Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 13 x - 7$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 13 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 56}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 13+15}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 13-15}{4}$ = $\frac{- 28}{4}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $0,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + 2 x^{2} + 3 x$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 3 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 3+1}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 3-1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $- 0,5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} - 20 x - 52$ = 0

Lösung einblenden

- 2 x^{2} - 20 x - 52

= 0 |:2

$- x^{2} - 10 x - 26$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 26)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 104}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{(- 4)}}{- 2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} + 5 x - 2$ = $(- 6 x + 1) (x + 7) + 51 x - 15$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} + 5 x - 2$	=	$(- 6 x + 1) (x + 7) + 51 x - 15$
$- 5 x^{2} + 5 x - 2$	=	$- 6 x^{2} - 41 x + 7 + 51 x - 15$
$- 5 x^{2} + 5 x - 2$	=	$- 6 x^{2} + 10 x - 8$	\| $+ 6 x^{2}$ $- 10 x$ $+ 8$

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 12 x + 36$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - 12 x + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{12}{2}$ = $6$

L={ $6$ }

$6$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $6$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 4 x^{2} - 7 x - 4$
und
$g(x) =$ $- 5 x^{2} - 5 x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 4 x^{2} - 7 x - 4

=

- 5 x^{2} - 5 x - 1

|

+ 5 x^{2}

+ 5 x

+ 1

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $- 5 \cdot {(- 1)}^{2} - 5 \cdot (- 1) - 1$ = $- 5 \cdot 1 + 5 - 1$ = $- 5 + 5 - 1$ = $- 1$

g( $3$ ) = $- 5 \cdot 3^{2} - 5 \cdot 3 - 1$ = $- 5 \cdot 9 - 15 - 1$ = $- 45 - 15 - 1$ = $- 61$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $- 1$ ) und S₂( $3$ | $- 61$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 8 x - 21$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- x - 1$ oder $f(x) =$ $- x - 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x - 1

=

- x^{2} + 8 x - 21

|

+ x^{2}

- 8 x

+ 21

$x^{2} - 9 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $4$ ) = $- 4^{2} + 8 \cdot 4 - 21$ = $- 16 + 32 - 21$ = $- 5$

g( $5$ ) = $- 5^{2} + 8 \cdot 5 - 21$ = $- 25 + 40 - 21$ = $- 6$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $4$ | $- 5$ ) und S₂( $5$ | $- 6$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)