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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 45 x - 50$ = 0

5 x^{2} + 45 x - 50

= 0 |:5

$x^{2} + 9 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 9+11}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 9-11}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $1$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 28$ = $x$

Lösung einblenden

2 x^{2} - 28

=

x

|

- x

$2 x^{2} - x - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 224}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{1+15}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{1-15}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

L={ $- 3,5$ ; $4$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + 16 x + 40$ = 0

Lösung einblenden

- 2 x^{2} + 16 x + 40

= 0 |:2

$- x^{2} + 8 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{- 2}$ = $\frac{- 8+12}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{- 2}$ = $\frac{- 8-12}{- 2}$ = $\frac{- 20}{- 2}$ = $10$

L={ $- 2$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 x^{2} - 2 x + 3$ = $(- 8 x + 4) (x + 3) + 24 x - 18$

Lösung einblenden

$- 7 x^{2} - 2 x + 3$	=	$(- 8 x + 4) (x + 3) + 24 x - 18$
$- 7 x^{2} - 2 x + 3$	=	$- 8 x^{2} - 20 x + 12 + 24 x - 18$
$- 7 x^{2} - 2 x + 3$	=	$- 8 x^{2} + 4 x - 6$	\| $+ 8 x^{2}$ $- 4 x$ $+ 6$

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ }

$3$ ist 2-fache Lösung!

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - x + \frac{5}{4}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - x + \frac{5}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - x + \frac{5}{4})$	=	0

$4 x^{2} - 4 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 80}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{(- 64)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $10 x + 3$
und
$g(x) =$ $- x^{2} + 4 x - 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

10 x + 3

=

- x^{2} + 4 x - 5

|

+ x^{2}

- 4 x

+ 5

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- {(- 4)}^{2} + 4 \cdot (- 4) - 5$ = $- 16 - 16 - 5$ = $- 37$

g( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) - 5$ = $- 4 - 8 - 5$ = $- 17$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 37$ ) und S₂( $- 2$ | $- 17$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 8$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- x + 2$ oder $f(x) =$ $- x + 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x + 2

=

- x^{2} + 8

|

+ x^{2}

- 8

$x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{2} + 8$ = $- 4 + 8$ = $4$

g( $3$ ) = $- 3^{2} + 8$ = $- 9 + 8$ = $- 1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $4$ ) und S₂( $3$ | $- 1$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)