Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $6$, eben weil $2$^$6$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{2}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\sqrt[5]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{2}$ als $2^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$^☐ = $2^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{2}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{18}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{18}}$ = ${18}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${18}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $18$ suchen, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf ${18}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$^☐ = ${18}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $18$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{18}}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{4}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{4}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1 < $\frac{1}{4}$ und auf $1$ = $1$ = 5^-0 > $\frac{1}{4}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{4}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
5^-1 = $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ < $\frac{1}{4}$ < $1$ = $1$ = 5^-0

Es gilt somit: -1 < < -0

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)+2$

$\lg \left(500000000\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500000000·20)$

= $\lg \left(10000000000\right)$

= $\lg \left({10}^{10}\right)$

= 10

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+4\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+4\lg \left(x^{-3}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-12\lg \left(x\right)$
= $-\frac{23}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{5x^2}\right)+\lg \left(\frac{25}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{2}{25}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-2}\right)+\lg \left(25x^{-2}\right)+\lg \left(\frac{2}{25}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(\frac{2}{25}\right)+\lg \left(1\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{2}{25}\right)+\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{2}{25}\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(25\right)+0$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (5·2)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$