$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3}{\left(\frac{2}{3}x-4\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{10}{3}{\left(\frac{2}{3}x-4\right)}^4·\left(\frac{2}{3}+0\right)$

= $-\frac{10}{3}{\left(\frac{2}{3}x-4\right)}^4·\left(\frac{2}{3}\right)$

= $-\frac{20}{9}{\left(\frac{2}{3}x-4\right)}^4$

$\text{f(x)}=$ $-2\sqrt{-3x-4}$

= $-2{\left(-3x-4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-{\left(-3x-4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{\sqrt{-3x-4}}·\left(-3+0\right)$

= $-\frac{1}{\sqrt{-3x-4}}·\left(-3\right)$

= $\frac{3}{\sqrt{-3x-4}}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x^2-1}$

= ${\left(x^2-1\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-{\left(x^2-1\right)}^{-2}·\left(2x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{{\left(x^2-1\right)}^2}·\left(2x+0\right)$

= $-\frac{1}{{\left(x^2-1\right)}^2}·\left(2x\right)$

= $-2\frac{x}{{\left(x^2-1\right)}^2}$

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = -3 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(-3) = -3.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(3)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|3) und Q₂(-3|3), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -3

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($1$).

f($1$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($1$) = $1$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($1$).

f($1$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($1$) = $-2$.

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x^2}·\cos \left(x\right)$

= $x^{-2}·\cos \left(x\right)$

=> f'(x) = $-2x^{-3}·\cos \left(x\right)+x^{-2}·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{x^3}·\cos \left(x\right)+\frac{1}{x^2}·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-2\frac{\cos \left(x\right)}{x^3}-\frac{\sin \left(x\right)}{x^2}$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(x+5\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-5\right)·\cos \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\cos \left(-2x\right)+\left(x^2-5\right)·(-\sin \left(-2x\right)·\left(-2\right))$

= $2x·\cos \left(-2x\right)+\left(x^2-5\right)·2\cdot \sin \left(-2x\right)$

= $2x·\cos \left(-2x\right)+2\left(x^2-5\right)·\sin \left(-2x\right)$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-2$)⋅g(x) + ( $x^2-2x-3$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 5.
(also gilt g(-1) = g(-1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-2x-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-3\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = -1, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1) = f'(-1)⋅0 + 0⋅g'(-1) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 3, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 1 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = -1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(-1) = f'(g(-1))⋅g'(-1) = f'(g(-1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.