$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^{\frac{6}{7}x}·\frac{6}{7}$

= $\frac{2}{7}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-x}+x^2·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $2x·e^{-x}+x^2·\left(-e^{-x}\right)$

= $2x·e^{-x}-x^2·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^2+2x\right)$

= $\left(-x^2+2x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $e^x·\left(-5x^5+2x^4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·\left(-5x^5+2x^4\right)+e^x·\left(-25x^4+8x^3\right)$

= $e^x·(-5x^5+2x^4+\left(-25x^4+8x^3\right))$

= $e^x·\left(-5x^5-23x^4+8x^3\right)$

= $\left(-5x^5-23x^4+8x^3\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $3\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{7x}·7$

= $\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{2x}+\left(x+1\right)·e^{2x}·2$

= $e^{2x}+\left(x+1\right)·2e^{2x}$

= $e^{2x}+2\left(x+1\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(1+2x+2\right)$

= $e^{2x}·\left(2x+3\right)$

= $\left(2x+3\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+90\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-3\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)-8$

= $-3e^{-\mathrm{0,8}x}-3\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)-8$

= $-3e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{2,4}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-8$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-3+\mathrm{2,4}x+\mathrm{16,8}\right)-8$

= $-8+\left(\mathrm{2,4}x-3+\mathrm{16,8}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $-8+\left(\mathrm{2,4}x+\mathrm{13,8}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$