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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{3 x^{2}} + 2 e^{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{3 x^{2}} + 2 e^{x + 5}$

= $\frac{7}{3} x^{- 2} + 2 e^{x + 5}$

=> f'(x) = $- \frac{14}{3} x^{- 3} + 2 e^{x + 5} \cdot 1$

$f'(x) =$ $- \frac{14}{3 x^{3}} + 2 e^{x + 5} \cdot 1$

= $- \frac{14}{3 x^{3}} + 2 e^{x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(x - 4)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(x - 4)}^{3}$

$f'(x) =$ $9 {(x - 4)}^{2} \cdot (1 + 0)$

= $9 {(x - 4)}^{2} \cdot (1)$

= $9 {(x - 4)}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 73-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{0,95 x}$

f'(x) = $3 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $2,85 e^{0,95 x}$

f''(x) = $2,85 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $2,7075 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $2,7075 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $2,5721 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,5721 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $2,4435 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 73-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 73 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{73}$

Somit gilt für die 73-te Ableitung:

f⁽⁷³⁾(x) = ${0,95}^{73} \cdot 3 e^{0,95 x}$

≈ $0,071 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 7$

= $- 4 e^{- 0,9 x} - 4 (x + 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 7$

= $- 4 e^{- 0,9 x} + 3,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 7$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 4 + 3,6 x + 18) - 7$

= $- 7 + (3,6 x - 4 + 18) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 7 + (3,6 x + 14) \cdot e^{- 0,9 x}$