Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x + 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x + 3} + x^{2} \cdot e^{2 x + 3} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x + 3} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x + 3}$

= $2 x \cdot e^{2 x + 3} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x + 3}$

= $e^{2 x + 3} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (2 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (2 x + 2)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (2 x + 2) + e^{- 2 x} \cdot (2 + 0)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (2 x + 2) + e^{- 2 x} \cdot (2)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (2 x + 2) + 2 e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 - 4 x - 4)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x - 2)$

= $(- 4 x - 2) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x - 1} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x - 1} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 8) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 8) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} - 8) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 24 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x + 24)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x + 24) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{1,1 x}$

f'(x) = $- 4 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 4,4 e^{1,1 x}$

f''(x) = $- 4,4 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 4,84 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $- 4,84 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 5,324 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5,324 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 5,8564 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${1,1}^{46} \cdot (- 4 e^{1,1 x})$

≈ $- 320,718 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 7$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 4 e^{- 0,7 x} - 4 (x + 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 4 e^{- 0,7 x} + 2,8 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 4 + 2,8 x + 2,8)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2,8 x - 1,2)$

= $(2,8 x - 1,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten