$\text{f(x)}=$ $1+e^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{\frac{5}{6}x}·\frac{5}{6}$

= $\frac{5}{6}{e}^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x+3}+x^5·e^{-2x+3}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x+3}+x^5·\left(-2e^{-2x+3}\right)$

= $5x^4·e^{-2x+3}-2x^5·e^{-2x+3}$

= $e^{-2x+3}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x+3}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{2x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{2x+3}·2$

= $-4e^{2x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x^3-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x^3-4}·\left(9x^2+0\right)$

= $\frac{1}{3x^3-4}·\left(9x^2\right)$

= $9\frac{x^2}{3x^3-4}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(\cos \left(x\right)-4\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $4{\left(\cos \left(x\right)-4\right)}^3·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $4{\left(\cos \left(x\right)-4\right)}^3·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-4{\left(\cos \left(x\right)-4\right)}^3·\sin \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $-5e^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{5,5}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{5,5}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{6,05}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{6,05}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{6,655}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{6,655}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{7,3205}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,1}}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${\mathrm{1,1}}^{52}·\left(-5e^{\mathrm{1,1}x}\right)$

≈ $-\mathrm{710,215}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+5\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,8}x}+5\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(5-4x+24\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-4x+29\right)$

= $\left(-4x+29\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$