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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + x - 15$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 1+11}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 1-11}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $2,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 x + 9$ = $- x^{2}$

Lösung einblenden

6 x + 9

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{15}{2} x + \frac{27}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{15}{2} x + \frac{27}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{15}{2} x + \frac{27}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 15 x + 27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 27}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 216}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 15+3}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 15-3}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

L={ $- 4,5$ ; $- 3$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$8 x^{2} - x - 9$ = $(7 x - 6) (x + 6) - 35 x + 27$

Lösung einblenden

$8 x^{2} - x - 9$	=	$(7 x - 6) (x + 6) - 35 x + 27$
$8 x^{2} - x - 9$	=	$7 x^{2} + 36 x - 36 - 35 x + 27$
$8 x^{2} - x - 9$	=	$7 x^{2} + x - 9$	\| $+ 9$
$8 x^{2} - x$	=	$7 x^{2} + x$	\| $- (7 x^{2} + x)$
$8 x^{2} - 7 x^{2} - x - x$	=	0
$x^{2} - 2 x$	=	0
$x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

L={0; $2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} - 36 x + 111$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

3 x^{2} - 36 x + 111

= 0 |:3

$x^{2} - 12 x + 37$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 148}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $2 x^{2} - 9 x + 6$
und
$g(x) =$ $x^{2} - 5 x + 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

2 x^{2} - 9 x + 6

=

x^{2} - 5 x + 3

|

- x^{2}

+ 5 x

- 3

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $1^{2} - 5 \cdot 1 + 3$ = $1 - 5 + 3$ = $- 1$

g( $3$ ) = $3^{2} - 5 \cdot 3 + 3$ = $9 - 15 + 3$ = $- 3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $- 1$ ) und S₂( $3$ | $- 3$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 6 x - 3$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $0$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $2$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $2 x$ oder $f(x) =$ $2 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

2 x

=

- x^{2} + 6 x - 3

|

+ x^{2}

- 6 x

+ 3

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 1^{2} + 6 \cdot 1 - 3$ = $- 1 + 6 - 3$ = $2$

g( $3$ ) = $- 3^{2} + 6 \cdot 3 - 3$ = $- 9 + 18 - 3$ = $6$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $2$ ) und S₂( $3$ | $6$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)