Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $5$^$2$ = $25$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{2}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\sqrt[4]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{2}$ als $2^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$^☐ = $2^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{2}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{4}$ um: $\frac{1}{4}$ = $4^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4^{-1}$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^{-1}$ = ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $16$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{4}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $4$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $4$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 5⁰ < $4$ und auf $5$ = 5¹ > $4$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $4$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
5⁰ = $1$ < $4$ < $5$ = 5¹

Es gilt somit: 0 < < 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^5\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $5+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+5$

$\lg \left(30\right)$ - $\lg \left(3\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{30}{3}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $-2\lg \left(x^{-1}\right)$
= $2\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(50x^3\right)-\lg \left(\frac{200}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{11}\right)$

= $\lg \left(50x^3\right)-\lg \left(200x^{-4}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{11}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)-(\lg \left(200\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^{11}\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(200\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x^{11}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-11\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-11\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{200}·50·4)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$