Wir suchen den Logarithmus von $169$ zur Basis $13$, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $169$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$^☐ = $169$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $13$^$2$ = $169$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{16}$ zur Basis $16$, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $\sqrt[4]{16}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{16}$ als ${16}^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $16$^☐ = ${16}^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $16$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{16}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{10}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{10}}$ = ${10}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $10$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{10}}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $248$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $248$ ist.

Dabei kommt man auf $2^7$ = 2⁷ < $248$ und auf $2^8$ = 2⁸ > $248$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $248$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
2⁷ = $2^7$ < $248$ < $2^8$ = 2⁸

Es gilt somit: 7 < < 8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,01}x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-2}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-2+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-2$

${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>405</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>405</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>81</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; <mrow><mn>4</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{50x^3}\right)-\lg \left(250x\right)+\lg \left(\frac{50}{x^2}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-3}\right)-\lg \left(250x\right)+\lg \left(50x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))-(\lg \left(250\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(250\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(250\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(250\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(50\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250}·50·50)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$