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Aufgabenbeispiele von Polynomgleichungen

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Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 9 x^{3} + 18 x^{2}$ = 0

$x^{4} - 9 x^{3} + 18 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 9 x + 18)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 9 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₂ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9+3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₃ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9-3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={0; $3$ ; $6$ }

0 ist 2-fache Lösung!