Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{2}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 8 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 3} + (- 2 x^{4} - 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3)$

= $(- 8 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 3} + (- 2 x^{4} - 3 x^{3}) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 3})$

= $(- 8 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 3} - 3 (- 2 x^{4} - 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 3}$

= $e^{- 3 x - 3} \cdot (6 x^{4} + 9 x^{3} + (- 8 x^{3} - 9 x^{2}))$

= $e^{- 3 x - 3} \cdot (6 x^{4} + x^{3} - 9 x^{2})$

= $(6 x^{4} + x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x^{3} - 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{x^{3} - 4} \cdot 3 x^{2}$

= $9 \cdot e^{x^{3} - 4} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{x^{3} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(x - 4)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(x - 4)}^{3}$

$f'(x) =$ $3 {(x - 4)}^{2} \cdot (1 + 0)$

= $3 {(x - 4)}^{2} \cdot (1)$

= $3 {(x - 4)}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 86)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 8$

= $e^{- 0,2 x} + (x + 1) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 8$

= $e^{- 0,2 x} - 0,2 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 8$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (1 - 0,2 x - 0,2) + 8$

= $8 + (- 0,2 x + 1 - 0,2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $8 + (- 0,2 x + 0,8) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten