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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 20 x + 26$ = 0

4 x^{2} + 20 x + 26

= 0 |:2

$2 x^{2} + 10 x + 13$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 13}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 104}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{(- 4)}}{4}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 17 x - 40$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 17 x - 40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 800}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{1 089}}{10}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{1 089}}{10}$ = $\frac{- 17+33}{10}$ = $\frac{16}{10}$ = $1,6$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{1 089}}{10}$ = $\frac{- 17-33}{10}$ = $\frac{- 50}{10}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $1,6$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{43}{5} x - 14$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{43}{5} x - 14$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} + \frac{43}{5} x - 14)$	=	0

$5 x^{2} + 43 x - 70$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{43^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 70)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{1 849 + 1 400}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{3 249}}{10}$

x₁ = $\frac{- 43 + \sqrt{3 249}}{10}$ = $\frac{- 43+57}{10}$ = $\frac{14}{10}$ = $1,4$

x₂ = $\frac{- 43 - \sqrt{3 249}}{10}$ = $\frac{- 43-57}{10}$ = $\frac{- 100}{10}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $1,4$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x^{2} + 8 x + 4$ = $(- 9 x + 8) (x + 5) + 40 x - 42$

Lösung einblenden

$- 8 x^{2} + 8 x + 4$	=	$(- 9 x + 8) (x + 5) + 40 x - 42$
$- 8 x^{2} + 8 x + 4$	=	$- 9 x^{2} - 37 x + 40 + 40 x - 42$
$- 8 x^{2} + 8 x + 4$	=	$- 9 x^{2} + 3 x - 2$	\| $+ 9 x^{2}$ $- 3 x$ $+ 2$

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{17}{2} x + 15$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{17}{2} x + 15$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{17}{2} x + 15)$	=	0

$2 x^{2} + 17 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 30}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 240}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 17+7}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 17-7}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $- 2,5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 6$ |0) und N₂( $- 2,5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $5 x^{2} + x + 4$
und
$g(x) =$ $4 x^{2} - 5 x - 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

5 x^{2} + x + 4

=

4 x^{2} - 5 x - 4

|

- 4 x^{2}

+ 5 x

+ 4

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $4 \cdot {(- 4)}^{2} - 5 \cdot (- 4) - 4$ = $4 \cdot 16 + 20 - 4$ = $64 + 20 - 4$ = $80$

g( $- 2$ ) = $4 \cdot {(- 2)}^{2} - 5 \cdot (- 2) - 4$ = $4 \cdot 4 + 10 - 4$ = $16 + 10 - 4$ = $22$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $80$ ) und S₂( $- 2$ | $22$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{15}{2} x - 9$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $0$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{3}{2}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{3}{2} x$ oder $f(x) =$ $- \frac{3}{2} x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{3}{2} x$	=	$- x^{2} - \frac{15}{2} x - 9$	\|⋅ 2
$- 3 x$	=	$2 (- x^{2} - \frac{15}{2} x - 9)$
$- 3 x$	=	$- 2 x^{2} - 15 x - 18$	\| $+ 2 x^{2}$ $+ 15 x$ $+ 18$

2 x^{2} + 12 x + 18

= 0 |:2

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- {(- 3)}^{2} - \frac{15}{2} \cdot (- 3) - 9$ = $- 9 + \frac{45}{2} - 9$ = $\frac{9}{2}$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 3$ | $\frac{9}{2}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)