$\text{f(x)}=$ $-5+2e^{\frac{7}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{\frac{7}{5}x}·\frac{7}{5}$

= $\frac{14}{5}{e}^{\frac{7}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{2x}+x^2·e^{2x}·2$

= $2x·e^{2x}+x^2·2e^{2x}$

= $2x·e^{2x}+2x^2·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^2+2x\right)$

= $\left(2x^2+2x\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{x-4}·1$

= $-2e^{x-4}$

$\text{f(x)}=$ $-\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-1}{6x}·6$

= $-\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(e^{2x}-4\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-10{\left(e^{2x}-4\right)}^4·(e^{2x}·2+0)$

= $-10{\left(e^{2x}-4\right)}^4·\left(2e^{2x}\right)$

= $-20{\left(e^{2x}-4\right)}^4·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+92\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+3$

= $4e^{-\mathrm{0,4}x}+4\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+3$

= $4e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{1,6}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+3$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(4-\mathrm{1,6}x-\mathrm{9,6}\right)+3$

= $3+\left(-\mathrm{1,6}x+4-\mathrm{9,6}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $3+\left(-\mathrm{1,6}x-\mathrm{5,6}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$