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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 - 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 - 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \cdot \cos (x) + \frac{7}{4} \cdot \sin (x) + 2 e^{2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \cdot \cos (x) + \frac{7}{4} \cdot \sin (x) + 2 e^{2 x + 2}$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot \sin (x) + \frac{7}{4} \cdot \cos (x) + 2 e^{2 x + 2} \cdot 2$

= $- 4 \cdot \sin (x) + \frac{7}{4} \cdot \cos (x) + 4 e^{2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x^{2} + 5} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \cdot e^{- 2 x^{2} + 5} x$

= $- 4 x e^{- 2 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 7) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 7) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (2 x) + (2 x - 7) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $2 \cdot \sin (2 x) + (2 x - 7) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $2 \cdot \sin (2 x) + 2 (2 x - 7) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 77)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 2$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $5 e^{- 0,4 x} + 5 (x - 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $5 e^{- 0,4 x} - 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (5 - 2 x + 12)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 2 x + 17)$

= $(- 2 x + 17) \cdot e^{- 0,4 x}$