$\text{f(x)}=$ $5+e^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{\frac{8}{9}x}·\frac{8}{9}$

= $\frac{8}{9}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-x}+x^2·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $2x·e^{-x}+x^2·\left(-e^{-x}\right)$

= $2x·e^{-x}-x^2·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^2+2x\right)$

= $\left(-x^2+2x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·x^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·x^2+e^{-x}·2x$

= $-e^{-x}{x}^2+2·e^{-x}x$

= $e^{-x}·\left(-x^2+2x\right)$

= $\left(-x^2+2x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{6x}·6$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+7\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{3x}+\left(x^2+7\right)·e^{3x}·3$

= $2x·e^{3x}+\left(x^2+7\right)·3e^{3x}$

= $2x·e^{3x}+3\left(x^2+7\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^2+21+2x\right)$

= $e^{3x}·\left(3x^2+2x+21\right)$

= $\left(3x^2+2x+21\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+93\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+9x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+9$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)+9$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{0,7}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+9$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-1+\mathrm{0,7}x-\mathrm{3,5}\right)+9$

= $9+\left(\mathrm{0,7}x-1-\mathrm{3,5}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $9+\left(\mathrm{0,7}x-\mathrm{4,5}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$