Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 32, weil ja 8 ⋅ 4 = 32 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 33 - 32 = 1.

Somit gilt: 33 mod 4 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 89 - 88 = 1.

Somit gilt: 89 mod 11 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 81 für die gilt: n ≡ 1 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 70, z.B. 77 = 7 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 1 mod 11 sein, also addieren wir noch 1 auf die 77 und erhalten so 78.

Somit gilt: 78 ≡ 89 ≡ 1 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1004 + 151) mod 5 ≡ (1004 mod 5 + 151 mod 5) mod 5.

1004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1004 = 1000+4 = 5 ⋅ 200 +4.

151 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 151 = 150+1 = 5 ⋅ 30 +1.

Somit gilt:

(1004 + 151) mod 5 ≡ (4 + 1) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 75) mod 7 ≡ (95 mod 7 ⋅ 75 mod 7) mod 7.

95 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 91 + 4 = 13 ⋅ 7 + 4 ist.

75 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70 + 5 = 10 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 75) mod 7 ≡ (4 ⋅ 5) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 21 aus, ob zufällig 21 mod m = 31 mod m gilt:

m=2: 21 mod 2 = 1 = 1 = 31 mod 2

m=3: 21 mod 3 = 0 ≠ 1 = 31 mod 3

m=4: 21 mod 4 = 1 ≠ 3 = 31 mod 4

m=5: 21 mod 5 = 1 = 1 = 31 mod 5

m=6: 21 mod 6 = 3 ≠ 1 = 31 mod 6

m=7: 21 mod 7 = 0 ≠ 3 = 31 mod 7

m=8: 21 mod 8 = 5 ≠ 7 = 31 mod 8

m=9: 21 mod 9 = 3 ≠ 4 = 31 mod 9

m=10: 21 mod 10 = 1 = 1 = 31 mod 10

m=11: 21 mod 11 = 10 ≠ 9 = 31 mod 11

m=12: 21 mod 12 = 9 ≠ 7 = 31 mod 12

m=13: 21 mod 13 = 8 ≠ 5 = 31 mod 13

m=14: 21 mod 14 = 7 ≠ 3 = 31 mod 14

m=15: 21 mod 15 = 6 ≠ 1 = 31 mod 15

m=16: 21 mod 16 = 5 ≠ 15 = 31 mod 16

m=17: 21 mod 17 = 4 ≠ 14 = 31 mod 17

m=18: 21 mod 18 = 3 ≠ 13 = 31 mod 18

m=19: 21 mod 19 = 2 ≠ 12 = 31 mod 19

m=20: 21 mod 20 = 1 ≠ 11 = 31 mod 20

m=21: 21 mod 21 = 0 ≠ 10 = 31 mod 21

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (31 - 21) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10