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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{4}{3} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{4}{3} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{4}{3} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 4 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \cdot \sin (x) - 3 e^{2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \cdot \sin (x) - 3 e^{2 x + 1}$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot \cos (x) - 3 e^{2 x + 1} \cdot 2$

= $- 4 \cdot \cos (x) - 6 e^{2 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (4 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (4 x - 3)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (4 x - 3) + e^{3 x} \cdot (4 + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} (4 x - 3) + e^{3 x} \cdot (4)$

= $3 \cdot e^{3 x} (4 x - 3) + 4 e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (4 + 12 x - 9)$

= $e^{3 x} \cdot (12 x - 5)$

= $(12 x - 5) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} + 4 x} \cdot (6 x^{2} + 4)$

= $\frac{6 x^{2} + 4}{2 x^{3} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(\sin (x) - 3)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(\sin (x) - 3)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 4 (\sin (x) - 3) \cdot (\cos (x) + 0)$

= $- 4 (\sin (x) - 3) \cdot (\cos (x))$

= $- 4 (\sin (x) - 3) \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{1,05 x}$

f'(x) = $2 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $2,1 e^{1,05 x}$

f''(x) = $2,1 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $2,205 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $2,205 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $2,3153 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,3153 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $2,431 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${1,05}^{75} \cdot 2 e^{1,05 x}$

≈ $77,665 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 8$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $3 e^{- 0,2 x} + 3 (x + 1) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $3 e^{- 0,2 x} - 0,6 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (3 - 0,6 x - 0,6)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,6 x + 2,4)$

= $(- 0,6 x + 2,4) \cdot e^{- 0,2 x}$