$\text{f(x)}=$ $2e^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{\frac{4}{5}x}·\frac{4}{5}$

= $\frac{8}{5}{e}^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-x-3}+\cos \left(x\right)-x^4$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-x-3}·\left(-1\right)-\sin \left(x\right)-4x^3$

= $e^{-x-3}-\sin \left(x\right)-4x^3$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^2-2\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-4x+0\right)·e^x+\left(-2x^2-2\right)·e^x$

= $\left(-2x^2-2\right)·e^x-4x·e^x$

= $e^x·\left(-4x-2x^2-2\right)$

= $e^x·\left(-2x^2-4x-2\right)$

= $\left(-2x^2-4x-2\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{5x}·5$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(-3x+2\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-3{\left(-3x+2\right)}^2·\left(-3+0\right)$

= $-3{\left(-3x+2\right)}^2·\left(-3\right)$

= $9{\left(-3x+2\right)}^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-x}$

f'(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f'''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $-4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,9}x}+3\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{2,7}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{2,7}x+\mathrm{18,9}+3\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{2,7}x+\mathrm{21,9}\right)$

= $\left(-\mathrm{2,7}x+\mathrm{21,9}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$