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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 2}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 2} + x^{3} \cdot e^{5 x - 2} \cdot 5$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 2} + x^{3} \cdot 5 e^{5 x - 2}$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 2} + 5 x^{3} \cdot e^{5 x - 2}$

= $e^{5 x - 2} \cdot (5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{2} + e^{2 x} \cdot 2 x$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{2} + 2 \cdot e^{2 x} x$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} + x} \cdot (8 x + 1)$

= $\frac{8 x + 1}{4 x^{2} + x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(\cos (x) - 4)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(\cos (x) - 4)}^{2}$

$f'(x) =$ $4 (\cos (x) - 4) \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $4 (\cos (x) - 4) \cdot (- \sin (x))$

= $- 4 (\cos (x) - 4) \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{0,9 x}$

f'(x) = $- 2 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 1,8 e^{0,9 x}$

f''(x) = $- 1,8 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 1,62 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $- 1,62 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 1,458 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,458 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 1,3122 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${0,9}^{57} \cdot (- 2 e^{0,9 x})$

≈ $- 0,005 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 1$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $5 e^{- 0,2 x} + 5 (x + 4) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $5 e^{- 0,2 x} - (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (5 - x - 4)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- x + 1)$

= $(- x + 1) \cdot e^{- 0,2 x}$