Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{2} + e^{2 x} \cdot 2 x$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{2} + 2 \cdot e^{2 x} x$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{4} + 2 x^{3}) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{4} + 2 x^{3}) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(20 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{- x} + (5 x^{4} + 2 x^{3}) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $(20 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{- x} + (5 x^{4} + 2 x^{3}) \cdot (- e^{- x})$

= $(20 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{- x} - (5 x^{4} + 2 x^{3}) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- 5 x^{4} - 2 x^{3} + (20 x^{3} + 6 x^{2}))$

= $e^{- x} \cdot (- 5 x^{4} + 18 x^{3} + 6 x^{2})$

= $(- 5 x^{4} + 18 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 8) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 8) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (x^{2} + 8) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $2 x \cdot \cos (x^{2}) + (x^{2} + 8) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $2 x \cdot \cos (x^{2}) - 2 (x^{2} + 8) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 91)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 6$

= $4 e^{- 0,9 x} + 4 (x + 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 6$

= $4 e^{- 0,9 x} - 3,6 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 6$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4 - 3,6 x - 25,2) - 6$

= $- 6 + (- 3,6 x + 4 - 25,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 6 + (- 3,6 x - 21,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten