$\text{f(x)}=$ $3+\frac{6}{7}{e}^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{6}{7}{e}^{\frac{2}{3}x}·\frac{2}{3}$

= $\frac{4}{7}{e}^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^2-5x\right)·e^{x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-2x-5\right)·e^{x-5}+\left(-x^2-5x\right)·e^{x-5}·1$

= $\left(-2x-5\right)·e^{x-5}+\left(-x^2-5x\right)·e^{x-5}$

= $e^{x-5}·(-2x-5+\left(-x^2-5x\right))$

= $e^{x-5}·\left(-x^2-7x-5\right)$

= $\left(-x^2-7x-5\right)·e^{x-5}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-2x^2-5}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-2x^2-5}·\left(-4x\right)$

= $-12·e^{-2x^2-5}x$

= $-12x{e}^{-2x^2-5}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{2x}·2$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\sqrt{-x^3+1}$

= $-3{\left(-x^3+1\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{\left(-x^3+1\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-3x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2\sqrt{-x^3+1}}·\left(-3x^2+0\right)$

= $-\frac{3}{2\sqrt{-x^3+1}}·\left(-3x^2\right)$

= $\frac{9}{2}\frac{x^2}{\sqrt{-x^3+1}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^x$

f'(x) = $2e^x$

f''(x) = $2e^x$

f'''(x) = $2e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $2e^x$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+4x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+5\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+4$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}+5\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+4$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{2,5}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+4$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{2,5}x+\mathrm{7,5}+5\right)+4$

= $4+\left(-\mathrm{2,5}x+\mathrm{7,5}+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $4+\left(-\mathrm{2,5}x+\mathrm{12,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$