Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $- e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{3} - 4) \cdot e^{- 3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{3} - 4) \cdot e^{- 3 x + 1}$

$f'(x) =$ $(9 x^{2} + 0) \cdot e^{- 3 x + 1} + (3 x^{3} - 4) \cdot e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $9 x^{2} \cdot e^{- 3 x + 1} + (3 x^{3} - 4) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 1})$

= $9 x^{2} \cdot e^{- 3 x + 1} - 3 (3 x^{3} - 4) \cdot e^{- 3 x + 1}$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (- 9 x^{3} + 12 + 9 x^{2})$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (- 9 x^{3} + 9 x^{2} + 12)$

= $(- 9 x^{3} + 9 x^{2} + 12) \cdot e^{- 3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x + 1} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{- 3 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{{(- 2 x^{3} + 1)}^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{{(- 2 x^{3} + 1)}^{3}}$

= $2 {(- 2 x^{3} + 1)}^{- 3}$

=> f'(x) = $- 6 {(- 2 x^{3} + 1)}^{- 4} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{6}{{(- 2 x^{3} + 1)}^{4}} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $- \frac{6}{{(- 2 x^{3} + 1)}^{4}} \cdot (- 6 x^{2})$

= $36 \frac{x^{2}}{{(- 2 x^{3} + 1)}^{4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $- 4 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $4,2 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $4,2 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 4,41 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $- 4,41 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $4,6305 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,6305 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 4,862 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 79-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 79 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{79}$

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = ${(- 1,05)}^{79} \cdot (- 4 e^{- 1,05 x})$

≈ $188,805 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 8$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $5 e^{- 0,9 x} + 5 (x + 3) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $5 e^{- 0,9 x} - 4,5 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (5 - 4,5 x - 13,5)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 4,5 x - 8,5)$

= $(- 4,5 x - 8,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten