Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 22, weil ja 2 ⋅ 11 = 22 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 27 - 22 = 5.

Somit gilt: 27 mod 11 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 48, weil ja 8 ⋅ 6 = 48 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 48 - 48 = 0.

Somit gilt: 48 mod 6 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 0 mod 6.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 50, z.B. 54 = 9 ⋅ 6

Somit gilt: 54 ≡ 48 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1197 + 18000) mod 6 ≡ (1197 mod 6 + 18000 mod 6) mod 6.

1197 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197 = 1200-3 = 6 ⋅ 200 -3 = 6 ⋅ 200 - 6 + 3.

18000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18000 = 18000+0 = 6 ⋅ 3000 +0.

Somit gilt:

(1197 + 18000) mod 6 ≡ (3 + 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 83) mod 5 ≡ (70 mod 5 ⋅ 83 mod 5) mod 5.

70 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 14 ⋅ 5 + 0 ist.

83 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 16 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 83) mod 5 ≡ (0 ⋅ 3) mod 5 ≡ 0 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 221 aus, ob zufällig 221 mod m = 296 mod m gilt:

m=2: 221 mod 2 = 1 ≠ 0 = 296 mod 2

m=3: 221 mod 3 = 2 = 2 = 296 mod 3

m=4: 221 mod 4 = 1 ≠ 0 = 296 mod 4

m=5: 221 mod 5 = 1 = 1 = 296 mod 5

m=6: 221 mod 6 = 5 ≠ 2 = 296 mod 6

m=7: 221 mod 7 = 4 ≠ 2 = 296 mod 7

m=8: 221 mod 8 = 5 ≠ 0 = 296 mod 8

m=9: 221 mod 9 = 5 ≠ 8 = 296 mod 9

m=10: 221 mod 10 = 1 ≠ 6 = 296 mod 10

m=11: 221 mod 11 = 1 ≠ 10 = 296 mod 11

m=12: 221 mod 12 = 5 ≠ 8 = 296 mod 12

m=13: 221 mod 13 = 0 ≠ 10 = 296 mod 13

m=14: 221 mod 14 = 11 ≠ 2 = 296 mod 14

m=15: 221 mod 15 = 11 = 11 = 296 mod 15

m=16: 221 mod 16 = 13 ≠ 8 = 296 mod 16

m=17: 221 mod 17 = 0 ≠ 7 = 296 mod 17

m=18: 221 mod 18 = 5 ≠ 8 = 296 mod 18

m=19: 221 mod 19 = 12 ≠ 11 = 296 mod 19

m=20: 221 mod 20 = 1 ≠ 16 = 296 mod 20

m=21: 221 mod 21 = 11 ≠ 2 = 296 mod 21

m=22: 221 mod 22 = 1 ≠ 10 = 296 mod 22

m=23: 221 mod 23 = 14 ≠ 20 = 296 mod 23

m=24: 221 mod 24 = 5 ≠ 8 = 296 mod 24

m=25: 221 mod 25 = 21 = 21 = 296 mod 25

m=26: 221 mod 26 = 13 ≠ 10 = 296 mod 26

m=27: 221 mod 27 = 5 ≠ 26 = 296 mod 27

m=28: 221 mod 28 = 25 ≠ 16 = 296 mod 28

m=29: 221 mod 29 = 18 ≠ 6 = 296 mod 29

m=30: 221 mod 30 = 11 ≠ 26 = 296 mod 30

m=31: 221 mod 31 = 4 ≠ 17 = 296 mod 31

m=32: 221 mod 32 = 29 ≠ 8 = 296 mod 32

m=33: 221 mod 33 = 23 ≠ 32 = 296 mod 33

m=34: 221 mod 34 = 17 ≠ 24 = 296 mod 34

m=35: 221 mod 35 = 11 ≠ 16 = 296 mod 35

m=36: 221 mod 36 = 5 ≠ 8 = 296 mod 36

m=37: 221 mod 37 = 36 ≠ 0 = 296 mod 37

m=38: 221 mod 38 = 31 ≠ 30 = 296 mod 38

m=39: 221 mod 39 = 26 ≠ 23 = 296 mod 39

m=40: 221 mod 40 = 21 ≠ 16 = 296 mod 40

m=41: 221 mod 41 = 16 ≠ 9 = 296 mod 41

m=42: 221 mod 42 = 11 ≠ 2 = 296 mod 42

m=43: 221 mod 43 = 6 ≠ 38 = 296 mod 43

m=44: 221 mod 44 = 1 ≠ 32 = 296 mod 44

m=45: 221 mod 45 = 41 ≠ 26 = 296 mod 45

m=46: 221 mod 46 = 37 ≠ 20 = 296 mod 46

m=47: 221 mod 47 = 33 ≠ 14 = 296 mod 47

m=48: 221 mod 48 = 29 ≠ 8 = 296 mod 48

m=49: 221 mod 49 = 25 ≠ 2 = 296 mod 49

m=50: 221 mod 50 = 21 ≠ 46 = 296 mod 50

m=51: 221 mod 51 = 17 ≠ 41 = 296 mod 51

m=52: 221 mod 52 = 13 ≠ 36 = 296 mod 52

m=53: 221 mod 53 = 9 ≠ 31 = 296 mod 53

m=54: 221 mod 54 = 5 ≠ 26 = 296 mod 54

m=55: 221 mod 55 = 1 ≠ 21 = 296 mod 55

m=56: 221 mod 56 = 53 ≠ 16 = 296 mod 56

m=57: 221 mod 57 = 50 ≠ 11 = 296 mod 57

m=58: 221 mod 58 = 47 ≠ 6 = 296 mod 58

m=59: 221 mod 59 = 44 ≠ 1 = 296 mod 59

m=60: 221 mod 60 = 41 ≠ 56 = 296 mod 60

m=61: 221 mod 61 = 38 ≠ 52 = 296 mod 61

m=62: 221 mod 62 = 35 ≠ 48 = 296 mod 62

m=63: 221 mod 63 = 32 ≠ 44 = 296 mod 63

m=64: 221 mod 64 = 29 ≠ 40 = 296 mod 64

m=65: 221 mod 65 = 26 ≠ 36 = 296 mod 65

m=66: 221 mod 66 = 23 ≠ 32 = 296 mod 66

m=67: 221 mod 67 = 20 ≠ 28 = 296 mod 67

m=68: 221 mod 68 = 17 ≠ 24 = 296 mod 68

m=69: 221 mod 69 = 14 ≠ 20 = 296 mod 69

m=70: 221 mod 70 = 11 ≠ 16 = 296 mod 70

m=71: 221 mod 71 = 8 ≠ 12 = 296 mod 71

m=72: 221 mod 72 = 5 ≠ 8 = 296 mod 72

m=73: 221 mod 73 = 2 ≠ 4 = 296 mod 73

m=74: 221 mod 74 = 73 ≠ 0 = 296 mod 74

m=75: 221 mod 75 = 71 = 71 = 296 mod 75

m=76: 221 mod 76 = 69 ≠ 68 = 296 mod 76

m=77: 221 mod 77 = 67 ≠ 65 = 296 mod 77

m=78: 221 mod 78 = 65 ≠ 62 = 296 mod 78

m=79: 221 mod 79 = 63 ≠ 59 = 296 mod 79

m=80: 221 mod 80 = 61 ≠ 56 = 296 mod 80

m=81: 221 mod 81 = 59 ≠ 53 = 296 mod 81

m=82: 221 mod 82 = 57 ≠ 50 = 296 mod 82

m=83: 221 mod 83 = 55 ≠ 47 = 296 mod 83

m=84: 221 mod 84 = 53 ≠ 44 = 296 mod 84

m=85: 221 mod 85 = 51 ≠ 41 = 296 mod 85

m=86: 221 mod 86 = 49 ≠ 38 = 296 mod 86

m=87: 221 mod 87 = 47 ≠ 35 = 296 mod 87

m=88: 221 mod 88 = 45 ≠ 32 = 296 mod 88

m=89: 221 mod 89 = 43 ≠ 29 = 296 mod 89

m=90: 221 mod 90 = 41 ≠ 26 = 296 mod 90

m=91: 221 mod 91 = 39 ≠ 23 = 296 mod 91

m=92: 221 mod 92 = 37 ≠ 20 = 296 mod 92

m=93: 221 mod 93 = 35 ≠ 17 = 296 mod 93

m=94: 221 mod 94 = 33 ≠ 14 = 296 mod 94

m=95: 221 mod 95 = 31 ≠ 11 = 296 mod 95

m=96: 221 mod 96 = 29 ≠ 8 = 296 mod 96

m=97: 221 mod 97 = 27 ≠ 5 = 296 mod 97

m=98: 221 mod 98 = 25 ≠ 2 = 296 mod 98

m=99: 221 mod 99 = 23 ≠ 98 = 296 mod 99

m=100: 221 mod 100 = 21 ≠ 96 = 296 mod 100

m=101: 221 mod 101 = 19 ≠ 94 = 296 mod 101

m=102: 221 mod 102 = 17 ≠ 92 = 296 mod 102

m=103: 221 mod 103 = 15 ≠ 90 = 296 mod 103

m=104: 221 mod 104 = 13 ≠ 88 = 296 mod 104

m=105: 221 mod 105 = 11 ≠ 86 = 296 mod 105

m=106: 221 mod 106 = 9 ≠ 84 = 296 mod 106

m=107: 221 mod 107 = 7 ≠ 82 = 296 mod 107

m=108: 221 mod 108 = 5 ≠ 80 = 296 mod 108

m=109: 221 mod 109 = 3 ≠ 78 = 296 mod 109

m=110: 221 mod 110 = 1 ≠ 76 = 296 mod 110

m=111: 221 mod 111 = 110 ≠ 74 = 296 mod 111

m=112: 221 mod 112 = 109 ≠ 72 = 296 mod 112

m=113: 221 mod 113 = 108 ≠ 70 = 296 mod 113

m=114: 221 mod 114 = 107 ≠ 68 = 296 mod 114

m=115: 221 mod 115 = 106 ≠ 66 = 296 mod 115

m=116: 221 mod 116 = 105 ≠ 64 = 296 mod 116

m=117: 221 mod 117 = 104 ≠ 62 = 296 mod 117

m=118: 221 mod 118 = 103 ≠ 60 = 296 mod 118

m=119: 221 mod 119 = 102 ≠ 58 = 296 mod 119

m=120: 221 mod 120 = 101 ≠ 56 = 296 mod 120

m=121: 221 mod 121 = 100 ≠ 54 = 296 mod 121

m=122: 221 mod 122 = 99 ≠ 52 = 296 mod 122

m=123: 221 mod 123 = 98 ≠ 50 = 296 mod 123

m=124: 221 mod 124 = 97 ≠ 48 = 296 mod 124

m=125: 221 mod 125 = 96 ≠ 46 = 296 mod 125

m=126: 221 mod 126 = 95 ≠ 44 = 296 mod 126

m=127: 221 mod 127 = 94 ≠ 42 = 296 mod 127

m=128: 221 mod 128 = 93 ≠ 40 = 296 mod 128

m=129: 221 mod 129 = 92 ≠ 38 = 296 mod 129

m=130: 221 mod 130 = 91 ≠ 36 = 296 mod 130

m=131: 221 mod 131 = 90 ≠ 34 = 296 mod 131

m=132: 221 mod 132 = 89 ≠ 32 = 296 mod 132

m=133: 221 mod 133 = 88 ≠ 30 = 296 mod 133

m=134: 221 mod 134 = 87 ≠ 28 = 296 mod 134

m=135: 221 mod 135 = 86 ≠ 26 = 296 mod 135

m=136: 221 mod 136 = 85 ≠ 24 = 296 mod 136

m=137: 221 mod 137 = 84 ≠ 22 = 296 mod 137

m=138: 221 mod 138 = 83 ≠ 20 = 296 mod 138

m=139: 221 mod 139 = 82 ≠ 18 = 296 mod 139

m=140: 221 mod 140 = 81 ≠ 16 = 296 mod 140

m=141: 221 mod 141 = 80 ≠ 14 = 296 mod 141

m=142: 221 mod 142 = 79 ≠ 12 = 296 mod 142

m=143: 221 mod 143 = 78 ≠ 10 = 296 mod 143

m=144: 221 mod 144 = 77 ≠ 8 = 296 mod 144

m=145: 221 mod 145 = 76 ≠ 6 = 296 mod 145

m=146: 221 mod 146 = 75 ≠ 4 = 296 mod 146

m=147: 221 mod 147 = 74 ≠ 2 = 296 mod 147

m=148: 221 mod 148 = 73 ≠ 0 = 296 mod 148

m=149: 221 mod 149 = 72 ≠ 147 = 296 mod 149

m=150: 221 mod 150 = 71 ≠ 146 = 296 mod 150

m=151: 221 mod 151 = 70 ≠ 145 = 296 mod 151

m=152: 221 mod 152 = 69 ≠ 144 = 296 mod 152

m=153: 221 mod 153 = 68 ≠ 143 = 296 mod 153

m=154: 221 mod 154 = 67 ≠ 142 = 296 mod 154

m=155: 221 mod 155 = 66 ≠ 141 = 296 mod 155

m=156: 221 mod 156 = 65 ≠ 140 = 296 mod 156

m=157: 221 mod 157 = 64 ≠ 139 = 296 mod 157

m=158: 221 mod 158 = 63 ≠ 138 = 296 mod 158

m=159: 221 mod 159 = 62 ≠ 137 = 296 mod 159

m=160: 221 mod 160 = 61 ≠ 136 = 296 mod 160

m=161: 221 mod 161 = 60 ≠ 135 = 296 mod 161

m=162: 221 mod 162 = 59 ≠ 134 = 296 mod 162

m=163: 221 mod 163 = 58 ≠ 133 = 296 mod 163

m=164: 221 mod 164 = 57 ≠ 132 = 296 mod 164

m=165: 221 mod 165 = 56 ≠ 131 = 296 mod 165

m=166: 221 mod 166 = 55 ≠ 130 = 296 mod 166

m=167: 221 mod 167 = 54 ≠ 129 = 296 mod 167

m=168: 221 mod 168 = 53 ≠ 128 = 296 mod 168

m=169: 221 mod 169 = 52 ≠ 127 = 296 mod 169

m=170: 221 mod 170 = 51 ≠ 126 = 296 mod 170

m=171: 221 mod 171 = 50 ≠ 125 = 296 mod 171

m=172: 221 mod 172 = 49 ≠ 124 = 296 mod 172

m=173: 221 mod 173 = 48 ≠ 123 = 296 mod 173

m=174: 221 mod 174 = 47 ≠ 122 = 296 mod 174

m=175: 221 mod 175 = 46 ≠ 121 = 296 mod 175

m=176: 221 mod 176 = 45 ≠ 120 = 296 mod 176

m=177: 221 mod 177 = 44 ≠ 119 = 296 mod 177

m=178: 221 mod 178 = 43 ≠ 118 = 296 mod 178

m=179: 221 mod 179 = 42 ≠ 117 = 296 mod 179

m=180: 221 mod 180 = 41 ≠ 116 = 296 mod 180

m=181: 221 mod 181 = 40 ≠ 115 = 296 mod 181

m=182: 221 mod 182 = 39 ≠ 114 = 296 mod 182

m=183: 221 mod 183 = 38 ≠ 113 = 296 mod 183

m=184: 221 mod 184 = 37 ≠ 112 = 296 mod 184

m=185: 221 mod 185 = 36 ≠ 111 = 296 mod 185

m=186: 221 mod 186 = 35 ≠ 110 = 296 mod 186

m=187: 221 mod 187 = 34 ≠ 109 = 296 mod 187

m=188: 221 mod 188 = 33 ≠ 108 = 296 mod 188

m=189: 221 mod 189 = 32 ≠ 107 = 296 mod 189

m=190: 221 mod 190 = 31 ≠ 106 = 296 mod 190

m=191: 221 mod 191 = 30 ≠ 105 = 296 mod 191

m=192: 221 mod 192 = 29 ≠ 104 = 296 mod 192

m=193: 221 mod 193 = 28 ≠ 103 = 296 mod 193

m=194: 221 mod 194 = 27 ≠ 102 = 296 mod 194

m=195: 221 mod 195 = 26 ≠ 101 = 296 mod 195

m=196: 221 mod 196 = 25 ≠ 100 = 296 mod 196

m=197: 221 mod 197 = 24 ≠ 99 = 296 mod 197

m=198: 221 mod 198 = 23 ≠ 98 = 296 mod 198

m=199: 221 mod 199 = 22 ≠ 97 = 296 mod 199

m=200: 221 mod 200 = 21 ≠ 96 = 296 mod 200

m=201: 221 mod 201 = 20 ≠ 95 = 296 mod 201

m=202: 221 mod 202 = 19 ≠ 94 = 296 mod 202

m=203: 221 mod 203 = 18 ≠ 93 = 296 mod 203

m=204: 221 mod 204 = 17 ≠ 92 = 296 mod 204

m=205: 221 mod 205 = 16 ≠ 91 = 296 mod 205

m=206: 221 mod 206 = 15 ≠ 90 = 296 mod 206

m=207: 221 mod 207 = 14 ≠ 89 = 296 mod 207

m=208: 221 mod 208 = 13 ≠ 88 = 296 mod 208

m=209: 221 mod 209 = 12 ≠ 87 = 296 mod 209

m=210: 221 mod 210 = 11 ≠ 86 = 296 mod 210

m=211: 221 mod 211 = 10 ≠ 85 = 296 mod 211

m=212: 221 mod 212 = 9 ≠ 84 = 296 mod 212

m=213: 221 mod 213 = 8 ≠ 83 = 296 mod 213

m=214: 221 mod 214 = 7 ≠ 82 = 296 mod 214

m=215: 221 mod 215 = 6 ≠ 81 = 296 mod 215

m=216: 221 mod 216 = 5 ≠ 80 = 296 mod 216

m=217: 221 mod 217 = 4 ≠ 79 = 296 mod 217

m=218: 221 mod 218 = 3 ≠ 78 = 296 mod 218

m=219: 221 mod 219 = 2 ≠ 77 = 296 mod 219

m=220: 221 mod 220 = 1 ≠ 76 = 296 mod 220

m=221: 221 mod 221 = 0 ≠ 75 = 296 mod 221

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (296 - 221) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75