Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 - 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 - 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x + 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 4} + x^{4} \cdot e^{3 x + 4} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 4} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x + 4}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 4} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x + 4}$

= $e^{3 x + 4} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x + 5} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{- x + 5} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{- x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{- 2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{- 2 x + 2}$

= $x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x + 2}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} \cdot e^{- 2 x + 2} + x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 {(\sqrt{x})}^{3}} \cdot e^{- 2 x + 2} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

= $- \frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x + 2}}{{(\sqrt{x})}^{3}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 2})$

= $- \frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x + 2}}{{(\sqrt{x})}^{3}} - 2 \frac{e^{- 2 x + 2}}{\sqrt{x}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- x}$

f'(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f'''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} + 2$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 4 e^{- 0,3 x} - 4 (x - 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 4 e^{- 0,3 x} + 1,2 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 4 + 1,2 x - 4,8)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1,2 x - 8,8)$

= $(1,2 x - 8,8) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten