Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $5$^$1$ = $5$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{8}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{8}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{8}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{8}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $2$^$-3$ = $\frac{1}{8}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{125}$ um: $\frac{1}{125}$ = ${125}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{125}$ = ${125}^{-1}$ = ${\left(5^3\right)}^{-1}$ = $5^{-3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5^{-3}$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^{-3}$ = ${\left({25}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$ = ${25}^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-3}$ = ${25}^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^{-3}$ = ${25}^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5^{-3}$ = ${25}^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $25$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{125}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $6$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $6$ ist.

Dabei kommt man auf $4$ = 4¹ < $6$ und auf $4^2$ = 4² > $6$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $6$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
4¹ = $4$ < $6$ < $4^2$ = 4²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{1000}{x}\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000\right)-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^3\right)-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $3-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+3$

$\lg \left(500\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500·20)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^{-3}\right)$
= $3\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
=0

$\lg \left(\frac{25}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{5}{x}^4\right)+\lg \left(\frac{20}{x}\right)$

= $\lg \left(25x^{-3}\right)+\lg \left(\frac{1}{5}{x}^4\right)+\lg \left(20x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{5}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{25·20}{5}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$