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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 - 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 - 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{x}$

= $- 2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x + 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{x + 5} + x^{3} \cdot e^{x + 5} \cdot 1$

= $3 x^{2} \cdot e^{x + 5} + x^{3} \cdot e^{x + 5}$

= $e^{x + 5} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x - 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{x - 5} \cdot 1$

= $3 e^{x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x - 5} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{x - 5} \cdot (1)$

= $\frac{1}{x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x + 2) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x} + (3 x + 2) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 e^{- 3 x} - 3 (3 x + 2) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 - 9 x - 6)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x - 3)$

= $(- 9 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 68-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 68-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 68 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{68}$

Somit gilt für die 68-te Ableitung:

f⁽⁶⁸⁾(x) = ${1,05}^{68} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $27,598 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 3$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x - 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 3$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 3$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (3 - 1,2 x + 3,6) - 3$

= $- 3 + (- 1,2 x + 3 + 3,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 3 + (- 1,2 x + 6,6) \cdot e^{- 0,4 x}$