Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{6}}{x^{2}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{6}}{x^{2}}$

= $x^{6 - 2}$

= $x^{4}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $10^{3}$ ⋅ $10^{- 10}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$10^{3}$ ⋅ $10^{- 10}$

Herkömmlicher Weg:

$10^{3} \cdot \frac{1}{10^{10}}$

= $\frac{10 \cdot 10 \cdot 10}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}$

= $\frac{1}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}$

= $\frac{1}{10000000}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$10^{3}$ ⋅ $10^{- 10}$

= $10^{3 - 10}$

= $10^{- 7}$

= $\frac{1}{10^{7}}$

= $\frac{1}{10000000}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 2 x^{2}}{2 x^{3}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 2 x^{2}}{2 x^{3}}$ = $\frac{- 2 \cdot x^{2}}{2 \cdot x^{3}}$ = $- \frac{x^{2}}{x^{3}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 1$ $x^{2 - 3}$

= $- x^{- 1}$

= $- \frac{1}{x}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 9 x^{- 7}}{3 x^{6}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 9 x^{- 7}}{3 x^{6}}$ = $\frac{- 9 \cdot x^{- 7}}{3 \cdot x^{6}}$ = $- 3 \frac{x^{- 7}}{x^{6}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 3$ $x^{- 7 - 6}$

= $- 3 x^{- 13}$

= $- \frac{3}{x^{13}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{4} \cdot (x^{3} + x^{- 4}) - 2$

Lösung einblenden

$x^{4} \cdot (x^{3} + x^{- 4}) - 2$

= $x^{4} \cdot x^{3} + x^{4} \cdot x^{- 4} - 2$

= $x^{7} + 1 - 2$

= $x^{7} - 1$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{5}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(2 x)}^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{5}$

= $32 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{9^{4}}{3^{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{9^{4}}{3^{4}}$

= $\frac{9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$

= $\frac{9}{3} \cdot \frac{9}{3} \cdot \frac{9}{3} \cdot \frac{9}{3}$

= ${(\frac{9}{3})}^{4}$

= $3^{4}$

= $81$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(3^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3^{x})}^{2}$

= $3^{x \cdot 2}$

= $3^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(3^{2})}^{x}$

= $9^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(8 \cdot 4^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(8 \cdot 4^{x})}^{2}$

= $8^{2} \cdot {(4^{x})}^{2}$

= $8^{2} \cdot 4^{x \cdot 2}$

= $64 \cdot 4^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $64 \cdot {(4^{2})}^{x}$

= $64 \cdot 16^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{7^{- 2}}{2^{2}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{7^{- 2}}{2^{2}}$

= $\frac{1}{7^{2}} \cdot \frac{1}{2^{2}}$

= $\frac{1}{{(7 \cdot 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{14^{2}}$

= $\frac{1}{196}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{8^{5} \cdot 24 + 8^{6} \cdot 5}{8^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 24 als 3 ⋅ 8 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{8^{5} \cdot 24 + 8^{6} \cdot 5}{8^{6}}$

= $\frac{8^{5} \cdot 3 \cdot 8 + 8^{6} \cdot 5}{8^{6}}$

= $\frac{8^{6} \cdot 3 + 8^{6} \cdot 5}{8^{6}}$

= $\frac{8^{6} \cdot (3 + 5)}{8^{6}}$

= $3 + 5$

= $8$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(2 x + 3)}^{5}}{{(4 x^{2} + 12 x + 9)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(2 x + 3)}^{5}}{{(4 x^{2} + 12 x + 9)}^{5}}$

= $\frac{{(2 x + 3)}^{5}}{{({(2 x + 3)}^{2})}^{5}}$

= $\frac{{(2 x + 3)}^{5}}{{(2 x + 3)}^{10}}$

= $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{5}}$

Aufgabenbeispiele von Potenzgesetze

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln