$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{5}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{5}{e}^{3x}·3$

= $\frac{12}{5}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-x-3}+x^4·e^{-x-3}·\left(-1\right)$

= $4x^3·e^{-x-3}+x^4·\left(-e^{-x-3}\right)$

= $4x^3·e^{-x-3}-x^4·e^{-x-3}$

= $e^{-x-3}·\left(-x^4+4x^3\right)$

= $\left(-x^4+4x^3\right)·e^{-x-3}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{2x^3-1}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{2x^3-1}·6x^2$

= $-12·e^{2x^3-1}{x}^2$

= $-12x^2{e}^{2x^3-1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x^3-x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x^3-x}·\left(12x^2-1\right)$

= $\frac{12x^2-1}{4x^3-x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{{\left(-x+5\right)}^3}$

= ${\left(-x+5\right)}^{-3}$

=> f'(x) = $-3{\left(-x+5\right)}^{-4}·\left(-1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{{\left(-x+5\right)}^4}·\left(-1+0\right)$

= $-\frac{3}{{\left(-x+5\right)}^4}·\left(-1\right)$

= $\frac{3}{{\left(-x+5\right)}^4}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $-5e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{5,25}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{5,25}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{5,5125}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{5,5125}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{5,7881}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{5,7881}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{6,0775}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 74-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 74 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{74}$

Somit gilt für die 74-te Ableitung:

f⁽⁷⁴⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{74}·\left(-5e^{-\mathrm{1,05}x}\right)$

≈ $-\mathrm{184,918}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+6$

= $-3e^{-\mathrm{0,3}x}-3\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)+6$

= $-3e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,9}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-3+\mathrm{0,9}x+\mathrm{6,3}\right)+6$

= $6+\left(\mathrm{0,9}x-3+\mathrm{6,3}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $6+\left(\mathrm{0,9}x+\mathrm{3,3}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$