Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + e^{\frac{2}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + e^{\frac{2}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{2}{3} x} \cdot \frac{2}{3}$

= $\frac{2}{3} e^{\frac{2}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x + 5} + x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x + 5} + x^{2}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x + 5} \cdot (- 1) + 2 x$

= $3 e^{- x + 5} + 2 x$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(6 x + 2) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(6 x + 2) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{2} + 2 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(6 x + 2) \cdot e^{- 2 x} - 2 (3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{2} - 4 x + 6 x + 2)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{2} + 2 x + 2)$

= $(- 6 x^{2} + 2 x + 2) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x - 6) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x - 6) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (1 + 3 x - 18)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x - 17)$

= $(3 x - 17) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 41-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 41-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 41 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{41}$

Somit gilt für die 41-te Ableitung:

f⁽⁴¹⁾(x) = ${0,85}^{41} \cdot e^{0,85 x}$

≈ $0,001 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 4$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 3 e^{- 0,5 x} - 3 (x - 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 3 e^{- 0,5 x} + 1,5 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 3 + 1,5 x - 10,5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1,5 x - 13,5)$

= $(1,5 x - 13,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten