$\text{f(x)}=$ $-1+e^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{\frac{5}{7}x}·\frac{5}{7}$

= $\frac{5}{7}{e}^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x+1\right)·e^{-3x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-5+0\right)·e^{-3x-3}+\left(-5x+1\right)·e^{-3x-3}·\left(-3\right)$

= $-5e^{-3x-3}+\left(-5x+1\right)·\left(-3e^{-3x-3}\right)$

= $-5e^{-3x-3}-3\left(-5x+1\right)·e^{-3x-3}$

= $e^{-3x-3}·\left(-5+15x-3\right)$

= $e^{-3x-3}·\left(15x-8\right)$

= $\left(15x-8\right)·e^{-3x-3}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{3x}+x^5·e^{3x}·3$

= $5x^4·e^{3x}+x^5·3e^{3x}$

= $5x^4·e^{3x}+3x^5·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^5+5x^4\right)$

= $\left(3x^5+5x^4\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x^2+5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x^2+5x}·\left(-6x+5\right)$

= $\frac{-6x+5}{-3x^2+5x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-2\right)·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(-2x\right)+\left(2x-2\right)·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $2\cdot \sin \left(-2x\right)+\left(2x-2\right)·\left(-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right)$

= $2\cdot \sin \left(-2x\right)-2\left(2x-2\right)·\cos \left(-2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^x$

f'(x) = $-5e^x$

f''(x) = $-5e^x$

f'''(x) = $-5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $-5e^x$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+8x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+8$

= $-2e^{-\mathrm{0,3}x}-2\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)+8$

= $-2e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,6}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+8$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-2+\mathrm{0,6}x+\mathrm{1,2}\right)+8$

= $8+\left(\mathrm{0,6}x-2+\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $8+\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$