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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x - 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 1} + x^{4} \cdot e^{5 x - 1} \cdot 5$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 1} + x^{4} \cdot 5 e^{5 x - 1}$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 1} + 5 x^{4} \cdot e^{5 x - 1}$

= $e^{5 x - 1} \cdot (5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{5 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x^{2} + 4} \cdot 6 x$

= $- 6 \cdot e^{3 x^{2} + 4} x$

= $- 6 x e^{3 x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} - x} \cdot (6 x^{2} - 1)$

= $\frac{6 x^{2} - 1}{2 x^{3} - x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\sin (x) + 3)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\sin (x) + 3)}^{3}$

$f'(x) =$ $3 {(\sin (x) + 3)}^{2} \cdot (\cos (x) + 0)$

= $3 {(\sin (x) + 3)}^{2} \cdot (\cos (x))$

= $3 {(\sin (x) + 3)}^{2} \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{0,95 x}$

f'(x) = $- 3 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 2,85 e^{0,95 x}$

f''(x) = $- 2,85 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 2,7075 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $- 2,7075 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 2,5721 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,5721 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 2,4435 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${0,95}^{65} \cdot (- 3 e^{0,95 x})$

≈ $- 0,107 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 7$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 4 e^{- 0,9 x} - 4 (x + 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 4 e^{- 0,9 x} + 3,6 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 4 + 3,6 x + 3,6)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (3,6 x - 0,4)$

= $(3,6 x - 0,4) \cdot e^{- 0,9 x}$