Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 11, weil ja 1 ⋅ 11 = 11 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 15 - 11 = 4.

Somit gilt: 15 mod 11 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 20, weil ja 2 ⋅ 10 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 25 - 20 = 5.

Somit gilt: 25 mod 10 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 80 für die gilt: n ≡ 5 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 7 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 5 mod 10 sein, also addieren wir noch 5 auf die 70 und erhalten so 75.

Somit gilt: 75 ≡ 25 ≡ 5 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11997 - 1196) mod 4 ≡ (11997 mod 4 - 1196 mod 4) mod 4.

11997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997 = 11000+997 = 4 ⋅ 2750 +997.

1196 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1196 = 1100+96 = 4 ⋅ 275 +96.

Somit gilt:

(11997 - 1196) mod 4 ≡ (1 - 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 91) mod 3 ≡ (82 mod 3 ⋅ 91 mod 3) mod 3.

82 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 81 + 1 = 27 ⋅ 3 + 1 ist.

91 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 30 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 91) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 23 aus, ob zufällig 23 mod m = 33 mod m gilt:

m=2: 23 mod 2 = 1 = 1 = 33 mod 2

m=3: 23 mod 3 = 2 ≠ 0 = 33 mod 3

m=4: 23 mod 4 = 3 ≠ 1 = 33 mod 4

m=5: 23 mod 5 = 3 = 3 = 33 mod 5

m=6: 23 mod 6 = 5 ≠ 3 = 33 mod 6

m=7: 23 mod 7 = 2 ≠ 5 = 33 mod 7

m=8: 23 mod 8 = 7 ≠ 1 = 33 mod 8

m=9: 23 mod 9 = 5 ≠ 6 = 33 mod 9

m=10: 23 mod 10 = 3 = 3 = 33 mod 10

m=11: 23 mod 11 = 1 ≠ 0 = 33 mod 11

m=12: 23 mod 12 = 11 ≠ 9 = 33 mod 12

m=13: 23 mod 13 = 10 ≠ 7 = 33 mod 13

m=14: 23 mod 14 = 9 ≠ 5 = 33 mod 14

m=15: 23 mod 15 = 8 ≠ 3 = 33 mod 15

m=16: 23 mod 16 = 7 ≠ 1 = 33 mod 16

m=17: 23 mod 17 = 6 ≠ 16 = 33 mod 17

m=18: 23 mod 18 = 5 ≠ 15 = 33 mod 18

m=19: 23 mod 19 = 4 ≠ 14 = 33 mod 19

m=20: 23 mod 20 = 3 ≠ 13 = 33 mod 20

m=21: 23 mod 21 = 2 ≠ 12 = 33 mod 21

m=22: 23 mod 22 = 1 ≠ 11 = 33 mod 22

m=23: 23 mod 23 = 0 ≠ 10 = 33 mod 23

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (33 - 23) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10