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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 50 x + 80$ = 0

5 x^{2} - 50 x + 80

= 0 |:5

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10+6}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10-6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x + x^{2}$ = $56$

Lösung einblenden

x^{2} - x

=

56

|

- 56

$x^{2} - x - 56$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 56)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 224}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{1+15}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{1-15}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 48 x - 192$ = 0

Lösung einblenden

- 3 x^{2} + 48 x - 192

= 0 |:3

$- x^{2} + 16 x - 64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 64)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

L={ $8$ }

$8$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} + 2 x + 4$ = $(2 x + 7) (x - 9) + 11 x + 75$

Lösung einblenden

$3 x^{2} + 2 x + 4$	=	$(2 x + 7) (x - 9) + 11 x + 75$
$3 x^{2} + 2 x + 4$	=	$2 x^{2} - 11 x - 63 + 11 x + 75$
$3 x^{2} + 2 x + 4$	=	$2 x^{2} + 12$	\| $- 2 x^{2}$ $- 12$

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 21 x + 24$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

- 3 x^{2} + 21 x + 24

= 0 |:3

$- x^{2} + 7 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 7+9}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 7-9}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

L={ $- 1$ ; $8$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 1$ |0) und N₂( $8$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} - 8 x + 13$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} - 2 x + 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} - 8 x + 13

=

- 3 x^{2} - 2 x + 3

|

+ 3 x^{2}

+ 2 x

- 3

$x^{2} - 6 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

Es gibt also keine Schnittpunkte.

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 2 x$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $2$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $2 x - 1$ oder $f(x) =$ $2 x - 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$2 x - 1$	=	$- x^{2} + 2 x$	\| $+ 1$ $+ x^{2}$ $- 2 x$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1)$ = $- 1 - 2$ = $- 3$

g( $1$ ) = $- 1^{2} + 2 \cdot 1$ = $- 1 + 2$ = $1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $- 3$ ) und S₂( $1$ | $1$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)