Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 - 2 e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 - 2 e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $- \frac{12}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} - 6 x) \cdot e^{- 3 x - 1} + (- 4 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $(- 20 x^{4} - 6 x) \cdot e^{- 3 x - 1} + (- 4 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 1})$

= $(- 20 x^{4} - 6 x) \cdot e^{- 3 x - 1} - 3 (- 4 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 1}$

= $e^{- 3 x - 1} \cdot (12 x^{5} + 9 x^{2} + (- 20 x^{4} - 6 x))$

= $e^{- 3 x - 1} \cdot (12 x^{5} - 20 x^{4} + 9 x^{2} - 6 x)$

= $(12 x^{5} - 20 x^{4} + 9 x^{2} - 6 x) \cdot e^{- 3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x^{3} + 1} \cdot (- 9 x^{2})$

= $18 \cdot e^{- 3 x^{3} + 1} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{- 3 x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} + x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} + x} \cdot (- 3 x^{2} + 1)$

= $\frac{- 3 x^{2} + 1}{- x^{3} + x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 5 x + 2}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 5 x + 2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 5 x + 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 5 x + 2} \cdot (- 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 5 x + 2} + \sqrt{x} \cdot e^{- 5 x + 2} \cdot (- 5)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 5 x + 2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 2})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 5 x + 2}}{\sqrt{x}} - 5 \sqrt{x} \cdot e^{- 5 x + 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${(- 1,05)}^{63} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $- 21,623 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 3$

= $- 4 e^{- 0,6 x} - 4 (x + 4) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 3$

= $- 4 e^{- 0,6 x} + 2,4 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 3$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 4 + 2,4 x + 9,6) + 3$

= $3 + (2,4 x - 4 + 9,6) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $3 + (2,4 x + 5,6) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten