Wir suchen den Logarithmus von $8$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $8$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $8$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $2$^$3$ = $8$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-7$, eben weil $10$^$-7$ = $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{15}$ um: $\frac{1}{15}$ = ${15}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 15 sondern zur Basis $225$ suchen und $225$ gerade 15² ist (also 15 = $\sqrt{225}$ = ${225}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${15}^{-1}$ noch so um, dass sie $225$ als Basis hat:

${15}^{-1}$ = ${\left({225}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${225}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${15}^{-1}$ = ${225}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $225$ suchen, also die Hochzahl mit der man $225$ potenzieren muss, um auf ${15}^{-1}$ = ${225}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $225$^☐ = ${15}^{-1}$ = ${225}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $225$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{15}$ gilt .

Wir suchen $16$er-Potenzen in der Näher von $237$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $237$ ist.

Dabei kommt man auf $16$ = 16¹ < $237$ und auf ${16}^2$ = 16² > $237$.

Und da wir bei ja das ☐ von 16^☐ = $237$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
16¹ = $16$ < $237$ < ${16}^2$ = 16²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,1}x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-1}\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-1+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)-1$

$\lg \left(400\right)$ - $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{400}{4}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $-\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{4x}\right)+\lg \left(50x^4\right)+\lg \left(\frac{5}{x^5}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-1}\right)+\lg \left(50x^4\right)+\lg \left(5x^{-5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-5\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-5\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50·5·4)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$