Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $3$^$2$ = $9$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{8}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{8}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{8}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{8}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $2$^$-3$ = $\frac{1}{8}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{5}$ um: $\frac{1}{5}$ = $5^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5^{-1}$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^{-1}$ = ${\left({25}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $25$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{5}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $2$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $2$ und auf $4$ = 4¹ > $2$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $2$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $2$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < < 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,1}x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-1}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $-1+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)-1$

${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>12</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>12</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $2\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $8\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{17}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{50}{x}^3\right)+\lg \left(\frac{2}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{25}{x^2}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{50}{x}^3\right)+\lg \left(2x^{-2}\right)+\lg \left(25x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{50}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{50}·25·2)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$