$\text{f(x)}=$ $4+2e^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{\frac{4}{5}x}·\frac{4}{5}$

= $\frac{8}{5}{e}^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{2x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{2x+2}+x^3·e^{2x+2}·2$

= $3x^2·e^{2x+2}+x^3·2e^{2x+2}$

= $3x^2·e^{2x+2}+2x^3·e^{2x+2}$

= $e^{2x+2}·\left(2x^3+3x^2\right)$

= $\left(2x^3+3x^2\right)·e^{2x+2}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{2x^3-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{2x^3-5}·6x^2$

= $-18·e^{2x^3-5}{x}^2$

= $-18x^2{e}^{2x^3-5}$

$\text{f(x)}=$ $-8\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-8}{6x}·6$

= $-\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{3x}+x^5·e^{3x}·3$

= $5x^4·e^{3x}+x^5·3e^{3x}$

= $5x^4·e^{3x}+3x^5·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^5+5x^4\right)$

= $\left(3x^5+5x^4\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $e^x·\left(x+90\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{0,5}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(1-\mathrm{0,5}x-\mathrm{3,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}x-\mathrm{2,5}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,5}x-\mathrm{2,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$