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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{- 2 x + 2}$ = $6$

- 3 \sqrt{- 2 x + 2}

=

6

|:(

- 3

)

\sqrt{- 2 x + 2}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 16 x + 116} - 2 x$ = $- 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 16 x + 116} - 2 x$	=	$- 4$	\| $+ 2 x$
$\sqrt{- 16 x + 116}$	=	$2 x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 16 x + 116$	=	${(2 x - 4)}^{2}$

$- 16 x + 116$	=	$4 x^{2} - 16 x + 16$	\| $- 116$
$- 16 x$	=	$4 x^{2} - 16 x - 100$	\| $- 4 x^{2}$ $+ 16 x$
$- 4 x^{2}$	=	$- 100$	\|: $(- 4)$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 16 x + 116} - 2 x$

$=$ $\sqrt{- 16 \cdot (- 5) + 116} - 2 \cdot (- 5)$

= $\sqrt{80 + 116} + 10$

= $\sqrt{196} + 10$

= $14 + 10$

= $24$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also 24 ≠ -4

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{- 16 x + 116} - 2 x$

$=$ $\sqrt{- 16 \cdot 5 + 116} - 2 \cdot 5$

= $\sqrt{- 80 + 116} - 10$

= $\sqrt{36} - 10$

= $6 - 10$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{31 x + 107}$ = $3 \sqrt{3 x + 15}$

Lösung einblenden

$\sqrt{31 x + 107}$	=	$3 \sqrt{3 x + 15}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$31 x + 107$	=	${(3 \sqrt{3 x + 15})}^{2}$

$31 x + 107$	=	$9 (3 x + 15)$
$31 x + 107$	=	$27 x + 135$	\| $- 107$
$31 x$	=	$27 x + 28$	\| $- 27 x$
$4 x$	=	$28$	\|: $4$
$x$	=	$7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{31 x + 107}$

$=$ $\sqrt{31 \cdot 7 + 107}$

= $\sqrt{217 + 107}$

= $\sqrt{324}$

= $18$

Rechte Seite:

x = $7$ in $3 \sqrt{3 x + 15}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot 7 + 15}$

= $3 \sqrt{21 + 15}$

= $3 \sqrt{36}$

= $18$

Also 18 = 18

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 8}$ = $\sqrt{3 x + 4} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 8}$	=	$\sqrt{3 x + 4} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 8$	=	${(\sqrt{3 x + 4} + 2)}^{2}$

$7 x + 8$	=	$4 \sqrt{3 x + 4} + 3 x + 8$	\| $- 7 x$ $- 8$ $- 4 \sqrt{3 x + 4}$
$- 4 \sqrt{3 x + 4}$	=	$- 4 x$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 4}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 4$	=	${(x)}^{2}$

3 x + 4

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 3 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3+5}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3-5}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{7 x + 8}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 1) + 8}$

= $\sqrt{- 7 + 8}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{3 x + 4} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 1) + 4} + 2$

= $\sqrt{- 3 + 4} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{7 x + 8}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 4 + 8}$

= $\sqrt{28 + 8}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $4$ in $\sqrt{3 x + 4} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 4 + 4} + 2$

= $\sqrt{12 + 4} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Aufgabenbeispiele von Wurzelgleichungen

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -5

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 7

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -1

Probe für x = 4

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $5$

Probe für x = $7$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $4$