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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{10}{9} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{10}{9} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{10}{9} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 4 x - 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 1} + x^{5} \cdot e^{- 4 x - 1} \cdot (- 4)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 1} + x^{5} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 1})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 1} - 4 x^{5} \cdot e^{- 4 x - 1}$

= $e^{- 4 x - 1} \cdot (- 4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 4 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x + 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 1} + x^{4} \cdot e^{5 x + 1} \cdot 5$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 1} + x^{4} \cdot 5 e^{5 x + 1}$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 1} + 5 x^{4} \cdot e^{5 x + 1}$

= $e^{5 x + 1} \cdot (5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{5 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\sin (x) - 4)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\sin (x) - 4)}^{3}$

$f'(x) =$ $3 {(\sin (x) - 4)}^{2} \cdot (\cos (x) + 0)$

= $3 {(\sin (x) - 4)}^{2} \cdot (\cos (x))$

= $3 {(\sin (x) - 4)}^{2} \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{x}$

f'(x) = $2 e^{x}$

f''(x) = $2 e^{x}$

f'''(x) = $2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 5$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 2 (x + 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 5$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 1,4 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 5$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2 + 1,4 x + 7) - 5$

= $- 5 + (1,4 x - 2 + 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 5 + (1,4 x + 5) \cdot e^{- 0,7 x}$