Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + 2 e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + 2 e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x + 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 4} + x^{4} \cdot e^{- 4 x + 4} \cdot (- 4)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 4} + x^{4} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 4})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 4} - 4 x^{4} \cdot e^{- 4 x + 4}$

= $e^{- 4 x + 4} \cdot (- 4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 4 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x^{3} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x^{3} - 2}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x^{3} - 2} \cdot 6 x^{2}$

= $12 \cdot e^{2 x^{3} - 2} x^{2}$

= $12 x^{2} e^{2 x^{3} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} - 2} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{3} - 2} \cdot (9 x^{2})$

= $9 \frac{x^{2}}{3 x^{3} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sin (- x^{3} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sin (- x^{3} - 3)$

$f'(x) =$ $- \cos (- x^{3} - 3) \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $- \cos (- x^{3} - 3) \cdot (- 3 x^{2})$

= $3 \cos (- x^{3} - 3) x^{2}$

= $3 x^{2} \cdot \cos (- x^{3} - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${(- 0,9)}^{49} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $- 0,006 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} - x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 1$

= $- e^{- 0,1 x} - (x - 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 1$

= $- e^{- 0,1 x} + 0,1 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 1$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 1 + 0,1 x - 0,4) - 1$

= $- 1 + (0,1 x - 1 - 0,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 1 + (0,1 x - 1,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten