Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{12}{5} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{2} + e^{- 3 x} \cdot 2 x$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{2} + 2 \cdot e^{- 3 x} x$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x - 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (2 x)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (2 x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (2 x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (2 x) + \sqrt{x} \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (2 x)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (2 x)}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 36-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 36-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 36 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{36}$

Somit gilt für die 36-te Ableitung:

f⁽³⁶⁾(x) = ${(- 1,15)}^{36} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $153,152 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 9$

= $e^{- 0,5 x} + (x - 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 9$

= $e^{- 0,5 x} - 0,5 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 9$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1 - 0,5 x + 0,5) + 9$

= $9 + (- 0,5 x + 1 + 0,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $9 + (- 0,5 x + 1,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten