Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 3 e^{\frac{11}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 3 e^{\frac{11}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{11}{9} x} \cdot \frac{11}{9}$

= $\frac{11}{3} e^{\frac{11}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{x + 5} - \frac{1}{4} x^{4} - \frac{8}{3} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x + 5} - \frac{1}{4} x^{4} - \frac{8}{3} \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $- e^{x + 5} \cdot 1 - x^{3} - \frac{8}{3} \cdot \cos (x)$

= $- e^{x + 5} - x^{3} - \frac{8}{3} \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{4} + x^{3}) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{4} + x^{3}) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(16 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x} + (4 x^{4} + x^{3}) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (4 x^{4} + x^{3} + (16 x^{3} + 3 x^{2}))$

= $e^{x} \cdot (4 x^{4} + 17 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(4 x^{4} + 17 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 3) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 3) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} + 3) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 9 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x + 9)$

= $(3 x^{2} + 2 x + 9) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,8574 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,8145 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${(- 0,95)}^{63} \cdot e^{- 0,95 x}$

≈ $- 0,039 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 5$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 5$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x - 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2 + 1,6 x - 3,2)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1,6 x - 5,2)$

= $(1,6 x - 5,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten