Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $4$^$2$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{169}$ zur Basis $13$, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{169}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$^☐ = $\frac{1}{169}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $13$-Potenz zu schreiben versuchen, also $13$^☐ = $\frac{1}{169}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $13$^$-2$ = $\frac{1}{169}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{100000}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{100000}}$ = ${100000}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $100000$ eine Potenz ist: $100000$ = ${10}^5$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{100000}}$ = ${100000}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^5\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = ${10}^{-\frac{5}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-\frac{5}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{-\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{5}{2}$, eben weil $10$^{$-\frac{5}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{100000}}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $9$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $9$ ist.

Dabei kommt man auf $2^3$ = 2³ < $9$ und auf $2^4$ = 2⁴ > $9$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $9$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
2³ = $2^3$ < $9$ < $2^4$ = 2⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{1000000}{x}\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $6-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)+6$

${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>6</mn><mspace\; width="thinmathspace"></mspace><mn>250</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>50</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>6250</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>50</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>125</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>5</mn></mrow>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{5}{x^2}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^3\right)$

= $\lg \left(5x^{-2}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+0+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+0+\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)+3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·20·5)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$