Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{3}{2} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{3}{2} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{2} e^{2 x} \cdot 2$

= $3 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x - 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 3} + x^{4} \cdot e^{5 x - 3} \cdot 5$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 3} + x^{4} \cdot 5 e^{5 x - 3}$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 3} + 5 x^{4} \cdot e^{5 x - 3}$

= $e^{5 x - 3} \cdot (5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{5} + 5 x^{2}) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{5} + 5 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(25 x^{4} + 10 x) \cdot e^{3 x} + (5 x^{5} + 5 x^{2}) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(25 x^{4} + 10 x) \cdot e^{3 x} + (5 x^{5} + 5 x^{2}) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(25 x^{4} + 10 x) \cdot e^{3 x} + 3 (5 x^{5} + 5 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{5} + 15 x^{2} + (25 x^{4} + 10 x))$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{5} + 25 x^{4} + 15 x^{2} + 10 x)$

= $(15 x^{5} + 25 x^{4} + 15 x^{2} + 10 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} + 4} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{2} + 4} \cdot (6 x)$

= $6 \frac{x}{3 x^{2} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 4) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 4) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} - 4) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 12 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x + 12)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x + 12) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${(- 1,1)}^{57} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $- 228,762 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} - x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 1$

= $4 e^{- 0,5 x} + 4 (x + 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 1$

= $4 e^{- 0,5 x} - 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 1$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (4 - 2 x - 14) - 1$

= $- 1 + (- 2 x + 4 - 14) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 1 + (- 2 x - 10) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten