Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x}$

$f'(x) =$ $2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \cdot \cos (x) + 3 e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \cdot \cos (x) + 3 e^{- x + 1}$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot \sin (x) + 3 e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $- 4 \cdot \sin (x) - 3 e^{- x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x + 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \sin (x^{3})$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot \sin (x^{3})$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot \sin (x^{3}) + x^{\frac{1}{4}} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot \sin (x^{3}) + \sqrt[4]{x} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (x^{3})}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (x^{3})}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 3 \sqrt[4]{x} \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (x^{3})}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 3 {(\sqrt[4]{x})}^{9} \cdot \cos (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{1,1 x}$

f'(x) = $- e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $- 1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${1,1}^{60} \cdot (- e^{1,1 x})$

≈ $- 304,482 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 6$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x + 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 6$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3 - 2,4 x - 16,8) - 6$

= $- 6 + (- 2,4 x + 3 - 16,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 6 + (- 2,4 x - 13,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten