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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{x}$ = $16$

$4^{x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (16)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (4)}$

x

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 16

$4^{x}$ = $4^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 2^{x}$ = $- 2$

Lösung einblenden

$2 \cdot 2^{x}$	=	$- 2$	\|: $2$
$2^{x}$	=	$- 1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

$2^{x}$ muss immer >0 sein und kann daher nicht = $- 1$ sein.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{2 x + 1} - 4 \cdot 5^{2 x}$ = $1$

Lösung einblenden

$5^{2 x + 1} - 4 \cdot 5^{2 x}$ = $1$

Wir müssen $5^{2 x + 1}$ in $5^{2 x} \cdot 5^{1}$ aufspalten um die beiden 5er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$5^{2 x} \cdot 5^{1} - 4 \cdot 5^{2 x}$ = $1$

$5 \cdot 5^{2 x} - 4 \cdot 5^{2 x}$ = $1$

$5^{2 x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{2 x})$	=	0
$2 x \cdot \lg (5)$	=	0	\|: $\lg (5)$
$2 x$	=	$\frac{0}{\lg (5)}$

$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

L={0}

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Größe einer Bakterienkultur kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $4 \cdot {2,3}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat sich die Bakterienkultur um 7 Millionen vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $4 \cdot {2,3}^{0}$ =4. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 7 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=11, weil ja 11 - 4 = 7 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 11, also $4 \cdot {2,3}^{t}$ = 11.

$4 \cdot {2,3}^{t}$	=	$11$	\|: $4$
${2,3}^{t}$	=	$\frac{11}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({2,3}^{t})$	=	$\lg (\frac{11}{4})$
$t \cdot \lg (2,3)$	=	$\lg (\frac{11}{4})$	\|: $\lg (2,3)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{11}{4})}{\lg (2,3)}$

t

1,2145

Zum Zeitpunkt t ≈ $1,2145$ Jahre ist der Bestand 11 Millionen, also um 7 Millionen größer als zu Beginn..