Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $5$^$3$ = $125$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{64}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{64}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{64}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{64}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-6$, eben weil $2$^$-6$ = $\frac{1}{64}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{1000000000}$ um: $\sqrt{1000000000}$ = ${1000000000}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $1000000000$ eine Potenz ist: $1000000000$ = ${10}^9$

Also schreiben wir $\sqrt{1000000000}$ = ${1000000000}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^9\right)}^{\frac{1}{2}}$ = ${10}^{\frac{9}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{\frac{9}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{\frac{9}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{\frac{9}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{9}{2}$, eben weil $10$^{$\frac{9}{2}$} = $\sqrt{1000000000}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $2$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $2$ und auf $4$ = 4¹ > $2$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $2$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $2$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < < 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000000x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000000\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{10}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $10+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $10$

${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>20</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>20</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>20</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>20</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 0

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{5x^3}\right)-\lg \left(\frac{10000}{x}\right)+\lg \left(\frac{2}{x^4}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-3}\right)-\lg \left(10000x^{-1}\right)+\lg \left(2x^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))-(\lg \left(10000\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(10000\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(10000\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(10000\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(10000\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000}·5·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$