Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $3$^$4$ = $81$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{4}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{4}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-1$, eben weil $4$^$-1$ = $\frac{1}{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{1000}$ um: $\frac{1}{1000}$ = ${1000}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $1000$ eine Potenz ist: $1000$ = ${10}^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{1000}$ = ${1000}^{-1}$ = ${\left({10}^3\right)}^{-1}$ = ${10}^{-3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^{-3}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^{-3}$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$ = ${100}^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-3}$ = ${100}^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-3}$ = ${100}^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^{-3}$ = ${100}^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $100$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{1000}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $21$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $21$ ist.

Dabei kommt man auf $5$ = 5¹ < $21$ und auf $5^2$ = 5² > $21$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $21$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
5¹ = $5$ < $21$ < $5^2$ = 5²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(0.00001x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(0.00001\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-5}\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-5+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-5$

$\lg \left(\mathrm{0,02}\right)$ - $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.02}{2}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $2\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{5}x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}x\right)+\lg \left(\frac{1}{25}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{25}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)-\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{50}{25}·5)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$