Wir suchen den Logarithmus von $128$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $128$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $128$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $7$, eben weil $2$^$7$ = $128$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{10}$ als ${10}^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{10}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{12}$ um: $\frac{1}{12}$ = ${12}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 12 sondern zur Basis $144$ suchen und $144$ gerade 12² ist (also 12 = $\sqrt{144}$ = ${144}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${12}^{-1}$ noch so um, dass sie $144$ als Basis hat:

${12}^{-1}$ = ${\left({144}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${144}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${12}^{-1}$ = ${144}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $144$ suchen, also die Hochzahl mit der man $144$ potenzieren muss, um auf ${12}^{-1}$ = ${144}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $144$^☐ = ${12}^{-1}$ = ${144}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $144$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{12}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $23$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $23$ ist.

Dabei kommt man auf $2^4$ = 2⁴ < $23$ und auf $2^5$ = 2⁵ > $23$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $23$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 4 und 5 liegen, wegen:
2⁴ = $2^4$ < $23$ < $2^5$ = 2⁵

Es gilt somit: 4 < < 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{100000}{x}\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000\right)-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^5\right)-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $5-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-6\lg \left(x\right)+5$

$\lg \left(\mathrm{0,02}\right)$ - $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.02}{2}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{4}{5}x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^2\right)+\lg \left(20x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{4}{5}\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $-\lg \left(\frac{4}{5}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x^2\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{4}{5}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(4\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (20·5)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$