Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x}$

$f'(x) =$ $- e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x + 2} + \frac{9}{4} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x + 2} + \frac{9}{4} x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3) + \frac{9}{2} x$

= $- 3 e^{- 3 x + 2} + \frac{9}{2} x$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x + 5) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x + 5) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 5 + 0) \cdot e^{2 x} + (- 5 x + 5) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- 5 e^{2 x} + (- 5 x + 5) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- 5 e^{2 x} + 2 (- 5 x + 5) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 5 - 10 x + 10)$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x + 5)$

= $(- 10 x + 5) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} - 5} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{2} - 5} \cdot (6 x)$

= $6 \frac{x}{3 x^{2} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 4) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 4) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (x^{2} + 4) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot \sin (- 2 x) + (x^{2} + 4) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $2 x \cdot \sin (- 2 x) - 2 (x^{2} + 4) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{0,95 x}$

f'(x) = $5 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $4,75 e^{0,95 x}$

f''(x) = $4,75 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $4,5125 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $4,5125 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $4,2869 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,2869 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $4,0725 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${0,95}^{63} \cdot 5 e^{0,95 x}$

≈ $0,197 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $5 e^{- 0,7 x} + 5 (x + 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $5 e^{- 0,7 x} - 3,5 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (5 - 3,5 x - 24,5)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 3,5 x - 19,5)$

= $(- 3,5 x - 19,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten