D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$-\frac{18}{x}$	=	$-2x$	|⋅( $x$)
$-\frac{18}{x}·x$	=	$-2x·x$
$-18$	=	$-2x·x$
$-18$	=	$-2x^2$

$-18$	=	$-2x^2$	| $+18$ $+2x^2$
$2x^2$	=	$18$	|:$2$
$x^2$	=	$9$	|
x1	=	$-\sqrt{9}$	= $-3$
x2	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-3$; $3$}

D=R\{ $-2$}

Wir multiplizieren den Nenner $x+2$ weg!

$3x$	=	$\frac{-6x-9}{x+2}$	|⋅( $x+2$)
$3x·\left(x+2\right)$	=	$\frac{-6x-9}{x+2}·\left(x+2\right)$
$3x\left(x+2\right)$	=	$-6x-9$
$3x·x+3x·2$	=	$-6x-9$
$3x·x+6x$	=	$-6x-9$
$3x^2+6x$	=	$-6x-9$

$3x^2+6x$

=

$-6x-9$

| $+6x$ $+9$

$3x^2+12x+9$ = 0 |:3

$x^2+4x+3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·3}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{16-12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{-4+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-4-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-3$; $-1$}

D=R\{ $-4$}

$-\frac{2x}{x+4}+3x+4$

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x+4$ weg!

$-\frac{2x}{x+4}+3x+4$	=	0	|⋅( $x+4$)
$-\frac{2x}{x+4}·\left(x+4\right)+3x·\left(x+4\right)+4·\left(x+4\right)$	=	0
$-2x+3x\left(x+4\right)+4x+16$	=	0
$-2x+\left(3x^2+12x\right)+4x+16$	=	0
$3x^2+14x+16$	=	0

$3x^2+14x+16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-14\pm \sqrt{{14}^2-4·3·16}}{2\cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{-14\pm \sqrt{196-192}}{6}$

x_1,2 = $\frac{-14\pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{-14+\sqrt{4}}{6}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>14</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-12}{6}$ = $-2$

x₂ = $\frac{-14-\sqrt{4}}{6}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>14</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-16}{6}$ = $-\frac{8}{3}$ ≈ -2.67

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-\frac{8}{3}$; $-2$}

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^2$ weg!

$1$	=	$-\frac{10}{x}-\frac{21}{x^2}$	|⋅( $x^2$)
$1·x^2$	=	$-\frac{10}{x}·x^2-\frac{21}{x^2}·x^2$
$x^2$	=	$-10x-21$

$x^2$

=

$-10x-21$

| $+10x$ $+21$

$x^2+10x+21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{{10}^2-4·1·21}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{100-84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{-10+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>10</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

x₂ = $\frac{-10-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>10</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-14}{2}$ = $-7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-7$; $-3$}

D=R\{ $1$}

$\frac{\mathrm{4,5}}{x-1}$

=

$-\frac{x}{2\left(x-1\right)}+x$

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2\left(x-1\right)$ weg!

$\frac{\mathrm{4,5}}{x-1}$	=	$-\frac{x}{2\left(x-1\right)}+x$	|⋅( $2\left(x-1\right)$)
$\frac{\mathrm{4,5}}{x-1}·\left(2\left(x-1\right)\right)$	=	$-\frac{x}{2\left(x-1\right)}·\left(2\left(x-1\right)\right)+x·\left(2\left(x-1\right)\right)$
$9$	=	$-x+2x\left(x-1\right)$
$9$	=	$2x^2-3x$

$9$

=

$2x^2-3x$

| $-2x^2$ $+3x$

$-2x^2+3x+9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4·\left(-2\right)·9}}{2\cdot \left(-2\right)}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{9+72}}{-4}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{81}}{-4}$

x₁ = $\frac{-3+\sqrt{81}}{-4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{-4}$ = $-\mathrm{1,5}$

x₂ = $\frac{-3-\sqrt{81}}{-4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-12}{-4}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-\mathrm{1,5}$; $3$}

D=R\{0}

$\frac{a}{x}-3$ = $-x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x}-3$	=	$-x$	|⋅x
$\frac{a}{x}·x-3·x$	=	$-x·x$
$a-3x$	=	$-x^2$
$a-3x+x^2$	=	0
$x^2-3x+a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^2-3x+a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 1 würde es funktionieren, denn $-\left(2+1\right)$ = -3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2·1$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^2-3x+2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·1·2}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{9-8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$; $2$}

D=R\{ $-3$; $3$}

$\frac{x}{x-3}+\frac{5}{x+3}$

=

$\frac{50}{\left(x+3\right)·\left(x-3\right)}$

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $\left(x+3\right)·\left(x-3\right)$ weg!

$\frac{x}{x-3}+\frac{5}{x+3}$	=	$\frac{50}{\left(x+3\right)·\left(x-3\right)}$	|⋅( $\left(x+3\right)·\left(x-3\right)$)
$\frac{x}{x-3}·\left(x+3\right)·\left(x-3\right)+\frac{5}{x+3}·\left(x+3\right)·\left(x-3\right)$	=	$\frac{50}{\left(x+3\right)·\left(x-3\right)}·\left(x+3\right)·\left(x-3\right)$
$x\left(x+3\right)+5x-15$	=	$50\frac{x+3}{x+3}$
$x\left(x+3\right)+5x-15$	=	$50$
$x^2+3x+5x-15$	=	$50$
$x^2+8x-15$	=	$50$

$x^2+8x-15$

=

$50$

| $-50$

$x^2+8x-65$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4·1·\left(-65\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{64+260}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{324}}{2}$

x₁ = $\frac{-8+\sqrt{324}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>18</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{-8-\sqrt{324}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>18</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-26}{2}$ = $-13$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-13$; $5$}