$\text{f(x)}=$ $e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3$

= $3e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-x^5+2e^{-x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $-5x^4+2e^{-x+2}·\left(-1\right)$

= $-5x^4-2e^{-x+2}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-x-1}·\left(-1\right)$

= $e^{-x-1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^2-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^2-2x}·\left(-2x-2\right)$

= $\frac{-2x-2}{-x^2-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-6\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-2x}+\left(x-6\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $e^{-2x}+\left(x-6\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $e^{-2x}-2\left(x-6\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(1-2x+12\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x+13\right)$

= $\left(-2x+13\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $5e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{4,75}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{4,75}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{4,5125}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{4,5125}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{4,2869}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{4,2869}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{4,0725}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 68-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 68 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{68}$

Somit gilt für die 68-te Ableitung:

f⁽⁶⁸⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{68}·5e^{\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,153}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+1$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2-x-6\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-x-4\right)$

= $\left(-x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$