Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 30, weil ja 5 ⋅ 6 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 33 - 30 = 3.

Somit gilt: 33 mod 6 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 90, weil ja 18 ⋅ 5 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 92 - 90 = 2.

Somit gilt: 92 mod 5 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 2 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 10, z.B. 10 = 2 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 2 mod 5 sein, also addieren wir noch 2 auf die 10 und erhalten so 12.

Somit gilt: 12 ≡ 92 ≡ 2 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11996 - 180) mod 6 ≡ (11996 mod 6 - 180 mod 6) mod 6.

11996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11996 = 12000-4 = 6 ⋅ 2000 -4 = 6 ⋅ 2000 - 6 + 2.

180 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 180 = 180+0 = 6 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(11996 - 180) mod 6 ≡ (2 - 0) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(61 ⋅ 62) mod 5 ≡ (61 mod 5 ⋅ 62 mod 5) mod 5.

61 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 12 ⋅ 5 + 1 ist.

62 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 12 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(61 ⋅ 62) mod 5 ≡ (1 ⋅ 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 24 aus, ob zufällig 24 mod m = 32 mod m gilt:

m=2: 24 mod 2 = 0 = 0 = 32 mod 2

m=3: 24 mod 3 = 0 ≠ 2 = 32 mod 3

m=4: 24 mod 4 = 0 = 0 = 32 mod 4

m=5: 24 mod 5 = 4 ≠ 2 = 32 mod 5

m=6: 24 mod 6 = 0 ≠ 2 = 32 mod 6

m=7: 24 mod 7 = 3 ≠ 4 = 32 mod 7

m=8: 24 mod 8 = 0 = 0 = 32 mod 8

m=9: 24 mod 9 = 6 ≠ 5 = 32 mod 9

m=10: 24 mod 10 = 4 ≠ 2 = 32 mod 10

m=11: 24 mod 11 = 2 ≠ 10 = 32 mod 11

m=12: 24 mod 12 = 0 ≠ 8 = 32 mod 12

m=13: 24 mod 13 = 11 ≠ 6 = 32 mod 13

m=14: 24 mod 14 = 10 ≠ 4 = 32 mod 14

m=15: 24 mod 15 = 9 ≠ 2 = 32 mod 15

m=16: 24 mod 16 = 8 ≠ 0 = 32 mod 16

m=17: 24 mod 17 = 7 ≠ 15 = 32 mod 17

m=18: 24 mod 18 = 6 ≠ 14 = 32 mod 18

m=19: 24 mod 19 = 5 ≠ 13 = 32 mod 19

m=20: 24 mod 20 = 4 ≠ 12 = 32 mod 20

m=21: 24 mod 21 = 3 ≠ 11 = 32 mod 21

m=22: 24 mod 22 = 2 ≠ 10 = 32 mod 22

m=23: 24 mod 23 = 1 ≠ 9 = 32 mod 23

m=24: 24 mod 24 = 0 ≠ 8 = 32 mod 24

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (32 - 24) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8