Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{6} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{5}{2} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (2 x + 3 x^{2})$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (5 x^{4} - 2 x^{5})$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{3 x} + \sqrt{x} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 e^{3 x}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $3 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,7 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 2,7 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,43 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $2,43 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,187 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,187 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $1,9683 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${(- 0,9)}^{57} \cdot 3 e^{- 0,9 x}$

≈ $- 0,007 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 5$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x - 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1,6 x - 8 - 2)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1,6 x - 10)$

= $(1,6 x - 10) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten