Wir suchen den Logarithmus von $8$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $8$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $8$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $2$^$3$ = $8$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{100000}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{100000}}$ = ${100000}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $100000$ eine Potenz ist: $100000$ = ${10}^5$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{100000}}$ = ${100000}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^5\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = ${10}^{-\frac{5}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-\frac{5}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{-\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{5}{2}$, eben weil $10$^{$-\frac{5}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{100000}}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $35$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $35$ ist.

Dabei kommt man auf $2^5$ = 2⁵ < $35$ und auf $2^6$ = 2⁶ > $35$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $35$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
2⁵ = $2^5$ < $35$ < $2^6$ = 2⁶

Es gilt somit: 5 < < 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000000x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $8+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)+8$

$\lg \left(250\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250·4)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $-2\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-6\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-8\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{6250}{x}^3\right)+\lg \left(25x^4\right)+\lg \left(\frac{25}{x^7}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{6250}{x}^3\right)+\lg \left(25x^4\right)+\lg \left(25x^{-7}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{6250}\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{6250}\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{6250}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-7\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(6250\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-7\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(6250\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{6250}·25·25)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$