$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{\left(-3x-3\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{4}{\left(-3x-3\right)}^2·\left(-3+0\right)$

= $\frac{9}{4}{\left(-3x-3\right)}^2·\left(-3\right)$

= $-\frac{27}{4}{\left(-3x-3\right)}^2$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(-\frac{1}{3}x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(-\frac{1}{3}x+5\right)·\left(-\frac{1}{3}+0\right)$

= $-3\cdot \cos \left(-\frac{1}{3}x+5\right)·\left(-\frac{1}{3}\right)$

= $\cos \left(-\frac{1}{3}x+5\right)$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(-3x-4\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-2\left(-3x-4\right)·\left(-3+0\right)$

= $-2\left(-3x-4\right)·\left(-3\right)$

= $6\left(-3x-4\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = 2 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(2) = 3.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-3|-2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-2 = g(-3)
Wegen -2 = h(x)= g(f(x))= g(-3) gilt also f(x) = -3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|-3) und Q₂(2|-3), also bei
x₁ = 0 und x₂ = 2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = $-2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-2)) = f($-2$).

f($-2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-2)) = f($-2$) = 0.

Wir können der Zeichnung rechts f(3) = 1 entnehmen.

Also gilt h(3) = g(f(3)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = g(f(3)) = g(1) = 2.

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x^2}·\cos \left(x\right)$

= $x^{-2}·\cos \left(x\right)$

=> f'(x) = $-2x^{-3}·\cos \left(x\right)+x^{-2}·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{x^3}·\cos \left(x\right)+\frac{1}{x^2}·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-2\frac{\cos \left(x\right)}{x^3}-\frac{\sin \left(x\right)}{x^2}$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)·{\left(5x-4\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)·{\left(5x-4\right)}^4+\sin \left(x\right)·4{\left(5x-4\right)}^3·\left(5+0\right)$

= $\cos \left(x\right){\left(5x-4\right)}^4+\sin \left(x\right)·4{\left(5x-4\right)}^3·\left(5\right)$

= $\cos \left(x\right){\left(5x-4\right)}^4+\sin \left(x\right)·20{\left(5x-4\right)}^3$

= $\cos \left(x\right){\left(5x-4\right)}^4+20\sin \left(x\right){\left(5x-4\right)}^3$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^2+3\right)·\cos \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(6x+0\right)·\cos \left(x^3\right)+\left(3x^2+3\right)·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

= $6x·\cos \left(x^3\right)+\left(3x^2+3\right)·\left(-3\sin \left(x^3\right)x^2\right)$

= $6x·\cos \left(x^3\right)-3\left(3x^2+3\right)\sin \left(x^3\right)x^2$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-2$)⋅g(x) + ( $x^2-2x+1$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 5 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-2x+1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·1}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4-4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-2x+1$ gilt: f'(x)= $2x-2$. Diese setzen wir = 0:

Es gilt also f(1) = f'(1) = 0, somit gilt h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = 0⋅g(1) + 0⋅g'(1) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =1 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 1, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( 1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-9$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -5, bei x = 3 und bei x = 0.
(also gilt g(-5) = g(-5) = g(-5) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = 3, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(3) = f'(3)⋅g(3) + f(3)⋅g'(3) = f'(3)⋅0 + 0⋅g'(3) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 3 eine waagrechte Tangente.