$\text{f(x)}=$ $-3e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{2x}·2$

= $-6e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{2}\cdot \cos \left(x\right)-2e^{2x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{2}\cdot \sin \left(x\right)-2e^{2x-1}·2$

= $\frac{5}{2}\cdot \sin \left(x\right)-4e^{2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-x+2}·\left(-1\right)$

= $3e^{-x+2}$

$\text{f(x)}=$ $-\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-1}{7x}·7$

= $-\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-8\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-2x}+\left(x-8\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $e^{-2x}+\left(x-8\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $e^{-2x}-2\left(x-8\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(1-2x+16\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x+17\right)$

= $\left(-2x+17\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+80\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)-4$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)-4$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{0,7}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-4$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-1+\mathrm{0,7}x+\mathrm{0,7}\right)-4$

= $-4+\left(\mathrm{0,7}x-1+\mathrm{0,7}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $-4+\left(\mathrm{0,7}x-\mathrm{0,3}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$