Wir suchen den Logarithmus von $361$ zur Basis $19$, also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $361$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$^☐ = $361$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $19$^$2$ = $361$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{4}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{4}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-1$, eben weil $4$^$-1$ = $\frac{1}{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{1000}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{1000}}$ = ${1000}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $1000$ eine Potenz ist: $1000$ = ${10}^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{1000}}$ = ${1000}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^3\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = ${10}^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $10$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{1000}}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $3054586$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $3054586$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^6$ = 10⁶ < $3054586$ und auf ${10}^7$ = 10⁷ > $3054586$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $3054586$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
10⁶ = ${10}^6$ < $3054586$ < ${10}^7$ = 10⁷

Es gilt somit: 6 < < 7

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
= $1$

${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>320</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>20</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>320</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>20</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>16</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>4</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $4\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $11\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^4\right)+\lg \left(2x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{8000}x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(\frac{1}{8000}\right)+\lg \left(x\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x^4\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{8000}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{8000}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(8000\right)+\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(8000\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{8000}·4·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$