Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 44, weil ja 11 ⋅ 4 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 45 - 44 = 1.

Somit gilt: 45 mod 4 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 81 - 81 = 0.

Somit gilt: 81 mod 9 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 0 mod 9.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 50, z.B. 54 = 6 ⋅ 9

Somit gilt: 54 ≡ 81 ≡ 0 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1600 - 1603) mod 4 ≡ (1600 mod 4 - 1603 mod 4) mod 4.

1600 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600 = 1600+0 = 4 ⋅ 400 +0.

1603 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1603 = 1600+3 = 4 ⋅ 400 +3.

Somit gilt:

(1600 - 1603) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 95) mod 10 ≡ (84 mod 10 ⋅ 95 mod 10) mod 10.

84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.

95 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 9 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 95) mod 10 ≡ (4 ⋅ 5) mod 10 ≡ 20 mod 10 ≡ 0 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 23 aus, ob zufällig 23 mod m = 31 mod m gilt:

m=2: 23 mod 2 = 1 = 1 = 31 mod 2

m=3: 23 mod 3 = 2 ≠ 1 = 31 mod 3

m=4: 23 mod 4 = 3 = 3 = 31 mod 4

m=5: 23 mod 5 = 3 ≠ 1 = 31 mod 5

m=6: 23 mod 6 = 5 ≠ 1 = 31 mod 6

m=7: 23 mod 7 = 2 ≠ 3 = 31 mod 7

m=8: 23 mod 8 = 7 = 7 = 31 mod 8

m=9: 23 mod 9 = 5 ≠ 4 = 31 mod 9

m=10: 23 mod 10 = 3 ≠ 1 = 31 mod 10

m=11: 23 mod 11 = 1 ≠ 9 = 31 mod 11

m=12: 23 mod 12 = 11 ≠ 7 = 31 mod 12

m=13: 23 mod 13 = 10 ≠ 5 = 31 mod 13

m=14: 23 mod 14 = 9 ≠ 3 = 31 mod 14

m=15: 23 mod 15 = 8 ≠ 1 = 31 mod 15

m=16: 23 mod 16 = 7 ≠ 15 = 31 mod 16

m=17: 23 mod 17 = 6 ≠ 14 = 31 mod 17

m=18: 23 mod 18 = 5 ≠ 13 = 31 mod 18

m=19: 23 mod 19 = 4 ≠ 12 = 31 mod 19

m=20: 23 mod 20 = 3 ≠ 11 = 31 mod 20

m=21: 23 mod 21 = 2 ≠ 10 = 31 mod 21

m=22: 23 mod 22 = 1 ≠ 9 = 31 mod 22

m=23: 23 mod 23 = 0 ≠ 8 = 31 mod 23

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (31 - 23) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8