Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{5} + e^{2 x} \cdot 5 x^{4}$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{5} + 5 \cdot e^{2 x} x^{4}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x^{3} + 1} \cdot 6 x^{2}$

= $- 12 \cdot e^{2 x^{3} + 1} x^{2}$

= $- 12 x^{2} e^{2 x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x - 5} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x - 5} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{2 x^{3} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{2 x^{3} - 2}$

= $- {(2 x^{3} - 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} {(2 x^{3} - 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x^{3} - 2}} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $- \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x^{3} - 2}} \cdot (6 x^{2})$

= $- 3 \frac{x^{2}}{\sqrt{2 x^{3} - 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 76)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 5$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- e^{- 0,7 x} - (x + 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- e^{- 0,7 x} + 0,7 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1 + 0,7 x + 4,9)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (0,7 x + 3,9)$

= $(0,7 x + 3,9) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten