$25x^2-60x+37$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+60\pm \sqrt{{\left(-60\right)}^2-4·25·37}}{2\cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{+60\pm \sqrt{3600-3700}}{50}$

x_1,2 = $\frac{+60\pm \sqrt{\left(-100\right)}}{50}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

$x^2+16x+64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-16\pm \sqrt{{16}^2-4·1·64}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-16\pm \sqrt{256-256}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-16\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-16}{2}$ = $-8$

L={ $-8$}

$-8$ ist 2-fache Lösung!

$x^2+5x-36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{5^2-4·1·\left(-36\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{25+144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{-5+\sqrt{169}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>13</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{-5-\sqrt{169}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>13</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-18}{2}$ = $-9$

L={ $-9$; $4$}

L={ $-4$; $4$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$-x^2-18x-82$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+18\pm \sqrt{{\left(-18\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-82\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+18\pm \sqrt{324-328}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+18\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{-2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x^2+2x+2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·2}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4-8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

Es gibt also keine Schnittpunkte.

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $-2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 4 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=$4$.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $4x-2$ oder $\text{f(x)}=$ $4x-2$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x^2+x-12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-12\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $3$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-4$) = $-{\left(-4\right)}^2+3\cdot \left(-4\right)+10$ = $-16-12+10$ = $-18$

g( $3$) = $-3^2+3\cdot 3+10$ = $-9+9+10$ = $10$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-4$| $-18$) und S₂( $3$| $10$).