Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $3$^$4$ = $81$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\sqrt[4]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{4}$ als $4^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$^☐ = $4^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{3}$ um: $\sqrt{3}$ = $3^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{3}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{7}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{7}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^2}$ = 3^-2 < $\frac{1}{7}$ und auf $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 3^-1 > $\frac{1}{7}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{7}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
3^-2 = $\frac{1}{3^2}$ = $\frac{1}{9}$ < $\frac{1}{7}$ < $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 3^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{1000000000}{x}\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000000\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^9\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $9-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+9$

$\lg \left(500000000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500000000·2)$

= $\lg \left(1000000000\right)$

= $\lg \left({10}^9\right)$

= 9

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $4\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $2\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{40}{x}^4\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(x^4\right)-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(1\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{40}\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+0-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(40\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{40}·20·2)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$