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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{5}{6} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{5}{6} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{6} e^{x}$

= $\frac{5}{6} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x + 2} - \frac{2}{3} {(\sqrt{x})}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x + 2} - \frac{2}{3} {(\sqrt{x})}^{3}$

= $- 3 e^{- x + 2} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$

=> f'(x) = $- 3 e^{- x + 2} \cdot (- 1) - x^{\frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x + 2} \cdot (- 1) - \sqrt{x}$

= $3 e^{- x + 2} - \sqrt{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x^{2} - 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x^{2} - 1} \cdot 4 x$

= $- 12 \cdot e^{2 x^{2} - 1} x$

= $- 12 x e^{2 x^{2} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(e^{- 3 x} - 3)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(e^{- 3 x} - 3)}^{4}$

$f'(x) =$ $4 {(e^{- 3 x} - 3)}^{3} \cdot (e^{- 3 x} \cdot (- 3) + 0)$

= $4 {(e^{- 3 x} - 3)}^{3} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $- 12 {(e^{- 3 x} - 3)}^{3} \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${0,95}^{62} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,042 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 7$

= $- e^{- 0,8 x} - (x + 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 7$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 7$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1 + 0,8 x + 4) + 7$

= $7 + (0,8 x - 1 + 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $7 + (0,8 x + 3) \cdot e^{- 0,8 x}$