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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 - 3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 - 3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x - 2) \cdot e^{2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x - 2) \cdot e^{2 x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 2 + 0) \cdot e^{2 x - 3} + (- 2 x - 2) \cdot e^{2 x - 3} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x - 3} + (- 2 x - 2) \cdot 2 e^{2 x - 3}$

= $- 2 e^{2 x - 3} + 2 (- 2 x - 2) \cdot e^{2 x - 3}$

= $e^{2 x - 3} \cdot (- 2 - 4 x - 4)$

= $e^{2 x - 3} \cdot (- 4 x - 6)$

= $(- 4 x - 6) \cdot e^{2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (2 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (2 x + 3)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (2 x + 3) + e^{- x} \cdot (2 + 0)$

= $- e^{- x} (2 x + 3) + e^{- x} \cdot (2)$

= $- e^{- x} (2 x + 3) + 2 e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (2 - 2 x - 3)$

= $e^{- x} \cdot (- 2 x - 1)$

= $(- 2 x - 1) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(e^{- x} + 3)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(e^{- x} + 3)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 6 {(e^{- x} + 3)}^{2} \cdot (e^{- x} \cdot (- 1) + 0)$

= $- 6 {(e^{- x} + 3)}^{2} \cdot (- e^{- x})$

= $6 {(e^{- x} + 3)}^{2} \cdot e^{- x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- x}$

f'(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f'''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $- 2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 3$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 4 e^{- 0,7 x} - 4 (x - 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 4 e^{- 0,7 x} + 2,8 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 4 + 2,8 x - 5,6)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2,8 x - 9,6)$

= $(2,8 x - 9,6) \cdot e^{- 0,7 x}$