Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 2}$

$f'(x) =$ $(9 x^{2} + 6 x) \cdot e^{- 2 x + 2} + (3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

= $(9 x^{2} + 6 x) \cdot e^{- 2 x + 2} + (3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 2})$

= $(9 x^{2} + 6 x) \cdot e^{- 2 x + 2} - 2 (3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 2}$

= $e^{- 2 x + 2} \cdot (- 6 x^{3} - 6 x^{2} + (9 x^{2} + 6 x))$

= $e^{- 2 x + 2} \cdot (- 6 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x)$

= $(- 6 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x) \cdot e^{- 2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} + 2} \cdot (- 2 x)$

= $6 \cdot e^{- x^{2} + 2} x$

= $6 x e^{- x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} - 3 x^{2}} \cdot (12 x^{2} - 6 x)$

= $\frac{12 x^{2} - 6 x}{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

= $\frac{6 \cdot 1 \cdot (2 x - 1)}{x \cdot (4 x - 3)}$

= $\frac{6 (2 x - 1)}{x \cdot (4 x - 3)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 5) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 5) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{2} + 5) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{2} + 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (2 x^{2} + 5) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{2} - 10 + 4 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{2} + 4 x - 10)$

= $(- 4 x^{2} + 4 x - 10) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${(- 0,9)}^{47} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $- 0,007 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 6$

= $- 5 e^{- 0,8 x} - 5 (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 6$

= $- 5 e^{- 0,8 x} + 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 6$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 5 + 4 x - 4) + 6$

= $6 + (4 x - 5 - 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $6 + (4 x - 9) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten