Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 58 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 56, weil ja 7 ⋅ 8 = 56 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 58 - 56 = 2.
Somit gilt: 58 mod 8 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 23 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 16, weil ja 2 ⋅ 8 = 16 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 23 - 16 = 7.
Somit gilt: 23 mod 8 ≡ 7.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 7 mod 8.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 30, z.B. 24 = 3 ⋅ 8
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 7 mod 8 sein, also addieren wir noch 7 auf die 24 und erhalten so 31.
Somit gilt: 31 ≡ 23 ≡ 7 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1503 + 1498) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1503 + 1498) mod 3 ≡ (1503 mod 3 + 1498 mod 3) mod 3.
1503 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1503
= 1500
1498 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1498
= 1500
Somit gilt:
(1503 + 1498) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 90) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28 ⋅ 90) mod 4 ≡ (28 mod 4 ⋅ 90 mod 4) mod 4.
28 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 28 + 0 = 7 ⋅ 4 + 0 ist.
90 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 22 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(28 ⋅ 90) mod 4 ≡ (0 ⋅ 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
8 mod m = 12 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 8 aus, ob zufällig 8 mod m = 12 mod m gilt:
m=2: 8 mod 2 = 0 = 0 = 12 mod 2
m=3: 8 mod 3 = 2 ≠ 0 = 12 mod 3
m=4: 8 mod 4 = 0 = 0 = 12 mod 4
m=5: 8 mod 5 = 3 ≠ 2 = 12 mod 5
m=6: 8 mod 6 = 2 ≠ 0 = 12 mod 6
m=7: 8 mod 7 = 1 ≠ 5 = 12 mod 7
m=8: 8 mod 8 = 0 ≠ 4 = 12 mod 8
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (12 - 8) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
