Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 79 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 76, weil ja 19 ⋅ 4 = 76 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 79 - 76 = 3.
Somit gilt: 79 mod 4 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 50 für die gilt n ≡ 80 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 80, weil ja 8 ⋅ 10 = 80 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 80 - 80 = 0.
Somit gilt: 80 mod 10 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 50 für die gilt: n ≡ 0 mod 10.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 4 ⋅ 10
Somit gilt: 40 ≡ 80 ≡ 0 mod 10.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39996 - 31996) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39996 - 31996) mod 8 ≡ (39996 mod 8 - 31996 mod 8) mod 8.
39996 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39996
= 39000
31996 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31996
= 31000
Somit gilt:
(39996 - 31996) mod 8 ≡ (4 - 4) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 44) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(51 ⋅ 44) mod 3 ≡ (51 mod 3 ⋅ 44 mod 3) mod 3.
51 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 51 + 0 = 17 ⋅ 3 + 0 ist.
44 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 14 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(51 ⋅ 44) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
16 mod m = 22 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 16 aus, ob zufällig 16 mod m = 22 mod m gilt:
m=2: 16 mod 2 = 0 = 0 = 22 mod 2
m=3: 16 mod 3 = 1 = 1 = 22 mod 3
m=4: 16 mod 4 = 0 ≠ 2 = 22 mod 4
m=5: 16 mod 5 = 1 ≠ 2 = 22 mod 5
m=6: 16 mod 6 = 4 = 4 = 22 mod 6
m=7: 16 mod 7 = 2 ≠ 1 = 22 mod 7
m=8: 16 mod 8 = 0 ≠ 6 = 22 mod 8
m=9: 16 mod 9 = 7 ≠ 4 = 22 mod 9
m=10: 16 mod 10 = 6 ≠ 2 = 22 mod 10
m=11: 16 mod 11 = 5 ≠ 0 = 22 mod 11
m=12: 16 mod 12 = 4 ≠ 10 = 22 mod 12
m=13: 16 mod 13 = 3 ≠ 9 = 22 mod 13
m=14: 16 mod 14 = 2 ≠ 8 = 22 mod 14
m=15: 16 mod 15 = 1 ≠ 7 = 22 mod 15
m=16: 16 mod 16 = 0 ≠ 6 = 22 mod 16
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (22 - 16) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
