$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $6e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x^3-4\right)·e^{-2x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-12x^2+0\right)·e^{-2x+5}+\left(-4x^3-4\right)·e^{-2x+5}·\left(-2\right)$

= $-12x^2·e^{-2x+5}+\left(-4x^3-4\right)·\left(-2e^{-2x+5}\right)$

= $-12x^2·e^{-2x+5}-2\left(-4x^3-4\right)·e^{-2x+5}$

= $e^{-2x+5}·\left(-12x^2+8x^3+8\right)$

= $e^{-2x+5}·\left(8x^3-12x^2+8\right)$

= $\left(8x^3-12x^2+8\right)·e^{-2x+5}$

$\text{f(x)}=$ $e^{x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{x+4}·1$

= $e^{x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x^2-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x^2-1}·\left(-4x+0\right)$

= $\frac{1}{-2x^2-1}·\left(-4x\right)$

= $-4\frac{x}{-2x^2-1}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(e^{-3x}-1\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-8{\left(e^{-3x}-1\right)}^3·(e^{-3x}·\left(-3\right)+0)$

= $-8{\left(e^{-3x}-1\right)}^3·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $24{\left(e^{-3x}-1\right)}^3·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+91\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+6$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,3}x}-3\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,9}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,9}x-\mathrm{4,5}-3\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,9}x-\mathrm{7,5}\right)$

= $\left(\mathrm{0,9}x-\mathrm{7,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$