Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $6$, eben weil $2$^$6$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\sqrt[3]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{5}$ als $5^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$^☐ = $5^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{5}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{2}$ um: $\frac{1}{2}$ = $2^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2^{-1}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{-1}$ = ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{2}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $59$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $59$ ist.

Dabei kommt man auf $2^5$ = 2⁵ < $59$ und auf $2^6$ = 2⁶ > $59$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $59$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
2⁵ = $2^5$ < $59$ < $2^6$ = 2⁶

Es gilt somit: 5 < < 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000000x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000000\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{10}\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $10+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)+10$

$\lg \left(40\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40·25)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\frac{5}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{50}{x^4}\right)+\lg \left(\frac{4}{5}{x}^4\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)$

= $\lg \left(50x^{-4}\right)+\lg \left(\frac{4}{5}{x}^4\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+(\lg \left(\frac{4}{5}\right)+\lg \left(x^4\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(\frac{4}{5}\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{4}{5}\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+0$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)-\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{50·25}{5}·4)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$