$\text{f(x)}=$ $1+\frac{7}{9}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{7}{9}{e}^{2x}·2$

= $\frac{14}{9}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^5-x^2\right)·e^{3x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(25x^4-2x\right)·e^{3x+3}+\left(5x^5-x^2\right)·e^{3x+3}·3$

= $\left(25x^4-2x\right)·e^{3x+3}+\left(5x^5-x^2\right)·3e^{3x+3}$

= $\left(25x^4-2x\right)·e^{3x+3}+3\left(5x^5-x^2\right)·e^{3x+3}$

= $e^{3x+3}·(15x^5-3x^2+\left(25x^4-2x\right))$

= $e^{3x+3}·\left(15x^5+25x^4-3x^2-2x\right)$

= $\left(15x^5+25x^4-3x^2-2x\right)·e^{3x+3}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{3x^3+4}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{3x^3+4}·9x^2$

= $-27·e^{3x^3+4}{x}^2$

= $-27x^2{e}^{3x^3+4}$

$\text{f(x)}=$ $-5\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-5}{x}·1$

= $-\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-3\right)·\sin \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(3x\right)+\left(2x-3\right)·\cos \left(3x\right)·3$

= $2\cdot \sin \left(3x\right)+\left(2x-3\right)·3\cdot \cos \left(3x\right)$

= $2\cdot \sin \left(3x\right)+3\left(2x-3\right)·\cos \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+91\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-5\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,5}x}-5\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{2,5}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-5+\mathrm{2,5}x+15\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(\mathrm{2,5}x+10\right)$

= $\left(\mathrm{2,5}x+10\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$