$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{8}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{8}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{7}{4}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^5+5x^4\right)·e^{-x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(15x^4+20x^3\right)·e^{-x+4}+\left(3x^5+5x^4\right)·e^{-x+4}·\left(-1\right)$

= $\left(15x^4+20x^3\right)·e^{-x+4}+\left(3x^5+5x^4\right)·\left(-e^{-x+4}\right)$

= $\left(15x^4+20x^3\right)·e^{-x+4}-\left(3x^5+5x^4\right)·e^{-x+4}$

= $e^{-x+4}·(-3x^5-5x^4+\left(15x^4+20x^3\right))$

= $e^{-x+4}·\left(-3x^5+10x^4+20x^3\right)$

= $\left(-3x^5+10x^4+20x^3\right)·e^{-x+4}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-x}+x^3·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $3x^2·e^{-x}+x^3·\left(-e^{-x}\right)$

= $3x^2·e^{-x}-x^3·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{4x}·4$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(2x-4\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $15{\left(2x-4\right)}^4·\left(2+0\right)$

= $15{\left(2x-4\right)}^4·\left(2\right)$

= $30{\left(2x-4\right)}^4$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,8574}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 66-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 66 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{66}$

Somit gilt für die 66-te Ableitung:

f⁽⁶⁶⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{66}·e^{\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,034}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-5\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,1}x}-5\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,5}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-5+\mathrm{0,5}x+2\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(\mathrm{0,5}x-3\right)$

= $\left(\mathrm{0,5}x-3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$