Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 39 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 39 - 36 = 3.
Somit gilt: 39 mod 9 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 77 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 76, weil ja 19 ⋅ 4 = 76 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 77 - 76 = 1.
Somit gilt: 77 mod 4 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 90, z.B. 92 = 23 ⋅ 4
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 92 und erhalten so 93.
Somit gilt: 93 ≡ 77 ≡ 1 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 - 795) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 - 795) mod 8 ≡ (79 mod 8 - 795 mod 8) mod 8.
79 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79
= 80
795 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 795
= 800
Somit gilt:
(79 - 795) mod 8 ≡ (7 - 3) mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 21) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 21) mod 10 ≡ (18 mod 10 ⋅ 21 mod 10) mod 10.
18 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 10 + 8 = 1 ⋅ 10 + 8 ist.
21 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 2 ⋅ 10 + 1 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 21) mod 10 ≡ (8 ⋅ 1) mod 10 ≡ 8 mod 10.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
25 mod m = 37 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 25 aus, ob zufällig 25 mod m = 37 mod m gilt:
m=2: 25 mod 2 = 1 = 1 = 37 mod 2
m=3: 25 mod 3 = 1 = 1 = 37 mod 3
m=4: 25 mod 4 = 1 = 1 = 37 mod 4
m=5: 25 mod 5 = 0 ≠ 2 = 37 mod 5
m=6: 25 mod 6 = 1 = 1 = 37 mod 6
m=7: 25 mod 7 = 4 ≠ 2 = 37 mod 7
m=8: 25 mod 8 = 1 ≠ 5 = 37 mod 8
m=9: 25 mod 9 = 7 ≠ 1 = 37 mod 9
m=10: 25 mod 10 = 5 ≠ 7 = 37 mod 10
m=11: 25 mod 11 = 3 ≠ 4 = 37 mod 11
m=12: 25 mod 12 = 1 = 1 = 37 mod 12
m=13: 25 mod 13 = 12 ≠ 11 = 37 mod 13
m=14: 25 mod 14 = 11 ≠ 9 = 37 mod 14
m=15: 25 mod 15 = 10 ≠ 7 = 37 mod 15
m=16: 25 mod 16 = 9 ≠ 5 = 37 mod 16
m=17: 25 mod 17 = 8 ≠ 3 = 37 mod 17
m=18: 25 mod 18 = 7 ≠ 1 = 37 mod 18
m=19: 25 mod 19 = 6 ≠ 18 = 37 mod 19
m=20: 25 mod 20 = 5 ≠ 17 = 37 mod 20
m=21: 25 mod 21 = 4 ≠ 16 = 37 mod 21
m=22: 25 mod 22 = 3 ≠ 15 = 37 mod 22
m=23: 25 mod 23 = 2 ≠ 14 = 37 mod 23
m=24: 25 mod 24 = 1 ≠ 13 = 37 mod 24
m=25: 25 mod 25 = 0 ≠ 12 = 37 mod 25
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (37 - 25) = 12 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 4; 6; 12
