Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{5}{7} e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{5}{7} e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{7} e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{4}{7} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} - 1) \cdot e^{- x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} - 1) \cdot e^{- x - 3}$

$f'(x) =$ $(8 x + 0) \cdot e^{- x - 3} + (4 x^{2} - 1) \cdot e^{- x - 3} \cdot (- 1)$

= $8 x \cdot e^{- x - 3} + (4 x^{2} - 1) \cdot (- e^{- x - 3})$

= $8 x \cdot e^{- x - 3} - (4 x^{2} - 1) \cdot e^{- x - 3}$

= $e^{- x - 3} \cdot (- 4 x^{2} + 1 + 8 x)$

= $e^{- x - 3} \cdot (- 4 x^{2} + 8 x + 1)$

= $(- 4 x^{2} + 8 x + 1) \cdot e^{- x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x + 1}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot e^{3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot e^{3 x - 1}$

= $x^{\frac{3}{2}} \cdot e^{3 x - 1}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x - 1} + x^{\frac{3}{2}} \cdot e^{3 x - 1} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot e^{3 x - 1} + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot e^{3 x - 1} \cdot 3$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot e^{3 x - 1} + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot 3 e^{3 x - 1}$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot e^{3 x - 1} + 3 {(\sqrt{x})}^{3} \cdot e^{3 x - 1}$

= $e^{3 x - 1} \cdot (3 {(\sqrt{x})}^{3} + \frac{3}{2} \sqrt{x})$

= $(3 {(\sqrt{x})}^{3} + \frac{3}{2} \sqrt{x}) \cdot e^{3 x - 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- x}$

f'(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f'''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $- 5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 2$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 4 e^{- 0,4 x} - 4 (x + 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 4 e^{- 0,4 x} + 1,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 4 + 1,6 x + 8)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1,6 x + 4)$

= $(1,6 x + 4) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten