$\text{f(x)}=$ $-3+\frac{11}{9}{e}^{\frac{4}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{11}{9}{e}^{\frac{4}{3}x}·\frac{4}{3}$

= $\frac{44}{27}{e}^{\frac{4}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2x^3}-\frac{9}{4}\cdot \cos \left(x\right)-3e^{2x+4}$

= $\frac{1}{2}{x}^{-3}-\frac{9}{4}\cdot \cos \left(x\right)-3e^{2x+4}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{x}^{-4}+\frac{9}{4}\cdot \sin \left(x\right)-3e^{2x+4}·2$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2x^4}+\frac{9}{4}\cdot \sin \left(x\right)-3e^{2x+4}·2$

= $-\frac{3}{2x^4}+\frac{9}{4}\cdot \sin \left(x\right)-6e^{2x+4}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·x^3+e^{-x}·3x^2$

= $-e^{-x}{x}^3+3·e^{-x}{x}^2$

= $e^{-x}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x^3-3x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x^3-3x^2}·\left(15x^2-6x\right)$

= $\frac{15x^2-6x}{5x^3-3x^2}$

= $\frac{3·1·\left(5x-2\right)}{x·\left(5x-3\right)}$

= $\frac{3\left(5x-2\right)}{x·\left(5x-3\right)}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+3\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-3x}+\left(3x+3\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x}+\left(3x+3\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3e^{-3x}-3\left(3x+3\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(3-9x-9\right)$

= $e^{-3x}·\left(-9x-6\right)$

= $\left(-9x-6\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,522}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 33-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 33 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{33}$

Somit gilt für die 33-te Ableitung:

f⁽³³⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{33}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

≈ $-\mathrm{0,005}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+7$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{0,7}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-1+\mathrm{0,7}x+\mathrm{1,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{0,7}x+\mathrm{0,4}\right)$

= $\left(\mathrm{0,7}x+\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$