$\text{f(x)}=$ $-2+e^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{\frac{1}{3}x}·\frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3}{e}^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{4x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{4x+2}+x^4·e^{4x+2}·4$

= $4x^3·e^{4x+2}+x^4·4e^{4x+2}$

= $4x^3·e^{4x+2}+4x^4·e^{4x+2}$

= $e^{4x+2}·\left(4x^4+4x^3\right)$

= $\left(4x^4+4x^3\right)·e^{4x+2}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-3x^3+2}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-3x^3+2}·\left(-9x^2\right)$

= $27·e^{-3x^3+2}{x}^2$

= $27x^2{e}^{-3x^3+2}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{2x}·2$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+3\right)·\cos \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\cos \left(3x\right)+\left(x^2+3\right)·(-\sin \left(3x\right)·3)$

= $2x·\cos \left(3x\right)+\left(x^2+3\right)·\left(-3\cdot \sin \left(3x\right)\right)$

= $2x·\cos \left(3x\right)-3\left(x^2+3\right)·\sin \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^x·\left(x+79\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-2\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+3$

= $-2e^{-\mathrm{0,7}x}-2\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)+3$

= $-2e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{1,4}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+3$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-2+\mathrm{1,4}x-\mathrm{8,4}\right)+3$

= $3+\left(\mathrm{1,4}x-2-\mathrm{8,4}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $3+\left(\mathrm{1,4}x-\mathrm{10,4}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$