$\text{f(x)}=$ $1+\frac{3}{2}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{2}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-3e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{3x}+x^2·e^{3x}·3$

= $2x·e^{3x}+x^2·3e^{3x}$

= $2x·e^{3x}+3x^2·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^2+2x\right)$

= $\left(3x^2+2x\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-x+5}+x^2·e^{-x+5}·\left(-1\right)$

= $2x·e^{-x+5}+x^2·\left(-e^{-x+5}\right)$

= $2x·e^{-x+5}-x^2·e^{-x+5}$

= $e^{-x+5}·\left(-x^2+2x\right)$

= $\left(-x^2+2x\right)·e^{-x+5}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{x}·1$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(3x^3+3\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $4{\left(3x^3+3\right)}^3·\left(9x^2+0\right)$

= $4{\left(3x^3+3\right)}^3·\left(9x^2\right)$

= $36{\left(3x^3+3\right)}^3{x}^2$

= $36x^2{\left(3x^3+3\right)}^3$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^x·\left(x+89\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+4x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+4$

= $-5e^{-\mathrm{0,2}x}-5\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)+4$

= $-5e^{-\mathrm{0,2}x}+\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+4$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-5+x+2\right)+4$

= $4+\left(x-5+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $4+\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$