Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $5$, eben weil $2$^$5$ = $32$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $3$^$-2$ = $\frac{1}{9}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^3$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3^3$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^3$ = ${\left(9^{\frac{1}{2}}\right)}^3$ = $9^{\frac{3}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $3^3$ = $9^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^3$ = $9^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3^3$ = $9^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $9$^{$\frac{3}{2}$} = $27$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $1732336$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $1732336$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^6$ = 10⁶ < $1732336$ und auf ${10}^7$ = 10⁷ > $1732336$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $1732336$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
10⁶ = ${10}^6$ < $1732336$ < ${10}^7$ = 10⁷

Es gilt somit: 6 < < 7

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $7+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+7$

$\lg \left(200\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200·50)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)-2\lg \left(x^4\right)+4\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)-2\lg \left(x^4\right)+4\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-\lg \left(x\right)-8\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-11\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{50}{x}^3\right)+\lg \left(\frac{2}{x^9}\right)+\lg \left(25x^4\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{50}{x}^3\right)+\lg \left(2x^{-9}\right)+\lg \left(25x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^9}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^9}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{50}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-9\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-9\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{50}·25·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$