Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{11}{8} e^{\frac{5}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{11}{8} e^{\frac{5}{4} x}$

$f'(x) =$ $\frac{11}{8} e^{\frac{5}{4} x} \cdot \frac{5}{4}$

= $\frac{55}{32} e^{\frac{5}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x - 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x - 4} + x^{5} \cdot e^{2 x - 4} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x - 4} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x - 4}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x - 4} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x - 4}$

= $e^{2 x - 4} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{4} + 1) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{4} + 1) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(20 x^{3} + 0) \cdot e^{- x} + (5 x^{4} + 1) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $20 x^{3} \cdot e^{- x} + (5 x^{4} + 1) \cdot (- e^{- x})$

= $20 x^{3} \cdot e^{- x} - (5 x^{4} + 1) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- 5 x^{4} - 1 + 20 x^{3})$

= $e^{- x} \cdot (- 5 x^{4} + 20 x^{3} - 1)$

= $(- 5 x^{4} + 20 x^{3} - 1) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 4) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 4) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (3 x - 4) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + (3 x - 4) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + 3 (3 x - 4) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 56-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 56-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 56 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{56}$

Somit gilt für die 56-te Ableitung:

f⁽⁵⁶⁾(x) = ${1,1}^{56} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $207,965 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 5$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $4 e^{- 0,3 x} + 4 (x - 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $4 e^{- 0,3 x} - 1,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (4 - 1,2 x + 8,4)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1,2 x + 12,4)$

= $(- 1,2 x + 12,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten