$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{5}{e}^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{5}{e}^{\frac{5}{6}x}·\frac{5}{6}$

= $\frac{2}{3}{e}^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{3x^4}+\frac{1}{4}\sqrt{x}-3e^{-3x-3}$

= $-\frac{5}{3}{x}^{-4}+\frac{1}{4}{x}^{\frac{1}{2}}-3e^{-3x-3}$

=> f'(x) = $\frac{20}{3}{x}^{-5}+\frac{1}{8}{x}^{-\frac{1}{2}}-3e^{-3x-3}·\left(-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{20}{3x^5}+\frac{1}{8\sqrt{x}}-3e^{-3x-3}·\left(-3\right)$

= $\frac{20}{3x^5}+\frac{1}{8\sqrt{x}}+9e^{-3x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^5-1\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(15x^4+0\right)·e^x+\left(3x^5-1\right)·e^x$

= $\left(3x^5-1\right)·e^x+15x^4·e^x$

= $e^x·\left(3x^5-1+15x^4\right)$

= $e^x·\left(3x^5+15x^4-1\right)$

= $\left(3x^5+15x^4-1\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $3\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2x}·2$

= $\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{-2x+4}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{-2x+4}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{-2x+4}+x^{\frac{1}{2}}·e^{-2x+4}·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{-2x+4}+\sqrt{x}·e^{-2x+4}·\left(-2\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-2x+4}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-2e^{-2x+4}\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-2x+4}}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x}·e^{-2x+4}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+95\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{3,2}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-4+\mathrm{3,2}x+\mathrm{3,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(\mathrm{3,2}x-\mathrm{0,8}\right)$

= $\left(\mathrm{3,2}x-\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$