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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 49 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 49 x + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 49 \pm \sqrt{{(- 49)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 36}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 49 \pm \sqrt{2 401 - 720}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 49 \pm \sqrt{1 681}}{10}$

x₁ = $\frac{49 + \sqrt{1 681}}{10}$ = $\frac{49+41}{10}$ = $\frac{90}{10}$ = $9$

x₂ = $\frac{49 - \sqrt{1 681}}{10}$ = $\frac{49-41}{10}$ = $\frac{8}{10}$ = $0,8$

L={ $0,8$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 33 x + 4 x^{2} + 35$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 33 x + 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{{(- 33)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 35}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{1 089 - 560}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{529}}{8}$

x₁ = $\frac{33 + \sqrt{529}}{8}$ = $\frac{33+23}{8}$ = $\frac{56}{8}$ = $7$

x₂ = $\frac{33 - \sqrt{529}}{8}$ = $\frac{33-23}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = $1,25$

L={ $1,25$ ; $7$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{17}{2} x + \frac{21}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{17}{2} x + \frac{21}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{17}{2} x + \frac{21}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 17 x + 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 21}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 168}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{17+11}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = $7$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{17-11}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

L={ $1,5$ ; $7$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + 9 x - 3$ = $(- 3 x - 8) (x - 2) + 3 x - 34$

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} + 9 x - 3$	=	$(- 3 x - 8) (x - 2) + 3 x - 34$
$- 2 x^{2} + 9 x - 3$	=	$- 3 x^{2} - 2 x + 16 + 3 x - 34$
$- 2 x^{2} + 9 x - 3$	=	$- 3 x^{2} + x - 18$	\| $+ 3 x^{2}$ $- x$ $+ 18$

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8+2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8-2}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{5}{2} x - 6$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{5}{2} x - 6$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{5}{2} x - 6)$	=	0

$2 x^{2} - 5 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{5+11}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{5-11}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

L={ $- 1,5$ ; $4$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 1,5$ |0) und N₂( $4$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} - 3 x + 9$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} + 4 x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} - 3 x + 9

=

- 3 x^{2} + 4 x - 1

|

+ 3 x^{2}

- 4 x

+ 1

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 - 1$ = $- 3 \cdot 4 + 8 - 1$ = $- 12 + 8 - 1$ = $- 5$

g( $5$ ) = $- 3 \cdot 5^{2} + 4 \cdot 5 - 1$ = $- 3 \cdot 25 + 20 - 1$ = $- 75 + 20 - 1$ = $- 56$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $2$ | $- 5$ ) und S₂( $5$ | $- 56$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 6 x - 5$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $x - 1$ oder $f(x) =$ $x - 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x - 1

=

- x^{2} + 6 x - 5

|

+ x^{2}

- 6 x

+ 5

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 1^{2} + 6 \cdot 1 - 5$ = $- 1 + 6 - 5$ = 0

g( $4$ ) = $- 4^{2} + 6 \cdot 4 - 5$ = $- 16 + 24 - 5$ = $3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ |0) und S₂( $4$ | $3$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)