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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 5^{x}$ = $10$

$2 \cdot 5^{x}$	=	$10$	\|: $2$
$5^{x}$	=	$5$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (5)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (5)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (5)}{\lg (5)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $5^{x}$ = 5 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7^{- 2 x + 2}$ = $\frac{1}{7}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$7^{- 2 x + 2}$ = $\frac{1}{7}$

$7^{- 2 x + 2}$ = $7^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 7.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $- 2 x + 2$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$- 2 x + 2$	=	$- 1$	\| $- 2$
$- 2 x$	=	$- 3$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$\frac{3}{2}$ = 1.5

L={ $\frac{3}{2}$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 \cdot 2^{x} + 3 \cdot 2^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $3 \cdot 2^{2 x}$ in $3 \cdot 2^{2 x}$ = $3 \cdot 2^{x + x}$ = $3 \cdot 2^{x} \cdot 2^{x}$ auf::

$3 \cdot 2^{2 x} - 6 \cdot 2^{x}$ = 0

$3 \cdot 2^{x + x} - 6 \cdot 2^{x}$ = 0

$3 \cdot 2^{x} \cdot 2^{x} - 6 \cdot 2^{x}$ = 0

$2^{x} \cdot (3 \cdot 2^{x} - 6)$	=	0
$(3 \cdot 2^{x} - 6) \cdot 2^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 \cdot 2^{x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$3 \cdot 2^{x}$	=	$6$	\|: $3$
$2^{x}$	=	$2$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (2)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (2)$	\|: $\lg (2)$
x₁	=	$\frac{\lg (2)}{\lg (2)}$

x₁

1

2. Fall:

2^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $1$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Weltweit kann man die Anzahl einer Insektenart näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $77 \cdot {0,9}^{t}$ darstellen (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen). Bestimme den Zeitpunkt, wann die Anzahl dieser Insekten auf 40 Millionen zurück gegangen ist.

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 40, also $77 \cdot {0,9}^{t}$ = 40.

$77 \cdot {0,9}^{t}$	=	$40$	\|: $77$
${0,9}^{t}$	=	$\frac{40}{77}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,9}^{t})$	=	$\lg (\frac{40}{77})$
$t \cdot \lg (0,9)$	=	$\lg (\frac{40}{77})$	\|: $\lg (0,9)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{40}{77})}{\lg (0,9)}$

t

6,216

Zum Zeitpunkt t ≈ $6,216$ Jahre ist der Bestand 40 Millionen.