Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{1}{2} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{1}{2} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 4} + x^{3} \cdot e^{5 x - 4} \cdot 5$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 4} + x^{3} \cdot 5 e^{5 x - 4}$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 4} + 5 x^{3} \cdot e^{5 x - 4}$

= $e^{5 x - 4} \cdot (5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x + 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x + 4} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- 3 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- 3 x - 3)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (- 3 x - 3)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (- 3 x - 3) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- 3 x - 3) \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (- 3 x - 3) + \sqrt{x} \cdot \cos (- 3 x - 3) \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 3 x - 3)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \cos (- 3 x - 3) \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 3 x - 3)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x - 3))$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 3 x - 3)}{\sqrt{x}} - 3 \sqrt{x} \cdot \cos (- 3 x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- x}$

f'(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f'''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 5$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x + 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 3 + 0,9 x + 3,6)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,9 x + 0,6)$

= $(0,9 x + 0,6) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten