Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -1 +3 e x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -1 +3 e x

f'(x)= 0 +3 e x

= 3 e x

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( -x +2 ) · e 2x -1 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ( -x +2 ) · e 2x -1

f'(x)= ( -1 +0 ) · e 2x -1 + ( -x +2 ) · e 2x -1 · 2

= - e 2x -1 + ( -x +2 ) · 2 e 2x -1

= - e 2x -1 +2 ( -x +2 ) · e 2x -1

= e 2x -1 · ( -2x +4 -1 )

= e 2x -1 · ( -2x +3 )

= ( -2x +3 ) · e 2x -1

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= e 2x · ( -4 x 3 +4x ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= e 2x · ( -4 x 3 +4x )

f'(x)= e 2x · 2 · ( -4 x 3 +4x ) + e 2x · ( -12 x 2 +4 )

= 2 · e 2x ( -4 x 3 +4x ) + e 2x ( -12 x 2 +4 )

= e 2x · ( -12 x 2 +4 + ( -8 x 3 +8x ) )

= e 2x · ( -8 x 3 -12 x 2 +8x +4 )

= ( -8 x 3 -12 x 2 +8x +4 ) · e 2x

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ln( -5 x 2 +3 ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ln( -5 x 2 +3 )

f'(x)= 1 -5 x 2 +3 · ( -10x +0 )

= 1 -5 x 2 +3 · ( -10x )

= -10 x -5 x 2 +3

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( 3 x 2 -9 ) · sin( -2x ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ( 3 x 2 -9 ) · sin( -2x )

f'(x)= ( 6x +0 ) · sin( -2x ) + ( 3 x 2 -9 ) · cos( -2x ) · ( -2 )

= 6x · sin( -2x ) + ( 3 x 2 -9 ) · ( -2 cos( -2x ) )

= 6 x · sin( -2x ) -2 ( 3 x 2 -9 ) · cos( -2x )

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= -2 e 0,95x .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = -2 e 0,95x

f'(x) = -2 e 0,95x · 0,95 = -1,9 e 0,95x

f''(x) = -1,9 e 0,95x · 0,95 = -1,805 e 0,95x

f'''(x) = -1,805 e 0,95x · 0,95 = -1,7148 e 0,95x

f(4)(x) = -1,7148 e 0,95x · 0,95 = -1,629 e 0,95x

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit 0,95 multipliziert wird. Bei der 77-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 77 mal mit 0,95 multipliziert, also insgeamt mit 0,95 77

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f(77)(x) = 0,95 77 · ( -2 e 0,95x )

-0,039 e 0,95x

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( x -7 ) · e -0,2x +9 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ( x -7 ) · e -0,2x +9

f'(x)= ( 1 +0 ) · e -0,2x + ( x -7 ) · e -0,2x · ( -0,2 )+0

= e -0,2x + ( x -7 ) · ( -0,2 e -0,2x )

= e -0,2x -0,2 ( x -7 ) · e -0,2x

= e -0,2x · ( -0,2x +1,4 +1 )

= e -0,2x · ( -0,2x +2,4 )

= ( -0,2x +2,4 ) · e -0,2x