$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{\left(-\frac{3}{4}x-4\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{2}{\left(-\frac{3}{4}x-4\right)}^4·\left(-\frac{3}{4}+0\right)$

= $\frac{5}{2}{\left(-\frac{3}{4}x-4\right)}^4·\left(-\frac{3}{4}\right)$

= $-\frac{15}{8}{\left(-\frac{3}{4}x-4\right)}^4$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}\sqrt{-x+2}$

= $\frac{1}{3}{\left(-x+2\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{6}{\left(-x+2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{6\sqrt{-x+2}}·\left(-1+0\right)$

= $\frac{1}{6\sqrt{-x+2}}·\left(-1\right)$

= $-\frac{1}{6\sqrt{-x+2}}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(\cos \left(x\right)+3\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $6{\left(\cos \left(x\right)+3\right)}^2·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $6{\left(\cos \left(x\right)+3\right)}^2·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-6{\left(\cos \left(x\right)+3\right)}^2·\sin \left(x\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(2) = 2 entnehmen.

Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(2) = -2.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(0)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|0) und Q₂(2|0), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($1$).

f($1$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($1$) = $-2$.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-3|2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
2 = g(-3)
Wegen 2 = h(x)= g(f(x))= g(-3) gilt also f(x) = -3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|-3) und Q₂(2|-3), also bei
x₁ = 0 und x₂ = 2

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(x\right)·x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x\right)·x^2+\cos \left(x\right)·2x$

= $-\sin \left(x\right)x^2+2\cos \left(x\right)x$

$\text{f(x)}=$ $x^5·\sqrt{5x+4}$

= $x^5·{\left(5x+4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $5x^4·{\left(5x+4\right)}^{\frac{1}{2}}+x^5·\frac{1}{2}{\left(5x+4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(5+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·\sqrt{5x+4}+x^5·\frac{1}{2\cdot \sqrt{5x+4}}·\left(5+0\right)$

= $5x^4\sqrt{5x+4}+x^5·\frac{1}{2\cdot \sqrt{5x+4}}·\left(5\right)$

= $5x^4\sqrt{5x+4}+x^5·\frac{5}{2\cdot \sqrt{5x+4}}$

= $5x^4\sqrt{5x+4}+\frac{5}{2}\frac{x^5}{\sqrt{5x+4}}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-7\right)·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(-2x\right)+\left(x^2-7\right)·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $2x·\sin \left(-2x\right)+\left(x^2-7\right)·\left(-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right)$

= $2x·\sin \left(-2x\right)-2\left(x^2-7\right)·\cos \left(-2x\right)$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-25$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-25$ gilt: f'(x)= $2x$. Diese setzen wir = 0:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 0, wodurch mit f'(0)=0 und g'(0)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0) = 0⋅g(0) + f(0)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -3, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x+2$)⋅g(x) + ( $x^2+2x-3$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -3, bei x = 3 und bei x = 0.
(also gilt g(-3) = g(-3) = g(-3) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2+2x-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-3\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{-2+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-2-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = -3, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-3) = f'(-3)⋅g(-3) + f(-3)⋅g'(-3) = f'(-3)⋅0 + 0⋅g'(-3) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -3 eine waagrechte Tangente.