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Aufgabenbeispiele von Trigonometrische Gleichungen

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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2 3 π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
2⋅ sin( 3x + 3 2 π) +3 = 1

Lösung einblenden
2⋅ sin( 3x + 3 2 π) +3 = 1 | -3
2⋅ sin( 3x + 3 2 π) = -2 |:2
canvas
sin( 3x + 3 2 π) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3x + 3 2 π = 3 2 π |⋅ 2
2( 3x + 3 2 π) = 3π
6x +3π = 3π | -3π
6x = 0 |:6
x = 0

L={0}

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
2⋅ cos( x + π) -3 = -3,5

Lösung einblenden
2⋅ cos( x + π) -3 = -3,5 | +3
2⋅ cos( x + π) = -0,5 |:2
canvas
cos( x + π) = -0,25 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.823476581937

1. Fall:

x + π = 1,823

oder

x + π = 1,823 +2π | - π
x1 = 1,823 + π
x1 = 4,9646

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x + π) = -0,25 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.25 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1,823
bzw. bei - 1,823 +2π= 4,46 liegen muss.

2. Fall:

x + π = 4,46 | - π
x2 = 4,46 - π
x2 = 1,3184

L={ 1,3184 ; 4,9646 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
-3⋅ sin( x + 3 2 π) · sin( x ) = 0

Lösung einblenden
-3⋅ sin( x + 3 2 π) · sin( x ) = 0
-3 sin( x + 3 2 π) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

canvas
sin( x + 3 2 π) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x + 3 2 π = 0

oder

x + 3 2 π = 0+2π
x + 3 2 π = 2π |⋅ 2
2( x + 3 2 π) = 4π
2x +3π = 4π | -3π
2x = π |:2
x1 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x + 3 2 π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x + 3 2 π = π

oder

x + 3 2 π = π+2π
x + 3 2 π = 3π |⋅ 2
2( x + 3 2 π) = 6π
2x +3π = 6π | -3π
2x = 3π |:2
x2 = 3 2 π

2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x3 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x4 = π

L={0; 1 2 π ; π ; 3 2 π }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( x 2 -5x ) · ( -2⋅ sin( x + 1 2 π) +2 ) = 0

Lösung einblenden
( x 2 -5x ) ( -2⋅ sin( x + 1 2 π) +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 -5x = 0
x ( x -5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -5 = 0 | +5
x2 = 5

2. Fall:

-2⋅ sin( x + 1 2 π) +2 = 0 | -2
-2⋅ sin( x + 1 2 π) = -2 |:-2
canvas
sin( x + 1 2 π) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x + 1 2 π = 1 2 π |⋅ 2
2( x + 1 2 π) = π
2x + π = π | - π
2x = 0 |:2
x3 = 0

L={0; 5 }

0 ist 2-fache Lösung!

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
3 2 ⋅ sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
3 2 ⋅ sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ cos( x ) +3 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ cos( x ) +3 = 0 | -3
2⋅ cos( x ) = -3 |:2
cos( x ) = -1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x1 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x2 = π

L={0; π }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 + cos( x ) -2 = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 + cos( x ) -2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = cos( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 + u -2 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -2 ) 2⋅1

u1,2 = -1 ± 1 +8 2

u1,2 = -1 ± 9 2

u1 = -1 + 9 2 = -1 +3 2 = 2 2 = 1

u2 = -1 - 9 2 = -1 -3 2 = -4 2 = -2

Rücksubstitution:

u1: cos( x ) = 1

canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 0

u2: cos( x ) = -2

cos( x ) = -2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}