Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\sqrt{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{4}$ als $4^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{4}$ um: $\frac{1}{4}$ = $4^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4^{-1}$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^{-1}$ = ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $16$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{4}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $46$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $46$ ist.

Dabei kommt man auf $3^3$ = 3³ < $46$ und auf $3^4$ = 3⁴ > $46$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $46$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^3$ < $46$ < $3^4$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{1000}{x}\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^3\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $3-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+3$

${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>500</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>20</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>500</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>20</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>25</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>5</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)$
= $4\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{125.000}{x}^4\right)+\lg \left(\frac{5}{x^4}\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{125.000}{x}^4\right)+\lg \left(5x^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(\frac{1}{125.000}\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{1}{125.000}\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+0+\lg \left(\frac{1}{125.000}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+0+\lg \left(1\right)-\lg \left(125000\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(125000\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{125.000}·25·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$