$\text{f(x)}=$ $3e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-9e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-2x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-2x-4}+x^2·e^{-2x-4}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x-4}+x^2·\left(-2e^{-2x-4}\right)$

= $2x·e^{-2x-4}-2x^2·e^{-2x-4}$

= $e^{-2x-4}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x-4}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^3+e^{-2x}·3x^2$

= $-2·e^{-2x}{x}^3+3·e^{-2x}{x}^2$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{6x}·6$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{2x}+x^5·e^{2x}·2$

= $5x^4·e^{2x}+x^5·2e^{2x}$

= $5x^4·e^{2x}+2x^5·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^5+5x^4\right)$

= $\left(2x^5+5x^4\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-x}$

f'(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+6$

= $4e^{-\mathrm{0,3}x}+4\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)+6$

= $4e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{1,2}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(4-\mathrm{1,2}x-\mathrm{8,4}\right)+6$

= $6+\left(-\mathrm{1,2}x+4-\mathrm{8,4}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $6+\left(-\mathrm{1,2}x-\mathrm{4,4}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$