Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{8}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{8}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{8}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{8}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $2$^$-3$ = $\frac{1}{8}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $8$ eine Potenz ist: $8$ = $2^3$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2^3$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^3$ = ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^3$ = $4^{\frac{3}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $2^3$ = $4^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^3$ = $4^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2^3$ = $4^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{3}{2}$} = $8$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{\mathrm{979.198.699}}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{\mathrm{979.198.699}}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{1000000000}$ = $\frac{1}{{10}^9}$ = 10^-9 < $\frac{1}{\mathrm{979.198.699}}$ und auf $\frac{1}{100000000}$ = $\frac{1}{{10}^8}$ = 10^-8 > $\frac{1}{\mathrm{979.198.699}}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{\mathrm{979.198.699}}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -9 und -8 liegen, wegen:
10^-9 = $\frac{1}{{10}^9}$ = $\frac{1}{1000000000}$ < $\frac{1}{\mathrm{979.198.699}}$ < $\frac{1}{100000000}$ = $\frac{1}{{10}^8}$ = 10^-8

Es gilt somit: -9 < < -8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^5\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $5+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)+5$

$\lg \left(500\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500·20)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)-2\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $4\lg \left(x\right)-6\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{10000}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{10000}\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(1\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{10000}\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{10000}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+0-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(10000\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(10000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000}·50·20)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$