$\text{f(x)}=$ $-3+\frac{5}{6}{e}^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{6}{e}^{\frac{3}{5}x}·\frac{3}{5}$

= $\frac{1}{2}{e}^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{5x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{5x+4}+x^3·e^{5x+4}·5$

= $3x^2·e^{5x+4}+x^3·5e^{5x+4}$

= $3x^2·e^{5x+4}+5x^3·e^{5x+4}$

= $e^{5x+4}·\left(5x^3+3x^2\right)$

= $\left(5x^3+3x^2\right)·e^{5x+4}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-2x^3+4}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-2x^3+4}·\left(-6x^2\right)$

= $6·e^{-2x^3+4}{x}^2$

= $6x^2{e}^{-2x^3+4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x-1}·\left(2+0\right)$

= $\frac{1}{2x-1}·\left(2\right)$

= $\frac{2}{2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-6\right)·\sin \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\sin \left(x^2\right)+\left(3x-6\right)·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $3\cdot \sin \left(x^2\right)+\left(3x-6\right)·2\cos \left(x^2\right)x$

= $3\cdot \sin \left(x^2\right)+2\left(3x-6\right)\cos \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^x$

f'(x) = $-3e^x$

f''(x) = $-3e^x$

f'''(x) = $-3e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-3e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $-3e^x$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,1}x}-4\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,4}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-4+\mathrm{0,4}x-2\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(\mathrm{0,4}x-6\right)$

= $\left(\mathrm{0,4}x-6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$