$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{3x}·3$

= $\frac{3}{2}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-3x}+x^3·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3x^2·e^{-3x}+x^3·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3x^2·e^{-3x}-3x^3·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^5+3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-15x^4+6x\right)·e^{-2x}+\left(-3x^5+3x^2\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $\left(-15x^4+6x\right)·e^{-2x}+\left(-3x^5+3x^2\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $\left(-15x^4+6x\right)·e^{-2x}-2\left(-3x^5+3x^2\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·(6x^5-6x^2+\left(-15x^4+6x\right))$

= $e^{-2x}·\left(6x^5-15x^4-6x^2+6x\right)$

= $\left(6x^5-15x^4-6x^2+6x\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{4x}·4$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-\sqrt{-x+3}$

= $-{\left(-x+3\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{\left(-x+3\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2\sqrt{-x+3}}·\left(-1+0\right)$

= $-\frac{1}{2\sqrt{-x+3}}·\left(-1\right)$

= $\frac{1}{2\sqrt{-x+3}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^x$

f'(x) = $-e^x$

f''(x) = $-e^x$

f'''(x) = $-e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $-e^x$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+3$

= $-e^{-\mathrm{0,4}x}-\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+3$

= $-e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{0,4}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+3$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-1+\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}\right)+3$

= $3+\left(\mathrm{0,4}x-1-\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $3+\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,4}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$