Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} (- 4 x^{3} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} (- 4 x^{3} + 3)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- 4 x^{3} + 3) + e^{3 x} \cdot (- 12 x^{2} + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} (- 4 x^{3} + 3) + e^{3 x} \cdot (- 12 x^{2})$

= $3 \cdot e^{3 x} (- 4 x^{3} + 3) - 12 \cdot e^{3 x} x^{2}$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{3} + 9 - 12 x^{2})$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{3} - 12 x^{2} + 9)$

= $(- 12 x^{3} - 12 x^{2} + 9) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{3} + 5) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{3} + 5) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(12 x^{2} + 0) \cdot e^{- 3 x} + (4 x^{3} + 5) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $12 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + (4 x^{3} + 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $12 x^{2} \cdot e^{- 3 x} - 3 (4 x^{3} + 5) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 12 x^{3} - 15 + 12 x^{2})$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 12 x^{3} + 12 x^{2} - 15)$

= $(- 12 x^{3} + 12 x^{2} - 15) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} - 3 x^{2}} \cdot (6 x^{2} - 6 x)$

= $\frac{6 x^{2} - 6 x}{2 x^{3} - 3 x^{2}}$

= $\frac{6 \cdot 1 \cdot (x - 1)}{x \cdot (2 x - 3)}$

= $\frac{6 (x - 1)}{x \cdot (2 x - 3)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 5) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 5) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x + 5) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x} + (3 x + 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 e^{- 2 x} - 2 (3 x + 5) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (3 - 6 x - 10)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x - 7)$

= $(- 6 x - 7) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- x}$

f'(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f'''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $- 4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 7$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- e^{- 0,9 x} - (x + 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- e^{- 0,9 x} + 0,9 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 1 + 0,9 x + 4,5)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (0,9 x + 3,5)$

= $(0,9 x + 3,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten