$\text{f(x)}=$ $-e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-x}·\left(-1\right)$

= $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^4-3x\right)·e^{2x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-20x^3-3\right)·e^{2x-5}+\left(-5x^4-3x\right)·e^{2x-5}·2$

= $\left(-20x^3-3\right)·e^{2x-5}+\left(-5x^4-3x\right)·2e^{2x-5}$

= $\left(-20x^3-3\right)·e^{2x-5}+2\left(-5x^4-3x\right)·e^{2x-5}$

= $e^{2x-5}·\left(-10x^4-6x-20x^3-3\right)$

= $e^{2x-5}·\left(-10x^4-20x^3-6x-3\right)$

= $\left(-10x^4-20x^3-6x-3\right)·e^{2x-5}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{x^3+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{x^3+5}·3x^2$

= $-3·e^{x^3+5}{x}^2$

= $-3x^2{e}^{x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{2x}·2$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(-3x^2-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(-3x^2-3\right)·\left(-6x+0\right)$

= $-2\cdot \cos \left(-3x^2-3\right)·\left(-6x\right)$

= $12\cos \left(-3x^2-3\right)x$

= $12x·\cos \left(-3x^2-3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+84\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+8x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-4\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+8$

= $-4e^{-\mathrm{0,9}x}-4\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)+8$

= $-4e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{3,6}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+8$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-4+\mathrm{3,6}x+\mathrm{3,6}\right)+8$

= $8+\left(\mathrm{3,6}x-4+\mathrm{3,6}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $8+\left(\mathrm{3,6}x-\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$