Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x - 1} - 3 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x - 1} - 3 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3) - 3 \cdot \cos (x)$

= $- 9 e^{- 3 x - 1} - 3 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{2} + 1) \cdot e^{3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{2} + 1) \cdot e^{3 x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 4 x + 0) \cdot e^{3 x + 3} + (- 2 x^{2} + 1) \cdot e^{3 x + 3} \cdot 3$

= $- 4 x \cdot e^{3 x + 3} + (- 2 x^{2} + 1) \cdot 3 e^{3 x + 3}$

= $- 4 x \cdot e^{3 x + 3} + 3 (- 2 x^{2} + 1) \cdot e^{3 x + 3}$

= $e^{3 x + 3} \cdot (- 6 x^{2} + 3 - 4 x)$

= $e^{3 x + 3} \cdot (- 6 x^{2} - 4 x + 3)$

= $(- 6 x^{2} - 4 x + 3) \cdot e^{3 x + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} + x} \cdot (4 x + 1)$

= $\frac{4 x + 1}{2 x^{2} + x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 9) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 9) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (2 x^{2} - 9) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $4 x \cdot \cos (x^{3}) + (2 x^{2} - 9) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $4 x \cdot \cos (x^{3}) - 3 (2 x^{2} - 9) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 58-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${1,1}^{58} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $251,638 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} + 9$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 2 e^{- 0,2 x} - 2 (x + 2) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 2 e^{- 0,2 x} + 0,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 2 + 0,4 x + 0,8)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,4 x - 1,2)$

= $(0,4 x - 1,2) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten