$\text{f(x)}=$ $5+e^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{\frac{7}{8}x}·\frac{7}{8}$

= $\frac{7}{8}{e}^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-x+5}+x^4·e^{-x+5}·\left(-1\right)$

= $4x^3·e^{-x+5}+x^4·\left(-e^{-x+5}\right)$

= $4x^3·e^{-x+5}-x^4·e^{-x+5}$

= $e^{-x+5}·\left(-x^4+4x^3\right)$

= $\left(-x^4+4x^3\right)·e^{-x+5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^3-2\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3x^2+0\right)·e^{-3x}+\left(x^3-2\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3x^2·e^{-3x}+\left(x^3-2\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3x^2·e^{-3x}-3\left(x^3-2\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^3+6+3x^2\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x^3+3x^2+6\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2+6\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x+3}·\left(-1+0\right)$

= $\frac{1}{-x+3}·\left(-1\right)$

= $-\frac{1}{-x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-7\right)·\cos \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\cos \left(3x\right)+\left(x-7\right)·(-\sin \left(3x\right)·3)$

= $\cos \left(3x\right)+\left(x-7\right)·\left(-3\cdot \sin \left(3x\right)\right)$

= $\cos \left(3x\right)-3\left(x-7\right)·\sin \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 79-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 79 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{79}$

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{79}·e^{\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,017}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,1}x}-2\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,2}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-2+\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(\mathrm{0,2}x-\mathrm{2,4}\right)$

= $\left(\mathrm{0,2}x-\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$