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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 4 x) \cdot e^{x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 4 x) \cdot e^{x + 3}$

$f'(x) =$ $(2 x + 4) \cdot e^{x + 3} + (x^{2} + 4 x) \cdot e^{x + 3} \cdot 1$

= $(2 x + 4) \cdot e^{x + 3} + (x^{2} + 4 x) \cdot e^{x + 3}$

= $e^{x + 3} \cdot (x^{2} + 4 x + 2 x + 4)$

= $e^{x + 3} \cdot (x^{2} + 6 x + 4)$

= $(x^{2} + 6 x + 4) \cdot e^{x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x - 2) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x - 2) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(5 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (5 x - 2) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $5 e^{- 2 x} + (5 x - 2) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $5 e^{- 2 x} - 2 (5 x - 2) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (5 - 10 x + 4)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 10 x + 9)$

= $(- 10 x + 9) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} + 5} \cdot (- 15 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{3} + 5} \cdot (- 15 x^{2})$

= $- 15 \frac{x^{2}}{- 5 x^{3} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x + 2) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x} + (3 x + 2) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 e^{- 3 x} - 3 (3 x + 2) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 - 9 x - 6)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x - 3)$

= $(- 9 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 84)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 6$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $e^{- 0,7 x} + (x - 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $e^{- 0,7 x} - 0,7 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1 - 0,7 x + 2,8)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7 x + 3,8)$

= $(- 0,7 x + 3,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten