$\text{f(x)}=$ $2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{2x}·2$

= $4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{9}{2x^4}+e^{-2x-5}$

= $\frac{9}{2}{x}^{-4}+e^{-2x-5}$

=> f'(x) = $-18x^{-5}+e^{-2x-5}·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{18}{x^5}+e^{-2x-5}·\left(-2\right)$

= $-\frac{18}{x^5}-2e^{-2x-5}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^4+e^{-2x}·4x^3$

= $-2·e^{-2x}{x}^4+4·e^{-2x}{x}^3$

= $e^{-2x}·\left(4x^3-2x^4\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x^4+4x^3\right)$

= $\left(-2x^4+4x^3\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x-5}·\left(5+0\right)$

= $\frac{1}{5x-5}·\left(5\right)$

= $\frac{5}{5x-5}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{{\left(-2x^2-2\right)}^3}$

= $3{\left(-2x^2-2\right)}^{-3}$

=> f'(x) = $-9{\left(-2x^2-2\right)}^{-4}·\left(-4x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{{\left(-2x^2-2\right)}^4}·\left(-4x+0\right)$

= $-\frac{9}{{\left(-2x^2-2\right)}^4}·\left(-4x\right)$

= $36\frac{x}{{\left(-2x^2-2\right)}^4}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-x}$

f'(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f'''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-7$

= $-2e^{-\mathrm{0,3}x}-2\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-7$

= $-2e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,6}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-7$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,6}x+\mathrm{4,2}-2\right)-7$

= $-7+\left(\mathrm{0,6}x+\mathrm{4,2}-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $-7+\left(\mathrm{0,6}x+\mathrm{2,2}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$