Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $2$^$4$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt[5]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{10}$ als ${10}^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{10}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{13}$ um: $\frac{1}{13}$ = ${13}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 13 sondern zur Basis $169$ suchen und $169$ gerade 13² ist (also 13 = $\sqrt{169}$ = ${169}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${13}^{-1}$ noch so um, dass sie $169$ als Basis hat:

${13}^{-1}$ = ${\left({169}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${169}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${13}^{-1}$ = ${169}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $169$ suchen, also die Hochzahl mit der man $169$ potenzieren muss, um auf ${13}^{-1}$ = ${169}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $169$^☐ = ${13}^{-1}$ = ${169}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $169$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{13}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $21$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $21$ ist.

Dabei kommt man auf $2^4$ = 2⁴ < $21$ und auf $2^5$ = 2⁵ > $21$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $21$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 4 und 5 liegen, wegen:
2⁴ = $2^4$ < $21$ < $2^5$ = 2⁵

Es gilt somit: 4 < < 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,001}x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-3}\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $-3+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)-3$

$\lg \left(50000\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50000·20)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(x^4\right)$
= $16\lg \left(x\right)$
= $16\lg \left(x\right)$

$\lg \left(25x\right)+\lg \left(20x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{5000x^5}\right)$

= $\lg \left(25x\right)+\lg \left(20x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{5000}{x}^{-5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(\frac{1}{5000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{5000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{5000}\right)-5\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(5000\right)-5\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(5000\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{5000}·25·20)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$