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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 5 x + 2$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 5 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 5+3}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 5-3}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $- 0,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + 4 x^{2}$ = $4 x$

Lösung einblenden

4 x^{2} + 1

=

4 x

|

- 4 x

$4 x^{2} - 4 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{8}$ = $\frac{1}{2}$

L={ $\frac{1}{2}$ }

$\frac{1}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{54}{5} x + \frac{81}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{54}{5} x + \frac{81}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} + \frac{54}{5} x + \frac{81}{5})$	=	0

$5 x^{2} + 54 x + 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 54 \pm \sqrt{54^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 81}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 54 \pm \sqrt{2 916 - 1 620}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 54 \pm \sqrt{1 296}}{10}$

x₁ = $\frac{- 54 + \sqrt{1 296}}{10}$ = $\frac{- 54+36}{10}$ = $\frac{- 18}{10}$ = $- 1,8$

x₂ = $\frac{- 54 - \sqrt{1 296}}{10}$ = $\frac{- 54-36}{10}$ = $\frac{- 90}{10}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $- 1,8$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x^{2} + x + 7$ = $(- 9 x + 9) (x + 2) + 10 x + 5$

Lösung einblenden

$- 8 x^{2} + x + 7$	=	$(- 9 x + 9) (x + 2) + 10 x + 5$
$- 8 x^{2} + x + 7$	=	$- 9 x^{2} - 9 x + 18 + 10 x + 5$
$- 8 x^{2} + x + 7$	=	$- 9 x^{2} + x + 23$	\| $- 7$
$- 8 x^{2} + x$	=	$- 9 x^{2} + x + 16$	\| $+ 9 x^{2}$ $- x$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} - 36 x + 164$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

2 x^{2} - 36 x + 164

= 0 |:2

$x^{2} - 18 x + 82$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 82}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 328}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} + 11 x + 30$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} + x + 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x^{2} + 11 x + 30

=

2 x^{2} + x + 5

|

- 2 x^{2}

- x

- 5

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $2 \cdot {(- 5)}^{2} - 5 + 5$ = $2 \cdot 25 - 5 + 5$ = $50 - 5 + 5$ = $50$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 5$ | $50$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 8 x - 2$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $2$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $2 x + 3$ oder $f(x) =$ $2 x + 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

2 x + 3

=

- x^{2} + 8 x - 2

|

+ x^{2}

- 8 x

+ 2

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 1^{2} + 8 \cdot 1 - 2$ = $- 1 + 8 - 2$ = $5$

g( $5$ ) = $- 5^{2} + 8 \cdot 5 - 2$ = $- 25 + 40 - 2$ = $13$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $5$ ) und S₂( $5$ | $13$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)