zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von Trigonometrische Gleichungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2 3 π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
-3⋅ sin( 3x - π) -1 = 2

Lösung einblenden
-3⋅ sin( 3x - π) -1 = 2 | +1
-3⋅ sin( 3x - π) = 3 |:-3
canvas
sin( 3x - π) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3x - π = 3 2 π

oder

3x - π = 3 2 π-2π
3x - π = - 1 2 π | + π
3x = 1 2 π |:3
x = 1 6 π

L={ 1 6 π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
-2⋅ sin( 2x - π) = -0,9

Lösung einblenden
-2⋅ sin( 2x - π) = -0,9 |:-2
canvas
sin( 2x - π) = 0,45 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.4667653390473

1. Fall:

2x - π = 0,467 | + π
2x = 0,467 + π
2x = 3,6086 |:2
x1 = 1,8043

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 2x - π) = 0,45 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.45 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0,467 = 2,675 liegen muss.

2. Fall:

2x - π = 2,675 | + π
2x = 2,675 + π
2x = 5,8166 |:2
x2 = 2,9083

L={ 1,8043 ; 2,9083 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 -4⋅ cos( x ) +3 = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 -4⋅ cos( x ) +3 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = cos( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -4u +3 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 1 · 3 2⋅1

u1,2 = +4 ± 16 -12 2

u1,2 = +4 ± 4 2

u1 = 4 + 4 2 = 4 +2 2 = 6 2 = 3

u2 = 4 - 4 2 = 4 -2 2 = 2 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: cos( x ) = 3

cos( x ) = 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u2: cos( x ) = 1

canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 0

L={0}

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 -2⋅ sin( x ) -3 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 -2⋅ sin( x ) -3 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = sin( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -2u -3 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -3 ) 2⋅1

u1,2 = +2 ± 4 +12 2

u1,2 = +2 ± 16 2

u1 = 2 + 16 2 = 2 +4 2 = 6 2 = 3

u2 = 2 - 16 2 = 2 -4 2 = -2 2 = -1

Rücksubstitution:

u1: sin( x ) = 3

sin( x ) = 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u2: sin( x ) = -1

canvas
sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 3 2 π

L={ 3 2 π }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 - 3 2 ⋅ sin( x ) = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 - 3 2 ⋅ sin( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ sin( x ) -3 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ sin( x ) -3 = 0 | +3
2⋅ sin( x ) = 3 |:2
sin( x ) = 1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x1 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x2 = π

L={0; π }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 - 1 2 ⋅ cos( x ) - 1 2 = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 - 1 2 ⋅ cos( x ) - 1 2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = cos( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 - 1 2 u - 1 2 = 0 |⋅ 2
2( u 2 - 1 2 u - 1 2 ) = 0

2 u 2 - u -1 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 2 · ( -1 ) 2⋅2

u1,2 = +1 ± 1 +8 4

u1,2 = +1 ± 9 4

u1 = 1 + 9 4 = 1 +3 4 = 4 4 = 1

u2 = 1 - 9 4 = 1 -3 4 = -2 4 = -0,5

Rücksubstitution:

u1: cos( x ) = 1

canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 0

u2: cos( x ) = -0,5

canvas
cos( x ) = -0,5 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.0943951023932

1. Fall:

x2 = 2 3 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = -0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 2 3 π
bzw. bei - 2 3 π +2π= 4 3 π liegen muss.

2. Fall:

x3 = 4 3 π

L={0; 2 3 π ; 4 3 π }