$-\mathrm{1,7321}\sqrt{x}$

=

$3$

|:($-\mathrm{1,7321}$)

$\sqrt{x}$ = $-\frac{3}{\mathrm{1,7321}}$

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

$\sqrt{-16x-32}$	=	$-2x-2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-16x-32$	=	${\left(-2x-2\right)}^2$

$-16x-32$

=

$4x^2+8x+4$

| $-4x^2$ $-8x$ $-4$

$-4x^2-24x-36$ = 0 |:4

$-x^2-6x-9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{{\left(-6\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-9\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{36-36}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{0}}{-2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{-2}$ = $-3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-3$

Linke Seite: x = $-3$ in $\sqrt{-16x-32}$ $=$ $\sqrt{-16\cdot \left(-3\right)-32}$ = $\sqrt{48-32}$ = $\sqrt{16}$ = $4$

Rechte Seite: x = $-3$ in $-2x-2$ $=$ $-2\cdot \left(-3\right)-2$ = $6-2$ = $4$

Also 4 = 4

x = $-3$ ist somit eine Lösung !

L={ $-3$}

$\sqrt{21x+364}$	=	$2\sqrt{5x+89}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$21x+364$	=	${\left(2\sqrt{5x+89}\right)}^2$

$21x+364$	=	$4\left(5x+89\right)$
$21x+364$	=	$20x+356$	| $-364$
$21x$	=	$20x-8$	| $-20x$
$x$	=	$-8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-8$

Linke Seite: x = $-8$ in $\sqrt{21x+364}$ $=$ $\sqrt{21\cdot \left(-8\right)+364}$ = $\sqrt{-168+364}$ = $\sqrt{196}$ = $14$

Rechte Seite: x = $-8$ in $2\sqrt{5x+89}$ $=$ $2\sqrt{5\cdot \left(-8\right)+89}$ = $2\sqrt{-40+89}$ = $2\sqrt{49}$ = $14$

Also 14 = 14

x = $-8$ ist somit eine Lösung !

L={ $-8$}

$\sqrt{6x+118}$	=	$\sqrt{4x+85}+1$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6x+118$	=	${\left(\sqrt{4x+85}+1\right)}^2$

$6x+118$	=	$2\sqrt{4x+85}+4x+86$	| $-6x$ $-118$ $-2\sqrt{4x+85}$
$-2\sqrt{4x+85}$	=	$-2x-32$	|:($-2$)
$\sqrt{4x+85}$	=	$x+16$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4x+85$	=	${\left(x+16\right)}^2$

$4x+85$

=

$x^2+32x+256$

| $-x^2$ $-32x$ $-256$

$-x^2-28x-171$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+28\pm \sqrt{{\left(-28\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-171\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+28\pm \sqrt{784-684}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+28\pm \sqrt{100}}{-2}$

x₁ = $\frac{28+\sqrt{100}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>28</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>10</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{38}{-2}$ = $-19$

x₂ = $\frac{28-\sqrt{100}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>28</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>10</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{18}{-2}$ = $-9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-19$

Linke Seite: x = $-19$ in $\sqrt{6x+118}$ $=$ $\sqrt{6\cdot \left(-19\right)+118}$ = $\sqrt{-114+118}$ = $\sqrt{4}$ = $2$

Rechte Seite: x = $-19$ in $\sqrt{4x+85}+1$ $=$ $\sqrt{4\cdot \left(-19\right)+85}+1$ = $\sqrt{-76+85}+1$ = $\sqrt{9}+1$ = $3+1$ = $4$

Also 2 ≠ 4

x = $-19$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $-9$

Linke Seite: x = $-9$ in $\sqrt{6x+118}$ $=$ $\sqrt{6\cdot \left(-9\right)+118}$ = $\sqrt{-54+118}$ = $\sqrt{64}$ = $8$

Rechte Seite: x = $-9$ in $\sqrt{4x+85}+1$ $=$ $\sqrt{4\cdot \left(-9\right)+85}+1$ = $\sqrt{-36+85}+1$ = $\sqrt{49}+1$ = $7+1$ = $8$

Also 8 = 8

x = $-9$ ist somit eine Lösung !

L={ $-9$}