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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 31 x - 90$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 31 x - 90$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 90)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 + 1 440}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{2 401}}{8}$

x₁ = $\frac{31 + \sqrt{2 401}}{8}$ = $\frac{31+49}{8}$ = $\frac{80}{8}$ = $10$

x₂ = $\frac{31 - \sqrt{2 401}}{8}$ = $\frac{31-49}{8}$ = $\frac{- 18}{8}$ = $- 2,25$

L={ $- 2,25$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$17 x + 2 x^{2} - 30$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 17 x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 240}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{529}}{4}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{- 17+23}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{- 17-23}{4}$ = $\frac{- 40}{4}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $1,5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} - 13 x - 42$ = 0

Lösung einblenden

$- x^{2} - 13 x - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 42)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{13+1}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{13-1}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

L={ $- 7$ ; $- 6$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} + 6 x - 1$ = $(- 2 x - 7) (x - 7) + 5 x - 58$

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$- x^{2} + 6 x - 1$	=	$(- 2 x - 7) (x - 7) + 5 x - 58$
$- x^{2} + 6 x - 1$	=	$- 2 x^{2} + 7 x + 49 + 5 x - 58$
$- x^{2} + 6 x - 1$	=	$- 2 x^{2} + 12 x - 9$	\| $+ 2 x^{2}$ $- 12 x$ $+ 9$

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{27}{4} x + \frac{35}{4}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{27}{4} x + \frac{35}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - \frac{27}{4} x + \frac{35}{4})$	=	0

$4 x^{2} - 27 x + 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 35}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{729 - 560}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{169}}{8}$

x₁ = $\frac{27 + \sqrt{169}}{8}$ = $\frac{27+13}{8}$ = $\frac{40}{8}$ = $5$

x₂ = $\frac{27 - \sqrt{169}}{8}$ = $\frac{27-13}{8}$ = $\frac{14}{8}$ = $1,75$

L={ $1,75$ ; $5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $1,75$ |0) und N₂( $5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- x^{2} - 4 x - 1$
und
$g(x) =$ $- 2 x^{2} - 5 x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} - 4 x - 1

=

- 2 x^{2} - 5 x + 1

|

+ 2 x^{2}

+ 5 x

- 1

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 5 \cdot (- 2) + 1$ = $- 2 \cdot 4 + 10 + 1$ = $- 8 + 10 + 1$ = $3$

g( $1$ ) = $- 2 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 + 1$ = $- 2 \cdot 1 - 5 + 1$ = $- 2 - 5 + 1$ = $- 6$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $3$ ) und S₂( $1$ | $- 6$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{19}{2} x - 15$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{3}{2}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{3}{2} x + 1$ oder $f(x) =$ $- \frac{3}{2} x + 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{3}{2} x + 1$	=	$- x^{2} - \frac{19}{2} x - 15$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{3}{2} x + 1)$	=	$2 (- x^{2} - \frac{19}{2} x - 15)$
$- 3 x + 2$	=	$- 2 x^{2} - 19 x - 30$	\| $+ 2 x^{2}$ $+ 19 x$ $+ 30$

2 x^{2} + 16 x + 32

= 0 |:2

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ }

$- 4$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- {(- 4)}^{2} - \frac{19}{2} \cdot (- 4) - 15$ = $- 16 + 38 - 15$ = $7$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 4$ | $7$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)