Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 2 e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 2 e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $- \frac{14}{9} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x - 2) \cdot e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x - 2) \cdot e^{- 3 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 4 + 0) \cdot e^{- 3 x - 1} + (- 4 x - 2) \cdot e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $- 4 e^{- 3 x - 1} + (- 4 x - 2) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 1})$

= $- 4 e^{- 3 x - 1} - 3 (- 4 x - 2) \cdot e^{- 3 x - 1}$

= $e^{- 3 x - 1} \cdot (- 4 + 12 x + 6)$

= $e^{- 3 x - 1} \cdot (12 x + 2)$

= $(12 x + 2) \cdot e^{- 3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x^{2} + 5} \cdot 4 x$

= $12 \cdot e^{2 x^{2} + 5} x$

= $12 x e^{2 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{x} \cdot 1$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 1) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 1) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (2 x - 1) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 \cdot \sin (x^{2}) + (2 x - 1) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 \cdot \sin (x^{2}) + 2 (2 x - 1) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $4 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 3,8 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 3,8 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $3,61 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $3,61 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 3,4295 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,4295 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $3,258 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${(- 0,95)}^{62} \cdot 4 e^{- 0,95 x}$

≈ $0,166 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 2$

= $e^{- 0,8 x} + (x + 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 2$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 2$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x - 5,6) - 2$

= $- 2 + (- 0,8 x + 1 - 5,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 2 + (- 0,8 x - 4,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten