Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-x\left(x-4\right)$ = 0 ist.

$-x\left(x-4\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-x\left(x-4\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-x\left(x-4\right)$ = 0 (x₁ = 0 und x₂ = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $-x\left(x-4\right)$ ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 0: f(-1) = $-\left(-1\right)·\left(-1-4\right)$ = $-5$ < 0
Für 0 < x < 4: f(3) = $-3·\left(3-4\right)$ = $3$ > 0
Für x > 4: f(5) = $-5·\left(5-4\right)$ = $-5$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $-x\left(x-4\right)$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $-x\left(x-4\right)$ ≤ 0 gehört, ist x₁=0 und x₂=4 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ 0 oder x ≥ 4.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-x^2-2x+8$ = 0 ist.

$-x^2-2x+8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·\left(-1\right)·8}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+32}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{36}}{-2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{-2}$ = $-4$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{-2}$ = $2$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-x^2-2x+8$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-x^2-2x+8$ = 0 (x₁ = -4 und x₂ = 2) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $-x^2-2x+8$ ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -4: f(-5) = $-{\left(-5\right)}^2-2\cdot \left(-5\right)+8$ = $-7$ < 0
Für -4 < x < 2: f(0) = $-0^2-2\cdot 0+8$ = $8$ > 0
Für x > 2: f(3) = $-3^2-2\cdot 3+8$ = $-7$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $-x^2-2x+8$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $-x^2-2x+8$ ≤ 0 gehört, ist x₁=-4 und x₂=2 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ -4 oder x ≥ 2.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^2-5x$ = $-x-4$ ist.

$x^2-5x$

=

$-x-4$

| $+x$ $+4$

$x^2-4x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·4}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{16-16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $x^2-5x$ und $\text{g(x)}=$ $-x-4$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^2-5x$ = $-x-4$ (x = 2) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $-x-4$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der Geraden y= $-x-4$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $x^2-5x$ ≥ $-x-4$ für alle x .

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $-x-4$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 2: f(0) = $0^2-5\cdot 0$ = 0 > $-4$ = $-0-4$ = g(0)
Für x > 2: f(3) = $3^2-5\cdot 3$ = $-6$ > $-7$ = $-3-4$ = g(3)
Also gilt die Ungleichung $x^2-5x$ ≥ $-x-4$ in beiden Intervallen.

Da der Grenzfall $x^2-5x$ = $-x-4$ auch zur gesuchten Ungleichung $x^2-5x$ ≥ $-x-4$ gehört, ist x=2 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)