D=R\{ $1$}

Wir multiplizieren den Nenner $x-1$ weg!

$\frac{18}{x-1}$	=	$3x$	|⋅( $x-1$)
$\frac{18}{x-1}·\left(x-1\right)$	=	$3x·\left(x-1\right)$
$18$	=	$3x\left(x-1\right)$
$18$	=	$3x^2-3x$

$18$

=

$3x^2-3x$

| $-3x^2$ $+3x$

$-3x^2+3x+18$ = 0 |:3

$-x^2+x+6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·\left(-1\right)·6}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+24}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{25}}{-2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{25}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{-2}$ = $-2$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{25}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{-2}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-2$; $3$}

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$-6-\frac{6}{x}$	=	$x-1$	|⋅( $x$)
$-6·x-\frac{6}{x}·x$	=	$x·x-1·x$
$-6x-6$	=	$x·x-x$

$-6x-6$

=

$x^2-x$

| $-x^2$ $+x$

$-x^2-5x-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-6\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{25-24}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{1}}{-2}$

x₁ = $\frac{5+\sqrt{1}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{-2}$ = $-3$

x₂ = $\frac{5-\sqrt{1}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{-2}$ = $-2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-3$; $-2$}

D=R\{ $-4$}

Wir multiplizieren den Nenner $x+4$ weg!

$\frac{9x}{x+4}$	=	$-x+5$	|⋅( $x+4$)
$\frac{9x}{x+4}·\left(x+4\right)$	=	$-x·\left(x+4\right)+5·\left(x+4\right)$
$9x$	=	$-x\left(x+4\right)+5x+20$
$9x$	=	$-x^2+x+20$

$9x$

=

$-x^2+x+20$

| $+x^2$ $-x$ $-20$

$x^2+8x-20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4·1·\left(-20\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{64+80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{-8+\sqrt{144}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>12</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-8-\sqrt{144}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>12</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-20}{2}$ = $-10$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-10$; $2$}

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^3$ weg!

$\frac{11x+28}{x^3}$	=	$-\frac{1}{x}$	|⋅( $x^3$)
$\frac{11x+28}{x^3}·x^3$	=	$-\frac{1}{x}·x^3$
$11x+28$	=	$-x^2$

$11x+28$

=

$-x^2$

| $+x^2$

$x^2+11x+28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-11\pm \sqrt{{11}^2-4·1·28}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-11\pm \sqrt{121-112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-11\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{-11+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>11</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

x₂ = $\frac{-11-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>11</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-14}{2}$ = $-7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-7$; $-4$}

D=R\{ $-1$}

$-\frac{13}{x+1}+x$	=	$-\frac{x}{3x+3}$
$-\frac{13}{x+1}+x$	=	$-\frac{x}{3\left(x+1\right)}$	|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3\left(x+1\right)$ weg!

$-\frac{13}{x+1}+x$	=	$-\frac{x}{3\left(x+1\right)}$	|⋅( $3\left(x+1\right)$)
$\frac{-13}{x+1}·\left(3\left(x+1\right)\right)+x·\left(3\left(x+1\right)\right)$	=	$-\frac{x}{3\left(x+1\right)}·\left(3\left(x+1\right)\right)$
$-39+3x\left(x+1\right)$	=	$-x$
$-39+\left(3x^2+3x\right)$	=	$-x$
$3x^2+3x-39$	=	$-x$

$3x^2+3x-39$

=

$-x$

| $+x$

$3x^2+4x-39$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·3·\left(-39\right)}}{2\cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{16+468}}{6}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{484}}{6}$

x₁ = $\frac{-4+\sqrt{484}}{6}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>22</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{-4-\sqrt{484}}{6}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>22</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-26}{6}$ = $-\frac{13}{3}$ ≈ -4.33

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-\frac{13}{3}$; $3$}

D=R\{0}

$\frac{15}{x}+a$ = $-x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{15}{x}+a$	=	$-x$	|⋅x
$\frac{15}{x}·x+a·x$	=	$-x·x$
$15+ax$	=	$-x^2$
$15+ax+x^2$	=	0
$x^2+ax+15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^2+ax+15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 5 würde es funktionieren, denn $3·5$ = 15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $-\left(3+5\right)$ = $-8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^2-8x+15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{{\left(-8\right)}^2-4·1·15}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{64-60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$; $5$}

D=R\{ $-3$; $3$}

$\frac{x}{x+3}+\frac{7}{x-3}$

=

$\frac{21}{\left(x+3\right)·\left(x-3\right)}$

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $\left(x+3\right)·\left(x-3\right)$ weg!

$\frac{x}{x+3}+\frac{7}{x-3}$	=	$\frac{21}{\left(x+3\right)·\left(x-3\right)}$	|⋅( $\left(x+3\right)·\left(x-3\right)$)
$\frac{x}{x+3}·\left(x+3\right)·\left(x-3\right)+\frac{7}{x-3}·\left(x+3\right)·\left(x-3\right)$	=	$\frac{21}{\left(x+3\right)·\left(x-3\right)}·\left(x+3\right)·\left(x-3\right)$
$x\left(x-3\right)+7x+21$	=	$21\frac{x+3}{x+3}$
$x\left(x-3\right)+7x+21$	=	$21$
$x^2-3x+7x+21$	=	$21$
$x^2+4x+21$	=	$21$

$x^2+4x+21$	=	$21$	| $-21$
$x^2+4x+21-21$	=	0
$x^2+4x$	=	0
$x\left(x+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-4$; 0}