Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $6$, eben weil $2$^$6$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{121}$ zur Basis $11$, also die Hochzahl mit der man $11$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{121}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $11$^☐ = $\frac{1}{121}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $11$-Potenz zu schreiben versuchen, also $11$^☐ = $\frac{1}{121}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $11$^$-2$ = $\frac{1}{121}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 11 sondern zur Basis $121$ suchen und $121$ gerade 11² ist (also 11 = $\sqrt{121}$ = ${121}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $11$ noch so um, dass sie $121$ als Basis hat:

$11$ = ${121}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $11$ = ${121}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $121$ suchen, also die Hochzahl mit der man $121$ potenzieren muss, um auf $11$ = ${121}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $121$^☐ = $11$ = ${121}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $121$^{$\frac{1}{2}$} = $11$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $9$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $9$ ist.

Dabei kommt man auf $5$ = 5¹ < $9$ und auf $5^2$ = 5² > $9$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $9$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
5¹ = $5$ < $9$ < $5^2$ = 5²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000000x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $8+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)+8$

$\lg \left(\mathrm{0,003}\right)$ - $\lg \left(3\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.003}{3}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+4\lg \left(x^4\right)$
= $-2\lg \left(x^{-2}\right)+4\lg \left(x^4\right)$
= $4\lg \left(x\right)+16\lg \left(x\right)$
= $20\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{10000x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(25x^4\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{10000}{x}^{-4}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(25x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{10000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{10000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{10000}\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+0+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(10000\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+0+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(10000\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000}·25·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$