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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$ = $2$

$\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$	=	$2$	\|⋅ $2$
$4^{x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (4)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (4)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $4^{x}$ = 4 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$ = $\frac{3}{2}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$	=	$\frac{3}{2}$	\|⋅ $2$
$3^{x}$	=	$3$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (3)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (3)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (3)}{\lg (3)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $3^{x}$ = 3 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 \cdot 4^{x} + 4 \cdot 6^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$- 5 \cdot 4^{x} + 4 \cdot 6^{x}$ = 0| $+ 5 \cdot 4^{x}$

$4 \cdot 6^{x}$ = $5 \cdot 4^{x}$ | : $4$ : $4^{x}$

$\frac{6^{x}}{4^{x}}$ = $\frac{5}{4}$

${(\frac{6}{4})}^{x}$ = $\frac{5}{4}$

${(\frac{3}{2})}^{x}$	=	$\frac{5}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({(\frac{3}{2})}^{x})$	=	$\lg (\frac{5}{4})$
$x \cdot \lg (\frac{3}{2})$	=	$\lg (\frac{5}{4})$	\|: $\lg (\frac{3}{2})$
$x$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{4})}{\lg (\frac{3}{2})}$

x

0,5503

L={ $0,5503$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Größe einer Bakterienkultur kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $2 \cdot {2,5}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat sich die Bakterienkultur um 8 Millionen vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $2 \cdot {2,5}^{0}$ =2. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 8 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=10, weil ja 10 - 2 = 8 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 10, also $2 \cdot {2,5}^{t}$ = 10.

$2 \cdot {2,5}^{t}$	=	$10$	\|: $2$
${2,5}^{t}$	=	$5$	\|lg(⋅)
$\lg ({2,5}^{t})$	=	$\lg (5)$
$t \cdot \lg (2,5)$	=	$\lg (5)$	\|: $\lg (2,5)$
$t$	=	$\frac{\lg (5)}{\lg (2,5)}$

t

1,7565

Zum Zeitpunkt t ≈ $1,7565$ Jahre ist der Bestand 10 Millionen, also um 8 Millionen größer als zu Beginn..