$\text{f(x)}=$ $2\cdot \cos \left(-\frac{3}{2}x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(-\frac{3}{2}x+5\right)·\left(-\frac{3}{2}+0\right)$

= $-2\cdot \sin \left(-\frac{3}{2}x+5\right)·\left(-\frac{3}{2}\right)$

= $3\cdot \sin \left(-\frac{3}{2}x+5\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{{\left(-2x+2\right)}^2}$

= $-{\left(-2x+2\right)}^{-2}$

=> f'(x) = $2{\left(-2x+2\right)}^{-3}·\left(-2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{{\left(-2x+2\right)}^3}·\left(-2+0\right)$

= $\frac{2}{{\left(-2x+2\right)}^3}·\left(-2\right)$

= $-\frac{4}{{\left(-2x+2\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(3x^2+1\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $12{\left(3x^2+1\right)}^3·\left(6x+0\right)$

= $12{\left(3x^2+1\right)}^3·\left(6x\right)$

= $72{\left(3x^2+1\right)}^{3}x$

= $72x{\left(3x^2+1\right)}^3$

Wir können der Zeichnung rechts f(2) = -1 entnehmen.

Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(-1) = 0.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-1|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(-1)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(-1) gilt also f(x) = -1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|-1) und Q₂(2|-1), also bei
x₁ = 0 und x₂ = 2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f($2$).

f($2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f($2$) = $-1$.

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = -1 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(-1) = 3.

$\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·\sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\sin \left(x\right)+\left(x+2\right)·\cos \left(x\right)$

= $\sin \left(x\right)+\left(x+2\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^3·\cos \left(-5x-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·\cos \left(-5x-4\right)+x^3·(-\sin \left(-5x-4\right)·\left(-5+0\right))$

= $3x^2·\cos \left(-5x-4\right)+x^3·(-\sin \left(-5x-4\right)·\left(-5\right))$

= $3x^2·\cos \left(-5x-4\right)+x^3·5\cdot \sin \left(-5x-4\right)$

= $3x^2·\cos \left(-5x-4\right)+5x^3·\sin \left(-5x-4\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-4\right)·\cos \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\cos \left(x^3\right)+\left(3x-4\right)·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

= $3\cdot \cos \left(x^3\right)+\left(3x-4\right)·\left(-3\sin \left(x^3\right)x^2\right)$

= $3\cdot \cos \left(x^3\right)-3\left(3x-4\right)\sin \left(x^3\right)x^2$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x+2$)⋅g(x) + ( $x^2+2x-15$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = -4 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(-4) = g'(-4) = 0.

Somit ist bei x = -4 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(-4) = f'(-4)⋅g(-4) + f(-4)⋅g'(-4) = f'(-4)⋅0 + f(-4)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -4 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -3, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-8$)⋅g(x) + ( $x^2-8x+16$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-8x+16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{{\left(-8\right)}^2-4·1·16}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{64-64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-8x+16$ gilt: f'(x)= $2x-8$. Diese setzen wir = 0:

Es gilt also f(4) = f'(4) = 0, somit gilt h'(4) = f'(4)⋅g(4) + f(4)⋅g'(4) = 0⋅g(4) + 0⋅g'(4) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =4 eine waagrechte Tangente.