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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 33 x + 54$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 33 x + 54$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{33^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 54}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{1 089 - 864}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{225}}{8}$

x₁ = $\frac{- 33 + \sqrt{225}}{8}$ = $\frac{- 33+15}{8}$ = $\frac{- 18}{8}$ = $- 2,25$

x₂ = $\frac{- 33 - \sqrt{225}}{8}$ = $\frac{- 33-15}{8}$ = $\frac{- 48}{8}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $- 2,25$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$82 + 16 x^{2} - 72 x$ = 0

Lösung einblenden

16 x^{2} - 72 x + 82

= 0 |:2

$8 x^{2} - 36 x + 41$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 41}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{1 296 - 1 312}}{16}$

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{(- 16)}}{16}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 24 x - 48$ = 0

Lösung einblenden

- 3 x^{2} + 24 x - 48

= 0 |:3

$- x^{2} + 8 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

L={ $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} + 7 x + 2$ = $(- 5 x + 6) (x - 6) - 29 x + 39$

Lösung einblenden

$- 4 x^{2} + 7 x + 2$	=	$(- 5 x + 6) (x - 6) - 29 x + 39$
$- 4 x^{2} + 7 x + 2$	=	$- 5 x^{2} + 36 x - 36 - 29 x + 39$
$- 4 x^{2} + 7 x + 2$	=	$- 5 x^{2} + 7 x + 3$	\| $- 2$
$- 4 x^{2} + 7 x$	=	$- 5 x^{2} + 7 x + 1$	\| $+ 5 x^{2}$ $- 7 x$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 14 x + 49$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - 14 x + 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{14}{2}$ = $7$

L={ $7$ }

$7$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $7$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $5 x^{2} - 3 x + 4$
und
$g(x) =$ $4 x^{2} - x + 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

5 x^{2} - 3 x + 4

=

4 x^{2} - x + 3

|

- 4 x^{2}

+ x

- 3

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $4 \cdot 1^{2} - 1 + 3$ = $4 \cdot 1 - 1 + 3$ = $4 - 1 + 3$ = $6$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $1$ | $6$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{13}{3} x - 3$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{2}{3}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{2}{3} x + 3$ oder $f(x) =$ $- \frac{2}{3} x + 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{2}{3} x + 3$	=	$- x^{2} + \frac{13}{3} x - 3$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{2}{3} x + 3)$	=	$3 (- x^{2} + \frac{13}{3} x - 3)$
$- 2 x + 9$	=	$- 3 x^{2} + 13 x - 9$	\| $+ 3 x^{2}$ $- 13 x$ $+ 9$

3 x^{2} - 15 x + 18

= 0 |:3

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $- 2^{2} + \frac{13}{3} \cdot 2 - 3$ = $- 4 + \frac{26}{3} - 3$ = $\frac{5}{3}$

g( $3$ ) = $- 3^{2} + \frac{13}{3} \cdot 3 - 3$ = $- 9 + 13 - 3$ = $1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $2$ | $\frac{5}{3}$ ) und S₂( $3$ | $1$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)