Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 - e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 - e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2} \sqrt[4]{x} + e^{- x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{2} \sqrt[4]{x} + e^{- x - 5}$

= $- \frac{3}{2} x^{\frac{1}{4}} + e^{- x - 5}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{8} x^{- \frac{3}{4}} + e^{- x - 5} \cdot (- 1)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{8 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} + e^{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $- \frac{3}{8 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} - e^{- x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} + 3 x} \cdot (6 x^{2} + 3)$

= $\frac{6 x^{2} + 3}{2 x^{3} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{- 3 x}$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{- 3 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot e^{- 3 x} + x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot e^{- 3 x} + \sqrt[3]{x} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{- 3 x}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{- 3 x}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 3 \sqrt[3]{x} \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 87)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 2$

= $- 5 e^{- 0,9 x} - 5 (x + 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 2$

= $- 5 e^{- 0,9 x} + 4,5 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 2$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 5 + 4,5 x + 22,5) + 2$

= $2 + (4,5 x - 5 + 22,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $2 + (4,5 x + 17,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten