$3\sqrt{x+4}$	=	$9$	|:$3$
$\sqrt{x+4}$	=	$3$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x+4$	=	$3^2$

$x+4$	=	$9$	| $-4$
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite: x = $5$ in $3\sqrt{x+4}$ $=$ $3\sqrt{5+4}$ = $3\sqrt{9}$ = $9$

Rechte Seite: x = $5$ in $9$ $=$ $9$

Also 9 = 9

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$}

$\sqrt{24x+76}-4$	=	$2x$	| $+4$
$\sqrt{24x+76}$	=	$2x+4$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$24x+76$	=	${\left(2x+4\right)}^2$

$24x+76$

=

$4x^2+16x+16$

| $-4x^2$ $-16x$ $-16$

$-4x^2+8x+60$ = 0 |:4

$-x^2+2x+15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·\left(-1\right)·15}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+60}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{64}}{-2}$

x₁ = $\frac{-2+\sqrt{64}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{-2}$ = $-3$

x₂ = $\frac{-2-\sqrt{64}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{-2}$ = $5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-3$

Linke Seite: x = $-3$ in $\sqrt{24x+76}-4$ $=$ $\sqrt{24\cdot \left(-3\right)+76}-4$ = $\sqrt{-72+76}-4$ = $\sqrt{4}-4$ = $2-4$ = $-2$

Rechte Seite: x = $-3$ in $2x$ $=$ $2\cdot \left(-3\right)$ = $-6$

Also -2 ≠ -6

x = $-3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite: x = $5$ in $\sqrt{24x+76}-4$ $=$ $\sqrt{24\cdot 5+76}-4$ = $\sqrt{120+76}-4$ = $\sqrt{196}-4$ = $14-4$ = $10$

Rechte Seite: x = $5$ in $2x$ $=$ $2\cdot 5$ = $10$

Also 10 = 10

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$}

$\sqrt{39x-81}$	=	$3\sqrt{4x-8}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$39x-81$	=	${\left(3\sqrt{4x-8}\right)}^2$

$39x-81$	=	$9\left(4x-8\right)$
$39x-81$	=	$36x-72$	| $+81$
$39x$	=	$36x+9$	| $-36x$
$3x$	=	$9$	|:$3$
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite: x = $3$ in $\sqrt{39x-81}$ $=$ $\sqrt{39\cdot 3-81}$ = $\sqrt{117-81}$ = $\sqrt{36}$ = $6$

Rechte Seite: x = $3$ in $3\sqrt{4x-8}$ $=$ $3\sqrt{4\cdot 3-8}$ = $3\sqrt{12-8}$ = $3\sqrt{4}$ = $6$

Also 6 = 6

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$}

$\sqrt{9x+52}$	=	$\sqrt{5x+24}+2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9x+52$	=	${\left(\sqrt{5x+24}+2\right)}^2$

$9x+52$	=	$4\sqrt{5x+24}+5x+28$	| $-9x$ $-52$ $-4\sqrt{5x+24}$
$-4\sqrt{5x+24}$	=	$-4x-24$	|:($-4$)
$\sqrt{5x+24}$	=	$x+6$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5x+24$	=	${\left(x+6\right)}^2$

$5x+24$

=

$x^2+12x+36$

| $-x^2$ $-12x$ $-36$

$-x^2-7x-12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{{\left(-7\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-12\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{49-48}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{1}}{-2}$

x₁ = $\frac{7+\sqrt{1}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{-2}$ = $-4$

x₂ = $\frac{7-\sqrt{1}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{-2}$ = $-3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-4$

Linke Seite: x = $-4$ in $\sqrt{9x+52}$ $=$ $\sqrt{9\cdot \left(-4\right)+52}$ = $\sqrt{-36+52}$ = $\sqrt{16}$ = $4$

Rechte Seite: x = $-4$ in $\sqrt{5x+24}+2$ $=$ $\sqrt{5\cdot \left(-4\right)+24}+2$ = $\sqrt{-20+24}+2$ = $\sqrt{4}+2$ = $2+2$ = $4$

Also 4 = 4

x = $-4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $-3$

Linke Seite: x = $-3$ in $\sqrt{9x+52}$ $=$ $\sqrt{9\cdot \left(-3\right)+52}$ = $\sqrt{-27+52}$ = $\sqrt{25}$ = $5$

Rechte Seite: x = $-3$ in $\sqrt{5x+24}+2$ $=$ $\sqrt{5\cdot \left(-3\right)+24}+2$ = $\sqrt{-15+24}+2$ = $\sqrt{9}+2$ = $3+2$ = $5$

Also 5 = 5

x = $-3$ ist somit eine Lösung !

L={ $-4$; $-3$}