Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{x}$

= $2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 2) \cdot e^{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 2) \cdot e^{x + 5}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{x + 5} + (2 x - 2) \cdot e^{x + 5} \cdot 1$

= $2 e^{x + 5} + (2 x - 2) \cdot e^{x + 5}$

= $e^{x + 5} \cdot (2 + 2 x - 2)$

= $e^{x + 5} \cdot (2 x + 0)$

= $e^{x + 5} \cdot 2 x$

= $x \cdot 2 e^{x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 4 x^{3} + 10 x) \cdot e^{- 5 x - 4} + (- x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5)$

= $(- 4 x^{3} + 10 x) \cdot e^{- 5 x - 4} + (- x^{4} + 5 x^{2}) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 4})$

= $(- 4 x^{3} + 10 x) \cdot e^{- 5 x - 4} - 5 (- x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 4}$

= $e^{- 5 x - 4} \cdot (5 x^{4} - 25 x^{2} + (- 4 x^{3} + 10 x))$

= $e^{- 5 x - 4} \cdot (5 x^{4} - 4 x^{3} - 25 x^{2} + 10 x)$

= $(5 x^{4} - 4 x^{3} - 25 x^{2} + 10 x) \cdot e^{- 5 x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} + 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} + 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{3} + 2 x^{2}} \cdot (- 6 x^{2} + 4 x)$

= $\frac{- 6 x^{2} + 4 x}{- 2 x^{3} + 2 x^{2}}$

= $\frac{- 2 \cdot 1 \cdot (3 x - 2)}{- 2 x \cdot (x - 1)}$

= $\frac{- 2 (3 x - 2)}{- 2 x \cdot (x - 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 9) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 9) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x + 9) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x} + (2 x + 9) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 e^{2 x} + 2 (2 x + 9) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 + 4 x + 18)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x + 20)$

= $(4 x + 20) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 72-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $3 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 2,85 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 2,85 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $2,7075 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $2,7075 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 2,5721 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,5721 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $2,4435 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 72-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 72 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{72}$

Somit gilt für die 72-te Ableitung:

f⁽⁷²⁾(x) = ${(- 0,95)}^{72} \cdot 3 e^{- 0,95 x}$

≈ $0,075 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 6$

= $4 e^{- 0,3 x} + 4 (x + 2) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 6$

= $4 e^{- 0,3 x} - 1,2 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 6$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (4 - 1,2 x - 2,4) - 6$

= $- 6 + (- 1,2 x + 4 - 2,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 6 + (- 1,2 x + 1,6) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten