Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $4$^$3$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\sqrt[3]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{5}$ als $5^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$^☐ = $5^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{5}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{3}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $3^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $3$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{25}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{25}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^3}$ = 3^-3 < $\frac{1}{25}$ und auf $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^2}$ = 3^-2 > $\frac{1}{25}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{25}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
3^-3 = $\frac{1}{3^3}$ = $\frac{1}{27}$ < $\frac{1}{25}$ < $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^2}$ = 3^-2

Es gilt somit: -3 < < -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,001}x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-3}\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $-3+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)-3$

${\log }_{17}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn><mspace\; width="thinmathspace"></mspace><mn>156</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_{17}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_{17}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1156</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{17}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>289</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{17}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>17</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+4\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $-2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+4\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $\lg \left(x\right)+16\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $21\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{20}{x^5}\right)-\lg \left(\frac{400}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^3}\right)$

= $\lg \left(20x^{-5}\right)-\lg \left(400x^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)-(\lg \left(400\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)-\lg \left(400\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(400\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(400\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(400\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{400}·20·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$