Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $4$^$3$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{225}$ zur Basis $15$, also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{225}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$^☐ = $\frac{1}{225}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $15$-Potenz zu schreiben versuchen, also $15$^☐ = $\frac{1}{225}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $15$^$-2$ = $\frac{1}{225}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $32$ eine Potenz ist: $32$ = $2^5$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2^5$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^5$ = ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^5$ = $4^{\frac{5}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $2^5$ = $4^{\frac{5}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^5$ = $4^{\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2^5$ = $4^{\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{5}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{5}{2}$} = $32$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $4$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $4$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 5⁰ < $4$ und auf $5$ = 5¹ > $4$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $4$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
5⁰ = $1$ < $4$ < $5$ = 5¹

Es gilt somit: 0 < < 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000000x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $8+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+8$

$\lg \left(\mathrm{0,2}\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.2}{20}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)-2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^3\right)-2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{7}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(2\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^5\right)-\lg \left(\frac{50}{x^3}\right)$

= $\lg \left(2\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^5\right)-\lg \left(50x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(1\right)-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x^5\right))-(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x^5\right)-\lg \left(50\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+0-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{50}·25·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$