Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 39, weil ja 13 ⋅ 3 = 39 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 39 - 39 = 0.

Somit gilt: 39 mod 3 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 50, weil ja 5 ⋅ 10 = 50 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 58 - 50 = 8.

Somit gilt: 58 mod 10 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 90 für die gilt: n ≡ 8 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 8 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 8 mod 10 sein, also addieren wir noch 8 auf die 80 und erhalten so 88.

Somit gilt: 88 ≡ 58 ≡ 8 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11994 + 298) mod 6 ≡ (11994 mod 6 + 298 mod 6) mod 6.

11994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11994 = 12000-6 = 6 ⋅ 2000 -6 = 6 ⋅ 2000 - 6 + 0.

298 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 298 = 300-2 = 6 ⋅ 50 -2 = 6 ⋅ 50 - 6 + 4.

Somit gilt:

(11994 + 298) mod 6 ≡ (0 + 4) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 45) mod 8 ≡ (38 mod 8 ⋅ 45 mod 8) mod 8.

38 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 32 + 6 = 4 ⋅ 8 + 6 ist.

45 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 40 + 5 = 5 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 45) mod 8 ≡ (6 ⋅ 5) mod 8 ≡ 30 mod 8 ≡ 6 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 85 aus, ob zufällig 85 mod m = 112 mod m gilt:

