$4x^2+16x+17$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-16\pm \sqrt{{16}^2-4·4·17}}{2\cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{-16\pm \sqrt{256-272}}{8}$

x_1,2 = $\frac{-16\pm \sqrt{\left(-16\right)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

$x^2-16x+64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+16\pm \sqrt{{\left(-16\right)}^2-4·1·64}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+16\pm \sqrt{256-256}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+16\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{16}{2}$ = $8$

L={ $8$}

$8$ ist 2-fache Lösung!

$x^2+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}$	=	0	|⋅ 25
$25\left(x^2+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}\right)$	=	0

$25x^2+70x+49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-70\pm \sqrt{{70}^2-4·25·49}}{2\cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{-70\pm \sqrt{4900-4900}}{50}$

x_1,2 = $\frac{-70\pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-70}{50}$ = $-\frac{7}{5}$

L={ $-\frac{7}{5}$}

$-\frac{7}{5}$ ist 2-fache Lösung!

$6x^2+2x+2$	=	$\left(5x-2\right)\left(x+7\right)-29x+19$
$6x^2+2x+2$	=	$5x^2+33x-14-29x+19$
$6x^2+2x+2$	=	$5x^2+4x+5$	| $-5x^2$ $-4x$ $-5$

$x^2-2x-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-3\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$; $3$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^2-\frac{7}{2}x-\frac{15}{2}$	=	0	|⋅ 2
$2\left(x^2-\frac{7}{2}x-\frac{15}{2}\right)$	=	0

$2x^2-7x-15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{{\left(-7\right)}^2-4·2·\left(-15\right)}}{2\cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{49+120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{7+\sqrt{169}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>13</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{20}{4}$ = $5$

x₂ = $\frac{7-\sqrt{169}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>13</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{4}$ = $-\mathrm{1,5}$

L={ $-\mathrm{1,5}$; $5$}

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $-\mathrm{1,5}$|0) und N₂( $5$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$-x^2+3$

=

$-2x^2-2x+2$

| $+2x^2$ $+2x$ $-2$

$x^2+2x+1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·1}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4-4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$}

$-1$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-1$) = $-2\cdot {\left(-1\right)}^2-2\cdot \left(-1\right)+2$ = $-2\cdot 1+2+2$ = $-2+2+2$ = $2$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $-1$| $2$).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $-3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=$-\frac{3}{4}$.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $-\frac{3}{4}x-3$ oder $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{4}x-3$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$-\frac{3}{4}x-3$	=	$-x^2-\frac{35}{4}x-18$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{3}{4}x-3\right)$	=	$4\left(-x^2-\frac{35}{4}x-18\right)$
$-3x-12$	=	$-4x^2-35x-72$	| $+4x^2$ $+35x$ $+72$

$4x^2+32x+60$ = 0 |:4

$x^2+8x+15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4·1·15}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{64-60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{-8+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

x₂ = $\frac{-8-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

L={ $-5$; $-3$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-5$) = $-{\left(-5\right)}^2-\frac{35}{4}\cdot \left(-5\right)-18$ = $-25+\frac{175}{4}-18$ = $\frac{3}{4}$

g( $-3$) = $-{\left(-3\right)}^2-\frac{35}{4}\cdot \left(-3\right)-18$ = $-9+\frac{105}{4}-18$ = $-\frac{3}{4}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-5$| $\frac{3}{4}$) und S₂( $-3$| $-\frac{3}{4}$).