Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{4} - 3) \cdot e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{4} - 3) \cdot e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $(16 x^{3} + 0) \cdot e^{2 x - 2} + (4 x^{4} - 3) \cdot e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $16 x^{3} \cdot e^{2 x - 2} + (4 x^{4} - 3) \cdot 2 e^{2 x - 2}$

= $16 x^{3} \cdot e^{2 x - 2} + 2 (4 x^{4} - 3) \cdot e^{2 x - 2}$

= $e^{2 x - 2} \cdot (8 x^{4} - 6 + 16 x^{3})$

= $e^{2 x - 2} \cdot (8 x^{4} + 16 x^{3} - 6)$

= $(8 x^{4} + 16 x^{3} - 6) \cdot e^{2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 3 x) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 3 x) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} + 3) \cdot e^{- 3 x} + (- 4 x^{3} + 3 x) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(- 12 x^{2} + 3) \cdot e^{- 3 x} + (- 4 x^{3} + 3 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(- 12 x^{2} + 3) \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 4 x^{3} + 3 x) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (12 x^{3} - 9 x - 12 x^{2} + 3)$

= $e^{- 3 x} \cdot (12 x^{3} - 12 x^{2} - 9 x + 3)$

= $(12 x^{3} - 12 x^{2} - 9 x + 3) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} - 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{3} - 2 x} \cdot (- 6 x^{2} - 2)$

= $\frac{- 6 x^{2} - 2}{- 2 x^{3} - 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} - 4}$

= ${(- 3 x^{3} - 4)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- {(- 3 x^{3} - 4)}^{- 2} \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{{(- 3 x^{3} - 4)}^{2}} \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $- \frac{1}{{(- 3 x^{3} - 4)}^{2}} \cdot (- 9 x^{2})$

= $9 \frac{x^{2}}{{(- 3 x^{3} - 4)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 35-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 35-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 35 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{35}$

Somit gilt für die 35-te Ableitung:

f⁽³⁵⁾(x) = ${(- 1,15)}^{35} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $- 133,176 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 1$

= $- 5 e^{- 0,8 x} - 5 (x + 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 1$

= $- 5 e^{- 0,8 x} + 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 1$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 5 + 4 x + 24) - 1$

= $- 1 + (4 x - 5 + 24) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 1 + (4 x + 19) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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