$\text{f(x)}=$ $2e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-4x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-4x+2}+x^3·e^{-4x+2}·\left(-4\right)$

= $3x^2·e^{-4x+2}+x^3·\left(-4e^{-4x+2}\right)$

= $3x^2·e^{-4x+2}-4x^3·e^{-4x+2}$

= $e^{-4x+2}·\left(-4x^3+3x^2\right)$

= $\left(-4x^3+3x^2\right)·e^{-4x+2}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·\left(2x^5+x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·\left(2x^5+x^3\right)+e^{-2x}·\left(10x^4+3x^2\right)$

= $-2·e^{-2x}\left(2x^5+x^3\right)+e^{-2x}\left(10x^4+3x^2\right)$

= $e^{-2x}·(-4x^5-2x^3+\left(10x^4+3x^2\right))$

= $e^{-2x}·\left(-4x^5+10x^4-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-4x^5+10x^4-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{5x}·5$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(\sin \left(x\right)-3\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-9{\left(\sin \left(x\right)-3\right)}^2·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $-9{\left(\sin \left(x\right)-3\right)}^2·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $-9{\left(\sin \left(x\right)-3\right)}^2·\cos \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-x}$

f'(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f'''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+1$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{3,2}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(4-\mathrm{3,2}x+\mathrm{3,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{3,2}x+\mathrm{7,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{3,2}x+\mathrm{7,2}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$