Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $6$, eben weil $2$^$6$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{125}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{125}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{125}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{125}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $5$^$-3$ = $\frac{1}{125}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{1000000000}$ um: $\sqrt{1000000000}$ = ${1000000000}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $1000000000$ eine Potenz ist: $1000000000$ = ${10}^9$

Also schreiben wir $\sqrt{1000000000}$ = ${1000000000}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^9\right)}^{\frac{1}{2}}$ = ${10}^{\frac{9}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{\frac{9}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{\frac{9}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{\frac{9}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{9}{2}$, eben weil $10$^{$\frac{9}{2}$} = $\sqrt{1000000000}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $4267$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $4267$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^3$ = 10³ < $4267$ und auf ${10}^4$ = 10⁴ > $4267$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $4267$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
10³ = ${10}^3$ < $4267$ < ${10}^4$ = 10⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $7+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $7$

${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>100</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>20</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>100</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>20</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)-2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)-2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{5}{x^2}\right)+\lg \left(20x^3\right)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(5x^{-2}\right)+\lg \left(20x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(1\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $-\lg \left(1\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(1\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (20·5)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$