Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 70 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 68, weil ja 17 ⋅ 4 = 68 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 70 - 68 = 2.
Somit gilt: 70 mod 4 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 31 für die gilt n ≡ 45 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 45 - 44 = 1.
Somit gilt: 45 mod 11 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 31 für die gilt: n ≡ 1 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 20, z.B. 22 = 2 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 1 mod 11 sein, also addieren wir noch 1 auf die 22 und erhalten so 23.
Somit gilt: 23 ≡ 45 ≡ 1 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1599 + 7994) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1599 + 7994) mod 8 ≡ (1599 mod 8 + 7994 mod 8) mod 8.
1599 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1599
= 1600
7994 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7994
= 7000
Somit gilt:
(1599 + 7994) mod 8 ≡ (7 + 2) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 58) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(98 ⋅ 58) mod 9 ≡ (98 mod 9 ⋅ 58 mod 9) mod 9.
98 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 90 + 8 = 10 ⋅ 9 + 8 ist.
58 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 6 ⋅ 9 + 4 ist.
Somit gilt:
(98 ⋅ 58) mod 9 ≡ (8 ⋅ 4) mod 9 ≡ 32 mod 9 ≡ 5 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
67 mod m = 97 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 67 aus, ob zufällig 67 mod m = 97 mod m gilt:
m=2: 67 mod 2 = 1 = 1 = 97 mod 2
m=3: 67 mod 3 = 1 = 1 = 97 mod 3
m=4: 67 mod 4 = 3 ≠ 1 = 97 mod 4
m=5: 67 mod 5 = 2 = 2 = 97 mod 5
m=6: 67 mod 6 = 1 = 1 = 97 mod 6
m=7: 67 mod 7 = 4 ≠ 6 = 97 mod 7
m=8: 67 mod 8 = 3 ≠ 1 = 97 mod 8
m=9: 67 mod 9 = 4 ≠ 7 = 97 mod 9
m=10: 67 mod 10 = 7 = 7 = 97 mod 10
m=11: 67 mod 11 = 1 ≠ 9 = 97 mod 11
m=12: 67 mod 12 = 7 ≠ 1 = 97 mod 12
m=13: 67 mod 13 = 2 ≠ 6 = 97 mod 13
m=14: 67 mod 14 = 11 ≠ 13 = 97 mod 14
m=15: 67 mod 15 = 7 = 7 = 97 mod 15
m=16: 67 mod 16 = 3 ≠ 1 = 97 mod 16
m=17: 67 mod 17 = 16 ≠ 12 = 97 mod 17
m=18: 67 mod 18 = 13 ≠ 7 = 97 mod 18
m=19: 67 mod 19 = 10 ≠ 2 = 97 mod 19
m=20: 67 mod 20 = 7 ≠ 17 = 97 mod 20
m=21: 67 mod 21 = 4 ≠ 13 = 97 mod 21
m=22: 67 mod 22 = 1 ≠ 9 = 97 mod 22
m=23: 67 mod 23 = 21 ≠ 5 = 97 mod 23
m=24: 67 mod 24 = 19 ≠ 1 = 97 mod 24
m=25: 67 mod 25 = 17 ≠ 22 = 97 mod 25
m=26: 67 mod 26 = 15 ≠ 19 = 97 mod 26
m=27: 67 mod 27 = 13 ≠ 16 = 97 mod 27
m=28: 67 mod 28 = 11 ≠ 13 = 97 mod 28
m=29: 67 mod 29 = 9 ≠ 10 = 97 mod 29
m=30: 67 mod 30 = 7 = 7 = 97 mod 30
m=31: 67 mod 31 = 5 ≠ 4 = 97 mod 31
m=32: 67 mod 32 = 3 ≠ 1 = 97 mod 32
m=33: 67 mod 33 = 1 ≠ 31 = 97 mod 33
m=34: 67 mod 34 = 33 ≠ 29 = 97 mod 34
m=35: 67 mod 35 = 32 ≠ 27 = 97 mod 35
m=36: 67 mod 36 = 31 ≠ 25 = 97 mod 36
m=37: 67 mod 37 = 30 ≠ 23 = 97 mod 37
m=38: 67 mod 38 = 29 ≠ 21 = 97 mod 38
m=39: 67 mod 39 = 28 ≠ 19 = 97 mod 39
m=40: 67 mod 40 = 27 ≠ 17 = 97 mod 40
m=41: 67 mod 41 = 26 ≠ 15 = 97 mod 41
m=42: 67 mod 42 = 25 ≠ 13 = 97 mod 42
m=43: 67 mod 43 = 24 ≠ 11 = 97 mod 43
m=44: 67 mod 44 = 23 ≠ 9 = 97 mod 44
m=45: 67 mod 45 = 22 ≠ 7 = 97 mod 45
m=46: 67 mod 46 = 21 ≠ 5 = 97 mod 46
m=47: 67 mod 47 = 20 ≠ 3 = 97 mod 47
m=48: 67 mod 48 = 19 ≠ 1 = 97 mod 48
m=49: 67 mod 49 = 18 ≠ 48 = 97 mod 49
m=50: 67 mod 50 = 17 ≠ 47 = 97 mod 50
m=51: 67 mod 51 = 16 ≠ 46 = 97 mod 51
m=52: 67 mod 52 = 15 ≠ 45 = 97 mod 52
m=53: 67 mod 53 = 14 ≠ 44 = 97 mod 53
m=54: 67 mod 54 = 13 ≠ 43 = 97 mod 54
m=55: 67 mod 55 = 12 ≠ 42 = 97 mod 55
m=56: 67 mod 56 = 11 ≠ 41 = 97 mod 56
m=57: 67 mod 57 = 10 ≠ 40 = 97 mod 57
m=58: 67 mod 58 = 9 ≠ 39 = 97 mod 58
m=59: 67 mod 59 = 8 ≠ 38 = 97 mod 59
m=60: 67 mod 60 = 7 ≠ 37 = 97 mod 60
m=61: 67 mod 61 = 6 ≠ 36 = 97 mod 61
m=62: 67 mod 62 = 5 ≠ 35 = 97 mod 62
m=63: 67 mod 63 = 4 ≠ 34 = 97 mod 63
m=64: 67 mod 64 = 3 ≠ 33 = 97 mod 64
m=65: 67 mod 65 = 2 ≠ 32 = 97 mod 65
m=66: 67 mod 66 = 1 ≠ 31 = 97 mod 66
m=67: 67 mod 67 = 0 ≠ 30 = 97 mod 67
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (97 - 67) = 30 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 5; 6; 10; 15; 30
