Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $5$^$2$ = $25$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\sqrt{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{2}$ um: $\frac{1}{2}$ = $2^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2^{-1}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{-1}$ = ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{2}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{\mathrm{3.825.606}}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{\mathrm{3.825.606}}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{10000000}$ = $\frac{1}{{10}^7}$ = 10^-7 < $\frac{1}{\mathrm{3.825.606}}$ und auf $\frac{1}{1000000}$ = $\frac{1}{{10}^6}$ = 10^-6 > $\frac{1}{\mathrm{3.825.606}}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{\mathrm{3.825.606}}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -7 und -6 liegen, wegen:
10^-7 = $\frac{1}{{10}^7}$ = $\frac{1}{10000000}$ < $\frac{1}{\mathrm{3.825.606}}$ < $\frac{1}{1000000}$ = $\frac{1}{{10}^6}$ = 10^-6

Es gilt somit: -7 < < -6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $3$

$\lg \left(\mathrm{0,02}\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.02}{20}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $2\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{4}{25x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{25x^2}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{4}{25}{x}^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(\frac{4}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{4}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+0+\lg \left(\frac{4}{25}\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+0+\lg \left(4\right)-\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25·4)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$