Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - 2 e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - 2 e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $- e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{2} \sqrt{x} - 3 e^{- x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{2} \sqrt{x} - 3 e^{- x - 5}$

= $\frac{5}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 e^{- x - 5}$

=> f'(x) = $\frac{5}{4} x^{- \frac{1}{2}} - 3 e^{- x - 5} \cdot (- 1)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{4 \sqrt{x}} - 3 e^{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $\frac{5}{4 \sqrt{x}} + 3 e^{- x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x^{2} + 2} \cdot (- 6 x)$

= $- 6 \cdot e^{- 3 x^{2} + 2} x$

= $- 6 x e^{- 3 x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x + 5} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x + 5} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (x^{3})$

= $x^{\frac{3}{2}} \cdot \cos (x^{3})$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (x^{3}) + x^{\frac{3}{2}} \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \cos (x^{3}) + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \cos (x^{3}) + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \cos (x^{3}) - 3 {(\sqrt{x})}^{3} \sin (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \cos (x^{3}) - 3 {(\sqrt{x})}^{7} \cdot \sin (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 78)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 3$

= $- 3 e^{- 0,7 x} - 3 (x - 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 3$

= $- 3 e^{- 0,7 x} + 2,1 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 3$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 3 + 2,1 x - 10,5) + 3$

= $3 + (2,1 x - 3 - 10,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $3 + (2,1 x - 13,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten