Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{9}{5} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x + 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 2} + x^{5} \cdot e^{4 x + 2} \cdot 4$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 2} + x^{5} \cdot 4 e^{4 x + 2}$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 2} + 4 x^{5} \cdot e^{4 x + 2}$

= $e^{4 x + 2} \cdot (4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{4 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x + 1} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{- 3 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${(- 0,9)}^{61} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $- 0,002 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 5$

= $5 e^{- 0,2 x} + 5 (x + 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 5$

= $5 e^{- 0,2 x} - (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 5$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (5 - x - 3) - 5$

= $- 5 + (- x + 5 - 3) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 5 + (- x + 2) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten