$\text{f(x)}=$ $4-e^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{\frac{7}{9}x}·\frac{7}{9}$

= $-\frac{7}{9}{e}^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{3x-4}+\frac{1}{3}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{3x-4}·3+\frac{1}{3}\cdot \cos \left(x\right)$

= $9e^{3x-4}+\frac{1}{3}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $2e^{2x^3+5}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{2x^3+5}·6x^2$

= $12·e^{2x^3+5}{x}^2$

= $12x^2{e}^{2x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x-1}·\left(2+0\right)$

= $\frac{1}{2x-1}·\left(2\right)$

= $\frac{2}{2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+2\right)·\cos \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\cos \left(3x\right)+\left(2x+2\right)·(-\sin \left(3x\right)·3)$

= $2\cdot \cos \left(3x\right)+\left(2x+2\right)·\left(-3\cdot \sin \left(3x\right)\right)$

= $2\cdot \cos \left(3x\right)-3\left(2x+2\right)·\sin \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-x}$

f'(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f'''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,9}x}-3\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{2,7}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-3+\mathrm{2,7}x+\mathrm{2,7}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{2,7}x-\mathrm{0,3}\right)$

= $\left(\mathrm{2,7}x-\mathrm{0,3}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$