$\text{f(x)}=$ $3e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{2x}·2$

= $6e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-8x^2+e^{-3x+3}+\frac{3}{x^4}$

= $-8x^2+e^{-3x+3}+3x^{-4}$

=> f'(x) = $-16x+e^{-3x+3}·\left(-3\right)-12x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-16x+e^{-3x+3}·\left(-3\right)-\frac{12}{x^5}$

= $-16x-3e^{-3x+3}-\frac{12}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-3x^3+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-3x^3+5}·\left(-9x^2\right)$

= $27·e^{-3x^3+5}{x}^2$

= $27x^2{e}^{-3x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $-\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-1}{7x}·7$

= $-\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+1\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{3x}+\left(3x+1\right)·e^{3x}·3$

= $3e^{3x}+\left(3x+1\right)·3e^{3x}$

= $3e^{3x}+3\left(3x+1\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3+9x+3\right)$

= $e^{3x}·\left(9x+6\right)$

= $\left(9x+6\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-x}$

f'(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f''(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f'''(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $-5e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+1$

= $3e^{-\mathrm{0,4}x}+3\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+1$

= $3e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{1,2}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+1$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(3-\mathrm{1,2}x-\mathrm{2,4}\right)+1$

= $1+\left(-\mathrm{1,2}x+3-\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $1+\left(-\mathrm{1,2}x+\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$