$\text{f(x)}=$ $-5+\frac{1}{4}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{4}{e}^{\frac{8}{9}x}·\frac{8}{9}$

= $\frac{2}{9}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \sin \left(x\right)-e^{3x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(x\right)-e^{3x-5}·3$

= $-4\cdot \cos \left(x\right)-3e^{3x-5}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^x+x^2·e^x$

= $2x·e^x+x^2·e^x$

= $e^x·\left(x^2+2x\right)$

= $\left(x^2+2x\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x+5}·\left(4+0\right)$

= $\frac{1}{4x+5}·\left(4\right)$

= $\frac{4}{4x+5}$

$\text{f(x)}=$ $-\sin \left(-2x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\cos \left(-2x-2\right)·\left(-2+0\right)$

= $-\cos \left(-2x-2\right)·\left(-2\right)$

= $2\cdot \cos \left(-2x-2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^x·\left(x+77\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+2$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-5\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,3}x}-5\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{1,5}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-5+\mathrm{1,5}x-\mathrm{4,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{1,5}x-\mathrm{9,5}\right)$

= $\left(\mathrm{1,5}x-\mathrm{9,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$