Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{6} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x - 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{x - 5} + x^{5} \cdot e^{x - 5} \cdot 1$

= $5 x^{4} \cdot e^{x - 5} + x^{5} \cdot e^{x - 5}$

= $e^{x - 5} \cdot (5 x^{4} + x^{5})$

= $e^{x - 5} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})$

= $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (3 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (3 x - 2)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (3 x - 2) + e^{x} \cdot (3 + 0)$

= $e^{x} (3 x - 2) + e^{x} \cdot (3)$

= $e^{x} (3 x - 2) + 3 e^{x}$

= $e^{x} \cdot (3 x - 2 + 3)$

= $e^{x} \cdot (3 x + 1)$

= $(3 x + 1) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} + 4 x} \cdot (12 x^{2} + 4)$

= $\frac{12 x^{2} + 4}{4 x^{3} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (x + 4)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (x + 4) + x^{5} \cdot \cos (x + 4)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (x + 4) + x^{5} \cdot \cos (x + 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 74-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 74-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 74 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{74}$

Somit gilt für die 74-te Ableitung:

f⁽⁷⁴⁾(x) = ${1,05}^{74} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $36,984 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 9$

= $5 e^{- 0,5 x} + 5 (x - 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 9$

= $5 e^{- 0,5 x} - 2,5 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 9$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2,5 x + 17,5 + 5) + 9$

= $9 + (- 2,5 x + 17,5 + 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $9 + (- 2,5 x + 22,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten