Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $5$^$2$ = $25$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Man kann erkennen, dass $128$ eine Potenz ist: $128$ = $2^7$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2^7$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^7$ = ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^7$ = $4^{\frac{7}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $2^7$ = $4^{\frac{7}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^7$ = $4^{\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2^7$ = $4^{\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{7}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{7}{2}$} = $128$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $10$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $10$ ist.

Dabei kommt man auf $3^2$ = 3² < $10$ und auf $3^3$ = 3³ > $10$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $10$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
3² = $3^2$ < $10$ < $3^3$ = 3³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{\mathrm{0,001}}{x}\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-3}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $-3-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $-3$

$\lg \left(250000000\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250000000·4)$

= $\lg \left(1000000000\right)$

= $\lg \left({10}^9\right)$

= 9

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-\frac{5}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{2x^2}\right)+\lg \left(\frac{4}{x}\right)-\lg \left(\frac{8}{x}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-2}\right)+\lg \left(4x^{-1}\right)-\lg \left(8x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(8\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(8\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(8\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(8\right)+\lg \left(x\right)$

= $2\lg \left(x\right)-\lg \left(8\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{8}·4·2)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $2\lg \left(x\right)$