Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{5} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{5} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{5} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{21}{5} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{5} + 2 x) \cdot e^{x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{5} + 2 x) \cdot e^{x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 25 x^{4} + 2) \cdot e^{x - 4} + (- 5 x^{5} + 2 x) \cdot e^{x - 4} \cdot 1$

= $(- 25 x^{4} + 2) \cdot e^{x - 4} + (- 5 x^{5} + 2 x) \cdot e^{x - 4}$

= $e^{x - 4} \cdot (- 5 x^{5} + 2 x - 25 x^{4} + 2)$

= $e^{x - 4} \cdot (- 5 x^{5} - 25 x^{4} + 2 x + 2)$

= $(- 5 x^{5} - 25 x^{4} + 2 x + 2) \cdot e^{x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x - 4} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x - 4} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{- 2 x^{2} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{- 2 x^{2} + 1}$

= $3 {(- 2 x^{2} + 1)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- 3 {(- 2 x^{2} + 1)}^{- 2} \cdot (- 4 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}} \cdot (- 4 x + 0)$

= $- \frac{3}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}} \cdot (- 4 x)$

= $12 \frac{x}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 59-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{0,9 x}$

f'(x) = $4 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $3,6 e^{0,9 x}$

f''(x) = $3,6 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $3,24 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $3,24 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,916 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,916 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,6244 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 59-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 59 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{59}$

Somit gilt für die 59-te Ableitung:

f⁽⁵⁹⁾(x) = ${0,9}^{59} \cdot 4 e^{0,9 x}$

≈ $0,008 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 2$

= $- e^{- 0,8 x} - (x + 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 2$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 2$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1 + 0,8 x + 4) - 2$

= $- 2 + (0,8 x - 1 + 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 2 + (0,8 x + 3) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten