Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $\frac{5}{12} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x + 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x + 3} + x^{2} \cdot e^{- 2 x + 3} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x + 3} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 3})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x + 3} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x + 3}$

= $e^{- 2 x + 3} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{2} + e^{- 2 x} \cdot 2 x$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{2} + 2 \cdot e^{- 2 x} x$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} - x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} - x} \cdot (- 2 x - 1)$

= $\frac{- 2 x - 1}{- x^{2} - x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 9) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 9) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} - 9) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} - 18 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x - 18)$

= $(2 x^{2} + 2 x - 18) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 37-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{1,15 x}$

f'(x) = $5 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $5,75 e^{1,15 x}$

f''(x) = $5,75 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $6,6125 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $6,6125 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $7,6044 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $7,6044 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $8,745 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 37-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 37 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{37}$

Somit gilt für die 37-te Ableitung:

f⁽³⁷⁾(x) = ${1,15}^{37} \cdot 5 e^{1,15 x}$

≈ $880,623 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 2$

= $3 e^{- 0,3 x} + 3 (x + 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 2$

= $3 e^{- 0,3 x} - 0,9 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 2$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (3 - 0,9 x - 0,9) - 2$

= $- 2 + (- 0,9 x + 3 - 0,9) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 2 + (- 0,9 x + 2,1) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten