Wir suchen den Logarithmus von $128$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $128$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $128$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $7$, eben weil $2$^$7$ = $128$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $3$^$-3$ = $\frac{1}{27}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{15}$ um: $\frac{1}{15}$ = ${15}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 15 sondern zur Basis $225$ suchen und $225$ gerade 15² ist (also 15 = $\sqrt{225}$ = ${225}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${15}^{-1}$ noch so um, dass sie $225$ als Basis hat:

${15}^{-1}$ = ${\left({225}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${225}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${15}^{-1}$ = ${225}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $225$ suchen, also die Hochzahl mit der man $225$ potenzieren muss, um auf ${15}^{-1}$ = ${225}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $225$^☐ = ${15}^{-1}$ = ${225}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $225$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{15}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{2}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{2}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1 < $\frac{1}{2}$ und auf $1$ = $1$ = 4^-0 > $\frac{1}{2}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{2}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
4^-1 = $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ < $\frac{1}{2}$ < $1$ = $1$ = 4^-0

Es gilt somit: -1 < < -0

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(0.00001x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(0.00001\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-5}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $-5+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)-5$

$\lg \left(50000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50000·2)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $2\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(5x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{10x^7}\right)+\lg \left(2x\right)$

= $\lg \left(5x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{10}{x}^{-7}\right)+\lg \left(2x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{10}\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(10\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{10}·5·2)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$