Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 - 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 - 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{4} + e^{3 x} \cdot 4 x^{3}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{4} + 4 \cdot e^{3 x} x^{3}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{x} \cdot 1$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (5 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (5 x + 5)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \cos (5 x + 5) + x^{2} \cdot (- \sin (5 x + 5) \cdot (5 + 0))$

= $2 x \cdot \cos (5 x + 5) + x^{2} \cdot (- \sin (5 x + 5) \cdot (5))$

= $2 x \cdot \cos (5 x + 5) + x^{2} \cdot (- 5 \cdot \sin (5 x + 5))$

= $2 x \cdot \cos (5 x + 5) - 5 x^{2} \cdot \sin (5 x + 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 53-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 53-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 53 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{53}$

Somit gilt für die 53-te Ableitung:

f⁽⁵³⁾(x) = ${(- 1,1)}^{53} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $- 156,247 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 6$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $4 e^{- 0,8 x} + 4 (x + 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $4 e^{- 0,8 x} - 3,2 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (4 - 3,2 x - 12,8)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3,2 x - 8,8)$

= $(- 3,2 x - 8,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten