Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $\frac{15}{7} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x + 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 4} + x^{5} \cdot e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 4} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 4})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 4} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x + 4}$

= $e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(3 x^{2} + 10 x) \cdot e^{3 x} + (x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(3 x^{2} + 10 x) \cdot e^{3 x} + (x^{3} + 5 x^{2}) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(3 x^{2} + 10 x) \cdot e^{3 x} + 3 (x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 15 x^{2} + (3 x^{2} + 10 x))$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 18 x^{2} + 10 x)$

= $(3 x^{3} + 18 x^{2} + 10 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 5) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 5) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x + 5) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x} + (2 x + 5) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 e^{2 x} + 2 (2 x + 5) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 + 4 x + 10)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x + 12)$

= $(4 x + 12) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 6$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x + 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 6$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 6$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (3 - 0,3 x - 1,2) + 6$

= $6 + (- 0,3 x + 3 - 1,2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $6 + (- 0,3 x + 1,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten