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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 24 x + 37$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 24 x + 37$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 37}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{576 - 592}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{(- 16)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 49 - 28 x$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 28 x - 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 49)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{784 + 980}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{1 764}}{10}$

x₁ = $\frac{28 + \sqrt{1 764}}{10}$ = $\frac{28+42}{10}$ = $\frac{70}{10}$ = $7$

x₂ = $\frac{28 - \sqrt{1 764}}{10}$ = $\frac{28-42}{10}$ = $\frac{- 14}{10}$ = $- 1,4$

L={ $- 1,4$ ; $7$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $2$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} - x + 4$ = $(- 6 x + 8) (x - 5) - 36 x + 48$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} - x + 4$	=	$(- 6 x + 8) (x - 5) - 36 x + 48$
$- 5 x^{2} - x + 4$	=	$- 6 x^{2} + 38 x - 40 - 36 x + 48$
$- 5 x^{2} - x + 4$	=	$- 6 x^{2} + 2 x + 8$	\| $+ 6 x^{2}$ $- 2 x$ $- 8$

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{13}{2} x + 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{13}{2} x + 3$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{13}{2} x + 3)$	=	0

$2 x^{2} + 13 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 13+11}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 13-11}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $- 0,5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 6$ |0) und N₂( $- 0,5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $4 x^{2} + 7 x + 20$
und
$g(x) =$ $3 x^{2} - 3 x - 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

4 x^{2} + 7 x + 20

=

3 x^{2} - 3 x - 5

|

- 3 x^{2}

+ 3 x

+ 5

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $3 \cdot {(- 5)}^{2} - 3 \cdot (- 5) - 5$ = $3 \cdot 25 + 15 - 5$ = $75 + 15 - 5$ = $85$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 5$ | $85$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{11}{3} x + 7$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{1}{3}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{1}{3} x + 2$ oder $f(x) =$ $- \frac{1}{3} x + 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{1}{3} x + 2$	=	$- x^{2} + \frac{11}{3} x + 7$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{1}{3} x + 2)$	=	$3 (- x^{2} + \frac{11}{3} x + 7)$
$- x + 6$	=	$- 3 x^{2} + 11 x + 21$	\| $+ 3 x^{2}$ $- 11 x$ $- 21$

3 x^{2} - 12 x - 15

= 0 |:3

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2} + \frac{11}{3} \cdot (- 1) + 7$ = $- 1 - \frac{11}{3} + 7$ = $\frac{7}{3}$

g( $5$ ) = $- 5^{2} + \frac{11}{3} \cdot 5 + 7$ = $- 25 + \frac{55}{3} + 7$ = $\frac{1}{3}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $\frac{7}{3}$ ) und S₂( $5$ | $\frac{1}{3}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)