$\text{f(x)}=$ $e^{\frac{4}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{\frac{4}{3}x}·\frac{4}{3}$

= $\frac{4}{3}{e}^{\frac{4}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{2}\sqrt{x}-3e^{-x+1}$

= $\frac{7}{2}{x}^{\frac{1}{2}}-3e^{-x+1}$

=> f'(x) = $\frac{7}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}-3e^{-x+1}·\left(-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{4\sqrt{x}}-3e^{-x+1}·\left(-1\right)$

= $\frac{7}{4\sqrt{x}}+3e^{-x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^2-1\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-6x+0\right)·e^{2x}+\left(-3x^2-1\right)·e^{2x}·2$

= $-6x·e^{2x}+\left(-3x^2-1\right)·2e^{2x}$

= $-6x·e^{2x}+2\left(-3x^2-1\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(-6x^2-2-6x\right)$

= $e^{2x}·\left(-6x^2-6x-2\right)$

= $\left(-6x^2-6x-2\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x+4}·\left(-1+0\right)$

= $\frac{1}{-x+4}·\left(-1\right)$

= $-\frac{1}{-x+4}$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(-3x-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(-3x-1\right)·\left(-3+0\right)$

= $3\cdot \cos \left(-3x-1\right)·\left(-3\right)$

= $-9\cdot \cos \left(-3x-1\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+83\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-4$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-4$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,2}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(2-\mathrm{1,2}x+6\right)-4$

= $-4+\left(-\mathrm{1,2}x+2+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-4+\left(-\mathrm{1,2}x+8\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$