Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 4 x = 8

Lösung einblenden
2 4 x = 8 |:2
4 x = 4 |lg(⋅)
lg( 4 x ) = lg( 4 )
x · lg( 4 ) = lg( 4 ) |: lg( 4 )
x = lg( 4 ) lg( 4 )
x = 1

L={ 1 }

Man erkennt bereits bei 4 x = 4 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

5 10 x = 9

Lösung einblenden
5 10 x = 9 |:5
10 x = 9 5 |lg(⋅)
x = lg( 9 5 ) ≈ 0.2553

L={ lg( 9 5 ) }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

5 5 x -5 7 x = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

5 5 x -5 7 x = 0| -5 5 x

-5 7 x = -5 5 x | : -5 : 5 x

7 x 5 x = 5 5

( 7 5 ) x = 1

( 7 5 ) x = 1 |lg(⋅)
lg( ( 7 5 ) x ) = 0
x · lg( 7 5 ) = 0 |: lg( 7 5 )
x = 0 lg( 7 5 )
x = 0

L={0}

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Bevölkerung eines Landes soll näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 40 1,05 t (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat das Land nach diesem Modell 45 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 45, also 40 1,05 t = 45.

40 1,05 t = 45 |:40
1,05 t = 9 8 |lg(⋅)
lg( 1,05 t ) = lg( 9 8 )
t · lg( 1,05 ) = lg( 9 8 ) |: lg( 1,05 )
t = lg( 9 8 ) lg( 1,05 )
t = 2,4141

Zum Zeitpunkt t ≈ 2,4141 Jahre ist der Bestand 45 Millionen.