Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{2 x + 6}$ = $e^{2}$

$e^{2 x + 6}$ = $e^{2}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$2 x + 6$	=	$2$	\| $- 6$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 e^{2 x}$ = $7$

Lösung einblenden

$9 e^{2 x}$	=	$7$	\|: $9$
$e^{2 x}$	=	$\frac{7}{9}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{7}{9})$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{7}{9})$	≈ -0.1257

L={ $\frac{1}{2} \ln (\frac{7}{9})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 8 e^{x} + 16$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 8 e^{x} + 16

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₂	=	$2 \ln (2)$

L={ $2 \ln (2)$ }

$2 \ln (2)$ ist 2-fache Lösung!

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 3 e^{3 x} - 18 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} - 3 e^{3 x} - 18 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - 3 e^{x} - 18) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 3 e^{x} - 18

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(e^{- 2 x} - 5) \cdot (x^{5} - 16 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(e^{- 2 x} - 5) (x^{5} - 16 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{- 2 x} - 5$	=	0	\| $+ 5$
$e^{- 2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $- 2$
x₁	=	$- \frac{1}{2} \ln (5)$	≈ -0.8047

2. Fall:

$x^{5} - 16 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₄	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $- \frac{1}{2} \ln (5)$ ; 0; $4$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 9 e^{- x}$ = $- 4 e^{- 2 x}$

Lösung einblenden

$- 9 e^{- x}$	=	$- 4 e^{- 2 x}$	\| $+ 4 e^{- 2 x}$
$- 9 e^{- x} + 4 e^{- 2 x}$	=	0
$(- 9 e^{x} + 4) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 9 e^{x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 9 e^{x}$	=	$- 4$	\|: $- 9$
$e^{x}$	=	$\frac{4}{9}$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (\frac{4}{9})$	≈ -0.8109

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (\frac{4}{9})$ }

Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. Substitution BF

Exponentialgl. Substitution

Exponentialgl. vermischt

Exponentialgl. mit 2 e-Termen