Wir suchen den Logarithmus von $144$ zur Basis $12$, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $144$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$^☐ = $144$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $12$^$2$ = $144$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{64}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{64}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{64}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{64}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-6$, eben weil $2$^$-6$ = $\frac{1}{64}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{1000000000}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{1000000000}}$ = ${1000000000}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $1000000000$ eine Potenz ist: $1000000000$ = ${10}^9$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{1000000000}}$ = ${1000000000}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^9\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = ${10}^{-\frac{9}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-\frac{9}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-\frac{9}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{-\frac{9}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{9}{2}$, eben weil $10$^{$-\frac{9}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{1000000000}}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $6$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $6$ ist.

Dabei kommt man auf $3$ = 3¹ < $6$ und auf $3^2$ = 3² > $6$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $6$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
3¹ = $3$ < $6$ < $3^2$ = 3²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,01}x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-2}\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $-2+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)-2$

$\lg \left(250\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250·4)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-3\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-6\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{20}{x^6}\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^2}\right)+\lg \left(25x^4\right)$

= $\lg \left(20x^{-6}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-2}\right)+\lg \left(25x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)-6\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)-6\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25·20·2)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$