$\text{f(x)}=$ $3e^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{\frac{8}{9}x}·\frac{8}{9}$

= $\frac{8}{3}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{2x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{2x+3}+x^2·e^{2x+3}·2$

= $2x·e^{2x+3}+x^2·2e^{2x+3}$

= $2x·e^{2x+3}+2x^2·e^{2x+3}$

= $e^{2x+3}·\left(2x^2+2x\right)$

= $\left(2x^2+2x\right)·e^{2x+3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·\left(-5x^3+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-5x^3+4\right)+e^{-x}·\left(-15x^2+0\right)$

= $-e^{-x}\left(-5x^3+4\right)+e^{-x}·\left(-15x^2\right)$

= $-e^{-x}\left(-5x^3+4\right)-15·e^{-x}{x}^2$

= $e^{-x}·\left(5x^3-4-15x^2\right)$

= $e^{-x}·\left(5x^3-15x^2-4\right)$

= $\left(5x^3-15x^2-4\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x+3}·\left(3+0\right)$

= $\frac{1}{3x+3}·\left(3\right)$

= $\frac{3}{3x+3}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x}+x^3·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x}+x^3·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3x^2·e^{-2x}-2x^3·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $-5e^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $-\mathrm{5,75}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{5,75}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $-\mathrm{6,6125}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{6,6125}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $-\mathrm{7,6044}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{7,6044}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $-\mathrm{8,745}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,15}}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${\mathrm{1,15}}^{45}·\left(-5e^{\mathrm{1,15}x}\right)$

≈ $-\mathrm{2693,846}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+1$

= $-5e^{-\mathrm{0,4}x}-5\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+1$

= $-5e^{-\mathrm{0,4}x}+2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+1$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-5+2x+10\right)+1$

= $1+\left(2x-5+10\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $1+\left(2x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$