Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $4$^$2$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $2$^$-4$ = $\frac{1}{16}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{19}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{19}}$ = ${19}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${19}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $19$ suchen, also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf ${19}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$^☐ = ${19}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $19$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{19}}$ gilt .

Wir suchen $12$er-Potenzen in der Näher von $79$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $79$ ist.

Dabei kommt man auf $12$ = 12¹ < $79$ und auf ${12}^2$ = 12² > $79$.

Und da wir bei ja das ☐ von 12^☐ = $79$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
12¹ = $12$ < $79$ < ${12}^2$ = 12²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10000000000}{x}\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000000\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{10}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $10-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+10$

${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>324</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>324</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>81</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; <mrow><mn>4</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(x^3\right)-2\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $4\lg \left(x^3\right)-2\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $12\lg \left(x\right)-6\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{11}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(4x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^4\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^4\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·25·4)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$