Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $3$^$2$ = $9$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{3}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\sqrt[3]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{3}$ als $3^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$^☐ = $3^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{3}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{19}$ um: $\sqrt{19}$ = ${19}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${19}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $19$ suchen, also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf ${19}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$^☐ = ${19}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $19$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{19}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $3909$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $3909$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^3$ = 10³ < $3909$ und auf ${10}^4$ = 10⁴ > $3909$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $3909$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
10³ = ${10}^3$ < $3909$ < ${10}^4$ = 10⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^5\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $5+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+5$

$\lg \left(400\right)$ - $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{400}{4}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(x^2\right)$
= $4\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{1250}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{1}{5x^3}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{1250}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{1250}\right)+\lg \left(1\right)-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{1250}\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{1250}\right)+0-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(1250\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(1250\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1250}·25·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$