Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{1}{3} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{1}{3} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{3} e^{x}$

= $\frac{1}{3} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 3 x) \cdot e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 3 x) \cdot e^{- x + 1}$

$f'(x) =$ $(4 x + 3) \cdot e^{- x + 1} + (2 x^{2} + 3 x) \cdot e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $(4 x + 3) \cdot e^{- x + 1} + (2 x^{2} + 3 x) \cdot (- e^{- x + 1})$

= $(4 x + 3) \cdot e^{- x + 1} - (2 x^{2} + 3 x) \cdot e^{- x + 1}$

= $e^{- x + 1} \cdot (- 2 x^{2} - 3 x + 4 x + 3)$

= $e^{- x + 1} \cdot (- 2 x^{2} + x + 3)$

= $(- 2 x^{2} + x + 3) \cdot e^{- x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- x^{5} - 2 x^{4})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- x^{5} - 2 x^{4})$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- x^{5} - 2 x^{4}) + e^{- 2 x} \cdot (- 5 x^{4} - 8 x^{3})$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (- x^{5} - 2 x^{4}) + e^{- 2 x} \cdot (- 5 x^{4} - 8 x^{3})$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{5} + 4 x^{4} + (- 5 x^{4} - 8 x^{3}))$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{5} - x^{4} - 8 x^{3})$

= $(2 x^{5} - x^{4} - 8 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x + 1} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x + 1} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (- 3 x) + x^{5} \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 3 x) + x^{5} \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 3 x) - 3 x^{5} \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 38-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{1,15 x}$

f'(x) = $3 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $3,45 e^{1,15 x}$

f''(x) = $3,45 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $3,9675 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $3,9675 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $4,5626 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,5626 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $5,247 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 38-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 38 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{38}$

Somit gilt für die 38-te Ableitung:

f⁽³⁸⁾(x) = ${1,15}^{38} \cdot 3 e^{1,15 x}$

≈ $607,63 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 9$

= $- 2 e^{- 0,9 x} - 2 (x + 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 9$

= $- 2 e^{- 0,9 x} + 1,8 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 9$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2 + 1,8 x + 1,8) + 9$

= $9 + (1,8 x - 2 + 1,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $9 + (1,8 x - 0,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten