$\text{f(x)}=$ $2+\frac{3}{4}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{4}{e}^{2x}·2$

= $\frac{3}{2}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{x+3}+x^2·e^{x+3}·1$

= $2x·e^{x+3}+x^2·e^{x+3}$

= $e^{x+3}·\left(x^2+2x\right)$

= $\left(x^2+2x\right)·e^{x+3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x^3-2}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x^3-2}·6x^2$

= $6·e^{2x^3-2}{x}^2$

= $6x^2{e}^{2x^3-2}$

$\text{f(x)}=$ $-8\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-8}{x}·1$

= $-\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-2\right)·\sin \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(2x\right)+\left(x^2-2\right)·\cos \left(2x\right)·2$

= $2x·\sin \left(2x\right)+\left(x^2-2\right)·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $2x·\sin \left(2x\right)+2\left(x^2-2\right)·\cos \left(2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-x}$

f'(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f'''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $-4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-4\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+1$

= $-4e^{-\mathrm{0,4}x}-4\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+1$

= $-4e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{1,6}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+1$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-4+\mathrm{1,6}x+\mathrm{4,8}\right)+1$

= $1+\left(\mathrm{1,6}x-4+\mathrm{4,8}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $1+\left(\mathrm{1,6}x+\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$