$\text{f(x)}=$ $-e^x$

$\text{f'(x)}=$ $-e^x$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^2+e^{-2x}·2x$

= $-2·e^{-2x}{x}^2+2·e^{-2x}x$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x^3+2}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x^3+2}·\left(-3x^2\right)$

= $-3·e^{-x^3+2}{x}^2$

= $-3x^2{e}^{-x^3+2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x-2}·\left(-2+0\right)$

= $\frac{1}{-2x-2}·\left(-2\right)$

= $-\frac{2}{-2x-2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-9\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-2x}+\left(3x-9\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3e^{-2x}+\left(3x-9\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3e^{-2x}-2\left(3x-9\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(3-6x+18\right)$

= $e^{-2x}·\left(-6x+21\right)$

= $\left(-6x+21\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^{\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $-3e^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $-\mathrm{3,15}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $-\mathrm{3,15}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $-\mathrm{3,3075}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{3,3075}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $-\mathrm{3,4729}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{3,4729}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $-\mathrm{3,6465}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 66-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 66 mal mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,05}}^{66}$

Somit gilt für die 66-te Ableitung:

f⁽⁶⁶⁾(x) = ${\mathrm{1,05}}^{66}·\left(-3e^{\mathrm{1,05}x}\right)$

≈ $-\mathrm{75,096}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,9}x}-4\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{3,6}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-4+\mathrm{3,6}x+\mathrm{7,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{3,6}x+\mathrm{3,2}\right)$

= $\left(\mathrm{3,6}x+\mathrm{3,2}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$