Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $8$, eben weil $2$^$8$ = $256$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{3}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\sqrt[5]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{3}$ als $3^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$^☐ = $3^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{3}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{5}$ um: $\frac{1}{5}$ = $5^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5^{-1}$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^{-1}$ = ${\left({25}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5^{-1}$ = ${25}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $25$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{5}$ gilt .

Wir suchen $18$er-Potenzen in der Näher von $295$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $295$ ist.

Dabei kommt man auf $18$ = 18¹ < $295$ und auf ${18}^2$ = 18² > $295$.

Und da wir bei ja das ☐ von 18^☐ = $295$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
18¹ = $18$ < $295$ < ${18}^2$ = 18²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,0001}x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,0001}\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-4}\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-4+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)-4$

$\lg \left(\mathrm{0,02}\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.02}{20}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $-2\lg \left(x^{-2}\right)+2\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $4\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{1000}x\right)+\lg \left(\frac{50}{x^3}\right)+\lg \left(20x^3\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}x\right)+\lg \left(50x^{-3}\right)+\lg \left(20x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(x\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(1000\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1000}·50·20)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$