Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{12}$ zur Basis $12$, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{12}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$^☐ = $\sqrt[3]{12}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{12}$ als ${12}^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $12$^☐ = ${12}^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $12$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{12}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{3}$ um: $\sqrt{3}$ = $3^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{3}$ gilt .

Wir suchen $11$er-Potenzen in der Näher von $55$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $55$ ist.

Dabei kommt man auf $11$ = 11¹ < $55$ und auf ${11}^2$ = 11² > $55$.

Und da wir bei ja das ☐ von 11^☐ = $55$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
11¹ = $11$ < $55$ < ${11}^2$ = 11²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $8$

$\lg \left(20\right)$ - $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{20}{2}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^4\right)$
= $-8\lg \left(x\right)$
= $-8\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{25}{2x}\right)-\lg \left(\frac{1}{25x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^5\right)$

= $-\lg \left(\frac{25}{2}{x}^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-4}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{25}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^5\right))$

= $-\lg \left(\frac{25}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^5\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{25}{2}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-5\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-5\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50·2)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$