Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 82 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 80, weil ja 10 ⋅ 8 = 80 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 82 - 80 = 2.
Somit gilt: 82 mod 8 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 39 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 35, weil ja 5 ⋅ 7 = 35 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 39 - 35 = 4.
Somit gilt: 39 mod 7 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 4 mod 7.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 20, z.B. 21 = 3 ⋅ 7
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 4 mod 7 sein, also addieren wir noch 4 auf die 21 und erhalten so 25.
Somit gilt: 25 ≡ 39 ≡ 4 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3997 + 41) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3997 + 41) mod 4 ≡ (3997 mod 4 + 41 mod 4) mod 4.
3997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3997
= 3000
41 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41
= 40
Somit gilt:
(3997 + 41) mod 4 ≡ (1 + 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 22) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 22) mod 9 ≡ (21 mod 9 ⋅ 22 mod 9) mod 9.
21 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 18 + 3 = 2 ⋅ 9 + 3 ist.
22 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 18 + 4 = 2 ⋅ 9 + 4 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 22) mod 9 ≡ (3 ⋅ 4) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
18 mod m = 26 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 18 aus, ob zufällig 18 mod m = 26 mod m gilt:
m=2: 18 mod 2 = 0 = 0 = 26 mod 2
m=3: 18 mod 3 = 0 ≠ 2 = 26 mod 3
m=4: 18 mod 4 = 2 = 2 = 26 mod 4
m=5: 18 mod 5 = 3 ≠ 1 = 26 mod 5
m=6: 18 mod 6 = 0 ≠ 2 = 26 mod 6
m=7: 18 mod 7 = 4 ≠ 5 = 26 mod 7
m=8: 18 mod 8 = 2 = 2 = 26 mod 8
m=9: 18 mod 9 = 0 ≠ 8 = 26 mod 9
m=10: 18 mod 10 = 8 ≠ 6 = 26 mod 10
m=11: 18 mod 11 = 7 ≠ 4 = 26 mod 11
m=12: 18 mod 12 = 6 ≠ 2 = 26 mod 12
m=13: 18 mod 13 = 5 ≠ 0 = 26 mod 13
m=14: 18 mod 14 = 4 ≠ 12 = 26 mod 14
m=15: 18 mod 15 = 3 ≠ 11 = 26 mod 15
m=16: 18 mod 16 = 2 ≠ 10 = 26 mod 16
m=17: 18 mod 17 = 1 ≠ 9 = 26 mod 17
m=18: 18 mod 18 = 0 ≠ 8 = 26 mod 18
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (26 - 18) = 8 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4; 8
