Wir suchen den Logarithmus von $128$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $128$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $128$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $7$, eben weil $2$^$7$ = $128$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt[5]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{10}$ als ${10}^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{10}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{2}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $2^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $2$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{60}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{60}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{81}$ = $\frac{1}{3^4}$ = 3^-4 < $\frac{1}{60}$ und auf $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^3}$ = 3^-3 > $\frac{1}{60}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{60}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
3^-4 = $\frac{1}{3^4}$ = $\frac{1}{81}$ < $\frac{1}{60}$ < $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^3}$ = 3^-3

Es gilt somit: -4 < < -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $4$

$\lg \left(40\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40·25)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $2\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{25x^2}\right)+\lg \left(\frac{5}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{5x^2}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-2}\right)+\lg \left(5x^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{25}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·5·5)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$