Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{\frac{9}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{\frac{9}{7} x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4} e^{\frac{9}{7} x} \cdot \frac{9}{7}$

= $\frac{27}{28} e^{\frac{9}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x + 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x + 3} + x^{4} \cdot e^{x + 3} \cdot 1$

= $4 x^{3} \cdot e^{x + 3} + x^{4} \cdot e^{x + 3}$

= $e^{x + 3} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 3 x) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 3 x) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} - 3) \cdot e^{- 2 x} + (- 4 x^{3} - 3 x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(- 12 x^{2} - 3) \cdot e^{- 2 x} + (- 4 x^{3} - 3 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(- 12 x^{2} - 3) \cdot e^{- 2 x} - 2 (- 4 x^{3} - 3 x) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (8 x^{3} + 6 x - 12 x^{2} - 3)$

= $e^{- 2 x} \cdot (8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 3)$

= $(8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(2 x^{2} - 3)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(2 x^{2} - 3)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 3 {(2 x^{2} - 3)}^{2} \cdot (4 x + 0)$

= $- 3 {(2 x^{2} - 3)}^{2} \cdot (4 x)$

= $- 12 {(2 x^{2} - 3)}^{2} x$

= $- 12 x {(2 x^{2} - 3)}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{0,95 x}$

f'(x) = $- 5 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 4,75 e^{0,95 x}$

f''(x) = $- 4,75 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 4,5125 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $- 4,5125 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 4,2869 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4,2869 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 4,0725 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${0,95}^{65} \cdot (- 5 e^{0,95 x})$

≈ $- 0,178 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 2$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 5 e^{- 0,8 x} - 5 (x - 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 5 e^{- 0,8 x} + 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 5 + 4 x - 8)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (4 x - 13)$

= $(4 x - 13) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten