Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $\frac{3}{4} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x + 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 4} + x^{3} \cdot e^{3 x + 4} \cdot 3$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 4} + x^{3} \cdot 3 e^{3 x + 4}$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 4} + 3 x^{3} \cdot e^{3 x + 4}$

= $e^{3 x + 4} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x + 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x + 5} \cdot 2$

= $4 e^{2 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} - 1} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{3} - 1} \cdot (9 x^{2})$

= $9 \frac{x^{2}}{3 x^{3} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (3 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (3 x + 4)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \sin (3 x + 4) + x^{2} \cdot \cos (3 x + 4) \cdot (3 + 0)$

= $2 x \cdot \sin (3 x + 4) + x^{2} \cdot \cos (3 x + 4) \cdot (3)$

= $2 x \cdot \sin (3 x + 4) + x^{2} \cdot 3 \cdot \cos (3 x + 4)$

= $2 x \cdot \sin (3 x + 4) + 3 x^{2} \cdot \cos (3 x + 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 33-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 33-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 33 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{33}$

Somit gilt für die 33-te Ableitung:

f⁽³³⁾(x) = ${(- 0,85)}^{33} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $- 0,005 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 8 x$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 8$

= $3 e^{- 0,7 x} + 3 (x + 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 8$

= $3 e^{- 0,7 x} - 2,1 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 8$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3 - 2,1 x - 10,5) + 8$

= $8 + (- 2,1 x + 3 - 10,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $8 + (- 2,1 x - 7,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten