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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 24 x + 64$ = 0

2 x^{2} + 24 x + 64

= 0 |:2

$x^{2} + 12 x + 32$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 12+4}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 12-4}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $- 4$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 36$ = $- 24 x$

Lösung einblenden

4 x^{2} + 36

=

- 24 x

|

+ 24 x

4 x^{2} + 24 x + 36

= 0 |:4

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} - 42 x - 147$ = 0

Lösung einblenden

- 3 x^{2} - 42 x - 147

= 0 |:3

$- x^{2} - 14 x - 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 49)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ }

$- 7$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x^{2} - 4 x - 5$ = $(- 9 x - 9) (x + 7) + 59 x + 38$

Lösung einblenden

$- 8 x^{2} - 4 x - 5$	=	$(- 9 x - 9) (x + 7) + 59 x + 38$
$- 8 x^{2} - 4 x - 5$	=	$- 9 x^{2} - 72 x - 63 + 59 x + 38$
$- 8 x^{2} - 4 x - 5$	=	$- 9 x^{2} - 13 x - 25$	\| $+ 9 x^{2}$ $+ 13 x$ $+ 25$

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9+1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9-1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 20 x + 100$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - 20 x + 100$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 - 400}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{20}{2}$ = $10$

L={ $10$ }

$10$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $10$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 3 x^{2} + 12 x + 15$
und
$g(x) =$ $- 4 x^{2} + 4 x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 3 x^{2} + 12 x + 15

=

- 4 x^{2} + 4 x - 1

|

+ 4 x^{2}

- 4 x

+ 1

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ }

$- 4$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 4 \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot (- 4) - 1$ = $- 4 \cdot 16 - 16 - 1$ = $- 64 - 16 - 1$ = $- 81$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 4$ | $- 81$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{4}{3} x + 14$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{1}{3}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{1}{3} x + 2$ oder $f(x) =$ $\frac{1}{3} x + 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{1}{3} x + 2$	=	$- x^{2} + \frac{4}{3} x + 14$	\|⋅ 3
$3 (\frac{1}{3} x + 2)$	=	$3 (- x^{2} + \frac{4}{3} x + 14)$
$x + 6$	=	$- 3 x^{2} + 4 x + 42$	\| $+ 3 x^{2}$ $- 4 x$ $- 42$

3 x^{2} - 3 x - 36

= 0 |:3

$x^{2} - x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- {(- 3)}^{2} + \frac{4}{3} \cdot (- 3) + 14$ = $- 9 - 4 + 14$ = $1$

g( $4$ ) = $- 4^{2} + \frac{4}{3} \cdot 4 + 14$ = $- 16 + \frac{16}{3} + 14$ = $\frac{10}{3}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $1$ ) und S₂( $4$ | $\frac{10}{3}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)