Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-\left(x-1\right)\left(x-4\right)$ = 0 ist.

$-\left(x-1\right)\left(x-4\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-\left(x-1\right)\left(x-4\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-\left(x-1\right)\left(x-4\right)$ = 0 (x₁ = 1 und x₂ = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $-\left(x-1\right)\left(x-4\right)$ ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 1: f(0) = $-\left(0-1\right)·\left(0-4\right)$ = $-4$ < 0
Für 1 < x < 4: f(3) = $-\left(3-1\right)·\left(3-4\right)$ = $2$ > 0
Für x > 4: f(5) = $-\left(5-1\right)·\left(5-4\right)$ = $-4$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $-\left(x-1\right)\left(x-4\right)$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $-\left(x-1\right)\left(x-4\right)$ ≤ 0 gehört, ist x₁=1 und x₂=4 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ 1 oder x ≥ 4.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^2-5x+4$ = 0 ist.

$x^2-5x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·1·4}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{25-16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $x^2-5x+4$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^2-5x+4$ = 0 (x₁ = 1 und x₂ = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $x^2-5x+4$ > 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 1: f(0) = $0^2-5\cdot 0+4$ = $4$ > 0
Für 1 < x < 4: f(3) = $3^2-5\cdot 3+4$ = $-2$ < 0
Für x > 4: f(5) = $5^2-5\cdot 5+4$ = $4$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $x^2-5x+4$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $x^2-5x+4$ > 0 gehört, ist x₁=1 und x₂=4 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x < 1 oder x > 4.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2x^2-14x+25$ = $-2x+5$ ist.

$2x^2-14x+25$

=

$-2x+5$

| $+2x$ $-5$

$2x^2-12x+20$ = 0 |:2

$x^2-6x+10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{{\left(-6\right)}^2-4·1·10}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{36-40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $2x^2-14x+25$ und $\text{g(x)}=$ $-2x+5$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2x^2-14x+25$ = $-2x+5$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $-2x+5$, es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $-2x+5$ oder alle unter der Geraden y= $-2x+5$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der Geraden y= $-2x+5$ liegen.
Die Ungleichung $2x^2-14x+25$ ≥ $-2x+5$ gilt somit für alle x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $-2x+5$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $\text{f(x)}=$ $2x^2-14x+25$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $2\cdot 0^2-14\cdot 0+25$ = $25$ > $5$ = $-2\cdot 0+5$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $2x^2-14x+25$ ≥ $-2x+5$ gilt für alle x.

Die Lösung ist also: ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)