Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 40, weil ja 4 ⋅ 10 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 48 - 40 = 8.

Somit gilt: 48 mod 10 ≡ 8.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 30, weil ja 6 ⋅ 5 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 30 - 30 = 0.

Somit gilt: 30 mod 5 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 12 ⋅ 5

Somit gilt: 60 ≡ 30 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12000 + 3000) mod 3 ≡ (12000 mod 3 + 3000 mod 3) mod 3.

12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 3 ⋅ 4000 +0.

3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000 = 3000+0 = 3 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(12000 + 3000) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 54) mod 9 ≡ (53 mod 9 ⋅ 54 mod 9) mod 9.

53 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 45 + 8 = 5 ⋅ 9 + 8 ist.

54 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 6 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 54) mod 9 ≡ (8 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 151 aus, ob zufällig 151 mod m = 196 mod m gilt:

m=2: 151 mod 2 = 1 ≠ 0 = 196 mod 2

m=3: 151 mod 3 = 1 = 1 = 196 mod 3

m=4: 151 mod 4 = 3 ≠ 0 = 196 mod 4

m=5: 151 mod 5 = 1 = 1 = 196 mod 5

m=6: 151 mod 6 = 1 ≠ 4 = 196 mod 6

m=7: 151 mod 7 = 4 ≠ 0 = 196 mod 7

m=8: 151 mod 8 = 7 ≠ 4 = 196 mod 8

m=9: 151 mod 9 = 7 = 7 = 196 mod 9

m=10: 151 mod 10 = 1 ≠ 6 = 196 mod 10

m=11: 151 mod 11 = 8 ≠ 9 = 196 mod 11

m=12: 151 mod 12 = 7 ≠ 4 = 196 mod 12

m=13: 151 mod 13 = 8 ≠ 1 = 196 mod 13

m=14: 151 mod 14 = 11 ≠ 0 = 196 mod 14

m=15: 151 mod 15 = 1 = 1 = 196 mod 15

m=16: 151 mod 16 = 7 ≠ 4 = 196 mod 16

m=17: 151 mod 17 = 15 ≠ 9 = 196 mod 17

m=18: 151 mod 18 = 7 ≠ 16 = 196 mod 18

m=19: 151 mod 19 = 18 ≠ 6 = 196 mod 19

m=20: 151 mod 20 = 11 ≠ 16 = 196 mod 20

m=21: 151 mod 21 = 4 ≠ 7 = 196 mod 21

m=22: 151 mod 22 = 19 ≠ 20 = 196 mod 22

m=23: 151 mod 23 = 13 ≠ 12 = 196 mod 23

m=24: 151 mod 24 = 7 ≠ 4 = 196 mod 24

m=25: 151 mod 25 = 1 ≠ 21 = 196 mod 25

m=26: 151 mod 26 = 21 ≠ 14 = 196 mod 26

m=27: 151 mod 27 = 16 ≠ 7 = 196 mod 27

m=28: 151 mod 28 = 11 ≠ 0 = 196 mod 28

m=29: 151 mod 29 = 6 ≠ 22 = 196 mod 29

m=30: 151 mod 30 = 1 ≠ 16 = 196 mod 30

m=31: 151 mod 31 = 27 ≠ 10 = 196 mod 31

m=32: 151 mod 32 = 23 ≠ 4 = 196 mod 32

m=33: 151 mod 33 = 19 ≠ 31 = 196 mod 33

m=34: 151 mod 34 = 15 ≠ 26 = 196 mod 34

m=35: 151 mod 35 = 11 ≠ 21 = 196 mod 35

m=36: 151 mod 36 = 7 ≠ 16 = 196 mod 36

