Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 42, weil ja 7 ⋅ 6 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 42 - 42 = 0.

Somit gilt: 42 mod 6 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 75, weil ja 15 ⋅ 5 = 75 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 79 - 75 = 4.

Somit gilt: 79 mod 5 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 4 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 6 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 4 mod 5 sein, also addieren wir noch 4 auf die 30 und erhalten so 34.

Somit gilt: 34 ≡ 79 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30000 + 55) mod 6 ≡ (30000 mod 6 + 55 mod 6) mod 6.

30000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30000 = 30000+0 = 6 ⋅ 5000 +0.

55 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 60-5 = 6 ⋅ 10 -5 = 6 ⋅ 10 - 6 + 1.

Somit gilt:

(30000 + 55) mod 6 ≡ (0 + 1) mod 6 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 34) mod 4 ≡ (81 mod 4 ⋅ 34 mod 4) mod 4.

81 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 20 ⋅ 4 + 1 ist.

34 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 32 + 2 = 8 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 34) mod 4 ≡ (1 ⋅ 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 145 aus, ob zufällig 145 mod m = 190 mod m gilt:

m=2: 145 mod 2 = 1 ≠ 0 = 190 mod 2

m=3: 145 mod 3 = 1 = 1 = 190 mod 3

m=4: 145 mod 4 = 1 ≠ 2 = 190 mod 4

m=5: 145 mod 5 = 0 = 0 = 190 mod 5

m=6: 145 mod 6 = 1 ≠ 4 = 190 mod 6

m=7: 145 mod 7 = 5 ≠ 1 = 190 mod 7

m=8: 145 mod 8 = 1 ≠ 6 = 190 mod 8

m=9: 145 mod 9 = 1 = 1 = 190 mod 9

m=10: 145 mod 10 = 5 ≠ 0 = 190 mod 10

m=11: 145 mod 11 = 2 ≠ 3 = 190 mod 11

m=12: 145 mod 12 = 1 ≠ 10 = 190 mod 12

m=13: 145 mod 13 = 2 ≠ 8 = 190 mod 13

m=14: 145 mod 14 = 5 ≠ 8 = 190 mod 14

m=15: 145 mod 15 = 10 = 10 = 190 mod 15

m=16: 145 mod 16 = 1 ≠ 14 = 190 mod 16

m=17: 145 mod 17 = 9 ≠ 3 = 190 mod 17

m=18: 145 mod 18 = 1 ≠ 10 = 190 mod 18

m=19: 145 mod 19 = 12 ≠ 0 = 190 mod 19

m=20: 145 mod 20 = 5 ≠ 10 = 190 mod 20

m=21: 145 mod 21 = 19 ≠ 1 = 190 mod 21

m=22: 145 mod 22 = 13 ≠ 14 = 190 mod 22

m=23: 145 mod 23 = 7 ≠ 6 = 190 mod 23

m=24: 145 mod 24 = 1 ≠ 22 = 190 mod 24

m=25: 145 mod 25 = 20 ≠ 15 = 190 mod 25

m=26: 145 mod 26 = 15 ≠ 8 = 190 mod 26

m=27: 145 mod 27 = 10 ≠ 1 = 190 mod 27

m=28: 145 mod 28 = 5 ≠ 22 = 190 mod 28

m=29: 145 mod 29 = 0 ≠ 16 = 190 mod 29

m=30: 145 mod 30 = 25 ≠ 10 = 190 mod 30

m=31: 145 mod 31 = 21 ≠ 4 = 190 mod 31

m=32: 145 mod 32 = 17 ≠ 30 = 190 mod 32

m=33: 145 mod 33 = 13 ≠ 25 = 190 mod 33

m=34: 145 mod 34 = 9 ≠ 20 = 190 mod 34

m=35: 145 mod 35 = 5 ≠ 15 = 190 mod 35

m=36: 145 mod 36 = 1 ≠ 10 = 190 mod 36

m=37: 145 mod 37 = 34 ≠ 5 = 190 mod 37

m=38: 145 mod 38 = 31 ≠ 0 = 190 mod 38

m=39: 145 mod 39 = 28 ≠ 34 = 190 mod 39

m=40: 145 mod 40 = 25 ≠ 30 = 190 mod 40

m=41: 145 mod 41 = 22 ≠ 26 = 190 mod 41

m=42: 145 mod 42 = 19 ≠ 22 = 190 mod 42

m=43: 145 mod 43 = 16 ≠ 18 = 190 mod 43

m=44: 145 mod 44 = 13 ≠ 14 = 190 mod 44

m=45: 145 mod 45 = 10 = 10 = 190 mod 45

m=46: 145 mod 46 = 7 ≠ 6 = 190 mod 46

m=47: 145 mod 47 = 4 ≠ 2 = 190 mod 47

m=48: 145 mod 48 = 1 ≠ 46 = 190 mod 48

m=49: 145 mod 49 = 47 ≠ 43 = 190 mod 49

m=50: 145 mod 50 = 45 ≠ 40 = 190 mod 50

m=51: 145 mod 51 = 43 ≠ 37 = 190 mod 51

m=52: 145 mod 52 = 41 ≠ 34 = 190 mod 52

m=53: 145 mod 53 = 39 ≠ 31 = 190 mod 53

m=54: 145 mod 54 = 37 ≠ 28 = 190 mod 54

m=55: 145 mod 55 = 35 ≠ 25 = 190 mod 55

m=56: 145 mod 56 = 33 ≠ 22 = 190 mod 56

m=57: 145 mod 57 = 31 ≠ 19 = 190 mod 57

m=58: 145 mod 58 = 29 ≠ 16 = 190 mod 58

m=59: 145 mod 59 = 27 ≠ 13 = 190 mod 59

m=60: 145 mod 60 = 25 ≠ 10 = 190 mod 60

m=61: 145 mod 61 = 23 ≠ 7 = 190 mod 61

m=62: 145 mod 62 = 21 ≠ 4 = 190 mod 62

m=63: 145 mod 63 = 19 ≠ 1 = 190 mod 63

m=64: 145 mod 64 = 17 ≠ 62 = 190 mod 64

m=65: 145 mod 65 = 15 ≠ 60 = 190 mod 65

m=66: 145 mod 66 = 13 ≠ 58 = 190 mod 66

m=67: 145 mod 67 = 11 ≠ 56 = 190 mod 67

m=68: 145 mod 68 = 9 ≠ 54 = 190 mod 68

m=69: 145 mod 69 = 7 ≠ 52 = 190 mod 69

m=70: 145 mod 70 = 5 ≠ 50 = 190 mod 70

m=71: 145 mod 71 = 3 ≠ 48 = 190 mod 71

m=72: 145 mod 72 = 1 ≠ 46 = 190 mod 72

m=73: 145 mod 73 = 72 ≠ 44 = 190 mod 73

m=74: 145 mod 74 = 71 ≠ 42 = 190 mod 74

m=75: 145 mod 75 = 70 ≠ 40 = 190 mod 75

m=76: 145 mod 76 = 69 ≠ 38 = 190 mod 76

m=77: 145 mod 77 = 68 ≠ 36 = 190 mod 77

m=78: 145 mod 78 = 67 ≠ 34 = 190 mod 78

m=79: 145 mod 79 = 66 ≠ 32 = 190 mod 79

m=80: 145 mod 80 = 65 ≠ 30 = 190 mod 80

m=81: 145 mod 81 = 64 ≠ 28 = 190 mod 81

m=82: 145 mod 82 = 63 ≠ 26 = 190 mod 82

m=83: 145 mod 83 = 62 ≠ 24 = 190 mod 83

m=84: 145 mod 84 = 61 ≠ 22 = 190 mod 84

m=85: 145 mod 85 = 60 ≠ 20 = 190 mod 85

m=86: 145 mod 86 = 59 ≠ 18 = 190 mod 86

m=87: 145 mod 87 = 58 ≠ 16 = 190 mod 87

m=88: 145 mod 88 = 57 ≠ 14 = 190 mod 88

m=89: 145 mod 89 = 56 ≠ 12 = 190 mod 89

m=90: 145 mod 90 = 55 ≠ 10 = 190 mod 90

m=91: 145 mod 91 = 54 ≠ 8 = 190 mod 91

m=92: 145 mod 92 = 53 ≠ 6 = 190 mod 92

m=93: 145 mod 93 = 52 ≠ 4 = 190 mod 93

m=94: 145 mod 94 = 51 ≠ 2 = 190 mod 94

m=95: 145 mod 95 = 50 ≠ 0 = 190 mod 95

m=96: 145 mod 96 = 49 ≠ 94 = 190 mod 96

m=97: 145 mod 97 = 48 ≠ 93 = 190 mod 97

m=98: 145 mod 98 = 47 ≠ 92 = 190 mod 98

m=99: 145 mod 99 = 46 ≠ 91 = 190 mod 99

m=100: 145 mod 100 = 45 ≠ 90 = 190 mod 100

m=101: 145 mod 101 = 44 ≠ 89 = 190 mod 101

m=102: 145 mod 102 = 43 ≠ 88 = 190 mod 102

m=103: 145 mod 103 = 42 ≠ 87 = 190 mod 103

m=104: 145 mod 104 = 41 ≠ 86 = 190 mod 104

m=105: 145 mod 105 = 40 ≠ 85 = 190 mod 105

m=106: 145 mod 106 = 39 ≠ 84 = 190 mod 106

m=107: 145 mod 107 = 38 ≠ 83 = 190 mod 107

m=108: 145 mod 108 = 37 ≠ 82 = 190 mod 108

m=109: 145 mod 109 = 36 ≠ 81 = 190 mod 109

m=110: 145 mod 110 = 35 ≠ 80 = 190 mod 110

m=111: 145 mod 111 = 34 ≠ 79 = 190 mod 111

m=112: 145 mod 112 = 33 ≠ 78 = 190 mod 112

m=113: 145 mod 113 = 32 ≠ 77 = 190 mod 113

m=114: 145 mod 114 = 31 ≠ 76 = 190 mod 114

m=115: 145 mod 115 = 30 ≠ 75 = 190 mod 115

m=116: 145 mod 116 = 29 ≠ 74 = 190 mod 116

m=117: 145 mod 117 = 28 ≠ 73 = 190 mod 117

m=118: 145 mod 118 = 27 ≠ 72 = 190 mod 118

m=119: 145 mod 119 = 26 ≠ 71 = 190 mod 119

m=120: 145 mod 120 = 25 ≠ 70 = 190 mod 120

m=121: 145 mod 121 = 24 ≠ 69 = 190 mod 121

m=122: 145 mod 122 = 23 ≠ 68 = 190 mod 122

m=123: 145 mod 123 = 22 ≠ 67 = 190 mod 123

m=124: 145 mod 124 = 21 ≠ 66 = 190 mod 124

m=125: 145 mod 125 = 20 ≠ 65 = 190 mod 125

m=126: 145 mod 126 = 19 ≠ 64 = 190 mod 126

m=127: 145 mod 127 = 18 ≠ 63 = 190 mod 127

m=128: 145 mod 128 = 17 ≠ 62 = 190 mod 128

m=129: 145 mod 129 = 16 ≠ 61 = 190 mod 129

m=130: 145 mod 130 = 15 ≠ 60 = 190 mod 130

m=131: 145 mod 131 = 14 ≠ 59 = 190 mod 131

m=132: 145 mod 132 = 13 ≠ 58 = 190 mod 132

m=133: 145 mod 133 = 12 ≠ 57 = 190 mod 133

m=134: 145 mod 134 = 11 ≠ 56 = 190 mod 134

m=135: 145 mod 135 = 10 ≠ 55 = 190 mod 135

m=136: 145 mod 136 = 9 ≠ 54 = 190 mod 136

m=137: 145 mod 137 = 8 ≠ 53 = 190 mod 137

m=138: 145 mod 138 = 7 ≠ 52 = 190 mod 138

m=139: 145 mod 139 = 6 ≠ 51 = 190 mod 139

m=140: 145 mod 140 = 5 ≠ 50 = 190 mod 140

m=141: 145 mod 141 = 4 ≠ 49 = 190 mod 141

m=142: 145 mod 142 = 3 ≠ 48 = 190 mod 142

m=143: 145 mod 143 = 2 ≠ 47 = 190 mod 143

m=144: 145 mod 144 = 1 ≠ 46 = 190 mod 144

m=145: 145 mod 145 = 0 ≠ 45 = 190 mod 145

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (190 - 145) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45