Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{2} - \sqrt[3]{x} - 2 e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x^{2} - \sqrt[3]{x} - 2 e^{- 3 x - 1}$

= $- 4 x^{2} - x^{\frac{1}{3}} - 2 e^{- 3 x - 1}$

=> f'(x) = $- 8 x - \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 2 e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $- 8 x - \frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 2 e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $- 8 x - \frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} + 6 e^{- 3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} + 8 x) \cdot e^{x} + (- 4 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- 4 x^{5} + 4 x^{2} + (- 20 x^{4} + 8 x))$

= $e^{x} \cdot (- 4 x^{5} - 20 x^{4} + 4 x^{2} + 8 x)$

= $(- 4 x^{5} - 20 x^{4} + 4 x^{2} + 8 x) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 1) \cdot \cos (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 1) \cdot \cos (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot \cos (- 3 x) + (3 x^{2} - 1) \cdot (- \sin (- 3 x) \cdot (- 3))$

= $6 x \cdot \cos (- 3 x) + (3 x^{2} - 1) \cdot 3 \cdot \sin (- 3 x)$

= $6 x \cdot \cos (- 3 x) + 3 (3 x^{2} - 1) \cdot \sin (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 39-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $- 2 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $1,7 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $1,7 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 1,445 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $- 1,445 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $1,2283 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,2283 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 1,044 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 39-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 39 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{39}$

Somit gilt für die 39-te Ableitung:

f⁽³⁹⁾(x) = ${(- 0,85)}^{39} \cdot (- 2 e^{- 0,85 x})$

≈ $0,004 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 1$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $2 e^{- 0,1 x} + 2 (x + 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $2 e^{- 0,1 x} - 0,2 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (2 - 0,2 x - 0,2)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,2 x + 1,8)$

= $(- 0,2 x + 1,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten