$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-2x+4}+\frac{1}{4}\sqrt{x}+\frac{2}{3x^2}$

= $-2e^{-2x+4}+\frac{1}{4}{x}^{\frac{1}{2}}+\frac{2}{3}{x}^{-2}$

=> f'(x) = $-2e^{-2x+4}·\left(-2\right)+\frac{1}{8}{x}^{-\frac{1}{2}}-\frac{4}{3}{x}^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-2x+4}·\left(-2\right)+\frac{1}{8\sqrt{x}}-\frac{4}{3x^3}$

= $4e^{-2x+4}+\frac{1}{8\sqrt{x}}-\frac{4}{3x^3}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-3x}+x^5·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $5x^4·e^{-3x}+x^5·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $5x^4·e^{-3x}-3x^5·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x-1}·\left(5+0\right)$

= $\frac{1}{5x-1}·\left(5\right)$

= $\frac{5}{5x-1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-2x}+\left(x+2\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $e^{-2x}+\left(x+2\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $e^{-2x}-2\left(x+2\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(1-2x-4\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x-3\right)$

= $\left(-2x-3\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+92\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+7x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+7$

= $2e^{-\mathrm{0,1}x}+2\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)+7$

= $2e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,2}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+7$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(2-\mathrm{0,2}x+1\right)+7$

= $7+\left(-\mathrm{0,2}x+2+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $7+\left(-\mathrm{0,2}x+3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$