Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{3} - 2 e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{3} - 2 e^{- 3 x - 1}$

$f'(x) =$ $12 x^{2} - 2 e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $12 x^{2} + 6 e^{- 3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot e^{5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot e^{5 x + 2}$

$f'(x) =$ $(16 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{5 x + 2} + (4 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot e^{5 x + 2} \cdot 5$

= $(16 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{5 x + 2} + (4 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot 5 e^{5 x + 2}$

= $(16 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{5 x + 2} + 5 (4 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot e^{5 x + 2}$

= $e^{5 x + 2} \cdot (20 x^{4} - 10 x^{3} + (16 x^{3} - 6 x^{2}))$

= $e^{5 x + 2} \cdot (20 x^{4} + 6 x^{3} - 6 x^{2})$

= $(20 x^{4} + 6 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{5 x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 4) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 4) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 4) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 4) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} + 4) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 12 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x - 12)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x - 12) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 51-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{0,9 x}$

f'(x) = $- 3 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,7 e^{0,9 x}$

f''(x) = $- 2,7 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,43 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $- 2,43 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,187 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,187 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 1,9683 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 51-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 51 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{51}$

Somit gilt für die 51-te Ableitung:

f⁽⁵¹⁾(x) = ${0,9}^{51} \cdot (- 3 e^{0,9 x})$

≈ $- 0,014 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 2$

= $- e^{- 0,1 x} - (x + 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 2$

= $- e^{- 0,1 x} + 0,1 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 2$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 1 + 0,1 x + 0,1) + 2$

= $2 + (0,1 x - 1 + 0,1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $2 + (0,1 x - 0,9) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten