Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x + 3} - 5 x^{4} - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x + 3} - 5 x^{4} - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x + 3} \cdot 3 - 20 x^{3} - \frac{4}{3} \cdot \cos (x)$

= $- 9 e^{3 x + 3} - 20 x^{3} - \frac{4}{3} \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(20 x^{4} - 6 x) \cdot e^{- 2 x} + (4 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(20 x^{4} - 6 x) \cdot e^{- 2 x} + (4 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(20 x^{4} - 6 x) \cdot e^{- 2 x} - 2 (4 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x^{5} + 6 x^{2} + (20 x^{4} - 6 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x^{5} + 20 x^{4} + 6 x^{2} - 6 x)$

= $(- 8 x^{5} + 20 x^{4} + 6 x^{2} - 6 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} - 3 x^{2}} \cdot (- 9 x^{2} - 6 x)$

= $\frac{- 9 x^{2} - 6 x}{- 3 x^{3} - 3 x^{2}}$

= $\frac{- 3 \cdot 1 \cdot (3 x + 2)}{- 3 x \cdot (x + 1)}$

= $\frac{- 3 (3 x + 2)}{- 3 x \cdot (x + 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 1) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 1) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 1) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} - 3 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 3)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 3) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{x}$

f'(x) = $- 4 e^{x}$

f''(x) = $- 4 e^{x}$

f'''(x) = $- 4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $- 4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 8$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $4 e^{- 0,4 x} + 4 (x + 4) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $4 e^{- 0,4 x} - 1,6 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (4 - 1,6 x - 6,4)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1,6 x - 2,4)$

= $(- 1,6 x - 2,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten