$\text{f(x)}=$ $1+2e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^x$

= $2e^x$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-x+2}-3\cdot \cos \left(x\right)-\frac{4}{x^4}$

= $2e^{-x+2}-3\cdot \cos \left(x\right)-4x^{-4}$

=> f'(x) = $2e^{-x+2}·\left(-1\right)+3\cdot \sin \left(x\right)+16x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-x+2}·\left(-1\right)+3\cdot \sin \left(x\right)+\frac{16}{x^5}$

= $-2e^{-x+2}+3\cdot \sin \left(x\right)+\frac{16}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-x^2+3}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-x^2+3}·\left(-2x\right)$

= $-6·e^{-x^2+3}x$

= $-6x{e}^{-x^2+3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(x^3-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x^3-5}·\left(3x^2+0\right)$

= $\frac{1}{x^3-5}·\left(3x^2\right)$

= $3\frac{x^2}{x^3-5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-6\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-3x}+\left(x-6\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $e^{-3x}+\left(x-6\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $e^{-3x}-3\left(x-6\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(1-3x+18\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x+19\right)$

= $\left(-3x+19\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^x$

f'(x) = $5e^x$

f''(x) = $5e^x$

f'''(x) = $5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $5e^x$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+7x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+7$

= $-2e^{-\mathrm{0,1}x}-2\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)+7$

= $-2e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,2}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+7$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-2+\mathrm{0,2}x-\mathrm{1,4}\right)+7$

= $7+\left(\mathrm{0,2}x-2-\mathrm{1,4}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $7+\left(\mathrm{0,2}x-\mathrm{3,4}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$