Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{9} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{7}{3} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (x) - 2 e^{- x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \cos (x) - 2 e^{- x + 5}$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x) - 2 e^{- x + 5} \cdot (- 1)$

= $- 3 \cdot \sin (x) + 2 e^{- x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 3 x^{5} - 3 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 3 x^{5} - 3 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 3 x^{5} - 3 x^{3}) + e^{2 x} \cdot (- 15 x^{4} - 9 x^{2})$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (- 3 x^{5} - 3 x^{3}) + e^{2 x} \cdot (- 15 x^{4} - 9 x^{2})$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{5} - 6 x^{3} + (- 15 x^{4} - 9 x^{2}))$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{5} - 15 x^{4} - 6 x^{3} - 9 x^{2})$

= $(- 6 x^{5} - 15 x^{4} - 6 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x - 5} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{- x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x - 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 4} + x^{4} \cdot e^{- 4 x - 4} \cdot (- 4)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 4} + x^{4} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 4})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 4} - 4 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 4}$

= $e^{- 4 x - 4} \cdot (- 4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 4 x - 4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 43-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{0,85 x}$

f'(x) = $- e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $- 0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${0,85}^{43} \cdot (- e^{0,85 x})$

≈ $- 0,001 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 3$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 5 e^{- 0,4 x} - 5 (x + 1) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 5 e^{- 0,4 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 5 + 2 x + 2)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (2 x - 3)$

= $(2 x - 3) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten