Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $a·\left(x+1\right)·\left(x-3\right)$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach oben geöffnet, also muss a=$1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)\left(x-3\right)$.

Wir können einfach x ausklammern und erhalten so $\text{f(x)}=$ $\left(x+3\right)x$.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $a·\left(x+3\right)·\left(x+1\right)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|-2).
Es gilt dann ja: f(-2)=-2,
also f(-2)= $a·\left(-2+3\right)·\left(-2+1\right)$ = $-a$=-2.

Hieraus ergibt sich a=$2$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{f(x)}=$ $2\left(x+3\right)\left(x+1\right)$.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $a·\left(x-1\right)·\left(x-4\right)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-1).
Es gilt dann ja: f(0)=-1,
also f(0)= $a·\left(0-1\right)·\left(0-4\right)$ = $4a$=-1.

Hieraus ergibt sich a=$-\frac{1}{4}$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}\left(x-1\right)\left(x-4\right)$.

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}\left(x-1\right)\left(x-4\right)$

= $-\frac{1}{4}(x·x+x·\left(-4\right)-1·x-1·\left(-4\right))$

= $-\frac{1}{4}(x·x-4x-x+4)$

= $-\frac{1}{4}\left(x^2-5x+4\right)$

= $-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{5}{4}x-1$

Der gesuchte Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c ist somit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{5}{4}x-1$

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

$-x^2+5x-4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{5^2-4·\left(-1\right)·\left(-4\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{25-16}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{9}}{-2}$

x₁ = $\frac{-5+\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{-2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-5-\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{-2}$ = $4$

Für jedes a hat also der Funktionterm $a·\left(x-1\right)·\left(x-4\right)$ genau die gleichen Nullstellen wie $\text{f(x)}=$ $-3x^2+15x-12$.

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

$\text{f(x)}=$ $a·\left(x-1\right)·\left(x-4\right)$

= $a·(x·x+x·\left(-4\right)-1·x-1·\left(-4\right))$

= $a·(x·x-4x-x+4)$

= $a·\left(x^2-5x+4\right)$

Für a = -3 ergibt sich also tatsächlich:

$-3\left(x^2-5x+4\right)$ = $-3x^2+15x-12$ = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: $\text{f(x)}=$ $-3\left(x-1\right)\left(x-4\right)$