Wir suchen den Logarithmus von $324$ zur Basis $18$, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $324$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$^☐ = $324$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $18$^$2$ = $324$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{2}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\sqrt[3]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$^☐ = $2^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{2}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{15}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{15}}$ = ${15}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${15}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $15$ suchen, also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf ${15}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$^☐ = ${15}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $15$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{15}}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $29$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $29$ ist.

Dabei kommt man auf $4^2$ = 4² < $29$ und auf $4^3$ = 4³ > $29$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $29$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
4² = $4^2$ < $29$ < $4^3$ = 4³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $7+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)+7$

$\lg \left(50000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50000·2)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

$\lg \left(5x^3\right)+\lg \left(5x\right)+\lg \left(\frac{2}{5x^4}\right)$

= $\lg \left(5x^3\right)+\lg \left(5x\right)+\lg \left(\frac{2}{5}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(\frac{2}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{2}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{2}{5}\right)-4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(5\right)-4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (5·2)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$