Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{9}{8} e^{\frac{4}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{9}{8} e^{\frac{4}{3} x}$

$f'(x) =$ $\frac{9}{8} e^{\frac{4}{3} x} \cdot \frac{4}{3}$

= $\frac{3}{2} e^{\frac{4}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{3} + x^{2}) \cdot e^{x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{3} + x^{2}) \cdot e^{x - 1}$

$f'(x) =$ $(9 x^{2} + 2 x) \cdot e^{x - 1} + (3 x^{3} + x^{2}) \cdot e^{x - 1} \cdot 1$

= $(9 x^{2} + 2 x) \cdot e^{x - 1} + (3 x^{3} + x^{2}) \cdot e^{x - 1}$

= $e^{x - 1} \cdot (9 x^{2} + 2 x + (3 x^{3} + x^{2}))$

= $e^{x - 1} \cdot (3 x^{3} + 10 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{3} + 10 x^{2} + 2 x) \cdot e^{x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{3} + 2 x^{4})$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} - 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} - 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} - 3 x^{2}} \cdot (- 12 x^{2} - 6 x)$

= $\frac{- 12 x^{2} - 6 x}{- 4 x^{3} - 3 x^{2}}$

= $\frac{- 6 \cdot 1 \cdot (2 x + 1)}{- x \cdot (4 x + 3)}$

= $\frac{- 6 (2 x + 1)}{- x \cdot (4 x + 3)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sin (3 x^{3} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sin (3 x^{3} - 3)$

$f'(x) =$ $- \cos (3 x^{3} - 3) \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $- \cos (3 x^{3} - 3) \cdot (9 x^{2})$

= $- 9 \cos (3 x^{3} - 3) x^{2}$

= $- 9 x^{2} \cdot \cos (3 x^{3} - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $4 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 4,2 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 4,2 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $4,41 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $4,41 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 4,6305 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4,6305 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $4,862 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${(- 1,05)}^{62} \cdot 4 e^{- 1,05 x}$

≈ $82,375 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 6$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $e^{- 0,4 x} + (x - 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $e^{- 0,4 x} - 0,4 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4 x + 2,4 + 1)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4 x + 3,4)$

= $(- 0,4 x + 3,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten