$\text{f(x)}=$ $-3e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $9e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^2+4x\right)·e^{-x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(6x+4\right)·e^{-x-2}+\left(3x^2+4x\right)·e^{-x-2}·\left(-1\right)$

= $\left(6x+4\right)·e^{-x-2}+\left(3x^2+4x\right)·\left(-e^{-x-2}\right)$

= $\left(6x+4\right)·e^{-x-2}-\left(3x^2+4x\right)·e^{-x-2}$

= $e^{-x-2}·\left(-3x^2-4x+6x+4\right)$

= $e^{-x-2}·\left(-3x^2+2x+4\right)$

= $\left(-3x^2+2x+4\right)·e^{-x-2}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{2x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{2x+5}·2$

= $-4e^{2x+5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-4x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-4x-2}·\left(-4+0\right)$

= $\frac{1}{-4x-2}·\left(-4\right)$

= $-\frac{4}{-4x-2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+4\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{2x}+\left(3x+4\right)·e^{2x}·2$

= $3e^{2x}+\left(3x+4\right)·2e^{2x}$

= $3e^{2x}+2\left(3x+4\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(3+6x+8\right)$

= $e^{2x}·\left(6x+11\right)$

= $\left(6x+11\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+81\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+8$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,8}x}-\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{0,8}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-1+\mathrm{0,8}x-4\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(\mathrm{0,8}x-5\right)$

= $\left(\mathrm{0,8}x-5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$