Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $3$^$3$ = $27$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{64}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{64}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{64}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{64}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-6$, eben weil $2$^$-6$ = $\frac{1}{64}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{3}$ um: $\sqrt{3}$ = $3^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{3}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $8$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $8$ ist.

Dabei kommt man auf $4$ = 4¹ < $8$ und auf $4^2$ = 4² > $8$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $8$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
4¹ = $4$ < $8$ < $4^2$ = 4²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10}{x}\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10\right)-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $1-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+1$

${\log }_{17}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>5</mn><mspace\; width="thinmathspace"></mspace><mn>780</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_{17}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>20</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_{17}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>5780</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>20</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{17}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>289</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{17}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>17</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $4\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-3}\right)$
= $8\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\frac{11}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{2x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{50}{x}^3\right)+\lg \left(\frac{25}{x^4}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-2}\right)+\lg \left(\frac{1}{50}{x}^3\right)+\lg \left(25x^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{50}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{50}·25·2)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$