Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 3} + \frac{9}{4} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 3} + \frac{9}{4} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2) - \frac{9}{4} \cdot \sin (x)$

= $6 e^{- 2 x - 3} - \frac{9}{4} \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $- 6 e^{2 x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} + 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} + 5 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} + 5 x^{2}} \cdot (- 3 x^{2} + 10 x)$

= $\frac{- 3 x^{2} + 10 x}{- x^{3} + 5 x^{2}}$

= $\frac{- 1 \cdot (3 x - 10)}{- x \cdot (x - 5)}$

= $\frac{- (3 x - 10)}{- x \cdot (x - 5)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 4) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 4) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (2 x) + (x^{2} + 4) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $2 x \cdot \sin (2 x) + (x^{2} + 4) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $2 x \cdot \sin (2 x) + 2 (x^{2} + 4) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 51-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{0,9 x}$

f'(x) = $- 4 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 3,6 e^{0,9 x}$

f''(x) = $- 3,6 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 3,24 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $- 3,24 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,916 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,916 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,6244 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 51-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 51 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{51}$

Somit gilt für die 51-te Ableitung:

f⁽⁵¹⁾(x) = ${0,9}^{51} \cdot (- 4 e^{0,9 x})$

≈ $- 0,019 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 2$

= $- 4 e^{- 0,9 x} - 4 (x - 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 2$

= $- 4 e^{- 0,9 x} + 3,6 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 2$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 4 + 3,6 x - 7,2) - 2$

= $- 2 + (3,6 x - 4 - 7,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 2 + (3,6 x - 11,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten