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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{3} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{3} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{3} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{4}{3} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot (- e^{- x})$

= $2 x \cdot e^{- x} - x^{2} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x^{2} - 5} \cdot 2 x$

= $- 4 \cdot e^{x^{2} - 5} x$

= $- 4 x e^{x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{2 x^{2} + 2}$

= $- 3 {(2 x^{2} + 2)}^{- 1}$

=> f'(x) = $3 {(2 x^{2} + 2)}^{- 2} \cdot (4 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{{(2 x^{2} + 2)}^{2}} \cdot (4 x + 0)$

= $\frac{3}{{(2 x^{2} + 2)}^{2}} \cdot (4 x)$

= $12 \frac{x}{{(2 x^{2} + 2)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{1,15 x}$

f'(x) = $- 2 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 2,3 e^{1,15 x}$

f''(x) = $- 2,3 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 2,645 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $- 2,645 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 3,0418 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,0418 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 3,498 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${1,15}^{49} \cdot (- 2 e^{1,15 x})$

≈ $- 1884,622 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 8$

= $- 3 e^{- 0,5 x} - 3 (x + 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 8$

= $- 3 e^{- 0,5 x} + 1,5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 8$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 3 + 1,5 x + 6) - 8$

= $- 8 + (1,5 x - 3 + 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 8 + (1,5 x + 3) \cdot e^{- 0,5 x}$