Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $- \frac{10}{7} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- x + 3}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- x + 3} + (x + 3) \cdot e^{- x + 3} \cdot (- 1)$

= $e^{- x + 3} + (x + 3) \cdot (- e^{- x + 3})$

= $e^{- x + 3} - (x + 3) \cdot e^{- x + 3}$

= $e^{- x + 3} \cdot (1 - x - 3)$

= $e^{- x + 3} \cdot (- x - 2)$

= $(- x - 2) \cdot e^{- x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} - 5 x) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} - 5 x) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{3} - 5) \cdot e^{- 3 x} + (- 5 x^{4} - 5 x) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(- 20 x^{3} - 5) \cdot e^{- 3 x} + (- 5 x^{4} - 5 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(- 20 x^{3} - 5) \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 5 x^{4} - 5 x) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x^{4} + 15 x - 20 x^{3} - 5)$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x^{4} - 20 x^{3} + 15 x - 5)$

= $(15 x^{4} - 20 x^{3} + 15 x - 5) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} + 2 x} \cdot (12 x^{2} + 2)$

= $\frac{12 x^{2} + 2}{4 x^{3} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3 x^{3} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3 x^{3} - 2}$

= $2 {(3 x^{3} - 2)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- 2 {(3 x^{3} - 2)}^{- 2} \cdot (9 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{{(3 x^{3} - 2)}^{2}} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $- \frac{2}{{(3 x^{3} - 2)}^{2}} \cdot (9 x^{2})$

= $- 18 \frac{x^{2}}{{(3 x^{3} - 2)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 89)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 9$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 5 e^{- 0,5 x} - 5 (x - 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 5 e^{- 0,5 x} + 2,5 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 5 + 2,5 x - 7,5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2,5 x - 12,5)$

= $(2,5 x - 12,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten