Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{3}{4} e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{3}{4} e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{4} e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{9}{14} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{2} - 3) \cdot e^{4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{2} - 3) \cdot e^{4 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 8 x + 0) \cdot e^{4 x + 2} + (- 4 x^{2} - 3) \cdot e^{4 x + 2} \cdot 4$

= $- 8 x \cdot e^{4 x + 2} + (- 4 x^{2} - 3) \cdot 4 e^{4 x + 2}$

= $- 8 x \cdot e^{4 x + 2} + 4 (- 4 x^{2} - 3) \cdot e^{4 x + 2}$

= $e^{4 x + 2} \cdot (- 16 x^{2} - 12 - 8 x)$

= $e^{4 x + 2} \cdot (- 16 x^{2} - 8 x - 12)$

= $(- 16 x^{2} - 8 x - 12) \cdot e^{4 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{3} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{3} \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + 3 x^{3} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 4) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 4) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (2 x - 4) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $2 \cdot \cos (x^{3}) + (2 x - 4) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $2 \cdot \cos (x^{3}) - 3 (2 x - 4) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${(- 1,1)}^{50} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $117,391 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 4$

= $- e^{- 0,5 x} - (x + 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 4$

= $- e^{- 0,5 x} + 0,5 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1 + 0,5 x + 3,5) + 4$

= $4 + (0,5 x - 1 + 3,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $4 + (0,5 x + 2,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten