Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{3}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x - 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 5 x - 1} + x^{2} \cdot e^{- 5 x - 1} \cdot (- 5)$

= $2 x \cdot e^{- 5 x - 1} + x^{2} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 1})$

= $2 x \cdot e^{- 5 x - 1} - 5 x^{2} \cdot e^{- 5 x - 1}$

= $e^{- 5 x - 1} \cdot (- 5 x^{2} + 2 x)$

= $(- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} - 4} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{2} - 4} \cdot (6 x)$

= $6 \frac{x}{3 x^{2} - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 34-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${1,15}^{34} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $115,805 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 3$

= $- e^{- 0,3 x} - (x + 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 3$

= $- e^{- 0,3 x} + 0,3 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 3$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1 + 0,3 x + 1,5) + 3$

= $3 + (0,3 x - 1 + 1,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $3 + (0,3 x + 0,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten