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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{2} - 2 x) \cdot e^{- 5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{2} - 2 x) \cdot e^{- 5 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 2 x - 2) \cdot e^{- 5 x - 1} + (- x^{2} - 2 x) \cdot e^{- 5 x - 1} \cdot (- 5)$

= $(- 2 x - 2) \cdot e^{- 5 x - 1} + (- x^{2} - 2 x) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 1})$

= $(- 2 x - 2) \cdot e^{- 5 x - 1} - 5 (- x^{2} - 2 x) \cdot e^{- 5 x - 1}$

= $e^{- 5 x - 1} \cdot (5 x^{2} + 10 x - 2 x - 2)$

= $e^{- 5 x - 1} \cdot (5 x^{2} + 8 x - 2)$

= $(5 x^{2} + 8 x - 2) \cdot e^{- 5 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 5 x^{2} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 5 x^{2} + 5 x)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- 5 x^{2} + 5 x) + e^{- 2 x} \cdot (- 10 x + 5)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (- 5 x^{2} + 5 x) + e^{- 2 x} (- 10 x + 5)$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x^{2} - 10 x - 10 x + 5)$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x^{2} - 20 x + 5)$

= $(10 x^{2} - 20 x + 5) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(3 x + 3)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(3 x + 3)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 3 {(3 x + 3)}^{2} \cdot (3 + 0)$

= $- 3 {(3 x + 3)}^{2} \cdot (3)$

= $- 9 {(3 x + 3)}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{x}$

f'(x) = $- 5 e^{x}$

f''(x) = $- 5 e^{x}$

f'''(x) = $- 5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $- 5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 6$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- e^{- 0,2 x} - (x + 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- e^{- 0,2 x} + 0,2 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 1 + 0,2 x + 0,6)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,2 x - 0,4)$

= $(0,2 x - 0,4) \cdot e^{- 0,2 x}$