Wir suchen den Logarithmus von $361$ zur Basis $19$, also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $361$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$^☐ = $361$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $19$^$2$ = $361$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $2$^$-4$ = $\frac{1}{16}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{100000}$ um: $\sqrt{100000}$ = ${100000}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $100000$ eine Potenz ist: $100000$ = ${10}^5$

Also schreiben wir $\sqrt{100000}$ = ${100000}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^5\right)}^{\frac{1}{2}}$ = ${10}^{\frac{5}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{\frac{5}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{5}{2}$, eben weil $10$^{$\frac{5}{2}$} = $\sqrt{100000}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $31$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $31$ ist.

Dabei kommt man auf $3^3$ = 3³ < $31$ und auf $3^4$ = 3⁴ > $31$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $31$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^3$ < $31$ < $3^4$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $6+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)+6$

$\lg \left(500\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500·20)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $4\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $-8\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $-6\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{4}{x^{10}}\right)+\lg \left(25x^2\right)-\lg \left(\frac{100}{x^4}\right)$

= $\lg \left(4x^{-10}\right)+\lg \left(25x^2\right)-\lg \left(100x^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^{10}}\right)+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(100\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^{10}}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(100\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)-10\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)-10\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·25·4)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$