Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 31 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 28, weil ja 4 ⋅ 7 = 28 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 31 - 28 = 3.
Somit gilt: 31 mod 7 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 55 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 55, weil ja 11 ⋅ 5 = 55 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 55 - 55 = 0.
Somit gilt: 55 mod 5 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 8 ⋅ 5
Somit gilt: 40 ≡ 55 ≡ 0 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (996 + 2005) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(996 + 2005) mod 5 ≡ (996 mod 5 + 2005 mod 5) mod 5.
996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 996
= 900
2005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2005
= 2000
Somit gilt:
(996 + 2005) mod 5 ≡ (1 + 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 50) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 50) mod 8 ≡ (62 mod 8 ⋅ 50 mod 8) mod 8.
62 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 56 + 6 = 7 ⋅ 8 + 6 ist.
50 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 6 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 50) mod 8 ≡ (6 ⋅ 2) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
18 mod m = 27 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 18 aus, ob zufällig 18 mod m = 27 mod m gilt:
m=2: 18 mod 2 = 0 ≠ 1 = 27 mod 2
m=3: 18 mod 3 = 0 = 0 = 27 mod 3
m=4: 18 mod 4 = 2 ≠ 3 = 27 mod 4
m=5: 18 mod 5 = 3 ≠ 2 = 27 mod 5
m=6: 18 mod 6 = 0 ≠ 3 = 27 mod 6
m=7: 18 mod 7 = 4 ≠ 6 = 27 mod 7
m=8: 18 mod 8 = 2 ≠ 3 = 27 mod 8
m=9: 18 mod 9 = 0 = 0 = 27 mod 9
m=10: 18 mod 10 = 8 ≠ 7 = 27 mod 10
m=11: 18 mod 11 = 7 ≠ 5 = 27 mod 11
m=12: 18 mod 12 = 6 ≠ 3 = 27 mod 12
m=13: 18 mod 13 = 5 ≠ 1 = 27 mod 13
m=14: 18 mod 14 = 4 ≠ 13 = 27 mod 14
m=15: 18 mod 15 = 3 ≠ 12 = 27 mod 15
m=16: 18 mod 16 = 2 ≠ 11 = 27 mod 16
m=17: 18 mod 17 = 1 ≠ 10 = 27 mod 17
m=18: 18 mod 18 = 0 ≠ 9 = 27 mod 18
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (27 - 18) = 9 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 9
