Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6$ = $3 x$

$6$	=	$3 x$	\| $- 6$ $- 3 x$
$- 3 x$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2$

L={ $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 20 x - 16}{x + 2}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{- 20 x - 16}{x + 2}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{- 20 x - 16}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$3 x \cdot (x + 2)$
$- 20 x - 16$	=	$3 x (x + 2)$
$- 20 x - 16$	=	$3 x^{2} + 6 x$

- 20 x - 16

=

3 x^{2} + 6 x

|

- 3 x^{2}

- 6 x

$- 3 x^{2} - 26 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 - 192}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{484}}{- 6}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{484}}{- 6}$ = $\frac{26+22}{- 6}$ = $\frac{48}{- 6}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{484}}{- 6}$ = $\frac{26-22}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 10 x}{x + 1} + x + 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

- \frac{10 x}{x + 1} + x + 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$- \frac{10 x}{x + 1} + x + 4$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$- \frac{10 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + x \cdot (x + 1) + 4 \cdot (x + 1)$	=
$- 10 x + x (x + 1) + 4 x + 4$	=
$- 10 x + (x^{2} + x) + 4 x + 4$	=
$x^{2} - 5 x + 4$	=

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} + \frac{40}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

=	$- \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} + \frac{40}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{3}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{40}{x^{3}} \cdot x^{3}$
=	$- x^{2} - 3 x + 40$

0

=

- x^{2} - 3 x + 40

|

+ x^{2}

+ 3 x

- 40

$x^{2} + 3 x - 40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 3+13}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 3-13}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 2}{3 x - 6}$ = $- \frac{x}{3 x - 6} + x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

- \frac{2}{3 (x - 2)}

=

- \frac{x}{3 (x - 2)} + x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 2)$ weg!

$- \frac{2}{3 (x - 2)}$	=	$- \frac{x}{3 (x - 2)} + x$	\|⋅( $3 (x - 2)$ )
$- \frac{2}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2))$	=	$- \frac{x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) + x \cdot (3 (x - 2))$
$- 2$	=	$- x + 3 x (x - 2)$
$- 2$	=	$3 x^{2} - 7 x$

- 2

=

3 x^{2} - 7 x

|

- 3 x^{2}

+ 7 x

$- 3 x^{2} + 7 x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 7+5}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 7-5}{- 6}$ = $\frac{- 12}{- 6}$ = $2$

Lösung x= $2$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $\frac{1}{3}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$2 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$2 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$2 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$2 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$2 x + x^{2}$	=	$- a$
$2 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (3 - 5)$ = 2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 5)$ = $- 15$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -15 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $3$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 7} + \frac{3}{x - 7}$ = $\frac{138}{x^{2} - 49}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 7$ ; $7$ }

\frac{x}{x + 7} + \frac{3}{x - 7}

=

\frac{138}{(x + 7) \cdot (x - 7)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 7) \cdot (x - 7)$ weg!

$\frac{x}{x + 7} + \frac{3}{x - 7}$	=	$\frac{138}{(x + 7) \cdot (x - 7)}$	\|⋅( $(x + 7) \cdot (x - 7)$ )
$\frac{x}{x + 7} \cdot (x + 7) \cdot (x - 7) + \frac{3}{x - 7} \cdot (x + 7) \cdot (x - 7)$	=	$\frac{138}{(x + 7) \cdot (x - 7)} \cdot (x + 7) \cdot (x - 7)$
$x (x - 7) + 3 x + 21$	=	$138 \frac{x + 7}{x + 7}$
$x (x - 7) + 3 x + 21$	=	$138$
$x^{2} - 7 x + 3 x + 21$	=	$138$
$x^{2} - 4 x + 21$	=	$138$

x^{2} - 4 x + 21

=

138

|

- 138

$x^{2} - 4 x - 117$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 117)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 468}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{484}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{484}}{2}$ = $\frac{4+22}{2}$ = $\frac{26}{2}$ = $13$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{484}}{2}$ = $\frac{4-22}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $13$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter

42 Bruchgleichungen