Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 72, weil ja 12 ⋅ 6 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 74 - 72 = 2.

Somit gilt: 74 mod 6 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 87 - 77 = 10.

Somit gilt: 87 mod 11 ≡ 10.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 81 für die gilt: n ≡ 10 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 70, z.B. 66 = 6 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 10 mod 11 sein, also addieren wir noch 10 auf die 66 und erhalten so 76.

Somit gilt: 76 ≡ 87 ≡ 10 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8996 + 1802) mod 9 ≡ (8996 mod 9 + 1802 mod 9) mod 9.

8996 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8996 = 9000-4 = 9 ⋅ 1000 -4 = 9 ⋅ 1000 - 9 + 5.

1802 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1802 = 1800+2 = 9 ⋅ 200 +2.

Somit gilt:

(8996 + 1802) mod 9 ≡ (5 + 2) mod 9 ≡ 7 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 79) mod 5 ≡ (100 mod 5 ⋅ 79 mod 5) mod 5.

100 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 20 ⋅ 5 + 0 ist.

79 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 75 + 4 = 15 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 79) mod 5 ≡ (0 ⋅ 4) mod 5 ≡ 0 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 257 aus, ob zufällig 257 mod m = 332 mod m gilt:

m=2: 257 mod 2 = 1 ≠ 0 = 332 mod 2

m=3: 257 mod 3 = 2 = 2 = 332 mod 3

m=4: 257 mod 4 = 1 ≠ 0 = 332 mod 4

m=5: 257 mod 5 = 2 = 2 = 332 mod 5

m=6: 257 mod 6 = 5 ≠ 2 = 332 mod 6

m=7: 257 mod 7 = 5 ≠ 3 = 332 mod 7

m=8: 257 mod 8 = 1 ≠ 4 = 332 mod 8

m=9: 257 mod 9 = 5 ≠ 8 = 332 mod 9

m=10: 257 mod 10 = 7 ≠ 2 = 332 mod 10

m=11: 257 mod 11 = 4 ≠ 2 = 332 mod 11

m=12: 257 mod 12 = 5 ≠ 8 = 332 mod 12

m=13: 257 mod 13 = 10 ≠ 7 = 332 mod 13

m=14: 257 mod 14 = 5 ≠ 10 = 332 mod 14

m=15: 257 mod 15 = 2 = 2 = 332 mod 15

m=16: 257 mod 16 = 1 ≠ 12 = 332 mod 16

m=17: 257 mod 17 = 2 ≠ 9 = 332 mod 17

m=18: 257 mod 18 = 5 ≠ 8 = 332 mod 18

m=19: 257 mod 19 = 10 ≠ 9 = 332 mod 19

m=20: 257 mod 20 = 17 ≠ 12 = 332 mod 20

m=21: 257 mod 21 = 5 ≠ 17 = 332 mod 21

m=22: 257 mod 22 = 15 ≠ 2 = 332 mod 22

m=23: 257 mod 23 = 4 ≠ 10 = 332 mod 23

m=24: 257 mod 24 = 17 ≠ 20 = 332 mod 24

m=25: 257 mod 25 = 7 = 7 = 332 mod 25

m=26: 257 mod 26 = 23 ≠ 20 = 332 mod 26

m=27: 257 mod 27 = 14 ≠ 8 = 332 mod 27

m=28: 257 mod 28 = 5 ≠ 24 = 332 mod 28

m=29: 257 mod 29 = 25 ≠ 13 = 332 mod 29

m=30: 257 mod 30 = 17 ≠ 2 = 332 mod 30

