Aufgabenbeispiele von Ähnlichkeit
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Konstruierbarkeit mit Kongruenzs.
Beispiel:
Gegeben sind die folgenden Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks: c=8cm, a=5cm und γ=82°
Entscheide mit Hilfe der Kongruenzsätze, ob sich dieses Dreieck eindeutig konstruieren lässt. Falls dies der Fall ist, konstruiere es in deinem Heft und miss die Höhe hc ab.
Wir erkennen, dass gegenüber dem gegebenen Winkel γ die längere Seite c gegeben ist. Also lässt sich der Kongruenzsatz Ssw anwenden und das Dreieck eindeutig konstruieren:
- Zuerst zeichnen wir die Strecke, die an dem gegebenen Winkel anliegt, also a ein und benennen die Enden
Strecke B und C. (schwarz)
- Jetzt zeichnen wir in C den Winkel
γ=82° ein (blau).
- Die Strecke c=8 liegt zwischen B und A, also muss der Punkt A
den Abstand c=8 vom Punkt B haben und somit auf dem Kreis
um B mit Radius 8 liegen. Deswegen zeichnen wir diesen Kreisbogen (in rot) ein.
- Dieser Kreisbogen schneidet die Halbgerade im Punkt A.
- Wir verbinden den neuen Punkt A nun noch mit C und erhalten das fertige Dreieck.
Jetzt können wir die gesuchte Höhe hc ins Dreieck einzeichnen und abmessen: hc ≈ 4.3cm
Kongruenzsätze
Beispiel:
Gegeben sind die folgenden Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks: a=7cm, b=6cm und c=5.5cm
Entscheide auch mit Hilfe der Kongruenzsätze, ob sich dieses Dreieck eindeutig konstruieren lässt, bzw. überhaupt konstruieren lässt.
Wir erkennen schnell, dass wir den Kongruenzsatz sss anwenden und das Dreieck eindeutig konstruieren können (Die längste Seite ist auch kürzer als die beiden anderen zusammen).
Ähnliche Dreiecke
Beispiel:
Ein Dreieck hat die Seitenlängen a=6.5cm, b=7.5cm und c=7.5cm. Finde ein dazu ähnliches Dreieck mit der Seitenlänge c'=14.25cm.
Klicke dazu mit der Maus dort auf die Zeichenfläche wo der gesuchte Punkt C' sein müsste.
Zuerst berechnen wir den Faktor mit dem die Strecke c auf c' gestreckt wurde:
k = = 1.9
Da bei ähnlichen Dreiecken die Seitenverhältnisse gleich bleiben, müssen auch die beiden anderen Seiten a und b mit diesem Streckfaktor gestreckt werden:
b' = k ⋅ b = 1.9 ⋅ 7.5 = 14.25
a' = k ⋅ a = 1.9 ⋅ 6.5 = 12.35
Ähnliche Dreiecke (Zahleneingabe)
Beispiel:
Ein Dreieck hat die Seitenlängen a=5cm, b=4cm und c=5cm. Finde ein dazu ähnliches Dreieck mit der Seitenlänge c'=9cm.
Zuerst berechnen wir den Faktor mit dem die Strecke c auf c' gestreckt wurde:
k = = 1.8
Da bei ähnlichen Dreiecken die Seitenverhältnisse gleich bleiben, müssen auch die beiden anderen Seiten a und b mit diesem Streckfaktor gestreckt werden:
b' = k ⋅ b = 1.8 ⋅ 4 = 7.2
a' = k ⋅ a = 1.8 ⋅ 5 = 9