Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt[4]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{10}$ als ${10}^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{10}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{10}$ um: $\frac{1}{10}$ = ${10}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^{-1}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^{-1}$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${100}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-1}$ = ${100}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-1}$ = ${100}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^{-1}$ = ${100}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $100$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{10}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $196$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $196$ ist.

Dabei kommt man auf $2^7$ = 2⁷ < $196$ und auf $2^8$ = 2⁸ > $196$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $196$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
2⁷ = $2^7$ < $196$ < $2^8$ = 2⁸

Es gilt somit: 7 < < 8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $6+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+6$

${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>75</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>75</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>25</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>5</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)+2\lg \left(x^4\right)-2\lg \left(x^4\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)+2\lg \left(x^4\right)-2\lg \left(x^4\right)$
= $-\lg \left(x\right)+8\lg \left(x\right)-8\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{8}{5}{x}^3\right)+\lg \left(4x^2\right)+\lg \left(4x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{8}{5}\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right))$

= $-\lg \left(\frac{8}{5}\right)-\lg \left(x^3\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{8}{5}\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(8\right)+\lg \left(5\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(8\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{8}·5·4·4)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$