Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 - \frac{42}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $\frac{1}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{42}{x^{2}}$	=	$\frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{42}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{1}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 42$	=	$x$

x^{2} - 42

=

x

|

- x

$x^{2} - x - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $7$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 6$ : f( $- 6$ )= $\frac{1}{(- 6)}$ = -0.167 Somit gilt: S₁( $- 6$ |-0.167)

x₂ = $7$ : f( $7$ )= $\frac{1}{7}$ = 0.143 Somit gilt: S₂( $7$ |0.143)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - 3 e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 5 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 5 x + 3$ gilt m = $- 5$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - 3 e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 6 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 6 e^{2 x}

=

- 5

|

+ 5

e^{4 x} - 6 e^{2 x} + 5

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 5$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 5 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(2 e^{5 x} - 3) \cdot (x^{5} - x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(2 e^{5 x} - 3) (x^{5} - x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 e^{5 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$2 e^{5 x}$	=	$3$	\|: $2$
$e^{5 x}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{3}{2})$	≈ 0.0811

2. Fall:

$x^{5} - x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $\frac{1}{5} \ln (\frac{3}{2})$ ; $1$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 10} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{10}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{x}{3 x - 10} - 2$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{x}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) - 2 \cdot (3 x - 10)$	=
$x - 6 x + 20$	=
$- 5 x + 20$	=

$- 5 x + 20$	=	0	\| $- 20$
$- 5 x$	=	$- 20$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 7 x^{2} - 10 x + 16$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 7 x^{2} - 10 x + 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $16$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 7 \cdot 1^{2} - 10 \cdot 1 + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 10 x$	$+ 16$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 6 x - 16$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 10 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 16 x$	$+ 16$
		-( $- 16 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} - 10 x + 16$ = $(x^{2} - 6 x - 16) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 6 x - 16) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6+10}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6-10}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 7 \cdot {(- 2)}^{2} - 10 \cdot (- 2) + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 10 x$	$+ 16$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 9 x + 8$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$- 10 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$8 x$	$+ 16$
		-( $8 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} - 10 x + 16$ = $(x^{2} - 9 x + 8) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 9 x + 8) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 7 \cdot 8^{2} - 10 \cdot 8 + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 10 x$	$+ 16$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 10 x$
	-( $x^{2}$	$- 8 x$ )
		$- 2 x$	$+ 16$
		-( $- 2 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} - 10 x + 16$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x - 8)$

(x^{2} + x - 2) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={ $- 2$ ; $1$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 3 x + 15 | - 4$ = $5$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 3 x + 15 \| - 4$	=	$5$
$- 4 + \frac{1}{2} \| 3 x + 15 \|$	=	$5$	\| $+ 4$
$\frac{1}{2} \| 3 x + 15 \|$	=	$9$	\|⋅ $2$
$\| 3 x + 15 \|$	=	$18$

1. Fall: $3 x + 15$ ≥ 0:

$3 x + 15$	=	$18$	\| $- 15$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
x₁	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 15$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 1 + 15$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 15$ < 0:

$- (3 x + 15)$	=	$18$
$- 3 x - 15$	=	$18$	\| $+ 15$
$- 3 x$	=	$33$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 15$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 11) + 15$ = -18 < 0

Die Lösung $- 11$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 11$ ; $1$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit 8

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +15 ≥ 0:

2. Fall: 3x +15 < 0:

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $8$

1. Fall: $3 x + 15$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 15$ < 0: