Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $\left(x+3\right)\left(x-4\right)$ = 0 ist.

$\left(x+3\right)\left(x-4\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $\left(x+3\right)\left(x-4\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $\left(x+3\right)\left(x-4\right)$ = 0 (x₁ = -3 und x₂ = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $\left(x+3\right)\left(x-4\right)$ ≤ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -3: f(-4) = $\left(-4+3\right)·\left(-4-4\right)$ = $8$ > 0
Für -3 < x < 4: f(0) = $\left(0+3\right)·\left(0-4\right)$ = $-12$ < 0
Für x > 4: f(5) = $\left(5+3\right)·\left(5-4\right)$ = $8$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $\left(x+3\right)\left(x-4\right)$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $\left(x+3\right)\left(x-4\right)$ ≤ 0 gehört, ist x₁=-3 und x₂=4 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≥ -3 und x ≤ 4.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2x^2-2x-4$ = 0 ist.

$2x^2-2x-4$ = 0 |:2

$x^2-x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $2x^2-2x-4$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2x^2-2x-4$ = 0 (x₁ = -1 und x₂ = 2) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $2x^2-2x-4$ < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -1: f(-2) = $2\cdot {\left(-2\right)}^2-2\cdot \left(-2\right)-4$ = $8$ > 0
Für -1 < x < 2: f(0) = $2\cdot 0^2-2\cdot 0-4$ = $-4$ < 0
Für x > 2: f(3) = $2\cdot 3^2-2\cdot 3-4$ = $8$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $2x^2-2x-4$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $2x^2-2x-4$ < 0 gehört, ist x₁=-1 und x₂=2 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > -1 und x < 2.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2x^2-15x+36$ = $x+4$ ist.

$2x^2-15x+36$

=

$x+4$

| $-x$ $-4$

$2x^2-16x+32$ = 0 |:2

$x^2-8x+16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{{\left(-8\right)}^2-4·1·16}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{64-64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $2x^2-15x+36$ und $\text{g(x)}=$ $x+4$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2x^2-15x+36$ = $x+4$ (x = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $x+4$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel (außer dem Scheitel) oberhalb der Geraden y= $x+4$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $2x^2-15x+36$ ≤ $x+4$ für kein x außer für x = 4.

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $x+4$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 4: f(0) = $2\cdot 0^2-15\cdot 0+36$ = $36$ > $4$ = $0+4$ = g(0)
Für x > 4: f(5) = $2\cdot 5^2-15\cdot 5+36$ = $11$ > $9$ = $5+4$ = g(5)
Also gilt die Ungleichung $2x^2-15x+36$ ≤ $x+4$ in keinem der Intervalle.

Da der Grenzfall $2x^2-15x+36$ = $x+4$ auch zur gesuchten Ungleichung $2x^2-15x+36$ ≤ $x+4$ gehört, ist x=4 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

{4}