Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $4$^$3$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{5}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{5}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-1$, eben weil $5$^$-1$ = $\frac{1}{5}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{4}$ um: $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $49$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $49$ ist.

Dabei kommt man auf $3^3$ = 3³ < $49$ und auf $3^4$ = 3⁴ > $49$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $49$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^3$ < $49$ < $3^4$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^5\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)+5$

$\lg \left(\mathrm{0,05}\right)$ - $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.05}{50}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)-2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+4\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^2\right)-2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+4\lg \left(x^{-3}\right)$
= $2\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)-12\lg \left(x\right)$
= $-9\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^2\right)+\lg \left(20x^2\right)-\lg \left(500000\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(500000\right)+\lg \left(1\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x^2\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(500000\right)-\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(500000\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(500000\right)+0$

= $-\lg \left(500000\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{500.000}·25·20)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$