Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 100 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 99, weil ja 11 ⋅ 9 = 99 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 100 - 99 = 1.
Somit gilt: 100 mod 9 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 77 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 77, weil ja 11 ⋅ 7 = 77 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 77 - 77 = 0.
Somit gilt: 77 mod 7 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 0 mod 7.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 10, z.B. 14 = 2 ⋅ 7
Somit gilt: 14 ≡ 77 ≡ 0 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (72 - 21002) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(72 - 21002) mod 7 ≡ (72 mod 7 - 21002 mod 7) mod 7.
72 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72
= 70
21002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21002
= 21000
Somit gilt:
(72 - 21002) mod 7 ≡ (2 - 2) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 95) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 95) mod 6 ≡ (30 mod 6 ⋅ 95 mod 6) mod 6.
30 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 5 ⋅ 6 + 0 ist.
95 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 15 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 95) mod 6 ≡ (0 ⋅ 5) mod 6 ≡ 0 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
22 mod m = 28 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 28 mod m gilt:
m=2: 22 mod 2 = 0 = 0 = 28 mod 2
m=3: 22 mod 3 = 1 = 1 = 28 mod 3
m=4: 22 mod 4 = 2 ≠ 0 = 28 mod 4
m=5: 22 mod 5 = 2 ≠ 3 = 28 mod 5
m=6: 22 mod 6 = 4 = 4 = 28 mod 6
m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 0 = 28 mod 7
m=8: 22 mod 8 = 6 ≠ 4 = 28 mod 8
m=9: 22 mod 9 = 4 ≠ 1 = 28 mod 9
m=10: 22 mod 10 = 2 ≠ 8 = 28 mod 10
m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 6 = 28 mod 11
m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 4 = 28 mod 12
m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 2 = 28 mod 13
m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 0 = 28 mod 14
m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 13 = 28 mod 15
m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 12 = 28 mod 16
m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 11 = 28 mod 17
m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 10 = 28 mod 18
m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 9 = 28 mod 19
m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 8 = 28 mod 20
m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 7 = 28 mod 21
m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 6 = 28 mod 22
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (28 - 22) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
