Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{\frac{7}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{\frac{7}{4} x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{8} e^{\frac{7}{4} x} \cdot \frac{7}{4}$

= $\frac{49}{32} e^{\frac{7}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 2) \cdot e^{- 4 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 2) \cdot e^{- 4 x + 3}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 4 x + 3} + (3 x - 2) \cdot e^{- 4 x + 3} \cdot (- 4)$

= $3 e^{- 4 x + 3} + (3 x - 2) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 3})$

= $3 e^{- 4 x + 3} - 4 (3 x - 2) \cdot e^{- 4 x + 3}$

= $e^{- 4 x + 3} \cdot (3 - 12 x + 8)$

= $e^{- 4 x + 3} \cdot (- 12 x + 11)$

= $(- 12 x + 11) \cdot e^{- 4 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x^{3} + 2}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x^{3} + 2} \cdot 6 x^{2}$

= $- 6 \cdot e^{2 x^{3} + 2} x^{2}$

= $- 6 x^{2} e^{2 x^{3} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} + 3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 3)$

= $\frac{- 9 x^{2} + 3}{- 3 x^{3} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(e^{2 x} - 4)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(e^{2 x} - 4)}^{4}$

$f'(x) =$ $8 {(e^{2 x} - 4)}^{3} \cdot (e^{2 x} \cdot 2 + 0)$

= $8 {(e^{2 x} - 4)}^{3} \cdot (2 e^{2 x})$

= $16 {(e^{2 x} - 4)}^{3} \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $3,3 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $3,3 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 3,63 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $- 3,63 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $3,993 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,993 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 4,3923 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${(- 1,1)}^{62} \cdot (- 3 e^{- 1,1 x})$

≈ $- 1105,268 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 8$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 8$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 2 e^{- 0,2 x} - 2 (x + 4) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 2 e^{- 0,2 x} + 0,4 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 2 + 0,4 x + 1,6)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,4 x - 0,4)$

= $(0,4 x - 0,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten