Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $3$^$3$ = $27$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{4}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{4}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-1$, eben weil $4$^$-1$ = $\frac{1}{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{15}$ um: $\sqrt{15}$ = ${15}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${15}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $15$ suchen, also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf ${15}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$^☐ = ${15}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $15$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{15}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $3$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $3$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 5⁰ < $3$ und auf $5$ = 5¹ > $3$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $3$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
5⁰ = $1$ < $3$ < $5$ = 5¹

Es gilt somit: 0 < < 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,001}x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-3}\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $-3+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)-3$

$\lg \left(500\right)$ - $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{500}{5}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+2\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+2\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{2}{5x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{50x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{50x}\right)$

= $\lg \left(\frac{2}{5}{x}^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{2}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(\frac{2}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{2}{5}\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)-\lg \left(5\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{50·50}{5}·2)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$