Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $\frac{10}{21} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{2} - 3) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{2} - 3) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 8 x + 0) \cdot e^{2 x} + (- 4 x^{2} - 3) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- 8 x \cdot e^{2 x} + (- 4 x^{2} - 3) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- 8 x \cdot e^{2 x} + 2 (- 4 x^{2} - 3) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x^{2} - 6 - 8 x)$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x^{2} - 8 x - 6)$

= $(- 8 x^{2} - 8 x - 6) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{5} + 4 x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{5} + 4 x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(5 x^{4} + 4) \cdot e^{2 x} + (x^{5} + 4 x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(5 x^{4} + 4) \cdot e^{2 x} + (x^{5} + 4 x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(5 x^{4} + 4) \cdot e^{2 x} + 2 (x^{5} + 4 x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 8 x + 5 x^{4} + 4)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4} + 8 x + 4)$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4} + 8 x + 4) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x - 1} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x - 1} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{2 x - 3}$

= $3 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} {(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (2 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \cdot \sqrt{2 x - 3}} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{3}{2 \cdot \sqrt{2 x - 3}} \cdot (2)$

= $\frac{3}{\sqrt{2 x - 3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 58-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${0,9}^{58} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,002 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 3$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 5 e^{- 0,7 x} - 5 (x + 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 5 e^{- 0,7 x} + 3,5 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 5 + 3,5 x + 24,5)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3,5 x + 19,5)$

= $(3,5 x + 19,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten