Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $5$^$1$ = $5$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{4}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{4}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-1$, eben weil $4$^$-1$ = $\frac{1}{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{4}$ um: $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

Wir suchen $11$er-Potenzen in der Näher von $57$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $57$ ist.

Dabei kommt man auf $11$ = 11¹ < $57$ und auf ${11}^2$ = 11² > $57$.

Und da wir bei ja das ☐ von 11^☐ = $57$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
11¹ = $11$ < $57$ < ${11}^2$ = 11²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000000x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000000\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^9\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $9+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+9$

$\lg \left(40000\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40000·25)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)-2\lg \left(x^4\right)$
= $4\lg \left(x\right)-8\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{8x}\right)+\lg \left(\frac{4}{x^3}\right)+\lg \left(2x^2\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{8}{x}^{-1}\right)+\lg \left(4x^{-3}\right)+\lg \left(2x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{8}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(8\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(8\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{8}·4·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$