$\text{f(x)}=$ $-3e^{\frac{4}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{\frac{4}{3}x}·\frac{4}{3}$

= $-4e^{\frac{4}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^2-3x\right)·e^{-4x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-10x-3\right)·e^{-4x+1}+\left(-5x^2-3x\right)·e^{-4x+1}·\left(-4\right)$

= $\left(-10x-3\right)·e^{-4x+1}+\left(-5x^2-3x\right)·\left(-4e^{-4x+1}\right)$

= $\left(-10x-3\right)·e^{-4x+1}-4\left(-5x^2-3x\right)·e^{-4x+1}$

= $e^{-4x+1}·\left(20x^2+12x-10x-3\right)$

= $e^{-4x+1}·\left(20x^2+2x-3\right)$

= $\left(20x^2+2x-3\right)·e^{-4x+1}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·x^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·x^4+e^{3x}·4x^3$

= $3·e^{3x}{x}^4+4·e^{3x}{x}^3$

= $e^{3x}·\left(3x^4+4x^3\right)$

= $\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{6x}·6$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(\cos \left(x\right)+2\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $5{\left(\cos \left(x\right)+2\right)}^4·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $5{\left(\cos \left(x\right)+2\right)}^4·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-5{\left(\cos \left(x\right)+2\right)}^4·\sin \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,522}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 32-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 32 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{32}$

Somit gilt für die 32-te Ableitung:

f⁽³²⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{32}·e^{\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,006}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+4$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}+4\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{2,4}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(4-\mathrm{2,4}x+\mathrm{2,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{2,4}x+\mathrm{6,4}\right)$

= $\left(-\mathrm{2,4}x+\mathrm{6,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$