$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{8}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{8}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-\frac{15}{8}{e}^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}{x}^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·x^5+e^{-3x}·5x^4$

= $-3·e^{-3x}{x}^5+5·e^{-3x}{x}^4$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{x^2-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{x^2-3}·2x$

= $-6·e^{x^2-3}x$

= $-6x{e}^{x^2-3}$

$\text{f(x)}=$ $2\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3x}·3$

= $\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-7\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-3x}+\left(x^2-7\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x}+\left(x^2-7\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2x·e^{-3x}-3\left(x^2-7\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+21+2x\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x+21\right)$

= $\left(-3x^2+2x+21\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,6561}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 59-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 59 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{59}$

Somit gilt für die 59-te Ableitung:

f⁽⁵⁹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{59}·e^{-\mathrm{0,9}x}$

≈ $-\mathrm{0,002}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+6$

= $-5e^{-\mathrm{0,9}x}-5\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)+6$

= $-5e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{4,5}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-5+\mathrm{4,5}x-\mathrm{4,5}\right)+6$

= $6+\left(\mathrm{4,5}x-5-\mathrm{4,5}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $6+\left(\mathrm{4,5}x-\mathrm{9,5}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$