Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $4$^$1$ = $4$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{18}$ zur Basis $18$, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{18}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$^☐ = $\sqrt{18}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{18}$ als ${18}^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $18$^☐ = ${18}^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $18$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{18}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 14 sondern zur Basis $196$ suchen und $196$ gerade 14² ist (also 14 = $\sqrt{196}$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $14$ noch so um, dass sie $196$ als Basis hat:

$14$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $14$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $196$ suchen, also die Hochzahl mit der man $196$ potenzieren muss, um auf $14$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $196$^☐ = $14$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $196$^{$\frac{1}{2}$} = $14$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $3$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $3$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 5⁰ < $3$ und auf $5$ = 5¹ > $3$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $3$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
5⁰ = $1$ < $3$ < $5$ = 5¹

Es gilt somit: 0 < < 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $3$

${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 0

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(x^4\right)$
= $8\lg \left(x\right)$
= $8\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{20000}{x^4}\right)+\lg \left(\frac{4}{x^6}\right)+\lg \left(5x^2\right)$

= $-\lg \left(20000x^{-4}\right)+\lg \left(4x^{-6}\right)+\lg \left(5x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(20000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(20000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(20000\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(20000\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(20000\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{20000}·5·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$