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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$ = $8$

$\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$	=	$8$	\|⋅ $2$
$4^{x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (16)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (4)}$

x

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 16

$4^{x}$ = $4^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$ = $1$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$	=	$1$	\|⋅ $2$
$2^{x}$	=	$2$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (2)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (2)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (2)}{\lg (2)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $2^{x}$ = 2 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 3^{x} - 2 \cdot 9^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$2 \cdot 3^{x} - 2 \cdot 9^{x}$ = 0| $- 2 \cdot 3^{x}$

$- 2 \cdot 9^{x}$ = $- 2 \cdot 3^{x}$ | : $- 2$ : $3^{x}$

$\frac{9^{x}}{3^{x}}$ = $\frac{2}{2}$

${(\frac{9}{3})}^{x}$ = $1$

$3^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (3)$	=	0	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (3)}$

x

L={0}

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Durch intensive Klimaschutzprogramme schafft es ein Staat seine CO₂-Emissonen leicht zu reduzieren, so dass der jährliche CO₂-Ausstoß näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $900 \cdot {0,92}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen Tonnen) beschrieben werden kann. Wie viele Jahre nach Beobachtungsbeginn werden 225 Millionen Tonnen weniger CO₂ ausgestoßen als noch zu Beginn?

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $900 \cdot {0,92}^{0}$ =900. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 225 kleiner geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=675, weil ja 675 - 900 = -225 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 675, also $900 \cdot {0,92}^{t}$ = 675.

$900 \cdot {0,92}^{t}$	=	$675$	\|: $900$
${0,92}^{t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,92}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{4})$
$t \cdot \lg (0,92)$	=	$\lg (\frac{3}{4})$	\|: $\lg (0,92)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{4})}{\lg (0,92)}$

t

3,4502

Zum Zeitpunkt t ≈ $3,4502$ Jahre ist der Bestand 675 Millionen Tonnen, also um 225 Millionen Tonnen kleiner als zu Beginn..