Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $2$^$4$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{1000}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{1000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{1000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{1000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $10$^$-3$ = $\frac{1}{1000}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{5}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $5^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ gilt .

Wir suchen $14$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{166}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{166}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{196}$ = $\frac{1}{{14}^2}$ = 14^-2 < $\frac{1}{166}$ und auf $\frac{1}{14}$ = $\frac{1}{14}$ = 14^-1 > $\frac{1}{166}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 14^☐ = $\frac{1}{166}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
14^-2 = $\frac{1}{{14}^2}$ = $\frac{1}{196}$ < $\frac{1}{166}$ < $\frac{1}{14}$ = $\frac{1}{14}$ = 14^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,1}x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-1}\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-1+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)-1$

$\lg \left(25000\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (25000·4)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+4\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $-2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+4\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $\lg \left(x\right)-8\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $-5\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{4}x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(2x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x\right)-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+0+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+0+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)$

= $4\lg \left(x\right)-\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·2·2)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $4\lg \left(x\right)$