$\text{f(x)}=$ $\frac{8}{9}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{9}{e}^{2x}·2$

= $\frac{16}{9}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-2x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-2x-3}+x^2·e^{-2x-3}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x-3}+x^2·\left(-2e^{-2x-3}\right)$

= $2x·e^{-2x-3}-2x^2·e^{-2x-3}$

= $e^{-2x-3}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x-3}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-x+1}·\left(-1\right)$

= $e^{-x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^3-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^3-3}·\left(-3x^2+0\right)$

= $\frac{1}{-x^3-3}·\left(-3x^2\right)$

= $-3\frac{x^2}{-x^3-3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+6\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(2x+6\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2\cdot \sin \left(x^3\right)+\left(2x+6\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2\cdot \sin \left(x^3\right)+3\left(2x+6\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,1576}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,1576}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,2155}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 69-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 69 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{69}$

Somit gilt für die 69-te Ableitung:

f⁽⁶⁹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{69}·e^{-\mathrm{1,05}x}$

≈ $-\mathrm{28,978}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+1$

= $2e^{-\mathrm{0,4}x}+2\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+1$

= $2e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{0,8}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+1$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(2-\mathrm{0,8}x+\mathrm{1,6}\right)+1$

= $1+\left(-\mathrm{0,8}x+2+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $1+\left(-\mathrm{0,8}x+\mathrm{3,6}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$