Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 24, weil ja 3 ⋅ 8 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 31 - 24 = 7.

Somit gilt: 31 mod 8 ≡ 7.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 33, weil ja 3 ⋅ 11 = 33 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 41 - 33 = 8.

Somit gilt: 41 mod 11 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 61 für die gilt: n ≡ 8 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 50, z.B. 44 = 4 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 8 mod 11 sein, also addieren wir noch 8 auf die 44 und erhalten so 52.

Somit gilt: 52 ≡ 41 ≡ 8 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(203 + 28005) mod 7 ≡ (203 mod 7 + 28005 mod 7) mod 7.

203 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 203 = 210-7 = 7 ⋅ 30 -7 = 7 ⋅ 30 - 7 + 0.

28005 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28005 = 28000+5 = 7 ⋅ 4000 +5.

Somit gilt:

(203 + 28005) mod 7 ≡ (0 + 5) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 86) mod 11 ≡ (67 mod 11 ⋅ 86 mod 11) mod 11.

67 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 6 ⋅ 11 + 1 ist.

86 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 77 + 9 = 7 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 86) mod 11 ≡ (1 ⋅ 9) mod 11 ≡ 9 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 59 aus, ob zufällig 59 mod m = 77 mod m gilt:

m=2: 59 mod 2 = 1 = 1 = 77 mod 2

m=3: 59 mod 3 = 2 = 2 = 77 mod 3

m=4: 59 mod 4 = 3 ≠ 1 = 77 mod 4

m=5: 59 mod 5 = 4 ≠ 2 = 77 mod 5

m=6: 59 mod 6 = 5 = 5 = 77 mod 6

m=7: 59 mod 7 = 3 ≠ 0 = 77 mod 7

m=8: 59 mod 8 = 3 ≠ 5 = 77 mod 8

m=9: 59 mod 9 = 5 = 5 = 77 mod 9

m=10: 59 mod 10 = 9 ≠ 7 = 77 mod 10

m=11: 59 mod 11 = 4 ≠ 0 = 77 mod 11

m=12: 59 mod 12 = 11 ≠ 5 = 77 mod 12

m=13: 59 mod 13 = 7 ≠ 12 = 77 mod 13

m=14: 59 mod 14 = 3 ≠ 7 = 77 mod 14

m=15: 59 mod 15 = 14 ≠ 2 = 77 mod 15

m=16: 59 mod 16 = 11 ≠ 13 = 77 mod 16

m=17: 59 mod 17 = 8 ≠ 9 = 77 mod 17

m=18: 59 mod 18 = 5 = 5 = 77 mod 18

m=19: 59 mod 19 = 2 ≠ 1 = 77 mod 19

m=20: 59 mod 20 = 19 ≠ 17 = 77 mod 20

m=21: 59 mod 21 = 17 ≠ 14 = 77 mod 21

m=22: 59 mod 22 = 15 ≠ 11 = 77 mod 22

m=23: 59 mod 23 = 13 ≠ 8 = 77 mod 23

m=24: 59 mod 24 = 11 ≠ 5 = 77 mod 24

m=25: 59 mod 25 = 9 ≠ 2 = 77 mod 25

m=26: 59 mod 26 = 7 ≠ 25 = 77 mod 26

m=27: 59 mod 27 = 5 ≠ 23 = 77 mod 27

m=28: 59 mod 28 = 3 ≠ 21 = 77 mod 28

m=29: 59 mod 29 = 1 ≠ 19 = 77 mod 29

m=30: 59 mod 30 = 29 ≠ 17 = 77 mod 30

m=31: 59 mod 31 = 28 ≠ 15 = 77 mod 31

m=32: 59 mod 32 = 27 ≠ 13 = 77 mod 32

m=33: 59 mod 33 = 26 ≠ 11 = 77 mod 33

m=34: 59 mod 34 = 25 ≠ 9 = 77 mod 34

m=35: 59 mod 35 = 24 ≠ 7 = 77 mod 35

m=36: 59 mod 36 = 23 ≠ 5 = 77 mod 36

m=37: 59 mod 37 = 22 ≠ 3 = 77 mod 37

m=38: 59 mod 38 = 21 ≠ 1 = 77 mod 38

m=39: 59 mod 39 = 20 ≠ 38 = 77 mod 39

m=40: 59 mod 40 = 19 ≠ 37 = 77 mod 40

m=41: 59 mod 41 = 18 ≠ 36 = 77 mod 41

m=42: 59 mod 42 = 17 ≠ 35 = 77 mod 42

m=43: 59 mod 43 = 16 ≠ 34 = 77 mod 43

m=44: 59 mod 44 = 15 ≠ 33 = 77 mod 44

m=45: 59 mod 45 = 14 ≠ 32 = 77 mod 45

m=46: 59 mod 46 = 13 ≠ 31 = 77 mod 46

m=47: 59 mod 47 = 12 ≠ 30 = 77 mod 47

m=48: 59 mod 48 = 11 ≠ 29 = 77 mod 48

m=49: 59 mod 49 = 10 ≠ 28 = 77 mod 49

m=50: 59 mod 50 = 9 ≠ 27 = 77 mod 50

m=51: 59 mod 51 = 8 ≠ 26 = 77 mod 51

m=52: 59 mod 52 = 7 ≠ 25 = 77 mod 52

m=53: 59 mod 53 = 6 ≠ 24 = 77 mod 53

m=54: 59 mod 54 = 5 ≠ 23 = 77 mod 54

m=55: 59 mod 55 = 4 ≠ 22 = 77 mod 55

m=56: 59 mod 56 = 3 ≠ 21 = 77 mod 56

m=57: 59 mod 57 = 2 ≠ 20 = 77 mod 57

m=58: 59 mod 58 = 1 ≠ 19 = 77 mod 58

m=59: 59 mod 59 = 0 ≠ 18 = 77 mod 59

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (77 - 59) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18