Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 100 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 99, weil ja 11 ⋅ 9 = 99 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 100 - 99 = 1.
Somit gilt: 100 mod 9 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 45 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 45, weil ja 9 ⋅ 5 = 45 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 45 - 45 = 0.
Somit gilt: 45 mod 5 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 16 ⋅ 5
Somit gilt: 80 ≡ 45 ≡ 0 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (367 + 892) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(367 + 892) mod 9 ≡ (367 mod 9 + 892 mod 9) mod 9.
367 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 367
= 360
892 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 892
= 900
Somit gilt:
(367 + 892) mod 9 ≡ (7 + 1) mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 68) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(90 ⋅ 68) mod 10 ≡ (90 mod 10 ⋅ 68 mod 10) mod 10.
90 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 9 ⋅ 10 + 0 ist.
68 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 60 + 8 = 6 ⋅ 10 + 8 ist.
Somit gilt:
(90 ⋅ 68) mod 10 ≡ (0 ⋅ 8) mod 10 ≡ 0 mod 10.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
11 mod m = 15 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 11 aus, ob zufällig 11 mod m = 15 mod m gilt:
m=2: 11 mod 2 = 1 = 1 = 15 mod 2
m=3: 11 mod 3 = 2 ≠ 0 = 15 mod 3
m=4: 11 mod 4 = 3 = 3 = 15 mod 4
m=5: 11 mod 5 = 1 ≠ 0 = 15 mod 5
m=6: 11 mod 6 = 5 ≠ 3 = 15 mod 6
m=7: 11 mod 7 = 4 ≠ 1 = 15 mod 7
m=8: 11 mod 8 = 3 ≠ 7 = 15 mod 8
m=9: 11 mod 9 = 2 ≠ 6 = 15 mod 9
m=10: 11 mod 10 = 1 ≠ 5 = 15 mod 10
m=11: 11 mod 11 = 0 ≠ 4 = 15 mod 11
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (15 - 11) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
