Wir suchen den Logarithmus von $289$ zur Basis $17$, also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf $289$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$^☐ = $289$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $17$^$2$ = $289$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{81}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{81}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{81}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{81}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $3$^$-4$ = $\frac{1}{81}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{17}$ um: $\sqrt{17}$ = ${17}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${17}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $17$ suchen, also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf ${17}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$^☐ = ${17}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $17$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{17}$ gilt .

Wir suchen $11$er-Potenzen in der Näher von $109$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $109$ ist.

Dabei kommt man auf $11$ = 11¹ < $109$ und auf ${11}^2$ = 11² > $109$.

Und da wir bei ja das ☐ von 11^☐ = $109$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
11¹ = $11$ < $109$ < ${11}^2$ = 11²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{1000000}{x}\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $6-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+6$

$\lg \left(500\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500·20)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^{-3}\right)$
= $2\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{250}{x}^4\right)+\lg \left(5x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^9\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^9\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^9\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{250}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-9\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(250\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-9\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{250}·50·5)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$