Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{289}$ zur Basis $17$, also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{289}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$^☐ = $\frac{1}{289}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $17$-Potenz zu schreiben versuchen, also $17$^☐ = $\frac{1}{289}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $17$^$-2$ = $\frac{1}{289}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{10}$ um: $\sqrt{10}$ = ${10}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{10}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $24$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $24$ ist.

Dabei kommt man auf $2^4$ = 2⁴ < $24$ und auf $2^5$ = 2⁵ > $24$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $24$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 4 und 5 liegen, wegen:
2⁴ = $2^4$ < $24$ < $2^5$ = 2⁵

Es gilt somit: 4 < < 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10000000}{x}\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)-\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)-\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $7-\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)+7$

$\lg \left(\mathrm{0,05}\right)$ - $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.05}{50}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)$
= $4\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(50x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{50}x\right)-\lg \left(25x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{50·50}{25}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$