Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{7}{4} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{7}{4} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{4} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{7}{2} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{5} - 2) \cdot e^{- 5 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{5} - 2) \cdot e^{- 5 x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{4} + 0) \cdot e^{- 5 x + 3} + (- 3 x^{5} - 2) \cdot e^{- 5 x + 3} \cdot (- 5)$

= $- 15 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 3} + (- 3 x^{5} - 2) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 3})$

= $- 15 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 3} - 5 (- 3 x^{5} - 2) \cdot e^{- 5 x + 3}$

= $e^{- 5 x + 3} \cdot (15 x^{5} + 10 - 15 x^{4})$

= $e^{- 5 x + 3} \cdot (15 x^{5} - 15 x^{4} + 10)$

= $(15 x^{5} - 15 x^{4} + 10) \cdot e^{- 5 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(12 x^{2} - 10 x) \cdot e^{x} + (4 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (4 x^{3} - 5 x^{2} + (12 x^{2} - 10 x))$

= $e^{x} \cdot (4 x^{3} + 7 x^{2} - 10 x)$

= $(4 x^{3} + 7 x^{2} - 10 x) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 9) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 9) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} - 9) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 27 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x + 27)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x + 27) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 35-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{1,15 x}$

f'(x) = $- 2 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 2,3 e^{1,15 x}$

f''(x) = $- 2,3 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 2,645 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $- 2,645 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 3,0418 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,0418 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 3,498 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 35-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 35 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{35}$

Somit gilt für die 35-te Ableitung:

f⁽³⁵⁾(x) = ${1,15}^{35} \cdot (- 2 e^{1,15 x})$

≈ $- 266,351 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 5$

= $e^{- 0,8 x} + (x + 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 5$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 5$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x - 4) + 5$

= $5 + (- 0,8 x + 1 - 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $5 + (- 0,8 x - 3) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten