$\text{f(x)}=$ $-2-3e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $9e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-x-1}+x^3·e^{-x-1}·\left(-1\right)$

= $3x^2·e^{-x-1}+x^3·\left(-e^{-x-1}\right)$

= $3x^2·e^{-x-1}-x^3·e^{-x-1}$

= $e^{-x-1}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x-1}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{3x^3+3}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{3x^3+3}·9x^2$

= $-9·e^{3x^3+3}{x}^2$

= $-9x^2{e}^{3x^3+3}$

$\text{f(x)}=$ $-5\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-5}{5x}·5$

= $-\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-7\right)·\cos \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\cos \left(3x\right)+\left(x^2-7\right)·(-\sin \left(3x\right)·3)$

= $2x·\cos \left(3x\right)+\left(x^2-7\right)·\left(-3\cdot \sin \left(3x\right)\right)$

= $2x·\cos \left(3x\right)-3\left(x^2-7\right)·\sin \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+81\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+7$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+5\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,6}x}+5\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(5-3x+21\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-3x+26\right)$

= $\left(-3x+26\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$