Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{7} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{18}{7} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{2} \cdot \cos (x) + 3 e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{2} \cdot \cos (x) + 3 e^{3 x + 1}$

$f'(x) =$ $- \frac{7}{2} \cdot \sin (x) + 3 e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $- \frac{7}{2} \cdot \sin (x) + 9 e^{3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x + 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x + 1} \cdot 2$

= $6 e^{2 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x + 1} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x + 1} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{- 2 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(e^{2 x} - 2)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(e^{2 x} - 2)}^{5}$

$f'(x) =$ $15 {(e^{2 x} - 2)}^{4} \cdot (e^{2 x} \cdot 2 + 0)$

= $15 {(e^{2 x} - 2)}^{4} \cdot (2 e^{2 x})$

= $30 {(e^{2 x} - 2)}^{4} \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${(- 1,1)}^{47} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $- 88,197 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 2$

= $e^{- 0,8 x} + (x - 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 2$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 2$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x + 1,6) - 2$

= $- 2 + (- 0,8 x + 1 + 1,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 2 + (- 0,8 x + 2,6) \cdot e^{- 0,8 x}$