Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) - \frac{5}{2 x^{2}} + e^{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) - \frac{5}{2 x^{2}} + e^{3 x + 2}$

= $- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) - \frac{5}{2} x^{- 2} + e^{3 x + 2}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} \cdot \cos (x) + 5 x^{- 3} + e^{3 x + 2} \cdot 3$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot \cos (x) + \frac{5}{x^{3}} + e^{3 x + 2} \cdot 3$

= $- \frac{1}{2} \cdot \cos (x) + \frac{5}{x^{3}} + 3 e^{3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 3 x) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 3 x) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} - 3) \cdot e^{x} + (- 4 x^{3} - 3 x) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- 4 x^{3} - 3 x - 12 x^{2} - 3)$

= $e^{x} \cdot (- 4 x^{3} - 12 x^{2} - 3 x - 3)$

= $(- 4 x^{3} - 12 x^{2} - 3 x - 3) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} - 3 x} \cdot (- 8 x - 3)$

= $\frac{- 8 x - 3}{- 4 x^{2} - 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (x + 7) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $\cos (x^{2}) + (x + 7) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $\cos (x^{2}) - 2 (x + 7) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 40-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 40-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 40 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{40}$

Somit gilt für die 40-te Ableitung:

f⁽⁴⁰⁾(x) = ${1,15}^{40} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $267,864 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 3$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 3 e^{- 0,5 x} - 3 (x - 5) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 3 e^{- 0,5 x} + 1,5 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 3 + 1,5 x - 7,5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1,5 x - 10,5)$

= $(1,5 x - 10,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten