Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{x}$

= $2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{2} + x) \cdot e^{- 3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{2} + x) \cdot e^{- 3 x + 1}$

$f'(x) =$ $(10 x + 1) \cdot e^{- 3 x + 1} + (5 x^{2} + x) \cdot e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $(10 x + 1) \cdot e^{- 3 x + 1} + (5 x^{2} + x) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 1})$

= $(10 x + 1) \cdot e^{- 3 x + 1} - 3 (5 x^{2} + x) \cdot e^{- 3 x + 1}$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (10 x + 1 + (- 15 x^{2} - 3 x))$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (- 15 x^{2} + 7 x + 1)$

= $(- 15 x^{2} + 7 x + 1) \cdot e^{- 3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x + 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x + 2} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x + 2} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x + 2} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(x^{2} + 2)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(x^{2} + 2)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 4 (x^{2} + 2) \cdot (2 x + 0)$

= $- 4 (x^{2} + 2) \cdot (2 x)$

= $- 8 (x^{2} + 2) x$

= $- 8 x (x^{2} + 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{0,95 x}$

f'(x) = $- 4 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 3,8 e^{0,95 x}$

f''(x) = $- 3,8 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 3,61 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $- 3,61 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 3,4295 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,4295 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 3,258 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 76-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 76 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{76}$

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = ${0,95}^{76} \cdot (- 4 e^{0,95 x})$

≈ $- 0,081 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 9$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 (x - 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $2 e^{- 0,8 x} - 1,6 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1,6 x + 8 + 2)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1,6 x + 10)$

= $(- 1,6 x + 10) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten