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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{3} \cdot \cos (x) - 3 e^{- 3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{3} \cdot \cos (x) - 3 e^{- 3 x + 2}$

$f'(x) =$ $- \frac{7}{3} \cdot \sin (x) - 3 e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3)$

= $- \frac{7}{3} \cdot \sin (x) + 9 e^{- 3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{3} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{3} + 3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{3} + 3} \cdot (- 9 x^{2})$

= $27 \cdot e^{- 3 x^{3} + 3} x^{2}$

= $27 x^{2} e^{- 3 x^{3} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 5 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{3} + 5 x^{2}} \cdot (15 x^{2} + 10 x)$

= $\frac{15 x^{2} + 10 x}{5 x^{3} + 5 x^{2}}$

= $\frac{5 \cdot 1 \cdot (3 x + 2)}{5 x \cdot (x + 1)}$

= $\frac{5 (3 x + 2)}{5 x \cdot (x + 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 8) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 8) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} - 8) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 24 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x + 24)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x + 24) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{x}$

f'(x) = $4 e^{x}$

f''(x) = $4 e^{x}$

f'''(x) = $4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 6$

= $e^{- 0,1 x} + (x + 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 6$

= $e^{- 0,1 x} - 0,1 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 6$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (1 - 0,1 x - 0,7) - 6$

= $- 6 + (- 0,1 x + 1 - 0,7) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 6 + (- 0,1 x + 0,3) \cdot e^{- 0,1 x}$