Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{9} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{8}{3} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 4 x - 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 1} + x^{5} \cdot e^{- 4 x - 1} \cdot (- 4)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 1} + x^{5} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 1})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 1} - 4 x^{5} \cdot e^{- 4 x - 1}$

= $e^{- 4 x - 1} \cdot (- 4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 4 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x - 2}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (2 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (2 x + 1)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \sin (2 x + 1) + x^{4} \cdot \cos (2 x + 1) \cdot (2 + 0)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (2 x + 1) + x^{4} \cdot \cos (2 x + 1) \cdot (2)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (2 x + 1) + x^{4} \cdot 2 \cdot \cos (2 x + 1)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (2 x + 1) + 2 x^{4} \cdot \cos (2 x + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{0,9 x}$

f'(x) = $5 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $4,5 e^{0,9 x}$

f''(x) = $4,5 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $4,05 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $4,05 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $3,645 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,645 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $3,2805 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${0,9}^{62} \cdot 5 e^{0,9 x}$

≈ $0,007 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 7$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $2 e^{- 0,3 x} + 2 (x - 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $2 e^{- 0,3 x} - 0,6 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (2 - 0,6 x + 4,2)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,6 x + 6,2)$

= $(- 0,6 x + 6,2) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten