$\text{f(x)}=$ $2-2e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $6e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-x-2}+4\cdot \cos \left(x\right)-\frac{2}{x^2}$

= $2e^{-x-2}+4\cdot \cos \left(x\right)-2x^{-2}$

=> f'(x) = $2e^{-x-2}·\left(-1\right)-4\cdot \sin \left(x\right)+4x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-x-2}·\left(-1\right)-4\cdot \sin \left(x\right)+\frac{4}{x^3}$

= $-2e^{-x-2}-4\cdot \sin \left(x\right)+\frac{4}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·x^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·x^5+e^{-x}·5x^4$

= $-e^{-x}{x}^5+5·e^{-x}{x}^4$

= $e^{-x}·\left(-x^5+5x^4\right)$

= $\left(-x^5+5x^4\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{3x}·3$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-3\right)·\cos \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\cos \left(3x\right)+\left(x^2-3\right)·(-\sin \left(3x\right)·3)$

= $2x·\cos \left(3x\right)+\left(x^2-3\right)·\left(-3\cdot \sin \left(3x\right)\right)$

= $2x·\cos \left(3x\right)-3\left(x^2-3\right)·\sin \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $-e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,522}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 32-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 32 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{32}$

Somit gilt für die 32-te Ableitung:

f⁽³²⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{32}·\left(-e^{-\mathrm{0,85}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,006}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+4\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)-7$

= $4e^{-\mathrm{0,9}x}+4\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)-7$

= $4e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{3,6}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-7$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(4-\mathrm{3,6}x+\mathrm{7,2}\right)-7$

= $-7+\left(-\mathrm{3,6}x+4+\mathrm{7,2}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $-7+\left(-\mathrm{3,6}x+\mathrm{11,2}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$