$\text{f(x)}=$ $3+\frac{1}{4}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{4}{e}^{3x}·3$

= $\frac{3}{4}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x^5+x^3\right)·e^{-3x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-20x^4+3x^2\right)·e^{-3x-1}+\left(-4x^5+x^3\right)·e^{-3x-1}·\left(-3\right)$

= $\left(-20x^4+3x^2\right)·e^{-3x-1}+\left(-4x^5+x^3\right)·\left(-3e^{-3x-1}\right)$

= $\left(-20x^4+3x^2\right)·e^{-3x-1}-3\left(-4x^5+x^3\right)·e^{-3x-1}$

= $e^{-3x-1}·(12x^5-3x^3+\left(-20x^4+3x^2\right))$

= $e^{-3x-1}·\left(12x^5-20x^4-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(12x^5-20x^4-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x-1}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-x}+x^3·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $3x^2·e^{-x}+x^3·\left(-e^{-x}\right)$

= $3x^2·e^{-x}-x^3·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x^3+3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x^3+3x}·\left(6x^2+3\right)$

= $\frac{6x^2+3}{2x^3+3x}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(e^{-3x}-4\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $9{\left(e^{-3x}-4\right)}^2·(e^{-3x}·\left(-3\right)+0)$

= $9{\left(e^{-3x}-4\right)}^2·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $-27{\left(e^{-3x}-4\right)}^2·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^x·\left(x+77\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-1$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,3}x}+2\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,6}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(2-\mathrm{0,6}x-\mathrm{1,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,8}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$