$\text{f(x)}=$ $-2e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-x}·\left(-1\right)$

= $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x}{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2·x^4+e^{2x}·4x^3$

= $2·e^{2x}{x}^4+4·e^{2x}{x}^3$

= $e^{2x}·\left(2x^4+4x^3\right)$

= $\left(2x^4+4x^3\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{2x}+x^2·e^{2x}·2$

= $2x·e^{2x}+x^2·2e^{2x}$

= $2x·e^{2x}+2x^2·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^2+2x\right)$

= $\left(2x^2+2x\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $7\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{2x}·2$

= $\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-1\right)·\sin \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\sin \left(-3x\right)+\left(3x-1\right)·\cos \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $3\cdot \sin \left(-3x\right)+\left(3x-1\right)·\left(-3\cdot \cos \left(-3x\right)\right)$

= $3\cdot \sin \left(-3x\right)-3\left(3x-1\right)·\cos \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^{-x}$

f'(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

f''(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

f'''(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $-3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+6$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}+\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{0,4}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(1-\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$