$\text{f(x)}=$ $-3+\frac{5}{7}{e}^{\frac{4}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{7}{e}^{\frac{4}{3}x}·\frac{4}{3}$

= $\frac{20}{21}{e}^{\frac{4}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{3}{x}^2+e^{-x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{10}{3}x+e^{-x-4}·\left(-1\right)$

= $-\frac{10}{3}x-e^{-x-4}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·\left(-x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x-2\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$

= $-e^{-x}\left(-x-2\right)+e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-e^{-x}\left(-x-2\right)-e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-1+x+2\right)$

= $e^{-x}·\left(x+1\right)$

= $\left(x+1\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{6x}·6$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+8\right)·\cos \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\cos \left(x^3\right)+\left(x^2+8\right)·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

= $2x·\cos \left(x^3\right)+\left(x^2+8\right)·\left(-3\sin \left(x^3\right)x^2\right)$

= $2x·\cos \left(x^3\right)-3\left(x^2+8\right)\sin \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+94\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+2$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+3\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,9}x}+3\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{2,7}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(3-\mathrm{2,7}x-\mathrm{13,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{2,7}x-\mathrm{10,5}\right)$

= $\left(-\mathrm{2,7}x-\mathrm{10,5}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$