Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{64}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{64}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{64}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{64}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-6$, eben weil $2$^$-6$ = $\frac{1}{64}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $25$^{$\frac{1}{2}$} = $5$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{18}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{18}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{32}$ = $\frac{1}{2^5}$ = 2^-5 < $\frac{1}{18}$ und auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{2^4}$ = 2^-4 > $\frac{1}{18}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{18}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -5 und -4 liegen, wegen:
2^-5 = $\frac{1}{2^5}$ = $\frac{1}{32}$ < $\frac{1}{18}$ < $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{2^4}$ = 2^-4

Es gilt somit: -5 < < -4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{1000000}{x}\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+6$

${\log }_{18}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn><mspace\; width="thinmathspace"></mspace><mn>296</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_{18}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_{18}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1296</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{18}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>324</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{18}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>18</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)+2\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^4\right)+2\lg \left(x^{-1}\right)$
= $4\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(20x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{400000x}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}x\right)$

= $\lg \left(20x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{400.000}{x}^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(\frac{1}{400.000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{400.000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{400.000}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(400000\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(400000\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{400.000}·20·20)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$