$\text{f(x)}=$ $3-2e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $6e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{x-2}+\frac{5}{3}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{x-2}·1+\frac{5}{3}\cdot \cos \left(x\right)$

= $-3e^{x-2}+\frac{5}{3}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $e^x·\left(x^4-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·\left(x^4-2\right)+e^x·\left(4x^3+0\right)$

= $e^x\left(x^4-2\right)+e^x·\left(4x^3\right)$

= $e^x\left(x^4-2\right)+4·e^x{x}^3$

= $e^x·\left(x^4-2+4x^3\right)$

= $e^x·\left(x^4+4x^3-2\right)$

= $\left(x^4+4x^3-2\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $7\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{3x}·3$

= $\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+4\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-3x}+\left(x^2+4\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x}+\left(x^2+4\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2x·e^{-3x}-3\left(x^2+4\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2-12+2x\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x-12\right)$

= $\left(-3x^2+2x-12\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+90\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-2x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-2$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-2$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,8}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-2$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-4+\mathrm{0,8}x+\mathrm{3,2}\right)-2$

= $-2+\left(\mathrm{0,8}x-4+\mathrm{3,2}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $-2+\left(\mathrm{0,8}x-\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$