$\text{f(x)}=$ $-3+3e^{\frac{3}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{\frac{3}{4}x}·\frac{3}{4}$

= $\frac{9}{4}{e}^{\frac{3}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\sqrt{x}-e^{x+2}$

= $-5x^{\frac{1}{2}}-e^{x+2}$

=> f'(x) = $-\frac{5}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}-e^{x+2}·1$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{5}{2\sqrt{x}}-e^{x+2}·1$

= $-\frac{5}{2\sqrt{x}}-e^{x+2}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{x^2+5}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{x^2+5}·2x$

= $4·e^{x^2+5}x$

= $4x{e}^{x^2+5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x^2+4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x^2+4x}·\left(6x+4\right)$

= $\frac{6x+4}{3x^2+4x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+9\right)·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\cos \left(x^2\right)+\left(3x+9\right)·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $3\cdot \cos \left(x^2\right)+\left(3x+9\right)·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $3\cdot \cos \left(x^2\right)-2\left(3x+9\right)\sin \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^x$

f'(x) = $4e^x$

f''(x) = $4e^x$

f'''(x) = $4e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $4e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-5$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}+\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-5$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,3}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(1-\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}\right)-5$

= $-5+\left(-\mathrm{0,3}x+1-\mathrm{0,3}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $-5+\left(-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,7}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$