$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{5}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{5}{e}^{3x}·3$

= $\frac{9}{5}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{3x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{3x+4}+x^2·e^{3x+4}·3$

= $2x·e^{3x+4}+x^2·3e^{3x+4}$

= $2x·e^{3x+4}+3x^2·e^{3x+4}$

= $e^{3x+4}·\left(3x^2+2x\right)$

= $\left(3x^2+2x\right)·e^{3x+4}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-x^2-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-x^2-2}·\left(-2x\right)$

= $2·e^{-x^2-2}x$

= $2x{e}^{-x^2-2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x^2-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x^2-3x}·\left(-10x-3\right)$

= $\frac{-10x-3}{-5x^2-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+5\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-2x}+\left(3x+5\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3e^{-2x}+\left(3x+5\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3e^{-2x}-2\left(3x+5\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(3-6x-10\right)$

= $e^{-2x}·\left(-6x-7\right)$

= $\left(-6x-7\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-x}$

f'(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f'''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+4x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+4$

= $4e^{-\mathrm{0,4}x}+4\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+4$

= $4e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{1,6}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+4$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(4-\mathrm{1,6}x+\mathrm{11,2}\right)+4$

= $4+\left(-\mathrm{1,6}x+4+\mathrm{11,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $4+\left(-\mathrm{1,6}x+\mathrm{15,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$