$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{2}{3}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{4x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{4x+4}+x^5·e^{4x+4}·4$

= $5x^4·e^{4x+4}+x^5·4e^{4x+4}$

= $5x^4·e^{4x+4}+4x^5·e^{4x+4}$

= $e^{4x+4}·\left(4x^5+5x^4\right)$

= $\left(4x^5+5x^4\right)·e^{4x+4}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x^3-2}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x^3-2}·\left(-9x^2\right)$

= $-9·e^{-3x^3-2}{x}^2$

= $-9x^2{e}^{-3x^3-2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x-1}·\left(-3+0\right)$

= $\frac{1}{-3x-1}·\left(-3\right)$

= $-\frac{3}{-3x-1}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(e^{-x}+2\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-4\left(e^{-x}+2\right)·(e^{-x}·\left(-1\right)+0)$

= $-4\left(e^{-x}+2\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $4\left(e^{-x}+2\right)·e^{-x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $-5e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{4,25}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{4,25}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{3,6125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{3,6125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{3,0706}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{3,0706}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{2,61}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{30}·\left(-5e^{-\mathrm{0,85}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,038}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,2}x}-2\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,4}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-2+\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{2,4}\right)$

= $\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$