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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5} e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $\frac{4}{7} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x - 2} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x - 2} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x - 2} \cdot 3 + \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$

= $9 e^{3 x - 2} + \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x^{3} + 5} \cdot 6 x^{2}$

= $12 \cdot e^{2 x^{3} + 5} x^{2}$

= $12 x^{2} e^{2 x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x + 1} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x + 1} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{- 2 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(\cos (x) + 2)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(\cos (x) + 2)}^{3}$

$f'(x) =$ $9 {(\cos (x) + 2)}^{2} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $9 {(\cos (x) + 2)}^{2} \cdot (- \sin (x))$

= $- 9 {(\cos (x) + 2)}^{2} \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${(- 1,05)}^{60} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $18,679 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 6$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x - 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x + 7)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1,4 x + 9)$

= $(- 1,4 x + 9) \cdot e^{- 0,7 x}$