Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x + 3}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 3} + x^{5} \cdot e^{5 x + 3} \cdot 5$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 3} + x^{5} \cdot 5 e^{5 x + 3}$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 3} + 5 x^{5} \cdot e^{5 x + 3}$

= $e^{5 x + 3} \cdot (5 x^{4} + 5 x^{5})$

= $e^{5 x + 3} \cdot (5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{5 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{2} + 5 x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{2} + 5 x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 4 x + 5) \cdot e^{2 x} + (- 2 x^{2} + 5 x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(- 4 x + 5) \cdot e^{2 x} + (- 2 x^{2} + 5 x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(- 4 x + 5) \cdot e^{2 x} + 2 (- 2 x^{2} + 5 x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 x + 5 + (- 4 x^{2} + 10 x))$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{2} + 6 x + 5)$

= $(- 4 x^{2} + 6 x + 5) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{x} \cdot 1$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (- 4 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (- 4 x + 5)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (- 4 x + 5) + x^{5} \cdot \cos (- 4 x + 5) \cdot (- 4 + 0)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 4 x + 5) + x^{5} \cdot \cos (- 4 x + 5) \cdot (- 4)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 4 x + 5) + x^{5} \cdot (- 4 \cdot \cos (- 4 x + 5))$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 4 x + 5) - 4 x^{5} \cdot \cos (- 4 x + 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 39-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 39-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 39 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{39}$

Somit gilt für die 39-te Ableitung:

f⁽³⁹⁾(x) = ${0,85}^{39} \cdot e^{0,85 x}$

≈ $0,002 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 5$

= $5 e^{- 0,9 x} + 5 (x - 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 5$

= $5 e^{- 0,9 x} - 4,5 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 5$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 4,5 x + 9 + 5) + 5$

= $5 + (- 4,5 x + 9 + 5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $5 + (- 4,5 x + 14) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten