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Aufgabenbeispiele von Trigonometrische Gleichungen

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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
2⋅ cos( x + 1 2 π) = 0

Lösung einblenden
2⋅ cos( x + 1 2 π) = 0 |:2
canvas
cos( x + 1 2 π) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x + 1 2 π = 1 2 π |⋅ 2
2( x + 1 2 π) = π
2x + π = π | - π
2x = 0 |:2
x1 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x + 1 2 π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x + 1 2 π = 3 2 π |⋅ 2
2( x + 1 2 π) = 3π
2x + π = 3π | - π
2x = 2π |:2
x2 = π

L={0; π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
cos( 2x - 1 2 π) = -0,35

Lösung einblenden
canvas
cos( 2x - 1 2 π) = -0,35 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.9283674304404

1. Fall:

2x - 1 2 π = 1,928 |⋅ 2
2( 2x - 1 2 π) = 3,856
4x - π = 3,856 | + π
4x = 3,856 + π
4x = 6,9976 |:4
x1 = 1,7494

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 2x - 1 2 π) = -0,35 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.35 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1,928
bzw. bei - 1,928 +2π= 4,355 liegen muss.

2. Fall:

2x - 1 2 π = 4,355 |⋅ 2
2( 2x - 1 2 π) = 8,71
4x - π = 8,71 | + π
4x = 8,71 + π
4x = 11,8516 |:4
x2 = 2,9629

L={ 1,7494 ; 2,9629 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 + sin( x ) = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 + sin( x ) = 0
( sin( x ) +1 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

sin( x ) +1 = 0 | -1 canvas
sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 3 2 π

2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x3 = π

L={0; π ; 3 2 π }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; π ):
( x 2 - x ) · ( -2⋅ sin( 2x - 1 2 π) +2 ) = 0

Lösung einblenden
( x 2 - x ) ( -2⋅ sin( 2x - 1 2 π) +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 - x = 0
x ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

2. Fall:

-2⋅ sin( 2x - 1 2 π) +2 = 0 | -2
-2⋅ sin( 2x - 1 2 π) = -2 |:-2
canvas
sin( 2x - 1 2 π) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2x - 1 2 π = 1 2 π |⋅ 2
2( 2x - 1 2 π) = π
4x - π = π | + π
4x = 2π |:4
x3 = 1 2 π

L={0; 1 ; 1 2 π }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 - 3 2 ⋅ cos( x ) = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 - 3 2 ⋅ cos( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ cos( x ) -3 ) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ cos( x ) -3 = 0 | +3
2⋅ cos( x ) = 3 |:2
cos( x ) = 1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

canvas
cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x1 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; 3 2 π }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 - sin( x ) -2 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 - sin( x ) -2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = sin( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 - u -2 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -2 ) 2⋅1

u1,2 = +1 ± 1 +8 2

u1,2 = +1 ± 9 2

u1 = 1 + 9 2 = 1 +3 2 = 4 2 = 2

u2 = 1 - 9 2 = 1 -3 2 = -2 2 = -1

Rücksubstitution:

u1: sin( x ) = 2

sin( x ) = 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u2: sin( x ) = -1

canvas
sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 3 2 π

L={ 3 2 π }