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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x}$

$f'(x) =$ $2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x - 1) \cdot e^{4 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x - 1) \cdot e^{4 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 3 + 0) \cdot e^{4 x - 4} + (- 3 x - 1) \cdot e^{4 x - 4} \cdot 4$

= $- 3 e^{4 x - 4} + (- 3 x - 1) \cdot 4 e^{4 x - 4}$

= $- 3 e^{4 x - 4} + 4 (- 3 x - 1) \cdot e^{4 x - 4}$

= $e^{4 x - 4} \cdot (- 12 x - 4 - 3)$

= $e^{4 x - 4} \cdot (- 12 x - 7)$

= $(- 12 x - 7) \cdot e^{4 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x^{2} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x^{2} + 1}$

$f'(x) =$ $e^{- x^{2} + 1} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \cdot e^{- x^{2} + 1} x$

= $- 2 x e^{- x^{2} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} + 2 x} \cdot (2 x + 2)$

= $\frac{2 x + 2}{x^{2} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 1) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 1) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (2 x + 1) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 \cdot \sin (x^{3}) + (2 x + 1) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 \cdot \sin (x^{3}) + 3 (2 x + 1) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 94)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 6$

= $e^{- 0,4 x} + (x - 1) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 6$

= $e^{- 0,4 x} - 0,4 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 6$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4 x + 0,4 + 1) - 6$

= $- 6 + (- 0,4 x + 0,4 + 1) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 6 + (- 0,4 x + 1,4) \cdot e^{- 0,4 x}$