$\text{f(x)}=$ $5-e^{\frac{11}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{\frac{11}{9}x}·\frac{11}{9}$

= $-\frac{11}{9}{e}^{\frac{11}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x-2\right)·e^{4x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-5+0\right)·e^{4x-2}+\left(-5x-2\right)·e^{4x-2}·4$

= $-5e^{4x-2}+\left(-5x-2\right)·4e^{4x-2}$

= $-5e^{4x-2}+4\left(-5x-2\right)·e^{4x-2}$

= $e^{4x-2}·\left(-5-20x-8\right)$

= $e^{4x-2}·\left(-20x-13\right)$

= $\left(-20x-13\right)·e^{4x-2}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{3x^2+1}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{3x^2+1}·6x$

= $12·e^{3x^2+1}x$

= $12x{e}^{3x^2+1}$

$\text{f(x)}=$ $-\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-1}{5x}·5$

= $-\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-1\right)·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(-2x\right)+\left(2x-1\right)·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $2\cdot \sin \left(-2x\right)+\left(2x-1\right)·\left(-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right)$

= $2\cdot \sin \left(-2x\right)-2\left(2x-1\right)·\cos \left(-2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+94\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-3$

= $-e^{-\mathrm{0,6}x}-\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-3$

= $-e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{0,6}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-1+\mathrm{0,6}x+\mathrm{3,6}\right)-3$

= $-3+\left(\mathrm{0,6}x-1+\mathrm{3,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-3+\left(\mathrm{0,6}x+\mathrm{2,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$