$\text{f(x)}=$ $-5-3e^{\frac{11}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{\frac{11}{8}x}·\frac{11}{8}$

= $-\frac{33}{8}{e}^{\frac{11}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-3x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-3x-5}+x^5·e^{-3x-5}·\left(-3\right)$

= $5x^4·e^{-3x-5}+x^5·\left(-3e^{-3x-5}\right)$

= $5x^4·e^{-3x-5}-3x^5·e^{-3x-5}$

= $e^{-3x-5}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x-5}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^x+x^5·e^x$

= $5x^4·e^x+x^5·e^x$

= $e^x·\left(x^5+5x^4\right)$

= $\left(x^5+5x^4\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x-3}·\left(3+0\right)$

= $\frac{1}{3x-3}·\left(3\right)$

= $\frac{3}{3x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-4\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-2x}+\left(x-4\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $e^{-2x}+\left(x-4\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $e^{-2x}-2\left(x-4\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(1-2x+8\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x+9\right)$

= $\left(-2x+9\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-x}$

f'(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f'''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+2$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,2}x}+3\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,6}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(3-\mathrm{0,6}x+\mathrm{4,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{7,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{7,2}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$