$x^2-18x+81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+18\pm \sqrt{{\left(-18\right)}^2-4·1·81}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+18\pm \sqrt{324-324}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+18\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{18}{2}$ = $9$

L={ $9$}

$9$ ist 2-fache Lösung!

$4x^2+20x$

=

$-25$

| $+25$

$4x^2+20x+25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-20\pm \sqrt{{20}^2-4·4·25}}{2\cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{-20\pm \sqrt{400-400}}{8}$

x_1,2 = $\frac{-20\pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-20}{8}$ = $-\frac{5}{2}$

L={ $-\frac{5}{2}$}

$-\frac{5}{2}$ ist 2-fache Lösung!

$x^2+x+\frac{1}{4}$	=	0	|⋅ 4
$4\left(x^2+x+\frac{1}{4}\right)$	=	0

$4x^2+4x+1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·4·1}}{2\cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{8}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-4}{8}$ = $-\frac{1}{2}$

L={ $-\frac{1}{2}$}

$-\frac{1}{2}$ ist 2-fache Lösung!

$4x^2-7x+3$	=	$\left(3x-5\right)\left(x+6\right)-23x+43$
$4x^2-7x+3$	=	$3x^2+13x-30-23x+43$
$4x^2-7x+3$	=	$3x^2-10x+13$	| $-3x^2$ $+10x$ $-13$

$x^2+3x-10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4·1·\left(-10\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{9+40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{-3+\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-3-\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

L={ $-5$; $2$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^2-\frac{19}{4}x+\frac{21}{4}$	=	0	|⋅ 4
$4\left(x^2-\frac{19}{4}x+\frac{21}{4}\right)$	=	0

$4x^2-19x+21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+19\pm \sqrt{{\left(-19\right)}^2-4·4·21}}{2\cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+19\pm \sqrt{361-336}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+19\pm \sqrt{25}}{8}$

x₁ = $\frac{19+\sqrt{25}}{8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>19</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{24}{8}$ = $3$

x₂ = $\frac{19-\sqrt{25}}{8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>19</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{14}{8}$ = $\mathrm{1,75}$

L={ $\mathrm{1,75}$; $3$}

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $\mathrm{1,75}$|0) und N₂( $3$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$-3x^2+9x$

=

$-4x^2+5x-4$

| $+4x^2$ $-5x$ $+4$

$x^2+4x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·4}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$}

$-2$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-2$) = $-4\cdot {\left(-2\right)}^2+5\cdot \left(-2\right)-4$ = $-4\cdot 4-10-4$ = $-16-10-4$ = $-30$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $-2$| $-30$).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=$\frac{1}{4}$.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{1}{4}x+1$ oder $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}x+1$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{1}{4}x+1$	=	$-x^2-\frac{31}{4}x-14$	|⋅ 4
$4\left(\frac{1}{4}x+1\right)$	=	$4\left(-x^2-\frac{31}{4}x-14\right)$
$x+4$	=	$-4x^2-31x-56$	| $+4x^2$ $+31x$ $+56$

$4x^2+32x+60$ = 0 |:4

$x^2+8x+15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4·1·15}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{64-60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{-8+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

x₂ = $\frac{-8-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

L={ $-5$; $-3$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-5$) = $-{\left(-5\right)}^2-\frac{31}{4}\cdot \left(-5\right)-14$ = $-25+\frac{155}{4}-14$ = $-\frac{1}{4}$

g( $-3$) = $-{\left(-3\right)}^2-\frac{31}{4}\cdot \left(-3\right)-14$ = $-9+\frac{93}{4}-14$ = $\frac{1}{4}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-5$| $-\frac{1}{4}$) und S₂( $-3$| $\frac{1}{4}$).