Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $4$^$3$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{121}$ zur Basis $11$, also die Hochzahl mit der man $11$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{121}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $11$^☐ = $\frac{1}{121}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $11$-Potenz zu schreiben versuchen, also $11$^☐ = $\frac{1}{121}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $11$^$-2$ = $\frac{1}{121}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{3}$ um: $\sqrt{3}$ = $3^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{3}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $6$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $6$ ist.

Dabei kommt man auf $4$ = 4¹ < $6$ und auf $4^2$ = 4² > $6$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $6$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
4¹ = $4$ < $6$ < $4^2$ = 4²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000000x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $8+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)+8$

$\lg \left(20000000\right)$ + $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20000000·5)$

= $\lg \left(100000000\right)$

= $\lg \left({10}^8\right)$

= 8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $2\lg \left(x^{-1}\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)$

$\lg \left(20x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{40}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(40\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)-2\lg \left(x\right)$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{40}·20·2)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$