Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $4$^$-2$ = $\frac{1}{16}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{12}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{12}}$ = ${12}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${12}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $12$ suchen, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf ${12}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$^☐ = ${12}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $12$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{12}}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $39446$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $39446$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^4$ = 10⁴ < $39446$ und auf ${10}^5$ = 10⁵ > $39446$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $39446$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 4 und 5 liegen, wegen:
10⁴ = ${10}^4$ < $39446$ < ${10}^5$ = 10⁵

Es gilt somit: 4 < < 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^5\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $5+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+5$

$\lg \left(2000000\right)$ + $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2000000·5)$

= $\lg \left(10000000\right)$

= $\lg \left({10}^7\right)$

= 7

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+4\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)+4\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-6\lg \left(x\right)$

$\lg \left(5x\right)-\lg \left(20x^8\right)-\lg \left(\frac{1}{4x^4}\right)$

= $\lg \left(5x\right)-\lg \left(20x^8\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)-(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^8\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(20\right)-\lg \left(x^8\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(20\right)-8\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(20\right)-8\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·5·4)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$