Wir suchen den Logarithmus von $128$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $128$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $128$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $7$, eben weil $2$^$7$ = $128$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{256}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{256}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{256}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{256}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-8$, eben weil $2$^$-8$ = $\frac{1}{256}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{2}$ um: $\frac{1}{2}$ = $2^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2^{-1}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{-1}$ = ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{2}$ gilt .

Wir suchen $13$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{103}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{103}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{169}$ = $\frac{1}{{13}^2}$ = 13^-2 < $\frac{1}{103}$ und auf $\frac{1}{13}$ = $\frac{1}{13}$ = 13^-1 > $\frac{1}{103}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 13^☐ = $\frac{1}{103}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
13^-2 = $\frac{1}{{13}^2}$ = $\frac{1}{169}$ < $\frac{1}{103}$ < $\frac{1}{13}$ = $\frac{1}{13}$ = 13^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10000000}{x}\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $7-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-6\lg \left(x\right)+7$

$\lg \left(40000\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40000·25)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+4\lg \left(x^2\right)+2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+4\lg \left(x^2\right)+2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+8\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\frac{13}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(2x\right)+\lg \left(\frac{25}{2x^5}\right)+\lg \left(4x^4\right)$

= $\lg \left(2x\right)+\lg \left(\frac{25}{2}{x}^{-5}\right)+\lg \left(4x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+(\lg \left(\frac{25}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{25}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{25}{2}\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-\lg \left(2\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25·4)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$