f(0) = $176$

f(1) = $176$ ⋅ $\mathrm{0,95}$

f(2) = $176$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$

f(3) = $176$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$

f(4) = $176$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,95}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,95}$-fache, also auf $95$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 95% = 5 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $8000\cdot {\mathrm{1,02}}^7$ ≈ 9189,485.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 11000 € ist, also f(t) = 11000:

$8000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$	=	$11000$	|:$8000$
${\mathrm{1,02}}^t$	=	$\frac{11}{8}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,02}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{8}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{8}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{8}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,02}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{16,0814}$

Nach ca. 16,081 Jahre ist also der Kontostand = 11000 €.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=28 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $28\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 13 Stunden der Bestand 1034.23 Millionen Bakterien ist, also f(13) = 1034.23. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $28\cdot a^t$ ein:

$28a^{13}$	=	$1\mathrm{034,23}$	|:$28$
$a^{13}$	=	$\mathrm{36,93679}$	|
$a$	=	$\sqrt[13]{\mathrm{36,93679}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[13]{\mathrm{36,93679}}$ ≈ 1.32 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $28\cdot {\mathrm{1,32}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Stunden, also f(7):

f(7) = $28\cdot {\mathrm{1,32}}^7$ ≈ 195,513.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 108 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 108:

$28\cdot {\mathrm{1,32}}^t$	=	$108$	|:$28$
${\mathrm{1,32}}^t$	=	$\frac{27}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,32}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{27}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,32}\right)$	=	$\lg \left(\frac{27}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,32}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{27}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,32}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,8623}$

Nach ca. 4,862 Stunden ist also der Bestand = 108 Millionen Bakterien.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{26}{100}$⋅B = (1 + $\frac{26}{100}$) ⋅ B = 1,26 ⋅ B. Somit ist das a=1,26.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,26}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 5 Stunden der Bestand 47.64 Millionen Bakterien ist, also f(5) = 47.64. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,26}}^t$ ein:

c ⋅ 1.26⁵ = 47.64

c ⋅ 3.1758 = 47.64 | : 3.1758

c = 15

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $15\cdot {\mathrm{1,26}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = $15\cdot {\mathrm{1,26}}^{12}$ ≈ 240,181.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 23.8 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 23.8:

$15\cdot {\mathrm{1,26}}^t$	=	$\mathrm{23,8}$	|:$15$
${\mathrm{1,26}}^t$	=	$\mathrm{1,5867}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,26}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,5867}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,26}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,5867}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,26}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{1,5867}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,26}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{1,9975}$

Nach ca. 1,998 Stunden ist also der Bestand = 23.8 Millionen Bakterien.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,135}}^t$ ablesen: a=1.135.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.135($2$) ≈ 5.47 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{20}{100}$⋅B = (1 + $\frac{20}{100}$) ⋅ B = 1,2 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,2.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.2($2$) ≈ 3.8 Stunden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 13 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 5.3 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{5,3}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{5,3}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{5,3}}}$ ≈ 1.14, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{1,14}}^t$