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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $\frac{1}{2} e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{5} + e^{x} \cdot 5 x^{4}$

= $e^{x} x^{5} + 5 \cdot e^{x} x^{4}$

= $e^{x} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})$

= $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x^{2} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x^{2} + 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x^{2} + 1} \cdot 4 x$

= $8 \cdot e^{2 x^{2} + 1} x$

= $8 x e^{2 x^{2} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (- x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (- x - 5)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sin (- x - 5) + x^{3} \cdot \cos (- x - 5) \cdot (- 1 + 0)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- x - 5) + x^{3} \cdot \cos (- x - 5) \cdot (- 1)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- x - 5) + x^{3} \cdot (- \cos (- x - 5))$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- x - 5) - x^{3} \cdot \cos (- x - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{1,1 x}$

f'(x) = $- 3 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 3,3 e^{1,1 x}$

f''(x) = $- 3,3 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 3,63 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $- 3,63 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 3,993 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,993 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 4,3923 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${1,1}^{65} \cdot (- 3 e^{1,1 x})$

≈ $- 1471,112 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 5$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x + 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 5$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 5$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x - 1,4) + 5$

= $5 + (- 1,4 x + 2 - 1,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $5 + (- 1,4 x + 0,6) \cdot e^{- 0,7 x}$