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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{4} + 3 \cdot \sin (x) - 3 e^{- 3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{4} + 3 \cdot \sin (x) - 3 e^{- 3 x + 2}$

$f'(x) =$ $8 x^{3} + 3 \cdot \cos (x) - 3 e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3)$

= $8 x^{3} + 3 \cdot \cos (x) + 9 e^{- 3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x^{2} + 5} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \cdot e^{- 2 x^{2} + 5} x$

= $- 4 x e^{- 2 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} + 3 x} \cdot (- 6 x + 3)$

= $\frac{- 6 x + 3}{- 3 x^{2} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(\sin (x) + 2)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(\sin (x) + 2)}^{3}$

$f'(x) =$ $9 {(\sin (x) + 2)}^{2} \cdot (\cos (x) + 0)$

= $9 {(\sin (x) + 2)}^{2} \cdot (\cos (x))$

= $9 {(\sin (x) + 2)}^{2} \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 34-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${(- 0,85)}^{34} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $0,004 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 5$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $4 e^{- 0,6 x} + 4 (x - 4) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $4 e^{- 0,6 x} - 2,4 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (4 - 2,4 x + 9,6)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 2,4 x + 13,6)$

= $(- 2,4 x + 13,6) \cdot e^{- 0,6 x}$