Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6+10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6-10}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $2$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 64$ = $- 8 x$

Lösung einblenden

2 x^{2} - 64

=

- 8 x

|

+ 8 x

2 x^{2} + 8 x - 64

= 0 |:2

$x^{2} + 4 x - 32$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 4+12}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 4-12}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $4$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{1}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 3 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{3+1}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{3-1}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

L={ $0,5$ ; $1$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} + 3 x + 2$ = $(- 6 x - 3) (x + 9) + 52 x + 13$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} + 3 x + 2$	=	$(- 6 x - 3) (x + 9) + 52 x + 13$
$- 5 x^{2} + 3 x + 2$	=	$- 6 x^{2} - 57 x - 27 + 52 x + 13$
$- 5 x^{2} + 3 x + 2$	=	$- 6 x^{2} - 5 x - 14$	\| $+ 6 x^{2}$ $+ 5 x$ $+ 14$

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ }

$- 4$ ist 2-fache Lösung!

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 6 x + 9$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $- 3$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $5 x^{2} + 9 x + 3$
und
$g(x) =$ $4 x^{2} + 3 x - 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

5 x^{2} + 9 x + 3

=

4 x^{2} + 3 x - 2

|

- 4 x^{2}

- 3 x

+ 2

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6+4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6-4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $4 \cdot {(- 5)}^{2} + 3 \cdot (- 5) - 2$ = $4 \cdot 25 - 15 - 2$ = $100 - 15 - 2$ = $83$

g( $- 1$ ) = $4 \cdot {(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1) - 2$ = $4 \cdot 1 - 3 - 2$ = $4 - 3 - 2$ = $- 1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $83$ ) und S₂( $- 1$ | $- 1$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + x + 7$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 2$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- 2 x + 3$ oder $f(x) =$ $- 2 x + 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x + 3

=

- x^{2} + x + 7

|

+ x^{2}

- x

- 7

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2} - 1 + 7$ = $- 1 - 1 + 7$ = $5$

g( $4$ ) = $- 4^{2} + 4 + 7$ = $- 16 + 4 + 7$ = $- 5$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $5$ ) und S₂( $4$ | $- 5$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)