$\text{f(x)}=$ $3-3e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{2x}·2$

= $-6e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·x^2+e^{-3x}·2x$

= $-3·e^{-3x}{x}^2+2·e^{-3x}x$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x\right)$

= $\left(-3x^2+2x\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-x}+x^5·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $5x^4·e^{-x}+x^5·\left(-e^{-x}\right)$

= $5x^4·e^{-x}-x^5·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^5+5x^4\right)$

= $\left(-x^5+5x^4\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{7x}·7$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-7\right)·\cos \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\cos \left(2x\right)+\left(3x-7\right)·(-\sin \left(2x\right)·2)$

= $3\cdot \cos \left(2x\right)+\left(3x-7\right)·\left(-2\cdot \sin \left(2x\right)\right)$

= $3\cdot \cos \left(2x\right)-2\left(3x-7\right)·\sin \left(2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,522}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 37-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 37 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{37}$

Somit gilt für die 37-te Ableitung:

f⁽³⁷⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{37}·e^{\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,002}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+3$

= $-2e^{-\mathrm{0,9}x}-2\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)+3$

= $-2e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{1,8}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+3$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-2+\mathrm{1,8}x+\mathrm{3,6}\right)+3$

= $3+\left(\mathrm{1,8}x-2+\mathrm{3,6}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $3+\left(\mathrm{1,8}x+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$