Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $8$, eben weil $2$^$8$ = $256$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{256}$ zur Basis $16$, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{256}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $\frac{1}{256}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $16$-Potenz zu schreiben versuchen, also $16$^☐ = $\frac{1}{256}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $16$^$-2$ = $\frac{1}{256}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{4}$ um: $\frac{1}{4}$ = $4^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4^{-1}$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^{-1}$ = ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $16$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{4}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{12}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{12}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^2}$ = 5^-2 < $\frac{1}{12}$ und auf $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1 > $\frac{1}{12}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{12}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
5^-2 = $\frac{1}{5^2}$ = $\frac{1}{25}$ < $\frac{1}{12}$ < $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000000x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $8+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)+8$

${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 0

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-3}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-\frac{5}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{80x^9}\right)-\lg \left(\frac{1}{4x^3}\right)+\lg \left(20x^4\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{80}{x}^{-9}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-3}\right)+\lg \left(20x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^9}\right)-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^9}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{80}\right)-9\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(80\right)-9\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{80}·20·4)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$