Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 50, weil ja 10 ⋅ 5 = 50 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 54 - 50 = 4.

Somit gilt: 54 mod 5 ≡ 4.

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 88, weil ja 22 ⋅ 4 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 90 - 88 = 2.

Somit gilt: 90 mod 4 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 2 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 20 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 2 mod 4 sein, also addieren wir noch 2 auf die 80 und erhalten so 82.

Somit gilt: 82 ≡ 90 ≡ 2 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15996 - 15999) mod 4 ≡ (15996 mod 4 - 15999 mod 4) mod 4.

15996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15996 = 15000+996 = 4 ⋅ 3750 +996.

15999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15999 = 15000+999 = 4 ⋅ 3750 +999.

Somit gilt:

(15996 - 15999) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 33) mod 8 ≡ (78 mod 8 ⋅ 33 mod 8) mod 8.

78 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 72 + 6 = 9 ⋅ 8 + 6 ist.

33 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 32 + 1 = 4 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 33) mod 8 ≡ (6 ⋅ 1) mod 8 ≡ 6 mod 8.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 31 mod m gilt:

m=2: 22 mod 2 = 0 ≠ 1 = 31 mod 2

m=3: 22 mod 3 = 1 = 1 = 31 mod 3

m=4: 22 mod 4 = 2 ≠ 3 = 31 mod 4

m=5: 22 mod 5 = 2 ≠ 1 = 31 mod 5

m=6: 22 mod 6 = 4 ≠ 1 = 31 mod 6

m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 3 = 31 mod 7

m=8: 22 mod 8 = 6 ≠ 7 = 31 mod 8

m=9: 22 mod 9 = 4 = 4 = 31 mod 9

m=10: 22 mod 10 = 2 ≠ 1 = 31 mod 10

m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 9 = 31 mod 11

m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 7 = 31 mod 12

m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 5 = 31 mod 13

m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 3 = 31 mod 14

m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 1 = 31 mod 15

m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 15 = 31 mod 16

m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 14 = 31 mod 17

m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 13 = 31 mod 18

m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 12 = 31 mod 19

m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 11 = 31 mod 20

m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 10 = 31 mod 21

m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 9 = 31 mod 22

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (31 - 22) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9