$\frac{1}{x^8}$ kann man auch als $x^{-8}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{x^8}$ = $1·\frac{1}{x^8}$ das gleiche wie $x^{-8}$.

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{5}{8}}$ = x^{5⋅$\frac{1}{8}$} = ${\left(x^5\right)}^{\frac{1}{8}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{8}$} immer das gleiche ist wie die 8-te Wurzel, also:

${\left(x^5\right)}^{\frac{1}{8}}$ = $\sqrt[8]{x^5}$

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{5}{7}}$ = $x^{5·\frac{1}{7}}$ = ${\left(x^5\right)}^{\frac{1}{7}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{7}$} immer das gleiche ist wie die 7-te Wurzel, also:

${\left(x^5\right)}^{\frac{1}{7}}$ = $\sqrt[7]{x^5}$

$8^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{8}$

= $2$

${49}^{-\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>49</mn></mrow>\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}}$

= $\frac{1}{\sqrt{49}}$

= $\frac{1}{7}$

${\mathrm{0,008}}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\mathrm{0,008}}$

= $\mathrm{0,2}$

${\left({10}^{\frac{1}{7}}\right)}^{-21}$

= ${10}^{\frac{1}{7}·\left(-21\right)}$

= ${10}^{-3}$

= $\frac{1}{{10}^3}$

= $\frac{1}{1000}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[4]{x^3}·\sqrt[12]{x^{18}})}^8$

= ${(x^{\frac{3}{4}}\cdot x^{\frac{18}{12}})}^8$

= ${(x^{\frac{3}{4}}\cdot x^{\frac{3}{2}})}^8$

= ${\left(x^{\frac{3}{4}+\frac{3}{2}}\right)}^8$

= ${\left(x^{\frac{9}{4}}\right)}^8$

= $x^{\frac{9}{4}·8}$

= $x^{18}$

$\frac{9v^{-2}}{\frac{13}{v^3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{v^2}}{\frac{13}{v^3}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{v^2}·\frac{v^3}{13}$

= $\frac{9}{13}v$