$\text{f(x)}=$ $3e^{\frac{9}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{\frac{9}{8}x}·\frac{9}{8}$

= $\frac{27}{8}{e}^{\frac{9}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{x-4}+x^5·e^{x-4}·1$

= $5x^4·e^{x-4}+x^5·e^{x-4}$

= $e^{x-4}·\left(x^5+5x^4\right)$

= $\left(x^5+5x^4\right)·e^{x-4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^4-2x\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(12x^3-2\right)·e^{-3x}+\left(3x^4-2x\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $\left(12x^3-2\right)·e^{-3x}+\left(3x^4-2x\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $\left(12x^3-2\right)·e^{-3x}-3\left(3x^4-2x\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-9x^4+6x+12x^3-2\right)$

= $e^{-3x}·\left(-9x^4+12x^3+6x-2\right)$

= $\left(-9x^4+12x^3+6x-2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-4x^2+x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-4x^2+x}·\left(-8x+1\right)$

= $\frac{-8x+1}{-4x^2+x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+4\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{3x}+\left(x^2+4\right)·e^{3x}·3$

= $2x·e^{3x}+\left(x^2+4\right)·3e^{3x}$

= $2x·e^{3x}+3\left(x^2+4\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^2+12+2x\right)$

= $e^{3x}·\left(3x^2+2x+12\right)$

= $\left(3x^2+2x+12\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^x$

f'(x) = $-4e^x$

f''(x) = $-4e^x$

f'''(x) = $-4e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $-4e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+6$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{0,6}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(1-\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{1,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$