Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{1}{3} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{1}{3} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{3} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{2}{3} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{3} \sqrt{x} - 2 e^{- x + 4} + \frac{9}{4} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{3} \sqrt{x} - 2 e^{- x + 4} + \frac{9}{4} x^{5}$

= $\frac{8}{3} x^{\frac{1}{2}} - 2 e^{- x + 4} + \frac{9}{4} x^{5}$

=> f'(x) = $\frac{4}{3} x^{- \frac{1}{2}} - 2 e^{- x + 4} \cdot (- 1) + \frac{45}{4} x^{4}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{3 \sqrt{x}} - 2 e^{- x + 4} \cdot (- 1) + \frac{45}{4} x^{4}$

= $\frac{4}{3 \sqrt{x}} + 2 e^{- x + 4} + \frac{45}{4} x^{4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{3} + 5} \cdot (- 6 x^{2})$

= $18 \cdot e^{- 2 x^{3} + 5} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{- 2 x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} - 5} \cdot (2 x + 0)$

= $\frac{1}{x^{2} - 5} \cdot (2 x)$

= $2 \frac{x}{x^{2} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 8) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 8) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (2 x^{2} - 8) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $4 x \cdot \cos (x^{3}) + (2 x^{2} - 8) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $4 x \cdot \cos (x^{3}) - 3 (2 x^{2} - 8) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 40-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{1,15 x}$

f'(x) = $- 5 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 5,75 e^{1,15 x}$

f''(x) = $- 5,75 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 6,6125 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $- 6,6125 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 7,6044 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 7,6044 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 8,745 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 40-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 40 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{40}$

Somit gilt für die 40-te Ableitung:

f⁽⁴⁰⁾(x) = ${1,15}^{40} \cdot (- 5 e^{1,15 x})$

≈ $- 1339,318 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 3$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x + 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 3$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 3$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3 + 2,4 x + 9,6) - 3$

= $- 3 + (2,4 x - 3 + 9,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 3 + (2,4 x + 6,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten