$\text{f(x)}=$ $-5-2e^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{\frac{7}{9}x}·\frac{7}{9}$

= $-\frac{14}{9}{e}^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{x+2}+x^3·e^{x+2}·1$

= $3x^2·e^{x+2}+x^3·e^{x+2}$

= $e^{x+2}·\left(x^3+3x^2\right)$

= $\left(x^3+3x^2\right)·e^{x+2}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{2x}+x^5·e^{2x}·2$

= $5x^4·e^{2x}+x^5·2e^{2x}$

= $5x^4·e^{2x}+2x^5·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^5+5x^4\right)$

= $\left(2x^5+5x^4\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{3x}·3$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \cos \left(3x^2+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(3x^2+2\right)·\left(6x+0\right)$

= $-2\cdot \sin \left(3x^2+2\right)·\left(6x\right)$

= $-12\sin \left(3x^2+2\right)x$

= $-12x·\sin \left(3x^2+2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,749}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{46}·e^{-\mathrm{1,15}x}$

≈ $\mathrm{619,585}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-6$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-6$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{1,2}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-6$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-2+\mathrm{1,2}x+\mathrm{3,6}\right)-6$

= $-6+\left(\mathrm{1,2}x-2+\mathrm{3,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-6+\left(\mathrm{1,2}x+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$