Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{8} e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $\frac{7}{9} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} (2 x^{4} - 5 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} (2 x^{4} - 5 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (2 x^{4} - 5 x^{3}) + e^{x} \cdot (8 x^{3} - 15 x^{2})$

= $e^{x} \cdot (2 x^{4} - 5 x^{3} + (8 x^{3} - 15 x^{2}))$

= $e^{x} \cdot (2 x^{4} + 3 x^{3} - 15 x^{2})$

= $(2 x^{4} + 3 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (3 x^{4} + x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (3 x^{4} + x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (3 x^{4} + x^{3}) + e^{- 2 x} \cdot (12 x^{3} + 3 x^{2})$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (3 x^{4} + x^{3}) + e^{- 2 x} (12 x^{3} + 3 x^{2})$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{4} - 2 x^{3} + (12 x^{3} + 3 x^{2}))$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{4} + 10 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 6 x^{4} + 10 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} + 4 x} \cdot (12 x^{2} + 4)$

= $\frac{12 x^{2} + 4}{4 x^{3} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (- 3 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \sin (- 3 x + 5)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \cos (- 3 x + 5) \cdot (- 3 + 0)$

= $2 \cdot \cos (- 3 x + 5) \cdot (- 3)$

= $- 6 \cdot \cos (- 3 x + 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,8574 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,8145 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 77-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 77 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{77}$

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = ${(- 0,95)}^{77} \cdot e^{- 0,95 x}$

≈ $- 0,019 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 2$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 3 e^{- 0,1 x} - 3 (x - 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 0,3 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 3 + 0,3 x - 0,6)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,3 x - 3,6)$

= $(0,3 x - 3,6) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten