Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 11, weil ja 1 ⋅ 11 = 11 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 19 - 11 = 8.

Somit gilt: 19 mod 11 ≡ 8.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 76, weil ja 19 ⋅ 4 = 76 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 76 - 76 = 0.

Somit gilt: 76 mod 4 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 0 mod 4.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 20 ⋅ 4

Somit gilt: 80 ≡ 76 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28000 - 3494) mod 7 ≡ (28000 mod 7 - 3494 mod 7) mod 7.

28000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28000 = 28000+0 = 7 ⋅ 4000 +0.

3494 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3494 = 3500-6 = 7 ⋅ 500 -6 = 7 ⋅ 500 - 7 + 1.

Somit gilt:

(28000 - 3494) mod 7 ≡ (0 - 1) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 98) mod 5 ≡ (15 mod 5 ⋅ 98 mod 5) mod 5.

15 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 15 + 0 = 3 ⋅ 5 + 0 ist.

98 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 95 + 3 = 19 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 98) mod 5 ≡ (0 ⋅ 3) mod 5 ≡ 0 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 68 aus, ob zufällig 68 mod m = 98 mod m gilt:

m=2: 68 mod 2 = 0 = 0 = 98 mod 2

m=3: 68 mod 3 = 2 = 2 = 98 mod 3

m=4: 68 mod 4 = 0 ≠ 2 = 98 mod 4

m=5: 68 mod 5 = 3 = 3 = 98 mod 5

m=6: 68 mod 6 = 2 = 2 = 98 mod 6

m=7: 68 mod 7 = 5 ≠ 0 = 98 mod 7

m=8: 68 mod 8 = 4 ≠ 2 = 98 mod 8

m=9: 68 mod 9 = 5 ≠ 8 = 98 mod 9

m=10: 68 mod 10 = 8 = 8 = 98 mod 10

m=11: 68 mod 11 = 2 ≠ 10 = 98 mod 11

m=12: 68 mod 12 = 8 ≠ 2 = 98 mod 12

m=13: 68 mod 13 = 3 ≠ 7 = 98 mod 13

m=14: 68 mod 14 = 12 ≠ 0 = 98 mod 14

m=15: 68 mod 15 = 8 = 8 = 98 mod 15

m=16: 68 mod 16 = 4 ≠ 2 = 98 mod 16

m=17: 68 mod 17 = 0 ≠ 13 = 98 mod 17

m=18: 68 mod 18 = 14 ≠ 8 = 98 mod 18

m=19: 68 mod 19 = 11 ≠ 3 = 98 mod 19

m=20: 68 mod 20 = 8 ≠ 18 = 98 mod 20

m=21: 68 mod 21 = 5 ≠ 14 = 98 mod 21

m=22: 68 mod 22 = 2 ≠ 10 = 98 mod 22

m=23: 68 mod 23 = 22 ≠ 6 = 98 mod 23

m=24: 68 mod 24 = 20 ≠ 2 = 98 mod 24

m=25: 68 mod 25 = 18 ≠ 23 = 98 mod 25

m=26: 68 mod 26 = 16 ≠ 20 = 98 mod 26

m=27: 68 mod 27 = 14 ≠ 17 = 98 mod 27

m=28: 68 mod 28 = 12 ≠ 14 = 98 mod 28

m=29: 68 mod 29 = 10 ≠ 11 = 98 mod 29

m=30: 68 mod 30 = 8 = 8 = 98 mod 30

m=31: 68 mod 31 = 6 ≠ 5 = 98 mod 31

m=32: 68 mod 32 = 4 ≠ 2 = 98 mod 32

m=33: 68 mod 33 = 2 ≠ 32 = 98 mod 33

m=34: 68 mod 34 = 0 ≠ 30 = 98 mod 34

m=35: 68 mod 35 = 33 ≠ 28 = 98 mod 35

m=36: 68 mod 36 = 32 ≠ 26 = 98 mod 36

m=37: 68 mod 37 = 31 ≠ 24 = 98 mod 37

m=38: 68 mod 38 = 30 ≠ 22 = 98 mod 38

m=39: 68 mod 39 = 29 ≠ 20 = 98 mod 39

m=40: 68 mod 40 = 28 ≠ 18 = 98 mod 40

m=41: 68 mod 41 = 27 ≠ 16 = 98 mod 41

m=42: 68 mod 42 = 26 ≠ 14 = 98 mod 42

m=43: 68 mod 43 = 25 ≠ 12 = 98 mod 43

m=44: 68 mod 44 = 24 ≠ 10 = 98 mod 44

m=45: 68 mod 45 = 23 ≠ 8 = 98 mod 45

m=46: 68 mod 46 = 22 ≠ 6 = 98 mod 46

m=47: 68 mod 47 = 21 ≠ 4 = 98 mod 47

m=48: 68 mod 48 = 20 ≠ 2 = 98 mod 48

m=49: 68 mod 49 = 19 ≠ 0 = 98 mod 49

m=50: 68 mod 50 = 18 ≠ 48 = 98 mod 50

m=51: 68 mod 51 = 17 ≠ 47 = 98 mod 51

m=52: 68 mod 52 = 16 ≠ 46 = 98 mod 52

m=53: 68 mod 53 = 15 ≠ 45 = 98 mod 53

m=54: 68 mod 54 = 14 ≠ 44 = 98 mod 54

m=55: 68 mod 55 = 13 ≠ 43 = 98 mod 55

m=56: 68 mod 56 = 12 ≠ 42 = 98 mod 56

m=57: 68 mod 57 = 11 ≠ 41 = 98 mod 57

m=58: 68 mod 58 = 10 ≠ 40 = 98 mod 58

m=59: 68 mod 59 = 9 ≠ 39 = 98 mod 59

m=60: 68 mod 60 = 8 ≠ 38 = 98 mod 60

m=61: 68 mod 61 = 7 ≠ 37 = 98 mod 61

m=62: 68 mod 62 = 6 ≠ 36 = 98 mod 62

m=63: 68 mod 63 = 5 ≠ 35 = 98 mod 63

m=64: 68 mod 64 = 4 ≠ 34 = 98 mod 64

m=65: 68 mod 65 = 3 ≠ 33 = 98 mod 65

m=66: 68 mod 66 = 2 ≠ 32 = 98 mod 66

m=67: 68 mod 67 = 1 ≠ 31 = 98 mod 67

m=68: 68 mod 68 = 0 ≠ 30 = 98 mod 68

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (98 - 68) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30