Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x} \cdot 2$

= $6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} (- x^{3} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} (- x^{3} - 4)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (- x^{3} - 4) + e^{x} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $e^{x} (- x^{3} - 4) + e^{x} \cdot (- 3 x^{2})$

= $e^{x} (- x^{3} - 4) - 3 \cdot e^{x} x^{2}$

= $e^{x} \cdot (- x^{3} - 4 - 3 x^{2})$

= $e^{x} \cdot (- x^{3} - 3 x^{2} - 4)$

= $(- x^{3} - 3 x^{2} - 4) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} - 5 x) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} - 5 x) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 10 x - 5) \cdot e^{- 2 x} + (- 5 x^{2} - 5 x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(- 10 x - 5) \cdot e^{- 2 x} + (- 5 x^{2} - 5 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(- 10 x - 5) \cdot e^{- 2 x} - 2 (- 5 x^{2} - 5 x) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x^{2} + 10 x - 10 x - 5)$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x^{2} + 0 - 5)$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x^{2} - 5)$

= $(10 x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x - 1} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x - 1} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{x - 1}$

= $- 3 {(x - 1)}^{- 1}$

=> f'(x) = $3 {(x - 1)}^{- 2} \cdot (1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{{(x - 1)}^{2}} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{3}{{(x - 1)}^{2}} \cdot (1)$

= $\frac{3}{{(x - 1)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $- 5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 3$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $3 e^{- 0,9 x} + 3 (x + 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $3 e^{- 0,9 x} - 2,7 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (3 - 2,7 x - 10,8)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2,7 x - 7,8)$

= $(- 2,7 x - 7,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten