$\text{f(x)}=$ $-3e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{3x}·3$

= $-9e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-x}+x^4·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $4x^3·e^{-x}+x^4·\left(-e^{-x}\right)$

= $4x^3·e^{-x}-x^4·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^4+4x^3\right)$

= $\left(-x^4+4x^3\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-2x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-2x-2}·\left(-2\right)$

= $-6e^{-2x-2}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{x}·1$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\cos \left(x^2\right)+\left(x+2\right)·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $\cos \left(x^2\right)+\left(x+2\right)·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $\cos \left(x^2\right)-2\left(x+2\right)\sin \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^x$

f'(x) = $-4e^x$

f''(x) = $-4e^x$

f'''(x) = $-4e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $-4e^x$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,1}x}-4\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,4}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-4+\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{5,6}\right)$

= $\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{5,6}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$