$\text{f(x)}=$ $2e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-6e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{x-1}+x^2·e^{x-1}·1$

= $2x·e^{x-1}+x^2·e^{x-1}$

= $e^{x-1}·\left(x^2+2x\right)$

= $\left(x^2+2x\right)·e^{x-1}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{3x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{3x+3}+x^4·e^{3x+3}·3$

= $4x^3·e^{3x+3}+x^4·3e^{3x+3}$

= $4x^3·e^{3x+3}+3x^4·e^{3x+3}$

= $e^{3x+3}·\left(3x^4+4x^3\right)$

= $\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-4x^3-x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-4x^3-x^2}·\left(-12x^2-2x\right)$

= $\frac{-12x^2-2x}{-4x^3-x^2}$

= $\frac{-2·1·\left(6x+1\right)}{-x·\left(4x+1\right)}$

= $\frac{-2\left(6x+1\right)}{-x·\left(4x+1\right)}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(e^{-x}-4\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $6\left(e^{-x}-4\right)·(e^{-x}·\left(-1\right)+0)$

= $6\left(e^{-x}-4\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $-6\left(e^{-x}-4\right)·e^{-x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-x}$

f'(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f'''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)-8$

= $-3e^{-\mathrm{0,9}x}-3\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)-8$

= $-3e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{2,7}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-8$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-3+\mathrm{2,7}x+\mathrm{16,2}\right)-8$

= $-8+\left(\mathrm{2,7}x-3+\mathrm{16,2}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $-8+\left(\mathrm{2,7}x+\mathrm{13,2}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$