Aufgabenbeispiele von ganzrationale Fktn.

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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - x 4 +2x und vereinfache:

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f(x)= - x 4 +2x

f'(x)= -4 x 3 +2

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 1 x und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

f(x)= - 1 x

= - x -1

=> f'(x) = x -2

=>f'(x)= 1 x 2

f'(1) = 1 1 2 = 1

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -2x +1 und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

Lösung einblenden

f(x)= -2x +1

=>f'(x)= -2 +0

= -2

f'(-1) = -2

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4 x 2 + 1 2 sin( x ) und vereinfache:

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f(x)= 4 x 2 + 1 2 sin( x )

= 4 x -2 + 1 2 sin( x )

=> f'(x) = -8 x -3 + 1 2 cos( x )

f'(x)= - 8 x 3 + 1 2 cos( x )

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 5 3 x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - 5 3 x

= - 5 3 x - 1 2

=> f'(x) = 5 6 x - 3 2

f'(x)= 5 6 ( x ) 3

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= t x 3 +2x im Punkt (1|ft(1)) den Wert 2 3 ?

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f(x)= t x 3 +2x

= t x 1 3 +2x

=> f'(x)= 1 3 t x - 2 3 +2

=>f'(x)= t 3 ( x 3 ) 2 +2

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= t 3 ( 1 3 ) 2 +2
= t 3 1 2 +2
= 1 3 t +2

Dieser Wert soll ja den Wert 2 3 besitzen, also gilt:

1 3 t +2 = 2 3 |⋅ 3
3( 1 3 t +2 ) = 2
t +6 = 2 | -6
t = -4

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= - x 2 + 3 2 x -4 im Punkt P(0|f(0)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= - x 2 + 3 2 x -4

=>f'(x)= -2x + 3 2 +0

f'(0) = -20 + 3 2 = 0 + 3 2 = 3 2 ≈ 1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( 3 2 )) ≈ 56.3°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 3 4 x 4 +83x +1 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 3 4 x 4 +83x +1 ab:

f'(x) = 3 x 3 +83

Es muss gelten:

3 x 3 +83 = 2 | -83
3 x 3 = -81 |:3
x 3 = -27 | 3
x = - 27 3 = -3

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -3.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= -3 x 4 + 1 3 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr 73.3 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 73.3 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(73.3°) ≈ 3.333

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= -3 x 4 + 1 3 t x

=>f'(x)= -12 x 3 + 1 3 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = -12 0 3 + 1 3 t
= 1 3 t

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.333 betragen, also gilt:

1 3 t = 3,333 |⋅ 3
t = 9,999

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 10 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 +4x -19 und g(x)= - x 2 +4x -1 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 +4x -19 = - x 2 +4x -1 | +19
x 2 +4x = - x 2 +4x +18 | + x 2 -4x
2 x 2 = 18 |:2
x 2 = 9 | 2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

L={ -3 ; 3 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 3 |f( 3 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 3 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x +4 , also gilt mf = f'( 3 )= 23 +4 = 10

g'(x)= -2x +4 , also gilt mg = g'( 3 )= -23 +4 = -2

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 3 |f( 3 )): α = arctan( 10 ) ≈ 84.3°

und für den Steigungswinkel von g in S( 3 |g( 3 )) gilt: β = arctan( -2 ) ≈ -63.4°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |84.3° - ( - 63.4 )°| ≈ 147.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 147.7° = 32.3° .

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= - 3 2 x 3 -3 x 2 im Punkt P(-2|f(-2)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= - 3 2 x 3 -3 x 2

=>f'(x)= - 9 2 x 2 -6x

f'(-2) = - 9 2 ( -2 ) 2 -6( -2 ) = - 9 2 4 +12 = -18 +12 = -6

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( -6 )) ≈ -80.5°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -45° an den Graph der Funktion f mit f(x)= - 3 16 x 4 -49x +2 angelegt.

Bestimme x0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= - 3 16 x 4 -49x +2 ab:

f'(x) = - 3 4 x 3 -49

Es muss gelten:

- 3 4 x 3 -49 = -1 | +49
- 3 4 x 3 = 48 |⋅ ( - 4 3 )
x 3 = -64 | 3
x = - 64 3 = -4

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -4.