Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + 3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + 3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} + 4 x) \cdot e^{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} + 4 x) \cdot e^{3 x - 5}$

$f'(x) =$ $(8 x + 4) \cdot e^{3 x - 5} + (4 x^{2} + 4 x) \cdot e^{3 x - 5} \cdot 3$

= $(8 x + 4) \cdot e^{3 x - 5} + (4 x^{2} + 4 x) \cdot 3 e^{3 x - 5}$

= $(8 x + 4) \cdot e^{3 x - 5} + 3 (4 x^{2} + 4 x) \cdot e^{3 x - 5}$

= $e^{3 x - 5} \cdot (12 x^{2} + 12 x + 8 x + 4)$

= $e^{3 x - 5} \cdot (12 x^{2} + 20 x + 4)$

= $(12 x^{2} + 20 x + 4) \cdot e^{3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x - 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} + 5 x} \cdot (9 x^{2} + 5)$

= $\frac{9 x^{2} + 5}{3 x^{3} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 3) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 3) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} + 3) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 9 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x + 9)$

= $(3 x^{2} + 2 x + 9) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${(- 0,9)}^{65} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $- 0,001 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} - 4$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $e^{- 0,1 x} + (x + 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $e^{- 0,1 x} - 0,1 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (1 - 0,1 x - 0,1)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1 x + 0,9)$

= $(- 0,1 x + 0,9) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten