Wir suchen den Logarithmus von $1000000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $1000000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $1000000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $6$, eben weil $10$^$6$ = $1000000$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{5}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{5}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-1$, eben weil $5$^$-1$ = $\frac{1}{5}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{5}$ um: $\sqrt{5}$ = $5^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{33}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{33}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{4^3}$ = 4^-3 < $\frac{1}{33}$ und auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4^2}$ = 4^-2 > $\frac{1}{33}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{33}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
4^-3 = $\frac{1}{4^3}$ = $\frac{1}{64}$ < $\frac{1}{33}$ < $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4^2}$ = 4^-2

Es gilt somit: -3 < < -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10}{x}\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10\right)-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $1-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+1$

$\lg \left(20\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20·50)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $4\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)$

$\lg \left(20x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{10000}{x}^4\right)+\lg \left(\frac{50}{x^7}\right)$

= $\lg \left(20x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{10000}{x}^4\right)+\lg \left(50x^{-7}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(\frac{1}{10000}\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{10000}\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{10000}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-7\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(10000\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-7\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(10000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000}·50·20)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$