Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{7} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{12}{7} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x - 5} + x^{2} \cdot e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x - 5} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x - 5}$

= $2 x \cdot e^{2 x - 5} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x - 5}$

= $e^{2 x - 5} \cdot (2 x + 2 x^{2})$

= $e^{2 x - 5} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x - 1}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \sin (x^{2}) + x^{4} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $4 x^{3} \cdot \sin (x^{2}) + x^{4} \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $4 x^{3} \cdot \sin (x^{2}) + 2 x^{4} \cos (x^{2}) x$

= $4 x^{3} \cdot \sin (x^{2}) + 2 x^{5} \cdot \cos (x^{2})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 51-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 51-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 51 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{51}$

Somit gilt für die 51-te Ableitung:

f⁽⁵¹⁾(x) = ${(- 1,1)}^{51} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $- 129,13 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 5$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x + 6) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,9 x + 5,4 - 3)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,9 x + 2,4)$

= $(0,9 x + 2,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten