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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x) - 3 e^{- 3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x) - 3 e^{- 3 x - 4}$

$f'(x) =$ $2 \cdot \sin (x) - 3 e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3)$

= $2 \cdot \sin (x) + 9 e^{- 3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x^{3} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x^{3} - 5}$

$f'(x) =$ $e^{- x^{3} - 5} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 3 \cdot e^{- x^{3} - 5} x^{2}$

= $- 3 x^{2} e^{- x^{3} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x - 3} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x - 3} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(\sin (x) - 3)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(\sin (x) - 3)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 2 (\sin (x) - 3) \cdot (\cos (x) + 0)$

= $- 2 (\sin (x) - 3) \cdot (\cos (x))$

= $- 2 (\sin (x) - 3) \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{1,1 x}$

f'(x) = $- 4 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 4,4 e^{1,1 x}$

f''(x) = $- 4,4 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 4,84 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $- 4,84 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 5,324 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5,324 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 5,8564 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${1,1}^{65} \cdot (- 4 e^{1,1 x})$

≈ $- 1961,483 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 3$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x - 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 3$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 3$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (3 - 1,5 x + 9) - 3$

= $- 3 + (- 1,5 x + 3 + 9) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 3 + (- 1,5 x + 12) \cdot e^{- 0,5 x}$