Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $6$, eben weil $2$^$6$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{121}$ zur Basis $11$, also die Hochzahl mit der man $11$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{121}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $11$^☐ = $\frac{1}{121}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $11$-Potenz zu schreiben versuchen, also $11$^☐ = $\frac{1}{121}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $11$^$-2$ = $\frac{1}{121}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3$ = $9^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $9$^{$\frac{1}{2}$} = $3$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $15$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $15$ ist.

Dabei kommt man auf $2^3$ = 2³ < $15$ und auf $2^4$ = 2⁴ > $15$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $15$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
2³ = $2^3$ < $15$ < $2^4$ = 2⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $4$

$\lg \left(40\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40·25)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $-\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{10}x\right)+\lg \left(2x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(x\right)+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{10}·5·2)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$