$\text{f(x)}=$ $-3e^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{\frac{5}{7}x}·\frac{5}{7}$

= $-\frac{15}{7}{e}^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{3x^4}-5\sqrt{x}-2e^{x+4}$

= $-\frac{1}{3}{x}^{-4}-5x^{\frac{1}{2}}-2e^{x+4}$

=> f'(x) = $\frac{4}{3}{x}^{-5}-\frac{5}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}-2e^{x+4}·1$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{3x^5}-\frac{5}{2\sqrt{x}}-2e^{x+4}·1$

= $\frac{4}{3x^5}-\frac{5}{2\sqrt{x}}-2e^{x+4}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{2x^2-3}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{2x^2-3}·4x$

= $12·e^{2x^2-3}x$

= $12x{e}^{2x^2-3}$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{6x}·6$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+3\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2+3\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2+3\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2+3\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2-6+2x\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x-6\right)$

= $\left(-2x^2+2x-6\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $3e^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{3,15}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{3,15}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{3,3075}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{3,3075}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{3,4729}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{3,4729}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{3,6465}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,05}}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${\mathrm{1,05}}^{64}·3e^{\mathrm{1,05}x}$

≈ $\mathrm{68,114}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+6$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-5+3x+6\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(3x+1\right)$

= $\left(3x+1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$