$-3\sqrt{-x+6}$	=	$-6$	|:($-3$)
$\sqrt{-x+6}$	=	$2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-x+6$	=	$2^2$

$-x+6$	=	$4$	| $-6$
$-x$	=	$-2$	|:($-1$)
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite: x = $2$ in $-3\sqrt{-x+6}$ $=$ $-3\sqrt{-2+6}$ = $-3\sqrt{4}$ = $-3\cdot 2$ = $-6$

Rechte Seite: x = $2$ in $-6$ $=$ $-6$

Also -6 = -6

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$}

$\sqrt{4x+17}-3$	=	$x$	| $+3$
$\sqrt{4x+17}$	=	$x+3$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4x+17$	=	${\left(x+3\right)}^2$

$4x+17$

=

$x^2+6x+9$

| $-x^2$ $-6x$ $-9$

$-x^2-2x+8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·\left(-1\right)·8}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+32}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{36}}{-2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{-2}$ = $-4$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{-2}$ = $2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-4$

Linke Seite: x = $-4$ in $\sqrt{4x+17}-3$ $=$ $\sqrt{4\cdot \left(-4\right)+17}-3$ = $\sqrt{-16+17}-3$ = $\sqrt{1}-3$ = $1-3$ = $-2$

Rechte Seite: x = $-4$ in $x$ $=$ $-4$

Also -2 ≠ -4

x = $-4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite: x = $2$ in $\sqrt{4x+17}-3$ $=$ $\sqrt{4\cdot 2+17}-3$ = $\sqrt{8+17}-3$ = $\sqrt{25}-3$ = $5-3$ = $2$

Rechte Seite: x = $2$ in $x$ $=$ $2$

Also 2 = 2

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$}

$\sqrt{19x+102}$	=	$2\sqrt{5x+26}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$19x+102$	=	${\left(2\sqrt{5x+26}\right)}^2$

$19x+102$	=	$4\left(5x+26\right)$
$19x+102$	=	$20x+104$	| $-102$
$19x$	=	$20x+2$	| $-20x$
$-x$	=	$2$	|:($-1$)
$x$	=	$-2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-2$

Linke Seite: x = $-2$ in $\sqrt{19x+102}$ $=$ $\sqrt{19\cdot \left(-2\right)+102}$ = $\sqrt{-38+102}$ = $\sqrt{64}$ = $8$

Rechte Seite: x = $-2$ in $2\sqrt{5x+26}$ $=$ $2\sqrt{5\cdot \left(-2\right)+26}$ = $2\sqrt{-10+26}$ = $2\sqrt{16}$ = $8$

Also 8 = 8

x = $-2$ ist somit eine Lösung !

L={ $-2$}

$\sqrt{6x+27}$	=	$\sqrt{2x+7}+2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6x+27$	=	${\left(\sqrt{2x+7}+2\right)}^2$

$6x+27$	=	$4\sqrt{2x+7}+2x+11$	| $-6x$ $-27$ $-4\sqrt{2x+7}$
$-4\sqrt{2x+7}$	=	$-4x-16$	|:($-4$)
$\sqrt{2x+7}$	=	$x+4$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2x+7$	=	${\left(x+4\right)}^2$

$2x+7$

=

$x^2+8x+16$

| $-x^2$ $-8x$ $-16$

$-x^2-6x-9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{{\left(-6\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-9\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{36-36}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{0}}{-2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{-2}$ = $-3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-3$

Linke Seite: x = $-3$ in $\sqrt{6x+27}$ $=$ $\sqrt{6\cdot \left(-3\right)+27}$ = $\sqrt{-18+27}$ = $\sqrt{9}$ = $3$

Rechte Seite: x = $-3$ in $\sqrt{2x+7}+2$ $=$ $\sqrt{2\cdot \left(-3\right)+7}+2$ = $\sqrt{-6+7}+2$ = $\sqrt{1}+2$ = $1+2$ = $3$

Also 3 = 3

x = $-3$ ist somit eine Lösung !

L={ $-3$}