Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{10}{9} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{10}{9} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{10}{9} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x - 3) \cdot e^{- 4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x - 3) \cdot e^{- 4 x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 1 + 0) \cdot e^{- 4 x + 1} + (- x - 3) \cdot e^{- 4 x + 1} \cdot (- 4)$

= $- e^{- 4 x + 1} + (- x - 3) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 1})$

= $- e^{- 4 x + 1} - 4 (- x - 3) \cdot e^{- 4 x + 1}$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (- 1 + 4 x + 12)$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (4 x + 11)$

= $(4 x + 11) \cdot e^{- 4 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{3} + 2 x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{3} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(3 x^{2} + 2) \cdot e^{2 x} + (x^{3} + 2 x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(3 x^{2} + 2) \cdot e^{2 x} + (x^{3} + 2 x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(3 x^{2} + 2) \cdot e^{2 x} + 2 (x^{3} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 4 x + 3 x^{2} + 2)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 2)$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 2) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{x^{2} - 5}$

= $2 {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${(x^{2} - 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (2 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 5}} \cdot (2 x + 0)$

= $\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 5}} \cdot (2 x)$

= $2 \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 5}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 36-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 36-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 36 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{36}$

Somit gilt für die 36-te Ableitung:

f⁽³⁶⁾(x) = ${(- 0,85)}^{36} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $0,003 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 9$

= $3 e^{- 0,3 x} + 3 (x + 2) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 9$

= $3 e^{- 0,3 x} - 0,9 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 9$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (3 - 0,9 x - 1,8) + 9$

= $9 + (- 0,9 x + 3 - 1,8) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $9 + (- 0,9 x + 1,2) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten