$\text{f(x)}=$ $-5-3e^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{\frac{1}{3}x}·\frac{1}{3}$

= $-e^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{2}\cdot \cos \left(x\right)-\frac{7}{3}{x}^5-3e^{-3x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{2}\cdot \sin \left(x\right)-\frac{35}{3}{x}^4-3e^{-3x-2}·\left(-3\right)$

= $\frac{7}{2}\cdot \sin \left(x\right)-\frac{35}{3}{x}^4+9e^{-3x-2}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x^3+3}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x^3+3}·\left(-6x^2\right)$

= $-6·e^{-2x^3+3}{x}^2$

= $-6x^2{e}^{-2x^3+3}$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{3x}·3$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-3x}+x^5·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $5x^4·e^{-3x}+x^5·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $5x^4·e^{-3x}-3x^5·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(5x^4-3x^5\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{78}·e^{\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,018}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-9x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-9$

= $-2e^{-\mathrm{0,3}x}-2\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-9$

= $-2e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,6}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-9$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{1,8}-2\right)-9$

= $-9+\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{1,8}-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $-9+\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{3,8}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$