$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{6}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{6}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{5}{3}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $1-e^{-2x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{-2x-3}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x-3}$

$\text{f(x)}=$ $e^x·x^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·x^2+e^x·2x$

= $e^x{x}^2+2·e^{x}x$

= $e^x·\left(x^2+2x\right)$

= $\left(x^2+2x\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^2-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^2-3x}·\left(-2x-3\right)$

= $\frac{-2x-3}{-x^2-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[4]{x}·e^{3x}$

= $x^{\frac{1}{4}}·e^{3x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}·e^{3x}+x^{\frac{1}{4}}·e^{3x}·3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}·e^{3x}+\sqrt[4]{x}·e^{3x}·3$

= $\frac{1}{4}\frac{e^{3x}}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+\sqrt[4]{x}·3e^{3x}$

= $\frac{1}{4}\frac{e^{3x}}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+3\sqrt[4]{x}·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^{-x}$

f'(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f''(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f'''(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $-5e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)-5$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)-5$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(5-2x+4\right)-5$

= $-5+\left(-2x+5+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $-5+\left(-2x+9\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$