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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x} \cdot 3$

= $6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x - 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 5 x - 4} + x^{2} \cdot e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5)$

= $2 x \cdot e^{- 5 x - 4} + x^{2} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 4})$

= $2 x \cdot e^{- 5 x - 4} - 5 x^{2} \cdot e^{- 5 x - 4}$

= $e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5 x^{2} + 2 x)$

= $(- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} + 5} \cdot (- 12 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x^{3} + 5} \cdot (- 12 x^{2})$

= $- 12 \frac{x^{2}}{- 4 x^{3} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{2 x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{2 x^{3} - 4}$

= $- 3 {(2 x^{3} - 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} {(2 x^{3} - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \cdot \sqrt{2 x^{3} - 4}} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $- \frac{3}{2 \cdot \sqrt{2 x^{3} - 4}} \cdot (6 x^{2})$

= $- 9 \frac{x^{2}}{\sqrt{2 x^{3} - 4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{x}$

f'(x) = $e^{x}$

f''(x) = $e^{x}$

f'''(x) = $e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 7$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- e^{- 0,4 x} - (x + 7) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- e^{- 0,4 x} + 0,4 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1 + 0,4 x + 2,8)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (0,4 x + 1,8)$

= $(0,4 x + 1,8) \cdot e^{- 0,4 x}$