$\text{f(x)}=$ $e^{\frac{4}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{\frac{4}{3}x}·\frac{4}{3}$

= $\frac{4}{3}{e}^{\frac{4}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^3-5\right)·e^{-x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-15x^2+0\right)·e^{-x+5}+\left(-5x^3-5\right)·e^{-x+5}·\left(-1\right)$

= $-15x^2·e^{-x+5}+\left(-5x^3-5\right)·\left(-e^{-x+5}\right)$

= $-15x^2·e^{-x+5}-\left(-5x^3-5\right)·e^{-x+5}$

= $e^{-x+5}·\left(5x^3+5-15x^2\right)$

= $e^{-x+5}·\left(5x^3-15x^2+5\right)$

= $\left(5x^3-15x^2+5\right)·e^{-x+5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^4-2x\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(12x^3-2\right)·e^{-2x}+\left(3x^4-2x\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $\left(12x^3-2\right)·e^{-2x}+\left(3x^4-2x\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $\left(12x^3-2\right)·e^{-2x}-2\left(3x^4-2x\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-6x^4+4x+12x^3-2\right)$

= $e^{-2x}·\left(-6x^4+12x^3+4x-2\right)$

= $\left(-6x^4+12x^3+4x-2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $3\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{6x}·6$

= $\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(e^{-2x}+3\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-9{\left(e^{-2x}+3\right)}^2·(e^{-2x}·\left(-2\right)+0)$

= $-9{\left(e^{-2x}+3\right)}^2·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $18{\left(e^{-2x}+3\right)}^2·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $-5e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{4,75}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{4,75}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{4,5125}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{4,5125}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{4,2869}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{4,2869}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{4,0725}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{61}·\left(-5e^{-\mathrm{0,95}x}\right)$

≈ $\mathrm{0,219}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+2x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-3\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+2$

= $-3e^{-\mathrm{0,2}x}-3\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)+2$

= $-3e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,6}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+2$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-3+\mathrm{0,6}x+\mathrm{1,8}\right)+2$

= $2+\left(\mathrm{0,6}x-3+\mathrm{1,8}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $2+\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$