$\text{f(x)}=$ $-1+3e^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{\frac{7}{8}x}·\frac{7}{8}$

= $\frac{21}{8}{e}^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^3+e^{-2x}·3x^2$

= $-2·e^{-2x}{x}^3+3·e^{-2x}{x}^2$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-3x}+x^3·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3x^2·e^{-3x}+x^3·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3x^2·e^{-3x}-3x^3·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $5\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{7x}·7$

= $\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{{\left(-3x^2-3\right)}^2}$

= ${\left(-3x^2-3\right)}^{-2}$

=> f'(x) = $-2{\left(-3x^2-3\right)}^{-3}·\left(-6x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{{\left(-3x^2-3\right)}^3}·\left(-6x+0\right)$

= $-\frac{2}{{\left(-3x^2-3\right)}^3}·\left(-6x\right)$

= $12\frac{x}{{\left(-3x^2-3\right)}^3}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $3e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{2,7}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{2,7}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{2,43}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,43}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{2,187}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{2,187}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{1,9683}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{63}·3e^{-\mathrm{0,9}x}$

≈ $-\mathrm{0,004}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+7x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+7$

= $-5e^{-\mathrm{0,2}x}-5\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)+7$

= $-5e^{-\mathrm{0,2}x}+\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+7$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-5+x+1\right)+7$

= $7+\left(x-5+1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $7+\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$