Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $8$, eben weil $2$^$8$ = $256$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{3}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\sqrt{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$^☐ = $3^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{3}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{19}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{19}}$ = ${19}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${19}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $19$ suchen, also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf ${19}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$^☐ = ${19}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $19$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{19}}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{34777}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{34777}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{100000}$ = $\frac{1}{{10}^5}$ = 10^-5 < $\frac{1}{34777}$ und auf $\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{{10}^4}$ = 10^-4 > $\frac{1}{34777}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{34777}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -5 und -4 liegen, wegen:
10^-5 = $\frac{1}{{10}^5}$ = $\frac{1}{100000}$ < $\frac{1}{34777}$ < $\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{{10}^4}$ = 10^-4

Es gilt somit: -5 < < -4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $7+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+7$

$\lg \left(2000000000\right)$ + $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2000000000·5)$

= $\lg \left(10000000000\right)$

= $\lg \left({10}^{10}\right)$

= 10

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+2\lg \left(x^3\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+2\lg \left(x^3\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+6\lg \left(x\right)$
= $\frac{13}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{20}{x^9}\right)+\lg \left(5x\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^3\right)$

= $\lg \left(20x^{-9}\right)+\lg \left(5x\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^9}\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^9}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)-9\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)-9\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·20·5)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$