$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(\frac{2}{3}x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(\frac{2}{3}x+4\right)·\left(\frac{2}{3}+0\right)$

= $3\cdot \cos \left(\frac{2}{3}x+4\right)·\left(\frac{2}{3}\right)$

= $2\cdot \cos \left(\frac{2}{3}x+4\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{\frac{3}{4}x-1}$

= ${\left(\frac{3}{4}x-1\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{\left(\frac{3}{4}x-1\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(\frac{3}{4}+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\cdot \sqrt{\frac{3}{4}x-1}}·\left(\frac{3}{4}+0\right)$

= $\frac{1}{2\cdot \sqrt{\frac{3}{4}x-1}}·\left(\frac{3}{4}\right)$

= $\frac{3}{8\cdot \sqrt{\frac{3}{4}x-1}}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(\sin \left(x\right)-2\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(\sin \left(x\right)-2\right)·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $2\left(\sin \left(x\right)-2\right)·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $2\left(\sin \left(x\right)-2\right)·\cos \left(x\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(-3) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-3) = g(f(-3)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = g(f(-3)) = g(0) = 0.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(-2)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|-2) und Q₂(0|-2), also bei
x₁ = 2 und x₂ = 0

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f($1$).

f($1$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f($1$) = $\mathrm{0,5}$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f(1) = $0$ entnehmen, weil ja f die Ableitungsfunktion von F ist und somit die Tangentensteigung von F angibt.

Wir suchen also F(f(1)) = F($0$).

F($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

F(f(1)) = F($0$) = $-1$.

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2-5\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+0\right)·\cos \left(x\right)+\left(2x^2-5\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $4x·\cos \left(x\right)-\left(2x^2-5\right)·\sin \left(x\right)$

= $4x·\cos \left(x\right)-\left(2x^2-5\right)·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\cos \left(-5x-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\cos \left(-5x-5\right)+x^2·(-\sin \left(-5x-5\right)·\left(-5+0\right))$

= $2x·\cos \left(-5x-5\right)+x^2·(-\sin \left(-5x-5\right)·\left(-5\right))$

= $2x·\cos \left(-5x-5\right)+x^2·5\cdot \sin \left(-5x-5\right)$

= $2x·\cos \left(-5x-5\right)+5x^2·\sin \left(-5x-5\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+8\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(x^2+8\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+\left(x^2+8\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+3\left(x^2+8\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-9$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-9$ gilt: f'(x)= $2x$. Diese setzen wir = 0:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 0, wodurch mit f'(0)=0 und g'(0)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0) = 0⋅g(0) + f(0)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -4, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( -4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 0 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(0) = f'(g(0))⋅g'(0) = f'(g(0))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.