Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 40 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 40, weil ja 8 ⋅ 5 = 40 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 40 - 40 = 0.
Somit gilt: 40 mod 5 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 85 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 84, weil ja 21 ⋅ 4 = 84 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 85 - 84 = 1.
Somit gilt: 85 mod 4 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 18 ⋅ 4
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 72 und erhalten so 73.
Somit gilt: 73 ≡ 85 ≡ 1 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (156 - 4000) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(156 - 4000) mod 8 ≡ (156 mod 8 - 4000 mod 8) mod 8.
156 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 156
= 160
4000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000
= 4000
Somit gilt:
(156 - 4000) mod 8 ≡ (4 - 0) mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 66) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 ⋅ 66) mod 11 ≡ (87 mod 11 ⋅ 66 mod 11) mod 11.
87 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 77 + 10 = 7 ⋅ 11 + 10 ist.
66 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 6 ⋅ 11 + 0 ist.
Somit gilt:
(87 ⋅ 66) mod 11 ≡ (10 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 18 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 18 mod m gilt:
m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2
m=3: 12 mod 3 = 0 = 0 = 18 mod 3
m=4: 12 mod 4 = 0 ≠ 2 = 18 mod 4
m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 3 = 18 mod 5
m=6: 12 mod 6 = 0 = 0 = 18 mod 6
m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 4 = 18 mod 7
m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 2 = 18 mod 8
m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 0 = 18 mod 9
m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 8 = 18 mod 10
m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 7 = 18 mod 11
m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 6 = 18 mod 12
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 12) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
