Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{9} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{14}{9} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x + 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 5} + x^{4} \cdot e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 5} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x + 5})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 5} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x + 5}$

= $e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (x + 2)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (x + 2) + e^{3 x} \cdot (1 + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} (x + 2) + e^{3 x} \cdot (1)$

= $3 \cdot e^{3 x} (x + 2) + e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (1 + 3 x + 6)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x + 7)$

= $(3 x + 7) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} + 3 x} \cdot (- 15 x^{2} + 3)$

= $\frac{- 15 x^{2} + 3}{- 5 x^{3} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 4 x - 5}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 4 x - 5}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 4 x - 5} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 4 x - 5} \cdot (- 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 4 x - 5} + \sqrt{x} \cdot e^{- 4 x - 5} \cdot (- 4)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 4 x - 5}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 5})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 4 x - 5}}{\sqrt{x}} - 4 \sqrt{x} \cdot e^{- 4 x - 5}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${(- 1,1)}^{46} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $80,18 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 5$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x + 4) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (3 - 1,2 x - 4,8)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1,2 x - 1,8)$

= $(- 1,2 x - 1,8) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten