$\text{f(x)}=$ $1+\frac{4}{5}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{4}{5}{e}^{3x}·3$

= $\frac{12}{5}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{2x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{2x+3}+x^4·e^{2x+3}·2$

= $4x^3·e^{2x+3}+x^4·2e^{2x+3}$

= $4x^3·e^{2x+3}+2x^4·e^{2x+3}$

= $e^{2x+3}·\left(2x^4+4x^3\right)$

= $\left(2x^4+4x^3\right)·e^{2x+3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·x^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·x^4+e^{3x}·4x^3$

= $3·e^{3x}{x}^4+4·e^{3x}{x}^3$

= $e^{3x}·\left(3x^4+4x^3\right)$

= $\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{3x}·3$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{-3x}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{-3x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{-3x}+x^{\frac{1}{2}}·e^{-3x}·\left(-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{-3x}+\sqrt{x}·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-3x}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-3x}}{\sqrt{x}}-3\sqrt{x}·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^x·\left(x+81\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-3\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+1$

= $-3e^{-\mathrm{0,2}x}-3\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)+1$

= $-3e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,6}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+1$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-3+\mathrm{0,6}x+3\right)+1$

= $1+\left(\mathrm{0,6}x-3+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $1+\mathrm{0,6}x·e^{-\mathrm{0,2}x}$