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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $- \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{5} + e^{x} \cdot 5 x^{4}$

= $e^{x} x^{5} + 5 \cdot e^{x} x^{4}$

= $e^{x} \cdot (5 x^{4} + x^{5})$

= $e^{x} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})$

= $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x^{3} - 3}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x^{3} - 3} \cdot (- 3 x^{2})$

= $6 \cdot e^{- x^{3} - 3} x^{2}$

= $6 x^{2} e^{- x^{3} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x + 1} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x + 1} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 1) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 1) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (3 x^{2} - 1) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $6 x \cdot \sin (x^{2}) + (3 x^{2} - 1) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $6 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (3 x^{2} - 1) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 31-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${1,15}^{31} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $76,144 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 7$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 5 e^{- 0,7 x} - 5 (x + 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 5 e^{- 0,7 x} + 3,5 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3,5 x + 24,5 - 5)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3,5 x + 19,5)$

= $(3,5 x + 19,5) \cdot e^{- 0,7 x}$