Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 45, weil ja 5 ⋅ 9 = 45 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 53 - 45 = 8.

Somit gilt: 53 mod 9 ≡ 8.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 60, weil ja 10 ⋅ 6 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 62 - 60 = 2.

Somit gilt: 62 mod 6 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 2 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 80, z.B. 78 = 13 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 2 mod 6 sein, also addieren wir noch 2 auf die 78 und erhalten so 80.

Somit gilt: 80 ≡ 62 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 - 1200) mod 3 ≡ (30 mod 3 - 1200 mod 3) mod 3.

30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30+0 = 3 ⋅ 10 +0.

1200 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 3 ⋅ 400 +0.

Somit gilt:

(30 - 1200) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 78) mod 5 ≡ (71 mod 5 ⋅ 78 mod 5) mod 5.

71 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 14 ⋅ 5 + 1 ist.

78 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 75 + 3 = 15 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 78) mod 5 ≡ (1 ⋅ 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 30 aus, ob zufällig 30 mod m = 38 mod m gilt:

m=2: 30 mod 2 = 0 = 0 = 38 mod 2

m=3: 30 mod 3 = 0 ≠ 2 = 38 mod 3

m=4: 30 mod 4 = 2 = 2 = 38 mod 4

m=5: 30 mod 5 = 0 ≠ 3 = 38 mod 5

m=6: 30 mod 6 = 0 ≠ 2 = 38 mod 6

m=7: 30 mod 7 = 2 ≠ 3 = 38 mod 7

m=8: 30 mod 8 = 6 = 6 = 38 mod 8

m=9: 30 mod 9 = 3 ≠ 2 = 38 mod 9

m=10: 30 mod 10 = 0 ≠ 8 = 38 mod 10

m=11: 30 mod 11 = 8 ≠ 5 = 38 mod 11

m=12: 30 mod 12 = 6 ≠ 2 = 38 mod 12

m=13: 30 mod 13 = 4 ≠ 12 = 38 mod 13

m=14: 30 mod 14 = 2 ≠ 10 = 38 mod 14

m=15: 30 mod 15 = 0 ≠ 8 = 38 mod 15

m=16: 30 mod 16 = 14 ≠ 6 = 38 mod 16

m=17: 30 mod 17 = 13 ≠ 4 = 38 mod 17

m=18: 30 mod 18 = 12 ≠ 2 = 38 mod 18

m=19: 30 mod 19 = 11 ≠ 0 = 38 mod 19

m=20: 30 mod 20 = 10 ≠ 18 = 38 mod 20

m=21: 30 mod 21 = 9 ≠ 17 = 38 mod 21

m=22: 30 mod 22 = 8 ≠ 16 = 38 mod 22

m=23: 30 mod 23 = 7 ≠ 15 = 38 mod 23

m=24: 30 mod 24 = 6 ≠ 14 = 38 mod 24

m=25: 30 mod 25 = 5 ≠ 13 = 38 mod 25

m=26: 30 mod 26 = 4 ≠ 12 = 38 mod 26

m=27: 30 mod 27 = 3 ≠ 11 = 38 mod 27

m=28: 30 mod 28 = 2 ≠ 10 = 38 mod 28

m=29: 30 mod 29 = 1 ≠ 9 = 38 mod 29

m=30: 30 mod 30 = 0 ≠ 8 = 38 mod 30

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (38 - 30) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8