$\text{f(x)}=$ $3+2e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{2x}+x^5·e^{2x}·2$

= $5x^4·e^{2x}+x^5·2e^{2x}$

= $5x^4·e^{2x}+2x^5·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^5+5x^4\right)$

= $\left(2x^5+5x^4\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^4+5x^2\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(8x^3+10x\right)·e^x+\left(2x^4+5x^2\right)·e^x$

= $e^x·(2x^4+5x^2+\left(8x^3+10x\right))$

= $e^x·\left(2x^4+8x^3+5x^2+10x\right)$

= $\left(2x^4+8x^3+5x^2+10x\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x^3-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x^3-5x}·\left(12x^2-5\right)$

= $\frac{12x^2-5}{4x^3-5x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{3x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{3x+2}+x^4·e^{3x+2}·3$

= $4x^3·e^{3x+2}+x^4·3e^{3x+2}$

= $4x^3·e^{3x+2}+3x^4·e^{3x+2}$

= $e^{3x+2}·\left(3x^4+4x^3\right)$

= $\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x+2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-x}$

f'(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-6$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-3\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,8}x}-3\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{2,4}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-3+\mathrm{2,4}x+12\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(\mathrm{2,4}x+9\right)$

= $\left(\mathrm{2,4}x+9\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$