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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x + 3} + 5 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x + 3} + 5 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $e^{- x + 3} \cdot (- 1) + 5 \cdot \cos (x)$

= $- e^{- x + 3} + 5 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x^{3} - 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{x^{3} - 3} \cdot 3 x^{2}$

= $6 \cdot e^{x^{3} - 3} x^{2}$

= $6 x^{2} e^{x^{3} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 9) \cdot \cos (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 9) \cdot \cos (2 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \cos (2 x) + (3 x + 9) \cdot (- \sin (2 x) \cdot 2)$

= $3 \cdot \cos (2 x) + (3 x + 9) \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x))$

= $3 \cdot \cos (2 x) - 2 (3 x + 9) \cdot \sin (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 41-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 41-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 41 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{41}$

Somit gilt für die 41-te Ableitung:

f⁽⁴¹⁾(x) = ${(- 1,15)}^{41} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $- 308,043 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 7$

= $2 e^{- 0,2 x} + 2 (x + 4) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 7$

= $2 e^{- 0,2 x} - 0,4 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 7$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,4 x - 1,6 + 2) - 7$

= $- 7 + (- 0,4 x - 1,6 + 2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 7 + (- 0,4 x + 0,4) \cdot e^{- 0,2 x}$