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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{3}{5} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{2} - e^{- 2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{2} - e^{- 2 x + 4}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2} x - e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2)$

= $- \frac{1}{2} x + 2 e^{- 2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{3} - 4) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{3} - 4) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(9 x^{2} + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x^{3} - 4) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $9 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + (3 x^{3} - 4) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $9 x^{2} \cdot e^{- 3 x} - 3 (3 x^{3} - 4) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{3} + 12 + 9 x^{2})$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{3} + 9 x^{2} + 12)$

= $(- 9 x^{3} + 9 x^{2} + 12) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{{(2 x - 2)}^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{{(2 x - 2)}^{3}}$

= $2 {(2 x - 2)}^{- 3}$

=> f'(x) = $- 6 {(2 x - 2)}^{- 4} \cdot (2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{6}{{(2 x - 2)}^{4}} \cdot (2 + 0)$

= $- \frac{6}{{(2 x - 2)}^{4}} \cdot (2)$

= $- \frac{12}{{(2 x - 2)}^{4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- x}$

f'(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f'''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $- 3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} - 6$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- e^{- 0,1 x} - (x + 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- e^{- 0,1 x} + 0,1 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 1 + 0,1 x + 0,1)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,1 x - 0,9)$

= $(0,1 x - 0,9) \cdot e^{- 0,1 x}$