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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x - 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{4 x - 2} + x^{5} \cdot e^{4 x - 2} \cdot 4$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x - 2} + x^{5} \cdot 4 e^{4 x - 2}$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x - 2} + 4 x^{5} \cdot e^{4 x - 2}$

= $e^{4 x - 2} \cdot (4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{4 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} + 3} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{x^{3} + 3} \cdot (3 x^{2})$

= $3 \frac{x^{2}}{x^{3} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x - 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x - 1} + x^{5} \cdot e^{3 x - 1} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x - 1} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x - 1}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x - 1} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x - 1}$

= $e^{3 x - 1} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x - 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{x}$

f'(x) = $- 4 e^{x}$

f''(x) = $- 4 e^{x}$

f'''(x) = $- 4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $- 4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 5$

= $5 e^{- 0,3 x} + 5 (x - 2) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 5$

= $5 e^{- 0,3 x} - 1,5 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 5$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (5 - 1,5 x + 3) + 5$

= $5 + (- 1,5 x + 5 + 3) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $5 + (- 1,5 x + 8) \cdot e^{- 0,3 x}$