Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $5$^$3$ = $125$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{128}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{128}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{128}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{128}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-7$, eben weil $2$^$-7$ = $\frac{1}{128}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{14}$ um: $\frac{1}{14}$ = ${14}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 14 sondern zur Basis $196$ suchen und $196$ gerade 14² ist (also 14 = $\sqrt{196}$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${14}^{-1}$ noch so um, dass sie $196$ als Basis hat:

${14}^{-1}$ = ${\left({196}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${196}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${14}^{-1}$ = ${196}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $196$ suchen, also die Hochzahl mit der man $196$ potenzieren muss, um auf ${14}^{-1}$ = ${196}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $196$^☐ = ${14}^{-1}$ = ${196}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $196$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{14}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{21}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{21}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^2}$ = 5^-2 < $\frac{1}{21}$ und auf $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1 > $\frac{1}{21}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{21}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
5^-2 = $\frac{1}{5^2}$ = $\frac{1}{25}$ < $\frac{1}{21}$ < $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $8$

${\log }_{14}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>784</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_{14}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_{14}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>784</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{14}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>196</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{14}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>14</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^4\right)$
= $-8\lg \left(x\right)$
= $-8\lg \left(x\right)$

$\lg \left(20x\right)+\lg \left(\frac{1}{500}{x}^4\right)+\lg \left(\frac{25}{x^7}\right)$

= $\lg \left(20x\right)+\lg \left(\frac{1}{500}{x}^4\right)+\lg \left(25x^{-7}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+(\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{500}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-7\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(500\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-7\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(500\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{500}·25·20)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$