$\text{f(x)}=$ $1+\frac{7}{8}{e}^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{7}{8}{e}^{\frac{4}{5}x}·\frac{4}{5}$

= $\frac{7}{10}{e}^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{4x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{4x-3}+x^3·e^{4x-3}·4$

= $3x^2·e^{4x-3}+x^3·4e^{4x-3}$

= $3x^2·e^{4x-3}+4x^3·e^{4x-3}$

= $e^{4x-3}·\left(4x^3+3x^2\right)$

= $\left(4x^3+3x^2\right)·e^{4x-3}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-3x^2-4}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-3x^2-4}·\left(-6x\right)$

= $-18·e^{-3x^2-4}x$

= $-18x{e}^{-3x^2-4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x+1}·\left(3+0\right)$

= $\frac{1}{3x+1}·\left(3\right)$

= $\frac{3}{3x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{-2x}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{-2x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{-2x}+x^{\frac{1}{2}}·e^{-2x}·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{-2x}+\sqrt{x}·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-2x}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-2x}}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x}·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $4e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{3,8}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{3,8}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{3,61}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{3,61}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{3,4295}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{3,4295}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{3,258}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{64}·4e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,15}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+1$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2-x+6\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-x+8\right)$

= $\left(-x+8\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$