$\text{f(x)}=$ $-e^x$

$\text{f'(x)}=$ $-e^x$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x+5}+x^5·e^{-2x+5}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x+5}+x^5·\left(-2e^{-2x+5}\right)$

= $5x^4·e^{-2x+5}-2x^5·e^{-2x+5}$

= $e^{-2x+5}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x+5}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-x^3+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-x^3+5}·\left(-3x^2\right)$

= $6·e^{-x^3+5}{x}^2$

= $6x^2{e}^{-x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x+1}·\left(-2+0\right)$

= $\frac{1}{-2x+1}·\left(-2\right)$

= $-\frac{2}{-2x+1}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(x+2\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-6{\left(x+2\right)}^2·\left(1+0\right)$

= $-6{\left(x+2\right)}^2·\left(1\right)$

= $-6{\left(x+2\right)}^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-x}$

f'(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f'''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)-4$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}+\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)-4$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{0,4}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-4$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(1-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,6}\right)-4$

= $-4+\left(-\mathrm{0,4}x+1+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $-4+\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{2,6}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$