Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $4$^$3$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{144}$ zur Basis $12$, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{144}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$^☐ = $\frac{1}{144}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $12$-Potenz zu schreiben versuchen, also $12$^☐ = $\frac{1}{144}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $12$^$-2$ = $\frac{1}{144}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $10$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = $10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $100$^{$\frac{1}{2}$} = $10$ gilt .

Wir suchen $17$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{227}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{227}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{289}$ = $\frac{1}{{17}^2}$ = 17^-2 < $\frac{1}{227}$ und auf $\frac{1}{17}$ = $\frac{1}{17}$ = 17^-1 > $\frac{1}{227}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 17^☐ = $\frac{1}{227}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
17^-2 = $\frac{1}{{17}^2}$ = $\frac{1}{289}$ < $\frac{1}{227}$ < $\frac{1}{17}$ = $\frac{1}{17}$ = 17^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(0.00001x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(0.00001\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-5}\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-5+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)-5$

${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>108</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>108</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>27</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-2\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^{-1}\right)-2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)$

$\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{5}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{100}{x^2}\right)$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(5x^{-4}\right)-\lg \left(100x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))-(\lg \left(100\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(100\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+0+\lg \left(5\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+0+\lg \left(5\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·20·5)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$