Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 - 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 - 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{5} + 4 x^{4}) \cdot e^{- 2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{5} + 4 x^{4}) \cdot e^{- 2 x + 4}$

$f'(x) =$ $(25 x^{4} + 16 x^{3}) \cdot e^{- 2 x + 4} + (5 x^{5} + 4 x^{4}) \cdot e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2)$

= $(25 x^{4} + 16 x^{3}) \cdot e^{- 2 x + 4} + (5 x^{5} + 4 x^{4}) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 4})$

= $(25 x^{4} + 16 x^{3}) \cdot e^{- 2 x + 4} - 2 (5 x^{5} + 4 x^{4}) \cdot e^{- 2 x + 4}$

= $e^{- 2 x + 4} \cdot (- 10 x^{5} - 8 x^{4} + (25 x^{4} + 16 x^{3}))$

= $e^{- 2 x + 4} \cdot (- 10 x^{5} + 17 x^{4} + 16 x^{3})$

= $(- 10 x^{5} + 17 x^{4} + 16 x^{3}) \cdot e^{- 2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x - 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} - 2 x} \cdot (9 x^{2} - 2)$

= $\frac{9 x^{2} - 2}{3 x^{3} - 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (x^{2} - 5) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $2 x \cdot \cos (x^{3}) + (x^{2} - 5) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $2 x \cdot \cos (x^{3}) - 3 (x^{2} - 5) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- x}$

f'(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f'''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} + 3$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 4 e^{- 0,3 x} - 4 (x + 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 4 e^{- 0,3 x} + 1,2 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 4 + 1,2 x + 4,8)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1,2 x + 0,8)$

= $(1,2 x + 0,8) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten