Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x\left(x-4\right)$ = 0 ist.

$x\left(x-4\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $x\left(x-4\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x\left(x-4\right)$ = 0 (x₁ = 0 und x₂ = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $x\left(x-4\right)$ > 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 0: f(-1) = $-1·\left(-1-4\right)$ = $5$ > 0
Für 0 < x < 4: f(3) = $3·\left(3-4\right)$ = $-3$ < 0
Für x > 4: f(5) = $5·\left(5-4\right)$ = $5$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $x\left(x-4\right)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $x\left(x-4\right)$ > 0 gehört, ist x₁=0 und x₂=4 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x < 0 oder x > 4.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-x^2+4$ = 0 ist.

$-x^2+4$	=	0	| $-4$
$-x^2$	=	$-4$	|: $\left(-1\right)$
$x^2$	=	$4$	|
x1	=	$-\sqrt{4}$	= $-2$
x2	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-x^2+4$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-x^2+4$ = 0 (x₁ = -2 und x₂ = 2) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $-x^2+4$ ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -2: f(-3) = $-{\left(-3\right)}^2+4$ = $-5$ < 0
Für -2 < x < 2: f(0) = $-0^2+4$ = $4$ > 0
Für x > 2: f(3) = $-3^2+4$ = $-5$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $-x^2+4$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $-x^2+4$ ≤ 0 gehört, ist x₁=-2 und x₂=2 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ -2 oder x ≥ 2.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^2+x-4$ = $-x-5$ ist.

$x^2+x-4$

=

$-x-5$

| $+x$ $+5$

$x^2+2x+1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·1}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4-4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $x^2+x-4$ und $\text{g(x)}=$ $-x-5$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^2+x-4$ = $-x-5$ (x = -1) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $-x-5$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel (außer dem Scheitel) oberhalb der Geraden y= $-x-5$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $x^2+x-4$ ≤ $-x-5$ für kein x außer für x = -1.

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $-x-5$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -1: f(-2) = ${\left(-2\right)}^2-2-4$ = $-2$ > $-3$ = $-\left(-2\right)-5$ = g(-2)
Für x > -1: f(0) = $0^2+0-4$ = $-4$ > $-5$ = $-0-5$ = g(0)
Also gilt die Ungleichung $x^2+x-4$ ≤ $-x-5$ in keinem der Intervalle.

Da der Grenzfall $x^2+x-4$ = $-x-5$ auch zur gesuchten Ungleichung $x^2+x-4$ ≤ $-x-5$ gehört, ist x=-1 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

{-1}