Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 86 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 80, weil ja 8 ⋅ 10 = 80 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 86 - 80 = 6.
Somit gilt: 86 mod 10 ≡ 6.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 60 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 60, weil ja 15 ⋅ 4 = 60 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 60 - 60 = 0.
Somit gilt: 60 mod 4 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 0 mod 4.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 18 ⋅ 4
Somit gilt: 72 ≡ 60 ≡ 0 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (208 - 213) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(208 - 213) mod 7 ≡ (208 mod 7 - 213 mod 7) mod 7.
208 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 208
= 210
213 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 213
= 210
Somit gilt:
(208 - 213) mod 7 ≡ (5 - 3) mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 38) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 38) mod 8 ≡ (66 mod 8 ⋅ 38 mod 8) mod 8.
66 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 64 + 2 = 8 ⋅ 8 + 2 ist.
38 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 32 + 6 = 4 ⋅ 8 + 6 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 38) mod 8 ≡ (2 ⋅ 6) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
10 mod m = 14 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 10 aus, ob zufällig 10 mod m = 14 mod m gilt:
m=2: 10 mod 2 = 0 = 0 = 14 mod 2
m=3: 10 mod 3 = 1 ≠ 2 = 14 mod 3
m=4: 10 mod 4 = 2 = 2 = 14 mod 4
m=5: 10 mod 5 = 0 ≠ 4 = 14 mod 5
m=6: 10 mod 6 = 4 ≠ 2 = 14 mod 6
m=7: 10 mod 7 = 3 ≠ 0 = 14 mod 7
m=8: 10 mod 8 = 2 ≠ 6 = 14 mod 8
m=9: 10 mod 9 = 1 ≠ 5 = 14 mod 9
m=10: 10 mod 10 = 0 ≠ 4 = 14 mod 10
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (14 - 10) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
