Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 95, weil ja 19 ⋅ 5 = 95 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 99 - 95 = 4.

Somit gilt: 99 mod 5 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 91, weil ja 13 ⋅ 7 = 91 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 95 - 91 = 4.

Somit gilt: 95 mod 7 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 4 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 10 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 4 mod 7 sein, also addieren wir noch 4 auf die 70 und erhalten so 74.

Somit gilt: 74 ≡ 95 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12001 - 9000) mod 3 ≡ (12001 mod 3 - 9000 mod 3) mod 3.

12001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12001 = 12000+1 = 3 ⋅ 4000 +1.

9000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9000 = 9000+0 = 3 ⋅ 3000 +0.

Somit gilt:

(12001 - 9000) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(61 ⋅ 33) mod 9 ≡ (61 mod 9 ⋅ 33 mod 9) mod 9.

61 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 54 + 7 = 6 ⋅ 9 + 7 ist.

33 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 27 + 6 = 3 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(61 ⋅ 33) mod 9 ≡ (7 ⋅ 6) mod 9 ≡ 42 mod 9 ≡ 6 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 46 aus, ob zufällig 46 mod m = 64 mod m gilt:

m=2: 46 mod 2 = 0 = 0 = 64 mod 2

m=3: 46 mod 3 = 1 = 1 = 64 mod 3

m=4: 46 mod 4 = 2 ≠ 0 = 64 mod 4

m=5: 46 mod 5 = 1 ≠ 4 = 64 mod 5

m=6: 46 mod 6 = 4 = 4 = 64 mod 6

m=7: 46 mod 7 = 4 ≠ 1 = 64 mod 7

m=8: 46 mod 8 = 6 ≠ 0 = 64 mod 8

m=9: 46 mod 9 = 1 = 1 = 64 mod 9

m=10: 46 mod 10 = 6 ≠ 4 = 64 mod 10

m=11: 46 mod 11 = 2 ≠ 9 = 64 mod 11

m=12: 46 mod 12 = 10 ≠ 4 = 64 mod 12

m=13: 46 mod 13 = 7 ≠ 12 = 64 mod 13

m=14: 46 mod 14 = 4 ≠ 8 = 64 mod 14

m=15: 46 mod 15 = 1 ≠ 4 = 64 mod 15

m=16: 46 mod 16 = 14 ≠ 0 = 64 mod 16

m=17: 46 mod 17 = 12 ≠ 13 = 64 mod 17

m=18: 46 mod 18 = 10 = 10 = 64 mod 18

m=19: 46 mod 19 = 8 ≠ 7 = 64 mod 19

m=20: 46 mod 20 = 6 ≠ 4 = 64 mod 20

m=21: 46 mod 21 = 4 ≠ 1 = 64 mod 21

m=22: 46 mod 22 = 2 ≠ 20 = 64 mod 22

m=23: 46 mod 23 = 0 ≠ 18 = 64 mod 23

m=24: 46 mod 24 = 22 ≠ 16 = 64 mod 24

m=25: 46 mod 25 = 21 ≠ 14 = 64 mod 25

m=26: 46 mod 26 = 20 ≠ 12 = 64 mod 26

m=27: 46 mod 27 = 19 ≠ 10 = 64 mod 27

m=28: 46 mod 28 = 18 ≠ 8 = 64 mod 28

m=29: 46 mod 29 = 17 ≠ 6 = 64 mod 29

m=30: 46 mod 30 = 16 ≠ 4 = 64 mod 30

m=31: 46 mod 31 = 15 ≠ 2 = 64 mod 31

m=32: 46 mod 32 = 14 ≠ 0 = 64 mod 32

m=33: 46 mod 33 = 13 ≠ 31 = 64 mod 33

m=34: 46 mod 34 = 12 ≠ 30 = 64 mod 34

m=35: 46 mod 35 = 11 ≠ 29 = 64 mod 35

m=36: 46 mod 36 = 10 ≠ 28 = 64 mod 36

m=37: 46 mod 37 = 9 ≠ 27 = 64 mod 37

m=38: 46 mod 38 = 8 ≠ 26 = 64 mod 38

m=39: 46 mod 39 = 7 ≠ 25 = 64 mod 39

m=40: 46 mod 40 = 6 ≠ 24 = 64 mod 40

m=41: 46 mod 41 = 5 ≠ 23 = 64 mod 41

m=42: 46 mod 42 = 4 ≠ 22 = 64 mod 42

m=43: 46 mod 43 = 3 ≠ 21 = 64 mod 43

m=44: 46 mod 44 = 2 ≠ 20 = 64 mod 44

m=45: 46 mod 45 = 1 ≠ 19 = 64 mod 45

m=46: 46 mod 46 = 0 ≠ 18 = 64 mod 46

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (64 - 46) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18