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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{4} + x^{3}) \cdot e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{4} + x^{3}) \cdot e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $(16 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x - 5} + (4 x^{4} + x^{3}) \cdot e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $(16 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x - 5} + (4 x^{4} + x^{3}) \cdot 2 e^{2 x - 5}$

= $(16 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x - 5} + 2 (4 x^{4} + x^{3}) \cdot e^{2 x - 5}$

= $e^{2 x - 5} \cdot (8 x^{4} + 2 x^{3} + (16 x^{3} + 3 x^{2}))$

= $e^{2 x - 5} \cdot (8 x^{4} + 18 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(8 x^{4} + 18 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x^{3} - 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x^{3} - 1} \cdot 9 x^{2}$

= $27 \cdot e^{3 x^{3} - 1} x^{2}$

= $27 x^{2} e^{3 x^{3} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (3 x) + (x + 6) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $\sin (3 x) + (x + 6) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $\sin (3 x) + 3 (x + 6) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{x}$

f'(x) = $- 2 e^{x}$

f''(x) = $- 2 e^{x}$

f'''(x) = $- 2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $- 2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 9$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- e^{- 0,5 x} - (x + 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- e^{- 0,5 x} + 0,5 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1 + 0,5 x + 1)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (0,5 x + 0)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot 0,5 x$

= $x \cdot 0,5 e^{- 0,5 x}$