Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{8}{9} e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{8}{9} e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{9} e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $\frac{8}{27} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{2} + e^{- 3 x} \cdot 2 x$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{2} + 2 \cdot e^{- 3 x} x$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (3 x^{5} - x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (3 x^{5} - x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (3 x^{5} - x^{2}) + e^{x} \cdot (15 x^{4} - 2 x)$

= $e^{x} \cdot (3 x^{5} - x^{2} + (15 x^{4} - 2 x))$

= $e^{x} \cdot (3 x^{5} + 15 x^{4} - x^{2} - 2 x)$

= $(3 x^{5} + 15 x^{4} - x^{2} - 2 x) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x + 1} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x + 1} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (3 x) + (3 x + 1) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $3 \cdot \sin (3 x) + (3 x + 1) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $3 \cdot \sin (3 x) + 3 (3 x + 1) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 72-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $2 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 2,1 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 2,1 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $2,205 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $2,205 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 2,3153 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,3153 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $2,431 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 72-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 72 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{72}$

Somit gilt für die 72-te Ableitung:

f⁽⁷²⁾(x) = ${(- 1,05)}^{72} \cdot 2 e^{- 1,05 x}$

≈ $67,09 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 1$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 4 (x - 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 3,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 + 3,2 x - 22,4)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3,2 x - 26,4)$

= $(3,2 x - 26,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten