Wir suchen den Logarithmus von $1000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $1000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $1000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $10$^$3$ = $1000$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{14}$ zur Basis $14$, also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{14}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$^☐ = $\sqrt[5]{14}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{14}$ als ${14}^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $14$^☐ = ${14}^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $14$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{14}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{3}$ um: $\sqrt{3}$ = $3^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{3}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $2$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $2$ und auf $4$ = 4¹ > $2$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $2$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $2$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < < 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^5\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $5+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+5$

$\lg \left(2000000\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2000000·50)$

= $\lg \left(100000000\right)$

= $\lg \left({10}^8\right)$

= 8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+2\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-3\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-\frac{15}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{20}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{400}\right)+\lg \left(20x^4\right)$

= $\lg \left(20x^{-1}\right)+\lg \left(\frac{1}{400}\right)+\lg \left(20x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+(\lg \left(\frac{1}{400}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{400}\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{400}\right)+0+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(400\right)+0+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(400\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{400}·20·20)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$