Nach dem Potenzgesetz: $a^n$⋅ $a^m$ = a^n+m gilt:

$x^8·x^4$

= $x^{8+4}$

= $x^{12}$

${\left(-10\right)}^3$⋅ ${\left(-10\right)}^6$

Herkömmlicher Weg:

${\left(-10\right)}^3·{\left(-10\right)}^6$

= ($-10$) · ($-10$) · ($-10$)·($-10$) · ($-10$) · ($-10$) · ($-10$) · ($-10$) · ($-10$)

= $-1000000000$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

${\left(-10\right)}^3$⋅ ${\left(-10\right)}^6$

= ${\left(-10\right)}^{3+6}$

= ${\left(-10\right)}^9$

= $-1000000000$

$5x^4·4x^7$ = $5·x^4·4·x^7$ = $20x^4·x^7$

Nach dem Potenzgesetz: $a^n$⋅ $a^m$ = a^n+m gilt:

= $20$ $x^{4+7}$

= $20x^{11}$

$3x^{-4}·7x^6$ = $3·x^{-4}·7·x^6$ = $21x^{-4}·x^6$

Nach dem Potenzgesetz: $a^n$⋅ $a^m$ = a^n+m gilt:

= $21$ $x^{-4+6}$

= $21x^2$

$\left(x^6+x\right)·x^3-4x^4$

= $x^6·x^3+x·x^3-4x^4$

= $x^9+x^4-4x^4$

= $x^9-3x^4$

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${\left(3x\right)}^2$

= $3^2·x^2$

= $9x^2$

= $\frac{{12}^3}{3^3}$

= $\frac{\mathrm{<math><mrow><mrow><mn>12</mn></mrow><mrow><mo>\; ·\; </mo></mrow><mrow><mn>12</mn></mrow><mrow><mo>\; ·\; </mo></mrow><mrow><mn>12</mn></mrow></mrow></math>}}{\mathrm{<math><mrow><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mo>\; ·\; </mo></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mo>\; ·\; </mo></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mrow></math>}}$

= $\frac{12}{3}·\frac{12}{3}·\frac{12}{3}$

= ${\left(\frac{12}{3}\right)}^3$

= $4^3$

= $64$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(3^x\right)}^4$

= $3^{x·4}$

= $3^{4x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${\left(3^4\right)}^x$

= ${81}^x$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(2\cdot 3^x\right)}^2$

= $2^2·{\left(3^x\right)}^2$

= $2^2·3^{x·2}$

= $4\cdot 3^{2x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $4\cdot {\left(3^2\right)}^x$

= $4\cdot 9^x$

Man muss hier eben erkennen, dass die beiden Potenzen im Zähler die gleiche Basis haben und man sie deswegen gut mit einander multilpizieren kann. Da die Summe der zugehörigen Hochzahlen gerade gleich der Hochzahl des Nenners (9) wird, können wir so das 2. Potenzgesetz anwenden.

$3^6·\frac{3^3}{{30}^9}$

= $\frac{3^6·3^3}{{30}^9}$

= $\frac{3^{6+3}}{{30}^9}$

= $\frac{3^9}{{30}^9}$

= ${\left(\frac{3}{30}\right)}^9$

= ${\left(\frac{1}{10}\right)}^9$

= $\frac{1}{1000000000}$

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (28 = 4 ⋅ 7)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{7^4·4^2+7^4·4^4}{{28}^4}$

= $\frac{7^4·\left(4^2+4^4\right)}{{\left(7\cdot 4\right)}^4}$

= $\frac{7^4·\left(4^2+4^4\right)}{7^4·4^4}$

= $\frac{4^2+4^4}{4^4}$

= $\frac{4^2·\left(1+4^2\right)}{4^4}$

= $\frac{1+16}{4^2}$

= $\frac{17}{16}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{\left(4x^2-4\right)}^4}{{\left(4x^2-8x+4\right)}^4}$

= $\frac{{(\left(2x-2\right)·\left(2x+2\right))}^4}{{\left({\left(2x-2\right)}^2\right)}^4}$

= $\frac{{\left(2x-2\right)}^4·{\left(2x+2\right)}^4}{{\left(2x-2\right)}^8}$

= $\frac{1·{\left(2\left(x+1\right)\right)}^4}{{\left(2\left(x-1\right)\right)}^4}$

= $\frac{{\left(x+1\right)}^4}{{\left(x-1\right)}^4}$

= ${\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}^4$