Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $3$^$4$ = $81$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{4}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{4}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-1$, eben weil $4$^$-1$ = $\frac{1}{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{3}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $3^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $3$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $90410084$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $90410084$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^7$ = 10⁷ < $90410084$ und auf ${10}^8$ = 10⁸ > $90410084$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $90410084$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
10⁷ = ${10}^7$ < $90410084$ < ${10}^8$ = 10⁸

Es gilt somit: 7 < < 8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000000x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000000\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^9\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $9+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $9$

$\lg \left(40\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40·25)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-1}\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-\frac{5}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{400000x^7}\right)+\lg \left(20x^4\right)+\lg \left(20x^3\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{400.000}{x}^{-7}\right)+\lg \left(20x^4\right)+\lg \left(20x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{400.000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{400.000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{400.000}\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(400000\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(400000\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{400.000}·20·20)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$