Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{4}{5} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{4}{5} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{4}{5} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{12}{5} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{4 x + 2}$

$f'(x) =$ $(15 x^{2} + 10 x) \cdot e^{4 x + 2} + (5 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{4 x + 2} \cdot 4$

= $(15 x^{2} + 10 x) \cdot e^{4 x + 2} + (5 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot 4 e^{4 x + 2}$

= $(15 x^{2} + 10 x) \cdot e^{4 x + 2} + 4 (5 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{4 x + 2}$

= $e^{4 x + 2} \cdot (15 x^{2} + 10 x + (20 x^{3} + 20 x^{2}))$

= $e^{4 x + 2} \cdot (20 x^{3} + 35 x^{2} + 10 x)$

= $(20 x^{3} + 35 x^{2} + 10 x) \cdot e^{4 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (4 x^{3} + 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (4 x^{3} + 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (4 x^{3} + 3 x^{2}) + e^{3 x} \cdot (12 x^{2} + 6 x)$

= $3 \cdot e^{3 x} (4 x^{3} + 3 x^{2}) + e^{3 x} (12 x^{2} + 6 x)$

= $e^{3 x} \cdot (12 x^{2} + 6 x + (12 x^{3} + 9 x^{2}))$

= $e^{3 x} \cdot (12 x^{3} + 21 x^{2} + 6 x)$

= $(12 x^{3} + 21 x^{2} + 6 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x + 3} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x + 3} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 5) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 5) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (2 x - 5) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $2 \cdot \sin (- 3 x) + (2 x - 5) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $2 \cdot \sin (- 3 x) - 3 (2 x - 5) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 80)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 4$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 5 e^{- 0,3 x} - 5 (x + 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 5 e^{- 0,3 x} + 1,5 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1,5 x + 10,5 - 5)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1,5 x + 5,5)$

= $(1,5 x + 5,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten