$\text{f(x)}=$ $-2e^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{\frac{2}{3}x}·\frac{2}{3}$

= $-\frac{4}{3}{e}^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{5x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{5x-5}+x^2·e^{5x-5}·5$

= $2x·e^{5x-5}+x^2·5e^{5x-5}$

= $2x·e^{5x-5}+5x^2·e^{5x-5}$

= $e^{5x-5}·\left(5x^2+2x\right)$

= $\left(5x^2+2x\right)·e^{5x-5}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-2x^3+3}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-2x^3+3}·\left(-6x^2\right)$

= $12·e^{-2x^3+3}{x}^2$

= $12x^2{e}^{-2x^3+3}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{x}·1$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2+5\right)·\sin \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+0\right)·\sin \left(3x\right)+\left(2x^2+5\right)·\cos \left(3x\right)·3$

= $4x·\sin \left(3x\right)+\left(2x^2+5\right)·3\cdot \cos \left(3x\right)$

= $4x·\sin \left(3x\right)+3\left(2x^2+5\right)·\cos \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^x$

f'(x) = $2e^x$

f''(x) = $2e^x$

f'''(x) = $2e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $2e^x$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-9x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-9$

= $-3e^{-\mathrm{0,2}x}-3\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-9$

= $-3e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,6}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-9$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-3+\mathrm{0,6}x-\mathrm{4,2}\right)-9$

= $-9+\left(\mathrm{0,6}x-3-\mathrm{4,2}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $-9+\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{7,2}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$