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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 5^{x}$ = $50$

$2 \cdot 5^{x}$	=	$50$	\|: $2$
$5^{x}$	=	$25$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (25)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (25)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (25)}{\lg (5)}$

x

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 25

$5^{x}$ = $5^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 10^{x}$ = $5$

Lösung einblenden

$2 \cdot 10^{x}$	=	$5$	\|: $2$
$10^{x}$	=	$\frac{5}{2}$	\|lg(⋅)
$x$	=	$\lg (\frac{5}{2})$	≈ 0.3979

L={ $\lg (\frac{5}{2})$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{x} - 16 \cdot 4^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$2^{x} - 16 \cdot 4^{x}$ = 0| $- 2^{x}$

$- 16 \cdot 4^{x}$ = $- 2^{x}$ | : $- 16$ : $2^{x}$

$\frac{4^{x}}{2^{x}}$ = $\frac{1}{16}$

${(\frac{4}{2})}^{x}$ = $\frac{1}{16}$

$2^{x}$	=	$\frac{1}{16}$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{16})$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (\frac{1}{16})$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{16})}{\lg (2)}$

x

- 4

L={ $- 4$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Größe einer Bakterienkultur kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $2 \cdot {2,2}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat sich die Bakterienkultur um 9 Millionen vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $2 \cdot {2,2}^{0}$ =2. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 9 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=11, weil ja 11 - 2 = 9 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 11, also $2 \cdot {2,2}^{t}$ = 11.

$2 \cdot {2,2}^{t}$	=	$11$	\|: $2$
${2,2}^{t}$	=	$\frac{11}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({2,2}^{t})$	=	$\lg (\frac{11}{2})$
$t \cdot \lg (2,2)$	=	$\lg (\frac{11}{2})$	\|: $\lg (2,2)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{11}{2})}{\lg (2,2)}$

t

2,1621

Zum Zeitpunkt t ≈ $2,1621$ Jahre ist der Bestand 11 Millionen, also um 9 Millionen größer als zu Beginn..