$\text{f(x)}=$ $3+\frac{6}{7}{e}^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{6}{7}{e}^{\frac{5}{8}x}·\frac{5}{8}$

= $\frac{15}{28}{e}^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(x\right)+2e^{-2x-3}+6\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x\right)+2e^{-2x-3}·\left(-2\right)+6\cdot \cos \left(x\right)$

= $3\cdot \sin \left(x\right)-4e^{-2x-3}+6\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x^3+2}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x^3+2}·\left(-3x^2\right)$

= $-3·e^{-x^3+2}{x}^2$

= $-3x^2{e}^{-x^3+2}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{2x}·2$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\sqrt{x^2-2}$

= $-3{\left(x^2-2\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{\left(x^2-2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(2x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2\sqrt{x^2-2}}·\left(2x+0\right)$

= $-\frac{3}{2\sqrt{x^2-2}}·\left(2x\right)$

= $-3\frac{x}{\sqrt{x^2-2}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $-4e^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{4,4}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{4,4}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{4,84}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{4,84}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{5,324}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{5,324}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{5,8564}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,1}}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${\mathrm{1,1}}^{52}·\left(-4e^{\mathrm{1,1}x}\right)$

≈ $-\mathrm{568,172}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-8$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,2}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-1+\mathrm{0,2}x-1\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,2}x-2\right)$

= $\left(\mathrm{0,2}x-2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$