Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $3$^$2$ = $9$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{81}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{81}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{81}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{81}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $3$^$-4$ = $\frac{1}{81}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 12 sondern zur Basis $144$ suchen und $144$ gerade 12² ist (also 12 = $\sqrt{144}$ = ${144}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $12$ noch so um, dass sie $144$ als Basis hat:

$12$ = ${144}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $12$ = ${144}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $144$ suchen, also die Hochzahl mit der man $144$ potenzieren muss, um auf $12$ = ${144}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $144$^☐ = $12$ = ${144}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $144$^{$\frac{1}{2}$} = $12$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $2$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 5⁰ < $2$ und auf $5$ = 5¹ > $2$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $2$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
5⁰ = $1$ < $2$ < $5$ = 5¹

Es gilt somit: 0 < < 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^3\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $3+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+3$

$\lg \left(500000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500000·2)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

$\lg \left(25x^3\right)+\lg \left(20x^3\right)-\lg \left(500x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(500\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(500\right)-\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(500\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(500\right)-2\lg \left(x\right)$

= $4\lg \left(x\right)-\lg \left(500\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{500}·25·20)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $4\lg \left(x\right)$