Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{\frac{3}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{\frac{3}{2} x}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5} e^{\frac{3}{2} x} \cdot \frac{3}{2}$

= $\frac{6}{5} e^{\frac{3}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 3) \cdot e^{4 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 3) \cdot e^{4 x + 4}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{4 x + 4} + (3 x + 3) \cdot e^{4 x + 4} \cdot 4$

= $3 e^{4 x + 4} + (3 x + 3) \cdot 4 e^{4 x + 4}$

= $3 e^{4 x + 4} + 4 (3 x + 3) \cdot e^{4 x + 4}$

= $e^{4 x + 4} \cdot (3 + 12 x + 12)$

= $e^{4 x + 4} \cdot (12 x + 15)$

= $(12 x + 15) \cdot e^{4 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $- 6 e^{2 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} - x^{2}} \cdot (- 15 x^{2} - 2 x)$

= $\frac{- 15 x^{2} - 2 x}{- 5 x^{3} - x^{2}}$

= $\frac{- 1 \cdot (15 x + 2)}{- x \cdot (5 x + 1)}$

= $\frac{- (15 x + 2)}{- x \cdot (5 x + 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \sin (x^{3}) + x^{2} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + x^{2} \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 x^{2} \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 x^{4} \cdot \cos (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 34-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${(- 1,15)}^{34} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $115,805 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 4$

= $- 2 e^{- 0,5 x} - 2 (x + 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 4$

= $- 2 e^{- 0,5 x} + (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 + x + 6) + 4$

= $4 + (x - 2 + 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $4 + (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten