$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{8}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{8}{e}^{\frac{6}{7}x}·\frac{6}{7}$

= $\frac{15}{28}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-4x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-4x+3}+x^2·e^{-4x+3}·\left(-4\right)$

= $2x·e^{-4x+3}+x^2·\left(-4e^{-4x+3}\right)$

= $2x·e^{-4x+3}-4x^2·e^{-4x+3}$

= $e^{-4x+3}·\left(-4x^2+2x\right)$

= $\left(-4x^2+2x\right)·e^{-4x+3}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{2x}+x^2·e^{2x}·2$

= $2x·e^{2x}+x^2·2e^{2x}$

= $2x·e^{2x}+2x^2·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^2+2x\right)$

= $\left(2x^2+2x\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $5\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{4x}·4$

= $\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+9\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2+9\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2+9\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2+9\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2-18+2x\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x-18\right)$

= $\left(-2x^2+2x-18\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $-2e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{1,8}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,8}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{1,62}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{1,62}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{1,458}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,458}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{1,3122}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{49}·\left(-2e^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

≈ $\mathrm{0,011}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+4$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-5\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,8}x}-5\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-5+4x+16\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(4x+11\right)$

= $\left(4x+11\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$