$\text{f(x)}=$ $-1-2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{2x}·2$

= $-4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x+4}-\frac{5}{2}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x+4}·\left(-3\right)-\frac{15}{2}{x}^2$

= $-3e^{-3x+4}-\frac{15}{2}{x}^2$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^5+e^{-2x}·5x^4$

= $-2·e^{-2x}{x}^5+5·e^{-2x}{x}^4$

= $e^{-2x}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $3\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{x}·1$

= $\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+6\right)·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\cos \left(x^2\right)+\left(3x+6\right)·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $3\cdot \cos \left(x^2\right)+\left(3x+6\right)·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $3\cdot \cos \left(x^2\right)-2\left(3x+6\right)\sin \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $5e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{4,75}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{4,75}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{4,5125}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{4,5125}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{4,2869}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{4,2869}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{4,0725}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 73-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 73 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{73}$

Somit gilt für die 73-te Ableitung:

f⁽⁷³⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{73}·5e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $-\mathrm{0,118}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+9$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}+\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{0,4}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(1-\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$