Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + e^{\frac{2}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + e^{\frac{2}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{2}{3} x} \cdot \frac{2}{3}$

= $\frac{2}{3} e^{\frac{2}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{2} + 1) \cdot e^{4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{2} + 1) \cdot e^{4 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 4 x + 0) \cdot e^{4 x + 2} + (- 2 x^{2} + 1) \cdot e^{4 x + 2} \cdot 4$

= $- 4 x \cdot e^{4 x + 2} + (- 2 x^{2} + 1) \cdot 4 e^{4 x + 2}$

= $- 4 x \cdot e^{4 x + 2} + 4 (- 2 x^{2} + 1) \cdot e^{4 x + 2}$

= $e^{4 x + 2} \cdot (- 8 x^{2} + 4 - 4 x)$

= $e^{4 x + 2} \cdot (- 8 x^{2} - 4 x + 4)$

= $(- 8 x^{2} - 4 x + 4) \cdot e^{4 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x^{3} + 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x^{3} + 4} \cdot 9 x^{2}$

= $- 18 \cdot e^{3 x^{3} + 4} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{3 x^{3} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x - 5} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x - 5} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 9) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 9) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x + 9) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x + 9) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x + 9) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (1 + 3 x + 27)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x + 28)$

= $(3 x + 28) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- x}$

f'(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f'''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 8$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 3 e^{- 0,1 x} - 3 (x + 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 0,3 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 3 + 0,3 x + 0,6)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,3 x - 2,4)$

= $(0,3 x - 2,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten