Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{5}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{5}{3} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{5}{3} x} \cdot \frac{5}{3}$

= $\frac{10}{3} e^{\frac{5}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x - 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{3 x - 5} + x^{3} \cdot e^{3 x - 5} \cdot 3$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x - 5} + x^{3} \cdot 3 e^{3 x - 5}$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x - 5} + 3 x^{3} \cdot e^{3 x - 5}$

= $e^{3 x - 5} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{2} - 5} \cdot (- 6 x)$

= $18 \cdot e^{- 3 x^{2} - 5} x$

= $18 x e^{- 3 x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{3 x} + \sqrt{x} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 e^{3 x}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $- 5 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $5,25 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $5,25 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 5,5125 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $- 5,5125 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $5,7881 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5,7881 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 6,0775 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${(- 1,05)}^{63} \cdot (- 5 e^{- 1,05 x})$

≈ $108,117 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 8$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 4 e^{- 0,6 x} - 4 (x + 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 4 e^{- 0,6 x} + 2,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 4 + 2,4 x + 4,8)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2,4 x + 0,8)$

= $(2,4 x + 0,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten