Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 15 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 8, weil ja 1 ⋅ 8 = 8 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 15 - 8 = 7.
Somit gilt: 15 mod 8 ≡ 7.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 21 für die gilt n ≡ 57 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 57 - 55 = 2.
Somit gilt: 57 mod 11 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 21 für die gilt: n ≡ 2 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 10, z.B. 11 = 1 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 2 mod 11 sein, also addieren wir noch 2 auf die 11 und erhalten so 13.
Somit gilt: 13 ≡ 57 ≡ 2 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 + 2695) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 + 2695) mod 9 ≡ (81 mod 9 + 2695 mod 9) mod 9.
81 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81
= 90
2695 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2695
= 2700
Somit gilt:
(81 + 2695) mod 9 ≡ (0 + 4) mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 18) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(55 ⋅ 18) mod 6 ≡ (55 mod 6 ⋅ 18 mod 6) mod 6.
55 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 54 + 1 = 9 ⋅ 6 + 1 ist.
18 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 3 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(55 ⋅ 18) mod 6 ≡ (1 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
14 mod m = 18 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 18 mod m gilt:
m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2
m=3: 14 mod 3 = 2 ≠ 0 = 18 mod 3
m=4: 14 mod 4 = 2 = 2 = 18 mod 4
m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 3 = 18 mod 5
m=6: 14 mod 6 = 2 ≠ 0 = 18 mod 6
m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 4 = 18 mod 7
m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 2 = 18 mod 8
m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 0 = 18 mod 9
m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 8 = 18 mod 10
m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 7 = 18 mod 11
m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 6 = 18 mod 12
m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 5 = 18 mod 13
m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 4 = 18 mod 14
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 14) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
