$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{4}\cdot \sin \left(-x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4}\cdot \cos \left(-x-2\right)·\left(-1+0\right)$

= $-\frac{3}{4}\cdot \cos \left(-x-2\right)·\left(-1\right)$

= $\frac{3}{4}\cdot \cos \left(-x-2\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4{\left(3x+1\right)}^3}$

= $-\frac{1}{4}{\left(3x+1\right)}^{-3}$

=> f'(x) = $\frac{3}{4}{\left(3x+1\right)}^{-4}·\left(3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4{\left(3x+1\right)}^4}·\left(3+0\right)$

= $\frac{3}{4{\left(3x+1\right)}^4}·\left(3\right)$

= $\frac{9}{4{\left(3x+1\right)}^4}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(2x^2-3\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $4\left(2x^2-3\right)·\left(4x+0\right)$

= $4\left(2x^2-3\right)·\left(4x\right)$

= $16\left(2x^2-3\right)x$

= $16x\left(2x^2-3\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 1 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(1) = 3.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-1|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(-1)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(-1) gilt also f(x) = -1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|-1) und Q₂(-2|-1), also bei
x₁ = 0 und x₂ = -2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f($0$) = $-\frac{5}{2}$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($2$).

f($2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($2$) = $\frac{7}{2}$.

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x}·\sin \left(x\right)$

= $x^{-1}·\sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $-x^{-2}·\sin \left(x\right)+x^{-1}·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{x^2}·\sin \left(x\right)+\frac{1}{x}·\cos \left(x\right)$

= $-\frac{\sin \left(x\right)}{x^2}+\frac{\cos \left(x\right)}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·\sin \left(4x-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·\sin \left(4x-4\right)+x^4·\cos \left(4x-4\right)·\left(4+0\right)$

= $4x^3·\sin \left(4x-4\right)+x^4·\cos \left(4x-4\right)·\left(4\right)$

= $4x^3·\sin \left(4x-4\right)+x^4·4\cdot \cos \left(4x-4\right)$

= $4x^3·\sin \left(4x-4\right)+4x^4·\cos \left(4x-4\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-3\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(x^2-3\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+\left(x^2-3\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+3\left(x^2-3\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x+2$)⋅g(x) + ( $x^2+2x-8$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 3 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(3) = g'(3) = 0.

Somit ist bei x = 3 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(3) = f'(3)⋅g(3) + f(3)⋅g'(3) = f'(3)⋅0 + f(3)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 3 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 2, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-25$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-25$ gilt: f'(x)= $2x$. Diese setzen wir = 0:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 0, wodurch mit f'(0)=0 und g'(0)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0) = 0⋅g(0) + f(0)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.