Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 60, weil ja 12 ⋅ 5 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 60 - 60 = 0.

Somit gilt: 60 mod 5 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 68, weil ja 17 ⋅ 4 = 68 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 68 - 68 = 0.

Somit gilt: 68 mod 4 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 0 mod 4.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 50, z.B. 52 = 13 ⋅ 4

Somit gilt: 52 ≡ 68 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9999 + 24996) mod 5 ≡ (9999 mod 5 + 24996 mod 5) mod 5.

9999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9999 = 9000+999 = 5 ⋅ 1800 +999.

24996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24996 = 24000+996 = 5 ⋅ 4800 +996.

Somit gilt:

(9999 + 24996) mod 5 ≡ (4 + 1) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 59) mod 5 ≡ (62 mod 5 ⋅ 59 mod 5) mod 5.

62 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 12 ⋅ 5 + 2 ist.

59 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 55 + 4 = 11 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 59) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 28 aus, ob zufällig 28 mod m = 37 mod m gilt:

m=2: 28 mod 2 = 0 ≠ 1 = 37 mod 2

m=3: 28 mod 3 = 1 = 1 = 37 mod 3

m=4: 28 mod 4 = 0 ≠ 1 = 37 mod 4

m=5: 28 mod 5 = 3 ≠ 2 = 37 mod 5

m=6: 28 mod 6 = 4 ≠ 1 = 37 mod 6

m=7: 28 mod 7 = 0 ≠ 2 = 37 mod 7

m=8: 28 mod 8 = 4 ≠ 5 = 37 mod 8

m=9: 28 mod 9 = 1 = 1 = 37 mod 9

m=10: 28 mod 10 = 8 ≠ 7 = 37 mod 10

m=11: 28 mod 11 = 6 ≠ 4 = 37 mod 11

m=12: 28 mod 12 = 4 ≠ 1 = 37 mod 12

m=13: 28 mod 13 = 2 ≠ 11 = 37 mod 13

m=14: 28 mod 14 = 0 ≠ 9 = 37 mod 14

m=15: 28 mod 15 = 13 ≠ 7 = 37 mod 15

m=16: 28 mod 16 = 12 ≠ 5 = 37 mod 16

m=17: 28 mod 17 = 11 ≠ 3 = 37 mod 17

m=18: 28 mod 18 = 10 ≠ 1 = 37 mod 18

m=19: 28 mod 19 = 9 ≠ 18 = 37 mod 19

m=20: 28 mod 20 = 8 ≠ 17 = 37 mod 20

m=21: 28 mod 21 = 7 ≠ 16 = 37 mod 21

m=22: 28 mod 22 = 6 ≠ 15 = 37 mod 22

m=23: 28 mod 23 = 5 ≠ 14 = 37 mod 23

m=24: 28 mod 24 = 4 ≠ 13 = 37 mod 24

m=25: 28 mod 25 = 3 ≠ 12 = 37 mod 25

m=26: 28 mod 26 = 2 ≠ 11 = 37 mod 26

m=27: 28 mod 27 = 1 ≠ 10 = 37 mod 27

m=28: 28 mod 28 = 0 ≠ 9 = 37 mod 28

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (37 - 28) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9