Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 + 4 5 e x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 3 + 4 5 e x

f'(x)= 0 + 4 5 e x

= 4 5 e x

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 2 · e -4x +1 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= x 2 · e -4x +1

f'(x)= 2x · e -4x +1 + x 2 · e -4x +1 · ( -4 )

= 2 x · e -4x +1 + x 2 · ( -4 e -4x +1 )

= 2 x · e -4x +1 -4 x 2 · e -4x +1

= e -4x +1 · ( 2x -4 x 2 )

= e -4x +1 · ( -4 x 2 +2x )

= ( -4 x 2 +2x ) · e -4x +1

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - e -3 x 2 -3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - e -3 x 2 -3

f'(x)= - e -3 x 2 -3 · ( -6x )

= 6 · e -3 x 2 -3 x

= 6 x e -3 x 2 -3

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ln( 4x +4 ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ln( 4x +4 )

f'(x)= 1 4x +4 · ( 4 +0 )

= 1 4x +4 · ( 4 )

= 4 4x +4

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( 3x -2 ) · e 2x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ( 3x -2 ) · e 2x

f'(x)= ( 3 +0 ) · e 2x + ( 3x -2 ) · e 2x · 2

= 3 e 2x + ( 3x -2 ) · 2 e 2x

= 3 e 2x +2 ( 3x -2 ) · e 2x

= e 2x · ( 6x -4 +3 )

= e 2x · ( 6x -1 )

= ( 6x -1 ) · e 2x

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= e -0,85x .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = e -0,85x

f'(x) = e -0,85x · ( -0,85 ) = -0,85 e -0,85x

f''(x) = -0,85 e -0,85x · ( -0,85 ) = 0,7225 e -0,85x

f'''(x) = 0,7225 e -0,85x · ( -0,85 ) = -0,6141 e -0,85x

f(4)(x) = -0,6141 e -0,85x · ( -0,85 ) = 0,522 e -0,85x

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit -0,85 multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit -0,85 multipliziert, also insgeamt mit ( -0,85 ) 49

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f(49)(x) = ( -0,85 ) 49 · e -0,85x

= 0

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -2 ( x -4 ) · e -0,9x +4 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -2 ( x -4 ) · e -0,9x +4

f'(x)= -2 · ( 1 +0 ) · e -0,9x -2 ( x -4 ) · e -0,9x · ( -0,9 )+0

= -2 e -0,9x -2 ( x -4 ) · ( -0,9 e -0,9x )

= -2 e -0,9x +1,8 ( x -4 ) · e -0,9x

= e -0,9x · ( 1,8x -7,2 -2 )

= e -0,9x · ( 1,8x -9,2 )

= ( 1,8x -9,2 ) · e -0,9x