Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 20 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 20, weil ja 5 ⋅ 4 = 20 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 20 - 20 = 0.
Somit gilt: 20 mod 4 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 51 für die gilt n ≡ 39 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 33, weil ja 3 ⋅ 11 = 33 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 39 - 33 = 6.
Somit gilt: 39 mod 11 ≡ 6.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 51 für die gilt: n ≡ 6 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 40, z.B. 44 = 4 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 6 mod 11 sein, also addieren wir noch 6 auf die 44 und erhalten so 50.
Somit gilt: 50 ≡ 39 ≡ 6 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (280 - 3498) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(280 - 3498) mod 7 ≡ (280 mod 7 - 3498 mod 7) mod 7.
280 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 280
= 280
3498 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3498
= 3500
Somit gilt:
(280 - 3498) mod 7 ≡ (0 - 5) mod 7 ≡ -5 mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 20) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(50 ⋅ 20) mod 10 ≡ (50 mod 10 ⋅ 20 mod 10) mod 10.
50 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50 + 0 = 5 ⋅ 10 + 0 ist.
20 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 2 ⋅ 10 + 0 ist.
Somit gilt:
(50 ⋅ 20) mod 10 ≡ (0 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
11 mod m = 15 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 11 aus, ob zufällig 11 mod m = 15 mod m gilt:
m=2: 11 mod 2 = 1 = 1 = 15 mod 2
m=3: 11 mod 3 = 2 ≠ 0 = 15 mod 3
m=4: 11 mod 4 = 3 = 3 = 15 mod 4
m=5: 11 mod 5 = 1 ≠ 0 = 15 mod 5
m=6: 11 mod 6 = 5 ≠ 3 = 15 mod 6
m=7: 11 mod 7 = 4 ≠ 1 = 15 mod 7
m=8: 11 mod 8 = 3 ≠ 7 = 15 mod 8
m=9: 11 mod 9 = 2 ≠ 6 = 15 mod 9
m=10: 11 mod 10 = 1 ≠ 5 = 15 mod 10
m=11: 11 mod 11 = 0 ≠ 4 = 15 mod 11
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (15 - 11) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
