Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{5}{8} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{5}{8} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{8} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{5}{4} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{2} + e^{x} \cdot 2 x$

= $e^{x} x^{2} + 2 \cdot e^{x} x$

= $e^{x} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{2} + e^{- 3 x} \cdot 2 x$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{2} + 2 \cdot e^{- 3 x} x$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 5 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} - 5 x^{2}} \cdot (6 x^{2} - 10 x)$

= $\frac{6 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} - 5 x^{2}}$

= $\frac{2 \cdot 1 \cdot (3 x - 5)}{x \cdot (2 x - 5)}$

= $\frac{2 (3 x - 5)}{x \cdot (2 x - 5)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 6) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 6) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (2 x^{2} - 6) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $4 x \cdot \sin (x^{3}) + (2 x^{2} - 6) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $4 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 (2 x^{2} - 6) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 40-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{0,85 x}$

f'(x) = $- 3 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 2,55 e^{0,85 x}$

f''(x) = $- 2,55 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 2,1675 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $- 2,1675 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 1,8424 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,8424 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 1,566 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 40-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 40 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{40}$

Somit gilt für die 40-te Ableitung:

f⁽⁴⁰⁾(x) = ${0,85}^{40} \cdot (- 3 e^{0,85 x})$

≈ $- 0,005 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 6$

= $2 e^{- 0,1 x} + 2 (x + 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 6$

= $2 e^{- 0,1 x} - 0,2 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 6$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (2 - 0,2 x - 1,4) + 6$

= $6 + (- 0,2 x + 2 - 1,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $6 + (- 0,2 x + 0,6) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten