Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{x}$

= $- 2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x + 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x + 4} + x^{4} \cdot e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x + 4} + x^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 4})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x + 4} - 2 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 4}$

= $e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $e^{2 x^{2} + 4} \cdot 4 x$

= $4 \cdot e^{2 x^{2} + 4} x$

= $4 x e^{2 x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} + 4} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{x^{3} + 4} \cdot (3 x^{2})$

= $3 \frac{x^{2}}{x^{3} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (x^{3})$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (x^{3})$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (x^{3}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \cos (x^{3}) + \sqrt{x} \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (x^{3})}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (x^{3})}{\sqrt{x}} - 3 \sqrt{x} \sin (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (x^{3})}{\sqrt{x}} - 3 {(\sqrt{x})}^{5} \cdot \sin (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 79-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 79 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{79}$

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = ${1,05}^{79} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $47,201 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 9$

= $e^{- 0,7 x} + (x - 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 9$

= $e^{- 0,7 x} - 0,7 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1 - 0,7 x + 1,4) - 9$

= $- 9 + (- 0,7 x + 1 + 1,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 9 + (- 0,7 x + 2,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten