Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 86 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 86 - 77 = 9.
Somit gilt: 86 mod 11 ≡ 9.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 44 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 40, weil ja 5 ⋅ 8 = 40 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 44 - 40 = 4.
Somit gilt: 44 mod 8 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 4 mod 8.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 30, z.B. 32 = 4 ⋅ 8
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 4 mod 8 sein, also addieren wir noch 4 auf die 32 und erhalten so 36.
Somit gilt: 36 ≡ 44 ≡ 4 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (183 + 36000) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(183 + 36000) mod 9 ≡ (183 mod 9 + 36000 mod 9) mod 9.
183 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 183
= 180
36000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36000
= 36000
Somit gilt:
(183 + 36000) mod 9 ≡ (3 + 0) mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 99) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15 ⋅ 99) mod 11 ≡ (15 mod 11 ⋅ 99 mod 11) mod 11.
15 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 11 + 4 = 1 ⋅ 11 + 4 ist.
99 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 9 ⋅ 11 + 0 ist.
Somit gilt:
(15 ⋅ 99) mod 11 ≡ (4 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
29 mod m = 41 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 29 aus, ob zufällig 29 mod m = 41 mod m gilt:
m=2: 29 mod 2 = 1 = 1 = 41 mod 2
m=3: 29 mod 3 = 2 = 2 = 41 mod 3
m=4: 29 mod 4 = 1 = 1 = 41 mod 4
m=5: 29 mod 5 = 4 ≠ 1 = 41 mod 5
m=6: 29 mod 6 = 5 = 5 = 41 mod 6
m=7: 29 mod 7 = 1 ≠ 6 = 41 mod 7
m=8: 29 mod 8 = 5 ≠ 1 = 41 mod 8
m=9: 29 mod 9 = 2 ≠ 5 = 41 mod 9
m=10: 29 mod 10 = 9 ≠ 1 = 41 mod 10
m=11: 29 mod 11 = 7 ≠ 8 = 41 mod 11
m=12: 29 mod 12 = 5 = 5 = 41 mod 12
m=13: 29 mod 13 = 3 ≠ 2 = 41 mod 13
m=14: 29 mod 14 = 1 ≠ 13 = 41 mod 14
m=15: 29 mod 15 = 14 ≠ 11 = 41 mod 15
m=16: 29 mod 16 = 13 ≠ 9 = 41 mod 16
m=17: 29 mod 17 = 12 ≠ 7 = 41 mod 17
m=18: 29 mod 18 = 11 ≠ 5 = 41 mod 18
m=19: 29 mod 19 = 10 ≠ 3 = 41 mod 19
m=20: 29 mod 20 = 9 ≠ 1 = 41 mod 20
m=21: 29 mod 21 = 8 ≠ 20 = 41 mod 21
m=22: 29 mod 22 = 7 ≠ 19 = 41 mod 22
m=23: 29 mod 23 = 6 ≠ 18 = 41 mod 23
m=24: 29 mod 24 = 5 ≠ 17 = 41 mod 24
m=25: 29 mod 25 = 4 ≠ 16 = 41 mod 25
m=26: 29 mod 26 = 3 ≠ 15 = 41 mod 26
m=27: 29 mod 27 = 2 ≠ 14 = 41 mod 27
m=28: 29 mod 28 = 1 ≠ 13 = 41 mod 28
m=29: 29 mod 29 = 0 ≠ 12 = 41 mod 29
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (41 - 29) = 12 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 4; 6; 12
