$\text{f(x)}=$ $3-e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^x$

= $-e^x$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-4x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-4x+4}+x^2·e^{-4x+4}·\left(-4\right)$

= $2x·e^{-4x+4}+x^2·\left(-4e^{-4x+4}\right)$

= $2x·e^{-4x+4}-4x^2·e^{-4x+4}$

= $e^{-4x+4}·\left(-4x^2+2x\right)$

= $\left(-4x^2+2x\right)·e^{-4x+4}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{x^3+5}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{x^3+5}·3x^2$

= $6·e^{x^3+5}{x}^2$

= $6x^2{e}^{x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $-8\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-8}{4x}·4$

= $-\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+4\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{2x}+\left(2x+4\right)·e^{2x}·2$

= $2e^{2x}+\left(2x+4\right)·2e^{2x}$

= $2e^{2x}+2\left(2x+4\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2+4x+8\right)$

= $e^{2x}·\left(4x+10\right)$

= $\left(4x+10\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+86\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+2$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+2$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{2,4}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-4+\mathrm{2,4}x-\mathrm{4,8}\right)+2$

= $2+\left(\mathrm{2,4}x-4-\mathrm{4,8}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $2+\left(\mathrm{2,4}x-\mathrm{8,8}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$