Wir suchen den Logarithmus von $100000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $100000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $100000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $5$, eben weil $10$^$5$ = $100000$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-7$, eben weil $10$^$-7$ = $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{19}$ um: $\sqrt{19}$ = ${19}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${19}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $19$ suchen, also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf ${19}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$^☐ = ${19}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $19$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{19}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $12$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $12$ ist.

Dabei kommt man auf $4$ = 4¹ < $12$ und auf $4^2$ = 4² > $12$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $12$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
4¹ = $4$ < $12$ < $4^2$ = 4²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $7+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)+7$

$\lg \left(50\right)$ - $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{50}{5}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^4\right)+2\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $-8\lg \left(x\right)+8\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{50x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{2x}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}x\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-1}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(x\right)$

= $4\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·50·2)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $4\lg \left(x\right)$