$\text{f(x)}=$ $3+e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-3e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{2x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{2x+2}+x^2·e^{2x+2}·2$

= $2x·e^{2x+2}+x^2·2e^{2x+2}$

= $2x·e^{2x+2}+2x^2·e^{2x+2}$

= $e^{2x+2}·\left(2x^2+2x\right)$

= $\left(2x^2+2x\right)·e^{2x+2}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^x+x^5·e^x$

= $5x^4·e^x+x^5·e^x$

= $e^x·\left(x^5+5x^4\right)$

= $\left(x^5+5x^4\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{7x}·7$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+7\right)·\cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\cos \left(-3x\right)+\left(2x+7\right)·(-\sin \left(-3x\right)·\left(-3\right))$

= $2\cdot \cos \left(-3x\right)+\left(2x+7\right)·3\cdot \sin \left(-3x\right)$

= $2\cdot \cos \left(-3x\right)+3\left(2x+7\right)·\sin \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $3e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{3,15}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $-\mathrm{3,15}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{3,3075}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{3,3075}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{3,4729}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{3,4729}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{3,6465}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{75}·3e^{-\mathrm{1,05}x}$

≈ $-\mathrm{116,498}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-9x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)-9$

= $-2e^{-\mathrm{0,9}x}-2\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)-9$

= $-2e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{1,8}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-9$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-2+\mathrm{1,8}x+\mathrm{3,6}\right)-9$

= $-9+\left(\mathrm{1,8}x-2+\mathrm{3,6}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $-9+\left(\mathrm{1,8}x+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$