Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $5$^$1$ = $5$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\sqrt{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{4}$ als $4^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{4}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{4}}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{4}}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $117$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $117$ ist.

Dabei kommt man auf $5^2$ = 5² < $117$ und auf $5^3$ = 5³ > $117$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $117$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
5² = $5^2$ < $117$ < $5^3$ = 5³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^5\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $5+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+5$

$\lg \left(20\right)$ - $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{20}{2}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-3}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-\frac{5}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{2}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}x\right)+\lg \left(\frac{1}{4}{x}^2\right)$

= $\lg \left(2x^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}x\right)+\lg \left(\frac{1}{4}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{4}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(20\right)-\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{20}{4}·2)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$