$\text{f(x)}=$ $-3+\frac{6}{7}{e}^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{6}{7}{e}^{\frac{3}{5}x}·\frac{3}{5}$

= $\frac{18}{35}{e}^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^x{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·x^3+e^x·3x^2$

= $e^x{x}^3+3·e^x{x}^2$

= $e^x·\left(x^3+3x^2\right)$

= $\left(x^3+3x^2\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3x^3-4x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·\left(-3x^3-4x^2\right)+e^{-3x}·\left(-9x^2-8x\right)$

= $-3·e^{-3x}\left(-3x^3-4x^2\right)+e^{-3x}\left(-9x^2-8x\right)$

= $e^{-3x}·(9x^3+12x^2+\left(-9x^2-8x\right))$

= $e^{-3x}·\left(9x^3+3x^2-8x\right)$

= $\left(9x^3+3x^2-8x\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x^2+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x^2+3}·\left(-4x+0\right)$

= $\frac{1}{-2x^2+3}·\left(-4x\right)$

= $-4\frac{x}{-2x^2+3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+2\right)·\sin \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(2x\right)+\left(x^2+2\right)·\cos \left(2x\right)·2$

= $2x·\sin \left(2x\right)+\left(x^2+2\right)·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $2x·\sin \left(2x\right)+2\left(x^2+2\right)·\cos \left(2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+81\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-6$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,2}x}-3\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,6}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-3+\mathrm{0,6}x-3\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,6}x-6\right)$

= $\left(\mathrm{0,6}x-6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$