Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 33, weil ja 3 ⋅ 11 = 33 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 36 - 33 = 3.

Somit gilt: 36 mod 11 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 78, weil ja 13 ⋅ 6 = 78 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 79 - 78 = 1.

Somit gilt: 79 mod 6 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 1 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 10 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 1 mod 6 sein, also addieren wir noch 1 auf die 60 und erhalten so 61.

Somit gilt: 61 ≡ 79 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(271 + 444) mod 9 ≡ (271 mod 9 + 444 mod 9) mod 9.

271 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 271 = 270+1 = 9 ⋅ 30 +1.

444 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 444 = 450-6 = 9 ⋅ 50 -6 = 9 ⋅ 50 - 9 + 3.

Somit gilt:

(271 + 444) mod 9 ≡ (1 + 3) mod 9 ≡ 4 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(50 ⋅ 96) mod 5 ≡ (50 mod 5 ⋅ 96 mod 5) mod 5.

50 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50 + 0 = 10 ⋅ 5 + 0 ist.

96 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 95 + 1 = 19 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(50 ⋅ 96) mod 5 ≡ (0 ⋅ 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 18 aus, ob zufällig 18 mod m = 26 mod m gilt:

m=2: 18 mod 2 = 0 = 0 = 26 mod 2

m=3: 18 mod 3 = 0 ≠ 2 = 26 mod 3

m=4: 18 mod 4 = 2 = 2 = 26 mod 4

m=5: 18 mod 5 = 3 ≠ 1 = 26 mod 5

m=6: 18 mod 6 = 0 ≠ 2 = 26 mod 6

m=7: 18 mod 7 = 4 ≠ 5 = 26 mod 7

m=8: 18 mod 8 = 2 = 2 = 26 mod 8

m=9: 18 mod 9 = 0 ≠ 8 = 26 mod 9

m=10: 18 mod 10 = 8 ≠ 6 = 26 mod 10

m=11: 18 mod 11 = 7 ≠ 4 = 26 mod 11

m=12: 18 mod 12 = 6 ≠ 2 = 26 mod 12

m=13: 18 mod 13 = 5 ≠ 0 = 26 mod 13

m=14: 18 mod 14 = 4 ≠ 12 = 26 mod 14

m=15: 18 mod 15 = 3 ≠ 11 = 26 mod 15

m=16: 18 mod 16 = 2 ≠ 10 = 26 mod 16

m=17: 18 mod 17 = 1 ≠ 9 = 26 mod 17

m=18: 18 mod 18 = 0 ≠ 8 = 26 mod 18

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (26 - 18) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8