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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $\frac{14}{9} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} - e^{- x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} - e^{- x - 3}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} - e^{- x - 3} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} + e^{- x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{2} + e^{3 x} \cdot 2 x$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{2} + 2 \cdot e^{3 x} x$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{x} \cdot 1$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 3) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 3) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (2 x + 3) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 \cdot \sin (x^{3}) + (2 x + 3) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 \cdot \sin (x^{3}) + 3 (2 x + 3) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 85)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 2$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 (x + 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 2$

= $2 e^{- 0,8 x} - 1,6 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 2$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2 - 1,6 x - 11,2) + 2$

= $2 + (- 1,6 x + 2 - 11,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $2 + (- 1,6 x - 9,2) \cdot e^{- 0,8 x}$