Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\sqrt{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{4}$ als $4^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{4}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{4}}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{4}}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{459}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{459}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{{10}^3}$ = 10^-3 < $\frac{1}{459}$ und auf $\frac{1}{100}$ = $\frac{1}{{10}^2}$ = 10^-2 > $\frac{1}{459}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{459}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
10^-3 = $\frac{1}{{10}^3}$ = $\frac{1}{1000}$ < $\frac{1}{459}$ < $\frac{1}{100}$ = $\frac{1}{{10}^2}$ = 10^-2

Es gilt somit: -3 < < -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{1000000}{x}\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+6$

$\lg \left(50000\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50000·20)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $3\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{7}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(2x^3\right)-\lg \left(4x\right)+\lg \left(\frac{20}{x^2}\right)$

= $\lg \left(2x^3\right)-\lg \left(4x\right)+\lg \left(20x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right)-(\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(20\right)-\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{20}{4}·2)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$