Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{6}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{6}{5} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{6}{5} x} \cdot \frac{6}{5}$

= $\frac{18}{5} e^{\frac{6}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x + 4} + \frac{9}{2} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x + 4} + \frac{9}{2} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $e^{- x + 4} \cdot (- 1) - \frac{9}{2} \cdot \sin (x)$

= $- e^{- x + 4} - \frac{9}{2} \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot e^{- 3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot e^{- 3 x + 1}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 3 x + 1} + (3 x + 1) \cdot e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x + 1} + (3 x + 1) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 1})$

= $3 e^{- 3 x + 1} - 3 (3 x + 1) \cdot e^{- 3 x + 1}$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (3 - 9 x - 3)$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (- 9 x + 0)$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (- 9 x)$

= $x \cdot (- 9 e^{- 3 x + 1})$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} - 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} - 4 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x - 4)$

= $(2 x^{2} + 2 x - 4) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${(- 1,1)}^{61} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $- 334,93 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 2$

= $- 2 e^{- 0,6 x} - 2 (x + 1) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 2$

= $- 2 e^{- 0,6 x} + 1,2 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 2$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 2 + 1,2 x + 1,2) - 2$

= $- 2 + (1,2 x - 2 + 1,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 2 + (1,2 x - 0,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten