$\text{f(x)}=$ $-e^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{\frac{8}{9}x}·\frac{8}{9}$

= $-\frac{8}{9}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{4}\cdot \cos \left(x\right)-2e^{3x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{4}\cdot \sin \left(x\right)-2e^{3x-1}·3$

= $\frac{5}{4}\cdot \sin \left(x\right)-6e^{3x-1}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-x^3+4}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-x^3+4}·\left(-3x^2\right)$

= $-6·e^{-x^3+4}{x}^2$

= $-6x^2{e}^{-x^3+4}$

$\text{f(x)}=$ $3\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{6x}·6$

= $\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+4\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-2x}+\left(x+4\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $e^{-2x}+\left(x+4\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $e^{-2x}-2\left(x+4\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(1-2x-8\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x-7\right)$

= $\left(-2x-7\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+84\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+7x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+7$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+7$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,2}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+7$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(2-\mathrm{1,2}x-\mathrm{2,4}\right)+7$

= $7+\left(-\mathrm{1,2}x+2-\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $7+\left(-\mathrm{1,2}x-\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$