$\text{f(x)}=$ $-5+3e^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{\frac{5}{7}x}·\frac{5}{7}$

= $\frac{15}{7}{e}^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^4+x^3\right)·e^{x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(8x^3+3x^2\right)·e^{x-3}+\left(2x^4+x^3\right)·e^{x-3}·1$

= $\left(8x^3+3x^2\right)·e^{x-3}+\left(2x^4+x^3\right)·e^{x-3}$

= $e^{x-3}·(2x^4+x^3+\left(8x^3+3x^2\right))$

= $e^{x-3}·\left(2x^4+9x^3+3x^2\right)$

= $\left(2x^4+9x^3+3x^2\right)·e^{x-3}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-2x^3+4}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-2x^3+4}·\left(-6x^2\right)$

= $18·e^{-2x^3+4}{x}^2$

= $18x^2{e}^{-2x^3+4}$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{4x}·4$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(-x^2-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(-x^2-2\right)·\left(-2x+0\right)$

= $2\cdot \cos \left(-x^2-2\right)·\left(-2x\right)$

= $-4\cos \left(-x^2-2\right)x$

= $-4x·\cos \left(-x^2-2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{-x}$

f'(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

f''(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

f'''(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-3$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-3$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,4}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-3$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(2-\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}\right)-3$

= $-3+\left(-\mathrm{0,4}x+2-\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $-3+\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$