$x^2-12x+36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+12\pm \sqrt{{\left(-12\right)}^2-4·1·36}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+12\pm \sqrt{144-144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+12\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{12}{2}$ = $6$

L={ $6$}

$6$ ist 2-fache Lösung!

$2x^2-5x-42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·2·\left(-42\right)}}{2\cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{25+336}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{5+\sqrt{361}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>19</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{24}{4}$ = $6$

x₂ = $\frac{5-\sqrt{361}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>19</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-14}{4}$ = $-\mathrm{3,5}$

L={ $-\mathrm{3,5}$; $6$}

$x^2-4x-45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·\left(-45\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{16+180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{4+\sqrt{196}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>14</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{4-\sqrt{196}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>14</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

L={ $-5$; $9$}

$10x^2-3x-2$	=	$\left(9x-5\right)\left(x-3\right)+31x-17$
$10x^2-3x-2$	=	$9x^2-32x+15+31x-17$
$10x^2-3x-2$	=	$9x^2-x-2$	| $+2$
$10x^2-3x$	=	$9x^2-x$	| $-\left(9x^2-x\right)$
$10x^2-9x^2-3x+x$	=	0
$x^2-2x$	=	0
$x\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $2$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^2-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}$	=	0	|⋅ 25
$25\left(x^2-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}\right)$	=	0

$25x^2-90x+81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+90\pm \sqrt{{\left(-90\right)}^2-4·25·81}}{2\cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{+90\pm \sqrt{8100-8100}}{50}$

x_1,2 = $\frac{+90\pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{90}{50}$ = $\frac{9}{5}$

L={ $\frac{9}{5}$}

$\frac{9}{5}$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $\frac{9}{5}$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$6x^2-6x+21$

=

$5x^2+3x+1$

| $-5x^2$ $-3x$ $-1$

$x^2-9x+20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+9\pm \sqrt{{\left(-9\right)}^2-4·1·20}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+9\pm \sqrt{81-80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+9\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{9+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{9-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$; $5$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $4$) = $5\cdot 4^2+3\cdot 4+1$ = $5\cdot 16+12+1$ = $80+12+1$ = $93$

g( $5$) = $5\cdot 5^2+3\cdot 5+1$ = $5\cdot 25+15+1$ = $125+15+1$ = $141$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $4$| $93$) und S₂( $5$| $141$).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $-1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=$-\frac{3}{4}$.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $-\frac{3}{4}x-1$ oder $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{4}x-1$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$-\frac{3}{4}x-1$	=	$-x^2+\frac{29}{4}x-16$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{3}{4}x-1\right)$	=	$4\left(-x^2+\frac{29}{4}x-16\right)$
$-3x-4$	=	$-4x^2+29x-64$	| $+4x^2$ $-29x$ $+64$

$4x^2-32x+60$ = 0 |:4

$x^2-8x+15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{{\left(-8\right)}^2-4·1·15}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{64-60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$; $5$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $3$) = $-3^2+\frac{29}{4}\cdot 3-16$ = $-9+\frac{87}{4}-16$ = $-\frac{13}{4}$

g( $5$) = $-5^2+\frac{29}{4}\cdot 5-16$ = $-25+\frac{145}{4}-16$ = $-\frac{19}{4}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $3$| $-\frac{13}{4}$) und S₂( $5$| $-\frac{19}{4}$).