Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{4 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 25 x^{4} + 20 x^{3}) \cdot e^{4 x - 2} + (- 5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{4 x - 2} \cdot 4$

= $(- 25 x^{4} + 20 x^{3}) \cdot e^{4 x - 2} + (- 5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot 4 e^{4 x - 2}$

= $(- 25 x^{4} + 20 x^{3}) \cdot e^{4 x - 2} + 4 (- 5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{4 x - 2}$

= $e^{4 x - 2} \cdot (- 20 x^{5} + 20 x^{4} + (- 25 x^{4} + 20 x^{3}))$

= $e^{4 x - 2} \cdot (- 20 x^{5} - 5 x^{4} + 20 x^{3})$

= $(- 20 x^{5} - 5 x^{4} + 20 x^{3}) \cdot e^{4 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- x} + x^{3} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x} + x^{3} \cdot (- e^{- x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x} - x^{3} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{x} \cdot 1$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 9) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 9) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x + 9) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 e^{2 x} + (3 x + 9) \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 e^{2 x} + 2 (3 x + 9) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (3 + 6 x + 18)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x + 21)$

= $(6 x + 21) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 59-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 59-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 59 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{59}$

Somit gilt für die 59-te Ableitung:

f⁽⁵⁹⁾(x) = ${0,9}^{59} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,002 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 9$

= $2 e^{- 0,6 x} + 2 (x - 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 9$

= $2 e^{- 0,6 x} - 1,2 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 9$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2 - 1,2 x + 6) + 9$

= $9 + (- 1,2 x + 2 + 6) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $9 + (- 1,2 x + 8) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten