$\text{f(x)}=$ $e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x^2+1\right)·e^{-4x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-8x+0\right)·e^{-4x-1}+\left(-4x^2+1\right)·e^{-4x-1}·\left(-4\right)$

= $-8x·e^{-4x-1}+\left(-4x^2+1\right)·\left(-4e^{-4x-1}\right)$

= $-8x·e^{-4x-1}-4\left(-4x^2+1\right)·e^{-4x-1}$

= $e^{-4x-1}·\left(16x^2-4-8x\right)$

= $e^{-4x-1}·\left(16x^2-8x-4\right)$

= $\left(16x^2-8x-4\right)·e^{-4x-1}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x}+x^3·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x}+x^3·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3x^2·e^{-2x}-2x^3·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $5\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{5x}·5$

= $\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(-2x^3-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(-2x^3-5\right)·\left(-6x^2+0\right)$

= $2\cdot \cos \left(-2x^3-5\right)·\left(-6x^2\right)$

= $-12\cos \left(-2x^3-5\right)x^2$

= $-12x^2·\cos \left(-2x^3-5\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^x$

f'(x) = $-e^x$

f''(x) = $-e^x$

f'''(x) = $-e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $-e^x$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-1$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,7}x}+4\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{2,8}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(4-\mathrm{2,8}x-\mathrm{5,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{2,8}x-\mathrm{1,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{2,8}x-\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$