Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} + 5) \cdot e^{3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} + 5) \cdot e^{3 x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 6 x + 0) \cdot e^{3 x - 3} + (- 3 x^{2} + 5) \cdot e^{3 x - 3} \cdot 3$

= $- 6 x \cdot e^{3 x - 3} + (- 3 x^{2} + 5) \cdot 3 e^{3 x - 3}$

= $- 6 x \cdot e^{3 x - 3} + 3 (- 3 x^{2} + 5) \cdot e^{3 x - 3}$

= $e^{3 x - 3} \cdot (- 6 x - 9 x^{2} + 15)$

= $e^{3 x - 3} \cdot (- 9 x^{2} - 6 x + 15)$

= $(- 9 x^{2} - 6 x + 15) \cdot e^{3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x^{2} - 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x^{2} - 3} \cdot 6 x$

= $12 \cdot e^{3 x^{2} - 3} x$

= $12 x e^{3 x^{2} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 6) \cdot \cos (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 6) \cdot \cos (2 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \cos (2 x) + (3 x - 6) \cdot (- \sin (2 x) \cdot 2)$

= $3 \cdot \cos (2 x) + (3 x - 6) \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x))$

= $3 \cdot \cos (2 x) - 2 (3 x - 6) \cdot \sin (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{1,05 x}$

f'(x) = $2 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $2,1 e^{1,05 x}$

f''(x) = $2,1 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $2,205 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $2,205 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $2,3153 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,3153 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $2,431 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${1,05}^{78} \cdot 2 e^{1,05 x}$

≈ $89,907 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 8$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 (x - 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 8$

= $2 e^{- 0,8 x} - 1,6 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 8$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1,6 x + 11,2 + 2) - 8$

= $- 8 + (- 1,6 x + 11,2 + 2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 8 + (- 1,6 x + 13,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten