$\text{f(x)}=$ $e^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{\frac{1}{4}x}·\frac{1}{4}$

= $\frac{1}{4}{e}^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{3x+3}+\frac{1}{x^3}$

= $-2e^{3x+3}+x^{-3}$

=> f'(x) = $-2e^{3x+3}·3-3x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{3x+3}·3-\frac{3}{x^4}$

= $-6e^{3x+3}-\frac{3}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^4+1\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-20x^3+0\right)·e^{3x}+\left(-5x^4+1\right)·e^{3x}·3$

= $-20x^3·e^{3x}+\left(-5x^4+1\right)·3e^{3x}$

= $-20x^3·e^{3x}+3\left(-5x^4+1\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(-15x^4+3-20x^3\right)$

= $e^{3x}·\left(-15x^4-20x^3+3\right)$

= $\left(-15x^4-20x^3+3\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x^2+2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x^2+2x}·\left(-6x+2\right)$

= $\frac{-6x+2}{-3x^2+2x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{{\left(x^3+2\right)}^2}$

= $-{\left(x^3+2\right)}^{-2}$

=> f'(x) = $2{\left(x^3+2\right)}^{-3}·\left(3x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{{\left(x^3+2\right)}^3}·\left(3x^2+0\right)$

= $\frac{2}{{\left(x^3+2\right)}^3}·\left(3x^2\right)$

= $6\frac{x^2}{{\left(x^3+2\right)}^3}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $-4e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{4,6}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{4,6}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{5,29}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{5,29}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{6,0835}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{6,0835}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{6,996}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{49}·\left(-4e^{-\mathrm{1,15}x}\right)$

≈ $\mathrm{3769,243}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+8$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,2}x}-5\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,2}x}+\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-5+x+5\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(x+0\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·x$

= $x·e^{-\mathrm{0,2}x}$