Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 72, weil ja 9 ⋅ 8 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 73 - 72 = 1.

Somit gilt: 73 mod 8 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 35, weil ja 7 ⋅ 5 = 35 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 36 - 35 = 1.

Somit gilt: 36 mod 5 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 1 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 12 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 1 mod 5 sein, also addieren wir noch 1 auf die 60 und erhalten so 61.

Somit gilt: 61 ≡ 36 ≡ 1 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(141 - 21006) mod 7 ≡ (141 mod 7 - 21006 mod 7) mod 7.

141 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 141 = 140+1 = 7 ⋅ 20 +1.

21006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21006 = 21000+6 = 7 ⋅ 3000 +6.

Somit gilt:

(141 - 21006) mod 7 ≡ (1 - 6) mod 7 ≡ -5 mod 7 ≡ 2 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 69) mod 4 ≡ (19 mod 4 ⋅ 69 mod 4) mod 4.

19 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 4 ⋅ 4 + 3 ist.

69 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 68 + 1 = 17 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 69) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 34 aus, ob zufällig 34 mod m = 43 mod m gilt:

m=2: 34 mod 2 = 0 ≠ 1 = 43 mod 2

m=3: 34 mod 3 = 1 = 1 = 43 mod 3

m=4: 34 mod 4 = 2 ≠ 3 = 43 mod 4

m=5: 34 mod 5 = 4 ≠ 3 = 43 mod 5

m=6: 34 mod 6 = 4 ≠ 1 = 43 mod 6

m=7: 34 mod 7 = 6 ≠ 1 = 43 mod 7

m=8: 34 mod 8 = 2 ≠ 3 = 43 mod 8

m=9: 34 mod 9 = 7 = 7 = 43 mod 9

m=10: 34 mod 10 = 4 ≠ 3 = 43 mod 10

m=11: 34 mod 11 = 1 ≠ 10 = 43 mod 11

m=12: 34 mod 12 = 10 ≠ 7 = 43 mod 12

m=13: 34 mod 13 = 8 ≠ 4 = 43 mod 13

m=14: 34 mod 14 = 6 ≠ 1 = 43 mod 14

m=15: 34 mod 15 = 4 ≠ 13 = 43 mod 15

m=16: 34 mod 16 = 2 ≠ 11 = 43 mod 16

m=17: 34 mod 17 = 0 ≠ 9 = 43 mod 17

m=18: 34 mod 18 = 16 ≠ 7 = 43 mod 18

m=19: 34 mod 19 = 15 ≠ 5 = 43 mod 19

m=20: 34 mod 20 = 14 ≠ 3 = 43 mod 20

m=21: 34 mod 21 = 13 ≠ 1 = 43 mod 21

m=22: 34 mod 22 = 12 ≠ 21 = 43 mod 22

m=23: 34 mod 23 = 11 ≠ 20 = 43 mod 23

m=24: 34 mod 24 = 10 ≠ 19 = 43 mod 24

m=25: 34 mod 25 = 9 ≠ 18 = 43 mod 25

m=26: 34 mod 26 = 8 ≠ 17 = 43 mod 26

m=27: 34 mod 27 = 7 ≠ 16 = 43 mod 27

m=28: 34 mod 28 = 6 ≠ 15 = 43 mod 28

m=29: 34 mod 29 = 5 ≠ 14 = 43 mod 29

m=30: 34 mod 30 = 4 ≠ 13 = 43 mod 30

m=31: 34 mod 31 = 3 ≠ 12 = 43 mod 31

m=32: 34 mod 32 = 2 ≠ 11 = 43 mod 32

m=33: 34 mod 33 = 1 ≠ 10 = 43 mod 33

m=34: 34 mod 34 = 0 ≠ 9 = 43 mod 34

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (43 - 34) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9