$\text{f(x)}=$ $4-2e^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{\frac{8}{9}x}·\frac{8}{9}$

= $-\frac{16}{9}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{4x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{4x+3}+x^4·e^{4x+3}·4$

= $4x^3·e^{4x+3}+x^4·4e^{4x+3}$

= $4x^3·e^{4x+3}+4x^4·e^{4x+3}$

= $e^{4x+3}·\left(4x^4+4x^3\right)$

= $\left(4x^4+4x^3\right)·e^{4x+3}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{2x}+x^5·e^{2x}·2$

= $5x^4·e^{2x}+x^5·2e^{2x}$

= $5x^4·e^{2x}+2x^5·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^5+5x^4\right)$

= $\left(2x^5+5x^4\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{6x}·6$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^2+4\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(6x+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(3x^2+4\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $6x·\sin \left(x^3\right)+\left(3x^2+4\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $6x·\sin \left(x^3\right)+3\left(3x^2+4\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-x}$

f'(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f'''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+5\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+1$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}+5\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)+1$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{1,5}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+1$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(5-\mathrm{1,5}x-9\right)+1$

= $1+\left(-\mathrm{1,5}x+5-9\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $1+\left(-\mathrm{1,5}x-4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$