$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{\left(x-4\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{5}{4}{\left(x-4\right)}^4·\left(1+0\right)$

= $-\frac{5}{4}{\left(x-4\right)}^4·\left(1\right)$

= $-\frac{5}{4}{\left(x-4\right)}^4$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}x+3}$

= $\frac{1}{2}{\left(\frac{2}{3}x+3\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{\left(\frac{2}{3}x+3\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(\frac{2}{3}+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4\cdot \sqrt{\frac{2}{3}x+3}}·\left(\frac{2}{3}+0\right)$

= $\frac{1}{4\cdot \sqrt{\frac{2}{3}x+3}}·\left(\frac{2}{3}\right)$

= $\frac{1}{6\cdot \sqrt{\frac{2}{3}x+3}}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(-x^3+1\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $15{\left(-x^3+1\right)}^4·\left(-3x^2+0\right)$

= $15{\left(-x^3+1\right)}^4·\left(-3x^2\right)$

= $-45{\left(-x^3+1\right)}^4{x}^2$

= $-45x^2{\left(-x^3+1\right)}^4$

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = -3 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(-3) = -2.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 4 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|4), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
4 = g(0)
Wegen 4 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-3|0) und Q₂(1|0), also bei
x₁ = -3 und x₂ = 1

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-3) = $-2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-3)) = f($-2$).

f($-2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-3)) = f($-2$) = $-\frac{7}{2}$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($2$).

f($2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($2$) = $1$.

$\text{f(x)}=$ $\left(5x+3\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(5+0\right)·\cos \left(x\right)+\left(5x+3\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $5\cdot \cos \left(x\right)-\left(5x+3\right)·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^5·\sin \left(-4x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·\sin \left(-4x+3\right)+x^5·\cos \left(-4x+3\right)·\left(-4+0\right)$

= $5x^4·\sin \left(-4x+3\right)+x^5·\cos \left(-4x+3\right)·\left(-4\right)$

= $5x^4·\sin \left(-4x+3\right)+x^5·\left(-4\cdot \cos \left(-4x+3\right)\right)$

= $5x^4·\sin \left(-4x+3\right)-4x^5·\cos \left(-4x+3\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+4\right)·\cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\cos \left(-3x\right)+\left(x+4\right)·(-\sin \left(-3x\right)·\left(-3\right))$

= $\cos \left(-3x\right)+\left(x+4\right)·3\cdot \sin \left(-3x\right)$

= $\cos \left(-3x\right)+3\left(x+4\right)·\sin \left(-3x\right)$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-2$)⋅g(x) + ( $x^2-2x-3$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 2 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(2) = g'(2) = 0.

Somit ist bei x = 2 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(2) = f'(2)⋅g(2) + f(2)⋅g'(2) = f'(2)⋅0 + f(2)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 2 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(0)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 0 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 0) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 0 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 0, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 0) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-6$)⋅g(x) + ( $x^2-6x+9$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 5 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 2, (also gilt g '(2) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-6x+9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{{\left(-6\right)}^2-4·1·9}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{36-36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-6x+9$ gilt: f'(x)= $2x-6$. Diese setzen wir = 0:

Es gilt also f(3) = f'(3) = 0, somit gilt h'(3) = f'(3)⋅g(3) + f(3)⋅g'(3) = 0⋅g(3) + 0⋅g'(3) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =3 eine waagrechte Tangente.