Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x}$

$f'(x) =$ $e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{3} + 3 x) \cdot e^{- 5 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{3} + 3 x) \cdot e^{- 5 x + 3}$

$f'(x) =$ $(12 x^{2} + 3) \cdot e^{- 5 x + 3} + (4 x^{3} + 3 x) \cdot e^{- 5 x + 3} \cdot (- 5)$

= $(12 x^{2} + 3) \cdot e^{- 5 x + 3} + (4 x^{3} + 3 x) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 3})$

= $(12 x^{2} + 3) \cdot e^{- 5 x + 3} - 5 (4 x^{3} + 3 x) \cdot e^{- 5 x + 3}$

= $e^{- 5 x + 3} \cdot (- 20 x^{3} - 15 x + 12 x^{2} + 3)$

= $e^{- 5 x + 3} \cdot (- 20 x^{3} + 12 x^{2} - 15 x + 3)$

= $(- 20 x^{3} + 12 x^{2} - 15 x + 3) \cdot e^{- 5 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{2} + x) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{2} + x) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 8 x + 1) \cdot e^{- 2 x} + (- 4 x^{2} + x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(- 8 x + 1) \cdot e^{- 2 x} + (- 4 x^{2} + x) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(- 8 x + 1) \cdot e^{- 2 x} - 2 (- 4 x^{2} + x) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (8 x^{2} - 2 x - 8 x + 1)$

= $e^{- 2 x} \cdot (8 x^{2} - 10 x + 1)$

= $(8 x^{2} - 10 x + 1) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} - 1} \cdot (8 x + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{2} - 1} \cdot (8 x)$

= $8 \frac{x}{4 x^{2} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 9) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 9) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (x - 9) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $\sin (- 3 x) + (x - 9) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $\sin (- 3 x) - 3 (x - 9) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{x}$

f'(x) = $5 e^{x}$

f''(x) = $5 e^{x}$

f'''(x) = $5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} + 9$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 4 e^{- 0,6 x} - 4 (x + 1) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 4 e^{- 0,6 x} + 2,4 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 4 + 2,4 x + 2,4)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2,4 x - 1,6)$

= $(2,4 x - 1,6) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten