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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{5}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{5}{3} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{5}{3} x} \cdot \frac{5}{3}$

= $- \frac{5}{3} e^{\frac{5}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} (2 x^{3} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} (2 x^{3} - 4 x)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (2 x^{3} - 4 x) + e^{- x} \cdot (6 x^{2} - 4)$

= $- e^{- x} (2 x^{3} - 4 x) + e^{- x} (6 x^{2} - 4)$

= $e^{- x} \cdot (- 2 x^{3} + 4 x + 6 x^{2} - 4)$

= $e^{- x} \cdot (- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x - 4)$

= $(- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x - 4) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x^{3} + 1} \cdot 9 x^{2}$

= $- 18 \cdot e^{3 x^{3} + 1} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{3 x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x + 5} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x + 5} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{- 2 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(\cos (x) + 5)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(\cos (x) + 5)}^{2}$

$f'(x) =$ $4 (\cos (x) + 5) \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $4 (\cos (x) + 5) \cdot (- \sin (x))$

= $- 4 (\cos (x) + 5) \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 86)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 5 e^{- 0,7 x} - 5 (x - 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 5 e^{- 0,7 x} + 3,5 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 5 + 3,5 x - 14)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3,5 x - 19)$

= $(3,5 x - 19) \cdot e^{- 0,7 x}$