Wir suchen den Logarithmus von $196$ zur Basis $14$, also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $196$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$^☐ = $196$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $14$^$2$ = $196$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Man kann erkennen, dass $100000$ eine Potenz ist: $100000$ = ${10}^5$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^5$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^5$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^5$ = ${100}^{\frac{5}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^5$ = ${100}^{\frac{5}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^5$ = ${100}^{\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^5$ = ${100}^{\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{5}{2}$, eben weil $100$^{$\frac{5}{2}$} = $100000$ gilt .

Wir suchen $12$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{25}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{25}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{144}$ = $\frac{1}{{12}^2}$ = 12^-2 < $\frac{1}{25}$ und auf $\frac{1}{12}$ = $\frac{1}{12}$ = 12^-1 > $\frac{1}{25}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 12^☐ = $\frac{1}{25}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
12^-2 = $\frac{1}{{12}^2}$ = $\frac{1}{144}$ < $\frac{1}{25}$ < $\frac{1}{12}$ = $\frac{1}{12}$ = 12^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $5$

$\lg \left(\mathrm{0,02}\right)$ - $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.02}{2}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $3\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{2}{x^2}\right)+\lg \left(5x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{10x}\right)$

= $\lg \left(2x^{-2}\right)+\lg \left(5x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{10}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{10}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(10\right)-\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{10}·5·2)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$