$\text{f(x)}=$ $-4-3e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $6e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{x^3}-2e^{-x+2}$

= $-2x^{-3}-2e^{-x+2}$

=> f'(x) = $6x^{-4}-2e^{-x+2}·\left(-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{x^4}-2e^{-x+2}·\left(-1\right)$

= $\frac{6}{x^4}+2e^{-x+2}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-x^2-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-x^2-5}·\left(-2x\right)$

= $6·e^{-x^2-5}x$

= $6x{e}^{-x^2-5}$

$\text{f(x)}=$ $5\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{2x}·2$

= $\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+4\right)·\cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\cos \left(-3x\right)+\left(x^2+4\right)·(-\sin \left(-3x\right)·\left(-3\right))$

= $2x·\cos \left(-3x\right)+\left(x^2+4\right)·3\cdot \sin \left(-3x\right)$

= $2x·\cos \left(-3x\right)+3\left(x^2+4\right)·\sin \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-x}$

f'(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f'''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+6$

= $-3e^{-\mathrm{0,9}x}-3\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)+6$

= $-3e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{2,7}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-3+\mathrm{2,7}x-\mathrm{13,5}\right)+6$

= $6+\left(\mathrm{2,7}x-3-\mathrm{13,5}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $6+\left(\mathrm{2,7}x-\mathrm{16,5}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$