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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{5}{7} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{5}{7} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{7} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{15}{7} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x + 1} + 3 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x + 1} + 3 x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{2 x + 1} \cdot 2 + 6 x$

= $2 e^{2 x + 1} + 6 x$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x^{2} - 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{x^{2} - 4} \cdot 2 x$

= $6 \cdot e^{x^{2} - 4} x$

= $6 x e^{x^{2} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x - 5} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{x - 5} \cdot (1)$

= $\frac{1}{x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} - 4) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} - 4) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{2} - 4) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 8 + 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x + 8)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x + 8) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${(- 0,9)}^{60} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $0,002 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 6$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $e^{- 0,9 x} + (x - 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1 - 0,9 x + 6,3)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9 x + 7,3)$

= $(- 0,9 x + 7,3) \cdot e^{- 0,9 x}$