Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $5$^$1$ = $5$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{19}$ um: $\frac{1}{19}$ = ${19}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 19 sondern zur Basis $361$ suchen und $361$ gerade 19² ist (also 19 = $\sqrt{361}$ = ${361}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${19}^{-1}$ noch so um, dass sie $361$ als Basis hat:

${19}^{-1}$ = ${\left({361}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${361}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${19}^{-1}$ = ${361}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $361$ suchen, also die Hochzahl mit der man $361$ potenzieren muss, um auf ${19}^{-1}$ = ${361}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $361$^☐ = ${19}^{-1}$ = ${361}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $361$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{19}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $114$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $114$ ist.

Dabei kommt man auf $2^6$ = 2⁶ < $114$ und auf $2^7$ = 2⁷ > $114$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $114$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
2⁶ = $2^6$ < $114$ < $2^7$ = 2⁷

Es gilt somit: 6 < < 7

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
= $1$

$\lg \left(\mathrm{0,4}\right)$ - $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.4}{4}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\frac{1}{x}\right)+2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $2\lg \left(x^{-1}\right)+2\lg \left(x^{-2}\right)+2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-7\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(8x\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(4x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(8\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $-\lg \left(8\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(8\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+0+\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(8\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+0+\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(8\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{8}·4·2)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$