Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + 2 e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + 2 e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $\frac{5}{4} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} - 2 x) \cdot e^{- 3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} - 2 x) \cdot e^{- 3 x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{3} - 2) \cdot e^{- 3 x - 5} + (- 5 x^{4} - 2 x) \cdot e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $(- 20 x^{3} - 2) \cdot e^{- 3 x - 5} + (- 5 x^{4} - 2 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 5})$

= $(- 20 x^{3} - 2) \cdot e^{- 3 x - 5} - 3 (- 5 x^{4} - 2 x) \cdot e^{- 3 x - 5}$

= $e^{- 3 x - 5} \cdot (15 x^{4} + 6 x - 20 x^{3} - 2)$

= $e^{- 3 x - 5} \cdot (15 x^{4} - 20 x^{3} + 6 x - 2)$

= $(15 x^{4} - 20 x^{3} + 6 x - 2) \cdot e^{- 3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x - 6) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $e^{- 3 x} + (x - 6) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $e^{- 3 x} - 3 (x - 6) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (1 - 3 x + 18)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x + 19)$

= $(- 3 x + 19) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 76-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 76 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{76}$

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = ${0,95}^{76} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,02 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 1$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 4 e^{- 0,9 x} - 4 (x - 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 4 e^{- 0,9 x} + 3,6 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 4 + 3,6 x - 18)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (3,6 x - 22)$

= $(3,6 x - 22) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten