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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$ = $\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ $2$
$4^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (4)$	=	0	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (4)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 1

$4^{x}$ = 4⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 2^{x}$ = $- 4$

Lösung einblenden

$2 \cdot 2^{x}$	=	$- 4$	\|: $2$
$2^{x}$	=	$- 2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

$2^{x}$ muss immer >0 sein und kann daher nicht = $- 2$ sein.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 2^{x} - 32 \cdot 2^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $- 32 \cdot 2^{2 x}$ in $- 32 \cdot 2^{2 x}$ = $- 32 \cdot 2^{x + x}$ = $- 32 \cdot 2^{x} \cdot 2^{x}$ auf::

$- 32 \cdot 2^{2 x} + 2 \cdot 2^{x}$ = 0

$- 32 \cdot 2^{x + x} + 2 \cdot 2^{x}$ = 0

$- 32 \cdot 2^{x} \cdot 2^{x} + 2 \cdot 2^{x}$ = 0

$2^{x} (- 32 \cdot 2^{x} + 2)$	=	0
$(- 32 \cdot 2^{x} + 2) \cdot 2^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 32 \cdot 2^{x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 32 \cdot 2^{x}$	=	$- 2$	\|: $- 32$
$2^{x}$	=	$\frac{1}{16}$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{16})$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (\frac{1}{16})$	\|: $\lg (2)$
x₁	=	$\frac{\lg (\frac{1}{16})}{\lg (2)}$

x₁

- 4

2. Fall:

2^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass die Anzahl der Nutzer näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $2 400 \cdot {1,17}^{t}$ (t in Wochen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden kann. Wann hat sich die Anzahl der Webseitennutzer um 800 vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $2 400 \cdot {1,17}^{0}$ =2400. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 800 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=3200, weil ja 3200 - 2400 = 800 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 3200, also $2 400 \cdot {1,17}^{t}$ = 3200.

$2 400 \cdot {1,17}^{t}$	=	$3 200$	\|: $2 400$
${1,17}^{t}$	=	$\frac{4}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,17}^{t})$	=	$\lg (\frac{4}{3})$
$t \cdot \lg (1,17)$	=	$\lg (\frac{4}{3})$	\|: $\lg (1,17)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{4}{3})}{\lg (1,17)}$

t

1,8323

Zum Zeitpunkt t ≈ $1,8323$ Wochen ist der Bestand 3200 Nutzer, also um 800 Nutzer größer als zu Beginn..