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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{8}{9} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{8}{9} e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{9} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{8}{9} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x + 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x + 5} + x^{4} \cdot e^{x + 5} \cdot 1$

= $4 x^{3} \cdot e^{x + 5} + x^{4} \cdot e^{x + 5}$

= $e^{x + 5} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{3} + 2}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{3} + 2} \cdot (- 6 x^{2})$

= $12 \cdot e^{- 2 x^{3} + 2} x^{2}$

= $12 x^{2} e^{- 2 x^{3} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 7) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 7) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (3 x - 7) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $3 \cdot \sin (- 3 x) + (3 x - 7) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $3 \cdot \sin (- 3 x) - 3 (3 x - 7) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${(- 0,9)}^{64} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $0,001 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 2$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- e^{- 0,1 x} - (x - 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- e^{- 0,1 x} + 0,1 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 1 + 0,1 x - 0,5)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,1 x - 1,5)$

= $(0,1 x - 1,5) \cdot e^{- 0,1 x}$