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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{5} + e^{3 x} \cdot 5 x^{4}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{5} + 5 \cdot e^{3 x} x^{4}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{3} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{3} - 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x^{3} - 5} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 27 \cdot e^{- 3 x^{3} - 5} x^{2}$

= $- 27 x^{2} e^{- 3 x^{3} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x + 2) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x} + (3 x + 2) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 e^{- 2 x} - 2 (3 x + 2) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (3 - 6 x - 4)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x - 1)$

= $(- 6 x - 1) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{1,15 x}$

f'(x) = $- e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $- 1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${1,15}^{47} \cdot (- e^{1,15 x})$

≈ $- 712,522 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 1$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $4 e^{- 0,1 x} + 4 (x + 3) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $4 e^{- 0,1 x} - 0,4 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (4 - 0,4 x - 1,2)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,4 x + 2,8)$

= $(- 0,4 x + 2,8) \cdot e^{- 0,1 x}$