Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-6$, eben weil $10$^$-6$ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3$ = $9^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $9$^{$\frac{1}{2}$} = $3$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $35$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $35$ ist.

Dabei kommt man auf $2^5$ = 2⁵ < $35$ und auf $2^6$ = 2⁶ > $35$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $35$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
2⁵ = $2^5$ < $35$ < $2^6$ = 2⁶

Es gilt somit: 5 < < 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,1}x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-1}\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $-1+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)-1$

$\lg \left(200\right)$ - $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{200}{2}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(25x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{125.000}x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(\frac{1}{125.000}\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{125.000}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{125.000}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(125000\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(125000\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{125.000}·25·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$