$\text{f(x)}=$ $\frac{6}{7}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{7}{e}^{2x}·2$

= $\frac{12}{7}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x}\left(2x^2-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2·\left(2x^2-5x\right)+e^{2x}·\left(4x-5\right)$

= $2·e^{2x}\left(2x^2-5x\right)+e^{2x}\left(4x-5\right)$

= $e^{2x}·\left(4x^2-10x+4x-5\right)$

= $e^{2x}·\left(4x^2-6x-5\right)$

= $\left(4x^2-6x-5\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{2x^3-2}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{2x^3-2}·6x^2$

= $12·e^{2x^3-2}{x}^2$

= $12x^2{e}^{2x^3-2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x-1}·\left(-5+0\right)$

= $\frac{1}{-5x-1}·\left(-5\right)$

= $-\frac{5}{-5x-1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+3\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2+3\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2+3\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2+3\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2-6+2x\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x-6\right)$

= $\left(-2x^2+2x-6\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^x$

f'(x) = $3e^x$

f''(x) = $3e^x$

f'''(x) = $3e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $3e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $3e^x$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(5-2x+12\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-2x+17\right)$

= $\left(-2x+17\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$