Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 - e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 - e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{4} + e^{- 2 x} \cdot 4 x^{3}$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{4} + 4 \cdot e^{- 2 x} x^{3}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 3 x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 3 x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 3) \cdot e^{3 x} + (2 x^{2} + 3 x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(4 x + 3) \cdot e^{3 x} + (2 x^{2} + 3 x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(4 x + 3) \cdot e^{3 x} + 3 (2 x^{2} + 3 x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{2} + 9 x + 4 x + 3)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{2} + 13 x + 3)$

= $(6 x^{2} + 13 x + 3) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} + 4} \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x^{3} + 4} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 9 \frac{x^{2}}{- 3 x^{3} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (- 2 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \sin (- 2 x + 4)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \cos (- 2 x + 4) \cdot (- 2 + 0)$

= $2 \cdot \cos (- 2 x + 4) \cdot (- 2)$

= $- 4 \cdot \cos (- 2 x + 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 55-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{0,9 x}$

f'(x) = $- 3 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,7 e^{0,9 x}$

f''(x) = $- 2,7 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,43 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $- 2,43 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,187 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,187 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 1,9683 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 55-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 55 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{55}$

Somit gilt für die 55-te Ableitung:

f⁽⁵⁵⁾(x) = ${0,9}^{55} \cdot (- 3 e^{0,9 x})$

≈ $- 0,009 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 2$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $5 e^{- 0,9 x} + 5 (x - 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $5 e^{- 0,9 x} - 4,5 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (5 - 4,5 x + 18)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 4,5 x + 23)$

= $(- 4,5 x + 23) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten