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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{3} + e^{3 x + 3} - \frac{2}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{3} + e^{3 x + 3} - \frac{2}{x^{4}}$

= $4 x^{3} + e^{3 x + 3} - 2 x^{- 4}$

=> f'(x) = $12 x^{2} + e^{3 x + 3} \cdot 3 + 8 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $12 x^{2} + e^{3 x + 3} \cdot 3 + \frac{8}{x^{5}}$

= $12 x^{2} + 3 e^{3 x + 3} + \frac{8}{x^{5}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- x^{3} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- x^{3} - x)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- x^{3} - x) + e^{- 2 x} \cdot (- 3 x^{2} - 1)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (- x^{3} - x) + e^{- 2 x} (- 3 x^{2} - 1)$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{3} + 2 x - 3 x^{2} - 1)$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1)$

= $(2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} - 5 x} \cdot (9 x^{2} - 5)$

= $\frac{9 x^{2} - 5}{3 x^{3} - 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 1) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 1) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} + 1) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 3 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x - 3)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{x}$

f'(x) = $- 4 e^{x}$

f''(x) = $- 4 e^{x}$

f'''(x) = $- 4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $- 4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 7$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x - 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (3 - 0,3 x + 2,1)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,3 x + 5,1)$

= $(- 0,3 x + 5,1) \cdot e^{- 0,1 x}$