$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{6}{e}^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{6}{e}^{\frac{3}{5}x}·\frac{3}{5}$

= $\frac{7}{10}{e}^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\cdot \sin \left(x\right)+2e^{2x+2}+3x^3$

$\text{f'(x)}=$ $-5\cdot \cos \left(x\right)+2e^{2x+2}·2+9x^2$

= $-5\cdot \cos \left(x\right)+4e^{2x+2}+9x^2$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^2+3\right)·e^{x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-2x+0\right)·e^{x+2}+\left(-x^2+3\right)·e^{x+2}·1$

= $-2x·e^{x+2}+\left(-x^2+3\right)·e^{x+2}$

= $-2x·e^{x+2}+\left(-x^2+3\right)·e^{x+2}$

= $e^{x+2}·\left(-x^2+3-2x\right)$

= $e^{x+2}·\left(-x^2-2x+3\right)$

= $\left(-x^2-2x+3\right)·e^{x+2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-4x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-4x-2}·\left(-4+0\right)$

= $\frac{1}{-4x-2}·\left(-4\right)$

= $-\frac{4}{-4x-2}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x-2}+x^5·e^{-2x-2}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x-2}+x^5·\left(-2e^{-2x-2}\right)$

= $5x^4·e^{-2x-2}-2x^5·e^{-2x-2}$

= $e^{-2x-2}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x-2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+84\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-6$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-4\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,4}x}-4\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{1,6}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-4+\mathrm{1,6}x+\mathrm{1,6}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(\mathrm{1,6}x-\mathrm{2,4}\right)$

= $\left(\mathrm{1,6}x-\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$