Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 5 x - 3$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 5 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{5+7}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{5-7}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

L={ $- 0,5$ ; $3$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 28 + 2 x^{2} + x$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + x - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 224}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 1+15}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 1-15}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $3,5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{19}{5} x + \frac{18}{5}$ = 0

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$x^{2} + \frac{19}{5} x + \frac{18}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} + \frac{19}{5} x + \frac{18}{5})$	=	0

$5 x^{2} + 19 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 18}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 360}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{1}}{10}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{1}}{10}$ = $\frac{- 19+1}{10}$ = $\frac{- 18}{10}$ = $- 1,8$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{1}}{10}$ = $\frac{- 19-1}{10}$ = $\frac{- 20}{10}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1,8$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 6 x - 8$ = $(- 4 x + 8) (x - 6) - 19 x + 28$

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$- 3 x^{2} + 6 x - 8$	=	$(- 4 x + 8) (x - 6) - 19 x + 28$
$- 3 x^{2} + 6 x - 8$	=	$- 4 x^{2} + 32 x - 48 - 19 x + 28$
$- 3 x^{2} + 6 x - 8$	=	$- 4 x^{2} + 13 x - 20$	\| $+ 4 x^{2}$ $- 13 x$ $+ 20$

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ ; $4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 13 x - 30$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$- x^{2} + 13 x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 30)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 13+7}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 13-7}{- 2}$ = $\frac{- 20}{- 2}$ = $10$

L={ $3$ ; $10$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $3$ |0) und N₂( $10$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $6 x^{2} - 5 x + 4$
und
$g(x) =$ $5 x^{2} - x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

6 x^{2} - 5 x + 4

=

5 x^{2} - x - 1

|

- 5 x^{2}

+ x

+ 1

$x^{2} - 4 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

Es gibt also keine Schnittpunkte.

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{5}{2} x + 6$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{1}{2}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{1}{2} x - 2$ oder $f(x) =$ $\frac{1}{2} x - 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{1}{2} x - 2$	=	$- x^{2} + \frac{5}{2} x + 6$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} x - 2)$	=	$2 (- x^{2} + \frac{5}{2} x + 6)$
$x - 4$	=	$- 2 x^{2} + 5 x + 12$	\| $+ 2 x^{2}$ $- 5 x$ $- 12$

2 x^{2} - 4 x - 16

= 0 |:2

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{2} + \frac{5}{2} \cdot (- 2) + 6$ = $- 4 - 5 + 6$ = $- 3$

g( $4$ ) = $- 4^{2} + \frac{5}{2} \cdot 4 + 6$ = $- 16 + 10 + 6$ = 0

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $- 3$ ) und S₂( $4$ |0).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)