Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 - 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 - 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x - 1} + 3 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x - 1} + 3 x^{2}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x - 1} \cdot (- 1) + 6 x$

= $- 2 e^{- x - 1} + 6 x$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 16 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} + (- 4 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(- 16 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} + (- 4 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(- 16 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} - 2 (- 4 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (8 x^{4} + 10 x^{3} + (- 16 x^{3} - 15 x^{2}))$

= $e^{- 2 x} \cdot (8 x^{4} - 6 x^{3} - 15 x^{2})$

= $(8 x^{4} - 6 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} + 2 x} \cdot (- 8 x + 2)$

= $\frac{- 8 x + 2}{- 4 x^{2} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{3 x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{3 x^{2} - 3}$

= $- 3 {(3 x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} {(3 x^{2} - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (6 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 x^{2} - 3}} \cdot (6 x + 0)$

= $- \frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 x^{2} - 3}} \cdot (6 x)$

= $- 9 \frac{x}{\sqrt{3 x^{2} - 3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 31-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${(- 0,85)}^{31} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $- 0,006 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 9$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $5 e^{- 0,8 x} + 5 (x + 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $5 e^{- 0,8 x} - 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (5 - 4 x - 12)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 x - 7)$

= $(- 4 x - 7) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten