Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 72, weil ja 8 ⋅ 9 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 76 - 72 = 4.

Somit gilt: 76 mod 9 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 63, weil ja 7 ⋅ 9 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 71 - 63 = 8.

Somit gilt: 71 mod 9 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 8 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 20, z.B. 18 = 2 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 8 mod 9 sein, also addieren wir noch 8 auf die 18 und erhalten so 26.

Somit gilt: 26 ≡ 71 ≡ 8 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1795 - 26998) mod 9 ≡ (1795 mod 9 - 26998 mod 9) mod 9.

1795 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1795 = 1800-5 = 9 ⋅ 200 -5 = 9 ⋅ 200 - 9 + 4.

26998 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26998 = 27000-2 = 9 ⋅ 3000 -2 = 9 ⋅ 3000 - 9 + 7.

Somit gilt:

(1795 - 26998) mod 9 ≡ (4 - 7) mod 9 ≡ -3 mod 9 ≡ 6 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 28) mod 7 ≡ (15 mod 7 ⋅ 28 mod 7) mod 7.

15 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 14 + 1 = 2 ⋅ 7 + 1 ist.

28 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 28 + 0 = 4 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 28) mod 7 ≡ (1 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 139 aus, ob zufällig 139 mod m = 184 mod m gilt:

m=2: 139 mod 2 = 1 ≠ 0 = 184 mod 2

m=3: 139 mod 3 = 1 = 1 = 184 mod 3

m=4: 139 mod 4 = 3 ≠ 0 = 184 mod 4

m=5: 139 mod 5 = 4 = 4 = 184 mod 5

m=6: 139 mod 6 = 1 ≠ 4 = 184 mod 6

m=7: 139 mod 7 = 6 ≠ 2 = 184 mod 7

m=8: 139 mod 8 = 3 ≠ 0 = 184 mod 8

m=9: 139 mod 9 = 4 = 4 = 184 mod 9

m=10: 139 mod 10 = 9 ≠ 4 = 184 mod 10

m=11: 139 mod 11 = 7 ≠ 8 = 184 mod 11

m=12: 139 mod 12 = 7 ≠ 4 = 184 mod 12

m=13: 139 mod 13 = 9 ≠ 2 = 184 mod 13

m=14: 139 mod 14 = 13 ≠ 2 = 184 mod 14

m=15: 139 mod 15 = 4 = 4 = 184 mod 15

m=16: 139 mod 16 = 11 ≠ 8 = 184 mod 16

m=17: 139 mod 17 = 3 ≠ 14 = 184 mod 17

m=18: 139 mod 18 = 13 ≠ 4 = 184 mod 18

m=19: 139 mod 19 = 6 ≠ 13 = 184 mod 19

m=20: 139 mod 20 = 19 ≠ 4 = 184 mod 20

m=21: 139 mod 21 = 13 ≠ 16 = 184 mod 21

m=22: 139 mod 22 = 7 ≠ 8 = 184 mod 22

m=23: 139 mod 23 = 1 ≠ 0 = 184 mod 23

m=24: 139 mod 24 = 19 ≠ 16 = 184 mod 24

m=25: 139 mod 25 = 14 ≠ 9 = 184 mod 25

m=26: 139 mod 26 = 9 ≠ 2 = 184 mod 26

m=27: 139 mod 27 = 4 ≠ 22 = 184 mod 27

m=28: 139 mod 28 = 27 ≠ 16 = 184 mod 28

m=29: 139 mod 29 = 23 ≠ 10 = 184 mod 29

m=30: 139 mod 30 = 19 ≠ 4 = 184 mod 30

m=31: 139 mod 31 = 15 ≠ 29 = 184 mod 31

m=32: 139 mod 32 = 11 ≠ 24 = 184 mod 32

m=33: 139 mod 33 = 7 ≠ 19 = 184 mod 33

m=34: 139 mod 34 = 3 ≠ 14 = 184 mod 34

m=35: 139 mod 35 = 34 ≠ 9 = 184 mod 35

m=36: 139 mod 36 = 31 ≠ 4 = 184 mod 36

m=37: 139 mod 37 = 28 ≠ 36 = 184 mod 37

m=38: 139 mod 38 = 25 ≠ 32 = 184 mod 38

m=39: 139 mod 39 = 22 ≠ 28 = 184 mod 39

m=40: 139 mod 40 = 19 ≠ 24 = 184 mod 40

m=41: 139 mod 41 = 16 ≠ 20 = 184 mod 41

m=42: 139 mod 42 = 13 ≠ 16 = 184 mod 42

m=43: 139 mod 43 = 10 ≠ 12 = 184 mod 43

m=44: 139 mod 44 = 7 ≠ 8 = 184 mod 44

m=45: 139 mod 45 = 4 = 4 = 184 mod 45

m=46: 139 mod 46 = 1 ≠ 0 = 184 mod 46

m=47: 139 mod 47 = 45 ≠ 43 = 184 mod 47

m=48: 139 mod 48 = 43 ≠ 40 = 184 mod 48

m=49: 139 mod 49 = 41 ≠ 37 = 184 mod 49

m=50: 139 mod 50 = 39 ≠ 34 = 184 mod 50

m=51: 139 mod 51 = 37 ≠ 31 = 184 mod 51

m=52: 139 mod 52 = 35 ≠ 28 = 184 mod 52

m=53: 139 mod 53 = 33 ≠ 25 = 184 mod 53

m=54: 139 mod 54 = 31 ≠ 22 = 184 mod 54

m=55: 139 mod 55 = 29 ≠ 19 = 184 mod 55

m=56: 139 mod 56 = 27 ≠ 16 = 184 mod 56

m=57: 139 mod 57 = 25 ≠ 13 = 184 mod 57

m=58: 139 mod 58 = 23 ≠ 10 = 184 mod 58

m=59: 139 mod 59 = 21 ≠ 7 = 184 mod 59

m=60: 139 mod 60 = 19 ≠ 4 = 184 mod 60

m=61: 139 mod 61 = 17 ≠ 1 = 184 mod 61

m=62: 139 mod 62 = 15 ≠ 60 = 184 mod 62

m=63: 139 mod 63 = 13 ≠ 58 = 184 mod 63

m=64: 139 mod 64 = 11 ≠ 56 = 184 mod 64

m=65: 139 mod 65 = 9 ≠ 54 = 184 mod 65

m=66: 139 mod 66 = 7 ≠ 52 = 184 mod 66

m=67: 139 mod 67 = 5 ≠ 50 = 184 mod 67

m=68: 139 mod 68 = 3 ≠ 48 = 184 mod 68

m=69: 139 mod 69 = 1 ≠ 46 = 184 mod 69

m=70: 139 mod 70 = 69 ≠ 44 = 184 mod 70

m=71: 139 mod 71 = 68 ≠ 42 = 184 mod 71

m=72: 139 mod 72 = 67 ≠ 40 = 184 mod 72

m=73: 139 mod 73 = 66 ≠ 38 = 184 mod 73

m=74: 139 mod 74 = 65 ≠ 36 = 184 mod 74

m=75: 139 mod 75 = 64 ≠ 34 = 184 mod 75

m=76: 139 mod 76 = 63 ≠ 32 = 184 mod 76

m=77: 139 mod 77 = 62 ≠ 30 = 184 mod 77

m=78: 139 mod 78 = 61 ≠ 28 = 184 mod 78

m=79: 139 mod 79 = 60 ≠ 26 = 184 mod 79

m=80: 139 mod 80 = 59 ≠ 24 = 184 mod 80

m=81: 139 mod 81 = 58 ≠ 22 = 184 mod 81

m=82: 139 mod 82 = 57 ≠ 20 = 184 mod 82

m=83: 139 mod 83 = 56 ≠ 18 = 184 mod 83

m=84: 139 mod 84 = 55 ≠ 16 = 184 mod 84

m=85: 139 mod 85 = 54 ≠ 14 = 184 mod 85

m=86: 139 mod 86 = 53 ≠ 12 = 184 mod 86

m=87: 139 mod 87 = 52 ≠ 10 = 184 mod 87

m=88: 139 mod 88 = 51 ≠ 8 = 184 mod 88

m=89: 139 mod 89 = 50 ≠ 6 = 184 mod 89

m=90: 139 mod 90 = 49 ≠ 4 = 184 mod 90

m=91: 139 mod 91 = 48 ≠ 2 = 184 mod 91

m=92: 139 mod 92 = 47 ≠ 0 = 184 mod 92

m=93: 139 mod 93 = 46 ≠ 91 = 184 mod 93

m=94: 139 mod 94 = 45 ≠ 90 = 184 mod 94

m=95: 139 mod 95 = 44 ≠ 89 = 184 mod 95

m=96: 139 mod 96 = 43 ≠ 88 = 184 mod 96

m=97: 139 mod 97 = 42 ≠ 87 = 184 mod 97

m=98: 139 mod 98 = 41 ≠ 86 = 184 mod 98

m=99: 139 mod 99 = 40 ≠ 85 = 184 mod 99

m=100: 139 mod 100 = 39 ≠ 84 = 184 mod 100

m=101: 139 mod 101 = 38 ≠ 83 = 184 mod 101

m=102: 139 mod 102 = 37 ≠ 82 = 184 mod 102

m=103: 139 mod 103 = 36 ≠ 81 = 184 mod 103

m=104: 139 mod 104 = 35 ≠ 80 = 184 mod 104

m=105: 139 mod 105 = 34 ≠ 79 = 184 mod 105

m=106: 139 mod 106 = 33 ≠ 78 = 184 mod 106

m=107: 139 mod 107 = 32 ≠ 77 = 184 mod 107

m=108: 139 mod 108 = 31 ≠ 76 = 184 mod 108

m=109: 139 mod 109 = 30 ≠ 75 = 184 mod 109

m=110: 139 mod 110 = 29 ≠ 74 = 184 mod 110

m=111: 139 mod 111 = 28 ≠ 73 = 184 mod 111

m=112: 139 mod 112 = 27 ≠ 72 = 184 mod 112

m=113: 139 mod 113 = 26 ≠ 71 = 184 mod 113

m=114: 139 mod 114 = 25 ≠ 70 = 184 mod 114

m=115: 139 mod 115 = 24 ≠ 69 = 184 mod 115

m=116: 139 mod 116 = 23 ≠ 68 = 184 mod 116

m=117: 139 mod 117 = 22 ≠ 67 = 184 mod 117

m=118: 139 mod 118 = 21 ≠ 66 = 184 mod 118

m=119: 139 mod 119 = 20 ≠ 65 = 184 mod 119

m=120: 139 mod 120 = 19 ≠ 64 = 184 mod 120

m=121: 139 mod 121 = 18 ≠ 63 = 184 mod 121

m=122: 139 mod 122 = 17 ≠ 62 = 184 mod 122

m=123: 139 mod 123 = 16 ≠ 61 = 184 mod 123

m=124: 139 mod 124 = 15 ≠ 60 = 184 mod 124

m=125: 139 mod 125 = 14 ≠ 59 = 184 mod 125

m=126: 139 mod 126 = 13 ≠ 58 = 184 mod 126

m=127: 139 mod 127 = 12 ≠ 57 = 184 mod 127

m=128: 139 mod 128 = 11 ≠ 56 = 184 mod 128

m=129: 139 mod 129 = 10 ≠ 55 = 184 mod 129

m=130: 139 mod 130 = 9 ≠ 54 = 184 mod 130

m=131: 139 mod 131 = 8 ≠ 53 = 184 mod 131

m=132: 139 mod 132 = 7 ≠ 52 = 184 mod 132

m=133: 139 mod 133 = 6 ≠ 51 = 184 mod 133

m=134: 139 mod 134 = 5 ≠ 50 = 184 mod 134

m=135: 139 mod 135 = 4 ≠ 49 = 184 mod 135

m=136: 139 mod 136 = 3 ≠ 48 = 184 mod 136

m=137: 139 mod 137 = 2 ≠ 47 = 184 mod 137

m=138: 139 mod 138 = 1 ≠ 46 = 184 mod 138

m=139: 139 mod 139 = 0 ≠ 45 = 184 mod 139

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (184 - 139) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45