Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 86 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 85, weil ja 17 ⋅ 5 = 85 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 86 - 85 = 1.
Somit gilt: 86 mod 5 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 93 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 93, weil ja 31 ⋅ 3 = 93 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 93 - 93 = 0.
Somit gilt: 93 mod 3 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 20 ⋅ 3
Somit gilt: 60 ≡ 93 ≡ 0 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8004 + 80) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8004 + 80) mod 4 ≡ (8004 mod 4 + 80 mod 4) mod 4.
8004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8004
= 8000
80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80
= 80
Somit gilt:
(8004 + 80) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 58) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 58) mod 9 ≡ (43 mod 9 ⋅ 58 mod 9) mod 9.
43 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 36 + 7 = 4 ⋅ 9 + 7 ist.
58 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 6 ⋅ 9 + 4 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 58) mod 9 ≡ (7 ⋅ 4) mod 9 ≡ 28 mod 9 ≡ 1 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
22 mod m = 30 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 30 mod m gilt:
m=2: 22 mod 2 = 0 = 0 = 30 mod 2
m=3: 22 mod 3 = 1 ≠ 0 = 30 mod 3
m=4: 22 mod 4 = 2 = 2 = 30 mod 4
m=5: 22 mod 5 = 2 ≠ 0 = 30 mod 5
m=6: 22 mod 6 = 4 ≠ 0 = 30 mod 6
m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 2 = 30 mod 7
m=8: 22 mod 8 = 6 = 6 = 30 mod 8
m=9: 22 mod 9 = 4 ≠ 3 = 30 mod 9
m=10: 22 mod 10 = 2 ≠ 0 = 30 mod 10
m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 8 = 30 mod 11
m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 6 = 30 mod 12
m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 4 = 30 mod 13
m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 2 = 30 mod 14
m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 0 = 30 mod 15
m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 14 = 30 mod 16
m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 13 = 30 mod 17
m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 12 = 30 mod 18
m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 11 = 30 mod 19
m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 10 = 30 mod 20
m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 9 = 30 mod 21
m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 8 = 30 mod 22
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (30 - 22) = 8 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4; 8
