Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $8$, eben weil $2$^$8$ = $256$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $3$^$-3$ = $\frac{1}{27}$ gilt .

Man kann erkennen, dass $128$ eine Potenz ist: $128$ = $2^7$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2^7$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^7$ = ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^7$ = $4^{\frac{7}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $2^7$ = $4^{\frac{7}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^7$ = $4^{\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2^7$ = $4^{\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{7}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{7}{2}$} = $128$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $823171$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $823171$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^5$ = 10⁵ < $823171$ und auf ${10}^6$ = 10⁶ > $823171$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $823171$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
10⁵ = ${10}^5$ < $823171$ < ${10}^6$ = 10⁶

Es gilt somit: 5 < < 6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000000x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000000\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{10}\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $10+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+10$

$\lg \left(2000000\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2000000·50)$

= $\lg \left(100000000\right)$

= $\lg \left({10}^8\right)$

= 8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)$
= $2\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(10x^4\right)+\lg \left(2x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{5x}\right)$

= $-\lg \left(10x^4\right)+\lg \left(2x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(10\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $-\lg \left(10\right)-\lg \left(x^4\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(10\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(10\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{10}·5·2)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$