Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $5$^$3$ = $125$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{2}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\sqrt{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{16}$ um: $\frac{1}{16}$ = ${16}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 16 sondern zur Basis $256$ suchen und $256$ gerade 16² ist (also 16 = $\sqrt{256}$ = ${256}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${16}^{-1}$ noch so um, dass sie $256$ als Basis hat:

${16}^{-1}$ = ${\left({256}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${256}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${16}^{-1}$ = ${256}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $256$ suchen, also die Hochzahl mit der man $256$ potenzieren muss, um auf ${16}^{-1}$ = ${256}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $256$^☐ = ${16}^{-1}$ = ${256}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $256$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{16}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{2}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{2}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1 < $\frac{1}{2}$ und auf $1$ = $1$ = 4^-0 > $\frac{1}{2}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{2}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
4^-1 = $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ < $\frac{1}{2}$ < $1$ = $1$ = 4^-0

Es gilt somit: -1 < < -0

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000000x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000000\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{10}\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $10+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+10$

$\lg \left(2500\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2500·4)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(x^3\right)$
= $12\lg \left(x\right)$
= $12\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^5\right)+\lg \left(25x^2\right)-\lg \left(\frac{125000}{x^3}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^5\right)+\lg \left(25x^2\right)-\lg \left(125000x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^5\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(125000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x^5\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(125000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(125000\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(125000\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(125000\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{125.000}·25·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$