$\text{f(x)}=$ $1-e^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{\frac{4}{5}x}·\frac{4}{5}$

= $-\frac{4}{5}{e}^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^x+x^5·e^x$

= $5x^4·e^x+x^5·e^x$

= $e^x·\left(x^5+5x^4\right)$

= $\left(x^5+5x^4\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-x^2+1}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-x^2+1}·\left(-2x\right)$

= $-6·e^{-x^2+1}x$

= $-6x{e}^{-x^2+1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x^3-3x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x^3-3x^2}·\left(-9x^2-6x\right)$

= $\frac{-9x^2-6x}{-3x^3-3x^2}$

= $\frac{-3·1·\left(3x+2\right)}{-3x·\left(x+1\right)}$

= $\frac{-3\left(3x+2\right)}{-3x·\left(x+1\right)}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{x-1}$

= $3{\left(x-1\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-3{\left(x-1\right)}^{-2}·\left(1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{{\left(x-1\right)}^2}·\left(1+0\right)$

= $-\frac{3}{{\left(x-1\right)}^2}·\left(1\right)$

= $-\frac{3}{{\left(x-1\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^x$

f'(x) = $e^x$

f''(x) = $e^x$

f'''(x) = $e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+4x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+4$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}+\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)+4$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,3}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+4$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(1-\mathrm{0,3}x+\mathrm{1,5}\right)+4$

= $4+\left(-\mathrm{0,3}x+1+\mathrm{1,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $4+\left(-\mathrm{0,3}x+\mathrm{2,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$