Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x}$

$f'(x) =$ $3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x + 5} + 7 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x + 5} + 7 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x + 5} \cdot (- 1) + 7 \cdot \cos (x)$

= $3 e^{- x + 5} + 7 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{4} - 2) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{4} - 2) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 4 x^{3} + 0) \cdot e^{- 2 x} + (- x^{4} - 2) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + (- x^{4} - 2) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $- 4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} - 2 (- x^{4} - 2) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 - 4 x^{3})$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{4} - 4 x^{3} + 4)$

= $(2 x^{4} - 4 x^{3} + 4) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 9) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 9) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x^{2} - 9) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $6 x \cdot e^{2 x} + (3 x^{2} - 9) \cdot 2 e^{2 x}$

= $6 x \cdot e^{2 x} + 2 (3 x^{2} - 9) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (6 x^{2} - 18 + 6 x)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x^{2} + 6 x - 18)$

= $(6 x^{2} + 6 x - 18) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 7$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 4 e^{- 0,3 x} - 4 (x + 2) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 4 e^{- 0,3 x} + 1,2 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 4 + 1,2 x + 2,4)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1,2 x - 1,6)$

= $(1,2 x - 1,6) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten