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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{9}{7} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{9}{7} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{9}{7} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{18}{7} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{3 x^{4}} + 3 e^{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{3 x^{4}} + 3 e^{- x + 4}$

= $\frac{5}{3} x^{- 4} + 3 e^{- x + 4}$

=> f'(x) = $- \frac{20}{3} x^{- 5} + 3 e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

$f'(x) =$ $- \frac{20}{3 x^{5}} + 3 e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

= $- \frac{20}{3 x^{5}} - 3 e^{- x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x - 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x - 1} \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{- x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} - 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} - 5 x} \cdot (- 6 x - 5)$

= $\frac{- 6 x - 5}{- 3 x^{2} - 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 3) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} + 3) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (3 x^{2} + 3) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $6 x \cdot \sin (x^{2}) + (3 x^{2} + 3) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $6 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (3 x^{2} + 3) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${1,1}^{50} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $117,391 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 3$

= $2 e^{- 0,3 x} + 2 (x + 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 3$

= $2 e^{- 0,3 x} - 0,6 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 3$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (2 - 0,6 x - 4,2) + 3$

= $3 + (- 0,6 x + 2 - 4,2) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $3 + (- 0,6 x - 2,2) \cdot e^{- 0,3 x}$