Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $4$^$1$ = $4$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{100.000}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{100.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{100.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{100.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-5$, eben weil $10$^$-5$ = $\frac{1}{100.000}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{8}$ um: $\frac{1}{8}$ = $8^{-1}$

Man kann erkennen, dass $8$ eine Potenz ist: $8$ = $2^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{8}$ = $8^{-1}$ = ${\left(2^3\right)}^{-1}$ = $2^{-3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2^{-3}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{-3}$ = ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$ = $4^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-3}$ = $4^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{-3}$ = $4^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2^{-3}$ = $4^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $4$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{8}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $17$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $17$ ist.

Dabei kommt man auf $3^2$ = 3² < $17$ und auf $3^3$ = 3³ > $17$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $17$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
3² = $3^2$ < $17$ < $3^3$ = 3³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $1+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+1$

${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>80</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>20</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>80</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>20</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(x^2\right)$
= $4\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{20}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{10}{x^4}\right)$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(20x^{-4}\right)-\lg \left(10x^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))-(\lg \left(10\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(10\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+0+\lg \left(20\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+0+\lg \left(20\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(20\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{20}{10}·5)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$