Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 50, weil ja 10 ⋅ 5 = 50 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 51 - 50 = 1.

Somit gilt: 51 mod 5 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 32, weil ja 4 ⋅ 8 = 32 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 34 - 32 = 2.

Somit gilt: 34 mod 8 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 2 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 60, z.B. 64 = 8 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 2 mod 8 sein, also addieren wir noch 2 auf die 64 und erhalten so 66.

Somit gilt: 66 ≡ 34 ≡ 2 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32007 + 161) mod 8 ≡ (32007 mod 8 + 161 mod 8) mod 8.

32007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32007 = 32000+7 = 8 ⋅ 4000 +7.

161 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 161 = 160+1 = 8 ⋅ 20 +1.

Somit gilt:

(32007 + 161) mod 8 ≡ (7 + 1) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 ⋅ 76) mod 11 ≡ (27 mod 11 ⋅ 76 mod 11) mod 11.

27 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 22 + 5 = 2 ⋅ 11 + 5 ist.

76 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 66 + 10 = 6 ⋅ 11 + 10 ist.

Somit gilt:

(27 ⋅ 76) mod 11 ≡ (5 ⋅ 10) mod 11 ≡ 50 mod 11 ≡ 6 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 18 aus, ob zufällig 18 mod m = 27 mod m gilt:

m=2: 18 mod 2 = 0 ≠ 1 = 27 mod 2

m=3: 18 mod 3 = 0 = 0 = 27 mod 3

m=4: 18 mod 4 = 2 ≠ 3 = 27 mod 4

m=5: 18 mod 5 = 3 ≠ 2 = 27 mod 5

m=6: 18 mod 6 = 0 ≠ 3 = 27 mod 6

m=7: 18 mod 7 = 4 ≠ 6 = 27 mod 7

m=8: 18 mod 8 = 2 ≠ 3 = 27 mod 8

m=9: 18 mod 9 = 0 = 0 = 27 mod 9

m=10: 18 mod 10 = 8 ≠ 7 = 27 mod 10

m=11: 18 mod 11 = 7 ≠ 5 = 27 mod 11

m=12: 18 mod 12 = 6 ≠ 3 = 27 mod 12

m=13: 18 mod 13 = 5 ≠ 1 = 27 mod 13

m=14: 18 mod 14 = 4 ≠ 13 = 27 mod 14

m=15: 18 mod 15 = 3 ≠ 12 = 27 mod 15

m=16: 18 mod 16 = 2 ≠ 11 = 27 mod 16

m=17: 18 mod 17 = 1 ≠ 10 = 27 mod 17

m=18: 18 mod 18 = 0 ≠ 9 = 27 mod 18

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (27 - 18) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9