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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{2}{3} e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{2}{3} e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{2}{3} e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $\frac{14}{27} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x - 5} + x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x - 5} + x^{5}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2) + 5 x^{4}$

= $2 e^{- 2 x - 5} + 5 x^{4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{2} - 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x^{2} - 1} \cdot (- 4 x)$

= $- 12 \cdot e^{- 2 x^{2} - 1} x$

= $- 12 x e^{- 2 x^{2} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 7) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 7) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (3 x - 7) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + (3 x - 7) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + 3 (3 x - 7) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $- 4 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $3,8 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $3,8 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 3,61 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $- 3,61 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $3,4295 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,4295 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 3,258 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${(- 0,95)}^{60} \cdot (- 4 e^{- 0,95 x})$

≈ $- 0,184 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 5$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 5 e^{- 0,3 x} - 5 (x + 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 5 e^{- 0,3 x} + 1,5 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 5 + 1,5 x + 10,5)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1,5 x + 5,5)$

= $(1,5 x + 5,5) \cdot e^{- 0,3 x}$