Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $\frac{5}{12} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x^{2} - 1}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x^{2} - 1} \cdot 4 x$

= $- 4 \cdot e^{2 x^{2} - 1} x$

= $- 4 x e^{2 x^{2} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x - 2} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{x - 2} \cdot (1)$

= $\frac{1}{x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\sin (x) - 4)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\sin (x) - 4)}^{4}$

$f'(x) =$ $4 {(\sin (x) - 4)}^{3} \cdot (\cos (x) + 0)$

= $4 {(\sin (x) - 4)}^{3} \cdot (\cos (x))$

= $4 {(\sin (x) - 4)}^{3} \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${(- 0,9)}^{64} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $0,001 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 1$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 4 (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 1$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 3,2 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 1$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 + 3,2 x - 3,2) + 1$

= $1 + (3,2 x - 4 - 3,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $1 + (3,2 x - 7,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten