Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{5} + x^{2}) \cdot e^{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{5} + x^{2}) \cdot e^{- x + 4}$

$f'(x) =$ $(25 x^{4} + 2 x) \cdot e^{- x + 4} + (5 x^{5} + x^{2}) \cdot e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

= $(25 x^{4} + 2 x) \cdot e^{- x + 4} + (5 x^{5} + x^{2}) \cdot (- e^{- x + 4})$

= $(25 x^{4} + 2 x) \cdot e^{- x + 4} - (5 x^{5} + x^{2}) \cdot e^{- x + 4}$

= $e^{- x + 4} \cdot (- 5 x^{5} - x^{2} + (25 x^{4} + 2 x))$

= $e^{- x + 4} \cdot (- 5 x^{5} + 25 x^{4} - x^{2} + 2 x)$

= $(- 5 x^{5} + 25 x^{4} - x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} + 5} \cdot (- 6 x)$

= $- 18 \cdot e^{- 3 x^{2} + 5} x$

= $- 18 x e^{- 3 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{- 3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{- 3 x - 2}$

= ${(- 3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} {(- 3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{- 3 x - 2}} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{2 \sqrt{- 3 x - 2}} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{2 \sqrt{- 3 x - 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 84)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 3$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x + 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x - 4,2)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1,4 x - 2,2)$

= $(- 1,4 x - 2,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten