$2\sqrt{-x+2}$

=

$-4$

|:$2$

$\sqrt{-x+2}$ = $-2$

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

$\sqrt{-3x+19}+3x$	=	$-1$	| $-3x$
$\sqrt{-3x+19}$	=	$-3x-1$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-3x+19$	=	${\left(-3x-1\right)}^2$

$-3x+19$

=

$9x^2+6x+1$

| $-9x^2$ $-6x$ $-1$

$-9x^2-9x+18$ = 0 |:9

$-x^2-x+2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·\left(-1\right)·2}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+8}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{9}}{-2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{-2}$ = $-2$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{-2}$ = $1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-2$

Linke Seite: x = $-2$ in $\sqrt{-3x+19}+3x$ $=$ $\sqrt{-3\cdot \left(-2\right)+19}+3\cdot \left(-2\right)$ = $\sqrt{6+19}-6$ = $\sqrt{25}-6$ = $5-6$ = $-1$

Rechte Seite: x = $-2$ in $-1$ $=$ $-1$

Also -1 = -1

x = $-2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite: x = $1$ in $\sqrt{-3x+19}+3x$ $=$ $\sqrt{-3\cdot 1+19}+3\cdot 1$ = $\sqrt{-3+19}+3$ = $\sqrt{16}+3$ = $4+3$ = $7$

Rechte Seite: x = $1$ in $-1$ $=$ $-1$

Also 7 ≠ -1

x = $1$ ist somit keine Lösung !

L={ $-2$}

$\sqrt{24x+0}$	=	$2\sqrt{5x+6}$
$\mathrm{4,899}\sqrt{x}$	=	$2\sqrt{5x+6}$	|:$\mathrm{4,899}$
$\sqrt{x}$	=	$\frac{2}{\mathrm{4,899}}\sqrt{5x+6}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	${\left(\frac{2}{\mathrm{4,899}}\sqrt{5x+6}\right)}^2$

$x$	=	$\frac{4}{24}\left(5x+6\right)$
$x$	=	$\frac{20}{24}x+\frac{24}{24}$	|⋅ 576
$576x$	=	$576\left(\frac{20}{24}x+\frac{24}{24}\right)$
$576x$	=	$480x+576$	| $-480x$
$96x$	=	$576$	|:$96$
$x$	=	$6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $6$

Linke Seite: x = $6$ in $\mathrm{4,899}\sqrt{x}$ $=$ $\mathrm{4,899}\sqrt{6}$ = $12$

Rechte Seite: x = $6$ in $2\sqrt{5x+6}$ $=$ $2\sqrt{5\cdot 6+6}$ = $2\sqrt{30+6}$ = $2\sqrt{36}$ = $12$

Also 12 = 12

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $6$}

$\sqrt{7x-17}$	=	$\sqrt{5x-14}+1$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7x-17$	=	${\left(\sqrt{5x-14}+1\right)}^2$

$7x-17$	=	$2\sqrt{5x-14}+5x-13$	| $-7x$ $+17$ $-2\sqrt{5x-14}$
$-2\sqrt{5x-14}$	=	$-2x+4$	|:($-2$)
$\sqrt{5x-14}$	=	$x-2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5x-14$	=	${\left(x-2\right)}^2$

$5x-14$

=

$x^2-4x+4$

| $-x^2$ $+4x$ $-4$

$-x^2+9x-18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-9\pm \sqrt{9^2-4·\left(-1\right)·\left(-18\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-9\pm \sqrt{81-72}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-9\pm \sqrt{9}}{-2}$

x₁ = $\frac{-9+\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>9</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{-2}$ = $3$

x₂ = $\frac{-9-\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>9</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-12}{-2}$ = $6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite: x = $3$ in $\sqrt{7x-17}$ $=$ $\sqrt{7\cdot 3-17}$ = $\sqrt{21-17}$ = $\sqrt{4}$ = $2$

Rechte Seite: x = $3$ in $\sqrt{5x-14}+1$ $=$ $\sqrt{5\cdot 3-14}+1$ = $\sqrt{15-14}+1$ = $\sqrt{1}+1$ = $1+1$ = $2$

Also 2 = 2

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $6$

Linke Seite: x = $6$ in $\sqrt{7x-17}$ $=$ $\sqrt{7\cdot 6-17}$ = $\sqrt{42-17}$ = $\sqrt{25}$ = $5$

Rechte Seite: x = $6$ in $\sqrt{5x-14}+1$ $=$ $\sqrt{5\cdot 6-14}+1$ = $\sqrt{30-14}+1$ = $\sqrt{16}+1$ = $4+1$ = $5$

Also 5 = 5

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$; $6$}