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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 23 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 23 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 30}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 240}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 23+17}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 23-17}{4}$ = $\frac{- 40}{4}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $- 1,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 11 x + 9$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 11 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 9}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{11+7}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{11-7}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

L={ $1$ ; $4,5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} - 27$ = 0

Lösung einblenden

$3 x^{2} - 27$	=	0	\| $+ 27$
$3 x^{2}$	=	$27$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 x^{2} - 8 x + 6$ = $(5 x + 1) (x + 6) - 43 x - 4$

Lösung einblenden

$6 x^{2} - 8 x + 6$	=	$(5 x + 1) (x + 6) - 43 x - 4$
$6 x^{2} - 8 x + 6$	=	$5 x^{2} + 31 x + 6 - 43 x - 4$
$6 x^{2} - 8 x + 6$	=	$5 x^{2} - 12 x + 2$	\| $- 5 x^{2}$ $+ 12 x$ $- 2$

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 36 x - 111$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

- 3 x^{2} + 36 x - 111

= 0 |:3

$- x^{2} + 12 x - 37$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 37)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 148}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{(- 4)}}{- 2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} - 5 x + 8$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} + x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x^{2} - 5 x + 8

=

2 x^{2} + x - 1

|

- 2 x^{2}

- x

+ 1

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ }

$3$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $3$ ) = $2 \cdot 3^{2} + 3 - 1$ = $2 \cdot 9 + 3 - 1$ = $18 + 3 - 1$ = $20$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $3$ | $20$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 3 x + 18$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $x + 3$ oder $f(x) =$ $x + 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x + 3

=

- x^{2} + 3 x + 18

|

+ x^{2}

- 3 x

- 18

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- {(- 3)}^{2} + 3 \cdot (- 3) + 18$ = $- 9 - 9 + 18$ = 0

g( $5$ ) = $- 5^{2} + 3 \cdot 5 + 18$ = $- 25 + 15 + 18$ = $8$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ |0) und S₂( $5$ | $8$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)