Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{x^{4}} + 3 e^{- 3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{x^{4}} + 3 e^{- 3 x - 5}$

= $5 x^{- 4} + 3 e^{- 3 x - 5}$

=> f'(x) = $- 20 x^{- 5} + 3 e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $- \frac{20}{x^{5}} + 3 e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $- \frac{20}{x^{5}} - 9 e^{- 3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 5 x^{3} - 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 5 x^{3} - 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 5 x^{3} - 3 x^{2}) + e^{2 x} \cdot (- 15 x^{2} - 6 x)$

= $2 \cdot e^{2 x} (- 5 x^{3} - 3 x^{2}) + e^{2 x} (- 15 x^{2} - 6 x)$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{3} - 6 x^{2} + (- 15 x^{2} - 6 x))$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{3} - 21 x^{2} - 6 x)$

= $(- 10 x^{3} - 21 x^{2} - 6 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (- 5 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (- 5 x - 5)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- 5 x - 5)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (- 5 x - 5) + x^{\frac{1}{2}} \cdot (- \sin (- 5 x - 5) \cdot (- 5 + 0))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \cos (- 5 x - 5) + \sqrt{x} \cdot (- \sin (- 5 x - 5) \cdot (- 5 + 0))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 5 x - 5)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- \sin (- 5 x - 5) \cdot (- 5))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 5 x - 5)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 5 \cdot \sin (- 5 x - 5)$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 5 x - 5)}{\sqrt{x}} + 5 \sqrt{x} \cdot \sin (- 5 x - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 33-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $- 5 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $5,75 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $5,75 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 6,6125 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $- 6,6125 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $7,6044 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $7,6044 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 8,745 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 33-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 33 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{33}$

Somit gilt für die 33-te Ableitung:

f⁽³³⁾(x) = ${(- 1,15)}^{33} \cdot (- 5 e^{- 1,15 x})$

≈ $503,499 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 5$

= $e^{- 0,8 x} + (x + 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 5$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 5$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x - 0,8) + 5$

= $5 + (- 0,8 x + 1 - 0,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $5 + (- 0,8 x + 0,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten