$\text{f(x)}=$ $-2x^3+3x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-6x^2+6x$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $2\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $2\cdot 1$ = $2$

$\text{f(x)}=$ $-5x^5+3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-25x^4+0$

= $-25x^4$

f'(0) = $-25\cdot 0^4$ = $-25\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4x}$

= $\frac{1}{4}{x}^{-1}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{4}{x}^{-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{4x^2}$

$\text{f(x)}=$ $x^2-\sqrt[4]{x}$

= $x^2-x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $2x-\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}$

$\text{f'(x)}=$ $2x-\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $5\cdot \sin \left(x\right)+5tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $5\cdot \cos \left(x\right)+5t$

Jetzt setzen wir x = $\frac{1}{2}\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)+5t$
= $5\cdot 0+5t$
= $5t$

Dieser Wert soll ja den Wert $5$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-x-6$

=>$\text{f'(x)}=$ $x-1+0$

f'(3) = $3-1$ = $2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $2$)) ≈ 63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{16}{x}^4-13x-9$ ab:

f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^3-13$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 4.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 66.04 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(66.04°) ≈ 2.25

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^4+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-12x^3+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-12\cdot 0^3+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 2.25 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 9 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-2x-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-3\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-1$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-1$ = $5$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+3$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3+3$ = $-3$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$)): α = arctan( $5$) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$)) gilt: β = arctan( $-3$) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |78.7° - ( - 71.6 )°| ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\frac{3}{2}{x}^2+6$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2-3x+0$

f'(0) = $3\cdot 0^2-3\cdot 0$ = $3\cdot 0+0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-10x-5$ ab:

f'(x) = $x-10$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.