$\text{f(x)}=$ $-e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{2x}·2$

= $-2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{2x-1}-3\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{2x-1}·2+3\cdot \sin \left(x\right)$

= $6e^{2x-1}+3\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^3+5x\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(15x^2+5\right)·e^{3x}+\left(5x^3+5x\right)·e^{3x}·3$

= $\left(15x^2+5\right)·e^{3x}+\left(5x^3+5x\right)·3e^{3x}$

= $\left(15x^2+5\right)·e^{3x}+3\left(5x^3+5x\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(15x^3+15x+15x^2+5\right)$

= $e^{3x}·\left(15x^3+15x^2+15x+5\right)$

= $\left(15x^3+15x^2+15x+5\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{3x}·3$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+3\right)·\cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\cos \left(-3x\right)+\left(3x+3\right)·(-\sin \left(-3x\right)·\left(-3\right))$

= $3\cdot \cos \left(-3x\right)+\left(3x+3\right)·3\cdot \sin \left(-3x\right)$

= $3\cdot \cos \left(-3x\right)+3\left(3x+3\right)·\sin \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,522}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 36-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 36 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{36}$

Somit gilt für die 36-te Ableitung:

f⁽³⁶⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{36}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,003}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-9x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+3\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-9$

= $3e^{-\mathrm{0,2}x}+3\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-9$

= $3e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,6}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-9$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(3-\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,6}\right)-9$

= $-9+\left(-\mathrm{0,6}x+3+\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $-9+\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{3,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$