Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 25 x + 50$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 25 x + 50$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 50}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 - 400}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{25+15}{4}$ = $\frac{40}{4}$ = $10$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{25-15}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

L={ $2,5$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$12 + 4 x^{2} + 19 x$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 19 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 192}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{169}}{8}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{169}}{8}$ = $\frac{- 19+13}{8}$ = $\frac{- 6}{8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{169}}{8}$ = $\frac{- 19-13}{8}$ = $\frac{- 32}{8}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 0,75$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 7 x - 18$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 7 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7+11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7-11}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 x^{2} + 8 x + 2$ = $(- 8 x - 7) (x + 3) + 41 x + 38$

Lösung einblenden

$- 7 x^{2} + 8 x + 2$	=	$(- 8 x - 7) (x + 3) + 41 x + 38$
$- 7 x^{2} + 8 x + 2$	=	$- 8 x^{2} - 31 x - 21 + 41 x + 38$
$- 7 x^{2} + 8 x + 2$	=	$- 8 x^{2} + 10 x + 17$	\| $+ 8 x^{2}$ $- 10 x$ $- 17$

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 18 x + 82$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - 18 x + 82$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 82}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 328}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $2 x^{2} - 6 x - 11$
und
$g(x) =$ $x^{2} - 5 x - 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

2 x^{2} - 6 x - 11

=

x^{2} - 5 x - 5

|

- x^{2}

+ 5 x

+ 5

$x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} - 5 \cdot (- 2) - 5$ = $4 + 10 - 5$ = $9$

g( $3$ ) = $3^{2} - 5 \cdot 3 - 5$ = $9 - 15 - 5$ = $- 11$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $9$ ) und S₂( $3$ | $- 11$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - 5 x + 4$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- x - 1$ oder $f(x) =$ $- x - 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x - 1

=

- x^{2} - 5 x + 4

|

+ x^{2}

+ 5 x

- 4

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - 5 \cdot (- 5) + 4$ = $- 25 + 25 + 4$ = $4$

g( $1$ ) = $- 1^{2} - 5 \cdot 1 + 4$ = $- 1 - 5 + 4$ = $- 2$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $4$ ) und S₂( $1$ | $- 2$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)