Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{13}$ zur Basis $13$, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{13}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$^☐ = $\sqrt{13}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{13}$ als ${13}^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $13$^☐ = ${13}^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $13$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{13}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{5}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $5^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{26}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{26}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^3}$ = 3^-3 < $\frac{1}{26}$ und auf $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^2}$ = 3^-2 > $\frac{1}{26}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{26}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
3^-3 = $\frac{1}{3^3}$ = $\frac{1}{27}$ < $\frac{1}{26}$ < $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^2}$ = 3^-2

Es gilt somit: -3 < < -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $2$

$\lg \left(\mathrm{0,02}\right)$ - $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.02}{2}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $4\lg \left(x^{-1}\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-4\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-\frac{9}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(2x^4\right)-\lg \left(100x^6\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right))-(\lg \left(100\right)+\lg \left(x^6\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(100\right)-\lg \left(x^6\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+0+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)-6\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+0+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)-6\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·50·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$