Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - x) \cdot e^{- 2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - x) \cdot e^{- 2 x + 3}$

$f'(x) =$ $(4 x - 1) \cdot e^{- 2 x + 3} + (2 x^{2} - x) \cdot e^{- 2 x + 3} \cdot (- 2)$

= $(4 x - 1) \cdot e^{- 2 x + 3} + (2 x^{2} - x) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 3})$

= $(4 x - 1) \cdot e^{- 2 x + 3} - 2 (2 x^{2} - x) \cdot e^{- 2 x + 3}$

= $e^{- 2 x + 3} \cdot (- 4 x^{2} + 2 x + 4 x - 1)$

= $e^{- 2 x + 3} \cdot (- 4 x^{2} + 6 x - 1)$

= $(- 4 x^{2} + 6 x - 1) \cdot e^{- 2 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - x) \cdot e^{- x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - x) \cdot e^{- x - 4}$

$f'(x) =$ $(4 x - 1) \cdot e^{- x - 4} + (2 x^{2} - x) \cdot e^{- x - 4} \cdot (- 1)$

= $(4 x - 1) \cdot e^{- x - 4} + (2 x^{2} - x) \cdot (- e^{- x - 4})$

= $(4 x - 1) \cdot e^{- x - 4} - (2 x^{2} - x) \cdot e^{- x - 4}$

= $e^{- x - 4} \cdot (- 2 x^{2} + x + 4 x - 1)$

= $e^{- x - 4} \cdot (- 2 x^{2} + 5 x - 1)$

= $(- 2 x^{2} + 5 x - 1) \cdot e^{- x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x - 1} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{- 3 x - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x + 3) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $e^{- 2 x} + (x + 3) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $e^{- 2 x} - 2 (x + 3) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (1 - 2 x - 6)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x - 5)$

= $(- 2 x - 5) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${(- 1,15)}^{47} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $- 712,522 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 3$

= $2 e^{- 0,4 x} + 2 (x + 7) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 3$

= $2 e^{- 0,4 x} - 0,8 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 3$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (2 - 0,8 x - 5,6) + 3$

= $3 + (- 0,8 x + 2 - 5,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $3 + (- 0,8 x - 3,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten