Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot e^{- 5 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot e^{- 5 x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} + 8 x^{3}) \cdot e^{- 5 x + 3} + (- 4 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot e^{- 5 x + 3} \cdot (- 5)$

= $(- 20 x^{4} + 8 x^{3}) \cdot e^{- 5 x + 3} + (- 4 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 3})$

= $(- 20 x^{4} + 8 x^{3}) \cdot e^{- 5 x + 3} - 5 (- 4 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot e^{- 5 x + 3}$

= $e^{- 5 x + 3} \cdot (20 x^{5} - 10 x^{4} + (- 20 x^{4} + 8 x^{3}))$

= $e^{- 5 x + 3} \cdot (20 x^{5} - 30 x^{4} + 8 x^{3})$

= $(20 x^{5} - 30 x^{4} + 8 x^{3}) \cdot e^{- 5 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (x^{4} + 4 x^{3}) + e^{- x} \cdot (4 x^{3} + 12 x^{2})$

= $- e^{- x} (x^{4} + 4 x^{3}) + e^{- x} (4 x^{3} + 12 x^{2})$

= $e^{- x} \cdot (- x^{4} - 4 x^{3} + (4 x^{3} + 12 x^{2}))$

= $e^{- x} \cdot (- x^{4} + 0 + 12 x^{2})$

= $e^{- x} \cdot (- x^{4} + 12 x^{2})$

= $(- x^{4} + 12 x^{2}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} + 3} \cdot (- 4 x + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x^{2} + 3} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \frac{x}{- 2 x^{2} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \sin (- 2 x)$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot \sin (- 2 x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot \sin (- 2 x) + x^{\frac{1}{4}} \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot \sin (- 2 x) + \sqrt[4]{x} \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (- 2 x)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (- 2 x)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} - 2 \sqrt[4]{x} \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${(- 0,85)}^{47} \cdot e^{- 0,85 x}$

= 0

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 3 e^{- 0,5 x} - 3 (x + 5) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 3 e^{- 0,5 x} + 1,5 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 3 + 1,5 x + 7,5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1,5 x + 4,5)$

= $(1,5 x + 4,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten