$\text{f(x)}=$ $4+3e^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{\frac{1}{3}x}·\frac{1}{3}$

= $e^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-5x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-5x-3}+x^5·e^{-5x-3}·\left(-5\right)$

= $5x^4·e^{-5x-3}+x^5·\left(-5e^{-5x-3}\right)$

= $5x^4·e^{-5x-3}-5x^5·e^{-5x-3}$

= $e^{-5x-3}·\left(-5x^5+5x^4\right)$

= $\left(-5x^5+5x^4\right)·e^{-5x-3}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{2x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{2x+2}·2$

= $-4e^{2x+2}$

$\text{f(x)}=$ $5\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{7x}·7$

= $\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-7\right)·\sin \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(x^2\right)+\left(2x-7\right)·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $2\cdot \sin \left(x^2\right)+\left(2x-7\right)·2\cos \left(x^2\right)x$

= $2\cdot \sin \left(x^2\right)+2\left(2x-7\right)\cos \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^x$

f'(x) = $-4e^x$

f''(x) = $-4e^x$

f'''(x) = $-4e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $-4e^x$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+1$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+1$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+1$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-2+x-3\right)+1$

= $1+\left(x-2-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $1+\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$