Wir suchen den Logarithmus von $361$ zur Basis $19$, also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $361$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$^☐ = $361$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $19$^$2$ = $361$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{4}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{4}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-1$, eben weil $4$^$-1$ = $\frac{1}{4}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $128$ eine Potenz ist: $128$ = $2^7$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2^7$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^7$ = ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^7$ = $4^{\frac{7}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $2^7$ = $4^{\frac{7}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^7$ = $4^{\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2^7$ = $4^{\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{7}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{7}{2}$} = $128$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $175$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $175$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^2$ = 10² < $175$ und auf ${10}^3$ = 10³ > $175$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $175$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
10² = ${10}^2$ < $175$ < ${10}^3$ = 10³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,1}x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-1}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-1+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-1$

${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn><mspace\; width="thinmathspace"></mspace><mn>050</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>50</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>4050</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>50</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>81</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; <mrow><mn>4</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\frac{5}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(4x^3\right)+\lg \left(\frac{20}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)$

= $\lg \left(4x^3\right)+\lg \left(20x^{-3}\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(8\right)+0$

= $\lg \left(20\right)-\lg \left(8\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{20}{8}·4)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$