Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{9}{2} \cdot \sin (x) - 2 e^{3 x - 5} - 5 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{9}{2} \cdot \sin (x) - 2 e^{3 x - 5} - 5 x^{4}$

$f'(x) =$ $- \frac{9}{2} \cdot \cos (x) - 2 e^{3 x - 5} \cdot 3 - 20 x^{3}$

= $- \frac{9}{2} \cdot \cos (x) - 6 e^{3 x - 5} - 20 x^{3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $e^{2 x^{3} + 1} \cdot 6 x^{2}$

= $6 \cdot e^{2 x^{3} + 1} x^{2}$

= $6 x^{2} e^{2 x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} - 2} \cdot (4 x + 0)$

= $\frac{1}{2 x^{2} - 2} \cdot (4 x)$

= $4 \frac{x}{2 x^{2} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 1) \cdot \cos (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 1) \cdot \cos (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \cos (- 2 x) + (x - 1) \cdot (- \sin (- 2 x) \cdot (- 2))$

= $\cos (- 2 x) + (x - 1) \cdot 2 \cdot \sin (- 2 x)$

= $\cos (- 2 x) + 2 (x - 1) \cdot \sin (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 70-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 70-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 70 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{70}$

Somit gilt für die 70-te Ableitung:

f⁽⁷⁰⁾(x) = ${(- 1,05)}^{70} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $30,426 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 9$

= $- 2 e^{- 0,2 x} - 2 (x - 1) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 9$

= $- 2 e^{- 0,2 x} + 0,4 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 9$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,4 x - 0,4 - 2) + 9$

= $9 + (0,4 x - 0,4 - 2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $9 + (0,4 x - 2,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten