$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{\frac{7}{8}x}·\frac{7}{8}$

= $\frac{7}{16}{e}^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\cdot \cos \left(x\right)+e^{x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $5\cdot \sin \left(x\right)+e^{x+4}·1$

= $5\cdot \sin \left(x\right)+e^{x+4}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{3x^3+3}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{3x^3+3}·9x^2$

= $-27·e^{3x^3+3}{x}^2$

= $-27x^2{e}^{3x^3+3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-4x^3+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-4x^3+2}·\left(-12x^2+0\right)$

= $\frac{1}{-4x^3+2}·\left(-12x^2\right)$

= $-12\frac{x^2}{-4x^3+2}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{-3x-5}$

= ${\left(-3x-5\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{\left(-3x-5\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{-3x-5}}·\left(-3+0\right)$

= $\frac{1}{2\sqrt{-3x-5}}·\left(-3\right)$

= $-\frac{3}{2\sqrt{-3x-5}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-x}$

f'(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f'''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+4$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-2+x+1\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(x-1\right)$

= $\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$