$\text{f(x)}=$ $-1+\frac{3}{4}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{4}{e}^{2x}·2$

= $\frac{3}{2}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^2+x\right)·e^{-2x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(10x+1\right)·e^{-2x+2}+\left(5x^2+x\right)·e^{-2x+2}·\left(-2\right)$

= $\left(10x+1\right)·e^{-2x+2}+\left(5x^2+x\right)·\left(-2e^{-2x+2}\right)$

= $\left(10x+1\right)·e^{-2x+2}-2\left(5x^2+x\right)·e^{-2x+2}$

= $e^{-2x+2}·\left(-10x^2-2x+10x+1\right)$

= $e^{-2x+2}·\left(-10x^2+8x+1\right)$

= $\left(-10x^2+8x+1\right)·e^{-2x+2}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-x^3-3}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-x^3-3}·\left(-3x^2\right)$

= $-6·e^{-x^3-3}{x}^2$

= $-6x^2{e}^{-x^3-3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(x^3-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x^3-2}·\left(3x^2+0\right)$

= $\frac{1}{x^3-2}·\left(3x^2\right)$

= $3\frac{x^2}{x^3-2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+7\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(2x+7\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2\cdot \sin \left(x^3\right)+\left(2x+7\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2\cdot \sin \left(x^3\right)+3\left(2x+7\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{60}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,046}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+6$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,6}x}-\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{0,6}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-1+\mathrm{0,6}x+3\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{0,6}x+2\right)$

= $\left(\mathrm{0,6}x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$