Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{4 x - 2}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{4 x - 2} + (x^{2} + 3) \cdot e^{4 x - 2} \cdot 4$

= $2 x \cdot e^{4 x - 2} + (x^{2} + 3) \cdot 4 e^{4 x - 2}$

= $2 x \cdot e^{4 x - 2} + 4 (x^{2} + 3) \cdot e^{4 x - 2}$

= $e^{4 x - 2} \cdot (4 x^{2} + 12 + 2 x)$

= $e^{4 x - 2} \cdot (4 x^{2} + 2 x + 12)$

= $(4 x^{2} + 2 x + 12) \cdot e^{4 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{2} + e^{x} \cdot 2 x$

= $e^{x} x^{2} + 2 \cdot e^{x} x$

= $e^{x} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x \cdot e^{2 x} + (2 x^{2} + 1) \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x \cdot e^{2 x} + 2 (2 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{2} + 2 + 4 x)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{2} + 4 x + 2)$

= $(4 x^{2} + 4 x + 2) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 54-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $3 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,7 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 2,7 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,43 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $2,43 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,187 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,187 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $1,9683 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 54-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 54 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{54}$

Somit gilt für die 54-te Ableitung:

f⁽⁵⁴⁾(x) = ${(- 0,9)}^{54} \cdot 3 e^{- 0,9 x}$

≈ $0,01 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 9$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $3 e^{- 0,3 x} + 3 (x - 6) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $3 e^{- 0,3 x} - 0,9 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (3 - 0,9 x + 5,4)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,9 x + 8,4)$

= $(- 0,9 x + 8,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten