$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{5}{e}^{\frac{1}{2}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{5}{e}^{\frac{1}{2}x}·\frac{1}{2}$

= $\frac{2}{5}{e}^{\frac{1}{2}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-2x+5}-\frac{3}{4}{x}^4-2\sqrt{x}$

= $-3e^{-2x+5}-\frac{3}{4}{x}^4-2x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-3e^{-2x+5}·\left(-2\right)-3x^3-x^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-2x+5}·\left(-2\right)-3x^3-\frac{1}{\sqrt{x}}$

= $6e^{-2x+5}-3x^3-\frac{1}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-x+3}·\left(-1\right)$

= $-2e^{-x+3}$

$\text{f(x)}=$ $-5\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-5}{5x}·5$

= $-\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+9\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-3x}+\left(3x+9\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x}+\left(3x+9\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3e^{-3x}-3\left(3x+9\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(3-9x-27\right)$

= $e^{-3x}·\left(-9x-24\right)$

= $\left(-9x-24\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $3e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{3,45}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{3,45}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{3,9675}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{3,9675}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{4,5626}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{4,5626}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{5,247}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{46}·3e^{-\mathrm{1,15}x}$

≈ $\mathrm{1858,754}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-3$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-3$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-3$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2-x+2\right)-3$

= $-3+\left(-x+2+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $-3+\left(-x+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$