Wir suchen den Logarithmus von $10000000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10000000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $10000000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $7$, eben weil $10$^$7$ = $10000000$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{1000}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{1000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{1000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{1000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $10$^$-3$ = $\frac{1}{1000}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{17}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{17}}$ = ${17}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${17}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $17$ suchen, also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf ${17}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$^☐ = ${17}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $17$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{17}}$ gilt .

Wir suchen $13$er-Potenzen in der Näher von $149$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $149$ ist.

Dabei kommt man auf $13$ = 13¹ < $149$ und auf ${13}^2$ = 13² > $149$.

Und da wir bei ja das ☐ von 13^☐ = $149$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
13¹ = $13$ < $149$ < ${13}^2$ = 13²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,1}x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-1}\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-1+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)-1$

${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>200</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>50</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>200</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>50</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\sqrt{x}\right)+2\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+4\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $4\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+2\lg \left(x^{-3}\right)+4\lg \left(x^{-1}\right)$
= $2\lg \left(x\right)-6\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-8\lg \left(x\right)$

$\lg \left(5x^3\right)+\lg \left(\frac{25}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1250}{x}\right)$

= $\lg \left(5x^3\right)+\lg \left(25x^{-4}\right)-\lg \left(1250x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))-(\lg \left(1250\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(1250\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)+\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(1250\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1250}·25·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$