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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x + 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x + 3} + x^{2} \cdot e^{- 2 x + 3} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x + 3} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 3})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x + 3} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x + 3}$

= $e^{- 2 x + 3} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x^{3} - 1}$

$f'(x) =$ $e^{2 x^{3} - 1} \cdot 6 x^{2}$

= $6 \cdot e^{2 x^{3} - 1} x^{2}$

= $6 x^{2} e^{2 x^{3} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} + 2} \cdot (4 x + 0)$

= $\frac{1}{2 x^{2} + 2} \cdot (4 x)$

= $4 \frac{x}{2 x^{2} + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(- x - 4)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(- x - 4)}^{3}$

$f'(x) =$ $6 {(- x - 4)}^{2} \cdot (- 1 + 0)$

= $6 {(- x - 4)}^{2} \cdot (- 1)$

= $- 6 {(- x - 4)}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 35-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 35-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 35 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{35}$

Somit gilt für die 35-te Ableitung:

f⁽³⁵⁾(x) = ${1,15}^{35} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $133,176 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 6$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x - 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 6$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 6$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2 + 1,6 x - 6,4) + 6$

= $6 + (1,6 x - 2 - 6,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $6 + (1,6 x - 8,4) \cdot e^{- 0,8 x}$