Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $5$^$1$ = $5$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{4}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{4}}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{4}}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $79$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $79$ ist.

Dabei kommt man auf $2^6$ = 2⁶ < $79$ und auf $2^7$ = 2⁷ > $79$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $79$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
2⁶ = $2^6$ < $79$ < $2^7$ = 2⁷

Es gilt somit: 6 < < 7

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{100000000}{x}\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $8-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-6\lg \left(x\right)+8$

$\lg \left(\mathrm{0,3}\right)$ - $\lg \left(3\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.3}{3}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $-2\lg \left(x^{-1}\right)+\lg \left(x^{-3}\right)$
= $2\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(40000\right)-\lg \left(\frac{1}{20x^3}\right)+\lg \left(\frac{2}{x^3}\right)$

= $-\lg \left(40000\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-3}\right)+\lg \left(2x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(40000\right)+\lg \left(1\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $-\lg \left(40000\right)-\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(40000\right)+0-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(40000\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(40000\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{40000}·20·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$