$x^2+4x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·4}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$}

$-2$ ist 2-fache Lösung!

$x^2-6x+9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{{\left(-6\right)}^2-4·1·9}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{36-36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$}

$3$ ist 2-fache Lösung!

$x^2-12x+37$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+12\pm \sqrt{{\left(-12\right)}^2-4·1·37}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+12\pm \sqrt{144-148}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+12\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

L={ $-1$; $1$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^2+12x+36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-12\pm \sqrt{{12}^2-4·1·36}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-12\pm \sqrt{144-144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-12\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-12}{2}$ = $-6$

L={ $-6$}

$-6$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $-6$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x^2-6x+9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{{\left(-6\right)}^2-4·1·9}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{36-36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$}

$3$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $3$) = $3^2+3\cdot 3+1$ = $9+9+1$ = $19$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $3$| $19$).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $0$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=$-2$.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $-2x$ oder $\text{f(x)}=$ $-2x$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x^2+10x+25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{{10}^2-4·1·25}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{100-100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

L={ $-5$}

$-5$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-5$) = $-{\left(-5\right)}^2-12\cdot \left(-5\right)-25$ = $-25+60-25$ = $10$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $-5$| $10$).