$\text{f(x)}=$ $-4-e^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{\frac{7}{9}x}·\frac{7}{9}$

= $-\frac{7}{9}{e}^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{5x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{5x-4}+x^3·e^{5x-4}·5$

= $3x^2·e^{5x-4}+x^3·5e^{5x-4}$

= $3x^2·e^{5x-4}+5x^3·e^{5x-4}$

= $e^{5x-4}·\left(5x^3+3x^2\right)$

= $\left(5x^3+3x^2\right)·e^{5x-4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x^2+1\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-8x+0\right)·e^x+\left(-4x^2+1\right)·e^x$

= $\left(-4x^2+1\right)·e^x-8x·e^x$

= $e^x·\left(-4x^2+1-8x\right)$

= $e^x·\left(-4x^2-8x+1\right)$

= $\left(-4x^2-8x+1\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{3x}·3$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(-x^2+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \sin \left(-x^2+4\right)·\left(-2x+0\right)$

= $3\cdot \sin \left(-x^2+4\right)·\left(-2x\right)$

= $-6\sin \left(-x^2+4\right)x$

= $-6x·\sin \left(-x^2+4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,522}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{50}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

= 0

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-5\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)-6$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}-5\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)-6$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{3,5}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-6$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-5+\mathrm{3,5}x+\mathrm{10,5}\right)-6$

= $-6+\left(\mathrm{3,5}x-5+\mathrm{10,5}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $-6+\left(\mathrm{3,5}x+\mathrm{5,5}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$