Wir suchen den Logarithmus von $10000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $10000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $10$^$4$ = $10000$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{196}$ zur Basis $14$, also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{196}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$^☐ = $\frac{1}{196}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $14$-Potenz zu schreiben versuchen, also $14$^☐ = $\frac{1}{196}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $14$^$-2$ = $\frac{1}{196}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{18}$ um: $\frac{1}{18}$ = ${18}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 18 sondern zur Basis $324$ suchen und $324$ gerade 18² ist (also 18 = $\sqrt{324}$ = ${324}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${18}^{-1}$ noch so um, dass sie $324$ als Basis hat:

${18}^{-1}$ = ${\left({324}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${324}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${18}^{-1}$ = ${324}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $324$ suchen, also die Hochzahl mit der man $324$ potenzieren muss, um auf ${18}^{-1}$ = ${324}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $324$^☐ = ${18}^{-1}$ = ${324}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $324$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{18}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $2$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $2$ und auf $4$ = 4¹ > $2$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $2$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $2$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < < 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,01}x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-2}\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-2$

$\lg \left(200\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200·50)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $4\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $16\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\frac{31}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(40x^7\right)-\lg \left(\frac{1}{20x^3}\right)+\lg \left(2x\right)$

= $-\lg \left(40x^7\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-3}\right)+\lg \left(2x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(40\right)+\lg \left(x^7\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right))$

= $-\lg \left(40\right)-\lg \left(x^7\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(40\right)-7\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(40\right)-7\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{40}·20·2)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$