Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $5$^$3$ = $125$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-6$, eben weil $10$^$-6$ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{5}$ um: $\sqrt{5}$ = $5^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{21}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{21}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^3}$ = 3^-3 < $\frac{1}{21}$ und auf $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^2}$ = 3^-2 > $\frac{1}{21}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{21}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
3^-3 = $\frac{1}{3^3}$ = $\frac{1}{27}$ < $\frac{1}{21}$ < $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^2}$ = 3^-2

Es gilt somit: -3 < < -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{\mathrm{0,0001}}{x}\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,0001}\right)-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-4}\right)-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $-4-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)-4$

${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>128</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>128</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>64</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; <mrow><mn>6</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)$
= $2\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(4x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{2000}\right)+\lg \left(\frac{5}{x^3}\right)$

= $\lg \left(4x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{2000}\right)+\lg \left(5x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(\frac{1}{2000}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{2000}\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{2000}\right)+0+\lg \left(5\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(2000\right)+0+\lg \left(5\right)-3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(2000\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2000}·5·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$