Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x - 1) \cdot e^{- 4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x - 1) \cdot e^{- 4 x - 1}$

$f'(x) =$ $(5 + 0) \cdot e^{- 4 x - 1} + (5 x - 1) \cdot e^{- 4 x - 1} \cdot (- 4)$

= $5 e^{- 4 x - 1} + (5 x - 1) \cdot (- 4 e^{- 4 x - 1})$

= $5 e^{- 4 x - 1} - 4 (5 x - 1) \cdot e^{- 4 x - 1}$

= $e^{- 4 x - 1} \cdot (5 - 20 x + 4)$

= $e^{- 4 x - 1} \cdot (- 20 x + 9)$

= $(- 20 x + 9) \cdot e^{- 4 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{3} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{3} \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + 3 x^{3} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} + 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} + 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} + 2 x^{2}} \cdot (3 x^{2} + 4 x)$

= $\frac{3 x^{2} + 4 x}{x^{3} + 2 x^{2}}$

= $\frac{1 \cdot (3 x + 4)}{x \cdot (x + 2)}$

= $\frac{3 x + 4}{x \cdot (x + 2)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (4 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (4 x + 5)$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot \sin (4 x + 5)$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot \sin (4 x + 5) + x^{\frac{1}{3}} \cdot \cos (4 x + 5) \cdot (4 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot \sin (4 x + 5) + \sqrt[3]{x} \cdot \cos (4 x + 5) \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (4 x + 5)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \cos (4 x + 5) \cdot (4)$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (4 x + 5)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 \cdot \cos (4 x + 5)$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (4 x + 5)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + 4 \sqrt[3]{x} \cdot \cos (4 x + 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 54-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 54-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 54 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{54}$

Somit gilt für die 54-te Ableitung:

f⁽⁵⁴⁾(x) = ${(- 0,9)}^{54} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $0,003 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} - 9 x$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 9$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 5 (x - 6) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 9$

= $- 5 e^{- 0,2 x} + (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} - 9$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 5 + x - 6) - 9$

= $- 9 + (x - 5 - 6) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 9 + (x - 11) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten