$\text{f(x)}=$ $-1-3e^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{\frac{8}{9}x}·\frac{8}{9}$

= $-\frac{8}{3}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-3x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-3x-2}+x^2·e^{-3x-2}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x-2}+x^2·\left(-3e^{-3x-2}\right)$

= $2x·e^{-3x-2}-3x^2·e^{-3x-2}$

= $e^{-3x-2}·\left(-3x^2+2x\right)$

= $\left(-3x^2+2x\right)·e^{-3x-2}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·\left(4x^4+5x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·\left(4x^4+5x^2\right)+e^{-3x}·\left(16x^3+10x\right)$

= $-3·e^{-3x}\left(4x^4+5x^2\right)+e^{-3x}\left(16x^3+10x\right)$

= $e^{-3x}·(-12x^4-15x^2+\left(16x^3+10x\right))$

= $e^{-3x}·\left(-12x^4+16x^3-15x^2+10x\right)$

= $\left(-12x^4+16x^3-15x^2+10x\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{2x}·2$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+9\right)·\sin \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\sin \left(x^2\right)+\left(3x+9\right)·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $3\cdot \sin \left(x^2\right)+\left(3x+9\right)·2\cos \left(x^2\right)x$

= $3\cdot \sin \left(x^2\right)+2\left(3x+9\right)\cos \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-x}$

f'(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f'''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-4\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-5$

= $-4e^{-\mathrm{0,3}x}-4\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-5$

= $-4e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{1,2}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-4+\mathrm{1,2}x-\mathrm{2,4}\right)-5$

= $-5+\left(\mathrm{1,2}x-4-\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $-5+\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{6,4}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$