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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $\frac{3}{4} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x + 4) \cdot e^{4 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x + 4) \cdot e^{4 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 3 + 0) \cdot e^{4 x - 4} + (- 3 x + 4) \cdot e^{4 x - 4} \cdot 4$

= $- 3 e^{4 x - 4} + (- 3 x + 4) \cdot 4 e^{4 x - 4}$

= $- 3 e^{4 x - 4} + 4 (- 3 x + 4) \cdot e^{4 x - 4}$

= $e^{4 x - 4} \cdot (- 3 - 12 x + 16)$

= $e^{4 x - 4} \cdot (- 12 x + 13)$

= $(- 12 x + 13) \cdot e^{4 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x + 1}$

$f'(x) =$ $- e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $e^{- x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3 x + 5}$

= ${(3 x + 5)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- {(3 x + 5)}^{- 2} \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{{(3 x + 5)}^{2}} \cdot (3 + 0)$

= $- \frac{1}{{(3 x + 5)}^{2}} \cdot (3)$

= $- \frac{3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 54-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 54-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 54 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{54}$

Somit gilt für die 54-te Ableitung:

f⁽⁵⁴⁾(x) = ${1,1}^{54} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $171,872 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 6$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 4 e^{- 0,7 x} - 4 (x - 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 4 e^{- 0,7 x} + 2,8 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 4 + 2,8 x - 8,4)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2,8 x - 12,4)$

= $(2,8 x - 12,4) \cdot e^{- 0,7 x}$