Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $3$^$3$ = $27$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{2}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\sqrt{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $10$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = $10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $100$^{$\frac{1}{2}$} = $10$ gilt .

Wir suchen $12$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{67}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{67}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{144}$ = $\frac{1}{{12}^2}$ = 12^-2 < $\frac{1}{67}$ und auf $\frac{1}{12}$ = $\frac{1}{12}$ = 12^-1 > $\frac{1}{67}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 12^☐ = $\frac{1}{67}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
12^-2 = $\frac{1}{{12}^2}$ = $\frac{1}{144}$ < $\frac{1}{67}$ < $\frac{1}{12}$ = $\frac{1}{12}$ = 12^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $7+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)+7$

$\lg \left(500000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500000·2)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-2\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $-2\lg \left(x^{-2}\right)-2\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $4\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{5x}\right)+\lg \left(\frac{1}{2500x^5}\right)+\lg \left(5x^4\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-1}\right)+\lg \left(\frac{1}{2500}{x}^{-5}\right)+\lg \left(5x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(\frac{1}{2500}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{2500}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{2500}\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(2500\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(2500\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2500}·5·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$