Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $3$^$3$ = $27$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\sqrt[5]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{4}$ als $4^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$^☐ = $4^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{4}$ um: $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $27$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $27$ ist.

Dabei kommt man auf $2^4$ = 2⁴ < $27$ und auf $2^5$ = 2⁵ > $27$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $27$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 4 und 5 liegen, wegen:
2⁴ = $2^4$ < $27$ < $2^5$ = 2⁵

Es gilt somit: 4 < < 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000000x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000000\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{10}\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $10+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+10$

$\lg \left(2000000\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2000000·50)$

= $\lg \left(100000000\right)$

= $\lg \left({10}^8\right)$

= 8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(x^3\right)+2\lg \left(\frac{1}{x}\right)+2\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $4\lg \left(x^3\right)+2\lg \left(x^{-1}\right)+2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $12\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $11\lg \left(x\right)$

$\lg \left(25x^4\right)-\lg \left(1250x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{50x^3}\right)$

= $\lg \left(25x^4\right)-\lg \left(1250x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)-(\lg \left(1250\right)+\lg \left(x^4\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(1250\right)-\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1250}·50·25)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·25)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$