$\text{f(x)}=$ $-2e^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{\frac{4}{5}x}·\frac{4}{5}$

= $-\frac{8}{5}{e}^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^5+3\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-5x^4+0\right)·e^x+\left(-x^5+3\right)·e^x$

= $\left(-x^5+3\right)·e^x-5x^4·e^x$

= $e^x·\left(-x^5+3-5x^4\right)$

= $e^x·\left(-x^5-5x^4+3\right)$

= $\left(-x^5-5x^4+3\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x+3}·\left(-3\right)$

= $6e^{-3x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x-3}·\left(-1+0\right)$

= $\frac{1}{-x-3}·\left(-1\right)$

= $-\frac{1}{-x-3}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{4x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{4x+5}+x^4·e^{4x+5}·4$

= $4x^3·e^{4x+5}+x^4·4e^{4x+5}$

= $4x^3·e^{4x+5}+4x^4·e^{4x+5}$

= $e^{4x+5}·\left(4x^4+4x^3\right)$

= $\left(4x^4+4x^3\right)·e^{4x+5}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-x}$

f'(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f'''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,1}x}-4\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,4}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-4+\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{3,2}\right)$

= $\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{3,2}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$