Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $4$^$2$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\sqrt[5]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{4}$ als $4^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$^☐ = $4^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{13}$ um: $\frac{1}{13}$ = ${13}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 13 sondern zur Basis $169$ suchen und $169$ gerade 13² ist (also 13 = $\sqrt{169}$ = ${169}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${13}^{-1}$ noch so um, dass sie $169$ als Basis hat:

${13}^{-1}$ = ${\left({169}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${169}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${13}^{-1}$ = ${169}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $169$ suchen, also die Hochzahl mit der man $169$ potenzieren muss, um auf ${13}^{-1}$ = ${169}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $169$^☐ = ${13}^{-1}$ = ${169}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $169$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{13}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{5443}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{5443}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{{10}^4}$ = 10^-4 < $\frac{1}{5443}$ und auf $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{{10}^3}$ = 10^-3 > $\frac{1}{5443}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{5443}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
10^-4 = $\frac{1}{{10}^4}$ = $\frac{1}{10000}$ < $\frac{1}{5443}$ < $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{{10}^3}$ = 10^-3

Es gilt somit: -4 < < -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,01}x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-2}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-2+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-2$

$\lg \left(200\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{200}{20}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\frac{5}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{20}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{4}{x}\right)-\lg \left(\frac{80000}{x^3}\right)$

= $\lg \left(20x^{-2}\right)+\lg \left(4x^{-1}\right)-\lg \left(80000x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(80000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(80000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(80000\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(80000\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(80000\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{80000}·20·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$