Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 15 x - 8$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 15 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 + 64}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 15+17}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 15-17}{4}$ = $\frac{- 32}{4}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $0,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + x$ = $90$

Lösung einblenden

x^{2} + x

=

90

|

- 90

$x^{2} + x - 90$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 90)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 360}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{361}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{- 1+19}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{- 1-19}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{26}{5} x - \frac{24}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{26}{5} x - \frac{24}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{26}{5} x - \frac{24}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 26 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 + 480}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{1 156}}{10}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{1 156}}{10}$ = $\frac{26+34}{10}$ = $\frac{60}{10}$ = $6$

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{1 156}}{10}$ = $\frac{26-34}{10}$ = $\frac{- 8}{10}$ = $- 0,8$

L={ $- 0,8$ ; $6$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 x^{2} - 6 x + 2$ = $(- 7 x + 4) (x + 2) + 8 x - 1$

Lösung einblenden

$- 6 x^{2} - 6 x + 2$	=	$(- 7 x + 4) (x + 2) + 8 x - 1$
$- 6 x^{2} - 6 x + 2$	=	$- 7 x^{2} - 10 x + 8 + 8 x - 1$
$- 6 x^{2} - 6 x + 2$	=	$- 7 x^{2} - 2 x + 7$	\| $+ 7 x^{2}$ $+ 2 x$ $- 7$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{32}{5} x - \frac{21}{5}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{32}{5} x - \frac{21}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} + \frac{32}{5} x - \frac{21}{5})$	=	0

$5 x^{2} + 32 x - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 + 420}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 444}}{10}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{1 444}}{10}$ = $\frac{- 32+38}{10}$ = $\frac{6}{10}$ = $0,6$

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{1 444}}{10}$ = $\frac{- 32-38}{10}$ = $\frac{- 70}{10}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $0,6$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 7$ |0) und N₂( $0,6$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} - 5 x - 10$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} - 4 x - 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x^{2} - 5 x - 10

=

2 x^{2} - 4 x - 4

|

- 2 x^{2}

+ 4 x

+ 4

$x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $2 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) - 4$ = $2 \cdot 4 + 8 - 4$ = $8 + 8 - 4$ = $12$

g( $3$ ) = $2 \cdot 3^{2} - 4 \cdot 3 - 4$ = $2 \cdot 9 - 12 - 4$ = $18 - 12 - 4$ = $2$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $12$ ) und S₂( $3$ | $2$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - 3 x - 6$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $x - 3$ oder $f(x) =$ $x - 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x - 3

=

- x^{2} - 3 x - 6

|

+ x^{2}

+ 3 x

+ 6

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- {(- 3)}^{2} - 3 \cdot (- 3) - 6$ = $- 9 + 9 - 6$ = $- 6$

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2} - 3 \cdot (- 1) - 6$ = $- 1 + 3 - 6$ = $- 4$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $- 6$ ) und S₂( $- 1$ | $- 4$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)