$2\sqrt{-x+2}$	=	$2$	|:$2$
$\sqrt{-x+2}$	=	$1$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-x+2$	=	$1^2$

$-x+2$	=	$1$	| $-2$
$-x$	=	$-1$	|:($-1$)
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite: x = $1$ in $2\sqrt{-x+2}$ $=$ $2\sqrt{-1+2}$ = $2\sqrt{1}$ = $2\cdot 1$ = $2$

Rechte Seite: x = $1$ in $2$ $=$ $2$

Also 2 = 2

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$}

$\sqrt{40x+9}+5$	=	$-2x$	| $-5$
$\sqrt{40x+9}$	=	$-2x-5$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$40x+9$	=	${\left(-2x-5\right)}^2$

$40x+9$

=

$4x^2+20x+25$

| $-4x^2$ $-20x$ $-25$

$-4x^2+20x-16$ = 0 |:4

$-x^2+5x-4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{5^2-4·\left(-1\right)·\left(-4\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{25-16}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{9}}{-2}$

x₁ = $\frac{-5+\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{-2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-5-\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{-2}$ = $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite: x = $1$ in $\sqrt{40x+9}+5$ $=$ $\sqrt{40\cdot 1+9}+5$ = $\sqrt{40+9}+5$ = $\sqrt{49}+5$ = $7+5$ = $12$

Rechte Seite: x = $1$ in $-2x$ $=$ $-2\cdot 1$ = $-2$

Also 12 ≠ -2

x = $1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite: x = $4$ in $\sqrt{40x+9}+5$ $=$ $\sqrt{40\cdot 4+9}+5$ = $\sqrt{160+9}+5$ = $\sqrt{169}+5$ = $13+5$ = $18$

Rechte Seite: x = $4$ in $-2x$ $=$ $-2\cdot 4$ = $-8$

Also 18 ≠ -8

x = $4$ ist somit keine Lösung !

L={}

$\sqrt{21x+333}$	=	$2\sqrt{5x+81}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$21x+333$	=	${\left(2\sqrt{5x+81}\right)}^2$

$21x+333$	=	$4\left(5x+81\right)$
$21x+333$	=	$20x+324$	| $-333$
$21x$	=	$20x-9$	| $-20x$
$x$	=	$-9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-9$

Linke Seite: x = $-9$ in $\sqrt{21x+333}$ $=$ $\sqrt{21\cdot \left(-9\right)+333}$ = $\sqrt{-189+333}$ = $\sqrt{144}$ = $12$

Rechte Seite: x = $-9$ in $2\sqrt{5x+81}$ $=$ $2\sqrt{5\cdot \left(-9\right)+81}$ = $2\sqrt{-45+81}$ = $2\sqrt{36}$ = $12$

Also 12 = 12

x = $-9$ ist somit eine Lösung !

L={ $-9$}

$\sqrt{6x+7}$	=	$\sqrt{2x+11}+2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6x+7$	=	${\left(\sqrt{2x+11}+2\right)}^2$

$6x+7$	=	$4\sqrt{2x+11}+2x+15$	| $-6x$ $-7$ $-4\sqrt{2x+11}$
$-4\sqrt{2x+11}$	=	$-4x+8$	|:($-4$)
$\sqrt{2x+11}$	=	$x-2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2x+11$	=	${\left(x-2\right)}^2$

$2x+11$

=

$x^2-4x+4$

| $-x^2$ $+4x$ $-4$

$-x^2+6x+7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·\left(-1\right)·7}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{36+28}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{64}}{-2}$

x₁ = $\frac{-6+\sqrt{64}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{-2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-6-\sqrt{64}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-14}{-2}$ = $7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-1$

Linke Seite: x = $-1$ in $\sqrt{6x+7}$ $=$ $\sqrt{6\cdot \left(-1\right)+7}$ = $\sqrt{-6+7}$ = $\sqrt{1}$ = $1$

Rechte Seite: x = $-1$ in $\sqrt{2x+11}+2$ $=$ $\sqrt{2\cdot \left(-1\right)+11}+2$ = $\sqrt{-2+11}+2$ = $\sqrt{9}+2$ = $3+2$ = $5$

Also 1 ≠ 5

x = $-1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $7$

Linke Seite: x = $7$ in $\sqrt{6x+7}$ $=$ $\sqrt{6\cdot 7+7}$ = $\sqrt{42+7}$ = $\sqrt{49}$ = $7$

Rechte Seite: x = $7$ in $\sqrt{2x+11}+2$ $=$ $\sqrt{2\cdot 7+11}+2$ = $\sqrt{14+11}+2$ = $\sqrt{25}+2$ = $5+2$ = $7$

Also 7 = 7

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$}