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Aufgabenbeispiele von Trigonometrische Gleichungen

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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
3⋅cos(x-π)+1 = 1

Lösung einblenden
3⋅cos(x-π)+1 = 1 | -1
3⋅cos(x-π) = 0 |:3
canvas
cos(x-π) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x-π = 12π | +π
x1 = 32π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos(x-π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 12π
bzw. bei - 12π+2π= 32π liegen muss.

2. Fall:

x-π = 32π

oder

x-π = 32π-2π
x-π = -12π | +π
x2 = 12π

L={ 12π; 32π}

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
-3⋅sin(x-12π)+1 = 0,25

Lösung einblenden
-3⋅sin(x-12π)+1 = 0,25 | -1
-3⋅sin(x-12π) = -0,75 |:-3
canvas
sin(x-12π) = 0,25 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.25268025514208

1. Fall:

x-12π = 0,253 |⋅ 2
2(x-12π) = 0,506
2x-π = 0,506 | +π
2x = 0,506+π
2x = 3,6476 |:2
x1 = 1,8238

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin(x-12π) = 0,25 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.25 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0,253= 2,889 liegen muss.

2. Fall:

x-12π = 2,889 |⋅ 2
2(x-12π) = 5,778
2x-π = 5,778 | +π
2x = 5,778+π
2x = 8,9196 |:2
x2 = 4,4598

L={ 1,8238; 4,4598}

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π):
(sin(x-π)-1)·(sin(x)-1) = 0

Lösung einblenden
(sin(x-π)-1)(sin(x)-1) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

sin(x-π)-1 = 0 | +1 canvas
sin(x-π) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x-π = 12π | +π
x1 = 32π

2. Fall:

sin(x)-1 = 0 | +1 canvas
sin(x) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x2 = 12π

L={ 12π; 32π}

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π):
(cos(x))2-cos(x) = 0

Lösung einblenden
(cos(x))2-cos(x) = 0
(cos(x)-1)·cos(x) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

cos(x)-1 = 0 | +1 canvas
cos(x) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 0

2. Fall:

canvas
cos(x) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 12π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos(x) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 12π
bzw. bei - 12π+2π= 32π liegen muss.

2. Fall:

x3 = 32π

L={0; 12π; 32π}

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π):
32⋅cos(x)+sin(x)·cos(x) = 0

Lösung einblenden
32⋅cos(x)+sin(x)·cos(x) = 0
12(2⋅sin(x)+3)·cos(x) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅sin(x)+3 = 0 | -3
2⋅sin(x) = -3 |:2
sin(x) = -1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

canvas
cos(x) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x1 = 12π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos(x) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 12π
bzw. bei - 12π+2π= 32π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 32π

L={ 12π; 32π}

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π):
(sin(x))4+3(sin(x))2-4 = 0

Lösung einblenden
(sin(x))4+3(sin(x))2-4 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = (sin(x))2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u2+3u-4 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -3±√32-4·1·(-4)2⋅1

u1,2 = -3±√9+162

u1,2 = -3±√252

u1 = -3+√252 = -3+52 = 22 = 1

u2 = -3-√252 = -3-52 = -82 = -4

Rücksubstitution:

u1: (sin(x))2 = 1

(sin(x))2 = 1 | 2√⋅

1. Fall

sin(x) = -√1 = -1
canvas
sin(x) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 32π

2. Fall

sin(x) = √1 = 1
canvas
sin(x) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x2 = 12π

u2: (sin(x))2 = -4

(sin(x))2 = -4 | 2√⋅

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ 12π; 32π}