Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 60, weil ja 20 ⋅ 3 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 61 - 60 = 1.

Somit gilt: 61 mod 3 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 94 - 88 = 6.

Somit gilt: 94 mod 11 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 31 für die gilt: n ≡ 6 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 20, z.B. 22 = 2 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 6 mod 11 sein, also addieren wir noch 6 auf die 22 und erhalten so 28.

Somit gilt: 28 ≡ 94 ≡ 6 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34998 - 2793) mod 7 ≡ (34998 mod 7 - 2793 mod 7) mod 7.

34998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34998 = 35000-2 = 7 ⋅ 5000 -2 = 7 ⋅ 5000 - 7 + 5.

2793 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2793 = 2800-7 = 7 ⋅ 400 -7 = 7 ⋅ 400 - 7 + 0.

Somit gilt:

(34998 - 2793) mod 7 ≡ (5 - 0) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 44) mod 8 ≡ (83 mod 8 ⋅ 44 mod 8) mod 8.

83 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 10 ⋅ 8 + 3 ist.

44 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 5 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 44) mod 8 ≡ (3 ⋅ 4) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 21 aus, ob zufällig 21 mod m = 30 mod m gilt:

m=2: 21 mod 2 = 1 ≠ 0 = 30 mod 2

m=3: 21 mod 3 = 0 = 0 = 30 mod 3

m=4: 21 mod 4 = 1 ≠ 2 = 30 mod 4

m=5: 21 mod 5 = 1 ≠ 0 = 30 mod 5

m=6: 21 mod 6 = 3 ≠ 0 = 30 mod 6

m=7: 21 mod 7 = 0 ≠ 2 = 30 mod 7

m=8: 21 mod 8 = 5 ≠ 6 = 30 mod 8

m=9: 21 mod 9 = 3 = 3 = 30 mod 9

m=10: 21 mod 10 = 1 ≠ 0 = 30 mod 10

m=11: 21 mod 11 = 10 ≠ 8 = 30 mod 11

m=12: 21 mod 12 = 9 ≠ 6 = 30 mod 12

m=13: 21 mod 13 = 8 ≠ 4 = 30 mod 13

m=14: 21 mod 14 = 7 ≠ 2 = 30 mod 14

m=15: 21 mod 15 = 6 ≠ 0 = 30 mod 15

m=16: 21 mod 16 = 5 ≠ 14 = 30 mod 16

m=17: 21 mod 17 = 4 ≠ 13 = 30 mod 17

m=18: 21 mod 18 = 3 ≠ 12 = 30 mod 18

m=19: 21 mod 19 = 2 ≠ 11 = 30 mod 19

m=20: 21 mod 20 = 1 ≠ 10 = 30 mod 20

m=21: 21 mod 21 = 0 ≠ 9 = 30 mod 21

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (30 - 21) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9