$\text{f(x)}=$ $-1+e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{3x}·3$

= $3e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-x+4}+x^3·e^{-x+4}·\left(-1\right)$

= $3x^2·e^{-x+4}+x^3·\left(-e^{-x+4}\right)$

= $3x^2·e^{-x+4}-x^3·e^{-x+4}$

= $e^{-x+4}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^5-5\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(25x^4+0\right)·e^{-2x}+\left(5x^5-5\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $25x^4·e^{-2x}+\left(5x^5-5\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $25x^4·e^{-2x}-2\left(5x^5-5\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-10x^5+10+25x^4\right)$

= $e^{-2x}·\left(-10x^5+25x^4+10\right)$

= $\left(-10x^5+25x^4+10\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x}·3$

= $\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+7\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{2x}+\left(2x+7\right)·e^{2x}·2$

= $2e^{2x}+\left(2x+7\right)·2e^{2x}$

= $2e^{2x}+2\left(2x+7\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2+4x+14\right)$

= $e^{2x}·\left(4x+16\right)$

= $\left(4x+16\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $-5e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{4,75}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{4,75}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{4,5125}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{4,5125}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{4,2869}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{4,2869}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{4,0725}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 69-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 69 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{69}$

Somit gilt für die 69-te Ableitung:

f⁽⁶⁹⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{69}·\left(-5e^{\mathrm{0,95}x}\right)$

≈ $-\mathrm{0,145}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-1$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}-2\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-1$

= $-2e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{1,2}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-1$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-2+\mathrm{1,2}x+\mathrm{2,4}\right)-1$

= $-1+\left(\mathrm{1,2}x-2+\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-1+\left(\mathrm{1,2}x+\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$