Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $3$^$2$ = $9$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt[4]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{10}$ als ${10}^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{10}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{64}$ um: $\sqrt{64}$ = ${64}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $64$ eine Potenz ist: $64$ = $4^3$

Also schreiben wir $\sqrt{64}$ = ${64}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left(4^3\right)}^{\frac{1}{2}}$ = $4^{\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{64}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{\mathrm{7.322.951}}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{\mathrm{7.322.951}}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{10000000}$ = $\frac{1}{{10}^7}$ = 10^-7 < $\frac{1}{\mathrm{7.322.951}}$ und auf $\frac{1}{1000000}$ = $\frac{1}{{10}^6}$ = 10^-6 > $\frac{1}{\mathrm{7.322.951}}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{\mathrm{7.322.951}}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -7 und -6 liegen, wegen:
10^-7 = $\frac{1}{{10}^7}$ = $\frac{1}{10000000}$ < $\frac{1}{\mathrm{7.322.951}}$ < $\frac{1}{1000000}$ = $\frac{1}{{10}^6}$ = 10^-6

Es gilt somit: -7 < < -6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,0001}x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,0001}\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-4}\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-4+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)-4$

${\log }_{11}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>484</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_{11}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_{11}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>484</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{11}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>121</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{11}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>11</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(5x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{10x^7}\right)+\lg \left(2x^2\right)$

= $\lg \left(5x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{10}{x}^{-7}\right)+\lg \left(2x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{10}\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(10\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{10}·5·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$