Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 64, weil ja 8 ⋅ 8 = 64 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 65 - 64 = 1.

Somit gilt: 65 mod 8 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 72, weil ja 8 ⋅ 9 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 78 - 72 = 6.

Somit gilt: 78 mod 9 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 6 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 10 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 6 mod 9 sein, also addieren wir noch 6 auf die 90 und erhalten so 96.

Somit gilt: 96 ≡ 78 ≡ 6 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(136 + 34999) mod 7 ≡ (136 mod 7 + 34999 mod 7) mod 7.

136 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 136 = 140-4 = 7 ⋅ 20 -4 = 7 ⋅ 20 - 7 + 3.

34999 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34999 = 35000-1 = 7 ⋅ 5000 -1 = 7 ⋅ 5000 - 7 + 6.

Somit gilt:

(136 + 34999) mod 7 ≡ (3 + 6) mod 7 ≡ 9 mod 7 ≡ 2 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(72 ⋅ 93) mod 3 ≡ (72 mod 3 ⋅ 93 mod 3) mod 3.

72 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 24 ⋅ 3 + 0 ist.

93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 93 + 0 = 31 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(72 ⋅ 93) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 84 aus, ob zufällig 84 mod m = 109 mod m gilt:

m=2: 84 mod 2 = 0 ≠ 1 = 109 mod 2

m=3: 84 mod 3 = 0 ≠ 1 = 109 mod 3

m=4: 84 mod 4 = 0 ≠ 1 = 109 mod 4

m=5: 84 mod 5 = 4 = 4 = 109 mod 5

m=6: 84 mod 6 = 0 ≠ 1 = 109 mod 6

m=7: 84 mod 7 = 0 ≠ 4 = 109 mod 7

m=8: 84 mod 8 = 4 ≠ 5 = 109 mod 8

m=9: 84 mod 9 = 3 ≠ 1 = 109 mod 9

m=10: 84 mod 10 = 4 ≠ 9 = 109 mod 10

m=11: 84 mod 11 = 7 ≠ 10 = 109 mod 11

m=12: 84 mod 12 = 0 ≠ 1 = 109 mod 12

m=13: 84 mod 13 = 6 ≠ 5 = 109 mod 13

m=14: 84 mod 14 = 0 ≠ 11 = 109 mod 14

m=15: 84 mod 15 = 9 ≠ 4 = 109 mod 15

m=16: 84 mod 16 = 4 ≠ 13 = 109 mod 16

m=17: 84 mod 17 = 16 ≠ 7 = 109 mod 17

m=18: 84 mod 18 = 12 ≠ 1 = 109 mod 18

m=19: 84 mod 19 = 8 ≠ 14 = 109 mod 19

m=20: 84 mod 20 = 4 ≠ 9 = 109 mod 20

m=21: 84 mod 21 = 0 ≠ 4 = 109 mod 21

m=22: 84 mod 22 = 18 ≠ 21 = 109 mod 22

m=23: 84 mod 23 = 15 ≠ 17 = 109 mod 23

m=24: 84 mod 24 = 12 ≠ 13 = 109 mod 24

m=25: 84 mod 25 = 9 = 9 = 109 mod 25

m=26: 84 mod 26 = 6 ≠ 5 = 109 mod 26

m=27: 84 mod 27 = 3 ≠ 1 = 109 mod 27

