Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $\left(x+4\right)\left(x-5\right)$ = 0 ist.

$\left(x+4\right)\left(x-5\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $\left(x+4\right)\left(x-5\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $\left(x+4\right)\left(x-5\right)$ = 0 (x₁ = -4 und x₂ = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $\left(x+4\right)\left(x-5\right)$ < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -4: f(-5) = $\left(-5+4\right)·\left(-5-5\right)$ = $10$ > 0
Für -4 < x < 5: f(0) = $\left(0+4\right)·\left(0-5\right)$ = $-20$ < 0
Für x > 5: f(6) = $\left(6+4\right)·\left(6-5\right)$ = $10$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $\left(x+4\right)\left(x-5\right)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $\left(x+4\right)\left(x-5\right)$ < 0 gehört, ist x₁=-4 und x₂=5 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > -4 und x < 5.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^2-5x$ = 0 ist.

$x^2-5x$	=	0
$x\left(x-5\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $x^2-5x$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^2-5x$ = 0 (x₁ = 0 und x₂ = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $x^2-5x$ ≥ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 0: f(-1) = ${\left(-1\right)}^2-5\cdot \left(-1\right)$ = $6$ > 0
Für 0 < x < 5: f(4) = $4^2-5\cdot 4$ = $-4$ < 0
Für x > 5: f(6) = $6^2-5\cdot 6$ = $6$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≥ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $x^2-5x$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $x^2-5x$ ≥ 0 gehört, ist x₁=0 und x₂=5 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ 0 oder x ≥ 5.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-2x^2-5x-5$ = $-x-3$ ist.

$-2x^2-5x-5$

=

$-x-3$

| $+x$ $+3$

$-2x^2-4x-2$ = 0 |:2

$-x^2-2x-1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-1\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4-4}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{0}}{-2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{-2}$ = $-1$

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $-2x^2-5x-5$ und $\text{g(x)}=$ $-x-3$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-2x^2-5x-5$ = $-x-3$ (x = -1) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $-x-3$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der Geraden y= $-x-3$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $-2x^2-5x-5$ > $-x-3$ für kein x .

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $-x-3$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -1: f(-2) = $-2\cdot {\left(-2\right)}^2-5\cdot \left(-2\right)-5$ = $-3$ < $-1$ = $-\left(-2\right)-3$ = g(-2)
Für x > -1: f(0) = $-2\cdot 0^2-5\cdot 0-5$ = $-5$ < $-3$ = $-0-3$ = g(0)
Also gilt die Ungleichung $-2x^2-5x-5$ > $-x-3$ in keinem der Intervalle.

Da der Grenzfall $-2x^2-5x-5$ = $-x-3$ nicht zur gesuchten Ungleichung $-2x^2-5x-5$ > $-x-3$ gehört, ist x=-1 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

{} (kein x erfüllt die Ungleichung)