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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 + 4 x^{2} + 15 x$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 15 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 144}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{81}}{8}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{81}}{8}$ = $\frac{- 15+9}{8}$ = $\frac{- 6}{8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{81}}{8}$ = $\frac{- 15-9}{8}$ = $\frac{- 24}{8}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 0,75$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{23}{2} x + \frac{63}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{23}{2} x + \frac{63}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{23}{2} x + \frac{63}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 23 x + 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 63}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 504}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{23+5}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = $7$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{23-5}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

L={ $4,5$ ; $7$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 x^{2} - 3 x + 6$ = $(- 8 x - 6) (x - 9) - 75 x - 53$

Lösung einblenden

$- 7 x^{2} - 3 x + 6$	=	$(- 8 x - 6) (x - 9) - 75 x - 53$
$- 7 x^{2} - 3 x + 6$	=	$- 8 x^{2} + 66 x + 54 - 75 x - 53$
$- 7 x^{2} - 3 x + 6$	=	$- 8 x^{2} - 9 x + 1$	\| $+ 8 x^{2}$ $+ 9 x$ $- 1$

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6+4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6-4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{9}{2}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{9}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{9}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 3 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 3+9}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 3-9}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $1,5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 3$ |0) und N₂( $1,5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $5 x^{2} + 4 x + 1$
und
$g(x) =$ $4 x^{2} + 3 x + 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

5 x^{2} + 4 x + 1

=

4 x^{2} + 3 x + 3

|

- 4 x^{2}

- 3 x

- 3

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $4 \cdot {(- 2)}^{2} + 3 \cdot (- 2) + 3$ = $4 \cdot 4 - 6 + 3$ = $16 - 6 + 3$ = $13$

g( $1$ ) = $4 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 3$ = $4 \cdot 1 + 3 + 3$ = $4 + 3 + 3$ = $10$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $13$ ) und S₂( $1$ | $10$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - 7 x - 7$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 2$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- 2 x - 3$ oder $f(x) =$ $- 2 x - 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x - 3

=

- x^{2} - 7 x - 7

|

+ x^{2}

+ 7 x

+ 7

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- {(- 4)}^{2} - 7 \cdot (- 4) - 7$ = $- 16 + 28 - 7$ = $5$

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2} - 7 \cdot (- 1) - 7$ = $- 1 + 7 - 7$ = $- 1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $5$ ) und S₂( $- 1$ | $- 1$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)