Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $5$^$1$ = $5$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{18}$ zur Basis $18$, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{18}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$^☐ = $\sqrt{18}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{18}$ als ${18}^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $18$^☐ = ${18}^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $18$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{18}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $10000000$ eine Potenz ist: $10000000$ = ${10}^7$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^7$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^7$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^7$ = ${100}^{\frac{7}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^7$ = ${100}^{\frac{7}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^7$ = ${100}^{\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^7$ = ${100}^{\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{7}{2}$, eben weil $100$^{$\frac{7}{2}$} = $10000000$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{989.709}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{989.709}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{1000000}$ = $\frac{1}{{10}^6}$ = 10^-6 < $\frac{1}{989.709}$ und auf $\frac{1}{100000}$ = $\frac{1}{{10}^5}$ = 10^-5 > $\frac{1}{989.709}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{989.709}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -6 und -5 liegen, wegen:
10^-6 = $\frac{1}{{10}^6}$ = $\frac{1}{1000000}$ < $\frac{1}{989.709}$ < $\frac{1}{100000}$ = $\frac{1}{{10}^5}$ = 10^-5

Es gilt somit: -6 < < -5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $7+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)+7$

$\lg \left(\mathrm{0,04}\right)$ - $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.04}{4}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $4\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $-8\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(4x^3\right)-\lg \left(200x^9\right)+\lg \left(50x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right)-(\lg \left(200\right)+\lg \left(x^9\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(200\right)-\lg \left(x^9\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)-9\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)-9\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{200}·50·4)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$