Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 60 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 60, weil ja 12 ⋅ 5 = 60 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 60 - 60 = 0.
Somit gilt: 60 mod 5 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 68 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 68, weil ja 17 ⋅ 4 = 68 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 68 - 68 = 0.
Somit gilt: 68 mod 4 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 0 mod 4.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 50, z.B. 52 = 13 ⋅ 4
Somit gilt: 52 ≡ 68 ≡ 0 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9999 + 24996) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9999 + 24996) mod 5 ≡ (9999 mod 5 + 24996 mod 5) mod 5.
9999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9999
= 9000
24996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24996
= 24000
Somit gilt:
(9999 + 24996) mod 5 ≡ (4 + 1) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 59) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 59) mod 5 ≡ (62 mod 5 ⋅ 59 mod 5) mod 5.
62 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 12 ⋅ 5 + 2 ist.
59 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 55 + 4 = 11 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 59) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
28 mod m = 37 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 28 aus, ob zufällig 28 mod m = 37 mod m gilt:
m=2: 28 mod 2 = 0 ≠ 1 = 37 mod 2
m=3: 28 mod 3 = 1 = 1 = 37 mod 3
m=4: 28 mod 4 = 0 ≠ 1 = 37 mod 4
m=5: 28 mod 5 = 3 ≠ 2 = 37 mod 5
m=6: 28 mod 6 = 4 ≠ 1 = 37 mod 6
m=7: 28 mod 7 = 0 ≠ 2 = 37 mod 7
m=8: 28 mod 8 = 4 ≠ 5 = 37 mod 8
m=9: 28 mod 9 = 1 = 1 = 37 mod 9
m=10: 28 mod 10 = 8 ≠ 7 = 37 mod 10
m=11: 28 mod 11 = 6 ≠ 4 = 37 mod 11
m=12: 28 mod 12 = 4 ≠ 1 = 37 mod 12
m=13: 28 mod 13 = 2 ≠ 11 = 37 mod 13
m=14: 28 mod 14 = 0 ≠ 9 = 37 mod 14
m=15: 28 mod 15 = 13 ≠ 7 = 37 mod 15
m=16: 28 mod 16 = 12 ≠ 5 = 37 mod 16
m=17: 28 mod 17 = 11 ≠ 3 = 37 mod 17
m=18: 28 mod 18 = 10 ≠ 1 = 37 mod 18
m=19: 28 mod 19 = 9 ≠ 18 = 37 mod 19
m=20: 28 mod 20 = 8 ≠ 17 = 37 mod 20
m=21: 28 mod 21 = 7 ≠ 16 = 37 mod 21
m=22: 28 mod 22 = 6 ≠ 15 = 37 mod 22
m=23: 28 mod 23 = 5 ≠ 14 = 37 mod 23
m=24: 28 mod 24 = 4 ≠ 13 = 37 mod 24
m=25: 28 mod 25 = 3 ≠ 12 = 37 mod 25
m=26: 28 mod 26 = 2 ≠ 11 = 37 mod 26
m=27: 28 mod 27 = 1 ≠ 10 = 37 mod 27
m=28: 28 mod 28 = 0 ≠ 9 = 37 mod 28
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (37 - 28) = 9 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 9
