Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

4 x = 1

Lösung einblenden
4 x = 1 |lg(⋅)
lg( 4 x ) = 0
x · lg( 4 ) = 0 |: lg( 4 )
x = 0 lg( 4 )
x = 0

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

4 x = 1

4 x = 40

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

4 x +12 = 28

Lösung einblenden
4 x +12 = 28 | -12
4 x = 16 |lg(⋅)
lg( 4 x ) = lg( 16 )
x · lg( 4 ) = lg( 16 ) |: lg( 4 )
x = lg( 16 ) lg( 4 )
x = 2

L={ 2 }

Im Idealfall erkennt man bereits:

4 x = 16

4 x = 4 2

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

- 3 x +81 3 2x = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man 81 3 2x in 81 3 2x = 81 3 x + x = 81 3 x · 3 x auf::

81 3 2x - 3 x = 0

81 3 x + x - 3 x = 0

81 3 x · 3 x - 3 x = 0

3 x ( -1 +81 3 x ) = 0
3 x ( 81 3 x -1 ) = 0
( 81 3 x -1 ) · 3 x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

81 3 x -1 = 0 | +1
81 3 x = 1 |:81
3 x = 1 81 |lg(⋅)
lg( 3 x ) = lg( 1 81 )
x · lg( 3 ) = lg( 1 81 ) |: lg( 3 )
x1 = lg( 1 81 ) lg( 3 )
x1 = -4

2. Fall:

3 x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ -4 }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass die Anzahl der Nutzer näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 3800 1,34 t (t in Wochen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden kann. Wann hat sich die Anzahl der Webseitennutzer um 900 vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= 3800 1,34 0 =3800. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 900 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=4700, weil ja 4700 - 3800 = 900 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 4700, also 3800 1,34 t = 4700.

3800 1,34 t = 4700 |:3800
1,34 t = 47 38 |lg(⋅)
lg( 1,34 t ) = lg( 47 38 )
t · lg( 1,34 ) = lg( 47 38 ) |: lg( 1,34 )
t = lg( 47 38 ) lg( 1,34 )
t = 0,7263

Zum Zeitpunkt t ≈ 0,7263 Wochen ist der Bestand 4700 Nutzer, also um 900 Nutzer größer als zu Beginn..