Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{\frac{7}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{\frac{7}{6} x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{5} e^{\frac{7}{6} x} \cdot \frac{7}{6}$

= $\frac{7}{10} e^{\frac{7}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \cdot \cos (x) - 3 e^{- 2 x + 2} + 2 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \cdot \cos (x) - 3 e^{- 2 x + 2} + 2 x^{3}$

$f'(x) =$ $5 \cdot \sin (x) - 3 e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2) + 6 x^{2}$

= $5 \cdot \sin (x) + 6 e^{- 2 x + 2} + 6 x^{2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2}) + e^{3 x} \cdot (- 6 x^{2} + 6 x)$

= $3 \cdot e^{3 x} (- 2 x^{3} + 3 x^{2}) + e^{3 x} (- 6 x^{2} + 6 x)$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x^{3} + 9 x^{2} + (- 6 x^{2} + 6 x))$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x)$

= $(- 6 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 5 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} - 5 x^{2}} \cdot (6 x^{2} - 10 x)$

= $\frac{6 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} - 5 x^{2}}$

= $\frac{2 \cdot 1 \cdot (3 x - 5)}{x \cdot (2 x - 5)}$

= $\frac{2 (3 x - 5)}{x \cdot (2 x - 5)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (- x^{3} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \sin (- x^{3} - 5)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \cos (- x^{3} - 5) \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $3 \cdot \cos (- x^{3} - 5) \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 9 \cos (- x^{3} - 5) x^{2}$

= $- 9 x^{2} \cdot \cos (- x^{3} - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 80)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $4 e^{- 0,7 x} + 4 (x - 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $4 e^{- 0,7 x} - 2,8 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (4 - 2,8 x + 2,8)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2,8 x + 6,8)$

= $(- 2,8 x + 6,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten