Wir suchen den Logarithmus von $100000000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $100000000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $100000000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $8$, eben weil $10$^$8$ = $100000000$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{256}$ zur Basis $16$, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{256}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $\frac{1}{256}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $16$-Potenz zu schreiben versuchen, also $16$^☐ = $\frac{1}{256}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $16$^$-2$ = $\frac{1}{256}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{14}$ um: $\sqrt{14}$ = ${14}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${14}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $14$ suchen, also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf ${14}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$^☐ = ${14}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $14$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{14}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $22460$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $22460$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^4$ = 10⁴ < $22460$ und auf ${10}^5$ = 10⁵ > $22460$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $22460$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 4 und 5 liegen, wegen:
10⁴ = ${10}^4$ < $22460$ < ${10}^5$ = 10⁵

Es gilt somit: 4 < < 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(0.00001x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(0.00001\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-5}\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-5+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)-5$

$\lg \left(25000\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (25000·4)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

$\lg \left(2x\right)+\lg \left(2x^3\right)-\lg \left(4x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(4\right)-\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)$

= $2\lg \left(x\right)-\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·2·2)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $2\lg \left(x\right)$