Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $5$^$3$ = $125$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{4}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{4}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-1$, eben weil $4$^$-1$ = $\frac{1}{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{5}$ um: $\frac{1}{5}$ = $5^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5^{-1}$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^{-1}$ = ${\left({25}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $25$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{5}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $7$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $7$ ist.

Dabei kommt man auf $2^2$ = 2² < $7$ und auf $2^3$ = 2³ > $7$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $7$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
2² = $2^2$ < $7$ < $2^3$ = 2³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(0.00001x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(0.00001\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-5}\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-5+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)-5$

${\log }_{11}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>363</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_{11}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_{11}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>363</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{11}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>121</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{11}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>11</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+4\lg \left(x^3\right)$
= $\lg \left(x^{-3}\right)+4\lg \left(x^3\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+12\lg \left(x\right)$
= $9\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{5}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{25}{x^3}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{5}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(25x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^3\right)-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{5}\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+0+\lg \left(25\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+0+\lg \left(25\right)-3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{25·20}{5}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$