$\text{f(x)}=$ $5-3e^{\frac{8}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{\frac{8}{7}x}·\frac{8}{7}$

= $-\frac{24}{7}{e}^{\frac{8}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x+3}-5x^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x+3}·\left(-2\right)-20x^3$

= $-2e^{-2x+3}-20x^3$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^5+3x^2\right)·e^{x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-15x^4+6x\right)·e^{x-4}+\left(-3x^5+3x^2\right)·e^{x-4}·1$

= $\left(-15x^4+6x\right)·e^{x-4}+\left(-3x^5+3x^2\right)·e^{x-4}$

= $e^{x-4}·(-3x^5+3x^2+\left(-15x^4+6x\right))$

= $e^{x-4}·\left(-3x^5-15x^4+3x^2+6x\right)$

= $\left(-3x^5-15x^4+3x^2+6x\right)·e^{x-4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x-5}·\left(5+0\right)$

= $\frac{1}{5x-5}·\left(5\right)$

= $\frac{5}{5x-5}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(e^{-3x}-4\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $6{\left(e^{-3x}-4\right)}^2·(e^{-3x}·\left(-3\right)+0)$

= $6{\left(e^{-3x}-4\right)}^2·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $-18{\left(e^{-3x}-4\right)}^2·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $-e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{0,522}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{46}·\left(-e^{\mathrm{0,85}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,001}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+7x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+7$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}+\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)+7$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,1}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+7$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(1-\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}\right)+7$

= $7+\left(-\mathrm{0,1}x+1-\mathrm{0,3}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $7+\left(-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,7}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$