Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + 3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + 3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{2 x} \cdot 2$

= $6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x - 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 1} + x^{4} \cdot e^{2 x - 1} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 1} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x - 1}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 1} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x - 1}$

= $e^{2 x - 1} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{4} + e^{x} \cdot 4 x^{3}$

= $e^{x} x^{4} + 4 \cdot e^{x} x^{3}$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (- 3 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (- 3 x + 1)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \sin (- 3 x + 1) + x^{4} \cdot \cos (- 3 x + 1) \cdot (- 3 + 0)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (- 3 x + 1) + x^{4} \cdot \cos (- 3 x + 1) \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (- 3 x + 1) + x^{4} \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x + 1))$

= $4 x^{3} \cdot \sin (- 3 x + 1) - 3 x^{4} \cdot \cos (- 3 x + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 59-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 59-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 59 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{59}$

Somit gilt für die 59-te Ableitung:

f⁽⁵⁹⁾(x) = ${(- 1,1)}^{59} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $- 276,801 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 6$

= $4 e^{- 0,3 x} + 4 (x + 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 6$

= $4 e^{- 0,3 x} - 1,2 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 6$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (4 - 1,2 x - 6) + 6$

= $6 + (- 1,2 x + 4 - 6) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $6 + (- 1,2 x - 2) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten