$\text{f(x)}=$ $-2+2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{2x}·2$

= $4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{9}{2}\cdot \sin \left(x\right)+3e^{-x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{2}\cdot \cos \left(x\right)+3e^{-x-5}·\left(-1\right)$

= $\frac{9}{2}\cdot \cos \left(x\right)-3e^{-x-5}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-2x^3+2}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-2x^3+2}·\left(-6x^2\right)$

= $-18·e^{-2x^3+2}{x}^2$

= $-18x^2{e}^{-2x^3+2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^3+4x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^3+4x^2}·\left(-3x^2+8x\right)$

= $\frac{-3x^2+8x}{-x^3+4x^2}$

= $\frac{-1·\left(3x-8\right)}{-x·\left(x-4\right)}$

= $\frac{-\left(3x-8\right)}{-x·\left(x-4\right)}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+1\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-2x}+\left(3x+1\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3e^{-2x}+\left(3x+1\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3e^{-2x}-2\left(3x+1\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(3-6x-2\right)$

= $e^{-2x}·\left(-6x+1\right)$

= $\left(-6x+1\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $3e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{3,45}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{3,45}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{3,9675}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{3,9675}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{4,5626}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{4,5626}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{5,247}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{31}·3e^{-\mathrm{1,15}x}$

≈ $-\mathrm{228,431}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+7x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+7$

= $4e^{-\mathrm{0,4}x}+4\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+7$

= $4e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{1,6}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+7$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(4-\mathrm{1,6}x+\mathrm{6,4}\right)+7$

= $7+\left(-\mathrm{1,6}x+4+\mathrm{6,4}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $7+\left(-\mathrm{1,6}x+\mathrm{10,4}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$