Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 35, weil ja 5 ⋅ 7 = 35 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 37 - 35 = 2.

Somit gilt: 37 mod 7 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 78 - 77 = 1.

Somit gilt: 78 mod 11 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 51 für die gilt: n ≡ 1 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 40, z.B. 44 = 4 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 1 mod 11 sein, also addieren wir noch 1 auf die 44 und erhalten so 45.

Somit gilt: 45 ≡ 78 ≡ 1 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(148 - 5001) mod 5 ≡ (148 mod 5 - 5001 mod 5) mod 5.

148 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 148 = 140+8 = 5 ⋅ 28 +8.

5001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5001 = 5000+1 = 5 ⋅ 1000 +1.

Somit gilt:

(148 - 5001) mod 5 ≡ (3 - 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 44) mod 4 ≡ (55 mod 4 ⋅ 44 mod 4) mod 4.

55 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 52 + 3 = 13 ⋅ 4 + 3 ist.

44 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 11 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 44) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 75 aus, ob zufällig 75 mod m = 105 mod m gilt:

m=2: 75 mod 2 = 1 = 1 = 105 mod 2

m=3: 75 mod 3 = 0 = 0 = 105 mod 3

m=4: 75 mod 4 = 3 ≠ 1 = 105 mod 4

m=5: 75 mod 5 = 0 = 0 = 105 mod 5

m=6: 75 mod 6 = 3 = 3 = 105 mod 6

m=7: 75 mod 7 = 5 ≠ 0 = 105 mod 7

m=8: 75 mod 8 = 3 ≠ 1 = 105 mod 8

m=9: 75 mod 9 = 3 ≠ 6 = 105 mod 9

m=10: 75 mod 10 = 5 = 5 = 105 mod 10

m=11: 75 mod 11 = 9 ≠ 6 = 105 mod 11

m=12: 75 mod 12 = 3 ≠ 9 = 105 mod 12

m=13: 75 mod 13 = 10 ≠ 1 = 105 mod 13

m=14: 75 mod 14 = 5 ≠ 7 = 105 mod 14

m=15: 75 mod 15 = 0 = 0 = 105 mod 15

m=16: 75 mod 16 = 11 ≠ 9 = 105 mod 16

m=17: 75 mod 17 = 7 ≠ 3 = 105 mod 17

m=18: 75 mod 18 = 3 ≠ 15 = 105 mod 18

m=19: 75 mod 19 = 18 ≠ 10 = 105 mod 19

m=20: 75 mod 20 = 15 ≠ 5 = 105 mod 20

m=21: 75 mod 21 = 12 ≠ 0 = 105 mod 21

m=22: 75 mod 22 = 9 ≠ 17 = 105 mod 22

m=23: 75 mod 23 = 6 ≠ 13 = 105 mod 23

m=24: 75 mod 24 = 3 ≠ 9 = 105 mod 24

m=25: 75 mod 25 = 0 ≠ 5 = 105 mod 25

m=26: 75 mod 26 = 23 ≠ 1 = 105 mod 26

m=27: 75 mod 27 = 21 ≠ 24 = 105 mod 27

m=28: 75 mod 28 = 19 ≠ 21 = 105 mod 28

m=29: 75 mod 29 = 17 ≠ 18 = 105 mod 29

m=30: 75 mod 30 = 15 = 15 = 105 mod 30

m=31: 75 mod 31 = 13 ≠ 12 = 105 mod 31

m=32: 75 mod 32 = 11 ≠ 9 = 105 mod 32

m=33: 75 mod 33 = 9 ≠ 6 = 105 mod 33

m=34: 75 mod 34 = 7 ≠ 3 = 105 mod 34

m=35: 75 mod 35 = 5 ≠ 0 = 105 mod 35

m=36: 75 mod 36 = 3 ≠ 33 = 105 mod 36

m=37: 75 mod 37 = 1 ≠ 31 = 105 mod 37

m=38: 75 mod 38 = 37 ≠ 29 = 105 mod 38

m=39: 75 mod 39 = 36 ≠ 27 = 105 mod 39

m=40: 75 mod 40 = 35 ≠ 25 = 105 mod 40

m=41: 75 mod 41 = 34 ≠ 23 = 105 mod 41

m=42: 75 mod 42 = 33 ≠ 21 = 105 mod 42

m=43: 75 mod 43 = 32 ≠ 19 = 105 mod 43

m=44: 75 mod 44 = 31 ≠ 17 = 105 mod 44

m=45: 75 mod 45 = 30 ≠ 15 = 105 mod 45

m=46: 75 mod 46 = 29 ≠ 13 = 105 mod 46

m=47: 75 mod 47 = 28 ≠ 11 = 105 mod 47

m=48: 75 mod 48 = 27 ≠ 9 = 105 mod 48

m=49: 75 mod 49 = 26 ≠ 7 = 105 mod 49

m=50: 75 mod 50 = 25 ≠ 5 = 105 mod 50

m=51: 75 mod 51 = 24 ≠ 3 = 105 mod 51

m=52: 75 mod 52 = 23 ≠ 1 = 105 mod 52

m=53: 75 mod 53 = 22 ≠ 52 = 105 mod 53

m=54: 75 mod 54 = 21 ≠ 51 = 105 mod 54

m=55: 75 mod 55 = 20 ≠ 50 = 105 mod 55

m=56: 75 mod 56 = 19 ≠ 49 = 105 mod 56

m=57: 75 mod 57 = 18 ≠ 48 = 105 mod 57

m=58: 75 mod 58 = 17 ≠ 47 = 105 mod 58

m=59: 75 mod 59 = 16 ≠ 46 = 105 mod 59

m=60: 75 mod 60 = 15 ≠ 45 = 105 mod 60

m=61: 75 mod 61 = 14 ≠ 44 = 105 mod 61

m=62: 75 mod 62 = 13 ≠ 43 = 105 mod 62

m=63: 75 mod 63 = 12 ≠ 42 = 105 mod 63

m=64: 75 mod 64 = 11 ≠ 41 = 105 mod 64

m=65: 75 mod 65 = 10 ≠ 40 = 105 mod 65

m=66: 75 mod 66 = 9 ≠ 39 = 105 mod 66

m=67: 75 mod 67 = 8 ≠ 38 = 105 mod 67

m=68: 75 mod 68 = 7 ≠ 37 = 105 mod 68

m=69: 75 mod 69 = 6 ≠ 36 = 105 mod 69

m=70: 75 mod 70 = 5 ≠ 35 = 105 mod 70

m=71: 75 mod 71 = 4 ≠ 34 = 105 mod 71

m=72: 75 mod 72 = 3 ≠ 33 = 105 mod 72

m=73: 75 mod 73 = 2 ≠ 32 = 105 mod 73

m=74: 75 mod 74 = 1 ≠ 31 = 105 mod 74

m=75: 75 mod 75 = 0 ≠ 30 = 105 mod 75

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (105 - 75) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30