$\text{f(x)}=$ $3+\frac{11}{9}{e}^{\frac{9}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{11}{9}{e}^{\frac{9}{7}x}·\frac{9}{7}$

= $\frac{11}{7}{e}^{\frac{9}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-x-2}+\frac{1}{4}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-x-2}·\left(-1\right)-\frac{1}{4}\cdot \sin \left(x\right)$

= $-2e^{-x-2}-\frac{1}{4}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-e^{3x^3+4}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{3x^3+4}·9x^2$

= $-9·e^{3x^3+4}{x}^2$

= $-9x^2{e}^{3x^3+4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x^2+3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x^2+3x}·\left(-6x+3\right)$

= $\frac{-6x+3}{-3x^2+3x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{x}}·e^{-4x+5}$

= $x^{-\frac{1}{2}}·e^{-4x+5}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}·e^{-4x+5}+x^{-\frac{1}{2}}·e^{-4x+5}·\left(-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2{\left(\sqrt{x}\right)}^3}·e^{-4x+5}+\frac{1}{\sqrt{x}}·e^{-4x+5}·\left(-4\right)$

= $-\frac{1}{2}\frac{e^{-4x+5}}{{\left(\sqrt{x}\right)}^3}+\frac{1}{\sqrt{x}}·\left(-4e^{-4x+5}\right)$

= $-\frac{1}{2}\frac{e^{-4x+5}}{{\left(\sqrt{x}\right)}^3}-4\frac{e^{-4x+5}}{\sqrt{x}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^x$

f'(x) = $4e^x$

f''(x) = $4e^x$

f'''(x) = $4e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $4e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}+\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{0,9}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(1-\mathrm{0,9}x+\mathrm{3,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}x+\mathrm{4,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,9}x+\mathrm{4,6}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$