$\text{f(x)}=$ $1+\frac{8}{7}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{8}{7}{e}^{2x}·2$

= $\frac{16}{7}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^2+5\right)·e^{-3x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-6x+0\right)·e^{-3x+3}+\left(-3x^2+5\right)·e^{-3x+3}·\left(-3\right)$

= $-6x·e^{-3x+3}+\left(-3x^2+5\right)·\left(-3e^{-3x+3}\right)$

= $-6x·e^{-3x+3}-3\left(-3x^2+5\right)·e^{-3x+3}$

= $e^{-3x+3}·\left(9x^2-15-6x\right)$

= $e^{-3x+3}·\left(9x^2-6x-15\right)$

= $\left(9x^2-6x-15\right)·e^{-3x+3}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-2x^3-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-2x^3-3}·\left(-6x^2\right)$

= $12·e^{-2x^3-3}{x}^2$

= $12x^2{e}^{-2x^3-3}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{3x}·3$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(3x+3\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-10{\left(3x+3\right)}^4·\left(3+0\right)$

= $-10{\left(3x+3\right)}^4·\left(3\right)$

= $-30{\left(3x+3\right)}^4$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-x}$

f'(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,9}x}-2\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{1,8}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-2+\mathrm{1,8}x-\mathrm{3,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{1,8}x-\mathrm{5,6}\right)$

= $\left(\mathrm{1,8}x-\mathrm{5,6}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$