$\text{f(x)}=$ $-2+\frac{4}{5}{e}^{\frac{11}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{4}{5}{e}^{\frac{11}{9}x}·\frac{11}{9}$

= $\frac{44}{45}{e}^{\frac{11}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{4x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{4x+3}+x^2·e^{4x+3}·4$

= $2x·e^{4x+3}+x^2·4e^{4x+3}$

= $2x·e^{4x+3}+4x^2·e^{4x+3}$

= $e^{4x+3}·\left(4x^2+2x\right)$

= $\left(4x^2+2x\right)·e^{4x+3}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{2x}+x^3·e^{2x}·2$

= $3x^2·e^{2x}+x^3·2e^{2x}$

= $3x^2·e^{2x}+2x^3·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^3+3x^2\right)$

= $\left(2x^3+3x^2\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{4x}·4$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{{\left(2x^3+5\right)}^2}$

= $-3{\left(2x^3+5\right)}^{-2}$

=> f'(x) = $6{\left(2x^3+5\right)}^{-3}·\left(6x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{{\left(2x^3+5\right)}^3}·\left(6x^2+0\right)$

= $\frac{6}{{\left(2x^3+5\right)}^3}·\left(6x^2\right)$

= $36\frac{x^2}{{\left(2x^3+5\right)}^3}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+77\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-5$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-5$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-2+x-4\right)-5$

= $-5+\left(x-2-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $-5+\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$