$\text{f(x)}=$ $-5+\frac{9}{8}{e}^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{9}{8}{e}^{\frac{7}{9}x}·\frac{7}{9}$

= $\frac{7}{8}{e}^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{3x+2}+4x^2-\frac{9}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{3x+2}·3+8x+\frac{9}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

= $-6e^{3x+2}+8x+\frac{9}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-e^{2x^2+1}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{2x^2+1}·4x$

= $-4·e^{2x^2+1}x$

= $-4x{e}^{2x^2+1}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{4x}·4$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-5\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(x^2-5\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+\left(x^2-5\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+3\left(x^2-5\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $-4e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{3,8}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{3,8}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{3,61}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{3,61}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{3,4295}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{3,4295}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{3,258}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{62}·\left(-4e^{\mathrm{0,95}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,166}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+6$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,4}x}-3\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{1,2}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-3+\mathrm{1,2}x-\mathrm{4,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{7,8}\right)$

= $\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{7,8}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$