$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{2x}·2$

= $e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{2x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{2x-2}+x^5·e^{2x-2}·2$

= $5x^4·e^{2x-2}+x^5·2e^{2x-2}$

= $5x^4·e^{2x-2}+2x^5·e^{2x-2}$

= $e^{2x-2}·\left(2x^5+5x^4\right)$

= $\left(2x^5+5x^4\right)·e^{2x-2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^5+x^3\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(10x^4+3x^2\right)·e^{3x}+\left(2x^5+x^3\right)·e^{3x}·3$

= $\left(10x^4+3x^2\right)·e^{3x}+\left(2x^5+x^3\right)·3e^{3x}$

= $\left(10x^4+3x^2\right)·e^{3x}+3\left(2x^5+x^3\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·(6x^5+3x^3+\left(10x^4+3x^2\right))$

= $e^{3x}·\left(6x^5+10x^4+3x^3+3x^2\right)$

= $\left(6x^5+10x^4+3x^3+3x^2\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-1}{3x}·3$

= $-\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-4x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-4x+2}+x^5·e^{-4x+2}·\left(-4\right)$

= $5x^4·e^{-4x+2}+x^5·\left(-4e^{-4x+2}\right)$

= $5x^4·e^{-4x+2}-4x^5·e^{-4x+2}$

= $e^{-4x+2}·\left(-4x^5+5x^4\right)$

= $\left(-4x^5+5x^4\right)·e^{-4x+2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+82\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+3$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)+3$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{3,2}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+3$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(4-\mathrm{3,2}x+\mathrm{12,8}\right)+3$

= $3+\left(-\mathrm{3,2}x+4+\mathrm{12,8}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $3+\left(-\mathrm{3,2}x+\mathrm{16,8}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$