Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $4$^$2$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{\mathrm{1.000.000.000}}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{\mathrm{1.000.000.000}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000.000}}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000.000}}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-9$, eben weil $10$^$-9$ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000.000}}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $8$ eine Potenz ist: $8$ = $2^3$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2^3$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^3$ = ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^3$ = $4^{\frac{3}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $2^3$ = $4^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^3$ = $4^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2^3$ = $4^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{3}{2}$} = $8$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $619568$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $619568$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^5$ = 10⁵ < $619568$ und auf ${10}^6$ = 10⁶ > $619568$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $619568$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
10⁵ = ${10}^5$ < $619568$ < ${10}^6$ = 10⁶

Es gilt somit: 5 < < 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $4$

$\lg \left(5000\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5000·20)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{16x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(4x^3\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{16}{x}^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(4x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{16}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{16}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{16}\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+0+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(16\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+0+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(16\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{16}·4·4)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$