Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{5} - 5 x^{2}) \cdot e^{2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{5} - 5 x^{2}) \cdot e^{2 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 25 x^{4} - 10 x) \cdot e^{2 x + 2} + (- 5 x^{5} - 5 x^{2}) \cdot e^{2 x + 2} \cdot 2$

= $(- 25 x^{4} - 10 x) \cdot e^{2 x + 2} + (- 5 x^{5} - 5 x^{2}) \cdot 2 e^{2 x + 2}$

= $(- 25 x^{4} - 10 x) \cdot e^{2 x + 2} + 2 (- 5 x^{5} - 5 x^{2}) \cdot e^{2 x + 2}$

= $e^{2 x + 2} \cdot (- 10 x^{5} - 10 x^{2} + (- 25 x^{4} - 10 x))$

= $e^{2 x + 2} \cdot (- 10 x^{5} - 25 x^{4} - 10 x^{2} - 10 x)$

= $(- 10 x^{5} - 25 x^{4} - 10 x^{2} - 10 x) \cdot e^{2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{x} + x^{3} \cdot e^{x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{x} + x^{3} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{x} \cdot 1$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (- 2 x^{3} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (- 2 x^{3} - 1)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \sin (- 2 x^{3} - 1) \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $2 \cdot \sin (- 2 x^{3} - 1) \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 12 \sin (- 2 x^{3} - 1) x^{2}$

= $- 12 x^{2} \cdot \sin (- 2 x^{3} - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 37-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $- 4 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $3,4 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $3,4 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,89 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $- 2,89 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $2,4565 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,4565 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,088 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 37-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 37 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{37}$

Somit gilt für die 37-te Ableitung:

f⁽³⁷⁾(x) = ${(- 0,85)}^{37} \cdot (- 4 e^{- 0,85 x})$

≈ $0,01 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 5$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 2 e^{- 0,5 x} - 2 (x - 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 2 e^{- 0,5 x} + (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 + x - 7)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (x - 9)$

= $(x - 9) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten