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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 17 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 17 x + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 36}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 288}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 17+1}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 17-1}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

L={ $- 4,5$ ; $- 4$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$10 + 41 x + 4 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 41 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{41^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 10}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{1 681 - 160}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{1 521}}{8}$

x₁ = $\frac{- 41 + \sqrt{1 521}}{8}$ = $\frac{- 41+39}{8}$ = $\frac{- 2}{8}$ = $- 0,25$

x₂ = $\frac{- 41 - \sqrt{1 521}}{8}$ = $\frac{- 41-39}{8}$ = $\frac{- 80}{8}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $- 0,25$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{47}{5} x + \frac{18}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{47}{5} x + \frac{18}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{47}{5} x + \frac{18}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 47 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{{(- 47)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 18}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{2 209 - 360}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{1 849}}{10}$

x₁ = $\frac{47 + \sqrt{1 849}}{10}$ = $\frac{47+43}{10}$ = $\frac{90}{10}$ = $9$

x₂ = $\frac{47 - \sqrt{1 849}}{10}$ = $\frac{47-43}{10}$ = $\frac{4}{10}$ = $0,4$

L={ $0,4$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 5 x + 5$ = $(x + 2) (x + 8) - 3 x - 12$

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 5 x + 5$	=	$(x + 2) (x + 8) - 3 x - 12$
$2 x^{2} + 5 x + 5$	=	$x^{2} + 10 x + 16 - 3 x - 12$
$2 x^{2} + 5 x + 5$	=	$x^{2} + 7 x + 4$	\| $- x^{2}$ $- 7 x$ $- 4$

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 18 x - 81$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$- x^{2} + 18 x - 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 81)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 324}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

L={ $9$ }

$9$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $9$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} + 5 x - 4$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} + 3 x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} + 5 x - 4

=

- 3 x^{2} + 3 x - 1

|

+ 3 x^{2}

- 3 x

+ 1

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- 3 \cdot {(- 3)}^{2} + 3 \cdot (- 3) - 1$ = $- 3 \cdot 9 - 9 - 1$ = $- 27 - 9 - 1$ = $- 37$

g( $1$ ) = $- 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$ = $- 3 \cdot 1 + 3 - 1$ = $- 3 + 3 - 1$ = $- 1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $- 37$ ) und S₂( $1$ | $- 1$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{3}{2} x + 11$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{1}{2}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{1}{2} x - 1$ oder $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x - 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{1}{2} x - 1$	=	$- x^{2} - \frac{3}{2} x + 11$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x - 1)$	=	$2 (- x^{2} - \frac{3}{2} x + 11)$
$- x - 2$	=	$- 2 x^{2} - 3 x + 22$	\| $+ 2 x^{2}$ $+ 3 x$ $- 22$

2 x^{2} + 2 x - 24

= 0 |:2

$x^{2} + x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- {(- 4)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot (- 4) + 11$ = $- 16 + 6 + 11$ = $1$

g( $3$ ) = $- 3^{2} - \frac{3}{2} \cdot 3 + 11$ = $- 9 - \frac{9}{2} + 11$ = $- \frac{5}{2}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $1$ ) und S₂( $3$ | $- \frac{5}{2}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)