$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{6}{e}^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{6}{e}^{\frac{5}{8}x}·\frac{5}{8}$

= $\frac{25}{48}{e}^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}\left(-4x^4+5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·\left(-4x^4+5x\right)+e^{-2x}·\left(-16x^3+5\right)$

= $-2·e^{-2x}\left(-4x^4+5x\right)+e^{-2x}\left(-16x^3+5\right)$

= $e^{-2x}·\left(8x^4-10x-16x^3+5\right)$

= $e^{-2x}·\left(8x^4-16x^3-10x+5\right)$

= $\left(8x^4-16x^3-10x+5\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-x-3}·\left(-1\right)$

= $3e^{-x-3}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{6x}·6$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(2x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(2x-2\right)·\left(2+0\right)$

= $\cos \left(2x-2\right)·\left(2\right)$

= $2\cdot \cos \left(2x-2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-x}$

f'(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+1$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(5-2x-10\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-2x-5\right)$

= $\left(-2x-5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$