Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $2$^$4$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{64}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{64}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{64}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{64}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-6$, eben weil $2$^$-6$ = $\frac{1}{64}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{100000}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{100000}}$ = ${100000}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $100000$ eine Potenz ist: $100000$ = ${10}^5$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{100000}}$ = ${100000}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^5\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = ${10}^{-\frac{5}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-\frac{5}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{-\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{5}{2}$, eben weil $10$^{$-\frac{5}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{100000}}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{5}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{5}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4^2}$ = 4^-2 < $\frac{1}{5}$ und auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1 > $\frac{1}{5}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{5}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
4^-2 = $\frac{1}{4^2}$ = $\frac{1}{16}$ < $\frac{1}{5}$ < $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $1+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+1$

$\lg \left(25000\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (25000·4)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $3\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\frac{3}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{40x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^4}\right)+\lg \left(\frac{2}{x}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{40}{x}^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-4}\right)+\lg \left(2x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{40}\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(40\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(40\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{40}·2·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$