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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x - 1) \cdot e^{- 3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x - 1) \cdot e^{- 3 x + 5}$

$f'(x) =$ $(4 + 0) \cdot e^{- 3 x + 5} + (4 x - 1) \cdot e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

= $4 e^{- 3 x + 5} + (4 x - 1) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 5})$

= $4 e^{- 3 x + 5} - 3 (4 x - 1) \cdot e^{- 3 x + 5}$

= $e^{- 3 x + 5} \cdot (4 - 12 x + 3)$

= $e^{- 3 x + 5} \cdot (- 12 x + 7)$

= $(- 12 x + 7) \cdot e^{- 3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- x^{3} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- x^{3} - 3 x)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- x^{3} - 3 x) + e^{2 x} \cdot (- 3 x^{2} - 3)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (- x^{3} - 3 x) + e^{2 x} \cdot (- 3 x^{2} - 3)$

= $e^{2 x} \cdot (- 2 x^{3} - 6 x - 3 x^{2} - 3)$

= $e^{2 x} \cdot (- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 3)$

= $(- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 3) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x + 4) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x} + (3 x + 4) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 e^{- 2 x} - 2 (3 x + 4) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (3 - 6 x - 8)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x - 5)$

= $(- 6 x - 5) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{x}$

f'(x) = $- e^{x}$

f''(x) = $- e^{x}$

f'''(x) = $- e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $- e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} + x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 1$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x - 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 1$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 1$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (3 - 1,2 x + 3,6) + 1$

= $1 + (- 1,2 x + 3 + 3,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $1 + (- 1,2 x + 6,6) \cdot e^{- 0,4 x}$