$\text{f(x)}=$ $-e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{2x}·2$

= $-2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-2x^4-\frac{2}{3x^3}-2e^{3x+5}$

= $-2x^4-\frac{2}{3}{x}^{-3}-2e^{3x+5}$

=> f'(x) = $-8x^3+2x^{-4}-2e^{3x+5}·3$

$\text{f'(x)}=$ $-8x^3+\frac{2}{x^4}-2e^{3x+5}·3$

= $-8x^3+\frac{2}{x^4}-6e^{3x+5}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^x+x^2·e^x$

= $2x·e^x+x^2·e^x$

= $e^x·\left(x^2+2x\right)$

= $\left(x^2+2x\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $7\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{3x}·3$

= $\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt{3x^2-1}$

= $3{\left(3x^2-1\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{\left(3x^2-1\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(6x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2\cdot \sqrt{3x^2-1}}·\left(6x+0\right)$

= $\frac{3}{2\cdot \sqrt{3x^2-1}}·\left(6x\right)$

= $9\frac{x}{\sqrt{3x^2-1}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+91\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+4x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+4$

= $-2e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+4$

= $-2e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{0,8}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+4$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-2+\mathrm{0,8}x+\mathrm{3,2}\right)+4$

= $4+\left(\mathrm{0,8}x-2+\mathrm{3,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $4+\left(\mathrm{0,8}x+\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$