$\text{f(x)}=$ $-1-3e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{2x}·2$

= $-6e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-\cos \left(x\right)+3e^{-3x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $\sin \left(x\right)+3e^{-3x+4}·\left(-3\right)$

= $\sin \left(x\right)-9e^{-3x+4}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·x^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·x^5+e^{3x}·5x^4$

= $3·e^{3x}{x}^5+5·e^{3x}{x}^4$

= $e^{3x}·\left(3x^5+5x^4\right)$

= $\left(3x^5+5x^4\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x^3-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x^3-3}·\left(12x^2+0\right)$

= $\frac{1}{4x^3-3}·\left(12x^2\right)$

= $12\frac{x^2}{4x^3-3}$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(-2x^3-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(-2x^3-2\right)·\left(-6x^2+0\right)$

= $3\cdot \cos \left(-2x^3-2\right)·\left(-6x^2\right)$

= $-18\cos \left(-2x^3-2\right)x^2$

= $-18x^2·\cos \left(-2x^3-2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-x}$

f'(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f''(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f'''(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $-5e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+7x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+7$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)+7$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,8}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+7$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-4+\mathrm{0,8}x+\mathrm{5,6}\right)+7$

= $7+\left(\mathrm{0,8}x-4+\mathrm{5,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $7+\left(\mathrm{0,8}x+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$