Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{25}{x}$ = $x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{25}{x}$	=	$x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{25}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x$
$25$	=	$x \cdot x$
$25$	=	$x^{2}$

$25$	=	$x^{2}$	\| $- 25$ $- x^{2}$
$- x^{2}$	=	$- 25$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $\frac{- 15 x - 21}{x - 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$x$	=	$\frac{- 15 x - 21}{x - 5}$	\|⋅( $x - 5$ )
$x \cdot (x - 5)$	=	$\frac{- 15 x - 21}{x - 5} \cdot (x - 5)$
$x (x - 5)$	=	$- 15 x - 21$
$x \cdot x + x \cdot (- 5)$	=	$- 15 x - 21$
$x \cdot x - 5 x$	=	$- 15 x - 21$
$x^{2} - 5 x$	=	$- 15 x - 21$

x^{2} - 5 x

=

- 15 x - 21

|

+ 15 x

+ 21

$x^{2} + 10 x + 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 10+4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 10-4}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 30 x}{2 x + 4} + 4$ = $- x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$- \frac{30 x}{2 x + 4} + 4$	=	$- x$
$- \frac{30 x}{2 (x + 2)} + 4$	=	$- x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{30 x}{2 (x + 2)} + 4$	=	$- x$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{30 x}{2 (x + 2)} \cdot (x + 2) + 4 \cdot (x + 2)$	=	$- x \cdot (x + 2)$
$- 15 x + 4 x + 8$	=	$- x (x + 2)$
$- 11 x + 8$	=	$- x^{2} - 2 x$

- 11 x + 8

=

- x^{2} - 2 x

|

+ x^{2}

+ 2 x

$x^{2} - 9 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $8$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{3}{x^{3}} - \frac{4}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{3}{x^{3}} - \frac{4}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{3}{x^{3}} \cdot x^{4} - \frac{4}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- 3 x - 4$	=	$- x^{2}$

- 3 x - 4

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{4 x + 8} - \frac{17,5}{2 x + 4} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

0	=	$- \frac{x}{4 x + 8} - \frac{17,5}{2 x + 4} + 3 x$
0	=	$- \frac{x}{4 (x + 2)} - \frac{17,5}{2 (x + 2)} + 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 2)$ weg!

=	$- \frac{x}{4 (x + 2)} - \frac{17,5}{2 (x + 2)} + 3 x$	\|⋅( $4 (x + 2)$ )
=	$- \frac{x}{4 (x + 2)} \cdot (4 (x + 2)) + \frac{- 17,5}{2 (x + 2)} \cdot (4 (x + 2)) + 3 x \cdot (4 (x + 2))$
=	$- x - 35 + 12 x (x + 2)$
=	$12 x^{2} + 23 x - 35$

0

=

12 x^{2} + 23 x - 35

|

- 12 x^{2}

- 23 x

+ 35

$- 12 x^{2} - 23 x + 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot 35}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 + 1 680}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{2 209}}{- 24}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{2 209}}{- 24}$ = $\frac{23+47}{- 24}$ = $\frac{70}{- 24}$ = $- \frac{35}{12}$ ≈ -2.92

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{2 209}}{- 24}$ = $\frac{23-47}{- 24}$ = $\frac{- 24}{- 24}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{35}{12}$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{20}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{20}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{20}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{20}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$20$
$a x + x^{2} - 20$	=	0
$x^{2} + a x - 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 10)$ = -20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 10)$ = $8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $2$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 5} + \frac{1}{x - 5}$ = $\frac{65}{x^{2} - 25}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ ; $5$ }

\frac{x}{x + 5} + \frac{1}{x - 5}

=

\frac{65}{(x + 5) \cdot (x - 5)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 5) \cdot (x - 5)$ weg!

$\frac{x}{x + 5} + \frac{1}{x - 5}$	=	$\frac{65}{(x + 5) \cdot (x - 5)}$	\|⋅( $(x + 5) \cdot (x - 5)$ )
$\frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5) + \frac{1}{x - 5} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5)$	=	$\frac{65}{(x + 5) \cdot (x - 5)} \cdot (x + 5) \cdot (x - 5)$
$x (x - 5) + x + 5$	=	$65 \frac{x + 5}{x + 5}$
$x (x - 5) + x + 5$	=	$65$
$x^{2} - 5 x + x + 5$	=	$65$
$x^{2} - 4 x + 5$	=	$65$

x^{2} - 4 x + 5

=

65

|

- 65

$x^{2} - 4 x - 60$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 60)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 240}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{256}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{4+16}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{4-16}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $10$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter

42 Bruchgleichungen