$\text{f(x)}=$ $-2e^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{\frac{1}{4}x}·\frac{1}{4}$

= $-\frac{1}{2}{e}^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^4+3\right)·e^{2x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(12x^3+0\right)·e^{2x+5}+\left(3x^4+3\right)·e^{2x+5}·2$

= $12x^3·e^{2x+5}+\left(3x^4+3\right)·2e^{2x+5}$

= $12x^3·e^{2x+5}+2\left(3x^4+3\right)·e^{2x+5}$

= $e^{2x+5}·\left(6x^4+6+12x^3\right)$

= $e^{2x+5}·\left(6x^4+12x^3+6\right)$

= $\left(6x^4+12x^3+6\right)·e^{2x+5}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{3x}+x^4·e^{3x}·3$

= $4x^3·e^{3x}+x^4·3e^{3x}$

= $4x^3·e^{3x}+3x^4·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^4+4x^3\right)$

= $\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{4x}·4$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(e^{3x}+4\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-4{\left(e^{3x}+4\right)}^3·(e^{3x}·3+0)$

= $-4{\left(e^{3x}+4\right)}^3·\left(3e^{3x}\right)$

= $-12{\left(e^{3x}+4\right)}^3·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-x}$

f'(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f'''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+1$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-3\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,4}x}-3\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{1,2}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-3+\mathrm{1,2}x+6\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(\mathrm{1,2}x+3\right)$

= $\left(\mathrm{1,2}x+3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$