Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{4} - 4) \cdot e^{2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{4} - 4) \cdot e^{2 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{3} + 0) \cdot e^{2 x + 2} + (- 3 x^{4} - 4) \cdot e^{2 x + 2} \cdot 2$

= $- 12 x^{3} \cdot e^{2 x + 2} + (- 3 x^{4} - 4) \cdot 2 e^{2 x + 2}$

= $- 12 x^{3} \cdot e^{2 x + 2} + 2 (- 3 x^{4} - 4) \cdot e^{2 x + 2}$

= $e^{2 x + 2} \cdot (- 6 x^{4} - 8 - 12 x^{3})$

= $e^{2 x + 2} \cdot (- 6 x^{4} - 12 x^{3} - 8)$

= $(- 6 x^{4} - 12 x^{3} - 8) \cdot e^{2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 5 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 5 x + 1)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (- 5 x + 1) + e^{- 3 x} \cdot (- 5 + 0)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (- 5 x + 1) + e^{- 3 x} \cdot (- 5)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (- 5 x + 1) - 5 e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 5 + 15 x - 3)$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x - 8)$

= $(15 x - 8) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x - 7) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x - 7) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x - 7) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (1 + 2 x - 14)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x - 13)$

= $(2 x - 13) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 31-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $- 4 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $3,4 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $3,4 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,89 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $- 2,89 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $2,4565 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,4565 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,088 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${(- 0,85)}^{31} \cdot (- 4 e^{- 0,85 x})$

≈ $0,026 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,3 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,3 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 2$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x - 3) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 2$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x - 3) \cdot e^{- 0,3 x} - 2$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 3 + 0,9 x - 2,7) - 2$

= $- 2 + (0,9 x - 3 - 2,7) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 2 + (0,9 x - 5,7) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten