Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x - 2}$ = $- 2 x$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{8 x}{x - 2}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{8 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$- 2 x \cdot (x - 2)$
$8 x$	=	$- 2 x (x - 2)$
$8 x$	=	$- 2 x^{2} + 4 x$

$8 x$	=	$- 2 x^{2} + 4 x$	\| $- (- 2 x^{2} + 4 x)$
$2 x^{2} + 8 x - 4 x$	=	0
$2 x^{2} + 4 x$	=	0
$2 x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 3$ = $- 2 + \frac{6}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 3$	=	$- 2 + \frac{6}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 3 \cdot x$	=	$- 2 \cdot x + \frac{6}{x} \cdot x$
$x \cdot x + 3 x$	=	$- 2 x + 6$
$x^{2} + 3 x$	=	$- 2 x + 6$

x^{2} + 3 x

=

- 2 x + 6

|

+ 2 x

- 6

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2$ = $- \frac{- 22 x}{x + 3} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

2

=

\frac{22 x}{x + 3} - 3 x

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$2$	=	$\frac{22 x}{x + 3} - 3 x$	\|⋅( $x + 3$ )
$2 \cdot (x + 3)$	=	$\frac{22 x}{x + 3} \cdot (x + 3) - 3 x \cdot (x + 3)$
$2 (x + 3)$	=	$22 x - 3 x (x + 3)$
$2 x + 6$	=	$22 x - 3 x (x + 3)$
$2 x + 6$	=	$- 3 x^{2} + 13 x$

2 x + 6

=

- 3 x^{2} + 13 x

|

+ 3 x^{2}

- 13 x

$3 x^{2} - 11 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{6}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{11+7}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{11-7}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{72}{x^{4}}$ = $- \frac{17}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{72}{x^{4}}$	=	$- \frac{17}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{72}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{17}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 72$	=	$- 17 x$

x^{2} + 72

=

- 17 x

|

+ 17 x

$x^{2} + 17 x + 72$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 72}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 288}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 17+1}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 17-1}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 8$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x$ = $- \frac{x}{4 x + 8} - \frac{- 73}{x + 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$3 x$	=	$- \frac{x}{4 x + 8} + \frac{73}{x + 2}$
$3 x$	=	$- \frac{x}{4 (x + 2)} + \frac{73}{x + 2}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 2)$ weg!

$3 x$	=	$- \frac{x}{4 (x + 2)} + \frac{73}{x + 2}$	\|⋅( $4 (x + 2)$ )
$3 x \cdot (4 (x + 2))$	=	$- \frac{x}{4 (x + 2)} \cdot (4 (x + 2)) + \frac{73}{x + 2} \cdot (4 (x + 2))$
$12 x (x + 2)$	=	$- x + 292$
$12 x \cdot x + 12 x \cdot 2$	=	$- x + 292$
$12 x \cdot x + 24 x$	=	$- x + 292$
$12 x^{2} + 24 x$	=	$- x + 292$

12 x^{2} + 24 x

=

- x + 292

|

+ x

- 292

$12 x^{2} + 25 x - 292$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 292)}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 14 016}}{24}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{14 641}}{24}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{14 641}}{24}$ = $\frac{- 25+121}{24}$ = $\frac{96}{24}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{14 641}}{24}$ = $\frac{- 25-121}{24}$ = $\frac{- 146}{24}$ = $- \frac{73}{12}$ ≈ -6.08

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{73}{12}$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{20}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{20}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{20}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{20}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 20 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 20 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 10)$ = -20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 10)$ = $8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $2$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 5} - \frac{5}{x + 5}$ = $\frac{34}{x^{2} - 25}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ ; $5$ }

\frac{x}{x - 5} - \frac{5}{x + 5}

=

\frac{34}{(x + 5) \cdot (x - 5)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 5) \cdot (x - 5)$ weg!

$\frac{x}{x - 5} - \frac{5}{x + 5}$	=	$\frac{34}{(x + 5) \cdot (x - 5)}$	\|⋅( $(x + 5) \cdot (x - 5)$ )
$\frac{x}{x - 5} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5) - \frac{5}{x + 5} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5)$	=	$\frac{34}{(x + 5) \cdot (x - 5)} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5)$
$x (x + 5) - 5 x + 25$	=	$34 \frac{x + 5}{x + 5}$
$x (x + 5) - 5 x + 25$	=	$34$
$x^{2} + 5 x - 5 x + 25$	=	$34$
$x^{2} + 25$	=	$34$

$x^{2} + 25$	=	$34$	\| $- 25$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter

42 Bruchgleichungen