Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 2 x = 8

Lösung einblenden
2 2 x = 8 |:2
2 x = 4 |lg(⋅)
lg( 2 x ) = lg( 4 )
x · lg( 2 ) = lg( 4 ) |: lg( 2 )
x = lg( 4 ) lg( 2 )
x = 2

L={ 2 }

Im Idealfall erkennt man bereits:

2 x = 4

2 x = 2 2

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

5 10 x = 6

Lösung einblenden
5 10 x = 6 |:5
10 x = 6 5 |lg(⋅)
x = lg( 6 5 ) ≈ 0.0792

L={ lg( 6 5 ) }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-2 4 x +2 4 2x = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man 2 4 2x in 2 4 2x = 2 4 x + x = 2 4 x · 4 x auf::

2 4 2x -2 4 x = 0

2 4 x + x -2 4 x = 0

2 4 x · 4 x -2 4 x = 0

4 x ( -2 +2 4 x ) = 0
4 x ( 2 4 x -2 ) = 0
( 2 4 x -2 ) · 4 x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 4 x -2 = 0 | +2
2 4 x = 2 |:2
4 x = 1 |lg(⋅)
lg( 4 x ) = 0
x · lg( 4 ) = 0 |: lg( 4 )
x1 = 0 lg( 4 )
x1 = 0

2. Fall:

4 x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Größe einer Bakterienkultur kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 1,7 t (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat sich die Bakterienkultur um 3 Millionen vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= 1,7 0 =1. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 3 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=4, weil ja 4 - 1 = 3 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 4, also 1,7 t = 4.

1,7 t = 4 |lg(⋅)
lg( 1,7 t ) = lg( 4 )
t · lg( 1,7 ) = lg( 4 ) |: lg( 1,7 )
t = lg( 4 ) lg( 1,7 )
t = 2,6126

Zum Zeitpunkt t ≈ 2,6126 Jahre ist der Bestand 4 Millionen, also um 3 Millionen größer als zu Beginn..