Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 24, weil ja 8 ⋅ 3 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 24 - 24 = 0.

Somit gilt: 24 mod 3 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 99, weil ja 33 ⋅ 3 = 99 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 99 - 99 = 0.

Somit gilt: 99 mod 3 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 40, z.B. 42 = 14 ⋅ 3

Somit gilt: 42 ≡ 99 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3193 - 402) mod 8 ≡ (3193 mod 8 - 402 mod 8) mod 8.

3193 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3193 = 3200-7 = 8 ⋅ 400 -7 = 8 ⋅ 400 - 8 + 1.

402 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 402 = 400+2 = 8 ⋅ 50 +2.

Somit gilt:

(3193 - 402) mod 8 ≡ (1 - 2) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 39) mod 3 ≡ (51 mod 3 ⋅ 39 mod 3) mod 3.

51 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 51 + 0 = 17 ⋅ 3 + 0 ist.

39 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 39 + 0 = 13 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 39) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 126 aus, ob zufällig 126 mod m = 176 mod m gilt:

m=2: 126 mod 2 = 0 = 0 = 176 mod 2

m=3: 126 mod 3 = 0 ≠ 2 = 176 mod 3

m=4: 126 mod 4 = 2 ≠ 0 = 176 mod 4

m=5: 126 mod 5 = 1 = 1 = 176 mod 5

m=6: 126 mod 6 = 0 ≠ 2 = 176 mod 6

m=7: 126 mod 7 = 0 ≠ 1 = 176 mod 7

m=8: 126 mod 8 = 6 ≠ 0 = 176 mod 8

m=9: 126 mod 9 = 0 ≠ 5 = 176 mod 9

m=10: 126 mod 10 = 6 = 6 = 176 mod 10

m=11: 126 mod 11 = 5 ≠ 0 = 176 mod 11

m=12: 126 mod 12 = 6 ≠ 8 = 176 mod 12

m=13: 126 mod 13 = 9 ≠ 7 = 176 mod 13

m=14: 126 mod 14 = 0 ≠ 8 = 176 mod 14

m=15: 126 mod 15 = 6 ≠ 11 = 176 mod 15

m=16: 126 mod 16 = 14 ≠ 0 = 176 mod 16

m=17: 126 mod 17 = 7 ≠ 6 = 176 mod 17

m=18: 126 mod 18 = 0 ≠ 14 = 176 mod 18

m=19: 126 mod 19 = 12 ≠ 5 = 176 mod 19

m=20: 126 mod 20 = 6 ≠ 16 = 176 mod 20

m=21: 126 mod 21 = 0 ≠ 8 = 176 mod 21

m=22: 126 mod 22 = 16 ≠ 0 = 176 mod 22

m=23: 126 mod 23 = 11 ≠ 15 = 176 mod 23

m=24: 126 mod 24 = 6 ≠ 8 = 176 mod 24

m=25: 126 mod 25 = 1 = 1 = 176 mod 25

m=26: 126 mod 26 = 22 ≠ 20 = 176 mod 26

m=27: 126 mod 27 = 18 ≠ 14 = 176 mod 27

m=28: 126 mod 28 = 14 ≠ 8 = 176 mod 28

m=29: 126 mod 29 = 10 ≠ 2 = 176 mod 29

m=30: 126 mod 30 = 6 ≠ 26 = 176 mod 30

m=31: 126 mod 31 = 2 ≠ 21 = 176 mod 31

m=32: 126 mod 32 = 30 ≠ 16 = 176 mod 32

m=33: 126 mod 33 = 27 ≠ 11 = 176 mod 33

m=34: 126 mod 34 = 24 ≠ 6 = 176 mod 34

m=35: 126 mod 35 = 21 ≠ 1 = 176 mod 35

m=36: 126 mod 36 = 18 ≠ 32 = 176 mod 36

m=37: 126 mod 37 = 15 ≠ 28 = 176 mod 37

m=38: 126 mod 38 = 12 ≠ 24 = 176 mod 38

m=39: 126 mod 39 = 9 ≠ 20 = 176 mod 39

m=40: 126 mod 40 = 6 ≠ 16 = 176 mod 40

m=41: 126 mod 41 = 3 ≠ 12 = 176 mod 41

m=42: 126 mod 42 = 0 ≠ 8 = 176 mod 42

m=43: 126 mod 43 = 40 ≠ 4 = 176 mod 43

m=44: 126 mod 44 = 38 ≠ 0 = 176 mod 44

m=45: 126 mod 45 = 36 ≠ 41 = 176 mod 45

m=46: 126 mod 46 = 34 ≠ 38 = 176 mod 46

m=47: 126 mod 47 = 32 ≠ 35 = 176 mod 47

m=48: 126 mod 48 = 30 ≠ 32 = 176 mod 48

m=49: 126 mod 49 = 28 ≠ 29 = 176 mod 49

m=50: 126 mod 50 = 26 = 26 = 176 mod 50

m=51: 126 mod 51 = 24 ≠ 23 = 176 mod 51

m=52: 126 mod 52 = 22 ≠ 20 = 176 mod 52

