Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $5$, eben weil $2$^$5$ = $32$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{100.000}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{100.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{100.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{100.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-5$, eben weil $10$^$-5$ = $\frac{1}{100.000}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $25$^{$\frac{1}{2}$} = $5$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{\mathrm{212.954.729}}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{\mathrm{212.954.729}}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{1000000000}$ = $\frac{1}{{10}^9}$ = 10^-9 < $\frac{1}{\mathrm{212.954.729}}$ und auf $\frac{1}{100000000}$ = $\frac{1}{{10}^8}$ = 10^-8 > $\frac{1}{\mathrm{212.954.729}}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{\mathrm{212.954.729}}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -9 und -8 liegen, wegen:
10^-9 = $\frac{1}{{10}^9}$ = $\frac{1}{1000000000}$ < $\frac{1}{\mathrm{212.954.729}}$ < $\frac{1}{100000000}$ = $\frac{1}{{10}^8}$ = 10^-8

Es gilt somit: -9 < < -8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{\mathrm{0,01}}{x}\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-2}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-2-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-2$

$\lg \left(50\right)$ - $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{50}{5}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{2}x\right)+\lg \left(\frac{5}{x}\right)+\lg \left(100x^2\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}x\right)+\lg \left(5x^{-1}\right)+\lg \left(100x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(100\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(100\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(100\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(100\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(100\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (100·5·2)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$