Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{6}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x - 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x - 3} + x^{2} \cdot e^{3 x - 3} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x - 3} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x - 3}$

= $2 x \cdot e^{3 x - 3} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x - 3}$

= $e^{3 x - 3} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x^{3} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x^{3} - 2}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x^{3} - 2} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 6 \cdot e^{- 2 x^{3} - 2} x^{2}$

= $- 6 x^{2} e^{- 2 x^{3} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} - x^{2}} \cdot (- 9 x^{2} - 2 x)$

= $\frac{- 9 x^{2} - 2 x}{- 3 x^{3} - x^{2}}$

= $\frac{- 1 \cdot (9 x + 2)}{- x \cdot (3 x + 1)}$

= $\frac{- (9 x + 2)}{- x \cdot (3 x + 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{- 2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{- 2 x - 5}$

= $- 3 {(- 2 x - 5)}^{- 1}$

=> f'(x) = $3 {(- 2 x - 5)}^{- 2} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{{(- 2 x - 5)}^{2}} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{3}{{(- 2 x - 5)}^{2}} \cdot (- 2)$

= $- \frac{6}{{(- 2 x - 5)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${1,15}^{48} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $819,401 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 2$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x - 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3 - 2,4 x + 14,4)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2,4 x + 17,4)$

= $(- 2,4 x + 17,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten