Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x - 4) \cdot e^{- 5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x - 4) \cdot e^{- 5 x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 3 + 0) \cdot e^{- 5 x + 1} + (- 3 x - 4) \cdot e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5)$

= $- 3 e^{- 5 x + 1} + (- 3 x - 4) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 1})$

= $- 3 e^{- 5 x + 1} - 5 (- 3 x - 4) \cdot e^{- 5 x + 1}$

= $e^{- 5 x + 1} \cdot (- 3 + 15 x + 20)$

= $e^{- 5 x + 1} \cdot (15 x + 17)$

= $(15 x + 17) \cdot e^{- 5 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x - 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3)$

= $- 9 e^{- 3 x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} + 9) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} + 9) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (x^{2} + 9) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 56-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 56-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 56 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{56}$

Somit gilt für die 56-te Ableitung:

f⁽⁵⁶⁾(x) = ${1,1}^{56} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $207,965 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 8$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 4 e^{- 0,5 x} - 4 (x - 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 4 e^{- 0,5 x} + 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 4 + 2 x - 2)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2 x - 6)$

= $(2 x - 6) \cdot e^{- 0,5 x}$