Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 70, weil ja 14 ⋅ 5 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 70 - 70 = 0.

Somit gilt: 70 mod 5 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 22, weil ja 2 ⋅ 11 = 22 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 23 - 22 = 1.

Somit gilt: 23 mod 11 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 21 für die gilt: n ≡ 1 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 10, z.B. 11 = 1 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 1 mod 11 sein, also addieren wir noch 1 auf die 11 und erhalten so 12.

Somit gilt: 12 ≡ 23 ≡ 1 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(444 - 44993) mod 9 ≡ (444 mod 9 - 44993 mod 9) mod 9.

444 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 444 = 450-6 = 9 ⋅ 50 -6 = 9 ⋅ 50 - 9 + 3.

44993 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44993 = 45000-7 = 9 ⋅ 5000 -7 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 2.

Somit gilt:

(444 - 44993) mod 9 ≡ (3 - 2) mod 9 ≡ 1 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 39) mod 9 ≡ (78 mod 9 ⋅ 39 mod 9) mod 9.

78 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 72 + 6 = 8 ⋅ 9 + 6 ist.

39 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 36 + 3 = 4 ⋅ 9 + 3 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 39) mod 9 ≡ (6 ⋅ 3) mod 9 ≡ 18 mod 9 ≡ 0 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 18 aus, ob zufällig 18 mod m = 27 mod m gilt:

m=2: 18 mod 2 = 0 ≠ 1 = 27 mod 2

m=3: 18 mod 3 = 0 = 0 = 27 mod 3

m=4: 18 mod 4 = 2 ≠ 3 = 27 mod 4

m=5: 18 mod 5 = 3 ≠ 2 = 27 mod 5

m=6: 18 mod 6 = 0 ≠ 3 = 27 mod 6

m=7: 18 mod 7 = 4 ≠ 6 = 27 mod 7

m=8: 18 mod 8 = 2 ≠ 3 = 27 mod 8

m=9: 18 mod 9 = 0 = 0 = 27 mod 9

m=10: 18 mod 10 = 8 ≠ 7 = 27 mod 10

m=11: 18 mod 11 = 7 ≠ 5 = 27 mod 11

m=12: 18 mod 12 = 6 ≠ 3 = 27 mod 12

m=13: 18 mod 13 = 5 ≠ 1 = 27 mod 13

m=14: 18 mod 14 = 4 ≠ 13 = 27 mod 14

m=15: 18 mod 15 = 3 ≠ 12 = 27 mod 15

m=16: 18 mod 16 = 2 ≠ 11 = 27 mod 16

m=17: 18 mod 17 = 1 ≠ 10 = 27 mod 17

m=18: 18 mod 18 = 0 ≠ 9 = 27 mod 18

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (27 - 18) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9