Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{3} - 3 x) \cdot e^{3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{3} - 3 x) \cdot e^{3 x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{2} - 3) \cdot e^{3 x - 3} + (- 5 x^{3} - 3 x) \cdot e^{3 x - 3} \cdot 3$

= $(- 15 x^{2} - 3) \cdot e^{3 x - 3} + (- 5 x^{3} - 3 x) \cdot 3 e^{3 x - 3}$

= $(- 15 x^{2} - 3) \cdot e^{3 x - 3} + 3 (- 5 x^{3} - 3 x) \cdot e^{3 x - 3}$

= $e^{3 x - 3} \cdot (- 15 x^{3} - 9 x - 15 x^{2} - 3)$

= $e^{3 x - 3} \cdot (- 15 x^{3} - 15 x^{2} - 9 x - 3)$

= $(- 15 x^{3} - 15 x^{2} - 9 x - 3) \cdot e^{3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x - 2}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} + 3} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{3} + 3} \cdot (9 x^{2})$

= $9 \frac{x^{2}}{3 x^{3} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x - 5) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $e^{- 3 x} + (x - 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $e^{- 3 x} - 3 (x - 5) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (1 - 3 x + 15)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x + 16)$

= $(- 3 x + 16) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $- 5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 9$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x + 7) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (3 - 1,2 x - 8,4)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1,2 x - 5,4)$

= $(- 1,2 x - 5,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten