Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $3$^$3$ = $27$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{13}$ zur Basis $13$, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{13}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$^☐ = $\sqrt[4]{13}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{13}$ als ${13}^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $13$^☐ = ${13}^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $13$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{13}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $1000000000$ eine Potenz ist: $1000000000$ = ${10}^9$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^9$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^9$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^9$ = ${100}^{\frac{9}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^9$ = ${100}^{\frac{9}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^9$ = ${100}^{\frac{9}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^9$ = ${100}^{\frac{9}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{9}{2}$, eben weil $100$^{$\frac{9}{2}$} = $1000000000$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{\mathrm{12.451.557}}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{\mathrm{12.451.557}}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{100000000}$ = $\frac{1}{{10}^8}$ = 10^-8 < $\frac{1}{\mathrm{12.451.557}}$ und auf $\frac{1}{10000000}$ = $\frac{1}{{10}^7}$ = 10^-7 > $\frac{1}{\mathrm{12.451.557}}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{\mathrm{12.451.557}}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -8 und -7 liegen, wegen:
10^-8 = $\frac{1}{{10}^8}$ = $\frac{1}{100000000}$ < $\frac{1}{\mathrm{12.451.557}}$ < $\frac{1}{10000000}$ = $\frac{1}{{10}^7}$ = 10^-7

Es gilt somit: -8 < < -7

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{100000000}{x}\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $8-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+8$

$\lg \left(2000000\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2000000·50)$

= $\lg \left(100000000\right)$

= $\lg \left({10}^8\right)$

= 8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(50x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{50}x\right)-\lg \left(2500\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(2500\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(2500\right)-\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(2500\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(2500\right)+0$

= $2\lg \left(x\right)-\lg \left(2500\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(50\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2500}·50·50)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{50}·50)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $2\lg \left(x\right)$