Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{10}{9} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{10}{9} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{10}{9} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{20}{9} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{3} + 4 x) \cdot e^{x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{3} + 4 x) \cdot e^{x - 4}$

$f'(x) =$ $(15 x^{2} + 4) \cdot e^{x - 4} + (5 x^{3} + 4 x) \cdot e^{x - 4} \cdot 1$

= $(15 x^{2} + 4) \cdot e^{x - 4} + (5 x^{3} + 4 x) \cdot e^{x - 4}$

= $e^{x - 4} \cdot (5 x^{3} + 4 x + 15 x^{2} + 4)$

= $e^{x - 4} \cdot (5 x^{3} + 15 x^{2} + 4 x + 4)$

= $(5 x^{3} + 15 x^{2} + 4 x + 4) \cdot e^{x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x - 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{4 x - 2} + x^{4} \cdot e^{4 x - 2} \cdot 4$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x - 2} + x^{4} \cdot 4 e^{4 x - 2}$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x - 2} + 4 x^{4} \cdot e^{4 x - 2}$

= $e^{4 x - 2} \cdot (4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{4 x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} + 6) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} + 6) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{2} + 6) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} - 12 + 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x - 12)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x - 12) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 94)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 9$

= $e^{- 0,9 x} + (x + 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 9$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 9$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1 - 0,9 x - 4,5) + 9$

= $9 + (- 0,9 x + 1 - 4,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $9 + (- 0,9 x - 3,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten