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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 x^{2} + 40 x + 26$ = 0

16 x^{2} + 40 x + 26

= 0 |:2

$8 x^{2} + 20 x + 13$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 13}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 416}}{16}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{(- 16)}}{16}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} + 20 x + 13$ = 0 |: $8$

$x^{2} + \frac{5}{2} x + \frac{13}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (\frac{13}{8})$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{13}{8}$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{26}{16}$ = $- \frac{1}{16}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 - 46 x + 5 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 46 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 46 \pm \sqrt{{(- 46)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 9}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 46 \pm \sqrt{2 116 - 180}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 46 \pm \sqrt{1 936}}{10}$

x₁ = $\frac{46 + \sqrt{1 936}}{10}$ = $\frac{46+44}{10}$ = $\frac{90}{10}$ = $9$

x₂ = $\frac{46 - \sqrt{1 936}}{10}$ = $\frac{46-44}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = $0,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 46 x + 9$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{46}{5} x + \frac{9}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{5})}^{2} - (\frac{9}{5})$ = $\frac{529}{25}$ $-$ $\frac{9}{5}$ = $\frac{529}{25}$ $-$ $\frac{45}{25}$ = $\frac{484}{25}$

x_1,2 = $\frac{23}{5}$ ± $\sqrt{\frac{484}{25}}$

x₁ = $\frac{23}{5}$ - $\frac{22}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 0.2

x₂ = $\frac{23}{5}$ + $\frac{22}{5}$ = $\frac{45}{5}$ = 9

L={ $0,2$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{5}{2} x - \frac{7}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{5}{2} x - \frac{7}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{5}{2} x - \frac{7}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 5 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 5+9}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 5-9}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 5 x - 7$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x - \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (- \frac{7}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{56}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

L={ $- 3,5$ ; $1$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 5 x + 3$ = $(x - 9) \cdot (x - 4) + 3 x - 39$

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 5 x + 3$	=	$(x - 9) \cdot (x - 4) + 3 x - 39$
$2 x^{2} - 5 x + 3$	=	$x^{2} - 13 x + 36 + 3 x - 39$
$2 x^{2} - 5 x + 3$	=	$x^{2} - 10 x - 3$	\| $- x^{2}$ $+ 10 x$ $+ 3$

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{9}{2}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{9}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{9}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 3 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 3+9}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 3-9}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 3 x - 9$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{4})}^{2} - (- \frac{9}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{72}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $- \frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $- \frac{3}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $- \frac{3}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

L={ $- 3$ ; $1,5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 3$ |0) und N₂( $1,5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $5 x^{2} - 5 x - 25$
und
$g(x) =$ $4 x^{2} - 4 x - 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

5 x^{2} - 5 x - 25

=

4 x^{2} - 4 x - 5

|

- 4 x^{2}

+ 4 x

+ 5

$x^{2} - x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $- 4$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $4 \cdot {(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 4) - 5$ = $4 \cdot 16 + 16 - 5$ = $64 + 16 - 5$ = $75$

g( $5$ ) = $4 \cdot 5^{2} - 4 \cdot 5 - 5$ = $4 \cdot 25 - 20 - 5$ = $100 - 20 - 5$ = $75$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $75$ ) und S₂( $5$ | $75$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{13}{2} x - 10$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{1}{2}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{1}{2} x - 1$ oder $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x - 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{1}{2} x - 1$	=	$- x^{2} - \frac{13}{2} x - 10$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x - 1)$	=	$2 (- x^{2} - \frac{13}{2} x - 10)$
$- x - 2$	=	$- 2 x^{2} - 13 x - 20$	\| $+ 2 x^{2}$ $+ 13 x$ $+ 20$

2 x^{2} + 12 x + 18

= 0 |:2

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 3$ ± 0 = $- 3$

L={ $- 3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- {(- 3)}^{2} - \frac{13}{2} \cdot (- 3) - 10$ = $- 9 + \frac{39}{2} - 10$ = $\frac{1}{2}$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 3$ | $\frac{1}{2}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Nullstellen mit MNF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte mit MNF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):