Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} - 3) \cdot e^{- 4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} - 3) \cdot e^{- 4 x + 1}$

$f'(x) =$ $(8 x + 0) \cdot e^{- 4 x + 1} + (4 x^{2} - 3) \cdot e^{- 4 x + 1} \cdot (- 4)$

= $8 x \cdot e^{- 4 x + 1} + (4 x^{2} - 3) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 1})$

= $8 x \cdot e^{- 4 x + 1} - 4 (4 x^{2} - 3) \cdot e^{- 4 x + 1}$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (- 16 x^{2} + 12 + 8 x)$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (- 16 x^{2} + 8 x + 12)$

= $(- 16 x^{2} + 8 x + 12) \cdot e^{- 4 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{- x + 1}$

= $2 {(- x + 1)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- 2 {(- x + 1)}^{- 2} \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{{(- x + 1)}^{2}} \cdot (- 1 + 0)$

= $- \frac{2}{{(- x + 1)}^{2}} \cdot (- 1)$

= $\frac{2}{{(- x + 1)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- x}$

f'(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f'''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $- 3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 4$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x + 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 4$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} - 4$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (3 - 0,3 x - 0,3) - 4$

= $- 4 + (- 0,3 x + 3 - 0,3) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 4 + (- 0,3 x + 2,7) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten