Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $4$^$1$ = $4$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{4}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{4}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-1$, eben weil $4$^$-1$ = $\frac{1}{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{125}$ um: $\sqrt{125}$ = ${125}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^3$

Also schreiben wir $\sqrt{125}$ = ${125}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left(5^3\right)}^{\frac{1}{2}}$ = $5^{\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $5$^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{125}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{5}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{5}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4^2}$ = 4^-2 < $\frac{1}{5}$ und auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1 > $\frac{1}{5}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{5}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
4^-2 = $\frac{1}{4^2}$ = $\frac{1}{16}$ < $\frac{1}{5}$ < $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{\mathrm{0,1}}{x}\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-1}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $-1-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $-1$

$\lg \left(500\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500·2)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)-2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)-2\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\frac{17}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{2x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{25x}\right)+\lg \left(\frac{1}{50x^6}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-1}\right)+\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-6}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{50}\right)-6\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(50\right)-6\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{50}·25·2)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$