Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} - x) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} - x) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 10 x - 1) \cdot e^{- 3 x} + (- 5 x^{2} - x) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(- 10 x - 1) \cdot e^{- 3 x} + (- 5 x^{2} - x) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(- 10 x - 1) \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 5 x^{2} - x) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x^{2} + 3 x - 10 x - 1)$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x^{2} - 7 x - 1)$

= $(15 x^{2} - 7 x - 1) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x^{3} - 1}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x^{3} - 1} \cdot (- 9 x^{2})$

= $9 \cdot e^{- 3 x^{3} - 1} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{- 3 x^{3} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (2 x)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (2 x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (2 x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (2 x) + \sqrt{x} \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (2 x)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (2 x)}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 68-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 68-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 68 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{68}$

Somit gilt für die 68-te Ableitung:

f⁽⁶⁸⁾(x) = ${1,05}^{68} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $27,598 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 7 x$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $2 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 7$

= $2 e^{- 0,3 x} + 2 (x + 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 7$

= $2 e^{- 0,3 x} - 0,6 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 7$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (2 - 0,6 x - 2,4) - 7$

= $- 7 + (- 0,6 x + 2 - 2,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 7 + (- 0,6 x - 0,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten