Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 76 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 75, weil ja 25 ⋅ 3 = 75 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 76 - 75 = 1.
Somit gilt: 76 mod 3 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 40 für die gilt n ≡ 42 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 40, weil ja 4 ⋅ 10 = 40 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 42 - 40 = 2.
Somit gilt: 42 mod 10 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 40 für die gilt: n ≡ 2 mod 10.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 3 ⋅ 10
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 2 mod 10 sein, also addieren wir noch 2 auf die 30 und erhalten so 32.
Somit gilt: 32 ≡ 42 ≡ 2 mod 10.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (94 - 1801) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(94 - 1801) mod 9 ≡ (94 mod 9 - 1801 mod 9) mod 9.
94 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94
= 90
1801 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1801
= 1800
Somit gilt:
(94 - 1801) mod 9 ≡ (4 - 1) mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 92) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 ⋅ 92) mod 8 ≡ (81 mod 8 ⋅ 92 mod 8) mod 8.
81 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 10 ⋅ 8 + 1 ist.
92 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 11 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(81 ⋅ 92) mod 8 ≡ (1 ⋅ 4) mod 8 ≡ 4 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
14 mod m = 20 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 20 mod m gilt:
m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 20 mod 2
m=3: 14 mod 3 = 2 = 2 = 20 mod 3
m=4: 14 mod 4 = 2 ≠ 0 = 20 mod 4
m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 0 = 20 mod 5
m=6: 14 mod 6 = 2 = 2 = 20 mod 6
m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 6 = 20 mod 7
m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 4 = 20 mod 8
m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 2 = 20 mod 9
m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 0 = 20 mod 10
m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 9 = 20 mod 11
m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 8 = 20 mod 12
m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 7 = 20 mod 13
m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 6 = 20 mod 14
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (20 - 14) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
