Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{9} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{8}{3} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{5} - 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{5} - 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x + 5}$

$f'(x) =$ $(25 x^{4} - 20 x^{3}) \cdot e^{- 2 x + 5} + (5 x^{5} - 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2)$

= $(25 x^{4} - 20 x^{3}) \cdot e^{- 2 x + 5} + (5 x^{5} - 5 x^{4}) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 5})$

= $(25 x^{4} - 20 x^{3}) \cdot e^{- 2 x + 5} - 2 (5 x^{5} - 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x + 5}$

= $e^{- 2 x + 5} \cdot (- 10 x^{5} + 10 x^{4} + (25 x^{4} - 20 x^{3}))$

= $e^{- 2 x + 5} \cdot (- 10 x^{5} + 35 x^{4} - 20 x^{3})$

= $(- 10 x^{5} + 35 x^{4} - 20 x^{3}) \cdot e^{- 2 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot (- e^{- x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x} - x^{5} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} + 1} \cdot (- 12 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x^{3} + 1} \cdot (- 12 x^{2})$

= $- 12 \frac{x^{2}}{- 4 x^{3} + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- x + 2}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- x + 2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- x + 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- x + 2} \cdot (- 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- x + 2} + \sqrt{x} \cdot e^{- x + 2} \cdot (- 1)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- x + 2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- e^{- x + 2})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- x + 2}}{\sqrt{x}} - \sqrt{x} \cdot e^{- x + 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 83)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 9$

= $e^{- 0,2 x} + (x - 2) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 9$

= $e^{- 0,2 x} - 0,2 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} + 9$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (1 - 0,2 x + 0,4) + 9$

= $9 + (- 0,2 x + 1 + 0,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $9 + (- 0,2 x + 1,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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