Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $2$^$4$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt[5]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{10}$ als ${10}^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{10}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{14}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{14}}$ = ${14}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${14}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $14$ suchen, also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf ${14}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$^☐ = ${14}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $14$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{14}}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $69$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $69$ ist.

Dabei kommt man auf $3^3$ = 3³ < $69$ und auf $3^4$ = 3⁴ > $69$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $69$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^3$ < $69$ < $3^4$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10000}{x}\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000\right)-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^4\right)-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $4-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+4$

$\lg \left(\mathrm{0,05}\right)$ - $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.05}{50}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $-\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{2}{25}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^2\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{2}{25}\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(\frac{2}{25}\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x^2\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{2}{25}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)-\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+0$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (5·2)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$