$\text{f(x)}=$ $-5-e^{\frac{11}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{\frac{11}{9}x}·\frac{11}{9}$

= $-\frac{11}{9}{e}^{\frac{11}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2+e^{2x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $2x+e^{2x-2}·2$

= $2x+2e^{2x-2}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-3x^3+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-3x^3+5}·\left(-9x^2\right)$

= $27·e^{-3x^3+5}{x}^2$

= $27x^2{e}^{-3x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x+4}·\left(-2+0\right)$

= $\frac{1}{-2x+4}·\left(-2\right)$

= $-\frac{2}{-2x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-3\right)·\sin \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(3x\right)+\left(2x-3\right)·\cos \left(3x\right)·3$

= $2\cdot \sin \left(3x\right)+\left(2x-3\right)·3\cdot \cos \left(3x\right)$

= $2\cdot \sin \left(3x\right)+3\left(2x-3\right)·\cos \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+92\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+2x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+2$

= $4e^{-\mathrm{0,9}x}+4\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)+2$

= $4e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{3,6}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+2$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(4-\mathrm{3,6}x-\mathrm{21,6}\right)+2$

= $2+\left(-\mathrm{3,6}x+4-\mathrm{21,6}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $2+\left(-\mathrm{3,6}x-\mathrm{17,6}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$