Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\sqrt{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{27}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{27}}$ = ${27}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{27}}$ = ${27}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left(3^3\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = $3^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $3$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{27}}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{12}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{12}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{2^4}$ = 2^-4 < $\frac{1}{12}$ und auf $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2^3}$ = 2^-3 > $\frac{1}{12}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{12}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
2^-4 = $\frac{1}{2^4}$ = $\frac{1}{16}$ < $\frac{1}{12}$ < $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2^3}$ = 2^-3

Es gilt somit: -4 < < -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000000x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000000\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{10}\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $10+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+10$

$\lg \left(20\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20·50)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+2\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+2\lg \left(x^{-3}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-6\lg \left(x\right)$
= $-\frac{11}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{8000}{x^2}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{2}{x^2}\right)$

= $-\lg \left(8000x^{-2}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(8000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(8000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(8000\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+0+\lg \left(2\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(8000\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+0+\lg \left(2\right)-2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(8000\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{8000}·4·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$