Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{8} \cdot x^{5}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{8} \cdot x^{5}$

= $x^{8 + 5}$

= $x^{13}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $5^{7}$ ⋅ $5^{- 4}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$5^{7}$ ⋅ $5^{- 4}$

Herkömmlicher Weg:

$5^{7} \cdot \frac{1}{5^{4}}$

= $\frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}$

= 5 · 5 · 5

= $125$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$5^{7}$ ⋅ $5^{- 4}$

= $5^{7 - 4}$

= $5^{3}$

= $125$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{3 x^{3}}{2 x^{4}}$

Lösung einblenden

$\frac{3 x^{3}}{2 x^{4}}$ = $\frac{3 \cdot x^{3}}{2 \cdot x^{4}}$ = $\frac{3}{2} \frac{x^{3}}{x^{4}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{3}{2}$ $x^{3 - 4}$

= $\frac{3}{2} x^{- 1}$

= $\frac{3}{2 x}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 x^{4}}{3 x^{6}}$

Lösung einblenden

$\frac{9 x^{4}}{3 x^{6}}$ = $\frac{9 \cdot x^{4}}{3 \cdot x^{6}}$ = $3 \frac{x^{4}}{x^{6}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $3$ $x^{4 - 6}$

= $3 x^{- 2}$

= $\frac{3}{x^{2}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(x^{2} + x^{- 3}) \cdot x^{5} - 2 x^{2}$

Lösung einblenden

$(x^{2} + x^{- 3}) \cdot x^{5} - 2 x^{2}$

= $x^{2} \cdot x^{5} + x^{- 3} \cdot x^{5} - 2 x^{2}$

= $x^{7} + x^{2} - 2 x^{2}$

= $x^{7} - x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{4}$

= $3^{4} \cdot x^{4}$

= $81 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $6^{3}$ ⋅ $2^{- 3}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $6^{3}$ ⋅ $2^{- 3}$

= $6^{3} \cdot \frac{1}{2^{3}}$

= $\frac{6^{3}}{2^{3}}$

= $\frac{6 \cdot 6 \cdot 6}{2 \cdot 2 \cdot 2}$

= $\frac{6}{2} \cdot \frac{6}{2} \cdot \frac{6}{2}$

= ${(\frac{6}{2})}^{3}$

= $3^{3}$

= $27$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(4^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4^{x})}^{2}$

= $4^{x \cdot 2}$

= $4^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(4^{2})}^{x}$

= $16^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{6})}^{5}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{6})}^{5}$

= $2^{5} \cdot {(x^{6})}^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{6 \cdot 5}$

= $32 x^{30}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{2^{- 4}}{5^{4}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{2^{- 4}}{5^{4}}$

= $\frac{1}{2^{4}} \cdot \frac{1}{5^{4}}$

= $\frac{1}{{(2 \cdot 5)}^{4}}$

= $\frac{1}{10^{4}}$

= $\frac{1}{10000}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{6^{7} \cdot 2^{5} + 6^{7} \cdot 2^{8}}{12^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (12 = 2 ⋅ 6)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{6^{7} \cdot 2^{5} + 6^{7} \cdot 2^{8}}{12^{7}}$

= $\frac{6^{7} \cdot (2^{5} + 2^{8})}{{(6 \cdot 2)}^{7}}$

= $\frac{6^{7} \cdot (2^{5} + 2^{8})}{6^{7} \cdot 2^{7}}$

= $\frac{2^{5} + 2^{8}}{2^{7}}$

= $\frac{2^{5} \cdot (1 + 2^{3})}{2^{7}}$

= $\frac{1 + 8}{2^{2}}$

= $\frac{9}{4}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x + 4)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x + 4)}^{2}}$

= $\frac{{((x + 4) \cdot (x - 4))}^{2}}{{(x + 4)}^{2}}$

= $\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot {(x - 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{2}}$

= $\frac{1 \cdot {(x - 4)}^{2}}{1}$

= ${(x - 4)}^{2}$

Aufgabenbeispiele von Potenzgesetze

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln