$\text{f(x)}=$ $2e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-6e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^x·\left(4x^5+4x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·\left(4x^5+4x^2\right)+e^x·\left(20x^4+8x\right)$

= $e^x·(4x^5+4x^2+\left(20x^4+8x\right))$

= $e^x·\left(4x^5+20x^4+4x^2+8x\right)$

= $\left(4x^5+20x^4+4x^2+8x\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{3x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{3x-5}·3$

= $-6e^{3x-5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x+3}·\left(-3+0\right)$

= $\frac{1}{-3x+3}·\left(-3\right)$

= $-\frac{3}{-3x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+3\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-3x}+\left(x+3\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $e^{-3x}+\left(x+3\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $e^{-3x}-3\left(x+3\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(1-3x-9\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x-8\right)$

= $\left(-3x-8\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-x}$

f'(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+6$

= $3e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+6$

= $3e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,8}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(3-\mathrm{1,8}x-9\right)+6$

= $6+\left(-\mathrm{1,8}x+3-9\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $6+\left(-\mathrm{1,8}x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$