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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{3} x^{4} - e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{3} x^{4} - e^{x + 2}$

$f'(x) =$ $\frac{16}{3} x^{3} - e^{x + 2} \cdot 1$

= $\frac{16}{3} x^{3} - e^{x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x + 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{3 x} + (3 x + 1) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x} + (3 x + 1) \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 e^{3 x} + 3 (3 x + 1) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 + 9 x + 3)$

= $e^{3 x} \cdot (9 x + 6)$

= $(9 x + 6) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{1,1 x}$

f'(x) = $- e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $- 1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${1,1}^{49} \cdot (- e^{1,1 x})$

≈ $- 106,719 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 5$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x - 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (3 - 1,2 x + 6)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1,2 x + 9)$

= $(- 1,2 x + 9) \cdot e^{- 0,4 x}$