$\text{f(x)}=$ $-1+\frac{5}{3}{e}^{\frac{3}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{3}{e}^{\frac{3}{4}x}·\frac{3}{4}$

= $\frac{5}{4}{e}^{\frac{3}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{2x-4}-\frac{3}{4}{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{2x-4}·2-3x^3$

= $4e^{2x-4}-3x^3$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^2-2\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-6x+0\right)·e^{2x}+\left(-3x^2-2\right)·e^{2x}·2$

= $-6x·e^{2x}+\left(-3x^2-2\right)·2e^{2x}$

= $-6x·e^{2x}+2\left(-3x^2-2\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(-6x^2-4-6x\right)$

= $e^{2x}·\left(-6x^2-6x-4\right)$

= $\left(-6x^2-6x-4\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{4x}·4$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(-2x^3-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \sin \left(-2x^3-2\right)·\left(-6x^2+0\right)$

= $2\cdot \sin \left(-2x^3-2\right)·\left(-6x^2\right)$

= $-12\sin \left(-2x^3-2\right)x^2$

= $-12x^2·\sin \left(-2x^3-2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+88\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-5$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-5$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-5+3x+6\right)-5$

= $-5+\left(3x-5+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-5+\left(3x+1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$