Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $- \frac{3}{4} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- x} + x^{4} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- x} + x^{4} \cdot (- e^{- x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- x} - x^{4} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x^{3} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x^{3} - 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x^{3} - 2} \cdot 6 x^{2}$

= $18 \cdot e^{2 x^{3} - 2} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{2 x^{3} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{5 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{5 x + 3}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{5 x + 3}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{5 x + 3} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{5 x + 3} \cdot 5$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{5 x + 3} + \sqrt{x} \cdot e^{5 x + 3} \cdot 5$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{5 x + 3}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 5 e^{5 x + 3}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{5 x + 3}}{\sqrt{x}} + 5 \sqrt{x} \cdot e^{5 x + 3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $2,85 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $2,85 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 2,7075 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $- 2,7075 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $2,5721 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,5721 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 2,4435 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 76-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 76 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{76}$

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = ${(- 0,95)}^{76} \cdot (- 3 e^{- 0,95 x})$

≈ $- 0,061 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 2$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x - 2) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (3 - 1,2 x + 2,4)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1,2 x + 5,4)$

= $(- 1,2 x + 5,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten