Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{7} e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{7} e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{7} e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $\frac{4}{7} e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x + 5} + \frac{9}{4} \sqrt{x} + 5 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x + 5} + \frac{9}{4} \sqrt{x} + 5 x^{3}$

= $3 e^{- x + 5} + \frac{9}{4} x^{\frac{1}{2}} + 5 x^{3}$

=> f'(x) = $3 e^{- x + 5} \cdot (- 1) + \frac{9}{8} x^{- \frac{1}{2}} + 15 x^{2}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x + 5} \cdot (- 1) + \frac{9}{8 \sqrt{x}} + 15 x^{2}$

= $- 3 e^{- x + 5} + \frac{9}{8 \sqrt{x}} + 15 x^{2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{4} - 3 x^{3}) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{4} - 3 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(8 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{3 x} + (2 x^{4} - 3 x^{3}) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(8 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{3 x} + (2 x^{4} - 3 x^{3}) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(8 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{3 x} + 3 (2 x^{4} - 3 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{4} - 9 x^{3} + (8 x^{3} - 9 x^{2}))$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{4} - x^{3} - 9 x^{2})$

= $(6 x^{4} - x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 5) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 5) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (3 x^{2} - 5) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $6 x \cdot \sin (- 2 x) + (3 x^{2} - 5) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $6 x \cdot \sin (- 2 x) - 2 (3 x^{2} - 5) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- x}$

f'(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f'''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $- 3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} - x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 1$

= $5 e^{- 0,5 x} + 5 (x + 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 1$

= $5 e^{- 0,5 x} - 2,5 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 1$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (5 - 2,5 x - 5) - 1$

= $- 1 + (- 2,5 x + 5 - 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 1 - 2,5 x \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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