Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{7}{5} e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{7}{5} e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{5} e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $\frac{49}{40} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x + 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x + 2} + x^{5} \cdot e^{3 x + 2} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x + 2} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x + 2}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x + 2} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x + 2}$

= $e^{3 x + 2} \cdot (5 x^{4} + 3 x^{5})$

= $e^{3 x + 2} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x + 4}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x + 4} \cdot 2$

= $4 e^{2 x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot \cos (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot \cos (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (- 3 x) + (x^{2} - 2) \cdot (- \sin (- 3 x) \cdot (- 3))$

= $2 x \cdot \cos (- 3 x) + (x^{2} - 2) \cdot 3 \cdot \sin (- 3 x)$

= $2 x \cdot \cos (- 3 x) + 3 (x^{2} - 2) \cdot \sin (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 56-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 56-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 56 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{56}$

Somit gilt für die 56-te Ableitung:

f⁽⁵⁶⁾(x) = ${1,1}^{56} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $207,965 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 8$

= $e^{- 0,3 x} + (x + 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 8$

= $e^{- 0,3 x} - 0,3 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 8$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3 x - 2,1 + 1) - 8$

= $- 8 + (- 0,3 x - 2,1 + 1) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 8 + (- 0,3 x - 1,1) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten