Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 42, weil ja 6 ⋅ 7 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 45 - 42 = 3.

Somit gilt: 45 mod 7 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 40, weil ja 10 ⋅ 4 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 43 - 40 = 3.

Somit gilt: 43 mod 4 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 3 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 5 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 3 mod 4 sein, also addieren wir noch 3 auf die 20 und erhalten so 23.

Somit gilt: 23 ≡ 43 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(456 + 1804) mod 9 ≡ (456 mod 9 + 1804 mod 9) mod 9.

456 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 456 = 450+6 = 9 ⋅ 50 +6.

1804 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1804 = 1800+4 = 9 ⋅ 200 +4.

Somit gilt:

(456 + 1804) mod 9 ≡ (6 + 4) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 94) mod 4 ≡ (44 mod 4 ⋅ 94 mod 4) mod 4.

44 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 11 ⋅ 4 + 0 ist.

94 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 92 + 2 = 23 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 94) mod 4 ≡ (0 ⋅ 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 31 aus, ob zufällig 31 mod m = 43 mod m gilt:

m=2: 31 mod 2 = 1 = 1 = 43 mod 2

m=3: 31 mod 3 = 1 = 1 = 43 mod 3

m=4: 31 mod 4 = 3 = 3 = 43 mod 4

m=5: 31 mod 5 = 1 ≠ 3 = 43 mod 5

m=6: 31 mod 6 = 1 = 1 = 43 mod 6

m=7: 31 mod 7 = 3 ≠ 1 = 43 mod 7

m=8: 31 mod 8 = 7 ≠ 3 = 43 mod 8

m=9: 31 mod 9 = 4 ≠ 7 = 43 mod 9

m=10: 31 mod 10 = 1 ≠ 3 = 43 mod 10

m=11: 31 mod 11 = 9 ≠ 10 = 43 mod 11

m=12: 31 mod 12 = 7 = 7 = 43 mod 12

m=13: 31 mod 13 = 5 ≠ 4 = 43 mod 13

m=14: 31 mod 14 = 3 ≠ 1 = 43 mod 14

m=15: 31 mod 15 = 1 ≠ 13 = 43 mod 15

m=16: 31 mod 16 = 15 ≠ 11 = 43 mod 16

m=17: 31 mod 17 = 14 ≠ 9 = 43 mod 17

m=18: 31 mod 18 = 13 ≠ 7 = 43 mod 18

m=19: 31 mod 19 = 12 ≠ 5 = 43 mod 19

m=20: 31 mod 20 = 11 ≠ 3 = 43 mod 20

m=21: 31 mod 21 = 10 ≠ 1 = 43 mod 21

m=22: 31 mod 22 = 9 ≠ 21 = 43 mod 22

m=23: 31 mod 23 = 8 ≠ 20 = 43 mod 23

m=24: 31 mod 24 = 7 ≠ 19 = 43 mod 24

m=25: 31 mod 25 = 6 ≠ 18 = 43 mod 25

m=26: 31 mod 26 = 5 ≠ 17 = 43 mod 26

m=27: 31 mod 27 = 4 ≠ 16 = 43 mod 27

m=28: 31 mod 28 = 3 ≠ 15 = 43 mod 28

m=29: 31 mod 29 = 2 ≠ 14 = 43 mod 29

m=30: 31 mod 30 = 1 ≠ 13 = 43 mod 30

m=31: 31 mod 31 = 0 ≠ 12 = 43 mod 31

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (43 - 31) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12