Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{5}{7} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{5}{7} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{7} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{10}{7} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 3) \cdot e^{3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} + 3) \cdot e^{3 x + 5}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{3 x + 5} + (3 x^{2} + 3) \cdot e^{3 x + 5} \cdot 3$

= $6 x \cdot e^{3 x + 5} + (3 x^{2} + 3) \cdot 3 e^{3 x + 5}$

= $6 x \cdot e^{3 x + 5} + 3 (3 x^{2} + 3) \cdot e^{3 x + 5}$

= $e^{3 x + 5} \cdot (9 x^{2} + 9 + 6 x)$

= $e^{3 x + 5} \cdot (9 x^{2} + 6 x + 9)$

= $(9 x^{2} + 6 x + 9) \cdot e^{3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x^{3} + 2}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x^{3} + 2} \cdot 6 x^{2}$

= $- 18 \cdot e^{2 x^{3} + 2} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{2 x^{3} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (x^{2} + 3) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot \sin (- 2 x) + (x^{2} + 3) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $2 x \cdot \sin (- 2 x) - 2 (x^{2} + 3) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- x}$

f'(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f'''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 9$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x + 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (3 - 1,5 x - 3)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1,5 x + 0)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1,5 x)$

= $x \cdot (- 1,5 e^{- 0,5 x})$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten