Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{8}{5} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x + 1) \cdot e^{- 4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x + 1) \cdot e^{- 4 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 4 + 0) \cdot e^{- 4 x - 2} + (- 4 x + 1) \cdot e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4)$

= $- 4 e^{- 4 x - 2} + (- 4 x + 1) \cdot (- 4 e^{- 4 x - 2})$

= $- 4 e^{- 4 x - 2} - 4 (- 4 x + 1) \cdot e^{- 4 x - 2}$

= $e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4 + 16 x - 4)$

= $e^{- 4 x - 2} \cdot (16 x - 8)$

= $(16 x - 8) \cdot e^{- 4 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x + 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x + 3} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x + 3} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{{(3 x + 4)}^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{{(3 x + 4)}^{3}}$

= $2 {(3 x + 4)}^{- 3}$

=> f'(x) = $- 6 {(3 x + 4)}^{- 4} \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{6}{{(3 x + 4)}^{4}} \cdot (3 + 0)$

= $- \frac{6}{{(3 x + 4)}^{4}} \cdot (3)$

= $- \frac{18}{{(3 x + 4)}^{4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${(- 1,15)}^{46} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $619,585 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 3$

= $5 e^{- 0,7 x} + 5 (x + 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 3$

= $5 e^{- 0,7 x} - 3,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 3$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (5 - 3,5 x - 21) + 3$

= $3 + (- 3,5 x + 5 - 21) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $3 + (- 3,5 x - 16) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten