$\text{f(x)}=$ $-{\left(\frac{3}{2}x+4\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-4{\left(\frac{3}{2}x+4\right)}^3·\left(\frac{3}{2}+0\right)$

= $-4{\left(\frac{3}{2}x+4\right)}^3·\left(\frac{3}{2}\right)$

= $-6{\left(\frac{3}{2}x+4\right)}^3$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3\left(\frac{3}{4}x+2\right)}$

= $-\frac{2}{3}{\left(\frac{3}{4}x+2\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $\frac{2}{3}{\left(\frac{3}{4}x+2\right)}^{-2}·\left(\frac{3}{4}+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3{\left(\frac{3}{4}x+2\right)}^2}·\left(\frac{3}{4}+0\right)$

= $\frac{2}{3{\left(\frac{3}{4}x+2\right)}^2}·\left(\frac{3}{4}\right)$

= $\frac{1}{2{\left(\frac{3}{4}x+2\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{x+4}$

= $-3{\left(x+4\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $3{\left(x+4\right)}^{-2}·\left(1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{{\left(x+4\right)}^2}·\left(1+0\right)$

= $\frac{3}{{\left(x+4\right)}^2}·\left(1\right)$

= $\frac{3}{{\left(x+4\right)}^2}$

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = -3 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(-3) = 4.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-1|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(-1)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(-1) gilt also f(x) = -1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|-1) und Q₂(2|-1), also bei
x₁ = 0 und x₂ = 2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $-1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f($-1$).

f($-1$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f($-1$) = $-2$.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(1|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(1)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(1) gilt also f(x) = 1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|1) und Q₂(-3|1), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -3

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)·\sqrt{x}$

= $\sin \left(x\right)·x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\cos \left(x\right)·x^{\frac{1}{2}}+\sin \left(x\right)·\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)·\sqrt{x}+\sin \left(x\right)·\frac{1}{2\sqrt{x}}$

= $\cos \left(x\right)\sqrt{x}+\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x\right)}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{x}}·{\left(3x-2\right)}^4$

= $x^{-\frac{1}{2}}·{\left(3x-2\right)}^4$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}·{\left(3x-2\right)}^4+x^{-\frac{1}{2}}·4{\left(3x-2\right)}^3·\left(3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2{\left(\sqrt{x}\right)}^3}·{\left(3x-2\right)}^4+\frac{1}{\sqrt{x}}·4{\left(3x-2\right)}^3·\left(3+0\right)$

= $-\frac{1}{2}\frac{{\left(3x-2\right)}^4}{{\left(\sqrt{x}\right)}^3}+\frac{1}{\sqrt{x}}·4{\left(3x-2\right)}^3·\left(3\right)$

= $-\frac{1}{2}\frac{{\left(3x-2\right)}^4}{{\left(\sqrt{x}\right)}^3}+\frac{1}{\sqrt{x}}·12{\left(3x-2\right)}^3$

= $-\frac{1}{2}\frac{{\left(3x-2\right)}^4}{{\left(\sqrt{x}\right)}^3}+12\frac{{\left(3x-2\right)}^3}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·\cos \left(x^2\right)+x^4·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $4x^3·\cos \left(x^2\right)+x^4·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $4x^3·\cos \left(x^2\right)-2x^4\sin \left(x^2\right)x$

= $4x^3·\cos \left(x^2\right)-2x^5·\sin \left(x^2\right)$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(1) = f'(g(1))⋅g'(1) = f'(g(1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(0)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 0 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 0) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 0 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 0, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 0) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 4, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.