$\text{f(x)}=$ $-e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-3x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-3x+5}+x^4·e^{-3x+5}·\left(-3\right)$

= $4x^3·e^{-3x+5}+x^4·\left(-3e^{-3x+5}\right)$

= $4x^3·e^{-3x+5}-3x^4·e^{-3x+5}$

= $e^{-3x+5}·\left(4x^3-3x^4\right)$

= $e^{-3x+5}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x+5}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x+1}·3$

= $3e^{3x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x^3+5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x^3+5x}·\left(12x^2+5\right)$

= $\frac{12x^2+5}{4x^3+5x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{x-1}+x^2·e^{x-1}·1$

= $2x·e^{x-1}+x^2·e^{x-1}$

= $e^{x-1}·\left(2x+x^2\right)$

= $e^{x-1}·\left(x^2+2x\right)$

= $\left(x^2+2x\right)·e^{x-1}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-x}$

f'(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f'''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+9x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+9$

= $-3e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+9$

= $-3e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{1,8}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+9$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{1,8}x-9-3\right)+9$

= $9+\left(\mathrm{1,8}x-9-3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $9+\left(\mathrm{1,8}x-12\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$