Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{6} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{5}{2} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{5} - e^{- 2 x + 3} + \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x^{5} - e^{- 2 x + 3} + \cos (x)$

$f'(x) =$ $- 20 x^{4} - e^{- 2 x + 3} \cdot (- 2) - \sin (x)$

= $- 20 x^{4} + 2 e^{- 2 x + 3} - \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + x^{3} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + x^{3} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{3} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x - 5} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x - 5} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (3 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (3 x + 3)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sin (3 x + 3) + x^{3} \cdot \cos (3 x + 3) \cdot (3 + 0)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (3 x + 3) + x^{3} \cdot \cos (3 x + 3) \cdot (3)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (3 x + 3) + x^{3} \cdot 3 \cdot \cos (3 x + 3)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (3 x + 3) + 3 x^{3} \cdot \cos (3 x + 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 78)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 6$

= $e^{- 0,7 x} + (x + 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 6$

= $e^{- 0,7 x} - 0,7 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 6$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1 - 0,7 x - 2,1) - 6$

= $- 6 + (- 0,7 x + 1 - 2,1) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 6 + (- 0,7 x - 1,1) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten