Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{\frac{8}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{\frac{8}{7} x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4} e^{\frac{8}{7} x} \cdot \frac{8}{7}$

= $\frac{2}{7} e^{\frac{8}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 5) \cdot e^{4 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 5) \cdot e^{4 x + 5}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{4 x + 5} + (2 x + 5) \cdot e^{4 x + 5} \cdot 4$

= $2 e^{4 x + 5} + (2 x + 5) \cdot 4 e^{4 x + 5}$

= $2 e^{4 x + 5} + 4 (2 x + 5) \cdot e^{4 x + 5}$

= $e^{4 x + 5} \cdot (2 + 8 x + 20)$

= $e^{4 x + 5} \cdot (8 x + 22)$

= $(8 x + 22) \cdot e^{4 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{2} - 1}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{2} - 1} \cdot (- 4 x)$

= $8 \cdot e^{- 2 x^{2} - 1} x$

= $8 x e^{- 2 x^{2} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x + 1} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x + 1} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(e^{- 3 x} - 4)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(e^{- 3 x} - 4)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 9 {(e^{- 3 x} - 4)}^{2} \cdot (e^{- 3 x} \cdot (- 3) + 0)$

= $- 9 {(e^{- 3 x} - 4)}^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $27 {(e^{- 3 x} - 4)}^{2} \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $5 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 5,25 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 5,25 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $5,5125 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $5,5125 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 5,7881 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5,7881 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $6,0775 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 76-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 76 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{76}$

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = ${(- 1,05)}^{76} \cdot 5 e^{- 1,05 x}$

≈ $203,872 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 7$

= $4 e^{- 0,6 x} + 4 (x + 6) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 7$

= $4 e^{- 0,6 x} - 2,4 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} - 7$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (4 - 2,4 x - 14,4) - 7$

= $- 7 + (- 2,4 x + 4 - 14,4) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 7 + (- 2,4 x - 10,4) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten