$\text{f(x)}=$ $1+e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{3x}·3$

= $3e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}\left(5x^5-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·\left(5x^5-1\right)+e^{-3x}·\left(25x^4+0\right)$

= $-3·e^{-3x}\left(5x^5-1\right)+e^{-3x}·\left(25x^4\right)$

= $-3·e^{-3x}\left(5x^5-1\right)+25·e^{-3x}{x}^4$

= $e^{-3x}·\left(-15x^5+3+25x^4\right)$

= $e^{-3x}·\left(-15x^5+25x^4+3\right)$

= $\left(-15x^5+25x^4+3\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-3x^2-2}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-3x^2-2}·\left(-6x\right)$

= $-12·e^{-3x^2-2}x$

= $-12x{e}^{-3x^2-2}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{6x}·6$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-7\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{2x}+\left(x^2-7\right)·e^{2x}·2$

= $2x·e^{2x}+\left(x^2-7\right)·2e^{2x}$

= $2x·e^{2x}+2\left(x^2-7\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^2-14+2x\right)$

= $e^{2x}·\left(2x^2+2x-14\right)$

= $\left(2x^2+2x-14\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-x}$

f'(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f''(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f'''(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $-5e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-8$

= $3e^{-\mathrm{0,3}x}+3\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-8$

= $3e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,9}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-8$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(3-\mathrm{0,9}x-\mathrm{1,8}\right)-8$

= $-8+\left(-\mathrm{0,9}x+3-\mathrm{1,8}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $-8+\left(-\mathrm{0,9}x+\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$