Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 38 - 36 = 2.

Somit gilt: 38 mod 9 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 30, weil ja 3 ⋅ 10 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 32 - 30 = 2.

Somit gilt: 32 mod 10 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 70 für die gilt: n ≡ 2 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 6 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 2 mod 10 sein, also addieren wir noch 2 auf die 60 und erhalten so 62.

Somit gilt: 62 ≡ 32 ≡ 2 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8999 + 300) mod 3 ≡ (8999 mod 3 + 300 mod 3) mod 3.

8999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8999 = 9000-1 = 3 ⋅ 3000 -1 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 2.

300 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300 = 300+0 = 3 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(8999 + 300) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 25) mod 7 ≡ (20 mod 7 ⋅ 25 mod 7) mod 7.

20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.

25 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 21 + 4 = 3 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 25) mod 7 ≡ (6 ⋅ 4) mod 7 ≡ 24 mod 7 ≡ 3 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 35 aus, ob zufällig 35 mod m = 44 mod m gilt:

m=2: 35 mod 2 = 1 ≠ 0 = 44 mod 2

m=3: 35 mod 3 = 2 = 2 = 44 mod 3

m=4: 35 mod 4 = 3 ≠ 0 = 44 mod 4

m=5: 35 mod 5 = 0 ≠ 4 = 44 mod 5

m=6: 35 mod 6 = 5 ≠ 2 = 44 mod 6

m=7: 35 mod 7 = 0 ≠ 2 = 44 mod 7

m=8: 35 mod 8 = 3 ≠ 4 = 44 mod 8

m=9: 35 mod 9 = 8 = 8 = 44 mod 9

m=10: 35 mod 10 = 5 ≠ 4 = 44 mod 10

m=11: 35 mod 11 = 2 ≠ 0 = 44 mod 11

m=12: 35 mod 12 = 11 ≠ 8 = 44 mod 12

m=13: 35 mod 13 = 9 ≠ 5 = 44 mod 13

m=14: 35 mod 14 = 7 ≠ 2 = 44 mod 14

m=15: 35 mod 15 = 5 ≠ 14 = 44 mod 15

m=16: 35 mod 16 = 3 ≠ 12 = 44 mod 16

m=17: 35 mod 17 = 1 ≠ 10 = 44 mod 17

m=18: 35 mod 18 = 17 ≠ 8 = 44 mod 18

m=19: 35 mod 19 = 16 ≠ 6 = 44 mod 19

m=20: 35 mod 20 = 15 ≠ 4 = 44 mod 20

m=21: 35 mod 21 = 14 ≠ 2 = 44 mod 21

m=22: 35 mod 22 = 13 ≠ 0 = 44 mod 22

m=23: 35 mod 23 = 12 ≠ 21 = 44 mod 23

m=24: 35 mod 24 = 11 ≠ 20 = 44 mod 24

m=25: 35 mod 25 = 10 ≠ 19 = 44 mod 25

m=26: 35 mod 26 = 9 ≠ 18 = 44 mod 26

m=27: 35 mod 27 = 8 ≠ 17 = 44 mod 27

m=28: 35 mod 28 = 7 ≠ 16 = 44 mod 28

m=29: 35 mod 29 = 6 ≠ 15 = 44 mod 29

m=30: 35 mod 30 = 5 ≠ 14 = 44 mod 30

m=31: 35 mod 31 = 4 ≠ 13 = 44 mod 31

m=32: 35 mod 32 = 3 ≠ 12 = 44 mod 32

m=33: 35 mod 33 = 2 ≠ 11 = 44 mod 33

m=34: 35 mod 34 = 1 ≠ 10 = 44 mod 34

m=35: 35 mod 35 = 0 ≠ 9 = 44 mod 35

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (44 - 35) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9