Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{11}{9} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{11}{9} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{11}{9} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{2} + x) \cdot e^{3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{2} + x) \cdot e^{3 x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 4 x + 1) \cdot e^{3 x - 3} + (- 2 x^{2} + x) \cdot e^{3 x - 3} \cdot 3$

= $(- 4 x + 1) \cdot e^{3 x - 3} + (- 2 x^{2} + x) \cdot 3 e^{3 x - 3}$

= $(- 4 x + 1) \cdot e^{3 x - 3} + 3 (- 2 x^{2} + x) \cdot e^{3 x - 3}$

= $e^{3 x - 3} \cdot (- 6 x^{2} + 3 x - 4 x + 1)$

= $e^{3 x - 3} \cdot (- 6 x^{2} - x + 1)$

= $(- 6 x^{2} - x + 1) \cdot e^{3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} - 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} - 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} - 4 x^{2}} \cdot (3 x^{2} - 8 x)$

= $\frac{3 x^{2} - 8 x}{x^{3} - 4 x^{2}}$

= $\frac{1 \cdot (3 x - 8)}{x \cdot (x - 4)}$

= $\frac{3 x - 8}{x \cdot (x - 4)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} + 6) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} + 6) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{2} + 6) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} - 12 + 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x - 12)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x - 12) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- x}$

f'(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f'''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $- 4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 3$

= $4 e^{- 0,8 x} + 4 (x + 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 3$

= $4 e^{- 0,8 x} - 3,2 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 3$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (4 - 3,2 x - 16) + 3$

= $3 + (- 3,2 x + 4 - 16) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $3 + (- 3,2 x - 12) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten