$\text{f(x)}=$ $-2+3e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-3x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-3x+1}+x^3·e^{-3x+1}·\left(-3\right)$

= $3x^2·e^{-3x+1}+x^3·\left(-3e^{-3x+1}\right)$

= $3x^2·e^{-3x+1}-3x^3·e^{-3x+1}$

= $e^{-3x+1}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x+1}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{x+2}·1$

= $-3e^{x+2}$

$\text{f(x)}=$ $-8\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-8}{5x}·5$

= $-\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(3x+4\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $15{\left(3x+4\right)}^4·\left(3+0\right)$

= $15{\left(3x+4\right)}^4·\left(3\right)$

= $45{\left(3x+4\right)}^4$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-x}$

f'(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f'''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+4x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+5\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+4$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}+5\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+4$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{2,5}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+4$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(5-\mathrm{2,5}x-\mathrm{7,5}\right)+4$

= $4+\left(-\mathrm{2,5}x+5-\mathrm{7,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $4+\left(-\mathrm{2,5}x-\mathrm{2,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$