Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $5$^$3$ = $125$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{324}$ zur Basis $18$, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{324}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$^☐ = $\frac{1}{324}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $18$-Potenz zu schreiben versuchen, also $18$^☐ = $\frac{1}{324}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $18$^$-2$ = $\frac{1}{324}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2$ = $4^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $2$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $23$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $23$ ist.

Dabei kommt man auf $3^2$ = 3² < $23$ und auf $3^3$ = 3³ > $23$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $23$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
3² = $3^2$ < $23$ < $3^3$ = 3³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,01}x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-2}\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $-2+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)-2$

$\lg \left(200\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200·50)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)+4\lg \left(x^4\right)$
= $4\lg \left(x\right)+16\lg \left(x\right)$
= $20\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{25}{x}\right)+\lg \left(5x\right)-\lg \left(\frac{1}{5x^3}\right)$

= $-\lg \left(25x^{-1}\right)+\lg \left(5x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $-\lg \left(25\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·5·5)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$