$\text{f(x)}=$ $2-e^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{\frac{2}{3}x}·\frac{2}{3}$

= $-\frac{2}{3}{e}^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{x+4}+x^5·e^{x+4}·1$

= $5x^4·e^{x+4}+x^5·e^{x+4}$

= $e^{x+4}·\left(x^5+5x^4\right)$

= $\left(x^5+5x^4\right)·e^{x+4}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·x^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·x^4+e^{-x}·4x^3$

= $-e^{-x}{x}^4+4·e^{-x}{x}^3$

= $e^{-x}·\left(-x^4+4x^3\right)$

= $\left(-x^4+4x^3\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x^2-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x^2-1}·\left(-10x+0\right)$

= $\frac{1}{-5x^2-1}·\left(-10x\right)$

= $-10\frac{x}{-5x^2-1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+4\right)·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\cos \left(x^2\right)+\left(2x+4\right)·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $2\cdot \cos \left(x^2\right)+\left(2x+4\right)·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $2\cdot \cos \left(x^2\right)-2\left(2x+4\right)\sin \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,1576}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,1576}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,2155}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 80-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 80 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{80}$

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{80}·e^{-\mathrm{1,05}x}$

≈ $\mathrm{49,561}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-7$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}+5\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{1,5}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(5-\mathrm{1,5}x-\mathrm{1,5}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{1,5}x+\mathrm{3,5}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,5}x+\mathrm{3,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$