Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 44 x + 63$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 44 x + 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 44 \pm \sqrt{44^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 63}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 44 \pm \sqrt{1 936 - 1 260}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 44 \pm \sqrt{676}}{10}$

x₁ = $\frac{- 44 + \sqrt{676}}{10}$ = $\frac{- 44+26}{10}$ = $\frac{- 18}{10}$ = $- 1,8$

x₂ = $\frac{- 44 - \sqrt{676}}{10}$ = $\frac{- 44-26}{10}$ = $\frac{- 70}{10}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $- 1,8$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + 4 x^{2}$ = $4 x$

Lösung einblenden

4 x^{2} + 1

=

4 x

|

- 4 x

$4 x^{2} - 4 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{8}$ = $\frac{1}{2}$

L={ $\frac{1}{2}$ }

$\frac{1}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} + 42 x + 147$ = 0

Lösung einblenden

3 x^{2} + 42 x + 147

= 0 |:3

$x^{2} + 14 x + 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ }

$- 7$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} - 2 x + 7$ = $(2 x - 1) (x + 9) - 26 x + 6$

Lösung einblenden

$3 x^{2} - 2 x + 7$	=	$(2 x - 1) (x + 9) - 26 x + 6$
$3 x^{2} - 2 x + 7$	=	$2 x^{2} + 17 x - 9 - 26 x + 6$
$3 x^{2} - 2 x + 7$	=	$2 x^{2} - 9 x - 3$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 9 x$ $+ 3$

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 2 x + 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

- 2 x^{2} - 2 x + 4

= 0 |:2

$- x^{2} - x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1+3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1-3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

L={ $- 2$ ; $1$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 2$ |0) und N₂( $1$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $6 x^{2} - 3 x + 2$
und
$g(x) =$ $5 x^{2} + 2 x - 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

6 x^{2} - 3 x + 2

=

5 x^{2} + 2 x - 2

|

- 5 x^{2}

- 2 x

+ 2

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $5 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 2$ = $5 \cdot 1 + 2 - 2$ = $5 + 2 - 2$ = $5$

g( $4$ ) = $5 \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4 - 2$ = $5 \cdot 16 + 8 - 2$ = $80 + 8 - 2$ = $86$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $5$ ) und S₂( $4$ | $86$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{11}{3} x + 9$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{2}{3}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{2}{3} x - 1$ oder $f(x) =$ $- \frac{2}{3} x - 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{2}{3} x - 1$	=	$- x^{2} - \frac{11}{3} x + 9$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{2}{3} x - 1)$	=	$3 (- x^{2} - \frac{11}{3} x + 9)$
$- 2 x - 3$	=	$- 3 x^{2} - 11 x + 27$	\| $+ 3 x^{2}$ $+ 11 x$ $- 27$

3 x^{2} + 9 x - 30

= 0 |:3

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - \frac{11}{3} \cdot (- 5) + 9$ = $- 25 + \frac{55}{3} + 9$ = $\frac{7}{3}$

g( $2$ ) = $- 2^{2} - \frac{11}{3} \cdot 2 + 9$ = $- 4 - \frac{22}{3} + 9$ = $- \frac{7}{3}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $\frac{7}{3}$ ) und S₂( $2$ | $- \frac{7}{3}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)