Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 88, weil ja 11 ⋅ 8 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 94 - 88 = 6.

Somit gilt: 94 mod 8 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 28, weil ja 4 ⋅ 7 = 28 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 34 - 28 = 6.

Somit gilt: 34 mod 7 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 6 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 80, z.B. 77 = 11 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 6 mod 7 sein, also addieren wir noch 6 auf die 77 und erhalten so 83.

Somit gilt: 83 ≡ 34 ≡ 6 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8006 - 4000) mod 8 ≡ (8006 mod 8 - 4000 mod 8) mod 8.

8006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8006 = 8000+6 = 8 ⋅ 1000 +6.

4000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000 = 4000+0 = 8 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(8006 - 4000) mod 8 ≡ (6 - 0) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 83) mod 8 ≡ (44 mod 8 ⋅ 83 mod 8) mod 8.

44 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 5 ⋅ 8 + 4 ist.

83 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 10 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 83) mod 8 ≡ (4 ⋅ 3) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 31 aus, ob zufällig 31 mod m = 46 mod m gilt:

m=2: 31 mod 2 = 1 ≠ 0 = 46 mod 2

m=3: 31 mod 3 = 1 = 1 = 46 mod 3

m=4: 31 mod 4 = 3 ≠ 2 = 46 mod 4

m=5: 31 mod 5 = 1 = 1 = 46 mod 5

m=6: 31 mod 6 = 1 ≠ 4 = 46 mod 6

m=7: 31 mod 7 = 3 ≠ 4 = 46 mod 7

m=8: 31 mod 8 = 7 ≠ 6 = 46 mod 8

m=9: 31 mod 9 = 4 ≠ 1 = 46 mod 9

m=10: 31 mod 10 = 1 ≠ 6 = 46 mod 10

m=11: 31 mod 11 = 9 ≠ 2 = 46 mod 11

m=12: 31 mod 12 = 7 ≠ 10 = 46 mod 12

m=13: 31 mod 13 = 5 ≠ 7 = 46 mod 13

m=14: 31 mod 14 = 3 ≠ 4 = 46 mod 14

m=15: 31 mod 15 = 1 = 1 = 46 mod 15

m=16: 31 mod 16 = 15 ≠ 14 = 46 mod 16

m=17: 31 mod 17 = 14 ≠ 12 = 46 mod 17

m=18: 31 mod 18 = 13 ≠ 10 = 46 mod 18

m=19: 31 mod 19 = 12 ≠ 8 = 46 mod 19

m=20: 31 mod 20 = 11 ≠ 6 = 46 mod 20

m=21: 31 mod 21 = 10 ≠ 4 = 46 mod 21

m=22: 31 mod 22 = 9 ≠ 2 = 46 mod 22

m=23: 31 mod 23 = 8 ≠ 0 = 46 mod 23

m=24: 31 mod 24 = 7 ≠ 22 = 46 mod 24

m=25: 31 mod 25 = 6 ≠ 21 = 46 mod 25

m=26: 31 mod 26 = 5 ≠ 20 = 46 mod 26

m=27: 31 mod 27 = 4 ≠ 19 = 46 mod 27

m=28: 31 mod 28 = 3 ≠ 18 = 46 mod 28

m=29: 31 mod 29 = 2 ≠ 17 = 46 mod 29

m=30: 31 mod 30 = 1 ≠ 16 = 46 mod 30

m=31: 31 mod 31 = 0 ≠ 15 = 46 mod 31

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (46 - 31) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15