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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 21 x + 49$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 21 x + 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 49}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 392}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 21+7}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 21-7}{4}$ = $\frac{- 28}{4}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $- 3,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 36$ = $- 49 x$

Lösung einblenden

5 x^{2} + 36

=

- 49 x

|

+ 49 x

$5 x^{2} + 49 x + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{49^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 36}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{2 401 - 720}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{1 681}}{10}$

x₁ = $\frac{- 49 + \sqrt{1 681}}{10}$ = $\frac{- 49+41}{10}$ = $\frac{- 8}{10}$ = $- 0,8$

x₂ = $\frac{- 49 - \sqrt{1 681}}{10}$ = $\frac{- 49-41}{10}$ = $\frac{- 90}{10}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $- 0,8$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 2 x + 2$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 2 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} - 5 x - 3$ = $(- 5 x - 3) (x + 7) + 35 x + 26$

Lösung einblenden

$- 4 x^{2} - 5 x - 3$	=	$(- 5 x - 3) (x + 7) + 35 x + 26$
$- 4 x^{2} - 5 x - 3$	=	$- 5 x^{2} - 38 x - 21 + 35 x + 26$
$- 4 x^{2} - 5 x - 3$	=	$- 5 x^{2} - 3 x + 5$	\| $+ 5 x^{2}$ $+ 3 x$ $- 5$

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 14 x + 49$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 14 x + 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ }

$- 7$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $- 7$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 3 x^{2} - x - 3$
und
$g(x) =$ $- 4 x^{2} + 2 x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 3 x^{2} - x - 3

=

- 4 x^{2} + 2 x + 1

|

+ 4 x^{2}

- 2 x

- 1

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $- 4 \cdot {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 1$ = $- 4 \cdot 1 - 2 + 1$ = $- 4 - 2 + 1$ = $- 5$

g( $4$ ) = $- 4 \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4 + 1$ = $- 4 \cdot 16 + 8 + 1$ = $- 64 + 8 + 1$ = $- 55$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $- 5$ ) und S₂( $4$ | $- 55$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + x + 26$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $x + 1$ oder $f(x) =$ $x + 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x + 1$	=	$- x^{2} + x + 26$	\| $- 1$
$x$	=	$- x^{2} + x + 25$	\| $+ x^{2}$ $- x$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $- 5$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - 5 + 26$ = $- 25 - 5 + 26$ = $- 4$

g( $5$ ) = $- 5^{2} + 5 + 26$ = $- 25 + 5 + 26$ = $6$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $- 4$ ) und S₂( $5$ | $6$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)