Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{3} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{3} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{3} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{8}{3} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{x^{3}} + 2 \sqrt[4]{x} + e^{- 3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{x^{3}} + 2 \sqrt[4]{x} + e^{- 3 x - 4}$

= $3 x^{- 3} + 2 x^{\frac{1}{4}} + e^{- 3 x - 4}$

=> f'(x) = $- 9 x^{- 4} + \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{4}} + e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $- \frac{9}{x^{4}} + \frac{1}{2 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} + e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3)$

= $- \frac{9}{x^{4}} + \frac{1}{2 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} - 3 e^{- 3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{3} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{3} - 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x^{3} - 5} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 12 \cdot e^{- 2 x^{3} - 5} x^{2}$

= $- 12 x^{2} e^{- 2 x^{3} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{3} + 2 x^{2}} \cdot (15 x^{2} + 4 x)$

= $\frac{15 x^{2} + 4 x}{5 x^{3} + 2 x^{2}}$

= $\frac{1 \cdot (15 x + 4)}{x \cdot (5 x + 2)}$

= $\frac{15 x + 4}{x \cdot (5 x + 2)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 7) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 7) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x - 7) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x} + (2 x - 7) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 e^{- 2 x} - 2 (2 x - 7) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 - 4 x + 14)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x + 16)$

= $(- 4 x + 16) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 30-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${(- 1,15)}^{30} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $66,212 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 1$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 3 e^{- 0,7 x} - 3 (x + 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 3 e^{- 0,7 x} + 2,1 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 3 + 2,1 x + 12,6)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2,1 x + 9,6)$

= $(2,1 x + 9,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten