Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{7}{8} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{7}{8} e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{8} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{7}{8} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 2 e^{3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 2 e^{3 x - 3}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{3 x - 3} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{2} + e^{- 2 x} \cdot 2 x$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{2} + 2 \cdot e^{- 2 x} x$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x - 2 x^{2})$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} + 5} \cdot (- 2 x + 0)$

= $\frac{1}{- x^{2} + 5} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \frac{x}{- x^{2} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (2 x + 3 x^{2})$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 79-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 79 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{79}$

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = ${1,05}^{79} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $47,201 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 1$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $e^{- 0,1 x} + (x - 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $e^{- 0,1 x} - 0,1 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1 x + 0,6 + 1)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1 x + 1,6)$

= $(- 0,1 x + 1,6) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten