Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{x}$

= $3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x + 2) \cdot e^{2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x + 2) \cdot e^{2 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 1 + 0) \cdot e^{2 x - 1} + (- x + 2) \cdot e^{2 x - 1} \cdot 2$

= $- e^{2 x - 1} + (- x + 2) \cdot 2 e^{2 x - 1}$

= $- e^{2 x - 1} + 2 (- x + 2) \cdot e^{2 x - 1}$

= $e^{2 x - 1} \cdot (- 2 x + 4 - 1)$

= $e^{2 x - 1} \cdot (- 2 x + 3)$

= $(- 2 x + 3) \cdot e^{2 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{3} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{3} + 4 x)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 4 x^{3} + 4 x) + e^{2 x} \cdot (- 12 x^{2} + 4)$

= $2 \cdot e^{2 x} (- 4 x^{3} + 4 x) + e^{2 x} (- 12 x^{2} + 4)$

= $e^{2 x} \cdot (- 12 x^{2} + 4 + (- 8 x^{3} + 8 x))$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + 4)$

= $(- 8 x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + 4) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} + 3} \cdot (- 10 x + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{2} + 3} \cdot (- 10 x)$

= $- 10 \frac{x}{- 5 x^{2} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 9) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 9) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (3 x^{2} - 9) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $6 x \cdot \sin (- 2 x) + (3 x^{2} - 9) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $6 x \cdot \sin (- 2 x) - 2 (3 x^{2} - 9) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{0,95 x}$

f'(x) = $- 2 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 1,9 e^{0,95 x}$

f''(x) = $- 1,9 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 1,805 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $- 1,805 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 1,7148 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,7148 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 1,629 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 77-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 77 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{77}$

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = ${0,95}^{77} \cdot (- 2 e^{0,95 x})$

≈ $- 0,039 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} + 9$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $e^{- 0,2 x} + (x - 7) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $e^{- 0,2 x} - 0,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2 x + 1,4 + 1)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2 x + 2,4)$

= $(- 0,2 x + 2,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten