Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $8$, eben weil $2$^$8$ = $256$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{100.000}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{100.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{100.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{100.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-5$, eben weil $10$^$-5$ = $\frac{1}{100.000}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{15}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{15}}$ = ${15}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${15}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $15$ suchen, also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf ${15}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$^☐ = ${15}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $15$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{15}}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $2$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 5⁰ < $2$ und auf $5$ = 5¹ > $2$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $2$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
5⁰ = $1$ < $2$ < $5$ = 5¹

Es gilt somit: 0 < < 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000000x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000000\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{10}\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $10+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)+10$

$\lg \left(\mathrm{0,2}\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.2}{20}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)$
= $2\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(20x^4\right)+\lg \left(\frac{4}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{8000x}\right)$

= $\lg \left(20x^4\right)+\lg \left(4x^{-3}\right)+\lg \left(\frac{1}{8000}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(\frac{1}{8000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{8000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{8000}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(8000\right)-\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(8000\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{8000}·20·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$