Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 - 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 - 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{x}$

= $- 2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{5} + x^{3}) \cdot e^{x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{5} + x^{3}) \cdot e^{x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 25 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot e^{x + 3} + (- 5 x^{5} + x^{3}) \cdot e^{x + 3} \cdot 1$

= $(- 25 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot e^{x + 3} + (- 5 x^{5} + x^{3}) \cdot e^{x + 3}$

= $e^{x + 3} \cdot (- 5 x^{5} + x^{3} + (- 25 x^{4} + 3 x^{2}))$

= $e^{x + 3} \cdot (- 5 x^{5} - 25 x^{4} + x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 5 x^{5} - 25 x^{4} + x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{4} + 4 x) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{4} + 4 x) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 4 x^{3} + 4) \cdot e^{- 3 x} + (- x^{4} + 4 x) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(- 4 x^{3} + 4) \cdot e^{- 3 x} + (- x^{4} + 4 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(- 4 x^{3} + 4) \cdot e^{- 3 x} - 3 (- x^{4} + 4 x) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 x^{4} - 12 x - 4 x^{3} + 4)$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x + 4)$

= $(3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x + 4) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} - 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} - 4 x} \cdot (- 12 x^{2} - 4)$

= $\frac{- 12 x^{2} - 4}{- 4 x^{3} - 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 3 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 3 x} + \sqrt{x} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 3 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 3 x}}{\sqrt{x}} - 3 \sqrt{x} \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 59-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $4 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 4,4 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 4,4 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $4,84 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $4,84 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 5,324 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5,324 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $5,8564 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 59-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 59 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{59}$

Somit gilt für die 59-te Ableitung:

f⁽⁵⁹⁾(x) = ${(- 1,1)}^{59} \cdot 4 e^{- 1,1 x}$

≈ $- 1107,206 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 5$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 4 e^{- 0,7 x} - 4 (x - 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 4 e^{- 0,7 x} + 2,8 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 4 + 2,8 x - 19,6)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2,8 x - 23,6)$

= $(2,8 x - 23,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten