Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt[4]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{10}$ als ${10}^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{10}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{125}$ um: $\frac{1}{125}$ = ${125}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{125}$ = ${125}^{-1}$ = ${\left(5^3\right)}^{-1}$ = $5^{-3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5^{-3}$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^{-3}$ = ${\left({25}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$ = ${25}^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-3}$ = ${25}^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^{-3}$ = ${25}^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5^{-3}$ = ${25}^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $25$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{125}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $6$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $6$ ist.

Dabei kommt man auf $3$ = 3¹ < $6$ und auf $3^2$ = 3² > $6$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $6$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
3¹ = $3$ < $6$ < $3^2$ = 3²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{\mathrm{0,1}}{x}\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)-\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-1}\right)-\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-1-\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-5\lg \left(x\right)-1$

$\lg \left(300\right)$ - $\lg \left(3\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{300}{3}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $3\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $7\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^7\right)+\lg \left(50x\right)-\lg \left(\frac{2500}{x^2}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^7\right)+\lg \left(50x\right)-\lg \left(2500x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^7\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(2500\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^7\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(2500\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(2500\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(2500\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(2500\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(50\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2500}·50·50)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{50}·50)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$