$\text{f(x)}=$ $-3-3e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{3x}·3$

= $-9e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{3}\sqrt{x}-e^{3x-2}-\cos \left(x\right)$

= $\frac{5}{3}{x}^{\frac{1}{2}}-e^{3x-2}-\cos \left(x\right)$

=> f'(x) = $\frac{5}{6}{x}^{-\frac{1}{2}}-e^{3x-2}·3+\sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{6\sqrt{x}}-e^{3x-2}·3+\sin \left(x\right)$

= $\frac{5}{6\sqrt{x}}-3e^{3x-2}+\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·\left(-3x^3+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-3x^3+1\right)+e^{-x}·\left(-9x^2+0\right)$

= $-e^{-x}\left(-3x^3+1\right)+e^{-x}·\left(-9x^2\right)$

= $-e^{-x}\left(-3x^3+1\right)-9·e^{-x}{x}^2$

= $e^{-x}·\left(3x^3-1-9x^2\right)$

= $e^{-x}·\left(3x^3-9x^2-1\right)$

= $\left(3x^3-9x^2-1\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x^3+2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x^3+2x}·\left(6x^2+2\right)$

= $\frac{6x^2+2}{2x^3+2x}$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(\cos \left(x\right)+2\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-5{\left(\cos \left(x\right)+2\right)}^4·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $-5{\left(\cos \left(x\right)+2\right)}^4·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $5{\left(\cos \left(x\right)+2\right)}^4·\sin \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,522}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 40-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 40 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{40}$

Somit gilt für die 40-te Ableitung:

f⁽⁴⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{40}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,002}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+9x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+9$

= $-e^{-\mathrm{0,1}x}-\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)+9$

= $-e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,1}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+9$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-1+\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}\right)+9$

= $9+\left(\mathrm{0,1}x-1-\mathrm{0,2}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $9+\left(\mathrm{0,1}x-\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$