$\text{f(x)}=$ $\frac{9}{8}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{8}{e}^{\frac{8}{9}x}·\frac{8}{9}$

= $e^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{3x-2}+\frac{7}{3}{x}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{3x-2}·3+\frac{35}{3}{x}^4$

= $-9e^{3x-2}+\frac{35}{3}{x}^4$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3x^4-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·\left(-3x^4-4\right)+e^{-3x}·\left(-12x^3+0\right)$

= $-3·e^{-3x}\left(-3x^4-4\right)+e^{-3x}·\left(-12x^3\right)$

= $-3·e^{-3x}\left(-3x^4-4\right)-12·e^{-3x}{x}^3$

= $e^{-3x}·\left(9x^4+12-12x^3\right)$

= $e^{-3x}·\left(9x^4-12x^3+12\right)$

= $\left(9x^4-12x^3+12\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{6x}·6$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-4\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{3x}+\left(x^2-4\right)·e^{3x}·3$

= $2x·e^{3x}+\left(x^2-4\right)·3e^{3x}$

= $2x·e^{3x}+3\left(x^2-4\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^2-12+2x\right)$

= $e^{3x}·\left(3x^2+2x-12\right)$

= $\left(3x^2+2x-12\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^{-x}$

f'(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f''(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f'''(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $5e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+1$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2-x-3\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-x-1\right)$

= $\left(-x-1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$