Wir suchen den Logarithmus von $225$ zur Basis $15$, also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $225$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$^☐ = $225$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $15$^$2$ = $225$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{10}$ als ${10}^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{10}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2$ = $4^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $2$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{5}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{5}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4^2}$ = 4^-2 < $\frac{1}{5}$ und auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1 > $\frac{1}{5}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{5}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
4^-2 = $\frac{1}{4^2}$ = $\frac{1}{16}$ < $\frac{1}{5}$ < $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^3\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $3+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)+3$

$\lg \left(\mathrm{0,005}\right)$ - $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.005}{5}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $4\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{20x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{20x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{400x}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-4}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-2}\right)+\lg \left(\frac{1}{400}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(\frac{1}{400}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{400}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{400}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(400\right)-\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(400\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{400}·20·20)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$