$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{7}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{7}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{4x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{4x+3}+x^3·e^{4x+3}·4$

= $3x^2·e^{4x+3}+x^3·4e^{4x+3}$

= $3x^2·e^{4x+3}+4x^3·e^{4x+3}$

= $e^{4x+3}·\left(3x^2+4x^3\right)$

= $e^{4x+3}·\left(4x^3+3x^2\right)$

= $\left(4x^3+3x^2\right)·e^{4x+3}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-3x^2+4}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-3x^2+4}·\left(-6x\right)$

= $-18·e^{-3x^2+4}x$

= $-18x{e}^{-3x^2+4}$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{x}·1$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(e^{2x}+3\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-5{\left(e^{2x}+3\right)}^4·(e^{2x}·2+0)$

= $-5{\left(e^{2x}+3\right)}^4·\left(2e^{2x}\right)$

= $-10{\left(e^{2x}+3\right)}^4·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-x}$

f'(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f'''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+1$

= $-e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+1$

= $-e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{0,5}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+1$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(\mathrm{0,5}x+\mathrm{2,5}-1\right)+1$

= $1+\left(\mathrm{0,5}x+\mathrm{2,5}-1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $1+\left(\mathrm{0,5}x+\mathrm{1,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$