Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $3$^$4$ = $81$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{16}$ zur Basis $16$, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $\sqrt[4]{16}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{16}$ als ${16}^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $16$^☐ = ${16}^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $16$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{16}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{5}$ um: $\frac{1}{5}$ = $5^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5^{-1}$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^{-1}$ = ${\left({25}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $25$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{5}$ gilt .

Wir suchen $13$er-Potenzen in der Näher von $136$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $136$ ist.

Dabei kommt man auf $13$ = 13¹ < $136$ und auf ${13}^2$ = 13² > $136$.

Und da wir bei ja das ☐ von 13^☐ = $136$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
13¹ = $13$ < $136$ < ${13}^2$ = 13²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,1}x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-1}\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $-1+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)-1$

$\lg \left(40\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40·25)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(x^3\right)+4\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^3\right)+4\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{25x^3}\right)+\lg \left(50x^4\right)+\lg \left(\frac{2}{25x^7}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-3}\right)+\lg \left(50x^4\right)+\lg \left(\frac{2}{25}{x}^{-7}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(\frac{2}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{2}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{2}{25}\right)-7\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(25\right)-7\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50·2)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$