Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 94 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 88, weil ja 11 ⋅ 8 = 88 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 94 - 88 = 6.
Somit gilt: 94 mod 8 ≡ 6.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 62 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 56, weil ja 7 ⋅ 8 = 56 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 62 - 56 = 6.
Somit gilt: 62 mod 8 ≡ 6.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 6 mod 8.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 50, z.B. 48 = 6 ⋅ 8
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 6 mod 8 sein, also addieren wir noch 6 auf die 48 und erhalten so 54.
Somit gilt: 54 ≡ 62 ≡ 6 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4002 - 1202) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4002 - 1202) mod 4 ≡ (4002 mod 4 - 1202 mod 4) mod 4.
4002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4002
= 4000
1202 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1202
= 1200
Somit gilt:
(4002 - 1202) mod 4 ≡ (2 - 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 54) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(98 ⋅ 54) mod 5 ≡ (98 mod 5 ⋅ 54 mod 5) mod 5.
98 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 95 + 3 = 19 ⋅ 5 + 3 ist.
54 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 10 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(98 ⋅ 54) mod 5 ≡ (3 ⋅ 4) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
33 mod m = 43 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 33 aus, ob zufällig 33 mod m = 43 mod m gilt:
m=2: 33 mod 2 = 1 = 1 = 43 mod 2
m=3: 33 mod 3 = 0 ≠ 1 = 43 mod 3
m=4: 33 mod 4 = 1 ≠ 3 = 43 mod 4
m=5: 33 mod 5 = 3 = 3 = 43 mod 5
m=6: 33 mod 6 = 3 ≠ 1 = 43 mod 6
m=7: 33 mod 7 = 5 ≠ 1 = 43 mod 7
m=8: 33 mod 8 = 1 ≠ 3 = 43 mod 8
m=9: 33 mod 9 = 6 ≠ 7 = 43 mod 9
m=10: 33 mod 10 = 3 = 3 = 43 mod 10
m=11: 33 mod 11 = 0 ≠ 10 = 43 mod 11
m=12: 33 mod 12 = 9 ≠ 7 = 43 mod 12
m=13: 33 mod 13 = 7 ≠ 4 = 43 mod 13
m=14: 33 mod 14 = 5 ≠ 1 = 43 mod 14
m=15: 33 mod 15 = 3 ≠ 13 = 43 mod 15
m=16: 33 mod 16 = 1 ≠ 11 = 43 mod 16
m=17: 33 mod 17 = 16 ≠ 9 = 43 mod 17
m=18: 33 mod 18 = 15 ≠ 7 = 43 mod 18
m=19: 33 mod 19 = 14 ≠ 5 = 43 mod 19
m=20: 33 mod 20 = 13 ≠ 3 = 43 mod 20
m=21: 33 mod 21 = 12 ≠ 1 = 43 mod 21
m=22: 33 mod 22 = 11 ≠ 21 = 43 mod 22
m=23: 33 mod 23 = 10 ≠ 20 = 43 mod 23
m=24: 33 mod 24 = 9 ≠ 19 = 43 mod 24
m=25: 33 mod 25 = 8 ≠ 18 = 43 mod 25
m=26: 33 mod 26 = 7 ≠ 17 = 43 mod 26
m=27: 33 mod 27 = 6 ≠ 16 = 43 mod 27
m=28: 33 mod 28 = 5 ≠ 15 = 43 mod 28
m=29: 33 mod 29 = 4 ≠ 14 = 43 mod 29
m=30: 33 mod 30 = 3 ≠ 13 = 43 mod 30
m=31: 33 mod 31 = 2 ≠ 12 = 43 mod 31
m=32: 33 mod 32 = 1 ≠ 11 = 43 mod 32
m=33: 33 mod 33 = 0 ≠ 10 = 43 mod 33
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (43 - 33) = 10 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10
