$5x^2-39x+28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+39\pm \sqrt{{\left(-39\right)}^2-4·5·28}}{2\cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+39\pm \sqrt{1521-560}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+39\pm \sqrt{961}}{10}$

x₁ = $\frac{39+\sqrt{961}}{10}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>39</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>31</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{70}{10}$ = $7$

x₂ = $\frac{39-\sqrt{961}}{10}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>39</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>31</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{10}$ = $\mathrm{0,8}$

L={ $\mathrm{0,8}$; $7$}

$4x^2+50$

=

$28x$

| $-28x$

$4x^2-28x+50$ = 0 |:2

$2x^2-14x+25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+14\pm \sqrt{{\left(-14\right)}^2-4·2·25}}{2\cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+14\pm \sqrt{196-200}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+14\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{4}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

$3x^2+48x+192$ = 0 |:3

$x^2+16x+64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-16\pm \sqrt{{16}^2-4·1·64}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-16\pm \sqrt{256-256}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-16\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-16}{2}$ = $-8$

L={ $-8$}

$-8$ ist 2-fache Lösung!

$4x^2-6x-2$	=	$\left(3x+7\right)\left(x+5\right)-23x-41$
$4x^2-6x-2$	=	$3x^2+22x+35-23x-41$
$4x^2-6x-2$	=	$3x^2-x-6$	| $-3x^2$ $+x$ $+6$

$x^2-5x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·1·4}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{25-16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$; $4$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$-2x^2+200$	=	0	| $-200$
$-2x^2$	=	$-200$	|: $\left(-2\right)$
$x^2$	=	$100$	|
x1	=	$-\sqrt{100}$	= $-10$
x2	=	$\sqrt{100}$	= $10$

L={ $-10$; $10$}

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $-10$|0) und N₂( $10$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$-3x-1$

=

$-x^2-x-3$

| $+x^2$ $+x$ $+3$

$x^2-2x+2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·2}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4-8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

Es gibt also keine Schnittpunkte.

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $-3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=$-\frac{2}{3}$.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $-\frac{2}{3}x-3$ oder $\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3}x-3$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$-\frac{2}{3}x-3$	=	$-x^2+\frac{4}{3}x-4$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{2}{3}x-3\right)$	=	$3\left(-x^2+\frac{4}{3}x-4\right)$
$-2x-9$	=	$-3x^2+4x-12$	| $+3x^2$ $-4x$ $+12$

$3x^2-6x+3$ = 0 |:3

$x^2-2x+1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·1}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4-4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$}

$1$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$) = $-1^2+\frac{4}{3}\cdot 1-4$ = $-1+\frac{4}{3}-4$ = $-\frac{11}{3}$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $1$| $-\frac{11}{3}$).