$\text{f(x)}=$ $3e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{3x}·3$

= $9e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{3}\sqrt{x}+2e^{2x-5}$

= $\frac{5}{3}{x}^{\frac{1}{2}}+2e^{2x-5}$

=> f'(x) = $\frac{5}{6}{x}^{-\frac{1}{2}}+2e^{2x-5}·2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{6\sqrt{x}}+2e^{2x-5}·2$

= $\frac{5}{6\sqrt{x}}+4e^{2x-5}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^x+x^5·e^x$

= $5x^4·e^x+x^5·e^x$

= $e^x·\left(x^5+5x^4\right)$

= $\left(x^5+5x^4\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{2x}·2$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-\sin \left(-x^2+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\cos \left(-x^2+3\right)·\left(-2x+0\right)$

= $-\cos \left(-x^2+3\right)·\left(-2x\right)$

= $2\cos \left(-x^2+3\right)x$

= $2x·\cos \left(-x^2+3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-x}$

f'(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f'''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $-4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+8$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{1,2}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-2+\mathrm{1,2}x-\mathrm{2,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{4,4}\right)$

= $\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{4,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$