Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 65 - 55 = 10.

Somit gilt: 65 mod 11 ≡ 10.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 60, weil ja 10 ⋅ 6 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 63 - 60 = 3.

Somit gilt: 63 mod 6 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 3 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 12 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 3 mod 6 sein, also addieren wir noch 3 auf die 72 und erhalten so 75.

Somit gilt: 75 ≡ 63 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(400 + 406) mod 8 ≡ (400 mod 8 + 406 mod 8) mod 8.

400 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 400 = 400+0 = 8 ⋅ 50 +0.

406 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 406 = 400+6 = 8 ⋅ 50 +6.

Somit gilt:

(400 + 406) mod 8 ≡ (0 + 6) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 48) mod 10 ≡ (66 mod 10 ⋅ 48 mod 10) mod 10.

66 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 60 + 6 = 6 ⋅ 10 + 6 ist.

48 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 40 + 8 = 4 ⋅ 10 + 8 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 48) mod 10 ≡ (6 ⋅ 8) mod 10 ≡ 48 mod 10 ≡ 8 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 164 aus, ob zufällig 164 mod m = 209 mod m gilt:

m=2: 164 mod 2 = 0 ≠ 1 = 209 mod 2

m=3: 164 mod 3 = 2 = 2 = 209 mod 3

m=4: 164 mod 4 = 0 ≠ 1 = 209 mod 4

m=5: 164 mod 5 = 4 = 4 = 209 mod 5

m=6: 164 mod 6 = 2 ≠ 5 = 209 mod 6

m=7: 164 mod 7 = 3 ≠ 6 = 209 mod 7

m=8: 164 mod 8 = 4 ≠ 1 = 209 mod 8

m=9: 164 mod 9 = 2 = 2 = 209 mod 9

m=10: 164 mod 10 = 4 ≠ 9 = 209 mod 10

m=11: 164 mod 11 = 10 ≠ 0 = 209 mod 11

m=12: 164 mod 12 = 8 ≠ 5 = 209 mod 12

m=13: 164 mod 13 = 8 ≠ 1 = 209 mod 13

m=14: 164 mod 14 = 10 ≠ 13 = 209 mod 14

m=15: 164 mod 15 = 14 = 14 = 209 mod 15

m=16: 164 mod 16 = 4 ≠ 1 = 209 mod 16

m=17: 164 mod 17 = 11 ≠ 5 = 209 mod 17

m=18: 164 mod 18 = 2 ≠ 11 = 209 mod 18

m=19: 164 mod 19 = 12 ≠ 0 = 209 mod 19

m=20: 164 mod 20 = 4 ≠ 9 = 209 mod 20

m=21: 164 mod 21 = 17 ≠ 20 = 209 mod 21

m=22: 164 mod 22 = 10 ≠ 11 = 209 mod 22

m=23: 164 mod 23 = 3 ≠ 2 = 209 mod 23

m=24: 164 mod 24 = 20 ≠ 17 = 209 mod 24

m=25: 164 mod 25 = 14 ≠ 9 = 209 mod 25

m=26: 164 mod 26 = 8 ≠ 1 = 209 mod 26

m=27: 164 mod 27 = 2 ≠ 20 = 209 mod 27

m=28: 164 mod 28 = 24 ≠ 13 = 209 mod 28

m=29: 164 mod 29 = 19 ≠ 6 = 209 mod 29

m=30: 164 mod 30 = 14 ≠ 29 = 209 mod 30

m=31: 164 mod 31 = 9 ≠ 23 = 209 mod 31

m=32: 164 mod 32 = 4 ≠ 17 = 209 mod 32

m=33: 164 mod 33 = 32 ≠ 11 = 209 mod 33

m=34: 164 mod 34 = 28 ≠ 5 = 209 mod 34

m=35: 164 mod 35 = 24 ≠ 34 = 209 mod 35

m=36: 164 mod 36 = 20 ≠ 29 = 209 mod 36

m=37: 164 mod 37 = 16 ≠ 24 = 209 mod 37

m=38: 164 mod 38 = 12 ≠ 19 = 209 mod 38

m=39: 164 mod 39 = 8 ≠ 14 = 209 mod 39

m=40: 164 mod 40 = 4 ≠ 9 = 209 mod 40

m=41: 164 mod 41 = 0 ≠ 4 = 209 mod 41

m=42: 164 mod 42 = 38 ≠ 41 = 209 mod 42

m=43: 164 mod 43 = 35 ≠ 37 = 209 mod 43

m=44: 164 mod 44 = 32 ≠ 33 = 209 mod 44

m=45: 164 mod 45 = 29 = 29 = 209 mod 45

m=46: 164 mod 46 = 26 ≠ 25 = 209 mod 46

m=47: 164 mod 47 = 23 ≠ 21 = 209 mod 47

m=48: 164 mod 48 = 20 ≠ 17 = 209 mod 48

m=49: 164 mod 49 = 17 ≠ 13 = 209 mod 49

m=50: 164 mod 50 = 14 ≠ 9 = 209 mod 50

m=51: 164 mod 51 = 11 ≠ 5 = 209 mod 51

m=52: 164 mod 52 = 8 ≠ 1 = 209 mod 52

m=53: 164 mod 53 = 5 ≠ 50 = 209 mod 53

m=54: 164 mod 54 = 2 ≠ 47 = 209 mod 54

m=55: 164 mod 55 = 54 ≠ 44 = 209 mod 55

m=56: 164 mod 56 = 52 ≠ 41 = 209 mod 56

m=57: 164 mod 57 = 50 ≠ 38 = 209 mod 57

m=58: 164 mod 58 = 48 ≠ 35 = 209 mod 58

m=59: 164 mod 59 = 46 ≠ 32 = 209 mod 59

m=60: 164 mod 60 = 44 ≠ 29 = 209 mod 60

m=61: 164 mod 61 = 42 ≠ 26 = 209 mod 61

m=62: 164 mod 62 = 40 ≠ 23 = 209 mod 62

m=63: 164 mod 63 = 38 ≠ 20 = 209 mod 63

m=64: 164 mod 64 = 36 ≠ 17 = 209 mod 64

m=65: 164 mod 65 = 34 ≠ 14 = 209 mod 65

m=66: 164 mod 66 = 32 ≠ 11 = 209 mod 66

m=67: 164 mod 67 = 30 ≠ 8 = 209 mod 67

m=68: 164 mod 68 = 28 ≠ 5 = 209 mod 68

m=69: 164 mod 69 = 26 ≠ 2 = 209 mod 69

m=70: 164 mod 70 = 24 ≠ 69 = 209 mod 70

m=71: 164 mod 71 = 22 ≠ 67 = 209 mod 71

m=72: 164 mod 72 = 20 ≠ 65 = 209 mod 72

m=73: 164 mod 73 = 18 ≠ 63 = 209 mod 73

m=74: 164 mod 74 = 16 ≠ 61 = 209 mod 74

m=75: 164 mod 75 = 14 ≠ 59 = 209 mod 75

m=76: 164 mod 76 = 12 ≠ 57 = 209 mod 76

m=77: 164 mod 77 = 10 ≠ 55 = 209 mod 77

m=78: 164 mod 78 = 8 ≠ 53 = 209 mod 78

m=79: 164 mod 79 = 6 ≠ 51 = 209 mod 79

m=80: 164 mod 80 = 4 ≠ 49 = 209 mod 80

m=81: 164 mod 81 = 2 ≠ 47 = 209 mod 81

m=82: 164 mod 82 = 0 ≠ 45 = 209 mod 82

m=83: 164 mod 83 = 81 ≠ 43 = 209 mod 83

m=84: 164 mod 84 = 80 ≠ 41 = 209 mod 84

m=85: 164 mod 85 = 79 ≠ 39 = 209 mod 85

m=86: 164 mod 86 = 78 ≠ 37 = 209 mod 86

m=87: 164 mod 87 = 77 ≠ 35 = 209 mod 87

m=88: 164 mod 88 = 76 ≠ 33 = 209 mod 88

m=89: 164 mod 89 = 75 ≠ 31 = 209 mod 89

m=90: 164 mod 90 = 74 ≠ 29 = 209 mod 90

m=91: 164 mod 91 = 73 ≠ 27 = 209 mod 91

m=92: 164 mod 92 = 72 ≠ 25 = 209 mod 92

m=93: 164 mod 93 = 71 ≠ 23 = 209 mod 93

m=94: 164 mod 94 = 70 ≠ 21 = 209 mod 94

m=95: 164 mod 95 = 69 ≠ 19 = 209 mod 95

m=96: 164 mod 96 = 68 ≠ 17 = 209 mod 96

m=97: 164 mod 97 = 67 ≠ 15 = 209 mod 97

m=98: 164 mod 98 = 66 ≠ 13 = 209 mod 98

m=99: 164 mod 99 = 65 ≠ 11 = 209 mod 99

m=100: 164 mod 100 = 64 ≠ 9 = 209 mod 100

m=101: 164 mod 101 = 63 ≠ 7 = 209 mod 101

m=102: 164 mod 102 = 62 ≠ 5 = 209 mod 102

m=103: 164 mod 103 = 61 ≠ 3 = 209 mod 103

m=104: 164 mod 104 = 60 ≠ 1 = 209 mod 104

m=105: 164 mod 105 = 59 ≠ 104 = 209 mod 105

m=106: 164 mod 106 = 58 ≠ 103 = 209 mod 106

m=107: 164 mod 107 = 57 ≠ 102 = 209 mod 107

m=108: 164 mod 108 = 56 ≠ 101 = 209 mod 108

m=109: 164 mod 109 = 55 ≠ 100 = 209 mod 109

m=110: 164 mod 110 = 54 ≠ 99 = 209 mod 110

m=111: 164 mod 111 = 53 ≠ 98 = 209 mod 111

m=112: 164 mod 112 = 52 ≠ 97 = 209 mod 112

m=113: 164 mod 113 = 51 ≠ 96 = 209 mod 113

m=114: 164 mod 114 = 50 ≠ 95 = 209 mod 114

m=115: 164 mod 115 = 49 ≠ 94 = 209 mod 115

m=116: 164 mod 116 = 48 ≠ 93 = 209 mod 116

m=117: 164 mod 117 = 47 ≠ 92 = 209 mod 117

m=118: 164 mod 118 = 46 ≠ 91 = 209 mod 118

m=119: 164 mod 119 = 45 ≠ 90 = 209 mod 119

m=120: 164 mod 120 = 44 ≠ 89 = 209 mod 120

m=121: 164 mod 121 = 43 ≠ 88 = 209 mod 121

m=122: 164 mod 122 = 42 ≠ 87 = 209 mod 122

m=123: 164 mod 123 = 41 ≠ 86 = 209 mod 123

m=124: 164 mod 124 = 40 ≠ 85 = 209 mod 124

m=125: 164 mod 125 = 39 ≠ 84 = 209 mod 125

m=126: 164 mod 126 = 38 ≠ 83 = 209 mod 126

m=127: 164 mod 127 = 37 ≠ 82 = 209 mod 127

m=128: 164 mod 128 = 36 ≠ 81 = 209 mod 128

m=129: 164 mod 129 = 35 ≠ 80 = 209 mod 129

m=130: 164 mod 130 = 34 ≠ 79 = 209 mod 130

m=131: 164 mod 131 = 33 ≠ 78 = 209 mod 131

m=132: 164 mod 132 = 32 ≠ 77 = 209 mod 132

m=133: 164 mod 133 = 31 ≠ 76 = 209 mod 133

m=134: 164 mod 134 = 30 ≠ 75 = 209 mod 134

m=135: 164 mod 135 = 29 ≠ 74 = 209 mod 135

m=136: 164 mod 136 = 28 ≠ 73 = 209 mod 136

m=137: 164 mod 137 = 27 ≠ 72 = 209 mod 137

m=138: 164 mod 138 = 26 ≠ 71 = 209 mod 138

m=139: 164 mod 139 = 25 ≠ 70 = 209 mod 139

m=140: 164 mod 140 = 24 ≠ 69 = 209 mod 140

m=141: 164 mod 141 = 23 ≠ 68 = 209 mod 141

m=142: 164 mod 142 = 22 ≠ 67 = 209 mod 142

m=143: 164 mod 143 = 21 ≠ 66 = 209 mod 143

m=144: 164 mod 144 = 20 ≠ 65 = 209 mod 144

m=145: 164 mod 145 = 19 ≠ 64 = 209 mod 145

m=146: 164 mod 146 = 18 ≠ 63 = 209 mod 146

m=147: 164 mod 147 = 17 ≠ 62 = 209 mod 147

m=148: 164 mod 148 = 16 ≠ 61 = 209 mod 148

m=149: 164 mod 149 = 15 ≠ 60 = 209 mod 149

m=150: 164 mod 150 = 14 ≠ 59 = 209 mod 150

m=151: 164 mod 151 = 13 ≠ 58 = 209 mod 151

m=152: 164 mod 152 = 12 ≠ 57 = 209 mod 152

m=153: 164 mod 153 = 11 ≠ 56 = 209 mod 153

m=154: 164 mod 154 = 10 ≠ 55 = 209 mod 154

m=155: 164 mod 155 = 9 ≠ 54 = 209 mod 155

m=156: 164 mod 156 = 8 ≠ 53 = 209 mod 156

m=157: 164 mod 157 = 7 ≠ 52 = 209 mod 157

m=158: 164 mod 158 = 6 ≠ 51 = 209 mod 158

m=159: 164 mod 159 = 5 ≠ 50 = 209 mod 159

m=160: 164 mod 160 = 4 ≠ 49 = 209 mod 160

m=161: 164 mod 161 = 3 ≠ 48 = 209 mod 161

m=162: 164 mod 162 = 2 ≠ 47 = 209 mod 162

m=163: 164 mod 163 = 1 ≠ 46 = 209 mod 163

m=164: 164 mod 164 = 0 ≠ 45 = 209 mod 164

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (209 - 164) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45