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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 32 x + 64$ = 0

4 x^{2} - 32 x + 64

= 0 |:4

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 18 + 34 x$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} + 34 x - 18

= 0 |:2

$2 x^{2} + 17 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 17+19}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 17-19}{4}$ = $\frac{- 36}{4}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $0,5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{6}{5} x + \frac{9}{25}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{6}{5} x + \frac{9}{25}$	=	0	\|⋅ 25
$25 (x^{2} - \frac{6}{5} x + \frac{9}{25})$	=	0

$25 x^{2} - 30 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 30 \pm \sqrt{{(- 30)}^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 9}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{+ 30 \pm \sqrt{900 - 900}}{50}$

x_1,2 = $\frac{+ 30 \pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{30}{50}$ = $\frac{3}{5}$

L={ $\frac{3}{5}$ }

$\frac{3}{5}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$8 x^{2} + 7 x - 8$ = $(7 x + 6) (x - 9) + 55 x + 26$

Lösung einblenden

$8 x^{2} + 7 x - 8$	=	$(7 x + 6) (x - 9) + 55 x + 26$
$8 x^{2} + 7 x - 8$	=	$7 x^{2} - 57 x - 54 + 55 x + 26$
$8 x^{2} + 7 x - 8$	=	$7 x^{2} - 2 x - 28$	\| $- 7 x^{2}$ $+ 2 x$ $+ 28$

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9+1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9-1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{7}{2} x + \frac{5}{2}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{7}{2} x + \frac{5}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{7}{2} x + \frac{5}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 7 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 7+3}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 7-3}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

L={ $- 2,5$ ; $- 1$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 2,5$ |0) und N₂( $- 1$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} - 4 x + 8$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} + 3 x - 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x^{2} - 4 x + 8

=

2 x^{2} + 3 x - 2

|

- 2 x^{2}

- 3 x

+ 2

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - 2$ = $2 \cdot 4 + 6 - 2$ = $8 + 6 - 2$ = $12$

g( $5$ ) = $2 \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5 - 2$ = $2 \cdot 25 + 15 - 2$ = $50 + 15 - 2$ = $63$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $2$ | $12$ ) und S₂( $5$ | $63$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - x - 2$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $3$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $3 x + 2$ oder $f(x) =$ $3 x + 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x + 2

=

- x^{2} - x - 2

|

+ x^{2}

+ x

+ 2

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{2} - (- 2) - 2$ = $- 4 + 2 - 2$ = $- 4$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 2$ | $- 4$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)