$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{9}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{9}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{14}{9}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-3x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-3x-2}+x^4·e^{-3x-2}·\left(-3\right)$

= $4x^3·e^{-3x-2}+x^4·\left(-3e^{-3x-2}\right)$

= $4x^3·e^{-3x-2}-3x^4·e^{-3x-2}$

= $e^{-3x-2}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x-2}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x}+x^3·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x}+x^3·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3x^2·e^{-2x}-2x^3·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x+2}·\left(-3+0\right)$

= $\frac{1}{-3x+2}·\left(-3\right)$

= $-\frac{3}{-3x+2}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\sin \left(2x\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\sin \left(2x\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\sin \left(2x\right)+x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(2x\right)·2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\sin \left(2x\right)+\sqrt{x}·\cos \left(2x\right)·2$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(2x\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(2x\right)}{\sqrt{x}}+2\sqrt{x}·\cos \left(2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $-e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{0,522}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 38-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 38 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{38}$

Somit gilt für die 38-te Ableitung:

f⁽³⁸⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{38}·\left(-e^{\mathrm{0,85}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,002}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}+\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,3}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(1-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}x+\mathrm{1,9}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,3}x+\mathrm{1,9}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$