Wir suchen den Logarithmus von $10000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $10000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $10$^$4$ = $10000$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{11}$ zur Basis $11$, also die Hochzahl mit der man $11$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{11}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $11$^☐ = $\sqrt[3]{11}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{11}$ als ${11}^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $11$^☐ = ${11}^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $11$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{11}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^3$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5^3$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^3$ = ${\left({25}^{\frac{1}{2}}\right)}^3$ = ${25}^{\frac{3}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $5^3$ = ${25}^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^3$ = ${25}^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5^3$ = ${25}^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $25$^{$\frac{3}{2}$} = $125$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $8$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $8$ ist.

Dabei kommt man auf $3$ = 3¹ < $8$ und auf $3^2$ = 3² > $8$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $8$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
3¹ = $3$ < $8$ < $3^2$ = 3²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,01}x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-2}\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $-2+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)-2$

$\lg \left(200\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200·50)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(25x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{2x}\right)+\lg \left(\frac{1}{50x^5}\right)$

= $\lg \left(25x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-1}\right)+\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{50}\right)-5\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(50\right)-5\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{50}·25·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$