Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $3$^$4$ = $81$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{64}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{64}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{64}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{64}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $4$^$-3$ = $\frac{1}{64}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $25$^{$\frac{1}{2}$} = $5$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $5$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $5$ ist.

Dabei kommt man auf $3$ = 3¹ < $5$ und auf $3^2$ = 3² > $5$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $5$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
3¹ = $3$ < $5$ < $3^2$ = 3²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000000x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000000\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{10}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $10+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)+10$

$\lg \left(2000000\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2000000·50)$

= $\lg \left(100000000\right)$

= $\lg \left({10}^8\right)$

= 8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+4\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)+4\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-\frac{13}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(1600x^6\right)-\lg \left(\frac{1}{4x^2}\right)+\lg \left(4x^4\right)$

= $-\lg \left(1600x^6\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-2}\right)+\lg \left(4x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(1600\right)+\lg \left(x^6\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $-\lg \left(1600\right)-\lg \left(x^6\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(1600\right)-6\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1600\right)-6\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(1600\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1600}·4·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$