Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 85 - 77 = 8.

Somit gilt: 85 mod 11 ≡ 8.

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 48, weil ja 6 ⋅ 8 = 48 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 48 - 48 = 0.

Somit gilt: 48 mod 8 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 0 mod 8.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 10, z.B. 16 = 2 ⋅ 8

Somit gilt: 16 ≡ 48 ≡ 0 mod 8.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(120 + 42) mod 4 ≡ (120 mod 4 + 42 mod 4) mod 4.

120 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 4 ⋅ 30 +0.

42 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40+2 = 4 ⋅ 10 +2.

Somit gilt:

(120 + 42) mod 4 ≡ (0 + 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 42) mod 4 ≡ (83 mod 4 ⋅ 42 mod 4) mod 4.

83 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 20 ⋅ 4 + 3 ist.

42 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 10 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 42) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 58 aus, ob zufällig 58 mod m = 73 mod m gilt:

m=2: 58 mod 2 = 0 ≠ 1 = 73 mod 2

m=3: 58 mod 3 = 1 = 1 = 73 mod 3

m=4: 58 mod 4 = 2 ≠ 1 = 73 mod 4

m=5: 58 mod 5 = 3 = 3 = 73 mod 5

m=6: 58 mod 6 = 4 ≠ 1 = 73 mod 6

m=7: 58 mod 7 = 2 ≠ 3 = 73 mod 7

m=8: 58 mod 8 = 2 ≠ 1 = 73 mod 8

m=9: 58 mod 9 = 4 ≠ 1 = 73 mod 9

m=10: 58 mod 10 = 8 ≠ 3 = 73 mod 10

m=11: 58 mod 11 = 3 ≠ 7 = 73 mod 11

m=12: 58 mod 12 = 10 ≠ 1 = 73 mod 12

m=13: 58 mod 13 = 6 ≠ 8 = 73 mod 13

m=14: 58 mod 14 = 2 ≠ 3 = 73 mod 14

m=15: 58 mod 15 = 13 = 13 = 73 mod 15

m=16: 58 mod 16 = 10 ≠ 9 = 73 mod 16

m=17: 58 mod 17 = 7 ≠ 5 = 73 mod 17

m=18: 58 mod 18 = 4 ≠ 1 = 73 mod 18

m=19: 58 mod 19 = 1 ≠ 16 = 73 mod 19

m=20: 58 mod 20 = 18 ≠ 13 = 73 mod 20

m=21: 58 mod 21 = 16 ≠ 10 = 73 mod 21

m=22: 58 mod 22 = 14 ≠ 7 = 73 mod 22

m=23: 58 mod 23 = 12 ≠ 4 = 73 mod 23

m=24: 58 mod 24 = 10 ≠ 1 = 73 mod 24

m=25: 58 mod 25 = 8 ≠ 23 = 73 mod 25

m=26: 58 mod 26 = 6 ≠ 21 = 73 mod 26

m=27: 58 mod 27 = 4 ≠ 19 = 73 mod 27

m=28: 58 mod 28 = 2 ≠ 17 = 73 mod 28

m=29: 58 mod 29 = 0 ≠ 15 = 73 mod 29

m=30: 58 mod 30 = 28 ≠ 13 = 73 mod 30

m=31: 58 mod 31 = 27 ≠ 11 = 73 mod 31

m=32: 58 mod 32 = 26 ≠ 9 = 73 mod 32

m=33: 58 mod 33 = 25 ≠ 7 = 73 mod 33

m=34: 58 mod 34 = 24 ≠ 5 = 73 mod 34

m=35: 58 mod 35 = 23 ≠ 3 = 73 mod 35

m=36: 58 mod 36 = 22 ≠ 1 = 73 mod 36

m=37: 58 mod 37 = 21 ≠ 36 = 73 mod 37

m=38: 58 mod 38 = 20 ≠ 35 = 73 mod 38

m=39: 58 mod 39 = 19 ≠ 34 = 73 mod 39

m=40: 58 mod 40 = 18 ≠ 33 = 73 mod 40

m=41: 58 mod 41 = 17 ≠ 32 = 73 mod 41

m=42: 58 mod 42 = 16 ≠ 31 = 73 mod 42

m=43: 58 mod 43 = 15 ≠ 30 = 73 mod 43

m=44: 58 mod 44 = 14 ≠ 29 = 73 mod 44

m=45: 58 mod 45 = 13 ≠ 28 = 73 mod 45

m=46: 58 mod 46 = 12 ≠ 27 = 73 mod 46

m=47: 58 mod 47 = 11 ≠ 26 = 73 mod 47

m=48: 58 mod 48 = 10 ≠ 25 = 73 mod 48

m=49: 58 mod 49 = 9 ≠ 24 = 73 mod 49

m=50: 58 mod 50 = 8 ≠ 23 = 73 mod 50

m=51: 58 mod 51 = 7 ≠ 22 = 73 mod 51

m=52: 58 mod 52 = 6 ≠ 21 = 73 mod 52

m=53: 58 mod 53 = 5 ≠ 20 = 73 mod 53

m=54: 58 mod 54 = 4 ≠ 19 = 73 mod 54

m=55: 58 mod 55 = 3 ≠ 18 = 73 mod 55

m=56: 58 mod 56 = 2 ≠ 17 = 73 mod 56

m=57: 58 mod 57 = 1 ≠ 16 = 73 mod 57

m=58: 58 mod 58 = 0 ≠ 15 = 73 mod 58

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (73 - 58) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15