Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{10}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{10}{9} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{10}{9} x} \cdot \frac{10}{9}$

= $\frac{10}{3} e^{\frac{10}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (5 x^{4} - 2 x^{5})$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{3} - 2 x) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{3} - 2 x) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(- 6 x^{2} - 2) \cdot e^{x} + (- 2 x^{3} - 2 x) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- 6 x^{2} - 2 + (- 2 x^{3} - 2 x))$

= $e^{x} \cdot (- 2 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 2)$

= $(- 2 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 2) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (x^{2}) + x^{5} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $5 x^{4} \cdot \sin (x^{2}) + x^{5} \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $5 x^{4} \cdot \sin (x^{2}) + 2 x^{5} \cos (x^{2}) x$

= $5 x^{4} \cdot \sin (x^{2}) + 2 x^{6} \cdot \cos (x^{2})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 72-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{1,05 x}$

f'(x) = $4 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,2 e^{1,05 x}$

f''(x) = $4,2 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,41 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $4,41 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,6305 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,6305 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,862 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 72-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 72 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{72}$

Somit gilt für die 72-te Ableitung:

f⁽⁷²⁾(x) = ${1,05}^{72} \cdot 4 e^{1,05 x}$

≈ $134,181 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} - x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 1$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x + 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 1$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 1$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2,4 x - 4,8 + 3) - 1$

= $- 1 + (- 2,4 x - 4,8 + 3) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 1 + (- 2,4 x - 1,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten