$\text{f(x)}=$ $-5+\frac{10}{9}{e}^{\frac{5}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{10}{9}{e}^{\frac{5}{4}x}·\frac{5}{4}$

= $\frac{25}{18}{e}^{\frac{5}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{2x+4}+9\sqrt{x}$

= $-e^{2x+4}+9x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-e^{2x+4}·2+\frac{9}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{2x+4}·2+\frac{9}{2\sqrt{x}}$

= $-2e^{2x+4}+\frac{9}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x}+x^5·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x}+x^5·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $5x^4·e^{-2x}-2x^5·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $7\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{4x}·4$

= $\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(x^2-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x^2-3\right)·\left(2x+0\right)$

= $2\cdot \sin \left(x^2-3\right)·\left(2x\right)$

= $4\sin \left(x^2-3\right)x$

= $4x·\sin \left(x^2-3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+88\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+9$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(5-2x-14\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-2x-9\right)$

= $\left(-2x-9\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$