Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{9}{7} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{9}{7} e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{9}{7} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{9}{7} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{3} + x) \cdot e^{- 2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{3} + x) \cdot e^{- 2 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{2} + 1) \cdot e^{- 2 x + 2} + (- 5 x^{3} + x) \cdot e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

= $(- 15 x^{2} + 1) \cdot e^{- 2 x + 2} + (- 5 x^{3} + x) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 2})$

= $(- 15 x^{2} + 1) \cdot e^{- 2 x + 2} - 2 (- 5 x^{3} + x) \cdot e^{- 2 x + 2}$

= $e^{- 2 x + 2} \cdot (10 x^{3} - 2 x - 15 x^{2} + 1)$

= $e^{- 2 x + 2} \cdot (10 x^{3} - 15 x^{2} - 2 x + 1)$

= $(10 x^{3} - 15 x^{2} - 2 x + 1) \cdot e^{- 2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} + 4 x} \cdot (- 2 x + 4)$

= $\frac{- 2 x + 4}{- x^{2} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 3) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 3) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (2 x) + (2 x + 3) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $2 \cdot \sin (2 x) + (2 x + 3) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $2 \cdot \sin (2 x) + 2 (2 x + 3) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 79)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 9$

= $2 e^{- 0,6 x} + 2 (x + 3) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 9$

= $2 e^{- 0,6 x} - 1,2 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 9$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2 - 1,2 x - 3,6) - 9$

= $- 9 + (- 1,2 x + 2 - 3,6) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 9 + (- 1,2 x - 1,6) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten