Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{3}{5} e^{\frac{11}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{3}{5} e^{\frac{11}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{5} e^{\frac{11}{9} x} \cdot \frac{11}{9}$

= $\frac{11}{15} e^{\frac{11}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \cdot \sin (x) - x^{5} + 3 e^{- 2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \cdot \sin (x) - x^{5} + 3 e^{- 2 x - 4}$

$f'(x) =$ $5 \cdot \cos (x) - 5 x^{4} + 3 e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2)$

= $5 \cdot \cos (x) - 5 x^{4} - 6 e^{- 2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x^{2} + 4} \cdot 6 x$

= $- 12 \cdot e^{3 x^{2} + 4} x$

= $- 12 x e^{3 x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - 5 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} - 5 x^{2}} \cdot (- 15 x^{2} - 10 x)$

= $\frac{- 15 x^{2} - 10 x}{- 5 x^{3} - 5 x^{2}}$

= $\frac{- 5 \cdot 1 \cdot (3 x + 2)}{- 5 x \cdot (x + 1)}$

= $\frac{- 5 (3 x + 2)}{- 5 x \cdot (x + 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(e^{3 x} + 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(e^{3 x} + 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 10 {(e^{3 x} + 4)}^{4} \cdot (e^{3 x} \cdot 3 + 0)$

= $- 10 {(e^{3 x} + 4)}^{4} \cdot (3 e^{3 x})$

= $- 30 {(e^{3 x} + 4)}^{4} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 89)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} - x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 1$

= $- 3 e^{- 0,1 x} - 3 (x + 3) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 1$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 0,3 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} - 1$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 3 + 0,3 x + 0,9) - 1$

= $- 1 + (0,3 x - 3 + 0,9) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 1 + (0,3 x - 2,1) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten