Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$3 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π) + 3$ = $6$

Lösung einblenden

3 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π) + 3

=

6

|

- 3

3 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π)

=

3

|:

3

\sin (x + \frac{1}{2} π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$x + \frac{1}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{1}{2} π)$	=	$π$
$2 x + π$	=	$π$	\| $- π$
$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

L={0}

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$3 \cdot \cos (2 x - π) + 1$ = $0,4$

Lösung einblenden

3 \cdot \cos (2 x - π) + 1

=

0,4

|

- 1

3 \cdot \cos (2 x - π)

=

- 0,6

|:

3

\cos (2 x - π)

=

- 0,2

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.7721542475852

1. Fall:

$2 x - π$	=	$1,772$	\| $+ π$
$2 x$	=	$1,772 + π$
$2 x$	=	$4,9136$	\|: $2$
x₁	=	$2,4568$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x - π)$ = $- 0,2$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,772$
bzw. bei - $1,772$ +2π= $4,511$ liegen muss.

2. Fall:

2 x - π

=

4,511

oder

$2 x - π$	=	$4,511 - 2 π$	\| $+ π$
$2 x$	=	$4,511 - π$
$2 x$	=	$1,3694$	\|: $2$
x₂	=	$0,6847$

L={ $0,6847$ ; $2,4568$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $\frac{2}{3} π$ ):
$(x - 1) \cdot (- 3 \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π))$ = 0

Lösung einblenden

$(x - 1) \cdot (- 3 \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π))$	=	0
$- 3 (x - 1) \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

2. Fall:

\cos (3 x + \frac{3}{2} π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

3 x + \frac{3}{2} π

=

\frac{1}{2} π

oder

$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π + 2 π$
$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{5}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{3}{2} π)$	=	$5 π$
$6 x + 3 π$	=	$5 π$	\| $- 3 π$
$6 x$	=	$2 π$	\|: $6$
x₂	=	$\frac{1}{3} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (3 x + \frac{3}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{3}{2} π)$	=	$3 π$
$6 x + 3 π$	=	$3 π$	\| $- 3 π$
$6 x$	=	0	\|: $6$
x₃	=	0

L={0; $1$ ; $\frac{1}{3} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(- \cos (2 x - \frac{3}{2} π) + 1) \cdot (\cos (x) + 1)$ = 0

Lösung einblenden

(- \cos (2 x - \frac{3}{2} π) + 1) (\cos (x) + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- \cos (2 x - \frac{3}{2} π) + 1

= 0 |

- 1

- \cos (2 x - \frac{3}{2} π)

=

- 1

|:

- 1

\cos (2 x - \frac{3}{2} π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$2 x - \frac{3}{2} π$	=	0	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{3}{2} π)$	=	0
$4 x - 3 π$	=	0	\| $+ 3 π$
$4 x$	=	$3 π$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{3}{4} π$

Da $- \cos (2 x - \frac{3}{2} π) + 1$ die Periode $π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₂ = $\frac{3}{4} π$ + 1⋅ $π$ = $\frac{7}{4} π$

2. Fall:

\cos (x) + 1

= 0 |

- 1

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₃

=

π

L={ $\frac{3}{4} π$ ; $π$ ; $\frac{7}{4} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$- \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$(\cos (x) - 1) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x) - 1

= 0 |

+ 1

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

π

L={0; $π$ }

0 ist 2-fache Lösung!

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} + 2 \cdot \cos (x) - 3$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} + 2 \cdot \cos (x) - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $1$

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

u₂: $\cos (x)$ = $- 3$

\cos (x)

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Aufgabenbeispiele von Trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)