Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 6$ und $g(x) =$ $- 5 e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} - 6

=

- 5 e^{3 x}

|

+ 5 e^{3 x}

e^{6 x} + 5 e^{3 x} - 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 5 e^{3 \cdot 0}$ = -5 Somit gilt: S₁(0|-5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{5}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $6 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6 x + 4$ gilt m = $6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{5}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} + 5 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} + 5 e^{2 x}

=

6

|

- 6

e^{4 x} + 5 e^{2 x} - 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $6 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} + 6 x^{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{6} + 6 x^{4}$	=	0
$x^{4} (x^{2} + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 6$	=	0	\| $- 6$
$x^{2}$	=	$- 6$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 4-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3}{x} + \frac{3 x - 1}{x + 1} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

\frac{3 x - 1}{x + 1} - 3 + \frac{3}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{3 x - 1}{x + 1} - 3 + \frac{3}{x}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{3 x - 1}{x + 1} \cdot (x + 1) - 3 \cdot (x + 1) + \frac{3}{x} \cdot (x + 1)$	=
$3 x - 1 - 3 x - 3 + 3 \frac{x + 1}{x}$	=
$\frac{3 (x + 1)}{x} + 3 x - 3 x - 1 - 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 (x + 1)}{x} + 3 x - 3 x - 1 - 3$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 (x + 1)}{x} \cdot x + 3 x \cdot x - 3 x \cdot x - 1 \cdot x - 3 \cdot x$	=
$3 x + 3 + 3 x \cdot x - 3 x \cdot x - x - 3 x$	=
$3 x + 3 + 3 x^{2} - 3 x^{2} - x - 3 x$	=
$- x + 3$	=

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 10 x^{3} + 21 x^{2} - 4 x - 28$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 10 x^{3} + 21 x^{2} - 4 x - 28$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 28$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} + 10 \cdot 1^{3} + 21 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 - 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 10 x^{3}$	$+ 21 x^{2}$	$- 4 x$	$- 28$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} + 11 x^{2} + 32 x + 28$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$11 x^{3}$	$+ 21 x^{2}$
	-( $11 x^{3}$	$- 11 x^{2}$ )
		$32 x^{2}$	$- 4 x$
		-( $32 x^{2}$	$- 32 x$ )
			$28 x$	$- 28$
			-( $28 x$	$- 28$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 10 x^{3} + 21 x^{2} - 4 x - 28$ = $(x^{3} + 11 x^{2} + 32 x + 28) \cdot (x - 1)$

(x^{3} + 11 x^{2} + 32 x + 28) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 11 x^{2} + 32 x + 28$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $28$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 11 \cdot {(- 2)}^{2} + 32 \cdot (- 2) + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ 32 x$	$+ 28$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$9 x^{2}$	$+ 32 x$
	-( $9 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$14 x$	$+ 28$
		-( $14 x$	$+ 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 11 x^{2} + 32 x + 28$ = $(x^{2} + 9 x + 14) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 9 x + 14) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9+5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9-5}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 11 \cdot {(- 7)}^{2} + 32 \cdot (- 7) + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ 32 x$	$+ 28$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 32 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 28 x$ )
		$4 x$	$+ 28$
		-( $4 x$	$+ 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 11 x^{2} + 32 x + 28$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x + 7)$

(x^{2} + 4 x + 4) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₂	=	$- 7$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} + 10 \cdot {(- 2)}^{3} + 21 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) - 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 10 x^{3}$	$+ 21 x^{2}$	$- 4 x$	$- 28$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$8 x^{3}$	$+ 21 x^{2}$
	-( $8 x^{3}$	$+ 16 x^{2}$ )
		$5 x^{2}$	$- 4 x$
		-( $5 x^{2}$	$+ 10 x$ )
			$- 14 x$	$- 28$
			-( $- 14 x$	$- 28$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 10 x^{3} + 21 x^{2} - 4 x - 28$ = $(x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14) \cdot (x + 2)$

(x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 14$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 8 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$+ 5 x$	$- 14$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$9 x^{2}$	$+ 5 x$
	-( $9 x^{2}$	$- 9 x$ )
		$14 x$	$- 14$
		-( $14 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ = $(x^{2} + 9 x + 14) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 9 x + 14) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9+5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9-5}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 8 \cdot {(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2) - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$+ 5 x$	$- 14$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 6 x - 7$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$+ 5 x$
	-( $6 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$- 7 x$	$- 14$
		-( $- 7 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ = $(x^{2} + 6 x - 7) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 6 x - 7) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 8 \cdot {(- 7)}^{2} + 5 \cdot (- 7) - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$+ 5 x$	$- 14$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$+ 5 x$
	-( $x^{2}$	$+ 7 x$ )
		$- 2 x$	$- 14$
		-( $- 2 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x + 7)$

(x^{2} + x - 2) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₄	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{4} + 10 \cdot {(- 7)}^{3} + 21 \cdot {(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 7) - 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 10 x^{3}$	$+ 21 x^{2}$	$- 4 x$	$- 28$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{3} + 3 x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{4}$	$+ 7 x^{3}$ )
	$3 x^{3}$	$+ 21 x^{2}$
	-( $3 x^{3}$	$+ 21 x^{2}$ )
		0	$- 4 x$
		-(0	0)
			$- 4 x$	$- 28$
			-( $- 4 x$	$- 28$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 10 x^{3} + 21 x^{2} - 4 x - 28$ = $(x^{3} + 3 x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 7)$

$(x^{3} + 3 x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 7)$	=	0
$(x^{3} + 3 x^{2} - 4) (x + 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$		$- 4$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	0
	-( $4 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$4 x$	$- 4$
		-( $4 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 4$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 4 x + 4) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$		$- 4$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$x^{2}$	0
	-( $x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 2 x$	$- 4$
		-( $- 2 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 4$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + x - 2) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

L={ $- 7$ ; $- 2$ ; $1$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 2 x - 4 | + 4$ = $14$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 2 x - 4 \| + 4$	=	$14$
$4 + \frac{1}{3} \| - 2 x - 4 \|$	=	$14$	\| $- 4$
$\frac{1}{3} \| - 2 x - 4 \|$	=	$10$	\|⋅ $3$
$\| - 2 x - 4 \|$	=	$30$

1. Fall: $- 2 x - 4$ ≥ 0:

$- 2 x - 4$	=	$30$	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$34$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 17$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 17) - 4$ = 30 ≥ 0

Die Lösung $- 17$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 4$ < 0:

$- (- 2 x - 4)$	=	$30$
$2 x + 4$	=	$30$	\| $- 4$
$2 x$	=	$26$	\|: $2$
x₂	=	$13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 4$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 13 - 4$ = -30 < 0

Die Lösung $13$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 17$ ; $13$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -7

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit -7

Polynomdivision mit -7

Polynomdivision mit -2

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -4 ≥ 0:

2. Fall: -2x -4 < 0:

Polynomdivision mit $- 7$

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $- 7$

Polynomdivision mit $- 7$

Polynomdivision mit $- 2$

1. Fall: $- 2 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 4$ < 0: