Wir suchen den Logarithmus von $324$ zur Basis $18$, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $324$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$^☐ = $324$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $18$^$2$ = $324$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{1000}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{1000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{1000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{1000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $10$^$-3$ = $\frac{1}{1000}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $10000000$ eine Potenz ist: $10000000$ = ${10}^7$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^7$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^7$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^7$ = ${100}^{\frac{7}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^7$ = ${100}^{\frac{7}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^7$ = ${100}^{\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^7$ = ${100}^{\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{7}{2}$, eben weil $100$^{$\frac{7}{2}$} = $10000000$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $63362$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $63362$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^4$ = 10⁴ < $63362$ und auf ${10}^5$ = 10⁵ > $63362$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $63362$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 4 und 5 liegen, wegen:
10⁴ = ${10}^4$ < $63362$ < ${10}^5$ = 10⁵

Es gilt somit: 4 < < 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^3\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $3+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+3$

$\lg \left(\mathrm{0,04}\right)$ - $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.04}{4}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^{-3}\right)$
= $2\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{5x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{100000x}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}x\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-2}\right)+\lg \left(\frac{1}{100.000}{x}^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(100000\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(100000\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100.000}·20·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$