$\text{f(x)}=$ $2-2e^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{\frac{3}{5}x}·\frac{3}{5}$

= $-\frac{6}{5}{e}^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+4\right)·e^{x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{x+3}+\left(2x+4\right)·e^{x+3}·1$

= $2e^{x+3}+\left(2x+4\right)·e^{x+3}$

= $e^{x+3}·\left(2x+4+2\right)$

= $e^{x+3}·\left(2x+6\right)$

= $\left(2x+6\right)·e^{x+3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·x^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·x^5+e^{3x}·5x^4$

= $3·e^{3x}{x}^5+5·e^{3x}{x}^4$

= $e^{3x}·\left(5x^4+3x^5\right)$

= $e^{3x}·\left(3x^5+5x^4\right)$

= $\left(3x^5+5x^4\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{x}·1$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2-6\right)·\cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+0\right)·\cos \left(-3x\right)+\left(2x^2-6\right)·(-\sin \left(-3x\right)·\left(-3\right))$

= $4x·\cos \left(-3x\right)+\left(2x^2-6\right)·3\cdot \sin \left(-3x\right)$

= $4x·\cos \left(-3x\right)+3\left(2x^2-6\right)·\sin \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $3e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{2,7}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{2,7}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{2,43}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,43}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{2,187}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{2,187}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{1,9683}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{50}·3e^{-\mathrm{0,9}x}$

≈ $\mathrm{0,015}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,1}x}+4\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,4}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,4}x-\mathrm{2,4}+4\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$