Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{9}{5} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{2}) + e^{- x} \cdot (- 8 x^{3} + 8 x)$

= $- e^{- x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{2}) + e^{- x} \cdot (- 8 x^{3} + 8 x)$

= $e^{- x} \cdot (2 x^{4} - 4 x^{2} + (- 8 x^{3} + 8 x))$

= $e^{- x} \cdot (2 x^{4} - 8 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x)$

= $(2 x^{4} - 8 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{5} + e^{3 x} \cdot 5 x^{4}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{5} + 5 \cdot e^{3 x} x^{4}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} - 2} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{2 x^{3} - 2} \cdot (6 x^{2})$

= $6 \frac{x^{2}}{2 x^{3} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (x^{2} + 9) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $2 x \cdot \cos (x^{3}) + (x^{2} + 9) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $2 x \cdot \cos (x^{3}) - 3 (x^{2} + 9) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${1,05}^{75} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $38,833 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} + x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 1$

= $- 2 e^{- 0,5 x} - 2 (x + 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 1$

= $- 2 e^{- 0,5 x} + (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 1$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 + x + 7) + 1$

= $1 + (x - 2 + 7) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $1 + (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten