$\text{f(x)}=$ $5+3e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-9e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-x}+x^4·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $4x^3·e^{-x}+x^4·\left(-e^{-x}\right)$

= $4x^3·e^{-x}-x^4·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^4+4x^3\right)$

= $\left(-x^4+4x^3\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $e^x·\left(3x-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·\left(3x-5\right)+e^x·\left(3+0\right)$

= $e^x\left(3x-5\right)+e^x·\left(3\right)$

= $e^x\left(3x-5\right)+3e^x$

= $e^x·\left(3+3x-5\right)$

= $e^x·\left(3x-2\right)$

= $\left(3x-2\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x-1}·\left(-2+0\right)$

= $\frac{1}{-2x-1}·\left(-2\right)$

= $-\frac{2}{-2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+8\right)·\cos \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\cos \left(3x\right)+\left(x^2+8\right)·(-\sin \left(3x\right)·3)$

= $2x·\cos \left(3x\right)+\left(x^2+8\right)·\left(-3\cdot \sin \left(3x\right)\right)$

= $2x·\cos \left(3x\right)-3\left(x^2+8\right)·\sin \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-x}$

f'(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f'''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+4x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+4$

= $-5e^{-\mathrm{0,9}x}-5\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)+4$

= $-5e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{4,5}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+4$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-5+\mathrm{4,5}x+\mathrm{22,5}\right)+4$

= $4+\left(\mathrm{4,5}x-5+\mathrm{22,5}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $4+\left(\mathrm{4,5}x+\mathrm{17,5}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$