$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{e}^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4}{e}^{\frac{7}{9}x}·\frac{7}{9}$

= $\frac{7}{12}{e}^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{x+3}+x^4·e^{x+3}·1$

= $4x^3·e^{x+3}+x^4·e^{x+3}$

= $e^{x+3}·\left(x^4+4x^3\right)$

= $\left(x^4+4x^3\right)·e^{x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^3+x\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-15x^2+1\right)·e^{-3x}+\left(-5x^3+x\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $\left(-15x^2+1\right)·e^{-3x}+\left(-5x^3+x\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $\left(-15x^2+1\right)·e^{-3x}-3\left(-5x^3+x\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(15x^3-3x-15x^2+1\right)$

= $e^{-3x}·\left(15x^3-15x^2-3x+1\right)$

= $\left(15x^3-15x^2-3x+1\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{x}·1$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(\sqrt{x}\right)}^3·e^{2x+4}$

= $x^{\frac{3}{2}}·e^{2x+4}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}·e^{2x+4}+x^{\frac{3}{2}}·e^{2x+4}·2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}\sqrt{x}·e^{2x+4}+{\left(\sqrt{x}\right)}^3·e^{2x+4}·2$

= $\frac{3}{2}\sqrt{x}·e^{2x+4}+{\left(\sqrt{x}\right)}^3·2e^{2x+4}$

= $\frac{3}{2}\sqrt{x}·e^{2x+4}+2{\left(\sqrt{x}\right)}^3·e^{2x+4}$

= $e^{2x+4}·\left(2{\left(\sqrt{x}\right)}^3+\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)$

= $\left(2{\left(\sqrt{x}\right)}^3+\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)·e^{2x+4}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $-2e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{2,1}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{2,1}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{2,205}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{2,205}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{2,3153}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,3153}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{2,431}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 73-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 73 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{73}$

Somit gilt für die 73-te Ableitung:

f⁽⁷³⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{73}·\left(-2e^{-\mathrm{1,05}x}\right)$

≈ $\mathrm{70,445}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+9$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{1,2}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-2+\mathrm{1,2}x+\mathrm{8,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{1,2}x+\mathrm{6,4}\right)$

= $\left(\mathrm{1,2}x+\mathrm{6,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$