Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 66, weil ja 6 ⋅ 11 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 67 - 66 = 1.

Somit gilt: 67 mod 11 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 40, weil ja 5 ⋅ 8 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 45 - 40 = 5.

Somit gilt: 45 mod 8 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 5 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 30, z.B. 32 = 4 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 5 mod 8 sein, also addieren wir noch 5 auf die 32 und erhalten so 37.

Somit gilt: 37 ≡ 45 ≡ 5 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 + 30) mod 3 ≡ (62 mod 3 + 30 mod 3) mod 3.

62 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60+2 = 3 ⋅ 20 +2.

30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30+0 = 3 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(62 + 30) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 97) mod 5 ≡ (63 mod 5 ⋅ 97 mod 5) mod 5.

63 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 12 ⋅ 5 + 3 ist.

97 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 95 + 2 = 19 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 97) mod 5 ≡ (3 ⋅ 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 143 aus, ob zufällig 143 mod m = 188 mod m gilt:

m=2: 143 mod 2 = 1 ≠ 0 = 188 mod 2

m=3: 143 mod 3 = 2 = 2 = 188 mod 3

m=4: 143 mod 4 = 3 ≠ 0 = 188 mod 4

m=5: 143 mod 5 = 3 = 3 = 188 mod 5

m=6: 143 mod 6 = 5 ≠ 2 = 188 mod 6

m=7: 143 mod 7 = 3 ≠ 6 = 188 mod 7

m=8: 143 mod 8 = 7 ≠ 4 = 188 mod 8

m=9: 143 mod 9 = 8 = 8 = 188 mod 9

m=10: 143 mod 10 = 3 ≠ 8 = 188 mod 10

m=11: 143 mod 11 = 0 ≠ 1 = 188 mod 11

m=12: 143 mod 12 = 11 ≠ 8 = 188 mod 12

m=13: 143 mod 13 = 0 ≠ 6 = 188 mod 13

m=14: 143 mod 14 = 3 ≠ 6 = 188 mod 14

m=15: 143 mod 15 = 8 = 8 = 188 mod 15

m=16: 143 mod 16 = 15 ≠ 12 = 188 mod 16

m=17: 143 mod 17 = 7 ≠ 1 = 188 mod 17

m=18: 143 mod 18 = 17 ≠ 8 = 188 mod 18

m=19: 143 mod 19 = 10 ≠ 17 = 188 mod 19

m=20: 143 mod 20 = 3 ≠ 8 = 188 mod 20

m=21: 143 mod 21 = 17 ≠ 20 = 188 mod 21

m=22: 143 mod 22 = 11 ≠ 12 = 188 mod 22

m=23: 143 mod 23 = 5 ≠ 4 = 188 mod 23

m=24: 143 mod 24 = 23 ≠ 20 = 188 mod 24

m=25: 143 mod 25 = 18 ≠ 13 = 188 mod 25

m=26: 143 mod 26 = 13 ≠ 6 = 188 mod 26

m=27: 143 mod 27 = 8 ≠ 26 = 188 mod 27

m=28: 143 mod 28 = 3 ≠ 20 = 188 mod 28

m=29: 143 mod 29 = 27 ≠ 14 = 188 mod 29

m=30: 143 mod 30 = 23 ≠ 8 = 188 mod 30

m=31: 143 mod 31 = 19 ≠ 2 = 188 mod 31

m=32: 143 mod 32 = 15 ≠ 28 = 188 mod 32

m=33: 143 mod 33 = 11 ≠ 23 = 188 mod 33

m=34: 143 mod 34 = 7 ≠ 18 = 188 mod 34

m=35: 143 mod 35 = 3 ≠ 13 = 188 mod 35

m=36: 143 mod 36 = 35 ≠ 8 = 188 mod 36

m=37: 143 mod 37 = 32 ≠ 3 = 188 mod 37

m=38: 143 mod 38 = 29 ≠ 36 = 188 mod 38

m=39: 143 mod 39 = 26 ≠ 32 = 188 mod 39

m=40: 143 mod 40 = 23 ≠ 28 = 188 mod 40

m=41: 143 mod 41 = 20 ≠ 24 = 188 mod 41

m=42: 143 mod 42 = 17 ≠ 20 = 188 mod 42

m=43: 143 mod 43 = 14 ≠ 16 = 188 mod 43

m=44: 143 mod 44 = 11 ≠ 12 = 188 mod 44

m=45: 143 mod 45 = 8 = 8 = 188 mod 45

m=46: 143 mod 46 = 5 ≠ 4 = 188 mod 46

m=47: 143 mod 47 = 2 ≠ 0 = 188 mod 47

m=48: 143 mod 48 = 47 ≠ 44 = 188 mod 48

m=49: 143 mod 49 = 45 ≠ 41 = 188 mod 49

m=50: 143 mod 50 = 43 ≠ 38 = 188 mod 50

m=51: 143 mod 51 = 41 ≠ 35 = 188 mod 51

m=52: 143 mod 52 = 39 ≠ 32 = 188 mod 52

m=53: 143 mod 53 = 37 ≠ 29 = 188 mod 53

m=54: 143 mod 54 = 35 ≠ 26 = 188 mod 54

m=55: 143 mod 55 = 33 ≠ 23 = 188 mod 55

m=56: 143 mod 56 = 31 ≠ 20 = 188 mod 56

m=57: 143 mod 57 = 29 ≠ 17 = 188 mod 57

m=58: 143 mod 58 = 27 ≠ 14 = 188 mod 58

m=59: 143 mod 59 = 25 ≠ 11 = 188 mod 59

m=60: 143 mod 60 = 23 ≠ 8 = 188 mod 60

m=61: 143 mod 61 = 21 ≠ 5 = 188 mod 61

m=62: 143 mod 62 = 19 ≠ 2 = 188 mod 62

m=63: 143 mod 63 = 17 ≠ 62 = 188 mod 63

m=64: 143 mod 64 = 15 ≠ 60 = 188 mod 64

m=65: 143 mod 65 = 13 ≠ 58 = 188 mod 65

m=66: 143 mod 66 = 11 ≠ 56 = 188 mod 66

m=67: 143 mod 67 = 9 ≠ 54 = 188 mod 67

m=68: 143 mod 68 = 7 ≠ 52 = 188 mod 68

m=69: 143 mod 69 = 5 ≠ 50 = 188 mod 69

m=70: 143 mod 70 = 3 ≠ 48 = 188 mod 70

m=71: 143 mod 71 = 1 ≠ 46 = 188 mod 71

m=72: 143 mod 72 = 71 ≠ 44 = 188 mod 72

m=73: 143 mod 73 = 70 ≠ 42 = 188 mod 73

m=74: 143 mod 74 = 69 ≠ 40 = 188 mod 74

m=75: 143 mod 75 = 68 ≠ 38 = 188 mod 75

m=76: 143 mod 76 = 67 ≠ 36 = 188 mod 76

m=77: 143 mod 77 = 66 ≠ 34 = 188 mod 77

m=78: 143 mod 78 = 65 ≠ 32 = 188 mod 78

m=79: 143 mod 79 = 64 ≠ 30 = 188 mod 79

m=80: 143 mod 80 = 63 ≠ 28 = 188 mod 80

m=81: 143 mod 81 = 62 ≠ 26 = 188 mod 81

m=82: 143 mod 82 = 61 ≠ 24 = 188 mod 82

m=83: 143 mod 83 = 60 ≠ 22 = 188 mod 83

m=84: 143 mod 84 = 59 ≠ 20 = 188 mod 84

m=85: 143 mod 85 = 58 ≠ 18 = 188 mod 85

m=86: 143 mod 86 = 57 ≠ 16 = 188 mod 86

m=87: 143 mod 87 = 56 ≠ 14 = 188 mod 87

m=88: 143 mod 88 = 55 ≠ 12 = 188 mod 88

m=89: 143 mod 89 = 54 ≠ 10 = 188 mod 89

m=90: 143 mod 90 = 53 ≠ 8 = 188 mod 90

m=91: 143 mod 91 = 52 ≠ 6 = 188 mod 91

m=92: 143 mod 92 = 51 ≠ 4 = 188 mod 92

m=93: 143 mod 93 = 50 ≠ 2 = 188 mod 93

m=94: 143 mod 94 = 49 ≠ 0 = 188 mod 94

m=95: 143 mod 95 = 48 ≠ 93 = 188 mod 95

m=96: 143 mod 96 = 47 ≠ 92 = 188 mod 96

m=97: 143 mod 97 = 46 ≠ 91 = 188 mod 97

m=98: 143 mod 98 = 45 ≠ 90 = 188 mod 98

m=99: 143 mod 99 = 44 ≠ 89 = 188 mod 99

m=100: 143 mod 100 = 43 ≠ 88 = 188 mod 100

m=101: 143 mod 101 = 42 ≠ 87 = 188 mod 101

m=102: 143 mod 102 = 41 ≠ 86 = 188 mod 102

m=103: 143 mod 103 = 40 ≠ 85 = 188 mod 103

m=104: 143 mod 104 = 39 ≠ 84 = 188 mod 104

m=105: 143 mod 105 = 38 ≠ 83 = 188 mod 105

m=106: 143 mod 106 = 37 ≠ 82 = 188 mod 106

m=107: 143 mod 107 = 36 ≠ 81 = 188 mod 107

m=108: 143 mod 108 = 35 ≠ 80 = 188 mod 108

m=109: 143 mod 109 = 34 ≠ 79 = 188 mod 109

m=110: 143 mod 110 = 33 ≠ 78 = 188 mod 110

m=111: 143 mod 111 = 32 ≠ 77 = 188 mod 111

m=112: 143 mod 112 = 31 ≠ 76 = 188 mod 112

m=113: 143 mod 113 = 30 ≠ 75 = 188 mod 113

m=114: 143 mod 114 = 29 ≠ 74 = 188 mod 114

m=115: 143 mod 115 = 28 ≠ 73 = 188 mod 115

m=116: 143 mod 116 = 27 ≠ 72 = 188 mod 116

m=117: 143 mod 117 = 26 ≠ 71 = 188 mod 117

m=118: 143 mod 118 = 25 ≠ 70 = 188 mod 118

m=119: 143 mod 119 = 24 ≠ 69 = 188 mod 119

m=120: 143 mod 120 = 23 ≠ 68 = 188 mod 120

m=121: 143 mod 121 = 22 ≠ 67 = 188 mod 121

m=122: 143 mod 122 = 21 ≠ 66 = 188 mod 122

m=123: 143 mod 123 = 20 ≠ 65 = 188 mod 123

m=124: 143 mod 124 = 19 ≠ 64 = 188 mod 124

m=125: 143 mod 125 = 18 ≠ 63 = 188 mod 125

m=126: 143 mod 126 = 17 ≠ 62 = 188 mod 126

m=127: 143 mod 127 = 16 ≠ 61 = 188 mod 127

m=128: 143 mod 128 = 15 ≠ 60 = 188 mod 128

m=129: 143 mod 129 = 14 ≠ 59 = 188 mod 129

m=130: 143 mod 130 = 13 ≠ 58 = 188 mod 130

m=131: 143 mod 131 = 12 ≠ 57 = 188 mod 131

m=132: 143 mod 132 = 11 ≠ 56 = 188 mod 132

m=133: 143 mod 133 = 10 ≠ 55 = 188 mod 133

m=134: 143 mod 134 = 9 ≠ 54 = 188 mod 134

m=135: 143 mod 135 = 8 ≠ 53 = 188 mod 135

m=136: 143 mod 136 = 7 ≠ 52 = 188 mod 136

m=137: 143 mod 137 = 6 ≠ 51 = 188 mod 137

m=138: 143 mod 138 = 5 ≠ 50 = 188 mod 138

m=139: 143 mod 139 = 4 ≠ 49 = 188 mod 139

m=140: 143 mod 140 = 3 ≠ 48 = 188 mod 140

m=141: 143 mod 141 = 2 ≠ 47 = 188 mod 141

m=142: 143 mod 142 = 1 ≠ 46 = 188 mod 142

m=143: 143 mod 143 = 0 ≠ 45 = 188 mod 143

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (188 - 143) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45