Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $3$^$4$ = $81$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $3$^$-3$ = $\frac{1}{27}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 11 sondern zur Basis $121$ suchen und $121$ gerade 11² ist (also 11 = $\sqrt{121}$ = ${121}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $11$ noch so um, dass sie $121$ als Basis hat:

$11$ = ${121}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $11$ = ${121}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $121$ suchen, also die Hochzahl mit der man $121$ potenzieren muss, um auf $11$ = ${121}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $121$^☐ = $11$ = ${121}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $121$^{$\frac{1}{2}$} = $11$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $85$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $85$ ist.

Dabei kommt man auf $2^6$ = 2⁶ < $85$ und auf $2^7$ = 2⁷ > $85$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $85$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
2⁶ = $2^6$ < $85$ < $2^7$ = 2⁷

Es gilt somit: 6 < < 7

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000000x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000000\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^9\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $9+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $9$

$\lg \left(2000\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2000·50)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $2\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $-6\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(50x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{1000}\right)-\lg \left(\frac{1}{20x}\right)$

= $\lg \left(50x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{1000}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(1\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+0-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(1000\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1000}·50·20)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$