Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{9}{7} e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{9}{7} e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $\frac{9}{7} e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $\frac{3}{7} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{- x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{- x + 2}$

$f'(x) =$ $(6 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- x + 2} + (2 x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{- x + 2} \cdot (- 1)$

= $(6 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- x + 2} + (2 x^{3} + 4 x^{2}) \cdot (- e^{- x + 2})$

= $(6 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- x + 2} - (2 x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{- x + 2}$

= $e^{- x + 2} \cdot (- 2 x^{3} - 4 x^{2} + (6 x^{2} + 8 x))$

= $e^{- x + 2} \cdot (- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 8 x)$

= $(- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{x^{2} + 3} \cdot 2 x$

= $6 \cdot e^{x^{2} + 3} x$

= $6 x e^{x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} - 5} \cdot (- 2 x + 0)$

= $\frac{1}{- x^{2} - 5} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \frac{x}{- x^{2} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x - 5) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x - 5) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x - 5) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (1 + 2 x - 10)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x - 9)$

= $(2 x - 9) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 43-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{0,85 x}$

f'(x) = $- 3 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 2,55 e^{0,85 x}$

f''(x) = $- 2,55 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 2,1675 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $- 2,1675 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 1,8424 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,8424 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 1,566 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${0,85}^{43} \cdot (- 3 e^{0,85 x})$

≈ $- 0,003 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 3$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $5 e^{- 0,8 x} + 5 (x + 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $5 e^{- 0,8 x} - 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (5 - 4 x - 4)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 x + 1)$

= $(- 4 x + 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten