Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $3$^$3$ = $27$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $3$^$-2$ = $\frac{1}{9}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{3}$ um: $\sqrt{3}$ = $3^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{3}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $79$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $79$ ist.

Dabei kommt man auf $5^2$ = 5² < $79$ und auf $5^3$ = 5³ > $79$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $79$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
5² = $5^2$ < $79$ < $5^3$ = 5³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10000000000}{x}\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000000\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{10}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $10-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+10$

$\lg \left(\mathrm{0,3}\right)$ - $\lg \left(3\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.3}{3}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+2\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $4\lg \left(x^{-3}\right)+2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $-12\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $-7\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{25x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{125}{x}^4\right)+\lg \left(\frac{5}{x^2}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-2}\right)+\lg \left(\frac{1}{125}{x}^4\right)+\lg \left(5x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(\frac{1}{125}\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{125}\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{125}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(125\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)$

= $4\lg \left(x\right)-\lg \left(125\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{125}·25·5)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $4\lg \left(x\right)$