$x^2-8x+16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{{\left(-8\right)}^2-4·1·16}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{64-64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$}

$4$ ist 2-fache Lösung!

$10x+25$

=

$-x^2$

| $+x^2$

$x^2+10x+25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{{10}^2-4·1·25}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{100-100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

L={ $-5$}

$-5$ ist 2-fache Lösung!

$x^2+\frac{9}{2}x-28$	=	0	|⋅ 2
$2\left(x^2+\frac{9}{2}x-28\right)$	=	0

$2x^2+9x-56$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-9\pm \sqrt{9^2-4·2·\left(-56\right)}}{2\cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{-9\pm \sqrt{81+448}}{4}$

x_1,2 = $\frac{-9\pm \sqrt{529}}{4}$

x₁ = $\frac{-9+\sqrt{529}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>9</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>23</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{14}{4}$ = $\mathrm{3,5}$

x₂ = $\frac{-9-\sqrt{529}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>9</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>23</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-32}{4}$ = $-8$

L={ $-8$; $\mathrm{3,5}$}

$9x^2-5x-2$	=	$\left(8x+3\right)\left(x-5\right)+33x+15$
$9x^2-5x-2$	=	$8x^2-37x-15+33x+15$
$9x^2-5x-2$	=	$8x^2-4x$	| $-8x^2$ $+4x$

$x^2-x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$; $2$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$2x^2-6x-56$ = 0 |:2

$x^2-3x-28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·1·\left(-28\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{9+112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{3+\sqrt{121}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>11</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{3-\sqrt{121}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>11</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $7$}

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $-4$|0) und N₂( $7$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$3x^2-5x$

=

$2x^2-x+5$

| $-2x^2$ $+x$ $-5$

$x^2-4x-5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·\left(-5\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{16+20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$; $5$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-1$) = $2\cdot {\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)+5$ = $2\cdot 1+1+5$ = $2+1+5$ = $8$

g( $5$) = $2\cdot 5^2-5+5$ = $2\cdot 25-5+5$ = $50-5+5$ = $50$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-1$| $8$) und S₂( $5$| $50$).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $0$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=$\frac{3}{2}$.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{3}{2}x$ oder $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}x$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{3}{2}x$	=	$-x^2+\frac{19}{2}x-16$	|⋅ 2
$3x$	=	$2\left(-x^2+\frac{19}{2}x-16\right)$
$3x$	=	$-2x^2+19x-32$	| $+2x^2$ $-19x$ $+32$

$2x^2-16x+32$ = 0 |:2

$x^2-8x+16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{{\left(-8\right)}^2-4·1·16}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{64-64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$}

$4$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $4$) = $-4^2+\frac{19}{2}\cdot 4-16$ = $-16+38-16$ = $6$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $4$| $6$).