Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 - e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 - e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} + x^{2}) \cdot e^{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} + x^{2}) \cdot e^{3 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{3} + 2 x) \cdot e^{3 x + 2} + (- 5 x^{4} + x^{2}) \cdot e^{3 x + 2} \cdot 3$

= $(- 20 x^{3} + 2 x) \cdot e^{3 x + 2} + (- 5 x^{4} + x^{2}) \cdot 3 e^{3 x + 2}$

= $(- 20 x^{3} + 2 x) \cdot e^{3 x + 2} + 3 (- 5 x^{4} + x^{2}) \cdot e^{3 x + 2}$

= $e^{3 x + 2} \cdot (- 15 x^{4} + 3 x^{2} + (- 20 x^{3} + 2 x))$

= $e^{3 x + 2} \cdot (- 15 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 15 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x^{2} + 5} \cdot (- 2 x)$

= $- 6 \cdot e^{- x^{2} + 5} x$

= $- 6 x e^{- x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} + 4} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- x^{3} + 4} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 3 \frac{x^{2}}{- x^{3} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 6) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 6) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} - 6) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} - 6) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 (x^{2} - 6) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 9$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x + 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 9$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 9$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3 - 2,4 x - 7,2) - 9$

= $- 9 + (- 2,4 x + 3 - 7,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 9 + (- 2,4 x - 4,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten