Wir suchen den Logarithmus von $324$ zur Basis $18$, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $324$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$^☐ = $324$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $18$^$2$ = $324$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{16}$ zur Basis $16$, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $\sqrt[3]{16}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{16}$ als ${16}^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $16$^☐ = ${16}^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $16$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{16}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{16}$ um: $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${16}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf ${16}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = ${16}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $16$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{16}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $45$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $45$ ist.

Dabei kommt man auf $3^3$ = 3³ < $45$ und auf $3^4$ = 3⁴ > $45$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $45$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^3$ < $45$ < $3^4$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $6+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+6$

${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 0

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)$
= $2\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{2}{x}\right)+\lg \left(\frac{50}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^4\right)$

= $\lg \left(2x^{-1}\right)+\lg \left(50x^{-1}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)+4\lg \left(x\right)$

= $2\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·50·2)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $2\lg \left(x\right)$