$\text{f(x)}=$ $-5+e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-2e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^3+3x^2\right)·e^{-4x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3x^2+6x\right)·e^{-4x+3}+\left(x^3+3x^2\right)·e^{-4x+3}·\left(-4\right)$

= $\left(3x^2+6x\right)·e^{-4x+3}+\left(x^3+3x^2\right)·\left(-4e^{-4x+3}\right)$

= $\left(3x^2+6x\right)·e^{-4x+3}-4\left(x^3+3x^2\right)·e^{-4x+3}$

= $e^{-4x+3}·(-4x^3-12x^2+\left(3x^2+6x\right))$

= $e^{-4x+3}·\left(-4x^3-9x^2+6x\right)$

= $\left(-4x^3-9x^2+6x\right)·e^{-4x+3}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{2x^3-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{2x^3-3}·6x^2$

= $-6·e^{2x^3-3}{x}^2$

= $-6x^2{e}^{2x^3-3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^2+x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^2+x}·\left(-2x+1\right)$

= $\frac{-2x+1}{-x^2+x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+3\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{2x}+\left(3x+3\right)·e^{2x}·2$

= $3e^{2x}+\left(3x+3\right)·2e^{2x}$

= $3e^{2x}+2\left(3x+3\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(3+6x+6\right)$

= $e^{2x}·\left(6x+9\right)$

= $\left(6x+9\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+85\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{3,2}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-4+\mathrm{3,2}x+\mathrm{19,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(\mathrm{3,2}x+\mathrm{15,2}\right)$

= $\left(\mathrm{3,2}x+\mathrm{15,2}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$