Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $6$, eben weil $2$^$6$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{3}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\sqrt[4]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{3}$ als $3^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$^☐ = $3^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{3}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{15}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{15}}$ = ${15}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${15}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $15$ suchen, also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf ${15}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$^☐ = ${15}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $15$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{15}}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $33$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $33$ ist.

Dabei kommt man auf $3^3$ = 3³ < $33$ und auf $3^4$ = 3⁴ > $33$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $33$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^3$ < $33$ < $3^4$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(0.00001x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(0.00001\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-5}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $-5+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)-5$

$\lg \left(30\right)$ - $\lg \left(3\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{30}{3}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$

$\lg \left(20x\right)+\lg \left(50x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{1000x^4}\right)$

= $\lg \left(20x\right)+\lg \left(50x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{1000}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{1000}\right)-4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(1000\right)-4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1000}·50·20)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$