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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot e^{x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot e^{x - 5}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{x - 5} + (3 x + 1) \cdot e^{x - 5} \cdot 1$

= $3 e^{x - 5} + (3 x + 1) \cdot e^{x - 5}$

= $e^{x - 5} \cdot (3 + 3 x + 1)$

= $e^{x - 5} \cdot (3 x + 4)$

= $(3 x + 4) \cdot e^{x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (- 3 x^{3} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (- 3 x^{3} - 3)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \cos (- 3 x^{3} - 3) \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $- 2 \cdot \cos (- 3 x^{3} - 3) \cdot (- 9 x^{2})$

= $18 \cos (- 3 x^{3} - 3) x^{2}$

= $18 x^{2} \cdot \cos (- 3 x^{3} - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{0,9 x}$

f'(x) = $- e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $- 0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${0,9}^{47} \cdot (- e^{0,9 x})$

≈ $- 0,007 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 1$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 5 (x + 4) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 5 e^{- 0,2 x} + (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 5 + x + 4)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (x - 1)$

= $(x - 1) \cdot e^{- 0,2 x}$