Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + e^{\frac{6}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + e^{\frac{6}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{6}{5} x} \cdot \frac{6}{5}$

= $\frac{6}{5} e^{\frac{6}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x - 4} + \frac{6}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x - 4} + \frac{6}{x^{4}}$

= $- 3 e^{2 x - 4} + 6 x^{- 4}$

=> f'(x) = $- 3 e^{2 x - 4} \cdot 2 - 24 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x - 4} \cdot 2 - \frac{24}{x^{5}}$

= $- 6 e^{2 x - 4} - \frac{24}{x^{5}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x - 2}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} - 5} \cdot (- 10 x + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{2} - 5} \cdot (- 10 x)$

= $- 10 \frac{x}{- 5 x^{2} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 1) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 1) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{3 x} + (3 x^{2} - 1) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $6 x \cdot e^{3 x} + (3 x^{2} - 1) \cdot 3 e^{3 x}$

= $6 x \cdot e^{3 x} + 3 (3 x^{2} - 1) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (9 x^{2} - 3 + 6 x)$

= $e^{3 x} \cdot (9 x^{2} + 6 x - 3)$

= $(9 x^{2} + 6 x - 3) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 74-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $4 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 3,8 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 3,8 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $3,61 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $3,61 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 3,4295 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,4295 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $3,258 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 74-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 74 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{74}$

Somit gilt für die 74-te Ableitung:

f⁽⁷⁴⁾(x) = ${(- 0,95)}^{74} \cdot 4 e^{- 0,95 x}$

≈ $0,09 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 5 x$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 5$

= $- 4 e^{- 0,4 x} - 4 (x - 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 5$

= $- 4 e^{- 0,4 x} + 1,6 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 5$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 4 + 1,6 x - 8) - 5$

= $- 5 + (1,6 x - 4 - 8) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 5 + (1,6 x - 12) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten