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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + 3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + 3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{2 x} \cdot 2$

= $6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x - 1} - 4 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x - 1} - 4 x^{2}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x - 1} \cdot 2 - 8 x$

= $6 e^{2 x - 1} - 8 x$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 2 x^{2} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 2 x^{2} - 1)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (- 2 x^{2} - 1) + e^{x} \cdot (- 4 x + 0)$

= $e^{x} (- 2 x^{2} - 1) + e^{x} \cdot (- 4 x)$

= $e^{x} (- 2 x^{2} - 1) - 4 \cdot e^{x} x$

= $e^{x} \cdot (- 2 x^{2} - 1 - 4 x)$

= $e^{x} \cdot (- 2 x^{2} - 4 x - 1)$

= $(- 2 x^{2} - 4 x - 1) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (- 3 x^{3} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (- 3 x^{3} + 1)$

$f'(x) =$ $\cos (- 3 x^{3} + 1) \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $\cos (- 3 x^{3} + 1) \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 9 \cos (- 3 x^{3} + 1) x^{2}$

= $- 9 x^{2} \cdot \cos (- 3 x^{3} + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${1,15}^{49} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $942,311 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 1$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $3 e^{- 0,2 x} + 3 (x - 4) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $3 e^{- 0,2 x} - 0,6 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (3 - 0,6 x + 2,4)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,6 x + 5,4)$

= $(- 0,6 x + 5,4) \cdot e^{- 0,2 x}$