Wir suchen den Logarithmus von $196$ zur Basis $14$, also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $196$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$^☐ = $196$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $14$^$2$ = $196$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{19}$ zur Basis $19$, also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{19}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$^☐ = $\sqrt[3]{19}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{19}$ als ${19}^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $19$^☐ = ${19}^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $19$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{19}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{5}$ um: $\frac{1}{5}$ = $5^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5^{-1}$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^{-1}$ = ${\left({25}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $25$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{5}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $4$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $4$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 5⁰ < $4$ und auf $5$ = 5¹ > $4$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $4$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
5⁰ = $1$ < $4$ < $5$ = 5¹

Es gilt somit: 0 < < 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $1+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)+1$

$\lg \left(50\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50·20)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $4\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $2\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{625}{x^5}\right)+\lg \left(25x^2\right)+\lg \left(\frac{25}{x^2}\right)$

= $-\lg \left(625x^{-5}\right)+\lg \left(25x^2\right)+\lg \left(25x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(625\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(625\right)-\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(625\right)+5\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(625\right)+5\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(625\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{625}·25·25)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·25)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$