Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $a·x·\left(x-4\right)$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach unten geöffnet, also muss a=$-1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{f(x)}=$ $-x\left(x-4\right)$.

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

Der Funktionterm $\left(x+2\right)\left(x-2\right)$ hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie $\text{f(x)}=$ $x^2-4$ und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).

Also ist $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)\left(x-2\right)$ bereits der gesuchte Term.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $a·x·\left(x-2\right)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-1).
Es gilt dann ja: f(1)=-1,
also f(1)= $a·1·\left(1-2\right)$ = $-a$=-1.

Hieraus ergibt sich a=$1$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{f(x)}=$ $x\left(x-2\right)$.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $a·\left(x+3\right)·\left(x-4\right)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-4|2).
Es gilt dann ja: f(-4)=2,
also f(-4)= $a·\left(-4+3\right)·\left(-4-4\right)$ = $8a$=2.

Hieraus ergibt sich a=$\frac{1}{4}$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}\left(x+3\right)\left(x-4\right)$.

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}\left(x+3\right)\left(x-4\right)$

= $\frac{1}{4}(x·x+x·\left(-4\right)+3·x+3·\left(-4\right))$

= $\frac{1}{4}(x·x-4x+3x-12)$

= $\frac{1}{4}\left(x^2-x-12\right)$

= $\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{4}x-3$

Der gesuchte Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c ist somit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{4}x-3$

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

$x^2-x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

Für jedes a hat also der Funktionterm $a·\left(x+1\right)·\left(x-2\right)$ genau die gleichen Nullstellen wie $\text{f(x)}=$ $4x^2-4x-8$.

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

$\text{f(x)}=$ $a·\left(x+1\right)·\left(x-2\right)$

= $a·(x·x+x·\left(-2\right)+1·x+1·\left(-2\right))$

= $a·(x·x-2x+x-2)$

= $a·\left(x^2-x-2\right)$

Für a = 4 ergibt sich also tatsächlich:

$4\left(x^2-x-2\right)$ = $4x^2-4x-8$ = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: $\text{f(x)}=$ $4\left(x+1\right)\left(x-2\right)$