Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{5} - x^{3}) \cdot e^{- 2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{5} - x^{3}) \cdot e^{- 2 x + 2}$

$f'(x) =$ $(15 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 2} + (3 x^{5} - x^{3}) \cdot e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

= $(15 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 2} + (3 x^{5} - x^{3}) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 2})$

= $(15 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 2} - 2 (3 x^{5} - x^{3}) \cdot e^{- 2 x + 2}$

= $e^{- 2 x + 2} \cdot (- 6 x^{5} + 2 x^{3} + (15 x^{4} - 3 x^{2}))$

= $e^{- 2 x + 2} \cdot (- 6 x^{5} + 15 x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2})$

= $(- 6 x^{5} + 15 x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x^{3} - 3}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x^{3} - 3} \cdot 6 x^{2}$

= $- 6 \cdot e^{2 x^{3} - 3} x^{2}$

= $- 6 x^{2} e^{2 x^{3} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x - 5} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x - 5} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 4) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 4) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x^{2} + 4) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x \cdot e^{2 x} + (2 x^{2} + 4) \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x \cdot e^{2 x} + 2 (2 x^{2} + 4) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{2} + 8 + 4 x)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{2} + 4 x + 8)$

= $(4 x^{2} + 4 x + 8) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${0,95}^{78} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,018 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 6$

= $2 e^{- 0,1 x} + 2 (x - 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 6$

= $2 e^{- 0,1 x} - 0,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 6$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (2 - 0,2 x + 1,4) - 6$

= $- 6 + (- 0,2 x + 2 + 1,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 6 + (- 0,2 x + 3,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten