Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x - 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{4 x - 1} + x^{5} \cdot e^{4 x - 1} \cdot 4$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x - 1} + x^{5} \cdot 4 e^{4 x - 1}$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x - 1} + 4 x^{5} \cdot e^{4 x - 1}$

= $e^{4 x - 1} \cdot (4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{4 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x^{2} + 3} \cdot 6 x$

= $12 \cdot e^{3 x^{2} + 3} x$

= $12 x e^{3 x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} + 5} \cdot (- 8 x + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x^{2} + 5} \cdot (- 8 x)$

= $- 8 \frac{x}{- 4 x^{2} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- 3 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- 3 x - 4)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (- 3 x - 4)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (- 3 x - 4) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- 3 x - 4) \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (- 3 x - 4) + \sqrt{x} \cdot \cos (- 3 x - 4) \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 3 x - 4)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \cos (- 3 x - 4) \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 3 x - 4)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x - 4))$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 3 x - 4)}{\sqrt{x}} - 3 \sqrt{x} \cdot \cos (- 3 x - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{x}$

f'(x) = $- 4 e^{x}$

f''(x) = $- 4 e^{x}$

f'''(x) = $- 4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $- 4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 4$

= $- e^{- 0,4 x} - (x + 4) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 4$

= $- e^{- 0,4 x} + 0,4 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 4$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1 + 0,4 x + 1,6) + 4$

= $4 + (0,4 x - 1 + 1,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $4 + (0,4 x + 0,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten