Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 52 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 48, weil ja 8 ⋅ 6 = 48 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 52 - 48 = 4.
Somit gilt: 52 mod 6 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 41 für die gilt n ≡ 23 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 22, weil ja 2 ⋅ 11 = 22 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 23 - 22 = 1.
Somit gilt: 23 mod 11 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 41 für die gilt: n ≡ 1 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 30, z.B. 33 = 3 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 1 mod 11 sein, also addieren wir noch 1 auf die 33 und erhalten so 34.
Somit gilt: 34 ≡ 23 ≡ 1 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 - 3998) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 - 3998) mod 4 ≡ (82 mod 4 - 3998 mod 4) mod 4.
82 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82
= 80
3998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3998
= 3000
Somit gilt:
(82 - 3998) mod 4 ≡ (2 - 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 43) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(64 ⋅ 43) mod 5 ≡ (64 mod 5 ⋅ 43 mod 5) mod 5.
64 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 12 ⋅ 5 + 4 ist.
43 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 8 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(64 ⋅ 43) mod 5 ≡ (4 ⋅ 3) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
30 mod m = 45 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 30 aus, ob zufällig 30 mod m = 45 mod m gilt:
m=2: 30 mod 2 = 0 ≠ 1 = 45 mod 2
m=3: 30 mod 3 = 0 = 0 = 45 mod 3
m=4: 30 mod 4 = 2 ≠ 1 = 45 mod 4
m=5: 30 mod 5 = 0 = 0 = 45 mod 5
m=6: 30 mod 6 = 0 ≠ 3 = 45 mod 6
m=7: 30 mod 7 = 2 ≠ 3 = 45 mod 7
m=8: 30 mod 8 = 6 ≠ 5 = 45 mod 8
m=9: 30 mod 9 = 3 ≠ 0 = 45 mod 9
m=10: 30 mod 10 = 0 ≠ 5 = 45 mod 10
m=11: 30 mod 11 = 8 ≠ 1 = 45 mod 11
m=12: 30 mod 12 = 6 ≠ 9 = 45 mod 12
m=13: 30 mod 13 = 4 ≠ 6 = 45 mod 13
m=14: 30 mod 14 = 2 ≠ 3 = 45 mod 14
m=15: 30 mod 15 = 0 = 0 = 45 mod 15
m=16: 30 mod 16 = 14 ≠ 13 = 45 mod 16
m=17: 30 mod 17 = 13 ≠ 11 = 45 mod 17
m=18: 30 mod 18 = 12 ≠ 9 = 45 mod 18
m=19: 30 mod 19 = 11 ≠ 7 = 45 mod 19
m=20: 30 mod 20 = 10 ≠ 5 = 45 mod 20
m=21: 30 mod 21 = 9 ≠ 3 = 45 mod 21
m=22: 30 mod 22 = 8 ≠ 1 = 45 mod 22
m=23: 30 mod 23 = 7 ≠ 22 = 45 mod 23
m=24: 30 mod 24 = 6 ≠ 21 = 45 mod 24
m=25: 30 mod 25 = 5 ≠ 20 = 45 mod 25
m=26: 30 mod 26 = 4 ≠ 19 = 45 mod 26
m=27: 30 mod 27 = 3 ≠ 18 = 45 mod 27
m=28: 30 mod 28 = 2 ≠ 17 = 45 mod 28
m=29: 30 mod 29 = 1 ≠ 16 = 45 mod 29
m=30: 30 mod 30 = 0 ≠ 15 = 45 mod 30
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (45 - 30) = 15 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 15
