$\text{f(x)}=$ $-2+3e^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{\frac{5}{7}x}·\frac{5}{7}$

= $\frac{15}{7}{e}^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-3x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-3x-1}+x^3·e^{-3x-1}·\left(-3\right)$

= $3x^2·e^{-3x-1}+x^3·\left(-3e^{-3x-1}\right)$

= $3x^2·e^{-3x-1}-3x^3·e^{-3x-1}$

= $e^{-3x-1}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x-1}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{x^2-5}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{x^2-5}·2x$

= $4·e^{x^2-5}x$

= $4x{e}^{x^2-5}$

$\text{f(x)}=$ $-8\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-8}{2x}·2$

= $-\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+1\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(3x+1\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $3\cdot \sin \left(x^3\right)+\left(3x+1\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $3\cdot \sin \left(x^3\right)+3\left(3x+1\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^x$

f'(x) = $-3e^x$

f''(x) = $-3e^x$

f'''(x) = $-3e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-3e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $-3e^x$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+4x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-5\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+4$

= $-5e^{-\mathrm{0,2}x}-5\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)+4$

= $-5e^{-\mathrm{0,2}x}+\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+4$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-5+x+7\right)+4$

= $4+\left(x-5+7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $4+\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$