Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 36, weil ja 6 ⋅ 6 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 41 - 36 = 5.

Somit gilt: 41 mod 6 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 36, weil ja 6 ⋅ 6 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 37 - 36 = 1.

Somit gilt: 37 mod 6 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 1 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 20, z.B. 24 = 4 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 1 mod 6 sein, also addieren wir noch 1 auf die 24 und erhalten so 25.

Somit gilt: 25 ≡ 37 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 - 299) mod 3 ≡ (59 mod 3 - 299 mod 3) mod 3.

59 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 60-1 = 3 ⋅ 20 -1 = 3 ⋅ 20 - 3 + 2.

299 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 299 = 300-1 = 3 ⋅ 100 -1 = 3 ⋅ 100 - 3 + 2.

Somit gilt:

(59 - 299) mod 3 ≡ (2 - 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 51) mod 3 ≡ (51 mod 3 ⋅ 51 mod 3) mod 3.

51 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 51 + 0 = 17 ⋅ 3 + 0 ist.

51 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 51 + 0 = 17 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 51) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 180 aus, ob zufällig 180 mod m = 230 mod m gilt:

m=2: 180 mod 2 = 0 = 0 = 230 mod 2

m=3: 180 mod 3 = 0 ≠ 2 = 230 mod 3

m=4: 180 mod 4 = 0 ≠ 2 = 230 mod 4

m=5: 180 mod 5 = 0 = 0 = 230 mod 5

m=6: 180 mod 6 = 0 ≠ 2 = 230 mod 6

m=7: 180 mod 7 = 5 ≠ 6 = 230 mod 7

m=8: 180 mod 8 = 4 ≠ 6 = 230 mod 8

m=9: 180 mod 9 = 0 ≠ 5 = 230 mod 9

m=10: 180 mod 10 = 0 = 0 = 230 mod 10

m=11: 180 mod 11 = 4 ≠ 10 = 230 mod 11

m=12: 180 mod 12 = 0 ≠ 2 = 230 mod 12

m=13: 180 mod 13 = 11 ≠ 9 = 230 mod 13

m=14: 180 mod 14 = 12 ≠ 6 = 230 mod 14

m=15: 180 mod 15 = 0 ≠ 5 = 230 mod 15

m=16: 180 mod 16 = 4 ≠ 6 = 230 mod 16

m=17: 180 mod 17 = 10 ≠ 9 = 230 mod 17

m=18: 180 mod 18 = 0 ≠ 14 = 230 mod 18

m=19: 180 mod 19 = 9 ≠ 2 = 230 mod 19

m=20: 180 mod 20 = 0 ≠ 10 = 230 mod 20

m=21: 180 mod 21 = 12 ≠ 20 = 230 mod 21

m=22: 180 mod 22 = 4 ≠ 10 = 230 mod 22

m=23: 180 mod 23 = 19 ≠ 0 = 230 mod 23

m=24: 180 mod 24 = 12 ≠ 14 = 230 mod 24

m=25: 180 mod 25 = 5 = 5 = 230 mod 25

m=26: 180 mod 26 = 24 ≠ 22 = 230 mod 26

m=27: 180 mod 27 = 18 ≠ 14 = 230 mod 27

m=28: 180 mod 28 = 12 ≠ 6 = 230 mod 28

m=29: 180 mod 29 = 6 ≠ 27 = 230 mod 29

m=30: 180 mod 30 = 0 ≠ 20 = 230 mod 30

m=31: 180 mod 31 = 25 ≠ 13 = 230 mod 31

m=32: 180 mod 32 = 20 ≠ 6 = 230 mod 32

m=33: 180 mod 33 = 15 ≠ 32 = 230 mod 33

m=34: 180 mod 34 = 10 ≠ 26 = 230 mod 34

m=35: 180 mod 35 = 5 ≠ 20 = 230 mod 35

m=36: 180 mod 36 = 0 ≠ 14 = 230 mod 36

m=37: 180 mod 37 = 32 ≠ 8 = 230 mod 37

m=38: 180 mod 38 = 28 ≠ 2 = 230 mod 38

m=39: 180 mod 39 = 24 ≠ 35 = 230 mod 39

m=40: 180 mod 40 = 20 ≠ 30 = 230 mod 40

m=41: 180 mod 41 = 16 ≠ 25 = 230 mod 41

m=42: 180 mod 42 = 12 ≠ 20 = 230 mod 42

m=43: 180 mod 43 = 8 ≠ 15 = 230 mod 43

m=44: 180 mod 44 = 4 ≠ 10 = 230 mod 44

m=45: 180 mod 45 = 0 ≠ 5 = 230 mod 45

m=46: 180 mod 46 = 42 ≠ 0 = 230 mod 46

m=47: 180 mod 47 = 39 ≠ 42 = 230 mod 47

m=48: 180 mod 48 = 36 ≠ 38 = 230 mod 48

m=49: 180 mod 49 = 33 ≠ 34 = 230 mod 49

m=50: 180 mod 50 = 30 = 30 = 230 mod 50

m=51: 180 mod 51 = 27 ≠ 26 = 230 mod 51

m=52: 180 mod 52 = 24 ≠ 22 = 230 mod 52

m=53: 180 mod 53 = 21 ≠ 18 = 230 mod 53

m=54: 180 mod 54 = 18 ≠ 14 = 230 mod 54

m=55: 180 mod 55 = 15 ≠ 10 = 230 mod 55

m=56: 180 mod 56 = 12 ≠ 6 = 230 mod 56

m=57: 180 mod 57 = 9 ≠ 2 = 230 mod 57

m=58: 180 mod 58 = 6 ≠ 56 = 230 mod 58

m=59: 180 mod 59 = 3 ≠ 53 = 230 mod 59

m=60: 180 mod 60 = 0 ≠ 50 = 230 mod 60

m=61: 180 mod 61 = 58 ≠ 47 = 230 mod 61

m=62: 180 mod 62 = 56 ≠ 44 = 230 mod 62

m=63: 180 mod 63 = 54 ≠ 41 = 230 mod 63

m=64: 180 mod 64 = 52 ≠ 38 = 230 mod 64

m=65: 180 mod 65 = 50 ≠ 35 = 230 mod 65

m=66: 180 mod 66 = 48 ≠ 32 = 230 mod 66

m=67: 180 mod 67 = 46 ≠ 29 = 230 mod 67

m=68: 180 mod 68 = 44 ≠ 26 = 230 mod 68

m=69: 180 mod 69 = 42 ≠ 23 = 230 mod 69

m=70: 180 mod 70 = 40 ≠ 20 = 230 mod 70

m=71: 180 mod 71 = 38 ≠ 17 = 230 mod 71

m=72: 180 mod 72 = 36 ≠ 14 = 230 mod 72

m=73: 180 mod 73 = 34 ≠ 11 = 230 mod 73

m=74: 180 mod 74 = 32 ≠ 8 = 230 mod 74

m=75: 180 mod 75 = 30 ≠ 5 = 230 mod 75

m=76: 180 mod 76 = 28 ≠ 2 = 230 mod 76

m=77: 180 mod 77 = 26 ≠ 76 = 230 mod 77

m=78: 180 mod 78 = 24 ≠ 74 = 230 mod 78

m=79: 180 mod 79 = 22 ≠ 72 = 230 mod 79

m=80: 180 mod 80 = 20 ≠ 70 = 230 mod 80

m=81: 180 mod 81 = 18 ≠ 68 = 230 mod 81

m=82: 180 mod 82 = 16 ≠ 66 = 230 mod 82

m=83: 180 mod 83 = 14 ≠ 64 = 230 mod 83

m=84: 180 mod 84 = 12 ≠ 62 = 230 mod 84

m=85: 180 mod 85 = 10 ≠ 60 = 230 mod 85

m=86: 180 mod 86 = 8 ≠ 58 = 230 mod 86

m=87: 180 mod 87 = 6 ≠ 56 = 230 mod 87

m=88: 180 mod 88 = 4 ≠ 54 = 230 mod 88

m=89: 180 mod 89 = 2 ≠ 52 = 230 mod 89

m=90: 180 mod 90 = 0 ≠ 50 = 230 mod 90

m=91: 180 mod 91 = 89 ≠ 48 = 230 mod 91

m=92: 180 mod 92 = 88 ≠ 46 = 230 mod 92

m=93: 180 mod 93 = 87 ≠ 44 = 230 mod 93

m=94: 180 mod 94 = 86 ≠ 42 = 230 mod 94

m=95: 180 mod 95 = 85 ≠ 40 = 230 mod 95

m=96: 180 mod 96 = 84 ≠ 38 = 230 mod 96

m=97: 180 mod 97 = 83 ≠ 36 = 230 mod 97

m=98: 180 mod 98 = 82 ≠ 34 = 230 mod 98

m=99: 180 mod 99 = 81 ≠ 32 = 230 mod 99

m=100: 180 mod 100 = 80 ≠ 30 = 230 mod 100

m=101: 180 mod 101 = 79 ≠ 28 = 230 mod 101

m=102: 180 mod 102 = 78 ≠ 26 = 230 mod 102

m=103: 180 mod 103 = 77 ≠ 24 = 230 mod 103

m=104: 180 mod 104 = 76 ≠ 22 = 230 mod 104

m=105: 180 mod 105 = 75 ≠ 20 = 230 mod 105

m=106: 180 mod 106 = 74 ≠ 18 = 230 mod 106

m=107: 180 mod 107 = 73 ≠ 16 = 230 mod 107

m=108: 180 mod 108 = 72 ≠ 14 = 230 mod 108

m=109: 180 mod 109 = 71 ≠ 12 = 230 mod 109

m=110: 180 mod 110 = 70 ≠ 10 = 230 mod 110

m=111: 180 mod 111 = 69 ≠ 8 = 230 mod 111

m=112: 180 mod 112 = 68 ≠ 6 = 230 mod 112

m=113: 180 mod 113 = 67 ≠ 4 = 230 mod 113

m=114: 180 mod 114 = 66 ≠ 2 = 230 mod 114

m=115: 180 mod 115 = 65 ≠ 0 = 230 mod 115

m=116: 180 mod 116 = 64 ≠ 114 = 230 mod 116

m=117: 180 mod 117 = 63 ≠ 113 = 230 mod 117

m=118: 180 mod 118 = 62 ≠ 112 = 230 mod 118

m=119: 180 mod 119 = 61 ≠ 111 = 230 mod 119

m=120: 180 mod 120 = 60 ≠ 110 = 230 mod 120

m=121: 180 mod 121 = 59 ≠ 109 = 230 mod 121

m=122: 180 mod 122 = 58 ≠ 108 = 230 mod 122

m=123: 180 mod 123 = 57 ≠ 107 = 230 mod 123

m=124: 180 mod 124 = 56 ≠ 106 = 230 mod 124

m=125: 180 mod 125 = 55 ≠ 105 = 230 mod 125

m=126: 180 mod 126 = 54 ≠ 104 = 230 mod 126

m=127: 180 mod 127 = 53 ≠ 103 = 230 mod 127

m=128: 180 mod 128 = 52 ≠ 102 = 230 mod 128

m=129: 180 mod 129 = 51 ≠ 101 = 230 mod 129

m=130: 180 mod 130 = 50 ≠ 100 = 230 mod 130

m=131: 180 mod 131 = 49 ≠ 99 = 230 mod 131

m=132: 180 mod 132 = 48 ≠ 98 = 230 mod 132

m=133: 180 mod 133 = 47 ≠ 97 = 230 mod 133

m=134: 180 mod 134 = 46 ≠ 96 = 230 mod 134

m=135: 180 mod 135 = 45 ≠ 95 = 230 mod 135

m=136: 180 mod 136 = 44 ≠ 94 = 230 mod 136

m=137: 180 mod 137 = 43 ≠ 93 = 230 mod 137

m=138: 180 mod 138 = 42 ≠ 92 = 230 mod 138

m=139: 180 mod 139 = 41 ≠ 91 = 230 mod 139

m=140: 180 mod 140 = 40 ≠ 90 = 230 mod 140

m=141: 180 mod 141 = 39 ≠ 89 = 230 mod 141

m=142: 180 mod 142 = 38 ≠ 88 = 230 mod 142

m=143: 180 mod 143 = 37 ≠ 87 = 230 mod 143

m=144: 180 mod 144 = 36 ≠ 86 = 230 mod 144

m=145: 180 mod 145 = 35 ≠ 85 = 230 mod 145

m=146: 180 mod 146 = 34 ≠ 84 = 230 mod 146

m=147: 180 mod 147 = 33 ≠ 83 = 230 mod 147

m=148: 180 mod 148 = 32 ≠ 82 = 230 mod 148

m=149: 180 mod 149 = 31 ≠ 81 = 230 mod 149

m=150: 180 mod 150 = 30 ≠ 80 = 230 mod 150

m=151: 180 mod 151 = 29 ≠ 79 = 230 mod 151

m=152: 180 mod 152 = 28 ≠ 78 = 230 mod 152

m=153: 180 mod 153 = 27 ≠ 77 = 230 mod 153

m=154: 180 mod 154 = 26 ≠ 76 = 230 mod 154

m=155: 180 mod 155 = 25 ≠ 75 = 230 mod 155

m=156: 180 mod 156 = 24 ≠ 74 = 230 mod 156

m=157: 180 mod 157 = 23 ≠ 73 = 230 mod 157

m=158: 180 mod 158 = 22 ≠ 72 = 230 mod 158

m=159: 180 mod 159 = 21 ≠ 71 = 230 mod 159

m=160: 180 mod 160 = 20 ≠ 70 = 230 mod 160

m=161: 180 mod 161 = 19 ≠ 69 = 230 mod 161

m=162: 180 mod 162 = 18 ≠ 68 = 230 mod 162

m=163: 180 mod 163 = 17 ≠ 67 = 230 mod 163

m=164: 180 mod 164 = 16 ≠ 66 = 230 mod 164

m=165: 180 mod 165 = 15 ≠ 65 = 230 mod 165

m=166: 180 mod 166 = 14 ≠ 64 = 230 mod 166

m=167: 180 mod 167 = 13 ≠ 63 = 230 mod 167

m=168: 180 mod 168 = 12 ≠ 62 = 230 mod 168

m=169: 180 mod 169 = 11 ≠ 61 = 230 mod 169

m=170: 180 mod 170 = 10 ≠ 60 = 230 mod 170

m=171: 180 mod 171 = 9 ≠ 59 = 230 mod 171

m=172: 180 mod 172 = 8 ≠ 58 = 230 mod 172

m=173: 180 mod 173 = 7 ≠ 57 = 230 mod 173

m=174: 180 mod 174 = 6 ≠ 56 = 230 mod 174

m=175: 180 mod 175 = 5 ≠ 55 = 230 mod 175

m=176: 180 mod 176 = 4 ≠ 54 = 230 mod 176

m=177: 180 mod 177 = 3 ≠ 53 = 230 mod 177

m=178: 180 mod 178 = 2 ≠ 52 = 230 mod 178

m=179: 180 mod 179 = 1 ≠ 51 = 230 mod 179

m=180: 180 mod 180 = 0 ≠ 50 = 230 mod 180

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (230 - 180) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50