$\text{f(x)}=$ $-3e^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{\frac{3}{5}x}·\frac{3}{5}$

= $-\frac{9}{5}{e}^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{3x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{3x-4}+x^4·e^{3x-4}·3$

= $4x^3·e^{3x-4}+x^4·3e^{3x-4}$

= $4x^3·e^{3x-4}+3x^4·e^{3x-4}$

= $e^{3x-4}·\left(4x^3+3x^4\right)$

= $e^{3x-4}·\left(3x^4+4x^3\right)$

= $\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x-4}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{x-3}+x^2·e^{x-3}·1$

= $2x·e^{x-3}+x^2·e^{x-3}$

= $e^{x-3}·\left(2x+x^2\right)$

= $e^{x-3}·\left(x^2+2x\right)$

= $\left(x^2+2x\right)·e^{x-3}$

$\text{f(x)}=$ $-5\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-5}{4x}·4$

= $-\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(x^2-1\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $12{\left(x^2-1\right)}^3·\left(2x+0\right)$

= $12{\left(x^2-1\right)}^3·\left(2x\right)$

= $24{\left(x^2-1\right)}^{3}x$

= $24x{\left(x^2-1\right)}^3$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+93\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{1,2}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{8,4}-2\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{10,4}\right)$

= $\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{10,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$