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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{5}{3} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{5}{3} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{3} e^{3 x} \cdot 3$

= $5 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x + 5} - \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x + 5} - \sqrt{x}$

= $- 2 e^{- x + 5} - x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- 2 e^{- x + 5} \cdot (- 1) - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x + 5} \cdot (- 1) - \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

= $2 e^{- x + 5} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} + 4) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} + 4) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(8 x + 0) \cdot e^{2 x} + (4 x^{2} + 4) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $8 x \cdot e^{2 x} + (4 x^{2} + 4) \cdot 2 e^{2 x}$

= $8 x \cdot e^{2 x} + 2 (4 x^{2} + 4) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (8 x^{2} + 8 + 8 x)$

= $e^{2 x} \cdot (8 x^{2} + 8 x + 8)$

= $(8 x^{2} + 8 x + 8) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x - 3} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x - 3} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot e^{- 5 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot e^{- 5 x + 5}$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot e^{- 5 x + 5}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot e^{- 5 x + 5} + x^{\frac{1}{4}} \cdot e^{- 5 x + 5} \cdot (- 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot e^{- 5 x + 5} + \sqrt[4]{x} \cdot e^{- 5 x + 5} \cdot (- 5)$

= $\frac{1}{4} \frac{e^{- 5 x + 5}}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 5})$

= $\frac{1}{4} \frac{e^{- 5 x + 5}}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} - 5 \sqrt[4]{x} \cdot e^{- 5 x + 5}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 90)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 3$

= $e^{- 0,1 x} + (x + 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 3$

= $e^{- 0,1 x} - 0,1 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 3$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (1 - 0,1 x - 0,5) - 3$

= $- 3 + (- 0,1 x + 1 - 0,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 3 + (- 0,1 x + 0,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten