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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x - 2} + 9 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x - 2} + 9 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3) + 9 \cdot \cos (x)$

= $- 6 e^{- 3 x - 2} + 9 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{3} + e^{2 x} \cdot 3 x^{2}$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{3} + 3 \cdot e^{2 x} x^{2}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} + 4 x^{2}} \cdot (- 12 x^{2} + 8 x)$

= $\frac{- 12 x^{2} + 8 x}{- 4 x^{3} + 4 x^{2}}$

= $\frac{- 4 \cdot 1 \cdot (3 x - 2)}{- 4 x \cdot (x - 1)}$

= $\frac{- 4 (3 x - 2)}{- 4 x \cdot (x - 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \cos (- x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \cos (- x + 2)$

$f'(x) =$ $\sin (- x + 2) \cdot (- 1 + 0)$

= $\sin (- x + 2) \cdot (- 1)$

= $- \sin (- x + 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 74-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 74-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 74 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{74}$

Somit gilt für die 74-te Ableitung:

f⁽⁷⁴⁾(x) = ${0,95}^{74} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,022 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 3$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $2 e^{- 0,1 x} + 2 (x + 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $2 e^{- 0,1 x} - 0,2 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (2 - 0,2 x - 0,8)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,2 x + 1,2)$

= $(- 0,2 x + 1,2) \cdot e^{- 0,1 x}$