Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 3}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 3} + x^{3} \cdot e^{5 x - 3} \cdot 5$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 3} + x^{3} \cdot 5 e^{5 x - 3}$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 3} + 5 x^{3} \cdot e^{5 x - 3}$

= $e^{5 x - 3} \cdot (5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{4 x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{4} - 9 x^{2}) \cdot e^{4 x + 1} + (- 3 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{4 x + 1} \cdot 4$

= $(- 15 x^{4} - 9 x^{2}) \cdot e^{4 x + 1} + (- 3 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot 4 e^{4 x + 1}$

= $(- 15 x^{4} - 9 x^{2}) \cdot e^{4 x + 1} + 4 (- 3 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{4 x + 1}$

= $e^{4 x + 1} \cdot (- 12 x^{5} - 12 x^{3} + (- 15 x^{4} - 9 x^{2}))$

= $e^{4 x + 1} \cdot (- 12 x^{5} - 15 x^{4} - 12 x^{3} - 9 x^{2})$

= $(- 12 x^{5} - 15 x^{4} - 12 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{4 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x - 5) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x - 5) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x - 5) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (1 + 2 x - 10)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x - 9)$

= $(2 x - 9) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${(- 1,1)}^{64} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $445,792 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} - x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 1$

= $3 e^{- 0,7 x} + 3 (x + 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 1$

= $3 e^{- 0,7 x} - 2,1 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 1$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3 - 2,1 x - 4,2) - 1$

= $- 1 + (- 2,1 x + 3 - 4,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 1 + (- 2,1 x - 1,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten