$\text{f(x)}=$ $4-2e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{-x}·\left(-1\right)$

= $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)-2e^{-2x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)-2e^{-2x+4}·\left(-2\right)$

= $4\cdot \cos \left(x\right)+4e^{-2x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x^4-2x^3\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-16x^3-6x^2\right)·e^x+\left(-4x^4-2x^3\right)·e^x$

= $e^x·(-4x^4-2x^3+\left(-16x^3-6x^2\right))$

= $e^x·\left(-4x^4-18x^3-6x^2\right)$

= $\left(-4x^4-18x^3-6x^2\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{x}·1$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\sin \left(x^3\right)+x^2·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+x^2·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+3x^2\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+3x^4·\cos \left(x^3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,749}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{30}·e^{-\mathrm{1,15}x}$

≈ $\mathrm{66,212}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-3\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,2}x}-3\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,6}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-3+\mathrm{0,6}x-\mathrm{3,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{6,6}\right)$

= $\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{6,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$