$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}\cdot \cos \left(x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot \sin \left(x+5\right)$

$\text{f(x)}=$ ${\left(-\frac{2}{3}x-1\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(-\frac{2}{3}x-1\right)·\left(-\frac{2}{3}+0\right)$

= $2\left(-\frac{2}{3}x-1\right)·\left(-\frac{2}{3}\right)$

= $-\frac{4}{3}\left(-\frac{2}{3}x-1\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(\cos \left(x\right)-3\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-4\left(\cos \left(x\right)-3\right)·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $-4\left(\cos \left(x\right)-3\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $4\left(\cos \left(x\right)-3\right)·\sin \left(x\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(2) = -2 entnehmen.

Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(-2) = 1.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 4 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|4), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
4 = g(-2)
Wegen 4 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|-2) und Q₂(-1|-2), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -1

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f($0$) = $-2$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f(-1) = $0$ entnehmen, weil ja f die Ableitungsfunktion von F ist und somit die Tangentensteigung von F angibt.

Wir suchen also F(f(-1)) = F($0$).

F($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

F(f(-1)) = F($0$) = $\frac{3}{2}$.

$\text{f(x)}=$ $x^3·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·\cos \left(x\right)+x^3·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $3x^2·\cos \left(x\right)-x^3·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(x\right)·{\left(-5x-2\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x\right)·{\left(-5x-2\right)}^2+\cos \left(x\right)·(2\left(-5x-2\right)·\left(-5+0\right))$

= $-\sin \left(x\right){\left(-5x-2\right)}^2+\cos \left(x\right)·(2\left(-5x-2\right)·\left(-5\right))$

= $-\sin \left(x\right){\left(-5x-2\right)}^2+\cos \left(x\right)·\left(-10\left(-5x-2\right)\right)$

= $-\sin \left(x\right){\left(-5x-2\right)}^2-10\cos \left(x\right)\left(-5x-2\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-6\right)·\cos \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\cos \left(x^3\right)+\left(x-6\right)·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

= $\cos \left(x^3\right)+\left(x-6\right)·\left(-3\sin \left(x^3\right)x^2\right)$

= $\cos \left(x^3\right)-3\left(x-6\right)\sin \left(x^3\right)x^2$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-16$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-16$ gilt: f'(x)= $2x$. Diese setzen wir = 0:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 0, wodurch mit f'(0)=0 und g'(0)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0) = 0⋅g(0) + f(0)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(0)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 0 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 0) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 0 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 0, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 0) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-9$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 2 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(2) = g'(2) = 0.

Somit ist bei x = 2 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(2) = f'(2)⋅g(2) + f(2)⋅g'(2) = f'(2)⋅0 + f(2)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 2 eine waagrechte Tangente.