Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{9} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 10 x + 0) \cdot e^{- 3 x + 1} + (- 5 x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $- 10 x \cdot e^{- 3 x + 1} + (- 5 x^{2} - 3) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 1})$

= $- 10 x \cdot e^{- 3 x + 1} - 3 (- 5 x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x + 1}$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (15 x^{2} + 9 - 10 x)$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (15 x^{2} - 10 x + 9)$

= $(15 x^{2} - 10 x + 9) \cdot e^{- 3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{5} + e^{- 3 x} \cdot 5 x^{4}$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{5} + 5 \cdot e^{- 3 x} x^{4}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(2 x^{3} - 3)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(2 x^{3} - 3)}^{2}$

$f'(x) =$ $4 (2 x^{3} - 3) \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $4 (2 x^{3} - 3) \cdot (6 x^{2})$

= $24 (2 x^{3} - 3) x^{2}$

= $24 x^{2} (2 x^{3} - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 38-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{1,15 x}$

f'(x) = $- e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $- 1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 38-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 38 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{38}$

Somit gilt für die 38-te Ableitung:

f⁽³⁸⁾(x) = ${1,15}^{38} \cdot (- e^{1,15 x})$

≈ $- 202,543 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x - 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x + 4,2)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1,4 x + 6,2)$

= $(- 1,4 x + 6,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten