Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $\frac{5}{8} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} + 4 x) \cdot e^{5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} + 4 x) \cdot e^{5 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 6 x + 4) \cdot e^{5 x - 2} + (- 3 x^{2} + 4 x) \cdot e^{5 x - 2} \cdot 5$

= $(- 6 x + 4) \cdot e^{5 x - 2} + (- 3 x^{2} + 4 x) \cdot 5 e^{5 x - 2}$

= $(- 6 x + 4) \cdot e^{5 x - 2} + 5 (- 3 x^{2} + 4 x) \cdot e^{5 x - 2}$

= $e^{5 x - 2} \cdot (- 15 x^{2} + 20 x - 6 x + 4)$

= $e^{5 x - 2} \cdot (- 15 x^{2} + 14 x + 4)$

= $(- 15 x^{2} + 14 x + 4) \cdot e^{5 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $e^{2 x^{2} + 2} \cdot 4 x$

= $4 \cdot e^{2 x^{2} + 2} x$

= $4 x e^{2 x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 2) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 2) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{2} - 2) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{2} - 2) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (2 x^{2} - 2) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{2} + 4 + 4 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{2} + 4 x + 4)$

= $(- 4 x^{2} + 4 x + 4) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 80)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 1$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x + 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3 + 2,4 x + 9,6)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2,4 x + 6,6)$

= $(2,4 x + 6,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten