Wir suchen den Logarithmus von $196$ zur Basis $14$, also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $196$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$^☐ = $196$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $14$^$2$ = $196$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{3}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\sqrt{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$^☐ = $3^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{3}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{1000000000}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{1000000000}}$ = ${1000000000}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $1000000000$ eine Potenz ist: $1000000000$ = ${10}^9$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{1000000000}}$ = ${1000000000}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^9\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = ${10}^{-\frac{9}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-\frac{9}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-\frac{9}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{-\frac{9}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{9}{2}$, eben weil $10$^{$-\frac{9}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{1000000000}}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{10}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{10}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^3}$ = 3^-3 < $\frac{1}{10}$ und auf $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^2}$ = 3^-2 > $\frac{1}{10}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{10}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
3^-3 = $\frac{1}{3^3}$ = $\frac{1}{27}$ < $\frac{1}{10}$ < $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^2}$ = 3^-2

Es gilt somit: -3 < < -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(0.00001x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(0.00001\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-5}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-5+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-5$

${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>8</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+4\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^{-1}\right)+4\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-5\lg \left(x\right)$

$\lg \left(50x^4\right)+\lg \left(4x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{200x^4}\right)$

= $\lg \left(50x^4\right)+\lg \left(4x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{200}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(\frac{1}{200}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{200}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{200}\right)-4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(200\right)-4\lg \left(x\right)$

= $2\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{200}·50·4)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $2\lg \left(x\right)$