Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x + 4} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x + 4} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

= $- 2 e^{3 x + 4} + x^{- \frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- 2 e^{3 x + 4} \cdot 3 - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x + 4} \cdot 3 - \frac{1}{2 {(\sqrt{x})}^{3}}$

= $- 6 e^{3 x + 4} - \frac{1}{2 {(\sqrt{x})}^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (4 x^{3} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (4 x^{3} + x)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (4 x^{3} + x) + e^{- 3 x} \cdot (12 x^{2} + 1)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (4 x^{3} + x) + e^{- 3 x} (12 x^{2} + 1)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 12 x^{3} - 3 x + 12 x^{2} + 1)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 12 x^{3} + 12 x^{2} - 3 x + 1)$

= $(- 12 x^{3} + 12 x^{2} - 3 x + 1) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{3} + 5} \cdot (15 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{5 x^{3} + 5} \cdot (15 x^{2})$

= $15 \frac{x^{2}}{5 x^{3} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + x^{3} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + x^{3} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{3} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 80)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 6$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $5 e^{- 0,8 x} + 5 (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $5 e^{- 0,8 x} - 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (5 - 4 x + 4)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 x + 9)$

= $(- 4 x + 9) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten