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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 14 x + 50$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 14 x + 50$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 50}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 18$ = $6 x$

Lösung einblenden

4 x^{2} - 18

=

6 x

|

- 6 x

4 x^{2} - 6 x - 18

= 0 |:2

$2 x^{2} - 3 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{3+9}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{3-9}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

L={ $- 1,5$ ; $3$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{39}{5} x - \frac{8}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{39}{5} x - \frac{8}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{39}{5} x - \frac{8}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 39 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{{(- 39)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{1 521 + 160}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{1 681}}{10}$

x₁ = $\frac{39 + \sqrt{1 681}}{10}$ = $\frac{39+41}{10}$ = $\frac{80}{10}$ = $8$

x₂ = $\frac{39 - \sqrt{1 681}}{10}$ = $\frac{39-41}{10}$ = $\frac{- 2}{10}$ = $- 0,2$

L={ $- 0,2$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x^{2} + 6 x + 3$ = $(- 9 x - 1) (x - 4) - 33 x + 4$

Lösung einblenden

$- 8 x^{2} + 6 x + 3$	=	$(- 9 x - 1) (x - 4) - 33 x + 4$
$- 8 x^{2} + 6 x + 3$	=	$- 9 x^{2} + 35 x + 4 - 33 x + 4$
$- 8 x^{2} + 6 x + 3$	=	$- 9 x^{2} + 2 x + 8$	\| $+ 9 x^{2}$ $- 2 x$ $- 8$

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 16 x + 64$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 16 x + 64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

L={ $- 8$ }

$- 8$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $- 8$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 3 x^{2} + 6 x + 17$
und
$g(x) =$ $- 4 x^{2} - 3 x - 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 3 x^{2} + 6 x + 17

=

- 4 x^{2} - 3 x - 3

|

+ 4 x^{2}

+ 3 x

+ 3

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9+1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9-1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- 4 \cdot {(- 5)}^{2} - 3 \cdot (- 5) - 3$ = $- 4 \cdot 25 + 15 - 3$ = $- 100 + 15 - 3$ = $- 88$

g( $- 4$ ) = $- 4 \cdot {(- 4)}^{2} - 3 \cdot (- 4) - 3$ = $- 4 \cdot 16 + 12 - 3$ = $- 64 + 12 - 3$ = $- 55$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $- 88$ ) und S₂( $- 4$ | $- 55$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{14}{3} x + 5$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $0$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{2}{3}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{2}{3} x$ oder $f(x) =$ $\frac{2}{3} x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{2}{3} x$	=	$- x^{2} + \frac{14}{3} x + 5$	\|⋅ 3
$2 x$	=	$3 (- x^{2} + \frac{14}{3} x + 5)$
$2 x$	=	$- 3 x^{2} + 14 x + 15$	\| $+ 3 x^{2}$ $- 14 x$ $- 15$

3 x^{2} - 12 x - 15

= 0 |:3

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2} + \frac{14}{3} \cdot (- 1) + 5$ = $- 1 - \frac{14}{3} + 5$ = $- \frac{2}{3}$

g( $5$ ) = $- 5^{2} + \frac{14}{3} \cdot 5 + 5$ = $- 25 + \frac{70}{3} + 5$ = $\frac{10}{3}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $- \frac{2}{3}$ ) und S₂( $5$ | $\frac{10}{3}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)