Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $8$, eben weil $2$^$8$ = $256$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{64}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{64}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{64}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{64}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $4$^$-3$ = $\frac{1}{64}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{64}$ um: $\frac{1}{64}$ = ${64}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $64$ eine Potenz ist: $64$ = $4^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{64}$ = ${64}^{-1}$ = ${\left(4^3\right)}^{-1}$ = $4^{-3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4^{-3}$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^{-3}$ = ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$ = ${16}^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{-3}$ = ${16}^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^{-3}$ = ${16}^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4^{-3}$ = ${16}^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $16$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{64}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $23$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $23$ ist.

Dabei kommt man auf $5$ = 5¹ < $23$ und auf $5^2$ = 5² > $23$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $23$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
5¹ = $5$ < $23$ < $5^2$ = 5²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10000000}{x}\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $7-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-6\lg \left(x\right)+7$

$\lg \left(20000\right)$ + $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20000·5)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{62500}{x}^4\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{25}{x^4}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{62500}{x}^4\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(25x^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{62500}\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(25\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{62500}\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{62500}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+0+\lg \left(25\right)-4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(62500\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+0+\lg \left(25\right)-4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(62500\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{62500}·25·25)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$