$\text{f(x)}=$ $2+e^{\frac{3}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{\frac{3}{4}x}·\frac{3}{4}$

= $\frac{3}{4}{e}^{\frac{3}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2+3x\right)·e^{-2x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+3\right)·e^{-2x-1}+\left(2x^2+3x\right)·e^{-2x-1}·\left(-2\right)$

= $\left(4x+3\right)·e^{-2x-1}+\left(2x^2+3x\right)·\left(-2e^{-2x-1}\right)$

= $\left(4x+3\right)·e^{-2x-1}-2\left(2x^2+3x\right)·e^{-2x-1}$

= $e^{-2x-1}·\left(-4x^2-6x+4x+3\right)$

= $e^{-2x-1}·\left(-4x^2-2x+3\right)$

= $\left(-4x^2-2x+3\right)·e^{-2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{3x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{3x+5}·3$

= $9e^{3x+5}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{3x}·3$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·\cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·\cos \left(-3x\right)+x^4·(-\sin \left(-3x\right)·\left(-3\right))$

= $4x^3·\cos \left(-3x\right)+x^4·3\cdot \sin \left(-3x\right)$

= $4x^3·\cos \left(-3x\right)+3x^4·\sin \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+75\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)-6$

= $4e^{-\mathrm{0,7}x}+4\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)-6$

= $4e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{2,8}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-6$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(4-\mathrm{2,8}x+\mathrm{2,8}\right)-6$

= $-6+\left(-\mathrm{2,8}x+4+\mathrm{2,8}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $-6+\left(-\mathrm{2,8}x+\mathrm{6,8}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$