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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x + 5} - 5 x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x + 5} - 5 x^{5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x + 5} \cdot 1 - 25 x^{4}$

= $- 3 e^{x + 5} - 25 x^{4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{x} + x^{3} \cdot e^{x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{x} + x^{3} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (3 x + 8) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $3 \cdot \cos (x^{3}) + (3 x + 8) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $3 \cdot \cos (x^{3}) - 3 (3 x + 8) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $2,85 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $2,85 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 2,7075 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $- 2,7075 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $2,5721 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,5721 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 2,4435 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${(- 0,95)}^{62} \cdot (- 3 e^{- 0,95 x})$

≈ $- 0,125 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 3$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 5 e^{- 0,5 x} - 5 (x + 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 5 e^{- 0,5 x} + 2,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 5 + 2,5 x + 15)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2,5 x + 10)$

= $(2,5 x + 10) \cdot e^{- 0,5 x}$