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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} + 8 x) \cdot e^{- 4 x - 2} + (- 4 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4)$

= $(- 20 x^{4} + 8 x) \cdot e^{- 4 x - 2} + (- 4 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot (- 4 e^{- 4 x - 2})$

= $(- 20 x^{4} + 8 x) \cdot e^{- 4 x - 2} - 4 (- 4 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 2}$

= $e^{- 4 x - 2} \cdot (16 x^{5} - 16 x^{2} + (- 20 x^{4} + 8 x))$

= $e^{- 4 x - 2} \cdot (16 x^{5} - 20 x^{4} - 16 x^{2} + 8 x)$

= $(16 x^{5} - 20 x^{4} - 16 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- 4 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x - 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} + 4 x} \cdot (- 10 x + 4)$

= $\frac{- 10 x + 4}{- 5 x^{2} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 5) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 5) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (3 x^{2} - 5) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $6 x \cdot \cos (x^{2}) + (3 x^{2} - 5) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $6 x \cdot \cos (x^{2}) - 2 (3 x^{2} - 5) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 88)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 3$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 2 (x - 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 1,4 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2 + 1,4 x - 5,6)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1,4 x - 7,6)$

= $(1,4 x - 7,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten