Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 - 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 - 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{x^{3}} + 3 e^{x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{x^{3}} + 3 e^{x + 1}$

= $- x^{- 3} + 3 e^{x + 1}$

=> f'(x) = $3 x^{- 4} + 3 e^{x + 1} \cdot 1$

$f'(x) =$ $\frac{3}{x^{4}} + 3 e^{x + 1} \cdot 1$

= $\frac{3}{x^{4}} + 3 e^{x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + x^{3} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + x^{3} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{3} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{x} \cdot 1$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 8) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 8) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 8) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} - 24 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 24)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 24) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{0,95 x}$

f'(x) = $2 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $1,9 e^{0,95 x}$

f''(x) = $1,9 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $1,805 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $1,805 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $1,7148 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,7148 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $1,629 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${0,95}^{78} \cdot 2 e^{0,95 x}$

≈ $0,037 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 2$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $4 e^{- 0,9 x} + 4 (x - 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $4 e^{- 0,9 x} - 3,6 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4 - 3,6 x + 3,6)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 3,6 x + 7,6)$

= $(- 3,6 x + 7,6) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten