$\text{f(x)}=$ $2e^{\frac{1}{2}x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{\frac{1}{2}x}·\frac{1}{2}$

= $e^{\frac{1}{2}x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{3x-2}+\frac{3}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{3x-2}·3-\frac{3}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

= $6e^{3x-2}-\frac{3}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·\left(x^3+5x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(x^3+5x^2\right)+e^{-x}·\left(3x^2+10x\right)$

= $-e^{-x}\left(x^3+5x^2\right)+e^{-x}\left(3x^2+10x\right)$

= $e^{-x}·(-x^3-5x^2+\left(3x^2+10x\right))$

= $e^{-x}·\left(-x^3-2x^2+10x\right)$

= $\left(-x^3-2x^2+10x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-1}{6x}·6$

= $-\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{-3x^3+3}$

= $-3{\left(-3x^3+3\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $3{\left(-3x^3+3\right)}^{-2}·\left(-9x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{{\left(-3x^3+3\right)}^2}·\left(-9x^2+0\right)$

= $\frac{3}{{\left(-3x^3+3\right)}^2}·\left(-9x^2\right)$

= $-27\frac{x^2}{{\left(-3x^3+3\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+81\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+6$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+5\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,9}x}+5\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{4,5}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(5-\mathrm{4,5}x+\mathrm{22,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{4,5}x+\mathrm{27,5}\right)$

= $\left(-\mathrm{4,5}x+\mathrm{27,5}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$