Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 40, weil ja 4 ⋅ 10 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 43 - 40 = 3.

Somit gilt: 43 mod 10 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 85 - 81 = 4.

Somit gilt: 85 mod 9 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 4 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 30, z.B. 27 = 3 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 4 mod 9 sein, also addieren wir noch 4 auf die 27 und erhalten so 31.

Somit gilt: 31 ≡ 85 ≡ 4 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(7999 + 200) mod 4 ≡ (7999 mod 4 + 200 mod 4) mod 4.

7999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7999 = 7000+999 = 4 ⋅ 1750 +999.

200 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 200 = 200+0 = 4 ⋅ 50 +0.

Somit gilt:

(7999 + 200) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 84) mod 3 ≡ (18 mod 3 ⋅ 84 mod 3) mod 3.

18 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 6 ⋅ 3 + 0 ist.

84 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 28 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 84) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 137 aus, ob zufällig 137 mod m = 187 mod m gilt:

m=2: 137 mod 2 = 1 = 1 = 187 mod 2

m=3: 137 mod 3 = 2 ≠ 1 = 187 mod 3

m=4: 137 mod 4 = 1 ≠ 3 = 187 mod 4

m=5: 137 mod 5 = 2 = 2 = 187 mod 5

m=6: 137 mod 6 = 5 ≠ 1 = 187 mod 6

m=7: 137 mod 7 = 4 ≠ 5 = 187 mod 7

m=8: 137 mod 8 = 1 ≠ 3 = 187 mod 8

m=9: 137 mod 9 = 2 ≠ 7 = 187 mod 9

m=10: 137 mod 10 = 7 = 7 = 187 mod 10

m=11: 137 mod 11 = 5 ≠ 0 = 187 mod 11

m=12: 137 mod 12 = 5 ≠ 7 = 187 mod 12

m=13: 137 mod 13 = 7 ≠ 5 = 187 mod 13

m=14: 137 mod 14 = 11 ≠ 5 = 187 mod 14

m=15: 137 mod 15 = 2 ≠ 7 = 187 mod 15

m=16: 137 mod 16 = 9 ≠ 11 = 187 mod 16

m=17: 137 mod 17 = 1 ≠ 0 = 187 mod 17

m=18: 137 mod 18 = 11 ≠ 7 = 187 mod 18

m=19: 137 mod 19 = 4 ≠ 16 = 187 mod 19

m=20: 137 mod 20 = 17 ≠ 7 = 187 mod 20

m=21: 137 mod 21 = 11 ≠ 19 = 187 mod 21

m=22: 137 mod 22 = 5 ≠ 11 = 187 mod 22

m=23: 137 mod 23 = 22 ≠ 3 = 187 mod 23

m=24: 137 mod 24 = 17 ≠ 19 = 187 mod 24

m=25: 137 mod 25 = 12 = 12 = 187 mod 25

m=26: 137 mod 26 = 7 ≠ 5 = 187 mod 26

m=27: 137 mod 27 = 2 ≠ 25 = 187 mod 27

m=28: 137 mod 28 = 25 ≠ 19 = 187 mod 28

m=29: 137 mod 29 = 21 ≠ 13 = 187 mod 29

m=30: 137 mod 30 = 17 ≠ 7 = 187 mod 30

m=31: 137 mod 31 = 13 ≠ 1 = 187 mod 31

m=32: 137 mod 32 = 9 ≠ 27 = 187 mod 32

m=33: 137 mod 33 = 5 ≠ 22 = 187 mod 33

m=34: 137 mod 34 = 1 ≠ 17 = 187 mod 34

m=35: 137 mod 35 = 32 ≠ 12 = 187 mod 35

m=36: 137 mod 36 = 29 ≠ 7 = 187 mod 36

m=37: 137 mod 37 = 26 ≠ 2 = 187 mod 37

m=38: 137 mod 38 = 23 ≠ 35 = 187 mod 38

m=39: 137 mod 39 = 20 ≠ 31 = 187 mod 39

m=40: 137 mod 40 = 17 ≠ 27 = 187 mod 40

m=41: 137 mod 41 = 14 ≠ 23 = 187 mod 41

m=42: 137 mod 42 = 11 ≠ 19 = 187 mod 42

m=43: 137 mod 43 = 8 ≠ 15 = 187 mod 43

m=44: 137 mod 44 = 5 ≠ 11 = 187 mod 44

m=45: 137 mod 45 = 2 ≠ 7 = 187 mod 45

m=46: 137 mod 46 = 45 ≠ 3 = 187 mod 46

m=47: 137 mod 47 = 43 ≠ 46 = 187 mod 47

m=48: 137 mod 48 = 41 ≠ 43 = 187 mod 48

m=49: 137 mod 49 = 39 ≠ 40 = 187 mod 49

m=50: 137 mod 50 = 37 = 37 = 187 mod 50

m=51: 137 mod 51 = 35 ≠ 34 = 187 mod 51

m=52: 137 mod 52 = 33 ≠ 31 = 187 mod 52

m=53: 137 mod 53 = 31 ≠ 28 = 187 mod 53

m=54: 137 mod 54 = 29 ≠ 25 = 187 mod 54

m=55: 137 mod 55 = 27 ≠ 22 = 187 mod 55

m=56: 137 mod 56 = 25 ≠ 19 = 187 mod 56

m=57: 137 mod 57 = 23 ≠ 16 = 187 mod 57

m=58: 137 mod 58 = 21 ≠ 13 = 187 mod 58

m=59: 137 mod 59 = 19 ≠ 10 = 187 mod 59

m=60: 137 mod 60 = 17 ≠ 7 = 187 mod 60

m=61: 137 mod 61 = 15 ≠ 4 = 187 mod 61

m=62: 137 mod 62 = 13 ≠ 1 = 187 mod 62

m=63: 137 mod 63 = 11 ≠ 61 = 187 mod 63

m=64: 137 mod 64 = 9 ≠ 59 = 187 mod 64

m=65: 137 mod 65 = 7 ≠ 57 = 187 mod 65

m=66: 137 mod 66 = 5 ≠ 55 = 187 mod 66

m=67: 137 mod 67 = 3 ≠ 53 = 187 mod 67

m=68: 137 mod 68 = 1 ≠ 51 = 187 mod 68

m=69: 137 mod 69 = 68 ≠ 49 = 187 mod 69

m=70: 137 mod 70 = 67 ≠ 47 = 187 mod 70

m=71: 137 mod 71 = 66 ≠ 45 = 187 mod 71

m=72: 137 mod 72 = 65 ≠ 43 = 187 mod 72

m=73: 137 mod 73 = 64 ≠ 41 = 187 mod 73

m=74: 137 mod 74 = 63 ≠ 39 = 187 mod 74

m=75: 137 mod 75 = 62 ≠ 37 = 187 mod 75

m=76: 137 mod 76 = 61 ≠ 35 = 187 mod 76

m=77: 137 mod 77 = 60 ≠ 33 = 187 mod 77

m=78: 137 mod 78 = 59 ≠ 31 = 187 mod 78

m=79: 137 mod 79 = 58 ≠ 29 = 187 mod 79

m=80: 137 mod 80 = 57 ≠ 27 = 187 mod 80

m=81: 137 mod 81 = 56 ≠ 25 = 187 mod 81

m=82: 137 mod 82 = 55 ≠ 23 = 187 mod 82

m=83: 137 mod 83 = 54 ≠ 21 = 187 mod 83

m=84: 137 mod 84 = 53 ≠ 19 = 187 mod 84

m=85: 137 mod 85 = 52 ≠ 17 = 187 mod 85

m=86: 137 mod 86 = 51 ≠ 15 = 187 mod 86

m=87: 137 mod 87 = 50 ≠ 13 = 187 mod 87

m=88: 137 mod 88 = 49 ≠ 11 = 187 mod 88

m=89: 137 mod 89 = 48 ≠ 9 = 187 mod 89

m=90: 137 mod 90 = 47 ≠ 7 = 187 mod 90

m=91: 137 mod 91 = 46 ≠ 5 = 187 mod 91

m=92: 137 mod 92 = 45 ≠ 3 = 187 mod 92

m=93: 137 mod 93 = 44 ≠ 1 = 187 mod 93

m=94: 137 mod 94 = 43 ≠ 93 = 187 mod 94

m=95: 137 mod 95 = 42 ≠ 92 = 187 mod 95

m=96: 137 mod 96 = 41 ≠ 91 = 187 mod 96

m=97: 137 mod 97 = 40 ≠ 90 = 187 mod 97

m=98: 137 mod 98 = 39 ≠ 89 = 187 mod 98

m=99: 137 mod 99 = 38 ≠ 88 = 187 mod 99

m=100: 137 mod 100 = 37 ≠ 87 = 187 mod 100

m=101: 137 mod 101 = 36 ≠ 86 = 187 mod 101

m=102: 137 mod 102 = 35 ≠ 85 = 187 mod 102

m=103: 137 mod 103 = 34 ≠ 84 = 187 mod 103

m=104: 137 mod 104 = 33 ≠ 83 = 187 mod 104

m=105: 137 mod 105 = 32 ≠ 82 = 187 mod 105

m=106: 137 mod 106 = 31 ≠ 81 = 187 mod 106

m=107: 137 mod 107 = 30 ≠ 80 = 187 mod 107

m=108: 137 mod 108 = 29 ≠ 79 = 187 mod 108

m=109: 137 mod 109 = 28 ≠ 78 = 187 mod 109

m=110: 137 mod 110 = 27 ≠ 77 = 187 mod 110

m=111: 137 mod 111 = 26 ≠ 76 = 187 mod 111

m=112: 137 mod 112 = 25 ≠ 75 = 187 mod 112

m=113: 137 mod 113 = 24 ≠ 74 = 187 mod 113

m=114: 137 mod 114 = 23 ≠ 73 = 187 mod 114

m=115: 137 mod 115 = 22 ≠ 72 = 187 mod 115

m=116: 137 mod 116 = 21 ≠ 71 = 187 mod 116

m=117: 137 mod 117 = 20 ≠ 70 = 187 mod 117

m=118: 137 mod 118 = 19 ≠ 69 = 187 mod 118

m=119: 137 mod 119 = 18 ≠ 68 = 187 mod 119

m=120: 137 mod 120 = 17 ≠ 67 = 187 mod 120

m=121: 137 mod 121 = 16 ≠ 66 = 187 mod 121

m=122: 137 mod 122 = 15 ≠ 65 = 187 mod 122

m=123: 137 mod 123 = 14 ≠ 64 = 187 mod 123

m=124: 137 mod 124 = 13 ≠ 63 = 187 mod 124

m=125: 137 mod 125 = 12 ≠ 62 = 187 mod 125

m=126: 137 mod 126 = 11 ≠ 61 = 187 mod 126

m=127: 137 mod 127 = 10 ≠ 60 = 187 mod 127

m=128: 137 mod 128 = 9 ≠ 59 = 187 mod 128

m=129: 137 mod 129 = 8 ≠ 58 = 187 mod 129

m=130: 137 mod 130 = 7 ≠ 57 = 187 mod 130

m=131: 137 mod 131 = 6 ≠ 56 = 187 mod 131

m=132: 137 mod 132 = 5 ≠ 55 = 187 mod 132

m=133: 137 mod 133 = 4 ≠ 54 = 187 mod 133

m=134: 137 mod 134 = 3 ≠ 53 = 187 mod 134

m=135: 137 mod 135 = 2 ≠ 52 = 187 mod 135

m=136: 137 mod 136 = 1 ≠ 51 = 187 mod 136

m=137: 137 mod 137 = 0 ≠ 50 = 187 mod 137

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (187 - 137) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50