Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $3$^$3$ = $27$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{4}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{4}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-1$, eben weil $4$^$-1$ = $\frac{1}{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{4}$ um: $\frac{1}{4}$ = $4^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4^{-1}$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^{-1}$ = ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $16$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{4}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $11$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $11$ ist.

Dabei kommt man auf $3^2$ = 3² < $11$ und auf $3^3$ = 3³ > $11$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $11$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
3² = $3^2$ < $11$ < $3^3$ = 3³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $7+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+7$

$\lg \left(250\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250·4)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $-2\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-3}\right)$
= $6\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\frac{7}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{125.000}{x}^2\right)+\lg \left(25x^3\right)+\lg \left(\frac{5}{x^5}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{125.000}{x}^2\right)+\lg \left(25x^3\right)+\lg \left(5x^{-5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{125.000}\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{125.000}\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{125.000}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-5\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(125000\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-5\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(125000\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{125.000}·25·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$