$\text{f(x)}=$ $-1+e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{2x}·2$

= $2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3x^2}+2+e^{2x-5}$

= $\frac{1}{3}{x}^{-2}+2+e^{2x-5}$

=> f'(x) = $-\frac{2}{3}{x}^{-3}+0+e^{2x-5}·2$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{3x^3}+0+e^{2x-5}·2$

= $-\frac{2}{3x^3}+2e^{2x-5}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{3x^3+1}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{3x^3+1}·9x^2$

= $-18·e^{3x^3+1}{x}^2$

= $-18x^2{e}^{3x^3+1}$

$\text{f(x)}=$ $7\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{3x}·3$

= $\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{-2x+1}$

= ${\left(-2x+1\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{\left(-2x+1\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{-2x+1}}·\left(-2+0\right)$

= $\frac{1}{2\sqrt{-2x+1}}·\left(-2\right)$

= $-\frac{1}{\sqrt{-2x+1}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $3e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{2,85}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{2,85}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{2,7075}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,7075}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{2,5721}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,5721}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{2,4435}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 67-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 67 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{67}$

Somit gilt für die 67-te Ableitung:

f⁽⁶⁷⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{67}·3e^{\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,097}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+9$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,4}x}-\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{0,4}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-1+\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,8}\right)$

= $\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,8}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$