Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $3$^$4$ = $81$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{12}$ zur Basis $12$, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{12}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$^☐ = $\sqrt[4]{12}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{12}$ als ${12}^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $12$^☐ = ${12}^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $12$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{12}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^3$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3^3$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^3$ = ${\left(9^{\frac{1}{2}}\right)}^3$ = $9^{\frac{3}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $3^3$ = $9^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^3$ = $9^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3^3$ = $9^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $9$^{$\frac{3}{2}$} = $27$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $5$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $5$ ist.

Dabei kommt man auf $2^2$ = 2² < $5$ und auf $2^3$ = 2³ > $5$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $5$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
2² = $2^2$ < $5$ < $2^3$ = 2³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{1000000}{x}\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $6-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)+6$

$\lg \left(20000\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20000·50)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+4\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $-2\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^{-1}\right)+4\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-6\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-9\lg \left(x\right)$

$\lg \left(20x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^3\right)+\lg \left(\frac{1}{40}x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(x\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(40\right)+\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(40\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{40}·20·20)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$