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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{8} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{21}{8} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x - 2) \cdot e^{x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x - 2) \cdot e^{x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 5 + 0) \cdot e^{x - 5} + (- 5 x - 2) \cdot e^{x - 5} \cdot 1$

= $- 5 e^{x - 5} + (- 5 x - 2) \cdot e^{x - 5}$

= $e^{x - 5} \cdot (- 5 x - 2 - 5)$

= $e^{x - 5} \cdot (- 5 x - 7)$

= $(- 5 x - 7) \cdot e^{x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} + 4} \cdot (- 2 x)$

= $4 \cdot e^{- x^{2} + 4} x$

= $4 x e^{- x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (3 x + 1) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $3 \cdot \sin (- 3 x) + (3 x + 1) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $3 \cdot \sin (- 3 x) - 3 (3 x + 1) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 73-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{0,95 x}$

f'(x) = $4 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $3,8 e^{0,95 x}$

f''(x) = $3,8 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $3,61 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $3,61 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $3,4295 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,4295 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $3,258 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 73-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 73 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{73}$

Somit gilt für die 73-te Ableitung:

f⁽⁷³⁾(x) = ${0,95}^{73} \cdot 4 e^{0,95 x}$

≈ $0,095 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 1$

= $- 2 e^{- 0,5 x} - 2 (x - 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 1$

= $- 2 e^{- 0,5 x} + (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 1$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (x - 4 - 2) + 1$

= $1 + (x - 4 - 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $1 + (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x}$