$\text{f(x)}=$ $-5-3e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{2x}·2$

= $-6e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^3-x\right)·e^{-x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(12x^2-1\right)·e^{-x+3}+\left(4x^3-x\right)·e^{-x+3}·\left(-1\right)$

= $\left(12x^2-1\right)·e^{-x+3}+\left(4x^3-x\right)·\left(-e^{-x+3}\right)$

= $\left(12x^2-1\right)·e^{-x+3}-\left(4x^3-x\right)·e^{-x+3}$

= $e^{-x+3}·(12x^2-1+\left(-4x^3+x\right))$

= $e^{-x+3}·\left(-4x^3+12x^2+x-1\right)$

= $\left(-4x^3+12x^2+x-1\right)·e^{-x+3}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-4x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-4x+2}+x^5·e^{-4x+2}·\left(-4\right)$

= $5x^4·e^{-4x+2}+x^5·\left(-4e^{-4x+2}\right)$

= $5x^4·e^{-4x+2}-4x^5·e^{-4x+2}$

= $e^{-4x+2}·\left(5x^4-4x^5\right)$

= $e^{-4x+2}·\left(-4x^5+5x^4\right)$

= $\left(-4x^5+5x^4\right)·e^{-4x+2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x-3}·\left(4+0\right)$

= $\frac{1}{4x-3}·\left(4\right)$

= $\frac{4}{4x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\cos \left(-3x\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(-3x\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\cos \left(-3x\right)+x^{\frac{1}{2}}·(-\sin \left(-3x\right)·\left(-3\right))$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\cos \left(-3x\right)+\sqrt{x}·(-\sin \left(-3x\right)·\left(-3\right))$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(-3x\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·3\cdot \sin \left(-3x\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(-3x\right)}{\sqrt{x}}+3\sqrt{x}·\sin \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+85\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+7$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{0,5}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}x-1+1\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}x+0\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}x\right)$

= $x·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$