$\text{f(x)}=$ $-3+3e^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{\frac{6}{7}x}·\frac{6}{7}$

= $\frac{18}{7}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}\sqrt{x}+3e^{-2x+1}+\frac{7}{2x^4}$

= $\frac{3}{4}{x}^{\frac{1}{2}}+3e^{-2x+1}+\frac{7}{2}{x}^{-4}$

=> f'(x) = $\frac{3}{8}{x}^{-\frac{1}{2}}+3e^{-2x+1}·\left(-2\right)-14x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{8\sqrt{x}}+3e^{-2x+1}·\left(-2\right)-\frac{14}{x^5}$

= $\frac{3}{8\sqrt{x}}-6e^{-2x+1}-\frac{14}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x-5\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-4+0\right)·e^{3x}+\left(-4x-5\right)·e^{3x}·3$

= $-4e^{3x}+\left(-4x-5\right)·3e^{3x}$

= $-4e^{3x}+3\left(-4x-5\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(-4-12x-15\right)$

= $e^{3x}·\left(-12x-19\right)$

= $\left(-12x-19\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x+5}·\left(-1+0\right)$

= $\frac{1}{-x+5}·\left(-1\right)$

= $-\frac{1}{-x+5}$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(3x^2+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(3x^2+3\right)·\left(6x+0\right)$

= $-2\cdot \cos \left(3x^2+3\right)·\left(6x\right)$

= $-12\cos \left(3x^2+3\right)x$

= $-12x·\cos \left(3x^2+3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 74-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 74 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{74}$

Somit gilt für die 74-te Ableitung:

f⁽⁷⁴⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{74}·e^{\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,022}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+7$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,9}x}-2\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{1,8}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-2+\mathrm{1,8}x+\mathrm{3,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{1,8}x+\mathrm{1,6}\right)$

= $\left(\mathrm{1,8}x+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$