Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{5}{3} e^{\frac{7}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{5}{3} e^{\frac{7}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{3} e^{\frac{7}{5} x} \cdot \frac{7}{5}$

= $\frac{7}{3} e^{\frac{7}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{3 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} - 8 x) \cdot e^{3 x + 2} + (- 4 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{3 x + 2} \cdot 3$

= $(- 12 x^{2} - 8 x) \cdot e^{3 x + 2} + (- 4 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot 3 e^{3 x + 2}$

= $(- 12 x^{2} - 8 x) \cdot e^{3 x + 2} + 3 (- 4 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{3 x + 2}$

= $e^{3 x + 2} \cdot (- 12 x^{3} - 12 x^{2} + (- 12 x^{2} - 8 x))$

= $e^{3 x + 2} \cdot (- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 8 x)$

= $(- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 8 x) \cdot e^{3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (x^{5} - 4 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (x^{5} - 4 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (x^{5} - 4 x^{3}) + e^{3 x} \cdot (5 x^{4} - 12 x^{2})$

= $3 \cdot e^{3 x} (x^{5} - 4 x^{3}) + e^{3 x} (5 x^{4} - 12 x^{2})$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} - 12 x^{3} + (5 x^{4} - 12 x^{2}))$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4} - 12 x^{3} - 12 x^{2})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4} - 12 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x - 3} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x - 3} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (4 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (4 x + 4)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (4 x + 4)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (4 x + 4) + x^{\frac{1}{2}} \cdot (- \sin (4 x + 4) \cdot (4 + 0))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \cos (4 x + 4) + \sqrt{x} \cdot (- \sin (4 x + 4) \cdot (4 + 0))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (4 x + 4)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- \sin (4 x + 4) \cdot (4))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (4 x + 4)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 4 \cdot \sin (4 x + 4))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (4 x + 4)}{\sqrt{x}} - 4 \sqrt{x} \cdot \sin (4 x + 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- x}$

f'(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f'''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 2$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- e^{- 0,9 x} - (x + 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- e^{- 0,9 x} + 0,9 (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 1 + 0,9 x + 1,8)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (0,9 x + 0,8)$

= $(0,9 x + 0,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten