Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + 3 e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + 3 e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $\frac{21}{8} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x + 5}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{2 x + 5} + (3 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x + 5} \cdot 2$

= $6 x \cdot e^{2 x + 5} + (3 x^{2} + 1) \cdot 2 e^{2 x + 5}$

= $6 x \cdot e^{2 x + 5} + 2 (3 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x + 5}$

= $e^{2 x + 5} \cdot (6 x^{2} + 2 + 6 x)$

= $e^{2 x + 5} \cdot (6 x^{2} + 6 x + 2)$

= $(6 x^{2} + 6 x + 2) \cdot e^{2 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x^{3} - 3}$

$f'(x) =$ $- e^{- x^{3} - 3} \cdot (- 3 x^{2})$

= $3 \cdot e^{- x^{3} - 3} x^{2}$

= $3 x^{2} e^{- x^{3} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{x} \cdot 1$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 9) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 9) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x + 9) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $e^{- 3 x} + (x + 9) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $e^{- 3 x} - 3 (x + 9) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (1 - 3 x - 27)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x - 26)$

= $(- 3 x - 26) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{0,9 x}$

f'(x) = $- e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $- 0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${0,9}^{57} \cdot (- e^{0,9 x})$

≈ $- 0,002 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 1$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 2 (x - 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 1,4 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2 + 1,4 x - 2,8)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1,4 x - 4,8)$

= $(1,4 x - 4,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten