Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{7}{5} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{7}{5} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{5} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{14}{5} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x - 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{5 x - 3} + x^{2} \cdot e^{5 x - 3} \cdot 5$

= $2 x \cdot e^{5 x - 3} + x^{2} \cdot 5 e^{5 x - 3}$

= $2 x \cdot e^{5 x - 3} + 5 x^{2} \cdot e^{5 x - 3}$

= $e^{5 x - 3} \cdot (5 x^{2} + 2 x)$

= $(5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} + 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} + 2} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 18 \cdot e^{- 2 x^{3} + 2} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{- 2 x^{3} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} + 5 x} \cdot (- 8 x + 5)$

= $\frac{- 8 x + 5}{- 4 x^{2} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(\sin (x) + 1)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(\sin (x) + 1)}^{2}$

$f'(x) =$ $6 (\sin (x) + 1) \cdot (\cos (x) + 0)$

= $6 (\sin (x) + 1) \cdot (\cos (x))$

= $6 (\sin (x) + 1) \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${0,95}^{65} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,036 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 6$

= $- 4 e^{- 0,7 x} - 4 (x - 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 6$

= $- 4 e^{- 0,7 x} + 2,8 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 6$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 4 + 2,8 x - 14) - 6$

= $- 6 + (2,8 x - 4 - 14) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 6 + (2,8 x - 18) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten