$\text{f(x)}=$ $3-3e^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{\frac{7}{9}x}·\frac{7}{9}$

= $-\frac{7}{3}{e}^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-2x-3}+\frac{1}{4x^3}$

= $-e^{-2x-3}+\frac{1}{4}{x}^{-3}$

=> f'(x) = $-e^{-2x-3}·\left(-2\right)-\frac{3}{4}{x}^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-2x-3}·\left(-2\right)-\frac{3}{4x^4}$

= $2e^{-2x-3}-\frac{3}{4x^4}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x+5}·\left(-2\right)$

= $-2e^{-2x+5}$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{6x}·6$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-6\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{2x}+\left(2x-6\right)·e^{2x}·2$

= $2e^{2x}+\left(2x-6\right)·2e^{2x}$

= $2e^{2x}+2\left(2x-6\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2+4x-12\right)$

= $e^{2x}·\left(4x-10\right)$

= $\left(4x-10\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^x$

f'(x) = $5e^x$

f''(x) = $5e^x$

f'''(x) = $5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $5e^x$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+8$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,9}x}-4\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{3,6}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-4+\mathrm{3,6}x+\mathrm{14,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{3,6}x+\mathrm{10,4}\right)$

= $\left(\mathrm{3,6}x+\mathrm{10,4}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$