Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{3}{4} e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{3}{4} e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{4} e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $\frac{9}{16} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} + e^{- 3 x - 1} + 2 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{2} + e^{- 3 x - 1} + 2 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $8 x + e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3) + 2 \cdot \cos (x)$

= $8 x - 3 e^{- 3 x - 1} + 2 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 5 x) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 5 x) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 6 x - 5) \cdot e^{- 2 x} + (- 3 x^{2} - 5 x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(- 6 x - 5) \cdot e^{- 2 x} + (- 3 x^{2} - 5 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(- 6 x - 5) \cdot e^{- 2 x} - 2 (- 3 x^{2} - 5 x) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (6 x^{2} + 10 x - 6 x - 5)$

= $e^{- 2 x} \cdot (6 x^{2} + 4 x - 5)$

= $(6 x^{2} + 4 x - 5) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{{(3 x^{3} - 5)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{{(3 x^{3} - 5)}^{2}}$

= $- 2 {(3 x^{3} - 5)}^{- 2}$

=> f'(x) = $4 {(3 x^{3} - 5)}^{- 3} \cdot (9 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{{(3 x^{3} - 5)}^{3}} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $\frac{4}{{(3 x^{3} - 5)}^{3}} \cdot (9 x^{2})$

= $36 \frac{x^{2}}{{(3 x^{3} - 5)}^{3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $- 2 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $2,2 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $2,2 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 2,42 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $- 2,42 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $2,662 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,662 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 2,9282 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${(- 1,1)}^{57} \cdot (- 2 e^{- 1,1 x})$

≈ $457,523 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 4$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x - 1) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 4$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 4$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (3 - 1,2 x + 1,2) - 4$

= $- 4 + (- 1,2 x + 3 + 1,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 4 + (- 1,2 x + 4,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten