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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 3 x - 9$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 3 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{3+9}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{3-9}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

L={ $- 1,5$ ; $3$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$82 + 16 x^{2}$ = $72 x$

Lösung einblenden

16 x^{2} + 82

=

72 x

|

- 72 x

16 x^{2} - 72 x + 82

= 0 |:2

$8 x^{2} - 36 x + 41$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 41}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{1 296 - 1 312}}{16}$

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{(- 16)}}{16}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} - 2 x - 1$ = 0

Lösung einblenden

$- x^{2} - 2 x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - x + 9$ = $(x + 3) (x + 1) - 7 x + 21$

Lösung einblenden

$2 x^{2} - x + 9$	=	$(x + 3) (x + 1) - 7 x + 21$
$2 x^{2} - x + 9$	=	$x^{2} + 4 x + 3 - 7 x + 21$
$2 x^{2} - x + 9$	=	$x^{2} - 3 x + 24$	\| $- x^{2}$ $+ 3 x$ $- 24$

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} - 30 x + 48$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

3 x^{2} - 30 x + 48

= 0 |:3

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10+6}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10-6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $8$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $2$ |0) und N₂( $8$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $2 x^{2} - 6 x + 22$
und
$g(x) =$ $x^{2} + 3 x + 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

2 x^{2} - 6 x + 22

=

x^{2} + 3 x + 2

|

- x^{2}

- 3 x

- 2

$x^{2} - 9 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $4$ ) = $4^{2} + 3 \cdot 4 + 2$ = $16 + 12 + 2$ = $30$

g( $5$ ) = $5^{2} + 3 \cdot 5 + 2$ = $25 + 15 + 2$ = $42$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $4$ | $30$ ) und S₂( $5$ | $42$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{3}{2} x - 1$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{3}{2}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{3}{2} x - 2$ oder $f(x) =$ $\frac{3}{2} x - 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{3}{2} x - 2$	=	$- x^{2} + \frac{3}{2} x - 1$	\| $+ 2$
$\frac{3}{2} x$	=	$- x^{2} + \frac{3}{2} x + 1$	\| $+ x^{2}$ $- \frac{3}{2} x$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2} + \frac{3}{2} \cdot (- 1) - 1$ = $- 1 - \frac{3}{2} - 1$ = $- \frac{7}{2}$

g( $1$ ) = $- 1^{2} + \frac{3}{2} \cdot 1 - 1$ = $- 1 + \frac{3}{2} - 1$ = $- \frac{1}{2}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $- \frac{7}{2}$ ) und S₂( $1$ | $- \frac{1}{2}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)