Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{5}{8} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{5}{8} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{8} e^{x}$

= $\frac{5}{8} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x + 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x + 2} + x^{4} \cdot e^{- 5 x + 2} \cdot (- 5)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x + 2} + x^{4} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 2})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x + 2} - 5 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 2}$

= $e^{- 5 x + 2} \cdot (- 5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 5 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x - 5) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x - 5) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 1 + 0) \cdot e^{2 x} + (- x - 5) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- e^{2 x} + (- x - 5) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- e^{2 x} + 2 (- x - 5) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 1 - 2 x - 10)$

= $e^{2 x} \cdot (- 2 x - 11)$

= $(- 2 x - 11) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} + 1} \cdot (- 6 x + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x^{2} + 1} \cdot (- 6 x)$

= $- 6 \frac{x}{- 3 x^{2} + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 5) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 5) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x^{2} - 5) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 x \cdot e^{- 3 x} + (3 x^{2} - 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $6 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (3 x^{2} - 5) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 15 + 6 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 6 x + 15)$

= $(- 9 x^{2} + 6 x + 15) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{0,95 x}$

f'(x) = $- 2 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 1,9 e^{0,95 x}$

f''(x) = $- 1,9 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 1,805 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $- 1,805 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 1,7148 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,7148 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 1,629 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${0,95}^{61} \cdot (- 2 e^{0,95 x})$

≈ $- 0,088 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 2$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- e^{- 0,5 x} - (x - 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- e^{- 0,5 x} + 0,5 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1 + 0,5 x - 1)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (0,5 x - 2)$

= $(0,5 x - 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten