Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{4} + x^{2}) \cdot e^{2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{4} + x^{2}) \cdot e^{2 x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 4 x^{3} + 2 x) \cdot e^{2 x - 3} + (- x^{4} + x^{2}) \cdot e^{2 x - 3} \cdot 2$

= $(- 4 x^{3} + 2 x) \cdot e^{2 x - 3} + (- x^{4} + x^{2}) \cdot 2 e^{2 x - 3}$

= $(- 4 x^{3} + 2 x) \cdot e^{2 x - 3} + 2 (- x^{4} + x^{2}) \cdot e^{2 x - 3}$

= $e^{2 x - 3} \cdot (- 2 x^{4} + 2 x^{2} + (- 4 x^{3} + 2 x))$

= $e^{2 x - 3} \cdot (- 2 x^{4} - 4 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{4} - 4 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{3} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{3} + 3}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x^{3} + 3} \cdot 6 x^{2}$

= $- 12 \cdot e^{2 x^{3} + 3} x^{2}$

= $- 12 x^{2} e^{2 x^{3} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} - 3 x} \cdot (- 6 x - 3)$

= $\frac{- 6 x - 3}{- 3 x^{2} - 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 4 x - 2}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 4 x - 2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 4 x - 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 4 x - 2} + \sqrt{x} \cdot e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 4 x - 2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 2})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 4 x - 2}}{\sqrt{x}} - 4 \sqrt{x} \cdot e^{- 4 x - 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- x}$

f'(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f'''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $- 4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 6$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x - 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x + 8,4)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1,4 x + 10,4)$

= $(- 1,4 x + 10,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten