Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $3$^$3$ = $27$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\sqrt[5]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{5}$ als $5^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$^☐ = $5^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{5}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{10}$ um: $\sqrt{10}$ = ${10}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{10}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $20$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $20$ ist.

Dabei kommt man auf $2^4$ = 2⁴ < $20$ und auf $2^5$ = 2⁵ > $20$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $20$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 4 und 5 liegen, wegen:
2⁴ = $2^4$ < $20$ < $2^5$ = 2⁵

Es gilt somit: 4 < < 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000000x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $8+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+8$

$\lg \left(200000\right)$ + $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200000·5)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $4\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-12\lg \left(x\right)$
= $-12\lg \left(x\right)$

$\lg \left(50x^3\right)+\lg \left(50x\right)+\lg \left(\frac{1}{250x^4}\right)$

= $\lg \left(50x^3\right)+\lg \left(50x\right)+\lg \left(\frac{1}{250}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{250}\right)-4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(250\right)-4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(50\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250}·50·50)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$