Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - 3 e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - 3 e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $- \frac{5}{2} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x - 1} - \frac{9}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x - 1} - \frac{9}{x^{4}}$

= $- 2 e^{2 x - 1} - 9 x^{- 4}$

=> f'(x) = $- 2 e^{2 x - 1} \cdot 2 + 36 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x - 1} \cdot 2 + \frac{36}{x^{5}}$

= $- 4 e^{2 x - 1} + \frac{36}{x^{5}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{3} + 1} \cdot (- 6 x^{2})$

= $18 \cdot e^{- 2 x^{3} + 1} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{- 2 x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x + 5} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x + 5} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{- 2 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} + 9) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} + 9) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 (x^{2} + 9) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${1,15}^{47} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $712,522 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 6$

= $2 e^{- 0,2 x} + 2 (x - 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 6$

= $2 e^{- 0,2 x} - 0,4 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 6$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (2 - 0,4 x + 2) + 6$

= $6 + (- 0,4 x + 2 + 2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $6 + (- 0,4 x + 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten