Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 5} + \frac{2}{3} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 5} + \frac{2}{3} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3) - \frac{2}{3} \cdot \sin (x)$

= $6 e^{- 3 x - 5} - \frac{2}{3} \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 2 x^{3} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 2 x^{3} + 5 x)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (- 2 x^{3} + 5 x) + e^{x} \cdot (- 6 x^{2} + 5)$

= $e^{x} \cdot (- 2 x^{3} + 5 x - 6 x^{2} + 5)$

= $e^{x} \cdot (- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 5)$

= $(- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 5) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (- 3 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (- 3 x - 1)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \cos (- 3 x - 1) + x^{5} \cdot (- \sin (- 3 x - 1) \cdot (- 3 + 0))$

= $5 x^{4} \cdot \cos (- 3 x - 1) + x^{5} \cdot (- \sin (- 3 x - 1) \cdot (- 3))$

= $5 x^{4} \cdot \cos (- 3 x - 1) + x^{5} \cdot 3 \cdot \sin (- 3 x - 1)$

= $5 x^{4} \cdot \cos (- 3 x - 1) + 3 x^{5} \cdot \sin (- 3 x - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{x}$

f'(x) = $- 5 e^{x}$

f''(x) = $- 5 e^{x}$

f'''(x) = $- 5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $- 5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} - 2$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x + 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (3 - 0,3 x - 0,3)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,3 x + 2,7)$

= $(- 0,3 x + 2,7) \cdot e^{- 0,1 x}$