Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{7}{8} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{7}{8} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{8} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{21}{8} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} + 5 x) \cdot e^{4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{3} + 5 x) \cdot e^{4 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 3 x^{2} + 5) \cdot e^{4 x + 2} + (- x^{3} + 5 x) \cdot e^{4 x + 2} \cdot 4$

= $(- 3 x^{2} + 5) \cdot e^{4 x + 2} + (- x^{3} + 5 x) \cdot 4 e^{4 x + 2}$

= $(- 3 x^{2} + 5) \cdot e^{4 x + 2} + 4 (- x^{3} + 5 x) \cdot e^{4 x + 2}$

= $e^{4 x + 2} \cdot (- 4 x^{3} + 20 x - 3 x^{2} + 5)$

= $e^{4 x + 2} \cdot (- 4 x^{3} - 3 x^{2} + 20 x + 5)$

= $(- 4 x^{3} - 3 x^{2} + 20 x + 5) \cdot e^{4 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (3 x^{4} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (3 x^{4} - x)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (3 x^{4} - x) + e^{2 x} \cdot (12 x^{3} - 1)$

= $2 \cdot e^{2 x} (3 x^{4} - x) + e^{2 x} (12 x^{3} - 1)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x^{4} - 2 x + 12 x^{3} - 1)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x^{4} + 12 x^{3} - 2 x - 1)$

= $(6 x^{4} + 12 x^{3} - 2 x - 1) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x} \cdot (- 6 x + 5)$

= $\frac{- 6 x + 5}{- 3 x^{2} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 6) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 6) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 6) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 6) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 6) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} - 18 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 18)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 18) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 84)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 3$

= $- e^{- 0,1 x} - (x - 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 3$

= $- e^{- 0,1 x} + 0,1 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 3$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 1 + 0,1 x - 0,7) - 3$

= $- 3 + (0,1 x - 1 - 0,7) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 3 + (0,1 x - 1,7) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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