Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $4$^$3$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\sqrt{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{4}$ als $4^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{2}$ um: $\sqrt{2}$ = $2^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

Wir suchen $19$er-Potenzen in der Näher von $138$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $138$ ist.

Dabei kommt man auf $19$ = 19¹ < $138$ und auf ${19}^2$ = 19² > $138$.

Und da wir bei ja das ☐ von 19^☐ = $138$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
19¹ = $19$ < $138$ < ${19}^2$ = 19²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{1000}{x}\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000\right)-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^3\right)-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $3-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+3$

$\lg \left(40\right)$ - $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{40}{4}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $-2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^7\right)-\lg \left(\frac{1}{4x^3}\right)-\lg \left(\frac{2}{x^4}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^7\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-3}\right)-\lg \left(2x^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^7\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))-(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x^7\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(2\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-7\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-7\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{5·4}{2}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$