Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $4$^$1$ = $4$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\sqrt[4]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{4}$ als $4^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$^☐ = $4^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{5}$ um: $\sqrt{5}$ = $5^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $8525672$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $8525672$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^6$ = 10⁶ < $8525672$ und auf ${10}^7$ = 10⁷ > $8525672$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $8525672$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
10⁶ = ${10}^6$ < $8525672$ < ${10}^7$ = 10⁷

Es gilt somit: 6 < < 7

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,0001}x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,0001}\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-4}\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)-4$

$\lg \left(2\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{2}{20}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\sqrt{x}\right)+4\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+4\lg \left(x^{-1}\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{10}x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^3\right)+\lg \left(2x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(x\right)-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x^3\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)$

= $2\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{10}·5·2)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $2\lg \left(x\right)$