Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{5} e^{\frac{9}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{5} e^{\frac{9}{7} x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{5} e^{\frac{9}{7} x} \cdot \frac{9}{7}$

= $\frac{9}{5} e^{\frac{9}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} (3 x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} (3 x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (3 x^{2} - 5) + e^{3 x} \cdot (6 x + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} (3 x^{2} - 5) + e^{3 x} \cdot (6 x)$

= $3 \cdot e^{3 x} (3 x^{2} - 5) + 6 \cdot e^{3 x} x$

= $e^{3 x} \cdot (9 x^{2} - 15 + 6 x)$

= $e^{3 x} \cdot (9 x^{2} + 6 x - 15)$

= $(9 x^{2} + 6 x - 15) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{3} + e^{x} \cdot 3 x^{2}$

= $e^{x} x^{3} + 3 \cdot e^{x} x^{2}$

= $e^{x} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{2} + 4 x} \cdot (10 x + 4)$

= $\frac{10 x + 4}{5 x^{2} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 2) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 2) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 2) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} - 6 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 6)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 6) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 92)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 9$

= $5 e^{- 0,1 x} + 5 (x - 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 9$

= $5 e^{- 0,1 x} - 0,5 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 9$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (5 - 0,5 x + 1) - 9$

= $- 9 + (- 0,5 x + 5 + 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 9 + (- 0,5 x + 6) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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