Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{3}{4} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{3}{4} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{4} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{9}{4} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{4} - 3 x^{3}) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{4} - 3 x^{3}) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{- x} + (- 3 x^{4} - 3 x^{3}) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $(- 12 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{- x} + (- 3 x^{4} - 3 x^{3}) \cdot (- e^{- x})$

= $(- 12 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{- x} - (- 3 x^{4} - 3 x^{3}) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (3 x^{4} + 3 x^{3} + (- 12 x^{3} - 9 x^{2}))$

= $e^{- x} \cdot (3 x^{4} - 9 x^{3} - 9 x^{2})$

= $(3 x^{4} - 9 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x^{2} - 2}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x^{2} - 2} \cdot (- 2 x)$

= $- 4 \cdot e^{- x^{2} - 2} x$

= $- 4 x e^{- x^{2} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 8) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 8) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x - 8) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x - 8) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x - 8) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (1 + 3 x - 24)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x - 23)$

= $(3 x - 23) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{1,05 x}$

f'(x) = $4 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,2 e^{1,05 x}$

f''(x) = $4,2 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,41 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $4,41 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,6305 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,6305 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,862 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${1,05}^{61} \cdot 4 e^{1,05 x}$

≈ $78,453 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 8$

= $- 4 e^{- 0,4 x} - 4 (x + 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 8$

= $- 4 e^{- 0,4 x} + 1,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 8$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 4 + 1,6 x + 8) + 8$

= $8 + (1,6 x - 4 + 8) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $8 + (1,6 x + 4) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten