$\text{f(x)}=$ $1+\frac{2}{3}{e}^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{2}{3}{e}^{\frac{4}{5}x}·\frac{4}{5}$

= $\frac{8}{15}{e}^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x+1}-2\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x+1}·\left(-3\right)-2\cdot \cos \left(x\right)$

= $-3e^{-3x+1}-2\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{3x}+x^3·e^{3x}·3$

= $3x^2·e^{3x}+x^3·3e^{3x}$

= $3x^2·e^{3x}+3x^3·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^3+3x^2\right)$

= $\left(3x^3+3x^2\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-4x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-4x-2}·\left(-4+0\right)$

= $\frac{1}{-4x-2}·\left(-4\right)$

= $-\frac{4}{-4x-2}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(e^{-2x}-4\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $10{\left(e^{-2x}-4\right)}^4·(e^{-2x}·\left(-2\right)+0)$

= $10{\left(e^{-2x}-4\right)}^4·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $-20{\left(e^{-2x}-4\right)}^4·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $-e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,5209}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,749}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{34}·\left(-e^{-\mathrm{1,15}x}\right)$

≈ $-\mathrm{115,805}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{3,2}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(4-\mathrm{3,2}x-\mathrm{3,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{3,2}x+\mathrm{0,8}\right)$

= $\left(-\mathrm{3,2}x+\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$