$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{\frac{3}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{\frac{3}{4}x}·\frac{3}{4}$

= $\frac{3}{16}{e}^{\frac{3}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}{x}^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·x^5+e^{3x}·5x^4$

= $3·e^{3x}{x}^5+5·e^{3x}{x}^4$

= $e^{3x}·\left(3x^5+5x^4\right)$

= $\left(3x^5+5x^4\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^5-3x^4\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(25x^4-12x^3\right)·e^{-2x}+\left(5x^5-3x^4\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $\left(25x^4-12x^3\right)·e^{-2x}+\left(5x^5-3x^4\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $\left(25x^4-12x^3\right)·e^{-2x}-2\left(5x^5-3x^4\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·(-10x^5+6x^4+\left(25x^4-12x^3\right))$

= $e^{-2x}·\left(-10x^5+31x^4-12x^3\right)$

= $\left(-10x^5+31x^4-12x^3\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $3\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{3x}·3$

= $\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{2x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{2x-5}+x^3·e^{2x-5}·2$

= $3x^2·e^{2x-5}+x^3·2e^{2x-5}$

= $3x^2·e^{2x-5}+2x^3·e^{2x-5}$

= $e^{2x-5}·\left(2x^3+3x^2\right)$

= $\left(2x^3+3x^2\right)·e^{2x-5}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^x$

f'(x) = $-5e^x$

f''(x) = $-5e^x$

f'''(x) = $-5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $-5e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{0,6}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(1-\mathrm{0,6}x+\mathrm{1,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{2,8}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{2,8}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$