Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $3$^$2$ = $9$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{10000}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{10000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{10000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{10000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $10$^$-4$ = $\frac{1}{10000}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^3$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5^3$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^3$ = ${\left({25}^{\frac{1}{2}}\right)}^3$ = ${25}^{\frac{3}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $5^3$ = ${25}^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^3$ = ${25}^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5^3$ = ${25}^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $25$^{$\frac{3}{2}$} = $125$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $30$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $30$ ist.

Dabei kommt man auf $4^2$ = 4² < $30$ und auf $4^3$ = 4³ > $30$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $30$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
4² = $4^2$ < $30$ < $4^3$ = 4³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $1+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $1$

$\lg \left(40000\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40000·25)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\frac{3}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{2500x^8}\right)+\lg \left(50x^4\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{2500}{x}^{-8}\right)+\lg \left(50x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(\frac{1}{2500}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{1}{2500}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+0+\lg \left(\frac{1}{2500}\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+0+\lg \left(1\right)-\lg \left(2500\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(2500\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(50\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2500}·50·50)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{50}·50)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$