Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $2$^$4$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{16}$ zur Basis $16$, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $\sqrt[3]{16}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{16}$ als ${16}^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $16$^☐ = ${16}^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $16$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{16}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{5}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $5^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ gilt .

Wir suchen $17$er-Potenzen in der Näher von $26$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $26$ ist.

Dabei kommt man auf $17$ = 17¹ < $26$ und auf ${17}^2$ = 17² > $26$.

Und da wir bei ja das ☐ von 17^☐ = $26$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
17¹ = $17$ < $26$ < ${17}^2$ = 17²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^4\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $4+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)+4$

$\lg \left(20\right)$ - $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{20}{2}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^2\right)+2\lg \left(x^3\right)$
= $4\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)+6\lg \left(x\right)$
= $12\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{10000x^2}\right)+\lg \left(\frac{50}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{20x^3}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{10000}{x}^{-2}\right)+\lg \left(50x^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{10000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{10000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{10000}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(10000\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(10000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000}·50·20)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$