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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{5}{2} x^{3} + 2 e^{- 3 x - 4} + 5 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{5}{2} x^{3} + 2 e^{- 3 x - 4} + 5 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $- \frac{15}{2} x^{2} + 2 e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3) + 5 \cdot \cos (x)$

= $- \frac{15}{2} x^{2} - 6 e^{- 3 x - 4} + 5 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x^{2} - 5} \cdot 4 x$

= $- 8 \cdot e^{2 x^{2} - 5} x$

= $- 8 x e^{2 x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 3) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 3) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} + 3) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 9 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x + 9)$

= $(3 x^{2} + 2 x + 9) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${0,9}^{61} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,002 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 8$

= $2 e^{- 0,2 x} + 2 (x + 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 8$

= $2 e^{- 0,2 x} - 0,4 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 8$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (2 - 0,4 x - 2) + 8$

= $8 + (- 0,4 x + 2 - 2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $8 - 0,4 x \cdot e^{- 0,2 x}$