$\text{f(x)}=$ $1-3e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $9e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(x\right)-3e^{3x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x\right)-3e^{3x-3}·3$

= $3\cdot \sin \left(x\right)-9e^{3x-3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x^3-5}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x^3-5}·9x^2$

= $9·e^{3x^3-5}{x}^2$

= $9x^2{e}^{3x^3-5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x+5}·\left(5+0\right)$

= $\frac{1}{5x+5}·\left(5\right)$

= $\frac{5}{5x+5}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3x^3+2}$

= $-2{\left(3x^3+2\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $2{\left(3x^3+2\right)}^{-2}·\left(9x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{{\left(3x^3+2\right)}^2}·\left(9x^2+0\right)$

= $\frac{2}{{\left(3x^3+2\right)}^2}·\left(9x^2\right)$

= $18\frac{x^2}{{\left(3x^3+2\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^x$

f'(x) = $5e^x$

f''(x) = $5e^x$

f'''(x) = $5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $5e^x$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,9}x}-\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{0,9}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-1+\mathrm{0,9}x+\mathrm{2,7}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{0,9}x+\mathrm{1,7}\right)$

= $\left(\mathrm{0,9}x+\mathrm{1,7}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$