Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{4}{3} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{4}{3} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{4}{3} e^{x}$

= $\frac{4}{3} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{5} - x^{4}) \cdot e^{3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{5} - x^{4}) \cdot e^{3 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{3 x + 4} + (- 3 x^{5} - x^{4}) \cdot e^{3 x + 4} \cdot 3$

= $(- 15 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{3 x + 4} + (- 3 x^{5} - x^{4}) \cdot 3 e^{3 x + 4}$

= $(- 15 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{3 x + 4} + 3 (- 3 x^{5} - x^{4}) \cdot e^{3 x + 4}$

= $e^{3 x + 4} \cdot (- 9 x^{5} - 3 x^{4} + (- 15 x^{4} - 4 x^{3}))$

= $e^{3 x + 4} \cdot (- 9 x^{5} - 18 x^{4} - 4 x^{3})$

= $(- 9 x^{5} - 18 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(12 x^{2} + 6 x) \cdot e^{x} + (4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (4 x^{3} + 3 x^{2} + (12 x^{2} + 6 x))$

= $e^{x} \cdot (4 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x)$

= $(4 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 3) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 3) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{3 x} + (3 x + 3) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x} + (3 x + 3) \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 e^{3 x} + 3 (3 x + 3) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 + 9 x + 9)$

= $e^{3 x} \cdot (9 x + 12)$

= $(9 x + 12) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${(- 1,15)}^{50} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $1083,657 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} - x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 1$

= $5 e^{- 0,6 x} + 5 (x + 1) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 1$

= $5 e^{- 0,6 x} - 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 1$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (5 - 3 x - 3) - 1$

= $- 1 + (- 3 x + 5 - 3) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 1 + (- 3 x + 2) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten