$\text{f(x)}=$ $2-2e^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{\frac{5}{8}x}·\frac{5}{8}$

= $-\frac{5}{4}{e}^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{4x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{4x-3}+x^5·e^{4x-3}·4$

= $5x^4·e^{4x-3}+x^5·4e^{4x-3}$

= $5x^4·e^{4x-3}+4x^5·e^{4x-3}$

= $e^{4x-3}·\left(4x^5+5x^4\right)$

= $\left(4x^5+5x^4\right)·e^{4x-3}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-x}+x^2·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $2x·e^{-x}+x^2·\left(-e^{-x}\right)$

= $2x·e^{-x}-x^2·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^2+2x\right)$

= $\left(-x^2+2x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x^2+4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x^2+4x}·\left(10x+4\right)$

= $\frac{10x+4}{5x^2+4x}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(-x^3+4\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(-x^3+4\right)·\left(-3x^2+0\right)$

= $2\left(-x^3+4\right)·\left(-3x^2\right)$

= $-6\left(-x^3+4\right)x^2$

= $-6x^2\left(-x^3+4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{-x}$

f'(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

f''(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

f'''(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $-3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-9x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)-9$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}+\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)-9$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{0,8}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-9$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(1-\mathrm{0,8}x+\mathrm{0,8}\right)-9$

= $-9+\left(-\mathrm{0,8}x+1+\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $-9+\left(-\mathrm{0,8}x+\mathrm{1,8}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$