Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 35 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 30, weil ja 3 ⋅ 10 = 30 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 35 - 30 = 5.
Somit gilt: 35 mod 10 ≡ 5.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 26 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 25, weil ja 5 ⋅ 5 = 25 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 26 - 25 = 1.
Somit gilt: 26 mod 5 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 1 mod 5.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 14 ⋅ 5
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 1 mod 5 sein, also addieren wir noch 1 auf die 70 und erhalten so 71.
Somit gilt: 71 ≡ 26 ≡ 1 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24004 - 24008) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24004 - 24008) mod 8 ≡ (24004 mod 8 - 24008 mod 8) mod 8.
24004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24004
= 24000
24008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24008
= 24000
Somit gilt:
(24004 - 24008) mod 8 ≡ (4 - 0) mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 86) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(22 ⋅ 86) mod 10 ≡ (22 mod 10 ⋅ 86 mod 10) mod 10.
22 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 2 ⋅ 10 + 2 ist.
86 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 80 + 6 = 8 ⋅ 10 + 6 ist.
Somit gilt:
(22 ⋅ 86) mod 10 ≡ (2 ⋅ 6) mod 10 ≡ 12 mod 10 ≡ 2 mod 10.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
14 mod m = 18 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 18 mod m gilt:
m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2
m=3: 14 mod 3 = 2 ≠ 0 = 18 mod 3
m=4: 14 mod 4 = 2 = 2 = 18 mod 4
m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 3 = 18 mod 5
m=6: 14 mod 6 = 2 ≠ 0 = 18 mod 6
m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 4 = 18 mod 7
m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 2 = 18 mod 8
m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 0 = 18 mod 9
m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 8 = 18 mod 10
m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 7 = 18 mod 11
m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 6 = 18 mod 12
m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 5 = 18 mod 13
m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 4 = 18 mod 14
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 14) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
