$\text{f(x)}=$ $-5-e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}\left(-3x^3-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·\left(-3x^3-2\right)+e^{-2x}·\left(-9x^2+0\right)$

= $-2·e^{-2x}\left(-3x^3-2\right)+e^{-2x}·\left(-9x^2\right)$

= $-2·e^{-2x}\left(-3x^3-2\right)-9·e^{-2x}{x}^2$

= $e^{-2x}·\left(6x^3+4-9x^2\right)$

= $e^{-2x}·\left(6x^3-9x^2+4\right)$

= $\left(6x^3-9x^2+4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x^2-x\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-8x-1\right)·e^{-2x}+\left(-4x^2-x\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $\left(-8x-1\right)·e^{-2x}+\left(-4x^2-x\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $\left(-8x-1\right)·e^{-2x}-2\left(-4x^2-x\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(8x^2+2x-8x-1\right)$

= $e^{-2x}·\left(8x^2-6x-1\right)$

= $\left(8x^2-6x-1\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{7x}·7$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\sin \left(2x\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\sin \left(2x\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\sin \left(2x\right)+x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(2x\right)·2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\sin \left(2x\right)+\sqrt{x}·\cos \left(2x\right)·2$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(2x\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(2x\right)}{\sqrt{x}}+2\sqrt{x}·\cos \left(2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-x}$

f'(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f'''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+5x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+5$

= $-5e^{-\mathrm{0,1}x}-5\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)+5$

= $-5e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,5}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+5$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-5+\mathrm{0,5}x-\mathrm{0,5}\right)+5$

= $5+\left(\mathrm{0,5}x-5-\mathrm{0,5}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $5+\left(\mathrm{0,5}x-\mathrm{5,5}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$