f(0) = $44$

f(1) = $44$ ⋅ $\mathrm{0,65}$

f(2) = $44$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$

f(3) = $44$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$

f(4) = $44$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,65}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,65}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,65}$-fache, also auf $65$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 65% = 35 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 25% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 25% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{25}{100}$⋅B = (1 + $\frac{25}{100}$) ⋅ B = 1,25 ⋅ B. Somit ist das a=1,25.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=6 Wochen, also f(6):

f(6) = $8000\cdot {\mathrm{1,25}}^6$ ≈ 30517,578.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 28000 Nutzer ist, also f(t) = 28000:

$8000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$	=	$28000$	|:$8000$
${\mathrm{1,25}}^t$	=	$\frac{7}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,25}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,25}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,25}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,25}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,6142}$

Nach ca. 5,614 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 28000 Nutzer.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 11 Wochen der Bestand 37055.56 Nutzer ist, also f(11) = 37055.56. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ ein:

$6000a^{11}$	=	$37\mathrm{055,56}$	|:$6000$
$a^{11}$	=	$\mathrm{6,17593}$	|
$a$	=	$\sqrt[11]{\mathrm{6,17593}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[11]{\mathrm{6,17593}}$ ≈ 1.18 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,18}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=7 Wochen, also f(7):

f(7) = $6000\cdot {\mathrm{1,18}}^7$ ≈ 19112,843.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 26000 Nutzer ist, also f(t) = 26000:

$6000\cdot {\mathrm{1,18}}^t$	=	$26000$	|:$6000$
${\mathrm{1,18}}^t$	=	$\frac{13}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,18}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,18}\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,18}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{13}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,18}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,8593}$

Nach ca. 8,859 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 26000 Nutzer.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4}{100}$⋅B = (1 - $\frac{4}{100}$) ⋅ B = 0,96 ⋅ B. Somit ist das a=0,96.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,96}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 6.65 kg ist, also f(10) = 6.65. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,96}}^t$ ein:

c ⋅ 0.96¹⁰ = 6.65

c ⋅ 0.66483 = 6.65 | : 0.66483

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,96}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Tage, also f(13):

f(13) = $10\cdot {\mathrm{0,96}}^{13}$ ≈ 5,882.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 6.4 kg ist, also f(t) = 6.4:

$10\cdot {\mathrm{0,96}}^t$	=	$\mathrm{6,4}$	|:$10$
${\mathrm{0,96}}^t$	=	$\mathrm{0,64}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,96}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,64}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,96}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,64}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,96}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,64}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,96}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,9325}$

Nach ca. 10,933 Tage ist also der Bestand = 6.4 kg.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,103}}^t$ ablesen: a=1.103.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.103($2$) ≈ 7.07 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{15}{100}$⋅B = (1 - $\frac{15}{100}$) ⋅ B = 0,85 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,85.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.85($\frac{1}{2}$) ≈ 4.27 Jahre

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 17 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 6.6 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{6,6}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{6,6}}}$	≈ $-\mathrm{1,111}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{6,6}}}$	≈ $\mathrm{1,111}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,111}$ ≈ 1.11, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $17\cdot {\mathrm{1,11}}^t$