$\text{f(x)}=$ $-2-2e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^x$

= $-2e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^3+2\right)·e^{-4x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(15x^2+0\right)·e^{-4x+2}+\left(5x^3+2\right)·e^{-4x+2}·\left(-4\right)$

= $15x^2·e^{-4x+2}+\left(5x^3+2\right)·\left(-4e^{-4x+2}\right)$

= $15x^2·e^{-4x+2}-4\left(5x^3+2\right)·e^{-4x+2}$

= $e^{-4x+2}·\left(-20x^3-8+15x^2\right)$

= $e^{-4x+2}·\left(-20x^3+15x^2-8\right)$

= $\left(-20x^3+15x^2-8\right)·e^{-4x+2}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x}+x^5·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x}+x^5·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $5x^4·e^{-2x}-2x^5·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-3}{5x}·5$

= $-\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-2x}+x^2·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+x^2·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2x^2·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $4e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{3,8}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{3,8}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{3,61}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{3,61}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{3,4295}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{3,4295}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{3,258}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{75}·4e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $-\mathrm{0,085}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+1$

= $-e^{-\mathrm{0,3}x}-\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)+1$

= $-e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,3}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+1$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-1+\mathrm{0,3}x+\mathrm{2,1}\right)+1$

= $1+\left(\mathrm{0,3}x-1+\mathrm{2,1}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $1+\left(\mathrm{0,3}x+\mathrm{1,1}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$