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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 14 x + 24$ = 0

2 x^{2} - 14 x + 24

= 0 |:2

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ ; $4$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 32 x$ = $- 28$

Lösung einblenden

4 x^{2} + 32 x

=

- 28

|

+ 28

4 x^{2} + 32 x + 28

= 0 |:4

$x^{2} + 8 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8+6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8-6}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $- 1$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{14}{5} x + \frac{8}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{14}{5} x + \frac{8}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{14}{5} x + \frac{8}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 14 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 8}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 160}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{36}}{10}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{36}}{10}$ = $\frac{14+6}{10}$ = $\frac{20}{10}$ = $2$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{36}}{10}$ = $\frac{14-6}{10}$ = $\frac{8}{10}$ = $0,8$

L={ $0,8$ ; $2$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} - 4 x - 3$ = $(- 2 x + 8) (x - 7) - 30 x + 58$

Lösung einblenden

$- x^{2} - 4 x - 3$	=	$(- 2 x + 8) (x - 7) - 30 x + 58$
$- x^{2} - 4 x - 3$	=	$- 2 x^{2} + 22 x - 56 - 30 x + 58$
$- x^{2} - 4 x - 3$	=	$- 2 x^{2} - 8 x + 2$	\| $+ 2 x^{2}$ $+ 8 x$ $- 2$

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{11}{2} x - 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{11}{2} x - 3$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{11}{2} x - 3)$	=	0

$2 x^{2} + 11 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 11+13}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 11-13}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $0,5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 6$ |0) und N₂( $0,5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $6 x - 8$
und
$g(x) =$ $- x^{2} + 3 x + 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

6 x - 8

=

- x^{2} + 3 x + 2

|

+ x^{2}

- 3 x

- 2

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} + 3 \cdot (- 5) + 2$ = $- 25 - 15 + 2$ = $- 38$

g( $2$ ) = $- 2^{2} + 3 \cdot 2 + 2$ = $- 4 + 6 + 2$ = $4$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $- 38$ ) und S₂( $2$ | $4$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{26}{3} x - 13$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{2}{3}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{2}{3} x + 2$ oder $f(x) =$ $\frac{2}{3} x + 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{2}{3} x + 2$	=	$- x^{2} + \frac{26}{3} x - 13$	\|⋅ 3
$3 (\frac{2}{3} x + 2)$	=	$3 (- x^{2} + \frac{26}{3} x - 13)$
$2 x + 6$	=	$- 3 x^{2} + 26 x - 39$	\| $+ 3 x^{2}$ $- 26 x$ $+ 39$

3 x^{2} - 24 x + 45

= 0 |:3

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $3$ ) = $- 3^{2} + \frac{26}{3} \cdot 3 - 13$ = $- 9 + 26 - 13$ = $4$

g( $5$ ) = $- 5^{2} + \frac{26}{3} \cdot 5 - 13$ = $- 25 + \frac{130}{3} - 13$ = $\frac{16}{3}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $3$ | $4$ ) und S₂( $5$ | $\frac{16}{3}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)