Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $\frac{1}{2} e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x - 3) \cdot e^{4 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x - 3) \cdot e^{4 x - 4}$

$f'(x) =$ $(5 + 0) \cdot e^{4 x - 4} + (5 x - 3) \cdot e^{4 x - 4} \cdot 4$

= $5 e^{4 x - 4} + (5 x - 3) \cdot 4 e^{4 x - 4}$

= $5 e^{4 x - 4} + 4 (5 x - 3) \cdot e^{4 x - 4}$

= $e^{4 x - 4} \cdot (5 + 20 x - 12)$

= $e^{4 x - 4} \cdot (20 x - 7)$

= $(20 x - 7) \cdot e^{4 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x^{2} + 4} \cdot (- 2 x)$

= $- 4 \cdot e^{- x^{2} + 4} x$

= $- 4 x e^{- x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} - 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} - 2 x} \cdot (- 2 x - 2)$

= $\frac{- 2 x - 2}{- x^{2} - 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 9) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 9) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (x + 9) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $\sin (x^{3}) + (x + 9) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\sin (x^{3}) + 3 (x + 9) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 42-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 42-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 42 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{42}$

Somit gilt für die 42-te Ableitung:

f⁽⁴²⁾(x) = ${0,85}^{42} \cdot e^{0,85 x}$

≈ $0,001 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 7$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 5 e^{- 0,7 x} - 5 (x - 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 5 e^{- 0,7 x} + 3,5 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 5 + 3,5 x - 7)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3,5 x - 12)$

= $(3,5 x - 12) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten