$\text{f(x)}=$ $-3e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{3x}·3$

= $-9e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $9\sqrt{x}+e^{-2x+2}$

= $9x^{\frac{1}{2}}+e^{-2x+2}$

=> f'(x) = $\frac{9}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+e^{-2x+2}·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{2\sqrt{x}}+e^{-2x+2}·\left(-2\right)$

= $\frac{9}{2\sqrt{x}}-2e^{-2x+2}$

$\text{f(x)}=$ $e^x·x^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·x^4+e^x·4x^3$

= $e^x{x}^4+4·e^x{x}^3$

= $e^x·\left(x^4+4x^3\right)$

= $\left(x^4+4x^3\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-8\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-8}{7x}·7$

= $-\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-3x}+\left(x-1\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $e^{-3x}+\left(x-1\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $e^{-3x}-3\left(x-1\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(1-3x+3\right)$

= $e^{-3x}·\left(-3x+4\right)$

= $\left(-3x+4\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,6561}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{64}·e^{-\mathrm{0,9}x}$

≈ $\mathrm{0,001}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-9x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-9$

= $-3e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-9$

= $-3e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{1,8}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-9$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-3+\mathrm{1,8}x+\mathrm{12,6}\right)-9$

= $-9+\left(\mathrm{1,8}x-3+\mathrm{12,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-9+\left(\mathrm{1,8}x+\mathrm{9,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$