Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 - 2 e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 - 2 e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $- \frac{1}{2} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{3 x + 1}$

$f'(x) =$ $(9 x^{2} + 4 x) \cdot e^{3 x + 1} + (3 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $(9 x^{2} + 4 x) \cdot e^{3 x + 1} + (3 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot 3 e^{3 x + 1}$

= $(9 x^{2} + 4 x) \cdot e^{3 x + 1} + 3 (3 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{3 x + 1}$

= $e^{3 x + 1} \cdot (9 x^{3} + 6 x^{2} + (9 x^{2} + 4 x))$

= $e^{3 x + 1} \cdot (9 x^{3} + 15 x^{2} + 4 x)$

= $(9 x^{3} + 15 x^{2} + 4 x) \cdot e^{3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x - 3} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x - 3} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (2 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (2 x + 5)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \cos (2 x + 5) + x^{5} \cdot (- \sin (2 x + 5) \cdot (2 + 0))$

= $5 x^{4} \cdot \cos (2 x + 5) + x^{5} \cdot (- \sin (2 x + 5) \cdot (2))$

= $5 x^{4} \cdot \cos (2 x + 5) + x^{5} \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x + 5))$

= $5 x^{4} \cdot \cos (2 x + 5) - 2 x^{5} \cdot \sin (2 x + 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 4 e^{- 0,5 x} - 4 (x + 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 4 e^{- 0,5 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 4 + 2 x + 2)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2 x - 2)$

= $(2 x - 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten