Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 65, weil ja 13 ⋅ 5 = 65 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 67 - 65 = 2.

Somit gilt: 67 mod 5 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 66, weil ja 6 ⋅ 11 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 75 - 66 = 9.

Somit gilt: 75 mod 11 ≡ 9.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 61 für die gilt: n ≡ 9 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 50, z.B. 44 = 4 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 9 mod 11 sein, also addieren wir noch 9 auf die 44 und erhalten so 53.

Somit gilt: 53 ≡ 75 ≡ 9 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3594 - 81) mod 9 ≡ (3594 mod 9 - 81 mod 9) mod 9.

3594 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3594 = 3600-6 = 9 ⋅ 400 -6 = 9 ⋅ 400 - 9 + 3.

81 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 90-9 = 9 ⋅ 10 -9 = 9 ⋅ 10 - 9 + 0.

Somit gilt:

(3594 - 81) mod 9 ≡ (3 - 0) mod 9 ≡ 3 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45 ⋅ 39) mod 6 ≡ (45 mod 6 ⋅ 39 mod 6) mod 6.

45 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 42 + 3 = 7 ⋅ 6 + 3 ist.

39 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 36 + 3 = 6 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(45 ⋅ 39) mod 6 ≡ (3 ⋅ 3) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 23 aus, ob zufällig 23 mod m = 31 mod m gilt:

m=2: 23 mod 2 = 1 = 1 = 31 mod 2

m=3: 23 mod 3 = 2 ≠ 1 = 31 mod 3

m=4: 23 mod 4 = 3 = 3 = 31 mod 4

m=5: 23 mod 5 = 3 ≠ 1 = 31 mod 5

m=6: 23 mod 6 = 5 ≠ 1 = 31 mod 6

m=7: 23 mod 7 = 2 ≠ 3 = 31 mod 7

m=8: 23 mod 8 = 7 = 7 = 31 mod 8

m=9: 23 mod 9 = 5 ≠ 4 = 31 mod 9

m=10: 23 mod 10 = 3 ≠ 1 = 31 mod 10

m=11: 23 mod 11 = 1 ≠ 9 = 31 mod 11

m=12: 23 mod 12 = 11 ≠ 7 = 31 mod 12

m=13: 23 mod 13 = 10 ≠ 5 = 31 mod 13

m=14: 23 mod 14 = 9 ≠ 3 = 31 mod 14

m=15: 23 mod 15 = 8 ≠ 1 = 31 mod 15

m=16: 23 mod 16 = 7 ≠ 15 = 31 mod 16

m=17: 23 mod 17 = 6 ≠ 14 = 31 mod 17

m=18: 23 mod 18 = 5 ≠ 13 = 31 mod 18

m=19: 23 mod 19 = 4 ≠ 12 = 31 mod 19

m=20: 23 mod 20 = 3 ≠ 11 = 31 mod 20

m=21: 23 mod 21 = 2 ≠ 10 = 31 mod 21

m=22: 23 mod 22 = 1 ≠ 9 = 31 mod 22

m=23: 23 mod 23 = 0 ≠ 8 = 31 mod 23

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (31 - 23) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8