$\text{f(x)}=$ $3e^x$

$\text{f'(x)}=$ $3e^x$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-3x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-3x-4}+x^2·e^{-3x-4}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x-4}+x^2·\left(-3e^{-3x-4}\right)$

= $2x·e^{-3x-4}-3x^2·e^{-3x-4}$

= $e^{-3x-4}·\left(2x-3x^2\right)$

= $e^{-3x-4}·\left(-3x^2+2x\right)$

= $\left(-3x^2+2x\right)·e^{-3x-4}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{2x^2-1}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{2x^2-1}·4x$

= $8·e^{2x^2-1}x$

= $8x{e}^{2x^2-1}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{x}·1$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-3x}+\left(x-2\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $e^{-3x}+\left(x-2\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $e^{-3x}-3\left(x-2\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x+6+1\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x+7\right)$

= $\left(-3x+7\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,6561}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 54-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 54 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{54}$

Somit gilt für die 54-te Ableitung:

f⁽⁵⁴⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{54}·e^{-\mathrm{0,9}x}$

≈ $\mathrm{0,003}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-3$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-3$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{1,2}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{8,4}-2\right)-3$

= $-3+\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{8,4}-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-3+\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{10,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$