Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{8}{7} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{8}{7} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{7} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{24}{7} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x + 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x + 2} + x^{2} \cdot e^{- x + 2} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x + 2} + x^{2} \cdot (- e^{- x + 2})$

= $2 x \cdot e^{- x + 2} - x^{2} \cdot e^{- x + 2}$

= $e^{- x + 2} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{3} + e^{- 2 x} \cdot 3 x^{2}$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{3} + 3 \cdot e^{- 2 x} x^{2}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 6) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 6) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{3 x} + (2 x - 6) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 e^{3 x} + (2 x - 6) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 e^{3 x} + 3 (2 x - 6) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (2 + 6 x - 18)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x - 16)$

= $(6 x - 16) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 87)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 9$

= $- 5 e^{- 0,9 x} - 5 (x - 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 9$

= $- 5 e^{- 0,9 x} + 4,5 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 9$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 5 + 4,5 x - 22,5) - 9$

= $- 9 + (4,5 x - 5 - 22,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 9 + (4,5 x - 27,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten