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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 20$ = 0

$5 x^{2} - 20$	=	0	\| $+ 20$
$5 x^{2}$	=	$20$	\|: $5$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 9 + 2 x^{2}$ = $- 17 x$

Lösung einblenden

2 x^{2} - 9

=

- 17 x

|

+ 17 x

$2 x^{2} + 17 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 17+19}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 17-19}{4}$ = $\frac{- 36}{4}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $0,5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} + 18 x - 81$ = 0

Lösung einblenden

$- x^{2} + 18 x - 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 81)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 324}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

L={ $9$ }

$9$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + 2 x + 8$ = $(- 3 x - 1) (x + 2) + 7 x + 18$

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} + 2 x + 8$	=	$(- 3 x - 1) (x + 2) + 7 x + 18$
$- 2 x^{2} + 2 x + 8$	=	$- 3 x^{2} - 7 x - 2 + 7 x + 18$
$- 2 x^{2} + 2 x + 8$	=	$- 3 x^{2} + 16$	\| $+ 3 x^{2}$ $- 16$

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 14 x + 50$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 14 x + 50$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 50}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- x^{2} + 7 x + 2$
und
$g(x) =$ $- 2 x^{2} + 2 x - 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 7 x + 2

=

- 2 x^{2} + 2 x - 2

|

+ 2 x^{2}

- 2 x

+ 2

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 2 \cdot {(- 4)}^{2} + 2 \cdot (- 4) - 2$ = $- 2 \cdot 16 - 8 - 2$ = $- 32 - 8 - 2$ = $- 42$

g( $- 1$ ) = $- 2 \cdot {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 2$ = $- 2 \cdot 1 - 2 - 2$ = $- 2 - 2 - 2$ = $- 6$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 42$ ) und S₂( $- 1$ | $- 6$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{5}{3} x + 5$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{1}{3}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{1}{3} x + 2$ oder $f(x) =$ $- \frac{1}{3} x + 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{1}{3} x + 2$	=	$- x^{2} + \frac{5}{3} x + 5$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{1}{3} x + 2)$	=	$3 (- x^{2} + \frac{5}{3} x + 5)$
$- x + 6$	=	$- 3 x^{2} + 5 x + 15$	\| $+ 3 x^{2}$ $- 5 x$ $- 15$

3 x^{2} - 6 x - 9

= 0 |:3

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2} + \frac{5}{3} \cdot (- 1) + 5$ = $- 1 - \frac{5}{3} + 5$ = $\frac{7}{3}$

g( $3$ ) = $- 3^{2} + \frac{5}{3} \cdot 3 + 5$ = $- 9 + 5 + 5$ = $1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $\frac{7}{3}$ ) und S₂( $3$ | $1$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)