Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - 4 x$ und $g(x) =$ $- 3 x^{3}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} - 4 x$	=	$- 3 x^{3}$	\| $+ 3 x^{3}$
$x^{5} + 3 x^{3} - 4 x$	=	0
$x (x^{4} + 3 x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} + 3 x^{2} - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 4$

x^{2}

=

- 4

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 3 \cdot {(- 1)}^{3}$ = 3 Somit gilt: S₁( $- 1$ |3)

x₂ = 0: f(0)= $- 3 \cdot 0^{3}$ = -0 Somit gilt: S₂(0|-0)

x₃ = $1$ : f( $1$ )= $- 3 \cdot 1^{3}$ = -3 Somit gilt: S₃( $1$ |-3)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $12 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $12 x + 2$ gilt m = $12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} + x$

Also muss gelten:

x^{2} + x

=

12

|

- 12

$x^{2} + x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $12 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} - 5 x^{4} - 36 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{6} - 5 x^{4} - 36 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} - 5 x^{2} - 36)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} - 5 x^{2} - 36

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5+13}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5-13}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 4$

x^{2}

=

- 4

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 3}{x} + \frac{x - 1}{3 x + 7} + \frac{3 x - 1}{- 3 x - 7}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{7}{3}$ ; 0}

$\frac{x - 1}{3 x + 7} + \frac{2 x - 3}{x} + \frac{3 x - 1}{- 3 x - 7}$	=	0
$\frac{x - 1}{3 x + 7} + \frac{2 x - 3}{x} + \frac{3 x - 1}{- (3 x + 7)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 7$ weg!

$\frac{x - 1}{3 x + 7} + \frac{2 x - 3}{x} + \frac{3 x - 1}{- (3 x + 7)}$	=	\|⋅( $3 x + 7$ )
$\frac{x - 1}{3 x + 7} \cdot (3 x + 7) + \frac{2 x - 3}{x} \cdot (3 x + 7) + \frac{3 x - 1}{- (3 x + 7)} \cdot (3 x + 7)$	=
$x - 1 + \frac{(2 x - 3) (3 x + 7)}{x} - 3 x + 1$	=
$x - 1 + \frac{6 x^{2} + 5 x - 21}{x} - 3 x + 1$	=
$\frac{6 x^{2} + 5 x - 21}{x} + x - 3 x - 1 + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 5 x - 21}{x} + x - 3 x - 1 + 1$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{6 x^{2} + 5 x - 21}{x} \cdot x + x \cdot x - 3 x \cdot x - 1 \cdot x + 1 \cdot x$	=
$6 x^{2} + 5 x - 21 + x \cdot x - 3 x \cdot x - x + x$	=
$6 x^{2} + 5 x - 21 + x^{2} - 3 x^{2} - x + x$	=
$4 x^{2} + 5 x - 21$	=

$4 x^{2} + 5 x - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 336}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{361}}{8}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{361}}{8}$ = $\frac{- 5+19}{8}$ = $\frac{14}{8}$ = $1,75$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{361}}{8}$ = $\frac{- 5-19}{8}$ = $\frac{- 24}{8}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $1,75$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 26 x^{2} - 19 x - 90$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 26 x^{2} - 19 x - 90$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 90$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 2^{3} + 26 \cdot 2^{2} - 19 \cdot 2 - 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 26 x^{2}$	$- 19 x$	$- 90$ )	:	(x $- 2$ )	=	$3 x^{2} + 32 x + 45$
-( $3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$32 x^{2}$	$- 19 x$
	-( $32 x^{2}$	$- 64 x$ )
		$45 x$	$- 90$
		-( $45 x$	$- 90$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 26 x^{2} - 19 x - 90$ = $(3 x^{2} + 32 x + 45) \cdot (x - 2)$

(3 x^{2} + 32 x + 45) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 32 x + 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 45}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{484}}{6}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32+22}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32-22}{6}$ = $\frac{- 54}{6}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 9)}^{3} + 26 \cdot {(- 9)}^{2} - 19 \cdot (- 9) - 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 26 x^{2}$	$- 19 x$	$- 90$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$3 x^{2} - x - 10$
-( $3 x^{3}$	$+ 27 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 19 x$
	-( $- x^{2}$	$- 9 x$ )
		$- 10 x$	$- 90$
		-( $- 10 x$	$- 90$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 26 x^{2} - 19 x - 90$ = $(3 x^{2} - x - 10) \cdot (x + 9)$

(3 x^{2} - x - 10) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1+11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1-11}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 2 x + 8 | + 7$ = $9$

Lösung einblenden

$\| 2 x + 8 \| + 7$	=	$9$
$7 + \| 2 x + 8 \|$	=	$9$	\| $- 7$
$\| 2 x + 8 \|$	=	$2$

1. Fall: $2 x + 8$ ≥ 0:

$2 x + 8$	=	$2$	\| $- 8$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
x₁	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot (- 3) + 8$ = 2 ≥ 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 8$ < 0:

$- (2 x + 8)$	=	$2$
$- 2 x - 8$	=	$2$	\| $+ 8$
$- 2 x$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 8$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 5) + 8$ = -2 < 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $- 3$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +8 ≥ 0:

2. Fall: 2x +8 < 0:

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $2 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 8$ < 0: