Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $3$^$3$ = $27$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $4$^$-2$ = $\frac{1}{16}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{4}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{4}}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{4}}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{7}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{7}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2^3}$ = 2^-3 < $\frac{1}{7}$ und auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{2^2}$ = 2^-2 > $\frac{1}{7}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{7}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
2^-3 = $\frac{1}{2^3}$ = $\frac{1}{8}$ < $\frac{1}{7}$ < $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{2^2}$ = 2^-2

Es gilt somit: -3 < < -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^4\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $4+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+4$

${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 0

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)-2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)-2\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)-2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)-2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{2}x\right)+\lg \left(\frac{100}{x}\right)+\lg \left(5x^2\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}x\right)+\lg \left(100x^{-1}\right)+\lg \left(5x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(100\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(100\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(100\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(100\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(100\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (100·5·2)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$