Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{19}$ zur Basis $19$, also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{19}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$^☐ = $\sqrt[3]{19}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{19}$ als ${19}^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $19$^☐ = ${19}^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $19$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{19}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{125}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{125}}$ = ${125}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{125}}$ = ${125}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left(5^3\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = $5^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $5$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{125}}$ gilt .

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $11$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $11$ ist.

Dabei kommt man auf $5$ = 5¹ < $11$ und auf $5^2$ = 5² > $11$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $11$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
5¹ = $5$ < $11$ < $5^2$ = 5²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(0.00001x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(0.00001\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-5}\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-5+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)-5$

${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>243</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>243</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>81</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; <mrow><mn>4</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(4x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{200}x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^7\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(\frac{1}{200}\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^7\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{200}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^7\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{200}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-7\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(200\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-7\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{200}·50·4)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$