$\text{f(x)}=$ $2{\left(-\frac{3}{4}x-2\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $8{\left(-\frac{3}{4}x-2\right)}^3·\left(-\frac{3}{4}+0\right)$

= $8{\left(-\frac{3}{4}x-2\right)}^3·\left(-\frac{3}{4}\right)$

= $-6{\left(-\frac{3}{4}x-2\right)}^3$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{\left(x+2\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-3\left(x+2\right)·\left(1+0\right)$

= $-3\left(x+2\right)·\left(1\right)$

= $-3\left(x+2\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\sqrt{3x^2-2}$

= $-3{\left(3x^2-2\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{\left(3x^2-2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(6x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2\cdot \sqrt{3x^2-2}}·\left(6x+0\right)$

= $-\frac{3}{2\cdot \sqrt{3x^2-2}}·\left(6x\right)$

= $-9\frac{x}{\sqrt{3x^2-2}}$

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 0 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(0) = -2.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 4 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-3|4), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
4 = g(-3)
Wegen 4 = h(x)= g(f(x))= g(-3) gilt also f(x) = -3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|-3) und Q₂(2|-3), also bei
x₁ = 0 und x₂ = 2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f($2$).

f($2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f($2$) = $1$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f($1$).

f($1$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f($1$) = $-\mathrm{1,5}$.

$\text{f(x)}=$ $x^5·\sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·\sin \left(x\right)+x^5·\cos \left(x\right)$

= $5x^4·\sin \left(x\right)+x^5·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\cos \left(-2x-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\cos \left(-2x-1\right)+x^2·(-\sin \left(-2x-1\right)·\left(-2+0\right))$

= $2x·\cos \left(-2x-1\right)+x^2·(-\sin \left(-2x-1\right)·\left(-2\right))$

= $2x·\cos \left(-2x-1\right)+x^2·2\cdot \sin \left(-2x-1\right)$

= $2x·\cos \left(-2x-1\right)+2x^2·\sin \left(-2x-1\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[3]{x}·\sin \left(-4x-2\right)$

= $x^{\frac{1}{3}}·\sin \left(-4x-2\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}·\sin \left(-4x-2\right)+x^{\frac{1}{3}}·\cos \left(-4x-2\right)·\left(-4+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}·\sin \left(-4x-2\right)+\sqrt[3]{x}·\cos \left(-4x-2\right)·\left(-4+0\right)$

= $\frac{1}{3}\frac{\sin \left(-4x-2\right)}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+\sqrt[3]{x}·\cos \left(-4x-2\right)·\left(-4\right)$

= $\frac{1}{3}\frac{\sin \left(-4x-2\right)}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+\sqrt[3]{x}·\left(-4\cdot \cos \left(-4x-2\right)\right)$

= $\frac{1}{3}\frac{\sin \left(-4x-2\right)}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}-4\sqrt[3]{x}·\cos \left(-4x-2\right)$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 1 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = -1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(-1) = f'(g(-1))⋅g'(-1) = f'(g(-1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 3, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 0 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -2, (also gilt g '(-2) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = -2 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(-2) = f'(g(-2))⋅g'(-2) = f'(g(-2))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -2 eine waagrechte Tangente.