$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot \sin \left(3x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot \cos \left(3x+5\right)·\left(3+0\right)$

= $-\frac{1}{4}\cdot \cos \left(3x+5\right)·\left(3\right)$

= $-\frac{3}{4}\cdot \cos \left(3x+5\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{{\left(-2x+3\right)}^2}$

= $-{\left(-2x+3\right)}^{-2}$

=> f'(x) = $2{\left(-2x+3\right)}^{-3}·\left(-2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{{\left(-2x+3\right)}^3}·\left(-2+0\right)$

= $\frac{2}{{\left(-2x+3\right)}^3}·\left(-2\right)$

= $-\frac{4}{{\left(-2x+3\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $2\sqrt{2x-1}$

= $2{\left(2x-1\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${\left(2x-1\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{2x-1}}·\left(2+0\right)$

= $\frac{1}{\sqrt{2x-1}}·\left(2\right)$

= $\frac{2}{\sqrt{2x-1}}$

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = 0 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(0) = -1.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-1|-3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-3 = g(-1)
Wegen -3 = h(x)= g(f(x))= g(-1) gilt also f(x) = -1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|-1) und Q₂(0|-1), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 0

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $-2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f($-2$).

f($-2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f($-2$) = $4$.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
1 = g(0)
Wegen 1 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-3|0) und Q₂(1|0), also bei
x₁ = -3 und x₂ = 1

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^4-5x\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(8x^3-5\right)·\cos \left(x\right)+\left(2x^4-5x\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $\left(8x^3-5\right)·\cos \left(x\right)-\left(2x^4-5x\right)·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^3·\sqrt{2x+2}$

= $x^3·{\left(2x+2\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $3x^2·{\left(2x+2\right)}^{\frac{1}{2}}+x^3·\frac{1}{2}{\left(2x+2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·\sqrt{2x+2}+x^3·\frac{1}{2\cdot \sqrt{2x+2}}·\left(2+0\right)$

= $3x^2\sqrt{2x+2}+x^3·\frac{1}{2\cdot \sqrt{2x+2}}·\left(2\right)$

= $3x^2\sqrt{2x+2}+x^3·\frac{1}{\sqrt{2x+2}}$

= $3x^2\sqrt{2x+2}+\frac{x^3}{\sqrt{2x+2}}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+1\right)·\sin \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(x^2\right)+\left(x^2+1\right)·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $2x·\sin \left(x^2\right)+\left(x^2+1\right)·2\cos \left(x^2\right)x$

= $2x·\sin \left(x^2\right)+2\left(x^2+1\right)\cos \left(x^2\right)x$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-4$)⋅g(x) + ( $x^2-4x-5$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = -4 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(-4) = g'(-4) = 0.

Somit ist bei x = -4 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(-4) = f'(-4)⋅g(-4) + f(-4)⋅g'(-4) = f'(-4)⋅0 + f(-4)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -4 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -4, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-4$)⋅g(x) + ( $x^2-4x-5$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -3, bei x = 5 und bei x = 0.
(also gilt g(-3) = g(-3) = g(-3) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-4x-5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·\left(-5\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{16+20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = 5, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(5) = f'(5)⋅g(5) + f(5)⋅g'(5) = f'(5)⋅0 + 0⋅g'(5) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 5 eine waagrechte Tangente.