$\text{f(x)}=$ $1+\frac{2}{3}{e}^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{2}{3}{e}^{\frac{5}{7}x}·\frac{5}{7}$

= $\frac{10}{21}{e}^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(x\right)+3e^{x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(x\right)+3e^{x-2}·1$

= $-2\cdot \cos \left(x\right)+3e^{x-2}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^3+e^{-2x}·3x^2$

= $-2·e^{-2x}{x}^3+3·e^{-2x}{x}^2$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x^2+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x^2+2}·\left(-4x+0\right)$

= $\frac{1}{-2x^2+2}·\left(-4x\right)$

= $-4\frac{x}{-2x^2+2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-6\right)·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(-2x\right)+\left(x^2-6\right)·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $2x·\sin \left(-2x\right)+\left(x^2-6\right)·\left(-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right)$

= $2x·\sin \left(-2x\right)-2\left(x^2-6\right)·\cos \left(-2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $4e^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{4,4}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{4,4}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{4,84}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $\mathrm{4,84}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{5,324}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{5,324}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{5,8564}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 56-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 56 mal mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{56}$

Somit gilt für die 56-te Ableitung:

f⁽⁵⁶⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{56}·4e^{-\mathrm{1,1}x}$

≈ $\mathrm{831,86}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+5\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)-7$

= $5e^{-\mathrm{0,7}x}+5\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)-7$

= $5e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{3,5}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-7$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(5-\mathrm{3,5}x+21\right)-7$

= $-7+\left(-\mathrm{3,5}x+5+21\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $-7+\left(-\mathrm{3,5}x+26\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$