Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{7} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{15}{7} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x + 4} - 4 x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x + 4} - 4 x^{5}$

$f'(x) =$ $2 e^{x + 4} \cdot 1 - 20 x^{4}$

= $2 e^{x + 4} - 20 x^{4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{4} - 4) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{4} - 4) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 4 x^{3} + 0) \cdot e^{- 2 x} + (- x^{4} - 4) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + (- x^{4} - 4) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $- 4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} - 2 (- x^{4} - 4) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{4} + 8 - 4 x^{3})$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{4} - 4 x^{3} + 8)$

= $(2 x^{4} - 4 x^{3} + 8) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} - 5} \cdot (- 4 x + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x^{2} - 5} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \frac{x}{- 2 x^{2} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (- x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (- x - 1)$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot \sin (- x - 1)$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot \sin (- x - 1) + x^{\frac{1}{3}} \cdot \cos (- x - 1) \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot \sin (- x - 1) + \sqrt[3]{x} \cdot \cos (- x - 1) \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (- x - 1)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \cos (- x - 1) \cdot (- 1)$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (- x - 1)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot (- \cos (- x - 1))$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (- x - 1)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - \sqrt[3]{x} \cdot \cos (- x - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 81)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x - 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (3 - 1,5 x + 1,5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1,5 x + 4,5)$

= $(- 1,5 x + 4,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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