Wir suchen den Logarithmus von $324$ zur Basis $18$, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $324$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$^☐ = $324$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $18$^$2$ = $324$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $4$^$-2$ = $\frac{1}{16}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{8}$ um: $\sqrt{8}$ = $8^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $8$ eine Potenz ist: $8$ = $2^3$

Also schreiben wir $\sqrt{8}$ = $8^{\frac{1}{2}}$ = ${\left(2^3\right)}^{\frac{1}{2}}$ = $2^{\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $2$^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{8}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{\mathrm{75.934.038}}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{\mathrm{75.934.038}}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{100000000}$ = $\frac{1}{{10}^8}$ = 10^-8 < $\frac{1}{\mathrm{75.934.038}}$ und auf $\frac{1}{10000000}$ = $\frac{1}{{10}^7}$ = 10^-7 > $\frac{1}{\mathrm{75.934.038}}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{\mathrm{75.934.038}}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -8 und -7 liegen, wegen:
10^-8 = $\frac{1}{{10}^8}$ = $\frac{1}{100000000}$ < $\frac{1}{\mathrm{75.934.038}}$ < $\frac{1}{10000000}$ = $\frac{1}{{10}^7}$ = 10^-7

Es gilt somit: -8 < < -7

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{\mathrm{0,01}}{x}\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-2}\right)-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $-2-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)-2$

${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn><mspace\; width="thinmathspace"></mspace><mn>250</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>50</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1250</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>50</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>25</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>5</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(x^2\right)+4\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^2\right)+4\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{100}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^3\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(100x^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(1\right))-(\lg \left(100\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+0-\lg \left(100\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+0-\lg \left(100\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)-3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(100\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}·5·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$