Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{6}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt[4]{x} + 2 e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt[4]{x} + 2 e^{3 x + 1}$

= $\frac{3}{2} x^{\frac{1}{4}} + 2 e^{3 x + 1}$

=> f'(x) = $\frac{3}{8} x^{- \frac{3}{4}} + 2 e^{3 x + 1} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{3}{8 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 2 e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $\frac{3}{8 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 6 e^{3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 5 x - 3}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x - 3} + x^{3} \cdot e^{- 5 x - 3} \cdot (- 5)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x - 3} + x^{3} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 3})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x - 3} - 5 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 3}$

= $e^{- 5 x - 3} \cdot (- 5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{2} + 2} \cdot (10 x + 0)$

= $\frac{1}{5 x^{2} + 2} \cdot (10 x)$

= $10 \frac{x}{5 x^{2} + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{3 x} + \sqrt{x} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 e^{3 x}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${0,9}^{46} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,008 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 3$

= $5 e^{- 0,4 x} + 5 (x - 4) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 3$

= $5 e^{- 0,4 x} - 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 3$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (5 - 2 x + 8) + 3$

= $3 + (- 2 x + 5 + 8) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $3 + (- 2 x + 13) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten