Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 72, weil ja 12 ⋅ 6 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 76 - 72 = 4.

Somit gilt: 76 mod 6 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 35, weil ja 5 ⋅ 7 = 35 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 38 - 35 = 3.

Somit gilt: 38 mod 7 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 3 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 90, z.B. 91 = 13 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 3 mod 7 sein, also addieren wir noch 3 auf die 91 und erhalten so 94.

Somit gilt: 94 ≡ 38 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1997 + 12000) mod 4 ≡ (1997 mod 4 + 12000 mod 4) mod 4.

1997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1997 = 1900+97 = 4 ⋅ 475 +97.

12000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 4 ⋅ 3000 +0.

Somit gilt:

(1997 + 12000) mod 4 ≡ (1 + 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 28) mod 9 ≡ (79 mod 9 ⋅ 28 mod 9) mod 9.

79 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 72 + 7 = 8 ⋅ 9 + 7 ist.

28 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 3 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 28) mod 9 ≡ (7 ⋅ 1) mod 9 ≡ 7 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 171 aus, ob zufällig 171 mod m = 216 mod m gilt:

m=2: 171 mod 2 = 1 ≠ 0 = 216 mod 2

m=3: 171 mod 3 = 0 = 0 = 216 mod 3

m=4: 171 mod 4 = 3 ≠ 0 = 216 mod 4

m=5: 171 mod 5 = 1 = 1 = 216 mod 5

m=6: 171 mod 6 = 3 ≠ 0 = 216 mod 6

m=7: 171 mod 7 = 3 ≠ 6 = 216 mod 7

m=8: 171 mod 8 = 3 ≠ 0 = 216 mod 8

m=9: 171 mod 9 = 0 = 0 = 216 mod 9

m=10: 171 mod 10 = 1 ≠ 6 = 216 mod 10

m=11: 171 mod 11 = 6 ≠ 7 = 216 mod 11

m=12: 171 mod 12 = 3 ≠ 0 = 216 mod 12

m=13: 171 mod 13 = 2 ≠ 8 = 216 mod 13

m=14: 171 mod 14 = 3 ≠ 6 = 216 mod 14

m=15: 171 mod 15 = 6 = 6 = 216 mod 15

m=16: 171 mod 16 = 11 ≠ 8 = 216 mod 16

m=17: 171 mod 17 = 1 ≠ 12 = 216 mod 17

m=18: 171 mod 18 = 9 ≠ 0 = 216 mod 18

m=19: 171 mod 19 = 0 ≠ 7 = 216 mod 19

m=20: 171 mod 20 = 11 ≠ 16 = 216 mod 20

m=21: 171 mod 21 = 3 ≠ 6 = 216 mod 21

m=22: 171 mod 22 = 17 ≠ 18 = 216 mod 22

m=23: 171 mod 23 = 10 ≠ 9 = 216 mod 23

m=24: 171 mod 24 = 3 ≠ 0 = 216 mod 24

m=25: 171 mod 25 = 21 ≠ 16 = 216 mod 25

m=26: 171 mod 26 = 15 ≠ 8 = 216 mod 26

m=27: 171 mod 27 = 9 ≠ 0 = 216 mod 27

m=28: 171 mod 28 = 3 ≠ 20 = 216 mod 28

m=29: 171 mod 29 = 26 ≠ 13 = 216 mod 29

m=30: 171 mod 30 = 21 ≠ 6 = 216 mod 30

m=31: 171 mod 31 = 16 ≠ 30 = 216 mod 31

m=32: 171 mod 32 = 11 ≠ 24 = 216 mod 32

m=33: 171 mod 33 = 6 ≠ 18 = 216 mod 33

m=34: 171 mod 34 = 1 ≠ 12 = 216 mod 34

m=35: 171 mod 35 = 31 ≠ 6 = 216 mod 35

m=36: 171 mod 36 = 27 ≠ 0 = 216 mod 36

m=37: 171 mod 37 = 23 ≠ 31 = 216 mod 37

m=38: 171 mod 38 = 19 ≠ 26 = 216 mod 38

m=39: 171 mod 39 = 15 ≠ 21 = 216 mod 39

m=40: 171 mod 40 = 11 ≠ 16 = 216 mod 40

m=41: 171 mod 41 = 7 ≠ 11 = 216 mod 41

m=42: 171 mod 42 = 3 ≠ 6 = 216 mod 42

m=43: 171 mod 43 = 42 ≠ 1 = 216 mod 43

m=44: 171 mod 44 = 39 ≠ 40 = 216 mod 44

m=45: 171 mod 45 = 36 = 36 = 216 mod 45

m=46: 171 mod 46 = 33 ≠ 32 = 216 mod 46

m=47: 171 mod 47 = 30 ≠ 28 = 216 mod 47

m=48: 171 mod 48 = 27 ≠ 24 = 216 mod 48

m=49: 171 mod 49 = 24 ≠ 20 = 216 mod 49

m=50: 171 mod 50 = 21 ≠ 16 = 216 mod 50

m=51: 171 mod 51 = 18 ≠ 12 = 216 mod 51

m=52: 171 mod 52 = 15 ≠ 8 = 216 mod 52

m=53: 171 mod 53 = 12 ≠ 4 = 216 mod 53

m=54: 171 mod 54 = 9 ≠ 0 = 216 mod 54

m=55: 171 mod 55 = 6 ≠ 51 = 216 mod 55

m=56: 171 mod 56 = 3 ≠ 48 = 216 mod 56

m=57: 171 mod 57 = 0 ≠ 45 = 216 mod 57

m=58: 171 mod 58 = 55 ≠ 42 = 216 mod 58

m=59: 171 mod 59 = 53 ≠ 39 = 216 mod 59

m=60: 171 mod 60 = 51 ≠ 36 = 216 mod 60

m=61: 171 mod 61 = 49 ≠ 33 = 216 mod 61

m=62: 171 mod 62 = 47 ≠ 30 = 216 mod 62

m=63: 171 mod 63 = 45 ≠ 27 = 216 mod 63

m=64: 171 mod 64 = 43 ≠ 24 = 216 mod 64

m=65: 171 mod 65 = 41 ≠ 21 = 216 mod 65

m=66: 171 mod 66 = 39 ≠ 18 = 216 mod 66

m=67: 171 mod 67 = 37 ≠ 15 = 216 mod 67

m=68: 171 mod 68 = 35 ≠ 12 = 216 mod 68

m=69: 171 mod 69 = 33 ≠ 9 = 216 mod 69

m=70: 171 mod 70 = 31 ≠ 6 = 216 mod 70

m=71: 171 mod 71 = 29 ≠ 3 = 216 mod 71

m=72: 171 mod 72 = 27 ≠ 0 = 216 mod 72

m=73: 171 mod 73 = 25 ≠ 70 = 216 mod 73

m=74: 171 mod 74 = 23 ≠ 68 = 216 mod 74

m=75: 171 mod 75 = 21 ≠ 66 = 216 mod 75

m=76: 171 mod 76 = 19 ≠ 64 = 216 mod 76

m=77: 171 mod 77 = 17 ≠ 62 = 216 mod 77

m=78: 171 mod 78 = 15 ≠ 60 = 216 mod 78

m=79: 171 mod 79 = 13 ≠ 58 = 216 mod 79

m=80: 171 mod 80 = 11 ≠ 56 = 216 mod 80

m=81: 171 mod 81 = 9 ≠ 54 = 216 mod 81

m=82: 171 mod 82 = 7 ≠ 52 = 216 mod 82

m=83: 171 mod 83 = 5 ≠ 50 = 216 mod 83

m=84: 171 mod 84 = 3 ≠ 48 = 216 mod 84

m=85: 171 mod 85 = 1 ≠ 46 = 216 mod 85

m=86: 171 mod 86 = 85 ≠ 44 = 216 mod 86

m=87: 171 mod 87 = 84 ≠ 42 = 216 mod 87

m=88: 171 mod 88 = 83 ≠ 40 = 216 mod 88

m=89: 171 mod 89 = 82 ≠ 38 = 216 mod 89

m=90: 171 mod 90 = 81 ≠ 36 = 216 mod 90

m=91: 171 mod 91 = 80 ≠ 34 = 216 mod 91

m=92: 171 mod 92 = 79 ≠ 32 = 216 mod 92

m=93: 171 mod 93 = 78 ≠ 30 = 216 mod 93

m=94: 171 mod 94 = 77 ≠ 28 = 216 mod 94

m=95: 171 mod 95 = 76 ≠ 26 = 216 mod 95

m=96: 171 mod 96 = 75 ≠ 24 = 216 mod 96

m=97: 171 mod 97 = 74 ≠ 22 = 216 mod 97

m=98: 171 mod 98 = 73 ≠ 20 = 216 mod 98

m=99: 171 mod 99 = 72 ≠ 18 = 216 mod 99

m=100: 171 mod 100 = 71 ≠ 16 = 216 mod 100

m=101: 171 mod 101 = 70 ≠ 14 = 216 mod 101

m=102: 171 mod 102 = 69 ≠ 12 = 216 mod 102

m=103: 171 mod 103 = 68 ≠ 10 = 216 mod 103

m=104: 171 mod 104 = 67 ≠ 8 = 216 mod 104

m=105: 171 mod 105 = 66 ≠ 6 = 216 mod 105

m=106: 171 mod 106 = 65 ≠ 4 = 216 mod 106

m=107: 171 mod 107 = 64 ≠ 2 = 216 mod 107

m=108: 171 mod 108 = 63 ≠ 0 = 216 mod 108

m=109: 171 mod 109 = 62 ≠ 107 = 216 mod 109

m=110: 171 mod 110 = 61 ≠ 106 = 216 mod 110

m=111: 171 mod 111 = 60 ≠ 105 = 216 mod 111

m=112: 171 mod 112 = 59 ≠ 104 = 216 mod 112

m=113: 171 mod 113 = 58 ≠ 103 = 216 mod 113

m=114: 171 mod 114 = 57 ≠ 102 = 216 mod 114

m=115: 171 mod 115 = 56 ≠ 101 = 216 mod 115

m=116: 171 mod 116 = 55 ≠ 100 = 216 mod 116

m=117: 171 mod 117 = 54 ≠ 99 = 216 mod 117

m=118: 171 mod 118 = 53 ≠ 98 = 216 mod 118

m=119: 171 mod 119 = 52 ≠ 97 = 216 mod 119

m=120: 171 mod 120 = 51 ≠ 96 = 216 mod 120

m=121: 171 mod 121 = 50 ≠ 95 = 216 mod 121

m=122: 171 mod 122 = 49 ≠ 94 = 216 mod 122

m=123: 171 mod 123 = 48 ≠ 93 = 216 mod 123

m=124: 171 mod 124 = 47 ≠ 92 = 216 mod 124

m=125: 171 mod 125 = 46 ≠ 91 = 216 mod 125

m=126: 171 mod 126 = 45 ≠ 90 = 216 mod 126

m=127: 171 mod 127 = 44 ≠ 89 = 216 mod 127

m=128: 171 mod 128 = 43 ≠ 88 = 216 mod 128

m=129: 171 mod 129 = 42 ≠ 87 = 216 mod 129

m=130: 171 mod 130 = 41 ≠ 86 = 216 mod 130

m=131: 171 mod 131 = 40 ≠ 85 = 216 mod 131

m=132: 171 mod 132 = 39 ≠ 84 = 216 mod 132

m=133: 171 mod 133 = 38 ≠ 83 = 216 mod 133

m=134: 171 mod 134 = 37 ≠ 82 = 216 mod 134

m=135: 171 mod 135 = 36 ≠ 81 = 216 mod 135

m=136: 171 mod 136 = 35 ≠ 80 = 216 mod 136

m=137: 171 mod 137 = 34 ≠ 79 = 216 mod 137

m=138: 171 mod 138 = 33 ≠ 78 = 216 mod 138

m=139: 171 mod 139 = 32 ≠ 77 = 216 mod 139

m=140: 171 mod 140 = 31 ≠ 76 = 216 mod 140

m=141: 171 mod 141 = 30 ≠ 75 = 216 mod 141

m=142: 171 mod 142 = 29 ≠ 74 = 216 mod 142

m=143: 171 mod 143 = 28 ≠ 73 = 216 mod 143

m=144: 171 mod 144 = 27 ≠ 72 = 216 mod 144

m=145: 171 mod 145 = 26 ≠ 71 = 216 mod 145

m=146: 171 mod 146 = 25 ≠ 70 = 216 mod 146

m=147: 171 mod 147 = 24 ≠ 69 = 216 mod 147

m=148: 171 mod 148 = 23 ≠ 68 = 216 mod 148

m=149: 171 mod 149 = 22 ≠ 67 = 216 mod 149

m=150: 171 mod 150 = 21 ≠ 66 = 216 mod 150

m=151: 171 mod 151 = 20 ≠ 65 = 216 mod 151

m=152: 171 mod 152 = 19 ≠ 64 = 216 mod 152

m=153: 171 mod 153 = 18 ≠ 63 = 216 mod 153

m=154: 171 mod 154 = 17 ≠ 62 = 216 mod 154

m=155: 171 mod 155 = 16 ≠ 61 = 216 mod 155

m=156: 171 mod 156 = 15 ≠ 60 = 216 mod 156

m=157: 171 mod 157 = 14 ≠ 59 = 216 mod 157

m=158: 171 mod 158 = 13 ≠ 58 = 216 mod 158

m=159: 171 mod 159 = 12 ≠ 57 = 216 mod 159

m=160: 171 mod 160 = 11 ≠ 56 = 216 mod 160

m=161: 171 mod 161 = 10 ≠ 55 = 216 mod 161

m=162: 171 mod 162 = 9 ≠ 54 = 216 mod 162

m=163: 171 mod 163 = 8 ≠ 53 = 216 mod 163

m=164: 171 mod 164 = 7 ≠ 52 = 216 mod 164

m=165: 171 mod 165 = 6 ≠ 51 = 216 mod 165

m=166: 171 mod 166 = 5 ≠ 50 = 216 mod 166

m=167: 171 mod 167 = 4 ≠ 49 = 216 mod 167

m=168: 171 mod 168 = 3 ≠ 48 = 216 mod 168

m=169: 171 mod 169 = 2 ≠ 47 = 216 mod 169

m=170: 171 mod 170 = 1 ≠ 46 = 216 mod 170

m=171: 171 mod 171 = 0 ≠ 45 = 216 mod 171

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (216 - 171) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45