Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{8}{7} e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{8}{7} e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{7} e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{32}{35} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x + 4) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x + 4) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(5 + 0) \cdot e^{x} + (5 x + 4) \cdot e^{x}$

= $5 e^{x} + (5 x + 4) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (5 + 5 x + 4)$

= $e^{x} \cdot (5 x + 9)$

= $(5 x + 9) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} + x} \cdot (- 8 x + 1)$

= $\frac{- 8 x + 1}{- 4 x^{2} + x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 9) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 9) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (3 x + 9) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + (3 x + 9) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + 2 (3 x + 9) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${(- 1,1)}^{62} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $368,423 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 5$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x + 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2 + 1,6 x + 3,2)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1,6 x + 1,2)$

= $(1,6 x + 1,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten