Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{3}{2} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{3}{2} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{2} e^{x}$

= $\frac{3}{2} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{5}{3 x^{3}} + 2 e^{2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{5}{3 x^{3}} + 2 e^{2 x + 4}$

= $- \frac{5}{3} x^{- 3} + 2 e^{2 x + 4}$

=> f'(x) = $5 x^{- 4} + 2 e^{2 x + 4} \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{5}{x^{4}} + 2 e^{2 x + 4} \cdot 2$

= $\frac{5}{x^{4}} + 4 e^{2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x^{3} + 5} \cdot (- 9 x^{2})$

= $18 \cdot e^{- 3 x^{3} + 5} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{- 3 x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} - 5} \cdot (8 x + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{2} - 5} \cdot (8 x)$

= $8 \frac{x}{4 x^{2} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- x - 1)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (- x - 1)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (- x - 1) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- x - 1) \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (- x - 1) + \sqrt{x} \cdot \cos (- x - 1) \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- x - 1)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \cos (- x - 1) \cdot (- 1)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- x - 1)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- \cos (- x - 1))$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- x - 1)}{\sqrt{x}} - \sqrt{x} \cdot \cos (- x - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $5 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 5,5 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 5,5 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $6,05 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $6,05 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 6,655 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 6,655 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $7,3205 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${(- 1,1)}^{47} \cdot 5 e^{- 1,1 x}$

≈ $- 440,987 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 9$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 4 (x + 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 9$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 3,2 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 9$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 + 3,2 x + 3,2) - 9$

= $- 9 + (3,2 x - 4 + 3,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 9 + (3,2 x - 0,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten