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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 3 x - 35$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 3 x - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 280}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{3+17}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{3-17}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

L={ $- 3,5$ ; $5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 64 x + 16 x^{2}$ = $- 64$

Lösung einblenden

16 x^{2} - 64 x

=

- 64

|

+ 64

16 x^{2} - 64 x + 64

= 0 |:16

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 2 x + 2$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 2 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 x^{2} + 7 x - 8$ = $(- 8 x + 3) (x - 2) - 19 x - 14$

Lösung einblenden

$- 7 x^{2} + 7 x - 8$	=	$(- 8 x + 3) (x - 2) - 19 x - 14$
$- 7 x^{2} + 7 x - 8$	=	$- 8 x^{2} + 19 x - 6 - 19 x - 14$
$- 7 x^{2} + 7 x - 8$	=	$- 8 x^{2} - 20$	\| $+ 8 x^{2}$ $+ 20$

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{27}{4} x - 10$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{27}{4} x - 10$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + \frac{27}{4} x - 10)$	=	0

$4 x^{2} + 27 x - 40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{27^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{729 + 640}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{1 369}}{8}$

x₁ = $\frac{- 27 + \sqrt{1 369}}{8}$ = $\frac{- 27+37}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = $1,25$

x₂ = $\frac{- 27 - \sqrt{1 369}}{8}$ = $\frac{- 27-37}{8}$ = $\frac{- 64}{8}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $1,25$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 8$ |0) und N₂( $1,25$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 4 x^{2} - 13 x + 11$
und
$g(x) =$ $- 5 x^{2} - 5 x - 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 4 x^{2} - 13 x + 11

=

- 5 x^{2} - 5 x - 5

|

+ 5 x^{2}

+ 5 x

+ 5

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $4$ ) = $- 5 \cdot 4^{2} - 5 \cdot 4 - 5$ = $- 5 \cdot 16 - 20 - 5$ = $- 80 - 20 - 5$ = $- 105$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $4$ | $- 105$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{3}{2} x + 12$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{3}{2}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{3}{2} x + 2$ oder $f(x) =$ $- \frac{3}{2} x + 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{3}{2} x + 2$	=	$- x^{2} + \frac{3}{2} x + 12$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{3}{2} x + 2)$	=	$2 (- x^{2} + \frac{3}{2} x + 12)$
$- 3 x + 4$	=	$- 2 x^{2} + 3 x + 24$	\| $+ 2 x^{2}$ $- 3 x$ $- 24$

2 x^{2} - 6 x - 20

= 0 |:2

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{2} + \frac{3}{2} \cdot (- 2) + 12$ = $- 4 - 3 + 12$ = $5$

g( $5$ ) = $- 5^{2} + \frac{3}{2} \cdot 5 + 12$ = $- 25 + \frac{15}{2} + 12$ = $- \frac{11}{2}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $5$ ) und S₂( $5$ | $- \frac{11}{2}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)