$\text{f(x)}=$ $2+\frac{7}{8}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{7}{8}{e}^{3x}·3$

= $\frac{21}{8}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-5\right)·e^{-2x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-2x+3}+\left(x-5\right)·e^{-2x+3}·\left(-2\right)$

= $e^{-2x+3}+\left(x-5\right)·\left(-2e^{-2x+3}\right)$

= $e^{-2x+3}-2\left(x-5\right)·e^{-2x+3}$

= $e^{-2x+3}·\left(1-2x+10\right)$

= $e^{-2x+3}·\left(-2x+11\right)$

= $\left(-2x+11\right)·e^{-2x+3}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{x^2+5}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{x^2+5}·2x$

= $6·e^{x^2+5}x$

= $6x{e}^{x^2+5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x^2+4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x^2+4x}·\left(-6x+4\right)$

= $\frac{-6x+4}{-3x^2+4x}$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt{2x-4}$

= $3{\left(2x-4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{\left(2x-4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2\cdot \sqrt{2x-4}}·\left(2+0\right)$

= $\frac{3}{2\cdot \sqrt{2x-4}}·\left(2\right)$

= $\frac{3}{\sqrt{2x-4}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^x$

f'(x) = $-e^x$

f''(x) = $-e^x$

f'''(x) = $-e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $-e^x$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+6$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,1}x}-2\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,2}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-2+\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(\mathrm{0,2}x-\mathrm{2,2}\right)$

= $\left(\mathrm{0,2}x-\mathrm{2,2}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$