$\text{f(x)}=$ $3+e^{\frac{4}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{\frac{4}{3}x}·\frac{4}{3}$

= $\frac{4}{3}{e}^{\frac{4}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-x+1}-3x^5+\frac{2}{3}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-x+1}·\left(-1\right)-15x^4+\frac{2}{3}\cdot \cos \left(x\right)$

= $2e^{-x+1}-15x^4+\frac{2}{3}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-3x}+x^5·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $5x^4·e^{-3x}+x^5·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $5x^4·e^{-3x}-3x^5·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-8\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-8}{5x}·5$

= $-\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-5\right)·\sin \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\sin \left(3x\right)+\left(3x-5\right)·\cos \left(3x\right)·3$

= $3\cdot \sin \left(3x\right)+\left(3x-5\right)·3\cdot \cos \left(3x\right)$

= $3\cdot \sin \left(3x\right)+3\left(3x-5\right)·\cos \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{63}·e^{\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,039}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)-8$

= $-2e^{-\mathrm{0,1}x}-2\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)-8$

= $-2e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,2}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-8$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-2+\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}\right)-8$

= $-8+\left(\mathrm{0,2}x-2-\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $-8+\left(\mathrm{0,2}x-\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$