$\text{f(x)}=$ $e^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{\frac{6}{7}x}·\frac{6}{7}$

= $\frac{6}{7}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^x{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·x^4+e^x·4x^3$

= $e^x{x}^4+4·e^x{x}^3$

= $e^x·\left(x^4+4x^3\right)$

= $\left(x^4+4x^3\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-x-2}·\left(-1\right)$

= $2e^{-x-2}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{x}·1$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(e^{-2x}+2\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(e^{-2x}+2\right)·(e^{-2x}·\left(-2\right)+0)$

= $2\left(e^{-2x}+2\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $-4\left(e^{-2x}+2\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-x}$

f'(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f'''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $-4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)-6$

= $-e^{-\mathrm{0,9}x}-\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)-6$

= $-e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{0,9}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-6$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-1+\mathrm{0,9}x+\mathrm{5,4}\right)-6$

= $-6+\left(\mathrm{0,9}x-1+\mathrm{5,4}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $-6+\left(\mathrm{0,9}x+\mathrm{4,4}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$