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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $- \frac{5}{6} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sin (x) + 2 e^{x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sin (x) + 2 e^{x + 4}$

$f'(x) =$ $- \cos (x) + 2 e^{x + 4} \cdot 1$

= $- \cos (x) + 2 e^{x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 5 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 5 x - 2)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- 5 x - 2) + e^{- x} \cdot (- 5 + 0)$

= $- e^{- x} (- 5 x - 2) + e^{- x} \cdot (- 5)$

= $- e^{- x} (- 5 x - 2) - 5 e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- 5 + 5 x + 2)$

= $e^{- x} \cdot (5 x - 3)$

= $(5 x - 3) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (- 2 x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (- 2 x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $\cos (- 2 x^{2} - 5) \cdot (- 4 x + 0)$

= $\cos (- 2 x^{2} - 5) \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \cos (- 2 x^{2} - 5) x$

= $- 4 x \cdot \cos (- 2 x^{2} - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${1,15}^{47} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $712,522 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 3$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 2 (x + 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 3$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 0,2 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 3$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 2 + 0,2 x + 0,2) + 3$

= $3 + (0,2 x - 2 + 0,2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $3 + (0,2 x - 1,8) \cdot e^{- 0,1 x}$