$\text{f(x)}=$ $-2-3e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $9e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{2x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{2x-2}+x^4·e^{2x-2}·2$

= $4x^3·e^{2x-2}+x^4·2e^{2x-2}$

= $4x^3·e^{2x-2}+2x^4·e^{2x-2}$

= $e^{2x-2}·\left(2x^4+4x^3\right)$

= $\left(2x^4+4x^3\right)·e^{2x-2}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-x+2}·\left(-1\right)$

= $-3e^{-x+2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x^2-x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x^2-x}·\left(6x-1\right)$

= $\frac{6x-1}{3x^2-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+9\right)·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\sin \left(-2x\right)+\left(3x+9\right)·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $3\cdot \sin \left(-2x\right)+\left(3x+9\right)·\left(-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right)$

= $3\cdot \sin \left(-2x\right)-2\left(3x+9\right)·\cos \left(-2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+87\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+7x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+7$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+7$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+7$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(5-2x-8\right)+7$

= $7+\left(-2x+5-8\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $7+\left(-2x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$