$-2\sqrt{\left(-x\right)}$	=	$-2$	|:($-2$)
$\sqrt{\left(-x\right)}$	=	$1$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-x$	=	$1^2$

$-x$	=	$1$	|:($-1$)
$x$	=	$-1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-1$

Linke Seite: x = $-1$ in $-2\sqrt{\left(-x\right)}$ $=$ $-2\sqrt{\left(-\left(-1\right)\right)}$ = $-2\sqrt{1}$ = $-2$

Rechte Seite: x = $-1$ in $-2$ $=$ $-2$

Also -2 = -2

x = $-1$ ist somit eine Lösung !

L={ $-1$}

$\sqrt{-16x+16}$	=	$2x-2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-16x+16$	=	${\left(2x-2\right)}^2$

$-16x+16$

=

$4x^2-8x+4$

| $-4x^2$ $+8x$ $-4$

$-4x^2-8x+12$ = 0 |:4

$-x^2-2x+3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·\left(-1\right)·3}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+12}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{16}}{-2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{-2}$ = $-3$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{-2}$ = $1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-3$

Linke Seite: x = $-3$ in $\sqrt{-16x+16}$ $=$ $\sqrt{-16\cdot \left(-3\right)+16}$ = $\sqrt{48+16}$ = $\sqrt{64}$ = $8$

Rechte Seite: x = $-3$ in $2x-2$ $=$ $2\cdot \left(-3\right)-2$ = $-6-2$ = $-8$

Also 8 ≠ -8

x = $-3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite: x = $1$ in $\sqrt{-16x+16}$ $=$ $\sqrt{-16\cdot 1+16}$ = $\sqrt{-16+16}$ = $\sqrt{0}$ = 0

Rechte Seite: x = $1$ in $2x-2$ $=$ $2\cdot 1-2$ = $2-2$ = 0

Also 0 = 0

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$}

$\sqrt{24x+105}$	=	$3\sqrt{3x+10}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$24x+105$	=	${\left(3\sqrt{3x+10}\right)}^2$

$24x+105$	=	$9\left(3x+10\right)$
$24x+105$	=	$27x+90$	| $-105$
$24x$	=	$27x-15$	| $-27x$
$-3x$	=	$-15$	|:($-3$)
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite: x = $5$ in $\sqrt{24x+105}$ $=$ $\sqrt{24\cdot 5+105}$ = $\sqrt{120+105}$ = $\sqrt{225}$ = $15$

Rechte Seite: x = $5$ in $3\sqrt{3x+10}$ $=$ $3\sqrt{3\cdot 5+10}$ = $3\sqrt{15+10}$ = $3\sqrt{25}$ = $15$

Also 15 = 15

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$}

$\sqrt{7x+60}$	=	$\sqrt{5x+41}+1$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7x+60$	=	${\left(\sqrt{5x+41}+1\right)}^2$

$7x+60$	=	$2\sqrt{5x+41}+5x+42$	| $-7x$ $-60$ $-2\sqrt{5x+41}$
$-2\sqrt{5x+41}$	=	$-2x-18$	|:($-2$)
$\sqrt{5x+41}$	=	$x+9$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5x+41$	=	${\left(x+9\right)}^2$

$5x+41$

=

$x^2+18x+81$

| $-x^2$ $-18x$ $-81$

$-x^2-13x-40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+13\pm \sqrt{{\left(-13\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-40\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+13\pm \sqrt{169-160}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+13\pm \sqrt{9}}{-2}$

x₁ = $\frac{13+\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>13</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{16}{-2}$ = $-8$

x₂ = $\frac{13-\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>13</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{-2}$ = $-5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-8$

Linke Seite: x = $-8$ in $\sqrt{7x+60}$ $=$ $\sqrt{7\cdot \left(-8\right)+60}$ = $\sqrt{-56+60}$ = $\sqrt{4}$ = $2$

Rechte Seite: x = $-8$ in $\sqrt{5x+41}+1$ $=$ $\sqrt{5\cdot \left(-8\right)+41}+1$ = $\sqrt{-40+41}+1$ = $\sqrt{1}+1$ = $1+1$ = $2$

Also 2 = 2

x = $-8$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $-5$

Linke Seite: x = $-5$ in $\sqrt{7x+60}$ $=$ $\sqrt{7\cdot \left(-5\right)+60}$ = $\sqrt{-35+60}$ = $\sqrt{25}$ = $5$

Rechte Seite: x = $-5$ in $\sqrt{5x+41}+1$ $=$ $\sqrt{5\cdot \left(-5\right)+41}+1$ = $\sqrt{-25+41}+1$ = $\sqrt{16}+1$ = $4+1$ = $5$

Also 5 = 5

x = $-5$ ist somit eine Lösung !

L={ $-8$; $-5$}