Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

5 x = 125

Lösung einblenden
5 x = 125 |lg(⋅)
lg( 5 x ) = lg( 125 )
x · lg( 5 ) = lg( 125 ) |: lg( 5 )
x = lg( 125 ) lg( 5 )
x = 3

L={ 3 }

Im Idealfall erkennt man bereits:

5 x = 125

5 x = 5 3

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 5 x -14 = 36

Lösung einblenden
2 5 x -14 = 36 | +14
2 5 x = 50 |:2
5 x = 25 |lg(⋅)
lg( 5 x ) = lg( 25 )
x · lg( 5 ) = lg( 25 ) |: lg( 5 )
x = lg( 25 ) lg( 5 )
x = 2

L={ 2 }

Im Idealfall erkennt man bereits:

5 x = 25

5 x = 5 2

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-6 3 x +2 3 2x = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man 2 3 2x in 2 3 2x = 2 3 x + x = 2 3 x · 3 x auf::

2 3 2x -6 3 x = 0

2 3 x + x -6 3 x = 0

2 3 x · 3 x -6 3 x = 0

3 x ( -6 +2 3 x ) = 0
3 x ( 2 3 x -6 ) = 0
( 2 3 x -6 ) · 3 x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 3 x -6 = 0 | +6
2 3 x = 6 |:2
3 x = 3 |lg(⋅)
lg( 3 x ) = lg( 3 )
x · lg( 3 ) = lg( 3 ) |: lg( 3 )
x1 = lg( 3 ) lg( 3 )
x1 = 1

2. Fall:

3 x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 1 }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Weltweit kann man die Anzahl einer Insektenart näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 84 0,75 t darstellen (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen). Bestimme den Zeitpunkt, wann die Anzahl dieser Insekten auf 55 Millionen zurück gegangen ist.

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 55, also 84 0,75 t = 55.

84 0,75 t = 55 |:84
0,75 t = 55 84 |lg(⋅)
lg( 0,75 t ) = lg( 55 84 )
t · lg( 0,75 ) = lg( 55 84 ) |: lg( 0,75 )
t = lg( 55 84 ) lg( 0,75 )
t = 1,4721

Zum Zeitpunkt t ≈ 1,4721 Jahre ist der Bestand 55 Millionen.