Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $2$^$-4$ = $\frac{1}{16}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{5}$ um: $\frac{1}{5}$ = $5^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5^{-1}$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^{-1}$ = ${\left({25}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $25$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{5}$ gilt .

Wir suchen $13$er-Potenzen in der Näher von $110$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $110$ ist.

Dabei kommt man auf $13$ = 13¹ < $110$ und auf ${13}^2$ = 13² > $110$.

Und da wir bei ja das ☐ von 13^☐ = $110$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
13¹ = $13$ < $110$ < ${13}^2$ = 13²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^2\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $2+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+2$

$\lg \left(200\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200·50)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

$\lg \left(20x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{100000x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)$

= $\lg \left(20x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{100.000}{x}^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(100000\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+0$

= $-\lg \left(100000\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100.000}·20·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$