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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{8}{3} x^{5} + 2 e^{2 x + 5} - \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{8}{3} x^{5} + 2 e^{2 x + 5} - \cos (x)$

$f'(x) =$ $- \frac{40}{3} x^{4} + 2 e^{2 x + 5} \cdot 2 + \sin (x)$

= $- \frac{40}{3} x^{4} + 4 e^{2 x + 5} + \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(12 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 3 x} + (4 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(12 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 3 x} + (4 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(12 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 3 x} - 3 (4 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 12 x^{3} + 6 x^{2} + (12 x^{2} - 4 x))$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 12 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x)$

= $(- 12 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \cos (4 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \cos (4 x - 3)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \cos (4 x - 3) + x^{4} \cdot (- \sin (4 x - 3) \cdot (4 + 0))$

= $4 x^{3} \cdot \cos (4 x - 3) + x^{4} \cdot (- \sin (4 x - 3) \cdot (4))$

= $4 x^{3} \cdot \cos (4 x - 3) + x^{4} \cdot (- 4 \cdot \sin (4 x - 3))$

= $4 x^{3} \cdot \cos (4 x - 3) - 4 x^{4} \cdot \sin (4 x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 94)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 1$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 5 e^{- 0,9 x} - 5 (x + 3) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 5 e^{- 0,9 x} + 4,5 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 5 + 4,5 x + 13,5)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4,5 x + 8,5)$

= $(4,5 x + 8,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten