Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $6$, eben weil $2$^$6$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $3$^$-2$ = $\frac{1}{9}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{16}$ um: $\frac{1}{16}$ = ${16}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 16 sondern zur Basis $256$ suchen und $256$ gerade 16² ist (also 16 = $\sqrt{256}$ = ${256}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${16}^{-1}$ noch so um, dass sie $256$ als Basis hat:

${16}^{-1}$ = ${\left({256}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${256}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${16}^{-1}$ = ${256}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $256$ suchen, also die Hochzahl mit der man $256$ potenzieren muss, um auf ${16}^{-1}$ = ${256}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $256$^☐ = ${16}^{-1}$ = ${256}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $256$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{16}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $37$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $37$ ist.

Dabei kommt man auf $5^2$ = 5² < $37$ und auf $5^3$ = 5³ > $37$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $37$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
5² = $5^2$ < $37$ < $5^3$ = 5³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,01}x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-2}\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $-2+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)-2$

$\lg \left(\mathrm{0,5}\right)$ - $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.5}{50}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(x^2\right)$
= $8\lg \left(x\right)$
= $8\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{50x^2}\right)+\lg \left(\frac{4}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{200000x}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-2}\right)+\lg \left(4x^{-1}\right)+\lg \left(\frac{1}{200.000}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(\frac{1}{200.000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{200.000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{200.000}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(200000\right)-\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(200000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{200.000}·50·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$