Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{x}$

= $- 3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2} \sqrt{x} + e^{x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{2} \sqrt{x} + e^{x - 5}$

= $- \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + e^{x - 5}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{2}} + e^{x - 5} \cdot 1$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{4 \sqrt{x}} + e^{x - 5} \cdot 1$

= $- \frac{3}{4 \sqrt{x}} + e^{x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} - 4 x) \cdot e^{3 x} + (- 4 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 12 x^{2} - 4 x) \cdot e^{3 x} + (- 4 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 12 x^{2} - 4 x) \cdot e^{3 x} + 3 (- 4 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{3} - 6 x^{2} + (- 12 x^{2} - 4 x))$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{3} - 18 x^{2} - 4 x)$

= $(- 12 x^{3} - 18 x^{2} - 4 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} - x} \cdot (- 8 x - 1)$

= $\frac{- 8 x - 1}{- 4 x^{2} - x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 7) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 7) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} + 7) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} + 7) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (x^{2} + 7) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 38-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $2,55 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $2,55 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,1675 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $- 2,1675 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $1,8424 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,8424 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 1,566 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 38-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 38 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{38}$

Somit gilt für die 38-te Ableitung:

f⁽³⁸⁾(x) = ${(- 0,85)}^{38} \cdot (- 3 e^{- 0,85 x})$

≈ $- 0,006 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 3$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 5 e^{- 0,1 x} - 5 (x + 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 5 e^{- 0,1 x} + 0,5 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 5 + 0,5 x + 1)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,5 x - 4)$

= $(0,5 x - 4) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten