Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{10}$ als ${10}^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{10}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{2}$ um: $\frac{1}{2}$ = $2^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2^{-1}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{-1}$ = ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{2}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $2$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $2$ und auf $4$ = 4¹ > $2$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $2$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $2$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < < 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10}{x}\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10\right)-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $1-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+1$

$\lg \left(500\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500·2)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{2}{x}\right)-\lg \left(\frac{2}{25x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^3\right)$

= $\lg \left(2x^{-1}\right)-\lg \left(\frac{2}{25}{x}^{-4}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-(\lg \left(\frac{2}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{2}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{2}{25}\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(2\right)+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25·4)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$