Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 36, weil ja 6 ⋅ 6 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 41 - 36 = 5.

Somit gilt: 41 mod 6 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 40, weil ja 10 ⋅ 4 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 42 - 40 = 2.

Somit gilt: 42 mod 4 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 2 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 50, z.B. 48 = 12 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 2 mod 4 sein, also addieren wir noch 2 auf die 48 und erhalten so 50.

Somit gilt: 50 ≡ 42 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(140 - 35005) mod 7 ≡ (140 mod 7 - 35005 mod 7) mod 7.

140 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 140 = 140+0 = 7 ⋅ 20 +0.

35005 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35005 = 35000+5 = 7 ⋅ 5000 +5.

Somit gilt:

(140 - 35005) mod 7 ≡ (0 - 5) mod 7 ≡ -5 mod 7 ≡ 2 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 71) mod 8 ≡ (99 mod 8 ⋅ 71 mod 8) mod 8.

99 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 12 ⋅ 8 + 3 ist.

71 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 64 + 7 = 8 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 71) mod 8 ≡ (3 ⋅ 7) mod 8 ≡ 21 mod 8 ≡ 5 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 35 aus, ob zufällig 35 mod m = 50 mod m gilt:

m=2: 35 mod 2 = 1 ≠ 0 = 50 mod 2

m=3: 35 mod 3 = 2 = 2 = 50 mod 3

m=4: 35 mod 4 = 3 ≠ 2 = 50 mod 4

m=5: 35 mod 5 = 0 = 0 = 50 mod 5

m=6: 35 mod 6 = 5 ≠ 2 = 50 mod 6

m=7: 35 mod 7 = 0 ≠ 1 = 50 mod 7

m=8: 35 mod 8 = 3 ≠ 2 = 50 mod 8

m=9: 35 mod 9 = 8 ≠ 5 = 50 mod 9

m=10: 35 mod 10 = 5 ≠ 0 = 50 mod 10

m=11: 35 mod 11 = 2 ≠ 6 = 50 mod 11

m=12: 35 mod 12 = 11 ≠ 2 = 50 mod 12

m=13: 35 mod 13 = 9 ≠ 11 = 50 mod 13

m=14: 35 mod 14 = 7 ≠ 8 = 50 mod 14

m=15: 35 mod 15 = 5 = 5 = 50 mod 15

m=16: 35 mod 16 = 3 ≠ 2 = 50 mod 16

m=17: 35 mod 17 = 1 ≠ 16 = 50 mod 17

m=18: 35 mod 18 = 17 ≠ 14 = 50 mod 18

m=19: 35 mod 19 = 16 ≠ 12 = 50 mod 19

m=20: 35 mod 20 = 15 ≠ 10 = 50 mod 20

m=21: 35 mod 21 = 14 ≠ 8 = 50 mod 21

m=22: 35 mod 22 = 13 ≠ 6 = 50 mod 22

m=23: 35 mod 23 = 12 ≠ 4 = 50 mod 23

m=24: 35 mod 24 = 11 ≠ 2 = 50 mod 24

m=25: 35 mod 25 = 10 ≠ 0 = 50 mod 25

m=26: 35 mod 26 = 9 ≠ 24 = 50 mod 26

m=27: 35 mod 27 = 8 ≠ 23 = 50 mod 27

m=28: 35 mod 28 = 7 ≠ 22 = 50 mod 28

m=29: 35 mod 29 = 6 ≠ 21 = 50 mod 29

m=30: 35 mod 30 = 5 ≠ 20 = 50 mod 30

m=31: 35 mod 31 = 4 ≠ 19 = 50 mod 31

m=32: 35 mod 32 = 3 ≠ 18 = 50 mod 32

m=33: 35 mod 33 = 2 ≠ 17 = 50 mod 33

m=34: 35 mod 34 = 1 ≠ 16 = 50 mod 34

m=35: 35 mod 35 = 0 ≠ 15 = 50 mod 35

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (50 - 35) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15