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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x - 4} + 8 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x - 4} + 8 x^{4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x - 4} \cdot 3 + 32 x^{3}$

= $- 6 e^{3 x - 4} + 32 x^{3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x - 5) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x - 5) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 5 + 0) \cdot e^{2 x} + (- 5 x - 5) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- 5 e^{2 x} + (- 5 x - 5) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- 5 e^{2 x} + 2 (- 5 x - 5) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 5 - 10 x - 10)$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x - 15)$

= $(- 10 x - 15) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} - x} \cdot (9 x^{2} - 1)$

= $\frac{9 x^{2} - 1}{3 x^{3} - x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x + 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 2} + x^{4} \cdot e^{- 4 x + 2} \cdot (- 4)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 2} + x^{4} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 2})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 2} - 4 x^{4} \cdot e^{- 4 x + 2}$

= $e^{- 4 x + 2} \cdot (- 4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 4 x + 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 95)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 1$

= $- e^{- 0,7 x} - (x - 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 1$

= $- e^{- 0,7 x} + 0,7 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 1$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1 + 0,7 x - 3,5) + 1$

= $1 + (0,7 x - 1 - 3,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $1 + (0,7 x - 4,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten