Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $5$, eben weil $2$^$5$ = $32$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $3$^$-2$ = $\frac{1}{9}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{10000000}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{10000000}}$ = ${10000000}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $10000000$ eine Potenz ist: $10000000$ = ${10}^7$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{10000000}}$ = ${10000000}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^7\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = ${10}^{-\frac{7}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-\frac{7}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{-\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{7}{2}$, eben weil $10$^{$-\frac{7}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{10000000}}$ gilt .

Wir suchen $19$er-Potenzen in der Näher von $242$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $242$ ist.

Dabei kommt man auf $19$ = 19¹ < $242$ und auf ${19}^2$ = 19² > $242$.

Und da wir bei ja das ☐ von 19^☐ = $242$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
19¹ = $19$ < $242$ < ${19}^2$ = 19²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{1000000}{x}\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $6-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-6\lg \left(x\right)+6$

$\lg \left(25000\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (25000·4)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-\frac{5}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(2x^2\right)+\lg \left(5x\right)-\lg \left(\frac{1}{10}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{10}\right)-\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{10}\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(10\right)-3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (10·5·2)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$