Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $4$^$3$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{361}$ zur Basis $19$, also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{361}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$^☐ = $\frac{1}{361}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $19$-Potenz zu schreiben versuchen, also $19$^☐ = $\frac{1}{361}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $19$^$-2$ = $\frac{1}{361}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{4}$ um: $\frac{1}{4}$ = $4^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4^{-1}$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^{-1}$ = ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $16$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{4}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $25$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $25$ ist.

Dabei kommt man auf $2^4$ = 2⁴ < $25$ und auf $2^5$ = 2⁵ > $25$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $25$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 4 und 5 liegen, wegen:
2⁴ = $2^4$ < $25$ < $2^5$ = 2⁵

Es gilt somit: 4 < < 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10000}{x}\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000\right)-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^4\right)-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $4-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+4$

$\lg \left(250000\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250000·4)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^3\right)+4\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $-2\lg \left(x^3\right)+4\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $-6\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{250x^5}\right)+\lg \left(5x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{5x^2}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{250}{x}^{-5}\right)+\lg \left(5x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{250}\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(250\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(250\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250}·5·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$