Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{12}$ zur Basis $12$, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{12}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$^☐ = $\sqrt[5]{12}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{12}$ als ${12}^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $12$^☐ = ${12}^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $12$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{12}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{13}$ um: $\frac{1}{13}$ = ${13}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 13 sondern zur Basis $169$ suchen und $169$ gerade 13² ist (also 13 = $\sqrt{169}$ = ${169}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${13}^{-1}$ noch so um, dass sie $169$ als Basis hat:

${13}^{-1}$ = ${\left({169}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${169}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${13}^{-1}$ = ${169}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $169$ suchen, also die Hochzahl mit der man $169$ potenzieren muss, um auf ${13}^{-1}$ = ${169}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $169$^☐ = ${13}^{-1}$ = ${169}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $169$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{13}$ gilt .

Wir suchen $15$er-Potenzen in der Näher von $90$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $90$ ist.

Dabei kommt man auf $15$ = 15¹ < $90$ und auf ${15}^2$ = 15² > $90$.

Und da wir bei ja das ☐ von 15^☐ = $90$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
15¹ = $15$ < $90$ < ${15}^2$ = 15²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10}{x}\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $1-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $1$

$\lg \left(40\right)$ - $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{40}{4}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)-2\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^2\right)-2\lg \left(x^{-3}\right)$
= $2\lg \left(x\right)+6\lg \left(x\right)$
= $8\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{10}{x}\right)+\lg \left(2x^4\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^3\right)-\lg \left(10x^{-1}\right)+\lg \left(2x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(10\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x^3\right)-\lg \left(10\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)$

= $2\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{10}·5·2)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $2\lg \left(x\right)$