Wir suchen den Logarithmus von $289$ zur Basis $17$, also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf $289$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$^☐ = $289$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $17$^$2$ = $289$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{81}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{81}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{81}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{81}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $3$^$-4$ = $\frac{1}{81}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{32}$ um: $\sqrt{32}$ = ${32}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $32$ eine Potenz ist: $32$ = $2^5$

Also schreiben wir $\sqrt{32}$ = ${32}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left(2^5\right)}^{\frac{1}{2}}$ = $2^{\frac{5}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{5}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{5}{2}$, eben weil $2$^{$\frac{5}{2}$} = $\sqrt{32}$ gilt .

Wir suchen $18$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{309}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{309}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{324}$ = $\frac{1}{{18}^2}$ = 18^-2 < $\frac{1}{309}$ und auf $\frac{1}{18}$ = $\frac{1}{18}$ = 18^-1 > $\frac{1}{309}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 18^☐ = $\frac{1}{309}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
18^-2 = $\frac{1}{{18}^2}$ = $\frac{1}{324}$ < $\frac{1}{309}$ < $\frac{1}{18}$ = $\frac{1}{18}$ = 18^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000000x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000000\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{10}\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $10+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+10$

$\lg \left(500\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500·20)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $-2\lg \left(x^{-3}\right)$
= $6\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)$

$\lg \left(50x^4\right)+\lg \left(\frac{5}{x^6}\right)+\lg \left(4x^2\right)$

= $\lg \left(50x^4\right)+\lg \left(5x^{-6}\right)+\lg \left(4x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50·5·4)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$