Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $3$^$2$ = $9$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{5}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $5^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $15$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $15$ ist.

Dabei kommt man auf $3^2$ = 3² < $15$ und auf $3^3$ = 3³ > $15$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $15$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
3² = $3^2$ < $15$ < $3^3$ = 3³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $1+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+1$

$\lg \left(500\right)$ - $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{500}{5}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $2\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-6\lg \left(x\right)$
= $-6\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{4x^3}\right)-\lg \left(2x^4\right)+\lg \left(5x\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-3}\right)-\lg \left(2x^4\right)+\lg \left(5x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))-(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(2\right)-\lg \left(x^4\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(2\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(2\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{5·4}{2}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$