Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 77, weil ja 11 ⋅ 7 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 82 - 77 = 5.

Somit gilt: 82 mod 7 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 32, weil ja 4 ⋅ 8 = 32 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 36 - 32 = 4.

Somit gilt: 36 mod 8 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 4 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 9 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 4 mod 8 sein, also addieren wir noch 4 auf die 72 und erhalten so 76.

Somit gilt: 76 ≡ 36 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2691 + 2702) mod 9 ≡ (2691 mod 9 + 2702 mod 9) mod 9.

2691 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2691 = 2700-9 = 9 ⋅ 300 -9 = 9 ⋅ 300 - 9 + 0.

2702 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2702 = 2700+2 = 9 ⋅ 300 +2.

Somit gilt:

(2691 + 2702) mod 9 ≡ (0 + 2) mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 40) mod 7 ≡ (91 mod 7 ⋅ 40 mod 7) mod 7.

91 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 91 + 0 = 13 ⋅ 7 + 0 ist.

40 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 35 + 5 = 5 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 40) mod 7 ≡ (0 ⋅ 5) mod 7 ≡ 0 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 26 aus, ob zufällig 26 mod m = 36 mod m gilt:

m=2: 26 mod 2 = 0 = 0 = 36 mod 2

m=3: 26 mod 3 = 2 ≠ 0 = 36 mod 3

m=4: 26 mod 4 = 2 ≠ 0 = 36 mod 4

m=5: 26 mod 5 = 1 = 1 = 36 mod 5

m=6: 26 mod 6 = 2 ≠ 0 = 36 mod 6

m=7: 26 mod 7 = 5 ≠ 1 = 36 mod 7

m=8: 26 mod 8 = 2 ≠ 4 = 36 mod 8

m=9: 26 mod 9 = 8 ≠ 0 = 36 mod 9

m=10: 26 mod 10 = 6 = 6 = 36 mod 10

m=11: 26 mod 11 = 4 ≠ 3 = 36 mod 11

m=12: 26 mod 12 = 2 ≠ 0 = 36 mod 12

m=13: 26 mod 13 = 0 ≠ 10 = 36 mod 13

m=14: 26 mod 14 = 12 ≠ 8 = 36 mod 14

m=15: 26 mod 15 = 11 ≠ 6 = 36 mod 15

m=16: 26 mod 16 = 10 ≠ 4 = 36 mod 16

m=17: 26 mod 17 = 9 ≠ 2 = 36 mod 17

m=18: 26 mod 18 = 8 ≠ 0 = 36 mod 18

m=19: 26 mod 19 = 7 ≠ 17 = 36 mod 19

m=20: 26 mod 20 = 6 ≠ 16 = 36 mod 20

m=21: 26 mod 21 = 5 ≠ 15 = 36 mod 21

m=22: 26 mod 22 = 4 ≠ 14 = 36 mod 22

m=23: 26 mod 23 = 3 ≠ 13 = 36 mod 23

m=24: 26 mod 24 = 2 ≠ 12 = 36 mod 24

m=25: 26 mod 25 = 1 ≠ 11 = 36 mod 25

m=26: 26 mod 26 = 0 ≠ 10 = 36 mod 26

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (36 - 26) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10