Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{5}{8} e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{5}{8} e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{8} e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $\frac{25}{64} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x + 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 5} + x^{5} \cdot e^{5 x + 5} \cdot 5$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 5} + x^{5} \cdot 5 e^{5 x + 5}$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 5} + 5 x^{5} \cdot e^{5 x + 5}$

= $e^{5 x + 5} \cdot (5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{5 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{2} - 1) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{2} - 1) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(- 2 x + 0) \cdot e^{- x} + (- x^{2} - 1) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 2 x \cdot e^{- x} + (- x^{2} - 1) \cdot (- e^{- x})$

= $- 2 x \cdot e^{- x} - (- x^{2} - 1) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (x^{2} + 1 - 2 x)$

= $e^{- x} \cdot (x^{2} - 2 x + 1)$

= $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{x^{2} - 1}$

= $- 3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (2 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \sqrt{x^{2} - 1}} \cdot (2 x + 0)$

= $- \frac{3}{2 \sqrt{x^{2} - 1}} \cdot (2 x)$

= $- 3 \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $3 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 2,85 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 2,85 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $2,7075 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $2,7075 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 2,5721 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,5721 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $2,4435 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 76-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 76 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{76}$

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = ${(- 0,95)}^{76} \cdot 3 e^{- 0,95 x}$

≈ $0,061 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 9$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 5 e^{- 0,8 x} - 5 (x - 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 5 e^{- 0,8 x} + 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 5 + 4 x - 28)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (4 x - 33)$

= $(4 x - 33) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten