Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $3$^$2$ = $9$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{125}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{125}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{125}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{125}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $5$^$-3$ = $\frac{1}{125}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{18}$ um: $\sqrt{18}$ = ${18}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${18}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $18$ suchen, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf ${18}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$^☐ = ${18}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $18$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{18}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{45473}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{45473}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{100000}$ = $\frac{1}{{10}^5}$ = 10^-5 < $\frac{1}{45473}$ und auf $\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{{10}^4}$ = 10^-4 > $\frac{1}{45473}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{45473}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -5 und -4 liegen, wegen:
10^-5 = $\frac{1}{{10}^5}$ = $\frac{1}{100000}$ < $\frac{1}{45473}$ < $\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{{10}^4}$ = 10^-4

Es gilt somit: -5 < < -4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $2$

${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>16</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>16</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+4\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $4\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)+4\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-8\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-12\lg \left(x\right)$

$\lg \left(4x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(20x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{80}\right)+0+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(80\right)+0+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{80}·20·4)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$