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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x} \cdot 3$

= $6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x + 1} - \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x + 1} - \sin (x)$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2) - \cos (x)$

= $6 e^{- 2 x + 1} - \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x^{3} + 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x^{3} + 2} \cdot 9 x^{2}$

= $27 \cdot e^{3 x^{3} + 2} x^{2}$

= $27 x^{2} e^{3 x^{3} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x + 4} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{x + 4} \cdot (1)$

= $\frac{1}{x + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot e^{x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot e^{x - 4}$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot e^{x - 4}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot e^{x - 4} + x^{\frac{1}{4}} \cdot e^{x - 4} \cdot 1$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot e^{x - 4} + \sqrt[4]{x} \cdot e^{x - 4} \cdot 1$

= $\frac{1}{4} \frac{e^{x - 4}}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot e^{x - 4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${0,85}^{50} \cdot e^{0,85 x}$

= 0

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 9$

= $- 3 e^{- 0,2 x} - 3 (x + 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 9$

= $- 3 e^{- 0,2 x} + 0,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 9$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 3 + 0,6 x + 3) + 9$

= $9 + (0,6 x - 3 + 3) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $9 + 0,6 x \cdot e^{- 0,2 x}$