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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{x}$

= $- 3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x - 5} + x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x - 5} + x^{2}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x - 5} \cdot (- 1) + 2 x$

= $- 3 e^{- x - 5} + 2 x$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x - 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x - 1} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x + 3} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x + 3} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{- 3 x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 7) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 7) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x + 7) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 e^{2 x} + (3 x + 7) \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 e^{2 x} + 2 (3 x + 7) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (3 + 6 x + 14)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x + 17)$

= $(6 x + 17) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{x}$

f'(x) = $2 e^{x}$

f''(x) = $2 e^{x}$

f'''(x) = $2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 9$

= $e^{- 0,9 x} + (x - 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 9$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 9$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1 - 0,9 x + 4,5) + 9$

= $9 + (- 0,9 x + 1 + 4,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $9 + (- 0,9 x + 5,5) \cdot e^{- 0,9 x}$