Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $3$^$4$ = $81$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{225}$ zur Basis $15$, also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{225}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$^☐ = $\frac{1}{225}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $15$-Potenz zu schreiben versuchen, also $15$^☐ = $\frac{1}{225}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $15$^$-2$ = $\frac{1}{225}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 15 sondern zur Basis $225$ suchen und $225$ gerade 15² ist (also 15 = $\sqrt{225}$ = ${225}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $15$ noch so um, dass sie $225$ als Basis hat:

$15$ = ${225}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $15$ = ${225}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $225$ suchen, also die Hochzahl mit der man $225$ potenzieren muss, um auf $15$ = ${225}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $225$^☐ = $15$ = ${225}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $225$^{$\frac{1}{2}$} = $15$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $24$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $24$ ist.

Dabei kommt man auf $4^2$ = 4² < $24$ und auf $4^3$ = 4³ > $24$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $24$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
4² = $4^2$ < $24$ < $4^3$ = 4³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{\mathrm{0,01}}{x}\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-2}\right)-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $-2-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)-2$

$\lg \left(40000000\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40000000·25)$

= $\lg \left(1000000000\right)$

= $\lg \left({10}^9\right)$

= 9

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $4\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{100.000}{x}^4\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^5\right)-\lg \left(\frac{1}{2x}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{100.000}{x}^4\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^5\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)+\lg \left(x^4\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^5\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^5\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(100000\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(100000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100.000}·50·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$