$\text{f(x)}=$ $3+\frac{5}{7}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{7}{e}^x$

= $\frac{5}{7}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{5x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{5x-2}+x^2·e^{5x-2}·5$

= $2x·e^{5x-2}+x^2·5e^{5x-2}$

= $2x·e^{5x-2}+5x^2·e^{5x-2}$

= $e^{5x-2}·\left(5x^2+2x\right)$

= $\left(5x^2+2x\right)·e^{5x-2}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-3x^3+4}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-3x^3+4}·\left(-9x^2\right)$

= $9·e^{-3x^3+4}{x}^2$

= $9x^2{e}^{-3x^3+4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x^2+3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x^2+3x}·\left(4x+3\right)$

= $\frac{4x+3}{2x^2+3x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{-2x}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{-2x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{-2x}+x^{\frac{1}{2}}·e^{-2x}·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{-2x}+\sqrt{x}·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-2x}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-2x}}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x}·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $3e^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{3,15}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{3,15}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{3,3075}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{3,3075}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{3,4729}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{3,4729}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{3,6465}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 70-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 70 mal mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,05}}^{70}$

Somit gilt für die 70-te Ableitung:

f⁽⁷⁰⁾(x) = ${\mathrm{1,05}}^{70}·3e^{\mathrm{1,05}x}$

≈ $\mathrm{91,279}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-4$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-4$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{2,4}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-4+\mathrm{2,4}x-\mathrm{9,6}\right)-4$

= $-4+\left(\mathrm{2,4}x-4-\mathrm{9,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-4+\left(\mathrm{2,4}x-\mathrm{13,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$