Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(1|0)
- Verhalten für x → -∞: f(x) → 0
- Verhalten für x → ∞: f(x) → ∞
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der
e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein ex zu unserem bisherigen Term dazu:
. Jetzt strebt auch tatsächlich für x → ∞ : f(x) gegen +∞, so dass wir einen gesuchten Term gefunden haben:
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
= | |||
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
= | | | ||
x1 | = |
2. Fall:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x2,3 =
x2,3 =
x2,3 =
Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:
x =
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor 2 darf natürlich nicht vergessen werden:
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer kann näherungsweise für 0 ≤ t ≤ 10 durch die Funktion f mit
- Wann ist die Fahrstuhlgeschwindigkeit am größten?
- Wann beschleunigt der Fahrstuhl am stärksten?
- Wie viele Meter legt der Fahrstuhl zwischen Sekunde 0 und Sekunde 3 zurück?
- Bestimme die maximale Höhe, die der Fahrstuhl erreicht.
- t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:
Detail-Rechnung für den Hochpunkt (
|10) einblenden5 Randwertuntersuchung
Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) =
1 25 ( - 0 3 + 75 ⋅ 0 ) 0 . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(10) =1 25 ( - 10 3 + 75 ⋅ 10 ) - 10 Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.
Bei t =
ist also der größte Wert der Funktion.5
- t-Wert beim stärksten Zuwachs
Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt der Ableitung.
Dazu berechnen wir erstmal die Ableitungsfunktion f':
f'(t)=
1 25 ( - 3 x 2 + 75 ) =
Wir berechnen also die Extremstellen von f':3 25 ( - x 2 + 25 ) Detail-Rechnung für den Hochpunkt der Ableitung (
|3) einblenden0 Randwertuntersuchung
Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f'(0) =
3 25 ( - 0 2 + 25 ) 3 3 25 ( - 10 2 + 25 ) - 9 Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f'.
Bei t =
ist also der größte Wert der Ableitungsfunktion.0 - Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3
Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t1=0 und t2=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral
∫ 0 3 ( 1 25 ( - t 3 + 75 t ) ) ⅆ t ∫ 0 3 ( 1 25 ( - t 3 + 75 t ) ) ⅆ t =
[ 1 25 ( - 1 4 x 4 + 75 2 x 2 ) ] 0 3 = 1 25 ( - 1 4 ⋅ 3 4 + 75 2 ⋅ 3 2 ) - 1 25 ( - 1 4 ⋅ 0 4 + 75 2 ⋅ 0 2 ) =
1 25 ( - 1 4 ⋅ 81 + 75 2 ⋅ 9 ) - 1 25 ( - 1 4 ⋅ 0 + 75 2 ⋅ 0 ) =
1 25 ( - 81 4 + 675 2 ) - 1 25 ( 0 + 0 ) =
1 25 ( - 81 4 + 1350 4 ) + 0 =
1 25 · 1269 4 =
1269 100
= 12,6912.69 m ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.
- maximaler Bestand
Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.
Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .
Dazu setzen wir die Funktion gleich Null und lösen nach t auf:
1 25 ( - t 3 + 75 t ) = 0 - 1 25 t 3 + 3 t = 0 1 25 t ( - t 2 + 75 ) = 0 Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
t1 = 0 2. Fall:
- t 2 + 75 = 0 | - 75 - t 2 = - 75 |: ( - 1 ) t 2 = 75 | ⋅ 2 t2 = - 75 ≈ - 8,66 t3 = 75 ≈ 8,66 Da ja nur nichtnegative t-Werte Sinn machen, sind die Nullstellen somit
0 und8,66 Da f(7.7) ≈ 5 > 0 und f(9.7) ≈ -7.1 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 8.66.
Der maximale Bestand tritt also bei t = 8.66 auf. Den Zuwachs des Bestands von Beginn bis t = 8.66 s lässt sich berechnen durch:
∫ 0 8.66 ( 1 25 ( - t 3 + 75 t ) ) ⅆ t =
[ 1 25 ( - 1 4 x 4 + 75 2 x 2 ) ] 0 8.66 = 1 25 ( - 1 4 ⋅ 8,66 4 + 75 2 ⋅ 8,66 2 ) - 1 25 ( - 1 4 ⋅ 0 4 + 75 2 ⋅ 0 2 ) =
1 25 ( - 1 4 ⋅ 5624,34 + 75 2 ⋅ 74,9956 ) - 1 25 ( - 1 4 ⋅ 0 + 75 2 ⋅ 0 ) =
1 25 ( - 1 406,085 + 5624,67 2 ) - 1 25 ( 0 + 0 ) =
1 25 ( - 2812,17 2 + 5624,67 2 ) + 0 =
1 25 · 2812,5 2 =
2812,5 50
≈ 56,25Hinzu kommt noch der Anfangsbestand 2 m, so dass für den maximalen Bestand gilt:
Bmax = 2 m + 56.25 m = 58.25 m.
Graph-Term-Zuordn BF + Transf.
Beispiel:
Ordne die Funktionen den Graphen zu.
f(x)=
g(x)=
h(x)=
i(x)=
j(x)=
k(x)=
Zu Graph Nr. 1:
Den Graph vonAm Graph Nr. 1 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.
Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion j(x) =
Zu Graph Nr. 2:
Den Graph vonDer Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion k(x) =
Zu Graph Nr. 3:
Der Graph vonAm Graph Nr. 3 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.
Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion i(x) =
Zu Graph Nr. 4:

Am Graph Nr. 4 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.
Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion f(x) =
Graph-Term-Zuordnung 2 BF
Beispiel:
Ordne die Funktionen den Graphen zu.
f(x)=
g(x)=
h(x)=
i(x)=
j(x)=
k(x)=
Zu Graph Nr. 1:
Den Graph vonDer Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion g(x) =
Zu Graph Nr. 2:

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion i(x) =
Zu Graph Nr. 3:
Der Graph vonDer Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion k(x) =
Zu Graph Nr. 4:
Den Graph vonDer Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion f(x) =
Graph-Term-Zuordnung BF
Beispiel:
Ordne die Funktionen den Graphen zu.
f(x)=
g(x)=
h(x)=
i(x)=
Zu Graph Nr. 1:
Den Graph vonDer Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion i(x) =
Zu Graph Nr. 2:
Den Graph vonDer Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion g(x) =
Zu Graph Nr. 3:
Der Graph vonDer Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion f(x) =
Zu Graph Nr. 4:
Den Graph vonDer Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion h(x) =
Graph-Term-Zuordn LF + Transf.
Beispiel:
Ordne die Funktionen den Graphen zu.
f(x)=
g(x)=
h(x)=
i(x)=
j(x)=
k(x)=
Zu Graph Nr. 1:
Der Graph vonDer Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion g(x) =
Zu Graph Nr. 2:
Der Graph vonAm Graph Nr. 2 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.
Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion f(x) =
Zu Graph Nr. 3:
Den Graph vonAm Graph Nr. 3 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.
Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion h(x) =
Zu Graph Nr. 4:
Der Graph vonAm Graph Nr. 4 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.
Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion j(x) =
Graph-Term-Zuordnung 2 LF
Beispiel:
Ordne die Funktionen den Graphen zu.
f(x)=
g(x)=
h(x)=
i(x)=
j(x)=
k(x)=
Zu Graph Nr. 1:
Den Graph vonDer Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion f(x) =
Zu Graph Nr. 2:

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion h(x) =
Zu Graph Nr. 3:
Der Graph vonDer Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion j(x) =
Zu Graph Nr. 4:

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion k(x) =
Graph-Term-Zuordnung LF
Beispiel:
Ordne die Funktionen den Graphen zu.
f(x)=
g(x)=
h(x)=
i(x)=
Zu Graph Nr. 1:

