Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{3} \cdot x^{8}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{3} \cdot x^{8}$

= $x^{3 + 8}$

= $x^{11}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{4^{3}}{4^{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{4^{3}}{4^{4}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{4^{3}}{4^{4}}$

= $\frac{4 \cdot 4 \cdot 4}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}$

= $\frac{1}{4}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{4^{3}}{4^{4}}$

= $4^{3 - 4}$

= $4^{- 1}$

= $\frac{1}{4}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{7 x^{9}}{2 x^{2}}$

Lösung einblenden

$\frac{7 x^{9}}{2 x^{2}}$ = $\frac{7 \cdot x^{9}}{2 \cdot x^{2}}$ = $\frac{7}{2} \frac{x^{9}}{x^{2}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{7}{2}$ $x^{9 - 2}$

= $\frac{7}{2} x^{7}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 2 x^{- 3} \cdot 2 x^{2}$

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$- 2 x^{- 3} \cdot 2 x^{2}$ = $(- 2 \cdot x^{- 3}) \cdot 2 \cdot x^{2}$ = $- 4 x^{- 3} \cdot x^{2}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 4$ $x^{- 3 + 2}$

= $- 4 x^{- 1}$

= $- \frac{4}{x}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{2} + x^{4}}{x^{2}} - 4 x^{2}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{2} + x^{4}}{x^{2}} - 4 x^{2}$

= $\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x^{4}}{x^{2}} - 4 x^{2}$

= $1 + x^{2} - 4 x^{2}$

= $- 3 x^{2} + 1$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3^{x} \cdot 2^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$3^{x} \cdot 2^{x}$

= ${(3 \cdot 2)}^{x}$

= $6^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $21^{4}$ ⋅ $7^{- 4}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $21^{4}$ ⋅ $7^{- 4}$

= $21^{4} \cdot \frac{1}{7^{4}}$

= $\frac{21^{4}}{7^{4}}$

= $\frac{21 \cdot 21 \cdot 21 \cdot 21}{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7}$

= $\frac{21}{7} \cdot \frac{21}{7} \cdot \frac{21}{7} \cdot \frac{21}{7}$

= ${(\frac{21}{7})}^{4}$

= $3^{4}$

= $81$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(3^{x})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3^{x})}^{3}$

= $3^{x \cdot 3}$

= $3^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(3^{3})}^{x}$

= $27^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 x^{5})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4 x^{5})}^{3}$

= $4^{3} \cdot {(x^{5})}^{3}$

= $4^{3} \cdot x^{5 \cdot 3}$

= $64 x^{15}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $8^{- 3} \cdot 2^{6}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

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Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$8^{- 3} \cdot 2^{6}$

= $\frac{2^{6}}{8^{3}}$

= $\frac{2^{6}}{{(2^{3})}^{3}}$

= $\frac{2^{6}}{2^{9}}$

= $2^{6 - 9}$

= $\frac{1}{2^{3}}$

= $\frac{1}{8}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{2^{2} \cdot 5^{5} + 2^{6} \cdot 5^{5}}{10^{5}}$

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Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (10 = 2 ⋅ 5)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{2^{2} \cdot 5^{5} + 2^{6} \cdot 5^{5}}{10^{5}}$

= $\frac{(2^{2} + 2^{6}) \cdot 5^{5}}{{(2 \cdot 5)}^{5}}$

= $\frac{(2^{2} + 2^{6}) \cdot 5^{5}}{2^{5} \cdot 5^{5}}$

= $\frac{2^{2} + 2^{6}}{2^{5}}$

= $\frac{2^{2} \cdot (1 + 2^{4})}{2^{5}}$

= $\frac{1 + 16}{2^{3}}$

= $\frac{17}{8}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x + 1)}^{5}}{{(x^{2} + 2 x + 1)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x + 1)}^{5}}{{(x^{2} + 2 x + 1)}^{4}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{5}}{{({(x + 1)}^{2})}^{4}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{5}}{{(x + 1)}^{8}}$

= $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

Aufgabenbeispiele von Potenzgesetze

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln