$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{9}{x}^3-x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^2-2x$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $0$) = $-2\cdot \sin \left(0\right)$ = $-2\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $2x^5-3$

=>$\text{f'(x)}=$ $10x^4+0$

= $10x^4$

f'(0) = $10\cdot 0^4$ = $10\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{x}$

= $-2x^{-1}$

=> f'(x) = $2x^{-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{x^2}$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt{x}-2x^4$

= $3x^{\frac{1}{2}}-2x^4$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}-8x^3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2\sqrt{x}}-8x^3$

$\text{f(x)}=$ $3t\cdot \cos \left(x\right)+5x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3t\cdot \sin \left(x\right)+5$

Jetzt setzen wir x = $-\frac{1}{2}\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-3t\cdot \sin \left(\left(-\frac{1}{2}\pi \right)\right)+5$
= $-3t\cdot \left(-1\right)+5$
= $3t+5$

Dieser Wert soll ja den Wert $14$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-x^3+4$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x^3-3x^2+0$

f'(1) = $2\cdot 1^3-3\cdot 1^2$ = $2\cdot 1-3\cdot 1$ = $2-3$ = $-1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $-1$)) ≈ -45°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{12}{x}^4-69x+6$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{3}{x}^3-69$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -6.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 71.57 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(71.57°) ≈ 3.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-x^3+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-3\cdot 0^2+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 6 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-x-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-6\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+2$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3+2$ = $8$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+4$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3+4$ = $-2$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$)): α = arctan( $8$) ≈ 82.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$)) gilt: β = arctan( $-2$) ≈ -63.4°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |82.9° - ( - 63.4 )°| ≈ 146.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 146.3° = 33.7° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^3+x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^2+1$

f'(-3) = $-\frac{3}{4}\cdot {\left(-3\right)}^2+1$ = $-\frac{3}{4}\cdot 9+1$ = $-\frac{27}{4}+1$ = $-\frac{23}{4}$ ≈ -5.75

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $-\frac{23}{4}$)) ≈ -80.1°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+6x+6$ ab:

f'(x) = $x+6$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.