Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $5$^$3$ = $125$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{81}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{81}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{81}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{81}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $3$^$-4$ = $\frac{1}{81}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{10}$ um: $\sqrt{10}$ = ${10}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{10}$ gilt .

Wir suchen $14$er-Potenzen in der Näher von $86$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $86$ ist.

Dabei kommt man auf $14$ = 14¹ < $86$ und auf ${14}^2$ = 14² > $86$.

Und da wir bei ja das ☐ von 14^☐ = $86$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
14¹ = $14$ < $86$ < ${14}^2$ = 14²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^2\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $2+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)+2$

$\lg \left(40\right)$ - $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{40}{4}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $-2\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{20x^4}\right)+\lg \left(\frac{50}{x^7}\right)-\lg \left(\frac{1000000}{x^3}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-4}\right)+\lg \left(50x^{-7}\right)-\lg \left(1000000x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right))-(\lg \left(1000000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)-\lg \left(1000000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-7\lg \left(x\right)-\lg \left(1000000\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-7\lg \left(x\right)-\lg \left(1000000\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(1000000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}·50·20)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$