Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{125}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{125}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{125}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{125}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $5$^$-3$ = $\frac{1}{125}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{3}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $3^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $3$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $61$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $61$ ist.

Dabei kommt man auf $5^2$ = 5² < $61$ und auf $5^3$ = 5³ > $61$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $61$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
5² = $5^2$ < $61$ < $5^3$ = 5³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^2\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $2+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+2$

$\lg \left(250\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250·4)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)+4\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^4\right)+4\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $4\lg \left(x\right)+12\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $15\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{2}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{800}{x}^2\right)+\lg \left(4x\right)$

= $\lg \left(2x^{-3}\right)+\lg \left(\frac{1}{800}{x}^2\right)+\lg \left(4x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+(\lg \left(\frac{1}{800}\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{800}\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{800}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(800\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(800\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{800}·4·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$