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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 - e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 - e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x - 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 2} + x^{4} \cdot e^{5 x - 2} \cdot 5$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 2} + x^{4} \cdot 5 e^{5 x - 2}$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 2} + 5 x^{4} \cdot e^{5 x - 2}$

= $e^{5 x - 2} \cdot (5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{5 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x^{3} - 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x^{3} - 4} \cdot 6 x^{2}$

= $18 \cdot e^{2 x^{3} - 4} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{2 x^{3} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x + 3} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x + 3} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{- 2 x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(e^{2 x} + 3)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(e^{2 x} + 3)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 8 {(e^{2 x} + 3)}^{3} \cdot (e^{2 x} \cdot 2 + 0)$

= $- 8 {(e^{2 x} + 3)}^{3} \cdot (2 e^{2 x})$

= $- 16 {(e^{2 x} + 3)}^{3} \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 36-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{0,85 x}$

f'(x) = $5 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $4,25 e^{0,85 x}$

f''(x) = $4,25 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $3,6125 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $3,6125 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $3,0706 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,0706 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $2,61 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 36-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 36 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{36}$

Somit gilt für die 36-te Ableitung:

f⁽³⁶⁾(x) = ${0,85}^{36} \cdot 5 e^{0,85 x}$

≈ $0,014 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 8$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $3 e^{- 0,9 x} + 3 (x + 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $3 e^{- 0,9 x} - 2,7 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (3 - 2,7 x - 18,9)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2,7 x - 15,9)$

= $(- 2,7 x - 15,9) \cdot e^{- 0,9 x}$