Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 11 x + 14$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 11 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{11+3}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{11-3}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

L={ $2$ ; $3,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 18 x + 81$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 18 x + 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 324}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

L={ $- 9$ }

$- 9$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} - 42 x - 144$ = 0

Lösung einblenden

- 3 x^{2} - 42 x - 144

= 0 |:3

$- x^{2} - 14 x - 48$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 48)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 192}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{14+2}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{14-2}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

L={ $- 8$ ; $- 6$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 4 x + 4$ = $(x + 3) (x + 2) - 12 x + 8$

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 4 x + 4$	=	$(x + 3) (x + 2) - 12 x + 8$
$2 x^{2} - 4 x + 4$	=	$x^{2} + 5 x + 6 - 12 x + 8$
$2 x^{2} - 4 x + 4$	=	$x^{2} - 7 x + 14$	\| $- x^{2}$ $+ 7 x$ $- 14$

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 16 x + 64$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - 16 x + 64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{16}{2}$ = $8$

L={ $8$ }

$8$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $8$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $6 x^{2} + 3 x + 2$
und
$g(x) =$ $5 x^{2} - x - 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

6 x^{2} + 3 x + 2

=

5 x^{2} - x - 2

|

- 5 x^{2}

+ x

+ 2

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $5 \cdot {(- 2)}^{2} - (- 2) - 2$ = $5 \cdot 4 + 2 - 2$ = $20 + 2 - 2$ = $20$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 2$ | $20$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{25}{4} x - 13$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{3}{4}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{3}{4} x - 3$ oder $f(x) =$ $\frac{3}{4} x - 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{3}{4} x - 3$	=	$- x^{2} - \frac{25}{4} x - 13$	\|⋅ 4
$4 (\frac{3}{4} x - 3)$	=	$4 (- x^{2} - \frac{25}{4} x - 13)$
$3 x - 12$	=	$- 4 x^{2} - 25 x - 52$	\| $+ 4 x^{2}$ $+ 25 x$ $+ 52$

4 x^{2} + 28 x + 40

= 0 |:4

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - \frac{25}{4} \cdot (- 5) - 13$ = $- 25 + \frac{125}{4} - 13$ = $- \frac{27}{4}$

g( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{2} - \frac{25}{4} \cdot (- 2) - 13$ = $- 4 + \frac{25}{2} - 13$ = $- \frac{9}{2}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $- \frac{27}{4}$ ) und S₂( $- 2$ | $- \frac{9}{2}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)