Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $5$^$3$ = $125$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{8}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{8}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{8}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{8}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $2$^$-3$ = $\frac{1}{8}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{2}$ um: $\frac{1}{2}$ = $2^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2^{-1}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{-1}$ = ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{2}$ gilt .

Wir suchen $18$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{265}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{265}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{324}$ = $\frac{1}{{18}^2}$ = 18^-2 < $\frac{1}{265}$ und auf $\frac{1}{18}$ = $\frac{1}{18}$ = 18^-1 > $\frac{1}{265}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 18^☐ = $\frac{1}{265}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
18^-2 = $\frac{1}{{18}^2}$ = $\frac{1}{324}$ < $\frac{1}{265}$ < $\frac{1}{18}$ = $\frac{1}{18}$ = 18^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{\mathrm{0,001}}{x}\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-3}\right)-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-3-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-6\lg \left(x\right)-3$

$\lg \left(2000\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2000·50)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{100}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^5\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^4}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^5\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^5\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^5\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·50·2)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$