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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x}$

$f'(x) =$ $3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x^{2} + 5} \cdot 6 x$

= $- 6 \cdot e^{3 x^{2} + 5} x$

= $- 6 x e^{3 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 1) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 1) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{3 x} + (2 x + 1) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 e^{3 x} + (2 x + 1) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 e^{3 x} + 3 (2 x + 1) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (2 + 6 x + 3)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x + 5)$

= $(6 x + 5) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{1,1 x}$

f'(x) = $5 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $5,5 e^{1,1 x}$

f''(x) = $5,5 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $6,05 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $6,05 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $6,655 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $6,655 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $7,3205 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${1,1}^{61} \cdot 5 e^{1,1 x}$

≈ $1674,649 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 7$

= $4 e^{- 0,5 x} + 4 (x - 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 7$

= $4 e^{- 0,5 x} - 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 7$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (4 - 2 x + 14) - 7$

= $- 7 + (- 2 x + 4 + 14) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 7 + (- 2 x + 18) \cdot e^{- 0,5 x}$