Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 54, weil ja 9 ⋅ 6 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 54 - 54 = 0.

Somit gilt: 54 mod 6 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 30, weil ja 10 ⋅ 3 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 32 - 30 = 2.

Somit gilt: 32 mod 3 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 80, z.B. 78 = 26 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 78 und erhalten so 80.

Somit gilt: 80 ≡ 32 ≡ 2 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 + 3004) mod 6 ≡ (65 mod 6 + 3004 mod 6) mod 6.

65 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 60+5 = 6 ⋅ 10 +5.

3004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3004 = 3000+4 = 6 ⋅ 500 +4.

Somit gilt:

(65 + 3004) mod 6 ≡ (5 + 4) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 49) mod 3 ≡ (71 mod 3 ⋅ 49 mod 3) mod 3.

71 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 69 + 2 = 23 ⋅ 3 + 2 ist.

49 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 16 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 49) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 219 aus, ob zufällig 219 mod m = 294 mod m gilt:

m=2: 219 mod 2 = 1 ≠ 0 = 294 mod 2

m=3: 219 mod 3 = 0 = 0 = 294 mod 3

m=4: 219 mod 4 = 3 ≠ 2 = 294 mod 4

m=5: 219 mod 5 = 4 = 4 = 294 mod 5

m=6: 219 mod 6 = 3 ≠ 0 = 294 mod 6

m=7: 219 mod 7 = 2 ≠ 0 = 294 mod 7

m=8: 219 mod 8 = 3 ≠ 6 = 294 mod 8

m=9: 219 mod 9 = 3 ≠ 6 = 294 mod 9

m=10: 219 mod 10 = 9 ≠ 4 = 294 mod 10

m=11: 219 mod 11 = 10 ≠ 8 = 294 mod 11

m=12: 219 mod 12 = 3 ≠ 6 = 294 mod 12

m=13: 219 mod 13 = 11 ≠ 8 = 294 mod 13

m=14: 219 mod 14 = 9 ≠ 0 = 294 mod 14

m=15: 219 mod 15 = 9 = 9 = 294 mod 15

m=16: 219 mod 16 = 11 ≠ 6 = 294 mod 16

m=17: 219 mod 17 = 15 ≠ 5 = 294 mod 17

m=18: 219 mod 18 = 3 ≠ 6 = 294 mod 18

m=19: 219 mod 19 = 10 ≠ 9 = 294 mod 19

m=20: 219 mod 20 = 19 ≠ 14 = 294 mod 20

m=21: 219 mod 21 = 9 ≠ 0 = 294 mod 21

m=22: 219 mod 22 = 21 ≠ 8 = 294 mod 22

m=23: 219 mod 23 = 12 ≠ 18 = 294 mod 23

m=24: 219 mod 24 = 3 ≠ 6 = 294 mod 24

m=25: 219 mod 25 = 19 = 19 = 294 mod 25

m=26: 219 mod 26 = 11 ≠ 8 = 294 mod 26

m=27: 219 mod 27 = 3 ≠ 24 = 294 mod 27

m=28: 219 mod 28 = 23 ≠ 14 = 294 mod 28

m=29: 219 mod 29 = 16 ≠ 4 = 294 mod 29

m=30: 219 mod 30 = 9 ≠ 24 = 294 mod 30

m=31: 219 mod 31 = 2 ≠ 15 = 294 mod 31

m=32: 219 mod 32 = 27 ≠ 6 = 294 mod 32

m=33: 219 mod 33 = 21 ≠ 30 = 294 mod 33

m=34: 219 mod 34 = 15 ≠ 22 = 294 mod 34

m=35: 219 mod 35 = 9 ≠ 14 = 294 mod 35

m=36: 219 mod 36 = 3 ≠ 6 = 294 mod 36

m=37: 219 mod 37 = 34 ≠ 35 = 294 mod 37

m=38: 219 mod 38 = 29 ≠ 28 = 294 mod 38

m=39: 219 mod 39 = 24 ≠ 21 = 294 mod 39

m=40: 219 mod 40 = 19 ≠ 14 = 294 mod 40

m=41: 219 mod 41 = 14 ≠ 7 = 294 mod 41

m=42: 219 mod 42 = 9 ≠ 0 = 294 mod 42

m=43: 219 mod 43 = 4 ≠ 36 = 294 mod 43

m=44: 219 mod 44 = 43 ≠ 30 = 294 mod 44

m=45: 219 mod 45 = 39 ≠ 24 = 294 mod 45

m=46: 219 mod 46 = 35 ≠ 18 = 294 mod 46

m=47: 219 mod 47 = 31 ≠ 12 = 294 mod 47

m=48: 219 mod 48 = 27 ≠ 6 = 294 mod 48

m=49: 219 mod 49 = 23 ≠ 0 = 294 mod 49

m=50: 219 mod 50 = 19 ≠ 44 = 294 mod 50

m=51: 219 mod 51 = 15 ≠ 39 = 294 mod 51

m=52: 219 mod 52 = 11 ≠ 34 = 294 mod 52

m=53: 219 mod 53 = 7 ≠ 29 = 294 mod 53

m=54: 219 mod 54 = 3 ≠ 24 = 294 mod 54

m=55: 219 mod 55 = 54 ≠ 19 = 294 mod 55

m=56: 219 mod 56 = 51 ≠ 14 = 294 mod 56

m=57: 219 mod 57 = 48 ≠ 9 = 294 mod 57

m=58: 219 mod 58 = 45 ≠ 4 = 294 mod 58

m=59: 219 mod 59 = 42 ≠ 58 = 294 mod 59

m=60: 219 mod 60 = 39 ≠ 54 = 294 mod 60

m=61: 219 mod 61 = 36 ≠ 50 = 294 mod 61

m=62: 219 mod 62 = 33 ≠ 46 = 294 mod 62

m=63: 219 mod 63 = 30 ≠ 42 = 294 mod 63

m=64: 219 mod 64 = 27 ≠ 38 = 294 mod 64

m=65: 219 mod 65 = 24 ≠ 34 = 294 mod 65

m=66: 219 mod 66 = 21 ≠ 30 = 294 mod 66

m=67: 219 mod 67 = 18 ≠ 26 = 294 mod 67

m=68: 219 mod 68 = 15 ≠ 22 = 294 mod 68

m=69: 219 mod 69 = 12 ≠ 18 = 294 mod 69

m=70: 219 mod 70 = 9 ≠ 14 = 294 mod 70

m=71: 219 mod 71 = 6 ≠ 10 = 294 mod 71

m=72: 219 mod 72 = 3 ≠ 6 = 294 mod 72

m=73: 219 mod 73 = 0 ≠ 2 = 294 mod 73

m=74: 219 mod 74 = 71 ≠ 72 = 294 mod 74

m=75: 219 mod 75 = 69 = 69 = 294 mod 75

m=76: 219 mod 76 = 67 ≠ 66 = 294 mod 76

m=77: 219 mod 77 = 65 ≠ 63 = 294 mod 77

m=78: 219 mod 78 = 63 ≠ 60 = 294 mod 78

m=79: 219 mod 79 = 61 ≠ 57 = 294 mod 79

m=80: 219 mod 80 = 59 ≠ 54 = 294 mod 80

m=81: 219 mod 81 = 57 ≠ 51 = 294 mod 81

m=82: 219 mod 82 = 55 ≠ 48 = 294 mod 82

m=83: 219 mod 83 = 53 ≠ 45 = 294 mod 83

m=84: 219 mod 84 = 51 ≠ 42 = 294 mod 84

m=85: 219 mod 85 = 49 ≠ 39 = 294 mod 85

m=86: 219 mod 86 = 47 ≠ 36 = 294 mod 86

m=87: 219 mod 87 = 45 ≠ 33 = 294 mod 87

m=88: 219 mod 88 = 43 ≠ 30 = 294 mod 88

m=89: 219 mod 89 = 41 ≠ 27 = 294 mod 89

m=90: 219 mod 90 = 39 ≠ 24 = 294 mod 90

m=91: 219 mod 91 = 37 ≠ 21 = 294 mod 91

m=92: 219 mod 92 = 35 ≠ 18 = 294 mod 92

m=93: 219 mod 93 = 33 ≠ 15 = 294 mod 93

m=94: 219 mod 94 = 31 ≠ 12 = 294 mod 94

m=95: 219 mod 95 = 29 ≠ 9 = 294 mod 95

m=96: 219 mod 96 = 27 ≠ 6 = 294 mod 96

m=97: 219 mod 97 = 25 ≠ 3 = 294 mod 97

m=98: 219 mod 98 = 23 ≠ 0 = 294 mod 98

m=99: 219 mod 99 = 21 ≠ 96 = 294 mod 99

m=100: 219 mod 100 = 19 ≠ 94 = 294 mod 100

m=101: 219 mod 101 = 17 ≠ 92 = 294 mod 101

m=102: 219 mod 102 = 15 ≠ 90 = 294 mod 102

m=103: 219 mod 103 = 13 ≠ 88 = 294 mod 103

m=104: 219 mod 104 = 11 ≠ 86 = 294 mod 104

m=105: 219 mod 105 = 9 ≠ 84 = 294 mod 105

m=106: 219 mod 106 = 7 ≠ 82 = 294 mod 106

m=107: 219 mod 107 = 5 ≠ 80 = 294 mod 107

m=108: 219 mod 108 = 3 ≠ 78 = 294 mod 108

m=109: 219 mod 109 = 1 ≠ 76 = 294 mod 109

m=110: 219 mod 110 = 109 ≠ 74 = 294 mod 110

m=111: 219 mod 111 = 108 ≠ 72 = 294 mod 111

m=112: 219 mod 112 = 107 ≠ 70 = 294 mod 112

m=113: 219 mod 113 = 106 ≠ 68 = 294 mod 113

m=114: 219 mod 114 = 105 ≠ 66 = 294 mod 114

m=115: 219 mod 115 = 104 ≠ 64 = 294 mod 115

m=116: 219 mod 116 = 103 ≠ 62 = 294 mod 116

m=117: 219 mod 117 = 102 ≠ 60 = 294 mod 117

m=118: 219 mod 118 = 101 ≠ 58 = 294 mod 118

m=119: 219 mod 119 = 100 ≠ 56 = 294 mod 119

m=120: 219 mod 120 = 99 ≠ 54 = 294 mod 120

m=121: 219 mod 121 = 98 ≠ 52 = 294 mod 121

m=122: 219 mod 122 = 97 ≠ 50 = 294 mod 122

m=123: 219 mod 123 = 96 ≠ 48 = 294 mod 123

m=124: 219 mod 124 = 95 ≠ 46 = 294 mod 124

m=125: 219 mod 125 = 94 ≠ 44 = 294 mod 125

m=126: 219 mod 126 = 93 ≠ 42 = 294 mod 126

m=127: 219 mod 127 = 92 ≠ 40 = 294 mod 127

m=128: 219 mod 128 = 91 ≠ 38 = 294 mod 128

m=129: 219 mod 129 = 90 ≠ 36 = 294 mod 129

m=130: 219 mod 130 = 89 ≠ 34 = 294 mod 130

m=131: 219 mod 131 = 88 ≠ 32 = 294 mod 131

m=132: 219 mod 132 = 87 ≠ 30 = 294 mod 132

m=133: 219 mod 133 = 86 ≠ 28 = 294 mod 133

m=134: 219 mod 134 = 85 ≠ 26 = 294 mod 134

m=135: 219 mod 135 = 84 ≠ 24 = 294 mod 135

m=136: 219 mod 136 = 83 ≠ 22 = 294 mod 136

m=137: 219 mod 137 = 82 ≠ 20 = 294 mod 137

m=138: 219 mod 138 = 81 ≠ 18 = 294 mod 138

m=139: 219 mod 139 = 80 ≠ 16 = 294 mod 139

m=140: 219 mod 140 = 79 ≠ 14 = 294 mod 140

m=141: 219 mod 141 = 78 ≠ 12 = 294 mod 141

m=142: 219 mod 142 = 77 ≠ 10 = 294 mod 142

m=143: 219 mod 143 = 76 ≠ 8 = 294 mod 143

m=144: 219 mod 144 = 75 ≠ 6 = 294 mod 144

m=145: 219 mod 145 = 74 ≠ 4 = 294 mod 145

m=146: 219 mod 146 = 73 ≠ 2 = 294 mod 146

m=147: 219 mod 147 = 72 ≠ 0 = 294 mod 147

m=148: 219 mod 148 = 71 ≠ 146 = 294 mod 148

m=149: 219 mod 149 = 70 ≠ 145 = 294 mod 149

m=150: 219 mod 150 = 69 ≠ 144 = 294 mod 150

m=151: 219 mod 151 = 68 ≠ 143 = 294 mod 151

m=152: 219 mod 152 = 67 ≠ 142 = 294 mod 152

m=153: 219 mod 153 = 66 ≠ 141 = 294 mod 153

m=154: 219 mod 154 = 65 ≠ 140 = 294 mod 154

m=155: 219 mod 155 = 64 ≠ 139 = 294 mod 155

m=156: 219 mod 156 = 63 ≠ 138 = 294 mod 156

m=157: 219 mod 157 = 62 ≠ 137 = 294 mod 157

m=158: 219 mod 158 = 61 ≠ 136 = 294 mod 158

m=159: 219 mod 159 = 60 ≠ 135 = 294 mod 159

m=160: 219 mod 160 = 59 ≠ 134 = 294 mod 160

m=161: 219 mod 161 = 58 ≠ 133 = 294 mod 161

m=162: 219 mod 162 = 57 ≠ 132 = 294 mod 162

m=163: 219 mod 163 = 56 ≠ 131 = 294 mod 163

m=164: 219 mod 164 = 55 ≠ 130 = 294 mod 164

m=165: 219 mod 165 = 54 ≠ 129 = 294 mod 165

m=166: 219 mod 166 = 53 ≠ 128 = 294 mod 166

m=167: 219 mod 167 = 52 ≠ 127 = 294 mod 167

m=168: 219 mod 168 = 51 ≠ 126 = 294 mod 168

m=169: 219 mod 169 = 50 ≠ 125 = 294 mod 169

m=170: 219 mod 170 = 49 ≠ 124 = 294 mod 170

m=171: 219 mod 171 = 48 ≠ 123 = 294 mod 171

m=172: 219 mod 172 = 47 ≠ 122 = 294 mod 172

m=173: 219 mod 173 = 46 ≠ 121 = 294 mod 173

m=174: 219 mod 174 = 45 ≠ 120 = 294 mod 174

m=175: 219 mod 175 = 44 ≠ 119 = 294 mod 175

m=176: 219 mod 176 = 43 ≠ 118 = 294 mod 176

m=177: 219 mod 177 = 42 ≠ 117 = 294 mod 177

m=178: 219 mod 178 = 41 ≠ 116 = 294 mod 178

m=179: 219 mod 179 = 40 ≠ 115 = 294 mod 179

m=180: 219 mod 180 = 39 ≠ 114 = 294 mod 180

m=181: 219 mod 181 = 38 ≠ 113 = 294 mod 181

m=182: 219 mod 182 = 37 ≠ 112 = 294 mod 182

m=183: 219 mod 183 = 36 ≠ 111 = 294 mod 183

m=184: 219 mod 184 = 35 ≠ 110 = 294 mod 184

m=185: 219 mod 185 = 34 ≠ 109 = 294 mod 185

m=186: 219 mod 186 = 33 ≠ 108 = 294 mod 186

m=187: 219 mod 187 = 32 ≠ 107 = 294 mod 187

m=188: 219 mod 188 = 31 ≠ 106 = 294 mod 188

m=189: 219 mod 189 = 30 ≠ 105 = 294 mod 189

m=190: 219 mod 190 = 29 ≠ 104 = 294 mod 190

m=191: 219 mod 191 = 28 ≠ 103 = 294 mod 191

m=192: 219 mod 192 = 27 ≠ 102 = 294 mod 192

m=193: 219 mod 193 = 26 ≠ 101 = 294 mod 193

m=194: 219 mod 194 = 25 ≠ 100 = 294 mod 194

m=195: 219 mod 195 = 24 ≠ 99 = 294 mod 195

m=196: 219 mod 196 = 23 ≠ 98 = 294 mod 196

m=197: 219 mod 197 = 22 ≠ 97 = 294 mod 197

m=198: 219 mod 198 = 21 ≠ 96 = 294 mod 198

m=199: 219 mod 199 = 20 ≠ 95 = 294 mod 199

m=200: 219 mod 200 = 19 ≠ 94 = 294 mod 200

m=201: 219 mod 201 = 18 ≠ 93 = 294 mod 201

m=202: 219 mod 202 = 17 ≠ 92 = 294 mod 202

m=203: 219 mod 203 = 16 ≠ 91 = 294 mod 203

m=204: 219 mod 204 = 15 ≠ 90 = 294 mod 204

m=205: 219 mod 205 = 14 ≠ 89 = 294 mod 205

m=206: 219 mod 206 = 13 ≠ 88 = 294 mod 206

m=207: 219 mod 207 = 12 ≠ 87 = 294 mod 207

m=208: 219 mod 208 = 11 ≠ 86 = 294 mod 208

m=209: 219 mod 209 = 10 ≠ 85 = 294 mod 209

m=210: 219 mod 210 = 9 ≠ 84 = 294 mod 210

m=211: 219 mod 211 = 8 ≠ 83 = 294 mod 211

m=212: 219 mod 212 = 7 ≠ 82 = 294 mod 212

m=213: 219 mod 213 = 6 ≠ 81 = 294 mod 213

m=214: 219 mod 214 = 5 ≠ 80 = 294 mod 214

m=215: 219 mod 215 = 4 ≠ 79 = 294 mod 215

m=216: 219 mod 216 = 3 ≠ 78 = 294 mod 216

m=217: 219 mod 217 = 2 ≠ 77 = 294 mod 217

m=218: 219 mod 218 = 1 ≠ 76 = 294 mod 218

m=219: 219 mod 219 = 0 ≠ 75 = 294 mod 219

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (294 - 219) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75