Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{x}$

= $3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x + 1}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x + 1} + x^{3} \cdot e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x + 1} + x^{3} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 1})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x + 1} - 2 x^{3} \cdot e^{- 2 x + 1}$

= $e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 2 x^{5} - 5 x^{4})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 2 x^{5} - 5 x^{4})$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (- 2 x^{5} - 5 x^{4}) + e^{x} \cdot (- 10 x^{4} - 20 x^{3})$

= $e^{x} \cdot (- 2 x^{5} - 5 x^{4} + (- 10 x^{4} - 20 x^{3}))$

= $e^{x} \cdot (- 2 x^{5} - 15 x^{4} - 20 x^{3})$

= $(- 2 x^{5} - 15 x^{4} - 20 x^{3}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} + 5} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{2} + 5} \cdot (6 x)$

= $6 \frac{x}{3 x^{2} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot e^{3 x}$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot e^{3 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot e^{3 x} + x^{\frac{1}{4}} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot e^{3 x} + \sqrt[4]{x} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{1}{4} \frac{e^{3 x}}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot 3 e^{3 x}$

= $\frac{1}{4} \frac{e^{3 x}}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 3 \sqrt[4]{x} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${(- 1,1)}^{62} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $368,423 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 4$

= $- 3 e^{- 0,6 x} - 3 (x - 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 4$

= $- 3 e^{- 0,6 x} + 1,8 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 4$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 3 + 1,8 x - 3,6) + 4$

= $4 + (1,8 x - 3 - 3,6) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $4 + (1,8 x - 6,6) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten