Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{4} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{4} - 2 x$

$f'(x) =$ $\frac{4}{3} x^{3} - 2$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{3}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{3}$

=> $f'(x) =$ $12 x^{2}$

f'(-1) = $12 \cdot {(- 1)}^{2}$ = $12 \cdot 1$ = $12$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{5} - 5 x^{2}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{5} - 5 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $20 x^{4} - 10 x$

f'(-1) = $20 \cdot {(- 1)}^{4} - 10 \cdot (- 1)$ = $20 \cdot 1 + 10$ = $20 + 10$ = $30$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4 x^{2}} + \frac{3}{4} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{4 x^{2}} + \frac{3}{4} x^{4}$

= $- \frac{1}{4} x^{- 2} + \frac{3}{4} x^{4}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- 3} + 3 x^{3}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3}} + 3 x^{3}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} + \frac{9}{2} \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} + \frac{9}{2} \sqrt{x}$

= $\frac{1}{2} x^{4} + \frac{9}{2} x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $2 x^{3} + \frac{9}{4} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $2 x^{3} + \frac{9}{4 \sqrt{x}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $- \sin (x) + 4 t x$ im Punkt ( $\frac{1}{2} π$ |f_t( $\frac{1}{2} π$ )) den Wert $- 16$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sin (x) + 4 t x$

=> $f'(x) =$ $- \cos (x) + 4 t$

Jetzt setzen wir x = $\frac{1}{2} π$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \cos (\frac{1}{2} π) + 4 t$
= $- 0 + 4 t$
= $4 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $- 16$ besitzen, also gilt:

$4 t$	=	$- 16$	\|: $4$
$t$	=	$- 4$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{3}{2} x$ im Punkt P(-3|f(-3)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $x^{2} + \frac{3}{2} x$

=> $f'(x) =$ $2 x + \frac{3}{2}$

f'(-3) = $2 \cdot (- 3) + \frac{3}{2}$ = $- 6 + \frac{3}{2}$ = $- \frac{9}{2}$ ≈ -4.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $- \frac{9}{2}$ )) ≈ -77.5°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{8} x^{4} - 105 x + 4$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{8} x^{4} - 105 x + 4$ ab:

f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{3} - 105$

Es muss gelten:

$- \frac{1}{2} x^{3} - 105$	=	$3$	\| $+ 105$
$- \frac{1}{2} x^{3}$	=	$108$	\|⋅ $(- 2)$
$x^{3}$	=	$- 216$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{216}$	= $- 6$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -6.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $2 x^{2} + \frac{1}{2} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 77.47 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 77.47 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(77.47°) ≈ 4.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $2 x^{2} + \frac{1}{2} t x$

=> $f'(x) =$ $4 x + \frac{1}{2} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $4 \cdot 0 + \frac{1}{2} t$
= $\frac{1}{2} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 4.5 betragen, also gilt:

$\frac{1}{2} t$	=	$4,5$	\|⋅ 2
$t$	=	$9$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 9 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + 6 x - 4$ und $g(x) =$ $- x^{2} + 4 x$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} + 6 x - 4

=

- x^{2} + 4 x

|

+ x^{2}

- 4 x

2 x^{2} + 2 x - 4

= 0 |:2

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x + 6$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $2 \cdot 1 + 6$ = $8$

$g'(x) =$ $- 2 x + 4$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 + 4$ = $2$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ )): α = arctan( $8$ ) ≈ 82.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ )) gilt: β = arctan( $2$ ) ≈ 63.4°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |82.9° - 63.4°| ≈ 19.5°

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{3} + 2 x + 5$ im Punkt P(2|f(2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{3} + 2 x + 5$

=> $f'(x) =$ $- \frac{9}{2} x^{2} + 2 + 0$

f'(2) = $- \frac{9}{2} \cdot 2^{2} + 2$ = $- \frac{9}{2} \cdot 4 + 2$ = $- 18 + 2$ = $- 16$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $- 16$ )) ≈ -86.4°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{16} x^{4} - 19 x + 9$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{16} x^{4} - 19 x + 9$ ab:

f'(x) = $\frac{1}{4} x^{3} - 19$

Es muss gelten:

$\frac{1}{4} x^{3} - 19$	=	$- 3$	\| $+ 19$
$\frac{1}{4} x^{3}$	=	$16$	\|⋅ $4$
$x^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 4.

Aufgabenbeispiele von ganzrationale Fktn.

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts