$\text{f(x)}=$ $-2e^x$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x+5\right)·e^{-4x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-2+0\right)·e^{-4x-2}+\left(-2x+5\right)·e^{-4x-2}·\left(-4\right)$

= $-2e^{-4x-2}+\left(-2x+5\right)·\left(-4e^{-4x-2}\right)$

= $-2e^{-4x-2}-4\left(-2x+5\right)·e^{-4x-2}$

= $e^{-4x-2}·\left(-2+8x-20\right)$

= $e^{-4x-2}·\left(8x-22\right)$

= $\left(8x-22\right)·e^{-4x-2}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{3x^3-4}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{3x^3-4}·9x^2$

= $18·e^{3x^3-4}{x}^2$

= $18x^2{e}^{3x^3-4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x^2-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x^2-3x}·\left(-10x-3\right)$

= $\frac{-10x-3}{-5x^2-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+9\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{3x}+\left(x+9\right)·e^{3x}·3$

= $e^{3x}+\left(x+9\right)·3e^{3x}$

= $e^{3x}+3\left(x+9\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(1+3x+27\right)$

= $e^{3x}·\left(3x+28\right)$

= $\left(3x+28\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^x$

f'(x) = $-e^x$

f''(x) = $-e^x$

f'''(x) = $-e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $-e^x$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+1$

= $-3e^{-\mathrm{0,2}x}-3\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)+1$

= $-3e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,6}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+1$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-3+\mathrm{0,6}x-\mathrm{4,2}\right)+1$

= $1+\left(\mathrm{0,6}x-3-\mathrm{4,2}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $1+\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{7,2}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$