Wir suchen den Logarithmus von $128$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $128$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $128$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $7$, eben weil $2$^$7$ = $128$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{196}$ zur Basis $14$, also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{196}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$^☐ = $\frac{1}{196}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $14$-Potenz zu schreiben versuchen, also $14$^☐ = $\frac{1}{196}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $14$^$-2$ = $\frac{1}{196}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{4}$ um: $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{4}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{4}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^2}$ = 3^-2 < $\frac{1}{4}$ und auf $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 3^-1 > $\frac{1}{4}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{4}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
3^-2 = $\frac{1}{3^2}$ = $\frac{1}{9}$ < $\frac{1}{4}$ < $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 3^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,0001}x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,0001}\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-4}\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-4+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-4$

$\lg \left(200\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200·50)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(20\right)-\lg \left(\frac{1}{25x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{500}\right)$

= $\lg \left(20\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-3}\right)+\lg \left(\frac{1}{500}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right)-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+0-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{500}\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(500\right)+0$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(500\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{500}·25·20)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$