Wir suchen den Logarithmus von $289$ zur Basis $17$, also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf $289$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$^☐ = $289$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $17$^$2$ = $289$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{225}$ zur Basis $15$, also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{225}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$^☐ = $\frac{1}{225}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $15$-Potenz zu schreiben versuchen, also $15$^☐ = $\frac{1}{225}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $15$^$-2$ = $\frac{1}{225}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3$ = $9^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $9$^{$\frac{1}{2}$} = $3$ gilt .

Wir suchen $16$er-Potenzen in der Näher von $157$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $157$ ist.

Dabei kommt man auf $16$ = 16¹ < $157$ und auf ${16}^2$ = 16² > $157$.

Und da wir bei ja das ☐ von 16^☐ = $157$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
16¹ = $16$ < $157$ < ${16}^2$ = 16²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{100}{x}\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100\right)-\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^2\right)-\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $2-\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)+2$

$\lg \left(5000\right)$ - $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{5000}{50}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{100}{x}^3\right)+\lg \left(2x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^7\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right))-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^7\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x^7\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-7\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-7\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(100\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}·5·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$