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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 34 x + 42$ = 0

4 x^{2} - 34 x + 42

= 0 |:2

$2 x^{2} - 17 x + 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 21}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 168}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{17+11}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = $7$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{17-11}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

L={ $1,5$ ; $7$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 22 x + 2 x^{2}$ = $- 60$

Lösung einblenden

2 x^{2} - 22 x

=

- 60

|

+ 60

2 x^{2} - 22 x + 60

= 0 |:2

$x^{2} - 11 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11+1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11-1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

L={ $5$ ; $6$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{2}{5} x + \frac{1}{25}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{2}{5} x + \frac{1}{25}$	=	0	\|⋅ 25
$25 (x^{2} - \frac{2}{5} x + \frac{1}{25})$	=	0

$25 x^{2} - 10 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 1}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{50}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{50}$ = $\frac{1}{5}$

L={ $\frac{1}{5}$ }

$\frac{1}{5}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 x^{2} + 9 x + 8$ = $(6 x + 2) (x + 4) - 17 x + 9$

Lösung einblenden

$7 x^{2} + 9 x + 8$	=	$(6 x + 2) (x + 4) - 17 x + 9$
$7 x^{2} + 9 x + 8$	=	$6 x^{2} + 26 x + 8 - 17 x + 9$
$7 x^{2} + 9 x + 8$	=	$6 x^{2} + 9 x + 17$	\| $- 8$
$7 x^{2} + 9 x$	=	$6 x^{2} + 9 x + 9$	\| $- 6 x^{2}$ $- 9 x$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 16 x + 65$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 16 x + 65$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 65}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 260}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 7 x + 1$
und
$g(x) =$ $- x^{2} - 3 x - 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 7 x + 1

=

- x^{2} - 3 x - 4

|

+ x^{2}

+ 3 x

+ 4

$x^{2} - 4 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

Es gibt also keine Schnittpunkte.

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{23}{3} x - 8$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{2}{3}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{2}{3} x + 2$ oder $f(x) =$ $- \frac{2}{3} x + 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{2}{3} x + 2$	=	$- x^{2} - \frac{23}{3} x - 8$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{2}{3} x + 2)$	=	$3 (- x^{2} - \frac{23}{3} x - 8)$
$- 2 x + 6$	=	$- 3 x^{2} - 23 x - 24$	\| $+ 3 x^{2}$ $+ 23 x$ $+ 24$

3 x^{2} + 21 x + 30

= 0 |:3

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - \frac{23}{3} \cdot (- 5) - 8$ = $- 25 + \frac{115}{3} - 8$ = $\frac{16}{3}$

g( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{2} - \frac{23}{3} \cdot (- 2) - 8$ = $- 4 + \frac{46}{3} - 8$ = $\frac{10}{3}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $\frac{16}{3}$ ) und S₂( $- 2$ | $\frac{10}{3}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)