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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{5}{8} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{5}{8} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{8} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{15}{8} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{2} + e^{x} \cdot 2 x$

= $e^{x} x^{2} + 2 \cdot e^{x} x$

= $e^{x} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x + 2}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x + 2} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} + 4} \cdot (8 x + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{2} + 4} \cdot (8 x)$

= $8 \frac{x}{4 x^{2} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 8) \cdot \cos (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 8) \cdot \cos (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (- 3 x) + (2 x + 8) \cdot (- \sin (- 3 x) \cdot (- 3))$

= $2 \cdot \cos (- 3 x) + (2 x + 8) \cdot 3 \cdot \sin (- 3 x)$

= $2 \cdot \cos (- 3 x) + 3 (2 x + 8) \cdot \sin (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 93)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 1$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $e^{- 0,1 x} + (x + 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $e^{- 0,1 x} - 0,1 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (1 - 0,1 x - 0,5)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1 x + 0,5)$

= $(- 0,1 x + 0,5) \cdot e^{- 0,1 x}$