Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x} \cdot 2$

= $4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x - 4} - 4 \cdot \cos (x) + \frac{5}{2} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x - 4} - 4 \cdot \cos (x) + \frac{5}{2} x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{x - 4} \cdot 1 + 4 \cdot \sin (x) + 10 x^{3}$

= $e^{x - 4} + 4 \cdot \sin (x) + 10 x^{3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 5 x^{3} - 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 5 x^{3} - 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (- 5 x^{3} - 2 x^{2}) + e^{- 3 x} \cdot (- 15 x^{2} - 4 x)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (- 5 x^{3} - 2 x^{2}) + e^{- 3 x} (- 15 x^{2} - 4 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x^{3} + 6 x^{2} + (- 15 x^{2} - 4 x))$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x^{3} - 9 x^{2} - 4 x)$

= $(15 x^{3} - 9 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} - 5} \cdot (8 x + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{2} - 5} \cdot (8 x)$

= $8 \frac{x}{4 x^{2} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{2 x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{2 x^{2} - 1}$

= $2 {(2 x^{2} - 1)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- 2 {(2 x^{2} - 1)}^{- 2} \cdot (4 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{{(2 x^{2} - 1)}^{2}} \cdot (4 x + 0)$

= $- \frac{2}{{(2 x^{2} - 1)}^{2}} \cdot (4 x)$

= $- 8 \frac{x}{{(2 x^{2} - 1)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 68-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 68-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 68 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{68}$

Somit gilt für die 68-te Ableitung:

f⁽⁶⁸⁾(x) = ${1,05}^{68} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $27,598 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 8$

= $- e^{- 0,4 x} - (x + 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 8$

= $- e^{- 0,4 x} + 0,4 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 8$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1 + 0,4 x + 2) + 8$

= $8 + (0,4 x - 1 + 2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $8 + (0,4 x + 1) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten