Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + 2 e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + 2 e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $\frac{10}{7} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{x} - 2 e^{- 2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{x} - 2 e^{- 2 x + 5}$

= $- 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 e^{- 2 x + 5}$

=> f'(x) = $- x^{- \frac{1}{2}} - 2 e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{x}} - 2 e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2)$

= $- \frac{1}{\sqrt{x}} + 4 e^{- 2 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} + 2 x^{2}} \cdot (9 x^{2} + 4 x)$

= $\frac{9 x^{2} + 4 x}{3 x^{3} + 2 x^{2}}$

= $\frac{1 \cdot (9 x + 4)}{x \cdot (3 x + 2)}$

= $\frac{9 x + 4}{x \cdot (3 x + 2)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \sin (x^{3})$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot \sin (x^{3})$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot \sin (x^{3}) + x^{\frac{1}{4}} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot \sin (x^{3}) + \sqrt[4]{x} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (x^{3})}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (x^{3})}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 3 \sqrt[4]{x} \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (x^{3})}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 3 {(\sqrt[4]{x})}^{9} \cdot \cos (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 36-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 36-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 36 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{36}$

Somit gilt für die 36-te Ableitung:

f⁽³⁶⁾(x) = ${1,15}^{36} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $153,152 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 5$

= $- 2 e^{- 0,2 x} - 2 (x + 4) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 5$

= $- 2 e^{- 0,2 x} + 0,4 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 5$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 2 + 0,4 x + 1,6) + 5$

= $5 + (0,4 x - 2 + 1,6) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $5 + (0,4 x - 0,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten