$\text{f(x)}=$ $-2+\frac{7}{9}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{7}{9}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-\frac{7}{3}{e}^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $2\sqrt{x}+2e^{-2x+5}$

= $2x^{\frac{1}{2}}+2e^{-2x+5}$

=> f'(x) = $x^{-\frac{1}{2}}+2e^{-2x+5}·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{x}}+2e^{-2x+5}·\left(-2\right)$

= $\frac{1}{\sqrt{x}}-4e^{-2x+5}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·x^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·x^4+e^{-3x}·4x^3$

= $-3·e^{-3x}{x}^4+4·e^{-3x}{x}^3$

= $e^{-3x}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(x^3-2x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x^3-2x^2}·\left(3x^2-4x\right)$

= $\frac{3x^2-4x}{x^3-2x^2}$

= $\frac{1·\left(3x-4\right)}{x·\left(x-2\right)}$

= $\frac{3x-4}{x·\left(x-2\right)}$

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(-3x-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(-3x-1\right)·\left(-3+0\right)$

= $-\sin \left(-3x-1\right)·\left(-3\right)$

= $3\cdot \sin \left(-3x-1\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-x}$

f'(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f'''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+8$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,3}x}-2\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,6}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-2+\mathrm{0,6}x-\mathrm{1,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{3,8}\right)$

= $\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{3,8}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$