Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 9 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $- 20$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{4 x} - 9 e^{2 x}

=

- 20

|

+ 20

e^{4 x} - 9 e^{2 x} + 20

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₂	=	$\ln (2)$

L={ $\ln (2)$ ; $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $- 20$ Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |-20)

x₂ = $\frac{1}{2} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (5)$ )= $- 20$ Somit gilt: S₂( $\frac{1}{2} \ln (5)$ |-20)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{2}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $3 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $3 x + 4$ gilt m = $3$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{2}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 2 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 2 e^{3 x}

=

3

|

- 3

e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 1$

e^{3 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $3$ und sind somit parallel zur Geraden y = $3 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} - e^{4 x} - 6 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{7 x} - e^{4 x} - 6 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - e^{3 x} - 6) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - e^{3 x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 2}{3 x + 10} + \frac{2 x - 1}{3 x + 9} + \frac{6 x}{- 6 x - 18}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- \frac{10}{3}$ }

$\frac{2 x - 1}{3 x + 9} + \frac{x + 2}{3 x + 10} + \frac{6 x}{- 6 x - 18}$	=	0
$\frac{2 x - 1}{3 (x + 3)} + \frac{x + 2}{3 x + 10} + \frac{6 x}{- 6 (x + 3)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 3)$ weg!

$\frac{2 x - 1}{3 (x + 3)} + \frac{x + 2}{3 x + 10} + \frac{6 x}{- 6 (x + 3)}$	=	\|⋅( $3 (x + 3)$ )
$\frac{2 x - 1}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3)) + \frac{x + 2}{3 x + 10} \cdot (3 (x + 3)) + \frac{6 x}{- 6 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3))$	=
$2 x - 1 + 3 \frac{(x + 2) (x + 3)}{3 x + 10} - 3 x$	=
$2 x - 1 + \frac{3 (x^{2} + 5 x + 6)}{3 x + 10} - 3 x$	=
$\frac{3 (x^{2} + 5 x + 6)}{3 x + 10} + 2 x - 3 x - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{3 (x^{2} + 5 x + 6)}{3 x + 10} + 2 x - 3 x - 1$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{3 (x^{2} + 5 x + 6)}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) + 2 x \cdot (3 x + 10) - 3 x \cdot (3 x + 10) - 1 \cdot (3 x + 10)$	=
$3 x^{2} + 15 x + 18 + 2 x (3 x + 10) - 3 x (3 x + 10) - 3 x - 10$	=
$3 x^{2} + 15 x + 18 + (6 x^{2} + 20 x) + (- 9 x^{2} - 30 x) - 3 x - 10$	=
$2 x + 8$	=

$2 x + 8$	=	0	\| $- 8$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 12 x^{2} + 41 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 12 x^{2} + 41 x + 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $30$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 12 \cdot {(- 1)}^{2} + 41 \cdot (- 1) + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 41 x$	$+ 30$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 11 x + 30$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 41 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 11 x$ )
		$30 x$	$+ 30$
		-( $30 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 12 x^{2} + 41 x + 30$ = $(x^{2} + 11 x + 30) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 11 x + 30) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 11 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 11+1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 11-1}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + 12 \cdot {(- 5)}^{2} + 41 \cdot (- 5) + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 41 x$	$+ 30$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} + 7 x + 6$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 41 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 35 x$ )
		$6 x$	$+ 30$
		-( $6 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 12 x^{2} + 41 x + 30$ = $(x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x + 5)$

(x^{2} + 7 x + 6) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7+5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7-5}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 12 \cdot {(- 6)}^{2} + 41 \cdot (- 6) + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 41 x$	$+ 30$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} + 6 x + 5$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$+ 41 x$
	-( $6 x^{2}$	$+ 36 x$ )
		$5 x$	$+ 30$
		-( $5 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 12 x^{2} + 41 x + 30$ = $(x^{2} + 6 x + 5) \cdot (x + 6)$

(x^{2} + 6 x + 5) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6+4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6-4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 5$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 4 x + 16 | - 1$ = $19$

Lösung einblenden

$\| - 4 x + 16 \| - 1$	=	$19$
$- 1 + \| - 4 x + 16 \|$	=	$19$	\| $+ 1$
$\| - 4 x + 16 \|$	=	$20$

1. Fall: $- 4 x + 16$ ≥ 0:

$- 4 x + 16$	=	$20$	\| $- 16$
$- 4 x$	=	$4$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 16$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 1) + 16$ = 20 ≥ 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 16$ < 0:

$- (- 4 x + 16)$	=	$20$
$4 x - 16$	=	$20$	\| $+ 16$
$4 x$	=	$36$	\|: $4$
x₂	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 16$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 9 + 16$ = -20 < 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 1$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -5

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +16 ≥ 0:

2. Fall: -4x +16 < 0:

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- 4 x + 16$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 16$ < 0: