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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x - 5} + x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x - 5} + x^{2}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x - 5} \cdot 3 + 2 x$

= $- 6 e^{3 x - 5} + 2 x$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x^{3} + 4}$

$f'(x) =$ $e^{3 x^{3} + 4} \cdot 9 x^{2}$

= $9 \cdot e^{3 x^{3} + 4} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{3 x^{3} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} + 4 x} \cdot (12 x^{2} + 4)$

= $\frac{12 x^{2} + 4}{4 x^{3} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 2) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 2) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x - 2) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x} + (3 x - 2) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 e^{- 2 x} - 2 (3 x - 2) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (3 - 6 x + 4)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x + 7)$

= $(- 6 x + 7) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${0,85}^{45} \cdot e^{0,85 x}$

≈ $0,001 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 3$

= $3 e^{- 0,6 x} + 3 (x - 6) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 3$

= $3 e^{- 0,6 x} - 1,8 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} - 3$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (3 - 1,8 x + 10,8) - 3$

= $- 3 + (- 1,8 x + 3 + 10,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 3 + (- 1,8 x + 13,8) \cdot e^{- 0,6 x}$