Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- x - 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- x - 3} + x^{4} \cdot e^{- x - 3} \cdot (- 1)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- x - 3} + x^{4} \cdot (- e^{- x - 3})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- x - 3} - x^{4} \cdot e^{- x - 3}$

= $e^{- x - 3} \cdot (- x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} - 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} - 1} \cdot (- 6 x)$

= $- 18 \cdot e^{- 3 x^{2} - 1} x$

= $- 18 x e^{- 3 x^{2} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x + 2} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x + 2} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (3 x + 4) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $3 \cdot \sin (- 3 x) + (3 x + 4) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $3 \cdot \sin (- 3 x) - 3 (3 x + 4) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{1,05 x}$

f'(x) = $2 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $2,1 e^{1,05 x}$

f''(x) = $2,1 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $2,205 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $2,205 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $2,3153 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,3153 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $2,431 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 79-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 79 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{79}$

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = ${1,05}^{79} \cdot 2 e^{1,05 x}$

≈ $94,403 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 3$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $4 e^{- 0,8 x} + 4 (x - 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $4 e^{- 0,8 x} - 3,2 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (4 - 3,2 x + 9,6)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3,2 x + 13,6)$

= $(- 3,2 x + 13,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten