Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{15} x^{5} + \frac{4}{9} x^{3}$ und vereinfache:

$f(x) =$ $\frac{2}{15} x^{5} + \frac{4}{9} x^{3}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} x^{4} + \frac{4}{3} x^{2}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{8}{3} \cdot \cos (x)$ und gib die Steigung von f an der Stelle x= $\frac{1}{2} π$ an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{8}{3} \cdot \cos (x)$

=> $f'(x) =$ $\frac{8}{3} \cdot \sin (x)$

f'( $\frac{1}{2} π$ ) = $\frac{8}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$ = $\frac{8}{3} \cdot 1$ = $\frac{8}{3}$ ≈ 2.67

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} - 5 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} - 5 x$

=> $f'(x) =$ $6 x - 5$

f'(2) = $6 \cdot 2 - 5$ = $12 - 5$ = $7$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{x^{2}}$

= $x^{- 2}$

=> f'(x) = $- 2 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{x^{3}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{9}{4} \sqrt[4]{x} - \frac{7}{3} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{9}{4} \sqrt[4]{x} - \frac{7}{3} x^{3}$

= $- \frac{9}{4} x^{\frac{1}{4}} - \frac{7}{3} x^{3}$

=> f'(x) = $- \frac{9}{16} x^{- \frac{3}{4}} - 7 x^{2}$

$f'(x) =$ $- \frac{9}{16 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} - 7 x^{2}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $t \sqrt[3]{x} + 6 x^{2}$ im Punkt (1|f_t(1)) den Wert $13$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t \sqrt[3]{x} + 6 x^{2}$

= $t x^{\frac{1}{3}} + 6 x^{2}$

=> f'(x)= $\frac{1}{3} t x^{- \frac{2}{3}} + 12 x$

=> $f'(x) =$ $\frac{t}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} + 12 x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{3 {(\sqrt[3]{1})}^{2}} + 12 \cdot 1$
= $\frac{t}{3 \cdot 1^{2}} + 12 \cdot 1$
= $\frac{1}{3} t + 12$

Dieser Wert soll ja den Wert $13$ besitzen, also gilt:

$\frac{1}{3} t + 12$	=	$13$	\|⋅ 3
$3 (\frac{1}{3} t + 12)$	=	$39$
$t + 36$	=	$39$	\| $- 36$
$t$	=	$3$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 1$ im Punkt P(-1|f(-1)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 1$

=> $f'(x) =$ $- \frac{3}{4} x^{2} - x + 0$

f'(-1) = $- \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1)$ = $- \frac{3}{4} \cdot 1 + 1$ = $- \frac{3}{4} + 1$ = $\frac{1}{4}$ ≈ 0.25

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $\frac{1}{4}$ )) ≈ 14°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x + 7$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x + 7$ ab:

f'(x) = $x - 1$

Es muss gelten:

$x - 1$	=	$- 3$	\| $+ 1$
$x$	=	$- 2$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 2 x^{4} + \frac{1}{2} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -75.96 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -75.96 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-75.96°) ≈ -3.999

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- 2 x^{4} + \frac{1}{2} t x$

=> $f'(x) =$ $- 8 x^{3} + \frac{1}{2} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 8 \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} t$
= $\frac{1}{2} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -3.999 betragen, also gilt:

$\frac{1}{2} t$	=	$- 3,999$	\|⋅ 2
$t$	=	$- 7,998$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -8 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 2 x - 1$ und $g(x) =$ $- x^{2} + 2 x + 1$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} + 2 x - 1

=

- x^{2} + 2 x + 1

|

- (- x^{2} + 2 x + 1)

x^{4} + x^{2} - 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 2$

x^{2}

=

- 2

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $4 x^{3} + 2$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $4 \cdot 1^{3} + 2$ = $6$

$g'(x) =$ $- 2 x + 2$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 + 2$ = 0

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ )): α = arctan( $6$ ) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ )) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |80.5° - 0°| ≈ 80.5°

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{4} - 2 x^{3} + 3$ im Punkt P(2|f(2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{4} - 2 x^{3} + 3$

=> $f'(x) =$ $6 x^{3} - 6 x^{2} + 0$

f'(2) = $6 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2^{2}$ = $6 \cdot 8 - 6 \cdot 4$ = $48 - 24$ = $24$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $24$ )) ≈ 87.6°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{8} x^{4} - 111 x + 1$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{8} x^{4} - 111 x + 1$ ab:

f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{3} - 111$

Es muss gelten:

$- \frac{1}{2} x^{3} - 111$	=	$- 3$	\| $+ 111$
$- \frac{1}{2} x^{3}$	=	$108$	\|⋅ $(- 2)$
$x^{3}$	=	$- 216$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{216}$	= $- 6$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -6.

Aufgabenbeispiele von ganzrationale Fktn.

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts