Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $4$^$3$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{3}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\sqrt{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$^☐ = $3^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{3}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $64$ eine Potenz ist: $64$ = $4^3$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4^3$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^3$ = ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^3$ = ${16}^{\frac{3}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $4^3$ = ${16}^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^3$ = ${16}^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4^3$ = ${16}^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $16$^{$\frac{3}{2}$} = $64$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $3$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $3$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $3$ und auf $4$ = 4¹ > $3$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $3$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $3$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < < 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^4\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $4+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+4$

$\lg \left(25000\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (25000·4)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $-2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $-\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{5}x\right)+\lg \left(\frac{1}{25x}\right)+\lg \left(50x^2\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}x\right)+\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-1}\right)+\lg \left(50x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)-\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{50}{25}·5)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$