Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{36}{x - 1}$ = $3 x$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{36}{x - 1}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{36}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$3 x \cdot (x - 1)$
$36$	=	$3 x (x - 1)$
$36$	=	$3 x^{2} - 3 x$

36

=

3 x^{2} - 3 x

|

- 3 x^{2}

+ 3 x

- 3 x^{2} + 3 x + 36

= 0 |:3

$- x^{2} + x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1+7}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1-7}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 1$ = $- 9 - \frac{12}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 1$	=	$- 9 - \frac{12}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 1 \cdot x$	=	$- 9 \cdot x - \frac{12}{x} \cdot x$
$x \cdot x - x$	=	$- 9 x - 12$
$x^{2} - x$	=	$- 9 x - 12$

x^{2} - x

=

- 9 x - 12

|

+ 9 x

+ 12

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8+4}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8-4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x + 1$ = $- \frac{- 12 x}{x + 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$3 x + 1$	=	$\frac{12 x}{x + 2}$	\|⋅( $x + 2$ )
$3 x \cdot (x + 2) + 1 \cdot (x + 2)$	=	$\frac{12 x}{x + 2} \cdot (x + 2)$
$3 x (x + 2) + x + 2$	=	$12 x$
$3 x^{2} + 6 x + x + 2$	=	$12 x$
$3 x^{2} + 7 x + 2$	=	$12 x$

3 x^{2} + 7 x + 2

=

12 x

|

- 12 x

$3 x^{2} - 5 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{6}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{5+1}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{5-1}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{5}{x} \cdot x^{2} - \frac{6}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$- 5 x - 6$	=	$- x^{2}$

- 5 x - 6

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $6$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 6} - 3 x$ = $- \frac{52,5}{x + 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

\frac{x}{2 (x + 3)} - 3 x

=

- \frac{52,5}{x + 3}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

$\frac{x}{2 (x + 3)} - 3 x$	=	$- \frac{52,5}{x + 3}$	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
$\frac{x}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) - 3 x \cdot (2 (x + 3))$	=	$- \frac{52,5}{x + 3} \cdot (2 (x + 3))$
$x - 6 x (x + 3)$	=	$- 105$
$x + (- 6 x^{2} - 18 x)$	=	$- 105$
$- 6 x^{2} - 17 x$	=	$- 105$

- 6 x^{2} - 17 x

=

- 105

|

+ 105

$- 6 x^{2} - 17 x + 105$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 105}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 2 520}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{2 809}}{- 12}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{2 809}}{- 12}$ = $\frac{17+53}{- 12}$ = $\frac{70}{- 12}$ = $- \frac{35}{6}$ ≈ -5.83

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{2 809}}{- 12}$ = $\frac{17-53}{- 12}$ = $\frac{- 36}{- 12}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{35}{6}$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 1 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 1 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- x + x^{2}$	=	$- a$
$- x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $2$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 6} - \frac{1}{x - 6}$ = $\frac{24}{x^{2} - 36}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 6$ ; $6$ }

\frac{x}{x + 6} - \frac{1}{x - 6}

=

\frac{24}{(x + 6) \cdot (x - 6)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 6) \cdot (x - 6)$ weg!

$\frac{x}{x + 6} - \frac{1}{x - 6}$	=	$\frac{24}{(x + 6) \cdot (x - 6)}$	\|⋅( $(x + 6) \cdot (x - 6)$ )
$\frac{x}{x + 6} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6) - \frac{1}{x - 6} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)$	=	$\frac{24}{(x + 6) \cdot (x - 6)} \cdot (x + 6) \cdot (x - 6)$
$x (x - 6) - x - 6$	=	$24 \frac{x + 6}{x + 6}$
$x (x - 6) - x - 6$	=	$24$
$x^{2} - 6 x - x - 6$	=	$24$
$x^{2} - 7 x - 6$	=	$24$

x^{2} - 7 x - 6

=

24

|

- 24

$x^{2} - 7 x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{7+13}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{7-13}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $10$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter

42 Bruchgleichungen