Wir suchen den Logarithmus von $8$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $8$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $8$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $2$^$3$ = $8$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $3$^$-2$ = $\frac{1}{9}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $1000000000$ eine Potenz ist: $1000000000$ = ${10}^9$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^9$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^9$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^9$ = ${100}^{\frac{9}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^9$ = ${100}^{\frac{9}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^9$ = ${100}^{\frac{9}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^9$ = ${100}^{\frac{9}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{9}{2}$, eben weil $100$^{$\frac{9}{2}$} = $1000000000$ gilt .

Wir suchen $17$er-Potenzen in der Näher von $259$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $259$ ist.

Dabei kommt man auf $17$ = 17¹ < $259$ und auf ${17}^2$ = 17² > $259$.

Und da wir bei ja das ☐ von 17^☐ = $259$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
17¹ = $17$ < $259$ < ${17}^2$ = 17²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
=0

$\lg \left(50\right)$ - $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{50}{5}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+4\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^{-3}\right)+4\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $4\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{2x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{8}{x}^4\right)+\lg \left(\frac{4}{x^{10}}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-3}\right)+\lg \left(\frac{1}{8}{x}^4\right)+\lg \left(4x^{-10}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^{10}}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^{10}}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-10\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(8\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-10\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(8\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{8}·4·2)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$