Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $5$^$3$ = $125$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{16}$ zur Basis $16$, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $\sqrt{16}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{16}$ als ${16}^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $16$^☐ = ${16}^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $16$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{16}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{64}$ um: $\frac{1}{64}$ = ${64}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $64$ eine Potenz ist: $64$ = $4^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{64}$ = ${64}^{-1}$ = ${\left(4^3\right)}^{-1}$ = $4^{-3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4^{-3}$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^{-3}$ = ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$ = ${16}^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{-3}$ = ${16}^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^{-3}$ = ${16}^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4^{-3}$ = ${16}^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $16$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{64}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $3$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $3$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $3$ und auf $4$ = 4¹ > $3$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $3$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $3$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < < 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $2$

${\log }_{19}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn><mspace\; width="thinmathspace"></mspace><mn>083</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_{19}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_{19}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1083</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{19}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>361</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{19}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>19</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)-2\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $2\lg \left(x\right)-6\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
=0

$\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{4x^6}\right)+\lg \left(2x^3\right)$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-6}\right)+\lg \left(2x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+0+\lg \left(\frac{1}{4}\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+0+\lg \left(1\right)-\lg \left(4\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·2·2)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$