Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{9}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{9}{8} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{9}{8} x} \cdot \frac{9}{8}$

= $- \frac{9}{8} e^{\frac{9}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x - 3}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 3} + x^{5} \cdot e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 3} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 3})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 3} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x - 3}$

= $e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x - 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x - 4} + x^{5} \cdot e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x - 4} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x - 4})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x - 4} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x - 4}$

= $e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot e^{4 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot e^{4 x + 4}$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot e^{4 x + 4}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot e^{4 x + 4} + x^{\frac{1}{4}} \cdot e^{4 x + 4} \cdot 4$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot e^{4 x + 4} + \sqrt[4]{x} \cdot e^{4 x + 4} \cdot 4$

= $\frac{1}{4} \frac{e^{4 x + 4}}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot 4 e^{4 x + 4}$

= $\frac{1}{4} \frac{e^{4 x + 4}}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot e^{4 x + 4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 88)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 4$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x + 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 4$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3 + 2,4 x + 4,8) - 4$

= $- 4 + (2,4 x - 3 + 4,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 4 + (2,4 x + 1,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten