$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{3}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{3}{e}^{2x}·2$

= $\frac{8}{3}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-5x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-5x-3}+x^4·e^{-5x-3}·\left(-5\right)$

= $4x^3·e^{-5x-3}+x^4·\left(-5e^{-5x-3}\right)$

= $4x^3·e^{-5x-3}-5x^4·e^{-5x-3}$

= $e^{-5x-3}·\left(-5x^4+4x^3\right)$

= $\left(-5x^4+4x^3\right)·e^{-5x-3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x-4}·2$

= $2e^{2x-4}$

$\text{f(x)}=$ $-3\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-3}{4x}·4$

= $-\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\cos \left(-x+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\cos \left(-x+2\right)+x^2·(-\sin \left(-x+2\right)·\left(-1+0\right))$

= $2x·\cos \left(-x+2\right)+x^2·(-\sin \left(-x+2\right)·\left(-1\right))$

= $2x·\cos \left(-x+2\right)+x^2·\sin \left(-x+2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-x}$

f'(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f'''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-9x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-9$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}+5\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-9$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{1,5}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-9$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(5-\mathrm{1,5}x-\mathrm{1,5}\right)-9$

= $-9+\left(-\mathrm{1,5}x+5-\mathrm{1,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $-9+\left(-\mathrm{1,5}x+\mathrm{3,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$