Wir suchen den Logarithmus von $169$ zur Basis $13$, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $169$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$^☐ = $169$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $13$^$2$ = $169$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt[5]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{10}$ als ${10}^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{10}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{1000}$ um: $\frac{1}{1000}$ = ${1000}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $1000$ eine Potenz ist: $1000$ = ${10}^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{1000}$ = ${1000}^{-1}$ = ${\left({10}^3\right)}^{-1}$ = ${10}^{-3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^{-3}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^{-3}$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$ = ${100}^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-3}$ = ${100}^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-3}$ = ${100}^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^{-3}$ = ${100}^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $100$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{1000}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $718168151$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $718168151$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^8$ = 10⁸ < $718168151$ und auf ${10}^9$ = 10⁹ > $718168151$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $718168151$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 8 und 9 liegen, wegen:
10⁸ = ${10}^8$ < $718168151$ < ${10}^9$ = 10⁹

Es gilt somit: 8 < < 9

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $1+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+1$

${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>32</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ + ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>32</mn></mrow>\; </mrow>\; <mo>\; ·\; </mo>\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>64</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>4</mn></mrow>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $4\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $8\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{2}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{250x}\right)+\lg \left(2x^2\right)$

= $\lg \left(2x^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{250}{x}^{-1}\right)+\lg \left(2x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-(\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{250}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(250\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(250\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (250·2·2)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$