$\text{f(x)}=$ $-3+\frac{3}{5}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{5}{e}^x$

= $\frac{3}{5}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^2+x\right)·e^{-3x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-10x+1\right)·e^{-3x+5}+\left(-5x^2+x\right)·e^{-3x+5}·\left(-3\right)$

= $\left(-10x+1\right)·e^{-3x+5}+\left(-5x^2+x\right)·\left(-3e^{-3x+5}\right)$

= $\left(-10x+1\right)·e^{-3x+5}-3\left(-5x^2+x\right)·e^{-3x+5}$

= $e^{-3x+5}·\left(15x^2-3x-10x+1\right)$

= $e^{-3x+5}·\left(15x^2-13x+1\right)$

= $\left(15x^2-13x+1\right)·e^{-3x+5}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-2x^3+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-2x^3+5}·\left(-6x^2\right)$

= $6·e^{-2x^3+5}{x}^2$

= $6x^2{e}^{-2x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x^2+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x^2+3}·\left(-6x+0\right)$

= $\frac{1}{-3x^2+3}·\left(-6x\right)$

= $-6\frac{x}{-3x^2+3}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(-2x^3+4\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $15{\left(-2x^3+4\right)}^4·\left(-6x^2+0\right)$

= $15{\left(-2x^3+4\right)}^4·\left(-6x^2\right)$

= $-90{\left(-2x^3+4\right)}^4{x}^2$

= $-90x^2{\left(-2x^3+4\right)}^4$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $-2e^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{1,8}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,8}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{1,62}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{1,62}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{1,458}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,458}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{1,3122}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 56-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 56 mal mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,9}}^{56}$

Somit gilt für die 56-te Ableitung:

f⁽⁵⁶⁾(x) = ${\mathrm{0,9}}^{56}·\left(-2e^{\mathrm{0,9}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,005}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+8$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}+\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{0,7}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(1-\mathrm{0,7}x+\mathrm{4,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}x+\mathrm{5,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,7}x+\mathrm{5,2}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$