$\text{f(x)}=$ $2e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-6e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-3x+2}+\frac{1}{3}\cdot \cos \left(x\right)+4\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-3x+2}·\left(-3\right)-\frac{1}{3}\cdot \sin \left(x\right)+4\cdot \cos \left(x\right)$

= $-6e^{-3x+2}-\frac{1}{3}\cdot \sin \left(x\right)+4\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x+3\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-3+0\right)·e^x+\left(-3x+3\right)·e^x$

= $-3e^x+\left(-3x+3\right)·e^x$

= $e^x·\left(-3-3x+3\right)$

= $e^x·\left(-3x+0\right)$

= $e^x·\left(-3x\right)$

= $x·\left(-3e^x\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3x}·3$

= $\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+7\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-2x}+\left(3x+7\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3e^{-2x}+\left(3x+7\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3e^{-2x}-2\left(3x+7\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(3-6x-14\right)$

= $e^{-2x}·\left(-6x-11\right)$

= $\left(-6x-11\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+77\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-1$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,4}x}+3\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{1,2}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(3-\mathrm{1,2}x+6\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{1,2}x+9\right)$

= $\left(-\mathrm{1,2}x+9\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$