$\text{f(x)}=$ $5+\frac{1}{4}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{4}{e}^{\frac{8}{9}x}·\frac{8}{9}$

= $\frac{2}{9}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{x-1}-2x^5+\frac{1}{3}\sqrt{x}$

= $e^{x-1}-2x^5+\frac{1}{3}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $e^{x-1}·1-10x^4+\frac{1}{6}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{x-1}·1-10x^4+\frac{1}{6\sqrt{x}}$

= $e^{x-1}-10x^4+\frac{1}{6\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{2x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{2x+4}·2$

= $4e^{2x+4}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{x}·1$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+5\right)·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\cos \left(x^2\right)+\left(3x+5\right)·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $3\cdot \cos \left(x^2\right)+\left(3x+5\right)·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $3\cdot \cos \left(x^2\right)-2\left(3x+5\right)\sin \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-x}$

f'(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f'''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $-4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{2,4}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-4+\mathrm{2,4}x+12\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{2,4}x+8\right)$

= $\left(\mathrm{2,4}x+8\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$