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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 17 x + 72$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 17 x + 72$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 72}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 288}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{17+1}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{17-1}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

L={ $8$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 43 x - 70$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 43 x - 70$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{43^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 70)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{1 849 + 1 400}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{3 249}}{10}$

x₁ = $\frac{- 43 + \sqrt{3 249}}{10}$ = $\frac{- 43+57}{10}$ = $\frac{14}{10}$ = $1,4$

x₂ = $\frac{- 43 - \sqrt{3 249}}{10}$ = $\frac{- 43-57}{10}$ = $\frac{- 100}{10}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $1,4$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{31}{5} x + \frac{6}{5}$ = 0

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$x^{2} - \frac{31}{5} x + \frac{6}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{31}{5} x + \frac{6}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 31 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 6}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 - 120}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{841}}{10}$

x₁ = $\frac{31 + \sqrt{841}}{10}$ = $\frac{31+29}{10}$ = $\frac{60}{10}$ = $6$

x₂ = $\frac{31 - \sqrt{841}}{10}$ = $\frac{31-29}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = $0,2$

L={ $0,2$ ; $6$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} + x - 3$ = $(- 6 x - 7) (x + 4) + 32 x + 50$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} + x - 3$	=	$(- 6 x - 7) (x + 4) + 32 x + 50$
$- 5 x^{2} + x - 3$	=	$- 6 x^{2} - 31 x - 28 + 32 x + 50$
$- 5 x^{2} + x - 3$	=	$- 6 x^{2} + x + 22$	\| $+ 3$
$- 5 x^{2} + x$	=	$- 6 x^{2} + x + 25$	\| $+ 6 x^{2}$ $- x$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $- 5$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 18 x + 81$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

- 3 x^{2} + 18 x + 81

= 0 |:3

$- x^{2} + 6 x + 27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 27}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 108}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{144}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{144}}{- 2}$ = $\frac{- 6+12}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{144}}{- 2}$ = $\frac{- 6-12}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

L={ $- 3$ ; $9$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 3$ |0) und N₂( $9$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $6 x^{2} + 5 x - 4$
und
$g(x) =$ $5 x^{2} + 3 x - 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

6 x^{2} + 5 x - 4

=

5 x^{2} + 3 x - 5

|

- 5 x^{2}

- 3 x

+ 5

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $5 \cdot {(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1) - 5$ = $5 \cdot 1 - 3 - 5$ = $5 - 3 - 5$ = $- 3$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 1$ | $- 3$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{7}{4} x + 19$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{3}{4}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{3}{4} x - 1$ oder $f(x) =$ $\frac{3}{4} x - 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{3}{4} x - 1$	=	$- x^{2} + \frac{7}{4} x + 19$	\|⋅ 4
$4 (\frac{3}{4} x - 1)$	=	$4 (- x^{2} + \frac{7}{4} x + 19)$
$3 x - 4$	=	$- 4 x^{2} + 7 x + 76$	\| $+ 4 x^{2}$ $- 7 x$ $- 76$

4 x^{2} - 4 x - 80

= 0 |:4

$x^{2} - x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- {(- 4)}^{2} + \frac{7}{4} \cdot (- 4) + 19$ = $- 16 - 7 + 19$ = $- 4$

g( $5$ ) = $- 5^{2} + \frac{7}{4} \cdot 5 + 19$ = $- 25 + \frac{35}{4} + 19$ = $\frac{11}{4}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 4$ ) und S₂( $5$ | $\frac{11}{4}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)