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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 37 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 37 x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{{(- 37)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{1 369 + 480}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{1 849}}{8}$

x₁ = $\frac{37 + \sqrt{1 849}}{8}$ = $\frac{37+43}{8}$ = $\frac{80}{8}$ = $10$

x₂ = $\frac{37 - \sqrt{1 849}}{8}$ = $\frac{37-43}{8}$ = $\frac{- 6}{8}$ = $- 0,75$

L={ $- 0,75$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$24 + 35 x + 4 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 35 x + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{35^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 24}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{1 225 - 384}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{841}}{8}$

x₁ = $\frac{- 35 + \sqrt{841}}{8}$ = $\frac{- 35+29}{8}$ = $\frac{- 6}{8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 35 - \sqrt{841}}{8}$ = $\frac{- 35-29}{8}$ = $\frac{- 64}{8}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $- 0,75$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $7$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 x^{2} + 6 x + 4$ = $(8 x - 5) (x + 7) - 46 x + 39$

Lösung einblenden

$9 x^{2} + 6 x + 4$	=	$(8 x - 5) (x + 7) - 46 x + 39$
$9 x^{2} + 6 x + 4$	=	$8 x^{2} + 51 x - 35 - 46 x + 39$
$9 x^{2} + 6 x + 4$	=	$8 x^{2} + 5 x + 4$	\| $- 4$
$9 x^{2} + 6 x$	=	$8 x^{2} + 5 x$	\| $- (8 x^{2} + 5 x)$
$9 x^{2} - 8 x^{2} + 6 x - 5 x$	=	0
$x^{2} + x$	=	0
$x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 15$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $3$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 5$ |0) und N₂( $3$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- x + 11$
und
$g(x) =$ $- x^{2} + 5 x + 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x + 11

=

- x^{2} + 5 x + 2

|

+ x^{2}

- 5 x

- 2

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ }

$3$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $3$ ) = $- 3^{2} + 5 \cdot 3 + 2$ = $- 9 + 15 + 2$ = $8$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $3$ | $8$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - 6 x - 4$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $0$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- x$ oder $f(x) =$ $- x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x

=

- x^{2} - 6 x - 4

|

+ x^{2}

+ 6 x

+ 4

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- {(- 4)}^{2} - 6 \cdot (- 4) - 4$ = $- 16 + 24 - 4$ = $4$

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2} - 6 \cdot (- 1) - 4$ = $- 1 + 6 - 4$ = $1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $4$ ) und S₂( $- 1$ | $1$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)