$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{9}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{9}{e}^{\frac{8}{9}x}·\frac{8}{9}$

= $\frac{56}{81}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-x+1}+x^4·e^{-x+1}·\left(-1\right)$

= $4x^3·e^{-x+1}+x^4·\left(-e^{-x+1}\right)$

= $4x^3·e^{-x+1}-x^4·e^{-x+1}$

= $e^{-x+1}·\left(-x^4+4x^3\right)$

= $\left(-x^4+4x^3\right)·e^{-x+1}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-2x^2-3}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-2x^2-3}·\left(-4x\right)$

= $-12·e^{-2x^2-3}x$

= $-12x{e}^{-2x^2-3}$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{4x}·4$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(\sin \left(x\right)-5\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-4{\left(\sin \left(x\right)-5\right)}^3·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $-4{\left(\sin \left(x\right)-5\right)}^3·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $-4{\left(\sin \left(x\right)-5\right)}^3·\cos \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,522}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 39-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 39 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{39}$

Somit gilt für die 39-te Ableitung:

f⁽³⁹⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{39}·e^{\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,002}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-6$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{0,6}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(1-\mathrm{0,6}x+\mathrm{2,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{3,4}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{3,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$