Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{60}{x + 1}$ = $- 3 x$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$- \frac{60}{x + 1}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$- \frac{60}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- 3 x \cdot (x + 1)$
$- 60$	=	$- 3 x (x + 1)$
$- 60$	=	$- 3 x^{2} - 3 x$

- 60

=

- 3 x^{2} - 3 x

|

+ 3 x^{2}

+ 3 x

3 x^{2} + 3 x - 60

= 0 |:3

$x^{2} + x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 - \frac{4}{x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 3 - \frac{4}{x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $x$ )
$- 3 \cdot x - \frac{4}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 2 \cdot x$
$- 3 x - 4$	=	$x \cdot x + 2 x$

- 3 x - 4

=

x^{2} + 2 x

|

- x^{2}

- 2 x

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5+3}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5-3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{5}{x + 3} - 3 x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

0

=

- \frac{5}{x + 3} - 3 x - 1

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

=	$- \frac{5}{x + 3} - 3 x - 1$	\|⋅( $x + 3$ )
=	$- \frac{5}{x + 3} \cdot (x + 3) - 3 x \cdot (x + 3) - 1 \cdot (x + 3)$
=	$- 5 - 3 x (x + 3) - x - 3$
=	$- 3 x^{2} - 10 x - 8$

0

=

- 3 x^{2} - 10 x - 8

|

+ 3 x^{2}

+ 10 x

+ 8

$3 x^{2} + 10 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 10+2}{6}$ = $\frac{- 8}{6}$ = $- \frac{4}{3}$ ≈ -1.33

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 10-2}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{4}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{13}{x}$ = $- \frac{30}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{13}{x}$	=	$- \frac{30}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{13}{x} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{30}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 13 x$	=	$- 30$

x^{2} - 13 x

=

- 30

|

+ 30

$x^{2} - 13 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{13+7}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{13-7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $10$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x - 4}$ = $- \frac{41}{x - 1} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{4 x - 4}$	=	$- \frac{41}{x - 1} + 2 x$
$\frac{x}{4 (x - 1)}$	=	$- \frac{41}{x - 1} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{4 (x - 1)}$	=	$- \frac{41}{x - 1} + 2 x$	\|⋅( $4 (x - 1)$ )
$\frac{x}{4 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1))$	=	$\frac{- 41}{x - 1} \cdot (4 (x - 1)) + 2 x \cdot (4 (x - 1))$
$x$	=	$- 164 + 8 x (x - 1)$
$x$	=	$8 x^{2} - 8 x - 164$

x

=

8 x^{2} - 8 x - 164

|

- 8 x^{2}

+ 8 x

+ 164

$- 8 x^{2} + 9 x + 164$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot 164}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 5 248}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{5 329}}{- 16}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{5 329}}{- 16}$ = $\frac{- 9+73}{- 16}$ = $\frac{64}{- 16}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{5 329}}{- 16}$ = $\frac{- 9-73}{- 16}$ = $\frac{- 82}{- 16}$ = $5,125$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $5,125$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{12}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{12}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{12}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 12$	=	$- a x$
$x^{2} + 12 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $6$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 4} + \frac{9}{x - 4}$ = $\frac{42}{x^{2} - 16}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ ; $4$ }

\frac{x}{x + 4} + \frac{9}{x - 4}

=

\frac{42}{(x + 4) \cdot (x - 4)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 4) \cdot (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{x + 4} + \frac{9}{x - 4}$	=	$\frac{42}{(x + 4) \cdot (x - 4)}$	\|⋅( $(x + 4) \cdot (x - 4)$ )
$\frac{x}{x + 4} \cdot (x + 4) \cdot (x - 4) + \frac{9}{x - 4} \cdot (x + 4) \cdot (x - 4)$	=	$\frac{42}{(x + 4) \cdot (x - 4)} \cdot (x + 4) \cdot (x - 4)$
$x (x - 4) + 9 x + 36$	=	$42 \frac{x + 4}{x + 4}$
$x (x - 4) + 9 x + 36$	=	$42$
$x^{2} - 4 x + 9 x + 36$	=	$42$
$x^{2} + 5 x + 36$	=	$42$

x^{2} + 5 x + 36

=

42

|

- 42

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $1$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter

42 Bruchgleichungen