Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $3$^$-3$ = $\frac{1}{27}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{8}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{8}}$ = $8^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $8$ eine Potenz ist: $8$ = $2^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{8}}$ = $8^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left(2^3\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = $2^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $2$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{8}}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $10$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $10$ ist.

Dabei kommt man auf $3^2$ = 3² < $10$ und auf $3^3$ = 3³ > $10$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $10$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
3² = $3^2$ < $10$ < $3^3$ = 3³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000000x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000000\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^9\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $9+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)+9$

$\lg \left(250000\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250000·4)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+4\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+4\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-8\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-8\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{50}{x^5}\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^4}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^2\right)$

= $\lg \left(50x^{-5}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-4}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·50·2)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$