$\text{f(x)}=$ $-1+\frac{5}{7}{e}^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{7}{e}^{\frac{1}{4}x}·\frac{1}{4}$

= $\frac{5}{28}{e}^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\cos \left(x\right)+e^{-3x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $\sin \left(x\right)+e^{-3x+4}·\left(-3\right)$

= $\sin \left(x\right)-3e^{-3x+4}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·\left(-4x^2+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·\left(-4x^2+5\right)+e^{3x}·\left(-8x+0\right)$

= $3·e^{3x}\left(-4x^2+5\right)+e^{3x}·\left(-8x\right)$

= $3·e^{3x}\left(-4x^2+5\right)-8·e^{3x}x$

= $e^{3x}·\left(-12x^2+15-8x\right)$

= $e^{3x}·\left(-12x^2-8x+15\right)$

= $\left(-12x^2-8x+15\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x^3-4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x^3-4x}·\left(-15x^2-4\right)$

= $\frac{-15x^2-4}{-5x^3-4x}$

$\text{f(x)}=$ $-\sqrt{-2x-5}$

= $-{\left(-2x-5\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{\left(-2x-5\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2\sqrt{-2x-5}}·\left(-2+0\right)$

= $-\frac{1}{2\sqrt{-2x-5}}·\left(-2\right)$

= $\frac{1}{\sqrt{-2x-5}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $-4e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{3,4}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{3,4}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{2,89}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{2,89}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{2,4565}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,4565}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{2,088}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 37-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 37 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{37}$

Somit gilt für die 37-te Ableitung:

f⁽³⁷⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{37}·\left(-4e^{-\mathrm{0,85}x}\right)$

≈ $\mathrm{0,01}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+4\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)-8$

= $4e^{-\mathrm{0,7}x}+4\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)-8$

= $4e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{2,8}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-8$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(4-\mathrm{2,8}x-\mathrm{2,8}\right)-8$

= $-8+\left(-\mathrm{2,8}x+4-\mathrm{2,8}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $-8+\left(-\mathrm{2,8}x+\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$