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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{3}{5} e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{3}{5} e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{5} e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $\frac{3}{10} e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{5} - 3 e^{- 3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{5} - 3 e^{- 3 x + 1}$

$f'(x) =$ $- 10 x^{4} - 3 e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $- 10 x^{4} + 9 e^{- 3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} - 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} - 3} \cdot (- 4 x)$

= $- 8 \cdot e^{- 2 x^{2} - 3} x$

= $- 8 x e^{- 2 x^{2} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 4) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 4) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (x - 4) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $\sin (- 2 x) + (x - 4) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $\sin (- 2 x) - 2 (x - 4) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 87)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} - x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 1$

= $5 e^{- 0,1 x} + 5 (x - 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 1$

= $5 e^{- 0,1 x} - 0,5 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 1$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (5 - 0,5 x + 2,5) - 1$

= $- 1 + (- 0,5 x + 5 + 2,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 1 + (- 0,5 x + 7,5) \cdot e^{- 0,1 x}$