$\text{f(x)}=$ $2e^{\frac{7}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{\frac{7}{5}x}·\frac{7}{5}$

= $\frac{14}{5}{e}^{\frac{7}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{4}\cdot \cos \left(x\right)-2e^{3x-2}+\frac{2}{x^2}$

= $-\frac{3}{4}\cdot \cos \left(x\right)-2e^{3x-2}+2x^{-2}$

=> f'(x) = $\frac{3}{4}\cdot \sin \left(x\right)-2e^{3x-2}·3-4x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4}\cdot \sin \left(x\right)-2e^{3x-2}·3-\frac{4}{x^3}$

= $\frac{3}{4}\cdot \sin \left(x\right)-6e^{3x-2}-\frac{4}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-2x}+x^4·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $4x^3·e^{-2x}+x^4·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $4x^3·e^{-2x}-2x^4·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^4+4x^3\right)$

= $\left(-2x^4+4x^3\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x^3+4x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x^3+4x^2}·\left(-6x^2+8x\right)$

= $\frac{-6x^2+8x}{-2x^3+4x^2}$

= $\frac{-2·1·\left(3x-4\right)}{-2x·\left(x-2\right)}$

= $\frac{-2\left(3x-4\right)}{-2x·\left(x-2\right)}$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(3x-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(3x-1\right)·\left(3+0\right)$

= $-2\cdot \cos \left(3x-1\right)·\left(3\right)$

= $-6\cdot \cos \left(3x-1\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $5e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{5,25}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $-\mathrm{5,25}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{5,5125}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{5,5125}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{5,7881}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{5,7881}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{6,0775}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 71-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 71 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{71}$

Somit gilt für die 71-te Ableitung:

f⁽⁷¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{71}·5e^{-\mathrm{1,05}x}$

≈ $-\mathrm{159,739}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+7$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+5\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,7}x}+5\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{3,5}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(5-\mathrm{3,5}x+21\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{3,5}x+26\right)$

= $\left(-\mathrm{3,5}x+26\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$