Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8}{x}$ = $2 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{8}{x}$	=	$2 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{8}{x} \cdot x$	=	$2 x \cdot x$
$8$	=	$2 x \cdot x$
$8$	=	$2 x^{2}$

$8$	=	$2 x^{2}$	\| $- 8$ $- 2 x^{2}$
$- 2 x^{2}$	=	$- 8$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{8}{x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$1 + \frac{8}{x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $x$ )
$1 \cdot x + \frac{8}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 3 \cdot x$
$x + 8$	=	$x \cdot x + 3 x$

x + 8

=

x^{2} + 3 x

|

- x^{2}

- 3 x

$- x^{2} - 2 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{2+6}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{2-6}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{- x}{x + 1} - 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

x

=

\frac{x}{x + 1} - 4

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$x$	=	$\frac{x}{x + 1} - 4$	\|⋅( $x + 1$ )
$x \cdot (x + 1)$	=	$\frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1) - 4 \cdot (x + 1)$
$x (x + 1)$	=	$x - 4 x - 4$
$x \cdot x + x \cdot 1$	=	$x - 4 x - 4$
$x \cdot x + x$	=	$x - 4 x - 4$
$x^{2} + x$	=	$- 3 x - 4$

x^{2} + x

=

- 3 x - 4

|

+ 3 x

+ 4

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{12}{x^{3}}$ = $- \frac{20}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{12}{x^{3}}$	=	$- \frac{20}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{12}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{20}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2} - 12 x$	=	$- 20$

x^{2} - 12 x

=

- 20

|

+ 20

$x^{2} - 12 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12+8}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12-8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $10$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x - 16}$ = $- \frac{- 82,5}{2 x - 8} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{4 x - 16}$	=	$\frac{82,5}{2 x - 8} - 2 x$
$\frac{x}{4 (x - 4)}$	=	$\frac{82,5}{2 (x - 4)} - 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{4 (x - 4)}$	=	$\frac{82,5}{2 (x - 4)} - 2 x$	\|⋅( $4 (x - 4)$ )
$\frac{x}{4 (x - 4)} \cdot (4 (x - 4))$	=	$\frac{82,5}{2 (x - 4)} \cdot (4 (x - 4)) - 2 x \cdot (4 (x - 4))$
$x$	=	$165 - 8 x (x - 4)$
$x$	=	$- 8 x^{2} + 32 x + 165$

x

=

- 8 x^{2} + 32 x + 165

|

+ 8 x^{2}

- 32 x

- 165

$8 x^{2} - 31 x - 165$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 165)}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 + 5 280}}{16}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{6 241}}{16}$

x₁ = $\frac{31 + \sqrt{6 241}}{16}$ = $\frac{31+79}{16}$ = $\frac{110}{16}$ = $6,875$

x₂ = $\frac{31 - \sqrt{6 241}}{16}$ = $\frac{31-79}{16}$ = $\frac{- 48}{16}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $6,875$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{18}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{18}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{18}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{18}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$18 + a x$	=	$- x^{2}$
$18 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 9$ = 18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 9)$ = $- 11$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -11 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $9$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 3} - \frac{10}{x + 3}$ = $\frac{18}{x^{2} - 9}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $3$ }

\frac{x}{x - 3} - \frac{10}{x + 3}

=

\frac{18}{(x + 3) \cdot (x - 3)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 3) \cdot (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{x - 3} - \frac{10}{x + 3}$	=	$\frac{18}{(x + 3) \cdot (x - 3)}$	\|⋅( $(x + 3) \cdot (x - 3)$ )
$\frac{x}{x - 3} \cdot (x + 3) \cdot (x - 3) - \frac{10}{x + 3} \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)$	=	$\frac{18}{(x + 3) \cdot (x - 3)} \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)$
$x (x + 3) - 10 x + 30$	=	$18 \frac{x + 3}{x + 3}$
$x (x + 3) - 10 x + 30$	=	$18$
$x^{2} + 3 x - 10 x + 30$	=	$18$
$x^{2} - 7 x + 30$	=	$18$

x^{2} - 7 x + 30

=

18

|

- 18

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösung x= $3$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $4$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter

42 Bruchgleichungen