Wir suchen den Logarithmus von $128$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $128$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $128$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $7$, eben weil $2$^$7$ = $128$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{3}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\sqrt[3]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{3}$ als $3^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$^☐ = $3^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{3}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{2}$ um: $\sqrt{2}$ = $2^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

Wir suchen $11$er-Potenzen in der Näher von $80$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $80$ ist.

Dabei kommt man auf $11$ = 11¹ < $80$ und auf ${11}^2$ = 11² > $80$.

Und da wir bei ja das ☐ von 11^☐ = $80$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
11¹ = $11$ < $80$ < ${11}^2$ = 11²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^3\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $3+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)+3$

${\log }_{12}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>432</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_{12}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_{12}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>432</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{12}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>144</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{12}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>12</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)-2\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)-2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(1250x\right)+\lg \left(50x^3\right)+\lg \left(\frac{25}{x^3}\right)$

= $-\lg \left(1250x\right)+\lg \left(50x^3\right)+\lg \left(25x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(1250\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $-\lg \left(1250\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(1250\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1250\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1250}·50·25)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·25)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$