Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{4}{3} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} - 5 x) \cdot e^{- 2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} - 5 x) \cdot e^{- 2 x - 4}$

$f'(x) =$ $(8 x - 5) \cdot e^{- 2 x - 4} + (4 x^{2} - 5 x) \cdot e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2)$

= $(8 x - 5) \cdot e^{- 2 x - 4} + (4 x^{2} - 5 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 4})$

= $(8 x - 5) \cdot e^{- 2 x - 4} - 2 (4 x^{2} - 5 x) \cdot e^{- 2 x - 4}$

= $e^{- 2 x - 4} \cdot (- 8 x^{2} + 10 x + 8 x - 5)$

= $e^{- 2 x - 4} \cdot (- 8 x^{2} + 18 x - 5)$

= $(- 8 x^{2} + 18 x - 5) \cdot e^{- 2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x^{3} + 1} \cdot (- 6 x^{2})$

= $6 \cdot e^{- 2 x^{3} + 1} x^{2}$

= $6 x^{2} e^{- 2 x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{3} + 2 x} \cdot (- 6 x^{2} + 2)$

= $\frac{- 6 x^{2} + 2}{- 2 x^{3} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(- 2 x + 1)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(- 2 x + 1)}^{5}$

$f'(x) =$ $10 {(- 2 x + 1)}^{4} \cdot (- 2 + 0)$

= $10 {(- 2 x + 1)}^{4} \cdot (- 2)$

= $- 20 {(- 2 x + 1)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 95)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 6$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 (x + 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 6$

= $2 e^{- 0,8 x} - 1,6 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2 - 1,6 x - 3,2) - 6$

= $- 6 + (- 1,6 x + 2 - 3,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 6 + (- 1,6 x - 1,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten