Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{3 x + 7}$ = $\frac{1}{e^{2}}$

$e^{3 x + 7}$ = $\frac{1}{e^{2}}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{3 x + 7}$ = $e^{- 2}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$3 x + 7$	=	$- 2$	\| $- 7$
$3 x$	=	$- 9$	\|: $3$
$x$	=	$- 3$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 e^{7 x}$ = $- 4$

Lösung einblenden

$- 4 e^{7 x}$	=	$- 4$	\|: $- 4$
$e^{7 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$7 x$	=	0	\|: $7$
$x$	=	0	≈ 0

L={0}

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + e^{x} - 30$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + e^{x} - 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 28$ = 0

Lösung einblenden

e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(2 e^{7 x} - 6) \cdot (x^{2} - 9)$ = 0

Lösung einblenden

(2 e^{7 x} - 6) (x^{2} - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 e^{7 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$2 e^{7 x}$	=	$6$	\|: $2$
$e^{7 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$7 x$	=	$\ln (3)$	\|: $7$
x₁	=	$\frac{1}{7} \ln (3)$	≈ 0.1569

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $\frac{1}{7} \ln (3)$ ; $3$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 e^{6 x}$ = $5 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$9 e^{6 x}$	=	$5 e^{2 x}$	\| $- 5 e^{2 x}$
$9 e^{6 x} - 5 e^{2 x}$	=	0
$(9 e^{4 x} - 5) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$9 e^{4 x} - 5$	=	0	\| $+ 5$
$9 e^{4 x}$	=	$5$	\|: $9$
$e^{4 x}$	=	$\frac{5}{9}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{5}{9})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{5}{9})$	≈ -0.1469

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{5}{9})$ }

Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. Substitution BF

Exponentialgl. Substitution

Exponentialgl. vermischt

Exponentialgl. mit 2 e-Termen