$\text{f(x)}=$ $5+\frac{1}{3}{e}^{\frac{6}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{3}{e}^{\frac{6}{5}x}·\frac{6}{5}$

= $\frac{2}{5}{e}^{\frac{6}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{5x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{5x-5}+x^3·e^{5x-5}·5$

= $3x^2·e^{5x-5}+x^3·5e^{5x-5}$

= $3x^2·e^{5x-5}+5x^3·e^{5x-5}$

= $e^{5x-5}·\left(5x^3+3x^2\right)$

= $\left(5x^3+3x^2\right)·e^{5x-5}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{3x^2+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{3x^2+5}·6x$

= $-18·e^{3x^2+5}x$

= $-18x{e}^{3x^2+5}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{4x}·4$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-5\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-3x}+\left(x^2-5\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x}+\left(x^2-5\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2x·e^{-3x}-3\left(x^2-5\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+15+2x\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x+15\right)$

= $\left(-3x^2+2x+15\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-x}$

f'(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f'''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-2x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-2$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-2$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{0,5}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-2$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(1-\mathrm{0,5}x-\mathrm{0,5}\right)-2$

= $-2+\left(-\mathrm{0,5}x+1-\mathrm{0,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $-2+\left(-\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$