Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} (- 3 x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} (- 3 x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 3 x^{2} + 3) + e^{2 x} \cdot (- 6 x + 0)$

= $2 \cdot e^{2 x} (- 3 x^{2} + 3) + e^{2 x} \cdot (- 6 x)$

= $2 \cdot e^{2 x} (- 3 x^{2} + 3) - 6 \cdot e^{2 x} x$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{2} + 6 - 6 x)$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{2} - 6 x + 6)$

= $(- 6 x^{2} - 6 x + 6) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 5 x^{2} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 5 x^{2} - x)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (- 5 x^{2} - x) + e^{- 3 x} \cdot (- 10 x - 1)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (- 5 x^{2} - x) + e^{- 3 x} (- 10 x - 1)$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x^{2} + 3 x - 10 x - 1)$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x^{2} - 7 x - 1)$

= $(15 x^{2} - 7 x - 1) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (2 x) + x^{5} \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot \sin (2 x) + x^{5} \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (2 x) + 2 x^{5} \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${1,05}^{64} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $22,705 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 4$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 3 e^{- 0,6 x} - 3 (x + 6) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 3 e^{- 0,6 x} + 1,8 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 3 + 1,8 x + 10,8)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1,8 x + 7,8)$

= $(1,8 x + 7,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten