Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{0}{x - 2}$ = $- 3 x$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{0}{x - 2}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{0}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$- 3 x \cdot (x - 2)$
0	=	$- 3 x (x - 2)$
0	=	$- 3 x^{2} + 6 x$

0	=	$- 3 x^{2} + 6 x$	\| $- (- 3 x^{2} + 6 x)$
$3 x^{2} - 6 x$	=	0
$3 x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Lösung x= $2$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x - 16}{x - 3}$ = $x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{7 x - 16}{x - 3}$	=	$x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{7 x - 16}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$x \cdot (x - 3)$
$7 x - 16$	=	$x (x - 3)$
$7 x - 16$	=	$x^{2} - 3 x$

7 x - 16

=

x^{2} - 3 x

|

- x^{2}

+ 3 x

$- x^{2} + 10 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 10+6}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 10-6}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 2}{x - 3} + x - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

- \frac{2}{x - 3} + x - 2

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$- \frac{2}{x - 3} + x - 2$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$- \frac{2}{x - 3} \cdot (x - 3) + x \cdot (x - 3) - 2 \cdot (x - 3)$	=
$- 2 + x (x - 3) - 2 x + 6$	=
$- 2 + (x^{2} - 3 x) - 2 x + 6$	=
$x^{2} - 5 x + 4$	=

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}}$ = $\frac{14}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}}$	=	$\frac{14}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{5}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{14}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 5 x$	=	$14$

x^{2} + 5 x

=

14

|

- 14

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x - 16} - 4 x$ = $- \frac{- 25,5}{2 x - 8}$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

\frac{x}{4 (x - 4)} - 4 x

=

\frac{25,5}{2 (x - 4)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{4 (x - 4)} - 4 x$	=	$\frac{25,5}{2 (x - 4)}$	\|⋅( $4 (x - 4)$ )
$\frac{x}{4 (x - 4)} \cdot (4 (x - 4)) - 4 x \cdot (4 (x - 4))$	=	$\frac{25,5}{2 (x - 4)} \cdot (4 (x - 4))$
$x - 16 x (x - 4)$	=	$51$
$x + (- 16 x^{2} + 64 x)$	=	$51$
$- 16 x^{2} + 65 x$	=	$51$

- 16 x^{2} + 65 x

=

51

|

- 51

$- 16 x^{2} + 65 x - 51$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 65 \pm \sqrt{65^{2} - 4 \cdot (- 16) \cdot (- 51)}}{2 \cdot (- 16)}$

x_1,2 = $\frac{- 65 \pm \sqrt{4 225 - 3 264}}{- 32}$

x_1,2 = $\frac{- 65 \pm \sqrt{961}}{- 32}$

x₁ = $\frac{- 65 + \sqrt{961}}{- 32}$ = $\frac{- 65+31}{- 32}$ = $\frac{- 34}{- 32}$ = $\frac{17}{16}$ ≈ 1.06

x₂ = $\frac{- 65 - \sqrt{961}}{- 32}$ = $\frac{- 65-31}{- 32}$ = $\frac{- 96}{- 32}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{17}{16}$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $6$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $6$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$6$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$6 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$6 x$
$x^{2} + a - 6 x$	=	0
$x^{2} - 6 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 6 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 4 würde es funktionieren, denn $- (2 + 4)$ = -6

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 4$ = $8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $4$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 8} + \frac{5}{x - 8}$ = $\frac{148}{x^{2} - 64}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 8$ ; $8$ }

\frac{x}{x + 8} + \frac{5}{x - 8}

=

\frac{148}{(x + 8) \cdot (x - 8)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 8) \cdot (x - 8)$ weg!

$\frac{x}{x + 8} + \frac{5}{x - 8}$	=	$\frac{148}{(x + 8) \cdot (x - 8)}$	\|⋅( $(x + 8) \cdot (x - 8)$ )
$\frac{x}{x + 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8) + \frac{5}{x - 8} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$	=	$\frac{148}{(x + 8) \cdot (x - 8)} \cdot (x + 8) \cdot (x - 8)$
$x (x - 8) + 5 x + 40$	=	$148 \frac{x + 8}{x + 8}$
$x (x - 8) + 5 x + 40$	=	$148$
$x^{2} - 8 x + 5 x + 40$	=	$148$
$x^{2} - 3 x + 40$	=	$148$

x^{2} - 3 x + 40

=

148

|

- 148

$x^{2} - 3 x - 108$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 108)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 432}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{441}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{441}}{2}$ = $\frac{3+21}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{441}}{2}$ = $\frac{3-21}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $12$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter

42 Bruchgleichungen