Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $5$^$1$ = $5$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt[3]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{10}$ als ${10}^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{10}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{12}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{12}}$ = ${12}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${12}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $12$ suchen, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf ${12}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$^☐ = ${12}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $12$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{12}}$ gilt .

Wir suchen $15$er-Potenzen in der Näher von $198$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $198$ ist.

Dabei kommt man auf $15$ = 15¹ < $198$ und auf ${15}^2$ = 15² > $198$.

Und da wir bei ja das ☐ von 15^☐ = $198$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
15¹ = $15$ < $198$ < ${15}^2$ = 15²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $1+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+1$

$\lg \left(2000\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2000·50)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $4\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $12\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $13\lg \left(x\right)$

$\lg \left(50x^4\right)+\lg \left(5x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{2500x^6}\right)$

= $\lg \left(50x^4\right)+\lg \left(5x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{2500}{x}^{-6}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(\frac{1}{2500}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{2500}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{2500}\right)-6\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(2500\right)-6\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(2500\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2500}·50·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$