Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 35, weil ja 7 ⋅ 5 = 35 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 39 - 35 = 4.

Somit gilt: 39 mod 5 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 70, weil ja 7 ⋅ 10 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 73 - 70 = 3.

Somit gilt: 73 mod 10 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 40 für die gilt: n ≡ 3 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 3 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 3 mod 10 sein, also addieren wir noch 3 auf die 30 und erhalten so 33.

Somit gilt: 33 ≡ 73 ≡ 3 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(899 + 8999) mod 3 ≡ (899 mod 3 + 8999 mod 3) mod 3.

899 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 899 = 900-1 = 3 ⋅ 300 -1 = 3 ⋅ 300 - 3 + 2.

8999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8999 = 9000-1 = 3 ⋅ 3000 -1 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 2.

Somit gilt:

(899 + 8999) mod 3 ≡ (2 + 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 43) mod 10 ≡ (24 mod 10 ⋅ 43 mod 10) mod 10.

24 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 2 ⋅ 10 + 4 ist.

43 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 4 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 43) mod 10 ≡ (4 ⋅ 3) mod 10 ≡ 12 mod 10 ≡ 2 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 24 aus, ob zufällig 24 mod m = 32 mod m gilt:

m=2: 24 mod 2 = 0 = 0 = 32 mod 2

m=3: 24 mod 3 = 0 ≠ 2 = 32 mod 3

m=4: 24 mod 4 = 0 = 0 = 32 mod 4

m=5: 24 mod 5 = 4 ≠ 2 = 32 mod 5

m=6: 24 mod 6 = 0 ≠ 2 = 32 mod 6

m=7: 24 mod 7 = 3 ≠ 4 = 32 mod 7

m=8: 24 mod 8 = 0 = 0 = 32 mod 8

m=9: 24 mod 9 = 6 ≠ 5 = 32 mod 9

m=10: 24 mod 10 = 4 ≠ 2 = 32 mod 10

m=11: 24 mod 11 = 2 ≠ 10 = 32 mod 11

m=12: 24 mod 12 = 0 ≠ 8 = 32 mod 12

m=13: 24 mod 13 = 11 ≠ 6 = 32 mod 13

m=14: 24 mod 14 = 10 ≠ 4 = 32 mod 14

m=15: 24 mod 15 = 9 ≠ 2 = 32 mod 15

m=16: 24 mod 16 = 8 ≠ 0 = 32 mod 16

m=17: 24 mod 17 = 7 ≠ 15 = 32 mod 17

m=18: 24 mod 18 = 6 ≠ 14 = 32 mod 18

m=19: 24 mod 19 = 5 ≠ 13 = 32 mod 19

m=20: 24 mod 20 = 4 ≠ 12 = 32 mod 20

m=21: 24 mod 21 = 3 ≠ 11 = 32 mod 21

m=22: 24 mod 22 = 2 ≠ 10 = 32 mod 22

m=23: 24 mod 23 = 1 ≠ 9 = 32 mod 23

m=24: 24 mod 24 = 0 ≠ 8 = 32 mod 24

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (32 - 24) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8