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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 8 x + 7$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 8 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8+6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8-6}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $- 1$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 30$ = $16 x$

Lösung einblenden

2 x^{2} + 30

=

16 x

|

- 16 x

2 x^{2} - 16 x + 30

= 0 |:2

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ ; $5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{23}{4} x - \frac{35}{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{23}{4} x - \frac{35}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - \frac{23}{4} x - \frac{35}{4})$	=	0

$4 x^{2} - 23 x - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 + 560}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{1 089}}{8}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{1 089}}{8}$ = $\frac{23+33}{8}$ = $\frac{56}{8}$ = $7$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{1 089}}{8}$ = $\frac{23-33}{8}$ = $\frac{- 10}{8}$ = $- 1,25$

L={ $- 1,25$ ; $7$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x^{2} + 4 x + 3$ = $(- 9 x - 5) (x - 3) - 20 x + 3$

Lösung einblenden

$- 8 x^{2} + 4 x + 3$	=	$(- 9 x - 5) (x - 3) - 20 x + 3$
$- 8 x^{2} + 4 x + 3$	=	$- 9 x^{2} + 22 x + 15 - 20 x + 3$
$- 8 x^{2} + 4 x + 3$	=	$- 9 x^{2} + 2 x + 18$	\| $+ 9 x^{2}$ $- 2 x$ $- 18$

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} - 27 x - 42$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

- 3 x^{2} - 27 x - 42

= 0 |:3

$- x^{2} - 9 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 14)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{9+5}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{9-5}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

L={ $- 7$ ; $- 2$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 7$ |0) und N₂( $- 2$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $11 x + 26$
und
$g(x) =$ $- x^{2} + x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

11 x + 26

=

- x^{2} + x + 1

|

+ x^{2}

- x

- 1

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - 5 + 1$ = $- 25 - 5 + 1$ = $- 29$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 5$ | $- 29$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{1}{2} x + 18$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{3}{2}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{3}{2} x + 3$ oder $f(x) =$ $\frac{3}{2} x + 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{3}{2} x + 3$	=	$- x^{2} - \frac{1}{2} x + 18$	\|⋅ 2
$2 (\frac{3}{2} x + 3)$	=	$2 (- x^{2} - \frac{1}{2} x + 18)$
$3 x + 6$	=	$- 2 x^{2} - x + 36$	\| $+ 2 x^{2}$ $+ x$ $- 36$

2 x^{2} + 4 x - 30

= 0 |:2

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot (- 5) + 18$ = $- 25 + \frac{5}{2} + 18$ = $- \frac{9}{2}$

g( $3$ ) = $- 3^{2} - \frac{1}{2} \cdot 3 + 18$ = $- 9 - \frac{3}{2} + 18$ = $\frac{15}{2}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $- \frac{9}{2}$ ) und S₂( $3$ | $\frac{15}{2}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)