Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{9}{8} e^{\frac{10}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{9}{8} e^{\frac{10}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{9}{8} e^{\frac{10}{9} x} \cdot \frac{10}{9}$

= $\frac{5}{4} e^{\frac{10}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x + 5} + 5 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x + 5} + 5 \sqrt{x}$

= $3 e^{- 3 x + 5} + 5 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $3 e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3) + \frac{5}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3) + \frac{5}{2 \sqrt{x}}$

= $- 9 e^{- 3 x + 5} + \frac{5}{2 \sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x^{2} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x^{2} + 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x^{2} + 1} \cdot 4 x$

= $8 \cdot e^{2 x^{2} + 1} x$

= $8 x e^{2 x^{2} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x - 2}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 2} + x^{3} \cdot e^{4 x - 2} \cdot 4$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 2} + x^{3} \cdot 4 e^{4 x - 2}$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 2} + 4 x^{3} \cdot e^{4 x - 2}$

= $e^{4 x - 2} \cdot (4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{4 x - 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 58-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${(- 1,1)}^{58} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $251,638 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} + 3$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $3 e^{- 0,6 x} + 3 (x - 1) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $3 e^{- 0,6 x} - 1,8 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (3 - 1,8 x + 1,8)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1,8 x + 4,8)$

= $(- 1,8 x + 4,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten