Wir suchen den Logarithmus von $100000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $100000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $100000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $5$, eben weil $10$^$5$ = $100000$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $3$^$-3$ = $\frac{1}{27}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{17}$ um: $\frac{1}{17}$ = ${17}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 17 sondern zur Basis $289$ suchen und $289$ gerade 17² ist (also 17 = $\sqrt{289}$ = ${289}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${17}^{-1}$ noch so um, dass sie $289$ als Basis hat:

${17}^{-1}$ = ${\left({289}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${289}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${17}^{-1}$ = ${289}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $289$ suchen, also die Hochzahl mit der man $289$ potenzieren muss, um auf ${17}^{-1}$ = ${289}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $289$^☐ = ${17}^{-1}$ = ${289}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $289$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{17}$ gilt .

Wir suchen $13$er-Potenzen in der Näher von $104$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $104$ ist.

Dabei kommt man auf $13$ = 13¹ < $104$ und auf ${13}^2$ = 13² > $104$.

Und da wir bei ja das ☐ von 13^☐ = $104$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
13¹ = $13$ < $104$ < ${13}^2$ = 13²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,01}x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-2}\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-2+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)-2$

${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>54</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>54</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>27</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{1250}x\right)+\lg \left(\frac{50}{x^5}\right)+\lg \left(25x^2\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{1250}x\right)+\lg \left(50x^{-5}\right)+\lg \left(25x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{1250}\right)+\lg \left(x\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{1250}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{1250}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(1250\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1250}·50·25)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·25)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$