Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x + 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x + 1} + x^{2} \cdot e^{2 x + 1} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x + 1} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x + 1}$

= $2 x \cdot e^{2 x + 1} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x + 1}$

= $e^{2 x + 1} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{5} - 1) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{5} - 1) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 10 x^{4} + 0) \cdot e^{3 x} + (- 2 x^{5} - 1) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $- 10 x^{4} \cdot e^{3 x} + (- 2 x^{5} - 1) \cdot 3 e^{3 x}$

= $- 10 x^{4} \cdot e^{3 x} + 3 (- 2 x^{5} - 1) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x^{5} - 3 - 10 x^{4})$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x^{5} - 10 x^{4} - 3)$

= $(- 6 x^{5} - 10 x^{4} - 3) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(e^{- x} + 3)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(e^{- x} + 3)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 6 (e^{- x} + 3) \cdot (e^{- x} \cdot (- 1) + 0)$

= $- 6 (e^{- x} + 3) \cdot (- e^{- x})$

= $6 (e^{- x} + 3) \cdot e^{- x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${0,9}^{45} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,009 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 5$

= $- 3 e^{- 0,5 x} - 3 (x + 5) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 5$

= $- 3 e^{- 0,5 x} + 1,5 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 5$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 3 + 1,5 x + 7,5) - 5$

= $- 5 + (1,5 x - 3 + 7,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 5 + (1,5 x + 4,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten