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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{x}$ = $5$

$5^{x}$	=	$5$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (5)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (5)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (5)}{\lg (5)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $5^{x}$ = 5 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{x} - 2$ = $14$

Lösung einblenden

$4^{x} - 2$	=	$14$	\| $+ 2$
$4^{x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (16)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (4)}$

x

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 16

$4^{x}$ = $4^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 3^{2 x} + 2$ = $20 \cdot 3^{2 x - 2}$

Lösung einblenden

$2 \cdot 3^{2 x} + 2$ = $20 \cdot 3^{2 x - 2}$ | $- 20 \cdot 3^{2 x - 2}$ $- 2$

$- 20 \cdot 3^{2 x - 2} + 2 \cdot 3^{2 x}$ = $- 2$

Wir müssen $- 20 \cdot 3^{2 x - 2}$ in $- 20 \cdot 3^{2 x} \cdot 3^{- 2}$ aufspalten um die beiden 3er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$- 20 \cdot 3^{2 x} \cdot 3^{- 2} + 2 \cdot 3^{2 x}$ = $- 2$

$- \frac{20}{9} \cdot 3^{2 x} + 2 \cdot 3^{2 x}$ = $- 2$ | ⋅ 9

$- 20 \cdot 3^{2 x} + 18 \cdot 3^{2 x}$ = $- 18$

$- 2 \cdot 3^{2 x}$	=	$- 18$	\|: $- 2$
$3^{2 x}$	=	$9$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{2 x})$	=	$\lg (9)$
$2 x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (9)$	\|: $\lg (3)$
$2 x$	=	$\frac{\lg (9)}{\lg (3)}$

$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

L={ $1$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Bevölkerung eines Landes soll näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $40 \cdot {1,4}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat das Land nach diesem Modell 44 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 44, also $40 \cdot {1,4}^{t}$ = 44.

$40 \cdot {1,4}^{t}$	=	$44$	\|: $40$
${1,4}^{t}$	=	$\frac{11}{10}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,4}^{t})$	=	$\lg (\frac{11}{10})$
$t \cdot \lg (1,4)$	=	$\lg (\frac{11}{10})$	\|: $\lg (1,4)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{11}{10})}{\lg (1,4)}$

t

0,2833

Zum Zeitpunkt t ≈ $0,2833$ Jahre ist der Bestand 44 Millionen.