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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{x}$ = $1$

$5^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (5)$	=	0	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (5)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 1

$5^{x}$ = 5⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$ = $- 2$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$	=	$- 2$	\|⋅ $2$
$2^{x}$	=	$- 4$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

$2^{x}$ muss immer >0 sein und kann daher nicht = $- 4$ sein.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 4^{2 x + 1} - 256$ = $4 \cdot 4^{2 x}$

Lösung einblenden

$2 \cdot 4^{2 x + 1} - 256$ = $4 \cdot 4^{2 x}$ | $- 4 \cdot 4^{2 x}$ $+ 256$

$2 \cdot 4^{2 x + 1} - 4 \cdot 4^{2 x}$ = $256$

Wir müssen $2 \cdot 4^{2 x + 1}$ in $2 \cdot 4^{2 x} \cdot 4^{1}$ aufspalten um die beiden 4er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$2 \cdot 4^{2 x} \cdot 4^{1} - 4 \cdot 4^{2 x}$ = $256$

$8 \cdot 4^{2 x} - 4 \cdot 4^{2 x}$ = $256$

$4 \cdot 4^{2 x}$	=	$256$	\|: $4$
$4^{2 x}$	=	$64$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{2 x})$	=	$\lg (64)$
$2 x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (64)$	\|: $\lg (4)$
$2 x$	=	$\frac{\lg (64)}{\lg (4)}$

$2 x$	=	$3$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{3}{2}$ = 1.5

L={ $\frac{3}{2}$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Durch intensive Klimaschutzprogramme schafft es ein Staat seine CO₂-Emissonen leicht zu reduzieren, so dass der jährliche CO₂-Ausstoß näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $770 \cdot {0,97}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen Tonnen) beschrieben werden kann. Wie viele Jahre nach Beobachtungsbeginn werden 250 Millionen Tonnen weniger CO₂ ausgestoßen als noch zu Beginn?

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $770 \cdot {0,97}^{0}$ =770. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 250 kleiner geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=520, weil ja 520 - 770 = -250 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 520, also $770 \cdot {0,97}^{t}$ = 520.

$770 \cdot {0,97}^{t}$	=	$520$	\|: $770$
${0,97}^{t}$	=	$\frac{52}{77}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,97}^{t})$	=	$\lg (\frac{52}{77})$
$t \cdot \lg (0,97)$	=	$\lg (\frac{52}{77})$	\|: $\lg (0,97)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{52}{77})}{\lg (0,97)}$

t

12,8881

Zum Zeitpunkt t ≈ $12,8881$ Jahre ist der Bestand 520 Millionen Tonnen, also um 250 Millionen Tonnen kleiner als zu Beginn..