Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 66, weil ja 6 ⋅ 11 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 70 - 66 = 4.

Somit gilt: 70 mod 11 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 52, weil ja 13 ⋅ 4 = 52 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 55 - 52 = 3.

Somit gilt: 55 mod 4 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 3 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 90, z.B. 88 = 22 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 3 mod 4 sein, also addieren wir noch 3 auf die 88 und erhalten so 91.

Somit gilt: 91 ≡ 55 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3002 + 1202) mod 3 ≡ (3002 mod 3 + 1202 mod 3) mod 3.

3002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3002 = 3000+2 = 3 ⋅ 1000 +2.

1202 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1202 = 1200+2 = 3 ⋅ 400 +2.

Somit gilt:

(3002 + 1202) mod 3 ≡ (2 + 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 ⋅ 80) mod 7 ≡ (52 mod 7 ⋅ 80 mod 7) mod 7.

52 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 49 + 3 = 7 ⋅ 7 + 3 ist.

80 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 11 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(52 ⋅ 80) mod 7 ≡ (3 ⋅ 3) mod 7 ≡ 9 mod 7 ≡ 2 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 17 aus, ob zufällig 17 mod m = 25 mod m gilt:

m=2: 17 mod 2 = 1 = 1 = 25 mod 2

m=3: 17 mod 3 = 2 ≠ 1 = 25 mod 3

m=4: 17 mod 4 = 1 = 1 = 25 mod 4

m=5: 17 mod 5 = 2 ≠ 0 = 25 mod 5

m=6: 17 mod 6 = 5 ≠ 1 = 25 mod 6

m=7: 17 mod 7 = 3 ≠ 4 = 25 mod 7

m=8: 17 mod 8 = 1 = 1 = 25 mod 8

m=9: 17 mod 9 = 8 ≠ 7 = 25 mod 9

m=10: 17 mod 10 = 7 ≠ 5 = 25 mod 10

m=11: 17 mod 11 = 6 ≠ 3 = 25 mod 11

m=12: 17 mod 12 = 5 ≠ 1 = 25 mod 12

m=13: 17 mod 13 = 4 ≠ 12 = 25 mod 13

m=14: 17 mod 14 = 3 ≠ 11 = 25 mod 14

m=15: 17 mod 15 = 2 ≠ 10 = 25 mod 15

m=16: 17 mod 16 = 1 ≠ 9 = 25 mod 16

m=17: 17 mod 17 = 0 ≠ 8 = 25 mod 17

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (25 - 17) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8