Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + 2 e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + 2 e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $\frac{5}{3} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot e^{2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot e^{2 x + 1}$

$f'(x) =$ $(20 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{2 x + 1} + (5 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot e^{2 x + 1} \cdot 2$

= $(20 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{2 x + 1} + (5 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot 2 e^{2 x + 1}$

= $(20 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{2 x + 1} + 2 (5 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot e^{2 x + 1}$

= $e^{2 x + 1} \cdot (10 x^{4} - 4 x^{3} + (20 x^{3} - 6 x^{2}))$

= $e^{2 x + 1} \cdot (10 x^{4} + 16 x^{3} - 6 x^{2})$

= $(10 x^{4} + 16 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{2 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} + 4} \cdot (- 4 x)$

= $4 \cdot e^{- 2 x^{2} + 4} x$

= $4 x e^{- 2 x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x + 3} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{x + 3} \cdot (1)$

= $\frac{1}{x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 1) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 1) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (3 x - 1) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $3 \cdot \sin (- 3 x) + (3 x - 1) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $3 \cdot \sin (- 3 x) - 3 (3 x - 1) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 36-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{0,85 x}$

f'(x) = $3 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $2,55 e^{0,85 x}$

f''(x) = $2,55 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $2,1675 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $2,1675 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $1,8424 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,8424 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $1,566 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 36-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 36 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{36}$

Somit gilt für die 36-te Ableitung:

f⁽³⁶⁾(x) = ${0,85}^{36} \cdot 3 e^{0,85 x}$

≈ $0,009 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 8$

= $4 e^{- 0,7 x} + 4 (x - 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 8$

= $4 e^{- 0,7 x} - 2,8 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 8$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (4 - 2,8 x + 16,8) - 8$

= $- 8 + (- 2,8 x + 4 + 16,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 8 + (- 2,8 x + 20,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten