$\text{f(x)}=$ $-4-2e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{-x}·\left(-1\right)$

= $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x^2}+2e^{-x+3}$

= $x^{-2}+2e^{-x+3}$

=> f'(x) = $-2x^{-3}+2e^{-x+3}·\left(-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{x^3}+2e^{-x+3}·\left(-1\right)$

= $-\frac{2}{x^3}-2e^{-x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^4-x\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-20x^3-1\right)·e^{-2x}+\left(-5x^4-x\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $\left(-20x^3-1\right)·e^{-2x}+\left(-5x^4-x\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $\left(-20x^3-1\right)·e^{-2x}-2\left(-5x^4-x\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(10x^4+2x-20x^3-1\right)$

= $e^{-2x}·\left(10x^4-20x^3+2x-1\right)$

= $\left(10x^4-20x^3+2x-1\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x-4}·\left(2+0\right)$

= $\frac{1}{2x-4}·\left(2\right)$

= $\frac{2}{2x-4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+6\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{3x}+\left(3x+6\right)·e^{3x}·3$

= $3e^{3x}+\left(3x+6\right)·3e^{3x}$

= $3e^{3x}+3\left(3x+6\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3+9x+18\right)$

= $e^{3x}·\left(9x+21\right)$

= $\left(9x+21\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^x$

f'(x) = $4e^x$

f''(x) = $4e^x$

f'''(x) = $4e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $4e^x$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+8$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+4\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,5}x}+4\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(4-2x-2\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-2x+2\right)$

= $\left(-2x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$