Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $3$^$4$ = $81$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{10000}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{10000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{10000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{10000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $10$^$-4$ = $\frac{1}{10000}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{2}$ um: $\sqrt{2}$ = $2^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{35002}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{35002}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{100000}$ = $\frac{1}{{10}^5}$ = 10^-5 < $\frac{1}{35002}$ und auf $\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{{10}^4}$ = 10^-4 > $\frac{1}{35002}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{35002}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -5 und -4 liegen, wegen:
10^-5 = $\frac{1}{{10}^5}$ = $\frac{1}{100000}$ < $\frac{1}{35002}$ < $\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{{10}^4}$ = 10^-4

Es gilt somit: -5 < < -4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $7+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $7$

$\lg \left(300\right)$ - $\lg \left(3\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{300}{3}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^4\right)+4\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $2\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^4\right)+4\lg \left(x^{-2}\right)$
= $8\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)-8\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(5x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{20000x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{4x}\right)$

= $\lg \left(5x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{20000}{x}^{-4}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(\frac{1}{20000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{20000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{20000}\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(20000\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(20000\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{20000}·5·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$