Wir suchen den Logarithmus von $8$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $8$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $8$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $2$^$3$ = $8$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{256}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{256}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{256}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{256}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-8$, eben weil $2$^$-8$ = $\frac{1}{256}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{13}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{13}}$ = ${13}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${13}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $13$ suchen, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf ${13}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$^☐ = ${13}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $13$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{13}}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{867}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{867}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{{10}^3}$ = 10^-3 < $\frac{1}{867}$ und auf $\frac{1}{100}$ = $\frac{1}{{10}^2}$ = 10^-2 > $\frac{1}{867}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{867}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
10^-3 = $\frac{1}{{10}^3}$ = $\frac{1}{1000}$ < $\frac{1}{867}$ < $\frac{1}{100}$ = $\frac{1}{{10}^2}$ = 10^-2

Es gilt somit: -3 < < -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^3\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $3+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)+3$

${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>16</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ + ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>16</mn></mrow>\; </mrow>\; <mo>\; ·\; </mo>\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>64</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>4</mn></mrow>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

$\lg \left(5x^2\right)-\lg \left(10x^9\right)+\lg \left(2x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(10\right)+\lg \left(x^9\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(10\right)-\lg \left(x^9\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)-9\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)-9\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{10}·5·2)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$