Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{6}{5} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{6}{5} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{5} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{18}{5} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x - 1) \cdot e^{5 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x - 1) \cdot e^{5 x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 3 + 0) \cdot e^{5 x - 5} + (- 3 x - 1) \cdot e^{5 x - 5} \cdot 5$

= $- 3 e^{5 x - 5} + (- 3 x - 1) \cdot 5 e^{5 x - 5}$

= $- 3 e^{5 x - 5} + 5 (- 3 x - 1) \cdot e^{5 x - 5}$

= $e^{5 x - 5} \cdot (- 3 - 15 x - 5)$

= $e^{5 x - 5} \cdot (- 15 x - 8)$

= $(- 15 x - 8) \cdot e^{5 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} - 5} \cdot (- 6 x)$

= $- 12 \cdot e^{- 3 x^{2} - 5} x$

= $- 12 x e^{- 3 x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x + 0)$

= $\frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x)$

= $2 \frac{x}{x^{2} + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (- x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (- x - 3)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \cos (- x - 3) \cdot (- 1 + 0)$

= $- 2 \cdot \cos (- x - 3) \cdot (- 1)$

= $2 \cdot \cos (- x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${(- 0,9)}^{45} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $- 0,009 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 6$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- e^{- 0,1 x} - (x + 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- e^{- 0,1 x} + 0,1 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 1 + 0,1 x + 0,5)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,1 x - 0,5)$

= $(0,1 x - 0,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten