Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x + 6}$ = $\frac{1}{e}$

$e^{x + 6}$ = $\frac{1}{e}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x + 6}$ = $e^{- 1}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x + 6$	=	$- 1$	\| $- 6$
$x$	=	$- 7$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(5 e^{- 2 x} - 2) \cdot (x^{4} + 7 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(5 e^{- 2 x} - 2) (x^{4} + 7 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$5 e^{- 2 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$5 e^{- 2 x}$	=	$2$	\|: $5$
$e^{- 2 x}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $- 2$
x₁	=	$- \frac{1}{2} \ln (\frac{2}{5})$	≈ 0.4581

2. Fall:

$x^{4} + 7 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x + 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

L={ $- 7$ ; 0; $- \frac{1}{2} \ln (\frac{2}{5})$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 4 e^{x} - 12$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 4 e^{x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} - e^{2 x} - 12 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} - e^{2 x} - 12 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - e^{x} - 12) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - e^{x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 9 e^{- x} + 3$ = 0

Lösung einblenden

$- 9 e^{- x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 9 e^{- x}$	=	$- 3$	\|: $- 9$
$e^{- x}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- x$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $- 1$
$x$	=	$- \ln (\frac{1}{3})$	≈ 1.0986

L={ $- \ln (\frac{1}{3})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 e^{2 x}$ = $9 e^{- 3 x}$

Lösung einblenden

$3 e^{2 x}$	=	$9 e^{- 3 x}$	\| $- 9 e^{- 3 x}$
$3 e^{2 x} - 9 e^{- 3 x}$	=	0
$3 (e^{5 x} - 3) e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{5 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$e^{5 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (3)$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (3)$	≈ 0.2197

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{5} \ln (3)$ }

Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. Substitution BF

Exponentialgl. Substitution

Exponentialgl. vermischt

Exponentialgl. mit 2 e-Termen