$\text{f(x)}=$ $-2-3e^{\frac{9}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{\frac{9}{8}x}·\frac{9}{8}$

= $-\frac{27}{8}{e}^{\frac{9}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}{x}^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·x^5+e^{-3x}·5x^4$

= $-3·e^{-3x}{x}^5+5·e^{-3x}{x}^4$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^4+e^{-2x}·4x^3$

= $-2·e^{-2x}{x}^4+4·e^{-2x}{x}^3$

= $e^{-2x}·\left(-2x^4+4x^3\right)$

= $\left(-2x^4+4x^3\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $7\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{2x}·2$

= $\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(\cos \left(x\right)-2\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(\cos \left(x\right)-2\right)·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $2\left(\cos \left(x\right)-2\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-2\left(\cos \left(x\right)-2\right)·\sin \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,5209}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,5209}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,749}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 39-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 39 mal mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,15}}^{39}$

Somit gilt für die 39-te Ableitung:

f⁽³⁹⁾(x) = ${\mathrm{1,15}}^{39}·e^{\mathrm{1,15}x}$

≈ $\mathrm{232,925}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+1$

= $-2e^{-\mathrm{0,3}x}-2\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)+1$

= $-2e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,6}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+1$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-2+\mathrm{0,6}x-\mathrm{1,8}\right)+1$

= $1+\left(\mathrm{0,6}x-2-\mathrm{1,8}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $1+\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{3,8}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$