$\text{f(x)}=$ $3e^{\frac{11}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{\frac{11}{8}x}·\frac{11}{8}$

= $\frac{33}{8}{e}^{\frac{11}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-4x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-4x-3}+x^2·e^{-4x-3}·\left(-4\right)$

= $2x·e^{-4x-3}+x^2·\left(-4e^{-4x-3}\right)$

= $2x·e^{-4x-3}-4x^2·e^{-4x-3}$

= $e^{-4x-3}·\left(-4x^2+2x\right)$

= $\left(-4x^2+2x\right)·e^{-4x-3}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-3x^3+4}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-3x^3+4}·\left(-9x^2\right)$

= $9·e^{-3x^3+4}{x}^2$

= $9x^2{e}^{-3x^3+4}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{7x}·7$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-5\right)·\sin \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\sin \left(3x\right)+\left(3x-5\right)·\cos \left(3x\right)·3$

= $3\cdot \sin \left(3x\right)+\left(3x-5\right)·3\cdot \cos \left(3x\right)$

= $3\cdot \sin \left(3x\right)+3\left(3x-5\right)·\cos \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+92\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+6$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{2,4}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-4+\mathrm{2,4}x+\mathrm{4,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{2,4}x+\mathrm{0,8}\right)$

= $\left(\mathrm{2,4}x+\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$