$\text{f(x)}=$ $-3+2e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^x$

= $2e^x$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-4x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-4x-1}+x^2·e^{-4x-1}·\left(-4\right)$

= $2x·e^{-4x-1}+x^2·\left(-4e^{-4x-1}\right)$

= $2x·e^{-4x-1}-4x^2·e^{-4x-1}$

= $e^{-4x-1}·\left(-4x^2+2x\right)$

= $\left(-4x^2+2x\right)·e^{-4x-1}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{x^2+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{x^2+5}·2x$

= $-4·e^{x^2+5}x$

= $-4x{e}^{x^2+5}$

$\text{f(x)}=$ $-8\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-8}{4x}·4$

= $-\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(e^{-2x}-3\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $15{\left(e^{-2x}-3\right)}^4·(e^{-2x}·\left(-2\right)+0)$

= $15{\left(e^{-2x}-3\right)}^4·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $-30{\left(e^{-2x}-3\right)}^4·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $e^x·\left(x+90\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+7x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+7$

= $-e^{-\mathrm{0,4}x}-\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+7$

= $-e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{0,4}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+7$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-1+\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}\right)+7$

= $7+\left(\mathrm{0,4}x-1-\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $7+\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{2,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$