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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{x}$ = $8$

$2^{x}$	=	$8$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (8)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (8)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (8)}{\lg (2)}$

x

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 8

$2^{x}$ = $2^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3^{2 x + 1}$ = $\frac{1}{3}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$3^{2 x + 1}$ = $\frac{1}{3}$

$3^{2 x + 1}$ = $3^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 3.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $2 x + 1$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$2 x + 1$	=	$- 1$	\| $- 1$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
$x$	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 \cdot 4^{x} + 6 \cdot 5^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$- 5 \cdot 4^{x} + 6 \cdot 5^{x}$ = 0| $+ 5 \cdot 4^{x}$

$6 \cdot 5^{x}$ = $5 \cdot 4^{x}$ | : $6$ : $4^{x}$

$\frac{5^{x}}{4^{x}}$ = $\frac{5}{6}$

${(\frac{5}{4})}^{x}$ = $\frac{5}{6}$

${(\frac{5}{4})}^{x}$	=	$\frac{5}{6}$	\|lg(⋅)
$\lg ({(\frac{5}{4})}^{x})$	=	$\lg (\frac{5}{6})$
$x \cdot \lg (\frac{5}{4})$	=	$\lg (\frac{5}{6})$	\|: $\lg (\frac{5}{4})$
$x$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{6})}{\lg (\frac{5}{4})}$

x

- 0,8171

L={ $- 0,8171$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass die Anzahl der Nutzer näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $2 700 \cdot {1,24}^{t}$ (t in Wochen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden kann. Wann hat sich die Anzahl der Webseitennutzer um 1100 vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $2 700 \cdot {1,24}^{0}$ =2700. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 1100 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=3800, weil ja 3800 - 2700 = 1100 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 3800, also $2 700 \cdot {1,24}^{t}$ = 3800.

$2 700 \cdot {1,24}^{t}$	=	$3 800$	\|: $2 700$
${1,24}^{t}$	=	$\frac{38}{27}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,24}^{t})$	=	$\lg (\frac{38}{27})$
$t \cdot \lg (1,24)$	=	$\lg (\frac{38}{27})$	\|: $\lg (1,24)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{38}{27})}{\lg (1,24)}$

t

1,5887

Zum Zeitpunkt t ≈ $1,5887$ Wochen ist der Bestand 3800 Nutzer, also um 1100 Nutzer größer als zu Beginn..