Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 85 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 84, weil ja 14 ⋅ 6 = 84 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 85 - 84 = 1.
Somit gilt: 85 mod 6 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 76 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 76, weil ja 19 ⋅ 4 = 76 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 76 - 76 = 0.
Somit gilt: 76 mod 4 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 0 mod 4.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 50, z.B. 52 = 13 ⋅ 4
Somit gilt: 52 ≡ 76 ≡ 0 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 - 446) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 - 446) mod 9 ≡ (88 mod 9 - 446 mod 9) mod 9.
88 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88
= 90
446 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 446
= 450
Somit gilt:
(88 - 446) mod 9 ≡ (7 - 5) mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 57) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 ⋅ 57) mod 3 ≡ (45 mod 3 ⋅ 57 mod 3) mod 3.
45 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 15 ⋅ 3 + 0 ist.
57 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 57 + 0 = 19 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(45 ⋅ 57) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
24 mod m = 36 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 24 aus, ob zufällig 24 mod m = 36 mod m gilt:
m=2: 24 mod 2 = 0 = 0 = 36 mod 2
m=3: 24 mod 3 = 0 = 0 = 36 mod 3
m=4: 24 mod 4 = 0 = 0 = 36 mod 4
m=5: 24 mod 5 = 4 ≠ 1 = 36 mod 5
m=6: 24 mod 6 = 0 = 0 = 36 mod 6
m=7: 24 mod 7 = 3 ≠ 1 = 36 mod 7
m=8: 24 mod 8 = 0 ≠ 4 = 36 mod 8
m=9: 24 mod 9 = 6 ≠ 0 = 36 mod 9
m=10: 24 mod 10 = 4 ≠ 6 = 36 mod 10
m=11: 24 mod 11 = 2 ≠ 3 = 36 mod 11
m=12: 24 mod 12 = 0 = 0 = 36 mod 12
m=13: 24 mod 13 = 11 ≠ 10 = 36 mod 13
m=14: 24 mod 14 = 10 ≠ 8 = 36 mod 14
m=15: 24 mod 15 = 9 ≠ 6 = 36 mod 15
m=16: 24 mod 16 = 8 ≠ 4 = 36 mod 16
m=17: 24 mod 17 = 7 ≠ 2 = 36 mod 17
m=18: 24 mod 18 = 6 ≠ 0 = 36 mod 18
m=19: 24 mod 19 = 5 ≠ 17 = 36 mod 19
m=20: 24 mod 20 = 4 ≠ 16 = 36 mod 20
m=21: 24 mod 21 = 3 ≠ 15 = 36 mod 21
m=22: 24 mod 22 = 2 ≠ 14 = 36 mod 22
m=23: 24 mod 23 = 1 ≠ 13 = 36 mod 23
m=24: 24 mod 24 = 0 ≠ 12 = 36 mod 24
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (36 - 24) = 12 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 4; 6; 12
