Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 - e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 - e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 3} + \frac{3}{2} \sqrt[4]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 3} + \frac{3}{2} \sqrt[4]{x}$

= $- 3 e^{- 2 x - 3} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $- 3 e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2) + \frac{3}{8} x^{- \frac{3}{4}}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2) + \frac{3}{8 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

= $6 e^{- 2 x - 3} + \frac{3}{8 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} - 5} \cdot (- 2 x)$

= $4 \cdot e^{- x^{2} - 5} x$

= $4 x e^{- x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{2} + x} \cdot (10 x + 1)$

= $\frac{10 x + 1}{5 x^{2} + x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{2 x - 1}$

= $- 3 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \cdot \sqrt{2 x - 1}} \cdot (2 + 0)$

= $- \frac{3}{2 \cdot \sqrt{2 x - 1}} \cdot (2)$

= $- \frac{3}{\sqrt{2 x - 1}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 33-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{1,15 x}$

f'(x) = $- e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $- 1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 33-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 33 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{33}$

Somit gilt für die 33-te Ableitung:

f⁽³³⁾(x) = ${1,15}^{33} \cdot (- e^{1,15 x})$

= $- 100,7 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 3$

= $4 e^{- 0,3 x} + 4 (x + 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 3$

= $4 e^{- 0,3 x} - 1,2 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 3$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (4 - 1,2 x - 1,2) - 3$

= $- 3 + (- 1,2 x + 4 - 1,2) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 3 + (- 1,2 x + 2,8) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten