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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$25 x^{2} - 30 x + 10$ = 0

25 x^{2} - 30 x + 10

= 0 |:5

$5 x^{2} - 6 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 2}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 40}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{(- 4)}}{10}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 x^{2} + 49$ = $56 x$

Lösung einblenden

16 x^{2} + 49

=

56 x

|

- 56 x

$16 x^{2} - 56 x + 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 56 \pm \sqrt{{(- 56)}^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 49}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 56 \pm \sqrt{3 136 - 3 136}}{32}$

x_1,2 = $\frac{+ 56 \pm \sqrt{0}}{32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{56}{32}$ = $\frac{7}{4}$

L={ $\frac{7}{4}$ }

$\frac{7}{4}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{11}{2} x + \frac{9}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{11}{2} x + \frac{9}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{11}{2} x + \frac{9}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 11 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 9}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 11+7}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 11-7}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

L={ $- 4,5$ ; $- 1$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 4 x - 8$ = $(- 4 x - 9) (x - 7) - 14 x - 59$

Lösung einblenden

$- 3 x^{2} + 4 x - 8$	=	$(- 4 x - 9) (x - 7) - 14 x - 59$
$- 3 x^{2} + 4 x - 8$	=	$- 4 x^{2} + 19 x + 63 - 14 x - 59$
$- 3 x^{2} + 4 x - 8$	=	$- 4 x^{2} + 5 x + 4$	\| $+ 4 x^{2}$ $- 5 x$ $- 4$

$x^{2} - x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 6 x + 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6+4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6-4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 5$ |0) und N₂( $- 1$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $2 x^{2} - 5 x - 3$
und
$g(x) =$ $x^{2} - 3 x + 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

2 x^{2} - 5 x - 3

=

x^{2} - 3 x + 5

|

- x^{2}

+ 3 x

- 5

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} - 3 \cdot (- 2) + 5$ = $4 + 6 + 5$ = $15$

g( $4$ ) = $4^{2} - 3 \cdot 4 + 5$ = $16 - 12 + 5$ = $9$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $15$ ) und S₂( $4$ | $9$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{1}{3} x + 10$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 4 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{4}{3}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{4}{3} x - 2$ oder $f(x) =$ $\frac{4}{3} x - 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{4}{3} x - 2$	=	$- x^{2} + \frac{1}{3} x + 10$	\|⋅ 3
$3 (\frac{4}{3} x - 2)$	=	$3 (- x^{2} + \frac{1}{3} x + 10)$
$4 x - 6$	=	$- 3 x^{2} + x + 30$	\| $+ 3 x^{2}$ $- x$ $- 30$

3 x^{2} + 3 x - 36

= 0 |:3

$x^{2} + x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- {(- 4)}^{2} + \frac{1}{3} \cdot (- 4) + 10$ = $- 16 - \frac{4}{3} + 10$ = $- \frac{22}{3}$

g( $3$ ) = $- 3^{2} + \frac{1}{3} \cdot 3 + 10$ = $- 9 + 1 + 10$ = $2$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- \frac{22}{3}$ ) und S₂( $3$ | $2$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)