$\text{f(x)}=$ $-1+\frac{3}{5}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{5}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{6}{5}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^3+4\right)·e^{-4x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(9x^2+0\right)·e^{-4x-2}+\left(3x^3+4\right)·e^{-4x-2}·\left(-4\right)$

= $9x^2·e^{-4x-2}+\left(3x^3+4\right)·\left(-4e^{-4x-2}\right)$

= $9x^2·e^{-4x-2}-4\left(3x^3+4\right)·e^{-4x-2}$

= $e^{-4x-2}·\left(-12x^3-16+9x^2\right)$

= $e^{-4x-2}·\left(-12x^3+9x^2-16\right)$

= $\left(-12x^3+9x^2-16\right)·e^{-4x-2}$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x}·\left(4x^5-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2·\left(4x^5-3\right)+e^{2x}·\left(20x^4+0\right)$

= $2·e^{2x}\left(4x^5-3\right)+e^{2x}·\left(20x^4\right)$

= $2·e^{2x}\left(4x^5-3\right)+20·e^{2x}{x}^4$

= $e^{2x}·\left(8x^5-6+20x^4\right)$

= $e^{2x}·\left(8x^5+20x^4-6\right)$

= $\left(8x^5+20x^4-6\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{x}·1$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(-2x^3+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(-2x^3+3\right)·\left(-6x^2+0\right)$

= $-\sin \left(-2x^3+3\right)·\left(-6x^2\right)$

= $6\sin \left(-2x^3+3\right)x^2$

= $6x^2·\sin \left(-2x^3+3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,522}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{49}·e^{\mathrm{0,85}x}$

= 0

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)-5$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)-5$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(5-2x-2\right)-5$

= $-5+\left(-2x+5-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $-5+\left(-2x+3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$