Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $4$^$3$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{8}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{8}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{8}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{8}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $2$^$-3$ = $\frac{1}{8}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{10}$ um: $\frac{1}{10}$ = ${10}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^{-1}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^{-1}$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${100}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-1}$ = ${100}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-1}$ = ${100}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^{-1}$ = ${100}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $100$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{10}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{3311}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{3311}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{{10}^4}$ = 10^-4 < $\frac{1}{3311}$ und auf $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{{10}^3}$ = 10^-3 > $\frac{1}{3311}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{3311}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
10^-4 = $\frac{1}{{10}^4}$ = $\frac{1}{10000}$ < $\frac{1}{3311}$ < $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{{10}^3}$ = 10^-3

Es gilt somit: -4 < < -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000000x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $8+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)+8$

$\lg \left(\mathrm{0,05}\right)$ - $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.05}{50}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $4\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $-12\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $-9\lg \left(x\right)$

$\lg \left(20x\right)-\lg \left(1000x\right)+\lg \left(50x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)-(\lg \left(1000\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1000}·50·20)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$