$\text{f(x)}=$ $4+\frac{9}{8}{e}^{\frac{8}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{9}{8}{e}^{\frac{8}{7}x}·\frac{8}{7}$

= $\frac{9}{7}{e}^{\frac{8}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{2x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{2x+5}+x^3·e^{2x+5}·2$

= $3x^2·e^{2x+5}+x^3·2e^{2x+5}$

= $3x^2·e^{2x+5}+2x^3·e^{2x+5}$

= $e^{2x+5}·\left(2x^3+3x^2\right)$

= $\left(2x^3+3x^2\right)·e^{2x+5}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{x^3-4}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{x^3-4}·3x^2$

= $6·e^{x^3-4}{x}^2$

= $6x^2{e}^{x^3-4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x}·1$

= $\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+4\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2+4\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2+4\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2+4\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2-8+2x\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x-8\right)$

= $\left(-2x^2+2x-8\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,522}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 35-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 35 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{35}$

Somit gilt für die 35-te Ableitung:

f⁽³⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{35}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

≈ $-\mathrm{0,003}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+6$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-5\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,9}x}-5\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{4,5}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-5+\mathrm{4,5}x-27\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{4,5}x-32\right)$

= $\left(\mathrm{4,5}x-32\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$