Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{8} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{7}{4} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} - x^{4}) \cdot e^{- 2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} - x^{4}) \cdot e^{- 2 x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x - 5} + (- 4 x^{5} - x^{4}) \cdot e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2)$

= $(- 20 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x - 5} + (- 4 x^{5} - x^{4}) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 5})$

= $(- 20 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x - 5} - 2 (- 4 x^{5} - x^{4}) \cdot e^{- 2 x - 5}$

= $e^{- 2 x - 5} \cdot (8 x^{5} + 2 x^{4} + (- 20 x^{4} - 4 x^{3}))$

= $e^{- 2 x - 5} \cdot (8 x^{5} - 18 x^{4} - 4 x^{3})$

= $(8 x^{5} - 18 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} - 5} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- x^{3} - 5} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 3 \frac{x^{2}}{- x^{3} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(- 2 x^{2} + 2)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(- 2 x^{2} + 2)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 12 {(- 2 x^{2} + 2)}^{3} \cdot (- 4 x + 0)$

= $- 12 {(- 2 x^{2} + 2)}^{3} \cdot (- 4 x)$

= $48 {(- 2 x^{2} + 2)}^{3} x$

= $48 x {(- 2 x^{2} + 2)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{x}$

f'(x) = $2 e^{x}$

f''(x) = $2 e^{x}$

f'''(x) = $2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 4$

= $4 e^{- 0,6 x} + 4 (x + 7) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 4$

= $4 e^{- 0,6 x} - 2,4 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} - 4$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (4 - 2,4 x - 16,8) - 4$

= $- 4 + (- 2,4 x + 4 - 16,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 4 + (- 2,4 x - 12,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten