Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $5$^$1$ = $5$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\sqrt{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{4}$ als $4^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{13}$ um: $\sqrt{13}$ = ${13}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${13}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $13$ suchen, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf ${13}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$^☐ = ${13}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $13$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{13}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $249$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $249$ ist.

Dabei kommt man auf $2^7$ = 2⁷ < $249$ und auf $2^8$ = 2⁸ > $249$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $249$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
2⁷ = $2^7$ < $249$ < $2^8$ = 2⁸

Es gilt somit: 7 < < 8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,01}x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-2}\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $-2+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)-2$

$\lg \left(300\right)$ - $\lg \left(3\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{300}{3}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $-2\lg \left(x^{-2}\right)-2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $4\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)$

$\lg \left(2x\right)-\lg \left(\frac{100}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{50x^2}\right)$

= $\lg \left(2x\right)-\lg \left(100x^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)-(\lg \left(100\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)$

= $4\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·50·2)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $4\lg \left(x\right)$