Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $3$^$2$ = $9$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{4}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{4}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-1$, eben weil $4$^$-1$ = $\frac{1}{4}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{1000}$ um: $\sqrt{1000}$ = ${1000}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $1000$ eine Potenz ist: $1000$ = ${10}^3$

Also schreiben wir $\sqrt{1000}$ = ${1000}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^3\right)}^{\frac{1}{2}}$ = ${10}^{\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $10$^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{1000}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $58561585$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $58561585$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^7$ = 10⁷ < $58561585$ und auf ${10}^8$ = 10⁸ > $58561585$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $58561585$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
10⁷ = ${10}^7$ < $58561585$ < ${10}^8$ = 10⁸

Es gilt somit: 7 < < 8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,1}x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-1}\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-1+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)-1$

$\lg \left(\mathrm{0,2}\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.2}{20}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(x^4\right)-2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^4\right)-2\lg \left(x^{-2}\right)$
= $\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $9\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{10}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^2\right)+\lg \left(\frac{2}{x^6}\right)$

= $-\lg \left(10x^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^2\right)+\lg \left(2x^{-6}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(10\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right))$

= $-\lg \left(10\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x^2\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(10\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-6\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(10\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-6\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{10}·5·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$