$\text{f(x)}=$ $-3+\frac{1}{3}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{3}{e}^{2x}·2$

= $\frac{2}{3}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $4x^2-3e^{2x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $8x-3e^{2x-4}·2$

= $8x-6e^{2x-4}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-x-3}·\left(-1\right)$

= $3e^{-x-3}$

$\text{f(x)}=$ $2\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{6x}·6$

= $\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-7\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-2x}+\left(x-7\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $e^{-2x}+\left(x-7\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $e^{-2x}-2\left(x-7\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(1-2x+14\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x+15\right)$

= $\left(-2x+15\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^x·\left(x+87\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+3\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-7$

= $3e^{-\mathrm{0,2}x}+3\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-7$

= $3e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,6}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-7$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(3-\mathrm{0,6}x-\mathrm{1,8}\right)-7$

= $-7+\left(-\mathrm{0,6}x+3-\mathrm{1,8}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $-7+\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$