Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $4$^$2$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\sqrt[5]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{5}$ als $5^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$^☐ = $5^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{5}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{64}$ um: $\frac{1}{64}$ = ${64}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $64$ eine Potenz ist: $64$ = $4^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{64}$ = ${64}^{-1}$ = ${\left(4^3\right)}^{-1}$ = $4^{-3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4^{-3}$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^{-3}$ = ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$ = ${16}^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{-3}$ = ${16}^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^{-3}$ = ${16}^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4^{-3}$ = ${16}^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $16$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{64}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $58$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $58$ ist.

Dabei kommt man auf $5^2$ = 5² < $58$ und auf $5^3$ = 5³ > $58$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $58$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
5² = $5^2$ < $58$ < $5^3$ = 5³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $7+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)+7$

$\lg \left(20000\right)$ + $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20000·5)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-1}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\frac{5}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{2}{x}\right)+\lg \left(25x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{50x^3}\right)$

= $\lg \left(2x^{-1}\right)+\lg \left(25x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{50}\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(50\right)-3\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{50}·25·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$