Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{4}{5} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x - 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x - 4} + x^{4} \cdot e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x - 4} + x^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x - 4})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x - 4} - 2 x^{4} \cdot e^{- 2 x - 4}$

= $e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} - 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} - 4} \cdot (- 2 x)$

= $6 \cdot e^{- x^{2} - 4} x$

= $6 x e^{- x^{2} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x - 1} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x - 1} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 5) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 5) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (3 x + 5) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + (3 x + 5) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + 2 (3 x + 5) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 52-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${1,1}^{52} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $142,043 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 6$

= $4 e^{- 0,4 x} + 4 (x - 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 6$

= $4 e^{- 0,4 x} - 1,6 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 6$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (4 - 1,6 x + 8) - 6$

= $- 6 + (- 1,6 x + 4 + 8) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 6 + (- 1,6 x + 12) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten