Wir suchen den Logarithmus von $1000000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $1000000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $1000000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $6$, eben weil $10$^$6$ = $1000000$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{18}$ zur Basis $18$, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{18}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$^☐ = $\sqrt[4]{18}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{18}$ als ${18}^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $18$^☐ = ${18}^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $18$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{18}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{125}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{125}}$ = ${125}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{125}}$ = ${125}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left(5^3\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = $5^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $5$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{125}}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $5871$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $5871$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^3$ = 10³ < $5871$ und auf ${10}^4$ = 10⁴ > $5871$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $5871$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
10³ = ${10}^3$ < $5871$ < ${10}^4$ = 10⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000000x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000000\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^9\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $9+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)+9$

$\lg \left(2\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{2}{20}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{80x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{4x^3}\right)+\lg \left(\frac{20}{x^3}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{80}{x}^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-3}\right)+\lg \left(20x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{80}\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(80\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-3\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{80}·20·4)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$