Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $5$^$3$ = $125$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $3$^$-3$ = $\frac{1}{27}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{32}$ um: $\sqrt{32}$ = ${32}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $32$ eine Potenz ist: $32$ = $2^5$

Also schreiben wir $\sqrt{32}$ = ${32}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left(2^5\right)}^{\frac{1}{2}}$ = $2^{\frac{5}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{5}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{5}{2}$, eben weil $2$^{$\frac{5}{2}$} = $\sqrt{32}$ gilt .

Wir suchen $14$er-Potenzen in der Näher von $54$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $54$ ist.

Dabei kommt man auf $14$ = 14¹ < $54$ und auf ${14}^2$ = 14² > $54$.

Und da wir bei ja das ☐ von 14^☐ = $54$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
14¹ = $14$ < $54$ < ${14}^2$ = 14²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
= $1$

$\lg \left(\mathrm{0,3}\right)$ - $\lg \left(3\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.3}{3}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\sqrt{x}\right)+2\lg \left(x^3\right)+4\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $-2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+2\lg \left(x^3\right)+4\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-\lg \left(x\right)+6\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)$

$\lg \left(25x^2\right)-\lg \left(\frac{100}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^9\right)$

= $\lg \left(25x^2\right)-\lg \left(100x^{-4}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^9\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(100\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^9\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(100\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x^9\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-9\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-9\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·25·4)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$