$\text{f(x)}=$ $-3-e^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{\frac{3}{5}x}·\frac{3}{5}$

= $-\frac{3}{5}{e}^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(x\right)+3e^{-2x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(x\right)+3e^{-2x-3}·\left(-2\right)$

= $-3\cdot \cos \left(x\right)-6e^{-2x-3}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{3x}+x^4·e^{3x}·3$

= $4x^3·e^{3x}+x^4·3e^{3x}$

= $4x^3·e^{3x}+3x^4·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^4+4x^3\right)$

= $\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{2x}·2$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(x-4\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-8{\left(x-4\right)}^3·\left(1+0\right)$

= $-8{\left(x-4\right)}^3·\left(1\right)$

= $-8{\left(x-4\right)}^3$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $-5e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{4,25}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{4,25}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{3,6125}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{3,6125}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{3,0706}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{3,0706}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{2,61}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{30}·\left(-5e^{\mathrm{0,85}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,038}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,7}x}+2\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{1,4}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(2-\mathrm{1,4}x+\mathrm{4,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{1,4}x+\mathrm{6,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,4}x+\mathrm{6,2}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$