$\text{f(x)}=$ $2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{2x}·2$

= $4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-3x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-3x+2}+x^5·e^{-3x+2}·\left(-3\right)$

= $5x^4·e^{-3x+2}+x^5·\left(-3e^{-3x+2}\right)$

= $5x^4·e^{-3x+2}-3x^5·e^{-3x+2}$

= $e^{-3x+2}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x+2}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{x^2+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{x^2+5}·2x$

= $-2·e^{x^2+5}x$

= $-2x{e}^{x^2+5}$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{4x}·4$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-8\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{-3x}+\left(2x-8\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2e^{-3x}+\left(2x-8\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2e^{-3x}-3\left(2x-8\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(2-6x+24\right)$

= $e^{-3x}·\left(-6x+26\right)$

= $\left(-6x+26\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^x$

f'(x) = $3e^x$

f''(x) = $3e^x$

f'''(x) = $3e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $3e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $3e^x$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)-7$

= $-4e^{-\mathrm{0,4}x}-4\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)-7$

= $-4e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{1,6}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-7$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-4+\mathrm{1,6}x-\mathrm{11,2}\right)-7$

= $-7+\left(\mathrm{1,6}x-4-\mathrm{11,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $-7+\left(\mathrm{1,6}x-\mathrm{15,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$