f(0) = $3$

f(1) = $3$ ⋅ $\frac{6}{5}$

f(2) = $3$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$

f(3) = $3$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$

f(4) = $3$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{6}{5}$ multipliziert. Da $\frac{6}{5}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{6}{5}$-fache (oder auf das $\frac{120}{100}$-fache), also auf $120$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1}{100}$⋅B = (1 + $\frac{1}{100}$) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $3000\cdot {\mathrm{1,01}}^6$ ≈ 3184,56.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3700 € ist, also f(t) = 3700:

$3000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$	=	$3700$	|:$3000$
${\mathrm{1,01}}^t$	=	$\frac{37}{30}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,01}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{37}{30}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$	=	$\lg \left(\frac{37}{30}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{37}{30}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,01}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{21,0767}$

Nach ca. 21,077 Jahre ist also der Kontostand = 3700 €.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Wochen der Bestand 10035.2 Nutzer ist, also f(2) = 10035.2. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot a^t$ ein:

$8000a^2$	=	$10\mathrm{035,2}$	|:$8000$
$a^2$	=	$\mathrm{1,2544}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{1,2544}}$	= $-\mathrm{1,12}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{1,2544}}$	= $\mathrm{1,12}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,12}$ ≈ 1.12 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,12}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=12 Wochen, also f(12):

f(12) = $8000\cdot {\mathrm{1,12}}^{12}$ ≈ 31167,808.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 28000 Nutzer ist, also f(t) = 28000:

$8000\cdot {\mathrm{1,12}}^t$	=	$28000$	|:$8000$
${\mathrm{1,12}}^t$	=	$\frac{7}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,12}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,12}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,12}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,12}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,0542}$

Nach ca. 11,054 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 28000 Nutzer.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,92}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 5.13 Millionen Insekten ist, also f(8) = 5.13. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,92}}^t$ ein:

c ⋅ 0.92⁸ = 5.13

c ⋅ 0.51322 = 5.13 | : 0.51322

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,92}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $10\cdot {\mathrm{0,92}}^{13}$ ≈ 3,383.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 7.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 7.2:

$10\cdot {\mathrm{0,92}}^t$	=	$\mathrm{7,2}$	|:$10$
${\mathrm{0,92}}^t$	=	$\mathrm{0,72}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,92}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,72}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,92}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,72}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,92}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,72}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,92}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{3,9398}$

Nach ca. 3,94 Jahre ist also der Bestand = 7.2 Millionen Insekten.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,949}}^t$ ablesen: a=0.949.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.949($\frac{1}{2}$) ≈ 13.24 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{6}{100}$⋅B = (1 - $\frac{6}{100}$) ⋅ B = 0,94 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,94.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.94($\frac{1}{2}$) ≈ 11.2 Jahre

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 5000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 23.4 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{23,4}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{23,4}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{23,4}}}$ ≈ 1.03, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$