Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

5 x = 5

Lösung einblenden
5 x = 5 |lg(⋅)
lg( 5 x ) = lg( 5 )
x · lg( 5 ) = lg( 5 ) |: lg( 5 )
x = lg( 5 ) lg( 5 )
x = 1

L={ 1 }

Man erkennt bereits bei 5 x = 5 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

6 x -3 = 1 6

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

6 x -3 = 1 6

6 x -3 = 6 -1

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 6.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: x -3 und rechts: -1) gleichsetzen:

x -3 = -1 | +3
x = 2

L={ 2 }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-2 3 x +18 9 x = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

-2 3 x +18 9 x = 0| +2 3 x

18 9 x = 2 3 x | : 18 : 3 x

9 x 3 x = 2 18

( 9 3 ) x = 1 9

3 x = 1 9 |lg(⋅)
lg( 3 x ) = lg( 1 9 )
x · lg( 3 ) = lg( 1 9 ) |: lg( 3 )
x = lg( 1 9 ) lg( 3 )
x = -2

L={ -2 }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Weltweit kann man die Anzahl einer Insektenart näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 133 0,75 t darstellen (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen). Bestimme den Zeitpunkt, wann die Anzahl dieser Insekten auf 108 Millionen zurück gegangen ist.

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 108, also 133 0,75 t = 108.

133 0,75 t = 108 |:133
0,75 t = 108 133 |lg(⋅)
lg( 0,75 t ) = lg( 108 133 )
t · lg( 0,75 ) = lg( 108 133 ) |: lg( 0,75 )
t = lg( 108 133 ) lg( 0,75 )
t = 0,7238

Zum Zeitpunkt t ≈ 0,7238 Jahre ist der Bestand 108 Millionen.