$\text{f(x)}=$ $-3-2e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{3x}·3$

= $-6e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{x-3}+x^5·e^{x-3}·1$

= $5x^4·e^{x-3}+x^5·e^{x-3}$

= $e^{x-3}·\left(x^5+5x^4\right)$

= $\left(x^5+5x^4\right)·e^{x-3}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{3x^2+2}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{3x^2+2}·6x$

= $-12·e^{3x^2+2}x$

= $-12x{e}^{3x^2+2}$

$\text{f(x)}=$ $7\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{x}·1$

= $\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[4]{x}·e^{-x+3}$

= $x^{\frac{1}{4}}·e^{-x+3}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}·e^{-x+3}+x^{\frac{1}{4}}·e^{-x+3}·\left(-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}·e^{-x+3}+\sqrt[4]{x}·e^{-x+3}·\left(-1\right)$

= $\frac{1}{4}\frac{e^{-x+3}}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+\sqrt[4]{x}·\left(-e^{-x+3}\right)$

= $\frac{1}{4}\frac{e^{-x+3}}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}-\sqrt[4]{x}·e^{-x+3}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-x}$

f'(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f'''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+4$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}+\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{0,8}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(1-\mathrm{0,8}x-\mathrm{4,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}x-\mathrm{3,8}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,8}x-\mathrm{3,8}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$