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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 5^{x}$ = $50$

$2 \cdot 5^{x}$	=	$50$	\|: $2$
$5^{x}$	=	$25$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (25)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (25)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (25)}{\lg (5)}$

x

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 25

$5^{x}$ = $5^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 2^{x}$ = $2$

Lösung einblenden

$2 \cdot 2^{x}$	=	$2$	\|: $2$
$2^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (2)$	=	0	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (2)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 1

$2^{x}$ = 2⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3^{2 x} + 81$ = $12 \cdot 3^{2 x - 2}$

Lösung einblenden

$3^{2 x} + 81$ = $12 \cdot 3^{2 x - 2}$ | $- 12 \cdot 3^{2 x - 2}$ $- 81$

$- 12 \cdot 3^{2 x - 2} + 3^{2 x}$ = $- 81$

Wir müssen $- 12 \cdot 3^{2 x - 2}$ in $- 12 \cdot 3^{2 x} \cdot 3^{- 2}$ aufspalten um die beiden 3er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$- 12 \cdot 3^{2 x} \cdot 3^{- 2} + 3^{2 x}$ = $- 81$

$- \frac{4}{3} \cdot 3^{2 x} + 3^{2 x}$ = $- 81$ | ⋅ 3

$- 4 \cdot 3^{2 x} + 3 \cdot 3^{2 x}$ = $- 243$

$- 3^{2 x}$	=	$- 243$	\|: $- 1$
$3^{2 x}$	=	$243$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{2 x})$	=	$\lg (243)$
$2 x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (243)$	\|: $\lg (3)$
$2 x$	=	$\frac{\lg (243)}{\lg (3)}$

$2 x$	=	$5$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{5}{2}$ = 2.5

L={ $\frac{5}{2}$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Weltweit kann man die Anzahl einer Insektenart näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $77 \cdot {0,75}^{t}$ darstellen (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen). Bestimme den Zeitpunkt, wann die Anzahl dieser Insekten auf 40 Millionen zurück gegangen ist.

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 40, also $77 \cdot {0,75}^{t}$ = 40.

$77 \cdot {0,75}^{t}$	=	$40$	\|: $77$
${0,75}^{t}$	=	$\frac{40}{77}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,75}^{t})$	=	$\lg (\frac{40}{77})$
$t \cdot \lg (0,75)$	=	$\lg (\frac{40}{77})$	\|: $\lg (0,75)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{40}{77})}{\lg (0,75)}$

t

2,2766

Zum Zeitpunkt t ≈ $2,2766$ Jahre ist der Bestand 40 Millionen.