$\text{f(x)}=$ $\frac{8}{7}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{7}{e}^{3x}·3$

= $\frac{24}{7}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{9}{2}\cdot \sin \left(x\right)-3e^{x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{2}\cdot \cos \left(x\right)-3e^{x+5}·1$

= $-\frac{9}{2}\cdot \cos \left(x\right)-3e^{x+5}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^x+x^2·e^x$

= $2x·e^x+x^2·e^x$

= $e^x·\left(x^2+2x\right)$

= $\left(x^2+2x\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{6x}·6$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{5x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{5x-4}+x^2·e^{5x-4}·5$

= $2x·e^{5x-4}+x^2·5e^{5x-4}$

= $2x·e^{5x-4}+5x^2·e^{5x-4}$

= $e^{5x-4}·\left(5x^2+2x\right)$

= $\left(5x^2+2x\right)·e^{5x-4}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-x}$

f'(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f'''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-3\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+1$

= $-3e^{-\mathrm{0,9}x}-3\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)+1$

= $-3e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{2,7}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+1$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-3+\mathrm{2,7}x+\mathrm{8,1}\right)+1$

= $1+\left(\mathrm{2,7}x-3+\mathrm{8,1}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $1+\left(\mathrm{2,7}x+\mathrm{5,1}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$