Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 6 x + 2) \cdot e^{- 5 x + 3} + (- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x + 3} \cdot (- 5)$

= $(- 6 x + 2) \cdot e^{- 5 x + 3} + (- 3 x^{2} + 2 x) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 3})$

= $(- 6 x + 2) \cdot e^{- 5 x + 3} - 5 (- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x + 3}$

= $e^{- 5 x + 3} \cdot (15 x^{2} - 10 x - 6 x + 2)$

= $e^{- 5 x + 3} \cdot (15 x^{2} - 16 x + 2)$

= $(15 x^{2} - 16 x + 2) \cdot e^{- 5 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} - 4}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} - 4} \cdot (- 4 x)$

= $- 8 \cdot e^{- 2 x^{2} - 4} x$

= $- 8 x e^{- 2 x^{2} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x + 4} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{- x + 4} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{- x + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(e^{- 2 x} + 3)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(e^{- 2 x} + 3)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 5 {(e^{- 2 x} + 3)}^{4} \cdot (e^{- 2 x} \cdot (- 2) + 0)$

= $- 5 {(e^{- 2 x} + 3)}^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $10 {(e^{- 2 x} + 3)}^{4} \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 56-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 56-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 56 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{56}$

Somit gilt für die 56-te Ableitung:

f⁽⁵⁶⁾(x) = ${(- 0,9)}^{56} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $0,003 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 4$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 2 (x + 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 4$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 1,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2 + 1,4 x + 2,8) - 4$

= $- 4 + (1,4 x - 2 + 2,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 4 + (1,4 x + 0,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten