Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $3$^$4$ = $81$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $3$^$-3$ = $\frac{1}{27}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{3}$ um: $\frac{1}{3}$ = $3^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3^{-1}$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^{-1}$ = ${\left(9^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $9$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{3}$ gilt .

Wir suchen $12$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{111}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{111}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{144}$ = $\frac{1}{{12}^2}$ = 12^-2 < $\frac{1}{111}$ und auf $\frac{1}{12}$ = $\frac{1}{12}$ = 12^-1 > $\frac{1}{111}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 12^☐ = $\frac{1}{111}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
12^-2 = $\frac{1}{{12}^2}$ = $\frac{1}{144}$ < $\frac{1}{111}$ < $\frac{1}{12}$ = $\frac{1}{12}$ = 12^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $4$

${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>50</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>50</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>50</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>50</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 0

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(x^2\right)$
= $4\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^5\right)-\lg \left(25x^2\right)+\lg \left(5x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^5\right))-(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x^5\right)-\lg \left(25\right)-\lg \left(x^2\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·5·5)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$