$\text{f(x)}=$ $e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-3x-2}+3x^3$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-3x-2}·\left(-3\right)+9x^2$

= $-9e^{-3x-2}+9x^2$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2-5\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+0\right)·e^{-3x}+\left(2x^2-5\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $4x·e^{-3x}+\left(2x^2-5\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $4x·e^{-3x}-3\left(2x^2-5\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-6x^2+15+4x\right)$

= $e^{-3x}·\left(-6x^2+4x+15\right)$

= $\left(-6x^2+4x+15\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{3x}·3$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(\sqrt{x}\right)}^3·\cos \left(x^2\right)$

= $x^{\frac{3}{2}}·\cos \left(x^2\right)$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}·\cos \left(x^2\right)+x^{\frac{3}{2}}·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}\sqrt{x}·\cos \left(x^2\right)+{\left(\sqrt{x}\right)}^3·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $\frac{3}{2}\sqrt{x}·\cos \left(x^2\right)+{\left(\sqrt{x}\right)}^3·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $\frac{3}{2}\sqrt{x}·\cos \left(x^2\right)-2{\left(\sqrt{x}\right)}^3\sin \left(x^2\right)x$

= $\frac{3}{2}\sqrt{x}·\cos \left(x^2\right)-2{\left(\sqrt{x}\right)}^5·\sin \left(x^2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,6561}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 51-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 51 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{51}$

Somit gilt für die 51-te Ableitung:

f⁽⁵¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{51}·e^{-\mathrm{0,9}x}$

≈ $-\mathrm{0,005}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-4+2x-4\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2x-8\right)$

= $\left(2x-8\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$