Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $5$^$3$ = $125$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{196}$ zur Basis $14$, also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{196}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$^☐ = $\frac{1}{196}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $14$-Potenz zu schreiben versuchen, also $14$^☐ = $\frac{1}{196}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $14$^$-2$ = $\frac{1}{196}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{10000000}$ um: $\sqrt{10000000}$ = ${10000000}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $10000000$ eine Potenz ist: $10000000$ = ${10}^7$

Also schreiben wir $\sqrt{10000000}$ = ${10000000}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^7\right)}^{\frac{1}{2}}$ = ${10}^{\frac{7}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{\frac{7}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{7}{2}$, eben weil $10$^{$\frac{7}{2}$} = $\sqrt{10000000}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $48259$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $48259$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^4$ = 10⁴ < $48259$ und auf ${10}^5$ = 10⁵ > $48259$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $48259$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 4 und 5 liegen, wegen:
10⁴ = ${10}^4$ < $48259$ < ${10}^5$ = 10⁵

Es gilt somit: 4 < < 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000000x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $8+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)+8$

$\lg \left(40000\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40000·25)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $2\lg \left(x^{-3}\right)+2\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-6\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-10\lg \left(x\right)$

$\lg \left(20x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{40x^8}\right)+\lg \left(2x\right)$

= $\lg \left(20x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{40}{x}^{-8}\right)+\lg \left(2x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(40\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{40}·20·2)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$