$\text{f(x)}=$ $4-2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{2x}·2$

= $-4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·x^4+e^{-x}·4x^3$

= $-e^{-x}{x}^4+4·e^{-x}{x}^3$

= $e^{-x}·\left(-x^4+4x^3\right)$

= $\left(-x^4+4x^3\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^3-4\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-6x^2+0\right)·e^{-2x}+\left(-2x^3-4\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-6x^2·e^{-2x}+\left(-2x^3-4\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $-6x^2·e^{-2x}-2\left(-2x^3-4\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(4x^3+8-6x^2\right)$

= $e^{-2x}·\left(4x^3-6x^2+8\right)$

= $\left(4x^3-6x^2+8\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{x}·1$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{-x^3+4}$

= $-{\left(-x^3+4\right)}^{-1}$

=> f'(x) = ${\left(-x^3+4\right)}^{-2}·\left(-3x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{{\left(-x^3+4\right)}^2}·\left(-3x^2+0\right)$

= $\frac{1}{{\left(-x^3+4\right)}^2}·\left(-3x^2\right)$

= $-3\frac{x^2}{{\left(-x^3+4\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $-e^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{0,9}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,9}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{0,81}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{0,81}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{0,729}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,729}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{0,6561}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 54-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 54 mal mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,9}}^{54}$

Somit gilt für die 54-te Ableitung:

f⁽⁵⁴⁾(x) = ${\mathrm{0,9}}^{54}·\left(-e^{\mathrm{0,9}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,003}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-5+3x-21\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(3x-26\right)$

= $\left(3x-26\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$