Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $4$^$2$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{128}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{128}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{128}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{128}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-7$, eben weil $2$^$-7$ = $\frac{1}{128}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{32}$ um: $\frac{1}{32}$ = ${32}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $32$ eine Potenz ist: $32$ = $2^5$

Also schreiben wir $\frac{1}{32}$ = ${32}^{-1}$ = ${\left(2^5\right)}^{-1}$ = $2^{-5}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2^{-5}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{-5}$ = ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^{-5}$ = $4^{-\frac{5}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-5}$ = $4^{-\frac{5}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{-5}$ = $4^{-\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2^{-5}$ = $4^{-\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{5}{2}$, eben weil $4$^{$-\frac{5}{2}$} = $\frac{1}{32}$ gilt .

Wir suchen $14$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{109}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{109}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{196}$ = $\frac{1}{{14}^2}$ = 14^-2 < $\frac{1}{109}$ und auf $\frac{1}{14}$ = $\frac{1}{14}$ = 14^-1 > $\frac{1}{109}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 14^☐ = $\frac{1}{109}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
14^-2 = $\frac{1}{{14}^2}$ = $\frac{1}{196}$ < $\frac{1}{109}$ < $\frac{1}{14}$ = $\frac{1}{14}$ = 14^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000000x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000000\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{10}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $10+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $10$

$\lg \left(2000\right)$ + $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2000·5)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $-2\lg \left(x^{-3}\right)$
= $6\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{500x^3}\right)+\lg \left(\frac{20}{x^3}\right)+\lg \left(25x^2\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{500}{x}^{-3}\right)+\lg \left(20x^{-3}\right)+\lg \left(25x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{500}\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(500\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(500\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{500}·25·20)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$