$\text{f(x)}=$ $e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{x+4}-x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{x+4}·1-2x$

= $-e^{x+4}-2x$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-2x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-2x+2}·\left(-2\right)$

= $6e^{-2x+2}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{6x}·6$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\sqrt{3x-3}$

= $-2{\left(3x-3\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-{\left(3x-3\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{\sqrt{3x-3}}·\left(3+0\right)$

= $-\frac{1}{\sqrt{3x-3}}·\left(3\right)$

= $-\frac{3}{\sqrt{3x-3}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $\mathrm{1,1}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,1}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $\mathrm{1,21}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,21}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $\mathrm{1,331}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,331}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $\mathrm{1,4641}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 53-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 53 mal mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,1}}^{53}$

Somit gilt für die 53-te Ableitung:

f⁽⁵³⁾(x) = ${\mathrm{1,1}}^{53}·e^{\mathrm{1,1}x}$

≈ $\mathrm{156,247}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-2$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,3}x}-\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,3}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-1+\mathrm{0,3}x+\mathrm{2,1}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,3}x+\mathrm{1,1}\right)$

= $\left(\mathrm{0,3}x+\mathrm{1,1}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$