$\text{f(x)}=$ $-3-2e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $6e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-x-2}+x^4·e^{-x-2}·\left(-1\right)$

= $4x^3·e^{-x-2}+x^4·\left(-e^{-x-2}\right)$

= $4x^3·e^{-x-2}-x^4·e^{-x-2}$

= $e^{-x-2}·\left(-x^4+4x^3\right)$

= $\left(-x^4+4x^3\right)·e^{-x-2}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-x^2-1}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-x^2-1}·\left(-2x\right)$

= $6·e^{-x^2-1}x$

= $6x{e}^{-x^2-1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x^3+5x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x^3+5x^2}·\left(-15x^2+10x\right)$

= $\frac{-15x^2+10x}{-5x^3+5x^2}$

= $\frac{-5·1·\left(3x-2\right)}{-5x·\left(x-1\right)}$

= $\frac{-5\left(3x-2\right)}{-5x·\left(x-1\right)}$

$\text{f(x)}=$ $2\sqrt{-3x^3+4}$

= $2{\left(-3x^3+4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${\left(-3x^3+4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-9x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{-3x^3+4}}·\left(-9x^2+0\right)$

= $\frac{1}{\sqrt{-3x^3+4}}·\left(-9x^2\right)$

= $-9\frac{x^2}{\sqrt{-3x^3+4}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+78\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+1$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-5\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,9}x}-5\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{4,5}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-5+\mathrm{4,5}x-18\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{4,5}x-23\right)$

= $\left(\mathrm{4,5}x-23\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$