$-\sqrt{3x+4}$	=	$-4$	|:($-1$)
$\sqrt{3x+4}$	=	$4$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3x+4$	=	$4^2$

$3x+4$	=	$16$	| $-4$
$3x$	=	$12$	|:$3$
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite: x = $4$ in $-\sqrt{3x+4}$ $=$ $-\sqrt{3\cdot 4+4}$ = $-\sqrt{12+4}$ = $-\sqrt{16}$ = $-4$

Rechte Seite: x = $4$ in $-4$ $=$ $-4$

Also -4 = -4

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$}

$\sqrt{-20x-11}+1$	=	$2x$	| $-1$
$\sqrt{-20x-11}$	=	$2x-1$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-20x-11$	=	${\left(2x-1\right)}^2$

$-20x-11$

=

$4x^2-4x+1$

| $-4x^2$ $+4x$ $-1$

$-4x^2-16x-12$ = 0 |:4

$-x^2-4x-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-3\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{16-12}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{4}}{-2}$

x₁ = $\frac{4+\sqrt{4}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{-2}$ = $-3$

x₂ = $\frac{4-\sqrt{4}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{-2}$ = $-1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-3$

Linke Seite: x = $-3$ in $\sqrt{-20x-11}+1$ $=$ $\sqrt{-20\cdot \left(-3\right)-11}+1$ = $\sqrt{60-11}+1$ = $\sqrt{49}+1$ = $7+1$ = $8$

Rechte Seite: x = $-3$ in $2x$ $=$ $2\cdot \left(-3\right)$ = $-6$

Also 8 ≠ -6

x = $-3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $-1$

Linke Seite: x = $-1$ in $\sqrt{-20x-11}+1$ $=$ $\sqrt{-20\cdot \left(-1\right)-11}+1$ = $\sqrt{20-11}+1$ = $\sqrt{9}+1$ = $3+1$ = $4$

Rechte Seite: x = $-1$ in $2x$ $=$ $2\cdot \left(-1\right)$ = $-2$

Also 4 ≠ -2

x = $-1$ ist somit keine Lösung !

L={}

$\sqrt{2x+48}$	=	$2\sqrt{x+8}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2x+48$	=	${\left(2\sqrt{x+8}\right)}^2$

$2x+48$	=	$4\left(x+8\right)$
$2x+48$	=	$4x+32$	| $-48$
$2x$	=	$4x-16$	| $-4x$
$-2x$	=	$-16$	|:($-2$)
$x$	=	$8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $8$

Linke Seite: x = $8$ in $\sqrt{2x+48}$ $=$ $\sqrt{2\cdot 8+48}$ = $\sqrt{16+48}$ = $\sqrt{64}$ = $8$

Rechte Seite: x = $8$ in $2\sqrt{x+8}$ $=$ $2\sqrt{8+8}$ = $2\sqrt{16}$ = $8$

Also 8 = 8

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$}

$\sqrt{4x+4}$	=	$\sqrt{2x+3}+1$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4x+4$	=	${\left(\sqrt{2x+3}+1\right)}^2$

$4x+4$	=	$2\sqrt{2x+3}+2x+4$	| $-4x$ $-4$ $-2\sqrt{2x+3}$
$-2\sqrt{2x+3}$	=	$-2x$	|:($-2$)
$\sqrt{2x+3}$	=	$x$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2x+3$	=	${\left(x\right)}^2$

$2x+3$

=

$x^2$

| $-x^2$

$-x^2+2x+3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·\left(-1\right)·3}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{16}}{-2}$

x₁ = $\frac{-2+\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{-2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-2-\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{-2}$ = $3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-1$

Linke Seite: x = $-1$ in $\sqrt{4x+4}$ $=$ $\sqrt{4\cdot \left(-1\right)+4}$ = $\sqrt{-4+4}$ = $\sqrt{0}$ = 0

Rechte Seite: x = $-1$ in $\sqrt{2x+3}+1$ $=$ $\sqrt{2\cdot \left(-1\right)+3}+1$ = $\sqrt{-2+3}+1$ = $\sqrt{1}+1$ = $1+1$ = $2$

Also 0 ≠ 2

x = $-1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite: x = $3$ in $\sqrt{4x+4}$ $=$ $\sqrt{4\cdot 3+4}$ = $\sqrt{12+4}$ = $\sqrt{16}$ = $4$

Rechte Seite: x = $3$ in $\sqrt{2x+3}+1$ $=$ $\sqrt{2\cdot 3+3}+1$ = $\sqrt{6+3}+1$ = $\sqrt{9}+1$ = $3+1$ = $4$

Also 4 = 4

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$}