Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $8$, eben weil $2$^$8$ = $256$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt[5]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{10}$ als ${10}^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{10}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3$ = $9^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $9$^{$\frac{1}{2}$} = $3$ gilt .

Wir suchen $19$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{232}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{232}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{361}$ = $\frac{1}{{19}^2}$ = 19^-2 < $\frac{1}{232}$ und auf $\frac{1}{19}$ = $\frac{1}{19}$ = 19^-1 > $\frac{1}{232}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 19^☐ = $\frac{1}{232}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
19^-2 = $\frac{1}{{19}^2}$ = $\frac{1}{361}$ < $\frac{1}{232}$ < $\frac{1}{19}$ = $\frac{1}{19}$ = 19^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $7+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+7$

$\lg \left(50\right)$ - $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{50}{5}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $4\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{250x^4}\right)+\lg \left(\frac{5}{x}\right)+\lg \left(50x^2\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{250}{x}^{-4}\right)+\lg \left(5x^{-1}\right)+\lg \left(50x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{250}\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(250\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{250}·50·5)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$