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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $\frac{5}{9} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x + 2}$

$f'(x) =$ $e^{- x + 2} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 6) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 6) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (2 x - 6) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 \cdot \sin (x^{3}) + (2 x - 6) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 \cdot \sin (x^{3}) + 3 (2 x - 6) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 77-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 77 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{77}$

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = ${0,95}^{77} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,019 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} + 9$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x - 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3 - 2,4 x + 7,2)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2,4 x + 10,2)$

= $(- 2,4 x + 10,2) \cdot e^{- 0,8 x}$