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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{5} e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{5} e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{5} e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $\frac{7}{20} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{2} - e^{2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{2} - e^{2 x - 3}$

$f'(x) =$ $4 x - e^{2 x - 3} \cdot 2$

= $4 x - 2 e^{2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{3} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{3} + 3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x^{3} + 3} \cdot 9 x^{2}$

= $- 27 \cdot e^{3 x^{3} + 3} x^{2}$

= $- 27 x^{2} e^{3 x^{3} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{2} + 4 x} \cdot (10 x + 4)$

= $\frac{10 x + 4}{5 x^{2} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{x + 4}$

= $- 2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- {(x + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (1 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{x + 4}} \cdot (1 + 0)$

= $- \frac{1}{\sqrt{x + 4}} \cdot (1)$

= $- \frac{1}{\sqrt{x + 4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 52-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{1,1 x}$

f'(x) = $2 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,2 e^{1,1 x}$

f''(x) = $2,2 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,42 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $2,42 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,662 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,662 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,9282 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${1,1}^{52} \cdot 2 e^{1,1 x}$

≈ $284,086 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 4$

= $3 e^{- 0,2 x} + 3 (x + 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 4$

= $3 e^{- 0,2 x} - 0,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 4$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (3 - 0,6 x - 3) + 4$

= $4 + (- 0,6 x + 3 - 3) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $4 - 0,6 x \cdot e^{- 0,2 x}$