$\text{f(x)}=$ $3e^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{\frac{7}{9}x}·\frac{7}{9}$

= $\frac{7}{3}{e}^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{2x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{2x-1}+x^2·e^{2x-1}·2$

= $2x·e^{2x-1}+x^2·2e^{2x-1}$

= $2x·e^{2x-1}+2x^2·e^{2x-1}$

= $e^{2x-1}·\left(2x^2+2x\right)$

= $\left(2x^2+2x\right)·e^{2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-x^2-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-x^2-4}·\left(-2x\right)$

= $2·e^{-x^2-4}x$

= $2x{e}^{-x^2-4}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{2x}·2$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^2-7\right)·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(6x+0\right)·\cos \left(x^2\right)+\left(3x^2-7\right)·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $6x·\cos \left(x^2\right)+\left(3x^2-7\right)·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $6x·\cos \left(x^2\right)-2\left(3x^2-7\right)\sin \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $-3e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{2,85}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{2,85}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{2,7075}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{2,7075}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{2,5721}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,5721}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{2,4435}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 66-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 66 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{66}$

Somit gilt für die 66-te Ableitung:

f⁽⁶⁶⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{66}·\left(-3e^{-\mathrm{0,95}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,102}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+1$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2-x-6\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-x-4\right)$

= $\left(-x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$