Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $3$^$2$ = $9$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\sqrt[4]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{4}$ als $4^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$^☐ = $4^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{100000}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{100000}}$ = ${100000}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $100000$ eine Potenz ist: $100000$ = ${10}^5$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{100000}}$ = ${100000}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^5\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = ${10}^{-\frac{5}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-\frac{5}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{-\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{5}{2}$, eben weil $10$^{$-\frac{5}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{100000}}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $73$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $73$ ist.

Dabei kommt man auf $2^6$ = 2⁶ < $73$ und auf $2^7$ = 2⁷ > $73$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $73$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
2⁶ = $2^6$ < $73$ < $2^7$ = 2⁷

Es gilt somit: 6 < < 7

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,1}x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-1}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-1+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-1$

$\lg \left(\mathrm{0,4}\right)$ - $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.4}{4}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$

$\lg \left(20x\right)+\lg \left(\frac{1}{4x^5}\right)-\lg \left(\frac{1}{20x^4}\right)$

= $\lg \left(20x\right)+\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-5}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{4}\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(4\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{20·20}{4}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$