Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $3$^$2$ = $9$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{\mathrm{100.000.000}}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{\mathrm{100.000.000}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{100.000.000}}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{100.000.000}}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-8$, eben weil $10$^$-8$ = $\frac{1}{\mathrm{100.000.000}}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $16$^{$\frac{1}{2}$} = $4$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $79$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $79$ ist.

Dabei kommt man auf $3^3$ = 3³ < $79$ und auf $3^4$ = 3⁴ > $79$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $79$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^3$ < $79$ < $3^4$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $5$

$\lg \left(250000\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250000·4)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(x^2\right)+2\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $4\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^2\right)+2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $-12\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $-9\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{2000}{x}^2\right)+\lg \left(\frac{50}{x^6}\right)+\lg \left(4x^4\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{2000}{x}^2\right)+\lg \left(50x^{-6}\right)+\lg \left(4x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{2000}\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{2000}\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{2000}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(2000\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(2000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2000}·50·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$