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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $\frac{3}{2} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} - 2 e^{- 3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} - 2 e^{- 3 x + 1}$

$f'(x) =$ $6 x - 2 e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $6 x + 6 e^{- 3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x^{3} + 4}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x^{3} + 4} \cdot (- 6 x^{2})$

= $6 \cdot e^{- 2 x^{3} + 4} x^{2}$

= $6 x^{2} e^{- 2 x^{3} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} - 2 x} \cdot (6 x - 2)$

= $\frac{6 x - 2}{3 x^{2} - 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 8) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 8) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (x + 8) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $\sin (x^{3}) + (x + 8) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\sin (x^{3}) + 3 (x + 8) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 34-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${(- 1,15)}^{34} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $115,805 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 8$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 4 e^{- 0,7 x} - 4 (x + 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 4 e^{- 0,7 x} + 2,8 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 4 + 2,8 x + 11,2)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2,8 x + 7,2)$

= $(2,8 x + 7,2) \cdot e^{- 0,7 x}$