Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $- \frac{7}{8} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x + 4) \cdot e^{- 5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x + 4) \cdot e^{- 5 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 3 + 0) \cdot e^{- 5 x - 4} + (- 3 x + 4) \cdot e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5)$

= $- 3 e^{- 5 x - 4} + (- 3 x + 4) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 4})$

= $- 3 e^{- 5 x - 4} - 5 (- 3 x + 4) \cdot e^{- 5 x - 4}$

= $e^{- 5 x - 4} \cdot (- 3 + 15 x - 20)$

= $e^{- 5 x - 4} \cdot (15 x - 23)$

= $(15 x - 23) \cdot e^{- 5 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} + 3}$

= ${(2 x^{2} + 3)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- {(2 x^{2} + 3)}^{- 2} \cdot (4 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{{(2 x^{2} + 3)}^{2}} \cdot (4 x + 0)$

= $- \frac{1}{{(2 x^{2} + 3)}^{2}} \cdot (4 x)$

= $- 4 \frac{x}{{(2 x^{2} + 3)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${0,95}^{60} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,046 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 8$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x - 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 8$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 8$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3 + 2,4 x - 16,8) - 8$

= $- 8 + (2,4 x - 3 - 16,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 8 + (2,4 x - 19,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten