Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 70, weil ja 7 ⋅ 10 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 75 - 70 = 5.

Somit gilt: 75 mod 10 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 30, weil ja 6 ⋅ 5 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 34 - 30 = 4.

Somit gilt: 34 mod 5 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 4 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 16 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 4 mod 5 sein, also addieren wir noch 4 auf die 80 und erhalten so 84.

Somit gilt: 84 ≡ 34 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(274 + 136) mod 7 ≡ (274 mod 7 + 136 mod 7) mod 7.

274 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 274 = 280-6 = 7 ⋅ 40 -6 = 7 ⋅ 40 - 7 + 1.

136 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 136 = 140-4 = 7 ⋅ 20 -4 = 7 ⋅ 20 - 7 + 3.

Somit gilt:

(274 + 136) mod 7 ≡ (1 + 3) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 98) mod 11 ≡ (44 mod 11 ⋅ 98 mod 11) mod 11.

44 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 4 ⋅ 11 + 0 ist.

98 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 88 + 10 = 8 ⋅ 11 + 10 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 98) mod 11 ≡ (0 ⋅ 10) mod 11 ≡ 0 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 9 aus, ob zufällig 9 mod m = 13 mod m gilt:

m=2: 9 mod 2 = 1 = 1 = 13 mod 2

m=3: 9 mod 3 = 0 ≠ 1 = 13 mod 3

m=4: 9 mod 4 = 1 = 1 = 13 mod 4

m=5: 9 mod 5 = 4 ≠ 3 = 13 mod 5

m=6: 9 mod 6 = 3 ≠ 1 = 13 mod 6

m=7: 9 mod 7 = 2 ≠ 6 = 13 mod 7

m=8: 9 mod 8 = 1 ≠ 5 = 13 mod 8

m=9: 9 mod 9 = 0 ≠ 4 = 13 mod 9

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (13 - 9) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4