$\text{f(x)}=$ $3e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-6e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-2e^{2x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $2x^3-2e^{2x-5}·2$

= $2x^3-4e^{2x-5}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{3x}+x^4·e^{3x}·3$

= $4x^3·e^{3x}+x^4·3e^{3x}$

= $4x^3·e^{3x}+3x^4·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^4+4x^3\right)$

= $\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{3x}·3$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-9\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2-9\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2-9\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2-9\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+18+2x\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x+18\right)$

= $\left(-2x^2+2x+18\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-x}$

f'(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f'''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+9$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-4+2x+8\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2x+4\right)$

= $\left(2x+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$