Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $4$^$1$ = $4$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $3$^$-2$ = $\frac{1}{9}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{5}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $5^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $30$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $30$ ist.

Dabei kommt man auf $5^2$ = 5² < $30$ und auf $5^3$ = 5³ > $30$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $30$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
5² = $5^2$ < $30$ < $5^3$ = 5³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^2\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $2+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+2$

$\lg \left(\mathrm{0,2}\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.2}{20}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+4\lg \left(x^3\right)$
= $-2\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^{-1}\right)+4\lg \left(x^3\right)$
= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)+12\lg \left(x\right)$
= $7\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{2}{x^5}\right)+\lg \left(\frac{1}{80}{x}^4\right)+\lg \left(4x\right)$

= $\lg \left(2x^{-5}\right)+\lg \left(\frac{1}{80}{x}^4\right)+\lg \left(4x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)+(\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)+\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{80}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(80\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(80\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{80}·4·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$