f(0) = $9$

f(1) = $9$ ⋅ $\mathrm{0,65}$

f(2) = $9$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$

f(3) = $9$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$

f(4) = $9$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,65}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,65}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,65}$-fache, also auf $65$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 65% = 35 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.5}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1.5}{100}$) ⋅ B = 0,985 ⋅ B. Somit ist das a=0,985.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,985}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $80\cdot {\mathrm{0,985}}^5$ ≈ 74,177.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 60:

$80\cdot {\mathrm{0,985}}^t$	=	$60$	|:$80$
${\mathrm{0,985}}^t$	=	$\frac{3}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,985}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,985}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,985}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,985}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{19,0346}$

Nach ca. 19,035 Jahre ist also der Bestand = 60 Millionen Einwohner.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 12 Stunden der Bestand 89.16 Millionen Bakterien ist, also f(12) = 89.16. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot a^t$ ein:

$10a^{12}$	=	$\mathrm{89,16}$	|:$10$
$a^{12}$	=	$\mathrm{8,916}$	|
a1	=	$-\sqrt[12]{\mathrm{8,916}}$	≈ $-\mathrm{1,2}$
a2	=	$\sqrt[12]{\mathrm{8,916}}$	≈ $\mathrm{1,2}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,2}$ ≈ 1.2 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{1,2}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Stunden, also f(7):

f(7) = $10\cdot {\mathrm{1,2}}^7$ ≈ 35,832.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 14.4 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 14.4:

$10\cdot {\mathrm{1,2}}^t$	=	$\mathrm{14,4}$	|:$10$
${\mathrm{1,2}}^t$	=	$\mathrm{1,44}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,2}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,44}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,2}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,44}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,2}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{1,44}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,2}\right)}$

$t$

=

$2$

Nach ca. 2 Stunden ist also der Bestand = 14.4 Millionen Bakterien.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,92}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 8.46 Millionen Insekten ist, also f(2) = 8.46. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,92}}^t$ ein:

c ⋅ 0.92² = 8.46

c ⋅ 0.8464 = 8.46 | : 0.8464

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,92}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $10\cdot {\mathrm{0,92}}^{10}$ ≈ 4,344.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.9 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.9:

$10\cdot {\mathrm{0,92}}^t$	=	$\mathrm{2,9}$	|:$10$
${\mathrm{0,92}}^t$	=	$\mathrm{0,29}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,92}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,29}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,92}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,29}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,92}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,29}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,92}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,8459}$

Nach ca. 14,846 Jahre ist also der Bestand = 2.9 Millionen Insekten.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,145}}^t$ ablesen: a=1.145.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.145($2$) ≈ 5.12 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12}{100}$⋅B = (1 - $\frac{12}{100}$) ⋅ B = 0,88 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,88.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.88($\frac{1}{2}$) ≈ 5.42 Jahre

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 90 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 69 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{69}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	$\sqrt[69]{\frac{1}{2}}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[69]{\frac{1}{2}}$ ≈ 0.99, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $90\cdot {\mathrm{0,99}}^t$