$\text{f(x)}=$ $-3+\frac{6}{5}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{6}{5}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-\frac{18}{5}{e}^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $9x^2-2e^{3x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $18x-2e^{3x-5}·3$

= $18x-6e^{3x-5}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-x^2-5}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-x^2-5}·\left(-2x\right)$

= $-6·e^{-x^2-5}x$

= $-6x{e}^{-x^2-5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(x^2+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x^2+3}·\left(2x+0\right)$

= $\frac{1}{x^2+3}·\left(2x\right)$

= $2\frac{x}{x^2+3}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(x+2\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-9{\left(x+2\right)}^2·\left(1+0\right)$

= $-9{\left(x+2\right)}^2·\left(1\right)$

= $-9{\left(x+2\right)}^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^x$

f'(x) = $-5e^x$

f''(x) = $-5e^x$

f'''(x) = $-5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $-5e^x$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+2x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-3\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+2$

= $-3e^{-\mathrm{0,1}x}-3\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)+2$

= $-3e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,3}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+2$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-3+\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}\right)+2$

= $2+\left(\mathrm{0,3}x-3-\mathrm{0,9}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $2+\left(\mathrm{0,3}x-\mathrm{3,9}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$