Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{11}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{11}{8} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{11}{8} x} \cdot \frac{11}{8}$

= $- \frac{33}{8} e^{\frac{11}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x - 1} - \frac{9}{2} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x - 1} - \frac{9}{2} x^{4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x - 1} \cdot (- 1) - 18 x^{3}$

= $2 e^{- x - 1} - 18 x^{3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x - 4}$

$f'(x) =$ $e^{3 x - 4} \cdot 3$

= $3 e^{3 x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} + 4} \cdot (- 4 x + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x^{2} + 4} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \frac{x}{- 2 x^{2} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \cos (- 2 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \cos (- 2 x - 4)$

$f'(x) =$ $\sin (- 2 x - 4) \cdot (- 2 + 0)$

= $\sin (- 2 x - 4) \cdot (- 2)$

= $- 2 \cdot \sin (- 2 x - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $3 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 3,3 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 3,3 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $3,63 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $3,63 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 3,993 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,993 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $4,3923 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${(- 1,1)}^{45} \cdot 3 e^{- 1,1 x}$

≈ $- 218,671 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 4$

= $5 e^{- 0,9 x} + 5 (x - 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 4$

= $5 e^{- 0,9 x} - 4,5 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 4$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 4,5 x + 31,5 + 5) + 4$

= $4 + (- 4,5 x + 31,5 + 5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $4 + (- 4,5 x + 36,5) \cdot e^{- 0,9 x}$