Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + 2 e^{\frac{9}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + 2 e^{\frac{9}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{9}{7} x} \cdot \frac{9}{7}$

= $\frac{18}{7} e^{\frac{9}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} + 2) \cdot e^{5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{3} + 2) \cdot e^{5 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 3 x^{2} + 0) \cdot e^{5 x - 1} + (- x^{3} + 2) \cdot e^{5 x - 1} \cdot 5$

= $- 3 x^{2} \cdot e^{5 x - 1} + (- x^{3} + 2) \cdot 5 e^{5 x - 1}$

= $- 3 x^{2} \cdot e^{5 x - 1} + 5 (- x^{3} + 2) \cdot e^{5 x - 1}$

= $e^{5 x - 1} \cdot (- 5 x^{3} + 10 - 3 x^{2})$

= $e^{5 x - 1} \cdot (- 5 x^{3} - 3 x^{2} + 10)$

= $(- 5 x^{3} - 3 x^{2} + 10) \cdot e^{5 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x - 2}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x + 2} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{- 2 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (- 2 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \sin (- 2 x - 1)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \cos (- 2 x - 1) \cdot (- 2 + 0)$

= $3 \cdot \cos (- 2 x - 1) \cdot (- 2)$

= $- 6 \cdot \cos (- 2 x - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 66-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{0,95 x}$

f'(x) = $- 3 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 2,85 e^{0,95 x}$

f''(x) = $- 2,85 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 2,7075 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $- 2,7075 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 2,5721 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,5721 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 2,4435 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 66-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 66 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{66}$

Somit gilt für die 66-te Ableitung:

f⁽⁶⁶⁾(x) = ${0,95}^{66} \cdot (- 3 e^{0,95 x})$

≈ $- 0,102 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 5$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $4 e^{- 0,8 x} + 4 (x - 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $4 e^{- 0,8 x} - 3,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (4 - 3,2 x + 22,4)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3,2 x + 26,4)$

= $(- 3,2 x + 26,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten