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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{9}{7} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{9}{7} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{9}{7} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{27}{7} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x - 2} + \frac{5}{2} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x - 2} + \frac{5}{2} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2) - \frac{5}{2} \cdot \sin (x)$

= $- 6 e^{- 2 x - 2} - \frac{5}{2} \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $6 e^{2 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x - 2} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x - 2} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (- x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (- x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $\cos (- x^{2} - 3) \cdot (- 2 x + 0)$

= $\cos (- x^{2} - 3) \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \cos (- x^{2} - 3) x$

= $- 2 x \cdot \cos (- x^{2} - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${1,15}^{49} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $942,311 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 6$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $3 e^{- 0,6 x} + 3 (x + 4) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $3 e^{- 0,6 x} - 1,8 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (3 - 1,8 x - 7,2)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1,8 x - 4,2)$

= $(- 1,8 x - 4,2) \cdot e^{- 0,6 x}$