Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $4$^$-2$ = $\frac{1}{16}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{15}$ um: $\frac{1}{15}$ = ${15}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 15 sondern zur Basis $225$ suchen und $225$ gerade 15² ist (also 15 = $\sqrt{225}$ = ${225}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${15}^{-1}$ noch so um, dass sie $225$ als Basis hat:

${15}^{-1}$ = ${\left({225}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${225}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${15}^{-1}$ = ${225}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $225$ suchen, also die Hochzahl mit der man $225$ potenzieren muss, um auf ${15}^{-1}$ = ${225}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $225$^☐ = ${15}^{-1}$ = ${225}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $225$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{15}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{\mathrm{8.979.975}}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{\mathrm{8.979.975}}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{10000000}$ = $\frac{1}{{10}^7}$ = 10^-7 < $\frac{1}{\mathrm{8.979.975}}$ und auf $\frac{1}{1000000}$ = $\frac{1}{{10}^6}$ = 10^-6 > $\frac{1}{\mathrm{8.979.975}}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{\mathrm{8.979.975}}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -7 und -6 liegen, wegen:
10^-7 = $\frac{1}{{10}^7}$ = $\frac{1}{10000000}$ < $\frac{1}{\mathrm{8.979.975}}$ < $\frac{1}{1000000}$ = $\frac{1}{{10}^6}$ = 10^-6

Es gilt somit: -7 < < -6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)+2$

$\lg \left(200\right)$ - $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{200}{2}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+4\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+4\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^{-3}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+8\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\frac{11}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{20}x\right)+\lg \left(\frac{10}{x}\right)+\lg \left(5x^2\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}x\right)+\lg \left(10x^{-1}\right)+\lg \left(5x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(10\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(10\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(10\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(10\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (20·10·5)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$