$\text{f(x)}=$ $-2-e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{3x-5}-4x^4$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{3x-5}·3-16x^3$

= $-9e^{3x-5}-16x^3$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-x}+x^2·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $2x·e^{-x}+x^2·\left(-e^{-x}\right)$

= $2x·e^{-x}-x^2·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^2+2x\right)$

= $\left(-x^2+2x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x^3-4x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x^3-4x^2}·\left(15x^2-8x\right)$

= $\frac{15x^2-8x}{5x^3-4x^2}$

= $\frac{1·\left(15x-8\right)}{x·\left(5x-4\right)}$

= $\frac{15x-8}{x·\left(5x-4\right)}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-2x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-2x-4}+x^2·e^{-2x-4}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x-4}+x^2·\left(-2e^{-2x-4}\right)$

= $2x·e^{-2x-4}-2x^2·e^{-2x-4}$

= $e^{-2x-4}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x-4}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+79\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+1$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+2\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,4}x}+2\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{0,8}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(2-\mathrm{0,8}x-\mathrm{2,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,8}x-\mathrm{0,4}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,8}x-\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$