$\text{f(x)}=$ $2-2e^{\frac{7}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{\frac{7}{5}x}·\frac{7}{5}$

= $-\frac{14}{5}{e}^{\frac{7}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $5x^5+e^{2x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $25x^4+e^{2x+2}·2$

= $25x^4+2e^{2x+2}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-2x^3+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-2x^3+5}·\left(-6x^2\right)$

= $6·e^{-2x^3+5}{x}^2$

= $6x^2{e}^{-2x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x^3+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x^3+2}·\left(-6x^2+0\right)$

= $\frac{1}{-2x^3+2}·\left(-6x^2\right)$

= $-6\frac{x^2}{-2x^3+2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\sin \left(-2x\right)+\left(x-2\right)·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $\sin \left(-2x\right)+\left(x-2\right)·\left(-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right)$

= $\sin \left(-2x\right)-2\left(x-2\right)·\cos \left(-2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{60}·e^{\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,046}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,3}x}-\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,3}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,3}x+\mathrm{1,5}-1\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,5}\right)$

= $\left(\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$