$\text{f(x)}=$ $-e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{3x}·3$

= $-3e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^x\left(3x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·\left(3x+4\right)+e^x·\left(3+0\right)$

= $e^x\left(3x+4\right)+e^x·\left(3\right)$

= $e^x\left(3x+4\right)+3e^x$

= $e^x·\left(3+3x+4\right)$

= $e^x·\left(3x+7\right)$

= $\left(3x+7\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $2e^{x^2-2}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{x^2-2}·2x$

= $4·e^{x^2-2}x$

= $4x{e}^{x^2-2}$

$\text{f(x)}=$ $-\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-1}{7x}·7$

= $-\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $2\sqrt{2x^3-2}$

= $2{\left(2x^3-2\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${\left(2x^3-2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(6x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{2x^3-2}}·\left(6x^2+0\right)$

= $\frac{1}{\sqrt{2x^3-2}}·\left(6x^2\right)$

= $6\frac{x^2}{\sqrt{2x^3-2}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^x·\left(x+95\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+8x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+8$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+8$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+8$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2-x-2\right)+8$

= $8+\left(-x+2-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $8-x·e^{-\mathrm{0,5}x}$