Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x}$

$f'(x) =$ $- e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x + 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x + 2} + x^{5} \cdot e^{3 x + 2} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x + 2} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x + 2}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x + 2} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x + 2}$

= $e^{3 x + 2} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} + x^{2}) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} + x^{2}) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} + 2 x) \cdot e^{3 x} + (- 4 x^{5} + x^{2}) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 20 x^{4} + 2 x) \cdot e^{3 x} + (- 4 x^{5} + x^{2}) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 20 x^{4} + 2 x) \cdot e^{3 x} + 3 (- 4 x^{5} + x^{2}) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{5} + 3 x^{2} + (- 20 x^{4} + 2 x))$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{5} - 20 x^{4} + 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 12 x^{5} - 20 x^{4} + 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{3} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{3} - 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{3} - 4 x} \cdot (15 x^{2} - 4)$

= $\frac{15 x^{2} - 4}{5 x^{3} - 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 8) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 8) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (2 x^{2} - 8) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $4 x \cdot \cos (x^{2}) + (2 x^{2} - 8) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $4 x \cdot \cos (x^{2}) - 2 (2 x^{2} - 8) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- x}$

f'(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f'''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $- 3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 2$

= $- e^{- 0,8 x} - (x - 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 2$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 2$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1 + 0,8 x - 4,8) - 2$

= $- 2 + (0,8 x - 1 - 4,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 2 + (0,8 x - 5,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten