Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $a·x·\left(x-3\right)$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach unten geöffnet, also muss a=$-1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{f(x)}=$ $-x\left(x-3\right)$.

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

$x^2+6x+8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·1·8}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{36-32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{-6+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

x₂ = $\frac{-6-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

Der Funktionterm $\left(x+4\right)\left(x+2\right)$ hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie $\text{f(x)}=$ $x^2+6x+8$ und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).

Also ist $\text{f(x)}=$ $\left(x+4\right)\left(x+2\right)$ bereits der gesuchte Term.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $a·\left(x+4\right)·\left(x+2\right)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-6|-2).
Es gilt dann ja: f(-6)=-2,
also f(-6)= $a·\left(-6+4\right)·\left(-6+2\right)$ = $8a$=-2.

Hieraus ergibt sich a=$-\frac{1}{4}$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}\left(x+4\right)\left(x+2\right)$.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $a·\left(x+3\right)·\left(x-4\right)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-4|-2).
Es gilt dann ja: f(-4)=-2,
also f(-4)= $a·\left(-4+3\right)·\left(-4-4\right)$ = $8a$=-2.

Hieraus ergibt sich a=$-\frac{1}{4}$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}\left(x+3\right)\left(x-4\right)$.

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}\left(x+3\right)\left(x-4\right)$

= $-\frac{1}{4}(x·x+x·\left(-4\right)+3·x+3·\left(-4\right))$

= $-\frac{1}{4}(x·x-4x+3x-12)$

= $-\frac{1}{4}\left(x^2-x-12\right)$

= $-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{4}x+3$

Der gesuchte Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c ist somit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{4}x+3$

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

$x^2-4x+3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·3}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{16-12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Für jedes a hat also der Funktionterm $a·\left(x-1\right)·\left(x-3\right)$ genau die gleichen Nullstellen wie $\text{f(x)}=$ $4x^2-16x+12$.

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

$\text{f(x)}=$ $a·\left(x-1\right)·\left(x-3\right)$

= $a·(x·x+x·\left(-3\right)-1·x-1·\left(-3\right))$

= $a·(x·x-3x-x+3)$

= $a·\left(x^2-4x+3\right)$

Für a = 4 ergibt sich also tatsächlich:

$4\left(x^2-4x+3\right)$ = $4x^2-16x+12$ = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: $\text{f(x)}=$ $4\left(x-1\right)\left(x-3\right)$