Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $5$^$1$ = $5$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{81}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{81}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{81}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{81}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $3$^$-4$ = $\frac{1}{81}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{5}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $5^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $7$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $7$ ist.

Dabei kommt man auf $2^2$ = 2² < $7$ und auf $2^3$ = 2³ > $7$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $7$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
2² = $2^2$ < $7$ < $2^3$ = 2³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10000}{x}\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000\right)-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^4\right)-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $4-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+4$

$\lg \left(40\right)$ - $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{40}{4}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)+4\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^4\right)+4\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^{-3}\right)$
= $4\lg \left(x\right)+16\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $17\lg \left(x\right)$

$\lg \left(50x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{1250000x}\right)+\lg \left(\frac{25}{x^2}\right)$

= $\lg \left(50x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{\mathrm{1.250.000}}{x}^{-1}\right)+\lg \left(25x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(\frac{1}{\mathrm{1.250.000}}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{\mathrm{1.250.000}}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{\mathrm{1.250.000}}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(1250000\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(1250000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{\mathrm{1.250.000}}·50·25)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$