m=31: 257 mod 31 = 9 ≠ 22 = 332 mod 31

m=32: 257 mod 32 = 1 ≠ 12 = 332 mod 32

m=33: 257 mod 33 = 26 ≠ 2 = 332 mod 33

m=34: 257 mod 34 = 19 ≠ 26 = 332 mod 34

m=35: 257 mod 35 = 12 ≠ 17 = 332 mod 35

m=36: 257 mod 36 = 5 ≠ 8 = 332 mod 36

m=37: 257 mod 37 = 35 ≠ 36 = 332 mod 37

m=38: 257 mod 38 = 29 ≠ 28 = 332 mod 38

m=39: 257 mod 39 = 23 ≠ 20 = 332 mod 39

m=40: 257 mod 40 = 17 ≠ 12 = 332 mod 40

m=41: 257 mod 41 = 11 ≠ 4 = 332 mod 41

m=42: 257 mod 42 = 5 ≠ 38 = 332 mod 42

m=43: 257 mod 43 = 42 ≠ 31 = 332 mod 43

m=44: 257 mod 44 = 37 ≠ 24 = 332 mod 44

m=45: 257 mod 45 = 32 ≠ 17 = 332 mod 45

m=46: 257 mod 46 = 27 ≠ 10 = 332 mod 46

m=47: 257 mod 47 = 22 ≠ 3 = 332 mod 47

m=48: 257 mod 48 = 17 ≠ 44 = 332 mod 48

m=49: 257 mod 49 = 12 ≠ 38 = 332 mod 49

m=50: 257 mod 50 = 7 ≠ 32 = 332 mod 50

m=51: 257 mod 51 = 2 ≠ 26 = 332 mod 51

m=52: 257 mod 52 = 49 ≠ 20 = 332 mod 52

m=53: 257 mod 53 = 45 ≠ 14 = 332 mod 53

m=54: 257 mod 54 = 41 ≠ 8 = 332 mod 54

m=55: 257 mod 55 = 37 ≠ 2 = 332 mod 55

m=56: 257 mod 56 = 33 ≠ 52 = 332 mod 56

m=57: 257 mod 57 = 29 ≠ 47 = 332 mod 57

m=58: 257 mod 58 = 25 ≠ 42 = 332 mod 58

m=59: 257 mod 59 = 21 ≠ 37 = 332 mod 59

m=60: 257 mod 60 = 17 ≠ 32 = 332 mod 60

m=61: 257 mod 61 = 13 ≠ 27 = 332 mod 61

m=62: 257 mod 62 = 9 ≠ 22 = 332 mod 62

m=63: 257 mod 63 = 5 ≠ 17 = 332 mod 63

m=64: 257 mod 64 = 1 ≠ 12 = 332 mod 64

m=65: 257 mod 65 = 62 ≠ 7 = 332 mod 65

m=66: 257 mod 66 = 59 ≠ 2 = 332 mod 66

m=67: 257 mod 67 = 56 ≠ 64 = 332 mod 67

m=68: 257 mod 68 = 53 ≠ 60 = 332 mod 68

m=69: 257 mod 69 = 50 ≠ 56 = 332 mod 69

m=70: 257 mod 70 = 47 ≠ 52 = 332 mod 70

m=71: 257 mod 71 = 44 ≠ 48 = 332 mod 71

m=72: 257 mod 72 = 41 ≠ 44 = 332 mod 72

m=73: 257 mod 73 = 38 ≠ 40 = 332 mod 73

m=74: 257 mod 74 = 35 ≠ 36 = 332 mod 74

m=75: 257 mod 75 = 32 = 32 = 332 mod 75

m=76: 257 mod 76 = 29 ≠ 28 = 332 mod 76

m=77: 257 mod 77 = 26 ≠ 24 = 332 mod 77

m=78: 257 mod 78 = 23 ≠ 20 = 332 mod 78

m=79: 257 mod 79 = 20 ≠ 16 = 332 mod 79

m=80: 257 mod 80 = 17 ≠ 12 = 332 mod 80

m=81: 257 mod 81 = 14 ≠ 8 = 332 mod 81

m=82: 257 mod 82 = 11 ≠ 4 = 332 mod 82

m=83: 257 mod 83 = 8 ≠ 0 = 332 mod 83

m=84: 257 mod 84 = 5 ≠ 80 = 332 mod 84

m=85: 257 mod 85 = 2 ≠ 77 = 332 mod 85

m=86: 257 mod 86 = 85 ≠ 74 = 332 mod 86

m=87: 257 mod 87 = 83 ≠ 71 = 332 mod 87

m=88: 257 mod 88 = 81 ≠ 68 = 332 mod 88

m=89: 257 mod 89 = 79 ≠ 65 = 332 mod 89

m=90: 257 mod 90 = 77 ≠ 62 = 332 mod 90

m=91: 257 mod 91 = 75 ≠ 59 = 332 mod 91

m=92: 257 mod 92 = 73 ≠ 56 = 332 mod 92

m=93: 257 mod 93 = 71 ≠ 53 = 332 mod 93

m=94: 257 mod 94 = 69 ≠ 50 = 332 mod 94

m=95: 257 mod 95 = 67 ≠ 47 = 332 mod 95

m=96: 257 mod 96 = 65 ≠ 44 = 332 mod 96

m=97: 257 mod 97 = 63 ≠ 41 = 332 mod 97

m=98: 257 mod 98 = 61 ≠ 38 = 332 mod 98

m=99: 257 mod 99 = 59 ≠ 35 = 332 mod 99

m=100: 257 mod 100 = 57 ≠ 32 = 332 mod 100

m=101: 257 mod 101 = 55 ≠ 29 = 332 mod 101

m=102: 257 mod 102 = 53 ≠ 26 = 332 mod 102

m=103: 257 mod 103 = 51 ≠ 23 = 332 mod 103

m=104: 257 mod 104 = 49 ≠ 20 = 332 mod 104

m=105: 257 mod 105 = 47 ≠ 17 = 332 mod 105

m=106: 257 mod 106 = 45 ≠ 14 = 332 mod 106

m=107: 257 mod 107 = 43 ≠ 11 = 332 mod 107

m=108: 257 mod 108 = 41 ≠ 8 = 332 mod 108

m=109: 257 mod 109 = 39 ≠ 5 = 332 mod 109

m=110: 257 mod 110 = 37 ≠ 2 = 332 mod 110

m=111: 257 mod 111 = 35 ≠ 110 = 332 mod 111

m=112: 257 mod 112 = 33 ≠ 108 = 332 mod 112

m=113: 257 mod 113 = 31 ≠ 106 = 332 mod 113

m=114: 257 mod 114 = 29 ≠ 104 = 332 mod 114

m=115: 257 mod 115 = 27 ≠ 102 = 332 mod 115

m=116: 257 mod 116 = 25 ≠ 100 = 332 mod 116

m=117: 257 mod 117 = 23 ≠ 98 = 332 mod 117

m=118: 257 mod 118 = 21 ≠ 96 = 332 mod 118

m=119: 257 mod 119 = 19 ≠ 94 = 332 mod 119

m=120: 257 mod 120 = 17 ≠ 92 = 332 mod 120

m=121: 257 mod 121 = 15 ≠ 90 = 332 mod 121

m=122: 257 mod 122 = 13 ≠ 88 = 332 mod 122

m=123: 257 mod 123 = 11 ≠ 86 = 332 mod 123

m=124: 257 mod 124 = 9 ≠ 84 = 332 mod 124

m=125: 257 mod 125 = 7 ≠ 82 = 332 mod 125

m=126: 257 mod 126 = 5 ≠ 80 = 332 mod 126

m=127: 257 mod 127 = 3 ≠ 78 = 332 mod 127

m=128: 257 mod 128 = 1 ≠ 76 = 332 mod 128

m=129: 257 mod 129 = 128 ≠ 74 = 332 mod 129

m=130: 257 mod 130 = 127 ≠ 72 = 332 mod 130

m=131: 257 mod 131 = 126 ≠ 70 = 332 mod 131

m=132: 257 mod 132 = 125 ≠ 68 = 332 mod 132

m=133: 257 mod 133 = 124 ≠ 66 = 332 mod 133

m=134: 257 mod 134 = 123 ≠ 64 = 332 mod 134

m=135: 257 mod 135 = 122 ≠ 62 = 332 mod 135

m=136: 257 mod 136 = 121 ≠ 60 = 332 mod 136

m=137: 257 mod 137 = 120 ≠ 58 = 332 mod 137

m=138: 257 mod 138 = 119 ≠ 56 = 332 mod 138

m=139: 257 mod 139 = 118 ≠ 54 = 332 mod 139

m=140: 257 mod 140 = 117 ≠ 52 = 332 mod 140

m=141: 257 mod 141 = 116 ≠ 50 = 332 mod 141

m=142: 257 mod 142 = 115 ≠ 48 = 332 mod 142

m=143: 257 mod 143 = 114 ≠ 46 = 332 mod 143

m=144: 257 mod 144 = 113 ≠ 44 = 332 mod 144

m=145: 257 mod 145 = 112 ≠ 42 = 332 mod 145

m=146: 257 mod 146 = 111 ≠ 40 = 332 mod 146

m=147: 257 mod 147 = 110 ≠ 38 = 332 mod 147

m=148: 257 mod 148 = 109 ≠ 36 = 332 mod 148

m=149: 257 mod 149 = 108 ≠ 34 = 332 mod 149

m=150: 257 mod 150 = 107 ≠ 32 = 332 mod 150

m=151: 257 mod 151 = 106 ≠ 30 = 332 mod 151

m=152: 257 mod 152 = 105 ≠ 28 = 332 mod 152

m=153: 257 mod 153 = 104 ≠ 26 = 332 mod 153

m=154: 257 mod 154 = 103 ≠ 24 = 332 mod 154

m=155: 257 mod 155 = 102 ≠ 22 = 332 mod 155

m=156: 257 mod 156 = 101 ≠ 20 = 332 mod 156

m=157: 257 mod 157 = 100 ≠ 18 = 332 mod 157

m=158: 257 mod 158 = 99 ≠ 16 = 332 mod 158

m=159: 257 mod 159 = 98 ≠ 14 = 332 mod 159

m=160: 257 mod 160 = 97 ≠ 12 = 332 mod 160

m=161: 257 mod 161 = 96 ≠ 10 = 332 mod 161

m=162: 257 mod 162 = 95 ≠ 8 = 332 mod 162

m=163: 257 mod 163 = 94 ≠ 6 = 332 mod 163

m=164: 257 mod 164 = 93 ≠ 4 = 332 mod 164

m=165: 257 mod 165 = 92 ≠ 2 = 332 mod 165

m=166: 257 mod 166 = 91 ≠ 0 = 332 mod 166

m=167: 257 mod 167 = 90 ≠ 165 = 332 mod 167

m=168: 257 mod 168 = 89 ≠ 164 = 332 mod 168

m=169: 257 mod 169 = 88 ≠ 163 = 332 mod 169

m=170: 257 mod 170 = 87 ≠ 162 = 332 mod 170

m=171: 257 mod 171 = 86 ≠ 161 = 332 mod 171

m=172: 257 mod 172 = 85 ≠ 160 = 332 mod 172

m=173: 257 mod 173 = 84 ≠ 159 = 332 mod 173

m=174: 257 mod 174 = 83 ≠ 158 = 332 mod 174

m=175: 257 mod 175 = 82 ≠ 157 = 332 mod 175

m=176: 257 mod 176 = 81 ≠ 156 = 332 mod 176

m=177: 257 mod 177 = 80 ≠ 155 = 332 mod 177

m=178: 257 mod 178 = 79 ≠ 154 = 332 mod 178

m=179: 257 mod 179 = 78 ≠ 153 = 332 mod 179

m=180: 257 mod 180 = 77 ≠ 152 = 332 mod 180

m=181: 257 mod 181 = 76 ≠ 151 = 332 mod 181

m=182: 257 mod 182 = 75 ≠ 150 = 332 mod 182

m=183: 257 mod 183 = 74 ≠ 149 = 332 mod 183

m=184: 257 mod 184 = 73 ≠ 148 = 332 mod 184

m=185: 257 mod 185 = 72 ≠ 147 = 332 mod 185

m=186: 257 mod 186 = 71 ≠ 146 = 332 mod 186

m=187: 257 mod 187 = 70 ≠ 145 = 332 mod 187

m=188: 257 mod 188 = 69 ≠ 144 = 332 mod 188

m=189: 257 mod 189 = 68 ≠ 143 = 332 mod 189

m=190: 257 mod 190 = 67 ≠ 142 = 332 mod 190

m=191: 257 mod 191 = 66 ≠ 141 = 332 mod 191

m=192: 257 mod 192 = 65 ≠ 140 = 332 mod 192

m=193: 257 mod 193 = 64 ≠ 139 = 332 mod 193

m=194: 257 mod 194 = 63 ≠ 138 = 332 mod 194

m=195: 257 mod 195 = 62 ≠ 137 = 332 mod 195

m=196: 257 mod 196 = 61 ≠ 136 = 332 mod 196

m=197: 257 mod 197 = 60 ≠ 135 = 332 mod 197

m=198: 257 mod 198 = 59 ≠ 134 = 332 mod 198

m=199: 257 mod 199 = 58 ≠ 133 = 332 mod 199

m=200: 257 mod 200 = 57 ≠ 132 = 332 mod 200

m=201: 257 mod 201 = 56 ≠ 131 = 332 mod 201

m=202: 257 mod 202 = 55 ≠ 130 = 332 mod 202

m=203: 257 mod 203 = 54 ≠ 129 = 332 mod 203

m=204: 257 mod 204 = 53 ≠ 128 = 332 mod 204

