$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4}{e}^{3x}·3$

= $\frac{9}{4}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^4-x\right)·e^{2x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(20x^3-1\right)·e^{2x-3}+\left(5x^4-x\right)·e^{2x-3}·2$

= $\left(20x^3-1\right)·e^{2x-3}+\left(5x^4-x\right)·2e^{2x-3}$

= $\left(20x^3-1\right)·e^{2x-3}+2\left(5x^4-x\right)·e^{2x-3}$

= $e^{2x-3}·\left(10x^4-2x+20x^3-1\right)$

= $e^{2x-3}·\left(10x^4+20x^3-2x-1\right)$

= $\left(10x^4+20x^3-2x-1\right)·e^{2x-3}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-x-4}·\left(-1\right)$

= $2e^{-x-4}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{4x}·4$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^2-4\right)·\cos \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(6x+0\right)·\cos \left(3x\right)+\left(3x^2-4\right)·(-\sin \left(3x\right)·3)$

= $6x·\cos \left(3x\right)+\left(3x^2-4\right)·\left(-3\cdot \sin \left(3x\right)\right)$

= $6x·\cos \left(3x\right)-3\left(3x^2-4\right)·\sin \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^x$

f'(x) = $4e^x$

f''(x) = $4e^x$

f'''(x) = $4e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $4e^x$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)-5$

= $-e^{-\mathrm{0,1}x}-\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)-5$

= $-e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,1}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-1+\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,4}\right)-5$

= $-5+\left(\mathrm{0,1}x-1+\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $-5+\left(\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$