$\text{f(x)}=$ $1-2e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{-x}·\left(-1\right)$

= $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^5+5\right)·e^{x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-15x^4+0\right)·e^{x+3}+\left(-3x^5+5\right)·e^{x+3}·1$

= $-15x^4·e^{x+3}+\left(-3x^5+5\right)·e^{x+3}$

= $-15x^4·e^{x+3}+\left(-3x^5+5\right)·e^{x+3}$

= $e^{x+3}·\left(-3x^5+5-15x^4\right)$

= $e^{x+3}·\left(-3x^5-15x^4+5\right)$

= $\left(-3x^5-15x^4+5\right)·e^{x+3}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^x+x^2·e^x$

= $2x·e^x+x^2·e^x$

= $e^x·\left(x^2+2x\right)$

= $\left(x^2+2x\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x+4}·\left(-3+0\right)$

= $\frac{1}{-3x+4}·\left(-3\right)$

= $-\frac{3}{-3x+4}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(-3x+1\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $5{\left(-3x+1\right)}^4·\left(-3+0\right)$

= $5{\left(-3x+1\right)}^4·\left(-3\right)$

= $-15{\left(-3x+1\right)}^4$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,9}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,9}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,81}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,81}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,729}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,729}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,6561}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,9}}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${\mathrm{0,9}}^{57}·e^{\mathrm{0,9}x}$

≈ $\mathrm{0,002}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-7$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-7$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{0,5}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-7$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(1-\mathrm{0,5}x+\mathrm{3,5}\right)-7$

= $-7+\left(-\mathrm{0,5}x+1+\mathrm{3,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $-7+\left(-\mathrm{0,5}x+\mathrm{4,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$