$\text{f(x)}=$ $-5+\frac{11}{9}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{11}{9}{e}^{3x}·3$

= $\frac{11}{3}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-3x}+x^4·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $4x^3·e^{-3x}+x^4·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $4x^3·e^{-3x}-3x^4·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(4x^3-3x^4\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^x·x^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·x^5+e^x·5x^4$

= $e^x{x}^5+5·e^x{x}^4$

= $e^x·\left(5x^4+x^5\right)$

= $e^x·\left(x^5+5x^4\right)$

= $\left(x^5+5x^4\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x^2-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x^2-5x}·\left(8x-5\right)$

= $\frac{8x-5}{4x^2-5x}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(\sqrt{x}\right)}^3·\cos \left(2x-3\right)$

= $x^{\frac{3}{2}}·\cos \left(2x-3\right)$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}·\cos \left(2x-3\right)+x^{\frac{3}{2}}·(-\sin \left(2x-3\right)·\left(2+0\right))$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}\sqrt{x}·\cos \left(2x-3\right)+{\left(\sqrt{x}\right)}^3·(-\sin \left(2x-3\right)·\left(2+0\right))$

= $\frac{3}{2}\sqrt{x}·\cos \left(2x-3\right)+{\left(\sqrt{x}\right)}^3·(-\sin \left(2x-3\right)·\left(2\right))$

= $\frac{3}{2}\sqrt{x}·\cos \left(2x-3\right)+{\left(\sqrt{x}\right)}^3·\left(-2\cdot \sin \left(2x-3\right)\right)$

= $\frac{3}{2}\sqrt{x}·\cos \left(2x-3\right)-2{\left(\sqrt{x}\right)}^3·\sin \left(2x-3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+87\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-6$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-6$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,4}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-6$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}+2\right)-6$

= $-6+\left(-\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $-6+\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$