$\text{f(x)}=$ $-3e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $9e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $2\sqrt[3]{x}-e^{-3x-2}$

= $2x^{\frac{1}{3}}-e^{-3x-2}$

=> f'(x) = $\frac{2}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}-e^{-3x-2}·\left(-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}-e^{-3x-2}·\left(-3\right)$

= $\frac{2}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+3e^{-3x-2}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{2x^3+2}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{2x^3+2}·6x^2$

= $18·e^{2x^3+2}{x}^2$

= $18x^2{e}^{2x^3+2}$

$\text{f(x)}=$ $2\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{5x}·5$

= $\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-5\right)·\sin \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\sin \left(x^2\right)+\left(3x-5\right)·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $3\cdot \sin \left(x^2\right)+\left(3x-5\right)·2\cos \left(x^2\right)x$

= $3\cdot \sin \left(x^2\right)+2\left(3x-5\right)\cos \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+89\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+6$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}+\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)+6$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,2}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(1-\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}\right)+6$

= $6+\left(-\mathrm{0,2}x+1-\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $6+\left(-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$