Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $3$^$-3$ = $\frac{1}{27}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{1000000000}$ um: $\frac{1}{1000000000}$ = ${1000000000}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $1000000000$ eine Potenz ist: $1000000000$ = ${10}^9$

Also schreiben wir $\frac{1}{1000000000}$ = ${1000000000}^{-1}$ = ${\left({10}^9\right)}^{-1}$ = ${10}^{-9}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^{-9}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^{-9}$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-9}$ = ${100}^{-\frac{9}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-9}$ = ${100}^{-\frac{9}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-9}$ = ${100}^{-\frac{9}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^{-9}$ = ${100}^{-\frac{9}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{9}{2}$, eben weil $100$^{$-\frac{9}{2}$} = $\frac{1}{1000000000}$ gilt .

Wir suchen $11$er-Potenzen in der Näher von $51$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $51$ ist.

Dabei kommt man auf $11$ = 11¹ < $51$ und auf ${11}^2$ = 11² > $51$.

Und da wir bei ja das ☐ von 11^☐ = $51$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
11¹ = $11$ < $51$ < ${11}^2$ = 11²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^4\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $4+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+4$

$\lg \left(\mathrm{0,05}\right)$ - $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.05}{50}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $2\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $8\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{17}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{25}{x^6}\right)+\lg \left(25x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{625.000}{x}^4\right)$

= $\lg \left(25x^{-6}\right)+\lg \left(25x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{625.000}{x}^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(\frac{1}{625.000}\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{625.000}\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{625.000}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(625000\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(625000\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{625.000}·25·25)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$