$\text{f(x)}=$ $3+\frac{10}{9}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{10}{9}{e}^{2x}·2$

= $\frac{20}{9}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x}+x^3·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x}+x^3·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3x^2·e^{-2x}-2x^3·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{x^3-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{x^3-3}·3x^2$

= $-6·e^{x^3-3}{x}^2$

= $-6x^2{e}^{x^3-3}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{6x}·6$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+5\right)·\sin \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(-3x\right)+\left(x^2+5\right)·\cos \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $2x·\sin \left(-3x\right)+\left(x^2+5\right)·\left(-3\cdot \cos \left(-3x\right)\right)$

= $2x·\sin \left(-3x\right)-3\left(x^2+5\right)·\cos \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $-4e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{4,6}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{4,6}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{5,29}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{5,29}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{6,0835}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{6,0835}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{6,996}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 44-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 44 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{44}$

Somit gilt für die 44-te Ableitung:

f⁽⁴⁴⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{44}·\left(-4e^{-\mathrm{1,15}x}\right)$

≈ $-\mathrm{1873,98}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+4$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+5\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}+5\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{1,5}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(5-\mathrm{1,5}x+3\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{1,5}x+8\right)$

= $\left(-\mathrm{1,5}x+8\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$