$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{1}{2}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-3x+5}-\frac{1}{x^4}-7\cdot \sin \left(x\right)$

= $-e^{-3x+5}-x^{-4}-7\cdot \sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $-e^{-3x+5}·\left(-3\right)+4x^{-5}-7\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-3x+5}·\left(-3\right)+\frac{4}{x^5}-7\cdot \cos \left(x\right)$

= $3e^{-3x+5}+\frac{4}{x^5}-7\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^2-3x\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-10x-3\right)·e^{-3x}+\left(-5x^2-3x\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $\left(-10x-3\right)·e^{-3x}+\left(-5x^2-3x\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $\left(-10x-3\right)·e^{-3x}-3\left(-5x^2-3x\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·(-10x-3+\left(15x^2+9x\right))$

= $e^{-3x}·\left(15x^2-x-3\right)$

= $\left(15x^2-x-3\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{4x}·4$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·\cos \left(-4x-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·\cos \left(-4x-4\right)+x^4·(-\sin \left(-4x-4\right)·\left(-4+0\right))$

= $4x^3·\cos \left(-4x-4\right)+x^4·(-\sin \left(-4x-4\right)·\left(-4\right))$

= $4x^3·\cos \left(-4x-4\right)+x^4·4\cdot \sin \left(-4x-4\right)$

= $4x^3·\cos \left(-4x-4\right)+4x^4·\sin \left(-4x-4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{63}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $-\mathrm{0,039}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-8$

= $2e^{-\mathrm{0,3}x}+2\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-8$

= $2e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,6}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-8$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{4,2}+2\right)-8$

= $-8+\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{4,2}+2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $-8+\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{6,2}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$