$\text{f(x)}=$ $1+2e^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{\frac{7}{9}x}·\frac{7}{9}$

= $\frac{14}{9}{e}^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{3x-5}+\frac{1}{3}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{3x-5}·3-\frac{1}{3}\cdot \sin \left(x\right)$

= $6e^{3x-5}-\frac{1}{3}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^3+4x\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3x^2+4\right)·e^{2x}+\left(x^3+4x\right)·e^{2x}·2$

= $\left(3x^2+4\right)·e^{2x}+\left(x^3+4x\right)·2e^{2x}$

= $\left(3x^2+4\right)·e^{2x}+2\left(x^3+4x\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^3+8x+3x^2+4\right)$

= $e^{2x}·\left(2x^3+3x^2+8x+4\right)$

= $\left(2x^3+3x^2+8x+4\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{5x}·5$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(-2x+5\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $6{\left(-2x+5\right)}^2·\left(-2+0\right)$

= $6{\left(-2x+5\right)}^2·\left(-2\right)$

= $-12{\left(-2x+5\right)}^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^x$

f'(x) = $2e^x$

f''(x) = $2e^x$

f'''(x) = $2e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $2e^x$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+7x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+7$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+7$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+7$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-4+2x+12\right)+7$

= $7+\left(2x-4+12\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $7+\left(2x+8\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$