Wir suchen den Logarithmus von $1000000000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $1000000000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $1000000000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $9$, eben weil $10$^$9$ = $1000000000$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\sqrt[4]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{4}$ als $4^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$^☐ = $4^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{5}$ um: $\frac{1}{5}$ = $5^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5^{-1}$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^{-1}$ = ${\left({25}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $25$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{5}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $194$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $194$ ist.

Dabei kommt man auf $2^7$ = 2⁷ < $194$ und auf $2^8$ = 2⁸ > $194$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $194$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
2⁷ = $2^7$ < $194$ < $2^8$ = 2⁸

Es gilt somit: 7 < < 8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,1}x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-1}\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $-1+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)-1$

$\lg \left(20\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20·50)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)-2\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^3\right)-2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(50x^3\right)+\lg \left(2x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{10000x^5}\right)$

= $\lg \left(50x^3\right)+\lg \left(2x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{10000}{x}^{-5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(\frac{1}{10000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{10000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{10000}\right)-5\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(10000\right)-5\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(10000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000}·50·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$