Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 88, weil ja 11 ⋅ 8 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 91 - 88 = 3.

Somit gilt: 91 mod 8 ≡ 3.

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 72, weil ja 24 ⋅ 3 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 73 - 72 = 1.

Somit gilt: 73 mod 3 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 1 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 50, z.B. 51 = 17 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 1 mod 3 sein, also addieren wir noch 1 auf die 51 und erhalten so 52.

Somit gilt: 52 ≡ 73 ≡ 1 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2005 - 2495) mod 5 ≡ (2005 mod 5 - 2495 mod 5) mod 5.

2005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2005 = 2000+5 = 5 ⋅ 400 +5.

2495 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2495 = 2400+95 = 5 ⋅ 480 +95.

Somit gilt:

(2005 - 2495) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 45) mod 10 ≡ (43 mod 10 ⋅ 45 mod 10) mod 10.

43 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 4 ⋅ 10 + 3 ist.

45 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 40 + 5 = 4 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 45) mod 10 ≡ (3 ⋅ 5) mod 10 ≡ 15 mod 10 ≡ 5 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 21 aus, ob zufällig 21 mod m = 29 mod m gilt:

m=2: 21 mod 2 = 1 = 1 = 29 mod 2

m=3: 21 mod 3 = 0 ≠ 2 = 29 mod 3

m=4: 21 mod 4 = 1 = 1 = 29 mod 4

m=5: 21 mod 5 = 1 ≠ 4 = 29 mod 5

m=6: 21 mod 6 = 3 ≠ 5 = 29 mod 6

m=7: 21 mod 7 = 0 ≠ 1 = 29 mod 7

m=8: 21 mod 8 = 5 = 5 = 29 mod 8

m=9: 21 mod 9 = 3 ≠ 2 = 29 mod 9

m=10: 21 mod 10 = 1 ≠ 9 = 29 mod 10

m=11: 21 mod 11 = 10 ≠ 7 = 29 mod 11

m=12: 21 mod 12 = 9 ≠ 5 = 29 mod 12

m=13: 21 mod 13 = 8 ≠ 3 = 29 mod 13

m=14: 21 mod 14 = 7 ≠ 1 = 29 mod 14

m=15: 21 mod 15 = 6 ≠ 14 = 29 mod 15

m=16: 21 mod 16 = 5 ≠ 13 = 29 mod 16

m=17: 21 mod 17 = 4 ≠ 12 = 29 mod 17

m=18: 21 mod 18 = 3 ≠ 11 = 29 mod 18

m=19: 21 mod 19 = 2 ≠ 10 = 29 mod 19

m=20: 21 mod 20 = 1 ≠ 9 = 29 mod 20

m=21: 21 mod 21 = 0 ≠ 8 = 29 mod 21

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (29 - 21) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8