Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $6$, eben weil $2$^$6$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $2$^$-4$ = $\frac{1}{16}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{5}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $5^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{212}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{212}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{256}$ = $\frac{1}{2^8}$ = 2^-8 < $\frac{1}{212}$ und auf $\frac{1}{128}$ = $\frac{1}{2^7}$ = 2^-7 > $\frac{1}{212}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{212}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -8 und -7 liegen, wegen:
2^-8 = $\frac{1}{2^8}$ = $\frac{1}{256}$ < $\frac{1}{212}$ < $\frac{1}{128}$ = $\frac{1}{2^7}$ = 2^-7

Es gilt somit: -8 < < -7

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{0.00001}{x}\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(0.00001\right)-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-5}\right)-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-5-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)-5$

${\log }_{18}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn><mspace\; width="thinmathspace"></mspace><mn>296</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_{18}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_{18}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1296</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{18}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>324</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{18}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>18</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)-2\lg \left(x^3\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)-2\lg \left(x^3\right)$
= $-\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-6\lg \left(x\right)$
= $-\frac{13}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(5x^4\right)+\lg \left(\frac{25}{x^6}\right)-\lg \left(\frac{5}{4x^2}\right)$

= $\lg \left(5x^4\right)+\lg \left(25x^{-6}\right)-\lg \left(\frac{5}{4}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right))-(\lg \left(\frac{5}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)-\lg \left(\frac{5}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-6\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{5}{4}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-6\lg \left(x\right)-\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25·4)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$