$\text{f(x)}=$ $-3e^{\frac{6}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{\frac{6}{5}x}·\frac{6}{5}$

= $-\frac{18}{5}{e}^{\frac{6}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^2-1\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(8x+0\right)·e^{2x}+\left(4x^2-1\right)·e^{2x}·2$

= $8x·e^{2x}+\left(4x^2-1\right)·2e^{2x}$

= $8x·e^{2x}+2\left(4x^2-1\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(8x^2-2+8x\right)$

= $e^{2x}·\left(8x^2+8x-2\right)$

= $\left(8x^2+8x-2\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-2x}+x^2·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+x^2·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2x^2·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{4x}·4$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-2\right)·\sin \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\sin \left(2x\right)+\left(3x-2\right)·\cos \left(2x\right)·2$

= $3\cdot \sin \left(2x\right)+\left(3x-2\right)·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $3\cdot \sin \left(2x\right)+2\left(3x-2\right)·\cos \left(2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+88\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+6$

= $-2e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+6$

= $-2e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{0,8}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-2+\mathrm{0,8}x-\mathrm{2,4}\right)+6$

= $6+\left(\mathrm{0,8}x-2-\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $6+\left(\mathrm{0,8}x-\mathrm{4,4}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$