$\text{f(x)}=$ $3-2e^{\frac{8}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{\frac{8}{7}x}·\frac{8}{7}$

= $-\frac{16}{7}{e}^{\frac{8}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x-2\right)·e^{-3x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-3+0\right)·e^{-3x+4}+\left(-3x-2\right)·e^{-3x+4}·\left(-3\right)$

= $-3e^{-3x+4}+\left(-3x-2\right)·\left(-3e^{-3x+4}\right)$

= $-3e^{-3x+4}-3\left(-3x-2\right)·e^{-3x+4}$

= $e^{-3x+4}·\left(-3+9x+6\right)$

= $e^{-3x+4}·\left(9x+3\right)$

= $\left(9x+3\right)·e^{-3x+4}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-x-3}+x^5·e^{-x-3}·\left(-1\right)$

= $5x^4·e^{-x-3}+x^5·\left(-e^{-x-3}\right)$

= $5x^4·e^{-x-3}-x^5·e^{-x-3}$

= $e^{-x-3}·\left(-x^5+5x^4\right)$

= $\left(-x^5+5x^4\right)·e^{-x-3}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{7x}·7$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-9\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{2x}+\left(2x-9\right)·e^{2x}·2$

= $2e^{2x}+\left(2x-9\right)·2e^{2x}$

= $2e^{2x}+2\left(2x-9\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2+4x-18\right)$

= $e^{2x}·\left(4x-16\right)$

= $\left(4x-16\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+85\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-2$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+3\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,1}x}+3\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,3}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(3-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,3}x+\mathrm{3,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,3}x+\mathrm{3,6}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$