Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 9 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $- 20$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} - 9 e^{3 x}

=

- 20

|

+ 20

e^{6 x} - 9 e^{3 x} + 20

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₂	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{2}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{2}{3} \ln (2)$ )= $- 20$ Somit gilt: S₁( $\frac{2}{3} \ln (2)$ |-20)

x₂ = $\frac{1}{3} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (5)$ )= $- 20$ Somit gilt: S₂( $\frac{1}{3} \ln (5)$ |-20)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 7 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- 6 x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 6 x - 6$ gilt m = $- 6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 7 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 7 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 7 e^{x}

=

- 6

|

+ 6

e^{2 x} - 7 e^{x} + 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\ln (6)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 6 x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 8 e^{x} + 5) \cdot (x^{2} - 4)$ = 0

Lösung einblenden

(- 8 e^{x} + 5) (x^{2} - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 8 e^{x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 8 e^{x}$	=	$- 5$	\|: $- 8$
$e^{x}$	=	$\frac{5}{8}$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (\frac{5}{8})$	≈ -0.47

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $\ln (\frac{5}{8})$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 1}{3 x} + \frac{8 x}{x - 3} + \frac{- 36 x}{3 x - 9}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; 0}

$\frac{8 x}{x - 3} + \frac{2 x - 1}{3 x} - \frac{36 x}{3 x - 9}$	=	0
$\frac{8 x}{x - 3} + \frac{2 x - 1}{3 x} - \frac{36 x}{3 (x - 3)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{8 x}{x - 3} + \frac{2 x - 1}{3 x} - \frac{36 x}{3 (x - 3)}$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{8 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{2 x - 1}{3 x} \cdot (x - 3) - \frac{36 x}{3 (x - 3)} \cdot (x - 3)$	=
$8 x + \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{3 x} - 12 x$	=
$8 x + \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{3 x} - 12 x$	=
$\frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{3 x} + 8 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{3 x} + 8 x - 12 x$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{3 x} \cdot 3 x + 8 x \cdot 3 x - 12 x \cdot 3 x$	=
$2 x^{2} - 7 x + 3 + 24 x \cdot x - 36 x \cdot x$	=
$2 x^{2} - 7 x + 3 + 24 x^{2} - 36 x^{2}$	=
$- 10 x^{2} - 7 x + 3$	=

$- 10 x^{2} - 7 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot 3}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{169}}{- 20}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{169}}{- 20}$ = $\frac{7+13}{- 20}$ = $\frac{20}{- 20}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{169}}{- 20}$ = $\frac{7-13}{- 20}$ = $\frac{- 6}{- 20}$ = $0,3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $2$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 2 \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- x$	$+ 2$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- x$
	-( $- 3 x^{2}$	$- 3 x$ )
		$2 x$	$+ 2$
		-( $2 x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$ = $(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 3 x + 2) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - 1 + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- x$	$+ 2$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - x - 2$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- x$
	-( $- x^{2}$	$+ x$ )
		$- 2 x$	$+ 2$
		-( $- 2 x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$ = $(x^{2} - x - 2) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - x - 2) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} - 2 + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- x$	$+ 2$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 - 1$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$- x$
	-(0	0)
		$- x$	$+ 2$
		-( $- x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$ = $(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} - 1) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

L={ $- 1$ ; $1$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 4 x + 4 | - 5$ = $3$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 4 x + 4 \| - 5$	=	$3$
$- 5 + \frac{1}{3} \| - 4 x + 4 \|$	=	$3$	\| $+ 5$
$\frac{1}{3} \| - 4 x + 4 \|$	=	$8$	\|⋅ $3$
$\| - 4 x + 4 \|$	=	$24$

1. Fall: $- 4 x + 4$ ≥ 0:

$- 4 x + 4$	=	$24$	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$20$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 5) + 4$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 4$ < 0:

$- (- 4 x + 4)$	=	$24$
$4 x - 4$	=	$24$	\| $+ 4$
$4 x$	=	$28$	\|: $4$
x₂	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 4$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 7 + 4$ = -24 < 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 1

Polynomdivision mit 2

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +4 ≥ 0:

2. Fall: -4x +4 < 0:

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $2$

1. Fall: $- 4 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 4$ < 0: