Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 27 x + 70$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 27 x + 70$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{27^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 70}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{729 - 560}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{- 27 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 27+13}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

x₂ = $\frac{- 27 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 27-13}{4}$ = $\frac{- 40}{4}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $- 3,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 42$ = $8 x$

Lösung einblenden

2 x^{2} - 42

=

8 x

|

- 8 x

2 x^{2} - 8 x - 42

= 0 |:2

$x^{2} - 4 x - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $7$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 2 x - 60$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} + 2 x - 60

= 0 |:2

$x^{2} + x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $5$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$10 x^{2} - 4 x + 4$ = $(9 x - 5) (x - 4) + 36 x - 14$

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$10 x^{2} - 4 x + 4$	=	$(9 x - 5) (x - 4) + 36 x - 14$
$10 x^{2} - 4 x + 4$	=	$9 x^{2} - 41 x + 20 + 36 x - 14$
$10 x^{2} - 4 x + 4$	=	$9 x^{2} - 5 x + 6$	\| $- 9 x^{2}$ $+ 5 x$ $- 6$

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} - 15 x + 42$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

- 3 x^{2} - 15 x + 42

= 0 |:3

$- x^{2} - 5 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 14}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{5+9}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{5-9}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

L={ $- 7$ ; $2$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 7$ |0) und N₂( $2$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $4 x^{2} - x + 5$
und
$g(x) =$ $3 x^{2} + 3 x + 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

4 x^{2} - x + 5

=

3 x^{2} + 3 x + 2

|

- 3 x^{2}

- 3 x

- 2

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 2$ = $3 \cdot 1 + 3 + 2$ = $3 + 3 + 2$ = $8$

g( $3$ ) = $3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 2$ = $3 \cdot 9 + 9 + 2$ = $27 + 9 + 2$ = $38$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $8$ ) und S₂( $3$ | $38$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{9}{4} x - 4$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{3}{4}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{3}{4} x - 2$ oder $f(x) =$ $- \frac{3}{4} x - 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{3}{4} x - 2$	=	$- x^{2} + \frac{9}{4} x - 4$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{3}{4} x - 2)$	=	$4 (- x^{2} + \frac{9}{4} x - 4)$
$- 3 x - 8$	=	$- 4 x^{2} + 9 x - 16$	\| $+ 4 x^{2}$ $- 9 x$ $+ 16$

4 x^{2} - 12 x + 8

= 0 |:4

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 1^{2} + \frac{9}{4} \cdot 1 - 4$ = $- 1 + \frac{9}{4} - 4$ = $- \frac{11}{4}$

g( $2$ ) = $- 2^{2} + \frac{9}{4} \cdot 2 - 4$ = $- 4 + \frac{9}{2} - 4$ = $- \frac{7}{2}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $- \frac{11}{4}$ ) und S₂( $2$ | $- \frac{7}{2}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)