$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{\frac{6}{7}x}·\frac{6}{7}$

= $\frac{3}{14}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $5x^4+3e^{-3x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $20x^3+3e^{-3x-4}·\left(-3\right)$

= $20x^3-9e^{-3x-4}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·x^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·x^5+e^{-3x}·5x^4$

= $-3·e^{-3x}{x}^5+5·e^{-3x}{x}^4$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x^2-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x^2-3x}·\left(4x-3\right)$

= $\frac{4x-3}{2x^2-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^2+9\right)·\sin \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(6x+0\right)·\sin \left(3x\right)+\left(3x^2+9\right)·\cos \left(3x\right)·3$

= $6x·\sin \left(3x\right)+\left(3x^2+9\right)·3\cdot \cos \left(3x\right)$

= $6x·\sin \left(3x\right)+3\left(3x^2+9\right)·\cos \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $5e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{4,25}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{4,25}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{3,6125}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{3,6125}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{3,0706}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{3,0706}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{2,61}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{46}·5e^{\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,003}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+9$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,6}x}-\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{0,6}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-1+\mathrm{0,6}x-\mathrm{0,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{1,6}\right)$

= $\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$