$\text{f(x)}=$ $1+3e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{2x}·2$

= $6e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^2+4x\right)·e^{-x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(6x+4\right)·e^{-x-5}+\left(3x^2+4x\right)·e^{-x-5}·\left(-1\right)$

= $\left(6x+4\right)·e^{-x-5}+\left(3x^2+4x\right)·\left(-e^{-x-5}\right)$

= $\left(6x+4\right)·e^{-x-5}-\left(3x^2+4x\right)·e^{-x-5}$

= $e^{-x-5}·\left(-3x^2-4x+6x+4\right)$

= $e^{-x-5}·\left(-3x^2+2x+4\right)$

= $\left(-3x^2+2x+4\right)·e^{-x-5}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·\left(x+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·\left(x+2\right)+e^{-2x}·\left(1+0\right)$

= $-2·e^{-2x}\left(x+2\right)+e^{-2x}·\left(1\right)$

= $-2·e^{-2x}\left(x+2\right)+e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(1-2x-4\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x-3\right)$

= $\left(-2x-3\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-4x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-4x+3}·\left(-4+0\right)$

= $\frac{1}{-4x+3}·\left(-4\right)$

= $-\frac{4}{-4x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-6\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{2x}+\left(x-6\right)·e^{2x}·2$

= $e^{2x}+\left(x-6\right)·2e^{2x}$

= $e^{2x}+2\left(x-6\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(1+2x-12\right)$

= $e^{2x}·\left(2x-11\right)$

= $\left(2x-11\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $-4e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{4,2}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{4,2}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{4,41}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{4,41}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{4,6305}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{4,6305}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{4,862}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 71-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 71 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{71}$

Somit gilt für die 71-te Ableitung:

f⁽⁷¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{71}·\left(-4e^{-\mathrm{1,05}x}\right)$

≈ $\mathrm{127,791}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,2}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(2-\mathrm{1,2}x-\mathrm{3,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{1,2}x-\mathrm{1,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,2}x-\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$