$\text{f(x)}=$ $-2+3e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^x$

= $3e^x$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2·x^3+e^{2x}·3x^2$

= $2·e^{2x}{x}^3+3·e^{2x}{x}^2$

= $e^{2x}·\left(2x^3+3x^2\right)$

= $\left(2x^3+3x^2\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^3+e^{-2x}·3x^2$

= $-2·e^{-2x}{x}^3+3·e^{-2x}{x}^2$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{x}·1$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+8\right)·\sin \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(-3x\right)+\left(2x+8\right)·\cos \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $2\cdot \sin \left(-3x\right)+\left(2x+8\right)·\left(-3\cdot \cos \left(-3x\right)\right)$

= $2\cdot \sin \left(-3x\right)-3\left(2x+8\right)·\cos \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{1,21}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,21}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{1,331}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,331}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{1,4641}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{58}·e^{-\mathrm{1,1}x}$

≈ $\mathrm{251,638}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-2$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,9}x}-5\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{4,5}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-5+\mathrm{4,5}x+\mathrm{22,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{4,5}x+\mathrm{17,5}\right)$

= $\left(\mathrm{4,5}x+\mathrm{17,5}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$