$x^{-1}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x}$.

Also ist $-x^{-1}$ das gleiche wie $-1·\frac{1}{x}$ = $-\frac{1}{x}$.

Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[5]{x^4}$ = ${\left(x^4\right)}^{\frac{1}{5}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^4\right)}^{\frac{1}{5}}$ = x^{4⋅$\frac{1}{5}$} = $x^{\frac{4}{5}}$

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{1}{3}}$ = $x^{1·\frac{1}{3}}$ = ${\left(x\right)}^{\frac{1}{3}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{3}$} immer das gleiche ist wie die 3-te Wurzel, also:

${\left(x\right)}^{\frac{1}{3}}$ = $\sqrt[3]{x}$

${16}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{16}$

= $2$

${25}^{-\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>25</mn></mrow>\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}}$

= $\frac{1}{\sqrt{25}}$

= $\frac{1}{5}$

${\mathrm{0,0016}}^{\frac{3}{4}}$

= ${\left(\sqrt[4]{\mathrm{0,0016}}\right)}^3$

= ${\mathrm{0,2}}^3$

= $\mathrm{0,008}$

${\left(8^4\right)}^{-\frac{1}{3}}$

= $8^{4·\left(-\frac{1}{3}\right)}$

= $8^{\frac{1}{3}·\left(-4\right)}$

= ${\left(8^{\frac{1}{3}}\right)}^{-4}$

= $\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{8}\right)}^4}$

= $\frac{1}{2^4}$

= $\frac{1}{16}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[6]{x^2}·\sqrt[9]{x^{12}})}^9$

= ${(x^{\frac{2}{6}}\cdot x^{\frac{12}{9}})}^9$

= ${(x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{4}{3}})}^9$

= ${\left(x^{\frac{1}{3}+\frac{4}{3}}\right)}^9$

= ${\left(x^{\frac{5}{3}}\right)}^9$

= $x^{\frac{5}{3}·9}$

= $x^{15}$

$\frac{\frac{12}{b^3}}{10b^{-1}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{12}{b^3}}{\frac{10}{b}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{12}{b^3}·\frac{b}{10}$

= $\frac{6}{5b^2}$