Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{3}{5} e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{3}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{5} e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{9}{25} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x - 3) \cdot e^{3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x - 3) \cdot e^{3 x - 1}$

$f'(x) =$ $(5 + 0) \cdot e^{3 x - 1} + (5 x - 3) \cdot e^{3 x - 1} \cdot 3$

= $5 e^{3 x - 1} + (5 x - 3) \cdot 3 e^{3 x - 1}$

= $5 e^{3 x - 1} + 3 (5 x - 3) \cdot e^{3 x - 1}$

= $e^{3 x - 1} \cdot (5 + 15 x - 9)$

= $e^{3 x - 1} \cdot (15 x - 4)$

= $(15 x - 4) \cdot e^{3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot (- e^{- x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x} - x^{5} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${1,15}^{50} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $1083,657 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 6$

= $e^{- 0,8 x} + (x - 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 6$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 6$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x + 4,8) + 6$

= $6 + (- 0,8 x + 1 + 4,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $6 + (- 0,8 x + 5,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten