Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $5$^$2$ = $25$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $3$^$-2$ = $\frac{1}{9}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{2}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $2^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $2$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $5$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $5$ ist.

Dabei kommt man auf $3$ = 3¹ < $5$ und auf $3^2$ = 3² > $5$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $5$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
3¹ = $3$ < $5$ < $3^2$ = 3²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{0.00001}{x}\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(0.00001\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-5}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $-5-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $-5$

$\lg \left(5000000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5000000·2)$

= $\lg \left(10000000\right)$

= $\lg \left({10}^7\right)$

= 7

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $2\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{1000x}\right)-\lg \left(\frac{1}{50x^3}\right)+\lg \left(20x^3\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}{x}^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-3}\right)+\lg \left(20x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(1000\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1000}·50·20)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$