$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{9}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{9}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-\frac{7}{3}{e}^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·x^2+e^{-3x}·2x$

= $-3·e^{-3x}{x}^2+2·e^{-3x}x$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x\right)$

= $\left(-3x^2+2x\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{3x}+x^2·e^{3x}·3$

= $2x·e^{3x}+x^2·3e^{3x}$

= $2x·e^{3x}+3x^2·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^2+2x\right)$

= $\left(3x^2+2x\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-5}{3x}·3$

= $-\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+5\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2+5\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2+5\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2+5\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2-10+2x\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x-10\right)$

= $\left(-2x^2+2x-10\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+80\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}+\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{0,4}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(1-\mathrm{0,4}x+\mathrm{2,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{3,8}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{3,8}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$