Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $2$^$4$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{100.000}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{100.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{100.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{100.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-5$, eben weil $10$^$-5$ = $\frac{1}{100.000}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $16$^{$\frac{1}{2}$} = $4$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{77}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{77}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{125}$ = $\frac{1}{5^3}$ = 5^-3 < $\frac{1}{77}$ und auf $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^2}$ = 5^-2 > $\frac{1}{77}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{77}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
5^-3 = $\frac{1}{5^3}$ = $\frac{1}{125}$ < $\frac{1}{77}$ < $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^2}$ = 5^-2

Es gilt somit: -3 < < -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000000x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000000\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{10}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $10+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $10$

$\lg \left(2\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{2}{20}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(x^3\right)+2\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $2\lg \left(x^3\right)+2\lg \left(x^{-1}\right)+\lg \left(x^{-3}\right)$
= $6\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{100000}{x^3}\right)+\lg \left(50x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^7\right)$

= $-\lg \left(100000x^{-3}\right)+\lg \left(50x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^7\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(100000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^7\right))$

= $-\lg \left(100000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^7\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(100000\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-7\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(100000\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-7\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(100000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100.000}·50·20)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$