Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $6$, eben weil $2$^$6$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $3$^$-2$ = $\frac{1}{9}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{125}$ um: $\sqrt{125}$ = ${125}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^3$

Also schreiben wir $\sqrt{125}$ = ${125}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left(5^3\right)}^{\frac{1}{2}}$ = $5^{\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $5$^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{125}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $75448$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $75448$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^4$ = 10⁴ < $75448$ und auf ${10}^5$ = 10⁵ > $75448$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $75448$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 4 und 5 liegen, wegen:
10⁴ = ${10}^4$ < $75448$ < ${10}^5$ = 10⁵

Es gilt somit: 4 < < 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{1000000}{x}\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $6-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+6$

$\lg \left(2500\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2500·4)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(250x^2\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(\frac{1}{5x^2}\right)$

= $-\lg \left(250x^2\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(250\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right))-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(250\right)-\lg \left(x^2\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(250\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+0-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(250\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(250\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250}·5·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$