$\text{f(x)}=$ $2e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-4e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^3+x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(6x^2+2x\right)·e^{-x}+\left(2x^3+x^2\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $\left(6x^2+2x\right)·e^{-x}+\left(2x^3+x^2\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $\left(6x^2+2x\right)·e^{-x}-\left(2x^3+x^2\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·(-2x^3-x^2+\left(6x^2+2x\right))$

= $e^{-x}·\left(-2x^3+5x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^3+5x^2+2x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{x+1}·1$

= $-2e^{x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x^3+2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x^3+2x}·\left(15x^2+2\right)$

= $\frac{15x^2+2}{5x^3+2x}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(x^3-1\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-15{\left(x^3-1\right)}^4·\left(3x^2+0\right)$

= $-15{\left(x^3-1\right)}^4·\left(3x^2\right)$

= $-45{\left(x^3-1\right)}^4{x}^2$

= $-45x^2{\left(x^3-1\right)}^4$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $-2e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{1,8}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,8}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{1,62}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{1,62}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{1,458}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,458}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{1,3122}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 55-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 55 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{55}$

Somit gilt für die 55-te Ableitung:

f⁽⁵⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{55}·\left(-2e^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

≈ $\mathrm{0,006}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-6$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,3}x}-\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,3}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-1+\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,3}x-\mathrm{1,6}\right)$

= $\left(\mathrm{0,3}x-\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$