Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 48, weil ja 8 ⋅ 6 = 48 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 48 - 48 = 0.

Somit gilt: 48 mod 6 ≡ 0.

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 18, weil ja 2 ⋅ 9 = 18 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 24 - 18 = 6.

Somit gilt: 24 mod 9 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 6 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 80, z.B. 81 = 9 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 6 mod 9 sein, also addieren wir noch 6 auf die 81 und erhalten so 87.

Somit gilt: 87 ≡ 24 ≡ 6 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(356 - 4501) mod 9 ≡ (356 mod 9 - 4501 mod 9) mod 9.

356 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 356 = 360-4 = 9 ⋅ 40 -4 = 9 ⋅ 40 - 9 + 5.

4501 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4501 = 4500+1 = 9 ⋅ 500 +1.

Somit gilt:

(356 - 4501) mod 9 ≡ (5 - 1) mod 9 ≡ 4 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39 ⋅ 37) mod 8 ≡ (39 mod 8 ⋅ 37 mod 8) mod 8.

39 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 32 + 7 = 4 ⋅ 8 + 7 ist.

37 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 32 + 5 = 4 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(39 ⋅ 37) mod 8 ≡ (7 ⋅ 5) mod 8 ≡ 35 mod 8 ≡ 3 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 18 aus, ob zufällig 18 mod m = 24 mod m gilt:

m=2: 18 mod 2 = 0 = 0 = 24 mod 2

m=3: 18 mod 3 = 0 = 0 = 24 mod 3

m=4: 18 mod 4 = 2 ≠ 0 = 24 mod 4

m=5: 18 mod 5 = 3 ≠ 4 = 24 mod 5

m=6: 18 mod 6 = 0 = 0 = 24 mod 6

m=7: 18 mod 7 = 4 ≠ 3 = 24 mod 7

m=8: 18 mod 8 = 2 ≠ 0 = 24 mod 8

m=9: 18 mod 9 = 0 ≠ 6 = 24 mod 9

m=10: 18 mod 10 = 8 ≠ 4 = 24 mod 10

m=11: 18 mod 11 = 7 ≠ 2 = 24 mod 11

m=12: 18 mod 12 = 6 ≠ 0 = 24 mod 12

m=13: 18 mod 13 = 5 ≠ 11 = 24 mod 13

m=14: 18 mod 14 = 4 ≠ 10 = 24 mod 14

m=15: 18 mod 15 = 3 ≠ 9 = 24 mod 15

m=16: 18 mod 16 = 2 ≠ 8 = 24 mod 16

m=17: 18 mod 17 = 1 ≠ 7 = 24 mod 17

m=18: 18 mod 18 = 0 ≠ 6 = 24 mod 18

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (24 - 18) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6