Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $4$^$1$ = $4$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{125}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{125}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{125}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{125}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $5$^$-3$ = $\frac{1}{125}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{27}$ um: $\sqrt{27}$ = ${27}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^3$

Also schreiben wir $\sqrt{27}$ = ${27}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left(3^3\right)}^{\frac{1}{2}}$ = $3^{\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $3$^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{27}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $46$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $46$ ist.

Dabei kommt man auf $5^2$ = 5² < $46$ und auf $5^3$ = 5³ > $46$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $46$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
5² = $5^2$ < $46$ < $5^3$ = 5³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $7+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+7$

$\lg \left(500\right)$ - $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{500}{50}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)-2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^2\right)-2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $2\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)$

$\lg \left(50x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^8\right)-\lg \left(\frac{1250}{x^3}\right)$

= $\lg \left(50x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^8\right)-\lg \left(1250x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x^8\right))-(\lg \left(1250\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x^8\right)-\lg \left(1250\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-8\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)-8\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1250}·50·25)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·25)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$