$\text{f(x)}=$ $-5-3e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{3x}·3$

= $-9e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{2}{x}^2-\frac{7}{4x^4}-3e^{-x-3}$

= $-\frac{5}{2}{x}^2-\frac{7}{4}{x}^{-4}-3e^{-x-3}$

=> f'(x) = $-5x+7x^{-5}-3e^{-x-3}·\left(-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-5x+\frac{7}{x^5}-3e^{-x-3}·\left(-1\right)$

= $-5x+\frac{7}{x^5}+3e^{-x-3}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{3x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{3x+4}·3$

= $-3e^{3x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-4x^3+x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-4x^3+x}·\left(-12x^2+1\right)$

= $\frac{-12x^2+1}{-4x^3+x}$

$\text{f(x)}=$ $-\sin \left(-3x^3+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\cos \left(-3x^3+4\right)·\left(-9x^2+0\right)$

= $-\cos \left(-3x^3+4\right)·\left(-9x^2\right)$

= $9\cos \left(-3x^3+4\right)x^2$

= $9x^2·\cos \left(-3x^3+4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $-5e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{5,75}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{5,75}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{6,6125}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{6,6125}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{7,6044}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{7,6044}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{8,745}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 42-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 42 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{42}$

Somit gilt für die 42-te Ableitung:

f⁽⁴²⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{42}·\left(-5e^{-\mathrm{1,15}x}\right)$

≈ $-\mathrm{1771,248}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-2x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)-2$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}-5\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)-2$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{3,5}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-2$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-5+\mathrm{3,5}x+7\right)-2$

= $-2+\left(\mathrm{3,5}x-5+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $-2+\left(\mathrm{3,5}x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$