$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{5}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{5}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{6}{5}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{x-2}-\frac{3}{2x^2}$

= $-3e^{x-2}-\frac{3}{2}{x}^{-2}$

=> f'(x) = $-3e^{x-2}·1+3x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{x-2}·1+\frac{3}{x^3}$

= $-3e^{x-2}+\frac{3}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $e^x·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·x^3+e^x·3x^2$

= $e^x{x}^3+3·e^x{x}^2$

= $e^x·\left(x^3+3x^2\right)$

= $\left(x^3+3x^2\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{6x}·6$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+2\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2+2\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2+2\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2+2\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2-4+2x\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x-4\right)$

= $\left(-2x^2+2x-4\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $4e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{3,4}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{3,4}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{2,89}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,89}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{2,4565}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{2,4565}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{2,088}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{30}·4e^{-\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,031}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-1$

= $4e^{-\mathrm{0,3}x}+4\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-1$

= $4e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{1,2}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-1$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(4-\mathrm{1,2}x+\mathrm{4,8}\right)-1$

= $-1+\left(-\mathrm{1,2}x+4+\mathrm{4,8}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $-1+\left(-\mathrm{1,2}x+\mathrm{8,8}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$