Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $8$, eben weil $2$^$8$ = $256$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{5}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{5}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-1$, eben weil $5$^$-1$ = $\frac{1}{5}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{32}$ um: $\frac{1}{32}$ = ${32}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $32$ eine Potenz ist: $32$ = $2^5$

Also schreiben wir $\frac{1}{32}$ = ${32}^{-1}$ = ${\left(2^5\right)}^{-1}$ = $2^{-5}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2^{-5}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{-5}$ = ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^{-5}$ = $4^{-\frac{5}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-5}$ = $4^{-\frac{5}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{-5}$ = $4^{-\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2^{-5}$ = $4^{-\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{5}{2}$, eben weil $4$^{$-\frac{5}{2}$} = $\frac{1}{32}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $2$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $2$ und auf $4$ = 4¹ > $2$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $2$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $2$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < < 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^4\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+4$

$\lg \left(200000\right)$ + $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200000·5)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)-2\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)-2\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)$

$\lg \left(2x^4\right)-\lg \left(\frac{10000}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^5\right)$

= $\lg \left(2x^4\right)-\lg \left(10000x^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)-(\lg \left(10000\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^5\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(10000\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^5\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(10000\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-5\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(10000\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-5\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(10000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000}·50·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$