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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{12}{5} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{3} - 3) \cdot e^{- 3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{3} - 3) \cdot e^{- 3 x - 2}$

$f'(x) =$ $(3 x^{2} + 0) \cdot e^{- 3 x - 2} + (x^{3} - 3) \cdot e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x - 2} + (x^{3} - 3) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 2})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x - 2} - 3 (x^{3} - 3) \cdot e^{- 3 x - 2}$

= $e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3 x^{3} + 9 + 3 x^{2})$

= $e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 9)$

= $(- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 9) \cdot e^{- 3 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x - 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 8) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 8) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 8) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 8) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} + 8) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 24 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x + 24)$

= $(3 x^{2} + 2 x + 24) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{x}$

f'(x) = $e^{x}$

f''(x) = $e^{x}$

f'''(x) = $e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 1$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $2 e^{- 0,9 x} + 2 (x + 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $2 e^{- 0,9 x} - 1,8 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (2 - 1,8 x - 7,2)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 1,8 x - 5,2)$

= $(- 1,8 x - 5,2) \cdot e^{- 0,9 x}$