Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{7}{9} e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{7}{9} e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{9} e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{7}{15} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x + 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x + 5} + x^{5} \cdot e^{3 x + 5} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x + 5} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x + 5}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x + 5} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x + 5}$

= $e^{3 x + 5} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (4 x^{4} - 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (4 x^{4} - 5 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (4 x^{4} - 5 x^{2}) + e^{2 x} \cdot (16 x^{3} - 10 x)$

= $2 \cdot e^{2 x} (4 x^{4} - 5 x^{2}) + e^{2 x} (16 x^{3} - 10 x)$

= $e^{2 x} \cdot (8 x^{4} - 10 x^{2} + (16 x^{3} - 10 x))$

= $e^{2 x} \cdot (8 x^{4} + 16 x^{3} - 10 x^{2} - 10 x)$

= $(8 x^{4} + 16 x^{3} - 10 x^{2} - 10 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- 5 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- 5 x - 3)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (- 5 x - 3)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (- 5 x - 3) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- 5 x - 3) \cdot (- 5 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (- 5 x - 3) + \sqrt{x} \cdot \cos (- 5 x - 3) \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 5 x - 3)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \cos (- 5 x - 3) \cdot (- 5)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 5 x - 3)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 5 \cdot \cos (- 5 x - 3))$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 5 x - 3)}{\sqrt{x}} - 5 \sqrt{x} \cdot \cos (- 5 x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{- x}$

f'(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 8$

= $3 e^{- 0,7 x} + 3 (x - 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 8$

= $3 e^{- 0,7 x} - 2,1 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 8$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3 - 2,1 x + 2,1) + 8$

= $8 + (- 2,1 x + 3 + 2,1) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $8 + (- 2,1 x + 5,1) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten