Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $3$^$3$ = $27$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{100000}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{100000}}$ = ${100000}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $100000$ eine Potenz ist: $100000$ = ${10}^5$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{100000}}$ = ${100000}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^5\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = ${10}^{-\frac{5}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-\frac{5}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{-\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{5}{2}$, eben weil $10$^{$-\frac{5}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{100000}}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{3099}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{3099}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{{10}^4}$ = 10^-4 < $\frac{1}{3099}$ und auf $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{{10}^3}$ = 10^-3 > $\frac{1}{3099}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{3099}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
10^-4 = $\frac{1}{{10}^4}$ = $\frac{1}{10000}$ < $\frac{1}{3099}$ < $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{{10}^3}$ = 10^-3

Es gilt somit: -4 < < -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^4\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $4+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+4$

$\lg \left(50\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50·20)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{250000x}\right)-\lg \left(\frac{1}{50x^3}\right)+\lg \left(\frac{50}{x^2}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{250.000}{x}^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-3}\right)+\lg \left(50x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{250.000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{250.000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{250.000}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(250000\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(250000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(50\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250.000}·50·50)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$