Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $5$^$3$ = $125$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{13}$ zur Basis $13$, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{13}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$^☐ = $\sqrt[3]{13}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{13}$ als ${13}^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $13$^☐ = ${13}^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $13$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{13}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $1000000000$ eine Potenz ist: $1000000000$ = ${10}^9$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^9$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^9$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^9$ = ${100}^{\frac{9}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^9$ = ${100}^{\frac{9}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^9$ = ${100}^{\frac{9}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^9$ = ${100}^{\frac{9}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{9}{2}$, eben weil $100$^{$\frac{9}{2}$} = $1000000000$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $2$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 5⁰ < $2$ und auf $5$ = 5¹ > $2$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $2$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
5⁰ = $1$ < $2$ < $5$ = 5¹

Es gilt somit: 0 < < 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $7+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)+7$

${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>32</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>32</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>16</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; <mrow><mn>4</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(20x\right)+\lg \left(\frac{4}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{8}{x}^2\right)$

= $\lg \left(20x\right)+\lg \left(4x^{-3}\right)+\lg \left(\frac{1}{8}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(8\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(20\right)-\lg \left(8\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{20}{8}·4)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$