$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{5}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{5}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-x\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x-1\right)·e^{-x}+\left(x^2-x\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $\left(2x-1\right)·e^{-x}+\left(x^2-x\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $\left(2x-1\right)·e^{-x}-\left(x^2-x\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^2+x+2x-1\right)$

= $e^{-x}·\left(-x^2+3x-1\right)$

= $\left(-x^2+3x-1\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{x^3-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{x^3-3}·3x^2$

= $-3·e^{x^3-3}{x}^2$

= $-3x^2{e}^{x^3-3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(x^3+5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x^3+5x}·\left(3x^2+5\right)$

= $\frac{3x^2+5}{x^3+5x}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(-x+1\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $12{\left(-x+1\right)}^3·\left(-1+0\right)$

= $12{\left(-x+1\right)}^3·\left(-1\right)$

= $-12{\left(-x+1\right)}^3$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+77\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+4x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-3\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+4$

= $-3e^{-\mathrm{0,1}x}-3\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)+4$

= $-3e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,3}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+4$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-3+\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}\right)+4$

= $4+\left(\mathrm{0,3}x-3-\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $4+\left(\mathrm{0,3}x-\mathrm{3,6}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$