Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{3}{4} e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{3}{4} e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{4} e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $\frac{15}{28} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x - 1) \cdot e^{x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x - 1) \cdot e^{x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 1 + 0) \cdot e^{x + 4} + (- x - 1) \cdot e^{x + 4} \cdot 1$

= $- e^{x + 4} + (- x - 1) \cdot e^{x + 4}$

= $e^{x + 4} \cdot (- x - 1 - 1)$

= $e^{x + 4} \cdot (- x - 2)$

= $(- x - 2) \cdot e^{x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 3 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 3 x + 5)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- 3 x + 5) + e^{- x} \cdot (- 3 + 0)$

= $- e^{- x} (- 3 x + 5) + e^{- x} \cdot (- 3)$

= $- e^{- x} (- 3 x + 5) - 3 e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (3 x - 5 - 3)$

= $e^{- x} \cdot (3 x - 8)$

= $(3 x - 8) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x - 3} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x - 3} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 7) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 7) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} + 7) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} + 7) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 (x^{2} + 7) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- x}$

f'(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f'''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $- e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 6$

= $e^{- 0,9 x} + (x + 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 6$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 6$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9 x - 5,4 + 1) - 6$

= $- 6 + (- 0,9 x - 5,4 + 1) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 6 + (- 0,9 x - 4,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten