Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{5} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 5 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{5} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 5 x + 5}$

$f'(x) =$ $(5 x^{4} + 6 x) \cdot e^{- 5 x + 5} + (x^{5} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 5 x + 5} \cdot (- 5)$

= $(5 x^{4} + 6 x) \cdot e^{- 5 x + 5} + (x^{5} + 3 x^{2}) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 5})$

= $(5 x^{4} + 6 x) \cdot e^{- 5 x + 5} - 5 (x^{5} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 5 x + 5}$

= $e^{- 5 x + 5} \cdot (- 5 x^{5} - 15 x^{2} + (5 x^{4} + 6 x))$

= $e^{- 5 x + 5} \cdot (- 5 x^{5} + 5 x^{4} - 15 x^{2} + 6 x)$

= $(- 5 x^{5} + 5 x^{4} - 15 x^{2} + 6 x) \cdot e^{- 5 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{3} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{3} \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + 3 x^{3} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x - 2} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x - 2} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot e^{- 5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot e^{- 5 x + 2}$

= $x^{\frac{3}{2}} \cdot e^{- 5 x + 2}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 5 x + 2} + x^{\frac{3}{2}} \cdot e^{- 5 x + 2} \cdot (- 5)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot e^{- 5 x + 2} + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot e^{- 5 x + 2} \cdot (- 5)$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot e^{- 5 x + 2} + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 2})$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot e^{- 5 x + 2} - 5 {(\sqrt{x})}^{3} \cdot e^{- 5 x + 2}$

= $e^{- 5 x + 2} \cdot (- 5 {(\sqrt{x})}^{3} + \frac{3}{2} \sqrt{x})$

= $(- 5 {(\sqrt{x})}^{3} + \frac{3}{2} \sqrt{x}) \cdot e^{- 5 x + 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{1,1 x}$

f'(x) = $4 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $4,4 e^{1,1 x}$

f''(x) = $4,4 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $4,84 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $4,84 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $5,324 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5,324 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $5,8564 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${1,1}^{63} \cdot 4 e^{1,1 x}$

≈ $1621,06 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x} + 4$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 5 (x + 6) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 5 e^{- 0,2 x} + (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 5 + x + 6)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (x + 1)$

= $(x + 1) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten