$\text{f(x)}=$ $1+e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-x}+x^3·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $3x^2·e^{-x}+x^3·\left(-e^{-x}\right)$

= $3x^2·e^{-x}-x^3·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^3-2\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3x^2+0\right)·e^{-3x}+\left(x^3-2\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3x^2·e^{-3x}+\left(x^3-2\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3x^2·e^{-3x}-3\left(x^3-2\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^3+6+3x^2\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x^3+3x^2+6\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2+6\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-8\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-8}{4x}·4$

= $-\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+2\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{2x}+\left(3x+2\right)·e^{2x}·2$

= $3e^{2x}+\left(3x+2\right)·2e^{2x}$

= $3e^{2x}+2\left(3x+2\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(3+6x+4\right)$

= $e^{2x}·\left(6x+7\right)$

= $\left(6x+7\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,1576}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,1576}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,2155}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 67-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 67 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{67}$

Somit gilt für die 67-te Ableitung:

f⁽⁶⁷⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{67}·e^{-\mathrm{1,05}x}$

≈ $-\mathrm{26,283}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+1$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,1}x}-4\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,4}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-4+\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{3,2}\right)$

= $\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{3,2}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$