Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 55 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 48, weil ja 6 ⋅ 8 = 48 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 55 - 48 = 7.
Somit gilt: 55 mod 8 ≡ 7.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 80 für die gilt n ≡ 97 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 90, weil ja 9 ⋅ 10 = 90 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 97 - 90 = 7.
Somit gilt: 97 mod 10 ≡ 7.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 80 für die gilt: n ≡ 7 mod 10.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 7 ⋅ 10
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 7 mod 10 sein, also addieren wir noch 7 auf die 70 und erhalten so 77.
Somit gilt: 77 ≡ 97 ≡ 7 mod 10.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (900 + 15002) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(900 + 15002) mod 3 ≡ (900 mod 3 + 15002 mod 3) mod 3.
900 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900
= 900
15002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15002
= 15000
Somit gilt:
(900 + 15002) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 68) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 68) mod 7 ≡ (18 mod 7 ⋅ 68 mod 7) mod 7.
18 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 14 + 4 = 2 ⋅ 7 + 4 ist.
68 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 63 + 5 = 9 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 68) mod 7 ≡ (4 ⋅ 5) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
14 mod m = 18 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 18 mod m gilt:
m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2
m=3: 14 mod 3 = 2 ≠ 0 = 18 mod 3
m=4: 14 mod 4 = 2 = 2 = 18 mod 4
m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 3 = 18 mod 5
m=6: 14 mod 6 = 2 ≠ 0 = 18 mod 6
m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 4 = 18 mod 7
m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 2 = 18 mod 8
m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 0 = 18 mod 9
m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 8 = 18 mod 10
m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 7 = 18 mod 11
m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 6 = 18 mod 12
m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 5 = 18 mod 13
m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 4 = 18 mod 14
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 14) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
