$\text{f(x)}=$ $-2e^{\frac{8}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{\frac{8}{7}x}·\frac{8}{7}$

= $-\frac{16}{7}{e}^{\frac{8}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-x-4}+x^4·e^{-x-4}·\left(-1\right)$

= $4x^3·e^{-x-4}+x^4·\left(-e^{-x-4}\right)$

= $4x^3·e^{-x-4}-x^4·e^{-x-4}$

= $e^{-x-4}·\left(-x^4+4x^3\right)$

= $\left(-x^4+4x^3\right)·e^{-x-4}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{2x}+x^5·e^{2x}·2$

= $5x^4·e^{2x}+x^5·2e^{2x}$

= $5x^4·e^{2x}+2x^5·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^5+5x^4\right)$

= $\left(2x^5+5x^4\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x^3+5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x^3+5x}·\left(6x^2+5\right)$

= $\frac{6x^2+5}{2x^3+5x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x}+x^3·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x}+x^3·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3x^2·e^{-2x}-2x^3·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $e^x·\left(x+76\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-1$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}+\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{0,9}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(1-\mathrm{0,9}x-\mathrm{6,3}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}x-\mathrm{5,3}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,9}x-\mathrm{5,3}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$