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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 2^{x}$ = $8$

$2 \cdot 2^{x}$	=	$8$	\|: $2$
$2^{x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (4)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (2)}$

x

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 4

$2^{x}$ = $2^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 \cdot 10^{x}$ = $6$

Lösung einblenden

$5 \cdot 10^{x}$	=	$6$	\|: $5$
$10^{x}$	=	$\frac{6}{5}$	\|lg(⋅)
$x$	=	$\lg (\frac{6}{5})$	≈ 0.0792

L={ $\lg (\frac{6}{5})$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \cdot 4^{x} + 2 \cdot 4^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $2 \cdot 4^{2 x}$ in $2 \cdot 4^{2 x}$ = $2 \cdot 4^{x + x}$ = $2 \cdot 4^{x} \cdot 4^{x}$ auf::

$2 \cdot 4^{2 x} - 2 \cdot 4^{x}$ = 0

$2 \cdot 4^{x + x} - 2 \cdot 4^{x}$ = 0

$2 \cdot 4^{x} \cdot 4^{x} - 2 \cdot 4^{x}$ = 0

$4^{x} (- 2 + 2 \cdot 4^{x})$	=	0
$4^{x} (2 \cdot 4^{x} - 2)$	=	0
$(2 \cdot 4^{x} - 2) \cdot 4^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 \cdot 4^{x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 \cdot 4^{x}$	=	$2$	\|: $2$
$4^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (4)$	=	0	\|: $\lg (4)$
x₁	=	$\frac{0}{\lg (4)}$

x₁

2. Fall:

4^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Größe einer Bakterienkultur kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= ${1,7}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat sich die Bakterienkultur um 3 Millionen vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= ${1,7}^{0}$ =1. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 3 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=4, weil ja 4 - 1 = 3 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 4, also ${1,7}^{t}$ = 4.

${1,7}^{t}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,7}^{t})$	=	$\lg (4)$
$t \cdot \lg (1,7)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (1,7)$
$t$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (1,7)}$

t

2,6126

Zum Zeitpunkt t ≈ $2,6126$ Jahre ist der Bestand 4 Millionen, also um 3 Millionen größer als zu Beginn..