Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $6$, eben weil $2$^$6$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\sqrt[3]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{5}$ als $5^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$^☐ = $5^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{5}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2$ = $4^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $2$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{15}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{15}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^2}$ = 5^-2 < $\frac{1}{15}$ und auf $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1 > $\frac{1}{15}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{15}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
5^-2 = $\frac{1}{5^2}$ = $\frac{1}{25}$ < $\frac{1}{15}$ < $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $7+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $7$

$\lg \left(\mathrm{0,02}\right)$ - $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.02}{2}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+4\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^{-3}\right)+4\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-3\lg \left(x\right)-12\lg \left(x\right)$
= $-15\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^3\right)+\lg \left(\frac{1}{10}{x}^3\right)+\lg \left(5x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{10}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(10\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)$

= $4\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{10}·5·2)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $4\lg \left(x\right)$