Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $4$^$3$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{5}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{5}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-1$, eben weil $5$^$-1$ = $\frac{1}{5}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $1000000000$ eine Potenz ist: $1000000000$ = ${10}^9$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^9$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^9$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^9$ = ${100}^{\frac{9}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^9$ = ${100}^{\frac{9}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^9$ = ${100}^{\frac{9}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^9$ = ${100}^{\frac{9}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{9}{2}$, eben weil $100$^{$\frac{9}{2}$} = $1000000000$ gilt .

Wir suchen $11$er-Potenzen in der Näher von $42$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $42$ ist.

Dabei kommt man auf $11$ = 11¹ < $42$ und auf ${11}^2$ = 11² > $42$.

Und da wir bei ja das ☐ von 11^☐ = $42$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
11¹ = $11$ < $42$ < ${11}^2$ = 11²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{1000000000}{x}\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000000\right)-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^9\right)-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $9-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+9$

$\lg \left(5000\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5000·20)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-2\lg \left(x^4\right)$
= $-2\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^{-3}\right)-2\lg \left(x^4\right)$
= $-6\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)-8\lg \left(x\right)$
= $-17\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{4}{x^3}\right)+\lg \left(5x^3\right)+\lg \left(5\right)$

= $\lg \left(4x^{-3}\right)+\lg \left(5x^3\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+0$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (5·5·4)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$