$\text{f(x)}=$ $-1+\frac{7}{9}{e}^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{7}{9}{e}^{\frac{5}{7}x}·\frac{5}{7}$

= $\frac{5}{9}{e}^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{2x+1}-\frac{1}{2}\sqrt[3]{x}$

= $-e^{2x+1}-\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $-e^{2x+1}·2-\frac{1}{6}{x}^{-\frac{2}{3}}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{2x+1}·2-\frac{1}{6{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

= $-2e^{2x+1}-\frac{1}{6{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·\left(-3x^5+x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-3x^5+x^3\right)+e^{-x}·\left(-15x^4+3x^2\right)$

= $-e^{-x}\left(-3x^5+x^3\right)+e^{-x}\left(-15x^4+3x^2\right)$

= $e^{-x}·(3x^5-x^3+\left(-15x^4+3x^2\right))$

= $e^{-x}·\left(3x^5-15x^4-x^3+3x^2\right)$

= $\left(3x^5-15x^4-x^3+3x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x^3-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x^3-2}·\left(9x^2+0\right)$

= $\frac{1}{3x^3-2}·\left(9x^2\right)$

= $9\frac{x^2}{3x^3-2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-4\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-3x}+\left(x-4\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $e^{-3x}+\left(x-4\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $e^{-3x}-3\left(x-4\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(1-3x+12\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x+13\right)$

= $\left(-3x+13\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 77-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 77 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{77}$

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{77}·e^{\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,019}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-7$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-7$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,8}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-7$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-4+\mathrm{0,8}x+\mathrm{1,6}\right)-7$

= $-7+\left(\mathrm{0,8}x-4+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $-7+\left(\mathrm{0,8}x-\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$