Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 16, weil ja 2 ⋅ 8 = 16 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 20 - 16 = 4.

Somit gilt: 20 mod 8 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 40, weil ja 5 ⋅ 8 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 44 - 40 = 4.

Somit gilt: 44 mod 8 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 4 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 10, z.B. 8 = 1 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 4 mod 8 sein, also addieren wir noch 4 auf die 8 und erhalten so 12.

Somit gilt: 12 ≡ 44 ≡ 4 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(123 + 300) mod 6 ≡ (123 mod 6 + 300 mod 6) mod 6.

123 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123 = 120+3 = 6 ⋅ 20 +3.

300 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300 = 300+0 = 6 ⋅ 50 +0.

Somit gilt:

(123 + 300) mod 6 ≡ (3 + 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 25) mod 5 ≡ (38 mod 5 ⋅ 25 mod 5) mod 5.

38 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 35 + 3 = 7 ⋅ 5 + 3 ist.

25 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 25 + 0 = 5 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 25) mod 5 ≡ (3 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 251 aus, ob zufällig 251 mod m = 326 mod m gilt:

m=2: 251 mod 2 = 1 ≠ 0 = 326 mod 2

m=3: 251 mod 3 = 2 = 2 = 326 mod 3

m=4: 251 mod 4 = 3 ≠ 2 = 326 mod 4

m=5: 251 mod 5 = 1 = 1 = 326 mod 5

m=6: 251 mod 6 = 5 ≠ 2 = 326 mod 6

m=7: 251 mod 7 = 6 ≠ 4 = 326 mod 7

m=8: 251 mod 8 = 3 ≠ 6 = 326 mod 8

m=9: 251 mod 9 = 8 ≠ 2 = 326 mod 9

m=10: 251 mod 10 = 1 ≠ 6 = 326 mod 10

m=11: 251 mod 11 = 9 ≠ 7 = 326 mod 11

m=12: 251 mod 12 = 11 ≠ 2 = 326 mod 12

m=13: 251 mod 13 = 4 ≠ 1 = 326 mod 13

m=14: 251 mod 14 = 13 ≠ 4 = 326 mod 14

m=15: 251 mod 15 = 11 = 11 = 326 mod 15

m=16: 251 mod 16 = 11 ≠ 6 = 326 mod 16

m=17: 251 mod 17 = 13 ≠ 3 = 326 mod 17

m=18: 251 mod 18 = 17 ≠ 2 = 326 mod 18

m=19: 251 mod 19 = 4 ≠ 3 = 326 mod 19

m=20: 251 mod 20 = 11 ≠ 6 = 326 mod 20

m=21: 251 mod 21 = 20 ≠ 11 = 326 mod 21

m=22: 251 mod 22 = 9 ≠ 18 = 326 mod 22

m=23: 251 mod 23 = 21 ≠ 4 = 326 mod 23

m=24: 251 mod 24 = 11 ≠ 14 = 326 mod 24

m=25: 251 mod 25 = 1 = 1 = 326 mod 25

m=26: 251 mod 26 = 17 ≠ 14 = 326 mod 26

m=27: 251 mod 27 = 8 ≠ 2 = 326 mod 27

m=28: 251 mod 28 = 27 ≠ 18 = 326 mod 28

m=29: 251 mod 29 = 19 ≠ 7 = 326 mod 29

m=30: 251 mod 30 = 11 ≠ 26 = 326 mod 30

m=31: 251 mod 31 = 3 ≠ 16 = 326 mod 31

m=32: 251 mod 32 = 27 ≠ 6 = 326 mod 32

m=33: 251 mod 33 = 20 ≠ 29 = 326 mod 33

m=34: 251 mod 34 = 13 ≠ 20 = 326 mod 34

m=35: 251 mod 35 = 6 ≠ 11 = 326 mod 35

m=36: 251 mod 36 = 35 ≠ 2 = 326 mod 36

m=37: 251 mod 37 = 29 ≠ 30 = 326 mod 37

m=38: 251 mod 38 = 23 ≠ 22 = 326 mod 38

m=39: 251 mod 39 = 17 ≠ 14 = 326 mod 39

m=40: 251 mod 40 = 11 ≠ 6 = 326 mod 40

m=41: 251 mod 41 = 5 ≠ 39 = 326 mod 41

m=42: 251 mod 42 = 41 ≠ 32 = 326 mod 42

m=43: 251 mod 43 = 36 ≠ 25 = 326 mod 43

m=44: 251 mod 44 = 31 ≠ 18 = 326 mod 44

m=45: 251 mod 45 = 26 ≠ 11 = 326 mod 45

m=46: 251 mod 46 = 21 ≠ 4 = 326 mod 46

m=47: 251 mod 47 = 16 ≠ 44 = 326 mod 47

m=48: 251 mod 48 = 11 ≠ 38 = 326 mod 48

m=49: 251 mod 49 = 6 ≠ 32 = 326 mod 49

m=50: 251 mod 50 = 1 ≠ 26 = 326 mod 50

m=51: 251 mod 51 = 47 ≠ 20 = 326 mod 51

m=52: 251 mod 52 = 43 ≠ 14 = 326 mod 52

m=53: 251 mod 53 = 39 ≠ 8 = 326 mod 53

m=54: 251 mod 54 = 35 ≠ 2 = 326 mod 54

m=55: 251 mod 55 = 31 ≠ 51 = 326 mod 55

m=56: 251 mod 56 = 27 ≠ 46 = 326 mod 56

m=57: 251 mod 57 = 23 ≠ 41 = 326 mod 57

m=58: 251 mod 58 = 19 ≠ 36 = 326 mod 58

m=59: 251 mod 59 = 15 ≠ 31 = 326 mod 59

m=60: 251 mod 60 = 11 ≠ 26 = 326 mod 60

m=61: 251 mod 61 = 7 ≠ 21 = 326 mod 61

m=62: 251 mod 62 = 3 ≠ 16 = 326 mod 62

m=63: 251 mod 63 = 62 ≠ 11 = 326 mod 63

m=64: 251 mod 64 = 59 ≠ 6 = 326 mod 64

m=65: 251 mod 65 = 56 ≠ 1 = 326 mod 65

m=66: 251 mod 66 = 53 ≠ 62 = 326 mod 66

m=67: 251 mod 67 = 50 ≠ 58 = 326 mod 67

m=68: 251 mod 68 = 47 ≠ 54 = 326 mod 68

m=69: 251 mod 69 = 44 ≠ 50 = 326 mod 69

m=70: 251 mod 70 = 41 ≠ 46 = 326 mod 70

m=71: 251 mod 71 = 38 ≠ 42 = 326 mod 71

m=72: 251 mod 72 = 35 ≠ 38 = 326 mod 72

m=73: 251 mod 73 = 32 ≠ 34 = 326 mod 73

m=74: 251 mod 74 = 29 ≠ 30 = 326 mod 74

m=75: 251 mod 75 = 26 = 26 = 326 mod 75

m=76: 251 mod 76 = 23 ≠ 22 = 326 mod 76

m=77: 251 mod 77 = 20 ≠ 18 = 326 mod 77

m=78: 251 mod 78 = 17 ≠ 14 = 326 mod 78

m=79: 251 mod 79 = 14 ≠ 10 = 326 mod 79

m=80: 251 mod 80 = 11 ≠ 6 = 326 mod 80

m=81: 251 mod 81 = 8 ≠ 2 = 326 mod 81

m=82: 251 mod 82 = 5 ≠ 80 = 326 mod 82

m=83: 251 mod 83 = 2 ≠ 77 = 326 mod 83

m=84: 251 mod 84 = 83 ≠ 74 = 326 mod 84

m=85: 251 mod 85 = 81 ≠ 71 = 326 mod 85

m=86: 251 mod 86 = 79 ≠ 68 = 326 mod 86

m=87: 251 mod 87 = 77 ≠ 65 = 326 mod 87

m=88: 251 mod 88 = 75 ≠ 62 = 326 mod 88

m=89: 251 mod 89 = 73 ≠ 59 = 326 mod 89

m=90: 251 mod 90 = 71 ≠ 56 = 326 mod 90

m=91: 251 mod 91 = 69 ≠ 53 = 326 mod 91

m=92: 251 mod 92 = 67 ≠ 50 = 326 mod 92

m=93: 251 mod 93 = 65 ≠ 47 = 326 mod 93

m=94: 251 mod 94 = 63 ≠ 44 = 326 mod 94

m=95: 251 mod 95 = 61 ≠ 41 = 326 mod 95

m=96: 251 mod 96 = 59 ≠ 38 = 326 mod 96

m=97: 251 mod 97 = 57 ≠ 35 = 326 mod 97

m=98: 251 mod 98 = 55 ≠ 32 = 326 mod 98

m=99: 251 mod 99 = 53 ≠ 29 = 326 mod 99

m=100: 251 mod 100 = 51 ≠ 26 = 326 mod 100

m=101: 251 mod 101 = 49 ≠ 23 = 326 mod 101

m=102: 251 mod 102 = 47 ≠ 20 = 326 mod 102

m=103: 251 mod 103 = 45 ≠ 17 = 326 mod 103

m=104: 251 mod 104 = 43 ≠ 14 = 326 mod 104

m=105: 251 mod 105 = 41 ≠ 11 = 326 mod 105

m=106: 251 mod 106 = 39 ≠ 8 = 326 mod 106

m=107: 251 mod 107 = 37 ≠ 5 = 326 mod 107

m=108: 251 mod 108 = 35 ≠ 2 = 326 mod 108

m=109: 251 mod 109 = 33 ≠ 108 = 326 mod 109

m=110: 251 mod 110 = 31 ≠ 106 = 326 mod 110

m=111: 251 mod 111 = 29 ≠ 104 = 326 mod 111

m=112: 251 mod 112 = 27 ≠ 102 = 326 mod 112

m=113: 251 mod 113 = 25 ≠ 100 = 326 mod 113

m=114: 251 mod 114 = 23 ≠ 98 = 326 mod 114

m=115: 251 mod 115 = 21 ≠ 96 = 326 mod 115

m=116: 251 mod 116 = 19 ≠ 94 = 326 mod 116

m=117: 251 mod 117 = 17 ≠ 92 = 326 mod 117

m=118: 251 mod 118 = 15 ≠ 90 = 326 mod 118

m=119: 251 mod 119 = 13 ≠ 88 = 326 mod 119

m=120: 251 mod 120 = 11 ≠ 86 = 326 mod 120

m=121: 251 mod 121 = 9 ≠ 84 = 326 mod 121

m=122: 251 mod 122 = 7 ≠ 82 = 326 mod 122

m=123: 251 mod 123 = 5 ≠ 80 = 326 mod 123

m=124: 251 mod 124 = 3 ≠ 78 = 326 mod 124

m=125: 251 mod 125 = 1 ≠ 76 = 326 mod 125

m=126: 251 mod 126 = 125 ≠ 74 = 326 mod 126

m=127: 251 mod 127 = 124 ≠ 72 = 326 mod 127

m=128: 251 mod 128 = 123 ≠ 70 = 326 mod 128

m=129: 251 mod 129 = 122 ≠ 68 = 326 mod 129

m=130: 251 mod 130 = 121 ≠ 66 = 326 mod 130

m=131: 251 mod 131 = 120 ≠ 64 = 326 mod 131

m=132: 251 mod 132 = 119 ≠ 62 = 326 mod 132

m=133: 251 mod 133 = 118 ≠ 60 = 326 mod 133

m=134: 251 mod 134 = 117 ≠ 58 = 326 mod 134

m=135: 251 mod 135 = 116 ≠ 56 = 326 mod 135

m=136: 251 mod 136 = 115 ≠ 54 = 326 mod 136

m=137: 251 mod 137 = 114 ≠ 52 = 326 mod 137

m=138: 251 mod 138 = 113 ≠ 50 = 326 mod 138

m=139: 251 mod 139 = 112 ≠ 48 = 326 mod 139

m=140: 251 mod 140 = 111 ≠ 46 = 326 mod 140

m=141: 251 mod 141 = 110 ≠ 44 = 326 mod 141

m=142: 251 mod 142 = 109 ≠ 42 = 326 mod 142

m=143: 251 mod 143 = 108 ≠ 40 = 326 mod 143

m=144: 251 mod 144 = 107 ≠ 38 = 326 mod 144

m=145: 251 mod 145 = 106 ≠ 36 = 326 mod 145

m=146: 251 mod 146 = 105 ≠ 34 = 326 mod 146

m=147: 251 mod 147 = 104 ≠ 32 = 326 mod 147

m=148: 251 mod 148 = 103 ≠ 30 = 326 mod 148

m=149: 251 mod 149 = 102 ≠ 28 = 326 mod 149

m=150: 251 mod 150 = 101 ≠ 26 = 326 mod 150

m=151: 251 mod 151 = 100 ≠ 24 = 326 mod 151

m=152: 251 mod 152 = 99 ≠ 22 = 326 mod 152

m=153: 251 mod 153 = 98 ≠ 20 = 326 mod 153

m=154: 251 mod 154 = 97 ≠ 18 = 326 mod 154

m=155: 251 mod 155 = 96 ≠ 16 = 326 mod 155

m=156: 251 mod 156 = 95 ≠ 14 = 326 mod 156

m=157: 251 mod 157 = 94 ≠ 12 = 326 mod 157

m=158: 251 mod 158 = 93 ≠ 10 = 326 mod 158

m=159: 251 mod 159 = 92 ≠ 8 = 326 mod 159

m=160: 251 mod 160 = 91 ≠ 6 = 326 mod 160

m=161: 251 mod 161 = 90 ≠ 4 = 326 mod 161

m=162: 251 mod 162 = 89 ≠ 2 = 326 mod 162

m=163: 251 mod 163 = 88 ≠ 0 = 326 mod 163

m=164: 251 mod 164 = 87 ≠ 162 = 326 mod 164

m=165: 251 mod 165 = 86 ≠ 161 = 326 mod 165

m=166: 251 mod 166 = 85 ≠ 160 = 326 mod 166

m=167: 251 mod 167 = 84 ≠ 159 = 326 mod 167

m=168: 251 mod 168 = 83 ≠ 158 = 326 mod 168

m=169: 251 mod 169 = 82 ≠ 157 = 326 mod 169

m=170: 251 mod 170 = 81 ≠ 156 = 326 mod 170

m=171: 251 mod 171 = 80 ≠ 155 = 326 mod 171

m=172: 251 mod 172 = 79 ≠ 154 = 326 mod 172

m=173: 251 mod 173 = 78 ≠ 153 = 326 mod 173

m=174: 251 mod 174 = 77 ≠ 152 = 326 mod 174

m=175: 251 mod 175 = 76 ≠ 151 = 326 mod 175

m=176: 251 mod 176 = 75 ≠ 150 = 326 mod 176

m=177: 251 mod 177 = 74 ≠ 149 = 326 mod 177

m=178: 251 mod 178 = 73 ≠ 148 = 326 mod 178

m=179: 251 mod 179 = 72 ≠ 147 = 326 mod 179

m=180: 251 mod 180 = 71 ≠ 146 = 326 mod 180

m=181: 251 mod 181 = 70 ≠ 145 = 326 mod 181

m=182: 251 mod 182 = 69 ≠ 144 = 326 mod 182

m=183: 251 mod 183 = 68 ≠ 143 = 326 mod 183

m=184: 251 mod 184 = 67 ≠ 142 = 326 mod 184

m=185: 251 mod 185 = 66 ≠ 141 = 326 mod 185

m=186: 251 mod 186 = 65 ≠ 140 = 326 mod 186

m=187: 251 mod 187 = 64 ≠ 139 = 326 mod 187

m=188: 251 mod 188 = 63 ≠ 138 = 326 mod 188

m=189: 251 mod 189 = 62 ≠ 137 = 326 mod 189

m=190: 251 mod 190 = 61 ≠ 136 = 326 mod 190

m=191: 251 mod 191 = 60 ≠ 135 = 326 mod 191

m=192: 251 mod 192 = 59 ≠ 134 = 326 mod 192

m=193: 251 mod 193 = 58 ≠ 133 = 326 mod 193

m=194: 251 mod 194 = 57 ≠ 132 = 326 mod 194

m=195: 251 mod 195 = 56 ≠ 131 = 326 mod 195

m=196: 251 mod 196 = 55 ≠ 130 = 326 mod 196

m=197: 251 mod 197 = 54 ≠ 129 = 326 mod 197

m=198: 251 mod 198 = 53 ≠ 128 = 326 mod 198

m=199: 251 mod 199 = 52 ≠ 127 = 326 mod 199

m=200: 251 mod 200 = 51 ≠ 126 = 326 mod 200

m=201: 251 mod 201 = 50 ≠ 125 = 326 mod 201

m=202: 251 mod 202 = 49 ≠ 124 = 326 mod 202

m=203: 251 mod 203 = 48 ≠ 123 = 326 mod 203

m=204: 251 mod 204 = 47 ≠ 122 = 326 mod 204

m=205: 251 mod 205 = 46 ≠ 121 = 326 mod 205

m=206: 251 mod 206 = 45 ≠ 120 = 326 mod 206

m=207: 251 mod 207 = 44 ≠ 119 = 326 mod 207

m=208: 251 mod 208 = 43 ≠ 118 = 326 mod 208

m=209: 251 mod 209 = 42 ≠ 117 = 326 mod 209

m=210: 251 mod 210 = 41 ≠ 116 = 326 mod 210

m=211: 251 mod 211 = 40 ≠ 115 = 326 mod 211

m=212: 251 mod 212 = 39 ≠ 114 = 326 mod 212

m=213: 251 mod 213 = 38 ≠ 113 = 326 mod 213

m=214: 251 mod 214 = 37 ≠ 112 = 326 mod 214

m=215: 251 mod 215 = 36 ≠ 111 = 326 mod 215

m=216: 251 mod 216 = 35 ≠ 110 = 326 mod 216

m=217: 251 mod 217 = 34 ≠ 109 = 326 mod 217

m=218: 251 mod 218 = 33 ≠ 108 = 326 mod 218

m=219: 251 mod 219 = 32 ≠ 107 = 326 mod 219

m=220: 251 mod 220 = 31 ≠ 106 = 326 mod 220

m=221: 251 mod 221 = 30 ≠ 105 = 326 mod 221

m=222: 251 mod 222 = 29 ≠ 104 = 326 mod 222

m=223: 251 mod 223 = 28 ≠ 103 = 326 mod 223

m=224: 251 mod 224 = 27 ≠ 102 = 326 mod 224

m=225: 251 mod 225 = 26 ≠ 101 = 326 mod 225

m=226: 251 mod 226 = 25 ≠ 100 = 326 mod 226

m=227: 251 mod 227 = 24 ≠ 99 = 326 mod 227

m=228: 251 mod 228 = 23 ≠ 98 = 326 mod 228

m=229: 251 mod 229 = 22 ≠ 97 = 326 mod 229

m=230: 251 mod 230 = 21 ≠ 96 = 326 mod 230

m=231: 251 mod 231 = 20 ≠ 95 = 326 mod 231

m=232: 251 mod 232 = 19 ≠ 94 = 326 mod 232

m=233: 251 mod 233 = 18 ≠ 93 = 326 mod 233

m=234: 251 mod 234 = 17 ≠ 92 = 326 mod 234

m=235: 251 mod 235 = 16 ≠ 91 = 326 mod 235

m=236: 251 mod 236 = 15 ≠ 90 = 326 mod 236

m=237: 251 mod 237 = 14 ≠ 89 = 326 mod 237

m=238: 251 mod 238 = 13 ≠ 88 = 326 mod 238

m=239: 251 mod 239 = 12 ≠ 87 = 326 mod 239

m=240: 251 mod 240 = 11 ≠ 86 = 326 mod 240

m=241: 251 mod 241 = 10 ≠ 85 = 326 mod 241

m=242: 251 mod 242 = 9 ≠ 84 = 326 mod 242

m=243: 251 mod 243 = 8 ≠ 83 = 326 mod 243

m=244: 251 mod 244 = 7 ≠ 82 = 326 mod 244

m=245: 251 mod 245 = 6 ≠ 81 = 326 mod 245

m=246: 251 mod 246 = 5 ≠ 80 = 326 mod 246

m=247: 251 mod 247 = 4 ≠ 79 = 326 mod 247

m=248: 251 mod 248 = 3 ≠ 78 = 326 mod 248

m=249: 251 mod 249 = 2 ≠ 77 = 326 mod 249

m=250: 251 mod 250 = 1 ≠ 76 = 326 mod 250

m=251: 251 mod 251 = 0 ≠ 75 = 326 mod 251

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (326 - 251) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75