$\text{f(x)}=$ $-3-3e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $6e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^4-4x\right)·e^{3x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(16x^3-4\right)·e^{3x-2}+\left(4x^4-4x\right)·e^{3x-2}·3$

= $\left(16x^3-4\right)·e^{3x-2}+\left(4x^4-4x\right)·3e^{3x-2}$

= $\left(16x^3-4\right)·e^{3x-2}+3\left(4x^4-4x\right)·e^{3x-2}$

= $e^{3x-2}·\left(12x^4-12x+16x^3-4\right)$

= $e^{3x-2}·\left(12x^4+16x^3-12x-4\right)$

= $\left(12x^4+16x^3-12x-4\right)·e^{3x-2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^2-2\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(8x+0\right)·e^{-2x}+\left(4x^2-2\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $8x·e^{-2x}+\left(4x^2-2\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $8x·e^{-2x}-2\left(4x^2-2\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-8x^2+4+8x\right)$

= $e^{-2x}·\left(-8x^2+8x+4\right)$

= $\left(-8x^2+8x+4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x}·5$

= $\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(-2x^3+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(-2x^3+4\right)·\left(-6x^2+0\right)$

= $-\sin \left(-2x^3+4\right)·\left(-6x^2\right)$

= $6\sin \left(-2x^3+4\right)x^2$

= $6x^2·\sin \left(-2x^3+4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+75\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-5$

= $-2e^{-\mathrm{0,3}x}-2\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-5$

= $-2e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,6}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-2+\mathrm{0,6}x+\mathrm{2,4}\right)-5$

= $-5+\left(\mathrm{0,6}x-2+\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $-5+\left(\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$