$\text{f(x)}=$ $-2+\frac{5}{7}{e}^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{7}{e}^{\frac{5}{8}x}·\frac{5}{8}$

= $\frac{25}{56}{e}^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $3-e^{-2x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{-2x-1}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-x^2+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-x^2+5}·\left(-2x\right)$

= $4·e^{-x^2+5}x$

= $4x{e}^{-x^2+5}$

$\text{f(x)}=$ $-3\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-3}{6x}·6$

= $-\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+2\right)·\sin \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(-3x\right)+\left(x^2+2\right)·\cos \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $2x·\sin \left(-3x\right)+\left(x^2+2\right)·\left(-3\cdot \cos \left(-3x\right)\right)$

= $2x·\sin \left(-3x\right)-3\left(x^2+2\right)·\cos \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $3e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{2,85}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{2,85}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{2,7075}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,7075}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{2,5721}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,5721}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{2,4435}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 68-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 68 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{68}$

Somit gilt für die 68-te Ableitung:

f⁽⁶⁸⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{68}·3e^{\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,092}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+6$

= $2e^{-\mathrm{0,9}x}+2\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)+6$

= $2e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{1,8}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(2-\mathrm{1,8}x-9\right)+6$

= $6+\left(-\mathrm{1,8}x+2-9\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $6+\left(-\mathrm{1,8}x-7\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$