Aufgabenbeispiele von Polynomgleichungen

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Polynomgleichungen (Nullprodukt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( x -2 ) · ( x -1 ) 2 = 0

Lösung einblenden
( x -2 ) ( x -1 ) 2 = 0
( x -1 ) 2 ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

( x -1 ) 2 = 0 | 2
x -1 = 0
x -1 = 0 | +1
x1 = 1

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

L={ 1 ; 2 }

1 ist 2-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 + x 3 = 0

Lösung einblenden
x 4 + x 3 = 0
x 3 ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | 3
x1 = 0

2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x2 = -1

L={ -1 ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -7 x 2 -18 = 0

Lösung einblenden
x 4 -7 x 2 -18 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -7u -18 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +7 ± ( -7 ) 2 -4 · 1 · ( -18 ) 21

u1,2 = +7 ± 49 +72 2

u1,2 = +7 ± 121 2

u1 = 7 + 121 2 = 7 +11 2 = 18 2 = 9

u2 = 7 - 121 2 = 7 -11 2 = -4 2 = -2

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | 2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

u2: x 2 = -2

x 2 = -2 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -3 ; 3 }

Polynomgleichungen (Substitution II)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-12 x 2 + x 6 = x 4

Lösung einblenden
-12 x 2 + x 6 = x 4
x 6 -12 x 2 = x 4 | - x 4
x 6 - x 4 -12 x 2 = 0
x 2 ( x 4 - x 2 -12 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | 2
x1 = 0

2. Fall:

x 4 - x 2 -12 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 - u -12 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -12 ) 21

u1,2 = +1 ± 1 +48 2

u1,2 = +1 ± 49 2

u1 = 1 + 49 2 = 1 +7 2 = 8 2 = 4

u2 = 1 - 49 2 = 1 -7 2 = -6 2 = -3

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 4

x 2 = 4 | 2
x2 = - 4 = -2
x3 = 4 = 2

u2: x 2 = -3

x 2 = -3 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -2 ; 0; 2 }

0 ist 2-fache Lösung!