$\text{f(x)}=$ $e^{\frac{7}{6}x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{\frac{7}{6}x}·\frac{7}{6}$

= $\frac{7}{6}{e}^{\frac{7}{6}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{3x-2}+\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{3x-2}·3-\sin \left(x\right)$

= $-9e^{3x-2}-\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{2x}+x^2·e^{2x}·2$

= $2x·e^{2x}+x^2·2e^{2x}$

= $2x·e^{2x}+2x^2·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^2+2x\right)$

= $\left(2x^2+2x\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{6x}·6$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt{-2x^2+2}$

= $3{\left(-2x^2+2\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{\left(-2x^2+2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-4x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2\sqrt{-2x^2+2}}·\left(-4x+0\right)$

= $\frac{3}{2\sqrt{-2x^2+2}}·\left(-4x\right)$

= $-6\frac{x}{\sqrt{-2x^2+2}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{1,21}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,21}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{1,331}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,331}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{1,4641}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{52}·e^{-\mathrm{1,1}x}$

≈ $\mathrm{142,043}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-1$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-1$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,2}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-1$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(2-\mathrm{1,2}x-\mathrm{3,6}\right)-1$

= $-1+\left(-\mathrm{1,2}x+2-\mathrm{3,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-1+\left(-\mathrm{1,2}x-\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$