$x^{-2}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^2}$.

Also ist $3x^{-2}$ das gleiche wie $3·\frac{1}{x^2}$ = $\frac{3}{x^2}$.

Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: ${\left(\sqrt[9]{x}\right)}^7$ = ${\left(x^{\frac{1}{9}}\right)}^7$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^{\frac{1}{9}}\right)}^7$ = x^{$\frac{1}{9}$⋅7} = $x^{\frac{7}{9}}$

Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: ${\left(\sqrt[5]{x}\right)}^3$ = ${\left(x^{\frac{1}{5}}\right)}^3$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^{\frac{1}{5}}\right)}^3$ = $x^{\frac{1}{5}·3}$ = $x^{\frac{3}{5}}$

${81}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

$4^{42}$ : $4^{39}$

= $4^{42-39}$

= $4^3$

= 64

${\mathrm{0,16}}^{\frac{3}{2}}$

= ${\left(\sqrt{\mathrm{0,16}}\right)}^3$

= ${\mathrm{0,4}}^3$

= $\mathrm{0,064}$

${\left(3^{-21}\right)}^{\frac{1}{7}}$

= $3^{-21·\frac{1}{7}}$

= $3^{-3}$

= $\frac{1}{3^3}$

= $\frac{1}{27}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({\left(\sqrt[12]{x}\right)}^6·{\left(\sqrt[8]{x}\right)}^{10})}^{12}$

= ${(x^{\frac{6}{12}}\cdot x^{\frac{10}{8}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{5}{4}})}^{12}$

= ${\left(x^{\frac{1}{2}+\frac{5}{4}}\right)}^{12}$

= ${\left(x^{\frac{7}{4}}\right)}^{12}$

= $x^{\frac{7}{4}·12}$

= $x^{21}$

$\frac{\frac{7}{b^3}}{11b^{-4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{7}{b^3}}{\frac{11}{b^4}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{7}{b^3}·\frac{b^4}{11}$

= $\frac{7}{11}b$