$\text{f(x)}=$ $-1+\frac{5}{7}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{7}{e}^{3x}·3$

= $\frac{15}{7}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-2x-3}+\frac{1}{2}{\left(\sqrt{x}\right)}^3$

= $-2e^{-2x-3}+\frac{1}{2}{x}^{\frac{3}{2}}$

=> f'(x) = $-2e^{-2x-3}·\left(-2\right)+\frac{3}{4}{x}^{\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-2x-3}·\left(-2\right)+\frac{3}{4}\sqrt{x}$

= $4e^{-2x-3}+\frac{3}{4}\sqrt{x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-2x^2-5}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-2x^2-5}·\left(-4x\right)$

= $-12·e^{-2x^2-5}x$

= $-12x{e}^{-2x^2-5}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{5x}·5$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(x^3-3\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-2\left(x^3-3\right)·\left(3x^2+0\right)$

= $-2\left(x^3-3\right)·\left(3x^2\right)$

= $-6\left(x^3-3\right)x^2$

= $-6x^2\left(x^3-3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+81\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-2$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{2,4}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-4+\mathrm{2,4}x-\mathrm{9,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{2,4}x-\mathrm{13,6}\right)$

= $\left(\mathrm{2,4}x-\mathrm{13,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$