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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

L={ $5$ }

$5$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 21 x + 2 x^{2} + 54$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 21 x + 54$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 54}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 432}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{21+3}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = $6$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{21-3}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

L={ $4,5$ ; $6$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} - 33 x + 54$ = 0

Lösung einblenden

3 x^{2} - 33 x + 54

= 0 |:3

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + 9 x + 3$ = $(- 3 x - 9) (x - 9) - 7 x - 75$

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} + 9 x + 3$	=	$(- 3 x - 9) (x - 9) - 7 x - 75$
$- 2 x^{2} + 9 x + 3$	=	$- 3 x^{2} + 18 x + 81 - 7 x - 75$
$- 2 x^{2} + 9 x + 3$	=	$- 3 x^{2} + 11 x + 6$	\| $+ 3 x^{2}$ $- 11 x$ $- 6$

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 6 x - 10$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$- x^{2} + 6 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{(- 4)}}{- 2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 4 x^{2} + 11 x + 12$
und
$g(x) =$ $- 5 x^{2} + 5 x + 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 4 x^{2} + 11 x + 12

=

- 5 x^{2} + 5 x + 3

|

+ 5 x^{2}

- 5 x

- 3

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- 5 \cdot {(- 3)}^{2} + 5 \cdot (- 3) + 3$ = $- 5 \cdot 9 - 15 + 3$ = $- 45 - 15 + 3$ = $- 57$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 3$ | $- 57$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 8 x - 13$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $x - 1$ oder $f(x) =$ $x - 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x - 1

=

- x^{2} + 8 x - 13

|

+ x^{2}

- 8 x

+ 13

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $3$ ) = $- 3^{2} + 8 \cdot 3 - 13$ = $- 9 + 24 - 13$ = $2$

g( $4$ ) = $- 4^{2} + 8 \cdot 4 - 13$ = $- 16 + 32 - 13$ = $3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $3$ | $2$ ) und S₂( $4$ | $3$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)