Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{2}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\sqrt[3]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$^☐ = $2^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{2}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{3}$ um: $\frac{1}{3}$ = $3^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3^{-1}$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^{-1}$ = ${\left(9^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $9$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{3}$ gilt .

Wir suchen $17$er-Potenzen in der Näher von $136$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $136$ ist.

Dabei kommt man auf $17$ = 17¹ < $136$ und auf ${17}^2$ = 17² > $136$.

Und da wir bei ja das ☐ von 17^☐ = $136$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
17¹ = $17$ < $136$ < ${17}^2$ = 17²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{1000000000}{x}\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000000\right)-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^9\right)-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $9-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+9$

$\lg \left(30\right)$ - $\lg \left(3\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{30}{3}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{100000}{x^2}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{50}{x^2}\right)$

= $-\lg \left(100000x^{-2}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(50x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(100000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(100000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(100000\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+0+\lg \left(50\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(100000\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+0+\lg \left(50\right)-2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(100000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100.000}·50·20)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$