$\text{f(x)}=$ $3e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{3x}·3$

= $9e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-2x-4}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-2x-4}·\left(-2\right)+3$

= $-6e^{-2x-4}+3$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-x}+x^5·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $5x^4·e^{-x}+x^5·\left(-e^{-x}\right)$

= $5x^4·e^{-x}-x^5·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^5+5x^4\right)$

= $\left(-x^5+5x^4\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{x}·1$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-2\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-3x}+\left(x^2-2\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x}+\left(x^2-2\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2x·e^{-3x}-3\left(x^2-2\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+6+2x\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x+6\right)$

= $\left(-3x^2+2x+6\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^x$

f'(x) = $-5e^x$

f''(x) = $-5e^x$

f'''(x) = $-5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $-5e^x$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+8x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+3\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+8$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}+3\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+8$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{1,5}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+8$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(3-\mathrm{1,5}x-6\right)+8$

= $8+\left(-\mathrm{1,5}x+3-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $8+\left(-\mathrm{1,5}x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$