$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{\frac{6}{7}x}·\frac{6}{7}$

= $\frac{3}{14}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-x+2}-3x^3$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-x+2}·\left(-1\right)-9x^2$

= $2e^{-x+2}-9x^2$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{3x}+x^2·e^{3x}·3$

= $2x·e^{3x}+x^2·3e^{3x}$

= $2x·e^{3x}+3x^2·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^2+2x\right)$

= $\left(3x^2+2x\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{x}·1$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(2x-5\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-12{\left(2x-5\right)}^3·\left(2+0\right)$

= $-12{\left(2x-5\right)}^3·\left(2\right)$

= $-24{\left(2x-5\right)}^3$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^x$

f'(x) = $5e^x$

f''(x) = $5e^x$

f'''(x) = $5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $5e^x$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-8$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,9}x}-2\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{1,8}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-2+\mathrm{1,8}x+\mathrm{12,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{1,8}x+\mathrm{10,6}\right)$

= $\left(\mathrm{1,8}x+\mathrm{10,6}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$