Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 15, weil ja 3 ⋅ 5 = 15 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 15 - 15 = 0.

Somit gilt: 15 mod 5 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 90, weil ja 18 ⋅ 5 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 90 - 90 = 0.

Somit gilt: 90 mod 5 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 16 ⋅ 5

Somit gilt: 80 ≡ 90 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1197 + 2398) mod 6 ≡ (1197 mod 6 + 2398 mod 6) mod 6.

1197 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197 = 1200-3 = 6 ⋅ 200 -3 = 6 ⋅ 200 - 6 + 3.

2398 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2398 = 2400-2 = 6 ⋅ 400 -2 = 6 ⋅ 400 - 6 + 4.

Somit gilt:

(1197 + 2398) mod 6 ≡ (3 + 4) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 71) mod 7 ≡ (79 mod 7 ⋅ 71 mod 7) mod 7.

79 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 77 + 2 = 11 ⋅ 7 + 2 ist.

71 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 10 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 71) mod 7 ≡ (2 ⋅ 1) mod 7 ≡ 2 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 18 mod m gilt:

m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2

m=3: 14 mod 3 = 2 ≠ 0 = 18 mod 3

m=4: 14 mod 4 = 2 = 2 = 18 mod 4

m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 3 = 18 mod 5

m=6: 14 mod 6 = 2 ≠ 0 = 18 mod 6

m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 4 = 18 mod 7

m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 2 = 18 mod 8

m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 0 = 18 mod 9

m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 8 = 18 mod 10

m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 7 = 18 mod 11

m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 6 = 18 mod 12

m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 5 = 18 mod 13

m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 4 = 18 mod 14

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 14) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4