Wir suchen den Logarithmus von $121$ zur Basis $11$, also die Hochzahl mit der man $11$ potenzieren muss, um auf $121$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $11$^☐ = $121$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $11$^$2$ = $121$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{14}$ zur Basis $14$, also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{14}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$^☐ = $\sqrt[5]{14}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{14}$ als ${14}^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $14$^☐ = ${14}^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $14$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{14}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{13}$ um: $\frac{1}{13}$ = ${13}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 13 sondern zur Basis $169$ suchen und $169$ gerade 13² ist (also 13 = $\sqrt{169}$ = ${169}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${13}^{-1}$ noch so um, dass sie $169$ als Basis hat:

${13}^{-1}$ = ${\left({169}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${169}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${13}^{-1}$ = ${169}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $169$ suchen, also die Hochzahl mit der man $169$ potenzieren muss, um auf ${13}^{-1}$ = ${169}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $169$^☐ = ${13}^{-1}$ = ${169}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $169$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{13}$ gilt .

Wir suchen $16$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{134}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{134}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{256}$ = $\frac{1}{{16}^2}$ = 16^-2 < $\frac{1}{134}$ und auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{16}$ = 16^-1 > $\frac{1}{134}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 16^☐ = $\frac{1}{134}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
16^-2 = $\frac{1}{{16}^2}$ = $\frac{1}{256}$ < $\frac{1}{134}$ < $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{16}$ = 16^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $6+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+6$

$\lg \left(5000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5000·2)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\frac{5}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(20x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^4\right)-\lg \left(40x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x^4\right))-(\lg \left(40\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x^4\right)-\lg \left(40\right)-\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)-3\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{40}·20·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$