$\text{f(x)}=$ $-3e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-x}·\left(-1\right)$

= $3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{4}\cdot \cos \left(x\right)+3e^{-2x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{5}{4}\cdot \sin \left(x\right)+3e^{-2x-3}·\left(-2\right)$

= $-\frac{5}{4}\cdot \sin \left(x\right)-6e^{-2x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-5\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{3x}+\left(x-5\right)·e^{3x}·3$

= $e^{3x}+\left(x-5\right)·3e^{3x}$

= $e^{3x}+3\left(x-5\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(1+3x-15\right)$

= $e^{3x}·\left(3x-14\right)$

= $\left(3x-14\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{3x}·3$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+1\right)·\sin \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(-3x\right)+\left(2x+1\right)·\cos \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $2\cdot \sin \left(-3x\right)+\left(2x+1\right)·\left(-3\cdot \cos \left(-3x\right)\right)$

= $2\cdot \sin \left(-3x\right)-3\left(2x+1\right)·\cos \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{63}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $-\mathrm{0,039}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)-6$

= $-2e^{-\mathrm{0,8}x}-2\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)-6$

= $-2e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{1,6}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-6$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-2+\mathrm{1,6}x+8\right)-6$

= $-6+\left(\mathrm{1,6}x-2+8\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $-6+\left(\mathrm{1,6}x+6\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$