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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 3 x - 7$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 3 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{8}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{8}$ = $\frac{- 3+11}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{8}$ = $\frac{- 3-11}{8}$ = $\frac{- 14}{8}$ = $- 1,75$

L={ $- 1,75$ ; $1$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$18 x + x^{2}$ = $- 81$

Lösung einblenden

x^{2} + 18 x

=

- 81

|

+ 81

$x^{2} + 18 x + 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 324}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

L={ $- 9$ }

$- 9$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{5}{2} x - 21$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{5}{2} x - 21$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{5}{2} x - 21)$	=	0

$2 x^{2} + 5 x - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 336}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 5+19}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 5-19}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $3,5$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} - 9 x - 6$ = $(- 6 x + 7) (x - 5) - 47 x + 35$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} - 9 x - 6$	=	$(- 6 x + 7) (x - 5) - 47 x + 35$
$- 5 x^{2} - 9 x - 6$	=	$- 6 x^{2} + 37 x - 35 - 47 x + 35$
$- 5 x^{2} - 9 x - 6$	=	$- 6 x^{2} - 10 x$	\| $+ 6 x^{2}$ $+ 10 x$

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} - 15 x - 18$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

- 3 x^{2} - 15 x - 18

= 0 |:3

$- x^{2} - 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{5+1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{5-1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 3$ |0) und N₂( $- 2$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $2 x^{2} - 10 x + 2$
und
$g(x) =$ $x^{2} - 5 x - 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

2 x^{2} - 10 x + 2

=

x^{2} - 5 x - 4

|

- x^{2}

+ 5 x

+ 4

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $2^{2} - 5 \cdot 2 - 4$ = $4 - 10 - 4$ = $- 10$

g( $3$ ) = $3^{2} - 5 \cdot 3 - 4$ = $9 - 15 - 4$ = $- 10$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $2$ | $- 10$ ) und S₂( $3$ | $- 10$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{4}{3} x + 16$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{2}{3}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{2}{3} x + 1$ oder $f(x) =$ $\frac{2}{3} x + 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{2}{3} x + 1$	=	$- x^{2} - \frac{4}{3} x + 16$	\|⋅ 3
$3 (\frac{2}{3} x + 1)$	=	$3 (- x^{2} - \frac{4}{3} x + 16)$
$2 x + 3$	=	$- 3 x^{2} - 4 x + 48$	\| $+ 3 x^{2}$ $+ 4 x$ $- 48$

3 x^{2} + 6 x - 45

= 0 |:3

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - \frac{4}{3} \cdot (- 5) + 16$ = $- 25 + \frac{20}{3} + 16$ = $- \frac{7}{3}$

g( $3$ ) = $- 3^{2} - \frac{4}{3} \cdot 3 + 16$ = $- 9 - 4 + 16$ = $3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $- \frac{7}{3}$ ) und S₂( $3$ | $3$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)