Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $4$^$1$ = $4$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{225}$ zur Basis $15$, also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{225}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$^☐ = $\frac{1}{225}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $15$-Potenz zu schreiben versuchen, also $15$^☐ = $\frac{1}{225}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $15$^$-2$ = $\frac{1}{225}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 16 sondern zur Basis $256$ suchen und $256$ gerade 16² ist (also 16 = $\sqrt{256}$ = ${256}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $16$ noch so um, dass sie $256$ als Basis hat:

$16$ = ${256}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $16$ = ${256}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $256$ suchen, also die Hochzahl mit der man $256$ potenzieren muss, um auf $16$ = ${256}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $256$^☐ = $16$ = ${256}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $256$^{$\frac{1}{2}$} = $16$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $22$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $22$ ist.

Dabei kommt man auf $5$ = 5¹ < $22$ und auf $5^2$ = 5² > $22$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $22$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
5¹ = $5$ < $22$ < $5^2$ = 5²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,1}x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-1}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $-1+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)-1$

$\lg \left(\mathrm{0,3}\right)$ - $\lg \left(3\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.3}{3}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\sqrt{x}\right)+4\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $-2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+4\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$

$\lg \left(25x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{4x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{100x^9}\right)$

= $\lg \left(25x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-2}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^{-9}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^9}\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^9}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)-9\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)-9\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·25·4)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$