$\text{f(x)}=$ $3+e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{3x}·3$

= $3e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^2+x\right)·e^{-x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-10x+1\right)·e^{-x+4}+\left(-5x^2+x\right)·e^{-x+4}·\left(-1\right)$

= $\left(-10x+1\right)·e^{-x+4}+\left(-5x^2+x\right)·\left(-e^{-x+4}\right)$

= $\left(-10x+1\right)·e^{-x+4}-\left(-5x^2+x\right)·e^{-x+4}$

= $e^{-x+4}·\left(5x^2-x-10x+1\right)$

= $e^{-x+4}·\left(5x^2-11x+1\right)$

= $\left(5x^2-11x+1\right)·e^{-x+4}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{x^2-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{x^2-4}·2x$

= $-6·e^{x^2-4}x$

= $-6x{e}^{x^2-4}$

$\text{f(x)}=$ $-8\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-8}{x}·1$

= $-\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{3x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{3x-1}+x^3·e^{3x-1}·3$

= $3x^2·e^{3x-1}+x^3·3e^{3x-1}$

= $3x^2·e^{3x-1}+3x^3·e^{3x-1}$

= $e^{3x-1}·\left(3x^3+3x^2\right)$

= $\left(3x^3+3x^2\right)·e^{3x-1}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $e^x·\left(x+90\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-3\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,4}x}-3\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{1,2}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-3+\mathrm{1,2}x-\mathrm{3,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{6,6}\right)$

= $\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{6,6}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$