Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 2} + x^{4} \cdot e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 2} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x - 2}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 2} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x - 2}$

= $e^{2 x - 2} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 5 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 5 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 6 x - 4) \cdot e^{- 5 x + 4} + (- 3 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 5 x + 4} \cdot (- 5)$

= $(- 6 x - 4) \cdot e^{- 5 x + 4} + (- 3 x^{2} - 4 x) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 4})$

= $(- 6 x - 4) \cdot e^{- 5 x + 4} - 5 (- 3 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 5 x + 4}$

= $e^{- 5 x + 4} \cdot (15 x^{2} + 20 x - 6 x - 4)$

= $e^{- 5 x + 4} \cdot (15 x^{2} + 14 x - 4)$

= $(15 x^{2} + 14 x - 4) \cdot e^{- 5 x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (2 x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $4 x \cdot e^{- 3 x} + (2 x^{2} - 3) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $4 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (2 x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{2} + 9 + 4 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{2} + 4 x + 9)$

= $(- 6 x^{2} + 4 x + 9) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{0,95 x}$

f'(x) = $- 3 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 2,85 e^{0,95 x}$

f''(x) = $- 2,85 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 2,7075 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $- 2,7075 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 2,5721 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,5721 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 2,4435 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 76-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 76 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{76}$

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = ${0,95}^{76} \cdot (- 3 e^{0,95 x})$

≈ $- 0,061 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 9$

= $e^{- 0,1 x} + (x - 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 9$

= $e^{- 0,1 x} - 0,1 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 9$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (1 - 0,1 x + 0,2) + 9$

= $9 + (- 0,1 x + 1 + 0,2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $9 + (- 0,1 x + 1,2) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten