Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: e x -3 = e 2

Lösung einblenden

e x -3 = e 2

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

x -3 = 2 | +3
x = 5

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

9 e -5x = 4

Lösung einblenden
9 e -5x = 4 |:9
e -5x = 4 9 |ln(⋅)
-5x = ln( 4 9 ) |:-5
x = - 1 5 ln( 4 9 ) ≈ 0.1622

L={ - 1 5 ln( 4 9 ) }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x +3 e x -10 = 0

Lösung einblenden
e 2x +3 e x -10 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +3u -10 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -3 ± 3 2 -4 · 1 · ( -10 ) 21

u1,2 = -3 ± 9 +40 2

u1,2 = -3 ± 49 2

u1 = -3 + 49 2 = -3 +7 2 = 4 2 = 2

u2 = -3 - 49 2 = -3 -7 2 = -10 2 = -5

Rücksubstitution:

u1: e x = 2

e x = 2 |ln(⋅)
x1 = ln( 2 ) ≈ 0.6931

u2: e x = -5

e x = -5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ ln( 2 ) }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 3x +3 e 2x -10 e x = 0

Lösung einblenden
e 3x +3 e 2x -10 e x = 0
( e 2x +3 e x -10 ) e x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e 2x +3 e x -10 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +3u -10 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -3 ± 3 2 -4 · 1 · ( -10 ) 21

u1,2 = -3 ± 9 +40 2

u1,2 = -3 ± 49 2

u1 = -3 + 49 2 = -3 +7 2 = 4 2 = 2

u2 = -3 - 49 2 = -3 -7 2 = -10 2 = -5

Rücksubstitution:

u1: e x = 2

e x = 2 |ln(⋅)
x1 = ln( 2 ) ≈ 0.6931

u2: e x = -5

e x = -5

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

e x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ ln( 2 ) }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

6 e -6x -4 = 0

Lösung einblenden
6 e -6x -4 = 0 | +4
6 e -6x = 4 |:6
e -6x = 2 3 |ln(⋅)
-6x = ln( 2 3 ) |:-6
x = - 1 6 ln( 2 3 ) ≈ 0.0676

L={ - 1 6 ln( 2 3 ) }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 e 4x = 4 e 2x

Lösung einblenden
2 e 4x = 4 e 2x | -4 e 2x
2 e 4x -4 e 2x = 0
2 ( e 2x -2 ) e 2x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e 2x -2 = 0 | +2
e 2x = 2 |ln(⋅)
2x = ln( 2 ) |:2
x1 = 1 2 ln( 2 ) ≈ 0.3466

2. Fall:

e 2x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 1 2 ln( 2 ) }