Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 66, weil ja 22 ⋅ 3 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 68 - 66 = 2.

Somit gilt: 68 mod 3 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 63, weil ja 7 ⋅ 9 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 66 - 63 = 3.

Somit gilt: 66 mod 9 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 3 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 40, z.B. 45 = 5 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 3 mod 9 sein, also addieren wir noch 3 auf die 45 und erhalten so 48.

Somit gilt: 48 ≡ 66 ≡ 3 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11999 + 1203) mod 3 ≡ (11999 mod 3 + 1203 mod 3) mod 3.

11999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11999 = 12000-1 = 3 ⋅ 4000 -1 = 3 ⋅ 4000 - 3 + 2.

1203 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1203 = 1200+3 = 3 ⋅ 400 +3.

Somit gilt:

(11999 + 1203) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 95) mod 6 ≡ (15 mod 6 ⋅ 95 mod 6) mod 6.

15 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 12 + 3 = 2 ⋅ 6 + 3 ist.

95 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 15 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 95) mod 6 ≡ (3 ⋅ 5) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 18 aus, ob zufällig 18 mod m = 26 mod m gilt:

m=2: 18 mod 2 = 0 = 0 = 26 mod 2

m=3: 18 mod 3 = 0 ≠ 2 = 26 mod 3

m=4: 18 mod 4 = 2 = 2 = 26 mod 4

m=5: 18 mod 5 = 3 ≠ 1 = 26 mod 5

m=6: 18 mod 6 = 0 ≠ 2 = 26 mod 6

m=7: 18 mod 7 = 4 ≠ 5 = 26 mod 7

m=8: 18 mod 8 = 2 = 2 = 26 mod 8

m=9: 18 mod 9 = 0 ≠ 8 = 26 mod 9

m=10: 18 mod 10 = 8 ≠ 6 = 26 mod 10

m=11: 18 mod 11 = 7 ≠ 4 = 26 mod 11

m=12: 18 mod 12 = 6 ≠ 2 = 26 mod 12

m=13: 18 mod 13 = 5 ≠ 0 = 26 mod 13

m=14: 18 mod 14 = 4 ≠ 12 = 26 mod 14

m=15: 18 mod 15 = 3 ≠ 11 = 26 mod 15

m=16: 18 mod 16 = 2 ≠ 10 = 26 mod 16

m=17: 18 mod 17 = 1 ≠ 9 = 26 mod 17

m=18: 18 mod 18 = 0 ≠ 8 = 26 mod 18

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (26 - 18) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8