Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $5$^$2$ = $25$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-7$, eben weil $10$^$-7$ = $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{19}$ um: $\frac{1}{19}$ = ${19}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 19 sondern zur Basis $361$ suchen und $361$ gerade 19² ist (also 19 = $\sqrt{361}$ = ${361}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${19}^{-1}$ noch so um, dass sie $361$ als Basis hat:

${19}^{-1}$ = ${\left({361}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${361}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${19}^{-1}$ = ${361}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $361$ suchen, also die Hochzahl mit der man $361$ potenzieren muss, um auf ${19}^{-1}$ = ${361}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $361$^☐ = ${19}^{-1}$ = ${361}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $361$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{19}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{7}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{7}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4^2}$ = 4^-2 < $\frac{1}{7}$ und auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1 > $\frac{1}{7}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{7}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
4^-2 = $\frac{1}{4^2}$ = $\frac{1}{16}$ < $\frac{1}{7}$ < $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $7+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+7$

$\lg \left(\mathrm{0,02}\right)$ - $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.02}{2}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)-2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)-2\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)$

$\lg \left(4x^4\right)+\lg \left(\frac{5}{x^6}\right)+\lg \left(\frac{1}{20x}\right)$

= $\lg \left(4x^4\right)+\lg \left(5x^{-6}\right)+\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right))+(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)+\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·5·4)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$