$\text{f(x)}=$ $2-3e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^x$

= $-3e^x$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}\sqrt{x}-e^{-2x-2}$

= $\frac{1}{4}{x}^{\frac{1}{2}}-e^{-2x-2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{8}{x}^{-\frac{1}{2}}-e^{-2x-2}·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{8\sqrt{x}}-e^{-2x-2}·\left(-2\right)$

= $\frac{1}{8\sqrt{x}}+2e^{-2x-2}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-2x}+x^2·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+x^2·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2x^2·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x^3+4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x^3+4x}·\left(15x^2+4\right)$

= $\frac{15x^2+4}{5x^3+4x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-6\right)·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\cos \left(x^2\right)+\left(x^2-6\right)·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $2x·\cos \left(x^2\right)+\left(x^2-6\right)·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $2x·\cos \left(x^2\right)-2\left(x^2-6\right)\sin \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-x}$

f'(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f'''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-7$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,4}x}-4\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{1,6}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-4+\mathrm{1,6}x-\mathrm{1,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(\mathrm{1,6}x-\mathrm{5,6}\right)$

= $\left(\mathrm{1,6}x-\mathrm{5,6}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$