Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $\frac{3}{2} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{5 x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 3 x^{2} + 4 x) \cdot e^{5 x + 1} + (- x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{5 x + 1} \cdot 5$

= $(- 3 x^{2} + 4 x) \cdot e^{5 x + 1} + (- x^{3} + 2 x^{2}) \cdot 5 e^{5 x + 1}$

= $(- 3 x^{2} + 4 x) \cdot e^{5 x + 1} + 5 (- x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{5 x + 1}$

= $e^{5 x + 1} \cdot (- 5 x^{3} + 10 x^{2} + (- 3 x^{2} + 4 x))$

= $e^{5 x + 1} \cdot (- 5 x^{3} + 7 x^{2} + 4 x)$

= $(- 5 x^{3} + 7 x^{2} + 4 x) \cdot e^{5 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x^{3} + 2}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x^{3} + 2} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 9 \cdot e^{- 3 x^{3} + 2} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{- 3 x^{3} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x - 3} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x - 3} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{- 2 x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \cos (- 3 x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \cos (- 3 x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \sin (- 3 x^{2} - 3) \cdot (- 6 x + 0)$

= $- 2 \cdot \sin (- 3 x^{2} - 3) \cdot (- 6 x)$

= $12 \sin (- 3 x^{2} - 3) x$

= $12 x \cdot \sin (- 3 x^{2} - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${1,05}^{75} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $38,833 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 1$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $2 e^{- 0,9 x} + 2 (x - 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $2 e^{- 0,9 x} - 1,8 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (2 - 1,8 x + 3,6)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 1,8 x + 5,6)$

= $(- 1,8 x + 5,6) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten