Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $- \frac{5}{3} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x + 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 5} + x^{5} \cdot e^{5 x + 5} \cdot 5$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 5} + x^{5} \cdot 5 e^{5 x + 5}$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 5} + 5 x^{5} \cdot e^{5 x + 5}$

= $e^{5 x + 5} \cdot (5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{5 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} + 5) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} + 5) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(8 x + 0) \cdot e^{x} + (4 x^{2} + 5) \cdot e^{x}$

= $(4 x^{2} + 5) \cdot e^{x} + 8 x \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (4 x^{2} + 5 + 8 x)$

= $e^{x} \cdot (4 x^{2} + 8 x + 5)$

= $(4 x^{2} + 8 x + 5) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 5) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 5) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (3 x + 5) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + (3 x + 5) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + 2 (3 x + 5) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${0,95}^{61} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,044 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 9$

= $5 e^{- 0,5 x} + 5 (x - 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 9$

= $5 e^{- 0,5 x} - 2,5 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 9$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (5 - 2,5 x + 5) - 9$

= $- 9 + (- 2,5 x + 5 + 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 9 + (- 2,5 x + 10) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten