Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{5}{7} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{5}{7} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{7} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{15}{7} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 10 x^{4} + 20 x^{3}) \cdot e^{- x + 3} + (- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x + 3} \cdot (- 1)$

= $(- 10 x^{4} + 20 x^{3}) \cdot e^{- x + 3} + (- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot (- e^{- x + 3})$

= $(- 10 x^{4} + 20 x^{3}) \cdot e^{- x + 3} - (- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x + 3}$

= $e^{- x + 3} \cdot (2 x^{5} - 5 x^{4} + (- 10 x^{4} + 20 x^{3}))$

= $e^{- x + 3} \cdot (2 x^{5} - 15 x^{4} + 20 x^{3})$

= $(2 x^{5} - 15 x^{4} + 20 x^{3}) \cdot e^{- x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x^{3} + 4}$

$f'(x) =$ $e^{- x^{3} + 4} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 3 \cdot e^{- x^{3} + 4} x^{2}$

= $- 3 x^{2} e^{- x^{3} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (2 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \sin (2 x - 4)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \cos (2 x - 4) \cdot (2 + 0)$

= $3 \cdot \cos (2 x - 4) \cdot (2)$

= $6 \cdot \cos (2 x - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${1,1}^{65} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $490,371 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} + 4$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x - 2) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 3 + 1,2 x - 2,4)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1,2 x - 5,4)$

= $(1,2 x - 5,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten