Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x - 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x - 1} + x^{2} \cdot e^{2 x - 1} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x - 1} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x - 1}$

= $2 x \cdot e^{2 x - 1} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x - 1}$

= $e^{2 x - 1} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 8) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 8) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 8) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 8) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} + 8) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 24 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x - 24)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x - 24) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 36-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $2 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 2,3 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 2,3 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $2,645 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $2,645 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 3,0418 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,0418 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $3,498 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 36-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 36 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{36}$

Somit gilt für die 36-te Ableitung:

f⁽³⁶⁾(x) = ${(- 1,15)}^{36} \cdot 2 e^{- 1,15 x}$

≈ $306,304 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 1$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2 + 1,6 x - 1,6)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1,6 x - 3,6)$

= $(1,6 x - 3,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten