$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{1}{3}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x-2}+x^3·e^{-2x-2}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x-2}+x^3·\left(-2e^{-2x-2}\right)$

= $3x^2·e^{-2x-2}-2x^3·e^{-2x-2}$

= $e^{-2x-2}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x-2}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{3x^2+2}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{3x^2+2}·6x$

= $-18·e^{3x^2+2}x$

= $-18x{e}^{3x^2+2}$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{7x}·7$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(-2x+1\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-8{\left(-2x+1\right)}^3·\left(-2+0\right)$

= $-8{\left(-2x+1\right)}^3·\left(-2\right)$

= $16{\left(-2x+1\right)}^3$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $-3e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{2,55}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{2,55}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{2,1675}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{2,1675}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{1,8424}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,8424}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{1,566}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{31}·\left(-3e^{\mathrm{0,85}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,019}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-4$

= $-2e^{-\mathrm{0,3}x}-2\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-4$

= $-2e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,6}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-4$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-2+\mathrm{0,6}x+\mathrm{4,2}\right)-4$

= $-4+\left(\mathrm{0,6}x-2+\mathrm{4,2}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $-4+\left(\mathrm{0,6}x+\mathrm{2,2}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$