Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 16 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 9, weil ja 1 ⋅ 9 = 9 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 16 - 9 = 7.
Somit gilt: 16 mod 9 ≡ 7.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 26 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 24, weil ja 8 ⋅ 3 = 24 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 26 - 24 = 2.
Somit gilt: 26 mod 3 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 3 ⋅ 3
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 9 und erhalten so 11.
Somit gilt: 11 ≡ 26 ≡ 2 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (278 + 90) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(278 + 90) mod 9 ≡ (278 mod 9 + 90 mod 9) mod 9.
278 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 278
= 270
90 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90
= 90
Somit gilt:
(278 + 90) mod 9 ≡ (8 + 0) mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 60) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(98 ⋅ 60) mod 9 ≡ (98 mod 9 ⋅ 60 mod 9) mod 9.
98 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 90 + 8 = 10 ⋅ 9 + 8 ist.
60 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 54 + 6 = 6 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(98 ⋅ 60) mod 9 ≡ (8 ⋅ 6) mod 9 ≡ 48 mod 9 ≡ 3 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 17 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 17 mod m gilt:
m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 17 mod 2
m=3: 13 mod 3 = 1 ≠ 2 = 17 mod 3
m=4: 13 mod 4 = 1 = 1 = 17 mod 4
m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 2 = 17 mod 5
m=6: 13 mod 6 = 1 ≠ 5 = 17 mod 6
m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 3 = 17 mod 7
m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 1 = 17 mod 8
m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 8 = 17 mod 9
m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 7 = 17 mod 10
m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 6 = 17 mod 11
m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 5 = 17 mod 12
m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 4 = 17 mod 13
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (17 - 13) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
