$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^{\frac{4}{5}x}·\frac{4}{5}$

= $\frac{4}{15}{e}^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^x\left(-3x^3+3x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·\left(-3x^3+3x^2\right)+e^x·\left(-9x^2+6x\right)$

= $e^x·(-3x^3+3x^2+\left(-9x^2+6x\right))$

= $e^x·\left(-3x^3-6x^2+6x\right)$

= $\left(-3x^3-6x^2+6x\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x+1}·\left(-1\right)$

= $-e^{-x+1}$

$\text{f(x)}=$ $5\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{4x}·4$

= $\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(e^{2x}+5\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-9{\left(e^{2x}+5\right)}^2·(e^{2x}·2+0)$

= $-9{\left(e^{2x}+5\right)}^2·\left(2e^{2x}\right)$

= $-18{\left(e^{2x}+5\right)}^2·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^x$

f'(x) = $5e^x$

f''(x) = $5e^x$

f'''(x) = $5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $5e^x$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-5\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+3$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}-5\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)+3$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{3,5}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+3$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-5+\mathrm{3,5}x-\mathrm{24,5}\right)+3$

= $3+\left(\mathrm{3,5}x-5-\mathrm{24,5}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $3+\left(\mathrm{3,5}x-\mathrm{29,5}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$