Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - 2 e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - 2 e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $- \frac{3}{2} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} (- 5 x^{2} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} (- 5 x^{2} - 4 x)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- 5 x^{2} - 4 x) + e^{3 x} \cdot (- 10 x - 4)$

= $3 \cdot e^{3 x} (- 5 x^{2} - 4 x) + e^{3 x} (- 10 x - 4)$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x^{2} - 12 x - 10 x - 4)$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x^{2} - 22 x - 4)$

= $(- 15 x^{2} - 22 x - 4) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x - 1} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x - 1} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 8) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 8) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 8) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 8) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} + 8) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 24 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x + 24)$

= $(3 x^{2} + 2 x + 24) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 73-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{1,05 x}$

f'(x) = $- e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $- 1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 73-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 73 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{73}$

Somit gilt für die 73-te Ableitung:

f⁽⁷³⁾(x) = ${1,05}^{73} \cdot (- e^{1,05 x})$

≈ $- 35,222 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 6$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 4 (x - 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 6$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 3,2 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 + 3,2 x - 9,6) - 6$

= $- 6 + (3,2 x - 4 - 9,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 6 + (3,2 x - 13,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten