Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 23 x - 10$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 23 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 + 200}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{729}}{10}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{729}}{10}$ = $\frac{- 23+27}{10}$ = $\frac{4}{10}$ = $0,4$

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{729}}{10}$ = $\frac{- 23-27}{10}$ = $\frac{- 50}{10}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $0,4$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x + 2 x^{2} - 12$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 5 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 5+11}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 5-11}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $1,5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{19}{5} x + \frac{18}{5}$ = 0

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$x^{2} + \frac{19}{5} x + \frac{18}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} + \frac{19}{5} x + \frac{18}{5})$	=	0

$5 x^{2} + 19 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 18}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 360}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{1}}{10}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{1}}{10}$ = $\frac{- 19+1}{10}$ = $\frac{- 18}{10}$ = $- 1,8$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{1}}{10}$ = $\frac{- 19-1}{10}$ = $\frac{- 20}{10}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1,8$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} - 2 x + 2$ = $(- 4 x + 2) (x - 4) - 24 x + 10$

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$- 3 x^{2} - 2 x + 2$	=	$(- 4 x + 2) (x - 4) - 24 x + 10$
$- 3 x^{2} - 2 x + 2$	=	$- 4 x^{2} + 18 x - 8 - 24 x + 10$
$- 3 x^{2} - 2 x + 2$	=	$- 4 x^{2} - 6 x + 2$	\| $- 2$
$- 3 x^{2} - 2 x$	=	$- 4 x^{2} - 6 x$	\| $- (- 4 x^{2} - 6 x)$
$- 3 x^{2} + 4 x^{2} - 2 x + 6 x$	=	0
$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; 0}

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 14 x + 50$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - 14 x + 50$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 50}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 13 x + 18$
und
$g(x) =$ $- x^{2} - 5 x + 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 13 x + 18

=

- x^{2} - 5 x + 2

|

+ x^{2}

+ 5 x

- 2

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $4$ ) = $- 4^{2} - 5 \cdot 4 + 2$ = $- 16 - 20 + 2$ = $- 34$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $4$ | $- 34$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - 5 x + 5$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $0$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- x$ oder $f(x) =$ $- x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x

=

- x^{2} - 5 x + 5

|

+ x^{2}

+ 5 x

- 5

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - 5 \cdot (- 5) + 5$ = $- 25 + 25 + 5$ = $5$

g( $1$ ) = $- 1^{2} - 5 \cdot 1 + 5$ = $- 1 - 5 + 5$ = $- 1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $5$ ) und S₂( $1$ | $- 1$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)