Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{50}{x}$ = $- 2 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{50}{x}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{50}{x} \cdot x$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 50$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 50$	=	$- 2 x^{2}$

$- 50$	=	$- 2 x^{2}$	\| $+ 50$ $+ 2 x^{2}$
$2 x^{2}$	=	$50$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{11}{2} - \frac{7}{2 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{11}{2} - \frac{7}{2 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{11}{2} \cdot x - \frac{7}{2 x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 2 \cdot x$
$- \frac{11}{2} x - \frac{7}{2}$	=	$x \cdot x + 2 x$

$- \frac{11}{2} x - \frac{7}{2}$	=	$x^{2} + 2 x$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{11}{2} x - \frac{7}{2})$	=	$2 (x^{2} + 2 x)$
$- 11 x - 7$	=	$2 x^{2} + 4 x$	\| $- 2 x^{2}$ $- 4 x$

$- 2 x^{2} - 15 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 7)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 56}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{169}}{- 4}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{15+13}{- 4}$ = $\frac{28}{- 4}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{15-13}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 64}{2 x + 2}$ = $- x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

- \frac{64}{2 (x + 1)}

=

- x - 5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$- \frac{64}{2 (x + 1)}$	=	$- x - 5$	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$- \frac{64}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1))$	=	$- x \cdot (2 (x + 1)) - 5 \cdot (2 (x + 1))$
$- 64$	=	$- 2 x (x + 1) - 10 x - 10$
$- 64$	=	$- 2 x^{2} - 12 x - 10$

- 64

=

- 2 x^{2} - 12 x - 10

|

+ 2 x^{2}

+ 12 x

+ 10

2 x^{2} + 12 x - 54

= 0 |:2

$x^{2} + 6 x - 27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 6+12}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 6-12}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{2}{x}$ = $- 1 + \frac{15}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{2}{x}$	=	$- 1 + \frac{15}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{2}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{15}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$- 2 x$	=	$- x^{2} + 15$

- 2 x

=

- x^{2} + 15

|

+ x^{2}

- 15

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 5} + \frac{- 23,4}{x + 1} + 4 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{5 x + 5} - \frac{23,4}{x + 1} + 4 x$	=	0
$\frac{x}{5 (x + 1)} - \frac{23,4}{x + 1} + 4 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 1)} - \frac{23,4}{x + 1} + 4 x$	=	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
$\frac{x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1)) + \frac{- 23,4}{x + 1} \cdot (5 (x + 1)) + 4 x \cdot (5 (x + 1))$	=
$x - 117 + 20 x (x + 1)$	=
$x - 117 + (20 x^{2} + 20 x)$	=
$20 x^{2} + 21 x - 117$	=

$20 x^{2} + 21 x - 117$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot 20 \cdot (- 117)}}{2 \cdot 20}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 + 9 360}}{40}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{9 801}}{40}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{9 801}}{40}$ = $\frac{- 21+99}{40}$ = $\frac{78}{40}$ = $1,95$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{9 801}}{40}$ = $\frac{- 21-99}{40}$ = $\frac{- 120}{40}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $1,95$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{18}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{18}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{18}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{18}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 18$
$x^{2} + a x + 18$	=	0
$x^{2} + a x + 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 9$ = 18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 9)$ = $- 11$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -11 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $9$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 8} + \frac{5}{x - 8}$ = $\frac{110}{x^{2} - 64}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 8$ ; $8$ }

\frac{x}{x + 8} + \frac{5}{x - 8}

=

\frac{110}{(x + 8) \cdot (x - 8)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 8) \cdot (x - 8)$ weg!

$\frac{x}{x + 8} + \frac{5}{x - 8}$	=	$\frac{110}{(x + 8) \cdot (x - 8)}$	\|⋅( $(x + 8) \cdot (x - 8)$ )
$\frac{x}{x + 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8) + \frac{5}{x - 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$	=	$\frac{110}{(x + 8) \cdot (x - 8)} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$
$x (x - 8) + 5 x + 40$	=	$110 \frac{x + 8}{x + 8}$
$x (x - 8) + 5 x + 40$	=	$110$
$x^{2} - 8 x + 5 x + 40$	=	$110$
$x^{2} - 3 x + 40$	=	$110$

x^{2} - 3 x + 40

=

110

|

- 110

$x^{2} - 3 x - 70$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 70)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 280}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{3+17}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{3-17}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $10$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter

42 Bruchgleichungen