$\text{f(x)}=$ $4+2e^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{\frac{6}{7}x}·\frac{6}{7}$

= $\frac{12}{7}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{3x-2}-\frac{1}{x^4}$

= $3e^{3x-2}-x^{-4}$

=> f'(x) = $3e^{3x-2}·3+4x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{3x-2}·3+\frac{4}{x^5}$

= $9e^{3x-2}+\frac{4}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x^3+4}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x^3+4}·\left(-9x^2\right)$

= $18·e^{-3x^3+4}{x}^2$

= $18x^2{e}^{-3x^3+4}$

$\text{f(x)}=$ $5\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{7x}·7$

= $\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+3\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-3x}+\left(x+3\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $e^{-3x}+\left(x+3\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $e^{-3x}-3\left(x+3\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(1-3x-9\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x-8\right)$

= $\left(-3x-8\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,522}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 39-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 39 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{39}$

Somit gilt für die 39-te Ableitung:

f⁽³⁹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{39}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

≈ $-\mathrm{0,002}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+5\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)-4$

= $5e^{-\mathrm{0,7}x}+5\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)-4$

= $5e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{3,5}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-4$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(5-\mathrm{3,5}x+14\right)-4$

= $-4+\left(-\mathrm{3,5}x+5+14\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $-4+\left(-\mathrm{3,5}x+19\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$