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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{7}{9} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{7}{9} e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{9} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{7}{9} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x + 3}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{4 x + 3} + x^{3} \cdot e^{4 x + 3} \cdot 4$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x + 3} + x^{3} \cdot 4 e^{4 x + 3}$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x + 3} + 4 x^{3} \cdot e^{4 x + 3}$

= $e^{4 x + 3} \cdot (4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{4 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x^{2} - 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x^{2} - 1} \cdot (- 2 x)$

= $- 6 \cdot e^{- x^{2} - 1} x$

= $- 6 x e^{- x^{2} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(e^{2 x} + 4)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(e^{2 x} + 4)}^{3}$

$f'(x) =$ $9 {(e^{2 x} + 4)}^{2} \cdot (e^{2 x} \cdot 2 + 0)$

= $9 {(e^{2 x} + 4)}^{2} \cdot (2 e^{2 x})$

= $18 {(e^{2 x} + 4)}^{2} \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 85)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 4$

= $4 e^{- 0,1 x} + 4 (x - 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 4$

= $4 e^{- 0,1 x} - 0,4 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 4$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (4 - 0,4 x + 0,8) - 4$

= $- 4 + (- 0,4 x + 4 + 0,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 4 + (- 0,4 x + 4,8) \cdot e^{- 0,1 x}$