$\text{f(x)}=$ $1-3e^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{\frac{2}{3}x}·\frac{2}{3}$

= $-2e^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}\left(-3x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·\left(-3x+3\right)+e^{-3x}·\left(-3+0\right)$

= $-3·e^{-3x}\left(-3x+3\right)+e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-3·e^{-3x}\left(-3x+3\right)-3e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(9x-9-3\right)$

= $e^{-3x}·\left(9x-12\right)$

= $\left(9x-12\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x^3+1}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x^3+1}·\left(-6x^2\right)$

= $-6·e^{-2x^3+1}{x}^2$

= $-6x^2{e}^{-2x^3+1}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{5x}·5$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(e^{-2x}+3\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-6\left(e^{-2x}+3\right)·(e^{-2x}·\left(-2\right)+0)$

= $-6\left(e^{-2x}+3\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $12\left(e^{-2x}+3\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{62}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,042}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-8$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-8$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-8$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2x+14-4\right)-8$

= $-8+\left(2x+14-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $-8+\left(2x+10\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$