Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{11}{8} e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{11}{8} e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{11}{8} e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $\frac{77}{64} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x + 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{4 x + 4} + x^{4} \cdot e^{4 x + 4} \cdot 4$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x + 4} + x^{4} \cdot 4 e^{4 x + 4}$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x + 4} + 4 x^{4} \cdot e^{4 x + 4}$

= $e^{4 x + 4} \cdot (4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{4 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} - 5 x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} - 5 x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{3} - 5) \cdot e^{2 x} + (- 5 x^{4} - 5 x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(- 20 x^{3} - 5) \cdot e^{2 x} + (- 5 x^{4} - 5 x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(- 20 x^{3} - 5) \cdot e^{2 x} + 2 (- 5 x^{4} - 5 x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{4} - 10 x - 20 x^{3} - 5)$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{4} - 20 x^{3} - 10 x - 5)$

= $(- 10 x^{4} - 20 x^{3} - 10 x - 5) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} + 5 x} \cdot (4 x + 5)$

= $\frac{4 x + 5}{2 x^{2} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (- 4 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (- 4 x + 1)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- 4 x + 1)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (- 4 x + 1) + x^{\frac{1}{2}} \cdot (- \sin (- 4 x + 1) \cdot (- 4 + 0))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \cos (- 4 x + 1) + \sqrt{x} \cdot (- \sin (- 4 x + 1) \cdot (- 4 + 0))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 4 x + 1)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- \sin (- 4 x + 1) \cdot (- 4))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 4 x + 1)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 4 \cdot \sin (- 4 x + 1)$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 4 x + 1)}{\sqrt{x}} + 4 \sqrt{x} \cdot \sin (- 4 x + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 85)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 8$

= $4 e^{- 0,8 x} + 4 (x + 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 8$

= $4 e^{- 0,8 x} - 3,2 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 8$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (4 - 3,2 x - 3,2) + 8$

= $8 + (- 3,2 x + 4 - 3,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $8 + (- 3,2 x + 0,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten