$\text{f(x)}=$ $3-3e^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{\frac{5}{8}x}·\frac{5}{8}$

= $-\frac{15}{8}{e}^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·x^2+e^{-3x}·2x$

= $-3·e^{-3x}{x}^2+2·e^{-3x}x$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x\right)$

= $\left(-3x^2+2x\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-3x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-3x-1}·\left(-3\right)$

= $-6e^{-3x-1}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{x}·1$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{2x}+\left(x-1\right)·e^{2x}·2$

= $e^{2x}+\left(x-1\right)·2e^{2x}$

= $e^{2x}+2\left(x-1\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(1+2x-2\right)$

= $e^{2x}·\left(2x-1\right)$

= $\left(2x-1\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-x}$

f'(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f'''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $-4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,6}x}-\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{0,6}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-1+\mathrm{0,6}x-\mathrm{3,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{4,6}\right)$

= $\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{4,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$