Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{1}{2} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{1}{2} e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{2} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{2} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x - 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 2} + x^{5} \cdot e^{5 x - 2} \cdot 5$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 2} + x^{5} \cdot 5 e^{5 x - 2}$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 2} + 5 x^{5} \cdot e^{5 x - 2}$

= $e^{5 x - 2} \cdot (5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{5 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x^{3} - 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x^{3} - 4} \cdot (- 3 x^{2})$

= $9 \cdot e^{- x^{3} - 4} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{- x^{3} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x - 4} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x - 4} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x + 8) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x} + (3 x + 8) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 e^{- 3 x} - 3 (3 x + 8) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 - 9 x - 24)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x - 21)$

= $(- 9 x - 21) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 51-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 51-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 51 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{51}$

Somit gilt für die 51-te Ableitung:

f⁽⁵¹⁾(x) = ${1,1}^{51} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $129,13 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} + 7$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $e^{- 0,6 x} + (x - 3) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $e^{- 0,6 x} - 0,6 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1 - 0,6 x + 1,8)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6 x + 2,8)$

= $(- 0,6 x + 2,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten