Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x}$

$f'(x) =$ $- e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x + 4} - 2 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x + 4} - 2 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $3 e^{- x + 4} \cdot (- 1) + 2 \cdot \sin (x)$

= $- 3 e^{- x + 4} + 2 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{2} + x} \cdot (10 x + 1)$

= $\frac{10 x + 1}{5 x^{2} + x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x + 3}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x + 3}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{3 x + 3} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x + 3} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{3 x + 3} + \sqrt{x} \cdot e^{3 x + 3} \cdot 3$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x + 3}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 e^{3 x + 3}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x + 3}}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cdot e^{3 x + 3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 86)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 2$

= $e^{- 0,5 x} + (x - 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 2$

= $e^{- 0,5 x} - 0,5 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 2$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1 - 0,5 x + 2) + 2$

= $2 + (- 0,5 x + 1 + 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $2 + (- 0,5 x + 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten