$\text{f(x)}=$ $5-2e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{-x}·\left(-1\right)$

= $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^2-5\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-10x+0\right)·e^{3x}+\left(-5x^2-5\right)·e^{3x}·3$

= $-10x·e^{3x}+\left(-5x^2-5\right)·3e^{3x}$

= $-10x·e^{3x}+3\left(-5x^2-5\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(-15x^2-15-10x\right)$

= $e^{3x}·\left(-15x^2-10x-15\right)$

= $\left(-15x^2-10x-15\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-x^2+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-x^2+5}·\left(-2x\right)$

= $4·e^{-x^2+5}x$

= $4x{e}^{-x^2+5}$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{6x}·6$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-9\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{2x}+\left(x^2-9\right)·e^{2x}·2$

= $2x·e^{2x}+\left(x^2-9\right)·2e^{2x}$

= $2x·e^{2x}+2\left(x^2-9\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^2-18+2x\right)$

= $e^{2x}·\left(2x^2+2x-18\right)$

= $\left(2x^2+2x-18\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+76\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+3$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}+\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)+3$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,3}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+3$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(1-\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}\right)+3$

= $3+\left(-\mathrm{0,3}x+1-\mathrm{0,3}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $3+\left(-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,7}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$