Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 38 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 38 - 36 = 2.
Somit gilt: 38 mod 9 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 70 für die gilt n ≡ 32 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 30, weil ja 3 ⋅ 10 = 30 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 32 - 30 = 2.
Somit gilt: 32 mod 10 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 70 für die gilt: n ≡ 2 mod 10.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 6 ⋅ 10
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 2 mod 10 sein, also addieren wir noch 2 auf die 60 und erhalten so 62.
Somit gilt: 62 ≡ 32 ≡ 2 mod 10.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8999 + 300) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8999 + 300) mod 3 ≡ (8999 mod 3 + 300 mod 3) mod 3.
8999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8999
= 9000
300 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300
= 300
Somit gilt:
(8999 + 300) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 25) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 25) mod 7 ≡ (20 mod 7 ⋅ 25 mod 7) mod 7.
20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.
25 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 21 + 4 = 3 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 25) mod 7 ≡ (6 ⋅ 4) mod 7 ≡ 24 mod 7 ≡ 3 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
35 mod m = 44 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 35 aus, ob zufällig 35 mod m = 44 mod m gilt:
m=2: 35 mod 2 = 1 ≠ 0 = 44 mod 2
m=3: 35 mod 3 = 2 = 2 = 44 mod 3
m=4: 35 mod 4 = 3 ≠ 0 = 44 mod 4
m=5: 35 mod 5 = 0 ≠ 4 = 44 mod 5
m=6: 35 mod 6 = 5 ≠ 2 = 44 mod 6
m=7: 35 mod 7 = 0 ≠ 2 = 44 mod 7
m=8: 35 mod 8 = 3 ≠ 4 = 44 mod 8
m=9: 35 mod 9 = 8 = 8 = 44 mod 9
m=10: 35 mod 10 = 5 ≠ 4 = 44 mod 10
m=11: 35 mod 11 = 2 ≠ 0 = 44 mod 11
m=12: 35 mod 12 = 11 ≠ 8 = 44 mod 12
m=13: 35 mod 13 = 9 ≠ 5 = 44 mod 13
m=14: 35 mod 14 = 7 ≠ 2 = 44 mod 14
m=15: 35 mod 15 = 5 ≠ 14 = 44 mod 15
m=16: 35 mod 16 = 3 ≠ 12 = 44 mod 16
m=17: 35 mod 17 = 1 ≠ 10 = 44 mod 17
m=18: 35 mod 18 = 17 ≠ 8 = 44 mod 18
m=19: 35 mod 19 = 16 ≠ 6 = 44 mod 19
m=20: 35 mod 20 = 15 ≠ 4 = 44 mod 20
m=21: 35 mod 21 = 14 ≠ 2 = 44 mod 21
m=22: 35 mod 22 = 13 ≠ 0 = 44 mod 22
m=23: 35 mod 23 = 12 ≠ 21 = 44 mod 23
m=24: 35 mod 24 = 11 ≠ 20 = 44 mod 24
m=25: 35 mod 25 = 10 ≠ 19 = 44 mod 25
m=26: 35 mod 26 = 9 ≠ 18 = 44 mod 26
m=27: 35 mod 27 = 8 ≠ 17 = 44 mod 27
m=28: 35 mod 28 = 7 ≠ 16 = 44 mod 28
m=29: 35 mod 29 = 6 ≠ 15 = 44 mod 29
m=30: 35 mod 30 = 5 ≠ 14 = 44 mod 30
m=31: 35 mod 31 = 4 ≠ 13 = 44 mod 31
m=32: 35 mod 32 = 3 ≠ 12 = 44 mod 32
m=33: 35 mod 33 = 2 ≠ 11 = 44 mod 33
m=34: 35 mod 34 = 1 ≠ 10 = 44 mod 34
m=35: 35 mod 35 = 0 ≠ 9 = 44 mod 35
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (44 - 35) = 9 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 9
