Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: e 6x -12 = 1

Lösung einblenden

e 6x -12 = 1

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

e 6x -12 = e 0

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

6x -12 = 0 | +12
6x = 12 |:6
x = 2

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e -x -2 = 0

Lösung einblenden
e -x -2 = 0 | +2
e -x = 2 |ln(⋅)
-x = ln( 2 ) |:-1
x = - ln( 2 ) ≈ -0.6931

L={ - ln( 2 ) }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x +6 e x -7 = 0

Lösung einblenden
e 2x +6 e x -7 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +6u -7 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -6 ± 6 2 -4 · 1 · ( -7 ) 21

u1,2 = -6 ± 36 +28 2

u1,2 = -6 ± 64 2

u1 = -6 + 64 2 = -6 +8 2 = 2 2 = 1

u2 = -6 - 64 2 = -6 -8 2 = -14 2 = -7

Rücksubstitution:

u1: e x = 1

e x = 1 |ln(⋅)
x1 = 0 ≈ 0

u2: e x = -7

e x = -7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 4x + e 2x -2 = 0

Lösung einblenden
e 4x + e 2x -2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e 2x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 + u -2 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -2 ) 21

u1,2 = -1 ± 1 +8 2

u1,2 = -1 ± 9 2

u1 = -1 + 9 2 = -1 +3 2 = 2 2 = 1

u2 = -1 - 9 2 = -1 -3 2 = -4 2 = -2

Rücksubstitution:

u1: e 2x = 1

e 2x = 1 |ln(⋅)
2x = 0 |:2
x1 = 0 ≈ 0

u2: e 2x = -2

e 2x = -2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x -2 e x -8 = 0

Lösung einblenden
e 2x -2 e x -8 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -2u -8 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -8 ) 21

u1,2 = +2 ± 4 +32 2

u1,2 = +2 ± 36 2

u1 = 2 + 36 2 = 2 +6 2 = 8 2 = 4

u2 = 2 - 36 2 = 2 -6 2 = -4 2 = -2

Rücksubstitution:

u1: e x = 4

e x = 4 |ln(⋅)
x1 = ln( 4 ) ≈ 1.3863
x1 = 2 ln( 2 )

u2: e x = -2

e x = -2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 2 ln( 2 ) }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-6 e -2x = -9 e -7x

Lösung einblenden
-6 e -2x = -9 e -7x | +9 e -7x
-6 e -2x +9 e -7x = 0
3 ( -2 e 5x +3 ) e -7x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

-2 e 5x +3 = 0 | -3
-2 e 5x = -3 |:-2
e 5x = 3 2 |ln(⋅)
5x = ln( 3 2 ) |:5
x1 = 1 5 ln( 3 2 ) ≈ 0.0811

2. Fall:

e -7x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 1 5 ln( 3 2 ) }