$\text{f(x)}=$ $-3e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{3x}·3$

= $-9e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-x+3}+x^3·e^{-x+3}·\left(-1\right)$

= $3x^2·e^{-x+3}+x^3·\left(-e^{-x+3}\right)$

= $3x^2·e^{-x+3}-x^3·e^{-x+3}$

= $e^{-x+3}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x+3\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-3+0\right)·e^{3x}+\left(-3x+3\right)·e^{3x}·3$

= $-3e^{3x}+\left(-3x+3\right)·3e^{3x}$

= $-3e^{3x}+3\left(-3x+3\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(-3-9x+9\right)$

= $e^{3x}·\left(-9x+6\right)$

= $\left(-9x+6\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $5\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{3x}·3$

= $\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·\sin \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·\sin \left(-3x\right)+x^4·\cos \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $4x^3·\sin \left(-3x\right)+x^4·\left(-3\cdot \cos \left(-3x\right)\right)$

= $4x^3·\sin \left(-3x\right)-3x^4·\cos \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{78}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,018}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+3$

= $-3e^{-\mathrm{0,1}x}-3\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)+3$

= $-3e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,3}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+3$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-3+\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}\right)+3$

= $3+\left(\mathrm{0,3}x-3+\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $3+\left(\mathrm{0,3}x-\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$