Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x - 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 4} + x^{5} \cdot e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 4} + x^{5} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 4})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 4} - 5 x^{5} \cdot e^{- 5 x - 4}$

= $e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 5 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 25 x^{4} + 4 x) \cdot e^{- 2 x} + (- 5 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(- 25 x^{4} + 4 x) \cdot e^{- 2 x} + (- 5 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(- 25 x^{4} + 4 x) \cdot e^{- 2 x} - 2 (- 5 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x^{5} - 4 x^{2} + (- 25 x^{4} + 4 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x^{5} - 25 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x)$

= $(10 x^{5} - 25 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 6) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 6) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} + 6) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 18 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x + 18)$

= $(3 x^{2} + 2 x + 18) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 77)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 2$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x - 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 2$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 2$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x + 9,8) + 2$

= $2 + (- 1,4 x + 2 + 9,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $2 + (- 1,4 x + 11,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten