$\text{f(x)}=$ $2+2e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{3x}·3$

= $6e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{5x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{5x-4}+x^5·e^{5x-4}·5$

= $5x^4·e^{5x-4}+x^5·5e^{5x-4}$

= $5x^4·e^{5x-4}+5x^5·e^{5x-4}$

= $e^{5x-4}·\left(5x^4+5x^5\right)$

= $e^{5x-4}·\left(5x^5+5x^4\right)$

= $\left(5x^5+5x^4\right)·e^{5x-4}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{3x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{3x+1}+x^2·e^{3x+1}·3$

= $2x·e^{3x+1}+x^2·3e^{3x+1}$

= $2x·e^{3x+1}+3x^2·e^{3x+1}$

= $e^{3x+1}·\left(2x+3x^2\right)$

= $e^{3x+1}·\left(3x^2+2x\right)$

= $\left(3x^2+2x\right)·e^{3x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x+2}·\left(-2+0\right)$

= $\frac{1}{-2x+2}·\left(-2\right)$

= $-\frac{2}{-2x+2}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(\sin \left(x\right)+3\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $4\left(\sin \left(x\right)+3\right)·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $4\left(\sin \left(x\right)+3\right)·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $4\left(\sin \left(x\right)+3\right)·\cos \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+84\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-6$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+5\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,2}x}+5\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-x+5+5\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-x+10\right)$

= $\left(-x+10\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$