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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x}$

$f'(x) =$ $- e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x + 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 4 x + 3} + x^{2} \cdot e^{- 4 x + 3} \cdot (- 4)$

= $2 x \cdot e^{- 4 x + 3} + x^{2} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 3})$

= $2 x \cdot e^{- 4 x + 3} - 4 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 3}$

= $e^{- 4 x + 3} \cdot (- 4 x^{2} + 2 x)$

= $(- 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 4 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (3 x + 4) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $3 \cdot \cos (x^{3}) + (3 x + 4) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $3 \cdot \cos (x^{3}) - 3 (3 x + 4) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 84)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 8$

= $- 5 e^{- 0,7 x} - 5 (x + 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 8$

= $- 5 e^{- 0,7 x} + 3,5 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 8$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 5 + 3,5 x + 3,5) - 8$

= $- 8 + (3,5 x - 5 + 3,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 8 + (3,5 x - 1,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten