Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{4}{3} e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{4}{3} e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{4}{3} e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $\frac{10}{9} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{3} + e^{3 x} \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{3} + 3 \cdot e^{3 x} x^{2}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} + 1) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} + 1) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(8 x + 0) \cdot e^{- x} + (4 x^{2} + 1) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $8 x \cdot e^{- x} + (4 x^{2} + 1) \cdot (- e^{- x})$

= $8 x \cdot e^{- x} - (4 x^{2} + 1) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- 4 x^{2} - 1 + 8 x)$

= $e^{- x} \cdot (- 4 x^{2} + 8 x - 1)$

= $(- 4 x^{2} + 8 x - 1) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} - x} \cdot (- 15 x^{2} - 1)$

= $\frac{- 15 x^{2} - 1}{- 5 x^{3} - x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 5) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 5) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{3 x} + (2 x + 5) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 e^{3 x} + (2 x + 5) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 e^{3 x} + 3 (2 x + 5) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (2 + 6 x + 15)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x + 17)$

= $(6 x + 17) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 94)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 1$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 2 e^{- 0,2 x} - 2 (x - 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 2 e^{- 0,2 x} + 0,4 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 2 + 0,4 x - 2)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,4 x - 4)$

= $(0,4 x - 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten