Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $5$^$1$ = $5$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{25}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{25}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{25}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{25}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $5$^$-2$ = $\frac{1}{25}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{2}$ um: $\sqrt{2}$ = $2^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $32$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $32$ ist.

Dabei kommt man auf $3^3$ = 3³ < $32$ und auf $3^4$ = 3⁴ > $32$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $32$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^3$ < $32$ < $3^4$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10000}{x}\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000\right)-\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^4\right)-\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $4-\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-5\lg \left(x\right)+4$

$\lg \left(20\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20·50)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^{-1}\right)+\lg \left(x^{-3}\right)$
= $2\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(50x^3\right)-\lg \left(100x^5\right)-\lg \left(\frac{1}{20x^2}\right)$

= $\lg \left(50x^3\right)-\lg \left(100x^5\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)-(\lg \left(100\right)+\lg \left(x^5\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(100\right)-\lg \left(x^5\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(100\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}·50·20)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$