Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{- x + 49}$ = $- 7$

$- \sqrt{- x + 49}$	=	$- 7$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{- x + 49}$	=	$7$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 49$	=	$7^{2}$

$- x + 49$	=	$49$	\| $- 49$
$- x$	=	0	\|:( $- 1$ )
$x$	=	0

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $- \sqrt{- x + 49}$

$=$ $- \sqrt{- (0) + 49}$

= $- \sqrt{0 + 49}$

= $- \sqrt{49}$

= $- 7$

Rechte Seite:

x = 0 in $- 7$

$=$ $- 7$

Also -7 = -7

x = 0 ist somit eine Lösung !

L={0}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 18 x + 153}$ = $3 x - 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 18 x + 153}$	=	$3 x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 18 x + 153$	=	${(3 x - 3)}^{2}$

$- 18 x + 153$	=	$9 x^{2} - 18 x + 9$	\| $- 153$
$- 18 x$	=	$9 x^{2} - 18 x - 144$	\| $- 9 x^{2}$ $+ 18 x$
$- 9 x^{2}$	=	$- 144$	\|: $(- 9)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 18 x + 153}$

$=$ $\sqrt{- 18 \cdot (- 4) + 153}$

= $\sqrt{72 + 153}$

= $\sqrt{225}$

= $15$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $3 x - 3$

$=$ $3 \cdot (- 4) - 3$

= $- 12 - 3$

= $- 15$

Also 15 ≠ -15

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{- 18 x + 153}$

$=$ $\sqrt{- 18 \cdot 4 + 153}$

= $\sqrt{- 72 + 153}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $4$ in $3 x - 3$

$=$ $3 \cdot 4 - 3$

= $12 - 3$

= $9$

Also 9 = 9

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{42 x + 354}$ = $3 \sqrt{5 x + 41}$

Lösung einblenden

$\sqrt{42 x + 354}$	=	$3 \sqrt{5 x + 41}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$42 x + 354$	=	${(3 \sqrt{5 x + 41})}^{2}$

$42 x + 354$	=	$9 (5 x + 41)$
$42 x + 354$	=	$45 x + 369$	\| $- 354$
$42 x$	=	$45 x + 15$	\| $- 45 x$
$- 3 x$	=	$15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{42 x + 354}$

$=$ $\sqrt{42 \cdot (- 5) + 354}$

= $\sqrt{- 210 + 354}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $3 \sqrt{5 x + 41}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot (- 5) + 41}$

= $3 \sqrt{- 25 + 41}$

= $3 \sqrt{16}$

= $12$

Also 12 = 12

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x - 6}$ = $\sqrt{x - 2} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x - 6}$	=	$\sqrt{x - 2} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 6$	=	${(\sqrt{x - 2} + 2)}^{2}$

$5 x - 6$	=	$4 \sqrt{x - 2} + x + 2$	\| $- 5 x$ $+ 6$ $- 4 \sqrt{x - 2}$
$- 4 \sqrt{x - 2}$	=	$- 4 x + 8$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x - 2}$	=	$x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x - 2$	=	${(x - 2)}^{2}$

x - 2

=

x^{2} - 4 x + 4

|

- x^{2}

+ 4 x

- 4

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5+1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5-1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{5 x - 6}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 2 - 6}$

= $\sqrt{10 - 6}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{x - 2} + 2$

$=$ $\sqrt{2 - 2} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{5 x - 6}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 3 - 6}$

= $\sqrt{15 - 6}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{x - 2} + 2$

$=$ $\sqrt{3 - 2} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Wurzelgleichungen

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 0

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -4

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = 2

Probe für x = 3

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $2$

Probe für x = $3$