Wir suchen den Logarithmus von $8$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $8$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $8$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $2$^$3$ = $8$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $3$^$-3$ = $\frac{1}{27}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{10000000}$ um: $\frac{1}{10000000}$ = ${10000000}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $10000000$ eine Potenz ist: $10000000$ = ${10}^7$

Also schreiben wir $\frac{1}{10000000}$ = ${10000000}^{-1}$ = ${\left({10}^7\right)}^{-1}$ = ${10}^{-7}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^{-7}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^{-7}$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-7}$ = ${100}^{-\frac{7}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-7}$ = ${100}^{-\frac{7}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-7}$ = ${100}^{-\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^{-7}$ = ${100}^{-\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{7}{2}$, eben weil $100$^{$-\frac{7}{2}$} = $\frac{1}{10000000}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $2$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $2$ und auf $4$ = 4¹ > $2$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $2$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $2$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < < 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,1}x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-1}\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $-1+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)-1$

$\lg \left(\mathrm{0,2}\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.2}{20}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\frac{3}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{80x}\right)+\lg \left(4x^3\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{80}{x}^{-1}\right)+\lg \left(4x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+0+\lg \left(\frac{1}{80}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+0+\lg \left(1\right)-\lg \left(80\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)$

= $2\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{80}·20·4)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $2\lg \left(x\right)$