Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{3}{2} e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{3}{2} e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{2} e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{9}{10} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \cdot \sin (x) + e^{2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \cdot \sin (x) + e^{2 x + 2}$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot \cos (x) + e^{2 x + 2} \cdot 2$

= $- 5 \cdot \cos (x) + 2 e^{2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x - 3) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x - 3) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 2 + 0) \cdot e^{2 x} + (- 2 x - 3) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x} + (- 2 x - 3) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- 2 e^{2 x} + 2 (- 2 x - 3) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 2 - 4 x - 6)$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 x - 8)$

= $(- 4 x - 8) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{x} \cdot 1$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 9) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 9) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x + 9) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x} + (2 x + 9) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 e^{2 x} + 2 (2 x + 9) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 + 4 x + 18)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x + 20)$

= $(4 x + 20) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 38-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 38-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 38 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{38}$

Somit gilt für die 38-te Ableitung:

f⁽³⁸⁾(x) = ${(- 1,15)}^{38} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $202,543 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 3$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $3 e^{- 0,9 x} + 3 (x + 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $3 e^{- 0,9 x} - 2,7 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (3 - 2,7 x - 18,9)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2,7 x - 15,9)$

= $(- 2,7 x - 15,9) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten