$\text{f(x)}=$ $e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3$

= $3e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{5x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{5x-2}+x^5·e^{5x-2}·5$

= $5x^4·e^{5x-2}+x^5·5e^{5x-2}$

= $5x^4·e^{5x-2}+5x^5·e^{5x-2}$

= $e^{5x-2}·\left(5x^5+5x^4\right)$

= $\left(5x^5+5x^4\right)·e^{5x-2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^3-2x^2\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-6x^2-4x\right)·e^{3x}+\left(-2x^3-2x^2\right)·e^{3x}·3$

= $\left(-6x^2-4x\right)·e^{3x}+\left(-2x^3-2x^2\right)·3e^{3x}$

= $\left(-6x^2-4x\right)·e^{3x}+3\left(-2x^3-2x^2\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·(-6x^3-6x^2+\left(-6x^2-4x\right))$

= $e^{3x}·\left(-6x^3-12x^2-4x\right)$

= $\left(-6x^3-12x^2-4x\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x^2+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x^2+4}·\left(6x+0\right)$

= $\frac{1}{3x^2+4}·\left(6x\right)$

= $6\frac{x}{3x^2+4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-2\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-3x}+\left(3x-2\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x}+\left(3x-2\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3e^{-3x}-3\left(3x-2\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(3-9x+6\right)$

= $e^{-3x}·\left(-9x+9\right)$

= $\left(-9x+9\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+85\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-1$

= $3e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-1$

= $3e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,8}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-1$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(3-\mathrm{1,8}x+\mathrm{7,2}\right)-1$

= $-1+\left(-\mathrm{1,8}x+3+\mathrm{7,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-1+\left(-\mathrm{1,8}x+\mathrm{10,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$