Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x - 3) \cdot e^{- 4 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x - 3) \cdot e^{- 4 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 4 + 0) \cdot e^{- 4 x + 4} + (- 4 x - 3) \cdot e^{- 4 x + 4} \cdot (- 4)$

= $- 4 e^{- 4 x + 4} + (- 4 x - 3) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 4})$

= $- 4 e^{- 4 x + 4} - 4 (- 4 x - 3) \cdot e^{- 4 x + 4}$

= $e^{- 4 x + 4} \cdot (- 4 + 16 x + 12)$

= $e^{- 4 x + 4} \cdot (16 x + 8)$

= $(16 x + 8) \cdot e^{- 4 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x - 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x - 1} \cdot 2$

= $6 e^{2 x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} - 3} \cdot (- 2 x + 0)$

= $\frac{1}{- x^{2} - 3} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \frac{x}{- x^{2} - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x + 6) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $\sin (x^{2}) + (x + 6) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $\sin (x^{2}) + 2 (x + 6) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $3 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 3,15 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 3,15 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $3,3075 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $3,3075 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 3,4729 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,4729 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $3,6465 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${(- 1,05)}^{60} \cdot 3 e^{- 1,05 x}$

≈ $56,038 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 8$

= $2 e^{- 0,4 x} + 2 (x - 4) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 8$

= $2 e^{- 0,4 x} - 0,8 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 8$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (2 - 0,8 x + 3,2) + 8$

= $8 + (- 0,8 x + 2 + 3,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $8 + (- 0,8 x + 5,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten