Wir suchen den Logarithmus von $8$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $8$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $8$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $2$^$3$ = $8$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{1000}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{1000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{1000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{1000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $10$^$-3$ = $\frac{1}{1000}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{10000000}$ um: $\frac{1}{10000000}$ = ${10000000}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $10000000$ eine Potenz ist: $10000000$ = ${10}^7$

Also schreiben wir $\frac{1}{10000000}$ = ${10000000}^{-1}$ = ${\left({10}^7\right)}^{-1}$ = ${10}^{-7}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^{-7}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^{-7}$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-7}$ = ${100}^{-\frac{7}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-7}$ = ${100}^{-\frac{7}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-7}$ = ${100}^{-\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^{-7}$ = ${100}^{-\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{7}{2}$, eben weil $100$^{$-\frac{7}{2}$} = $\frac{1}{10000000}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $14$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $14$ ist.

Dabei kommt man auf $3^2$ = 3² < $14$ und auf $3^3$ = 3³ > $14$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $14$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
3² = $3^2$ < $14$ < $3^3$ = 3³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,01}x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-2}\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $-2+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)-2$

$\lg \left(5000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5000·2)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+2\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(50x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1000}{x}\right)$

= $\lg \left(50x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^2\right)-\lg \left(1000x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(1000\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^2\right)-\lg \left(1000\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)+\lg \left(x\right)$

= $2\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1000}·50·20)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $2\lg \left(x\right)$