Wir suchen den Logarithmus von $100000000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $100000000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $100000000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $8$, eben weil $10$^$8$ = $100000000$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $2$^$-4$ = $\frac{1}{16}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{13}$ um: $\sqrt{13}$ = ${13}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${13}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $13$ suchen, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf ${13}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$^☐ = ${13}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $13$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{13}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $222209252$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $222209252$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^8$ = 10⁸ < $222209252$ und auf ${10}^9$ = 10⁹ > $222209252$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $222209252$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 8 und 9 liegen, wegen:
10⁸ = ${10}^8$ < $222209252$ < ${10}^9$ = 10⁹

Es gilt somit: 8 < < 9

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000000x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $8+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+8$

$\lg \left(400\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (400·25)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $4\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $10\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1000}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{50x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{10}\right)$

= $-\lg \left(1000x^{-4}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{10}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(1000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^{10}\right))$

= $-\lg \left(1000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^{10}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(1000\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-10\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1000\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-10\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1000}·50·20)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$