$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{5}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{5}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{3x-2}-2$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{3x-2}·3+0$

= $-9e^{3x-2}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x^3+3}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x^3+3}·9x^2$

= $9·e^{3x^3+3}{x}^2$

= $9x^2{e}^{3x^3+3}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{5x}·5$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(2x-5\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(2x-5\right)·\left(2+0\right)$

= $2\left(2x-5\right)·\left(2\right)$

= $4\left(2x-5\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,6561}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{49}·e^{-\mathrm{0,9}x}$

≈ $-\mathrm{0,006}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-5\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)-6$

= $-5e^{-\mathrm{0,8}x}-5\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)-6$

= $-5e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-6$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-5+4x+12\right)-6$

= $-6+\left(4x-5+12\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $-6+\left(4x+7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$