$\text{f(x)}=$ $-5+2e^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{\frac{5}{6}x}·\frac{5}{6}$

= $\frac{5}{3}{e}^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{3x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{3x+1}+x^3·e^{3x+1}·3$

= $3x^2·e^{3x+1}+x^3·3e^{3x+1}$

= $3x^2·e^{3x+1}+3x^3·e^{3x+1}$

= $e^{3x+1}·\left(3x^3+3x^2\right)$

= $\left(3x^3+3x^2\right)·e^{3x+1}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-2x^2+4}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-2x^2+4}·\left(-4x\right)$

= $-8·e^{-2x^2+4}x$

= $-8x{e}^{-2x^2+4}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{6x}·6$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-1\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-2x}+\left(3x-1\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3e^{-2x}+\left(3x-1\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3e^{-2x}-2\left(3x-1\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(3-6x+2\right)$

= $e^{-2x}·\left(-6x+5\right)$

= $\left(-6x+5\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-x}$

f'(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f'''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-2$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-5\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,9}x}-5\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{4,5}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-5+\mathrm{4,5}x-\mathrm{22,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{4,5}x-\mathrm{27,5}\right)$

= $\left(\mathrm{4,5}x-\mathrm{27,5}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$