$\text{f(x)}=$ $-e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{2x}·2$

= $-2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-3x-5}+3\sqrt{x}$

= $-3e^{-3x-5}+3x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-3e^{-3x-5}·\left(-3\right)+\frac{3}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-3x-5}·\left(-3\right)+\frac{3}{2\sqrt{x}}$

= $9e^{-3x-5}+\frac{3}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{2x^2+4}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{2x^2+4}·4x$

= $8·e^{2x^2+4}x$

= $8x{e}^{2x^2+4}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{5x}·5$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[3]{x}·\sin \left(-5x+4\right)$

= $x^{\frac{1}{3}}·\sin \left(-5x+4\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}·\sin \left(-5x+4\right)+x^{\frac{1}{3}}·\cos \left(-5x+4\right)·\left(-5+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}·\sin \left(-5x+4\right)+\sqrt[3]{x}·\cos \left(-5x+4\right)·\left(-5+0\right)$

= $\frac{1}{3}\frac{\sin \left(-5x+4\right)}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+\sqrt[3]{x}·\cos \left(-5x+4\right)·\left(-5\right)$

= $\frac{1}{3}\frac{\sin \left(-5x+4\right)}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+\sqrt[3]{x}·\left(-5\cdot \cos \left(-5x+4\right)\right)$

= $\frac{1}{3}\frac{\sin \left(-5x+4\right)}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}-5\sqrt[3]{x}·\cos \left(-5x+4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $-5e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{4,75}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{4,75}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{4,5125}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{4,5125}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{4,2869}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{4,2869}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{4,0725}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{61}·\left(-5e^{-\mathrm{0,95}x}\right)$

≈ $\mathrm{0,219}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-2x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)-2$

= $3e^{-\mathrm{0,8}x}+3\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)-2$

= $3e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{2,4}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-2$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(3-\mathrm{2,4}x-\mathrm{2,4}\right)-2$

= $-2+\left(-\mathrm{2,4}x+3-\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $-2+\left(-\mathrm{2,4}x+\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$