Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{4} e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{4} e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{4} e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 4 x + 1}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 1} + x^{3} \cdot e^{- 4 x + 1} \cdot (- 4)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 1} + x^{3} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 1})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 1} - 4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 1}$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (- 4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{2} + e^{- x} \cdot 2 x$

= $- e^{- x} x^{2} + 2 \cdot e^{- x} x$

= $e^{- x} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 5 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} - 5 x^{2}} \cdot (6 x^{2} - 10 x)$

= $\frac{6 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} - 5 x^{2}}$

= $\frac{2 \cdot 1 \cdot (3 x - 5)}{x \cdot (2 x - 5)}$

= $\frac{2 (3 x - 5)}{x \cdot (2 x - 5)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(2 x^{3} - 3)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(2 x^{3} - 3)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 4 (2 x^{3} - 3) \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $- 4 (2 x^{3} - 3) \cdot (6 x^{2})$

= $- 24 (2 x^{3} - 3) x^{2}$

= $- 24 x^{2} (2 x^{3} - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 72-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 72-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 72 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{72}$

Somit gilt für die 72-te Ableitung:

f⁽⁷²⁾(x) = ${0,95}^{72} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,025 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} - 5$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x - 3) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (3 - 0,3 x + 0,9)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,3 x + 3,9)$

= $(- 0,3 x + 3,9) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten