f(0) = $19$

f(1) = $19$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

f(2) = $19$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

f(3) = $19$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

f(4) = $19$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,75}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,75}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,75}$-fache, also auf $75$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 75% = 25 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{14}{100}$⋅B = (1 - $\frac{14}{100}$) ⋅ B = 0,86 ⋅ B. Somit ist das a=0,86.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{0,86}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $12\cdot {\mathrm{0,86}}^{10}$ ≈ 2,656.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2:

$12\cdot {\mathrm{0,86}}^t$	=	$2$	|:$12$
${\mathrm{0,86}}^t$	=	$\frac{1}{6}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,86}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{6}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,86}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{6}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,86}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{6}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,86}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,8799}$

Nach ca. 11,88 Jahre ist also der Bestand = 2 Millionen Insekten.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=20 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 18.43 kg ist, also f(2) = 18.43. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot a^t$ ein:

$20a^2$	=	$\mathrm{18,43}$	|:$20$
$a^2$	=	$\mathrm{0,9215}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{0,9215}}$	≈ $-\mathrm{0,96}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{0,9215}}$	≈ $\mathrm{0,96}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,96}$ ≈ 0.96 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot {\mathrm{0,96}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = $20\cdot {\mathrm{0,96}}^{11}$ ≈ 12,765.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 15.7 kg ist, also f(t) = 15.7:

$20\cdot {\mathrm{0,96}}^t$	=	$\mathrm{15,7}$	|:$20$
${\mathrm{0,96}}^t$	=	$\mathrm{0,785}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,96}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,785}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,96}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,785}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,96}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,785}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,96}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,9299}$

Nach ca. 5,93 Tage ist also der Bestand = 15.7 kg.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 7% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{7}{100}$⋅B = (1 + $\frac{7}{100}$) ⋅ B = 1,07 ⋅ B. Somit ist das a=1,07.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,07}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 8014.3 € ist, also f(2) = 8014.3. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,07}}^t$ ein:

c ⋅ 1.07² = 8014.3

c ⋅ 1.1449 = 8014.3 | : 1.1449

c = 7000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,07}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $7000\cdot {\mathrm{1,07}}^{13}$ ≈ 16868,915.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 17000 € ist, also f(t) = 17000:

$7000\cdot {\mathrm{1,07}}^t$	=	$17000$	|:$7000$
${\mathrm{1,07}}^t$	=	$\frac{17}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,07}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{17}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,07}\right)$	=	$\lg \left(\frac{17}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,07}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{17}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,07}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,1144}$

Nach ca. 13,114 Jahre ist also der Kontostand = 17000 €.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,128}}^t$ ablesen: a=1.128.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.128($2$) ≈ 5.75 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4}{100}$⋅B = (1 - $\frac{4}{100}$) ⋅ B = 0,96 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,96.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.96($\frac{1}{2}$) ≈ 16.98 Jahre

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 30 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 4.6 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{4,6}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{4,6}}}$	≈ $-\mathrm{0,86}$
a2	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{4,6}}}$	≈ $\mathrm{0,86}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,86}$ ≈ 0.86, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $30\cdot {\mathrm{0,86}}^t$