$\text{f(x)}=$ $2+3e^{\frac{10}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{\frac{10}{9}x}·\frac{10}{9}$

= $\frac{10}{3}{e}^{\frac{10}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^2-x\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(8x-1\right)·e^{-3x}+\left(4x^2-x\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $\left(8x-1\right)·e^{-3x}+\left(4x^2-x\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $\left(8x-1\right)·e^{-3x}-3\left(4x^2-x\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-12x^2+3x+8x-1\right)$

= $e^{-3x}·\left(-12x^2+11x-1\right)$

= $\left(-12x^2+11x-1\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-3x}+x^5·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $5x^4·e^{-3x}+x^5·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $5x^4·e^{-3x}-3x^5·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{3x}·3$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \cos \left(-x-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(-x-4\right)·\left(-1+0\right)$

= $-2\cdot \sin \left(-x-4\right)·\left(-1\right)$

= $2\cdot \sin \left(-x-4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $5e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{4,75}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{4,75}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{4,5125}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{4,5125}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{4,2869}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{4,2869}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{4,0725}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{61}·5e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $-\mathrm{0,219}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+3\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)-6$

= $3e^{-\mathrm{0,1}x}+3\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)-6$

= $3e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,3}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-6$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(3-\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}\right)-6$

= $-6+\left(-\mathrm{0,3}x+3-\mathrm{0,9}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $-6+\left(-\mathrm{0,3}x+\mathrm{2,1}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$