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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{x}$

= $e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x + 1} - 5 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x + 1} - 5 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x + 1} \cdot 3 - 5 \cdot \cos (x)$

= $6 e^{3 x + 1} - 5 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x^{3} - 1}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x^{3} - 1} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 6 \cdot e^{- 2 x^{3} - 1} x^{2}$

= $- 6 x^{2} e^{- 2 x^{3} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(e^{3 x} - 3)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(e^{3 x} - 3)}^{3}$

$f'(x) =$ $6 {(e^{3 x} - 3)}^{2} \cdot (e^{3 x} \cdot 3 + 0)$

= $6 {(e^{3 x} - 3)}^{2} \cdot (3 e^{3 x})$

= $18 {(e^{3 x} - 3)}^{2} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $4 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 3,6 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 3,6 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $3,24 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $3,24 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,916 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,916 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,6244 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${(- 0,9)}^{60} \cdot 4 e^{- 0,9 x}$

≈ $0,007 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 3$

= $2 e^{- 0,6 x} + 2 (x + 6) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 3$

= $2 e^{- 0,6 x} - 1,2 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 3$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2 - 1,2 x - 7,2) + 3$

= $3 + (- 1,2 x + 2 - 7,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $3 + (- 1,2 x - 5,2) \cdot e^{- 0,6 x}$