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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{x}$ = $64$

$4^{x}$	=	$64$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (64)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (64)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (64)}{\lg (4)}$

x

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 64

$4^{x}$ = $4^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$ = $2$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$	=	$2$	\|⋅ $2$
$4^{x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (4)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (4)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $4^{x}$ = 4 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \cdot 2^{x} + 2 \cdot 2^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $2 \cdot 2^{2 x}$ in $2 \cdot 2^{2 x}$ = $2 \cdot 2^{x + x}$ = $2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{x}$ auf::

$2 \cdot 2^{2 x} - 2 \cdot 2^{x}$ = 0

$2 \cdot 2^{x + x} - 2 \cdot 2^{x}$ = 0

$2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{x} - 2 \cdot 2^{x}$ = 0

$2^{x} (- 2 + 2 \cdot 2^{x})$	=	0
$2^{x} (2 \cdot 2^{x} - 2)$	=	0
$(2 \cdot 2^{x} - 2) \cdot 2^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 \cdot 2^{x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 \cdot 2^{x}$	=	$2$	\|: $2$
$2^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (2)$	=	0	\|: $\lg (2)$
x₁	=	$\frac{0}{\lg (2)}$

x₁

2. Fall:

2^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass die Anzahl der Nutzer näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $3 700 \cdot {1,1}^{t}$ (t in Wochen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden kann. Wann hat sich die Anzahl der Webseitennutzer um 1100 vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $3 700 \cdot {1,1}^{0}$ =3700. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 1100 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=4800, weil ja 4800 - 3700 = 1100 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 4800, also $3 700 \cdot {1,1}^{t}$ = 4800.

$3 700 \cdot {1,1}^{t}$	=	$4 800$	\|: $3 700$
${1,1}^{t}$	=	$\frac{48}{37}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,1}^{t})$	=	$\lg (\frac{48}{37})$
$t \cdot \lg (1,1)$	=	$\lg (\frac{48}{37})$	\|: $\lg (1,1)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{48}{37})}{\lg (1,1)}$

t

2,7309

Zum Zeitpunkt t ≈ $2,7309$ Wochen ist der Bestand 4800 Nutzer, also um 1100 Nutzer größer als zu Beginn..