Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{6}{5} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot e^{3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot e^{3 x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 25 x^{4} + 8 x^{3}) \cdot e^{3 x - 3} + (- 5 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot e^{3 x - 3} \cdot 3$

= $(- 25 x^{4} + 8 x^{3}) \cdot e^{3 x - 3} + (- 5 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot 3 e^{3 x - 3}$

= $(- 25 x^{4} + 8 x^{3}) \cdot e^{3 x - 3} + 3 (- 5 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot e^{3 x - 3}$

= $e^{3 x - 3} \cdot (- 15 x^{5} + 6 x^{4} + (- 25 x^{4} + 8 x^{3}))$

= $e^{3 x - 3} \cdot (- 15 x^{5} - 19 x^{4} + 8 x^{3})$

= $(- 15 x^{5} - 19 x^{4} + 8 x^{3}) \cdot e^{3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (x^{2} - 3) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $2 x \cdot \cos (x^{2}) + (x^{2} - 3) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $2 x \cdot \cos (x^{2}) - 2 (x^{2} - 3) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{x}$

f'(x) = $- e^{x}$

f''(x) = $- e^{x}$

f'''(x) = $- e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $- e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} + x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 1$

= $3 e^{- 0,3 x} + 3 (x - 6) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 1$

= $3 e^{- 0,3 x} - 0,9 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 1$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (3 - 0,9 x + 5,4) + 1$

= $1 + (- 0,9 x + 3 + 5,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $1 + (- 0,9 x + 8,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten