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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 14 x + 6$ = 0

4 x^{2} + 14 x + 6

= 0 |:2

$2 x^{2} + 7 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 7+5}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 7-5}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 0,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 + 8 x + x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ }

$- 4$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $7$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 2 x + 5$ = $(- 4 x - 7) (x - 9) - 36 x - 78$

Lösung einblenden

$- 3 x^{2} + 2 x + 5$	=	$(- 4 x - 7) (x - 9) - 36 x - 78$
$- 3 x^{2} + 2 x + 5$	=	$- 4 x^{2} + 29 x + 63 - 36 x - 78$
$- 3 x^{2} + 2 x + 5$	=	$- 4 x^{2} - 7 x - 15$	\| $+ 4 x^{2}$ $+ 7 x$ $+ 15$

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9+1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9-1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + x + \frac{1}{4}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + x + \frac{1}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + x + \frac{1}{4})$	=	0

$4 x^{2} + 4 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{8}$ = $- \frac{1}{2}$

L={ $- \frac{1}{2}$ }

$- \frac{1}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $- \frac{1}{2}$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $2 x^{2} + 3 x + 3$
und
$g(x) =$ $x^{2} + x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

2 x^{2} + 3 x + 3

=

x^{2} + x + 1

|

- x^{2}

- x

- 1

$x^{2} + 2 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

Es gibt also keine Schnittpunkte.

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{11}{2} x + 8$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{3}{2}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{3}{2} x + 3$ oder $f(x) =$ $\frac{3}{2} x + 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{3}{2} x + 3$	=	$- x^{2} + \frac{11}{2} x + 8$	\|⋅ 2
$2 (\frac{3}{2} x + 3)$	=	$2 (- x^{2} + \frac{11}{2} x + 8)$
$3 x + 6$	=	$- 2 x^{2} + 11 x + 16$	\| $+ 2 x^{2}$ $- 11 x$ $- 16$

2 x^{2} - 8 x - 10

= 0 |:2

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2} + \frac{11}{2} \cdot (- 1) + 8$ = $- 1 - \frac{11}{2} + 8$ = $\frac{3}{2}$

g( $5$ ) = $- 5^{2} + \frac{11}{2} \cdot 5 + 8$ = $- 25 + \frac{55}{2} + 8$ = $\frac{21}{2}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $\frac{3}{2}$ ) und S₂( $5$ | $\frac{21}{2}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)