Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 24 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 24, weil ja 3 ⋅ 8 = 24 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 24 - 24 = 0.
Somit gilt: 24 mod 8 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 90 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 90, weil ja 18 ⋅ 5 = 90 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 90 - 90 = 0.
Somit gilt: 90 mod 5 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 50, z.B. 50 = 10 ⋅ 5
Somit gilt: 50 ≡ 90 ≡ 0 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16006 + 1606) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16006 + 1606) mod 8 ≡ (16006 mod 8 + 1606 mod 8) mod 8.
16006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16006
= 16000
1606 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1606
= 1600
Somit gilt:
(16006 + 1606) mod 8 ≡ (6 + 6) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 44) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 ⋅ 44) mod 9 ≡ (60 mod 9 ⋅ 44 mod 9) mod 9.
60 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 54 + 6 = 6 ⋅ 9 + 6 ist.
44 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 36 + 8 = 4 ⋅ 9 + 8 ist.
Somit gilt:
(60 ⋅ 44) mod 9 ≡ (6 ⋅ 8) mod 9 ≡ 48 mod 9 ≡ 3 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
8 mod m = 12 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 8 aus, ob zufällig 8 mod m = 12 mod m gilt:
m=2: 8 mod 2 = 0 = 0 = 12 mod 2
m=3: 8 mod 3 = 2 ≠ 0 = 12 mod 3
m=4: 8 mod 4 = 0 = 0 = 12 mod 4
m=5: 8 mod 5 = 3 ≠ 2 = 12 mod 5
m=6: 8 mod 6 = 2 ≠ 0 = 12 mod 6
m=7: 8 mod 7 = 1 ≠ 5 = 12 mod 7
m=8: 8 mod 8 = 0 ≠ 4 = 12 mod 8
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (12 - 8) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
