$\text{f(x)}=$ $3e^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{\frac{6}{7}x}·\frac{6}{7}$

= $\frac{18}{7}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{3x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{3x+1}+x^3·e^{3x+1}·3$

= $3x^2·e^{3x+1}+x^3·3e^{3x+1}$

= $3x^2·e^{3x+1}+3x^3·e^{3x+1}$

= $e^{3x+1}·\left(3x^2+3x^3\right)$

= $e^{3x+1}·\left(3x^3+3x^2\right)$

= $\left(3x^3+3x^2\right)·e^{3x+1}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{3x^3-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{3x^3-5}·9x^2$

= $-9·e^{3x^3-5}{x}^2$

= $-9x^2{e}^{3x^3-5}$

$\text{f(x)}=$ $3\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{5x}·5$

= $\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(e^{2x}-2\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $6{\left(e^{2x}-2\right)}^2·(e^{2x}·2+0)$

= $6{\left(e^{2x}-2\right)}^2·\left(2e^{2x}\right)$

= $12{\left(e^{2x}-2\right)}^2·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{-x}$

f'(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

f''(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

f'''(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $-3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+4x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+4$

= $-e^{-\mathrm{0,4}x}-\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+4$

= $-e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{0,4}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+4$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}-1\right)+4$

= $4+\left(\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}-1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $4+\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$