Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 72, weil ja 18 ⋅ 4 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 74 - 72 = 2.

Somit gilt: 74 mod 4 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 22, weil ja 2 ⋅ 11 = 22 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 27 - 22 = 5.

Somit gilt: 27 mod 11 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 91 für die gilt: n ≡ 5 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 80, z.B. 77 = 7 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 5 mod 11 sein, also addieren wir noch 5 auf die 77 und erhalten so 82.

Somit gilt: 82 ≡ 27 ≡ 5 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(160 + 80) mod 4 ≡ (160 mod 4 + 80 mod 4) mod 4.

160 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160 = 160+0 = 4 ⋅ 40 +0.

80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80+0 = 4 ⋅ 20 +0.

Somit gilt:

(160 + 80) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 27) mod 9 ≡ (33 mod 9 ⋅ 27 mod 9) mod 9.

33 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 27 + 6 = 3 ⋅ 9 + 6 ist.

27 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 27 + 0 = 3 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 27) mod 9 ≡ (6 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 28 aus, ob zufällig 28 mod m = 37 mod m gilt:

m=2: 28 mod 2 = 0 ≠ 1 = 37 mod 2

m=3: 28 mod 3 = 1 = 1 = 37 mod 3

m=4: 28 mod 4 = 0 ≠ 1 = 37 mod 4

m=5: 28 mod 5 = 3 ≠ 2 = 37 mod 5

m=6: 28 mod 6 = 4 ≠ 1 = 37 mod 6

m=7: 28 mod 7 = 0 ≠ 2 = 37 mod 7

m=8: 28 mod 8 = 4 ≠ 5 = 37 mod 8

m=9: 28 mod 9 = 1 = 1 = 37 mod 9

m=10: 28 mod 10 = 8 ≠ 7 = 37 mod 10

m=11: 28 mod 11 = 6 ≠ 4 = 37 mod 11

m=12: 28 mod 12 = 4 ≠ 1 = 37 mod 12

m=13: 28 mod 13 = 2 ≠ 11 = 37 mod 13

m=14: 28 mod 14 = 0 ≠ 9 = 37 mod 14

m=15: 28 mod 15 = 13 ≠ 7 = 37 mod 15

m=16: 28 mod 16 = 12 ≠ 5 = 37 mod 16

m=17: 28 mod 17 = 11 ≠ 3 = 37 mod 17

m=18: 28 mod 18 = 10 ≠ 1 = 37 mod 18

m=19: 28 mod 19 = 9 ≠ 18 = 37 mod 19

m=20: 28 mod 20 = 8 ≠ 17 = 37 mod 20

m=21: 28 mod 21 = 7 ≠ 16 = 37 mod 21

m=22: 28 mod 22 = 6 ≠ 15 = 37 mod 22

m=23: 28 mod 23 = 5 ≠ 14 = 37 mod 23

m=24: 28 mod 24 = 4 ≠ 13 = 37 mod 24

m=25: 28 mod 25 = 3 ≠ 12 = 37 mod 25

m=26: 28 mod 26 = 2 ≠ 11 = 37 mod 26

m=27: 28 mod 27 = 1 ≠ 10 = 37 mod 27

m=28: 28 mod 28 = 0 ≠ 9 = 37 mod 28

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (37 - 28) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9