$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-2e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x+1}+3\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x+1}·\left(-2\right)+3\cdot \cos \left(x\right)$

= $-2e^{-2x+1}+3\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{4x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{4x-5}+x^5·e^{4x-5}·4$

= $5x^4·e^{4x-5}+x^5·4e^{4x-5}$

= $5x^4·e^{4x-5}+4x^5·e^{4x-5}$

= $e^{4x-5}·\left(4x^5+5x^4\right)$

= $\left(4x^5+5x^4\right)·e^{4x-5}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{3x}·3$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-2x}+x^2·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+x^2·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2x^2·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^x·\left(x+83\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+4x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+4$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}-5\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)+4$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{3,5}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+4$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-5+\mathrm{3,5}x+7\right)+4$

= $4+\left(\mathrm{3,5}x-5+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $4+\left(\mathrm{3,5}x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$