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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x}$

$f'(x) =$ $3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x - 4) \cdot e^{4 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x - 4) \cdot e^{4 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 2 + 0) \cdot e^{4 x - 4} + (- 2 x - 4) \cdot e^{4 x - 4} \cdot 4$

= $- 2 e^{4 x - 4} + (- 2 x - 4) \cdot 4 e^{4 x - 4}$

= $- 2 e^{4 x - 4} + 4 (- 2 x - 4) \cdot e^{4 x - 4}$

= $e^{4 x - 4} \cdot (- 2 - 8 x - 16)$

= $e^{4 x - 4} \cdot (- 8 x - 18)$

= $(- 8 x - 18) \cdot e^{4 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 4 x)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (- 3 x^{2} - 4 x) + e^{- 3 x} \cdot (- 6 x - 4)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (- 3 x^{2} - 4 x) + e^{- 3 x} (- 6 x - 4)$

= $e^{- 3 x} \cdot (9 x^{2} + 12 x - 6 x - 4)$

= $e^{- 3 x} \cdot (9 x^{2} + 6 x - 4)$

= $(9 x^{2} + 6 x - 4) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} - x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} - x} \cdot (- 2 x - 1)$

= $\frac{- 2 x - 1}{- x^{2} - x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{- 2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{- 2 x - 3}$

= $2 {(- 2 x - 3)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- 2 {(- 2 x - 3)}^{- 2} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{{(- 2 x - 3)}^{2}} \cdot (- 2 + 0)$

= $- \frac{2}{{(- 2 x - 3)}^{2}} \cdot (- 2)$

= $\frac{4}{{(- 2 x - 3)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 93)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 4$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x + 3) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 4$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} - 4$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (3 - 0,3 x - 0,9) - 4$

= $- 4 + (- 0,3 x + 3 - 0,9) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 4 + (- 0,3 x + 2,1) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten