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Linearfaktordarst. am Graph (a=1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach oben geöffnet, also muss a= $1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $f(x) =$ $(x + 4) (x + 2)$ .

Linearfaktordarst. aus Term (a=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 4 x$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir können einfach x ausklammern und erhalten so $f(x) =$ $x (x - 4)$ .

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-4|2).
Es gilt dann ja: f(-4)=2,
also f(-4)= $a \cdot (- 4 + 3) \cdot (- 4 - 4)$ = $8 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $f(x) =$ $\frac{1}{4} (x + 3) (x - 4)$ .

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild einer Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c an.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|1).
Es gilt dann ja: f(-2)=1,
also f(-2)= $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2 - 1)$ = $- 3 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $f(x) =$ $- \frac{1}{3} (x + 3) (x - 1)$ .

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

$f(x) =$ $- \frac{1}{3} (x + 3) (x - 1)$

= $- \frac{1}{3} (x \cdot x + x \cdot (- 1) + 3 \cdot x + 3 \cdot (- 1))$

= $- \frac{1}{3} (x \cdot x - x + 3 x - 3)$

= $- \frac{1}{3} (x^{2} + 2 x - 3)$

= $- \frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x + 1$

Der gesuchte Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c ist somit $f(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x + 1$

Linearfakt. aus Term (a≠1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $5 x^{2} + 10 x$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir können einfach x ausklammern und erhalten so $f(x) =$ $5 (x + 2) x$ .

Aufgabenbeispiele von Linearfaktordarstellung

Linearfaktordarst. am Graph (a=1)

Linearfaktordarst. aus Term (a=1)

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Linearfakt. aus Term (a≠1)