Wir suchen den Logarithmus von $10000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $10000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $10$^$4$ = $10000$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{8}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{8}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{8}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{8}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $2$^$-3$ = $\frac{1}{8}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $16$^{$\frac{1}{2}$} = $4$ gilt .

Wir suchen $13$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{38}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{38}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{169}$ = $\frac{1}{{13}^2}$ = 13^-2 < $\frac{1}{38}$ und auf $\frac{1}{13}$ = $\frac{1}{13}$ = 13^-1 > $\frac{1}{38}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 13^☐ = $\frac{1}{38}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
13^-2 = $\frac{1}{{13}^2}$ = $\frac{1}{169}$ < $\frac{1}{38}$ < $\frac{1}{13}$ = $\frac{1}{13}$ = 13^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^3\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $3+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+3$

$\lg \left(40\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40·25)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+4\lg \left(x^4\right)$
= $4\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^{-1}\right)+4\lg \left(x^4\right)$
= $12\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)+16\lg \left(x\right)$
= $27\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{20x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^3\right)+\lg \left(\frac{1}{400}{x}^2\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^3\right)+\lg \left(\frac{1}{400}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(\frac{1}{400}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{400}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{400}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(400\right)+2\lg \left(x\right)$

= $2\lg \left(x\right)-\lg \left(400\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{400}·20·20)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $2\lg \left(x\right)$