$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x+3}+7\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x+3}·\left(-1\right)-7\cdot \sin \left(x\right)$

= $-e^{-x+3}-7\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·\left(x^2-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·\left(x^2-3x\right)+e^{-2x}·\left(2x-3\right)$

= $-2·e^{-2x}\left(x^2-3x\right)+e^{-2x}\left(2x-3\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+6x+2x-3\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+8x-3\right)$

= $\left(-2x^2+8x-3\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x^3+3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x^3+3x}·\left(9x^2+3\right)$

= $\frac{9x^2+3}{3x^3+3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-2\right)·\sin \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(-3x\right)+\left(x^2-2\right)·\cos \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $2x·\sin \left(-3x\right)+\left(x^2-2\right)·\left(-3\cdot \cos \left(-3x\right)\right)$

= $2x·\sin \left(-3x\right)-3\left(x^2-2\right)·\cos \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $-4e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{3,8}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{3,8}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{3,61}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{3,61}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{3,4295}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{3,4295}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{3,258}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{60}·\left(-4e^{-\mathrm{0,95}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,184}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{3,2}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(4-\mathrm{3,2}x+\mathrm{9,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{3,2}x+\mathrm{13,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{3,2}x+\mathrm{13,6}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$