Wir suchen den Logarithmus von $8$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $8$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $8$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $2$^$3$ = $8$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{361}$ zur Basis $19$, also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{361}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$^☐ = $\frac{1}{361}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $19$-Potenz zu schreiben versuchen, also $19$^☐ = $\frac{1}{361}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $19$^$-2$ = $\frac{1}{361}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{3}$ um: $\sqrt{3}$ = $3^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{3}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{817}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{817}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{{10}^3}$ = 10^-3 < $\frac{1}{817}$ und auf $\frac{1}{100}$ = $\frac{1}{{10}^2}$ = 10^-2 > $\frac{1}{817}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{817}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
10^-3 = $\frac{1}{{10}^3}$ = $\frac{1}{1000}$ < $\frac{1}{817}$ < $\frac{1}{100}$ = $\frac{1}{{10}^2}$ = 10^-2

Es gilt somit: -3 < < -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{\mathrm{0,01}}{x}\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)-\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-2}\right)-\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2-\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)-2$

$\lg \left(\mathrm{0,2}\right)$ - $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.2}{2}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+2\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+2\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\frac{5}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{1000x^4}\right)+\lg \left(25x^4\right)$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{1000}{x}^{-4}\right)+\lg \left(25x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+0+\lg \left(\frac{1}{1000}\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+0+\lg \left(1\right)-\lg \left(1000\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(1000\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1000}·25·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$