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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 11 x - 6$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 11 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{11+13}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = $6$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{11-13}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

L={ $- 0,5$ ; $6$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$25 x^{2} + 26 - 50 x$ = 0

Lösung einblenden

$25 x^{2} - 50 x + 26$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 50 \pm \sqrt{{(- 50)}^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 26}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{+ 50 \pm \sqrt{2 500 - 2 600}}{50}$

x_1,2 = $\frac{+ 50 \pm \sqrt{(- 100)}}{50}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{7}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{7}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{7}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 9 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 9+5}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 9-5}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

L={ $- 3,5$ ; $- 1$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 x^{2} + 7 x - 5$ = $(- 8 x + 2) (x - 7) - 56 x + 5$

Lösung einblenden

$- 7 x^{2} + 7 x - 5$	=	$(- 8 x + 2) (x - 7) - 56 x + 5$
$- 7 x^{2} + 7 x - 5$	=	$- 8 x^{2} + 58 x - 14 - 56 x + 5$
$- 7 x^{2} + 7 x - 5$	=	$- 8 x^{2} + 2 x - 9$	\| $+ 8 x^{2}$ $- 2 x$ $+ 9$

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 15$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $3$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 5$ |0) und N₂( $3$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} - 4 x - 11$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} - 2 x + 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x^{2} - 4 x - 11

=

2 x^{2} - 2 x + 4

|

- 2 x^{2}

+ 2 x

- 4

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $2 \cdot {(- 3)}^{2} - 2 \cdot (- 3) + 4$ = $2 \cdot 9 + 6 + 4$ = $18 + 6 + 4$ = $28$

g( $5$ ) = $2 \cdot 5^{2} - 2 \cdot 5 + 4$ = $2 \cdot 25 - 10 + 4$ = $50 - 10 + 4$ = $44$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $28$ ) und S₂( $5$ | $44$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - 2 x + 5$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $0$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $2$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $2 x$ oder $f(x) =$ $2 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

2 x

=

- x^{2} - 2 x + 5

|

+ x^{2}

+ 2 x

- 5

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - 2 \cdot (- 5) + 5$ = $- 25 + 10 + 5$ = $- 10$

g( $1$ ) = $- 1^{2} - 2 \cdot 1 + 5$ = $- 1 - 2 + 5$ = $2$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $- 10$ ) und S₂( $1$ | $2$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)