Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{7}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{7}{4} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{7}{4} x} \cdot \frac{7}{4}$

= $\frac{21}{4} e^{\frac{7}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{x} - 2 e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{x} - 2 e^{3 x + 1}$

= $- 3 x^{\frac{1}{2}} - 2 e^{3 x + 1}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 e^{3 x + 1} \cdot 3$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \sqrt{x}} - 2 e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $- \frac{3}{2 \sqrt{x}} - 6 e^{3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{4} - x^{2}) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{4} - x^{2}) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(20 x^{3} - 2 x) \cdot e^{2 x} + (5 x^{4} - x^{2}) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(20 x^{3} - 2 x) \cdot e^{2 x} + (5 x^{4} - x^{2}) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(20 x^{3} - 2 x) \cdot e^{2 x} + 2 (5 x^{4} - x^{2}) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (10 x^{4} - 2 x^{2} + (20 x^{3} - 2 x))$

= $e^{2 x} \cdot (10 x^{4} + 20 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x)$

= $(10 x^{4} + 20 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${(- 1,05)}^{61} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $- 19,613 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 8$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x - 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 8$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 8$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x + 4,2) + 8$

= $8 + (- 1,4 x + 2 + 4,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $8 + (- 1,4 x + 6,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten