Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 88, weil ja 11 ⋅ 8 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 95 - 88 = 7.

Somit gilt: 95 mod 8 ≡ 7.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 91 - 88 = 3.

Somit gilt: 91 mod 11 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 91 für die gilt: n ≡ 3 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 80, z.B. 77 = 7 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 3 mod 11 sein, also addieren wir noch 3 auf die 77 und erhalten so 80.

Somit gilt: 80 ≡ 91 ≡ 3 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(238 - 2394) mod 8 ≡ (238 mod 8 - 2394 mod 8) mod 8.

238 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 238 = 240-2 = 8 ⋅ 30 -2 = 8 ⋅ 30 - 8 + 6.

2394 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2394 = 2400-6 = 8 ⋅ 300 -6 = 8 ⋅ 300 - 8 + 2.

Somit gilt:

(238 - 2394) mod 8 ≡ (6 - 2) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 47) mod 7 ≡ (58 mod 7 ⋅ 47 mod 7) mod 7.

58 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 8 ⋅ 7 + 2 ist.

47 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 6 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 47) mod 7 ≡ (2 ⋅ 5) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 90 aus, ob zufällig 90 mod m = 117 mod m gilt:

m=2: 90 mod 2 = 0 ≠ 1 = 117 mod 2

m=3: 90 mod 3 = 0 = 0 = 117 mod 3

m=4: 90 mod 4 = 2 ≠ 1 = 117 mod 4

m=5: 90 mod 5 = 0 ≠ 2 = 117 mod 5

m=6: 90 mod 6 = 0 ≠ 3 = 117 mod 6

m=7: 90 mod 7 = 6 ≠ 5 = 117 mod 7

m=8: 90 mod 8 = 2 ≠ 5 = 117 mod 8

m=9: 90 mod 9 = 0 = 0 = 117 mod 9

m=10: 90 mod 10 = 0 ≠ 7 = 117 mod 10

m=11: 90 mod 11 = 2 ≠ 7 = 117 mod 11

m=12: 90 mod 12 = 6 ≠ 9 = 117 mod 12

m=13: 90 mod 13 = 12 ≠ 0 = 117 mod 13

m=14: 90 mod 14 = 6 ≠ 5 = 117 mod 14

m=15: 90 mod 15 = 0 ≠ 12 = 117 mod 15

m=16: 90 mod 16 = 10 ≠ 5 = 117 mod 16

m=17: 90 mod 17 = 5 ≠ 15 = 117 mod 17

m=18: 90 mod 18 = 0 ≠ 9 = 117 mod 18

m=19: 90 mod 19 = 14 ≠ 3 = 117 mod 19

m=20: 90 mod 20 = 10 ≠ 17 = 117 mod 20

m=21: 90 mod 21 = 6 ≠ 12 = 117 mod 21

m=22: 90 mod 22 = 2 ≠ 7 = 117 mod 22

m=23: 90 mod 23 = 21 ≠ 2 = 117 mod 23

m=24: 90 mod 24 = 18 ≠ 21 = 117 mod 24

m=25: 90 mod 25 = 15 ≠ 17 = 117 mod 25

m=26: 90 mod 26 = 12 ≠ 13 = 117 mod 26

m=27: 90 mod 27 = 9 = 9 = 117 mod 27

m=28: 90 mod 28 = 6 ≠ 5 = 117 mod 28

m=29: 90 mod 29 = 3 ≠ 1 = 117 mod 29

m=30: 90 mod 30 = 0 ≠ 27 = 117 mod 30

m=31: 90 mod 31 = 28 ≠ 24 = 117 mod 31

m=32: 90 mod 32 = 26 ≠ 21 = 117 mod 32

m=33: 90 mod 33 = 24 ≠ 18 = 117 mod 33

m=34: 90 mod 34 = 22 ≠ 15 = 117 mod 34

m=35: 90 mod 35 = 20 ≠ 12 = 117 mod 35

m=36: 90 mod 36 = 18 ≠ 9 = 117 mod 36

m=37: 90 mod 37 = 16 ≠ 6 = 117 mod 37

m=38: 90 mod 38 = 14 ≠ 3 = 117 mod 38

m=39: 90 mod 39 = 12 ≠ 0 = 117 mod 39

m=40: 90 mod 40 = 10 ≠ 37 = 117 mod 40

m=41: 90 mod 41 = 8 ≠ 35 = 117 mod 41

m=42: 90 mod 42 = 6 ≠ 33 = 117 mod 42

m=43: 90 mod 43 = 4 ≠ 31 = 117 mod 43

m=44: 90 mod 44 = 2 ≠ 29 = 117 mod 44

m=45: 90 mod 45 = 0 ≠ 27 = 117 mod 45

m=46: 90 mod 46 = 44 ≠ 25 = 117 mod 46

m=47: 90 mod 47 = 43 ≠ 23 = 117 mod 47

m=48: 90 mod 48 = 42 ≠ 21 = 117 mod 48

m=49: 90 mod 49 = 41 ≠ 19 = 117 mod 49

m=50: 90 mod 50 = 40 ≠ 17 = 117 mod 50

m=51: 90 mod 51 = 39 ≠ 15 = 117 mod 51

m=52: 90 mod 52 = 38 ≠ 13 = 117 mod 52

m=53: 90 mod 53 = 37 ≠ 11 = 117 mod 53

m=54: 90 mod 54 = 36 ≠ 9 = 117 mod 54

m=55: 90 mod 55 = 35 ≠ 7 = 117 mod 55

m=56: 90 mod 56 = 34 ≠ 5 = 117 mod 56

m=57: 90 mod 57 = 33 ≠ 3 = 117 mod 57

m=58: 90 mod 58 = 32 ≠ 1 = 117 mod 58

m=59: 90 mod 59 = 31 ≠ 58 = 117 mod 59

m=60: 90 mod 60 = 30 ≠ 57 = 117 mod 60

m=61: 90 mod 61 = 29 ≠ 56 = 117 mod 61

m=62: 90 mod 62 = 28 ≠ 55 = 117 mod 62

m=63: 90 mod 63 = 27 ≠ 54 = 117 mod 63

m=64: 90 mod 64 = 26 ≠ 53 = 117 mod 64

m=65: 90 mod 65 = 25 ≠ 52 = 117 mod 65

m=66: 90 mod 66 = 24 ≠ 51 = 117 mod 66

m=67: 90 mod 67 = 23 ≠ 50 = 117 mod 67

m=68: 90 mod 68 = 22 ≠ 49 = 117 mod 68

m=69: 90 mod 69 = 21 ≠ 48 = 117 mod 69

m=70: 90 mod 70 = 20 ≠ 47 = 117 mod 70

m=71: 90 mod 71 = 19 ≠ 46 = 117 mod 71

m=72: 90 mod 72 = 18 ≠ 45 = 117 mod 72

m=73: 90 mod 73 = 17 ≠ 44 = 117 mod 73

m=74: 90 mod 74 = 16 ≠ 43 = 117 mod 74

m=75: 90 mod 75 = 15 ≠ 42 = 117 mod 75

m=76: 90 mod 76 = 14 ≠ 41 = 117 mod 76

m=77: 90 mod 77 = 13 ≠ 40 = 117 mod 77

m=78: 90 mod 78 = 12 ≠ 39 = 117 mod 78

m=79: 90 mod 79 = 11 ≠ 38 = 117 mod 79

m=80: 90 mod 80 = 10 ≠ 37 = 117 mod 80

m=81: 90 mod 81 = 9 ≠ 36 = 117 mod 81

m=82: 90 mod 82 = 8 ≠ 35 = 117 mod 82

m=83: 90 mod 83 = 7 ≠ 34 = 117 mod 83

m=84: 90 mod 84 = 6 ≠ 33 = 117 mod 84

m=85: 90 mod 85 = 5 ≠ 32 = 117 mod 85

m=86: 90 mod 86 = 4 ≠ 31 = 117 mod 86

m=87: 90 mod 87 = 3 ≠ 30 = 117 mod 87

m=88: 90 mod 88 = 2 ≠ 29 = 117 mod 88

m=89: 90 mod 89 = 1 ≠ 28 = 117 mod 89

m=90: 90 mod 90 = 0 ≠ 27 = 117 mod 90

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (117 - 90) = 27 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9; 27