Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(- 3 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- x} + (- x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $(- 3 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- x} + (- x^{3} + 4 x^{2}) \cdot (- e^{- x})$

= $(- 3 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- x} - (- x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (x^{3} - 4 x^{2} + (- 3 x^{2} + 8 x))$

= $e^{- x} \cdot (x^{3} - 7 x^{2} + 8 x)$

= $(x^{3} - 7 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x^{2} - 5} \cdot (- 2 x)$

= $- 6 \cdot e^{- x^{2} - 5} x$

= $- 6 x e^{- x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{x} \cdot 1$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 4) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 4) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{3 x} + (3 x^{2} - 4) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $6 x \cdot e^{3 x} + (3 x^{2} - 4) \cdot 3 e^{3 x}$

= $6 x \cdot e^{3 x} + 3 (3 x^{2} - 4) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (9 x^{2} - 12 + 6 x)$

= $e^{3 x} \cdot (9 x^{2} + 6 x - 12)$

= $(9 x^{2} + 6 x - 12) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{0,9 x}$

f'(x) = $2 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $1,8 e^{0,9 x}$

f''(x) = $1,8 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $1,62 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $1,62 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $1,458 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,458 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $1,3122 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${0,9}^{47} \cdot 2 e^{0,9 x}$

≈ $0,014 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 4$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $e^{- 0,5 x} + (x + 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $e^{- 0,5 x} - 0,5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1 - 0,5 x - 2)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5 x - 1)$

= $(- 0,5 x - 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten