Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x + 5} + \frac{3}{2} \sqrt[3]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x + 5} + \frac{3}{2} \sqrt[3]{x}$

= $- 3 e^{2 x + 5} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $- 3 e^{2 x + 5} \cdot 2 + \frac{1}{2} x^{- \frac{2}{3}}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x + 5} \cdot 2 + \frac{1}{2 {(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

= $- 6 e^{2 x + 5} + \frac{1}{2 {(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{4} + 5) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{4} + 5) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(12 x^{3} + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x^{4} + 5) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $12 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + (3 x^{4} + 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $12 x^{3} \cdot e^{- 3 x} - 3 (3 x^{4} + 5) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{4} - 15 + 12 x^{3})$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{4} + 12 x^{3} - 15)$

= $(- 9 x^{4} + 12 x^{3} - 15) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x - 3} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x - 3} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 8) \cdot \cos (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 8) \cdot \cos (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \cos (- 2 x) + (3 x - 8) \cdot (- \sin (- 2 x) \cdot (- 2))$

= $3 \cdot \cos (- 2 x) + (3 x - 8) \cdot 2 \cdot \sin (- 2 x)$

= $3 \cdot \cos (- 2 x) + 2 (3 x - 8) \cdot \sin (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- x}$

f'(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f'''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} - x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 1$

= $- 2 e^{- 0,9 x} - 2 (x - 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 1$

= $- 2 e^{- 0,9 x} + 1,8 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 1$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2 + 1,8 x - 10,8) - 1$

= $- 1 + (1,8 x - 2 - 10,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 1 + (1,8 x - 12,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten