Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $6$, eben weil $2$^$6$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{32}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{32}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{32}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{32}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-5$, eben weil $2$^$-5$ = $\frac{1}{32}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{5}$ um: $\sqrt{5}$ = $5^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $84089$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $84089$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^4$ = 10⁴ < $84089$ und auf ${10}^5$ = 10⁵ > $84089$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $84089$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 4 und 5 liegen, wegen:
10⁴ = ${10}^4$ < $84089$ < ${10}^5$ = 10⁵

Es gilt somit: 4 < < 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^4\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $4+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+4$

$\lg \left(2000\right)$ + $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2000·5)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $2\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\frac{9}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{50x^2}\right)-\lg \left(100\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^3\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-2}\right)-\lg \left(100\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(100\right)+\lg \left(1\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(100\right)-\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+0-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)-3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·50·2)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$