$\text{f(x)}=$ $\frac{8}{9}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{9}{e}^{3x}·3$

= $\frac{8}{3}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-x+5}+x^5·e^{-x+5}·\left(-1\right)$

= $5x^4·e^{-x+5}+x^5·\left(-e^{-x+5}\right)$

= $5x^4·e^{-x+5}-x^5·e^{-x+5}$

= $e^{-x+5}·\left(-x^5+5x^4\right)$

= $\left(-x^5+5x^4\right)·e^{-x+5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^3+3\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(12x^2+0\right)·e^x+\left(4x^3+3\right)·e^x$

= $\left(4x^3+3\right)·e^x+12x^2·e^x$

= $e^x·\left(4x^3+3+12x^2\right)$

= $e^x·\left(4x^3+12x^2+3\right)$

= $\left(4x^3+12x^2+3\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x-3}·\left(4+0\right)$

= $\frac{1}{4x-3}·\left(4\right)$

= $\frac{4}{4x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-9\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-3x}+\left(x^2-9\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x}+\left(x^2-9\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2x·e^{-3x}-3\left(x^2-9\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+27+2x\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x+27\right)$

= $\left(-3x^2+2x+27\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{1,21}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,21}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{1,331}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,331}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{1,4641}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 59-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 59 mal mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{59}$

Somit gilt für die 59-te Ableitung:

f⁽⁵⁹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{59}·e^{-\mathrm{1,1}x}$

≈ $-\mathrm{276,801}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+5x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+5$

= $-5e^{-\mathrm{0,3}x}-5\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)+5$

= $-5e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{1,5}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+5$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-5+\mathrm{1,5}x+\mathrm{7,5}\right)+5$

= $5+\left(\mathrm{1,5}x-5+\mathrm{7,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $5+\left(\mathrm{1,5}x+\mathrm{2,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$