Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 64, weil ja 8 ⋅ 8 = 64 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 65 - 64 = 1.

Somit gilt: 65 mod 8 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 65, weil ja 13 ⋅ 5 = 65 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 67 - 65 = 2.

Somit gilt: 67 mod 5 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 2 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 16 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 2 mod 5 sein, also addieren wir noch 2 auf die 80 und erhalten so 82.

Somit gilt: 82 ≡ 67 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(143 + 28000) mod 7 ≡ (143 mod 7 + 28000 mod 7) mod 7.

143 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 143 = 140+3 = 7 ⋅ 20 +3.

28000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28000 = 28000+0 = 7 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(143 + 28000) mod 7 ≡ (3 + 0) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25 ⋅ 69) mod 5 ≡ (25 mod 5 ⋅ 69 mod 5) mod 5.

25 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 25 + 0 = 5 ⋅ 5 + 0 ist.

69 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 65 + 4 = 13 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(25 ⋅ 69) mod 5 ≡ (0 ⋅ 4) mod 5 ≡ 0 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 54 aus, ob zufällig 54 mod m = 79 mod m gilt:

m=2: 54 mod 2 = 0 ≠ 1 = 79 mod 2

m=3: 54 mod 3 = 0 ≠ 1 = 79 mod 3

m=4: 54 mod 4 = 2 ≠ 3 = 79 mod 4

m=5: 54 mod 5 = 4 = 4 = 79 mod 5

m=6: 54 mod 6 = 0 ≠ 1 = 79 mod 6

m=7: 54 mod 7 = 5 ≠ 2 = 79 mod 7

m=8: 54 mod 8 = 6 ≠ 7 = 79 mod 8

m=9: 54 mod 9 = 0 ≠ 7 = 79 mod 9

m=10: 54 mod 10 = 4 ≠ 9 = 79 mod 10

m=11: 54 mod 11 = 10 ≠ 2 = 79 mod 11

m=12: 54 mod 12 = 6 ≠ 7 = 79 mod 12

m=13: 54 mod 13 = 2 ≠ 1 = 79 mod 13

m=14: 54 mod 14 = 12 ≠ 9 = 79 mod 14

m=15: 54 mod 15 = 9 ≠ 4 = 79 mod 15

m=16: 54 mod 16 = 6 ≠ 15 = 79 mod 16

m=17: 54 mod 17 = 3 ≠ 11 = 79 mod 17

m=18: 54 mod 18 = 0 ≠ 7 = 79 mod 18

m=19: 54 mod 19 = 16 ≠ 3 = 79 mod 19

m=20: 54 mod 20 = 14 ≠ 19 = 79 mod 20

m=21: 54 mod 21 = 12 ≠ 16 = 79 mod 21

m=22: 54 mod 22 = 10 ≠ 13 = 79 mod 22

m=23: 54 mod 23 = 8 ≠ 10 = 79 mod 23

m=24: 54 mod 24 = 6 ≠ 7 = 79 mod 24

m=25: 54 mod 25 = 4 = 4 = 79 mod 25

m=26: 54 mod 26 = 2 ≠ 1 = 79 mod 26

m=27: 54 mod 27 = 0 ≠ 25 = 79 mod 27

m=28: 54 mod 28 = 26 ≠ 23 = 79 mod 28

m=29: 54 mod 29 = 25 ≠ 21 = 79 mod 29

m=30: 54 mod 30 = 24 ≠ 19 = 79 mod 30

m=31: 54 mod 31 = 23 ≠ 17 = 79 mod 31

m=32: 54 mod 32 = 22 ≠ 15 = 79 mod 32

m=33: 54 mod 33 = 21 ≠ 13 = 79 mod 33

m=34: 54 mod 34 = 20 ≠ 11 = 79 mod 34

m=35: 54 mod 35 = 19 ≠ 9 = 79 mod 35

m=36: 54 mod 36 = 18 ≠ 7 = 79 mod 36

m=37: 54 mod 37 = 17 ≠ 5 = 79 mod 37

m=38: 54 mod 38 = 16 ≠ 3 = 79 mod 38

m=39: 54 mod 39 = 15 ≠ 1 = 79 mod 39

m=40: 54 mod 40 = 14 ≠ 39 = 79 mod 40

m=41: 54 mod 41 = 13 ≠ 38 = 79 mod 41

m=42: 54 mod 42 = 12 ≠ 37 = 79 mod 42

m=43: 54 mod 43 = 11 ≠ 36 = 79 mod 43

m=44: 54 mod 44 = 10 ≠ 35 = 79 mod 44

m=45: 54 mod 45 = 9 ≠ 34 = 79 mod 45

m=46: 54 mod 46 = 8 ≠ 33 = 79 mod 46

m=47: 54 mod 47 = 7 ≠ 32 = 79 mod 47

m=48: 54 mod 48 = 6 ≠ 31 = 79 mod 48

m=49: 54 mod 49 = 5 ≠ 30 = 79 mod 49

m=50: 54 mod 50 = 4 ≠ 29 = 79 mod 50

m=51: 54 mod 51 = 3 ≠ 28 = 79 mod 51

m=52: 54 mod 52 = 2 ≠ 27 = 79 mod 52

m=53: 54 mod 53 = 1 ≠ 26 = 79 mod 53

m=54: 54 mod 54 = 0 ≠ 25 = 79 mod 54

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (79 - 54) = 25 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

5; 25