$\text{f(x)}=$ $3e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{2x}·2$

= $6e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x+1\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-1+0\right)·e^{-3x}+\left(-x+1\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-e^{-3x}+\left(-x+1\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $-e^{-3x}-3\left(-x+1\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-1+3x-3\right)$

= $e^{-3x}·\left(3x-4\right)$

= $\left(3x-4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^4-3\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-4x^3+0\right)·e^x+\left(-x^4-3\right)·e^x$

= $\left(-x^4-3\right)·e^x-4x^3·e^x$

= $e^x·\left(-x^4-3-4x^3\right)$

= $e^x·\left(-x^4-4x^3-3\right)$

= $\left(-x^4-4x^3-3\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{3x}·3$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+1\right)·\sin \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(-3x\right)+\left(x^2+1\right)·\cos \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $2x·\sin \left(-3x\right)+\left(x^2+1\right)·\left(-3\cdot \cos \left(-3x\right)\right)$

= $2x·\sin \left(-3x\right)-3\left(x^2+1\right)·\cos \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,6141}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,522}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{31}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

≈ $-\mathrm{0,006}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-6$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+5\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,8}x}+5\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(5-4x-28\right)$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-4x-23\right)$

= $\left(-4x-23\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$