$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{4}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{4}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-\frac{15}{4}{e}^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}\left(-2x^4+2x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·\left(-2x^4+2x^2\right)+e^{-3x}·\left(-8x^3+4x\right)$

= $-3·e^{-3x}\left(-2x^4+2x^2\right)+e^{-3x}\left(-8x^3+4x\right)$

= $e^{-3x}·(6x^4-6x^2+\left(-8x^3+4x\right))$

= $e^{-3x}·\left(6x^4-8x^3-6x^2+4x\right)$

= $\left(6x^4-8x^3-6x^2+4x\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{2x^2+2}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{2x^2+2}·4x$

= $-8·e^{2x^2+2}x$

= $-8x{e}^{2x^2+2}$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{2x}·2$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \cos \left(2x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(2x+3\right)·\left(2+0\right)$

= $-3\cdot \sin \left(2x+3\right)·\left(2\right)$

= $-6\cdot \sin \left(2x+3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $3e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{2,85}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{2,85}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{2,7075}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,7075}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{2,5721}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{2,5721}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{2,4435}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{63}·3e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $-\mathrm{0,118}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{1,2}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-2+\mathrm{1,2}x+\mathrm{7,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{1,2}x+\mathrm{5,2}\right)$

= $\left(\mathrm{1,2}x+\mathrm{5,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$