Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 - e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 - e^{x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{x}$

= $- e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{x^{3}} - 3 e^{x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{x^{3}} - 3 e^{x + 4}$

= $- x^{- 3} - 3 e^{x + 4}$

=> f'(x) = $3 x^{- 4} - 3 e^{x + 4} \cdot 1$

$f'(x) =$ $\frac{3}{x^{4}} - 3 e^{x + 4} \cdot 1$

= $\frac{3}{x^{4}} - 3 e^{x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x + 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $3 e^{- x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} + 3 x^{2}} \cdot (6 x^{2} + 6 x)$

= $\frac{6 x^{2} + 6 x}{2 x^{3} + 3 x^{2}}$

= $\frac{6 \cdot 1 \cdot (x + 1)}{x \cdot (2 x + 3)}$

= $\frac{6 (x + 1)}{x \cdot (2 x + 3)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \sin (- 3 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \sin (- 3 x + 3)$

= $x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (- 3 x + 3)$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} \cdot \sin (- 3 x + 3) + x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (- 3 x + 3) \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 {(\sqrt{x})}^{3}} \cdot \sin (- 3 x + 3) + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \cos (- 3 x + 3) \cdot (- 3 + 0)$

= $- \frac{1}{2} \frac{\sin (- 3 x + 3)}{{(\sqrt{x})}^{3}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \cos (- 3 x + 3) \cdot (- 3)$

= $- \frac{1}{2} \frac{\sin (- 3 x + 3)}{{(\sqrt{x})}^{3}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x + 3))$

= $- \frac{1}{2} \frac{\sin (- 3 x + 3)}{{(\sqrt{x})}^{3}} - 3 \frac{\cos (- 3 x + 3)}{\sqrt{x}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 41-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 41-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 41 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{41}$

Somit gilt für die 41-te Ableitung:

f⁽⁴¹⁾(x) = ${1,15}^{41} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $308,043 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 4$

= $- 5 e^{- 0,8 x} - 5 (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 4$

= $- 5 e^{- 0,8 x} + 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 5 + 4 x - 4) - 4$

= $- 4 + (4 x - 5 - 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 4 + (4 x - 9) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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