$\text{f(x)}=$ $-1-e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x+1\right)·e^{2x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-4+0\right)·e^{2x-5}+\left(-4x+1\right)·e^{2x-5}·2$

= $-4e^{2x-5}+\left(-4x+1\right)·2e^{2x-5}$

= $-4e^{2x-5}+2\left(-4x+1\right)·e^{2x-5}$

= $e^{2x-5}·\left(-4-8x+2\right)$

= $e^{2x-5}·\left(-8x-2\right)$

= $\left(-8x-2\right)·e^{2x-5}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-2x}+x^2·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+x^2·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2x^2·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-8\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-8}{6x}·6$

= $-\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-6\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-2x}+\left(x-6\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $e^{-2x}+\left(x-6\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $e^{-2x}-2\left(x-6\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(1-2x+12\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x+13\right)$

= $\left(-2x+13\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+78\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+9$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,3}x}-3\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,9}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-3+\mathrm{0,9}x+\mathrm{4,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,9}x+\mathrm{1,5}\right)$

= $\left(\mathrm{0,9}x+\mathrm{1,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$