Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 40 - 36 = 4.

Somit gilt: 40 mod 9 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 99, weil ja 9 ⋅ 11 = 99 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 99 - 99 = 0.

Somit gilt: 99 mod 11 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 91 für die gilt: n ≡ 0 mod 11.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 80, z.B. 88 = 8 ⋅ 11

Somit gilt: 88 ≡ 99 ≡ 0 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12003 - 89) mod 3 ≡ (12003 mod 3 - 89 mod 3) mod 3.

12003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003 = 12000+3 = 3 ⋅ 4000 +3.

89 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 90-1 = 3 ⋅ 30 -1 = 3 ⋅ 30 - 3 + 2.

Somit gilt:

(12003 - 89) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 90) mod 10 ≡ (24 mod 10 ⋅ 90 mod 10) mod 10.

24 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 2 ⋅ 10 + 4 ist.

90 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 9 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 90) mod 10 ≡ (4 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 29 aus, ob zufällig 29 mod m = 38 mod m gilt:

m=2: 29 mod 2 = 1 ≠ 0 = 38 mod 2

m=3: 29 mod 3 = 2 = 2 = 38 mod 3

m=4: 29 mod 4 = 1 ≠ 2 = 38 mod 4

m=5: 29 mod 5 = 4 ≠ 3 = 38 mod 5

m=6: 29 mod 6 = 5 ≠ 2 = 38 mod 6

m=7: 29 mod 7 = 1 ≠ 3 = 38 mod 7

m=8: 29 mod 8 = 5 ≠ 6 = 38 mod 8

m=9: 29 mod 9 = 2 = 2 = 38 mod 9

m=10: 29 mod 10 = 9 ≠ 8 = 38 mod 10

m=11: 29 mod 11 = 7 ≠ 5 = 38 mod 11

m=12: 29 mod 12 = 5 ≠ 2 = 38 mod 12

m=13: 29 mod 13 = 3 ≠ 12 = 38 mod 13

m=14: 29 mod 14 = 1 ≠ 10 = 38 mod 14

m=15: 29 mod 15 = 14 ≠ 8 = 38 mod 15

m=16: 29 mod 16 = 13 ≠ 6 = 38 mod 16

m=17: 29 mod 17 = 12 ≠ 4 = 38 mod 17

m=18: 29 mod 18 = 11 ≠ 2 = 38 mod 18

m=19: 29 mod 19 = 10 ≠ 0 = 38 mod 19

m=20: 29 mod 20 = 9 ≠ 18 = 38 mod 20

m=21: 29 mod 21 = 8 ≠ 17 = 38 mod 21

m=22: 29 mod 22 = 7 ≠ 16 = 38 mod 22

m=23: 29 mod 23 = 6 ≠ 15 = 38 mod 23

m=24: 29 mod 24 = 5 ≠ 14 = 38 mod 24

m=25: 29 mod 25 = 4 ≠ 13 = 38 mod 25

m=26: 29 mod 26 = 3 ≠ 12 = 38 mod 26

m=27: 29 mod 27 = 2 ≠ 11 = 38 mod 27

m=28: 29 mod 28 = 1 ≠ 10 = 38 mod 28

m=29: 29 mod 29 = 0 ≠ 9 = 38 mod 29

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (38 - 29) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9