$4x^2+28x+50$ = 0 |:2

$2x^2+14x+25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-14\pm \sqrt{{14}^2-4·2·25}}{2\cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{-14\pm \sqrt{196-200}}{4}$

x_1,2 = $\frac{-14\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{4}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

$4x^2+31x$

=

$45$

| $-45$

$4x^2+31x-45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-31\pm \sqrt{{31}^2-4·4·\left(-45\right)}}{2\cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{-31\pm \sqrt{961+720}}{8}$

x_1,2 = $\frac{-31\pm \sqrt{1681}}{8}$

x₁ = $\frac{-31+\sqrt{1681}}{8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>31</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>41</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{8}$ = $\mathrm{1,25}$

x₂ = $\frac{-31-\sqrt{1681}}{8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>31</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>41</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-72}{8}$ = $-9$

L={ $-9$; $\mathrm{1,25}$}

$x^2-6x+8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{{\left(-6\right)}^2-4·1·8}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{36-32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$; $4$}

$3x^2-9x+5$	=	$\left(2x+7\right)\left(x+8\right)-32x-26$
$3x^2-9x+5$	=	$2x^2+23x+56-32x-26$
$3x^2-9x+5$	=	$2x^2-9x+30$	| $-5$
$3x^2-9x$	=	$2x^2-9x+25$	| $-2x^2$ $+9x$
$x^2$	=	$25$	|
x1	=	$-\sqrt{25}$	= $-5$
x2	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $-5$; $5$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$-2x^2-32x-130$ = 0 |:2

$-x^2-16x-65$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+16\pm \sqrt{{\left(-16\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-65\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+16\pm \sqrt{256-260}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+16\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{-2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$6x^2+5x+22$

=

$5x^2-5x-4$

| $-5x^2$ $+5x$ $+4$

$x^2+10x+26$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{{10}^2-4·1·26}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{100-104}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

Es gibt also keine Schnittpunkte.

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $-2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=$\frac{1}{3}$.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{1}{3}x-2$ oder $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}x-2$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{1}{3}x-2$	=	$-x^2+\frac{13}{3}x-6$	|⋅ 3
$3\left(\frac{1}{3}x-2\right)$	=	$3\left(-x^2+\frac{13}{3}x-6\right)$
$x-6$	=	$-3x^2+13x-18$	| $+3x^2$ $-13x$ $+18$

$3x^2-12x+12$ = 0 |:3

$x^2-4x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·4}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{16-16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$}

$2$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$) = $-2^2+\frac{13}{3}\cdot 2-6$ = $-4+\frac{26}{3}-6$ = $-\frac{4}{3}$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $2$| $-\frac{4}{3}$).