$\text{f(x)}=$ $4+\frac{5}{4}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{4}{e}^{2x}·2$

= $\frac{5}{2}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{x^3}+e^{-2x-3}$

= $5x^{-3}+e^{-2x-3}$

=> f'(x) = $-15x^{-4}+e^{-2x-3}·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{15}{x^4}+e^{-2x-3}·\left(-2\right)$

= $-\frac{15}{x^4}-2e^{-2x-3}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{3x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{3x-5}·3$

= $-9e^{3x-5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-4x^3+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-4x^3+1}·\left(-12x^2+0\right)$

= $\frac{1}{-4x^3+1}·\left(-12x^2\right)$

= $-12\frac{x^2}{-4x^3+1}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-3x}+x^4·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $4x^3·e^{-3x}+x^4·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $4x^3·e^{-3x}-3x^4·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $e^x·\left(x+80\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+5x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+5$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)+5$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{0,7}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+5$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-1+\mathrm{0,7}x-\mathrm{2,8}\right)+5$

= $5+\left(\mathrm{0,7}x-1-\mathrm{2,8}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $5+\left(\mathrm{0,7}x-\mathrm{3,8}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$