$\text{f(x)}=$ $-3+e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{x-5}+9\sqrt{x}$

= $-e^{x-5}+9x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-e^{x-5}·1+\frac{9}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{x-5}·1+\frac{9}{2\sqrt{x}}$

= $-e^{x-5}+\frac{9}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2·x^3+e^{2x}·3x^2$

= $2·e^{2x}{x}^3+3·e^{2x}{x}^2$

= $e^{2x}·\left(2x^3+3x^2\right)$

= $\left(2x^3+3x^2\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{6x}·6$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+1\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{3x}+\left(3x+1\right)·e^{3x}·3$

= $3e^{3x}+\left(3x+1\right)·3e^{3x}$

= $3e^{3x}+3\left(3x+1\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3+9x+3\right)$

= $e^{3x}·\left(9x+6\right)$

= $\left(9x+6\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 73-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 73 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{73}$

Somit gilt für die 73-te Ableitung:

f⁽⁷³⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{73}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $-\mathrm{0,024}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)-8$

= $4e^{-\mathrm{0,1}x}+4\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)-8$

= $4e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,4}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-8$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(4-\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}\right)-8$

= $-8+\left(-\mathrm{0,4}x+4-\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $-8+\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{3,2}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$