Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x - 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 5} + x^{3} \cdot e^{4 x - 5} \cdot 4$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 5} + x^{3} \cdot 4 e^{4 x - 5}$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 5} + 4 x^{3} \cdot e^{4 x - 5}$

= $e^{4 x - 5} \cdot (4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{4 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} - 3 x} \cdot (- 8 x - 3)$

= $\frac{- 8 x - 3}{- 4 x^{2} - 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{3 x + 1}$

= $2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${(3 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{3 x + 1}} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{\sqrt{3 x + 1}} \cdot (3)$

= $\frac{3}{\sqrt{3 x + 1}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 33-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $- e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $- 1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 33-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 33 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{33}$

Somit gilt für die 33-te Ableitung:

f⁽³³⁾(x) = ${(- 1,15)}^{33} \cdot (- e^{- 1,15 x})$

= $100,7 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 8$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $3 e^{- 0,7 x} + 3 (x + 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $3 e^{- 0,7 x} - 2,1 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3 - 2,1 x - 10,5)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2,1 x - 7,5)$

= $(- 2,1 x - 7,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten