Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{3}{4} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{3}{4} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{4} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \cdot \cos (x) + 3 e^{- 2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \cdot \cos (x) + 3 e^{- 2 x - 3}$

$f'(x) =$ $- 7 \cdot \sin (x) + 3 e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2)$

= $- 7 \cdot \sin (x) - 6 e^{- 2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{5} + x^{2}) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{5} + x^{2}) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(25 x^{4} + 2 x) \cdot e^{3 x} + (5 x^{5} + x^{2}) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(25 x^{4} + 2 x) \cdot e^{3 x} + (5 x^{5} + x^{2}) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(25 x^{4} + 2 x) \cdot e^{3 x} + 3 (5 x^{5} + x^{2}) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{5} + 3 x^{2} + (25 x^{4} + 2 x))$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{5} + 25 x^{4} + 3 x^{2} + 2 x)$

= $(15 x^{5} + 25 x^{4} + 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x - 3} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x - 3} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{- 2 x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (3 x)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (3 x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (3 x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (3 x) + \sqrt{x} \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (3 x)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (3 x)}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 80-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 80 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{80}$

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = ${0,95}^{80} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,017 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 6$

= $e^{- 0,9 x} + (x + 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 6$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 6$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1 - 0,9 x - 1,8) - 6$

= $- 6 + (- 0,9 x + 1 - 1,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 6 + (- 0,9 x - 0,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten