Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 31 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 28, weil ja 4 ⋅ 7 = 28 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 31 - 28 = 3.
Somit gilt: 31 mod 7 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 60 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 60, weil ja 10 ⋅ 6 = 60 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 60 - 60 = 0.
Somit gilt: 60 mod 6 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 0 mod 6.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 50, z.B. 54 = 9 ⋅ 6
Somit gilt: 54 ≡ 60 ≡ 0 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15000 + 2002) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15000 + 2002) mod 5 ≡ (15000 mod 5 + 2002 mod 5) mod 5.
15000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000
= 15000
2002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2002
= 2000
Somit gilt:
(15000 + 2002) mod 5 ≡ (0 + 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 47) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(98 ⋅ 47) mod 4 ≡ (98 mod 4 ⋅ 47 mod 4) mod 4.
98 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 24 ⋅ 4 + 2 ist.
47 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 11 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(98 ⋅ 47) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
17 mod m = 23 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 17 aus, ob zufällig 17 mod m = 23 mod m gilt:
m=2: 17 mod 2 = 1 = 1 = 23 mod 2
m=3: 17 mod 3 = 2 = 2 = 23 mod 3
m=4: 17 mod 4 = 1 ≠ 3 = 23 mod 4
m=5: 17 mod 5 = 2 ≠ 3 = 23 mod 5
m=6: 17 mod 6 = 5 = 5 = 23 mod 6
m=7: 17 mod 7 = 3 ≠ 2 = 23 mod 7
m=8: 17 mod 8 = 1 ≠ 7 = 23 mod 8
m=9: 17 mod 9 = 8 ≠ 5 = 23 mod 9
m=10: 17 mod 10 = 7 ≠ 3 = 23 mod 10
m=11: 17 mod 11 = 6 ≠ 1 = 23 mod 11
m=12: 17 mod 12 = 5 ≠ 11 = 23 mod 12
m=13: 17 mod 13 = 4 ≠ 10 = 23 mod 13
m=14: 17 mod 14 = 3 ≠ 9 = 23 mod 14
m=15: 17 mod 15 = 2 ≠ 8 = 23 mod 15
m=16: 17 mod 16 = 1 ≠ 7 = 23 mod 16
m=17: 17 mod 17 = 0 ≠ 6 = 23 mod 17
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (23 - 17) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
