Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{169}$ zur Basis $13$, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{169}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$^☐ = $\frac{1}{169}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $13$-Potenz zu schreiben versuchen, also $13$^☐ = $\frac{1}{169}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $13$^$-2$ = $\frac{1}{169}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{125}$ um: $\frac{1}{125}$ = ${125}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{125}$ = ${125}^{-1}$ = ${\left(5^3\right)}^{-1}$ = $5^{-3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5^{-3}$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^{-3}$ = ${\left({25}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$ = ${25}^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-3}$ = ${25}^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^{-3}$ = ${25}^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5^{-3}$ = ${25}^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $25$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{125}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $8218$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $8218$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^3$ = 10³ < $8218$ und auf ${10}^4$ = 10⁴ > $8218$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $8218$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
10³ = ${10}^3$ < $8218$ < ${10}^4$ = 10⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,01}x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-2}\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $-2+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)-2$

${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 0

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-\frac{3}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(25x^4\right)+\lg \left(\frac{4}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{100}{x}\right)$

= $\lg \left(25x^4\right)+\lg \left(4x^{-2}\right)-\lg \left(100x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(100\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(100\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(x\right)$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·25·4)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$