$\text{f(x)}=$ $3e^{\frac{3}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{\frac{3}{4}x}·\frac{3}{4}$

= $\frac{9}{4}{e}^{\frac{3}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{4x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{4x+5}+x^4·e^{4x+5}·4$

= $4x^3·e^{4x+5}+x^4·4e^{4x+5}$

= $4x^3·e^{4x+5}+4x^4·e^{4x+5}$

= $e^{4x+5}·\left(4x^4+4x^3\right)$

= $\left(4x^4+4x^3\right)·e^{4x+5}$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x}·x^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2·x^5+e^{2x}·5x^4$

= $2·e^{2x}{x}^5+5·e^{2x}{x}^4$

= $e^{2x}·\left(2x^5+5x^4\right)$

= $\left(2x^5+5x^4\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x+2}·\left(2+0\right)$

= $\frac{1}{2x+2}·\left(2\right)$

= $\frac{2}{2x+2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+2\right)·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\cos \left(x^2\right)+\left(2x+2\right)·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $2\cdot \cos \left(x^2\right)+\left(2x+2\right)·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $2\cdot \cos \left(x^2\right)-2\left(2x+2\right)\sin \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^x$

f'(x) = $-e^x$

f''(x) = $-e^x$

f'''(x) = $-e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $-e^x$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+7$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{0,8}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-2+\mathrm{0,8}x-\mathrm{1,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(\mathrm{0,8}x-\mathrm{3,6}\right)$

= $\left(\mathrm{0,8}x-\mathrm{3,6}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$