Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $5$^$1$ = $5$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt[4]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{10}$ als ${10}^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{10}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{1000000000}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{1000000000}}$ = ${1000000000}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $1000000000$ eine Potenz ist: $1000000000$ = ${10}^9$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{1000000000}}$ = ${1000000000}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^9\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = ${10}^{-\frac{9}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-\frac{9}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-\frac{9}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{-\frac{9}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{9}{2}$, eben weil $10$^{$-\frac{9}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{1000000000}}$ gilt .

Wir suchen $13$er-Potenzen in der Näher von $31$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $31$ ist.

Dabei kommt man auf $13$ = 13¹ < $31$ und auf ${13}^2$ = 13² > $31$.

Und da wir bei ja das ☐ von 13^☐ = $31$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
13¹ = $13$ < $31$ < ${13}^2$ = 13²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $6+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+6$

${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn><mspace\; width="thinmathspace"></mspace><mn>500</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>20</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2500</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>20</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>125</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>5</mn></mrow>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{5}{x^6}\right)+\lg \left(25x^2\right)-\lg \left(\frac{25}{2x^4}\right)$

= $\lg \left(5x^{-6}\right)+\lg \left(25x^2\right)-\lg \left(\frac{25}{2}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(\frac{25}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{25}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{25}{2}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (5·2)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$