Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9

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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 76 mod 11.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 66, weil ja 6 ⋅ 11 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 76 - 66 = 10.

Somit gilt: 76 mod 11 ≡ 10.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 51 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 48, weil ja 8 ⋅ 6 = 48 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 51 - 48 = 3.

Somit gilt: 51 mod 6 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 3 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 80, z.B. 78 = 13 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 3 mod 6 sein, also addieren wir noch 3 auf die 78 und erhalten so 81.

Somit gilt: 81 ≡ 51 ≡ 3 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (45002 + 172) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45002 + 172) mod 9 ≡ (45002 mod 9 + 172 mod 9) mod 9.

45002 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45002 = 45000+2 = 9 ⋅ 5000 +2.

172 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 172 = 180-8 = 9 ⋅ 20 -8 = 9 ⋅ 20 - 9 + 1.

Somit gilt:

(45002 + 172) mod 9 ≡ (2 + 1) mod 9 ≡ 3 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 89) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(73 ⋅ 89) mod 3 ≡ (73 mod 3 ⋅ 89 mod 3) mod 3.

73 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 24 ⋅ 3 + 1 ist.

89 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 87 + 2 = 29 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(73 ⋅ 89) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 17 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 17 mod m gilt:

m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 17 mod 2

m=3: 13 mod 3 = 1 ≠ 2 = 17 mod 3

m=4: 13 mod 4 = 1 = 1 = 17 mod 4

m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 2 = 17 mod 5

m=6: 13 mod 6 = 1 ≠ 5 = 17 mod 6

m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 3 = 17 mod 7

m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 1 = 17 mod 8

m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 8 = 17 mod 9

m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 7 = 17 mod 10

m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 6 = 17 mod 11

m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 5 = 17 mod 12

m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 4 = 17 mod 13

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (17 - 13) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4