Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x - 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x - 1} + x^{4} \cdot e^{- 2 x - 1} \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x - 1} + x^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x - 1})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x - 1} - 2 x^{4} \cdot e^{- 2 x - 1}$

= $e^{- 2 x - 1} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{2} + 2} \cdot (- 6 x)$

= $18 \cdot e^{- 3 x^{2} + 2} x$

= $18 x e^{- 3 x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} + 2) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} + 2) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (x^{2} + 2) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 76-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 76 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{76}$

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = ${0,95}^{76} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,02 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 1$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $4 e^{- 0,1 x} + 4 (x - 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $4 e^{- 0,1 x} - 0,4 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (4 - 0,4 x + 2,8)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,4 x + 6,8)$

= $(- 0,4 x + 6,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten