Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $5$, eben weil $2$^$5$ = $32$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $3$^$-2$ = $\frac{1}{9}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{18}$ um: $\frac{1}{18}$ = ${18}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 18 sondern zur Basis $324$ suchen und $324$ gerade 18² ist (also 18 = $\sqrt{324}$ = ${324}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${18}^{-1}$ noch so um, dass sie $324$ als Basis hat:

${18}^{-1}$ = ${\left({324}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${324}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${18}^{-1}$ = ${324}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $324$ suchen, also die Hochzahl mit der man $324$ potenzieren muss, um auf ${18}^{-1}$ = ${324}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $324$^☐ = ${18}^{-1}$ = ${324}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $324$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{18}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{2}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{2}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1 < $\frac{1}{2}$ und auf $1$ = $1$ = 5^-0 > $\frac{1}{2}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{2}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
5^-1 = $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ < $\frac{1}{2}$ < $1$ = $1$ = 5^-0

Es gilt somit: -1 < < -0

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(0.00001x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(0.00001\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-5}\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-5+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)-5$

$\lg \left(20000\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20000·50)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $-2\lg \left(x^{-2}\right)$
= $4\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(4x\right)+\lg \left(\frac{1}{100.000}{x}^2\right)+\lg \left(\frac{25}{x^3}\right)$

= $\lg \left(4x\right)+\lg \left(\frac{1}{100.000}{x}^2\right)+\lg \left(25x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)+(\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(100000\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(100000\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100.000}·25·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$