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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{7}{8} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{7}{8} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{8} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{21}{8} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x + 2} - 2 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x + 2} - 2 x^{3}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x + 2} \cdot 2 - 6 x^{2}$

= $- 4 e^{2 x + 2} - 6 x^{2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{2} + e^{- 3 x} \cdot 2 x$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{2} + 2 \cdot e^{- 3 x} x$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} + 3 x} \cdot (- 15 x^{2} + 3)$

= $\frac{- 15 x^{2} + 3}{- 5 x^{3} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (3 x) + (x^{2} - 4) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $2 x \cdot \sin (3 x) + (x^{2} - 4) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $2 x \cdot \sin (3 x) + 3 (x^{2} - 4) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 67-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{1,05 x}$

f'(x) = $2 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $2,1 e^{1,05 x}$

f''(x) = $2,1 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $2,205 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $2,205 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $2,3153 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,3153 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $2,431 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 67-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 67 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{67}$

Somit gilt für die 67-te Ableitung:

f⁽⁶⁷⁾(x) = ${1,05}^{67} \cdot 2 e^{1,05 x}$

≈ $52,567 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 3$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $e^{- 0,7 x} + (x - 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $e^{- 0,7 x} - 0,7 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1 - 0,7 x + 1,4)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7 x + 2,4)$

= $(- 0,7 x + 2,4) \cdot e^{- 0,7 x}$