Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 34 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 32, weil ja 8 ⋅ 4 = 32 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 34 - 32 = 2.
Somit gilt: 34 mod 4 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 21 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 18, weil ja 3 ⋅ 6 = 18 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 21 - 18 = 3.
Somit gilt: 21 mod 6 ≡ 3.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 3 mod 6.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 12 ⋅ 6
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 3 mod 6 sein, also addieren wir noch 3 auf die 72 und erhalten so 75.
Somit gilt: 75 ≡ 21 ≡ 3 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1791 - 90) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1791 - 90) mod 9 ≡ (1791 mod 9 - 90 mod 9) mod 9.
1791 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1791
= 1800
90 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90
= 90
Somit gilt:
(1791 - 90) mod 9 ≡ (0 - 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 49) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35 ⋅ 49) mod 7 ≡ (35 mod 7 ⋅ 49 mod 7) mod 7.
35 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 35 + 0 = 5 ⋅ 7 + 0 ist.
49 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 49 + 0 = 7 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(35 ⋅ 49) mod 7 ≡ (0 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 19 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 19 mod m gilt:
m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2
m=3: 13 mod 3 = 1 = 1 = 19 mod 3
m=4: 13 mod 4 = 1 ≠ 3 = 19 mod 4
m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 4 = 19 mod 5
m=6: 13 mod 6 = 1 = 1 = 19 mod 6
m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 5 = 19 mod 7
m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 3 = 19 mod 8
m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 1 = 19 mod 9
m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 9 = 19 mod 10
m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 8 = 19 mod 11
m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 7 = 19 mod 12
m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 6 = 19 mod 13
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 13) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
