$\text{f(x)}=$ $1-e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-x}+x^4·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $4x^3·e^{-x}+x^4·\left(-e^{-x}\right)$

= $4x^3·e^{-x}-x^4·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^4+4x^3\right)$

= $\left(-x^4+4x^3\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-3x}+x^3·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3x^2·e^{-3x}+x^3·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3x^2·e^{-3x}-3x^3·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{x}·1$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(-3x+3\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-3{\left(-3x+3\right)}^2·\left(-3+0\right)$

= $-3{\left(-3x+3\right)}^2·\left(-3\right)$

= $9{\left(-3x+3\right)}^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+76\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+7x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-2\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+7$

= $-2e^{-\mathrm{0,2}x}-2\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)+7$

= $-2e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,4}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+7$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-2+\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,6}\right)+7$

= $7+\left(\mathrm{0,4}x-2-\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $7+\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{3,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$