Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 80, weil ja 20 ⋅ 4 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 83 - 80 = 3.

Somit gilt: 83 mod 4 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 66, weil ja 6 ⋅ 11 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 74 - 66 = 8.

Somit gilt: 74 mod 11 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 101 für die gilt: n ≡ 8 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 90, z.B. 88 = 8 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 8 mod 11 sein, also addieren wir noch 8 auf die 88 und erhalten so 96.

Somit gilt: 96 ≡ 74 ≡ 8 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(77 - 12004) mod 4 ≡ (77 mod 4 - 12004 mod 4) mod 4.

77 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 80-3 = 4 ⋅ 20 -3 = 4 ⋅ 20 - 4 + 1.

12004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12004 = 12000+4 = 4 ⋅ 3000 +4.

Somit gilt:

(77 - 12004) mod 4 ≡ (1 - 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 37) mod 8 ≡ (57 mod 8 ⋅ 37 mod 8) mod 8.

57 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 7 ⋅ 8 + 1 ist.

37 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 32 + 5 = 4 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 37) mod 8 ≡ (1 ⋅ 5) mod 8 ≡ 5 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 9 aus, ob zufällig 9 mod m = 13 mod m gilt:

m=2: 9 mod 2 = 1 = 1 = 13 mod 2

m=3: 9 mod 3 = 0 ≠ 1 = 13 mod 3

m=4: 9 mod 4 = 1 = 1 = 13 mod 4

m=5: 9 mod 5 = 4 ≠ 3 = 13 mod 5

m=6: 9 mod 6 = 3 ≠ 1 = 13 mod 6

m=7: 9 mod 7 = 2 ≠ 6 = 13 mod 7

m=8: 9 mod 8 = 1 ≠ 5 = 13 mod 8

m=9: 9 mod 9 = 0 ≠ 4 = 13 mod 9

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (13 - 9) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4