Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $3$^$4$ = $81$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{4}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{4}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-1$, eben weil $4$^$-1$ = $\frac{1}{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{125}$ um: $\sqrt{125}$ = ${125}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^3$

Also schreiben wir $\sqrt{125}$ = ${125}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left(5^3\right)}^{\frac{1}{2}}$ = $5^{\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $5$^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{125}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $5$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $5$ ist.

Dabei kommt man auf $2^2$ = 2² < $5$ und auf $2^3$ = 2³ > $5$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $5$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
2² = $2^2$ < $5$ < $2^3$ = 2³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(0.00001x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(0.00001\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-5}\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $-5+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)-5$

$\lg \left(5000\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5000·20)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+2\lg \left(x^3\right)$
= $-2\lg \left(x^{-2}\right)+2\lg \left(x^3\right)$
= $4\lg \left(x\right)+6\lg \left(x\right)$
= $10\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{500}{x}^2\right)+\lg \left(20x\right)+\lg \left(\frac{25}{x^7}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{500}{x}^2\right)+\lg \left(20x\right)+\lg \left(25x^{-7}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{500}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-7\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(500\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-7\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(500\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{500}·25·20)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$