Wir suchen den Logarithmus von $121$ zur Basis $11$, also die Hochzahl mit der man $11$ potenzieren muss, um auf $121$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $11$^☐ = $121$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $11$^$2$ = $121$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{2}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\sqrt[4]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{2}$ als $2^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$^☐ = $2^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{2}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{64}$ um: $\frac{1}{64}$ = ${64}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $64$ eine Potenz ist: $64$ = $4^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{64}$ = ${64}^{-1}$ = ${\left(4^3\right)}^{-1}$ = $4^{-3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4^{-3}$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^{-3}$ = ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$ = ${16}^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{-3}$ = ${16}^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^{-3}$ = ${16}^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4^{-3}$ = ${16}^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $16$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{64}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $973984$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $973984$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^5$ = 10⁵ < $973984$ und auf ${10}^6$ = 10⁶ > $973984$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $973984$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
10⁵ = ${10}^5$ < $973984$ < ${10}^6$ = 10⁶

Es gilt somit: 5 < < 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,001}x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-3}\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $-3+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)-3$

$\lg \left(500000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500000·2)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^4\right)-2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^4\right)-2\lg \left(x^{-2}\right)$
= $2\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $10\lg \left(x\right)$

$\lg \left(20x^4\right)-\lg \left(80x^9\right)+\lg \left(4x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^4\right)-(\lg \left(80\right)+\lg \left(x^9\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(80\right)-\lg \left(x^9\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)-9\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)-9\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{80}·20·4)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$