$x^2-20x+100$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+20\pm \sqrt{{\left(-20\right)}^2-4·1·100}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+20\pm \sqrt{400-400}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+20\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{20}{2}$ = $10$

L={ $10$}

$10$ ist 2-fache Lösung!

$4x^2-30x$

=

$54$

| $-54$

$4x^2-30x-54$ = 0 |:2

$2x^2-15x-27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+15\pm \sqrt{{\left(-15\right)}^2-4·2·\left(-27\right)}}{2\cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+15\pm \sqrt{225+216}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+15\pm \sqrt{441}}{4}$

x₁ = $\frac{15+\sqrt{441}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>15</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>21</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{36}{4}$ = $9$

x₂ = $\frac{15-\sqrt{441}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>15</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>21</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{4}$ = $-\mathrm{1,5}$

L={ $-\mathrm{1,5}$; $9$}

$x^2-\frac{17}{4}x+1$	=	0	|⋅ 4
$4\left(x^2-\frac{17}{4}x+1\right)$	=	0

$4x^2-17x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+17\pm \sqrt{{\left(-17\right)}^2-4·4·4}}{2\cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+17\pm \sqrt{289-64}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+17\pm \sqrt{225}}{8}$

x₁ = $\frac{17+\sqrt{225}}{8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>17</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>15</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{32}{8}$ = $4$

x₂ = $\frac{17-\sqrt{225}}{8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>17</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>15</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{8}$ = $\mathrm{0,25}$

L={ $\mathrm{0,25}$; $4$}

$4x^2-3x-7$	=	$\left(3x-8\right)\left(x-7\right)+26x-38$
$4x^2-3x-7$	=	$3x^2-29x+56+26x-38$
$4x^2-3x-7$	=	$3x^2-3x+18$	| $+7$
$4x^2-3x$	=	$3x^2-3x+25$	| $-3x^2$ $+3x$
$x^2$	=	$25$	|
x1	=	$-\sqrt{25}$	= $-5$
x2	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $-5$; $5$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^2+\frac{8}{5}x+\frac{41}{25}$	=	0	|⋅ 25
$25\left(x^2+\frac{8}{5}x+\frac{41}{25}\right)$	=	0

$25x^2+40x+41$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-40\pm \sqrt{{40}^2-4·25·41}}{2\cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{-40\pm \sqrt{1600-4100}}{50}$

x_1,2 = $\frac{-40\pm \sqrt{\left(-2500\right)}}{50}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$6x^2-10$

=

$5x^2-x+2$

| $-5x^2$ $+x$ $-2$

$x^2+x-12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-12\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $3$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-4$) = $5\cdot {\left(-4\right)}^2-\left(-4\right)+2$ = $5\cdot 16+4+2$ = $80+4+2$ = $86$

g( $3$) = $5\cdot 3^2-3+2$ = $5\cdot 9-3+2$ = $45-3+2$ = $44$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-4$| $86$) und S₂( $3$| $44$).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $-2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=$\frac{1}{2}$.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{1}{2}x-2$ oder $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}x-2$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{1}{2}x-2$	=	$-x^2+\frac{15}{2}x-14$	|⋅ 2
$2\left(\frac{1}{2}x-2\right)$	=	$2\left(-x^2+\frac{15}{2}x-14\right)$
$x-4$	=	$-2x^2+15x-28$	| $+2x^2$ $-15x$ $+28$

$2x^2-14x+24$ = 0 |:2

$x^2-7x+12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{{\left(-7\right)}^2-4·1·12}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{49-48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$; $4$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $3$) = $-3^2+\frac{15}{2}\cdot 3-14$ = $-9+\frac{45}{2}-14$ = $-\frac{1}{2}$

g( $4$) = $-4^2+\frac{15}{2}\cdot 4-14$ = $-16+30-14$ = 0

Die Schnittpunkte sind also S₁( $3$| $-\frac{1}{2}$) und S₂( $4$|0).