Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{2}{3} e^{\frac{7}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{2}{3} e^{\frac{7}{6} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{2}{3} e^{\frac{7}{6} x} \cdot \frac{7}{6}$

= $\frac{7}{9} e^{\frac{7}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{3 x} + (- 3 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 12 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{3 x} + (- 3 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 12 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{3 x} + 3 (- 3 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{4} - 15 x^{3} + (- 12 x^{3} - 15 x^{2}))$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{4} - 27 x^{3} - 15 x^{2})$

= $(- 9 x^{4} - 27 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{2} + e^{- 3 x} \cdot 2 x$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{2} + 2 \cdot e^{- 3 x} x$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{x} \cdot 1$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(\cos (x) + 4)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(\cos (x) + 4)}^{2}$

$f'(x) =$ $6 (\cos (x) + 4) \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $6 (\cos (x) + 4) \cdot (- \sin (x))$

= $- 6 (\cos (x) + 4) \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 43-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${1,15}^{43} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $407,387 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 7$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $3 e^{- 0,7 x} + 3 (x + 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $3 e^{- 0,7 x} - 2,1 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3 - 2,1 x - 4,2)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2,1 x - 1,2)$

= $(- 2,1 x - 1,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten