Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $5$, eben weil $2$^$5$ = $32$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{3}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\sqrt[5]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{3}$ als $3^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$^☐ = $3^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{3}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{3}$ um: $\frac{1}{3}$ = $3^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3^{-1}$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^{-1}$ = ${\left(9^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3^{-1}$ = $9^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $9$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{3}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $8529$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $8529$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^3$ = 10³ < $8529$ und auf ${10}^4$ = 10⁴ > $8529$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $8529$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
10³ = ${10}^3$ < $8529$ < ${10}^4$ = 10⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000000x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $8+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+8$

$\lg \left(\mathrm{0,02}\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.02}{20}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)-2\lg \left(x^2\right)$
= $-2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)-2\lg \left(x^2\right)$
= $\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-\frac{5}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{2}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{50x^4}\right)+\lg \left(\frac{4}{x^6}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{2}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-4}\right)+\lg \left(4x^{-6}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{2}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-6\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-6\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{50·4}{2}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$