$\text{f(x)}=$ $e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3$

= $3e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-x-3}+x^3·e^{-x-3}·\left(-1\right)$

= $3x^2·e^{-x-3}+x^3·\left(-e^{-x-3}\right)$

= $3x^2·e^{-x-3}-x^3·e^{-x-3}$

= $e^{-x-3}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x-3}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{3x}+x^5·e^{3x}·3$

= $5x^4·e^{3x}+x^5·3e^{3x}$

= $5x^4·e^{3x}+3x^5·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^5+5x^4\right)$

= $\left(3x^5+5x^4\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x^2-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x^2-3}·\left(-6x+0\right)$

= $\frac{1}{-3x^2-3}·\left(-6x\right)$

= $-6\frac{x}{-3x^2-3}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3x+2}$

= ${\left(3x+2\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-{\left(3x+2\right)}^{-2}·\left(3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{{\left(3x+2\right)}^2}·\left(3+0\right)$

= $-\frac{1}{{\left(3x+2\right)}^2}·\left(3\right)$

= $-\frac{3}{{\left(3x+2\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 69-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 69 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{69}$

Somit gilt für die 69-te Ableitung:

f⁽⁶⁹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{69}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $-\mathrm{0,029}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+2$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+2\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,7}x}+2\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{1,4}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(2-\mathrm{1,4}x+\mathrm{8,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{1,4}x+\mathrm{10,4}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,4}x+\mathrm{10,4}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$