$\text{f(x)}=$ $-3+\frac{1}{2}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{2}{e}^x$

= $\frac{1}{2}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{4x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{4x-1}+x^3·e^{4x-1}·4$

= $3x^2·e^{4x-1}+x^3·4e^{4x-1}$

= $3x^2·e^{4x-1}+4x^3·e^{4x-1}$

= $e^{4x-1}·\left(4x^3+3x^2\right)$

= $\left(4x^3+3x^2\right)·e^{4x-1}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-3x}+x^4·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $4x^3·e^{-3x}+x^4·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $4x^3·e^{-3x}-3x^4·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{7x}·7$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{x^2+5}$

= $-2{\left(x^2+5\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $2{\left(x^2+5\right)}^{-2}·\left(2x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{{\left(x^2+5\right)}^2}·\left(2x+0\right)$

= $\frac{2}{{\left(x^2+5\right)}^2}·\left(2x\right)$

= $4\frac{x}{{\left(x^2+5\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^x·\left(x+83\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)-3$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}+\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)-3$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{0,4}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-3$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(1-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}\right)-3$

= $-3+\left(-\mathrm{0,4}x+1+\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $-3+\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,8}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$