$\frac{1}{x^3}$ kann man auch als $x^{-3}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{6x^3}$ = $\frac{1}{6}·\frac{1}{x^3}$ das gleiche wie $\frac{1}{6}{x}^{-3}$.

Eine 2-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{2}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt{x^3}$ = ${\left(x^3\right)}^{\frac{1}{2}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^3\right)}^{\frac{1}{2}}$ = x^{3⋅$\frac{1}{2}$} = $x^{\frac{3}{2}}$

Eine 2-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{2}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt{x}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ = $x^{-\frac{1}{2}}$

${64}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

$2^{40}$ : $2^{36}$

= $2^{40-36}$

= $2^4$

= 16

${\mathrm{0,0001}}^{\frac{3}{4}}$

= ${\left(\sqrt[4]{\mathrm{0,0001}}\right)}^3$

= ${\mathrm{0,1}}^3$

= $\mathrm{0,001}$

${\left({\left(\frac{3}{2}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}^9$

= ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{\frac{1}{3}·9}$

= ${\left(\frac{3}{2}\right)}^3$

= $\frac{27}{8}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[12]{x^6}·\sqrt[12]{x^9})}^8$

= ${(x^{\frac{6}{12}}\cdot x^{\frac{9}{12}})}^8$

= ${(x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{3}{4}})}^8$

= ${\left(x^{\frac{1}{2}+\frac{3}{4}}\right)}^8$

= ${\left(x^{\frac{5}{4}}\right)}^8$

= $x^{\frac{5}{4}·8}$

= $x^{10}$

$\frac{5t^{-2}}{\frac{12}{t}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{t^2}}{\frac{12}{t}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{t^2}·\frac{t}{12}$

= $\frac{5}{12t}$