Wir suchen den Logarithmus von $1000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $1000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $1000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $10$^$3$ = $1000$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{225}$ zur Basis $15$, also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{225}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$^☐ = $\frac{1}{225}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $15$-Potenz zu schreiben versuchen, also $15$^☐ = $\frac{1}{225}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $15$^$-2$ = $\frac{1}{225}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{3}$ um: $\frac{1}{3}$ = $3^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3^{-1}$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^{-1}$ = ${\left(9^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $9$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{3}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{\mathrm{297.972.327}}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{\mathrm{297.972.327}}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{1000000000}$ = $\frac{1}{{10}^9}$ = 10^-9 < $\frac{1}{\mathrm{297.972.327}}$ und auf $\frac{1}{100000000}$ = $\frac{1}{{10}^8}$ = 10^-8 > $\frac{1}{\mathrm{297.972.327}}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{\mathrm{297.972.327}}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -9 und -8 liegen, wegen:
10^-9 = $\frac{1}{{10}^9}$ = $\frac{1}{1000000000}$ < $\frac{1}{\mathrm{297.972.327}}$ < $\frac{1}{100000000}$ = $\frac{1}{{10}^8}$ = 10^-8

Es gilt somit: -9 < < -8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^3\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $3+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)+3$

$\lg \left(200\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{200}{20}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{20}x\right)+\lg \left(\frac{1}{4x}\right)-\lg \left(\frac{1}{20x^2}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}x\right)+\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{20·20}{4}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$