$\text{f(x)}=$ $-2-3e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $6e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^3+2x^2\right)·e^{-5x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3x^2+4x\right)·e^{-5x+3}+\left(x^3+2x^2\right)·e^{-5x+3}·\left(-5\right)$

= $\left(3x^2+4x\right)·e^{-5x+3}+\left(x^3+2x^2\right)·\left(-5e^{-5x+3}\right)$

= $\left(3x^2+4x\right)·e^{-5x+3}-5\left(x^3+2x^2\right)·e^{-5x+3}$

= $e^{-5x+3}·(-5x^3-10x^2+\left(3x^2+4x\right))$

= $e^{-5x+3}·\left(-5x^3-7x^2+4x\right)$

= $\left(-5x^3-7x^2+4x\right)·e^{-5x+3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·x^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·x^2+e^{-3x}·2x$

= $-3·e^{-3x}{x}^2+2·e^{-3x}x$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x\right)$

= $\left(-3x^2+2x\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x+4}·\left(5+0\right)$

= $\frac{1}{5x+4}·\left(5\right)$

= $\frac{5}{5x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+5\right)·\sin \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(2x\right)+\left(x^2+5\right)·\cos \left(2x\right)·2$

= $2x·\sin \left(2x\right)+\left(x^2+5\right)·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $2x·\sin \left(2x\right)+2\left(x^2+5\right)·\cos \left(2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+90\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+7x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+7$

= $4e^{-\mathrm{0,7}x}+4\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)+7$

= $4e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{2,8}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+7$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(4-\mathrm{2,8}x-\mathrm{11,2}\right)+7$

= $7+\left(-\mathrm{2,8}x+4-\mathrm{11,2}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $7+\left(-\mathrm{2,8}x-\mathrm{7,2}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$