Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $5$^$1$ = $5$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $2$^$-4$ = $\frac{1}{16}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{32}$ um: $\sqrt{32}$ = ${32}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $32$ eine Potenz ist: $32$ = $2^5$

Also schreiben wir $\sqrt{32}$ = ${32}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left(2^5\right)}^{\frac{1}{2}}$ = $2^{\frac{5}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{5}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{5}{2}$, eben weil $2$^{$\frac{5}{2}$} = $\sqrt{32}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $2$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 5⁰ < $2$ und auf $5$ = 5¹ > $2$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $2$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
5⁰ = $1$ < $2$ < $5$ = 5¹

Es gilt somit: 0 < < 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^2\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $2+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+2$

$\lg \left(2000\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{2000}{20}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $2\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $-6\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $-\frac{5}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^5\right)+\lg \left(\frac{20}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^3\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^5\right)+\lg \left(20x^{-1}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^5\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x^5\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·20·5)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$