$\text{f(x)}=$ $2+\frac{4}{3}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{4}{3}{e}^{3x}·3$

= $4e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-3x-2}+3\cdot \sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-3x-2}·\left(-3\right)+3\cdot \cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)$

= $9e^{-3x-2}+3\cdot \cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-2x^3+3}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-2x^3+3}·\left(-6x^2\right)$

= $12·e^{-2x^3+3}{x}^2$

= $12x^2{e}^{-2x^3+3}$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{2x}·2$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-6\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(x-6\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $\sin \left(x^3\right)+\left(x-6\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\sin \left(x^3\right)+3\left(x-6\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+90\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-7$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,4}x}+4\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{1,6}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(4-\mathrm{1,6}x-\mathrm{11,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{1,6}x-\mathrm{7,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,6}x-\mathrm{7,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$