$\text{f(x)}=$ $e^{\frac{7}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{\frac{7}{4}x}·\frac{7}{4}$

= $\frac{7}{4}{e}^{\frac{7}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^4+2x\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-8x^3+2\right)·e^{-2x}+\left(-2x^4+2x\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $\left(-8x^3+2\right)·e^{-2x}+\left(-2x^4+2x\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $\left(-8x^3+2\right)·e^{-2x}-2\left(-2x^4+2x\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(4x^4-4x-8x^3+2\right)$

= $e^{-2x}·\left(4x^4-8x^3-4x+2\right)$

= $\left(4x^4-8x^3-4x+2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x^3+4}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x^3+4}·9x^2$

= $9·e^{3x^3+4}{x}^2$

= $9x^2{e}^{3x^3+4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x+5}·\left(1+0\right)$

= $\frac{1}{x+5}·\left(1\right)$

= $\frac{1}{x+5}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·\sin \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·\sin \left(x^2\right)+x^3·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $3x^2·\sin \left(x^2\right)+x^3·2\cos \left(x^2\right)x$

= $3x^2·\sin \left(x^2\right)+2x^3\cos \left(x^2\right)x$

= $3x^2·\sin \left(x^2\right)+2x^4·\cos \left(x^2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-x}$

f'(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f''(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f'''(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $5e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-9x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)-9$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)-9$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{0,7}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-9$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-1+\mathrm{0,7}x-\mathrm{4,9}\right)-9$

= $-9+\left(\mathrm{0,7}x-1-\mathrm{4,9}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $-9+\left(\mathrm{0,7}x-\mathrm{5,9}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$