Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 36 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 36, weil ja 12 ⋅ 3 = 36 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 36 - 36 = 0.
Somit gilt: 36 mod 3 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 31 für die gilt n ≡ 57 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 57 - 55 = 2.
Somit gilt: 57 mod 11 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 31 für die gilt: n ≡ 2 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 20, z.B. 22 = 2 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 2 mod 11 sein, also addieren wir noch 2 auf die 22 und erhalten so 24.
Somit gilt: 24 ≡ 57 ≡ 2 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1802 - 4496) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1802 - 4496) mod 9 ≡ (1802 mod 9 - 4496 mod 9) mod 9.
1802 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1802
= 1800
4496 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4496
= 4500
Somit gilt:
(1802 - 4496) mod 9 ≡ (2 - 5) mod 9 ≡ -3 mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 60) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 ⋅ 60) mod 4 ≡ (31 mod 4 ⋅ 60 mod 4) mod 4.
31 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 7 ⋅ 4 + 3 ist.
60 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 15 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(31 ⋅ 60) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
30 mod m = 39 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 30 aus, ob zufällig 30 mod m = 39 mod m gilt:
m=2: 30 mod 2 = 0 ≠ 1 = 39 mod 2
m=3: 30 mod 3 = 0 = 0 = 39 mod 3
m=4: 30 mod 4 = 2 ≠ 3 = 39 mod 4
m=5: 30 mod 5 = 0 ≠ 4 = 39 mod 5
m=6: 30 mod 6 = 0 ≠ 3 = 39 mod 6
m=7: 30 mod 7 = 2 ≠ 4 = 39 mod 7
m=8: 30 mod 8 = 6 ≠ 7 = 39 mod 8
m=9: 30 mod 9 = 3 = 3 = 39 mod 9
m=10: 30 mod 10 = 0 ≠ 9 = 39 mod 10
m=11: 30 mod 11 = 8 ≠ 6 = 39 mod 11
m=12: 30 mod 12 = 6 ≠ 3 = 39 mod 12
m=13: 30 mod 13 = 4 ≠ 0 = 39 mod 13
m=14: 30 mod 14 = 2 ≠ 11 = 39 mod 14
m=15: 30 mod 15 = 0 ≠ 9 = 39 mod 15
m=16: 30 mod 16 = 14 ≠ 7 = 39 mod 16
m=17: 30 mod 17 = 13 ≠ 5 = 39 mod 17
m=18: 30 mod 18 = 12 ≠ 3 = 39 mod 18
m=19: 30 mod 19 = 11 ≠ 1 = 39 mod 19
m=20: 30 mod 20 = 10 ≠ 19 = 39 mod 20
m=21: 30 mod 21 = 9 ≠ 18 = 39 mod 21
m=22: 30 mod 22 = 8 ≠ 17 = 39 mod 22
m=23: 30 mod 23 = 7 ≠ 16 = 39 mod 23
m=24: 30 mod 24 = 6 ≠ 15 = 39 mod 24
m=25: 30 mod 25 = 5 ≠ 14 = 39 mod 25
m=26: 30 mod 26 = 4 ≠ 13 = 39 mod 26
m=27: 30 mod 27 = 3 ≠ 12 = 39 mod 27
m=28: 30 mod 28 = 2 ≠ 11 = 39 mod 28
m=29: 30 mod 29 = 1 ≠ 10 = 39 mod 29
m=30: 30 mod 30 = 0 ≠ 9 = 39 mod 30
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (39 - 30) = 9 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 9
