Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{3} - x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{3} - x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 3}$

$f'(x) =$ $(15 x^{2} - 2 x) \cdot e^{- 2 x - 3} + (5 x^{3} - x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2)$

= $(15 x^{2} - 2 x) \cdot e^{- 2 x - 3} + (5 x^{3} - x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 3})$

= $(15 x^{2} - 2 x) \cdot e^{- 2 x - 3} - 2 (5 x^{3} - x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 3}$

= $e^{- 2 x - 3} \cdot (- 10 x^{3} + 2 x^{2} + (15 x^{2} - 2 x))$

= $e^{- 2 x - 3} \cdot (- 10 x^{3} + 17 x^{2} - 2 x)$

= $(- 10 x^{3} + 17 x^{2} - 2 x) \cdot e^{- 2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x + 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x + 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 5 + 0) \cdot e^{2 x} + (- 5 x + 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- 5 e^{2 x} + (- 5 x + 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- 5 e^{2 x} + 2 (- 5 x + 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 5 - 10 x + 4)$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x - 1)$

= $(- 10 x - 1) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} - 4} \cdot (4 x + 0)$

= $\frac{1}{2 x^{2} - 4} \cdot (4 x)$

= $4 \frac{x}{2 x^{2} - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 4) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 4) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (3 x - 4) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + (3 x - 4) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + 2 (3 x - 4) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{x}$

f'(x) = $- 4 e^{x}$

f''(x) = $- 4 e^{x}$

f'''(x) = $- 4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $- 4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 8$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 4 (x + 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 3,2 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 + 3,2 x + 6,4)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3,2 x + 2,4)$

= $(3,2 x + 2,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten