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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{5} + e^{x} \cdot 5 x^{4}$

= $e^{x} x^{5} + 5 \cdot e^{x} x^{4}$

= $e^{x} \cdot (5 x^{4} + x^{5})$

= $e^{x} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})$

= $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} + 5} \cdot (- 2 x)$

= $4 \cdot e^{- x^{2} + 5} x$

= $4 x e^{- x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x - 2} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x - 2} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 7) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 7) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (3 x + 7) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + (3 x + 7) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + 3 (3 x + 7) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $- 5 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $4,5 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $4,5 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 4,05 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $- 4,05 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $3,645 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,645 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 3,2805 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${(- 0,9)}^{63} \cdot (- 5 e^{- 0,9 x})$

≈ $0,007 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 2$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x - 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,9 x - 0,9 - 3)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,9 x - 3,9)$

= $(0,9 x - 3,9) \cdot e^{- 0,3 x}$