$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{8}{e}^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{8}{e}^{\frac{1}{3}x}·\frac{1}{3}$

= $\frac{7}{24}{e}^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{3x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{3x-3}+x^4·e^{3x-3}·3$

= $4x^3·e^{3x-3}+x^4·3e^{3x-3}$

= $4x^3·e^{3x-3}+3x^4·e^{3x-3}$

= $e^{3x-3}·\left(4x^3+3x^4\right)$

= $e^{3x-3}·\left(3x^4+4x^3\right)$

= $\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^2+2x\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-2x+2\right)·e^{-3x}+\left(-x^2+2x\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $\left(-2x+2\right)·e^{-3x}+\left(-x^2+2x\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $\left(-2x+2\right)·e^{-3x}-3\left(-x^2+2x\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·(-2x+2+\left(3x^2-6x\right))$

= $e^{-3x}·\left(3x^2-8x+2\right)$

= $\left(3x^2-8x+2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x^3+2x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x^3+2x^2}·\left(-6x^2+4x\right)$

= $\frac{-6x^2+4x}{-2x^3+2x^2}$

= $\frac{-2·1·\left(3x-2\right)}{-2x·\left(x-1\right)}$

= $\frac{-2\left(3x-2\right)}{-2x·\left(x-1\right)}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+2\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{-2x}+\left(2x+2\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x}+\left(2x+2\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2e^{-2x}-2\left(2x+2\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-4x-4+2\right)$

= $e^{-2x}·\left(-4x-2\right)$

= $\left(-4x-2\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $e^x·\left(x+78\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+6$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,2}x}-2\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,4}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}-2\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}\right)$

= $\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$