$\text{f(x)}=$ $-3+3e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{x-5}+x^4$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{x-5}·1+4x^3$

= $-2e^{x-5}+4x^3$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{x^2-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{x^2-5}·2x$

= $-4·e^{x^2-5}x$

= $-4x{e}^{x^2-5}$

$\text{f(x)}=$ $-\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-1}{5x}·5$

= $-\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+5\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{3x}+\left(2x+5\right)·e^{3x}·3$

= $2e^{3x}+\left(2x+5\right)·3e^{3x}$

= $2e^{3x}+3\left(2x+5\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(2+6x+15\right)$

= $e^{3x}·\left(6x+17\right)$

= $\left(6x+17\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-x}$

f'(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+7$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-2\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,9}x}-2\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{1,8}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-2+\mathrm{1,8}x+\mathrm{5,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{1,8}x+\mathrm{3,4}\right)$

= $\left(\mathrm{1,8}x+\mathrm{3,4}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$