Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{1}{4} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{1}{4} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{4} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x - 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 4} + x^{4} \cdot e^{3 x - 4} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 4} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x - 4}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 4} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x - 4}$

= $e^{3 x - 4} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (4 x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (4 x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (4 x^{2} + 3) + e^{- x} \cdot (8 x + 0)$

= $- e^{- x} (4 x^{2} + 3) + e^{- x} \cdot (8 x)$

= $- e^{- x} (4 x^{2} + 3) + 8 \cdot e^{- x} x$

= $e^{- x} \cdot (- 4 x^{2} - 3 + 8 x)$

= $e^{- x} \cdot (- 4 x^{2} + 8 x - 3)$

= $(- 4 x^{2} + 8 x - 3) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- x + 4)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (- x + 4)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (- x + 4) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- x + 4) \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (- x + 4) + \sqrt{x} \cdot \cos (- x + 4) \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- x + 4)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \cos (- x + 4) \cdot (- 1)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- x + 4)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- \cos (- x + 4))$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- x + 4)}{\sqrt{x}} - \sqrt{x} \cdot \cos (- x + 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 52-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{0,9 x}$

f'(x) = $3 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,7 e^{0,9 x}$

f''(x) = $2,7 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,43 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $2,43 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,187 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,187 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $1,9683 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${0,9}^{52} \cdot 3 e^{0,9 x}$

≈ $0,013 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 9$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $2 e^{- 0,9 x} + 2 (x - 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $2 e^{- 0,9 x} - 1,8 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (2 - 1,8 x + 9)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 1,8 x + 11)$

= $(- 1,8 x + 11) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten