Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x + 5} + \sqrt[3]{x} + \frac{5}{4 x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x + 5} + \sqrt[3]{x} + \frac{5}{4 x^{3}}$

= $e^{- 2 x + 5} + x^{\frac{1}{3}} + \frac{5}{4} x^{- 3}$

=> f'(x) = $e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2) + \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - \frac{15}{4} x^{- 4}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2) + \frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} - \frac{15}{4 x^{4}}$

= $- 2 e^{- 2 x + 5} + \frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} - \frac{15}{4 x^{4}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{5} - 2 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{5} - 2 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(20 x^{4} - 6 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} + (4 x^{5} - 2 x^{3}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(20 x^{4} - 6 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} + (4 x^{5} - 2 x^{3}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(20 x^{4} - 6 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} - 2 (4 x^{5} - 2 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x^{5} + 4 x^{3} + (20 x^{4} - 6 x^{2}))$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x^{5} + 20 x^{4} + 4 x^{3} - 6 x^{2})$

= $(- 8 x^{5} + 20 x^{4} + 4 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} + 1} \cdot (- 8 x + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x^{2} + 1} \cdot (- 8 x)$

= $- 8 \frac{x}{- 4 x^{2} + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (- 3 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (- 3 x - 3)$

$f'(x) =$ $- \sin (- 3 x - 3) \cdot (- 3 + 0)$

= $- \sin (- 3 x - 3) \cdot (- 3)$

= $3 \cdot \sin (- 3 x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{1,1 x}$

f'(x) = $- 2 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 2,2 e^{1,1 x}$

f''(x) = $- 2,2 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 2,42 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $- 2,42 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 2,662 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,662 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 2,9282 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${1,1}^{50} \cdot (- 2 e^{1,1 x})$

≈ $- 234,782 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 5$

= $- e^{- 0,7 x} - (x + 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 5$

= $- e^{- 0,7 x} + 0,7 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 5$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1 + 0,7 x + 4,2) - 5$

= $- 5 + (0,7 x - 1 + 4,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 5 + (0,7 x + 3,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten