Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x - 2} + x^{3} \cdot e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x - 2} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x - 2}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x - 2} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x - 2}$

= $e^{2 x - 2} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{4} + 5) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{4} + 5) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 4 x^{3} + 0) \cdot e^{- 3 x} + (- x^{4} + 5) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + (- x^{4} + 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $- 4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} - 3 (- x^{4} + 5) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 x^{4} - 15 - 4 x^{3})$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 x^{4} - 4 x^{3} - 15)$

= $(3 x^{4} - 4 x^{3} - 15) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (- 2 x^{3} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (- 2 x^{3} + 1)$

$f'(x) =$ $- \sin (- 2 x^{3} + 1) \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $- \sin (- 2 x^{3} + 1) \cdot (- 6 x^{2})$

= $6 \sin (- 2 x^{3} + 1) x^{2}$

= $6 x^{2} \cdot \sin (- 2 x^{3} + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${1,05}^{75} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $38,833 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 2$

= $- 2 e^{- 0,5 x} - 2 (x - 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 2$

= $- 2 e^{- 0,5 x} + (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 2$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 + x - 1) + 2$

= $2 + (x - 2 - 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $2 + (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten