$\text{f(x)}=$ $-2+3e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-6e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^2-4x\right)·e^{4x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-2x-4\right)·e^{4x+3}+\left(-x^2-4x\right)·e^{4x+3}·4$

= $\left(-2x-4\right)·e^{4x+3}+\left(-x^2-4x\right)·4e^{4x+3}$

= $\left(-2x-4\right)·e^{4x+3}+4\left(-x^2-4x\right)·e^{4x+3}$

= $e^{4x+3}·\left(-4x^2-16x-2x-4\right)$

= $e^{4x+3}·\left(-4x^2-18x-4\right)$

= $\left(-4x^2-18x-4\right)·e^{4x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^5-3x\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(10x^4-3\right)·e^x+\left(2x^5-3x\right)·e^x$

= $e^x·\left(2x^5-3x+10x^4-3\right)$

= $e^x·\left(2x^5+10x^4-3x-3\right)$

= $\left(2x^5+10x^4-3x-3\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{7x}·7$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-\cos \left(-2x^2-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\sin \left(-2x^2-1\right)·\left(-4x+0\right)$

= $\sin \left(-2x^2-1\right)·\left(-4x\right)$

= $-4\sin \left(-2x^2-1\right)x$

= $-4x·\sin \left(-2x^2-1\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-x}$

f'(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f'''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $-4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+1$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{0,5}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-1+\mathrm{0,5}x-\mathrm{2,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(\mathrm{0,5}x-\mathrm{3,5}\right)$

= $\left(\mathrm{0,5}x-\mathrm{3,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$