Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{1}{4} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{1}{4} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{4} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{4} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x - 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{x - 4} + x^{3} \cdot e^{x - 4} \cdot 1$

= $3 x^{2} \cdot e^{x - 4} + x^{3} \cdot e^{x - 4}$

= $e^{x - 4} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{2} - 4) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{2} - 4) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(10 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (5 x^{2} - 4) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $10 x \cdot e^{- 3 x} + (5 x^{2} - 4) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $10 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (5 x^{2} - 4) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 15 x^{2} + 12 + 10 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 15 x^{2} + 10 x + 12)$

= $(- 15 x^{2} + 10 x + 12) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{2} + 2 x} \cdot (10 x + 2)$

= $\frac{10 x + 2}{5 x^{2} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (x - 3)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (x - 3) + x^{5} \cdot \cos (x - 3)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (x - 3) + x^{5} \cdot \cos (x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 95)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 4$

= $2 e^{- 0,1 x} + 2 (x + 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 4$

= $2 e^{- 0,1 x} - 0,2 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} - 4$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (2 - 0,2 x - 0,2) - 4$

= $- 4 + (- 0,2 x + 2 - 0,2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 4 + (- 0,2 x + 1,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten