Aufgabenbeispiele von Linearfaktordarstellung

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Linearfaktordarst. am Graph (a=1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-1|0) und N2(3|0).

Also muss der Funktionsterm a · ( x +1 ) · ( x -3 ) sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach unten geöffnet, also muss a=-1 sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit f(x)= - ( x +1 ) ( x -3 ) .

Linearfaktordarst. aus Term (a=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -4x +3 .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

x 2 -4x +3 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 1 · 3 21

x1,2 = +4 ± 16 -12 2

x1,2 = +4 ± 4 2

x1 = 4 + 4 2 = 4 +2 2 = 6 2 = 3

x2 = 4 - 4 2 = 4 -2 2 = 2 2 = 1

Der Funktionterm ( x -1 ) ( x -3 ) hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie f(x)= x 2 -4x +3 und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).

Also ist f(x)= ( x -1 ) ( x -3 ) bereits der gesuchte Term.

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(1|0) und N2(3|0).

Also muss der Funktionsterm a · ( x -1 ) · ( x -3 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|2).
Es gilt dann ja: f(2)=2,
also f(2)= a · ( 2 -1 ) · ( 2 -3 ) = -a =2.

Hieraus ergibt sich a=-2.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit f(x)= -2 ( x -1 ) ( x -3 ) .

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist das Schaubild einer Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c an.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(1|0) und N2(4|0).

Also muss der Funktionsterm a · ( x -1 ) · ( x -4 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|-2).
Es gilt dann ja: f(2)=-2,
also f(2)= a · ( 2 -1 ) · ( 2 -4 ) = -2a =-2.

Hieraus ergibt sich a=1.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit f(x)= ( x -1 ) ( x -4 ) .

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

f(x)= ( x -1 ) ( x -4 )

= x · x + x · ( -4 ) -1 · x -1 · ( -4 )

= x · x -4x - x +4

= x 2 -5x +4

Der gesuchte Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c ist somit f(x)= x 2 -5x +4

Linearfakt. aus Term (a≠1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 x 2 -6x .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Wir können einfach x ausklammern und erhalten so f(x)= 2 x ( x -3 ) .