Wir suchen den Logarithmus von $128$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $128$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $128$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $7$, eben weil $2$^$7$ = $128$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $3$^$-2$ = $\frac{1}{9}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $10$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = $10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $100$^{$\frac{1}{2}$} = $10$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $34$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $34$ ist.

Dabei kommt man auf $2^5$ = 2⁵ < $34$ und auf $2^6$ = 2⁶ > $34$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $34$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
2⁵ = $2^5$ < $34$ < $2^6$ = 2⁶

Es gilt somit: 5 < < 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000000x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000000\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^9\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $9+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+9$

$\lg \left(40\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40·25)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{5x}\right)+\lg \left(2x^2\right)+\lg \left(\frac{25}{x}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-1}\right)+\lg \left(2x^2\right)+\lg \left(25x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)-\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{25}{5}·2)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$