Wir suchen den Logarithmus von $361$ zur Basis $19$, also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $361$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$^☐ = $361$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $19$^$2$ = $361$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{324}$ zur Basis $18$, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{324}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$^☐ = $\frac{1}{324}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $18$-Potenz zu schreiben versuchen, also $18$^☐ = $\frac{1}{324}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $18$^$-2$ = $\frac{1}{324}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{11}$ um: $\sqrt{11}$ = ${11}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${11}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $11$ suchen, also die Hochzahl mit der man $11$ potenzieren muss, um auf ${11}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $11$^☐ = ${11}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $11$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{11}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $14$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $14$ ist.

Dabei kommt man auf $3^2$ = 3² < $14$ und auf $3^3$ = 3³ > $14$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $14$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
3² = $3^2$ < $14$ < $3^3$ = 3³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $7+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+7$

$\lg \left(400000000\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (400000000·25)$

= $\lg \left(10000000000\right)$

= $\lg \left({10}^{10}\right)$

= 10

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)$
= $4\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{20x^2}\right)+\lg \left(4x\right)+\lg \left(\frac{5}{4x^3}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-2}\right)+\lg \left(4x\right)+\lg \left(\frac{5}{4}{x}^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(\frac{5}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{5}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{5}{4}\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (20·5)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$