Wir suchen den Logarithmus von $10000000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10000000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $10000000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $7$, eben weil $10$^$7$ = $10000000$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{4}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{4}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-1$, eben weil $4$^$-1$ = $\frac{1}{4}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 19 sondern zur Basis $361$ suchen und $361$ gerade 19² ist (also 19 = $\sqrt{361}$ = ${361}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $19$ noch so um, dass sie $361$ als Basis hat:

$19$ = ${361}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $19$ = ${361}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $361$ suchen, also die Hochzahl mit der man $361$ potenzieren muss, um auf $19$ = ${361}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $361$^☐ = $19$ = ${361}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $361$^{$\frac{1}{2}$} = $19$ gilt .

Wir suchen $11$er-Potenzen in der Näher von $111$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $111$ ist.

Dabei kommt man auf $11$ = 11¹ < $111$ und auf ${11}^2$ = 11² > $111$.

Und da wir bei ja das ☐ von 11^☐ = $111$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
11¹ = $11$ < $111$ < ${11}^2$ = 11²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $6+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)+6$

$\lg \left(400\right)$ - $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{400}{4}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)$
= $3\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{250}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{50x^2}\right)+\lg \left(\frac{5}{x^2}\right)$

= $-\lg \left(250x^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-2}\right)+\lg \left(5x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(250\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(250\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(250\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(250\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{250}·50·5)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$