Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 39 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 30, weil ja 3 ⋅ 10 = 30 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 39 - 30 = 9.
Somit gilt: 39 mod 10 ≡ 9.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 22 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 20, weil ja 4 ⋅ 5 = 20 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 22 - 20 = 2.
Somit gilt: 22 mod 5 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 2 mod 5.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 18 ⋅ 5
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 2 mod 5 sein, also addieren wir noch 2 auf die 90 und erhalten so 92.
Somit gilt: 92 ≡ 22 ≡ 2 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (299 - 899) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(299 - 899) mod 3 ≡ (299 mod 3 - 899 mod 3) mod 3.
299 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 299
= 300
899 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 899
= 900
Somit gilt:
(299 - 899) mod 3 ≡ (2 - 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 71) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 71) mod 9 ≡ (24 mod 9 ⋅ 71 mod 9) mod 9.
24 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 18 + 6 = 2 ⋅ 9 + 6 ist.
71 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 63 + 8 = 7 ⋅ 9 + 8 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 71) mod 9 ≡ (6 ⋅ 8) mod 9 ≡ 48 mod 9 ≡ 3 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 19 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 19 mod m gilt:
m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2
m=3: 13 mod 3 = 1 = 1 = 19 mod 3
m=4: 13 mod 4 = 1 ≠ 3 = 19 mod 4
m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 4 = 19 mod 5
m=6: 13 mod 6 = 1 = 1 = 19 mod 6
m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 5 = 19 mod 7
m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 3 = 19 mod 8
m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 1 = 19 mod 9
m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 9 = 19 mod 10
m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 8 = 19 mod 11
m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 7 = 19 mod 12
m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 6 = 19 mod 13
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 13) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
