$\frac{1}{x^9}$ kann man auch als $x^{-9}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{2x^9}$ = $\frac{1}{2}·\frac{1}{x^9}$ das gleiche wie $\frac{1}{2}{x}^{-9}$.

Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: ${\left(\sqrt[9]{x}\right)}^8$ = ${\left(x^{\frac{1}{9}}\right)}^8$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^{\frac{1}{9}}\right)}^8$ = x^{$\frac{1}{9}$⋅8} = $x^{\frac{8}{9}}$

Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[8]{x^7}$ = ${\left(x^7\right)}^{\frac{1}{8}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^7\right)}^{\frac{1}{8}}$ = $x^{\frac{1}{8}·7}$ = $x^{\frac{7}{8}}$

${64}^{\frac{2}{3}}$

= ${\left(\sqrt[3]{64}\right)}^2$

= $4^2$

= 16

$-{36}^{\frac{1}{2}}$

= $-\sqrt{36}$

= $-6$

$1^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

${\left(4^{-3}\right)}^{\frac{1}{2}}$

= $4^{-3·\frac{1}{2}}$

= $4^{\frac{1}{2}·\left(-3\right)}$

= ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$

= $\frac{1}{{\left(\sqrt{4}\right)}^3}$

= $\frac{1}{2^3}$

= $\frac{1}{8}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({\left(\sqrt[5]{x}\right)}^3·\sqrt[10]{x^{12}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5}}\cdot x^{\frac{12}{10}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5}}\cdot x^{\frac{6}{5}})}^{15}$

= ${\left(x^{\frac{3}{5}+\frac{6}{5}}\right)}^{15}$

= ${\left(x^{\frac{9}{5}}\right)}^{15}$

= $x^{\frac{9}{5}·15}$

= $x^{27}$

$\frac{6b^{-4}}{\frac{12}{b}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{6}{b^4}}{\frac{12}{b}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{6}{b^4}·\frac{b}{12}$

= $\frac{1}{2b^3}$