$\text{f(x)}=$ $-2+e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{2x}·2$

= $2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^2-2\right)·e^{4x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-10x+0\right)·e^{4x-3}+\left(-5x^2-2\right)·e^{4x-3}·4$

= $-10x·e^{4x-3}+\left(-5x^2-2\right)·4e^{4x-3}$

= $-10x·e^{4x-3}+4\left(-5x^2-2\right)·e^{4x-3}$

= $e^{4x-3}·\left(-20x^2-8-10x\right)$

= $e^{4x-3}·\left(-20x^2-10x-8\right)$

= $\left(-20x^2-10x-8\right)·e^{4x-3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·\left(4x^3+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·\left(4x^3+2\right)+e^{-3x}·\left(12x^2+0\right)$

= $-3·e^{-3x}\left(4x^3+2\right)+e^{-3x}·\left(12x^2\right)$

= $-3·e^{-3x}\left(4x^3+2\right)+12·e^{-3x}{x}^2$

= $e^{-3x}·\left(-12x^3-6+12x^2\right)$

= $e^{-3x}·\left(-12x^3+12x^2-6\right)$

= $\left(-12x^3+12x^2-6\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-4x^2-x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-4x^2-x}·\left(-8x-1\right)$

= $\frac{-8x-1}{-4x^2-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-4\right)·\sin \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(x^2\right)+\left(2x-4\right)·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $2\cdot \sin \left(x^2\right)+\left(2x-4\right)·2\cos \left(x^2\right)x$

= $2\cdot \sin \left(x^2\right)+2\left(2x-4\right)\cos \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+89\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+4x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+4$

= $3e^{-\mathrm{0,8}x}+3\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)+4$

= $3e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{2,4}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+4$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(3-\mathrm{2,4}x-\mathrm{4,8}\right)+4$

= $4+\left(-\mathrm{2,4}x+3-\mathrm{4,8}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $4+\left(-\mathrm{2,4}x-\mathrm{1,8}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$