Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + 3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + 3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{5} - 3) \cdot e^{- 3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{5} - 3) \cdot e^{- 3 x + 3}$

$f'(x) =$ $(25 x^{4} + 0) \cdot e^{- 3 x + 3} + (5 x^{5} - 3) \cdot e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3)$

= $25 x^{4} \cdot e^{- 3 x + 3} + (5 x^{5} - 3) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 3})$

= $25 x^{4} \cdot e^{- 3 x + 3} - 3 (5 x^{5} - 3) \cdot e^{- 3 x + 3}$

= $e^{- 3 x + 3} \cdot (25 x^{4} - 15 x^{5} + 9)$

= $e^{- 3 x + 3} \cdot (- 15 x^{5} + 25 x^{4} + 9)$

= $(- 15 x^{5} + 25 x^{4} + 9) \cdot e^{- 3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{- 5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{- 5 x + 2}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 5 x + 2} + (x - 1) \cdot e^{- 5 x + 2} \cdot (- 5)$

= $e^{- 5 x + 2} + (x - 1) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 2})$

= $e^{- 5 x + 2} - 5 (x - 1) \cdot e^{- 5 x + 2}$

= $e^{- 5 x + 2} \cdot (- 5 x + 5 + 1)$

= $e^{- 5 x + 2} \cdot (- 5 x + 6)$

= $(- 5 x + 6) \cdot e^{- 5 x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (2 x + 3 x^{2})$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${(- 1,15)}^{50} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $1083,657 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 2$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x + 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 2$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 2$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1,6 x + 3,2 - 2) - 2$

= $- 2 + (1,6 x + 3,2 - 2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 2 + (1,6 x + 1,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten