$\text{f(x)}=$ $2+e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{2x}·2$

= $2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·x^2+e^{3x}·2x$

= $3·e^{3x}{x}^2+2·e^{3x}x$

= $e^{3x}·\left(3x^2+2x\right)$

= $\left(3x^2+2x\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·\left(5x^5-x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·\left(5x^5-x\right)+e^{-3x}·\left(25x^4-1\right)$

= $-3·e^{-3x}\left(5x^5-x\right)+e^{-3x}\left(25x^4-1\right)$

= $e^{-3x}·\left(-15x^5+3x+25x^4-1\right)$

= $e^{-3x}·\left(-15x^5+25x^4+3x-1\right)$

= $\left(-15x^5+25x^4+3x-1\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x+5}·\left(4+0\right)$

= $\frac{1}{4x+5}·\left(4\right)$

= $\frac{4}{4x+5}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[4]{x}·\sin \left(-x+3\right)$

= $x^{\frac{1}{4}}·\sin \left(-x+3\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}·\sin \left(-x+3\right)+x^{\frac{1}{4}}·\cos \left(-x+3\right)·\left(-1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}·\sin \left(-x+3\right)+\sqrt[4]{x}·\cos \left(-x+3\right)·\left(-1+0\right)$

= $\frac{1}{4}\frac{\sin \left(-x+3\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+\sqrt[4]{x}·\cos \left(-x+3\right)·\left(-1\right)$

= $\frac{1}{4}\frac{\sin \left(-x+3\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+\sqrt[4]{x}·\left(-\cos \left(-x+3\right)\right)$

= $\frac{1}{4}\frac{\sin \left(-x+3\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}-\sqrt[4]{x}·\cos \left(-x+3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,5209}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,5209}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,749}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 32-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 32 mal mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,15}}^{32}$

Somit gilt für die 32-te Ableitung:

f⁽³²⁾(x) = ${\mathrm{1,15}}^{32}·e^{\mathrm{1,15}x}$

≈ $\mathrm{87,565}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+8$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,4}x}-\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{0,4}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-1+\mathrm{0,4}x-2\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(\mathrm{0,4}x-3\right)$

= $\left(\mathrm{0,4}x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$