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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 16 x + 65$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 16 x + 65$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 65}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 260}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 x^{2} + 100$ = $80 x$

Lösung einblenden

16 x^{2} + 100

=

80 x

|

- 80 x

16 x^{2} - 80 x + 100

= 0 |:4

$4 x^{2} - 20 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 25}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 - 400}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{20}{8}$ = $\frac{5}{2}$

L={ $\frac{5}{2}$ }

$\frac{5}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} + 7 x - 6$ = 0

Lösung einblenden

$- x^{2} + 7 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 7+5}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 7-5}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

L={ $1$ ; $6$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} + 6 x + 5$ = $(- 6 x + 5) (x + 4) + 18 x - 27$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} + 6 x + 5$	=	$(- 6 x + 5) (x + 4) + 18 x - 27$
$- 5 x^{2} + 6 x + 5$	=	$- 6 x^{2} - 19 x + 20 + 18 x - 27$
$- 5 x^{2} + 6 x + 5$	=	$- 6 x^{2} - x - 7$	\| $+ 6 x^{2}$ $+ x$ $+ 7$

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $1$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 3$ |0) und N₂( $1$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $2 x^{2} + 7 x + 27$
und
$g(x) =$ $x^{2} - 3 x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

2 x^{2} + 7 x + 27

=

x^{2} - 3 x + 1

|

- x^{2}

+ 3 x

- 1

$x^{2} + 10 x + 26$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

Es gibt also keine Schnittpunkte.

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 8 x - 18$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- x + 2$ oder $f(x) =$ $- x + 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x + 2

=

- x^{2} + 8 x - 18

|

+ x^{2}

- 8 x

+ 18

$x^{2} - 9 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $4$ ) = $- 4^{2} + 8 \cdot 4 - 18$ = $- 16 + 32 - 18$ = $- 2$

g( $5$ ) = $- 5^{2} + 8 \cdot 5 - 18$ = $- 25 + 40 - 18$ = $- 3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $4$ | $- 2$ ) und S₂( $5$ | $- 3$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)