Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $6$, eben weil $2$^$6$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{2}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\sqrt[4]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{2}$ als $2^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$^☐ = $2^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{2}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{10000000}$ um: $\frac{1}{10000000}$ = ${10000000}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $10000000$ eine Potenz ist: $10000000$ = ${10}^7$

Also schreiben wir $\frac{1}{10000000}$ = ${10000000}^{-1}$ = ${\left({10}^7\right)}^{-1}$ = ${10}^{-7}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^{-7}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^{-7}$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-7}$ = ${100}^{-\frac{7}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-7}$ = ${100}^{-\frac{7}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-7}$ = ${100}^{-\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^{-7}$ = ${100}^{-\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{7}{2}$, eben weil $100$^{$-\frac{7}{2}$} = $\frac{1}{10000000}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $75$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $75$ ist.

Dabei kommt man auf $3^3$ = 3³ < $75$ und auf $3^4$ = 3⁴ > $75$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $75$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^3$ < $75$ < $3^4$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{\mathrm{0,1}}{x}\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)-\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-1}\right)-\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-1-\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)-1$

$\lg \left(\mathrm{0,004}\right)$ - $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.004}{4}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{4}{x^6}\right)+\lg \left(\frac{1}{80}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^4}\right)$

= $\lg \left(4x^{-6}\right)+\lg \left(\frac{1}{80}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)+(\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)+\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{80}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(80\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(80\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{80}·4·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$