$\text{f(x)}=$ $\frac{8}{9}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{9}{e}^{2x}·2$

= $\frac{16}{9}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{2x-3}+2\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{2x-3}·2+2\cdot \cos \left(x\right)$

= $-2e^{2x-3}+2\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-2x}+x^4·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $4x^3·e^{-2x}+x^4·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $4x^3·e^{-2x}-2x^4·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^4+4x^3\right)$

= $\left(-2x^4+4x^3\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{x}·1$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{{\left(-3x^2+3\right)}^2}$

= $-2{\left(-3x^2+3\right)}^{-2}$

=> f'(x) = $4{\left(-3x^2+3\right)}^{-3}·\left(-6x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{{\left(-3x^2+3\right)}^3}·\left(-6x+0\right)$

= $\frac{4}{{\left(-3x^2+3\right)}^3}·\left(-6x\right)$

= $-24\frac{x}{{\left(-3x^2+3\right)}^3}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $4e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{3,8}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{3,8}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{3,61}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{3,61}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{3,4295}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{3,4295}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{3,258}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{78}·4e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,073}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,3}x}-\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,3}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-1+\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,1}\right)$

= $\left(\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,1}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$