Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x}$

$f'(x) =$ $3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x + 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x + 5} + x^{5} \cdot e^{2 x + 5} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x + 5} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x + 5}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x + 5} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x + 5}$

= $e^{2 x + 5} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 5 x^{3} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 5 x^{3} - 5 x)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (- 5 x^{3} - 5 x) + e^{- 3 x} \cdot (- 15 x^{2} - 5)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (- 5 x^{3} - 5 x) + e^{- 3 x} (- 15 x^{2} - 5)$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x^{3} + 15 x - 15 x^{2} - 5)$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x^{3} - 15 x^{2} + 15 x - 5)$

= $(15 x^{3} - 15 x^{2} + 15 x - 5) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} - 3} \cdot (- 2 x + 0)$

= $\frac{1}{- x^{2} - 3} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \frac{x}{- x^{2} - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 5) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 5) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (x^{2} + 5) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot \sin (- 3 x) + (x^{2} + 5) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $2 x \cdot \sin (- 3 x) - 3 (x^{2} + 5) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${1,15}^{48} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $819,401 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 7$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 5 (x + 6) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 7$

= $- 5 e^{- 0,2 x} + (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x} - 7$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 5 + x + 6) - 7$

= $- 7 + (x - 5 + 6) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 7 + (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten