Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{11}{8} e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{11}{8} e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $\frac{11}{8} e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{11}{10} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} - 5 x) \cdot e^{- 3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} - 5 x) \cdot e^{- 3 x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 10 x - 5) \cdot e^{- 3 x + 1} + (- 5 x^{2} - 5 x) \cdot e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $(- 10 x - 5) \cdot e^{- 3 x + 1} + (- 5 x^{2} - 5 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 1})$

= $(- 10 x - 5) \cdot e^{- 3 x + 1} - 3 (- 5 x^{2} - 5 x) \cdot e^{- 3 x + 1}$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (15 x^{2} + 15 x - 10 x - 5)$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (15 x^{2} + 5 x - 5)$

= $(15 x^{2} + 5 x - 5) \cdot e^{- 3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} + 2} \cdot (- 2 x)$

= $4 \cdot e^{- x^{2} + 2} x$

= $4 x e^{- x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} - 2} \cdot (2 x + 0)$

= $\frac{1}{x^{2} - 2} \cdot (2 x)$

= $2 \frac{x}{x^{2} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 7) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 7) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (3 x + 7) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + (3 x + 7) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + 3 (3 x + 7) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 42-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 42-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 42 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{42}$

Somit gilt für die 42-te Ableitung:

f⁽⁴²⁾(x) = ${0,85}^{42} \cdot e^{0,85 x}$

≈ $0,001 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} + x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 1$

= $5 e^{- 0,3 x} + 5 (x - 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 1$

= $5 e^{- 0,3 x} - 1,5 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} + 1$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (5 - 1,5 x + 6) + 1$

= $1 + (- 1,5 x + 5 + 6) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $1 + (- 1,5 x + 11) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten