Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{64}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{64}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{64}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{64}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $4$^$-3$ = $\frac{1}{64}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{10}$ um: $\sqrt{10}$ = ${10}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{10}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{25}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{25}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{32}$ = $\frac{1}{2^5}$ = 2^-5 < $\frac{1}{25}$ und auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{2^4}$ = 2^-4 > $\frac{1}{25}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{25}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -5 und -4 liegen, wegen:
2^-5 = $\frac{1}{2^5}$ = $\frac{1}{32}$ < $\frac{1}{25}$ < $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{2^4}$ = 2^-4

Es gilt somit: -5 < < -4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $6+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+6$

$\lg \left(300\right)$ - $\lg \left(3\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{300}{3}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(4x^2\right)+\lg \left(125\right)+\lg \left(\frac{2}{x^2}\right)$

= $\lg \left(4x^2\right)+\lg \left(125\right)+\lg \left(2x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(125\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(125\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(125\right)+0+\lg \left(2\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(125\right)+0+\lg \left(2\right)-2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(125\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (125·4·2)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$