Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 38 - 36 = 2.

Somit gilt: 38 mod 9 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 48, weil ja 6 ⋅ 8 = 48 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 55 - 48 = 7.

Somit gilt: 55 mod 8 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 7 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 90, z.B. 88 = 11 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 7 mod 8 sein, also addieren wir noch 7 auf die 88 und erhalten so 95.

Somit gilt: 95 ≡ 55 ≡ 7 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(158 - 88) mod 8 ≡ (158 mod 8 - 88 mod 8) mod 8.

158 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 158 = 160-2 = 8 ⋅ 20 -2 = 8 ⋅ 20 - 8 + 6.

88 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 80+8 = 8 ⋅ 10 +8.

Somit gilt:

(158 - 88) mod 8 ≡ (6 - 0) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 87) mod 11 ≡ (100 mod 11 ⋅ 87 mod 11) mod 11.

100 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 9 ⋅ 11 + 1 ist.

87 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 77 + 10 = 7 ⋅ 11 + 10 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 87) mod 11 ≡ (1 ⋅ 10) mod 11 ≡ 10 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 26 mod m gilt:

m=2: 20 mod 2 = 0 = 0 = 26 mod 2

m=3: 20 mod 3 = 2 = 2 = 26 mod 3

m=4: 20 mod 4 = 0 ≠ 2 = 26 mod 4

m=5: 20 mod 5 = 0 ≠ 1 = 26 mod 5

m=6: 20 mod 6 = 2 = 2 = 26 mod 6

m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 5 = 26 mod 7

m=8: 20 mod 8 = 4 ≠ 2 = 26 mod 8

m=9: 20 mod 9 = 2 ≠ 8 = 26 mod 9

m=10: 20 mod 10 = 0 ≠ 6 = 26 mod 10

m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 4 = 26 mod 11

m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 2 = 26 mod 12

m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 0 = 26 mod 13

m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 12 = 26 mod 14

m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 11 = 26 mod 15

m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 10 = 26 mod 16

m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 9 = 26 mod 17

m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 8 = 26 mod 18

m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 7 = 26 mod 19

m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 6 = 26 mod 20

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (26 - 20) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6