Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $4$^$3$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{3}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\sqrt[3]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{3}$ als $3^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$^☐ = $3^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{3}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{2}$ um: $\sqrt{2}$ = $2^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $28134$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $28134$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^4$ = 10⁴ < $28134$ und auf ${10}^5$ = 10⁵ > $28134$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $28134$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 4 und 5 liegen, wegen:
10⁴ = ${10}^4$ < $28134$ < ${10}^5$ = 10⁵

Es gilt somit: 4 < < 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,0001}x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,0001}\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-4}\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $-4+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)-4$

${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>45</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>45</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>9</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $4\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-\frac{3}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{250.000}\right)+\lg \left(50x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{250.000}\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{250.000}\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{250.000}\right)+0+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(250000\right)+0+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(250000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(50\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250.000}·50·50)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$