Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 15, weil ja 3 ⋅ 5 = 15 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 18 - 15 = 3.

Somit gilt: 18 mod 5 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 42, weil ja 6 ⋅ 7 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 44 - 42 = 2.

Somit gilt: 44 mod 7 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 2 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 30, z.B. 28 = 4 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 2 mod 7 sein, also addieren wir noch 2 auf die 28 und erhalten so 30.

Somit gilt: 30 ≡ 44 ≡ 2 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28005 - 20998) mod 7 ≡ (28005 mod 7 - 20998 mod 7) mod 7.

28005 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28005 = 28000+5 = 7 ⋅ 4000 +5.

20998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20998 = 21000-2 = 7 ⋅ 3000 -2 = 7 ⋅ 3000 - 7 + 5.

Somit gilt:

(28005 - 20998) mod 7 ≡ (5 - 5) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 52) mod 9 ≡ (64 mod 9 ⋅ 52 mod 9) mod 9.

64 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 7 ⋅ 9 + 1 ist.

52 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 45 + 7 = 5 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 52) mod 9 ≡ (1 ⋅ 7) mod 9 ≡ 7 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 28 aus, ob zufällig 28 mod m = 36 mod m gilt:

m=2: 28 mod 2 = 0 = 0 = 36 mod 2

m=3: 28 mod 3 = 1 ≠ 0 = 36 mod 3

m=4: 28 mod 4 = 0 = 0 = 36 mod 4

m=5: 28 mod 5 = 3 ≠ 1 = 36 mod 5

m=6: 28 mod 6 = 4 ≠ 0 = 36 mod 6

m=7: 28 mod 7 = 0 ≠ 1 = 36 mod 7

m=8: 28 mod 8 = 4 = 4 = 36 mod 8

m=9: 28 mod 9 = 1 ≠ 0 = 36 mod 9

m=10: 28 mod 10 = 8 ≠ 6 = 36 mod 10

m=11: 28 mod 11 = 6 ≠ 3 = 36 mod 11

m=12: 28 mod 12 = 4 ≠ 0 = 36 mod 12

m=13: 28 mod 13 = 2 ≠ 10 = 36 mod 13

m=14: 28 mod 14 = 0 ≠ 8 = 36 mod 14

m=15: 28 mod 15 = 13 ≠ 6 = 36 mod 15

m=16: 28 mod 16 = 12 ≠ 4 = 36 mod 16

m=17: 28 mod 17 = 11 ≠ 2 = 36 mod 17

m=18: 28 mod 18 = 10 ≠ 0 = 36 mod 18

m=19: 28 mod 19 = 9 ≠ 17 = 36 mod 19

m=20: 28 mod 20 = 8 ≠ 16 = 36 mod 20

m=21: 28 mod 21 = 7 ≠ 15 = 36 mod 21

m=22: 28 mod 22 = 6 ≠ 14 = 36 mod 22

m=23: 28 mod 23 = 5 ≠ 13 = 36 mod 23

m=24: 28 mod 24 = 4 ≠ 12 = 36 mod 24

m=25: 28 mod 25 = 3 ≠ 11 = 36 mod 25

m=26: 28 mod 26 = 2 ≠ 10 = 36 mod 26

m=27: 28 mod 27 = 1 ≠ 9 = 36 mod 27

m=28: 28 mod 28 = 0 ≠ 8 = 36 mod 28

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (36 - 28) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8