Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 64, weil ja 16 ⋅ 4 = 64 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 64 - 64 = 0.

Somit gilt: 64 mod 4 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 50, weil ja 10 ⋅ 5 = 50 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 52 - 50 = 2.

Somit gilt: 52 mod 5 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 2 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 18 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 2 mod 5 sein, also addieren wir noch 2 auf die 90 und erhalten so 92.

Somit gilt: 92 ≡ 52 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 - 201) mod 5 ≡ (51 mod 5 - 201 mod 5) mod 5.

51 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 50+1 = 5 ⋅ 10 +1.

201 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 201 = 200+1 = 5 ⋅ 40 +1.

Somit gilt:

(51 - 201) mod 5 ≡ (1 - 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 52) mod 5 ≡ (30 mod 5 ⋅ 52 mod 5) mod 5.

30 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 6 ⋅ 5 + 0 ist.

52 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 50 + 2 = 10 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 52) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 26 mod m gilt:

m=2: 20 mod 2 = 0 = 0 = 26 mod 2

m=3: 20 mod 3 = 2 = 2 = 26 mod 3

m=4: 20 mod 4 = 0 ≠ 2 = 26 mod 4

m=5: 20 mod 5 = 0 ≠ 1 = 26 mod 5

m=6: 20 mod 6 = 2 = 2 = 26 mod 6

m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 5 = 26 mod 7

m=8: 20 mod 8 = 4 ≠ 2 = 26 mod 8

m=9: 20 mod 9 = 2 ≠ 8 = 26 mod 9

m=10: 20 mod 10 = 0 ≠ 6 = 26 mod 10

m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 4 = 26 mod 11

m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 2 = 26 mod 12

m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 0 = 26 mod 13

m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 12 = 26 mod 14

m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 11 = 26 mod 15

m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 10 = 26 mod 16

m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 9 = 26 mod 17

m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 8 = 26 mod 18

m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 7 = 26 mod 19

m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 6 = 26 mod 20

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (26 - 20) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6