Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x + 3 e^{2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x + 3 e^{2 x - 3}$

$f'(x) =$ $- 4 + 3 e^{2 x - 3} \cdot 2$

= $- 4 + 6 e^{2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x}$

= $2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} - 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} - 4 x} \cdot (- 12 x^{2} - 4)$

= $\frac{- 12 x^{2} - 4}{- 4 x^{3} - 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (x^{2} - 4) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot \sin (- 2 x) + (x^{2} - 4) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $2 x \cdot \sin (- 2 x) - 2 (x^{2} - 4) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 39-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $4 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 3,4 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 3,4 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $2,89 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $2,89 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,4565 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,4565 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $2,088 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 39-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 39 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{39}$

Somit gilt für die 39-te Ableitung:

f⁽³⁹⁾(x) = ${(- 0,85)}^{39} \cdot 4 e^{- 0,85 x}$

≈ $- 0,007 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 9$

= $e^{- 0,7 x} + (x + 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 9$

= $e^{- 0,7 x} - 0,7 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1 - 0,7 x - 0,7) - 9$

= $- 9 + (- 0,7 x + 1 - 0,7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 9 + (- 0,7 x + 0,3) \cdot e^{- 0,7 x}$