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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{2} + e^{2 x} \cdot 2 x$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{2} + 2 \cdot e^{2 x} x$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (5 x^{4} + 5 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (5 x^{4} + 5 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (5 x^{4} + 5 x^{3}) + e^{x} \cdot (20 x^{3} + 15 x^{2})$

= $e^{x} \cdot (5 x^{4} + 5 x^{3} + (20 x^{3} + 15 x^{2}))$

= $e^{x} \cdot (5 x^{4} + 25 x^{3} + 15 x^{2})$

= $(5 x^{4} + 25 x^{3} + 15 x^{2}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sin (- 2 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sin (- 2 x - 2)$

$f'(x) =$ $- \cos (- 2 x - 2) \cdot (- 2 + 0)$

= $- \cos (- 2 x - 2) \cdot (- 2)$

= $2 \cdot \cos (- 2 x - 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 32-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 32-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 32 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{32}$

Somit gilt für die 32-te Ableitung:

f⁽³²⁾(x) = ${(- 0,85)}^{32} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $0,006 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 8$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 2 (x + 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 0,2 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 2 + 0,2 x + 1)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,2 x - 1)$

= $(0,2 x - 1) \cdot e^{- 0,1 x}$