Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 2 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x + 5) \cdot e^{- 3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x + 5) \cdot e^{- 3 x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 4 + 0) \cdot e^{- 3 x + 3} + (- 4 x + 5) \cdot e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3)$

= $- 4 e^{- 3 x + 3} + (- 4 x + 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 3})$

= $- 4 e^{- 3 x + 3} - 3 (- 4 x + 5) \cdot e^{- 3 x + 3}$

= $e^{- 3 x + 3} \cdot (- 4 + 12 x - 15)$

= $e^{- 3 x + 3} \cdot (12 x - 19)$

= $(12 x - 19) \cdot e^{- 3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} - 5) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{3} - 5) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 3 x^{2} + 0) \cdot e^{3 x} + (- x^{3} - 5) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 x^{2} \cdot e^{3 x} + (- x^{3} - 5) \cdot 3 e^{3 x}$

= $- 3 x^{2} \cdot e^{3 x} + 3 (- x^{3} - 5) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{3} - 15 - 3 x^{2})$

= $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{3} - 3 x^{2} - 15)$

= $(- 3 x^{3} - 3 x^{2} - 15) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} + x} \cdot (- 12 x^{2} + 1)$

= $\frac{- 12 x^{2} + 1}{- 4 x^{3} + x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{{(- 2 x - 1)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{{(- 2 x - 1)}^{2}}$

= $2 {(- 2 x - 1)}^{- 2}$

=> f'(x) = $- 4 {(- 2 x - 1)}^{- 3} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{{(- 2 x - 1)}^{3}} \cdot (- 2 + 0)$

= $- \frac{4}{{(- 2 x - 1)}^{3}} \cdot (- 2)$

= $\frac{8}{{(- 2 x - 1)}^{3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{x}$

f'(x) = $4 e^{x}$

f''(x) = $4 e^{x}$

f'''(x) = $4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 1$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $4 e^{- 0,2 x} + 4 (x + 1) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $4 e^{- 0,2 x} - 0,8 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (4 - 0,8 x - 0,8)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,8 x + 3,2)$

= $(- 0,8 x + 3,2) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten