Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 63, weil ja 7 ⋅ 9 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 70 - 63 = 7.

Somit gilt: 70 mod 9 ≡ 7.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 60, weil ja 10 ⋅ 6 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 65 - 60 = 5.

Somit gilt: 65 mod 6 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 5 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 50, z.B. 48 = 8 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 5 mod 6 sein, also addieren wir noch 5 auf die 48 und erhalten so 53.

Somit gilt: 53 ≡ 65 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20005 + 155) mod 5 ≡ (20005 mod 5 + 155 mod 5) mod 5.

20005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20005 = 20000+5 = 5 ⋅ 4000 +5.

155 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 155 = 150+5 = 5 ⋅ 30 +5.

Somit gilt:

(20005 + 155) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25 ⋅ 73) mod 9 ≡ (25 mod 9 ⋅ 73 mod 9) mod 9.

25 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 18 + 7 = 2 ⋅ 9 + 7 ist.

73 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 8 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(25 ⋅ 73) mod 9 ≡ (7 ⋅ 1) mod 9 ≡ 7 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 66 aus, ob zufällig 66 mod m = 84 mod m gilt:

m=2: 66 mod 2 = 0 = 0 = 84 mod 2

m=3: 66 mod 3 = 0 = 0 = 84 mod 3

m=4: 66 mod 4 = 2 ≠ 0 = 84 mod 4

m=5: 66 mod 5 = 1 ≠ 4 = 84 mod 5

m=6: 66 mod 6 = 0 = 0 = 84 mod 6

m=7: 66 mod 7 = 3 ≠ 0 = 84 mod 7

m=8: 66 mod 8 = 2 ≠ 4 = 84 mod 8

m=9: 66 mod 9 = 3 = 3 = 84 mod 9

m=10: 66 mod 10 = 6 ≠ 4 = 84 mod 10

m=11: 66 mod 11 = 0 ≠ 7 = 84 mod 11

m=12: 66 mod 12 = 6 ≠ 0 = 84 mod 12

m=13: 66 mod 13 = 1 ≠ 6 = 84 mod 13

m=14: 66 mod 14 = 10 ≠ 0 = 84 mod 14

m=15: 66 mod 15 = 6 ≠ 9 = 84 mod 15

m=16: 66 mod 16 = 2 ≠ 4 = 84 mod 16

m=17: 66 mod 17 = 15 ≠ 16 = 84 mod 17

m=18: 66 mod 18 = 12 = 12 = 84 mod 18

m=19: 66 mod 19 = 9 ≠ 8 = 84 mod 19

m=20: 66 mod 20 = 6 ≠ 4 = 84 mod 20

m=21: 66 mod 21 = 3 ≠ 0 = 84 mod 21

m=22: 66 mod 22 = 0 ≠ 18 = 84 mod 22

m=23: 66 mod 23 = 20 ≠ 15 = 84 mod 23

m=24: 66 mod 24 = 18 ≠ 12 = 84 mod 24

m=25: 66 mod 25 = 16 ≠ 9 = 84 mod 25

m=26: 66 mod 26 = 14 ≠ 6 = 84 mod 26

m=27: 66 mod 27 = 12 ≠ 3 = 84 mod 27

m=28: 66 mod 28 = 10 ≠ 0 = 84 mod 28

m=29: 66 mod 29 = 8 ≠ 26 = 84 mod 29

m=30: 66 mod 30 = 6 ≠ 24 = 84 mod 30

m=31: 66 mod 31 = 4 ≠ 22 = 84 mod 31

m=32: 66 mod 32 = 2 ≠ 20 = 84 mod 32

m=33: 66 mod 33 = 0 ≠ 18 = 84 mod 33

m=34: 66 mod 34 = 32 ≠ 16 = 84 mod 34

m=35: 66 mod 35 = 31 ≠ 14 = 84 mod 35

m=36: 66 mod 36 = 30 ≠ 12 = 84 mod 36

m=37: 66 mod 37 = 29 ≠ 10 = 84 mod 37

m=38: 66 mod 38 = 28 ≠ 8 = 84 mod 38

m=39: 66 mod 39 = 27 ≠ 6 = 84 mod 39

m=40: 66 mod 40 = 26 ≠ 4 = 84 mod 40

m=41: 66 mod 41 = 25 ≠ 2 = 84 mod 41

m=42: 66 mod 42 = 24 ≠ 0 = 84 mod 42

m=43: 66 mod 43 = 23 ≠ 41 = 84 mod 43

m=44: 66 mod 44 = 22 ≠ 40 = 84 mod 44

m=45: 66 mod 45 = 21 ≠ 39 = 84 mod 45

m=46: 66 mod 46 = 20 ≠ 38 = 84 mod 46

m=47: 66 mod 47 = 19 ≠ 37 = 84 mod 47

m=48: 66 mod 48 = 18 ≠ 36 = 84 mod 48

m=49: 66 mod 49 = 17 ≠ 35 = 84 mod 49

m=50: 66 mod 50 = 16 ≠ 34 = 84 mod 50

m=51: 66 mod 51 = 15 ≠ 33 = 84 mod 51

m=52: 66 mod 52 = 14 ≠ 32 = 84 mod 52

m=53: 66 mod 53 = 13 ≠ 31 = 84 mod 53

m=54: 66 mod 54 = 12 ≠ 30 = 84 mod 54

m=55: 66 mod 55 = 11 ≠ 29 = 84 mod 55

m=56: 66 mod 56 = 10 ≠ 28 = 84 mod 56

m=57: 66 mod 57 = 9 ≠ 27 = 84 mod 57

m=58: 66 mod 58 = 8 ≠ 26 = 84 mod 58

m=59: 66 mod 59 = 7 ≠ 25 = 84 mod 59

m=60: 66 mod 60 = 6 ≠ 24 = 84 mod 60

m=61: 66 mod 61 = 5 ≠ 23 = 84 mod 61

m=62: 66 mod 62 = 4 ≠ 22 = 84 mod 62

m=63: 66 mod 63 = 3 ≠ 21 = 84 mod 63

m=64: 66 mod 64 = 2 ≠ 20 = 84 mod 64

m=65: 66 mod 65 = 1 ≠ 19 = 84 mod 65

m=66: 66 mod 66 = 0 ≠ 18 = 84 mod 66

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (84 - 66) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18