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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{9} e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $\frac{2}{3} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x + 5} - \frac{5}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x + 5} - \frac{5}{x^{4}}$

= $- 3 e^{- 3 x + 5} - 5 x^{- 4}$

=> f'(x) = $- 3 e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3) + 20 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3) + \frac{20}{x^{5}}$

= $9 e^{- 3 x + 5} + \frac{20}{x^{5}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $e^{- x^{2} + 2} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \cdot e^{- x^{2} + 2} x$

= $- 2 x e^{- x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(- 3 x - 1)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(- 3 x - 1)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 4 (- 3 x - 1) \cdot (- 3 + 0)$

= $- 4 (- 3 x - 1) \cdot (- 3)$

= $12 (- 3 x - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${1,05}^{78} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $44,954 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 8$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- e^{- 0,4 x} - (x + 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- e^{- 0,4 x} + 0,4 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1 + 0,4 x + 2)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (0,4 x + 1)$

= $(0,4 x + 1) \cdot e^{- 0,4 x}$