$\text{f(x)}=$ $2+\frac{1}{3}{e}^{\frac{7}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{3}{e}^{\frac{7}{5}x}·\frac{7}{5}$

= $\frac{7}{15}{e}^{\frac{7}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt{x}+2e^{x+1}$

= $3x^{\frac{1}{2}}+2e^{x+1}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+2e^{x+1}·1$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2\sqrt{x}}+2e^{x+1}·1$

= $\frac{3}{2\sqrt{x}}+2e^{x+1}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·x^3+e^{3x}·3x^2$

= $3·e^{3x}{x}^3+3·e^{3x}{x}^2$

= $e^{3x}·\left(3x^3+3x^2\right)$

= $\left(3x^3+3x^2\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^3+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^3+2}·\left(-3x^2+0\right)$

= $\frac{1}{-x^3+2}·\left(-3x^2\right)$

= $-3\frac{x^2}{-x^3+2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+4\right)·\sin \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(2x\right)+\left(x^2+4\right)·\cos \left(2x\right)·2$

= $2x·\sin \left(2x\right)+\left(x^2+4\right)·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $2x·\sin \left(2x\right)+2\left(x^2+4\right)·\cos \left(2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,522}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{31}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

≈ $-\mathrm{0,006}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-4$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-4$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-4$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2-x+3\right)-4$

= $-4+\left(-x+2+3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $-4+\left(-x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$