Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - e^{\frac{5}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - e^{\frac{5}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{5}{4} x} \cdot \frac{5}{4}$

= $- \frac{5}{4} e^{\frac{5}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 2) \cdot e^{4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 2) \cdot e^{4 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 10 x^{4} + 0) \cdot e^{4 x + 2} + (- 2 x^{5} + 2) \cdot e^{4 x + 2} \cdot 4$

= $- 10 x^{4} \cdot e^{4 x + 2} + (- 2 x^{5} + 2) \cdot 4 e^{4 x + 2}$

= $- 10 x^{4} \cdot e^{4 x + 2} + 4 (- 2 x^{5} + 2) \cdot e^{4 x + 2}$

= $e^{4 x + 2} \cdot (- 8 x^{5} + 8 - 10 x^{4})$

= $e^{4 x + 2} \cdot (- 8 x^{5} - 10 x^{4} + 8)$

= $(- 8 x^{5} - 10 x^{4} + 8) \cdot e^{4 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} - 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} - 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{3} - 3 x^{2}} \cdot (- 6 x^{2} - 6 x)$

= $\frac{- 6 x^{2} - 6 x}{- 2 x^{3} - 3 x^{2}}$

= $\frac{- 6 \cdot 1 \cdot (x + 1)}{- x \cdot (2 x + 3)}$

= $\frac{- 6 (x + 1)}{- x \cdot (2 x + 3)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 6) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 6) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot \sin (3 x) + (2 x^{2} + 6) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $4 x \cdot \sin (3 x) + (2 x^{2} + 6) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $4 x \cdot \sin (3 x) + 3 (2 x^{2} + 6) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 37-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 37-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 37 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{37}$

Somit gilt für die 37-te Ableitung:

f⁽³⁷⁾(x) = ${(- 1,15)}^{37} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $- 176,125 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 6$

= $- 4 e^{- 0,1 x} - 4 (x - 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 6$

= $- 4 e^{- 0,1 x} + 0,4 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 6$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 4 + 0,4 x - 2,8) - 6$

= $- 6 + (0,4 x - 4 - 2,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 6 + (0,4 x - 6,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten