$\frac{1}{x^3}$ kann man auch als $x^{-3}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{6x^3}$ = $\frac{1}{6}·\frac{1}{x^3}$ das gleiche wie $\frac{1}{6}{x}^{-3}$.

Eine 2-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{2}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt{x}$ = $x^{\frac{1}{2}}$

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{1}{4}}$ = $x^{1·\frac{1}{4}}$ = ${\left(x\right)}^{\frac{1}{4}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{4}$} immer das gleiche ist wie die 4-te Wurzel, also:

${\left(x\right)}^{\frac{1}{4}}$ = $\sqrt[4]{x}$

${81}^{\frac{3}{4}}$

= ${\left(\sqrt[4]{81}\right)}^3$

= $3^3$

= 27

${36}^{-\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>36</mn></mrow>\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}}$

= $\frac{1}{\sqrt{36}}$

= $\frac{1}{6}$

${\mathrm{0,001}}^{\frac{2}{3}}$

= ${\left(\sqrt[3]{\mathrm{0,001}}\right)}^2$

= ${\mathrm{0,1}}^2$

= $\mathrm{0,01}$

${\left(4^3\right)}^{\frac{1}{2}}$

= $4^{3·\frac{1}{2}}$

= $4^{\frac{1}{2}·3}$

= ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^3$

= ${\left(\sqrt{4}\right)}^3$

= $2^3$

= $8$

$\frac{10b^{-2}}{\frac{9}{b}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{10}{b^2}}{\frac{9}{b}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{10}{b^2}·\frac{b}{9}$

= $\frac{10}{9b}$