$\text{f(x)}=$ $3+\frac{1}{3}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{3}{e}^{2x}·2$

= $\frac{2}{3}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x-3\right)·e^{-2x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-4+0\right)·e^{-2x-2}+\left(-4x-3\right)·e^{-2x-2}·\left(-2\right)$

= $-4e^{-2x-2}+\left(-4x-3\right)·\left(-2e^{-2x-2}\right)$

= $-4e^{-2x-2}-2\left(-4x-3\right)·e^{-2x-2}$

= $e^{-2x-2}·\left(-4+8x+6\right)$

= $e^{-2x-2}·\left(8x+2\right)$

= $\left(8x+2\right)·e^{-2x-2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^2+4\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(10x+0\right)·e^{3x}+\left(5x^2+4\right)·e^{3x}·3$

= $10x·e^{3x}+\left(5x^2+4\right)·3e^{3x}$

= $10x·e^{3x}+3\left(5x^2+4\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(15x^2+12+10x\right)$

= $e^{3x}·\left(15x^2+10x+12\right)$

= $\left(15x^2+10x+12\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x^2+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x^2+3}·\left(10x+0\right)$

= $\frac{1}{5x^2+3}·\left(10x\right)$

= $10\frac{x}{5x^2+3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-5\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-2x}+\left(x-5\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $e^{-2x}+\left(x-5\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $e^{-2x}-2\left(x-5\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(1-2x+10\right)$

= $e^{-2x}·\left(-2x+11\right)$

= $\left(-2x+11\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,6141}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,522}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{31}·e^{\mathrm{0,85}x}$

≈ $\mathrm{0,006}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-3$

= $-e^{-\mathrm{0,3}x}-\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-3$

= $-e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,3}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-1+\mathrm{0,3}x+\mathrm{1,5}\right)-3$

= $-3+\left(\mathrm{0,3}x-1+\mathrm{1,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $-3+\left(\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$