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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 2 x - 4$ = 0

2 x^{2} - 2 x - 4

= 0 |:2

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $2$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x + 4$ = $- x^{2}$

Lösung einblenden

4 x + 4

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{9}{2} x - 28$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{9}{2} x - 28$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{9}{2} x - 28)$	=	0

$2 x^{2} - 9 x - 56$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 56)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 448}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{529}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{9+23}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = $8$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{9-23}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

L={ $- 3,5$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 x^{2} - 7 x - 5$ = $(8 x - 8) (x - 3) + 24 x - 23$

Lösung einblenden

$9 x^{2} - 7 x - 5$	=	$(8 x - 8) (x - 3) + 24 x - 23$
$9 x^{2} - 7 x - 5$	=	$8 x^{2} - 32 x + 24 + 24 x - 23$
$9 x^{2} - 7 x - 5$	=	$8 x^{2} - 8 x + 1$	\| $- 8 x^{2}$ $+ 8 x$ $- 1$

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{5}{2} x - 9$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{5}{2} x - 9$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{5}{2} x - 9)$	=	0

$2 x^{2} - 5 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{5+13}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{5-13}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $4,5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 2$ |0) und N₂( $4,5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- x^{2} - 5 x + 11$
und
$g(x) =$ $- 2 x^{2} + 2 x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} - 5 x + 11

=

- 2 x^{2} + 2 x - 1

|

+ 2 x^{2}

- 2 x

+ 1

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $3$ ) = $- 2 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1$ = $- 2 \cdot 9 + 6 - 1$ = $- 18 + 6 - 1$ = $- 13$

g( $4$ ) = $- 2 \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4 - 1$ = $- 2 \cdot 16 + 8 - 1$ = $- 32 + 8 - 1$ = $- 25$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $3$ | $- 13$ ) und S₂( $4$ | $- 25$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{5}{4} x + 3$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{1}{4}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{1}{4} x - 3$ oder $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x - 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{1}{4} x - 3$	=	$- x^{2} - \frac{5}{4} x + 3$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{1}{4} x - 3)$	=	$4 (- x^{2} - \frac{5}{4} x + 3)$
$- x - 12$	=	$- 4 x^{2} - 5 x + 12$	\| $+ 4 x^{2}$ $+ 5 x$ $- 12$

4 x^{2} + 4 x - 24

= 0 |:4

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- {(- 3)}^{2} - \frac{5}{4} \cdot (- 3) + 3$ = $- 9 + \frac{15}{4} + 3$ = $- \frac{9}{4}$

g( $2$ ) = $- 2^{2} - \frac{5}{4} \cdot 2 + 3$ = $- 4 - \frac{5}{2} + 3$ = $- \frac{7}{2}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $- \frac{9}{4}$ ) und S₂( $2$ | $- \frac{7}{2}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)