$\text{f(x)}=$ $2e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{3x}·3$

= $6e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{3x}+x^4·e^{3x}·3$

= $4x^3·e^{3x}+x^4·3e^{3x}$

= $4x^3·e^{3x}+3x^4·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^4+4x^3\right)$

= $\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^4-4x^2\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(8x^3-8x\right)·e^{3x}+\left(2x^4-4x^2\right)·e^{3x}·3$

= $\left(8x^3-8x\right)·e^{3x}+\left(2x^4-4x^2\right)·3e^{3x}$

= $\left(8x^3-8x\right)·e^{3x}+3\left(2x^4-4x^2\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·(6x^4-12x^2+\left(8x^3-8x\right))$

= $e^{3x}·\left(6x^4+8x^3-12x^2-8x\right)$

= $\left(6x^4+8x^3-12x^2-8x\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{6x}·6$

= $\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(e^{3x}-2\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-12{\left(e^{3x}-2\right)}^3·(e^{3x}·3+0)$

= $-12{\left(e^{3x}-2\right)}^3·\left(3e^{3x}\right)$

= $-36{\left(e^{3x}-2\right)}^3·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^x·\left(x+79\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}+\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{0,4}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(1-\mathrm{0,4}x-2\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}x-1\right)$

= $\left(-\mathrm{0,4}x-1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$