Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$2 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) - 2$ = $- 4$

Lösung einblenden

2 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) - 2

=

- 4

|

+ 2

2 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π)

=

- 2

|:

2

\sin (x - \frac{1}{2} π)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x - \frac{1}{2} π

=

\frac{3}{2} π

oder

$x - \frac{1}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$x - \frac{1}{2} π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{1}{2} π)$	=	$- π$
$2 x - π$	=	$- π$	\| $+ π$
$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

L={0}

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 2 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π) + 2$ = $1,3$

Lösung einblenden

- 2 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π) + 2

=

1,3

|

- 2

- 2 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π)

=

- 0,7

|:

- 2

\sin (3 x + \frac{3}{2} π)

=

0,35

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.35757110364551

1. Fall:

3 x + \frac{3}{2} π

=

0,358

oder

$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$0,358 + 2 π$	\|⋅ 2
$6 x + 3 π$	=	$0,716 + 4 π$	\| $- 3 π$
$6 x$	=	$0,716 + π$
$6 x$	=	$3,8576$	\|: $6$
x₁	=	$0,6429$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (3 x + \frac{3}{2} π)$ = $0,35$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.35 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,358$ = $2,784$ liegen muss.

2. Fall:

3 x + \frac{3}{2} π

=

2,784

oder

$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$2,784 + 2 π$	\|⋅ 2
$6 x + 3 π$	=	$5,568 + 4 π$	\| $- 3 π$
$6 x$	=	$5,568 + π$
$6 x$	=	$8,7096$	\|: $6$
x₂	=	$1,4516$

L={ $0,6429$ ; $1,4516$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $π$ ):
$(x^{3} - 2 x^{2}) \cdot (\sin (2 x - \frac{3}{2} π) - 1)$ = 0

Lösung einblenden

(x^{3} - 2 x^{2}) (\sin (2 x - \frac{3}{2} π) - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3} - 2 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

2. Fall:

\sin (2 x - \frac{3}{2} π) - 1

= 0 |

+ 1

\sin (2 x - \frac{3}{2} π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2 x - \frac{3}{2} π

=

\frac{1}{2} π

oder

$2 x - \frac{3}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π - 2 π$
$2 x - \frac{3}{2} π$	=	$- \frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{3}{2} π)$	=	$- 3 π$
$4 x - 3 π$	=	$- 3 π$	\| $+ 3 π$
$4 x$	=	0	\|: $4$
x₃	=	0

L={0; $2$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $\frac{2}{3} π$ ):
$(x - 2) \cdot (- 3 \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π) + 3)$ = 0

Lösung einblenden

(x - 2) (- 3 \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π) + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

2. Fall:

- 3 \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π) + 3

= 0 |

- 3

- 3 \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π)

=

- 3

|:

- 3

\cos (3 x + \frac{3}{2} π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3 x + \frac{3}{2} π

=

0

oder

$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$0 + 2 π$
$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$2 π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{3}{2} π)$	=	$4 π$
$6 x + 3 π$	=	$4 π$	\| $- 3 π$
$6 x$	=	$π$	\|: $6$
x₂	=	$\frac{1}{6} π$

L={ $\frac{1}{6} π$ ; $2$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} - \cos (x)$	=	0
$(\cos (x) - 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x) - 1

= 0 |

+ 1

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

\frac{3}{2} π

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{4} + 3 {(\sin (x))}^{2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{4} + 3 {(\sin (x))}^{2} - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ${(\sin (x))}^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: ${(\sin (x))}^{2}$ = $1$

{(\sin (x))}^{2}

=

1

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

\sin (x)

=

- \sqrt{1}

=

- 1

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

2. Fall

\sin (x)

=

\sqrt{1}

=

1

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

\frac{1}{2} π

u₂: ${(\sin (x))}^{2}$ = $- 4$

{(\sin (x))}^{2}

=

- 4

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

Aufgabenbeispiele von Trigonometrische Gleichungen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigon. Gleichung (mit Substitution)