Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $3$^$3$ = $27$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{3}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\sqrt[4]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{3}$ als $3^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$^☐ = $3^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{3}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{5}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $5^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ gilt .

Wir suchen $14$er-Potenzen in der Näher von $47$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $47$ ist.

Dabei kommt man auf $14$ = 14¹ < $47$ und auf ${14}^2$ = 14² > $47$.

Und da wir bei ja das ☐ von 14^☐ = $47$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
14¹ = $14$ < $47$ < ${14}^2$ = 14²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000000x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000000\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{10}\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $10+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)+10$

${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>5</mn><mspace\; width="thinmathspace"></mspace><mn>120</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>20</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>5120</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>20</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>256</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; <mrow><mn>8</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^2\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(25x^2\right)+\lg \left(25x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{625x^8}\right)$

= $\lg \left(25x^2\right)+\lg \left(25x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{625}{x}^{-8}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(\frac{1}{625}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{625}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{625}\right)-8\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(625\right)-8\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(625\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{625}·25·25)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·25)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$