f(0) = $109$

f(1) = $109$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(2) = $109$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(3) = $109$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(4) = $109$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,15}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,15}$-fache, also auf $115$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 115% - 100% = 15 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{13}{100}$⋅B = (1 - $\frac{13}{100}$) ⋅ B = 0,87 ⋅ B. Somit ist das a=0,87.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,87}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $10\cdot {\mathrm{0,87}}^{12}$ ≈ 1,88.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1.1 Millionen Insekten ist, also f(t) = 1.1:

$10\cdot {\mathrm{0,87}}^t$	=	$\mathrm{1,1}$	|:$10$
${\mathrm{0,87}}^t$	=	$\mathrm{0,11}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,87}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,11}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,87}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,11}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,87}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,11}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,87}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{15,8498}$

Nach ca. 15,85 Jahre ist also der Bestand = 1.1 Millionen Insekten.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=50 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $50\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 46.08 kg ist, also f(2) = 46.08. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $50\cdot a^t$ ein:

$50a^2$	=	$\mathrm{46,08}$	|:$50$
$a^2$	=	$\mathrm{0,9216}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{0,9216}}$	= $-\mathrm{0,96}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{0,9216}}$	= $\mathrm{0,96}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,96}$ ≈ 0.96 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $50\cdot {\mathrm{0,96}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = $50\cdot {\mathrm{0,96}}^8$ ≈ 36,069.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 kg ist, also f(t) = 30:

$50\cdot {\mathrm{0,96}}^t$	=	$30$	|:$50$
${\mathrm{0,96}}^t$	=	$\frac{3}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,96}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,96}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,96}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,96}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,5135}$

Nach ca. 12,514 Tage ist also der Bestand = 30 kg.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 12% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{12}{100}$⋅B = (1 + $\frac{12}{100}$) ⋅ B = 1,12 ⋅ B. Somit ist das a=1,12.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,12}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Wochen der Bestand 24846.79 Nutzer ist, also f(10) = 24846.79. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,12}}^t$ ein:

c ⋅ 1.12¹⁰ = 24846.79

c ⋅ 3.10585 = 24846.79 | : 3.10585

c = 8000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,12}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=12 Wochen, also f(12):

f(12) = $8000\cdot {\mathrm{1,12}}^{12}$ ≈ 31167,808.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 18000 Nutzer ist, also f(t) = 18000:

$8000\cdot {\mathrm{1,12}}^t$	=	$18000$	|:$8000$
${\mathrm{1,12}}^t$	=	$\frac{9}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,12}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,12}\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,12}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{9}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,12}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,1556}$

Nach ca. 7,156 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 18000 Nutzer.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,15}}^t$ ablesen: a=1.15.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.15($2$) ≈ 4.96 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{26}{100}$⋅B = (1 + $\frac{26}{100}$) ⋅ B = 1,26 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,26.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.26($2$) ≈ 3 Stunden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 5000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 23.4 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{23,4}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{23,4}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{23,4}}}$ ≈ 1.03, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$