$\text{f(x)}=$ $2+3e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^x$

= $3e^x$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^5-e^{x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{5}{3}{x}^4-e^{x+4}·1$

= $-\frac{5}{3}{x}^4-e^{x+4}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{2x^2-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{2x^2-2}·4x$

= $-4·e^{2x^2-2}x$

= $-4x{e}^{2x^2-2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x^3-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x^3-4}·\left(6x^2+0\right)$

= $\frac{1}{2x^3-4}·\left(6x^2\right)$

= $6\frac{x^2}{2x^3-4}$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(-x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \sin \left(-x+3\right)·\left(-1+0\right)$

= $2\cdot \sin \left(-x+3\right)·\left(-1\right)$

= $-2\cdot \sin \left(-x+3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+85\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+8x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+8$

= $5e^{-\mathrm{0,7}x}+5\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)+8$

= $5e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{3,5}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+8$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(5-\mathrm{3,5}x+\mathrm{3,5}\right)+8$

= $8+\left(-\mathrm{3,5}x+5+\mathrm{3,5}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $8+\left(-\mathrm{3,5}x+\mathrm{8,5}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$