$\text{f(x)}=$ $3e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-9e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·x^4+e^{3x}·4x^3$

= $3·e^{3x}{x}^4+4·e^{3x}{x}^3$

= $e^{3x}·\left(3x^4+4x^3\right)$

= $\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-2x^3-4}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-2x^3-4}·\left(-6x^2\right)$

= $-12·e^{-2x^3-4}{x}^2$

= $-12x^2{e}^{-2x^3-4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x^3-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x^3-5x}·\left(15x^2-5\right)$

= $\frac{15x^2-5}{5x^3-5x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{-2x+3}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{-2x+3}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{-2x+3}+x^{\frac{1}{2}}·e^{-2x+3}·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{-2x+3}+\sqrt{x}·e^{-2x+3}·\left(-2\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-2x+3}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-2e^{-2x+3}\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-2x+3}}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x}·e^{-2x+3}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{-x}$

f'(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

f''(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

f'''(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $-3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+9x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+9$

= $3e^{-\mathrm{0,7}x}+3\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)+9$

= $3e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{2,1}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+9$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(3-\mathrm{2,1}x-\mathrm{4,2}\right)+9$

= $9+\left(-\mathrm{2,1}x+3-\mathrm{4,2}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $9+\left(-\mathrm{2,1}x-\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$