Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 9, weil ja 1 ⋅ 9 = 9 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 17 - 9 = 8.

Somit gilt: 17 mod 9 ≡ 8.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 54, weil ja 9 ⋅ 6 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 59 - 54 = 5.

Somit gilt: 59 mod 6 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 5 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 40, z.B. 36 = 6 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 5 mod 6 sein, also addieren wir noch 5 auf die 36 und erhalten so 41.

Somit gilt: 41 ≡ 59 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27003 + 9007) mod 9 ≡ (27003 mod 9 + 9007 mod 9) mod 9.

27003 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27003 = 27000+3 = 9 ⋅ 3000 +3.

9007 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9007 = 9000+7 = 9 ⋅ 1000 +7.

Somit gilt:

(27003 + 9007) mod 9 ≡ (3 + 7) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 92) mod 10 ≡ (69 mod 10 ⋅ 92 mod 10) mod 10.

69 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 60 + 9 = 6 ⋅ 10 + 9 ist.

92 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 9 ⋅ 10 + 2 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 92) mod 10 ≡ (9 ⋅ 2) mod 10 ≡ 18 mod 10 ≡ 8 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 60 aus, ob zufällig 60 mod m = 90 mod m gilt:

m=2: 60 mod 2 = 0 = 0 = 90 mod 2

m=3: 60 mod 3 = 0 = 0 = 90 mod 3

m=4: 60 mod 4 = 0 ≠ 2 = 90 mod 4

m=5: 60 mod 5 = 0 = 0 = 90 mod 5

m=6: 60 mod 6 = 0 = 0 = 90 mod 6

m=7: 60 mod 7 = 4 ≠ 6 = 90 mod 7

m=8: 60 mod 8 = 4 ≠ 2 = 90 mod 8

m=9: 60 mod 9 = 6 ≠ 0 = 90 mod 9

m=10: 60 mod 10 = 0 = 0 = 90 mod 10

m=11: 60 mod 11 = 5 ≠ 2 = 90 mod 11

m=12: 60 mod 12 = 0 ≠ 6 = 90 mod 12

m=13: 60 mod 13 = 8 ≠ 12 = 90 mod 13

m=14: 60 mod 14 = 4 ≠ 6 = 90 mod 14

m=15: 60 mod 15 = 0 = 0 = 90 mod 15

m=16: 60 mod 16 = 12 ≠ 10 = 90 mod 16

m=17: 60 mod 17 = 9 ≠ 5 = 90 mod 17

m=18: 60 mod 18 = 6 ≠ 0 = 90 mod 18

m=19: 60 mod 19 = 3 ≠ 14 = 90 mod 19

m=20: 60 mod 20 = 0 ≠ 10 = 90 mod 20

m=21: 60 mod 21 = 18 ≠ 6 = 90 mod 21

m=22: 60 mod 22 = 16 ≠ 2 = 90 mod 22

m=23: 60 mod 23 = 14 ≠ 21 = 90 mod 23

m=24: 60 mod 24 = 12 ≠ 18 = 90 mod 24

m=25: 60 mod 25 = 10 ≠ 15 = 90 mod 25

m=26: 60 mod 26 = 8 ≠ 12 = 90 mod 26

m=27: 60 mod 27 = 6 ≠ 9 = 90 mod 27

m=28: 60 mod 28 = 4 ≠ 6 = 90 mod 28

m=29: 60 mod 29 = 2 ≠ 3 = 90 mod 29

m=30: 60 mod 30 = 0 = 0 = 90 mod 30

m=31: 60 mod 31 = 29 ≠ 28 = 90 mod 31

m=32: 60 mod 32 = 28 ≠ 26 = 90 mod 32

m=33: 60 mod 33 = 27 ≠ 24 = 90 mod 33

m=34: 60 mod 34 = 26 ≠ 22 = 90 mod 34

m=35: 60 mod 35 = 25 ≠ 20 = 90 mod 35

m=36: 60 mod 36 = 24 ≠ 18 = 90 mod 36

m=37: 60 mod 37 = 23 ≠ 16 = 90 mod 37

m=38: 60 mod 38 = 22 ≠ 14 = 90 mod 38

m=39: 60 mod 39 = 21 ≠ 12 = 90 mod 39

m=40: 60 mod 40 = 20 ≠ 10 = 90 mod 40

m=41: 60 mod 41 = 19 ≠ 8 = 90 mod 41

m=42: 60 mod 42 = 18 ≠ 6 = 90 mod 42

m=43: 60 mod 43 = 17 ≠ 4 = 90 mod 43

m=44: 60 mod 44 = 16 ≠ 2 = 90 mod 44

m=45: 60 mod 45 = 15 ≠ 0 = 90 mod 45

m=46: 60 mod 46 = 14 ≠ 44 = 90 mod 46

m=47: 60 mod 47 = 13 ≠ 43 = 90 mod 47

m=48: 60 mod 48 = 12 ≠ 42 = 90 mod 48

m=49: 60 mod 49 = 11 ≠ 41 = 90 mod 49

m=50: 60 mod 50 = 10 ≠ 40 = 90 mod 50

m=51: 60 mod 51 = 9 ≠ 39 = 90 mod 51

m=52: 60 mod 52 = 8 ≠ 38 = 90 mod 52

m=53: 60 mod 53 = 7 ≠ 37 = 90 mod 53

m=54: 60 mod 54 = 6 ≠ 36 = 90 mod 54

m=55: 60 mod 55 = 5 ≠ 35 = 90 mod 55

m=56: 60 mod 56 = 4 ≠ 34 = 90 mod 56

m=57: 60 mod 57 = 3 ≠ 33 = 90 mod 57

m=58: 60 mod 58 = 2 ≠ 32 = 90 mod 58

m=59: 60 mod 59 = 1 ≠ 31 = 90 mod 59

m=60: 60 mod 60 = 0 ≠ 30 = 90 mod 60

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (90 - 60) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30