$\text{f(x)}=$ $-1-2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{2x}·2$

= $-4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-\sqrt[3]{x}+2e^{-2x-4}$

= $-x^{\frac{1}{3}}+2e^{-2x-4}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}+2e^{-2x-4}·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+2e^{-2x-4}·\left(-2\right)$

= $-\frac{1}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}-4e^{-2x-4}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x^3+2}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x^3+2}·\left(-9x^2\right)$

= $18·e^{-3x^3+2}{x}^2$

= $18x^2{e}^{-3x^3+2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x^3+x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x^3+x}·\left(12x^2+1\right)$

= $\frac{12x^2+1}{4x^3+x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-2x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-2x+5}+x^2·e^{-2x+5}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x+5}+x^2·\left(-2e^{-2x+5}\right)$

= $2x·e^{-2x+5}-2x^2·e^{-2x+5}$

= $e^{-2x+5}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x+5}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $-5e^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{5,5}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{5,5}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{6,05}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{6,05}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{6,655}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{6,655}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{7,3205}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 55-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 55 mal mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,1}}^{55}$

Somit gilt für die 55-te Ableitung:

f⁽⁵⁵⁾(x) = ${\mathrm{1,1}}^{55}·\left(-5e^{\mathrm{1,1}x}\right)$

≈ $-\mathrm{945,296}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-4+2x+4\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2x+0\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·2x$

= $x·2e^{-\mathrm{0,5}x}$