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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 2^{x}$ = $32$

$2 \cdot 2^{x}$	=	$32$	\|: $2$
$2^{x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (16)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (2)}$

x

4

L={ $4$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 16

$2^{x}$ = $2^{4}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=4 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{2 x - 3}$ = $\frac{1}{2}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$2^{2 x - 3}$ = $\frac{1}{2}$

$2^{2 x - 3}$ = $2^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 2.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $2 x - 3$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$2 x - 3$	=	$- 1$	\| $+ 3$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

L={ $1$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 48 \cdot 2^{x} + 3 \cdot 2^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $3 \cdot 2^{2 x}$ in $3 \cdot 2^{2 x}$ = $3 \cdot 2^{x + x}$ = $3 \cdot 2^{x} \cdot 2^{x}$ auf::

$3 \cdot 2^{2 x} - 48 \cdot 2^{x}$ = 0

$3 \cdot 2^{x + x} - 48 \cdot 2^{x}$ = 0

$3 \cdot 2^{x} \cdot 2^{x} - 48 \cdot 2^{x}$ = 0

$2^{x} (- 48 + 3 \cdot 2^{x})$	=	0
$2^{x} (3 \cdot 2^{x} - 48)$	=	0
$(3 \cdot 2^{x} - 48) \cdot 2^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 \cdot 2^{x} - 48$	=	0	\| $+ 48$
$3 \cdot 2^{x}$	=	$48$	\|: $3$
$2^{x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (16)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (2)$
x₁	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (2)}$

x₁

4

2. Fall:

2^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $4$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Bevölkerung eines Landes soll näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $20 \cdot {1,05}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat das Land nach diesem Modell 25 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 25, also $20 \cdot {1,05}^{t}$ = 25.

$20 \cdot {1,05}^{t}$	=	$25$	\|: $20$
${1,05}^{t}$	=	$\frac{5}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,05}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{4})$
$t \cdot \lg (1,05)$	=	$\lg (\frac{5}{4})$	\|: $\lg (1,05)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{4})}{\lg (1,05)}$

t

4,5735

Zum Zeitpunkt t ≈ $4,5735$ Jahre ist der Bestand 25 Millionen.