Wir suchen den Logarithmus von $8$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $8$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $8$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $2$^$3$ = $8$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt[3]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{10}$ als ${10}^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{10}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $8$ eine Potenz ist: $8$ = $2^3$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2^3$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^3$ = ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^3$ = $4^{\frac{3}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $2^3$ = $4^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^3$ = $4^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2^3$ = $4^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{3}{2}$} = $8$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $7$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $7$ ist.

Dabei kommt man auf $5$ = 5¹ < $7$ und auf $5^2$ = 5² > $7$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $7$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
5¹ = $5$ < $7$ < $5^2$ = 5²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000000x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $8+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+8$

${\log }_{14}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn><mspace\; width="thinmathspace"></mspace><mn>920</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_{14}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>20</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_{14}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3920</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>20</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{14}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>196</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{14}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>14</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{50}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{1250000x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{25x^4}\right)$

= $\lg \left(50x^{-1}\right)+\lg \left(\frac{1}{\mathrm{1.250.000}}{x}^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+(\lg \left(\frac{1}{\mathrm{1.250.000}}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{\mathrm{1.250.000}}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{\mathrm{1.250.000}}\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(1250000\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(1250000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{\mathrm{1.250.000}}·50·25)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$