$\text{f(x)}=$ $\frac{8}{9}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{9}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{16}{9}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-5x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-5x+4}+x^2·e^{-5x+4}·\left(-5\right)$

= $2x·e^{-5x+4}+x^2·\left(-5e^{-5x+4}\right)$

= $2x·e^{-5x+4}-5x^2·e^{-5x+4}$

= $e^{-5x+4}·\left(-5x^2+2x\right)$

= $\left(-5x^2+2x\right)·e^{-5x+4}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-x^2-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-x^2-3}·\left(-2x\right)$

= $6·e^{-x^2-3}x$

= $6x{e}^{-x^2-3}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{2x}·2$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+6\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{2x}+\left(2x+6\right)·e^{2x}·2$

= $2e^{2x}+\left(2x+6\right)·2e^{2x}$

= $2e^{2x}+2\left(2x+6\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2+4x+12\right)$

= $e^{2x}·\left(4x+14\right)$

= $\left(4x+14\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-x}$

f'(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f''(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f'''(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $-5e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-5\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+1$

= $-5e^{-\mathrm{0,3}x}-5\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)+1$

= $-5e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{1,5}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+1$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-5+\mathrm{1,5}x-9\right)+1$

= $1+\left(\mathrm{1,5}x-5-9\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $1+\left(\mathrm{1,5}x-14\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$