Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{50}{x}$ = $2 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{50}{x}$	=	$2 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{50}{x} \cdot x$	=	$2 x \cdot x$
$50$	=	$2 x \cdot x$
$50$	=	$2 x^{2}$

$50$	=	$2 x^{2}$	\| $- 50$ $- 2 x^{2}$
$- 2 x^{2}$	=	$- 50$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 41 x - 6}{4 x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 41 x - 6}{4 x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 41 x - 6}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 4 \cdot 4 x$
$- 41 x - 6$	=	$4 x \cdot x - 16 x$

- 41 x - 6

=

4 x^{2} - 16 x

|

- 4 x^{2}

+ 16 x

$- 4 x^{2} - 25 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 - 96}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{529}}{- 8}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{529}}{- 8}$ = $\frac{25+23}{- 8}$ = $\frac{48}{- 8}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{529}}{- 8}$ = $\frac{25-23}{- 8}$ = $\frac{2}{- 8}$ = $- 0,25$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 0,25$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 15 x}{x + 4} + x + 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

- \frac{15 x}{x + 4} + x + 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$- \frac{15 x}{x + 4} + x + 3$	=	\|⋅( $x + 4$ )
$- \frac{15 x}{x + 4} \cdot (x + 4) + x \cdot (x + 4) + 3 \cdot (x + 4)$	=
$- 15 x + x (x + 4) + 3 x + 12$	=
$- 15 x + (x^{2} + 4 x) + 3 x + 12$	=
$x^{2} - 8 x + 12$	=

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $6$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} - \frac{20}{x^{4}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} - \frac{20}{x^{4}}$	=	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{8}{x^{3}} \cdot x^{4} - \frac{20}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=
$x^{2} + 8 x - 20$	=

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 5} + \frac{- 7,8}{x - 1}$ = $- 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{5 x - 5} - \frac{7,8}{x - 1}$	=	$- 4 x$
$\frac{x}{5 (x - 1)} - \frac{7,8}{x - 1}$	=	$- 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 1)} - \frac{7,8}{x - 1}$	=	$- 4 x$	\|⋅( $5 (x - 1)$ )
$\frac{x}{5 (x - 1)} \cdot (5 (x - 1)) + \frac{- 7,8}{x - 1} \cdot (5 (x - 1))$	=	$- 4 x \cdot (5 (x - 1))$
$x - 39$	=	$- 20 x (x - 1)$
$x - 39$	=	$- 20 x^{2} + 20 x$

x - 39

=

- 20 x^{2} + 20 x

|

+ 20 x^{2}

- 20 x

$20 x^{2} - 19 x - 39$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 20 \cdot (- 39)}}{2 \cdot 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 3 120}}{40}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{3 481}}{40}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{3 481}}{40}$ = $\frac{19+59}{40}$ = $\frac{78}{40}$ = $1,95$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{3 481}}{40}$ = $\frac{19-59}{40}$ = $\frac{- 40}{40}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1,95$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{18}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{18}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{18}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{18}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 18$	=	$- x^{2}$
$a x - 18 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 9)$ = -18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 9)$ = $7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $2$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 4} + \frac{3}{x - 4}$ = $\frac{24}{x^{2} - 16}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ ; $4$ }

\frac{x}{x + 4} + \frac{3}{x - 4}

=

\frac{24}{(x + 4) \cdot (x - 4)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 4) \cdot (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{x + 4} + \frac{3}{x - 4}$	=	$\frac{24}{(x + 4) \cdot (x - 4)}$	\|⋅( $(x + 4) \cdot (x - 4)$ )
$\frac{x}{x + 4} \cdot (x + 4) \cdot (x - 4) + \frac{3}{x - 4} \cdot (x + 4) \cdot (x - 4)$	=	$\frac{24}{(x + 4) \cdot (x - 4)} \cdot (x + 4) \cdot (x - 4)$
$x (x - 4) + 3 x + 12$	=	$24 \frac{x + 4}{x + 4}$
$x (x - 4) + 3 x + 12$	=	$24$
$x^{2} - 4 x + 3 x + 12$	=	$24$
$x^{2} - x + 12$	=	$24$

x^{2} - x + 12

=

24

|

- 24

$x^{2} - x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösung x= $4$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 3$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter

42 Bruchgleichungen