$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $6e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{2x+2}-\frac{9}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{2x+2}·2+\frac{9}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

= $-6e^{2x+2}+\frac{9}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^4-4x\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(8x^3-4\right)·e^{3x}+\left(2x^4-4x\right)·e^{3x}·3$

= $\left(8x^3-4\right)·e^{3x}+\left(2x^4-4x\right)·3e^{3x}$

= $\left(8x^3-4\right)·e^{3x}+3\left(2x^4-4x\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(6x^4-12x+8x^3-4\right)$

= $e^{3x}·\left(6x^4+8x^3-12x-4\right)$

= $\left(6x^4+8x^3-12x-4\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{x}·1$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $2\sqrt{-x^2+4}$

= $2{\left(-x^2+4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${\left(-x^2+4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-2x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{-x^2+4}}·\left(-2x+0\right)$

= $\frac{1}{\sqrt{-x^2+4}}·\left(-2x\right)$

= $-2\frac{x}{\sqrt{-x^2+4}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $-5e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{4,25}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{4,25}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{3,6125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{3,6125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{3,0706}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{3,0706}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{2,61}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 44-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 44 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{44}$

Somit gilt für die 44-te Ableitung:

f⁽⁴⁴⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{44}·\left(-5e^{-\mathrm{0,85}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,004}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-8$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}+\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,1}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(1-\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$