Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 6 x - 36$ = 0

2 x^{2} + 6 x - 36

= 0 |:2

$x^{2} + 3 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $3$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 - 8 x$ = $- x^{2}$

Lösung einblenden

- 8 x + 16

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{3}{5} x - \frac{14}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{3}{5} x - \frac{14}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{3}{5} x - \frac{14}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 3 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 280}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{289}}{10}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{289}}{10}$ = $\frac{3+17}{10}$ = $\frac{20}{10}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{289}}{10}$ = $\frac{3-17}{10}$ = $\frac{- 14}{10}$ = $- 1,4$

L={ $- 1,4$ ; $2$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} + 3 x - 2$ = $(- 2 x - 1) (x - 5) - 11 x - 13$

Lösung einblenden

$- x^{2} + 3 x - 2$	=	$(- 2 x - 1) (x - 5) - 11 x - 13$
$- x^{2} + 3 x - 2$	=	$- 2 x^{2} + 9 x + 5 - 11 x - 13$
$- x^{2} + 3 x - 2$	=	$- 2 x^{2} - 2 x - 8$	\| $+ 2 x^{2}$ $+ 2 x$ $+ 8$

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 3 x + \frac{9}{4}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - 3 x + \frac{9}{4})$	=	0

$4 x^{2} - 12 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{12}{8}$ = $\frac{3}{2}$

L={ $\frac{3}{2}$ }

$\frac{3}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $\frac{3}{2}$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} + 7 x$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} + 5 x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x^{2} + 7 x

=

2 x^{2} + 5 x - 1

|

- 2 x^{2}

- 5 x

+ 1

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $2 \cdot {(- 1)}^{2} + 5 \cdot (- 1) - 1$ = $2 \cdot 1 - 5 - 1$ = $2 - 5 - 1$ = $- 4$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 1$ | $- 4$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{5}{2} x + 5$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{3}{2}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{3}{2} x + 3$ oder $f(x) =$ $- \frac{3}{2} x + 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{3}{2} x + 3$	=	$- x^{2} - \frac{5}{2} x + 5$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{3}{2} x + 3)$	=	$2 (- x^{2} - \frac{5}{2} x + 5)$
$- 3 x + 6$	=	$- 2 x^{2} - 5 x + 10$	\| $+ 2 x^{2}$ $+ 5 x$ $- 10$

2 x^{2} + 2 x - 4

= 0 |:2

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{2} - \frac{5}{2} \cdot (- 2) + 5$ = $- 4 + 5 + 5$ = $6$

g( $1$ ) = $- 1^{2} - \frac{5}{2} \cdot 1 + 5$ = $- 1 - \frac{5}{2} + 5$ = $\frac{3}{2}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $6$ ) und S₂( $1$ | $\frac{3}{2}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)