Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 78, weil ja 26 ⋅ 3 = 78 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 80 - 78 = 2.

Somit gilt: 80 mod 3 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 55, weil ja 11 ⋅ 5 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 57 - 55 = 2.

Somit gilt: 57 mod 5 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 2 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 14 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 2 mod 5 sein, also addieren wir noch 2 auf die 70 und erhalten so 72.

Somit gilt: 72 ≡ 57 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 - 20003) mod 5 ≡ (51 mod 5 - 20003 mod 5) mod 5.

51 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 50+1 = 5 ⋅ 10 +1.

20003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20003 = 20000+3 = 5 ⋅ 4000 +3.

Somit gilt:

(51 - 20003) mod 5 ≡ (1 - 3) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 19) mod 7 ≡ (68 mod 7 ⋅ 19 mod 7) mod 7.

68 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 63 + 5 = 9 ⋅ 7 + 5 ist.

19 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 14 + 5 = 2 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 19) mod 7 ≡ (5 ⋅ 5) mod 7 ≡ 25 mod 7 ≡ 4 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 80 aus, ob zufällig 80 mod m = 105 mod m gilt:

m=2: 80 mod 2 = 0 ≠ 1 = 105 mod 2

m=3: 80 mod 3 = 2 ≠ 0 = 105 mod 3

m=4: 80 mod 4 = 0 ≠ 1 = 105 mod 4

m=5: 80 mod 5 = 0 = 0 = 105 mod 5

m=6: 80 mod 6 = 2 ≠ 3 = 105 mod 6

m=7: 80 mod 7 = 3 ≠ 0 = 105 mod 7

m=8: 80 mod 8 = 0 ≠ 1 = 105 mod 8

m=9: 80 mod 9 = 8 ≠ 6 = 105 mod 9

m=10: 80 mod 10 = 0 ≠ 5 = 105 mod 10

m=11: 80 mod 11 = 3 ≠ 6 = 105 mod 11

m=12: 80 mod 12 = 8 ≠ 9 = 105 mod 12

m=13: 80 mod 13 = 2 ≠ 1 = 105 mod 13

m=14: 80 mod 14 = 10 ≠ 7 = 105 mod 14

m=15: 80 mod 15 = 5 ≠ 0 = 105 mod 15

m=16: 80 mod 16 = 0 ≠ 9 = 105 mod 16

m=17: 80 mod 17 = 12 ≠ 3 = 105 mod 17

m=18: 80 mod 18 = 8 ≠ 15 = 105 mod 18

m=19: 80 mod 19 = 4 ≠ 10 = 105 mod 19

m=20: 80 mod 20 = 0 ≠ 5 = 105 mod 20

m=21: 80 mod 21 = 17 ≠ 0 = 105 mod 21

m=22: 80 mod 22 = 14 ≠ 17 = 105 mod 22

m=23: 80 mod 23 = 11 ≠ 13 = 105 mod 23

m=24: 80 mod 24 = 8 ≠ 9 = 105 mod 24

m=25: 80 mod 25 = 5 = 5 = 105 mod 25

m=26: 80 mod 26 = 2 ≠ 1 = 105 mod 26

m=27: 80 mod 27 = 26 ≠ 24 = 105 mod 27

m=28: 80 mod 28 = 24 ≠ 21 = 105 mod 28

m=29: 80 mod 29 = 22 ≠ 18 = 105 mod 29

m=30: 80 mod 30 = 20 ≠ 15 = 105 mod 30

m=31: 80 mod 31 = 18 ≠ 12 = 105 mod 31

m=32: 80 mod 32 = 16 ≠ 9 = 105 mod 32

m=33: 80 mod 33 = 14 ≠ 6 = 105 mod 33

m=34: 80 mod 34 = 12 ≠ 3 = 105 mod 34

m=35: 80 mod 35 = 10 ≠ 0 = 105 mod 35

m=36: 80 mod 36 = 8 ≠ 33 = 105 mod 36

m=37: 80 mod 37 = 6 ≠ 31 = 105 mod 37

m=38: 80 mod 38 = 4 ≠ 29 = 105 mod 38

m=39: 80 mod 39 = 2 ≠ 27 = 105 mod 39

m=40: 80 mod 40 = 0 ≠ 25 = 105 mod 40

m=41: 80 mod 41 = 39 ≠ 23 = 105 mod 41

m=42: 80 mod 42 = 38 ≠ 21 = 105 mod 42

m=43: 80 mod 43 = 37 ≠ 19 = 105 mod 43

m=44: 80 mod 44 = 36 ≠ 17 = 105 mod 44

m=45: 80 mod 45 = 35 ≠ 15 = 105 mod 45

m=46: 80 mod 46 = 34 ≠ 13 = 105 mod 46

m=47: 80 mod 47 = 33 ≠ 11 = 105 mod 47

m=48: 80 mod 48 = 32 ≠ 9 = 105 mod 48

m=49: 80 mod 49 = 31 ≠ 7 = 105 mod 49

m=50: 80 mod 50 = 30 ≠ 5 = 105 mod 50

m=51: 80 mod 51 = 29 ≠ 3 = 105 mod 51

m=52: 80 mod 52 = 28 ≠ 1 = 105 mod 52

m=53: 80 mod 53 = 27 ≠ 52 = 105 mod 53

m=54: 80 mod 54 = 26 ≠ 51 = 105 mod 54

m=55: 80 mod 55 = 25 ≠ 50 = 105 mod 55

m=56: 80 mod 56 = 24 ≠ 49 = 105 mod 56

m=57: 80 mod 57 = 23 ≠ 48 = 105 mod 57

m=58: 80 mod 58 = 22 ≠ 47 = 105 mod 58

m=59: 80 mod 59 = 21 ≠ 46 = 105 mod 59

m=60: 80 mod 60 = 20 ≠ 45 = 105 mod 60

m=61: 80 mod 61 = 19 ≠ 44 = 105 mod 61

m=62: 80 mod 62 = 18 ≠ 43 = 105 mod 62

m=63: 80 mod 63 = 17 ≠ 42 = 105 mod 63

m=64: 80 mod 64 = 16 ≠ 41 = 105 mod 64

m=65: 80 mod 65 = 15 ≠ 40 = 105 mod 65

m=66: 80 mod 66 = 14 ≠ 39 = 105 mod 66

m=67: 80 mod 67 = 13 ≠ 38 = 105 mod 67

m=68: 80 mod 68 = 12 ≠ 37 = 105 mod 68

m=69: 80 mod 69 = 11 ≠ 36 = 105 mod 69

m=70: 80 mod 70 = 10 ≠ 35 = 105 mod 70

m=71: 80 mod 71 = 9 ≠ 34 = 105 mod 71

m=72: 80 mod 72 = 8 ≠ 33 = 105 mod 72

m=73: 80 mod 73 = 7 ≠ 32 = 105 mod 73

m=74: 80 mod 74 = 6 ≠ 31 = 105 mod 74

m=75: 80 mod 75 = 5 ≠ 30 = 105 mod 75

m=76: 80 mod 76 = 4 ≠ 29 = 105 mod 76

m=77: 80 mod 77 = 3 ≠ 28 = 105 mod 77

m=78: 80 mod 78 = 2 ≠ 27 = 105 mod 78

m=79: 80 mod 79 = 1 ≠ 26 = 105 mod 79

m=80: 80 mod 80 = 0 ≠ 25 = 105 mod 80

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (105 - 80) = 25 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

5; 25