Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $5$^$3$ = $125$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{81}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{81}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{81}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{81}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $3$^$-4$ = $\frac{1}{81}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{4}$ um: $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $61399$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $61399$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^4$ = 10⁴ < $61399$ und auf ${10}^5$ = 10⁵ > $61399$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $61399$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 4 und 5 liegen, wegen:
10⁴ = ${10}^4$ < $61399$ < ${10}^5$ = 10⁵

Es gilt somit: 4 < < 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $3$

$\lg \left(\mathrm{0,5}\right)$ - $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.5}{5}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $2\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $8\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $7\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^9\right)-\lg \left(\frac{1}{20x}\right)-\lg \left(\frac{80}{x^4}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^9\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-1}\right)-\lg \left(80x^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^9\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(80\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x^9\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(80\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-9\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-9\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{80}·20·4)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$