$\text{f(x)}=$ $2e^{\frac{3}{2}x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{\frac{3}{2}x}·\frac{3}{2}$

= $3e^{\frac{3}{2}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^3-2x^2\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(12x^2-4x\right)·e^{3x}+\left(4x^3-2x^2\right)·e^{3x}·3$

= $\left(12x^2-4x\right)·e^{3x}+\left(4x^3-2x^2\right)·3e^{3x}$

= $\left(12x^2-4x\right)·e^{3x}+3\left(4x^3-2x^2\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·(12x^3-6x^2+\left(12x^2-4x\right))$

= $e^{3x}·\left(12x^3+6x^2-4x\right)$

= $\left(12x^3+6x^2-4x\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-2x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-2x-2}+x^2·e^{-2x-2}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x-2}+x^2·\left(-2e^{-2x-2}\right)$

= $2x·e^{-2x-2}-2x^2·e^{-2x-2}$

= $e^{-2x-2}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x-2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-4x-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-4x-4}·\left(-4+0\right)$

= $\frac{1}{-4x-4}·\left(-4\right)$

= $-\frac{4}{-4x-4}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(\cos \left(x\right)-3\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $3{\left(\cos \left(x\right)-3\right)}^2·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $3{\left(\cos \left(x\right)-3\right)}^2·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-3{\left(\cos \left(x\right)-3\right)}^2·\sin \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $-4e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{3,4}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{3,4}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{2,89}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{2,89}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{2,4565}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,4565}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{2,088}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{30}·\left(-4e^{-\mathrm{0,85}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,031}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)-5$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}+\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)-5$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{0,8}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(1-\mathrm{0,8}x+\mathrm{3,2}\right)-5$

= $-5+\left(-\mathrm{0,8}x+1+\mathrm{3,2}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $-5+\left(-\mathrm{0,8}x+\mathrm{4,2}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$