Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + 2 e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + 2 e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $\frac{16}{9} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{5} - x^{2}) \cdot e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{5} - x^{2}) \cdot e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $(25 x^{4} - 2 x) \cdot e^{2 x - 5} + (5 x^{5} - x^{2}) \cdot e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $(25 x^{4} - 2 x) \cdot e^{2 x - 5} + (5 x^{5} - x^{2}) \cdot 2 e^{2 x - 5}$

= $(25 x^{4} - 2 x) \cdot e^{2 x - 5} + 2 (5 x^{5} - x^{2}) \cdot e^{2 x - 5}$

= $e^{2 x - 5} \cdot (10 x^{5} - 2 x^{2} + (25 x^{4} - 2 x))$

= $e^{2 x - 5} \cdot (10 x^{5} + 25 x^{4} - 2 x^{2} - 2 x)$

= $(10 x^{5} + 25 x^{4} - 2 x^{2} - 2 x) \cdot e^{2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot e^{x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot e^{x + 1}$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot e^{x + 1}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot e^{x + 1} + x^{\frac{1}{4}} \cdot e^{x + 1} \cdot 1$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot e^{x + 1} + \sqrt[4]{x} \cdot e^{x + 1} \cdot 1$

= $\frac{1}{4} \frac{e^{x + 1}}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot e^{x + 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- x}$

f'(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f'''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $- 3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 9$

= $- 4 e^{- 0,7 x} - 4 (x - 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 9$

= $- 4 e^{- 0,7 x} + 2,8 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 4 + 2,8 x - 5,6) - 9$

= $- 9 + (2,8 x - 4 - 5,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 9 + (2,8 x - 9,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten