Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $3$^$4$ = $81$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{1000}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{1000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{1000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{1000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $10$^$-3$ = $\frac{1}{1000}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3$ = $9^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $9$^{$\frac{1}{2}$} = $3$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $936$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $936$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^2$ = 10² < $936$ und auf ${10}^3$ = 10³ > $936$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $936$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
10² = ${10}^2$ < $936$ < ${10}^3$ = 10³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $6+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+6$

$\lg \left(500000000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500000000·2)$

= $\lg \left(1000000000\right)$

= $\lg \left({10}^9\right)$

= 9

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-3\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-6\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(25x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{4}x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+0+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)+0+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·25·4)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$