Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4} e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $\frac{1}{8} e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x + 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 4} + x^{4} \cdot e^{3 x + 4} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 4} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x + 4}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 4} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x + 4}$

= $e^{3 x + 4} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (2 x^{5} - 2 x^{4})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (2 x^{5} - 2 x^{4})$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (2 x^{5} - 2 x^{4}) + e^{3 x} \cdot (10 x^{4} - 8 x^{3})$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (2 x^{5} - 2 x^{4}) + e^{3 x} \cdot (10 x^{4} - 8 x^{3})$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{5} - 6 x^{4} + (10 x^{4} - 8 x^{3}))$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{5} + 4 x^{4} - 8 x^{3})$

= $(6 x^{5} + 4 x^{4} - 8 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{3} + 1} \cdot (15 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{5 x^{3} + 1} \cdot (15 x^{2})$

= $15 \frac{x^{2}}{5 x^{3} + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 7) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 7) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x - 7) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 e^{2 x} + (3 x - 7) \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 e^{2 x} + 2 (3 x - 7) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (3 + 6 x - 14)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x - 11)$

= $(6 x - 11) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${(- 0,9)}^{46} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $0,008 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 4$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 3 e^{- 0,6 x} - 3 (x + 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 3 e^{- 0,6 x} + 1,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 3 + 1,8 x + 9)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1,8 x + 6)$

= $(1,8 x + 6) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten