Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{2}}{x^{5}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{2}}{x^{5}}$

= $x^{2 - 5}$

= $x^{- 3}$

= $\frac{1}{x^{3}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(- 4)}^{6}$ ⋅ ${(- 4)}^{- 4}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(- 4)}^{6}$ ⋅ ${(- 4)}^{- 4}$

Herkömmlicher Weg:

${(- 4)}^{6} \cdot (\frac{1}{{(- 4)}^{4}})$

= $\frac{(- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4)}{(- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4)}$

= ( $- 4$ ) · ( $- 4$ )

= $16$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

${(- 4)}^{6}$ ⋅ ${(- 4)}^{- 4}$

= ${(- 4)}^{6 - 4}$

= ${(- 4)}^{2}$

= $16$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 5 x^{2} \cdot 4 x^{5}$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} \cdot 4 x^{5}$ = $(- 5 \cdot x^{2}) \cdot 4 \cdot x^{5}$ = $- 20 x^{2} \cdot x^{5}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 20$ $x^{2 + 5}$

= $- 20 x^{7}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{4 x^{9}}{2 x^{- 2}}$

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$\frac{4 x^{9}}{2 x^{- 2}}$ = $\frac{4 \cdot x^{9}}{2 \cdot x^{- 2}}$ = $2 \frac{x^{9}}{x^{- 2}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $2$ $x^{9 - (- 2)}$

= $2 x^{11}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x + x^{4}}{x^{3}} - 4 x$

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$\frac{x + x^{4}}{x^{3}} - 4 x$

= $\frac{x}{x^{3}} + \frac{x^{4}}{x^{3}} - 4 x$

= ${(x^{2})}^{- 1} + x - 4 x$

= $- 3 x + x^{- 2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{20^{x}}{4^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{20^{x}}{4^{x}}$

= ${(\frac{20}{4})}^{x}$

= $5^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $5^{9}$ ⋅ $2^{9}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $5^{9} \cdot 2^{9}$

= $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ ⋅ $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

= $5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2$

= ${(5 \cdot 2)}^{9}$

= $10^{9}$

= $1 000 000 000$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{2})}^{4}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

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Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{2})}^{4}$

= $x^{2 \cdot 4}$

= $x^{8}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 \cdot 5^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 \cdot 5^{x})}^{2}$

= $3^{2} \cdot {(5^{x})}^{2}$

= $3^{2} \cdot 5^{x \cdot 2}$

= $9 \cdot 5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $9 \cdot {(5^{2})}^{x}$

= $9 \cdot 25^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $8^{3} \cdot 2^{- 6}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

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Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$8^{3} \cdot 2^{- 6}$

= $\frac{8^{3}}{2^{6}}$

= $\frac{{(2^{3})}^{3}}{2^{6}}$

= $\frac{2^{9}}{2^{6}}$

= $2^{9 - 6}$

= $2^{3}$

= $8$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{8^{7} \cdot 5^{5} + 8^{7} \cdot 5^{7}}{40^{7}}$

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Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (40 = 5 ⋅ 8)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{8^{7} \cdot 5^{5} + 8^{7} \cdot 5^{7}}{40^{7}}$

= $\frac{8^{7} \cdot (5^{5} + 5^{7})}{{(8 \cdot 5)}^{7}}$

= $\frac{8^{7} \cdot (5^{5} + 5^{7})}{8^{7} \cdot 5^{7}}$

= $\frac{5^{5} + 5^{7}}{5^{7}}$

= $\frac{5^{5} \cdot (1 + 5^{2})}{5^{7}}$

= $\frac{1 + 25}{5^{2}}$

= $\frac{26}{25}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(2 x + 1)}^{5}}{{(4 x^{2} - 1)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(2 x + 1)}^{5}}{{(4 x^{2} - 1)}^{5}}$

= $\frac{{(2 x + 1)}^{5}}{{((2 x + 1) \cdot (2 x - 1))}^{5}}$

= $\frac{{(2 x + 1)}^{5}}{{(2 x + 1)}^{5} \cdot {(2 x - 1)}^{5}}$

= $\frac{1}{1 \cdot {(2 x - 1)}^{5}}$

= $\frac{1}{{(2 x - 1)}^{5}}$

Aufgabenbeispiele von Potenzgesetze

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln