Wir suchen den Logarithmus von $289$ zur Basis $17$, also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf $289$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$^☐ = $289$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $17$^$2$ = $289$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-6$, eben weil $10$^$-6$ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{5}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $5^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $22$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $22$ ist.

Dabei kommt man auf $4^2$ = 4² < $22$ und auf $4^3$ = 4³ > $22$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $22$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
4² = $4^2$ < $22$ < $4^3$ = 4³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $7+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $7$

$\lg \left(\mathrm{0,02}\right)$ - $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.02}{2}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{2x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{50x}\right)+\lg \left(\frac{1}{10000x^4}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-1}\right)+\lg \left(\frac{1}{10000}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(\frac{1}{10000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{10000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{10000}\right)-4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(10000\right)-4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(10000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000}·50·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$