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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{8}{9} e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{8}{9} e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{9} e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $\frac{5}{9} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{3} + 3 e^{2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{3} + 3 e^{2 x + 5}$

$f'(x) =$ $- 9 x^{2} + 3 e^{2 x + 5} \cdot 2$

= $- 9 x^{2} + 6 e^{2 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x - 2}$

$f'(x) =$ $e^{x - 2} \cdot 1$

= $e^{x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x + 2} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x + 2} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (- x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (- x - 5)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \cos (- x - 5) + x^{5} \cdot (- \sin (- x - 5) \cdot (- 1 + 0))$

= $5 x^{4} \cdot \cos (- x - 5) + x^{5} \cdot (- \sin (- x - 5) \cdot (- 1))$

= $5 x^{4} \cdot \cos (- x - 5) + x^{5} \cdot \sin (- x - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $- 4 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $3,6 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $3,6 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 3,24 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $- 3,24 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,916 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,916 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,6244 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${(- 0,9)}^{47} \cdot (- 4 e^{- 0,9 x})$

≈ $0,028 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 2$

= $5 e^{- 0,8 x} + 5 (x + 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 2$

= $5 e^{- 0,8 x} - 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 2$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (5 - 4 x - 28) - 2$

= $- 2 + (- 4 x + 5 - 28) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 2 + (- 4 x - 23) \cdot e^{- 0,8 x}$