Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $\frac{7}{4} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{4} + 4) \cdot e^{- 5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{4} + 4) \cdot e^{- 5 x - 3}$

$f'(x) =$ $(4 x^{3} + 0) \cdot e^{- 5 x - 3} + (x^{4} + 4) \cdot e^{- 5 x - 3} \cdot (- 5)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 3} + (x^{4} + 4) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 3})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 3} - 5 (x^{4} + 4) \cdot e^{- 5 x - 3}$

= $e^{- 5 x - 3} \cdot (- 5 x^{4} - 20 + 4 x^{3})$

= $e^{- 5 x - 3} \cdot (- 5 x^{4} + 4 x^{3} - 20)$

= $(- 5 x^{4} + 4 x^{3} - 20) \cdot e^{- 5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 8 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 3 x} + (- 2 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(- 8 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 3 x} + (- 2 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(- 8 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 2 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (6 x^{4} + 6 x^{2} + (- 8 x^{3} - 4 x))$

= $e^{- 3 x} \cdot (6 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x)$

= $(6 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x - 3} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x - 3} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 7) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 7) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} - 7) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} - 7) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{2} - 7) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 14 + 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x + 14)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x + 14) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 37-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 37-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 37 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{37}$

Somit gilt für die 37-te Ableitung:

f⁽³⁷⁾(x) = ${1,15}^{37} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $176,125 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 4$

= $5 e^{- 0,8 x} + 5 (x + 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 4$

= $5 e^{- 0,8 x} - 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 4$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (5 - 4 x - 4) + 4$

= $4 + (- 4 x + 5 - 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $4 + (- 4 x + 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten