Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $\frac{7}{4} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} (x^{3} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} (x^{3} - 2 x)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (x^{3} - 2 x) + e^{- x} \cdot (3 x^{2} - 2)$

= $- e^{- x} (x^{3} - 2 x) + e^{- x} (3 x^{2} - 2)$

= $e^{- x} \cdot (- x^{3} + 2 x + 3 x^{2} - 2)$

= $e^{- x} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2} + 2 x - 2)$

= $(- x^{3} + 3 x^{2} + 2 x - 2) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x + 2}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x + 2} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x + 1) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 e^{2 x} + (3 x + 1) \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 e^{2 x} + 2 (3 x + 1) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (3 + 6 x + 2)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x + 5)$

= $(6 x + 5) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $3,3 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $3,3 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 3,63 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $- 3,63 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $3,993 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,993 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 4,3923 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${(- 1,1)}^{57} \cdot (- 3 e^{- 1,1 x})$

≈ $686,285 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 8$

= $2 e^{- 0,9 x} + 2 (x - 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 8$

= $2 e^{- 0,9 x} - 1,8 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 8$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (2 - 1,8 x + 10,8) - 8$

= $- 8 + (- 1,8 x + 2 + 10,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 8 + (- 1,8 x + 12,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten