$\text{f(x)}=$ $-4-3e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^x$

= $-3e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^3-2x^2\right)·e^{-2x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(12x^2-4x\right)·e^{-2x-5}+\left(4x^3-2x^2\right)·e^{-2x-5}·\left(-2\right)$

= $\left(12x^2-4x\right)·e^{-2x-5}+\left(4x^3-2x^2\right)·\left(-2e^{-2x-5}\right)$

= $\left(12x^2-4x\right)·e^{-2x-5}-2\left(4x^3-2x^2\right)·e^{-2x-5}$

= $e^{-2x-5}·(-8x^3+4x^2+\left(12x^2-4x\right))$

= $e^{-2x-5}·\left(-8x^3+16x^2-4x\right)$

= $\left(-8x^3+16x^2-4x\right)·e^{-2x-5}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^x+x^4·e^x$

= $4x^3·e^x+x^4·e^x$

= $e^x·\left(x^4+4x^3\right)$

= $\left(x^4+4x^3\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{5x}·5$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+4\right)·\cos \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\cos \left(x^3\right)+\left(3x+4\right)·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

= $3\cdot \cos \left(x^3\right)+\left(3x+4\right)·\left(-3\sin \left(x^3\right)x^2\right)$

= $3\cdot \cos \left(x^3\right)-3\left(3x+4\right)\sin \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,1576}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,1576}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,2155}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 72-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 72 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{72}$

Somit gilt für die 72-te Ableitung:

f⁽⁷²⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{72}·e^{-\mathrm{1,05}x}$

≈ $\mathrm{33,545}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-5$

= $4e^{-\mathrm{0,3}x}+4\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-5$

= $4e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{1,2}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(4-\mathrm{1,2}x-\mathrm{2,4}\right)-5$

= $-5+\left(-\mathrm{1,2}x+4-\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $-5+\left(-\mathrm{1,2}x+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$