Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $a·x·\left(x-4\right)$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach unten geöffnet, also muss a=$-1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{f(x)}=$ $-x\left(x-4\right)$.

Wir können einfach x ausklammern und erhalten so $\text{f(x)}=$ $x\left(x-4\right)$.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(2|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $a·\left(x-2\right)·\left(x-5\right)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(3|1).
Es gilt dann ja: f(3)=1,
also f(3)= $a·\left(3-2\right)·\left(3-5\right)$ = $-2a$=1.

Hieraus ergibt sich a=$-\frac{1}{2}$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\left(x-2\right)\left(x-5\right)$.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $a·x·\left(x-2\right)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|2).
Es gilt dann ja: f(1)=2,
also f(1)= $a·1·\left(1-2\right)$ = $-a$=2.

Hieraus ergibt sich a=$-2$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{f(x)}=$ $-2x\left(x-2\right)$.

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

$\text{f(x)}=$ $-2x\left(x-2\right)$

= $-2(x·x+x·\left(-2\right))$

= $-2(x·x-2x)$

= $-2\left(x^2-2x\right)$

= $-2x^2+4x$

Der gesuchte Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c ist somit $\text{f(x)}=$ $-2x^2+4x$

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

$-x^2+6x-5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·\left(-1\right)·\left(-5\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{16}}{-2}$

x₁ = $\frac{-6+\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{-2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-6-\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{-2}$ = $5$

Für jedes a hat also der Funktionterm $a·\left(x-1\right)·\left(x-5\right)$ genau die gleichen Nullstellen wie $\text{f(x)}=$ $-4x^2+24x-20$.

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

$\text{f(x)}=$ $a·\left(x-1\right)·\left(x-5\right)$

= $a·(x·x+x·\left(-5\right)-1·x-1·\left(-5\right))$

= $a·(x·x-5x-x+5)$

= $a·\left(x^2-6x+5\right)$

Für a = -4 ergibt sich also tatsächlich:

$-4\left(x^2-6x+5\right)$ = $-4x^2+24x-20$ = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: $\text{f(x)}=$ $-4\left(x-1\right)\left(x-5\right)$