Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 100 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 98, weil ja 14 ⋅ 7 = 98 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 100 - 98 = 2.
Somit gilt: 100 mod 7 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 46 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 45, weil ja 5 ⋅ 9 = 45 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 46 - 45 = 1.
Somit gilt: 46 mod 9 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 1 mod 9.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 1 ⋅ 9
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 1 mod 9 sein, also addieren wir noch 1 auf die 9 und erhalten so 10.
Somit gilt: 10 ≡ 46 ≡ 1 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2702 - 9001) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2702 - 9001) mod 9 ≡ (2702 mod 9 - 9001 mod 9) mod 9.
2702 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2702
= 2700
9001 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9001
= 9000
Somit gilt:
(2702 - 9001) mod 9 ≡ (2 - 1) mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 76) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 76) mod 6 ≡ (54 mod 6 ⋅ 76 mod 6) mod 6.
54 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 9 ⋅ 6 + 0 ist.
76 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 12 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 76) mod 6 ≡ (0 ⋅ 4) mod 6 ≡ 0 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
33 mod m = 43 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 33 aus, ob zufällig 33 mod m = 43 mod m gilt:
m=2: 33 mod 2 = 1 = 1 = 43 mod 2
m=3: 33 mod 3 = 0 ≠ 1 = 43 mod 3
m=4: 33 mod 4 = 1 ≠ 3 = 43 mod 4
m=5: 33 mod 5 = 3 = 3 = 43 mod 5
m=6: 33 mod 6 = 3 ≠ 1 = 43 mod 6
m=7: 33 mod 7 = 5 ≠ 1 = 43 mod 7
m=8: 33 mod 8 = 1 ≠ 3 = 43 mod 8
m=9: 33 mod 9 = 6 ≠ 7 = 43 mod 9
m=10: 33 mod 10 = 3 = 3 = 43 mod 10
m=11: 33 mod 11 = 0 ≠ 10 = 43 mod 11
m=12: 33 mod 12 = 9 ≠ 7 = 43 mod 12
m=13: 33 mod 13 = 7 ≠ 4 = 43 mod 13
m=14: 33 mod 14 = 5 ≠ 1 = 43 mod 14
m=15: 33 mod 15 = 3 ≠ 13 = 43 mod 15
m=16: 33 mod 16 = 1 ≠ 11 = 43 mod 16
m=17: 33 mod 17 = 16 ≠ 9 = 43 mod 17
m=18: 33 mod 18 = 15 ≠ 7 = 43 mod 18
m=19: 33 mod 19 = 14 ≠ 5 = 43 mod 19
m=20: 33 mod 20 = 13 ≠ 3 = 43 mod 20
m=21: 33 mod 21 = 12 ≠ 1 = 43 mod 21
m=22: 33 mod 22 = 11 ≠ 21 = 43 mod 22
m=23: 33 mod 23 = 10 ≠ 20 = 43 mod 23
m=24: 33 mod 24 = 9 ≠ 19 = 43 mod 24
m=25: 33 mod 25 = 8 ≠ 18 = 43 mod 25
m=26: 33 mod 26 = 7 ≠ 17 = 43 mod 26
m=27: 33 mod 27 = 6 ≠ 16 = 43 mod 27
m=28: 33 mod 28 = 5 ≠ 15 = 43 mod 28
m=29: 33 mod 29 = 4 ≠ 14 = 43 mod 29
m=30: 33 mod 30 = 3 ≠ 13 = 43 mod 30
m=31: 33 mod 31 = 2 ≠ 12 = 43 mod 31
m=32: 33 mod 32 = 1 ≠ 11 = 43 mod 32
m=33: 33 mod 33 = 0 ≠ 10 = 43 mod 33
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (43 - 33) = 10 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10
