Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 22, weil ja 2 ⋅ 11 = 22 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 29 - 22 = 7.

Somit gilt: 29 mod 11 ≡ 7.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 84, weil ja 28 ⋅ 3 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 86 - 84 = 2.

Somit gilt: 86 mod 3 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 30 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 90 und erhalten so 92.

Somit gilt: 92 ≡ 86 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5999 + 30006) mod 6 ≡ (5999 mod 6 + 30006 mod 6) mod 6.

5999 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5999 = 6000-1 = 6 ⋅ 1000 -1 = 6 ⋅ 1000 - 6 + 5.

30006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30006 = 30000+6 = 6 ⋅ 5000 +6.

Somit gilt:

(5999 + 30006) mod 6 ≡ (5 + 0) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 20) mod 7 ≡ (34 mod 7 ⋅ 20 mod 7) mod 7.

34 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 28 + 6 = 4 ⋅ 7 + 6 ist.

20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 20) mod 7 ≡ (6 ⋅ 6) mod 7 ≡ 36 mod 7 ≡ 1 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 27 aus, ob zufällig 27 mod m = 36 mod m gilt:

m=2: 27 mod 2 = 1 ≠ 0 = 36 mod 2

m=3: 27 mod 3 = 0 = 0 = 36 mod 3

m=4: 27 mod 4 = 3 ≠ 0 = 36 mod 4

m=5: 27 mod 5 = 2 ≠ 1 = 36 mod 5

m=6: 27 mod 6 = 3 ≠ 0 = 36 mod 6

m=7: 27 mod 7 = 6 ≠ 1 = 36 mod 7

m=8: 27 mod 8 = 3 ≠ 4 = 36 mod 8

m=9: 27 mod 9 = 0 = 0 = 36 mod 9

m=10: 27 mod 10 = 7 ≠ 6 = 36 mod 10

m=11: 27 mod 11 = 5 ≠ 3 = 36 mod 11

m=12: 27 mod 12 = 3 ≠ 0 = 36 mod 12

m=13: 27 mod 13 = 1 ≠ 10 = 36 mod 13

m=14: 27 mod 14 = 13 ≠ 8 = 36 mod 14

m=15: 27 mod 15 = 12 ≠ 6 = 36 mod 15

m=16: 27 mod 16 = 11 ≠ 4 = 36 mod 16

m=17: 27 mod 17 = 10 ≠ 2 = 36 mod 17

m=18: 27 mod 18 = 9 ≠ 0 = 36 mod 18

m=19: 27 mod 19 = 8 ≠ 17 = 36 mod 19

m=20: 27 mod 20 = 7 ≠ 16 = 36 mod 20

m=21: 27 mod 21 = 6 ≠ 15 = 36 mod 21

m=22: 27 mod 22 = 5 ≠ 14 = 36 mod 22

m=23: 27 mod 23 = 4 ≠ 13 = 36 mod 23

m=24: 27 mod 24 = 3 ≠ 12 = 36 mod 24

m=25: 27 mod 25 = 2 ≠ 11 = 36 mod 25

m=26: 27 mod 26 = 1 ≠ 10 = 36 mod 26

m=27: 27 mod 27 = 0 ≠ 9 = 36 mod 27

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (36 - 27) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9