Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $4$^$2$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $3$^$-3$ = $\frac{1}{27}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $25$^{$\frac{1}{2}$} = $5$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $191394094$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $191394094$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^8$ = 10⁸ < $191394094$ und auf ${10}^9$ = 10⁹ > $191394094$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $191394094$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 8 und 9 liegen, wegen:
10⁸ = ${10}^8$ < $191394094$ < ${10}^9$ = 10⁹

Es gilt somit: 8 < < 9

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000000x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000000\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^9\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $9+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $9$

$\lg \left(2\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{2}{20}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

$\lg \left(25x\right)-\lg \left(1250000x^3\right)+\lg \left(50x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)-(\lg \left(1250000\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1250000\right)-\lg \left(x^3\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1250000\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1250000\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(1250000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{\mathrm{1.250.000}}·50·25)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$