$\text{f(x)}=$ $-4-e^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{\frac{5}{8}x}·\frac{5}{8}$

= $-\frac{5}{8}{e}^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4+3e^{-2x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $2x^3+3e^{-2x-2}·\left(-2\right)$

= $2x^3-6e^{-2x-2}$

$\text{f(x)}=$ $e^x·\left(3x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·\left(3x+3\right)+e^x·\left(3+0\right)$

= $e^x\left(3x+3\right)+e^x·\left(3\right)$

= $e^x\left(3x+3\right)+3e^x$

= $e^x·\left(3+3x+3\right)$

= $e^x·\left(3x+6\right)$

= $\left(3x+6\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^2+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^2+3}·\left(-2x+0\right)$

= $\frac{1}{-x^2+3}·\left(-2x\right)$

= $-2\frac{x}{-x^2+3}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{x-1}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{x-1}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{x-1}+x^{\frac{1}{2}}·e^{x-1}·1$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{x-1}+\sqrt{x}·e^{x-1}·1$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{x-1}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·e^{x-1}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^{-x}$

f'(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

f''(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

f'''(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}+\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{0,9}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(1-\mathrm{0,9}x-\mathrm{5,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}x-\mathrm{4,4}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,9}x-\mathrm{4,4}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$