Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{16}$ zur Basis $16$, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $\sqrt{16}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{16}$ als ${16}^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $16$^☐ = ${16}^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $16$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{16}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{3}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $3^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $3$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $8477500$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $8477500$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^6$ = 10⁶ < $8477500$ und auf ${10}^7$ = 10⁷ > $8477500$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $8477500$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
10⁶ = ${10}^6$ < $8477500$ < ${10}^7$ = 10⁷

Es gilt somit: 6 < < 7

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $4$

$\lg \left(20\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20·50)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-2\lg \left(x^3\right)$
= $2\lg \left(x^{-2}\right)-2\lg \left(x^3\right)$
= $-4\lg \left(x\right)-6\lg \left(x\right)$
= $-10\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{50}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{1250}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{25x^4}\right)$

= $\lg \left(50x^{-1}\right)+\lg \left(\frac{1}{1250}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+(\lg \left(\frac{1}{1250}\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{1250}\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{1250}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(1250\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1250}·50·25)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·25)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$