f(0) = $40$

f(1) = $40$ ⋅ $\frac{24}{25}$

f(2) = $40$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$

f(3) = $40$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$

f(4) = $40$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{24}{25}$ multipliziert. Da $\frac{24}{25}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{24}{25}$-fache (oder auf das $\frac{96}{100}$-fache), also auf $96$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 96% = 4 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 10% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{10}{100}$⋅B = (1 + $\frac{10}{100}$) ⋅ B = 1,1 ⋅ B. Somit ist das a=1,1.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,1}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=4 Wochen, also f(4):

f(4) = $3000\cdot {\mathrm{1,1}}^4$ ≈ 4392,3.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 4500 Nutzer ist, also f(t) = 4500:

$3000\cdot {\mathrm{1,1}}^t$	=	$4500$	|:$3000$
${\mathrm{1,1}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,1}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,1}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,1}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,1}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,2542}$

Nach ca. 4,254 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 4500 Nutzer.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=30 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $30\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 11.68 kg ist, also f(10) = 11.68. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $30\cdot a^t$ ein:

$30a^{10}$	=	$\mathrm{11,68}$	|:$30$
$a^{10}$	=	$\frac{\mathrm{11,68}}{30}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\frac{\mathrm{11,68}}{30}}$	≈ $-\mathrm{0,91}$
a2	=	$\sqrt[10]{\frac{\mathrm{11,68}}{30}}$	≈ $\mathrm{0,91}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,91}$ ≈ 0.91 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $30\cdot {\mathrm{0,91}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Tage, also f(4):

f(4) = $30\cdot {\mathrm{0,91}}^4$ ≈ 20,572.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$30\cdot {\mathrm{0,91}}^t$	=	$10$	|:$30$
${\mathrm{0,91}}^t$	=	$\frac{1}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,91}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,91}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,6489}$

Nach ca. 11,649 Tage ist also der Bestand = 10 kg.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{13}{100}$⋅B = (1 - $\frac{13}{100}$) ⋅ B = 0,87 ⋅ B. Somit ist das a=0,87.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,87}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 3.23 Millionen Insekten ist, also f(10) = 3.23. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,87}}^t$ ein:

c ⋅ 0.87¹⁰ = 3.23

c ⋅ 0.24842 = 3.23 | : 0.24842

c = 13

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,87}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $13\cdot {\mathrm{0,87}}^{12}$ ≈ 2,444.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3:

$13\cdot {\mathrm{0,87}}^t$	=	$3$	|:$13$
${\mathrm{0,87}}^t$	=	$\frac{3}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,87}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,87}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,87}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,87}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,5293}$

Nach ca. 10,529 Jahre ist also der Bestand = 3 Millionen Insekten.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,904}}^t$ ablesen: a=0.904.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.904($\frac{1}{2}$) ≈ 6.87 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Zunahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 12% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{12}{100}$⋅B = (1 + $\frac{12}{100}$) ⋅ B = 1,12 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,12.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.12($2$) ≈ 6.12 Wochen

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 6000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 35 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{35}$	=	$2$	|
$a$	=	$\sqrt[35]{2}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[35]{2}$ ≈ 1.02, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$