Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{3 x + 7}$ = $4$

$2 \sqrt{3 x + 7}$	=	$4$	\|: $2$
$\sqrt{3 x + 7}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 7$	=	$2^{2}$

$3 x + 7$	=	$4$	\| $- 7$
$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $2 \sqrt{3 x + 7}$

$=$ $2 \sqrt{3 \cdot (- 1) + 7}$

= $2 \sqrt{- 3 + 7}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 24 x + 12}$ = $- 2 x + 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 24 x + 12}$	=	$- 2 x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 24 x + 12$	=	${(- 2 x + 4)}^{2}$

- 24 x + 12

=

4 x^{2} - 16 x + 16

|

- 4 x^{2}

+ 16 x

- 16

- 4 x^{2} - 8 x - 4

= 0 |:4

$- x^{2} - 2 x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 24 x + 12}$

$=$ $\sqrt{- 24 \cdot (- 1) + 12}$

= $\sqrt{24 + 12}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 2 x + 4$

$=$ $- 2 \cdot (- 1) + 4$

= $2 + 4$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{15 x + 19}$ = $2 \sqrt{4 x + 5}$

Lösung einblenden

$\sqrt{15 x + 19}$	=	$2 \sqrt{4 x + 5}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$15 x + 19$	=	${(2 \sqrt{4 x + 5})}^{2}$

$15 x + 19$	=	$4 (4 x + 5)$
$15 x + 19$	=	$16 x + 20$	\| $- 19$
$15 x$	=	$16 x + 1$	\| $- 16 x$
$- x$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{15 x + 19}$

$=$ $\sqrt{15 \cdot (- 1) + 19}$

= $\sqrt{- 15 + 19}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $2 \sqrt{4 x + 5}$

$=$ $2 \sqrt{4 \cdot (- 1) + 5}$

= $2 \sqrt{- 4 + 5}$

= $2 \sqrt{1}$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 1}$ = $\sqrt{3 x + 9} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 1}$	=	$\sqrt{3 x + 9} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 1$	=	${(\sqrt{3 x + 9} + 2)}^{2}$

$7 x + 1$	=	$4 \sqrt{3 x + 9} + 3 x + 13$	\| $- 7 x$ $- 1$ $- 4 \sqrt{3 x + 9}$
$- 4 \sqrt{3 x + 9}$	=	$- 4 x + 12$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 9}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 9$	=	${(x - 3)}^{2}$

$3 x + 9$	=	$x^{2} - 6 x + 9$	\| $- 9$
$3 x$	=	$x^{2} - 6 x$	\| $- (x^{2} - 6 x)$
$- x^{2} + 3 x + 6 x$	=	0
$- x^{2} + 9 x$	=	0
$x (- x + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 9$	=	0	\| $- 9$
$- x$	=	$- 9$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{7 x + 1}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 0 + 1}$

= $\sqrt{0 + 1}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{3 x + 9} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 0 + 9} + 2$

= $\sqrt{0 + 9} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 1 ≠ 5

x = 0 ist somit keine Lösung !

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{7 x + 1}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 9 + 1}$

= $\sqrt{63 + 1}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $9$ in $\sqrt{3 x + 9} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 9 + 9} + 2$

= $\sqrt{27 + 9} + 2$

= $\sqrt{36} + 2$

= $6 + 2$

= $8$

Also 8 = 8

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Aufgabenbeispiele von Wurzelgleichungen

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = 0

Probe für x = 9

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $9$