Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x} \cdot 2$

= $4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x + 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{4 x + 5} + x^{4} \cdot e^{4 x + 5} \cdot 4$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x + 5} + x^{4} \cdot 4 e^{4 x + 5}$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x + 5} + 4 x^{4} \cdot e^{4 x + 5}$

= $e^{4 x + 5} \cdot (4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{4 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{4} + 4 x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{4} + 4 x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 16 x^{3} + 4) \cdot e^{3 x} + (- 4 x^{4} + 4 x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 16 x^{3} + 4) \cdot e^{3 x} + (- 4 x^{4} + 4 x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 16 x^{3} + 4) \cdot e^{3 x} + 3 (- 4 x^{4} + 4 x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{4} + 12 x - 16 x^{3} + 4)$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{4} - 16 x^{3} + 12 x + 4)$

= $(- 12 x^{4} - 16 x^{3} + 12 x + 4) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 5) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 5) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 5) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 5) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} + 5) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 15 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x + 15)$

= $(3 x^{2} + 2 x + 15) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 58-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $- e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $- 1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${(- 1,1)}^{58} \cdot (- e^{- 1,1 x})$

≈ $- 251,638 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 3$

= $4 e^{- 0,3 x} + 4 (x + 3) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 3$

= $4 e^{- 0,3 x} - 1,2 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} - 3$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (4 - 1,2 x - 3,6) - 3$

= $- 3 + (- 1,2 x + 4 - 3,6) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 3 + (- 1,2 x + 0,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten