Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 54, weil ja 9 ⋅ 6 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 55 - 54 = 1.

Somit gilt: 55 mod 6 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 72, weil ja 18 ⋅ 4 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 73 - 72 = 1.

Somit gilt: 73 mod 4 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 15 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 60 und erhalten so 61.

Somit gilt: 61 ≡ 73 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2400 + 7995) mod 8 ≡ (2400 mod 8 + 7995 mod 8) mod 8.

2400 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2400 = 2400+0 = 8 ⋅ 300 +0.

7995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7995 = 7000+995 = 8 ⋅ 875 +995.

Somit gilt:

(2400 + 7995) mod 8 ≡ (0 + 3) mod 8 ≡ 3 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 34) mod 9 ≡ (70 mod 9 ⋅ 34 mod 9) mod 9.

70 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 63 + 7 = 7 ⋅ 9 + 7 ist.

34 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 27 + 7 = 3 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 34) mod 9 ≡ (7 ⋅ 7) mod 9 ≡ 49 mod 9 ≡ 4 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 208 aus, ob zufällig 208 mod m = 283 mod m gilt:

m=2: 208 mod 2 = 0 ≠ 1 = 283 mod 2

m=3: 208 mod 3 = 1 = 1 = 283 mod 3

m=4: 208 mod 4 = 0 ≠ 3 = 283 mod 4

m=5: 208 mod 5 = 3 = 3 = 283 mod 5

m=6: 208 mod 6 = 4 ≠ 1 = 283 mod 6

m=7: 208 mod 7 = 5 ≠ 3 = 283 mod 7

m=8: 208 mod 8 = 0 ≠ 3 = 283 mod 8

m=9: 208 mod 9 = 1 ≠ 4 = 283 mod 9

m=10: 208 mod 10 = 8 ≠ 3 = 283 mod 10

m=11: 208 mod 11 = 10 ≠ 8 = 283 mod 11

m=12: 208 mod 12 = 4 ≠ 7 = 283 mod 12

m=13: 208 mod 13 = 0 ≠ 10 = 283 mod 13

m=14: 208 mod 14 = 12 ≠ 3 = 283 mod 14

m=15: 208 mod 15 = 13 = 13 = 283 mod 15

m=16: 208 mod 16 = 0 ≠ 11 = 283 mod 16

m=17: 208 mod 17 = 4 ≠ 11 = 283 mod 17

m=18: 208 mod 18 = 10 ≠ 13 = 283 mod 18

m=19: 208 mod 19 = 18 ≠ 17 = 283 mod 19

m=20: 208 mod 20 = 8 ≠ 3 = 283 mod 20

m=21: 208 mod 21 = 19 ≠ 10 = 283 mod 21

m=22: 208 mod 22 = 10 ≠ 19 = 283 mod 22

m=23: 208 mod 23 = 1 ≠ 7 = 283 mod 23

m=24: 208 mod 24 = 16 ≠ 19 = 283 mod 24

m=25: 208 mod 25 = 8 = 8 = 283 mod 25

m=26: 208 mod 26 = 0 ≠ 23 = 283 mod 26

m=27: 208 mod 27 = 19 ≠ 13 = 283 mod 27

m=28: 208 mod 28 = 12 ≠ 3 = 283 mod 28

m=29: 208 mod 29 = 5 ≠ 22 = 283 mod 29

m=30: 208 mod 30 = 28 ≠ 13 = 283 mod 30

m=31: 208 mod 31 = 22 ≠ 4 = 283 mod 31

m=32: 208 mod 32 = 16 ≠ 27 = 283 mod 32

m=33: 208 mod 33 = 10 ≠ 19 = 283 mod 33

m=34: 208 mod 34 = 4 ≠ 11 = 283 mod 34

m=35: 208 mod 35 = 33 ≠ 3 = 283 mod 35

m=36: 208 mod 36 = 28 ≠ 31 = 283 mod 36

m=37: 208 mod 37 = 23 ≠ 24 = 283 mod 37

m=38: 208 mod 38 = 18 ≠ 17 = 283 mod 38

m=39: 208 mod 39 = 13 ≠ 10 = 283 mod 39

m=40: 208 mod 40 = 8 ≠ 3 = 283 mod 40

m=41: 208 mod 41 = 3 ≠ 37 = 283 mod 41

m=42: 208 mod 42 = 40 ≠ 31 = 283 mod 42

m=43: 208 mod 43 = 36 ≠ 25 = 283 mod 43

m=44: 208 mod 44 = 32 ≠ 19 = 283 mod 44

m=45: 208 mod 45 = 28 ≠ 13 = 283 mod 45

m=46: 208 mod 46 = 24 ≠ 7 = 283 mod 46

m=47: 208 mod 47 = 20 ≠ 1 = 283 mod 47

m=48: 208 mod 48 = 16 ≠ 43 = 283 mod 48

m=49: 208 mod 49 = 12 ≠ 38 = 283 mod 49

m=50: 208 mod 50 = 8 ≠ 33 = 283 mod 50

m=51: 208 mod 51 = 4 ≠ 28 = 283 mod 51

m=52: 208 mod 52 = 0 ≠ 23 = 283 mod 52

m=53: 208 mod 53 = 49 ≠ 18 = 283 mod 53

m=54: 208 mod 54 = 46 ≠ 13 = 283 mod 54

m=55: 208 mod 55 = 43 ≠ 8 = 283 mod 55

m=56: 208 mod 56 = 40 ≠ 3 = 283 mod 56

m=57: 208 mod 57 = 37 ≠ 55 = 283 mod 57

m=58: 208 mod 58 = 34 ≠ 51 = 283 mod 58

m=59: 208 mod 59 = 31 ≠ 47 = 283 mod 59

m=60: 208 mod 60 = 28 ≠ 43 = 283 mod 60

m=61: 208 mod 61 = 25 ≠ 39 = 283 mod 61

m=62: 208 mod 62 = 22 ≠ 35 = 283 mod 62

m=63: 208 mod 63 = 19 ≠ 31 = 283 mod 63

m=64: 208 mod 64 = 16 ≠ 27 = 283 mod 64

m=65: 208 mod 65 = 13 ≠ 23 = 283 mod 65

m=66: 208 mod 66 = 10 ≠ 19 = 283 mod 66

m=67: 208 mod 67 = 7 ≠ 15 = 283 mod 67

m=68: 208 mod 68 = 4 ≠ 11 = 283 mod 68

m=69: 208 mod 69 = 1 ≠ 7 = 283 mod 69

m=70: 208 mod 70 = 68 ≠ 3 = 283 mod 70

m=71: 208 mod 71 = 66 ≠ 70 = 283 mod 71

m=72: 208 mod 72 = 64 ≠ 67 = 283 mod 72

m=73: 208 mod 73 = 62 ≠ 64 = 283 mod 73

m=74: 208 mod 74 = 60 ≠ 61 = 283 mod 74

m=75: 208 mod 75 = 58 = 58 = 283 mod 75

m=76: 208 mod 76 = 56 ≠ 55 = 283 mod 76

m=77: 208 mod 77 = 54 ≠ 52 = 283 mod 77

m=78: 208 mod 78 = 52 ≠ 49 = 283 mod 78

m=79: 208 mod 79 = 50 ≠ 46 = 283 mod 79

m=80: 208 mod 80 = 48 ≠ 43 = 283 mod 80

m=81: 208 mod 81 = 46 ≠ 40 = 283 mod 81

m=82: 208 mod 82 = 44 ≠ 37 = 283 mod 82

m=83: 208 mod 83 = 42 ≠ 34 = 283 mod 83

m=84: 208 mod 84 = 40 ≠ 31 = 283 mod 84

m=85: 208 mod 85 = 38 ≠ 28 = 283 mod 85

m=86: 208 mod 86 = 36 ≠ 25 = 283 mod 86

m=87: 208 mod 87 = 34 ≠ 22 = 283 mod 87

m=88: 208 mod 88 = 32 ≠ 19 = 283 mod 88

m=89: 208 mod 89 = 30 ≠ 16 = 283 mod 89

m=90: 208 mod 90 = 28 ≠ 13 = 283 mod 90

m=91: 208 mod 91 = 26 ≠ 10 = 283 mod 91

m=92: 208 mod 92 = 24 ≠ 7 = 283 mod 92

m=93: 208 mod 93 = 22 ≠ 4 = 283 mod 93

m=94: 208 mod 94 = 20 ≠ 1 = 283 mod 94

m=95: 208 mod 95 = 18 ≠ 93 = 283 mod 95

m=96: 208 mod 96 = 16 ≠ 91 = 283 mod 96

