$\text{f(x)}=$ $3+e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{2x}·2$

= $2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2·x^2+e^{2x}·2x$

= $2·e^{2x}{x}^2+2·e^{2x}x$

= $e^{2x}·\left(2x^2+2x\right)$

= $\left(2x^2+2x\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{3x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{3x+1}·3$

= $6e^{3x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{7x}·7$

= $\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+4\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{3x}+\left(x^2+4\right)·e^{3x}·3$

= $2x·e^{3x}+\left(x^2+4\right)·3e^{3x}$

= $2x·e^{3x}+3\left(x^2+4\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^2+12+2x\right)$

= $e^{3x}·\left(3x^2+2x+12\right)$

= $\left(3x^2+2x+12\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^x$

f'(x) = $-2e^x$

f''(x) = $-2e^x$

f'''(x) = $-2e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-2e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $-2e^x$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-2$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,3}x}-4\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{1,2}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-4+\mathrm{1,2}x+\mathrm{8,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{1,2}x+\mathrm{4,4}\right)$

= $\left(\mathrm{1,2}x+\mathrm{4,4}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$