Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + e^{\frac{8}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + e^{\frac{8}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{8}{7} x} \cdot \frac{8}{7}$

= $\frac{8}{7} e^{\frac{8}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{4} + x) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{4} + x) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(4 x^{3} + 1) \cdot e^{- 3 x} + (x^{4} + x) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(4 x^{3} + 1) \cdot e^{- 3 x} + (x^{4} + x) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(4 x^{3} + 1) \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{4} + x) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} - 3 x + 4 x^{3} + 1)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3} - 3 x + 1)$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3} - 3 x + 1) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} - 10 x) \cdot e^{- 3 x} + (- 4 x^{5} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(- 20 x^{4} - 10 x) \cdot e^{- 3 x} + (- 4 x^{5} - 5 x^{2}) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(- 20 x^{4} - 10 x) \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 4 x^{5} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (12 x^{5} + 15 x^{2} + (- 20 x^{4} - 10 x))$

= $e^{- 3 x} \cdot (12 x^{5} - 20 x^{4} + 15 x^{2} - 10 x)$

= $(12 x^{5} - 20 x^{4} + 15 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} - 3 x} \cdot (- 6 x - 3)$

= $\frac{- 6 x - 3}{- 3 x^{2} - 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (3 x) + (x^{2} - 5) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $2 x \cdot \sin (3 x) + (x^{2} - 5) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $2 x \cdot \sin (3 x) + 3 (x^{2} - 5) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 77)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 6$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x + 6) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 6$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 6$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 3 + 0,9 x + 5,4) + 6$

= $6 + (0,9 x - 3 + 5,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $6 + (0,9 x + 2,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten