Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{3} - 5 x) \cdot e^{5 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{3} - 5 x) \cdot e^{5 x + 5}$

$f'(x) =$ $(- 9 x^{2} - 5) \cdot e^{5 x + 5} + (- 3 x^{3} - 5 x) \cdot e^{5 x + 5} \cdot 5$

= $(- 9 x^{2} - 5) \cdot e^{5 x + 5} + (- 3 x^{3} - 5 x) \cdot 5 e^{5 x + 5}$

= $(- 9 x^{2} - 5) \cdot e^{5 x + 5} + 5 (- 3 x^{3} - 5 x) \cdot e^{5 x + 5}$

= $e^{5 x + 5} \cdot (- 15 x^{3} - 25 x - 9 x^{2} - 5)$

= $e^{5 x + 5} \cdot (- 15 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x - 5)$

= $(- 15 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x - 5) \cdot e^{5 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 4 x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 4 x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 9 x^{2} + 4) \cdot e^{2 x} + (- 3 x^{3} + 4 x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(- 9 x^{2} + 4) \cdot e^{2 x} + (- 3 x^{3} + 4 x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(- 9 x^{2} + 4) \cdot e^{2 x} + 2 (- 3 x^{3} + 4 x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{3} + 8 x - 9 x^{2} + 4)$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{3} - 9 x^{2} + 8 x + 4)$

= $(- 6 x^{3} - 9 x^{2} + 8 x + 4) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(e^{- x} - 2)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(e^{- x} - 2)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 4 (e^{- x} - 2) \cdot (e^{- x} \cdot (- 1) + 0)$

= $- 4 (e^{- x} - 2) \cdot (- e^{- x})$

= $4 (e^{- x} - 2) \cdot e^{- x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${(- 1,1)}^{64} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $445,792 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 9$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 5 e^{- 0,9 x} - 5 (x - 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 5 e^{- 0,9 x} + 4,5 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 5 + 4,5 x - 18)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4,5 x - 23)$

= $(4,5 x - 23) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten