 246 mod 142 = 104 ≠ 37 = 321 mod 142

m=143: 246 mod 143 = 103 ≠ 35 = 321 mod 143

m=144: 246 mod 144 = 102 ≠ 33 = 321 mod 144

m=145: 246 mod 145 = 101 ≠ 31 = 321 mod 145

m=146: 246 mod 146 = 100 ≠ 29 = 321 mod 146

m=147: 246 mod 147 = 99 ≠ 27 = 321 mod 147

m=148: 246 mod 148 = 98 ≠ 25 = 321 mod 148

m=149: 246 mod 149 = 97 ≠ 23 = 321 mod 149

m=150: 246 mod 150 = 96 ≠ 21 = 321 mod 150

m=151: 246 mod 151 = 95 ≠ 19 = 321 mod 151

m=152: 246 mod 152 = 94 ≠ 17 = 321 mod 152

m=153: 246 mod 153 = 93 ≠ 15 = 321 mod 153

m=154: 246 mod 154 = 92 ≠ 13 = 321 mod 154

m=155: 246 mod 155 = 91 ≠ 11 = 321 mod 155

m=156: 246 mod 156 = 90 ≠ 9 = 321 mod 156

m=157: 246 mod 157 = 89 ≠ 7 = 321 mod 157

m=158: 246 mod 158 = 88 ≠ 5 = 321 mod 158

m=159: 246 mod 159 = 87 ≠ 3 = 321 mod 159

m=160: 246 mod 160 = 86 ≠ 1 = 321 mod 160

m=161: 246 mod 161 = 85 ≠ 160 = 321 mod 161

m=162: 246 mod 162 = 84 ≠ 159 = 321 mod 162

m=163: 246 mod 163 = 83 ≠ 158 = 321 mod 163

m=164: 246 mod 164 = 82 ≠ 157 = 321 mod 164

m=165: 246 mod 165 = 81 ≠ 156 = 321 mod 165

m=166: 246 mod 166 = 80 ≠ 155 = 321 mod 166

m=167: 246 mod 167 = 79 ≠ 154 = 321 mod 167

m=168: 246 mod 168 = 78 ≠ 153 = 321 mod 168

m=169: 246 mod 169 = 77 ≠ 152 = 321 mod 169

m=170: 246 mod 170 = 76 ≠ 151 = 321 mod 170

m=171: 246 mod 171 = 75 ≠ 150 = 321 mod 171

m=172: 246 mod 172 = 74 ≠ 149 = 321 mod 172

m=173: 246 mod 173 = 73 ≠ 148 = 321 mod 173

m=174: 246 mod 174 = 72 ≠ 147 = 321 mod 174

m=175: 246 mod 175 = 71 ≠ 146 = 321 mod 175

m=176: 246 mod 176 = 70 ≠ 145 = 321 mod 176

m=177: 246 mod 177 = 69 ≠ 144 = 321 mod 177

m=178: 246 mod 178 = 68 ≠ 143 = 321 mod 178

m=179: 246 mod 179 = 67 ≠ 142 = 321 mod 179

m=180: 246 mod 180 = 66 ≠ 141 = 321 mod 180

m=181: 246 mod 181 = 65 ≠ 140 = 321 mod 181

m=182: 246 mod 182 = 64 ≠ 139 = 321 mod 182

m=183: 246 mod 183 = 63 ≠ 138 = 321 mod 183

m=184: 246 mod 184 = 62 ≠ 137 = 321 mod 184

m=185: 246 mod 185 = 61 ≠ 136 = 321 mod 185

m=186: 246 mod 186 = 60 ≠ 135 = 321 mod 186

m=187: 246 mod 187 = 59 ≠ 134 = 321 mod 187

m=188: 246 mod 188 = 58 ≠ 133 = 321 mod 188

m=189: 246 mod 189 = 57 ≠ 132 = 321 mod 189

m=190: 246 mod 190 = 56 ≠ 131 = 321 mod 190

m=191: 246 mod 191 = 55 ≠ 130 = 321 mod 191

m=192: 246 mod 192 = 54 ≠ 129 = 321 mod 192

m=193: 246 mod 193 = 53 ≠ 128 = 321 mod 193

m=194: 246 mod 194 = 52 ≠ 127 = 321 mod 194

m=195: 246 mod 195 = 51 ≠ 126 = 321 mod 195

m=196: 246 mod 196 = 50 ≠ 125 = 321 mod 196

m=197: 246 mod 197 = 49 ≠ 124 = 321 mod 197

m=198: 246 mod 198 = 48 ≠ 123 = 321 mod 198

m=199: 246 mod 199 = 47 ≠ 122 = 321 mod 199

m=200: 246 mod 200 = 46 ≠ 121 = 321 mod 200

m=201: 246 mod 201 = 45 ≠ 120 = 321 mod 201

m=202: 246 mod 202 = 44 ≠ 119 = 321 mod 202

m=203: 246 mod 203 = 43 ≠ 118 = 321 mod 203

m=204: 246 mod 204 = 42 ≠ 117 = 321 mod 204

m=205: 246 mod 205 = 41 ≠ 116 = 321 mod 205

m=206: 246 mod 206 = 40 ≠ 115 = 321 mod 206

m=207: 246 mod 207 = 39 ≠ 114 = 321 mod 207

m=208: 246 mod 208 = 38 ≠ 113 = 321 mod 208

m=209: 246 mod 209 = 37 ≠ 112 = 321 mod 209

m=210: 246 mod 210 = 36 ≠ 111 = 321 mod 210

m=211: 246 mod 211 = 35 ≠ 110 = 321 mod 211

m=212: 246 mod 212 = 34 ≠ 109 = 321 mod 212

m=213: 246 mod 213 = 33 ≠ 108 = 321 mod 213

m=214: 246 mod 214 = 32 ≠ 107 = 321 mod 214

m=215: 246 mod 215 = 31 ≠ 106 = 321 mod 215

m=216: 246 mod 216 = 30 ≠ 105 = 321 mod 216

m=217: 246 mod 217 = 29 ≠ 104 = 321 mod 217

m=218: 246 mod 218 = 28 ≠ 103 = 321 mod 218

m=219: 246 mod 219 = 27 ≠ 102 = 321 mod 219

m=220: 246 mod 220 = 26 ≠ 101 = 321 mod 220

m=221: 246 mod 221 = 25 ≠ 100 = 321 mod 221

m=222: 246 mod 222 = 24 ≠ 99 = 321 mod 222

m=223: 246 mod 223 = 23 ≠ 98 = 321 mod 223

m=224: 246 mod 224 = 22 ≠ 97 = 321 mod 224

m=225: 246 mod 225 = 21 ≠ 96 = 321 mod 225

m=226: 246 mod 226 = 20 ≠ 95 = 321 mod 226

m=227: 246 mod 227 = 19 ≠ 94 = 321 mod 227

m=228: 246 mod 228 = 18 ≠ 93 = 321 mod 228

m=229: 246 mod 229 = 17 ≠ 92 = 321 mod 229

m=230: 246 mod 230 = 16 ≠ 91 = 321 mod 230

m=231: 246 mod 231 = 15 ≠ 90 = 321 mod 231

m=232: 246 mod 232 = 14 ≠ 89 = 321 mod 232

m=233: 246 mod 233 = 13 ≠ 88 = 321 mod 233

m=234: 246 mod 234 = 12 ≠ 87 = 321 mod 234

m=235: 246 mod 235 = 11 ≠ 86 = 321 mod 235

m=236: 246 mod 236 = 10 ≠ 85 = 321 mod 236

m=237: 246 mod 237 = 9 ≠ 84 = 321 mod 237

m=238: 246 mod 238 = 8 ≠ 83 = 321 mod 238

m=239: 246 mod 239 = 7 ≠ 82 = 321 mod 239

m=240: 246 mod 240 = 6 ≠ 81 = 321 mod 240

m=241: 246 mod 241 = 5 ≠ 80 = 321 mod 241

m=242: 246 mod 242 = 4 ≠ 79 = 321 mod 242

m=243: 246 mod 243 = 3 ≠ 78 = 321 mod 243

m=244: 246 mod 244 = 2 ≠ 77 = 321 mod 244

m=245: 246 mod 245 = 1 ≠ 76 = 321 mod 245

m=246: 246 mod 246 = 0 ≠ 75 = 321 mod 246

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (321 - 246) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75