Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $4$^$1$ = $4$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{169}$ zur Basis $13$, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{169}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$^☐ = $\frac{1}{169}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $13$-Potenz zu schreiben versuchen, also $13$^☐ = $\frac{1}{169}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $13$^$-2$ = $\frac{1}{169}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{64}$ um: $\frac{1}{64}$ = ${64}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $64$ eine Potenz ist: $64$ = $4^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{64}$ = ${64}^{-1}$ = ${\left(4^3\right)}^{-1}$ = $4^{-3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4^{-3}$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^{-3}$ = ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$ = ${16}^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{-3}$ = ${16}^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^{-3}$ = ${16}^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4^{-3}$ = ${16}^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $16$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{64}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $13$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $13$ ist.

Dabei kommt man auf $2^3$ = 2³ < $13$ und auf $2^4$ = 2⁴ > $13$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $13$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
2³ = $2^3$ < $13$ < $2^4$ = 2⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $6+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)+6$

${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>256</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>256</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>64</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; <mrow><mn>6</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $-2\lg \left(x^{-2}\right)$
= $4\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{20}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{50x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{100000x}\right)$

= $\lg \left(20x^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-3}\right)+\lg \left(\frac{1}{100.000}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(100000\right)-\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(100000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100.000}·50·20)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$