Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 95, weil ja 19 ⋅ 5 = 95 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 97 - 95 = 2.

Somit gilt: 97 mod 5 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 98, weil ja 14 ⋅ 7 = 98 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 98 - 98 = 0.

Somit gilt: 98 mod 7 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 0 mod 7.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 80, z.B. 84 = 12 ⋅ 7

Somit gilt: 84 ≡ 98 ≡ 0 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1806 - 17994) mod 9 ≡ (1806 mod 9 - 17994 mod 9) mod 9.

1806 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1806 = 1800+6 = 9 ⋅ 200 +6.

17994 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17994 = 18000-6 = 9 ⋅ 2000 -6 = 9 ⋅ 2000 - 9 + 3.

Somit gilt:

(1806 - 17994) mod 9 ≡ (6 - 3) mod 9 ≡ 3 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39 ⋅ 56) mod 3 ≡ (39 mod 3 ⋅ 56 mod 3) mod 3.

39 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 39 + 0 = 13 ⋅ 3 + 0 ist.

56 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 18 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(39 ⋅ 56) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 45 aus, ob zufällig 45 mod m = 63 mod m gilt:

m=2: 45 mod 2 = 1 = 1 = 63 mod 2

m=3: 45 mod 3 = 0 = 0 = 63 mod 3

m=4: 45 mod 4 = 1 ≠ 3 = 63 mod 4

m=5: 45 mod 5 = 0 ≠ 3 = 63 mod 5

m=6: 45 mod 6 = 3 = 3 = 63 mod 6

m=7: 45 mod 7 = 3 ≠ 0 = 63 mod 7

m=8: 45 mod 8 = 5 ≠ 7 = 63 mod 8

m=9: 45 mod 9 = 0 = 0 = 63 mod 9

m=10: 45 mod 10 = 5 ≠ 3 = 63 mod 10

m=11: 45 mod 11 = 1 ≠ 8 = 63 mod 11

m=12: 45 mod 12 = 9 ≠ 3 = 63 mod 12

m=13: 45 mod 13 = 6 ≠ 11 = 63 mod 13

m=14: 45 mod 14 = 3 ≠ 7 = 63 mod 14

m=15: 45 mod 15 = 0 ≠ 3 = 63 mod 15

m=16: 45 mod 16 = 13 ≠ 15 = 63 mod 16

m=17: 45 mod 17 = 11 ≠ 12 = 63 mod 17

m=18: 45 mod 18 = 9 = 9 = 63 mod 18

m=19: 45 mod 19 = 7 ≠ 6 = 63 mod 19

m=20: 45 mod 20 = 5 ≠ 3 = 63 mod 20

m=21: 45 mod 21 = 3 ≠ 0 = 63 mod 21

m=22: 45 mod 22 = 1 ≠ 19 = 63 mod 22

m=23: 45 mod 23 = 22 ≠ 17 = 63 mod 23

m=24: 45 mod 24 = 21 ≠ 15 = 63 mod 24

m=25: 45 mod 25 = 20 ≠ 13 = 63 mod 25

m=26: 45 mod 26 = 19 ≠ 11 = 63 mod 26

m=27: 45 mod 27 = 18 ≠ 9 = 63 mod 27

m=28: 45 mod 28 = 17 ≠ 7 = 63 mod 28

m=29: 45 mod 29 = 16 ≠ 5 = 63 mod 29

m=30: 45 mod 30 = 15 ≠ 3 = 63 mod 30

m=31: 45 mod 31 = 14 ≠ 1 = 63 mod 31

m=32: 45 mod 32 = 13 ≠ 31 = 63 mod 32

m=33: 45 mod 33 = 12 ≠ 30 = 63 mod 33

m=34: 45 mod 34 = 11 ≠ 29 = 63 mod 34

m=35: 45 mod 35 = 10 ≠ 28 = 63 mod 35

m=36: 45 mod 36 = 9 ≠ 27 = 63 mod 36

m=37: 45 mod 37 = 8 ≠ 26 = 63 mod 37

m=38: 45 mod 38 = 7 ≠ 25 = 63 mod 38

m=39: 45 mod 39 = 6 ≠ 24 = 63 mod 39

m=40: 45 mod 40 = 5 ≠ 23 = 63 mod 40

m=41: 45 mod 41 = 4 ≠ 22 = 63 mod 41

m=42: 45 mod 42 = 3 ≠ 21 = 63 mod 42

m=43: 45 mod 43 = 2 ≠ 20 = 63 mod 43

m=44: 45 mod 44 = 1 ≠ 19 = 63 mod 44

m=45: 45 mod 45 = 0 ≠ 18 = 63 mod 45

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (63 - 45) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18