Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{7}{8} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{7}{8} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{8} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{7}{4} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{2 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 8 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{2 x + 4} + (- 2 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{2 x + 4} \cdot 2$

= $(- 8 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{2 x + 4} + (- 2 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot 2 e^{2 x + 4}$

= $(- 8 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{2 x + 4} + 2 (- 2 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{2 x + 4}$

= $e^{2 x + 4} \cdot (- 4 x^{4} - 8 x^{3} + (- 8 x^{3} - 12 x^{2}))$

= $e^{2 x + 4} \cdot (- 4 x^{4} - 16 x^{3} - 12 x^{2})$

= $(- 4 x^{4} - 16 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x + 1}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} - 4} \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x^{3} - 4} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 9 \frac{x^{2}}{- 3 x^{3} - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(\sin (x) + 4)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(\sin (x) + 4)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 8 {(\sin (x) + 4)}^{3} \cdot (\cos (x) + 0)$

= $- 8 {(\sin (x) + 4)}^{3} \cdot (\cos (x))$

= $- 8 {(\sin (x) + 4)}^{3} \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 76-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 76 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{76}$

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = ${0,95}^{76} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,02 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 3$

= $3 e^{- 0,9 x} + 3 (x - 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 3$

= $3 e^{- 0,9 x} - 2,7 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 3$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (3 - 2,7 x + 10,8) + 3$

= $3 + (- 2,7 x + 3 + 10,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $3 + (- 2,7 x + 13,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten