$\text{f(x)}=$ $-3e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-x}·\left(-1\right)$

= $3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(x\right)+e^{x+5}+\frac{7}{2}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x\right)+e^{x+5}·1+\frac{21}{2}{x}^2$

= $-\sin \left(x\right)+e^{x+5}+\frac{21}{2}{x}^2$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^5-3x\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(25x^4-3\right)·e^{-3x}+\left(5x^5-3x\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $\left(25x^4-3\right)·e^{-3x}+\left(5x^5-3x\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $\left(25x^4-3\right)·e^{-3x}-3\left(5x^5-3x\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-15x^5+9x+25x^4-3\right)$

= $e^{-3x}·\left(-15x^5+25x^4+9x-3\right)$

= $\left(-15x^5+25x^4+9x-3\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-8\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-8}{3x}·3$

= $-\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(\cos \left(x\right)-2\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(\cos \left(x\right)-2\right)·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $2\left(\cos \left(x\right)-2\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-2\left(\cos \left(x\right)-2\right)·\sin \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{1,05}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,05}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{1,1025}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,1025}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{1,1576}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,1576}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{1,2155}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 72-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 72 mal mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,05}}^{72}$

Somit gilt für die 72-te Ableitung:

f⁽⁷²⁾(x) = ${\mathrm{1,05}}^{72}·e^{\mathrm{1,05}x}$

≈ $\mathrm{33,545}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+9$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+5\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,1}x}+5\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,5}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(5-\mathrm{0,5}x-\mathrm{1,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,5}x+\mathrm{3,5}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,5}x+\mathrm{3,5}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$