Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 93, weil ja 31 ⋅ 3 = 93 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 94 - 93 = 1.

Somit gilt: 94 mod 3 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 45, weil ja 5 ⋅ 9 = 45 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 45 - 45 = 0.

Somit gilt: 45 mod 9 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 0 mod 9.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 30, z.B. 36 = 4 ⋅ 9

Somit gilt: 36 ≡ 45 ≡ 0 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1809 - 276) mod 9 ≡ (1809 mod 9 - 276 mod 9) mod 9.

1809 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1809 = 1800+9 = 9 ⋅ 200 +9.

276 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 276 = 270+6 = 9 ⋅ 30 +6.

Somit gilt:

(1809 - 276) mod 9 ≡ (0 - 6) mod 9 ≡ -6 mod 9 ≡ 3 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 24) mod 9 ≡ (87 mod 9 ⋅ 24 mod 9) mod 9.

87 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 81 + 6 = 9 ⋅ 9 + 6 ist.

24 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 18 + 6 = 2 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 24) mod 9 ≡ (6 ⋅ 6) mod 9 ≡ 36 mod 9 ≡ 0 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 15 aus, ob zufällig 15 mod m = 19 mod m gilt:

m=2: 15 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2

m=3: 15 mod 3 = 0 ≠ 1 = 19 mod 3

m=4: 15 mod 4 = 3 = 3 = 19 mod 4

m=5: 15 mod 5 = 0 ≠ 4 = 19 mod 5

m=6: 15 mod 6 = 3 ≠ 1 = 19 mod 6

m=7: 15 mod 7 = 1 ≠ 5 = 19 mod 7

m=8: 15 mod 8 = 7 ≠ 3 = 19 mod 8

m=9: 15 mod 9 = 6 ≠ 1 = 19 mod 9

m=10: 15 mod 10 = 5 ≠ 9 = 19 mod 10

m=11: 15 mod 11 = 4 ≠ 8 = 19 mod 11

m=12: 15 mod 12 = 3 ≠ 7 = 19 mod 12

m=13: 15 mod 13 = 2 ≠ 6 = 19 mod 13

m=14: 15 mod 14 = 1 ≠ 5 = 19 mod 14

m=15: 15 mod 15 = 0 ≠ 4 = 19 mod 15

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 15) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4