Wir suchen den Logarithmus von $169$ zur Basis $13$, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $169$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$^☐ = $169$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $13$^$2$ = $169$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $3$^$-2$ = $\frac{1}{9}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $64$ eine Potenz ist: $64$ = $4^3$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4^3$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^3$ = ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^3$ = ${16}^{\frac{3}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $4^3$ = ${16}^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^3$ = ${16}^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4^3$ = ${16}^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $16$^{$\frac{3}{2}$} = $64$ gilt .

Wir suchen $19$er-Potenzen in der Näher von $139$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $139$ ist.

Dabei kommt man auf $19$ = 19¹ < $139$ und auf ${19}^2$ = 19² > $139$.

Und da wir bei ja das ☐ von 19^☐ = $139$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
19¹ = $19$ < $139$ < ${19}^2$ = 19²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000000x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000000\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^9\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $9+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)+9$

$\lg \left(2500000\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2500000·4)$

= $\lg \left(10000000\right)$

= $\lg \left({10}^7\right)$

= 7

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(x^4\right)$
= $8\lg \left(x\right)$
= $8\lg \left(x\right)$

$\lg \left(5x\right)+\lg \left(\frac{2}{25x^3}\right)+\lg \left(25x^2\right)$

= $\lg \left(5x\right)+\lg \left(\frac{2}{25}{x}^{-3}\right)+\lg \left(25x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)+(\lg \left(\frac{2}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{2}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{2}{25}\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(25\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (5·2)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$