$\text{f(x)}=$ $e^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{\frac{5}{6}x}·\frac{5}{6}$

= $\frac{5}{6}{e}^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot \sin \left(x\right)+2e^{-x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot \cos \left(x\right)+2e^{-x-5}·\left(-1\right)$

= $-\frac{1}{2}\cdot \cos \left(x\right)-2e^{-x-5}$

$\text{f(x)}=$ $e^x·x^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·x^4+e^x·4x^3$

= $e^x{x}^4+4·e^x{x}^3$

= $e^x·\left(x^4+4x^3\right)$

= $\left(x^4+4x^3\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x^3+4x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x^3+4x^2}·\left(-6x^2+8x\right)$

= $\frac{-6x^2+8x}{-2x^3+4x^2}$

= $\frac{-2·1·\left(3x-4\right)}{-2x·\left(x-2\right)}$

= $\frac{-2\left(3x-4\right)}{-2x·\left(x-2\right)}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[4]{x}·e^{2x}$

= $x^{\frac{1}{4}}·e^{2x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}·e^{2x}+x^{\frac{1}{4}}·e^{2x}·2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}·e^{2x}+\sqrt[4]{x}·e^{2x}·2$

= $\frac{1}{4}\frac{e^{2x}}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+\sqrt[4]{x}·2e^{2x}$

= $\frac{1}{4}\frac{e^{2x}}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+2\sqrt[4]{x}·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,5209}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,5209}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,749}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,15}}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${\mathrm{1,15}}^{34}·e^{\mathrm{1,15}x}$

≈ $\mathrm{115,805}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-8$

= $4e^{-\mathrm{0,3}x}+4\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-8$

= $4e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{1,2}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-8$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(4-\mathrm{1,2}x-6\right)-8$

= $-8+\left(-\mathrm{1,2}x+4-6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $-8+\left(-\mathrm{1,2}x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$