$\text{f(x)}=$ $1+\frac{7}{8}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{7}{8}{e}^{\frac{8}{9}x}·\frac{8}{9}$

= $\frac{7}{9}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x}\left(3x^3+5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2·\left(3x^3+5x\right)+e^{2x}·\left(9x^2+5\right)$

= $2·e^{2x}\left(3x^3+5x\right)+e^{2x}\left(9x^2+5\right)$

= $e^{2x}·(9x^2+5+\left(6x^3+10x\right))$

= $e^{2x}·\left(6x^3+9x^2+10x+5\right)$

= $\left(6x^3+9x^2+10x+5\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·x^3+e^{-x}·3x^2$

= $-e^{-x}{x}^3+3·e^{-x}{x}^2$

= $e^{-x}·\left(3x^2-x^3\right)$

= $e^{-x}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{2x}·2$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+5\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2+5\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2+5\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2+5\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(2x-2x^2-10\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x-10\right)$

= $\left(-2x^2+2x-10\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^x$

f'(x) = $-e^x$

f''(x) = $-e^x$

f'''(x) = $-e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $-e^x$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-5\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,5}x}-5\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{2,5}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(\mathrm{2,5}x+\mathrm{17,5}-5\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(\mathrm{2,5}x+\mathrm{12,5}\right)$

= $\left(\mathrm{2,5}x+\mathrm{12,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$