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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{3}{5} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x + 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x + 4} + x^{5} \cdot e^{2 x + 4} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x + 4} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x + 4}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x + 4} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x + 4}$

= $e^{2 x + 4} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x^{3} - 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x^{3} - 4} \cdot 6 x^{2}$

= $18 \cdot e^{2 x^{3} - 4} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{2 x^{3} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 8) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 8) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (x - 8) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $\sin (- 3 x) + (x - 8) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $\sin (- 3 x) - 3 (x - 8) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 82)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 9$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x - 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 9$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 9$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3 + 2,4 x - 4,8) - 9$

= $- 9 + (2,4 x - 3 - 4,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 9 + (2,4 x - 7,8) \cdot e^{- 0,8 x}$