Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $3$^$2$ = $9$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{32}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{32}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{32}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{32}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-5$, eben weil $2$^$-5$ = $\frac{1}{32}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 18 sondern zur Basis $324$ suchen und $324$ gerade 18² ist (also 18 = $\sqrt{324}$ = ${324}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $18$ noch so um, dass sie $324$ als Basis hat:

$18$ = ${324}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $18$ = ${324}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $324$ suchen, also die Hochzahl mit der man $324$ potenzieren muss, um auf $18$ = ${324}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $324$^☐ = $18$ = ${324}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $324$^{$\frac{1}{2}$} = $18$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{7}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{7}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^2}$ = 3^-2 < $\frac{1}{7}$ und auf $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 3^-1 > $\frac{1}{7}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{7}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
3^-2 = $\frac{1}{3^2}$ = $\frac{1}{9}$ < $\frac{1}{7}$ < $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 3^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,001}x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-3}\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $-3+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)-3$

$\lg \left(5000000000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5000000000·2)$

= $\lg \left(10000000000\right)$

= $\lg \left({10}^{10}\right)$

= 10

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $4\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $12\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $11\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{50000}{x}^4\right)-\lg \left(\frac{1}{25}x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{50000}\right)+\lg \left(x^4\right)-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{50000}\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{50000}\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(50000\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(50000\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{50000}·25·20)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$