Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 72, weil ja 12 ⋅ 6 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 73 - 72 = 1.

Somit gilt: 73 mod 6 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 90, weil ja 18 ⋅ 5 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 91 - 90 = 1.

Somit gilt: 91 mod 5 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 1 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 4 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 1 mod 5 sein, also addieren wir noch 1 auf die 20 und erhalten so 21.

Somit gilt: 21 ≡ 91 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(401 + 3996) mod 4 ≡ (401 mod 4 + 3996 mod 4) mod 4.

401 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 401 = 400+1 = 4 ⋅ 100 +1.

3996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3996 = 3000+996 = 4 ⋅ 750 +996.

Somit gilt:

(401 + 3996) mod 4 ≡ (1 + 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 54) mod 11 ≡ (30 mod 11 ⋅ 54 mod 11) mod 11.

30 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 22 + 8 = 2 ⋅ 11 + 8 ist.

54 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 44 + 10 = 4 ⋅ 11 + 10 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 54) mod 11 ≡ (8 ⋅ 10) mod 11 ≡ 80 mod 11 ≡ 3 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 11 aus, ob zufällig 11 mod m = 15 mod m gilt:

m=2: 11 mod 2 = 1 = 1 = 15 mod 2

m=3: 11 mod 3 = 2 ≠ 0 = 15 mod 3

m=4: 11 mod 4 = 3 = 3 = 15 mod 4

m=5: 11 mod 5 = 1 ≠ 0 = 15 mod 5

m=6: 11 mod 6 = 5 ≠ 3 = 15 mod 6

m=7: 11 mod 7 = 4 ≠ 1 = 15 mod 7

m=8: 11 mod 8 = 3 ≠ 7 = 15 mod 8

m=9: 11 mod 9 = 2 ≠ 6 = 15 mod 9

m=10: 11 mod 10 = 1 ≠ 5 = 15 mod 10

m=11: 11 mod 11 = 0 ≠ 4 = 15 mod 11

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (15 - 11) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4