Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $3$^$3$ = $27$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\sqrt{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{4}$ als $4^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 14 sondern zur Basis $196$ suchen und $196$ gerade 14² ist (also 14 = $\sqrt{196}$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $14$ noch so um, dass sie $196$ als Basis hat:

$14$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $14$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $196$ suchen, also die Hochzahl mit der man $196$ potenzieren muss, um auf $14$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $196$^☐ = $14$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $196$^{$\frac{1}{2}$} = $14$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{34}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{34}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{2^6}$ = 2^-6 < $\frac{1}{34}$ und auf $\frac{1}{32}$ = $\frac{1}{2^5}$ = 2^-5 > $\frac{1}{34}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{34}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -6 und -5 liegen, wegen:
2^-6 = $\frac{1}{2^6}$ = $\frac{1}{64}$ < $\frac{1}{34}$ < $\frac{1}{32}$ = $\frac{1}{2^5}$ = 2^-5

Es gilt somit: -6 < < -5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^4\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $4+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+4$

$\lg \left(5000\right)$ - $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{5000}{50}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $2\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-6\lg \left(x\right)$
= $-6\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(8000x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^4}\right)+\lg \left(4\right)$

= $-\lg \left(8000x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-4}\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(8000\right)+\lg \left(x^4\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(1\right))$

= $-\lg \left(8000\right)-\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(8000\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(8000\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+0$

= $-\lg \left(8000\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{8000}·4·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$