Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{x}$

= $- 2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{- 5 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{- 5 x + 5}$

$f'(x) =$ $(10 x^{4} - 9 x^{2}) \cdot e^{- 5 x + 5} + (2 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{- 5 x + 5} \cdot (- 5)$

= $(10 x^{4} - 9 x^{2}) \cdot e^{- 5 x + 5} + (2 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 5})$

= $(10 x^{4} - 9 x^{2}) \cdot e^{- 5 x + 5} - 5 (2 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{- 5 x + 5}$

= $e^{- 5 x + 5} \cdot (- 10 x^{5} + 15 x^{3} + (10 x^{4} - 9 x^{2}))$

= $e^{- 5 x + 5} \cdot (- 10 x^{5} + 10 x^{4} + 15 x^{3} - 9 x^{2})$

= $(- 10 x^{5} + 10 x^{4} + 15 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{- 5 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 5 x^{2} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 5 x^{2} + 5 x)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (- 5 x^{2} + 5 x) + e^{x} \cdot (- 10 x + 5)$

= $e^{x} \cdot (- 5 x^{2} + 5 x - 10 x + 5)$

= $e^{x} \cdot (- 5 x^{2} - 5 x + 5)$

= $(- 5 x^{2} - 5 x + 5) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} + 2 x^{2}} \cdot (- 15 x^{2} + 4 x)$

= $\frac{- 15 x^{2} + 4 x}{- 5 x^{3} + 2 x^{2}}$

= $\frac{- 1 \cdot (15 x - 4)}{- x \cdot (5 x - 2)}$

= $\frac{- (15 x - 4)}{- x \cdot (5 x - 2)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 9) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 9) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} + 9) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 27 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x - 27)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x - 27) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- x}$

f'(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f'''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $- 2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 4$

= $- 3 e^{- 0,6 x} - 3 (x + 3) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 4$

= $- 3 e^{- 0,6 x} + 1,8 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 4$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 3 + 1,8 x + 5,4) - 4$

= $- 4 + (1,8 x - 3 + 5,4) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 4 + (1,8 x + 2,4) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten