$\text{f(x)}=$ $2e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^3-5x\right)·e^{4x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(12x^2-5\right)·e^{4x-1}+\left(4x^3-5x\right)·e^{4x-1}·4$

= $\left(12x^2-5\right)·e^{4x-1}+\left(4x^3-5x\right)·4e^{4x-1}$

= $\left(12x^2-5\right)·e^{4x-1}+4\left(4x^3-5x\right)·e^{4x-1}$

= $e^{4x-1}·\left(16x^3-20x+12x^2-5\right)$

= $e^{4x-1}·\left(16x^3+12x^2-20x-5\right)$

= $\left(16x^3+12x^2-20x-5\right)·e^{4x-1}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·\left(-5x^2-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-5x^2-3x\right)+e^{-x}·\left(-10x-3\right)$

= $-e^{-x}\left(-5x^2-3x\right)+e^{-x}\left(-10x-3\right)$

= $e^{-x}·\left(5x^2+3x-10x-3\right)$

= $e^{-x}·\left(5x^2-7x-3\right)$

= $\left(5x^2-7x-3\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{6x}·6$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(\sin \left(x\right)-2\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-4\left(\sin \left(x\right)-2\right)·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $-4\left(\sin \left(x\right)-2\right)·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $-4\left(\sin \left(x\right)-2\right)·\cos \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+88\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)-7$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)-7$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{3,2}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-7$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(4-\mathrm{3,2}x+\mathrm{12,8}\right)-7$

= $-7+\left(-\mathrm{3,2}x+4+\mathrm{12,8}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $-7+\left(-\mathrm{3,2}x+\mathrm{16,8}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$