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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 28 x + 50$ = 0

4 x^{2} + 28 x + 50

= 0 |:2

$2 x^{2} + 14 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 25}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 200}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{(- 4)}}{4}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$28 x + 15$ = $- 5 x^{2}$

Lösung einblenden

28 x + 15

=

- 5 x^{2}

|

+ 5 x^{2}

$5 x^{2} + 28 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{28^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 15}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 300}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{484}}{10}$

x₁ = $\frac{- 28 + \sqrt{484}}{10}$ = $\frac{- 28+22}{10}$ = $\frac{- 6}{10}$ = $- 0,6$

x₂ = $\frac{- 28 - \sqrt{484}}{10}$ = $\frac{- 28-22}{10}$ = $\frac{- 50}{10}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 0,6$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 9 x + 12$ = 0

Lösung einblenden

- 3 x^{2} + 9 x + 12

= 0 |:3

$- x^{2} + 3 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3+5}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3-5}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

L={ $- 1$ ; $4$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 6 x + 9$ = $(x - 7) (x + 5) + 11 x + 44$

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 6 x + 9$	=	$(x - 7) (x + 5) + 11 x + 44$
$2 x^{2} + 6 x + 9$	=	$x^{2} - 2 x - 35 + 11 x + 44$
$2 x^{2} + 6 x + 9$	=	$x^{2} + 9 x + 9$	\| $- 9$
$2 x^{2} + 6 x$	=	$x^{2} + 9 x$	\| $- (x^{2} + 9 x)$
$2 x^{2} - x^{2} + 6 x - 9 x$	=	0
$x^{2} - 3 x$	=	0
$x (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

L={0; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 12 x + 37$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 12 x + 37$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 148}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} + 4 x + 2$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} - 2 x - 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x^{2} + 4 x + 2

=

2 x^{2} - 2 x - 3

|

- 2 x^{2}

+ 2 x

+ 3

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6+4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6-4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $2 \cdot {(- 5)}^{2} - 2 \cdot (- 5) - 3$ = $2 \cdot 25 + 10 - 3$ = $50 + 10 - 3$ = $57$

g( $- 1$ ) = $2 \cdot {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1) - 3$ = $2 \cdot 1 + 2 - 3$ = $2 + 2 - 3$ = $1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $57$ ) und S₂( $- 1$ | $1$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 2$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $3$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $3 x - 2$ oder $f(x) =$ $3 x - 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x - 2

=

- x^{2} + 2

|

+ x^{2}

- 2

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- {(- 4)}^{2} + 2$ = $- 16 + 2$ = $- 14$

g( $1$ ) = $- 1^{2} + 2$ = $- 1 + 2$ = $1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 14$ ) und S₂( $1$ | $1$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)