Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $a·\left(x-1\right)·\left(x-5\right)$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach unten geöffnet, also muss a=$-1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{f(x)}=$ $-\left(x-1\right)\left(x-5\right)$.

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

$x^2+2x-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-3\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{-2+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-2-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

Der Funktionterm $\left(x+3\right)\left(x-1\right)$ hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie $\text{f(x)}=$ $x^2+2x-3$ und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).

Also ist $\text{f(x)}=$ $\left(x+3\right)\left(x-1\right)$ bereits der gesuchte Term.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $a·x·\left(x-3\right)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|2).
Es gilt dann ja: f(1)=2,
also f(1)= $a·1·\left(1-3\right)$ = $-2a$=2.

Hieraus ergibt sich a=$-1$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{f(x)}=$ $-x\left(x-3\right)$.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $a·\left(x+3\right)·x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|1).
Es gilt dann ja: f(-2)=1,
also f(-2)= $a·\left(-2+3\right)·\left(-2\right)$ = $-2a$=1.

Hieraus ergibt sich a=$-\frac{1}{2}$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\left(x+3\right)x$.

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\left(x+3\right)x$

= $-\frac{1}{2}(x·x+3·x)$

= $-\frac{1}{2}(x·x+3x)$

= $-\frac{1}{2}\left(x^2+3x\right)$

= $-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{3}{2}x$

Der gesuchte Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c ist somit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{3}{2}x$

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

$-x^2+2x+3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·\left(-1\right)·3}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{16}}{-2}$

x₁ = $\frac{-2+\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{-2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-2-\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{-2}$ = $3$

Für jedes a hat also der Funktionterm $a·\left(x+1\right)·\left(x-3\right)$ genau die gleichen Nullstellen wie $\text{f(x)}=$ $-3x^2+6x+9$.

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

$\text{f(x)}=$ $a·\left(x+1\right)·\left(x-3\right)$

= $a·(x·x+x·\left(-3\right)+1·x+1·\left(-3\right))$

= $a·(x·x-3x+x-3)$

= $a·\left(x^2-2x-3\right)$

Für a = -3 ergibt sich also tatsächlich:

$-3\left(x^2-2x-3\right)$ = $-3x^2+6x+9$ = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: $\text{f(x)}=$ $-3\left(x+1\right)\left(x-3\right)$