Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $4$^$2$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $3$^$-2$ = $\frac{1}{9}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^3$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3^3$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^3$ = ${\left(9^{\frac{1}{2}}\right)}^3$ = $9^{\frac{3}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $3^3$ = $9^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^3$ = $9^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3^3$ = $9^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $9$^{$\frac{3}{2}$} = $27$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $8$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $8$ ist.

Dabei kommt man auf $3$ = 3¹ < $8$ und auf $3^2$ = 3² > $8$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $8$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
3¹ = $3$ < $8$ < $3^2$ = 3²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{100000}{x}\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000\right)-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^5\right)-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $5-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-6\lg \left(x\right)+5$

${\log }_{17}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>14</mn><mspace\; width="thinmathspace"></mspace><mn>450</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_{17}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>50</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_{17}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>14450</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>50</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{17}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>289</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{17}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>17</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $4\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-8\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-9\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{4}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{8}{x}^3\right)+\lg \left(2x^3\right)$

= $\lg \left(4x^{-2}\right)+\lg \left(\frac{1}{8}{x}^3\right)+\lg \left(2x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+(\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(8\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)$

= $4\lg \left(x\right)-\lg \left(8\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{8}·4·2)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $4\lg \left(x\right)$