$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{2}{3}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^x+x^3·e^x$

= $3x^2·e^x+x^3·e^x$

= $e^x·\left(x^3+3x^2\right)$

= $\left(x^3+3x^2\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{2x^3-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{2x^3-3}·6x^2$

= $-18·e^{2x^3-3}{x}^2$

= $-18x^2{e}^{2x^3-3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x^2-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x^2-5}·\left(4x+0\right)$

= $\frac{1}{2x^2-5}·\left(4x\right)$

= $4\frac{x}{2x^2-5}$

$\text{f(x)}=$ $-\sqrt{-x^3-3}$

= $-{\left(-x^3-3\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{\left(-x^3-3\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-3x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2\sqrt{-x^3-3}}·\left(-3x^2+0\right)$

= $-\frac{1}{2\sqrt{-x^3-3}}·\left(-3x^2\right)$

= $\frac{3}{2}\frac{x^2}{\sqrt{-x^3-3}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $4e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{4,2}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $-\mathrm{4,2}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{4,41}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{4,41}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{4,6305}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{4,6305}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{4,862}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 79-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 79 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{79}$

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{79}·4e^{-\mathrm{1,05}x}$

≈ $-\mathrm{188,805}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+6$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-4+2x+8\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2x+4\right)$

= $\left(2x+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$