Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 42, weil ja 7 ⋅ 6 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 46 - 42 = 4.

Somit gilt: 46 mod 6 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 60, weil ja 20 ⋅ 3 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 62 - 60 = 2.

Somit gilt: 62 mod 3 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 70, z.B. 69 = 23 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 69 und erhalten so 71.

Somit gilt: 71 ≡ 62 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2101 - 140) mod 7 ≡ (2101 mod 7 - 140 mod 7) mod 7.

2101 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2101 = 2100+1 = 7 ⋅ 300 +1.

140 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 140 = 140+0 = 7 ⋅ 20 +0.

Somit gilt:

(2101 - 140) mod 7 ≡ (1 - 0) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 ⋅ 63) mod 11 ≡ (27 mod 11 ⋅ 63 mod 11) mod 11.

27 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 22 + 5 = 2 ⋅ 11 + 5 ist.

63 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 55 + 8 = 5 ⋅ 11 + 8 ist.

Somit gilt:

(27 ⋅ 63) mod 11 ≡ (5 ⋅ 8) mod 11 ≡ 40 mod 11 ≡ 7 mod 11.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 19 aus, ob zufällig 19 mod m = 27 mod m gilt:

m=2: 19 mod 2 = 1 = 1 = 27 mod 2

m=3: 19 mod 3 = 1 ≠ 0 = 27 mod 3

m=4: 19 mod 4 = 3 = 3 = 27 mod 4

m=5: 19 mod 5 = 4 ≠ 2 = 27 mod 5

m=6: 19 mod 6 = 1 ≠ 3 = 27 mod 6

m=7: 19 mod 7 = 5 ≠ 6 = 27 mod 7

m=8: 19 mod 8 = 3 = 3 = 27 mod 8

m=9: 19 mod 9 = 1 ≠ 0 = 27 mod 9

m=10: 19 mod 10 = 9 ≠ 7 = 27 mod 10

m=11: 19 mod 11 = 8 ≠ 5 = 27 mod 11

m=12: 19 mod 12 = 7 ≠ 3 = 27 mod 12

m=13: 19 mod 13 = 6 ≠ 1 = 27 mod 13

m=14: 19 mod 14 = 5 ≠ 13 = 27 mod 14

m=15: 19 mod 15 = 4 ≠ 12 = 27 mod 15

m=16: 19 mod 16 = 3 ≠ 11 = 27 mod 16

m=17: 19 mod 17 = 2 ≠ 10 = 27 mod 17

m=18: 19 mod 18 = 1 ≠ 9 = 27 mod 18

m=19: 19 mod 19 = 0 ≠ 8 = 27 mod 19

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (27 - 19) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8