$\text{f(x)}=$ $-e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{x^4}-2e^{3x+4}-\sqrt{x}$

= $-2x^{-4}-2e^{3x+4}-x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $8x^{-5}-2e^{3x+4}·3-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{x^5}-2e^{3x+4}·3-\frac{1}{2\sqrt{x}}$

= $\frac{8}{x^5}-6e^{3x+4}-\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·x^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·x^2+e^{-x}·2x$

= $-e^{-x}{x}^2+2·e^{-x}x$

= $e^{-x}·\left(-x^2+2x\right)$

= $\left(-x^2+2x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(x^3+3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x^3+3x}·\left(3x^2+3\right)$

= $\frac{3x^2+3}{x^3+3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·\sin \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·\sin \left(x^2\right)+x^3·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $3x^2·\sin \left(x^2\right)+x^3·2\cos \left(x^2\right)x$

= $3x^2·\sin \left(x^2\right)+2x^3\cos \left(x^2\right)x$

= $3x^2·\sin \left(x^2\right)+2x^4·\cos \left(x^2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,6561}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{46}·e^{-\mathrm{0,9}x}$

≈ $\mathrm{0,008}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,3}x}+2\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,6}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(2-\mathrm{0,6}x+\mathrm{1,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{3,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{3,2}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$