$\text{f(x)}=$ $-5+\frac{1}{3}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{3}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{2}{3}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-2x^3-2e^{-2x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-6x^2-2e^{-2x+5}·\left(-2\right)$

= $-6x^2+4e^{-2x+5}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x-4}+x^3·e^{-2x-4}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x-4}+x^3·\left(-2e^{-2x-4}\right)$

= $3x^2·e^{-2x-4}-2x^3·e^{-2x-4}$

= $e^{-2x-4}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x-4}$

$\text{f(x)}=$ $-3\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-3}{3x}·3$

= $-\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(-2x+1\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $9{\left(-2x+1\right)}^2·\left(-2+0\right)$

= $9{\left(-2x+1\right)}^2·\left(-2\right)$

= $-18{\left(-2x+1\right)}^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+87\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)-6$

= $-2e^{-\mathrm{0,7}x}-2\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)-6$

= $-2e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{1,4}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-6$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-2+\mathrm{1,4}x-\mathrm{2,8}\right)-6$

= $-6+\left(\mathrm{1,4}x-2-\mathrm{2,8}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $-6+\left(\mathrm{1,4}x-\mathrm{4,8}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$