Wir suchen den Logarithmus von $169$ zur Basis $13$, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $169$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$^☐ = $169$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $13$^$2$ = $169$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $3$^$-3$ = $\frac{1}{27}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{5}$ um: $\frac{1}{5}$ = $5^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5^{-1}$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^{-1}$ = ${\left({25}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $25$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{5}$ gilt .

Wir suchen $15$er-Potenzen in der Näher von $143$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $143$ ist.

Dabei kommt man auf $15$ = 15¹ < $143$ und auf ${15}^2$ = 15² > $143$.

Und da wir bei ja das ☐ von 15^☐ = $143$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
15¹ = $15$ < $143$ < ${15}^2$ = 15²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000000x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $8+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+8$

$\lg \left(4000\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (4000·25)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $-2\lg \left(x^{-3}\right)+2\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $6\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{4}{5}{x}^4\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^5\right)-\lg \left(\frac{1}{25x}\right)$

= $\lg \left(\frac{4}{5}{x}^4\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^5\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{4}{5}\right)+\lg \left(x^4\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^5\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(\frac{4}{5}\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^5\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{4}{5}\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)-\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)-\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{50·25}{5}·4)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$