Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{6}{7} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{6}{7} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{7} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{12}{7} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot e^{- 3 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{4} + 8 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 1} + (- 3 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $(- 15 x^{4} + 8 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 1} + (- 3 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 1})$

= $(- 15 x^{4} + 8 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 1} - 3 (- 3 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot e^{- 3 x - 1}$

= $e^{- 3 x - 1} \cdot (9 x^{5} - 6 x^{4} + (- 15 x^{4} + 8 x^{3}))$

= $e^{- 3 x - 1} \cdot (9 x^{5} - 21 x^{4} + 8 x^{3})$

= $(9 x^{5} - 21 x^{4} + 8 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{4} - 5 x) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{4} - 5 x) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(4 x^{3} - 5) \cdot e^{- x} + (x^{4} - 5 x) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $(4 x^{3} - 5) \cdot e^{- x} + (x^{4} - 5 x) \cdot (- e^{- x})$

= $(4 x^{3} - 5) \cdot e^{- x} - (x^{4} - 5 x) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{4} + 5 x + 4 x^{3} - 5)$

= $e^{- x} \cdot (- x^{4} + 4 x^{3} + 5 x - 5)$

= $(- x^{4} + 4 x^{3} + 5 x - 5) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{x} \cdot 1$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x - 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x} + (2 x - 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 e^{2 x} + 2 (2 x - 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 + 4 x - 4)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x - 2)$

= $(4 x - 2) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 39-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{1,15 x}$

f'(x) = $5 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $5,75 e^{1,15 x}$

f''(x) = $5,75 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $6,6125 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $6,6125 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $7,6044 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $7,6044 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $8,745 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 39-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 39 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{39}$

Somit gilt für die 39-te Ableitung:

f⁽³⁹⁾(x) = ${1,15}^{39} \cdot 5 e^{1,15 x}$

≈ $1164,624 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 3$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $3 e^{- 0,6 x} + 3 (x - 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $3 e^{- 0,6 x} - 1,8 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (3 - 1,8 x + 9)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1,8 x + 12)$

= $(- 1,8 x + 12) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten