$\text{f(x)}=$ $-4-2e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $4e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}\left(-x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·\left(-x+3\right)+e^{-3x}·\left(-1+0\right)$

= $-3·e^{-3x}\left(-x+3\right)+e^{-3x}·\left(-1\right)$

= $-3·e^{-3x}\left(-x+3\right)-e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-1+3x-9\right)$

= $e^{-3x}·\left(3x-10\right)$

= $\left(3x-10\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x^2+2}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x^2+2}·\left(-4x\right)$

= $-4·e^{-2x^2+2}x$

= $-4x{e}^{-2x^2+2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^3-4x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^3-4x^2}·\left(-3x^2-8x\right)$

= $\frac{-3x^2-8x}{-x^3-4x^2}$

= $\frac{-1·\left(3x+8\right)}{-x·\left(x+4\right)}$

= $\frac{-\left(3x+8\right)}{-x·\left(x+4\right)}$

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(-3x^3+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(-3x^3+2\right)·\left(-9x^2+0\right)$

= $-\sin \left(-3x^3+2\right)·\left(-9x^2\right)$

= $9\sin \left(-3x^3+2\right)x^2$

= $9x^2·\sin \left(-3x^3+2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $-5e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{5,25}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{5,25}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{5,5125}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{5,5125}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{5,7881}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{5,7881}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{6,0775}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 73-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 73 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{73}$

Somit gilt für die 73-te Ableitung:

f⁽⁷³⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{73}·\left(-5e^{-\mathrm{1,05}x}\right)$

≈ $\mathrm{176,112}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}+\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,1}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(1-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,7}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}x+\mathrm{1,7}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,1}x+\mathrm{1,7}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$