Wir suchen den Logarithmus von $10000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $10000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $10$^$4$ = $10000$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{169}$ zur Basis $13$, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{169}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$^☐ = $\frac{1}{169}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $13$-Potenz zu schreiben versuchen, also $13$^☐ = $\frac{1}{169}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $13$^$-2$ = $\frac{1}{169}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $25$^{$\frac{1}{2}$} = $5$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $5$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $5$ ist.

Dabei kommt man auf $3$ = 3¹ < $5$ und auf $3^2$ = 3² > $5$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $5$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
3¹ = $3$ < $5$ < $3^2$ = 3²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10000000}{x}\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $7-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+7$

$\lg \left(50\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50·20)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $4\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-8\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-13\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{1250x^{11}}\right)+\lg \left(25x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{50x^4}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{1250}{x}^{-11}\right)+\lg \left(25x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{1250}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^{11}}\right)+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{1250}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^{11}}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{1250}\right)-11\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(1250\right)-11\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1250}·50·25)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·25)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$