Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $3$^$4$ = $81$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{128}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{128}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{128}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{128}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-7$, eben weil $2$^$-7$ = $\frac{1}{128}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{125}$ um: $\frac{1}{125}$ = ${125}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{125}$ = ${125}^{-1}$ = ${\left(5^3\right)}^{-1}$ = $5^{-3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5^{-3}$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^{-3}$ = ${\left({25}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$ = ${25}^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-3}$ = ${25}^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^{-3}$ = ${25}^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5^{-3}$ = ${25}^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $25$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{125}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $10$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $10$ ist.

Dabei kommt man auf $4$ = 4¹ < $10$ und auf $4^2$ = 4² > $10$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $10$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
4¹ = $4$ < $10$ < $4^2$ = 4²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $2$

$\lg \left(400\right)$ - $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{400}{4}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(x^3\right)$
= $12\lg \left(x\right)$
= $12\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{25x}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{25}{2x^2}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{25}{2}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(\frac{25}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{25}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{25}{2}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50·2)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$