$\text{f(x)}=$ $-e^{\frac{7}{6}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{\frac{7}{6}x}·\frac{7}{6}$

= $-\frac{7}{6}{e}^{\frac{7}{6}x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{2}{x}^5-2e^{x+1}-\frac{9}{4}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{25}{2}{x}^4-2e^{x+1}·1-\frac{9}{4}\cdot \cos \left(x\right)$

= $\frac{25}{2}{x}^4-2e^{x+1}-\frac{9}{4}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-2x^3-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-2x^3-2}·\left(-6x^2\right)$

= $18·e^{-2x^3-2}{x}^2$

= $18x^2{e}^{-2x^3-2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x^2+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x^2+1}·\left(-6x+0\right)$

= $\frac{1}{-3x^2+1}·\left(-6x\right)$

= $-6\frac{x}{-3x^2+1}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-3x}+x^4·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $4x^3·e^{-3x}+x^4·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $4x^3·e^{-3x}-3x^4·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^x$

f'(x) = $-3e^x$

f''(x) = $-3e^x$

f'''(x) = $-3e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-3e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $-3e^x$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)-8$

= $-e^{-\mathrm{0,1}x}-\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)-8$

= $-e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,1}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-8$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-1+\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}\right)-8$

= $-8+\left(\mathrm{0,1}x-1+\mathrm{0,2}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $-8+\left(\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$