Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 +8x +17 = 0

Lösung einblenden

x 2 +8x +17 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -8 ± 8 2 -4 · 1 · 17 21

x1,2 = -8 ± 64 -68 2

x1,2 = -8 ± ( -4 ) 2

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-6 +4x = -2 x 2

Lösung einblenden
4x -6 = -2 x 2 | +2 x 2
2 x 2 +4x -6 = 0 |:2

x 2 +2x -3 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -3 ) 21

x1,2 = -2 ± 4 +12 2

x1,2 = -2 ± 16 2

x1 = -2 + 16 2 = -2 +4 2 = 2 2 = 1

x2 = -2 - 16 2 = -2 -4 2 = -6 2 = -3

L={ -3 ; 1 }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 +10x +16 = 0

Lösung einblenden

x 2 +10x +16 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -10 ± 10 2 -4 · 1 · 16 21

x1,2 = -10 ± 100 -64 2

x1,2 = -10 ± 36 2

x1 = -10 + 36 2 = -10 +6 2 = -4 2 = -2

x2 = -10 - 36 2 = -10 -6 2 = -16 2 = -8

L={ -8 ; -2 }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

5 x 2 -4x +2 = ( 4x +2 ) ( x -1 ) +5x -8

Lösung einblenden
5 x 2 -4x +2 = ( 4x +2 ) ( x -1 ) +5x -8
5 x 2 -4x +2 = 4 x 2 -2x -2 +5x -8
5 x 2 -4x +2 = 4 x 2 +3x -10 | -4 x 2 -3x +10

x 2 -7x +12 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +7 ± ( -7 ) 2 -4 · 1 · 12 21

x1,2 = +7 ± 49 -48 2

x1,2 = +7 ± 1 2

x1 = 7 + 1 2 = 7 +1 2 = 8 2 = 4

x2 = 7 - 1 2 = 7 -1 2 = 6 2 = 3

L={ 3 ; 4 }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit f(x)= x 2 -4x +4 .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

x 2 -4x +4 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 1 · 4 21

x1,2 = +4 ± 16 -16 2

x1,2 = +4 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 4 2 = 2

L={ 2 }

2 ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( 2 |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
f(x)= -2x +7
und
g(x)= - x 2 +2x +3 .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

-2x +7 = - x 2 +2x +3 | + x 2 -2x -3

x 2 -4x +4 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 1 · 4 21

x1,2 = +4 ± 16 -16 2

x1,2 = +4 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 4 2 = 2

L={ 2 }

2 ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( 2 ) = - 2 2 +22 +3 = -4 +4 +3 = 3

Der einzige Schnittpunkt ist also S( 2 | 3 ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit g(x)= - x 2 - 22 3 x -18 .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = -3 kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= 2 3 .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= 2 3 x -3 oder f(x)= 2 3 x -3 .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

2 3 x -3 = - x 2 - 22 3 x -18 |⋅ 3
3( 2 3 x -3 ) = 3( - x 2 - 22 3 x -18 )
2x -9 = -3 x 2 -22x -54 | +3 x 2 +22x +54
3 x 2 +24x +45 = 0 |:3

x 2 +8x +15 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -8 ± 8 2 -4 · 1 · 15 21

x1,2 = -8 ± 64 -60 2

x1,2 = -8 ± 4 2

x1 = -8 + 4 2 = -8 +2 2 = -6 2 = -3

x2 = -8 - 4 2 = -8 -2 2 = -10 2 = -5

L={ -5 ; -3 }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( -5 ) = - ( -5 ) 2 - 22 3 ( -5 ) -18 = -25 + 110 3 -18 = - 19 3

g( -3 ) = - ( -3 ) 2 - 22 3 ( -3 ) -18 = -9 +22 -18 = -5

Die Schnittpunkte sind also S1( -5 | - 19 3 ) und S2( -3 | -5 ).