Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $- \frac{18}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x - 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x - 2} + x^{2} \cdot e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x - 2} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x - 2})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x - 2} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x - 2}$

= $e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{3} + e^{- 3 x} \cdot 3 x^{2}$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{3} + 3 \cdot e^{- 3 x} x^{2}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{x} \cdot 1$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 5) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 5) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 5) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 5) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} + 5) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 15 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x + 15)$

= $(3 x^{2} + 2 x + 15) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 92)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 6$

= $- e^{- 0,8 x} - (x - 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 6$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1 + 0,8 x - 5,6) - 6$

= $- 6 + (0,8 x - 1 - 5,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 6 + (0,8 x - 6,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten