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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 5) \cdot e^{- 2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} + 5) \cdot e^{- 2 x - 4}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{- 2 x - 4} + (3 x^{2} + 5) \cdot e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2)$

= $6 x \cdot e^{- 2 x - 4} + (3 x^{2} + 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 4})$

= $6 x \cdot e^{- 2 x - 4} - 2 (3 x^{2} + 5) \cdot e^{- 2 x - 4}$

= $e^{- 2 x - 4} \cdot (- 6 x^{2} - 10 + 6 x)$

= $e^{- 2 x - 4} \cdot (- 6 x^{2} + 6 x - 10)$

= $(- 6 x^{2} + 6 x - 10) \cdot e^{- 2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x + 3) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x + 3) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x + 3) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (1 + 2 x + 6)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x + 7)$

= $(2 x + 7) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} - x} \cdot (- 15 x^{2} - 1)$

= $\frac{- 15 x^{2} - 1}{- 5 x^{3} - x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (2 x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (2 x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \sin (2 x^{2} + 3) \cdot (4 x + 0)$

= $3 \cdot \sin (2 x^{2} + 3) \cdot (4 x)$

= $12 \sin (2 x^{2} + 3) x$

= $12 x \cdot \sin (2 x^{2} + 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{x}$

f'(x) = $- e^{x}$

f''(x) = $- e^{x}$

f'''(x) = $- e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $- e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 8$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 5 e^{- 0,6 x} - 5 (x + 3) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 5 e^{- 0,6 x} + 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 5 + 3 x + 9)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (3 x + 4)$

= $(3 x + 4) \cdot e^{- 0,6 x}$