Wir suchen den Logarithmus von $289$ zur Basis $17$, also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf $289$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$^☐ = $289$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $17$^$2$ = $289$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{18}$ zur Basis $18$, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{18}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$^☐ = $\sqrt{18}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{18}$ als ${18}^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $18$^☐ = ${18}^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $18$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{18}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{18}$ um: $\sqrt{18}$ = ${18}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${18}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $18$ suchen, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf ${18}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$^☐ = ${18}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $18$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{18}$ gilt .

Wir suchen $13$er-Potenzen in der Näher von $41$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $41$ ist.

Dabei kommt man auf $13$ = 13¹ < $41$ und auf ${13}^2$ = 13² > $41$.

Und da wir bei ja das ☐ von 13^☐ = $41$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
13¹ = $13$ < $41$ < ${13}^2$ = 13²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{\mathrm{0,001}}{x}\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-3}\right)-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $-3-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)-3$

$\lg \left(5\right)$ - $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{5}{50}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(x^3\right)+4\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^3\right)+4\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\frac{9}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{5}{x}\right)+\lg \left(\frac{50}{x^4}\right)+\lg \left(\frac{1}{250}{x}^3\right)$

= $\lg \left(5x^{-1}\right)+\lg \left(50x^{-4}\right)+\lg \left(\frac{1}{250}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{250}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(250\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{250}·50·5)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$