Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $2$^$4$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $3$^$-2$ = $\frac{1}{9}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{5}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $5^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $5$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $5$ ist.

Dabei kommt man auf $2^2$ = 2² < $5$ und auf $2^3$ = 2³ > $5$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $5$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
2² = $2^2$ < $5$ < $2^3$ = 2³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{1000000}{x}\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)-\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)-\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $6-\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+6$

$\lg \left(200\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200·50)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^4\right)-2\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $-2\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^4\right)-2\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-6\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)+6\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{50}{x}^2\right)+\lg \left(\frac{25}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^3\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{50}{x}^2\right)+\lg \left(25x^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{50}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)-3\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{50}·25·2)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$