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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$ = $4$

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$	=	$4$	\|⋅ $2$
$2^{x}$	=	$8$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (8)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (8)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (8)}{\lg (2)}$

x

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 8

$2^{x}$ = $2^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 3^{x}$ = $2$

Lösung einblenden

$2 \cdot 3^{x}$	=	$2$	\|: $2$
$3^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (3)$	=	0	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (3)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$3^{x}$ = 1

$3^{x}$ = 3⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 \cdot 4^{x} - 5 \cdot 5^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$7 \cdot 4^{x} - 5 \cdot 5^{x}$ = 0| $- 7 \cdot 4^{x}$

$- 5 \cdot 5^{x}$ = $- 7 \cdot 4^{x}$ | : $- 5$ : $4^{x}$

$\frac{5^{x}}{4^{x}}$ = $\frac{7}{5}$

${(\frac{5}{4})}^{x}$ = $\frac{7}{5}$

${(\frac{5}{4})}^{x}$	=	$\frac{7}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({(\frac{5}{4})}^{x})$	=	$\lg (\frac{7}{5})$
$x \cdot \lg (\frac{5}{4})$	=	$\lg (\frac{7}{5})$	\|: $\lg (\frac{5}{4})$
$x$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{5})}{\lg (\frac{5}{4})}$

x

1,5079

L={ $1,5079$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass die Anzahl der Nutzer näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $3 700 \cdot {1,1}^{t}$ (t in Wochen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden kann. Wann hat sich die Anzahl der Webseitennutzer um 900 vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $3 700 \cdot {1,1}^{0}$ =3700. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 900 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=4600, weil ja 4600 - 3700 = 900 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 4600, also $3 700 \cdot {1,1}^{t}$ = 4600.

$3 700 \cdot {1,1}^{t}$	=	$4 600$	\|: $3 700$
${1,1}^{t}$	=	$\frac{46}{37}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,1}^{t})$	=	$\lg (\frac{46}{37})$
$t \cdot \lg (1,1)$	=	$\lg (\frac{46}{37})$	\|: $\lg (1,1)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{46}{37})}{\lg (1,1)}$

t

2,2844

Zum Zeitpunkt t ≈ $2,2844$ Wochen ist der Bestand 4600 Nutzer, also um 900 Nutzer größer als zu Beginn..