Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $2$^$4$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{2}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\sqrt{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $16$^{$\frac{1}{2}$} = $4$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{1980}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{1980}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{{10}^4}$ = 10^-4 < $\frac{1}{1980}$ und auf $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{{10}^3}$ = 10^-3 > $\frac{1}{1980}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{1980}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
10^-4 = $\frac{1}{{10}^4}$ = $\frac{1}{10000}$ < $\frac{1}{1980}$ < $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{{10}^3}$ = 10^-3

Es gilt somit: -4 < < -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000000x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000000\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^9\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $9+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $9$

$\lg \left(250000\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250000·4)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)-2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{2000}\right)+\lg \left(\frac{50}{x^2}\right)+\lg \left(4x^2\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{2000}\right)+\lg \left(50x^{-2}\right)+\lg \left(4x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{2000}\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{2000}\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{2000}\right)+0+\lg \left(50\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(2000\right)+0+\lg \left(50\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(2000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2000}·50·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$