Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 79 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 78, weil ja 26 ⋅ 3 = 78 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 79 - 78 = 1.
Somit gilt: 79 mod 3 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 90 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 90, weil ja 15 ⋅ 6 = 90 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 90 - 90 = 0.
Somit gilt: 90 mod 6 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 0 mod 6.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 20, z.B. 24 = 4 ⋅ 6
Somit gilt: 24 ≡ 90 ≡ 0 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2504 + 52) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2504 + 52) mod 5 ≡ (2504 mod 5 + 52 mod 5) mod 5.
2504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2504
= 2500
52 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52
= 50
Somit gilt:
(2504 + 52) mod 5 ≡ (4 + 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 94) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 94) mod 3 ≡ (82 mod 3 ⋅ 94 mod 3) mod 3.
82 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 81 + 1 = 27 ⋅ 3 + 1 ist.
94 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 93 + 1 = 31 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 94) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
17 mod m = 23 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 17 aus, ob zufällig 17 mod m = 23 mod m gilt:
m=2: 17 mod 2 = 1 = 1 = 23 mod 2
m=3: 17 mod 3 = 2 = 2 = 23 mod 3
m=4: 17 mod 4 = 1 ≠ 3 = 23 mod 4
m=5: 17 mod 5 = 2 ≠ 3 = 23 mod 5
m=6: 17 mod 6 = 5 = 5 = 23 mod 6
m=7: 17 mod 7 = 3 ≠ 2 = 23 mod 7
m=8: 17 mod 8 = 1 ≠ 7 = 23 mod 8
m=9: 17 mod 9 = 8 ≠ 5 = 23 mod 9
m=10: 17 mod 10 = 7 ≠ 3 = 23 mod 10
m=11: 17 mod 11 = 6 ≠ 1 = 23 mod 11
m=12: 17 mod 12 = 5 ≠ 11 = 23 mod 12
m=13: 17 mod 13 = 4 ≠ 10 = 23 mod 13
m=14: 17 mod 14 = 3 ≠ 9 = 23 mod 14
m=15: 17 mod 15 = 2 ≠ 8 = 23 mod 15
m=16: 17 mod 16 = 1 ≠ 7 = 23 mod 16
m=17: 17 mod 17 = 0 ≠ 6 = 23 mod 17
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (23 - 17) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
