$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{\frac{1}{4}x}·\frac{1}{4}$

= $\frac{1}{16}{e}^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{4x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{4x-4}+x^3·e^{4x-4}·4$

= $3x^2·e^{4x-4}+x^3·4e^{4x-4}$

= $3x^2·e^{4x-4}+4x^3·e^{4x-4}$

= $e^{4x-4}·\left(4x^3+3x^2\right)$

= $\left(4x^3+3x^2\right)·e^{4x-4}$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x}·x^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2·x^2+e^{2x}·2x$

= $2·e^{2x}{x}^2+2·e^{2x}x$

= $e^{2x}·\left(2x^2+2x\right)$

= $\left(2x^2+2x\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x}·2$

= $\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-4\right)·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\cos \left(x^2\right)+\left(x^2-4\right)·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $2x·\cos \left(x^2\right)+\left(x^2-4\right)·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $2x·\cos \left(x^2\right)-2\left(x^2-4\right)\sin \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-x}$

f'(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f'''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $-4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2-x+7\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-x+9\right)$

= $\left(-x+9\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$