m=205: 257 mod 205 = 52 ≠ 127 = 332 mod 205

m=206: 257 mod 206 = 51 ≠ 126 = 332 mod 206

m=207: 257 mod 207 = 50 ≠ 125 = 332 mod 207

m=208: 257 mod 208 = 49 ≠ 124 = 332 mod 208

m=209: 257 mod 209 = 48 ≠ 123 = 332 mod 209

m=210: 257 mod 210 = 47 ≠ 122 = 332 mod 210

m=211: 257 mod 211 = 46 ≠ 121 = 332 mod 211

m=212: 257 mod 212 = 45 ≠ 120 = 332 mod 212

m=213: 257 mod 213 = 44 ≠ 119 = 332 mod 213

m=214: 257 mod 214 = 43 ≠ 118 = 332 mod 214

m=215: 257 mod 215 = 42 ≠ 117 = 332 mod 215

m=216: 257 mod 216 = 41 ≠ 116 = 332 mod 216

m=217: 257 mod 217 = 40 ≠ 115 = 332 mod 217

m=218: 257 mod 218 = 39 ≠ 114 = 332 mod 218

m=219: 257 mod 219 = 38 ≠ 113 = 332 mod 219

m=220: 257 mod 220 = 37 ≠ 112 = 332 mod 220

m=221: 257 mod 221 = 36 ≠ 111 = 332 mod 221

m=222: 257 mod 222 = 35 ≠ 110 = 332 mod 222

m=223: 257 mod 223 = 34 ≠ 109 = 332 mod 223

m=224: 257 mod 224 = 33 ≠ 108 = 332 mod 224

m=225: 257 mod 225 = 32 ≠ 107 = 332 mod 225

m=226: 257 mod 226 = 31 ≠ 106 = 332 mod 226

m=227: 257 mod 227 = 30 ≠ 105 = 332 mod 227

m=228: 257 mod 228 = 29 ≠ 104 = 332 mod 228

m=229: 257 mod 229 = 28 ≠ 103 = 332 mod 229

m=230: 257 mod 230 = 27 ≠ 102 = 332 mod 230

m=231: 257 mod 231 = 26 ≠ 101 = 332 mod 231

m=232: 257 mod 232 = 25 ≠ 100 = 332 mod 232

m=233: 257 mod 233 = 24 ≠ 99 = 332 mod 233

m=234: 257 mod 234 = 23 ≠ 98 = 332 mod 234

m=235: 257 mod 235 = 22 ≠ 97 = 332 mod 235

m=236: 257 mod 236 = 21 ≠ 96 = 332 mod 236

m=237: 257 mod 237 = 20 ≠ 95 = 332 mod 237

m=238: 257 mod 238 = 19 ≠ 94 = 332 mod 238

m=239: 257 mod 239 = 18 ≠ 93 = 332 mod 239

m=240: 257 mod 240 = 17 ≠ 92 = 332 mod 240

m=241: 257 mod 241 = 16 ≠ 91 = 332 mod 241

m=242: 257 mod 242 = 15 ≠ 90 = 332 mod 242

m=243: 257 mod 243 = 14 ≠ 89 = 332 mod 243

m=244: 257 mod 244 = 13 ≠ 88 = 332 mod 244

m=245: 257 mod 245 = 12 ≠ 87 = 332 mod 245

m=246: 257 mod 246 = 11 ≠ 86 = 332 mod 246

m=247: 257 mod 247 = 10 ≠ 85 = 332 mod 247

m=248: 257 mod 248 = 9 ≠ 84 = 332 mod 248

m=249: 257 mod 249 = 8 ≠ 83 = 332 mod 249

m=250: 257 mod 250 = 7 ≠ 82 = 332 mod 250

m=251: 257 mod 251 = 6 ≠ 81 = 332 mod 251

m=252: 257 mod 252 = 5 ≠ 80 = 332 mod 252

m=253: 257 mod 253 = 4 ≠ 79 = 332 mod 253

m=254: 257 mod 254 = 3 ≠ 78 = 332 mod 254

m=255: 257 mod 255 = 2 ≠ 77 = 332 mod 255

m=256: 257 mod 256 = 1 ≠ 76 = 332 mod 256

m=257: 257 mod 257 = 0 ≠ 75 = 332 mod 257

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (332 - 257) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75