Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 2 x - 2$ = 0

4 x^{2} + 2 x - 2

= 0 |:2

$2 x^{2} + x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 1+3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 1-3}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $0,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 82 - 36 x$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} - 36 x + 82

= 0 |:2

$2 x^{2} - 18 x + 41$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 41}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 328}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{(- 4)}}{4}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} - 54 x - 243$ = 0

Lösung einblenden

- 3 x^{2} - 54 x - 243

= 0 |:3

$- x^{2} - 18 x - 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 81)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 324}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

L={ $- 9$ }

$- 9$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 x^{2} + 3 x + 1$ = $(- 8 x + 8) (x + 5) + 30 x - 45$

Lösung einblenden

$- 7 x^{2} + 3 x + 1$	=	$(- 8 x + 8) (x + 5) + 30 x - 45$
$- 7 x^{2} + 3 x + 1$	=	$- 8 x^{2} - 32 x + 40 + 30 x - 45$
$- 7 x^{2} + 3 x + 1$	=	$- 8 x^{2} - 2 x - 5$	\| $+ 8 x^{2}$ $+ 2 x$ $+ 5$

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} - 3 x + 60$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

- 3 x^{2} - 3 x + 60

= 0 |:3

$- x^{2} - x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1+9}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1-9}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

L={ $- 5$ ; $4$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 5$ |0) und N₂( $4$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} + x - 2$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} + x + 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- 2 x^{2} + x - 2$	=	$- 3 x^{2} + x + 2$	\| $+ 2$
$- 2 x^{2} + x$	=	$- 3 x^{2} + x + 4$	\| $+ 3 x^{2}$ $- x$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 2 + 2$ = $- 3 \cdot 4 - 2 + 2$ = $- 12 - 2 + 2$ = $- 12$

g( $2$ ) = $- 3 \cdot 2^{2} + 2 + 2$ = $- 3 \cdot 4 + 2 + 2$ = $- 12 + 2 + 2$ = $- 8$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $- 12$ ) und S₂( $2$ | $- 8$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 2 x - 1$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 3$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- 3 x + 3$ oder $f(x) =$ $- 3 x + 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 3 x + 3

=

- x^{2} + 2 x - 1

|

+ x^{2}

- 2 x

+ 1

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 1^{2} + 2 \cdot 1 - 1$ = $- 1 + 2 - 1$ = 0

g( $4$ ) = $- 4^{2} + 2 \cdot 4 - 1$ = $- 16 + 8 - 1$ = $- 9$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ |0) und S₂( $4$ | $- 9$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)