Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{3}{5} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{3}{5} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{5} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{9}{5} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x + 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 4} + x^{4} \cdot e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 4} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x + 4})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 4} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x + 4}$

= $e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x - 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x - 4} + x^{5} \cdot e^{- x - 4} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x - 4} + x^{5} \cdot (- e^{- x - 4})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x - 4} - x^{5} \cdot e^{- x - 4}$

= $e^{- x - 4} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} + 2 x} \cdot (8 x + 2)$

= $\frac{8 x + 2}{4 x^{2} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 9) \cdot \cos (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 9) \cdot \cos (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (- 2 x) + (2 x + 9) \cdot (- \sin (- 2 x) \cdot (- 2))$

= $2 \cdot \cos (- 2 x) + (2 x + 9) \cdot 2 \cdot \sin (- 2 x)$

= $2 \cdot \cos (- 2 x) + 2 (2 x + 9) \cdot \sin (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${1,05}^{63} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $21,623 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 4$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $2 e^{- 0,6 x} + 2 (x + 1) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $2 e^{- 0,6 x} - 1,2 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2 - 1,2 x - 1,2)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1,2 x + 0,8)$

= $(- 1,2 x + 0,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten