Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{5} - 2 x) \cdot e^{- x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{5} - 2 x) \cdot e^{- x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 25 x^{4} - 2) \cdot e^{- x - 2} + (- 5 x^{5} - 2 x) \cdot e^{- x - 2} \cdot (- 1)$

= $(- 25 x^{4} - 2) \cdot e^{- x - 2} + (- 5 x^{5} - 2 x) \cdot (- e^{- x - 2})$

= $(- 25 x^{4} - 2) \cdot e^{- x - 2} - (- 5 x^{5} - 2 x) \cdot e^{- x - 2}$

= $e^{- x - 2} \cdot (5 x^{5} + 2 x - 25 x^{4} - 2)$

= $e^{- x - 2} \cdot (5 x^{5} - 25 x^{4} + 2 x - 2)$

= $(5 x^{5} - 25 x^{4} + 2 x - 2) \cdot e^{- x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x + 2) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x + 2) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(5 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (5 x + 2) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $5 e^{- 3 x} + (5 x + 2) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $5 e^{- 3 x} - 3 (5 x + 2) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (5 - 15 x - 6)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 15 x - 1)$

= $(- 15 x - 1) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} - 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} - 5 x} \cdot (- 6 x - 5)$

= $\frac{- 6 x - 5}{- 3 x^{2} - 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 35-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{1,15 x}$

f'(x) = $- 3 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 3,45 e^{1,15 x}$

f''(x) = $- 3,45 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 3,9675 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $- 3,9675 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 4,5626 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4,5626 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 5,247 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 35-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 35 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{35}$

Somit gilt für die 35-te Ableitung:

f⁽³⁵⁾(x) = ${1,15}^{35} \cdot (- 3 e^{1,15 x})$

≈ $- 399,527 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 8$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $2 e^{- 0,6 x} + 2 (x - 7) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $2 e^{- 0,6 x} - 1,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2 - 1,2 x + 8,4)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1,2 x + 10,4)$

= $(- 1,2 x + 10,4) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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