Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $\frac{3}{2} e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x + 3} + 2 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x + 3} + 2 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3) - 2 \cdot \sin (x)$

= $- 9 e^{- 3 x + 3} - 2 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 4 x^{4} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 4 x^{4} + 3 x)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (- 4 x^{4} + 3 x) + e^{x} \cdot (- 16 x^{3} + 3)$

= $e^{x} \cdot (- 4 x^{4} + 3 x - 16 x^{3} + 3)$

= $e^{x} \cdot (- 4 x^{4} - 16 x^{3} + 3 x + 3)$

= $(- 4 x^{4} - 16 x^{3} + 3 x + 3) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{- 2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{- 2 x - 4}$

= $- {(- 2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} {(- 2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \sqrt{- 2 x - 4}} \cdot (- 2 + 0)$

= $- \frac{1}{2 \sqrt{- 2 x - 4}} \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{\sqrt{- 2 x - 4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $- e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $- 1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${(- 1,05)}^{78} \cdot (- e^{- 1,05 x})$

≈ $- 44,954 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 2$

= $- 5 e^{- 0,7 x} - 5 (x - 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 2$

= $- 5 e^{- 0,7 x} + 3,5 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 2$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 5 + 3,5 x - 10,5) - 2$

= $- 2 + (3,5 x - 5 - 10,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 2 + (3,5 x - 15,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten