Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 20, weil ja 4 ⋅ 5 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 22 - 20 = 2.

Somit gilt: 22 mod 5 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 72, weil ja 9 ⋅ 8 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 74 - 72 = 2.

Somit gilt: 74 mod 8 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 2 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 30, z.B. 32 = 4 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 2 mod 8 sein, also addieren wir noch 2 auf die 32 und erhalten so 34.

Somit gilt: 34 ≡ 74 ≡ 2 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34993 + 2103) mod 7 ≡ (34993 mod 7 + 2103 mod 7) mod 7.

34993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34993 = 35000-7 = 7 ⋅ 5000 -7 = 7 ⋅ 5000 - 7 + 0.

2103 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2103 = 2100+3 = 7 ⋅ 300 +3.

Somit gilt:

(34993 + 2103) mod 7 ≡ (0 + 3) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 80) mod 9 ≡ (33 mod 9 ⋅ 80 mod 9) mod 9.

33 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 27 + 6 = 3 ⋅ 9 + 6 ist.

80 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 72 + 8 = 8 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 80) mod 9 ≡ (6 ⋅ 8) mod 9 ≡ 48 mod 9 ≡ 3 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 214 aus, ob zufällig 214 mod m = 289 mod m gilt:

m=2: 214 mod 2 = 0 ≠ 1 = 289 mod 2

m=3: 214 mod 3 = 1 = 1 = 289 mod 3

m=4: 214 mod 4 = 2 ≠ 1 = 289 mod 4

m=5: 214 mod 5 = 4 = 4 = 289 mod 5

m=6: 214 mod 6 = 4 ≠ 1 = 289 mod 6

m=7: 214 mod 7 = 4 ≠ 2 = 289 mod 7

m=8: 214 mod 8 = 6 ≠ 1 = 289 mod 8

m=9: 214 mod 9 = 7 ≠ 1 = 289 mod 9

m=10: 214 mod 10 = 4 ≠ 9 = 289 mod 10

m=11: 214 mod 11 = 5 ≠ 3 = 289 mod 11

m=12: 214 mod 12 = 10 ≠ 1 = 289 mod 12

m=13: 214 mod 13 = 6 ≠ 3 = 289 mod 13

m=14: 214 mod 14 = 4 ≠ 9 = 289 mod 14

m=15: 214 mod 15 = 4 = 4 = 289 mod 15

m=16: 214 mod 16 = 6 ≠ 1 = 289 mod 16

m=17: 214 mod 17 = 10 ≠ 0 = 289 mod 17

m=18: 214 mod 18 = 16 ≠ 1 = 289 mod 18

m=19: 214 mod 19 = 5 ≠ 4 = 289 mod 19

m=20: 214 mod 20 = 14 ≠ 9 = 289 mod 20

m=21: 214 mod 21 = 4 ≠ 16 = 289 mod 21

m=22: 214 mod 22 = 16 ≠ 3 = 289 mod 22

m=23: 214 mod 23 = 7 ≠ 13 = 289 mod 23

m=24: 214 mod 24 = 22 ≠ 1 = 289 mod 24

m=25: 214 mod 25 = 14 = 14 = 289 mod 25

m=26: 214 mod 26 = 6 ≠ 3 = 289 mod 26

m=27: 214 mod 27 = 25 ≠ 19 = 289 mod 27

m=28: 214 mod 28 = 18 ≠ 9 = 289 mod 28

m=29: 214 mod 29 = 11 ≠ 28 = 289 mod 29

m=30: 214 mod 30 = 4 ≠ 19 = 289 mod 30

m=31: 214 mod 31 = 28 ≠ 10 = 289 mod 31

m=32: 214 mod 32 = 22 ≠ 1 = 289 mod 32

m=33: 214 mod 33 = 16 ≠ 25 = 289 mod 33

m=34: 214 mod 34 = 10 ≠ 17 = 289 mod 34

m=35: 214 mod 35 = 4 ≠ 9 = 289 mod 35

m=36: 214 mod 36 = 34 ≠ 1 = 289 mod 36

m=37: 214 mod 37 = 29 ≠ 30 = 289 mod 37

m=38: 214 mod 38 = 24 ≠ 23 = 289 mod 38

m=39: 214 mod 39 = 19 ≠ 16 = 289 mod 39

m=40: 214 mod 40 = 14 ≠ 9 = 289 mod 40

m=41: 214 mod 41 = 9 ≠ 2 = 289 mod 41

m=42: 214 mod 42 = 4 ≠ 37 = 289 mod 42

m=43: 214 mod 43 = 42 ≠ 31 = 289 mod 43

m=44: 214 mod 44 = 38 ≠ 25 = 289 mod 44

m=45: 214 mod 45 = 34 ≠ 19 = 289 mod 45

m=46: 214 mod 46 = 30 ≠ 13 = 289 mod 46

m=47: 214 mod 47 = 26 ≠ 7 = 289 mod 47

m=48: 214 mod 48 = 22 ≠ 1 = 289 mod 48

m=49: 214 mod 49 = 18 ≠ 44 = 289 mod 49

m=50: 214 mod 50 = 14 ≠ 39 = 289 mod 50

m=51: 214 mod 51 = 10 ≠ 34 = 289 mod 51

m=52: 214 mod 52 = 6 ≠ 29 = 289 mod 52

m=53: 214 mod 53 = 2 ≠ 24 = 289 mod 53

m=54: 214 mod 54 = 52 ≠ 19 = 289 mod 54

m=55: 214 mod 55 = 49 ≠ 14 = 289 mod 55

m=56: 214 mod 56 = 46 ≠ 9 = 289 mod 56

m=57: 214 mod 57 = 43 ≠ 4 = 289 mod 57

m=58: 214 mod 58 = 40 ≠ 57 = 289 mod 58

m=59: 214 mod 59 = 37 ≠ 53 = 289 mod 59

m=60: 214 mod 60 = 34 ≠ 49 = 289 mod 60

m=61: 214 mod 61 = 31 ≠ 45 = 289 mod 61

m=62: 214 mod 62 = 28 ≠ 41 = 289 mod 62

m=63: 214 mod 63 = 25 ≠ 37 = 289 mod 63

m=64: 214 mod 64 = 22 ≠ 33 = 289 mod 64

m=65: 214 mod 65 = 19 ≠ 29 = 289 mod 65

m=66: 214 mod 66 = 16 ≠ 25 = 289 mod 66

m=67: 214 mod 67 = 13 ≠ 21 = 289 mod 67

m=68: 214 mod 68 = 10 ≠ 17 = 289 mod 68

m=69: 214 mod 69 = 7 ≠ 13 = 289 mod 69

m=70: 214 mod 70 = 4 ≠ 9 = 289 mod 70

m=71: 214 mod 71 = 1 ≠ 5 = 289 mod 71

m=72: 214 mod 72 = 70 ≠ 1 = 289 mod 72

m=73: 214 mod 73 = 68 ≠ 70 = 289 mod 73

m=74: 214 mod 74 = 66 ≠ 67 = 289 mod 74

m=75: 214 mod 75 = 64 = 64 = 289 mod 75

m=76: 214 mod 76 = 62 ≠ 61 = 289 mod 76

m=77: 214 mod 77 = 60 ≠ 58 = 289 mod 77

m=78: 214 mod 78 = 58 ≠ 55 = 289 mod 78

m=79: 214 mod 79 = 56 ≠ 52 = 289 mod 79

m=80: 214 mod 80 = 54 ≠ 49 = 289 mod 80

m=81: 214 mod 81 = 52 ≠ 46 = 289 mod 81

m=82: 214 mod 82 = 50 ≠ 43 = 289 mod 82

m=83: 214 mod 83 = 48 ≠ 40 = 289 mod 83

m=84: 214 mod 84 = 46 ≠ 37 = 289 mod 84

m=85: 214 mod 85 = 44 ≠ 34 = 289 mod 85

m=86: 214 mod 86 = 42 ≠ 31 = 289 mod 86

m=87: 214 mod 87 = 40 ≠ 28 = 289 mod 87

m=88: 214 mod 88 = 38 ≠ 25 = 289 mod 88

m=89: 214 mod 89 = 36 ≠ 22 = 289 mod 89

m=90: 214 mod 90 = 34 ≠ 19 = 289 mod 90

m=91: 214 mod 91 = 32 ≠ 16 = 289 mod 91

m=92: 214 mod 92 = 30 ≠ 13 = 289 mod 92

m=93: 214 mod 93 = 28 ≠ 10 = 289 mod 93

m=94: 214 mod 94 = 26 ≠ 7 = 289 mod 94

m=95: 214 mod 95 = 24 ≠ 4 = 289 mod 95

m=96: 214 mod 96 = 22 ≠ 1 = 289 mod 96

m=97: 214 mod 97 = 20 ≠ 95 = 289 mod 97

m=98: 214 mod 98 = 18 ≠ 93 = 289 mod 98

m=99: 214 mod 99 = 16 ≠ 91 = 289 mod 99

m=100: 214 mod 100 = 14 ≠ 89 = 289 mod 100

m=101: 214 mod 101 = 12 ≠ 87 = 289 mod 101

m=102: 214 mod 102 = 10 ≠ 85 = 289 mod 102

m=103: 214 mod 103 = 8 ≠ 83 = 289 mod 103

m=104: 214 mod 104 = 6 ≠ 81 = 289 mod 104

m=105: 214 mod 105 = 4 ≠ 79 = 289 mod 105

m=106: 214 mod 106 = 2 ≠ 77 = 289 mod 106

m=107: 214 mod 107 = 0 ≠ 75 = 289 mod 107

m=108: 214 mod 108 = 106 ≠ 73 = 289 mod 108

m=109: 214 mod 109 = 105 ≠ 71 = 289 mod 109

m=110: 214 mod 110 = 104 ≠ 69 = 289 mod 110

m=111: 214 mod 111 = 103 ≠ 67 = 289 mod 111

m=112: 214 mod 112 = 102 ≠ 65 = 289 mod 112

m=113: 214 mod 113 = 101 ≠ 63 = 289 mod 113

m=114: 214 mod 114 = 100 ≠ 61 = 289 mod 114

m=115: 214 mod 115 = 99 ≠ 59 = 289 mod 115

m=116: 214 mod 116 = 98 ≠ 57 = 289 mod 116

m=117: 214 mod 117 = 97 ≠ 55 = 289 mod 117

m=118: 214 mod 118 = 96 ≠ 53 = 289 mod 118

m=119: 214 mod 119 = 95 ≠ 51 = 289 mod 119

m=120: 214 mod 120 = 94 ≠ 49 = 289 mod 120

m=121: 214 mod 121 = 93 ≠ 47 = 289 mod 121

m=122: 214 mod 122 = 92 ≠ 45 = 289 mod 122

m=123: 214 mod 123 = 91 ≠ 43 = 289 mod 123

m=124: 214 mod 124 = 90 ≠ 41 = 289 mod 124

m=125: 214 mod 125 = 89 ≠ 39 = 289 mod 125

m=126: 214 mod 126 = 88 ≠ 37 = 289 mod 126

m=127: 214 mod 127 = 87 ≠ 35 = 289 mod 127

m=128: 214 mod 128 = 86 ≠ 33 = 289 mod 128

m=129: 214 mod 129 = 85 ≠ 31 = 289 mod 129

m=130: 214 mod 130 = 84 ≠ 29 = 289 mod 130

m=131: 214 mod 131 = 83 ≠ 27 = 289 mod 131

m=132: 214 mod 132 = 82 ≠ 25 = 289 mod 132

m=133: 214 mod 133 = 81 ≠ 23 = 289 mod 133

m=134: 214 mod 134 = 80 ≠ 21 = 289 mod 134

m=135: 214 mod 135 = 79 ≠ 19 = 289 mod 135

m=136: 214 mod 136 = 78 ≠ 17 = 289 mod 136

m=137: 214 mod 137 = 77 ≠ 15 = 289 mod 137

m=138: 214 mod 138 = 76 ≠ 13 = 289 mod 138

m=139: 214 mod 139 = 75 ≠ 11 = 289 mod 139

m=140: 214 mod 140 = 74 ≠ 9 = 289 mod 140

m=141: 214 mod 141 = 73 ≠ 7 = 289 mod 141

m=142: 214 mod 142 = 72 ≠ 5 = 289 mod 142

m=143: 214 mod 143 = 71 ≠ 3 = 289 mod 143

m=144: 214 mod 144 = 70 ≠ 1 = 289 mod 144

m=145: 214 mod 145 = 69 ≠ 144 = 289 mod 145

m=146: 214 mod 146 = 68 ≠ 143 = 289 mod 146

m=147: 214 mod 147 = 67 ≠ 142 = 289 mod 147

m=148: 214 mod 148 = 66 ≠ 141 = 289 mod 148

m=149: 214 mod 149 = 65 ≠ 140 = 289 mod 149

m=150: 214 mod 150 = 64 ≠ 139 = 289 mod 150

m=151: 214 mod 151 = 63 ≠ 138 = 289 mod 151

m=152: 214 mod 152 = 62 ≠ 137 = 289 mod 152

m=153: 214 mod 153 = 61 ≠ 136 = 289 mod 153

m=154: 214 mod 154 = 60 ≠ 135 = 289 mod 154

m=155: 214 mod 155 = 59 ≠ 134 = 289 mod 155

m=156: 214 mod 156 = 58 ≠ 133 = 289 mod 156

m=157: 214 mod 157 = 57 ≠ 132 = 289 mod 157

m=158: 214 mod 158 = 56 ≠ 131 = 289 mod 158

m=159: 214 mod 159 = 55 ≠ 130 = 289 mod 159

m=160: 214 mod 160 = 54 ≠ 129 = 289 mod 160

m=161: 214 mod 161 = 53 ≠ 128 = 289 mod 161

m=162: 214 mod 162 = 52 ≠ 127 = 289 mod 162

m=163: 214 mod 163 = 51 ≠ 126 = 289 mod 163

m=164: 214 mod 164 = 50 ≠ 125 = 289 mod 164

m=165: 214 mod 165 = 49 ≠ 124 = 289 mod 165

m=166: 214 mod 166 = 48 ≠ 123 = 289 mod 166

m=167: 214 mod 167 = 47 ≠ 122 = 289 mod 167

m=168: 214 mod 168 = 46 ≠ 121 = 289 mod 168

m=169: 214 mod 169 = 45 ≠ 120 = 289 mod 169

m=170: 214 mod 170 = 44 ≠ 119 = 289 mod 170

m=171: 214 mod 171 = 43 ≠ 118 = 289 mod 171

m=172: 214 mod 172 = 42 ≠ 117 = 289 mod 172

m=173: 214 mod 173 = 41 ≠ 116 = 289 mod 173

m=174: 214 mod 174 = 40 ≠ 115 = 289 mod 174

m=175: 214 mod 175 = 39 ≠ 114 = 289 mod 175

m=176: 214 mod 176 = 38 ≠ 113 = 289 mod 176

m=177: 214 mod 177 = 37 ≠ 112 = 289 mod 177

m=178: 214 mod 178 = 36 ≠ 111 = 289 mod 178

m=179: 214 mod 179 = 35 ≠ 110 = 289 mod 179

m=180: 214 mod 180 = 34 ≠ 109 = 289 mod 180

m=181: 214 mod 181 = 33 ≠ 108 = 289 mod 181

m=182: 214 mod 182 = 32 ≠ 107 = 289 mod 182

m=183: 214 mod 183 = 31 ≠ 106 = 289 mod 183

m=184: 214 mod 184 = 30 ≠ 105 = 289 mod 184

m=185: 214 mod 185 = 29 ≠ 104 = 289 mod 185

m=186: 214 mod 186 = 28 ≠ 103 = 289 mod 186

m=187: 214 mod 187 = 27 ≠ 102 = 289 mod 187

m=188: 214 mod 188 = 26 ≠ 101 = 289 mod 188

m=189: 214 mod 189 = 25 ≠ 100 = 289 mod 189

m=190: 214 mod 190 = 24 ≠ 99 = 289 mod 190

m=191: 214 mod 191 = 23 ≠ 98 = 289 mod 191

m=192: 214 mod 192 = 22 ≠ 97 = 289 mod 192

m=193: 214 mod 193 = 21 ≠ 96 = 289 mod 193

m=194: 214 mod 194 = 20 ≠ 95 = 289 mod 194

m=195: 214 mod 195 = 19 ≠ 94 = 289 mod 195

m=196: 214 mod 196 = 18 ≠ 93 = 289 mod 196

m=197: 214 mod 197 = 17 ≠ 92 = 289 mod 197

m=198: 214 mod 198 = 16 ≠ 91 = 289 mod 198

m=199: 214 mod 199 = 15 ≠ 90 = 289 mod 199

m=200: 214 mod 200 = 14 ≠ 89 = 289 mod 200

m=201: 214 mod 201 = 13 ≠ 88 = 289 mod 201

m=202: 214 mod 202 = 12 ≠ 87 = 289 mod 202

m=203: 214 mod 203 = 11 ≠ 86 = 289 mod 203

m=204: 214 mod 204 = 10 ≠ 85 = 289 mod 204

m=205: 214 mod 205 = 9 ≠ 84 = 289 mod 205

m=206: 214 mod 206 = 8 ≠ 83 = 289 mod 206

m=207: 214 mod 207 = 7 ≠ 82 = 289 mod 207

m=208: 214 mod 208 = 6 ≠ 81 = 289 mod 208

m=209: 214 mod 209 = 5 ≠ 80 = 289 mod 209

m=210: 214 mod 210 = 4 ≠ 79 = 289 mod 210

m=211: 214 mod 211 = 3 ≠ 78 = 289 mod 211

m=212: 214 mod 212 = 2 ≠ 77 = 289 mod 212

m=213: 214 mod 213 = 1 ≠ 76 = 289 mod 213

m=214: 214 mod 214 = 0 ≠ 75 = 289 mod 214

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (289 - 214) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75