$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{3}{e}^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{3}{e}^{\frac{1}{4}x}·\frac{1}{4}$

= $\frac{1}{3}{e}^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x^4}-2e^{-3x+1}$

= $x^{-4}-2e^{-3x+1}$

=> f'(x) = $-4x^{-5}-2e^{-3x+1}·\left(-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{x^5}-2e^{-3x+1}·\left(-3\right)$

= $-\frac{4}{x^5}+6e^{-3x+1}$

$\text{f(x)}=$ $e^{x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{x+4}·1$

= $e^{x+4}$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{x}·1$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-8\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{3x}+\left(2x-8\right)·e^{3x}·3$

= $2e^{3x}+\left(2x-8\right)·3e^{3x}$

= $2e^{3x}+3\left(2x-8\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(2+6x-24\right)$

= $e^{3x}·\left(6x-22\right)$

= $\left(6x-22\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+76\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+9x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+9$

= $3e^{-\mathrm{0,8}x}+3\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)+9$

= $3e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{2,4}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+9$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(3-\mathrm{2,4}x-\mathrm{4,8}\right)+9$

= $9+\left(-\mathrm{2,4}x+3-\mathrm{4,8}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $9+\left(-\mathrm{2,4}x-\mathrm{1,8}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$