Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $3$^$3$ = $27$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{196}$ zur Basis $14$, also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{196}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$^☐ = $\frac{1}{196}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $14$-Potenz zu schreiben versuchen, also $14$^☐ = $\frac{1}{196}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $14$^$-2$ = $\frac{1}{196}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 13 sondern zur Basis $169$ suchen und $169$ gerade 13² ist (also 13 = $\sqrt{169}$ = ${169}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $13$ noch so um, dass sie $169$ als Basis hat:

$13$ = ${169}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $13$ = ${169}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $169$ suchen, also die Hochzahl mit der man $169$ potenzieren muss, um auf $13$ = ${169}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $169$^☐ = $13$ = ${169}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $169$^{$\frac{1}{2}$} = $13$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $157$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $157$ ist.

Dabei kommt man auf $2^7$ = 2⁷ < $157$ und auf $2^8$ = 2⁸ > $157$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $157$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
2⁷ = $2^7$ < $157$ < $2^8$ = 2⁸

Es gilt somit: 7 < < 8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
=0

$\lg \left(2000\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2000·50)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)+2\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)+2\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $-\lg \left(x\right)-6\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $-5\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{5}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^6\right)+\lg \left(20x^2\right)$

= $\lg \left(5x^{-3}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^6\right)+\lg \left(20x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+(\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^6\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^6\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+6\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)+6\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·20·5)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$