Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 80, weil ja 10 ⋅ 8 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 84 - 80 = 4.

Somit gilt: 84 mod 8 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 84, weil ja 21 ⋅ 4 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 86 - 84 = 2.

Somit gilt: 86 mod 4 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 2 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 15 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 2 mod 4 sein, also addieren wir noch 2 auf die 60 und erhalten so 62.

Somit gilt: 62 ≡ 86 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2406 - 2996) mod 6 ≡ (2406 mod 6 - 2996 mod 6) mod 6.

2406 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2406 = 2400+6 = 6 ⋅ 400 +6.

2996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2996 = 3000-4 = 6 ⋅ 500 -4 = 6 ⋅ 500 - 6 + 2.

Somit gilt:

(2406 - 2996) mod 6 ≡ (0 - 2) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 57) mod 4 ≡ (84 mod 4 ⋅ 57 mod 4) mod 4.

84 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 21 ⋅ 4 + 0 ist.

57 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 14 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 57) mod 4 ≡ (0 ⋅ 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 90 aus, ob zufällig 90 mod m = 120 mod m gilt:

m=2: 90 mod 2 = 0 = 0 = 120 mod 2

m=3: 90 mod 3 = 0 = 0 = 120 mod 3

m=4: 90 mod 4 = 2 ≠ 0 = 120 mod 4

m=5: 90 mod 5 = 0 = 0 = 120 mod 5

m=6: 90 mod 6 = 0 = 0 = 120 mod 6

m=7: 90 mod 7 = 6 ≠ 1 = 120 mod 7

m=8: 90 mod 8 = 2 ≠ 0 = 120 mod 8

m=9: 90 mod 9 = 0 ≠ 3 = 120 mod 9

m=10: 90 mod 10 = 0 = 0 = 120 mod 10

m=11: 90 mod 11 = 2 ≠ 10 = 120 mod 11

m=12: 90 mod 12 = 6 ≠ 0 = 120 mod 12

m=13: 90 mod 13 = 12 ≠ 3 = 120 mod 13

m=14: 90 mod 14 = 6 ≠ 8 = 120 mod 14

m=15: 90 mod 15 = 0 = 0 = 120 mod 15

m=16: 90 mod 16 = 10 ≠ 8 = 120 mod 16

m=17: 90 mod 17 = 5 ≠ 1 = 120 mod 17

m=18: 90 mod 18 = 0 ≠ 12 = 120 mod 18

m=19: 90 mod 19 = 14 ≠ 6 = 120 mod 19

m=20: 90 mod 20 = 10 ≠ 0 = 120 mod 20

m=21: 90 mod 21 = 6 ≠ 15 = 120 mod 21

m=22: 90 mod 22 = 2 ≠ 10 = 120 mod 22

m=23: 90 mod 23 = 21 ≠ 5 = 120 mod 23

m=24: 90 mod 24 = 18 ≠ 0 = 120 mod 24

m=25: 90 mod 25 = 15 ≠ 20 = 120 mod 25

m=26: 90 mod 26 = 12 ≠ 16 = 120 mod 26

m=27: 90 mod 27 = 9 ≠ 12 = 120 mod 27

m=28: 90 mod 28 = 6 ≠ 8 = 120 mod 28

m=29: 90 mod 29 = 3 ≠ 4 = 120 mod 29

m=30: 90 mod 30 = 0 = 0 = 120 mod 30

m=31: 90 mod 31 = 28 ≠ 27 = 120 mod 31

