$\text{f(x)}=$ $3{\left(-\frac{2}{3}x+1\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $9{\left(-\frac{2}{3}x+1\right)}^2·\left(-\frac{2}{3}+0\right)$

= $9{\left(-\frac{2}{3}x+1\right)}^2·\left(-\frac{2}{3}\right)$

= $-6{\left(-\frac{2}{3}x+1\right)}^2$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{\frac{3}{2}x-3}$

= $3{\left(\frac{3}{2}x-3\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-3{\left(\frac{3}{2}x-3\right)}^{-2}·\left(\frac{3}{2}+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{{\left(\frac{3}{2}x-3\right)}^2}·\left(\frac{3}{2}+0\right)$

= $-\frac{3}{{\left(\frac{3}{2}x-3\right)}^2}·\left(\frac{3}{2}\right)$

= $-\frac{9}{2{\left(\frac{3}{2}x-3\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(\sin \left(x\right)-5\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $4\left(\sin \left(x\right)-5\right)·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $4\left(\sin \left(x\right)-5\right)·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $4\left(\sin \left(x\right)-5\right)·\cos \left(x\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(2) = 1 entnehmen.

Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(1) = -2.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(-2)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|-2) und Q₂(0|-2), also bei
x₁ = 2 und x₂ = 0

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f($1$).

f($1$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f($1$) = $\mathrm{0,5}$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f(2) = $2$ entnehmen, weil ja f die Ableitungsfunktion von F ist und somit die Tangentensteigung von F angibt.

Wir suchen also F(f(2)) = F($2$).

F($2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

F(f(2)) = F($2$) = $-2$.

$\text{f(x)}=$ $x^4·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·\cos \left(x\right)+x^4·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $4x^3·\cos \left(x\right)-x^4·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{{\left(3x+5\right)}^2}$

= $-{\left(3x+5\right)}^{-2}$

=> f'(x) = $2{\left(3x+5\right)}^{-3}·\left(3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{{\left(3x+5\right)}^3}·\left(3+0\right)$

= $\frac{2}{{\left(3x+5\right)}^3}·\left(3\right)$

= $\frac{6}{{\left(3x+5\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2+6\right)·\cos \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+0\right)·\cos \left(-2x\right)+\left(2x^2+6\right)·(-\sin \left(-2x\right)·\left(-2\right))$

= $4x·\cos \left(-2x\right)+\left(2x^2+6\right)·2\cdot \sin \left(-2x\right)$

= $4x·\cos \left(-2x\right)+2\left(2x^2+6\right)·\sin \left(-2x\right)$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-16$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-16$ gilt: f'(x)= $2x$. Diese setzen wir = 0:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 0, wodurch mit f'(0)=0 und g'(0)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0) = 0⋅g(0) + f(0)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -2, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -3, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( -3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.