Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\sqrt[3]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{4}$ als $4^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$^☐ = $4^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{4}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{4}}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{4}}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{700.164}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{700.164}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{1000000}$ = $\frac{1}{{10}^6}$ = 10^-6 < $\frac{1}{700.164}$ und auf $\frac{1}{100000}$ = $\frac{1}{{10}^5}$ = 10^-5 > $\frac{1}{700.164}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{700.164}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -6 und -5 liegen, wegen:
10^-6 = $\frac{1}{{10}^6}$ = $\frac{1}{1000000}$ < $\frac{1}{700.164}$ < $\frac{1}{100000}$ = $\frac{1}{{10}^5}$ = 10^-5

Es gilt somit: -6 < < -5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{0.00001}{x}\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(0.00001\right)-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-5}\right)-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $-5-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)-5$

${\log }_{15}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>900</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_{15}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_{15}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>900</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{15}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>225</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{15}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>15</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^2\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(40\right)+\lg \left(\frac{20}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{20x^4}\right)$

= $-\lg \left(40\right)+\lg \left(20x^{-4}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(40\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $-\lg \left(40\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(40\right)+0+\lg \left(20\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(40\right)+0+\lg \left(20\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(40\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{40}·20·20)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$