$\text{f(x)}=$ $2e^x$

$\text{f'(x)}=$ $2e^x$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^2+e^{-2x}·2x$

= $-2·e^{-2x}{x}^2+2·e^{-2x}x$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{2x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{2x-3}·2$

= $-2e^{2x-3}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{3x}·3$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(e^x-5\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-2\left(e^x-5\right)·\left(e^x+0\right)$

= $-2\left(e^x-5\right)·\left(e^x\right)$

= $-2\left(e^x-5\right)·e^x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^x·\left(x+85\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-4$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-4$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-4$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2-x+3\right)-4$

= $-4+\left(-x+2+3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $-4+\left(-x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$