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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 11 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 11 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 240}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{361}}{10}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{361}}{10}$ = $\frac{11+19}{10}$ = $\frac{30}{10}$ = $3$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{361}}{10}$ = $\frac{11-19}{10}$ = $\frac{- 8}{10}$ = $- 0,8$

L={ $- 0,8$ ; $3$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$40 + x^{2} - 13 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 13 x + 40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{13+3}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{13-3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

L={ $5$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 40 x + 200$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} + 40 x + 200

= 0 |:2

$x^{2} + 20 x + 100$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 400}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

L={ $- 10$ }

$- 10$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 x^{2} - 3 x - 1$ = $(- 7 x + 9) (x - 4) - 42 x + 38$

Lösung einblenden

$- 6 x^{2} - 3 x - 1$	=	$(- 7 x + 9) (x - 4) - 42 x + 38$
$- 6 x^{2} - 3 x - 1$	=	$- 7 x^{2} + 37 x - 36 - 42 x + 38$
$- 6 x^{2} - 3 x - 1$	=	$- 7 x^{2} - 5 x + 2$	\| $+ 7 x^{2}$ $+ 5 x$ $- 2$

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 5 x + \frac{29}{4}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - 5 x + \frac{29}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - 5 x + \frac{29}{4})$	=	0

$4 x^{2} - 20 x + 29$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 29}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 - 464}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{(- 64)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $6 x^{2} + 11 x + 17$
und
$g(x) =$ $5 x^{2} + 3 x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

6 x^{2} + 11 x + 17

=

5 x^{2} + 3 x + 1

|

- 5 x^{2}

- 3 x

- 1

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ }

$- 4$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $5 \cdot {(- 4)}^{2} + 3 \cdot (- 4) + 1$ = $5 \cdot 16 - 12 + 1$ = $80 - 12 + 1$ = $69$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 4$ | $69$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{2}{3} x + 5$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{1}{3}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{1}{3} x + 3$ oder $f(x) =$ $\frac{1}{3} x + 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{1}{3} x + 3$	=	$- x^{2} - \frac{2}{3} x + 5$	\|⋅ 3
$3 (\frac{1}{3} x + 3)$	=	$3 (- x^{2} - \frac{2}{3} x + 5)$
$x + 9$	=	$- 3 x^{2} - 2 x + 15$	\| $+ 3 x^{2}$ $+ 2 x$ $- 15$

3 x^{2} + 3 x - 6

= 0 |:3

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{2} - \frac{2}{3} \cdot (- 2) + 5$ = $- 4 + \frac{4}{3} + 5$ = $\frac{7}{3}$

g( $1$ ) = $- 1^{2} - \frac{2}{3} \cdot 1 + 5$ = $- 1 - \frac{2}{3} + 5$ = $\frac{10}{3}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $\frac{7}{3}$ ) und S₂( $1$ | $\frac{10}{3}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)