Wir suchen den Logarithmus von $10000000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10000000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $10000000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $7$, eben weil $10$^$7$ = $10000000$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-7$, eben weil $10$^$-7$ = $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{3}$ um: $\frac{1}{3}$ = $3^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3^{-1}$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^{-1}$ = ${\left(9^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $9$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{3}$ gilt .

Wir suchen $11$er-Potenzen in der Näher von $95$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $95$ ist.

Dabei kommt man auf $11$ = 11¹ < $95$ und auf ${11}^2$ = 11² > $95$.

Und da wir bei ja das ☐ von 11^☐ = $95$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
11¹ = $11$ < $95$ < ${11}^2$ = 11²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
=0

$\lg \left(\mathrm{0,002}\right)$ - $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.002}{2}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $4\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $12\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{23}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{50}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{20}x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{50}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{50}·25·20)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$