Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $2$^$-4$ = $\frac{1}{16}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2$ = $4^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $2$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{2}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{2}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1 < $\frac{1}{2}$ und auf $1$ = $1$ = 4^-0 > $\frac{1}{2}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{2}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
4^-1 = $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ < $\frac{1}{2}$ < $1$ = $1$ = 4^-0

Es gilt somit: -1 < < -0

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
=0

${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>768</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>768</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>256</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; <mrow><mn>8</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+2\lg \left(x^2\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^{-3}\right)+2\lg \left(x^2\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

$\lg \left(2x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{8}{x}^6\right)+\lg \left(\frac{4}{x^3}\right)$

= $\lg \left(2x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{8}{x}^6\right)+\lg \left(4x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(x^6\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(x^6\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)+6\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(8\right)+6\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(8\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{8}·4·2)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$