Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $3$^$3$ = $27$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{10000}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{10000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{10000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{10000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $10$^$-4$ = $\frac{1}{10000}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3$ = $9^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $9$^{$\frac{1}{2}$} = $3$ gilt .

Wir suchen $18$er-Potenzen in der Näher von $318$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $318$ ist.

Dabei kommt man auf $18$ = 18¹ < $318$ und auf ${18}^2$ = 18² > $318$.

Und da wir bei ja das ☐ von 18^☐ = $318$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
18¹ = $18$ < $318$ < ${18}^2$ = 18²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $2$

$\lg \left(50\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50·20)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{1000x^3}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(50x^2\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}{x}^{-3}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(50x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+0+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(1000\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+0+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1000}·50·20)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$