m=37: 151 mod 37 = 3 ≠ 11 = 196 mod 37

m=38: 151 mod 38 = 37 ≠ 6 = 196 mod 38

m=39: 151 mod 39 = 34 ≠ 1 = 196 mod 39

m=40: 151 mod 40 = 31 ≠ 36 = 196 mod 40

m=41: 151 mod 41 = 28 ≠ 32 = 196 mod 41

m=42: 151 mod 42 = 25 ≠ 28 = 196 mod 42

m=43: 151 mod 43 = 22 ≠ 24 = 196 mod 43

m=44: 151 mod 44 = 19 ≠ 20 = 196 mod 44

m=45: 151 mod 45 = 16 = 16 = 196 mod 45

m=46: 151 mod 46 = 13 ≠ 12 = 196 mod 46

m=47: 151 mod 47 = 10 ≠ 8 = 196 mod 47

m=48: 151 mod 48 = 7 ≠ 4 = 196 mod 48

m=49: 151 mod 49 = 4 ≠ 0 = 196 mod 49

m=50: 151 mod 50 = 1 ≠ 46 = 196 mod 50

m=51: 151 mod 51 = 49 ≠ 43 = 196 mod 51

m=52: 151 mod 52 = 47 ≠ 40 = 196 mod 52

m=53: 151 mod 53 = 45 ≠ 37 = 196 mod 53

m=54: 151 mod 54 = 43 ≠ 34 = 196 mod 54

m=55: 151 mod 55 = 41 ≠ 31 = 196 mod 55

m=56: 151 mod 56 = 39 ≠ 28 = 196 mod 56

m=57: 151 mod 57 = 37 ≠ 25 = 196 mod 57

m=58: 151 mod 58 = 35 ≠ 22 = 196 mod 58

m=59: 151 mod 59 = 33 ≠ 19 = 196 mod 59

m=60: 151 mod 60 = 31 ≠ 16 = 196 mod 60

m=61: 151 mod 61 = 29 ≠ 13 = 196 mod 61

m=62: 151 mod 62 = 27 ≠ 10 = 196 mod 62

m=63: 151 mod 63 = 25 ≠ 7 = 196 mod 63

m=64: 151 mod 64 = 23 ≠ 4 = 196 mod 64

m=65: 151 mod 65 = 21 ≠ 1 = 196 mod 65

m=66: 151 mod 66 = 19 ≠ 64 = 196 mod 66

m=67: 151 mod 67 = 17 ≠ 62 = 196 mod 67

m=68: 151 mod 68 = 15 ≠ 60 = 196 mod 68

m=69: 151 mod 69 = 13 ≠ 58 = 196 mod 69

m=70: 151 mod 70 = 11 ≠ 56 = 196 mod 70

m=71: 151 mod 71 = 9 ≠ 54 = 196 mod 71

m=72: 151 mod 72 = 7 ≠ 52 = 196 mod 72

m=73: 151 mod 73 = 5 ≠ 50 = 196 mod 73

m=74: 151 mod 74 = 3 ≠ 48 = 196 mod 74

m=75: 151 mod 75 = 1 ≠ 46 = 196 mod 75

m=76: 151 mod 76 = 75 ≠ 44 = 196 mod 76

m=77: 151 mod 77 = 74 ≠ 42 = 196 mod 77

m=78: 151 mod 78 = 73 ≠ 40 = 196 mod 78

m=79: 151 mod 79 = 72 ≠ 38 = 196 mod 79

m=80: 151 mod 80 = 71 ≠ 36 = 196 mod 80

m=81: 151 mod 81 = 70 ≠ 34 = 196 mod 81

m=82: 151 mod 82 = 69 ≠ 32 = 196 mod 82

m=83: 151 mod 83 = 68 ≠ 30 = 196 mod 83

m=84: 151 mod 84 = 67 ≠ 28 = 196 mod 84

m=85: 151 mod 85 = 66 ≠ 26 = 196 mod 85

m=86: 151 mod 86 = 65 ≠ 24 = 196 mod 86

m=87: 151 mod 87 = 64 ≠ 22 = 196 mod 87

m=88: 151 mod 88 = 63 ≠ 20 = 196 mod 88

m=89: 151 mod 89 = 62 ≠ 18 = 196 mod 89

m=90: 151 mod 90 = 61 ≠ 16 = 196 mod 90

m=91: 151 mod 91 = 60 ≠ 14 = 196 mod 91

m=92: 151 mod 92 = 59 ≠ 12 = 196 mod 92

m=93: 151 mod 93 = 58 ≠ 10 = 196 mod 93

m=94: 151 mod 94 = 57 ≠ 8 = 196 mod 94

m=95: 151 mod 95 = 56 ≠ 6 = 196 mod 95

m=96: 151 mod 96 = 55 ≠ 4 = 196 mod 96

m=97: 151 mod 97 = 54 ≠ 2 = 196 mod 97

m=98: 151 mod 98 = 53 ≠ 0 = 196 mod 98

m=99: 151 mod 99 = 52 ≠ 97 = 196 mod 99

m=100: 151 mod 100 = 51 ≠ 96 = 196 mod 100

m=101: 151 mod 101 = 50 ≠ 95 = 196 mod 101

m=102: 151 mod 102 = 49 ≠ 94 = 196 mod 102

m=103: 151 mod 103 = 48 ≠ 93 = 196 mod 103

m=104: 151 mod 104 = 47 ≠ 92 = 196 mod 104

m=105: 151 mod 105 = 46 ≠ 91 = 196 mod 105

m=106: 151 mod 106 = 45 ≠ 90 = 196 mod 106

m=107: 151 mod 107 = 44 ≠ 89 = 196 mod 107

m=108: 151 mod 108 = 43 ≠ 88 = 196 mod 108

m=109: 151 mod 109 = 42 ≠ 87 = 196 mod 109

m=110: 151 mod 110 = 41 ≠ 86 = 196 mod 110

m=111: 151 mod 111 = 40 ≠ 85 = 196 mod 111

m=112: 151 mod 112 = 39 ≠ 84 = 196 mod 112

m=113: 151 mod 113 = 38 ≠ 83 = 196 mod 113

m=114: 151 mod 114 = 37 ≠ 82 = 196 mod 114

m=115: 151 mod 115 = 36 ≠ 81 = 196 mod 115

m=116: 151 mod 116 = 35 ≠ 80 = 196 mod 116

m=117: 151 mod 117 = 34 ≠ 79 = 196 mod 117

m=118: 151 mod 118 = 33 ≠ 78 = 196 mod 118

m=119: 151 mod 119 = 32 ≠ 77 = 196 mod 119

m=120: 151 mod 120 = 31 ≠ 76 = 196 mod 120

m=121: 151 mod 121 = 30 ≠ 75 = 196 mod 121

m=122: 151 mod 122 = 29 ≠ 74 = 196 mod 122

m=123: 151 mod 123 = 28 ≠ 73 = 196 mod 123

m=124: 151 mod 124 = 27 ≠ 72 = 196 mod 124

m=125: 151 mod 125 = 26 ≠ 71 = 196 mod 125

m=126: 151 mod 126 = 25 ≠ 70 = 196 mod 126

m=127: 151 mod 127 = 24 ≠ 69 = 196 mod 127

m=128: 151 mod 128 = 23 ≠ 68 = 196 mod 128

m=129: 151 mod 129 = 22 ≠ 67 = 196 mod 129

m=130: 151 mod 130 = 21 ≠ 66 = 196 mod 130

m=131: 151 mod 131 = 20 ≠ 65 = 196 mod 131

m=132: 151 mod 132 = 19 ≠ 64 = 196 mod 132

m=133: 151 mod 133 = 18 ≠ 63 = 196 mod 133

m=134: 151 mod 134 = 17 ≠ 62 = 196 mod 134

m=135: 151 mod 135 = 16 ≠ 61 = 196 mod 135

m=136: 151 mod 136 = 15 ≠ 60 = 196 mod 136

m=137: 151 mod 137 = 14 ≠ 59 = 196 mod 137

m=138: 151 mod 138 = 13 ≠ 58 = 196 mod 138

m=139: 151 mod 139 = 12 ≠ 57 = 196 mod 139

m=140: 151 mod 140 = 11 ≠ 56 = 196 mod 140

m=141: 151 mod 141 = 10 ≠ 55 = 196 mod 141

m=142: 151 mod 142 = 9 ≠ 54 = 196 mod 142

m=143: 151 mod 143 = 8 ≠ 53 = 196 mod 143

m=144: 151 mod 144 = 7 ≠ 52 = 196 mod 144

m=145: 151 mod 145 = 6 ≠ 51 = 196 mod 145

m=146: 151 mod 146 = 5 ≠ 50 = 196 mod 146

m=147: 151 mod 147 = 4 ≠ 49 = 196 mod 147

m=148: 151 mod 148 = 3 ≠ 48 = 196 mod 148

m=149: 151 mod 149 = 2 ≠ 47 = 196 mod 149

m=150: 151 mod 150 = 1 ≠ 46 = 196 mod 150

m=151: 151 mod 151 = 0 ≠ 45 = 196 mod 151

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (196 - 151) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45