Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 1) \cdot e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 1) \cdot e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{2 x - 2} + (2 x - 1) \cdot e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $2 e^{2 x - 2} + (2 x - 1) \cdot 2 e^{2 x - 2}$

= $2 e^{2 x - 2} + 2 (2 x - 1) \cdot e^{2 x - 2}$

= $e^{2 x - 2} \cdot (2 + 4 x - 2)$

= $e^{2 x - 2} \cdot (4 x + 0)$

= $e^{2 x - 2} \cdot 4 x$

= $x \cdot 4 e^{2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(e^{2 x} - 4)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(e^{2 x} - 4)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 2 (e^{2 x} - 4) \cdot (e^{2 x} \cdot 2 + 0)$

= $- 2 (e^{2 x} - 4) \cdot (2 e^{2 x})$

= $- 4 (e^{2 x} - 4) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 39-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{1,15 x}$

f'(x) = $- 5 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 5,75 e^{1,15 x}$

f''(x) = $- 5,75 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 6,6125 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $- 6,6125 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 7,6044 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 7,6044 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 8,745 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 39-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 39 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{39}$

Somit gilt für die 39-te Ableitung:

f⁽³⁹⁾(x) = ${1,15}^{39} \cdot (- 5 e^{1,15 x})$

≈ $- 1164,624 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} + 5$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- e^{- 0,4 x} - (x - 2) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- e^{- 0,4 x} + 0,4 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1 + 0,4 x - 0,8)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (0,4 x - 1,8)$

= $(0,4 x - 1,8) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten