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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 36 x + 82$ = 0

4 x^{2} - 36 x + 82

= 0 |:2

$2 x^{2} - 18 x + 41$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 41}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 328}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{(- 4)}}{4}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 49$ = $- 35 x$

Lösung einblenden

4 x^{2} + 49

=

- 35 x

|

+ 35 x

$4 x^{2} + 35 x + 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{35^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 49}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{1 225 - 784}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{441}}{8}$

x₁ = $\frac{- 35 + \sqrt{441}}{8}$ = $\frac{- 35+21}{8}$ = $\frac{- 14}{8}$ = $- 1,75$

x₂ = $\frac{- 35 - \sqrt{441}}{8}$ = $\frac{- 35-21}{8}$ = $\frac{- 56}{8}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $- 1,75$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 9 x + \frac{85}{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 9 x + \frac{85}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - 9 x + \frac{85}{4})$	=	0

$4 x^{2} - 36 x + 85$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 85}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{1 296 - 1 360}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{(- 64)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 x^{2} - 4 x + 4$ = $(8 x + 7) (x + 6) - 58 x - 36$

Lösung einblenden

$9 x^{2} - 4 x + 4$	=	$(8 x + 7) (x + 6) - 58 x - 36$
$9 x^{2} - 4 x + 4$	=	$8 x^{2} + 55 x + 42 - 58 x - 36$
$9 x^{2} - 4 x + 4$	=	$8 x^{2} - 3 x + 6$	\| $- 8 x^{2}$ $+ 3 x$ $- 6$

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{9}{2} x + \frac{97}{16}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{9}{2} x + \frac{97}{16}$	=	0	\|⋅ 16
$16 (x^{2} - \frac{9}{2} x + \frac{97}{16})$	=	0

$16 x^{2} - 72 x + 97$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 72 \pm \sqrt{{(- 72)}^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 97}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 72 \pm \sqrt{5 184 - 6 208}}{32}$

x_1,2 = $\frac{+ 72 \pm \sqrt{(- 1 024)}}{32}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} + 2 x - 11$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} + 4 x + 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} + 2 x - 11

=

- 3 x^{2} + 4 x + 4

|

+ 3 x^{2}

- 4 x

- 4

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- 3 \cdot {(- 3)}^{2} + 4 \cdot (- 3) + 4$ = $- 3 \cdot 9 - 12 + 4$ = $- 27 - 12 + 4$ = $- 35$

g( $5$ ) = $- 3 \cdot 5^{2} + 4 \cdot 5 + 4$ = $- 3 \cdot 25 + 20 + 4$ = $- 75 + 20 + 4$ = $- 51$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $- 35$ ) und S₂( $5$ | $- 51$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 4 x - 11$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 2$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- 2 x - 3$ oder $f(x) =$ $- 2 x - 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x - 3

=

- x^{2} + 4 x - 11

|

+ x^{2}

- 4 x

+ 11

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $- 2^{2} + 4 \cdot 2 - 11$ = $- 4 + 8 - 11$ = $- 7$

g( $4$ ) = $- 4^{2} + 4 \cdot 4 - 11$ = $- 16 + 16 - 11$ = $- 11$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $2$ | $- 7$ ) und S₂( $4$ | $- 11$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)