Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $4$^$3$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{324}$ zur Basis $18$, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{324}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$^☐ = $\frac{1}{324}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $18$-Potenz zu schreiben versuchen, also $18$^☐ = $\frac{1}{324}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $18$^$-2$ = $\frac{1}{324}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^3$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5^3$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^3$ = ${\left({25}^{\frac{1}{2}}\right)}^3$ = ${25}^{\frac{3}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $5^3$ = ${25}^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^3$ = ${25}^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5^3$ = ${25}^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $25$^{$\frac{3}{2}$} = $125$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $19$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $19$ ist.

Dabei kommt man auf $4^2$ = 4² < $19$ und auf $4^3$ = 4³ > $19$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $19$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
4² = $4^2$ < $19$ < $4^3$ = 4³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^2\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $2+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+2$

${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>135</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>135</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>27</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^2\right)-2\lg \left(x^4\right)$
= $4\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)-8\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(40000x\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^3}\right)+\lg \left(\frac{20}{x^2}\right)$

= $-\lg \left(40000x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-3}\right)+\lg \left(20x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(40000\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(40000\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(40000\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(40000\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(40000\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{40000}·20·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$