Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 54, weil ja 6 ⋅ 9 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 61 - 54 = 7.

Somit gilt: 61 mod 9 ≡ 7.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 49, weil ja 7 ⋅ 7 = 49 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 53 - 49 = 4.

Somit gilt: 53 mod 7 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 4 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 30, z.B. 28 = 4 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 4 mod 7 sein, also addieren wir noch 4 auf die 28 und erhalten so 32.

Somit gilt: 32 ≡ 53 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21004 - 66) mod 7 ≡ (21004 mod 7 - 66 mod 7) mod 7.

21004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21004 = 21000+4 = 7 ⋅ 3000 +4.

66 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 70-4 = 7 ⋅ 10 -4 = 7 ⋅ 10 - 7 + 3.

Somit gilt:

(21004 - 66) mod 7 ≡ (4 - 3) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(61 ⋅ 69) mod 7 ≡ (61 mod 7 ⋅ 69 mod 7) mod 7.

61 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 56 + 5 = 8 ⋅ 7 + 5 ist.

69 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 63 + 6 = 9 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(61 ⋅ 69) mod 7 ≡ (5 ⋅ 6) mod 7 ≡ 30 mod 7 ≡ 2 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 150 aus, ob zufällig 150 mod m = 200 mod m gilt:

m=2: 150 mod 2 = 0 = 0 = 200 mod 2

m=3: 150 mod 3 = 0 ≠ 2 = 200 mod 3

m=4: 150 mod 4 = 2 ≠ 0 = 200 mod 4

m=5: 150 mod 5 = 0 = 0 = 200 mod 5

m=6: 150 mod 6 = 0 ≠ 2 = 200 mod 6

m=7: 150 mod 7 = 3 ≠ 4 = 200 mod 7

m=8: 150 mod 8 = 6 ≠ 0 = 200 mod 8

m=9: 150 mod 9 = 6 ≠ 2 = 200 mod 9

m=10: 150 mod 10 = 0 = 0 = 200 mod 10

m=11: 150 mod 11 = 7 ≠ 2 = 200 mod 11

m=12: 150 mod 12 = 6 ≠ 8 = 200 mod 12

m=13: 150 mod 13 = 7 ≠ 5 = 200 mod 13

m=14: 150 mod 14 = 10 ≠ 4 = 200 mod 14

m=15: 150 mod 15 = 0 ≠ 5 = 200 mod 15

m=16: 150 mod 16 = 6 ≠ 8 = 200 mod 16

m=17: 150 mod 17 = 14 ≠ 13 = 200 mod 17

m=18: 150 mod 18 = 6 ≠ 2 = 200 mod 18

m=19: 150 mod 19 = 17 ≠ 10 = 200 mod 19

m=20: 150 mod 20 = 10 ≠ 0 = 200 mod 20

m=21: 150 mod 21 = 3 ≠ 11 = 200 mod 21

m=22: 150 mod 22 = 18 ≠ 2 = 200 mod 22

m=23: 150 mod 23 = 12 ≠ 16 = 200 mod 23

m=24: 150 mod 24 = 6 ≠ 8 = 200 mod 24

m=25: 150 mod 25 = 0 = 0 = 200 mod 25

m=26: 150 mod 26 = 20 ≠ 18 = 200 mod 26

m=27: 150 mod 27 = 15 ≠ 11 = 200 mod 27

m=28: 150 mod 28 = 10 ≠ 4 = 200 mod 28

m=29: 150 mod 29 = 5 ≠ 26 = 200 mod 29

m=30: 150 mod 30 = 0 ≠ 20 = 200 mod 30

m=31: 150 mod 31 = 26 ≠ 14 = 200 mod 31

m=32: 150 mod 32 = 22 ≠ 8 = 200 mod 32

m=33: 150 mod 33 = 18 ≠ 2 = 200 mod 33

m=34: 150 mod 34 = 14 ≠ 30 = 200 mod 34

m=35: 150 mod 35 = 10 ≠ 25 = 200 mod 35

m=36: 150 mod 36 = 6 ≠ 20 = 200 mod 36

m=37: 150 mod 37 = 2 ≠ 15 = 200 mod 37

m=38: 150 mod 38 = 36 ≠ 10 = 200 mod 38

m=39: 150 mod 39 = 33 ≠ 5 = 200 mod 39

m=40: 150 mod 40 = 30 ≠ 0 = 200 mod 40

m=41: 150 mod 41 = 27 ≠ 36 = 200 mod 41

m=42: 150 mod 42 = 24 ≠ 32 = 200 mod 42

m=43: 150 mod 43 = 21 ≠ 28 = 200 mod 43

m=44: 150 mod 44 = 18 ≠ 24 = 200 mod 44

m=45: 150 mod 45 = 15 ≠ 20 = 200 mod 45

m=46: 150 mod 46 = 12 ≠ 16 = 200 mod 46

m=47: 150 mod 47 = 9 ≠ 12 = 200 mod 47

m=48: 150 mod 48 = 6 ≠ 8 = 200 mod 48

m=49: 150 mod 49 = 3 ≠ 4 = 200 mod 49

m=50: 150 mod 50 = 0 = 0 = 200 mod 50

m=51: 150 mod 51 = 48 ≠ 47 = 200 mod 51

m=52: 150 mod 52 = 46 ≠ 44 = 200 mod 52

m=53: 150 mod 53 = 44 ≠ 41 = 200 mod 53

m=54: 150 mod 54 = 42 ≠ 38 = 200 mod 54

m=55: 150 mod 55 = 40 ≠ 35 = 200 mod 55

m=56: 150 mod 56 = 38 ≠ 32 = 200 mod 56

m=57: 150 mod 57 = 36 ≠ 29 = 200 mod 57

m=58: 150 mod 58 = 34 ≠ 26 = 200 mod 58

m=59: 150 mod 59 = 32 ≠ 23 = 200 mod 59

m=60: 150 mod 60 = 30 ≠ 20 = 200 mod 60

m=61: 150 mod 61 = 28 ≠ 17 = 200 mod 61

m=62: 150 mod 62 = 26 ≠ 14 = 200 mod 62

m=63: 150 mod 63 = 24 ≠ 11 = 200 mod 63

m=64: 150 mod 64 = 22 ≠ 8 = 200 mod 64

m=65: 150 mod 65 = 20 ≠ 5 = 200 mod 65

m=66: 150 mod 66 = 18 ≠ 2 = 200 mod 66

m=67: 150 mod 67 = 16 ≠ 66 = 200 mod 67

m=68: 150 mod 68 = 14 ≠ 64 = 200 mod 68

m=69: 150 mod 69 = 12 ≠ 62 = 200 mod 69

m=70: 150 mod 70 = 10 ≠ 60 = 200 mod 70

m=71: 150 mod 71 = 8 ≠ 58 = 200 mod 71

m=72: 150 mod 72 = 6 ≠ 56 = 200 mod 72

m=73: 150 mod 73 = 4 ≠ 54 = 200 mod 73

m=74: 150 mod 74 = 2 ≠ 52 = 200 mod 74

m=75: 150 mod 75 = 0 ≠ 50 = 200 mod 75

m=76: 150 mod 76 = 74 ≠ 48 = 200 mod 76

m=77: 150 mod 77 = 73 ≠ 46 = 200 mod 77

m=78: 150 mod 78 = 72 ≠ 44 = 200 mod 78

m=79: 150 mod 79 = 71 ≠ 42 = 200 mod 79

m=80: 150 mod 80 = 70 ≠ 40 = 200 mod 80

m=81: 150 mod 81 = 69 ≠ 38 = 200 mod 81

m=82: 150 mod 82 = 68 ≠ 36 = 200 mod 82

m=83: 150 mod 83 = 67 ≠ 34 = 200 mod 83

m=84: 150 mod 84 = 66 ≠ 32 = 200 mod 84

m=85: 150 mod 85 = 65 ≠ 30 = 200 mod 85

m=86: 150 mod 86 = 64 ≠ 28 = 200 mod 86

m=87: 150 mod 87 = 63 ≠ 26 = 200 mod 87

m=88: 150 mod 88 = 62 ≠ 24 = 200 mod 88

m=89: 150 mod 89 = 61 ≠ 22 = 200 mod 89

m=90: 150 mod 90 = 60 ≠ 20 = 200 mod 90

m=91: 150 mod 91 = 59 ≠ 18 = 200 mod 91

m=92: 150 mod 92 = 58 ≠ 16 = 200 mod 92

m=93: 150 mod 93 = 57 ≠ 14 = 200 mod 93

m=94: 150 mod 94 = 56 ≠ 12 = 200 mod 94

m=95: 150 mod 95 = 55 ≠ 10 = 200 mod 95

m=96: 150 mod 96 = 54 ≠ 8 = 200 mod 96

m=97: 150 mod 97 = 53 ≠ 6 = 200 mod 97

m=98: 150 mod 98 = 52 ≠ 4 = 200 mod 98

m=99: 150 mod 99 = 51 ≠ 2 = 200 mod 99

m=100: 150 mod 100 = 50 ≠ 0 = 200 mod 100

m=101: 150 mod 101 = 49 ≠ 99 = 200 mod 101

m=102: 150 mod 102 = 48 ≠ 98 = 200 mod 102

m=103: 150 mod 103 = 47 ≠ 97 = 200 mod 103

m=104: 150 mod 104 = 46 ≠ 96 = 200 mod 104

m=105: 150 mod 105 = 45 ≠ 95 = 200 mod 105

m=106: 150 mod 106 = 44 ≠ 94 = 200 mod 106

m=107: 150 mod 107 = 43 ≠ 93 = 200 mod 107

m=108: 150 mod 108 = 42 ≠ 92 = 200 mod 108

m=109: 150 mod 109 = 41 ≠ 91 = 200 mod 109

m=110: 150 mod 110 = 40 ≠ 90 = 200 mod 110

m=111: 150 mod 111 = 39 ≠ 89 = 200 mod 111

m=112: 150 mod 112 = 38 ≠ 88 = 200 mod 112

m=113: 150 mod 113 = 37 ≠ 87 = 200 mod 113

m=114: 150 mod 114 = 36 ≠ 86 = 200 mod 114

m=115: 150 mod 115 = 35 ≠ 85 = 200 mod 115

m=116: 150 mod 116 = 34 ≠ 84 = 200 mod 116

m=117: 150 mod 117 = 33 ≠ 83 = 200 mod 117

m=118: 150 mod 118 = 32 ≠ 82 = 200 mod 118

m=119: 150 mod 119 = 31 ≠ 81 = 200 mod 119

m=120: 150 mod 120 = 30 ≠ 80 = 200 mod 120

m=121: 150 mod 121 = 29 ≠ 79 = 200 mod 121

m=122: 150 mod 122 = 28 ≠ 78 = 200 mod 122

m=123: 150 mod 123 = 27 ≠ 77 = 200 mod 123

m=124: 150 mod 124 = 26 ≠ 76 = 200 mod 124

m=125: 150 mod 125 = 25 ≠ 75 = 200 mod 125

m=126: 150 mod 126 = 24 ≠ 74 = 200 mod 126

m=127: 150 mod 127 = 23 ≠ 73 = 200 mod 127

m=128: 150 mod 128 = 22 ≠ 72 = 200 mod 128

m=129: 150 mod 129 = 21 ≠ 71 = 200 mod 129

m=130: 150 mod 130 = 20 ≠ 70 = 200 mod 130

m=131: 150 mod 131 = 19 ≠ 69 = 200 mod 131

m=132: 150 mod 132 = 18 ≠ 68 = 200 mod 132

m=133: 150 mod 133 = 17 ≠ 67 = 200 mod 133

m=134: 150 mod 134 = 16 ≠ 66 = 200 mod 134

m=135: 150 mod 135 = 15 ≠ 65 = 200 mod 135

m=136: 150 mod 136 = 14 ≠ 64 = 200 mod 136

m=137: 150 mod 137 = 13 ≠ 63 = 200 mod 137

m=138: 150 mod 138 = 12 ≠ 62 = 200 mod 138

m=139: 150 mod 139 = 11 ≠ 61 = 200 mod 139

m=140: 150 mod 140 = 10 ≠ 60 = 200 mod 140

m=141: 150 mod 141 = 9 ≠ 59 = 200 mod 141

m=142: 150 mod 142 = 8 ≠ 58 = 200 mod 142

m=143: 150 mod 143 = 7 ≠ 57 = 200 mod 143

m=144: 150 mod 144 = 6 ≠ 56 = 200 mod 144

m=145: 150 mod 145 = 5 ≠ 55 = 200 mod 145

m=146: 150 mod 146 = 4 ≠ 54 = 200 mod 146

m=147: 150 mod 147 = 3 ≠ 53 = 200 mod 147

m=148: 150 mod 148 = 2 ≠ 52 = 200 mod 148

m=149: 150 mod 149 = 1 ≠ 51 = 200 mod 149

m=150: 150 mod 150 = 0 ≠ 50 = 200 mod 150

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (200 - 150) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50