$\text{f(x)}=$ $-3e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $6e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-5x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-5x-1}+x^5·e^{-5x-1}·\left(-5\right)$

= $5x^4·e^{-5x-1}+x^5·\left(-5e^{-5x-1}\right)$

= $5x^4·e^{-5x-1}-5x^5·e^{-5x-1}$

= $e^{-5x-1}·\left(-5x^5+5x^4\right)$

= $\left(-5x^5+5x^4\right)·e^{-5x-1}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-3x}+x^5·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $5x^4·e^{-3x}+x^5·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $5x^4·e^{-3x}-3x^5·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{2x}·2$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(\sqrt{x}\right)}^3·e^{3x}$

= $x^{\frac{3}{2}}·e^{3x}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}·e^{3x}+x^{\frac{3}{2}}·e^{3x}·3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}\sqrt{x}·e^{3x}+{\left(\sqrt{x}\right)}^3·e^{3x}·3$

= $\frac{3}{2}\sqrt{x}·e^{3x}+{\left(\sqrt{x}\right)}^3·3e^{3x}$

= $\frac{3}{2}\sqrt{x}·e^{3x}+3{\left(\sqrt{x}\right)}^3·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3{\left(\sqrt{x}\right)}^3+\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)$

= $\left(3{\left(\sqrt{x}\right)}^3+\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 69-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 69 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{69}$

Somit gilt für die 69-te Ableitung:

f⁽⁶⁹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{69}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $-\mathrm{0,029}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+4x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+4$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+4$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,2}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+4$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(2-\mathrm{1,2}x+\mathrm{2,4}\right)+4$

= $4+\left(-\mathrm{1,2}x+2+\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $4+\left(-\mathrm{1,2}x+\mathrm{4,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$