Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $4$^$1$ = $4$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{4}$ um: $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{15}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{15}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4^2}$ = 4^-2 < $\frac{1}{15}$ und auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1 > $\frac{1}{15}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{15}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
4^-2 = $\frac{1}{4^2}$ = $\frac{1}{16}$ < $\frac{1}{15}$ < $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000000x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $8+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)+8$

$\lg \left(2000000\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2000000·50)$

= $\lg \left(100000000\right)$

= $\lg \left({10}^8\right)$

= 8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^4\right)$
= $-8\lg \left(x\right)$
= $-8\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{2000}{x^2}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^2\right)-\lg \left(2000x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(1\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(2000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^2\right)-\lg \left(2000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+0-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(2000\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(2000\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(2000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2000}·50·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$