Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 16 x + 60$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 16 x + 60$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 240}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 16+4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 16-4}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $- 6$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$81 + 25 x^{2} + 90 x$ = 0

Lösung einblenden

$25 x^{2} + 90 x + 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 90 \pm \sqrt{90^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 81}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{- 90 \pm \sqrt{8 100 - 8 100}}{50}$

x_1,2 = $\frac{- 90 \pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 90}{50}$ = $- \frac{9}{5}$

L={ $- \frac{9}{5}$ }

$- \frac{9}{5}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + x - 20$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $4$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$10 x^{2} + 3 x + 9$ = $(9 x - 5) (x - 7) + 64 x - 38$

Lösung einblenden

$10 x^{2} + 3 x + 9$	=	$(9 x - 5) (x - 7) + 64 x - 38$
$10 x^{2} + 3 x + 9$	=	$9 x^{2} - 68 x + 35 + 64 x - 38$
$10 x^{2} + 3 x + 9$	=	$9 x^{2} - 4 x - 3$	\| $- 9 x^{2}$ $+ 4 x$ $+ 3$

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} - 30 x + 108$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

2 x^{2} - 30 x + 108

= 0 |:2

$x^{2} - 15 x + 54$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 54}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{15+3}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{15-3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

L={ $6$ ; $9$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $6$ |0) und N₂( $9$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $6 x^{2} + 6 x - 4$
und
$g(x) =$ $5 x^{2} + 2 x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

6 x^{2} + 6 x - 4

=

5 x^{2} + 2 x + 1

|

- 5 x^{2}

- 2 x

- 1

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $5 \cdot {(- 5)}^{2} + 2 \cdot (- 5) + 1$ = $5 \cdot 25 - 10 + 1$ = $125 - 10 + 1$ = $116$

g( $1$ ) = $5 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 + 1$ = $5 \cdot 1 + 2 + 1$ = $5 + 2 + 1$ = $8$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $116$ ) und S₂( $1$ | $8$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{13}{3} x - 5$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{2}{3}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{2}{3} x - 1$ oder $f(x) =$ $- \frac{2}{3} x - 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{2}{3} x - 1$	=	$- x^{2} + \frac{13}{3} x - 5$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{2}{3} x - 1)$	=	$3 (- x^{2} + \frac{13}{3} x - 5)$
$- 2 x - 3$	=	$- 3 x^{2} + 13 x - 15$	\| $+ 3 x^{2}$ $- 13 x$ $+ 15$

3 x^{2} - 15 x + 12

= 0 |:3

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 1^{2} + \frac{13}{3} \cdot 1 - 5$ = $- 1 + \frac{13}{3} - 5$ = $- \frac{5}{3}$

g( $4$ ) = $- 4^{2} + \frac{13}{3} \cdot 4 - 5$ = $- 16 + \frac{52}{3} - 5$ = $- \frac{11}{3}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $- \frac{5}{3}$ ) und S₂( $4$ | $- \frac{11}{3}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)