$\text{f(x)}=$ $3e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{2x}·2$

= $6e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-4x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-4x-1}+x^5·e^{-4x-1}·\left(-4\right)$

= $5x^4·e^{-4x-1}+x^5·\left(-4e^{-4x-1}\right)$

= $5x^4·e^{-4x-1}-4x^5·e^{-4x-1}$

= $e^{-4x-1}·\left(-4x^5+5x^4\right)$

= $\left(-4x^5+5x^4\right)·e^{-4x-1}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x+5}·\left(-2\right)$

= $-2e^{-2x+5}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{7x}·7$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(-2x-4\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $10{\left(-2x-4\right)}^4·\left(-2+0\right)$

= $10{\left(-2x-4\right)}^4·\left(-2\right)$

= $-20{\left(-2x-4\right)}^4$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $2e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{1,7}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,7}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{1,445}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,445}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{1,2283}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,2283}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{1,044}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 36-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 36 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{36}$

Somit gilt für die 36-te Ableitung:

f⁽³⁶⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{36}·2e^{-\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,006}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,2}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(2-\mathrm{1,2}x-\mathrm{4,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{1,2}x-\mathrm{2,8}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,2}x-\mathrm{2,8}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$