Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 59 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 55, weil ja 11 ⋅ 5 = 55 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 59 - 55 = 4.
Somit gilt: 59 mod 5 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 22 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 18, weil ja 2 ⋅ 9 = 18 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 22 - 18 = 4.
Somit gilt: 22 mod 9 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 4 mod 9.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 40, z.B. 36 = 4 ⋅ 9
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 4 mod 9 sein, also addieren wir noch 4 auf die 36 und erhalten so 40.
Somit gilt: 40 ≡ 22 ≡ 4 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (6001 + 897) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(6001 + 897) mod 3 ≡ (6001 mod 3 + 897 mod 3) mod 3.
6001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6001
= 6000
897 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 897
= 900
Somit gilt:
(6001 + 897) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 78) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(48 ⋅ 78) mod 5 ≡ (48 mod 5 ⋅ 78 mod 5) mod 5.
48 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 45 + 3 = 9 ⋅ 5 + 3 ist.
78 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 75 + 3 = 15 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(48 ⋅ 78) mod 5 ≡ (3 ⋅ 3) mod 5 ≡ 9 mod 5 ≡ 4 mod 5.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 16 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 16 mod m gilt:
m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 16 mod 2
m=3: 12 mod 3 = 0 ≠ 1 = 16 mod 3
m=4: 12 mod 4 = 0 = 0 = 16 mod 4
m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 1 = 16 mod 5
m=6: 12 mod 6 = 0 ≠ 4 = 16 mod 6
m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 2 = 16 mod 7
m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 0 = 16 mod 8
m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 7 = 16 mod 9
m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 6 = 16 mod 10
m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 5 = 16 mod 11
m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 4 = 16 mod 12
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (16 - 12) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
