Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8}{x}$ = $2 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{8}{x}$	=	$2 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{8}{x} \cdot x$	=	$2 x \cdot x$
$8$	=	$2 x \cdot x$
$8$	=	$2 x^{2}$

$8$	=	$2 x^{2}$	\| $- 8$ $- 2 x^{2}$
$- 2 x^{2}$	=	$- 8$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{2}{x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$1 - \frac{2}{x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $x$ )
$1 \cdot x - \frac{2}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 2 \cdot x$
$x - 2$	=	$x \cdot x - 2 x$

x - 2

=

x^{2} - 2 x

|

- x^{2}

+ 2 x

$- x^{2} + 3 x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3+1}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3-1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 2}{x - 2} + x$ = $3$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

- \frac{2}{x - 2} + x

=

3

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$- \frac{2}{x - 2} + x$	=	$3$	\|⋅( $x - 2$ )
$- \frac{2}{x - 2} \cdot (x - 2) + x \cdot (x - 2)$	=	$3 \cdot (x - 2)$
$- 2 + x (x - 2)$	=	$3 (x - 2)$
$- 2 + (x^{2} - 2 x)$	=	$3 (x - 2)$
$x^{2} - 2 x - 2$	=	$3 x - 6$

x^{2} - 2 x - 2

=

3 x - 6

|

- 3 x

+ 6

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{9}{x^{2}}$ = $- 1 - \frac{8}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{9}{x^{2}}$	=	$- 1 - \frac{8}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{9}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{8}{x} \cdot x^{2}$
$- 9$	=	$- x^{2} - 8 x$

- 9

=

- x^{2} - 8 x

|

+ x^{2}

+ 8 x

$x^{2} + 8 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8+10}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8-10}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 6} + \frac{73,5}{x - 3}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$\frac{x}{2 x - 6} + \frac{73,5}{x - 3}$	=	$4 x$
$\frac{x}{2 (x - 3)} + \frac{73,5}{x - 3}$	=	$4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 3)} + \frac{73,5}{x - 3}$	=	$4 x$	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{x}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) + \frac{73,5}{x - 3} \cdot (2 (x - 3))$	=	$4 x \cdot (2 (x - 3))$
$x + 147$	=	$8 x (x - 3)$
$x + 147$	=	$8 x^{2} - 24 x$

x + 147

=

8 x^{2} - 24 x

|

- 8 x^{2}

+ 24 x

$- 8 x^{2} + 25 x + 147$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot 147}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 4 704}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{5 329}}{- 16}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{5 329}}{- 16}$ = $\frac{- 25+73}{- 16}$ = $\frac{48}{- 16}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{5 329}}{- 16}$ = $\frac{- 25-73}{- 16}$ = $\frac{- 98}{- 16}$ = $6,125$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $6,125$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} - 4$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} - 4$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} - 4$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x - 4 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a - 4 x$	=	$- x^{2}$
$a - 4 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 4 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 4 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -4 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 1 würde es funktionieren, denn $- (3 + 1)$ = -4

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot 1$ = $3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $3$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 9} + \frac{4}{x + 9}$ = $\frac{264}{x^{2} - 81}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 9$ ; $9$ }

\frac{x}{x - 9} + \frac{4}{x + 9}

=

\frac{264}{(x + 9) \cdot (x - 9)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 9) \cdot (x - 9)$ weg!

$\frac{x}{x - 9} + \frac{4}{x + 9}$	=	$\frac{264}{(x + 9) \cdot (x - 9)}$	\|⋅( $(x + 9) \cdot (x - 9)$ )
$\frac{x}{x - 9} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9) + \frac{4}{x + 9} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9)$	=	$\frac{264}{(x + 9) \cdot (x - 9)} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9)$
$x (x + 9) + 4 x - 36$	=	$264 \frac{x + 9}{x + 9}$
$x (x + 9) + 4 x - 36$	=	$264$
$x^{2} + 9 x + 4 x - 36$	=	$264$
$x^{2} + 13 x - 36$	=	$264$

x^{2} + 13 x - 36

=

264

|

- 264

$x^{2} + 13 x - 300$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 300)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 1 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{1 369}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{1 369}}{2}$ = $\frac{- 13+37}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{1 369}}{2}$ = $\frac{- 13-37}{2}$ = $\frac{- 50}{2}$ = $- 25$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 25$ ; $12$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter

42 Bruchgleichungen