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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 2) \cdot e^{3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 2) \cdot e^{3 x + 5}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{3 x + 5} + (2 x + 2) \cdot e^{3 x + 5} \cdot 3$

= $2 e^{3 x + 5} + (2 x + 2) \cdot 3 e^{3 x + 5}$

= $2 e^{3 x + 5} + 3 (2 x + 2) \cdot e^{3 x + 5}$

= $e^{3 x + 5} \cdot (2 + 6 x + 6)$

= $e^{3 x + 5} \cdot (6 x + 8)$

= $(6 x + 8) \cdot e^{3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x^{3} + 5} \cdot (- 3 x^{2})$

= $9 \cdot e^{- x^{3} + 5} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{- x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x + 4} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x + 4} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 80-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 80 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{80}$

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = ${(- 1,05)}^{80} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $49,561 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 6$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 6$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 6$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3 + 2,4 x - 2,4) + 6$

= $6 + (2,4 x - 3 - 2,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $6 + (2,4 x - 5,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten