Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{10}{9} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{10}{9} e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{10}{9} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{10}{9} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{5} + x) \cdot e^{- 5 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{5} + x) \cdot e^{- 5 x + 3}$

$f'(x) =$ $(10 x^{4} + 1) \cdot e^{- 5 x + 3} + (2 x^{5} + x) \cdot e^{- 5 x + 3} \cdot (- 5)$

= $(10 x^{4} + 1) \cdot e^{- 5 x + 3} + (2 x^{5} + x) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 3})$

= $(10 x^{4} + 1) \cdot e^{- 5 x + 3} - 5 (2 x^{5} + x) \cdot e^{- 5 x + 3}$

= $e^{- 5 x + 3} \cdot (10 x^{4} + 1 + (- 10 x^{5} - 5 x))$

= $e^{- 5 x + 3} \cdot (- 10 x^{5} + 10 x^{4} - 5 x + 1)$

= $(- 10 x^{5} + 10 x^{4} - 5 x + 1) \cdot e^{- 5 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 4 x^{4} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 4 x^{4} + 2 x)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- 4 x^{4} + 2 x) + e^{- x} \cdot (- 16 x^{3} + 2)$

= $- e^{- x} (- 4 x^{4} + 2 x) + e^{- x} (- 16 x^{3} + 2)$

= $e^{- x} \cdot (- 16 x^{3} + 2 + (4 x^{4} - 2 x))$

= $e^{- x} \cdot (4 x^{4} - 16 x^{3} - 2 x + 2)$

= $(4 x^{4} - 16 x^{3} - 2 x + 2) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} - 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} - 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} - 4 x^{2}} \cdot (- 12 x^{2} - 8 x)$

= $\frac{- 12 x^{2} - 8 x}{- 4 x^{3} - 4 x^{2}}$

= $\frac{- 4 \cdot 1 \cdot (3 x + 2)}{- 4 x \cdot (x + 1)}$

= $\frac{- 4 (3 x + 2)}{- 4 x \cdot (x + 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{- x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{- x^{2} - 2}$

= ${(- x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} {(- x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{- x^{2} - 2}} \cdot (- 2 x + 0)$

= $\frac{1}{2 \sqrt{- x^{2} - 2}} \cdot (- 2 x)$

= $- \frac{x}{\sqrt{- x^{2} - 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 85)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 8$

= $- 2 e^{- 0,2 x} - 2 (x - 6) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 8$

= $- 2 e^{- 0,2 x} + 0,4 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} - 8$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,4 x - 2,4 - 2) - 8$

= $- 8 + (0,4 x - 2,4 - 2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 8 + (0,4 x - 4,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten