Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 49 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 49 - 44 = 5.
Somit gilt: 49 mod 11 ≡ 5.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 70 für die gilt n ≡ 70 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 70, weil ja 7 ⋅ 10 = 70 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 70 - 70 = 0.
Somit gilt: 70 mod 10 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 70 für die gilt: n ≡ 0 mod 10.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 6 ⋅ 10
Somit gilt: 60 ≡ 70 ≡ 0 mod 10.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40005 + 320) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40005 + 320) mod 8 ≡ (40005 mod 8 + 320 mod 8) mod 8.
40005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40005
= 40000
320 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 320
= 320
Somit gilt:
(40005 + 320) mod 8 ≡ (5 + 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 45) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34 ⋅ 45) mod 3 ≡ (34 mod 3 ⋅ 45 mod 3) mod 3.
34 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 33 + 1 = 11 ⋅ 3 + 1 ist.
45 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 15 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(34 ⋅ 45) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
196 mod m = 246 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 196 aus, ob zufällig 196 mod m = 246 mod m gilt:
m=2: 196 mod 2 = 0 = 0 = 246 mod 2
m=3: 196 mod 3 = 1 ≠ 0 = 246 mod 3
m=4: 196 mod 4 = 0 ≠ 2 = 246 mod 4
m=5: 196 mod 5 = 1 = 1 = 246 mod 5
m=6: 196 mod 6 = 4 ≠ 0 = 246 mod 6
m=7: 196 mod 7 = 0 ≠ 1 = 246 mod 7
m=8: 196 mod 8 = 4 ≠ 6 = 246 mod 8
m=9: 196 mod 9 = 7 ≠ 3 = 246 mod 9
m=10: 196 mod 10 = 6 = 6 = 246 mod 10
m=11: 196 mod 11 = 9 ≠ 4 = 246 mod 11
m=12: 196 mod 12 = 4 ≠ 6 = 246 mod 12
m=13: 196 mod 13 = 1 ≠ 12 = 246 mod 13
m=14: 196 mod 14 = 0 ≠ 8 = 246 mod 14
m=15: 196 mod 15 = 1 ≠ 6 = 246 mod 15
m=16: 196 mod 16 = 4 ≠ 6 = 246 mod 16
m=17: 196 mod 17 = 9 ≠ 8 = 246 mod 17
m=18: 196 mod 18 = 16 ≠ 12 = 246 mod 18
m=19: 196 mod 19 = 6 ≠ 18 = 246 mod 19
m=20: 196 mod 20 = 16 ≠ 6 = 246 mod 20
m=21: 196 mod 21 = 7 ≠ 15 = 246 mod 21
m=22: 196 mod 22 = 20 ≠ 4 = 246 mod 22
m=23: 196 mod 23 = 12 ≠ 16 = 246 mod 23
m=24: 196 mod 24 = 4 ≠ 6 = 246 mod 24
m=25: 196 mod 25 = 21 = 21 = 246 mod 25
m=26: 196 mod 26 = 14 ≠ 12 = 246 mod 26
m=27: 196 mod 27 = 7 ≠ 3 = 246 mod 27
m=28: 196 mod 28 = 0 ≠ 22 = 246 mod 28
m=29: 196 mod 29 = 22 ≠ 14 = 246 mod 29
m=30: 196 mod 30 = 16 ≠ 6 = 246 mod 30
m=31: 196 mod 31 = 10 ≠ 29 = 246 mod 31
m=32: 196 mod 32 = 4 ≠ 22 = 246 mod 32
m=33: 196 mod 33 = 31 ≠ 15 = 246 mod 33
m=34: 196 mod 34 = 26 ≠ 8 = 246 mod 34
m=35: 196 mod 35 = 21 ≠ 1 = 246 mod 35
m=36: 196 mod 36 = 16 ≠ 30 = 246 mod 36
m=37: 196 mod 37 = 11 ≠ 24 = 246 mod 37
m=38: 196 mod 38 = 6 ≠ 18 = 246 mod 38
m=39: 196 mod 39 = 1 ≠ 12 = 246 mod 39
m=40: 196 mod 40 = 36 ≠ 6 = 246 mod 40
m=41: 196 mod 41 = 32 ≠ 0 = 246 mod 41
m=42: 196 mod 42 = 28 ≠ 36 = 246 mod 42
m=43: 196 mod 43 = 24 ≠ 31 = 246 mod 43
m=44: 196 mod 44 = 20 ≠ 26 = 246 mod 44
m=45: 196 mod 45 = 16 ≠ 21 = 246 mod 45
m=46: 196 mod 46 = 12 ≠ 16 = 246 mod 46
m=47: 196 mod 47 = 8 ≠ 11 = 246 mod 47
m=48: 196 mod 48 = 4 ≠ 6 = 246 mod 48
m=49: 196 mod 49 = 0 ≠ 1 = 246 mod 49
m=50: 196 mod 50 = 46 = 46 = 246 mod 50
m=51: 196 mod 51 = 43 ≠ 42 = 246 mod 51
m=52: 196 mod 52 = 40 ≠ 38 = 246 mod 52
m=53: 196 mod 53 = 37 ≠ 34 = 246 mod 53
m=54: 196 mod 54 = 34 ≠ 30 = 246 mod 54
m=55: 196 mod 55 = 31 ≠ 26 = 246 mod 55
m=56: 196 mod 56 = 28 ≠ 22 = 246 mod 56
m=57: 196 mod 57 = 25 ≠ 18 = 246 mod 57
m=58: 196 mod 58 = 22 ≠ 14 = 246 mod 58
m=59: 196 mod 59 = 19 ≠ 10 = 246 mod 59
m=60: 196 mod 60 = 16 ≠ 6 = 246 mod 60
m=61: 196 mod 61 = 13 ≠ 2 = 246 mod 61
m=62: 196 mod 62 = 10 ≠ 60 = 246 mod 62
m=63: 196 mod 63 = 7 ≠ 57 = 246 mod 63
m=64: 196 mod 64 = 4 ≠ 54 = 246 mod 64
m=65: 196 mod 65 = 1 ≠ 51 = 246 mod 65
m=66: 196 mod 66 = 64 ≠ 48 = 246 mod 66
m=67: 196 mod 67 = 62 ≠ 45 = 246 mod 67
m=68: 196 mod 68 = 60 ≠ 42 = 246 mod 68
m=69: 196 mod 69 = 58 ≠ 39 = 246 mod 69
m=70: 196 mod 70 = 56 ≠ 36 = 246 mod 70
m=71: 196 mod 71 = 54 ≠ 33 = 246 mod 71
m=72: 196 mod 72 = 52 ≠ 30 = 246 mod 72
m=73: 196 mod 73 = 50 ≠ 27 = 246 mod 73
m=74: 196 mod 74 = 48 ≠ 24 = 246 mod 74
m=75: 196 mod 75 = 46 ≠ 21 = 246 mod 75
m=76: 196 mod 76 = 44 ≠ 18 = 246 mod 76
m=77: 196 mod 77 = 42 ≠ 15 = 246 mod 77
m=78: 196 mod 78 = 40 ≠ 12 = 246 mod 78
m=79: 196 mod 79 = 38 ≠ 9 = 246 mod 79
m=80: 196 mod 80 = 36 ≠ 6 = 246 mod 80
m=81: 196 mod 81 = 34 ≠ 3 = 246 mod 81
m=82: 196 mod 82 = 32 ≠ 0 = 246 mod 82
m=83: 196 mod 83 = 30 ≠ 80 = 246 mod 83
m=84: 196 mod 84 = 28 ≠ 78 = 246 mod 84
m=85: 196 mod 85 = 26 ≠ 76 = 246 mod 85
m=86: 196 mod 86 = 24 ≠ 74 = 246 mod 86
m=87: 196 mod 87 = 22 ≠ 72 = 246 mod 87
m=88: 196 mod 88 = 20 ≠ 70 = 246 mod 88
m=89: 196 mod 89 = 18 ≠ 68 = 246 mod 89
m=90: 196 mod 90 = 16 ≠ 66 = 246 mod 90
m=91: 196 mod 91 = 14 ≠ 64 = 246 mod 91
m=92: 196 mod 92 = 12 ≠ 62 = 246 mod 92
m=93: 196 mod 93 = 10 ≠ 60 = 246 mod 93
m=94: 196 mod 94 = 8 ≠ 58 = 246 mod 94
m=95: 196 mod 95 = 6 ≠ 56 = 246 mod 95
m=96: 196 mod 96 = 4 ≠ 54 = 246 mod 96
m=97: 196 mod 97 = 2 ≠ 52 = 246 mod 97
m=98: 196 mod 98 = 0 ≠ 50 = 246 mod 98
m=99: 196 mod 99 = 97 ≠ 48 = 246 mod 99
m=100: 196 mod 100 = 96 ≠ 46 = 246 mod 100
m=101: 196 mod 101 = 95 ≠ 44 = 246 mod 101
m=102: 196 mod 102 = 94 ≠ 42 = 246 mod 102
m=103: 196 mod 103 = 93 ≠ 40 = 246 mod 103
m=104: 196 mod 104 = 92 ≠ 38 = 246 mod 104
m=105: 196 mod 105 = 91 ≠ 36 = 246 mod 105
m=106: 196 mod 106 = 90 ≠ 34 = 246 mod 106
m=107: 196 mod 107 = 89 ≠ 32 = 246 mod 107
m=108: 196 mod 108 = 88 ≠ 30 = 246 mod 108
m=109: 196 mod 109 = 87 ≠ 28 = 246 mod 109
m=110: 196 mod 110 = 86 ≠ 26 = 246 mod 110
m=111: 196 mod 111 = 85 ≠ 24 = 246 mod 111
m=112: 196 mod 112 = 84 ≠ 22 = 246 mod 112
m=113: 196 mod 113 = 83 ≠ 20 = 246 mod 113
m=114: 196 mod 114 = 82 ≠ 18 = 246 mod 114
m=115: 196 mod 115 = 81 ≠ 16 = 246 mod 115
m=116: 196 mod 116 = 80 ≠ 14 = 246 mod 116
m=117: 196 mod 117 = 79 ≠ 12 = 246 mod 117
m=118: 196 mod 118 = 78 ≠ 10 = 246 mod 118
m=119: 196 mod 119 = 77 ≠ 8 = 246 mod 119
m=120: 196 mod 120 = 76 ≠ 6 = 246 mod 120
m=121: 196 mod 121 = 75 ≠ 4 = 246 mod 121
m=122: 196 mod 122 = 74 ≠ 2 = 246 mod 122
m=123: 196 mod 123 = 73 ≠ 0 = 246 mod 123
m=124: 196 mod 124 = 72 ≠ 122 = 246 mod 124
m=125: 196 mod 125 = 71 ≠ 121 = 246 mod 125
m=126: 196 mod 126 = 70 ≠ 120 = 246 mod 126
m=127: 196 mod 127 = 69 ≠ 119 = 246 mod 127
m=128: 196 mod 128 = 68 ≠ 118 = 246 mod 128
m=129: 196 mod 129 = 67 ≠ 117 = 246 mod 129
m=130: 196 mod 130 = 66 ≠ 116 = 246 mod 130
m=131: 196 mod 131 = 65 ≠ 115 = 246 mod 131
m=132: 196 mod 132 = 64 ≠ 114 = 246 mod 132
m=133: 196 mod 133 = 63 ≠ 113 = 246 mod 133
m=134: 196 mod 134 = 62 ≠ 112 = 246 mod 134
m=135: 196 mod 135 = 61 ≠ 111 = 246 mod 135
m=136: 196 mod 136 = 60 ≠ 110 = 246 mod 136
m=137: 196 mod 137 = 59 ≠ 109 = 246 mod 137
m=138: 196 mod 138 = 58 ≠ 108 = 246 mod 138
m=139: 196 mod 139 = 57 ≠ 107 = 246 mod 139
m=140: 196 mod 140 = 56 ≠ 106 = 246 mod 140
m=141: 196 mod 141 = 55 ≠ 105 = 246 mod 141
m=142: 196 mod 142 = 54 ≠ 104 = 246 mod 142
m=143: 196 mod 143 = 53 ≠ 103 = 246 mod 143
m=144: 196 mod 144 = 52 ≠ 102 = 246 mod 144
m=145: 196 mod 145 = 51 ≠ 101 = 246 mod 145
m=146: 196 mod 146 = 50 ≠ 100 = 246 mod 146
m=147: 196 mod 147 = 49 ≠ 99 = 246 mod 147
m=148: 196 mod 148 = 48 ≠ 98 = 246 mod 148
m=149: 196 mod 149 = 47 ≠ 97 = 246 mod 149
m=150: 196 mod 150 = 46 ≠ 96 = 246 mod 150
m=151: 196 mod 151 = 45 ≠ 95 = 246 mod 151
m=152: 196 mod 152 = 44 ≠ 94 = 246 mod 152
m=153: 196 mod 153 = 43 ≠ 93 = 246 mod 153
m=154: 196 mod 154 = 42 ≠ 92 = 246 mod 154
m=155: 196 mod 155 = 41 ≠ 91 = 246 mod 155
m=156: 196 mod 156 = 40 ≠ 90 = 246 mod 156
m=157: 196 mod 157 = 39 ≠ 89 = 246 mod 157
m=158: 196 mod 158 = 38 ≠ 88 = 246 mod 158
m=159: 196 mod 159 = 37 ≠ 87 = 246 mod 159
m=160: 196 mod 160 = 36 ≠ 86 = 246 mod 160
m=161: 196 mod 161 = 35 ≠ 85 = 246 mod 161
m=162: 196 mod 162 = 34 ≠ 84 = 246 mod 162
m=163: 196 mod 163 = 33 ≠ 83 = 246 mod 163
m=164: 196 mod 164 = 32 ≠ 82 = 246 mod 164
m=165: 196 mod 165 = 31 ≠ 81 = 246 mod 165
m=166: 196 mod 166 = 30 ≠ 80 = 246 mod 166
m=167: 196 mod 167 = 29 ≠ 79 = 246 mod 167
m=168: 196 mod 168 = 28 ≠ 78 = 246 mod 168
m=169: 196 mod 169 = 27 ≠ 77 = 246 mod 169
m=170: 196 mod 170 = 26 ≠ 76 = 246 mod 170
m=171: 196 mod 171 = 25 ≠ 75 = 246 mod 171
m=172: 196 mod 172 = 24 ≠ 74 = 246 mod 172
m=173: 196 mod 173 = 23 ≠ 73 = 246 mod 173
m=174: 196 mod 174 = 22 ≠ 72 = 246 mod 174
m=175: 196 mod 175 = 21 ≠ 71 = 246 mod 175
m=176: 196 mod 176 = 20 ≠ 70 = 246 mod 176
m=177: 196 mod 177 = 19 ≠ 69 = 246 mod 177
m=178: 196 mod 178 = 18 ≠ 68 = 246 mod 178
m=179: 196 mod 179 = 17 ≠ 67 = 246 mod 179
m=180: 196 mod 180 = 16 ≠ 66 = 246 mod 180
m=181: 196 mod 181 = 15 ≠ 65 = 246 mod 181
m=182: 196 mod 182 = 14 ≠ 64 = 246 mod 182
m=183: 196 mod 183 = 13 ≠ 63 = 246 mod 183
m=184: 196 mod 184 = 12 ≠ 62 = 246 mod 184
m=185: 196 mod 185 = 11 ≠ 61 = 246 mod 185
m=186: 196 mod 186 = 10 ≠ 60 = 246 mod 186
m=187: 196 mod 187 = 9 ≠ 59 = 246 mod 187
m=188: 196 mod 188 = 8 ≠ 58 = 246 mod 188
m=189: 196 mod 189 = 7 ≠ 57 = 246 mod 189
m=190: 196 mod 190 = 6 ≠ 56 = 246 mod 190
m=191: 196 mod 191 = 5 ≠ 55 = 246 mod 191
m=192: 196 mod 192 = 4 ≠ 54 = 246 mod 192
m=193: 196 mod 193 = 3 ≠ 53 = 246 mod 193
m=194: 196 mod 194 = 2 ≠ 52 = 246 mod 194
m=195: 196 mod 195 = 1 ≠ 51 = 246 mod 195
m=196: 196 mod 196 = 0 ≠ 50 = 246 mod 196
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (246 - 196) = 50 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10; 25; 50
