$\text{f(x)}=$ $3+\frac{3}{5}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{5}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{6}{5}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-x-4}+x^3·e^{-x-4}·\left(-1\right)$

= $3x^2·e^{-x-4}+x^3·\left(-e^{-x-4}\right)$

= $3x^2·e^{-x-4}-x^3·e^{-x-4}$

= $e^{-x-4}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x-4}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·x^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·x^4+e^{-x}·4x^3$

= $-e^{-x}{x}^4+4·e^{-x}{x}^3$

= $e^{-x}·\left(-x^4+4x^3\right)$

= $\left(-x^4+4x^3\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{7x}·7$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-3x}+\left(x+1\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $e^{-3x}+\left(x+1\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $e^{-3x}-3\left(x+1\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(1-3x-3\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x-2\right)$

= $\left(-3x-2\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+83\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-8$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,1}x}-2\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,2}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-2+\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(\mathrm{0,2}x-\mathrm{1,8}\right)$

= $\left(\mathrm{0,2}x-\mathrm{1,8}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$