Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{3} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{3} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{3} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{10}{3} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x + 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x + 2} + x^{5} \cdot e^{2 x + 2} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x + 2} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x + 2}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x + 2} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x + 2}$

= $e^{2 x + 2} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{4} + e^{- 3 x} \cdot 4 x^{3}$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{4} + 4 \cdot e^{- 3 x} x^{3}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x + 1) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $e^{- 3 x} + (x + 1) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $e^{- 3 x} - 3 (x + 1) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (1 - 3 x - 3)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x - 2)$

= $(- 3 x - 2) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 53-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 53-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 53 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{53}$

Somit gilt für die 53-te Ableitung:

f⁽⁵³⁾(x) = ${0,9}^{53} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,004 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,3 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,3 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 6$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x - 3) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 6$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x - 3) \cdot e^{- 0,3 x} - 6$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 3 + 0,9 x - 2,7) - 6$

= $- 6 + (0,9 x - 3 - 2,7) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 6 + (0,9 x - 5,7) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten