Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{5}{6} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{5}{6} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{6} e^{x}$

= $\frac{5}{6} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot e^{- 3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot e^{- 3 x - 3}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 3 x - 3} + (3 x + 4) \cdot e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x - 3} + (3 x + 4) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 3})$

= $3 e^{- 3 x - 3} - 3 (3 x + 4) \cdot e^{- 3 x - 3}$

= $e^{- 3 x - 3} \cdot (3 - 9 x - 12)$

= $e^{- 3 x - 3} \cdot (- 9 x - 9)$

= $(- 9 x - 9) \cdot e^{- 3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{3} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{3} - 2}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x^{3} - 2} \cdot 6 x^{2}$

= $- 12 \cdot e^{2 x^{3} - 2} x^{2}$

= $- 12 x^{2} e^{2 x^{3} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} - 2} \cdot (- 15 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{3} - 2} \cdot (- 15 x^{2})$

= $- 15 \frac{x^{2}}{- 5 x^{3} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x + 8) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x} + (3 x + 8) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 e^{- 2 x} - 2 (3 x + 8) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (3 - 6 x - 16)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x - 13)$

= $(- 6 x - 13) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 74-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 74-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 74 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{74}$

Somit gilt für die 74-te Ableitung:

f⁽⁷⁴⁾(x) = ${1,05}^{74} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $36,984 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 2$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $4 e^{- 0,6 x} + 4 (x - 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $4 e^{- 0,6 x} - 2,4 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (4 - 2,4 x + 4,8)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 2,4 x + 8,8)$

= $(- 2,4 x + 8,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten