Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{\mathrm{100.000.000}}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{\mathrm{100.000.000}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{100.000.000}}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{100.000.000}}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-8$, eben weil $10$^$-8$ = $\frac{1}{\mathrm{100.000.000}}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{5}$ um: $\sqrt{5}$ = $5^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

Wir suchen $18$er-Potenzen in der Näher von $317$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $317$ ist.

Dabei kommt man auf $18$ = 18¹ < $317$ und auf ${18}^2$ = 18² > $317$.

Und da wir bei ja das ☐ von 18^☐ = $317$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
18¹ = $18$ < $317$ < ${18}^2$ = 18²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10000000}{x}\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $7-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $7$

$\lg \left(5000\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5000·20)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+4\lg \left(x^3\right)-2\lg \left(x^3\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)+4\lg \left(x^3\right)-2\lg \left(x^3\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+12\lg \left(x\right)-6\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{25x}\right)+\lg \left(\frac{20}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{500}{x}^3\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-1}\right)+\lg \left(20x^{-2}\right)+\lg \left(\frac{1}{500}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{500}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(500\right)+3\lg \left(x\right)$

= $2\lg \left(x\right)-\lg \left(500\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{500}·25·20)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $2\lg \left(x\right)$