Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{7} + 8 x$ und $g(x) =$ $9 x^{4}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{7} + 8 x$	=	$9 x^{4}$	\| $- 9 x^{4}$
$x^{7} - 9 x^{4} + 8 x$	=	0
$x (x^{6} - 9 x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{6} - 9 x^{3} + 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $9 \cdot 0^{4}$ = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $9 \cdot 1^{4}$ = 9 Somit gilt: S₂( $1$ |9)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $9 \cdot 2^{4}$ = 144 Somit gilt: S₃( $2$ |144)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{7}{4} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $8 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $8 x + 2$ gilt m = $8$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{7}{4} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + 7 x^{3}$

Also muss gelten:

x^{6} + 7 x^{3}

=

8

|

- 8

x^{6} + 7 x^{3} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 7 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $8$ und sind somit parallel zur Geraden y = $8 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} - 3 e^{4 x} + 2 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{7 x} - 3 e^{4 x} + 2 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 3 e^{3 x} + 2) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 3 e^{3 x} + 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{2 x + 1} + \frac{6 x}{x - 2} + \frac{- 36 x}{3 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $- \frac{1}{2}$ }

$\frac{6 x}{x - 2} + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} - \frac{36 x}{3 x - 6}$	=	0
$\frac{6 x}{x - 2} + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} - \frac{36 x}{3 (x - 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x}{x - 2} + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} - \frac{36 x}{3 (x - 2)}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} \cdot (x - 2) - \frac{36 x}{3 (x - 2)} \cdot (x - 2)$	=
$6 x + \frac{(5 x + 1) (x - 2)}{2 x + 1} - 12 x$	=
$6 x + \frac{5 x^{2} - 9 x - 2}{2 x + 1} - 12 x$	=
$\frac{5 x^{2} - 9 x - 2}{2 x + 1} + 6 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{5 x^{2} - 9 x - 2}{2 x + 1} + 6 x - 12 x$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{5 x^{2} - 9 x - 2}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + 6 x \cdot (2 x + 1) - 12 x \cdot (2 x + 1)$	=
$5 x^{2} - 9 x - 2 + 6 x (2 x + 1) - 12 x (2 x + 1)$	=
$5 x^{2} - 9 x - 2 + (12 x^{2} + 6 x) + (- 24 x^{2} - 12 x)$	=
$- 7 x^{2} - 15 x - 2$	=

$- 7 x^{2} - 15 x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 56}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{169}}{- 14}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{169}}{- 14}$ = $\frac{15+13}{- 14}$ = $\frac{28}{- 14}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{169}}{- 14}$ = $\frac{15-13}{- 14}$ = $\frac{2}{- 14}$ = $- \frac{1}{7}$ ≈ -0.14

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{1}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 4$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 2$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 2 x$
	-(0	0)
		$2 x$	$- 4$
		-( $2 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4$ = $(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 2) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$- 2$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| x + 5 | + 3$ = $- 1$

Lösung einblenden

$\| x + 5 \| + 3$	=	$- 1$
$3 + \| x + 5 \|$	=	$- 1$	\| $- 3$
$\| x + 5 \|$	=	$- 4$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen