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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{8}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{8}{7} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{8}{7} x} \cdot \frac{8}{7}$

= $\frac{8}{7} e^{\frac{8}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{3} + 4) \cdot e^{3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{3} + 4) \cdot e^{3 x - 1}$

$f'(x) =$ $(6 x^{2} + 0) \cdot e^{3 x - 1} + (2 x^{3} + 4) \cdot e^{3 x - 1} \cdot 3$

= $6 x^{2} \cdot e^{3 x - 1} + (2 x^{3} + 4) \cdot 3 e^{3 x - 1}$

= $6 x^{2} \cdot e^{3 x - 1} + 3 (2 x^{3} + 4) \cdot e^{3 x - 1}$

= $e^{3 x - 1} \cdot (6 x^{3} + 12 + 6 x^{2})$

= $e^{3 x - 1} \cdot (6 x^{3} + 6 x^{2} + 12)$

= $(6 x^{3} + 6 x^{2} + 12) \cdot e^{3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x^{3} - 4}$

$f'(x) =$ $e^{3 x^{3} - 4} \cdot 9 x^{2}$

= $9 \cdot e^{3 x^{3} - 4} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{3 x^{3} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x + 5} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{x + 5} \cdot (1)$

= $\frac{1}{x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 4) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 4) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 4) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 4) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} + 4) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 12 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x - 12)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x - 12) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{x}$

f'(x) = $4 e^{x}$

f''(x) = $4 e^{x}$

f'''(x) = $4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $3 e^{- 0,7 x} + 3 (x - 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $3 e^{- 0,7 x} - 2,1 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3 - 2,1 x + 14,7)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2,1 x + 17,7)$

= $(- 2,1 x + 17,7) \cdot e^{- 0,7 x}$