$\text{f(x)}=$ $-5-e^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{\frac{2}{3}x}·\frac{2}{3}$

= $-\frac{2}{3}{e}^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-3x-1}+4\sqrt{x}$

= $3e^{-3x-1}+4x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $3e^{-3x-1}·\left(-3\right)+2x^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-3x-1}·\left(-3\right)+\frac{2}{\sqrt{x}}$

= $-9e^{-3x-1}+\frac{2}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-2x^3+2}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-2x^3+2}·\left(-6x^2\right)$

= $6·e^{-2x^3+2}{x}^2$

= $6x^2{e}^{-2x^3+2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x+2}·\left(4+0\right)$

= $\frac{1}{4x+2}·\left(4\right)$

= $\frac{4}{4x+2}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{{\left(-x+3\right)}^2}$

= $2{\left(-x+3\right)}^{-2}$

=> f'(x) = $-4{\left(-x+3\right)}^{-3}·\left(-1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{{\left(-x+3\right)}^3}·\left(-1+0\right)$

= $-\frac{4}{{\left(-x+3\right)}^3}·\left(-1\right)$

= $\frac{4}{{\left(-x+3\right)}^3}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+92\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-7$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,8}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-4+\mathrm{0,8}x+\mathrm{0,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,8}x-\mathrm{3,2}\right)$

= $\left(\mathrm{0,8}x-\mathrm{3,2}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$