$\text{f(x)}=$ $4+\frac{4}{5}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{4}{5}{e}^{\frac{6}{7}x}·\frac{6}{7}$

= $\frac{24}{35}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2x^3}-3e^{-x+3}$

= $\frac{1}{2}{x}^{-3}-3e^{-x+3}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{x}^{-4}-3e^{-x+3}·\left(-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2x^4}-3e^{-x+3}·\left(-1\right)$

= $-\frac{3}{2x^4}+3e^{-x+3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^4+e^{-2x}·4x^3$

= $-2·e^{-2x}{x}^4+4·e^{-2x}{x}^3$

= $e^{-2x}·\left(-2x^4+4x^3\right)$

= $\left(-2x^4+4x^3\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $5\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{3x}·3$

= $\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+5\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2+5\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2+5\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2+5\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2-10+2x\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x-10\right)$

= $\left(-2x^2+2x-10\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^x$

f'(x) = $-5e^x$

f''(x) = $-5e^x$

f'''(x) = $-5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $-5e^x$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+7$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,8}x}-\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{0,8}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-1+\mathrm{0,8}x+\mathrm{3,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(\mathrm{0,8}x+\mathrm{2,2}\right)$

= $\left(\mathrm{0,8}x+\mathrm{2,2}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$