Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 84 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 84, weil ja 21 ⋅ 4 = 84 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 84 - 84 = 0.
Somit gilt: 84 mod 4 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 50 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 48, weil ja 16 ⋅ 3 = 48 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 50 - 48 = 2.
Somit gilt: 50 mod 3 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 40, z.B. 39 = 13 ⋅ 3
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 39 und erhalten so 41.
Somit gilt: 41 ≡ 50 ≡ 2 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (73 + 4003) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(73 + 4003) mod 8 ≡ (73 mod 8 + 4003 mod 8) mod 8.
73 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73
= 80
4003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4003
= 4000
Somit gilt:
(73 + 4003) mod 8 ≡ (1 + 3) mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 80) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 80) mod 8 ≡ (77 mod 8 ⋅ 80 mod 8) mod 8.
77 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 9 ⋅ 8 + 5 ist.
80 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 10 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 80) mod 8 ≡ (5 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
11 mod m = 15 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 11 aus, ob zufällig 11 mod m = 15 mod m gilt:
m=2: 11 mod 2 = 1 = 1 = 15 mod 2
m=3: 11 mod 3 = 2 ≠ 0 = 15 mod 3
m=4: 11 mod 4 = 3 = 3 = 15 mod 4
m=5: 11 mod 5 = 1 ≠ 0 = 15 mod 5
m=6: 11 mod 6 = 5 ≠ 3 = 15 mod 6
m=7: 11 mod 7 = 4 ≠ 1 = 15 mod 7
m=8: 11 mod 8 = 3 ≠ 7 = 15 mod 8
m=9: 11 mod 9 = 2 ≠ 6 = 15 mod 9
m=10: 11 mod 10 = 1 ≠ 5 = 15 mod 10
m=11: 11 mod 11 = 0 ≠ 4 = 15 mod 11
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (15 - 11) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
