$\text{f(x)}=$ $2+\frac{7}{9}{e}^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{7}{9}{e}^{\frac{1}{4}x}·\frac{1}{4}$

= $\frac{7}{36}{e}^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x+1}+x^3·e^{-2x+1}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x+1}+x^3·\left(-2e^{-2x+1}\right)$

= $3x^2·e^{-2x+1}-2x^3·e^{-2x+1}$

= $e^{-2x+1}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x+1}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{x+2}·1$

= $-3e^{x+2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^3-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^3-2}·\left(-3x^2+0\right)$

= $\frac{1}{-x^3-2}·\left(-3x^2\right)$

= $-3\frac{x^2}{-x^3-2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-5\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-3x}+\left(3x-5\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x}+\left(3x-5\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3e^{-3x}-3\left(3x-5\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(3-9x+15\right)$

= $e^{-3x}·\left(-9x+18\right)$

= $\left(-9x+18\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,749}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 41-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 41 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{41}$

Somit gilt für die 41-te Ableitung:

f⁽⁴¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{41}·e^{-\mathrm{1,15}x}$

≈ $-\mathrm{308,043}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+9x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-5\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+9$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}-5\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)+9$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{3,5}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+9$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-5+\mathrm{3,5}x-7\right)+9$

= $9+\left(\mathrm{3,5}x-5-7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $9+\left(\mathrm{3,5}x-12\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$