$\text{f(x)}=$ $2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{2x}·2$

= $4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{x+3}+x^3·e^{x+3}·1$

= $3x^2·e^{x+3}+x^3·e^{x+3}$

= $e^{x+3}·\left(x^3+3x^2\right)$

= $\left(x^3+3x^2\right)·e^{x+3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x}·x^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2·x^2+e^{2x}·2x$

= $2·e^{2x}{x}^2+2·e^{2x}x$

= $e^{2x}·\left(2x^2+2x\right)$

= $\left(2x^2+2x\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-4x^2-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-4x^2-5x}·\left(-8x-5\right)$

= $\frac{-8x-5}{-4x^2-5x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+9\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-3x}+\left(x^2+9\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x}+\left(x^2+9\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2x·e^{-3x}-3\left(x^2+9\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2-27+2x\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x-27\right)$

= $\left(-3x^2+2x-27\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,5209}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,5209}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,749}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 40-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 40 mal mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,15}}^{40}$

Somit gilt für die 40-te Ableitung:

f⁽⁴⁰⁾(x) = ${\mathrm{1,15}}^{40}·e^{\mathrm{1,15}x}$

≈ $\mathrm{267,864}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+6$

= $-e^{-\mathrm{0,6}x}-\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+6$

= $-e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{0,6}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-1+\mathrm{0,6}x+\mathrm{2,4}\right)+6$

= $6+\left(\mathrm{0,6}x-1+\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $6+\left(\mathrm{0,6}x+\mathrm{1,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$