m=28: 84 mod 28 = 0 ≠ 25 = 109 mod 28

m=29: 84 mod 29 = 26 ≠ 22 = 109 mod 29

m=30: 84 mod 30 = 24 ≠ 19 = 109 mod 30

m=31: 84 mod 31 = 22 ≠ 16 = 109 mod 31

m=32: 84 mod 32 = 20 ≠ 13 = 109 mod 32

m=33: 84 mod 33 = 18 ≠ 10 = 109 mod 33

m=34: 84 mod 34 = 16 ≠ 7 = 109 mod 34

m=35: 84 mod 35 = 14 ≠ 4 = 109 mod 35

m=36: 84 mod 36 = 12 ≠ 1 = 109 mod 36

m=37: 84 mod 37 = 10 ≠ 35 = 109 mod 37

m=38: 84 mod 38 = 8 ≠ 33 = 109 mod 38

m=39: 84 mod 39 = 6 ≠ 31 = 109 mod 39

m=40: 84 mod 40 = 4 ≠ 29 = 109 mod 40

m=41: 84 mod 41 = 2 ≠ 27 = 109 mod 41

m=42: 84 mod 42 = 0 ≠ 25 = 109 mod 42

m=43: 84 mod 43 = 41 ≠ 23 = 109 mod 43

m=44: 84 mod 44 = 40 ≠ 21 = 109 mod 44

m=45: 84 mod 45 = 39 ≠ 19 = 109 mod 45

m=46: 84 mod 46 = 38 ≠ 17 = 109 mod 46

m=47: 84 mod 47 = 37 ≠ 15 = 109 mod 47

m=48: 84 mod 48 = 36 ≠ 13 = 109 mod 48

m=49: 84 mod 49 = 35 ≠ 11 = 109 mod 49

m=50: 84 mod 50 = 34 ≠ 9 = 109 mod 50

m=51: 84 mod 51 = 33 ≠ 7 = 109 mod 51

m=52: 84 mod 52 = 32 ≠ 5 = 109 mod 52

m=53: 84 mod 53 = 31 ≠ 3 = 109 mod 53

m=54: 84 mod 54 = 30 ≠ 1 = 109 mod 54

m=55: 84 mod 55 = 29 ≠ 54 = 109 mod 55

m=56: 84 mod 56 = 28 ≠ 53 = 109 mod 56

m=57: 84 mod 57 = 27 ≠ 52 = 109 mod 57

m=58: 84 mod 58 = 26 ≠ 51 = 109 mod 58

m=59: 84 mod 59 = 25 ≠ 50 = 109 mod 59

m=60: 84 mod 60 = 24 ≠ 49 = 109 mod 60

m=61: 84 mod 61 = 23 ≠ 48 = 109 mod 61

m=62: 84 mod 62 = 22 ≠ 47 = 109 mod 62

m=63: 84 mod 63 = 21 ≠ 46 = 109 mod 63

m=64: 84 mod 64 = 20 ≠ 45 = 109 mod 64

m=65: 84 mod 65 = 19 ≠ 44 = 109 mod 65

m=66: 84 mod 66 = 18 ≠ 43 = 109 mod 66

m=67: 84 mod 67 = 17 ≠ 42 = 109 mod 67

m=68: 84 mod 68 = 16 ≠ 41 = 109 mod 68

m=69: 84 mod 69 = 15 ≠ 40 = 109 mod 69

m=70: 84 mod 70 = 14 ≠ 39 = 109 mod 70

m=71: 84 mod 71 = 13 ≠ 38 = 109 mod 71

m=72: 84 mod 72 = 12 ≠ 37 = 109 mod 72

m=73: 84 mod 73 = 11 ≠ 36 = 109 mod 73

m=74: 84 mod 74 = 10 ≠ 35 = 109 mod 74

m=75: 84 mod 75 = 9 ≠ 34 = 109 mod 75

m=76: 84 mod 76 = 8 ≠ 33 = 109 mod 76

m=77: 84 mod 77 = 7 ≠ 32 = 109 mod 77

m=78: 84 mod 78 = 6 ≠ 31 = 109 mod 78

m=79: 84 mod 79 = 5 ≠ 30 = 109 mod 79

m=80: 84 mod 80 = 4 ≠ 29 = 109 mod 80

m=81: 84 mod 81 = 3 ≠ 28 = 109 mod 81

m=82: 84 mod 82 = 2 ≠ 27 = 109 mod 82

m=83: 84 mod 83 = 1 ≠ 26 = 109 mod 83

m=84: 84 mod 84 = 0 ≠ 25 = 109 mod 84

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (109 - 84) = 25 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

5; 25