Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{\frac{8}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{\frac{8}{7} x}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{9} e^{\frac{8}{7} x} \cdot \frac{8}{7}$

= $\frac{64}{63} e^{\frac{8}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x - 1} + \frac{1}{2 x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x - 1} + \frac{1}{2 x^{2}}$

= $3 e^{x - 1} + \frac{1}{2} x^{- 2}$

=> f'(x) = $3 e^{x - 1} \cdot 1 - x^{- 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{x - 1} \cdot 1 - \frac{1}{x^{3}}$

= $3 e^{x - 1} - \frac{1}{x^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- x} + (x^{2} - 3) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x} + (x^{2} - 3) \cdot (- e^{- x})$

= $2 x \cdot e^{- x} - (x^{2} - 3) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{2} + 3 + 2 x)$

= $e^{- x} \cdot (- x^{2} + 2 x + 3)$

= $(- x^{2} + 2 x + 3) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x + 2} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x + 2} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \sin (x^{2})$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot \sin (x^{2})$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot \sin (x^{2}) + x^{\frac{1}{4}} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot \sin (x^{2}) + \sqrt[4]{x} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (x^{2})}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (x^{2})}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 2 \sqrt[4]{x} \cos (x^{2}) x$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (x^{2})}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 2 {(\sqrt[4]{x})}^{5} \cdot \cos (x^{2})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 83)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 2$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x + 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 2$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 2$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (3 - 1,5 x - 9) + 2$

= $2 + (- 1,5 x + 3 - 9) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $2 + (- 1,5 x - 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten