Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $\frac{9}{4} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} (- 5 x^{2} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} (- 5 x^{2} + 1)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (- 5 x^{2} + 1) + e^{x} \cdot (- 10 x + 0)$

= $e^{x} (- 5 x^{2} + 1) + e^{x} \cdot (- 10 x)$

= $e^{x} (- 5 x^{2} + 1) - 10 \cdot e^{x} x$

= $e^{x} \cdot (- 5 x^{2} + 1 - 10 x)$

= $e^{x} \cdot (- 5 x^{2} - 10 x + 1)$

= $(- 5 x^{2} - 10 x + 1) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} - 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} + (- 4 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(- 20 x^{4} - 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} + (- 4 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(- 20 x^{4} - 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 4 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (12 x^{5} + 9 x^{3} + (- 20 x^{4} - 9 x^{2}))$

= $e^{- 3 x} \cdot (12 x^{5} - 20 x^{4} + 9 x^{3} - 9 x^{2})$

= $(12 x^{5} - 20 x^{4} + 9 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (2 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (2 x - 4)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \sin (2 x - 4) + x^{4} \cdot \cos (2 x - 4) \cdot (2 + 0)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (2 x - 4) + x^{4} \cdot \cos (2 x - 4) \cdot (2)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (2 x - 4) + x^{4} \cdot 2 \cdot \cos (2 x - 4)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (2 x - 4) + 2 x^{4} \cdot \cos (2 x - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- x}$

f'(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f'''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 2$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $4 e^{- 0,2 x} + 4 (x + 4) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $4 e^{- 0,2 x} - 0,8 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (4 - 0,8 x - 3,2)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,8 x + 0,8)$

= $(- 0,8 x + 0,8) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten