Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{2}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\sqrt[3]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$^☐ = $2^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{2}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{10000000}$ um: $\sqrt{10000000}$ = ${10000000}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $10000000$ eine Potenz ist: $10000000$ = ${10}^7$

Also schreiben wir $\sqrt{10000000}$ = ${10000000}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^7\right)}^{\frac{1}{2}}$ = ${10}^{\frac{7}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{\frac{7}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{7}{2}$, eben weil $10$^{$\frac{7}{2}$} = $\sqrt{10000000}$ gilt .

Wir suchen $19$er-Potenzen in der Näher von $159$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $159$ ist.

Dabei kommt man auf $19$ = 19¹ < $159$ und auf ${19}^2$ = 19² > $159$.

Und da wir bei ja das ☐ von 19^☐ = $159$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
19¹ = $19$ < $159$ < ${19}^2$ = 19²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10}{x}\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10\right)-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $1-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+1$

${\log }_{11}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>363</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_{11}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_{11}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>363</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{11}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>121</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{11}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>11</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+2\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $4\lg \left(x^{-3}\right)+2\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-12\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-10\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{50x^3}\right)+\lg \left(5x\right)+\lg \left(\frac{1}{250000x^4}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-3}\right)+\lg \left(5x\right)+\lg \left(\frac{1}{250.000}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(\frac{1}{250.000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{250.000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{250.000}\right)-4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(250000\right)-4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(250000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250.000}·50·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$