Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x + 11}$ = $1$

$e^{x + 11}$ = $1$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x + 11}$ = $e^{0}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x + 11$	=	0	\| $- 11$
$x$	=	$- 11$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 e^{- 4 x}$ = $- 6$

Lösung einblenden

$- 2 e^{- 4 x}$	=	$- 6$	\|: $- 2$
$e^{- 4 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$- 4 x$	=	$\ln (3)$	\|: $- 4$
$x$	=	$- \frac{1}{4} \ln (3)$	≈ -0.2747

L={ $- \frac{1}{4} \ln (3)$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 8 e^{x} + 15$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 8 e^{x} + 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

L={ $\ln (3)$ ; $\ln (5)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 9 e^{4 x} + 14 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{6 x} - 9 e^{4 x} + 14 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 9 e^{2 x} + 14) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 9 e^{2 x} + 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ ; $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(4 e^{4 x} - 4) \cdot (x^{4} - 9 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(4 e^{4 x} - 4) (x^{4} - 9 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$4 e^{4 x} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$4 e^{4 x}$	=	$4$	\|: $4$
$e^{4 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	0	\|: $4$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

$x^{4} - 9 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₄	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 e^{- 2 x}$ = $6 e^{- 6 x}$

Lösung einblenden

$2 e^{- 2 x}$	=	$6 e^{- 6 x}$	\| $- 6 e^{- 6 x}$
$2 e^{- 2 x} - 6 e^{- 6 x}$	=	0
$2 (e^{4 x} - 3) e^{- 6 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{4 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$e^{4 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (3)$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (3)$	≈ 0.2747

2. Fall:

e^{- 6 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{4} \ln (3)$ }

Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. Substitution BF

Exponentialgl. Substitution

Exponentialgl. vermischt

Exponentialgl. mit 2 e-Termen