$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{9}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{9}{e}^{3x}·3$

= $\frac{7}{3}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{x^2}-3e^{-3x-1}$

= $2x^{-2}-3e^{-3x-1}$

=> f'(x) = $-4x^{-3}-3e^{-3x-1}·\left(-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{x^3}-3e^{-3x-1}·\left(-3\right)$

= $-\frac{4}{x^3}+9e^{-3x-1}$

$\text{f(x)}=$ $e^x·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·x^3+e^x·3x^2$

= $e^x{x}^3+3·e^x{x}^2$

= $e^x·\left(x^3+3x^2\right)$

= $\left(x^3+3x^2\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x^2-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x^2-2x}·\left(-10x-2\right)$

= $\frac{-10x-2}{-5x^2-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\sqrt{x^2-3}$

= $-2{\left(x^2-3\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-{\left(x^2-3\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(2x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{\sqrt{x^2-3}}·\left(2x+0\right)$

= $-\frac{1}{\sqrt{x^2-3}}·\left(2x\right)$

= $-2\frac{x}{\sqrt{x^2-3}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+79\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+7x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+7$

= $-4e^{-\mathrm{0,9}x}-4\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)+7$

= $-4e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{3,6}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+7$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-4+\mathrm{3,6}x-\mathrm{3,6}\right)+7$

= $7+\left(\mathrm{3,6}x-4-\mathrm{3,6}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $7+\left(\mathrm{3,6}x-\mathrm{7,6}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$