$\text{f(x)}=$ $-5+\frac{7}{9}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{7}{9}{e}^x$

= $\frac{7}{9}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-x-4}+x^5·e^{-x-4}·\left(-1\right)$

= $5x^4·e^{-x-4}+x^5·\left(-e^{-x-4}\right)$

= $5x^4·e^{-x-4}-x^5·e^{-x-4}$

= $e^{-x-4}·\left(-x^5+5x^4\right)$

= $\left(-x^5+5x^4\right)·e^{-x-4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x-3\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-3+0\right)·e^{3x}+\left(-3x-3\right)·e^{3x}·3$

= $-3e^{3x}+\left(-3x-3\right)·3e^{3x}$

= $-3e^{3x}+3\left(-3x-3\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(-3-9x-9\right)$

= $e^{3x}·\left(-9x-12\right)$

= $\left(-9x-12\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x^3-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x^3-2}·\left(-15x^2+0\right)$

= $\frac{1}{-5x^3-2}·\left(-15x^2\right)$

= $-15\frac{x^2}{-5x^3-2}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·\sin \left(-5x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·\sin \left(-5x+5\right)+x^5·\cos \left(-5x+5\right)·\left(-5+0\right)$

= $5x^4·\sin \left(-5x+5\right)+x^5·\cos \left(-5x+5\right)·\left(-5\right)$

= $5x^4·\sin \left(-5x+5\right)+x^5·\left(-5\cdot \cos \left(-5x+5\right)\right)$

= $5x^4·\sin \left(-5x+5\right)-5x^5·\cos \left(-5x+5\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-x}$

f'(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+9x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+9$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+9$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+9$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-4+2x-8\right)+9$

= $9+\left(2x-4-8\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $9+\left(2x-12\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$