Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{3} + 8 \cdot \cos (x) - 2 e^{- 2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{3} + 8 \cdot \cos (x) - 2 e^{- 2 x - 4}$

$f'(x) =$ $15 x^{2} - 8 \cdot \sin (x) - 2 e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2)$

= $15 x^{2} - 8 \cdot \sin (x) + 4 e^{- 2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 10 x + 2) \cdot e^{3 x} + (- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 10 x + 2) \cdot e^{3 x} + (- 5 x^{2} + 2 x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 10 x + 2) \cdot e^{3 x} + 3 (- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x^{2} + 6 x - 10 x + 2)$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x^{2} - 4 x + 2)$

= $(- 15 x^{2} - 4 x + 2) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} - 2 x} \cdot (8 x - 2)$

= $\frac{8 x - 2}{4 x^{2} - 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (- 2 x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (- 2 x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $\cos (- 2 x^{2} + 5) \cdot (- 4 x + 0)$

= $\cos (- 2 x^{2} + 5) \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \cos (- 2 x^{2} + 5) x$

= $- 4 x \cdot \cos (- 2 x^{2} + 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- x}$

f'(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f'''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $- 4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 8$

= $- 3 e^{- 0,2 x} - 3 (x - 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 8$

= $- 3 e^{- 0,2 x} + 0,6 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 8$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 3 + 0,6 x - 1,8) + 8$

= $8 + (0,6 x - 3 - 1,8) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $8 + (0,6 x - 4,8) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten