Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $\frac{7}{9} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x + 1} - 2 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x + 1} - 2 x^{2}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3) - 4 x$

= $9 e^{- 3 x + 1} - 4 x$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(15 x^{4} - 6 x) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(15 x^{4} - 6 x) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(15 x^{4} - 6 x) \cdot e^{- 2 x} - 2 (3 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{5} + 6 x^{2} + (15 x^{4} - 6 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{5} + 15 x^{4} + 6 x^{2} - 6 x)$

= $(- 6 x^{5} + 15 x^{4} + 6 x^{2} - 6 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 59-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{0,9 x}$

f'(x) = $3 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,7 e^{0,9 x}$

f''(x) = $2,7 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,43 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $2,43 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,187 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,187 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $1,9683 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 59-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 59 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{59}$

Somit gilt für die 59-te Ableitung:

f⁽⁵⁹⁾(x) = ${0,9}^{59} \cdot 3 e^{0,9 x}$

≈ $0,006 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 4$

= $- 5 e^{- 0,9 x} - 5 (x + 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 4$

= $- 5 e^{- 0,9 x} + 4,5 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 4$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 5 + 4,5 x + 31,5) - 4$

= $- 4 + (4,5 x - 5 + 31,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 4 + (4,5 x + 26,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten