Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + e^{\frac{11}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + e^{\frac{11}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{11}{9} x} \cdot \frac{11}{9}$

= $\frac{11}{9} e^{\frac{11}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x - 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{4 x - 2} + x^{5} \cdot e^{4 x - 2} \cdot 4$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x - 2} + x^{5} \cdot 4 e^{4 x - 2}$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x - 2} + 4 x^{5} \cdot e^{4 x - 2}$

= $e^{4 x - 2} \cdot (4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{4 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x^{3} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x^{3} - 2}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x^{3} - 2} \cdot 6 x^{2}$

= $- 6 \cdot e^{2 x^{3} - 2} x^{2}$

= $- 6 x^{2} e^{2 x^{3} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} - 2} \cdot (- 15 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{3} - 2} \cdot (- 15 x^{2})$

= $- 15 \frac{x^{2}}{- 5 x^{3} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{- 2 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{- 2 x^{3} + 1}$

= $- 3 {(- 2 x^{3} + 1)}^{- 1}$

=> f'(x) = $3 {(- 2 x^{3} + 1)}^{- 2} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{{(- 2 x^{3} + 1)}^{2}} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $\frac{3}{{(- 2 x^{3} + 1)}^{2}} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 18 \frac{x^{2}}{{(- 2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 58-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{1,1 x}$

f'(x) = $5 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $5,5 e^{1,1 x}$

f''(x) = $5,5 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $6,05 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $6,05 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $6,655 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $6,655 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $7,3205 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${1,1}^{58} \cdot 5 e^{1,1 x}$

≈ $1258,189 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 1$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 2 e^{- 0,2 x} - 2 (x - 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 2 e^{- 0,2 x} + 0,4 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 2 + 0,4 x - 2)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,4 x - 4)$

= $(0,4 x - 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten