Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{4} \cdot x^{3}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{4} \cdot x^{3}$

= $x^{4 + 3}$

= $x^{7}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{{(- 5)}^{2}}{{(- 5)}^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{{(- 5)}^{2}}{{(- 5)}^{2}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{{(- 5)}^{2}}{{(- 5)}^{2}}$

= $\frac{(- 5) \cdot (- 5)}{(- 5) \cdot (- 5)}$

= $1$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{{(- 5)}^{2}}{{(- 5)}^{2}}$

= ${(- 5)}^{2 - 2}$

= $1$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 7 x^{6}}{2 x^{8}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 7 x^{6}}{2 x^{8}}$ = $\frac{- 7 \cdot x^{6}}{2 \cdot x^{8}}$ = $- \frac{7}{2} \frac{x^{6}}{x^{8}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{7}{2}$ $x^{6 - 8}$

= $- \frac{7}{2} x^{- 2}$

= $- \frac{7}{2 x^{2}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 7 x^{7}}{2 x^{- 2}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 7 x^{7}}{2 x^{- 2}}$ = $\frac{- 7 \cdot x^{7}}{2 \cdot x^{- 2}}$ = $- \frac{7}{2} \frac{x^{7}}{x^{- 2}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{7}{2}$ $x^{7 - (- 2)}$

= $- \frac{7}{2} x^{9}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 3 x + x^{2} \cdot (x^{- 1} + x)$

Lösung einblenden

$- 3 x + x^{2} \cdot (x^{- 1} + x)$

= $- 3 x + (x^{2} \cdot x^{- 1} + x^{2} \cdot x)$

= $- 3 x + x + x^{3}$

= $x^{3} - 2 x$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(4 x)}^{2}$

= $4^{2} \cdot x^{2}$

= $16 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $6^{4}$ ⋅ $2^{- 4}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $6^{4}$ ⋅ $2^{- 4}$

= $6^{4} \cdot \frac{1}{2^{4}}$

= $\frac{6^{4}}{2^{4}}$

= $\frac{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$

= $\frac{6}{2} \cdot \frac{6}{2} \cdot \frac{6}{2} \cdot \frac{6}{2}$

= ${(\frac{6}{2})}^{4}$

= $3^{4}$

= $81$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{6})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{6})}^{3}$

= $x^{6 \cdot 3}$

= $x^{18}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(7 \cdot 5^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(7 \cdot 5^{x})}^{2}$

= $7^{2} \cdot {(5^{x})}^{2}$

= $7^{2} \cdot 5^{x \cdot 2}$

= $49 \cdot 5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $49 \cdot {(5^{2})}^{x}$

= $49 \cdot 25^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $2^{- 5} \cdot 4^{5}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

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Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$2^{- 5} \cdot 4^{5}$

= $\frac{4^{5}}{2^{5}}$

= ${(\frac{4}{2})}^{5}$

= $2^{5}$

= $32$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{6^{5} \cdot 24 - 6^{6} \cdot 4}{6^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 24 als 4 ⋅ 6 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{6^{5} \cdot 24 - 6^{6} \cdot 4}{6^{6}}$

= $\frac{6^{5} \cdot 4 \cdot 6 - 6^{6} \cdot 4}{6^{6}}$

= $\frac{6^{6} \cdot 4 - 6^{6} \cdot 4}{6^{6}}$

= $\frac{6^{6} \cdot (4 - 4)}{6^{6}}$

= $4 - 4$

= 0

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 1)}^{5}}{{(x^{2} + 2 x + 1)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{5}}{{(x^{2} + 2 x + 1)}^{5}}$

= $\frac{{((x + 1) \cdot (x - 1))}^{5}}{{({(x + 1)}^{2})}^{5}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{5} \cdot {(x - 1)}^{5}}{{(x + 1)}^{10}}$

= $\frac{1 \cdot {(x - 1)}^{5}}{{(x + 1)}^{5}}$

= $\frac{{(x - 1)}^{5}}{{(x + 1)}^{5}}$

= ${(\frac{x - 1}{x + 1})}^{5}$

Aufgabenbeispiele von Potenzgesetze

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln