Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 - 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 - 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 5 x) \cdot e^{- 5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 5 x) \cdot e^{- 5 x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 8 x^{3} - 5) \cdot e^{- 5 x + 1} + (- 2 x^{4} - 5 x) \cdot e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5)$

= $(- 8 x^{3} - 5) \cdot e^{- 5 x + 1} + (- 2 x^{4} - 5 x) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 1})$

= $(- 8 x^{3} - 5) \cdot e^{- 5 x + 1} - 5 (- 2 x^{4} - 5 x) \cdot e^{- 5 x + 1}$

= $e^{- 5 x + 1} \cdot (10 x^{4} + 25 x - 8 x^{3} - 5)$

= $e^{- 5 x + 1} \cdot (10 x^{4} - 8 x^{3} + 25 x - 5)$

= $(10 x^{4} - 8 x^{3} + 25 x - 5) \cdot e^{- 5 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x - 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x - 3} + x^{4} \cdot e^{x - 3} \cdot 1$

= $4 x^{3} \cdot e^{x - 3} + x^{4} \cdot e^{x - 3}$

= $e^{x - 3} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x + 2} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x + 2} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 5) \cdot \cos (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} + 5) \cdot \cos (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot \cos (- 3 x) + (3 x^{2} + 5) \cdot (- \sin (- 3 x) \cdot (- 3))$

= $6 x \cdot \cos (- 3 x) + (3 x^{2} + 5) \cdot 3 \cdot \sin (- 3 x)$

= $6 x \cdot \cos (- 3 x) + 3 (3 x^{2} + 5) \cdot \sin (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- x}$

f'(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f'''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $- 3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 4$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $e^{- 0,9 x} + (x + 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1 - 0,9 x - 5,4)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9 x - 4,4)$

= $(- 0,9 x - 4,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten