Wir suchen den Logarithmus von $169$ zur Basis $13$, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $169$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$^☐ = $169$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $13$^$2$ = $169$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{\mathrm{1.000.000.000}}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{\mathrm{1.000.000.000}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000.000}}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000.000}}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-9$, eben weil $10$^$-9$ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000.000}}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{10000000}$ um: $\sqrt{10000000}$ = ${10000000}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $10000000$ eine Potenz ist: $10000000$ = ${10}^7$

Also schreiben wir $\sqrt{10000000}$ = ${10000000}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^7\right)}^{\frac{1}{2}}$ = ${10}^{\frac{7}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{\frac{7}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{7}{2}$, eben weil $10$^{$\frac{7}{2}$} = $\sqrt{10000000}$ gilt .

Wir suchen $17$er-Potenzen in der Näher von $151$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $151$ ist.

Dabei kommt man auf $17$ = 17¹ < $151$ und auf ${17}^2$ = 17² > $151$.

Und da wir bei ja das ☐ von 17^☐ = $151$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
17¹ = $17$ < $151$ < ${17}^2$ = 17²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $7+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+7$

$\lg \left(500000000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500000000·2)$

= $\lg \left(1000000000\right)$

= $\lg \left({10}^9\right)$

= 9

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $3\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{1250}{x}^4\right)+\lg \left(\frac{50}{x^5}\right)+\lg \left(25\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{1250}{x}^4\right)+\lg \left(50x^{-5}\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{1250}\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{1250}\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{1250}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(1250\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+0$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1250}·50·25)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·25)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$