$\text{f(x)}=$ $-4+\frac{2}{3}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{2}{3}{e}^{3x}·3$

= $2e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x+4\right)·e^{-3x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(5+0\right)·e^{-3x-4}+\left(5x+4\right)·e^{-3x-4}·\left(-3\right)$

= $5e^{-3x-4}+\left(5x+4\right)·\left(-3e^{-3x-4}\right)$

= $5e^{-3x-4}-3\left(5x+4\right)·e^{-3x-4}$

= $e^{-3x-4}·\left(5-15x-12\right)$

= $e^{-3x-4}·\left(-15x-7\right)$

= $\left(-15x-7\right)·e^{-3x-4}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-3x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-3x-5}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x-5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(x-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x-3}·\left(1+0\right)$

= $\frac{1}{x-3}·\left(1\right)$

= $\frac{1}{x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+8\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2+8\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2+8\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2+8\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2-16+2x\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x-16\right)$

= $\left(-2x^2+2x-16\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $2e^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $\mathrm{2,2}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $\mathrm{2,2}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $\mathrm{2,42}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,42}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $\mathrm{2,662}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,662}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $\mathrm{2,9282}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,1}}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${\mathrm{1,1}}^{58}·2e^{\mathrm{1,1}x}$

≈ $\mathrm{503,275}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-8$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,2}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-1+\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,8}\right)$

= $\left(\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$