Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{6}{5} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 5 x + 2}$

$f'(x) =$ $(2 x - 4) \cdot e^{- 5 x + 2} + (x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 5 x + 2} \cdot (- 5)$

= $(2 x - 4) \cdot e^{- 5 x + 2} + (x^{2} - 4 x) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 2})$

= $(2 x - 4) \cdot e^{- 5 x + 2} - 5 (x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 5 x + 2}$

= $e^{- 5 x + 2} \cdot (- 5 x^{2} + 20 x + 2 x - 4)$

= $e^{- 5 x + 2} \cdot (- 5 x^{2} + 22 x - 4)$

= $(- 5 x^{2} + 22 x - 4) \cdot e^{- 5 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{x^{2} + 4} \cdot 2 x$

= $6 \cdot e^{x^{2} + 4} x$

= $6 x e^{x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} + 4 x} \cdot (- 3 x^{2} + 4)$

= $\frac{- 3 x^{2} + 4}{- x^{3} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x + 5) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $e^{- 2 x} + (x + 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $e^{- 2 x} - 2 (x + 5) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (1 - 2 x - 10)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x - 9)$

= $(- 2 x - 9) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{0,9 x}$

f'(x) = $5 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $4,5 e^{0,9 x}$

f''(x) = $4,5 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $4,05 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $4,05 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $3,645 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,645 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $3,2805 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${0,9}^{50} \cdot 5 e^{0,9 x}$

≈ $0,026 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 2$

= $e^{- 0,8 x} + (x + 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 2$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 2$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x - 3,2) + 2$

= $2 + (- 0,8 x + 1 - 3,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $2 + (- 0,8 x - 2,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten