$\text{f(x)}=$ $-1+\frac{8}{9}{e}^{\frac{3}{2}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{8}{9}{e}^{\frac{3}{2}x}·\frac{3}{2}$

= $\frac{4}{3}{e}^{\frac{3}{2}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}\left(2x^4+4x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(2x^4+4x^2\right)+e^{-x}·\left(8x^3+8x\right)$

= $-e^{-x}\left(2x^4+4x^2\right)+e^{-x}\left(8x^3+8x\right)$

= $e^{-x}·(-2x^4-4x^2+\left(8x^3+8x\right))$

= $e^{-x}·\left(-2x^4+8x^3-4x^2+8x\right)$

= $\left(-2x^4+8x^3-4x^2+8x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^2+4x\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-2x+4\right)·e^x+\left(-x^2+4x\right)·e^x$

= $e^x·\left(-x^2+4x-2x+4\right)$

= $e^x·\left(-x^2+2x+4\right)$

= $\left(-x^2+2x+4\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-3\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-3}{5x}·5$

= $-\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-1\right)·\cos \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\cos \left(x^3\right)+\left(3x-1\right)·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

= $3\cdot \cos \left(x^3\right)+\left(3x-1\right)·\left(-3\sin \left(x^3\right)x^2\right)$

= $3\cdot \cos \left(x^3\right)-3\left(3x-1\right)\sin \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $2e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{1,7}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,7}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{1,445}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,445}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{1,2283}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,2283}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{1,044}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 33-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 33 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{33}$

Somit gilt für die 33-te Ableitung:

f⁽³³⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{33}·2e^{-\mathrm{0,85}x}$

≈ $-\mathrm{0,009}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+5x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+5$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+5$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{1,2}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+5$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-2+\mathrm{1,2}x+\mathrm{1,2}\right)+5$

= $5+\left(\mathrm{1,2}x-2+\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $5+\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$