Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{5}{7} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{5}{7} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{7} e^{x}$

= $\frac{5}{7} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x + 1} - \frac{3}{x^{2}} + \frac{3}{2} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x + 1} - \frac{3}{x^{2}} + \frac{3}{2} x^{2}$

= $- 3 e^{2 x + 1} - 3 x^{- 2} + \frac{3}{2} x^{2}$

=> f'(x) = $- 3 e^{2 x + 1} \cdot 2 + 6 x^{- 3} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x + 1} \cdot 2 + \frac{6}{x^{3}} + 3 x$

= $- 6 e^{2 x + 1} + \frac{6}{x^{3}} + 3 x$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $e^{3 x^{2} - 5} \cdot 6 x$

= $6 \cdot e^{3 x^{2} - 5} x$

= $6 x e^{3 x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} + 2 x^{2}} \cdot (- 12 x^{2} + 4 x)$

= $\frac{- 12 x^{2} + 4 x}{- 4 x^{3} + 2 x^{2}}$

= $\frac{- 4 \cdot 1 \cdot (3 x - 1)}{- 2 x \cdot (2 x - 1)}$

= $\frac{- 4 (3 x - 1)}{- 2 x \cdot (2 x - 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (- 2 x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \cos (- 2 x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \sin (- 2 x^{2} - 3) \cdot (- 4 x + 0)$

= $- 3 \cdot \sin (- 2 x^{2} - 3) \cdot (- 4 x)$

= $12 \sin (- 2 x^{2} - 3) x$

= $12 x \cdot \sin (- 2 x^{2} - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{0,95 x}$

f'(x) = $3 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $2,85 e^{0,95 x}$

f''(x) = $2,85 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $2,7075 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $2,7075 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $2,5721 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,5721 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $2,4435 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${0,95}^{63} \cdot 3 e^{0,95 x}$

≈ $0,118 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 2$

= $e^{- 0,8 x} + (x + 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 2$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 2$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x - 4) - 2$

= $- 2 + (- 0,8 x + 1 - 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 2 + (- 0,8 x - 3) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten