$\text{f(x)}=$ $\frac{8}{9}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{9}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{3x^2}-e^{-x+4}$

= $-\frac{7}{3}{x}^{-2}-e^{-x+4}$

=> f'(x) = $\frac{14}{3}{x}^{-3}-e^{-x+4}·\left(-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{14}{3x^3}-e^{-x+4}·\left(-1\right)$

= $\frac{14}{3x^3}+e^{-x+4}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-2x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-2x+3}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x+3}$

$\text{f(x)}=$ $-3\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-3}{x}·1$

= $-\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-8\right)·\sin \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(x^2\right)+\left(2x-8\right)·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $2\cdot \sin \left(x^2\right)+\left(2x-8\right)·2\cos \left(x^2\right)x$

= $2\cdot \sin \left(x^2\right)+2\left(2x-8\right)\cos \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,749}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{49}·e^{-\mathrm{1,15}x}$

≈ $-\mathrm{942,311}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,2}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(2-\mathrm{1,2}x+\mathrm{1,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{1,2}x+\mathrm{3,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,2}x+\mathrm{3,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$