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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 x^{2} + 24 x + 9$ = 0

Lösung einblenden

$16 x^{2} + 24 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 576}}{32}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{0}}{32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 24}{32}$ = $- \frac{3}{4}$

L={ $- \frac{3}{4}$ }

$- \frac{3}{4}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 10 x + 2 x^{2}$ = $- 8$

Lösung einblenden

2 x^{2} - 10 x

=

- 8

|

+ 8

2 x^{2} - 10 x + 8

= 0 |:2

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $4$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{25}{4} x + \frac{3}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{25}{4} x + \frac{3}{2}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - \frac{25}{4} x + \frac{3}{2})$	=	0

$4 x^{2} - 25 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 6}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 - 96}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{529}}{8}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{529}}{8}$ = $\frac{25+23}{8}$ = $\frac{48}{8}$ = $6$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{529}}{8}$ = $\frac{25-23}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = $0,25$

L={ $0,25$ ; $6$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + 9 x - 1$ = $(- 3 x + 6) (x - 4) - 16 x + 11$

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} + 9 x - 1$	=	$(- 3 x + 6) (x - 4) - 16 x + 11$
$- 2 x^{2} + 9 x - 1$	=	$- 3 x^{2} + 18 x - 24 - 16 x + 11$
$- 2 x^{2} + 9 x - 1$	=	$- 3 x^{2} + 2 x - 13$	\| $+ 3 x^{2}$ $- 2 x$ $+ 13$

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{5}{2} x + \frac{3}{2}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{5}{2} x + \frac{3}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{5}{2} x + \frac{3}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 5 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{5+1}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{5-1}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

L={ $1$ ; $1,5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $1$ |0) und N₂( $1,5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- x^{2} - 4 x + 5$
und
$g(x) =$ $- 2 x^{2} + 2 x - 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} - 4 x + 5

=

- 2 x^{2} + 2 x - 3

|

+ 2 x^{2}

- 2 x

+ 3

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $- 2 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 - 3$ = $- 2 \cdot 4 + 4 - 3$ = $- 8 + 4 - 3$ = $- 7$

g( $4$ ) = $- 2 \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4 - 3$ = $- 2 \cdot 16 + 8 - 3$ = $- 32 + 8 - 3$ = $- 27$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $2$ | $- 7$ ) und S₂( $4$ | $- 27$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 12$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $0$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $x$ oder $f(x) =$ $x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x

=

- x^{2} + 12

|

+ x^{2}

- 12

$x^{2} + x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- {(- 4)}^{2} + 12$ = $- 16 + 12$ = $- 4$

g( $3$ ) = $- 3^{2} + 12$ = $- 9 + 12$ = $3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 4$ ) und S₂( $3$ | $3$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)