$\text{f(x)}=$ $5+\frac{3}{4}{e}^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{4}{e}^{\frac{5}{7}x}·\frac{5}{7}$

= $\frac{15}{28}{e}^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-3x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-3x+5}+x^3·e^{-3x+5}·\left(-3\right)$

= $3x^2·e^{-3x+5}+x^3·\left(-3e^{-3x+5}\right)$

= $3x^2·e^{-3x+5}-3x^3·e^{-3x+5}$

= $e^{-3x+5}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x+5}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^x+x^5·e^x$

= $5x^4·e^x+x^5·e^x$

= $e^x·\left(x^5+5x^4\right)$

= $\left(x^5+5x^4\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{x}·1$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+7\right)·\sin \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\sin \left(2x\right)+\left(x+7\right)·\cos \left(2x\right)·2$

= $\sin \left(2x\right)+\left(x+7\right)·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $\sin \left(2x\right)+2\left(x+7\right)·\cos \left(2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $-4e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{3,4}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{3,4}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{2,89}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{2,89}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{2,4565}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{2,4565}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{2,088}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 37-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 37 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{37}$

Somit gilt für die 37-te Ableitung:

f⁽³⁷⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{37}·\left(-4e^{\mathrm{0,85}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,01}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,4}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(2-\mathrm{0,4}x-2\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,4}x+0\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,4}x\right)$

= $x·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$