Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x + 4} + 4 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x + 4} + 4 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2) - 4 \cdot \sin (x)$

= $- 2 e^{- 2 x + 4} - 4 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 4 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 4 x - 3}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 3} + x^{3} \cdot e^{- 4 x - 3} \cdot (- 4)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 3} + x^{3} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 3})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 3} - 4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 3}$

= $e^{- 4 x - 3} \cdot (- 4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x + 5} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x + 5} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 8) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 8) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} + 8) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} + 8) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 (x^{2} + 8) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${0,9}^{64} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,001 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 7$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x + 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 7$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 7$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3 - 2,4 x - 14,4) + 7$

= $7 + (- 2,4 x + 3 - 14,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $7 + (- 2,4 x - 11,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten