$\text{f(x)}=$ $-3e^x$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^x$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{3x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{3x+3}+x^3·e^{3x+3}·3$

= $3x^2·e^{3x+3}+x^3·3e^{3x+3}$

= $3x^2·e^{3x+3}+3x^3·e^{3x+3}$

= $e^{3x+3}·\left(3x^3+3x^2\right)$

= $\left(3x^3+3x^2\right)·e^{3x+3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-x^5+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·\left(-x^5+3\right)+e^{-2x}·\left(-5x^4+0\right)$

= $-2·e^{-2x}\left(-x^5+3\right)+e^{-2x}·\left(-5x^4\right)$

= $-2·e^{-2x}\left(-x^5+3\right)-5·e^{-2x}{x}^4$

= $e^{-2x}·\left(2x^5-6-5x^4\right)$

= $e^{-2x}·\left(2x^5-5x^4-6\right)$

= $\left(2x^5-5x^4-6\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x^2-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x^2-4}·\left(4x+0\right)$

= $\frac{1}{2x^2-4}·\left(4x\right)$

= $4\frac{x}{2x^2-4}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{4x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{4x+5}+x^3·e^{4x+5}·4$

= $3x^2·e^{4x+5}+x^3·4e^{4x+5}$

= $3x^2·e^{4x+5}+4x^3·e^{4x+5}$

= $e^{4x+5}·\left(4x^3+3x^2\right)$

= $\left(4x^3+3x^2\right)·e^{4x+5}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+92\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+7$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+3\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,2}x}+3\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,6}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(3-\mathrm{0,6}x+\mathrm{3,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{6,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{6,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$