Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 16 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 11, weil ja 1 ⋅ 11 = 11 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 16 - 11 = 5.
Somit gilt: 16 mod 11 ≡ 5.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 57 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 55, weil ja 11 ⋅ 5 = 55 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 57 - 55 = 2.
Somit gilt: 57 mod 5 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 2 mod 5.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 8 ⋅ 5
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 2 mod 5 sein, also addieren wir noch 2 auf die 40 und erhalten so 42.
Somit gilt: 42 ≡ 57 ≡ 2 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (446 + 1794) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(446 + 1794) mod 9 ≡ (446 mod 9 + 1794 mod 9) mod 9.
446 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 446
= 450
1794 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1794
= 1800
Somit gilt:
(446 + 1794) mod 9 ≡ (5 + 3) mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 17) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(69 ⋅ 17) mod 5 ≡ (69 mod 5 ⋅ 17 mod 5) mod 5.
69 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 65 + 4 = 13 ⋅ 5 + 4 ist.
17 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 15 + 2 = 3 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(69 ⋅ 17) mod 5 ≡ (4 ⋅ 2) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
114 mod m = 144 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 114 aus, ob zufällig 114 mod m = 144 mod m gilt:
m=2: 114 mod 2 = 0 = 0 = 144 mod 2
m=3: 114 mod 3 = 0 = 0 = 144 mod 3
m=4: 114 mod 4 = 2 ≠ 0 = 144 mod 4
m=5: 114 mod 5 = 4 = 4 = 144 mod 5
m=6: 114 mod 6 = 0 = 0 = 144 mod 6
m=7: 114 mod 7 = 2 ≠ 4 = 144 mod 7
m=8: 114 mod 8 = 2 ≠ 0 = 144 mod 8
m=9: 114 mod 9 = 6 ≠ 0 = 144 mod 9
m=10: 114 mod 10 = 4 = 4 = 144 mod 10
m=11: 114 mod 11 = 4 ≠ 1 = 144 mod 11
m=12: 114 mod 12 = 6 ≠ 0 = 144 mod 12
m=13: 114 mod 13 = 10 ≠ 1 = 144 mod 13
m=14: 114 mod 14 = 2 ≠ 4 = 144 mod 14
m=15: 114 mod 15 = 9 = 9 = 144 mod 15
m=16: 114 mod 16 = 2 ≠ 0 = 144 mod 16
m=17: 114 mod 17 = 12 ≠ 8 = 144 mod 17
m=18: 114 mod 18 = 6 ≠ 0 = 144 mod 18
m=19: 114 mod 19 = 0 ≠ 11 = 144 mod 19
m=20: 114 mod 20 = 14 ≠ 4 = 144 mod 20
m=21: 114 mod 21 = 9 ≠ 18 = 144 mod 21
m=22: 114 mod 22 = 4 ≠ 12 = 144 mod 22
m=23: 114 mod 23 = 22 ≠ 6 = 144 mod 23
m=24: 114 mod 24 = 18 ≠ 0 = 144 mod 24
m=25: 114 mod 25 = 14 ≠ 19 = 144 mod 25
m=26: 114 mod 26 = 10 ≠ 14 = 144 mod 26
m=27: 114 mod 27 = 6 ≠ 9 = 144 mod 27
m=28: 114 mod 28 = 2 ≠ 4 = 144 mod 28
m=29: 114 mod 29 = 27 ≠ 28 = 144 mod 29
m=30: 114 mod 30 = 24 = 24 = 144 mod 30
m=31: 114 mod 31 = 21 ≠ 20 = 144 mod 31
m=32: 114 mod 32 = 18 ≠ 16 = 144 mod 32
m=33: 114 mod 33 = 15 ≠ 12 = 144 mod 33
m=34: 114 mod 34 = 12 ≠ 8 = 144 mod 34
m=35: 114 mod 35 = 9 ≠ 4 = 144 mod 35
m=36: 114 mod 36 = 6 ≠ 0 = 144 mod 36
m=37: 114 mod 37 = 3 ≠ 33 = 144 mod 37
m=38: 114 mod 38 = 0 ≠ 30 = 144 mod 38
m=39: 114 mod 39 = 36 ≠ 27 = 144 mod 39
m=40: 114 mod 40 = 34 ≠ 24 = 144 mod 40
m=41: 114 mod 41 = 32 ≠ 21 = 144 mod 41
m=42: 114 mod 42 = 30 ≠ 18 = 144 mod 42
m=43: 114 mod 43 = 28 ≠ 15 = 144 mod 43
m=44: 114 mod 44 = 26 ≠ 12 = 144 mod 44
m=45: 114 mod 45 = 24 ≠ 9 = 144 mod 45
m=46: 114 mod 46 = 22 ≠ 6 = 144 mod 46
m=47: 114 mod 47 = 20 ≠ 3 = 144 mod 47
m=48: 114 mod 48 = 18 ≠ 0 = 144 mod 48
m=49: 114 mod 49 = 16 ≠ 46 = 144 mod 49
m=50: 114 mod 50 = 14 ≠ 44 = 144 mod 50
m=51: 114 mod 51 = 12 ≠ 42 = 144 mod 51
m=52: 114 mod 52 = 10 ≠ 40 = 144 mod 52
m=53: 114 mod 53 = 8 ≠ 38 = 144 mod 53
m=54: 114 mod 54 = 6 ≠ 36 = 144 mod 54
m=55: 114 mod 55 = 4 ≠ 34 = 144 mod 55
m=56: 114 mod 56 = 2 ≠ 32 = 144 mod 56
m=57: 114 mod 57 = 0 ≠ 30 = 144 mod 57
m=58: 114 mod 58 = 56 ≠ 28 = 144 mod 58
m=59: 114 mod 59 = 55 ≠ 26 = 144 mod 59
m=60: 114 mod 60 = 54 ≠ 24 = 144 mod 60
m=61: 114 mod 61 = 53 ≠ 22 = 144 mod 61
m=62: 114 mod 62 = 52 ≠ 20 = 144 mod 62
m=63: 114 mod 63 = 51 ≠ 18 = 144 mod 63
m=64: 114 mod 64 = 50 ≠ 16 = 144 mod 64
m=65: 114 mod 65 = 49 ≠ 14 = 144 mod 65
m=66: 114 mod 66 = 48 ≠ 12 = 144 mod 66
m=67: 114 mod 67 = 47 ≠ 10 = 144 mod 67
m=68: 114 mod 68 = 46 ≠ 8 = 144 mod 68
m=69: 114 mod 69 = 45 ≠ 6 = 144 mod 69
m=70: 114 mod 70 = 44 ≠ 4 = 144 mod 70
m=71: 114 mod 71 = 43 ≠ 2 = 144 mod 71
m=72: 114 mod 72 = 42 ≠ 0 = 144 mod 72
m=73: 114 mod 73 = 41 ≠ 71 = 144 mod 73
m=74: 114 mod 74 = 40 ≠ 70 = 144 mod 74
m=75: 114 mod 75 = 39 ≠ 69 = 144 mod 75
m=76: 114 mod 76 = 38 ≠ 68 = 144 mod 76
m=77: 114 mod 77 = 37 ≠ 67 = 144 mod 77
m=78: 114 mod 78 = 36 ≠ 66 = 144 mod 78
m=79: 114 mod 79 = 35 ≠ 65 = 144 mod 79
m=80: 114 mod 80 = 34 ≠ 64 = 144 mod 80
m=81: 114 mod 81 = 33 ≠ 63 = 144 mod 81
m=82: 114 mod 82 = 32 ≠ 62 = 144 mod 82
m=83: 114 mod 83 = 31 ≠ 61 = 144 mod 83
m=84: 114 mod 84 = 30 ≠ 60 = 144 mod 84
m=85: 114 mod 85 = 29 ≠ 59 = 144 mod 85
m=86: 114 mod 86 = 28 ≠ 58 = 144 mod 86
m=87: 114 mod 87 = 27 ≠ 57 = 144 mod 87
m=88: 114 mod 88 = 26 ≠ 56 = 144 mod 88
m=89: 114 mod 89 = 25 ≠ 55 = 144 mod 89
m=90: 114 mod 90 = 24 ≠ 54 = 144 mod 90
m=91: 114 mod 91 = 23 ≠ 53 = 144 mod 91
m=92: 114 mod 92 = 22 ≠ 52 = 144 mod 92
m=93: 114 mod 93 = 21 ≠ 51 = 144 mod 93
m=94: 114 mod 94 = 20 ≠ 50 = 144 mod 94
m=95: 114 mod 95 = 19 ≠ 49 = 144 mod 95
m=96: 114 mod 96 = 18 ≠ 48 = 144 mod 96
m=97: 114 mod 97 = 17 ≠ 47 = 144 mod 97
m=98: 114 mod 98 = 16 ≠ 46 = 144 mod 98
m=99: 114 mod 99 = 15 ≠ 45 = 144 mod 99
m=100: 114 mod 100 = 14 ≠ 44 = 144 mod 100
m=101: 114 mod 101 = 13 ≠ 43 = 144 mod 101
m=102: 114 mod 102 = 12 ≠ 42 = 144 mod 102
m=103: 114 mod 103 = 11 ≠ 41 = 144 mod 103
m=104: 114 mod 104 = 10 ≠ 40 = 144 mod 104
m=105: 114 mod 105 = 9 ≠ 39 = 144 mod 105
m=106: 114 mod 106 = 8 ≠ 38 = 144 mod 106
m=107: 114 mod 107 = 7 ≠ 37 = 144 mod 107
m=108: 114 mod 108 = 6 ≠ 36 = 144 mod 108
m=109: 114 mod 109 = 5 ≠ 35 = 144 mod 109
m=110: 114 mod 110 = 4 ≠ 34 = 144 mod 110
m=111: 114 mod 111 = 3 ≠ 33 = 144 mod 111
m=112: 114 mod 112 = 2 ≠ 32 = 144 mod 112
m=113: 114 mod 113 = 1 ≠ 31 = 144 mod 113
m=114: 114 mod 114 = 0 ≠ 30 = 144 mod 114
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (144 - 114) = 30 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 5; 6; 10; 15; 30
