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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{x}$ = $16$

$2^{x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (16)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (2)}$

x

4

L={ $4$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 16

$2^{x}$ = $2^{4}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=4 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 4^{x}$ = $8$

Lösung einblenden

$2 \cdot 4^{x}$	=	$8$	\|: $2$
$4^{x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (4)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (4)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $4^{x}$ = 4 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{x} - 25 \cdot 25^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$5^{x} - 25 \cdot 25^{x}$ = 0| $- 5^{x}$

$- 25 \cdot 25^{x}$ = $- 5^{x}$ | : $- 25$ : $5^{x}$

$\frac{25^{x}}{5^{x}}$ = $\frac{1}{25}$

${(\frac{25}{5})}^{x}$ = $\frac{1}{25}$

$5^{x}$	=	$\frac{1}{25}$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{25})$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (\frac{1}{25})$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{25})}{\lg (5)}$

x

- 2

L={ $- 2$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Größe einer Bakterienkultur kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $3 \cdot 2^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat sich die Bakterienkultur um 4 Millionen vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $3 \cdot 2^{0}$ =3. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 4 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=7, weil ja 7 - 3 = 4 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 7, also $3 \cdot 2^{t}$ = 7.

$3 \cdot 2^{t}$	=	$7$	\|: $3$
$2^{t}$	=	$\frac{7}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{3})$
$t \cdot \lg (2)$	=	$\lg (\frac{7}{3})$	\|: $\lg (2)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{3})}{\lg (2)}$

t

1,2224

Zum Zeitpunkt t ≈ $1,2224$ Jahre ist der Bestand 7 Millionen, also um 4 Millionen größer als zu Beginn..