Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 41 x - 36$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 41 x - 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 41 \pm \sqrt{{(- 41)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 41 \pm \sqrt{1 681 + 720}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 41 \pm \sqrt{2 401}}{10}$

x₁ = $\frac{41 + \sqrt{2 401}}{10}$ = $\frac{41+49}{10}$ = $\frac{90}{10}$ = $9$

x₂ = $\frac{41 - \sqrt{2 401}}{10}$ = $\frac{41-49}{10}$ = $\frac{- 8}{10}$ = $- 0,8$

L={ $- 0,8$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$14 x + x^{2}$ = $- 49$

Lösung einblenden

x^{2} + 14 x

=

- 49

|

+ 49

$x^{2} + 14 x + 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ }

$- 7$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{29}{2} x + 45$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{29}{2} x + 45$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{29}{2} x + 45)$	=	0

$2 x^{2} - 29 x + 90$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{{(- 29)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 90}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{841 - 720}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{29 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{29+11}{4}$ = $\frac{40}{4}$ = $10$

x₂ = $\frac{29 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{29-11}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

L={ $4,5$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 x^{2} + 7 x - 6$ = $(- 7 x - 3) (x + 9) + 76 x + 19$

Lösung einblenden

$- 6 x^{2} + 7 x - 6$	=	$(- 7 x - 3) (x + 9) + 76 x + 19$
$- 6 x^{2} + 7 x - 6$	=	$- 7 x^{2} - 66 x - 27 + 76 x + 19$
$- 6 x^{2} + 7 x - 6$	=	$- 7 x^{2} + 10 x - 8$	\| $+ 7 x^{2}$ $- 10 x$ $+ 8$

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 4 x - 45$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 4 x - 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 4+14}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 4-14}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 9$ |0) und N₂( $5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $5 x^{2} - x + 1$
und
$g(x) =$ $4 x^{2} + 4 x - 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

5 x^{2} - x + 1

=

4 x^{2} + 4 x - 5

|

- 4 x^{2}

- 4 x

+ 5

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 - 5$ = $4 \cdot 4 + 8 - 5$ = $16 + 8 - 5$ = $19$

g( $3$ ) = $4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 5$ = $4 \cdot 9 + 12 - 5$ = $36 + 12 - 5$ = $43$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $2$ | $19$ ) und S₂( $3$ | $43$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 4 x - 11$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 2$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- 2 x - 2$ oder $f(x) =$ $- 2 x - 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x - 2

=

- x^{2} + 4 x - 11

|

+ x^{2}

- 4 x

+ 11

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ }

$3$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $3$ ) = $- 3^{2} + 4 \cdot 3 - 11$ = $- 9 + 12 - 11$ = $- 8$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $3$ | $- 8$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)