Wir suchen den Logarithmus von $100000000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $100000000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $100000000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $8$, eben weil $10$^$8$ = $100000000$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{19}$ zur Basis $19$, also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{19}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$^☐ = $\sqrt[4]{19}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{19}$ als ${19}^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $19$^☐ = ${19}^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $19$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{19}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{4}$ um: $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $156905865$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $156905865$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^8$ = 10⁸ < $156905865$ und auf ${10}^9$ = 10⁹ > $156905865$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $156905865$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 8 und 9 liegen, wegen:
10⁸ = ${10}^8$ < $156905865$ < ${10}^9$ = 10⁹

Es gilt somit: 8 < < 9

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^5\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $5+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)+5$

$\lg \left(\mathrm{0,2}\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.2}{20}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\sqrt{x}\right)+2\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(5x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^7\right)+\lg \left(10x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^7\right))+(\lg \left(10\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^7\right)+\lg \left(10\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(10\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(10\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (20·10·5)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$