$x^2-x-90$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-90\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+360}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{361}}{2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{361}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>19</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{361}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>19</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-18}{2}$ = $-9$

L={ $-9$; $10$}

$-20x+25$

=

$-4x^2$

| $+4x^2$

$4x^2-20x+25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+20\pm \sqrt{{\left(-20\right)}^2-4·4·25}}{2\cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+20\pm \sqrt{400-400}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+20\pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{20}{8}$ = $\frac{5}{2}$

L={ $\frac{5}{2}$}

$\frac{5}{2}$ ist 2-fache Lösung!

$x^2+5x+\frac{25}{4}$	=	0	|⋅ 4
$4\left(x^2+5x+\frac{25}{4}\right)$	=	0

$4x^2+20x+25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-20\pm \sqrt{{20}^2-4·4·25}}{2\cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{-20\pm \sqrt{400-400}}{8}$

x_1,2 = $\frac{-20\pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-20}{8}$ = $-\frac{5}{2}$

L={ $-\frac{5}{2}$}

$-\frac{5}{2}$ ist 2-fache Lösung!

$-x-4$	=	$\left(-x+1\right)\left(x+5\right)+7x-12$
$-x-4$	=	$-x^2-4x+5+7x-12$
$-x-4$	=	$-x^2+3x-7$	| $+x^2$ $-3x$ $+7$

$x^2-4x+3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·3}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{16-12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$; $3$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^2+16x+64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-16\pm \sqrt{{16}^2-4·1·64}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-16\pm \sqrt{256-256}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-16\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-16}{2}$ = $-8$

L={ $-8$}

$-8$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $-8$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$-x^2+x$

=

$-2x^2+2x+2$

| $+2x^2$ $-2x$ $-2$

$x^2-x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$; $2$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-1$) = $-2\cdot {\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)+2$ = $-2\cdot 1-2+2$ = $-2-2+2$ = $-2$

g( $2$) = $-2\cdot 2^2+2\cdot 2+2$ = $-2\cdot 4+4+2$ = $-8+4+2$ = $-2$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-1$| $-2$) und S₂( $2$| $-2$).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=$\frac{3}{4}$.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{3}{4}x+1$ oder $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}x+1$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{3}{4}x+1$	=	$-x^2-\frac{25}{4}x-11$	|⋅ 4
$4\left(\frac{3}{4}x+1\right)$	=	$4\left(-x^2-\frac{25}{4}x-11\right)$
$3x+4$	=	$-4x^2-25x-44$	| $+4x^2$ $+25x$ $+44$

$4x^2+28x+48$ = 0 |:4

$x^2+7x+12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{7^2-4·1·12}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{49-48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{-7+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

x₂ = $\frac{-7-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $-3$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-4$) = $-{\left(-4\right)}^2-\frac{25}{4}\cdot \left(-4\right)-11$ = $-16+25-11$ = $-2$

g( $-3$) = $-{\left(-3\right)}^2-\frac{25}{4}\cdot \left(-3\right)-11$ = $-9+\frac{75}{4}-11$ = $-\frac{5}{4}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-4$| $-2$) und S₂( $-3$| $-\frac{5}{4}$).