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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $- \frac{3}{4} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x + 3} + 5 x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x + 3} + 5 x^{5}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x + 3} \cdot 3 + 25 x^{4}$

= $- 3 e^{3 x + 3} + 25 x^{4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x^{2} + 4} \cdot (- 2 x)$

= $- 6 \cdot e^{- x^{2} + 4} x$

= $- 6 x e^{- x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x - 4} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x - 4} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{3 x + 1}$

= $- {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \cdot \sqrt{3 x + 1}} \cdot (3 + 0)$

= $- \frac{1}{2 \cdot \sqrt{3 x + 1}} \cdot (3)$

= $- \frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 x + 1}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 74-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 74-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 74 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{74}$

Somit gilt für die 74-te Ableitung:

f⁽⁷⁴⁾(x) = ${1,05}^{74} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $36,984 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 2$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- e^{- 0,7 x} - (x - 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- e^{- 0,7 x} + 0,7 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1 + 0,7 x - 3,5)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (0,7 x - 4,5)$

= $(0,7 x - 4,5) \cdot e^{- 0,7 x}$