Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 50, weil ja 10 ⋅ 5 = 50 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 52 - 50 = 2.

Somit gilt: 52 mod 5 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 95 - 88 = 7.

Somit gilt: 95 mod 11 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 51 für die gilt: n ≡ 7 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 40, z.B. 33 = 3 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 7 mod 11 sein, also addieren wir noch 7 auf die 33 und erhalten so 40.

Somit gilt: 40 ≡ 95 ≡ 7 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5995 - 3002) mod 6 ≡ (5995 mod 6 - 3002 mod 6) mod 6.

5995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5995 = 6000-5 = 6 ⋅ 1000 -5 = 6 ⋅ 1000 - 6 + 1.

3002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3002 = 3000+2 = 6 ⋅ 500 +2.

Somit gilt:

(5995 - 3002) mod 6 ≡ (1 - 2) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 28) mod 11 ≡ (17 mod 11 ⋅ 28 mod 11) mod 11.

17 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 11 + 6 = 1 ⋅ 11 + 6 ist.

28 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 22 + 6 = 2 ⋅ 11 + 6 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 28) mod 11 ≡ (6 ⋅ 6) mod 11 ≡ 36 mod 11 ≡ 3 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 32 mod m gilt:

m=2: 22 mod 2 = 0 = 0 = 32 mod 2

m=3: 22 mod 3 = 1 ≠ 2 = 32 mod 3

m=4: 22 mod 4 = 2 ≠ 0 = 32 mod 4

m=5: 22 mod 5 = 2 = 2 = 32 mod 5

m=6: 22 mod 6 = 4 ≠ 2 = 32 mod 6

m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 4 = 32 mod 7

m=8: 22 mod 8 = 6 ≠ 0 = 32 mod 8

m=9: 22 mod 9 = 4 ≠ 5 = 32 mod 9

m=10: 22 mod 10 = 2 = 2 = 32 mod 10

m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 10 = 32 mod 11

m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 8 = 32 mod 12

m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 6 = 32 mod 13

m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 4 = 32 mod 14

m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 2 = 32 mod 15

m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 0 = 32 mod 16

m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 15 = 32 mod 17

m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 14 = 32 mod 18

m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 13 = 32 mod 19

m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 12 = 32 mod 20

m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 11 = 32 mod 21

m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 10 = 32 mod 22

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (32 - 22) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10