Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $4$^$2$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{64}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{64}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{64}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{64}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $4$^$-3$ = $\frac{1}{64}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 19 sondern zur Basis $361$ suchen und $361$ gerade 19² ist (also 19 = $\sqrt{361}$ = ${361}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $19$ noch so um, dass sie $361$ als Basis hat:

$19$ = ${361}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $19$ = ${361}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $361$ suchen, also die Hochzahl mit der man $361$ potenzieren muss, um auf $19$ = ${361}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $361$^☐ = $19$ = ${361}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $361$^{$\frac{1}{2}$} = $19$ gilt .

Wir suchen $13$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{94}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{94}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{169}$ = $\frac{1}{{13}^2}$ = 13^-2 < $\frac{1}{94}$ und auf $\frac{1}{13}$ = $\frac{1}{13}$ = 13^-1 > $\frac{1}{94}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 13^☐ = $\frac{1}{94}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
13^-2 = $\frac{1}{{13}^2}$ = $\frac{1}{169}$ < $\frac{1}{94}$ < $\frac{1}{13}$ = $\frac{1}{13}$ = 13^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10000}{x}\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000\right)-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^4\right)-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)+4$

${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>180</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>20</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>180</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>20</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>9</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+2\lg \left(x^3\right)-2\lg \left(x^2\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+2\lg \left(x^3\right)-2\lg \left(x^2\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+6\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\frac{5}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{25}{2}{x}^2\right)+\lg \left(20x\right)+\lg \left(\frac{4}{x^3}\right)$

= $\lg \left(\frac{25}{2}{x}^2\right)+\lg \left(20x\right)+\lg \left(4x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{25}{2}\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(\frac{25}{2}\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{25}{2}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)-\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{25·20·4}{2}\right)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$