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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{x}$ = $64$

$4^{x}$	=	$64$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (64)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (64)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (64)}{\lg (4)}$

x

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 64

$4^{x}$ = $4^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 5^{x}$ = $2$

Lösung einblenden

$2 \cdot 5^{x}$	=	$2$	\|: $2$
$5^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (5)$	=	0	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (5)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 1

$5^{x}$ = 5⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4^{x} + 4^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $4^{2 x}$ in $4^{2 x}$ = $4^{x + x}$ = $4^{x} \cdot 4^{x}$ auf::

$4^{2 x} - 4^{x}$ = 0

$4^{x + x} - 4^{x}$ = 0

$4^{x} \cdot 4^{x} - 4^{x}$ = 0

$4^{x} (4^{x} - 1)$	=	0
$(4^{x} - 1) \cdot 4^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$4^{x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$4^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (4)$	=	0	\|: $\lg (4)$
x₁	=	$\frac{0}{\lg (4)}$

x₁

2. Fall:

4^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Größe einer Bakterienkultur kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $2 \cdot {1,6}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat sich die Bakterienkultur um 9 Millionen vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $2 \cdot {1,6}^{0}$ =2. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 9 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=11, weil ja 11 - 2 = 9 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 11, also $2 \cdot {1,6}^{t}$ = 11.

$2 \cdot {1,6}^{t}$	=	$11$	\|: $2$
${1,6}^{t}$	=	$\frac{11}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,6}^{t})$	=	$\lg (\frac{11}{2})$
$t \cdot \lg (1,6)$	=	$\lg (\frac{11}{2})$	\|: $\lg (1,6)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{11}{2})}{\lg (1,6)}$

t

3,6271

Zum Zeitpunkt t ≈ $3,6271$ Jahre ist der Bestand 11 Millionen, also um 9 Millionen größer als zu Beginn..