Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x - 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x - 5} + x^{3} \cdot e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x - 5} + x^{3} \cdot (- 2 e^{- 2 x - 5})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x - 5} - 2 x^{3} \cdot e^{- 2 x - 5}$

= $e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot (- e^{- x})$

= $2 x \cdot e^{- x} - x^{2} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x + 1} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{- x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- x - 1}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- x - 1}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- x - 1} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- x - 1} \cdot (- 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- x - 1} + \sqrt{x} \cdot e^{- x - 1} \cdot (- 1)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- x - 1}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- e^{- x - 1})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- x - 1}}{\sqrt{x}} - \sqrt{x} \cdot e^{- x - 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 34-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${(- 1,15)}^{34} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $115,805 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 1$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $4 e^{- 0,4 x} + 4 (x - 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $4 e^{- 0,4 x} - 1,6 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (4 - 1,6 x + 8)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1,6 x + 12)$

= $(- 1,6 x + 12) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten