Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $3$^$3$ = $27$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{225}$ zur Basis $15$, also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{225}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$^☐ = $\frac{1}{225}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $15$-Potenz zu schreiben versuchen, also $15$^☐ = $\frac{1}{225}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $15$^$-2$ = $\frac{1}{225}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $10000000$ eine Potenz ist: $10000000$ = ${10}^7$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^7$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^7$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^7$ = ${100}^{\frac{7}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^7$ = ${100}^{\frac{7}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^7$ = ${100}^{\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^7$ = ${100}^{\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{7}{2}$, eben weil $100$^{$\frac{7}{2}$} = $10000000$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $2$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $2$ und auf $4$ = 4¹ > $2$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $2$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $2$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < < 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{100000000}{x}\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $8-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+8$

$\lg \left(20\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20·50)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)$
= $4\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{50}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^4\right)+\lg \left(25\right)$

= $-\lg \left(50x^{-4}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^4\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(1\right))$

= $-\lg \left(50\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^4\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+0$

= $-\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{50}·25·20)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$