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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{x}$ = $16$

$4^{x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (16)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (4)}$

x

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 16

$4^{x}$ = $4^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6^{3 x - 2}$ = $\frac{1}{6}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$6^{3 x - 2}$ = $\frac{1}{6}$

$6^{3 x - 2}$ = $6^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 6.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $3 x - 2$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$3 x - 2$	=	$- 1$	\| $+ 2$
$3 x$	=	$1$	\|: $3$
$x$	=	$\frac{1}{3}$

L={ $\frac{1}{3}$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \cdot 3^{2 x - 1} + 2 \cdot 3^{2 x}$ = $324$

Lösung einblenden

$- 2 \cdot 3^{2 x - 1} + 2 \cdot 3^{2 x}$ = $324$

Wir müssen $- 2 \cdot 3^{2 x - 1}$ in $- 2 \cdot 3^{2 x} \cdot 3^{- 1}$ aufspalten um die beiden 3er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$- 2 \cdot 3^{2 x} \cdot 3^{- 1} + 2 \cdot 3^{2 x}$ = $324$

$- \frac{2}{3} \cdot 3^{2 x} + 2 \cdot 3^{2 x}$ = $324$ | ⋅ 3

$- 2 \cdot 3^{2 x} + 6 \cdot 3^{2 x}$ = $972$

$4 \cdot 3^{2 x}$	=	$972$	\|: $4$
$3^{2 x}$	=	$243$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{2 x})$	=	$\lg (243)$
$2 x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (243)$	\|: $\lg (3)$
$2 x$	=	$\frac{\lg (243)}{\lg (3)}$

$2 x$	=	$5$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{5}{2}$ = 2.5

L={ $\frac{5}{2}$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass die Anzahl der Nutzer näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $4 300 \cdot {1,12}^{t}$ (t in Wochen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden kann. Wann hat sich die Anzahl der Webseitennutzer um 600 vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $4 300 \cdot {1,12}^{0}$ =4300. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 600 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=4900, weil ja 4900 - 4300 = 600 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 4900, also $4 300 \cdot {1,12}^{t}$ = 4900.

$4 300 \cdot {1,12}^{t}$	=	$4 900$	\|: $4 300$
${1,12}^{t}$	=	$\frac{49}{43}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,12}^{t})$	=	$\lg (\frac{49}{43})$
$t \cdot \lg (1,12)$	=	$\lg (\frac{49}{43})$	\|: $\lg (1,12)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{49}{43})}{\lg (1,12)}$

t

1,1526

Zum Zeitpunkt t ≈ $1,1526$ Wochen ist der Bestand 4900 Nutzer, also um 600 Nutzer größer als zu Beginn..