Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 37 x + 63$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 37 x + 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{{(- 37)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 63}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{1 369 - 1 008}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{361}}{8}$

x₁ = $\frac{37 + \sqrt{361}}{8}$ = $\frac{37+19}{8}$ = $\frac{56}{8}$ = $7$

x₂ = $\frac{37 - \sqrt{361}}{8}$ = $\frac{37-19}{8}$ = $\frac{18}{8}$ = $2,25$

L={ $2,25$ ; $7$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$11 x + 18 + x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11+7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11-7}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $- 2$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{9}{2} x - \frac{81}{2}$ = 0

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$x^{2} + \frac{9}{2} x - \frac{81}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{9}{2} x - \frac{81}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 9 x - 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 81)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 648}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{729}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{- 9+27}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{- 9-27}{4}$ = $\frac{- 36}{4}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $4,5$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 x^{2} - 4 x - 7$ = $(6 x + 6) (x + 1) - 10 x - 22$

Lösung einblenden

$7 x^{2} - 4 x - 7$	=	$(6 x + 6) (x + 1) - 10 x - 22$
$7 x^{2} - 4 x - 7$	=	$6 x^{2} + 12 x + 6 - 10 x - 22$
$7 x^{2} - 4 x - 7$	=	$6 x^{2} + 2 x - 16$	\| $- 6 x^{2}$ $- 2 x$ $+ 16$

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ }

$3$ ist 2-fache Lösung!

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 7 x + 10$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $2$ |0) und N₂( $5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} + 3 x - 8$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} + 4 x - 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} + 3 x - 8

=

- 3 x^{2} + 4 x - 2

|

+ 3 x^{2}

- 4 x

+ 2

$x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- 3 \cdot {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) - 2$ = $- 3 \cdot 4 - 8 - 2$ = $- 12 - 8 - 2$ = $- 22$

g( $3$ ) = $- 3 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 2$ = $- 3 \cdot 9 + 12 - 2$ = $- 27 + 12 - 2$ = $- 17$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $- 22$ ) und S₂( $3$ | $- 17$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - 4 x + 6$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 2$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- 2 x - 2$ oder $f(x) =$ $- 2 x - 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x - 2

=

- x^{2} - 4 x + 6

|

+ x^{2}

+ 4 x

- 6

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- {(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 4) + 6$ = $- 16 + 16 + 6$ = $6$

g( $2$ ) = $- 2^{2} - 4 \cdot 2 + 6$ = $- 4 - 8 + 6$ = $- 6$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $6$ ) und S₂( $2$ | $- 6$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)