$\text{f(x)}=$ $-2+\frac{5}{3}{e}^{\frac{5}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{3}{e}^{\frac{5}{4}x}·\frac{5}{4}$

= $\frac{25}{12}{e}^{\frac{5}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x+2}+4x^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x+2}·\left(-2\right)+20x^4$

= $-2e^{-2x+2}+20x^4$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^4-5x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-8x^3-10x\right)·e^{-2x}+\left(-2x^4-5x^2\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $\left(-8x^3-10x\right)·e^{-2x}+\left(-2x^4-5x^2\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $\left(-8x^3-10x\right)·e^{-2x}-2\left(-2x^4-5x^2\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·(4x^4+10x^2+\left(-8x^3-10x\right))$

= $e^{-2x}·\left(4x^4-8x^3+10x^2-10x\right)$

= $\left(4x^4-8x^3+10x^2-10x\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $7\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{4x}·4$

= $\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{x^3+5}$

= $-{\left(x^3+5\right)}^{-1}$

=> f'(x) = ${\left(x^3+5\right)}^{-2}·\left(3x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{{\left(x^3+5\right)}^2}·\left(3x^2+0\right)$

= $\frac{1}{{\left(x^3+5\right)}^2}·\left(3x^2\right)$

= $3\frac{x^2}{{\left(x^3+5\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^x$

f'(x) = $5e^x$

f''(x) = $5e^x$

f'''(x) = $5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $5e^x$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,4}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(2-\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$