Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{12}{5} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 5 x) \cdot e^{- 4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 5 x) \cdot e^{- 4 x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 6 x - 5) \cdot e^{- 4 x + 1} + (- 3 x^{2} - 5 x) \cdot e^{- 4 x + 1} \cdot (- 4)$

= $(- 6 x - 5) \cdot e^{- 4 x + 1} + (- 3 x^{2} - 5 x) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 1})$

= $(- 6 x - 5) \cdot e^{- 4 x + 1} - 4 (- 3 x^{2} - 5 x) \cdot e^{- 4 x + 1}$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (12 x^{2} + 20 x - 6 x - 5)$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (12 x^{2} + 14 x - 5)$

= $(12 x^{2} + 14 x - 5) \cdot e^{- 4 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 5 x^{3} - 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 5 x^{3} - 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (- 5 x^{3} - 3 x^{2}) + e^{x} \cdot (- 15 x^{2} - 6 x)$

= $e^{x} \cdot (- 5 x^{3} - 3 x^{2} + (- 15 x^{2} - 6 x))$

= $e^{x} \cdot (- 5 x^{3} - 18 x^{2} - 6 x)$

= $(- 5 x^{3} - 18 x^{2} - 6 x) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x + 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 1} + x^{4} \cdot e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 1} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x + 1}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 1} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x + 1}$

= $e^{3 x + 1} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x + 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 4 (x - 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 3,2 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 + 3,2 x - 19,2)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3,2 x - 23,2)$

= $(3,2 x - 23,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten