Wir suchen den Logarithmus von $8$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $8$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $8$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $2$^$3$ = $8$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $3$^$-2$ = $\frac{1}{9}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{100000}$ um: $\frac{1}{100000}$ = ${100000}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $100000$ eine Potenz ist: $100000$ = ${10}^5$

Also schreiben wir $\frac{1}{100000}$ = ${100000}^{-1}$ = ${\left({10}^5\right)}^{-1}$ = ${10}^{-5}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^{-5}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^{-5}$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-5}$ = ${100}^{-\frac{5}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-5}$ = ${100}^{-\frac{5}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-5}$ = ${100}^{-\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^{-5}$ = ${100}^{-\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{5}{2}$, eben weil $100$^{$-\frac{5}{2}$} = $\frac{1}{100000}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $50$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $50$ ist.

Dabei kommt man auf $2^5$ = 2⁵ < $50$ und auf $2^6$ = 2⁶ > $50$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $50$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
2⁵ = $2^5$ < $50$ < $2^6$ = 2⁶

Es gilt somit: 5 < < 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,1}x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-1}\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-1+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)-1$

$\lg \left(20000\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20000·50)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(2x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(\frac{20}{x^7}\right)$

= $\lg \left(2x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(20x^{-7}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+0+\lg \left(20\right)-7\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(40\right)+0+\lg \left(20\right)-7\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{40}·20·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$