Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $- \frac{9}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{5} - x^{4}) \cdot e^{- 3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{5} - x^{4}) \cdot e^{- 3 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 10 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 4} + (- 2 x^{5} - x^{4}) \cdot e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

= $(- 10 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 4} + (- 2 x^{5} - x^{4}) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 4})$

= $(- 10 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 4} - 3 (- 2 x^{5} - x^{4}) \cdot e^{- 3 x + 4}$

= $e^{- 3 x + 4} \cdot (6 x^{5} + 3 x^{4} + (- 10 x^{4} - 4 x^{3}))$

= $e^{- 3 x + 4} \cdot (6 x^{5} - 7 x^{4} - 4 x^{3})$

= $(6 x^{5} - 7 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 4 x^{3} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 4 x^{3} + 4)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (- 4 x^{3} + 4) + e^{x} \cdot (- 12 x^{2} + 0)$

= $e^{x} (- 4 x^{3} + 4) + e^{x} \cdot (- 12 x^{2})$

= $e^{x} (- 4 x^{3} + 4) - 12 \cdot e^{x} x^{2}$

= $e^{x} \cdot (- 4 x^{3} + 4 - 12 x^{2})$

= $e^{x} \cdot (- 4 x^{3} - 12 x^{2} + 4)$

= $(- 4 x^{3} - 12 x^{2} + 4) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \cos (x^{3})$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot \cos (x^{3})$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot \cos (x^{3}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot \cos (x^{3}) + \sqrt[3]{x} \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $\frac{1}{3} \frac{\cos (x^{3})}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $\frac{1}{3} \frac{\cos (x^{3})}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 3 \sqrt[3]{x} \sin (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{1}{3} \frac{\cos (x^{3})}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 3 {(\sqrt[3]{x})}^{7} \cdot \sin (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 86)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 4$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $e^{- 0,3 x} + (x - 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $e^{- 0,3 x} - 0,3 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1 - 0,3 x + 1,2)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3 x + 2,2)$

= $(- 0,3 x + 2,2) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten