$\text{f(x)}=$ $-3e^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{\frac{7}{8}x}·\frac{7}{8}$

= $-\frac{21}{8}{e}^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·x^4+e^{-x}·4x^3$

= $-e^{-x}{x}^4+4·e^{-x}{x}^3$

= $e^{-x}·\left(-x^4+4x^3\right)$

= $\left(-x^4+4x^3\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{2x^2-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{2x^2-3}·4x$

= $-12·e^{2x^2-3}x$

= $-12x{e}^{2x^2-3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-4x^3+5x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-4x^3+5x^2}·\left(-12x^2+10x\right)$

= $\frac{-12x^2+10x}{-4x^3+5x^2}$

= $\frac{-2·1·\left(6x-5\right)}{-x·\left(4x-5\right)}$

= $\frac{-2\left(6x-5\right)}{-x·\left(4x-5\right)}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(-3x-5\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-8{\left(-3x-5\right)}^3·\left(-3+0\right)$

= $-8{\left(-3x-5\right)}^3·\left(-3\right)$

= $24{\left(-3x-5\right)}^3$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+78\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,4}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(2-\mathrm{0,4}x+\mathrm{2,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{4,4}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{4,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$