Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $5$^$1$ = $5$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $3$^$-3$ = $\frac{1}{27}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{17}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{17}}$ = ${17}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${17}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $17$ suchen, also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf ${17}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$^☐ = ${17}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $17$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{17}}$ gilt .

Wir suchen $13$er-Potenzen in der Näher von $58$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $58$ ist.

Dabei kommt man auf $13$ = 13¹ < $58$ und auf ${13}^2$ = 13² > $58$.

Und da wir bei ja das ☐ von 13^☐ = $58$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
13¹ = $13$ < $58$ < ${13}^2$ = 13²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^3\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $3+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+3$

$\lg \left(2500000\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2500000·4)$

= $\lg \left(10000000\right)$

= $\lg \left({10}^7\right)$

= 7

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^6\right)+\lg \left(25x\right)+\lg \left(\frac{1}{625}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x^6\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(\frac{1}{625}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x^6\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{625}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{625}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(625\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(625\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{625}·25·25)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·25)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$