Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $4$^$1$ = $4$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $3$^$-3$ = $\frac{1}{27}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{12}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{12}}$ = ${12}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${12}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $12$ suchen, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf ${12}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$^☐ = ${12}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $12$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{12}}$ gilt .

Wir suchen $17$er-Potenzen in der Näher von $262$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $262$ ist.

Dabei kommt man auf $17$ = 17¹ < $262$ und auf ${17}^2$ = 17² > $262$.

Und da wir bei ja das ☐ von 17^☐ = $262$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
17¹ = $17$ < $262$ < ${17}^2$ = 17²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $2$

$\lg \left(\mathrm{0,05}\right)$ - $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.05}{50}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $-2\lg \left(x^{-1}\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $2\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{5}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(2x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

= $\lg \left(2x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+0+\lg \left(1\right)-4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+0+\lg \left(1\right)-4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50·2)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$