Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + 2 e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + 2 e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $\frac{7}{4} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{4} + e^{- x} \cdot 4 x^{3}$

= $- e^{- x} x^{4} + 4 \cdot e^{- x} x^{3}$

= $e^{- x} \cdot (4 x^{3} - x^{4})$

= $e^{- x} \cdot (- x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 2 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 2 x + 1)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- 2 x + 1) + e^{3 x} \cdot (- 2 + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} (- 2 x + 1) + e^{3 x} \cdot (- 2)$

= $3 \cdot e^{3 x} (- 2 x + 1) - 2 e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x + 3 - 2)$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x + 1)$

= $(- 6 x + 1) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \cos (3 x^{3} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \cos (3 x^{3} + 1)$

$f'(x) =$ $\sin (3 x^{3} + 1) \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $\sin (3 x^{3} + 1) \cdot (9 x^{2})$

= $9 \sin (3 x^{3} + 1) x^{2}$

= $9 x^{2} \cdot \sin (3 x^{3} + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 75)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 8$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- e^{- 0,3 x} - (x - 6) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- e^{- 0,3 x} + 0,3 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,3 x - 1,8 - 1)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,3 x - 2,8)$

= $(0,3 x - 2,8) \cdot e^{- 0,3 x}$