$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{7}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{7}{e}^{2x}·2$

= $\frac{10}{7}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^4+2x^2\right)·e^{-3x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-12x^3+4x\right)·e^{-3x-4}+\left(-3x^4+2x^2\right)·e^{-3x-4}·\left(-3\right)$

= $\left(-12x^3+4x\right)·e^{-3x-4}+\left(-3x^4+2x^2\right)·\left(-3e^{-3x-4}\right)$

= $\left(-12x^3+4x\right)·e^{-3x-4}-3\left(-3x^4+2x^2\right)·e^{-3x-4}$

= $e^{-3x-4}·(9x^4-6x^2+\left(-12x^3+4x\right))$

= $e^{-3x-4}·\left(9x^4-12x^3-6x^2+4x\right)$

= $\left(9x^4-12x^3-6x^2+4x\right)·e^{-3x-4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^2+3\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-6x+0\right)·e^x+\left(-3x^2+3\right)·e^x$

= $\left(-3x^2+3\right)·e^x-6x·e^x$

= $e^x·\left(-3x^2+3-6x\right)$

= $e^x·\left(-3x^2-6x+3\right)$

= $\left(-3x^2-6x+3\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x-4}·\left(2+0\right)$

= $\frac{1}{2x-4}·\left(2\right)$

= $\frac{2}{2x-4}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{{\left(-x^3-4\right)}^2}$

= $-3{\left(-x^3-4\right)}^{-2}$

=> f'(x) = $6{\left(-x^3-4\right)}^{-3}·\left(-3x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{{\left(-x^3-4\right)}^3}·\left(-3x^2+0\right)$

= $\frac{6}{{\left(-x^3-4\right)}^3}·\left(-3x^2\right)$

= $-18\frac{x^2}{{\left(-x^3-4\right)}^3}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-x}$

f'(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)-5$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}+\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)-5$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{0,4}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(1-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}\right)-5$

= $-5+\left(-\mathrm{0,4}x+1+\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $-5+\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{2,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$