Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $- \frac{5}{8} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{3} - x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{3} - x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 5}$

$f'(x) =$ $(12 x^{2} - 2 x) \cdot e^{- 3 x + 5} + (4 x^{3} - x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

= $(12 x^{2} - 2 x) \cdot e^{- 3 x + 5} + (4 x^{3} - x^{2}) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 5})$

= $(12 x^{2} - 2 x) \cdot e^{- 3 x + 5} - 3 (4 x^{3} - x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 5}$

= $e^{- 3 x + 5} \cdot (12 x^{2} - 2 x + (- 12 x^{3} + 3 x^{2}))$

= $e^{- 3 x + 5} \cdot (- 12 x^{3} + 15 x^{2} - 2 x)$

= $(- 12 x^{3} + 15 x^{2} - 2 x) \cdot e^{- 3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (5 x^{4} + 3 x^{5})$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} - 4} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{3} - 4} \cdot (9 x^{2})$

= $9 \frac{x^{2}}{3 x^{3} - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 6) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 6) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 6) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 6) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} - 6) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (2 x - 3 x^{2} + 18)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x + 18)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x + 18) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${1,15}^{49} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $942,311 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 2$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x + 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 2$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 2$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1,4 x - 4,2 + 2) + 2$

= $2 + (- 1,4 x - 4,2 + 2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $2 + (- 1,4 x - 2,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten