Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{3} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{3} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{3} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{10}{3} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 2) \cdot e^{x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} + 2) \cdot e^{x - 1}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{x - 1} + (3 x^{2} + 2) \cdot e^{x - 1} \cdot 1$

= $6 x \cdot e^{x - 1} + (3 x^{2} + 2) \cdot e^{x - 1}$

= $e^{x - 1} \cdot (3 x^{2} + 2 + 6 x)$

= $e^{x - 1} \cdot (3 x^{2} + 6 x + 2)$

= $(3 x^{2} + 6 x + 2) \cdot e^{x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x + 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x + 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 4 + 0) \cdot e^{2 x} + (- 4 x + 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x} + (- 4 x + 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- 4 e^{2 x} + 2 (- 4 x + 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 - 8 x + 4)$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x + 0)$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x)$

= $x \cdot (- 8 e^{2 x})$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(- 3 x + 2)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(- 3 x + 2)}^{4}$

$f'(x) =$ $4 {(- 3 x + 2)}^{3} \cdot (- 3 + 0)$

= $4 {(- 3 x + 2)}^{3} \cdot (- 3)$

= $- 12 {(- 3 x + 2)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 70-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 70-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 70 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{70}$

Somit gilt für die 70-te Ableitung:

f⁽⁷⁰⁾(x) = ${(- 1,05)}^{70} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $30,426 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 5$

= $4 e^{- 0,9 x} + 4 (x + 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 5$

= $4 e^{- 0,9 x} - 3,6 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 5$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4 - 3,6 x - 21,6) - 5$

= $- 5 + (- 3,6 x + 4 - 21,6) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 5 + (- 3,6 x - 17,6) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten