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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 9 x + 5$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 9 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{8}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{8}$ = $\frac{- 9+1}{8}$ = $\frac{- 8}{8}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{8}$ = $\frac{- 9-1}{8}$ = $\frac{- 10}{8}$ = $- 1,25$

L={ $- 1,25$ ; $- 1$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 7 x - 49$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 7 x - 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 49)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 392}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{441}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{- 7+21}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{- 7-21}{4}$ = $\frac{- 28}{4}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $3,5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + 6 x + 8$ = 0

Lösung einblenden

- 2 x^{2} + 6 x + 8

= 0 |:2

$- x^{2} + 3 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3+5}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3-5}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

L={ $- 1$ ; $4$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} - 9 x + 9$ = $(- 3 x - 3) (x + 5) + 3 x + 16$

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} - 9 x + 9$	=	$(- 3 x - 3) (x + 5) + 3 x + 16$
$- 2 x^{2} - 9 x + 9$	=	$- 3 x^{2} - 18 x - 15 + 3 x + 16$
$- 2 x^{2} - 9 x + 9$	=	$- 3 x^{2} - 15 x + 1$	\| $+ 3 x^{2}$ $+ 15 x$ $- 1$

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 14 x + 60$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

- 2 x^{2} + 14 x + 60

= 0 |:2

$- x^{2} + 7 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 30}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{169}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{- 7+13}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{- 7-13}{- 2}$ = $\frac{- 20}{- 2}$ = $10$

L={ $- 3$ ; $10$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 3$ |0) und N₂( $10$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $4 x^{2} - x - 5$
und
$g(x) =$ $3 x^{2} - 4 x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

4 x^{2} - x - 5

=

3 x^{2} - 4 x - 1

|

- 3 x^{2}

+ 4 x

+ 1

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $3 \cdot {(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 4) - 1$ = $3 \cdot 16 + 16 - 1$ = $48 + 16 - 1$ = $63$

g( $1$ ) = $3 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 - 1$ = $3 \cdot 1 - 4 - 1$ = $3 - 4 - 1$ = $- 2$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $63$ ) und S₂( $1$ | $- 2$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{16}{3} x - 11$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{2}{3}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{2}{3} x - 2$ oder $f(x) =$ $- \frac{2}{3} x - 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{2}{3} x - 2$	=	$- x^{2} + \frac{16}{3} x - 11$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{2}{3} x - 2)$	=	$3 (- x^{2} + \frac{16}{3} x - 11)$
$- 2 x - 6$	=	$- 3 x^{2} + 16 x - 33$	\| $+ 3 x^{2}$ $- 16 x$ $+ 33$

3 x^{2} - 18 x + 27

= 0 |:3

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ }

$3$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $3$ ) = $- 3^{2} + \frac{16}{3} \cdot 3 - 11$ = $- 9 + 16 - 11$ = $- 4$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $3$ | $- 4$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)