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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x - 2} - 2 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x - 2} - 2 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $3 e^{- x - 2} \cdot (- 1) + 2 \cdot \sin (x)$

= $- 3 e^{- x - 2} + 2 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(15 x^{2} + 6 x) \cdot e^{- 2 x} + (5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(15 x^{2} + 6 x) \cdot e^{- 2 x} + (5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(15 x^{2} + 6 x) \cdot e^{- 2 x} - 2 (5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 10 x^{3} - 6 x^{2} + (15 x^{2} + 6 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 10 x^{3} + 9 x^{2} + 6 x)$

= $(- 10 x^{3} + 9 x^{2} + 6 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 7) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 7) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 7) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 7) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} + 7) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 21 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x + 21)$

= $(3 x^{2} + 2 x + 21) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{x}$

f'(x) = $- 2 e^{x}$

f''(x) = $- 2 e^{x}$

f'''(x) = $- 2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $- 2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 3$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $3 e^{- 0,3 x} + 3 (x - 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $3 e^{- 0,3 x} - 0,9 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (3 - 0,9 x + 0,9)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,9 x + 3,9)$

= $(- 0,9 x + 3,9) \cdot e^{- 0,3 x}$