Wir suchen den Logarithmus von $1000000000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $1000000000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $1000000000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $9$, eben weil $10$^$9$ = $1000000000$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{64}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{64}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{64}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{64}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $4$^$-3$ = $\frac{1}{64}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{5}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $5^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ gilt .

Wir suchen $12$er-Potenzen in der Näher von $103$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $103$ ist.

Dabei kommt man auf $12$ = 12¹ < $103$ und auf ${12}^2$ = 12² > $103$.

Und da wir bei ja das ☐ von 12^☐ = $103$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
12¹ = $12$ < $103$ < ${12}^2$ = 12²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{\mathrm{0,001}}{x}\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-3}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $-3-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $-3$

$\lg \left(200000\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200000·50)$

= $\lg \left(10000000\right)$

= $\lg \left({10}^7\right)$

= 7

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $2\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $8\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $7\lg \left(x\right)$

$\lg \left(2x^2\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{10000x^2}\right)$

= $\lg \left(2x^2\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{10000}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(\frac{1}{10000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{1}{10000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+0+\lg \left(\frac{1}{10000}\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+0+\lg \left(1\right)-\lg \left(10000\right)-2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(10000\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000}·5·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$