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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 3^{x}$ = $54$

$2 \cdot 3^{x}$	=	$54$	\|: $2$
$3^{x}$	=	$27$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (27)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (27)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (27)}{\lg (3)}$

x

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$3^{x}$ = 27

$3^{x}$ = $3^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3^{2 x - 1}$ = $\frac{1}{3}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$3^{2 x - 1}$ = $\frac{1}{3}$

$3^{2 x - 1}$ = $3^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 3.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $2 x - 1$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$2 x - 1$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

L={0}

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \cdot 5^{x} + 75 \cdot 25^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$- 3 \cdot 5^{x} + 75 \cdot 25^{x}$ = 0| $+ 3 \cdot 5^{x}$

$75 \cdot 25^{x}$ = $3 \cdot 5^{x}$ | : $75$ : $5^{x}$

$\frac{25^{x}}{5^{x}}$ = $\frac{3}{75}$

${(\frac{25}{5})}^{x}$ = $\frac{1}{25}$

$5^{x}$	=	$\frac{1}{25}$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{25})$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (\frac{1}{25})$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{25})}{\lg (5)}$

x

- 2

L={ $- 2$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Größe einer Bakterienkultur kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $4 \cdot {1,5}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat sich die Bakterienkultur um 7 Millionen vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $4 \cdot {1,5}^{0}$ =4. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 7 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=11, weil ja 11 - 4 = 7 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 11, also $4 \cdot {1,5}^{t}$ = 11.

$4 \cdot {1,5}^{t}$	=	$11$	\|: $4$
${1,5}^{t}$	=	$\frac{11}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,5}^{t})$	=	$\lg (\frac{11}{4})$
$t \cdot \lg (1,5)$	=	$\lg (\frac{11}{4})$	\|: $\lg (1,5)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{11}{4})}{\lg (1,5)}$

t

2,4949

Zum Zeitpunkt t ≈ $2,4949$ Jahre ist der Bestand 11 Millionen, also um 7 Millionen größer als zu Beginn..