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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 20 x + 48$ = 0

2 x^{2} + 20 x + 48

= 0 |:2

$x^{2} + 10 x + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 10+2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 10-2}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $- 4$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 39 x + 5 x^{2}$ = $- 28$

Lösung einblenden

5 x^{2} - 39 x

=

- 28

|

+ 28

$5 x^{2} - 39 x + 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{{(- 39)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 28}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{1 521 - 560}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{961}}{10}$

x₁ = $\frac{39 + \sqrt{961}}{10}$ = $\frac{39+31}{10}$ = $\frac{70}{10}$ = $7$

x₂ = $\frac{39 - \sqrt{961}}{10}$ = $\frac{39-31}{10}$ = $\frac{8}{10}$ = $0,8$

L={ $0,8$ ; $7$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{49}{5} x + \frac{72}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{49}{5} x + \frac{72}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{49}{5} x + \frac{72}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 49 x + 72$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 49 \pm \sqrt{{(- 49)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 72}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 49 \pm \sqrt{2 401 - 1 440}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 49 \pm \sqrt{961}}{10}$

x₁ = $\frac{49 + \sqrt{961}}{10}$ = $\frac{49+31}{10}$ = $\frac{80}{10}$ = $8$

x₂ = $\frac{49 - \sqrt{961}}{10}$ = $\frac{49-31}{10}$ = $\frac{18}{10}$ = $1,8$

L={ $1,8$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x^{2} + 3 x + 4$ = $(- 9 x + 8) (x + 1) - x - 10$

Lösung einblenden

$- 8 x^{2} + 3 x + 4$	=	$(- 9 x + 8) (x + 1) - x - 10$
$- 8 x^{2} + 3 x + 4$	=	$- 9 x^{2} - x + 8 - x - 10$
$- 8 x^{2} + 3 x + 4$	=	$- 9 x^{2} - 2 x - 2$	\| $+ 9 x^{2}$ $+ 2 x$ $+ 2$

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + x + \frac{5}{4}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + x + \frac{5}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + x + \frac{5}{4})$	=	0

$4 x^{2} + 4 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 80}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{(- 64)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $5 x^{2} + 2 x + 14$
und
$g(x) =$ $4 x^{2} - 4 x + 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

5 x^{2} + 2 x + 14

=

4 x^{2} - 4 x + 5

|

- 4 x^{2}

+ 4 x

- 5

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $4 \cdot {(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 3) + 5$ = $4 \cdot 9 + 12 + 5$ = $36 + 12 + 5$ = $53$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 3$ | $53$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - 5 x + 3$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 4 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 4$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- 4 x + 1$ oder $f(x) =$ $- 4 x + 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 4 x + 1

=

- x^{2} - 5 x + 3

|

+ x^{2}

+ 5 x

- 3

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{2} - 5 \cdot (- 2) + 3$ = $- 4 + 10 + 3$ = $9$

g( $1$ ) = $- 1^{2} - 5 \cdot 1 + 3$ = $- 1 - 5 + 3$ = $- 3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $9$ ) und S₂( $1$ | $- 3$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)