Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} + 36 x^{2}$ und $g(x) =$ $13 x^{4}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} + 36 x^{2}$	=	$13 x^{4}$	\| $- 13 x^{4}$
$x^{6} - 13 x^{4} + 36 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{4} - 13 x^{2} + 36)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} - 13 x^{2} + 36

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13+5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13-5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₅	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 3$ ; $- 2$ ; 0; $2$ ; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $13 \cdot {(- 3)}^{4}$ = 1053 Somit gilt: S₁( $- 3$ |1053)

x₂ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $13 \cdot {(- 2)}^{4}$ = 208 Somit gilt: S₂( $- 2$ |208)

x₃ = 0: f(0)= $13 \cdot 0^{4}$ = 0 Somit gilt: S₃(0|0)

x₄ = $2$ : f( $2$ )= $13 \cdot 2^{4}$ = 208 Somit gilt: S₄( $2$ |208)

x₅ = $3$ : f( $3$ )= $13 \cdot 3^{4}$ = 1053 Somit gilt: S₅( $3$ |1053)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x - 3 + x \cdot e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 2$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x - 3 + x \cdot e^{x}$

f'(x)= $e^{x} - 2 + x \cdot e^{x}$

Also muss gelten:

$e^{x} - 2 + x \cdot e^{x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$e^{x} - 2 + 2 + x \cdot e^{x}$	=	0
$e^{x} + x \cdot e^{x}$	=	0
$(x + 1) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 36$ = $13 x^{2}$

Lösung einblenden

x^{4} + 36

=

13 x^{2}

|

- 13 x^{2}

x^{4} - 13 x^{2} + 36

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13+5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13-5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 3$ ; $- 2$ ; $2$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{2 x + 1} + \frac{9 x}{x + 2} + \frac{42 x}{- 4 x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{1}{2}$ }

$\frac{9 x}{x + 2} + \frac{12 x}{2 x + 1} + \frac{42 x}{- 4 x - 2}$	=	0
$\frac{9 x}{x + 2} + \frac{12 x}{2 x + 1} + \frac{42 x}{- 2 (2 x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{9 x}{x + 2} + \frac{12 x}{2 x + 1} + \frac{42 x}{- 2 (2 x + 1)}$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{9 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{12 x}{2 x + 1} \cdot (x + 2) + \frac{42 x}{- 2 (2 x + 1)} \cdot (x + 2)$	=
$9 x + \frac{12 x \cdot (x + 2)}{2 x + 1} - \frac{21 x \cdot (x + 2)}{2 x + 1}$	=
$9 x + \frac{12 x^{2} + 24 x}{2 x + 1} - \frac{21 x^{2} + 42 x}{2 x + 1}$	=
$\frac{12 x^{2} + 24 x - 21 x^{2} - 42 x}{2 x + 1} + 9 x$	=

\frac{12 x^{2} - 21 x^{2} + 24 x - 42 x}{2 x + 1} + 9 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{12 x^{2} - 21 x^{2} + 24 x - 42 x}{2 x + 1} + 9 x$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{12 x^{2} - 21 x^{2} + 24 x - 42 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + 9 x \cdot (2 x + 1)$	=
$12 x^{2} - 21 x^{2} + 24 x - 42 x + 9 x \cdot (2 x + 1)$	=
$12 x^{2} - 21 x^{2} + 24 x - 42 x + (18 x^{2} + 9 x)$	=
$9 x^{2} - 9 x$	=

$9 x^{2} - 9 x$	=	0
$9 x \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 15 x^{2} + 34 x + 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 15 x^{2} + 34 x + 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $24$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} + 15 \cdot {(- 2)}^{2} + 34 \cdot (- 2) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 15 x^{2}$	$+ 34 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} + 11 x + 12$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 34 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 22 x$ )
		$12 x$	$+ 24$
		-( $12 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 15 x^{2} + 34 x + 24$ = $(2 x^{2} + 11 x + 12) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} + 11 x + 12) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 11 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 12}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 11+5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 11-5}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 11 x + 12$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - 6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 4)}^{3} + 15 \cdot {(- 4)}^{2} + 34 \cdot (- 4) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 15 x^{2}$	$+ 34 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 34 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 28 x$ )
		$6 x$	$+ 24$
		-( $6 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 15 x^{2} + 34 x + 24$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x + 4)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $- 2$ ; $- 1,5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - x + 1 | - 8$ = $- 6$

Lösung einblenden

$- \| - x + 1 \| - 8$	=	$- 6$	\| $+ 8$
$- \| - x + 1 \|$	=	$2$	\|: $(- 1)$
$\| - x + 1 \|$	=	$- 2$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 4$