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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + 3 e^{\frac{8}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + 3 e^{\frac{8}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{8}{7} x} \cdot \frac{8}{7}$

= $\frac{24}{7} e^{\frac{8}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (x) + 3 e^{3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (x) + 3 e^{3 x - 4}$

$f'(x) =$ $- \sin (x) + 3 e^{3 x - 4} \cdot 3$

= $- \sin (x) + 9 e^{3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x - 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{x - 2} \cdot 1$

= $3 e^{x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} + 4 x^{2}} \cdot (6 x^{2} + 8 x)$

= $\frac{6 x^{2} + 8 x}{2 x^{3} + 4 x^{2}}$

= $\frac{2 \cdot 1 \cdot (3 x + 4)}{2 x \cdot (x + 2)}$

= $\frac{2 (3 x + 4)}{2 x \cdot (x + 2)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(- 2 x^{3} - 1)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(- 2 x^{3} - 1)}^{3}$

$f'(x) =$ $6 {(- 2 x^{3} - 1)}^{2} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $6 {(- 2 x^{3} - 1)}^{2} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 36 {(- 2 x^{3} - 1)}^{2} x^{2}$

= $- 36 {((- 2 x^{3} - 1) x)}^{2}$

= $- 36 {(x (- 2 x^{3} - 1))}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{x}$

f'(x) = $2 e^{x}$

f''(x) = $2 e^{x}$

f'''(x) = $2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 1$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x - 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 3 + 1,2 x - 3,6)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1,2 x - 6,6)$

= $(1,2 x - 6,6) \cdot e^{- 0,4 x}$