Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 84, weil ja 21 ⋅ 4 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 85 - 84 = 1.

Somit gilt: 85 mod 4 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 55, weil ja 11 ⋅ 5 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 58 - 55 = 3.

Somit gilt: 58 mod 5 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 3 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 14 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 3 mod 5 sein, also addieren wir noch 3 auf die 70 und erhalten so 73.

Somit gilt: 73 ≡ 58 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(121 + 3997) mod 4 ≡ (121 mod 4 + 3997 mod 4) mod 4.

121 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 121 = 120+1 = 4 ⋅ 30 +1.

3997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3997 = 3000+997 = 4 ⋅ 750 +997.

Somit gilt:

(121 + 3997) mod 4 ≡ (1 + 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(73 ⋅ 24) mod 5 ≡ (73 mod 5 ⋅ 24 mod 5) mod 5.

73 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 14 ⋅ 5 + 3 ist.

24 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 4 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(73 ⋅ 24) mod 5 ≡ (3 ⋅ 4) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 110 aus, ob zufällig 110 mod m = 155 mod m gilt:

m=2: 110 mod 2 = 0 ≠ 1 = 155 mod 2

m=3: 110 mod 3 = 2 = 2 = 155 mod 3

m=4: 110 mod 4 = 2 ≠ 3 = 155 mod 4

m=5: 110 mod 5 = 0 = 0 = 155 mod 5

m=6: 110 mod 6 = 2 ≠ 5 = 155 mod 6

m=7: 110 mod 7 = 5 ≠ 1 = 155 mod 7

m=8: 110 mod 8 = 6 ≠ 3 = 155 mod 8

m=9: 110 mod 9 = 2 = 2 = 155 mod 9

m=10: 110 mod 10 = 0 ≠ 5 = 155 mod 10

m=11: 110 mod 11 = 0 ≠ 1 = 155 mod 11

m=12: 110 mod 12 = 2 ≠ 11 = 155 mod 12

m=13: 110 mod 13 = 6 ≠ 12 = 155 mod 13

m=14: 110 mod 14 = 12 ≠ 1 = 155 mod 14

m=15: 110 mod 15 = 5 = 5 = 155 mod 15

m=16: 110 mod 16 = 14 ≠ 11 = 155 mod 16

m=17: 110 mod 17 = 8 ≠ 2 = 155 mod 17

m=18: 110 mod 18 = 2 ≠ 11 = 155 mod 18

m=19: 110 mod 19 = 15 ≠ 3 = 155 mod 19

m=20: 110 mod 20 = 10 ≠ 15 = 155 mod 20

m=21: 110 mod 21 = 5 ≠ 8 = 155 mod 21

m=22: 110 mod 22 = 0 ≠ 1 = 155 mod 22

m=23: 110 mod 23 = 18 ≠ 17 = 155 mod 23

m=24: 110 mod 24 = 14 ≠ 11 = 155 mod 24

m=25: 110 mod 25 = 10 ≠ 5 = 155 mod 25

m=26: 110 mod 26 = 6 ≠ 25 = 155 mod 26

m=27: 110 mod 27 = 2 ≠ 20 = 155 mod 27

m=28: 110 mod 28 = 26 ≠ 15 = 155 mod 28

m=29: 110 mod 29 = 23 ≠ 10 = 155 mod 29

m=30: 110 mod 30 = 20 ≠ 5 = 155 mod 30

m=31: 110 mod 31 = 17 ≠ 0 = 155 mod 31

m=32: 110 mod 32 = 14 ≠ 27 = 155 mod 32

m=33: 110 mod 33 = 11 ≠ 23 = 155 mod 33

m=34: 110 mod 34 = 8 ≠ 19 = 155 mod 34

m=35: 110 mod 35 = 5 ≠ 15 = 155 mod 35

m=36: 110 mod 36 = 2 ≠ 11 = 155 mod 36

m=37: 110 mod 37 = 36 ≠ 7 = 155 mod 37

m=38: 110 mod 38 = 34 ≠ 3 = 155 mod 38

m=39: 110 mod 39 = 32 ≠ 38 = 155 mod 39

m=40: 110 mod 40 = 30 ≠ 35 = 155 mod 40

m=41: 110 mod 41 = 28 ≠ 32 = 155 mod 41

m=42: 110 mod 42 = 26 ≠ 29 = 155 mod 42

m=43: 110 mod 43 = 24 ≠ 26 = 155 mod 43

m=44: 110 mod 44 = 22 ≠ 23 = 155 mod 44

m=45: 110 mod 45 = 20 = 20 = 155 mod 45

m=46: 110 mod 46 = 18 ≠ 17 = 155 mod 46

m=47: 110 mod 47 = 16 ≠ 14 = 155 mod 47

m=48: 110 mod 48 = 14 ≠ 11 = 155 mod 48

m=49: 110 mod 49 = 12 ≠ 8 = 155 mod 49

m=50: 110 mod 50 = 10 ≠ 5 = 155 mod 50

m=51: 110 mod 51 = 8 ≠ 2 = 155 mod 51

m=52: 110 mod 52 = 6 ≠ 51 = 155 mod 52

m=53: 110 mod 53 = 4 ≠ 49 = 155 mod 53

m=54: 110 mod 54 = 2 ≠ 47 = 155 mod 54

m=55: 110 mod 55 = 0 ≠ 45 = 155 mod 55

m=56: 110 mod 56 = 54 ≠ 43 = 155 mod 56

m=57: 110 mod 57 = 53 ≠ 41 = 155 mod 57

m=58: 110 mod 58 = 52 ≠ 39 = 155 mod 58

m=59: 110 mod 59 = 51 ≠ 37 = 155 mod 59

m=60: 110 mod 60 = 50 ≠ 35 = 155 mod 60

m=61: 110 mod 61 = 49 ≠ 33 = 155 mod 61

m=62: 110 mod 62 = 48 ≠ 31 = 155 mod 62

m=63: 110 mod 63 = 47 ≠ 29 = 155 mod 63

m=64: 110 mod 64 = 46 ≠ 27 = 155 mod 64

m=65: 110 mod 65 = 45 ≠ 25 = 155 mod 65

m=66: 110 mod 66 = 44 ≠ 23 = 155 mod 66

m=67: 110 mod 67 = 43 ≠ 21 = 155 mod 67

m=68: 110 mod 68 = 42 ≠ 19 = 155 mod 68

m=69: 110 mod 69 = 41 ≠ 17 = 155 mod 69

m=70: 110 mod 70 = 40 ≠ 15 = 155 mod 70

m=71: 110 mod 71 = 39 ≠ 13 = 155 mod 71

m=72: 110 mod 72 = 38 ≠ 11 = 155 mod 72

m=73: 110 mod 73 = 37 ≠ 9 = 155 mod 73

m=74: 110 mod 74 = 36 ≠ 7 = 155 mod 74

m=75: 110 mod 75 = 35 ≠ 5 = 155 mod 75

m=76: 110 mod 76 = 34 ≠ 3 = 155 mod 76

m=77: 110 mod 77 = 33 ≠ 1 = 155 mod 77

m=78: 110 mod 78 = 32 ≠ 77 = 155 mod 78

m=79: 110 mod 79 = 31 ≠ 76 = 155 mod 79

m=80: 110 mod 80 = 30 ≠ 75 = 155 mod 80

m=81: 110 mod 81 = 29 ≠ 74 = 155 mod 81

m=82: 110 mod 82 = 28 ≠ 73 = 155 mod 82

m=83: 110 mod 83 = 27 ≠ 72 = 155 mod 83

m=84: 110 mod 84 = 26 ≠ 71 = 155 mod 84

m=85: 110 mod 85 = 25 ≠ 70 = 155 mod 85

m=86: 110 mod 86 = 24 ≠ 69 = 155 mod 86

m=87: 110 mod 87 = 23 ≠ 68 = 155 mod 87

m=88: 110 mod 88 = 22 ≠ 67 = 155 mod 88

m=89: 110 mod 89 = 21 ≠ 66 = 155 mod 89

m=90: 110 mod 90 = 20 ≠ 65 = 155 mod 90

m=91: 110 mod 91 = 19 ≠ 64 = 155 mod 91

m=92: 110 mod 92 = 18 ≠ 63 = 155 mod 92

m=93: 110 mod 93 = 17 ≠ 62 = 155 mod 93

m=94: 110 mod 94 = 16 ≠ 61 = 155 mod 94

m=95: 110 mod 95 = 15 ≠ 60 = 155 mod 95

m=96: 110 mod 96 = 14 ≠ 59 = 155 mod 96

m=97: 110 mod 97 = 13 ≠ 58 = 155 mod 97

m=98: 110 mod 98 = 12 ≠ 57 = 155 mod 98

m=99: 110 mod 99 = 11 ≠ 56 = 155 mod 99

m=100: 110 mod 100 = 10 ≠ 55 = 155 mod 100

m=101: 110 mod 101 = 9 ≠ 54 = 155 mod 101

m=102: 110 mod 102 = 8 ≠ 53 = 155 mod 102

m=103: 110 mod 103 = 7 ≠ 52 = 155 mod 103

m=104: 110 mod 104 = 6 ≠ 51 = 155 mod 104

m=105: 110 mod 105 = 5 ≠ 50 = 155 mod 105

m=106: 110 mod 106 = 4 ≠ 49 = 155 mod 106

m=107: 110 mod 107 = 3 ≠ 48 = 155 mod 107

m=108: 110 mod 108 = 2 ≠ 47 = 155 mod 108

m=109: 110 mod 109 = 1 ≠ 46 = 155 mod 109

m=110: 110 mod 110 = 0 ≠ 45 = 155 mod 110

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (155 - 110) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45