Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $\frac{4}{9} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x}$

= $2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{x} + x^{5} \cdot e^{x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{x} + x^{5} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})$

= $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} - 4} \cdot (8 x + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{2} - 4} \cdot (8 x)$

= $8 \frac{x}{4 x^{2} - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} + 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 4 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x + 4)$

= $(2 x^{2} + 2 x + 4) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${(- 1,1)}^{49} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $- 106,719 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 1$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 4 e^{- 0,4 x} - 4 (x + 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 4 e^{- 0,4 x} + 1,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 4 + 1,6 x + 8)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1,6 x + 4)$

= $(1,6 x + 4) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten