Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{10}{9} e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{10}{9} e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{10}{9} e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{20}{21} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x - 2} + x^{5} \cdot e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x - 2} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x - 2}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x - 2} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x - 2}$

= $e^{2 x - 2} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} - 8 x) \cdot e^{- 2 x} + (- 4 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(- 12 x^{2} - 8 x) \cdot e^{- 2 x} + (- 4 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(- 12 x^{2} - 8 x) \cdot e^{- 2 x} - 2 (- 4 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (8 x^{3} + 8 x^{2} + (- 12 x^{2} - 8 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 x)$

= $(8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} + 5 x} \cdot (3 x^{2} + 5)$

= $\frac{3 x^{2} + 5}{x^{3} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{- x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{- x^{2} + 3}$

= $- 2 {(- x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- {(- x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 3}} \cdot (- 2 x + 0)$

= $- \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 3}} \cdot (- 2 x)$

= $2 \frac{x}{\sqrt{- x^{2} + 3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 89)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 8$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $4 e^{- 0,5 x} + 4 (x - 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $4 e^{- 0,5 x} - 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (4 - 2 x + 6)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 x + 10)$

= $(- 2 x + 10) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten