$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3}{e}^{2x}·2$

= $\frac{4}{3}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-x-4}-\frac{7}{4}{x}^3+\frac{3}{2x^2}$

= $2e^{-x-4}-\frac{7}{4}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^{-2}$

=> f'(x) = $2e^{-x-4}·\left(-1\right)-\frac{21}{4}{x}^2-3x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-x-4}·\left(-1\right)-\frac{21}{4}{x}^2-\frac{3}{x^3}$

= $-2e^{-x-4}-\frac{21}{4}{x}^2-\frac{3}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{x^3+4}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{x^3+4}·3x^2$

= $9·e^{x^3+4}{x}^2$

= $9x^2{e}^{x^3+4}$

$\text{f(x)}=$ $-5\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-5}{7x}·7$

= $-\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(-3x-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \sin \left(-3x-4\right)·\left(-3+0\right)$

= $2\cdot \sin \left(-3x-4\right)·\left(-3\right)$

= $-6\cdot \sin \left(-3x-4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $-5e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{4,75}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{4,75}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{4,5125}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{4,5125}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{4,2869}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{4,2869}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{4,0725}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 73-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 73 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{73}$

Somit gilt für die 73-te Ableitung:

f⁽⁷³⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{73}·\left(-5e^{-\mathrm{0,95}x}\right)$

≈ $\mathrm{0,118}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,5}x}+4\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(4-2x+14\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-2x+18\right)$

= $\left(-2x+18\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$