Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 62 - 55 = 7.

Somit gilt: 62 mod 11 ≡ 7.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 72, weil ja 9 ⋅ 8 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 79 - 72 = 7.

Somit gilt: 79 mod 8 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 7 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 10, z.B. 8 = 1 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 7 mod 8 sein, also addieren wir noch 7 auf die 8 und erhalten so 15.

Somit gilt: 15 ≡ 79 ≡ 7 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(346 - 133) mod 7 ≡ (346 mod 7 - 133 mod 7) mod 7.

346 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 346 = 350-4 = 7 ⋅ 50 -4 = 7 ⋅ 50 - 7 + 3.

133 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 133 = 140-7 = 7 ⋅ 20 -7 = 7 ⋅ 20 - 7 + 0.

Somit gilt:

(346 - 133) mod 7 ≡ (3 - 0) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45 ⋅ 43) mod 6 ≡ (45 mod 6 ⋅ 43 mod 6) mod 6.

45 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 42 + 3 = 7 ⋅ 6 + 3 ist.

43 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 7 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(45 ⋅ 43) mod 6 ≡ (3 ⋅ 1) mod 6 ≡ 3 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 149 aus, ob zufällig 149 mod m = 199 mod m gilt:

m=2: 149 mod 2 = 1 = 1 = 199 mod 2

m=3: 149 mod 3 = 2 ≠ 1 = 199 mod 3

m=4: 149 mod 4 = 1 ≠ 3 = 199 mod 4

m=5: 149 mod 5 = 4 = 4 = 199 mod 5

m=6: 149 mod 6 = 5 ≠ 1 = 199 mod 6

m=7: 149 mod 7 = 2 ≠ 3 = 199 mod 7

m=8: 149 mod 8 = 5 ≠ 7 = 199 mod 8

m=9: 149 mod 9 = 5 ≠ 1 = 199 mod 9

m=10: 149 mod 10 = 9 = 9 = 199 mod 10

m=11: 149 mod 11 = 6 ≠ 1 = 199 mod 11

m=12: 149 mod 12 = 5 ≠ 7 = 199 mod 12

m=13: 149 mod 13 = 6 ≠ 4 = 199 mod 13

m=14: 149 mod 14 = 9 ≠ 3 = 199 mod 14

m=15: 149 mod 15 = 14 ≠ 4 = 199 mod 15

m=16: 149 mod 16 = 5 ≠ 7 = 199 mod 16

m=17: 149 mod 17 = 13 ≠ 12 = 199 mod 17

m=18: 149 mod 18 = 5 ≠ 1 = 199 mod 18

m=19: 149 mod 19 = 16 ≠ 9 = 199 mod 19

m=20: 149 mod 20 = 9 ≠ 19 = 199 mod 20

m=21: 149 mod 21 = 2 ≠ 10 = 199 mod 21

m=22: 149 mod 22 = 17 ≠ 1 = 199 mod 22

m=23: 149 mod 23 = 11 ≠ 15 = 199 mod 23

m=24: 149 mod 24 = 5 ≠ 7 = 199 mod 24

m=25: 149 mod 25 = 24 = 24 = 199 mod 25

m=26: 149 mod 26 = 19 ≠ 17 = 199 mod 26

m=27: 149 mod 27 = 14 ≠ 10 = 199 mod 27

m=28: 149 mod 28 = 9 ≠ 3 = 199 mod 28

m=29: 149 mod 29 = 4 ≠ 25 = 199 mod 29

m=30: 149 mod 30 = 29 ≠ 19 = 199 mod 30

m=31: 149 mod 31 = 25 ≠ 13 = 199 mod 31

m=32: 149 mod 32 = 21 ≠ 7 = 199 mod 32

m=33: 149 mod 33 = 17 ≠ 1 = 199 mod 33

m=34: 149 mod 34 = 13 ≠ 29 = 199 mod 34

m=35: 149 mod 35 = 9 ≠ 24 = 199 mod 35

m=36: 149 mod 36 = 5 ≠ 19 = 199 mod 36

m=37: 149 mod 37 = 1 ≠ 14 = 199 mod 37

m=38: 149 mod 38 = 35 ≠ 9 = 199 mod 38

m=39: 149 mod 39 = 32 ≠ 4 = 199 mod 39

m=40: 149 mod 40 = 29 ≠ 39 = 199 mod 40

m=41: 149 mod 41 = 26 ≠ 35 = 199 mod 41

m=42: 149 mod 42 = 23 ≠ 31 = 199 mod 42

m=43: 149 mod 43 = 20 ≠ 27 = 199 mod 43

m=44: 149 mod 44 = 17 ≠ 23 = 199 mod 44

m=45: 149 mod 45 = 14 ≠ 19 = 199 mod 45

m=46: 149 mod 46 = 11 ≠ 15 = 199 mod 46

m=47: 149 mod 47 = 8 ≠ 11 = 199 mod 47

m=48: 149 mod 48 = 5 ≠ 7 = 199 mod 48

m=49: 149 mod 49 = 2 ≠ 3 = 199 mod 49

m=50: 149 mod 50 = 49 = 49 = 199 mod 50

m=51: 149 mod 51 = 47 ≠ 46 = 199 mod 51

m=52: 149 mod 52 = 45 ≠ 43 = 199 mod 52

m=53: 149 mod 53 = 43 ≠ 40 = 199 mod 53

m=54: 149 mod 54 = 41 ≠ 37 = 199 mod 54

m=55: 149 mod 55 = 39 ≠ 34 = 199 mod 55

m=56: 149 mod 56 = 37 ≠ 31 = 199 mod 56

m=57: 149 mod 57 = 35 ≠ 28 = 199 mod 57

m=58: 149 mod 58 = 33 ≠ 25 = 199 mod 58

m=59: 149 mod 59 = 31 ≠ 22 = 199 mod 59

m=60: 149 mod 60 = 29 ≠ 19 = 199 mod 60

m=61: 149 mod 61 = 27 ≠ 16 = 199 mod 61

m=62: 149 mod 62 = 25 ≠ 13 = 199 mod 62

m=63: 149 mod 63 = 23 ≠ 10 = 199 mod 63

m=64: 149 mod 64 = 21 ≠ 7 = 199 mod 64

m=65: 149 mod 65 = 19 ≠ 4 = 199 mod 65

m=66: 149 mod 66 = 17 ≠ 1 = 199 mod 66

m=67: 149 mod 67 = 15 ≠ 65 = 199 mod 67

m=68: 149 mod 68 = 13 ≠ 63 = 199 mod 68

m=69: 149 mod 69 = 11 ≠ 61 = 199 mod 69

m=70: 149 mod 70 = 9 ≠ 59 = 199 mod 70

m=71: 149 mod 71 = 7 ≠ 57 = 199 mod 71

m=72: 149 mod 72 = 5 ≠ 55 = 199 mod 72

m=73: 149 mod 73 = 3 ≠ 53 = 199 mod 73

m=74: 149 mod 74 = 1 ≠ 51 = 199 mod 74

m=75: 149 mod 75 = 74 ≠ 49 = 199 mod 75

m=76: 149 mod 76 = 73 ≠ 47 = 199 mod 76

m=77: 149 mod 77 = 72 ≠ 45 = 199 mod 77

m=78: 149 mod 78 = 71 ≠ 43 = 199 mod 78

m=79: 149 mod 79 = 70 ≠ 41 = 199 mod 79

m=80: 149 mod 80 = 69 ≠ 39 = 199 mod 80

m=81: 149 mod 81 = 68 ≠ 37 = 199 mod 81

m=82: 149 mod 82 = 67 ≠ 35 = 199 mod 82

m=83: 149 mod 83 = 66 ≠ 33 = 199 mod 83

m=84: 149 mod 84 = 65 ≠ 31 = 199 mod 84

m=85: 149 mod 85 = 64 ≠ 29 = 199 mod 85

m=86: 149 mod 86 = 63 ≠ 27 = 199 mod 86

m=87: 149 mod 87 = 62 ≠ 25 = 199 mod 87

m=88: 149 mod 88 = 61 ≠ 23 = 199 mod 88

m=89: 149 mod 89 = 60 ≠ 21 = 199 mod 89

m=90: 149 mod 90 = 59 ≠ 19 = 199 mod 90

m=91: 149 mod 91 = 58 ≠ 17 = 199 mod 91

m=92: 149 mod 92 = 57 ≠ 15 = 199 mod 92

m=93: 149 mod 93 = 56 ≠ 13 = 199 mod 93

m=94: 149 mod 94 = 55 ≠ 11 = 199 mod 94

m=95: 149 mod 95 = 54 ≠ 9 = 199 mod 95

m=96: 149 mod 96 = 53 ≠ 7 = 199 mod 96

m=97: 149 mod 97 = 52 ≠ 5 = 199 mod 97

m=98: 149 mod 98 = 51 ≠ 3 = 199 mod 98

m=99: 149 mod 99 = 50 ≠ 1 = 199 mod 99

m=100: 149 mod 100 = 49 ≠ 99 = 199 mod 100

m=101: 149 mod 101 = 48 ≠ 98 = 199 mod 101

m=102: 149 mod 102 = 47 ≠ 97 = 199 mod 102

m=103: 149 mod 103 = 46 ≠ 96 = 199 mod 103

m=104: 149 mod 104 = 45 ≠ 95 = 199 mod 104

m=105: 149 mod 105 = 44 ≠ 94 = 199 mod 105

m=106: 149 mod 106 = 43 ≠ 93 = 199 mod 106

m=107: 149 mod 107 = 42 ≠ 92 = 199 mod 107

m=108: 149 mod 108 = 41 ≠ 91 = 199 mod 108

m=109: 149 mod 109 = 40 ≠ 90 = 199 mod 109

m=110: 149 mod 110 = 39 ≠ 89 = 199 mod 110

m=111: 149 mod 111 = 38 ≠ 88 = 199 mod 111

m=112: 149 mod 112 = 37 ≠ 87 = 199 mod 112

m=113: 149 mod 113 = 36 ≠ 86 = 199 mod 113

m=114: 149 mod 114 = 35 ≠ 85 = 199 mod 114

m=115: 149 mod 115 = 34 ≠ 84 = 199 mod 115

m=116: 149 mod 116 = 33 ≠ 83 = 199 mod 116

m=117: 149 mod 117 = 32 ≠ 82 = 199 mod 117

m=118: 149 mod 118 = 31 ≠ 81 = 199 mod 118

m=119: 149 mod 119 = 30 ≠ 80 = 199 mod 119

m=120: 149 mod 120 = 29 ≠ 79 = 199 mod 120

m=121: 149 mod 121 = 28 ≠ 78 = 199 mod 121

m=122: 149 mod 122 = 27 ≠ 77 = 199 mod 122

m=123: 149 mod 123 = 26 ≠ 76 = 199 mod 123

m=124: 149 mod 124 = 25 ≠ 75 = 199 mod 124

m=125: 149 mod 125 = 24 ≠ 74 = 199 mod 125

m=126: 149 mod 126 = 23 ≠ 73 = 199 mod 126

m=127: 149 mod 127 = 22 ≠ 72 = 199 mod 127

m=128: 149 mod 128 = 21 ≠ 71 = 199 mod 128

m=129: 149 mod 129 = 20 ≠ 70 = 199 mod 129

m=130: 149 mod 130 = 19 ≠ 69 = 199 mod 130

m=131: 149 mod 131 = 18 ≠ 68 = 199 mod 131

m=132: 149 mod 132 = 17 ≠ 67 = 199 mod 132

m=133: 149 mod 133 = 16 ≠ 66 = 199 mod 133

m=134: 149 mod 134 = 15 ≠ 65 = 199 mod 134

m=135: 149 mod 135 = 14 ≠ 64 = 199 mod 135

m=136: 149 mod 136 = 13 ≠ 63 = 199 mod 136

m=137: 149 mod 137 = 12 ≠ 62 = 199 mod 137

m=138: 149 mod 138 = 11 ≠ 61 = 199 mod 138

m=139: 149 mod 139 = 10 ≠ 60 = 199 mod 139

m=140: 149 mod 140 = 9 ≠ 59 = 199 mod 140

m=141: 149 mod 141 = 8 ≠ 58 = 199 mod 141

m=142: 149 mod 142 = 7 ≠ 57 = 199 mod 142

m=143: 149 mod 143 = 6 ≠ 56 = 199 mod 143

m=144: 149 mod 144 = 5 ≠ 55 = 199 mod 144

m=145: 149 mod 145 = 4 ≠ 54 = 199 mod 145

m=146: 149 mod 146 = 3 ≠ 53 = 199 mod 146

m=147: 149 mod 147 = 2 ≠ 52 = 199 mod 147

m=148: 149 mod 148 = 1 ≠ 51 = 199 mod 148

m=149: 149 mod 149 = 0 ≠ 50 = 199 mod 149

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (199 - 149) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50