Wir suchen den Logarithmus von $100000000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $100000000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $100000000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $8$, eben weil $10$^$8$ = $100000000$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\sqrt[4]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{4}$ als $4^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$^☐ = $4^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{17}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{17}}$ = ${17}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${17}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $17$ suchen, also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf ${17}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$^☐ = ${17}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $17$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{17}}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{517}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{517}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{{10}^3}$ = 10^-3 < $\frac{1}{517}$ und auf $\frac{1}{100}$ = $\frac{1}{{10}^2}$ = 10^-2 > $\frac{1}{517}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{517}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
10^-3 = $\frac{1}{{10}^3}$ = $\frac{1}{1000}$ < $\frac{1}{517}$ < $\frac{1}{100}$ = $\frac{1}{{10}^2}$ = 10^-2

Es gilt somit: -3 < < -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $2$

$\lg \left(5000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5000·2)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $2\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{16x^8}\right)+\lg \left(4x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{4x}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{16}{x}^{-8}\right)+\lg \left(4x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{16}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right)+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{16}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{16}\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(16\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(16\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{16}·4·4)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$