Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{1}{3} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{1}{3} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{3} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{2}{3} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x - 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x - 2} + x^{2} \cdot e^{3 x - 2} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x - 2} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x - 2}$

= $2 x \cdot e^{3 x - 2} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x - 2}$

= $e^{3 x - 2} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(12 x^{3} + 12 x^{2}) \cdot e^{2 x} + (3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(12 x^{3} + 12 x^{2}) \cdot e^{2 x} + (3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(12 x^{3} + 12 x^{2}) \cdot e^{2 x} + 2 (3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (6 x^{4} + 8 x^{3} + (12 x^{3} + 12 x^{2}))$

= $e^{2 x} \cdot (6 x^{4} + 20 x^{3} + 12 x^{2})$

= $(6 x^{4} + 20 x^{3} + 12 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} - 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} - 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} - 3 x^{2}} \cdot (- 12 x^{2} - 6 x)$

= $\frac{- 12 x^{2} - 6 x}{- 4 x^{3} - 3 x^{2}}$

= $\frac{- 6 \cdot 1 \cdot (2 x + 1)}{- x \cdot (4 x + 3)}$

= $\frac{- 6 (2 x + 1)}{- x \cdot (4 x + 3)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(e^{- 2 x} - 1)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(e^{- 2 x} - 1)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 6 (e^{- 2 x} - 1) \cdot (e^{- 2 x} \cdot (- 2) + 0)$

= $- 6 (e^{- 2 x} - 1) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $12 (e^{- 2 x} - 1) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{- x}$

f'(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} - x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 1$

= $- e^{- 0,8 x} - (x - 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 1$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 1$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1 + 0,8 x - 3,2) - 1$

= $- 1 + (0,8 x - 1 - 3,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 1 + (0,8 x - 4,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten