Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $4$^$3$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{10}$ als ${10}^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{10}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 14 sondern zur Basis $196$ suchen und $196$ gerade 14² ist (also 14 = $\sqrt{196}$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $14$ noch so um, dass sie $196$ als Basis hat:

$14$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $14$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $196$ suchen, also die Hochzahl mit der man $196$ potenzieren muss, um auf $14$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $196$^☐ = $14$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $196$^{$\frac{1}{2}$} = $14$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $3$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $3$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $3$ und auf $4$ = 4¹ > $3$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $3$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $3$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < < 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(0.00001x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(0.00001\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-5}\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-5+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-5$

$\lg \left(40000\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40000·25)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(x^2\right)+2\lg \left(x^4\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^2\right)+2\lg \left(x^4\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)+8\lg \left(x\right)$
= $\frac{19}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{25x}\right)+\lg \left(\frac{50}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{12500}{x^3}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-1}\right)+\lg \left(50x^{-4}\right)-\lg \left(12500x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))-(\lg \left(12500\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(12500\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(12500\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(12500\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(12500\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{12500}·50·25)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$