Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x - 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x - 5} + x^{2} \cdot e^{3 x - 5} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x - 5} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x - 5}$

= $2 x \cdot e^{3 x - 5} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x - 5}$

= $e^{3 x - 5} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 3 x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 3 x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 3 x^{2} - 3 x) + e^{2 x} \cdot (- 6 x - 3)$

= $2 \cdot e^{2 x} (- 3 x^{2} - 3 x) + e^{2 x} (- 6 x - 3)$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{2} - 6 x - 6 x - 3)$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{2} - 12 x - 3)$

= $(- 6 x^{2} - 12 x - 3) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} + 2 x} \cdot (3 x^{2} + 2)$

= $\frac{3 x^{2} + 2}{x^{3} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x + 4) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $e^{- 3 x} + (x + 4) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $e^{- 3 x} - 3 (x + 4) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (1 - 3 x - 12)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x - 11)$

= $(- 3 x - 11) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 35-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{0,85 x}$

f'(x) = $2 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $1,7 e^{0,85 x}$

f''(x) = $1,7 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $1,445 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $1,445 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $1,2283 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,2283 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $1,044 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 35-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 35 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{35}$

Somit gilt für die 35-te Ableitung:

f⁽³⁵⁾(x) = ${0,85}^{35} \cdot 2 e^{0,85 x}$

≈ $0,007 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $4 e^{- 0,8 x} + 4 (x + 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $4 e^{- 0,8 x} - 3,2 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (4 - 3,2 x - 9,6)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3,2 x - 5,6)$

= $(- 3,2 x - 5,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten