$\text{f(x)}=$ $-3+\frac{4}{3}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{4}{3}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{4}{3}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-x+5}+x^5·e^{-x+5}·\left(-1\right)$

= $5x^4·e^{-x+5}+x^5·\left(-e^{-x+5}\right)$

= $5x^4·e^{-x+5}-x^5·e^{-x+5}$

= $e^{-x+5}·\left(-x^5+5x^4\right)$

= $\left(-x^5+5x^4\right)·e^{-x+5}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^4+e^{-2x}·4x^3$

= $-2·e^{-2x}{x}^4+4·e^{-2x}{x}^3$

= $e^{-2x}·\left(-2x^4+4x^3\right)$

= $\left(-2x^4+4x^3\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x+3}·\left(-5+0\right)$

= $\frac{1}{-5x+3}·\left(-5\right)$

= $-\frac{5}{-5x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-3\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-2x}+\left(3x-3\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3e^{-2x}+\left(3x-3\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3e^{-2x}-2\left(3x-3\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(3-6x+6\right)$

= $e^{-2x}·\left(-6x+9\right)$

= $\left(-6x+9\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,749}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 35-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 35 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{35}$

Somit gilt für die 35-te Ableitung:

f⁽³⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{35}·e^{-\mathrm{1,15}x}$

≈ $-\mathrm{133,176}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-1$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}+3\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-1$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{1,5}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-1$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(3-\mathrm{1,5}x+6\right)-1$

= $-1+\left(-\mathrm{1,5}x+3+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $-1+\left(-\mathrm{1,5}x+9\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$