Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 5) \cdot e^{4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 5) \cdot e^{4 x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 10 x + 0) \cdot e^{4 x - 5} + (- 5 x^{2} + 5) \cdot e^{4 x - 5} \cdot 4$

= $- 10 x \cdot e^{4 x - 5} + (- 5 x^{2} + 5) \cdot 4 e^{4 x - 5}$

= $- 10 x \cdot e^{4 x - 5} + 4 (- 5 x^{2} + 5) \cdot e^{4 x - 5}$

= $e^{4 x - 5} \cdot (- 20 x^{2} + 20 - 10 x)$

= $e^{4 x - 5} \cdot (- 20 x^{2} - 10 x + 20)$

= $(- 20 x^{2} - 10 x + 20) \cdot e^{4 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(6 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- x} + (2 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $(6 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- x} + (2 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot (- e^{- x})$

= $(6 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- x} - (2 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- 2 x^{3} + 5 x^{2} + (6 x^{2} - 10 x))$

= $e^{- x} \cdot (- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x)$

= $(- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} + 5} \cdot (- 10 x + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{2} + 5} \cdot (- 10 x)$

= $- 10 \frac{x}{- 5 x^{2} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x - 2) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $e^{- 2 x} + (x - 2) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $e^{- 2 x} - 2 (x - 2) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (1 - 2 x + 4)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x + 5)$

= $(- 2 x + 5) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,8574 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,8145 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${(- 0,95)}^{64} \cdot e^{- 0,95 x}$

≈ $0,038 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 9$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $4 e^{- 0,4 x} + 4 (x + 7) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $4 e^{- 0,4 x} - 1,6 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (4 - 1,6 x - 11,2)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1,6 x - 7,2)$

= $(- 1,6 x - 7,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten