$\text{f(x)}=$ $3+\frac{5}{7}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{7}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-\frac{15}{7}{e}^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{8}{x^4}+e^{-3x+5}$

= $-8x^{-4}+e^{-3x+5}$

=> f'(x) = $32x^{-5}+e^{-3x+5}·\left(-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{32}{x^5}+e^{-3x+5}·\left(-3\right)$

= $\frac{32}{x^5}-3e^{-3x+5}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{x^3+3}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{x^3+3}·3x^2$

= $-3·e^{x^3+3}{x}^2$

= $-3x^2{e}^{x^3+3}$

$\text{f(x)}=$ $2\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{2x}·2$

= $\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(\sin \left(x\right)+5\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-6{\left(\sin \left(x\right)+5\right)}^2·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $-6{\left(\sin \left(x\right)+5\right)}^2·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $-6{\left(\sin \left(x\right)+5\right)}^2·\cos \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $e^x·\left(x+78\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+9x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+9$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)+9$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{3,2}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+9$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(4-\mathrm{3,2}x-\mathrm{12,8}\right)+9$

= $9+\left(-\mathrm{3,2}x+4-\mathrm{12,8}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $9+\left(-\mathrm{3,2}x-\mathrm{8,8}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$