Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 88, weil ja 11 ⋅ 8 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 91 - 88 = 3.

Somit gilt: 91 mod 8 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 55, weil ja 11 ⋅ 5 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 55 - 55 = 0.

Somit gilt: 55 mod 5 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 8 ⋅ 5

Somit gilt: 40 ≡ 55 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1000 - 47) mod 5 ≡ (1000 mod 5 - 47 mod 5) mod 5.

1000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1000 = 1000+0 = 5 ⋅ 200 +0.

47 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40+7 = 5 ⋅ 8 +7.

Somit gilt:

(1000 - 47) mod 5 ≡ (0 - 2) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 93) mod 10 ≡ (18 mod 10 ⋅ 93 mod 10) mod 10.

18 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 10 + 8 = 1 ⋅ 10 + 8 ist.

93 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 9 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 93) mod 10 ≡ (8 ⋅ 3) mod 10 ≡ 24 mod 10 ≡ 4 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 31 aus, ob zufällig 31 mod m = 40 mod m gilt:

m=2: 31 mod 2 = 1 ≠ 0 = 40 mod 2

m=3: 31 mod 3 = 1 = 1 = 40 mod 3

m=4: 31 mod 4 = 3 ≠ 0 = 40 mod 4

m=5: 31 mod 5 = 1 ≠ 0 = 40 mod 5

m=6: 31 mod 6 = 1 ≠ 4 = 40 mod 6

m=7: 31 mod 7 = 3 ≠ 5 = 40 mod 7

m=8: 31 mod 8 = 7 ≠ 0 = 40 mod 8

m=9: 31 mod 9 = 4 = 4 = 40 mod 9

m=10: 31 mod 10 = 1 ≠ 0 = 40 mod 10

m=11: 31 mod 11 = 9 ≠ 7 = 40 mod 11

m=12: 31 mod 12 = 7 ≠ 4 = 40 mod 12

m=13: 31 mod 13 = 5 ≠ 1 = 40 mod 13

m=14: 31 mod 14 = 3 ≠ 12 = 40 mod 14

m=15: 31 mod 15 = 1 ≠ 10 = 40 mod 15

m=16: 31 mod 16 = 15 ≠ 8 = 40 mod 16

m=17: 31 mod 17 = 14 ≠ 6 = 40 mod 17

m=18: 31 mod 18 = 13 ≠ 4 = 40 mod 18

m=19: 31 mod 19 = 12 ≠ 2 = 40 mod 19

m=20: 31 mod 20 = 11 ≠ 0 = 40 mod 20

m=21: 31 mod 21 = 10 ≠ 19 = 40 mod 21

m=22: 31 mod 22 = 9 ≠ 18 = 40 mod 22

m=23: 31 mod 23 = 8 ≠ 17 = 40 mod 23

m=24: 31 mod 24 = 7 ≠ 16 = 40 mod 24

m=25: 31 mod 25 = 6 ≠ 15 = 40 mod 25

m=26: 31 mod 26 = 5 ≠ 14 = 40 mod 26

m=27: 31 mod 27 = 4 ≠ 13 = 40 mod 27

m=28: 31 mod 28 = 3 ≠ 12 = 40 mod 28

m=29: 31 mod 29 = 2 ≠ 11 = 40 mod 29

m=30: 31 mod 30 = 1 ≠ 10 = 40 mod 30

m=31: 31 mod 31 = 0 ≠ 9 = 40 mod 31

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (40 - 31) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9