Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{128}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{128}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{128}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{128}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-7$, eben weil $2$^$-7$ = $\frac{1}{128}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{13}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{13}}$ = ${13}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${13}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $13$ suchen, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf ${13}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$^☐ = ${13}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $13$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{13}}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{11}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{11}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4^2}$ = 4^-2 < $\frac{1}{11}$ und auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1 > $\frac{1}{11}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{11}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
4^-2 = $\frac{1}{4^2}$ = $\frac{1}{16}$ < $\frac{1}{11}$ < $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $2$

${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 0

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{400}x\right)+\lg \left(20x^3\right)+\lg \left(\frac{20}{x^3}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{400}x\right)+\lg \left(20x^3\right)+\lg \left(20x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{400}\right)+\lg \left(x\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{400}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{400}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(400\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(400\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{400}·20·20)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$