Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 51, weil ja 17 ⋅ 3 = 51 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 51 - 51 = 0.

Somit gilt: 51 mod 3 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 35, weil ja 7 ⋅ 5 = 35 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 35 - 35 = 0.

Somit gilt: 35 mod 5 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 14 ⋅ 5

Somit gilt: 70 ≡ 35 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26991 + 27006) mod 9 ≡ (26991 mod 9 + 27006 mod 9) mod 9.

26991 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26991 = 27000-9 = 9 ⋅ 3000 -9 = 9 ⋅ 3000 - 9 + 0.

27006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27006 = 27000+6 = 9 ⋅ 3000 +6.

Somit gilt:

(26991 + 27006) mod 9 ≡ (0 + 6) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 80) mod 6 ≡ (64 mod 6 ⋅ 80 mod 6) mod 6.

64 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 10 ⋅ 6 + 4 ist.

80 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 78 + 2 = 13 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 80) mod 6 ≡ (4 ⋅ 2) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 18 mod m gilt:

m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2

m=3: 14 mod 3 = 2 ≠ 0 = 18 mod 3

m=4: 14 mod 4 = 2 = 2 = 18 mod 4

m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 3 = 18 mod 5

m=6: 14 mod 6 = 2 ≠ 0 = 18 mod 6

m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 4 = 18 mod 7

m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 2 = 18 mod 8

m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 0 = 18 mod 9

m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 8 = 18 mod 10

m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 7 = 18 mod 11

m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 6 = 18 mod 12

m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 5 = 18 mod 13

m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 4 = 18 mod 14

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 14) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4