Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 54, weil ja 18 ⋅ 3 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 56 - 54 = 2.

Somit gilt: 56 mod 3 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 87 - 81 = 6.

Somit gilt: 87 mod 9 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 6 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 30, z.B. 27 = 3 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 6 mod 9 sein, also addieren wir noch 6 auf die 27 und erhalten so 33.

Somit gilt: 33 ≡ 87 ≡ 6 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(240 + 16007) mod 8 ≡ (240 mod 8 + 16007 mod 8) mod 8.

240 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 240 = 240+0 = 8 ⋅ 30 +0.

16007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16007 = 16000+7 = 8 ⋅ 2000 +7.

Somit gilt:

(240 + 16007) mod 8 ≡ (0 + 7) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 67) mod 10 ≡ (43 mod 10 ⋅ 67 mod 10) mod 10.

43 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 4 ⋅ 10 + 3 ist.

67 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 60 + 7 = 6 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 67) mod 10 ≡ (3 ⋅ 7) mod 10 ≡ 21 mod 10 ≡ 1 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 19 aus, ob zufällig 19 mod m = 28 mod m gilt:

m=2: 19 mod 2 = 1 ≠ 0 = 28 mod 2

m=3: 19 mod 3 = 1 = 1 = 28 mod 3

m=4: 19 mod 4 = 3 ≠ 0 = 28 mod 4

m=5: 19 mod 5 = 4 ≠ 3 = 28 mod 5

m=6: 19 mod 6 = 1 ≠ 4 = 28 mod 6

m=7: 19 mod 7 = 5 ≠ 0 = 28 mod 7

m=8: 19 mod 8 = 3 ≠ 4 = 28 mod 8

m=9: 19 mod 9 = 1 = 1 = 28 mod 9

m=10: 19 mod 10 = 9 ≠ 8 = 28 mod 10

m=11: 19 mod 11 = 8 ≠ 6 = 28 mod 11

m=12: 19 mod 12 = 7 ≠ 4 = 28 mod 12

m=13: 19 mod 13 = 6 ≠ 2 = 28 mod 13

m=14: 19 mod 14 = 5 ≠ 0 = 28 mod 14

m=15: 19 mod 15 = 4 ≠ 13 = 28 mod 15

m=16: 19 mod 16 = 3 ≠ 12 = 28 mod 16

m=17: 19 mod 17 = 2 ≠ 11 = 28 mod 17

m=18: 19 mod 18 = 1 ≠ 10 = 28 mod 18

m=19: 19 mod 19 = 0 ≠ 9 = 28 mod 19

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (28 - 19) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9