$\text{f(x)}=$ $3e^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{\frac{6}{7}x}·\frac{6}{7}$

= $\frac{18}{7}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^x\left(5x^2+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·\left(5x^2+5\right)+e^x·\left(10x+0\right)$

= $e^x\left(5x^2+5\right)+e^x·\left(10x\right)$

= $e^x\left(5x^2+5\right)+10·e^{x}x$

= $e^x·\left(5x^2+5+10x\right)$

= $e^x·\left(5x^2+10x+5\right)$

= $\left(5x^2+10x+5\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x-3\right)·e^{2x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4+0\right)·e^{2x-5}+\left(4x-3\right)·e^{2x-5}·2$

= $4e^{2x-5}+\left(4x-3\right)·2e^{2x-5}$

= $4e^{2x-5}+2\left(4x-3\right)·e^{2x-5}$

= $e^{2x-5}·\left(4+8x-6\right)$

= $e^{2x-5}·\left(8x-2\right)$

= $\left(8x-2\right)·e^{2x-5}$

$\text{f(x)}=$ $7\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{7x}·7$

= $\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[4]{x}·e^{-3x}$

= $x^{\frac{1}{4}}·e^{-3x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}·e^{-3x}+x^{\frac{1}{4}}·e^{-3x}·\left(-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}·e^{-3x}+\sqrt[4]{x}·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $\frac{1}{4}\frac{e^{-3x}}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+\sqrt[4]{x}·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $\frac{1}{4}\frac{e^{-3x}}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}-3\sqrt[4]{x}·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 70-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 70 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{70}$

Somit gilt für die 70-te Ableitung:

f⁽⁷⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{70}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,028}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+5x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+5$

= $-2e^{-\mathrm{0,2}x}-2\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)+5$

= $-2e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,4}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+5$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-2+\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}\right)+5$

= $5+\left(\mathrm{0,4}x-2+\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $5+\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$