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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x + 5} - 3 \sqrt[3]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x + 5} - 3 \sqrt[3]{x}$

= $3 e^{- x + 5} - 3 x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $3 e^{- x + 5} \cdot (- 1) - x^{- \frac{2}{3}}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x + 5} \cdot (- 1) - \frac{1}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

= $- 3 e^{- x + 5} - \frac{1}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x + 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $3 e^{- x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x - 1} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x - 1} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (x^{2} - 5) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot \sin (- 3 x) + (x^{2} - 5) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $2 x \cdot \sin (- 3 x) - 3 (x^{2} - 5) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 38-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{0,85 x}$

f'(x) = $5 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $4,25 e^{0,85 x}$

f''(x) = $4,25 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $3,6125 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $3,6125 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $3,0706 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,0706 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $2,61 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 38-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 38 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{38}$

Somit gilt für die 38-te Ableitung:

f⁽³⁸⁾(x) = ${0,85}^{38} \cdot 5 e^{0,85 x}$

≈ $0,01 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 6$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x - 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2 + 1,6 x - 6,4)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1,6 x - 8,4)$

= $(1,6 x - 8,4) \cdot e^{- 0,8 x}$