$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{1}{3}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}{x}^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·x^5+e^{-x}·5x^4$

= $-e^{-x}{x}^5+5·e^{-x}{x}^4$

= $e^{-x}·\left(-x^5+5x^4\right)$

= $\left(-x^5+5x^4\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-x^3-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-x^3-3}·\left(-3x^2\right)$

= $3·e^{-x^3-3}{x}^2$

= $3x^2{e}^{-x^3-3}$

$\text{f(x)}=$ $-\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-1}{4x}·4$

= $-\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-7\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{3x}+\left(x^2-7\right)·e^{3x}·3$

= $2x·e^{3x}+\left(x^2-7\right)·3e^{3x}$

= $2x·e^{3x}+3\left(x^2-7\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^2-21+2x\right)$

= $e^{3x}·\left(3x^2+2x-21\right)$

= $\left(3x^2+2x-21\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,1576}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,1576}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,2155}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{78}·e^{-\mathrm{1,05}x}$

≈ $\mathrm{44,954}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{1,2}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-2+\mathrm{1,2}x+\mathrm{8,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{1,2}x+\mathrm{6,4}\right)$

= $\left(\mathrm{1,2}x+\mathrm{6,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$