$\text{f(x)}=$ $-2+e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^x$

= $e^x$

$\text{f(x)}=$ $-e^{x-3}+3x^4$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{x-3}·1+12x^3$

= $-e^{x-3}+12x^3$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-x^2+3}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-x^2+3}·\left(-2x\right)$

= $-4·e^{-x^2+3}x$

= $-4x{e}^{-x^2+3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-4x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-4x+5}·\left(-4+0\right)$

= $\frac{1}{-4x+5}·\left(-4\right)$

= $-\frac{4}{-4x+5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-8\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{-3x}+\left(2x-8\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2e^{-3x}+\left(2x-8\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2e^{-3x}-3\left(2x-8\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(2-6x+24\right)$

= $e^{-3x}·\left(-6x+26\right)$

= $\left(-6x+26\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+86\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+8$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+5\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,2}x}+5\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(5-x+6\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-x+11\right)$

= $\left(-x+11\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$