$\text{f(x)}=$ $-e^x$

$\text{f'(x)}=$ $-e^x$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{4x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{4x-3}+x^4·e^{4x-3}·4$

= $4x^3·e^{4x-3}+x^4·4e^{4x-3}$

= $4x^3·e^{4x-3}+4x^4·e^{4x-3}$

= $e^{4x-3}·\left(4x^4+4x^3\right)$

= $\left(4x^4+4x^3\right)·e^{4x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{2x}+\left(x-1\right)·e^{2x}·2$

= $e^{2x}+\left(x-1\right)·2e^{2x}$

= $e^{2x}+2\left(x-1\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(1+2x-2\right)$

= $e^{2x}·\left(2x-1\right)$

= $\left(2x-1\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-3}{4x}·4$

= $-\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-4\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{-2x}+\left(2x-4\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x}+\left(2x-4\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2e^{-2x}-2\left(2x-4\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(2-4x+8\right)$

= $e^{-2x}·\left(-4x+10\right)$

= $\left(-4x+10\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^{-x}$

f'(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

f''(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

f'''(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $-3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-2+x+1\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(x-1\right)$

= $\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$