Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{8} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{21}{8} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{5} - 4 x^{3}) \cdot e^{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{5} - 4 x^{3}) \cdot e^{- x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 25 x^{4} - 12 x^{2}) \cdot e^{- x + 4} + (- 5 x^{5} - 4 x^{3}) \cdot e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

= $(- 25 x^{4} - 12 x^{2}) \cdot e^{- x + 4} + (- 5 x^{5} - 4 x^{3}) \cdot (- e^{- x + 4})$

= $(- 25 x^{4} - 12 x^{2}) \cdot e^{- x + 4} - (- 5 x^{5} - 4 x^{3}) \cdot e^{- x + 4}$

= $e^{- x + 4} \cdot (5 x^{5} + 4 x^{3} + (- 25 x^{4} - 12 x^{2}))$

= $e^{- x + 4} \cdot (5 x^{5} - 25 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2})$

= $(5 x^{5} - 25 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{- x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x + 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x + 1} \cdot 1$

= $- 3 e^{x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(2 x^{2} - 3)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(2 x^{2} - 3)}^{5}$

$f'(x) =$ $10 {(2 x^{2} - 3)}^{4} \cdot (4 x + 0)$

= $10 {(2 x^{2} - 3)}^{4} \cdot (4 x)$

= $40 {(2 x^{2} - 3)}^{4} x$

= $40 x {(2 x^{2} - 3)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 53-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{1,1 x}$

f'(x) = $- e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $- 1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 53-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 53 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{53}$

Somit gilt für die 53-te Ableitung:

f⁽⁵³⁾(x) = ${1,1}^{53} \cdot (- e^{1,1 x})$

≈ $- 156,247 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 5$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $2 e^{- 0,3 x} + 2 (x - 6) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $2 e^{- 0,3 x} - 0,6 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (2 - 0,6 x + 3,6)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,6 x + 5,6)$

= $(- 0,6 x + 5,6) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten