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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 x^{2} + 72 x + 81$ = 0

Lösung einblenden

$16 x^{2} + 72 x + 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 72 \pm \sqrt{72^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 81}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{- 72 \pm \sqrt{5 184 - 5 184}}{32}$

x_1,2 = $\frac{- 72 \pm \sqrt{0}}{32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 72}{32}$ = $- \frac{9}{4}$

L={ $- \frac{9}{4}$ }

$- \frac{9}{4}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 + 4 x^{2}$ = $- 12 x$

Lösung einblenden

4 x^{2} + 9

=

- 12 x

|

+ 12 x

$4 x^{2} + 12 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 12}{8}$ = $- \frac{3}{2}$

L={ $- \frac{3}{2}$ }

$- \frac{3}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{15}{2} x + \frac{25}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{15}{2} x + \frac{25}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{15}{2} x + \frac{25}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 15 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 25}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 200}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{15+5}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = $5$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{15-5}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

L={ $2,5$ ; $5$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 3 x - 6$ = $(4 x + 4) (x - 3) + 14 x + 6$

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 3 x - 6$	=	$(4 x + 4) (x - 3) + 14 x + 6$
$5 x^{2} + 3 x - 6$	=	$4 x^{2} - 8 x - 12 + 14 x + 6$
$5 x^{2} + 3 x - 6$	=	$4 x^{2} + 6 x - 6$	\| $+ 6$
$5 x^{2} + 3 x$	=	$4 x^{2} + 6 x$	\| $- (4 x^{2} + 6 x)$
$5 x^{2} - 4 x^{2} + 3 x - 6 x$	=	0
$x^{2} - 3 x$	=	0
$x (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

L={0; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} + 36 x + 162$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

2 x^{2} + 36 x + 162

= 0 |:2

$x^{2} + 18 x + 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 324}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

L={ $- 9$ }

$- 9$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $- 9$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $7 x + 22$
und
$g(x) =$ $- x^{2} - 3 x - 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

7 x + 22

=

- x^{2} - 3 x - 3

|

+ x^{2}

+ 3 x

+ 3

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - 3 \cdot (- 5) - 3$ = $- 25 + 15 - 3$ = $- 13$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 5$ | $- 13$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - 4 x + 10$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $0$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- x$ oder $f(x) =$ $- x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x

=

- x^{2} - 4 x + 10

|

+ x^{2}

+ 4 x

- 10

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 5) + 10$ = $- 25 + 20 + 10$ = $5$

g( $2$ ) = $- 2^{2} - 4 \cdot 2 + 10$ = $- 4 - 8 + 10$ = $- 2$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $5$ ) und S₂( $2$ | $- 2$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)