Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 18 x$ und $g(x) =$ $- \frac{81}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{3} - 18 x$	=	$- \frac{81}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x^{3} \cdot x - 18 x \cdot x$	=	$- \frac{81}{x} \cdot x$
$x^{3} \cdot x - 18 x \cdot x$	=	$- 81$
$x^{4} - 18 x^{2}$	=	$- 81$

x^{4} - 18 x^{2}

=

- 81

|

+ 81

x^{4} - 18 x^{2} + 81

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 18 u + 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 324}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{18}{2}$ = $9$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₄	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $- \frac{81}{(- 3)}$ = 27 Somit gilt: S₁( $- 3$ |27)

x₂ = $3$ : f( $3$ )= $- \frac{81}{3}$ = -27 Somit gilt: S₂( $3$ |-27)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $20 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $20 x + 2$ gilt m = $20$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - e^{2 x}

=

20

|

- 20

e^{4 x} - e^{2 x} - 20

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $20$ und sind somit parallel zur Geraden y = $20 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} - 2 x^{3}$ = $63 x$

Lösung einblenden

$x^{5} - 2 x^{3}$	=	$63 x$	\| $- 63 x$
$x^{5} - 2 x^{3} - 63 x$	=	0
$x (x^{4} - 2 x^{2} - 63)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - 2 x^{2} - 63

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{256}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2+16}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2-16}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 7$

x^{2}

=

- 7

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 2}{x} + \frac{2 x - 1}{x + 1} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

\frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{x + 2}{x} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{x + 2}{x} - 3$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x - 1}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{x + 2}{x} \cdot (x + 1) - 3 \cdot (x + 1)$	=
$2 x - 1 + \frac{(x + 2) (x + 1)}{x} - 3 x - 3$	=
$2 x - 1 + \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x} - 3 x - 3$	=
$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x} + 2 x - 3 x - 1 - 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x} + 2 x - 3 x - 1 - 3$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - 3 x \cdot x - 1 \cdot x - 3 \cdot x$	=
$x^{2} + 3 x + 2 + 2 x \cdot x - 3 x \cdot x - x - 3 x$	=
$x^{2} + 3 x + 2 + 2 x^{2} - 3 x^{2} - x - 3 x$	=
$- x + 2$	=

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} - 65 x + 63$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - 65 x + 63$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $63$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 1^{2} - 65 \cdot 1 + 63$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 65 x$	$+ 63$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 2 x - 63$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 65 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 63 x$	$+ 63$
		-( $- 63 x$	$+ 63$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 65 x + 63$ = $(x^{2} + 2 x - 63) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 2 x - 63) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{256}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 2+16}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 2-16}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} + 7^{2} - 65 \cdot 7 + 63$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 65 x$	$+ 63$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} + 8 x - 9$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 65 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 56 x$ )
		$- 9 x$	$+ 63$
		-( $- 9 x$	$+ 63$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 65 x + 63$ = $(x^{2} + 8 x - 9) \cdot (x - 7)$

(x^{2} + 8 x - 9) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8+10}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8-10}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{2} - 65 \cdot (- 9) + 63$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 65 x$	$+ 63$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} - 8 x + 7$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$- 65 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$- 72 x$ )
		$7 x$	$+ 63$
		-( $7 x$	$+ 63$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 65 x + 63$ = $(x^{2} - 8 x + 7) \cdot (x + 9)$

(x^{2} - 8 x + 7) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $1$ ; $7$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 2 x - 2 | - 8$ = $- 14$

Lösung einblenden

$- \| 2 x - 2 \| - 8$	=	$- 14$
$- 8 - \| 2 x - 2 \|$	=	$- 14$	\| $+ 8$
$- \| 2 x - 2 \|$	=	$- 6$	\|: $(- 1)$
$\| 2 x - 2 \|$	=	$6$

1. Fall: $2 x - 2$ ≥ 0:

$2 x - 2$	=	$6$	\| $+ 2$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
x₁	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 2$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 4 - 2$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 2$ < 0:

$- (2 x - 2)$	=	$6$
$- 2 x + 2$	=	$6$	\| $- 2$
$- 2 x$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 2$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 2) - 2$ = -6 < 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $4$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 7

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -2 ≥ 0:

2. Fall: 2x -2 < 0:

Polynomdivision mit $7$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $2 x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 2$ < 0: