Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $- \frac{6}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x + 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 1} + x^{5} \cdot e^{4 x + 1} \cdot 4$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 1} + x^{5} \cdot 4 e^{4 x + 1}$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 1} + 4 x^{5} \cdot e^{4 x + 1}$

= $e^{4 x + 1} \cdot (4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{4 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{5} + e^{2 x} \cdot 5 x^{4}$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{5} + 5 \cdot e^{2 x} x^{4}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} - 1} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{3} - 1} \cdot (9 x^{2})$

= $9 \frac{x^{2}}{3 x^{3} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{2 x - 1}$

= $2 {(2 x - 1)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- 2 {(2 x - 1)}^{- 2} \cdot (2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{{(2 x - 1)}^{2}} \cdot (2 + 0)$

= $- \frac{2}{{(2 x - 1)}^{2}} \cdot (2)$

= $- \frac{4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 40-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 40-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 40 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{40}$

Somit gilt für die 40-te Ableitung:

f⁽⁴⁰⁾(x) = ${1,15}^{40} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $267,864 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 6$

= $- 4 e^{- 0,1 x} - 4 (x + 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 6$

= $- 4 e^{- 0,1 x} + 0,4 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 6$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 4 + 0,4 x + 0,4) + 6$

= $6 + (0,4 x - 4 + 0,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $6 + (0,4 x - 3,6) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten