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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 5^{x}$ = $\frac{5}{2}$

$\frac{1}{2} \cdot 5^{x}$	=	$\frac{5}{2}$	\|⋅ $2$
$5^{x}$	=	$5$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (5)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (5)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (5)}{\lg (5)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $5^{x}$ = 5 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6^{2 x - 3}$ = $\frac{1}{6}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$6^{2 x - 3}$ = $\frac{1}{6}$

$6^{2 x - 3}$ = $6^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 6.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $2 x - 3$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$2 x - 3$	=	$- 1$	\| $+ 3$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

L={ $1$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{x} - 8 \cdot 4^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$2^{x} - 8 \cdot 4^{x}$ = 0| $- 2^{x}$

$- 8 \cdot 4^{x}$ = $- 2^{x}$ | : $- 8$ : $2^{x}$

$\frac{4^{x}}{2^{x}}$ = $\frac{1}{8}$

${(\frac{4}{2})}^{x}$ = $\frac{1}{8}$

$2^{x}$	=	$\frac{1}{8}$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{8})$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (\frac{1}{8})$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{8})}{\lg (2)}$

x

- 3

L={ $- 3$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Durch intensive Klimaschutzprogramme schafft es ein Staat seine CO₂-Emissonen leicht zu reduzieren, so dass der jährliche CO₂-Ausstoß näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $810 \cdot {0,91}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen Tonnen) beschrieben werden kann. Wie viele Jahre nach Beobachtungsbeginn werden 230 Millionen Tonnen weniger CO₂ ausgestoßen als noch zu Beginn?

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $810 \cdot {0,91}^{0}$ =810. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 230 kleiner geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=580, weil ja 580 - 810 = -230 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 580, also $810 \cdot {0,91}^{t}$ = 580.

$810 \cdot {0,91}^{t}$	=	$580$	\|: $810$
${0,91}^{t}$	=	$\frac{58}{81}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,91}^{t})$	=	$\lg (\frac{58}{81})$
$t \cdot \lg (0,91)$	=	$\lg (\frac{58}{81})$	\|: $\lg (0,91)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{58}{81})}{\lg (0,91)}$

t

3,5416

Zum Zeitpunkt t ≈ $3,5416$ Jahre ist der Bestand 580 Millionen Tonnen, also um 230 Millionen Tonnen kleiner als zu Beginn..