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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3^{x}$ = $27$

$3^{x}$	=	$27$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (27)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (27)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (27)}{\lg (3)}$

x

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$3^{x}$ = 27

$3^{x}$ = $3^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7^{- x + 1}$ = $\frac{1}{7}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$7^{- x + 1}$ = $\frac{1}{7}$

$7^{- x + 1}$ = $7^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 7.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $- x + 1$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$- x + 1$	=	$- 1$	\| $- 1$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

L={ $2$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{x} - 25 \cdot 5^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $- 25 \cdot 5^{2 x}$ in $- 25 \cdot 5^{2 x}$ = $- 25 \cdot 5^{x + x}$ = $- 25 \cdot 5^{x} \cdot 5^{x}$ auf::

$- 25 \cdot 5^{2 x} + 5^{x}$ = 0

$- 25 \cdot 5^{x + x} + 5^{x}$ = 0

$- 25 \cdot 5^{x} \cdot 5^{x} + 5^{x}$ = 0

$5^{x} (- 25 \cdot 5^{x} + 1)$	=	0
$(- 25 \cdot 5^{x} + 1) \cdot 5^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 25 \cdot 5^{x} + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 25 \cdot 5^{x}$	=	$- 1$	\|: $- 25$
$5^{x}$	=	$\frac{1}{25}$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{25})$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (\frac{1}{25})$	\|: $\lg (5)$
x₁	=	$\frac{\lg (\frac{1}{25})}{\lg (5)}$

x₁

- 2

2. Fall:

5^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 2$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Durch intensive Klimaschutzprogramme schafft es ein Staat seine CO₂-Emissonen leicht zu reduzieren, so dass der jährliche CO₂-Ausstoß näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $850 \cdot {0,92}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen Tonnen) beschrieben werden kann. Wie viele Jahre nach Beobachtungsbeginn werden 270 Millionen Tonnen weniger CO₂ ausgestoßen als noch zu Beginn?

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $850 \cdot {0,92}^{0}$ =850. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 270 kleiner geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=580, weil ja 580 - 850 = -270 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 580, also $850 \cdot {0,92}^{t}$ = 580.

$850 \cdot {0,92}^{t}$	=	$580$	\|: $850$
${0,92}^{t}$	=	$\frac{58}{85}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,92}^{t})$	=	$\lg (\frac{58}{85})$
$t \cdot \lg (0,92)$	=	$\lg (\frac{58}{85})$	\|: $\lg (0,92)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{58}{85})}{\lg (0,92)}$

t

4,5838

Zum Zeitpunkt t ≈ $4,5838$ Jahre ist der Bestand 580 Millionen Tonnen, also um 270 Millionen Tonnen kleiner als zu Beginn..