Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 21, weil ja 3 ⋅ 7 = 21 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 27 - 21 = 6.

Somit gilt: 27 mod 7 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 96, weil ja 12 ⋅ 8 = 96 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 99 - 96 = 3.

Somit gilt: 99 mod 8 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 3 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 60, z.B. 64 = 8 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 3 mod 8 sein, also addieren wir noch 3 auf die 64 und erhalten so 67.

Somit gilt: 67 ≡ 99 ≡ 3 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 + 82) mod 4 ≡ (79 mod 4 + 82 mod 4) mod 4.

79 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 80-1 = 4 ⋅ 20 -1 = 4 ⋅ 20 - 4 + 3.

82 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80+2 = 4 ⋅ 20 +2.

Somit gilt:

(79 + 82) mod 4 ≡ (3 + 2) mod 4 ≡ 5 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(22 ⋅ 59) mod 5 ≡ (22 mod 5 ⋅ 59 mod 5) mod 5.

22 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 4 ⋅ 5 + 2 ist.

59 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 55 + 4 = 11 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(22 ⋅ 59) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 34 aus, ob zufällig 34 mod m = 44 mod m gilt:

m=2: 34 mod 2 = 0 = 0 = 44 mod 2

m=3: 34 mod 3 = 1 ≠ 2 = 44 mod 3

m=4: 34 mod 4 = 2 ≠ 0 = 44 mod 4

m=5: 34 mod 5 = 4 = 4 = 44 mod 5

m=6: 34 mod 6 = 4 ≠ 2 = 44 mod 6

m=7: 34 mod 7 = 6 ≠ 2 = 44 mod 7

m=8: 34 mod 8 = 2 ≠ 4 = 44 mod 8

m=9: 34 mod 9 = 7 ≠ 8 = 44 mod 9

m=10: 34 mod 10 = 4 = 4 = 44 mod 10

m=11: 34 mod 11 = 1 ≠ 0 = 44 mod 11

m=12: 34 mod 12 = 10 ≠ 8 = 44 mod 12

m=13: 34 mod 13 = 8 ≠ 5 = 44 mod 13

m=14: 34 mod 14 = 6 ≠ 2 = 44 mod 14

m=15: 34 mod 15 = 4 ≠ 14 = 44 mod 15

m=16: 34 mod 16 = 2 ≠ 12 = 44 mod 16

m=17: 34 mod 17 = 0 ≠ 10 = 44 mod 17

m=18: 34 mod 18 = 16 ≠ 8 = 44 mod 18

m=19: 34 mod 19 = 15 ≠ 6 = 44 mod 19

m=20: 34 mod 20 = 14 ≠ 4 = 44 mod 20

m=21: 34 mod 21 = 13 ≠ 2 = 44 mod 21

m=22: 34 mod 22 = 12 ≠ 0 = 44 mod 22

m=23: 34 mod 23 = 11 ≠ 21 = 44 mod 23

m=24: 34 mod 24 = 10 ≠ 20 = 44 mod 24

m=25: 34 mod 25 = 9 ≠ 19 = 44 mod 25

m=26: 34 mod 26 = 8 ≠ 18 = 44 mod 26

m=27: 34 mod 27 = 7 ≠ 17 = 44 mod 27

m=28: 34 mod 28 = 6 ≠ 16 = 44 mod 28

m=29: 34 mod 29 = 5 ≠ 15 = 44 mod 29

m=30: 34 mod 30 = 4 ≠ 14 = 44 mod 30

m=31: 34 mod 31 = 3 ≠ 13 = 44 mod 31

m=32: 34 mod 32 = 2 ≠ 12 = 44 mod 32

m=33: 34 mod 33 = 1 ≠ 11 = 44 mod 33

m=34: 34 mod 34 = 0 ≠ 10 = 44 mod 34

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (44 - 34) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10