Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $4$^$2$ = $16$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\sqrt{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{128}$ um: $\sqrt{128}$ = ${128}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $128$ eine Potenz ist: $128$ = $2^7$

Also schreiben wir $\sqrt{128}$ = ${128}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left(2^7\right)}^{\frac{1}{2}}$ = $2^{\frac{7}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{7}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{7}{2}$, eben weil $2$^{$\frac{7}{2}$} = $\sqrt{128}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $1353582$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $1353582$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^6$ = 10⁶ < $1353582$ und auf ${10}^7$ = 10⁷ > $1353582$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $1353582$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
10⁶ = ${10}^6$ < $1353582$ < ${10}^7$ = 10⁷

Es gilt somit: 6 < < 7

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000000x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $8+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)+8$

$\lg \left(\mathrm{0,002}\right)$ - $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.002}{2}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-\frac{9}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(1250x\right)+\lg \left(50x^2\right)+\lg \left(25x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(1250\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $-\lg \left(1250\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(1250\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1250\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)$

= $4\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1250}·50·25)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·25)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $4\lg \left(x\right)$