Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 4 x + 2}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 2} + x^{3} \cdot e^{- 4 x + 2} \cdot (- 4)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 2} + x^{3} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 2})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 2} - 4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 2}$

= $e^{- 4 x + 2} \cdot (- 4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{5} - 5 x) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{5} - 5 x) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(- 5 x^{4} - 5) \cdot e^{x} + (- x^{5} - 5 x) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- x^{5} - 5 x - 5 x^{4} - 5)$

= $e^{x} \cdot (- x^{5} - 5 x^{4} - 5 x - 5)$

= $(- x^{5} - 5 x^{4} - 5 x - 5) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{x} \cdot 1$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 5) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} - 5) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 15 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x + 15)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x + 15) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- x}$

f'(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f'''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 2$

= $- e^{- 0,3 x} - (x + 3) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 2$

= $- e^{- 0,3 x} + 0,3 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} - 2$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1 + 0,3 x + 0,9) - 2$

= $- 2 + (0,3 x - 1 + 0,9) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 2 + (0,3 x - 0,1) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten