Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $4$^$2$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\sqrt[4]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{4}$ als $4^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$^☐ = $4^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{4}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 17 sondern zur Basis $289$ suchen und $289$ gerade 17² ist (also 17 = $\sqrt{289}$ = ${289}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $17$ noch so um, dass sie $289$ als Basis hat:

$17$ = ${289}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $17$ = ${289}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $289$ suchen, also die Hochzahl mit der man $289$ potenzieren muss, um auf $17$ = ${289}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $289$^☐ = $17$ = ${289}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $289$^{$\frac{1}{2}$} = $17$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $3$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $3$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $3$ und auf $4$ = 4¹ > $3$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $3$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $3$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < < 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000000x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000000\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^9\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $9+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)+9$

$\lg \left(\mathrm{0,5}\right)$ - $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.5}{5}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)+2\lg \left(x^3\right)$
= $4\lg \left(x\right)+6\lg \left(x\right)$
= $10\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(5x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{10x^6}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(5x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{10}{x}^{-6}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+0+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{10}\right)-6\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+0+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(10\right)-6\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{10}·5·2)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$