Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x - 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 1} + x^{5} \cdot e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 1} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 1})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 1} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x - 1}$

= $e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 3 x^{3} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 3 x^{3} + 2 x)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 3 x^{3} + 2 x) + e^{2 x} \cdot (- 9 x^{2} + 2)$

= $2 \cdot e^{2 x} (- 3 x^{3} + 2 x) + e^{2 x} (- 9 x^{2} + 2)$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{3} + 4 x - 9 x^{2} + 2)$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{3} - 9 x^{2} + 4 x + 2)$

= $(- 6 x^{3} - 9 x^{2} + 4 x + 2) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x + 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 5} + x^{5} \cdot e^{- 5 x + 5} \cdot (- 5)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 5} + x^{5} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 5})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 5} - 5 x^{5} \cdot e^{- 5 x + 5}$

= $e^{- 5 x + 5} \cdot (- 5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 5 x + 5}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 90)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 6$

= $e^{- 0,4 x} + (x + 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 6$

= $e^{- 0,4 x} - 0,4 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 6$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1 - 0,4 x - 2,4) + 6$

= $6 + (- 0,4 x + 1 - 2,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $6 + (- 0,4 x - 1,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten