Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 18, weil ja 3 ⋅ 6 = 18 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 18 - 18 = 0.

Somit gilt: 18 mod 6 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 24, weil ja 6 ⋅ 4 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 24 - 24 = 0.

Somit gilt: 24 mod 4 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 0 mod 4.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 10, z.B. 12 = 3 ⋅ 4

Somit gilt: 12 ≡ 24 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 - 241) mod 8 ≡ (75 mod 8 - 241 mod 8) mod 8.

75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 80-5 = 8 ⋅ 10 -5 = 8 ⋅ 10 - 8 + 3.

241 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 241 = 240+1 = 8 ⋅ 30 +1.

Somit gilt:

(75 - 241) mod 8 ≡ (3 - 1) mod 8 ≡ 2 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 94) mod 10 ≡ (46 mod 10 ⋅ 94 mod 10) mod 10.

46 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 4 ⋅ 10 + 6 ist.

94 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 9 ⋅ 10 + 4 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 94) mod 10 ≡ (6 ⋅ 4) mod 10 ≡ 24 mod 10 ≡ 4 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 17 mod m gilt:

m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 17 mod 2

m=3: 13 mod 3 = 1 ≠ 2 = 17 mod 3

m=4: 13 mod 4 = 1 = 1 = 17 mod 4

m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 2 = 17 mod 5

m=6: 13 mod 6 = 1 ≠ 5 = 17 mod 6

m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 3 = 17 mod 7

m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 1 = 17 mod 8

m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 8 = 17 mod 9

m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 7 = 17 mod 10

m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 6 = 17 mod 11

m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 5 = 17 mod 12

m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 4 = 17 mod 13

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (17 - 13) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4