Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $5$^$3$ = $125$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\sqrt[3]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{4}$ als $4^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$^☐ = $4^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{3}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $3^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $3$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{2}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{2}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1 < $\frac{1}{2}$ und auf $1$ = $1$ = 5^-0 > $\frac{1}{2}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{2}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
5^-1 = $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ < $\frac{1}{2}$ < $1$ = $1$ = 5^-0

Es gilt somit: -1 < < -0

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $6$

$\lg \left(20000\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20000·50)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $2\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{80x^2}\right)+\lg \left(4x^2\right)$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{80}{x}^{-2}\right)+\lg \left(4x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+0+\lg \left(\frac{1}{80}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+0+\lg \left(1\right)-\lg \left(80\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(80\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{80}·4·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$