Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- 2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- 2 x - 5}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 2 x - 5} + (x - 5) \cdot e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2)$

= $e^{- 2 x - 5} + (x - 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 5})$

= $e^{- 2 x - 5} - 2 (x - 5) \cdot e^{- 2 x - 5}$

= $e^{- 2 x - 5} \cdot (1 - 2 x + 10)$

= $e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2 x + 11)$

= $(- 2 x + 11) \cdot e^{- 2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{3} + 3 x} \cdot (- 6 x^{2} + 3)$

= $\frac{- 6 x^{2} + 3}{- 2 x^{3} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x + 6) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x + 6) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x + 6) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (1 + 3 x + 18)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x + 19)$

= $(3 x + 19) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 88)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 1$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $4 e^{- 0,3 x} + 4 (x - 6) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $4 e^{- 0,3 x} - 1,2 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (4 - 1,2 x + 7,2)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1,2 x + 11,2)$

= $(- 1,2 x + 11,2) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten