Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{10000}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{10000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{10000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{10000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $10$^$-4$ = $\frac{1}{10000}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $10$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = $10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $100$^{$\frac{1}{2}$} = $10$ gilt .

Wir suchen $13$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{42}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{42}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{169}$ = $\frac{1}{{13}^2}$ = 13^-2 < $\frac{1}{42}$ und auf $\frac{1}{13}$ = $\frac{1}{13}$ = 13^-1 > $\frac{1}{42}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 13^☐ = $\frac{1}{42}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
13^-2 = $\frac{1}{{13}^2}$ = $\frac{1}{169}$ < $\frac{1}{42}$ < $\frac{1}{13}$ = $\frac{1}{13}$ = 13^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{100000}{x}\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000\right)-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^5\right)-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $5-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)+5$

$\lg \left(40\right)$ - $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{40}{4}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $-2\lg \left(x^{-2}\right)$
= $4\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(5x^2\right)-\lg \left(10x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{2}x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(10\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(10\right)-\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{10}·5·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$