$\text{f(x)}=$ $-5+e^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{\frac{5}{6}x}·\frac{5}{6}$

= $\frac{5}{6}{e}^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{x-4}+\frac{3}{x^2}$

= $-3e^{x-4}+3x^{-2}$

=> f'(x) = $-3e^{x-4}·1-6x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{x-4}·1-\frac{6}{x^3}$

= $-3e^{x-4}-\frac{6}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{3x}+x^4·e^{3x}·3$

= $4x^3·e^{3x}+x^4·3e^{3x}$

= $4x^3·e^{3x}+3x^4·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^4+4x^3\right)$

= $\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $2\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{6x}·6$

= $\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(3x^3+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \sin \left(3x^3+3\right)·\left(9x^2+0\right)$

= $2\cdot \sin \left(3x^3+3\right)·\left(9x^2\right)$

= $18\sin \left(3x^3+3\right)x^2$

= $18x^2·\sin \left(3x^3+3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+75\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-6$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-4\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,1}x}-4\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,4}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-4+\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{3,6}\right)$

= $\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{3,6}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$