Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{32}{x}$ = $2 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{32}{x}$	=	$2 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{32}{x} \cdot x$	=	$2 x \cdot x$
$32$	=	$2 x \cdot x$
$32$	=	$2 x^{2}$

$32$	=	$2 x^{2}$	\| $- 32$ $- 2 x^{2}$
$- 2 x^{2}$	=	$- 32$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 + \frac{12}{x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 4 + \frac{12}{x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $x$ )
$- 4 \cdot x + \frac{12}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 3 \cdot x$
$- 4 x + 12$	=	$x \cdot x - 3 x$

- 4 x + 12

=

x^{2} - 3 x

|

- x^{2}

+ 3 x

$- x^{2} - x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1+7}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1-7}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x + 5}$ = $- 3 x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{4 x}{x + 5}$	=	$- 3 x - 4$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{4 x}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$- 3 x \cdot (x + 5) - 4 \cdot (x + 5)$
$4 x$	=	$- 3 x (x + 5) - 4 x - 20$
$4 x$	=	$- 3 x^{2} - 19 x - 20$

4 x

=

- 3 x^{2} - 19 x - 20

|

+ 3 x^{2}

+ 19 x

+ 20

$3 x^{2} + 23 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 20}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 240}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{289}}{6}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{289}}{6}$ = $\frac{- 23+17}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{289}}{6}$ = $\frac{- 23-17}{6}$ = $\frac{- 40}{6}$ = $- \frac{20}{3}$ ≈ -6.67

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{20}{3}$ ; $- 1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 - \frac{14}{x} - \frac{48}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 - \frac{14}{x} - \frac{48}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{14}{x} \cdot x^{2} - \frac{48}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} - 14 x - 48$

0

=

- x^{2} - 14 x - 48

|

+ x^{2}

+ 14 x

+ 48

$x^{2} + 14 x + 48$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 14+2}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 14-2}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 6$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x$ = $- \frac{x}{5 x - 15} - \frac{- 19,6}{x - 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$2 x$	=	$- \frac{x}{5 x - 15} + \frac{19,6}{x - 3}$
$2 x$	=	$- \frac{x}{5 (x - 3)} + \frac{19,6}{x - 3}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 3)$ weg!

$2 x$	=	$- \frac{x}{5 (x - 3)} + \frac{19,6}{x - 3}$	\|⋅( $5 (x - 3)$ )
$2 x \cdot (5 (x - 3))$	=	$- \frac{x}{5 (x - 3)} \cdot (5 (x - 3)) + \frac{19,6}{x - 3} \cdot (5 (x - 3))$
$10 x (x - 3)$	=	$- x + 98$
$10 x \cdot x + 10 x \cdot (- 3)$	=	$- x + 98$
$10 x \cdot x - 30 x$	=	$- x + 98$
$10 x^{2} - 30 x$	=	$- x + 98$

10 x^{2} - 30 x

=

- x + 98

|

+ x

- 98

$10 x^{2} - 29 x - 98$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{{(- 29)}^{2} - 4 \cdot 10 \cdot (- 98)}}{2 \cdot 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{841 + 3 920}}{20}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{4 761}}{20}$

x₁ = $\frac{29 + \sqrt{4 761}}{20}$ = $\frac{29+69}{20}$ = $\frac{98}{20}$ = $4,9$

x₂ = $\frac{29 - \sqrt{4 761}}{20}$ = $\frac{29-69}{20}$ = $\frac{- 40}{20}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $4,9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 8$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 8$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 8$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 8 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 8 x$
$x^{2} + a + 8 x$	=	0
$x^{2} + 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $- (2 - 10)$ = 8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 10)$ = $- 20$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -20 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $2$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 3} + \frac{8}{x + 3}$ = $\frac{36}{x^{2} - 9}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $3$ }

\frac{x}{x - 3} + \frac{8}{x + 3}

=

\frac{36}{(x + 3) \cdot (x - 3)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 3) \cdot (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{x - 3} + \frac{8}{x + 3}$	=	$\frac{36}{(x + 3) \cdot (x - 3)}$	\|⋅( $(x + 3) \cdot (x - 3)$ )
$\frac{x}{x - 3} \cdot (x + 3) \cdot (x - 3) + \frac{8}{x + 3} \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)$	=	$\frac{36}{(x + 3) \cdot (x - 3)} \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)$
$x (x + 3) + 8 x - 24$	=	$36 \frac{x + 3}{x + 3}$
$x (x + 3) + 8 x - 24$	=	$36$
$x^{2} + 3 x + 8 x - 24$	=	$36$
$x^{2} + 11 x - 24$	=	$36$

x^{2} + 11 x - 24

=

36

|

- 36

$x^{2} + 11 x - 60$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 60)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 240}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{361}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{- 11+19}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{- 11-19}{2}$ = $\frac{- 30}{2}$ = $- 15$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 15$ ; $4$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter

42 Bruchgleichungen