Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x - 5} - \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x - 5} - \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

= $2 e^{- 2 x - 5} - \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $2 e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2) - \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} x^{- \frac{3}{2}}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2) - \frac{1}{2} x + \frac{1}{4 {(\sqrt{x})}^{3}}$

= $- 4 e^{- 2 x - 5} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{4 {(\sqrt{x})}^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x^{2} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x^{2} + 1}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x^{2} + 1} \cdot 4 x$

= $- 4 \cdot e^{2 x^{2} + 1} x$

= $- 4 x e^{2 x^{2} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} + 5} \cdot (- 10 x + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{2} + 5} \cdot (- 10 x)$

= $- 10 \frac{x}{- 5 x^{2} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x + 3) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $e^{- 2 x} + (x + 3) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $e^{- 2 x} - 2 (x + 3) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (1 - 2 x - 6)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x - 5)$

= $(- 2 x - 5) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- x}$

f'(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f'''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 9$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 2 (x + 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 9$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 1,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2 + 1,4 x + 2,8) + 9$

= $9 + (1,4 x - 2 + 2,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $9 + (1,4 x + 0,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten