Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 3 x = 2

Lösung einblenden
2 3 x = 2 |:2
3 x = 1 |lg(⋅)
lg( 3 x ) = 0
x · lg( 3 ) = 0 |: lg( 3 )
x = 0 lg( 3 )
x = 0

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

3 x = 1

3 x = 30

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 x -2 = 1 2

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

2 x -2 = 1 2

2 x -2 = 2 -1

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 2.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: x -2 und rechts: -1) gleichsetzen:

x -2 = -1 | +2
x = 1

L={ 1 }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 3 x -54 3 2x = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man -54 3 2x in -54 3 2x = -54 3 x + x = -54 3 x · 3 x auf::

-54 3 2x +2 3 x = 0

-54 3 x + x +2 3 x = 0

-54 3 x · 3 x +2 3 x = 0

3 x ( -54 3 x +2 ) = 0
( -54 3 x +2 ) · 3 x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

-54 3 x +2 = 0 | -2
-54 3 x = -2 |:-54
3 x = 1 27 |lg(⋅)
lg( 3 x ) = lg( 1 27 )
x · lg( 3 ) = lg( 1 27 ) |: lg( 3 )
x1 = lg( 1 27 ) lg( 3 )
x1 = -3

2. Fall:

3 x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ -3 }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Größe einer Bakterienkultur kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 4 2,2 t (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat sich die Bakterienkultur um 8 Millionen vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= 4 2,2 0 =4. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 8 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=12, weil ja 12 - 4 = 8 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 12, also 4 2,2 t = 12.

4 2,2 t = 12 |:4
2,2 t = 3 |lg(⋅)
lg( 2,2 t ) = lg( 3 )
t · lg( 2,2 ) = lg( 3 ) |: lg( 2,2 )
t = lg( 3 ) lg( 2,2 )
t = 1,3934

Zum Zeitpunkt t ≈ 1,3934 Jahre ist der Bestand 12 Millionen, also um 8 Millionen größer als zu Beginn..