Wir suchen den Logarithmus von $169$ zur Basis $13$, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $169$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$^☐ = $169$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $13$^$2$ = $169$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{100000}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{100000}}$ = ${100000}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $100000$ eine Potenz ist: $100000$ = ${10}^5$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{100000}}$ = ${100000}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^5\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = ${10}^{-\frac{5}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-\frac{5}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{-\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{5}{2}$, eben weil $10$^{$-\frac{5}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{100000}}$ gilt .

Wir suchen $18$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{209}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{209}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{324}$ = $\frac{1}{{18}^2}$ = 18^-2 < $\frac{1}{209}$ und auf $\frac{1}{18}$ = $\frac{1}{18}$ = 18^-1 > $\frac{1}{209}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 18^☐ = $\frac{1}{209}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
18^-2 = $\frac{1}{{18}^2}$ = $\frac{1}{324}$ < $\frac{1}{209}$ < $\frac{1}{18}$ = $\frac{1}{18}$ = 18^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $6+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+6$

$\lg \left(200000000\right)$ + $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200000000·5)$

= $\lg \left(1000000000\right)$

= $\lg \left({10}^9\right)$

= 9

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{4}{x^3}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{20}{x}^3\right)$

= $\lg \left(4x^{-3}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{20}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+0+\lg \left(\frac{1}{20}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+0+\lg \left(1\right)-\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)-\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{50}{20}·4)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$