$\text{f(x)}=$ $-3e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{3x}·3$

= $-9e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{2}\sqrt{x}+\frac{9}{2}{x}^3-3e^{-2x-3}$

= $\frac{5}{2}{x}^{\frac{1}{2}}+\frac{9}{2}{x}^3-3e^{-2x-3}$

=> f'(x) = $\frac{5}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}+\frac{27}{2}{x}^2-3e^{-2x-3}·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{4\sqrt{x}}+\frac{27}{2}{x}^2-3e^{-2x-3}·\left(-2\right)$

= $\frac{5}{4\sqrt{x}}+\frac{27}{2}{x}^2+6e^{-2x-3}$

$\text{f(x)}=$ $e^x·x^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·x^4+e^x·4x^3$

= $e^x{x}^4+4·e^x{x}^3$

= $e^x·\left(x^4+4x^3\right)$

= $\left(x^4+4x^3\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-3\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-3}{x}·1$

= $-\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\sin \left(x^3\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\sin \left(x^3\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\sin \left(x^3\right)+x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\sin \left(x^3\right)+\sqrt{x}·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^3\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^3\right)}{\sqrt{x}}+3\sqrt{x}\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^3\right)}{\sqrt{x}}+3{\left(\sqrt{x}\right)}^5·\cos \left(x^3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $3e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{2,55}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{2,55}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{2,1675}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,1675}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{1,8424}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,8424}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{1,566}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 42-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 42 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{42}$

Somit gilt für die 42-te Ableitung:

f⁽⁴²⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{42}·3e^{-\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,003}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+8$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,7}x}+3\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{2,1}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(3-\mathrm{2,1}x-\mathrm{4,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{2,1}x-\mathrm{1,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{2,1}x-\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$