$\text{f(x)}=$ $-2e^x$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^x$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·x^2+e^{-x}·2x$

= $-e^{-x}{x}^2+2·e^{-x}x$

= $e^{-x}·\left(-x^2+2x\right)$

= $\left(-x^2+2x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x+5}·\left(-3\right)$

= $6e^{-3x+5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x+4}·\left(-1+0\right)$

= $\frac{1}{-x+4}·\left(-1\right)$

= $-\frac{1}{-x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{-2x}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{-2x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{-2x}+x^{\frac{1}{2}}·e^{-2x}·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{-2x}+\sqrt{x}·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-2x}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-2x}}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x}·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $-2e^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{2,2}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $\mathrm{2,2}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{2,42}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{2,42}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{2,662}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,662}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{2,9282}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 59-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 59 mal mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{59}$

Somit gilt für die 59-te Ableitung:

f⁽⁵⁹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{59}·\left(-2e^{-\mathrm{1,1}x}\right)$

≈ $\mathrm{553,603}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+4$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,2}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-1+\mathrm{0,2}x-\mathrm{1,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,2}x-\mathrm{2,4}\right)$

= $\left(\mathrm{0,2}x-\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$