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion g(x) =
Zu Graph Nr. 2:
Der Graph vonDer Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion f(x) =
Zu Graph Nr. 3:
Der Graph vonDer Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion i(x) =
Zu Graph Nr. 4:
Den Graph vonDer Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion h(x) =
Verschiebung Integral allg.
Beispiel:
Es gilt
Bestimme a, b und I.
Der Graph von f(x
Somit gilt a = 1 und b = 2.
Wegen der Linearität des Integrals gilt
Somit gilt
Parameter für Symmetrie finden
Beispiel:
Für welches a liegt beim Graph der Funktion fa mit
Gib die dann vorliegende Symmetrie an.
Man erkennt schnell, das keine Symmetrie zum Koordinatenssystem vorliegt, wenn nicht mindestens einer der Summanden von
Durch scharfes Hinsehen könnte man a = 2 erkennen. Man kann aber auch einfach bei jedem Summanden den Koeffizient anschauen und dann a so wählen, dass der Koeffizient = 0 wird:
-
( a - 1 ) x 4 ( 1 - 1 ) · x 4 + ( - 2 ⋅ 1 + 4 ) · x 3 + ( 1 - 2 ) · x - 1 2 x 3 - x - 1 -
( - 2 a + 4 ) x 3 ( 2 - 1 ) · x 4 + ( - 2 ⋅ 2 + 4 ) · x 3 + ( 2 - 2 ) · x - 1 x 4 - 1 -
( a - 2 ) x ( 2 - 1 ) · x 4 + ( - 2 ⋅ 2 + 4 ) · x 3 + ( 2 - 2 ) · x - 1 x 4 - 1 -
- 1
Für a = 2 hat f2(x) =
Schnittpkt-Anzahl in Abh. von Parameter
Beispiel:
Die Gerade y = m⋅x schneidet den Graph der Funktion f mit
Bestimme diese Werte von m.
An der Abbildung kann man erkennen, dass die Geraden, die den Graph von f berühren, der spannende Grenzfall sind.
Da ja y = m⋅x für jedes m immer durch den Ursprung O(0|0) verläuft, suchen wir also eine Tangente (von außen) an den Graphen von f durch den Ursprung:
Zuerst wird die Ableitung von f berechnet:
Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.
Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)=
y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)
einsetzen:
0 =
Die Lösung der Gleichung:
|
= | ||
|
= | |
|
|
|
= | |⋅
|
|
|
= | |
|
|
u1 | = |
|
=
|
u2 | = |
|
=
|
L={
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gefundenen Wert x =
=
=
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gefundenen Wert x =
=
=
Man kann jetzt an der Abbildung gut erkennen, für m =
Wird die Gerade steiler, also für m >
Wird die Geraden weniger steil, also für also für
Die richtige Lösung wäre hier also: m <
Ableitungen am Graph finden
Beispiel:
Gegeben ist eine Funktion f. Eine der 4 Abbildungen unten zeigt den Graph von f, eine andere zeigt den Graph der Ableitungsfunktion f'. Eine weitere Abbildung zeigt den Graph einer Stammfunktion F (von f). Die verbleibende vierte Abbildung zeigt den Graph einer ganz anderen Funktion g. Ordne die Graphen den Funktionen f, f', F und G zu
Als Vorgehensweise empfiehlt es sich, die markanten Punkte in Bezug auf die Ableitung, also Punkte mit waagrechter Tangente wie z.B. Hoch- und Tiefpunkte, bei den einzelnen Graphen zu betrachten.
Zu Graph Nr. 1:
Beim Graph Nr. 1 können wir bei x = -1.3 Punkte mit waagrechter Tangente erkennen.
Da ja genau an diesen Stellen der Graph 4 seine Nullstellen hat, könnte der Graph 4 die Ableitungsfunktion der Funktion vom Graph 1 zeigen.
Zu Graph Nr. 2:
Beim Graph Nr. 2 können wir bei x = -2 und bei x = -0.7 Punkte mit waagrechter Tangente erkennen.
Da ja genau an diesen Stellen der Graph 1 seine Nullstellen hat, könnte der Graph 1 die Ableitungsfunktion der Funktion vom Graph 2 zeigen.
Zu Graph Nr. 3:
Beim Graph Nr. 3 können wir bei x = -1.3 und bei x = 0 Punkte mit waagrechter Tangente erkennen.
Zu Graph Nr. 4:
Beim Graph Nr. 4 können wir keine Punkte mit waagrechter Tangente finden.
Wir fassen also zusammen:
- Der Graph 4 zeigt die Ableitung vom Graph 1
- Der Graph 1 zeigt die Ableitung vom Graph 2
- Der Graph 3 scheint zu einer ganz anderen Funktion zu gehören.
Somit gilt:
Der Graph 1 gehört zur Funktion f(x).
Der Graph 2 gehört zur Funktion F(x).
Der Graph 3 gehört zur Funktion g(x).
Der Graph 4 gehört zur Funktion f '(x).