Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $5$, eben weil $2$^$5$ = $32$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $2$^$-4$ = $\frac{1}{16}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{10}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{10}}$ = ${10}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $10$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{10}}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $91107705$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $91107705$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^7$ = 10⁷ < $91107705$ und auf ${10}^8$ = 10⁸ > $91107705$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $91107705$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
10⁷ = ${10}^7$ < $91107705$ < ${10}^8$ = 10⁸

Es gilt somit: 7 < < 8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^3\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $3+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)+3$

$\lg \left(50\right)$ - $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{50}{5}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(x^3\right)-2\lg \left(x^2\right)+2\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $2\lg \left(x^3\right)-2\lg \left(x^2\right)+2\lg \left(x^{-1}\right)$
= $6\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
=0

$-\lg \left(500000\right)+\lg \left(20x^2\right)+\lg \left(\frac{25}{x^2}\right)$

= $-\lg \left(500000\right)+\lg \left(20x^2\right)+\lg \left(25x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(500000\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(500000\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(500000\right)+0+\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(500000\right)+0+\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(500000\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{500.000}·25·20)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$