Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $3$^$3$ = $27$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{1000}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{1000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{1000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{1000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $10$^$-3$ = $\frac{1}{1000}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{17}$ um: $\sqrt{17}$ = ${17}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${17}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $17$ suchen, also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf ${17}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$^☐ = ${17}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $17$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{17}$ gilt .

Wir suchen $19$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{268}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{268}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{361}$ = $\frac{1}{{19}^2}$ = 19^-2 < $\frac{1}{268}$ und auf $\frac{1}{19}$ = $\frac{1}{19}$ = 19^-1 > $\frac{1}{268}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 19^☐ = $\frac{1}{268}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
19^-2 = $\frac{1}{{19}^2}$ = $\frac{1}{361}$ < $\frac{1}{268}$ < $\frac{1}{19}$ = $\frac{1}{19}$ = 19^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{100}{x}\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^2\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $2-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+2$

$\lg \left(50000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50000·2)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $4\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{20x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{80x}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-2}\right)+\lg \left(\frac{1}{80}{x}^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(1\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{80}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(80\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+0$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{80}·20·4)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$