Wir suchen den Logarithmus von $289$ zur Basis $17$, also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf $289$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$^☐ = $289$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $17$^$2$ = $289$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{169}$ zur Basis $13$, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{169}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$^☐ = $\frac{1}{169}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $13$-Potenz zu schreiben versuchen, also $13$^☐ = $\frac{1}{169}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $13$^$-2$ = $\frac{1}{169}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{125}$ um: $\frac{1}{125}$ = ${125}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{125}$ = ${125}^{-1}$ = ${\left(5^3\right)}^{-1}$ = $5^{-3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5^{-3}$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^{-3}$ = ${\left({25}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$ = ${25}^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-3}$ = ${25}^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^{-3}$ = ${25}^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5^{-3}$ = ${25}^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $25$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{125}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{449.990}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{449.990}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{1000000}$ = $\frac{1}{{10}^6}$ = 10^-6 < $\frac{1}{449.990}$ und auf $\frac{1}{100000}$ = $\frac{1}{{10}^5}$ = 10^-5 > $\frac{1}{449.990}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{449.990}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -6 und -5 liegen, wegen:
10^-6 = $\frac{1}{{10}^6}$ = $\frac{1}{1000000}$ < $\frac{1}{449.990}$ < $\frac{1}{100000}$ = $\frac{1}{{10}^5}$ = 10^-5

Es gilt somit: -6 < < -5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $1+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)+1$

$\lg \left(5000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5000·2)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $4\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-12\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-\frac{31}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(20\right)-\lg \left(\frac{500}{x^4}\right)+\lg \left(\frac{25}{x}\right)$

= $\lg \left(20\right)-\lg \left(500x^{-4}\right)+\lg \left(25x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right)-(\lg \left(500\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(500\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+0-\lg \left(500\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+0-\lg \left(500\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(500\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{500}·25·20)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$