Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{9} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{7}{3} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} + 3 x^{4}) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} + 3 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} + 12 x^{3}) \cdot e^{2 x} + (- 4 x^{5} + 3 x^{4}) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(- 20 x^{4} + 12 x^{3}) \cdot e^{2 x} + (- 4 x^{5} + 3 x^{4}) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(- 20 x^{4} + 12 x^{3}) \cdot e^{2 x} + 2 (- 4 x^{5} + 3 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 20 x^{4} + 12 x^{3} + (- 8 x^{5} + 6 x^{4}))$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x^{5} - 14 x^{4} + 12 x^{3})$

= $(- 8 x^{5} - 14 x^{4} + 12 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{2} + 4} \cdot (- 6 x)$

= $18 \cdot e^{- 3 x^{2} + 4} x$

= $18 x e^{- 3 x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} + 5} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{2} + 5} \cdot (6 x)$

= $6 \frac{x}{3 x^{2} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (- x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \sin (- x - 5)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \cos (- x - 5) \cdot (- 1 + 0)$

= $3 \cdot \cos (- x - 5) \cdot (- 1)$

= $- 3 \cdot \cos (- x - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 80-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 80 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{80}$

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = ${1,05}^{80} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $49,561 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 5$

= $- e^{- 0,6 x} - (x - 4) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 5$

= $- e^{- 0,6 x} + 0,6 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 5$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (0,6 x - 2,4 - 1) + 5$

= $5 + (0,6 x - 2,4 - 1) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $5 + (0,6 x - 3,4) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten