$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{8}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{8}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{7}{4}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{3x+5}+4\sqrt{x}+4x^5$

= $-e^{3x+5}+4x^{\frac{1}{2}}+4x^5$

=> f'(x) = $-e^{3x+5}·3+2x^{-\frac{1}{2}}+20x^4$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{3x+5}·3+\frac{2}{\sqrt{x}}+20x^4$

= $-3e^{3x+5}+\frac{2}{\sqrt{x}}+20x^4$

$\text{f(x)}=$ $-e^{3x^2+2}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{3x^2+2}·6x$

= $-6·e^{3x^2+2}x$

= $-6x{e}^{3x^2+2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x^2+5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x^2+5x}·\left(6x+5\right)$

= $\frac{6x+5}{3x^2+5x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·\cos \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·\cos \left(2x\right)+x^3·(-\sin \left(2x\right)·2)$

= $3x^2·\cos \left(2x\right)+x^3·\left(-2\cdot \sin \left(2x\right)\right)$

= $3x^2·\cos \left(2x\right)-2x^3·\sin \left(2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $2e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{1,9}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,9}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{1,805}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,805}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{1,7148}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,7148}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{1,629}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{63}·2e^{\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,079}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-5$

= $-e^{-\mathrm{0,6}x}-\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-5$

= $-e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{0,6}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-1+\mathrm{0,6}x+\mathrm{4,2}\right)-5$

= $-5+\left(\mathrm{0,6}x-1+\mathrm{4,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-5+\left(\mathrm{0,6}x+\mathrm{3,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$