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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 4^{x}$ = $8$

$2 \cdot 4^{x}$	=	$8$	\|: $2$
$4^{x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (4)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (4)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $4^{x}$ = 4 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 5^{x}$ = $- 10$

Lösung einblenden

$2 \cdot 5^{x}$	=	$- 10$	\|: $2$
$5^{x}$	=	$- 5$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

$5^{x}$ muss immer >0 sein und kann daher nicht = $- 5$ sein.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 \cdot 2^{x} + 2 \cdot 2^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $2 \cdot 2^{2 x}$ in $2 \cdot 2^{2 x}$ = $2 \cdot 2^{x + x}$ = $2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{x}$ auf::

$2 \cdot 2^{2 x} - 4 \cdot 2^{x}$ = 0

$2 \cdot 2^{x + x} - 4 \cdot 2^{x}$ = 0

$2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{x} - 4 \cdot 2^{x}$ = 0

$2^{x} (2 \cdot 2^{x} - 4)$	=	0
$(2 \cdot 2^{x} - 4) \cdot 2^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 \cdot 2^{x} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$2 \cdot 2^{x}$	=	$4$	\|: $2$
$2^{x}$	=	$2$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (2)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (2)$	\|: $\lg (2)$
x₁	=	$\frac{\lg (2)}{\lg (2)}$

x₁

1

2. Fall:

2^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $1$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Durch intensive Klimaschutzprogramme schafft es ein Staat seine CO₂-Emissonen leicht zu reduzieren, so dass der jährliche CO₂-Ausstoß näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $800 \cdot {0,91}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen Tonnen) beschrieben werden kann. Wie viele Jahre nach Beobachtungsbeginn werden 345 Millionen Tonnen weniger CO₂ ausgestoßen als noch zu Beginn?

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $800 \cdot {0,91}^{0}$ =800. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 345 kleiner geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=455, weil ja 455 - 800 = -345 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 455, also $800 \cdot {0,91}^{t}$ = 455.

$800 \cdot {0,91}^{t}$	=	$455$	\|: $800$
${0,91}^{t}$	=	$\frac{91}{160}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,91}^{t})$	=	$\lg (\frac{91}{160})$
$t \cdot \lg (0,91)$	=	$\lg (\frac{91}{160})$	\|: $\lg (0,91)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{91}{160})}{\lg (0,91)}$

t

5,9836

Zum Zeitpunkt t ≈ $5,9836$ Jahre ist der Bestand 455 Millionen Tonnen, also um 345 Millionen Tonnen kleiner als zu Beginn..