$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{5}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{5}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{6}{5}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-x+4}+x^2·e^{-x+4}·\left(-1\right)$

= $2x·e^{-x+4}+x^2·\left(-e^{-x+4}\right)$

= $2x·e^{-x+4}-x^2·e^{-x+4}$

= $e^{-x+4}·\left(-x^2+2x\right)$

= $\left(-x^2+2x\right)·e^{-x+4}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{3x}+x^2·e^{3x}·3$

= $2x·e^{3x}+x^2·3e^{3x}$

= $2x·e^{3x}+3x^2·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^2+2x\right)$

= $\left(3x^2+2x\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{3x}·3$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+9\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(3x+9\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $3\cdot \sin \left(x^3\right)+\left(3x+9\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $3\cdot \sin \left(x^3\right)+3\left(3x+9\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-x}$

f'(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f'''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-7$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,2}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(2-\mathrm{1,2}x-\mathrm{1,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{1,2}x+\mathrm{0,8}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,2}x+\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$