Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{8} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{7}{4} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x + 3}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 3} + x^{5} \cdot e^{5 x + 3} \cdot 5$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 3} + x^{5} \cdot 5 e^{5 x + 3}$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 3} + 5 x^{5} \cdot e^{5 x + 3}$

= $e^{5 x + 3} \cdot (5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{5 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{4 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{4 x - 3}$

$f'(x) =$ $(3 x^{2} - 4 x) \cdot e^{4 x - 3} + (x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{4 x - 3} \cdot 4$

= $(3 x^{2} - 4 x) \cdot e^{4 x - 3} + (x^{3} - 2 x^{2}) \cdot 4 e^{4 x - 3}$

= $(3 x^{2} - 4 x) \cdot e^{4 x - 3} + 4 (x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{4 x - 3}$

= $e^{4 x - 3} \cdot (4 x^{3} - 8 x^{2} + (3 x^{2} - 4 x))$

= $e^{4 x - 3} \cdot (4 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x)$

= $(4 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x) \cdot e^{4 x - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 5) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 5) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} + 5) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} + 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{2} + 5) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} - 10 + 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x - 10)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x - 10) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${1,1}^{46} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $80,18 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 3$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 4 e^{- 0,3 x} - 4 (x + 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 4 e^{- 0,3 x} + 1,2 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 4 + 1,2 x + 6)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1,2 x + 2)$

= $(1,2 x + 2) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten