Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $3$^$4$ = $81$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{5}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{5}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-1$, eben weil $5$^$-1$ = $\frac{1}{5}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^3$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3^3$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^3$ = ${\left(9^{\frac{1}{2}}\right)}^3$ = $9^{\frac{3}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $3^3$ = $9^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^3$ = $9^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3^3$ = $9^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $9$^{$\frac{3}{2}$} = $27$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $56$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $56$ ist.

Dabei kommt man auf $3^3$ = 3³ < $56$ und auf $3^4$ = 3⁴ > $56$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $56$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^3$ < $56$ < $3^4$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000000x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $8+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+8$

$\lg \left(\mathrm{0,2}\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.2}{20}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+2\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $-2\lg \left(x^{-1}\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $2\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\frac{5}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{16}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{4}{x^5}\right)+\lg \left(\frac{4}{x^2}\right)$

= $-\lg \left(16x^{-3}\right)+\lg \left(4x^{-5}\right)+\lg \left(4x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(16\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(16\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(16\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(16\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(16\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{16}·4·4)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$