Wir suchen den Logarithmus von $225$ zur Basis $15$, also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $225$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$^☐ = $225$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $15$^$2$ = $225$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{125}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{125}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{125}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{125}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $5$^$-3$ = $\frac{1}{125}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{17}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{17}}$ = ${17}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${17}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $17$ suchen, also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf ${17}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$^☐ = ${17}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $17$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{17}}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $7$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $7$ ist.

Dabei kommt man auf $2^2$ = 2² < $7$ und auf $2^3$ = 2³ > $7$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $7$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
2² = $2^2$ < $7$ < $2^3$ = 2³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $1+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $1$

$\lg \left(20000000\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20000000·50)$

= $\lg \left(1000000000\right)$

= $\lg \left({10}^9\right)$

= 9

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{-3}\right)+2\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-3\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-7\lg \left(x\right)$

$\lg \left(2x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^5\right)-\lg \left(\frac{10000}{x^2}\right)$

= $\lg \left(2x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^5\right)-\lg \left(10000x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right)-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^5\right))-(\lg \left(10000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x^5\right)-\lg \left(10000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(10000\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(10000\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(10000\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000}·5·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$