Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $4$^$2$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $3$^$-2$ = $\frac{1}{9}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $64$ eine Potenz ist: $64$ = $4^3$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4^3$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^3$ = ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^3$ = ${16}^{\frac{3}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $4^3$ = ${16}^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^3$ = ${16}^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4^3$ = ${16}^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $16$^{$\frac{3}{2}$} = $64$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $8627$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $8627$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^3$ = 10³ < $8627$ und auf ${10}^4$ = 10⁴ > $8627$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $8627$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
10³ = ${10}^3$ < $8627$ < ${10}^4$ = 10⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^4\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $4+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+4$

$\lg \left(\mathrm{0,02}\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.02}{20}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $-\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\frac{3}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{4}{x^3}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{8}{x}^2\right)$

= $\lg \left(4x^{-3}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{8}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+(\lg \left(2\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+0+\lg \left(\frac{1}{8}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+0+\lg \left(1\right)-\lg \left(8\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(8\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{8}·4·2)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$