Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $3$^$2$ = $9$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\sqrt[5]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{5}$ als $5^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$^☐ = $5^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{5}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{16}$ um: $\frac{1}{16}$ = ${16}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 16 sondern zur Basis $256$ suchen und $256$ gerade 16² ist (also 16 = $\sqrt{256}$ = ${256}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${16}^{-1}$ noch so um, dass sie $256$ als Basis hat:

${16}^{-1}$ = ${\left({256}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${256}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${16}^{-1}$ = ${256}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $256$ suchen, also die Hochzahl mit der man $256$ potenzieren muss, um auf ${16}^{-1}$ = ${256}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $256$^☐ = ${16}^{-1}$ = ${256}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $256$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{16}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $6$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $6$ ist.

Dabei kommt man auf $2^2$ = 2² < $6$ und auf $2^3$ = 2³ > $6$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $6$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
2² = $2^2$ < $6$ < $2^3$ = 2³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $2$

${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>320</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>20</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>320</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>20</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>16</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>4</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)-2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)-2\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(2x^3\right)+\lg \left(\frac{5}{x^3}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(2x^3\right)+\lg \left(5x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+0+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(1000\right)+0+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(1000\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1000}·5·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$