Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{x - 3}$

$f'(x) =$ $(20 x^{4} - 9 x^{2}) \cdot e^{x - 3} + (4 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{x - 3} \cdot 1$

= $(20 x^{4} - 9 x^{2}) \cdot e^{x - 3} + (4 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{x - 3}$

= $e^{x - 3} \cdot (4 x^{5} - 3 x^{3} + (20 x^{4} - 9 x^{2}))$

= $e^{x - 3} \cdot (4 x^{5} + 20 x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2})$

= $(4 x^{5} + 20 x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 7) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 7) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{3 x} + (2 x^{2} - 7) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 x \cdot e^{3 x} + (2 x^{2} - 7) \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 x \cdot e^{3 x} + 3 (2 x^{2} - 7) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{2} - 21 + 4 x)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{2} + 4 x - 21)$

= $(6 x^{2} + 4 x - 21) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 84)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 6$

= $2 e^{- 0,5 x} + 2 (x + 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 6$

= $2 e^{- 0,5 x} - (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2 - x - 7) + 6$

= $6 + (- x + 2 - 7) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $6 + (- x - 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten