$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-\frac{3}{4}{e}^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-4x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-4x+1}+x^4·e^{-4x+1}·\left(-4\right)$

= $4x^3·e^{-4x+1}+x^4·\left(-4e^{-4x+1}\right)$

= $4x^3·e^{-4x+1}-4x^4·e^{-4x+1}$

= $e^{-4x+1}·\left(-4x^4+4x^3\right)$

= $\left(-4x^4+4x^3\right)·e^{-4x+1}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-2x^2+2}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-2x^2+2}·\left(-4x\right)$

= $4·e^{-2x^2+2}x$

= $4x{e}^{-2x^2+2}$

$\text{f(x)}=$ $-\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-1}{5x}·5$

= $-\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+7\right)·\sin \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(2x\right)+\left(2x+7\right)·\cos \left(2x\right)·2$

= $2\cdot \sin \left(2x\right)+\left(2x+7\right)·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $2\cdot \sin \left(2x\right)+2\left(2x+7\right)·\cos \left(2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^x$

f'(x) = $-e^x$

f''(x) = $-e^x$

f'''(x) = $-e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $-e^x$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+6$

= $2e^{-\mathrm{0,3}x}+2\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)+6$

= $2e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,6}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(2-\mathrm{0,6}x-\mathrm{0,6}\right)+6$

= $6+\left(-\mathrm{0,6}x+2-\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $6+\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{1,4}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$