Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{2} - 3) \cdot e^{2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{2} - 3) \cdot e^{2 x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 2 x + 0) \cdot e^{2 x - 3} + (- x^{2} - 3) \cdot e^{2 x - 3} \cdot 2$

= $- 2 x \cdot e^{2 x - 3} + (- x^{2} - 3) \cdot 2 e^{2 x - 3}$

= $- 2 x \cdot e^{2 x - 3} + 2 (- x^{2} - 3) \cdot e^{2 x - 3}$

= $e^{2 x - 3} \cdot (- 2 x^{2} - 6 - 2 x)$

= $e^{2 x - 3} \cdot (- 2 x^{2} - 2 x - 6)$

= $(- 2 x^{2} - 2 x - 6) \cdot e^{2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (5 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (5 x + 2)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (5 x + 2) + e^{- x} \cdot (5 + 0)$

= $- e^{- x} (5 x + 2) + e^{- x} \cdot (5)$

= $- e^{- x} (5 x + 2) + 5 e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (5 - 5 x - 2)$

= $e^{- x} \cdot (- 5 x + 3)$

= $(- 5 x + 3) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} + 1} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{2 x^{3} + 1} \cdot (6 x^{2})$

= $6 \frac{x^{2}}{2 x^{3} + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \cos (3 x^{3} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \cos (3 x^{3} - 5)$

$f'(x) =$ $\sin (3 x^{3} - 5) \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $\sin (3 x^{3} - 5) \cdot (9 x^{2})$

= $9 \sin (3 x^{3} - 5) x^{2}$

= $9 x^{2} \cdot \sin (3 x^{3} - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- x}$

f'(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f'''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $- 3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 3$

= $e^{- 0,5 x} + (x + 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 3$

= $e^{- 0,5 x} - 0,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 3$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1 - 0,5 x - 3) - 3$

= $- 3 + (- 0,5 x + 1 - 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 3 + (- 0,5 x - 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten