Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $x-1$.

Der Punkt mit waagrechter Tangente bei x = 3 erhalten wir am einfachsten mit einer doppelten Nullstelle, weil eine doppelte Nullstelle ja immer nur die x-Achse berührt, ohne sie zu überschreiten. Dadurch liegt an einer doppelten Nullstelle stets ein Extrempunkt, also ein Punkt mit waagrechter Tangente vor.

Als neuen Term erhalten wir somit $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·{\left(x-3\right)}^2$

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|18) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0-1\right)·{\left(0-3\right)}^2$ = $-9$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $-2$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $-2·\left(0-1\right)·{\left(0-3\right)}^2$ = $18$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-2\left(x-1\right){\left(x-3\right)}^2$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^7-7x^5-18x^3$	=	0
$x^3\left(x^4-7x^2-18\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-3$; 0; $3$}

0 ist 3-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Wenn wir den substituierten Term $u^2-7u-18$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^4-7x^2-18$ =nach Substitution $u^2-7u-18$ = $\left(u-9\right)·\left(u+2\right)$ =nach Re-Substitution $\left(\mathrm{x²}-9\right)·\left(\mathrm{x²}+2\right)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x^3·\left(x+3\right)·\left(x-3\right)·\left(x^2+2\right)$ = $x^7-7x^5-18x^3$

1. y-Wert bei t = 5

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) = $20-18e^{-\mathrm{0,6}\cdot 5}$ = $-18e^{-3}+20$ ≈ 19.1

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $20-18e^{-\mathrm{0,6}t}$ → $20+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $20$.

3. Erster t-Wert bei y = 11

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=11 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 11 und lösen nach t auf:

   $20-18e^{-\mathrm{0,6}t}$ = $11$

   $-18e^{-\mathrm{0,6}t}+20$	=	$11$	| $-20$
   $-18e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$-9$	|:$-18$
   $e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,6}t$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}\right)$	|:$-\mathrm{0,6}$
   $t$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,6}}\ln \left(\frac{1}{2}\right)$	≈ 1.1552

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 11 annimmt, ist also nach 1.16 min.

Zu Graph Nr. 1:

Den Graph von $x^3$ erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion k(x) = $x^3$.

Zu Graph Nr. 2:

Den Graph von $\frac{1}{x}$ erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) = $\frac{1}{1}$ = 1 und f(-1) = $\frac{1}{\mathrm{-1}}$ = -1. Im Gegensatz zu $\frac{1}{x^2}$ hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Am Graph Nr. 2 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion f(x) = $-\frac{1}{x}$.

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von $\cos \left(x\right)$ schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion i(x) = $\cos \left(x\right)$.

Zu Graph Nr. 4:

Den Graph von $\frac{1}{x}$ erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) = $\frac{1}{1}$ = 1 und f(-1) = $\frac{1}{\mathrm{-1}}$ = -1. Im Gegensatz zu $\frac{1}{x^2}$ hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion j(x) = $\frac{1}{x}$.

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von $\sin \left(x\right)$ zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion i(x) = $\sin \left(x\right)$.

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von $e^x$ nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da $e^0$ = 1.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion j(x) = $e^x$.

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von $\sqrt{x}$ hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion g(x) = $\sqrt{x}$.

Zu Graph Nr. 4:

Den Graph von $x^3$ erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion h(x) = $x^3$.

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von $e^x$ nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da $e^0$ = 1.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion h(x) = $e^x$.

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von $\cos \left(x\right)$ schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion f(x) = $\cos \left(x\right)$.

Zu Graph Nr. 3:

Den Graph von $\frac{1}{x^2}$ erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso größer wird der Funktionswert. Je weiter x sich von 0 entfernt, umso kleiner wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Im Gegensatz zu $\frac{1}{x}$ hat er sowohl für negative, als auch für positive x positive Funktionswerte. Er ist also achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse und enthält z.B. die Punkte (1|1) und (-1|1).

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion i(x) = $\frac{1}{x^2}$.

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von $\sin \left(x\right)$ zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion g(x) = $\sin \left(x\right)$.

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von $e^x$ nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da $e^0$ = 1.

Am Graph Nr. 1 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch zusätzlich um 1 in y-Richtung verschoben wurden.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion k(x) = $e^x+1$.

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von $\sqrt{x}$ hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Am Graph Nr. 2 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch zusätzlich um 1 in y-Richtung verschoben wurden.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion i(x) = $\sqrt{x}+1$.

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von $e^x$ nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da $e^0$ = 1.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion g(x) = $e^x$.

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von $\sqrt{x}$ hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion f(x) = $\sqrt{x}$.

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von $\ln \left(x\right)$ besitzt für negative x-Werte keine Funktionswerte, weil man den Logarithmus nur aus positiven Zahlen ziehen kann. Für x → 0 streben die y-Werte gegen -∞. Der Graph nähert sich somit der negativen y-Achse asymptotisch an. Für positive x-Werte steigt er sehr langsam an. Er schneidet die x-Achse im Punkt (1|0), da $e^0$ = 1 und somit $\ln \left(1\right)$ = 0 ist.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion j(x) = $\ln \left(x\right)$.

Zu Graph Nr. 2:

Den Graph von $x^3$ erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion h(x) = $x^3$.

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von $\sqrt{x}$ hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion f(x) = $\sqrt{x}$.

Zu Graph Nr. 4:

Den Graph von $\frac{1}{x}$ erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) = $\frac{1}{1}$ = 1 und f(-1) = $\frac{1}{\mathrm{-1}}$ = -1. Im Gegensatz zu $\frac{1}{x^2}$ hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion i(x) = $\frac{1}{x}$.

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von $e^x$ nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da $e^0$ = 1.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion h(x) = $e^x$.

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von $\sin \left(x\right)$ zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion g(x) = $\sin \left(x\right)$.

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von $\sqrt{x}$ hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion f(x) = $\sqrt{x}$.

Zu Graph Nr. 4:

Den Graph von $\frac{1}{x^2}$ erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso größer wird der Funktionswert. Je weiter x sich von 0 entfernt, umso kleiner wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Im Gegensatz zu $\frac{1}{x}$ hat er sowohl für negative, als auch für positive x positive Funktionswerte. Er ist also achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse und enthält z.B. die Punkte (1|1) und (-1|1).

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion i(x) = $\frac{1}{x^2}$.

Der Graph von f(x +1) ist gegenüber dem Graph von f um 1 Einheit nach links verschoben. Dementsprechend hat auch das Integral über f(x +1) den Wert 13, wenn man die Grenzen auch um 1 Einheit nach links verschiebt. Die Integralgrenzen müssen also um 1 kleiner sein, als bei $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ , also 13 = $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f(x\; <mo>+</mo><mn>1</mn>)}dx$$ .

Somit gilt a = 0 und b = 1.

Das +1 nach dem f(x +1) verschiebt den Graph noch zusätzlich um 1 nach oben. Dadurch wird der Inhalt unter dem Graph noch um ein Rechteck mit Höhe 1 und Breite 1 - 0 = 1 vergrößert. Das gesuchte Integral berechnet sich also als
$$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{(f(x\; <mo>+</mo><mn>1</mn>)\; +\; 1)}dx$$ = $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f(x\; <mo>+</mo><mn>1</mn>)}dx$$ + $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}1dx$$ = 13 + 1⋅1 = 13 + 1 = 14

Man erkennt schnell, das keine Symmetrie zum Koordinatenssystem vorliegt, wenn nicht mindestens einer der Summanden von $\left(a+3\right)x^3+\left(a-1\right)x^2+3ax$ rausfällt, so dass nur noch gerade oder ungerade Summanden übrig bleiben.

Durch scharfes Hinsehen könnte man a = 1 erkennen. Man kann aber auch einfach bei jedem Summanden den Koeffizient anschauen und dann a so wählen, dass der Koeffizient = 0 wird:

• $\left(a+3\right)x^3$ wird 0 für a = -3 => f_-3(x) = $\left(-3+3\right)·x^3+\left(-3-1\right)·x^2-9·x$ = $-4x^2-9x$
• $\left(a-1\right)x^2$ wird 0 für a = 1 => f₁(x) = $\left(1+3\right)·x^3+\left(1-1\right)·x^2+3·x$ = $4x^3+3x$
• $3ax$ wird 0 für a = 0 => f₀(x) = $\left(0+3\right)·x^3+\left(0-1\right)·x^2+0·x$ = $3x^3-x^2$

Für a = 1 hat f₁(x) = $4x^3+3x$ also nur ungerade Summanden und ist somit punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs O(0|0).

An der Abbildung kann man erkennen, dass die Geraden, die den Graph von f berühren, der spannende Grenzfall sind.

Da ja y = m⋅x für jedes m immer durch den Ursprung O(0|0) verläuft, suchen wir also eine Tangente (von außen) an den Graphen von f durch den Ursprung:

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{4}x-\frac{5}{4}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $\frac{5}{4}u-\frac{5}{4}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(\frac{5}{4}u-\frac{5}{4}\right)·\left(0-u\right)$ + $\frac{5}{8}{u}^2-\frac{5}{4}u+\frac{5}{2}$

$-\left(\frac{5}{4}u-\frac{5}{4}\right)u+\frac{5}{8}{u}^2-\frac{5}{4}u+\frac{5}{2}$ = 0

$-\frac{5}{4}{u}^2+\frac{5}{4}u+\frac{5}{8}{u}^2-\frac{5}{4}u+\frac{5}{2}$ = 0

$-\frac{5}{8}{u}^2+0+\frac{5}{2}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-\frac{5}{8}{u}^2+0+\frac{5}{2}$	=	0
$-\frac{5}{8}{u}^2+\frac{5}{2}$	=	0	| $-\frac{5}{2}$
$-\frac{5}{8}{u}^2$	=	$-\frac{5}{2}$	|⋅ $\left(-\frac{8}{5}\right)$
$u^2$	=	$4$	|
u1	=	$-\sqrt{4}$	= $-2$
u2	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $-2$; $2$}

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gefundenen Wert x = $-2$ in die Ableitung $\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{4}x-\frac{5}{4}+0$ ein:
$\text{m = f'(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </math>)}=$ $\frac{5}{4}\cdot \left(-2\right)-\frac{5}{4}+0$
= $-\frac{5}{2}-\frac{5}{4}$
= $-\frac{15}{4}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gefundenen Wert x = $2$ in die Ableitung $\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{4}x-\frac{5}{4}+0$ ein:
$\text{m = f'(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>)}=$ $\frac{5}{4}\cdot 2-\frac{5}{4}+0$
= $\frac{5}{2}-\frac{5}{4}$
= $\frac{5}{4}$

Man kann jetzt an der Abbildung gut erkennen, für m = $-\frac{15}{4}$ bzw. für m = $\frac{5}{4}$ die Gerade y = m⋅x den Graphen der Funktion berührt und somit nur einen gemeinamen Punkt mit dem Graph von f hat.

Wird die Gerade steiler, also für m > $\frac{5}{4}$ oder für m < $-\frac{15}{4}$, schneidet die Gerade den Graph von f in zwei Punkten.

Wird die Geraden weniger steil, also für also für $-\frac{15}{4}$ < m < $\frac{5}{4}$, hat die Gerade mit dem Graph von f gar keine gemeinsame Punkte.

Die richtige Lösung wäre hier also: m < $-\frac{15}{4}$ oder m > $\frac{5}{4}$

Als Vorgehensweise empfiehlt es sich, die markanten Punkte in Bezug auf die Ableitung, also Punkte mit waagrechter Tangente wie z.B. Hoch- und Tiefpunkte, bei den einzelnen Graphen zu betrachten.

Zu Graph Nr. 1:

Beim Graph Nr. 1 können wir bei x = 0 und bei x = 1.5 Punkte mit waagrechter Tangente erkennen.

Da ja genau an diesen Stellen der Graph 2 seine Nullstellen hat, könnte der Graph 2 die Ableitungsfunktion der Funktion vom Graph 1 zeigen.

Zu Graph Nr. 2:

Beim Graph Nr. 2 können wir bei x = 0.8 Punkte mit waagrechter Tangente erkennen.

Zu Graph Nr. 3:

Beim Graph Nr. 3 können wir bei x = 0 und bei x = 2.3 Punkte mit waagrechter Tangente erkennen.

Da ja genau an diesen Stellen der Graph 1 seine Nullstellen hat, könnte der Graph 1 die Ableitungsfunktion der Funktion vom Graph 3 zeigen.

Zu Graph Nr. 4:

Beim Graph Nr. 4 können wir bei x = 1 und bei x = 3 Punkte mit waagrechter Tangente erkennen.

Wir fassen also zusammen:

• Der Graph 2 zeigt die Ableitung vom Graph 1
• Der Graph 1 zeigt die Ableitung vom Graph 3
• Der Graph 4 scheint zu einer ganz anderen Funktion zu gehören.

Somit gilt:

Der Graph 1 gehört zur Funktion f(x).

Der Graph 2 gehört zur Funktion f '(x).

Der Graph 3 gehört zur Funktion F(x).

Der Graph 4 gehört zur Funktion g(x).