$\text{f(x)}=$ $e^{\frac{7}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{\frac{7}{5}x}·\frac{7}{5}$

= $\frac{7}{5}{e}^{\frac{7}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-2x}+x^2·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+x^2·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2x^2·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x^2+3x\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-8x+3\right)·e^{-x}+\left(-4x^2+3x\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $\left(-8x+3\right)·e^{-x}+\left(-4x^2+3x\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $\left(-8x+3\right)·e^{-x}-\left(-4x^2+3x\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(4x^2-3x-8x+3\right)$

= $e^{-x}·\left(4x^2-11x+3\right)$

= $\left(4x^2-11x+3\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x-3}·\left(4+0\right)$

= $\frac{1}{4x-3}·\left(4\right)$

= $\frac{4}{4x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-2x}+\left(x-2\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $e^{-2x}+\left(x-2\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $e^{-2x}-2\left(x-2\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(1-2x+4\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x+5\right)$

= $\left(-2x+5\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,522}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 37-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 37 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{37}$

Somit gilt für die 37-te Ableitung:

f⁽³⁷⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{37}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

≈ $-\mathrm{0,002}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-4$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-4$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,8}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-4+\mathrm{0,8}x-4\right)-4$

= $-4+\left(\mathrm{0,8}x-4-4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $-4+\left(\mathrm{0,8}x-8\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$