$\text{f(x)}=$ $3e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^3+5x^2\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3x^2+10x\right)·e^{-3x}+\left(x^3+5x^2\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $\left(3x^2+10x\right)·e^{-3x}+\left(x^3+5x^2\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $\left(3x^2+10x\right)·e^{-3x}-3\left(x^3+5x^2\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·(-3x^3-15x^2+\left(3x^2+10x\right))$

= $e^{-3x}·\left(-3x^3-12x^2+10x\right)$

= $\left(-3x^3-12x^2+10x\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x^2-3}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x^2-3}·4x$

= $4·e^{2x^2-3}x$

= $4x{e}^{2x^2-3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x-5}·\left(-1+0\right)$

= $\frac{1}{-x-5}·\left(-1\right)$

= $-\frac{1}{-x-5}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{x-3}$

= $-3{\left(x-3\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $3{\left(x-3\right)}^{-2}·\left(1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{{\left(x-3\right)}^2}·\left(1+0\right)$

= $\frac{3}{{\left(x-3\right)}^2}·\left(1\right)$

= $\frac{3}{{\left(x-3\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,6561}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{60}·e^{-\mathrm{0,9}x}$

≈ $\mathrm{0,002}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+2$

= $5e^{-\mathrm{0,6}x}+5\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+2$

= $5e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(5-3x-6\right)+2$

= $2+\left(-3x+5-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $2+\left(-3x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$