Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $16$, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $16$^$2$ = $256$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{10}$ als ${10}^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{10}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{4}$ um: $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

Wir suchen $17$er-Potenzen in der Näher von $249$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $249$ ist.

Dabei kommt man auf $17$ = 17¹ < $249$ und auf ${17}^2$ = 17² > $249$.

Und da wir bei ja das ☐ von 17^☐ = $249$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
17¹ = $17$ < $249$ < ${17}^2$ = 17²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $2$

$\lg \left(500\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500·2)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $4\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(20x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{8x^2}\right)+\lg \left(\frac{4}{x}\right)$

= $\lg \left(20x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{8}{x}^{-2}\right)+\lg \left(4x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(8\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(20\right)-\lg \left(8\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{20}{8}·4)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$