Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} + 3 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $4 e^{4 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{6 x} + 3 e^{2 x}$	=	$4 e^{4 x}$	\| $- 4 e^{4 x}$
$e^{6 x} - 4 e^{4 x} + 3 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 4 e^{2 x} + 3) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 4 e^{2 x} + 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $4 e^{4 \cdot 0}$ = 4 Somit gilt: S₁(0|4)

x₂ = $\frac{1}{2} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (3)$ )= $4 e^{4 \cdot (\frac{1}{2} \ln (3))}$ = 36 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{2} \ln (3)$ |36)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + 2 x^{4}$ parallel zur Geraden y = $5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $5$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + 2 x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + 8 x^{3}$

Also muss gelten:

$x^{6} + 8 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(5 e^{- 3 x} - 2) \cdot (x - 3)$ = 0

Lösung einblenden

(5 e^{- 3 x} - 2) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$5 e^{- 3 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$5 e^{- 3 x}$	=	$2$	\|: $5$
$e^{- 3 x}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$- 3 x$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $- 3$
x₁	=	$- \frac{1}{3} \ln (\frac{2}{5})$	≈ 0.3054

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

L={ $- \frac{1}{3} \ln (\frac{2}{5})$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{12 x}{2 x + 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ ; $- 1$ }

$\frac{12 x}{2 x + 1} + \frac{4 x}{2 x + 2} - 5$	=	0
$\frac{12 x}{2 x + 1} + \frac{4 x}{2 (x + 1)} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{12 x}{2 x + 1} + \frac{4 x}{2 (x + 1)} - 5$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{12 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{4 x}{2 (x + 1)} \cdot (2 x + 1) - 5 \cdot (2 x + 1)$	=
$12 x + \frac{2 x (2 x + 1)}{x + 1} - 10 x - 5$	=
$12 x + \frac{4 x^{2} + 2 x}{x + 1} - 10 x - 5$	=
$\frac{4 x^{2} + 2 x}{x + 1} + 12 x - 10 x - 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{4 x^{2} + 2 x}{x + 1} + 12 x - 10 x - 5$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{4 x^{2} + 2 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 12 x \cdot (x + 1) - 10 x \cdot (x + 1) - 5 \cdot (x + 1)$	=
$4 x^{2} + 2 x + 12 x (x + 1) - 10 x (x + 1) - 5 x - 5$	=
$4 x^{2} + 2 x + (12 x^{2} + 12 x) + (- 10 x^{2} - 10 x) - 5 x - 5$	=
$6 x^{2} - x - 5$	=

$6 x^{2} - x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{12}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{12}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{12}$ = $\frac{1+11}{12}$ = $\frac{12}{12}$ = $1$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{12}$ = $\frac{1-11}{12}$ = $\frac{- 10}{12}$ = $- \frac{5}{6}$ ≈ -0.83

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{5}{6}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 20$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 20$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $20$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 9 \cdot {(- 2)}^{2} + 24 \cdot (- 2) + 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 24 x$	$+ 20$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 7 x + 10$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 24 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$10 x$	$+ 20$
		-( $10 x$	$+ 20$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 20$ = $(x^{2} + 7 x + 10) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 7 x + 10) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + 9 \cdot {(- 5)}^{2} + 24 \cdot (- 5) + 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 24 x$	$+ 20$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 24 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 20 x$ )
		$4 x$	$+ 20$
		-( $4 x$	$+ 20$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 20$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x + 5)$

(x^{2} + 4 x + 4) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - x + 1 | + 9$ = $6$

Lösung einblenden

$- \| - x + 1 \| + 9$	=	$6$
$9 - \| - x + 1 \|$	=	$6$	\| $- 9$
$- \| - x + 1 \|$	=	$- 3$	\|: $(- 1)$
$\| - x + 1 \|$	=	$3$

1. Fall: $- x + 1$ ≥ 0:

$- x + 1$	=	$3$	\| $- 1$
$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 1$ ≥ 0) genügt:

$- (- 2) + 1$ = 3 ≥ 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x + 1$ < 0:

$- (- x + 1)$	=	$3$
$x - 1$	=	$3$	\| $+ 1$
x₂	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 1$ < 0) genügt:

$- 4 + 1$ = -3 < 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $4$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -5

Betragsgleichungen

1. Fall: -x +1 ≥ 0:

2. Fall: -x +1 < 0:

Polynomdivision mit $- 5$

1. Fall: $- x + 1$ ≥ 0:

2. Fall: $- x + 1$ < 0: