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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{- x + 36}$ = $18$

- 3 \sqrt{- x + 36}

=

18

|:(

- 3

)

\sqrt{- x + 36}

=

- 6

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 36 x - 8}$ = $2 x - 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 36 x - 8}$	=	$2 x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 36 x - 8$	=	${(2 x - 4)}^{2}$

- 36 x - 8

=

4 x^{2} - 16 x + 16

|

- 4 x^{2}

+ 16 x

- 16

- 4 x^{2} - 20 x - 24

= 0 |:4

$- x^{2} - 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{5+1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{5-1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 36 x - 8}$

$=$ $\sqrt{- 36 \cdot (- 3) - 8}$

= $\sqrt{108 - 8}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $2 x - 4$

$=$ $2 \cdot (- 3) - 4$

= $- 6 - 4$

= $- 10$

Also 10 ≠ -10

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 36 x - 8}$

$=$ $\sqrt{- 36 \cdot (- 2) - 8}$

= $\sqrt{72 - 8}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $2 x - 4$

$=$ $2 \cdot (- 2) - 4$

= $- 4 - 4$

= $- 8$

Also 8 ≠ -8

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{16 x - 60}$ = $3 \sqrt{2 x - 8}$

Lösung einblenden

$\sqrt{16 x - 60}$	=	$3 \sqrt{2 x - 8}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$16 x - 60$	=	${(3 \sqrt{2 x - 8})}^{2}$

$16 x - 60$	=	$9 (2 x - 8)$
$16 x - 60$	=	$18 x - 72$	\| $+ 60$
$16 x$	=	$18 x - 12$	\| $- 18 x$
$- 2 x$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{16 x - 60}$

$=$ $\sqrt{16 \cdot 6 - 60}$

= $\sqrt{96 - 60}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $6$ in $3 \sqrt{2 x - 8}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot 6 - 8}$

= $3 \sqrt{12 - 8}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 10}$ = $\sqrt{2 x + 2} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 10}$	=	$\sqrt{2 x + 2} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 10$	=	${(\sqrt{2 x + 2} + 2)}^{2}$

$6 x + 10$	=	$4 \sqrt{2 x + 2} + 2 x + 6$	\| $- 6 x$ $- 10$ $- 4 \sqrt{2 x + 2}$
$- 4 \sqrt{2 x + 2}$	=	$- 4 x - 4$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x + 2}$	=	$x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 2$	=	${(x + 1)}^{2}$

$2 x + 2$	=	$x^{2} + 2 x + 1$	\| $- 2$
$2 x$	=	$x^{2} + 2 x - 1$	\| $- x^{2}$ $- 2 x$
$- x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{6 x + 10}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 1) + 10}$

= $\sqrt{- 6 + 10}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{2 x + 2} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 1) + 2} + 2$

= $\sqrt{- 2 + 2} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{6 x + 10}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 1 + 10}$

= $\sqrt{6 + 10}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{2 x + 2} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 1 + 2} + 2$

= $\sqrt{2 + 2} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; $1$ }

Aufgabenbeispiele von Wurzelgleichungen

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -3

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -1

Probe für x = 1

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $6$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $1$