$\text{f(x)}=$ $3e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-9e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-3x-1}+5x^4$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-3x-1}·\left(-3\right)+20x^3$

= $3e^{-3x-1}+20x^3$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^4-2\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-20x^3+0\right)·e^{-3x}+\left(-5x^4-2\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-20x^3·e^{-3x}+\left(-5x^4-2\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $-20x^3·e^{-3x}-3\left(-5x^4-2\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(15x^4+6-20x^3\right)$

= $e^{-3x}·\left(15x^4-20x^3+6\right)$

= $\left(15x^4-20x^3+6\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-8\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-8}{4x}·4$

= $-\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+2\right)·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\cos \left(x^2\right)+\left(x^2+2\right)·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $2x·\cos \left(x^2\right)+\left(x^2+2\right)·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $2x·\cos \left(x^2\right)-2\left(x^2+2\right)\sin \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,9}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,9}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,81}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,81}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,729}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,729}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,6561}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,9}}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${\mathrm{0,9}}^{64}·e^{\mathrm{0,9}x}$

≈ $\mathrm{0,001}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+3$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}+5\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)+3$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{1,5}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+3$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(5-\mathrm{1,5}x-\mathrm{7,5}\right)+3$

= $3+\left(-\mathrm{1,5}x+5-\mathrm{7,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $3+\left(-\mathrm{1,5}x-\mathrm{2,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$