$\text{f(x)}=$ $1-2e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{3x}·3$

= $-6e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^x+x^5·e^x$

= $5x^4·e^x+x^5·e^x$

= $e^x·\left(x^5+5x^4\right)$

= $\left(x^5+5x^4\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·x^3+e^{-x}·3x^2$

= $-e^{-x}{x}^3+3·e^{-x}{x}^2$

= $e^{-x}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{x}·1$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{2x+3}$

= $-2{\left(2x+3\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $2{\left(2x+3\right)}^{-2}·\left(2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{{\left(2x+3\right)}^2}·\left(2+0\right)$

= $\frac{2}{{\left(2x+3\right)}^2}·\left(2\right)$

= $\frac{4}{{\left(2x+3\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+81\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-4$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}+4\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-4$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{2,4}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(4-\mathrm{2,4}x-\mathrm{16,8}\right)-4$

= $-4+\left(-\mathrm{2,4}x+4-\mathrm{16,8}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-4+\left(-\mathrm{2,4}x-\mathrm{12,8}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$