Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $5$, eben weil $2$^$5$ = $32$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{4}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{4}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-1$, eben weil $4$^$-1$ = $\frac{1}{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{128}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{128}}$ = ${128}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $128$ eine Potenz ist: $128$ = $2^7$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{128}}$ = ${128}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left(2^7\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = $2^{-\frac{7}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-\frac{7}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{-\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{-\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{7}{2}$, eben weil $2$^{$-\frac{7}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{128}}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $384$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $384$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^2$ = 10² < $384$ und auf ${10}^3$ = 10³ > $384$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $384$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
10² = ${10}^2$ < $384$ < ${10}^3$ = 10³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(0.00001x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(0.00001\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-5}\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-5+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)-5$

$\lg \left(400\right)$ - $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{400}{4}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\sqrt{x}\right)+2\lg \left(x^3\right)$
= $2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+2\lg \left(x^3\right)$
= $\lg \left(x\right)+6\lg \left(x\right)$
= $7\lg \left(x\right)$

$\lg \left(4x\right)-\lg \left(\frac{100}{x^4}\right)+\lg \left(\frac{25}{x^6}\right)$

= $\lg \left(4x\right)-\lg \left(100x^{-4}\right)+\lg \left(25x^{-6}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)-(\lg \left(100\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-6\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-6\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·25·4)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$