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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x}$

$f'(x) =$ $2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{5} - 3 x^{4}) \cdot e^{2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{5} - 3 x^{4}) \cdot e^{2 x + 3}$

$f'(x) =$ $(20 x^{4} - 12 x^{3}) \cdot e^{2 x + 3} + (4 x^{5} - 3 x^{4}) \cdot e^{2 x + 3} \cdot 2$

= $(20 x^{4} - 12 x^{3}) \cdot e^{2 x + 3} + (4 x^{5} - 3 x^{4}) \cdot 2 e^{2 x + 3}$

= $(20 x^{4} - 12 x^{3}) \cdot e^{2 x + 3} + 2 (4 x^{5} - 3 x^{4}) \cdot e^{2 x + 3}$

= $e^{2 x + 3} \cdot (8 x^{5} - 6 x^{4} + (20 x^{4} - 12 x^{3}))$

= $e^{2 x + 3} \cdot (8 x^{5} + 14 x^{4} - 12 x^{3})$

= $(8 x^{5} + 14 x^{4} - 12 x^{3}) \cdot e^{2 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x^{3} + 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x^{3} + 4} \cdot 3 x^{2}$

= $- 6 \cdot e^{x^{3} + 4} x^{2}$

= $- 6 x^{2} e^{x^{3} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{x} \cdot 1$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \cos (x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \cos (x - 4)$

$f'(x) =$ $\sin (x - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${(- 0,9)}^{64} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $0,001 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 8$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x + 1) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 8$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 8$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 3 + 1,2 x + 1,2) - 8$

= $- 8 + (1,2 x - 3 + 1,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 8 + (1,2 x - 1,8) \cdot e^{- 0,4 x}$