$\text{f(x)}=$ $-2e^x$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^x$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{3x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{3x-2}+x^5·e^{3x-2}·3$

= $5x^4·e^{3x-2}+x^5·3e^{3x-2}$

= $5x^4·e^{3x-2}+3x^5·e^{3x-2}$

= $e^{3x-2}·\left(3x^5+5x^4\right)$

= $\left(3x^5+5x^4\right)·e^{3x-2}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-2x}+x^4·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $4x^3·e^{-2x}+x^4·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $4x^3·e^{-2x}-2x^4·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^4+4x^3\right)$

= $\left(-2x^4+4x^3\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x^2-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x^2-5}·\left(-6x+0\right)$

= $\frac{1}{-3x^2-5}·\left(-6x\right)$

= $-6\frac{x}{-3x^2-5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+8\right)·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(-2x\right)+\left(x^2+8\right)·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $2x·\sin \left(-2x\right)+\left(x^2+8\right)·\left(-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right)$

= $2x·\sin \left(-2x\right)-2\left(x^2+8\right)·\cos \left(-2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^x$

f'(x) = $e^x$

f''(x) = $e^x$

f'''(x) = $e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^x$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)-8$

= $-e^{-\mathrm{0,4}x}-\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)-8$

= $-e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{0,4}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-8$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-1+\mathrm{0,4}x-\mathrm{2,8}\right)-8$

= $-8+\left(\mathrm{0,4}x-1-\mathrm{2,8}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $-8+\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{3,8}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$