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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{\frac{7}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{\frac{7}{6} x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{\frac{7}{6} x} \cdot \frac{7}{6}$

= $- \frac{7}{3} e^{\frac{7}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} + 3 e^{- 2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} + 3 e^{- 2 x - 4}$

$f'(x) =$ $6 x^{2} + 3 e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2)$

= $6 x^{2} - 6 e^{- 2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $- e^{- x^{3} + 5} \cdot (- 3 x^{2})$

= $3 \cdot e^{- x^{3} + 5} x^{2}$

= $3 x^{2} e^{- x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{x + 2}$

= $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x + 2}} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{\sqrt{x + 2}} \cdot (1)$

= $\frac{1}{\sqrt{x + 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{1,1 x}$

f'(x) = $2 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,2 e^{1,1 x}$

f''(x) = $2,2 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,42 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $2,42 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,662 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,662 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,9282 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${1,1}^{62} \cdot 2 e^{1,1 x}$

≈ $736,846 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 4$

= $4 e^{- 0,3 x} + 4 (x - 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 4$

= $4 e^{- 0,3 x} - 1,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 4$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (4 - 1,2 x + 8,4) - 4$

= $- 4 + (- 1,2 x + 4 + 8,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 4 + (- 1,2 x + 12,4) \cdot e^{- 0,3 x}$