$\text{f(x)}=$ $5-3e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $6e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{3x+5}+\frac{7}{3}\sqrt[3]{x}$

= $2e^{3x+5}+\frac{7}{3}{x}^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $2e^{3x+5}·3+\frac{7}{9}{x}^{-\frac{2}{3}}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{3x+5}·3+\frac{7}{9{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

= $6e^{3x+5}+\frac{7}{9{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-x^2+3}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-x^2+3}·\left(-2x\right)$

= $2·e^{-x^2+3}x$

= $2x{e}^{-x^2+3}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{2x}·2$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^2+9\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(6x+0\right)·e^{2x}+\left(3x^2+9\right)·e^{2x}·2$

= $6x·e^{2x}+\left(3x^2+9\right)·2e^{2x}$

= $6x·e^{2x}+2\left(3x^2+9\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(6x^2+18+6x\right)$

= $e^{2x}·\left(6x^2+6x+18\right)$

= $\left(6x^2+6x+18\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^x$

f'(x) = $5e^x$

f''(x) = $5e^x$

f'''(x) = $5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $5e^x$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-8$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{1,8}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-3+\mathrm{1,8}x-\mathrm{3,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{1,8}x-\mathrm{6,6}\right)$

= $\left(\mathrm{1,8}x-\mathrm{6,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$