$\text{f(x)}=$ $-3+2e^{\frac{3}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{\frac{3}{4}x}·\frac{3}{4}$

= $\frac{3}{2}{e}^{\frac{3}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}{x}^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·x^5+e^{3x}·5x^4$

= $3·e^{3x}{x}^5+5·e^{3x}{x}^4$

= $e^{3x}·\left(3x^5+5x^4\right)$

= $\left(3x^5+5x^4\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{2x^3+2}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{2x^3+2}·6x^2$

= $18·e^{2x^3+2}{x}^2$

= $18x^2{e}^{2x^3+2}$

$\text{f(x)}=$ $5\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{6x}·6$

= $\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-3\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-2x}+\left(x-3\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $e^{-2x}+\left(x-3\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $e^{-2x}-2\left(x-3\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(1-2x+6\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x+7\right)$

= $\left(-2x+7\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,6561}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{64}·e^{-\mathrm{0,9}x}$

≈ $\mathrm{0,001}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+9x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+4\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+9$

= $4e^{-\mathrm{0,7}x}+4\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)+9$

= $4e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{2,8}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+9$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(4-\mathrm{2,8}x-\mathrm{8,4}\right)+9$

= $9+\left(-\mathrm{2,8}x+4-\mathrm{8,4}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $9+\left(-\mathrm{2,8}x-\mathrm{4,4}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$