Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12}{x}$ = $3 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{12}{x}$	=	$3 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{12}{x} \cdot x$	=	$3 x \cdot x$
$12$	=	$3 x \cdot x$
$12$	=	$3 x^{2}$

$12$	=	$3 x^{2}$	\| $- 12$ $- 3 x^{2}$
$- 3 x^{2}$	=	$- 12$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{3}{x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$1 - \frac{3}{x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $x$ )
$1 \cdot x - \frac{3}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 3 \cdot x$
$x - 3$	=	$x \cdot x - 3 x$

x - 3

=

x^{2} - 3 x

|

- x^{2}

+ 3 x

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4+2}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4-2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 1$ = $- \frac{- 4}{x + 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$x - 1$	=	$\frac{4}{x + 2}$	\|⋅( $x + 2$ )
$x \cdot (x + 2) - 1 \cdot (x + 2)$	=	$\frac{4}{x + 2} \cdot (x + 2)$
$x (x + 2) - x - 2$	=	$4$
$x^{2} + 2 x - x - 2$	=	$4$
$x^{2} + x - 2$	=	$4$

x^{2} + x - 2

=

4

|

- 4

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{2}{x} \cdot x^{2} - \frac{3}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$- 2 x - 3$	=	$- x^{2}$

- 2 x - 3

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 20} + \frac{63,2}{x + 4}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$\frac{x}{5 x + 20} + \frac{63,2}{x + 4}$	=	$2 x$
$\frac{x}{5 (x + 4)} + \frac{63,2}{x + 4}$	=	$2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 4)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 4)} + \frac{63,2}{x + 4}$	=	$2 x$	\|⋅( $5 (x + 4)$ )
$\frac{x}{5 (x + 4)} \cdot (5 (x + 4)) + \frac{63,2}{x + 4} \cdot (5 (x + 4))$	=	$2 x \cdot (5 (x + 4))$
$x + 316$	=	$10 x (x + 4)$
$x + 316$	=	$10 x^{2} + 40 x$

x + 316

=

10 x^{2} + 40 x

|

- 10 x^{2}

- 40 x

$- 10 x^{2} - 39 x + 316$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{{(- 39)}^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot 316}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{1 521 + 12 640}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{14 161}}{- 20}$

x₁ = $\frac{39 + \sqrt{14 161}}{- 20}$ = $\frac{39+119}{- 20}$ = $\frac{158}{- 20}$ = $- 7,9$

x₂ = $\frac{39 - \sqrt{14 161}}{- 20}$ = $\frac{39-119}{- 20}$ = $\frac{- 80}{- 20}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7,9$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $1$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $1$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$1$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$1 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$x$
$x^{2} + a - x$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $2$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 2} + \frac{5}{x + 2}$ = $\frac{34}{x^{2} - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $2$ }

\frac{x}{x - 2} + \frac{5}{x + 2}

=

\frac{34}{(x + 2) \cdot (x - 2)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 2) \cdot (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{x - 2} + \frac{5}{x + 2}$	=	$\frac{34}{(x + 2) \cdot (x - 2)}$	\|⋅( $(x + 2) \cdot (x - 2)$ )
$\frac{x}{x - 2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2) + \frac{5}{x + 2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$	=	$\frac{34}{(x + 2) \cdot (x - 2)} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$
$x (x + 2) + 5 x - 10$	=	$34 \frac{x + 2}{x + 2}$
$x (x + 2) + 5 x - 10$	=	$34$
$x^{2} + 2 x + 5 x - 10$	=	$34$
$x^{2} + 7 x - 10$	=	$34$

x^{2} + 7 x - 10

=

34

|

- 34

$x^{2} + 7 x - 44$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 44)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 176}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 7+15}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 7-15}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 11$ ; $4$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter

42 Bruchgleichungen