Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{3} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{3} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{3} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{4}{3} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 3) \cdot e^{2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 3) \cdot e^{2 x + 4}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{2 x + 4} + (3 x^{2} - 3) \cdot e^{2 x + 4} \cdot 2$

= $6 x \cdot e^{2 x + 4} + (3 x^{2} - 3) \cdot 2 e^{2 x + 4}$

= $6 x \cdot e^{2 x + 4} + 2 (3 x^{2} - 3) \cdot e^{2 x + 4}$

= $e^{2 x + 4} \cdot (6 x^{2} - 6 + 6 x)$

= $e^{2 x + 4} \cdot (6 x^{2} + 6 x - 6)$

= $(6 x^{2} + 6 x - 6) \cdot e^{2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x + 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{- x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} - 4 x^{2}} \cdot (6 x^{2} - 8 x)$

= $\frac{6 x^{2} - 8 x}{2 x^{3} - 4 x^{2}}$

= $\frac{2 \cdot 1 \cdot (3 x - 4)}{2 x \cdot (x - 2)}$

= $\frac{2 (3 x - 4)}{2 x \cdot (x - 2)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \cos (x^{3}) + x^{2} \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $2 x \cdot \cos (x^{3}) + x^{2} \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $2 x \cdot \cos (x^{3}) - 3 x^{2} \sin (x^{3}) x^{2}$

= $2 x \cdot \cos (x^{3}) - 3 x^{4} \cdot \sin (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 67-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,8574 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,8145 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 67-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 67 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{67}$

Somit gilt für die 67-te Ableitung:

f⁽⁶⁷⁾(x) = ${(- 0,95)}^{67} \cdot e^{- 0,95 x}$

≈ $- 0,032 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 8$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 4 e^{- 0,1 x} - 4 (x + 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 4 e^{- 0,1 x} + 0,4 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 4 + 0,4 x + 2,4)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,4 x - 1,6)$

= $(0,4 x - 1,6) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten