Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{\frac{10}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{\frac{10}{9} x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{5} e^{\frac{10}{9} x} \cdot \frac{10}{9}$

= $\frac{2}{3} e^{\frac{10}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} + 5) \cdot e^{- 3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} + 5) \cdot e^{- 3 x - 4}$

$f'(x) =$ $(8 x + 0) \cdot e^{- 3 x - 4} + (4 x^{2} + 5) \cdot e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3)$

= $8 x \cdot e^{- 3 x - 4} + (4 x^{2} + 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 4})$

= $8 x \cdot e^{- 3 x - 4} - 3 (4 x^{2} + 5) \cdot e^{- 3 x - 4}$

= $e^{- 3 x - 4} \cdot (- 12 x^{2} - 15 + 8 x)$

= $e^{- 3 x - 4} \cdot (- 12 x^{2} + 8 x - 15)$

= $(- 12 x^{2} + 8 x - 15) \cdot e^{- 3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x^{3} + 5} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 6 \cdot e^{- 2 x^{3} + 5} x^{2}$

= $- 6 x^{2} e^{- 2 x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x + 2} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{- 2 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 2 x + 3}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x + 3}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x + 3} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x + 3} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 2 x + 3} + \sqrt{x} \cdot e^{- 2 x + 3} \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x + 3}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 3})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x + 3}}{\sqrt{x}} - 2 \sqrt{x} \cdot e^{- 2 x + 3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${(- 1,1)}^{49} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $- 106,719 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 7$

= $- e^{- 0,2 x} - (x - 1) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 7$

= $- e^{- 0,2 x} + 0,2 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 7$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 1 + 0,2 x - 0,2) + 7$

= $7 + (0,2 x - 1 - 0,2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $7 + (0,2 x - 1,2) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten