Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{2}{x}$ = $- 2 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{2}{x}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{2}{x} \cdot x$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 2$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 2$	=	$- 2 x^{2}$

$- 2$	=	$- 2 x^{2}$	\| $+ 2$ $+ 2 x^{2}$
$2 x^{2}$	=	$2$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 1$ = $- \frac{9}{2} + \frac{2}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 1$	=	$- \frac{9}{2} + \frac{2}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 1 \cdot x$	=	$- \frac{9}{2} \cdot x + \frac{2}{x} \cdot x$
$x \cdot x - x$	=	$- \frac{9}{2} x + 2$
$x^{2} - x$	=	$- \frac{9}{2} x + 2$

$x^{2} - x$	=	$- \frac{9}{2} x + 2$	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - x)$	=	$2 (- \frac{9}{2} x + 2)$
$2 x^{2} - 2 x$	=	$- 9 x + 4$	\| $+ 9 x$ $- 4$

$2 x^{2} + 7 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 7+9}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 7-9}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{- 35}{x - 3} - 2 x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

0

=

\frac{35}{x - 3} - 2 x - 3

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

=	$\frac{35}{x - 3} - 2 x - 3$	\|⋅( $x - 3$ )
=	$\frac{35}{x - 3} \cdot (x - 3) - 2 x \cdot (x - 3) - 3 \cdot (x - 3)$
=	$35 - 2 x (x - 3) - 3 x + 9$
=	$- 2 x^{2} + 3 x + 44$

0

=

- 2 x^{2} + 3 x + 44

|

+ 2 x^{2}

- 3 x

- 44

$2 x^{2} - 3 x - 44$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 44)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 352}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{3+19}{4}$ = $\frac{22}{4}$ = $5,5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{3-19}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $5,5$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{15}{x^{2}} + \frac{54}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{15}{x^{2}} + \frac{54}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{15}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{54}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$15 x + 54$	=	$- x^{2}$

15 x + 54

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 15 x + 54$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 54}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 15+3}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 15-3}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 6$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{35}{x + 4}$ = $- \frac{x}{2 x + 8} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

\frac{35}{x + 4}

=

- \frac{x}{2 (x + 4)} + 3 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 4)$ weg!

$\frac{35}{x + 4}$	=	$- \frac{x}{2 (x + 4)} + 3 x$	\|⋅( $2 (x + 4)$ )
$\frac{35}{x + 4} \cdot (2 (x + 4))$	=	$- \frac{x}{2 (x + 4)} \cdot (2 (x + 4)) + 3 x \cdot (2 (x + 4))$
$70$	=	$- x + 6 x (x + 4)$
$70$	=	$6 x^{2} + 23 x$

70

=

6 x^{2} + 23 x

|

- 6 x^{2}

- 23 x

$- 6 x^{2} - 23 x + 70$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 70}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 + 1 680}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{2 209}}{- 12}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{2 209}}{- 12}$ = $\frac{23+47}{- 12}$ = $\frac{70}{- 12}$ = $- \frac{35}{6}$ ≈ -5.83

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{2 209}}{- 12}$ = $\frac{23-47}{- 12}$ = $\frac{- 24}{- 12}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{35}{6}$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - \frac{12}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - \frac{12}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - \frac{12}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x - \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} - 12$	=	$- a x$
$x^{2} - 12 + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $2$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 8} + \frac{10}{x - 8}$ = $\frac{160}{x^{2} - 64}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 8$ ; $8$ }

\frac{x}{x + 8} + \frac{10}{x - 8}

=

\frac{160}{(x + 8) \cdot (x - 8)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 8) \cdot (x - 8)$ weg!

$\frac{x}{x + 8} + \frac{10}{x - 8}$	=	$\frac{160}{(x + 8) \cdot (x - 8)}$	\|⋅( $(x + 8) \cdot (x - 8)$ )
$\frac{x}{x + 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8) + \frac{10}{x - 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$	=	$\frac{160}{(x + 8) \cdot (x - 8)} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$
$x (x - 8) + 10 x + 80$	=	$160 \frac{x + 8}{x + 8}$
$x (x - 8) + 10 x + 80$	=	$160$
$x^{2} - 8 x + 10 x + 80$	=	$160$
$x^{2} + 2 x + 80$	=	$160$

x^{2} + 2 x + 80

=

160

|

- 160

$x^{2} + 2 x - 80$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 80)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 320}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{324}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{324}}{2}$ = $\frac{- 2+18}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{324}}{2}$ = $\frac{- 2-18}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösung x= $8$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 10$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter

42 Bruchgleichungen