Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $5$^$3$ = $125$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{25}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{25}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{25}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{25}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $5$^$-2$ = $\frac{1}{25}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{14}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{14}}$ = ${14}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${14}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $14$ suchen, also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf ${14}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$^☐ = ${14}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $14$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{14}}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $41$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $41$ ist.

Dabei kommt man auf $2^5$ = 2⁵ < $41$ und auf $2^6$ = 2⁶ > $41$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $41$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
2⁵ = $2^5$ < $41$ < $2^6$ = 2⁶

Es gilt somit: 5 < < 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000000x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $8+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)+8$

$\lg \left(\mathrm{0,05}\right)$ - $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.05}{50}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(x^2\right)-2\lg \left(x^4\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^2\right)-2\lg \left(x^4\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)-8\lg \left(x\right)$
= $-\frac{13}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(\frac{5}{x^4}\right)+\lg \left(5x^4\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(5x^{-4}\right)+\lg \left(5x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{40}\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{40}\right)+0+\lg \left(5\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(40\right)+0+\lg \left(5\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(40\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (40·5·5)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$