Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $2$^$4$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{5}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{5}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-1$, eben weil $5$^$-1$ = $\frac{1}{5}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{10000000}$ um: $\frac{1}{10000000}$ = ${10000000}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $10000000$ eine Potenz ist: $10000000$ = ${10}^7$

Also schreiben wir $\frac{1}{10000000}$ = ${10000000}^{-1}$ = ${\left({10}^7\right)}^{-1}$ = ${10}^{-7}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^{-7}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^{-7}$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-7}$ = ${100}^{-\frac{7}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-7}$ = ${100}^{-\frac{7}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-7}$ = ${100}^{-\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^{-7}$ = ${100}^{-\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{7}{2}$, eben weil $100$^{$-\frac{7}{2}$} = $\frac{1}{10000000}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{47}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{47}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{125}$ = $\frac{1}{5^3}$ = 5^-3 < $\frac{1}{47}$ und auf $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^2}$ = 5^-2 > $\frac{1}{47}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{47}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
5^-3 = $\frac{1}{5^3}$ = $\frac{1}{125}$ < $\frac{1}{47}$ < $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^2}$ = 5^-2

Es gilt somit: -3 < < -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{100000}{x}\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^5\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $5-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $5$

${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>54</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>54</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>27</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)$

$\lg \left(25x^3\right)+\lg \left(\frac{4}{x}\right)-\lg \left(\frac{100}{x^2}\right)$

= $\lg \left(25x^3\right)+\lg \left(4x^{-1}\right)-\lg \left(100x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(100\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(100\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+2\lg \left(x\right)$

= $4\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·25·4)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $4\lg \left(x\right)$