Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{7} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{2} - 3 x) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{2} - 3 x) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 4 x - 3) \cdot e^{- 3 x} + (- 2 x^{2} - 3 x) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(- 4 x - 3) \cdot e^{- 3 x} + (- 2 x^{2} - 3 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(- 4 x - 3) \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 2 x^{2} - 3 x) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (6 x^{2} + 9 x - 4 x - 3)$

= $e^{- 3 x} \cdot (6 x^{2} + 5 x - 3)$

= $(6 x^{2} + 5 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 5) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} + 5) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x^{2} + 5) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $6 x \cdot e^{2 x} + (3 x^{2} + 5) \cdot 2 e^{2 x}$

= $6 x \cdot e^{2 x} + 2 (3 x^{2} + 5) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (6 x^{2} + 10 + 6 x)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x^{2} + 6 x + 10)$

= $(6 x^{2} + 6 x + 10) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 5 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} + 5 x^{2}} \cdot (- 9 x^{2} + 10 x)$

= $\frac{- 9 x^{2} + 10 x}{- 3 x^{3} + 5 x^{2}}$

= $\frac{- 1 \cdot (9 x - 10)}{- x \cdot (3 x - 5)}$

= $\frac{- (9 x - 10)}{- x \cdot (3 x - 5)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 2) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 2) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (2 x - 2) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $2 \cdot \cos (x^{2}) + (2 x - 2) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $2 \cdot \cos (x^{2}) - 2 (2 x - 2) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${0,9}^{50} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,005 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 5$

= $- e^{- 0,5 x} - (x + 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 5$

= $- e^{- 0,5 x} + 0,5 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 5$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1 + 0,5 x + 1) - 5$

= $- 5 + (0,5 x - 1 + 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 5 + 0,5 x \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten