Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{6}{5} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{6}{5} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{5} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{18}{5} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x + 1} + \frac{7}{3 x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x + 1} + \frac{7}{3 x^{4}}$

= $e^{- 3 x + 1} + \frac{7}{3} x^{- 4}$

=> f'(x) = $e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3) - \frac{28}{3} x^{- 5}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3) - \frac{28}{3 x^{5}}$

= $- 3 e^{- 3 x + 1} - \frac{28}{3 x^{5}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x - 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} - 2 x^{2}} \cdot (9 x^{2} - 4 x)$

= $\frac{9 x^{2} - 4 x}{3 x^{3} - 2 x^{2}}$

= $\frac{1 \cdot (9 x - 4)}{x \cdot (3 x - 2)}$

= $\frac{9 x - 4}{x \cdot (3 x - 2)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(- x + 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(- x + 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $10 {(- x + 4)}^{4} \cdot (- 1 + 0)$

= $10 {(- x + 4)}^{4} \cdot (- 1)$

= $- 10 {(- x + 4)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 52-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${(- 1,1)}^{52} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $142,043 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} + x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 1$

= $4 e^{- 0,3 x} + 4 (x + 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 1$

= $4 e^{- 0,3 x} - 1,2 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 1$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (4 - 1,2 x - 1,2) + 1$

= $1 + (- 1,2 x + 4 - 1,2) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $1 + (- 1,2 x + 2,8) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten