Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $4$^$2$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{\mathrm{1.000.000.000}}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{\mathrm{1.000.000.000}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000.000}}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000.000}}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-9$, eben weil $10$^$-9$ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000.000}}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3$ = $9^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $9$^{$\frac{1}{2}$} = $3$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{40}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{40}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{4^3}$ = 4^-3 < $\frac{1}{40}$ und auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4^2}$ = 4^-2 > $\frac{1}{40}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{40}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
4^-3 = $\frac{1}{4^3}$ = $\frac{1}{64}$ < $\frac{1}{40}$ < $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4^2}$ = 4^-2

Es gilt somit: -3 < < -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $6+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)+6$

${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 0

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $-2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{5}{4}x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{1}{20x^2}\right)$

= $\lg \left(\frac{5}{4}x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{5}{4}\right)+\lg \left(x\right)-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(\frac{5}{4}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{5}{4}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)-\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (20·5)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$