$\text{f(x)}=$ $2x^4+\frac{2}{3}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $8x^3+2x^2$

$\text{f(x)}=$ $-4x^3+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-12x^2+0$

= $-12x^2$

f'(0) = $-12\cdot 0^2$ = $-12\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $4x^2+5$

=>$\text{f'(x)}=$ $8x+0$

= $8x$

f'(2) = $8\cdot 2$ = $16$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{x^3}$

= $3x^{-3}$

=> f'(x) = $-9x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt{x}-2x^4$

= $3x^{\frac{1}{2}}-2x^4$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}-8x^3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2\sqrt{x}}-8x^3$

$\text{f(x)}=$ $-2x^2+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x+2t$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-4\cdot \left(-1\right)+2t$
= $4+2t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-2$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-2x-6$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x-2+0$

f'(1) = $3\cdot 1-2$ = $3-2$ = $1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $1$)) ≈ 45°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+7x+2$ ab:

f'(x) = $3x+7$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 50.19 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(50.19°) ≈ 1.2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-x^3+\frac{1}{5}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\frac{1}{5}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-3\cdot 0^2+\frac{1}{5}t$
= $\frac{1}{5}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1.2 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 6 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-6\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+4$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+4$ = $8$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+2$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2+2$ = $-2$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$)): α = arctan( $8$) ≈ 82.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$)) gilt: β = arctan( $-2$) ≈ -63.4°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |82.9° - ( - 63.4 )°| ≈ 146.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 146.3° = 33.7° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^3-2x^2+5$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2-4x+0$

f'(3) = $3\cdot 3^2-4\cdot 3$ = $3\cdot 9-12$ = $27-12$ = $15$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $15$)) ≈ 86.2°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-8x+7$ ab:

f'(x) = $x-8$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.