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Aufgabenbeispiele von Trigonometrische Gleichungen

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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
3⋅ cos( x + 3 2 π) +2 = -1

Lösung einblenden
3⋅ cos( x + 3 2 π) +2 = -1 | -2
3⋅ cos( x + 3 2 π) = -3 |:3
canvas
cos( x + 3 2 π) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x + 3 2 π = π

oder

x + 3 2 π = π+2π
x + 3 2 π = 3π |⋅ 2
2( x + 3 2 π) = 6π
2x +3π = 6π | -3π
2x = 3π |:2
x = 3 2 π

L={ 3 2 π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
3⋅ cos( 2x - π) +3 = 4,95

Lösung einblenden
3⋅ cos( 2x - π) +3 = 4,95 | -3
3⋅ cos( 2x - π) = 1,95 |:3
canvas
cos( 2x - π) = 0,65 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.86321189006954

1. Fall:

2x - π = 0,863 | + π
2x = 0,863 + π
2x = 4,0046 |:2
x1 = 2,0023

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 2x - π) = 0,65 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.65 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 0,863
bzw. bei - 0,863 +2π= 5,42 liegen muss.

2. Fall:

2x - π = 5,42

oder

2x - π = 5,42 -2π | + π
2x = 5,42 - π
2x = 2,2784 |:2
x2 = 1,1392

L={ 1,1392 ; 2,0023 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( -2⋅ cos( x - 1 2 π) +2 ) · ( sin( x ) +1 ) = 0

Lösung einblenden
( -2⋅ cos( x - 1 2 π) +2 ) ( sin( x ) +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

-2⋅ cos( x - 1 2 π) +2 = 0 | -2
-2⋅ cos( x - 1 2 π) = -2 |:-2
canvas
cos( x - 1 2 π) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x - 1 2 π = 0 |⋅ 2
2( x - 1 2 π) = 0
2x - π = 0 | + π
2x = π |:2
x1 = 1 2 π

2. Fall:

sin( x ) +1 = 0 | -1 canvas
sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x2 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; 3 2 π }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
-2⋅ sin( 3x - 1 2 π) · ( cos( x ) +1 ) = 0

Lösung einblenden
-2⋅ sin( 3x - 1 2 π) · ( cos( x ) +1 ) = 0
-2 sin( 3x - 1 2 π) ( cos( x ) +1 ) = 0
-2 ( cos( x ) +1 ) · sin( 3x - 1 2 π) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

cos( x ) +1 = 0 | -1 canvas
cos( x ) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = π

2. Fall:

canvas
sin( 3x - 1 2 π) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

3x - 1 2 π = 0 |⋅ 2
2( 3x - 1 2 π) = 0
6x - π = 0 | + π
6x = π |:6
x2 = 1 6 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 3x - 1 2 π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

3x - 1 2 π = π |⋅ 2
2( 3x - 1 2 π) = 2π
6x - π = 2π | + π
6x = 3π |:6
x3 = 1 2 π

Da sin( 3x - 1 2 π) die Periode 2 3 π besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; 2π ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x4 = 1 6 π + 1⋅ 2 3 π = 5 6 π , x5 = 1 2 π + 1⋅ 2 3 π = 7 6 π
x6 = 1 6 π + 2⋅ 2 3 π = 3 2 π , x7 = 1 2 π + 2⋅ 2 3 π = 11 6 π

L={ 1 6 π ; 1 2 π ; 5 6 π ; π ; 7 6 π ; 3 2 π ; 11 6 π }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 - 3 2 ⋅ sin( x ) = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 - 3 2 ⋅ sin( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ sin( x ) -3 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ sin( x ) -3 = 0 | +3
2⋅ sin( x ) = 3 |:2
sin( x ) = 1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x1 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x2 = π

L={0; π }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 + cos( x ) -2 = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 + cos( x ) -2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = cos( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 + u -2 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -2 ) 2⋅1

u1,2 = -1 ± 1 +8 2

u1,2 = -1 ± 9 2

u1 = -1 + 9 2 = -1 +3 2 = 2 2 = 1

u2 = -1 - 9 2 = -1 -3 2 = -4 2 = -2

Rücksubstitution:

u1: cos( x ) = 1

canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 0

u2: cos( x ) = -2

cos( x ) = -2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}