Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 9 x - 81$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 9 x - 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 81)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 648}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{729}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{- 9+27}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{- 9-27}{4}$ = $\frac{- 36}{4}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $4,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$10 + x^{2} + 6 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 6 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{27}{5} x - \frac{18}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{27}{5} x - \frac{18}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} + \frac{27}{5} x - \frac{18}{5})$	=	0

$5 x^{2} + 27 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{27^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{729 + 360}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{1 089}}{10}$

x₁ = $\frac{- 27 + \sqrt{1 089}}{10}$ = $\frac{- 27+33}{10}$ = $\frac{6}{10}$ = $0,6$

x₂ = $\frac{- 27 - \sqrt{1 089}}{10}$ = $\frac{- 27-33}{10}$ = $\frac{- 60}{10}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $0,6$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} - 8 x + 4$ = $(- 4 x - 1) (x - 4) - 32 x - 20$

Lösung einblenden

$- 3 x^{2} - 8 x + 4$	=	$(- 4 x - 1) (x - 4) - 32 x - 20$
$- 3 x^{2} - 8 x + 4$	=	$- 4 x^{2} + 15 x + 4 - 32 x - 20$
$- 3 x^{2} - 8 x + 4$	=	$- 4 x^{2} - 17 x - 16$	\| $+ 4 x^{2}$ $+ 17 x$ $+ 16$

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9+1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9-1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 2$ |0) und N₂( $2$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $2 x^{2} - 7 x + 14$
und
$g(x) =$ $x^{2} - x + 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

2 x^{2} - 7 x + 14

=

x^{2} - x + 5

|

- x^{2}

+ x

- 5

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ }

$3$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $3$ ) = $3^{2} - 3 + 5$ = $9 - 3 + 5$ = $11$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $3$ | $11$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 3 x + 20$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $0$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $2$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $2 x$ oder $f(x) =$ $2 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

2 x

=

- x^{2} + 3 x + 20

|

+ x^{2}

- 3 x

- 20

$x^{2} - x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- {(- 4)}^{2} + 3 \cdot (- 4) + 20$ = $- 16 - 12 + 20$ = $- 8$

g( $5$ ) = $- 5^{2} + 3 \cdot 5 + 20$ = $- 25 + 15 + 20$ = $10$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 8$ ) und S₂( $5$ | $10$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)