Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $3$^$4$ = $81$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{64}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{64}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{64}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{64}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-6$, eben weil $2$^$-6$ = $\frac{1}{64}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{2}$ um: $\frac{1}{2}$ = $2^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2^{-1}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{-1}$ = ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{2}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $6$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $6$ ist.

Dabei kommt man auf $2^2$ = 2² < $6$ und auf $2^3$ = 2³ > $6$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $6$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
2² = $2^2$ < $6$ < $2^3$ = 2³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $6+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)+6$

$\lg \left(20000\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20000·50)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $4\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-12\lg \left(x\right)$
= $-12\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^6\right)+\lg \left(\frac{4}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{8}{x^3}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^6\right)+\lg \left(4x^{-2}\right)-\lg \left(8x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x^6\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(8\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x^6\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(8\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(8\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(8\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(8\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{8}·4·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$