Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{3}{4} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{3}{4} e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{4} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{3}{4} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (x) + 3 e^{2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \cos (x) + 3 e^{2 x + 2}$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x) + 3 e^{2 x + 2} \cdot 2$

= $- 3 \cdot \sin (x) + 6 e^{2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(15 x^{4} + 8 x) \cdot e^{2 x} + (3 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(15 x^{4} + 8 x) \cdot e^{2 x} + (3 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(15 x^{4} + 8 x) \cdot e^{2 x} + 2 (3 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (6 x^{5} + 8 x^{2} + (15 x^{4} + 8 x))$

= $e^{2 x} \cdot (6 x^{5} + 15 x^{4} + 8 x^{2} + 8 x)$

= $(6 x^{5} + 15 x^{4} + 8 x^{2} + 8 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x + 1} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x + 1} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x - 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x - 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x - 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (1 + 2 x - 4)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x - 3)$

= $(2 x - 3) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 75)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 6$

= $- e^{- 0,6 x} - (x + 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 6$

= $- e^{- 0,6 x} + 0,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 6$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1 + 0,6 x + 3) + 6$

= $6 + (0,6 x - 1 + 3) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $6 + (0,6 x + 2) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten