$\text{f(x)}=$ $2+e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^x$

= $e^x$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x+4}+x^3·e^{-2x+4}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x+4}+x^3·\left(-2e^{-2x+4}\right)$

= $3x^2·e^{-2x+4}-2x^3·e^{-2x+4}$

= $e^{-2x+4}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x+4}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-3x}+x^5·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $5x^4·e^{-3x}+x^5·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $5x^4·e^{-3x}-3x^5·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x^3-x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x^3-x}·\left(12x^2-1\right)$

= $\frac{12x^2-1}{4x^3-x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{x}}·e^{3x+1}$

= $x^{-\frac{1}{2}}·e^{3x+1}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}·e^{3x+1}+x^{-\frac{1}{2}}·e^{3x+1}·3$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2{\left(\sqrt{x}\right)}^3}·e^{3x+1}+\frac{1}{\sqrt{x}}·e^{3x+1}·3$

= $-\frac{1}{2}\frac{e^{3x+1}}{{\left(\sqrt{x}\right)}^3}+\frac{1}{\sqrt{x}}·3e^{3x+1}$

= $-\frac{1}{2}\frac{e^{3x+1}}{{\left(\sqrt{x}\right)}^3}+3\frac{e^{3x+1}}{\sqrt{x}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $-2e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{2,3}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{2,3}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{2,645}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{2,645}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{3,0418}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{3,0418}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{3,498}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{50}·\left(-2e^{-\mathrm{1,15}x}\right)$

≈ $-\mathrm{2167,315}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+1$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,4}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(2-\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$