$\text{f(x)}=$ $-4-e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{3x+2}+4\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{3x+2}·3-4\cdot \sin \left(x\right)$

= $-6e^{3x+2}-4\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $3e^{3x^3+4}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{3x^3+4}·9x^2$

= $27·e^{3x^3+4}{x}^2$

= $27x^2{e}^{3x^3+4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x+2}·\left(-5+0\right)$

= $\frac{1}{-5x+2}·\left(-5\right)$

= $-\frac{5}{-5x+2}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{x^2-1}$

= $3{\left(x^2-1\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-3{\left(x^2-1\right)}^{-2}·\left(2x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{{\left(x^2-1\right)}^2}·\left(2x+0\right)$

= $-\frac{3}{{\left(x^2-1\right)}^2}·\left(2x\right)$

= $-6\frac{x}{{\left(x^2-1\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $e^x·\left(x+82\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+8$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,1}x}+3\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,3}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(3-\mathrm{0,3}x+\mathrm{1,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,3}x+\mathrm{4,5}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,3}x+\mathrm{4,5}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$