Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $3$^$3$ = $27$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{81}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{81}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{81}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{81}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $3$^$-4$ = $\frac{1}{81}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{128}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{128}}$ = ${128}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $128$ eine Potenz ist: $128$ = $2^7$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{128}}$ = ${128}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left(2^7\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = $2^{-\frac{7}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-\frac{7}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{-\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{-\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{7}{2}$, eben weil $2$^{$-\frac{7}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{128}}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $113$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $113$ ist.

Dabei kommt man auf $2^6$ = 2⁶ < $113$ und auf $2^7$ = 2⁷ > $113$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $113$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
2⁶ = $2^6$ < $113$ < $2^7$ = 2⁷

Es gilt somit: 6 < < 7

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{1000000}{x}\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $6-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+6$

$\lg \left(\mathrm{0,02}\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.02}{20}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(5x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(20x^8\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(1\right))-(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^8\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(1\right)-\lg \left(20\right)-\lg \left(x^8\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+0-\lg \left(20\right)-8\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+0-\lg \left(20\right)-8\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·5·4)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$