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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 3^{x}$ = $2$

$2 \cdot 3^{x}$	=	$2$	\|: $2$
$3^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (3)$	=	0	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (3)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$3^{x}$ = 1

$3^{x}$ = 3⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 \cdot 10^{x}$ = $9$

Lösung einblenden

$5 \cdot 10^{x}$	=	$9$	\|: $5$
$10^{x}$	=	$\frac{9}{5}$	\|lg(⋅)
$x$	=	$\lg (\frac{9}{5})$	≈ 0.2553

L={ $\lg (\frac{9}{5})$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{x} - 64 \cdot 4^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $- 64 \cdot 4^{2 x}$ in $- 64 \cdot 4^{2 x}$ = $- 64 \cdot 4^{x + x}$ = $- 64 \cdot 4^{x} \cdot 4^{x}$ auf::

$- 64 \cdot 4^{2 x} + 4^{x}$ = 0

$- 64 \cdot 4^{x + x} + 4^{x}$ = 0

$- 64 \cdot 4^{x} \cdot 4^{x} + 4^{x}$ = 0

$4^{x} (- 64 \cdot 4^{x} + 1)$	=	0
$(- 64 \cdot 4^{x} + 1) \cdot 4^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 64 \cdot 4^{x} + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 64 \cdot 4^{x}$	=	$- 1$	\|: $- 64$
$4^{x}$	=	$\frac{1}{64}$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{64})$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (\frac{1}{64})$	\|: $\lg (4)$
x₁	=	$\frac{\lg (\frac{1}{64})}{\lg (4)}$

x₁

- 3

2. Fall:

4^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 3$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass die Anzahl der Nutzer näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $3 200 \cdot {1,4}^{t}$ (t in Wochen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden kann. Wann hat sich die Anzahl der Webseitennutzer um 700 vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $3 200 \cdot {1,4}^{0}$ =3200. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 700 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=3900, weil ja 3900 - 3200 = 700 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 3900, also $3 200 \cdot {1,4}^{t}$ = 3900.

$3 200 \cdot {1,4}^{t}$	=	$3 900$	\|: $3 200$
${1,4}^{t}$	=	$\frac{39}{32}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,4}^{t})$	=	$\lg (\frac{39}{32})$
$t \cdot \lg (1,4)$	=	$\lg (\frac{39}{32})$	\|: $\lg (1,4)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{39}{32})}{\lg (1,4)}$

t

0,5879

Zum Zeitpunkt t ≈ $0,5879$ Wochen ist der Bestand 3900 Nutzer, also um 700 Nutzer größer als zu Beginn..