Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $4$^$1$ = $4$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{196}$ zur Basis $14$, also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{196}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$^☐ = $\frac{1}{196}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $14$-Potenz zu schreiben versuchen, also $14$^☐ = $\frac{1}{196}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $14$^$-2$ = $\frac{1}{196}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{10000000}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{10000000}}$ = ${10000000}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $10000000$ eine Potenz ist: $10000000$ = ${10}^7$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{10000000}}$ = ${10000000}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^7\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = ${10}^{-\frac{7}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-\frac{7}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{-\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{7}{2}$, eben weil $10$^{$-\frac{7}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{10000000}}$ gilt .

Wir suchen $14$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{140}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{140}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{196}$ = $\frac{1}{{14}^2}$ = 14^-2 < $\frac{1}{140}$ und auf $\frac{1}{14}$ = $\frac{1}{14}$ = 14^-1 > $\frac{1}{140}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 14^☐ = $\frac{1}{140}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
14^-2 = $\frac{1}{{14}^2}$ = $\frac{1}{196}$ < $\frac{1}{140}$ < $\frac{1}{14}$ = $\frac{1}{14}$ = 14^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{100000000}{x}\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $8-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $8$

$\lg \left(25000\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (25000·4)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $2\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^{-3}\right)$
= $4\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)$

$\lg \left(4x^4\right)-\lg \left(\frac{20}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^2\right)$

= $\lg \left(4x^4\right)-\lg \left(20x^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^4\right)-(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(20\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·5·4)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$