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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{x}$ = $125$

$5^{x}$	=	$125$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (125)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (125)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (125)}{\lg (5)}$

x

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 125

$5^{x}$ = $5^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$ = $\frac{1}{2}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ $2$
$3^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (3)$	=	0	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (3)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$3^{x}$ = 1

$3^{x}$ = 3⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 \cdot 2^{2 x - 2} + 2^{2 x}$ = $- 8$

Lösung einblenden

$- 6 \cdot 2^{2 x - 2} + 2^{2 x}$ = $- 8$

Wir müssen $- 6 \cdot 2^{2 x - 2}$ in $- 6 \cdot 2^{2 x} \cdot 2^{- 2}$ aufspalten um die beiden 2er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$- 6 \cdot 2^{2 x} \cdot 2^{- 2} + 2^{2 x}$ = $- 8$

$- \frac{3}{2} \cdot 2^{2 x} + 2^{2 x}$ = $- 8$ | ⋅ 2

$- 3 \cdot 2^{2 x} + 2 \cdot 2^{2 x}$ = $- 16$

$- 2^{2 x}$	=	$- 16$	\|: $- 1$
$2^{2 x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{2 x})$	=	$\lg (16)$
$2 x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (2)$
$2 x$	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (2)}$

$2 x$	=	$4$	\|: $2$
$x$	=	$2$

L={ $2$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Weltweit kann man die Anzahl einer Insektenart näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $133 \cdot {0,75}^{t}$ darstellen (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen). Bestimme den Zeitpunkt, wann die Anzahl dieser Insekten auf 111 Millionen zurück gegangen ist.

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 111, also $133 \cdot {0,75}^{t}$ = 111.

$133 \cdot {0,75}^{t}$	=	$111$	\|: $133$
${0,75}^{t}$	=	$\frac{111}{133}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,75}^{t})$	=	$\lg (\frac{111}{133})$
$t \cdot \lg (0,75)$	=	$\lg (\frac{111}{133})$	\|: $\lg (0,75)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{111}{133})}{\lg (0,75)}$

t

0,6285

Zum Zeitpunkt t ≈ $0,6285$ Jahre ist der Bestand 111 Millionen.