Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{7}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{7}{6} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{7}{6} x} \cdot \frac{7}{6}$

= $- \frac{7}{2} e^{\frac{7}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x + 1) \cdot e^{x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x + 1) \cdot e^{x + 4}$

$f'(x) =$ $(5 + 0) \cdot e^{x + 4} + (5 x + 1) \cdot e^{x + 4} \cdot 1$

= $5 e^{x + 4} + (5 x + 1) \cdot e^{x + 4}$

= $e^{x + 4} \cdot (5 + 5 x + 1)$

= $e^{x + 4} \cdot (5 x + 6)$

= $(5 x + 6) \cdot e^{x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x^{2} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x^{2} + 1}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x^{2} + 1} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \cdot e^{- 2 x^{2} + 1} x$

= $- 4 x e^{- 2 x^{2} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} + 4 x^{2}} \cdot (12 x^{2} + 8 x)$

= $\frac{12 x^{2} + 8 x}{4 x^{3} + 4 x^{2}}$

= $\frac{4 \cdot 1 \cdot (3 x + 2)}{4 x \cdot (x + 1)}$

= $\frac{4 (3 x + 2)}{4 x \cdot (x + 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (3 x) + (x^{2} - 5) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $2 x \cdot \sin (3 x) + (x^{2} - 5) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $2 x \cdot \sin (3 x) + 3 (x^{2} - 5) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 32-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{0,85 x}$

f'(x) = $4 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $3,4 e^{0,85 x}$

f''(x) = $3,4 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $2,89 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $2,89 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $2,4565 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,4565 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $2,088 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 32-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 32 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{32}$

Somit gilt für die 32-te Ableitung:

f⁽³²⁾(x) = ${0,85}^{32} \cdot 4 e^{0,85 x}$

≈ $0,022 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 1$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x - 7) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (3 - 1,2 x + 8,4)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1,2 x + 11,4)$

= $(- 1,2 x + 11,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten