$\text{f(x)}=$ $4+2e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-4e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-2x+2}+x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-2x+2}·\left(-2\right)+2x$

= $2e^{-2x+2}+2x$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^2-1\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-4x+0\right)·e^{-x}+\left(-2x^2-1\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-4x·e^{-x}+\left(-2x^2-1\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $-4x·e^{-x}-\left(-2x^2-1\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(2x^2+1-4x\right)$

= $e^{-x}·\left(2x^2-4x+1\right)$

= $\left(2x^2-4x+1\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $5\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{6x}·6$

= $\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{2x}+x^2·e^{2x}·2$

= $2x·e^{2x}+x^2·2e^{2x}$

= $2x·e^{2x}+2x^2·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^2+2x\right)$

= $\left(2x^2+2x\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^x$

f'(x) = $e^x$

f''(x) = $e^x$

f'''(x) = $e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $e^x$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+2$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+5\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}+5\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{1,5}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(5-\mathrm{1,5}x-\mathrm{4,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{1,5}x+\mathrm{0,5}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,5}x+\mathrm{0,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$