Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{5}{8} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{5}{8} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{8} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{5}{4} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot e^{- 2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot e^{- 2 x - 1}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x - 1} + (3 x - 3) \cdot e^{- 2 x - 1} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x - 1} + (3 x - 3) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 1})$

= $3 e^{- 2 x - 1} - 2 (3 x - 3) \cdot e^{- 2 x - 1}$

= $e^{- 2 x - 1} \cdot (- 6 x + 6 + 3)$

= $e^{- 2 x - 1} \cdot (- 6 x + 9)$

= $(- 6 x + 9) \cdot e^{- 2 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x^{2} + 2} \cdot (- 6 x)$

= $- 6 \cdot e^{- 3 x^{2} + 2} x$

= $- 6 x e^{- 3 x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} - 2 x^{2}} \cdot (- 9 x^{2} - 4 x)$

= $\frac{- 9 x^{2} - 4 x}{- 3 x^{3} - 2 x^{2}}$

= $\frac{- 1 \cdot (9 x + 4)}{- x \cdot (3 x + 2)}$

= $\frac{- (9 x + 4)}{- x \cdot (3 x + 2)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{3} - 2 x^{4})$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 41-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 41-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 41 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{41}$

Somit gilt für die 41-te Ableitung:

f⁽⁴¹⁾(x) = ${(- 1,15)}^{41} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $- 308,043 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x + 5) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1,5 x - 7,5 + 3)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1,5 x - 4,5)$

= $(- 1,5 x - 4,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten