Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $4$^$2$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{3}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\sqrt[3]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{3}$ als $3^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$^☐ = $3^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{3}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{4}$ um: $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $5$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $5$ ist.

Dabei kommt man auf $4$ = 4¹ < $5$ und auf $4^2$ = 4² > $5$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $5$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
4¹ = $4$ < $5$ < $4^2$ = 4²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,0001}x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,0001}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-4}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-4+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-4$

$\lg \left(200\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{200}{20}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{100.000}{x}^3\right)+\lg \left(50x^4\right)+\lg \left(\frac{2}{x^7}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{100.000}{x}^3\right)+\lg \left(50x^4\right)+\lg \left(2x^{-7}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-7\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(100000\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-7\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(100000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100.000}·50·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$