m=97: 208 mod 97 = 14 ≠ 89 = 283 mod 97

m=98: 208 mod 98 = 12 ≠ 87 = 283 mod 98

m=99: 208 mod 99 = 10 ≠ 85 = 283 mod 99

m=100: 208 mod 100 = 8 ≠ 83 = 283 mod 100

m=101: 208 mod 101 = 6 ≠ 81 = 283 mod 101

m=102: 208 mod 102 = 4 ≠ 79 = 283 mod 102

m=103: 208 mod 103 = 2 ≠ 77 = 283 mod 103

m=104: 208 mod 104 = 0 ≠ 75 = 283 mod 104

m=105: 208 mod 105 = 103 ≠ 73 = 283 mod 105

m=106: 208 mod 106 = 102 ≠ 71 = 283 mod 106

m=107: 208 mod 107 = 101 ≠ 69 = 283 mod 107

m=108: 208 mod 108 = 100 ≠ 67 = 283 mod 108

m=109: 208 mod 109 = 99 ≠ 65 = 283 mod 109

m=110: 208 mod 110 = 98 ≠ 63 = 283 mod 110

m=111: 208 mod 111 = 97 ≠ 61 = 283 mod 111

m=112: 208 mod 112 = 96 ≠ 59 = 283 mod 112

m=113: 208 mod 113 = 95 ≠ 57 = 283 mod 113

m=114: 208 mod 114 = 94 ≠ 55 = 283 mod 114

m=115: 208 mod 115 = 93 ≠ 53 = 283 mod 115

m=116: 208 mod 116 = 92 ≠ 51 = 283 mod 116

m=117: 208 mod 117 = 91 ≠ 49 = 283 mod 117

m=118: 208 mod 118 = 90 ≠ 47 = 283 mod 118

m=119: 208 mod 119 = 89 ≠ 45 = 283 mod 119

m=120: 208 mod 120 = 88 ≠ 43 = 283 mod 120

m=121: 208 mod 121 = 87 ≠ 41 = 283 mod 121

m=122: 208 mod 122 = 86 ≠ 39 = 283 mod 122

m=123: 208 mod 123 = 85 ≠ 37 = 283 mod 123

m=124: 208 mod 124 = 84 ≠ 35 = 283 mod 124

m=125: 208 mod 125 = 83 ≠ 33 = 283 mod 125

m=126: 208 mod 126 = 82 ≠ 31 = 283 mod 126

m=127: 208 mod 127 = 81 ≠ 29 = 283 mod 127

m=128: 208 mod 128 = 80 ≠ 27 = 283 mod 128

m=129: 208 mod 129 = 79 ≠ 25 = 283 mod 129

m=130: 208 mod 130 = 78 ≠ 23 = 283 mod 130

m=131: 208 mod 131 = 77 ≠ 21 = 283 mod 131

m=132: 208 mod 132 = 76 ≠ 19 = 283 mod 132

m=133: 208 mod 133 = 75 ≠ 17 = 283 mod 133

m=134: 208 mod 134 = 74 ≠ 15 = 283 mod 134

m=135: 208 mod 135 = 73 ≠ 13 = 283 mod 135

m=136: 208 mod 136 = 72 ≠ 11 = 283 mod 136

m=137: 208 mod 137 = 71 ≠ 9 = 283 mod 137

m=138: 208 mod 138 = 70 ≠ 7 = 283 mod 138

m=139: 208 mod 139 = 69 ≠ 5 = 283 mod 139

m=140: 208 mod 140 = 68 ≠ 3 = 283 mod 140

m=141: 208 mod 141 = 67 ≠ 1 = 283 mod 141

m=142: 208 mod 142 = 66 ≠ 141 = 283 mod 142

m=143: 208 mod 143 = 65 ≠ 140 = 283 mod 143

m=144: 208 mod 144 = 64 ≠ 139 = 283 mod 144

m=145: 208 mod 145 = 63 ≠ 138 = 283 mod 145

m=146: 208 mod 146 = 62 ≠ 137 = 283 mod 146

m=147: 208 mod 147 = 61 ≠ 136 = 283 mod 147

m=148: 208 mod 148 = 60 ≠ 135 = 283 mod 148

m=149: 208 mod 149 = 59 ≠ 134 = 283 mod 149

m=150: 208 mod 150 = 58 ≠ 133 = 283 mod 150

m=151: 208 mod 151 = 57 ≠ 132 = 283 mod 151

m=152: 208 mod 152 = 56 ≠ 131 = 283 mod 152

m=153: 208 mod 153 = 55 ≠ 130 = 283 mod 153

m=154: 208 mod 154 = 54 ≠ 129 = 283 mod 154

