Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $4$^$2$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{3}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\sqrt[4]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{3}$ als $3^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$^☐ = $3^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{3}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{10}$ um: $\frac{1}{10}$ = ${10}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^{-1}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^{-1}$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${100}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-1}$ = ${100}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-1}$ = ${100}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^{-1}$ = ${100}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $100$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{10}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{6}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{6}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2^3}$ = 2^-3 < $\frac{1}{6}$ und auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{2^2}$ = 2^-2 > $\frac{1}{6}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{6}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
2^-3 = $\frac{1}{2^3}$ = $\frac{1}{8}$ < $\frac{1}{6}$ < $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{2^2}$ = 2^-2

Es gilt somit: -3 < < -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $8$

$\lg \left(2000\right)$ + $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2000·5)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $4\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\frac{3}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{20000x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{50x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}x\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{20000}{x}^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-4}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{20000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{20000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{20000}\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(20000\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(20000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{20000}·50·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$