$\text{f(x)}=$ $e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3$

= $3e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{x^3}+2e^{-3x-1}$

= $-4x^{-3}+2e^{-3x-1}$

=> f'(x) = $12x^{-4}+2e^{-3x-1}·\left(-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{12}{x^4}+2e^{-3x-1}·\left(-3\right)$

= $\frac{12}{x^4}-6e^{-3x-1}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·x^3+e^{-3x}·3x^2$

= $-3·e^{-3x}{x}^3+3·e^{-3x}{x}^2$

= $e^{-3x}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{6x}·6$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+2\right)·\cos \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\cos \left(x^3\right)+\left(x^2+2\right)·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

= $2x·\cos \left(x^3\right)+\left(x^2+2\right)·\left(-3\sin \left(x^3\right)x^2\right)$

= $2x·\cos \left(x^3\right)-3\left(x^2+2\right)\sin \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{75}·e^{\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,021}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+7$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,3}x}-2\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,6}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-2+\mathrm{0,6}x+\mathrm{4,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,6}x+\mathrm{2,2}\right)$

= $\left(\mathrm{0,6}x+\mathrm{2,2}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$