Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} - 2) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{3} - 2) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 3 x^{2} + 0) \cdot e^{3 x} + (- x^{3} - 2) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 x^{2} \cdot e^{3 x} + (- x^{3} - 2) \cdot 3 e^{3 x}$

= $- 3 x^{2} \cdot e^{3 x} + 3 (- x^{3} - 2) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{3} - 6 - 3 x^{2})$

= $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6)$

= $(- 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} + 2} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{2} + 2} \cdot (6 x)$

= $6 \frac{x}{3 x^{2} + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 9 {(2 x^{3} + 2)}^{2} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $- 9 {(2 x^{3} + 2)}^{2} \cdot (6 x^{2})$

= $- 54 {(2 x^{3} + 2)}^{2} x^{2}$

= $- 54 {((2 x^{3} + 2) x)}^{2}$

= $- 54 {(x (2 x^{3} + 2))}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- x}$

f'(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f'''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 2$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 2 (x - 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 2$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 1,4 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 2$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2 + 1,4 x - 7) + 2$

= $2 + (1,4 x - 2 - 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $2 + (1,4 x - 9) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten