Wir suchen den Logarithmus von $169$ zur Basis $13$, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $169$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$^☐ = $169$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $13$^$2$ = $169$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{10000}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{10000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{10000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{10000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $10$^$-4$ = $\frac{1}{10000}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{15}$ um: $\frac{1}{15}$ = ${15}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 15 sondern zur Basis $225$ suchen und $225$ gerade 15² ist (also 15 = $\sqrt{225}$ = ${225}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${15}^{-1}$ noch so um, dass sie $225$ als Basis hat:

${15}^{-1}$ = ${\left({225}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${225}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${15}^{-1}$ = ${225}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $225$ suchen, also die Hochzahl mit der man $225$ potenzieren muss, um auf ${15}^{-1}$ = ${225}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $225$^☐ = ${15}^{-1}$ = ${225}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $225$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{15}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $4$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $4$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 5⁰ < $4$ und auf $5$ = 5¹ > $4$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $4$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
5⁰ = $1$ < $4$ < $5$ = 5¹

Es gilt somit: 0 < < 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $1+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)+1$

$\lg \left(500\right)$ - $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{500}{5}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\frac{5}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{80}x\right)+\lg \left(20x^4\right)+\lg \left(\frac{4}{x}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{80}x\right)+\lg \left(20x^4\right)+\lg \left(4x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(x\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(80\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)$

= $4\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{80}·20·4)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $4\lg \left(x\right)$