Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $- \frac{8}{5} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x - 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 4} + x^{4} \cdot e^{3 x - 4} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 4} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x - 4}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 4} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x - 4}$

= $e^{3 x - 4} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x^{2} + 4} \cdot 6 x$

= $- 18 \cdot e^{3 x^{2} + 4} x$

= $- 18 x e^{3 x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x + 4} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x + 4} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + x^{3} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + x^{3} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{3} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 30-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{0,85 x}$

f'(x) = $2 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $1,7 e^{0,85 x}$

f''(x) = $1,7 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $1,445 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $1,445 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $1,2283 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,2283 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $1,044 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${0,85}^{30} \cdot 2 e^{0,85 x}$

≈ $0,015 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 5$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $4 e^{- 0,1 x} + 4 (x - 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $4 e^{- 0,1 x} - 0,4 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (4 - 0,4 x + 2,8)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,4 x + 6,8)$

= $(- 0,4 x + 6,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten