Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 5}$

$f'(x) =$ $(15 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 2 x + 5} + (5 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2)$

= $(15 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 2 x + 5} + (5 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 5})$

= $(15 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 2 x + 5} - 2 (5 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 5}$

= $e^{- 2 x + 5} \cdot (- 10 x^{3} + 4 x^{2} + (15 x^{2} - 4 x))$

= $e^{- 2 x + 5} \cdot (- 10 x^{3} + 19 x^{2} - 4 x)$

= $(- 10 x^{3} + 19 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 2 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (5 x^{2} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (5 x^{2} + 2 x)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (5 x^{2} + 2 x) + e^{3 x} \cdot (10 x + 2)$

= $3 \cdot e^{3 x} (5 x^{2} + 2 x) + e^{3 x} (10 x + 2)$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{2} + 6 x + 10 x + 2)$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{2} + 16 x + 2)$

= $(15 x^{2} + 16 x + 2) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x} \cdot 1$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sin (x^{2}) + x^{3} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $3 x^{2} \cdot \sin (x^{2}) + x^{3} \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $3 x^{2} \cdot \sin (x^{2}) + 2 x^{3} \cos (x^{2}) x$

= $3 x^{2} \cdot \sin (x^{2}) + 2 x^{4} \cdot \cos (x^{2})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 42-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $2,55 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $2,55 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,1675 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $- 2,1675 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $1,8424 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,8424 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 1,566 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 42-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 42 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{42}$

Somit gilt für die 42-te Ableitung:

f⁽⁴²⁾(x) = ${(- 0,85)}^{42} \cdot (- 3 e^{- 0,85 x})$

≈ $- 0,003 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 7$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 3 e^{- 0,1 x} - 3 (x + 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 0,3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 3 + 0,3 x + 1,5)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,3 x - 1,5)$

= $(0,3 x - 1,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten