$\text{f(x)}=$ $2-3e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{3x}·3$

= $-9e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x-3\right)·e^{4x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-5+0\right)·e^{4x+3}+\left(-5x-3\right)·e^{4x+3}·4$

= $-5e^{4x+3}+\left(-5x-3\right)·4e^{4x+3}$

= $-5e^{4x+3}+4\left(-5x-3\right)·e^{4x+3}$

= $e^{4x+3}·\left(-5-20x-12\right)$

= $e^{4x+3}·\left(-20x-17\right)$

= $\left(-20x-17\right)·e^{4x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x+1\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-5+0\right)·e^x+\left(-5x+1\right)·e^x$

= $-5e^x+\left(-5x+1\right)·e^x$

= $e^x·\left(-5-5x+1\right)$

= $e^x·\left(-5x-4\right)$

= $\left(-5x-4\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{7x}·7$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-9\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(x-9\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $\sin \left(x^3\right)+\left(x-9\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\sin \left(x^3\right)+3\left(x-9\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+76\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-6$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-3\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,2}x}-3\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,6}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-3+\mathrm{0,6}x-\mathrm{1,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{4,2}\right)$

= $\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{4,2}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$