Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x - 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{4 x - 5} + x^{4} \cdot e^{4 x - 5} \cdot 4$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x - 5} + x^{4} \cdot 4 e^{4 x - 5}$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x - 5} + 4 x^{4} \cdot e^{4 x - 5}$

= $e^{4 x - 5} \cdot (4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{4 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{2} + e^{2 x} \cdot 2 x$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{2} + 2 \cdot e^{2 x} x$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (2 x - 3) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 e^{- 3 x} + (2 x - 3) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 e^{- 3 x} - 3 (2 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (2 - 6 x + 9)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x + 11)$

= $(- 6 x + 11) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${1,1}^{64} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $445,792 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 2$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x + 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 2$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 2$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3 + 2,4 x + 2,4) + 2$

= $2 + (2,4 x - 3 + 2,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $2 + (2,4 x - 0,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten