$\text{f(x)}=$ $-4-2e^{\frac{9}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{\frac{9}{8}x}·\frac{9}{8}$

= $-\frac{9}{4}{e}^{\frac{9}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{3x-1}-3\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{3x-1}·3+3\cdot \sin \left(x\right)$

= $-3e^{3x-1}+3\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^5+e^{-2x}·5x^4$

= $-2·e^{-2x}{x}^5+5·e^{-2x}{x}^4$

= $e^{-2x}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x^3+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x^3+1}·\left(-9x^2+0\right)$

= $\frac{1}{-3x^3+1}·\left(-9x^2\right)$

= $-9\frac{x^2}{-3x^3+1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+5\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{2x}+\left(2x+5\right)·e^{2x}·2$

= $2e^{2x}+\left(2x+5\right)·2e^{2x}$

= $2e^{2x}+2\left(2x+5\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2+4x+10\right)$

= $e^{2x}·\left(4x+12\right)$

= $\left(4x+12\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{1,05}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,05}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{1,1025}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,1025}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{1,1576}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,1576}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{1,2155}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 66-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 66 mal mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,05}}^{66}$

Somit gilt für die 66-te Ableitung:

f⁽⁶⁶⁾(x) = ${\mathrm{1,05}}^{66}·e^{\mathrm{1,05}x}$

≈ $\mathrm{25,032}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-3$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-3$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-3$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-4+2x-12\right)-3$

= $-3+\left(2x-4-12\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $-3+\left(2x-16\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$