Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $5$, eben weil $2$^$5$ = $32$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{3}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\sqrt{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$^☐ = $3^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{3}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $10$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = $10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $100$^{$\frac{1}{2}$} = $10$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{80}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{80}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{81}$ = $\frac{1}{3^4}$ = 3^-4 < $\frac{1}{80}$ und auf $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^3}$ = 3^-3 > $\frac{1}{80}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{80}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
3^-4 = $\frac{1}{3^4}$ = $\frac{1}{81}$ < $\frac{1}{80}$ < $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^3}$ = 3^-3

Es gilt somit: -4 < < -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{\mathrm{0,1}}{x}\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-1}\right)-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $-1-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)-1$

$\lg \left(2000\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{2000}{20}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)$
= $3\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{20}{x^2}\right)+\lg \left(5x^2\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(20x^{-2}\right)+\lg \left(5x^2\right)+\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(1\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)+0$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (20·5)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$