Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2 x^{4}} - 3 e^{- x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{2 x^{4}} - 3 e^{- x + 5}$

= $- \frac{3}{2} x^{- 4} - 3 e^{- x + 5}$

=> f'(x) = $6 x^{- 5} - 3 e^{- x + 5} \cdot (- 1)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{x^{5}} - 3 e^{- x + 5} \cdot (- 1)$

= $\frac{6}{x^{5}} + 3 e^{- x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- x^{4} + 3 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- x^{4} + 3 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- x^{4} + 3 x^{3}) + e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{3} + 9 x^{2})$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (- x^{4} + 3 x^{3}) + e^{- 2 x} (- 4 x^{3} + 9 x^{2})$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{4} - 6 x^{3} + (- 4 x^{3} + 9 x^{2}))$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{4} - 10 x^{3} + 9 x^{2})$

= $(2 x^{4} - 10 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{x} \cdot 1$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 53-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{0,9 x}$

f'(x) = $4 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $3,6 e^{0,9 x}$

f''(x) = $3,6 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $3,24 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $3,24 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,916 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,916 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,6244 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 53-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 53 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{53}$

Somit gilt für die 53-te Ableitung:

f⁽⁵³⁾(x) = ${0,9}^{53} \cdot 4 e^{0,9 x}$

≈ $0,015 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 4$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $e^{- 0,8 x} + (x + 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x - 4,8)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8 x - 3,8)$

= $(- 0,8 x - 3,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten