Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{5} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{5} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{5} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{14}{5} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x - 4} + \frac{3}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x - 4} + \frac{3}{x^{4}}$

= $2 e^{2 x - 4} + 3 x^{- 4}$

=> f'(x) = $2 e^{2 x - 4} \cdot 2 - 12 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x - 4} \cdot 2 - \frac{12}{x^{5}}$

= $4 e^{2 x - 4} - \frac{12}{x^{5}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x^{3} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x^{3} - 5}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x^{3} - 5} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 9 \cdot e^{- 3 x^{3} - 5} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{- 3 x^{3} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{5 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{5 x - 5}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{5 x - 5}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{5 x - 5} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{5 x - 5} \cdot 5$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{5 x - 5} + \sqrt{x} \cdot e^{5 x - 5} \cdot 5$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{5 x - 5}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 5 e^{5 x - 5}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{5 x - 5}}{\sqrt{x}} + 5 \sqrt{x} \cdot e^{5 x - 5}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $3,45 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $3,45 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 3,9675 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $- 3,9675 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $4,5626 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,5626 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 5,247 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${(- 1,15)}^{45} \cdot (- 3 e^{- 1,15 x})$

≈ $1616,308 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 3$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x + 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x - 1,4)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1,4 x + 0,6)$

= $(- 1,4 x + 0,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten