Wir suchen den Logarithmus von $8$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $8$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $8$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $2$^$3$ = $8$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{256}$ zur Basis $16$, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{256}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $\frac{1}{256}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $16$-Potenz zu schreiben versuchen, also $16$^☐ = $\frac{1}{256}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $16$^$-2$ = $\frac{1}{256}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^3$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5^3$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^3$ = ${\left({25}^{\frac{1}{2}}\right)}^3$ = ${25}^{\frac{3}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $5^3$ = ${25}^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^3$ = ${25}^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5^3$ = ${25}^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $25$^{$\frac{3}{2}$} = $125$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $46308334$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $46308334$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^7$ = 10⁷ < $46308334$ und auf ${10}^8$ = 10⁸ > $46308334$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $46308334$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
10⁷ = ${10}^7$ < $46308334$ < ${10}^8$ = 10⁸

Es gilt somit: 7 < < 8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10000000}{x}\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $7-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $7$

$\lg \left(5000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5000·2)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(x^3\right)+4\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^3\right)+4\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)-12\lg \left(x\right)$
= $-\frac{19}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1000}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{20x}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^5\right)$

= $-\lg \left(1000x^{-4}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(1000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^5\right))$

= $-\lg \left(1000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x^5\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(1000\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-5\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1000\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-5\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(1000\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1000}·20·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$