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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 5 x - 18$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 5 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{5+13}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{5-13}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $4,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$28 + 5 x^{2} - 27 x$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 27 x + 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 28}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{729 - 560}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{169}}{10}$

x₁ = $\frac{27 + \sqrt{169}}{10}$ = $\frac{27+13}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = $4$

x₂ = $\frac{27 - \sqrt{169}}{10}$ = $\frac{27-13}{10}$ = $\frac{14}{10}$ = $1,4$

L={ $1,4$ ; $4$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 11 x + 10$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 11 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{11+9}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{11-9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 x^{2} + 8 x - 9$ = $(6 x - 8) (x + 9) - 32 x + 58$

Lösung einblenden

$7 x^{2} + 8 x - 9$	=	$(6 x - 8) (x + 9) - 32 x + 58$
$7 x^{2} + 8 x - 9$	=	$6 x^{2} + 46 x - 72 - 32 x + 58$
$7 x^{2} + 8 x - 9$	=	$6 x^{2} + 14 x - 14$	\| $- 6 x^{2}$ $- 14 x$ $+ 14$

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{17}{4} x - \frac{15}{4}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{17}{4} x - \frac{15}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - \frac{17}{4} x - \frac{15}{4})$	=	0

$4 x^{2} - 17 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 240}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{529}}{8}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{529}}{8}$ = $\frac{17+23}{8}$ = $\frac{40}{8}$ = $5$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{529}}{8}$ = $\frac{17-23}{8}$ = $\frac{- 6}{8}$ = $- 0,75$

L={ $- 0,75$ ; $5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 0,75$ |0) und N₂( $5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 4 x^{2} + 2$
und
$g(x) =$ $- 5 x^{2} + 5 x - 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 4 x^{2} + 2

=

- 5 x^{2} + 5 x - 4

|

+ 5 x^{2}

- 5 x

+ 4

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $- 5 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 - 4$ = $- 5 \cdot 4 + 10 - 4$ = $- 20 + 10 - 4$ = $- 14$

g( $3$ ) = $- 5 \cdot 3^{2} + 5 \cdot 3 - 4$ = $- 5 \cdot 9 + 15 - 4$ = $- 45 + 15 - 4$ = $- 34$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $2$ | $- 14$ ) und S₂( $3$ | $- 34$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 15$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $0$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 2$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- 2 x$ oder $f(x) =$ $- 2 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x

=

- x^{2} + 15

|

+ x^{2}

- 15

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- {(- 3)}^{2} + 15$ = $- 9 + 15$ = $6$

g( $5$ ) = $- 5^{2} + 15$ = $- 25 + 15$ = $- 10$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $6$ ) und S₂( $5$ | $- 10$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)