Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 13 x + 3$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 13 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{121}}{8}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{121}}{8}$ = $\frac{- 13+11}{8}$ = $\frac{- 2}{8}$ = $- 0,25$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{121}}{8}$ = $\frac{- 13-11}{8}$ = $\frac{- 24}{8}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 0,25$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 + 2 x$ = $- 2 x^{2}$

Lösung einblenden

2 x - 4

=

- 2 x^{2}

|

+ 2 x^{2}

2 x^{2} + 2 x - 4

= 0 |:2

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $1$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{8}{5} x + \frac{16}{25}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{8}{5} x + \frac{16}{25}$	=	0	\|⋅ 25
$25 (x^{2} + \frac{8}{5} x + \frac{16}{25})$	=	0

$25 x^{2} + 40 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 40 \pm \sqrt{40^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 16}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{- 40 \pm \sqrt{1 600 - 1 600}}{50}$

x_1,2 = $\frac{- 40 \pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 40}{50}$ = $- \frac{4}{5}$

L={ $- \frac{4}{5}$ }

$- \frac{4}{5}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 x^{2} + x + 4$ = $(- 8 x - 1) (x - 1) - x - 3$

Lösung einblenden

$- 7 x^{2} + x + 4$	=	$(- 8 x - 1) (x - 1) - x - 3$
$- 7 x^{2} + x + 4$	=	$- 8 x^{2} + 7 x + 1 - x - 3$
$- 7 x^{2} + x + 4$	=	$- 8 x^{2} + 6 x - 2$	\| $+ 8 x^{2}$ $- 6 x$ $+ 2$

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 15 x + 50$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - 15 x + 50$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 50}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{15+5}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{15-5}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

L={ $5$ ; $10$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $5$ |0) und N₂( $10$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $5 x^{2} - 8 x - 2$
und
$g(x) =$ $4 x^{2} - 5 x + 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

5 x^{2} - 8 x - 2

=

4 x^{2} - 5 x + 2

|

- 4 x^{2}

+ 5 x

- 2

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $4 \cdot {(- 1)}^{2} - 5 \cdot (- 1) + 2$ = $4 \cdot 1 + 5 + 2$ = $4 + 5 + 2$ = $11$

g( $4$ ) = $4 \cdot 4^{2} - 5 \cdot 4 + 2$ = $4 \cdot 16 - 20 + 2$ = $64 - 20 + 2$ = $46$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $11$ ) und S₂( $4$ | $46$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{11}{2} x - 2$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{3}{2}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{3}{2} x + 1$ oder $f(x) =$ $\frac{3}{2} x + 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{3}{2} x + 1$	=	$- x^{2} + \frac{11}{2} x - 2$	\|⋅ 2
$2 (\frac{3}{2} x + 1)$	=	$2 (- x^{2} + \frac{11}{2} x - 2)$
$3 x + 2$	=	$- 2 x^{2} + 11 x - 4$	\| $+ 2 x^{2}$ $- 11 x$ $+ 4$

2 x^{2} - 8 x + 6

= 0 |:2

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 1^{2} + \frac{11}{2} \cdot 1 - 2$ = $- 1 + \frac{11}{2} - 2$ = $\frac{5}{2}$

g( $3$ ) = $- 3^{2} + \frac{11}{2} \cdot 3 - 2$ = $- 9 + \frac{33}{2} - 2$ = $\frac{11}{2}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $\frac{5}{2}$ ) und S₂( $3$ | $\frac{11}{2}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)