Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $5$, eben weil $2$^$5$ = $32$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $2$^$-4$ = $\frac{1}{16}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{1000}$ um: $\frac{1}{1000}$ = ${1000}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $1000$ eine Potenz ist: $1000$ = ${10}^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{1000}$ = ${1000}^{-1}$ = ${\left({10}^3\right)}^{-1}$ = ${10}^{-3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^{-3}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^{-3}$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$ = ${100}^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-3}$ = ${100}^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-3}$ = ${100}^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^{-3}$ = ${100}^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $100$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{1000}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $9$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $9$ ist.

Dabei kommt man auf $4$ = 4¹ < $9$ und auf $4^2$ = 4² > $9$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $9$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
4¹ = $4$ < $9$ < $4^2$ = 4²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000000x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $8+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)+8$

$\lg \left(30\right)$ - $\lg \left(3\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{30}{3}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+4\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+4\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\frac{3}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^4\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{10}{x}^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^4\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+0+\lg \left(\frac{1}{10}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+0+\lg \left(1\right)-\lg \left(10\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(20\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{20}{10}·5)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$