Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $3$^$2$ = $9$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $3$^$-3$ = $\frac{1}{27}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{27}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{27}}$ = ${27}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{27}}$ = ${27}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left(3^3\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = $3^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $3$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{27}}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $74$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $74$ ist.

Dabei kommt man auf $2^6$ = 2⁶ < $74$ und auf $2^7$ = 2⁷ > $74$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $74$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
2⁶ = $2^6$ < $74$ < $2^7$ = 2⁷

Es gilt somit: 6 < < 7

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $2$

$\lg \left(500\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500·2)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $-3\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-\frac{9}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(5x^2\right)+\lg \left(4x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{20x}\right)$

= $\lg \left(5x^2\right)+\lg \left(4x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)$

= $4\lg \left(x\right)-\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·5·4)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $4\lg \left(x\right)$