Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 81 - 81 = 0.

Somit gilt: 81 mod 9 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 99, weil ja 33 ⋅ 3 = 99 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 99 - 99 = 0.

Somit gilt: 99 mod 3 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 80, z.B. 81 = 27 ⋅ 3

Somit gilt: 81 ≡ 99 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2997 - 6000) mod 3 ≡ (2997 mod 3 - 6000 mod 3) mod 3.

2997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2997 = 3000-3 = 3 ⋅ 1000 -3 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 0.

6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000 = 6000+0 = 3 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(2997 - 6000) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(72 ⋅ 39) mod 5 ≡ (72 mod 5 ⋅ 39 mod 5) mod 5.

72 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 14 ⋅ 5 + 2 ist.

39 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 35 + 4 = 7 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(72 ⋅ 39) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 18 mod m gilt:

m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2

m=3: 14 mod 3 = 2 ≠ 0 = 18 mod 3

m=4: 14 mod 4 = 2 = 2 = 18 mod 4

m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 3 = 18 mod 5

m=6: 14 mod 6 = 2 ≠ 0 = 18 mod 6

m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 4 = 18 mod 7

m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 2 = 18 mod 8

m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 0 = 18 mod 9

m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 8 = 18 mod 10

m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 7 = 18 mod 11

m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 6 = 18 mod 12

m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 5 = 18 mod 13

m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 4 = 18 mod 14

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 14) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4