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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + e^{\frac{9}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + e^{\frac{9}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{9}{7} x} \cdot \frac{9}{7}$

= $\frac{9}{7} e^{\frac{9}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 5} + x^{3} \cdot e^{5 x - 5} \cdot 5$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 5} + x^{3} \cdot 5 e^{5 x - 5}$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 5} + 5 x^{3} \cdot e^{5 x - 5}$

= $e^{5 x - 5} \cdot (5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x^{3} + 1} \cdot 3 x^{2}$

= $- 6 \cdot e^{x^{3} + 1} x^{2}$

= $- 6 x^{2} e^{x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{x} \cdot 1$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(- 3 x - 5)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(- 3 x - 5)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 6 (- 3 x - 5) \cdot (- 3 + 0)$

= $- 6 (- 3 x - 5) \cdot (- 3)$

= $18 (- 3 x - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $4 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 3,8 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 3,8 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $3,61 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $3,61 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 3,4295 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,4295 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $3,258 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 76-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 76 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{76}$

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = ${(- 0,95)}^{76} \cdot 4 e^{- 0,95 x}$

≈ $0,081 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 4$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x + 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 4$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x - 9,8) - 4$

= $- 4 + (- 1,4 x + 2 - 9,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 4 + (- 1,4 x - 7,8) \cdot e^{- 0,7 x}$