Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{5}{7} e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{5}{7} e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{7} e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $\frac{40}{63} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{4} - 2 x) \cdot e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{4} - 2 x) \cdot e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 4 x^{3} - 2) \cdot e^{2 x - 2} + (- x^{4} - 2 x) \cdot e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $(- 4 x^{3} - 2) \cdot e^{2 x - 2} + (- x^{4} - 2 x) \cdot 2 e^{2 x - 2}$

= $(- 4 x^{3} - 2) \cdot e^{2 x - 2} + 2 (- x^{4} - 2 x) \cdot e^{2 x - 2}$

= $e^{2 x - 2} \cdot (- 2 x^{4} - 4 x - 4 x^{3} - 2)$

= $e^{2 x - 2} \cdot (- 2 x^{4} - 4 x^{3} - 4 x - 2)$

= $(- 2 x^{4} - 4 x^{3} - 4 x - 2) \cdot e^{2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x^{2} - 1}$

$f'(x) =$ $e^{x^{2} - 1} \cdot 2 x$

= $2 \cdot e^{x^{2} - 1} x$

= $2 x e^{x^{2} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x + 1} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x + 1} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot \sin (x^{3})$

= $x^{\frac{3}{2}} \cdot \sin (x^{3})$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (x^{3}) + x^{\frac{3}{2}} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (x^{3}) + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (x^{3}) + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (x^{3}) + 3 {(\sqrt{x})}^{3} \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (x^{3}) + 3 {(\sqrt{x})}^{7} \cdot \cos (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 35-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 35-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 35 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{35}$

Somit gilt für die 35-te Ableitung:

f⁽³⁵⁾(x) = ${1,15}^{35} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $133,176 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 9$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x + 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (3 - 0,3 x - 0,6)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,3 x + 2,4)$

= $(- 0,3 x + 2,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten