Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{4}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{4}{3} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{4}{3} x} \cdot \frac{4}{3}$

= $- \frac{4}{3} e^{\frac{4}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x - 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{x - 5} + x^{2} \cdot e^{x - 5} \cdot 1$

= $2 x \cdot e^{x - 5} + x^{2} \cdot e^{x - 5}$

= $e^{x - 5} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 5 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 5 x - 5)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- 5 x - 5) + e^{3 x} \cdot (- 5 + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} (- 5 x - 5) + e^{3 x} \cdot (- 5)$

= $3 \cdot e^{3 x} (- 5 x - 5) - 5 e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 5 - 15 x - 15)$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x - 20)$

= $(- 15 x - 20) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x + 3} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x + 3} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 6) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 6) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} + 6) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 18 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x + 18)$

= $(3 x^{2} + 2 x + 18) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${(- 0,9)}^{60} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $0,002 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 5$

= $5 e^{- 0,8 x} + 5 (x + 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 5$

= $5 e^{- 0,8 x} - 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 5$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (5 - 4 x - 24) - 5$

= $- 5 + (- 4 x + 5 - 24) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 5 + (- 4 x - 19) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten