Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 66, weil ja 11 ⋅ 6 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 68 - 66 = 2.

Somit gilt: 68 mod 6 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 20, weil ja 2 ⋅ 10 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 26 - 20 = 6.

Somit gilt: 26 mod 10 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 80 für die gilt: n ≡ 6 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 7 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 6 mod 10 sein, also addieren wir noch 6 auf die 70 und erhalten so 76.

Somit gilt: 76 ≡ 26 ≡ 6 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(313 + 82) mod 8 ≡ (313 mod 8 + 82 mod 8) mod 8.

313 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 313 = 320-7 = 8 ⋅ 40 -7 = 8 ⋅ 40 - 8 + 1.

82 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80+2 = 8 ⋅ 10 +2.

Somit gilt:

(313 + 82) mod 8 ≡ (1 + 2) mod 8 ≡ 3 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 61) mod 7 ≡ (34 mod 7 ⋅ 61 mod 7) mod 7.

34 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 28 + 6 = 4 ⋅ 7 + 6 ist.

61 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 56 + 5 = 8 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 61) mod 7 ≡ (6 ⋅ 5) mod 7 ≡ 30 mod 7 ≡ 2 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 42 aus, ob zufällig 42 mod m = 60 mod m gilt:

m=2: 42 mod 2 = 0 = 0 = 60 mod 2

m=3: 42 mod 3 = 0 = 0 = 60 mod 3

m=4: 42 mod 4 = 2 ≠ 0 = 60 mod 4

m=5: 42 mod 5 = 2 ≠ 0 = 60 mod 5

m=6: 42 mod 6 = 0 = 0 = 60 mod 6

m=7: 42 mod 7 = 0 ≠ 4 = 60 mod 7

m=8: 42 mod 8 = 2 ≠ 4 = 60 mod 8

m=9: 42 mod 9 = 6 = 6 = 60 mod 9

m=10: 42 mod 10 = 2 ≠ 0 = 60 mod 10

m=11: 42 mod 11 = 9 ≠ 5 = 60 mod 11

m=12: 42 mod 12 = 6 ≠ 0 = 60 mod 12

m=13: 42 mod 13 = 3 ≠ 8 = 60 mod 13

m=14: 42 mod 14 = 0 ≠ 4 = 60 mod 14

m=15: 42 mod 15 = 12 ≠ 0 = 60 mod 15

m=16: 42 mod 16 = 10 ≠ 12 = 60 mod 16

m=17: 42 mod 17 = 8 ≠ 9 = 60 mod 17

m=18: 42 mod 18 = 6 = 6 = 60 mod 18

m=19: 42 mod 19 = 4 ≠ 3 = 60 mod 19

m=20: 42 mod 20 = 2 ≠ 0 = 60 mod 20

m=21: 42 mod 21 = 0 ≠ 18 = 60 mod 21

m=22: 42 mod 22 = 20 ≠ 16 = 60 mod 22

m=23: 42 mod 23 = 19 ≠ 14 = 60 mod 23

m=24: 42 mod 24 = 18 ≠ 12 = 60 mod 24

m=25: 42 mod 25 = 17 ≠ 10 = 60 mod 25

m=26: 42 mod 26 = 16 ≠ 8 = 60 mod 26

m=27: 42 mod 27 = 15 ≠ 6 = 60 mod 27

m=28: 42 mod 28 = 14 ≠ 4 = 60 mod 28

m=29: 42 mod 29 = 13 ≠ 2 = 60 mod 29

m=30: 42 mod 30 = 12 ≠ 0 = 60 mod 30

m=31: 42 mod 31 = 11 ≠ 29 = 60 mod 31

m=32: 42 mod 32 = 10 ≠ 28 = 60 mod 32

m=33: 42 mod 33 = 9 ≠ 27 = 60 mod 33

m=34: 42 mod 34 = 8 ≠ 26 = 60 mod 34

m=35: 42 mod 35 = 7 ≠ 25 = 60 mod 35

m=36: 42 mod 36 = 6 ≠ 24 = 60 mod 36

m=37: 42 mod 37 = 5 ≠ 23 = 60 mod 37

m=38: 42 mod 38 = 4 ≠ 22 = 60 mod 38

m=39: 42 mod 39 = 3 ≠ 21 = 60 mod 39

m=40: 42 mod 40 = 2 ≠ 20 = 60 mod 40

m=41: 42 mod 41 = 1 ≠ 19 = 60 mod 41

m=42: 42 mod 42 = 0 ≠ 18 = 60 mod 42

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (60 - 42) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18