Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - e^{\frac{7}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - e^{\frac{7}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{7}{4} x} \cdot \frac{7}{4}$

= $- \frac{7}{4} e^{\frac{7}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{2 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{2} + 8 x) \cdot e^{2 x - 1} + (- 5 x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{2 x - 1} \cdot 2$

= $(- 15 x^{2} + 8 x) \cdot e^{2 x - 1} + (- 5 x^{3} + 4 x^{2}) \cdot 2 e^{2 x - 1}$

= $(- 15 x^{2} + 8 x) \cdot e^{2 x - 1} + 2 (- 5 x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{2 x - 1}$

= $e^{2 x - 1} \cdot (- 15 x^{2} + 8 x + (- 10 x^{3} + 8 x^{2}))$

= $e^{2 x - 1} \cdot (- 10 x^{3} - 7 x^{2} + 8 x)$

= $(- 10 x^{3} - 7 x^{2} + 8 x) \cdot e^{2 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{3} + e^{x} \cdot 3 x^{2}$

= $e^{x} x^{3} + 3 \cdot e^{x} x^{2}$

= $e^{x} \cdot (3 x^{2} + x^{3})$

= $e^{x} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} + 3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 3)$

= $\frac{- 9 x^{2} + 3}{- 3 x^{3} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(- x^{3} + 1)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(- x^{3} + 1)}^{3}$

$f'(x) =$ $6 {(- x^{3} + 1)}^{2} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $6 {(- x^{3} + 1)}^{2} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 18 {(- x^{3} + 1)}^{2} x^{2}$

= $- 18 {((- x^{3} + 1) x)}^{2}$

= $- 18 {(x (- x^{3} + 1))}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 30-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{1,15 x}$

f'(x) = $4 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $4,6 e^{1,15 x}$

f''(x) = $4,6 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $5,29 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $5,29 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $6,0835 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $6,0835 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $6,996 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${1,15}^{30} \cdot 4 e^{1,15 x}$

≈ $264,847 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 9$

= $e^{- 0,4 x} + (x - 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 9$

= $e^{- 0,4 x} - 0,4 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 9$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4 x + 2,4 + 1) + 9$

= $9 + (- 0,4 x + 2,4 + 1) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $9 + (- 0,4 x + 3,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten