Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 77, weil ja 11 ⋅ 7 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 77 - 77 = 0.

Somit gilt: 77 mod 7 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 63, weil ja 9 ⋅ 7 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 67 - 63 = 4.

Somit gilt: 67 mod 7 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 4 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 30, z.B. 28 = 4 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 4 mod 7 sein, also addieren wir noch 4 auf die 28 und erhalten so 32.

Somit gilt: 32 ≡ 67 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(458 - 17992) mod 9 ≡ (458 mod 9 - 17992 mod 9) mod 9.

458 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 458 = 450+8 = 9 ⋅ 50 +8.

17992 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17992 = 18000-8 = 9 ⋅ 2000 -8 = 9 ⋅ 2000 - 9 + 1.

Somit gilt:

(458 - 17992) mod 9 ≡ (8 - 1) mod 9 ≡ 7 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39 ⋅ 30) mod 3 ≡ (39 mod 3 ⋅ 30 mod 3) mod 3.

39 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 39 + 0 = 13 ⋅ 3 + 0 ist.

30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 10 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(39 ⋅ 30) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 27 aus, ob zufällig 27 mod m = 36 mod m gilt:

m=2: 27 mod 2 = 1 ≠ 0 = 36 mod 2

m=3: 27 mod 3 = 0 = 0 = 36 mod 3

m=4: 27 mod 4 = 3 ≠ 0 = 36 mod 4

m=5: 27 mod 5 = 2 ≠ 1 = 36 mod 5

m=6: 27 mod 6 = 3 ≠ 0 = 36 mod 6

m=7: 27 mod 7 = 6 ≠ 1 = 36 mod 7

m=8: 27 mod 8 = 3 ≠ 4 = 36 mod 8

m=9: 27 mod 9 = 0 = 0 = 36 mod 9

m=10: 27 mod 10 = 7 ≠ 6 = 36 mod 10

m=11: 27 mod 11 = 5 ≠ 3 = 36 mod 11

m=12: 27 mod 12 = 3 ≠ 0 = 36 mod 12

m=13: 27 mod 13 = 1 ≠ 10 = 36 mod 13

m=14: 27 mod 14 = 13 ≠ 8 = 36 mod 14

m=15: 27 mod 15 = 12 ≠ 6 = 36 mod 15

m=16: 27 mod 16 = 11 ≠ 4 = 36 mod 16

m=17: 27 mod 17 = 10 ≠ 2 = 36 mod 17

m=18: 27 mod 18 = 9 ≠ 0 = 36 mod 18

m=19: 27 mod 19 = 8 ≠ 17 = 36 mod 19

m=20: 27 mod 20 = 7 ≠ 16 = 36 mod 20

m=21: 27 mod 21 = 6 ≠ 15 = 36 mod 21

m=22: 27 mod 22 = 5 ≠ 14 = 36 mod 22

m=23: 27 mod 23 = 4 ≠ 13 = 36 mod 23

m=24: 27 mod 24 = 3 ≠ 12 = 36 mod 24

m=25: 27 mod 25 = 2 ≠ 11 = 36 mod 25

m=26: 27 mod 26 = 1 ≠ 10 = 36 mod 26

m=27: 27 mod 27 = 0 ≠ 9 = 36 mod 27

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (36 - 27) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9