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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x}$

$f'(x) =$ $- e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{5} + 5 x) \cdot e^{- 4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{5} + 5 x) \cdot e^{- 4 x + 1}$

$f'(x) =$ $(20 x^{4} + 5) \cdot e^{- 4 x + 1} + (4 x^{5} + 5 x) \cdot e^{- 4 x + 1} \cdot (- 4)$

= $(20 x^{4} + 5) \cdot e^{- 4 x + 1} + (4 x^{5} + 5 x) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 1})$

= $(20 x^{4} + 5) \cdot e^{- 4 x + 1} - 4 (4 x^{5} + 5 x) \cdot e^{- 4 x + 1}$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (- 16 x^{5} - 20 x + 20 x^{4} + 5)$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (- 16 x^{5} + 20 x^{4} - 20 x + 5)$

= $(- 16 x^{5} + 20 x^{4} - 20 x + 5) \cdot e^{- 4 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x + 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $- 9 e^{- 3 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} + 4} \cdot (- 6 x + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x^{2} + 4} \cdot (- 6 x)$

= $- 6 \frac{x}{- 3 x^{2} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x + 1}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x + 1}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{3 x + 1} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x + 1} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{3 x + 1} + \sqrt{x} \cdot e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x + 1}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 e^{3 x + 1}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x + 1}}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cdot e^{3 x + 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{0,95 x}$

f'(x) = $4 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $3,8 e^{0,95 x}$

f''(x) = $3,8 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $3,61 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $3,61 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $3,4295 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,4295 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $3,258 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 77-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 77 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{77}$

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = ${0,95}^{77} \cdot 4 e^{0,95 x}$

≈ $0,077 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 3$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 2 e^{- 0,3 x} - 2 (x + 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 2 e^{- 0,3 x} + 0,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 2 + 0,6 x + 3)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,6 x + 1)$

= $(0,6 x + 1) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten