Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 2 e^{\frac{9}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 2 e^{\frac{9}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{9}{7} x} \cdot \frac{9}{7}$

= $\frac{18}{7} e^{\frac{9}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{x^{3}} + 3 x^{4} + 2 e^{- 2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{x^{3}} + 3 x^{4} + 2 e^{- 2 x + 1}$

= $- x^{- 3} + 3 x^{4} + 2 e^{- 2 x + 1}$

=> f'(x) = $3 x^{- 4} + 12 x^{3} + 2 e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{x^{4}} + 12 x^{3} + 2 e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2)$

= $\frac{3}{x^{4}} + 12 x^{3} - 4 e^{- 2 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 8 x + 2) \cdot e^{2 x} + (- 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(- 8 x + 2) \cdot e^{2 x} + (- 4 x^{2} + 2 x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(- 8 x + 2) \cdot e^{2 x} + 2 (- 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x^{2} + 4 x - 8 x + 2)$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x^{2} - 4 x + 2)$

= $(- 8 x^{2} - 4 x + 2) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} - 1} \cdot (8 x + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{2} - 1} \cdot (8 x)$

= $8 \frac{x}{4 x^{2} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{- x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{- x^{2} + 3}$

= ${(- x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} {(- x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{- x^{2} + 3}} \cdot (- 2 x + 0)$

= $\frac{1}{2 \sqrt{- x^{2} + 3}} \cdot (- 2 x)$

= $- \frac{x}{\sqrt{- x^{2} + 3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 94)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 7$

= $- 5 e^{- 0,9 x} - 5 (x + 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 7$

= $- 5 e^{- 0,9 x} + 4,5 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 7$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 5 + 4,5 x + 22,5) - 7$

= $- 7 + (4,5 x - 5 + 22,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 7 + (4,5 x + 17,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten