$\text{f(x)}=$ $-3e^x$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^x$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-x+4}+x^5·e^{-x+4}·\left(-1\right)$

= $5x^4·e^{-x+4}+x^5·\left(-e^{-x+4}\right)$

= $5x^4·e^{-x+4}-x^5·e^{-x+4}$

= $e^{-x+4}·\left(-x^5+5x^4\right)$

= $\left(-x^5+5x^4\right)·e^{-x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^3+x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3x^2+2x\right)·e^{-x}+\left(x^3+x^2\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $\left(3x^2+2x\right)·e^{-x}+\left(x^3+x^2\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $\left(3x^2+2x\right)·e^{-x}-\left(x^3+x^2\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·(-x^3-x^2+\left(3x^2+2x\right))$

= $e^{-x}·\left(-x^3+2x^2+2x\right)$

= $\left(-x^3+2x^2+2x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^2-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^2-2}·\left(-2x+0\right)$

= $\frac{1}{-x^2-2}·\left(-2x\right)$

= $-2\frac{x}{-x^2-2}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{3x^2-5}$

= ${\left(3x^2-5\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{\left(3x^2-5\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(6x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\cdot \sqrt{3x^2-5}}·\left(6x+0\right)$

= $\frac{1}{2\cdot \sqrt{3x^2-5}}·\left(6x\right)$

= $3\frac{x}{\sqrt{3x^2-5}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-x}$

f'(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f'''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-2$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,3}x}-\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,3}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-1+\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,3}x-\mathrm{1,3}\right)$

= $\left(\mathrm{0,3}x-\mathrm{1,3}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$