Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} (- 5 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} (- 5 x + 2)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (- 5 x + 2) + e^{- 3 x} \cdot (- 5 + 0)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (- 5 x + 2) + e^{- 3 x} \cdot (- 5)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (- 5 x + 2) - 5 e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 5 + 15 x - 6)$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x - 11)$

= $(15 x - 11) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x^{2} + 3} \cdot 2 x$

= $- 6 \cdot e^{x^{2} + 3} x$

= $- 6 x e^{x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 5) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 5) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (3 x^{2} - 5) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $6 x \cdot \sin (- 3 x) + (3 x^{2} - 5) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $6 x \cdot \sin (- 3 x) - 3 (3 x^{2} - 5) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${(- 1,15)}^{46} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $619,585 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 2$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x - 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x + 8,4)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1,4 x + 10,4)$

= $(- 1,4 x + 10,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten