Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} - 4 x) \cdot e^{x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} - 4 x) \cdot e^{x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 10 x - 4) \cdot e^{x - 1} + (- 5 x^{2} - 4 x) \cdot e^{x - 1} \cdot 1$

= $(- 10 x - 4) \cdot e^{x - 1} + (- 5 x^{2} - 4 x) \cdot e^{x - 1}$

= $e^{x - 1} \cdot (- 5 x^{2} - 4 x - 10 x - 4)$

= $e^{x - 1} \cdot (- 5 x^{2} - 14 x - 4)$

= $(- 5 x^{2} - 14 x - 4) \cdot e^{x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 5 x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 5 x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 10 x + 5) \cdot e^{3 x} + (- 5 x^{2} + 5 x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 10 x + 5) \cdot e^{3 x} + (- 5 x^{2} + 5 x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 10 x + 5) \cdot e^{3 x} + 3 (- 5 x^{2} + 5 x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x^{2} + 15 x - 10 x + 5)$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x^{2} + 5 x + 5)$

= $(- 15 x^{2} + 5 x + 5) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x - 5} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x - 5} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{- 2 x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x - 2) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $e^{- 3 x} + (x - 2) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $e^{- 3 x} - 3 (x - 2) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (1 - 3 x + 6)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x + 7)$

= $(- 3 x + 7) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{0,9 x}$

f'(x) = $- 4 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 3,6 e^{0,9 x}$

f''(x) = $- 3,6 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 3,24 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $- 3,24 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,916 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,916 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,6244 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${0,9}^{49} \cdot (- 4 e^{0,9 x})$

≈ $- 0,023 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 4$

= $e^{- 0,9 x} + (x + 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 4$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 4$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1 - 0,9 x - 0,9) + 4$

= $4 + (- 0,9 x + 1 - 0,9) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $4 + (- 0,9 x + 0,1) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten