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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + 2 e^{\frac{7}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + 2 e^{\frac{7}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{7}{4} x} \cdot \frac{7}{4}$

= $\frac{7}{2} e^{\frac{7}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} - 2) \cdot e^{- 4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} - 2) \cdot e^{- 4 x - 5}$

$f'(x) =$ $(8 x + 0) \cdot e^{- 4 x - 5} + (4 x^{2} - 2) \cdot e^{- 4 x - 5} \cdot (- 4)$

= $8 x \cdot e^{- 4 x - 5} + (4 x^{2} - 2) \cdot (- 4 e^{- 4 x - 5})$

= $8 x \cdot e^{- 4 x - 5} - 4 (4 x^{2} - 2) \cdot e^{- 4 x - 5}$

= $e^{- 4 x - 5} \cdot (- 16 x^{2} + 8 + 8 x)$

= $e^{- 4 x - 5} \cdot (- 16 x^{2} + 8 x + 8)$

= $(- 16 x^{2} + 8 x + 8) \cdot e^{- 4 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x^{2} + 2} \cdot 4 x$

= $12 \cdot e^{2 x^{2} + 2} x$

= $12 x e^{2 x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 3) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 3) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (3 x + 3) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + (3 x + 3) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + 2 (3 x + 3) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} - 5$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 3 e^{- 0,1 x} - 3 (x + 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 0,3 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 3 + 0,3 x + 0,3)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,3 x - 2,7)$

= $(0,3 x - 2,7) \cdot e^{- 0,1 x}$