$\text{f(x)}=$ $-2+\frac{3}{4}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{4}{e}^{3x}·3$

= $\frac{9}{4}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{2x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{2x-2}+x^5·e^{2x-2}·2$

= $5x^4·e^{2x-2}+x^5·2e^{2x-2}$

= $5x^4·e^{2x-2}+2x^5·e^{2x-2}$

= $e^{2x-2}·\left(2x^5+5x^4\right)$

= $\left(2x^5+5x^4\right)·e^{2x-2}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{4x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{4x-5}+x^2·e^{4x-5}·4$

= $2x·e^{4x-5}+x^2·4e^{4x-5}$

= $2x·e^{4x-5}+4x^2·e^{4x-5}$

= $e^{4x-5}·\left(4x^2+2x\right)$

= $\left(4x^2+2x\right)·e^{4x-5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x^2-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x^2-4}·\left(-6x+0\right)$

= $\frac{1}{-3x^2-4}·\left(-6x\right)$

= $-6\frac{x}{-3x^2-4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^2+5\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(6x+0\right)·e^{-2x}+\left(3x^2+5\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $6x·e^{-2x}+\left(3x^2+5\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $6x·e^{-2x}-2\left(3x^2+5\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-6x^2-10+6x\right)$

= $e^{-2x}·\left(-6x^2+6x-10\right)$

= $\left(-6x^2+6x-10\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+77\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-9x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-9$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-9$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,4}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-9$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(2-\mathrm{0,4}x+2\right)-9$

= $-9+\left(-\mathrm{0,4}x+2+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $-9+\left(-\mathrm{0,4}x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$