Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{2}{3} e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{2}{3} e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{2}{3} e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $\frac{14}{27} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot e^{- x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot e^{- x + 3}$

$f'(x) =$ $(8 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{- x + 3} + (2 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot e^{- x + 3} \cdot (- 1)$

= $(8 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{- x + 3} + (2 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot (- e^{- x + 3})$

= $(8 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{- x + 3} - (2 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot e^{- x + 3}$

= $e^{- x + 3} \cdot (- 2 x^{4} + 2 x^{3} + (8 x^{3} - 6 x^{2}))$

= $e^{- x + 3} \cdot (- 2 x^{4} + 10 x^{3} - 6 x^{2})$

= $(- 2 x^{4} + 10 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{- x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{3 x} + \sqrt{x} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 e^{3 x}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- x}$

f'(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f'''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $- 4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 6$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 5 e^{- 0,1 x} - 5 (x + 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 5 e^{- 0,1 x} + 0,5 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 5 + 0,5 x + 2,5)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,5 x - 2,5)$

= $(0,5 x - 2,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten