Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 60, weil ja 15 ⋅ 4 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 61 - 60 = 1.

Somit gilt: 61 mod 4 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 36, weil ja 6 ⋅ 6 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 41 - 36 = 5.

Somit gilt: 41 mod 6 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 5 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 80, z.B. 78 = 13 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 5 mod 6 sein, also addieren wir noch 5 auf die 78 und erhalten so 83.

Somit gilt: 83 ≡ 41 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1504 - 15003) mod 5 ≡ (1504 mod 5 - 15003 mod 5) mod 5.

1504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1504 = 1500+4 = 5 ⋅ 300 +4.

15003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15003 = 15000+3 = 5 ⋅ 3000 +3.

Somit gilt:

(1504 - 15003) mod 5 ≡ (4 - 3) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 19) mod 9 ≡ (87 mod 9 ⋅ 19 mod 9) mod 9.

87 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 81 + 6 = 9 ⋅ 9 + 6 ist.

19 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 2 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 19) mod 9 ≡ (6 ⋅ 1) mod 9 ≡ 6 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 21 aus, ob zufällig 21 mod m = 29 mod m gilt:

m=2: 21 mod 2 = 1 = 1 = 29 mod 2

m=3: 21 mod 3 = 0 ≠ 2 = 29 mod 3

m=4: 21 mod 4 = 1 = 1 = 29 mod 4

m=5: 21 mod 5 = 1 ≠ 4 = 29 mod 5

m=6: 21 mod 6 = 3 ≠ 5 = 29 mod 6

m=7: 21 mod 7 = 0 ≠ 1 = 29 mod 7

m=8: 21 mod 8 = 5 = 5 = 29 mod 8

m=9: 21 mod 9 = 3 ≠ 2 = 29 mod 9

m=10: 21 mod 10 = 1 ≠ 9 = 29 mod 10

m=11: 21 mod 11 = 10 ≠ 7 = 29 mod 11

m=12: 21 mod 12 = 9 ≠ 5 = 29 mod 12

m=13: 21 mod 13 = 8 ≠ 3 = 29 mod 13

m=14: 21 mod 14 = 7 ≠ 1 = 29 mod 14

m=15: 21 mod 15 = 6 ≠ 14 = 29 mod 15

m=16: 21 mod 16 = 5 ≠ 13 = 29 mod 16

m=17: 21 mod 17 = 4 ≠ 12 = 29 mod 17

m=18: 21 mod 18 = 3 ≠ 11 = 29 mod 18

m=19: 21 mod 19 = 2 ≠ 10 = 29 mod 19

m=20: 21 mod 20 = 1 ≠ 9 = 29 mod 20

m=21: 21 mod 21 = 0 ≠ 8 = 29 mod 21

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (29 - 21) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8