$\text{f(x)}=$ $4+3e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^x$

= $3e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x+1\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-3+0\right)·e^{-3x}+\left(-3x+1\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-3e^{-3x}+\left(-3x+1\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $-3e^{-3x}-3\left(-3x+1\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3+9x-3\right)$

= $e^{-3x}·\left(9x-6\right)$

= $\left(9x-6\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-x^3+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·\left(-x^3+1\right)+e^{-2x}·\left(-3x^2+0\right)$

= $-2·e^{-2x}\left(-x^3+1\right)+e^{-2x}·\left(-3x^2\right)$

= $-2·e^{-2x}\left(-x^3+1\right)-3·e^{-2x}{x}^2$

= $e^{-2x}·\left(2x^3-2-3x^2\right)$

= $e^{-2x}·\left(2x^3-3x^2-2\right)$

= $\left(2x^3-3x^2-2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $3\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{6x}·6$

= $\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{3x-4}$

= ${\left(3x-4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{\left(3x-4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\cdot \sqrt{3x-4}}·\left(3+0\right)$

= $\frac{1}{2\cdot \sqrt{3x-4}}·\left(3\right)$

= $\frac{3}{2\cdot \sqrt{3x-4}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{1,05}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,05}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{1,1025}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,1025}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{1,1576}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,1576}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{1,2155}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 68-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 68 mal mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,05}}^{68}$

Somit gilt für die 68-te Ableitung:

f⁽⁶⁸⁾(x) = ${\mathrm{1,05}}^{68}·e^{\mathrm{1,05}x}$

≈ $\mathrm{27,598}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-3$

= $-e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-3$

= $-e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{0,5}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-3$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-1+\mathrm{0,5}x-\mathrm{2,5}\right)-3$

= $-3+\left(\mathrm{0,5}x-1-\mathrm{2,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $-3+\left(\mathrm{0,5}x-\mathrm{3,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$