Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} - 9 x^{4}$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} - 9 x^{4}$	=	0
$x^{4} (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

0 ist 4-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )=0 = 0 Somit gilt: S₁( $- 3$ |0)

x₂ = 0: f(0)=0 = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $3$ : f( $3$ )=0 = 0 Somit gilt: S₃( $3$ |0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + e^{x}$ parallel zur Geraden y = $6 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6 x - 3$ gilt m = $6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} + e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} + e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} + e^{x}

=

6

|

- 6

e^{2 x} + e^{x} - 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $6 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} - 10 x^{3} + 9 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{5} - 10 x^{3} + 9 x$	=	0
$x (x^{4} - 10 x^{2} + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - 10 x^{2} + 9

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₅	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; 0; $1$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x - 1} + \frac{9 x}{x - 2} + \frac{24 x}{- 2 x + 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{1}{3}$ }

$\frac{9 x}{x - 2} + \frac{4 x}{3 x - 1} + \frac{24 x}{- 2 x + 4}$	=	0
$\frac{9 x}{x - 2} + \frac{4 x}{3 x - 1} + \frac{24 x}{2 (- x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{9 x}{x - 2} + \frac{4 x}{3 x - 1} + \frac{24 x}{2 (- x + 2)}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{9 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{4 x}{3 x - 1} \cdot (x - 2) + \frac{24 x}{2 (- x + 2)} \cdot (x - 2)$	=
$9 x + \frac{4 x (x - 2)}{3 x - 1} + \frac{12 x (x - 2)}{- x + 2}$	=
$9 x + \frac{4 x (x - 2)}{3 x - 1} - 12 x$	=
$9 x + \frac{4 x^{2} - 8 x}{3 x - 1} - 12 x$	=
$\frac{4 x^{2} - 8 x}{3 x - 1} + 9 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 8 x}{3 x - 1} + 9 x - 12 x$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{4 x^{2} - 8 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + 9 x \cdot (3 x - 1) - 12 x \cdot (3 x - 1)$	=
$4 x^{2} - 8 x + 9 x (3 x - 1) - 12 x (3 x - 1)$	=
$4 x^{2} - 8 x + (27 x^{2} - 9 x) + (- 36 x^{2} + 12 x)$	=
$- 5 x^{2} - 5 x$	=

$- 5 x^{2} - 5 x$	=	0
$- 5 x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} - 19 x + 20$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} - 19 x + 20$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $20$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - 19 \cdot 1 + 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 19 x$	$+ 20$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - x - 20$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 19 x$
	-( $- x^{2}$	$+ x$ )
		$- 20 x$	$+ 20$
		-( $- 20 x$	$+ 20$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 19 x + 20$ = $(x^{2} - x - 20) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - x - 20) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} - 2 \cdot {(- 4)}^{2} - 19 \cdot (- 4) + 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 19 x$	$+ 20$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} - 6 x + 5$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 19 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$- 24 x$ )
		$5 x$	$+ 20$
		-( $5 x$	$+ 20$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 19 x + 20$ = $(x^{2} - 6 x + 5) \cdot (x + 4)$

(x^{2} - 6 x + 5) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 2 \cdot 5^{2} - 19 \cdot 5 + 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 19 x$	$+ 20$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} + 3 x - 4$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 19 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 15 x$ )
		$- 4 x$	$+ 20$
		-( $- 4 x$	$+ 20$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 19 x + 20$ = $(x^{2} + 3 x - 4) \cdot (x - 5)$

(x^{2} + 3 x - 4) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

L={ $- 4$ ; $1$ ; $5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 4 x - 20 | - 1$ = $3$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 4 x - 20 \| - 1$	=	$3$
$- 1 - \frac{1}{3} \| - 4 x - 20 \|$	=	$3$	\| $+ 1$
$- \frac{1}{3} \| - 4 x - 20 \|$	=	$4$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 4 x - 20 \|$	=	$- 12$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -4

Polynomdivision mit 5

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $5$