$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{6}{e}^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{6}{e}^{\frac{3}{5}x}·\frac{3}{5}$

= $\frac{1}{2}{e}^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^5-x^3\right)·e^{-2x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(25x^4-3x^2\right)·e^{-2x+3}+\left(5x^5-x^3\right)·e^{-2x+3}·\left(-2\right)$

= $\left(25x^4-3x^2\right)·e^{-2x+3}+\left(5x^5-x^3\right)·\left(-2e^{-2x+3}\right)$

= $\left(25x^4-3x^2\right)·e^{-2x+3}-2\left(5x^5-x^3\right)·e^{-2x+3}$

= $e^{-2x+3}·(-10x^5+2x^3+\left(25x^4-3x^2\right))$

= $e^{-2x+3}·\left(-10x^5+25x^4+2x^3-3x^2\right)$

= $\left(-10x^5+25x^4+2x^3-3x^2\right)·e^{-2x+3}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{3x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{3x-4}·3$

= $-6e^{3x-4}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{2x}·2$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+2\right)·\cos \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\cos \left(-2x\right)+\left(3x+2\right)·(-\sin \left(-2x\right)·\left(-2\right))$

= $3\cdot \cos \left(-2x\right)+\left(3x+2\right)·2\cdot \sin \left(-2x\right)$

= $3\cdot \cos \left(-2x\right)+2\left(3x+2\right)·\sin \left(-2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $2e^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{1,8}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,8}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{1,62}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,62}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{1,458}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,458}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{1,3122}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,9}}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${\mathrm{0,9}}^{60}·2e^{\mathrm{0,9}x}$

≈ $\mathrm{0,004}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,2}x}+4\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,8}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(4-\mathrm{0,8}x-\mathrm{1,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,8}x+\mathrm{2,4}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,8}x+\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$