Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 3 x + 1}$

$f'(x) =$ $(8 x - 4) \cdot e^{- 3 x + 1} + (4 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $(8 x - 4) \cdot e^{- 3 x + 1} + (4 x^{2} - 4 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 1})$

= $(8 x - 4) \cdot e^{- 3 x + 1} - 3 (4 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 3 x + 1}$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (- 12 x^{2} + 12 x + 8 x - 4)$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (- 12 x^{2} + 20 x - 4)$

= $(- 12 x^{2} + 20 x - 4) \cdot e^{- 3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x - 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x - 5} \cdot 3$

= $9 e^{3 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} - 5} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{x^{3} - 5} \cdot (3 x^{2})$

= $3 \frac{x^{2}}{x^{3} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (- 5 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (- 5 x - 3)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sin (- 5 x - 3) + x^{3} \cdot \cos (- 5 x - 3) \cdot (- 5 + 0)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- 5 x - 3) + x^{3} \cdot \cos (- 5 x - 3) \cdot (- 5)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- 5 x - 3) + x^{3} \cdot (- 5 \cdot \cos (- 5 x - 3))$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- 5 x - 3) - 5 x^{3} \cdot \cos (- 5 x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 31-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $2,55 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $2,55 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,1675 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $- 2,1675 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $1,8424 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,8424 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 1,566 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${(- 0,85)}^{31} \cdot (- 3 e^{- 0,85 x})$

≈ $0,019 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 4 e^{- 0,7 x} - 4 (x - 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 4 e^{- 0,7 x} + 2,8 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 4 + 2,8 x - 19,6)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2,8 x - 23,6)$

= $(2,8 x - 23,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten