Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{4} + 3 e^{- 3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{4} + 3 e^{- 3 x - 2}$

$f'(x) =$ $- 6 x^{3} + 3 e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3)$

= $- 6 x^{3} - 9 e^{- 3 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(4 x - 1) \cdot e^{2 x} + (2 x^{2} - x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(4 x - 1) \cdot e^{2 x} + (2 x^{2} - x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(4 x - 1) \cdot e^{2 x} + 2 (2 x^{2} - x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{2} - 2 x + 4 x - 1)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{2} + 2 x - 1)$

= $(4 x^{2} + 2 x - 1) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x + 2) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x} + (3 x + 2) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 e^{- 2 x} - 2 (3 x + 2) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (3 - 6 x - 4)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x - 1)$

= $(- 6 x - 1) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${1,1}^{57} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $228,762 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 9$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 4 e^{- 0,1 x} - 4 (x - 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 4 e^{- 0,1 x} + 0,4 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 4 + 0,4 x - 0,4)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,4 x - 4,4)$

= $(0,4 x - 4,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten