Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 13 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 13 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 13+5}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 13-5}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

L={ $- 4,5$ ; $- 2$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$34 x - 60 + 4 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} + 34 x - 60

= 0 |:2

$2 x^{2} + 17 x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 240}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{529}}{4}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{- 17+23}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{- 17-23}{4}$ = $\frac{- 40}{4}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $1,5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 12 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 12 x + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

L={ $- 6$ }

$- 6$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} + 2 x - 2$ = $(2 x - 9) (x - 3) + 15 x - 21$

Lösung einblenden

$3 x^{2} + 2 x - 2$	=	$(2 x - 9) (x - 3) + 15 x - 21$
$3 x^{2} + 2 x - 2$	=	$2 x^{2} - 15 x + 27 + 15 x - 21$
$3 x^{2} + 2 x - 2$	=	$2 x^{2} + 6$	\| $- 2 x^{2}$ $- 6$

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} + 4 x - 70$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

2 x^{2} + 4 x - 70

= 0 |:2

$x^{2} + 2 x - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 7$ |0) und N₂( $5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} + 8 x + 8$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} + x - 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} + 8 x + 8

=

- 3 x^{2} + x - 4

|

+ 3 x^{2}

- x

+ 4

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 3 \cdot {(- 4)}^{2} - 4 - 4$ = $- 3 \cdot 16 - 4 - 4$ = $- 48 - 4 - 4$ = $- 56$

g( $- 3$ ) = $- 3 \cdot {(- 3)}^{2} - 3 - 4$ = $- 3 \cdot 9 - 3 - 4$ = $- 27 - 3 - 4$ = $- 34$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 56$ ) und S₂( $- 3$ | $- 34$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - 11 x - 19$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 2$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- 2 x + 1$ oder $f(x) =$ $- 2 x + 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x + 1

=

- x^{2} - 11 x - 19

|

+ x^{2}

+ 11 x

+ 19

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9+1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9-1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - 11 \cdot (- 5) - 19$ = $- 25 + 55 - 19$ = $11$

g( $- 4$ ) = $- {(- 4)}^{2} - 11 \cdot (- 4) - 19$ = $- 16 + 44 - 19$ = $9$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $11$ ) und S₂( $- 4$ | $9$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)