$\text{f(x)}=$ $-1+e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-3e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot \sin \left(x\right)-2e^{x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot \cos \left(x\right)-2e^{x-1}·1$

= $\frac{1}{2}\cdot \cos \left(x\right)-2e^{x-1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^5+3\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-5x^4+0\right)·e^{-3x}+\left(-x^5+3\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-5x^4·e^{-3x}+\left(-x^5+3\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $-5x^4·e^{-3x}-3\left(-x^5+3\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(3x^5-9-5x^4\right)$

= $e^{-3x}·\left(3x^5-5x^4-9\right)$

= $\left(3x^5-5x^4-9\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-1}{4x}·4$

= $-\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+4\right)·\sin \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\sin \left(x^2\right)+\left(3x+4\right)·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $3\cdot \sin \left(x^2\right)+\left(3x+4\right)·2\cos \left(x^2\right)x$

= $3\cdot \sin \left(x^2\right)+2\left(3x+4\right)\cos \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{78}·e^{\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,018}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)-4$

= $2e^{-\mathrm{0,9}x}+2\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)-4$

= $2e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{1,8}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-4$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(2-\mathrm{1,8}x+\mathrm{1,8}\right)-4$

= $-4+\left(-\mathrm{1,8}x+2+\mathrm{1,8}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $-4+\left(-\mathrm{1,8}x+\mathrm{3,8}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$