Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 28 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 28, weil ja 4 ⋅ 7 = 28 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 28 - 28 = 0.
Somit gilt: 28 mod 7 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 56 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 56, weil ja 8 ⋅ 7 = 56 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 56 - 56 = 0.
Somit gilt: 56 mod 7 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 0 mod 7.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 60, z.B. 63 = 9 ⋅ 7
Somit gilt: 63 ≡ 56 ≡ 0 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (265 + 364) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(265 + 364) mod 9 ≡ (265 mod 9 + 364 mod 9) mod 9.
265 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 265
= 270
364 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 364
= 360
Somit gilt:
(265 + 364) mod 9 ≡ (4 + 4) mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 83) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(22 ⋅ 83) mod 4 ≡ (22 mod 4 ⋅ 83 mod 4) mod 4.
22 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 5 ⋅ 4 + 2 ist.
83 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 20 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(22 ⋅ 83) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
19 mod m = 27 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 19 aus, ob zufällig 19 mod m = 27 mod m gilt:
m=2: 19 mod 2 = 1 = 1 = 27 mod 2
m=3: 19 mod 3 = 1 ≠ 0 = 27 mod 3
m=4: 19 mod 4 = 3 = 3 = 27 mod 4
m=5: 19 mod 5 = 4 ≠ 2 = 27 mod 5
m=6: 19 mod 6 = 1 ≠ 3 = 27 mod 6
m=7: 19 mod 7 = 5 ≠ 6 = 27 mod 7
m=8: 19 mod 8 = 3 = 3 = 27 mod 8
m=9: 19 mod 9 = 1 ≠ 0 = 27 mod 9
m=10: 19 mod 10 = 9 ≠ 7 = 27 mod 10
m=11: 19 mod 11 = 8 ≠ 5 = 27 mod 11
m=12: 19 mod 12 = 7 ≠ 3 = 27 mod 12
m=13: 19 mod 13 = 6 ≠ 1 = 27 mod 13
m=14: 19 mod 14 = 5 ≠ 13 = 27 mod 14
m=15: 19 mod 15 = 4 ≠ 12 = 27 mod 15
m=16: 19 mod 16 = 3 ≠ 11 = 27 mod 16
m=17: 19 mod 17 = 2 ≠ 10 = 27 mod 17
m=18: 19 mod 18 = 1 ≠ 9 = 27 mod 18
m=19: 19 mod 19 = 0 ≠ 8 = 27 mod 19
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (27 - 19) = 8 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4; 8