m=53: 126 mod 53 = 20 ≠ 17 = 176 mod 53

m=54: 126 mod 54 = 18 ≠ 14 = 176 mod 54

m=55: 126 mod 55 = 16 ≠ 11 = 176 mod 55

m=56: 126 mod 56 = 14 ≠ 8 = 176 mod 56

m=57: 126 mod 57 = 12 ≠ 5 = 176 mod 57

m=58: 126 mod 58 = 10 ≠ 2 = 176 mod 58

m=59: 126 mod 59 = 8 ≠ 58 = 176 mod 59

m=60: 126 mod 60 = 6 ≠ 56 = 176 mod 60

m=61: 126 mod 61 = 4 ≠ 54 = 176 mod 61

m=62: 126 mod 62 = 2 ≠ 52 = 176 mod 62

m=63: 126 mod 63 = 0 ≠ 50 = 176 mod 63

m=64: 126 mod 64 = 62 ≠ 48 = 176 mod 64

m=65: 126 mod 65 = 61 ≠ 46 = 176 mod 65

m=66: 126 mod 66 = 60 ≠ 44 = 176 mod 66

m=67: 126 mod 67 = 59 ≠ 42 = 176 mod 67

m=68: 126 mod 68 = 58 ≠ 40 = 176 mod 68

m=69: 126 mod 69 = 57 ≠ 38 = 176 mod 69

m=70: 126 mod 70 = 56 ≠ 36 = 176 mod 70

m=71: 126 mod 71 = 55 ≠ 34 = 176 mod 71

m=72: 126 mod 72 = 54 ≠ 32 = 176 mod 72

m=73: 126 mod 73 = 53 ≠ 30 = 176 mod 73

m=74: 126 mod 74 = 52 ≠ 28 = 176 mod 74

m=75: 126 mod 75 = 51 ≠ 26 = 176 mod 75

m=76: 126 mod 76 = 50 ≠ 24 = 176 mod 76

m=77: 126 mod 77 = 49 ≠ 22 = 176 mod 77

m=78: 126 mod 78 = 48 ≠ 20 = 176 mod 78

m=79: 126 mod 79 = 47 ≠ 18 = 176 mod 79

m=80: 126 mod 80 = 46 ≠ 16 = 176 mod 80

m=81: 126 mod 81 = 45 ≠ 14 = 176 mod 81

m=82: 126 mod 82 = 44 ≠ 12 = 176 mod 82

m=83: 126 mod 83 = 43 ≠ 10 = 176 mod 83

m=84: 126 mod 84 = 42 ≠ 8 = 176 mod 84

m=85: 126 mod 85 = 41 ≠ 6 = 176 mod 85

m=86: 126 mod 86 = 40 ≠ 4 = 176 mod 86

m=87: 126 mod 87 = 39 ≠ 2 = 176 mod 87

m=88: 126 mod 88 = 38 ≠ 0 = 176 mod 88

m=89: 126 mod 89 = 37 ≠ 87 = 176 mod 89

m=90: 126 mod 90 = 36 ≠ 86 = 176 mod 90

m=91: 126 mod 91 = 35 ≠ 85 = 176 mod 91

m=92: 126 mod 92 = 34 ≠ 84 = 176 mod 92

m=93: 126 mod 93 = 33 ≠ 83 = 176 mod 93

m=94: 126 mod 94 = 32 ≠ 82 = 176 mod 94

m=95: 126 mod 95 = 31 ≠ 81 = 176 mod 95

m=96: 126 mod 96 = 30 ≠ 80 = 176 mod 96

m=97: 126 mod 97 = 29 ≠ 79 = 176 mod 97

m=98: 126 mod 98 = 28 ≠ 78 = 176 mod 98

m=99: 126 mod 99 = 27 ≠ 77 = 176 mod 99

m=100: 126 mod 100 = 26 ≠ 76 = 176 mod 100

m=101: 126 mod 101 = 25 ≠ 75 = 176 mod 101

m=102: 126 mod 102 = 24 ≠ 74 = 176 mod 102

m=103: 126 mod 103 = 23 ≠ 73 = 176 mod 103

m=104: 126 mod 104 = 22 ≠ 72 = 176 mod 104

m=105: 126 mod 105 = 21 ≠ 71 = 176 mod 105

m=106: 126 mod 106 = 20 ≠ 70 = 176 mod 106

m=107: 126 mod 107 = 19 ≠ 69 = 176 mod 107

m=108: 126 mod 108 = 18 ≠ 68 = 176 mod 108

m=109: 126 mod 109 = 17 ≠ 67 = 176 mod 109

m=110: 126 mod 110 = 16 ≠ 66 = 176 mod 110

m=111: 126 mod 111 = 15 ≠ 65 = 176 mod 111

m=112: 126 mod 112 = 14 ≠ 64 = 176 mod 112

m=113: 126 mod 113 = 13 ≠ 63 = 176 mod 113

m=114: 126 mod 114 = 12 ≠ 62 = 176 mod 114

m=115: 126 mod 115 = 11 ≠ 61 = 176 mod 115

m=116: 126 mod 116 = 10 ≠ 60 = 176 mod 116

m=117: 126 mod 117 = 9 ≠ 59 = 176 mod 117

m=118: 126 mod 118 = 8 ≠ 58 = 176 mod 118

m=119: 126 mod 119 = 7 ≠ 57 = 176 mod 119

m=120: 126 mod 120 = 6 ≠ 56 = 176 mod 120

m=121: 126 mod 121 = 5 ≠ 55 = 176 mod 121

m=122: 126 mod 122 = 4 ≠ 54 = 176 mod 122

m=123: 126 mod 123 = 3 ≠ 53 = 176 mod 123

m=124: 126 mod 124 = 2 ≠ 52 = 176 mod 124

m=125: 126 mod 125 = 1 ≠ 51 = 176 mod 125

m=126: 126 mod 126 = 0 ≠ 50 = 176 mod 126

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (176 - 126) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50