Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $3$^$3$ = $27$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{361}$ zur Basis $19$, also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{361}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$^☐ = $\frac{1}{361}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $19$-Potenz zu schreiben versuchen, also $19$^☐ = $\frac{1}{361}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $19$^$-2$ = $\frac{1}{361}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{4}$ um: $\frac{1}{4}$ = $4^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4^{-1}$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^{-1}$ = ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $16$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{4}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{15}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{15}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^3}$ = 3^-3 < $\frac{1}{15}$ und auf $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^2}$ = 3^-2 > $\frac{1}{15}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{15}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
3^-3 = $\frac{1}{3^3}$ = $\frac{1}{27}$ < $\frac{1}{15}$ < $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^2}$ = 3^-2

Es gilt somit: -3 < < -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $1+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)+1$

$\lg \left(5000\right)$ - $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{5000}{50}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $4\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-\frac{3}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(5x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^4\right)-\lg \left(\frac{10000}{x^3}\right)$

= $\lg \left(5x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^4\right)-\lg \left(10000x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^4\right))-(\lg \left(10000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^4\right)-\lg \left(10000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(10000\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(10000\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(10000\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000}·20·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$