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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{10}{9} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{10}{9} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{10}{9} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{10}{3} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x - 1} - 2 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x - 1} - 2 x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x - 1} \cdot (- 2) - 6 x^{2}$

= $- 2 e^{- 2 x - 1} - 6 x^{2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} + 4} \cdot (- 6 x)$

= $- 12 \cdot e^{- 3 x^{2} + 4} x$

= $- 12 x e^{- 3 x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (- 3 x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (- 3 x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $\cos (- 3 x^{2} - 3) \cdot (- 6 x + 0)$

= $\cos (- 3 x^{2} - 3) \cdot (- 6 x)$

= $- 6 \cos (- 3 x^{2} - 3) x$

= $- 6 x \cdot \cos (- 3 x^{2} - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{0,95 x}$

f'(x) = $3 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $2,85 e^{0,95 x}$

f''(x) = $2,85 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $2,7075 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $2,7075 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $2,5721 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,5721 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $2,4435 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${0,95}^{78} \cdot 3 e^{0,95 x}$

≈ $0,055 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 6$

= $- 5 e^{- 0,7 x} - 5 (x - 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 6$

= $- 5 e^{- 0,7 x} + 3,5 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 6$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 5 + 3,5 x - 17,5) - 6$

= $- 6 + (3,5 x - 5 - 17,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 6 + (3,5 x - 22,5) \cdot e^{- 0,7 x}$