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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 13 x - 28$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 13 x - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 560}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{729}}{10}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{729}}{10}$ = $\frac{- 13+27}{10}$ = $\frac{14}{10}$ = $1,4$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{729}}{10}$ = $\frac{- 13-27}{10}$ = $\frac{- 40}{10}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $1,4$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 63$ = $29 x$

Lösung einblenden

4 x^{2} - 63

=

29 x

|

- 29 x

$4 x^{2} - 29 x - 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{{(- 29)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{841 + 1 008}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{1 849}}{8}$

x₁ = $\frac{29 + \sqrt{1 849}}{8}$ = $\frac{29+43}{8}$ = $\frac{72}{8}$ = $9$

x₂ = $\frac{29 - \sqrt{1 849}}{8}$ = $\frac{29-43}{8}$ = $\frac{- 14}{8}$ = $- 1,75$

L={ $- 1,75$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 7 x - 8$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 7 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $1$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} - 7 x + 4$ = $(- 3 x - 8) (x - 5) - 4 x - 61$

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} - 7 x + 4$	=	$(- 3 x - 8) (x - 5) - 4 x - 61$
$- 2 x^{2} - 7 x + 4$	=	$- 3 x^{2} + 7 x + 40 - 4 x - 61$
$- 2 x^{2} - 7 x + 4$	=	$- 3 x^{2} + 3 x - 21$	\| $+ 3 x^{2}$ $- 3 x$ $+ 21$

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

L={ $5$ }

$5$ ist 2-fache Lösung!

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} + 40 x + 200$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

2 x^{2} + 40 x + 200

= 0 |:2

$x^{2} + 20 x + 100$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 400}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

L={ $- 10$ }

$- 10$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $- 10$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} + 5 x - 1$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} + x - 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} + 5 x - 1

=

- 3 x^{2} + x - 5

|

+ 3 x^{2}

- x

+ 5

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 2 - 5$ = $- 3 \cdot 4 - 2 - 5$ = $- 12 - 2 - 5$ = $- 19$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 2$ | $- 19$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 6 x - 6$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $0$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $x$ oder $f(x) =$ $x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x

=

- x^{2} + 6 x - 6

|

+ x^{2}

- 6 x

+ 6

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $- 2^{2} + 6 \cdot 2 - 6$ = $- 4 + 12 - 6$ = $2$

g( $3$ ) = $- 3^{2} + 6 \cdot 3 - 6$ = $- 9 + 18 - 6$ = $3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $2$ | $2$ ) und S₂( $3$ | $3$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)