$\text{f(x)}=$ $-3+2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{2x}·2$

= $4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2·x^2+e^{2x}·2x$

= $2·e^{2x}{x}^2+2·e^{2x}x$

= $e^{2x}·\left(2x^2+2x\right)$

= $\left(2x^2+2x\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^3-5x\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(15x^2-5\right)·e^{2x}+\left(5x^3-5x\right)·e^{2x}·2$

= $\left(15x^2-5\right)·e^{2x}+\left(5x^3-5x\right)·2e^{2x}$

= $\left(15x^2-5\right)·e^{2x}+2\left(5x^3-5x\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(10x^3-10x+15x^2-5\right)$

= $e^{2x}·\left(10x^3+15x^2-10x-5\right)$

= $\left(10x^3+15x^2-10x-5\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $5\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{7x}·7$

= $\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\sin \left(-x+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\sin \left(-x+2\right)+x^2·\cos \left(-x+2\right)·\left(-1+0\right)$

= $2x·\sin \left(-x+2\right)+x^2·\cos \left(-x+2\right)·\left(-1\right)$

= $2x·\sin \left(-x+2\right)+x^2·\left(-\cos \left(-x+2\right)\right)$

= $2x·\sin \left(-x+2\right)-x^2·\cos \left(-x+2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^x$

f'(x) = $3e^x$

f''(x) = $3e^x$

f'''(x) = $3e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $3e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $3e^x$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-8$

= $-2e^{-\mathrm{0,2}x}-2\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-8$

= $-2e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,4}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-8$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-2+\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,6}\right)-8$

= $-8+\left(\mathrm{0,4}x-2+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $-8+\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$