Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} (3 x^{5} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} (3 x^{5} + x)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (3 x^{5} + x) + e^{3 x} \cdot (15 x^{4} + 1)$

= $3 \cdot e^{3 x} (3 x^{5} + x) + e^{3 x} (15 x^{4} + 1)$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{4} + 1 + (9 x^{5} + 3 x))$

= $e^{3 x} \cdot (9 x^{5} + 15 x^{4} + 3 x + 1)$

= $(9 x^{5} + 15 x^{4} + 3 x + 1) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x^{2} - 5} \cdot 6 x$

= $- 6 \cdot e^{3 x^{2} - 5} x$

= $- 6 x e^{3 x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x - 3} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x - 3} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (x^{3})$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (x^{3})$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (x^{3}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \cos (x^{3}) + \sqrt{x} \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (x^{3})}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (x^{3})}{\sqrt{x}} - 3 \sqrt{x} \sin (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (x^{3})}{\sqrt{x}} - 3 {(\sqrt{x})}^{5} \cdot \sin (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{x}$

f'(x) = $3 e^{x}$

f''(x) = $3 e^{x}$

f'''(x) = $3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 1$

= $- 4 e^{- 0,7 x} - 4 (x - 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 1$

= $- 4 e^{- 0,7 x} + 2,8 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 1$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2,8 x - 5,6 - 4) - 1$

= $- 1 + (2,8 x - 5,6 - 4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 1 + (2,8 x - 9,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten