$\text{f(x)}=$ $-x^4+2x$

$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+2$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{x}$

= $-x^{-1}$

=> f'(x) = $x^{-2}$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x^2}$

f'(1) = $\frac{1}{1^2}$ = $1$

$\text{f(x)}=$ $-2x+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2+0$

= $-2$

f'(-1) = $-2$

$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{x^2}+\frac{1}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

= $4x^{-2}+\frac{1}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $-8x^{-3}+\frac{1}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{8}{x^3}+\frac{1}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{3\sqrt{x}}$

= $-\frac{5}{3}{x}^{-\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{5}{6}{x}^{-\frac{3}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{6{\left(\sqrt{x}\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $t\sqrt[3]{x}+2x$

= $t{x}^{\frac{1}{3}}+2x$

=> f'(x)= $\frac{1}{3}t{x}^{-\frac{2}{3}}+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{t}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+2$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{3{\left(\sqrt[3]{1}\right)}^2}+2$
= $\frac{t}{3\cdot 1^2}+2$
= $\frac{1}{3}t+2$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{2}{3}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^2+\frac{3}{2}x-4$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x+\frac{3}{2}+0$

f'(0) = $-2\cdot 0+\frac{3}{2}$ = $0+\frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}$ ≈ 1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $\frac{3}{2}$)) ≈ 56.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4+83x+1$ ab:

f'(x) = $3x^3+83$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 73.3 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(73.3°) ≈ 3.333

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^4+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-12x^3+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-12\cdot 0^3+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.333 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 10 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-3$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+4$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3+4$ = $10$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+4$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3+4$ = $-2$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$)): α = arctan( $10$) ≈ 84.3°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$)) gilt: β = arctan( $-2$) ≈ -63.4°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |84.3° - ( - 63.4 )°| ≈ 147.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 147.7° = 32.3° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^3-3x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{2}{x}^2-6x$

f'(-2) = $-\frac{9}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2-6\cdot \left(-2\right)$ = $-\frac{9}{2}\cdot 4+12$ = $-18+12$ = $-6$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-6$)) ≈ -80.5°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{16}{x}^4-49x+2$ ab:

f'(x) = $-\frac{3}{4}{x}^3-49$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.