$\text{f(x)}=$ $-e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-x}·\left(-1\right)$

= $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{3x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{3x-1}+x^2·e^{3x-1}·3$

= $2x·e^{3x-1}+x^2·3e^{3x-1}$

= $2x·e^{3x-1}+3x^2·e^{3x-1}$

= $e^{3x-1}·\left(2x+3x^2\right)$

= $e^{3x-1}·\left(3x^2+2x\right)$

= $\left(3x^2+2x\right)·e^{3x-1}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{3x^3+1}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{3x^3+1}·9x^2$

= $27·e^{3x^3+1}{x}^2$

= $27x^2{e}^{3x^3+1}$

$\text{f(x)}=$ $2\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{7x}·7$

= $\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(\cos \left(x\right)+1\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $12{\left(\cos \left(x\right)+1\right)}^3·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $12{\left(\cos \left(x\right)+1\right)}^3·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-12{\left(\cos \left(x\right)+1\right)}^3·\sin \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $5e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{4,25}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{4,25}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{3,6125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{3,6125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{3,0706}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{3,0706}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{2,61}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 37-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 37 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{37}$

Somit gilt für die 37-te Ableitung:

f⁽³⁷⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{37}·5e^{-\mathrm{0,85}x}$

≈ $-\mathrm{0,012}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+4x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+4$

= $-e^{-\mathrm{0,3}x}-\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)+4$

= $-e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,3}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+4$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}-1\right)+4$

= $4+\left(\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}-1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $4+\left(\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,7}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$