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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x + 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x + 2} + x^{4} \cdot e^{x + 2} \cdot 1$

= $4 x^{3} \cdot e^{x + 2} + x^{4} \cdot e^{x + 2}$

= $e^{x + 2} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x^{3} - 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{x^{3} - 4} \cdot 3 x^{2}$

= $9 \cdot e^{x^{3} - 4} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{x^{3} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} - 5} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{x^{3} - 5} \cdot (3 x^{2})$

= $3 \frac{x^{2}}{x^{3} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 6) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 6) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (3 x) + (3 x - 6) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $3 \cdot \sin (3 x) + (3 x - 6) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $3 \cdot \sin (3 x) + 3 (3 x - 6) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 30-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${1,15}^{30} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $66,212 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 8$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 4 (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 3,2 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 + 3,2 x - 3,2)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3,2 x - 7,2)$

= $(3,2 x - 7,2) \cdot e^{- 0,8 x}$