$\text{f(x)}=$ $3-3e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $6e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{x-1}+x^4·e^{x-1}·1$

= $4x^3·e^{x-1}+x^4·e^{x-1}$

= $e^{x-1}·\left(x^4+4x^3\right)$

= $\left(x^4+4x^3\right)·e^{x-1}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{2x}+x^5·e^{2x}·2$

= $5x^4·e^{2x}+x^5·2e^{2x}$

= $5x^4·e^{2x}+2x^5·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^5+5x^4\right)$

= $\left(2x^5+5x^4\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x-2}·\left(3+0\right)$

= $\frac{1}{3x-2}·\left(3\right)$

= $\frac{3}{3x-2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^2-2\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(6x+0\right)·e^{-2x}+\left(3x^2-2\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $6x·e^{-2x}+\left(3x^2-2\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $6x·e^{-2x}-2\left(3x^2-2\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-6x^2+4+6x\right)$

= $e^{-2x}·\left(-6x^2+6x+4\right)$

= $\left(-6x^2+6x+4\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+94\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-6$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,2}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-1+\mathrm{0,2}x-\mathrm{1,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,2}x-\mathrm{2,4}\right)$

= $\left(\mathrm{0,2}x-\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$