$\text{f(x)}=$ $2e^x$

$\text{f'(x)}=$ $2e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x+4\right)·e^{x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-4+0\right)·e^{x-2}+\left(-4x+4\right)·e^{x-2}·1$

= $-4e^{x-2}+\left(-4x+4\right)·e^{x-2}$

= $e^{x-2}·\left(-4-4x+4\right)$

= $e^{x-2}·\left(-4x+0\right)$

= $e^{x-2}·\left(-4x\right)$

= $x·\left(-4e^{x-2}\right)$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·\left(2x-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(2x-3\right)+e^{-x}·\left(2+0\right)$

= $-e^{-x}\left(2x-3\right)+e^{-x}·\left(2\right)$

= $-e^{-x}\left(2x-3\right)+2e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(2-2x+3\right)$

= $e^{-x}·\left(-2x+5\right)$

= $\left(-2x+5\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{2x}·2$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-4\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(x-4\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $\sin \left(x^3\right)+\left(x-4\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\sin \left(x^3\right)+3\left(x-4\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,5209}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,5209}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,749}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 38-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 38 mal mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,15}}^{38}$

Somit gilt für die 38-te Ableitung:

f⁽³⁸⁾(x) = ${\mathrm{1,15}}^{38}·e^{\mathrm{1,15}x}$

≈ $\mathrm{202,543}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-7$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{0,7}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-1+\mathrm{0,7}x+\mathrm{4,9}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{0,7}x+\mathrm{3,9}\right)$

= $\left(\mathrm{0,7}x+\mathrm{3,9}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$