$\text{f(x)}=$ $-2e^x$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^x$

$\text{f(x)}=$ $3e^{3x+4}+\frac{3}{2}{x}^5-\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{3x+4}·3+\frac{15}{2}{x}^4+\sin \left(x\right)$

= $9e^{3x+4}+\frac{15}{2}{x}^4+\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-3x^2+2}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-3x^2+2}·\left(-6x\right)$

= $18·e^{-3x^2+2}x$

= $18x{e}^{-3x^2+2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{6x}·6$

= $\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{-x+4}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{-x+4}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{-x+4}+x^{\frac{1}{2}}·e^{-x+4}·\left(-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{-x+4}+\sqrt{x}·e^{-x+4}·\left(-1\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-x+4}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-e^{-x+4}\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-x+4}}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}·e^{-x+4}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+95\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)-3$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)-3$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-3$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(5-2x+4\right)-3$

= $-3+\left(-2x+5+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $-3+\left(-2x+9\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$