f(0) = $197$

f(1) = $197$ ⋅ $\mathrm{1,25}$

f(2) = $197$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$

f(3) = $197$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$

f(4) = $197$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,25}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,25}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,25}$-fache, also auf $125$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 125% - 100% = 25 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.1}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.1}{100}$) ⋅ B = 0,979 ⋅ B. Somit ist das a=0,979.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot {\mathrm{0,979}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $55\cdot {\mathrm{0,979}}^{10}$ ≈ 44,483.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

$55\cdot {\mathrm{0,979}}^t$	=	$45$	|:$55$
${\mathrm{0,979}}^t$	=	$\frac{9}{11}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,979}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{11}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,979}\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{11}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,979}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{9}{11}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,979}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,4551}$

Nach ca. 9,455 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Wochen der Bestand 16085.54 Nutzer ist, also f(8) = 16085.54. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot a^t$ ein:

$4000a^8$	=	$16\mathrm{085,54}$	|:$4000$
$a^8$	=	$\mathrm{4,02139}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{4,02139}}$	= $-\mathrm{1,19}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{4,02139}}$	= $\mathrm{1,19}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,19}$ ≈ 1.19 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,19}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = $4000\cdot {\mathrm{1,19}}^5$ ≈ 9545,415.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 34000 Nutzer ist, also f(t) = 34000:

$4000\cdot {\mathrm{1,19}}^t$	=	$34000$	|:$4000$
${\mathrm{1,19}}^t$	=	$\frac{17}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,19}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{17}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,19}\right)$	=	$\lg \left(\frac{17}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,19}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{17}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,19}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,3025}$

Nach ca. 12,303 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 34000 Nutzer.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 15% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{15}{100}$⋅B = (1 + $\frac{15}{100}$) ⋅ B = 1,15 ⋅ B. Somit ist das a=1,15.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,15}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Wochen der Bestand 18458.36 Nutzer ist, also f(13) = 18458.36. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,15}}^t$ ein:

c ⋅ 1.15¹³ = 18458.36

c ⋅ 6.15279 = 18458.36 | : 6.15279

c = 3000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,15}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = $3000\cdot {\mathrm{1,15}}^9$ ≈ 10553,629.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 4500 Nutzer ist, also f(t) = 4500:

$3000\cdot {\mathrm{1,15}}^t$	=	$4500$	|:$3000$
${\mathrm{1,15}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,15}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,15}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,15}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,15}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,9011}$

Nach ca. 2,901 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 4500 Nutzer.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,966}}^t$ ablesen: a=0.966.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.966($\frac{1}{2}$) ≈ 20.04 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7}{100}$⋅B = (1 - $\frac{7}{100}$) ⋅ B = 0,93 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,93.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.93($\frac{1}{2}$) ≈ 9.55 Jahre

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 8000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 4.4 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{4,4}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{4,4}}}$	≈ $-\mathrm{1,171}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{4,4}}}$	≈ $\mathrm{1,171}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,171}$ ≈ 1.17, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,17}}^t$