Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $8$, eben weil $2$^$8$ = $256$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\sqrt[3]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{4}$ als $4^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$^☐ = $4^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{4}$ um: $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $15$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $15$ ist.

Dabei kommt man auf $4$ = 4¹ < $15$ und auf $4^2$ = 4² > $15$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $15$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
4¹ = $4$ < $15$ < $4^2$ = 4²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{1000000000}{x}\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000000\right)-\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^9\right)-\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $9-\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-5\lg \left(x\right)+9$

$\lg \left(\mathrm{0,5}\right)$ - $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.5}{5}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^{-3}\right)$
= $2\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{10}{x}^2\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right))-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+0-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(10\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(20\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{20}{10}·5)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$