Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $4$^$3$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{19}$ zur Basis $19$, also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{19}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$^☐ = $\sqrt[3]{19}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{19}$ als ${19}^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $19$^☐ = ${19}^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $19$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{19}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{64}$ um: $\frac{1}{64}$ = ${64}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $64$ eine Potenz ist: $64$ = $4^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{64}$ = ${64}^{-1}$ = ${\left(4^3\right)}^{-1}$ = $4^{-3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4^{-3}$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^{-3}$ = ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$ = ${16}^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{-3}$ = ${16}^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^{-3}$ = ${16}^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4^{-3}$ = ${16}^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $16$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{64}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $172306$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $172306$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^5$ = 10⁵ < $172306$ und auf ${10}^6$ = 10⁶ > $172306$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $172306$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
10⁵ = ${10}^5$ < $172306$ < ${10}^6$ = 10⁶

Es gilt somit: 5 < < 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $7+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)+7$

${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn><mspace\; width="thinmathspace"></mspace><mn>600</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>50</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1600</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>50</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>32</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; <mrow><mn>5</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $2\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-6\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-7\lg \left(x\right)$

$\lg \left(20x^2\right)-\lg \left(40x^{10}\right)+\lg \left(2x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(40\right)+\lg \left(x^{10}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(40\right)-\lg \left(x^{10}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)-10\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)-10\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{40}·20·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$