Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{1}{4} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{1}{4} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{4} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{4} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x - 3) \cdot e^{- 3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x - 3) \cdot e^{- 3 x + 5}$

$f'(x) =$ $(- 1 + 0) \cdot e^{- 3 x + 5} + (- x - 3) \cdot e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

= $- e^{- 3 x + 5} + (- x - 3) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 5})$

= $- e^{- 3 x + 5} - 3 (- x - 3) \cdot e^{- 3 x + 5}$

= $e^{- 3 x + 5} \cdot (- 1 + 3 x + 9)$

= $e^{- 3 x + 5} \cdot (3 x + 8)$

= $(3 x + 8) \cdot e^{- 3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{3} + 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{3} + 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- 2 x^{3} + 2 x^{2}) + e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{2} + 4 x)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (- 2 x^{3} + 2 x^{2}) + e^{- 2 x} (- 6 x^{2} + 4 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{3} - 4 x^{2} + (- 6 x^{2} + 4 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{3} - 10 x^{2} + 4 x)$

= $(4 x^{3} - 10 x^{2} + 4 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x - 3) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x - 3) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x - 3) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (1 + 3 x - 9)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x - 8)$

= $(3 x - 8) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{1,15 x}$

f'(x) = $2 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $2,3 e^{1,15 x}$

f''(x) = $2,3 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $2,645 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $2,645 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $3,0418 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,0418 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $3,498 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${1,15}^{46} \cdot 2 e^{1,15 x}$

≈ $1239,169 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 9$

= $- e^{- 0,7 x} - (x - 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 9$

= $- e^{- 0,7 x} + 0,7 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1 + 0,7 x - 2,8) - 9$

= $- 9 + (0,7 x - 1 - 2,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 9 + (0,7 x - 3,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten