$\sqrt{3x+15}$	=	$3$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3x+15$	=	$3^2$

$3x+15$	=	$9$	| $-15$
$3x$	=	$-6$	|:$3$
$x$	=	$-2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-2$

Linke Seite: x = $-2$ in $\sqrt{3x+15}$ $=$ $\sqrt{3\cdot \left(-2\right)+15}$ = $\sqrt{-6+15}$ = $\sqrt{9}$ = $3$

Rechte Seite: x = $-2$ in $3$ $=$ $3$

Also 3 = 3

x = $-2$ ist somit eine Lösung !

L={ $-2$}

$\sqrt{9x-9}-x$	=	$1$	| $+x$
$\sqrt{9x-9}$	=	$x+1$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9x-9$	=	${\left(x+1\right)}^2$

$9x-9$

=

$x^2+2x+1$

| $-x^2$ $-2x$ $-1$

$-x^2+7x-10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{7^2-4·\left(-1\right)·\left(-10\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{49-40}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{9}}{-2}$

x₁ = $\frac{-7+\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{-2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-7-\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{-2}$ = $5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite: x = $2$ in $\sqrt{9x-9}-x$ $=$ $\sqrt{9\cdot 2-9}-2$ = $\sqrt{18-9}-2$ = $\sqrt{9}-2$ = $3-2$ = $1$

Rechte Seite: x = $2$ in $1$ $=$ $1$

Also 1 = 1

x = $2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite: x = $5$ in $\sqrt{9x-9}-x$ $=$ $\sqrt{9\cdot 5-9}-5$ = $\sqrt{45-9}-5$ = $\sqrt{36}-5$ = $6-5$ = $1$

Rechte Seite: x = $5$ in $1$ $=$ $1$

Also 1 = 1

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$; $5$}

$\sqrt{11x+9}$	=	$2\sqrt{2x+6}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$11x+9$	=	${\left(2\sqrt{2x+6}\right)}^2$

$11x+9$	=	$4\left(2x+6\right)$
$11x+9$	=	$8x+24$	| $-9$
$11x$	=	$8x+15$	| $-8x$
$3x$	=	$15$	|:$3$
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite: x = $5$ in $\sqrt{11x+9}$ $=$ $\sqrt{11\cdot 5+9}$ = $\sqrt{55+9}$ = $\sqrt{64}$ = $8$

Rechte Seite: x = $5$ in $2\sqrt{2x+6}$ $=$ $2\sqrt{2\cdot 5+6}$ = $2\sqrt{10+6}$ = $2\sqrt{16}$ = $8$

Also 8 = 8

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$}

$\sqrt{8x+153}$	=	$\sqrt{4x+85}+2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8x+153$	=	${\left(\sqrt{4x+85}+2\right)}^2$

$8x+153$	=	$4\sqrt{4x+85}+4x+89$	| $-8x$ $-153$ $-4\sqrt{4x+85}$
$-4\sqrt{4x+85}$	=	$-4x-64$	|:($-4$)
$\sqrt{4x+85}$	=	$x+16$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4x+85$	=	${\left(x+16\right)}^2$

$4x+85$

=

$x^2+32x+256$

| $-x^2$ $-32x$ $-256$

$-x^2-28x-171$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+28\pm \sqrt{{\left(-28\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-171\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+28\pm \sqrt{784-684}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+28\pm \sqrt{100}}{-2}$

x₁ = $\frac{28+\sqrt{100}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>28</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>10</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{38}{-2}$ = $-19$

x₂ = $\frac{28-\sqrt{100}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>28</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>10</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{18}{-2}$ = $-9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-19$

Linke Seite: x = $-19$ in $\sqrt{8x+153}$ $=$ $\sqrt{8\cdot \left(-19\right)+153}$ = $\sqrt{-152+153}$ = $\sqrt{1}$ = $1$

Rechte Seite: x = $-19$ in $\sqrt{4x+85}+2$ $=$ $\sqrt{4\cdot \left(-19\right)+85}+2$ = $\sqrt{-76+85}+2$ = $\sqrt{9}+2$ = $3+2$ = $5$

Also 1 ≠ 5

x = $-19$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $-9$

Linke Seite: x = $-9$ in $\sqrt{8x+153}$ $=$ $\sqrt{8\cdot \left(-9\right)+153}$ = $\sqrt{-72+153}$ = $\sqrt{81}$ = $9$

Rechte Seite: x = $-9$ in $\sqrt{4x+85}+2$ $=$ $\sqrt{4\cdot \left(-9\right)+85}+2$ = $\sqrt{-36+85}+2$ = $\sqrt{49}+2$ = $7+2$ = $9$

Also 9 = 9

x = $-9$ ist somit eine Lösung !

L={ $-9$}