Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + 2 e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + 2 e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{6}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{5} + 4 x^{4}) \cdot e^{- 5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{5} + 4 x^{4}) \cdot e^{- 5 x - 3}$

$f'(x) =$ $(20 x^{4} + 16 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 3} + (4 x^{5} + 4 x^{4}) \cdot e^{- 5 x - 3} \cdot (- 5)$

= $(20 x^{4} + 16 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 3} + (4 x^{5} + 4 x^{4}) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 3})$

= $(20 x^{4} + 16 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 3} - 5 (4 x^{5} + 4 x^{4}) \cdot e^{- 5 x - 3}$

= $e^{- 5 x - 3} \cdot (- 20 x^{5} - 20 x^{4} + (20 x^{4} + 16 x^{3}))$

= $e^{- 5 x - 3} \cdot (- 20 x^{5} + 0 + 16 x^{3})$

= $e^{- 5 x - 3} \cdot (- 20 x^{5} + 16 x^{3})$

= $(- 20 x^{5} + 16 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{5} + e^{- 2 x} \cdot 5 x^{4}$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{5} + 5 \cdot e^{- 2 x} x^{4}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \cos (2 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \cos (2 x + 4)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \sin (2 x + 4) \cdot (2 + 0)$

= $- 2 \cdot \sin (2 x + 4) \cdot (2)$

= $- 4 \cdot \sin (2 x + 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 54-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{0,9 x}$

f'(x) = $2 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $1,8 e^{0,9 x}$

f''(x) = $1,8 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $1,62 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $1,62 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $1,458 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,458 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $1,3122 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 54-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 54 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{54}$

Somit gilt für die 54-te Ableitung:

f⁽⁵⁴⁾(x) = ${0,9}^{54} \cdot 2 e^{0,9 x}$

≈ $0,007 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 7$

= $- 5 e^{- 0,5 x} - 5 (x - 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 7$

= $- 5 e^{- 0,5 x} + 2,5 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 7$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 5 + 2,5 x - 10) + 7$

= $7 + (2,5 x - 5 - 10) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $7 + (2,5 x - 15) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten