Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{6}{5} e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{6}{5} e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{5} e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $\frac{2}{5} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x - 1) \cdot e^{4 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x - 1) \cdot e^{4 x - 3}$

$f'(x) =$ $(5 + 0) \cdot e^{4 x - 3} + (5 x - 1) \cdot e^{4 x - 3} \cdot 4$

= $5 e^{4 x - 3} + (5 x - 1) \cdot 4 e^{4 x - 3}$

= $5 e^{4 x - 3} + 4 (5 x - 1) \cdot e^{4 x - 3}$

= $e^{4 x - 3} \cdot (5 + 20 x - 4)$

= $e^{4 x - 3} \cdot (20 x + 1)$

= $(20 x + 1) \cdot e^{4 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (x^{2})$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (x^{2})$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (x^{2}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (x^{2}) + \sqrt{x} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{2})}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{2})}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cos (x^{2}) x$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{2})}{\sqrt{x}} + 2 {(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (x^{2})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 44-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 44-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 44 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{44}$

Somit gilt für die 44-te Ableitung:

f⁽⁴⁴⁾(x) = ${(- 1,15)}^{44} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $468,495 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 4$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 5 (x - 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 5 e^{- 0,2 x} + (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 5 + x - 5)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (x - 10)$

= $(x - 10) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten