Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $5$^$2$ = $25$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\sqrt[5]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{5}$ als $5^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$^☐ = $5^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{5}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $25$^{$\frac{1}{2}$} = $5$ gilt .

Wir suchen $16$er-Potenzen in der Näher von $229$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $229$ ist.

Dabei kommt man auf $16$ = 16¹ < $229$ und auf ${16}^2$ = 16² > $229$.

Und da wir bei ja das ☐ von 16^☐ = $229$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
16¹ = $16$ < $229$ < ${16}^2$ = 16²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{100000000}{x}\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)-\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)-\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $8-\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-5\lg \left(x\right)+8$

$\lg \left(\mathrm{0,5}\right)$ - $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.5}{50}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+4\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-3}\right)+4\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{500000}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{25}{x^5}\right)-\lg \left(\frac{1}{20x^3}\right)$

= $-\lg \left(500000x^{-2}\right)+\lg \left(25x^{-5}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(500000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $-\lg \left(500000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(500000\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(500000\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(500000\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{500.000}·25·20)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$