$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^5-5\right)·e^{4x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-5x^4+0\right)·e^{4x+3}+\left(-x^5-5\right)·e^{4x+3}·4$

= $-5x^4·e^{4x+3}+\left(-x^5-5\right)·4e^{4x+3}$

= $-5x^4·e^{4x+3}+4\left(-x^5-5\right)·e^{4x+3}$

= $e^{4x+3}·\left(-4x^5-20-5x^4\right)$

= $e^{4x+3}·\left(-4x^5-5x^4-20\right)$

= $\left(-4x^5-5x^4-20\right)·e^{4x+3}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{3x}+x^5·e^{3x}·3$

= $5x^4·e^{3x}+x^5·3e^{3x}$

= $5x^4·e^{3x}+3x^5·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^5+5x^4\right)$

= $\left(3x^5+5x^4\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{3x}·3$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·\sin \left(-2x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·\sin \left(-2x+3\right)+x^3·\cos \left(-2x+3\right)·\left(-2+0\right)$

= $3x^2·\sin \left(-2x+3\right)+x^3·\cos \left(-2x+3\right)·\left(-2\right)$

= $3x^2·\sin \left(-2x+3\right)+x^3·\left(-2\cdot \cos \left(-2x+3\right)\right)$

= $3x^2·\sin \left(-2x+3\right)-2x^3·\cos \left(-2x+3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^x$

f'(x) = $-5e^x$

f''(x) = $-5e^x$

f'''(x) = $-5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $-5e^x$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+5\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)-6$

= $5e^{-\mathrm{0,1}x}+5\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)-6$

= $5e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,5}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-6$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(5-\mathrm{0,5}x+2\right)-6$

= $-6+\left(-\mathrm{0,5}x+5+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $-6+\left(-\mathrm{0,5}x+7\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$