Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 24, weil ja 8 ⋅ 3 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 25 - 24 = 1.

Somit gilt: 25 mod 3 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 60, weil ja 15 ⋅ 4 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 61 - 60 = 1.

Somit gilt: 61 mod 4 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 10, z.B. 12 = 3 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 12 und erhalten so 13.

Somit gilt: 13 ≡ 61 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(10000 + 1005) mod 5 ≡ (10000 mod 5 + 1005 mod 5) mod 5.

10000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10000 = 10000+0 = 5 ⋅ 2000 +0.

1005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1005 = 1000+5 = 5 ⋅ 200 +5.

Somit gilt:

(10000 + 1005) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 72) mod 9 ≡ (94 mod 9 ⋅ 72 mod 9) mod 9.

94 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 10 ⋅ 9 + 4 ist.

72 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 8 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 72) mod 9 ≡ (4 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 113 aus, ob zufällig 113 mod m = 143 mod m gilt:

m=2: 113 mod 2 = 1 = 1 = 143 mod 2

m=3: 113 mod 3 = 2 = 2 = 143 mod 3

m=4: 113 mod 4 = 1 ≠ 3 = 143 mod 4

m=5: 113 mod 5 = 3 = 3 = 143 mod 5

m=6: 113 mod 6 = 5 = 5 = 143 mod 6

m=7: 113 mod 7 = 1 ≠ 3 = 143 mod 7

m=8: 113 mod 8 = 1 ≠ 7 = 143 mod 8

m=9: 113 mod 9 = 5 ≠ 8 = 143 mod 9

m=10: 113 mod 10 = 3 = 3 = 143 mod 10

m=11: 113 mod 11 = 3 ≠ 0 = 143 mod 11

m=12: 113 mod 12 = 5 ≠ 11 = 143 mod 12

m=13: 113 mod 13 = 9 ≠ 0 = 143 mod 13

m=14: 113 mod 14 = 1 ≠ 3 = 143 mod 14

m=15: 113 mod 15 = 8 = 8 = 143 mod 15

m=16: 113 mod 16 = 1 ≠ 15 = 143 mod 16

m=17: 113 mod 17 = 11 ≠ 7 = 143 mod 17

m=18: 113 mod 18 = 5 ≠ 17 = 143 mod 18

m=19: 113 mod 19 = 18 ≠ 10 = 143 mod 19

m=20: 113 mod 20 = 13 ≠ 3 = 143 mod 20

m=21: 113 mod 21 = 8 ≠ 17 = 143 mod 21

m=22: 113 mod 22 = 3 ≠ 11 = 143 mod 22

m=23: 113 mod 23 = 21 ≠ 5 = 143 mod 23

m=24: 113 mod 24 = 17 ≠ 23 = 143 mod 24

m=25: 113 mod 25 = 13 ≠ 18 = 143 mod 25

m=26: 113 mod 26 = 9 ≠ 13 = 143 mod 26

m=27: 113 mod 27 = 5 ≠ 8 = 143 mod 27

m=28: 113 mod 28 = 1 ≠ 3 = 143 mod 28

m=29: 113 mod 29 = 26 ≠ 27 = 143 mod 29

m=30: 113 mod 30 = 23 = 23 = 143 mod 30

m=31: 113 mod 31 = 20 ≠ 19 = 143 mod 31

m=32: 113 mod 32 = 17 ≠ 15 = 143 mod 32

m=33: 113 mod 33 = 14 ≠ 11 = 143 mod 33

m=34: 113 mod 34 = 11 ≠ 7 = 143 mod 34

m=35: 113 mod 35 = 8 ≠ 3 = 143 mod 35

m=36: 113 mod 36 = 5 ≠ 35 = 143 mod 36

m=37: 113 mod 37 = 2 ≠ 32 = 143 mod 37

m=38: 113 mod 38 = 37 ≠ 29 = 143 mod 38

m=39: 113 mod 39 = 35 ≠ 26 = 143 mod 39

m=40: 113 mod 40 = 33 ≠ 23 = 143 mod 40

m=41: 113 mod 41 = 31 ≠ 20 = 143 mod 41

m=42: 113 mod 42 = 29 ≠ 17 = 143 mod 42

m=43: 113 mod 43 = 27 ≠ 14 = 143 mod 43

m=44: 113 mod 44 = 25 ≠ 11 = 143 mod 44

m=45: 113 mod 45 = 23 ≠ 8 = 143 mod 45

m=46: 113 mod 46 = 21 ≠ 5 = 143 mod 46

m=47: 113 mod 47 = 19 ≠ 2 = 143 mod 47

m=48: 113 mod 48 = 17 ≠ 47 = 143 mod 48

m=49: 113 mod 49 = 15 ≠ 45 = 143 mod 49

m=50: 113 mod 50 = 13 ≠ 43 = 143 mod 50

m=51: 113 mod 51 = 11 ≠ 41 = 143 mod 51

m=52: 113 mod 52 = 9 ≠ 39 = 143 mod 52

m=53: 113 mod 53 = 7 ≠ 37 = 143 mod 53

m=54: 113 mod 54 = 5 ≠ 35 = 143 mod 54

m=55: 113 mod 55 = 3 ≠ 33 = 143 mod 55

m=56: 113 mod 56 = 1 ≠ 31 = 143 mod 56

m=57: 113 mod 57 = 56 ≠ 29 = 143 mod 57

m=58: 113 mod 58 = 55 ≠ 27 = 143 mod 58

m=59: 113 mod 59 = 54 ≠ 25 = 143 mod 59

m=60: 113 mod 60 = 53 ≠ 23 = 143 mod 60

m=61: 113 mod 61 = 52 ≠ 21 = 143 mod 61

m=62: 113 mod 62 = 51 ≠ 19 = 143 mod 62

m=63: 113 mod 63 = 50 ≠ 17 = 143 mod 63

m=64: 113 mod 64 = 49 ≠ 15 = 143 mod 64

m=65: 113 mod 65 = 48 ≠ 13 = 143 mod 65

m=66: 113 mod 66 = 47 ≠ 11 = 143 mod 66

m=67: 113 mod 67 = 46 ≠ 9 = 143 mod 67

m=68: 113 mod 68 = 45 ≠ 7 = 143 mod 68

m=69: 113 mod 69 = 44 ≠ 5 = 143 mod 69

m=70: 113 mod 70 = 43 ≠ 3 = 143 mod 70

m=71: 113 mod 71 = 42 ≠ 1 = 143 mod 71

m=72: 113 mod 72 = 41 ≠ 71 = 143 mod 72

m=73: 113 mod 73 = 40 ≠ 70 = 143 mod 73

m=74: 113 mod 74 = 39 ≠ 69 = 143 mod 74

m=75: 113 mod 75 = 38 ≠ 68 = 143 mod 75

m=76: 113 mod 76 = 37 ≠ 67 = 143 mod 76

m=77: 113 mod 77 = 36 ≠ 66 = 143 mod 77

m=78: 113 mod 78 = 35 ≠ 65 = 143 mod 78

m=79: 113 mod 79 = 34 ≠ 64 = 143 mod 79

m=80: 113 mod 80 = 33 ≠ 63 = 143 mod 80

m=81: 113 mod 81 = 32 ≠ 62 = 143 mod 81

m=82: 113 mod 82 = 31 ≠ 61 = 143 mod 82

m=83: 113 mod 83 = 30 ≠ 60 = 143 mod 83

m=84: 113 mod 84 = 29 ≠ 59 = 143 mod 84

m=85: 113 mod 85 = 28 ≠ 58 = 143 mod 85

m=86: 113 mod 86 = 27 ≠ 57 = 143 mod 86

m=87: 113 mod 87 = 26 ≠ 56 = 143 mod 87

m=88: 113 mod 88 = 25 ≠ 55 = 143 mod 88

m=89: 113 mod 89 = 24 ≠ 54 = 143 mod 89

m=90: 113 mod 90 = 23 ≠ 53 = 143 mod 90

m=91: 113 mod 91 = 22 ≠ 52 = 143 mod 91

m=92: 113 mod 92 = 21 ≠ 51 = 143 mod 92

m=93: 113 mod 93 = 20 ≠ 50 = 143 mod 93

m=94: 113 mod 94 = 19 ≠ 49 = 143 mod 94

m=95: 113 mod 95 = 18 ≠ 48 = 143 mod 95

m=96: 113 mod 96 = 17 ≠ 47 = 143 mod 96

m=97: 113 mod 97 = 16 ≠ 46 = 143 mod 97

m=98: 113 mod 98 = 15 ≠ 45 = 143 mod 98

m=99: 113 mod 99 = 14 ≠ 44 = 143 mod 99

m=100: 113 mod 100 = 13 ≠ 43 = 143 mod 100

m=101: 113 mod 101 = 12 ≠ 42 = 143 mod 101

m=102: 113 mod 102 = 11 ≠ 41 = 143 mod 102

m=103: 113 mod 103 = 10 ≠ 40 = 143 mod 103

m=104: 113 mod 104 = 9 ≠ 39 = 143 mod 104

m=105: 113 mod 105 = 8 ≠ 38 = 143 mod 105

m=106: 113 mod 106 = 7 ≠ 37 = 143 mod 106

m=107: 113 mod 107 = 6 ≠ 36 = 143 mod 107

m=108: 113 mod 108 = 5 ≠ 35 = 143 mod 108

m=109: 113 mod 109 = 4 ≠ 34 = 143 mod 109

m=110: 113 mod 110 = 3 ≠ 33 = 143 mod 110

m=111: 113 mod 111 = 2 ≠ 32 = 143 mod 111

m=112: 113 mod 112 = 1 ≠ 31 = 143 mod 112

m=113: 113 mod 113 = 0 ≠ 30 = 143 mod 113

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (143 - 113) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30