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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 24 x + 36$ = 0

4 x^{2} + 24 x + 36

= 0 |:4

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 19 x - 4$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 19 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 80}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{441}}{10}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{441}}{10}$ = $\frac{19+21}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = $4$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{441}}{10}$ = $\frac{19-21}{10}$ = $\frac{- 2}{10}$ = $- 0,2$

L={ $- 0,2$ ; $4$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 5 x - 50$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 5 x - 50$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 50)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{5+15}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{5-15}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x^{2} - 6 x - 9$ = $(- 9 x - 1) (x - 9) - 89 x - 18$

Lösung einblenden

$- 8 x^{2} - 6 x - 9$	=	$(- 9 x - 1) (x - 9) - 89 x - 18$
$- 8 x^{2} - 6 x - 9$	=	$- 9 x^{2} + 80 x + 9 - 89 x - 18$
$- 8 x^{2} - 6 x - 9$	=	$- 9 x^{2} - 9 x - 9$	\| $+ 9$
$- 8 x^{2} - 6 x$	=	$- 9 x^{2} - 9 x$	\| $- (- 9 x^{2} - 9 x)$
$- 8 x^{2} + 9 x^{2} - 6 x + 9 x$	=	0
$x^{2} + 3 x$	=	0
$x (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; 0}

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 5 x - 6$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $1$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 6$ |0) und N₂( $1$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $5 x^{2} + 6 x$
und
$g(x) =$ $4 x^{2} + 3 x - 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

5 x^{2} + 6 x

=

4 x^{2} + 3 x - 2

|

- 4 x^{2}

- 3 x

+ 2

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $4 \cdot {(- 2)}^{2} + 3 \cdot (- 2) - 2$ = $4 \cdot 4 - 6 - 2$ = $16 - 6 - 2$ = $8$

g( $- 1$ ) = $4 \cdot {(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1) - 2$ = $4 \cdot 1 - 3 - 2$ = $4 - 3 - 2$ = $- 1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $8$ ) und S₂( $- 1$ | $- 1$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2}$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- x - 2$ oder $f(x) =$ $- x - 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x - 2

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2}$ = $- 1$

g( $2$ ) = $- 2^{2}$ = $- 4$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $- 1$ ) und S₂( $2$ | $- 4$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)