Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $5$^$2$ = $25$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{25}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{25}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{25}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{25}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $5$^$-2$ = $\frac{1}{25}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{13}$ um: $\frac{1}{13}$ = ${13}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 13 sondern zur Basis $169$ suchen und $169$ gerade 13² ist (also 13 = $\sqrt{169}$ = ${169}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${13}^{-1}$ noch so um, dass sie $169$ als Basis hat:

${13}^{-1}$ = ${\left({169}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${169}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${13}^{-1}$ = ${169}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $169$ suchen, also die Hochzahl mit der man $169$ potenzieren muss, um auf ${13}^{-1}$ = ${169}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $169$^☐ = ${13}^{-1}$ = ${169}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $169$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{13}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $165$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $165$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^2$ = 10² < $165$ und auf ${10}^3$ = 10³ > $165$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $165$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
10² = ${10}^2$ < $165$ < ${10}^3$ = 10³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^2\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $2+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+2$

$\lg \left(500000\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500000·20)$

= $\lg \left(10000000\right)$

= $\lg \left({10}^7\right)$

= 7

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)$
= $4\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{20x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{2x}\right)-\lg \left(400x^5\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-4}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-1}\right)-\lg \left(400x^5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(400\right)+\lg \left(x^5\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(400\right)-\lg \left(x^5\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(400\right)-5\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(400\right)-5\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(400\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{400}·20·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$