Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 54 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 54, weil ja 9 ⋅ 6 = 54 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 54 - 54 = 0.
Somit gilt: 54 mod 6 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 32 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 30, weil ja 10 ⋅ 3 = 30 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 32 - 30 = 2.
Somit gilt: 32 mod 3 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 80, z.B. 78 = 26 ⋅ 3
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 78 und erhalten so 80.
Somit gilt: 80 ≡ 32 ≡ 2 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (65 + 3004) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(65 + 3004) mod 6 ≡ (65 mod 6 + 3004 mod 6) mod 6.
65 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65
= 60
3004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3004
= 3000
Somit gilt:
(65 + 3004) mod 6 ≡ (5 + 4) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 49) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(71 ⋅ 49) mod 3 ≡ (71 mod 3 ⋅ 49 mod 3) mod 3.
71 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 69 + 2 = 23 ⋅ 3 + 2 ist.
49 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 16 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(71 ⋅ 49) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
219 mod m = 294 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 219 aus, ob zufällig 219 mod m = 294 mod m gilt:
m=2: 219 mod 2 = 1 ≠ 0 = 294 mod 2
m=3: 219 mod 3 = 0 = 0 = 294 mod 3
m=4: 219 mod 4 = 3 ≠ 2 = 294 mod 4
m=5: 219 mod 5 = 4 = 4 = 294 mod 5
m=6: 219 mod 6 = 3 ≠ 0 = 294 mod 6
m=7: 219 mod 7 = 2 ≠ 0 = 294 mod 7
m=8: 219 mod 8 = 3 ≠ 6 = 294 mod 8
m=9: 219 mod 9 = 3 ≠ 6 = 294 mod 9
m=10: 219 mod 10 = 9 ≠ 4 = 294 mod 10
m=11: 219 mod 11 = 10 ≠ 8 = 294 mod 11
m=12: 219 mod 12 = 3 ≠ 6 = 294 mod 12
m=13: 219 mod 13 = 11 ≠ 8 = 294 mod 13
m=14: 219 mod 14 = 9 ≠ 0 = 294 mod 14
m=15: 219 mod 15 = 9 = 9 = 294 mod 15
m=16: 219 mod 16 = 11 ≠ 6 = 294 mod 16
m=17: 219 mod 17 = 15 ≠ 5 = 294 mod 17
m=18: 219 mod 18 = 3 ≠ 6 = 294 mod 18
m=19: 219 mod 19 = 10 ≠ 9 = 294 mod 19
m=20: 219 mod 20 = 19 ≠ 14 = 294 mod 20
m=21: 219 mod 21 = 9 ≠ 0 = 294 mod 21
m=22: 219 mod 22 = 21 ≠ 8 = 294 mod 22
m=23: 219 mod 23 = 12 ≠ 18 = 294 mod 23
m=24: 219 mod 24 = 3 ≠ 6 = 294 mod 24
m=25: 219 mod 25 = 19 = 19 = 294 mod 25
m=26: 219 mod 26 = 11 ≠ 8 = 294 mod 26
m=27: 219 mod 27 = 3 ≠ 24 = 294 mod 27
m=28: 219 mod 28 = 23 ≠ 14 = 294 mod 28
m=29: 219 mod 29 = 16 ≠ 4 = 294 mod 29
m=30: 219 mod 30 = 9 ≠ 24 = 294 mod 30
m=31: 219 mod 31 = 2 ≠ 15 = 294 mod 31
m=32: 219 mod 32 = 27 ≠ 6 = 294 mod 32
m=33: 219 mod 33 = 21 ≠ 30 = 294 mod 33
m=34: 219 mod 34 = 15 ≠ 22 = 294 mod 34
m=35: 219 mod 35 = 9 ≠ 14 = 294 mod 35
m=36: 219 mod 36 = 3 ≠ 6 = 294 mod 36
m=37: 219 mod 37 = 34 ≠ 35 = 294 mod 37
m=38: 219 mod 38 = 29 ≠ 28 = 294 mod 38
m=39: 219 mod 39 = 24 ≠ 21 = 294 mod 39
m=40: 219 mod 40 = 19 ≠ 14 = 294 mod 40
m=41: 219 mod 41 = 14 ≠ 7 = 294 mod 41
m=42: 219 mod 42 = 9 ≠ 0 = 294 mod 42
m=43: 219 mod 43 = 4 ≠ 36 = 294 mod 43
m=44: 219 mod 44 = 43 ≠ 30 = 294 mod 44
m=45: 219 mod 45 = 39 ≠ 24 = 294 mod 45
m=46: 219 mod 46 = 35 ≠ 18 = 294 mod 46
m=47: 219 mod 47 = 31 ≠ 12 = 294 mod 47
m=48: 219 mod 48 = 27 ≠ 6 = 294 mod 48
m=49: 219 mod 49 = 23 ≠ 0 = 294 mod 49
m=50: 219 mod 50 = 19 ≠ 44 = 294 mod 50
m=51: 219 mod 51 = 15 ≠ 39 = 294 mod 51
m=52: 219 mod 52 = 11 ≠ 34 = 294 mod 52
m=53: 219 mod 53 = 7 ≠ 29 = 294 mod 53
m=54: 219 mod 54 = 3 ≠ 24 = 294 mod 54
m=55: 219 mod 55 = 54 ≠ 19 = 294 mod 55
m=56: 219 mod 56 = 51 ≠ 14 = 294 mod 56
m=57: 219 mod 57 = 48 ≠ 9 = 294 mod 57
m=58: 219 mod 58 = 45 ≠ 4 = 294 mod 58
m=59: 219 mod 59 = 42 ≠ 58 = 294 mod 59
m=60: 219 mod 60 = 39 ≠ 54 = 294 mod 60
m=61: 219 mod 61 = 36 ≠ 50 = 294 mod 61
m=62: 219 mod 62 = 33 ≠ 46 = 294 mod 62
m=63: 219 mod 63 = 30 ≠ 42 = 294 mod 63
m=64: 219 mod 64 = 27 ≠ 38 = 294 mod 64
m=65: 219 mod 65 = 24 ≠ 34 = 294 mod 65
m=66: 219 mod 66 = 21 ≠ 30 = 294 mod 66
m=67: 219 mod 67 = 18 ≠ 26 = 294 mod 67
m=68: 219 mod 68 = 15 ≠ 22 = 294 mod 68
m=69: 219 mod 69 = 12 ≠ 18 = 294 mod 69
m=70: 219 mod 70 = 9 ≠ 14 = 294 mod 70
m=71: 219 mod 71 = 6 ≠ 10 = 294 mod 71
m=72: 219 mod 72 = 3 ≠ 6 = 294 mod 72
m=73: 219 mod 73 = 0 ≠ 2 = 294 mod 73
m=74: 219 mod 74 = 71 ≠ 72 = 294 mod 74
m=75: 219 mod 75 = 69 = 69 = 294 mod 75
m=76: 219 mod 76 = 67 ≠ 66 = 294 mod 76
m=77: 219 mod 77 = 65 ≠ 63 = 294 mod 77
m=78: 219 mod 78 = 63 ≠ 60 = 294 mod 78
m=79: 219 mod 79 = 61 ≠ 57 = 294 mod 79
m=80: 219 mod 80 = 59 ≠ 54 = 294 mod 80
m=81: 219 mod 81 = 57 ≠ 51 = 294 mod 81
m=82: 219 mod 82 = 55 ≠ 48 = 294 mod 82
m=83: 219 mod 83 = 53 ≠ 45 = 294 mod 83
m=84: 219 mod 84 = 51 ≠ 42 = 294 mod 84
m=85: 219 mod 85 = 49 ≠ 39 = 294 mod 85
m=86: 219 mod 86 = 47 ≠ 36 = 294 mod 86
m=87: 219 mod 87 = 45 ≠ 33 = 294 mod 87
m=88: 219 mod 88 = 43 ≠ 30 = 294 mod 88
m=89: 219 mod 89 = 41 ≠ 27 = 294 mod 89
m=90: 219 mod 90 = 39 ≠ 24 = 294 mod 90
m=91: 219 mod 91 = 37 ≠ 21 = 294 mod 91
m=92: 219 mod 92 = 35 ≠ 18 = 294 mod 92
m=93: 219 mod 93 = 33 ≠ 15 = 294 mod 93
m=94: 219 mod 94 = 31 ≠ 12 = 294 mod 94
m=95: 219 mod 95 = 29 ≠ 9 = 294 mod 95
m=96: 219 mod 96 = 27 ≠ 6 = 294 mod 96
m=97: 219 mod 97 = 25 ≠ 3 = 294 mod 97
m=98: 219 mod 98 = 23 ≠ 0 = 294 mod 98
m=99: 219 mod 99 = 21 ≠ 96 = 294 mod 99
m=100: 219 mod 100 = 19 ≠ 94 = 294 mod 100
m=101: 219 mod 101 = 17 ≠ 92 = 294 mod 101
m=102: 219 mod 102 = 15 ≠ 90 = 294 mod 102
m=103: 219 mod 103 = 13 ≠ 88 = 294 mod 103
m=104: 219 mod 104 = 11 ≠ 86 = 294 mod 104
m=105: 219 mod 105 = 9 ≠ 84 = 294 mod 105
m=106: 219 mod 106 = 7 ≠ 82 = 294 mod 106
m=107: 219 mod 107 = 5 ≠ 80 = 294 mod 107
m=108: 219 mod 108 = 3 ≠ 78 = 294 mod 108
m=109: 219 mod 109 = 1 ≠ 76 = 294 mod 109
m=110: 219 mod 110 = 109 ≠ 74 = 294 mod 110
m=111: 219 mod 111 = 108 ≠ 72 = 294 mod 111
m=112: 219 mod 112 = 107 ≠ 70 = 294 mod 112
m=113: 219 mod 113 = 106 ≠ 68 = 294 mod 113
m=114: 219 mod 114 = 105 ≠ 66 = 294 mod 114
m=115: 219 mod 115 = 104 ≠ 64 = 294 mod 115
m=116: 219 mod 116 = 103 ≠ 62 = 294 mod 116
m=117: 219 mod 117 = 102 ≠ 60 = 294 mod 117
m=118: 219 mod 118 = 101 ≠ 58 = 294 mod 118
m=119: 219 mod 119 = 100 ≠ 56 = 294 mod 119
m=120: 219 mod 120 = 99 ≠ 54 = 294 mod 120
m=121: 219 mod 121 = 98 ≠ 52 = 294 mod 121
m=122: 219 mod 122 = 97 ≠ 50 = 294 mod 122
m=123: 219 mod 123 = 96 ≠ 48 = 294 mod 123
m=124: 219 mod 124 = 95 ≠ 46 = 294 mod 124
m=125: 219 mod 125 = 94 ≠ 44 = 294 mod 125
m=126: 219 mod 126 = 93 ≠ 42 = 294 mod 126
m=127: 219 mod 127 = 92 ≠ 40 = 294 mod 127
m=128: 219 mod 128 = 91 ≠ 38 = 294 mod 128
m=129: 219 mod 129 = 90 ≠ 36 = 294 mod 129
m=130: 219 mod 130 = 89 ≠ 34 = 294 mod 130
m=131: 219 mod 131 = 88 ≠ 32 = 294 mod 131
m=132: 219 mod 132 = 87 ≠ 30 = 294 mod 132
m=133: 219 mod 133 = 86 ≠ 28 = 294 mod 133
m=134: 219 mod 134 = 85 ≠ 26 = 294 mod 134
m=135: 219 mod 135 = 84 ≠ 24 = 294 mod 135
m=136: 219 mod 136 = 83 ≠ 22 = 294 mod 136
m=137: 219 mod 137 = 82 ≠ 20 = 294 mod 137
m=138: 219 mod 138 = 81 ≠ 18 = 294 mod 138
m=139: 219 mod 139 = 80 ≠ 16 = 294 mod 139
m=140: 219 mod 140 = 79 ≠ 14 = 294 mod 140
m=141: 219 mod 141 = 78 ≠ 12 = 294 mod 141
m=142: 219 mod 142 = 77 ≠ 10 = 294 mod 142
m=143: 219 mod 143 = 76 ≠ 8 = 294 mod 143
m=144: 219 mod 144 = 75 ≠ 6 = 294 mod 144
m=145: 219 mod 145 = 74 ≠ 4 = 294 mod 145
m=146: 219 mod 146 = 73 ≠ 2 = 294 mod 146
m=147: 219 mod 147 = 72 ≠ 0 = 294 mod 147
m=148: 219 mod 148 = 71 ≠ 146 = 294 mod 148
m=149: 219 mod 149 = 70 ≠ 145 = 294 mod 149
m=150: 219 mod 150 = 69 ≠ 144 = 294 mod 150
m=151: 219 mod 151 = 68 ≠ 143 = 294 mod 151
m=152: 219 mod 152 = 67 ≠ 142 = 294 mod 152
m=153: 219 mod 153 = 66 ≠ 141 = 294 mod 153
m=154: 219 mod 154 = 65 ≠ 140 = 294 mod 154
m=155: 219 mod 155 = 64 ≠ 139 = 294 mod 155
m=156: 219 mod 156 = 63 ≠ 138 = 294 mod 156
m=157: 219 mod 157 = 62 ≠ 137 = 294 mod 157
m=158: 219 mod 158 = 61 ≠ 136 = 294 mod 158
m=159: 219 mod 159 = 60 ≠ 135 = 294 mod 159
m=160: 219 mod 160 = 59 ≠ 134 = 294 mod 160
m=161: 219 mod 161 = 58 ≠ 133 = 294 mod 161
m=162: 219 mod 162 = 57 ≠ 132 = 294 mod 162
m=163: 219 mod 163 = 56 ≠ 131 = 294 mod 163
m=164: 219 mod 164 = 55 ≠ 130 = 294 mod 164
m=165: 219 mod 165 = 54 ≠ 129 = 294 mod 165
m=166: 219 mod 166 = 53 ≠ 128 = 294 mod 166
m=167: 219 mod 167 = 52 ≠ 127 = 294 mod 167
m=168: 219 mod 168 = 51 ≠ 126 = 294 mod 168
m=169: 219 mod 169 = 50 ≠ 125 = 294 mod 169
m=170: 219 mod 170 = 49 ≠ 124 = 294 mod 170
m=171: 219 mod 171 = 48 ≠ 123 = 294 mod 171
m=172: 219 mod 172 = 47 ≠ 122 = 294 mod 172
m=173: 219 mod 173 = 46 ≠ 121 = 294 mod 173
m=174: 219 mod 174 = 45 ≠ 120 = 294 mod 174
m=175: 219 mod 175 = 44 ≠ 119 = 294 mod 175
m=176: 219 mod 176 = 43 ≠ 118 = 294 mod 176
m=177: 219 mod 177 = 42 ≠ 117 = 294 mod 177
m=178: 219 mod 178 = 41 ≠ 116 = 294 mod 178
m=179: 219 mod 179 = 40 ≠ 115 = 294 mod 179
m=180: 219 mod 180 = 39 ≠ 114 = 294 mod 180
m=181: 219 mod 181 = 38 ≠ 113 = 294 mod 181
m=182: 219 mod 182 = 37 ≠ 112 = 294 mod 182
m=183: 219 mod 183 = 36 ≠ 111 = 294 mod 183
m=184: 219 mod 184 = 35 ≠ 110 = 294 mod 184
m=185: 219 mod 185 = 34 ≠ 109 = 294 mod 185
m=186: 219 mod 186 = 33 ≠ 108 = 294 mod 186
m=187: 219 mod 187 = 32 ≠ 107 = 294 mod 187
m=188: 219 mod 188 = 31 ≠ 106 = 294 mod 188
m=189: 219 mod 189 = 30 ≠ 105 = 294 mod 189
m=190: 219 mod 190 = 29 ≠ 104 = 294 mod 190
m=191: 219 mod 191 = 28 ≠ 103 = 294 mod 191
m=192: 219 mod 192 = 27 ≠ 102 = 294 mod 192
m=193: 219 mod 193 = 26 ≠ 101 = 294 mod 193
m=194: 219 mod 194 = 25 ≠ 100 = 294 mod 194
m=195: 219 mod 195 = 24 ≠ 99 = 294 mod 195
m=196: 219 mod 196 = 23 ≠ 98 = 294 mod 196
m=197: 219 mod 197 = 22 ≠ 97 = 294 mod 197
m=198: 219 mod 198 = 21 ≠ 96 = 294 mod 198
m=199: 219 mod 199 = 20 ≠ 95 = 294 mod 199
m=200: 219 mod 200 = 19 ≠ 94 = 294 mod 200
m=201: 219 mod 201 = 18 ≠ 93 = 294 mod 201
m=202: 219 mod 202 = 17 ≠ 92 = 294 mod 202
m=203: 219 mod 203 = 16 ≠ 91 = 294 mod 203
m=204: 219 mod 204 = 15 ≠ 90 = 294 mod 204
m=205: 219 mod 205 = 14 ≠ 89 = 294 mod 205
m=206: 219 mod 206 = 13 ≠ 88 = 294 mod 206
m=207: 219 mod 207 = 12 ≠ 87 = 294 mod 207
m=208: 219 mod 208 = 11 ≠ 86 = 294 mod 208
m=209: 219 mod 209 = 10 ≠ 85 = 294 mod 209
m=210: 219 mod 210 = 9 ≠ 84 = 294 mod 210
m=211: 219 mod 211 = 8 ≠ 83 = 294 mod 211
m=212: 219 mod 212 = 7 ≠ 82 = 294 mod 212
m=213: 219 mod 213 = 6 ≠ 81 = 294 mod 213
m=214: 219 mod 214 = 5 ≠ 80 = 294 mod 214
m=215: 219 mod 215 = 4 ≠ 79 = 294 mod 215
m=216: 219 mod 216 = 3 ≠ 78 = 294 mod 216
m=217: 219 mod 217 = 2 ≠ 77 = 294 mod 217
m=218: 219 mod 218 = 1 ≠ 76 = 294 mod 218
m=219: 219 mod 219 = 0 ≠ 75 = 294 mod 219
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (294 - 219) = 75 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 15; 25; 75
