Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{125}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{125}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{125}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{125}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $5$^$-3$ = $\frac{1}{125}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{8}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{8}}$ = $8^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $8$ eine Potenz ist: $8$ = $2^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{8}}$ = $8^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left(2^3\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = $2^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $2$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{8}}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{38}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{38}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{2^6}$ = 2^-6 < $\frac{1}{38}$ und auf $\frac{1}{32}$ = $\frac{1}{2^5}$ = 2^-5 > $\frac{1}{38}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{38}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -6 und -5 liegen, wegen:
2^-6 = $\frac{1}{2^6}$ = $\frac{1}{64}$ < $\frac{1}{38}$ < $\frac{1}{32}$ = $\frac{1}{2^5}$ = 2^-5

Es gilt somit: -6 < < -5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10}{x}\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10\right)-\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $1-\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+1$

$\lg \left(30\right)$ - $\lg \left(3\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{30}{3}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $4\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-12\lg \left(x\right)$
= $-12\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{10}{x}^4\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^7\right)+\lg \left(25x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(x^4\right)-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^7\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x^7\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(10\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{25}{10}·4)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$