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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 42 x + 54$ = 0

4 x^{2} - 42 x + 54

= 0 |:2

$2 x^{2} - 21 x + 27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 27}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 216}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{21+15}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = $9$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{21-15}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

L={ $1,5$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$38 x - 16$ = $- 5 x^{2}$

Lösung einblenden

38 x - 16

=

- 5 x^{2}

|

+ 5 x^{2}

$5 x^{2} + 38 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 38 \pm \sqrt{38^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 38 \pm \sqrt{1 444 + 320}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 38 \pm \sqrt{1 764}}{10}$

x₁ = $\frac{- 38 + \sqrt{1 764}}{10}$ = $\frac{- 38+42}{10}$ = $\frac{4}{10}$ = $0,4$

x₂ = $\frac{- 38 - \sqrt{1 764}}{10}$ = $\frac{- 38-42}{10}$ = $\frac{- 80}{10}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $0,4$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 3 x - 40$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 3 x - 40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 3+13}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 3-13}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $5$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} - 2 x - 3$ = $(- 2 x - 6) (x + 1) - 2$

Lösung einblenden

$- x^{2} - 2 x - 3$	=	$(- 2 x - 6) (x + 1) - 2$
$- x^{2} - 2 x - 3$	=	$- 2 x^{2} - 8 x - 6 - 2$
$- x^{2} - 2 x - 3$	=	$- 2 x^{2} - 8 x - 8$	\| $+ 2 x^{2}$ $+ 8 x$ $+ 8$

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6+4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6-4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 1$ |0) und N₂( $1$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 4 x^{2} + 8 x - 3$
und
$g(x) =$ $- 5 x^{2} + 5 x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 4 x^{2} + 8 x - 3

=

- 5 x^{2} + 5 x + 1

|

+ 5 x^{2}

- 5 x

- 1

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 5 \cdot {(- 4)}^{2} + 5 \cdot (- 4) + 1$ = $- 5 \cdot 16 - 20 + 1$ = $- 80 - 20 + 1$ = $- 99$

g( $1$ ) = $- 5 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 + 1$ = $- 5 \cdot 1 + 5 + 1$ = $- 5 + 5 + 1$ = $1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 99$ ) und S₂( $1$ | $1$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{9}{2} x - 4$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $0$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{1}{2}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{1}{2} x$ oder $f(x) =$ $\frac{1}{2} x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{1}{2} x$	=	$- x^{2} - \frac{9}{2} x - 4$	\|⋅ 2
$x$	=	$2 (- x^{2} - \frac{9}{2} x - 4)$
$x$	=	$- 2 x^{2} - 9 x - 8$	\| $+ 2 x^{2}$ $+ 9 x$ $+ 8$

2 x^{2} + 10 x + 8

= 0 |:2

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- {(- 4)}^{2} - \frac{9}{2} \cdot (- 4) - 4$ = $- 16 + 18 - 4$ = $- 2$

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2} - \frac{9}{2} \cdot (- 1) - 4$ = $- 1 + \frac{9}{2} - 4$ = $- \frac{1}{2}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 2$ ) und S₂( $- 1$ | $- \frac{1}{2}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)