Wir suchen den Logarithmus von $1000000000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $1000000000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $1000000000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $9$, eben weil $10$^$9$ = $1000000000$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{3}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\sqrt[5]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{3}$ als $3^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$^☐ = $3^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{3}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3$ = $9^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $9$^{$\frac{1}{2}$} = $3$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $61$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $61$ ist.

Dabei kommt man auf $3^3$ = 3³ < $61$ und auf $3^4$ = 3⁴ > $61$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $61$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^3$ < $61$ < $3^4$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(0.00001x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(0.00001\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-5}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $-5+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)-5$

$\lg \left(25000000\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (25000000·4)$

= $\lg \left(100000000\right)$

= $\lg \left({10}^8\right)$

= 8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(x^2\right)$
= $8\lg \left(x\right)$
= $8\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{2}{125x}\right)+\lg \left(\frac{25}{x^2}\right)+\lg \left(25x^3\right)$

= $\lg \left(\frac{2}{125}{x}^{-1}\right)+\lg \left(25x^{-2}\right)+\lg \left(25x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{2}{125}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(\frac{2}{125}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{2}{125}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)-\lg \left(125\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(125\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{125}·25·25·2)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$