Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 37 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 36, weil ja 9 ⋅ 4 = 36 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 37 - 36 = 1.
Somit gilt: 37 mod 4 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 94 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 91, weil ja 13 ⋅ 7 = 91 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 94 - 91 = 3.
Somit gilt: 94 mod 7 ≡ 3.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 3 mod 7.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 30, z.B. 28 = 4 ⋅ 7
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 3 mod 7 sein, also addieren wir noch 3 auf die 28 und erhalten so 31.
Somit gilt: 31 ≡ 94 ≡ 3 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (203 - 15001) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(203 - 15001) mod 5 ≡ (203 mod 5 - 15001 mod 5) mod 5.
203 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 203
= 200
15001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15001
= 15000
Somit gilt:
(203 - 15001) mod 5 ≡ (3 - 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 89) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 ⋅ 89) mod 10 ≡ (93 mod 10 ⋅ 89 mod 10) mod 10.
93 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 9 ⋅ 10 + 3 ist.
89 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 80 + 9 = 8 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(93 ⋅ 89) mod 10 ≡ (3 ⋅ 9) mod 10 ≡ 27 mod 10 ≡ 7 mod 10.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
11 mod m = 15 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 11 aus, ob zufällig 11 mod m = 15 mod m gilt:
m=2: 11 mod 2 = 1 = 1 = 15 mod 2
m=3: 11 mod 3 = 2 ≠ 0 = 15 mod 3
m=4: 11 mod 4 = 3 = 3 = 15 mod 4
m=5: 11 mod 5 = 1 ≠ 0 = 15 mod 5
m=6: 11 mod 6 = 5 ≠ 3 = 15 mod 6
m=7: 11 mod 7 = 4 ≠ 1 = 15 mod 7
m=8: 11 mod 8 = 3 ≠ 7 = 15 mod 8
m=9: 11 mod 9 = 2 ≠ 6 = 15 mod 9
m=10: 11 mod 10 = 1 ≠ 5 = 15 mod 10
m=11: 11 mod 11 = 0 ≠ 4 = 15 mod 11
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (15 - 11) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
