$\text{f(x)}=$ $-1-e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{3x}·3$

= $-3e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}\left(-x^4+5x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·\left(-x^4+5x^3\right)+e^{-2x}·\left(-4x^3+15x^2\right)$

= $-2·e^{-2x}\left(-x^4+5x^3\right)+e^{-2x}\left(-4x^3+15x^2\right)$

= $e^{-2x}·(2x^4-10x^3+\left(-4x^3+15x^2\right))$

= $e^{-2x}·\left(2x^4-14x^3+15x^2\right)$

= $\left(2x^4-14x^3+15x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x^3-3}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x^3-3}·\left(-6x^2\right)$

= $-6·e^{-2x^3-3}{x}^2$

= $-6x^2{e}^{-2x^3-3}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{4x}·4$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{2x}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{2x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{2x}+x^{\frac{1}{2}}·e^{2x}·2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{2x}+\sqrt{x}·e^{2x}·2$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{2x}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·2e^{2x}$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{2x}}{\sqrt{x}}+2\sqrt{x}·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-x}$

f'(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f''(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f'''(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $5e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+1$

= $-2e^{-\mathrm{0,3}x}-2\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)+1$

= $-2e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,6}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+1$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-2+\mathrm{0,6}x+3\right)+1$

= $1+\left(\mathrm{0,6}x-2+3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $1+\left(\mathrm{0,6}x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$