$\text{f(x)}=$ $-3+\frac{4}{5}{e}^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{4}{5}{e}^{\frac{5}{8}x}·\frac{5}{8}$

= $\frac{1}{2}{e}^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{2x-2}-\frac{5}{x^4}$

= $-e^{2x-2}-5x^{-4}$

=> f'(x) = $-e^{2x-2}·2+20x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{2x-2}·2+\frac{20}{x^5}$

= $-2e^{2x-2}+\frac{20}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{3x}+x^5·e^{3x}·3$

= $5x^4·e^{3x}+x^5·3e^{3x}$

= $5x^4·e^{3x}+3x^5·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^5+5x^4\right)$

= $\left(3x^5+5x^4\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^2-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^2-3}·\left(-2x+0\right)$

= $\frac{1}{-x^2-3}·\left(-2x\right)$

= $-2\frac{x}{-x^2-3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2+1\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+0\right)·e^{-2x}+\left(2x^2+1\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $4x·e^{-2x}+\left(2x^2+1\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $4x·e^{-2x}-2\left(2x^2+1\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-4x^2-2+4x\right)$

= $e^{-2x}·\left(-4x^2+4x-2\right)$

= $\left(-4x^2+4x-2\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-x}$

f'(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f'''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $-4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+6$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,8}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-4+\mathrm{0,8}x+\mathrm{1,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,8}x-\mathrm{2,4}\right)$

= $\left(\mathrm{0,8}x-\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$