$\text{f(x)}=$ $4+\frac{1}{3}{e}^{\frac{11}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{3}{e}^{\frac{11}{8}x}·\frac{11}{8}$

= $\frac{11}{24}{e}^{\frac{11}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)+2e^{x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(x\right)+2e^{x+1}·1$

= $-3\cdot \sin \left(x\right)+2e^{x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^4-x^2\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(8x^3-2x\right)·e^{2x}+\left(2x^4-x^2\right)·e^{2x}·2$

= $\left(8x^3-2x\right)·e^{2x}+\left(2x^4-x^2\right)·2e^{2x}$

= $\left(8x^3-2x\right)·e^{2x}+2\left(2x^4-x^2\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·(4x^4-2x^2+\left(8x^3-2x\right))$

= $e^{2x}·\left(4x^4+8x^3-2x^2-2x\right)$

= $\left(4x^4+8x^3-2x^2-2x\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x+1}·\left(2+0\right)$

= $\frac{1}{2x+1}·\left(2\right)$

= $\frac{2}{2x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-7\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-2x}+\left(x-7\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $e^{-2x}+\left(x-7\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $e^{-2x}-2\left(x-7\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(1-2x+14\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x+15\right)$

= $\left(-2x+15\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+92\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-1$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-5+3x-6\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(3x-11\right)$

= $\left(3x-11\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$