$\text{f(x)}=$ $2e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-4e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3x^2}-2e^{2x-5}-3x^5$

= $-\frac{2}{3}{x}^{-2}-2e^{2x-5}-3x^5$

=> f'(x) = $\frac{4}{3}{x}^{-3}-2e^{2x-5}·2-15x^4$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{3x^3}-2e^{2x-5}·2-15x^4$

= $\frac{4}{3x^3}-4e^{2x-5}-15x^4$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-x^2+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-x^2+5}·\left(-2x\right)$

= $2·e^{-x^2+5}x$

= $2x{e}^{-x^2+5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x^3+5x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x^3+5x^2}·\left(-9x^2+10x\right)$

= $\frac{-9x^2+10x}{-3x^3+5x^2}$

= $\frac{-1·\left(9x-10\right)}{-x·\left(3x-5\right)}$

= $\frac{-\left(9x-10\right)}{-x·\left(3x-5\right)}$

$\text{f(x)}=$ $-3\sqrt{x+3}$

= $-3{\left(x+3\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{\left(x+3\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2\sqrt{x+3}}·\left(1+0\right)$

= $-\frac{3}{2\sqrt{x+3}}·\left(1\right)$

= $-\frac{3}{2\sqrt{x+3}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $-2e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{1,9}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,9}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{1,805}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{1,805}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{1,7148}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,7148}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{1,629}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 74-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 74 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{74}$

Somit gilt für die 74-te Ableitung:

f⁽⁷⁴⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{74}·\left(-2e^{-\mathrm{0,95}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,045}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,2}x}-3\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,6}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-3+\mathrm{0,6}x+\mathrm{3,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,6}\right)$

= $\left(\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$