Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $a·x·\left(x-2\right)$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach unten geöffnet, also muss a=$-1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{f(x)}=$ $-x\left(x-2\right)$.

Wir können einfach x ausklammern und erhalten so $\text{f(x)}=$ $x\left(x-4\right)$.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $a·\left(x+2\right)·x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|2).
Es gilt dann ja: f(-1)=2,
also f(-1)= $a·\left(-1+2\right)·\left(-1\right)$ = $-a$=2.

Hieraus ergibt sich a=$-2$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{f(x)}=$ $-2\left(x+2\right)x$.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $a·\left(x+1\right)·\left(x-2\right)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-2).
Es gilt dann ja: f(0)=-2,
also f(0)= $a·\left(0+1\right)·\left(0-2\right)$ = $-2a$=-2.

Hieraus ergibt sich a=$1$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)\left(x-2\right)$.

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)\left(x-2\right)$

= $x·x+x·\left(-2\right)+1·x+1·\left(-2\right)$

= $x·x-2x+x-2$

= $x^2-x-2$

Der gesuchte Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c ist somit $\text{f(x)}=$ $x^2-x-2$

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

$x^2-4x+3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·3}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{16-12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Für jedes a hat also der Funktionterm $a·\left(x-1\right)·\left(x-3\right)$ genau die gleichen Nullstellen wie $\text{f(x)}=$ $3x^2-12x+9$.

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

$\text{f(x)}=$ $a·\left(x-1\right)·\left(x-3\right)$

= $a·(x·x+x·\left(-3\right)-1·x-1·\left(-3\right))$

= $a·(x·x-3x-x+3)$

= $a·\left(x^2-4x+3\right)$

Für a = 3 ergibt sich also tatsächlich:

$3\left(x^2-4x+3\right)$ = $3x^2-12x+9$ = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: $\text{f(x)}=$ $3\left(x-1\right)\left(x-3\right)$