Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 16, weil ja 4 ⋅ 4 = 16 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 18 - 16 = 2.

Somit gilt: 18 mod 4 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 49, weil ja 7 ⋅ 7 = 49 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 54 - 49 = 5.

Somit gilt: 54 mod 7 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 5 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 40, z.B. 35 = 5 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 5 mod 7 sein, also addieren wir noch 5 auf die 35 und erhalten so 40.

Somit gilt: 40 ≡ 54 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25005 - 20000) mod 5 ≡ (25005 mod 5 - 20000 mod 5) mod 5.

25005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25005 = 25000+5 = 5 ⋅ 5000 +5.

20000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000 = 20000+0 = 5 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(25005 - 20000) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 81) mod 10 ≡ (33 mod 10 ⋅ 81 mod 10) mod 10.

33 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 3 ⋅ 10 + 3 ist.

81 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 8 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 81) mod 10 ≡ (3 ⋅ 1) mod 10 ≡ 3 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 27 aus, ob zufällig 27 mod m = 37 mod m gilt:

m=2: 27 mod 2 = 1 = 1 = 37 mod 2

m=3: 27 mod 3 = 0 ≠ 1 = 37 mod 3

m=4: 27 mod 4 = 3 ≠ 1 = 37 mod 4

m=5: 27 mod 5 = 2 = 2 = 37 mod 5

m=6: 27 mod 6 = 3 ≠ 1 = 37 mod 6

m=7: 27 mod 7 = 6 ≠ 2 = 37 mod 7

m=8: 27 mod 8 = 3 ≠ 5 = 37 mod 8

m=9: 27 mod 9 = 0 ≠ 1 = 37 mod 9

m=10: 27 mod 10 = 7 = 7 = 37 mod 10

m=11: 27 mod 11 = 5 ≠ 4 = 37 mod 11

m=12: 27 mod 12 = 3 ≠ 1 = 37 mod 12

m=13: 27 mod 13 = 1 ≠ 11 = 37 mod 13

m=14: 27 mod 14 = 13 ≠ 9 = 37 mod 14

m=15: 27 mod 15 = 12 ≠ 7 = 37 mod 15

m=16: 27 mod 16 = 11 ≠ 5 = 37 mod 16

m=17: 27 mod 17 = 10 ≠ 3 = 37 mod 17

m=18: 27 mod 18 = 9 ≠ 1 = 37 mod 18

m=19: 27 mod 19 = 8 ≠ 18 = 37 mod 19

m=20: 27 mod 20 = 7 ≠ 17 = 37 mod 20

m=21: 27 mod 21 = 6 ≠ 16 = 37 mod 21

m=22: 27 mod 22 = 5 ≠ 15 = 37 mod 22

m=23: 27 mod 23 = 4 ≠ 14 = 37 mod 23

m=24: 27 mod 24 = 3 ≠ 13 = 37 mod 24

m=25: 27 mod 25 = 2 ≠ 12 = 37 mod 25

m=26: 27 mod 26 = 1 ≠ 11 = 37 mod 26

m=27: 27 mod 27 = 0 ≠ 10 = 37 mod 27

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (37 - 27) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10