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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{1}{4} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{1}{4} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{4} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} + 3) \cdot e^{5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} + 3) \cdot e^{5 x - 2}$

$f'(x) =$ $(8 x + 0) \cdot e^{5 x - 2} + (4 x^{2} + 3) \cdot e^{5 x - 2} \cdot 5$

= $8 x \cdot e^{5 x - 2} + (4 x^{2} + 3) \cdot 5 e^{5 x - 2}$

= $8 x \cdot e^{5 x - 2} + 5 (4 x^{2} + 3) \cdot e^{5 x - 2}$

= $e^{5 x - 2} \cdot (20 x^{2} + 15 + 8 x)$

= $e^{5 x - 2} \cdot (20 x^{2} + 8 x + 15)$

= $(20 x^{2} + 8 x + 15) \cdot e^{5 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x^{2} - 4}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x^{2} - 4} \cdot (- 6 x)$

= $- 6 \cdot e^{- 3 x^{2} - 4} x$

= $- 6 x e^{- 3 x^{2} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(x + 5)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(x + 5)}^{4}$

$f'(x) =$ $8 {(x + 5)}^{3} \cdot (1 + 0)$

= $8 {(x + 5)}^{3} \cdot (1)$

= $8 {(x + 5)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{0,9 x}$

f'(x) = $- e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $- 0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${0,9}^{61} \cdot (- e^{0,9 x})$

≈ $- 0,002 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 4$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x - 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (3 - 0,3 x + 1,2)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,3 x + 4,2)$

= $(- 0,3 x + 4,2) \cdot e^{- 0,1 x}$