Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 70, weil ja 10 ⋅ 7 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 72 - 70 = 2.

Somit gilt: 72 mod 7 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 32, weil ja 4 ⋅ 8 = 32 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 32 - 32 = 0.

Somit gilt: 32 mod 8 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 0 mod 8.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 10 ⋅ 8

Somit gilt: 80 ≡ 32 ≡ 0 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2400 - 80) mod 8 ≡ (2400 mod 8 - 80 mod 8) mod 8.

2400 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2400 = 2400+0 = 8 ⋅ 300 +0.

80 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80+0 = 8 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(2400 - 80) mod 8 ≡ (0 - 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 87) mod 7 ≡ (42 mod 7 ⋅ 87 mod 7) mod 7.

42 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 6 ⋅ 7 + 0 ist.

87 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 12 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 87) mod 7 ≡ (0 ⋅ 3) mod 7 ≡ 0 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 30 mod m gilt:

m=2: 22 mod 2 = 0 = 0 = 30 mod 2

m=3: 22 mod 3 = 1 ≠ 0 = 30 mod 3

m=4: 22 mod 4 = 2 = 2 = 30 mod 4

m=5: 22 mod 5 = 2 ≠ 0 = 30 mod 5

m=6: 22 mod 6 = 4 ≠ 0 = 30 mod 6

m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 2 = 30 mod 7

m=8: 22 mod 8 = 6 = 6 = 30 mod 8

m=9: 22 mod 9 = 4 ≠ 3 = 30 mod 9

m=10: 22 mod 10 = 2 ≠ 0 = 30 mod 10

m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 8 = 30 mod 11

m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 6 = 30 mod 12

m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 4 = 30 mod 13

m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 2 = 30 mod 14

m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 0 = 30 mod 15

m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 14 = 30 mod 16

m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 13 = 30 mod 17

m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 12 = 30 mod 18

m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 11 = 30 mod 19

m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 10 = 30 mod 20

m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 9 = 30 mod 21

m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 8 = 30 mod 22

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (30 - 22) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8