Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $3$^$2$ = $9$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{10}$ als ${10}^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{10}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{10}$ um: $\frac{1}{10}$ = ${10}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^{-1}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^{-1}$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${100}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-1}$ = ${100}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-1}$ = ${100}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^{-1}$ = ${100}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $100$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{10}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $828$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $828$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^2$ = 10² < $828$ und auf ${10}^3$ = 10³ > $828$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $828$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
10² = ${10}^2$ < $828$ < ${10}^3$ = 10³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,0001}x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,0001}\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-4}\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $-4+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)-4$

${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>45</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>45</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>9</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-2\lg \left(\frac{1}{x}\right)+2\lg \left(x^2\right)$
= $\lg \left(x^{-3}\right)-2\lg \left(x^{-1}\right)+2\lg \left(x^2\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^7\right)+\lg \left(\frac{1}{10000}{x}^4\right)+\lg \left(50x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^7\right))+(\lg \left(\frac{1}{10000}\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^7\right)+\lg \left(\frac{1}{10000}\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{10000}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(10000\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(10000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000}·50·20)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$