Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 68 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 63, weil ja 7 ⋅ 9 = 63 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 68 - 63 = 5.
Somit gilt: 68 mod 9 ≡ 5.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 54 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 49, weil ja 7 ⋅ 7 = 49 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 54 - 49 = 5.
Somit gilt: 54 mod 7 ≡ 5.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 5 mod 7.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 80, z.B. 77 = 11 ⋅ 7
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 5 mod 7 sein, also addieren wir noch 5 auf die 77 und erhalten so 82.
Somit gilt: 82 ≡ 54 ≡ 5 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (353 + 2094) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(353 + 2094) mod 7 ≡ (353 mod 7 + 2094 mod 7) mod 7.
353 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 353
= 350
2094 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2094
= 2100
Somit gilt:
(353 + 2094) mod 7 ≡ (3 + 1) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 36) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 ⋅ 36) mod 6 ≡ (78 mod 6 ⋅ 36 mod 6) mod 6.
78 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 78 + 0 = 13 ⋅ 6 + 0 ist.
36 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 6 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(78 ⋅ 36) mod 6 ≡ (0 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
15 mod m = 21 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 15 aus, ob zufällig 15 mod m = 21 mod m gilt:
m=2: 15 mod 2 = 1 = 1 = 21 mod 2
m=3: 15 mod 3 = 0 = 0 = 21 mod 3
m=4: 15 mod 4 = 3 ≠ 1 = 21 mod 4
m=5: 15 mod 5 = 0 ≠ 1 = 21 mod 5
m=6: 15 mod 6 = 3 = 3 = 21 mod 6
m=7: 15 mod 7 = 1 ≠ 0 = 21 mod 7
m=8: 15 mod 8 = 7 ≠ 5 = 21 mod 8
m=9: 15 mod 9 = 6 ≠ 3 = 21 mod 9
m=10: 15 mod 10 = 5 ≠ 1 = 21 mod 10
m=11: 15 mod 11 = 4 ≠ 10 = 21 mod 11
m=12: 15 mod 12 = 3 ≠ 9 = 21 mod 12
m=13: 15 mod 13 = 2 ≠ 8 = 21 mod 13
m=14: 15 mod 14 = 1 ≠ 7 = 21 mod 14
m=15: 15 mod 15 = 0 ≠ 6 = 21 mod 15
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (21 - 15) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
