Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{7}{8} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{7}{8} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{8} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{7}{4} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x + 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x + 2} + x^{2} \cdot e^{2 x + 2} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x + 2} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x + 2}$

= $2 x \cdot e^{2 x + 2} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x + 2}$

= $e^{2 x + 2} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x - 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x - 1} \cdot 3$

= $6 e^{3 x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x - 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{4 x - 5} + x^{4} \cdot e^{4 x - 5} \cdot 4$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x - 5} + x^{4} \cdot 4 e^{4 x - 5}$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x - 5} + 4 x^{4} \cdot e^{4 x - 5}$

= $e^{4 x - 5} \cdot (4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{4 x - 5}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 34-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${1,15}^{34} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $115,805 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 5$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x + 2) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 5$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 5$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (3 - 1,2 x - 2,4) - 5$

= $- 5 + (- 1,2 x + 3 - 2,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 5 + (- 1,2 x + 0,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten