$\text{f(x)}=$ $3-2e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{-x}·\left(-1\right)$

= $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-4x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-4x-1}+x^2·e^{-4x-1}·\left(-4\right)$

= $2x·e^{-4x-1}+x^2·\left(-4e^{-4x-1}\right)$

= $2x·e^{-4x-1}-4x^2·e^{-4x-1}$

= $e^{-4x-1}·\left(-4x^2+2x\right)$

= $\left(-4x^2+2x\right)·e^{-4x-1}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{2x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{2x+4}·2$

= $-4e^{2x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x^2+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x^2+1}·\left(-4x+0\right)$

= $\frac{1}{-2x^2+1}·\left(-4x\right)$

= $-4\frac{x}{-2x^2+1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2+3\right)·\cos \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+0\right)·\cos \left(x^3\right)+\left(2x^2+3\right)·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

= $4x·\cos \left(x^3\right)+\left(2x^2+3\right)·\left(-3\sin \left(x^3\right)x^2\right)$

= $4x·\cos \left(x^3\right)-3\left(2x^2+3\right)\sin \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+80\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,8}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-4+\mathrm{0,8}x+4\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,8}x+0\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,8}x$

= $x·\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,2}x}$