m=32: 90 mod 32 = 26 ≠ 24 = 120 mod 32

m=33: 90 mod 33 = 24 ≠ 21 = 120 mod 33

m=34: 90 mod 34 = 22 ≠ 18 = 120 mod 34

m=35: 90 mod 35 = 20 ≠ 15 = 120 mod 35

m=36: 90 mod 36 = 18 ≠ 12 = 120 mod 36

m=37: 90 mod 37 = 16 ≠ 9 = 120 mod 37

m=38: 90 mod 38 = 14 ≠ 6 = 120 mod 38

m=39: 90 mod 39 = 12 ≠ 3 = 120 mod 39

m=40: 90 mod 40 = 10 ≠ 0 = 120 mod 40

m=41: 90 mod 41 = 8 ≠ 38 = 120 mod 41

m=42: 90 mod 42 = 6 ≠ 36 = 120 mod 42

m=43: 90 mod 43 = 4 ≠ 34 = 120 mod 43

m=44: 90 mod 44 = 2 ≠ 32 = 120 mod 44

m=45: 90 mod 45 = 0 ≠ 30 = 120 mod 45

m=46: 90 mod 46 = 44 ≠ 28 = 120 mod 46

m=47: 90 mod 47 = 43 ≠ 26 = 120 mod 47

m=48: 90 mod 48 = 42 ≠ 24 = 120 mod 48

m=49: 90 mod 49 = 41 ≠ 22 = 120 mod 49

m=50: 90 mod 50 = 40 ≠ 20 = 120 mod 50

m=51: 90 mod 51 = 39 ≠ 18 = 120 mod 51

m=52: 90 mod 52 = 38 ≠ 16 = 120 mod 52

m=53: 90 mod 53 = 37 ≠ 14 = 120 mod 53

m=54: 90 mod 54 = 36 ≠ 12 = 120 mod 54

m=55: 90 mod 55 = 35 ≠ 10 = 120 mod 55

m=56: 90 mod 56 = 34 ≠ 8 = 120 mod 56

m=57: 90 mod 57 = 33 ≠ 6 = 120 mod 57

m=58: 90 mod 58 = 32 ≠ 4 = 120 mod 58

m=59: 90 mod 59 = 31 ≠ 2 = 120 mod 59

m=60: 90 mod 60 = 30 ≠ 0 = 120 mod 60

m=61: 90 mod 61 = 29 ≠ 59 = 120 mod 61

m=62: 90 mod 62 = 28 ≠ 58 = 120 mod 62

m=63: 90 mod 63 = 27 ≠ 57 = 120 mod 63

m=64: 90 mod 64 = 26 ≠ 56 = 120 mod 64

m=65: 90 mod 65 = 25 ≠ 55 = 120 mod 65

m=66: 90 mod 66 = 24 ≠ 54 = 120 mod 66

m=67: 90 mod 67 = 23 ≠ 53 = 120 mod 67

m=68: 90 mod 68 = 22 ≠ 52 = 120 mod 68

m=69: 90 mod 69 = 21 ≠ 51 = 120 mod 69

m=70: 90 mod 70 = 20 ≠ 50 = 120 mod 70

m=71: 90 mod 71 = 19 ≠ 49 = 120 mod 71

m=72: 90 mod 72 = 18 ≠ 48 = 120 mod 72

m=73: 90 mod 73 = 17 ≠ 47 = 120 mod 73

m=74: 90 mod 74 = 16 ≠ 46 = 120 mod 74

m=75: 90 mod 75 = 15 ≠ 45 = 120 mod 75

m=76: 90 mod 76 = 14 ≠ 44 = 120 mod 76

m=77: 90 mod 77 = 13 ≠ 43 = 120 mod 77

m=78: 90 mod 78 = 12 ≠ 42 = 120 mod 78

m=79: 90 mod 79 = 11 ≠ 41 = 120 mod 79

m=80: 90 mod 80 = 10 ≠ 40 = 120 mod 80

m=81: 90 mod 81 = 9 ≠ 39 = 120 mod 81

m=82: 90 mod 82 = 8 ≠ 38 = 120 mod 82

m=83: 90 mod 83 = 7 ≠ 37 = 120 mod 83

m=84: 90 mod 84 = 6 ≠ 36 = 120 mod 84

m=85: 90 mod 85 = 5 ≠ 35 = 120 mod 85

m=86: 90 mod 86 = 4 ≠ 34 = 120 mod 86

m=87: 90 mod 87 = 3 ≠ 33 = 120 mod 87

m=88: 90 mod 88 = 2 ≠ 32 = 120 mod 88

m=89: 90 mod 89 = 1 ≠ 31 = 120 mod 89

m=90: 90 mod 90 = 0 ≠ 30 = 120 mod 90

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (120 - 90) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30