Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{5} + 3 x) \cdot e^{5 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{5} + 3 x) \cdot e^{5 x + 4}$

$f'(x) =$ $(10 x^{4} + 3) \cdot e^{5 x + 4} + (2 x^{5} + 3 x) \cdot e^{5 x + 4} \cdot 5$

= $(10 x^{4} + 3) \cdot e^{5 x + 4} + (2 x^{5} + 3 x) \cdot 5 e^{5 x + 4}$

= $(10 x^{4} + 3) \cdot e^{5 x + 4} + 5 (2 x^{5} + 3 x) \cdot e^{5 x + 4}$

= $e^{5 x + 4} \cdot (10 x^{5} + 15 x + 10 x^{4} + 3)$

= $e^{5 x + 4} \cdot (10 x^{5} + 10 x^{4} + 15 x + 3)$

= $(10 x^{5} + 10 x^{4} + 15 x + 3) \cdot e^{5 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x^{3} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x^{3} - 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x^{3} - 5} \cdot 9 x^{2}$

= $18 \cdot e^{3 x^{3} - 5} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{3 x^{3} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot \cos (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot \cos (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \cos (- 2 x) + (x + 6) \cdot (- \sin (- 2 x) \cdot (- 2))$

= $\cos (- 2 x) + (x + 6) \cdot 2 \cdot \sin (- 2 x)$

= $\cos (- 2 x) + 2 (x + 6) \cdot \sin (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${0,9}^{45} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,009 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 3$

= $4 e^{- 0,8 x} + 4 (x - 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 3$

= $4 e^{- 0,8 x} - 3,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 3$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (4 - 3,2 x + 22,4) + 3$

= $3 + (- 3,2 x + 4 + 22,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $3 + (- 3,2 x + 26,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten