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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 13 x + 6$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 13 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 13+11}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 13-11}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $- 0,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 29 x + 7$ = $- 4 x^{2}$

Lösung einblenden

- 29 x + 7

=

- 4 x^{2}

|

+ 4 x^{2}

$4 x^{2} - 29 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{{(- 29)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{841 - 112}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{729}}{8}$

x₁ = $\frac{29 + \sqrt{729}}{8}$ = $\frac{29+27}{8}$ = $\frac{56}{8}$ = $7$

x₂ = $\frac{29 - \sqrt{729}}{8}$ = $\frac{29-27}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = $0,25$

L={ $0,25$ ; $7$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{13}{2} x - 12$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{13}{2} x - 12$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{13}{2} x - 12)$	=	0

$2 x^{2} + 13 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 192}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 13+19}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 13-19}{4}$ = $\frac{- 32}{4}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $1,5$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 5 x + 1$ = $(3 x - 5) (x - 9) + 41 x - 39$

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 5 x + 1$	=	$(3 x - 5) (x - 9) + 41 x - 39$
$4 x^{2} + 5 x + 1$	=	$3 x^{2} - 32 x + 45 + 41 x - 39$
$4 x^{2} + 5 x + 1$	=	$3 x^{2} + 9 x + 6$	\| $- 3 x^{2}$ $- 9 x$ $- 6$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $- 1$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 4 x^{2} - x + 7$
und
$g(x) =$ $- 5 x^{2} + 3 x + 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 4 x^{2} - x + 7

=

- 5 x^{2} + 3 x + 4

|

+ 5 x^{2}

- 3 x

- 4

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 5 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 4$ = $- 5 \cdot 1 + 3 + 4$ = $- 5 + 3 + 4$ = $2$

g( $3$ ) = $- 5 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 4$ = $- 5 \cdot 9 + 9 + 4$ = $- 45 + 9 + 4$ = $- 32$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $2$ ) und S₂( $3$ | $- 32$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{11}{2} x - 8$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{1}{2}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{1}{2} x - 3$ oder $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x - 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{1}{2} x - 3$	=	$- x^{2} + \frac{11}{2} x - 8$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x - 3)$	=	$2 (- x^{2} + \frac{11}{2} x - 8)$
$- x - 6$	=	$- 2 x^{2} + 11 x - 16$	\| $+ 2 x^{2}$ $- 11 x$ $+ 16$

2 x^{2} - 12 x + 10

= 0 |:2

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 1^{2} + \frac{11}{2} \cdot 1 - 8$ = $- 1 + \frac{11}{2} - 8$ = $- \frac{7}{2}$

g( $5$ ) = $- 5^{2} + \frac{11}{2} \cdot 5 - 8$ = $- 25 + \frac{55}{2} - 8$ = $- \frac{11}{2}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $- \frac{7}{2}$ ) und S₂( $5$ | $- \frac{11}{2}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)