Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x - 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x - 5} + x^{2} \cdot e^{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x - 5} + x^{2} \cdot (- e^{- x - 5})$

= $2 x \cdot e^{- x - 5} - x^{2} \cdot e^{- x - 5}$

= $e^{- x - 5} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} + 4 x} \cdot (- 6 x + 4)$

= $\frac{- 6 x + 4}{- 3 x^{2} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 8) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 8) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x + 8) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x} + (2 x + 8) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 e^{- 2 x} - 2 (2 x + 8) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 - 4 x - 16)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x - 14)$

= $(- 4 x - 14) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${1,1}^{63} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $405,265 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 2$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $5 e^{- 0,4 x} + 5 (x + 4) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $5 e^{- 0,4 x} - 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (5 - 2 x - 8)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 2 x - 3)$

= $(- 2 x - 3) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten