$4x^2-33x-70$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+33\pm \sqrt{{\left(-33\right)}^2-4·4·\left(-70\right)}}{2\cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+33\pm \sqrt{1089+1120}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+33\pm \sqrt{2209}}{8}$

x₁ = $\frac{33+\sqrt{2209}}{8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>33</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>47</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{80}{8}$ = $10$

x₂ = $\frac{33-\sqrt{2209}}{8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>33</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>47</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-14}{8}$ = $-\mathrm{1,75}$

L={ $-\mathrm{1,75}$; $10$}

$x^2-14x+40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+14\pm \sqrt{{\left(-14\right)}^2-4·1·40}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+14\pm \sqrt{196-160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+14\pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{14+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>14</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{14-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>14</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$; $10$}

$3x^2+36x+111$ = 0 |:3

$x^2+12x+37$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-12\pm \sqrt{{12}^2-4·1·37}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-12\pm \sqrt{144-148}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-12\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

$4x^2+2x+4$	=	$\left(3x-9\right)\left(x-8\right)+31x-72$
$4x^2+2x+4$	=	$3x^2-33x+72+31x-72$
$4x^2+2x+4$	=	$3x^2-2x$	| $-3x^2$ $+2x$

$x^2+4x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·4}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$}

$-2$ ist 2-fache Lösung!

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^2+2x-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-3\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{-2+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-2-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $1$}

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $-3$|0) und N₂( $1$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$4x^2-9x+21$

=

$3x^2+x-4$

| $-3x^2$ $-x$ $+4$

$x^2-10x+25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{{\left(-10\right)}^2-4·1·25}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{100-100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

L={ $5$}

$5$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $5$) = $3\cdot 5^2+5-4$ = $3\cdot 25+5-4$ = $75+5-4$ = $76$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $5$| $76$).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $-3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=$-\frac{3}{4}$.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $-\frac{3}{4}x-3$ oder $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{4}x-3$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$-\frac{3}{4}x-3$	=	$-x^2+\frac{5}{4}x-4$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{3}{4}x-3\right)$	=	$4\left(-x^2+\frac{5}{4}x-4\right)$
$-3x-12$	=	$-4x^2+5x-16$	| $+4x^2$ $-5x$ $+16$

$4x^2-8x+4$ = 0 |:4

$x^2-2x+1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·1}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4-4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$}

$1$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$) = $-1^2+\frac{5}{4}\cdot 1-4$ = $-1+\frac{5}{4}-4$ = $-\frac{15}{4}$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $1$| $-\frac{15}{4}$).