Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{7}{5} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{7}{5} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{5} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{21}{5} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{2} \cdot \cos (x) + 3 e^{3 x + 5} - 4 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{2} \cdot \cos (x) + 3 e^{3 x + 5} - 4 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $- \frac{7}{2} \cdot \sin (x) + 3 e^{3 x + 5} \cdot 3 - 4 \cdot \cos (x)$

= $- \frac{7}{2} \cdot \sin (x) + 9 e^{3 x + 5} - 4 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $e^{3 x^{2} + 5} \cdot 6 x$

= $6 \cdot e^{3 x^{2} + 5} x$

= $6 x e^{3 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} - x^{2}} \cdot (12 x^{2} - 2 x)$

= $\frac{12 x^{2} - 2 x}{4 x^{3} - x^{2}}$

= $\frac{2 \cdot 1 \cdot (6 x - 1)}{x \cdot (4 x - 1)}$

= $\frac{2 (6 x - 1)}{x \cdot (4 x - 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(- 2 x^{3} + 1)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(- 2 x^{3} + 1)}^{2}$

$f'(x) =$ $4 (- 2 x^{3} + 1) \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $4 (- 2 x^{3} + 1) \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 24 (- 2 x^{3} + 1) x^{2}$

= $- 24 x^{2} (- 2 x^{3} + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 38-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{0,85 x}$

f'(x) = $- 3 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 2,55 e^{0,85 x}$

f''(x) = $- 2,55 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 2,1675 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $- 2,1675 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 1,8424 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,8424 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 1,566 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 38-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 38 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{38}$

Somit gilt für die 38-te Ableitung:

f⁽³⁸⁾(x) = ${0,85}^{38} \cdot (- 3 e^{0,85 x})$

≈ $- 0,006 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 5$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3 + 2,4 x - 2,4)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2,4 x - 5,4)$

= $(2,4 x - 5,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten