$\text{f(x)}=$ $4+\frac{3}{5}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{5}{e}^{3x}·3$

= $\frac{9}{5}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{4}\cdot \sin \left(x\right)+3e^{2x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{4}\cdot \cos \left(x\right)+3e^{2x+1}·2$

= $-\frac{7}{4}\cdot \cos \left(x\right)+6e^{2x+1}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·x^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·x^2+e^{3x}·2x$

= $3·e^{3x}{x}^2+2·e^{3x}x$

= $e^{3x}·\left(3x^2+2x\right)$

= $\left(3x^2+2x\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{3x}·3$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(2x^2+5\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-12{\left(2x^2+5\right)}^3·\left(4x+0\right)$

= $-12{\left(2x^2+5\right)}^3·\left(4x\right)$

= $-48{\left(2x^2+5\right)}^{3}x$

= $-48x{\left(2x^2+5\right)}^3$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^x$

f'(x) = $5e^x$

f''(x) = $5e^x$

f'''(x) = $5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $5e^x$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-1$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,9}x}+2\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{1,8}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(2-\mathrm{1,8}x-\mathrm{7,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{1,8}x-\mathrm{5,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,8}x-\mathrm{5,2}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$