$\text{f(x)}=$ $-2+\frac{1}{2}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{2}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-\frac{3}{2}{e}^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x+3\right)·e^{4x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-4+0\right)·e^{4x-5}+\left(-4x+3\right)·e^{4x-5}·4$

= $-4e^{4x-5}+\left(-4x+3\right)·4e^{4x-5}$

= $-4e^{4x-5}+4\left(-4x+3\right)·e^{4x-5}$

= $e^{4x-5}·\left(-4-16x+12\right)$

= $e^{4x-5}·\left(-16x+8\right)$

= $\left(-16x+8\right)·e^{4x-5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-1\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^x+\left(2x-1\right)·e^x$

= $2e^x+\left(2x-1\right)·e^x$

= $e^x·\left(2+2x-1\right)$

= $e^x·\left(2x+1\right)$

= $\left(2x+1\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{x}·1$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[4]{x}·e^{-x-1}$

= $x^{\frac{1}{4}}·e^{-x-1}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}·e^{-x-1}+x^{\frac{1}{4}}·e^{-x-1}·\left(-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}·e^{-x-1}+\sqrt[4]{x}·e^{-x-1}·\left(-1\right)$

= $\frac{1}{4}\frac{e^{-x-1}}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+\sqrt[4]{x}·\left(-e^{-x-1}\right)$

= $\frac{1}{4}\frac{e^{-x-1}}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}-\sqrt[4]{x}·e^{-x-1}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+95\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)-6$

= $-e^{-\mathrm{0,1}x}-\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)-6$

= $-e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,1}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-6$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-1+\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,5}\right)-6$

= $-6+\left(\mathrm{0,1}x-1+\mathrm{0,5}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $-6+\left(\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,5}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$