$\text{f(x)}=$ $3e^x$

$\text{f'(x)}=$ $3e^x$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{3x-1}+\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{3x-1}·3-\sin \left(x\right)$

= $-6e^{3x-1}-\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-x-4}·\left(-1\right)$

= $3e^{-x-4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x^3+2x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x^3+2x^2}·\left(6x^2+4x\right)$

= $\frac{6x^2+4x}{2x^3+2x^2}$

= $\frac{2·1·\left(3x+2\right)}{2x·\left(x+1\right)}$

= $\frac{2\left(3x+2\right)}{2x·\left(x+1\right)}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{2x}+x^3·e^{2x}·2$

= $3x^2·e^{2x}+x^3·2e^{2x}$

= $3x^2·e^{2x}+2x^3·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^3+3x^2\right)$

= $\left(2x^3+3x^2\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,522}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{50}·e^{\mathrm{0,85}x}$

= 0

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+8$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2-x-7\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-x-5\right)$

= $\left(-x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$