Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{3}{4} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{3}{4} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{4} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 2) \cdot e^{- 5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 2) \cdot e^{- 5 x - 3}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 5 x - 3} + (3 x - 2) \cdot e^{- 5 x - 3} \cdot (- 5)$

= $3 e^{- 5 x - 3} + (3 x - 2) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 3})$

= $3 e^{- 5 x - 3} - 5 (3 x - 2) \cdot e^{- 5 x - 3}$

= $e^{- 5 x - 3} \cdot (3 - 15 x + 10)$

= $e^{- 5 x - 3} \cdot (- 15 x + 13)$

= $(- 15 x + 13) \cdot e^{- 5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 3) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 3) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{2} - 3) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $6 x \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{2} - 3) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $6 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (3 x^{2} - 3) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{2} + 6 + 6 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{2} + 6 x + 6)$

= $(- 6 x^{2} + 6 x + 6) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (2 x)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (2 x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (2 x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot (- \sin (2 x) \cdot 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \cos (2 x) + \sqrt{x} \cdot (- \sin (2 x) \cdot 2)$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (2 x)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (2 x)}{\sqrt{x}} - 2 \sqrt{x} \cdot \sin (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 54-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $3,3 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $3,3 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 3,63 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $- 3,63 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $3,993 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,993 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 4,3923 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 54-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 54 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{54}$

Somit gilt für die 54-te Ableitung:

f⁽⁵⁴⁾(x) = ${(- 1,1)}^{54} \cdot (- 3 e^{- 1,1 x})$

≈ $- 515,616 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} + 2$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 5 e^{- 0,9 x} - 5 (x + 3) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 5 e^{- 0,9 x} + 4,5 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 5 + 4,5 x + 13,5)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4,5 x + 8,5)$

= $(4,5 x + 8,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten