$\text{f(x)}=$ $-3e^{\frac{7}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{\frac{7}{5}x}·\frac{7}{5}$

= $-\frac{21}{5}{e}^{\frac{7}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-3x}+x^5·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $5x^4·e^{-3x}+x^5·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $5x^4·e^{-3x}-3x^5·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(5x^4-3x^5\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{3x^2+2}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{3x^2+2}·6x$

= $12·e^{3x^2+2}x$

= $12x{e}^{3x^2+2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x^3-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x^3-3x}·\left(12x^2-3\right)$

= $\frac{12x^2-3}{4x^3-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-6\right)·\cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\cos \left(-3x\right)+\left(3x-6\right)·(-\sin \left(-3x\right)·\left(-3\right))$

= $3\cdot \cos \left(-3x\right)+\left(3x-6\right)·3\cdot \sin \left(-3x\right)$

= $3\cdot \cos \left(-3x\right)+3\left(3x-6\right)·\sin \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $5e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{4,5}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{4,5}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{4,05}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{4,05}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{3,645}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{3,645}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{3,2805}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{65}·5e^{-\mathrm{0,9}x}$

≈ $-\mathrm{0,005}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+3\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,2}x}+3\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,6}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,6}x-\mathrm{2,4}+3\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$