Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 56 - 55 = 1.

Somit gilt: 56 mod 11 ≡ 1.

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 90, weil ja 15 ⋅ 6 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 95 - 90 = 5.

Somit gilt: 95 mod 6 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 5 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 40, z.B. 36 = 6 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 5 mod 6 sein, also addieren wir noch 5 auf die 36 und erhalten so 41.

Somit gilt: 41 ≡ 95 ≡ 5 mod 6.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1198 - 203) mod 4 ≡ (1198 mod 4 - 203 mod 4) mod 4.

1198 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198 = 1100+98 = 4 ⋅ 275 +98.

203 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 203 = 200+3 = 4 ⋅ 50 +3.

Somit gilt:

(1198 - 203) mod 4 ≡ (2 - 3) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 59) mod 5 ≡ (24 mod 5 ⋅ 59 mod 5) mod 5.

24 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 4 ⋅ 5 + 4 ist.

59 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 55 + 4 = 11 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 59) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 25 aus, ob zufällig 25 mod m = 34 mod m gilt:

m=2: 25 mod 2 = 1 ≠ 0 = 34 mod 2

m=3: 25 mod 3 = 1 = 1 = 34 mod 3

m=4: 25 mod 4 = 1 ≠ 2 = 34 mod 4

m=5: 25 mod 5 = 0 ≠ 4 = 34 mod 5

m=6: 25 mod 6 = 1 ≠ 4 = 34 mod 6

m=7: 25 mod 7 = 4 ≠ 6 = 34 mod 7

m=8: 25 mod 8 = 1 ≠ 2 = 34 mod 8

m=9: 25 mod 9 = 7 = 7 = 34 mod 9

m=10: 25 mod 10 = 5 ≠ 4 = 34 mod 10

m=11: 25 mod 11 = 3 ≠ 1 = 34 mod 11

m=12: 25 mod 12 = 1 ≠ 10 = 34 mod 12

m=13: 25 mod 13 = 12 ≠ 8 = 34 mod 13

m=14: 25 mod 14 = 11 ≠ 6 = 34 mod 14

m=15: 25 mod 15 = 10 ≠ 4 = 34 mod 15

m=16: 25 mod 16 = 9 ≠ 2 = 34 mod 16

m=17: 25 mod 17 = 8 ≠ 0 = 34 mod 17

m=18: 25 mod 18 = 7 ≠ 16 = 34 mod 18

m=19: 25 mod 19 = 6 ≠ 15 = 34 mod 19

m=20: 25 mod 20 = 5 ≠ 14 = 34 mod 20

m=21: 25 mod 21 = 4 ≠ 13 = 34 mod 21

m=22: 25 mod 22 = 3 ≠ 12 = 34 mod 22

m=23: 25 mod 23 = 2 ≠ 11 = 34 mod 23

m=24: 25 mod 24 = 1 ≠ 10 = 34 mod 24

m=25: 25 mod 25 = 0 ≠ 9 = 34 mod 25

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (34 - 25) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9