Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 49, weil ja 7 ⋅ 7 = 49 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 54 - 49 = 5.

Somit gilt: 54 mod 7 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 28, weil ja 4 ⋅ 7 = 28 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 31 - 28 = 3.

Somit gilt: 31 mod 7 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 3 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 80, z.B. 77 = 11 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 3 mod 7 sein, also addieren wir noch 3 auf die 77 und erhalten so 80.

Somit gilt: 80 ≡ 31 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8003 - 1592) mod 8 ≡ (8003 mod 8 - 1592 mod 8) mod 8.

8003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8003 = 8000+3 = 8 ⋅ 1000 +3.

1592 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1592 = 1600-8 = 8 ⋅ 200 -8 = 8 ⋅ 200 - 8 + 0.

Somit gilt:

(8003 - 1592) mod 8 ≡ (3 - 0) mod 8 ≡ 3 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(76 ⋅ 88) mod 7 ≡ (76 mod 7 ⋅ 88 mod 7) mod 7.

76 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 70 + 6 = 10 ⋅ 7 + 6 ist.

88 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 84 + 4 = 12 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(76 ⋅ 88) mod 7 ≡ (6 ⋅ 4) mod 7 ≡ 24 mod 7 ≡ 3 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 18 aus, ob zufällig 18 mod m = 24 mod m gilt:

m=2: 18 mod 2 = 0 = 0 = 24 mod 2

m=3: 18 mod 3 = 0 = 0 = 24 mod 3

m=4: 18 mod 4 = 2 ≠ 0 = 24 mod 4

m=5: 18 mod 5 = 3 ≠ 4 = 24 mod 5

m=6: 18 mod 6 = 0 = 0 = 24 mod 6

m=7: 18 mod 7 = 4 ≠ 3 = 24 mod 7

m=8: 18 mod 8 = 2 ≠ 0 = 24 mod 8

m=9: 18 mod 9 = 0 ≠ 6 = 24 mod 9

m=10: 18 mod 10 = 8 ≠ 4 = 24 mod 10

m=11: 18 mod 11 = 7 ≠ 2 = 24 mod 11

m=12: 18 mod 12 = 6 ≠ 0 = 24 mod 12

m=13: 18 mod 13 = 5 ≠ 11 = 24 mod 13

m=14: 18 mod 14 = 4 ≠ 10 = 24 mod 14

m=15: 18 mod 15 = 3 ≠ 9 = 24 mod 15

m=16: 18 mod 16 = 2 ≠ 8 = 24 mod 16

m=17: 18 mod 17 = 1 ≠ 7 = 24 mod 17

m=18: 18 mod 18 = 0 ≠ 6 = 24 mod 18

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (24 - 18) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6