Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 17 x - 15$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 17 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 240}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{529}}{8}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{529}}{8}$ = $\frac{17+23}{8}$ = $\frac{40}{8}$ = $5$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{529}}{8}$ = $\frac{17-23}{8}$ = $\frac{- 6}{8}$ = $- 0,75$

L={ $- 0,75$ ; $5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$80 x + 64$ = $- 25 x^{2}$

Lösung einblenden

80 x + 64

=

- 25 x^{2}

|

+ 25 x^{2}

$25 x^{2} + 80 x + 64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 80 \pm \sqrt{80^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 64}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{- 80 \pm \sqrt{6 400 - 6 400}}{50}$

x_1,2 = $\frac{- 80 \pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 80}{50}$ = $- \frac{8}{5}$

L={ $- \frac{8}{5}$ }

$- \frac{8}{5}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{9}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{9}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{9}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 9 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 9}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 9+3}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 9-3}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 1,5$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} - 3 x + 5$ = $(- 4 x - 8) (x - 1) + x + 13$

Lösung einblenden

$- 3 x^{2} - 3 x + 5$	=	$(- 4 x - 8) (x - 1) + x + 13$
$- 3 x^{2} - 3 x + 5$	=	$- 4 x^{2} - 4 x + 8 + x + 13$
$- 3 x^{2} - 3 x + 5$	=	$- 4 x^{2} - 3 x + 21$	\| $- 5$
$- 3 x^{2} - 3 x$	=	$- 4 x^{2} - 3 x + 16$	\| $+ 4 x^{2}$ $+ 3 x$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{26}{5} x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{26}{5} x + 1$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{26}{5} x + 1)$	=	0

$5 x^{2} - 26 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 - 100}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{576}}{10}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{576}}{10}$ = $\frac{26+24}{10}$ = $\frac{50}{10}$ = $5$

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{576}}{10}$ = $\frac{26-24}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = $0,2$

L={ $0,2$ ; $5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $0,2$ |0) und N₂( $5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} - 5 x + 7$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} + 2 x - 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x^{2} - 5 x + 7

=

2 x^{2} + 2 x - 3

|

- 2 x^{2}

- 2 x

+ 3

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $2 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 - 3$ = $2 \cdot 4 + 4 - 3$ = $8 + 4 - 3$ = $9$

g( $5$ ) = $2 \cdot 5^{2} + 2 \cdot 5 - 3$ = $2 \cdot 25 + 10 - 3$ = $50 + 10 - 3$ = $57$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $2$ | $9$ ) und S₂( $5$ | $57$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 8$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- x + 2$ oder $f(x) =$ $- x + 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x + 2

=

- x^{2} + 8

|

+ x^{2}

- 8

$x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{2} + 8$ = $- 4 + 8$ = $4$

g( $3$ ) = $- 3^{2} + 8$ = $- 9 + 8$ = $- 1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $4$ ) und S₂( $3$ | $- 1$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)