$\text{f(x)}=$ $2e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-4e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{3x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{3x+3}+x^2·e^{3x+3}·3$

= $2x·e^{3x+3}+x^2·3e^{3x+3}$

= $2x·e^{3x+3}+3x^2·e^{3x+3}$

= $e^{3x+3}·\left(3x^2+2x\right)$

= $\left(3x^2+2x\right)·e^{3x+3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·x^3+e^{3x}·3x^2$

= $3·e^{3x}{x}^3+3·e^{3x}{x}^2$

= $e^{3x}·\left(3x^3+3x^2\right)$

= $\left(3x^3+3x^2\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{x}·1$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^2+9\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(6x+0\right)·e^{3x}+\left(3x^2+9\right)·e^{3x}·3$

= $6x·e^{3x}+\left(3x^2+9\right)·3e^{3x}$

= $6x·e^{3x}+3\left(3x^2+9\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(9x^2+27+6x\right)$

= $e^{3x}·\left(9x^2+6x+27\right)$

= $\left(9x^2+6x+27\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-x}$

f'(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f'''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+8$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}+\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{0,9}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(1-\mathrm{0,9}x-\mathrm{2,7}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}x-\mathrm{1,7}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,9}x-\mathrm{1,7}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$