Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 54 - 44 = 10.

Somit gilt: 54 mod 11 ≡ 10.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 24, weil ja 4 ⋅ 6 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 25 - 24 = 1.

Somit gilt: 25 mod 6 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 1 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 40, z.B. 42 = 7 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 1 mod 6 sein, also addieren wir noch 1 auf die 42 und erhalten so 43.

Somit gilt: 43 ≡ 25 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2801 - 705) mod 7 ≡ (2801 mod 7 - 705 mod 7) mod 7.

2801 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2801 = 2800+1 = 7 ⋅ 400 +1.

705 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 705 = 700+5 = 7 ⋅ 100 +5.

Somit gilt:

(2801 - 705) mod 7 ≡ (1 - 5) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(97 ⋅ 82) mod 8 ≡ (97 mod 8 ⋅ 82 mod 8) mod 8.

97 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 12 ⋅ 8 + 1 ist.

82 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 10 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(97 ⋅ 82) mod 8 ≡ (1 ⋅ 2) mod 8 ≡ 2 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 31 aus, ob zufällig 31 mod m = 46 mod m gilt:

m=2: 31 mod 2 = 1 ≠ 0 = 46 mod 2

m=3: 31 mod 3 = 1 = 1 = 46 mod 3

m=4: 31 mod 4 = 3 ≠ 2 = 46 mod 4

m=5: 31 mod 5 = 1 = 1 = 46 mod 5

m=6: 31 mod 6 = 1 ≠ 4 = 46 mod 6

m=7: 31 mod 7 = 3 ≠ 4 = 46 mod 7

m=8: 31 mod 8 = 7 ≠ 6 = 46 mod 8

m=9: 31 mod 9 = 4 ≠ 1 = 46 mod 9

m=10: 31 mod 10 = 1 ≠ 6 = 46 mod 10

m=11: 31 mod 11 = 9 ≠ 2 = 46 mod 11

m=12: 31 mod 12 = 7 ≠ 10 = 46 mod 12

m=13: 31 mod 13 = 5 ≠ 7 = 46 mod 13

m=14: 31 mod 14 = 3 ≠ 4 = 46 mod 14

m=15: 31 mod 15 = 1 = 1 = 46 mod 15

m=16: 31 mod 16 = 15 ≠ 14 = 46 mod 16

m=17: 31 mod 17 = 14 ≠ 12 = 46 mod 17

m=18: 31 mod 18 = 13 ≠ 10 = 46 mod 18

m=19: 31 mod 19 = 12 ≠ 8 = 46 mod 19

m=20: 31 mod 20 = 11 ≠ 6 = 46 mod 20

m=21: 31 mod 21 = 10 ≠ 4 = 46 mod 21

m=22: 31 mod 22 = 9 ≠ 2 = 46 mod 22

m=23: 31 mod 23 = 8 ≠ 0 = 46 mod 23

m=24: 31 mod 24 = 7 ≠ 22 = 46 mod 24

m=25: 31 mod 25 = 6 ≠ 21 = 46 mod 25

m=26: 31 mod 26 = 5 ≠ 20 = 46 mod 26

m=27: 31 mod 27 = 4 ≠ 19 = 46 mod 27

m=28: 31 mod 28 = 3 ≠ 18 = 46 mod 28

m=29: 31 mod 29 = 2 ≠ 17 = 46 mod 29

m=30: 31 mod 30 = 1 ≠ 16 = 46 mod 30

m=31: 31 mod 31 = 0 ≠ 15 = 46 mod 31

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (46 - 31) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15