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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{2}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{2}{3} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{2}{3} x} \cdot \frac{2}{3}$

= $- 2 e^{\frac{2}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{x^{2}} - 2 e^{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{x^{2}} - 2 e^{3 x + 2}$

= $3 x^{- 2} - 2 e^{3 x + 2}$

=> f'(x) = $- 6 x^{- 3} - 2 e^{3 x + 2} \cdot 3$

$f'(x) =$ $- \frac{6}{x^{3}} - 2 e^{3 x + 2} \cdot 3$

= $- \frac{6}{x^{3}} - 6 e^{3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x + 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x + 1} \cdot 2$

= $4 e^{2 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x + 2) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $e^{- 3 x} + (x + 2) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $e^{- 3 x} - 3 (x + 2) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (1 - 3 x - 6)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x - 5)$

= $(- 3 x - 5) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${0,85}^{50} \cdot e^{0,85 x}$

= 0

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 1$

= $- 4 e^{- 0,7 x} - 4 (x + 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 1$

= $- 4 e^{- 0,7 x} + 2,8 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 1$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 4 + 2,8 x + 2,8) - 1$

= $- 1 + (2,8 x - 4 + 2,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 1 + (2,8 x - 1,2) \cdot e^{- 0,7 x}$