Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 25, weil ja 5 ⋅ 5 = 25 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 29 - 25 = 4.

Somit gilt: 29 mod 5 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 27, weil ja 9 ⋅ 3 = 27 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 27 - 27 = 0.

Somit gilt: 27 mod 3 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 40, z.B. 42 = 14 ⋅ 3

Somit gilt: 42 ≡ 27 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(10003 - 2005) mod 5 ≡ (10003 mod 5 - 2005 mod 5) mod 5.

10003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10003 = 10000+3 = 5 ⋅ 2000 +3.

2005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2005 = 2000+5 = 5 ⋅ 400 +5.

Somit gilt:

(10003 - 2005) mod 5 ≡ (3 - 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 16) mod 8 ≡ (18 mod 8 ⋅ 16 mod 8) mod 8.

18 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 16 + 2 = 2 ⋅ 8 + 2 ist.

16 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 16 + 0 = 2 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 16) mod 8 ≡ (2 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 20 mod m gilt:

m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 20 mod 2

m=3: 14 mod 3 = 2 = 2 = 20 mod 3

m=4: 14 mod 4 = 2 ≠ 0 = 20 mod 4

m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 0 = 20 mod 5

m=6: 14 mod 6 = 2 = 2 = 20 mod 6

m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 6 = 20 mod 7

m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 4 = 20 mod 8

m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 2 = 20 mod 9

m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 0 = 20 mod 10

m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 9 = 20 mod 11

m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 8 = 20 mod 12

m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 7 = 20 mod 13

m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 6 = 20 mod 14

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (20 - 14) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6