Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{4}{5} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{4}{5} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{4}{5} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{12}{5} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{4} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{4} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 2 x - 1}$

$f'(x) =$ $(20 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 1} + (5 x^{4} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 2 x - 1} \cdot (- 2)$

= $(20 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 1} + (5 x^{4} + 3 x^{3}) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 1})$

= $(20 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 1} - 2 (5 x^{4} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 2 x - 1}$

= $e^{- 2 x - 1} \cdot (- 10 x^{4} - 6 x^{3} + (20 x^{3} + 9 x^{2}))$

= $e^{- 2 x - 1} \cdot (- 10 x^{4} + 14 x^{3} + 9 x^{2})$

= $(- 10 x^{4} + 14 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (5 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (5 x - 2)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (5 x - 2) + e^{- 3 x} \cdot (5 + 0)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (5 x - 2) + e^{- 3 x} \cdot (5)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (5 x - 2) + 5 e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (5 - 15 x + 6)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 15 x + 11)$

= $(- 15 x + 11) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} + 5 x} \cdot (2 x + 5)$

= $\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (3 x) + (x + 2) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $\sin (3 x) + (x + 2) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $\sin (3 x) + 3 (x + 2) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 85)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 7$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $e^{- 0,9 x} + (x + 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1 - 0,9 x - 5,4)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9 x - 4,4)$

= $(- 0,9 x - 4,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten