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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 9 x + 9$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 9 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 9}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{9+3}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{9-3}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

L={ $1,5$ ; $3$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x + x^{2}$ = $- 5$

Lösung einblenden

x^{2} + 4 x

=

- 5

|

+ 5

$x^{2} + 4 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - x + \frac{5}{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - x + \frac{5}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - x + \frac{5}{4})$	=	0

$4 x^{2} - 4 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 80}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{(- 64)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} - 6 x + 9$ = $(- 4 x + 8) (x + 8) + 19 x - 53$

Lösung einblenden

$- 3 x^{2} - 6 x + 9$	=	$(- 4 x + 8) (x + 8) + 19 x - 53$
$- 3 x^{2} - 6 x + 9$	=	$- 4 x^{2} - 24 x + 64 + 19 x - 53$
$- 3 x^{2} - 6 x + 9$	=	$- 4 x^{2} - 5 x + 11$	\| $+ 4 x^{2}$ $+ 5 x$ $- 11$

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 6 x + 10$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 6 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $6 x^{2} - 5 x - 13$
und
$g(x) =$ $5 x^{2} - 4 x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

6 x^{2} - 5 x - 13

=

5 x^{2} - 4 x - 1

|

- 5 x^{2}

+ 4 x

+ 1

$x^{2} - x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $5 \cdot {(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 3) - 1$ = $5 \cdot 9 + 12 - 1$ = $45 + 12 - 1$ = $56$

g( $4$ ) = $5 \cdot 4^{2} - 4 \cdot 4 - 1$ = $5 \cdot 16 - 16 - 1$ = $80 - 16 - 1$ = $63$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $56$ ) und S₂( $4$ | $63$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{11}{2} x$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{3}{2}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{3}{2} x + 3$ oder $f(x) =$ $- \frac{3}{2} x + 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{3}{2} x + 3$	=	$- x^{2} - \frac{11}{2} x$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{3}{2} x + 3)$	=	$2 (- x^{2} - \frac{11}{2} x)$
$- 3 x + 6$	=	$- 2 x^{2} - 11 x$	\| $+ 2 x^{2}$ $+ 11 x$

2 x^{2} + 8 x + 6

= 0 |:2

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- {(- 3)}^{2} - \frac{11}{2} \cdot (- 3)$ = $- 9 + \frac{33}{2}$ = $\frac{15}{2}$

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2} - \frac{11}{2} \cdot (- 1)$ = $- 1 + \frac{11}{2}$ = $\frac{9}{2}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $\frac{15}{2}$ ) und S₂( $- 1$ | $\frac{9}{2}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)