f(0) = $61$

f(1) = $61$ ⋅ $\mathrm{1,25}$

f(2) = $61$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$

f(3) = $61$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$

f(4) = $61$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,25}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,25}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,25}$-fache, also auf $125$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 125% - 100% = 25 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $3000\cdot {\mathrm{1,02}}^{10}$ ≈ 3656,983.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3500 € ist, also f(t) = 3500:

$3000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$	=	$3500$	|:$3000$
${\mathrm{1,02}}^t$	=	$\frac{7}{6}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,02}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{6}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{6}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{6}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,02}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,7844}$

Nach ca. 7,784 Jahre ist also der Kontostand = 3500 €.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=50 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $50\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 39.61 kg ist, also f(2) = 39.61. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $50\cdot a^t$ ein:

$50a^2$	=	$\mathrm{39,61}$	|:$50$
$a^2$	=	$\mathrm{0,7922}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{0,7922}}$	≈ $-\mathrm{0,89}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{0,7922}}$	≈ $\mathrm{0,89}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,89}$ ≈ 0.89 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $50\cdot {\mathrm{0,89}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Tage, also f(12):

f(12) = $50\cdot {\mathrm{0,89}}^{12}$ ≈ 12,35.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 kg ist, also f(t) = 30:

$50\cdot {\mathrm{0,89}}^t$	=	$30$	|:$50$
${\mathrm{0,89}}^t$	=	$\frac{3}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,89}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,89}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,3835}$

Nach ca. 4,384 Tage ist also der Bestand = 30 kg.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4}{100}$⋅B = (1 - $\frac{4}{100}$) ⋅ B = 0,96 ⋅ B. Somit ist das a=0,96.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,96}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 19.94 kg ist, also f(10) = 19.94. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,96}}^t$ ein:

c ⋅ 0.96¹⁰ = 19.94

c ⋅ 0.66483 = 19.94 | : 0.66483

c = 30

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $30\cdot {\mathrm{0,96}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Tage, also f(13):

f(13) = $30\cdot {\mathrm{0,96}}^{13}$ ≈ 17,646.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$30\cdot {\mathrm{0,96}}^t$	=	$20$	|:$30$
${\mathrm{0,96}}^t$	=	$\frac{2}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,96}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,96}\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,96}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{2}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,96}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,9325}$

Nach ca. 9,933 Tage ist also der Bestand = 20 kg.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,086}}^t$ ablesen: a=1.086.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.086($2$) ≈ 8.4 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 1,02 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,02.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.02($2$) ≈ 35 Stunden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 12 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 5 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^5$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	$\sqrt[5]{\frac{1}{2}}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[5]{\frac{1}{2}}$ ≈ 0.87, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{0,87}}^t$