$\text{f(x)}=$ $1+\frac{3}{5}{e}^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{5}{e}^{\frac{1}{3}x}·\frac{1}{3}$

= $\frac{1}{5}{e}^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{x+5}+x^3·e^{x+5}·1$

= $3x^2·e^{x+5}+x^3·e^{x+5}$

= $e^{x+5}·\left(x^3+3x^2\right)$

= $\left(x^3+3x^2\right)·e^{x+5}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{2x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{2x+1}·2$

= $6e^{2x+1}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{x}·1$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{2x}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{2x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{2x}+x^{\frac{1}{2}}·e^{2x}·2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{2x}+\sqrt{x}·e^{2x}·2$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{2x}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·2e^{2x}$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{2x}}{\sqrt{x}}+2\sqrt{x}·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+82\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)-7$

= $-5e^{-\mathrm{0,8}x}-5\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)-7$

= $-5e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-7$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-5+4x-4\right)-7$

= $-7+\left(4x-5-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $-7+\left(4x-9\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$