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Aufgabenbeispiele von Trigonometrische Gleichungen

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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
-3⋅ sin( 2x - 1 2 π) +3 = 3

Lösung einblenden
-3⋅ sin( 2x - 1 2 π) +3 = 3 | -3
-3⋅ sin( 2x - 1 2 π) = 0 |:-3
canvas
sin( 2x - 1 2 π) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

2x - 1 2 π = 0 |⋅ 2
2( 2x - 1 2 π) = 0
4x - π = 0 | + π
4x = π |:4
x1 = 1 4 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 2x - 1 2 π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

2x - 1 2 π = π |⋅ 2
2( 2x - 1 2 π) = 2π
4x - π = 2π | + π
4x = 3π |:4
x2 = 3 4 π

L={ 1 4 π ; 3 4 π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2 3 π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
-3⋅ cos( 3x + 3 2 π) -3 = -3,6

Lösung einblenden
-3⋅ cos( 3x + 3 2 π) -3 = -3,6 | +3
-3⋅ cos( 3x + 3 2 π) = -0,6 |:-3
canvas
cos( 3x + 3 2 π) = 0,2 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.3694384060046

1. Fall:

3x + 3 2 π = 1,369

oder

3x + 3 2 π = 1,369 +2π |⋅ 2
6x +3π = 2,738 +4π | -3π
6x = 2,738 + π
6x = 5,8796 |:6
x1 = 0,9799

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 3x + 3 2 π) = 0,2 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1,369
bzw. bei - 1,369 +2π= 4,914 liegen muss.

2. Fall:

3x + 3 2 π = 4,914 |⋅ 2
2( 3x + 3 2 π) = 9,828
6x +3π = 9,828 | -3π
6x = 9,828 -3π
6x = 0,4032 |:6
x2 = 0,0672

L={ 0,0672 ; 0,9799 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( x -3 ) · ( -2⋅ sin( x - 3 2 π) ) = 0

Lösung einblenden
( x -3 ) · ( -2⋅ sin( x - 3 2 π) ) = 0
-2 ( x -3 ) · sin( x - 3 2 π) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x -3 = 0 | +3
x1 = 3

2. Fall:

canvas
sin( x - 3 2 π) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x - 3 2 π = 0 |⋅ 2
2( x - 3 2 π) = 0
2x -3π = 0 | +3π
2x = 3π |:2
x2 = 3 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x - 3 2 π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x - 3 2 π = π

oder

x - 3 2 π = π-2π
x - 3 2 π = -π |⋅ 2
2( x - 3 2 π) = -2π
2x -3π = -2π | +3π
2x = π |:2
x3 = 1 2 π

L={ 1 2 π ; 3 ; 3 2 π }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 - sin( x ) = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 - sin( x ) = 0
( sin( x ) -1 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

sin( x ) -1 = 0 | +1 canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 1 2 π

2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x3 = π

L={0; 1 2 π ; π }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
- cos( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
- cos( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0
( sin( x ) -1 ) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

sin( x ) -1 = 0 | +1 canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 1 2 π

2. Fall:

canvas
cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x3 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; 3 2 π }

1 2 π ist 2-fache Lösung!

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 - 3 2 ⋅ cos( x ) + 1 2 = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 - 3 2 ⋅ cos( x ) + 1 2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = cos( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 - 3 2 u + 1 2 = 0 |⋅ 2
2( u 2 - 3 2 u + 1 2 ) = 0

2 u 2 -3u +1 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 2 · 1 2⋅2

u1,2 = +3 ± 9 -8 4

u1,2 = +3 ± 1 4

u1 = 3 + 1 4 = 3 +1 4 = 4 4 = 1

u2 = 3 - 1 4 = 3 -1 4 = 2 4 = 0,5

Rücksubstitution:

u1: cos( x ) = 1

canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 0

u2: cos( x ) = 0,5

canvas
cos( x ) = 0,5 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966

1. Fall:

x2 = 1 3 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 3 π
bzw. bei - 1 3 π +2π= 5 3 π liegen muss.

2. Fall:

x3 = 5 3 π

L={0; 1 3 π ; 5 3 π }