Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $3$^$3$ = $27$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{2}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\sqrt[3]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$^☐ = $2^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{2}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{4}$ um: $\frac{1}{4}$ = $4^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4^{-1}$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^{-1}$ = ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $16$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{4}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $7730013$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $7730013$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^6$ = 10⁶ < $7730013$ und auf ${10}^7$ = 10⁷ > $7730013$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $7730013$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
10⁶ = ${10}^6$ < $7730013$ < ${10}^7$ = 10⁷

Es gilt somit: 6 < < 7

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000000x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $8+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+8$

$\lg \left(40\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40·25)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $4\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-8\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-10\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{10}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^3}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(10\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{10}·5·2)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$