$\text{f(x)}=$ $-3-3e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{2x}·2$

= $-6e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{2x+1}-\frac{2}{x^2}$

= $2e^{2x+1}-2x^{-2}$

=> f'(x) = $2e^{2x+1}·2+4x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{2x+1}·2+\frac{4}{x^3}$

= $4e^{2x+1}+\frac{4}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-2x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-2x-1}·\left(-2\right)$

= $-4e^{-2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{5x}·5$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x+3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,5209}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,5209}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,749}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,15}}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${\mathrm{1,15}}^{43}·e^{\mathrm{1,15}x}$

≈ $\mathrm{407,387}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+5x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+3\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+5$

= $3e^{-\mathrm{0,3}x}+3\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)+5$

= $3e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,9}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+5$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(3-\mathrm{0,9}x-\mathrm{3,6}\right)+5$

= $5+\left(-\mathrm{0,9}x+3-\mathrm{3,6}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $5+\left(-\mathrm{0,9}x-\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$