Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{2}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{2}{3} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{2}{3} x} \cdot \frac{2}{3}$

= $- \frac{2}{3} e^{\frac{2}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x - 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 4} + x^{5} \cdot e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 4} + x^{5} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 4})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 4} - 5 x^{5} \cdot e^{- 5 x - 4}$

= $e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 5 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot (- e^{- x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x} - x^{5} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} + 3 x} \cdot (- 8 x + 3)$

= $\frac{- 8 x + 3}{- 4 x^{2} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(3 x^{3} - 1)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(3 x^{3} - 1)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 12 {(3 x^{3} - 1)}^{3} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $- 12 {(3 x^{3} - 1)}^{3} \cdot (9 x^{2})$

= $- 108 {(3 x^{3} - 1)}^{3} x^{2}$

= $- 108 x^{2} {(3 x^{3} - 1)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${1,05}^{62} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $20,594 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 8$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $e^{- 0,7 x} + (x + 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $e^{- 0,7 x} - 0,7 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1 - 0,7 x - 4,9)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7 x - 3,9)$

= $(- 0,7 x - 3,9) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten