Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{4} e^{\frac{5}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{4} e^{\frac{5}{4} x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{4} e^{\frac{5}{4} x} \cdot \frac{5}{4}$

= $\frac{35}{16} e^{\frac{5}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 2) \cdot e^{- 5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} + 2) \cdot e^{- 5 x + 1}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{- 5 x + 1} + (3 x^{2} + 2) \cdot e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5)$

= $6 x \cdot e^{- 5 x + 1} + (3 x^{2} + 2) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 1})$

= $6 x \cdot e^{- 5 x + 1} - 5 (3 x^{2} + 2) \cdot e^{- 5 x + 1}$

= $e^{- 5 x + 1} \cdot (- 15 x^{2} - 10 + 6 x)$

= $e^{- 5 x + 1} \cdot (- 15 x^{2} + 6 x - 10)$

= $(- 15 x^{2} + 6 x - 10) \cdot e^{- 5 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x - 1}$

$f'(x) =$ $- e^{- x - 1} \cdot (- 1)$

= $e^{- x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x + 2} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x + 2} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 1) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 1) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x + 1) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x} + (2 x + 1) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 e^{- 2 x} - 2 (2 x + 1) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 - 4 x - 2)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x + 0)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x)$

= $x \cdot (- 4 e^{- 2 x})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 32-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $3,45 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $3,45 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 3,9675 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $- 3,9675 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $4,5626 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,5626 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 5,247 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 32-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 32 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{32}$

Somit gilt für die 32-te Ableitung:

f⁽³²⁾(x) = ${(- 1,15)}^{32} \cdot (- 3 e^{- 1,15 x})$

≈ $- 262,695 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 1$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $4 e^{- 0,6 x} + 4 (x - 7) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $4 e^{- 0,6 x} - 2,4 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (4 - 2,4 x + 16,8)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 2,4 x + 20,8)$

= $(- 2,4 x + 20,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten