Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $- \frac{7}{3} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 4) \cdot e^{5 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 4) \cdot e^{5 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} + 0) \cdot e^{5 x + 4} + (- 4 x^{3} + 4) \cdot e^{5 x + 4} \cdot 5$

= $- 12 x^{2} \cdot e^{5 x + 4} + (- 4 x^{3} + 4) \cdot 5 e^{5 x + 4}$

= $- 12 x^{2} \cdot e^{5 x + 4} + 5 (- 4 x^{3} + 4) \cdot e^{5 x + 4}$

= $e^{5 x + 4} \cdot (- 20 x^{3} + 20 - 12 x^{2})$

= $e^{5 x + 4} \cdot (- 20 x^{3} - 12 x^{2} + 20)$

= $(- 20 x^{3} - 12 x^{2} + 20) \cdot e^{5 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2)$

= $6 e^{- 2 x - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x - 1} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{- x - 1} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{- x - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{3 x} + (3 x + 4) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x} + (3 x + 4) \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 e^{3 x} + 3 (3 x + 4) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 + 9 x + 12)$

= $e^{3 x} \cdot (9 x + 15)$

= $(9 x + 15) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 76)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 2$

= $e^{- 0,1 x} + (x + 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 2$

= $e^{- 0,1 x} - 0,1 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 2$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (1 - 0,1 x - 0,1) + 2$

= $2 + (- 0,1 x + 1 - 0,1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $2 + (- 0,1 x + 0,9) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten