Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 44 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 40, weil ja 8 ⋅ 5 = 40 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 44 - 40 = 4.
Somit gilt: 44 mod 5 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 79 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 78, weil ja 13 ⋅ 6 = 78 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 79 - 78 = 1.
Somit gilt: 79 mod 6 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 1 mod 6.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 15 ⋅ 6
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 1 mod 6 sein, also addieren wir noch 1 auf die 90 und erhalten so 91.
Somit gilt: 91 ≡ 79 ≡ 1 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1808 - 175) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1808 - 175) mod 9 ≡ (1808 mod 9 - 175 mod 9) mod 9.
1808 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1808
= 1800
175 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 175
= 180
Somit gilt:
(1808 - 175) mod 9 ≡ (8 - 4) mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 40) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(48 ⋅ 40) mod 11 ≡ (48 mod 11 ⋅ 40 mod 11) mod 11.
48 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 44 + 4 = 4 ⋅ 11 + 4 ist.
40 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 33 + 7 = 3 ⋅ 11 + 7 ist.
Somit gilt:
(48 ⋅ 40) mod 11 ≡ (4 ⋅ 7) mod 11 ≡ 28 mod 11 ≡ 6 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 19 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 19 mod m gilt:
m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2
m=3: 13 mod 3 = 1 = 1 = 19 mod 3
m=4: 13 mod 4 = 1 ≠ 3 = 19 mod 4
m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 4 = 19 mod 5
m=6: 13 mod 6 = 1 = 1 = 19 mod 6
m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 5 = 19 mod 7
m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 3 = 19 mod 8
m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 1 = 19 mod 9
m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 9 = 19 mod 10
m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 8 = 19 mod 11
m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 7 = 19 mod 12
m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 6 = 19 mod 13
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 13) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
