Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $5$^$3$ = $125$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\sqrt[4]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{5}$ als $5^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$^☐ = $5^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{5}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{2}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $2^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $2$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{41}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{41}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{2^6}$ = 2^-6 < $\frac{1}{41}$ und auf $\frac{1}{32}$ = $\frac{1}{2^5}$ = 2^-5 > $\frac{1}{41}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{41}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -6 und -5 liegen, wegen:
2^-6 = $\frac{1}{2^6}$ = $\frac{1}{64}$ < $\frac{1}{41}$ < $\frac{1}{32}$ = $\frac{1}{2^5}$ = 2^-5

Es gilt somit: -6 < < -5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^3\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+3$

${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>32</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>32</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>16</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; <mrow><mn>4</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
=0

$-\lg \left(\frac{1}{25x}\right)+\lg \left(\frac{1}{125}{x}^3\right)+\lg \left(5x\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-1}\right)+\lg \left(\frac{1}{125}{x}^3\right)+\lg \left(5x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(\frac{1}{125}\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{125}\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{125}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(125\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(125\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{125}·25·5)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$