Wir suchen den Logarithmus von $1000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $1000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $1000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $10$^$3$ = $1000$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $3$^$-2$ = $\frac{1}{9}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{3}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $3^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $3$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{81}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{81}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{128}$ = $\frac{1}{2^7}$ = 2^-7 < $\frac{1}{81}$ und auf $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{2^6}$ = 2^-6 > $\frac{1}{81}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{81}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -7 und -6 liegen, wegen:
2^-7 = $\frac{1}{2^7}$ = $\frac{1}{128}$ < $\frac{1}{81}$ < $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{2^6}$ = 2^-6

Es gilt somit: -7 < < -6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{0.00001}{x}\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(0.00001\right)-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-5}\right)-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-5-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-6\lg \left(x\right)-5$

${\log }_{16}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn><mspace\; width="thinmathspace"></mspace><mn>024</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_{16}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_{16}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1024</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{16}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>256</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{16}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>16</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(10000x^2\right)+\lg \left(2x^3\right)+\lg \left(\frac{5}{x}\right)$

= $-\lg \left(10000x^2\right)+\lg \left(2x^3\right)+\lg \left(5x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(10000\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $-\lg \left(10000\right)-\lg \left(x^2\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(10000\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(10000\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(10000\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000}·5·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$