Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 2}$ = $- x$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{x}{x - 2}$	=	$- x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$- x \cdot (x - 2)$
$x$	=	$- x (x - 2)$
$x$	=	$- x^{2} + 2 x$

$x$	=	$- x^{2} + 2 x$	\| $- (- x^{2} + 2 x)$
$x^{2} + x - 2 x$	=	0
$x^{2} - x$	=	0
$x (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 3$ = $\frac{- x + 4}{2 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$x + 3$	=	$\frac{- x + 4}{2 x}$	\|⋅( $2 x$ )
$x \cdot 2 x + 3 \cdot 2 x$	=	$\frac{- x + 4}{2 x} \cdot 2 x$
$2 x \cdot x + 6 x$	=	$- x + 4$
$2 x^{2} + 6 x$	=	$- x + 4$

2 x^{2} + 6 x

=

- x + 4

|

+ x

- 4

$2 x^{2} + 7 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 7+9}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 7-9}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{16 x}{3 x + 3} + 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

x

=

- \frac{16 x}{3 (x + 1)} + 5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$x$	=	$- \frac{16 x}{3 (x + 1)} + 5$	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$x \cdot (3 (x + 1))$	=	$- \frac{16 x}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) + 5 \cdot (3 (x + 1))$
$3 x (x + 1)$	=	$- 16 x + 15 x + 15$
$3 x \cdot x + 3 x \cdot 1$	=	$- 16 x + 15 x + 15$
$3 x \cdot x + 3 x$	=	$- 16 x + 15 x + 15$
$3 x^{2} + 3 x$	=	$- x + 15$

3 x^{2} + 3 x

=

- x + 15

|

+ x

- 15

$3 x^{2} + 4 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{196}}{6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{- 4+14}{6}$ = $\frac{10}{6}$ = $\frac{5}{3}$ ≈ 1.67

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{- 4-14}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{5}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{10}{x} + \frac{24}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{10}{x} + \frac{24}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{10}{x} \cdot x^{2} + \frac{24}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} - 10 x + 24$	=

$x^{2} - 10 x + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10+2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10-2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ ; $6$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 5}$ = $- \frac{40,8}{x - 1} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{5 x - 5}$	=	$- \frac{40,8}{x - 1} + 2 x$
$\frac{x}{5 (x - 1)}$	=	$- \frac{40,8}{x - 1} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 1)}$	=	$- \frac{40,8}{x - 1} + 2 x$	\|⋅( $5 (x - 1)$ )
$\frac{x}{5 (x - 1)} \cdot (5 (x - 1))$	=	$\frac{- 40,8}{x - 1} \cdot (5 (x - 1)) + 2 x \cdot (5 (x - 1))$
$x$	=	$- 204 + 10 x (x - 1)$
$x$	=	$10 x^{2} - 10 x - 204$

x

=

10 x^{2} - 10 x - 204

|

- 10 x^{2}

+ 10 x

+ 204

$- 10 x^{2} + 11 x + 204$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot 204}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 8 160}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{8 281}}{- 20}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{8 281}}{- 20}$ = $\frac{- 11+91}{- 20}$ = $\frac{80}{- 20}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{8 281}}{- 20}$ = $\frac{- 11-91}{- 20}$ = $\frac{- 102}{- 20}$ = $5,1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $5,1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 11$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 11$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 11$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 11 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 11 x$
$x^{2} + a + 11 x$	=	0
$x^{2} + 11 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 11 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 11 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -13 würde es funktionieren, denn $- (2 - 13)$ = 11

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 13)$ = $- 26$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -26 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 11 x - 26$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 26)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 104}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 11+15}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 11-15}{2}$ = $\frac{- 26}{2}$ = $- 13$

L={ $- 13$ ; $2$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 4} + \frac{10}{x - 4}$ = $\frac{47}{x^{2} - 16}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ ; $4$ }

\frac{x}{x + 4} + \frac{10}{x - 4}

=

\frac{47}{(x + 4) \cdot (x - 4)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 4) \cdot (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{x + 4} + \frac{10}{x - 4}$	=	$\frac{47}{(x + 4) \cdot (x - 4)}$	\|⋅( $(x + 4) \cdot (x - 4)$ )
$\frac{x}{x + 4} \cdot (x + 4) \cdot (x - 4) + \frac{10}{x - 4} \cdot (x + 4) \cdot (x - 4)$	=	$\frac{47}{(x + 4) \cdot (x - 4)} \cdot (x + 4) \cdot (x - 4)$
$x (x - 4) + 10 x + 40$	=	$47 \frac{x + 4}{x + 4}$
$x (x - 4) + 10 x + 40$	=	$47$
$x^{2} - 4 x + 10 x + 40$	=	$47$
$x^{2} + 6 x + 40$	=	$47$

x^{2} + 6 x + 40

=

47

|

- 47

$x^{2} + 6 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $1$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter

42 Bruchgleichungen