Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $4$^$1$ = $4$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{125}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{125}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{125}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{125}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $5$^$-3$ = $\frac{1}{125}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{13}$ um: $\sqrt{13}$ = ${13}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${13}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $13$ suchen, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf ${13}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$^☐ = ${13}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $13$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{13}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $26$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $26$ ist.

Dabei kommt man auf $3^2$ = 3² < $26$ und auf $3^3$ = 3³ > $26$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $26$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
3² = $3^2$ < $26$ < $3^3$ = 3³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000000x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $8+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+8$

${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>768</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>768</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>256</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; <mrow><mn>8</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{200}{x^2}\right)+\lg \left(4x\right)+\lg \left(50x^2\right)$

= $-\lg \left(200x^{-2}\right)+\lg \left(4x\right)+\lg \left(50x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(200\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(200\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(200\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(200\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{200}·50·4)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$