$\text{f(x)}=$ $5+2e^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{\frac{1}{4}x}·\frac{1}{4}$

= $\frac{1}{2}{e}^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-x+2}+x^5·e^{-x+2}·\left(-1\right)$

= $5x^4·e^{-x+2}+x^5·\left(-e^{-x+2}\right)$

= $5x^4·e^{-x+2}-x^5·e^{-x+2}$

= $e^{-x+2}·\left(-x^5+5x^4\right)$

= $\left(-x^5+5x^4\right)·e^{-x+2}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-x}+x^3·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $3x^2·e^{-x}+x^3·\left(-e^{-x}\right)$

= $3x^2·e^{-x}-x^3·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{3x}·3$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+4\right)·\sin \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\sin \left(-3x\right)+\left(3x+4\right)·\cos \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $3\cdot \sin \left(-3x\right)+\left(3x+4\right)·\left(-3\cdot \cos \left(-3x\right)\right)$

= $3\cdot \sin \left(-3x\right)-3\left(3x+4\right)·\cos \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{-x}$

f'(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

f''(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

f'''(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $-3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,5}x}+4\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(4-2x-10\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-2x-6\right)$

= $\left(-2x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$