Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $3$^$3$ = $27$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $3$^$-3$ = $\frac{1}{27}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{2}$ um: $\sqrt{2}$ = $2^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $40$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $40$ ist.

Dabei kommt man auf $3^3$ = 3³ < $40$ und auf $3^4$ = 3⁴ > $40$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $40$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^3$ < $40$ < $3^4$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $1+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)+1$

$\lg \left(200000\right)$ + $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200000·5)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{4x^2}\right)-\lg \left(\frac{16}{x^4}\right)+\lg \left(\frac{4}{x^5}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-2}\right)-\lg \left(16x^{-4}\right)+\lg \left(4x^{-5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(16\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(16\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(16\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-5\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(16\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-5\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(16\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{16}·4·4)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$