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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3^{x}$ = $9$

$3^{x}$	=	$9$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (9)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (9)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (9)}{\lg (3)}$

x

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$3^{x}$ = 9

$3^{x}$ = $3^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 2^{x}$ = $4$

Lösung einblenden

$2 \cdot 2^{x}$	=	$4$	\|: $2$
$2^{x}$	=	$2$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (2)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (2)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (2)}{\lg (2)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $2^{x}$ = 2 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 \cdot 4^{x} + 6 \cdot 2^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$- 7 \cdot 4^{x} + 6 \cdot 2^{x}$ = 0| $+ 7 \cdot 4^{x}$

$6 \cdot 2^{x}$ = $7 \cdot 4^{x}$ | : $6$ : $4^{x}$

$\frac{2^{x}}{4^{x}}$ = $\frac{7}{6}$

${(\frac{2}{4})}^{x}$ = $\frac{7}{6}$

${(\frac{1}{2})}^{x}$	=	$\frac{7}{6}$	\|lg(⋅)
$\lg ({(\frac{1}{2})}^{x})$	=	$\lg (\frac{7}{6})$
$x \cdot \lg (\frac{1}{2})$	=	$\lg (\frac{7}{6})$	\|: $\lg (\frac{1}{2})$
$x$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{6})}{\lg (\frac{1}{2})}$

x

- 0,2224

L={ $- 0,2224$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Größe einer Bakterienkultur kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $4 \cdot {2,4}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat sich die Bakterienkultur um 8 Millionen vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $4 \cdot {2,4}^{0}$ =4. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 8 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=12, weil ja 12 - 4 = 8 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 12, also $4 \cdot {2,4}^{t}$ = 12.

$4 \cdot {2,4}^{t}$	=	$12$	\|: $4$
${2,4}^{t}$	=	$3$	\|lg(⋅)
$\lg ({2,4}^{t})$	=	$\lg (3)$
$t \cdot \lg (2,4)$	=	$\lg (3)$	\|: $\lg (2,4)$
$t$	=	$\frac{\lg (3)}{\lg (2,4)}$

t

1,2549

Zum Zeitpunkt t ≈ $1,2549$ Jahre ist der Bestand 12 Millionen, also um 8 Millionen größer als zu Beginn..