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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{x}$ = $4$

$4^{x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (4)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (4)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $4^{x}$ = 4 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 5^{x}$ = $10$

Lösung einblenden

$2 \cdot 5^{x}$	=	$10$	\|: $2$
$5^{x}$	=	$5$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (5)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (5)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (5)}{\lg (5)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $5^{x}$ = 5 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 11 \cdot 5^{2 x} + 25$ = $- 2 \cdot 5^{2 x + 1}$

Lösung einblenden

$- 11 \cdot 5^{2 x} + 25$ = $- 2 \cdot 5^{2 x + 1}$ | $+ 2 \cdot 5^{2 x + 1}$ $- 25$

$2 \cdot 5^{2 x + 1} - 11 \cdot 5^{2 x}$ = $- 25$

Wir müssen $2 \cdot 5^{2 x + 1}$ in $2 \cdot 5^{2 x} \cdot 5^{1}$ aufspalten um die beiden 5er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$2 \cdot 5^{2 x} \cdot 5^{1} - 11 \cdot 5^{2 x}$ = $- 25$

$10 \cdot 5^{2 x} - 11 \cdot 5^{2 x}$ = $- 25$

$- 5^{2 x}$	=	$- 25$	\|: $- 1$
$5^{2 x}$	=	$25$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{2 x})$	=	$\lg (25)$
$2 x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (25)$	\|: $\lg (5)$
$2 x$	=	$\frac{\lg (25)}{\lg (5)}$

$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

L={ $1$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Durch intensive Klimaschutzprogramme schafft es ein Staat seine CO₂-Emissonen leicht zu reduzieren, so dass der jährliche CO₂-Ausstoß näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $880 \cdot {0,96}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen Tonnen) beschrieben werden kann. Wie viele Jahre nach Beobachtungsbeginn werden 280 Millionen Tonnen weniger CO₂ ausgestoßen als noch zu Beginn?

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $880 \cdot {0,96}^{0}$ =880. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 280 kleiner geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=600, weil ja 600 - 880 = -280 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 600, also $880 \cdot {0,96}^{t}$ = 600.

$880 \cdot {0,96}^{t}$	=	$600$	\|: $880$
${0,96}^{t}$	=	$\frac{15}{22}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,96}^{t})$	=	$\lg (\frac{15}{22})$
$t \cdot \lg (0,96)$	=	$\lg (\frac{15}{22})$	\|: $\lg (0,96)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{15}{22})}{\lg (0,96)}$

t

9,382

Zum Zeitpunkt t ≈ $9,382$ Jahre ist der Bestand 600 Millionen Tonnen, also um 280 Millionen Tonnen kleiner als zu Beginn..