$5x^2-48x+64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+48\pm \sqrt{{\left(-48\right)}^2-4·5·64}}{2\cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+48\pm \sqrt{2304-1280}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+48\pm \sqrt{1024}}{10}$

x₁ = $\frac{48+\sqrt{1024}}{10}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>48</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>32</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{80}{10}$ = $8$

x₂ = $\frac{48-\sqrt{1024}}{10}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>48</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>32</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{16}{10}$ = $\mathrm{1,6}$

L={ $\mathrm{1,6}$; $8$}

$4x^2+17x$

=

$-15$

| $+15$

$4x^2+17x+15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-17\pm \sqrt{{17}^2-4·4·15}}{2\cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{-17\pm \sqrt{289-240}}{8}$

x_1,2 = $\frac{-17\pm \sqrt{49}}{8}$

x₁ = $\frac{-17+\sqrt{49}}{8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>17</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{8}$ = $-\mathrm{1,25}$

x₂ = $\frac{-17-\sqrt{49}}{8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>17</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-24}{8}$ = $-3$

L={ $-3$; $-\mathrm{1,25}$}

$x^2-4x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·4}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{16-16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$}

$2$ ist 2-fache Lösung!

$2x^2-3x+7$	=	$\left(x+2\right)\left(x+8\right)-8x-15$
$2x^2-3x+7$	=	$x^2+10x+16-8x-15$
$2x^2-3x+7$	=	$x^2+2x+1$	| $-x^2$ $-2x$ $-1$

$x^2-5x+6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·1·6}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{25-24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$; $3$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^2+10x+26$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{{10}^2-4·1·26}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{100-104}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$5x^2+7x+11$

=

$4x^2+x+2$

| $-4x^2$ $-x$ $-2$

$x^2+6x+9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·1·9}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{36-36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$}

$-3$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-3$) = $4\cdot {\left(-3\right)}^2-3+2$ = $4\cdot 9-3+2$ = $36-3+2$ = $35$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $-3$| $35$).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $-3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=$\frac{1}{4}$.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{1}{4}x-3$ oder $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}x-3$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{1}{4}x-3$	=	$-x^2+\frac{13}{4}x-5$	|⋅ 4
$4\left(\frac{1}{4}x-3\right)$	=	$4\left(-x^2+\frac{13}{4}x-5\right)$
$x-12$	=	$-4x^2+13x-20$	| $+4x^2$ $-13x$ $+20$

$4x^2-12x+8$ = 0 |:4

$x^2-3x+2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·1·2}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{9-8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$; $2$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$) = $-1^2+\frac{13}{4}\cdot 1-5$ = $-1+\frac{13}{4}-5$ = $-\frac{11}{4}$

g( $2$) = $-2^2+\frac{13}{4}\cdot 2-5$ = $-4+\frac{13}{2}-5$ = $-\frac{5}{2}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$| $-\frac{11}{4}$) und S₂( $2$| $-\frac{5}{2}$).