$\text{f(x)}=$ $-2e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-x}·\left(-1\right)$

= $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-5x^2+2\cdot \cos \left(x\right)-3e^{2x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-10x-2\cdot \sin \left(x\right)-3e^{2x+5}·2$

= $-10x-2\cdot \sin \left(x\right)-6e^{2x+5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^2+4x\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-6x+4\right)·e^{-x}+\left(-3x^2+4x\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $\left(-6x+4\right)·e^{-x}+\left(-3x^2+4x\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $\left(-6x+4\right)·e^{-x}-\left(-3x^2+4x\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(3x^2-4x-6x+4\right)$

= $e^{-x}·\left(3x^2-10x+4\right)$

= $\left(3x^2-10x+4\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{7x}·7$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\cos \left(x^2\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(x^2\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\cos \left(x^2\right)+x^{\frac{1}{2}}·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\cos \left(x^2\right)+\sqrt{x}·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(x^2\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(x^2\right)}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x}\sin \left(x^2\right)x$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(x^2\right)}{\sqrt{x}}-2{\left(\sqrt{x}\right)}^3·\sin \left(x^2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+79\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-4$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}+\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-4$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,2}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(1-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}\right)-4$

= $-4+\left(-\mathrm{0,2}x+1+\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $-4+\left(-\mathrm{0,2}x+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$