Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{5} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{5} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 3}$

$f'(x) =$ $(25 x^{4} + 6 x) \cdot e^{- 4 x + 3} + (5 x^{5} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 3} \cdot (- 4)$

= $(25 x^{4} + 6 x) \cdot e^{- 4 x + 3} + (5 x^{5} + 3 x^{2}) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 3})$

= $(25 x^{4} + 6 x) \cdot e^{- 4 x + 3} - 4 (5 x^{5} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 3}$

= $e^{- 4 x + 3} \cdot (- 20 x^{5} - 12 x^{2} + (25 x^{4} + 6 x))$

= $e^{- 4 x + 3} \cdot (- 20 x^{5} + 25 x^{4} - 12 x^{2} + 6 x)$

= $(- 20 x^{5} + 25 x^{4} - 12 x^{2} + 6 x) \cdot e^{- 4 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{2} + e^{3 x} \cdot 2 x$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{2} + 2 \cdot e^{3 x} x$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} - 3} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- x^{3} - 3} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 3 \frac{x^{2}}{- x^{3} - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot \cos (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot \cos (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (3 x) + (x^{2} - 2) \cdot (- \sin (3 x) \cdot 3)$

= $2 x \cdot \cos (3 x) + (x^{2} - 2) \cdot (- 3 \cdot \sin (3 x))$

= $2 x \cdot \cos (3 x) - 3 (x^{2} - 2) \cdot \sin (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $3 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 2,85 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 2,85 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $2,7075 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $2,7075 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 2,5721 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,5721 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $2,4435 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 79-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 79 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{79}$

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = ${(- 0,95)}^{79} \cdot 3 e^{- 0,95 x}$

≈ $- 0,052 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 5$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $2 e^{- 0,1 x} + 2 (x - 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $2 e^{- 0,1 x} - 0,2 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (2 - 0,2 x + 0,4)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,2 x + 2,4)$

= $(- 0,2 x + 2,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten