Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $5$, eben weil $2$^$5$ = $32$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $4$^$-2$ = $\frac{1}{16}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{15}$ um: $\frac{1}{15}$ = ${15}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 15 sondern zur Basis $225$ suchen und $225$ gerade 15² ist (also 15 = $\sqrt{225}$ = ${225}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${15}^{-1}$ noch so um, dass sie $225$ als Basis hat:

${15}^{-1}$ = ${\left({225}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${225}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${15}^{-1}$ = ${225}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $225$ suchen, also die Hochzahl mit der man $225$ potenzieren muss, um auf ${15}^{-1}$ = ${225}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $225$^☐ = ${15}^{-1}$ = ${225}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $225$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{15}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $22$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $22$ ist.

Dabei kommt man auf $2^4$ = 2⁴ < $22$ und auf $2^5$ = 2⁵ > $22$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $22$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 4 und 5 liegen, wegen:
2⁴ = $2^4$ < $22$ < $2^5$ = 2⁵

Es gilt somit: 4 < < 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $2$

$\lg \left(\mathrm{0,04}\right)$ - $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.04}{4}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $3\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{5}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{5}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{10}{x^4}\right)$

= $\lg \left(5x^{-4}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(10x^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(1\right))-(\lg \left(10\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(1\right)-\lg \left(10\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+0-\lg \left(10\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+0-\lg \left(10\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(20\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{20}{10}·5)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$