Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x - 5) \cdot e^{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x - 5) \cdot e^{x + 5}$

$f'(x) =$ $(- 5 + 0) \cdot e^{x + 5} + (- 5 x - 5) \cdot e^{x + 5} \cdot 1$

= $- 5 e^{x + 5} + (- 5 x - 5) \cdot e^{x + 5}$

= $e^{x + 5} \cdot (- 5 - 5 x - 5)$

= $e^{x + 5} \cdot (- 5 x - 10)$

= $(- 5 x - 10) \cdot e^{x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x - 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x - 4} + x^{2} \cdot e^{- x - 4} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x - 4} + x^{2} \cdot (- e^{- x - 4})$

= $2 x \cdot e^{- x - 4} - x^{2} \cdot e^{- x - 4}$

= $e^{- x - 4} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot e^{4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot e^{4 x - 2}$

= $x^{\frac{3}{2}} \cdot e^{4 x - 2}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{4 x - 2} + x^{\frac{3}{2}} \cdot e^{4 x - 2} \cdot 4$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot e^{4 x - 2} + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot e^{4 x - 2} \cdot 4$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot e^{4 x - 2} + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot 4 e^{4 x - 2}$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot e^{4 x - 2} + 4 {(\sqrt{x})}^{3} \cdot e^{4 x - 2}$

= $e^{4 x - 2} \cdot (4 {(\sqrt{x})}^{3} + \frac{3}{2} \sqrt{x})$

= $(4 {(\sqrt{x})}^{3} + \frac{3}{2} \sqrt{x}) \cdot e^{4 x - 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 93)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} + x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 1$

= $- 3 e^{- 0,9 x} - 3 (x - 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 1$

= $- 3 e^{- 0,9 x} + 2,7 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 1$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 3 + 2,7 x - 5,4) + 1$

= $1 + (2,7 x - 3 - 5,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $1 + (2,7 x - 8,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten