Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 89 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 85, weil ja 17 ⋅ 5 = 85 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 89 - 85 = 4.
Somit gilt: 89 mod 5 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 29 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 24, weil ja 4 ⋅ 6 = 24 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 29 - 24 = 5.
Somit gilt: 29 mod 6 ≡ 5.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 5 mod 6.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 10 ⋅ 6
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 5 mod 6 sein, also addieren wir noch 5 auf die 60 und erhalten so 65.
Somit gilt: 65 ≡ 29 ≡ 5 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (602 + 6000) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(602 + 6000) mod 3 ≡ (602 mod 3 + 6000 mod 3) mod 3.
602 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 602
= 600
6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000
= 6000
Somit gilt:
(602 + 6000) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 43) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32 ⋅ 43) mod 5 ≡ (32 mod 5 ⋅ 43 mod 5) mod 5.
32 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 6 ⋅ 5 + 2 ist.
43 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 8 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(32 ⋅ 43) mod 5 ≡ (2 ⋅ 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
51 mod m = 69 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 51 aus, ob zufällig 51 mod m = 69 mod m gilt:
m=2: 51 mod 2 = 1 = 1 = 69 mod 2
m=3: 51 mod 3 = 0 = 0 = 69 mod 3
m=4: 51 mod 4 = 3 ≠ 1 = 69 mod 4
m=5: 51 mod 5 = 1 ≠ 4 = 69 mod 5
m=6: 51 mod 6 = 3 = 3 = 69 mod 6
m=7: 51 mod 7 = 2 ≠ 6 = 69 mod 7
m=8: 51 mod 8 = 3 ≠ 5 = 69 mod 8
m=9: 51 mod 9 = 6 = 6 = 69 mod 9
m=10: 51 mod 10 = 1 ≠ 9 = 69 mod 10
m=11: 51 mod 11 = 7 ≠ 3 = 69 mod 11
m=12: 51 mod 12 = 3 ≠ 9 = 69 mod 12
m=13: 51 mod 13 = 12 ≠ 4 = 69 mod 13
m=14: 51 mod 14 = 9 ≠ 13 = 69 mod 14
m=15: 51 mod 15 = 6 ≠ 9 = 69 mod 15
m=16: 51 mod 16 = 3 ≠ 5 = 69 mod 16
m=17: 51 mod 17 = 0 ≠ 1 = 69 mod 17
m=18: 51 mod 18 = 15 = 15 = 69 mod 18
m=19: 51 mod 19 = 13 ≠ 12 = 69 mod 19
m=20: 51 mod 20 = 11 ≠ 9 = 69 mod 20
m=21: 51 mod 21 = 9 ≠ 6 = 69 mod 21
m=22: 51 mod 22 = 7 ≠ 3 = 69 mod 22
m=23: 51 mod 23 = 5 ≠ 0 = 69 mod 23
m=24: 51 mod 24 = 3 ≠ 21 = 69 mod 24
m=25: 51 mod 25 = 1 ≠ 19 = 69 mod 25
m=26: 51 mod 26 = 25 ≠ 17 = 69 mod 26
m=27: 51 mod 27 = 24 ≠ 15 = 69 mod 27
m=28: 51 mod 28 = 23 ≠ 13 = 69 mod 28
m=29: 51 mod 29 = 22 ≠ 11 = 69 mod 29
m=30: 51 mod 30 = 21 ≠ 9 = 69 mod 30
m=31: 51 mod 31 = 20 ≠ 7 = 69 mod 31
m=32: 51 mod 32 = 19 ≠ 5 = 69 mod 32
m=33: 51 mod 33 = 18 ≠ 3 = 69 mod 33
m=34: 51 mod 34 = 17 ≠ 1 = 69 mod 34
m=35: 51 mod 35 = 16 ≠ 34 = 69 mod 35
m=36: 51 mod 36 = 15 ≠ 33 = 69 mod 36
m=37: 51 mod 37 = 14 ≠ 32 = 69 mod 37
m=38: 51 mod 38 = 13 ≠ 31 = 69 mod 38
m=39: 51 mod 39 = 12 ≠ 30 = 69 mod 39
m=40: 51 mod 40 = 11 ≠ 29 = 69 mod 40
m=41: 51 mod 41 = 10 ≠ 28 = 69 mod 41
m=42: 51 mod 42 = 9 ≠ 27 = 69 mod 42
m=43: 51 mod 43 = 8 ≠ 26 = 69 mod 43
m=44: 51 mod 44 = 7 ≠ 25 = 69 mod 44
m=45: 51 mod 45 = 6 ≠ 24 = 69 mod 45
m=46: 51 mod 46 = 5 ≠ 23 = 69 mod 46
m=47: 51 mod 47 = 4 ≠ 22 = 69 mod 47
m=48: 51 mod 48 = 3 ≠ 21 = 69 mod 48
m=49: 51 mod 49 = 2 ≠ 20 = 69 mod 49
m=50: 51 mod 50 = 1 ≠ 19 = 69 mod 50
m=51: 51 mod 51 = 0 ≠ 18 = 69 mod 51
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (69 - 51) = 18 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6; 9; 18
