$x^2+11x+10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-11\pm \sqrt{{11}^2-4·1·10}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-11\pm \sqrt{121-40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-11\pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{-11+\sqrt{81}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>11</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-11-\sqrt{81}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>11</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-20}{2}$ = $-10$

L={ $-10$; $-1$}

$16x^2-40x$

=

$-26$

| $+26$

$16x^2-40x+26$ = 0 |:2

$8x^2-20x+13$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+20\pm \sqrt{{\left(-20\right)}^2-4·8·13}}{2\cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{+20\pm \sqrt{400-416}}{16}$

x_1,2 = $\frac{+20\pm \sqrt{\left(-16\right)}}{16}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

$x^2+4x+5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·5}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{16-20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

$4x^2+5x-4$	=	$\left(3x-6\right)\left(x+5\right)-4x+27$
$4x^2+5x-4$	=	$3x^2+9x-30-4x+27$
$4x^2+5x-4$	=	$3x^2+5x-3$	| $+4$
$4x^2+5x$	=	$3x^2+5x+1$	| $-3x^2$ $-5x$
$x^2$	=	$1$	|
x1	=	$-\sqrt{1}$	= $-1$
x2	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $-1$; $1$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^2-\frac{26}{5}x+1$	=	0	|⋅ 5
$5\left(x^2-\frac{26}{5}x+1\right)$	=	0

$5x^2-26x+5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+26\pm \sqrt{{\left(-26\right)}^2-4·5·5}}{2\cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+26\pm \sqrt{676-100}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+26\pm \sqrt{576}}{10}$

x₁ = $\frac{26+\sqrt{576}}{10}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>26</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>24</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{50}{10}$ = $5$

x₂ = $\frac{26-\sqrt{576}}{10}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>26</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>24</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{10}$ = $\mathrm{0,2}$

L={ $\mathrm{0,2}$; $5$}

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $\mathrm{0,2}$|0) und N₂( $5$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$3x^2-7x+3$

=

$2x^2-2x-1$

| $-2x^2$ $+2x$ $+1$

$x^2-5x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·1·4}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{25-16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$; $4$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$) = $2\cdot 1^2-2\cdot 1-1$ = $2\cdot 1-2-1$ = $2-2-1$ = $-1$

g( $4$) = $2\cdot 4^2-2\cdot 4-1$ = $2\cdot 16-8-1$ = $32-8-1$ = $23$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$| $-1$) und S₂( $4$| $23$).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $0$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 4 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=$-\frac{4}{3}$.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $-\frac{4}{3}x$ oder $\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{3}x$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$-\frac{4}{3}x$	=	$-x^2+\frac{14}{3}x-8$	|⋅ 3
$-4x$	=	$3\left(-x^2+\frac{14}{3}x-8\right)$
$-4x$	=	$-3x^2+14x-24$	| $+3x^2$ $-14x$ $+24$

$3x^2-18x+24$ = 0 |:3

$x^2-6x+8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{{\left(-6\right)}^2-4·1·8}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{36-32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$; $4$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$) = $-2^2+\frac{14}{3}\cdot 2-8$ = $-4+\frac{28}{3}-8$ = $-\frac{8}{3}$

g( $4$) = $-4^2+\frac{14}{3}\cdot 4-8$ = $-16+\frac{56}{3}-8$ = $-\frac{16}{3}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $2$| $-\frac{8}{3}$) und S₂( $4$| $-\frac{16}{3}$).