$\sqrt{\left(-x\right)}$	=	$1$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-x$	=	$1^2$

$-x$	=	$1$	|:($-1$)
$x$	=	$-1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-1$

Linke Seite: x = $-1$ in $\sqrt{\left(-x\right)}$ $=$ $\sqrt{\left(-\left(-1\right)\right)}$ = $\sqrt{1}$ = $1$

Rechte Seite: x = $-1$ in $1$ $=$ $1$

Also 1 = 1

x = $-1$ ist somit eine Lösung !

L={ $-1$}

$\sqrt{-12x+136}+3x$	=	$-1$	| $-3x$
$\sqrt{-12x+136}$	=	$-3x-1$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-12x+136$	=	${\left(-3x-1\right)}^2$

$-12x+136$

=

$9x^2+6x+1$

| $-9x^2$ $-6x$ $-1$

$-9x^2-18x+135$ = 0 |:9

$-x^2-2x+15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·\left(-1\right)·15}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+60}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{64}}{-2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{64}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{-2}$ = $-5$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{64}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{-2}$ = $3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-5$

Linke Seite: x = $-5$ in $\sqrt{-12x+136}+3x$ $=$ $\sqrt{-12\cdot \left(-5\right)+136}+3\cdot \left(-5\right)$ = $\sqrt{60+136}-15$ = $\sqrt{196}-15$ = $14-15$ = $-1$

Rechte Seite: x = $-5$ in $-1$ $=$ $-1$

Also -1 = -1

x = $-5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite: x = $3$ in $\sqrt{-12x+136}+3x$ $=$ $\sqrt{-12\cdot 3+136}+3\cdot 3$ = $\sqrt{-36+136}+9$ = $\sqrt{100}+9$ = $10+9$ = $19$

Rechte Seite: x = $3$ in $-1$ $=$ $-1$

Also 19 ≠ -1

x = $3$ ist somit keine Lösung !

L={ $-5$}

$\sqrt{11x+130}$	=	$2\sqrt{2x+28}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$11x+130$	=	${\left(2\sqrt{2x+28}\right)}^2$

$11x+130$	=	$4\left(2x+28\right)$
$11x+130$	=	$8x+112$	| $-130$
$11x$	=	$8x-18$	| $-8x$
$3x$	=	$-18$	|:$3$
$x$	=	$-6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-6$

Linke Seite: x = $-6$ in $\sqrt{11x+130}$ $=$ $\sqrt{11\cdot \left(-6\right)+130}$ = $\sqrt{-66+130}$ = $\sqrt{64}$ = $8$

Rechte Seite: x = $-6$ in $2\sqrt{2x+28}$ $=$ $2\sqrt{2\cdot \left(-6\right)+28}$ = $2\sqrt{-12+28}$ = $2\sqrt{16}$ = $8$

Also 8 = 8

x = $-6$ ist somit eine Lösung !

L={ $-6$}

$\sqrt{4x+72}$	=	$\sqrt{2x+43}+1$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4x+72$	=	${\left(\sqrt{2x+43}+1\right)}^2$

$4x+72$	=	$2\sqrt{2x+43}+2x+44$	| $-4x$ $-72$ $-2\sqrt{2x+43}$
$-2\sqrt{2x+43}$	=	$-2x-28$	|:($-2$)
$\sqrt{2x+43}$	=	$x+14$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2x+43$	=	${\left(x+14\right)}^2$

$2x+43$

=

$x^2+28x+196$

| $-x^2$ $-28x$ $-196$

$-x^2-26x-153$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+26\pm \sqrt{{\left(-26\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-153\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+26\pm \sqrt{676-612}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+26\pm \sqrt{64}}{-2}$

x₁ = $\frac{26+\sqrt{64}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>26</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{34}{-2}$ = $-17$

x₂ = $\frac{26-\sqrt{64}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>26</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{18}{-2}$ = $-9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-17$

Linke Seite: x = $-17$ in $\sqrt{4x+72}$ $=$ $\sqrt{4\cdot \left(-17\right)+72}$ = $\sqrt{-68+72}$ = $\sqrt{4}$ = $2$

Rechte Seite: x = $-17$ in $\sqrt{2x+43}+1$ $=$ $\sqrt{2\cdot \left(-17\right)+43}+1$ = $\sqrt{-34+43}+1$ = $\sqrt{9}+1$ = $3+1$ = $4$

Also 2 ≠ 4

x = $-17$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $-9$

Linke Seite: x = $-9$ in $\sqrt{4x+72}$ $=$ $\sqrt{4\cdot \left(-9\right)+72}$ = $\sqrt{-36+72}$ = $\sqrt{36}$ = $6$

Rechte Seite: x = $-9$ in $\sqrt{2x+43}+1$ $=$ $\sqrt{2\cdot \left(-9\right)+43}+1$ = $\sqrt{-18+43}+1$ = $\sqrt{25}+1$ = $5+1$ = $6$

Also 6 = 6

x = $-9$ ist somit eine Lösung !

L={ $-9$}