$\text{f(x)}=$ $e^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{\frac{4}{5}x}·\frac{4}{5}$

= $\frac{4}{5}{e}^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}\sqrt{x}+3e^{x-2}$

= $-\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}+3e^{x-2}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}+3e^{x-2}·1$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4\sqrt{x}}+3e^{x-2}·1$

= $-\frac{3}{4\sqrt{x}}+3e^{x-2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^2+3x\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(8x+3\right)·e^{-2x}+\left(4x^2+3x\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $\left(8x+3\right)·e^{-2x}+\left(4x^2+3x\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $\left(8x+3\right)·e^{-2x}-2\left(4x^2+3x\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-8x^2-6x+8x+3\right)$

= $e^{-2x}·\left(-8x^2+2x+3\right)$

= $\left(-8x^2+2x+3\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x^3+3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x^3+3x}·\left(6x^2+3\right)$

= $\frac{6x^2+3}{2x^3+3x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(x^3-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x^3-2\right)·\left(3x^2+0\right)$

= $2\cdot \sin \left(x^3-2\right)·\left(3x^2\right)$

= $6\sin \left(x^3-2\right)x^2$

= $6x^2·\sin \left(x^3-2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+80\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+2x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+2$

= $2e^{-\mathrm{0,1}x}+2\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)+2$

= $2e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,2}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+2$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(2-\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}\right)+2$

= $2+\left(-\mathrm{0,2}x+2-\mathrm{0,2}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $2+\left(-\mathrm{0,2}x+\mathrm{1,8}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$