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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$(x - 1) \cdot (x - 4)$ ≥ 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $(x - 1) \cdot (x - 4)$ = 0 ist.

(x - 1) \cdot (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $(x - 1) \cdot (x - 4)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $(x - 1) \cdot (x - 4)$ = 0 (x₁ = 1 und x₂ = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $(x - 1) \cdot (x - 4)$ ≥ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 1: f(0) = $(0 - 1) \cdot (0 - 4)$ = $4$ > 0
Für 1 < x < 4: f(3) = $(3 - 1) \cdot (3 - 4)$ = $- 2$ < 0
Für x > 4: f(5) = $(5 - 1) \cdot (5 - 4)$ = $4$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≥ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $(x - 1) \cdot (x - 4)$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $(x - 1) \cdot (x - 4)$ ≥ 0 gehört, ist x₁=1 und x₂=4 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ 1 oder x ≥ 4.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- x^{2} + 3 x + 10$ ≥ 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- x^{2} + 3 x + 10$ = 0 ist.

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3+7}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3-7}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- x^{2} + 3 x + 10$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- x^{2} + 3 x + 10$ = 0 (x₁ = -2 und x₂ = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- x^{2} + 3 x + 10$ ≥ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -2: f(-3) = $- {(- 3)}^{2} + 3 \cdot (- 3) + 10$ = $- 8$ < 0
Für -2 < x < 5: f(0) = $- 0^{2} + 3 \cdot 0 + 10$ = $10$ > 0
Für x > 5: f(6) = $- 6^{2} + 3 \cdot 6 + 10$ = $- 8$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≥ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- x^{2} + 3 x + 10$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $- x^{2} + 3 x + 10$ ≥ 0 gehört, ist x₁=-2 und x₂=5 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≥ -2 und x ≤ 5.

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$2 x^{2} + 11 x + 6$ > $3 x - 2$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2 x^{2} + 11 x + 6$ = $3 x - 2$ ist.

2 x^{2} + 11 x + 6

=

3 x - 2

|

- 3 x

+ 2

2 x^{2} + 8 x + 8

= 0 |:2

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $2 x^{2} + 11 x + 6$ und $g(x) =$ $3 x - 2$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2 x^{2} + 11 x + 6$ = $3 x - 2$ (x = -2) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $3 x - 2$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel (außer dem Scheitel) oberhalb der Geraden y= $3 x - 2$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $2 x^{2} + 11 x + 6$ > $3 x - 2$ für alle x außer für x = -2.

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $3 x - 2$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -2: f(-3) = $2 \cdot {(- 3)}^{2} + 11 \cdot (- 3) + 6$ = $- 9$ > $- 11$ = $3 \cdot (- 3) - 2$ = g(-3)
Für x > -2: f(0) = $2 \cdot 0^{2} + 11 \cdot 0 + 6$ = $6$ > $- 2$ = $3 \cdot 0 - 2$ = g(0)
Also gilt die Ungleichung $2 x^{2} + 11 x + 6$ > $3 x - 2$ in beiden Intervallen.

Da der Grenzfall $2 x^{2} + 11 x + 6$ = $3 x - 2$ nicht zur gesuchten Ungleichung $2 x^{2} + 11 x + 6$ > $3 x - 2$ gehört, ist x=-2 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

ℝ\{-2} (alle x außer x=-2 erfüllen die Ungleichung)

Aufgabenbeispiele von Ungleichungen

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):