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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{8} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{15}{8} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{5} - e^{2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{5} - e^{2 x + 2}$

$f'(x) =$ $- 5 x^{4} - e^{2 x + 2} \cdot 2$

= $- 5 x^{4} - 2 e^{2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x^{2} - 4}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x^{2} - 4} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \cdot e^{- 2 x^{2} - 4} x$

= $- 4 x e^{- 2 x^{2} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(x^{2} - 1)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(x^{2} - 1)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 4 (x^{2} - 1) \cdot (2 x + 0)$

= $- 4 (x^{2} - 1) \cdot (2 x)$

= $- 8 (x^{2} - 1) x$

= $- 8 x (x^{2} - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,8574 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,8145 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${(- 0,95)}^{61} \cdot e^{- 0,95 x}$

≈ $- 0,044 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 9$

= $3 e^{- 0,7 x} + 3 (x - 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 9$

= $3 e^{- 0,7 x} - 2,1 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3 - 2,1 x + 2,1) + 9$

= $9 + (- 2,1 x + 3 + 2,1) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $9 + (- 2,1 x + 5,1) \cdot e^{- 0,7 x}$