Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $3$^$3$ = $27$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{81}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{81}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{81}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{81}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $3$^$-4$ = $\frac{1}{81}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{27}$ um: $\sqrt{27}$ = ${27}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^3$

Also schreiben wir $\sqrt{27}$ = ${27}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left(3^3\right)}^{\frac{1}{2}}$ = $3^{\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $3$^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{27}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{26}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{26}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^3}$ = 3^-3 < $\frac{1}{26}$ und auf $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^2}$ = 3^-2 > $\frac{1}{26}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{26}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
3^-3 = $\frac{1}{3^3}$ = $\frac{1}{27}$ < $\frac{1}{26}$ < $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^2}$ = 3^-2

Es gilt somit: -3 < < -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{\mathrm{0,001}}{x}\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-3}\right)-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-3-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)-3$

$\lg \left(\mathrm{0,3}\right)$ - $\lg \left(3\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.3}{3}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)+4\lg \left(x^3\right)$
= $4\lg \left(x\right)+12\lg \left(x\right)$
= $16\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{10000}{x^2}\right)+\lg \left(25x\right)+\lg \left(\frac{4}{x^3}\right)$

= $-\lg \left(10000x^{-2}\right)+\lg \left(25x\right)+\lg \left(4x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(10000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $-\lg \left(10000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(10000\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(10000\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(10000\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000}·25·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$