$\text{f(x)}=$ $-5+3e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^x$

= $3e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^2-1\right)·e^{-3x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(8x+0\right)·e^{-3x-3}+\left(4x^2-1\right)·e^{-3x-3}·\left(-3\right)$

= $8x·e^{-3x-3}+\left(4x^2-1\right)·\left(-3e^{-3x-3}\right)$

= $8x·e^{-3x-3}-3\left(4x^2-1\right)·e^{-3x-3}$

= $e^{-3x-3}·\left(-12x^2+3+8x\right)$

= $e^{-3x-3}·\left(-12x^2+8x+3\right)$

= $\left(-12x^2+8x+3\right)·e^{-3x-3}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-x^2-4}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-x^2-4}·\left(-2x\right)$

= $-4·e^{-x^2-4}x$

= $-4x{e}^{-x^2-4}$

$\text{f(x)}=$ $-\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-1}{3x}·3$

= $-\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(\cos \left(x\right)+1\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $8{\left(\cos \left(x\right)+1\right)}^3·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $8{\left(\cos \left(x\right)+1\right)}^3·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-8{\left(\cos \left(x\right)+1\right)}^3·\sin \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $5e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{5,25}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $-\mathrm{5,25}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{5,5125}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{5,5125}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{5,7881}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{5,7881}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{6,0775}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 70-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 70 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{70}$

Somit gilt für die 70-te Ableitung:

f⁽⁷⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{70}·5e^{-\mathrm{1,05}x}$

≈ $\mathrm{152,132}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-5+3x+21\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(3x+16\right)$

= $\left(3x+16\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$