Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 20, weil ja 2 ⋅ 10 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 23 - 20 = 3.

Somit gilt: 23 mod 10 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 20, weil ja 4 ⋅ 5 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 22 - 20 = 2.

Somit gilt: 22 mod 5 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 2 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 18 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 2 mod 5 sein, also addieren wir noch 2 auf die 90 und erhalten so 92.

Somit gilt: 92 ≡ 22 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24008 - 160) mod 8 ≡ (24008 mod 8 - 160 mod 8) mod 8.

24008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24008 = 24000+8 = 8 ⋅ 3000 +8.

160 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160 = 160+0 = 8 ⋅ 20 +0.

Somit gilt:

(24008 - 160) mod 8 ≡ (0 - 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 58) mod 5 ≡ (43 mod 5 ⋅ 58 mod 5) mod 5.

43 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 8 ⋅ 5 + 3 ist.

58 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 11 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 58) mod 5 ≡ (3 ⋅ 3) mod 5 ≡ 9 mod 5 ≡ 4 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 28 mod m gilt:

m=2: 22 mod 2 = 0 = 0 = 28 mod 2

m=3: 22 mod 3 = 1 = 1 = 28 mod 3

m=4: 22 mod 4 = 2 ≠ 0 = 28 mod 4

m=5: 22 mod 5 = 2 ≠ 3 = 28 mod 5

m=6: 22 mod 6 = 4 = 4 = 28 mod 6

m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 0 = 28 mod 7

m=8: 22 mod 8 = 6 ≠ 4 = 28 mod 8

m=9: 22 mod 9 = 4 ≠ 1 = 28 mod 9

m=10: 22 mod 10 = 2 ≠ 8 = 28 mod 10

m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 6 = 28 mod 11

m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 4 = 28 mod 12

m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 2 = 28 mod 13

m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 0 = 28 mod 14

m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 13 = 28 mod 15

m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 12 = 28 mod 16

m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 11 = 28 mod 17

m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 10 = 28 mod 18

m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 9 = 28 mod 19

m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 8 = 28 mod 20

m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 7 = 28 mod 21

m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 6 = 28 mod 22

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (28 - 22) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6