Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 2 e^{\frac{9}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 2 e^{\frac{9}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{9}{8} x} \cdot \frac{9}{8}$

= $- \frac{9}{4} e^{\frac{9}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x - 3} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x) - \frac{3}{4} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x - 3} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x) - \frac{3}{4} x^{2}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x - 3} \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot \cos (x) - \frac{3}{2} x$

= $9 e^{3 x - 3} + \frac{1}{2} \cdot \cos (x) - \frac{3}{2} x$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{3} + e^{x} \cdot 3 x^{2}$

= $e^{x} x^{3} + 3 \cdot e^{x} x^{2}$

= $e^{x} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x + 1} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x + 1} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(- x^{2} + 4)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(- x^{2} + 4)}^{4}$

$f'(x) =$ $4 {(- x^{2} + 4)}^{3} \cdot (- 2 x + 0)$

= $4 {(- x^{2} + 4)}^{3} \cdot (- 2 x)$

= $- 8 {(- x^{2} + 4)}^{3} x$

= $- 8 x {(- x^{2} + 4)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 70-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 70-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 70 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{70}$

Somit gilt für die 70-te Ableitung:

f⁽⁷⁰⁾(x) = ${1,05}^{70} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $30,426 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 4$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 4 e^{- 0,9 x} - 4 (x + 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 4 e^{- 0,9 x} + 3,6 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 4 + 3,6 x + 3,6)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (3,6 x - 0,4)$

= $(3,6 x - 0,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten