Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{4}{3} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x + 4} - \frac{5}{x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x + 4} - \frac{5}{x^{2}}$

= $3 e^{2 x + 4} - 5 x^{- 2}$

=> f'(x) = $3 e^{2 x + 4} \cdot 2 + 10 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x + 4} \cdot 2 + \frac{10}{x^{3}}$

= $6 e^{2 x + 4} + \frac{10}{x^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \sin (x^{3}) + x^{4} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $4 x^{3} \cdot \sin (x^{3}) + x^{4} \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $4 x^{3} \cdot \sin (x^{3}) + 3 x^{4} \cos (x^{3}) x^{2}$

= $4 x^{3} \cdot \sin (x^{3}) + 3 x^{6} \cdot \cos (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${0,85}^{47} \cdot e^{0,85 x}$

= 0

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 3$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- e^{- 0,7 x} - (x - 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- e^{- 0,7 x} + 0,7 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1 + 0,7 x - 2,8)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (0,7 x - 3,8)$

= $(0,7 x - 3,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten