$\text{f(x)}=$ $1-2e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $6e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-3x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-3x-5}+x^2·e^{-3x-5}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x-5}+x^2·\left(-3e^{-3x-5}\right)$

= $2x·e^{-3x-5}-3x^2·e^{-3x-5}$

= $e^{-3x-5}·\left(2x-3x^2\right)$

= $e^{-3x-5}·\left(-3x^2+2x\right)$

= $\left(-3x^2+2x\right)·e^{-3x-5}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-2x^3+1}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-2x^3+1}·\left(-6x^2\right)$

= $-18·e^{-2x^3+1}{x}^2$

= $-18x^2{e}^{-2x^3+1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x^3+x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x^3+x}·\left(6x^2+1\right)$

= $\frac{6x^2+1}{2x^3+x}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(\sin \left(x\right)+1\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-12{\left(\sin \left(x\right)+1\right)}^3·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $-12{\left(\sin \left(x\right)+1\right)}^3·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $-12{\left(\sin \left(x\right)+1\right)}^3·\cos \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,522}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 44-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 44 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{44}$

Somit gilt für die 44-te Ableitung:

f⁽⁴⁴⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{44}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,001}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+7$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{3,2}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{3,2}x+\mathrm{6,4}+4\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{3,2}x+\mathrm{10,4}\right)$

= $\left(-\mathrm{3,2}x+\mathrm{10,4}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$