$\text{f(x)}=$ $5+\frac{7}{9}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{7}{9}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{14}{9}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-9\sqrt{x}-x^2-e^{-2x+5}$

= $-9x^{\frac{1}{2}}-x^2-e^{-2x+5}$

=> f'(x) = $-\frac{9}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}-2x-e^{-2x+5}·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{2\sqrt{x}}-2x-e^{-2x+5}·\left(-2\right)$

= $-\frac{9}{2\sqrt{x}}-2x+2e^{-2x+5}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{3x^3+4}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{3x^3+4}·9x^2$

= $-27·e^{3x^3+4}{x}^2$

= $-27x^2{e}^{3x^3+4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x}·1$

= $\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{-4x-3}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{-4x-3}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{-4x-3}+x^{\frac{1}{2}}·e^{-4x-3}·\left(-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{-4x-3}+\sqrt{x}·e^{-4x-3}·\left(-4\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-4x-3}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-4e^{-4x-3}\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-4x-3}}{\sqrt{x}}-4\sqrt{x}·e^{-4x-3}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^x$

f'(x) = $-5e^x$

f''(x) = $-5e^x$

f'''(x) = $-5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $-5e^x$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+4$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+3\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,8}x}+3\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{2,4}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(3-\mathrm{2,4}x+\mathrm{7,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{2,4}x+\mathrm{10,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{2,4}x+\mathrm{10,2}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$