$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{3}{e}^{\frac{11}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{3}{e}^{\frac{11}{8}x}·\frac{11}{8}$

= $\frac{11}{6}{e}^{\frac{11}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $2x^5+e^{x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $10x^4+e^{x+4}·1$

= $10x^4+e^{x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^4-4x^3\right)·e^{4x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(20x^3-12x^2\right)·e^{4x-1}+\left(5x^4-4x^3\right)·e^{4x-1}·4$

= $\left(20x^3-12x^2\right)·e^{4x-1}+\left(5x^4-4x^3\right)·4e^{4x-1}$

= $\left(20x^3-12x^2\right)·e^{4x-1}+4\left(5x^4-4x^3\right)·e^{4x-1}$

= $e^{4x-1}·(20x^4-16x^3+\left(20x^3-12x^2\right))$

= $e^{4x-1}·\left(20x^4+4x^3-12x^2\right)$

= $\left(20x^4+4x^3-12x^2\right)·e^{4x-1}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{7x}·7$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-5\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{2x}+\left(x^2-5\right)·e^{2x}·2$

= $2x·e^{2x}+\left(x^2-5\right)·2e^{2x}$

= $2x·e^{2x}+2\left(x^2-5\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^2-10+2x\right)$

= $e^{2x}·\left(2x^2+2x-10\right)$

= $\left(2x^2+2x-10\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^x$

f'(x) = $4e^x$

f''(x) = $4e^x$

f'''(x) = $4e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $4e^x$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-1$

= $-e^{-\mathrm{0,6}x}-\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-1$

= $-e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{0,6}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-1$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-1+\mathrm{0,6}x+\mathrm{3,6}\right)-1$

= $-1+\left(\mathrm{0,6}x-1+\mathrm{3,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-1+\left(\mathrm{0,6}x+\mathrm{2,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$