Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $5$^$2$ = $25$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{121}$ zur Basis $11$, also die Hochzahl mit der man $11$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{121}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $11$^☐ = $\frac{1}{121}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $11$-Potenz zu schreiben versuchen, also $11$^☐ = $\frac{1}{121}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $11$^$-2$ = $\frac{1}{121}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{2}$ um: $\frac{1}{2}$ = $2^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2^{-1}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{-1}$ = ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{2}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{51}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{51}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{81}$ = $\frac{1}{3^4}$ = 3^-4 < $\frac{1}{51}$ und auf $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^3}$ = 3^-3 > $\frac{1}{51}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{51}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
3^-4 = $\frac{1}{3^4}$ = $\frac{1}{81}$ < $\frac{1}{51}$ < $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^3}$ = 3^-3

Es gilt somit: -4 < < -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{100000}{x}\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000\right)-\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^5\right)-\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $5-\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-5\lg \left(x\right)+5$

$\lg \left(2500\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2500·4)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $2\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{5}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{20}{x^7}\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{50x^4}\right)$

= $\lg \left(20x^{-7}\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)+(\lg \left(1\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50·20)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$