$\text{f(x)}=$ $-5+\frac{5}{6}{e}^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{6}{e}^{\frac{3}{5}x}·\frac{3}{5}$

= $\frac{1}{2}{e}^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^3-2x^2\right)·e^{-4x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-15x^2-4x\right)·e^{-4x-4}+\left(-5x^3-2x^2\right)·e^{-4x-4}·\left(-4\right)$

= $\left(-15x^2-4x\right)·e^{-4x-4}+\left(-5x^3-2x^2\right)·\left(-4e^{-4x-4}\right)$

= $\left(-15x^2-4x\right)·e^{-4x-4}-4\left(-5x^3-2x^2\right)·e^{-4x-4}$

= $e^{-4x-4}·(20x^3+8x^2+\left(-15x^2-4x\right))$

= $e^{-4x-4}·\left(20x^3-7x^2-4x\right)$

= $\left(20x^3-7x^2-4x\right)·e^{-4x-4}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·\left(4x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(4x+4\right)+e^{-x}·\left(4+0\right)$

= $-e^{-x}\left(4x+4\right)+e^{-x}·\left(4\right)$

= $-e^{-x}\left(4x+4\right)+4e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(4-4x-4\right)$

= $e^{-x}·\left(-4x+0\right)$

= $e^{-x}·\left(-4x\right)$

= $x·\left(-4e^{-x}\right)$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x+2}·\left(-3+0\right)$

= $\frac{1}{-3x+2}·\left(-3\right)$

= $-\frac{3}{-3x+2}$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(\sin \left(x\right)-4\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-2\left(\sin \left(x\right)-4\right)·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $-2\left(\sin \left(x\right)-4\right)·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $-2\left(\sin \left(x\right)-4\right)·\cos \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $-5e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{4,75}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{4,75}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{4,5125}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{4,5125}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{4,2869}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{4,2869}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{4,0725}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{65}·\left(-5e^{-\mathrm{0,95}x}\right)$

≈ $\mathrm{0,178}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+1$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,4}x}-\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{0,4}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-1+\mathrm{0,4}x+2\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(\mathrm{0,4}x+1\right)$

= $\left(\mathrm{0,4}x+1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$