Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{7}{5} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{7}{5} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{5} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{14}{5} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} + x) \cdot e^{2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} + x) \cdot e^{2 x + 5}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x + 5} + (- 4 x^{3} + x) \cdot e^{2 x + 5} \cdot 2$

= $(- 12 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x + 5} + (- 4 x^{3} + x) \cdot 2 e^{2 x + 5}$

= $(- 12 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x + 5} + 2 (- 4 x^{3} + x) \cdot e^{2 x + 5}$

= $e^{2 x + 5} \cdot (- 8 x^{3} + 2 x - 12 x^{2} + 1)$

= $e^{2 x + 5} \cdot (- 8 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x + 1)$

= $(- 8 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x + 1) \cdot e^{2 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x^{2} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x^{2} + 1}$

$f'(x) =$ $- e^{- x^{2} + 1} \cdot (- 2 x)$

= $2 \cdot e^{- x^{2} + 1} x$

= $2 x e^{- x^{2} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} - 4} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- x^{3} - 4} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 3 \frac{x^{2}}{- x^{3} - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \sin (x^{3})$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot \sin (x^{3})$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot \sin (x^{3}) + x^{\frac{1}{4}} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot \sin (x^{3}) + \sqrt[4]{x} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (x^{3})}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (x^{3})}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 3 \sqrt[4]{x} \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (x^{3})}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 3 {(\sqrt[4]{x})}^{9} \cdot \cos (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{x}$

f'(x) = $- e^{x}$

f''(x) = $- e^{x}$

f'''(x) = $- e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $- e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 4$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $4 e^{- 0,7 x} + 4 (x + 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $4 e^{- 0,7 x} - 2,8 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (4 - 2,8 x - 2,8)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2,8 x + 1,2)$

= $(- 2,8 x + 1,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten