$4x^2-16x+17$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+16\pm \sqrt{{\left(-16\right)}^2-4·4·17}}{2\cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+16\pm \sqrt{256-272}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+16\pm \sqrt{\left(-16\right)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

$x^2-10x+25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{{\left(-10\right)}^2-4·1·25}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{100-100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

L={ $5$}

$5$ ist 2-fache Lösung!

$4x^2+36x+81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-36\pm \sqrt{{36}^2-4·4·81}}{2\cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{-36\pm \sqrt{1296-1296}}{8}$

x_1,2 = $\frac{-36\pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-36}{8}$ = $-\frac{9}{2}$

L={ $-\frac{9}{2}$}

$-\frac{9}{2}$ ist 2-fache Lösung!

$x^2-8x+16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{{\left(-8\right)}^2-4·1·16}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{64-64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$}

$4$ ist 2-fache Lösung!

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^2-14x+49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+14\pm \sqrt{{\left(-14\right)}^2-4·1·49}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+14\pm \sqrt{196-196}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+14\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{14}{2}$ = $7$

L={ $7$}

$7$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $7$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

L={ $-4$; $4$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-4$) = $4\cdot {\left(-4\right)}^2+4\cdot \left(-4\right)+1$ = $4\cdot 16-16+1$ = $64-16+1$ = $49$

g( $4$) = $4\cdot 4^2+4\cdot 4+1$ = $4\cdot 16+16+1$ = $64+16+1$ = $81$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-4$| $49$) und S₂( $4$| $81$).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=$\frac{3}{4}$.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{3}{4}x+1$ oder $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}x+1$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

L={ $-1$; $1$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-1$) = $-{\left(-1\right)}^2+\frac{3}{4}\cdot \left(-1\right)+2$ = $-1-\frac{3}{4}+2$ = $\frac{1}{4}$

g( $1$) = $-1^2+\frac{3}{4}\cdot 1+2$ = $-1+\frac{3}{4}+2$ = $\frac{7}{4}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-1$| $\frac{1}{4}$) und S₂( $1$| $\frac{7}{4}$).