Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $4$^$1$ = $4$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt[3]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{10}$ als ${10}^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{10}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{27}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{27}}$ = ${27}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{27}}$ = ${27}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left(3^3\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = $3^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $3$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{27}}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $62$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $62$ ist.

Dabei kommt man auf $4^2$ = 4² < $62$ und auf $4^3$ = 4³ > $62$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $62$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
4² = $4^2$ < $62$ < $4^3$ = 4³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $6+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+6$

$\lg \left(250\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250·4)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)-2\lg \left(x^2\right)+4\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^2\right)-2\lg \left(x^2\right)+4\lg \left(x^{-2}\right)$
= $2\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)-8\lg \left(x\right)$
= $-10\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{100x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{50x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^3\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}{x}^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)-3\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·50·2)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$