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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x + 5} - 3 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x + 5} - 3 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $2 e^{- x + 5} \cdot (- 1) + 3 \cdot \sin (x)$

= $- 2 e^{- x + 5} + 3 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x + 4)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (- 3 x + 4) + e^{- 3 x} \cdot (- 3 + 0)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (- 3 x + 4) + e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (- 3 x + 4) - 3 e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (9 x - 12 - 3)$

= $e^{- 3 x} \cdot (9 x - 15)$

= $(9 x - 15) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x - 4} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x - 4} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 4) \cdot \cos (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 4) \cdot \cos (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (3 x) + (2 x - 4) \cdot (- \sin (3 x) \cdot 3)$

= $2 \cdot \cos (3 x) + (2 x - 4) \cdot (- 3 \cdot \sin (3 x))$

= $2 \cdot \cos (3 x) - 3 (2 x - 4) \cdot \sin (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 82)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 3$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 2 (x - 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 3$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 0,2 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 3$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,2 x - 0,8 - 2) + 3$

= $3 + (0,2 x - 0,8 - 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $3 + (0,2 x - 2,8) \cdot e^{- 0,1 x}$