$\text{f(x)}=$ $e^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{\frac{1}{3}x}·\frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3}{e}^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^5-3x^4\right)·e^{-4x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(10x^4-12x^3\right)·e^{-4x-1}+\left(2x^5-3x^4\right)·e^{-4x-1}·\left(-4\right)$

= $\left(10x^4-12x^3\right)·e^{-4x-1}+\left(2x^5-3x^4\right)·\left(-4e^{-4x-1}\right)$

= $\left(10x^4-12x^3\right)·e^{-4x-1}-4\left(2x^5-3x^4\right)·e^{-4x-1}$

= $e^{-4x-1}·(-8x^5+12x^4+\left(10x^4-12x^3\right))$

= $e^{-4x-1}·\left(-8x^5+22x^4-12x^3\right)$

= $\left(-8x^5+22x^4-12x^3\right)·e^{-4x-1}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-x^3-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-x^3-3}·\left(-3x^2\right)$

= $9·e^{-x^3-3}{x}^2$

= $9x^2{e}^{-x^3-3}$

$\text{f(x)}=$ $5\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{6x}·6$

= $\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(e^x-3\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $4{\left(e^x-3\right)}^3·\left(e^x+0\right)$

= $4{\left(e^x-3\right)}^3·\left(e^x\right)$

= $4{\left(e^x-3\right)}^3·e^x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $5e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{4,25}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{4,25}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{3,6125}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{3,6125}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{3,0706}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{3,0706}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{2,61}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{46}·5e^{\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,003}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-5$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-5$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{1,2}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-2+\mathrm{1,2}x+\mathrm{7,2}\right)-5$

= $-5+\left(\mathrm{1,2}x-2+\mathrm{7,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-5+\left(\mathrm{1,2}x+\mathrm{5,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$