$\text{f(x)}=$ $\frac{10}{9}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{10}{9}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{20}{9}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-x+1}+x^2·e^{-x+1}·\left(-1\right)$

= $2x·e^{-x+1}+x^2·\left(-e^{-x+1}\right)$

= $2x·e^{-x+1}-x^2·e^{-x+1}$

= $e^{-x+1}·\left(-x^2+2x\right)$

= $\left(-x^2+2x\right)·e^{-x+1}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-3x}+x^5·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $5x^4·e^{-3x}+x^5·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $5x^4·e^{-3x}-3x^5·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $5\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{x}·1$

= $\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(-2x^2+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(-2x^2+4\right)·\left(-4x+0\right)$

= $-\sin \left(-2x^2+4\right)·\left(-4x\right)$

= $4\sin \left(-2x^2+4\right)x$

= $4x·\sin \left(-2x^2+4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^x·\left(x+91\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+3\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)-1$

= $3e^{-\mathrm{0,9}x}+3\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)-1$

= $3e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{2,7}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-1$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(3-\mathrm{2,7}x-\mathrm{13,5}\right)-1$

= $-1+\left(-\mathrm{2,7}x+3-\mathrm{13,5}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $-1+\left(-\mathrm{2,7}x-\mathrm{10,5}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$