$\text{f(x)}=$ $4+\frac{8}{7}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{8}{7}{e}^x$

= $\frac{8}{7}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{3x}+x^2·e^{3x}·3$

= $2x·e^{3x}+x^2·3e^{3x}$

= $2x·e^{3x}+3x^2·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^2+2x\right)$

= $\left(3x^2+2x\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-2x^3+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-2x^3+5}·\left(-6x^2\right)$

= $12·e^{-2x^3+5}{x}^2$

= $12x^2{e}^{-2x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x^2+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x^2+4}·\left(10x+0\right)$

= $\frac{1}{5x^2+4}·\left(10x\right)$

= $10\frac{x}{5x^2+4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+7\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{2x}+\left(2x+7\right)·e^{2x}·2$

= $2e^{2x}+\left(2x+7\right)·2e^{2x}$

= $2e^{2x}+2\left(2x+7\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2+4x+14\right)$

= $e^{2x}·\left(4x+16\right)$

= $\left(4x+16\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+86\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-2x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-2$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}+5\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-2$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{1,5}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-2$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(5-\mathrm{1,5}x+\mathrm{1,5}\right)-2$

= $-2+\left(-\mathrm{1,5}x+5+\mathrm{1,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $-2+\left(-\mathrm{1,5}x+\mathrm{6,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$