Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{5}{3} e^{\frac{5}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{5}{3} e^{\frac{5}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{3} e^{\frac{5}{3} x} \cdot \frac{5}{3}$

= $\frac{25}{9} e^{\frac{5}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x - 3}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 3} + x^{5} \cdot e^{- 5 x - 3} \cdot (- 5)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 3} + x^{5} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 3})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 3} - 5 x^{5} \cdot e^{- 5 x - 3}$

= $e^{- 5 x - 3} \cdot (- 5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x^{2} - 2}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x^{2} - 2} \cdot (- 6 x)$

= $- 6 \cdot e^{- 3 x^{2} - 2} x$

= $- 6 x e^{- 3 x^{2} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} + 4 x} \cdot (9 x^{2} + 4)$

= $\frac{9 x^{2} + 4}{3 x^{3} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{{(- x - 1)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{{(- x - 1)}^{2}}$

= $3 {(- x - 1)}^{- 2}$

=> f'(x) = $- 6 {(- x - 1)}^{- 3} \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{6}{{(- x - 1)}^{3}} \cdot (- 1 + 0)$

= $- \frac{6}{{(- x - 1)}^{3}} \cdot (- 1)$

= $\frac{6}{{(- x - 1)}^{3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 94)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 7$

= $- e^{- 0,9 x} - (x + 3) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 7$

= $- e^{- 0,9 x} + 0,9 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} + 7$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 1 + 0,9 x + 2,7) + 7$

= $7 + (0,9 x - 1 + 2,7) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $7 + (0,9 x + 1,7) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten