$\text{f(x)}=$ $3e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-9e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2+5\right)·e^{4x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+0\right)·e^{4x+2}+\left(2x^2+5\right)·e^{4x+2}·4$

= $4x·e^{4x+2}+\left(2x^2+5\right)·4e^{4x+2}$

= $4x·e^{4x+2}+4\left(2x^2+5\right)·e^{4x+2}$

= $e^{4x+2}·\left(8x^2+20+4x\right)$

= $e^{4x+2}·\left(8x^2+4x+20\right)$

= $\left(8x^2+4x+20\right)·e^{4x+2}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-2x^2+4}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-2x^2+4}·\left(-4x\right)$

= $-8·e^{-2x^2+4}x$

= $-8x{e}^{-2x^2+4}$

$\text{f(x)}=$ $3\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{x}·1$

= $\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-6\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2-6\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2-6\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2-6\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+12+2x\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x+12\right)$

= $\left(-2x^2+2x+12\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $-e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{75}·\left(-e^{-\mathrm{0,95}x}\right)$

≈ $\mathrm{0,021}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+5\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+3$

= $5e^{-\mathrm{0,8}x}+5\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)+3$

= $5e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+3$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(5-4x-24\right)+3$

= $3+\left(-4x+5-24\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $3+\left(-4x-19\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$