Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 2 e^{4 x}$ und $g(x) =$ $- e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{6 x} - 2 e^{4 x}$	=	$- e^{2 x}$	\| $+ e^{2 x}$
$e^{6 x} - 2 e^{4 x} + e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 2 e^{2 x} + 1) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 2 e^{2 x} + 1

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- e^{2 \cdot 0}$ = -1 Somit gilt: S₁(0|-1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 3 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 6$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 3 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 3 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 3 e^{x}

=

- 2

|

+ 2

e^{2 x} - 3 e^{x} + 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} + 9 x^{2}$ = $10 x^{4}$

Lösung einblenden

$x^{6} + 9 x^{2}$	=	$10 x^{4}$	\| $- 10 x^{4}$
$x^{6} - 10 x^{4} + 9 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} - 10 x^{2} + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} - 10 x^{2} + 9

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₅	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; 0; $1$ ; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 1}{3 x + 3} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{2 x + 1}{3 (x + 1)} - 1

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$\frac{2 x + 1}{3 (x + 1)} - 1$	=	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$\frac{2 x + 1}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) - 1 \cdot (3 (x + 1))$	=
$2 x + 1 - 3 x - 3$	=
$- x - 2$	=

$- x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 6 x^{3} + x^{2} + 24 x - 20$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 6 x^{3} + x^{2} + 24 x - 20$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 20$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} - 6 \cdot 1^{3} + 1^{2} + 24 \cdot 1 - 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 6 x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 24 x$	$- 20$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$- 5 x^{3}$	$+ x^{2}$
	-( $- 5 x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
		$- 4 x^{2}$	$+ 24 x$
		-( $- 4 x^{2}$	$+ 4 x$ )
			$20 x$	$- 20$
			-( $20 x$	$- 20$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 6 x^{3} + x^{2} + 24 x - 20$ = $(x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20) \cdot (x - 1)$

(x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $20$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 5 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 20$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 7 x + 10$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$10 x$	$+ 20$
		-( $10 x$	$+ 20$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20$ = $(x^{2} - 7 x + 10) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 7 x + 10) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 5 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 20$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 3 x - 10$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 10 x$	$+ 20$
		-( $- 10 x$	$+ 20$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20$ = $(x^{2} - 3 x - 10) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 3 x - 10) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 5 \cdot 5^{2} - 4 \cdot 5 + 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 20$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$+ 20$
		-( $- 4 x$	$+ 20$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 5)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 5)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

L={ $- 2$ ; $1$ ; $2$ ; $5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 2 x + 6 | - 6$ = $- 12$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 2 x + 6 \| - 6$	=	$- 12$
$- 6 - \frac{1}{2} \| 2 x + 6 \|$	=	$- 12$	\| $+ 6$
$- \frac{1}{2} \| 2 x + 6 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 2 x + 6 \|$	=	$12$

1. Fall: $2 x + 6$ ≥ 0:

$2 x + 6$	=	$12$	\| $- 6$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
x₁	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 6$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 3 + 6$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 6$ < 0:

$- (2 x + 6)$	=	$12$
$- 2 x - 6$	=	$12$	\| $+ 6$
$- 2 x$	=	$18$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 6$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 9) + 6$ = -12 < 0

Die Lösung $- 9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 9$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 5

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +6 ≥ 0:

2. Fall: 2x +6 < 0:

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $5$

1. Fall: $2 x + 6$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 6$ < 0: