Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $4$^$2$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt[3]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{10}$ als ${10}^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{10}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{4}$ um: $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

Wir suchen $11$er-Potenzen in der Näher von $90$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $90$ ist.

Dabei kommt man auf $11$ = 11¹ < $90$ und auf ${11}^2$ = 11² > $90$.

Und da wir bei ja das ☐ von 11^☐ = $90$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
11¹ = $11$ < $90$ < ${11}^2$ = 11²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $6+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+6$

${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>250</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>50</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>250</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>50</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)+2\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-6\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{20x^2}\right)+\lg \left(\frac{25}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{50}x\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-2}\right)+\lg \left(25x^{-3}\right)+\lg \left(\frac{1}{50}x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{50}·25·20)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$