m=155: 208 mod 155 = 53 ≠ 128 = 283 mod 155

m=156: 208 mod 156 = 52 ≠ 127 = 283 mod 156

m=157: 208 mod 157 = 51 ≠ 126 = 283 mod 157

m=158: 208 mod 158 = 50 ≠ 125 = 283 mod 158

m=159: 208 mod 159 = 49 ≠ 124 = 283 mod 159

m=160: 208 mod 160 = 48 ≠ 123 = 283 mod 160

m=161: 208 mod 161 = 47 ≠ 122 = 283 mod 161

m=162: 208 mod 162 = 46 ≠ 121 = 283 mod 162

m=163: 208 mod 163 = 45 ≠ 120 = 283 mod 163

m=164: 208 mod 164 = 44 ≠ 119 = 283 mod 164

m=165: 208 mod 165 = 43 ≠ 118 = 283 mod 165

m=166: 208 mod 166 = 42 ≠ 117 = 283 mod 166

m=167: 208 mod 167 = 41 ≠ 116 = 283 mod 167

m=168: 208 mod 168 = 40 ≠ 115 = 283 mod 168

m=169: 208 mod 169 = 39 ≠ 114 = 283 mod 169

m=170: 208 mod 170 = 38 ≠ 113 = 283 mod 170

m=171: 208 mod 171 = 37 ≠ 112 = 283 mod 171

m=172: 208 mod 172 = 36 ≠ 111 = 283 mod 172

m=173: 208 mod 173 = 35 ≠ 110 = 283 mod 173

m=174: 208 mod 174 = 34 ≠ 109 = 283 mod 174

m=175: 208 mod 175 = 33 ≠ 108 = 283 mod 175

m=176: 208 mod 176 = 32 ≠ 107 = 283 mod 176

m=177: 208 mod 177 = 31 ≠ 106 = 283 mod 177

m=178: 208 mod 178 = 30 ≠ 105 = 283 mod 178

m=179: 208 mod 179 = 29 ≠ 104 = 283 mod 179

m=180: 208 mod 180 = 28 ≠ 103 = 283 mod 180

m=181: 208 mod 181 = 27 ≠ 102 = 283 mod 181

m=182: 208 mod 182 = 26 ≠ 101 = 283 mod 182

m=183: 208 mod 183 = 25 ≠ 100 = 283 mod 183

m=184: 208 mod 184 = 24 ≠ 99 = 283 mod 184

m=185: 208 mod 185 = 23 ≠ 98 = 283 mod 185

m=186: 208 mod 186 = 22 ≠ 97 = 283 mod 186

m=187: 208 mod 187 = 21 ≠ 96 = 283 mod 187

m=188: 208 mod 188 = 20 ≠ 95 = 283 mod 188

m=189: 208 mod 189 = 19 ≠ 94 = 283 mod 189

m=190: 208 mod 190 = 18 ≠ 93 = 283 mod 190

m=191: 208 mod 191 = 17 ≠ 92 = 283 mod 191

m=192: 208 mod 192 = 16 ≠ 91 = 283 mod 192

m=193: 208 mod 193 = 15 ≠ 90 = 283 mod 193

m=194: 208 mod 194 = 14 ≠ 89 = 283 mod 194

m=195: 208 mod 195 = 13 ≠ 88 = 283 mod 195

m=196: 208 mod 196 = 12 ≠ 87 = 283 mod 196

m=197: 208 mod 197 = 11 ≠ 86 = 283 mod 197

m=198: 208 mod 198 = 10 ≠ 85 = 283 mod 198

m=199: 208 mod 199 = 9 ≠ 84 = 283 mod 199

m=200: 208 mod 200 = 8 ≠ 83 = 283 mod 200

m=201: 208 mod 201 = 7 ≠ 82 = 283 mod 201

m=202: 208 mod 202 = 6 ≠ 81 = 283 mod 202

m=203: 208 mod 203 = 5 ≠ 80 = 283 mod 203

m=204: 208 mod 204 = 4 ≠ 79 = 283 mod 204

m=205: 208 mod 205 = 3 ≠ 78 = 283 mod 205

m=206: 208 mod 206 = 2 ≠ 77 = 283 mod 206

m=207: 208 mod 207 = 1 ≠ 76 = 283 mod 207

m=208: 208 mod 208 = 0 ≠ 75 = 283 mod 208

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (283 - 208) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75