Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - 3 e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - 3 e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $- \frac{5}{2} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{x} - e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{x} - e^{x + 2}$

= $- 2 x^{\frac{1}{2}} - e^{x + 2}$

=> f'(x) = $- x^{- \frac{1}{2}} - e^{x + 2} \cdot 1$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{x}} - e^{x + 2} \cdot 1$

= $- \frac{1}{\sqrt{x}} - e^{x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{2} + e^{3 x} \cdot 2 x$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{2} + 2 \cdot e^{3 x} x$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (- 2 x)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- 2 x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (- 2 x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot (- \sin (- 2 x) \cdot (- 2))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \cos (- 2 x) + \sqrt{x} \cdot (- \sin (- 2 x) \cdot (- 2))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 2 x)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 \cdot \sin (- 2 x)$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 2 x)}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cdot \sin (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 95)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 3$

= $- 4 e^{- 0,1 x} - 4 (x - 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 3$

= $- 4 e^{- 0,1 x} + 0,4 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 3$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 4 + 0,4 x - 2) - 3$

= $- 3 + (0,4 x - 4 - 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 3 + (0,4 x - 6) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten