Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 33, weil ja 3 ⋅ 11 = 33 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 40 - 33 = 7.

Somit gilt: 40 mod 11 ≡ 7.

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 50, weil ja 5 ⋅ 10 = 50 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 58 - 50 = 8.

Somit gilt: 58 mod 10 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 40 für die gilt: n ≡ 8 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 3 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 8 mod 10 sein, also addieren wir noch 8 auf die 30 und erhalten so 38.

Somit gilt: 38 ≡ 58 ≡ 8 mod 10.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(197 - 998) mod 5 ≡ (197 mod 5 - 998 mod 5) mod 5.

197 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 197 = 190+7 = 5 ⋅ 38 +7.

998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 998 = 900+98 = 5 ⋅ 180 +98.

Somit gilt:

(197 - 998) mod 5 ≡ (2 - 3) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 48) mod 9 ≡ (42 mod 9 ⋅ 48 mod 9) mod 9.

42 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 36 + 6 = 4 ⋅ 9 + 6 ist.

48 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 45 + 3 = 5 ⋅ 9 + 3 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 48) mod 9 ≡ (6 ⋅ 3) mod 9 ≡ 18 mod 9 ≡ 0 mod 9.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 43 aus, ob zufällig 43 mod m = 61 mod m gilt:

m=2: 43 mod 2 = 1 = 1 = 61 mod 2

m=3: 43 mod 3 = 1 = 1 = 61 mod 3

m=4: 43 mod 4 = 3 ≠ 1 = 61 mod 4

m=5: 43 mod 5 = 3 ≠ 1 = 61 mod 5

m=6: 43 mod 6 = 1 = 1 = 61 mod 6

m=7: 43 mod 7 = 1 ≠ 5 = 61 mod 7

m=8: 43 mod 8 = 3 ≠ 5 = 61 mod 8

m=9: 43 mod 9 = 7 = 7 = 61 mod 9

m=10: 43 mod 10 = 3 ≠ 1 = 61 mod 10

m=11: 43 mod 11 = 10 ≠ 6 = 61 mod 11

m=12: 43 mod 12 = 7 ≠ 1 = 61 mod 12

m=13: 43 mod 13 = 4 ≠ 9 = 61 mod 13

m=14: 43 mod 14 = 1 ≠ 5 = 61 mod 14

m=15: 43 mod 15 = 13 ≠ 1 = 61 mod 15

m=16: 43 mod 16 = 11 ≠ 13 = 61 mod 16

m=17: 43 mod 17 = 9 ≠ 10 = 61 mod 17

m=18: 43 mod 18 = 7 = 7 = 61 mod 18

m=19: 43 mod 19 = 5 ≠ 4 = 61 mod 19

m=20: 43 mod 20 = 3 ≠ 1 = 61 mod 20

m=21: 43 mod 21 = 1 ≠ 19 = 61 mod 21

m=22: 43 mod 22 = 21 ≠ 17 = 61 mod 22

m=23: 43 mod 23 = 20 ≠ 15 = 61 mod 23

m=24: 43 mod 24 = 19 ≠ 13 = 61 mod 24

m=25: 43 mod 25 = 18 ≠ 11 = 61 mod 25

m=26: 43 mod 26 = 17 ≠ 9 = 61 mod 26

m=27: 43 mod 27 = 16 ≠ 7 = 61 mod 27

m=28: 43 mod 28 = 15 ≠ 5 = 61 mod 28

m=29: 43 mod 29 = 14 ≠ 3 = 61 mod 29

m=30: 43 mod 30 = 13 ≠ 1 = 61 mod 30

m=31: 43 mod 31 = 12 ≠ 30 = 61 mod 31

m=32: 43 mod 32 = 11 ≠ 29 = 61 mod 32

m=33: 43 mod 33 = 10 ≠ 28 = 61 mod 33

m=34: 43 mod 34 = 9 ≠ 27 = 61 mod 34

m=35: 43 mod 35 = 8 ≠ 26 = 61 mod 35

m=36: 43 mod 36 = 7 ≠ 25 = 61 mod 36

m=37: 43 mod 37 = 6 ≠ 24 = 61 mod 37

m=38: 43 mod 38 = 5 ≠ 23 = 61 mod 38

m=39: 43 mod 39 = 4 ≠ 22 = 61 mod 39

m=40: 43 mod 40 = 3 ≠ 21 = 61 mod 40

m=41: 43 mod 41 = 2 ≠ 20 = 61 mod 41

m=42: 43 mod 42 = 1 ≠ 19 = 61 mod 42

m=43: 43 mod 43 = 0 ≠ 18 = 61 mod 43

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (61 - 43) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18