Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 14, weil ja 2 ⋅ 7 = 14 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 15 - 14 = 1.

Somit gilt: 15 mod 7 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 24, weil ja 8 ⋅ 3 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 25 - 24 = 1.

Somit gilt: 25 mod 3 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 1 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 50, z.B. 51 = 17 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 1 mod 3 sein, also addieren wir noch 1 auf die 51 und erhalten so 52.

Somit gilt: 52 ≡ 25 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(13995 - 14004) mod 7 ≡ (13995 mod 7 - 14004 mod 7) mod 7.

13995 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13995 = 14000-5 = 7 ⋅ 2000 -5 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 2.

14004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14004 = 14000+4 = 7 ⋅ 2000 +4.

Somit gilt:

(13995 - 14004) mod 7 ≡ (2 - 4) mod 7 ≡ -2 mod 7 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(72 ⋅ 51) mod 8 ≡ (72 mod 8 ⋅ 51 mod 8) mod 8.

72 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 9 ⋅ 8 + 0 ist.

51 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 6 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(72 ⋅ 51) mod 8 ≡ (0 ⋅ 3) mod 8 ≡ 0 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 30 aus, ob zufällig 30 mod m = 38 mod m gilt:

m=2: 30 mod 2 = 0 = 0 = 38 mod 2

m=3: 30 mod 3 = 0 ≠ 2 = 38 mod 3

m=4: 30 mod 4 = 2 = 2 = 38 mod 4

m=5: 30 mod 5 = 0 ≠ 3 = 38 mod 5

m=6: 30 mod 6 = 0 ≠ 2 = 38 mod 6

m=7: 30 mod 7 = 2 ≠ 3 = 38 mod 7

m=8: 30 mod 8 = 6 = 6 = 38 mod 8

m=9: 30 mod 9 = 3 ≠ 2 = 38 mod 9

m=10: 30 mod 10 = 0 ≠ 8 = 38 mod 10

m=11: 30 mod 11 = 8 ≠ 5 = 38 mod 11

m=12: 30 mod 12 = 6 ≠ 2 = 38 mod 12

m=13: 30 mod 13 = 4 ≠ 12 = 38 mod 13

m=14: 30 mod 14 = 2 ≠ 10 = 38 mod 14

m=15: 30 mod 15 = 0 ≠ 8 = 38 mod 15

m=16: 30 mod 16 = 14 ≠ 6 = 38 mod 16

m=17: 30 mod 17 = 13 ≠ 4 = 38 mod 17

m=18: 30 mod 18 = 12 ≠ 2 = 38 mod 18

m=19: 30 mod 19 = 11 ≠ 0 = 38 mod 19

m=20: 30 mod 20 = 10 ≠ 18 = 38 mod 20

m=21: 30 mod 21 = 9 ≠ 17 = 38 mod 21

m=22: 30 mod 22 = 8 ≠ 16 = 38 mod 22

m=23: 30 mod 23 = 7 ≠ 15 = 38 mod 23

m=24: 30 mod 24 = 6 ≠ 14 = 38 mod 24

m=25: 30 mod 25 = 5 ≠ 13 = 38 mod 25

m=26: 30 mod 26 = 4 ≠ 12 = 38 mod 26

m=27: 30 mod 27 = 3 ≠ 11 = 38 mod 27

m=28: 30 mod 28 = 2 ≠ 10 = 38 mod 28

m=29: 30 mod 29 = 1 ≠ 9 = 38 mod 29

m=30: 30 mod 30 = 0 ≠ 8 = 38 mod 30

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (38 - 30) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8