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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{x}$ = $1$

$2^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (2)$	=	0	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (2)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 1

$2^{x}$ = 2⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$ = $2$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$	=	$2$	\|⋅ $2$
$4^{x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (4)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (4)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $4^{x}$ = 4 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 3^{x} - 2 \cdot 3^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $- 2 \cdot 3^{2 x}$ in $- 2 \cdot 3^{2 x}$ = $- 2 \cdot 3^{x + x}$ = $- 2 \cdot 3^{x} \cdot 3^{x}$ auf::

$- 2 \cdot 3^{2 x} + 2 \cdot 3^{x}$ = 0

$- 2 \cdot 3^{x + x} + 2 \cdot 3^{x}$ = 0

$- 2 \cdot 3^{x} \cdot 3^{x} + 2 \cdot 3^{x}$ = 0

$3^{x} (- 2 \cdot 3^{x} + 2)$	=	0
$(- 2 \cdot 3^{x} + 2) \cdot 3^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 \cdot 3^{x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 2 \cdot 3^{x}$	=	$- 2$	\|: $- 2$
$3^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (3)$	=	0	\|: $\lg (3)$
x₁	=	$\frac{0}{\lg (3)}$

x₁

2. Fall:

3^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Bevölkerung eines Landes soll näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $40 \cdot {1,05}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat das Land nach diesem Modell 44 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 44, also $40 \cdot {1,05}^{t}$ = 44.

$40 \cdot {1,05}^{t}$	=	$44$	\|: $40$
${1,05}^{t}$	=	$\frac{11}{10}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,05}^{t})$	=	$\lg (\frac{11}{10})$
$t \cdot \lg (1,05)$	=	$\lg (\frac{11}{10})$	\|: $\lg (1,05)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{11}{10})}{\lg (1,05)}$

t

1,9535

Zum Zeitpunkt t ≈ $1,9535$ Jahre ist der Bestand 44 Millionen.