Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{\frac{2}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{\frac{2}{3} x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{6} e^{\frac{2}{3} x} \cdot \frac{2}{3}$

= $\frac{5}{9} e^{\frac{2}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x + 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{x + 2} + x^{5} \cdot e^{x + 2} \cdot 1$

= $5 x^{4} \cdot e^{x + 2} + x^{5} \cdot e^{x + 2}$

= $e^{x + 2} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})$

= $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x^{3} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x^{3} + 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{x^{3} + 3} \cdot 3 x^{2}$

= $9 \cdot e^{x^{3} + 3} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{x^{3} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x - 5} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{- x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $6 x \cdot e^{2 x} + (3 x^{2} + 1) \cdot 2 e^{2 x}$

= $6 x \cdot e^{2 x} + 2 (3 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (6 x^{2} + 2 + 6 x)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x^{2} + 6 x + 2)$

= $(6 x^{2} + 6 x + 2) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 67-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,8574 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,8145 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 67-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 67 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{67}$

Somit gilt für die 67-te Ableitung:

f⁽⁶⁷⁾(x) = ${(- 0,95)}^{67} \cdot e^{- 0,95 x}$

≈ $- 0,032 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 3$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x - 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 3 + 0,9 x - 3,6)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,9 x - 6,6)$

= $(0,9 x - 6,6) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten