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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{1}{2} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{1}{2} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{2} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{2} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x - 4} - 2 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x - 4} - 2 x^{2}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x - 4} \cdot 2 - 4 x$

= $6 e^{2 x - 4} - 4 x$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{x^{3} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x^{3} - 5}$

$f'(x) =$ $- e^{x^{3} - 5} \cdot 3 x^{2}$

= $- 3 \cdot e^{x^{3} - 5} x^{2}$

= $- 3 x^{2} e^{x^{3} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} - x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} - x} \cdot (3 x^{2} - 1)$

= $\frac{3 x^{2} - 1}{x^{3} - x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 79-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 79 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{79}$

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = ${(- 1,05)}^{79} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $- 47,201 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} + x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 1$

= $e^{- 0,8 x} + (x - 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 1$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 1$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x + 1,6) + 1$

= $1 + (- 0,8 x + 1 + 1,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $1 + (- 0,8 x + 2,6) \cdot e^{- 0,8 x}$