Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{24}{x - 2}$ = $- 3 x$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$- \frac{24}{x - 2}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$- \frac{24}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$- 3 x \cdot (x - 2)$
$- 24$	=	$- 3 x (x - 2)$
$- 24$	=	$- 3 x^{2} + 6 x$

- 24

=

- 3 x^{2} + 6 x

|

+ 3 x^{2}

- 6 x

3 x^{2} - 6 x - 24

= 0 |:3

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 - \frac{1}{x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$7 - \frac{1}{x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $x$ )
$7 \cdot x - \frac{1}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 5 \cdot x$
$7 x - 1$	=	$x \cdot x + 5 x$

7 x - 1

=

x^{2} + 5 x

|

- x^{2}

- 5 x

$- x^{2} + 2 x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 15 x}{x + 4}$ = $- x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$- \frac{15 x}{x + 4}$	=	$- x + 4$	\|⋅( $x + 4$ )
$- \frac{15 x}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$- x \cdot (x + 4) + 4 \cdot (x + 4)$
$- 15 x$	=	$- x (x + 4) + 4 x + 16$
$- 15 x$	=	$- x^{2} + 16$

- 15 x

=

- x^{2} + 16

|

+ x^{2}

- 16

$x^{2} - 15 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{15+17}{2}$ = $\frac{32}{2}$ = $16$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{15-17}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $16$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $- \frac{16}{x} - \frac{63}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$- \frac{16}{x} - \frac{63}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$- \frac{16}{x} \cdot x^{2} - \frac{63}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$- 16 x - 63$

x^{2}

=

- 16 x - 63

|

+ 16 x

+ 63

$x^{2} + 16 x + 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 16+2}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 16-2}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 7$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 9} + \frac{332}{3 x + 9}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$\frac{x}{3 x + 9} + \frac{332}{3 x + 9}$	=	$4 x$
$\frac{x}{3 (x + 3)} + \frac{332}{3 (x + 3)}$	=	$4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 3)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 3)} + \frac{332}{3 (x + 3)}$	=	$4 x$	\|⋅( $3 (x + 3)$ )
$\frac{x}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3)) + \frac{332}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3))$	=	$4 x \cdot (3 (x + 3))$
$x + 332$	=	$12 x (x + 3)$
$x + 332$	=	$12 x^{2} + 36 x$

x + 332

=

12 x^{2} + 36 x

|

- 12 x^{2}

- 36 x

$- 12 x^{2} - 35 x + 332$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{{(- 35)}^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot 332}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{1 225 + 15 936}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{17 161}}{- 24}$

x₁ = $\frac{35 + \sqrt{17 161}}{- 24}$ = $\frac{35+131}{- 24}$ = $\frac{166}{- 24}$ = $- \frac{83}{12}$ ≈ -6.92

x₂ = $\frac{35 - \sqrt{17 161}}{- 24}$ = $\frac{35-131}{- 24}$ = $\frac{- 96}{- 24}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{83}{12}$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{6}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{6}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{6}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{6}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 6$	=	$- a x$
$x^{2} + 6 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 3$ = 6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 3)$ = $- 5$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -5 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $3$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 9} - \frac{6}{x - 9}$ = $\frac{100}{x^{2} - 81}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 9$ ; $9$ }

\frac{x}{x + 9} - \frac{6}{x - 9}

=

\frac{100}{(x + 9) \cdot (x - 9)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 9) \cdot (x - 9)$ weg!

$\frac{x}{x + 9} - \frac{6}{x - 9}$	=	$\frac{100}{(x + 9) \cdot (x - 9)}$	\|⋅( $(x + 9) \cdot (x - 9)$ )
$\frac{x}{x + 9} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9) - \frac{6}{x - 9} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9)$	=	$\frac{100}{(x + 9) \cdot (x - 9)} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9)$
$x (x - 9) - 6 x - 54$	=	$100 \frac{x + 9}{x + 9}$
$x (x - 9) - 6 x - 54$	=	$100$
$x^{2} - 9 x - 6 x - 54$	=	$100$
$x^{2} - 15 x - 54$	=	$100$

x^{2} - 15 x - 54

=

100

|

- 100

$x^{2} - 15 x - 154$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 154)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 616}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{841}}{2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{841}}{2}$ = $\frac{15+29}{2}$ = $\frac{44}{2}$ = $22$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{841}}{2}$ = $\frac{15-29}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $22$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter

42 Bruchgleichungen