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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x}$

$f'(x) =$ $- e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{5} + 5 x) \cdot e^{- 5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{5} + 5 x) \cdot e^{- 5 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 5 x^{4} + 5) \cdot e^{- 5 x - 4} + (- x^{5} + 5 x) \cdot e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5)$

= $(- 5 x^{4} + 5) \cdot e^{- 5 x - 4} + (- x^{5} + 5 x) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 4})$

= $(- 5 x^{4} + 5) \cdot e^{- 5 x - 4} - 5 (- x^{5} + 5 x) \cdot e^{- 5 x - 4}$

= $e^{- 5 x - 4} \cdot (5 x^{5} - 25 x - 5 x^{4} + 5)$

= $e^{- 5 x - 4} \cdot (5 x^{5} - 5 x^{4} - 25 x + 5)$

= $(5 x^{5} - 5 x^{4} - 25 x + 5) \cdot e^{- 5 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{2} + 3 x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{2} + 3 x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(10 x + 3) \cdot e^{3 x} + (5 x^{2} + 3 x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(10 x + 3) \cdot e^{3 x} + (5 x^{2} + 3 x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(10 x + 3) \cdot e^{3 x} + 3 (5 x^{2} + 3 x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{2} + 9 x + 10 x + 3)$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{2} + 19 x + 3)$

= $(15 x^{2} + 19 x + 3) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} + 1} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{x^{3} + 1} \cdot (3 x^{2})$

= $3 \frac{x^{2}}{x^{3} + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(3 x^{2} - 2)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(3 x^{2} - 2)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 15 {(3 x^{2} - 2)}^{4} \cdot (6 x + 0)$

= $- 15 {(3 x^{2} - 2)}^{4} \cdot (6 x)$

= $- 90 {(3 x^{2} - 2)}^{4} x$

= $- 90 x {(3 x^{2} - 2)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- x}$

f'(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f'''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $- e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 5$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x - 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 5$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 5$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (3 - 1,5 x + 4,5) + 5$

= $5 + (- 1,5 x + 3 + 4,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $5 + (- 1,5 x + 7,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten