Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + 2 e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + 2 e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $\frac{7}{4} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x - 4) \cdot e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x - 4) \cdot e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $(4 + 0) \cdot e^{2 x - 5} + (4 x - 4) \cdot e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $4 e^{2 x - 5} + (4 x - 4) \cdot 2 e^{2 x - 5}$

= $4 e^{2 x - 5} + 2 (4 x - 4) \cdot e^{2 x - 5}$

= $e^{2 x - 5} \cdot (4 + 8 x - 8)$

= $e^{2 x - 5} \cdot (8 x - 4)$

= $(8 x - 4) \cdot e^{2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x - 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 1} + x^{5} \cdot e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 1} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 1})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 1} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x - 1}$

= $e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} - 2 x^{2}} \cdot (- 3 x^{2} - 4 x)$

= $\frac{- 3 x^{2} - 4 x}{- x^{3} - 2 x^{2}}$

= $\frac{- 1 \cdot (3 x + 4)}{- x \cdot (x + 2)}$

= $\frac{- (3 x + 4)}{- x \cdot (x + 2)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 5) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 5) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (2 x) + (x^{2} + 5) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $2 x \cdot \sin (2 x) + (x^{2} + 5) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $2 x \cdot \sin (2 x) + 2 (x^{2} + 5) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- x}$

f'(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f'''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} - x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 1$

= $e^{- 0,3 x} + (x + 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 1$

= $e^{- 0,3 x} - 0,3 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 1$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1 - 0,3 x - 0,3) - 1$

= $- 1 + (- 0,3 x + 1 - 0,3) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 1 + (- 0,3 x + 0,7) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten