Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $3$^$3$ = $27$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{8}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{8}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{8}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{8}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $2$^$-3$ = $\frac{1}{8}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{4}$ um: $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $229$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $229$ ist.

Dabei kommt man auf $2^7$ = 2⁷ < $229$ und auf $2^8$ = 2⁸ > $229$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $229$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
2⁷ = $2^7$ < $229$ < $2^8$ = 2⁸

Es gilt somit: 7 < < 8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(0.00001x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(0.00001\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-5}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-5+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-5$

$\lg \left(200\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200·50)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\sqrt{x}\right)-2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $-2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)-2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(4x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{8000x^2}\right)$

= $\lg \left(4x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{8000}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(\frac{1}{8000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{1}{8000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+0+\lg \left(\frac{1}{8000}\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+0+\lg \left(1\right)-\lg \left(8000\right)-2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(8000\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{8000}·20·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$