Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $5$^$1$ = $5$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{256}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{256}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{256}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{256}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-8$, eben weil $2$^$-8$ = $\frac{1}{256}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{100000}$ um: $\sqrt{100000}$ = ${100000}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $100000$ eine Potenz ist: $100000$ = ${10}^5$

Also schreiben wir $\sqrt{100000}$ = ${100000}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^5\right)}^{\frac{1}{2}}$ = ${10}^{\frac{5}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{\frac{5}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{5}{2}$, eben weil $10$^{$\frac{5}{2}$} = $\sqrt{100000}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $7$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $7$ ist.

Dabei kommt man auf $3$ = 3¹ < $7$ und auf $3^2$ = 3² > $7$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $7$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
3¹ = $3$ < $7$ < $3^2$ = 3²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10000}{x}\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^4\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $4-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+4$

$\lg \left(20\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20·50)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)-2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)-2\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\frac{15}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{25}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{1}{4x}\right)$

= $\lg \left(25x^{-2}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+(\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)$

= $2\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·25·4)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $2\lg \left(x\right)$