Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 5} + x^{3} \cdot e^{5 x - 5} \cdot 5$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 5} + x^{3} \cdot 5 e^{5 x - 5}$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 5} + 5 x^{3} \cdot e^{5 x - 5}$

= $e^{5 x - 5} \cdot (5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $- e^{- x^{3} + 1} \cdot (- 3 x^{2})$

= $3 \cdot e^{- x^{3} + 1} x^{2}$

= $3 x^{2} e^{- x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 9) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} + 9) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{2} + 9) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $6 x \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{2} + 9) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $6 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (3 x^{2} + 9) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{2} - 18 + 6 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{2} + 6 x - 18)$

= $(- 6 x^{2} + 6 x - 18) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${(- 1,1)}^{45} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $- 72,89 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 5 e^{- 0,5 x} - 5 (x + 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 5 e^{- 0,5 x} + 2,5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 5 + 2,5 x + 10)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2,5 x + 5)$

= $(2,5 x + 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten