Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{\frac{7}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{\frac{7}{4} x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{\frac{7}{4} x} \cdot \frac{7}{4}$

= $- \frac{7}{2} e^{\frac{7}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{x^{2}} - 2 e^{3 x - 5} + \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{x^{2}} - 2 e^{3 x - 5} + \cos (x)$

= $2 x^{- 2} - 2 e^{3 x - 5} + \cos (x)$

=> f'(x) = $- 4 x^{- 3} - 2 e^{3 x - 5} \cdot 3 - \sin (x)$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{x^{3}} - 2 e^{3 x - 5} \cdot 3 - \sin (x)$

= $- \frac{4}{x^{3}} - 6 e^{3 x - 5} - \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 8) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 8) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x - 8) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x - 8) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x - 8) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (1 + 3 x - 24)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x - 23)$

= $(3 x - 23) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 58-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${1,1}^{58} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $251,638 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 2$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 3 e^{- 0,7 x} - 3 (x + 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 3 e^{- 0,7 x} + 2,1 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 3 + 2,1 x + 2,1)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2,1 x - 0,9)$

= $(2,1 x - 0,9) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten