Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x - 4} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x - 4} + 3$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2) + 0$

= $- 6 e^{- 2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} + x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} + x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 6 x + 1) \cdot e^{3 x} + (- 3 x^{2} + x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 6 x + 1) \cdot e^{3 x} + (- 3 x^{2} + x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 6 x + 1) \cdot e^{3 x} + 3 (- 3 x^{2} + x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 3 x - 6 x + 1)$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{2} - 3 x + 1)$

= $(- 9 x^{2} - 3 x + 1) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x - 3} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x - 3} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{{(3 x^{2} + 2)}^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{{(3 x^{2} + 2)}^{3}}$

= $- 2 {(3 x^{2} + 2)}^{- 3}$

=> f'(x) = $6 {(3 x^{2} + 2)}^{- 4} \cdot (6 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{6}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}} \cdot (6 x)$

= $36 \frac{x}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{x}$

f'(x) = $3 e^{x}$

f''(x) = $3 e^{x}$

f'''(x) = $3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 4$

= $2 e^{- 0,3 x} + 2 (x + 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 4$

= $2 e^{- 0,3 x} - 0,6 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 4$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (2 - 0,6 x - 0,6) + 4$

= $4 + (- 0,6 x + 2 - 0,6) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $4 + (- 0,6 x + 1,4) \cdot e^{- 0,3 x}$