$\text{f(x)}=$ $\frac{10}{9}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{10}{9}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{20}{9}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^5-3\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-10x^4+0\right)·e^{-3x}+\left(-2x^5-3\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-10x^4·e^{-3x}+\left(-2x^5-3\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $-10x^4·e^{-3x}-3\left(-2x^5-3\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(6x^5+9-10x^4\right)$

= $e^{-3x}·\left(6x^5-10x^4+9\right)$

= $\left(6x^5-10x^4+9\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x+4\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-4+0\right)·e^{-2x}+\left(-4x+4\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-4e^{-2x}+\left(-4x+4\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $-4e^{-2x}-2\left(-4x+4\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-4+8x-8\right)$

= $e^{-2x}·\left(8x-12\right)$

= $\left(8x-12\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{4x}·4$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(-2x^3-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(-2x^3-5\right)·\left(-6x^2+0\right)$

= $-\sin \left(-2x^3-5\right)·\left(-6x^2\right)$

= $6\sin \left(-2x^3-5\right)x^2$

= $6x^2·\sin \left(-2x^3-5\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{1,21}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,21}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{1,331}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,331}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{1,4641}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{52}·e^{-\mathrm{1,1}x}$

≈ $\mathrm{142,043}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,7}x}+2\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{1,4}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(2-\mathrm{1,4}x-7\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{1,4}x-5\right)$

= $\left(-\mathrm{1,4}x-5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$