Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 29 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 27, weil ja 3 ⋅ 9 = 27 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 29 - 27 = 2.
Somit gilt: 29 mod 9 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 69 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 63, weil ja 9 ⋅ 7 = 63 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 69 - 63 = 6.
Somit gilt: 69 mod 7 ≡ 6.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 6 mod 7.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 20, z.B. 14 = 2 ⋅ 7
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 6 mod 7 sein, also addieren wir noch 6 auf die 14 und erhalten so 20.
Somit gilt: 20 ≡ 69 ≡ 6 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3595 - 90) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3595 - 90) mod 9 ≡ (3595 mod 9 - 90 mod 9) mod 9.
3595 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3595
= 3600
90 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90
= 90
Somit gilt:
(3595 - 90) mod 9 ≡ (4 - 0) mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 32) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(68 ⋅ 32) mod 9 ≡ (68 mod 9 ⋅ 32 mod 9) mod 9.
68 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 63 + 5 = 7 ⋅ 9 + 5 ist.
32 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 27 + 5 = 3 ⋅ 9 + 5 ist.
Somit gilt:
(68 ⋅ 32) mod 9 ≡ (5 ⋅ 5) mod 9 ≡ 25 mod 9 ≡ 7 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
9 mod m = 13 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 9 aus, ob zufällig 9 mod m = 13 mod m gilt:
m=2: 9 mod 2 = 1 = 1 = 13 mod 2
m=3: 9 mod 3 = 0 ≠ 1 = 13 mod 3
m=4: 9 mod 4 = 1 = 1 = 13 mod 4
m=5: 9 mod 5 = 4 ≠ 3 = 13 mod 5
m=6: 9 mod 6 = 3 ≠ 1 = 13 mod 6
m=7: 9 mod 7 = 2 ≠ 6 = 13 mod 7
m=8: 9 mod 8 = 1 ≠ 5 = 13 mod 8
m=9: 9 mod 9 = 0 ≠ 4 = 13 mod 9
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (13 - 9) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
