$\text{f(x)}=$ $2e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-4e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3x^3}+3e^{-3x-3}-3\cdot \sin \left(x\right)$

= $-\frac{2}{3}{x}^{-3}+3e^{-3x-3}-3\cdot \sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $2x^{-4}+3e^{-3x-3}·\left(-3\right)-3\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{x^4}+3e^{-3x-3}·\left(-3\right)-3\cdot \cos \left(x\right)$

= $\frac{2}{x^4}-9e^{-3x-3}-3\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·\left(3x^3-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(3x^3-3x\right)+e^{-x}·\left(9x^2-3\right)$

= $-e^{-x}\left(3x^3-3x\right)+e^{-x}\left(9x^2-3\right)$

= $e^{-x}·\left(-3x^3+3x+9x^2-3\right)$

= $e^{-x}·\left(-3x^3+9x^2+3x-3\right)$

= $\left(-3x^3+9x^2+3x-3\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{x}·1$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·\sin \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·\sin \left(2x\right)+x^3·\cos \left(2x\right)·2$

= $3x^2·\sin \left(2x\right)+x^3·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $3x^2·\sin \left(2x\right)+2x^3·\cos \left(2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,749}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{30}·e^{-\mathrm{1,15}x}$

≈ $\mathrm{66,212}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+7x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-5\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+7$

= $-5e^{-\mathrm{0,8}x}-5\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)+7$

= $-5e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+7$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-5+4x-24\right)+7$

= $7+\left(4x-5-24\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $7+\left(4x-29\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$