Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 x^{2} - 8 x + 1$ = 0

Lösung einblenden

$16 x^{2} - 8 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{32}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{32}$ = $\frac{1}{4}$

L={ $\frac{1}{4}$ }

$\frac{1}{4}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 3$ = $- 4 x^{2}$

Lösung einblenden

x - 3

=

- 4 x^{2}

|

+ 4 x^{2}

$4 x^{2} + x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{8}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{- 1+7}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{- 1-7}{8}$ = $\frac{- 8}{8}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $0,75$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{43}{5} x - \frac{18}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{43}{5} x - \frac{18}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} + \frac{43}{5} x - \frac{18}{5})$	=	0

$5 x^{2} + 43 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{43^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{1 849 + 360}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{2 209}}{10}$

x₁ = $\frac{- 43 + \sqrt{2 209}}{10}$ = $\frac{- 43+47}{10}$ = $\frac{4}{10}$ = $0,4$

x₂ = $\frac{- 43 - \sqrt{2 209}}{10}$ = $\frac{- 43-47}{10}$ = $\frac{- 90}{10}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $0,4$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 x^{2} + x - 4$ = $(5 x - 1) (x - 5) + 20 x - 19$

Lösung einblenden

$6 x^{2} + x - 4$	=	$(5 x - 1) (x - 5) + 20 x - 19$
$6 x^{2} + x - 4$	=	$5 x^{2} - 26 x + 5 + 20 x - 19$
$6 x^{2} + x - 4$	=	$5 x^{2} - 6 x - 14$	\| $- 5 x^{2}$ $+ 6 x$ $+ 14$

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{25}{2} x + \frac{63}{2}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{25}{2} x + \frac{63}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{25}{2} x + \frac{63}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 25 x + 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 63}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 - 504}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{25+11}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = $9$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{25-11}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

L={ $3,5$ ; $9$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $3,5$ |0) und N₂( $9$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} - 13 x + 24$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} - 3 x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x^{2} - 13 x + 24

=

2 x^{2} - 3 x - 1

|

- 2 x^{2}

+ 3 x

+ 1

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

L={ $5$ }

$5$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $5$ ) = $2 \cdot 5^{2} - 3 \cdot 5 - 1$ = $2 \cdot 25 - 15 - 1$ = $50 - 15 - 1$ = $34$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $5$ | $34$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + x + 2$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 4 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $4$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $4 x - 2$ oder $f(x) =$ $4 x - 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

4 x - 2

=

- x^{2} + x + 2

|

+ x^{2}

- x

- 2

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- {(- 4)}^{2} - 4 + 2$ = $- 16 - 4 + 2$ = $- 18$

g( $1$ ) = $- 1^{2} + 1 + 2$ = $- 1 + 1 + 2$ = $2$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 18$ ) und S₂( $1$ | $2$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)