Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 15, weil ja 3 ⋅ 5 = 15 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 16 - 15 = 1.

Somit gilt: 16 mod 5 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 72, weil ja 8 ⋅ 9 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 76 - 72 = 4.

Somit gilt: 76 mod 9 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 4 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 60, z.B. 63 = 7 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 4 mod 9 sein, also addieren wir noch 4 auf die 63 und erhalten so 67.

Somit gilt: 67 ≡ 76 ≡ 4 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2099 - 2102) mod 7 ≡ (2099 mod 7 - 2102 mod 7) mod 7.

2099 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2099 = 2100-1 = 7 ⋅ 300 -1 = 7 ⋅ 300 - 7 + 6.

2102 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2102 = 2100+2 = 7 ⋅ 300 +2.

Somit gilt:

(2099 - 2102) mod 7 ≡ (6 - 2) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 ⋅ 53) mod 4 ≡ (60 mod 4 ⋅ 53 mod 4) mod 4.

60 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 15 ⋅ 4 + 0 ist.

53 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 52 + 1 = 13 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(60 ⋅ 53) mod 4 ≡ (0 ⋅ 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 21 aus, ob zufällig 21 mod m = 31 mod m gilt:

m=2: 21 mod 2 = 1 = 1 = 31 mod 2

m=3: 21 mod 3 = 0 ≠ 1 = 31 mod 3

m=4: 21 mod 4 = 1 ≠ 3 = 31 mod 4

m=5: 21 mod 5 = 1 = 1 = 31 mod 5

m=6: 21 mod 6 = 3 ≠ 1 = 31 mod 6

m=7: 21 mod 7 = 0 ≠ 3 = 31 mod 7

m=8: 21 mod 8 = 5 ≠ 7 = 31 mod 8

m=9: 21 mod 9 = 3 ≠ 4 = 31 mod 9

m=10: 21 mod 10 = 1 = 1 = 31 mod 10

m=11: 21 mod 11 = 10 ≠ 9 = 31 mod 11

m=12: 21 mod 12 = 9 ≠ 7 = 31 mod 12

m=13: 21 mod 13 = 8 ≠ 5 = 31 mod 13

m=14: 21 mod 14 = 7 ≠ 3 = 31 mod 14

m=15: 21 mod 15 = 6 ≠ 1 = 31 mod 15

m=16: 21 mod 16 = 5 ≠ 15 = 31 mod 16

m=17: 21 mod 17 = 4 ≠ 14 = 31 mod 17

m=18: 21 mod 18 = 3 ≠ 13 = 31 mod 18

m=19: 21 mod 19 = 2 ≠ 12 = 31 mod 19

m=20: 21 mod 20 = 1 ≠ 11 = 31 mod 20

m=21: 21 mod 21 = 0 ≠ 10 = 31 mod 21

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (31 - 21) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10