Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 63, weil ja 9 ⋅ 7 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 68 - 63 = 5.

Somit gilt: 68 mod 7 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 78, weil ja 26 ⋅ 3 = 78 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 80 - 78 = 2.

Somit gilt: 80 mod 3 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 3 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 9 und erhalten so 11.

Somit gilt: 11 ≡ 80 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20993 + 2093) mod 7 ≡ (20993 mod 7 + 2093 mod 7) mod 7.

20993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20993 = 21000-7 = 7 ⋅ 3000 -7 = 7 ⋅ 3000 - 7 + 0.

2093 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2093 = 2100-7 = 7 ⋅ 300 -7 = 7 ⋅ 300 - 7 + 0.

Somit gilt:

(20993 + 2093) mod 7 ≡ (0 + 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 33) mod 5 ≡ (44 mod 5 ⋅ 33 mod 5) mod 5.

44 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 8 ⋅ 5 + 4 ist.

33 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 6 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 33) mod 5 ≡ (4 ⋅ 3) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 157 aus, ob zufällig 157 mod m = 202 mod m gilt:

m=2: 157 mod 2 = 1 ≠ 0 = 202 mod 2

m=3: 157 mod 3 = 1 = 1 = 202 mod 3

m=4: 157 mod 4 = 1 ≠ 2 = 202 mod 4

m=5: 157 mod 5 = 2 = 2 = 202 mod 5

m=6: 157 mod 6 = 1 ≠ 4 = 202 mod 6

m=7: 157 mod 7 = 3 ≠ 6 = 202 mod 7

m=8: 157 mod 8 = 5 ≠ 2 = 202 mod 8

m=9: 157 mod 9 = 4 = 4 = 202 mod 9

m=10: 157 mod 10 = 7 ≠ 2 = 202 mod 10

m=11: 157 mod 11 = 3 ≠ 4 = 202 mod 11

m=12: 157 mod 12 = 1 ≠ 10 = 202 mod 12

m=13: 157 mod 13 = 1 ≠ 7 = 202 mod 13

m=14: 157 mod 14 = 3 ≠ 6 = 202 mod 14

m=15: 157 mod 15 = 7 = 7 = 202 mod 15

m=16: 157 mod 16 = 13 ≠ 10 = 202 mod 16

m=17: 157 mod 17 = 4 ≠ 15 = 202 mod 17

m=18: 157 mod 18 = 13 ≠ 4 = 202 mod 18

m=19: 157 mod 19 = 5 ≠ 12 = 202 mod 19

m=20: 157 mod 20 = 17 ≠ 2 = 202 mod 20

m=21: 157 mod 21 = 10 ≠ 13 = 202 mod 21

m=22: 157 mod 22 = 3 ≠ 4 = 202 mod 22

m=23: 157 mod 23 = 19 ≠ 18 = 202 mod 23

m=24: 157 mod 24 = 13 ≠ 10 = 202 mod 24

m=25: 157 mod 25 = 7 ≠ 2 = 202 mod 25

m=26: 157 mod 26 = 1 ≠ 20 = 202 mod 26

m=27: 157 mod 27 = 22 ≠ 13 = 202 mod 27

m=28: 157 mod 28 = 17 ≠ 6 = 202 mod 28

m=29: 157 mod 29 = 12 ≠ 28 = 202 mod 29

m=30: 157 mod 30 = 7 ≠ 22 = 202 mod 30

m=31: 157 mod 31 = 2 ≠ 16 = 202 mod 31

m=32: 157 mod 32 = 29 ≠ 10 = 202 mod 32

m=33: 157 mod 33 = 25 ≠ 4 = 202 mod 33

m=34: 157 mod 34 = 21 ≠ 32 = 202 mod 34

m=35: 157 mod 35 = 17 ≠ 27 = 202 mod 35

m=36: 157 mod 36 = 13 ≠ 22 = 202 mod 36

m=37: 157 mod 37 = 9 ≠ 17 = 202 mod 37

m=38: 157 mod 38 = 5 ≠ 12 = 202 mod 38

m=39: 157 mod 39 = 1 ≠ 7 = 202 mod 39

m=40: 157 mod 40 = 37 ≠ 2 = 202 mod 40

m=41: 157 mod 41 = 34 ≠ 38 = 202 mod 41

m=42: 157 mod 42 = 31 ≠ 34 = 202 mod 42

m=43: 157 mod 43 = 28 ≠ 30 = 202 mod 43

m=44: 157 mod 44 = 25 ≠ 26 = 202 mod 44

m=45: 157 mod 45 = 22 = 22 = 202 mod 45

m=46: 157 mod 46 = 19 ≠ 18 = 202 mod 46

m=47: 157 mod 47 = 16 ≠ 14 = 202 mod 47

m=48: 157 mod 48 = 13 ≠ 10 = 202 mod 48

m=49: 157 mod 49 = 10 ≠ 6 = 202 mod 49

m=50: 157 mod 50 = 7 ≠ 2 = 202 mod 50

m=51: 157 mod 51 = 4 ≠ 49 = 202 mod 51

m=52: 157 mod 52 = 1 ≠ 46 = 202 mod 52

m=53: 157 mod 53 = 51 ≠ 43 = 202 mod 53

m=54: 157 mod 54 = 49 ≠ 40 = 202 mod 54

m=55: 157 mod 55 = 47 ≠ 37 = 202 mod 55

m=56: 157 mod 56 = 45 ≠ 34 = 202 mod 56

m=57: 157 mod 57 = 43 ≠ 31 = 202 mod 57

m=58: 157 mod 58 = 41 ≠ 28 = 202 mod 58

m=59: 157 mod 59 = 39 ≠ 25 = 202 mod 59

m=60: 157 mod 60 = 37 ≠ 22 = 202 mod 60

m=61: 157 mod 61 = 35 ≠ 19 = 202 mod 61

m=62: 157 mod 62 = 33 ≠ 16 = 202 mod 62

m=63: 157 mod 63 = 31 ≠ 13 = 202 mod 63

m=64: 157 mod 64 = 29 ≠ 10 = 202 mod 64

m=65: 157 mod 65 = 27 ≠ 7 = 202 mod 65

m=66: 157 mod 66 = 25 ≠ 4 = 202 mod 66

m=67: 157 mod 67 = 23 ≠ 1 = 202 mod 67

m=68: 157 mod 68 = 21 ≠ 66 = 202 mod 68

m=69: 157 mod 69 = 19 ≠ 64 = 202 mod 69

m=70: 157 mod 70 = 17 ≠ 62 = 202 mod 70

m=71: 157 mod 71 = 15 ≠ 60 = 202 mod 71

m=72: 157 mod 72 = 13 ≠ 58 = 202 mod 72

m=73: 157 mod 73 = 11 ≠ 56 = 202 mod 73

m=74: 157 mod 74 = 9 ≠ 54 = 202 mod 74

m=75: 157 mod 75 = 7 ≠ 52 = 202 mod 75

m=76: 157 mod 76 = 5 ≠ 50 = 202 mod 76

m=77: 157 mod 77 = 3 ≠ 48 = 202 mod 77

m=78: 157 mod 78 = 1 ≠ 46 = 202 mod 78

m=79: 157 mod 79 = 78 ≠ 44 = 202 mod 79

m=80: 157 mod 80 = 77 ≠ 42 = 202 mod 80

m=81: 157 mod 81 = 76 ≠ 40 = 202 mod 81

m=82: 157 mod 82 = 75 ≠ 38 = 202 mod 82

m=83: 157 mod 83 = 74 ≠ 36 = 202 mod 83

m=84: 157 mod 84 = 73 ≠ 34 = 202 mod 84

m=85: 157 mod 85 = 72 ≠ 32 = 202 mod 85

m=86: 157 mod 86 = 71 ≠ 30 = 202 mod 86

m=87: 157 mod 87 = 70 ≠ 28 = 202 mod 87

m=88: 157 mod 88 = 69 ≠ 26 = 202 mod 88

m=89: 157 mod 89 = 68 ≠ 24 = 202 mod 89

m=90: 157 mod 90 = 67 ≠ 22 = 202 mod 90

m=91: 157 mod 91 = 66 ≠ 20 = 202 mod 91

m=92: 157 mod 92 = 65 ≠ 18 = 202 mod 92

m=93: 157 mod 93 = 64 ≠ 16 = 202 mod 93

m=94: 157 mod 94 = 63 ≠ 14 = 202 mod 94

m=95: 157 mod 95 = 62 ≠ 12 = 202 mod 95

m=96: 157 mod 96 = 61 ≠ 10 = 202 mod 96

m=97: 157 mod 97 = 60 ≠ 8 = 202 mod 97

m=98: 157 mod 98 = 59 ≠ 6 = 202 mod 98

m=99: 157 mod 99 = 58 ≠ 4 = 202 mod 99

m=100: 157 mod 100 = 57 ≠ 2 = 202 mod 100

m=101: 157 mod 101 = 56 ≠ 0 = 202 mod 101

m=102: 157 mod 102 = 55 ≠ 100 = 202 mod 102

m=103: 157 mod 103 = 54 ≠ 99 = 202 mod 103

m=104: 157 mod 104 = 53 ≠ 98 = 202 mod 104

m=105: 157 mod 105 = 52 ≠ 97 = 202 mod 105

m=106: 157 mod 106 = 51 ≠ 96 = 202 mod 106

m=107: 157 mod 107 = 50 ≠ 95 = 202 mod 107

m=108: 157 mod 108 = 49 ≠ 94 = 202 mod 108

m=109: 157 mod 109 = 48 ≠ 93 = 202 mod 109

m=110: 157 mod 110 = 47 ≠ 92 = 202 mod 110

m=111: 157 mod 111 = 46 ≠ 91 = 202 mod 111

m=112: 157 mod 112 = 45 ≠ 90 = 202 mod 112

m=113: 157 mod 113 = 44 ≠ 89 = 202 mod 113

m=114: 157 mod 114 = 43 ≠ 88 = 202 mod 114

m=115: 157 mod 115 = 42 ≠ 87 = 202 mod 115

m=116: 157 mod 116 = 41 ≠ 86 = 202 mod 116

m=117: 157 mod 117 = 40 ≠ 85 = 202 mod 117

m=118: 157 mod 118 = 39 ≠ 84 = 202 mod 118

m=119: 157 mod 119 = 38 ≠ 83 = 202 mod 119

m=120: 157 mod 120 = 37 ≠ 82 = 202 mod 120

m=121: 157 mod 121 = 36 ≠ 81 = 202 mod 121

m=122: 157 mod 122 = 35 ≠ 80 = 202 mod 122

m=123: 157 mod 123 = 34 ≠ 79 = 202 mod 123

m=124: 157 mod 124 = 33 ≠ 78 = 202 mod 124

m=125: 157 mod 125 = 32 ≠ 77 = 202 mod 125

m=126: 157 mod 126 = 31 ≠ 76 = 202 mod 126

m=127: 157 mod 127 = 30 ≠ 75 = 202 mod 127

m=128: 157 mod 128 = 29 ≠ 74 = 202 mod 128

m=129: 157 mod 129 = 28 ≠ 73 = 202 mod 129

m=130: 157 mod 130 = 27 ≠ 72 = 202 mod 130

m=131: 157 mod 131 = 26 ≠ 71 = 202 mod 131

m=132: 157 mod 132 = 25 ≠ 70 = 202 mod 132

m=133: 157 mod 133 = 24 ≠ 69 = 202 mod 133

m=134: 157 mod 134 = 23 ≠ 68 = 202 mod 134

m=135: 157 mod 135 = 22 ≠ 67 = 202 mod 135

m=136: 157 mod 136 = 21 ≠ 66 = 202 mod 136

m=137: 157 mod 137 = 20 ≠ 65 = 202 mod 137

m=138: 157 mod 138 = 19 ≠ 64 = 202 mod 138

m=139: 157 mod 139 = 18 ≠ 63 = 202 mod 139

m=140: 157 mod 140 = 17 ≠ 62 = 202 mod 140

m=141: 157 mod 141 = 16 ≠ 61 = 202 mod 141

m=142: 157 mod 142 = 15 ≠ 60 = 202 mod 142

m=143: 157 mod 143 = 14 ≠ 59 = 202 mod 143

m=144: 157 mod 144 = 13 ≠ 58 = 202 mod 144

m=145: 157 mod 145 = 12 ≠ 57 = 202 mod 145

m=146: 157 mod 146 = 11 ≠ 56 = 202 mod 146

m=147: 157 mod 147 = 10 ≠ 55 = 202 mod 147

m=148: 157 mod 148 = 9 ≠ 54 = 202 mod 148

m=149: 157 mod 149 = 8 ≠ 53 = 202 mod 149

m=150: 157 mod 150 = 7 ≠ 52 = 202 mod 150

m=151: 157 mod 151 = 6 ≠ 51 = 202 mod 151

m=152: 157 mod 152 = 5 ≠ 50 = 202 mod 152

m=153: 157 mod 153 = 4 ≠ 49 = 202 mod 153

m=154: 157 mod 154 = 3 ≠ 48 = 202 mod 154

m=155: 157 mod 155 = 2 ≠ 47 = 202 mod 155

m=156: 157 mod 156 = 1 ≠ 46 = 202 mod 156

m=157: 157 mod 157 = 0 ≠ 45 = 202 mod 157

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (202 - 157) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45