Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 28, weil ja 4 ⋅ 7 = 28 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 29 - 28 = 1.

Somit gilt: 29 mod 7 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 44, weil ja 11 ⋅ 4 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 44 - 44 = 0.

Somit gilt: 44 mod 4 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 0 mod 4.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 10, z.B. 12 = 3 ⋅ 4

Somit gilt: 12 ≡ 44 ≡ 0 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(459 + 3598) mod 9 ≡ (459 mod 9 + 3598 mod 9) mod 9.

459 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 459 = 450+9 = 9 ⋅ 50 +9.

3598 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3598 = 3600-2 = 9 ⋅ 400 -2 = 9 ⋅ 400 - 9 + 7.

Somit gilt:

(459 + 3598) mod 9 ≡ (0 + 7) mod 9 ≡ 7 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 16) mod 5 ≡ (69 mod 5 ⋅ 16 mod 5) mod 5.

69 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 65 + 4 = 13 ⋅ 5 + 4 ist.

16 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 15 + 1 = 3 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 16) mod 5 ≡ (4 ⋅ 1) mod 5 ≡ 4 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 9 aus, ob zufällig 9 mod m = 13 mod m gilt:

m=2: 9 mod 2 = 1 = 1 = 13 mod 2

m=3: 9 mod 3 = 0 ≠ 1 = 13 mod 3

m=4: 9 mod 4 = 1 = 1 = 13 mod 4

m=5: 9 mod 5 = 4 ≠ 3 = 13 mod 5

m=6: 9 mod 6 = 3 ≠ 1 = 13 mod 6

m=7: 9 mod 7 = 2 ≠ 6 = 13 mod 7

m=8: 9 mod 8 = 1 ≠ 5 = 13 mod 8

m=9: 9 mod 9 = 0 ≠ 4 = 13 mod 9

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (13 - 9) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4