Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{5}{4} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{5}{4} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{4} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{15}{4} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{4} - 2 x^{2}) \cdot e^{- x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{4} - 2 x^{2}) \cdot e^{- x - 1}$

$f'(x) =$ $(4 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- x - 1} + (x^{4} - 2 x^{2}) \cdot e^{- x - 1} \cdot (- 1)$

= $(4 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- x - 1} + (x^{4} - 2 x^{2}) \cdot (- e^{- x - 1})$

= $(4 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- x - 1} - (x^{4} - 2 x^{2}) \cdot e^{- x - 1}$

= $e^{- x - 1} \cdot (- x^{4} + 2 x^{2} + (4 x^{3} - 4 x))$

= $e^{- x - 1} \cdot (- x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x)$

= $(- x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (x^{5} - 4 x^{4})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (x^{5} - 4 x^{4})$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (x^{5} - 4 x^{4}) + e^{2 x} \cdot (5 x^{4} - 16 x^{3})$

= $2 \cdot e^{2 x} (x^{5} - 4 x^{4}) + e^{2 x} (5 x^{4} - 16 x^{3})$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} - 8 x^{4} + (5 x^{4} - 16 x^{3}))$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} - 3 x^{4} - 16 x^{3})$

= $(2 x^{5} - 3 x^{4} - 16 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 9) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 9) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (2 x) + (x + 9) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $\sin (2 x) + (x + 9) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $\sin (2 x) + 2 (x + 9) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 32-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 32-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 32 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{32}$

Somit gilt für die 32-te Ableitung:

f⁽³²⁾(x) = ${0,85}^{32} \cdot e^{0,85 x}$

≈ $0,006 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 2$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 4 e^{- 0,3 x} - 4 (x + 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 4 e^{- 0,3 x} + 1,2 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 4 + 1,2 x + 1,2)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1,2 x - 2,8)$

= $(1,2 x - 2,8) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten