Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{11}{9} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{11}{9} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{11}{9} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{11}{3} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- x - 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- x - 1} + x^{4} \cdot e^{- x - 1} \cdot (- 1)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- x - 1} + x^{4} \cdot (- e^{- x - 1})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- x - 1} - x^{4} \cdot e^{- x - 1}$

= $e^{- x - 1} \cdot (4 x^{3} - x^{4})$

= $e^{- x - 1} \cdot (- x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{3} + 2 x^{4})$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (x - 1)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \sin (x - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 43-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${(- 1,15)}^{43} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $- 407,387 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 3$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x - 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 3$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 3$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1,4 x + 7 + 2) + 3$

= $3 + (- 1,4 x + 7 + 2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $3 + (- 1,4 x + 9) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten