Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $4$^$1$ = $4$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{18}$ zur Basis $18$, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{18}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$^☐ = $\sqrt[4]{18}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{18}$ als ${18}^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $18$^☐ = ${18}^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $18$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{18}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{3}$ um: $\frac{1}{3}$ = $3^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3^{-1}$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^{-1}$ = ${\left(9^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $9$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{3}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $175$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $175$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^2$ = 10² < $175$ und auf ${10}^3$ = 10³ > $175$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $175$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
10² = ${10}^2$ < $175$ < ${10}^3$ = 10³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{0.00001}{x}\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(0.00001\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-5}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-5-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-5$

$\lg \left(50000\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50000·20)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)+2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{1}{25x^3}\right)-\lg \left(12500\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-3}\right)-\lg \left(12500\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))-(\lg \left(12500\right)+\lg \left(1\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(12500\right)-\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(12500\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(12500\right)+0$

= $-\lg \left(12500\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{12500}·25·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$