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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 5^{x}$ = $\frac{25}{2}$

$\frac{1}{2} \cdot 5^{x}$	=	$\frac{25}{2}$	\|⋅ $2$
$5^{x}$	=	$25$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (25)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (25)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (25)}{\lg (5)}$

x

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 25

$5^{x}$ = $5^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 5^{x} + 4$ = $16,5$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 5^{x} + 4$	=	$16,5$	\| $- 4$
$\frac{1}{2} \cdot 5^{x}$	=	$12,5$	\|⋅ $2$
$5^{x}$	=	$25$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (25)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (25)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (25)}{\lg (5)}$

x

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 25

$5^{x}$ = $5^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 5^{2 x + 1} - 14 \cdot 5^{2 x}$ = $- 100$

Lösung einblenden

$2 \cdot 5^{2 x + 1} - 14 \cdot 5^{2 x}$ = $- 100$

Wir müssen $2 \cdot 5^{2 x + 1}$ in $2 \cdot 5^{2 x} \cdot 5^{1}$ aufspalten um die beiden 5er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$2 \cdot 5^{2 x} \cdot 5^{1} - 14 \cdot 5^{2 x}$ = $- 100$

$10 \cdot 5^{2 x} - 14 \cdot 5^{2 x}$ = $- 100$

$- 4 \cdot 5^{2 x}$	=	$- 100$	\|: $- 4$
$5^{2 x}$	=	$25$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{2 x})$	=	$\lg (25)$
$2 x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (25)$	\|: $\lg (5)$
$2 x$	=	$\frac{\lg (25)}{\lg (5)}$

$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

L={ $1$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Durch intensive Klimaschutzprogramme schafft es ein Staat seine CO₂-Emissonen leicht zu reduzieren, so dass der jährliche CO₂-Ausstoß näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $900 \cdot {0,92}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen Tonnen) beschrieben werden kann. Wie viele Jahre nach Beobachtungsbeginn werden 165 Millionen Tonnen weniger CO₂ ausgestoßen als noch zu Beginn?

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $900 \cdot {0,92}^{0}$ =900. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 165 kleiner geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=735, weil ja 735 - 900 = -165 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 735, also $900 \cdot {0,92}^{t}$ = 735.

$900 \cdot {0,92}^{t}$	=	$735$	\|: $900$
${0,92}^{t}$	=	$\frac{49}{60}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,92}^{t})$	=	$\lg (\frac{49}{60})$
$t \cdot \lg (0,92)$	=	$\lg (\frac{49}{60})$	\|: $\lg (0,92)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{49}{60})}{\lg (0,92)}$

t

2,4289

Zum Zeitpunkt t ≈ $2,4289$ Jahre ist der Bestand 735 Millionen Tonnen, also um 165 Millionen Tonnen kleiner als zu Beginn..