Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $\frac{2}{9} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x + 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 1} + x^{5} \cdot e^{5 x + 1} \cdot 5$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 1} + x^{5} \cdot 5 e^{5 x + 1}$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 1} + 5 x^{5} \cdot e^{5 x + 1}$

= $e^{5 x + 1} \cdot (5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{5 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} + 3} \cdot (- 4 x)$

= $4 \cdot e^{- 2 x^{2} + 3} x$

= $4 x e^{- 2 x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (x^{2} - 5) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $2 x \cdot \cos (x^{2}) + (x^{2} - 5) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $2 x \cdot \cos (x^{2}) - 2 (x^{2} - 5) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 69-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,8574 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,8145 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 69-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 69 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{69}$

Somit gilt für die 69-te Ableitung:

f⁽⁶⁹⁾(x) = ${(- 0,95)}^{69} \cdot e^{- 0,95 x}$

≈ $- 0,029 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 9$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x - 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 9$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} + 9$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3 + 2,4 x - 7,2) + 9$

= $9 + (2,4 x - 3 - 7,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $9 + (2,4 x - 10,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten