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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{7}{4} e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{7}{4} e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{4} e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $\frac{35}{32} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} (- x^{4} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} (- x^{4} + 3)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- x^{4} + 3) + e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{3} + 0)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (- x^{4} + 3) + e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{3})$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (- x^{4} + 3) - 4 \cdot e^{- 2 x} x^{3}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{4} - 6 - 4 x^{3})$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{4} - 4 x^{3} - 6)$

= $(2 x^{4} - 4 x^{3} - 6) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x + 3) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x + 3) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 3 + 0) \cdot e^{3 x} + (- 3 x + 3) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x} + (- 3 x + 3) \cdot 3 e^{3 x}$

= $- 3 e^{3 x} + 3 (- 3 x + 3) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 3 - 9 x + 9)$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x + 6)$

= $(- 9 x + 6) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (x + 6) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $\sin (x^{3}) + (x + 6) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\sin (x^{3}) + 3 (x + 6) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{x}$

f'(x) = $- 5 e^{x}$

f''(x) = $- 5 e^{x}$

f'''(x) = $- 5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $- 5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 5$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x - 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 5$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 5$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 3 + 0,9 x - 4,5) + 5$

= $5 + (0,9 x - 3 - 4,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $5 + (0,9 x - 7,5) \cdot e^{- 0,3 x}$