Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 2) \cdot e^{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 2) \cdot e^{3 x - 5}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{3 x - 5} + (3 x - 2) \cdot e^{3 x - 5} \cdot 3$

= $3 e^{3 x - 5} + (3 x - 2) \cdot 3 e^{3 x - 5}$

= $3 e^{3 x - 5} + 3 (3 x - 2) \cdot e^{3 x - 5}$

= $e^{3 x - 5} \cdot (3 + 9 x - 6)$

= $e^{3 x - 5} \cdot (9 x - 3)$

= $(9 x - 3) \cdot e^{3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 2) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 2) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(- 10 x^{4} + 0) \cdot e^{- x} + (- 2 x^{5} + 2) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 10 x^{4} \cdot e^{- x} + (- 2 x^{5} + 2) \cdot (- e^{- x})$

= $- 10 x^{4} \cdot e^{- x} - (- 2 x^{5} + 2) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (2 x^{5} - 2 - 10 x^{4})$

= $e^{- x} \cdot (2 x^{5} - 10 x^{4} - 2)$

= $(2 x^{5} - 10 x^{4} - 2) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 4) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 4) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{3 x} + (2 x^{2} + 4) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 x \cdot e^{3 x} + (2 x^{2} + 4) \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 x \cdot e^{3 x} + 3 (2 x^{2} + 4) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{2} + 12 + 4 x)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{2} + 4 x + 12)$

= $(6 x^{2} + 4 x + 12) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 36-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $- e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $- 0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 36-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 36 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{36}$

Somit gilt für die 36-te Ableitung:

f⁽³⁶⁾(x) = ${(- 0,85)}^{36} \cdot (- e^{- 0,85 x})$

≈ $- 0,003 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x - 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2 + 1,6 x - 11,2)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1,6 x - 13,2)$

= $(1,6 x - 13,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten