Wir suchen den Logarithmus von $8$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $8$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $8$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $2$^$3$ = $8$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{18}$ zur Basis $18$, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{18}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$^☐ = $\sqrt[5]{18}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{18}$ als ${18}^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $18$^☐ = ${18}^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $18$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{18}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{8}$ um: $\sqrt{8}$ = $8^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $8$ eine Potenz ist: $8$ = $2^3$

Also schreiben wir $\sqrt{8}$ = $8^{\frac{1}{2}}$ = ${\left(2^3\right)}^{\frac{1}{2}}$ = $2^{\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $2$^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{8}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $891751$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $891751$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^5$ = 10⁵ < $891751$ und auf ${10}^6$ = 10⁶ > $891751$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $891751$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
10⁵ = ${10}^5$ < $891751$ < ${10}^6$ = 10⁶

Es gilt somit: 5 < < 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000000x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000000\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^9\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $9+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $9$

$\lg \left(4000\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (4000·25)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{4}x\right)+\lg \left(\frac{20}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{8000}{x}^2\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}x\right)+\lg \left(20x^{-1}\right)+\lg \left(\frac{1}{8000}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(\frac{1}{8000}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{8000}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{8000}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(8000\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(8000\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{8000}·20·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$