Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-\left(x+3\right)\left(x-3\right)$ = 0 ist.

$-\left(x+3\right)\left(x-3\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-\left(x+3\right)\left(x-3\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-\left(x+3\right)\left(x-3\right)$ = 0 (x₁ = -3 und x₂ = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $-\left(x+3\right)\left(x-3\right)$ > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -3: f(-4) = $-\left(-4+3\right)·\left(-4-3\right)$ = $-7$ < 0
Für -3 < x < 3: f(0) = $-\left(0+3\right)·\left(0-3\right)$ = $9$ > 0
Für x > 3: f(4) = $-\left(4+3\right)·\left(4-3\right)$ = $-7$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $-\left(x+3\right)\left(x-3\right)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $-\left(x+3\right)\left(x-3\right)$ > 0 gehört, ist x₁=-3 und x₂=3 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > -3 und x < 3.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2x^2-10x$ = 0 ist.

$2x^2-10x$	=	0
$2x\left(x-5\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $2x^2-10x$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2x^2-10x$ = 0 (x₁ = 0 und x₂ = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $2x^2-10x$ ≤ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 0: f(-1) = $2\cdot {\left(-1\right)}^2-10\cdot \left(-1\right)$ = $12$ > 0
Für 0 < x < 5: f(4) = $2\cdot 4^2-10\cdot 4$ = $-8$ < 0
Für x > 5: f(6) = $2\cdot 6^2-10\cdot 6$ = $12$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $2x^2-10x$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $2x^2-10x$ ≤ 0 gehört, ist x₁=0 und x₂=5 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≥ 0 und x ≤ 5.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-2x^2+7x-8$ = $3x-4$ ist.

$-2x^2+7x-8$

=

$3x-4$

| $-3x$ $+4$

$-2x^2+4x-4$ = 0 |:2

$-x^2+2x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·\left(-1\right)·\left(-2\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4-8}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{-2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+7x-8$ und $\text{g(x)}=$ $3x-4$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-2x^2+7x-8$ = $3x-4$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $3x-4$, es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $3x-4$ oder alle unter der Geraden y= $3x-4$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der Geraden y= $3x-4$ liegen.
Die Ungleichung $-2x^2+7x-8$ ≤ $3x-4$ gilt somit für alle x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $3x-4$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+7x-8$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $-2\cdot 0^2+7\cdot 0-8$ = $-8$ < $-4$ = $3\cdot 0-4$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $-2x^2+7x-8$ ≤ $3x-4$ gilt für alle x.

Die Lösung ist also: ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)