Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x - 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 4} + x^{4} \cdot e^{2 x - 4} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 4} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x - 4}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 4} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x - 4}$

= $e^{2 x - 4} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} + x) \cdot e^{- 3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} + x) \cdot e^{- 3 x + 5}$

$f'(x) =$ $(8 x + 1) \cdot e^{- 3 x + 5} + (4 x^{2} + x) \cdot e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

= $(8 x + 1) \cdot e^{- 3 x + 5} + (4 x^{2} + x) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 5})$

= $(8 x + 1) \cdot e^{- 3 x + 5} - 3 (4 x^{2} + x) \cdot e^{- 3 x + 5}$

= $e^{- 3 x + 5} \cdot (- 12 x^{2} - 3 x + 8 x + 1)$

= $e^{- 3 x + 5} \cdot (- 12 x^{2} + 5 x + 1)$

= $(- 12 x^{2} + 5 x + 1) \cdot e^{- 3 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} - 3} \cdot (8 x + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{2} - 3} \cdot (8 x)$

= $8 \frac{x}{4 x^{2} - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(- 3 x - 1)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(- 3 x - 1)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 3 {(- 3 x - 1)}^{2} \cdot (- 3 + 0)$

= $- 3 {(- 3 x - 1)}^{2} \cdot (- 3)$

= $9 {(- 3 x - 1)}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 34-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${1,15}^{34} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $115,805 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 6$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $2 e^{- 0,4 x} + 2 (x - 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $2 e^{- 0,4 x} - 0,8 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (2 - 0,8 x + 4,8)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,8 x + 6,8)$

= $(- 0,8 x + 6,8) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten