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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{x}$ = $1$

$5^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (5)$	=	0	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (5)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 1

$5^{x}$ = 5⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$ = $\frac{1}{2}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ $2$
$3^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (3)$	=	0	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (3)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$3^{x}$ = 1

$3^{x}$ = 3⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \cdot 3^{x} + 18 \cdot 3^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $18 \cdot 3^{2 x}$ in $18 \cdot 3^{2 x}$ = $18 \cdot 3^{x + x}$ = $18 \cdot 3^{x} \cdot 3^{x}$ auf::

$18 \cdot 3^{2 x} - 2 \cdot 3^{x}$ = 0

$18 \cdot 3^{x + x} - 2 \cdot 3^{x}$ = 0

$18 \cdot 3^{x} \cdot 3^{x} - 2 \cdot 3^{x}$ = 0

$3^{x} (- 2 + 18 \cdot 3^{x})$	=	0
$3^{x} (18 \cdot 3^{x} - 2)$	=	0
$(18 \cdot 3^{x} - 2) \cdot 3^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$18 \cdot 3^{x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$18 \cdot 3^{x}$	=	$2$	\|: $18$
$3^{x}$	=	$\frac{1}{9}$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{9})$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (\frac{1}{9})$	\|: $\lg (3)$
x₁	=	$\frac{\lg (\frac{1}{9})}{\lg (3)}$

x₁

- 2

2. Fall:

3^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 2$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass die Anzahl der Nutzer näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $4 900 \cdot {1,29}^{t}$ (t in Wochen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden kann. Wann hat sich die Anzahl der Webseitennutzer um 600 vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $4 900 \cdot {1,29}^{0}$ =4900. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 600 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=5500, weil ja 5500 - 4900 = 600 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 5500, also $4 900 \cdot {1,29}^{t}$ = 5500.

$4 900 \cdot {1,29}^{t}$	=	$5 500$	\|: $4 900$
${1,29}^{t}$	=	$\frac{55}{49}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,29}^{t})$	=	$\lg (\frac{55}{49})$
$t \cdot \lg (1,29)$	=	$\lg (\frac{55}{49})$	\|: $\lg (1,29)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{55}{49})}{\lg (1,29)}$

t

0,4536

Zum Zeitpunkt t ≈ $0,4536$ Wochen ist der Bestand 5500 Nutzer, also um 600 Nutzer größer als zu Beginn..