Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $3$^$4$ = $81$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{5}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{5}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-1$, eben weil $5$^$-1$ = $\frac{1}{5}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $25$^{$\frac{1}{2}$} = $5$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $85$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $85$ ist.

Dabei kommt man auf $2^6$ = 2⁶ < $85$ und auf $2^7$ = 2⁷ > $85$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $85$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
2⁶ = $2^6$ < $85$ < $2^7$ = 2⁷

Es gilt somit: 6 < < 7

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{\mathrm{0,1}}{x}\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-1}\right)-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $-1-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)-1$

$\lg \left(20\right)$ - $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{20}{2}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{4x^4}\right)+\lg \left(\frac{1}{200.000}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^4\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-4}\right)+\lg \left(\frac{1}{200.000}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(\frac{1}{200.000}\right)+\lg \left(1\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(\frac{1}{200.000}\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{200.000}\right)+0-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(200000\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(200000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{200.000}·50·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$