Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $5$^$2$ = $25$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{144}$ zur Basis $12$, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{144}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$^☐ = $\frac{1}{144}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $12$-Potenz zu schreiben versuchen, also $12$^☐ = $\frac{1}{144}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $12$^$-2$ = $\frac{1}{144}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^3$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3^3$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^3$ = ${\left(9^{\frac{1}{2}}\right)}^3$ = $9^{\frac{3}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $3^3$ = $9^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^3$ = $9^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3^3$ = $9^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $9$^{$\frac{3}{2}$} = $27$ gilt .

Wir suchen $11$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{61}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{61}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{121}$ = $\frac{1}{{11}^2}$ = 11^-2 < $\frac{1}{61}$ und auf $\frac{1}{11}$ = $\frac{1}{11}$ = 11^-1 > $\frac{1}{61}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 11^☐ = $\frac{1}{61}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
11^-2 = $\frac{1}{{11}^2}$ = $\frac{1}{121}$ < $\frac{1}{61}$ < $\frac{1}{11}$ = $\frac{1}{11}$ = 11^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^4\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $4+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+4$

$\lg \left(250\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250·4)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\frac{3}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(5x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^2}\right)-\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(5x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-2}\right)-\lg \left(10\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(10\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(10\right)-\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+0$

= $4\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{10}·5·2)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $4\lg \left(x\right)$