Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $5$, eben weil $2$^$5$ = $32$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{121}$ zur Basis $11$, also die Hochzahl mit der man $11$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{121}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $11$^☐ = $\frac{1}{121}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $11$-Potenz zu schreiben versuchen, also $11$^☐ = $\frac{1}{121}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $11$^$-2$ = $\frac{1}{121}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{2}$ um: $\sqrt{2}$ = $2^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

Wir suchen $19$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{348}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{348}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{361}$ = $\frac{1}{{19}^2}$ = 19^-2 < $\frac{1}{348}$ und auf $\frac{1}{19}$ = $\frac{1}{19}$ = 19^-1 > $\frac{1}{348}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 19^☐ = $\frac{1}{348}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
19^-2 = $\frac{1}{{19}^2}$ = $\frac{1}{361}$ < $\frac{1}{348}$ < $\frac{1}{19}$ = $\frac{1}{19}$ = 19^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $3$

$\lg \left(\mathrm{0,02}\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.02}{20}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)+2\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^3\right)+2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{1000x^2}\right)+\lg \left(50x^3\right)$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{1000}{x}^{-2}\right)+\lg \left(50x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+0+\lg \left(\frac{1}{1000}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+0+\lg \left(1\right)-\lg \left(1000\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1000}·50·20)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$