Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{9}{8} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{9}{8} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{9}{8} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{27}{8} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{4} - x^{3}) \cdot e^{4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{4} - x^{3}) \cdot e^{4 x - 2}$

$f'(x) =$ $(4 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{4 x - 2} + (x^{4} - x^{3}) \cdot e^{4 x - 2} \cdot 4$

= $(4 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{4 x - 2} + (x^{4} - x^{3}) \cdot 4 e^{4 x - 2}$

= $(4 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{4 x - 2} + 4 (x^{4} - x^{3}) \cdot e^{4 x - 2}$

= $e^{4 x - 2} \cdot (4 x^{4} - 4 x^{3} + (4 x^{3} - 3 x^{2}))$

= $e^{4 x - 2} \cdot (4 x^{4} + 0 - 3 x^{2})$

= $e^{4 x - 2} \cdot (4 x^{4} - 3 x^{2})$

= $(4 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{4 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x^{2} - 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{x^{2} - 4} \cdot 2 x$

= $6 \cdot e^{x^{2} - 4} x$

= $6 x e^{x^{2} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} + 5} \cdot (2 x + 0)$

= $\frac{1}{x^{2} + 5} \cdot (2 x)$

= $2 \frac{x}{x^{2} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $- 5 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $4,25 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $4,25 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 3,6125 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $- 3,6125 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $3,0706 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,0706 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,61 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${(- 0,85)}^{50} \cdot (- 5 e^{- 0,85 x})$

≈ $- 0,001 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 2$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x - 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 3 + 0,9 x - 0,9)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,9 x - 3,9)$

= $(0,9 x - 3,9) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten