$\text{f(x)}=$ $4-e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-4x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-4x+4}+x^4·e^{-4x+4}·\left(-4\right)$

= $4x^3·e^{-4x+4}+x^4·\left(-4e^{-4x+4}\right)$

= $4x^3·e^{-4x+4}-4x^4·e^{-4x+4}$

= $e^{-4x+4}·\left(-4x^4+4x^3\right)$

= $\left(-4x^4+4x^3\right)·e^{-4x+4}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-x^4-2x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·\left(-x^4-2x^2\right)+e^{-3x}·\left(-4x^3-4x\right)$

= $-3·e^{-3x}\left(-x^4-2x^2\right)+e^{-3x}\left(-4x^3-4x\right)$

= $e^{-3x}·(3x^4+6x^2+\left(-4x^3-4x\right))$

= $e^{-3x}·\left(3x^4-4x^3+6x^2-4x\right)$

= $\left(3x^4-4x^3+6x^2-4x\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $5\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{3x}·3$

= $\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{{\left(2x^2+2\right)}^3}$

= $2{\left(2x^2+2\right)}^{-3}$

=> f'(x) = $-6{\left(2x^2+2\right)}^{-4}·\left(4x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{6}{{\left(2x^2+2\right)}^4}·\left(4x+0\right)$

= $-\frac{6}{{\left(2x^2+2\right)}^4}·\left(4x\right)$

= $-24\frac{x}{{\left(2x^2+2\right)}^4}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^x$

f'(x) = $-4e^x$

f''(x) = $-4e^x$

f'''(x) = $-4e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $-4e^x$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+8$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,1}x}-5\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,5}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-5+\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(\mathrm{0,5}x-\mathrm{4,5}\right)$

= $\left(\mathrm{0,5}x-\mathrm{4,5}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$