$\text{f(x)}=$ $e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $5\sqrt{x}+3e^{-x+2}$

= $5x^{\frac{1}{2}}+3e^{-x+2}$

=> f'(x) = $\frac{5}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+3e^{-x+2}·\left(-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{2\sqrt{x}}+3e^{-x+2}·\left(-1\right)$

= $\frac{5}{2\sqrt{x}}-3e^{-x+2}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{2x^2+4}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{2x^2+4}·4x$

= $12·e^{2x^2+4}x$

= $12x{e}^{2x^2+4}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{2x}·2$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+5\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{-3x}+\left(2x+5\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2e^{-3x}+\left(2x+5\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2e^{-3x}-3\left(2x+5\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(2-6x-15\right)$

= $e^{-3x}·\left(-6x-13\right)$

= $\left(-6x-13\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-x}$

f'(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f'''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+9$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,1}x}+4\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,4}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(4-\mathrm{0,4}x-\mathrm{2,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$