Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x} \cdot 3$

= $6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{3} - 2 x^{4})$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{4} - 4) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{4} - 4) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{3} + 0) \cdot e^{- 3 x} + (- 3 x^{4} - 4) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 12 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + (- 3 x^{4} - 4) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $- 12 x^{3} \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 3 x^{4} - 4) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 12 x^{3} + 9 x^{4} + 12)$

= $e^{- 3 x} \cdot (9 x^{4} - 12 x^{3} + 12)$

= $(9 x^{4} - 12 x^{3} + 12) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{3} - 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{3} - 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{3} - 2 x^{2}} \cdot (15 x^{2} - 4 x)$

= $\frac{15 x^{2} - 4 x}{5 x^{3} - 2 x^{2}}$

= $\frac{1 \cdot (15 x - 4)}{x \cdot (5 x - 2)}$

= $\frac{15 x - 4}{x \cdot (5 x - 2)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 1) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 1) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (2 x - 1) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 e^{- 3 x} + (2 x - 1) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 e^{- 3 x} - 3 (2 x - 1) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x + 3 + 2)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x + 5)$

= $(- 6 x + 5) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 81)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 9$

= $- 3 e^{- 0,1 x} - 3 (x + 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 9$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 0,3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 9$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,3 x + 1,5 - 3) + 9$

= $9 + (0,3 x + 1,5 - 3) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $9 + (0,3 x - 1,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten