$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}\left(-2x^2+5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·\left(-2x^2+5x\right)+e^{3x}·\left(-4x+5\right)$

= $3·e^{3x}\left(-2x^2+5x\right)+e^{3x}\left(-4x+5\right)$

= $e^{3x}·\left(-6x^2+15x-4x+5\right)$

= $e^{3x}·\left(-6x^2+11x+5\right)$

= $\left(-6x^2+11x+5\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-3x^3+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-3x^3+5}·\left(-9x^2\right)$

= $27·e^{-3x^3+5}{x}^2$

= $27x^2{e}^{-3x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $5\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{3x}·3$

= $\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(-x-2\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $6{\left(-x-2\right)}^2·\left(-1+0\right)$

= $6{\left(-x-2\right)}^2·\left(-1\right)$

= $-6{\left(-x-2\right)}^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^x$

f'(x) = $-e^x$

f''(x) = $-e^x$

f'''(x) = $-e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $-e^x$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+4\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)-1$

= $4e^{-\mathrm{0,4}x}+4\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)-1$

= $4e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{1,6}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-1$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(4-\mathrm{1,6}x+\mathrm{9,6}\right)-1$

= $-1+\left(-\mathrm{1,6}x+4+\mathrm{9,6}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $-1+\left(-\mathrm{1,6}x+\mathrm{13,6}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$