$\text{f(x)}=$ $-e^x$

$\text{f'(x)}=$ $-e^x$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x+3}+\frac{3}{x^2}$

= $e^{-3x+3}+3x^{-2}$

=> f'(x) = $e^{-3x+3}·\left(-3\right)-6x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x+3}·\left(-3\right)-\frac{6}{x^3}$

= $-3e^{-3x+3}-\frac{6}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x^2+4}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x^2+4}·\left(-4x\right)$

= $-4·e^{-2x^2+4}x$

= $-4x{e}^{-2x^2+4}$

$\text{f(x)}=$ $2\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{x}·1$

= $\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(\cos \left(x\right)-5\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-6{\left(\cos \left(x\right)-5\right)}^2·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $-6{\left(\cos \left(x\right)-5\right)}^2·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $6{\left(\cos \left(x\right)-5\right)}^2·\sin \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,522}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 32-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 32 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{32}$

Somit gilt für die 32-te Ableitung:

f⁽³²⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{32}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,006}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(3x+9-5\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(3x+4\right)$

= $\left(3x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$