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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 3 x - 1$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 3 x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{8}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{8}$ = $\frac{- 3+5}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{8}$ = $\frac{- 3-5}{8}$ = $\frac{- 8}{8}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $0,25$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 14$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

2 x^{2} - 14

=

- 3 x

|

+ 3 x

$2 x^{2} + 3 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 3+11}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 3-11}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

L={ $- 3,5$ ; $2$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{13}{2} x + 10$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{13}{2} x + 10$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{13}{2} x + 10)$	=	0

$2 x^{2} + 13 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 20}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 13+3}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 13-3}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 2,5$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 x^{2} - 4 x + 1$ = $(8 x - 2) (x - 3) + 25 x - 1$

Lösung einblenden

$9 x^{2} - 4 x + 1$	=	$(8 x - 2) (x - 3) + 25 x - 1$
$9 x^{2} - 4 x + 1$	=	$8 x^{2} - 26 x + 6 + 25 x - 1$
$9 x^{2} - 4 x + 1$	=	$8 x^{2} - x + 5$	\| $- 8 x^{2}$ $+ x$ $- 5$

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{97}{16}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{97}{16}$	=	0	\|⋅ 16
$16 (x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{97}{16})$	=	0

$16 x^{2} + 72 x + 97$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 72 \pm \sqrt{72^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 97}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{- 72 \pm \sqrt{5 184 - 6 208}}{32}$

x_1,2 = $\frac{- 72 \pm \sqrt{(- 1 024)}}{32}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $4 x^{2} - 7 x + 29$
und
$g(x) =$ $3 x^{2} + 3 x + 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

4 x^{2} - 7 x + 29

=

3 x^{2} + 3 x + 4

|

- 3 x^{2}

- 3 x

- 4

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

L={ $5$ }

$5$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $5$ ) = $3 \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5 + 4$ = $3 \cdot 25 + 15 + 4$ = $75 + 15 + 4$ = $94$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $5$ | $94$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{25}{4} x - 4$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{1}{4}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{1}{4} x + 1$ oder $f(x) =$ $\frac{1}{4} x + 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{1}{4} x + 1$	=	$- x^{2} + \frac{25}{4} x - 4$	\|⋅ 4
$4 (\frac{1}{4} x + 1)$	=	$4 (- x^{2} + \frac{25}{4} x - 4)$
$x + 4$	=	$- 4 x^{2} + 25 x - 16$	\| $+ 4 x^{2}$ $- 25 x$ $+ 16$

4 x^{2} - 24 x + 20

= 0 |:4

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 1^{2} + \frac{25}{4} \cdot 1 - 4$ = $- 1 + \frac{25}{4} - 4$ = $\frac{5}{4}$

g( $5$ ) = $- 5^{2} + \frac{25}{4} \cdot 5 - 4$ = $- 25 + \frac{125}{4} - 4$ = $\frac{9}{4}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $\frac{5}{4}$ ) und S₂( $5$ | $\frac{9}{4}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)