$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(-3x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \sin \left(-3x+5\right)·\left(-3+0\right)$

= $2\cdot \sin \left(-3x+5\right)·\left(-3\right)$

= $-6\cdot \sin \left(-3x+5\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\sqrt{-\frac{1}{3}x+4}$

= $-2{\left(-\frac{1}{3}x+4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-{\left(-\frac{1}{3}x+4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-\frac{1}{3}+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{\sqrt{-\frac{1}{3}x+4}}·\left(-\frac{1}{3}+0\right)$

= $-\frac{1}{\sqrt{-\frac{1}{3}x+4}}·\left(-\frac{1}{3}\right)$

= $\frac{1}{3\sqrt{-\frac{1}{3}x+4}}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(-x-1\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $3{\left(-x-1\right)}^2·\left(-1+0\right)$

= $3{\left(-x-1\right)}^2·\left(-1\right)$

= $-3{\left(-x-1\right)}^2$

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = -2 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(-2) = -1.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(2|-3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-3 = g(2)
Wegen -3 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|2) und Q₂(2|2), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $-2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f($-2$).

f($-2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f($-2$) = $\frac{5}{2}$.

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = -1 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(-1) = 1.

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)·\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= ${\left(\cos \left(x\right)\right)}^2-\sin \left(x\right)·\sin \left(x\right)$

= ${\left(\cos \left(x\right)\right)}^2-{\left(\sin \left(x\right)\right)}^2$

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(x\right)·{\left(5x+2\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x\right)·{\left(5x+2\right)}^3+\cos \left(x\right)·3{\left(5x+2\right)}^2·\left(5+0\right)$

= $-\sin \left(x\right){\left(5x+2\right)}^3+\cos \left(x\right)·3{\left(5x+2\right)}^2·\left(5\right)$

= $-\sin \left(x\right){\left(5x+2\right)}^3+\cos \left(x\right)·15{\left(5x+2\right)}^2$

= $-\sin \left(x\right){\left(5x+2\right)}^3+15\cos \left(x\right){\left(5x+2\right)}^2$

$\text{f(x)}=$ $x^3·\cos \left(5x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·\cos \left(5x+4\right)+x^3·(-\sin \left(5x+4\right)·\left(5+0\right))$

= $3x^2·\cos \left(5x+4\right)+x^3·(-\sin \left(5x+4\right)·\left(5\right))$

= $3x^2·\cos \left(5x+4\right)+x^3·\left(-5\cdot \sin \left(5x+4\right)\right)$

= $3x^2·\cos \left(5x+4\right)-5x^3·\sin \left(5x+4\right)$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x+4$)⋅g(x) + ( $x^2+4x+4$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2+4x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·4}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+4x+4$ gilt: f'(x)= $2x+4$. Diese setzen wir = 0:

Es gilt also f(-2) = f'(-2) = 0, somit gilt h'(-2) = f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2) = 0⋅g(-2) + 0⋅g'(-2) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =-2 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -4, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 2, dass dies gerade 3 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 3 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.