$\text{f(x)}=$ $-2e^{\frac{7}{6}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{\frac{7}{6}x}·\frac{7}{6}$

= $-\frac{7}{3}{e}^{\frac{7}{6}x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{2x+2}-\sqrt[3]{x}$

= $-e^{2x+2}-x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $-e^{2x+2}·2-\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{2x+2}·2-\frac{1}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

= $-2e^{2x+2}-\frac{1}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x-3}·\left(-3\right)$

= $-3e^{-3x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x^2-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x^2-4}·\left(6x+0\right)$

= $\frac{1}{3x^2-4}·\left(6x\right)$

= $6\frac{x}{3x^2-4}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{-3x}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{-3x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{-3x}+x^{\frac{1}{2}}·e^{-3x}·\left(-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{-3x}+\sqrt{x}·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-3x}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-3x}}{\sqrt{x}}-3\sqrt{x}·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $-3e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{2,55}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{2,55}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{2,1675}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{2,1675}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{1,8424}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,8424}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{1,566}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{43}·\left(-3e^{-\mathrm{0,85}x}\right)$

≈ $\mathrm{0,003}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+5\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}+5\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{1,5}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(5-\mathrm{1,5}x+\mathrm{10,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{1,5}x+\mathrm{15,5}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,5}x+\mathrm{15,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$