$\text{f(x)}=$ $4+3e^{\frac{3}{2}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{\frac{3}{2}x}·\frac{3}{2}$

= $\frac{9}{2}{e}^{\frac{3}{2}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{x+4}-\frac{3}{x^2}$

= $-3e^{x+4}-3x^{-2}$

=> f'(x) = $-3e^{x+4}·1+6x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{x+4}·1+\frac{6}{x^3}$

= $-3e^{x+4}+\frac{6}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^3+e^{-2x}·3x^2$

= $-2·e^{-2x}{x}^3+3·e^{-2x}{x}^2$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x+2}·\left(4+0\right)$

= $\frac{1}{4x+2}·\left(4\right)$

= $\frac{4}{4x+2}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(-x-2\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $8{\left(-x-2\right)}^3·\left(-1+0\right)$

= $8{\left(-x-2\right)}^3·\left(-1\right)$

= $-8{\left(-x-2\right)}^3$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $4e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{4,6}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{4,6}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{5,29}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{5,29}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{6,0835}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{6,0835}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{6,996}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 35-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 35 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{35}$

Somit gilt für die 35-te Ableitung:

f⁽³⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{35}·4e^{-\mathrm{1,15}x}$

≈ $-\mathrm{532,702}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-1$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,3}x}-3\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,9}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-3+\mathrm{0,9}x-\mathrm{0,9}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,9}x-\mathrm{3,9}\right)$

= $\left(\mathrm{0,9}x-\mathrm{3,9}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$