Wir suchen den Logarithmus von $128$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $128$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $128$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $7$, eben weil $2$^$7$ = $128$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $3$^$-2$ = $\frac{1}{9}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{5}$ um: $\sqrt{5}$ = $5^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $7092$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $7092$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^3$ = 10³ < $7092$ und auf ${10}^4$ = 10⁴ > $7092$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $7092$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
10³ = ${10}^3$ < $7092$ < ${10}^4$ = 10⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(0.00001x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(0.00001\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-5}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $-5+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)-5$

$\lg \left(50000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50000·2)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $4\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{50x}\right)-\lg \left(\frac{1000}{x^2}\right)+\lg \left(20x\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-1}\right)-\lg \left(1000x^{-2}\right)+\lg \left(20x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(1000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(1000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)$

= $4\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1000}·50·20)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $4\lg \left(x\right)$