Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 11 x + 10$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 11 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 11+9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 11-9}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $- 1$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 16 x$ = $40$

Lösung einblenden

2 x^{2} + 16 x

=

40

|

- 40

2 x^{2} + 16 x - 40

= 0 |:2

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $2$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{14}{5} x - \frac{3}{5}$ = 0

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$x^{2} - \frac{14}{5} x - \frac{3}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{14}{5} x - \frac{3}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 14 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 + 60}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{256}}{10}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{256}}{10}$ = $\frac{14+16}{10}$ = $\frac{30}{10}$ = $3$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{256}}{10}$ = $\frac{14-16}{10}$ = $\frac{- 2}{10}$ = $- 0,2$

L={ $- 0,2$ ; $3$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$10 x^{2} - 7 x + 9$ = $(9 x + 5) (x - 8) + 54 x + 44$

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$10 x^{2} - 7 x + 9$	=	$(9 x + 5) (x - 8) + 54 x + 44$
$10 x^{2} - 7 x + 9$	=	$9 x^{2} - 67 x - 40 + 54 x + 44$
$10 x^{2} - 7 x + 9$	=	$9 x^{2} - 13 x + 4$	\| $- 9 x^{2}$ $+ 13 x$ $- 4$

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6+4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6-4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 12 x + 20$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 12 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 12+8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 12-8}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $- 2$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 10$ |0) und N₂( $- 2$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 3 x^{2} + 12 x + 13$
und
$g(x) =$ $- 4 x^{2} + 4 x - 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 3 x^{2} + 12 x + 13

=

- 4 x^{2} + 4 x - 4

|

+ 4 x^{2}

- 4 x

+ 4

$x^{2} + 8 x + 17$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 68}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

Es gibt also keine Schnittpunkte.

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{7}{3} x + 7$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 4 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{4}{3}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{4}{3} x + 1$ oder $f(x) =$ $\frac{4}{3} x + 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{4}{3} x + 1$	=	$- x^{2} + \frac{7}{3} x + 7$	\|⋅ 3
$3 (\frac{4}{3} x + 1)$	=	$3 (- x^{2} + \frac{7}{3} x + 7)$
$4 x + 3$	=	$- 3 x^{2} + 7 x + 21$	\| $+ 3 x^{2}$ $- 7 x$ $- 21$

3 x^{2} - 3 x - 18

= 0 |:3

$x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{2} + \frac{7}{3} \cdot (- 2) + 7$ = $- 4 - \frac{14}{3} + 7$ = $- \frac{5}{3}$

g( $3$ ) = $- 3^{2} + \frac{7}{3} \cdot 3 + 7$ = $- 9 + 7 + 7$ = $5$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $- \frac{5}{3}$ ) und S₂( $3$ | $5$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)