Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $3$^$3$ = $27$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\sqrt[4]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{5}$ als $5^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$^☐ = $5^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{5}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{10}$ um: $\sqrt{10}$ = ${10}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{10}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{10}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{10}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^2}$ = 5^-2 < $\frac{1}{10}$ und auf $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1 > $\frac{1}{10}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{10}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
5^-2 = $\frac{1}{5^2}$ = $\frac{1}{25}$ < $\frac{1}{10}$ < $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,01}x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-2}\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-2+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)-2$

$\lg \left(5000000000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5000000000·2)$

= $\lg \left(10000000000\right)$

= $\lg \left({10}^{10}\right)$

= 10

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^2\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{4}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}x\right)+\lg \left(\frac{1}{800}{x}^4\right)$

= $\lg \left(4x^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}x\right)+\lg \left(\frac{1}{800}{x}^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(\frac{1}{800}\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{800}\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{800}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(800\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(800\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{800}·20·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$