Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{6}{7} e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{6}{7} e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{7} e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $\frac{5}{7} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{4} \sqrt[4]{x} + 2 e^{x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{4} \sqrt[4]{x} + 2 e^{x - 2}$

= $- \frac{3}{4} x^{\frac{1}{4}} + 2 e^{x - 2}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{16} x^{- \frac{3}{4}} + 2 e^{x - 2} \cdot 1$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{16 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 2 e^{x - 2} \cdot 1$

= $- \frac{3}{16 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 2 e^{x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} + 4) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} + 4) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{3} + 0) \cdot e^{2 x} + (- 5 x^{4} + 4) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- 20 x^{3} \cdot e^{2 x} + (- 5 x^{4} + 4) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- 20 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 (- 5 x^{4} + 4) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{4} + 8 - 20 x^{3})$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{4} - 20 x^{3} + 8)$

= $(- 10 x^{4} - 20 x^{3} + 8) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x + 2} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x + 2} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 9) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 9) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x + 9) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x + 9) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x + 9) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (1 + 3 x + 27)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x + 28)$

= $(3 x + 28) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 38-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{1,15 x}$

f'(x) = $2 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $2,3 e^{1,15 x}$

f''(x) = $2,3 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $2,645 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $2,645 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $3,0418 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,0418 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $3,498 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 38-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 38 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{38}$

Somit gilt für die 38-te Ableitung:

f⁽³⁸⁾(x) = ${1,15}^{38} \cdot 2 e^{1,15 x}$

≈ $405,087 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 4$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 (x - 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 4$

= $2 e^{- 0,8 x} - 1,6 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2 - 1,6 x + 9,6) - 4$

= $- 4 + (- 1,6 x + 2 + 9,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 4 + (- 1,6 x + 11,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten