Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{4}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{4}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-1$, eben weil $4$^$-1$ = $\frac{1}{4}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 13 sondern zur Basis $169$ suchen und $169$ gerade 13² ist (also 13 = $\sqrt{169}$ = ${169}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $13$ noch so um, dass sie $169$ als Basis hat:

$13$ = ${169}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $13$ = ${169}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $169$ suchen, also die Hochzahl mit der man $169$ potenzieren muss, um auf $13$ = ${169}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $169$^☐ = $13$ = ${169}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $169$^{$\frac{1}{2}$} = $13$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $11$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $11$ ist.

Dabei kommt man auf $5$ = 5¹ < $11$ und auf $5^2$ = 5² > $11$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $11$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
5¹ = $5$ < $11$ < $5^2$ = 5²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10000000}{x}\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $7-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-6\lg \left(x\right)+7$

$\lg \left(200\right)$ + $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200·5)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)+\lg \left(\frac{20}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{50x^3}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)+\lg \left(20x^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)+0+\lg \left(20\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(100000\right)+0+\lg \left(20\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(100000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100.000}·50·20)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$