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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{9}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{9}{7} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{9}{7} x} \cdot \frac{9}{7}$

= $\frac{9}{7} e^{\frac{9}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x + 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x + 1} + x^{2} \cdot e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x + 1} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x + 1}$

= $2 x \cdot e^{3 x + 1} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x + 1}$

= $e^{3 x + 1} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot (- e^{- x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x} - x^{5} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 1) \cdot \cos (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 1) \cdot \cos (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \cos (- 2 x) + (3 x - 1) \cdot (- \sin (- 2 x) \cdot (- 2))$

= $3 \cdot \cos (- 2 x) + (3 x - 1) \cdot 2 \cdot \sin (- 2 x)$

= $3 \cdot \cos (- 2 x) + 2 (3 x - 1) \cdot \sin (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 4$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x + 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (3 - 0,3 x - 0,3)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,3 x + 2,7)$

= $(- 0,3 x + 2,7) \cdot e^{- 0,1 x}$