$x^{-9}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^9}$.

Also ist $4x^{-9}$ das gleiche wie $4·\frac{1}{x^9}$ = $\frac{4}{x^9}$.

Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[3]{x}$ = $x^{\frac{1}{3}}$

Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{\left(\sqrt[7]{x}\right)}^5}$ = $\frac{1}{{\left(x^{\frac{1}{7}}\right)}^5}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{\left(x^{\frac{1}{7}}\right)}^5}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{7}·5}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{5}{7}}}$ = $x^{-\frac{5}{7}}$

${27}^{\frac{2}{3}}$

= ${\left(\sqrt[3]{27}\right)}^2$

= $3^2$

= 9

$-{49}^{\frac{1}{2}}$

= $-\sqrt{49}$

= $-7$

${\mathrm{0,81}}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{\mathrm{0,81}}$

= $\mathrm{0,9}$

${\left({16}^{-3}\right)}^{-\frac{1}{2}}$

= ${16}^{-3·\left(-\frac{1}{2}\right)}$

= ${16}^{\frac{1}{2}·3}$

= ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^3$

= ${\left(\sqrt{16}\right)}^3$

= $4^3$

= $64$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[15]{x^9}·\sqrt[5]{x^4})}^{15}$

= ${(x^{\frac{9}{15}}\cdot x^{\frac{4}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5}}\cdot x^{\frac{4}{5}})}^{15}$

= ${\left(x^{\frac{3}{5}+\frac{4}{5}}\right)}^{15}$

= ${\left(x^{\frac{7}{5}}\right)}^{15}$

= $x^{\frac{7}{5}·15}$

= $x^{21}$

$\frac{5t^{-4}}{\frac{9}{t^2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{t^4}}{\frac{9}{t^2}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{t^4}·\frac{t^2}{9}$

= $\frac{5}{9t^2}$