Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x + 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 2} + x^{5} \cdot e^{4 x + 2} \cdot 4$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 2} + x^{5} \cdot 4 e^{4 x + 2}$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 2} + 4 x^{5} \cdot e^{4 x + 2}$

= $e^{4 x + 2} \cdot (4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{4 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x^{3} + 2}$

$f'(x) =$ $- e^{- x^{3} + 2} \cdot (- 3 x^{2})$

= $3 \cdot e^{- x^{3} + 2} x^{2}$

= $3 x^{2} e^{- x^{3} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 5) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 5) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} - 5) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} - 10 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x - 10)$

= $(2 x^{2} + 2 x - 10) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{0,85 x}$

f'(x) = $4 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $3,4 e^{0,85 x}$

f''(x) = $3,4 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $2,89 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $2,89 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $2,4565 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,4565 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $2,088 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${0,85}^{46} \cdot 4 e^{0,85 x}$

≈ $0,002 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 5$

= $e^{- 0,9 x} + (x - 3) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 5$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 5$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1 - 0,9 x + 2,7) - 5$

= $- 5 + (- 0,9 x + 1 + 2,7) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 5 + (- 0,9 x + 3,7) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten