Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 40 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 40, weil ja 8 ⋅ 5 = 40 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 40 - 40 = 0.
Somit gilt: 40 mod 5 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 41 für die gilt n ≡ 92 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 92 - 88 = 4.
Somit gilt: 92 mod 11 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 41 für die gilt: n ≡ 4 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 30, z.B. 33 = 3 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 4 mod 11 sein, also addieren wir noch 4 auf die 33 und erhalten so 37.
Somit gilt: 37 ≡ 92 ≡ 4 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (456 - 27000) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(456 - 27000) mod 9 ≡ (456 mod 9 - 27000 mod 9) mod 9.
456 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 456
= 450
27000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27000
= 27000
Somit gilt:
(456 - 27000) mod 9 ≡ (6 - 0) mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 50) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(76 ⋅ 50) mod 3 ≡ (76 mod 3 ⋅ 50 mod 3) mod 3.
76 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 75 + 1 = 25 ⋅ 3 + 1 ist.
50 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 16 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(76 ⋅ 50) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
14 mod m = 18 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 18 mod m gilt:
m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2
m=3: 14 mod 3 = 2 ≠ 0 = 18 mod 3
m=4: 14 mod 4 = 2 = 2 = 18 mod 4
m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 3 = 18 mod 5
m=6: 14 mod 6 = 2 ≠ 0 = 18 mod 6
m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 4 = 18 mod 7
m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 2 = 18 mod 8
m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 0 = 18 mod 9
m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 8 = 18 mod 10
m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 7 = 18 mod 11
m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 6 = 18 mod 12
m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 5 = 18 mod 13
m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 4 = 18 mod 14
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 14) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
