$\text{f(x)}=$ ${\left(-\frac{1}{4}x-5\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $4{\left(-\frac{1}{4}x-5\right)}^3·\left(-\frac{1}{4}+0\right)$

= $4{\left(-\frac{1}{4}x-5\right)}^3·\left(-\frac{1}{4}\right)$

= $-{\left(-\frac{1}{4}x-5\right)}^3$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4{\left(-\frac{1}{4}x+2\right)}^3}$

= $\frac{1}{4}{\left(-\frac{1}{4}x+2\right)}^{-3}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{4}{\left(-\frac{1}{4}x+2\right)}^{-4}·\left(-\frac{1}{4}+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4{\left(-\frac{1}{4}x+2\right)}^4}·\left(-\frac{1}{4}+0\right)$

= $-\frac{3}{4{\left(-\frac{1}{4}x+2\right)}^4}·\left(-\frac{1}{4}\right)$

= $\frac{3}{16{\left(-\frac{1}{4}x+2\right)}^4}$

$\text{f(x)}=$ $-2\sqrt{-3x+4}$

= $-2{\left(-3x+4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-{\left(-3x+4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{\sqrt{-3x+4}}·\left(-3+0\right)$

= $-\frac{1}{\sqrt{-3x+4}}·\left(-3\right)$

= $\frac{3}{\sqrt{-3x+4}}$

Wir können der Zeichnung rechts f(2) = -1 entnehmen.

Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(-1) = -2.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(0)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-1|0) und Q₂(3|0), also bei
x₁ = -1 und x₂ = 3

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = $-1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-2)) = f($-1$).

f($-1$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-2)) = f($-1$) = $-\mathrm{3,5}$.

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 2 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(2) = 1.

$\text{f(x)}=$ $x^5·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·\cos \left(x\right)+x^5·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $5x^4·\cos \left(x\right)-x^5·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·{\left(-x+5\right)}^2$

= $x^{\frac{1}{2}}·{\left(-x+5\right)}^2$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·{\left(-x+5\right)}^2+x^{\frac{1}{2}}·(2\left(-x+5\right)·\left(-1+0\right))$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·{\left(-x+5\right)}^2+\sqrt{x}·(2\left(-x+5\right)·\left(-1+0\right))$

= $\frac{1}{2}\frac{{\left(-x+5\right)}^2}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·(2\left(-x+5\right)·\left(-1\right))$

= $\frac{1}{2}\frac{{\left(-x+5\right)}^2}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-2\left(-x+5\right)\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{{\left(-x+5\right)}^2}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x}\left(-x+5\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-5\right)·\sin \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(x^2\right)+\left(2x-5\right)·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $2\cdot \sin \left(x^2\right)+\left(2x-5\right)·2\cos \left(x^2\right)x$

= $2\cdot \sin \left(x^2\right)+2\left(2x-5\right)\cos \left(x^2\right)x$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-4$)⋅g(x) + ( $x^2-4x+4$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-4x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·4}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{16-16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-4x+4$ gilt: f'(x)= $2x-4$. Diese setzen wir = 0:

Es gilt also f(2) = f'(2) = 0, somit gilt h'(2) = f'(2)⋅g(2) + f(2)⋅g'(2) = 0⋅g(2) + 0⋅g'(2) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =2 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 1, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-2$)⋅g(x) + ( $x^2-2x-8$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-2x-8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-8\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-2x-8$ gilt: f'(x)= $2x-2$. Diese setzen wir = 0:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 1, wodurch mit f'(1)=0 und g'(1)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = 0⋅g(1) + f(1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.