Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $3$^$2$ = $9$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{\mathrm{100.000.000}}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{\mathrm{100.000.000}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{100.000.000}}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{100.000.000}}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-8$, eben weil $10$^$-8$ = $\frac{1}{\mathrm{100.000.000}}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{128}$ um: $\sqrt{128}$ = ${128}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $128$ eine Potenz ist: $128$ = $2^7$

Also schreiben wir $\sqrt{128}$ = ${128}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left(2^7\right)}^{\frac{1}{2}}$ = $2^{\frac{7}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{7}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{7}{2}$, eben weil $2$^{$\frac{7}{2}$} = $\sqrt{128}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $81924$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $81924$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^4$ = 10⁴ < $81924$ und auf ${10}^5$ = 10⁵ > $81924$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $81924$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 4 und 5 liegen, wegen:
10⁴ = ${10}^4$ < $81924$ < ${10}^5$ = 10⁵

Es gilt somit: 4 < < 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^3\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $3+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $3$

$\lg \left(20\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20·50)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $-2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{500x^3}\right)+\lg \left(25x^2\right)+\lg \left(\frac{20}{x}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{500}{x}^{-3}\right)+\lg \left(25x^2\right)+\lg \left(20x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{500}\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(500\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(500\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{500}·25·20)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$