Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} (- 5 x^{5} - 4 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} (- 5 x^{5} - 4 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (- 5 x^{5} - 4 x^{3}) + e^{- 3 x} \cdot (- 25 x^{4} - 12 x^{2})$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (- 5 x^{5} - 4 x^{3}) + e^{- 3 x} (- 25 x^{4} - 12 x^{2})$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x^{5} + 12 x^{3} + (- 25 x^{4} - 12 x^{2}))$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x^{5} - 25 x^{4} + 12 x^{3} - 12 x^{2})$

= $(15 x^{5} - 25 x^{4} + 12 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot (- e^{- x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x} - x^{5} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(3 x^{3} + 1)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(3 x^{3} + 1)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 3 {(3 x^{3} + 1)}^{2} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $- 3 {(3 x^{3} + 1)}^{2} \cdot (9 x^{2})$

= $- 27 {(3 x^{3} + 1)}^{2} x^{2}$

= $- 27 {((3 x^{3} + 1) x)}^{2}$

= $- 27 {(x (3 x^{3} + 1))}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 42-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 42-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 42 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{42}$

Somit gilt für die 42-te Ableitung:

f⁽⁴²⁾(x) = ${(- 1,15)}^{42} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $354,25 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 3$

= $4 e^{- 0,4 x} + 4 (x - 2) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 3$

= $4 e^{- 0,4 x} - 1,6 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} + 3$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (4 - 1,6 x + 3,2) + 3$

= $3 + (- 1,6 x + 4 + 3,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $3 + (- 1,6 x + 7,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten