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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 13 x - 24$ = $- 2 x^{2}$

Lösung einblenden

- 13 x - 24

=

- 2 x^{2}

|

+ 2 x^{2}

$2 x^{2} - 13 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 192}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{13+19}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = $8$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{13-19}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

L={ $- 1,5$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{19}{2} x + \frac{35}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{19}{2} x + \frac{35}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{19}{2} x + \frac{35}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 19 x + 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 35}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 280}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 19+9}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 19-9}{4}$ = $\frac{- 28}{4}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $- 2,5$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} - 5 x + 3$ = $(- 3 x - 3) (x - 4) - 14 x - 5$

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} - 5 x + 3$	=	$(- 3 x - 3) (x - 4) - 14 x - 5$
$- 2 x^{2} - 5 x + 3$	=	$- 3 x^{2} + 9 x + 12 - 14 x - 5$
$- 2 x^{2} - 5 x + 3$	=	$- 3 x^{2} - 5 x + 7$	\| $- 3$
$- 2 x^{2} - 5 x$	=	$- 3 x^{2} - 5 x + 4$	\| $+ 3 x^{2}$ $+ 5 x$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{3}{2} x - 10$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{3}{2} x - 10$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{3}{2} x - 10)$	=	0

$2 x^{2} + 3 x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 3+13}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 3-13}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $2,5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 4$ |0) und N₂( $2,5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 3 x^{2} + 8 x + 14$
und
$g(x) =$ $- 4 x^{2} + 2 x + 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 3 x^{2} + 8 x + 14

=

- 4 x^{2} + 2 x + 5

|

+ 4 x^{2}

- 2 x

- 5

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- 4 \cdot {(- 3)}^{2} + 2 \cdot (- 3) + 5$ = $- 4 \cdot 9 - 6 + 5$ = $- 36 - 6 + 5$ = $- 37$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 3$ | $- 37$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{5}{2} x + 1$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{1}{2}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{1}{2} x - 2$ oder $f(x) =$ $\frac{1}{2} x - 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{1}{2} x - 2$	=	$- x^{2} + \frac{5}{2} x + 1$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} x - 2)$	=	$2 (- x^{2} + \frac{5}{2} x + 1)$
$x - 4$	=	$- 2 x^{2} + 5 x + 2$	\| $+ 2 x^{2}$ $- 5 x$ $- 2$

2 x^{2} - 4 x - 6

= 0 |:2

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2} + \frac{5}{2} \cdot (- 1) + 1$ = $- 1 - \frac{5}{2} + 1$ = $- \frac{5}{2}$

g( $3$ ) = $- 3^{2} + \frac{5}{2} \cdot 3 + 1$ = $- 9 + \frac{15}{2} + 1$ = $- \frac{1}{2}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $- \frac{5}{2}$ ) und S₂( $3$ | $- \frac{1}{2}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)