Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $4$^$-2$ = $\frac{1}{16}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $10$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = $10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $100$^{$\frac{1}{2}$} = $10$ gilt .

Wir suchen $19$er-Potenzen in der Näher von $132$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $132$ ist.

Dabei kommt man auf $19$ = 19¹ < $132$ und auf ${19}^2$ = 19² > $132$.

Und da wir bei ja das ☐ von 19^☐ = $132$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
19¹ = $19$ < $132$ < ${19}^2$ = 19²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{1000000}{x}\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $6-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)+6$

${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 0

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{20}{x^4}\right)+\lg \left(\frac{1}{800}{x}^4\right)$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(20x^{-4}\right)+\lg \left(\frac{1}{800}{x}^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(\frac{1}{800}\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(\frac{1}{800}\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+0+\lg \left(20\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{800}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+0+\lg \left(20\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(800\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(800\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{800}·20·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$