$\text{f(x)}=$ $3e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-6e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x^5+2x^4\right)·e^{-3x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-20x^4+8x^3\right)·e^{-3x+3}+\left(-4x^5+2x^4\right)·e^{-3x+3}·\left(-3\right)$

= $\left(-20x^4+8x^3\right)·e^{-3x+3}+\left(-4x^5+2x^4\right)·\left(-3e^{-3x+3}\right)$

= $\left(-20x^4+8x^3\right)·e^{-3x+3}-3\left(-4x^5+2x^4\right)·e^{-3x+3}$

= $e^{-3x+3}·(12x^5-6x^4+\left(-20x^4+8x^3\right))$

= $e^{-3x+3}·\left(12x^5-26x^4+8x^3\right)$

= $\left(12x^5-26x^4+8x^3\right)·e^{-3x+3}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-2x}+x^4·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $4x^3·e^{-2x}+x^4·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $4x^3·e^{-2x}-2x^4·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^4+4x^3\right)$

= $\left(-2x^4+4x^3\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x+3}·\left(4+0\right)$

= $\frac{1}{4x+3}·\left(4\right)$

= $\frac{4}{4x+3}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(2x-5\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $3{\left(2x-5\right)}^2·\left(2+0\right)$

= $3{\left(2x-5\right)}^2·\left(2\right)$

= $6{\left(2x-5\right)}^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+90\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)-5$

= $-4e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)-5$

= $-4e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{3,2}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-4+\mathrm{3,2}x+\mathrm{9,6}\right)-5$

= $-5+\left(\mathrm{3,2}x-4+\mathrm{9,6}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $-5+\left(\mathrm{3,2}x+\mathrm{5,6}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$