Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 77, weil ja 11 ⋅ 7 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 78 - 77 = 1.

Somit gilt: 78 mod 7 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 80, weil ja 20 ⋅ 4 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 83 - 80 = 3.

Somit gilt: 83 mod 4 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 3 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 5 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 3 mod 4 sein, also addieren wir noch 3 auf die 20 und erhalten so 23.

Somit gilt: 23 ≡ 83 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(147 - 2099) mod 7 ≡ (147 mod 7 - 2099 mod 7) mod 7.

147 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 147 = 140+7 = 7 ⋅ 20 +7.

2099 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2099 = 2100-1 = 7 ⋅ 300 -1 = 7 ⋅ 300 - 7 + 6.

Somit gilt:

(147 - 2099) mod 7 ≡ (0 - 6) mod 7 ≡ -6 mod 7 ≡ 1 mod 7.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 47) mod 4 ≡ (47 mod 4 ⋅ 47 mod 4) mod 4.

47 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 11 ⋅ 4 + 3 ist.

47 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 11 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 47) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 70 aus, ob zufällig 70 mod m = 88 mod m gilt:

m=2: 70 mod 2 = 0 = 0 = 88 mod 2

m=3: 70 mod 3 = 1 = 1 = 88 mod 3

m=4: 70 mod 4 = 2 ≠ 0 = 88 mod 4

m=5: 70 mod 5 = 0 ≠ 3 = 88 mod 5

m=6: 70 mod 6 = 4 = 4 = 88 mod 6

m=7: 70 mod 7 = 0 ≠ 4 = 88 mod 7

m=8: 70 mod 8 = 6 ≠ 0 = 88 mod 8

m=9: 70 mod 9 = 7 = 7 = 88 mod 9

m=10: 70 mod 10 = 0 ≠ 8 = 88 mod 10

m=11: 70 mod 11 = 4 ≠ 0 = 88 mod 11

m=12: 70 mod 12 = 10 ≠ 4 = 88 mod 12

m=13: 70 mod 13 = 5 ≠ 10 = 88 mod 13

m=14: 70 mod 14 = 0 ≠ 4 = 88 mod 14

m=15: 70 mod 15 = 10 ≠ 13 = 88 mod 15

m=16: 70 mod 16 = 6 ≠ 8 = 88 mod 16

m=17: 70 mod 17 = 2 ≠ 3 = 88 mod 17

m=18: 70 mod 18 = 16 = 16 = 88 mod 18

m=19: 70 mod 19 = 13 ≠ 12 = 88 mod 19

m=20: 70 mod 20 = 10 ≠ 8 = 88 mod 20

m=21: 70 mod 21 = 7 ≠ 4 = 88 mod 21

m=22: 70 mod 22 = 4 ≠ 0 = 88 mod 22

m=23: 70 mod 23 = 1 ≠ 19 = 88 mod 23

m=24: 70 mod 24 = 22 ≠ 16 = 88 mod 24

m=25: 70 mod 25 = 20 ≠ 13 = 88 mod 25

m=26: 70 mod 26 = 18 ≠ 10 = 88 mod 26

m=27: 70 mod 27 = 16 ≠ 7 = 88 mod 27

m=28: 70 mod 28 = 14 ≠ 4 = 88 mod 28

m=29: 70 mod 29 = 12 ≠ 1 = 88 mod 29

m=30: 70 mod 30 = 10 ≠ 28 = 88 mod 30

m=31: 70 mod 31 = 8 ≠ 26 = 88 mod 31

m=32: 70 mod 32 = 6 ≠ 24 = 88 mod 32

m=33: 70 mod 33 = 4 ≠ 22 = 88 mod 33

m=34: 70 mod 34 = 2 ≠ 20 = 88 mod 34

m=35: 70 mod 35 = 0 ≠ 18 = 88 mod 35

m=36: 70 mod 36 = 34 ≠ 16 = 88 mod 36

m=37: 70 mod 37 = 33 ≠ 14 = 88 mod 37

m=38: 70 mod 38 = 32 ≠ 12 = 88 mod 38

m=39: 70 mod 39 = 31 ≠ 10 = 88 mod 39

m=40: 70 mod 40 = 30 ≠ 8 = 88 mod 40

m=41: 70 mod 41 = 29 ≠ 6 = 88 mod 41

m=42: 70 mod 42 = 28 ≠ 4 = 88 mod 42

m=43: 70 mod 43 = 27 ≠ 2 = 88 mod 43

m=44: 70 mod 44 = 26 ≠ 0 = 88 mod 44

m=45: 70 mod 45 = 25 ≠ 43 = 88 mod 45

m=46: 70 mod 46 = 24 ≠ 42 = 88 mod 46

m=47: 70 mod 47 = 23 ≠ 41 = 88 mod 47

m=48: 70 mod 48 = 22 ≠ 40 = 88 mod 48

m=49: 70 mod 49 = 21 ≠ 39 = 88 mod 49

m=50: 70 mod 50 = 20 ≠ 38 = 88 mod 50

m=51: 70 mod 51 = 19 ≠ 37 = 88 mod 51

m=52: 70 mod 52 = 18 ≠ 36 = 88 mod 52

m=53: 70 mod 53 = 17 ≠ 35 = 88 mod 53

m=54: 70 mod 54 = 16 ≠ 34 = 88 mod 54

m=55: 70 mod 55 = 15 ≠ 33 = 88 mod 55

m=56: 70 mod 56 = 14 ≠ 32 = 88 mod 56

m=57: 70 mod 57 = 13 ≠ 31 = 88 mod 57

m=58: 70 mod 58 = 12 ≠ 30 = 88 mod 58

m=59: 70 mod 59 = 11 ≠ 29 = 88 mod 59

m=60: 70 mod 60 = 10 ≠ 28 = 88 mod 60

m=61: 70 mod 61 = 9 ≠ 27 = 88 mod 61

m=62: 70 mod 62 = 8 ≠ 26 = 88 mod 62

m=63: 70 mod 63 = 7 ≠ 25 = 88 mod 63

m=64: 70 mod 64 = 6 ≠ 24 = 88 mod 64

m=65: 70 mod 65 = 5 ≠ 23 = 88 mod 65

m=66: 70 mod 66 = 4 ≠ 22 = 88 mod 66

m=67: 70 mod 67 = 3 ≠ 21 = 88 mod 67

m=68: 70 mod 68 = 2 ≠ 20 = 88 mod 68

m=69: 70 mod 69 = 1 ≠ 19 = 88 mod 69

m=70: 70 mod 70 = 0 ≠ 18 = 88 mod 70

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (88 - 70) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18