$\text{f(x)}=$ $-3e^{\frac{3}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{\frac{3}{4}x}·\frac{3}{4}$

= $-\frac{9}{4}{e}^{\frac{3}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-2x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-2x+5}+x^2·e^{-2x+5}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x+5}+x^2·\left(-2e^{-2x+5}\right)$

= $2x·e^{-2x+5}-2x^2·e^{-2x+5}$

= $e^{-2x+5}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x+5}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{3x}+x^5·e^{3x}·3$

= $5x^4·e^{3x}+x^5·3e^{3x}$

= $5x^4·e^{3x}+3x^5·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^5+5x^4\right)$

= $\left(3x^5+5x^4\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{7x}·7$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+2\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2+2\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2+2\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2+2\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2-4+2x\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x-4\right)$

= $\left(-2x^2+2x-4\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-x}$

f'(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+8x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+8$

= $3e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+8$

= $3e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,8}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+8$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(3-\mathrm{1,8}x-\mathrm{10,8}\right)+8$

= $8+\left(-\mathrm{1,8}x+3-\mathrm{10,8}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $8+\left(-\mathrm{1,8}x-\mathrm{7,8}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$