Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 15 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 10, weil ja 1 ⋅ 10 = 10 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 15 - 10 = 5.
Somit gilt: 15 mod 10 ≡ 5.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 86 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 85, weil ja 17 ⋅ 5 = 85 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 86 - 85 = 1.
Somit gilt: 86 mod 5 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 1 mod 5.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 4 ⋅ 5
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 1 mod 5 sein, also addieren wir noch 1 auf die 20 und erhalten so 21.
Somit gilt: 21 ≡ 86 ≡ 1 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (117 + 2397) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(117 + 2397) mod 6 ≡ (117 mod 6 + 2397 mod 6) mod 6.
117 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 117
= 120
2397 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2397
= 2400
Somit gilt:
(117 + 2397) mod 6 ≡ (3 + 3) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 42) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 ⋅ 42) mod 8 ≡ (41 mod 8 ⋅ 42 mod 8) mod 8.
41 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 5 ⋅ 8 + 1 ist.
42 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 5 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(41 ⋅ 42) mod 8 ≡ (1 ⋅ 2) mod 8 ≡ 2 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
11 mod m = 15 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 11 aus, ob zufällig 11 mod m = 15 mod m gilt:
m=2: 11 mod 2 = 1 = 1 = 15 mod 2
m=3: 11 mod 3 = 2 ≠ 0 = 15 mod 3
m=4: 11 mod 4 = 3 = 3 = 15 mod 4
m=5: 11 mod 5 = 1 ≠ 0 = 15 mod 5
m=6: 11 mod 6 = 5 ≠ 3 = 15 mod 6
m=7: 11 mod 7 = 4 ≠ 1 = 15 mod 7
m=8: 11 mod 8 = 3 ≠ 7 = 15 mod 8
m=9: 11 mod 9 = 2 ≠ 6 = 15 mod 9
m=10: 11 mod 10 = 1 ≠ 5 = 15 mod 10
m=11: 11 mod 11 = 0 ≠ 4 = 15 mod 11
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (15 - 11) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
