$\text{f(x)}=$ $-3-2e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{-x}·\left(-1\right)$

= $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-2x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-2x-5}+x^2·e^{-2x-5}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x-5}+x^2·\left(-2e^{-2x-5}\right)$

= $2x·e^{-2x-5}-2x^2·e^{-2x-5}$

= $e^{-2x-5}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x-5}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{2x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{2x+4}+x^2·e^{2x+4}·2$

= $2x·e^{2x+4}+x^2·2e^{2x+4}$

= $2x·e^{2x+4}+2x^2·e^{2x+4}$

= $e^{2x+4}·\left(2x^2+2x\right)$

= $\left(2x^2+2x\right)·e^{2x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x+3}·\left(5+0\right)$

= $\frac{1}{5x+3}·\left(5\right)$

= $\frac{5}{5x+3}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(-2x^3-2\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-8{\left(-2x^3-2\right)}^3·\left(-6x^2+0\right)$

= $-8{\left(-2x^3-2\right)}^3·\left(-6x^2\right)$

= $48{\left(-2x^3-2\right)}^3{x}^2$

= $48x^2{\left(-2x^3-2\right)}^3$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $-5e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{4,75}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{4,75}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{4,5125}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{4,5125}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{4,2869}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{4,2869}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{4,0725}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 68-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 68 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{68}$

Somit gilt für die 68-te Ableitung:

f⁽⁶⁸⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{68}·\left(-5e^{\mathrm{0,95}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,153}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+9x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+9$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+9$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+9$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-2+x-7\right)+9$

= $9+\left(x-2-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $9+\left(x-9\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$