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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x}$

$f'(x) =$ $- e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x + 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 2} + x^{5} \cdot e^{4 x + 2} \cdot 4$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 2} + x^{5} \cdot 4 e^{4 x + 2}$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 2} + 4 x^{5} \cdot e^{4 x + 2}$

= $e^{4 x + 2} \cdot (4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{4 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{3} + 1) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{3} + 1) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(12 x^{2} + 0) \cdot e^{- 2 x} + (4 x^{3} + 1) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $12 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + (4 x^{3} + 1) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $12 x^{2} \cdot e^{- 2 x} - 2 (4 x^{3} + 1) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x^{3} - 2 + 12 x^{2})$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x^{3} + 12 x^{2} - 2)$

= $(- 8 x^{3} + 12 x^{2} - 2) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x + 2} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x + 2} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x - 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 4 x - 2} + x^{2} \cdot e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4)$

= $2 x \cdot e^{- 4 x - 2} + x^{2} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 2})$

= $2 x \cdot e^{- 4 x - 2} - 4 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 2}$

= $e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4 x^{2} + 2 x)$

= $(- 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 4 x - 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${(- 1,15)}^{49} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $- 942,311 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 7$

= $- 4 e^{- 0,5 x} - 4 (x - 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 7$

= $- 4 e^{- 0,5 x} + 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 7$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 4 + 2 x - 12) - 7$

= $- 7 + (2 x - 4 - 12) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 7 + (2 x - 16) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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