Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 17 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 11, weil ja 1 ⋅ 11 = 11 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 17 - 11 = 6.
Somit gilt: 17 mod 11 ≡ 6.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 91 für die gilt n ≡ 76 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 66, weil ja 6 ⋅ 11 = 66 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 76 - 66 = 10.
Somit gilt: 76 mod 11 ≡ 10.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 91 für die gilt: n ≡ 10 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 80, z.B. 77 = 7 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 10 mod 11 sein, also addieren wir noch 10 auf die 77 und erhalten so 87.
Somit gilt: 87 ≡ 76 ≡ 10 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (600 - 3006) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(600 - 3006) mod 6 ≡ (600 mod 6 - 3006 mod 6) mod 6.
600 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600
= 600
3006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3006
= 3000
Somit gilt:
(600 - 3006) mod 6 ≡ (0 - 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 23) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(51 ⋅ 23) mod 10 ≡ (51 mod 10 ⋅ 23 mod 10) mod 10.
51 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 50 + 1 = 5 ⋅ 10 + 1 ist.
23 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 2 ⋅ 10 + 3 ist.
Somit gilt:
(51 ⋅ 23) mod 10 ≡ (1 ⋅ 3) mod 10 ≡ 3 mod 10.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
23 mod m = 33 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 23 aus, ob zufällig 23 mod m = 33 mod m gilt:
m=2: 23 mod 2 = 1 = 1 = 33 mod 2
m=3: 23 mod 3 = 2 ≠ 0 = 33 mod 3
m=4: 23 mod 4 = 3 ≠ 1 = 33 mod 4
m=5: 23 mod 5 = 3 = 3 = 33 mod 5
m=6: 23 mod 6 = 5 ≠ 3 = 33 mod 6
m=7: 23 mod 7 = 2 ≠ 5 = 33 mod 7
m=8: 23 mod 8 = 7 ≠ 1 = 33 mod 8
m=9: 23 mod 9 = 5 ≠ 6 = 33 mod 9
m=10: 23 mod 10 = 3 = 3 = 33 mod 10
m=11: 23 mod 11 = 1 ≠ 0 = 33 mod 11
m=12: 23 mod 12 = 11 ≠ 9 = 33 mod 12
m=13: 23 mod 13 = 10 ≠ 7 = 33 mod 13
m=14: 23 mod 14 = 9 ≠ 5 = 33 mod 14
m=15: 23 mod 15 = 8 ≠ 3 = 33 mod 15
m=16: 23 mod 16 = 7 ≠ 1 = 33 mod 16
m=17: 23 mod 17 = 6 ≠ 16 = 33 mod 17
m=18: 23 mod 18 = 5 ≠ 15 = 33 mod 18
m=19: 23 mod 19 = 4 ≠ 14 = 33 mod 19
m=20: 23 mod 20 = 3 ≠ 13 = 33 mod 20
m=21: 23 mod 21 = 2 ≠ 12 = 33 mod 21
m=22: 23 mod 22 = 1 ≠ 11 = 33 mod 22
m=23: 23 mod 23 = 0 ≠ 10 = 33 mod 23
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (33 - 23) = 10 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10
