Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 25, weil ja 5 ⋅ 5 = 25 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 28 - 25 = 3.

Somit gilt: 28 mod 5 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 70, weil ja 7 ⋅ 10 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 77 - 70 = 7.

Somit gilt: 77 mod 10 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 40 für die gilt: n ≡ 7 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 3 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 7 mod 10 sein, also addieren wir noch 7 auf die 30 und erhalten so 37.

Somit gilt: 37 ≡ 77 ≡ 7 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4496 + 45006) mod 9 ≡ (4496 mod 9 + 45006 mod 9) mod 9.

4496 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4496 = 4500-4 = 9 ⋅ 500 -4 = 9 ⋅ 500 - 9 + 5.

45006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45006 = 45000+6 = 9 ⋅ 5000 +6.

Somit gilt:

(4496 + 45006) mod 9 ≡ (5 + 6) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 85) mod 6 ≡ (68 mod 6 ⋅ 85 mod 6) mod 6.

68 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 11 ⋅ 6 + 2 ist.

85 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 14 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 85) mod 6 ≡ (2 ⋅ 1) mod 6 ≡ 2 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 24 aus, ob zufällig 24 mod m = 34 mod m gilt:

m=2: 24 mod 2 = 0 = 0 = 34 mod 2

m=3: 24 mod 3 = 0 ≠ 1 = 34 mod 3

m=4: 24 mod 4 = 0 ≠ 2 = 34 mod 4

m=5: 24 mod 5 = 4 = 4 = 34 mod 5

m=6: 24 mod 6 = 0 ≠ 4 = 34 mod 6

m=7: 24 mod 7 = 3 ≠ 6 = 34 mod 7

m=8: 24 mod 8 = 0 ≠ 2 = 34 mod 8

m=9: 24 mod 9 = 6 ≠ 7 = 34 mod 9

m=10: 24 mod 10 = 4 = 4 = 34 mod 10

m=11: 24 mod 11 = 2 ≠ 1 = 34 mod 11

m=12: 24 mod 12 = 0 ≠ 10 = 34 mod 12

m=13: 24 mod 13 = 11 ≠ 8 = 34 mod 13

m=14: 24 mod 14 = 10 ≠ 6 = 34 mod 14

m=15: 24 mod 15 = 9 ≠ 4 = 34 mod 15

m=16: 24 mod 16 = 8 ≠ 2 = 34 mod 16

m=17: 24 mod 17 = 7 ≠ 0 = 34 mod 17

m=18: 24 mod 18 = 6 ≠ 16 = 34 mod 18

m=19: 24 mod 19 = 5 ≠ 15 = 34 mod 19

m=20: 24 mod 20 = 4 ≠ 14 = 34 mod 20

m=21: 24 mod 21 = 3 ≠ 13 = 34 mod 21

m=22: 24 mod 22 = 2 ≠ 12 = 34 mod 22

m=23: 24 mod 23 = 1 ≠ 11 = 34 mod 23

m=24: 24 mod 24 = 0 ≠ 10 = 34 mod 24

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (34 - 24) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10