$\text{f(x)}=$ $3e^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{\frac{7}{9}x}·\frac{7}{9}$

= $\frac{7}{3}{e}^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x+5}+\frac{3}{4}\sqrt{x}+x^3$

= $e^{3x+5}+\frac{3}{4}{x}^{\frac{1}{2}}+x^3$

=> f'(x) = $e^{3x+5}·3+\frac{3}{8}{x}^{-\frac{1}{2}}+3x^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x+5}·3+\frac{3}{8\sqrt{x}}+3x^2$

= $3e^{3x+5}+\frac{3}{8\sqrt{x}}+3x^2$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x-4\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-2+0\right)·e^{2x}+\left(-2x-4\right)·e^{2x}·2$

= $-2e^{2x}+\left(-2x-4\right)·2e^{2x}$

= $-2e^{2x}+2\left(-2x-4\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(-2-4x-8\right)$

= $e^{2x}·\left(-4x-10\right)$

= $\left(-4x-10\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x-2}·\left(-2+0\right)$

= $\frac{1}{-2x-2}·\left(-2\right)$

= $-\frac{2}{-2x-2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-5\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{3x}+\left(x-5\right)·e^{3x}·3$

= $e^{3x}+\left(x-5\right)·3e^{3x}$

= $e^{3x}+3\left(x-5\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(1+3x-15\right)$

= $e^{3x}·\left(3x-14\right)$

= $\left(3x-14\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+90\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+1$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+2\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,4}x}+2\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{0,8}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(2-\mathrm{0,8}x-\mathrm{2,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,8}x-\mathrm{0,4}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,8}x-\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$