Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 98 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 90, weil ja 9 ⋅ 10 = 90 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 98 - 90 = 8.
Somit gilt: 98 mod 10 ≡ 8.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 36 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 36 - 36 = 0.
Somit gilt: 36 mod 9 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 0 mod 9.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 20, z.B. 27 = 3 ⋅ 9
Somit gilt: 27 ≡ 36 ≡ 0 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 + 41) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 + 41) mod 4 ≡ (77 mod 4 + 41 mod 4) mod 4.
77 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77
= 80
41 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41
= 40
Somit gilt:
(77 + 41) mod 4 ≡ (1 + 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 34) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(48 ⋅ 34) mod 10 ≡ (48 mod 10 ⋅ 34 mod 10) mod 10.
48 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 40 + 8 = 4 ⋅ 10 + 8 ist.
34 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 3 ⋅ 10 + 4 ist.
Somit gilt:
(48 ⋅ 34) mod 10 ≡ (8 ⋅ 4) mod 10 ≡ 32 mod 10 ≡ 2 mod 10.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 18 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 18 mod m gilt:
m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2
m=3: 12 mod 3 = 0 = 0 = 18 mod 3
m=4: 12 mod 4 = 0 ≠ 2 = 18 mod 4
m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 3 = 18 mod 5
m=6: 12 mod 6 = 0 = 0 = 18 mod 6
m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 4 = 18 mod 7
m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 2 = 18 mod 8
m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 0 = 18 mod 9
m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 8 = 18 mod 10
m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 7 = 18 mod 11
m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 6 = 18 mod 12
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 12) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
