Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 - 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 - 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} \sqrt{x} + e^{- 3 x - 3} + x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} \sqrt{x} + e^{- 3 x - 3} + x^{2}$

= $\frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 3 x - 3} + x^{2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{8} x^{- \frac{1}{2}} + e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3) + 2 x$

$f'(x) =$ $\frac{1}{8 \sqrt{x}} + e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3) + 2 x$

= $\frac{1}{8 \sqrt{x}} - 3 e^{- 3 x - 3} + 2 x$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{3} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{3} \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + 3 x^{3} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 3) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 3) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (3 x) + (x - 3) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $\sin (3 x) + (x - 3) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $\sin (3 x) + 3 (x - 3) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 86)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 2$

= $- 5 e^{- 0,9 x} - 5 (x - 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 2$

= $- 5 e^{- 0,9 x} + 4,5 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 2$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 5 + 4,5 x - 4,5) + 2$

= $2 + (4,5 x - 5 - 4,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $2 + (4,5 x - 9,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten