Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 99, weil ja 11 ⋅ 9 = 99 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 100 - 99 = 1.

Somit gilt: 100 mod 9 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 45, weil ja 9 ⋅ 5 = 45 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 45 - 45 = 0.

Somit gilt: 45 mod 5 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 16 ⋅ 5

Somit gilt: 80 ≡ 45 ≡ 0 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(367 + 892) mod 9 ≡ (367 mod 9 + 892 mod 9) mod 9.

367 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 367 = 360+7 = 9 ⋅ 40 +7.

892 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 892 = 900-8 = 9 ⋅ 100 -8 = 9 ⋅ 100 - 9 + 1.

Somit gilt:

(367 + 892) mod 9 ≡ (7 + 1) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(90 ⋅ 68) mod 10 ≡ (90 mod 10 ⋅ 68 mod 10) mod 10.

90 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 9 ⋅ 10 + 0 ist.

68 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 60 + 8 = 6 ⋅ 10 + 8 ist.

Somit gilt:

(90 ⋅ 68) mod 10 ≡ (0 ⋅ 8) mod 10 ≡ 0 mod 10.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 11 aus, ob zufällig 11 mod m = 15 mod m gilt:

m=2: 11 mod 2 = 1 = 1 = 15 mod 2

m=3: 11 mod 3 = 2 ≠ 0 = 15 mod 3

m=4: 11 mod 4 = 3 = 3 = 15 mod 4

m=5: 11 mod 5 = 1 ≠ 0 = 15 mod 5

m=6: 11 mod 6 = 5 ≠ 3 = 15 mod 6

m=7: 11 mod 7 = 4 ≠ 1 = 15 mod 7

m=8: 11 mod 8 = 3 ≠ 7 = 15 mod 8

m=9: 11 mod 9 = 2 ≠ 6 = 15 mod 9

m=10: 11 mod 10 = 1 ≠ 5 = 15 mod 10

m=11: 11 mod 11 = 0 ≠ 4 = 15 mod 11

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (15 - 11) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4