Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $5$^$2$ = $25$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{3}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\sqrt{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$^☐ = $3^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{3}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{27}$ um: $\sqrt{27}$ = ${27}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^3$

Also schreiben wir $\sqrt{27}$ = ${27}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left(3^3\right)}^{\frac{1}{2}}$ = $3^{\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $3$^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{27}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $78$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $78$ ist.

Dabei kommt man auf $3^3$ = 3³ < $78$ und auf $3^4$ = 3⁴ > $78$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $78$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^3$ < $78$ < $3^4$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,1}x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-1}\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-1+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)-1$

${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>45</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>45</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>9</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)-2\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)-2\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{200x^7}\right)-\lg \left(\frac{1}{4x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{5x^3}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{200}{x}^{-7}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-4}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{200}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{200}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{200}\right)-7\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(200\right)-7\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(200\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{200}·5·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$