D=R\{ $2$}

Wir multiplizieren den Nenner $x-2$ weg!

$-\frac{2x}{x-2}$	=	$-2x$	|⋅( $x-2$)
$-\frac{2x}{x-2}·\left(x-2\right)$	=	$-2x·\left(x-2\right)$
$-2x$	=	$-2x\left(x-2\right)$
$-2x$	=	$-2x^2+4x$

$-2x$	=	$-2x^2+4x$	| $-\left(-2x^2+4x\right)$
$2x^2-2x-4x$	=	0
$2x^2-6x$	=	0
$2x\left(x-3\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $3$}

D=R\{ $-4$}

Wir multiplizieren den Nenner $x+4$ weg!

$\frac{-3x+5}{x+4}$	=	$4x$	|⋅( $x+4$)
$\frac{-3x+5}{x+4}·\left(x+4\right)$	=	$4x·\left(x+4\right)$
$-3x+5$	=	$4x\left(x+4\right)$
$-3x+5$	=	$4x^2+16x$

$-3x+5$

=

$4x^2+16x$

| $-4x^2$ $-16x$

$-4x^2-19x+5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+19\pm \sqrt{{\left(-19\right)}^2-4·\left(-4\right)·5}}{2\cdot \left(-4\right)}$

x_1,2 = $\frac{+19\pm \sqrt{361+80}}{-8}$

x_1,2 = $\frac{+19\pm \sqrt{441}}{-8}$

x₁ = $\frac{19+\sqrt{441}}{-8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>19</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>21</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{40}{-8}$ = $-5$

x₂ = $\frac{19-\sqrt{441}}{-8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>19</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>21</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{-8}$ = $\mathrm{0,25}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-5$; $\mathrm{0,25}$}

D=R\{ $-3$}

0

=

$\frac{16x}{x+3}-3x-1$

Wir multiplizieren den Nenner $x+3$ weg!

0	=	$\frac{16x}{x+3}-3x-1$	|⋅( $x+3$)
0	=	$\frac{16x}{x+3}·\left(x+3\right)-3x·\left(x+3\right)-1·\left(x+3\right)$
0	=	$16x-3x\left(x+3\right)-x-3$
0	=	$-3x^2+6x-3$

0

=

$-3x^2+6x-3$

| $+3x^2$ $-6x$ $+3$

$3x^2-6x+3$ = 0 |:3

$x^2-2x+1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·1}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4-4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$}

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^2$ weg!

$\frac{6}{x}$	=	$-1+\frac{40}{x^2}$	|⋅( $x^2$)
$\frac{6}{x}·x^2$	=	$-1·x^2+\frac{40}{x^2}·x^2$
$6x$	=	$-x^2+40$

$6x$

=

$-x^2+40$

| $+x^2$ $-40$

$x^2+6x-40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·1·\left(-40\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{36+160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{-6+\sqrt{196}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>14</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{-6-\sqrt{196}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>14</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-20}{2}$ = $-10$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-10$; $4$}

D=R\{ $1$}

$-\frac{\mathrm{12,75}}{x-1}$

=

$-\frac{x}{4\left(x-1\right)}-2x$

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4\left(x-1\right)$ weg!

$-\frac{\mathrm{12,75}}{x-1}$	=	$-\frac{x}{4\left(x-1\right)}-2x$	|⋅( $4\left(x-1\right)$)
$-\frac{\mathrm{12,75}}{x-1}·\left(4\left(x-1\right)\right)$	=	$-\frac{x}{4\left(x-1\right)}·\left(4\left(x-1\right)\right)-2x·\left(4\left(x-1\right)\right)$
$-51$	=	$-x-8x\left(x-1\right)$
$-51$	=	$-8x^2+7x$

$-51$

=

$-8x^2+7x$

| $+8x^2$ $-7x$

$8x^2-7x-51$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{{\left(-7\right)}^2-4·8·\left(-51\right)}}{2\cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{49+1632}}{16}$

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{1681}}{16}$

x₁ = $\frac{7+\sqrt{1681}}{16}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>41</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>16</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{48}{16}$ = $3$

x₂ = $\frac{7-\sqrt{1681}}{16}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>41</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>16</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-34}{16}$ = $-\mathrm{2,125}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-\mathrm{2,125}$; $3$}

D=R\{0}

$x+a$ = $\frac{15}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x+a$	=	$\frac{15}{x}$	|⋅x
$x·x+a·x$	=	$\frac{15}{x}·x$
$x^2+ax$	=	$15$
$x^2+ax-15$	=	0
$x^2+ax-15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^2+ax-15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $3·\left(-5\right)$ = -15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $-\left(3-5\right)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^2+2x-15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-15\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{-2+\sqrt{64}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{-2-\sqrt{64}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

L={ $-5$; $3$}

D=R\{ $-2$; $2$}

$\frac{x}{x+2}-\frac{1}{x-2}$

=

$\frac{38}{\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}$

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $\left(x+2\right)·\left(x-2\right)$ weg!

$\frac{x}{x+2}-\frac{1}{x-2}$	=	$\frac{38}{\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}$	|⋅( $\left(x+2\right)·\left(x-2\right)$)
$\frac{x}{x+2}·\left(x+2\right)·\left(x-2\right)-\frac{1}{x-2}·\left(x+2\right)·\left(x-2\right)$	=	$\frac{38}{\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}·\left(x+2\right)·\left(x-2\right)$
$x\left(x-2\right)-x-2$	=	$38\frac{x+2}{x+2}$
$x\left(x-2\right)-x-2$	=	$38$
$x^2-2x-x-2$	=	$38$
$x^2-3x-2$	=	$38$

$x^2-3x-2$

=

$38$

| $-38$

$x^2-3x-40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·1·\left(-40\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{9+160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{3+\sqrt{169}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>13</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{3-\sqrt{169}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>13</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-5$; $8$}