$4x^2+12x+9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-12\pm \sqrt{{12}^2-4·4·9}}{2\cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{-12\pm \sqrt{144-144}}{8}$

x_1,2 = $\frac{-12\pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-12}{8}$ = $-\frac{3}{2}$

L={ $-\frac{3}{2}$}

$-\frac{3}{2}$ ist 2-fache Lösung!

$2x^2-6x-36$ = 0 |:2

$x^2-3x-18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·1·\left(-18\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{9+72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{3+\sqrt{81}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{3-\sqrt{81}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $6$}

$x^2-\frac{7}{2}x-\frac{49}{2}$	=	0	|⋅ 2
$2\left(x^2-\frac{7}{2}x-\frac{49}{2}\right)$	=	0

$2x^2-7x-49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{{\left(-7\right)}^2-4·2·\left(-49\right)}}{2\cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{49+392}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{441}}{4}$

x₁ = $\frac{7+\sqrt{441}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>21</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{28}{4}$ = $7$

x₂ = $\frac{7-\sqrt{441}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>21</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-14}{4}$ = $-\mathrm{3,5}$

L={ $-\mathrm{3,5}$; $7$}

$-4x+2$	=	$\left(-x+4\right)\left(x-5\right)-10x+32$
$-4x+2$	=	$-x^2+9x-20-10x+32$
$-4x+2$	=	$-x^2-x+12$	| $+x^2$ $+x$ $-12$

$x^2-3x-10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·1·\left(-10\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{9+40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3+\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3-\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$; $5$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^2+\frac{7}{2}x+3$	=	0	|⋅ 2
$2\left(x^2+\frac{7}{2}x+3\right)$	=	0

$2x^2+7x+6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{7^2-4·2·6}}{2\cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{49-48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{-7+\sqrt{1}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{4}$ = $-\mathrm{1,5}$

x₂ = $\frac{-7-\sqrt{1}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{4}$ = $-2$

L={ $-2$; $-\mathrm{1,5}$}

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $-2$|0) und N₂( $-\mathrm{1,5}$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$-3x^2-9x+2$

=

$-4x^2-5x-3$

| $+4x^2$ $+5x$ $+3$

$x^2-4x+5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·5}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{16-20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

Es gibt also keine Schnittpunkte.

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $-1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=$\frac{1}{4}$.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{1}{4}x-1$ oder $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}x-1$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{1}{4}x-1$	=	$-x^2-\frac{19}{4}x-7$	|⋅ 4
$4\left(\frac{1}{4}x-1\right)$	=	$4\left(-x^2-\frac{19}{4}x-7\right)$
$x-4$	=	$-4x^2-19x-28$	| $+4x^2$ $+19x$ $+28$

$4x^2+20x+24$ = 0 |:4

$x^2+5x+6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{5^2-4·1·6}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{25-24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{-5+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

x₂ = $\frac{-5-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $-2$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-3$) = $-{\left(-3\right)}^2-\frac{19}{4}\cdot \left(-3\right)-7$ = $-9+\frac{57}{4}-7$ = $-\frac{7}{4}$

g( $-2$) = $-{\left(-2\right)}^2-\frac{19}{4}\cdot \left(-2\right)-7$ = $-4+\frac{19}{2}-7$ = $-\frac{3}{2}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-3$| $-\frac{7}{4}$) und S₂( $-2$| $-\frac{3}{2}$).