$\text{f(x)}=$ $3-3e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^x$

= $-3e^x$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-x-3}+x^3-\frac{3}{x^2}$

= $-2e^{-x-3}+x^3-3x^{-2}$

=> f'(x) = $-2e^{-x-3}·\left(-1\right)+3x^2+6x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-x-3}·\left(-1\right)+3x^2+\frac{6}{x^3}$

= $2e^{-x-3}+3x^2+\frac{6}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x^3+3}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x^3+3}·\left(-6x^2\right)$

= $-6·e^{-2x^3+3}{x}^2$

= $-6x^2{e}^{-2x^3+3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{6x}·6$

= $\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+3\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{3x}+\left(x^2+3\right)·e^{3x}·3$

= $2x·e^{3x}+\left(x^2+3\right)·3e^{3x}$

= $2x·e^{3x}+3\left(x^2+3\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^2+9+2x\right)$

= $e^{3x}·\left(3x^2+2x+9\right)$

= $\left(3x^2+2x+9\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+78\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,4}x}-4\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{1,6}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-4+\mathrm{1,6}x-\mathrm{4,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(\mathrm{1,6}x-\mathrm{8,8}\right)$

= $\left(\mathrm{1,6}x-\mathrm{8,8}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$