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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 5 x - 24$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 5 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5+11}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5-11}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $3$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 56 - 9 x$ = $- 2 x^{2}$

Lösung einblenden

- 9 x - 56

=

- 2 x^{2}

|

+ 2 x^{2}

$2 x^{2} - 9 x - 56$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 56)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 448}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{529}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{9+23}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = $8$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{9-23}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

L={ $- 3,5$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 5 x + \frac{29}{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 5 x + \frac{29}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + 5 x + \frac{29}{4})$	=	0

$4 x^{2} + 20 x + 29$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 29}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 464}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{(- 64)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 x^{2} + 6 x - 4$ = $(8 x + 1) (x + 2) - 12 x - 4$

Lösung einblenden

$9 x^{2} + 6 x - 4$	=	$(8 x + 1) (x + 2) - 12 x - 4$
$9 x^{2} + 6 x - 4$	=	$8 x^{2} + 17 x + 2 - 12 x - 4$
$9 x^{2} + 6 x - 4$	=	$8 x^{2} + 5 x - 2$	\| $- 8 x^{2}$ $- 5 x$ $+ 2$

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{35}{2}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{35}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{35}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 3 x - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 280}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 3+17}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 3-17}{4}$ = $\frac{- 20}{4}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $3,5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 5$ |0) und N₂( $3,5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} + 5$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} - 4 x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x^{2} + 5

=

2 x^{2} - 4 x + 1

|

- 2 x^{2}

+ 4 x

- 1

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $2 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 1$ = $2 \cdot 4 + 8 + 1$ = $8 + 8 + 1$ = $17$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 2$ | $17$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{1}{3} x + 2$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $0$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{2}{3}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{2}{3} x$ oder $f(x) =$ $\frac{2}{3} x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{2}{3} x$	=	$- x^{2} - \frac{1}{3} x + 2$	\|⋅ 3
$2 x$	=	$3 (- x^{2} - \frac{1}{3} x + 2)$
$2 x$	=	$- 3 x^{2} - x + 6$	\| $+ 3 x^{2}$ $+ x$ $- 6$

3 x^{2} + 3 x - 6

= 0 |:3

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{2} - \frac{1}{3} \cdot (- 2) + 2$ = $- 4 + \frac{2}{3} + 2$ = $- \frac{4}{3}$

g( $1$ ) = $- 1^{2} - \frac{1}{3} \cdot 1 + 2$ = $- 1 - \frac{1}{3} + 2$ = $\frac{2}{3}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $- \frac{4}{3}$ ) und S₂( $1$ | $\frac{2}{3}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)