$\text{f(x)}=$ $3e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-9e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-x-3}+x^5·e^{-x-3}·\left(-1\right)$

= $5x^4·e^{-x-3}+x^5·\left(-e^{-x-3}\right)$

= $5x^4·e^{-x-3}-x^5·e^{-x-3}$

= $e^{-x-3}·\left(-x^5+5x^4\right)$

= $\left(-x^5+5x^4\right)·e^{-x-3}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-2x}+x^2·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+x^2·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2x^2·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $2\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{6x}·6$

= $\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+4\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(2x+4\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2\cdot \sin \left(x^3\right)+\left(2x+4\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2\cdot \sin \left(x^3\right)+3\left(2x+4\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^x$

f'(x) = $e^x$

f''(x) = $e^x$

f'''(x) = $e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $e^x$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+2x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+2$

= $-e^{-\mathrm{0,4}x}-\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+2$

= $-e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{0,4}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+2$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-1+\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}\right)+2$

= $2+\left(\mathrm{0,4}x-1+\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $2+\left(\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$