Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $3$^$-2$ = $\frac{1}{9}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{3}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $3^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $3$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{6}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{6}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^2}$ = 3^-2 < $\frac{1}{6}$ und auf $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 3^-1 > $\frac{1}{6}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{6}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
3^-2 = $\frac{1}{3^2}$ = $\frac{1}{9}$ < $\frac{1}{6}$ < $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 3^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^5\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $5+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)+5$

$\lg \left(4000\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (4000·25)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)+\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-\frac{9}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(5x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{125x^4}\right)+\lg \left(\frac{25}{x}\right)$

= $\lg \left(5x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{125}{x}^{-4}\right)+\lg \left(25x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(\frac{1}{125}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{125}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{125}\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(125\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(125\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{125}·25·5)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$