Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x + 3} + 5 x^{4} - \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x + 3} + 5 x^{4} - \sqrt{x}$

= $3 e^{x + 3} + 5 x^{4} - x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $3 e^{x + 3} \cdot 1 + 20 x^{3} - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $3 e^{x + 3} \cdot 1 + 20 x^{3} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

= $3 e^{x + 3} + 20 x^{3} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 9 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 3 x} + (- 3 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(- 9 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 3 x} + (- 3 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(- 9 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 3 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (9 x^{3} + 6 x^{2} + (- 9 x^{2} - 4 x))$

= $e^{- 3 x} \cdot (9 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x)$

= $(9 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{- 3 x - 1}$

= $- {(- 3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} {(- 3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \sqrt{- 3 x - 1}} \cdot (- 3 + 0)$

= $- \frac{1}{2 \sqrt{- 3 x - 1}} \cdot (- 3)$

= $\frac{3}{2 \sqrt{- 3 x - 1}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 42-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 42-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 42 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{42}$

Somit gilt für die 42-te Ableitung:

f⁽⁴²⁾(x) = ${1,15}^{42} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $354,25 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x - 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2 + 1,6 x - 3,2)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1,6 x - 5,2)$

= $(1,6 x - 5,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten