Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{324}$ zur Basis $18$, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{324}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$^☐ = $\frac{1}{324}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $18$-Potenz zu schreiben versuchen, also $18$^☐ = $\frac{1}{324}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $18$^$-2$ = $\frac{1}{324}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{17}$ um: $\sqrt{17}$ = ${17}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${17}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $17$ suchen, also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf ${17}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$^☐ = ${17}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $17$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{17}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $54183661$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $54183661$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^7$ = 10⁷ < $54183661$ und auf ${10}^8$ = 10⁸ > $54183661$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $54183661$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
10⁷ = ${10}^7$ < $54183661$ < ${10}^8$ = 10⁸

Es gilt somit: 7 < < 8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^4\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $4+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)+4$

$\lg \left(40000\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40000·25)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)+4\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)+4\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-\lg \left(x\right)-12\lg \left(x\right)$
= $-13\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{5}{x^3}\right)+\lg \left(2x^6\right)+\lg \left(\frac{1}{10}{x}^2\right)$

= $\lg \left(5x^{-3}\right)+\lg \left(2x^6\right)+\lg \left(\frac{1}{10}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^6\right))+(\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^6\right)+\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+6\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{10}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+6\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(10\right)+2\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{10}·5·2)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$