Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $8$, eben weil $2$^$8$ = $256$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{25}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{25}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{25}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{25}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $5$^$-2$ = $\frac{1}{25}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{13}$ um: $\sqrt{13}$ = ${13}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${13}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $13$ suchen, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf ${13}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$^☐ = ${13}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $13$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{13}$ gilt .

Wir suchen $19$er-Potenzen in der Näher von $216$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $216$ ist.

Dabei kommt man auf $19$ = 19¹ < $216$ und auf ${19}^2$ = 19² > $216$.

Und da wir bei ja das ☐ von 19^☐ = $216$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
19¹ = $19$ < $216$ < ${19}^2$ = 19²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(0.00001x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(0.00001\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-5}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $-5+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)-5$

$\lg \left(20\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20·50)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $3\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{5}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{8}{x}^3\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(4x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(2\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{8}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+0+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(8\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+0+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(8\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{8}·4·2)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$