$\text{f(x)}=$ $-5x^4+\frac{1}{2}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-20x^3+x$

$\text{f(x)}=$ $6x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $18x^2$

f'(0) = $18\cdot 0^2$ = $18\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-2x^4-5x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-8x^3-5$

f'(-1) = $-8\cdot {\left(-1\right)}^3-5$ = $-8\cdot \left(-1\right)-5$ = $8-5$ = $3$

$\text{f(x)}=$ $-9x^3-\frac{1}{2x^4}$

= $-9x^3-\frac{1}{2}{x}^{-4}$

=> f'(x) = $-27x^2+2x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-27x^2+\frac{2}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{9}{4}\sqrt{x}$

= $\frac{9}{4}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{9}{8}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{8\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $4x^3+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $12x^2+2t$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $12\cdot {\left(-2\right)}^2+2t$
= $48+2t$

Dieser Wert soll ja den Wert $50$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^2+2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x+2$

f'(-2) = $2\cdot \left(-2\right)+2$ = $-4+2$ = $-2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-2$)) ≈ -63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-15x+4$ ab:

f'(x) = $2x-15$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 78.69 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(78.69°) ≈ 5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $x^4+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $4\cdot 0^3+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 15 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-3$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+4$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3+4$ = $10$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+4$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3+4$ = $-2$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$)): α = arctan( $10$) ≈ 84.3°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$)) gilt: β = arctan( $-2$) ≈ -63.4°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |84.3° - ( - 63.4 )°| ≈ 147.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 147.7° = 32.3° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{2}x+7$

=>$\text{f'(x)}=$ $x^3-\frac{1}{2}+0$

f'(-2) = ${\left(-2\right)}^3-\frac{1}{2}$ = $\left(-8\right)-\frac{1}{2}$ = $-8-\frac{1}{2}$ = $-\frac{17}{2}$ ≈ -8.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-\frac{17}{2}$)) ≈ -83.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{8}{x}^4-29x-7$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^3-29$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.