$\text{f(x)}=$ $-\cos \left(-\frac{1}{4}x+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\sin \left(-\frac{1}{4}x+2\right)·\left(-\frac{1}{4}+0\right)$

= $\sin \left(-\frac{1}{4}x+2\right)·\left(-\frac{1}{4}\right)$

= $-\frac{1}{4}\cdot \sin \left(-\frac{1}{4}x+2\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{{\left(-x+2\right)}^2}$

= $-3{\left(-x+2\right)}^{-2}$

=> f'(x) = $6{\left(-x+2\right)}^{-3}·\left(-1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{{\left(-x+2\right)}^3}·\left(-1+0\right)$

= $\frac{6}{{\left(-x+2\right)}^3}·\left(-1\right)$

= $-\frac{6}{{\left(-x+2\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(-x^3+4\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-6{\left(-x^3+4\right)}^2·\left(-3x^2+0\right)$

= $-6{\left(-x^3+4\right)}^2·\left(-3x^2\right)$

= $18{\left(-x^3+4\right)}^2{x}^2$

= $18{\left(\left(-x^3+4\right)x\right)}^2$

= $18{\left(x\left(-x^3+4\right)\right)}^2$

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = 1 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(1) = 3.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(1|-3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-3 = g(1)
Wegen -3 = h(x)= g(f(x))= g(1) gilt also f(x) = 1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|1) und Q₂(-3|1), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -3

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($2$).

f($2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($2$) = $\frac{1}{2}$.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(2|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(2)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|2) und Q₂(2|2), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 2

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^5+x^2\right)·\sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-10x^4+2x\right)·\sin \left(x\right)+\left(-2x^5+x^2\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(-x+3\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-15{\left(-x+3\right)}^4·\left(-1+0\right)$

= $-15{\left(-x+3\right)}^4·\left(-1\right)$

= $15{\left(-x+3\right)}^4$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\sin \left(-2x\right)+\left(x-1\right)·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $\sin \left(-2x\right)+\left(x-1\right)·\left(-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right)$

= $\sin \left(-2x\right)-2\left(x-1\right)·\cos \left(-2x\right)$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x+4$)⋅g(x) + ( $x^2+4x+4$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -5 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2+4x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·4}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+4x+4$ gilt: f'(x)= $2x+4$. Diese setzen wir = 0:

Es gilt also f(-2) = f'(-2) = 0, somit gilt h'(-2) = f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2) = 0⋅g(-2) + 0⋅g'(-2) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =-2 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -1, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -4, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.