$\text{f(x)}=$ $-3+e^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{\frac{1}{3}x}·\frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3}{e}^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{9}{2x^3}-e^{-2x-1}+\frac{4}{3}{x}^5$

= $-\frac{9}{2}{x}^{-3}-e^{-2x-1}+\frac{4}{3}{x}^5$

=> f'(x) = $\frac{27}{2}{x}^{-4}-e^{-2x-1}·\left(-2\right)+\frac{20}{3}{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{27}{2x^4}-e^{-2x-1}·\left(-2\right)+\frac{20}{3}{x}^4$

= $\frac{27}{2x^4}+2e^{-2x-1}+\frac{20}{3}{x}^4$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^2+e^{-2x}·2x$

= $-2·e^{-2x}{x}^2+2·e^{-2x}x$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{x}·1$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+3\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{3x}+\left(x^2+3\right)·e^{3x}·3$

= $2x·e^{3x}+\left(x^2+3\right)·3e^{3x}$

= $2x·e^{3x}+3\left(x^2+3\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^2+9+2x\right)$

= $e^{3x}·\left(3x^2+2x+9\right)$

= $\left(3x^2+2x+9\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^x$

f'(x) = $4e^x$

f''(x) = $4e^x$

f'''(x) = $4e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $4e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}+\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{0,7}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(1-\mathrm{0,7}x+\mathrm{3,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}x+\mathrm{4,5}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,7}x+\mathrm{4,5}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$