$\text{f(x)}=$ $1+3e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^x+x^5·e^x$

= $5x^4·e^x+x^5·e^x$

= $e^x·\left(x^5+5x^4\right)$

= $\left(x^5+5x^4\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-x-5}·\left(-1\right)$

= $-2e^{-x-5}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{2x}·2$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-1\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{2x}+\left(x^2-1\right)·e^{2x}·2$

= $2x·e^{2x}+\left(x^2-1\right)·2e^{2x}$

= $2x·e^{2x}+2\left(x^2-1\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^2-2+2x\right)$

= $e^{2x}·\left(2x^2+2x-2\right)$

= $\left(2x^2+2x-2\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^x$

f'(x) = $5e^x$

f''(x) = $5e^x$

f'''(x) = $5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $5e^x$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)-5$

= $-4e^{-\mathrm{0,4}x}-4\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)-5$

= $-4e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{1,6}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-4+\mathrm{1,6}x+\mathrm{3,2}\right)-5$

= $-5+\left(\mathrm{1,6}x-4+\mathrm{3,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $-5+\left(\mathrm{1,6}x-\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$