Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x - 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{5 x - 5} + x^{2} \cdot e^{5 x - 5} \cdot 5$

= $2 x \cdot e^{5 x - 5} + x^{2} \cdot 5 e^{5 x - 5}$

= $2 x \cdot e^{5 x - 5} + 5 x^{2} \cdot e^{5 x - 5}$

= $e^{5 x - 5} \cdot (5 x^{2} + 2 x)$

= $(5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{5 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (4 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (4 x + 5)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (4 x + 5) + e^{3 x} \cdot (4 + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} (4 x + 5) + e^{3 x} \cdot (4)$

= $3 \cdot e^{3 x} (4 x + 5) + 4 e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (4 + 12 x + 15)$

= $e^{3 x} \cdot (12 x + 19)$

= $(12 x + 19) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{x} \cdot 1$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 4) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 4) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 4) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 4) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} + 4) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 12 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x - 12)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x - 12) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 86)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 6$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 3 e^{- 0,1 x} - 3 (x + 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 0,3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 3 + 0,3 x + 1,5)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,3 x - 1,5)$

= $(0,3 x - 1,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten