Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $5$^$2$ = $25$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{8}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{8}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{8}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{8}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $2$^$-3$ = $\frac{1}{8}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{13}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{13}}$ = ${13}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${13}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $13$ suchen, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf ${13}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$^☐ = ${13}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $13$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{13}}$ gilt .

Wir suchen $13$er-Potenzen in der Näher von $105$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $105$ ist.

Dabei kommt man auf $13$ = 13¹ < $105$ und auf ${13}^2$ = 13² > $105$.

Und da wir bei ja das ☐ von 13^☐ = $105$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
13¹ = $13$ < $105$ < ${13}^2$ = 13²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(0.00001x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(0.00001\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-5}\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $-5+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)-5$

$\lg \left(200\right)$ - $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{200}{2}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)$
= $4\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{4}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{8000}x\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^2}\right)$

= $\lg \left(4x^{-3}\right)+\lg \left(\frac{1}{8000}x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+(\lg \left(\frac{1}{8000}\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{8000}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{8000}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(8000\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(8000\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{8000}·4·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$