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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{7}{9} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{7}{9} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{9} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{7}{3} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x - 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 3} + x^{4} \cdot e^{- 4 x - 3} \cdot (- 4)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 3} + x^{4} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 3})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 3} - 4 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 3}$

= $e^{- 4 x - 3} \cdot (- 4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 4 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x + 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(x^{3} - 5)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(x^{3} - 5)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 6 (x^{3} - 5) \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $- 6 (x^{3} - 5) \cdot (3 x^{2})$

= $- 18 (x^{3} - 5) x^{2}$

= $- 18 x^{2} (x^{3} - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 55-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 55-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 55 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{55}$

Somit gilt für die 55-te Ableitung:

f⁽⁵⁵⁾(x) = ${1,1}^{55} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $189,059 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 7$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 4 e^{- 0,5 x} - 4 (x + 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 4 e^{- 0,5 x} + 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 4 + 2 x + 8)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2 x + 4)$

= $(2 x + 4) \cdot e^{- 0,5 x}$