Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $- \frac{2}{3} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x + 3}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 3} + x^{3} \cdot e^{3 x + 3} \cdot 3$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 3} + x^{3} \cdot 3 e^{3 x + 3}$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 3} + 3 x^{3} \cdot e^{3 x + 3}$

= $e^{3 x + 3} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- x - 5)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- x - 5) + e^{- 2 x} \cdot (- 1 + 0)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (- x - 5) + e^{- 2 x} \cdot (- 1)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (- x - 5) - e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 1 + 2 x + 10)$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x + 9)$

= $(2 x + 9) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} - 4} \cdot (12 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{3} - 4} \cdot (12 x^{2})$

= $12 \frac{x^{2}}{4 x^{3} - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 58-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${0,9}^{58} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,002 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 2$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x + 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 2$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 2$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (3 - 1,2 x - 6) - 2$

= $- 2 + (- 1,2 x + 3 - 6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 2 + (- 1,2 x - 3) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten