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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 16 x - 20$ = 0

4 x^{2} + 16 x - 20

= 0 |:4

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $1$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 48 + 5 x^{2} + 34 x$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 34 x - 48$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 34 \pm \sqrt{34^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 34 \pm \sqrt{1 156 + 960}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 34 \pm \sqrt{2 116}}{10}$

x₁ = $\frac{- 34 + \sqrt{2 116}}{10}$ = $\frac{- 34+46}{10}$ = $\frac{12}{10}$ = $1,2$

x₂ = $\frac{- 34 - \sqrt{2 116}}{10}$ = $\frac{- 34-46}{10}$ = $\frac{- 80}{10}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $1,2$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{22}{5} x + \frac{8}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{22}{5} x + \frac{8}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{22}{5} x + \frac{8}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 22 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 8}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 - 160}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{324}}{10}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{324}}{10}$ = $\frac{22+18}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = $4$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{324}}{10}$ = $\frac{22-18}{10}$ = $\frac{4}{10}$ = $0,4$

L={ $0,4$ ; $4$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + 2 x + 3$ = $(- 3 x + 1) (x + 4) + 16 x - 3$

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} + 2 x + 3$	=	$(- 3 x + 1) (x + 4) + 16 x - 3$
$- 2 x^{2} + 2 x + 3$	=	$- 3 x^{2} - 11 x + 4 + 16 x - 3$
$- 2 x^{2} + 2 x + 3$	=	$- 3 x^{2} + 5 x + 1$	\| $+ 3 x^{2}$ $- 5 x$ $- 1$

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} + 54 x + 243$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

3 x^{2} + 54 x + 243

= 0 |:3

$x^{2} + 18 x + 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 324}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

L={ $- 9$ }

$- 9$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $- 9$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $6 x^{2} - x - 7$
und
$g(x) =$ $5 x^{2} - 2 x + 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

6 x^{2} - x - 7

=

5 x^{2} - 2 x + 5

|

- 5 x^{2}

+ 2 x

- 5

$x^{2} + x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $5 \cdot {(- 4)}^{2} - 2 \cdot (- 4) + 5$ = $5 \cdot 16 + 8 + 5$ = $80 + 8 + 5$ = $93$

g( $3$ ) = $5 \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3 + 5$ = $5 \cdot 9 - 6 + 5$ = $45 - 6 + 5$ = $44$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $93$ ) und S₂( $3$ | $44$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{13}{3} x + 7$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 4 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{4}{3}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{4}{3} x + 3$ oder $f(x) =$ $- \frac{4}{3} x + 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{4}{3} x + 3$	=	$- x^{2} - \frac{13}{3} x + 7$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{4}{3} x + 3)$	=	$3 (- x^{2} - \frac{13}{3} x + 7)$
$- 4 x + 9$	=	$- 3 x^{2} - 13 x + 21$	\| $+ 3 x^{2}$ $+ 13 x$ $- 21$

3 x^{2} + 9 x - 12

= 0 |:3

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- {(- 4)}^{2} - \frac{13}{3} \cdot (- 4) + 7$ = $- 16 + \frac{52}{3} + 7$ = $\frac{25}{3}$

g( $1$ ) = $- 1^{2} - \frac{13}{3} \cdot 1 + 7$ = $- 1 - \frac{13}{3} + 7$ = $\frac{5}{3}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $\frac{25}{3}$ ) und S₂( $1$ | $\frac{5}{3}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)