Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 96 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 91, weil ja 13 ⋅ 7 = 91 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 96 - 91 = 5.
Somit gilt: 96 mod 7 ≡ 5.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 97 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 96, weil ja 24 ⋅ 4 = 96 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 97 - 96 = 1.
Somit gilt: 97 mod 4 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 5 ⋅ 4
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 20 und erhalten so 21.
Somit gilt: 21 ≡ 97 ≡ 1 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34995 + 20997) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34995 + 20997) mod 7 ≡ (34995 mod 7 + 20997 mod 7) mod 7.
34995 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34995
= 35000
20997 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20997
= 21000
Somit gilt:
(34995 + 20997) mod 7 ≡ (2 + 4) mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 71) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 71) mod 8 ≡ (66 mod 8 ⋅ 71 mod 8) mod 8.
66 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 64 + 2 = 8 ⋅ 8 + 2 ist.
71 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 64 + 7 = 8 ⋅ 8 + 7 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 71) mod 8 ≡ (2 ⋅ 7) mod 8 ≡ 14 mod 8 ≡ 6 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 16 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 16 mod m gilt:
m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 16 mod 2
m=3: 12 mod 3 = 0 ≠ 1 = 16 mod 3
m=4: 12 mod 4 = 0 = 0 = 16 mod 4
m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 1 = 16 mod 5
m=6: 12 mod 6 = 0 ≠ 4 = 16 mod 6
m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 2 = 16 mod 7
m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 0 = 16 mod 8
m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 7 = 16 mod 9
m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 6 = 16 mod 10
m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 5 = 16 mod 11
m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 4 = 16 mod 12
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (16 - 12) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
