$\text{f(x)}=$ $-e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-x}+x^3·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $3x^2·e^{-x}+x^3·\left(-e^{-x}\right)$

= $3x^2·e^{-x}-x^3·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x}+x^3·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x}+x^3·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3x^2·e^{-2x}-2x^3·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x^2-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x^2-3}·\left(-6x+0\right)$

= $\frac{1}{-3x^2-3}·\left(-6x\right)$

= $-6\frac{x}{-3x^2-3}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·\sin \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·\sin \left(x^2\right)+x^5·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $5x^4·\sin \left(x^2\right)+x^5·2\cos \left(x^2\right)x$

= $5x^4·\sin \left(x^2\right)+2x^5\cos \left(x^2\right)x$

= $5x^4·\sin \left(x^2\right)+2x^6·\cos \left(x^2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,5209}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,5209}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,749}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,15}}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${\mathrm{1,15}}^{43}·e^{\mathrm{1,15}x}$

≈ $\mathrm{407,387}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+9x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+9$

= $-2e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+9$

= $-2e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{0,8}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+9$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-2+\mathrm{0,8}x+\mathrm{1,6}\right)+9$

= $9+\left(\mathrm{0,8}x-2+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $9+\left(\mathrm{0,8}x-\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$