Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $4$^$3$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{4}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{4}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-1$, eben weil $4$^$-1$ = $\frac{1}{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{19}$ um: $\frac{1}{19}$ = ${19}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 19 sondern zur Basis $361$ suchen und $361$ gerade 19² ist (also 19 = $\sqrt{361}$ = ${361}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${19}^{-1}$ noch so um, dass sie $361$ als Basis hat:

${19}^{-1}$ = ${\left({361}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${361}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${19}^{-1}$ = ${361}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $361$ suchen, also die Hochzahl mit der man $361$ potenzieren muss, um auf ${19}^{-1}$ = ${361}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $361$^☐ = ${19}^{-1}$ = ${361}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $361$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{19}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{44}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{44}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{81}$ = $\frac{1}{3^4}$ = 3^-4 < $\frac{1}{44}$ und auf $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^3}$ = 3^-3 > $\frac{1}{44}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{44}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
3^-4 = $\frac{1}{3^4}$ = $\frac{1}{81}$ < $\frac{1}{44}$ < $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^3}$ = 3^-3

Es gilt somit: -4 < < -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,0001}x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,0001}\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-4}\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $-4+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)-4$

$\lg \left(200\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{200}{20}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^2\right)-2\lg \left(x^3\right)$
= $-4\lg \left(x\right)-6\lg \left(x\right)$
= $-10\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{80}{x}^3\right)+\lg \left(\frac{20}{x^5}\right)+\lg \left(\frac{4}{x^2}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{80}{x}^3\right)+\lg \left(20x^{-5}\right)+\lg \left(4x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{80}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(80\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{80}·20·4)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$