$\text{f(x)}=$ $-2e^x$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2-5x\right)·e^{5x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x-5\right)·e^{5x+2}+\left(2x^2-5x\right)·e^{5x+2}·5$

= $\left(4x-5\right)·e^{5x+2}+\left(2x^2-5x\right)·5e^{5x+2}$

= $\left(4x-5\right)·e^{5x+2}+5\left(2x^2-5x\right)·e^{5x+2}$

= $e^{5x+2}·\left(10x^2-25x+4x-5\right)$

= $e^{5x+2}·\left(10x^2-21x-5\right)$

= $\left(10x^2-21x-5\right)·e^{5x+2}$

$\text{f(x)}=$ $e^{x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{x+3}·1$

= $e^{x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x-2}·\left(-2+0\right)$

= $\frac{1}{-2x-2}·\left(-2\right)$

= $-\frac{2}{-2x-2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-2\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-3x}+\left(x^2-2\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x}+\left(x^2-2\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2x·e^{-3x}-3\left(x^2-2\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+6+2x\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x+6\right)$

= $\left(-3x^2+2x+6\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-x}$

f'(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f'''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+7$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,8}x}-5\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-5+4x+8\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(4x+3\right)$

= $\left(4x+3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$