Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 - 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 - 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 4 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 4 x - 3}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 3} + x^{3} \cdot e^{- 4 x - 3} \cdot (- 4)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 3} + x^{3} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 3})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 3} - 4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 3}$

= $e^{- 4 x - 3} \cdot (- 4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x^{2} + 4} \cdot (- 6 x)$

= $6 \cdot e^{- 3 x^{2} + 4} x$

= $6 x e^{- 3 x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} + 3} \cdot (8 x + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{2} + 3} \cdot (8 x)$

= $8 \frac{x}{4 x^{2} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} + 9) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} + 9) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{2} + 9) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} - 18 + 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x - 18)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x - 18) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 91)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 7$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 2 (x - 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 7$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 1,4 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 7$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2 + 1,4 x - 5,6) - 7$

= $- 7 + (1,4 x - 2 - 5,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 7 + (1,4 x - 7,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten