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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{x}$ = $25$

$5^{x}$	=	$25$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (25)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (25)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (25)}{\lg (5)}$

x

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 25

$5^{x}$ = $5^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 4^{x}$ = $2$

Lösung einblenden

$2 \cdot 4^{x}$	=	$2$	\|: $2$
$4^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (4)$	=	0	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (4)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 1

$4^{x}$ = 4⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \cdot 5^{x} - 7 \cdot 6^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$3 \cdot 5^{x} - 7 \cdot 6^{x}$ = 0| $- 3 \cdot 5^{x}$

$- 7 \cdot 6^{x}$ = $- 3 \cdot 5^{x}$ | : $- 7$ : $5^{x}$

$\frac{6^{x}}{5^{x}}$ = $\frac{3}{7}$

${(\frac{6}{5})}^{x}$ = $\frac{3}{7}$

${(\frac{6}{5})}^{x}$	=	$\frac{3}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({(\frac{6}{5})}^{x})$	=	$\lg (\frac{3}{7})$
$x \cdot \lg (\frac{6}{5})$	=	$\lg (\frac{3}{7})$	\|: $\lg (\frac{6}{5})$
$x$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{7})}{\lg (\frac{6}{5})}$

x

- 4,6473

L={ $- 4,6473$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass die Anzahl der Nutzer näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $4 400 \cdot {1,2}^{t}$ (t in Wochen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden kann. Wann hat sich die Anzahl der Webseitennutzer um 1000 vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $4 400 \cdot {1,2}^{0}$ =4400. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 1000 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=5400, weil ja 5400 - 4400 = 1000 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 5400, also $4 400 \cdot {1,2}^{t}$ = 5400.

$4 400 \cdot {1,2}^{t}$	=	$5 400$	\|: $4 400$
${1,2}^{t}$	=	$\frac{27}{22}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,2}^{t})$	=	$\lg (\frac{27}{22})$
$t \cdot \lg (1,2)$	=	$\lg (\frac{27}{22})$	\|: $\lg (1,2)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{27}{22})}{\lg (1,2)}$

t

1,1233

Zum Zeitpunkt t ≈ $1,1233$ Wochen ist der Bestand 5400 Nutzer, also um 1000 Nutzer größer als zu Beginn..