$\text{f(x)}=$ $-5-3e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{3x}·3$

= $-9e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{2x-4}-4\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{2x-4}·2+4\cdot \sin \left(x\right)$

= $6e^{2x-4}+4\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·x^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·x^4+e^{-3x}·4x^3$

= $-3·e^{-3x}{x}^4+4·e^{-3x}{x}^3$

= $e^{-3x}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x-5}·\left(-5+0\right)$

= $\frac{1}{-5x-5}·\left(-5\right)$

= $-\frac{5}{-5x-5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+9\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2+9\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2+9\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2+9\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2-18+2x\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x-18\right)$

= $\left(-2x^2+2x-18\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $-4e^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{3,6}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{3,6}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{3,24}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{3,24}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{2,916}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{2,916}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{2,6244}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,9}}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${\mathrm{0,9}}^{45}·\left(-4e^{\mathrm{0,9}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,035}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+8$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{1,2}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-2+\mathrm{1,2}x-\mathrm{7,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{9,2}\right)$

= $\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{9,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$