Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{7}{8} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{7}{8} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{8} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{7}{4} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x - 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 1} + x^{5} \cdot e^{5 x - 1} \cdot 5$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 1} + x^{5} \cdot 5 e^{5 x - 1}$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 1} + 5 x^{5} \cdot e^{5 x - 1}$

= $e^{5 x - 1} \cdot (5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{5 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 3)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- 3 x^{4} + 3) + e^{3 x} \cdot (- 12 x^{3} + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} (- 3 x^{4} + 3) + e^{3 x} \cdot (- 12 x^{3})$

= $3 \cdot e^{3 x} (- 3 x^{4} + 3) - 12 \cdot e^{3 x} x^{3}$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{4} + 9 - 12 x^{3})$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{4} - 12 x^{3} + 9)$

= $(- 9 x^{4} - 12 x^{3} + 9) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} - 4} \cdot (- 4 x + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x^{2} - 4} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \frac{x}{- 2 x^{2} - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 7) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 7) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (2 x - 7) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 e^{- 3 x} + (2 x - 7) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 e^{- 3 x} - 3 (2 x - 7) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (2 - 6 x + 21)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x + 23)$

= $(- 6 x + 23) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 41-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $4 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 4,6 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 4,6 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $5,29 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $5,29 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 6,0835 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 6,0835 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $6,996 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 41-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 41 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{41}$

Somit gilt für die 41-te Ableitung:

f⁽⁴¹⁾(x) = ${(- 1,15)}^{41} \cdot 4 e^{- 1,15 x}$

≈ $- 1232,172 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 2$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $e^{- 0,6 x} + (x + 1) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $e^{- 0,6 x} - 0,6 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1 - 0,6 x - 0,6)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6 x + 0,4)$

= $(- 0,6 x + 0,4) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten