$\text{f(x)}=$ $5+\frac{5}{8}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{8}{e}^x$

= $\frac{5}{8}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{3x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{3x-4}+x^3·e^{3x-4}·3$

= $3x^2·e^{3x-4}+x^3·3e^{3x-4}$

= $3x^2·e^{3x-4}+3x^3·e^{3x-4}$

= $e^{3x-4}·\left(3x^3+3x^2\right)$

= $\left(3x^3+3x^2\right)·e^{3x-4}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{2x}+x^4·e^{2x}·2$

= $4x^3·e^{2x}+x^4·2e^{2x}$

= $4x^3·e^{2x}+2x^4·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^4+4x^3\right)$

= $\left(2x^4+4x^3\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{6x}·6$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+7\right)·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(-2x\right)+\left(x^2+7\right)·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $2x·\sin \left(-2x\right)+\left(x^2+7\right)·\left(-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right)$

= $2x·\sin \left(-2x\right)-2\left(x^2+7\right)·\cos \left(-2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,522}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{30}·e^{\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,008}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{0,5}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-1+\mathrm{0,5}x-2\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(\mathrm{0,5}x-3\right)$

= $\left(\mathrm{0,5}x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$