$\text{f(x)}=$ $-4+\frac{1}{3}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{3}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{3x+5}-5\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{3x+5}·3+5\cdot \sin \left(x\right)$

= $-6e^{3x+5}+5\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-x-1}+x^3·e^{-x-1}·\left(-1\right)$

= $3x^2·e^{-x-1}+x^3·\left(-e^{-x-1}\right)$

= $3x^2·e^{-x-1}-x^3·e^{-x-1}$

= $e^{-x-1}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x-1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x^2+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x^2+2}·\left(6x+0\right)$

= $\frac{1}{3x^2+2}·\left(6x\right)$

= $6\frac{x}{3x^2+2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-1\right)·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\cos \left(x^2\right)+\left(x^2-1\right)·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $2x·\cos \left(x^2\right)+\left(x^2-1\right)·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $2x·\cos \left(x^2\right)-2\left(x^2-1\right)\sin \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 80-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 80 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{80}$

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{80}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

≈ $\mathrm{0,017}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,4}x}+2\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{0,8}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(2-\mathrm{0,8}x-\mathrm{3,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,8}x-\mathrm{1,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,8}x-\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$