Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $4$^$2$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-6$, eben weil $10$^$-6$ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3$ = $9^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $9$^{$\frac{1}{2}$} = $3$ gilt .

Wir suchen $12$er-Potenzen in der Näher von $24$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $24$ ist.

Dabei kommt man auf $12$ = 12¹ < $24$ und auf ${12}^2$ = 12² > $24$.

Und da wir bei ja das ☐ von 12^☐ = $24$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
12¹ = $12$ < $24$ < ${12}^2$ = 12²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{\mathrm{0,001}}{x}\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)-\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-3}\right)-\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-3-\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-5\lg \left(x\right)-3$

$\lg \left(250\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250·4)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $-2\lg \left(x^{-2}\right)+2\lg \left(x^{-2}\right)$
= $4\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
=0

$-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{1}{5x}\right)+\lg \left(4x^2\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-1}\right)+\lg \left(4x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50·5·4)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$