Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $5$^$3$ = $125$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{81}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{81}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{81}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{81}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $3$^$-4$ = $\frac{1}{81}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{27}$ um: $\frac{1}{27}$ = ${27}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{27}$ = ${27}^{-1}$ = ${\left(3^3\right)}^{-1}$ = $3^{-3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3^{-3}$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^{-3}$ = ${\left(9^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$ = $9^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-3}$ = $9^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^{-3}$ = $9^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3^{-3}$ = $9^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $9$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{27}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $15$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $15$ ist.

Dabei kommt man auf $5$ = 5¹ < $15$ und auf $5^2$ = 5² > $15$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $15$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
5¹ = $5$ < $15$ < $5^2$ = 5²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{100000000}{x}\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)-\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)-\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $8-\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)+8$

${\log }_{17}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn><mspace\; width="thinmathspace"></mspace><mn>445</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_{17}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_{17}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1445</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{17}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>289</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{17}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>17</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $2\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{125}{x}^4\right)+\lg \left(\frac{5}{x^5}\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{125}{x}^4\right)+\lg \left(5x^{-5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(\frac{1}{125}\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{1}{125}\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+0+\lg \left(\frac{1}{125}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-5\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+0+\lg \left(1\right)-\lg \left(125\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-5\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(125\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{125}·25·5)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$