$\text{f(x)}=$ $4+e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^x$

= $e^x$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{x^4}-2e^{x+5}+5\cdot \cos \left(x\right)$

= $2x^{-4}-2e^{x+5}+5\cdot \cos \left(x\right)$

=> f'(x) = $-8x^{-5}-2e^{x+5}·1-5\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{8}{x^5}-2e^{x+5}·1-5\cdot \sin \left(x\right)$

= $-\frac{8}{x^5}-2e^{x+5}-5\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-3x}+x^4·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $4x^3·e^{-3x}+x^4·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $4x^3·e^{-3x}-3x^4·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $5\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{3x}·3$

= $\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\sqrt{-2x+2}$

= $-3{\left(-2x+2\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{\left(-2x+2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2\sqrt{-2x+2}}·\left(-2+0\right)$

= $-\frac{3}{2\sqrt{-2x+2}}·\left(-2\right)$

= $\frac{3}{\sqrt{-2x+2}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $\mathrm{1,1}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,1}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $\mathrm{1,21}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,21}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $\mathrm{1,331}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,331}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $\mathrm{1,4641}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,1}}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${\mathrm{1,1}}^{50}·e^{\mathrm{1,1}x}$

≈ $\mathrm{117,391}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-8$

= $-3e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-8$

= $-3e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{1,8}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-8$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-3+\mathrm{1,8}x+\mathrm{1,8}\right)-8$

= $-8+\left(\mathrm{1,8}x-3+\mathrm{1,8}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-8+\left(\mathrm{1,8}x-\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$