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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{10}{9} e^{\frac{9}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{10}{9} e^{\frac{9}{7} x}$

$f'(x) =$ $\frac{10}{9} e^{\frac{9}{7} x} \cdot \frac{9}{7}$

= $\frac{10}{7} e^{\frac{9}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x + 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{x + 3} + x^{2} \cdot e^{x + 3} \cdot 1$

= $2 x \cdot e^{x + 3} + x^{2} \cdot e^{x + 3}$

= $e^{x + 3} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x - 2}$

$f'(x) =$ $e^{x - 2} \cdot 1$

= $e^{x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{{(- 3 x - 3)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{{(- 3 x - 3)}^{2}}$

= $2 {(- 3 x - 3)}^{- 2}$

=> f'(x) = $- 4 {(- 3 x - 3)}^{- 3} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{{(- 3 x - 3)}^{3}} \cdot (- 3 + 0)$

= $- \frac{4}{{(- 3 x - 3)}^{3}} \cdot (- 3)$

= $\frac{12}{{(- 3 x - 3)}^{3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${1,05}^{63} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $21,623 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} + x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 1$

= $- e^{- 0,4 x} - (x - 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 1$

= $- e^{- 0,4 x} + 0,4 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 1$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1 + 0,4 x - 1,2) + 1$

= $1 + (0,4 x - 1 - 1,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $1 + (0,4 x - 2,2) \cdot e^{- 0,4 x}$