Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 72, weil ja 9 ⋅ 8 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 73 - 72 = 1.

Somit gilt: 73 mod 8 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 20, weil ja 5 ⋅ 4 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 20 - 20 = 0.

Somit gilt: 20 mod 4 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 0 mod 4.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 18 ⋅ 4

Somit gilt: 72 ≡ 20 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1997 + 3998) mod 4 ≡ (1997 mod 4 + 3998 mod 4) mod 4.

1997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1997 = 1900+97 = 4 ⋅ 475 +97.

3998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3998 = 3000+998 = 4 ⋅ 750 +998.

Somit gilt:

(1997 + 3998) mod 4 ≡ (1 + 2) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 97) mod 4 ≡ (42 mod 4 ⋅ 97 mod 4) mod 4.

42 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 10 ⋅ 4 + 2 ist.

97 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 24 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 97) mod 4 ≡ (2 ⋅ 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 41 aus, ob zufällig 41 mod m = 59 mod m gilt:

m=2: 41 mod 2 = 1 = 1 = 59 mod 2

m=3: 41 mod 3 = 2 = 2 = 59 mod 3

m=4: 41 mod 4 = 1 ≠ 3 = 59 mod 4

m=5: 41 mod 5 = 1 ≠ 4 = 59 mod 5

m=6: 41 mod 6 = 5 = 5 = 59 mod 6

m=7: 41 mod 7 = 6 ≠ 3 = 59 mod 7

m=8: 41 mod 8 = 1 ≠ 3 = 59 mod 8

m=9: 41 mod 9 = 5 = 5 = 59 mod 9

m=10: 41 mod 10 = 1 ≠ 9 = 59 mod 10

m=11: 41 mod 11 = 8 ≠ 4 = 59 mod 11

m=12: 41 mod 12 = 5 ≠ 11 = 59 mod 12

m=13: 41 mod 13 = 2 ≠ 7 = 59 mod 13

m=14: 41 mod 14 = 13 ≠ 3 = 59 mod 14

m=15: 41 mod 15 = 11 ≠ 14 = 59 mod 15

m=16: 41 mod 16 = 9 ≠ 11 = 59 mod 16

m=17: 41 mod 17 = 7 ≠ 8 = 59 mod 17

m=18: 41 mod 18 = 5 = 5 = 59 mod 18

m=19: 41 mod 19 = 3 ≠ 2 = 59 mod 19

m=20: 41 mod 20 = 1 ≠ 19 = 59 mod 20

m=21: 41 mod 21 = 20 ≠ 17 = 59 mod 21

m=22: 41 mod 22 = 19 ≠ 15 = 59 mod 22

m=23: 41 mod 23 = 18 ≠ 13 = 59 mod 23

m=24: 41 mod 24 = 17 ≠ 11 = 59 mod 24

m=25: 41 mod 25 = 16 ≠ 9 = 59 mod 25

m=26: 41 mod 26 = 15 ≠ 7 = 59 mod 26

m=27: 41 mod 27 = 14 ≠ 5 = 59 mod 27

m=28: 41 mod 28 = 13 ≠ 3 = 59 mod 28

m=29: 41 mod 29 = 12 ≠ 1 = 59 mod 29

m=30: 41 mod 30 = 11 ≠ 29 = 59 mod 30

m=31: 41 mod 31 = 10 ≠ 28 = 59 mod 31

m=32: 41 mod 32 = 9 ≠ 27 = 59 mod 32

m=33: 41 mod 33 = 8 ≠ 26 = 59 mod 33

m=34: 41 mod 34 = 7 ≠ 25 = 59 mod 34

m=35: 41 mod 35 = 6 ≠ 24 = 59 mod 35

m=36: 41 mod 36 = 5 ≠ 23 = 59 mod 36

m=37: 41 mod 37 = 4 ≠ 22 = 59 mod 37

m=38: 41 mod 38 = 3 ≠ 21 = 59 mod 38

m=39: 41 mod 39 = 2 ≠ 20 = 59 mod 39

m=40: 41 mod 40 = 1 ≠ 19 = 59 mod 40

m=41: 41 mod 41 = 0 ≠ 18 = 59 mod 41

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (59 - 41) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18