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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 17 x - 40$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 17 x - 40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 800}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{1 089}}{10}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{1 089}}{10}$ = $\frac{- 17+33}{10}$ = $\frac{16}{10}$ = $1,6$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{1 089}}{10}$ = $\frac{- 17-33}{10}$ = $\frac{- 50}{10}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $1,6$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$35 + 12 x + x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 12 x + 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 12+2}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 12-2}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $- 5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} - 33 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

- 3 x^{2} - 33 x - 30

= 0 |:3

$- x^{2} - 11 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{11+9}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{11-9}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

L={ $- 10$ ; $- 1$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} - 3 x - 8$ = $(- 6 x - 2) (x - 5) - 25 x - 26$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} - 3 x - 8$	=	$(- 6 x - 2) (x - 5) - 25 x - 26$
$- 5 x^{2} - 3 x - 8$	=	$- 6 x^{2} + 28 x + 10 - 25 x - 26$
$- 5 x^{2} - 3 x - 8$	=	$- 6 x^{2} + 3 x - 16$	\| $+ 6 x^{2}$ $- 3 x$ $+ 16$

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 24 x + 27$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

- 3 x^{2} + 24 x + 27

= 0 |:3

$- x^{2} + 8 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 9}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{- 8+10}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{- 8-10}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

L={ $- 1$ ; $9$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 1$ |0) und N₂( $9$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} - 4 x + 11$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} + 2 x + 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x^{2} - 4 x + 11

=

2 x^{2} + 2 x + 2

|

- 2 x^{2}

- 2 x

- 2

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ }

$3$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $3$ ) = $2 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 + 2$ = $2 \cdot 9 + 6 + 2$ = $18 + 6 + 2$ = $26$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $3$ | $26$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{23}{3} x - 17$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 4 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{4}{3}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{4}{3} x + 3$ oder $f(x) =$ $\frac{4}{3} x + 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{4}{3} x + 3$	=	$- x^{2} - \frac{23}{3} x - 17$	\|⋅ 3
$3 (\frac{4}{3} x + 3)$	=	$3 (- x^{2} - \frac{23}{3} x - 17)$
$4 x + 9$	=	$- 3 x^{2} - 23 x - 51$	\| $+ 3 x^{2}$ $+ 23 x$ $+ 51$

3 x^{2} + 27 x + 60

= 0 |:3

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9+1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9-1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - \frac{23}{3} \cdot (- 5) - 17$ = $- 25 + \frac{115}{3} - 17$ = $- \frac{11}{3}$

g( $- 4$ ) = $- {(- 4)}^{2} - \frac{23}{3} \cdot (- 4) - 17$ = $- 16 + \frac{92}{3} - 17$ = $- \frac{7}{3}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $- \frac{11}{3}$ ) und S₂( $- 4$ | $- \frac{7}{3}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)