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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 19 x + 45$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 19 x + 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 45}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 360}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 19+1}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 19-1}{4}$ = $\frac{- 20}{4}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 4,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$100 - 30 x$ = $- 2 x^{2}$

Lösung einblenden

- 30 x + 100

=

- 2 x^{2}

|

+ 2 x^{2}

2 x^{2} - 30 x + 100

= 0 |:2

$x^{2} - 15 x + 50$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 50}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{15+5}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{15-5}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

L={ $5$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{19}{2} x - 5$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{19}{2} x - 5$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{19}{2} x - 5)$	=	0

$2 x^{2} - 19 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 80}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{441}}{4}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{19+21}{4}$ = $\frac{40}{4}$ = $10$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{19-21}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

L={ $- 0,5$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 x^{2} - 7 x - 3$ = $(8 x + 4) (x + 6) - 68 x - 47$

Lösung einblenden

$9 x^{2} - 7 x - 3$	=	$(8 x + 4) (x + 6) - 68 x - 47$
$9 x^{2} - 7 x - 3$	=	$8 x^{2} + 52 x + 24 - 68 x - 47$
$9 x^{2} - 7 x - 3$	=	$8 x^{2} - 16 x - 23$	\| $- 8 x^{2}$ $+ 16 x$ $+ 23$

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9+1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9-1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{16}{5} x + \frac{64}{25}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{16}{5} x + \frac{64}{25}$	=	0	\|⋅ 25
$25 (x^{2} + \frac{16}{5} x + \frac{64}{25})$	=	0

$25 x^{2} + 80 x + 64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 80 \pm \sqrt{80^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 64}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{- 80 \pm \sqrt{6 400 - 6 400}}{50}$

x_1,2 = $\frac{- 80 \pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 80}{50}$ = $- \frac{8}{5}$

L={ $- \frac{8}{5}$ }

$- \frac{8}{5}$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $- \frac{8}{5}$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- x^{2} - 3 x + 2$
und
$g(x) =$ $- 2 x^{2} - 5 x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} - 3 x + 2

=

- 2 x^{2} - 5 x + 1

|

+ 2 x^{2}

+ 5 x

- 1

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $- 2 \cdot {(- 1)}^{2} - 5 \cdot (- 1) + 1$ = $- 2 \cdot 1 + 5 + 1$ = $- 2 + 5 + 1$ = $4$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 1$ | $4$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{11}{3} x - 7$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 4 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{4}{3}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{4}{3} x - 3$ oder $f(x) =$ $- \frac{4}{3} x - 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{4}{3} x - 3$	=	$- x^{2} + \frac{11}{3} x - 7$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{4}{3} x - 3)$	=	$3 (- x^{2} + \frac{11}{3} x - 7)$
$- 4 x - 9$	=	$- 3 x^{2} + 11 x - 21$	\| $+ 3 x^{2}$ $- 11 x$ $+ 21$

3 x^{2} - 15 x + 12

= 0 |:3

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 1^{2} + \frac{11}{3} \cdot 1 - 7$ = $- 1 + \frac{11}{3} - 7$ = $- \frac{13}{3}$

g( $4$ ) = $- 4^{2} + \frac{11}{3} \cdot 4 - 7$ = $- 16 + \frac{44}{3} - 7$ = $- \frac{25}{3}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $- \frac{13}{3}$ ) und S₂( $4$ | $- \frac{25}{3}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)