$\text{f(x)}=$ $2e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-4e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{x-4}-4x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{x-4}·1-12x^2$

= $e^{x-4}-12x^2$

$\text{f(x)}=$ $3e^{2x^3-4}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{2x^3-4}·6x^2$

= $18·e^{2x^3-4}{x}^2$

= $18x^2{e}^{2x^3-4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x^3+4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x^3+4x}·\left(-9x^2+4\right)$

= $\frac{-9x^2+4}{-3x^3+4x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+3\right)·\cos \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\cos \left(3x\right)+\left(x^2+3\right)·(-\sin \left(3x\right)·3)$

= $2x·\cos \left(3x\right)+\left(x^2+3\right)·\left(-3\cdot \sin \left(3x\right)\right)$

= $2x·\cos \left(3x\right)-3\left(x^2+3\right)·\sin \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^x$

f'(x) = $4e^x$

f''(x) = $4e^x$

f'''(x) = $4e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $4e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-9x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-9$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}+\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-9$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,2}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-9$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(1-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}\right)-9$

= $-9+\left(-\mathrm{0,2}x+1+\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $-9+\left(-\mathrm{0,2}x+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$