Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $2$^$4$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{\mathrm{1.000.000.000}}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{\mathrm{1.000.000.000}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000.000}}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000.000}}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-9$, eben weil $10$^$-9$ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000.000}}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{27}$ um: $\sqrt{27}$ = ${27}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^3$

Also schreiben wir $\sqrt{27}$ = ${27}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left(3^3\right)}^{\frac{1}{2}}$ = $3^{\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $3$^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{27}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $20$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $20$ ist.

Dabei kommt man auf $5$ = 5¹ < $20$ und auf $5^2$ = 5² > $20$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $20$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
5¹ = $5$ < $20$ < $5^2$ = 5²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000000x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $8+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $8$

${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>54</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>54</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>27</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)$
= $2\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(2x\right)+\lg \left(\frac{1}{8}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+(\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(8\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+0$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(8\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{8}·4·2)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$