Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $2$^$4$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{64}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{64}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{64}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{64}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $4$^$-3$ = $\frac{1}{64}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{3}$ um: $\sqrt{3}$ = $3^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{3}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{48}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{48}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{125}$ = $\frac{1}{5^3}$ = 5^-3 < $\frac{1}{48}$ und auf $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^2}$ = 5^-2 > $\frac{1}{48}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{48}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
5^-3 = $\frac{1}{5^3}$ = $\frac{1}{125}$ < $\frac{1}{48}$ < $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^2}$ = 5^-2

Es gilt somit: -3 < < -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000000x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000000\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^9\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $9+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)+9$

${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>405</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>405</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>81</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; <mrow><mn>4</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{4}{5x}\right)+\lg \left(\frac{5}{x^3}\right)+\lg \left(25x^4\right)$

= $\lg \left(\frac{4}{5}{x}^{-1}\right)+\lg \left(5x^{-3}\right)+\lg \left(25x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{4}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(\frac{4}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{4}{5}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)-\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25·4)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$