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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + 3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + 3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{2 x} \cdot 2$

= $6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{3 x + 1}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x + 1} + (x + 3) \cdot e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $e^{3 x + 1} + (x + 3) \cdot 3 e^{3 x + 1}$

= $e^{3 x + 1} + 3 (x + 3) \cdot e^{3 x + 1}$

= $e^{3 x + 1} \cdot (1 + 3 x + 9)$

= $e^{3 x + 1} \cdot (3 x + 10)$

= $(3 x + 10) \cdot e^{3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} - 4 x)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- 2 x^{2} - 4 x) + e^{- 2 x} \cdot (- 4 x - 4)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (- 2 x^{2} - 4 x) + e^{- 2 x} (- 4 x - 4)$

= $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{2} + 8 x - 4 x - 4)$

= $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{2} + 4 x - 4)$

= $(4 x^{2} + 4 x - 4) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (- 4 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (- 4 x + 2)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sin (- 4 x + 2) + x^{3} \cdot \cos (- 4 x + 2) \cdot (- 4 + 0)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- 4 x + 2) + x^{3} \cdot \cos (- 4 x + 2) \cdot (- 4)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- 4 x + 2) + x^{3} \cdot (- 4 \cdot \cos (- 4 x + 2))$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- 4 x + 2) - 4 x^{3} \cdot \cos (- 4 x + 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{x}$

f'(x) = $3 e^{x}$

f''(x) = $3 e^{x}$

f'''(x) = $3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 5$

= $- 5 e^{- 0,4 x} - 5 (x - 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 5$

= $- 5 e^{- 0,4 x} + 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 5$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 5 + 2 x - 12) - 5$

= $- 5 + (2 x - 5 - 12) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 5 + (2 x - 17) \cdot e^{- 0,4 x}$