Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $5$^$2$ = $25$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\sqrt[4]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{5}$ als $5^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$^☐ = $5^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{5}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 14 sondern zur Basis $196$ suchen und $196$ gerade 14² ist (also 14 = $\sqrt{196}$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $14$ noch so um, dass sie $196$ als Basis hat:

$14$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $14$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $196$ suchen, also die Hochzahl mit der man $196$ potenzieren muss, um auf $14$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $196$^☐ = $14$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $196$^{$\frac{1}{2}$} = $14$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $10$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $10$ ist.

Dabei kommt man auf $3^2$ = 3² < $10$ und auf $3^3$ = 3³ > $10$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $10$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
3² = $3^2$ < $10$ < $3^3$ = 3³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^3\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $3+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $3$

$\lg \left(\mathrm{0,04}\right)$ - $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.04}{4}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $4\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $11\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{10}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^4\right)-\lg \left(\frac{1}{20x^3}\right)$

= $-\lg \left(10x^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^4\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(10\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^4\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $-\lg \left(10\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(10\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(10\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(10\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{50·20}{10}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$