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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{x}$ = $1$

$4^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (4)$	=	0	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (4)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 1

$4^{x}$ = 4⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \cdot 10^{x}$ = $10$

Lösung einblenden

$3 \cdot 10^{x}$	=	$10$	\|: $3$
$10^{x}$	=	$\frac{10}{3}$	\|lg(⋅)
$x$	=	$\lg (\frac{10}{3})$	≈ 0.5229

L={ $\lg (\frac{10}{3})$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{x} - 5 \cdot 5^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $- 5 \cdot 5^{2 x}$ in $- 5 \cdot 5^{2 x}$ = $- 5 \cdot 5^{x + x}$ = $- 5 \cdot 5^{x} \cdot 5^{x}$ auf::

$- 5 \cdot 5^{2 x} + 5^{x}$ = 0

$- 5 \cdot 5^{x + x} + 5^{x}$ = 0

$- 5 \cdot 5^{x} \cdot 5^{x} + 5^{x}$ = 0

$5^{x} (- 5 \cdot 5^{x} + 1)$	=	0
$(- 5 \cdot 5^{x} + 1) \cdot 5^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 5 \cdot 5^{x} + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 5 \cdot 5^{x}$	=	$- 1$	\|: $- 5$
$5^{x}$	=	$\frac{1}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{5})$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (\frac{1}{5})$	\|: $\lg (5)$
x₁	=	$\frac{\lg (\frac{1}{5})}{\lg (5)}$

x₁

- 1

2. Fall:

5^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 1$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass die Anzahl der Nutzer näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $2 400 \cdot {1,3}^{t}$ (t in Wochen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden kann. Wann hat sich die Anzahl der Webseitennutzer um 500 vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $2 400 \cdot {1,3}^{0}$ =2400. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 500 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=2900, weil ja 2900 - 2400 = 500 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 2900, also $2 400 \cdot {1,3}^{t}$ = 2900.

$2 400 \cdot {1,3}^{t}$	=	$2 900$	\|: $2 400$
${1,3}^{t}$	=	$\frac{29}{24}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,3}^{t})$	=	$\lg (\frac{29}{24})$
$t \cdot \lg (1,3)$	=	$\lg (\frac{29}{24})$	\|: $\lg (1,3)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{29}{24})}{\lg (1,3)}$

t

0,7213

Zum Zeitpunkt t ≈ $0,7213$ Wochen ist der Bestand 2900 Nutzer, also um 500 Nutzer größer als zu Beginn..