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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 5^{x}$ = $250$

$2 \cdot 5^{x}$	=	$250$	\|: $2$
$5^{x}$	=	$125$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (125)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (125)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (125)}{\lg (5)}$

x

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 125

$5^{x}$ = $5^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 4^{x}$ = $2$

Lösung einblenden

$2 \cdot 4^{x}$	=	$2$	\|: $2$
$4^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (4)$	=	0	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (4)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 1

$4^{x}$ = 4⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 \cdot 5^{2 x - 1} + 2 \cdot 5^{2 x}$ = $15$

Lösung einblenden

$- 7 \cdot 5^{2 x - 1} + 2 \cdot 5^{2 x}$ = $15$

Wir müssen $- 7 \cdot 5^{2 x - 1}$ in $- 7 \cdot 5^{2 x} \cdot 5^{- 1}$ aufspalten um die beiden 5er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$- 7 \cdot 5^{2 x} \cdot 5^{- 1} + 2 \cdot 5^{2 x}$ = $15$

$- \frac{7}{5} \cdot 5^{2 x} + 2 \cdot 5^{2 x}$ = $15$ | ⋅ 5

$- 7 \cdot 5^{2 x} + 10 \cdot 5^{2 x}$ = $75$

$3 \cdot 5^{2 x}$	=	$75$	\|: $3$
$5^{2 x}$	=	$25$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{2 x})$	=	$\lg (25)$
$2 x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (25)$	\|: $\lg (5)$
$2 x$	=	$\frac{\lg (25)}{\lg (5)}$

$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

L={ $1$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass die Anzahl der Nutzer näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $4 000 \cdot {1,27}^{t}$ (t in Wochen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden kann. Wann hat sich die Anzahl der Webseitennutzer um 600 vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $4 000 \cdot {1,27}^{0}$ =4000. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 600 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=4600, weil ja 4600 - 4000 = 600 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 4600, also $4 000 \cdot {1,27}^{t}$ = 4600.

$4 000 \cdot {1,27}^{t}$	=	$4 600$	\|: $4 000$
${1,27}^{t}$	=	$\frac{23}{20}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,27}^{t})$	=	$\lg (\frac{23}{20})$
$t \cdot \lg (1,27)$	=	$\lg (\frac{23}{20})$	\|: $\lg (1,27)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{23}{20})}{\lg (1,27)}$

t

0,5847

Zum Zeitpunkt t ≈ $0,5847$ Wochen ist der Bestand 4600 Nutzer, also um 600 Nutzer größer als zu Beginn..