Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $3$^$2$ = $9$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\sqrt[3]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{4}$ als $4^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$^☐ = $4^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{4}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 18 sondern zur Basis $324$ suchen und $324$ gerade 18² ist (also 18 = $\sqrt{324}$ = ${324}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $18$ noch so um, dass sie $324$ als Basis hat:

$18$ = ${324}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $18$ = ${324}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $324$ suchen, also die Hochzahl mit der man $324$ potenzieren muss, um auf $18$ = ${324}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $324$^☐ = $18$ = ${324}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $324$^{$\frac{1}{2}$} = $18$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{162}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{162}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{256}$ = $\frac{1}{2^8}$ = 2^-8 < $\frac{1}{162}$ und auf $\frac{1}{128}$ = $\frac{1}{2^7}$ = 2^-7 > $\frac{1}{162}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{162}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -8 und -7 liegen, wegen:
2^-8 = $\frac{1}{2^8}$ = $\frac{1}{256}$ < $\frac{1}{162}$ < $\frac{1}{128}$ = $\frac{1}{2^7}$ = 2^-7

Es gilt somit: -8 < < -7

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,1}x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-1}\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-1+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)-1$

$\lg \left(2500\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2500·4)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{250000}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{5}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}x\right)$

= $-\lg \left(250000x^{-3}\right)+\lg \left(5x^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(250000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x\right))$

= $-\lg \left(250000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(250000\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(250000\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(250000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250.000}·50·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$