$\text{f(x)}=$ $-3+3e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-6e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{2x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{2x-4}+x^3·e^{2x-4}·2$

= $3x^2·e^{2x-4}+x^3·2e^{2x-4}$

= $3x^2·e^{2x-4}+2x^3·e^{2x-4}$

= $e^{2x-4}·\left(2x^3+3x^2\right)$

= $\left(2x^3+3x^2\right)·e^{2x-4}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-3x^3-3}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-3x^3-3}·\left(-9x^2\right)$

= $-18·e^{-3x^3-3}{x}^2$

= $-18x^2{e}^{-3x^3-3}$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{3x}·3$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-7\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{2x}+\left(x-7\right)·e^{2x}·2$

= $e^{2x}+\left(x-7\right)·2e^{2x}$

= $e^{2x}+2\left(x-7\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(1+2x-14\right)$

= $e^{2x}·\left(2x-13\right)$

= $\left(2x-13\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-x}$

f'(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f'''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+3\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+1$

= $3e^{-\mathrm{0,2}x}+3\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)+1$

= $3e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,6}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+1$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(3-\mathrm{0,6}x-\mathrm{2,4}\right)+1$

= $1+\left(-\mathrm{0,6}x+3-\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $1+\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$