$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{8}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{8}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{7}{8}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^5+4x\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(25x^4+4\right)·e^{-x}+\left(5x^5+4x\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $\left(25x^4+4\right)·e^{-x}+\left(5x^5+4x\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $\left(25x^4+4\right)·e^{-x}-\left(5x^5+4x\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-5x^5-4x+25x^4+4\right)$

= $e^{-x}·\left(-5x^5+25x^4-4x+4\right)$

= $\left(-5x^5+25x^4-4x+4\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-3x}+x^5·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $5x^4·e^{-3x}+x^5·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $5x^4·e^{-3x}-3x^5·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{5x}·5$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-5\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{3x}+\left(3x-5\right)·e^{3x}·3$

= $3e^{3x}+\left(3x-5\right)·3e^{3x}$

= $3e^{3x}+3\left(3x-5\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3+9x-15\right)$

= $e^{3x}·\left(9x-12\right)$

= $\left(9x-12\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $-2e^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{2,2}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{2,2}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{2,42}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{2,42}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{2,662}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{2,662}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{2,9282}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,1}}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${\mathrm{1,1}}^{46}·\left(-2e^{\mathrm{1,1}x}\right)$

≈ $-\mathrm{160,359}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-5$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}+\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-5$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,2}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(1-\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}\right)-5$

= $-5+\left(-\mathrm{0,2}x+1-\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $-5+\left(-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$