$\text{f(x)}=$ $-e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{2x}·2$

= $-2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-x}+x^2·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $2x·e^{-x}+x^2·\left(-e^{-x}\right)$

= $2x·e^{-x}-x^2·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^2+2x\right)$

= $\left(-x^2+2x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^3-5x^2\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3x^2-10x\right)·e^{2x}+\left(x^3-5x^2\right)·e^{2x}·2$

= $\left(3x^2-10x\right)·e^{2x}+\left(x^3-5x^2\right)·2e^{2x}$

= $\left(3x^2-10x\right)·e^{2x}+2\left(x^3-5x^2\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·(2x^3-10x^2+\left(3x^2-10x\right))$

= $e^{2x}·\left(2x^3-7x^2-10x\right)$

= $\left(2x^3-7x^2-10x\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^3+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^3+5}·\left(-3x^2+0\right)$

= $\frac{1}{-x^3+5}·\left(-3x^2\right)$

= $-3\frac{x^2}{-x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2+1\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+0\right)·e^{3x}+\left(2x^2+1\right)·e^{3x}·3$

= $4x·e^{3x}+\left(2x^2+1\right)·3e^{3x}$

= $4x·e^{3x}+3\left(2x^2+1\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(6x^2+3+4x\right)$

= $e^{3x}·\left(6x^2+4x+3\right)$

= $\left(6x^2+4x+3\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^x$

f'(x) = $4e^x$

f''(x) = $4e^x$

f'''(x) = $4e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $4e^x$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)-1$

= $2e^{-\mathrm{0,7}x}+2\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)-1$

= $2e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{1,4}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-1$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(2-\mathrm{1,4}x+7\right)-1$

= $-1+\left(-\mathrm{1,4}x+2+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $-1+\left(-\mathrm{1,4}x+9\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$