Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x}$

$f'(x) =$ $e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{5} + 1) \cdot e^{- 5 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{5} + 1) \cdot e^{- 5 x + 5}$

$f'(x) =$ $(- 5 x^{4} + 0) \cdot e^{- 5 x + 5} + (- x^{5} + 1) \cdot e^{- 5 x + 5} \cdot (- 5)$

= $- 5 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 5} + (- x^{5} + 1) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 5})$

= $- 5 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 5} - 5 (- x^{5} + 1) \cdot e^{- 5 x + 5}$

= $e^{- 5 x + 5} \cdot (- 5 x^{4} + 5 x^{5} - 5)$

= $e^{- 5 x + 5} \cdot (5 x^{5} - 5 x^{4} - 5)$

= $(5 x^{5} - 5 x^{4} - 5) \cdot e^{- 5 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{3} + 2 x^{4})$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} + 5 x} \cdot (3 x^{2} + 5)$

= $\frac{3 x^{2} + 5}{x^{3} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x + 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{5 x + 1} + x^{2} \cdot e^{5 x + 1} \cdot 5$

= $2 x \cdot e^{5 x + 1} + x^{2} \cdot 5 e^{5 x + 1}$

= $2 x \cdot e^{5 x + 1} + 5 x^{2} \cdot e^{5 x + 1}$

= $e^{5 x + 1} \cdot (2 x + 5 x^{2})$

= $e^{5 x + 1} \cdot (5 x^{2} + 2 x)$

= $(5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{5 x + 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 32-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 32-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 32 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{32}$

Somit gilt für die 32-te Ableitung:

f⁽³²⁾(x) = ${(- 1,15)}^{32} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $87,565 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 7$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $4 e^{- 0,3 x} + 4 (x - 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $4 e^{- 0,3 x} - 1,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1,2 x + 8,4 + 4)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1,2 x + 12,4)$

= $(- 1,2 x + 12,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten