Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x - 3} - 4 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x - 3} - 4 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x - 3} \cdot 3 - 4 \cdot \cos (x)$

= $6 e^{3 x - 3} - 4 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (3 x^{5} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (3 x^{5} - 3 x)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (3 x^{5} - 3 x) + e^{- 3 x} \cdot (15 x^{4} - 3)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (3 x^{5} - 3 x) + e^{- 3 x} (15 x^{4} - 3)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{5} + 9 x + 15 x^{4} - 3)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{5} + 15 x^{4} + 9 x - 3)$

= $(- 9 x^{5} + 15 x^{4} + 9 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} + 4 x} \cdot (- 2 x + 4)$

= $\frac{- 2 x + 4}{- x^{2} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{{(- 3 x + 5)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{{(- 3 x + 5)}^{2}}$

= $- 2 {(- 3 x + 5)}^{- 2}$

=> f'(x) = $4 {(- 3 x + 5)}^{- 3} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{{(- 3 x + 5)}^{3}} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{4}{{(- 3 x + 5)}^{3}} \cdot (- 3)$

= $- \frac{12}{{(- 3 x + 5)}^{3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 82)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} + x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 1$

= $- 2 e^{- 0,6 x} - 2 (x + 6) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 1$

= $- 2 e^{- 0,6 x} + 1,2 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 1$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 2 + 1,2 x + 7,2) + 1$

= $1 + (1,2 x - 2 + 7,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $1 + (1,2 x + 5,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten