$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{\frac{11}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{\frac{11}{9}x}·\frac{11}{9}$

= $\frac{11}{18}{e}^{\frac{11}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-12x^3+12x^2\right)·e^{3x}+\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{3x}·3$

= $\left(-12x^3+12x^2\right)·e^{3x}+\left(-3x^4+4x^3\right)·3e^{3x}$

= $\left(-12x^3+12x^2\right)·e^{3x}+3\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·(-9x^4+12x^3+\left(-12x^3+12x^2\right))$

= $e^{3x}·\left(-9x^4+0+12x^2\right)$

= $e^{3x}·\left(-9x^4+12x^2\right)$

= $\left(-9x^4+12x^2\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{x+1}·1$

= $-e^{x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x+2}·\left(4+0\right)$

= $\frac{1}{4x+2}·\left(4\right)$

= $\frac{4}{4x+2}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{2x+4}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{2x+4}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{2x+4}+x^{\frac{1}{2}}·e^{2x+4}·2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{2x+4}+\sqrt{x}·e^{2x+4}·2$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{2x+4}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·2e^{2x+4}$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{2x+4}}{\sqrt{x}}+2\sqrt{x}·e^{2x+4}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+93\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-5$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-5$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-5+3x-21\right)-5$

= $-5+\left(3x-5-21\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-5+\left(3x-26\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$