$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{4}{e}^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{4}{e}^{\frac{7}{9}x}·\frac{7}{9}$

= $\frac{49}{36}{e}^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-x+4}-2\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-x+4}·\left(-1\right)-2\cdot \cos \left(x\right)$

= $3e^{-x+4}-2\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·x^3+e^{-x}·3x^2$

= $-e^{-x}{x}^3+3·e^{-x}{x}^2$

= $e^{-x}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x-1}·\left(-2+0\right)$

= $\frac{1}{-2x-1}·\left(-2\right)$

= $-\frac{2}{-2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+6\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-2x}+\left(x+6\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $e^{-2x}+\left(x+6\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $e^{-2x}-2\left(x+6\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(1-2x-12\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x-11\right)$

= $\left(-2x-11\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $-4e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{4,6}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{4,6}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{5,29}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{5,29}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{6,0835}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{6,0835}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{6,996}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 38-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 38 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{38}$

Somit gilt für die 38-te Ableitung:

f⁽³⁸⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{38}·\left(-4e^{-\mathrm{1,15}x}\right)$

≈ $-\mathrm{810,173}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-9x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)-9$

= $-e^{-\mathrm{0,8}x}-\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)-9$

= $-e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{0,8}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-9$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-1+\mathrm{0,8}x-4\right)-9$

= $-9+\left(\mathrm{0,8}x-1-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $-9+\left(\mathrm{0,8}x-5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$