$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{2}{3}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{x+3}+x^4·e^{x+3}·1$

= $4x^3·e^{x+3}+x^4·e^{x+3}$

= $e^{x+3}·\left(x^4+4x^3\right)$

= $\left(x^4+4x^3\right)·e^{x+3}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x}+x^3·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x}+x^3·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3x^2·e^{-2x}-2x^3·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{3x}·3$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(e^{-2x}-4\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-6\left(e^{-2x}-4\right)·(e^{-2x}·\left(-2\right)+0)$

= $-6\left(e^{-2x}-4\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $12\left(e^{-2x}-4\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,9}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,9}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,81}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,81}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,729}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,729}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,6561}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,9}}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${\mathrm{0,9}}^{49}·e^{\mathrm{0,9}x}$

≈ $\mathrm{0,006}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-5\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}-5\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{3,5}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-5+\mathrm{3,5}x+21\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{3,5}x+16\right)$

= $\left(\mathrm{3,5}x+16\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$