Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $3$^$2$ = $9$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{32}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{32}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{32}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{32}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-5$, eben weil $2$^$-5$ = $\frac{1}{32}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $10000000$ eine Potenz ist: $10000000$ = ${10}^7$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^7$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^7$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^7$ = ${100}^{\frac{7}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^7$ = ${100}^{\frac{7}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^7$ = ${100}^{\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^7$ = ${100}^{\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{7}{2}$, eben weil $100$^{$\frac{7}{2}$} = $10000000$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{4459}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{4459}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{{10}^4}$ = 10^-4 < $\frac{1}{4459}$ und auf $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{{10}^3}$ = 10^-3 > $\frac{1}{4459}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{4459}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
10^-4 = $\frac{1}{{10}^4}$ = $\frac{1}{10000}$ < $\frac{1}{4459}$ < $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{{10}^3}$ = 10^-3

Es gilt somit: -4 < < -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^5\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $5+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+5$

$\lg \left(20\right)$ - $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{20}{2}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{50x^2}\right)-\lg \left(1250\right)-\lg \left(\frac{1}{25}x\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-2}\right)-\lg \left(1250\right)-\lg \left(\frac{1}{25}x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(1250\right)+\lg \left(1\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(1250\right)-\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)+0-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1250}·50·25)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·25)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$