$\text{f(x)}=$ $-{\left(2x-1\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-5{\left(2x-1\right)}^4·\left(2+0\right)$

= $-5{\left(2x-1\right)}^4·\left(2\right)$

= $-10{\left(2x-1\right)}^4$

$\text{f(x)}=$ $-2\sqrt{\frac{3}{4}x+2}$

= $-2{\left(\frac{3}{4}x+2\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-{\left(\frac{3}{4}x+2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(\frac{3}{4}+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}x+2}}·\left(\frac{3}{4}+0\right)$

= $-\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}x+2}}·\left(\frac{3}{4}\right)$

= $-\frac{3}{4\cdot \sqrt{\frac{3}{4}x+2}}$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(3x^2+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(3x^2+1\right)·\left(6x+0\right)$

= $-3\cdot \cos \left(3x^2+1\right)·\left(6x\right)$

= $-18\cos \left(3x^2+1\right)x$

= $-18x·\cos \left(3x^2+1\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(3) = 1 entnehmen.

Also gilt h(3) = g(f(3)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = g(f(3)) = g(1) = 3.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|-3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-3 = g(-2)
Wegen -3 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|-2) und Q₂(0|-2), also bei
x₁ = 2 und x₂ = 0

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($0$) = $-\frac{7}{2}$.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(1|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(1)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(1) gilt also f(x) = 1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(3|1) und Q₂(-1|1), also bei
x₁ = 3 und x₂ = -1

$\text{f(x)}=$ $x^5·\sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·\sin \left(x\right)+x^5·\cos \left(x\right)$

= $5x^4·\sin \left(x\right)+x^5·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·{\left(3x+3\right)}^3$

= $x^{\frac{1}{2}}·{\left(3x+3\right)}^3$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·{\left(3x+3\right)}^3+x^{\frac{1}{2}}·3{\left(3x+3\right)}^2·\left(3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·{\left(3x+3\right)}^3+\sqrt{x}·3{\left(3x+3\right)}^2·\left(3+0\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{{\left(3x+3\right)}^3}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·3{\left(3x+3\right)}^2·\left(3\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{{\left(3x+3\right)}^3}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·9{\left(3x+3\right)}^2$

= $\frac{1}{2}\frac{{\left(3x+3\right)}^3}{\sqrt{x}}+9\sqrt{x}{\left(3x+3\right)}^2$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-4\right)·\cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\cos \left(-3x\right)+\left(2x-4\right)·(-\sin \left(-3x\right)·\left(-3\right))$

= $2\cdot \cos \left(-3x\right)+\left(2x-4\right)·3\cdot \sin \left(-3x\right)$

= $2\cdot \cos \left(-3x\right)+3\left(2x-4\right)·\sin \left(-3x\right)$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-16$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-16$ gilt: f'(x)= $2x$. Diese setzen wir = 0:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 0, wodurch mit f'(0)=0 und g'(0)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0) = 0⋅g(0) + f(0)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -4, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( -4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-4$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-4$ gilt: f'(x)= $2x$. Diese setzen wir = 0:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 0, wodurch mit f'(0)=0 und g'(0)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0) = 0⋅g(0) + f(0)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.