$x^{-9}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^9}$.

Also ist $6x^{-9}$ das gleiche wie $6·\frac{1}{x^9}$ = $\frac{6}{x^9}$.

Eine 4-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{4}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[4]{x}$ = $x^{\frac{1}{4}}$

Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[5]{x^3}}$ = $\frac{1}{{\left(x^3\right)}^{-\frac{1}{5}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{\left(x^3\right)}^{-\frac{1}{5}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}·3}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}$ = $x^{-\frac{3}{5}}$

${25}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

$3^{36}$ : $3^{34}$

= $3^{36-34}$

= $3^2$

= 9

${\mathrm{0,001}}^{\frac{2}{3}}$

= ${\left(\sqrt[3]{\mathrm{0,001}}\right)}^2$

= ${\mathrm{0,1}}^2$

= $\mathrm{0,01}$

${\left({16}^{-3}\right)}^{-\frac{1}{2}}$

= ${16}^{-3·\left(-\frac{1}{2}\right)}$

= ${16}^{\frac{1}{2}·3}$

= ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^3$

= ${\left(\sqrt{16}\right)}^3$

= $4^3$

= $64$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[3]{x^2}·\sqrt[6]{x^{10}})}^6$

= ${(x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{10}{6}})}^6$

= ${(x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{5}{3}})}^6$

= ${\left(x^{\frac{2}{3}+\frac{5}{3}}\right)}^6$

= ${\left(x^{\frac{7}{3}}\right)}^6$

= $x^{\frac{7}{3}·6}$

= $x^{14}$

$\frac{5s^{-1}}{9s^{-2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{s}}{\frac{9}{s^2}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{s}·\frac{s^2}{9}$

= $\frac{5}{9}s$