Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $8$, eben weil $2$^$8$ = $256$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{361}$ zur Basis $19$, also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{361}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$^☐ = $\frac{1}{361}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $19$-Potenz zu schreiben versuchen, also $19$^☐ = $\frac{1}{361}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $19$^$-2$ = $\frac{1}{361}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $128$ eine Potenz ist: $128$ = $2^7$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2^7$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^7$ = ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^7$ = $4^{\frac{7}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $2^7$ = $4^{\frac{7}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^7$ = $4^{\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2^7$ = $4^{\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{7}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{7}{2}$} = $128$ gilt .

Wir suchen $15$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{22}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{22}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{225}$ = $\frac{1}{{15}^2}$ = 15^-2 < $\frac{1}{22}$ und auf $\frac{1}{15}$ = $\frac{1}{15}$ = 15^-1 > $\frac{1}{22}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 15^☐ = $\frac{1}{22}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
15^-2 = $\frac{1}{{15}^2}$ = $\frac{1}{225}$ < $\frac{1}{22}$ < $\frac{1}{15}$ = $\frac{1}{15}$ = 15^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{1000}{x}\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000\right)-\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^3\right)-\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $3-\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+3$

${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>250</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>50</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>250</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>50</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $-8\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{10}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{2}{x^{12}}\right)-\lg \left(\frac{1}{5x^4}\right)$

= $-\lg \left(10x^{-3}\right)+\lg \left(2x^{-12}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(10\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^{12}}\right))-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $-\lg \left(10\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^{12}}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(10\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-12\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(10\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-12\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{10}·5·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$