$\text{f(x)}=$ $-e^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{\frac{1}{3}x}·\frac{1}{3}$

= $-\frac{1}{3}{e}^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{x+1}+2x^2+4\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{x+1}·1+4x+4\cdot \cos \left(x\right)$

= $e^{x+1}+4x+4\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^4-2x\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-8x^3-2\right)·e^{-2x}+\left(-2x^4-2x\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $\left(-8x^3-2\right)·e^{-2x}+\left(-2x^4-2x\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $\left(-8x^3-2\right)·e^{-2x}-2\left(-2x^4-2x\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(4x^4+4x-8x^3-2\right)$

= $e^{-2x}·\left(4x^4-8x^3+4x-2\right)$

= $\left(4x^4-8x^3+4x-2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $5\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{7x}·7$

= $\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-5\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(3x-5\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $3\cdot \sin \left(x^3\right)+\left(3x-5\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $3\cdot \sin \left(x^3\right)+3\left(3x-5\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,1576}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,1576}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,2155}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 67-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 67 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{67}$

Somit gilt für die 67-te Ableitung:

f⁽⁶⁷⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{67}·e^{-\mathrm{1,05}x}$

≈ $-\mathrm{26,283}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-5\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-3$

= $-5e^{-\mathrm{0,5}x}-5\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-3$

= $-5e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{2,5}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-3$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-5+\mathrm{2,5}x+\mathrm{7,5}\right)-3$

= $-3+\left(\mathrm{2,5}x-5+\mathrm{7,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $-3+\left(\mathrm{2,5}x+\mathrm{2,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$