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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 36 x + 82$ = 0

4 x^{2} + 36 x + 82

= 0 |:2

$2 x^{2} + 18 x + 41$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 41}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 328}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{(- 4)}}{4}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 18 + 9 x + 5 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 9 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 360}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{441}}{10}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{441}}{10}$ = $\frac{- 9+21}{10}$ = $\frac{12}{10}$ = $1,2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{441}}{10}$ = $\frac{- 9-21}{10}$ = $\frac{- 30}{10}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $1,2$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 3 x + \frac{9}{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 3 x + \frac{9}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + 3 x + \frac{9}{4})$	=	0

$4 x^{2} + 12 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 12}{8}$ = $- \frac{3}{2}$

L={ $- \frac{3}{2}$ }

$- \frac{3}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$10 x^{2} - 8 x + 8$ = $(9 x - 3) (x - 2) + 10 x + 2$

Lösung einblenden

$10 x^{2} - 8 x + 8$	=	$(9 x - 3) (x - 2) + 10 x + 2$
$10 x^{2} - 8 x + 8$	=	$9 x^{2} - 21 x + 6 + 10 x + 2$
$10 x^{2} - 8 x + 8$	=	$9 x^{2} - 11 x + 8$	\| $- 8$
$10 x^{2} - 8 x$	=	$9 x^{2} - 11 x$	\| $- (9 x^{2} - 11 x)$
$10 x^{2} - 9 x^{2} - 8 x + 11 x$	=	0
$x^{2} + 3 x$	=	0
$x (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; 0}

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 7 x + \frac{49}{4}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 7 x + \frac{49}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + 7 x + \frac{49}{4})$	=	0

$4 x^{2} + 28 x + 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{28^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 49}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 784}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 28}{8}$ = $- \frac{7}{2}$

L={ $- \frac{7}{2}$ }

$- \frac{7}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $- \frac{7}{2}$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $6 x^{2} + 3 x + 5$
und
$g(x) =$ $5 x^{2} + 5 x + 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

6 x^{2} + 3 x + 5

=

5 x^{2} + 5 x + 3

|

- 5 x^{2}

- 5 x

- 3

$x^{2} - 2 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

Es gibt also keine Schnittpunkte.

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{5}{4} x + 19$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{1}{4}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{1}{4} x - 1$ oder $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x - 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{1}{4} x - 1$	=	$- x^{2} - \frac{5}{4} x + 19$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{1}{4} x - 1)$	=	$4 (- x^{2} - \frac{5}{4} x + 19)$
$- x - 4$	=	$- 4 x^{2} - 5 x + 76$	\| $+ 4 x^{2}$ $+ 5 x$ $- 76$

4 x^{2} + 4 x - 80

= 0 |:4

$x^{2} + x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - \frac{5}{4} \cdot (- 5) + 19$ = $- 25 + \frac{25}{4} + 19$ = $\frac{1}{4}$

g( $4$ ) = $- 4^{2} - \frac{5}{4} \cdot 4 + 19$ = $- 16 - 5 + 19$ = $- 2$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $\frac{1}{4}$ ) und S₂( $4$ | $- 2$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)