Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $- \frac{1}{4} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x + 2}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{x + 2} + x^{3} \cdot e^{x + 2} \cdot 1$

= $3 x^{2} \cdot e^{x + 2} + x^{3} \cdot e^{x + 2}$

= $e^{x + 2} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 4) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 4) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{3 x} + (3 x^{2} - 4) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $6 x \cdot e^{3 x} + (3 x^{2} - 4) \cdot 3 e^{3 x}$

= $6 x \cdot e^{3 x} + 3 (3 x^{2} - 4) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (9 x^{2} - 12 + 6 x)$

= $e^{3 x} \cdot (9 x^{2} + 6 x - 12)$

= $(9 x^{2} + 6 x - 12) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} - 1} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{2} - 1} \cdot (6 x)$

= $6 \frac{x}{3 x^{2} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (2 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (2 x + 3)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \sin (2 x + 3) + x^{4} \cdot \cos (2 x + 3) \cdot (2 + 0)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (2 x + 3) + x^{4} \cdot \cos (2 x + 3) \cdot (2)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (2 x + 3) + x^{4} \cdot 2 \cdot \cos (2 x + 3)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (2 x + 3) + 2 x^{4} \cdot \cos (2 x + 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${0,95}^{63} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,039 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 3$

= $- 3 e^{- 0,7 x} - 3 (x - 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 3$

= $- 3 e^{- 0,7 x} + 2,1 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 3$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 3 + 2,1 x - 14,7) + 3$

= $3 + (2,1 x - 3 - 14,7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $3 + (2,1 x - 17,7) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten