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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{x}$

= $2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x + 2} + 8 x^{2} - \frac{5}{2} \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x + 2} + 8 x^{2} - \frac{5}{2} \sqrt{x}$

= $- 3 e^{3 x + 2} + 8 x^{2} - \frac{5}{2} x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- 3 e^{3 x + 2} \cdot 3 + 16 x - \frac{5}{4} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x + 2} \cdot 3 + 16 x - \frac{5}{4 \sqrt{x}}$

= $- 9 e^{3 x + 2} + 16 x - \frac{5}{4 \sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x + 3) \cdot e^{- 2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x + 3) \cdot e^{- 2 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 2 + 0) \cdot e^{- 2 x - 1} + (- 2 x + 3) \cdot e^{- 2 x - 1} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x - 1} + (- 2 x + 3) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 1})$

= $- 2 e^{- 2 x - 1} - 2 (- 2 x + 3) \cdot e^{- 2 x - 1}$

= $e^{- 2 x - 1} \cdot (- 2 + 4 x - 6)$

= $e^{- 2 x - 1} \cdot (4 x - 8)$

= $(4 x - 8) \cdot e^{- 2 x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} + 4} \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x^{3} + 4} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 9 \frac{x^{2}}{- 3 x^{3} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \sin (3 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \sin (3 x - 2)$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot \sin (3 x - 2)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot \sin (3 x - 2) + x^{\frac{1}{4}} \cdot \cos (3 x - 2) \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot \sin (3 x - 2) + \sqrt[4]{x} \cdot \cos (3 x - 2) \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (3 x - 2)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot \cos (3 x - 2) \cdot (3)$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (3 x - 2)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot 3 \cdot \cos (3 x - 2)$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (3 x - 2)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 3 \sqrt[4]{x} \cdot \cos (3 x - 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 81)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} - 5$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $2 e^{- 0,1 x} + 2 (x - 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $2 e^{- 0,1 x} - 0,2 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (2 - 0,2 x + 0,2)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,2 x + 2,2)$

= $(- 0,2 x + 2,2) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten