Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $5$^$1$ = $5$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt[5]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{10}$ als ${10}^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{10}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{128}$ um: $\sqrt{128}$ = ${128}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $128$ eine Potenz ist: $128$ = $2^7$

Also schreiben wir $\sqrt{128}$ = ${128}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left(2^7\right)}^{\frac{1}{2}}$ = $2^{\frac{7}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{7}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{7}{2}$, eben weil $2$^{$\frac{7}{2}$} = $\sqrt{128}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $18$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $18$ ist.

Dabei kommt man auf $3^2$ = 3² < $18$ und auf $3^3$ = 3³ > $18$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $18$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
3² = $3^2$ < $18$ < $3^3$ = 3³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $4$

$\lg \left(40000\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40000·25)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{50x^3}\right)+\lg \left(10x^4\right)+\lg \left(\frac{2}{x^7}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-3}\right)+\lg \left(10x^4\right)+\lg \left(2x^{-7}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(10\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(10\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(10\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-7\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(10\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-7\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(10\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50·10·2)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$