Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $3$^$3$ = $27$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $3$^$-2$ = $\frac{1}{9}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{4}$ um: $\frac{1}{4}$ = $4^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4^{-1}$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^{-1}$ = ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $16$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{4}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $56$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $56$ ist.

Dabei kommt man auf $2^5$ = 2⁵ < $56$ und auf $2^6$ = 2⁶ > $56$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $56$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
2⁵ = $2^5$ < $56$ < $2^6$ = 2⁶

Es gilt somit: 5 < < 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $6+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+6$

$\lg \left(\mathrm{0,004}\right)$ - $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.004}{4}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+2\lg \left(x^4\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)+2\lg \left(x^4\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+8\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1250000}{x^4}\right)+\lg \left(50x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^7\right)$

= $-\lg \left(1250000x^{-4}\right)+\lg \left(50x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^7\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(1250000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x^7\right))$

= $-\lg \left(1250000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x^7\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(1250000\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-7\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1250000\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)-7\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(1250000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{\mathrm{1.250.000}}·50·25)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$