Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{7 x} - 9 e^{4 x}$ und $g(x) =$ $- 18 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{7 x} - 9 e^{4 x}$	=	$- 18 e^{x}$	\| $+ 18 e^{x}$
$e^{7 x} - 9 e^{4 x} + 18 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 9 e^{3 x} + 18) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 9 e^{3 x} + 18

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9+3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9-3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ ; $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (3)$ )= $- 18 e^{\frac{1}{3} \ln (3)}$ = -25.96 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (3)$ |-25.96)

x₂ = $\frac{1}{3} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (6)$ )= $- 18 e^{\frac{1}{3} \ln (6)}$ = -32.708 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{3} \ln (6)$ |-32.708)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 4 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $21 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $21 x + 3$ gilt m = $21$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 4 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 4 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 4 e^{x}

=

21

|

- 21

e^{2 x} - 4 e^{x} - 21

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $21$ und sind somit parallel zur Geraden y = $21 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} - 15 e^{2 x}$ = $- 2 e^{5 x}$

Lösung einblenden

$e^{8 x} - 15 e^{2 x}$	=	$- 2 e^{5 x}$	\| $+ 2 e^{5 x}$
$e^{8 x} + 2 e^{5 x} - 15 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 15) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 2} + \frac{6 x}{x - 1} + \frac{- 15 x}{6 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- 1$ }

$\frac{6 x}{x - 1} + \frac{x}{2 x + 2} - \frac{15 x}{6 x + 6}$	=	0
$\frac{6 x}{x - 1} + \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{15 x}{6 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{x - 1} + \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{15 x}{6 (x + 1)}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{x}{2 (x + 1)} \cdot (x - 1) - \frac{15 x}{6 (x + 1)} \cdot (x - 1)$	=
$6 x + \frac{x (x - 1)}{2 (x + 1)} - \frac{5 x (x - 1)}{2 (x + 1)}$	=
$6 x + \frac{x^{2} - x}{2 (x + 1)} - \frac{5 x^{2} - 5 x}{2 (x + 1)}$	=
$\frac{x^{2} - x - 5 x^{2} + 5 x}{2 (x + 1)} + 6 x$	=

\frac{x^{2} - 5 x^{2} - x + 5 x}{2 (x + 1)} + 6 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{x^{2} - 5 x^{2} - x + 5 x}{2 (x + 1)} + 6 x$	=	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{x^{2} - 5 x^{2} - x + 5 x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + 6 x \cdot (2 (x + 1))$	=
$x^{2} - 5 x^{2} - x + 5 x + 12 x (x + 1)$	=
$x^{2} - 5 x^{2} - x + 5 x + (12 x^{2} + 12 x)$	=
$8 x^{2} + 16 x$	=

$8 x^{2} + 16 x$	=	0
$8 x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 14 x^{2} + 49 x - 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 14 x^{2} + 49 x - 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 36$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 14 \cdot 1^{2} + 49 \cdot 1 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 14 x^{2}$	$+ 49 x$	$- 36$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 13 x + 36$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 13 x^{2}$	$+ 49 x$
	-( $- 13 x^{2}$	$+ 13 x$ )
		$36 x$	$- 36$
		-( $36 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 14 x^{2} + 49 x - 36$ = $(x^{2} - 13 x + 36) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 13 x + 36) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 13 x + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13+5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13-5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 14 \cdot 4^{2} + 49 \cdot 4 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 14 x^{2}$	$+ 49 x$	$- 36$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} - 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$+ 49 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$+ 40 x$ )
		$9 x$	$- 36$
		-( $9 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 14 x^{2} + 49 x - 36$ = $(x^{2} - 10 x + 9) \cdot (x - 4)$

(x^{2} - 10 x + 9) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 14 \cdot 9^{2} + 49 \cdot 9 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 14 x^{2}$	$+ 49 x$	$- 36$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} - 5 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$+ 49 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 45 x$ )
		$4 x$	$- 36$
		-( $4 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 14 x^{2} + 49 x - 36$ = $(x^{2} - 5 x + 4) \cdot (x - 9)$

(x^{2} - 5 x + 4) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $1$ ; $4$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 2 x + 6 | + 8$ = $16$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 2 x + 6 \| + 8$	=	$16$
$8 + \frac{1}{2} \| 2 x + 6 \|$	=	$16$	\| $- 8$
$\frac{1}{2} \| 2 x + 6 \|$	=	$8$	\|⋅ $2$
$\| 2 x + 6 \|$	=	$16$

1. Fall: $2 x + 6$ ≥ 0:

$2 x + 6$	=	$16$	\| $- 6$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
x₁	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 6$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 5 + 6$ = 16 ≥ 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 6$ < 0:

$- (2 x + 6)$	=	$16$
$- 2 x - 6$	=	$16$	\| $+ 6$
$- 2 x$	=	$22$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 6$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 11) + 6$ = -16 < 0

Die Lösung $- 11$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 11$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 4

Polynomdivision mit 9

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +6 ≥ 0:

2. Fall: 2x +6 < 0:

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $2 x + 6$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 6$ < 0: