$x^2-18x+81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+18\pm \sqrt{{\left(-18\right)}^2-4·1·81}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+18\pm \sqrt{324-324}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+18\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{18}{2}$ = $9$

L={ $9$}

$9$ ist 2-fache Lösung!

$2x+1$

=

$-x^2$

| $+x^2$

$x^2+2x+1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·1}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4-4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$}

$-1$ ist 2-fache Lösung!

$x^2+\frac{8}{5}x+\frac{41}{25}$	=	0	|⋅ 25
$25\left(x^2+\frac{8}{5}x+\frac{41}{25}\right)$	=	0

$25x^2+40x+41$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-40\pm \sqrt{{40}^2-4·25·41}}{2\cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{-40\pm \sqrt{1600-4100}}{50}$

x_1,2 = $\frac{-40\pm \sqrt{\left(-2500\right)}}{50}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

$7x^2+5x-3$	=	$\left(6x-5\right)\left(x+7\right)-23x+12$
$7x^2+5x-3$	=	$6x^2+37x-35-23x+12$
$7x^2+5x-3$	=	$6x^2+14x-23$	| $-6x^2$ $-14x$ $+23$

$x^2-9x+20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+9\pm \sqrt{{\left(-9\right)}^2-4·1·20}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+9\pm \sqrt{81-80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+9\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{9+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{9-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$; $5$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$2x^2+38x+180$ = 0 |:2

$x^2+19x+90$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-19\pm \sqrt{{19}^2-4·1·90}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-19\pm \sqrt{361-360}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-19\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{-19+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>19</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-18}{2}$ = $-9$

x₂ = $\frac{-19-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>19</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-20}{2}$ = $-10$

L={ $-10$; $-9$}

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $-10$|0) und N₂( $-9$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$-x^2+5x-10$

=

$-2x^2+3x+5$

| $+2x^2$ $-3x$ $-5$

$x^2+2x-15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-15\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{-2+\sqrt{64}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{-2-\sqrt{64}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

L={ $-5$; $3$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-5$) = $-2\cdot {\left(-5\right)}^2+3\cdot \left(-5\right)+5$ = $-2\cdot 25-15+5$ = $-50-15+5$ = $-60$

g( $3$) = $-2\cdot 3^2+3\cdot 3+5$ = $-2\cdot 9+9+5$ = $-18+9+5$ = $-4$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-5$| $-60$) und S₂( $3$| $-4$).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $-3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=$-\frac{3}{4}$.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $-\frac{3}{4}x-3$ oder $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{4}x-3$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$-\frac{3}{4}x-3$	=	$-x^2+\frac{13}{4}x+2$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{3}{4}x-3\right)$	=	$4\left(-x^2+\frac{13}{4}x+2\right)$
$-3x-12$	=	$-4x^2+13x+8$	| $+4x^2$ $-13x$ $-8$

$4x^2-16x-20$ = 0 |:4

$x^2-4x-5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·\left(-5\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{16+20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$; $5$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-1$) = $-{\left(-1\right)}^2+\frac{13}{4}\cdot \left(-1\right)+2$ = $-1-\frac{13}{4}+2$ = $-\frac{9}{4}$

g( $5$) = $-5^2+\frac{13}{4}\cdot 5+2$ = $-25+\frac{65}{4}+2$ = $-\frac{27}{4}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-1$| $-\frac{9}{4}$) und S₂( $5$| $-\frac{27}{4}$).