Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} + 5 x) \cdot e^{5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} + 5 x) \cdot e^{5 x - 1}$

$f'(x) =$ $(8 x + 5) \cdot e^{5 x - 1} + (4 x^{2} + 5 x) \cdot e^{5 x - 1} \cdot 5$

= $(8 x + 5) \cdot e^{5 x - 1} + (4 x^{2} + 5 x) \cdot 5 e^{5 x - 1}$

= $(8 x + 5) \cdot e^{5 x - 1} + 5 (4 x^{2} + 5 x) \cdot e^{5 x - 1}$

= $e^{5 x - 1} \cdot (20 x^{2} + 25 x + 8 x + 5)$

= $e^{5 x - 1} \cdot (20 x^{2} + 33 x + 5)$

= $(20 x^{2} + 33 x + 5) \cdot e^{5 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{2} + 3} \cdot (10 x + 0)$

= $\frac{1}{5 x^{2} + 3} \cdot (10 x)$

= $10 \frac{x}{5 x^{2} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 6) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 6) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x - 6) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x} + (2 x - 6) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 e^{- 2 x} - 2 (2 x - 6) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 - 4 x + 12)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x + 14)$

= $(- 4 x + 14) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,8574 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,8145 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${(- 0,95)}^{63} \cdot e^{- 0,95 x}$

≈ $- 0,039 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 9$

= $2 e^{- 0,6 x} + 2 (x + 3) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 9$

= $2 e^{- 0,6 x} - 1,2 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 9$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2 - 1,2 x - 3,6) - 9$

= $- 9 + (- 1,2 x + 2 - 3,6) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 9 + (- 1,2 x - 1,6) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten