Wir suchen den Logarithmus von $289$ zur Basis $17$, also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf $289$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$^☐ = $289$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $17$^$2$ = $289$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{144}$ zur Basis $12$, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{144}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$^☐ = $\frac{1}{144}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $12$-Potenz zu schreiben versuchen, also $12$^☐ = $\frac{1}{144}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $12$^$-2$ = $\frac{1}{144}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{27}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{27}}$ = ${27}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{27}}$ = ${27}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left(3^3\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = $3^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $3$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{27}}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $223898$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $223898$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^5$ = 10⁵ < $223898$ und auf ${10}^6$ = 10⁶ > $223898$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $223898$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
10⁵ = ${10}^5$ < $223898$ < ${10}^6$ = 10⁶

Es gilt somit: 5 < < 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{\mathrm{0,001}}{x}\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-3}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $-3-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $-3$

${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>96</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>96</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>32</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; <mrow><mn>5</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)$
= $4\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(4x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{50}x\right)+\lg \left(\frac{1}{200x^4}\right)$

= $\lg \left(4x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{50}x\right)+\lg \left(\frac{1}{200}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^4\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(\frac{1}{200}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{200}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{200}\right)-4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(200\right)-4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{200}·50·4)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$