Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{5} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{5} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{5} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{14}{5} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{3} + 3 x) \cdot e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{3} + 3 x) \cdot e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{2} + 3) \cdot e^{2 x - 2} + (- 5 x^{3} + 3 x) \cdot e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $(- 15 x^{2} + 3) \cdot e^{2 x - 2} + (- 5 x^{3} + 3 x) \cdot 2 e^{2 x - 2}$

= $(- 15 x^{2} + 3) \cdot e^{2 x - 2} + 2 (- 5 x^{3} + 3 x) \cdot e^{2 x - 2}$

= $e^{2 x - 2} \cdot (- 10 x^{3} + 6 x - 15 x^{2} + 3)$

= $e^{2 x - 2} \cdot (- 10 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 3)$

= $(- 10 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 3) \cdot e^{2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x^{3} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x^{3} - 2}$

$f'(x) =$ $e^{3 x^{3} - 2} \cdot 9 x^{2}$

= $9 \cdot e^{3 x^{3} - 2} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{3 x^{3} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x + 2} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x + 2} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 1) \cdot \cos (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} + 1) \cdot \cos (3 x)$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot \cos (3 x) + (3 x^{2} + 1) \cdot (- \sin (3 x) \cdot 3)$

= $6 x \cdot \cos (3 x) + (3 x^{2} + 1) \cdot (- 3 \cdot \sin (3 x))$

= $6 x \cdot \cos (3 x) - 3 (3 x^{2} + 1) \cdot \sin (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 77)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 8$

= $5 e^{- 0,9 x} + 5 (x - 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 8$

= $5 e^{- 0,9 x} - 4,5 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 8$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (5 - 4,5 x + 9) - 8$

= $- 8 + (- 4,5 x + 5 + 9) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 8 + (- 4,5 x + 14) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten