Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $2$^$4$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt[3]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{10}$ als ${10}^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{10}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $10000000$ eine Potenz ist: $10000000$ = ${10}^7$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^7$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^7$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^7$ = ${100}^{\frac{7}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^7$ = ${100}^{\frac{7}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^7$ = ${100}^{\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^7$ = ${100}^{\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{7}{2}$, eben weil $100$^{$\frac{7}{2}$} = $10000000$ gilt .

Wir suchen $14$er-Potenzen in der Näher von $31$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $31$ ist.

Dabei kommt man auf $14$ = 14¹ < $31$ und auf ${14}^2$ = 14² > $31$.

Und da wir bei ja das ☐ von 14^☐ = $31$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
14¹ = $14$ < $31$ < ${14}^2$ = 14²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,01}x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-2}\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $-2+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)-2$

$\lg \left(20\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20·50)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)-2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)-2\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\frac{13}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(25\right)+\lg \left(5x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{125x}\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(5x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{125}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(\frac{1}{125}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{125}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+0+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{125}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+0+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(125\right)-\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(125\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{125}·25·5)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$