$\text{f(x)}=$ $-e^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{\frac{1}{4}x}·\frac{1}{4}$

= $-\frac{1}{4}{e}^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{x+4}+4x^3$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{x+4}·1+12x^2$

= $-3e^{x+4}+12x^2$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{3x^3-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{3x^3-5}·9x^2$

= $-18·e^{3x^3-5}{x}^2$

= $-18x^2{e}^{3x^3-5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x-2}·\left(5+0\right)$

= $\frac{1}{5x-2}·\left(5\right)$

= $\frac{5}{5x-2}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(e^{-2x}-4\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(e^{-2x}-4\right)·(e^{-2x}·\left(-2\right)+0)$

= $2\left(e^{-2x}-4\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $-4\left(e^{-2x}-4\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^{-x}$

f'(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f''(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f'''(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $-5e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+1$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+1$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+1$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-2+x-5\right)+1$

= $1+\left(x-2-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $1+\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$