$\text{f(x)}=$ $-x^5-\frac{2}{9}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-5x^4-\frac{2}{3}{x}^2$

$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{4}\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{4}\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $-\frac{7}{4}\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $-\frac{7}{4}\cdot 1$ = $-\frac{7}{4}$ ≈ -1.75

$\text{f(x)}=$ $-2x^4+3x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-8x^3+3$

f'(1) = $-8\cdot 1^3+3$ = $-8\cdot 1+3$ = $-8+3$ = $-5$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{8}{3x}$

= $-\frac{8}{3}{x}^{-1}$

=> f'(x) = $\frac{8}{3}{x}^{-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{3x^2}$

$\text{f(x)}=$ $-7\sqrt{x}$

= $-7x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{7}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3t}{x^2}+2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{6t}{x^3}+2$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{6t}{{\left(-1\right)}^3}+2$
= $6t+2$

Dieser Wert soll ja den Wert $-22$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $x^3-\frac{1}{2}$

f'(1) = $1^3-\frac{1}{2}$ = $1-\frac{1}{2}$ = $1-\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $\frac{1}{2}$)) ≈ 26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4+78x-7$ ab:

f'(x) = $3x^3+78$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -80.54 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-80.54°) ≈ -6.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^2+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-4\cdot 0+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -6.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -12 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+3x-4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4·1·\left(-4\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{9+16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{-3+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-3-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+10$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1+10$ = $12$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+4$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+4$ = $2$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $12$) ≈ 85.2°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan( $2$) ≈ 63.4°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |85.2° - 63.4°| ≈ 21.8°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^4+\frac{3}{2}{x}^2+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x^3+3x+0$

f'(-1) = $-2\cdot {\left(-1\right)}^3+3\cdot \left(-1\right)$ = $-2\cdot \left(-1\right)-3$ = $2-3$ = $-1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-1$)) ≈ -45°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{28}{x}^4-48x+8$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{7}{x}^3-48$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.