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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 11 x + 9$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 11 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 9}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{11+7}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{11-7}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

L={ $1$ ; $4,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$28 x - 12 + 5 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 28 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{28^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{784 + 240}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{1 024}}{10}$

x₁ = $\frac{- 28 + \sqrt{1 024}}{10}$ = $\frac{- 28+32}{10}$ = $\frac{4}{10}$ = $0,4$

x₂ = $\frac{- 28 - \sqrt{1 024}}{10}$ = $\frac{- 28-32}{10}$ = $\frac{- 60}{10}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $0,4$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + x - 72$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + x - 72$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 72)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 1+17}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 1-17}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} - 6 x - 9$ = $(- 6 x + 6) (x + 7) + 28 x - 36$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} - 6 x - 9$	=	$(- 6 x + 6) (x + 7) + 28 x - 36$
$- 5 x^{2} - 6 x - 9$	=	$- 6 x^{2} - 36 x + 42 + 28 x - 36$
$- 5 x^{2} - 6 x - 9$	=	$- 6 x^{2} - 8 x + 6$	\| $+ 6 x^{2}$ $+ 8 x$ $- 6$

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{19}{4} x - \frac{15}{2}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{19}{4} x - \frac{15}{2}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - \frac{19}{4} x - \frac{15}{2})$	=	0

$4 x^{2} - 19 x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 480}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{841}}{8}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{841}}{8}$ = $\frac{19+29}{8}$ = $\frac{48}{8}$ = $6$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{841}}{8}$ = $\frac{19-29}{8}$ = $\frac{- 10}{8}$ = $- 1,25$

L={ $- 1,25$ ; $6$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 1,25$ |0) und N₂( $6$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 4 x^{2} + 3$
und
$g(x) =$ $- 5 x^{2} - 2 x + 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 4 x^{2} + 3

=

- 5 x^{2} - 2 x + 2

|

+ 5 x^{2}

+ 2 x

- 2

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $- 5 \cdot {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1) + 2$ = $- 5 \cdot 1 + 2 + 2$ = $- 5 + 2 + 2$ = $- 1$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 1$ | $- 1$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{13}{3} x - 5$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{2}{3}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{2}{3} x + 1$ oder $f(x) =$ $- \frac{2}{3} x + 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{2}{3} x + 1$	=	$- x^{2} + \frac{13}{3} x - 5$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{2}{3} x + 1)$	=	$3 (- x^{2} + \frac{13}{3} x - 5)$
$- 2 x + 3$	=	$- 3 x^{2} + 13 x - 15$	\| $+ 3 x^{2}$ $- 13 x$ $+ 15$

3 x^{2} - 15 x + 18

= 0 |:3

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $- 2^{2} + \frac{13}{3} \cdot 2 - 5$ = $- 4 + \frac{26}{3} - 5$ = $- \frac{1}{3}$

g( $3$ ) = $- 3^{2} + \frac{13}{3} \cdot 3 - 5$ = $- 9 + 13 - 5$ = $- 1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $2$ | $- \frac{1}{3}$ ) und S₂( $3$ | $- 1$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)