Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $- \frac{7}{8} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{4} + x) \cdot e^{- 5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{4} + x) \cdot e^{- 5 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 16 x^{3} + 1) \cdot e^{- 5 x + 2} + (- 4 x^{4} + x) \cdot e^{- 5 x + 2} \cdot (- 5)$

= $(- 16 x^{3} + 1) \cdot e^{- 5 x + 2} + (- 4 x^{4} + x) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 2})$

= $(- 16 x^{3} + 1) \cdot e^{- 5 x + 2} - 5 (- 4 x^{4} + x) \cdot e^{- 5 x + 2}$

= $e^{- 5 x + 2} \cdot (20 x^{4} - 5 x - 16 x^{3} + 1)$

= $e^{- 5 x + 2} \cdot (20 x^{4} - 16 x^{3} - 5 x + 1)$

= $(20 x^{4} - 16 x^{3} - 5 x + 1) \cdot e^{- 5 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{4} + e^{2 x} \cdot 4 x^{3}$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{4} + 4 \cdot e^{2 x} x^{3}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x + 5} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x + 5} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 1) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 1) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x - 1) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $\sin (x^{2}) + (x - 1) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $\sin (x^{2}) + 2 (x - 1) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{1,1 x}$

f'(x) = $5 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $5,5 e^{1,1 x}$

f''(x) = $5,5 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $6,05 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $6,05 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $6,655 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $6,655 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $7,3205 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${1,1}^{46} \cdot 5 e^{1,1 x}$

≈ $400,898 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} + 1$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $2 e^{- 0,2 x} + 2 (x - 2) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $2 e^{- 0,2 x} - 0,4 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (2 - 0,4 x + 0,8)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,4 x + 2,8)$

= $(- 0,4 x + 2,8) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten