$\text{f(x)}=$ $-e^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{\frac{5}{6}x}·\frac{5}{6}$

= $-\frac{5}{6}{e}^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{4x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{4x+2}+x^5·e^{4x+2}·4$

= $5x^4·e^{4x+2}+x^5·4e^{4x+2}$

= $5x^4·e^{4x+2}+4x^5·e^{4x+2}$

= $e^{4x+2}·\left(4x^5+5x^4\right)$

= $\left(4x^5+5x^4\right)·e^{4x+2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^5-x^2\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(5x^4-2x\right)·e^{-3x}+\left(x^5-x^2\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $\left(5x^4-2x\right)·e^{-3x}+\left(x^5-x^2\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $\left(5x^4-2x\right)·e^{-3x}-3\left(x^5-x^2\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·(-3x^5+3x^2+\left(5x^4-2x\right))$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4+3x^2-2x\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4+3x^2-2x\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{6x}·6$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-\sqrt{-x^3+5}$

= $-{\left(-x^3+5\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{\left(-x^3+5\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-3x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2\sqrt{-x^3+5}}·\left(-3x^2+0\right)$

= $-\frac{1}{2\sqrt{-x^3+5}}·\left(-3x^2\right)$

= $\frac{3}{2}\frac{x^2}{\sqrt{-x^3+5}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+80\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+6$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,8}x}-\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{0,8}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-1+\mathrm{0,8}x+\mathrm{2,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(\mathrm{0,8}x+\mathrm{1,4}\right)$

= $\left(\mathrm{0,8}x+\mathrm{1,4}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$