Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $5$^$1$ = $5$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt[5]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{10}$ als ${10}^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{10}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{2}$ um: $\frac{1}{2}$ = $2^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2^{-1}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{-1}$ = ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{2}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{7}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{7}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2^3}$ = 2^-3 < $\frac{1}{7}$ und auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{2^2}$ = 2^-2 > $\frac{1}{7}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{7}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
2^-3 = $\frac{1}{2^3}$ = $\frac{1}{8}$ < $\frac{1}{7}$ < $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{2^2}$ = 2^-2

Es gilt somit: -3 < < -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{1000000000}{x}\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000000\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^9\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $9-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $9$

$\lg \left(5000\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5000·20)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{6250x}\right)+\lg \left(25x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^2\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{6250}{x}^{-1}\right)+\lg \left(25x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{6250}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{6250}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{6250}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(6250\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(6250\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{6250}·25·25)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$