Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 87, weil ja 29 ⋅ 3 = 87 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 88 - 87 = 1.

Somit gilt: 88 mod 3 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 36, weil ja 6 ⋅ 6 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 39 - 36 = 3.

Somit gilt: 39 mod 6 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 3 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 20, z.B. 18 = 3 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 3 mod 6 sein, also addieren wir noch 3 auf die 18 und erhalten so 21.

Somit gilt: 21 ≡ 39 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4001 - 39993) mod 8 ≡ (4001 mod 8 - 39993 mod 8) mod 8.

4001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4001 = 4000+1 = 8 ⋅ 500 +1.

39993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39993 = 39000+993 = 8 ⋅ 4875 +993.

Somit gilt:

(4001 - 39993) mod 8 ≡ (1 - 1) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 84) mod 10 ≡ (41 mod 10 ⋅ 84 mod 10) mod 10.

41 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 4 ⋅ 10 + 1 ist.

84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 84) mod 10 ≡ (1 ⋅ 4) mod 10 ≡ 4 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 242 aus, ob zufällig 242 mod m = 317 mod m gilt:

m=2: 242 mod 2 = 0 ≠ 1 = 317 mod 2

m=3: 242 mod 3 = 2 = 2 = 317 mod 3

m=4: 242 mod 4 = 2 ≠ 1 = 317 mod 4

m=5: 242 mod 5 = 2 = 2 = 317 mod 5

m=6: 242 mod 6 = 2 ≠ 5 = 317 mod 6

m=7: 242 mod 7 = 4 ≠ 2 = 317 mod 7

m=8: 242 mod 8 = 2 ≠ 5 = 317 mod 8

m=9: 242 mod 9 = 8 ≠ 2 = 317 mod 9

m=10: 242 mod 10 = 2 ≠ 7 = 317 mod 10

m=11: 242 mod 11 = 0 ≠ 9 = 317 mod 11

m=12: 242 mod 12 = 2 ≠ 5 = 317 mod 12

m=13: 242 mod 13 = 8 ≠ 5 = 317 mod 13

m=14: 242 mod 14 = 4 ≠ 9 = 317 mod 14

m=15: 242 mod 15 = 2 = 2 = 317 mod 15

m=16: 242 mod 16 = 2 ≠ 13 = 317 mod 16

m=17: 242 mod 17 = 4 ≠ 11 = 317 mod 17

m=18: 242 mod 18 = 8 ≠ 11 = 317 mod 18

m=19: 242 mod 19 = 14 ≠ 13 = 317 mod 19

m=20: 242 mod 20 = 2 ≠ 17 = 317 mod 20

m=21: 242 mod 21 = 11 ≠ 2 = 317 mod 21

m=22: 242 mod 22 = 0 ≠ 9 = 317 mod 22

m=23: 242 mod 23 = 12 ≠ 18 = 317 mod 23

m=24: 242 mod 24 = 2 ≠ 5 = 317 mod 24

m=25: 242 mod 25 = 17 = 17 = 317 mod 25

m=26: 242 mod 26 = 8 ≠ 5 = 317 mod 26

m=27: 242 mod 27 = 26 ≠ 20 = 317 mod 27

m=28: 242 mod 28 = 18 ≠ 9 = 317 mod 28

m=29: 242 mod 29 = 10 ≠ 27 = 317 mod 29

m=30: 242 mod 30 = 2 ≠ 17 = 317 mod 30

m=31: 242 mod 31 = 25 ≠ 7 = 317 mod 31

m=32: 242 mod 32 = 18 ≠ 29 = 317 mod 32

m=33: 242 mod 33 = 11 ≠ 20 = 317 mod 33

m=34: 242 mod 34 = 4 ≠ 11 = 317 mod 34

m=35: 242 mod 35 = 32 ≠ 2 = 317 mod 35

m=36: 242 mod 36 = 26 ≠ 29 = 317 mod 36

m=37: 242 mod 37 = 20 ≠ 21 = 317 mod 37

m=38: 242 mod 38 = 14 ≠ 13 = 317 mod 38

m=39: 242 mod 39 = 8 ≠ 5 = 317 mod 39

m=40: 242 mod 40 = 2 ≠ 37 = 317 mod 40

m=41: 242 mod 41 = 37 ≠ 30 = 317 mod 41

m=42: 242 mod 42 = 32 ≠ 23 = 317 mod 42

m=43: 242 mod 43 = 27 ≠ 16 = 317 mod 43

m=44: 242 mod 44 = 22 ≠ 9 = 317 mod 44

m=45: 242 mod 45 = 17 ≠ 2 = 317 mod 45

m=46: 242 mod 46 = 12 ≠ 41 = 317 mod 46

m=47: 242 mod 47 = 7 ≠ 35 = 317 mod 47

m=48: 242 mod 48 = 2 ≠ 29 = 317 mod 48

m=49: 242 mod 49 = 46 ≠ 23 = 317 mod 49

m=50: 242 mod 50 = 42 ≠ 17 = 317 mod 50

m=51: 242 mod 51 = 38 ≠ 11 = 317 mod 51

m=52: 242 mod 52 = 34 ≠ 5 = 317 mod 52

m=53: 242 mod 53 = 30 ≠ 52 = 317 mod 53

m=54: 242 mod 54 = 26 ≠ 47 = 317 mod 54

m=55: 242 mod 55 = 22 ≠ 42 = 317 mod 55

m=56: 242 mod 56 = 18 ≠ 37 = 317 mod 56

m=57: 242 mod 57 = 14 ≠ 32 = 317 mod 57

m=58: 242 mod 58 = 10 ≠ 27 = 317 mod 58

m=59: 242 mod 59 = 6 ≠ 22 = 317 mod 59

m=60: 242 mod 60 = 2 ≠ 17 = 317 mod 60

m=61: 242 mod 61 = 59 ≠ 12 = 317 mod 61

m=62: 242 mod 62 = 56 ≠ 7 = 317 mod 62

m=63: 242 mod 63 = 53 ≠ 2 = 317 mod 63

m=64: 242 mod 64 = 50 ≠ 61 = 317 mod 64

m=65: 242 mod 65 = 47 ≠ 57 = 317 mod 65

m=66: 242 mod 66 = 44 ≠ 53 = 317 mod 66

m=67: 242 mod 67 = 41 ≠ 49 = 317 mod 67

m=68: 242 mod 68 = 38 ≠ 45 = 317 mod 68

m=69: 242 mod 69 = 35 ≠ 41 = 317 mod 69

m=70: 242 mod 70 = 32 ≠ 37 = 317 mod 70

m=71: 242 mod 71 = 29 ≠ 33 = 317 mod 71

m=72: 242 mod 72 = 26 ≠ 29 = 317 mod 72

m=73: 242 mod 73 = 23 ≠ 25 = 317 mod 73

m=74: 242 mod 74 = 20 ≠ 21 = 317 mod 74

m=75: 242 mod 75 = 17 = 17 = 317 mod 75

m=76: 242 mod 76 = 14 ≠ 13 = 317 mod 76

m=77: 242 mod 77 = 11 ≠ 9 = 317 mod 77

m=78: 242 mod 78 = 8 ≠ 5 = 317 mod 78

m=79: 242 mod 79 = 5 ≠ 1 = 317 mod 79

m=80: 242 mod 80 = 2 ≠ 77 = 317 mod 80

m=81: 242 mod 81 = 80 ≠ 74 = 317 mod 81

m=82: 242 mod 82 = 78 ≠ 71 = 317 mod 82

m=83: 242 mod 83 = 76 ≠ 68 = 317 mod 83

m=84: 242 mod 84 = 74 ≠ 65 = 317 mod 84

m=85: 242 mod 85 = 72 ≠ 62 = 317 mod 85

m=86: 242 mod 86 = 70 ≠ 59 = 317 mod 86

m=87: 242 mod 87 = 68 ≠ 56 = 317 mod 87

m=88: 242 mod 88 = 66 ≠ 53 = 317 mod 88

m=89: 242 mod 89 = 64 ≠ 50 = 317 mod 89

m=90: 242 mod 90 = 62 ≠ 47 = 317 mod 90

m=91: 242 mod 91 = 60 ≠ 44 = 317 mod 91

m=92: 242 mod 92 = 58 ≠ 41 = 317 mod 92

m=93: 242 mod 93 = 56 ≠ 38 = 317 mod 93

m=94: 242 mod 94 = 54 ≠ 35 = 317 mod 94

m=95: 242 mod 95 = 52 ≠ 32 = 317 mod 95

m=96: 242 mod 96 = 50 ≠ 29 = 317 mod 96

m=97: 242 mod 97 = 48 ≠ 26 = 317 mod 97

m=98: 242 mod 98 = 46 ≠ 23 = 317 mod 98

m=99: 242 mod 99 = 44 ≠ 20 = 317 mod 99

m=100: 242 mod 100 = 42 ≠ 17 = 317 mod 100

m=101: 242 mod 101 = 40 ≠ 14 = 317 mod 101

m=102: 242 mod 102 = 38 ≠ 11 = 317 mod 102

m=103: 242 mod 103 = 36 ≠ 8 = 317 mod 103

m=104: 242 mod 104 = 34 ≠ 5 = 317 mod 104

m=105: 242 mod 105 = 32 ≠ 2 = 317 mod 105

m=106: 242 mod 106 = 30 ≠ 105 = 317 mod 106

m=107: 242 mod 107 = 28 ≠ 103 = 317 mod 107

m=108: 242 mod 108 = 26 ≠ 101 = 317 mod 108

m=109: 242 mod 109 = 24 ≠ 99 = 317 mod 109

m=110: 242 mod 110 = 22 ≠ 97 = 317 mod 110

m=111: 242 mod 111 = 20 ≠ 95 = 317 mod 111

m=112: 242 mod 112 = 18 ≠ 93 = 317 mod 112

m=113: 242 mod 113 = 16 ≠ 91 = 317 mod 113

m=114: 242 mod 114 = 14 ≠ 89 = 317 mod 114

m=115: 242 mod 115 = 12 ≠ 87 = 317 mod 115

m=116: 242 mod 116 = 10 ≠ 85 = 317 mod 116

m=117: 242 mod 117 = 8 ≠ 83 = 317 mod 117

m=118: 242 mod 118 = 6 ≠ 81 = 317 mod 118

m=119: 242 mod 119 = 4 ≠ 79 = 317 mod 119

m=120: 242 mod 120 = 2 ≠ 77 = 317 mod 120

m=121: 242 mod 121 = 0 ≠ 75 = 317 mod 121

m=122: 242 mod 122 = 120 ≠ 73 = 317 mod 122

m=123: 242 mod 123 = 119 ≠ 71 = 317 mod 123

m=124: 242 mod 124 = 118 ≠ 69 = 317 mod 124

m=125: 242 mod 125 = 117 ≠ 67 = 317 mod 125

m=126: 242 mod 126 = 116 ≠ 65 = 317 mod 126

m=127: 242 mod 127 = 115 ≠ 63 = 317 mod 127

m=128: 242 mod 128 = 114 ≠ 61 = 317 mod 128

m=129: 242 mod 129 = 113 ≠ 59 = 317 mod 129

m=130: 242 mod 130 = 112 ≠ 57 = 317 mod 130

m=131: 242 mod 131 = 111 ≠ 55 = 317 mod 131

m=132: 242 mod 132 = 110 ≠ 53 = 317 mod 132

m=133: 242 mod 133 = 109 ≠ 51 = 317 mod 133

m=134: 242 mod 134 = 108 ≠ 49 = 317 mod 134

m=135: 242 mod 135 = 107 ≠ 47 = 317 mod 135

m=136: 242 mod 136 = 106 ≠ 45 = 317 mod 136

m=137: 242 mod 137 = 105 ≠ 43 = 317 mod 137

m=138: 242 mod 138 = 104 ≠ 41 = 317 mod 138

m=139: 242 mod 139 = 103 ≠ 39 = 317 mod 139

m=140: 242 mod 140 = 102 ≠ 37 = 317 mod 140

m=141: 242 mod 141 = 101 ≠ 35 = 317 mod 141

m=142: 242 mod 142 = 100 ≠ 33 = 317 mod 142

m=143: 242 mod 143 = 99 ≠ 31 = 317 mod 143

m=144: 242 mod 144 = 98 ≠ 29 = 317 mod 144

m=145: 242 mod 145 = 97 ≠ 27 = 317 mod 145

m=146: 242 mod 146 = 96 ≠ 25 = 317 mod 146

m=147: 242 mod 147 = 95 ≠ 23 = 317 mod 147

m=148: 242 mod 148 = 94 ≠ 21 = 317 mod 148

m=149: 242 mod 149 = 93 ≠ 19 = 317 mod 149

m=150: 242 mod 150 = 92 ≠ 17 = 317 mod 150

m=151: 242 mod 151 = 91 ≠ 15 = 317 mod 151

m=152: 242 mod 152 = 90 ≠ 13 = 317 mod 152

m=153: 242 mod 153 = 89 ≠ 11 = 317 mod 153

m=154: 242 mod 154 = 88 ≠ 9 = 317 mod 154

m=155: 242 mod 155 = 87 ≠ 7 = 317 mod 155

m=156: 242 mod 156 = 86 ≠ 5 = 317 mod 156

m=157: 242 mod 157 = 85 ≠ 3 = 317 mod 157

m=158: 242 mod 158 = 84 ≠ 1 = 317 mod 158

m=159: 242 mod 159 = 83 ≠ 158 = 317 mod 159

m=160: 242 mod 160 = 82 ≠ 157 = 317 mod 160

m=161: 242 mod 161 = 81 ≠ 156 = 317 mod 161

m=162: 242 mod 162 = 80 ≠ 155 = 317 mod 162

m=163: 242 mod 163 = 79 ≠ 154 = 317 mod 163

m=164: 242 mod 164 = 78 ≠ 153 = 317 mod 164

m=165: 242 mod 165 = 77 ≠ 152 = 317 mod 165

m=166: 242 mod 166 = 76 ≠ 151 = 317 mod 166

m=167: 242 mod 167 = 75 ≠ 150 = 317 mod 167

m=168: 242 mod 168 = 74 ≠ 149 = 317 mod 168

m=169: 242 mod 169 = 73 ≠ 148 = 317 mod 169

m=170: 242 mod 170 = 72 ≠ 147 = 317 mod 170

m=171: 242 mod 171 = 71 ≠ 146 = 317 mod 171

m=172: 242 mod 172 = 70 ≠ 145 = 317 mod 172

m=173: 242 mod 173 = 69 ≠ 144 = 317 mod 173

m=174: 242 mod 174 = 68 ≠ 143 = 317 mod 174

m=175: 242 mod 175 = 67 ≠ 142 = 317 mod 175

m=176: 242 mod 176 = 66 ≠ 141 = 317 mod 176

m=177: 242 mod 177 = 65 ≠ 140 = 317 mod 177

m=178: 242 mod 178 = 64 ≠ 139 = 317 mod 178

m=179: 242 mod 179 = 63 ≠ 138 = 317 mod 179

m=180: 242 mod 180 = 62 ≠ 137 = 317 mod 180

m=181: 242 mod 181 = 61 ≠ 136 = 317 mod 181

m=182: 242 mod 182 = 60 ≠ 135 = 317 mod 182

m=183: 242 mod 183 = 59 ≠ 134 = 317 mod 183

m=184: 242 mod 184 = 58 ≠ 133 = 317 mod 184

m=185: 242 mod 185 = 57 ≠ 132 = 317 mod 185

m=186: 242 mod 186 = 56 ≠ 131 = 317 mod 186

m=187: 242 mod 187 = 55 ≠ 130 = 317 mod 187

m=188: 242 mod 188 = 54 ≠ 129 = 317 mod 188

m=189: 242 mod 189 = 53 ≠ 128 = 317 mod 189

m=190: 242 mod 190 = 52 ≠ 127 = 317 mod 190

m=191: 242 mod 191 = 51 ≠ 126 = 317 mod 191

m=192: 242 mod 192 = 50 ≠ 125 = 317 mod 192

m=193: 242 mod 193 = 49 ≠ 124 = 317 mod 193

m=194: 242 mod 194 = 48 ≠ 123 = 317 mod 194

m=195: 242 mod 195 = 47 ≠ 122 = 317 mod 195

m=196: 242 mod 196 = 46 ≠ 121 = 317 mod 196

m=197: 242 mod 197 = 45 ≠ 120 = 317 mod 197

m=198: 242 mod 198 = 44 ≠ 119 = 317 mod 198

m=199: 242 mod 199 = 43 ≠ 118 = 317 mod 199

m=200: 242 mod 200 = 42 ≠ 117 = 317 mod 200

m=201: 242 mod 201 = 41 ≠ 116 = 317 mod 201

m=202: 242 mod 202 = 40 ≠ 115 = 317 mod 202

m=203: 242 mod 203 = 39 ≠ 114 = 317 mod 203

m=204: 242 mod 204 = 38 ≠ 113 = 317 mod 204

m=205: 242 mod 205 = 37 ≠ 112 = 317 mod 205

m=206: 242 mod 206 = 36 ≠ 111 = 317 mod 206

m=207: 242 mod 207 = 35 ≠ 110 = 317 mod 207

m=208: 242 mod 208 = 34 ≠ 109 = 317 mod 208

m=209: 242 mod 209 = 33 ≠ 108 = 317 mod 209

m=210: 242 mod 210 = 32 ≠ 107 = 317 mod 210

m=211: 242 mod 211 = 31 ≠ 106 = 317 mod 211

m=212: 242 mod 212 = 30 ≠ 105 = 317 mod 212

m=213: 242 mod 213 = 29 ≠ 104 = 317 mod 213

m=214: 242 mod 214 = 28 ≠ 103 = 317 mod 214

m=215: 242 mod 215 = 27 ≠ 102 = 317 mod 215

m=216: 242 mod 216 = 26 ≠ 101 = 317 mod 216

m=217: 242 mod 217 = 25 ≠ 100 = 317 mod 217

m=218: 242 mod 218 = 24 ≠ 99 = 317 mod 218

m=219: 242 mod 219 = 23 ≠ 98 = 317 mod 219

m=220: 242 mod 220 = 22 ≠ 97 = 317 mod 220

m=221: 242 mod 221 = 21 ≠ 96 = 317 mod 221

m=222: 242 mod 222 = 20 ≠ 95 = 317 mod 222

m=223: 242 mod 223 = 19 ≠ 94 = 317 mod 223

m=224: 242 mod 224 = 18 ≠ 93 = 317 mod 224

m=225: 242 mod 225 = 17 ≠ 92 = 317 mod 225

m=226: 242 mod 226 = 16 ≠ 91 = 317 mod 226

m=227: 242 mod 227 = 15 ≠ 90 = 317 mod 227

m=228: 242 mod 228 = 14 ≠ 89 = 317 mod 228

m=229: 242 mod 229 = 13 ≠ 88 = 317 mod 229

m=230: 242 mod 230 = 12 ≠ 87 = 317 mod 230

m=231: 242 mod 231 = 11 ≠ 86 = 317 mod 231

m=232: 242 mod 232 = 10 ≠ 85 = 317 mod 232

m=233: 242 mod 233 = 9 ≠ 84 = 317 mod 233

m=234: 242 mod 234 = 8 ≠ 83 = 317 mod 234

m=235: 242 mod 235 = 7 ≠ 82 = 317 mod 235

m=236: 242 mod 236 = 6 ≠ 81 = 317 mod 236

m=237: 242 mod 237 = 5 ≠ 80 = 317 mod 237

m=238: 242 mod 238 = 4 ≠ 79 = 317 mod 238

m=239: 242 mod 239 = 3 ≠ 78 = 317 mod 239

m=240: 242 mod 240 = 2 ≠ 77 = 317 mod 240

m=241: 242 mod 241 = 1 ≠ 76 = 317 mod 241

m=242: 242 mod 242 = 0 ≠ 75 = 317 mod 242

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (317 - 242) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75