$\text{f(x)}=$ $e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^5+3\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(20x^4+0\right)·e^{2x}+\left(4x^5+3\right)·e^{2x}·2$

= $20x^4·e^{2x}+\left(4x^5+3\right)·2e^{2x}$

= $20x^4·e^{2x}+2\left(4x^5+3\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(20x^4+8x^5+6\right)$

= $e^{2x}·\left(8x^5+20x^4+6\right)$

= $\left(8x^5+20x^4+6\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-2x}+x^2·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+x^2·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2x^2·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(2x-2x^2\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-5}{5x}·5$

= $-\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-6\right)·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(-2x\right)+\left(2x-6\right)·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $2\cdot \sin \left(-2x\right)+\left(2x-6\right)·\left(-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right)$

= $2\cdot \sin \left(-2x\right)-2\left(2x-6\right)·\cos \left(-2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $2e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{2,1}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $-\mathrm{2,1}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{2,205}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,205}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{2,3153}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{2,3153}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{2,431}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 68-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 68 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{68}$

Somit gilt für die 68-te Ableitung:

f⁽⁶⁸⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{68}·2e^{-\mathrm{1,05}x}$

≈ $\mathrm{55,195}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-2$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,1}x}-2\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,2}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}-2\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(\mathrm{0,2}x-\mathrm{2,6}\right)$

= $\left(\mathrm{0,2}x-\mathrm{2,6}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$