Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 43 - 36 = 7.

Somit gilt: 43 mod 9 ≡ 7.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 90, weil ja 18 ⋅ 5 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 92 - 90 = 2.

Somit gilt: 92 mod 5 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 2 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 12 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 2 mod 5 sein, also addieren wir noch 2 auf die 60 und erhalten so 62.

Somit gilt: 62 ≡ 92 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 + 298) mod 6 ≡ (54 mod 6 + 298 mod 6) mod 6.

54 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 60-6 = 6 ⋅ 10 -6 = 6 ⋅ 10 - 6 + 0.

298 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 298 = 300-2 = 6 ⋅ 50 -2 = 6 ⋅ 50 - 6 + 4.

Somit gilt:

(54 + 298) mod 6 ≡ (0 + 4) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 ⋅ 61) mod 3 ≡ (52 mod 3 ⋅ 61 mod 3) mod 3.

52 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 51 + 1 = 17 ⋅ 3 + 1 ist.

61 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 20 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(52 ⋅ 61) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 18 aus, ob zufällig 18 mod m = 27 mod m gilt:

m=2: 18 mod 2 = 0 ≠ 1 = 27 mod 2

m=3: 18 mod 3 = 0 = 0 = 27 mod 3

m=4: 18 mod 4 = 2 ≠ 3 = 27 mod 4

m=5: 18 mod 5 = 3 ≠ 2 = 27 mod 5

m=6: 18 mod 6 = 0 ≠ 3 = 27 mod 6

m=7: 18 mod 7 = 4 ≠ 6 = 27 mod 7

m=8: 18 mod 8 = 2 ≠ 3 = 27 mod 8

m=9: 18 mod 9 = 0 = 0 = 27 mod 9

m=10: 18 mod 10 = 8 ≠ 7 = 27 mod 10

m=11: 18 mod 11 = 7 ≠ 5 = 27 mod 11

m=12: 18 mod 12 = 6 ≠ 3 = 27 mod 12

m=13: 18 mod 13 = 5 ≠ 1 = 27 mod 13

m=14: 18 mod 14 = 4 ≠ 13 = 27 mod 14

m=15: 18 mod 15 = 3 ≠ 12 = 27 mod 15

m=16: 18 mod 16 = 2 ≠ 11 = 27 mod 16

m=17: 18 mod 17 = 1 ≠ 10 = 27 mod 17

m=18: 18 mod 18 = 0 ≠ 9 = 27 mod 18

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (27 - 18) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9