$\text{f(x)}=$ $4+2e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}\left(-2x+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·\left(-2x+1\right)+e^{-2x}·\left(-2+0\right)$

= $-2·e^{-2x}\left(-2x+1\right)+e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-2·e^{-2x}\left(-2x+1\right)-2e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(4x-2-2\right)$

= $e^{-2x}·\left(4x-4\right)$

= $\left(4x-4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{x^3-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{x^3-4}·3x^2$

= $-6·e^{x^3-4}{x}^2$

= $-6x^2{e}^{x^3-4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x^2-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x^2-3}·\left(-4x+0\right)$

= $\frac{1}{-2x^2-3}·\left(-4x\right)$

= $-4\frac{x}{-2x^2-3}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·\sin \left(x+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·\sin \left(x+1\right)+x^4·\cos \left(x+1\right)$

= $4x^3·\sin \left(x+1\right)+x^4·\cos \left(x+1\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $e^x·\left(x+90\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+3\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)-5$

= $3e^{-\mathrm{0,1}x}+3\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)-5$

= $3e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,3}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,3}x+\mathrm{1,8}+3\right)-5$

= $-5+\left(-\mathrm{0,3}x+\mathrm{1,8}+3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $-5+\left(-\mathrm{0,3}x+\mathrm{4,8}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$