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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x - 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{4 x - 4} + x^{2} \cdot e^{4 x - 4} \cdot 4$

= $2 x \cdot e^{4 x - 4} + x^{2} \cdot 4 e^{4 x - 4}$

= $2 x \cdot e^{4 x - 4} + 4 x^{2} \cdot e^{4 x - 4}$

= $e^{4 x - 4} \cdot (4 x^{2} + 2 x)$

= $(4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{4 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{5} + e^{- 3 x} \cdot 5 x^{4}$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{5} + 5 \cdot e^{- 3 x} x^{4}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 7) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 7) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (2 x^{2} - 7) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $4 x \cdot \sin (x^{2}) + (2 x^{2} - 7) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $4 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (2 x^{2} - 7) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{x}$

f'(x) = $- 5 e^{x}$

f''(x) = $- 5 e^{x}$

f'''(x) = $- 5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $- 5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 7$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $e^{- 0,8 x} + (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x + 0,8)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8 x + 1,8)$

= $(- 0,8 x + 1,8) \cdot e^{- 0,8 x}$