$\text{f(x)}=$ $-1-e^{\frac{1}{2}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{\frac{1}{2}x}·\frac{1}{2}$

= $-\frac{1}{2}{e}^{\frac{1}{2}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+2\right)·e^{-5x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-5x+5}+\left(x^2+2\right)·e^{-5x+5}·\left(-5\right)$

= $2x·e^{-5x+5}+\left(x^2+2\right)·\left(-5e^{-5x+5}\right)$

= $2x·e^{-5x+5}-5\left(x^2+2\right)·e^{-5x+5}$

= $e^{-5x+5}·\left(-5x^2-10+2x\right)$

= $e^{-5x+5}·\left(-5x^2+2x-10\right)$

= $\left(-5x^2+2x-10\right)·e^{-5x+5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^5-x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-15x^4-2x\right)·e^{-2x}+\left(-3x^5-x^2\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $\left(-15x^4-2x\right)·e^{-2x}+\left(-3x^5-x^2\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $\left(-15x^4-2x\right)·e^{-2x}-2\left(-3x^5-x^2\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·(6x^5+2x^2+\left(-15x^4-2x\right))$

= $e^{-2x}·\left(6x^5-15x^4+2x^2-2x\right)$

= $\left(6x^5-15x^4+2x^2-2x\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $2\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{4x}·4$

= $\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+1\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{3x}+\left(2x+1\right)·e^{3x}·3$

= $2e^{3x}+\left(2x+1\right)·3e^{3x}$

= $2e^{3x}+3\left(2x+1\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(2+6x+3\right)$

= $e^{3x}·\left(6x+5\right)$

= $\left(6x+5\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+77\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+3$

= $-e^{-\mathrm{0,8}x}-\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)+3$

= $-e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{0,8}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+3$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-1+\mathrm{0,8}x-\mathrm{3,2}\right)+3$

= $3+\left(\mathrm{0,8}x-1-\mathrm{3,2}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $3+\left(\mathrm{0,8}x-\mathrm{4,2}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$