$\text{f(x)}=$ $-3+2e^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{\frac{6}{7}x}·\frac{6}{7}$

= $\frac{12}{7}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot \cos \left(x\right)+3e^{3x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot \sin \left(x\right)+3e^{3x+4}·3$

= $-\frac{1}{2}\cdot \sin \left(x\right)+9e^{3x+4}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^x+x^3·e^x$

= $3x^2·e^x+x^3·e^x$

= $e^x·\left(x^3+3x^2\right)$

= $\left(x^3+3x^2\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x-1}·\left(-1+0\right)$

= $\frac{1}{-x-1}·\left(-1\right)$

= $-\frac{1}{-x-1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-4\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-3x}+\left(x^2-4\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x}+\left(x^2-4\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2x·e^{-3x}-3\left(x^2-4\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+12+2x\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x+12\right)$

= $\left(-3x^2+2x+12\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^{-x}$

f'(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f''(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f'''(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $-5e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-6$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{0,6}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(1-\mathrm{0,6}x-3\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}x-2\right)$

= $\left(-\mathrm{0,6}x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$