$\text{f(x)}=$ $-1+2e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-4e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot \sin \left(x\right)+3e^{3x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot \cos \left(x\right)+3e^{3x-2}·3$

= $-\frac{1}{4}\cdot \cos \left(x\right)+9e^{3x-2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x+5\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-3+0\right)·e^{-3x}+\left(-3x+5\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-3e^{-3x}+\left(-3x+5\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $-3e^{-3x}-3\left(-3x+5\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3+9x-15\right)$

= $e^{-3x}·\left(9x-18\right)$

= $\left(9x-18\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x^2-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x^2-3}·\left(10x+0\right)$

= $\frac{1}{5x^2-3}·\left(10x\right)$

= $10\frac{x}{5x^2-3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·\cos \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\cos \left(-2x\right)+\left(x-2\right)·(-\sin \left(-2x\right)·\left(-2\right))$

= $\cos \left(-2x\right)+\left(x-2\right)·2\cdot \sin \left(-2x\right)$

= $\cos \left(-2x\right)+2\left(x-2\right)·\sin \left(-2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 66-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 66 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{66}$

Somit gilt für die 66-te Ableitung:

f⁽⁶⁶⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{66}·e^{\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,034}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-1$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,7}x}+2\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{1,4}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(2-\mathrm{1,4}x-7\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{1,4}x-5\right)$

= $\left(-\mathrm{1,4}x-5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$