Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x + 4}$ = $\frac{1}{e}$

$e^{x + 4}$ = $\frac{1}{e}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x + 4}$ = $e^{- 1}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x + 4$	=	$- 1$	\| $- 4$
$x$	=	$- 5$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 e^{3 x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

$9 e^{3 x} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$9 e^{3 x}$	=	$4$	\|: $9$
$e^{3 x}$	=	$\frac{4}{9}$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (\frac{4}{9})$	\|: $3$
$x$	=	$\frac{1}{3} \ln (\frac{4}{9})$	≈ -0.2703

L={ $\frac{1}{3} \ln (\frac{4}{9})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 2 e^{x} - 35$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 2 e^{x} - 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2+12}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2-12}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} - 2 e^{2 x} - 8 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} - 2 e^{2 x} - 8 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 2 e^{x} - 8) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 2 e^{x} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 4 e^{5 x} + 5) \cdot (x - 6)$ = 0

Lösung einblenden

(- 4 e^{5 x} + 5) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 4 e^{5 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 4 e^{5 x}$	=	$- 5$	\|: $- 4$
$e^{5 x}$	=	$\frac{5}{4}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{5}{4})$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{5}{4})$	≈ 0.0446

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

L={ $\frac{1}{5} \ln (\frac{5}{4})$ ; $6$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 e^{- x}$ = $- 6 e^{- 2 x}$

Lösung einblenden

$- 4 e^{- x}$	=	$- 6 e^{- 2 x}$	\| $+ 6 e^{- 2 x}$
$- 4 e^{- x} + 6 e^{- 2 x}$	=	0
$2 (- 2 e^{x} + 3) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 e^{x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 2 e^{x}$	=	$- 3$	\|: $- 2$
$e^{x}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (\frac{3}{2})$	≈ 0.4055

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (\frac{3}{2})$ }

Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. Substitution BF

Exponentialgl. Substitution

Exponentialgl. vermischt

Exponentialgl. mit 2 e-Termen