$\text{f(x)}=$ $-4+\frac{5}{4}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{4}{e}^{3x}·3$

= $\frac{15}{4}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-4x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-4x+2}+x^3·e^{-4x+2}·\left(-4\right)$

= $3x^2·e^{-4x+2}+x^3·\left(-4e^{-4x+2}\right)$

= $3x^2·e^{-4x+2}-4x^3·e^{-4x+2}$

= $e^{-4x+2}·\left(-4x^3+3x^2\right)$

= $\left(-4x^3+3x^2\right)·e^{-4x+2}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{2x}+x^3·e^{2x}·2$

= $3x^2·e^{2x}+x^3·2e^{2x}$

= $3x^2·e^{2x}+2x^3·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^3+3x^2\right)$

= $\left(2x^3+3x^2\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{7x}·7$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2+4\right)·\cos \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+0\right)·\cos \left(x^3\right)+\left(2x^2+4\right)·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

= $4x·\cos \left(x^3\right)+\left(2x^2+4\right)·\left(-3\sin \left(x^3\right)x^2\right)$

= $4x·\cos \left(x^3\right)-3\left(2x^2+4\right)\sin \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+79\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,3}x}+3\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,9}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(3-\mathrm{0,9}x-\mathrm{1,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,9}x+\mathrm{1,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,9}x+\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$