$\text{f(x)}=$ $4+e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^x$

= $e^x$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-4x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-4x+3}+x^4·e^{-4x+3}·\left(-4\right)$

= $4x^3·e^{-4x+3}+x^4·\left(-4e^{-4x+3}\right)$

= $4x^3·e^{-4x+3}-4x^4·e^{-4x+3}$

= $e^{-4x+3}·\left(-4x^4+4x^3\right)$

= $\left(-4x^4+4x^3\right)·e^{-4x+3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·x^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·x^2+e^{-x}·2x$

= $-e^{-x}{x}^2+2·e^{-x}x$

= $e^{-x}·\left(-x^2+2x\right)$

= $\left(-x^2+2x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x^2-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x^2-1}·\left(-4x+0\right)$

= $\frac{1}{-2x^2-1}·\left(-4x\right)$

= $-4\frac{x}{-2x^2-1}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(e^{-2x}-2\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-10{\left(e^{-2x}-2\right)}^4·(e^{-2x}·\left(-2\right)+0)$

= $-10{\left(e^{-2x}-2\right)}^4·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $20{\left(e^{-2x}-2\right)}^4·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $-2e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{1,7}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,7}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{1,445}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{1,445}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{1,2283}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,2283}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{1,044}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 41-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 41 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{41}$

Somit gilt für die 41-te Ableitung:

f⁽⁴¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{41}·\left(-2e^{-\mathrm{0,85}x}\right)$

≈ $\mathrm{0,003}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,4}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(2-\mathrm{0,4}x-2\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,4}x+0\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,4}x\right)$

= $x·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$