Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 54 - 44 = 10.

Somit gilt: 54 mod 11 ≡ 10.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 66, weil ja 6 ⋅ 11 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 76 - 66 = 10.

Somit gilt: 76 mod 11 ≡ 10.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 41 für die gilt: n ≡ 10 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 30, z.B. 22 = 2 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 10 mod 11 sein, also addieren wir noch 10 auf die 22 und erhalten so 32.

Somit gilt: 32 ≡ 76 ≡ 10 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(133 + 215) mod 7 ≡ (133 mod 7 + 215 mod 7) mod 7.

133 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 133 = 140-7 = 7 ⋅ 20 -7 = 7 ⋅ 20 - 7 + 0.

215 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 215 = 210+5 = 7 ⋅ 30 +5.

Somit gilt:

(133 + 215) mod 7 ≡ (0 + 5) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(76 ⋅ 26) mod 7 ≡ (76 mod 7 ⋅ 26 mod 7) mod 7.

76 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 70 + 6 = 10 ⋅ 7 + 6 ist.

26 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 21 + 5 = 3 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(76 ⋅ 26) mod 7 ≡ (6 ⋅ 5) mod 7 ≡ 30 mod 7 ≡ 2 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 27 aus, ob zufällig 27 mod m = 39 mod m gilt:

m=2: 27 mod 2 = 1 = 1 = 39 mod 2

m=3: 27 mod 3 = 0 = 0 = 39 mod 3

m=4: 27 mod 4 = 3 = 3 = 39 mod 4

m=5: 27 mod 5 = 2 ≠ 4 = 39 mod 5

m=6: 27 mod 6 = 3 = 3 = 39 mod 6

m=7: 27 mod 7 = 6 ≠ 4 = 39 mod 7

m=8: 27 mod 8 = 3 ≠ 7 = 39 mod 8

m=9: 27 mod 9 = 0 ≠ 3 = 39 mod 9

m=10: 27 mod 10 = 7 ≠ 9 = 39 mod 10

m=11: 27 mod 11 = 5 ≠ 6 = 39 mod 11

m=12: 27 mod 12 = 3 = 3 = 39 mod 12

m=13: 27 mod 13 = 1 ≠ 0 = 39 mod 13

m=14: 27 mod 14 = 13 ≠ 11 = 39 mod 14

m=15: 27 mod 15 = 12 ≠ 9 = 39 mod 15

m=16: 27 mod 16 = 11 ≠ 7 = 39 mod 16

m=17: 27 mod 17 = 10 ≠ 5 = 39 mod 17

m=18: 27 mod 18 = 9 ≠ 3 = 39 mod 18

m=19: 27 mod 19 = 8 ≠ 1 = 39 mod 19

m=20: 27 mod 20 = 7 ≠ 19 = 39 mod 20

m=21: 27 mod 21 = 6 ≠ 18 = 39 mod 21

m=22: 27 mod 22 = 5 ≠ 17 = 39 mod 22

m=23: 27 mod 23 = 4 ≠ 16 = 39 mod 23

m=24: 27 mod 24 = 3 ≠ 15 = 39 mod 24

m=25: 27 mod 25 = 2 ≠ 14 = 39 mod 25

m=26: 27 mod 26 = 1 ≠ 13 = 39 mod 26

m=27: 27 mod 27 = 0 ≠ 12 = 39 mod 27

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (39 - 27) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12