Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$ = $\frac{27}{2}$

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$	=	$\frac{27}{2}$	\|⋅ $2$
$3^{x}$	=	$27$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (27)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (27)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (27)}{\lg (3)}$

x

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$3^{x}$ = 27

$3^{x}$ = $3^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 5^{x}$ = $- 10$

Lösung einblenden

$2 \cdot 5^{x}$	=	$- 10$	\|: $2$
$5^{x}$	=	$- 5$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

$5^{x}$ muss immer >0 sein und kann daher nicht = $- 5$ sein.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 \cdot 2^{x} - 3 \cdot 2^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $- 3 \cdot 2^{2 x}$ in $- 3 \cdot 2^{2 x}$ = $- 3 \cdot 2^{x + x}$ = $- 3 \cdot 2^{x} \cdot 2^{x}$ auf::

$- 3 \cdot 2^{2 x} + 6 \cdot 2^{x}$ = 0

$- 3 \cdot 2^{x + x} + 6 \cdot 2^{x}$ = 0

$- 3 \cdot 2^{x} \cdot 2^{x} + 6 \cdot 2^{x}$ = 0

$2^{x} (- 3 \cdot 2^{x} + 6)$	=	0
$(- 3 \cdot 2^{x} + 6) \cdot 2^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 \cdot 2^{x} + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 3 \cdot 2^{x}$	=	$- 6$	\|: $- 3$
$2^{x}$	=	$2$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (2)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (2)$	\|: $\lg (2)$
x₁	=	$\frac{\lg (2)}{\lg (2)}$

x₁

1

2. Fall:

2^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $1$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Weltweit kann man die Anzahl einer Insektenart näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $126 \cdot {0,9}^{t}$ darstellen (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen). Bestimme den Zeitpunkt, wann die Anzahl dieser Insekten auf 98 Millionen zurück gegangen ist.

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 98, also $126 \cdot {0,9}^{t}$ = 98.

$126 \cdot {0,9}^{t}$	=	$98$	\|: $126$
${0,9}^{t}$	=	$\frac{7}{9}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,9}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{9})$
$t \cdot \lg (0,9)$	=	$\lg (\frac{7}{9})$	\|: $\lg (0,9)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{9})}{\lg (0,9)}$

t

2,3853

Zum Zeitpunkt t ≈ $2,3853$ Jahre ist der Bestand 98 Millionen.