Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{3 x - 3}$

$f'(x) =$ $(12 x^{3} - 6 x) \cdot e^{3 x - 3} + (3 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{3 x - 3} \cdot 3$

= $(12 x^{3} - 6 x) \cdot e^{3 x - 3} + (3 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot 3 e^{3 x - 3}$

= $(12 x^{3} - 6 x) \cdot e^{3 x - 3} + 3 (3 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{3 x - 3}$

= $e^{3 x - 3} \cdot (9 x^{4} - 9 x^{2} + (12 x^{3} - 6 x))$

= $e^{3 x - 3} \cdot (9 x^{4} + 12 x^{3} - 9 x^{2} - 6 x)$

= $(9 x^{4} + 12 x^{3} - 9 x^{2} - 6 x) \cdot e^{3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x^{3} - 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{x^{3} - 3} \cdot 3 x^{2}$

= $6 \cdot e^{x^{3} - 3} x^{2}$

= $6 x^{2} e^{x^{3} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{x} \cdot 1$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (2 x^{3} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (2 x^{3} + 1)$

$f'(x) =$ $\cos (2 x^{3} + 1) \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $\cos (2 x^{3} + 1) \cdot (6 x^{2})$

= $6 \cos (2 x^{3} + 1) x^{2}$

= $6 x^{2} \cdot \cos (2 x^{3} + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 66-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 66-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 66 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{66}$

Somit gilt für die 66-te Ableitung:

f⁽⁶⁶⁾(x) = ${1,05}^{66} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $25,032 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} + 1$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- e^{- 0,4 x} - (x + 1) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- e^{- 0,4 x} + 0,4 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1 + 0,4 x + 0,4)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (0,4 x - 0,6)$

= $(0,4 x - 0,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten