Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - 3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - 3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x - 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 5} + x^{4} \cdot e^{3 x - 5} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 5} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x - 5}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 5} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x - 5}$

= $e^{3 x - 5} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- x} + (3 x + 4) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $3 e^{- x} + (3 x + 4) \cdot (- e^{- x})$

= $3 e^{- x} - (3 x + 4) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (3 - 3 x - 4)$

= $e^{- x} \cdot (- 3 x - 1)$

= $(- 3 x - 1) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} + 2 x} \cdot (- 8 x + 2)$

= $\frac{- 8 x + 2}{- 4 x^{2} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 4) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 4) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (2 x + 4) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 e^{- 3 x} + (2 x + 4) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 e^{- 3 x} - 3 (2 x + 4) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (2 - 6 x - 12)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x - 10)$

= $(- 6 x - 10) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- x}$

f'(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f'''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $- 4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 2$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 (x - 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 2$

= $2 e^{- 0,8 x} - 1,6 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 2$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2 - 1,6 x + 9,6) + 2$

= $2 + (- 1,6 x + 2 + 9,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $2 + (- 1,6 x + 11,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten