$-\sqrt{2x+6}$	=	$-2$	|:($-1$)
$\sqrt{2x+6}$	=	$2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2x+6$	=	$2^2$

$2x+6$	=	$4$	| $-6$
$2x$	=	$-2$	|:$2$
$x$	=	$-1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-1$

Linke Seite: x = $-1$ in $-\sqrt{2x+6}$ $=$ $-\sqrt{2\cdot \left(-1\right)+6}$ = $-\sqrt{-2+6}$ = $-\sqrt{4}$ = $-2$

Rechte Seite: x = $-1$ in $-2$ $=$ $-2$

Also -2 = -2

x = $-1$ ist somit eine Lösung !

L={ $-1$}

$\sqrt{-14x+7}+4$	=	$x$	| $-4$
$\sqrt{-14x+7}$	=	$x-4$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-14x+7$	=	${\left(x-4\right)}^2$

$-14x+7$

=

$x^2-8x+16$

| $-x^2$ $+8x$ $-16$

$-x^2-6x-9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{{\left(-6\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-9\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{36-36}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{0}}{-2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{-2}$ = $-3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-3$

Linke Seite: x = $-3$ in $\sqrt{-14x+7}+4$ $=$ $\sqrt{-14\cdot \left(-3\right)+7}+4$ = $\sqrt{42+7}+4$ = $\sqrt{49}+4$ = $7+4$ = $11$

Rechte Seite: x = $-3$ in $x$ $=$ $-3$

Also 11 ≠ -3

x = $-3$ ist somit keine Lösung !

L={}

$\sqrt{28x+396}$	=	$3\sqrt{3x+43}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$28x+396$	=	${\left(3\sqrt{3x+43}\right)}^2$

$28x+396$	=	$9\left(3x+43\right)$
$28x+396$	=	$27x+387$	| $-396$
$28x$	=	$27x-9$	| $-27x$
$x$	=	$-9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-9$

Linke Seite: x = $-9$ in $\sqrt{28x+396}$ $=$ $\sqrt{28\cdot \left(-9\right)+396}$ = $\sqrt{-252+396}$ = $\sqrt{144}$ = $12$

Rechte Seite: x = $-9$ in $3\sqrt{3x+43}$ $=$ $3\sqrt{3\cdot \left(-9\right)+43}$ = $3\sqrt{-27+43}$ = $3\sqrt{16}$ = $12$

Also 12 = 12

x = $-9$ ist somit eine Lösung !

L={ $-9$}

$\sqrt{5x+5}$	=	$\sqrt{x+5}+2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5x+5$	=	${\left(\sqrt{x+5}+2\right)}^2$

$5x+5$	=	$4\sqrt{x+5}+x+9$	| $-5x$ $-5$ $-4\sqrt{x+5}$
$-4\sqrt{x+5}$	=	$-4x+4$	|:($-4$)
$\sqrt{x+5}$	=	$x-1$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x+5$	=	${\left(x-1\right)}^2$

$x+5$

=

$x^2-2x+1$

| $-x^2$ $+2x$ $-1$

$-x^2+3x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4·\left(-1\right)·4}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{9+16}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{25}}{-2}$

x₁ = $\frac{-3+\sqrt{25}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{-2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-3-\sqrt{25}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{-2}$ = $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-1$

Linke Seite: x = $-1$ in $\sqrt{5x+5}$ $=$ $\sqrt{5\cdot \left(-1\right)+5}$ = $\sqrt{-5+5}$ = $\sqrt{0}$ = 0

Rechte Seite: x = $-1$ in $\sqrt{x+5}+2$ $=$ $\sqrt{-1+5}+2$ = $\sqrt{4}+2$ = $2+2$ = $4$

Also 0 ≠ 4

x = $-1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite: x = $4$ in $\sqrt{5x+5}$ $=$ $\sqrt{5\cdot 4+5}$ = $\sqrt{20+5}$ = $\sqrt{25}$ = $5$

Rechte Seite: x = $4$ in $\sqrt{x+5}+2$ $=$ $\sqrt{4+5}+2$ = $\sqrt{9}+2$ = $3+2$ = $5$

Also 5 = 5

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$}