Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $5$^$1$ = $5$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-6$, eben weil $10$^$-6$ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{128}$ um: $\sqrt{128}$ = ${128}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $128$ eine Potenz ist: $128$ = $2^7$

Also schreiben wir $\sqrt{128}$ = ${128}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left(2^7\right)}^{\frac{1}{2}}$ = $2^{\frac{7}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{7}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{7}{2}$, eben weil $2$^{$\frac{7}{2}$} = $\sqrt{128}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $2327$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2327$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^3$ = 10³ < $2327$ und auf ${10}^4$ = 10⁴ > $2327$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $2327$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
10³ = ${10}^3$ < $2327$ < ${10}^4$ = 10⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,1}x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-1}\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-1+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)-1$

$\lg \left(500\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500·20)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{20x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{2x}\right)+\lg \left(\frac{1}{40x^5}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-1}\right)+\lg \left(\frac{1}{40}{x}^{-5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)-5\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(40\right)-5\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{40}·20·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$