$\text{f(x)}=$ $-1+\frac{5}{6}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{6}{e}^{3x}·3$

= $\frac{5}{2}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-4x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-4x+5}+x^5·e^{-4x+5}·\left(-4\right)$

= $5x^4·e^{-4x+5}+x^5·\left(-4e^{-4x+5}\right)$

= $5x^4·e^{-4x+5}-4x^5·e^{-4x+5}$

= $e^{-4x+5}·\left(-4x^5+5x^4\right)$

= $\left(-4x^5+5x^4\right)·e^{-4x+5}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-2x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-2x-4}·\left(-2\right)$

= $4e^{-2x-4}$

$\text{f(x)}=$ $-5\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-5}{4x}·4$

= $-\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+9\right)·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\cos \left(x^2\right)+\left(2x+9\right)·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $2\cdot \cos \left(x^2\right)+\left(2x+9\right)·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $2\cdot \cos \left(x^2\right)-2\left(2x+9\right)\sin \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^{-x}$

f'(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f''(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f'''(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $5e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+6$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)+6$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,8}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-4+\mathrm{0,8}x+\mathrm{1,6}\right)+6$

= $6+\left(\mathrm{0,8}x-4+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $6+\left(\mathrm{0,8}x-\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$