$\text{f(x)}=$ $2+3e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-6e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x-1}+x^5·e^{-2x-1}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x-1}+x^5·\left(-2e^{-2x-1}\right)$

= $5x^4·e^{-2x-1}-2x^5·e^{-2x-1}$

= $e^{-2x-1}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-x+1}·\left(-1\right)$

= $-2e^{-x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^2-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^2-3}·\left(-2x+0\right)$

= $\frac{1}{-x^2-3}·\left(-2x\right)$

= $-2\frac{x}{-x^2-3}$

$\text{f(x)}=$ $2\sqrt{-3x^2+5}$

= $2{\left(-3x^2+5\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${\left(-3x^2+5\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-6x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{-3x^2+5}}·\left(-6x+0\right)$

= $\frac{1}{\sqrt{-3x^2+5}}·\left(-6x\right)$

= $-6\frac{x}{\sqrt{-3x^2+5}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,5209}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,5209}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,749}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,15}}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${\mathrm{1,15}}^{45}·e^{\mathrm{1,15}x}$

≈ $\mathrm{538,769}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+2$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(5-2x-10\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-2x-5\right)$

= $\left(-2x-5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$