$\text{f(x)}=$ $1+\frac{1}{3}{e}^{\frac{1}{2}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{3}{e}^{\frac{1}{2}x}·\frac{1}{2}$

= $\frac{1}{6}{e}^{\frac{1}{2}x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{9}{4}\cdot \sin \left(x\right)+\frac{2}{x^2}+2e^{-x-2}$

= $\frac{9}{4}\cdot \sin \left(x\right)+2x^{-2}+2e^{-x-2}$

=> f'(x) = $\frac{9}{4}\cdot \cos \left(x\right)-4x^{-3}+2e^{-x-2}·\left(-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{4}\cdot \cos \left(x\right)-\frac{4}{x^3}+2e^{-x-2}·\left(-1\right)$

= $\frac{9}{4}\cdot \cos \left(x\right)-\frac{4}{x^3}-2e^{-x-2}$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x}·\left(3x^2-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2·\left(3x^2-5x\right)+e^{2x}·\left(6x-5\right)$

= $2·e^{2x}\left(3x^2-5x\right)+e^{2x}\left(6x-5\right)$

= $e^{2x}·\left(6x^2-10x+6x-5\right)$

= $e^{2x}·\left(6x^2-4x-5\right)$

= $\left(6x^2-4x-5\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x-1}·\left(-3+0\right)$

= $\frac{1}{-3x-1}·\left(-3\right)$

= $-\frac{3}{-3x-1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+9\right)·\cos \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\cos \left(3x\right)+\left(x+9\right)·(-\sin \left(3x\right)·3)$

= $\cos \left(3x\right)+\left(x+9\right)·\left(-3\cdot \sin \left(3x\right)\right)$

= $\cos \left(3x\right)-3\left(x+9\right)·\sin \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+88\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+4$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,2}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(2-\mathrm{1,2}x-\mathrm{8,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{1,2}x-\mathrm{6,4}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,2}x-\mathrm{6,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$