$\text{f(x)}=$ $3e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-9e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-5x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-5x+1}+x^2·e^{-5x+1}·\left(-5\right)$

= $2x·e^{-5x+1}+x^2·\left(-5e^{-5x+1}\right)$

= $2x·e^{-5x+1}-5x^2·e^{-5x+1}$

= $e^{-5x+1}·\left(-5x^2+2x\right)$

= $\left(-5x^2+2x\right)·e^{-5x+1}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-2x^2-1}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-2x^2-1}·\left(-4x\right)$

= $-12·e^{-2x^2-1}x$

= $-12x{e}^{-2x^2-1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x}·3$

= $\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-\sin \left(x^2-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\cos \left(x^2-2\right)·\left(2x+0\right)$

= $-\cos \left(x^2-2\right)·\left(2x\right)$

= $-2\cos \left(x^2-2\right)x$

= $-2x·\cos \left(x^2-2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-x}$

f'(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f'''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-2$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,2}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-1+\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,2}x-\mathrm{1,6}\right)$

= $\left(\mathrm{0,2}x-\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$