$\text{f(x)}=$ $5+e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-2x+4}+4\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-2x+4}·\left(-2\right)+4\cdot \cos \left(x\right)$

= $-4e^{-2x+4}+4\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $2e^{3x^2-5}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{3x^2-5}·6x$

= $12·e^{3x^2-5}x$

= $12x{e}^{3x^2-5}$

$\text{f(x)}=$ $-5\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-5}{3x}·3$

= $-\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+5\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{3x}+\left(x^2+5\right)·e^{3x}·3$

= $2x·e^{3x}+\left(x^2+5\right)·3e^{3x}$

= $2x·e^{3x}+3\left(x^2+5\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^2+15+2x\right)$

= $e^{3x}·\left(3x^2+2x+15\right)$

= $\left(3x^2+2x+15\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+84\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+6$

= $-2e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+6$

= $-2e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{0,8}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-2+\mathrm{0,8}x-\mathrm{4,8}\right)+6$

= $6+\left(\mathrm{0,8}x-2-\mathrm{4,8}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $6+\left(\mathrm{0,8}x-\mathrm{6,8}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$