f(0) = $10$

f(1) = $10$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(2) = $10$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(3) = $10$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(4) = $10$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,2}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,2}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,2}$-fache, also auf $120$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=23 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{26}{100}$⋅B = (1 + $\frac{26}{100}$) ⋅ B = 1,26 ⋅ B. Somit ist das a=1,26.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $23\cdot {\mathrm{1,26}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Stunden, also f(11):

f(11) = $23\cdot {\mathrm{1,26}}^{11}$ ≈ 292,283.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2023 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 2023:

$23\cdot {\mathrm{1,26}}^t$	=	$2023$	|:$23$
${\mathrm{1,26}}^t$	=	$\frac{2023}{23}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,26}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{2023}{23}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,26}\right)$	=	$\lg \left(\frac{2023}{23}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,26}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{2023}{23}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,26}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{19,3709}$

Nach ca. 19,371 Stunden ist also der Bestand = 2023 Millionen Bakterien.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 8.14 Millionen Insekten ist, also f(2) = 8.14. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot a^t$ ein:

$11a^2$	=	$\mathrm{8,14}$	|:$11$
$a^2$	=	$\mathrm{0,74}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{0,74}}$	≈ $-\mathrm{0,86}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{0,74}}$	≈ $\mathrm{0,86}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,86}$ ≈ 0.86 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,86}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $11\cdot {\mathrm{0,86}}^8$ ≈ 3,291.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.8 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.8:

$11\cdot {\mathrm{0,86}}^t$	=	$\mathrm{3,8}$	|:$11$
${\mathrm{0,86}}^t$	=	$\mathrm{0,3455}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,86}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,3455}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,86}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,3455}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,86}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,3455}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,86}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,0464}$

Nach ca. 7,046 Jahre ist also der Bestand = 3.8 Millionen Insekten.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 0,98 ⋅ B. Somit ist das a=0,98.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,98}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 49.02 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 49.02. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,98}}^t$ ein:

c ⋅ 0.98¹⁰ = 49.02

c ⋅ 0.81707 = 49.02 | : 0.81707

c = 60

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,98}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $60\cdot {\mathrm{0,98}}^{13}$ ≈ 46,141.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 56.5 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 56.5:

$60\cdot {\mathrm{0,98}}^t$	=	$\mathrm{56,5}$	|:$60$
${\mathrm{0,98}}^t$	=	$\mathrm{0,9417}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,98}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9417}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,98}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9417}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,98}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,9417}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,98}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,9733}$

Nach ca. 2,973 Jahre ist also der Bestand = 56.5 Millionen Einwohner.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,037}}^t$ ablesen: a=1.037.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.037($2$) ≈ 19.08 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4}{100}$⋅B = (1 - $\frac{4}{100}$) ⋅ B = 0,96 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,96.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.96($\frac{1}{2}$) ≈ 16.98 Jahre

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 11 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 3.7 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{3,7}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{3,7}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{3,7}}}$ ≈ 0.83, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,83}}^t$