Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{6} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{6} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{6} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{7}{2} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{2} + 2) \cdot e^{x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{2} + 2) \cdot e^{x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 4 x + 0) \cdot e^{x - 3} + (- 2 x^{2} + 2) \cdot e^{x - 3} \cdot 1$

= $- 4 x \cdot e^{x - 3} + (- 2 x^{2} + 2) \cdot e^{x - 3}$

= $e^{x - 3} \cdot (- 2 x^{2} + 2 - 4 x)$

= $e^{x - 3} \cdot (- 2 x^{2} - 4 x + 2)$

= $(- 2 x^{2} - 4 x + 2) \cdot e^{x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x^{3} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x^{3} + 3}$

$f'(x) =$ $- e^{- x^{3} + 3} \cdot (- 3 x^{2})$

= $3 \cdot e^{- x^{3} + 3} x^{2}$

= $3 x^{2} e^{- x^{3} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} + 2 x} \cdot (- 10 x + 2)$

= $\frac{- 10 x + 2}{- 5 x^{2} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 4) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 4) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (x - 4) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $\cos (x^{3}) + (x - 4) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $\cos (x^{3}) - 3 (x - 4) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 83)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 8$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 2 (x + 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 0,2 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 2 + 0,2 x + 1)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,2 x - 1)$

= $(0,2 x - 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten