$-2\sqrt{3x+1}$	=	$-8$	|:($-2$)
$\sqrt{3x+1}$	=	$4$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3x+1$	=	$4^2$

$3x+1$	=	$16$	| $-1$
$3x$	=	$15$	|:$3$
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite: x = $5$ in $-2\sqrt{3x+1}$ $=$ $-2\sqrt{3\cdot 5+1}$ = $-2\sqrt{15+1}$ = $-2\sqrt{16}$ = $-8$

Rechte Seite: x = $5$ in $-8$ $=$ $-8$

Also -8 = -8

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$}

$\sqrt{28x+8}$	=	$-2x-4$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$28x+8$	=	${\left(-2x-4\right)}^2$

$28x+8$

=

$4x^2+16x+16$

| $-4x^2$ $-16x$ $-16$

$-4x^2+12x-8$ = 0 |:4

$-x^2+3x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4·\left(-1\right)·\left(-2\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{9-8}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{1}}{-2}$

x₁ = $\frac{-3+\sqrt{1}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{-2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-3-\sqrt{1}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{-2}$ = $2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite: x = $1$ in $\sqrt{28x+8}$ $=$ $\sqrt{28\cdot 1+8}$ = $\sqrt{28+8}$ = $\sqrt{36}$ = $6$

Rechte Seite: x = $1$ in $-2x-4$ $=$ $-2\cdot 1-4$ = $-2-4$ = $-6$

Also 6 ≠ -6

x = $1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite: x = $2$ in $\sqrt{28x+8}$ $=$ $\sqrt{28\cdot 2+8}$ = $\sqrt{56+8}$ = $\sqrt{64}$ = $8$

Rechte Seite: x = $2$ in $-2x-4$ $=$ $-2\cdot 2-4$ = $-4-4$ = $-8$

Also 8 ≠ -8

x = $2$ ist somit keine Lösung !

L={}

$\sqrt{11x+58}$	=	$3\sqrt{x+6}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$11x+58$	=	${\left(3\sqrt{x+6}\right)}^2$

$11x+58$	=	$9\left(x+6\right)$
$11x+58$	=	$9x+54$	| $-58$
$11x$	=	$9x-4$	| $-9x$
$2x$	=	$-4$	|:$2$
$x$	=	$-2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-2$

Linke Seite: x = $-2$ in $\sqrt{11x+58}$ $=$ $\sqrt{11\cdot \left(-2\right)+58}$ = $\sqrt{-22+58}$ = $\sqrt{36}$ = $6$

Rechte Seite: x = $-2$ in $3\sqrt{x+6}$ $=$ $3\sqrt{-2+6}$ = $3\sqrt{4}$ = $6$

Also 6 = 6

x = $-2$ ist somit eine Lösung !

L={ $-2$}

$\sqrt{9x+34}$	=	$\sqrt{5x+14}+2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9x+34$	=	${\left(\sqrt{5x+14}+2\right)}^2$

$9x+34$	=	$4\sqrt{5x+14}+5x+18$	| $-9x$ $-34$ $-4\sqrt{5x+14}$
$-4\sqrt{5x+14}$	=	$-4x-16$	|:($-4$)
$\sqrt{5x+14}$	=	$x+4$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5x+14$	=	${\left(x+4\right)}^2$

$5x+14$

=

$x^2+8x+16$

| $-x^2$ $-8x$ $-16$

$-x^2-3x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-2\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{9-8}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{1}}{-2}$

x₁ = $\frac{3+\sqrt{1}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{-2}$ = $-2$

x₂ = $\frac{3-\sqrt{1}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{-2}$ = $-1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-2$

Linke Seite: x = $-2$ in $\sqrt{9x+34}$ $=$ $\sqrt{9\cdot \left(-2\right)+34}$ = $\sqrt{-18+34}$ = $\sqrt{16}$ = $4$

Rechte Seite: x = $-2$ in $\sqrt{5x+14}+2$ $=$ $\sqrt{5\cdot \left(-2\right)+14}+2$ = $\sqrt{-10+14}+2$ = $\sqrt{4}+2$ = $2+2$ = $4$

Also 4 = 4

x = $-2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $-1$

Linke Seite: x = $-1$ in $\sqrt{9x+34}$ $=$ $\sqrt{9\cdot \left(-1\right)+34}$ = $\sqrt{-9+34}$ = $\sqrt{25}$ = $5$

Rechte Seite: x = $-1$ in $\sqrt{5x+14}+2$ $=$ $\sqrt{5\cdot \left(-1\right)+14}+2$ = $\sqrt{-5+14}+2$ = $\sqrt{9}+2$ = $3+2$ = $5$

Also 5 = 5

x = $-1$ ist somit eine Lösung !

L={ $-2$; $-1$}