$\text{f(x)}=$ $-2-e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-2x+3}-\frac{7}{3}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-2x+3}·\left(-2\right)-\frac{7}{3}\cdot \cos \left(x\right)$

= $-6e^{-2x+3}-\frac{7}{3}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·\left(-3x^3+5x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-3x^3+5x^2\right)+e^{-x}·\left(-9x^2+10x\right)$

= $-e^{-x}\left(-3x^3+5x^2\right)+e^{-x}\left(-9x^2+10x\right)$

= $e^{-x}·(3x^3-5x^2+\left(-9x^2+10x\right))$

= $e^{-x}·\left(3x^3-14x^2+10x\right)$

= $\left(3x^3-14x^2+10x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $5\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{x}·1$

= $\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-1\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{2x}+\left(x^2-1\right)·e^{2x}·2$

= $2x·e^{2x}+\left(x^2-1\right)·2e^{2x}$

= $2x·e^{2x}+2\left(x^2-1\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^2-2+2x\right)$

= $e^{2x}·\left(2x^2+2x-2\right)$

= $\left(2x^2+2x-2\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^x$

f'(x) = $e^x$

f''(x) = $e^x$

f'''(x) = $e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^x$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-7$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-2+x+6\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(x+4\right)$

= $\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$