$-3\sqrt{-2x+49}$	=	$-21$	|:($-3$)
$\sqrt{-2x+49}$	=	$7$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-2x+49$	=	$7^2$

$-2x+49$	=	$49$	| $-49$
$-2x$	=	0	|:($-2$)
$x$	=	0

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite: x = 0 in $-3\sqrt{-2x+49}$ $=$ $-3\sqrt{-2\cdot \left(0\right)+49}$ = $-3\sqrt{0+49}$ = $-3\sqrt{49}$ = $-21$

Rechte Seite: x = 0 in $-21$ $=$ $-21$

Also -21 = -21

x = 0 ist somit eine Lösung !

L={0}

$\sqrt{-42x+88}$	=	$-3x+4$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-42x+88$	=	${\left(-3x+4\right)}^2$

$-42x+88$

=

$9x^2-24x+16$

| $-9x^2$ $+24x$ $-16$

$-9x^2-18x+72$ = 0 |:9

$-x^2-2x+8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·\left(-1\right)·8}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+32}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{36}}{-2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{-2}$ = $-4$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{-2}$ = $2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-4$

Linke Seite: x = $-4$ in $\sqrt{-42x+88}$ $=$ $\sqrt{-42\cdot \left(-4\right)+88}$ = $\sqrt{168+88}$ = $\sqrt{256}$ = $16$

Rechte Seite: x = $-4$ in $-3x+4$ $=$ $-3\cdot \left(-4\right)+4$ = $12+4$ = $16$

Also 16 = 16

x = $-4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite: x = $2$ in $\sqrt{-42x+88}$ $=$ $\sqrt{-42\cdot 2+88}$ = $\sqrt{-84+88}$ = $\sqrt{4}$ = $2$

Rechte Seite: x = $2$ in $-3x+4$ $=$ $-3\cdot 2+4$ = $-6+4$ = $-2$

Also 2 ≠ -2

x = $2$ ist somit keine Lösung !

L={ $-4$}

$\sqrt{15x+234}$	=	$2\sqrt{4x+60}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$15x+234$	=	${\left(2\sqrt{4x+60}\right)}^2$

$15x+234$	=	$4\left(4x+60\right)$
$15x+234$	=	$16x+240$	| $-234$
$15x$	=	$16x+6$	| $-16x$
$-x$	=	$6$	|:($-1$)
$x$	=	$-6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-6$

Linke Seite: x = $-6$ in $\sqrt{15x+234}$ $=$ $\sqrt{15\cdot \left(-6\right)+234}$ = $\sqrt{-90+234}$ = $\sqrt{144}$ = $12$

Rechte Seite: x = $-6$ in $2\sqrt{4x+60}$ $=$ $2\sqrt{4\cdot \left(-6\right)+60}$ = $2\sqrt{-24+60}$ = $2\sqrt{36}$ = $12$

Also 12 = 12

x = $-6$ ist somit eine Lösung !

L={ $-6$}

$\sqrt{9x+109}$	=	$\sqrt{5x+61}+2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9x+109$	=	${\left(\sqrt{5x+61}+2\right)}^2$

$9x+109$	=	$4\sqrt{5x+61}+5x+65$	| $-9x$ $-109$ $-4\sqrt{5x+61}$
$-4\sqrt{5x+61}$	=	$-4x-44$	|:($-4$)
$\sqrt{5x+61}$	=	$x+11$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5x+61$	=	${\left(x+11\right)}^2$

$5x+61$

=

$x^2+22x+121$

| $-x^2$ $-22x$ $-121$

$-x^2-17x-60$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+17\pm \sqrt{{\left(-17\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-60\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+17\pm \sqrt{289-240}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+17\pm \sqrt{49}}{-2}$

x₁ = $\frac{17+\sqrt{49}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>17</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{24}{-2}$ = $-12$

x₂ = $\frac{17-\sqrt{49}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>17</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{-2}$ = $-5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-12$

Linke Seite: x = $-12$ in $\sqrt{9x+109}$ $=$ $\sqrt{9\cdot \left(-12\right)+109}$ = $\sqrt{-108+109}$ = $\sqrt{1}$ = $1$

Rechte Seite: x = $-12$ in $\sqrt{5x+61}+2$ $=$ $\sqrt{5\cdot \left(-12\right)+61}+2$ = $\sqrt{-60+61}+2$ = $\sqrt{1}+2$ = $1+2$ = $3$

Also 1 ≠ 3

x = $-12$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $-5$

Linke Seite: x = $-5$ in $\sqrt{9x+109}$ $=$ $\sqrt{9\cdot \left(-5\right)+109}$ = $\sqrt{-45+109}$ = $\sqrt{64}$ = $8$

Rechte Seite: x = $-5$ in $\sqrt{5x+61}+2$ $=$ $\sqrt{5\cdot \left(-5\right)+61}+2$ = $\sqrt{-25+61}+2$ = $\sqrt{36}+2$ = $6+2$ = $8$

Also 8 = 8

x = $-5$ ist somit eine Lösung !

L={ $-5$}