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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 - 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 - 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{5 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{5 x + 5}$

$f'(x) =$ $(20 x^{4} + 8 x) \cdot e^{5 x + 5} + (4 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{5 x + 5} \cdot 5$

= $(20 x^{4} + 8 x) \cdot e^{5 x + 5} + (4 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot 5 e^{5 x + 5}$

= $(20 x^{4} + 8 x) \cdot e^{5 x + 5} + 5 (4 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{5 x + 5}$

= $e^{5 x + 5} \cdot (20 x^{5} + 20 x^{2} + (20 x^{4} + 8 x))$

= $e^{5 x + 5} \cdot (20 x^{5} + 20 x^{4} + 20 x^{2} + 8 x)$

= $(20 x^{5} + 20 x^{4} + 20 x^{2} + 8 x) \cdot e^{5 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x + 3}$

$f'(x) =$ $e^{3 x + 3} \cdot 3$

= $3 e^{3 x + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 6) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 6) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (2 x^{2} + 6) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $4 x \cdot \sin (x^{2}) + (2 x^{2} + 6) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $4 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (2 x^{2} + 6) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{x}$

f'(x) = $e^{x}$

f''(x) = $e^{x}$

f'''(x) = $e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 2$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $5 e^{- 0,4 x} + 5 (x + 2) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $5 e^{- 0,4 x} - 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (5 - 2 x - 4)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 2 x + 1)$

= $(- 2 x + 1) \cdot e^{- 0,4 x}$