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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x - 3) \cdot e^{3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x - 3) \cdot e^{3 x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 2 + 0) \cdot e^{3 x + 3} + (- 2 x - 3) \cdot e^{3 x + 3} \cdot 3$

= $- 2 e^{3 x + 3} + (- 2 x - 3) \cdot 3 e^{3 x + 3}$

= $- 2 e^{3 x + 3} + 3 (- 2 x - 3) \cdot e^{3 x + 3}$

= $e^{3 x + 3} \cdot (- 2 - 6 x - 9)$

= $e^{3 x + 3} \cdot (- 6 x - 11)$

= $(- 6 x - 11) \cdot e^{3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 4 x)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- 3 x^{2} + 4 x) + e^{3 x} \cdot (- 6 x + 4)$

= $3 \cdot e^{3 x} (- 3 x^{2} + 4 x) + e^{3 x} (- 6 x + 4)$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 12 x - 6 x + 4)$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 6 x + 4)$

= $(- 9 x^{2} + 6 x + 4) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} - 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} - 4 x} \cdot (3 x^{2} - 4)$

= $\frac{3 x^{2} - 4}{x^{3} - 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 9) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 9) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (x + 9) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $\sin (- 3 x) + (x + 9) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $\sin (- 3 x) - 3 (x + 9) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{1,1 x}$

f'(x) = $- e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $- 1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${1,1}^{61} \cdot (- e^{1,1 x})$

≈ $- 334,93 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 9$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- e^{- 0,1 x} - (x - 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- e^{- 0,1 x} + 0,1 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 1 + 0,1 x - 0,7)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,1 x - 1,7)$

= $(0,1 x - 1,7) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten