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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x - 4} - 5 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x - 4} - 5 x^{4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x - 4} \cdot 2 - 20 x^{3}$

= $- 4 e^{2 x - 4} - 20 x^{3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{2} + e^{3 x} \cdot 2 x$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{2} + 2 \cdot e^{3 x} x$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} - 4 x^{2}} \cdot (12 x^{2} - 8 x)$

= $\frac{12 x^{2} - 8 x}{4 x^{3} - 4 x^{2}}$

= $\frac{4 \cdot 1 \cdot (3 x - 2)}{4 x \cdot (x - 1)}$

= $\frac{4 (3 x - 2)}{4 x \cdot (x - 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 9) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 9) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (2 x^{2} + 9) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $4 x \cdot \cos (x^{3}) + (2 x^{2} + 9) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $4 x \cdot \cos (x^{3}) - 3 (2 x^{2} + 9) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{x}$

f'(x) = $- e^{x}$

f''(x) = $- e^{x}$

f'''(x) = $- e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $- e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 3$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 5 e^{- 0,4 x} - 5 (x - 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 5 e^{- 0,4 x} + 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 5 + 2 x - 6)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (2 x - 11)$

= $(2 x - 11) \cdot e^{- 0,4 x}$