$\text{f(x)}=$ $2x^5-5x$

$\text{f'(x)}=$ $10x^4-5$

$\text{f(x)}=$ $5\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-5\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $0$) = $-5\cdot \sin \left(0\right)$ = $-5\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $5x^4+2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $20x^3+2$

f'(2) = $20\cdot 2^3+2$ = $20\cdot 8+2$ = $160+2$ = $162$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}\cdot \cos \left(x\right)-\frac{5}{x^2}$

= $\frac{1}{3}\cdot \cos \left(x\right)-5x^{-2}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{3}\cdot \sin \left(x\right)+10x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{3}\cdot \sin \left(x\right)+\frac{10}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-2\sqrt{x}$

= $-2x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-x^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \sin \left(x\right)+4tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(x\right)+4t$

Jetzt setzen wir x = $0$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-4\cdot \cos \left(0\right)+4t$
= $-4\cdot 1+4t$
= $-4+4t$

Dieser Wert soll ja den Wert $12$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^2-2x+5$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x-2+0$

f'(-3) = $-2\cdot \left(-3\right)-2$ = $6-2$ = $4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $4$)) ≈ 76°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-10x+7$ ab:

f'(x) = $x^3-10$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 2.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -71.57 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-71.57°) ≈ -3.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $2x^2+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $4\cdot 0+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -3.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -12 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-2$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3-1$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3-1$ = $3$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-1$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-1$ = $-3$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $3$) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan( $-3$) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |71.6° - ( - 71.6 )°| ≈ 143.2°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 143.2° = 36.8° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+x+7$

=>$\text{f'(x)}=$ $x+1+0$

f'(-1) = $-1+1$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-x+7$ ab:

f'(x) = $2x^3-1$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.