Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{5}{8} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{5}{8} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{8} e^{x}$

= $\frac{5}{8} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{3} + 1) \cdot e^{- 4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{3} + 1) \cdot e^{- 4 x + 1}$

$f'(x) =$ $(9 x^{2} + 0) \cdot e^{- 4 x + 1} + (3 x^{3} + 1) \cdot e^{- 4 x + 1} \cdot (- 4)$

= $9 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 1} + (3 x^{3} + 1) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 1})$

= $9 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 1} - 4 (3 x^{3} + 1) \cdot e^{- 4 x + 1}$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (- 12 x^{3} - 4 + 9 x^{2})$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (- 12 x^{3} + 9 x^{2} - 4)$

= $(- 12 x^{3} + 9 x^{2} - 4) \cdot e^{- 4 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{3} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{3} - 2}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{3} - 2} \cdot (- 6 x^{2})$

= $18 \cdot e^{- 2 x^{3} - 2} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{- 2 x^{3} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x - 1} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x - 1} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x - 7) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x - 7) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x - 7) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (1 + 3 x - 21)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x - 20)$

= $(3 x - 20) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{1,1 x}$

f'(x) = $- 5 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 5,5 e^{1,1 x}$

f''(x) = $- 5,5 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 6,05 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $- 6,05 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 6,655 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 6,655 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 7,3205 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${1,1}^{65} \cdot (- 5 e^{1,1 x})$

≈ $- 2451,854 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 9$

= $- e^{- 0,8 x} - (x + 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 9$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 9$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1 + 0,8 x + 3,2) - 9$

= $- 9 + (0,8 x - 1 + 3,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 9 + (0,8 x + 2,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten