Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{6}{5} e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{6}{5} e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{5} e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $\frac{6}{7} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{5} - 5 x^{4}) \cdot e^{- 5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{5} - 5 x^{4}) \cdot e^{- 5 x - 1}$

$f'(x) =$ $(10 x^{4} - 20 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 1} + (2 x^{5} - 5 x^{4}) \cdot e^{- 5 x - 1} \cdot (- 5)$

= $(10 x^{4} - 20 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 1} + (2 x^{5} - 5 x^{4}) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 1})$

= $(10 x^{4} - 20 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 1} - 5 (2 x^{5} - 5 x^{4}) \cdot e^{- 5 x - 1}$

= $e^{- 5 x - 1} \cdot (- 10 x^{5} + 25 x^{4} + (10 x^{4} - 20 x^{3}))$

= $e^{- 5 x - 1} \cdot (- 10 x^{5} + 35 x^{4} - 20 x^{3})$

= $(- 10 x^{5} + 35 x^{4} - 20 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x + 2}$

$f'(x) =$ $e^{- x + 2} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(e^{2 x} + 3)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(e^{2 x} + 3)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 9 {(e^{2 x} + 3)}^{2} \cdot (e^{2 x} \cdot 2 + 0)$

= $- 9 {(e^{2 x} + 3)}^{2} \cdot (2 e^{2 x})$

= $- 18 {(e^{2 x} + 3)}^{2} \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${0,95}^{60} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,046 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 4$

= $4 e^{- 0,2 x} + 4 (x + 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 4$

= $4 e^{- 0,2 x} - 0,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 4$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (4 - 0,8 x - 4) - 4$

= $- 4 + (- 0,8 x + 4 - 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 4 - 0,8 x \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten