Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{7} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{15}{7} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{3} + 5 \cdot \sin (x) + 3 e^{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{3} + 5 \cdot \sin (x) + 3 e^{- x + 4}$

$f'(x) =$ $\frac{9}{2} x^{2} + 5 \cdot \cos (x) + 3 e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

= $\frac{9}{2} x^{2} + 5 \cdot \cos (x) - 3 e^{- x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{2} + e^{- 3 x} \cdot 2 x$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{2} + 2 \cdot e^{- 3 x} x$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{3 x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{3 x^{2} - 3}$

= $3 {(3 x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} {(3 x^{2} - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (6 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 x^{2} - 3}} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 x^{2} - 3}} \cdot (6 x)$

= $9 \frac{x}{\sqrt{3 x^{2} - 3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 68-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{1,05 x}$

f'(x) = $3 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $3,15 e^{1,05 x}$

f''(x) = $3,15 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $3,3075 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $3,3075 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $3,4729 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,4729 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $3,6465 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 68-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 68 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{68}$

Somit gilt für die 68-te Ableitung:

f⁽⁶⁸⁾(x) = ${1,05}^{68} \cdot 3 e^{1,05 x}$

≈ $82,793 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 8$

= $e^{- 0,7 x} + (x - 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 8$

= $e^{- 0,7 x} - 0,7 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 8$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1 - 0,7 x + 3,5) + 8$

= $8 + (- 0,7 x + 1 + 3,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $8 + (- 0,7 x + 4,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten