Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{4}{5} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{4}{5} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{4}{5} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{8}{5} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x + 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{4 x + 2} + x^{2} \cdot e^{4 x + 2} \cdot 4$

= $2 x \cdot e^{4 x + 2} + x^{2} \cdot 4 e^{4 x + 2}$

= $2 x \cdot e^{4 x + 2} + 4 x^{2} \cdot e^{4 x + 2}$

= $e^{4 x + 2} \cdot (4 x^{2} + 2 x)$

= $(4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{4 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot e^{- 3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot e^{- 3 x + 2}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x + 2} + (x^{2} + 2) \cdot e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x + 2} + (x^{2} + 2) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 2})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x + 2} - 3 (x^{2} + 2) \cdot e^{- 3 x + 2}$

= $e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3 x^{2} - 6 + 2 x)$

= $e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x - 6)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x - 6) \cdot e^{- 3 x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x + 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x + 5} + x^{4} \cdot e^{2 x + 5} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x + 5} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x + 5}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x + 5} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x + 5}$

= $e^{2 x + 5} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x + 5}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${0,95}^{63} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,039 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 6$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 5 e^{- 0,3 x} - 5 (x + 2) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 5 e^{- 0,3 x} + 1,5 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 5 + 1,5 x + 3)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1,5 x - 2)$

= $(1,5 x - 2) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten