Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $3$^$2$ = $9$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt[4]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{10}$ als ${10}^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{10}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{125}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{125}}$ = ${125}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{125}}$ = ${125}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left(5^3\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = $5^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $5$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{125}}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $7$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $7$ ist.

Dabei kommt man auf $4$ = 4¹ < $7$ und auf $4^2$ = 4² > $7$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $7$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
4¹ = $4$ < $7$ < $4^2$ = 4²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000000x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000000\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^9\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $9+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)+9$

$\lg \left(200\right)$ + $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200·5)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-2\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^{-3}\right)-2\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-3\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-10\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{80000}{x}^4\right)+\lg \left(20x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{80000}\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^5\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{80000}\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x^5\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{80000}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-5\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(80000\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-5\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(80000\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{80000}·20·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$