Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 - 3 e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 - 3 e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $- \frac{15}{7} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x + 4) \cdot e^{4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x + 4) \cdot e^{4 x - 5}$

$f'(x) =$ $(5 + 0) \cdot e^{4 x - 5} + (5 x + 4) \cdot e^{4 x - 5} \cdot 4$

= $5 e^{4 x - 5} + (5 x + 4) \cdot 4 e^{4 x - 5}$

= $5 e^{4 x - 5} + 4 (5 x + 4) \cdot e^{4 x - 5}$

= $e^{4 x - 5} \cdot (5 + 20 x + 16)$

= $e^{4 x - 5} \cdot (20 x + 21)$

= $(20 x + 21) \cdot e^{4 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(9 x^{2} - 8 x) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(9 x^{2} - 8 x) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(9 x^{2} - 8 x) \cdot e^{- 2 x} - 2 (3 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{3} + 8 x^{2} + (9 x^{2} - 8 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{3} + 17 x^{2} - 8 x)$

= $(- 6 x^{3} + 17 x^{2} - 8 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} + 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} + 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{3} + 2 x^{2}} \cdot (- 6 x^{2} + 4 x)$

= $\frac{- 6 x^{2} + 4 x}{- 2 x^{3} + 2 x^{2}}$

= $\frac{- 2 \cdot 1 \cdot (3 x - 2)}{- 2 x \cdot (x - 1)}$

= $\frac{- 2 (3 x - 2)}{- 2 x \cdot (x - 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (x^{2})$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (x^{2})$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (x^{2}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \cos (x^{2}) + \sqrt{x} \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (x^{2})}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (x^{2})}{\sqrt{x}} - 2 \sqrt{x} \sin (x^{2}) x$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (x^{2})}{\sqrt{x}} - 2 {(\sqrt{x})}^{3} \cdot \sin (x^{2})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 52-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $5 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 5,5 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 5,5 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $6,05 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $6,05 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 6,655 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 6,655 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $7,3205 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${(- 1,1)}^{52} \cdot 5 e^{- 1,1 x}$

≈ $710,215 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 5$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $e^{- 0,4 x} + (x - 7) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $e^{- 0,4 x} - 0,4 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1 - 0,4 x + 2,8)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4 x + 3,8)$

= $(- 0,4 x + 3,8) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten