Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{7}{8} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{7}{8} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{8} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{7}{4} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x - 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 1} + x^{4} \cdot e^{- 5 x - 1} \cdot (- 5)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 1} + x^{4} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 1})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 1} - 5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 1}$

= $e^{- 5 x - 1} \cdot (- 5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{5} - x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{5} - x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 10 x^{4} - 2 x) \cdot e^{- 3 x} + (- 2 x^{5} - x^{2}) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(- 10 x^{4} - 2 x) \cdot e^{- 3 x} + (- 2 x^{5} - x^{2}) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(- 10 x^{4} - 2 x) \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 2 x^{5} - x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (6 x^{5} + 3 x^{2} + (- 10 x^{4} - 2 x))$

= $e^{- 3 x} \cdot (6 x^{5} - 10 x^{4} + 3 x^{2} - 2 x)$

= $(6 x^{5} - 10 x^{4} + 3 x^{2} - 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x - 4} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x - 4} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x + 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x + 1} + x^{4} \cdot e^{x + 1} \cdot 1$

= $4 x^{3} \cdot e^{x + 1} + x^{4} \cdot e^{x + 1}$

= $e^{x + 1} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x + 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- x}$

f'(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f'''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $- 2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 1$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x + 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (3 - 0,3 x - 1,5)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,3 x + 1,5)$

= $(- 0,3 x + 1,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten