Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{1}{4} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{1}{4} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{4} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{3}{4} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x^{3} - 3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x^{3} - 3} \cdot 3 x^{2}$

= $- 9 \cdot e^{x^{3} - 3} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{x^{3} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} + x} \cdot (8 x + 1)$

= $\frac{8 x + 1}{4 x^{2} + x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{4 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{4 x + 4}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{4 x + 4}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{4 x + 4} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{4 x + 4} \cdot 4$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{4 x + 4} + \sqrt{x} \cdot e^{4 x + 4} \cdot 4$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{4 x + 4}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 4 e^{4 x + 4}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{4 x + 4}}{\sqrt{x}} + 4 \sqrt{x} \cdot e^{4 x + 4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 31-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${(- 1,15)}^{31} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $- 76,144 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 7$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $5 e^{- 0,3 x} + 5 (x + 6) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $5 e^{- 0,3 x} - 1,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (5 - 1,5 x - 9)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1,5 x - 4)$

= $(- 1,5 x - 4) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten