Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{\frac{10}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{\frac{10}{9} x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{8} e^{\frac{10}{9} x} \cdot \frac{10}{9}$

= $\frac{25}{36} e^{\frac{10}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{5} + e^{- 2 x} \cdot 5 x^{4}$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{5} + 5 \cdot e^{- 2 x} x^{4}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{2} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{2} + 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{2} + 1} \cdot (- 4 x)$

= $12 \cdot e^{- 2 x^{2} + 1} x$

= $12 x e^{- 2 x^{2} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x + 2} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x + 2} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 8) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 8) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} - 8) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 24 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x + 24)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x + 24) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${1,05}^{78} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $44,954 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} - 7$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 2 e^{- 0,2 x} - 2 (x - 6) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 2 e^{- 0,2 x} + 0,4 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 2 + 0,4 x - 2,4)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,4 x - 4,4)$

= $(0,4 x - 4,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten