Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $5$^$1$ = $5$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{17}$ zur Basis $17$, also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{17}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$^☐ = $\sqrt[4]{17}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{17}$ als ${17}^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $17$^☐ = ${17}^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $17$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{17}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $25$^{$\frac{1}{2}$} = $5$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{11}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{11}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^3}$ = 3^-3 < $\frac{1}{11}$ und auf $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^2}$ = 3^-2 > $\frac{1}{11}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{11}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
3^-3 = $\frac{1}{3^3}$ = $\frac{1}{27}$ < $\frac{1}{11}$ < $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^2}$ = 3^-2

Es gilt somit: -3 < < -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000000x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $8+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+8$

${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>800</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>50</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>800</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>50</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>16</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>4</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^2\right)-2\lg \left(x^3\right)$
= $3\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)-6\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{50}{x^5}\right)+\lg \left(50x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{2500}\right)$

= $\lg \left(50x^{-5}\right)+\lg \left(50x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{2500}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(\frac{1}{2500}\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{2500}\right)+\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{2500}\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(2500\right)+0$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(2500\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(50\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2500}·50·50)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{50}·50)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$