Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $- \frac{5}{7} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{3} - 4) \cdot e^{- 3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{3} - 4) \cdot e^{- 3 x - 3}$

$f'(x) =$ $(6 x^{2} + 0) \cdot e^{- 3 x - 3} + (2 x^{3} - 4) \cdot e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3)$

= $6 x^{2} \cdot e^{- 3 x - 3} + (2 x^{3} - 4) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 3})$

= $6 x^{2} \cdot e^{- 3 x - 3} - 3 (2 x^{3} - 4) \cdot e^{- 3 x - 3}$

= $e^{- 3 x - 3} \cdot (- 6 x^{3} + 12 + 6 x^{2})$

= $e^{- 3 x - 3} \cdot (- 6 x^{3} + 6 x^{2} + 12)$

= $(- 6 x^{3} + 6 x^{2} + 12) \cdot e^{- 3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x^{2} + 5} \cdot (- 6 x)$

= $6 \cdot e^{- 3 x^{2} + 5} x$

= $6 x e^{- 3 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 8) \cdot \cos (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 8) \cdot \cos (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (3 x) + (x^{2} + 8) \cdot (- \sin (3 x) \cdot 3)$

= $2 x \cdot \cos (3 x) + (x^{2} + 8) \cdot (- 3 \cdot \sin (3 x))$

= $2 x \cdot \cos (3 x) - 3 (x^{2} + 8) \cdot \sin (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${0,9}^{48} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,006 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 7$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 4 e^{- 0,6 x} - 4 (x - 1) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 4 e^{- 0,6 x} + 2,4 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 4 + 2,4 x - 2,4)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2,4 x - 6,4)$

= $(2,4 x - 6,4) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten