$\text{f(x)}=$ $-3+\frac{4}{5}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{4}{5}{e}^x$

= $\frac{4}{5}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^4-x^3\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(20x^3-3x^2\right)·e^{3x}+\left(5x^4-x^3\right)·e^{3x}·3$

= $\left(20x^3-3x^2\right)·e^{3x}+\left(5x^4-x^3\right)·3e^{3x}$

= $\left(20x^3-3x^2\right)·e^{3x}+3\left(5x^4-x^3\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·(15x^4-3x^3+\left(20x^3-3x^2\right))$

= $e^{3x}·\left(15x^4+17x^3-3x^2\right)$

= $\left(15x^4+17x^3-3x^2\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·\left(-x^3+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x^3+1\right)+e^{-x}·\left(-3x^2+0\right)$

= $-e^{-x}\left(-x^3+1\right)+e^{-x}·\left(-3x^2\right)$

= $-e^{-x}\left(-x^3+1\right)-3·e^{-x}{x}^2$

= $e^{-x}·\left(x^3-1-3x^2\right)$

= $e^{-x}·\left(x^3-3x^2-1\right)$

= $\left(x^3-3x^2-1\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-4x^3+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-4x^3+3}·\left(-12x^2+0\right)$

= $\frac{1}{-4x^3+3}·\left(-12x^2\right)$

= $-12\frac{x^2}{-4x^3+3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-2\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{-3x}+\left(2x-2\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2e^{-3x}+\left(2x-2\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2e^{-3x}-3\left(2x-2\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(2-6x+6\right)$

= $e^{-3x}·\left(-6x+8\right)$

= $\left(-6x+8\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $2e^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{1,8}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,8}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{1,62}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,62}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{1,458}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,458}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{1,3122}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,9}}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${\mathrm{0,9}}^{49}·2e^{\mathrm{0,9}x}$

≈ $\mathrm{0,011}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)-5$

= $-e^{-\mathrm{0,1}x}-\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)-5$

= $-e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,1}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-1+\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,4}\right)-5$

= $-5+\left(\mathrm{0,1}x-1+\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $-5+\left(\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$