Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $4$^$1$ = $4$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{225}$ zur Basis $15$, also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{225}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$^☐ = $\frac{1}{225}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $15$-Potenz zu schreiben versuchen, also $15$^☐ = $\frac{1}{225}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $15$^$-2$ = $\frac{1}{225}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{4}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{4}}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{4}}$ gilt .

Wir suchen $13$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{137}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{137}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{169}$ = $\frac{1}{{13}^2}$ = 13^-2 < $\frac{1}{137}$ und auf $\frac{1}{13}$ = $\frac{1}{13}$ = 13^-1 > $\frac{1}{137}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 13^☐ = $\frac{1}{137}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
13^-2 = $\frac{1}{{13}^2}$ = $\frac{1}{169}$ < $\frac{1}{137}$ < $\frac{1}{13}$ = $\frac{1}{13}$ = 13^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $2$

$\lg \left(\mathrm{0,02}\right)$ - $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.02}{2}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{80}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^3\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^3\right)-\lg \left(80x^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(80\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^3\right)-\lg \left(80\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{80}·20·4)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$