Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $5$^$1$ = $5$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{3}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\sqrt[5]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{3}$ als $3^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$^☐ = $3^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{3}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 14 sondern zur Basis $196$ suchen und $196$ gerade 14² ist (also 14 = $\sqrt{196}$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $14$ noch so um, dass sie $196$ als Basis hat:

$14$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $14$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $196$ suchen, also die Hochzahl mit der man $196$ potenzieren muss, um auf $14$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $196$^☐ = $14$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $196$^{$\frac{1}{2}$} = $14$ gilt .

Wir suchen $14$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{37}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{37}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{196}$ = $\frac{1}{{14}^2}$ = 14^-2 < $\frac{1}{37}$ und auf $\frac{1}{14}$ = $\frac{1}{14}$ = 14^-1 > $\frac{1}{37}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 14^☐ = $\frac{1}{37}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
14^-2 = $\frac{1}{{14}^2}$ = $\frac{1}{196}$ < $\frac{1}{37}$ < $\frac{1}{14}$ = $\frac{1}{14}$ = 14^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{100000}{x}\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000\right)-\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^5\right)-\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $5-\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)+5$

${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>10</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-1}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\frac{3}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^8\right)+\lg \left(25x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^8\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(1\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x^8\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)+0$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·25·4)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$