Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $6$, eben weil $2$^$6$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\sqrt[4]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{5}$ als $5^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$^☐ = $5^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{5}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{125}$ um: $\sqrt{125}$ = ${125}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^3$

Also schreiben wir $\sqrt{125}$ = ${125}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left(5^3\right)}^{\frac{1}{2}}$ = $5^{\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $5$^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{125}$ gilt .

Wir suchen $12$er-Potenzen in der Näher von $30$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $30$ ist.

Dabei kommt man auf $12$ = 12¹ < $30$ und auf ${12}^2$ = 12² > $30$.

Und da wir bei ja das ☐ von 12^☐ = $30$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
12¹ = $12$ < $30$ < ${12}^2$ = 12²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
= $1$

$\lg \left(40\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40·25)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\frac{9}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{2500x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{50x^4}\right)+\lg \left(5\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{2500}{x}^{-4}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-4}\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{2500}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{2500}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{2500}\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(2500\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+0$

= $-\lg \left(2500\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2500}·50·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$