$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{5}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{5}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-x-5}+x^4·e^{-x-5}·\left(-1\right)$

= $4x^3·e^{-x-5}+x^4·\left(-e^{-x-5}\right)$

= $4x^3·e^{-x-5}-x^4·e^{-x-5}$

= $e^{-x-5}·\left(-x^4+4x^3\right)$

= $\left(-x^4+4x^3\right)·e^{-x-5}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·\left(3x^4-4x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·\left(3x^4-4x^2\right)+e^{-2x}·\left(12x^3-8x\right)$

= $-2·e^{-2x}\left(3x^4-4x^2\right)+e^{-2x}\left(12x^3-8x\right)$

= $e^{-2x}·(-6x^4+8x^2+\left(12x^3-8x\right))$

= $e^{-2x}·\left(-6x^4+12x^3+8x^2-8x\right)$

= $\left(-6x^4+12x^3+8x^2-8x\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(x^2-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x^2-4}·\left(2x+0\right)$

= $\frac{1}{x^2-4}·\left(2x\right)$

= $2\frac{x}{x^2-4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-2\right)·\cos \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\cos \left(3x\right)+\left(3x-2\right)·(-\sin \left(3x\right)·3)$

= $3\cdot \cos \left(3x\right)+\left(3x-2\right)·\left(-3\cdot \sin \left(3x\right)\right)$

= $3\cdot \cos \left(3x\right)-3\left(3x-2\right)·\sin \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+86\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-5+3x+18\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(3x+13\right)$

= $\left(3x+13\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$