Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{3} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{2} + 3 x) \cdot e^{2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{2} + 3 x) \cdot e^{2 x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 8 x + 3) \cdot e^{2 x + 3} + (- 4 x^{2} + 3 x) \cdot e^{2 x + 3} \cdot 2$

= $(- 8 x + 3) \cdot e^{2 x + 3} + (- 4 x^{2} + 3 x) \cdot 2 e^{2 x + 3}$

= $(- 8 x + 3) \cdot e^{2 x + 3} + 2 (- 4 x^{2} + 3 x) \cdot e^{2 x + 3}$

= $e^{2 x + 3} \cdot (- 8 x^{2} + 6 x - 8 x + 3)$

= $e^{2 x + 3} \cdot (- 8 x^{2} - 2 x + 3)$

= $(- 8 x^{2} - 2 x + 3) \cdot e^{2 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x^{2} + 4} \cdot 2 x$

= $- 4 \cdot e^{x^{2} + 4} x$

= $- 4 x e^{x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 5) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 5) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (3 x - 5) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + (3 x - 5) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + 2 (3 x - 5) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 72-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 72-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 72 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{72}$

Somit gilt für die 72-te Ableitung:

f⁽⁷²⁾(x) = ${1,05}^{72} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $33,545 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} + x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 1$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x + 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 1$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 1$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (3 - 0,3 x - 1,8) + 1$

= $1 + (- 0,3 x + 3 - 1,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $1 + (- 0,3 x + 1,2) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten