Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 88, weil ja 11 ⋅ 8 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 93 - 88 = 5.

Somit gilt: 93 mod 8 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 40, weil ja 4 ⋅ 10 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 45 - 40 = 5.

Somit gilt: 45 mod 10 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 70 für die gilt: n ≡ 5 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 6 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 5 mod 10 sein, also addieren wir noch 5 auf die 60 und erhalten so 65.

Somit gilt: 65 ≡ 45 ≡ 5 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(891 - 1808) mod 9 ≡ (891 mod 9 - 1808 mod 9) mod 9.

891 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 891 = 900-9 = 9 ⋅ 100 -9 = 9 ⋅ 100 - 9 + 0.

1808 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1808 = 1800+8 = 9 ⋅ 200 +8.

Somit gilt:

(891 - 1808) mod 9 ≡ (0 - 8) mod 9 ≡ -8 mod 9 ≡ 1 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 19) mod 5 ≡ (57 mod 5 ⋅ 19 mod 5) mod 5.

57 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 55 + 2 = 11 ⋅ 5 + 2 ist.

19 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 15 + 4 = 3 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 19) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 74 aus, ob zufällig 74 mod m = 101 mod m gilt:

m=2: 74 mod 2 = 0 ≠ 1 = 101 mod 2

m=3: 74 mod 3 = 2 = 2 = 101 mod 3

m=4: 74 mod 4 = 2 ≠ 1 = 101 mod 4

m=5: 74 mod 5 = 4 ≠ 1 = 101 mod 5

m=6: 74 mod 6 = 2 ≠ 5 = 101 mod 6

m=7: 74 mod 7 = 4 ≠ 3 = 101 mod 7

m=8: 74 mod 8 = 2 ≠ 5 = 101 mod 8

m=9: 74 mod 9 = 2 = 2 = 101 mod 9

m=10: 74 mod 10 = 4 ≠ 1 = 101 mod 10

m=11: 74 mod 11 = 8 ≠ 2 = 101 mod 11

m=12: 74 mod 12 = 2 ≠ 5 = 101 mod 12

m=13: 74 mod 13 = 9 ≠ 10 = 101 mod 13

m=14: 74 mod 14 = 4 ≠ 3 = 101 mod 14

m=15: 74 mod 15 = 14 ≠ 11 = 101 mod 15

m=16: 74 mod 16 = 10 ≠ 5 = 101 mod 16

m=17: 74 mod 17 = 6 ≠ 16 = 101 mod 17

m=18: 74 mod 18 = 2 ≠ 11 = 101 mod 18

m=19: 74 mod 19 = 17 ≠ 6 = 101 mod 19

m=20: 74 mod 20 = 14 ≠ 1 = 101 mod 20

m=21: 74 mod 21 = 11 ≠ 17 = 101 mod 21

m=22: 74 mod 22 = 8 ≠ 13 = 101 mod 22

m=23: 74 mod 23 = 5 ≠ 9 = 101 mod 23

m=24: 74 mod 24 = 2 ≠ 5 = 101 mod 24

m=25: 74 mod 25 = 24 ≠ 1 = 101 mod 25

m=26: 74 mod 26 = 22 ≠ 23 = 101 mod 26

m=27: 74 mod 27 = 20 = 20 = 101 mod 27

m=28: 74 mod 28 = 18 ≠ 17 = 101 mod 28

m=29: 74 mod 29 = 16 ≠ 14 = 101 mod 29

m=30: 74 mod 30 = 14 ≠ 11 = 101 mod 30

m=31: 74 mod 31 = 12 ≠ 8 = 101 mod 31

m=32: 74 mod 32 = 10 ≠ 5 = 101 mod 32

m=33: 74 mod 33 = 8 ≠ 2 = 101 mod 33

m=34: 74 mod 34 = 6 ≠ 33 = 101 mod 34

m=35: 74 mod 35 = 4 ≠ 31 = 101 mod 35

m=36: 74 mod 36 = 2 ≠ 29 = 101 mod 36

m=37: 74 mod 37 = 0 ≠ 27 = 101 mod 37

m=38: 74 mod 38 = 36 ≠ 25 = 101 mod 38

m=39: 74 mod 39 = 35 ≠ 23 = 101 mod 39

m=40: 74 mod 40 = 34 ≠ 21 = 101 mod 40

m=41: 74 mod 41 = 33 ≠ 19 = 101 mod 41

m=42: 74 mod 42 = 32 ≠ 17 = 101 mod 42

m=43: 74 mod 43 = 31 ≠ 15 = 101 mod 43

m=44: 74 mod 44 = 30 ≠ 13 = 101 mod 44

m=45: 74 mod 45 = 29 ≠ 11 = 101 mod 45

m=46: 74 mod 46 = 28 ≠ 9 = 101 mod 46

m=47: 74 mod 47 = 27 ≠ 7 = 101 mod 47

m=48: 74 mod 48 = 26 ≠ 5 = 101 mod 48

m=49: 74 mod 49 = 25 ≠ 3 = 101 mod 49

m=50: 74 mod 50 = 24 ≠ 1 = 101 mod 50

m=51: 74 mod 51 = 23 ≠ 50 = 101 mod 51

m=52: 74 mod 52 = 22 ≠ 49 = 101 mod 52

m=53: 74 mod 53 = 21 ≠ 48 = 101 mod 53

m=54: 74 mod 54 = 20 ≠ 47 = 101 mod 54

m=55: 74 mod 55 = 19 ≠ 46 = 101 mod 55

m=56: 74 mod 56 = 18 ≠ 45 = 101 mod 56

m=57: 74 mod 57 = 17 ≠ 44 = 101 mod 57

m=58: 74 mod 58 = 16 ≠ 43 = 101 mod 58

m=59: 74 mod 59 = 15 ≠ 42 = 101 mod 59

m=60: 74 mod 60 = 14 ≠ 41 = 101 mod 60

m=61: 74 mod 61 = 13 ≠ 40 = 101 mod 61

m=62: 74 mod 62 = 12 ≠ 39 = 101 mod 62

m=63: 74 mod 63 = 11 ≠ 38 = 101 mod 63

m=64: 74 mod 64 = 10 ≠ 37 = 101 mod 64

m=65: 74 mod 65 = 9 ≠ 36 = 101 mod 65

m=66: 74 mod 66 = 8 ≠ 35 = 101 mod 66

m=67: 74 mod 67 = 7 ≠ 34 = 101 mod 67

m=68: 74 mod 68 = 6 ≠ 33 = 101 mod 68

m=69: 74 mod 69 = 5 ≠ 32 = 101 mod 69

m=70: 74 mod 70 = 4 ≠ 31 = 101 mod 70

m=71: 74 mod 71 = 3 ≠ 30 = 101 mod 71

m=72: 74 mod 72 = 2 ≠ 29 = 101 mod 72

m=73: 74 mod 73 = 1 ≠ 28 = 101 mod 73

m=74: 74 mod 74 = 0 ≠ 27 = 101 mod 74

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (101 - 74) = 27 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9; 27