Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{4}{5} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{4}{5} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{4}{5} e^{x}$

= $\frac{4}{5} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x + 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 4 x + 1} + x^{2} \cdot e^{- 4 x + 1} \cdot (- 4)$

= $2 x \cdot e^{- 4 x + 1} + x^{2} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 1})$

= $2 x \cdot e^{- 4 x + 1} - 4 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 1}$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (2 x - 4 x^{2})$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (- 4 x^{2} + 2 x)$

= $(- 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 4 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x^{2} - 3}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x^{2} - 3} \cdot (- 6 x)$

= $6 \cdot e^{- 3 x^{2} - 3} x$

= $6 x e^{- 3 x^{2} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x + 4} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x + 4} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x - 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 e^{2 x} + (3 x - 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 e^{2 x} + 2 (3 x - 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (6 x - 4 + 3)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x - 1)$

= $(6 x - 1) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${(- 0,85)}^{49} \cdot e^{- 0,85 x}$

= 0

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 4$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 2 e^{- 0,9 x} - 2 (x - 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 2 e^{- 0,9 x} + 1,8 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1,8 x - 7,2 - 2)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1,8 x - 9,2)$

= $(1,8 x - 9,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten