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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x} \cdot 2$

= $6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{3} + 4 x) \cdot e^{- 2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{3} + 4 x) \cdot e^{- 2 x + 5}$

$f'(x) =$ $(12 x^{2} + 4) \cdot e^{- 2 x + 5} + (4 x^{3} + 4 x) \cdot e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2)$

= $(12 x^{2} + 4) \cdot e^{- 2 x + 5} + (4 x^{3} + 4 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 5})$

= $(12 x^{2} + 4) \cdot e^{- 2 x + 5} - 2 (4 x^{3} + 4 x) \cdot e^{- 2 x + 5}$

= $e^{- 2 x + 5} \cdot (- 8 x^{3} - 8 x + 12 x^{2} + 4)$

= $e^{- 2 x + 5} \cdot (- 8 x^{3} + 12 x^{2} - 8 x + 4)$

= $(- 8 x^{3} + 12 x^{2} - 8 x + 4) \cdot e^{- 2 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{3} + e^{3 x} \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{3} + 3 \cdot e^{3 x} x^{2}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{3 x} + (3 x - 3) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x} + (3 x - 3) \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 e^{3 x} + 3 (3 x - 3) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 + 9 x - 9)$

= $e^{3 x} \cdot (9 x - 6)$

= $(9 x - 6) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 5$

= $- e^{- 0,8 x} - (x + 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 5$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 5$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1 + 0,8 x + 3,2) - 5$

= $- 5 + (0,8 x - 1 + 3,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 5 + (0,8 x + 2,2) \cdot e^{- 0,8 x}$