Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 32, weil ja 4 ⋅ 8 = 32 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 38 - 32 = 6.

Somit gilt: 38 mod 8 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 90, weil ja 30 ⋅ 3 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 92 - 90 = 2.

Somit gilt: 92 mod 3 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 3 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 9 und erhalten so 11.

Somit gilt: 11 ≡ 92 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15999 + 4005) mod 8 ≡ (15999 mod 8 + 4005 mod 8) mod 8.

15999 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15999 = 15000+999 = 8 ⋅ 1875 +999.

4005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4005 = 4000+5 = 8 ⋅ 500 +5.

Somit gilt:

(15999 + 4005) mod 8 ≡ (7 + 5) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 99) mod 11 ≡ (96 mod 11 ⋅ 99 mod 11) mod 11.

96 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 88 + 8 = 8 ⋅ 11 + 8 ist.

99 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 9 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 99) mod 11 ≡ (8 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 44 aus, ob zufällig 44 mod m = 64 mod m gilt:

m=2: 44 mod 2 = 0 = 0 = 64 mod 2

m=3: 44 mod 3 = 2 ≠ 1 = 64 mod 3

m=4: 44 mod 4 = 0 = 0 = 64 mod 4

m=5: 44 mod 5 = 4 = 4 = 64 mod 5

m=6: 44 mod 6 = 2 ≠ 4 = 64 mod 6

m=7: 44 mod 7 = 2 ≠ 1 = 64 mod 7

m=8: 44 mod 8 = 4 ≠ 0 = 64 mod 8

m=9: 44 mod 9 = 8 ≠ 1 = 64 mod 9

m=10: 44 mod 10 = 4 = 4 = 64 mod 10

m=11: 44 mod 11 = 0 ≠ 9 = 64 mod 11

m=12: 44 mod 12 = 8 ≠ 4 = 64 mod 12

m=13: 44 mod 13 = 5 ≠ 12 = 64 mod 13

m=14: 44 mod 14 = 2 ≠ 8 = 64 mod 14

m=15: 44 mod 15 = 14 ≠ 4 = 64 mod 15

m=16: 44 mod 16 = 12 ≠ 0 = 64 mod 16

m=17: 44 mod 17 = 10 ≠ 13 = 64 mod 17

m=18: 44 mod 18 = 8 ≠ 10 = 64 mod 18

m=19: 44 mod 19 = 6 ≠ 7 = 64 mod 19

m=20: 44 mod 20 = 4 = 4 = 64 mod 20

m=21: 44 mod 21 = 2 ≠ 1 = 64 mod 21

m=22: 44 mod 22 = 0 ≠ 20 = 64 mod 22

m=23: 44 mod 23 = 21 ≠ 18 = 64 mod 23

m=24: 44 mod 24 = 20 ≠ 16 = 64 mod 24

m=25: 44 mod 25 = 19 ≠ 14 = 64 mod 25

m=26: 44 mod 26 = 18 ≠ 12 = 64 mod 26

m=27: 44 mod 27 = 17 ≠ 10 = 64 mod 27

m=28: 44 mod 28 = 16 ≠ 8 = 64 mod 28

m=29: 44 mod 29 = 15 ≠ 6 = 64 mod 29

m=30: 44 mod 30 = 14 ≠ 4 = 64 mod 30

m=31: 44 mod 31 = 13 ≠ 2 = 64 mod 31

m=32: 44 mod 32 = 12 ≠ 0 = 64 mod 32

m=33: 44 mod 33 = 11 ≠ 31 = 64 mod 33

m=34: 44 mod 34 = 10 ≠ 30 = 64 mod 34

m=35: 44 mod 35 = 9 ≠ 29 = 64 mod 35

m=36: 44 mod 36 = 8 ≠ 28 = 64 mod 36

m=37: 44 mod 37 = 7 ≠ 27 = 64 mod 37

m=38: 44 mod 38 = 6 ≠ 26 = 64 mod 38

m=39: 44 mod 39 = 5 ≠ 25 = 64 mod 39

m=40: 44 mod 40 = 4 ≠ 24 = 64 mod 40

m=41: 44 mod 41 = 3 ≠ 23 = 64 mod 41

m=42: 44 mod 42 = 2 ≠ 22 = 64 mod 42

m=43: 44 mod 43 = 1 ≠ 21 = 64 mod 43

m=44: 44 mod 44 = 0 ≠ 20 = 64 mod 44

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (64 - 44) = 20 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 5; 10; 20