Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $- \frac{1}{3} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{4} + 2 x^{3}) \cdot e^{- 2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{4} + 2 x^{3}) \cdot e^{- 2 x - 5}$

$f'(x) =$ $(4 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 5} + (x^{4} + 2 x^{3}) \cdot e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2)$

= $(4 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 5} + (x^{4} + 2 x^{3}) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 5})$

= $(4 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 5} - 2 (x^{4} + 2 x^{3}) \cdot e^{- 2 x - 5}$

= $e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2 x^{4} - 4 x^{3} + (4 x^{3} + 6 x^{2}))$

= $e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2 x^{4} + 0 + 6 x^{2})$

= $e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2 x^{4} + 6 x^{2})$

= $(- 2 x^{4} + 6 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{3} - 6 x) \cdot e^{x} + (- 5 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- 5 x^{4} - 3 x^{2} + (- 20 x^{3} - 6 x))$

= $e^{x} \cdot (- 5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x)$

= $(- 5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(- 2 x + 1)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(- 2 x + 1)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 8 {(- 2 x + 1)}^{3} \cdot (- 2 + 0)$

= $- 8 {(- 2 x + 1)}^{3} \cdot (- 2)$

= $16 {(- 2 x + 1)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 75)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} - x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 1$

= $e^{- 0,6 x} + (x + 6) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 1$

= $e^{- 0,6 x} - 0,6 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} - 1$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1 - 0,6 x - 3,6) - 1$

= $- 1 + (- 0,6 x + 1 - 3,6) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 1 + (- 0,6 x - 2,6) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten