Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 4 x - 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 5} + x^{3} \cdot e^{- 4 x - 5} \cdot (- 4)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 5} + x^{3} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 5})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 5} - 4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 5}$

= $e^{- 4 x - 5} \cdot (- 4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x - 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3)$

= $- 9 e^{- 3 x - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{- 3 x}$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{- 3 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot e^{- 3 x} + x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot e^{- 3 x} + \sqrt[3]{x} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{- 3 x}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{- 3 x}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 3 \sqrt[3]{x} \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 33-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 33-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 33 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{33}$

Somit gilt für die 33-te Ableitung:

f⁽³³⁾(x) = ${1,15}^{33} \cdot e^{1,15 x}$

= $100,7 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 4$

= $2 e^{- 0,9 x} + 2 (x - 3) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 4$

= $2 e^{- 0,9 x} - 1,8 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 4$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (2 - 1,8 x + 5,4) - 4$

= $- 4 + (- 1,8 x + 2 + 5,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 4 + (- 1,8 x + 7,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten