$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-3e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x-2\right)·e^{4x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-1+0\right)·e^{4x+2}+\left(-x-2\right)·e^{4x+2}·4$

= $-e^{4x+2}+\left(-x-2\right)·4e^{4x+2}$

= $-e^{4x+2}+4\left(-x-2\right)·e^{4x+2}$

= $e^{4x+2}·\left(-1-4x-8\right)$

= $e^{4x+2}·\left(-4x-9\right)$

= $\left(-4x-9\right)·e^{4x+2}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-x^3-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-x^3-2}·\left(-3x^2\right)$

= $3·e^{-x^3-2}{x}^2$

= $3x^2{e}^{-x^3-2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x^3-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x^3-1}·\left(15x^2+0\right)$

= $\frac{1}{5x^3-1}·\left(15x^2\right)$

= $15\frac{x^2}{5x^3-1}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{x-2}$

= $-{\left(x-2\right)}^{-1}$

=> f'(x) = ${\left(x-2\right)}^{-2}·\left(1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{{\left(x-2\right)}^2}·\left(1+0\right)$

= $\frac{1}{{\left(x-2\right)}^2}·\left(1\right)$

= $\frac{1}{{\left(x-2\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+89\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+2x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+2$

= $3e^{-\mathrm{0,2}x}+3\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)+2$

= $3e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,6}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+2$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(3-\mathrm{0,6}x+\mathrm{4,2}\right)+2$

= $2+\left(-\mathrm{0,6}x+3+\mathrm{4,2}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $2+\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{7,2}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$