$\text{f(x)}=$ $2e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{3x}·3$

= $6e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-3x+1}-3x^4$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-3x+1}·\left(-3\right)-12x^3$

= $9e^{-3x+1}-12x^3$

$\text{f(x)}=$ $3e^{x^3-4}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{x^3-4}·3x^2$

= $9·e^{x^3-4}{x}^2$

= $9x^2{e}^{x^3-4}$

$\text{f(x)}=$ $3\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{6x}·6$

= $\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \cos \left(-x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(-x-2\right)·\left(-1+0\right)$

= $-3\cdot \sin \left(-x-2\right)·\left(-1\right)$

= $3\cdot \sin \left(-x-2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $4e^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{3,6}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $\mathrm{3,6}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{3,24}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{3,24}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{2,916}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,916}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{2,6244}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,9}}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${\mathrm{0,9}}^{61}·4e^{\mathrm{0,9}x}$

≈ $\mathrm{0,006}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+4x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-4\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+4$

= $-4e^{-\mathrm{0,4}x}-4\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+4$

= $-4e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{1,6}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+4$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-4+\mathrm{1,6}x+\mathrm{1,6}\right)+4$

= $4+\left(\mathrm{1,6}x-4+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $4+\left(\mathrm{1,6}x-\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$