$\text{f(x)}=$ $-1+\frac{1}{2}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{2}{e}^{3x}·3$

= $\frac{3}{2}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-x-1}-\frac{4}{x^4}+\frac{1}{2}\sqrt{x}$

= $-2e^{-x-1}-4x^{-4}+\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-2e^{-x-1}·\left(-1\right)+16x^{-5}+\frac{1}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-x-1}·\left(-1\right)+\frac{16}{x^5}+\frac{1}{4\sqrt{x}}$

= $2e^{-x-1}+\frac{16}{x^5}+\frac{1}{4\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-2x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-2x+2}·\left(-2\right)$

= $4e^{-2x+2}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{x}·1$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-2\right)·\sin \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(x^2\right)+\left(2x-2\right)·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $2\cdot \sin \left(x^2\right)+\left(2x-2\right)·2\cos \left(x^2\right)x$

= $2\cdot \sin \left(x^2\right)+2\left(2x-2\right)\cos \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-x}$

f'(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f'''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $-4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-2$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,1}x}-\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,1}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,6}-1\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,4}\right)$

= $\left(\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$