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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 48 x + 27$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 48 x + 27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 48 \pm \sqrt{48^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 27}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 48 \pm \sqrt{2 304 - 540}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 48 \pm \sqrt{1 764}}{10}$

x₁ = $\frac{- 48 + \sqrt{1 764}}{10}$ = $\frac{- 48+42}{10}$ = $\frac{- 6}{10}$ = $- 0,6$

x₂ = $\frac{- 48 - \sqrt{1 764}}{10}$ = $\frac{- 48-42}{10}$ = $\frac{- 90}{10}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $- 0,6$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$18 + 20 x + 2 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} + 20 x + 18

= 0 |:2

$x^{2} + 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10+8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10-8}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $- 1$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 12 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

- 3 x^{2} + 12 x - 12

= 0 |:3

$- x^{2} + 4 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

L={ $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} - 8 x - 2$ = $(- 5 x - 3) (x - 6) - 35 x + 5$

Lösung einblenden

$- 4 x^{2} - 8 x - 2$	=	$(- 5 x - 3) (x - 6) - 35 x + 5$
$- 4 x^{2} - 8 x - 2$	=	$- 5 x^{2} + 27 x + 18 - 35 x + 5$
$- 4 x^{2} - 8 x - 2$	=	$- 5 x^{2} - 8 x + 23$	\| $+ 2$
$- 4 x^{2} - 8 x$	=	$- 5 x^{2} - 8 x + 25$	\| $+ 5 x^{2}$ $+ 8 x$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $- 5$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + x + \frac{1}{4}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + x + \frac{1}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + x + \frac{1}{4})$	=	0

$4 x^{2} + 4 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{8}$ = $- \frac{1}{2}$

L={ $- \frac{1}{2}$ }

$- \frac{1}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $- \frac{1}{2}$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $5 x^{2} - 7$
und
$g(x) =$ $4 x^{2} + 3 x - 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

5 x^{2} - 7

=

4 x^{2} + 3 x - 3

|

- 4 x^{2}

- 3 x

+ 3

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $4 \cdot {(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1) - 3$ = $4 \cdot 1 - 3 - 3$ = $4 - 3 - 3$ = $- 2$

g( $4$ ) = $4 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 - 3$ = $4 \cdot 16 + 12 - 3$ = $64 + 12 - 3$ = $73$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $- 2$ ) und S₂( $4$ | $73$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{13}{4} x - 5$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{3}{4}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{3}{4} x - 2$ oder $f(x) =$ $- \frac{3}{4} x - 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{3}{4} x - 2$	=	$- x^{2} + \frac{13}{4} x - 5$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{3}{4} x - 2)$	=	$4 (- x^{2} + \frac{13}{4} x - 5)$
$- 3 x - 8$	=	$- 4 x^{2} + 13 x - 20$	\| $+ 4 x^{2}$ $- 13 x$ $+ 20$

4 x^{2} - 16 x + 12

= 0 |:4

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 1^{2} + \frac{13}{4} \cdot 1 - 5$ = $- 1 + \frac{13}{4} - 5$ = $- \frac{11}{4}$

g( $3$ ) = $- 3^{2} + \frac{13}{4} \cdot 3 - 5$ = $- 9 + \frac{39}{4} - 5$ = $- \frac{17}{4}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $- \frac{11}{4}$ ) und S₂( $3$ | $- \frac{17}{4}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)