$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{15}{x}^5+x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{3}{x}^4+2x$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $0$) = $2\cdot \cos \left(0\right)$ = $2\cdot 1$ = $2$

$\text{f(x)}=$ $2x+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $2+0$

= $2$

f'(4) = $2$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{x^3}$

= $-2x^{-3}$

=> f'(x) = $6x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $9\sqrt{x}$

= $9x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{9}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2t}{x}+2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2t}{x^2}+2$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{2t}{{\left(-1\right)}^2}+2$
= $-2t+2$

Dieser Wert soll ja den Wert $-12$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2+x-1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}x+1+0$

f'(2) = $-\frac{1}{2}\cdot 2+1$ = $-1+1$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+8x+2$ ab:

f'(x) = $x+8$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -63.43 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-63.43°) ≈ -2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $2x^4+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $8x^3+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $8\cdot 0^3+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -2 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -8 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-2$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3-3$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3-3$ = $1$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-3$ = $-5$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $1$) ≈ 45°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan( $-5$) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |45° - ( - 78.7 )°| ≈ 123.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 123.7° = 56.3° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{2}{x}^3-7$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x^3+\frac{3}{2}{x}^2+0$

f'(1) = $-1^3+\frac{3}{2}\cdot 1^2$ = $-1+\frac{3}{2}\cdot 1$ = $-1+\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $\frac{1}{2}$)) ≈ 26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-17x+9$ ab:

f'(x) = $2x^3-17$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 2.