Wir suchen den Logarithmus von $1000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $1000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $1000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $10$^$3$ = $1000$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{196}$ zur Basis $14$, also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{196}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$^☐ = $\frac{1}{196}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $14$-Potenz zu schreiben versuchen, also $14$^☐ = $\frac{1}{196}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $14$^$-2$ = $\frac{1}{196}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^3$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5^3$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^3$ = ${\left({25}^{\frac{1}{2}}\right)}^3$ = ${25}^{\frac{3}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $5^3$ = ${25}^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^3$ = ${25}^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5^3$ = ${25}^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $25$^{$\frac{3}{2}$} = $125$ gilt .

Wir suchen $15$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{181}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{181}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{225}$ = $\frac{1}{{15}^2}$ = 15^-2 < $\frac{1}{181}$ und auf $\frac{1}{15}$ = $\frac{1}{15}$ = 15^-1 > $\frac{1}{181}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 15^☐ = $\frac{1}{181}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
15^-2 = $\frac{1}{{15}^2}$ = $\frac{1}{225}$ < $\frac{1}{181}$ < $\frac{1}{15}$ = $\frac{1}{15}$ = 15^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{1000}{x}\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000\right)-\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^3\right)-\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $3-\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-5\lg \left(x\right)+3$

${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>320</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>20</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>320</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>20</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>16</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>4</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\frac{5}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{25x^3}\right)-\lg \left(\frac{1250}{x^4}\right)+\lg \left(\frac{50}{x^{12}}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-3}\right)-\lg \left(1250x^{-4}\right)+\lg \left(50x^{-12}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))-(\lg \left(1250\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^{12}}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(1250\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^{12}}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-12\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-12\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1250}·50·25)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·25)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$