$\text{f(x)}=$ $3+e^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{\frac{6}{7}x}·\frac{6}{7}$

= $\frac{6}{7}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-x+4}+\frac{1}{x^3}$

= $-2e^{-x+4}+x^{-3}$

=> f'(x) = $-2e^{-x+4}·\left(-1\right)-3x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-x+4}·\left(-1\right)-\frac{3}{x^4}$

= $2e^{-x+4}-\frac{3}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{x^2+2}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{x^2+2}·2x$

= $4·e^{x^2+2}x$

= $4x{e}^{x^2+2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^3+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^3+1}·\left(-3x^2+0\right)$

= $\frac{1}{-x^3+1}·\left(-3x^2\right)$

= $-3\frac{x^2}{-x^3+1}$

$\text{f(x)}=$ $-3\sqrt{-x+4}$

= $-3{\left(-x+4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{\left(-x+4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2\sqrt{-x+4}}·\left(-1+0\right)$

= $-\frac{3}{2\sqrt{-x+4}}·\left(-1\right)$

= $\frac{3}{2\sqrt{-x+4}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-x}$

f'(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f'''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-2$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-2+x-5\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(x-7\right)$

= $\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$