$\text{f(x)}=$ $-5+\frac{1}{3}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{3}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{2}{3}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-x-3}+x^5·e^{-x-3}·\left(-1\right)$

= $5x^4·e^{-x-3}+x^5·\left(-e^{-x-3}\right)$

= $5x^4·e^{-x-3}-x^5·e^{-x-3}$

= $e^{-x-3}·\left(-x^5+5x^4\right)$

= $\left(-x^5+5x^4\right)·e^{-x-3}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-3x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-3x-2}·\left(-3\right)$

= $-6e^{-3x-2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(x^2-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x^2-2x}·\left(2x-2\right)$

= $\frac{2x-2}{x^2-2x}$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \cos \left(2x^2-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(2x^2-2\right)·\left(4x+0\right)$

= $-2\cdot \sin \left(2x^2-2\right)·\left(4x\right)$

= $-8\sin \left(2x^2-2\right)x$

= $-8x·\sin \left(2x^2-2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-x}$

f'(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f'''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-5$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-5$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{2,4}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-4+\mathrm{2,4}x-12\right)-5$

= $-5+\left(\mathrm{2,4}x-4-12\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-5+\left(\mathrm{2,4}x-16\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$