Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $5$, eben weil $2$^$5$ = $32$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{324}$ zur Basis $18$, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{324}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$^☐ = $\frac{1}{324}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $18$-Potenz zu schreiben versuchen, also $18$^☐ = $\frac{1}{324}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $18$^$-2$ = $\frac{1}{324}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{15}$ um: $\sqrt{15}$ = ${15}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${15}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $15$ suchen, also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf ${15}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$^☐ = ${15}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $15$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{15}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{2}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{2}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1 < $\frac{1}{2}$ und auf $1$ = $1$ = 4^-0 > $\frac{1}{2}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{2}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
4^-1 = $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ < $\frac{1}{2}$ < $1$ = $1$ = 4^-0

Es gilt somit: -1 < < -0

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $6+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+6$

$\lg \left(20000\right)$ + $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20000·5)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $4\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^{-1}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $-8\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $-7\lg \left(x\right)$

$\lg \left(5x\right)-\lg \left(\frac{5}{2x^4}\right)+\lg \left(\frac{5}{x^5}\right)$

= $\lg \left(5x\right)-\lg \left(\frac{5}{2}{x}^{-4}\right)+\lg \left(5x^{-5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)-(\lg \left(\frac{5}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{5}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{5}{2}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-5\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-5\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (5·2)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$