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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 8 x + 17$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 8 x + 17$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 68}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 42 + 23 x + 5 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 23 x - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 + 840}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{1 369}}{10}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{1 369}}{10}$ = $\frac{- 23+37}{10}$ = $\frac{14}{10}$ = $1,4$

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{1 369}}{10}$ = $\frac{- 23-37}{10}$ = $\frac{- 60}{10}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $1,4$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + 24 x - 70$ = 0

Lösung einblenden

- 2 x^{2} + 24 x - 70

= 0 |:2

$- x^{2} + 12 x - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 35)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 12+2}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 12-2}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

L={ $5$ ; $7$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 x^{2} - 3 x + 3$ = $(5 x + 2) (x - 3) + 11 x + 9$

Lösung einblenden

$6 x^{2} - 3 x + 3$	=	$(5 x + 2) (x - 3) + 11 x + 9$
$6 x^{2} - 3 x + 3$	=	$5 x^{2} - 13 x - 6 + 11 x + 9$
$6 x^{2} - 3 x + 3$	=	$5 x^{2} - 2 x + 3$	\| $- 3$
$6 x^{2} - 3 x$	=	$5 x^{2} - 2 x$	\| $- (5 x^{2} - 2 x)$
$6 x^{2} - 5 x^{2} - 3 x + 2 x$	=	0
$x^{2} - x$	=	0
$x (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

L={0; $1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 13 x + 42$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 13 x + 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 13+1}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 13-1}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $- 6$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 7$ |0) und N₂( $- 6$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $5 x^{2} - 3 x - 19$
und
$g(x) =$ $4 x^{2} - 3 x - 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$5 x^{2} - 3 x - 19$	=	$4 x^{2} - 3 x - 3$	\| $+ 19$
$5 x^{2} - 3 x$	=	$4 x^{2} - 3 x + 16$	\| $- 4 x^{2}$ $+ 3 x$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $4 \cdot {(- 4)}^{2} - 3 \cdot (- 4) - 3$ = $4 \cdot 16 + 12 - 3$ = $64 + 12 - 3$ = $73$

g( $4$ ) = $4 \cdot 4^{2} - 3 \cdot 4 - 3$ = $4 \cdot 16 - 12 - 3$ = $64 - 12 - 3$ = $49$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $73$ ) und S₂( $4$ | $49$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 7 x - 7$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $x + 1$ oder $f(x) =$ $x + 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x + 1

=

- x^{2} + 7 x - 7

|

+ x^{2}

- 7 x

+ 7

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $- 2^{2} + 7 \cdot 2 - 7$ = $- 4 + 14 - 7$ = $3$

g( $4$ ) = $- 4^{2} + 7 \cdot 4 - 7$ = $- 16 + 28 - 7$ = $5$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $2$ | $3$ ) und S₂( $4$ | $5$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)