$\text{f(x)}=$ $\frac{10}{9}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{10}{9}{e}^{2x}·2$

= $\frac{20}{9}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x}\left(5x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2·\left(5x+3\right)+e^{2x}·\left(5+0\right)$

= $2·e^{2x}\left(5x+3\right)+e^{2x}·\left(5\right)$

= $2·e^{2x}\left(5x+3\right)+5e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(10x+6+5\right)$

= $e^{2x}·\left(10x+11\right)$

= $\left(10x+11\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{2x}+x^5·e^{2x}·2$

= $5x^4·e^{2x}+x^5·2e^{2x}$

= $5x^4·e^{2x}+2x^5·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(5x^4+2x^5\right)$

= $e^{2x}·\left(2x^5+5x^4\right)$

= $\left(2x^5+5x^4\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^3+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^3+5}·\left(-3x^2+0\right)$

= $\frac{1}{-x^3+5}·\left(-3x^2\right)$

= $-3\frac{x^2}{-x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(2x+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(2x+2\right)·\left(2+0\right)$

= $-\sin \left(2x+2\right)·\left(2\right)$

= $-2\cdot \sin \left(2x+2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^x$

f'(x) = $e^x$

f''(x) = $e^x$

f'''(x) = $e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^x$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+8x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-5\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+8$

= $-5e^{-\mathrm{0,9}x}-5\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)+8$

= $-5e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{4,5}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+8$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{4,5}x+18-5\right)+8$

= $8+\left(\mathrm{4,5}x+18-5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $8+\left(\mathrm{4,5}x+13\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$