$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-3e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-3x-4}-4\sqrt{x}+4x^2$

= $-e^{-3x-4}-4x^{\frac{1}{2}}+4x^2$

=> f'(x) = $-e^{-3x-4}·\left(-3\right)-2x^{-\frac{1}{2}}+8x$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-3x-4}·\left(-3\right)-\frac{2}{\sqrt{x}}+8x$

= $3e^{-3x-4}-\frac{2}{\sqrt{x}}+8x$

$\text{f(x)}=$ $e^x·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·x^3+e^x·3x^2$

= $e^x{x}^3+3·e^x{x}^2$

= $e^x·\left(x^3+3x^2\right)$

= $\left(x^3+3x^2\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-4x^2+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-4x^2+2}·\left(-8x+0\right)$

= $\frac{1}{-4x^2+2}·\left(-8x\right)$

= $-8\frac{x}{-4x^2+2}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·\sin \left(-x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·\sin \left(-x+3\right)+x^3·\cos \left(-x+3\right)·\left(-1+0\right)$

= $3x^2·\sin \left(-x+3\right)+x^3·\cos \left(-x+3\right)·\left(-1\right)$

= $3x^2·\sin \left(-x+3\right)+x^3·\left(-\cos \left(-x+3\right)\right)$

= $3x^2·\sin \left(-x+3\right)-x^3·\cos \left(-x+3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,5209}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,5209}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,749}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 40-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 40 mal mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,15}}^{40}$

Somit gilt für die 40-te Ableitung:

f⁽⁴⁰⁾(x) = ${\mathrm{1,15}}^{40}·e^{\mathrm{1,15}x}$

≈ $\mathrm{267,864}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+2x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-5\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+2$

= $-5e^{-\mathrm{0,8}x}-5\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)+2$

= $-5e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+2$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-5+4x-16\right)+2$

= $2+\left(4x-5-16\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $2+\left(4x-21\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$