$\text{f(x)}=$ $3e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{2x}·2$

= $6e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^5-3e^{3x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{15}{2}{x}^4-3e^{3x-5}·3$

= $\frac{15}{2}{x}^4-9e^{3x-5}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-2x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-2x+1}·\left(-2\right)$

= $4e^{-2x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x+4}·\left(5+0\right)$

= $\frac{1}{5x+4}·\left(5\right)$

= $\frac{5}{5x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-2\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(2x-2\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2\cdot \sin \left(x^3\right)+\left(2x-2\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2\cdot \sin \left(x^3\right)+3\left(2x-2\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-x}$

f'(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f''(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f'''(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $5e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}+\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{0,9}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(1-\mathrm{0,9}x-\mathrm{0,9}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}x+\mathrm{0,1}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,9}x+\mathrm{0,1}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$