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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{7} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{7} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{7} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{16}{7} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{3} - 3 e^{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{3} - 3 e^{3 x + 2}$

$f'(x) =$ $9 x^{2} - 3 e^{3 x + 2} \cdot 3$

= $9 x^{2} - 9 e^{3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x^{3} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x^{3} - 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x^{3} - 5} \cdot 6 x^{2}$

= $18 \cdot e^{2 x^{3} - 5} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{2 x^{3} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 6) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 6) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{3 x} + (3 x - 6) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x} + (3 x - 6) \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 e^{3 x} + 3 (3 x - 6) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 + 9 x - 18)$

= $e^{3 x} \cdot (9 x - 15)$

= $(9 x - 15) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 79)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 9$

= $e^{- 0,8 x} + (x - 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 9$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 9$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x + 1,6) - 9$

= $- 9 + (- 0,8 x + 1 + 1,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 9 + (- 0,8 x + 2,6) \cdot e^{- 0,8 x}$