$\text{f(x)}=$ $4+\frac{3}{4}{e}^{\frac{9}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{4}{e}^{\frac{9}{8}x}·\frac{9}{8}$

= $\frac{27}{32}{e}^{\frac{9}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{2x+5}-\frac{1}{2x^2}$

= $-3e^{2x+5}-\frac{1}{2}{x}^{-2}$

=> f'(x) = $-3e^{2x+5}·2+x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{2x+5}·2+\frac{1}{x^3}$

= $-6e^{2x+5}+\frac{1}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2+2\right)·e^{4x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+0\right)·e^{4x-3}+\left(2x^2+2\right)·e^{4x-3}·4$

= $4x·e^{4x-3}+\left(2x^2+2\right)·4e^{4x-3}$

= $4x·e^{4x-3}+4\left(2x^2+2\right)·e^{4x-3}$

= $e^{4x-3}·\left(8x^2+8+4x\right)$

= $e^{4x-3}·\left(8x^2+4x+8\right)$

= $\left(8x^2+4x+8\right)·e^{4x-3}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{4x}·4$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{2x}+x^3·e^{2x}·2$

= $3x^2·e^{2x}+x^3·2e^{2x}$

= $3x^2·e^{2x}+2x^3·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^3+3x^2\right)$

= $\left(2x^3+3x^2\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $-3e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{2,85}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{2,85}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{2,7075}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{2,7075}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{2,5721}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,5721}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{2,4435}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 70-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 70 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{70}$

Somit gilt für die 70-te Ableitung:

f⁽⁷⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{70}·\left(-3e^{-\mathrm{0,95}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,083}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+3$

= $-e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)+3$

= $-e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,2}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+3$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-1+\mathrm{0,2}x+1\right)+3$

= $3+\left(\mathrm{0,2}x-1+1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $3+\mathrm{0,2}x·e^{-\mathrm{0,2}x}$