$\text{f(x)}=$ $1+e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{2x}·2$

= $2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $6\cdot \cos \left(x\right)-e^{x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $-6\cdot \sin \left(x\right)-e^{x-1}·1$

= $-6\cdot \sin \left(x\right)-e^{x-1}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^2+e^{-2x}·2x$

= $-2·e^{-2x}{x}^2+2·e^{-2x}x$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{2x}·2$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^2-4\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(6x+0\right)·e^{-3x}+\left(3x^2-4\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $6x·e^{-3x}+\left(3x^2-4\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $6x·e^{-3x}-3\left(3x^2-4\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-9x^2+12+6x\right)$

= $e^{-3x}·\left(-9x^2+6x+12\right)$

= $\left(-9x^2+6x+12\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^x$

f'(x) = $2e^x$

f''(x) = $2e^x$

f'''(x) = $2e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $2e^x$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{1,8}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-3+\mathrm{1,8}x-\mathrm{3,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{1,8}x-\mathrm{6,6}\right)$

= $\left(\mathrm{1,8}x-\mathrm{6,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$