$\text{f(x)}=$ $-e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{3x}·3$

= $-3e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3x^3}+3e^{x-2}+\frac{1}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

= $\frac{1}{3}{x}^{-3}+3e^{x-2}+\frac{1}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

=> f'(x) = $-x^{-4}+3e^{x-2}·1-\frac{1}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{x^4}+3e^{x-2}·1-\frac{1}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

= $-\frac{1}{x^4}+3e^{x-2}-\frac{1}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·x^3+e^{-3x}·3x^2$

= $-3·e^{-3x}{x}^3+3·e^{-3x}{x}^2$

= $e^{-3x}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{3x}·3$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-5\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{-2x}+\left(2x-5\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x}+\left(2x-5\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2e^{-2x}-2\left(2x-5\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(2-4x+10\right)$

= $e^{-2x}·\left(-4x+12\right)$

= $\left(-4x+12\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^x$

f'(x) = $-5e^x$

f''(x) = $-5e^x$

f'''(x) = $-5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $-5e^x$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-5\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)-3$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}-5\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)-3$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{3,5}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-3$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-5+\mathrm{3,5}x+14\right)-3$

= $-3+\left(\mathrm{3,5}x-5+14\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $-3+\left(\mathrm{3,5}x+9\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$