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Aufgabenbeispiele von Verschiebung / Streckung

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Verschiebung am Graph erkennen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph von $f(x) =$ $x^{5}$ in schwarzer Farbe.
Bestimme den Funktionsterm der Funktion g, deren Graph in rot eingezeichnet ist.

Lösung einblenden

Man erkennt schnell, dass der rote Graph in x-Richtung verschoben wurde, und zwar um 2 nach links, bzw. -2 nach rechts. Der gesuchte Funktionsterm ist also g(x)= ${(x - (- 2))}^{5}$ = ${(x + 2)}^{5}$

Verschiebung am Graph erkennen II

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph von $f(x) =$ $x^{2}$ in schwarzer Farbe.
Bestimme den Funktionsterm der Funktion g, deren Graph in rot eingezeichnet ist.

Hinweis: Die beiden Graphen sind deckungsgleich.

Lösung einblenden

Man erkennt schnell, dass der rote Graph in x-Richtung verschoben wurde, und zwar um 4 nach rechts. Statt den Funktionswerten von x werden also die von (x - 4) berechnet, im Funktionsterm wird dabei x durch (x-4) ersetzt.

Außerdem erkennt man eine Verschiebung um 2 nach unten, bzw. -2 nach rechts, was bedeutet dass auf alle Funktionswerte -2 drauf addieet wird.

Somit erhält man für den gesuchten Funktionsterm g(x)= ${(x - 4)}^{2} - 2$ .

Verschiebung am Term erkennen

Beispiel:

Beschreibe, wie der Graph von g mit $g(x) =$ ${(x - 4)}^{3} + 5$ aus dem Graph von f mit $f(x) =$ $x^{3}$ entsteht.

Lösung einblenden

Man erkennt sofort, dass das 'x' in g(x) in f(x) durch (x -4) ersetzt wurde. Das bedeutet, dass in g die Funktionswerte von f von den um 4 kleineren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei g um 4 größer als bei f) Für den Graph bedeutet das, dass er um 4 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Hinter dem Potenzterm steht noch eine 5. Das bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch 5 dazu addiert wird. Also wird der Graph von g um 5 nach oben verschoben.

Term aus Verschiebung (Streck.) bestimmen

Beispiel:

Der Graph von f mit $f(x) =$ $x^{4}$ wird um den Faktor 4 in y-Richtung gestreckt und an der x-Achse gespiegelt und um 2 nach rechts verschoben.

Bestimme den Funktionsterm g(x) des neuen Graphen.

Lösung einblenden

Bei der Verschiebung um 2 nach rechts wird jedes 'x' durch (x -2) ersetzt.

Die Streckung um den Faktor 4 in y-Richtung erreicht man durch den Koeffizienten 4 vor der Potenz.

Die Spiegelung an der x-Achse bekommt man durch ein negatives Vorzeichen bei dem Koeffizienten vor der Potenz, also - 4.

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $g(x) =$ $- 4 {(x - 2)}^{4}$