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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{3}{5} e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{3}{5} e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{5} e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $\frac{8}{15} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 3 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- 2 x} + (- x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(- 3 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- 2 x} + (- x^{3} - 5 x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(- 3 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- 2 x} - 2 (- x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{3} + 10 x^{2} + (- 3 x^{2} - 10 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{3} + 7 x^{2} - 10 x)$

= $(2 x^{3} + 7 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x - 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x - 4} \cdot 2$

= $6 e^{2 x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} - 2 x^{2}} \cdot (12 x^{2} - 4 x)$

= $\frac{12 x^{2} - 4 x}{4 x^{3} - 2 x^{2}}$

= $\frac{4 \cdot 1 \cdot (3 x - 1)}{2 x \cdot (2 x - 1)}$

= $\frac{4 (3 x - 1)}{2 x \cdot (2 x - 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(2 x^{2} + 5)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(2 x^{2} + 5)}^{2}$

$f'(x) =$ $2 (2 x^{2} + 5) \cdot (4 x + 0)$

= $2 (2 x^{2} + 5) \cdot (4 x)$

= $8 (2 x^{2} + 5) x$

= $8 x (2 x^{2} + 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 3$

= $- 4 e^{- 0,1 x} - 4 (x - 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 3$

= $- 4 e^{- 0,1 x} + 0,4 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 3$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 4 + 0,4 x - 0,8) - 3$

= $- 3 + (0,4 x - 4 - 0,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 3 + (0,4 x - 4,8) \cdot e^{- 0,1 x}$