Wir suchen den Logarithmus von $196$ zur Basis $14$, also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $196$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$^☐ = $196$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $14$^$2$ = $196$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{144}$ zur Basis $12$, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{144}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$^☐ = $\frac{1}{144}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $12$-Potenz zu schreiben versuchen, also $12$^☐ = $\frac{1}{144}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $12$^$-2$ = $\frac{1}{144}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{32}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{32}}$ = ${32}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $32$ eine Potenz ist: $32$ = $2^5$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{32}}$ = ${32}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left(2^5\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = $2^{-\frac{5}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-\frac{5}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{-\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{-\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{5}{2}$, eben weil $2$^{$-\frac{5}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{32}}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $61$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $61$ ist.

Dabei kommt man auf $3^3$ = 3³ < $61$ und auf $3^4$ = 3⁴ > $61$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $61$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^3$ < $61$ < $3^4$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $6+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+6$

$\lg \left(\mathrm{0,2}\right)$ - $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.2}{2}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $4\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $2\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(50x^3\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(\frac{20}{x^3}\right)$

= $\lg \left(50x^3\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(20x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)-(\lg \left(100\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(100\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+0+\lg \left(20\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+0+\lg \left(20\right)-3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(100\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}·50·20)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$