$\text{f(x)}=$ $-2e^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{\frac{5}{6}x}·\frac{5}{6}$

= $-\frac{5}{3}{e}^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-4x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-4x-2}+x^2·e^{-4x-2}·\left(-4\right)$

= $2x·e^{-4x-2}+x^2·\left(-4e^{-4x-2}\right)$

= $2x·e^{-4x-2}-4x^2·e^{-4x-2}$

= $e^{-4x-2}·\left(-4x^2+2x\right)$

= $\left(-4x^2+2x\right)·e^{-4x-2}$

$\text{f(x)}=$ $e^x·\left(-2x^3+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·\left(-2x^3+5\right)+e^x·\left(-6x^2+0\right)$

= $e^x\left(-2x^3+5\right)+e^x·\left(-6x^2\right)$

= $e^x\left(-2x^3+5\right)-6·e^x{x}^2$

= $e^x·\left(-2x^3+5-6x^2\right)$

= $e^x·\left(-2x^3-6x^2+5\right)$

= $\left(-2x^3-6x^2+5\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x^3+3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x^3+3x}·\left(15x^2+3\right)$

= $\frac{15x^2+3}{5x^3+3x}$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(3x^2-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(3x^2-3\right)·\left(6x+0\right)$

= $\cos \left(3x^2-3\right)·\left(6x\right)$

= $6\cos \left(3x^2-3\right)x$

= $6x·\cos \left(3x^2-3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-x}$

f'(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+2$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+2\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,8}x}+2\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{1,6}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(2-\mathrm{1,6}x+\mathrm{6,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{1,6}x+\mathrm{8,4}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,6}x+\mathrm{8,4}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$