Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $3$^$2$ = $9$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{196}$ zur Basis $14$, also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{196}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$^☐ = $\frac{1}{196}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $14$-Potenz zu schreiben versuchen, also $14$^☐ = $\frac{1}{196}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $14$^$-2$ = $\frac{1}{196}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{4}$ um: $\frac{1}{4}$ = $4^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4^{-1}$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^{-1}$ = ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $16$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{4}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{71362}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{71362}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{100000}$ = $\frac{1}{{10}^5}$ = 10^-5 < $\frac{1}{71362}$ und auf $\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{{10}^4}$ = 10^-4 > $\frac{1}{71362}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{71362}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -5 und -4 liegen, wegen:
10^-5 = $\frac{1}{{10}^5}$ = $\frac{1}{100000}$ < $\frac{1}{71362}$ < $\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{{10}^4}$ = 10^-4

Es gilt somit: -5 < < -4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $7$

$\lg \left(\mathrm{0,005}\right)$ - $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.005}{5}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $4\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{625}x\right)-\lg \left(\frac{1}{25x^3}\right)+\lg \left(\frac{25}{x^3}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{625}x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-3}\right)+\lg \left(25x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{625}\right)+\lg \left(x\right)-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{625}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{625}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(625\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(625\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{625}·25·25)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·25)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$