$\text{f(x)}=$ $-e^{\frac{7}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{\frac{7}{4}x}·\frac{7}{4}$

= $-\frac{7}{4}{e}^{\frac{7}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}\left(-4x-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-4x-4\right)+e^{-x}·\left(-4+0\right)$

= $-e^{-x}\left(-4x-4\right)+e^{-x}·\left(-4\right)$

= $-e^{-x}\left(-4x-4\right)-4e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-4+4x+4\right)$

= $e^{-x}·\left(4x+0\right)$

= $e^{-x}·4x$

= $x·4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{2x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{2x+3}·2$

= $6e^{2x+3}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{5x}·5$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+8\right)·\cos \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\cos \left(2x\right)+\left(2x+8\right)·(-\sin \left(2x\right)·2)$

= $2\cdot \cos \left(2x\right)+\left(2x+8\right)·\left(-2\cdot \sin \left(2x\right)\right)$

= $2\cdot \cos \left(2x\right)-2\left(2x+8\right)·\sin \left(2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $2e^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{2,2}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{2,2}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{2,42}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,42}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{2,662}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{2,662}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{2,9282}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 51-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 51 mal mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{51}$

Somit gilt für die 51-te Ableitung:

f⁽⁵¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{51}·2e^{-\mathrm{1,1}x}$

≈ $-\mathrm{258,26}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+2x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+2$

= $-4e^{-\mathrm{0,9}x}-4\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)+2$

= $-4e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{3,6}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+2$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-4+\mathrm{3,6}x+\mathrm{7,2}\right)+2$

= $2+\left(\mathrm{3,6}x-4+\mathrm{7,2}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $2+\left(\mathrm{3,6}x+\mathrm{3,2}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$