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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{x}$ = $1$

$5^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (5)$	=	0	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (5)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 1

$5^{x}$ = 5⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x} - 2,5$ = $2$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x} - 2,5$	=	$2$	\| $+ 2,5$
$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$	=	$4,5$	\|⋅ $2$
$3^{x}$	=	$9$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (9)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (9)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (9)}{\lg (3)}$

x

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$3^{x}$ = 9

$3^{x}$ = $3^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 2^{2 x + 1} - 48$ = $2^{2 x}$

Lösung einblenden

$2 \cdot 2^{2 x + 1} - 48$ = $2^{2 x}$ | $- 2^{2 x}$ $+ 48$

$2 \cdot 2^{2 x + 1} - 2^{2 x}$ = $48$

Wir müssen $2 \cdot 2^{2 x + 1}$ in $2 \cdot 2^{2 x} \cdot 2^{1}$ aufspalten um die beiden 2er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$2 \cdot 2^{2 x} \cdot 2^{1} - 2^{2 x}$ = $48$

$4 \cdot 2^{2 x} - 2^{2 x}$ = $48$

$3 \cdot 2^{2 x}$	=	$48$	\|: $3$
$2^{2 x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{2 x})$	=	$\lg (16)$
$2 x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (2)$
$2 x$	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (2)}$

$2 x$	=	$4$	\|: $2$
$x$	=	$2$

L={ $2$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Bevölkerung eines Landes soll näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $20 \cdot {1,05}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat das Land nach diesem Modell 24 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 24, also $20 \cdot {1,05}^{t}$ = 24.

$20 \cdot {1,05}^{t}$	=	$24$	\|: $20$
${1,05}^{t}$	=	$\frac{6}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,05}^{t})$	=	$\lg (\frac{6}{5})$
$t \cdot \lg (1,05)$	=	$\lg (\frac{6}{5})$	\|: $\lg (1,05)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{6}{5})}{\lg (1,05)}$

t

3,7369

Zum Zeitpunkt t ≈ $3,7369$ Jahre ist der Bestand 24 Millionen.