Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $4$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 24 + 5 x^{2} + 7 x$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 7 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 480}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{529}}{10}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{529}}{10}$ = $\frac{- 7+23}{10}$ = $\frac{16}{10}$ = $1,6$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{529}}{10}$ = $\frac{- 7-23}{10}$ = $\frac{- 30}{10}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $1,6$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} - 42 x - 147$ = 0

Lösung einblenden

- 3 x^{2} - 42 x - 147

= 0 |:3

$- x^{2} - 14 x - 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 49)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ }

$- 7$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} + 6 x - 8$ = $(- 6 x - 2) (x - 8) - 38 x - 25$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} + 6 x - 8$	=	$(- 6 x - 2) (x - 8) - 38 x - 25$
$- 5 x^{2} + 6 x - 8$	=	$- 6 x^{2} + 46 x + 16 - 38 x - 25$
$- 5 x^{2} + 6 x - 8$	=	$- 6 x^{2} + 8 x - 9$	\| $+ 6 x^{2}$ $- 8 x$ $+ 9$

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 16 x + 64$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - 16 x + 64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{16}{2}$ = $8$

L={ $8$ }

$8$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $8$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $5 x^{2}$
und
$g(x) =$ $4 x^{2} - 2 x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

5 x^{2}

=

4 x^{2} - 2 x - 1

|

- 4 x^{2}

+ 2 x

+ 1

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $4 \cdot {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1) - 1$ = $4 \cdot 1 + 2 - 1$ = $4 + 2 - 1$ = $5$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 1$ | $5$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{7}{4} x + 18$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{3}{4}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{3}{4} x - 2$ oder $f(x) =$ $\frac{3}{4} x - 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{3}{4} x - 2$	=	$- x^{2} + \frac{7}{4} x + 18$	\|⋅ 4
$4 (\frac{3}{4} x - 2)$	=	$4 (- x^{2} + \frac{7}{4} x + 18)$
$3 x - 8$	=	$- 4 x^{2} + 7 x + 72$	\| $+ 4 x^{2}$ $- 7 x$ $- 72$

4 x^{2} - 4 x - 80

= 0 |:4

$x^{2} - x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- {(- 4)}^{2} + \frac{7}{4} \cdot (- 4) + 18$ = $- 16 - 7 + 18$ = $- 5$

g( $5$ ) = $- 5^{2} + \frac{7}{4} \cdot 5 + 18$ = $- 25 + \frac{35}{4} + 18$ = $\frac{7}{4}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 5$ ) und S₂( $5$ | $\frac{7}{4}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)