Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 28 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 20, weil ja 2 ⋅ 10 = 20 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 28 - 20 = 8.
Somit gilt: 28 mod 10 ≡ 8.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 41 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 36, weil ja 6 ⋅ 6 = 36 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 41 - 36 = 5.
Somit gilt: 41 mod 6 ≡ 5.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 5 mod 6.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 10 ⋅ 6
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 5 mod 6 sein, also addieren wir noch 5 auf die 60 und erhalten so 65.
Somit gilt: 65 ≡ 41 ≡ 5 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26992 - 892) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26992 - 892) mod 9 ≡ (26992 mod 9 - 892 mod 9) mod 9.
26992 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26992
= 27000
892 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 892
= 900
Somit gilt:
(26992 - 892) mod 9 ≡ (1 - 1) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 75) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(94 ⋅ 75) mod 3 ≡ (94 mod 3 ⋅ 75 mod 3) mod 3.
94 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 93 + 1 = 31 ⋅ 3 + 1 ist.
75 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 25 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(94 ⋅ 75) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 19 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 19 mod m gilt:
m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2
m=3: 13 mod 3 = 1 = 1 = 19 mod 3
m=4: 13 mod 4 = 1 ≠ 3 = 19 mod 4
m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 4 = 19 mod 5
m=6: 13 mod 6 = 1 = 1 = 19 mod 6
m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 5 = 19 mod 7
m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 3 = 19 mod 8
m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 1 = 19 mod 9
m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 9 = 19 mod 10
m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 8 = 19 mod 11
m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 7 = 19 mod 12
m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 6 = 19 mod 13
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 13) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
