Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 57 - 55 = 2.

Somit gilt: 57 mod 11 ≡ 2.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 30, weil ja 5 ⋅ 6 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 32 - 30 = 2.

Somit gilt: 32 mod 6 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 2 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 15 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 2 mod 6 sein, also addieren wir noch 2 auf die 90 und erhalten so 92.

Somit gilt: 92 ≡ 32 ≡ 2 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14995 + 2500) mod 5 ≡ (14995 mod 5 + 2500 mod 5) mod 5.

14995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14995 = 14000+995 = 5 ⋅ 2800 +995.

2500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2500 = 2500+0 = 5 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(14995 + 2500) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 40) mod 6 ≡ (57 mod 6 ⋅ 40 mod 6) mod 6.

57 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 54 + 3 = 9 ⋅ 6 + 3 ist.

40 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 36 + 4 = 6 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 40) mod 6 ≡ (3 ⋅ 4) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 25 aus, ob zufällig 25 mod m = 33 mod m gilt:

m=2: 25 mod 2 = 1 = 1 = 33 mod 2

m=3: 25 mod 3 = 1 ≠ 0 = 33 mod 3

m=4: 25 mod 4 = 1 = 1 = 33 mod 4

m=5: 25 mod 5 = 0 ≠ 3 = 33 mod 5

m=6: 25 mod 6 = 1 ≠ 3 = 33 mod 6

m=7: 25 mod 7 = 4 ≠ 5 = 33 mod 7

m=8: 25 mod 8 = 1 = 1 = 33 mod 8

m=9: 25 mod 9 = 7 ≠ 6 = 33 mod 9

m=10: 25 mod 10 = 5 ≠ 3 = 33 mod 10

m=11: 25 mod 11 = 3 ≠ 0 = 33 mod 11

m=12: 25 mod 12 = 1 ≠ 9 = 33 mod 12

m=13: 25 mod 13 = 12 ≠ 7 = 33 mod 13

m=14: 25 mod 14 = 11 ≠ 5 = 33 mod 14

m=15: 25 mod 15 = 10 ≠ 3 = 33 mod 15

m=16: 25 mod 16 = 9 ≠ 1 = 33 mod 16

m=17: 25 mod 17 = 8 ≠ 16 = 33 mod 17

m=18: 25 mod 18 = 7 ≠ 15 = 33 mod 18

m=19: 25 mod 19 = 6 ≠ 14 = 33 mod 19

m=20: 25 mod 20 = 5 ≠ 13 = 33 mod 20

m=21: 25 mod 21 = 4 ≠ 12 = 33 mod 21

m=22: 25 mod 22 = 3 ≠ 11 = 33 mod 22

m=23: 25 mod 23 = 2 ≠ 10 = 33 mod 23

m=24: 25 mod 24 = 1 ≠ 9 = 33 mod 24

m=25: 25 mod 25 = 0 ≠ 8 = 33 mod 25

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (33 - 25) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8