$\text{f(x)}=$ $2e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-6e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^x+x^4·e^x$

= $4x^3·e^x+x^4·e^x$

= $e^x·\left(x^4+4x^3\right)$

= $\left(x^4+4x^3\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^3+3\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(12x^2+0\right)·e^{-3x}+\left(4x^3+3\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $12x^2·e^{-3x}+\left(4x^3+3\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $12x^2·e^{-3x}-3\left(4x^3+3\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-12x^3-9+12x^2\right)$

= $e^{-3x}·\left(-12x^3+12x^2-9\right)$

= $\left(-12x^3+12x^2-9\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{5x}·5$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-7\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(3x-7\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $3\cdot \sin \left(x^3\right)+\left(3x-7\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $3\cdot \sin \left(x^3\right)+3\left(3x-7\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $-3e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{3,45}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{3,45}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{3,9675}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{3,9675}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{4,5626}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{4,5626}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{5,247}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{34}·\left(-3e^{-\mathrm{1,15}x}\right)$

≈ $-\mathrm{347,414}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-5\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,8}x}-5\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-5+4x-28\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(4x-33\right)$

= $\left(4x-33\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$