$\text{f(x)}=$ $-2-2e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $6e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{9}{2}{x}^2-2e^{2x-4}$

= $-x^{-\frac{1}{2}}+\frac{9}{2}{x}^2-2e^{2x-4}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}+9x-2e^{2x-4}·2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2{\left(\sqrt{x}\right)}^3}+9x-2e^{2x-4}·2$

= $\frac{1}{2{\left(\sqrt{x}\right)}^3}+9x-4e^{2x-4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^2-5x\right)·e^{-5x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-10x-5\right)·e^{-5x+3}+\left(-5x^2-5x\right)·e^{-5x+3}·\left(-5\right)$

= $\left(-10x-5\right)·e^{-5x+3}+\left(-5x^2-5x\right)·\left(-5e^{-5x+3}\right)$

= $\left(-10x-5\right)·e^{-5x+3}-5\left(-5x^2-5x\right)·e^{-5x+3}$

= $e^{-5x+3}·\left(25x^2+25x-10x-5\right)$

= $e^{-5x+3}·\left(25x^2+15x-5\right)$

= $\left(25x^2+15x-5\right)·e^{-5x+3}$

$\text{f(x)}=$ $7\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{6x}·6$

= $\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+5\right)·\sin \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(2x\right)+\left(2x+5\right)·\cos \left(2x\right)·2$

= $2\cdot \sin \left(2x\right)+\left(2x+5\right)·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $2\cdot \sin \left(2x\right)+2\left(2x+5\right)·\cos \left(2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+79\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-2$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-5\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,3}x}-5\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{1,5}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-5+\mathrm{1,5}x+\mathrm{10,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{1,5}x+\mathrm{5,5}\right)$

= $\left(\mathrm{1,5}x+\mathrm{5,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$