Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

1 2 4 x = 1 2

Lösung einblenden
1 2 4 x = 1 2 |⋅2
4 x = 1 |lg(⋅)
lg( 4 x ) = 0
x · lg( 4 ) = 0 |: lg( 4 )
x = 0 lg( 4 )
x = 0

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

4 x = 1

4 x = 40

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

6 3x +2 = 1 6

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

6 3x +2 = 1 6

6 3x +2 = 6 -1

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 6.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: 3x +2 und rechts: -1) gleichsetzen:

3x +2 = -1 | -2
3x = -3 |:3
x = -1

L={ -1 }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

3 x +2 +3 = 12 3 x

Lösung einblenden

3 x +2 +3 = 12 3 x | -12 3 x -3

3 x +2 -12 3 x = -3

Wir müssen 3 x +2 in 3 x · 3 2 aufspalten um die beiden 3er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

3 x · 3 2 -12 3 x = -3

9 3 x -12 3 x = -3

-3 3 x = -3 |:-3
3 x = 1 |lg(⋅)
lg( 3 x ) = 0
x · lg( 3 ) = 0 |: lg( 3 )
x = 0 lg( 3 )
x = 0

L={0}

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Weltweit kann man die Anzahl einer Insektenart näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 112 0,75 t darstellen (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen). Bestimme den Zeitpunkt, wann die Anzahl dieser Insekten auf 88 Millionen zurück gegangen ist.

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 88, also 112 0,75 t = 88.

112 0,75 t = 88 |:112
0,75 t = 11 14 |lg(⋅)
lg( 0,75 t ) = lg( 11 14 )
t · lg( 0,75 ) = lg( 11 14 ) |: lg( 0,75 )
t = lg( 11 14 ) lg( 0,75 )
t = 0,8383

Zum Zeitpunkt t ≈ 0,8383 Jahre ist der Bestand 88 Millionen.