$\text{f(x)}=$ $2-3e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $6e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-x}+x^4·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $4x^3·e^{-x}+x^4·\left(-e^{-x}\right)$

= $4x^3·e^{-x}-x^4·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^4+4x^3\right)$

= $\left(-x^4+4x^3\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-x^3-3}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-x^3-3}·\left(-3x^2\right)$

= $-9·e^{-x^3-3}{x}^2$

= $-9x^2{e}^{-x^3-3}$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{7x}·7$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-6\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{-2x}+\left(2x-6\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x}+\left(2x-6\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2e^{-2x}-2\left(2x-6\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(2-4x+12\right)$

= $e^{-2x}·\left(-4x+14\right)$

= $\left(-4x+14\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+84\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-2x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)-2$

= $-4e^{-\mathrm{0,7}x}-4\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)-2$

= $-4e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{2,8}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-2$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-4+\mathrm{2,8}x+\mathrm{16,8}\right)-2$

= $-2+\left(\mathrm{2,8}x-4+\mathrm{16,8}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $-2+\left(\mathrm{2,8}x+\mathrm{12,8}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$