Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 14, weil ja 2 ⋅ 7 = 14 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 19 - 14 = 5.

Somit gilt: 19 mod 7 ≡ 5.

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 11, weil ja 1 ⋅ 11 = 11 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 21 - 11 = 10.

Somit gilt: 21 mod 11 ≡ 10.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 81 für die gilt: n ≡ 10 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 70, z.B. 66 = 6 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 10 mod 11 sein, also addieren wir noch 10 auf die 66 und erhalten so 76.

Somit gilt: 76 ≡ 21 ≡ 10 mod 11.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(13995 + 700) mod 7 ≡ (13995 mod 7 + 700 mod 7) mod 7.

13995 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13995 = 14000-5 = 7 ⋅ 2000 -5 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 2.

700 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 700 = 700+0 = 7 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(13995 + 700) mod 7 ≡ (2 + 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 26) mod 5 ≡ (54 mod 5 ⋅ 26 mod 5) mod 5.

54 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 10 ⋅ 5 + 4 ist.

26 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 25 + 1 = 5 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 26) mod 5 ≡ (4 ⋅ 1) mod 5 ≡ 4 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 25 aus, ob zufällig 25 mod m = 33 mod m gilt:

m=2: 25 mod 2 = 1 = 1 = 33 mod 2

m=3: 25 mod 3 = 1 ≠ 0 = 33 mod 3

m=4: 25 mod 4 = 1 = 1 = 33 mod 4

m=5: 25 mod 5 = 0 ≠ 3 = 33 mod 5

m=6: 25 mod 6 = 1 ≠ 3 = 33 mod 6

m=7: 25 mod 7 = 4 ≠ 5 = 33 mod 7

m=8: 25 mod 8 = 1 = 1 = 33 mod 8

m=9: 25 mod 9 = 7 ≠ 6 = 33 mod 9

m=10: 25 mod 10 = 5 ≠ 3 = 33 mod 10

m=11: 25 mod 11 = 3 ≠ 0 = 33 mod 11

m=12: 25 mod 12 = 1 ≠ 9 = 33 mod 12

m=13: 25 mod 13 = 12 ≠ 7 = 33 mod 13

m=14: 25 mod 14 = 11 ≠ 5 = 33 mod 14

m=15: 25 mod 15 = 10 ≠ 3 = 33 mod 15

m=16: 25 mod 16 = 9 ≠ 1 = 33 mod 16

m=17: 25 mod 17 = 8 ≠ 16 = 33 mod 17

m=18: 25 mod 18 = 7 ≠ 15 = 33 mod 18

m=19: 25 mod 19 = 6 ≠ 14 = 33 mod 19

m=20: 25 mod 20 = 5 ≠ 13 = 33 mod 20

m=21: 25 mod 21 = 4 ≠ 12 = 33 mod 21

m=22: 25 mod 22 = 3 ≠ 11 = 33 mod 22

m=23: 25 mod 23 = 2 ≠ 10 = 33 mod 23

m=24: 25 mod 24 = 1 ≠ 9 = 33 mod 24

m=25: 25 mod 25 = 0 ≠ 8 = 33 mod 25

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (33 - 25) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8