Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{3}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{3} - 5 x) \cdot e^{- 2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{3} - 5 x) \cdot e^{- 2 x - 2}$

$f'(x) =$ $(3 x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x - 2} + (x^{3} - 5 x) \cdot e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2)$

= $(3 x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x - 2} + (x^{3} - 5 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 2})$

= $(3 x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x - 2} - 2 (x^{3} - 5 x) \cdot e^{- 2 x - 2}$

= $e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2 x^{3} + 10 x + 3 x^{2} - 5)$

= $e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2} + 10 x - 5)$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2} + 10 x - 5) \cdot e^{- 2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot (- e^{- x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x} - x^{5} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 7) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 7) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (x^{2} + 7) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $2 x \cdot \cos (x^{3}) + (x^{2} + 7) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $2 x \cdot \cos (x^{3}) - 3 (x^{2} + 7) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 77)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 6$

= $5 e^{- 0,8 x} + 5 (x - 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 6$

= $5 e^{- 0,8 x} - 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (5 - 4 x + 12) - 6$

= $- 6 + (- 4 x + 5 + 12) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 6 + (- 4 x + 17) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten