$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-2e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x-2\right)·e^{3x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4+0\right)·e^{3x-3}+\left(4x-2\right)·e^{3x-3}·3$

= $4e^{3x-3}+\left(4x-2\right)·3e^{3x-3}$

= $4e^{3x-3}+3\left(4x-2\right)·e^{3x-3}$

= $e^{3x-3}·\left(4+12x-6\right)$

= $e^{3x-3}·\left(12x-2\right)$

= $\left(12x-2\right)·e^{3x-3}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x}+x^5·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x}+x^5·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $5x^4·e^{-2x}-2x^5·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{4x}·4$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-2x}+x^2·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+x^2·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2x^2·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+84\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-8$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}+\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,1}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(1-\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,9}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,9}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$