$\text{f(x)}=$ $2+e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-3e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-x}+x^2·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $2x·e^{-x}+x^2·\left(-e^{-x}\right)$

= $2x·e^{-x}-x^2·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^2+2x\right)$

= $\left(-x^2+2x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·\left(-3x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-3x+3\right)+e^{-x}·\left(-3+0\right)$

= $-e^{-x}\left(-3x+3\right)+e^{-x}·\left(-3\right)$

= $-e^{-x}\left(-3x+3\right)-3e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-3+3x-3\right)$

= $e^{-x}·\left(3x-6\right)$

= $\left(3x-6\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{3x}·3$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-9\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-3x}+\left(3x-9\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x}+\left(3x-9\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3e^{-3x}-3\left(3x-9\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(3-9x+27\right)$

= $e^{-3x}·\left(-9x+30\right)$

= $\left(-9x+30\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^x$

f'(x) = $2e^x$

f''(x) = $2e^x$

f'''(x) = $2e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $2e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+5x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+5$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}+\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)+5$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{0,9}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+5$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(1-\mathrm{0,9}x-\mathrm{5,4}\right)+5$

= $5+\left(-\mathrm{0,9}x+1-\mathrm{5,4}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $5+\left(-\mathrm{0,9}x-\mathrm{4,4}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$