Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 - 2 e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 - 2 e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $- \frac{6}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{5} - 1) \cdot e^{x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{5} - 1) \cdot e^{x + 3}$

$f'(x) =$ $(10 x^{4} + 0) \cdot e^{x + 3} + (2 x^{5} - 1) \cdot e^{x + 3} \cdot 1$

= $10 x^{4} \cdot e^{x + 3} + (2 x^{5} - 1) \cdot e^{x + 3}$

= $e^{x + 3} \cdot (2 x^{5} - 1 + 10 x^{4})$

= $e^{x + 3} \cdot (2 x^{5} + 10 x^{4} - 1)$

= $(2 x^{5} + 10 x^{4} - 1) \cdot e^{x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x + 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x + 5} \cdot 2$

= $6 e^{2 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x + 2} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x + 2} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 6) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 6) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 6) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 6) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 6) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} - 18 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 18)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 18) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 77)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 3$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 4 e^{- 0,6 x} - 4 (x - 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 4 e^{- 0,6 x} + 2,4 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 4 + 2,4 x - 4,8)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2,4 x - 8,8)$

= $(2,4 x - 8,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten