Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{1000}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{1000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{1000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{1000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $10$^$-3$ = $\frac{1}{1000}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2$ = $4^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $2$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $25$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $25$ ist.

Dabei kommt man auf $4^2$ = 4² < $25$ und auf $4^3$ = 4³ > $25$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $25$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
4² = $4^2$ < $25$ < $4^3$ = 4³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10}{x}\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $1-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+1$

$\lg \left(\mathrm{0,5}\right)$ - $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.5}{5}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-2\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-1}\right)-2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-\frac{3}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{20}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}x\right)+\lg \left(\frac{5}{2}{x}^2\right)$

= $\lg \left(20x^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}x\right)+\lg \left(\frac{5}{2}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(\frac{5}{2}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{5}{2}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{5}{2}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (20·5)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$