Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $2$^$4$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{2}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\sqrt[3]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$^☐ = $2^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{2}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{100000}$ um: $\frac{1}{100000}$ = ${100000}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $100000$ eine Potenz ist: $100000$ = ${10}^5$

Also schreiben wir $\frac{1}{100000}$ = ${100000}^{-1}$ = ${\left({10}^5\right)}^{-1}$ = ${10}^{-5}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^{-5}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^{-5}$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-5}$ = ${100}^{-\frac{5}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-5}$ = ${100}^{-\frac{5}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-5}$ = ${100}^{-\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^{-5}$ = ${100}^{-\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{5}{2}$, eben weil $100$^{$-\frac{5}{2}$} = $\frac{1}{100000}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $16$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $16$ ist.

Dabei kommt man auf $3^2$ = 3² < $16$ und auf $3^3$ = 3³ > $16$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $16$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
3² = $3^2$ < $16$ < $3^3$ = 3³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,001}x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-3}\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $-3+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)-3$

$\lg \left(300\right)$ - $\lg \left(3\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{300}{3}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $3\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{25}x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^3\right)+\lg \left(50x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^3\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{50·50}{25}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$