$\text{f(x)}=$ $-e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x}+x^3·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x}+x^3·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3x^2·e^{-2x}-2x^3·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·\left(-2x^5-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·\left(-2x^5-5\right)+e^{3x}·\left(-10x^4+0\right)$

= $3·e^{3x}\left(-2x^5-5\right)+e^{3x}·\left(-10x^4\right)$

= $3·e^{3x}\left(-2x^5-5\right)-10·e^{3x}{x}^4$

= $e^{3x}·\left(-6x^5-15-10x^4\right)$

= $e^{3x}·\left(-6x^5-10x^4-15\right)$

= $\left(-6x^5-10x^4-15\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $7\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{2x}·2$

= $\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(2x-5\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-6{\left(2x-5\right)}^2·\left(2+0\right)$

= $-6{\left(2x-5\right)}^2·\left(2\right)$

= $-12{\left(2x-5\right)}^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 74-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 74 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{74}$

Somit gilt für die 74-te Ableitung:

f⁽⁷⁴⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{74}·e^{\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,022}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-2$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,3}x}-\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,3}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-1+\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,3}x-\mathrm{1,6}\right)$

= $\left(\mathrm{0,3}x-\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$