Wir suchen den Logarithmus von $8$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $8$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $8$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $2$^$3$ = $8$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\sqrt[4]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{5}$ als $5^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$^☐ = $5^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{5}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{8}$ um: $\frac{1}{8}$ = $8^{-1}$

Man kann erkennen, dass $8$ eine Potenz ist: $8$ = $2^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{8}$ = $8^{-1}$ = ${\left(2^3\right)}^{-1}$ = $2^{-3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2^{-3}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{-3}$ = ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$ = $4^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-3}$ = $4^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{-3}$ = $4^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2^{-3}$ = $4^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $4$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{8}$ gilt .

Wir suchen $19$er-Potenzen in der Näher von $283$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $283$ ist.

Dabei kommt man auf $19$ = 19¹ < $283$ und auf ${19}^2$ = 19² > $283$.

Und da wir bei ja das ☐ von 19^☐ = $283$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
19¹ = $19$ < $283$ < ${19}^2$ = 19²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,0001}x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,0001}\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-4}\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-4+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-4$

$\lg \left(200000000\right)$ + $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200000000·5)$

= $\lg \left(1000000000\right)$

= $\lg \left({10}^9\right)$

= 9

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{4}{x^3}\right)+\lg \left(5x\right)+\lg \left(5x^2\right)$

= $\lg \left(4x^{-3}\right)+\lg \left(5x\right)+\lg \left(5x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (5·5·4)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$