$\text{f(x)}=$ $2e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-4e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{x-3}-4\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{x-3}·1-4\cdot \cos \left(x\right)$

= $3e^{x-3}-4\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $2e^{3x^2+4}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{3x^2+4}·6x$

= $12·e^{3x^2+4}x$

= $12x{e}^{3x^2+4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{6x}·6$

= $\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{x-2}+x^3·e^{x-2}·1$

= $3x^2·e^{x-2}+x^3·e^{x-2}$

= $e^{x-2}·\left(x^3+3x^2\right)$

= $\left(x^3+3x^2\right)·e^{x-2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+82\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+7x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+7$

= $2e^{-\mathrm{0,3}x}+2\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)+7$

= $2e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,6}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+7$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(2-\mathrm{0,6}x-\mathrm{0,6}\right)+7$

= $7+\left(-\mathrm{0,6}x+2-\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $7+\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{1,4}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$