Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 - 3 e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 - 3 e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $- e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x - 3) \cdot e^{- 5 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x - 3) \cdot e^{- 5 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 4 + 0) \cdot e^{- 5 x + 4} + (- 4 x - 3) \cdot e^{- 5 x + 4} \cdot (- 5)$

= $- 4 e^{- 5 x + 4} + (- 4 x - 3) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 4})$

= $- 4 e^{- 5 x + 4} - 5 (- 4 x - 3) \cdot e^{- 5 x + 4}$

= $e^{- 5 x + 4} \cdot (- 4 + 20 x + 15)$

= $e^{- 5 x + 4} \cdot (20 x + 11)$

= $(20 x + 11) \cdot e^{- 5 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- x^{3} - 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- x^{3} - 5 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (- x^{3} - 5 x^{2}) + e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 10 x)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (- x^{3} - 5 x^{2}) + e^{- 3 x} (- 3 x^{2} - 10 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 x^{3} + 15 x^{2} + (- 3 x^{2} - 10 x))$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 x^{3} + 12 x^{2} - 10 x)$

= $(3 x^{3} + 12 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x + 1) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x} + (3 x + 1) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 e^{- 3 x} - 3 (3 x + 1) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 - 9 x - 3)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x + 0)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x)$

= $x \cdot (- 9 e^{- 3 x})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 88)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} + 2$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 5 e^{- 0,5 x} - 5 (x - 5) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 5 e^{- 0,5 x} + 2,5 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 5 + 2,5 x - 12,5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2,5 x - 17,5)$

= $(2,5 x - 17,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten