$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{\frac{3}{5}x}·\frac{3}{5}$

= $\frac{3}{20}{e}^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{x-1}+x^4·e^{x-1}·1$

= $4x^3·e^{x-1}+x^4·e^{x-1}$

= $e^{x-1}·\left(x^4+4x^3\right)$

= $\left(x^4+4x^3\right)·e^{x-1}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-2x^2-3}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-2x^2-3}·\left(-4x\right)$

= $-8·e^{-2x^2-3}x$

= $-8x{e}^{-2x^2-3}$

$\text{f(x)}=$ $-3\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-3}{3x}·3$

= $-\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+6\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2+6\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2+6\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2+6\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2-12+2x\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x-12\right)$

= $\left(-2x^2+2x-12\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+92\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-2x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-5\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)-2$

= $-5e^{-\mathrm{0,1}x}-5\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)-2$

= $-5e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,5}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-2$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-5+\mathrm{0,5}x-\mathrm{1,5}\right)-2$

= $-2+\left(\mathrm{0,5}x-5-\mathrm{1,5}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $-2+\left(\mathrm{0,5}x-\mathrm{6,5}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$