Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $4$^$2$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\sqrt{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{4}$ als $4^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{12}$ um: $\frac{1}{12}$ = ${12}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 12 sondern zur Basis $144$ suchen und $144$ gerade 12² ist (also 12 = $\sqrt{144}$ = ${144}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${12}^{-1}$ noch so um, dass sie $144$ als Basis hat:

${12}^{-1}$ = ${\left({144}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${144}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${12}^{-1}$ = ${144}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $144$ suchen, also die Hochzahl mit der man $144$ potenzieren muss, um auf ${12}^{-1}$ = ${144}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $144$^☐ = ${12}^{-1}$ = ${144}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $144$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{12}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{8}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{8}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4^2}$ = 4^-2 < $\frac{1}{8}$ und auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1 > $\frac{1}{8}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{8}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
4^-2 = $\frac{1}{4^2}$ = $\frac{1}{16}$ < $\frac{1}{8}$ < $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{100}{x}\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100\right)-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^2\right)-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $2-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)+2$

$\lg \left(200\right)$ - $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{200}{2}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^6\right)+\lg \left(2x^3\right)-\lg \left(40x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^6\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(40\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^6\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(40\right)-\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)-2\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{40}·20·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$