Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $3$^$2$ = $9$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-7$, eben weil $10$^$-7$ = $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{3}$ um: $\frac{1}{3}$ = $3^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3^{-1}$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^{-1}$ = ${\left(9^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $9$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{3}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $3$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $3$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 5⁰ < $3$ und auf $5$ = 5¹ > $3$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $3$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
5⁰ = $1$ < $3$ < $5$ = 5¹

Es gilt somit: 0 < < 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^3\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $3+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $3$

$\lg \left(200\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200·50)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^{-3}\right)+2\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-3\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-10\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{80x^3}\right)+\lg \left(4x^4\right)+\lg \left(20x\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{80}{x}^{-3}\right)+\lg \left(4x^4\right)+\lg \left(20x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{80}\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(80\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)$

= $2\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{80}·20·4)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $2\lg \left(x\right)$