Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 3 e^{\frac{6}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 3 e^{\frac{6}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{6}{5} x} \cdot \frac{6}{5}$

= $- \frac{18}{5} e^{\frac{6}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x + 3) \cdot e^{3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x + 3) \cdot e^{3 x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 4 + 0) \cdot e^{3 x + 3} + (- 4 x + 3) \cdot e^{3 x + 3} \cdot 3$

= $- 4 e^{3 x + 3} + (- 4 x + 3) \cdot 3 e^{3 x + 3}$

= $- 4 e^{3 x + 3} + 3 (- 4 x + 3) \cdot e^{3 x + 3}$

= $e^{3 x + 3} \cdot (- 4 - 12 x + 9)$

= $e^{3 x + 3} \cdot (- 12 x + 5)$

= $(- 12 x + 5) \cdot e^{3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 4 x^{5} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 4 x^{5} - 2 x)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- 4 x^{5} - 2 x) + e^{- x} \cdot (- 20 x^{4} - 2)$

= $- e^{- x} (- 4 x^{5} - 2 x) + e^{- x} (- 20 x^{4} - 2)$

= $e^{- x} \cdot (4 x^{5} + 2 x - 20 x^{4} - 2)$

= $e^{- x} \cdot (4 x^{5} - 20 x^{4} + 2 x - 2)$

= $(4 x^{5} - 20 x^{4} + 2 x - 2) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{- x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{- x + 2}$

= $- {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} {(- x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \sqrt{- x + 2}} \cdot (- 1 + 0)$

= $- \frac{1}{2 \sqrt{- x + 2}} \cdot (- 1)$

= $\frac{1}{2 \sqrt{- x + 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 95)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 9$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $4 e^{- 0,6 x} + 4 (x + 4) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $4 e^{- 0,6 x} - 2,4 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (4 - 2,4 x - 9,6)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 2,4 x - 5,6)$

= $(- 2,4 x - 5,6) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten