Wir suchen den Logarithmus von $128$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $128$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $128$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $7$, eben weil $2$^$7$ = $128$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{64}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{64}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{64}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{64}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $4$^$-3$ = $\frac{1}{64}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{19}$ um: $\sqrt{19}$ = ${19}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${19}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $19$ suchen, also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf ${19}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$^☐ = ${19}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $19$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{19}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $457$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $457$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^2$ = 10² < $457$ und auf ${10}^3$ = 10³ > $457$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $457$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
10² = ${10}^2$ < $457$ < ${10}^3$ = 10³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $6$

$\lg \left(\mathrm{0,2}\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.2}{20}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $2\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{200}x\right)+\lg \left(\frac{50}{x^5}\right)+\lg \left(4x^3\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{200}x\right)+\lg \left(50x^{-5}\right)+\lg \left(4x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{200}\right)+\lg \left(x\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{200}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{200}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(200\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{200}·50·4)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$