Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{11}{9} e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{11}{9} e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $\frac{11}{9} e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $\frac{55}{63} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} (x^{3} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} (x^{3} - 4)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (x^{3} - 4) + e^{- x} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $- e^{- x} (x^{3} - 4) + e^{- x} \cdot (3 x^{2})$

= $- e^{- x} (x^{3} - 4) + 3 \cdot e^{- x} x^{2}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{3} + 4 + 3 x^{2})$

= $e^{- x} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2} + 4)$

= $(- x^{3} + 3 x^{2} + 4) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x^{2} - 5} \cdot 4 x$

= $- 8 \cdot e^{2 x^{2} - 5} x$

= $- 8 x e^{2 x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{4 x - 1}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{4 x - 1}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{4 x - 1} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{4 x - 1} \cdot 4$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{4 x - 1} + \sqrt{x} \cdot e^{4 x - 1} \cdot 4$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 4 e^{4 x - 1}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{x}} + 4 \sqrt{x} \cdot e^{4 x - 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 76-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 76 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{76}$

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = ${0,95}^{76} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,02 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} - x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 1$

= $3 e^{- 0,7 x} + 3 (x - 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 1$

= $3 e^{- 0,7 x} - 2,1 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 1$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3 - 2,1 x + 10,5) - 1$

= $- 1 + (- 2,1 x + 3 + 10,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 1 + (- 2,1 x + 13,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten