Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{1}{2} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{1}{2} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{2} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} + 3) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} + 3) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} + 0) \cdot e^{- 3 x} + (- 4 x^{5} + 3) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 20 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + (- 4 x^{5} + 3) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $- 20 x^{4} \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 4 x^{5} + 3) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (12 x^{5} - 9 - 20 x^{4})$

= $e^{- 3 x} \cdot (12 x^{5} - 20 x^{4} - 9)$

= $(12 x^{5} - 20 x^{4} - 9) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{3} + 3 x} \cdot (15 x^{2} + 3)$

= $\frac{15 x^{2} + 3}{5 x^{3} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x + 8) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x} + (3 x + 8) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 e^{- 3 x} - 3 (3 x + 8) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 - 9 x - 24)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x - 21)$

= $(- 9 x - 21) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 82)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 4$

= $5 e^{- 0,5 x} + 5 (x + 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 4$

= $5 e^{- 0,5 x} - 2,5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 4$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (5 - 2,5 x - 10) - 4$

= $- 4 + (- 2,5 x + 5 - 10) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 4 + (- 2,5 x - 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten