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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 5 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 5 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 5+11}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 5-11}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $1,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 34 x + 4 x^{2} - 18$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} - 34 x - 18

= 0 |:2

$2 x^{2} - 17 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{17+19}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = $9$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{17-19}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

L={ $- 0,5$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{21}{5} x - 4$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{21}{5} x - 4$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{21}{5} x - 4)$	=	0

$5 x^{2} - 21 x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 + 400}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{841}}{10}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{841}}{10}$ = $\frac{21+29}{10}$ = $\frac{50}{10}$ = $5$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{841}}{10}$ = $\frac{21-29}{10}$ = $\frac{- 8}{10}$ = $- 0,8$

L={ $- 0,8$ ; $5$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$10 x^{2} + 4 x - 6$ = $(9 x + 3) (x - 5) + 44 x + 9$

Lösung einblenden

$10 x^{2} + 4 x - 6$	=	$(9 x + 3) (x - 5) + 44 x + 9$
$10 x^{2} + 4 x - 6$	=	$9 x^{2} - 42 x - 15 + 44 x + 9$
$10 x^{2} + 4 x - 6$	=	$9 x^{2} + 2 x - 6$	\| $+ 6$
$10 x^{2} + 4 x$	=	$9 x^{2} + 2 x$	\| $- (9 x^{2} + 2 x)$
$10 x^{2} - 9 x^{2} + 4 x - 2 x$	=	0
$x^{2} + 2 x$	=	0
$x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; 0}

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 3 x - 54$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 3 x - 54$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 54)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 3+15}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 3-15}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $6$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 9$ |0) und N₂( $6$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 6 x + 11$
und
$g(x) =$ $- x^{2} + 2 x - 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 6 x + 11

=

- x^{2} + 2 x - 5

|

+ x^{2}

- 2 x

+ 5

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $4$ ) = $- 4^{2} + 2 \cdot 4 - 5$ = $- 16 + 8 - 5$ = $- 13$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $4$ | $- 13$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 12$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $2$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $2 x - 3$ oder $f(x) =$ $2 x - 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

2 x - 3

=

- x^{2} + 12

|

+ x^{2}

- 12

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} + 12$ = $- 25 + 12$ = $- 13$

g( $3$ ) = $- 3^{2} + 12$ = $- 9 + 12$ = $3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $- 13$ ) und S₂( $3$ | $3$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)