Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $4$^$3$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{2}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\sqrt[4]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{2}$ als $2^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$^☐ = $2^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{2}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{8}$ um: $\sqrt{8}$ = $8^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $8$ eine Potenz ist: $8$ = $2^3$

Also schreiben wir $\sqrt{8}$ = $8^{\frac{1}{2}}$ = ${\left(2^3\right)}^{\frac{1}{2}}$ = $2^{\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $2$^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{8}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{9}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{9}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{2^4}$ = 2^-4 < $\frac{1}{9}$ und auf $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2^3}$ = 2^-3 > $\frac{1}{9}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{9}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
2^-4 = $\frac{1}{2^4}$ = $\frac{1}{16}$ < $\frac{1}{9}$ < $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2^3}$ = 2^-3

Es gilt somit: -4 < < -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,1}x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-1}\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-1+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)-1$

$\lg \left(500\right)$ - $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{500}{5}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)+2\lg \left(x^{-2}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-\frac{11}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{5}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x^4\right)$

= $\lg \left(5x^{-4}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(1\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+0+\lg \left(1\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+0+\lg \left(1\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (5·2)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$