Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{11}{8} e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{11}{8} e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $\frac{11}{8} e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $\frac{11}{32} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x - 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 5} + x^{4} \cdot e^{3 x - 5} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 5} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x - 5}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 5} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x - 5}$

= $e^{3 x - 5} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x^{2} - 2}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x^{2} - 2} \cdot (- 2 x)$

= $- 4 \cdot e^{- x^{2} - 2} x$

= $- 4 x e^{- x^{2} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{- 2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{- 2 x + 5}$

= $- 3 {(- 2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} {(- 2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \sqrt{- 2 x + 5}} \cdot (- 2 + 0)$

= $- \frac{3}{2 \sqrt{- 2 x + 5}} \cdot (- 2)$

= $\frac{3}{\sqrt{- 2 x + 5}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 33-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{1,15 x}$

f'(x) = $4 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $4,6 e^{1,15 x}$

f''(x) = $4,6 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $5,29 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $5,29 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $6,0835 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $6,0835 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $6,996 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 33-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 33 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{33}$

Somit gilt für die 33-te Ableitung:

f⁽³³⁾(x) = ${1,15}^{33} \cdot 4 e^{1,15 x}$

≈ $402,799 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 9$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $e^{- 0,9 x} + (x + 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1 - 0,9 x - 1,8)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9 x - 0,8)$

= $(- 0,9 x - 0,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten