$\text{f(x)}=$ $-1+\frac{11}{8}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{11}{8}{e}^{2x}·2$

= $\frac{11}{4}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{2x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{2x-2}+x^4·e^{2x-2}·2$

= $4x^3·e^{2x-2}+x^4·2e^{2x-2}$

= $4x^3·e^{2x-2}+2x^4·e^{2x-2}$

= $e^{2x-2}·\left(2x^4+4x^3\right)$

= $\left(2x^4+4x^3\right)·e^{2x-2}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·x^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·x^5+e^{-3x}·5x^4$

= $-3·e^{-3x}{x}^5+5·e^{-3x}{x}^4$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^3-2x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^3-2x^2}·\left(-3x^2-4x\right)$

= $\frac{-3x^2-4x}{-x^3-2x^2}$

= $\frac{-1·\left(3x+4\right)}{-x·\left(x+2\right)}$

= $\frac{-\left(3x+4\right)}{-x·\left(x+2\right)}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·\cos \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\cos \left(2x\right)+\left(x-1\right)·(-\sin \left(2x\right)·2)$

= $\cos \left(2x\right)+\left(x-1\right)·\left(-2\cdot \sin \left(2x\right)\right)$

= $\cos \left(2x\right)-2\left(x-1\right)·\sin \left(2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $-2e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{1,7}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,7}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{1,445}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{1,445}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{1,2283}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,2283}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{1,044}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 36-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 36 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{36}$

Somit gilt für die 36-te Ableitung:

f⁽³⁶⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{36}·\left(-2e^{\mathrm{0,85}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,006}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)-4$

= $4e^{-\mathrm{0,1}x}+4\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)-4$

= $4e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,4}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-4$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(4-\mathrm{0,4}x-2\right)-4$

= $-4+\left(-\mathrm{0,4}x+4-2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $-4+\left(-\mathrm{0,4}x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$