$\text{f(x)}=$ $-3-e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-3x+4}-\frac{1}{3x^3}+4x^4$

= $2e^{-3x+4}-\frac{1}{3}{x}^{-3}+4x^4$

=> f'(x) = $2e^{-3x+4}·\left(-3\right)+x^{-4}+16x^3$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-3x+4}·\left(-3\right)+\frac{1}{x^4}+16x^3$

= $-6e^{-3x+4}+\frac{1}{x^4}+16x^3$

$\text{f(x)}=$ $3e^{x^2+4}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{x^2+4}·2x$

= $6·e^{x^2+4}x$

= $6x{e}^{x^2+4}$

$\text{f(x)}=$ $-8\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-8}{2x}·2$

= $-\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·\cos \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·\cos \left(3x\right)+x^3·(-\sin \left(3x\right)·3)$

= $3x^2·\cos \left(3x\right)+x^3·\left(-3\cdot \sin \left(3x\right)\right)$

= $3x^2·\cos \left(3x\right)-3x^3·\sin \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^x·\left(x+77\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-6$

= $4e^{-\mathrm{0,3}x}+4\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-6$

= $4e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{1,2}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-6$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(4-\mathrm{1,2}x+6\right)-6$

= $-6+\left(-\mathrm{1,2}x+4+6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $-6+\left(-\mathrm{1,2}x+10\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$