$\text{f(x)}=$ $-4+\frac{1}{4}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{4}{e}^x$

= $\frac{1}{4}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{3x}+x^4·e^{3x}·3$

= $4x^3·e^{3x}+x^4·3e^{3x}$

= $4x^3·e^{3x}+3x^4·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^4+4x^3\right)$

= $\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-3x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-3x+5}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x+5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x-1}·\left(5+0\right)$

= $\frac{1}{5x-1}·\left(5\right)$

= $\frac{5}{5x-1}$

$\text{f(x)}=$ $-3\sqrt{-2x^2-1}$

= $-3{\left(-2x^2-1\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{\left(-2x^2-1\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-4x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2\sqrt{-2x^2-1}}·\left(-4x+0\right)$

= $-\frac{3}{2\sqrt{-2x^2-1}}·\left(-4x\right)$

= $6\frac{x}{\sqrt{-2x^2-1}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $e^x·\left(x+76\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-2x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)-2$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}-5\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)-2$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{3,5}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-2$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-5+\mathrm{3,5}x+7\right)-2$

= $-2+\left(\mathrm{3,5}x-5+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $-2+\left(\mathrm{3,5}x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$