Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{5}{8} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{5}{8} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{8} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{15}{8} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x + 2) \cdot e^{4 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x + 2) \cdot e^{4 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 3 + 0) \cdot e^{4 x - 4} + (- 3 x + 2) \cdot e^{4 x - 4} \cdot 4$

= $- 3 e^{4 x - 4} + (- 3 x + 2) \cdot 4 e^{4 x - 4}$

= $- 3 e^{4 x - 4} + 4 (- 3 x + 2) \cdot e^{4 x - 4}$

= $e^{4 x - 4} \cdot (- 3 - 12 x + 8)$

= $e^{4 x - 4} \cdot (- 12 x + 5)$

= $(- 12 x + 5) \cdot e^{4 x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} + 4} \cdot (4 x + 0)$

= $\frac{1}{2 x^{2} + 4} \cdot (4 x)$

= $4 \frac{x}{2 x^{2} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (3 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \cos (3 x - 1)$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \sin (3 x - 1) \cdot (3 + 0)$

= $- 3 \cdot \sin (3 x - 1) \cdot (3)$

= $- 9 \cdot \sin (3 x - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{1,1 x}$

f'(x) = $3 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $3,3 e^{1,1 x}$

f''(x) = $3,3 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $3,63 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $3,63 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $3,993 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,993 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $4,3923 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${1,1}^{49} \cdot 3 e^{1,1 x}$

≈ $320,157 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 3 e^{- 0,5 x} - 3 (x + 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 3 e^{- 0,5 x} + 1,5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 3 + 1,5 x + 1,5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1,5 x - 1,5)$

= $(1,5 x - 1,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten