Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 80, weil ja 8 ⋅ 10 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 86 - 80 = 6.

Somit gilt: 86 mod 10 ≡ 6.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 94 - 88 = 6.

Somit gilt: 94 mod 11 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 31 für die gilt: n ≡ 6 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 20, z.B. 22 = 2 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 6 mod 11 sein, also addieren wir noch 6 auf die 22 und erhalten so 28.

Somit gilt: 28 ≡ 94 ≡ 6 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 - 149) mod 3 ≡ (87 mod 3 - 149 mod 3) mod 3.

87 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 90-3 = 3 ⋅ 30 -3 = 3 ⋅ 30 - 3 + 0.

149 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 149 = 150-1 = 3 ⋅ 50 -1 = 3 ⋅ 50 - 3 + 2.

Somit gilt:

(87 - 149) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 84) mod 11 ≡ (87 mod 11 ⋅ 84 mod 11) mod 11.

87 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 77 + 10 = 7 ⋅ 11 + 10 ist.

84 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 77 + 7 = 7 ⋅ 11 + 7 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 84) mod 11 ≡ (10 ⋅ 7) mod 11 ≡ 70 mod 11 ≡ 4 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 23 aus, ob zufällig 23 mod m = 29 mod m gilt:

m=2: 23 mod 2 = 1 = 1 = 29 mod 2

m=3: 23 mod 3 = 2 = 2 = 29 mod 3

m=4: 23 mod 4 = 3 ≠ 1 = 29 mod 4

m=5: 23 mod 5 = 3 ≠ 4 = 29 mod 5

m=6: 23 mod 6 = 5 = 5 = 29 mod 6

m=7: 23 mod 7 = 2 ≠ 1 = 29 mod 7

m=8: 23 mod 8 = 7 ≠ 5 = 29 mod 8

m=9: 23 mod 9 = 5 ≠ 2 = 29 mod 9

m=10: 23 mod 10 = 3 ≠ 9 = 29 mod 10

m=11: 23 mod 11 = 1 ≠ 7 = 29 mod 11

m=12: 23 mod 12 = 11 ≠ 5 = 29 mod 12

m=13: 23 mod 13 = 10 ≠ 3 = 29 mod 13

m=14: 23 mod 14 = 9 ≠ 1 = 29 mod 14

m=15: 23 mod 15 = 8 ≠ 14 = 29 mod 15

m=16: 23 mod 16 = 7 ≠ 13 = 29 mod 16

m=17: 23 mod 17 = 6 ≠ 12 = 29 mod 17

m=18: 23 mod 18 = 5 ≠ 11 = 29 mod 18

m=19: 23 mod 19 = 4 ≠ 10 = 29 mod 19

m=20: 23 mod 20 = 3 ≠ 9 = 29 mod 20

m=21: 23 mod 21 = 2 ≠ 8 = 29 mod 21

m=22: 23 mod 22 = 1 ≠ 7 = 29 mod 22

m=23: 23 mod 23 = 0 ≠ 6 = 29 mod 23

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (29 - 23) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6