Wir suchen den Logarithmus von $10000000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10000000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $10000000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $7$, eben weil $10$^$7$ = $10000000$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{12}$ zur Basis $12$, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{12}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$^☐ = $\sqrt[4]{12}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{12}$ als ${12}^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $12$^☐ = ${12}^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $12$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{12}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{17}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{17}}$ = ${17}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${17}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $17$ suchen, also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf ${17}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$^☐ = ${17}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $17$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{17}}$ gilt .

Wir suchen $18$er-Potenzen in der Näher von $216$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $216$ ist.

Dabei kommt man auf $18$ = 18¹ < $216$ und auf ${18}^2$ = 18² > $216$.

Und da wir bei ja das ☐ von 18^☐ = $216$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
18¹ = $18$ < $216$ < ${18}^2$ = 18²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^2\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $2+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)+2$

$\lg \left(2000\right)$ + $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2000·5)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $2\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-4\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-6\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{25}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{50x}\right)+\lg \left(2x^2\right)$

= $\lg \left(25x^{-2}\right)+\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-1}\right)+\lg \left(2x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{50}·25·2)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$