m=2: 85 mod 2 = 1 ≠ 0 = 112 mod 2

m=3: 85 mod 3 = 1 = 1 = 112 mod 3

m=4: 85 mod 4 = 1 ≠ 0 = 112 mod 4

m=5: 85 mod 5 = 0 ≠ 2 = 112 mod 5

m=6: 85 mod 6 = 1 ≠ 4 = 112 mod 6

m=7: 85 mod 7 = 1 ≠ 0 = 112 mod 7

m=8: 85 mod 8 = 5 ≠ 0 = 112 mod 8

m=9: 85 mod 9 = 4 = 4 = 112 mod 9

m=10: 85 mod 10 = 5 ≠ 2 = 112 mod 10

m=11: 85 mod 11 = 8 ≠ 2 = 112 mod 11

m=12: 85 mod 12 = 1 ≠ 4 = 112 mod 12

m=13: 85 mod 13 = 7 ≠ 8 = 112 mod 13

m=14: 85 mod 14 = 1 ≠ 0 = 112 mod 14

m=15: 85 mod 15 = 10 ≠ 7 = 112 mod 15

m=16: 85 mod 16 = 5 ≠ 0 = 112 mod 16

m=17: 85 mod 17 = 0 ≠ 10 = 112 mod 17

m=18: 85 mod 18 = 13 ≠ 4 = 112 mod 18

m=19: 85 mod 19 = 9 ≠ 17 = 112 mod 19

m=20: 85 mod 20 = 5 ≠ 12 = 112 mod 20

m=21: 85 mod 21 = 1 ≠ 7 = 112 mod 21

m=22: 85 mod 22 = 19 ≠ 2 = 112 mod 22

m=23: 85 mod 23 = 16 ≠ 20 = 112 mod 23

m=24: 85 mod 24 = 13 ≠ 16 = 112 mod 24

m=25: 85 mod 25 = 10 ≠ 12 = 112 mod 25

m=26: 85 mod 26 = 7 ≠ 8 = 112 mod 26

m=27: 85 mod 27 = 4 = 4 = 112 mod 27

m=28: 85 mod 28 = 1 ≠ 0 = 112 mod 28

m=29: 85 mod 29 = 27 ≠ 25 = 112 mod 29

m=30: 85 mod 30 = 25 ≠ 22 = 112 mod 30

m=31: 85 mod 31 = 23 ≠ 19 = 112 mod 31

m=32: 85 mod 32 = 21 ≠ 16 = 112 mod 32

m=33: 85 mod 33 = 19 ≠ 13 = 112 mod 33

m=34: 85 mod 34 = 17 ≠ 10 = 112 mod 34

m=35: 85 mod 35 = 15 ≠ 7 = 112 mod 35

m=36: 85 mod 36 = 13 ≠ 4 = 112 mod 36

m=37: 85 mod 37 = 11 ≠ 1 = 112 mod 37

m=38: 85 mod 38 = 9 ≠ 36 = 112 mod 38

m=39: 85 mod 39 = 7 ≠ 34 = 112 mod 39

m=40: 85 mod 40 = 5 ≠ 32 = 112 mod 40

m=41: 85 mod 41 = 3 ≠ 30 = 112 mod 41

m=42: 85 mod 42 = 1 ≠ 28 = 112 mod 42

m=43: 85 mod 43 = 42 ≠ 26 = 112 mod 43

m=44: 85 mod 44 = 41 ≠ 24 = 112 mod 44

m=45: 85 mod 45 = 40 ≠ 22 = 112 mod 45

m=46: 85 mod 46 = 39 ≠ 20 = 112 mod 46

m=47: 85 mod 47 = 38 ≠ 18 = 112 mod 47

m=48: 85 mod 48 = 37 ≠ 16 = 112 mod 48

m=49: 85 mod 49 = 36 ≠ 14 = 112 mod 49

m=50: 85 mod 50 = 35 ≠ 12 = 112 mod 50

m=51: 85 mod 51 = 34 ≠ 10 = 112 mod 51

m=52: 85 mod 52 = 33 ≠ 8 = 112 mod 52

m=53: 85 mod 53 = 32 ≠ 6 = 112 mod 53

m=54: 85 mod 54 = 31 ≠ 4 = 112 mod 54

m=55: 85 mod 55 = 30 ≠ 2 = 112 mod 55

m=56: 85 mod 56 = 29 ≠ 0 = 112 mod 56

m=57: 85 mod 57 = 28 ≠ 55 = 112 mod 57

m=58: 85 mod 58 = 27 ≠ 54 = 112 mod 58

m=59: 85 mod 59 = 26 ≠ 53 = 112 mod 59

m=60: 85 mod 60 = 25 ≠ 52 = 112 mod 60

m=61: 85 mod 61 = 24 ≠ 51 = 112 mod 61

m=62: 85 mod 62 = 23 ≠ 50 = 112 mod 62

m=63: 85 mod 63 = 22 ≠ 49 = 112 mod 63

m=64: 85 mod 64 = 21 ≠ 48 = 112 mod 64

m=65: 85 mod 65 = 20 ≠ 47 = 112 mod 65

m=66: 85 mod 66 = 19 ≠ 46 = 112 mod 66

m=67: 85 mod 67 = 18 ≠ 45 = 112 mod 67

m=68: 85 mod 68 = 17 ≠ 44 = 112 mod 68

m=69: 85 mod 69 = 16 ≠ 43 = 112 mod 69

m=70: 85 mod 70 = 15 ≠ 42 = 112 mod 70

m=71: 85 mod 71 = 14 ≠ 41 = 112 mod 71

m=72: 85 mod 72 = 13 ≠ 40 = 112 mod 72

m=73: 85 mod 73 = 12 ≠ 39 = 112 mod 73

m=74: 85 mod 74 = 11 ≠ 38 = 112 mod 74

m=75: 85 mod 75 = 10 ≠ 37 = 112 mod 75

m=76: 85 mod 76 = 9 ≠ 36 = 112 mod 76

m=77: 85 mod 77 = 8 ≠ 35 = 112 mod 77

m=78: 85 mod 78 = 7 ≠ 34 = 112 mod 78

m=79: 85 mod 79 = 6 ≠ 33 = 112 mod 79

m=80: 85 mod 80 = 5 ≠ 32 = 112 mod 80

m=81: 85 mod 81 = 4 ≠ 31 = 112 mod 81

m=82: 85 mod 82 = 3 ≠ 30 = 112 mod 82

m=83: 85 mod 83 = 2 ≠ 29 = 112 mod 83

m=84: 85 mod 84 = 1 ≠ 28 = 112 mod 84

m=85: 85 mod 85 = 0 ≠ 27 = 112 mod 85

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (112 - 85) = 27 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9; 27