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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 19 x + 45$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 19 x + 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 45}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 360}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 19+1}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 19-1}{4}$ = $\frac{- 20}{4}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 4,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$63 + 2 x^{2}$ = $- 25 x$

Lösung einblenden

2 x^{2} + 63

=

- 25 x

|

+ 25 x

$2 x^{2} + 25 x + 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 63}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 504}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 25+11}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 25-11}{4}$ = $\frac{- 36}{4}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $- 3,5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} + 6 x + 6$ = 0

Lösung einblenden

3 x^{2} + 6 x + 6

= 0 |:3

$x^{2} + 2 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 x^{2} - 9 x + 8$ = $(8 x + 3) (x - 7) + 45 x + 41$

Lösung einblenden

$9 x^{2} - 9 x + 8$	=	$(8 x + 3) (x - 7) + 45 x + 41$
$9 x^{2} - 9 x + 8$	=	$8 x^{2} - 53 x - 21 + 45 x + 41$
$9 x^{2} - 9 x + 8$	=	$8 x^{2} - 8 x + 20$	\| $- 8 x^{2}$ $+ 8 x$ $- 20$

$x^{2} - x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{6}{5} x + \frac{9}{25}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{6}{5} x + \frac{9}{25}$	=	0	\|⋅ 25
$25 (x^{2} - \frac{6}{5} x + \frac{9}{25})$	=	0

$25 x^{2} - 30 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 30 \pm \sqrt{{(- 30)}^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 9}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{+ 30 \pm \sqrt{900 - 900}}{50}$

x_1,2 = $\frac{+ 30 \pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{30}{50}$ = $\frac{3}{5}$

L={ $\frac{3}{5}$ }

$\frac{3}{5}$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $\frac{3}{5}$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $6 x^{2} + x - 2$
und
$g(x) =$ $5 x^{2} - x - 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

6 x^{2} + x - 2

=

5 x^{2} - x - 3

|

- 5 x^{2}

+ x

+ 3

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $5 \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) - 3$ = $5 \cdot 1 + 1 - 3$ = $5 + 1 - 3$ = $3$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 1$ | $3$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - x + 8$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- x - 1$ oder $f(x) =$ $- x - 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- x - 1$	=	$- x^{2} - x + 8$	\| $+ 1$
$- x$	=	$- x^{2} - x + 9$	\| $+ x^{2}$ $+ x$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- {(- 3)}^{2} - (- 3) + 8$ = $- 9 + 3 + 8$ = $2$

g( $3$ ) = $- 3^{2} - 3 + 8$ = $- 9 - 3 + 8$ = $- 4$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $2$ ) und S₂( $3$ | $- 4$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)