Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{3}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\sqrt[4]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{3}$ als $3^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$^☐ = $3^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{3}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{5}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $5^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $6$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $6$ ist.

Dabei kommt man auf $2^2$ = 2² < $6$ und auf $2^3$ = 2³ > $6$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $6$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
2² = $2^2$ < $6$ < $2^3$ = 2³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,01}x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-2}\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $-2+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)-2$

$\lg \left(5000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5000·2)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)-2\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^3\right)-2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{5}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(25x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{50x^6}\right)+\lg \left(\frac{2}{x}\right)$

= $\lg \left(25x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-6}\right)+\lg \left(2x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{50}\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(50\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{50}·25·2)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$