Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $5$^$2$ = $25$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{289}$ zur Basis $17$, also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{289}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$^☐ = $\frac{1}{289}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $17$-Potenz zu schreiben versuchen, also $17$^☐ = $\frac{1}{289}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $17$^$-2$ = $\frac{1}{289}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2$ = $4^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $2$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $33$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $33$ ist.

Dabei kommt man auf $4^2$ = 4² < $33$ und auf $4^3$ = 4³ > $33$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $33$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
4² = $4^2$ < $33$ < $4^3$ = 4³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000000x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000000\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{10}\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $10+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)+10$

${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>500</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>500</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>125</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>5</mn></mrow>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)+2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{25}{x^5}\right)+\lg \left(25x\right)+\lg \left(\frac{2}{125}{x}^4\right)$

= $\lg \left(25x^{-5}\right)+\lg \left(25x\right)+\lg \left(\frac{2}{125}{x}^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(\frac{2}{125}\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{2}{125}\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{2}{125}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(125\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(125\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{125}·25·25·2)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$