Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $4$^$1$ = $4$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{25}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{25}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{25}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{25}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $5$^$-2$ = $\frac{1}{25}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{128}$ um: $\frac{1}{128}$ = ${128}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $128$ eine Potenz ist: $128$ = $2^7$

Also schreiben wir $\frac{1}{128}$ = ${128}^{-1}$ = ${\left(2^7\right)}^{-1}$ = $2^{-7}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2^{-7}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{-7}$ = ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^{-7}$ = $4^{-\frac{7}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-7}$ = $4^{-\frac{7}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{-7}$ = $4^{-\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2^{-7}$ = $4^{-\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{7}{2}$, eben weil $4$^{$-\frac{7}{2}$} = $\frac{1}{128}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $5$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $5$ ist.

Dabei kommt man auf $3$ = 3¹ < $5$ und auf $3^2$ = 3² > $5$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $5$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
3¹ = $3$ < $5$ < $3^2$ = 3²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^2\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $2+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+2$

$\lg \left(200\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{200}{20}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^2\right)+4\lg \left(x^4\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+16\lg \left(x\right)$
= $12\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{100}{x}^4\right)+\lg \left(\frac{2}{x^3}\right)+\lg \left(50x^2\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}{x}^4\right)+\lg \left(2x^{-3}\right)+\lg \left(50x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·50·2)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$