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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{9}{8} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{9}{8} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{9}{8} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{9}{4} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x + 4} + 5 \cdot \cos (x) + 7 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x + 4} + 5 \cdot \cos (x) + 7 \sqrt{x}$

= $- 2 e^{2 x + 4} + 5 \cdot \cos (x) + 7 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- 2 e^{2 x + 4} \cdot 2 - 5 \cdot \sin (x) + \frac{7}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x + 4} \cdot 2 - 5 \cdot \sin (x) + \frac{7}{2 \sqrt{x}}$

= $- 4 e^{2 x + 4} - 5 \cdot \sin (x) + \frac{7}{2 \sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x + 3}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x + 3} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x + 6) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $e^{- 3 x} + (x + 6) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $e^{- 3 x} - 3 (x + 6) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (1 - 3 x - 18)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x - 17)$

= $(- 3 x - 17) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 76)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 3$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $4 e^{- 0,2 x} + 4 (x + 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $4 e^{- 0,2 x} - 0,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (4 - 0,8 x - 4)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,8 x + 0)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,8 x)$

= $x \cdot (- 0,8 e^{- 0,2 x})$