Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 32, weil ja 4 ⋅ 8 = 32 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 32 - 32 = 0.

Somit gilt: 32 mod 8 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 81 - 77 = 4.

Somit gilt: 81 mod 11 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 81 für die gilt: n ≡ 4 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 70, z.B. 66 = 6 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 4 mod 11 sein, also addieren wir noch 4 auf die 66 und erhalten so 70.

Somit gilt: 70 ≡ 81 ≡ 4 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11997 + 92) mod 3 ≡ (11997 mod 3 + 92 mod 3) mod 3.

11997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997 = 12000-3 = 3 ⋅ 4000 -3 = 3 ⋅ 4000 - 3 + 0.

92 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90+2 = 3 ⋅ 30 +2.

Somit gilt:

(11997 + 92) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 42) mod 8 ≡ (57 mod 8 ⋅ 42 mod 8) mod 8.

57 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 7 ⋅ 8 + 1 ist.

42 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 5 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 42) mod 8 ≡ (1 ⋅ 2) mod 8 ≡ 2 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 147 aus, ob zufällig 147 mod m = 197 mod m gilt:

m=2: 147 mod 2 = 1 = 1 = 197 mod 2

m=3: 147 mod 3 = 0 ≠ 2 = 197 mod 3

m=4: 147 mod 4 = 3 ≠ 1 = 197 mod 4

m=5: 147 mod 5 = 2 = 2 = 197 mod 5

m=6: 147 mod 6 = 3 ≠ 5 = 197 mod 6

m=7: 147 mod 7 = 0 ≠ 1 = 197 mod 7

m=8: 147 mod 8 = 3 ≠ 5 = 197 mod 8

m=9: 147 mod 9 = 3 ≠ 8 = 197 mod 9

m=10: 147 mod 10 = 7 = 7 = 197 mod 10

m=11: 147 mod 11 = 4 ≠ 10 = 197 mod 11

m=12: 147 mod 12 = 3 ≠ 5 = 197 mod 12

m=13: 147 mod 13 = 4 ≠ 2 = 197 mod 13

m=14: 147 mod 14 = 7 ≠ 1 = 197 mod 14

m=15: 147 mod 15 = 12 ≠ 2 = 197 mod 15

m=16: 147 mod 16 = 3 ≠ 5 = 197 mod 16

m=17: 147 mod 17 = 11 ≠ 10 = 197 mod 17

m=18: 147 mod 18 = 3 ≠ 17 = 197 mod 18

m=19: 147 mod 19 = 14 ≠ 7 = 197 mod 19

m=20: 147 mod 20 = 7 ≠ 17 = 197 mod 20

m=21: 147 mod 21 = 0 ≠ 8 = 197 mod 21

m=22: 147 mod 22 = 15 ≠ 21 = 197 mod 22

m=23: 147 mod 23 = 9 ≠ 13 = 197 mod 23

m=24: 147 mod 24 = 3 ≠ 5 = 197 mod 24

m=25: 147 mod 25 = 22 = 22 = 197 mod 25

m=26: 147 mod 26 = 17 ≠ 15 = 197 mod 26

m=27: 147 mod 27 = 12 ≠ 8 = 197 mod 27

m=28: 147 mod 28 = 7 ≠ 1 = 197 mod 28

m=29: 147 mod 29 = 2 ≠ 23 = 197 mod 29

m=30: 147 mod 30 = 27 ≠ 17 = 197 mod 30

m=31: 147 mod 31 = 23 ≠ 11 = 197 mod 31

m=32: 147 mod 32 = 19 ≠ 5 = 197 mod 32

m=33: 147 mod 33 = 15 ≠ 32 = 197 mod 33

m=34: 147 mod 34 = 11 ≠ 27 = 197 mod 34

m=35: 147 mod 35 = 7 ≠ 22 = 197 mod 35

m=36: 147 mod 36 = 3 ≠ 17 = 197 mod 36

m=37: 147 mod 37 = 36 ≠ 12 = 197 mod 37

m=38: 147 mod 38 = 33 ≠ 7 = 197 mod 38

m=39: 147 mod 39 = 30 ≠ 2 = 197 mod 39

m=40: 147 mod 40 = 27 ≠ 37 = 197 mod 40

m=41: 147 mod 41 = 24 ≠ 33 = 197 mod 41

m=42: 147 mod 42 = 21 ≠ 29 = 197 mod 42

m=43: 147 mod 43 = 18 ≠ 25 = 197 mod 43

m=44: 147 mod 44 = 15 ≠ 21 = 197 mod 44

m=45: 147 mod 45 = 12 ≠ 17 = 197 mod 45

m=46: 147 mod 46 = 9 ≠ 13 = 197 mod 46

m=47: 147 mod 47 = 6 ≠ 9 = 197 mod 47

m=48: 147 mod 48 = 3 ≠ 5 = 197 mod 48

m=49: 147 mod 49 = 0 ≠ 1 = 197 mod 49

m=50: 147 mod 50 = 47 = 47 = 197 mod 50

m=51: 147 mod 51 = 45 ≠ 44 = 197 mod 51

m=52: 147 mod 52 = 43 ≠ 41 = 197 mod 52

m=53: 147 mod 53 = 41 ≠ 38 = 197 mod 53

m=54: 147 mod 54 = 39 ≠ 35 = 197 mod 54

m=55: 147 mod 55 = 37 ≠ 32 = 197 mod 55

m=56: 147 mod 56 = 35 ≠ 29 = 197 mod 56

m=57: 147 mod 57 = 33 ≠ 26 = 197 mod 57

m=58: 147 mod 58 = 31 ≠ 23 = 197 mod 58

m=59: 147 mod 59 = 29 ≠ 20 = 197 mod 59

m=60: 147 mod 60 = 27 ≠ 17 = 197 mod 60

m=61: 147 mod 61 = 25 ≠ 14 = 197 mod 61

m=62: 147 mod 62 = 23 ≠ 11 = 197 mod 62

m=63: 147 mod 63 = 21 ≠ 8 = 197 mod 63

m=64: 147 mod 64 = 19 ≠ 5 = 197 mod 64

m=65: 147 mod 65 = 17 ≠ 2 = 197 mod 65

m=66: 147 mod 66 = 15 ≠ 65 = 197 mod 66

m=67: 147 mod 67 = 13 ≠ 63 = 197 mod 67

m=68: 147 mod 68 = 11 ≠ 61 = 197 mod 68

m=69: 147 mod 69 = 9 ≠ 59 = 197 mod 69

m=70: 147 mod 70 = 7 ≠ 57 = 197 mod 70

m=71: 147 mod 71 = 5 ≠ 55 = 197 mod 71

m=72: 147 mod 72 = 3 ≠ 53 = 197 mod 72

m=73: 147 mod 73 = 1 ≠ 51 = 197 mod 73

m=74: 147 mod 74 = 73 ≠ 49 = 197 mod 74

m=75: 147 mod 75 = 72 ≠ 47 = 197 mod 75

m=76: 147 mod 76 = 71 ≠ 45 = 197 mod 76

m=77: 147 mod 77 = 70 ≠ 43 = 197 mod 77

m=78: 147 mod 78 = 69 ≠ 41 = 197 mod 78

m=79: 147 mod 79 = 68 ≠ 39 = 197 mod 79

m=80: 147 mod 80 = 67 ≠ 37 = 197 mod 80

m=81: 147 mod 81 = 66 ≠ 35 = 197 mod 81

m=82: 147 mod 82 = 65 ≠ 33 = 197 mod 82

m=83: 147 mod 83 = 64 ≠ 31 = 197 mod 83

m=84: 147 mod 84 = 63 ≠ 29 = 197 mod 84

m=85: 147 mod 85 = 62 ≠ 27 = 197 mod 85

m=86: 147 mod 86 = 61 ≠ 25 = 197 mod 86

m=87: 147 mod 87 = 60 ≠ 23 = 197 mod 87

m=88: 147 mod 88 = 59 ≠ 21 = 197 mod 88

m=89: 147 mod 89 = 58 ≠ 19 = 197 mod 89

m=90: 147 mod 90 = 57 ≠ 17 = 197 mod 90

m=91: 147 mod 91 = 56 ≠ 15 = 197 mod 91

m=92: 147 mod 92 = 55 ≠ 13 = 197 mod 92

m=93: 147 mod 93 = 54 ≠ 11 = 197 mod 93

