$\text{f(x)}=$ $-2+3e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{3x}·3$

= $9e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^5-x^3\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-5x^4-3x^2\right)·e^{2x}+\left(-x^5-x^3\right)·e^{2x}·2$

= $\left(-5x^4-3x^2\right)·e^{2x}+\left(-x^5-x^3\right)·2e^{2x}$

= $\left(-5x^4-3x^2\right)·e^{2x}+2\left(-x^5-x^3\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·(-2x^5-2x^3+\left(-5x^4-3x^2\right))$

= $e^{2x}·\left(-2x^5-5x^4-2x^3-3x^2\right)$

= $\left(-2x^5-5x^4-2x^3-3x^2\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-3x}+x^3·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3x^2·e^{-3x}+x^3·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3x^2·e^{-3x}-3x^3·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(x^3-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x^3-3x}·\left(3x^2-3\right)$

= $\frac{3x^2-3}{x^3-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+1\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{2x}+\left(3x+1\right)·e^{2x}·2$

= $3e^{2x}+\left(3x+1\right)·2e^{2x}$

= $3e^{2x}+2\left(3x+1\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(3+6x+2\right)$

= $e^{2x}·\left(6x+5\right)$

= $\left(6x+5\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $e^x·\left(x+82\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+1$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+1$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{0,5}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+1$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(1-\mathrm{0,5}x-\mathrm{1,5}\right)+1$

= $1+\left(-\mathrm{0,5}x+1-\mathrm{1,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $1+\left(-\mathrm{0,5}x-\mathrm{0,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$