Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $3$^$3$ = $27$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{12}$ zur Basis $12$, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{12}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$^☐ = $\sqrt[4]{12}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{12}$ als ${12}^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $12$^☐ = ${12}^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $12$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{12}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{5}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $5^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{4}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{4}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1 < $\frac{1}{4}$ und auf $1$ = $1$ = 5^-0 > $\frac{1}{4}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{4}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
5^-1 = $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ < $\frac{1}{4}$ < $1$ = $1$ = 5^-0

Es gilt somit: -1 < < -0

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,01}x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-2}\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $-2+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)-2$

$\lg \left(2000\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2000·50)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)$
= $3\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)$

$\lg \left(4\right)+\lg \left(25x^4\right)+\lg \left(\frac{10}{x^4}\right)$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(25x^4\right)+\lg \left(10x^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(10\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(10\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+0+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(10\right)-4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+0+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(10\right)-4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(10\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25·10·4)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$