$4x^2-16x+16$ = 0 |:4

$x^2-4x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·4}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{16-16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$}

$2$ ist 2-fache Lösung!

$4x^2-8x+5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{{\left(-8\right)}^2-4·4·5}}{2\cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{64-80}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{\left(-16\right)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

$x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}$	=	0	|⋅ 25
$25\left(x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}\right)$	=	0

$25x^2-10x+1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{{\left(-10\right)}^2-4·25·1}}{2\cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{100-100}}{50}$

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{50}$ = $\frac{1}{5}$

L={ $\frac{1}{5}$}

$\frac{1}{5}$ ist 2-fache Lösung!

$-x^2+5x+4$	=	$\left(-2x+1\right)\left(x-7\right)-8x+26$
$-x^2+5x+4$	=	$-2x^2+15x-7-8x+26$
$-x^2+5x+4$	=	$-2x^2+7x+19$	| $+2x^2$ $-7x$ $-19$

$x^2-2x-15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-15\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{64}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{64}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $5$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$-x^2+100$	=	0	| $-100$
$-x^2$	=	$-100$	|: $\left(-1\right)$
$x^2$	=	$100$	|
x1	=	$-\sqrt{100}$	= $-10$
x2	=	$\sqrt{100}$	= $10$

L={ $-10$; $10$}

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $-10$|0) und N₂( $10$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$4x-16$

=

$-x^2+3x+4$

| $+x^2$ $-3x$ $-4$

$x^2+x-20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-20\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{81}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{81}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

L={ $-5$; $4$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-5$) = $-{\left(-5\right)}^2+3\cdot \left(-5\right)+4$ = $-25-15+4$ = $-36$

g( $4$) = $-4^2+3\cdot 4+4$ = $-16+12+4$ = 0

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-5$| $-36$) und S₂( $4$|0).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $-3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 4 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=$\frac{4}{3}$.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{4}{3}x-3$ oder $\text{f(x)}=$ $\frac{4}{3}x-3$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{4}{3}x-3$	=	$-x^2-\frac{2}{3}x-4$	|⋅ 3
$3\left(\frac{4}{3}x-3\right)$	=	$3\left(-x^2-\frac{2}{3}x-4\right)$
$4x-9$	=	$-3x^2-2x-12$	| $+3x^2$ $+2x$ $+12$

$3x^2+6x+3$ = 0 |:3

$x^2+2x+1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·1}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4-4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$}

$-1$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-1$) = $-{\left(-1\right)}^2-\frac{2}{3}\cdot \left(-1\right)-4$ = $-1+\frac{2}{3}-4$ = $-\frac{13}{3}$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $-1$| $-\frac{13}{3}$).