Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{3}{5} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 5 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 5 x - 2)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (- 5 x - 2) + e^{- 3 x} \cdot (- 5 + 0)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 5 x - 2) + e^{- 3 x} \cdot (- 5)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 5 x - 2) - 5 e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 5 + 15 x + 6)$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x + 1)$

= $(15 x + 1) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x^{3} + 5} \cdot 9 x^{2}$

= $27 \cdot e^{3 x^{3} + 5} x^{2}$

= $27 x^{2} e^{3 x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 9) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 9) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (2 x + 9) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $2 \cdot \sin (- 3 x) + (2 x + 9) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $2 \cdot \sin (- 3 x) - 3 (2 x + 9) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${(- 1,05)}^{64} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $22,705 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 3$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $5 e^{- 0,8 x} + 5 (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $5 e^{- 0,8 x} - 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (5 - 4 x + 4)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 x + 9)$

= $(- 4 x + 9) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten