$\text{f(x)}=$ $-4+\frac{3}{5}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{5}{e}^{3x}·3$

= $\frac{9}{5}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2x^3}+3e^{-x-5}$

= $-\frac{1}{2}{x}^{-3}+3e^{-x-5}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{x}^{-4}+3e^{-x-5}·\left(-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2x^4}+3e^{-x-5}·\left(-1\right)$

= $\frac{3}{2x^4}-3e^{-x-5}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-x^2+1}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-x^2+1}·\left(-2x\right)$

= $-6·e^{-x^2+1}x$

= $-6x{e}^{-x^2+1}$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{7x}·7$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-5\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{2x}+\left(x^2-5\right)·e^{2x}·2$

= $2x·e^{2x}+\left(x^2-5\right)·2e^{2x}$

= $2x·e^{2x}+2\left(x^2-5\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^2-10+2x\right)$

= $e^{2x}·\left(2x^2+2x-10\right)$

= $\left(2x^2+2x-10\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{63}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $-\mathrm{0,039}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-9x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-9$

= $-2e^{-\mathrm{0,2}x}-2\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-9$

= $-2e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,4}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-9$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-2+\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}\right)-9$

= $-9+\left(\mathrm{0,4}x-2+\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $-9+\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$