Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 15 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 8, weil ja 1 ⋅ 8 = 8 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 15 - 8 = 7.
Somit gilt: 15 mod 8 ≡ 7.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 100 für die gilt n ≡ 62 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 60, weil ja 6 ⋅ 10 = 60 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 62 - 60 = 2.
Somit gilt: 62 mod 10 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 100 für die gilt: n ≡ 2 mod 10.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 9 ⋅ 10
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 2 mod 10 sein, also addieren wir noch 2 auf die 90 und erhalten so 92.
Somit gilt: 92 ≡ 62 ≡ 2 mod 10.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8998 - 27000) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8998 - 27000) mod 9 ≡ (8998 mod 9 - 27000 mod 9) mod 9.
8998 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8998
= 9000
27000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27000
= 27000
Somit gilt:
(8998 - 27000) mod 9 ≡ (7 - 0) mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 19) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(48 ⋅ 19) mod 11 ≡ (48 mod 11 ⋅ 19 mod 11) mod 11.
48 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 44 + 4 = 4 ⋅ 11 + 4 ist.
19 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 11 + 8 = 1 ⋅ 11 + 8 ist.
Somit gilt:
(48 ⋅ 19) mod 11 ≡ (4 ⋅ 8) mod 11 ≡ 32 mod 11 ≡ 10 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
17 mod m = 23 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 17 aus, ob zufällig 17 mod m = 23 mod m gilt:
m=2: 17 mod 2 = 1 = 1 = 23 mod 2
m=3: 17 mod 3 = 2 = 2 = 23 mod 3
m=4: 17 mod 4 = 1 ≠ 3 = 23 mod 4
m=5: 17 mod 5 = 2 ≠ 3 = 23 mod 5
m=6: 17 mod 6 = 5 = 5 = 23 mod 6
m=7: 17 mod 7 = 3 ≠ 2 = 23 mod 7
m=8: 17 mod 8 = 1 ≠ 7 = 23 mod 8
m=9: 17 mod 9 = 8 ≠ 5 = 23 mod 9
m=10: 17 mod 10 = 7 ≠ 3 = 23 mod 10
m=11: 17 mod 11 = 6 ≠ 1 = 23 mod 11
m=12: 17 mod 12 = 5 ≠ 11 = 23 mod 12
m=13: 17 mod 13 = 4 ≠ 10 = 23 mod 13
m=14: 17 mod 14 = 3 ≠ 9 = 23 mod 14
m=15: 17 mod 15 = 2 ≠ 8 = 23 mod 15
m=16: 17 mod 16 = 1 ≠ 7 = 23 mod 16
m=17: 17 mod 17 = 0 ≠ 6 = 23 mod 17
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (23 - 17) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
