$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{8}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{8}{e}^{2x}·2$

= $\frac{7}{4}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-x}+x^4·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $4x^3·e^{-x}+x^4·\left(-e^{-x}\right)$

= $4x^3·e^{-x}-x^4·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^4+4x^3\right)$

= $\left(-x^4+4x^3\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{x^2+2}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{x^2+2}·2x$

= $2·e^{x^2+2}x$

= $2x{e}^{x^2+2}$

$\text{f(x)}=$ $2\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{5x}·5$

= $\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+4\right)·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\cos \left(x^2\right)+\left(x^2+4\right)·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $2x·\cos \left(x^2\right)+\left(x^2+4\right)·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $2x·\cos \left(x^2\right)-2\left(x^2+4\right)\sin \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^x$

f'(x) = $-e^x$

f''(x) = $-e^x$

f'''(x) = $-e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $-e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{0,5}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(1-\mathrm{0,5}x+\mathrm{3,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}x+\mathrm{4,5}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,5}x+\mathrm{4,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$