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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x}$

$f'(x) =$ $- e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{5} + e^{3 x} \cdot 5 x^{4}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{5} + 5 \cdot e^{3 x} x^{4}$

= $e^{3 x} \cdot (5 x^{4} + 3 x^{5})$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{5} - 3 x) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{5} - 3 x) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(20 x^{4} - 3) \cdot e^{- 2 x} + (4 x^{5} - 3 x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(20 x^{4} - 3) \cdot e^{- 2 x} + (4 x^{5} - 3 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(20 x^{4} - 3) \cdot e^{- 2 x} - 2 (4 x^{5} - 3 x) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (20 x^{4} - 3 + (- 8 x^{5} + 6 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x^{5} + 20 x^{4} + 6 x - 3)$

= $(- 8 x^{5} + 20 x^{4} + 6 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot \cos (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot \cos (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (- 2 x) + (x^{2} - 1) \cdot (- \sin (- 2 x) \cdot (- 2))$

= $2 x \cdot \cos (- 2 x) + (x^{2} - 1) \cdot 2 \cdot \sin (- 2 x)$

= $2 x \cdot \cos (- 2 x) + 2 (x^{2} - 1) \cdot \sin (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 52-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${1,1}^{52} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $142,043 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 5$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x + 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 5$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 5$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2,4 x + 12 - 3) - 5$

= $- 5 + (2,4 x + 12 - 3) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 5 + (2,4 x + 9) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten