Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x - 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 4 x - 4} + x^{2} \cdot e^{- 4 x - 4} \cdot (- 4)$

= $2 x \cdot e^{- 4 x - 4} + x^{2} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 4})$

= $2 x \cdot e^{- 4 x - 4} - 4 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 4}$

= $e^{- 4 x - 4} \cdot (- 4 x^{2} + 2 x)$

= $(- 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 4 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 4 x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 4 x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} + 4) \cdot e^{3 x} + (- 4 x^{3} + 4 x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 12 x^{2} + 4) \cdot e^{3 x} + (- 4 x^{3} + 4 x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 12 x^{2} + 4) \cdot e^{3 x} + 3 (- 4 x^{3} + 4 x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{3} + 12 x - 12 x^{2} + 4)$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{3} - 12 x^{2} + 12 x + 4)$

= $(- 12 x^{3} - 12 x^{2} + 12 x + 4) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \sin (x^{3}) + x^{2} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + x^{2} \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 x^{2} \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 x^{4} \cdot \cos (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 73-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 73-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 73 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{73}$

Somit gilt für die 73-te Ableitung:

f⁽⁷³⁾(x) = ${1,05}^{73} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $35,222 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 7$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 4 e^{- 0,9 x} - 4 (x - 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 4 e^{- 0,9 x} + 3,6 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 4 + 3,6 x - 3,6)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (3,6 x - 7,6)$

= $(3,6 x - 7,6) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten