Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $3$^$3$ = $27$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\sqrt[5]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{5}$ als $5^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$^☐ = $5^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{5}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{4}$ um: $\frac{1}{4}$ = $4^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4^{-1}$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^{-1}$ = ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $16$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{4}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $45$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $45$ ist.

Dabei kommt man auf $3^3$ = 3³ < $45$ und auf $3^4$ = 3⁴ > $45$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $45$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^3$ < $45$ < $3^4$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $2$

$\lg \left(40000000\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40000000·25)$

= $\lg \left(1000000000\right)$

= $\lg \left({10}^9\right)$

= 9

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $2\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $4\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{3}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{100}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^4}\right)$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(100x^{-4}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(100\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(100\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+0+\lg \left(100\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+0+\lg \left(100\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(100\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (100·5·2)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$