Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{6} e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $\frac{25}{42} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{x^{2}} - 2 e^{3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{x^{2}} - 2 e^{3 x + 4}$

= $- 3 x^{- 2} - 2 e^{3 x + 4}$

=> f'(x) = $6 x^{- 3} - 2 e^{3 x + 4} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{6}{x^{3}} - 2 e^{3 x + 4} \cdot 3$

= $\frac{6}{x^{3}} - 6 e^{3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x + 2}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x + 2} \cdot 2$

= $4 e^{2 x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 6) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 6) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 6) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 6) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} - 6) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} - 12 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x - 12)$

= $(2 x^{2} + 2 x - 12) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 72-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 72-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 72 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{72}$

Somit gilt für die 72-te Ableitung:

f⁽⁷²⁾(x) = ${(- 1,05)}^{72} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $33,545 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 8$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 3 e^{- 0,9 x} - 3 (x - 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 3 e^{- 0,9 x} + 2,7 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 3 + 2,7 x - 2,7)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (2,7 x - 5,7)$

= $(2,7 x - 5,7) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten