Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{x}$

= $- 2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x - 3) \cdot e^{- 5 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x - 3) \cdot e^{- 5 x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 2 + 0) \cdot e^{- 5 x - 5} + (- 2 x - 3) \cdot e^{- 5 x - 5} \cdot (- 5)$

= $- 2 e^{- 5 x - 5} + (- 2 x - 3) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 5})$

= $- 2 e^{- 5 x - 5} - 5 (- 2 x - 3) \cdot e^{- 5 x - 5}$

= $e^{- 5 x - 5} \cdot (- 2 + 10 x + 15)$

= $e^{- 5 x - 5} \cdot (10 x + 13)$

= $(10 x + 13) \cdot e^{- 5 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 4 x) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 4 x) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 4) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 4 x) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(2 x + 4) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 4 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(2 x + 4) \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} + 4 x) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 12 x + 2 x + 4)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 10 x + 4)$

= $(- 3 x^{2} - 10 x + 4) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x + 2) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $e^{- 2 x} + (x + 2) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $e^{- 2 x} - 2 (x + 2) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (1 - 2 x - 4)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x - 3)$

= $(- 2 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 82)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 6$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 2 e^{- 0,4 x} - 2 (x - 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 2 e^{- 0,4 x} + 0,8 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 2 + 0,8 x - 4)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (0,8 x - 6)$

= $(0,8 x - 6) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten