$\text{f(x)}=$ $4-2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{2x}·2$

= $-4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x+5\right)·e^{-x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4+0\right)·e^{-x-3}+\left(4x+5\right)·e^{-x-3}·\left(-1\right)$

= $4e^{-x-3}+\left(4x+5\right)·\left(-e^{-x-3}\right)$

= $4e^{-x-3}-\left(4x+5\right)·e^{-x-3}$

= $e^{-x-3}·\left(-4x-5+4\right)$

= $e^{-x-3}·\left(-4x-1\right)$

= $\left(-4x-1\right)·e^{-x-3}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-3x}+x^2·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x}+x^2·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2x·e^{-3x}-3x^2·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(2x-3x^2\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x\right)$

= $\left(-3x^2+2x\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-4x^2-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-4x^2-5}·\left(-8x+0\right)$

= $\frac{1}{-4x^2-5}·\left(-8x\right)$

= $-8\frac{x}{-4x^2-5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+6\right)·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\sin \left(-2x\right)+\left(x+6\right)·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $\sin \left(-2x\right)+\left(x+6\right)·\left(-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right)$

= $\sin \left(-2x\right)-2\left(x+6\right)·\cos \left(-2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $5e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{4,5}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{4,5}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{4,05}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{4,05}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{3,645}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{3,645}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{3,2805}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{62}·5e^{-\mathrm{0,9}x}$

≈ $\mathrm{0,007}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+6$

= $-e^{-\mathrm{0,1}x}-\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)+6$

= $-e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,1}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,6}-1\right)+6$

= $6+\left(\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,6}-1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $6+\left(\mathrm{0,1}x-\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$