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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - 3 e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - 3 e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $- \frac{5}{2} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{9}{4} \cdot \sin (x) - e^{2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{9}{4} \cdot \sin (x) - e^{2 x + 1}$

$f'(x) =$ $\frac{9}{4} \cdot \cos (x) - e^{2 x + 1} \cdot 2$

= $\frac{9}{4} \cdot \cos (x) - 2 e^{2 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} + 5} \cdot (- 2 x)$

= $4 \cdot e^{- x^{2} + 5} x$

= $4 x e^{- x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 7) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 7) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x + 7) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x} + (3 x + 7) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 e^{- 2 x} - 2 (3 x + 7) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (3 - 6 x - 14)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x - 11)$

= $(- 6 x - 11) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 38-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{0,85 x}$

f'(x) = $5 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $4,25 e^{0,85 x}$

f''(x) = $4,25 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $3,6125 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $3,6125 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $3,0706 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,0706 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $2,61 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 38-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 38 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{38}$

Somit gilt für die 38-te Ableitung:

f⁽³⁸⁾(x) = ${0,85}^{38} \cdot 5 e^{0,85 x}$

≈ $0,01 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 7$

= $- 5 e^{- 0,6 x} - 5 (x + 3) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 7$

= $- 5 e^{- 0,6 x} + 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 7$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 5 + 3 x + 9) - 7$

= $- 7 + (3 x - 5 + 9) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 7 + (3 x + 4) \cdot e^{- 0,6 x}$