$\text{f(x)}=$ $-2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{2x}·2$

= $-4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $2\sqrt{x}-\frac{3}{2}{x}^5-2e^{-2x-3}$

= $2x^{\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}{x}^5-2e^{-2x-3}$

=> f'(x) = $x^{-\frac{1}{2}}-\frac{15}{2}{x}^4-2e^{-2x-3}·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{15}{2}{x}^4-2e^{-2x-3}·\left(-2\right)$

= $\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{15}{2}{x}^4+4e^{-2x-3}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{2x}+x^3·e^{2x}·2$

= $3x^2·e^{2x}+x^3·2e^{2x}$

= $3x^2·e^{2x}+2x^3·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^3+3x^2\right)$

= $\left(2x^3+3x^2\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x}·1$

= $\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-8\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-2x}+\left(x-8\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $e^{-2x}+\left(x-8\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $e^{-2x}-2\left(x-8\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(1-2x+16\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x+17\right)$

= $\left(-2x+17\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^{\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $-3e^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{3,3}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{3,3}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{3,63}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{3,63}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{3,993}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{3,993}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{4,3923}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,1}}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${\mathrm{1,1}}^{63}·\left(-3e^{\mathrm{1,1}x}\right)$

≈ $-\mathrm{1215,795}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-3\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-6$

= $-3e^{-\mathrm{0,5}x}-3\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-6$

= $-3e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{1,5}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-6$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-3+\mathrm{1,5}x+\mathrm{4,5}\right)-6$

= $-6+\left(\mathrm{1,5}x-3+\mathrm{4,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $-6+\left(\mathrm{1,5}x+\mathrm{1,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$