$\text{f(x)}=$ $4-2e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{3x}·3$

= $-6e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(x\right)+2e^{3x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x\right)+2e^{3x+4}·3$

= $3\cdot \sin \left(x\right)+6e^{3x+4}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x^3-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x^3-4}·\left(-9x^2\right)$

= $18·e^{-3x^3-4}{x}^2$

= $18x^2{e}^{-3x^3-4}$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{5x}·5$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{-3x+3}$

= ${\left(-3x+3\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-{\left(-3x+3\right)}^{-2}·\left(-3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{{\left(-3x+3\right)}^2}·\left(-3+0\right)$

= $-\frac{1}{{\left(-3x+3\right)}^2}·\left(-3\right)$

= $\frac{3}{{\left(-3x+3\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^x$

f'(x) = $-4e^x$

f''(x) = $-4e^x$

f'''(x) = $-4e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $-4e^x$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-8$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-4\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,9}x}-4\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{3,6}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-4+\mathrm{3,6}x-\mathrm{21,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{3,6}x-\mathrm{25,6}\right)$

= $\left(\mathrm{3,6}x-\mathrm{25,6}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$