Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 64 - 55 = 9.

Somit gilt: 64 mod 11 ≡ 9.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 24, weil ja 8 ⋅ 3 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 26 - 24 = 2.

Somit gilt: 26 mod 3 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 80, z.B. 78 = 26 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 78 und erhalten so 80.

Somit gilt: 80 ≡ 26 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(242 - 1607) mod 8 ≡ (242 mod 8 - 1607 mod 8) mod 8.

242 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 242 = 240+2 = 8 ⋅ 30 +2.

1607 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1607 = 1600+7 = 8 ⋅ 200 +7.

Somit gilt:

(242 - 1607) mod 8 ≡ (2 - 7) mod 8 ≡ -5 mod 8 ≡ 3 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 25) mod 11 ≡ (17 mod 11 ⋅ 25 mod 11) mod 11.

17 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 11 + 6 = 1 ⋅ 11 + 6 ist.

25 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 22 + 3 = 2 ⋅ 11 + 3 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 25) mod 11 ≡ (6 ⋅ 3) mod 11 ≡ 18 mod 11 ≡ 7 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 95 aus, ob zufällig 95 mod m = 125 mod m gilt:

m=2: 95 mod 2 = 1 = 1 = 125 mod 2

m=3: 95 mod 3 = 2 = 2 = 125 mod 3

m=4: 95 mod 4 = 3 ≠ 1 = 125 mod 4

m=5: 95 mod 5 = 0 = 0 = 125 mod 5

m=6: 95 mod 6 = 5 = 5 = 125 mod 6

m=7: 95 mod 7 = 4 ≠ 6 = 125 mod 7

m=8: 95 mod 8 = 7 ≠ 5 = 125 mod 8

m=9: 95 mod 9 = 5 ≠ 8 = 125 mod 9

m=10: 95 mod 10 = 5 = 5 = 125 mod 10

m=11: 95 mod 11 = 7 ≠ 4 = 125 mod 11

m=12: 95 mod 12 = 11 ≠ 5 = 125 mod 12

m=13: 95 mod 13 = 4 ≠ 8 = 125 mod 13

m=14: 95 mod 14 = 11 ≠ 13 = 125 mod 14

m=15: 95 mod 15 = 5 = 5 = 125 mod 15

m=16: 95 mod 16 = 15 ≠ 13 = 125 mod 16

m=17: 95 mod 17 = 10 ≠ 6 = 125 mod 17

m=18: 95 mod 18 = 5 ≠ 17 = 125 mod 18

m=19: 95 mod 19 = 0 ≠ 11 = 125 mod 19

m=20: 95 mod 20 = 15 ≠ 5 = 125 mod 20

m=21: 95 mod 21 = 11 ≠ 20 = 125 mod 21

m=22: 95 mod 22 = 7 ≠ 15 = 125 mod 22

m=23: 95 mod 23 = 3 ≠ 10 = 125 mod 23

m=24: 95 mod 24 = 23 ≠ 5 = 125 mod 24

m=25: 95 mod 25 = 20 ≠ 0 = 125 mod 25

m=26: 95 mod 26 = 17 ≠ 21 = 125 mod 26

m=27: 95 mod 27 = 14 ≠ 17 = 125 mod 27

m=28: 95 mod 28 = 11 ≠ 13 = 125 mod 28

m=29: 95 mod 29 = 8 ≠ 9 = 125 mod 29

m=30: 95 mod 30 = 5 = 5 = 125 mod 30

m=31: 95 mod 31 = 2 ≠ 1 = 125 mod 31

m=32: 95 mod 32 = 31 ≠ 29 = 125 mod 32

m=33: 95 mod 33 = 29 ≠ 26 = 125 mod 33

m=34: 95 mod 34 = 27 ≠ 23 = 125 mod 34

m=35: 95 mod 35 = 25 ≠ 20 = 125 mod 35

m=36: 95 mod 36 = 23 ≠ 17 = 125 mod 36

m=37: 95 mod 37 = 21 ≠ 14 = 125 mod 37

m=38: 95 mod 38 = 19 ≠ 11 = 125 mod 38

m=39: 95 mod 39 = 17 ≠ 8 = 125 mod 39

m=40: 95 mod 40 = 15 ≠ 5 = 125 mod 40

m=41: 95 mod 41 = 13 ≠ 2 = 125 mod 41

m=42: 95 mod 42 = 11 ≠ 41 = 125 mod 42

m=43: 95 mod 43 = 9 ≠ 39 = 125 mod 43

m=44: 95 mod 44 = 7 ≠ 37 = 125 mod 44

m=45: 95 mod 45 = 5 ≠ 35 = 125 mod 45

m=46: 95 mod 46 = 3 ≠ 33 = 125 mod 46

m=47: 95 mod 47 = 1 ≠ 31 = 125 mod 47

m=48: 95 mod 48 = 47 ≠ 29 = 125 mod 48

m=49: 95 mod 49 = 46 ≠ 27 = 125 mod 49

m=50: 95 mod 50 = 45 ≠ 25 = 125 mod 50

m=51: 95 mod 51 = 44 ≠ 23 = 125 mod 51

m=52: 95 mod 52 = 43 ≠ 21 = 125 mod 52

m=53: 95 mod 53 = 42 ≠ 19 = 125 mod 53

m=54: 95 mod 54 = 41 ≠ 17 = 125 mod 54

m=55: 95 mod 55 = 40 ≠ 15 = 125 mod 55

m=56: 95 mod 56 = 39 ≠ 13 = 125 mod 56

m=57: 95 mod 57 = 38 ≠ 11 = 125 mod 57

m=58: 95 mod 58 = 37 ≠ 9 = 125 mod 58

m=59: 95 mod 59 = 36 ≠ 7 = 125 mod 59

m=60: 95 mod 60 = 35 ≠ 5 = 125 mod 60

m=61: 95 mod 61 = 34 ≠ 3 = 125 mod 61

m=62: 95 mod 62 = 33 ≠ 1 = 125 mod 62

m=63: 95 mod 63 = 32 ≠ 62 = 125 mod 63

m=64: 95 mod 64 = 31 ≠ 61 = 125 mod 64

m=65: 95 mod 65 = 30 ≠ 60 = 125 mod 65

m=66: 95 mod 66 = 29 ≠ 59 = 125 mod 66

m=67: 95 mod 67 = 28 ≠ 58 = 125 mod 67

m=68: 95 mod 68 = 27 ≠ 57 = 125 mod 68

m=69: 95 mod 69 = 26 ≠ 56 = 125 mod 69

m=70: 95 mod 70 = 25 ≠ 55 = 125 mod 70

m=71: 95 mod 71 = 24 ≠ 54 = 125 mod 71

m=72: 95 mod 72 = 23 ≠ 53 = 125 mod 72

m=73: 95 mod 73 = 22 ≠ 52 = 125 mod 73

m=74: 95 mod 74 = 21 ≠ 51 = 125 mod 74

m=75: 95 mod 75 = 20 ≠ 50 = 125 mod 75

m=76: 95 mod 76 = 19 ≠ 49 = 125 mod 76

m=77: 95 mod 77 = 18 ≠ 48 = 125 mod 77

m=78: 95 mod 78 = 17 ≠ 47 = 125 mod 78

m=79: 95 mod 79 = 16 ≠ 46 = 125 mod 79

m=80: 95 mod 80 = 15 ≠ 45 = 125 mod 80

m=81: 95 mod 81 = 14 ≠ 44 = 125 mod 81

m=82: 95 mod 82 = 13 ≠ 43 = 125 mod 82

m=83: 95 mod 83 = 12 ≠ 42 = 125 mod 83

m=84: 95 mod 84 = 11 ≠ 41 = 125 mod 84

m=85: 95 mod 85 = 10 ≠ 40 = 125 mod 85

m=86: 95 mod 86 = 9 ≠ 39 = 125 mod 86

m=87: 95 mod 87 = 8 ≠ 38 = 125 mod 87

m=88: 95 mod 88 = 7 ≠ 37 = 125 mod 88

m=89: 95 mod 89 = 6 ≠ 36 = 125 mod 89

m=90: 95 mod 90 = 5 ≠ 35 = 125 mod 90

m=91: 95 mod 91 = 4 ≠ 34 = 125 mod 91

m=92: 95 mod 92 = 3 ≠ 33 = 125 mod 92

m=93: 95 mod 93 = 2 ≠ 32 = 125 mod 93

m=94: 95 mod 94 = 1 ≠ 31 = 125 mod 94

m=95: 95 mod 95 = 0 ≠ 30 = 125 mod 95

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (125 - 95) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30