$\text{f(x)}=$ $-4-e^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{\frac{2}{3}x}·\frac{2}{3}$

= $-\frac{2}{3}{e}^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^x{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·x^3+e^x·3x^2$

= $e^x{x}^3+3·e^x{x}^2$

= $e^x·\left(x^3+3x^2\right)$

= $\left(x^3+3x^2\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-3x^3-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-3x^3-2}·\left(-9x^2\right)$

= $27·e^{-3x^3-2}{x}^2$

= $27x^2{e}^{-3x^3-2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x^2+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x^2+5}·\left(10x+0\right)$

= $\frac{1}{5x^2+5}·\left(10x\right)$

= $10\frac{x}{5x^2+5}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-2x}+x^2·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+x^2·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2x^2·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $-5e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{5,25}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{5,25}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{5,5125}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{5,5125}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{5,7881}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{5,7881}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{6,0775}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 66-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 66 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{66}$

Somit gilt für die 66-te Ableitung:

f⁽⁶⁶⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{66}·\left(-5e^{-\mathrm{1,05}x}\right)$

≈ $-\mathrm{125,159}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-2\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,8}x}-2\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{1,6}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-2+\mathrm{1,6}x+\mathrm{4,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(\mathrm{1,6}x+\mathrm{2,8}\right)$

= $\left(\mathrm{1,6}x+\mathrm{2,8}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$