Wir suchen den Logarithmus von $8$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $8$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $8$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $2$^$3$ = $8$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\sqrt[3]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{4}$ als $4^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$^☐ = $4^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{100000}$ um: $\sqrt{100000}$ = ${100000}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $100000$ eine Potenz ist: $100000$ = ${10}^5$

Also schreiben wir $\sqrt{100000}$ = ${100000}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^5\right)}^{\frac{1}{2}}$ = ${10}^{\frac{5}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{\frac{5}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{5}{2}$, eben weil $10$^{$\frac{5}{2}$} = $\sqrt{100000}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $2$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $2$ und auf $4$ = 4¹ > $2$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $2$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $2$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < < 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{1000}{x}\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^3\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $3-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+3$

${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn><mspace\; width="thinmathspace"></mspace><mn>280</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1280</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>256</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; <mrow><mn>8</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\sqrt{x}\right)-2\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)-2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(25x^3\right)+\lg \left(2x^4\right)-\lg \left(50x^{12}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right))-(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^{12}\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(50\right)-\lg \left(x^{12}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(50\right)-12\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(50\right)-12\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{50}·25·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$