Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x - 1) \cdot e^{x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x - 1) \cdot e^{x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 4 + 0) \cdot e^{x - 5} + (- 4 x - 1) \cdot e^{x - 5} \cdot 1$

= $- 4 e^{x - 5} + (- 4 x - 1) \cdot e^{x - 5}$

= $e^{x - 5} \cdot (- 4 - 4 x - 1)$

= $e^{x - 5} \cdot (- 4 x - 5)$

= $(- 4 x - 5) \cdot e^{x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x^{3} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x^{3} - 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x^{3} - 5} \cdot 9 x^{2}$

= $18 \cdot e^{3 x^{3} - 5} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{3 x^{3} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} - 5 x} \cdot (9 x^{2} - 5)$

= $\frac{9 x^{2} - 5}{3 x^{3} - 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 5) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 5) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x - 5) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x} + (3 x - 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 e^{- 3 x} - 3 (3 x - 5) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 - 9 x + 15)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x + 18)$

= $(- 9 x + 18) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 55-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 55-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 55 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{55}$

Somit gilt für die 55-te Ableitung:

f⁽⁵⁵⁾(x) = ${1,1}^{55} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $189,059 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 9$

= $3 e^{- 0,9 x} + 3 (x - 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 9$

= $3 e^{- 0,9 x} - 2,7 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 9$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (3 - 2,7 x + 10,8) + 9$

= $9 + (- 2,7 x + 3 + 10,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $9 + (- 2,7 x + 13,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten