Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 74 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 72, weil ja 9 ⋅ 8 = 72 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 74 - 72 = 2.
Somit gilt: 74 mod 8 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 53 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 51, weil ja 17 ⋅ 3 = 51 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 53 - 51 = 2.
Somit gilt: 53 mod 3 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 40, z.B. 39 = 13 ⋅ 3
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 39 und erhalten so 41.
Somit gilt: 41 ≡ 53 ≡ 2 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35001 - 28001) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35001 - 28001) mod 7 ≡ (35001 mod 7 - 28001 mod 7) mod 7.
35001 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35001
= 35000
28001 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28001
= 28000
Somit gilt:
(35001 - 28001) mod 7 ≡ (1 - 1) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 46) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(49 ⋅ 46) mod 4 ≡ (49 mod 4 ⋅ 46 mod 4) mod 4.
49 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 12 ⋅ 4 + 1 ist.
46 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 44 + 2 = 11 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(49 ⋅ 46) mod 4 ≡ (1 ⋅ 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
20 mod m = 26 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 26 mod m gilt:
m=2: 20 mod 2 = 0 = 0 = 26 mod 2
m=3: 20 mod 3 = 2 = 2 = 26 mod 3
m=4: 20 mod 4 = 0 ≠ 2 = 26 mod 4
m=5: 20 mod 5 = 0 ≠ 1 = 26 mod 5
m=6: 20 mod 6 = 2 = 2 = 26 mod 6
m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 5 = 26 mod 7
m=8: 20 mod 8 = 4 ≠ 2 = 26 mod 8
m=9: 20 mod 9 = 2 ≠ 8 = 26 mod 9
m=10: 20 mod 10 = 0 ≠ 6 = 26 mod 10
m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 4 = 26 mod 11
m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 2 = 26 mod 12
m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 0 = 26 mod 13
m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 12 = 26 mod 14
m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 11 = 26 mod 15
m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 10 = 26 mod 16
m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 9 = 26 mod 17
m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 8 = 26 mod 18
m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 7 = 26 mod 19
m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 6 = 26 mod 20
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (26 - 20) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
