Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 4 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 4 x + 3}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x + 3} + x^{5} \cdot e^{- 4 x + 3} \cdot (- 4)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x + 3} + x^{5} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 3})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x + 3} - 4 x^{5} \cdot e^{- 4 x + 3}$

= $e^{- 4 x + 3} \cdot (- 4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 4 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x + 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{- x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} + x} \cdot (- 8 x + 1)$

= $\frac{- 8 x + 1}{- 4 x^{2} + x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 7) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 7) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{2} - 7) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{2} - 7) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (2 x^{2} - 7) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{2} + 14 + 4 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{2} + 4 x + 14)$

= $(- 4 x^{2} + 4 x + 14) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $- e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $- 0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${(- 0,9)}^{63} \cdot (- e^{- 0,9 x})$

≈ $0,001 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $5 e^{- 0,7 x} + 5 (x - 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $5 e^{- 0,7 x} - 3,5 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (5 - 3,5 x + 24,5)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 3,5 x + 29,5)$

= $(- 3,5 x + 29,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten