$\text{f(x)}=$ $-4-3e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{3x}·3$

= $-9e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{2x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{2x-5}+x^4·e^{2x-5}·2$

= $4x^3·e^{2x-5}+x^4·2e^{2x-5}$

= $4x^3·e^{2x-5}+2x^4·e^{2x-5}$

= $e^{2x-5}·\left(2x^4+4x^3\right)$

= $\left(2x^4+4x^3\right)·e^{2x-5}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{x-5}+x^3·e^{x-5}·1$

= $3x^2·e^{x-5}+x^3·e^{x-5}$

= $e^{x-5}·\left(x^3+3x^2\right)$

= $\left(x^3+3x^2\right)·e^{x-5}$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{6x}·6$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-1\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{-2x}+\left(2x-1\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x}+\left(2x-1\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2e^{-2x}-2\left(2x-1\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(2-4x+2\right)$

= $e^{-2x}·\left(-4x+4\right)$

= $\left(-4x+4\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+76\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+9x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+9$

= $-e^{-\mathrm{0,6}x}-\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+9$

= $-e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{0,6}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+9$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-1+\mathrm{0,6}x+\mathrm{4,2}\right)+9$

= $9+\left(\mathrm{0,6}x-1+\mathrm{4,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $9+\left(\mathrm{0,6}x+\mathrm{3,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$