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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{x}$ = $4$

$2^{x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (4)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (2)}$

x

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 4

$2^{x}$ = $2^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x} - 1,5$ = $0,5$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x} - 1,5$	=	$0,5$	\| $+ 1,5$
$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$	=	$2$	\|⋅ $2$
$2^{x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (4)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (2)}$

x

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 4

$2^{x}$ = $2^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$48 \cdot 4^{x} - 3 \cdot 4^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $- 3 \cdot 4^{2 x}$ in $- 3 \cdot 4^{2 x}$ = $- 3 \cdot 4^{x + x}$ = $- 3 \cdot 4^{x} \cdot 4^{x}$ auf::

$- 3 \cdot 4^{2 x} + 48 \cdot 4^{x}$ = 0

$- 3 \cdot 4^{x + x} + 48 \cdot 4^{x}$ = 0

$- 3 \cdot 4^{x} \cdot 4^{x} + 48 \cdot 4^{x}$ = 0

$4^{x} (48 - 3 \cdot 4^{x})$	=	0
$4^{x} (- 3 \cdot 4^{x} + 48)$	=	0
$(- 3 \cdot 4^{x} + 48) \cdot 4^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 \cdot 4^{x} + 48$	=	0	\| $- 48$
$- 3 \cdot 4^{x}$	=	$- 48$	\|: $- 3$
$4^{x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (16)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (4)$
x₁	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (4)}$

x₁

2

2. Fall:

4^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Durch intensive Klimaschutzprogramme schafft es ein Staat seine CO₂-Emissonen leicht zu reduzieren, so dass der jährliche CO₂-Ausstoß näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $790 \cdot {0,93}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen Tonnen) beschrieben werden kann. Wie viele Jahre nach Beobachtungsbeginn werden 290 Millionen Tonnen weniger CO₂ ausgestoßen als noch zu Beginn?

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $790 \cdot {0,93}^{0}$ =790. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 290 kleiner geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=500, weil ja 500 - 790 = -290 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 500, also $790 \cdot {0,93}^{t}$ = 500.

$790 \cdot {0,93}^{t}$	=	$500$	\|: $790$
${0,93}^{t}$	=	$\frac{50}{79}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,93}^{t})$	=	$\lg (\frac{50}{79})$
$t \cdot \lg (0,93)$	=	$\lg (\frac{50}{79})$	\|: $\lg (0,93)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{50}{79})}{\lg (0,93)}$

t

6,3032

Zum Zeitpunkt t ≈ $6,3032$ Jahre ist der Bestand 500 Millionen Tonnen, also um 290 Millionen Tonnen kleiner als zu Beginn..