Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 42, weil ja 6 ⋅ 7 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 43 - 42 = 1.

Somit gilt: 43 mod 7 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 40, weil ja 4 ⋅ 10 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 49 - 40 = 9.

Somit gilt: 49 mod 10 ≡ 9.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 40 für die gilt: n ≡ 9 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 3 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 9 mod 10 sein, also addieren wir noch 9 auf die 30 und erhalten so 39.

Somit gilt: 39 ≡ 49 ≡ 9 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 + 8003) mod 4 ≡ (84 mod 4 + 8003 mod 4) mod 4.

84 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80+4 = 4 ⋅ 20 +4.

8003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8003 = 8000+3 = 4 ⋅ 2000 +3.

Somit gilt:

(84 + 8003) mod 4 ≡ (0 + 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 38) mod 7 ≡ (62 mod 7 ⋅ 38 mod 7) mod 7.

62 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 56 + 6 = 8 ⋅ 7 + 6 ist.

38 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 35 + 3 = 5 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 38) mod 7 ≡ (6 ⋅ 3) mod 7 ≡ 18 mod 7 ≡ 4 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 45 aus, ob zufällig 45 mod m = 65 mod m gilt:

m=2: 45 mod 2 = 1 = 1 = 65 mod 2

m=3: 45 mod 3 = 0 ≠ 2 = 65 mod 3

m=4: 45 mod 4 = 1 = 1 = 65 mod 4

m=5: 45 mod 5 = 0 = 0 = 65 mod 5

m=6: 45 mod 6 = 3 ≠ 5 = 65 mod 6

m=7: 45 mod 7 = 3 ≠ 2 = 65 mod 7

m=8: 45 mod 8 = 5 ≠ 1 = 65 mod 8

m=9: 45 mod 9 = 0 ≠ 2 = 65 mod 9

m=10: 45 mod 10 = 5 = 5 = 65 mod 10

m=11: 45 mod 11 = 1 ≠ 10 = 65 mod 11

m=12: 45 mod 12 = 9 ≠ 5 = 65 mod 12

m=13: 45 mod 13 = 6 ≠ 0 = 65 mod 13

m=14: 45 mod 14 = 3 ≠ 9 = 65 mod 14

m=15: 45 mod 15 = 0 ≠ 5 = 65 mod 15

m=16: 45 mod 16 = 13 ≠ 1 = 65 mod 16

m=17: 45 mod 17 = 11 ≠ 14 = 65 mod 17

m=18: 45 mod 18 = 9 ≠ 11 = 65 mod 18

m=19: 45 mod 19 = 7 ≠ 8 = 65 mod 19

m=20: 45 mod 20 = 5 = 5 = 65 mod 20

m=21: 45 mod 21 = 3 ≠ 2 = 65 mod 21

m=22: 45 mod 22 = 1 ≠ 21 = 65 mod 22

m=23: 45 mod 23 = 22 ≠ 19 = 65 mod 23

m=24: 45 mod 24 = 21 ≠ 17 = 65 mod 24

m=25: 45 mod 25 = 20 ≠ 15 = 65 mod 25

m=26: 45 mod 26 = 19 ≠ 13 = 65 mod 26

m=27: 45 mod 27 = 18 ≠ 11 = 65 mod 27

m=28: 45 mod 28 = 17 ≠ 9 = 65 mod 28

m=29: 45 mod 29 = 16 ≠ 7 = 65 mod 29

m=30: 45 mod 30 = 15 ≠ 5 = 65 mod 30

m=31: 45 mod 31 = 14 ≠ 3 = 65 mod 31

m=32: 45 mod 32 = 13 ≠ 1 = 65 mod 32

m=33: 45 mod 33 = 12 ≠ 32 = 65 mod 33

m=34: 45 mod 34 = 11 ≠ 31 = 65 mod 34

m=35: 45 mod 35 = 10 ≠ 30 = 65 mod 35

m=36: 45 mod 36 = 9 ≠ 29 = 65 mod 36

m=37: 45 mod 37 = 8 ≠ 28 = 65 mod 37

m=38: 45 mod 38 = 7 ≠ 27 = 65 mod 38

m=39: 45 mod 39 = 6 ≠ 26 = 65 mod 39

m=40: 45 mod 40 = 5 ≠ 25 = 65 mod 40

m=41: 45 mod 41 = 4 ≠ 24 = 65 mod 41

m=42: 45 mod 42 = 3 ≠ 23 = 65 mod 42

m=43: 45 mod 43 = 2 ≠ 22 = 65 mod 43

m=44: 45 mod 44 = 1 ≠ 21 = 65 mod 44

m=45: 45 mod 45 = 0 ≠ 20 = 65 mod 45

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (65 - 45) = 20 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 5; 10; 20