Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $5$, eben weil $2$^$5$ = $32$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{128}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{128}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{128}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{128}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-7$, eben weil $2$^$-7$ = $\frac{1}{128}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{10}$ um: $\frac{1}{10}$ = ${10}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^{-1}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^{-1}$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${100}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-1}$ = ${100}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-1}$ = ${100}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^{-1}$ = ${100}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $100$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{10}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $15923$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $15923$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^4$ = 10⁴ < $15923$ und auf ${10}^5$ = 10⁵ > $15923$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $15923$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 4 und 5 liegen, wegen:
10⁴ = ${10}^4$ < $15923$ < ${10}^5$ = 10⁵

Es gilt somit: 4 < < 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000000x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $8+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)+8$

$\lg \left(30\right)$ - $\lg \left(3\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{30}{3}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{25x^4}\right)+\lg \left(\frac{20}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{500}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-4}\right)+\lg \left(20x^{-3}\right)+\lg \left(\frac{1}{500}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(1\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{500}\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(500\right)+0$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(500\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{500}·25·20)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$