Wir suchen den Logarithmus von $225$ zur Basis $15$, also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $225$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$^☐ = $225$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $15$^$2$ = $225$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{3}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\sqrt[5]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{3}$ als $3^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$^☐ = $3^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{3}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{128}$ um: $\sqrt{128}$ = ${128}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $128$ eine Potenz ist: $128$ = $2^7$

Also schreiben wir $\sqrt{128}$ = ${128}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left(2^7\right)}^{\frac{1}{2}}$ = $2^{\frac{7}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{7}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{7}{2}$, eben weil $2$^{$\frac{7}{2}$} = $\sqrt{128}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $77$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $77$ ist.

Dabei kommt man auf $2^6$ = 2⁶ < $77$ und auf $2^7$ = 2⁷ > $77$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $77$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
2⁶ = $2^6$ < $77$ < $2^7$ = 2⁷

Es gilt somit: 6 < < 7

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{1000000000}{x}\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000000\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^9\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $9-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+9$

${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>36</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>36</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>9</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-2\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $-2\lg \left(x^{-3}\right)-2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $6\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{9}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(4x^4\right)+\lg \left(2x^2\right)-\lg \left(80x^6\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(80\right)+\lg \left(x^6\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(80\right)-\lg \left(x^6\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)-6\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)-6\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(80\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{80}·4·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$