Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{10}{9} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{10}{9} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{10}{9} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{10}{9} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 4) \cdot e^{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 4) \cdot e^{3 x + 2}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{3 x + 2} + (2 x - 4) \cdot e^{3 x + 2} \cdot 3$

= $2 e^{3 x + 2} + (2 x - 4) \cdot 3 e^{3 x + 2}$

= $2 e^{3 x + 2} + 3 (2 x - 4) \cdot e^{3 x + 2}$

= $e^{3 x + 2} \cdot (2 + 6 x - 12)$

= $e^{3 x + 2} \cdot (6 x - 10)$

= $(6 x - 10) \cdot e^{3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x - 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} - 4} \cdot (- 15 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{3} - 4} \cdot (- 15 x^{2})$

= $- 15 \frac{x^{2}}{- 5 x^{3} - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{0,9 x}$

f'(x) = $- e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $- 0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${0,9}^{62} \cdot (- e^{0,9 x})$

≈ $- 0,001 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 1$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $4 e^{- 0,5 x} + 4 (x + 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $4 e^{- 0,5 x} - 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (4 - 2 x - 14)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 x - 10)$

= $(- 2 x - 10) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten