$\text{f(x)}=$ $-1-3e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^x$

= $-3e^x$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{3x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{3x-5}+x^5·e^{3x-5}·3$

= $5x^4·e^{3x-5}+x^5·3e^{3x-5}$

= $5x^4·e^{3x-5}+3x^5·e^{3x-5}$

= $e^{3x-5}·\left(3x^5+5x^4\right)$

= $\left(3x^5+5x^4\right)·e^{3x-5}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{3x^2+5}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{3x^2+5}·6x$

= $18·e^{3x^2+5}x$

= $18x{e}^{3x^2+5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x^3+2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x^3+2x}·\left(12x^2+2\right)$

= $\frac{12x^2+2}{4x^3+2x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{-2x+2}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{-2x+2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{-2x+2}+x^{\frac{1}{2}}·e^{-2x+2}·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{-2x+2}+\sqrt{x}·e^{-2x+2}·\left(-2\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-2x+2}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-2e^{-2x+2}\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-2x+2}}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x}·e^{-2x+2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $e^x·\left(x+75\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-3$

= $3e^{-\mathrm{0,3}x}+3\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-3$

= $3e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,9}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(3-\mathrm{0,9}x+\mathrm{3,6}\right)-3$

= $-3+\left(-\mathrm{0,9}x+3+\mathrm{3,6}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $-3+\left(-\mathrm{0,9}x+\mathrm{6,6}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$