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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$ = $\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ $2$
$3^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (3)$	=	0	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (3)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$3^{x}$ = 1

$3^{x}$ = 3⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{x}$ = $- 8$

Lösung einblenden

2^{x}

- 8

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

$2^{x}$ muss immer >0 sein und kann daher nicht = $- 8$ sein.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{x} - 5^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $- 5^{2 x}$ in $- 5^{2 x}$ = $- 5^{x + x}$ = $- 5^{x} \cdot 5^{x}$ auf::

$- 5^{2 x} + 5^{x}$ = 0

$- 5^{x + x} + 5^{x}$ = 0

$- 5^{x} \cdot 5^{x} + 5^{x}$ = 0

$5^{x} (- 5^{x} + 1)$	=	0
$(- 5^{x} + 1) \cdot 5^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 5^{x} + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 5^{x}$	=	$- 1$	\|: $- 1$
$5^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (5)$	=	0	\|: $\lg (5)$
x₁	=	$\frac{0}{\lg (5)}$

x₁

2. Fall:

5^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Durch intensive Klimaschutzprogramme schafft es ein Staat seine CO₂-Emissonen leicht zu reduzieren, so dass der jährliche CO₂-Ausstoß näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $900 \cdot {0,96}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen Tonnen) beschrieben werden kann. Wie viele Jahre nach Beobachtungsbeginn werden 295 Millionen Tonnen weniger CO₂ ausgestoßen als noch zu Beginn?

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $900 \cdot {0,96}^{0}$ =900. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 295 kleiner geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=605, weil ja 605 - 900 = -295 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 605, also $900 \cdot {0,96}^{t}$ = 605.

$900 \cdot {0,96}^{t}$	=	$605$	\|: $900$
${0,96}^{t}$	=	$\frac{121}{180}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,96}^{t})$	=	$\lg (\frac{121}{180})$
$t \cdot \lg (0,96)$	=	$\lg (\frac{121}{180})$	\|: $\lg (0,96)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{121}{180})}{\lg (0,96)}$

t

9,7292

Zum Zeitpunkt t ≈ $9,7292$ Jahre ist der Bestand 605 Millionen Tonnen, also um 295 Millionen Tonnen kleiner als zu Beginn..