Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - 3 e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - 3 e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $- \frac{7}{3} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{5} + e^{2 x} \cdot 5 x^{4}$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{5} + 5 \cdot e^{2 x} x^{4}$

= $e^{2 x} \cdot (5 x^{4} + 2 x^{5})$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{4} - 5) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{4} - 5) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(16 x^{3} + 0) \cdot e^{2 x} + (4 x^{4} - 5) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $16 x^{3} \cdot e^{2 x} + (4 x^{4} - 5) \cdot 2 e^{2 x}$

= $16 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 (4 x^{4} - 5) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (16 x^{3} + 8 x^{4} - 10)$

= $e^{2 x} \cdot (8 x^{4} + 16 x^{3} - 10)$

= $(8 x^{4} + 16 x^{3} - 10) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- 3 x)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (- 3 x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (- 3 x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (- 3 x) + \sqrt{x} \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 3 x)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 3 x)}{\sqrt{x}} - 3 \sqrt{x} \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 87)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 3$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $2 e^{- 0,5 x} + 2 (x + 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $2 e^{- 0,5 x} - (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- x - 6 + 2)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- x - 4)$

= $(- x - 4) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten