Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $4$^$2$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $3$^$-2$ = $\frac{1}{9}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{10000000}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{10000000}}$ = ${10000000}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $10000000$ eine Potenz ist: $10000000$ = ${10}^7$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{10000000}}$ = ${10000000}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^7\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = ${10}^{-\frac{7}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-\frac{7}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{-\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{7}{2}$, eben weil $10$^{$-\frac{7}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{10000000}}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $17$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $17$ ist.

Dabei kommt man auf $5$ = 5¹ < $17$ und auf $5^2$ = 5² > $17$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $17$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
5¹ = $5$ < $17$ < $5^2$ = 5²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^4\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $4+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)+4$

$\lg \left(\mathrm{0,2}\right)$ - $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.2}{2}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\frac{1}{x}\right)+2\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $4\lg \left(x^{-1}\right)+2\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-4\lg \left(x\right)-6\lg \left(x\right)$
= $-10\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{20}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{4000}{x}^2\right)$

= $\lg \left(20x^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{4000}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(\frac{1}{4000}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{1}{4000}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+0+\lg \left(\frac{1}{4000}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+0+\lg \left(1\right)-\lg \left(4000\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(4000\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{4000}·20·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$