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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{2 x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 9 x^{2} + 4 x) \cdot e^{2 x - 3} + (- 3 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{2 x - 3} \cdot 2$

= $(- 9 x^{2} + 4 x) \cdot e^{2 x - 3} + (- 3 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot 2 e^{2 x - 3}$

= $(- 9 x^{2} + 4 x) \cdot e^{2 x - 3} + 2 (- 3 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{2 x - 3}$

= $e^{2 x - 3} \cdot (- 6 x^{3} + 4 x^{2} + (- 9 x^{2} + 4 x))$

= $e^{2 x - 3} \cdot (- 6 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x)$

= $(- 6 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x) \cdot e^{2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot (- e^{- x})$

= $2 x \cdot e^{- x} - x^{2} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{{(- 3 x + 1)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{{(- 3 x + 1)}^{2}}$

= $- {(- 3 x + 1)}^{- 2}$

=> f'(x) = $2 {(- 3 x + 1)}^{- 3} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{{(- 3 x + 1)}^{3}} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{2}{{(- 3 x + 1)}^{3}} \cdot (- 3)$

= $- \frac{6}{{(- 3 x + 1)}^{3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{x}$

f'(x) = $- 5 e^{x}$

f''(x) = $- 5 e^{x}$

f'''(x) = $- 5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $- 5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 3$

= $e^{- 0,2 x} + (x - 4) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 3$

= $e^{- 0,2 x} - 0,2 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 3$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (1 - 0,2 x + 0,8) + 3$

= $3 + (- 0,2 x + 1 + 0,8) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $3 + (- 0,2 x + 1,8) \cdot e^{- 0,2 x}$