$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{5}{e}^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{5}{e}^{\frac{7}{8}x}·\frac{7}{8}$

= $\frac{49}{40}{e}^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4-2e^{-2x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^3-2e^{-2x-1}·\left(-2\right)$

= $3x^3+4e^{-2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^4+x\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-12x^3+1\right)·e^{2x}+\left(-3x^4+x\right)·e^{2x}·2$

= $\left(-12x^3+1\right)·e^{2x}+\left(-3x^4+x\right)·2e^{2x}$

= $\left(-12x^3+1\right)·e^{2x}+2\left(-3x^4+x\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(-6x^4+2x-12x^3+1\right)$

= $e^{2x}·\left(-6x^4-12x^3+2x+1\right)$

= $\left(-6x^4-12x^3+2x+1\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $7\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{5x}·5$

= $\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+9\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{2x}+\left(x^2+9\right)·e^{2x}·2$

= $2x·e^{2x}+\left(x^2+9\right)·2e^{2x}$

= $2x·e^{2x}+2\left(x^2+9\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^2+18+2x\right)$

= $e^{2x}·\left(2x^2+2x+18\right)$

= $\left(2x^2+2x+18\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,1576}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,1576}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,2155}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 66-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 66 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{66}$

Somit gilt für die 66-te Ableitung:

f⁽⁶⁶⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{66}·e^{-\mathrm{1,05}x}$

≈ $\mathrm{25,032}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+4\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-1$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}+4\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-1$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{2,4}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-1$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(4-\mathrm{2,4}x-\mathrm{7,2}\right)-1$

= $-1+\left(-\mathrm{2,4}x+4-\mathrm{7,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-1+\left(-\mathrm{2,4}x-\mathrm{3,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$