$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{5}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{5}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{7}{5}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3}{x}^4+e^{3x+4}+\frac{9}{4}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{8}{3}{x}^3+e^{3x+4}·3+\frac{9}{4}\cdot \cos \left(x\right)$

= $-\frac{8}{3}{x}^3+3e^{3x+4}+\frac{9}{4}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-x}+x^5·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $5x^4·e^{-x}+x^5·\left(-e^{-x}\right)$

= $5x^4·e^{-x}-x^5·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^5+5x^4\right)$

= $\left(-x^5+5x^4\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x+4}·\left(-3+0\right)$

= $\frac{1}{-3x+4}·\left(-3\right)$

= $-\frac{3}{-3x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+6\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{-2x}+\left(2x+6\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x}+\left(2x+6\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2e^{-2x}-2\left(2x+6\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(2-4x-12\right)$

= $e^{-2x}·\left(-4x-10\right)$

= $\left(-4x-10\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $-e^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{0,9}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,9}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{0,81}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{0,81}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{0,729}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,729}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{0,6561}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 56-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 56 mal mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,9}}^{56}$

Somit gilt für die 56-te Ableitung:

f⁽⁵⁶⁾(x) = ${\mathrm{0,9}}^{56}·\left(-e^{\mathrm{0,9}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,003}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{2,4}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-4+\mathrm{2,4}x+\mathrm{9,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{2,4}x+\mathrm{5,6}\right)$

= $\left(\mathrm{2,4}x+\mathrm{5,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$