$\text{f(x)}=$ $-{\left(x-2\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-4{\left(x-2\right)}^3·\left(1+0\right)$

= $-4{\left(x-2\right)}^3·\left(1\right)$

= $-4{\left(x-2\right)}^3$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{-x-5}$

= $-{\left(-x-5\right)}^{-1}$

=> f'(x) = ${\left(-x-5\right)}^{-2}·\left(-1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{{\left(-x-5\right)}^2}·\left(-1+0\right)$

= $\frac{1}{{\left(-x-5\right)}^2}·\left(-1\right)$

= $-\frac{1}{{\left(-x-5\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(\cos \left(x\right)+2\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-6\left(\cos \left(x\right)+2\right)·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $-6\left(\cos \left(x\right)+2\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $6\left(\cos \left(x\right)+2\right)·\sin \left(x\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = -1 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(-1) = 0.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(1|1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
1 = g(1)
Wegen 1 = h(x)= g(f(x))= g(1) gilt also f(x) = 1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-3|1) und Q₂(1|1), also bei
x₁ = -3 und x₂ = 1

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f($0$) = $-1$.

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 3 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(3) = 1.

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)·\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= ${\left(\cos \left(x\right)\right)}^2-\sin \left(x\right)·\sin \left(x\right)$

= ${\left(\cos \left(x\right)\right)}^2-{\left(\sin \left(x\right)\right)}^2$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(-3x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \sin \left(-3x+5\right)·\left(-3+0\right)$

= $3\cdot \sin \left(-3x+5\right)·\left(-3\right)$

= $-9\cdot \sin \left(-3x+5\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[4]{x}·\sin \left(x^3\right)$

= $x^{\frac{1}{4}}·\sin \left(x^3\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}·\sin \left(x^3\right)+x^{\frac{1}{4}}·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}·\sin \left(x^3\right)+\sqrt[4]{x}·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $\frac{1}{4}\frac{\sin \left(x^3\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+\sqrt[4]{x}·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\frac{1}{4}\frac{\sin \left(x^3\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+3\sqrt[4]{x}\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\frac{1}{4}\frac{\sin \left(x^3\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+3{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^9·\cos \left(x^3\right)$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-16$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 3 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(3) = g'(3) = 0.

Somit ist bei x = 3 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(3) = f'(3)⋅g(3) + f(3)⋅g'(3) = f'(3)⋅0 + f(3)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 3 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 4, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( 4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(0)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 0 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 0) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 0 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 0, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 0) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.