f(0) = $80$

f(1) = $80$ ⋅ $\frac{4}{5}$

f(2) = $80$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$

f(3) = $80$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$

f(4) = $80$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{4}{5}$ multipliziert. Da $\frac{4}{5}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{4}{5}$-fache (oder auf das $\frac{80}{100}$-fache), also auf $80$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 80% = 20 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=20 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{10}{100}$⋅B = (1 - $\frac{10}{100}$) ⋅ B = 0,9 ⋅ B. Somit ist das a=0,9.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot {\mathrm{0,9}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Tage, also f(5):

f(5) = $20\cdot {\mathrm{0,9}}^5$ ≈ 11,81.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$20\cdot {\mathrm{0,9}}^t$	=	$10$	|:$20$
${\mathrm{0,9}}^t$	=	$\frac{1}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,9}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,9}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,9}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,9}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,5788}$

Nach ca. 6,579 Tage ist also der Bestand = 10 kg.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 12 Stunden der Bestand 160.12 Millionen Bakterien ist, also f(12) = 160.12. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot a^t$ ein:

$10a^{12}$	=	$\mathrm{160,12}$	|:$10$
$a^{12}$	=	$\mathrm{16,012}$	|
a1	=	$-\sqrt[12]{\mathrm{16,012}}$	= $-\mathrm{1,26}$
a2	=	$\sqrt[12]{\mathrm{16,012}}$	= $\mathrm{1,26}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,26}$ ≈ 1.26 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{1,26}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Stunden, also f(5):

f(5) = $10\cdot {\mathrm{1,26}}^5$ ≈ 31,758.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 60:

$10\cdot {\mathrm{1,26}}^t$	=	$60$	|:$10$
${\mathrm{1,26}}^t$	=	$6$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,26}}^t\right)$	=	$\lg \left(6\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,26}\right)$	=	$\lg \left(6\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,26}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(6\right)}{\lg \left(\mathrm{1,26}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,7528}$

Nach ca. 7,753 Stunden ist also der Bestand = 60 Millionen Bakterien.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 24% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 24% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{24}{100}$⋅B = (1 + $\frac{24}{100}$) ⋅ B = 1,24 ⋅ B. Somit ist das a=1,24.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,24}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 3 Wochen der Bestand 13346.37 Nutzer ist, also f(3) = 13346.37. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,24}}^t$ ein:

c ⋅ 1.24³ = 13346.37

c ⋅ 1.90662 = 13346.37 | : 1.90662

c = 7000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,24}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=13 Wochen, also f(13):

f(13) = $7000\cdot {\mathrm{1,24}}^{13}$ ≈ 114704,366.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 37000 Nutzer ist, also f(t) = 37000:

$7000\cdot {\mathrm{1,24}}^t$	=	$37000$	|:$7000$
${\mathrm{1,24}}^t$	=	$\frac{37}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,24}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{37}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,24}\right)$	=	$\lg \left(\frac{37}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,24}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{37}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,24}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,7402}$

Nach ca. 7,74 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 37000 Nutzer.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,132}}^t$ ablesen: a=1.132.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.132($2$) ≈ 5.59 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{15}{100}$⋅B = (1 - $\frac{15}{100}$) ⋅ B = 0,85 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,85.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.85($\frac{1}{2}$) ≈ 4.27 Jahre

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 2000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 23.4 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{23,4}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{23,4}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{23,4}}}$ ≈ 1.03, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$