m=94: 147 mod 94 = 53 ≠ 9 = 197 mod 94

m=95: 147 mod 95 = 52 ≠ 7 = 197 mod 95

m=96: 147 mod 96 = 51 ≠ 5 = 197 mod 96

m=97: 147 mod 97 = 50 ≠ 3 = 197 mod 97

m=98: 147 mod 98 = 49 ≠ 1 = 197 mod 98

m=99: 147 mod 99 = 48 ≠ 98 = 197 mod 99

m=100: 147 mod 100 = 47 ≠ 97 = 197 mod 100

m=101: 147 mod 101 = 46 ≠ 96 = 197 mod 101

m=102: 147 mod 102 = 45 ≠ 95 = 197 mod 102

m=103: 147 mod 103 = 44 ≠ 94 = 197 mod 103

m=104: 147 mod 104 = 43 ≠ 93 = 197 mod 104

m=105: 147 mod 105 = 42 ≠ 92 = 197 mod 105

m=106: 147 mod 106 = 41 ≠ 91 = 197 mod 106

m=107: 147 mod 107 = 40 ≠ 90 = 197 mod 107

m=108: 147 mod 108 = 39 ≠ 89 = 197 mod 108

m=109: 147 mod 109 = 38 ≠ 88 = 197 mod 109

m=110: 147 mod 110 = 37 ≠ 87 = 197 mod 110

m=111: 147 mod 111 = 36 ≠ 86 = 197 mod 111

m=112: 147 mod 112 = 35 ≠ 85 = 197 mod 112

m=113: 147 mod 113 = 34 ≠ 84 = 197 mod 113

m=114: 147 mod 114 = 33 ≠ 83 = 197 mod 114

m=115: 147 mod 115 = 32 ≠ 82 = 197 mod 115

m=116: 147 mod 116 = 31 ≠ 81 = 197 mod 116

m=117: 147 mod 117 = 30 ≠ 80 = 197 mod 117

m=118: 147 mod 118 = 29 ≠ 79 = 197 mod 118

m=119: 147 mod 119 = 28 ≠ 78 = 197 mod 119

m=120: 147 mod 120 = 27 ≠ 77 = 197 mod 120

m=121: 147 mod 121 = 26 ≠ 76 = 197 mod 121

m=122: 147 mod 122 = 25 ≠ 75 = 197 mod 122

m=123: 147 mod 123 = 24 ≠ 74 = 197 mod 123

m=124: 147 mod 124 = 23 ≠ 73 = 197 mod 124

m=125: 147 mod 125 = 22 ≠ 72 = 197 mod 125

m=126: 147 mod 126 = 21 ≠ 71 = 197 mod 126

m=127: 147 mod 127 = 20 ≠ 70 = 197 mod 127

m=128: 147 mod 128 = 19 ≠ 69 = 197 mod 128

m=129: 147 mod 129 = 18 ≠ 68 = 197 mod 129

m=130: 147 mod 130 = 17 ≠ 67 = 197 mod 130

m=131: 147 mod 131 = 16 ≠ 66 = 197 mod 131

m=132: 147 mod 132 = 15 ≠ 65 = 197 mod 132

m=133: 147 mod 133 = 14 ≠ 64 = 197 mod 133

m=134: 147 mod 134 = 13 ≠ 63 = 197 mod 134

m=135: 147 mod 135 = 12 ≠ 62 = 197 mod 135

m=136: 147 mod 136 = 11 ≠ 61 = 197 mod 136

m=137: 147 mod 137 = 10 ≠ 60 = 197 mod 137

m=138: 147 mod 138 = 9 ≠ 59 = 197 mod 138

m=139: 147 mod 139 = 8 ≠ 58 = 197 mod 139

m=140: 147 mod 140 = 7 ≠ 57 = 197 mod 140

m=141: 147 mod 141 = 6 ≠ 56 = 197 mod 141

m=142: 147 mod 142 = 5 ≠ 55 = 197 mod 142

m=143: 147 mod 143 = 4 ≠ 54 = 197 mod 143

m=144: 147 mod 144 = 3 ≠ 53 = 197 mod 144

m=145: 147 mod 145 = 2 ≠ 52 = 197 mod 145

m=146: 147 mod 146 = 1 ≠ 51 = 197 mod 146

m=147: 147 mod 147 = 0 ≠ 50 = 197 mod 147

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (197 - 147) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50