Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $3$^$3$ = $27$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\sqrt[3]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{5}$ als $5^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$^☐ = $5^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{5}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{4}$ um: $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $41$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $41$ ist.

Dabei kommt man auf $4^2$ = 4² < $41$ und auf $4^3$ = 4³ > $41$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $41$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
4² = $4^2$ < $41$ < $4^3$ = 4³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000000x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000000\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^9\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $9+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+9$

$\lg \left(250\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250·4)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{500}x\right)+\lg \left(\frac{20}{x^2}\right)+\lg \left(25x^4\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{500}x\right)+\lg \left(20x^{-2}\right)+\lg \left(25x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(x\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(500\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(500\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{500}·25·20)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$