Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{\frac{11}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{\frac{11}{8} x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{\frac{11}{8} x} \cdot \frac{11}{8}$

= $- \frac{11}{4} e^{\frac{11}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 5} + x^{4} \cdot e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 5} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x - 5}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 5} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x - 5}$

= $e^{2 x - 5} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x - 2}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x - 1} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{- 3 x - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{3 x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{3 x^{2} - 2}$

= ${(3 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} {(3 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (6 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \cdot \sqrt{3 x^{2} - 2}} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{1}{2 \cdot \sqrt{3 x^{2} - 2}} \cdot (6 x)$

= $3 \frac{x}{\sqrt{3 x^{2} - 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${0,95}^{64} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,038 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 9$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- e^{- 0,8 x} - (x + 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1 + 0,8 x + 3,2)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (0,8 x + 2,2)$

= $(0,8 x + 2,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten