Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 14 x + 9$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 14 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 9}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{10}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{- 14+4}{10}$ = $\frac{- 10}{10}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{- 14-4}{10}$ = $\frac{- 18}{10}$ = $- 1,8$

L={ $- 1,8$ ; $- 1$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 48 - 14 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 14 x + 48$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{14+2}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{14-2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

L={ $6$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{16}{5} x + \frac{64}{25}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{16}{5} x + \frac{64}{25}$	=	0	\|⋅ 25
$25 (x^{2} + \frac{16}{5} x + \frac{64}{25})$	=	0

$25 x^{2} + 80 x + 64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 80 \pm \sqrt{80^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 64}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{- 80 \pm \sqrt{6 400 - 6 400}}{50}$

x_1,2 = $\frac{- 80 \pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 80}{50}$ = $- \frac{8}{5}$

L={ $- \frac{8}{5}$ }

$- \frac{8}{5}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = $(2 x - 1) (x + 8) - 8 x + 25$

Lösung einblenden

$3 x^{2} + 8 x + 5$	=	$(2 x - 1) (x + 8) - 8 x + 25$
$3 x^{2} + 8 x + 5$	=	$2 x^{2} + 15 x - 8 - 8 x + 25$
$3 x^{2} + 8 x + 5$	=	$2 x^{2} + 7 x + 17$	\| $- 2 x^{2}$ $- 7 x$ $- 17$

$x^{2} + x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 16 x + 40$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

- 2 x^{2} - 16 x + 40

= 0 |:2

$- x^{2} - 8 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{144}}{- 2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{144}}{- 2}$ = $\frac{8+12}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{144}}{- 2}$ = $\frac{8-12}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

L={ $- 10$ ; $2$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 10$ |0) und N₂( $2$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 3 x^{2} + 9 x + 15$
und
$g(x) =$ $- 4 x^{2} + 2 x + 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 3 x^{2} + 9 x + 15

=

- 4 x^{2} + 2 x + 5

|

+ 4 x^{2}

- 2 x

- 5

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- 4 \cdot {(- 5)}^{2} + 2 \cdot (- 5) + 5$ = $- 4 \cdot 25 - 10 + 5$ = $- 100 - 10 + 5$ = $- 105$

g( $- 2$ ) = $- 4 \cdot {(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2) + 5$ = $- 4 \cdot 4 - 4 + 5$ = $- 16 - 4 + 5$ = $- 15$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $- 105$ ) und S₂( $- 2$ | $- 15$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 4 x - 5$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $x - 3$ oder $f(x) =$ $x - 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x - 3

=

- x^{2} + 4 x - 5

|

+ x^{2}

- 4 x

+ 5

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 1^{2} + 4 \cdot 1 - 5$ = $- 1 + 4 - 5$ = $- 2$

g( $2$ ) = $- 2^{2} + 4 \cdot 2 - 5$ = $- 4 + 8 - 5$ = $- 1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $- 2$ ) und S₂( $2$ | $- 1$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)