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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x - 5} - \frac{5}{4} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x - 5} - \frac{5}{4} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $e^{2 x - 5} \cdot 2 + \frac{5}{4} \cdot \sin (x)$

= $2 e^{2 x - 5} + \frac{5}{4} \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x^{2} - 5} \cdot (- 6 x)$

= $- 6 \cdot e^{- 3 x^{2} - 5} x$

= $- 6 x e^{- 3 x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 4) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 4) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (3 x) + (x - 4) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $\sin (3 x) + (x - 4) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $\sin (3 x) + 3 (x - 4) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 79)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 8$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 2 (x + 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 8$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 0,2 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 8$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 2 + 0,2 x + 0,8) - 8$

= $- 8 + (0,2 x - 2 + 0,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 8 + (0,2 x - 1,2) \cdot e^{- 0,1 x}$