Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $5$^$2$ = $25$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{256}$ zur Basis $16$, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{256}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $\frac{1}{256}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $16$-Potenz zu schreiben versuchen, also $16$^☐ = $\frac{1}{256}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $16$^$-2$ = $\frac{1}{256}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{11}$ um: $\frac{1}{11}$ = ${11}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 11 sondern zur Basis $121$ suchen und $121$ gerade 11² ist (also 11 = $\sqrt{121}$ = ${121}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${11}^{-1}$ noch so um, dass sie $121$ als Basis hat:

${11}^{-1}$ = ${\left({121}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${121}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${11}^{-1}$ = ${121}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $121$ suchen, also die Hochzahl mit der man $121$ potenzieren muss, um auf ${11}^{-1}$ = ${121}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $121$^☐ = ${11}^{-1}$ = ${121}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $121$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{11}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $51$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $51$ ist.

Dabei kommt man auf $3^3$ = 3³ < $51$ und auf $3^4$ = 3⁴ > $51$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $51$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^3$ < $51$ < $3^4$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $6+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+6$

${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>36</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>36</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>9</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)+2\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^2\right)+2\lg \left(x^{-1}\right)$
= $2\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
=0

$-\lg \left(\frac{1}{5x^6}\right)+\lg \left(\frac{1}{125}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^3\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-6}\right)+\lg \left(\frac{1}{125}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right))+(\lg \left(\frac{1}{125}\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)+\lg \left(\frac{1}{125}\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+6\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{125}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+6\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(125\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)-3\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(125\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{125}·25·5)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$