Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{4} + 4 x) \cdot e^{- 2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{4} + 4 x) \cdot e^{- 2 x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 8 x^{3} + 4) \cdot e^{- 2 x + 1} + (- 2 x^{4} + 4 x) \cdot e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2)$

= $(- 8 x^{3} + 4) \cdot e^{- 2 x + 1} + (- 2 x^{4} + 4 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 1})$

= $(- 8 x^{3} + 4) \cdot e^{- 2 x + 1} - 2 (- 2 x^{4} + 4 x) \cdot e^{- 2 x + 1}$

= $e^{- 2 x + 1} \cdot (4 x^{4} - 8 x - 8 x^{3} + 4)$

= $e^{- 2 x + 1} \cdot (4 x^{4} - 8 x^{3} - 8 x + 4)$

= $(4 x^{4} - 8 x^{3} - 8 x + 4) \cdot e^{- 2 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 3 x) \cdot e^{2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 3 x) \cdot e^{2 x + 5}$

$f'(x) =$ $(- 10 x + 3) \cdot e^{2 x + 5} + (- 5 x^{2} + 3 x) \cdot e^{2 x + 5} \cdot 2$

= $(- 10 x + 3) \cdot e^{2 x + 5} + (- 5 x^{2} + 3 x) \cdot 2 e^{2 x + 5}$

= $(- 10 x + 3) \cdot e^{2 x + 5} + 2 (- 5 x^{2} + 3 x) \cdot e^{2 x + 5}$

= $e^{2 x + 5} \cdot (- 10 x^{2} + 6 x - 10 x + 3)$

= $e^{2 x + 5} \cdot (- 10 x^{2} - 4 x + 3)$

= $(- 10 x^{2} - 4 x + 3) \cdot e^{2 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} + 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} + 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} + 2 x^{2}} \cdot (- 3 x^{2} + 4 x)$

= $\frac{- 3 x^{2} + 4 x}{- x^{3} + 2 x^{2}}$

= $\frac{- 1 \cdot (3 x - 4)}{- x \cdot (x - 2)}$

= $\frac{- (3 x - 4)}{- x \cdot (x - 2)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{3 x} + (3 x + 2) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x} + (3 x + 2) \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 e^{3 x} + 3 (3 x + 2) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 + 9 x + 6)$

= $e^{3 x} \cdot (9 x + 9)$

= $(9 x + 9) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $- 5 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $5,25 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $5,25 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 5,5125 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $- 5,5125 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $5,7881 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5,7881 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 6,0775 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${(- 1,05)}^{75} \cdot (- 5 e^{- 1,05 x})$

≈ $194,163 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 2$

= $5 e^{- 0,3 x} + 5 (x + 6) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 2$

= $5 e^{- 0,3 x} - 1,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 2$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (5 - 1,5 x - 9) + 2$

= $2 + (- 1,5 x + 5 - 9) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $2 + (- 1,5 x - 4) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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