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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 2 x) \cdot e^{x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 2 x) \cdot e^{x + 3}$

$f'(x) =$ $(2 x - 2) \cdot e^{x + 3} + (x^{2} - 2 x) \cdot e^{x + 3} \cdot 1$

= $(2 x - 2) \cdot e^{x + 3} + (x^{2} - 2 x) \cdot e^{x + 3}$

= $e^{x + 3} \cdot (x^{2} - 2 x + 2 x - 2)$

= $e^{x + 3} \cdot (x^{2} + 0 - 2)$

= $e^{x + 3} \cdot (x^{2} - 2)$

= $(x^{2} - 2) \cdot e^{x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x + 2}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} - 1} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{x^{3} - 1} \cdot (3 x^{2})$

= $3 \frac{x^{2}}{x^{3} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 6) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 6) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (2 x - 6) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 \cdot \sin (x^{2}) + (2 x - 6) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 \cdot \sin (x^{2}) + 2 (2 x - 6) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 80)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 5$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 3 e^{- 0,6 x} - 3 (x - 6) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 3 e^{- 0,6 x} + 1,8 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 3 + 1,8 x - 10,8)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1,8 x - 13,8)$

= $(1,8 x - 13,8) \cdot e^{- 0,6 x}$