Wir suchen den Logarithmus von $128$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $128$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $128$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $7$, eben weil $2$^$7$ = $128$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{64}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{64}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{64}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{64}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $4$^$-3$ = $\frac{1}{64}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 16 sondern zur Basis $256$ suchen und $256$ gerade 16² ist (also 16 = $\sqrt{256}$ = ${256}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $16$ noch so um, dass sie $256$ als Basis hat:

$16$ = ${256}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $16$ = ${256}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $256$ suchen, also die Hochzahl mit der man $256$ potenzieren muss, um auf $16$ = ${256}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $256$^☐ = $16$ = ${256}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $256$^{$\frac{1}{2}$} = $16$ gilt .

Wir suchen $16$er-Potenzen in der Näher von $187$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $187$ ist.

Dabei kommt man auf $16$ = 16¹ < $187$ und auf ${16}^2$ = 16² > $187$.

Und da wir bei ja das ☐ von 16^☐ = $187$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
16¹ = $16$ < $187$ < ${16}^2$ = 16²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{1000000000}{x}\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000000\right)-\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^9\right)-\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $9-\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+9$

$\lg \left(50000000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50000000·2)$

= $\lg \left(100000000\right)$

= $\lg \left({10}^8\right)$

= 8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^3\right)-2\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+4\lg \left(x^4\right)$
= $-2\lg \left(x^3\right)-2\lg \left(x^{-3}\right)+4\lg \left(x^4\right)$
= $-6\lg \left(x\right)+6\lg \left(x\right)+16\lg \left(x\right)$
= $16\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{4x^2}\right)+\lg \left(\frac{2}{x}\right)+\lg \left(20x^3\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-2}\right)+\lg \left(2x^{-1}\right)+\lg \left(20x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{4}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(20\right)-\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{20}{4}·2)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$