Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - e^{x}$ und $g(x) =$ $42 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - e^{x}$	=	$42 e^{- x}$	\| $- 42 e^{- x}$
$e^{3 x} - e^{x} - 42 e^{- x}$	=	0
$(e^{4 x} - e^{2 x} - 42) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - e^{2 x} - 42

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (7)$ )= $42 e^{- (\frac{1}{2} \ln (7))}$ = 15.875 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (7)$ |15.875)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $3 + 6 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = 0 sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = 0 gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $3 + 6 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

f'(x)= $6 e^{- \frac{1}{3} x} - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$6 e^{- \frac{1}{3} x} - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$2 (- x + 3) e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$3$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = 0.

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} - 5 e^{3 x} + 4 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} - 5 e^{3 x} + 4 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 5 e^{2 x} + 4) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 5 e^{2 x} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{2 x} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{3 x - 1}{2 x} - 2$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{3 x - 1}{2 x} \cdot 2 x - 2 \cdot 2 x$	=
$3 x - 1 - 4 x$	=
$- x - 1$	=

$- x - 1$	=	0	\| $+ 1$
$- x$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x - 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x - 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 36$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} - 5 \cdot {(- 2)}^{2} - 36 \cdot (- 2) - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 36 x$	$- 36$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} - 9 x - 18$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$- 36 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$- 18 x$	$- 36$
		-( $- 18 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x - 36$ = $(2 x^{2} - 9 x - 18) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} - 9 x - 18) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - 9 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{9+15}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = $6$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{9-15}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 6^{3} - 5 \cdot 6^{2} - 36 \cdot 6 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 36 x$	$- 36$ )	:	(x $- 6$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$- 12 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 36 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 42 x$ )
		$6 x$	$- 36$
		-( $6 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x - 36$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x - 6)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 3 x - 6 | - 1$ = $- 7$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 3 x - 6 \| - 1$	=	$- 7$
$- 1 - \frac{1}{2} \| 3 x - 6 \|$	=	$- 7$	\| $+ 1$
$- \frac{1}{2} \| 3 x - 6 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 3 x - 6 \|$	=	$12$

1. Fall: $3 x - 6$ ≥ 0:

$3 x - 6$	=	$12$	\| $+ 6$
$3 x$	=	$18$	\|: $3$
x₁	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 6 - 6$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 6$ < 0:

$- (3 x - 6)$	=	$12$
$- 3 x + 6$	=	$12$	\| $- 6$
$- 3 x$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 6$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 2) - 6$ = -12 < 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 6

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -6 ≥ 0:

2. Fall: 3x -6 < 0:

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $3 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 6$ < 0: