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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 36 x + 81$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 36 x + 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 81}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{1 296 - 1 296}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{36}{8}$ = $\frac{9}{2}$

L={ $\frac{9}{2}$ }

$\frac{9}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 + x^{2} + 6 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 11 x + 10$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 11 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 11+9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 11-9}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $- 1$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} + 7 x + 8$ = $(- 2 x + 8) (x - 3) - 11 x + 28$

Lösung einblenden

$- x^{2} + 7 x + 8$	=	$(- 2 x + 8) (x - 3) - 11 x + 28$
$- x^{2} + 7 x + 8$	=	$- 2 x^{2} + 14 x - 24 - 11 x + 28$
$- x^{2} + 7 x + 8$	=	$- 2 x^{2} + 3 x + 4$	\| $+ 2 x^{2}$ $- 3 x$ $- 4$

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{16}{5} x - \frac{16}{5}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{16}{5} x - \frac{16}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{16}{5} x - \frac{16}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 16 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 + 320}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{576}}{10}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{576}}{10}$ = $\frac{16+24}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = $4$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{576}}{10}$ = $\frac{16-24}{10}$ = $\frac{- 8}{10}$ = $- 0,8$

L={ $- 0,8$ ; $4$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 0,8$ |0) und N₂( $4$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 3 x^{2} - 5 x - 12$
und
$g(x) =$ $- 4 x^{2} - 5 x + 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- 3 x^{2} - 5 x - 12$	=	$- 4 x^{2} - 5 x + 4$	\| $+ 12$
$- 3 x^{2} - 5 x$	=	$- 4 x^{2} - 5 x + 16$	\| $+ 4 x^{2}$ $+ 5 x$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 4 \cdot {(- 4)}^{2} - 5 \cdot (- 4) + 4$ = $- 4 \cdot 16 + 20 + 4$ = $- 64 + 20 + 4$ = $- 40$

g( $4$ ) = $- 4 \cdot 4^{2} - 5 \cdot 4 + 4$ = $- 4 \cdot 16 - 20 + 4$ = $- 64 - 20 + 4$ = $- 80$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 40$ ) und S₂( $4$ | $- 80$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 5 x + 9$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $2$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $2 x - 1$ oder $f(x) =$ $2 x - 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

2 x - 1

=

- x^{2} + 5 x + 9

|

+ x^{2}

- 5 x

- 9

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2) + 9$ = $- 4 - 10 + 9$ = $- 5$

g( $5$ ) = $- 5^{2} + 5 \cdot 5 + 9$ = $- 25 + 25 + 9$ = $9$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $- 5$ ) und S₂( $5$ | $9$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)