$25x^2+40x+16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-40\pm \sqrt{{40}^2-4·25·16}}{2\cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{-40\pm \sqrt{1600-1600}}{50}$

x_1,2 = $\frac{-40\pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-40}{50}$ = $-\frac{4}{5}$

L={ $-\frac{4}{5}$}

$-\frac{4}{5}$ ist 2-fache Lösung!

$16x^2+24x$

=

$-9$

| $+9$

$16x^2+24x+9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-24\pm \sqrt{{24}^2-4·16·9}}{2\cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{-24\pm \sqrt{576-576}}{32}$

x_1,2 = $\frac{-24\pm \sqrt{0}}{32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-24}{32}$ = $-\frac{3}{4}$

L={ $-\frac{3}{4}$}

$-\frac{3}{4}$ ist 2-fache Lösung!

$x^2-\frac{17}{2}x+18$	=	0	|⋅ 2
$2\left(x^2-\frac{17}{2}x+18\right)$	=	0

$2x^2-17x+36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+17\pm \sqrt{{\left(-17\right)}^2-4·2·36}}{2\cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+17\pm \sqrt{289-288}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+17\pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{17+\sqrt{1}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>17</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{18}{4}$ = $\mathrm{4,5}$

x₂ = $\frac{17-\sqrt{1}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>17</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

L={ $4$; $\mathrm{4,5}$}

$4x^2+x-7$	=	$\left(3x+9\right)\left(x-1\right)+3x-13$
$4x^2+x-7$	=	$3x^2+6x-9+3x-13$
$4x^2+x-7$	=	$3x^2+9x-22$	| $-3x^2$ $-9x$ $+22$

$x^2-8x+15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{{\left(-8\right)}^2-4·1·15}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{64-60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$; $5$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^2+4x+5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·5}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{16-20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$7x+23$

=

$-x^2-3x-3$

| $+x^2$ $+3x$ $+3$

$x^2+10x+26$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{{10}^2-4·1·26}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{100-104}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

Es gibt also keine Schnittpunkte.

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $-1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=$-\frac{1}{2}$.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $-\frac{1}{2}x-1$ oder $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}x-1$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$-\frac{1}{2}x-1$	=	$-x^2-\frac{13}{2}x-6$	|⋅ 2
$2\left(-\frac{1}{2}x-1\right)$	=	$2\left(-x^2-\frac{13}{2}x-6\right)$
$-x-2$	=	$-2x^2-13x-12$	| $+2x^2$ $+13x$ $+12$

$2x^2+12x+10$ = 0 |:2

$x^2+6x+5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·1·5}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{-6+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-6-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

L={ $-5$; $-1$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-5$) = $-{\left(-5\right)}^2-\frac{13}{2}\cdot \left(-5\right)-6$ = $-25+\frac{65}{2}-6$ = $\frac{3}{2}$

g( $-1$) = $-{\left(-1\right)}^2-\frac{13}{2}\cdot \left(-1\right)-6$ = $-1+\frac{13}{2}-6$ = $-\frac{1}{2}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-5$| $\frac{3}{2}$) und S₂( $-1$| $-\frac{1}{2}$).