Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 - e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 - e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} + x) \cdot e^{5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} + x) \cdot e^{5 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 6 x + 1) \cdot e^{5 x - 2} + (- 3 x^{2} + x) \cdot e^{5 x - 2} \cdot 5$

= $(- 6 x + 1) \cdot e^{5 x - 2} + (- 3 x^{2} + x) \cdot 5 e^{5 x - 2}$

= $(- 6 x + 1) \cdot e^{5 x - 2} + 5 (- 3 x^{2} + x) \cdot e^{5 x - 2}$

= $e^{5 x - 2} \cdot (- 15 x^{2} + 5 x - 6 x + 1)$

= $e^{5 x - 2} \cdot (- 15 x^{2} - x + 1)$

= $(- 15 x^{2} - x + 1) \cdot e^{5 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (x^{5} - x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (x^{5} - x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (x^{5} - x^{3}) + e^{2 x} \cdot (5 x^{4} - 3 x^{2})$

= $2 \cdot e^{2 x} (x^{5} - x^{3}) + e^{2 x} (5 x^{4} - 3 x^{2})$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} - 2 x^{3} + (5 x^{4} - 3 x^{2}))$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 2) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 2) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (2 x - 2) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $2 \cdot \cos (x^{3}) + (2 x - 2) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $2 \cdot \cos (x^{3}) - 3 (2 x - 2) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,8574 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,8145 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${(- 0,95)}^{65} \cdot e^{- 0,95 x}$

≈ $- 0,036 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} - 8$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $2 e^{- 0,2 x} + 2 (x + 1) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $2 e^{- 0,2 x} - 0,4 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (2 - 0,4 x - 0,4)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,4 x + 1,6)$

= $(- 0,4 x + 1,6) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten