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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x - 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x - 1} + x^{2} \cdot e^{3 x - 1} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x - 1} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x - 1}$

= $2 x \cdot e^{3 x - 1} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x - 1}$

= $e^{3 x - 1} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x + 4}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x + 4} \cdot 2$

= $4 e^{2 x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x - 3} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x - 3} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{- 2 x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 3) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 3) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} + 3) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 6 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x + 6)$

= $(2 x^{2} + 2 x + 6) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- x}$

f'(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f'''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 4$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x + 1) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 4$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 4$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 3 + 1,2 x + 1,2) - 4$

= $- 4 + (1,2 x - 3 + 1,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 4 + (1,2 x - 1,8) \cdot e^{- 0,4 x}$