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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x} \cdot 2$

= $4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 4 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{2 x - 5} + (- x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $(- 4 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{2 x - 5} + (- x^{4} - 5 x^{3}) \cdot 2 e^{2 x - 5}$

= $(- 4 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{2 x - 5} + 2 (- x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{2 x - 5}$

= $e^{2 x - 5} \cdot (- 2 x^{4} - 10 x^{3} + (- 4 x^{3} - 15 x^{2}))$

= $e^{2 x - 5} \cdot (- 2 x^{4} - 14 x^{3} - 15 x^{2})$

= $(- 2 x^{4} - 14 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x - 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{- 2 x - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(- 2 x - 2)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(- 2 x - 2)}^{5}$

$f'(x) =$ $10 {(- 2 x - 2)}^{4} \cdot (- 2 + 0)$

= $10 {(- 2 x - 2)}^{4} \cdot (- 2)$

= $- 20 {(- 2 x - 2)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 82)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 5$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 2 (x + 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 5$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 0,2 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 5$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 2 + 0,2 x + 0,4) - 5$

= $- 5 + (0,2 x - 2 + 0,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 5 + (0,2 x - 1,6) \cdot e^{- 0,1 x}$