$\text{f(x)}=$ $-3-e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{-x}·\left(-1\right)$

= $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x-5}+x^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x-5}·\left(-1\right)+5x^4$

= $-e^{-x-5}+5x^4$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-3x}+x^3·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3x^2·e^{-3x}+x^3·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3x^2·e^{-3x}-3x^3·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x^2+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x^2+4}·\left(-6x+0\right)$

= $\frac{1}{-3x^2+4}·\left(-6x\right)$

= $-6\frac{x}{-3x^2+4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2+5\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+0\right)·e^{-2x}+\left(2x^2+5\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $4x·e^{-2x}+\left(2x^2+5\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $4x·e^{-2x}-2\left(2x^2+5\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-4x^2-10+4x\right)$

= $e^{-2x}·\left(-4x^2+4x-10\right)$

= $\left(-4x^2+4x-10\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,522}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 44-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 44 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{44}$

Somit gilt für die 44-te Ableitung:

f⁽⁴⁴⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{44}·e^{\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,001}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)-3$

= $-4e^{-\mathrm{0,9}x}-4\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)-3$

= $-4e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{3,6}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-3$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-4+\mathrm{3,6}x-\mathrm{25,2}\right)-3$

= $-3+\left(\mathrm{3,6}x-4-\mathrm{25,2}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $-3+\left(\mathrm{3,6}x-\mathrm{29,2}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$