Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $3$^$4$ = $81$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{125}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{125}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{125}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{125}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $5$^$-3$ = $\frac{1}{125}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{2}$ um: $\sqrt{2}$ = $2^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{3}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{3}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1 < $\frac{1}{3}$ und auf $1$ = $1$ = 5^-0 > $\frac{1}{3}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{3}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
5^-1 = $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ < $\frac{1}{3}$ < $1$ = $1$ = 5^-0

Es gilt somit: -1 < < -0

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $6+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+6$

$\lg \left(5000000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5000000·2)$

= $\lg \left(10000000\right)$

= $\lg \left({10}^7\right)$

= 7

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(x^2\right)-2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^2\right)-2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\frac{5}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(50x^4\right)+\lg \left(\frac{2}{5}x\right)+\lg \left(\frac{5}{x^5}\right)$

= $\lg \left(50x^4\right)+\lg \left(\frac{2}{5}x\right)+\lg \left(5x^{-5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(\frac{2}{5}\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{2}{5}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{2}{5}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-5\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-5\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50·2)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$