$3\sqrt{-2x+3}$	=	$9$	|:$3$
$\sqrt{-2x+3}$	=	$3$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-2x+3$	=	$3^2$

$-2x+3$	=	$9$	| $-3$
$-2x$	=	$6$	|:($-2$)
$x$	=	$-3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-3$

Linke Seite: x = $-3$ in $3\sqrt{-2x+3}$ $=$ $3\sqrt{-2\cdot \left(-3\right)+3}$ = $3\sqrt{6+3}$ = $3\sqrt{9}$ = $9$

Rechte Seite: x = $-3$ in $9$ $=$ $9$

Also 9 = 9

x = $-3$ ist somit eine Lösung !

L={ $-3$}

$\sqrt{15x+4}$	=	$-x-4$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$15x+4$	=	${\left(-x-4\right)}^2$

$15x+4$

=

$x^2+8x+16$

| $-x^2$ $-8x$ $-16$

$-x^2+7x-12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{7^2-4·\left(-1\right)·\left(-12\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{49-48}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{1}}{-2}$

x₁ = $\frac{-7+\sqrt{1}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{-2}$ = $3$

x₂ = $\frac{-7-\sqrt{1}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{-2}$ = $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite: x = $3$ in $\sqrt{15x+4}$ $=$ $\sqrt{15\cdot 3+4}$ = $\sqrt{45+4}$ = $\sqrt{49}$ = $7$

Rechte Seite: x = $3$ in $-x-4$ $=$ $-3-4$ = $-7$

Also 7 ≠ -7

x = $3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite: x = $4$ in $\sqrt{15x+4}$ $=$ $\sqrt{15\cdot 4+4}$ = $\sqrt{60+4}$ = $\sqrt{64}$ = $8$

Rechte Seite: x = $4$ in $-x-4$ $=$ $-4-4$ = $-8$

Also 8 ≠ -8

x = $4$ ist somit keine Lösung !

L={}

$\sqrt{13x+17}$	=	$2\sqrt{3x+4}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$13x+17$	=	${\left(2\sqrt{3x+4}\right)}^2$

$13x+17$	=	$4\left(3x+4\right)$
$13x+17$	=	$12x+16$	| $-17$
$13x$	=	$12x-1$	| $-12x$
$x$	=	$-1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-1$

Linke Seite: x = $-1$ in $\sqrt{13x+17}$ $=$ $\sqrt{13\cdot \left(-1\right)+17}$ = $\sqrt{-13+17}$ = $\sqrt{4}$ = $2$

Rechte Seite: x = $-1$ in $2\sqrt{3x+4}$ $=$ $2\sqrt{3\cdot \left(-1\right)+4}$ = $2\sqrt{-3+4}$ = $2\sqrt{1}$ = $2$

Also 2 = 2

x = $-1$ ist somit eine Lösung !

L={ $-1$}

$\sqrt{3x+3}$	=	$\sqrt{x+2}+1$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3x+3$	=	${\left(\sqrt{x+2}+1\right)}^2$

$3x+3$	=	$2\sqrt{x+2}+x+3$	| $-3x$ $-3$ $-2\sqrt{x+2}$
$-2\sqrt{x+2}$	=	$-2x$	|:($-2$)
$\sqrt{x+2}$	=	$x$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x+2$	=	${\left(x\right)}^2$

$x+2$

=

$x^2$

| $-x^2$

$-x^2+x+2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·\left(-1\right)·2}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{9}}{-2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{-2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{-2}$ = $2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-1$

Linke Seite: x = $-1$ in $\sqrt{3x+3}$ $=$ $\sqrt{3\cdot \left(-1\right)+3}$ = $\sqrt{-3+3}$ = $\sqrt{0}$ = 0

Rechte Seite: x = $-1$ in $\sqrt{x+2}+1$ $=$ $\sqrt{-1+2}+1$ = $\sqrt{1}+1$ = $1+1$ = $2$

Also 0 ≠ 2

x = $-1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite: x = $2$ in $\sqrt{3x+3}$ $=$ $\sqrt{3\cdot 2+3}$ = $\sqrt{6+3}$ = $\sqrt{9}$ = $3$

Rechte Seite: x = $2$ in $\sqrt{x+2}+1$ $=$ $\sqrt{2+2}+1$ = $\sqrt{4}+1$ = $2+1$ = $3$

Also 3 = 3

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$}