Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 47 - 44 = 3.

Somit gilt: 47 mod 11 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 54, weil ja 18 ⋅ 3 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 56 - 54 = 2.

Somit gilt: 56 mod 3 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 40, z.B. 39 = 13 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 39 und erhalten so 41.

Somit gilt: 41 ≡ 56 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35996 + 44997) mod 9 ≡ (35996 mod 9 + 44997 mod 9) mod 9.

35996 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35996 = 36000-4 = 9 ⋅ 4000 -4 = 9 ⋅ 4000 - 9 + 5.

44997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44997 = 45000-3 = 9 ⋅ 5000 -3 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 6.

Somit gilt:

(35996 + 44997) mod 9 ≡ (5 + 6) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 99) mod 10 ≡ (15 mod 10 ⋅ 99 mod 10) mod 10.

15 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 10 + 5 = 1 ⋅ 10 + 5 ist.

99 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 90 + 9 = 9 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 99) mod 10 ≡ (5 ⋅ 9) mod 10 ≡ 45 mod 10 ≡ 5 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 29 mod m gilt:

m=2: 20 mod 2 = 0 ≠ 1 = 29 mod 2

m=3: 20 mod 3 = 2 = 2 = 29 mod 3

m=4: 20 mod 4 = 0 ≠ 1 = 29 mod 4

m=5: 20 mod 5 = 0 ≠ 4 = 29 mod 5

m=6: 20 mod 6 = 2 ≠ 5 = 29 mod 6

m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 1 = 29 mod 7

m=8: 20 mod 8 = 4 ≠ 5 = 29 mod 8

m=9: 20 mod 9 = 2 = 2 = 29 mod 9

m=10: 20 mod 10 = 0 ≠ 9 = 29 mod 10

m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 7 = 29 mod 11

m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 5 = 29 mod 12

m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 3 = 29 mod 13

m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 1 = 29 mod 14

m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 14 = 29 mod 15

m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 13 = 29 mod 16

m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 12 = 29 mod 17

m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 11 = 29 mod 18

m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 10 = 29 mod 19

m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 9 = 29 mod 20

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (29 - 20) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9