$\text{f(x)}=$ $-e^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{\frac{7}{9}x}·\frac{7}{9}$

= $-\frac{7}{9}{e}^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^4-x^3\right)·e^{x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-12x^3-3x^2\right)·e^{x+1}+\left(-3x^4-x^3\right)·e^{x+1}·1$

= $\left(-12x^3-3x^2\right)·e^{x+1}+\left(-3x^4-x^3\right)·e^{x+1}$

= $e^{x+1}·(-3x^4-x^3+\left(-12x^3-3x^2\right))$

= $e^{x+1}·\left(-3x^4-13x^3-3x^2\right)$

= $\left(-3x^4-13x^3-3x^2\right)·e^{x+1}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·\left(4x^3+4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(4x^3+4x\right)+e^{-x}·\left(12x^2+4\right)$

= $-e^{-x}\left(4x^3+4x\right)+e^{-x}\left(12x^2+4\right)$

= $e^{-x}·\left(-4x^3-4x+12x^2+4\right)$

= $e^{-x}·\left(-4x^3+12x^2-4x+4\right)$

= $\left(-4x^3+12x^2-4x+4\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-4x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-4x+4}·\left(-4+0\right)$

= $\frac{1}{-4x+4}·\left(-4\right)$

= $-\frac{4}{-4x+4}$

$\text{f(x)}=$ $-\sin \left(-x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\cos \left(-x-2\right)·\left(-1+0\right)$

= $-\cos \left(-x-2\right)·\left(-1\right)$

= $\cos \left(-x-2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 67-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 67 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{67}$

Somit gilt für die 67-te Ableitung:

f⁽⁶⁷⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{67}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $-\mathrm{0,032}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{0,6}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(1-\mathrm{0,6}x+\mathrm{1,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{2,8}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{2,8}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$