Wir suchen den Logarithmus von $196$ zur Basis $14$, also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $196$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$^☐ = $196$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $14$^$2$ = $196$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{81}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{81}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{81}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{81}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $3$^$-4$ = $\frac{1}{81}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $8$ eine Potenz ist: $8$ = $2^3$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2^3$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^3$ = ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^3$ = $4^{\frac{3}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $2^3$ = $4^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^3$ = $4^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2^3$ = $4^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{3}{2}$} = $8$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $80248274$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $80248274$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^7$ = 10⁷ < $80248274$ und auf ${10}^8$ = 10⁸ > $80248274$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $80248274$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
10⁷ = ${10}^7$ < $80248274$ < ${10}^8$ = 10⁸

Es gilt somit: 7 < < 8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^4\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $4+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+4$

$\lg \left(500\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500·20)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)+4\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^3\right)+4\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $3\lg \left(x\right)+8\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{21}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{25x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^2\right)+\lg \left(\frac{2}{x}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^2\right)+\lg \left(2x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x^2\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25·2·2)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$