Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $3$^$4$ = $81$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{125}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{125}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{125}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{125}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $5$^$-3$ = $\frac{1}{125}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $25$^{$\frac{1}{2}$} = $5$ gilt .

Wir suchen $18$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{151}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{151}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{324}$ = $\frac{1}{{18}^2}$ = 18^-2 < $\frac{1}{151}$ und auf $\frac{1}{18}$ = $\frac{1}{18}$ = 18^-1 > $\frac{1}{151}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 18^☐ = $\frac{1}{151}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
18^-2 = $\frac{1}{{18}^2}$ = $\frac{1}{324}$ < $\frac{1}{151}$ < $\frac{1}{18}$ = $\frac{1}{18}$ = 18^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^5\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $5+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+5$

$\lg \left(5000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5000·2)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $-2\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $4\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{7}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{25}{x^2}\right)+\lg \left(4x^2\right)-\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(25x^{-2}\right)+\lg \left(4x^2\right)-\lg \left(10\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(10\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(10\right)-\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+0$

= $\lg \left(25\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{25}{10}·4)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$