Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 - \frac{9}{x^{2}}$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{9}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{9}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} - 9$	=

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )=0 = 0 Somit gilt: S₁( $- 3$ |0)

x₂ = $3$ : f( $3$ )=0 = 0 Somit gilt: S₂( $3$ |0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 3 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $28 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $28 x - 5$ gilt m = $28$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 3 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 3 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 3 e^{x}

=

28

|

- 28

e^{2 x} - 3 e^{x} - 28

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $28$ und sind somit parallel zur Geraden y = $28 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + e^{x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + e^{x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 2}{2 x} + \frac{6 x}{x - 2} + \frac{- 20 x}{2 x - 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

$\frac{6 x}{x - 2} + \frac{3 x - 2}{2 x} - \frac{20 x}{2 x - 4}$	=	0
$\frac{6 x}{x - 2} + \frac{3 x - 2}{2 x} - \frac{20 x}{2 (x - 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x}{x - 2} + \frac{3 x - 2}{2 x} - \frac{20 x}{2 (x - 2)}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{3 x - 2}{2 x} \cdot (x - 2) - \frac{20 x}{2 (x - 2)} \cdot (x - 2)$	=
$6 x + \frac{(3 x - 2) (x - 2)}{2 x} - 10 x$	=
$6 x + \frac{3 x^{2} - 8 x + 4}{2 x} - 10 x$	=
$\frac{3 x^{2} - 8 x + 4}{2 x} + 6 x - 10 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 8 x + 4}{2 x} + 6 x - 10 x$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{3 x^{2} - 8 x + 4}{2 x} \cdot 2 x + 6 x \cdot 2 x - 10 x \cdot 2 x$	=
$3 x^{2} - 8 x + 4 + 12 x \cdot x - 20 x \cdot x$	=
$3 x^{2} - 8 x + 4 + 12 x^{2} - 20 x^{2}$	=
$- 5 x^{2} - 8 x + 4$	=

$- 5 x^{2} - 8 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 4}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{144}}{- 10}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{144}}{- 10}$ = $\frac{8+12}{- 10}$ = $\frac{20}{- 10}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{144}}{- 10}$ = $\frac{8-12}{- 10}$ = $\frac{- 4}{- 10}$ = $0,4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $0,4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $18$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 1^{3} - 11 \cdot 1^{2} - 9 \cdot 1 + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$- 9 x$	$+ 18$ )	:	(x $- 1$ )	=	$2 x^{2} - 9 x - 18$
-( $2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$- 9 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$+ 9 x$ )
		$- 18 x$	$+ 18$
		-( $- 18 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 18$ = $(2 x^{2} - 9 x - 18) \cdot (x - 1)$

(2 x^{2} - 9 x - 18) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - 9 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{9+15}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = $6$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{9-15}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 6^{3} - 11 \cdot 6^{2} - 9 \cdot 6 + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$- 9 x$	$+ 18$ )	:	(x $- 6$ )	=	$2 x^{2} + x - 3$
-( $2 x^{3}$	$- 12 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 9 x$
	-( $x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 3 x$	$+ 18$
		-( $- 3 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 18$ = $(2 x^{2} + x - 3) \cdot (x - 6)$

(2 x^{2} + x - 3) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1+5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1-5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- 1,5$ ; $1$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 4 x - 16 | - 2$ = $- 18$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 4 x - 16 \| - 2$	=	$- 18$
$- 2 - \frac{1}{3} \| 4 x - 16 \|$	=	$- 18$	\| $+ 2$
$- \frac{1}{3} \| 4 x - 16 \|$	=	$- 16$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 4 x - 16 \|$	=	$48$

1. Fall: $4 x - 16$ ≥ 0:

$4 x - 16$	=	$48$	\| $+ 16$
$4 x$	=	$64$	\|: $4$
x₁	=	$16$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 16$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 16 - 16$ = 48 ≥ 0

Die Lösung $16$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 16$ < 0:

$- (4 x - 16)$	=	$48$
$- 4 x + 16$	=	$48$	\| $- 16$
$- 4 x$	=	$32$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 16$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 8) - 16$ = -48 < 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; $16$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -16 ≥ 0:

2. Fall: 4x -16 < 0:

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $4 x - 16$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 16$ < 0: