Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x + 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{5 x + 5} + x^{2} \cdot e^{5 x + 5} \cdot 5$

= $2 x \cdot e^{5 x + 5} + x^{2} \cdot 5 e^{5 x + 5}$

= $2 x \cdot e^{5 x + 5} + 5 x^{2} \cdot e^{5 x + 5}$

= $e^{5 x + 5} \cdot (5 x^{2} + 2 x)$

= $(5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{5 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{5} + 3) \cdot e^{x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{5} + 3) \cdot e^{x + 1}$

$f'(x) =$ $(25 x^{4} + 0) \cdot e^{x + 1} + (5 x^{5} + 3) \cdot e^{x + 1} \cdot 1$

= $25 x^{4} \cdot e^{x + 1} + (5 x^{5} + 3) \cdot e^{x + 1}$

= $e^{x + 1} \cdot (5 x^{5} + 3 + 25 x^{4})$

= $e^{x + 1} \cdot (5 x^{5} + 25 x^{4} + 3)$

= $(5 x^{5} + 25 x^{4} + 3) \cdot e^{x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x + 5} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x + 5} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 5) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 5) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (3 x^{2} - 5) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $6 x \cdot \cos (x^{2}) + (3 x^{2} - 5) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $6 x \cdot \cos (x^{2}) - 2 (3 x^{2} - 5) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{1,05 x}$

f'(x) = $- 3 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 3,15 e^{1,05 x}$

f''(x) = $- 3,15 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 3,3075 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $- 3,3075 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 3,4729 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,4729 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 3,6465 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${1,05}^{62} \cdot (- 3 e^{1,05 x})$

≈ $- 61,781 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 3$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- e^{- 0,5 x} - (x - 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- e^{- 0,5 x} + 0,5 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1 + 0,5 x - 3,5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (0,5 x - 4,5)$

= $(0,5 x - 4,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten