Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{5} e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{12}{25} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{3} - 4 x) \cdot e^{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{3} - 4 x) \cdot e^{3 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 9 x^{2} - 4) \cdot e^{3 x + 2} + (- 3 x^{3} - 4 x) \cdot e^{3 x + 2} \cdot 3$

= $(- 9 x^{2} - 4) \cdot e^{3 x + 2} + (- 3 x^{3} - 4 x) \cdot 3 e^{3 x + 2}$

= $(- 9 x^{2} - 4) \cdot e^{3 x + 2} + 3 (- 3 x^{3} - 4 x) \cdot e^{3 x + 2}$

= $e^{3 x + 2} \cdot (- 9 x^{3} - 12 x - 9 x^{2} - 4)$

= $e^{3 x + 2} \cdot (- 9 x^{3} - 9 x^{2} - 12 x - 4)$

= $(- 9 x^{3} - 9 x^{2} - 12 x - 4) \cdot e^{3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x^{3} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x^{3} + 3}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x^{3} + 3} \cdot 3 x^{2}$

= $- 6 \cdot e^{x^{3} + 3} x^{2}$

= $- 6 x^{2} e^{x^{3} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x - 1} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{x - 1} \cdot (1)$

= $\frac{1}{x - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(- x^{3} + 3)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(- x^{3} + 3)}^{2}$

$f'(x) =$ $2 (- x^{3} + 3) \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $2 (- x^{3} + 3) \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 6 (- x^{3} + 3) x^{2}$

= $- 6 x^{2} (- x^{3} + 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 42-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 42-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 42 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{42}$

Somit gilt für die 42-te Ableitung:

f⁽⁴²⁾(x) = ${(- 1,15)}^{42} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $354,25 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3 - 2,4 x + 2,4)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2,4 x + 5,4)$

= $(- 2,4 x + 5,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten