Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 45, weil ja 9 ⋅ 5 = 45 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 49 - 45 = 4.

Somit gilt: 49 mod 5 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 33, weil ja 3 ⋅ 11 = 33 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 34 - 33 = 1.

Somit gilt: 34 mod 11 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 31 für die gilt: n ≡ 1 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 20, z.B. 22 = 2 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 1 mod 11 sein, also addieren wir noch 1 auf die 22 und erhalten so 23.

Somit gilt: 23 ≡ 34 ≡ 1 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27994 - 1398) mod 7 ≡ (27994 mod 7 - 1398 mod 7) mod 7.

27994 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27994 = 28000-6 = 7 ⋅ 4000 -6 = 7 ⋅ 4000 - 7 + 1.

1398 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1398 = 1400-2 = 7 ⋅ 200 -2 = 7 ⋅ 200 - 7 + 5.

Somit gilt:

(27994 - 1398) mod 7 ≡ (1 - 5) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 48) mod 10 ≡ (95 mod 10 ⋅ 48 mod 10) mod 10.

95 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 9 ⋅ 10 + 5 ist.

48 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 40 + 8 = 4 ⋅ 10 + 8 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 48) mod 10 ≡ (5 ⋅ 8) mod 10 ≡ 40 mod 10 ≡ 0 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 31 aus, ob zufällig 31 mod m = 41 mod m gilt:

m=2: 31 mod 2 = 1 = 1 = 41 mod 2

m=3: 31 mod 3 = 1 ≠ 2 = 41 mod 3

m=4: 31 mod 4 = 3 ≠ 1 = 41 mod 4

m=5: 31 mod 5 = 1 = 1 = 41 mod 5

m=6: 31 mod 6 = 1 ≠ 5 = 41 mod 6

m=7: 31 mod 7 = 3 ≠ 6 = 41 mod 7

m=8: 31 mod 8 = 7 ≠ 1 = 41 mod 8

m=9: 31 mod 9 = 4 ≠ 5 = 41 mod 9

m=10: 31 mod 10 = 1 = 1 = 41 mod 10

m=11: 31 mod 11 = 9 ≠ 8 = 41 mod 11

m=12: 31 mod 12 = 7 ≠ 5 = 41 mod 12

m=13: 31 mod 13 = 5 ≠ 2 = 41 mod 13

m=14: 31 mod 14 = 3 ≠ 13 = 41 mod 14

m=15: 31 mod 15 = 1 ≠ 11 = 41 mod 15

m=16: 31 mod 16 = 15 ≠ 9 = 41 mod 16

m=17: 31 mod 17 = 14 ≠ 7 = 41 mod 17

m=18: 31 mod 18 = 13 ≠ 5 = 41 mod 18

m=19: 31 mod 19 = 12 ≠ 3 = 41 mod 19

m=20: 31 mod 20 = 11 ≠ 1 = 41 mod 20

m=21: 31 mod 21 = 10 ≠ 20 = 41 mod 21

m=22: 31 mod 22 = 9 ≠ 19 = 41 mod 22

m=23: 31 mod 23 = 8 ≠ 18 = 41 mod 23

m=24: 31 mod 24 = 7 ≠ 17 = 41 mod 24

m=25: 31 mod 25 = 6 ≠ 16 = 41 mod 25

m=26: 31 mod 26 = 5 ≠ 15 = 41 mod 26

m=27: 31 mod 27 = 4 ≠ 14 = 41 mod 27

m=28: 31 mod 28 = 3 ≠ 13 = 41 mod 28

m=29: 31 mod 29 = 2 ≠ 12 = 41 mod 29

m=30: 31 mod 30 = 1 ≠ 11 = 41 mod 30

m=31: 31 mod 31 = 0 ≠ 10 = 41 mod 31

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (41 - 31) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10