Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $\frac{1}{4} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x + 3}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 3} + x^{3} \cdot e^{3 x + 3} \cdot 3$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 3} + x^{3} \cdot 3 e^{3 x + 3}$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 3} + 3 x^{3} \cdot e^{3 x + 3}$

= $e^{3 x + 3} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{4} + 4) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{4} + 4) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 8 x^{3} + 0) \cdot e^{3 x} + (- 2 x^{4} + 4) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $- 8 x^{3} \cdot e^{3 x} + (- 2 x^{4} + 4) \cdot 3 e^{3 x}$

= $- 8 x^{3} \cdot e^{3 x} + 3 (- 2 x^{4} + 4) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x^{4} + 12 - 8 x^{3})$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x^{4} - 8 x^{3} + 12)$

= $(- 6 x^{4} - 8 x^{3} + 12) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x + 4} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x + 4} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x - 3) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x} + (2 x - 3) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 e^{- 2 x} - 2 (2 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 - 4 x + 6)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x + 8)$

= $(- 4 x + 8) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${(- 1,15)}^{46} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $619,585 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 8$

= $- e^{- 0,4 x} - (x - 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 8$

= $- e^{- 0,4 x} + 0,4 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 8$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1 + 0,4 x - 1,2) + 8$

= $8 + (0,4 x - 1 - 1,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $8 + (0,4 x - 2,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten