$x^2-6x+9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{{\left(-6\right)}^2-4·1·9}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{36-36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$}

$3$ ist 2-fache Lösung!

$x^2-6x+10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{{\left(-6\right)}^2-4·1·10}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{36-40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

$x^2+6x+9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·1·9}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{36-36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$}

$-3$ ist 2-fache Lösung!

$8x^2+6x+3$	=	$\left(7x-7\right)\left(x-1\right)+16x+1$
$8x^2+6x+3$	=	$7x^2-14x+7+16x+1$
$8x^2+6x+3$	=	$7x^2+2x+8$	| $-7x^2$ $-2x$ $-8$

$x^2+4x-5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·\left(-5\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{16+20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{-4+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-4-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

L={ $-5$; $1$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^2-\frac{31}{5}x-\frac{28}{5}$	=	0	|⋅ 5
$5\left(x^2-\frac{31}{5}x-\frac{28}{5}\right)$	=	0

$5x^2-31x-28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+31\pm \sqrt{{\left(-31\right)}^2-4·5·\left(-28\right)}}{2\cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+31\pm \sqrt{961+560}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+31\pm \sqrt{1521}}{10}$

x₁ = $\frac{31+\sqrt{1521}}{10}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>31</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>39</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{70}{10}$ = $7$

x₂ = $\frac{31-\sqrt{1521}}{10}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>31</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>39</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{10}$ = $-\mathrm{0,8}$

L={ $-\mathrm{0,8}$; $7$}

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $-\mathrm{0,8}$|0) und N₂( $7$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$2x^2+3$

=

$x^2+2x+2$

| $-x^2$ $-2x$ $-2$

$x^2-2x+1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·1}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4-4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$}

$1$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$) = $1^2+2\cdot 1+2$ = $1+2+2$ = $5$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $1$| $5$).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $0$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 4 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=$\frac{4}{3}$.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{4}{3}x$ oder $\text{f(x)}=$ $\frac{4}{3}x$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{4}{3}x$	=	$-x^2+\frac{16}{3}x-3$	|⋅ 3
$4x$	=	$3\left(-x^2+\frac{16}{3}x-3\right)$
$4x$	=	$-3x^2+16x-9$	| $+3x^2$ $-16x$ $+9$

$3x^2-12x+9$ = 0 |:3

$x^2-4x+3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·3}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{16-12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$; $3$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$) = $-1^2+\frac{16}{3}\cdot 1-3$ = $-1+\frac{16}{3}-3$ = $\frac{4}{3}$

g( $3$) = $-3^2+\frac{16}{3}\cdot 3-3$ = $-9+16-3$ = $4$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$| $\frac{4}{3}$) und S₂( $3$| $4$).