$\text{f(x)}=$ $3e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-9e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^4+4\right)·e^{2x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-8x^3+0\right)·e^{2x-5}+\left(-2x^4+4\right)·e^{2x-5}·2$

= $-8x^3·e^{2x-5}+\left(-2x^4+4\right)·2e^{2x-5}$

= $-8x^3·e^{2x-5}+2\left(-2x^4+4\right)·e^{2x-5}$

= $e^{2x-5}·\left(-4x^4+8-8x^3\right)$

= $e^{2x-5}·\left(-4x^4-8x^3+8\right)$

= $\left(-4x^4-8x^3+8\right)·e^{2x-5}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x}+x^3·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x}+x^3·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3x^2·e^{-2x}-2x^3·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-1}{4x}·4$

= $-\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+2\right)·\cos \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\cos \left(x^3\right)+\left(2x+2\right)·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

= $2\cdot \cos \left(x^3\right)+\left(2x+2\right)·\left(-3\sin \left(x^3\right)x^2\right)$

= $2\cdot \cos \left(x^3\right)-3\left(2x+2\right)\sin \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+83\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+7$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{3,2}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-4+\mathrm{3,2}x-\mathrm{19,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(\mathrm{3,2}x-\mathrm{23,2}\right)$

= $\left(\mathrm{3,2}x-\mathrm{23,2}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$