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Linearfaktordarst. am Graph (a=1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $a \cdot (x + 4) \cdot x$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach oben geöffnet, also muss a= $1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $f(x) =$ $(x + 4) x$ .

Linearfaktordarst. aus Term (a=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 1$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Der Funktionterm $(x + 1) (x - 1)$ hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie $f(x) =$ $x^{2} - 1$ und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).

Also ist $f(x) =$ $(x + 1) (x - 1)$ bereits der gesuchte Term.

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $a \cdot (x + 2) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-2).
Es gilt dann ja: f(-1)=-2,
also f(-1)= $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $f(x) =$ $2 (x + 2) x$ .

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild einer Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c an.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-2).
Es gilt dann ja: f(-1)=-2,
also f(-1)= $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1 - 3)$ = $- 4 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $f(x) =$ $\frac{1}{2} (x + 2) (x - 3)$ .

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} (x + 2) (x - 3)$

= $\frac{1}{2} (x \cdot x + x \cdot (- 3) + 2 \cdot x + 2 \cdot (- 3))$

= $\frac{1}{2} (x \cdot x - 3 x + 2 x - 6)$

= $\frac{1}{2} (x^{2} - x - 6)$

= $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x - 3$

Der gesuchte Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c ist somit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x - 3$

Linearfakt. aus Term (a≠1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 5 x^{2} + 20$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

$- 5 x^{2} + 20$	=	0	\| $- 20$
$- 5 x^{2}$	=	$- 20$	\|: $(- 5)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Für jedes a hat also der Funktionterm $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$ genau die gleichen Nullstellen wie $f(x) =$ $- 5 x^{2} + 20$ .

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

$f(x) =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$

= $a \cdot (x \cdot x + x \cdot (- 2) + 2 \cdot x + 2 \cdot (- 2))$

= $a \cdot (x \cdot x - 2 x + 2 x - 4)$

= $a \cdot (x^{2} - 4)$

Für a = -5 ergibt sich also tatsächlich:

$- 5 (x^{2} - 4)$ = $- 5 x^{2} + 20$ = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: $f(x) =$ $- 5 (x + 2) (x - 2)$

Aufgabenbeispiele von Linearfaktordarstellung

Linearfaktordarst. am Graph (a=1)

Linearfaktordarst. aus Term (a=1)

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Linearfakt. aus Term (a≠1)