Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{8}}{x^{6}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{8}}{x^{6}}$

= $x^{8 - 6}$

= $x^{2}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $2^{2}$ ⋅ $2^{3}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$2^{2}$ ⋅ $2^{3}$

Herkömmlicher Weg:

$2^{2} \cdot 2^{3}$

= 2 · 2·2 · 2 · 2

= $32$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$2^{2}$ ⋅ $2^{3}$

= $2^{2 + 3}$

= $2^{5}$

= $32$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{9} \cdot 4 x^{2}$

Lösung einblenden

$x^{9} \cdot 4 x^{2}$ = $1 \cdot x^{9} \cdot 4 \cdot x^{2}$ = $4 x^{9} \cdot x^{2}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $4$ $x^{9 + 2}$

= $4 x^{11}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{7 x^{9}}{2 x^{- 6}}$

Lösung einblenden

$\frac{7 x^{9}}{2 x^{- 6}}$ = $\frac{7 \cdot x^{9}}{2 \cdot x^{- 6}}$ = $\frac{7}{2} \frac{x^{9}}{x^{- 6}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{7}{2}$ $x^{9 - (- 6)}$

= $\frac{7}{2} x^{15}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 5 x^{2} + x^{3} \cdot (x^{4} + x^{- 1})$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} + x^{3} \cdot (x^{4} + x^{- 1})$

= $- 5 x^{2} + (x^{3} \cdot x^{4} + x^{3} \cdot x^{- 1})$

= $- 5 x^{2} + x^{7} + x^{2}$

= $x^{7} - 4 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $7^{x} \cdot 5^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$7^{x} \cdot 5^{x}$

= ${(7 \cdot 5)}^{x}$

= $35^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $2^{4}$ ⋅ $5^{4}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $2^{4} \cdot 5^{4}$

= $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ ⋅ $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

= $2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5$

= ${(2 \cdot 5)}^{4}$

= $10^{4}$

= $10 000$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{5})}^{4}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{5})}^{4}$

= $x^{5 \cdot 4}$

= $x^{20}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 \cdot 4^{x})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 \cdot 4^{x})}^{3}$

= $2^{3} \cdot {(4^{x})}^{3}$

= $2^{3} \cdot 4^{x \cdot 3}$

= $8 \cdot 4^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $8 \cdot {(4^{3})}^{x}$

= $8 \cdot 64^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $8^{2} \cdot 2^{- 4}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

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Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$8^{2} \cdot 2^{- 4}$

= $\frac{8^{2}}{2^{4}}$

= $\frac{{(2^{3})}^{2}}{2^{4}}$

= $\frac{2^{6}}{2^{4}}$

= $2^{6 - 4}$

= $2^{2}$

= $4$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{21 \cdot 7^{6} + 4 \cdot 7^{7}}{7^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 21 als 3 ⋅ 7 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{21 \cdot 7^{6} + 4 \cdot 7^{7}}{7^{7}}$

= $\frac{3 \cdot 7 \cdot 7^{6} + 4 \cdot 7^{7}}{7^{7}}$

= $\frac{3 \cdot 7^{7} + 4 \cdot 7^{7}}{7^{7}}$

= $\frac{(3 + 4) \cdot 7^{7}}{7^{7}}$

= $3 + 4$

= $7$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 25)}^{4}}{{(x^{2} - 10 x + 25)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{4}}{{(x^{2} - 10 x + 25)}^{4}}$

= $\frac{{((x - 5) \cdot (x + 5))}^{4}}{{({(x - 5)}^{2})}^{4}}$

= $\frac{{(x - 5)}^{4} \cdot {(x + 5)}^{4}}{{(x - 5)}^{8}}$

= $\frac{1 \cdot {(x + 5)}^{4}}{{(x - 5)}^{4}}$

= $\frac{{(x + 5)}^{4}}{{(x - 5)}^{4}}$

= ${(\frac{x + 5}{x - 5})}^{4}$

Aufgabenbeispiele von Potenzgesetze

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln