Wir suchen den Logarithmus von $10000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $10000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $10$^$4$ = $10000$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{121}$ zur Basis $11$, also die Hochzahl mit der man $11$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{121}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $11$^☐ = $\frac{1}{121}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $11$-Potenz zu schreiben versuchen, also $11$^☐ = $\frac{1}{121}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $11$^$-2$ = $\frac{1}{121}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $10$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = $10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $100$^{$\frac{1}{2}$} = $10$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{107}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{107}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{128}$ = $\frac{1}{2^7}$ = 2^-7 < $\frac{1}{107}$ und auf $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{2^6}$ = 2^-6 > $\frac{1}{107}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{107}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -7 und -6 liegen, wegen:
2^-7 = $\frac{1}{2^7}$ = $\frac{1}{128}$ < $\frac{1}{107}$ < $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{2^6}$ = 2^-6

Es gilt somit: -7 < < -6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^3\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $3+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+3$

$\lg \left(50000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50000·2)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $-2\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-5\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^6\right)+\lg \left(50x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{250.000}{x}^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^6\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(\frac{1}{250.000}\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x^6\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{250.000}\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{250.000}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(250000\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(250000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250.000}·50·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$