Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{8} e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $\frac{25}{56} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{5} + 5) \cdot e^{- 4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{5} + 5) \cdot e^{- 4 x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 5 x^{4} + 0) \cdot e^{- 4 x + 1} + (- x^{5} + 5) \cdot e^{- 4 x + 1} \cdot (- 4)$

= $- 5 x^{4} \cdot e^{- 4 x + 1} + (- x^{5} + 5) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 1})$

= $- 5 x^{4} \cdot e^{- 4 x + 1} - 4 (- x^{5} + 5) \cdot e^{- 4 x + 1}$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (4 x^{5} - 20 - 5 x^{4})$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (4 x^{5} - 5 x^{4} - 20)$

= $(4 x^{5} - 5 x^{4} - 20) \cdot e^{- 4 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{5} + e^{3 x} \cdot 5 x^{4}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{5} + 5 \cdot e^{3 x} x^{4}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} + 3 x} \cdot (6 x^{2} + 3)$

= $\frac{6 x^{2} + 3}{2 x^{3} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 1) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 1) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} + 1) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 3 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x + 3)$

= $(3 x^{2} + 2 x + 3) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 56-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 56-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 56 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{56}$

Somit gilt für die 56-te Ableitung:

f⁽⁵⁶⁾(x) = ${(- 0,9)}^{56} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $0,003 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 6$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x + 6) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 6$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 6$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 3 + 0,9 x + 5,4) + 6$

= $6 + (0,9 x - 3 + 5,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $6 + (0,9 x + 2,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten