Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $2$^$4$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-6$, eben weil $10$^$-6$ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{19}$ um: $\frac{1}{19}$ = ${19}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 19 sondern zur Basis $361$ suchen und $361$ gerade 19² ist (also 19 = $\sqrt{361}$ = ${361}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${19}^{-1}$ noch so um, dass sie $361$ als Basis hat:

${19}^{-1}$ = ${\left({361}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${361}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${19}^{-1}$ = ${361}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $361$ suchen, also die Hochzahl mit der man $361$ potenzieren muss, um auf ${19}^{-1}$ = ${361}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $361$^☐ = ${19}^{-1}$ = ${361}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $361$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{19}$ gilt .

Wir suchen $11$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{43}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{43}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{121}$ = $\frac{1}{{11}^2}$ = 11^-2 < $\frac{1}{43}$ und auf $\frac{1}{11}$ = $\frac{1}{11}$ = 11^-1 > $\frac{1}{43}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 11^☐ = $\frac{1}{43}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
11^-2 = $\frac{1}{{11}^2}$ = $\frac{1}{121}$ < $\frac{1}{43}$ < $\frac{1}{11}$ = $\frac{1}{11}$ = 11^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $7+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)+7$

$\lg \left(50\right)$ - $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{50}{5}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
=0

$\lg \left(\frac{1}{200x^3}\right)+\lg \left(4x^4\right)+\lg \left(50x\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{200}{x}^{-3}\right)+\lg \left(4x^4\right)+\lg \left(50x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{200}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{200}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{200}\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(200\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)$

= $2\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{200}·50·4)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $2\lg \left(x\right)$