$\text{f(x)}=$ $\frac{9}{8}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{8}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $x^3+2e^{x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+2e^{x-4}·1$

= $3x^2+2e^{x-4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^5-4x^2\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-10x^4-8x\right)·e^{2x}+\left(-2x^5-4x^2\right)·e^{2x}·2$

= $\left(-10x^4-8x\right)·e^{2x}+\left(-2x^5-4x^2\right)·2e^{2x}$

= $\left(-10x^4-8x\right)·e^{2x}+2\left(-2x^5-4x^2\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·(-4x^5-8x^2+\left(-10x^4-8x\right))$

= $e^{2x}·\left(-4x^5-10x^4-8x^2-8x\right)$

= $\left(-4x^5-10x^4-8x^2-8x\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x^3-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x^3-1}·\left(6x^2+0\right)$

= $\frac{1}{2x^3-1}·\left(6x^2\right)$

= $6\frac{x^2}{2x^3-1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2-4\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+0\right)·e^{-3x}+\left(2x^2-4\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $4x·e^{-3x}+\left(2x^2-4\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $4x·e^{-3x}-3\left(2x^2-4\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-6x^2+12+4x\right)$

= $e^{-3x}·\left(-6x^2+4x+12\right)$

= $\left(-6x^2+4x+12\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+89\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+6$

= $2e^{-\mathrm{0,4}x}+2\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+6$

= $2e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{0,8}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(2-\mathrm{0,8}x+4\right)+6$

= $6+\left(-\mathrm{0,8}x+2+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $6+\left(-\mathrm{0,8}x+6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$