Wir suchen den Logarithmus von $128$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $128$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $128$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $7$, eben weil $2$^$7$ = $128$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{12}$ zur Basis $12$, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{12}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$^☐ = $\sqrt[3]{12}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{12}$ als ${12}^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $12$^☐ = ${12}^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $12$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{12}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2$ = $4^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $2$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $3$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $3$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 5⁰ < $3$ und auf $5$ = 5¹ > $3$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $3$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
5⁰ = $1$ < $3$ < $5$ = 5¹

Es gilt somit: 0 < < 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{100000}{x}\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000\right)-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^5\right)-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $5-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+5$

$\lg \left(50000\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50000·20)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)+2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^4\right)+2\lg \left(x^{-2}\right)$
= $4\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
=0

$\lg \left(\frac{1}{125x^6}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5x^4\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{125}{x}^{-6}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{125}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)+(\lg \left(25\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{125}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{125}\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+0+\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(125\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+0+\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(125\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{125}·25·5)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$