$\text{f(x)}=$ $5-3e^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{\frac{4}{5}x}·\frac{4}{5}$

= $-\frac{12}{5}{e}^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·x^4+e^{-3x}·4x^3$

= $-3·e^{-3x}{x}^4+4·e^{-3x}{x}^3$

= $e^{-3x}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{3x^3+1}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{3x^3+1}·9x^2$

= $18·e^{3x^3+1}{x}^2$

= $18x^2{e}^{3x^3+1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x^3+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x^3+3}·\left(6x^2+0\right)$

= $\frac{1}{2x^3+3}·\left(6x^2\right)$

= $6\frac{x^2}{2x^3+3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+1\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-3x}+\left(3x+1\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x}+\left(3x+1\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3e^{-3x}-3\left(3x+1\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(3-9x-3\right)$

= $e^{-3x}·\left(-9x+0\right)$

= $e^{-3x}·\left(-9x\right)$

= $x·\left(-9e^{-3x}\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^x$

f'(x) = $e^x$

f''(x) = $e^x$

f'''(x) = $e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)-3$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}+\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)-3$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{0,8}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-3$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(1-\mathrm{0,8}x+\mathrm{5,6}\right)-3$

= $-3+\left(-\mathrm{0,8}x+1+\mathrm{5,6}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $-3+\left(-\mathrm{0,8}x+\mathrm{6,6}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$