$-\sqrt{3x+1}$	=	$-4$	|:($-1$)
$\sqrt{3x+1}$	=	$4$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3x+1$	=	$4^2$

$3x+1$	=	$16$	| $-1$
$3x$	=	$15$	|:$3$
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite: x = $5$ in $-\sqrt{3x+1}$ $=$ $-\sqrt{3\cdot 5+1}$ = $-\sqrt{15+1}$ = $-\sqrt{16}$ = $-4$

Rechte Seite: x = $5$ in $-4$ $=$ $-4$

Also -4 = -4

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$}

$\sqrt{-24x+1}$	=	$-2x+3$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-24x+1$	=	${\left(-2x+3\right)}^2$

$-24x+1$

=

$4x^2-12x+9$

| $-4x^2$ $+12x$ $-9$

$-4x^2-12x-8$ = 0 |:4

$-x^2-3x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-2\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{9-8}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{1}}{-2}$

x₁ = $\frac{3+\sqrt{1}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{-2}$ = $-2$

x₂ = $\frac{3-\sqrt{1}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{-2}$ = $-1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-2$

Linke Seite: x = $-2$ in $\sqrt{-24x+1}$ $=$ $\sqrt{-24\cdot \left(-2\right)+1}$ = $\sqrt{48+1}$ = $\sqrt{49}$ = $7$

Rechte Seite: x = $-2$ in $-2x+3$ $=$ $-2\cdot \left(-2\right)+3$ = $4+3$ = $7$

Also 7 = 7

x = $-2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $-1$

Linke Seite: x = $-1$ in $\sqrt{-24x+1}$ $=$ $\sqrt{-24\cdot \left(-1\right)+1}$ = $\sqrt{24+1}$ = $\sqrt{25}$ = $5$

Rechte Seite: x = $-1$ in $-2x+3$ $=$ $-2\cdot \left(-1\right)+3$ = $2+3$ = $5$

Also 5 = 5

x = $-1$ ist somit eine Lösung !

L={ $-2$; $-1$}

$\sqrt{12x+24}$	=	$3\sqrt{x+2}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$12x+24$	=	${\left(3\sqrt{x+2}\right)}^2$

$12x+24$	=	$9\left(x+2\right)$
$12x+24$	=	$9x+18$	| $-24$
$12x$	=	$9x-6$	| $-9x$
$3x$	=	$-6$	|:$3$
$x$	=	$-2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-2$

Linke Seite: x = $-2$ in $\sqrt{12x+24}$ $=$ $\sqrt{12\cdot \left(-2\right)+24}$ = $\sqrt{-24+24}$ = $\sqrt{0}$ = 0

Rechte Seite: x = $-2$ in $3\sqrt{x+2}$ $=$ $3\sqrt{-2+2}$ = $3\sqrt{0}$ = 0

Also 0 = 0

x = $-2$ ist somit eine Lösung !

L={ $-2$}

$\sqrt{6x-8}$	=	$\sqrt{2x-4}+2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6x-8$	=	${\left(\sqrt{2x-4}+2\right)}^2$

$6x-8$	=	$4\sqrt{2x-4}+2x$	| $-6x$ $+8$ $-4\sqrt{2x-4}$
$-4\sqrt{2x-4}$	=	$-4x+8$	|:($-4$)
$\sqrt{2x-4}$	=	$x-2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2x-4$	=	${\left(x-2\right)}^2$

$2x-4$

=

$x^2-4x+4$

| $-x^2$ $+4x$ $-4$

$-x^2+6x-8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·\left(-1\right)·\left(-8\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{36-32}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{4}}{-2}$

x₁ = $\frac{-6+\sqrt{4}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{-2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-6-\sqrt{4}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{-2}$ = $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite: x = $2$ in $\sqrt{6x-8}$ $=$ $\sqrt{6\cdot 2-8}$ = $\sqrt{12-8}$ = $\sqrt{4}$ = $2$

Rechte Seite: x = $2$ in $\sqrt{2x-4}+2$ $=$ $\sqrt{2\cdot 2-4}+2$ = $\sqrt{4-4}+2$ = $\sqrt{0}+2$ = $0+2$ = $2$

Also 2 = 2

x = $2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite: x = $4$ in $\sqrt{6x-8}$ $=$ $\sqrt{6\cdot 4-8}$ = $\sqrt{24-8}$ = $\sqrt{16}$ = $4$

Rechte Seite: x = $4$ in $\sqrt{2x-4}+2$ $=$ $\sqrt{2\cdot 4-4}+2$ = $\sqrt{8-4}+2$ = $\sqrt{4}+2$ = $2+2$ = $4$

Also 4 = 4

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$; $4$}