Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 45, weil ja 15 ⋅ 3 = 45 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 46 - 45 = 1.

Somit gilt: 46 mod 3 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 96, weil ja 16 ⋅ 6 = 96 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 96 - 96 = 0.

Somit gilt: 96 mod 6 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 0 mod 6.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 5 ⋅ 6

Somit gilt: 30 ≡ 96 ≡ 0 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(401 - 20003) mod 4 ≡ (401 mod 4 - 20003 mod 4) mod 4.

401 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 401 = 400+1 = 4 ⋅ 100 +1.

20003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20003 = 20000+3 = 4 ⋅ 5000 +3.

Somit gilt:

(401 - 20003) mod 4 ≡ (1 - 3) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 36) mod 10 ≡ (58 mod 10 ⋅ 36 mod 10) mod 10.

58 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 50 + 8 = 5 ⋅ 10 + 8 ist.

36 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 30 + 6 = 3 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 36) mod 10 ≡ (8 ⋅ 6) mod 10 ≡ 48 mod 10 ≡ 8 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 25 aus, ob zufällig 25 mod m = 35 mod m gilt:

m=2: 25 mod 2 = 1 = 1 = 35 mod 2

m=3: 25 mod 3 = 1 ≠ 2 = 35 mod 3

m=4: 25 mod 4 = 1 ≠ 3 = 35 mod 4

m=5: 25 mod 5 = 0 = 0 = 35 mod 5

m=6: 25 mod 6 = 1 ≠ 5 = 35 mod 6

m=7: 25 mod 7 = 4 ≠ 0 = 35 mod 7

m=8: 25 mod 8 = 1 ≠ 3 = 35 mod 8

m=9: 25 mod 9 = 7 ≠ 8 = 35 mod 9

m=10: 25 mod 10 = 5 = 5 = 35 mod 10

m=11: 25 mod 11 = 3 ≠ 2 = 35 mod 11

m=12: 25 mod 12 = 1 ≠ 11 = 35 mod 12

m=13: 25 mod 13 = 12 ≠ 9 = 35 mod 13

m=14: 25 mod 14 = 11 ≠ 7 = 35 mod 14

m=15: 25 mod 15 = 10 ≠ 5 = 35 mod 15

m=16: 25 mod 16 = 9 ≠ 3 = 35 mod 16

m=17: 25 mod 17 = 8 ≠ 1 = 35 mod 17

m=18: 25 mod 18 = 7 ≠ 17 = 35 mod 18

m=19: 25 mod 19 = 6 ≠ 16 = 35 mod 19

m=20: 25 mod 20 = 5 ≠ 15 = 35 mod 20

m=21: 25 mod 21 = 4 ≠ 14 = 35 mod 21

m=22: 25 mod 22 = 3 ≠ 13 = 35 mod 22

m=23: 25 mod 23 = 2 ≠ 12 = 35 mod 23

m=24: 25 mod 24 = 1 ≠ 11 = 35 mod 24

m=25: 25 mod 25 = 0 ≠ 10 = 35 mod 25

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (35 - 25) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10