Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{8}{7} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{8}{7} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{7} e^{x}$

= $\frac{8}{7} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{2} + 4) \cdot e^{4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{2} + 4) \cdot e^{4 x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 8 x + 0) \cdot e^{4 x - 5} + (- 4 x^{2} + 4) \cdot e^{4 x - 5} \cdot 4$

= $- 8 x \cdot e^{4 x - 5} + (- 4 x^{2} + 4) \cdot 4 e^{4 x - 5}$

= $- 8 x \cdot e^{4 x - 5} + 4 (- 4 x^{2} + 4) \cdot e^{4 x - 5}$

= $e^{4 x - 5} \cdot (- 16 x^{2} + 16 - 8 x)$

= $e^{4 x - 5} \cdot (- 16 x^{2} - 8 x + 16)$

= $(- 16 x^{2} - 8 x + 16) \cdot e^{4 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (2 x - 3) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 e^{- 3 x} + (2 x - 3) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 e^{- 3 x} - 3 (2 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (2 - 6 x + 9)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x + 11)$

= $(- 6 x + 11) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 87)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 9$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 5 e^{- 0,8 x} - 5 (x - 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 5 e^{- 0,8 x} + 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 5 + 4 x - 20)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (4 x - 25)$

= $(4 x - 25) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten