Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9

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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 74 mod 10.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 70, weil ja 7 ⋅ 10 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 74 - 70 = 4.

Somit gilt: 74 mod 10 ≡ 4.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 72 mod 9.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 72, weil ja 8 ⋅ 9 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 72 - 72 = 0.

Somit gilt: 72 mod 9 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 0 mod 9.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 20, z.B. 27 = 3 ⋅ 9

Somit gilt: 27 ≡ 72 ≡ 0 mod 9.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1999 - 3996) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1999 - 3996) mod 4 ≡ (1999 mod 4 - 3996 mod 4) mod 4.

1999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1999 = 1900+99 = 4 ⋅ 475 +99.

3996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3996 = 3000+996 = 4 ⋅ 750 +996.

Somit gilt:

(1999 - 3996) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 76) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(50 ⋅ 76) mod 10 ≡ (50 mod 10 ⋅ 76 mod 10) mod 10.

50 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50 + 0 = 5 ⋅ 10 + 0 ist.

76 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 70 + 6 = 7 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(50 ⋅ 76) mod 10 ≡ (0 ⋅ 6) mod 10 ≡ 0 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
19 mod m = 25 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 19 aus, ob zufällig 19 mod m = 25 mod m gilt:

m=2: 19 mod 2 = 1 = 1 = 25 mod 2

m=3: 19 mod 3 = 1 = 1 = 25 mod 3

m=4: 19 mod 4 = 3 ≠ 1 = 25 mod 4

m=5: 19 mod 5 = 4 ≠ 0 = 25 mod 5

m=6: 19 mod 6 = 1 = 1 = 25 mod 6

m=7: 19 mod 7 = 5 ≠ 4 = 25 mod 7

m=8: 19 mod 8 = 3 ≠ 1 = 25 mod 8

m=9: 19 mod 9 = 1 ≠ 7 = 25 mod 9

m=10: 19 mod 10 = 9 ≠ 5 = 25 mod 10

m=11: 19 mod 11 = 8 ≠ 3 = 25 mod 11

m=12: 19 mod 12 = 7 ≠ 1 = 25 mod 12

m=13: 19 mod 13 = 6 ≠ 12 = 25 mod 13

m=14: 19 mod 14 = 5 ≠ 11 = 25 mod 14

m=15: 19 mod 15 = 4 ≠ 10 = 25 mod 15

m=16: 19 mod 16 = 3 ≠ 9 = 25 mod 16

m=17: 19 mod 17 = 2 ≠ 8 = 25 mod 17

m=18: 19 mod 18 = 1 ≠ 7 = 25 mod 18

m=19: 19 mod 19 = 0 ≠ 6 = 25 mod 19

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (25 - 19) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6