$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{5}{x}^5+3x^3$

$\text{f'(x)}=$ $-x^4+9x^2$

$\text{f(x)}=$ $-x+5$

=>$\text{f'(x)}=$ $-1+0$

= $-1$

f'(1) = $-1$

$\text{f(x)}=$ $x^4-3$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3+0$

= $4x^3$

f'(-1) = $4\cdot {\left(-1\right)}^3$ = $4\cdot \left(-1\right)$ = $-4$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{x^3}$

= $3x^{-3}$

=> f'(x) = $-9x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $-4\sqrt{x}$

= $-4x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-2x^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $t\sqrt{x}+2x^2$

= $t{x}^{\frac{1}{2}}+2x^2$

=> f'(x)= $\frac{1}{2}t{x}^{-\frac{1}{2}}+4x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{t}{2\sqrt{x}}+4x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{2}+4\cdot 1$
= $\frac{t}{2}+4\cdot 1$
= $\frac{1}{2}t+4$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{13}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^2+\frac{3}{2}x+6$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x+\frac{3}{2}+0$

f'(3) = $-2\cdot 3+\frac{3}{2}$ = $-6+\frac{3}{2}$ = $-\frac{9}{2}$ ≈ -4.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $-\frac{9}{2}$)) ≈ -77.5°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-26x-5$ ab:

f'(x) = $x^3-26$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 3.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -78.69 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-78.69°) ≈ -5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^3+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^2+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-6\cdot 0^2+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -15 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-3$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+2x-4$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+2\cdot 1-4$ = $2$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-4$ = $-6$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $2$) ≈ 63.4°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan( $-6$) ≈ -80.5°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |63.4° - ( - 80.5 )°| ≈ 143.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 143.9° = 36.1° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^2-\frac{3}{2}x+4$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x-\frac{3}{2}+0$

f'(-2) = $-2\cdot \left(-2\right)-\frac{3}{2}$ = $4-\frac{3}{2}$ = $\frac{5}{2}$ ≈ 2.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $\frac{5}{2}$)) ≈ 68.2°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{16}{x}^4-15x+6$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{4}{x}^3-15$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.