Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $\frac{1}{2} e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 5} + \frac{1}{x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 5} + \frac{1}{x^{2}}$

= $- 2 e^{- 2 x + 5} + x^{- 2}$

=> f'(x) = $- 2 e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2) - 2 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2) - \frac{2}{x^{3}}$

= $4 e^{- 2 x + 5} - \frac{2}{x^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{4} - x^{3}) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{4} - x^{3}) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 4 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{3 x} + (- x^{4} - x^{3}) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 4 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{3 x} + (- x^{4} - x^{3}) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 4 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{3 x} + 3 (- x^{4} - x^{3}) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{4} - 3 x^{3} + (- 4 x^{3} - 3 x^{2}))$

= $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{4} - 7 x^{3} - 3 x^{2})$

= $(- 3 x^{4} - 7 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 3) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 3) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} + 3) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 9 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x + 9)$

= $(3 x^{2} + 2 x + 9) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 83)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 7$

= $4 e^{- 0,4 x} + 4 (x + 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 7$

= $4 e^{- 0,4 x} - 1,6 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 7$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (4 - 1,6 x - 9,6) + 7$

= $7 + (- 1,6 x + 4 - 9,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $7 + (- 1,6 x - 5,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten