Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{\frac{2}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{\frac{2}{3} x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{9} e^{\frac{2}{3} x} \cdot \frac{2}{3}$

= $\frac{14}{27} e^{\frac{2}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + x^{3} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + x^{3} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{3} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + x^{3} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + x^{3} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{3} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x + 1} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{x + 1} \cdot (1)$

= $\frac{1}{x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(\cos (x) + 3)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(\cos (x) + 3)}^{3}$

$f'(x) =$ $9 {(\cos (x) + 3)}^{2} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $9 {(\cos (x) + 3)}^{2} \cdot (- \sin (x))$

= $- 9 {(\cos (x) + 3)}^{2} \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 53-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 53-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 53 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{53}$

Somit gilt für die 53-te Ableitung:

f⁽⁵³⁾(x) = ${1,1}^{53} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $156,247 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 7$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x - 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 7$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 7$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (3 - 0,3 x + 1,5) - 7$

= $- 7 + (- 0,3 x + 3 + 1,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 7 + (- 0,3 x + 4,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten