$\text{f(x)}=$ $5+3e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^x$

= $3e^x$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-x+2}+x^3·e^{-x+2}·\left(-1\right)$

= $3x^2·e^{-x+2}+x^3·\left(-e^{-x+2}\right)$

= $3x^2·e^{-x+2}-x^3·e^{-x+2}$

= $e^{-x+2}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x+2}$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x}·x^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2·x^2+e^{2x}·2x$

= $2·e^{2x}{x}^2+2·e^{2x}x$

= $e^{2x}·\left(2x^2+2x\right)$

= $\left(2x^2+2x\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x^2+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x^2+1}·\left(10x+0\right)$

= $\frac{1}{5x^2+1}·\left(10x\right)$

= $10\frac{x}{5x^2+1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-3\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{2x}+\left(x-3\right)·e^{2x}·2$

= $e^{2x}+\left(x-3\right)·2e^{2x}$

= $e^{2x}+2\left(x-3\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(1+2x-6\right)$

= $e^{2x}·\left(2x-5\right)$

= $\left(2x-5\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $-2e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{2,1}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{2,1}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{2,205}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{2,205}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{2,3153}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,3153}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{2,431}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 66-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 66 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{66}$

Somit gilt für die 66-te Ableitung:

f⁽⁶⁶⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{66}·\left(-2e^{-\mathrm{1,05}x}\right)$

≈ $-\mathrm{50,064}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-8$

= $3e^{-\mathrm{0,2}x}+3\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-8$

= $3e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,6}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-8$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(3-\mathrm{0,6}x+\mathrm{2,4}\right)-8$

= $-8+\left(-\mathrm{0,6}x+3+\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $-8+\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{5,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$