Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 2 e^{- 2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 2 e^{- 2 x - 2}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x^{2} - 5} \cdot (- 6 x)$

= $12 \cdot e^{- 3 x^{2} - 5} x$

= $12 x e^{- 3 x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} - 5} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{x^{3} - 5} \cdot (3 x^{2})$

= $3 \frac{x^{2}}{x^{3} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} - 3) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} - 3) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 (x^{2} - 3) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $- 4 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $4,2 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $4,2 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 4,41 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $- 4,41 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $4,6305 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,6305 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 4,862 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${(- 1,05)}^{60} \cdot (- 4 e^{- 1,05 x})$

≈ $- 74,717 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 6$

= $4 e^{- 0,5 x} + 4 (x + 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 6$

= $4 e^{- 0,5 x} - 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (4 - 2 x - 4) + 6$

= $6 + (- 2 x + 4 - 4) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $6 - 2 x \cdot e^{- 0,5 x}$