$\text{f(x)}=$ $-4+2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{2x}·2$

= $4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-3x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-3x-3}+x^2·e^{-3x-3}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x-3}+x^2·\left(-3e^{-3x-3}\right)$

= $2x·e^{-3x-3}-3x^2·e^{-3x-3}$

= $e^{-3x-3}·\left(2x-3x^2\right)$

= $e^{-3x-3}·\left(-3x^2+2x\right)$

= $\left(-3x^2+2x\right)·e^{-3x-3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·x^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·x^2+e^{-x}·2x$

= $-e^{-x}{x}^2+2·e^{-x}x$

= $e^{-x}·\left(2x-x^2\right)$

= $e^{-x}·\left(-x^2+2x\right)$

= $\left(-x^2+2x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{4x}·4$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\sin \left(-3x+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\sin \left(-3x+1\right)+x^2·\cos \left(-3x+1\right)·\left(-3+0\right)$

= $2x·\sin \left(-3x+1\right)+x^2·\cos \left(-3x+1\right)·\left(-3\right)$

= $2x·\sin \left(-3x+1\right)+x^2·\left(-3\cdot \cos \left(-3x+1\right)\right)$

= $2x·\sin \left(-3x+1\right)-3x^2·\cos \left(-3x+1\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-x}$

f'(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2x-6-4\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2x-10\right)$

= $\left(2x-10\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$