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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x - 2) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x - 2) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (- 3 x - 2) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 3 e^{- 2 x} + (- 3 x - 2) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $- 3 e^{- 2 x} - 2 (- 3 x - 2) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 3 + 6 x + 4)$

= $e^{- 2 x} \cdot (6 x + 1)$

= $(6 x + 1) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{5} + x^{3}) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{5} + x^{3}) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(10 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x} + (2 x^{5} + x^{3}) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(10 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x} + (2 x^{5} + x^{3}) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(10 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x} + 2 (2 x^{5} + x^{3}) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{5} + 2 x^{3} + (10 x^{4} + 3 x^{2}))$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{5} + 10 x^{4} + 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(4 x^{5} + 10 x^{4} + 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} + 4} \cdot (8 x + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{2} + 4} \cdot (8 x)$

= $8 \frac{x}{4 x^{2} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(e^{- x} + 5)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(e^{- x} + 5)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 3 {(e^{- x} + 5)}^{2} \cdot (e^{- x} \cdot (- 1) + 0)$

= $- 3 {(e^{- x} + 5)}^{2} \cdot (- e^{- x})$

= $3 {(e^{- x} + 5)}^{2} \cdot e^{- x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 52-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $- 4 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $4,4 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $4,4 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 4,84 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $- 4,84 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $5,324 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5,324 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 5,8564 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${(- 1,1)}^{52} \cdot (- 4 e^{- 1,1 x})$

≈ $- 568,172 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 5$

= $- 4 e^{- 0,3 x} - 4 (x + 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 5$

= $- 4 e^{- 0,3 x} + 1,2 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 5$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 4 + 1,2 x + 1,2) + 5$

= $5 + (1,2 x - 4 + 1,2) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $5 + (1,2 x - 2,8) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten