$\frac{1}{x^7}$ kann man auch als $x^{-7}$ schreiben.

Also ist $\frac{4}{x^7}$ = $4·\frac{1}{x^7}$ das gleiche wie $4x^{-7}$.

Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[7]{x^6}$ = ${\left(x^6\right)}^{\frac{1}{7}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^6\right)}^{\frac{1}{7}}$ = x^{6⋅$\frac{1}{7}$} = $x^{\frac{6}{7}}$

Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$ = $\frac{1}{{\left(x^{\frac{1}{3}}\right)}^2}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{\left(x^{\frac{1}{3}}\right)}^2}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}·2}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ = $x^{-\frac{2}{3}}$

$8^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{8}$

= $2$

$\frac{2^{40}}{2^{36}}$

= $2^{40-36}$

= $2^4$

= 16

${\mathrm{0,09}}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{\mathrm{0,09}}$

= $\mathrm{0,3}$

${\left(9^3\right)}^{-\frac{1}{2}}$

= $9^{3·\left(-\frac{1}{2}\right)}$

= $9^{\frac{1}{2}·\left(-3\right)}$

= ${\left(9^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$

= $\frac{1}{{\left(\sqrt{9}\right)}^3}$

= $\frac{1}{3^3}$

= $\frac{1}{27}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[6]{x^2}·\sqrt[3]{x^4})}^6$

= ${(x^{\frac{2}{6}}\cdot x^{\frac{4}{3}})}^6$

= ${(x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{4}{3}})}^6$

= ${\left(x^{\frac{1}{3}+\frac{4}{3}}\right)}^6$

= ${\left(x^{\frac{5}{3}}\right)}^6$

= $x^{\frac{5}{3}·6}$

= $x^{10}$

$\frac{5d^{-2}}{6d^{-3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{d^2}}{\frac{6}{d^3}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{d^2}·\frac{d^3}{6}$

= $\frac{5}{6}d$