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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{x}$ = $5$

$5^{x}$	=	$5$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (5)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (5)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (5)}{\lg (5)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $5^{x}$ = 5 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 4^{x}$ = $8$

Lösung einblenden

$2 \cdot 4^{x}$	=	$8$	\|: $2$
$4^{x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (4)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (4)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $4^{x}$ = 4 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$54 \cdot 3^{x} - 2 \cdot 3^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $- 2 \cdot 3^{2 x}$ in $- 2 \cdot 3^{2 x}$ = $- 2 \cdot 3^{x + x}$ = $- 2 \cdot 3^{x} \cdot 3^{x}$ auf::

$- 2 \cdot 3^{2 x} + 54 \cdot 3^{x}$ = 0

$- 2 \cdot 3^{x + x} + 54 \cdot 3^{x}$ = 0

$- 2 \cdot 3^{x} \cdot 3^{x} + 54 \cdot 3^{x}$ = 0

$3^{x} (- 2 \cdot 3^{x} + 54)$	=	0
$(- 2 \cdot 3^{x} + 54) \cdot 3^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 \cdot 3^{x} + 54$	=	0	\| $- 54$
$- 2 \cdot 3^{x}$	=	$- 54$	\|: $- 2$
$3^{x}$	=	$27$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (27)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (27)$	\|: $\lg (3)$
x₁	=	$\frac{\lg (27)}{\lg (3)}$

x₁

3

2. Fall:

3^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $3$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Durch intensive Klimaschutzprogramme schafft es ein Staat seine CO₂-Emissonen leicht zu reduzieren, so dass der jährliche CO₂-Ausstoß näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $780 \cdot {0,92}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen Tonnen) beschrieben werden kann. Wie viele Jahre nach Beobachtungsbeginn werden 310 Millionen Tonnen weniger CO₂ ausgestoßen als noch zu Beginn?

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $780 \cdot {0,92}^{0}$ =780. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 310 kleiner geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=470, weil ja 470 - 780 = -310 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 470, also $780 \cdot {0,92}^{t}$ = 470.

$780 \cdot {0,92}^{t}$	=	$470$	\|: $780$
${0,92}^{t}$	=	$\frac{47}{78}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,92}^{t})$	=	$\lg (\frac{47}{78})$
$t \cdot \lg (0,92)$	=	$\lg (\frac{47}{78})$	\|: $\lg (0,92)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{47}{78})}{\lg (0,92)}$

t

6,0752

Zum Zeitpunkt t ≈ $6,0752$ Jahre ist der Bestand 470 Millionen Tonnen, also um 310 Millionen Tonnen kleiner als zu Beginn..