Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $3$^$4$ = $81$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{2}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\sqrt[5]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{2}$ als $2^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$^☐ = $2^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{2}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{14}$ um: $\sqrt{14}$ = ${14}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${14}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $14$ suchen, also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf ${14}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$^☐ = ${14}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $14$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{14}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $62$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $62$ ist.

Dabei kommt man auf $2^5$ = 2⁵ < $62$ und auf $2^6$ = 2⁶ > $62$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $62$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
2⁵ = $2^5$ < $62$ < $2^6$ = 2⁶

Es gilt somit: 5 < < 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(0.00001x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(0.00001\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-5}\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-5+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)-5$

$\lg \left(2500\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2500·4)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $4\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $2\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(20x\right)+\lg \left(\frac{20}{x^8}\right)-\lg \left(\frac{400}{x^2}\right)$

= $\lg \left(20x\right)+\lg \left(20x^{-8}\right)-\lg \left(400x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right))-(\lg \left(400\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right)-\lg \left(400\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-8\lg \left(x\right)-\lg \left(400\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-8\lg \left(x\right)-\lg \left(400\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(400\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{400}·20·20)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$