$x^{-6}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^6}$.

Also ist $3x^{-6}$ das gleiche wie $3·\frac{1}{x^6}$ = $\frac{3}{x^6}$.

Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: ${\left(\sqrt[5]{x}\right)}^4$ = ${\left(x^{\frac{1}{5}}\right)}^4$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^{\frac{1}{5}}\right)}^4$ = x^{$\frac{1}{5}$⋅4} = $x^{\frac{4}{5}}$

Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[8]{x^7}$ = ${\left(x^7\right)}^{\frac{1}{8}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^7\right)}^{\frac{1}{8}}$ = $x^{\frac{1}{8}·7}$ = $x^{\frac{7}{8}}$

${64}^{\frac{2}{3}}$

= ${\left(\sqrt[3]{64}\right)}^2$

= $4^2$

= 16

${100}^{-\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>100</mn></mrow>\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}}$

= $\frac{1}{\sqrt{100}}$

= $\frac{1}{10}$

${\mathrm{0,001}}^{\frac{2}{3}}$

= ${\left(\sqrt[3]{\mathrm{0,001}}\right)}^2$

= ${\mathrm{0,1}}^2$

= $\mathrm{0,01}$

${\left({10}^{24}\right)}^{-\frac{1}{6}}$

= ${10}^{24·\left(-\frac{1}{6}\right)}$

= ${10}^{-4}$

= $\frac{1}{{10}^4}$

= $\frac{1}{10000}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[9]{x^3}·{\left(\sqrt[9]{x}\right)}^{12})}^6$

= ${(x^{\frac{3}{9}}\cdot x^{\frac{12}{9}})}^6$

= ${(x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{4}{3}})}^6$

= ${\left(x^{\frac{1}{3}+\frac{4}{3}}\right)}^6$

= ${\left(x^{\frac{5}{3}}\right)}^6$

= $x^{\frac{5}{3}·6}$

= $x^{10}$

$\frac{11u^{-4}}{\frac{9}{u^3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{11}{u^4}}{\frac{9}{u^3}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{11}{u^4}·\frac{u^3}{9}$

= $\frac{11}{9u}$