Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 17 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 17 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 240}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{529}}{10}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{529}}{10}$ = $\frac{17+23}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = $4$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{529}}{10}$ = $\frac{17-23}{10}$ = $\frac{- 6}{10}$ = $- 0,6$

L={ $- 0,6$ ; $4$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$25 + 25 x$ = $- 4 x^{2}$

Lösung einblenden

25 x + 25

=

- 4 x^{2}

|

+ 4 x^{2}

$4 x^{2} + 25 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 25}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 400}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{225}}{8}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{225}}{8}$ = $\frac{- 25+15}{8}$ = $\frac{- 10}{8}$ = $- 1,25$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{225}}{8}$ = $\frac{- 25-15}{8}$ = $\frac{- 40}{8}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 1,25$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{5}{2} x - 6$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{5}{2} x - 6$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{5}{2} x - 6)$	=	0

$2 x^{2} + 5 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 5+11}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 5-11}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $1,5$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x + 8$ = $(- x - 3) (x - 7) + 8 x - 38$

Lösung einblenden

$2 x + 8$	=	$(- x - 3) (x - 7) + 8 x - 38$
$2 x + 8$	=	$- x^{2} + 4 x + 21 + 8 x - 38$
$2 x + 8$	=	$- x^{2} + 12 x - 17$	\| $+ x^{2}$ $- 12 x$ $+ 17$

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

L={ $5$ }

$5$ ist 2-fache Lösung!

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 5 x - 24$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 5 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5+11}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5-11}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $3$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 8$ |0) und N₂( $3$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} + 3 x - 25$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} + 2 x - 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x^{2} + 3 x - 25

=

2 x^{2} + 2 x - 5

|

- 2 x^{2}

- 2 x

+ 5

$x^{2} + x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $2 \cdot {(- 5)}^{2} + 2 \cdot (- 5) - 5$ = $2 \cdot 25 - 10 - 5$ = $50 - 10 - 5$ = $35$

g( $4$ ) = $2 \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4 - 5$ = $2 \cdot 16 + 8 - 5$ = $32 + 8 - 5$ = $35$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $35$ ) und S₂( $4$ | $35$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 2 x - 4$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 4 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 4$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- 4 x + 1$ oder $f(x) =$ $- 4 x + 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 4 x + 1

=

- x^{2} + 2 x - 4

|

+ x^{2}

- 2 x

+ 4

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 1^{2} + 2 \cdot 1 - 4$ = $- 1 + 2 - 4$ = $- 3$

g( $5$ ) = $- 5^{2} + 2 \cdot 5 - 4$ = $- 25 + 10 - 4$ = $- 19$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $- 3$ ) und S₂( $5$ | $- 19$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)