Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{3}{2} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot (- e^{- x})$

= $2 x \cdot e^{- x} - x^{2} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{3} - 3 x) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{3} - 3 x) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{2} - 3) \cdot e^{- x} + (- 5 x^{3} - 3 x) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $(- 15 x^{2} - 3) \cdot e^{- x} + (- 5 x^{3} - 3 x) \cdot (- e^{- x})$

= $(- 15 x^{2} - 3) \cdot e^{- x} - (- 5 x^{3} - 3 x) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (5 x^{3} + 3 x - 15 x^{2} - 3)$

= $e^{- x} \cdot (5 x^{3} - 15 x^{2} + 3 x - 3)$

= $(5 x^{3} - 15 x^{2} + 3 x - 3) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 3) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 3) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{2} + 3) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{2} + 3) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (2 x^{2} + 3) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{2} - 6 + 4 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{2} + 4 x - 6)$

= $(- 4 x^{2} + 4 x - 6) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $- 5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 1$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 4 e^{- 0,7 x} - 4 (x + 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 4 e^{- 0,7 x} + 2,8 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 4 + 2,8 x + 11,2)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2,8 x + 7,2)$

= $(2,8 x + 7,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten