Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x - 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 1} + x^{5} \cdot e^{5 x - 1} \cdot 5$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 1} + x^{5} \cdot 5 e^{5 x - 1}$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 1} + 5 x^{5} \cdot e^{5 x - 1}$

= $e^{5 x - 1} \cdot (5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{5 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x - 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- x - 4} + x^{3} \cdot e^{- x - 4} \cdot (- 1)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x - 4} + x^{3} \cdot (- e^{- x - 4})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x - 4} - x^{3} \cdot e^{- x - 4}$

= $e^{- x - 4} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} + 3 x} \cdot (6 x + 3)$

= $\frac{6 x + 3}{3 x^{2} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 6) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 6) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} + 6) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 12 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x + 12)$

= $(2 x^{2} + 2 x + 12) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $3,15 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $3,15 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 3,3075 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $- 3,3075 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $3,4729 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,4729 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 3,6465 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${(- 1,05)}^{63} \cdot (- 3 e^{- 1,05 x})$

≈ $64,87 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 3 e^{- 0,7 x} - 3 (x - 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 3 e^{- 0,7 x} + 2,1 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 3 + 2,1 x - 14,7)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2,1 x - 17,7)$

= $(2,1 x - 17,7) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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