Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{10}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{10}{9} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{10}{9} x} \cdot \frac{10}{9}$

= $- \frac{10}{9} e^{\frac{10}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x + 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x + 5} + x^{3} \cdot e^{2 x + 5} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x + 5} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x + 5}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x + 5} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x + 5}$

= $e^{2 x + 5} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x - 4}$

$f'(x) =$ $2 e^{x - 4} \cdot 1$

= $2 e^{x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} + 2 x} \cdot (- 6 x + 2)$

= $\frac{- 6 x + 2}{- 3 x^{2} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 9) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 9) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x - 9) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x - 9) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x - 9) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (1 + 2 x - 18)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x - 17)$

= $(2 x - 17) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $- 2 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $2,2 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $2,2 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 2,42 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $- 2,42 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $2,662 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,662 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 2,9282 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${(- 1,1)}^{50} \cdot (- 2 e^{- 1,1 x})$

≈ $- 234,782 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 9$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 5 e^{- 0,8 x} - 5 (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 5 e^{- 0,8 x} + 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 5 + 4 x - 4)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (4 x - 9)$

= $(4 x - 9) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten