$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-\frac{9}{4}{e}^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-x-3}+x^4·e^{-x-3}·\left(-1\right)$

= $4x^3·e^{-x-3}+x^4·\left(-e^{-x-3}\right)$

= $4x^3·e^{-x-3}-x^4·e^{-x-3}$

= $e^{-x-3}·\left(-x^4+4x^3\right)$

= $\left(-x^4+4x^3\right)·e^{-x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^4+4x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(16x^3+8x\right)·e^{-x}+\left(4x^4+4x^2\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $\left(16x^3+8x\right)·e^{-x}+\left(4x^4+4x^2\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $\left(16x^3+8x\right)·e^{-x}-\left(4x^4+4x^2\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·(-4x^4-4x^2+\left(16x^3+8x\right))$

= $e^{-x}·\left(-4x^4+16x^3-4x^2+8x\right)$

= $\left(-4x^4+16x^3-4x^2+8x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{5x}·5$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{-3x}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{-3x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{-3x}+x^{\frac{1}{2}}·e^{-3x}·\left(-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{-3x}+\sqrt{x}·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-3x}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-3x}}{\sqrt{x}}-3\sqrt{x}·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,522}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{30}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,008}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-5\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,2}x}-5\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,2}x}+\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-5+x+3\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(x-2\right)$

= $\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$