$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{6}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{6}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $-5\sqrt{x}-\frac{3}{2}{x}^4-e^{-3x+1}$

= $-5x^{\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}{x}^4-e^{-3x+1}$

=> f'(x) = $-\frac{5}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}-6x^3-e^{-3x+1}·\left(-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{5}{2\sqrt{x}}-6x^3-e^{-3x+1}·\left(-3\right)$

= $-\frac{5}{2\sqrt{x}}-6x^3+3e^{-3x+1}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{x^2-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{x^2-2}·2x$

= $-2·e^{x^2-2}x$

= $-2x{e}^{x^2-2}$

$\text{f(x)}=$ $7\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{6x}·6$

= $\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(\cos \left(x\right)-4\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $4\left(\cos \left(x\right)-4\right)·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $4\left(\cos \left(x\right)-4\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-4\left(\cos \left(x\right)-4\right)·\sin \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-x}$

f'(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f'''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-3\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)-5$

= $-3e^{-\mathrm{0,1}x}-3\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)-5$

= $-3e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,3}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-3+\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}\right)-5$

= $-5+\left(\mathrm{0,3}x-3-\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $-5+\left(\mathrm{0,3}x-\mathrm{3,6}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$