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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{11}{8} e^{\frac{2}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{11}{8} e^{\frac{2}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{11}{8} e^{\frac{2}{3} x} \cdot \frac{2}{3}$

= $\frac{11}{12} e^{\frac{2}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x + 4) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x + 4) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(4 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (4 x + 4) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $4 e^{- 3 x} + (4 x + 4) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $4 e^{- 3 x} - 3 (4 x + 4) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (4 - 12 x - 12)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 12 x - 8)$

= $(- 12 x - 8) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x + 5}$

$f'(x) =$ $e^{- x + 5} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{x} \cdot 1$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 9) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 9) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 9) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} - 27 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 27)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 27) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- x}$

f'(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f'''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $- 2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 2$

= $e^{- 0,4 x} + (x + 7) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 2$

= $e^{- 0,4 x} - 0,4 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 2$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1 - 0,4 x - 2,8) + 2$

= $2 + (- 0,4 x + 1 - 2,8) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $2 + (- 0,4 x - 1,8) \cdot e^{- 0,4 x}$