$\text{f(x)}=$ $2-e^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{\frac{6}{7}x}·\frac{6}{7}$

= $-\frac{6}{7}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-2x+5}-\frac{1}{x^2}-8\cdot \sin \left(x\right)$

= $3e^{-2x+5}-x^{-2}-8\cdot \sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $3e^{-2x+5}·\left(-2\right)+2x^{-3}-8\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-2x+5}·\left(-2\right)+\frac{2}{x^3}-8\cdot \cos \left(x\right)$

= $-6e^{-2x+5}+\frac{2}{x^3}-8\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x}·\left(x^3+4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2·\left(x^3+4x\right)+e^{2x}·\left(3x^2+4\right)$

= $2·e^{2x}\left(x^3+4x\right)+e^{2x}\left(3x^2+4\right)$

= $e^{2x}·\left(2x^3+8x+3x^2+4\right)$

= $e^{2x}·\left(2x^3+3x^2+8x+4\right)$

= $\left(2x^3+3x^2+8x+4\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{x}·1$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[3]{x}·\sin \left(x^3\right)$

= $x^{\frac{1}{3}}·\sin \left(x^3\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}·\sin \left(x^3\right)+x^{\frac{1}{3}}·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}·\sin \left(x^3\right)+\sqrt[3]{x}·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $\frac{1}{3}\frac{\sin \left(x^3\right)}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+\sqrt[3]{x}·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\frac{1}{3}\frac{\sin \left(x^3\right)}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+3\sqrt[3]{x}\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\frac{1}{3}\frac{\sin \left(x^3\right)}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^7·\cos \left(x^3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^x·\left(x+91\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+1$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,5}x}+4\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(4-2x-14\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-2x-10\right)$

= $\left(-2x-10\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$