Wir suchen den Logarithmus von $196$ zur Basis $14$, also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $196$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$^☐ = $196$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $14$^$2$ = $196$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt[4]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{10}$ als ${10}^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{10}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{15}$ um: $\sqrt{15}$ = ${15}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${15}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $15$ suchen, also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf ${15}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$^☐ = ${15}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $15$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{15}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $17$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $17$ ist.

Dabei kommt man auf $3^2$ = 3² < $17$ und auf $3^3$ = 3³ > $17$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $17$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
3² = $3^2$ < $17$ < $3^3$ = 3³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $6+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $6$

${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>36</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>36</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>9</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(x^2\right)-2\lg \left(\sqrt{x}\right)+2\lg \left(x^4\right)$
= $4\lg \left(x^2\right)-2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+2\lg \left(x^4\right)$
= $8\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)+8\lg \left(x\right)$
= $15\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{5}{x^2}\right)+\lg \left(20x\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^3\right)-\lg \left(5x^{-2}\right)+\lg \left(20x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x^3\right)-\lg \left(5\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{25·20}{5}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$