Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (x) - e^{- 2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (x) - e^{- 2 x + 5}$

$f'(x) =$ $3 \cdot \sin (x) - e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2)$

= $3 \cdot \sin (x) + 2 e^{- 2 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x - 1}$

$f'(x) =$ $(20 x^{3} + 6 x) \cdot e^{2 x - 1} + (5 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x - 1} \cdot 2$

= $(20 x^{3} + 6 x) \cdot e^{2 x - 1} + (5 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot 2 e^{2 x - 1}$

= $(20 x^{3} + 6 x) \cdot e^{2 x - 1} + 2 (5 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x - 1}$

= $e^{2 x - 1} \cdot (10 x^{4} + 6 x^{2} + (20 x^{3} + 6 x))$

= $e^{2 x - 1} \cdot (10 x^{4} + 20 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x)$

= $(10 x^{4} + 20 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x) \cdot e^{2 x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot e^{- 2 x}$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot e^{- 2 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot e^{- 2 x} + x^{\frac{1}{4}} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot e^{- 2 x} + \sqrt[4]{x} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{4} \frac{e^{- 2 x}}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $\frac{1}{4} \frac{e^{- 2 x}}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} - 2 \sqrt[4]{x} \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 85)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 2$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 2 (x - 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 2$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 1,4 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 2$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2 + 1,4 x - 4,2) - 2$

= $- 2 + (1,4 x - 2 - 4,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 2 + (1,4 x - 6,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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