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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 18 x + 36$ = 0

2 x^{2} + 18 x + 36

= 0 |:2

$x^{2} + 9 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 9+3}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 9-3}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $- 3$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 36 x$ = $- 82$

Lösung einblenden

4 x^{2} + 36 x

=

- 82

|

+ 82

4 x^{2} + 36 x + 82

= 0 |:2

$2 x^{2} + 18 x + 41$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 41}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 328}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{(- 4)}}{4}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

L={ $5$ }

$5$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 8 x - 4$ = $(4 x - 6) (x + 6) - 11 x + 38$

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 8 x - 4$	=	$(4 x - 6) (x + 6) - 11 x + 38$
$5 x^{2} + 8 x - 4$	=	$4 x^{2} + 18 x - 36 - 11 x + 38$
$5 x^{2} + 8 x - 4$	=	$4 x^{2} + 7 x + 2$	\| $- 4 x^{2}$ $- 7 x$ $- 2$

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} - 9 x + 120$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

- 3 x^{2} - 9 x + 120

= 0 |:3

$- x^{2} - 3 x + 40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 40}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{169}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{3+13}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{3-13}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

L={ $- 8$ ; $5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 8$ |0) und N₂( $5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 3 x^{2} - 7 x + 1$
und
$g(x) =$ $- 4 x^{2} - 3 x - 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 3 x^{2} - 7 x + 1

=

- 4 x^{2} - 3 x - 3

|

+ 4 x^{2}

+ 3 x

+ 3

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $- 4 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 3$ = $- 4 \cdot 4 - 6 - 3$ = $- 16 - 6 - 3$ = $- 25$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $2$ | $- 25$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{19}{4} x - 7$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{1}{4}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{1}{4} x - 1$ oder $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x - 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{1}{4} x - 1$	=	$- x^{2} + \frac{19}{4} x - 7$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{1}{4} x - 1)$	=	$4 (- x^{2} + \frac{19}{4} x - 7)$
$- x - 4$	=	$- 4 x^{2} + 19 x - 28$	\| $+ 4 x^{2}$ $- 19 x$ $+ 28$

4 x^{2} - 20 x + 24

= 0 |:4

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $- 2^{2} + \frac{19}{4} \cdot 2 - 7$ = $- 4 + \frac{19}{2} - 7$ = $- \frac{3}{2}$

g( $3$ ) = $- 3^{2} + \frac{19}{4} \cdot 3 - 7$ = $- 9 + \frac{57}{4} - 7$ = $- \frac{7}{4}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $2$ | $- \frac{3}{2}$ ) und S₂( $3$ | $- \frac{7}{4}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)