Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{3}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\sqrt[3]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{3}$ als $3^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$^☐ = $3^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{3}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{32}$ um: $\frac{1}{32}$ = ${32}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $32$ eine Potenz ist: $32$ = $2^5$

Also schreiben wir $\frac{1}{32}$ = ${32}^{-1}$ = ${\left(2^5\right)}^{-1}$ = $2^{-5}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2^{-5}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{-5}$ = ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^{-5}$ = $4^{-\frac{5}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-5}$ = $4^{-\frac{5}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{-5}$ = $4^{-\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2^{-5}$ = $4^{-\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{5}{2}$, eben weil $4$^{$-\frac{5}{2}$} = $\frac{1}{32}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{65592}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{65592}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{100000}$ = $\frac{1}{{10}^5}$ = 10^-5 < $\frac{1}{65592}$ und auf $\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{{10}^4}$ = 10^-4 > $\frac{1}{65592}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{65592}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -5 und -4 liegen, wegen:
10^-5 = $\frac{1}{{10}^5}$ = $\frac{1}{100000}$ < $\frac{1}{65592}$ < $\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{{10}^4}$ = 10^-4

Es gilt somit: -5 < < -4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $2$

$\lg \left(20\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20·50)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^3\right)$
= $-6\lg \left(x\right)$
= $-6\lg \left(x\right)$

$\lg \left(20x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{500x^9}\right)+\lg \left(25x^3\right)$

= $\lg \left(20x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{500}{x}^{-9}\right)+\lg \left(25x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^9}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^9}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{500}\right)-9\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(500\right)-9\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(500\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{500}·25·20)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$