$\text{f(x)}=$ $4+\frac{7}{6}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{7}{6}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{7}{6}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{x^4}-2e^{2x-3}$

= $5x^{-4}-2e^{2x-3}$

=> f'(x) = $-20x^{-5}-2e^{2x-3}·2$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{20}{x^5}-2e^{2x-3}·2$

= $-\frac{20}{x^5}-4e^{2x-3}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{2x}+x^4·e^{2x}·2$

= $4x^3·e^{2x}+x^4·2e^{2x}$

= $4x^3·e^{2x}+2x^4·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^4+4x^3\right)$

= $\left(2x^4+4x^3\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{4x}·4$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-2x}+\left(x+2\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $e^{-2x}+\left(x+2\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $e^{-2x}-2\left(x+2\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(1-2x-4\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x-3\right)$

= $\left(-2x-3\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+84\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+1$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-3\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,5}x}-3\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{1,5}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-3+\mathrm{1,5}x+\mathrm{10,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(\mathrm{1,5}x+\mathrm{7,5}\right)$

= $\left(\mathrm{1,5}x+\mathrm{7,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$