Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 56, weil ja 8 ⋅ 7 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 59 - 56 = 3.

Somit gilt: 59 mod 7 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 20, weil ja 4 ⋅ 5 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 21 - 20 = 1.

Somit gilt: 21 mod 5 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 1 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 6 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 1 mod 5 sein, also addieren wir noch 1 auf die 30 und erhalten so 31.

Somit gilt: 31 ≡ 21 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4003 + 83) mod 8 ≡ (4003 mod 8 + 83 mod 8) mod 8.

4003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4003 = 4000+3 = 8 ⋅ 500 +3.

83 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80+3 = 8 ⋅ 10 +3.

Somit gilt:

(4003 + 83) mod 8 ≡ (3 + 3) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 28) mod 6 ≡ (17 mod 6 ⋅ 28 mod 6) mod 6.

17 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 12 + 5 = 2 ⋅ 6 + 5 ist.

28 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 24 + 4 = 4 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 28) mod 6 ≡ (5 ⋅ 4) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 17 aus, ob zufällig 17 mod m = 25 mod m gilt:

m=2: 17 mod 2 = 1 = 1 = 25 mod 2

m=3: 17 mod 3 = 2 ≠ 1 = 25 mod 3

m=4: 17 mod 4 = 1 = 1 = 25 mod 4

m=5: 17 mod 5 = 2 ≠ 0 = 25 mod 5

m=6: 17 mod 6 = 5 ≠ 1 = 25 mod 6

m=7: 17 mod 7 = 3 ≠ 4 = 25 mod 7

m=8: 17 mod 8 = 1 = 1 = 25 mod 8

m=9: 17 mod 9 = 8 ≠ 7 = 25 mod 9

m=10: 17 mod 10 = 7 ≠ 5 = 25 mod 10

m=11: 17 mod 11 = 6 ≠ 3 = 25 mod 11

m=12: 17 mod 12 = 5 ≠ 1 = 25 mod 12

m=13: 17 mod 13 = 4 ≠ 12 = 25 mod 13

m=14: 17 mod 14 = 3 ≠ 11 = 25 mod 14

m=15: 17 mod 15 = 2 ≠ 10 = 25 mod 15

m=16: 17 mod 16 = 1 ≠ 9 = 25 mod 16

m=17: 17 mod 17 = 0 ≠ 8 = 25 mod 17

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (25 - 17) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8