Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 56, weil ja 14 ⋅ 4 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 56 - 56 = 0.

Somit gilt: 56 mod 4 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 90 - 88 = 2.

Somit gilt: 90 mod 11 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 31 für die gilt: n ≡ 2 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 20, z.B. 22 = 2 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 2 mod 11 sein, also addieren wir noch 2 auf die 22 und erhalten so 24.

Somit gilt: 24 ≡ 90 ≡ 2 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1603 - 3996) mod 4 ≡ (1603 mod 4 - 3996 mod 4) mod 4.

1603 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1603 = 1600+3 = 4 ⋅ 400 +3.

3996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3996 = 3000+996 = 4 ⋅ 750 +996.

Somit gilt:

(1603 - 3996) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 48) mod 5 ≡ (44 mod 5 ⋅ 48 mod 5) mod 5.

44 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 8 ⋅ 5 + 4 ist.

48 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 45 + 3 = 9 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 48) mod 5 ≡ (4 ⋅ 3) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 26 aus, ob zufällig 26 mod m = 38 mod m gilt:

m=2: 26 mod 2 = 0 = 0 = 38 mod 2

m=3: 26 mod 3 = 2 = 2 = 38 mod 3

m=4: 26 mod 4 = 2 = 2 = 38 mod 4

m=5: 26 mod 5 = 1 ≠ 3 = 38 mod 5

m=6: 26 mod 6 = 2 = 2 = 38 mod 6

m=7: 26 mod 7 = 5 ≠ 3 = 38 mod 7

m=8: 26 mod 8 = 2 ≠ 6 = 38 mod 8

m=9: 26 mod 9 = 8 ≠ 2 = 38 mod 9

m=10: 26 mod 10 = 6 ≠ 8 = 38 mod 10

m=11: 26 mod 11 = 4 ≠ 5 = 38 mod 11

m=12: 26 mod 12 = 2 = 2 = 38 mod 12

m=13: 26 mod 13 = 0 ≠ 12 = 38 mod 13

m=14: 26 mod 14 = 12 ≠ 10 = 38 mod 14

m=15: 26 mod 15 = 11 ≠ 8 = 38 mod 15

m=16: 26 mod 16 = 10 ≠ 6 = 38 mod 16

m=17: 26 mod 17 = 9 ≠ 4 = 38 mod 17

m=18: 26 mod 18 = 8 ≠ 2 = 38 mod 18

m=19: 26 mod 19 = 7 ≠ 0 = 38 mod 19

m=20: 26 mod 20 = 6 ≠ 18 = 38 mod 20

m=21: 26 mod 21 = 5 ≠ 17 = 38 mod 21

m=22: 26 mod 22 = 4 ≠ 16 = 38 mod 22

m=23: 26 mod 23 = 3 ≠ 15 = 38 mod 23

m=24: 26 mod 24 = 2 ≠ 14 = 38 mod 24

m=25: 26 mod 25 = 1 ≠ 13 = 38 mod 25

m=26: 26 mod 26 = 0 ≠ 12 = 38 mod 26

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (38 - 26) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12