Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $3$^$2$ = $9$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-7$, eben weil $10$^$-7$ = $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 18 sondern zur Basis $324$ suchen und $324$ gerade 18² ist (also 18 = $\sqrt{324}$ = ${324}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $18$ noch so um, dass sie $324$ als Basis hat:

$18$ = ${324}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $18$ = ${324}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $324$ suchen, also die Hochzahl mit der man $324$ potenzieren muss, um auf $18$ = ${324}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $324$^☐ = $18$ = ${324}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $324$^{$\frac{1}{2}$} = $18$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{6}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{6}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2^3}$ = 2^-3 < $\frac{1}{6}$ und auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{2^2}$ = 2^-2 > $\frac{1}{6}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{6}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
2^-3 = $\frac{1}{2^3}$ = $\frac{1}{8}$ < $\frac{1}{6}$ < $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{2^2}$ = 2^-2

Es gilt somit: -3 < < -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^2\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $2+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)+2$

${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn><mspace\; width="thinmathspace"></mspace><mn>500</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>20</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2500</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>20</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>125</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>5</mn></mrow>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $3\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)$

$\lg \left(20x\right)+\lg \left(\frac{1}{500x^3}\right)+\lg \left(25x^3\right)$

= $\lg \left(20x\right)+\lg \left(\frac{1}{500}{x}^{-3}\right)+\lg \left(25x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+(\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{500}\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(500\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(500\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{500}·25·20)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$