Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $3$^$2$ = $9$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{2}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\sqrt[4]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{2}$ als $2^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$^☐ = $2^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{2}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{27}$ um: $\frac{1}{27}$ = ${27}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{27}$ = ${27}^{-1}$ = ${\left(3^3\right)}^{-1}$ = $3^{-3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3^{-3}$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^{-3}$ = ${\left(9^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$ = $9^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-3}$ = $9^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^{-3}$ = $9^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3^{-3}$ = $9^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $9$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{27}$ gilt .

Wir suchen $15$er-Potenzen in der Näher von $197$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $197$ ist.

Dabei kommt man auf $15$ = 15¹ < $197$ und auf ${15}^2$ = 15² > $197$.

Und da wir bei ja das ☐ von 15^☐ = $197$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
15¹ = $15$ < $197$ < ${15}^2$ = 15²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(0.00001x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(0.00001\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-5}\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $-5+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)-5$

$\lg \left(300\right)$ - $\lg \left(3\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{300}{3}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)+4\lg \left(\frac{1}{x}\right)-2\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^2\right)+4\lg \left(x^{-1}\right)-2\lg \left(x^{-1}\right)$
= $2\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
=0

$\lg \left(\frac{1}{1000}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{20x^3}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(1000\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1000}·50·20)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$