$\text{f(x)}=$ $-2+3e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^x$

= $3e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^2-2\right)·e^{-x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-10x+0\right)·e^{-x+3}+\left(-5x^2-2\right)·e^{-x+3}·\left(-1\right)$

= $-10x·e^{-x+3}+\left(-5x^2-2\right)·\left(-e^{-x+3}\right)$

= $-10x·e^{-x+3}-\left(-5x^2-2\right)·e^{-x+3}$

= $e^{-x+3}·\left(5x^2+2-10x\right)$

= $e^{-x+3}·\left(5x^2-10x+2\right)$

= $\left(5x^2-10x+2\right)·e^{-x+3}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-3x}+x^3·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3x^2·e^{-3x}+x^3·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3x^2·e^{-3x}-3x^3·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-8\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-8}{7x}·7$

= $-\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(-x^2+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(-x^2+3\right)·\left(-2x+0\right)$

= $-2\cdot \cos \left(-x^2+3\right)·\left(-2x\right)$

= $4\cos \left(-x^2+3\right)x$

= $4x·\cos \left(-x^2+3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{1,21}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,21}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{1,331}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,331}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{1,4641}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 53-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 53 mal mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{53}$

Somit gilt für die 53-te Ableitung:

f⁽⁵³⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{53}·e^{-\mathrm{1,1}x}$

≈ $-\mathrm{156,247}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)-7$

= $-2e^{-\mathrm{0,1}x}-2\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)-7$

= $-2e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,2}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-7$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-2+\mathrm{0,2}x-\mathrm{1,4}\right)-7$

= $-7+\left(\mathrm{0,2}x-2-\mathrm{1,4}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $-7+\left(\mathrm{0,2}x-\mathrm{3,4}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$