Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $4$^$2$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\sqrt[4]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{4}$ als $4^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$^☐ = $4^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{27}$ um: $\frac{1}{27}$ = ${27}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{27}$ = ${27}^{-1}$ = ${\left(3^3\right)}^{-1}$ = $3^{-3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3^{-3}$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^{-3}$ = ${\left(9^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$ = $9^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-3}$ = $9^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^{-3}$ = $9^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3^{-3}$ = $9^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $9$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{27}$ gilt .

Wir suchen $16$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{173}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{173}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{256}$ = $\frac{1}{{16}^2}$ = 16^-2 < $\frac{1}{173}$ und auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{16}$ = 16^-1 > $\frac{1}{173}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 16^☐ = $\frac{1}{173}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
16^-2 = $\frac{1}{{16}^2}$ = $\frac{1}{256}$ < $\frac{1}{173}$ < $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{16}$ = 16^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $3$

$\lg \left(2500\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2500·4)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\sqrt{x}\right)+4\lg \left(x^3\right)-2\lg \left(x^3\right)$
= $4\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+4\lg \left(x^3\right)-2\lg \left(x^3\right)$
= $2\lg \left(x\right)+12\lg \left(x\right)-6\lg \left(x\right)$
= $8\lg \left(x\right)$

$\lg \left(5x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{25x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{125x}\right)$

= $\lg \left(5x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-2}\right)+\lg \left(\frac{1}{125}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^4\right)-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(\frac{1}{125}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{125}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{125}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(125\right)-\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(125\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{125}·25·5)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$