f(0) = $125$

f(1) = $125$ ⋅ $\mathrm{1,5}$

f(2) = $125$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$

f(3) = $125$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$

f(4) = $125$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,5}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,5}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,5}$-fache, also auf $150$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 150% - 100% = 50 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 7% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{7}{100}$⋅B = (1 + $\frac{7}{100}$) ⋅ B = 1,07 ⋅ B. Somit ist das a=1,07.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,07}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $7000\cdot {\mathrm{1,07}}^7$ ≈ 11240,47.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 11000 € ist, also f(t) = 11000:

$7000\cdot {\mathrm{1,07}}^t$	=	$11000$	|:$7000$
${\mathrm{1,07}}^t$	=	$\frac{11}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,07}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,07}\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,07}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,07}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,6804}$

Nach ca. 6,68 Jahre ist also der Kontostand = 11000 €.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=25 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $25\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 9 Stunden der Bestand 372.34 Millionen Bakterien ist, also f(9) = 372.34. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $25\cdot a^t$ ein:

$25a^9$	=	$\mathrm{372,34}$	|:$25$
$a^9$	=	$\mathrm{14,8936}$	|
$a$	=	$\sqrt[9]{\mathrm{14,8936}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[9]{\mathrm{14,8936}}$ ≈ 1.35 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $25\cdot {\mathrm{1,35}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):

f(8) = $25\cdot {\mathrm{1,35}}^8$ ≈ 275,81.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 45:

$25\cdot {\mathrm{1,35}}^t$	=	$45$	|:$25$
${\mathrm{1,35}}^t$	=	$\frac{9}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,35}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,35}\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,35}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{9}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,35}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{1,9586}$

Nach ca. 1,959 Stunden ist also der Bestand = 45 Millionen Bakterien.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,02}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 7029.96 € ist, also f(8) = 7029.96. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,02}}^t$ ein:

c ⋅ 1.02⁸ = 7029.96

c ⋅ 1.17166 = 7029.96 | : 1.17166

c = 6000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $6000\cdot {\mathrm{1,02}}^{13}$ ≈ 7761,64.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 8000 € ist, also f(t) = 8000:

$6000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$	=	$8000$	|:$6000$
${\mathrm{1,02}}^t$	=	$\frac{4}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,02}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{4}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$	=	$\lg \left(\frac{4}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{4}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,02}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,5275}$

Nach ca. 14,528 Jahre ist also der Kontostand = 8000 €.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,951}}^t$ ablesen: a=0.951.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.951($\frac{1}{2}$) ≈ 13.8 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$) ⋅ B = 1,23 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,23.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.23($2$) ≈ 3.35 Stunden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 7000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 23.4 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{23,4}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{23,4}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{23,4}}}$ ≈ 1.03, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$