$\text{f(x)}=$ $5+\frac{7}{6}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{7}{6}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{7}{3}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}\sqrt[3]{x}-e^{3x+5}$

= $-\frac{1}{4}{x}^{\frac{1}{3}}-e^{3x+5}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{12}{x}^{-\frac{2}{3}}-e^{3x+5}·3$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{12{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}-e^{3x+5}·3$

= $-\frac{1}{12{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}-3e^{3x+5}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^x+x^5·e^x$

= $5x^4·e^x+x^5·e^x$

= $e^x·\left(x^5+5x^4\right)$

= $\left(x^5+5x^4\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-4x+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-4x+1}·\left(-4+0\right)$

= $\frac{1}{-4x+1}·\left(-4\right)$

= $-\frac{4}{-4x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+7\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-2x}+\left(x+7\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $e^{-2x}+\left(x+7\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $e^{-2x}-2\left(x+7\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(1-2x-14\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x-13\right)$

= $\left(-2x-13\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+86\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+8x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+8$

= $-2e^{-\mathrm{0,3}x}-2\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)+8$

= $-2e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,6}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+8$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-2+\mathrm{0,6}x-\mathrm{1,8}\right)+8$

= $8+\left(\mathrm{0,6}x-2-\mathrm{1,8}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $8+\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{3,8}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$