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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$ = $\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ $2$
$4^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (4)$	=	0	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (4)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 1

$4^{x}$ = 4⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 5^{x}$ = $2$

Lösung einblenden

$2 \cdot 5^{x}$	=	$2$	\|: $2$
$5^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (5)$	=	0	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (5)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 1

$5^{x}$ = 5⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{2 x + 2} - 3 \cdot 2^{2 x}$ = $16$

Lösung einblenden

$2^{2 x + 2} - 3 \cdot 2^{2 x}$ = $16$

Wir müssen $2^{2 x + 2}$ in $2^{2 x} \cdot 2^{2}$ aufspalten um die beiden 2er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$2^{2 x} \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2^{2 x}$ = $16$

$4 \cdot 2^{2 x} - 3 \cdot 2^{2 x}$ = $16$

$2^{2 x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{2 x})$	=	$\lg (16)$
$2 x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (2)$
$2 x$	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (2)}$

$2 x$	=	$4$	\|: $2$
$x$	=	$2$

L={ $2$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Bevölkerung eines Landes soll näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $20 \cdot {1,05}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat das Land nach diesem Modell 24 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 24, also $20 \cdot {1,05}^{t}$ = 24.

$20 \cdot {1,05}^{t}$	=	$24$	\|: $20$
${1,05}^{t}$	=	$\frac{6}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,05}^{t})$	=	$\lg (\frac{6}{5})$
$t \cdot \lg (1,05)$	=	$\lg (\frac{6}{5})$	\|: $\lg (1,05)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{6}{5})}{\lg (1,05)}$

t

3,7369

Zum Zeitpunkt t ≈ $3,7369$ Jahre ist der Bestand 24 Millionen.