Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 15, weil ja 3 ⋅ 5 = 15 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 15 - 15 = 0.

Somit gilt: 15 mod 5 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 90, weil ja 10 ⋅ 9 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 93 - 90 = 3.

Somit gilt: 93 mod 9 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 3 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 80, z.B. 81 = 9 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 3 mod 9 sein, also addieren wir noch 3 auf die 81 und erhalten so 84.

Somit gilt: 84 ≡ 93 ≡ 3 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(300 + 12000) mod 3 ≡ (300 mod 3 + 12000 mod 3) mod 3.

300 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300 = 300+0 = 3 ⋅ 100 +0.

12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 3 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(300 + 12000) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 ⋅ 74) mod 3 ≡ (86 mod 3 ⋅ 74 mod 3) mod 3.

86 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 28 ⋅ 3 + 2 ist.

74 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 24 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(86 ⋅ 74) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 30 aus, ob zufällig 30 mod m = 39 mod m gilt:

m=2: 30 mod 2 = 0 ≠ 1 = 39 mod 2

m=3: 30 mod 3 = 0 = 0 = 39 mod 3

m=4: 30 mod 4 = 2 ≠ 3 = 39 mod 4

m=5: 30 mod 5 = 0 ≠ 4 = 39 mod 5

m=6: 30 mod 6 = 0 ≠ 3 = 39 mod 6

m=7: 30 mod 7 = 2 ≠ 4 = 39 mod 7

m=8: 30 mod 8 = 6 ≠ 7 = 39 mod 8

m=9: 30 mod 9 = 3 = 3 = 39 mod 9

m=10: 30 mod 10 = 0 ≠ 9 = 39 mod 10

m=11: 30 mod 11 = 8 ≠ 6 = 39 mod 11

m=12: 30 mod 12 = 6 ≠ 3 = 39 mod 12

m=13: 30 mod 13 = 4 ≠ 0 = 39 mod 13

m=14: 30 mod 14 = 2 ≠ 11 = 39 mod 14

m=15: 30 mod 15 = 0 ≠ 9 = 39 mod 15

m=16: 30 mod 16 = 14 ≠ 7 = 39 mod 16

m=17: 30 mod 17 = 13 ≠ 5 = 39 mod 17

m=18: 30 mod 18 = 12 ≠ 3 = 39 mod 18

m=19: 30 mod 19 = 11 ≠ 1 = 39 mod 19

m=20: 30 mod 20 = 10 ≠ 19 = 39 mod 20

m=21: 30 mod 21 = 9 ≠ 18 = 39 mod 21

m=22: 30 mod 22 = 8 ≠ 17 = 39 mod 22

m=23: 30 mod 23 = 7 ≠ 16 = 39 mod 23

m=24: 30 mod 24 = 6 ≠ 15 = 39 mod 24

m=25: 30 mod 25 = 5 ≠ 14 = 39 mod 25

m=26: 30 mod 26 = 4 ≠ 13 = 39 mod 26

m=27: 30 mod 27 = 3 ≠ 12 = 39 mod 27

m=28: 30 mod 28 = 2 ≠ 11 = 39 mod 28

m=29: 30 mod 29 = 1 ≠ 10 = 39 mod 29

m=30: 30 mod 30 = 0 ≠ 9 = 39 mod 30

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (39 - 30) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9