Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 12, weil ja 2 ⋅ 6 = 12 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 17 - 12 = 5.

Somit gilt: 17 mod 6 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 22, weil ja 2 ⋅ 11 = 22 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 30 - 22 = 8.

Somit gilt: 30 mod 11 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 91 für die gilt: n ≡ 8 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 80, z.B. 77 = 7 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 8 mod 11 sein, also addieren wir noch 8 auf die 77 und erhalten so 85.

Somit gilt: 85 ≡ 30 ≡ 8 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1202 - 1498) mod 3 ≡ (1202 mod 3 - 1498 mod 3) mod 3.

1202 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1202 = 1200+2 = 3 ⋅ 400 +2.

1498 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1498 = 1500-2 = 3 ⋅ 500 -2 = 3 ⋅ 500 - 3 + 1.

Somit gilt:

(1202 - 1498) mod 3 ≡ (2 - 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 65) mod 11 ≡ (93 mod 11 ⋅ 65 mod 11) mod 11.

93 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 88 + 5 = 8 ⋅ 11 + 5 ist.

65 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 55 + 10 = 5 ⋅ 11 + 10 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 65) mod 11 ≡ (5 ⋅ 10) mod 11 ≡ 50 mod 11 ≡ 6 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 133 aus, ob zufällig 133 mod m = 178 mod m gilt:

m=2: 133 mod 2 = 1 ≠ 0 = 178 mod 2

m=3: 133 mod 3 = 1 = 1 = 178 mod 3

m=4: 133 mod 4 = 1 ≠ 2 = 178 mod 4

m=5: 133 mod 5 = 3 = 3 = 178 mod 5

m=6: 133 mod 6 = 1 ≠ 4 = 178 mod 6

m=7: 133 mod 7 = 0 ≠ 3 = 178 mod 7

m=8: 133 mod 8 = 5 ≠ 2 = 178 mod 8

m=9: 133 mod 9 = 7 = 7 = 178 mod 9

m=10: 133 mod 10 = 3 ≠ 8 = 178 mod 10

m=11: 133 mod 11 = 1 ≠ 2 = 178 mod 11

m=12: 133 mod 12 = 1 ≠ 10 = 178 mod 12

m=13: 133 mod 13 = 3 ≠ 9 = 178 mod 13

m=14: 133 mod 14 = 7 ≠ 10 = 178 mod 14

m=15: 133 mod 15 = 13 = 13 = 178 mod 15

m=16: 133 mod 16 = 5 ≠ 2 = 178 mod 16

m=17: 133 mod 17 = 14 ≠ 8 = 178 mod 17

m=18: 133 mod 18 = 7 ≠ 16 = 178 mod 18

m=19: 133 mod 19 = 0 ≠ 7 = 178 mod 19

m=20: 133 mod 20 = 13 ≠ 18 = 178 mod 20

m=21: 133 mod 21 = 7 ≠ 10 = 178 mod 21

m=22: 133 mod 22 = 1 ≠ 2 = 178 mod 22

m=23: 133 mod 23 = 18 ≠ 17 = 178 mod 23

m=24: 133 mod 24 = 13 ≠ 10 = 178 mod 24

m=25: 133 mod 25 = 8 ≠ 3 = 178 mod 25

m=26: 133 mod 26 = 3 ≠ 22 = 178 mod 26

m=27: 133 mod 27 = 25 ≠ 16 = 178 mod 27

m=28: 133 mod 28 = 21 ≠ 10 = 178 mod 28

m=29: 133 mod 29 = 17 ≠ 4 = 178 mod 29

m=30: 133 mod 30 = 13 ≠ 28 = 178 mod 30

m=31: 133 mod 31 = 9 ≠ 23 = 178 mod 31

m=32: 133 mod 32 = 5 ≠ 18 = 178 mod 32

m=33: 133 mod 33 = 1 ≠ 13 = 178 mod 33

m=34: 133 mod 34 = 31 ≠ 8 = 178 mod 34

m=35: 133 mod 35 = 28 ≠ 3 = 178 mod 35

m=36: 133 mod 36 = 25 ≠ 34 = 178 mod 36

m=37: 133 mod 37 = 22 ≠ 30 = 178 mod 37

m=38: 133 mod 38 = 19 ≠ 26 = 178 mod 38

m=39: 133 mod 39 = 16 ≠ 22 = 178 mod 39

m=40: 133 mod 40 = 13 ≠ 18 = 178 mod 40

m=41: 133 mod 41 = 10 ≠ 14 = 178 mod 41

m=42: 133 mod 42 = 7 ≠ 10 = 178 mod 42

m=43: 133 mod 43 = 4 ≠ 6 = 178 mod 43

m=44: 133 mod 44 = 1 ≠ 2 = 178 mod 44

m=45: 133 mod 45 = 43 = 43 = 178 mod 45

m=46: 133 mod 46 = 41 ≠ 40 = 178 mod 46

m=47: 133 mod 47 = 39 ≠ 37 = 178 mod 47

m=48: 133 mod 48 = 37 ≠ 34 = 178 mod 48

m=49: 133 mod 49 = 35 ≠ 31 = 178 mod 49

m=50: 133 mod 50 = 33 ≠ 28 = 178 mod 50

m=51: 133 mod 51 = 31 ≠ 25 = 178 mod 51

m=52: 133 mod 52 = 29 ≠ 22 = 178 mod 52

m=53: 133 mod 53 = 27 ≠ 19 = 178 mod 53

m=54: 133 mod 54 = 25 ≠ 16 = 178 mod 54

m=55: 133 mod 55 = 23 ≠ 13 = 178 mod 55

m=56: 133 mod 56 = 21 ≠ 10 = 178 mod 56

m=57: 133 mod 57 = 19 ≠ 7 = 178 mod 57

m=58: 133 mod 58 = 17 ≠ 4 = 178 mod 58

m=59: 133 mod 59 = 15 ≠ 1 = 178 mod 59

m=60: 133 mod 60 = 13 ≠ 58 = 178 mod 60

m=61: 133 mod 61 = 11 ≠ 56 = 178 mod 61

m=62: 133 mod 62 = 9 ≠ 54 = 178 mod 62

m=63: 133 mod 63 = 7 ≠ 52 = 178 mod 63

m=64: 133 mod 64 = 5 ≠ 50 = 178 mod 64

m=65: 133 mod 65 = 3 ≠ 48 = 178 mod 65

m=66: 133 mod 66 = 1 ≠ 46 = 178 mod 66

m=67: 133 mod 67 = 66 ≠ 44 = 178 mod 67

m=68: 133 mod 68 = 65 ≠ 42 = 178 mod 68

m=69: 133 mod 69 = 64 ≠ 40 = 178 mod 69

m=70: 133 mod 70 = 63 ≠ 38 = 178 mod 70

m=71: 133 mod 71 = 62 ≠ 36 = 178 mod 71

m=72: 133 mod 72 = 61 ≠ 34 = 178 mod 72

m=73: 133 mod 73 = 60 ≠ 32 = 178 mod 73

m=74: 133 mod 74 = 59 ≠ 30 = 178 mod 74

m=75: 133 mod 75 = 58 ≠ 28 = 178 mod 75

m=76: 133 mod 76 = 57 ≠ 26 = 178 mod 76

m=77: 133 mod 77 = 56 ≠ 24 = 178 mod 77

m=78: 133 mod 78 = 55 ≠ 22 = 178 mod 78

m=79: 133 mod 79 = 54 ≠ 20 = 178 mod 79

m=80: 133 mod 80 = 53 ≠ 18 = 178 mod 80

m=81: 133 mod 81 = 52 ≠ 16 = 178 mod 81

m=82: 133 mod 82 = 51 ≠ 14 = 178 mod 82

m=83: 133 mod 83 = 50 ≠ 12 = 178 mod 83

m=84: 133 mod 84 = 49 ≠ 10 = 178 mod 84

m=85: 133 mod 85 = 48 ≠ 8 = 178 mod 85

m=86: 133 mod 86 = 47 ≠ 6 = 178 mod 86

m=87: 133 mod 87 = 46 ≠ 4 = 178 mod 87

m=88: 133 mod 88 = 45 ≠ 2 = 178 mod 88

m=89: 133 mod 89 = 44 ≠ 0 = 178 mod 89

m=90: 133 mod 90 = 43 ≠ 88 = 178 mod 90

m=91: 133 mod 91 = 42 ≠ 87 = 178 mod 91

m=92: 133 mod 92 = 41 ≠ 86 = 178 mod 92

m=93: 133 mod 93 = 40 ≠ 85 = 178 mod 93

m=94: 133 mod 94 = 39 ≠ 84 = 178 mod 94

m=95: 133 mod 95 = 38 ≠ 83 = 178 mod 95

m=96: 133 mod 96 = 37 ≠ 82 = 178 mod 96

m=97: 133 mod 97 = 36 ≠ 81 = 178 mod 97

m=98: 133 mod 98 = 35 ≠ 80 = 178 mod 98

m=99: 133 mod 99 = 34 ≠ 79 = 178 mod 99

m=100: 133 mod 100 = 33 ≠ 78 = 178 mod 100

m=101: 133 mod 101 = 32 ≠ 77 = 178 mod 101

m=102: 133 mod 102 = 31 ≠ 76 = 178 mod 102

m=103: 133 mod 103 = 30 ≠ 75 = 178 mod 103

m=104: 133 mod 104 = 29 ≠ 74 = 178 mod 104

m=105: 133 mod 105 = 28 ≠ 73 = 178 mod 105

m=106: 133 mod 106 = 27 ≠ 72 = 178 mod 106

m=107: 133 mod 107 = 26 ≠ 71 = 178 mod 107

m=108: 133 mod 108 = 25 ≠ 70 = 178 mod 108

m=109: 133 mod 109 = 24 ≠ 69 = 178 mod 109

m=110: 133 mod 110 = 23 ≠ 68 = 178 mod 110

m=111: 133 mod 111 = 22 ≠ 67 = 178 mod 111

m=112: 133 mod 112 = 21 ≠ 66 = 178 mod 112

m=113: 133 mod 113 = 20 ≠ 65 = 178 mod 113

m=114: 133 mod 114 = 19 ≠ 64 = 178 mod 114

m=115: 133 mod 115 = 18 ≠ 63 = 178 mod 115

m=116: 133 mod 116 = 17 ≠ 62 = 178 mod 116

m=117: 133 mod 117 = 16 ≠ 61 = 178 mod 117

m=118: 133 mod 118 = 15 ≠ 60 = 178 mod 118

m=119: 133 mod 119 = 14 ≠ 59 = 178 mod 119

m=120: 133 mod 120 = 13 ≠ 58 = 178 mod 120

m=121: 133 mod 121 = 12 ≠ 57 = 178 mod 121

m=122: 133 mod 122 = 11 ≠ 56 = 178 mod 122

m=123: 133 mod 123 = 10 ≠ 55 = 178 mod 123

m=124: 133 mod 124 = 9 ≠ 54 = 178 mod 124

m=125: 133 mod 125 = 8 ≠ 53 = 178 mod 125

m=126: 133 mod 126 = 7 ≠ 52 = 178 mod 126

m=127: 133 mod 127 = 6 ≠ 51 = 178 mod 127

m=128: 133 mod 128 = 5 ≠ 50 = 178 mod 128

m=129: 133 mod 129 = 4 ≠ 49 = 178 mod 129

m=130: 133 mod 130 = 3 ≠ 48 = 178 mod 130

m=131: 133 mod 131 = 2 ≠ 47 = 178 mod 131

m=132: 133 mod 132 = 1 ≠ 46 = 178 mod 132

m=133: 133 mod 133 = 0 ≠ 45 = 178 mod 133

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (178 - 133) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45