Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $5$, eben weil $2$^$5$ = $32$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt[3]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{10}$ als ${10}^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{10}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{2}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $2^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $2$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $418544110$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $418544110$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^8$ = 10⁸ < $418544110$ und auf ${10}^9$ = 10⁹ > $418544110$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $418544110$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 8 und 9 liegen, wegen:
10⁸ = ${10}^8$ < $418544110$ < ${10}^9$ = 10⁹

Es gilt somit: 8 < < 9

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $2$

$\lg \left(500\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500·20)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $4\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $12\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{23}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{250.000}{x}^3\right)+\lg \left(50x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^7\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{250.000}\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^7\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{250.000}\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^7\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{250.000}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-7\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(250000\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-7\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(250000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(50\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250.000}·50·50)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$