Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $4$^$3$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{324}$ zur Basis $18$, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{324}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$^☐ = $\frac{1}{324}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $18$-Potenz zu schreiben versuchen, also $18$^☐ = $\frac{1}{324}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $18$^$-2$ = $\frac{1}{324}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{1000}$ um: $\sqrt{1000}$ = ${1000}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $1000$ eine Potenz ist: $1000$ = ${10}^3$

Also schreiben wir $\sqrt{1000}$ = ${1000}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^3\right)}^{\frac{1}{2}}$ = ${10}^{\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $10$^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{1000}$ gilt .

Wir suchen $12$er-Potenzen in der Näher von $14$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $14$ ist.

Dabei kommt man auf $12$ = 12¹ < $14$ und auf ${12}^2$ = 12² > $14$.

Und da wir bei ja das ☐ von 12^☐ = $14$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
12¹ = $12$ < $14$ < ${12}^2$ = 12²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^3\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+3$

$\lg \left(20000\right)$ + $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20000·5)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)-2\lg \left(x^3\right)+4\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^2\right)-2\lg \left(x^3\right)+4\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $2\lg \left(x\right)-6\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-6\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{4x^3}\right)+\lg \left(50x^4\right)-\lg \left(200x^2\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-3}\right)+\lg \left(50x^4\right)-\lg \left(200x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right))-(\lg \left(200\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(200\right)-\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)-2\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{200}·50·4)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$