Wir suchen den Logarithmus von $128$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $128$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $128$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $7$, eben weil $2$^$7$ = $128$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $3$^$-2$ = $\frac{1}{9}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2$ = $4^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $2$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{91}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{91}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{128}$ = $\frac{1}{2^7}$ = 2^-7 < $\frac{1}{91}$ und auf $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{2^6}$ = 2^-6 > $\frac{1}{91}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{91}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -7 und -6 liegen, wegen:
2^-7 = $\frac{1}{2^7}$ = $\frac{1}{128}$ < $\frac{1}{91}$ < $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{2^6}$ = 2^-6

Es gilt somit: -7 < < -6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $3$

${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>8</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)-2\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $4\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)-2\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+6\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{9}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(20x^2\right)+\lg \left(\frac{50}{x^5}\right)-\lg \left(\frac{100}{x^3}\right)$

= $\lg \left(20x^2\right)+\lg \left(50x^{-5}\right)-\lg \left(100x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))-(\lg \left(100\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)-\lg \left(100\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(100\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}·50·20)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$