Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{3 x^{4}} + 2 e^{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{3 x^{4}} + 2 e^{3 x - 5}$

= $- \frac{2}{3} x^{- 4} + 2 e^{3 x - 5}$

=> f'(x) = $\frac{8}{3} x^{- 5} + 2 e^{3 x - 5} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{8}{3 x^{5}} + 2 e^{3 x - 5} \cdot 3$

= $\frac{8}{3 x^{5}} + 6 e^{3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{3} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{3} + 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x^{3} + 3} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 12 \cdot e^{- 2 x^{3} + 3} x^{2}$

= $- 12 x^{2} e^{- 2 x^{3} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{x} \cdot 1$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(- 3 x - 4)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(- 3 x - 4)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 6 (- 3 x - 4) \cdot (- 3 + 0)$

= $- 6 (- 3 x - 4) \cdot (- 3)$

= $18 (- 3 x - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 35-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 35-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 35 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{35}$

Somit gilt für die 35-te Ableitung:

f⁽³⁵⁾(x) = ${(- 1,15)}^{35} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $- 133,176 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 4$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x + 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 3 + 0,9 x + 6,3)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,9 x + 3,3)$

= $(0,9 x + 3,3) \cdot e^{- 0,3 x}$