Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 21, weil ja 7 ⋅ 3 = 21 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 23 - 21 = 2.

Somit gilt: 23 mod 3 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 18, weil ja 2 ⋅ 9 = 18 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 20 - 18 = 2.

Somit gilt: 20 mod 9 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 2 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 60, z.B. 63 = 7 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 2 mod 9 sein, also addieren wir noch 2 auf die 63 und erhalten so 65.

Somit gilt: 65 ≡ 20 ≡ 2 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36001 - 903) mod 9 ≡ (36001 mod 9 - 903 mod 9) mod 9.

36001 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36001 = 36000+1 = 9 ⋅ 4000 +1.

903 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 903 = 900+3 = 9 ⋅ 100 +3.

Somit gilt:

(36001 - 903) mod 9 ≡ (1 - 3) mod 9 ≡ -2 mod 9 ≡ 7 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35 ⋅ 81) mod 10 ≡ (35 mod 10 ⋅ 81 mod 10) mod 10.

35 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 30 + 5 = 3 ⋅ 10 + 5 ist.

81 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 8 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(35 ⋅ 81) mod 10 ≡ (5 ⋅ 1) mod 10 ≡ 5 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 25 aus, ob zufällig 25 mod m = 33 mod m gilt:

m=2: 25 mod 2 = 1 = 1 = 33 mod 2

m=3: 25 mod 3 = 1 ≠ 0 = 33 mod 3

m=4: 25 mod 4 = 1 = 1 = 33 mod 4

m=5: 25 mod 5 = 0 ≠ 3 = 33 mod 5

m=6: 25 mod 6 = 1 ≠ 3 = 33 mod 6

m=7: 25 mod 7 = 4 ≠ 5 = 33 mod 7

m=8: 25 mod 8 = 1 = 1 = 33 mod 8

m=9: 25 mod 9 = 7 ≠ 6 = 33 mod 9

m=10: 25 mod 10 = 5 ≠ 3 = 33 mod 10

m=11: 25 mod 11 = 3 ≠ 0 = 33 mod 11

m=12: 25 mod 12 = 1 ≠ 9 = 33 mod 12

m=13: 25 mod 13 = 12 ≠ 7 = 33 mod 13

m=14: 25 mod 14 = 11 ≠ 5 = 33 mod 14

m=15: 25 mod 15 = 10 ≠ 3 = 33 mod 15

m=16: 25 mod 16 = 9 ≠ 1 = 33 mod 16

m=17: 25 mod 17 = 8 ≠ 16 = 33 mod 17

m=18: 25 mod 18 = 7 ≠ 15 = 33 mod 18

m=19: 25 mod 19 = 6 ≠ 14 = 33 mod 19

m=20: 25 mod 20 = 5 ≠ 13 = 33 mod 20

m=21: 25 mod 21 = 4 ≠ 12 = 33 mod 21

m=22: 25 mod 22 = 3 ≠ 11 = 33 mod 22

m=23: 25 mod 23 = 2 ≠ 10 = 33 mod 23

m=24: 25 mod 24 = 1 ≠ 9 = 33 mod 24

m=25: 25 mod 25 = 0 ≠ 8 = 33 mod 25

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (33 - 25) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8