$\text{f(x)}=$ $-5-3e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{3x}·3$

= $-9e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-\cos \left(x\right)+3e^{3x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $\sin \left(x\right)+3e^{3x+4}·3$

= $\sin \left(x\right)+9e^{3x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-2\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{-3x}+\left(2x-2\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2e^{-3x}+\left(2x-2\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2e^{-3x}-3\left(2x-2\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(2-6x+6\right)$

= $e^{-3x}·\left(-6x+8\right)$

= $\left(-6x+8\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x}·3$

= $\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\sin \left(x^2\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\sin \left(x^2\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\sin \left(x^2\right)+x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(x^2\right)·2x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\sin \left(x^2\right)+\sqrt{x}·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^2\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·2\cos \left(x^2\right)x$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^2\right)}{\sqrt{x}}+2\sqrt{x}\cos \left(x^2\right)x$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^2\right)}{\sqrt{x}}+2{\left(\sqrt{x}\right)}^3·\cos \left(x^2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-x}$

f'(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f'''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-2x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-5\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)-2$

= $-5e^{-\mathrm{0,8}x}-5\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)-2$

= $-5e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-2$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-5+4x-12\right)-2$

= $-2+\left(4x-5-12\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $-2+\left(4x-17\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$