$\text{f(x)}=$ $-e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-3x-1}-\sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-3x-1}·\left(-3\right)-\cos \left(x\right)$

= $3e^{-3x-1}-\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^5+5\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(10x^4+0\right)·e^{-2x}+\left(2x^5+5\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $10x^4·e^{-2x}+\left(2x^5+5\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $10x^4·e^{-2x}-2\left(2x^5+5\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-4x^5-10+10x^4\right)$

= $e^{-2x}·\left(-4x^5+10x^4-10\right)$

= $\left(-4x^5+10x^4-10\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{4x}·4$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-3\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-3x}+\left(x^2-3\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x}+\left(x^2-3\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2x·e^{-3x}-3\left(x^2-3\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+9+2x\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x+9\right)$

= $\left(-3x^2+2x+9\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^x$

f'(x) = $2e^x$

f''(x) = $2e^x$

f'''(x) = $2e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $2e^x$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-6$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-5\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,8}x}-5\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-5+4x-28\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(4x-33\right)$

= $\left(4x-33\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$