Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{5}{7} e^{\frac{6}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{5}{7} e^{\frac{6}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{7} e^{\frac{6}{5} x} \cdot \frac{6}{5}$

= $\frac{6}{7} e^{\frac{6}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 4 x) \cdot e^{3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 4 x) \cdot e^{3 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 6 x - 4) \cdot e^{3 x - 2} + (- 3 x^{2} - 4 x) \cdot e^{3 x - 2} \cdot 3$

= $(- 6 x - 4) \cdot e^{3 x - 2} + (- 3 x^{2} - 4 x) \cdot 3 e^{3 x - 2}$

= $(- 6 x - 4) \cdot e^{3 x - 2} + 3 (- 3 x^{2} - 4 x) \cdot e^{3 x - 2}$

= $e^{3 x - 2} \cdot (- 9 x^{2} - 12 x - 6 x - 4)$

= $e^{3 x - 2} \cdot (- 9 x^{2} - 18 x - 4)$

= $(- 9 x^{2} - 18 x - 4) \cdot e^{3 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} - 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} - 4} \cdot (- 2 x)$

= $4 \cdot e^{- x^{2} - 4} x$

= $4 x e^{- x^{2} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 8) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 8) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (2 x + 8) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 \cdot \sin (x^{2}) + (2 x + 8) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 \cdot \sin (x^{2}) + 2 (2 x + 8) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 58-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${(- 1,1)}^{58} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $251,638 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 9$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- e^{- 0,8 x} - (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1 + 0,8 x - 0,8)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (0,8 x - 1,8)$

= $(0,8 x - 1,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten