Wir suchen den Logarithmus von $289$ zur Basis $17$, also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf $289$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$^☐ = $289$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $17$^$2$ = $289$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{256}$ zur Basis $16$, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{256}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $\frac{1}{256}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $16$-Potenz zu schreiben versuchen, also $16$^☐ = $\frac{1}{256}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $16$^$-2$ = $\frac{1}{256}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $25$^{$\frac{1}{2}$} = $5$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $604$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $604$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^2$ = 10² < $604$ und auf ${10}^3$ = 10³ > $604$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $604$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
10² = ${10}^2$ < $604$ < ${10}^3$ = 10³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^5\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $5+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)+5$

$\lg \left(\mathrm{0,003}\right)$ - $\lg \left(3\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.003}{3}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{2x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{10x^2}\right)+\lg \left(5x^4\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-3}\right)+\lg \left(\frac{1}{10}{x}^{-2}\right)+\lg \left(5x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{10}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(10\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{10}·5·2)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$