Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 80 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 80, weil ja 16 ⋅ 5 = 80 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 80 - 80 = 0.
Somit gilt: 80 mod 5 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 21 für die gilt n ≡ 71 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 66, weil ja 6 ⋅ 11 = 66 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 71 - 66 = 5.
Somit gilt: 71 mod 11 ≡ 5.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 21 für die gilt: n ≡ 5 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 10, z.B. 11 = 1 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 5 mod 11 sein, also addieren wir noch 5 auf die 11 und erhalten so 16.
Somit gilt: 16 ≡ 71 ≡ 5 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1407 + 6998) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1407 + 6998) mod 7 ≡ (1407 mod 7 + 6998 mod 7) mod 7.
1407 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1407
= 1400
6998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6998
= 7000
Somit gilt:
(1407 + 6998) mod 7 ≡ (0 + 5) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 96) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 ⋅ 96) mod 3 ≡ (78 mod 3 ⋅ 96 mod 3) mod 3.
78 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 78 + 0 = 26 ⋅ 3 + 0 ist.
96 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 32 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(78 ⋅ 96) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
71 mod m = 89 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 71 aus, ob zufällig 71 mod m = 89 mod m gilt:
m=2: 71 mod 2 = 1 = 1 = 89 mod 2
m=3: 71 mod 3 = 2 = 2 = 89 mod 3
m=4: 71 mod 4 = 3 ≠ 1 = 89 mod 4
m=5: 71 mod 5 = 1 ≠ 4 = 89 mod 5
m=6: 71 mod 6 = 5 = 5 = 89 mod 6
m=7: 71 mod 7 = 1 ≠ 5 = 89 mod 7
m=8: 71 mod 8 = 7 ≠ 1 = 89 mod 8
m=9: 71 mod 9 = 8 = 8 = 89 mod 9
m=10: 71 mod 10 = 1 ≠ 9 = 89 mod 10
m=11: 71 mod 11 = 5 ≠ 1 = 89 mod 11
m=12: 71 mod 12 = 11 ≠ 5 = 89 mod 12
m=13: 71 mod 13 = 6 ≠ 11 = 89 mod 13
m=14: 71 mod 14 = 1 ≠ 5 = 89 mod 14
m=15: 71 mod 15 = 11 ≠ 14 = 89 mod 15
m=16: 71 mod 16 = 7 ≠ 9 = 89 mod 16
m=17: 71 mod 17 = 3 ≠ 4 = 89 mod 17
m=18: 71 mod 18 = 17 = 17 = 89 mod 18
m=19: 71 mod 19 = 14 ≠ 13 = 89 mod 19
m=20: 71 mod 20 = 11 ≠ 9 = 89 mod 20
m=21: 71 mod 21 = 8 ≠ 5 = 89 mod 21
m=22: 71 mod 22 = 5 ≠ 1 = 89 mod 22
m=23: 71 mod 23 = 2 ≠ 20 = 89 mod 23
m=24: 71 mod 24 = 23 ≠ 17 = 89 mod 24
m=25: 71 mod 25 = 21 ≠ 14 = 89 mod 25
m=26: 71 mod 26 = 19 ≠ 11 = 89 mod 26
m=27: 71 mod 27 = 17 ≠ 8 = 89 mod 27
m=28: 71 mod 28 = 15 ≠ 5 = 89 mod 28
m=29: 71 mod 29 = 13 ≠ 2 = 89 mod 29
m=30: 71 mod 30 = 11 ≠ 29 = 89 mod 30
m=31: 71 mod 31 = 9 ≠ 27 = 89 mod 31
m=32: 71 mod 32 = 7 ≠ 25 = 89 mod 32
m=33: 71 mod 33 = 5 ≠ 23 = 89 mod 33
m=34: 71 mod 34 = 3 ≠ 21 = 89 mod 34
m=35: 71 mod 35 = 1 ≠ 19 = 89 mod 35
m=36: 71 mod 36 = 35 ≠ 17 = 89 mod 36
m=37: 71 mod 37 = 34 ≠ 15 = 89 mod 37
m=38: 71 mod 38 = 33 ≠ 13 = 89 mod 38
m=39: 71 mod 39 = 32 ≠ 11 = 89 mod 39
m=40: 71 mod 40 = 31 ≠ 9 = 89 mod 40
m=41: 71 mod 41 = 30 ≠ 7 = 89 mod 41
m=42: 71 mod 42 = 29 ≠ 5 = 89 mod 42
m=43: 71 mod 43 = 28 ≠ 3 = 89 mod 43
m=44: 71 mod 44 = 27 ≠ 1 = 89 mod 44
m=45: 71 mod 45 = 26 ≠ 44 = 89 mod 45
m=46: 71 mod 46 = 25 ≠ 43 = 89 mod 46
m=47: 71 mod 47 = 24 ≠ 42 = 89 mod 47
m=48: 71 mod 48 = 23 ≠ 41 = 89 mod 48
m=49: 71 mod 49 = 22 ≠ 40 = 89 mod 49
m=50: 71 mod 50 = 21 ≠ 39 = 89 mod 50
m=51: 71 mod 51 = 20 ≠ 38 = 89 mod 51
m=52: 71 mod 52 = 19 ≠ 37 = 89 mod 52
m=53: 71 mod 53 = 18 ≠ 36 = 89 mod 53
m=54: 71 mod 54 = 17 ≠ 35 = 89 mod 54
m=55: 71 mod 55 = 16 ≠ 34 = 89 mod 55
m=56: 71 mod 56 = 15 ≠ 33 = 89 mod 56
m=57: 71 mod 57 = 14 ≠ 32 = 89 mod 57
m=58: 71 mod 58 = 13 ≠ 31 = 89 mod 58
m=59: 71 mod 59 = 12 ≠ 30 = 89 mod 59
m=60: 71 mod 60 = 11 ≠ 29 = 89 mod 60
m=61: 71 mod 61 = 10 ≠ 28 = 89 mod 61
m=62: 71 mod 62 = 9 ≠ 27 = 89 mod 62
m=63: 71 mod 63 = 8 ≠ 26 = 89 mod 63
m=64: 71 mod 64 = 7 ≠ 25 = 89 mod 64
m=65: 71 mod 65 = 6 ≠ 24 = 89 mod 65
m=66: 71 mod 66 = 5 ≠ 23 = 89 mod 66
m=67: 71 mod 67 = 4 ≠ 22 = 89 mod 67
m=68: 71 mod 68 = 3 ≠ 21 = 89 mod 68
m=69: 71 mod 69 = 2 ≠ 20 = 89 mod 69
m=70: 71 mod 70 = 1 ≠ 19 = 89 mod 70
m=71: 71 mod 71 = 0 ≠ 18 = 89 mod 71
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (89 - 71) = 18 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6; 9; 18