$\text{f(x)}=$ $3+3e^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{\frac{5}{8}x}·\frac{5}{8}$

= $\frac{15}{8}{e}^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{3x+4}+\frac{1}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{3x+4}·3+\frac{1}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

= $6e^{3x+4}+\frac{1}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·x^3+e^{-3x}·3x^2$

= $-3·e^{-3x}{x}^3+3·e^{-3x}{x}^2$

= $e^{-3x}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{3x}·3$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x+1}+x^5·e^{-2x+1}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x+1}+x^5·\left(-2e^{-2x+1}\right)$

= $5x^4·e^{-2x+1}-2x^5·e^{-2x+1}$

= $e^{-2x+1}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x+1}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,522}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{30}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,008}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-7$

= $4e^{-\mathrm{0,3}x}+4\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-7$

= $4e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{1,2}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-7$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(4-\mathrm{1,2}x-\mathrm{4,8}\right)-7$

= $-7+\left(-\mathrm{1,2}x+4-\mathrm{4,8}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $-7+\left(-\mathrm{1,2}x-\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$