Wir suchen den Logarithmus von $128$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $128$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $128$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $7$, eben weil $2$^$7$ = $128$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{15}$ zur Basis $15$, also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{15}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$^☐ = $\sqrt[3]{15}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{15}$ als ${15}^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $15$^☐ = ${15}^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $15$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{15}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{5}$ um: $\sqrt{5}$ = $5^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{3}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{3}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1 < $\frac{1}{3}$ und auf $1$ = $1$ = 4^-0 > $\frac{1}{3}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{3}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
4^-1 = $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ < $\frac{1}{3}$ < $1$ = $1$ = 4^-0

Es gilt somit: -1 < < -0

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{100000}{x}\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^5\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $5-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+5$

${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>540</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>20</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>540</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>20</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>27</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-2\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^{-2}\right)-2\lg \left(x^{-1}\right)$
= $4\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{50}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{1000}{x}^4\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)$

= $\lg \left(50x^{-3}\right)+\lg \left(\frac{1}{1000}{x}^4\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+(\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(x^4\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(1000\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+0$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1000}·50·20)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$