Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $5$^$2$ = $25$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{3}$ um: $\sqrt{3}$ = $3^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{3}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $72$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $72$ ist.

Dabei kommt man auf $3^3$ = 3³ < $72$ und auf $3^4$ = 3⁴ > $72$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $72$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^3$ < $72$ < $3^4$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,0001}x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,0001}\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-4}\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $-4+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)-4$

$\lg \left(500\right)$ - $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{500}{50}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-2\lg \left(x^2\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)-2\lg \left(x^2\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-\frac{13}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{2}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{20}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{40000}{x}^3\right)$

= $\lg \left(2x^{-2}\right)+\lg \left(20x^{-1}\right)+\lg \left(\frac{1}{40000}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(\frac{1}{40000}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{40000}\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{40000}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(40000\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(40000\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{40000}·20·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$