Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{4 x^{2}} - 7 \sqrt{x} + 3 e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{4 x^{2}} - 7 \sqrt{x} + 3 e^{3 x + 1}$

= $- \frac{3}{4} x^{- 2} - 7 x^{\frac{1}{2}} + 3 e^{3 x + 1}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{- 3} - \frac{7}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 e^{3 x + 1} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 x^{3}} - \frac{7}{2 \sqrt{x}} + 3 e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $\frac{3}{2 x^{3}} - \frac{7}{2 \sqrt{x}} + 9 e^{3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- 3 x^{2} - 3 x) + e^{3 x} \cdot (- 6 x - 3)$

= $3 \cdot e^{3 x} (- 3 x^{2} - 3 x) + e^{3 x} (- 6 x - 3)$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{2} - 9 x - 6 x - 3)$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{2} - 15 x - 3)$

= $(- 9 x^{2} - 15 x - 3) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 3) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 3) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (2 x + 3) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 e^{- 3 x} + (2 x + 3) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 e^{- 3 x} - 3 (2 x + 3) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (2 - 6 x - 9)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x - 7)$

= $(- 6 x - 7) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{1,1 x}$

f'(x) = $2 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,2 e^{1,1 x}$

f''(x) = $2,2 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,42 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $2,42 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,662 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,662 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,9282 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${1,1}^{62} \cdot 2 e^{1,1 x}$

≈ $736,846 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} - x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 1$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 4 (x - 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 1$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 3,2 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 1$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 + 3,2 x - 9,6) - 1$

= $- 1 + (3,2 x - 4 - 9,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 1 + (3,2 x - 13,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten