Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $4$^$1$ = $4$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $3$^$-3$ = $\frac{1}{27}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{14}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{14}}$ = ${14}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${14}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $14$ suchen, also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf ${14}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$^☐ = ${14}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $14$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{14}}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $16091601$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $16091601$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^7$ = 10⁷ < $16091601$ und auf ${10}^8$ = 10⁸ > $16091601$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $16091601$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
10⁷ = ${10}^7$ < $16091601$ < ${10}^8$ = 10⁸

Es gilt somit: 7 < < 8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,001}x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-3}\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $-3+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)-3$

$\lg \left(500\right)$ - $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{500}{5}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+2\lg \left(x^3\right)+4\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)+2\lg \left(x^3\right)+4\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+6\lg \left(x\right)-8\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{25}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^8\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^4\right)$

= $\lg \left(25x^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^8\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^8\right))+(\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x^8\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·25·4)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$