$\text{f(x)}=$ $5+e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{2x}·2$

= $2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-3x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-3x+5}+x^4·e^{-3x+5}·\left(-3\right)$

= $4x^3·e^{-3x+5}+x^4·\left(-3e^{-3x+5}\right)$

= $4x^3·e^{-3x+5}-3x^4·e^{-3x+5}$

= $e^{-3x+5}·\left(4x^3-3x^4\right)$

= $e^{-3x+5}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x+5}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-3x^3-1}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-3x^3-1}·\left(-9x^2\right)$

= $9·e^{-3x^3-1}{x}^2$

= $9x^2{e}^{-3x^3-1}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{3x}·3$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(\cos \left(x\right)+2\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $4\left(\cos \left(x\right)+2\right)·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $4\left(\cos \left(x\right)+2\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-4\left(\cos \left(x\right)+2\right)·\sin \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,9}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,9}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,81}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,81}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,729}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,729}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,6561}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,9}}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${\mathrm{0,9}}^{47}·e^{\mathrm{0,9}x}$

≈ $\mathrm{0,007}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-4$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-4$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-4$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(x+6-2\right)-4$

= $-4+\left(x+6-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $-4+\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$