$-\sqrt{-2x+6}$	=	$-4$	|:($-1$)
$\sqrt{-2x+6}$	=	$4$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-2x+6$	=	$4^2$

$-2x+6$	=	$16$	| $-6$
$-2x$	=	$10$	|:($-2$)
$x$	=	$-5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-5$

Linke Seite: x = $-5$ in $-\sqrt{-2x+6}$ $=$ $-\sqrt{-2\cdot \left(-5\right)+6}$ = $-\sqrt{10+6}$ = $-\sqrt{16}$ = $-4$

Rechte Seite: x = $-5$ in $-4$ $=$ $-4$

Also -4 = -4

x = $-5$ ist somit eine Lösung !

L={ $-5$}

$\sqrt{-3x+21}+x$	=	$1$	| $-x$
$\sqrt{-3x+21}$	=	$-x+1$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-3x+21$	=	${\left(-x+1\right)}^2$

$-3x+21$

=

$x^2-2x+1$

| $-x^2$ $+2x$ $-1$

$-x^2-x+20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·\left(-1\right)·20}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+80}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{81}}{-2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{81}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{-2}$ = $-5$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{81}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{-2}$ = $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-5$

Linke Seite: x = $-5$ in $\sqrt{-3x+21}+x$ $=$ $\sqrt{-3\cdot \left(-5\right)+21}-5$ = $\sqrt{15+21}-5$ = $\sqrt{36}-5$ = $6-5$ = $1$

Rechte Seite: x = $-5$ in $1$ $=$ $1$

Also 1 = 1

x = $-5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite: x = $4$ in $\sqrt{-3x+21}+x$ $=$ $\sqrt{-3\cdot 4+21}+4$ = $\sqrt{-12+21}+4$ = $\sqrt{9}+4$ = $3+4$ = $7$

Rechte Seite: x = $4$ in $1$ $=$ $1$

Also 7 ≠ 1

x = $4$ ist somit keine Lösung !

L={ $-5$}

$\sqrt{14x+92}$	=	$2\sqrt{4x+25}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$14x+92$	=	${\left(2\sqrt{4x+25}\right)}^2$

$14x+92$	=	$4\left(4x+25\right)$
$14x+92$	=	$16x+100$	| $-92$
$14x$	=	$16x+8$	| $-16x$
$-2x$	=	$8$	|:($-2$)
$x$	=	$-4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-4$

Linke Seite: x = $-4$ in $\sqrt{14x+92}$ $=$ $\sqrt{14\cdot \left(-4\right)+92}$ = $\sqrt{-56+92}$ = $\sqrt{36}$ = $6$

Rechte Seite: x = $-4$ in $2\sqrt{4x+25}$ $=$ $2\sqrt{4\cdot \left(-4\right)+25}$ = $2\sqrt{-16+25}$ = $2\sqrt{9}$ = $6$

Also 6 = 6

x = $-4$ ist somit eine Lösung !

L={ $-4$}

$\sqrt{6x-12}$	=	$\sqrt{4x-7}+1$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6x-12$	=	${\left(\sqrt{4x-7}+1\right)}^2$

$6x-12$	=	$2\sqrt{4x-7}+4x-6$	| $-6x$ $+12$ $-2\sqrt{4x-7}$
$-2\sqrt{4x-7}$	=	$-2x+6$	|:($-2$)
$\sqrt{4x-7}$	=	$x-3$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4x-7$	=	${\left(x-3\right)}^2$

$4x-7$

=

$x^2-6x+9$

| $-x^2$ $+6x$ $-9$

$-x^2+10x-16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{{10}^2-4·\left(-1\right)·\left(-16\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{100-64}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{36}}{-2}$

x₁ = $\frac{-10+\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>10</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{-2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-10-\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>10</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-16}{-2}$ = $8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite: x = $2$ in $\sqrt{6x-12}$ $=$ $\sqrt{6\cdot 2-12}$ = $\sqrt{12-12}$ = $\sqrt{0}$ = 0

Rechte Seite: x = $2$ in $\sqrt{4x-7}+1$ $=$ $\sqrt{4\cdot 2-7}+1$ = $\sqrt{8-7}+1$ = $\sqrt{1}+1$ = $1+1$ = $2$

Also 0 ≠ 2

x = $2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $8$

Linke Seite: x = $8$ in $\sqrt{6x-12}$ $=$ $\sqrt{6\cdot 8-12}$ = $\sqrt{48-12}$ = $\sqrt{36}$ = $6$

Rechte Seite: x = $8$ in $\sqrt{4x-7}+1$ $=$ $\sqrt{4\cdot 8-7}+1$ = $\sqrt{32-7}+1$ = $\sqrt{25}+1$ = $5+1$ = $6$

Also 6 = 6

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$}