Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $4$^$3$ = $64$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\sqrt[5]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{4}$ als $4^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$^☐ = $4^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{4}$ um: $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{44}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{44}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{4^3}$ = 4^-3 < $\frac{1}{44}$ und auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4^2}$ = 4^-2 > $\frac{1}{44}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{44}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
4^-3 = $\frac{1}{4^3}$ = $\frac{1}{64}$ < $\frac{1}{44}$ < $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4^2}$ = 4^-2

Es gilt somit: -3 < < -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{\mathrm{0,01}}{x}\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-2}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $-2-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $-2$

$\lg \left(25000\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (25000·4)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $4\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $16\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $14\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{50}{x^{11}}\right)+\lg \left(20x^2\right)-\lg \left(\frac{1000}{x^4}\right)$

= $\lg \left(50x^{-11}\right)+\lg \left(20x^2\right)-\lg \left(1000x^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^{11}}\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(1000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^{11}}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(1000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)-11\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)-11\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1000}·50·20)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$