Wir suchen den Logarithmus von $1000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $1000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $1000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $10$^$3$ = $1000$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{125}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{125}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{125}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{125}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $5$^$-3$ = $\frac{1}{125}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{100000}$ um: $\frac{1}{100000}$ = ${100000}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $100000$ eine Potenz ist: $100000$ = ${10}^5$

Also schreiben wir $\frac{1}{100000}$ = ${100000}^{-1}$ = ${\left({10}^5\right)}^{-1}$ = ${10}^{-5}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^{-5}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^{-5}$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-5}$ = ${100}^{-\frac{5}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-5}$ = ${100}^{-\frac{5}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-5}$ = ${100}^{-\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^{-5}$ = ${100}^{-\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{5}{2}$, eben weil $100$^{$-\frac{5}{2}$} = $\frac{1}{100000}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{4}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{4}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1 < $\frac{1}{4}$ und auf $1$ = $1$ = 5^-0 > $\frac{1}{4}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{4}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
5^-1 = $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ < $\frac{1}{4}$ < $1$ = $1$ = 5^-0

Es gilt somit: -1 < < -0

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $5$

$\lg \left(400\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (400·25)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{4}x\right)+\lg \left(\frac{1}{8000x^2}\right)+\lg \left(2x^3\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}x\right)+\lg \left(\frac{1}{8000}{x}^{-2}\right)+\lg \left(2x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(\frac{1}{8000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{8000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{8000}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(8000\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(8000\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{8000}·4·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$