Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 5) \cdot e^{- 2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 5) \cdot e^{- 2 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 10 x^{4} + 0) \cdot e^{- 2 x + 4} + (- 2 x^{5} + 5) \cdot e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2)$

= $- 10 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 4} + (- 2 x^{5} + 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 4})$

= $- 10 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 4} - 2 (- 2 x^{5} + 5) \cdot e^{- 2 x + 4}$

= $e^{- 2 x + 4} \cdot (4 x^{5} - 10 - 10 x^{4})$

= $e^{- 2 x + 4} \cdot (4 x^{5} - 10 x^{4} - 10)$

= $(4 x^{5} - 10 x^{4} - 10) \cdot e^{- 2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x - 4}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (- 5 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (- 5 x + 1)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- 5 x + 1)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (- 5 x + 1) + x^{\frac{1}{2}} \cdot (- \sin (- 5 x + 1) \cdot (- 5 + 0))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \cos (- 5 x + 1) + \sqrt{x} \cdot (- \sin (- 5 x + 1) \cdot (- 5 + 0))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 5 x + 1)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- \sin (- 5 x + 1) \cdot (- 5))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 5 x + 1)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 5 \cdot \sin (- 5 x + 1)$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 5 x + 1)}{\sqrt{x}} + 5 \sqrt{x} \cdot \sin (- 5 x + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{x}$

f'(x) = $3 e^{x}$

f''(x) = $3 e^{x}$

f'''(x) = $3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 3$

= $- 5 e^{- 0,7 x} - 5 (x - 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 3$

= $- 5 e^{- 0,7 x} + 3,5 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 3$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 5 + 3,5 x - 7) + 3$

= $3 + (3,5 x - 5 - 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $3 + (3,5 x - 12) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten