Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $2$^$4$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt[3]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{10}$ als ${10}^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{10}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{5}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $5^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{\mathrm{605.975.265}}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{\mathrm{605.975.265}}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{1000000000}$ = $\frac{1}{{10}^9}$ = 10^-9 < $\frac{1}{\mathrm{605.975.265}}$ und auf $\frac{1}{100000000}$ = $\frac{1}{{10}^8}$ = 10^-8 > $\frac{1}{\mathrm{605.975.265}}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{\mathrm{605.975.265}}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -9 und -8 liegen, wegen:
10^-9 = $\frac{1}{{10}^9}$ = $\frac{1}{1000000000}$ < $\frac{1}{\mathrm{605.975.265}}$ < $\frac{1}{100000000}$ = $\frac{1}{{10}^8}$ = 10^-8

Es gilt somit: -9 < < -8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,01}x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-2}\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-2$

$\lg \left(250000\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250000·4)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(x^4\right)$
= $16\lg \left(x\right)$
= $16\lg \left(x\right)$

$\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+0+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+0+\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+0$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·50·2)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$