Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{7} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{10}{7} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{3} \sqrt[3]{x} + e^{x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{3} \sqrt[3]{x} + e^{x - 1}$

= $\frac{5}{3} x^{\frac{1}{3}} + e^{x - 1}$

=> f'(x) = $\frac{5}{9} x^{- \frac{2}{3}} + e^{x - 1} \cdot 1$

$f'(x) =$ $\frac{5}{9 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} + e^{x - 1} \cdot 1$

= $\frac{5}{9 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} + e^{x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{3 x - 5}$

$f'(x) =$ $(12 x^{2} + 4 x) \cdot e^{3 x - 5} + (4 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{3 x - 5} \cdot 3$

= $(12 x^{2} + 4 x) \cdot e^{3 x - 5} + (4 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot 3 e^{3 x - 5}$

= $(12 x^{2} + 4 x) \cdot e^{3 x - 5} + 3 (4 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{3 x - 5}$

= $e^{3 x - 5} \cdot (12 x^{3} + 6 x^{2} + (12 x^{2} + 4 x))$

= $e^{3 x - 5} \cdot (12 x^{3} + 18 x^{2} + 4 x)$

= $(12 x^{3} + 18 x^{2} + 4 x) \cdot e^{3 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{x} \cdot 1$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 2) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 2) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x - 2) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x} + (3 x - 2) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 e^{- 2 x} - 2 (3 x - 2) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (3 - 6 x + 4)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x + 7)$

= $(- 6 x + 7) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${(- 1,1)}^{61} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $- 334,93 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 6$

= $4 e^{- 0,5 x} + 4 (x + 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 6$

= $4 e^{- 0,5 x} - 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 6$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (4 - 2 x - 4) - 6$

= $- 6 + (- 2 x + 4 - 4) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 6 - 2 x \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten