Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{128}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{128}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{128}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{128}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-7$, eben weil $2$^$-7$ = $\frac{1}{128}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{3}$ um: $\frac{1}{3}$ = $3^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3^{-1}$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^{-1}$ = ${\left(9^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $9$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{3}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $55$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $55$ ist.

Dabei kommt man auf $4^2$ = 4² < $55$ und auf $4^3$ = 4³ > $55$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $55$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
4² = $4^2$ < $55$ < $4^3$ = 4³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,01}x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-2}\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $-2+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)-2$

$\lg \left(5000\right)$ - $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{5000}{50}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)$
= $2\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{4x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{80}x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^3\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-2}\right)+\lg \left(\frac{1}{80}x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(80\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)-3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(80\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{80}·4·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$