Wir suchen den Logarithmus von $196$ zur Basis $14$, also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $196$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$^☐ = $196$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $14$^$2$ = $196$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{13}$ zur Basis $13$, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{13}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$^☐ = $\sqrt{13}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{13}$ als ${13}^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $13$^☐ = ${13}^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $13$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{13}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{19}$ um: $\frac{1}{19}$ = ${19}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 19 sondern zur Basis $361$ suchen und $361$ gerade 19² ist (also 19 = $\sqrt{361}$ = ${361}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${19}^{-1}$ noch so um, dass sie $361$ als Basis hat:

${19}^{-1}$ = ${\left({361}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${361}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${19}^{-1}$ = ${361}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $361$ suchen, also die Hochzahl mit der man $361$ potenzieren muss, um auf ${19}^{-1}$ = ${361}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $361$^☐ = ${19}^{-1}$ = ${361}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $361$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{19}$ gilt .

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{2}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{2}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1 < $\frac{1}{2}$ und auf $1$ = $1$ = 4^-0 > $\frac{1}{2}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{2}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
4^-1 = $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ < $\frac{1}{2}$ < $1$ = $1$ = 4^-0

Es gilt somit: -1 < < -0

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{\mathrm{0,0001}}{x}\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,0001}\right)-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-4}\right)-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-6\lg \left(x\right)-4$

${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>50</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>50</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>25</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>5</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^4\right)-2\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $-2\lg \left(x^4\right)-2\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-8\lg \left(x\right)-6\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-17\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{50}x\right)-\lg \left(25x^2\right)+\lg \left(50x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(25\right)-\lg \left(x^2\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{50·50}{25}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$