Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 5 x - 63$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 5 x - 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 504}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{529}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{5+23}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = $7$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{5-23}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

L={ $- 4,5$ ; $7$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 10 x$ = $- 9$

Lösung einblenden

x^{2} - 10 x

=

- 9

|

+ 9

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + 32 x - 120$ = 0

Lösung einblenden

- 2 x^{2} + 32 x - 120

= 0 |:2

$- x^{2} + 16 x - 60$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 60)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 240}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 16+4}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 16-4}{- 2}$ = $\frac{- 20}{- 2}$ = $10$

L={ $6$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} - 3 x + 2$ = $(- 5 x - 1) (x + 6) + 27 x + 20$

Lösung einblenden

$- 4 x^{2} - 3 x + 2$	=	$(- 5 x - 1) (x + 6) + 27 x + 20$
$- 4 x^{2} - 3 x + 2$	=	$- 5 x^{2} - 31 x - 6 + 27 x + 20$
$- 4 x^{2} - 3 x + 2$	=	$- 5 x^{2} - 4 x + 14$	\| $+ 5 x^{2}$ $+ 4 x$ $- 14$

$x^{2} + x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} + 12 x - 80$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

2 x^{2} + 12 x - 80

= 0 |:2

$x^{2} + 6 x - 40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 6+14}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 6-14}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $4$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 10$ |0) und N₂( $4$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $4 x^{2} + 9 x + 24$
und
$g(x) =$ $3 x^{2} - x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

4 x^{2} + 9 x + 24

=

3 x^{2} - x - 1

|

- 3 x^{2}

+ x

+ 1

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $3 \cdot {(- 5)}^{2} - (- 5) - 1$ = $3 \cdot 25 + 5 - 1$ = $75 + 5 - 1$ = $79$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 5$ | $79$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{15}{4} x + 8$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{3}{4}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{3}{4} x - 2$ oder $f(x) =$ $\frac{3}{4} x - 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{3}{4} x - 2$	=	$- x^{2} + \frac{15}{4} x + 8$	\|⋅ 4
$4 (\frac{3}{4} x - 2)$	=	$4 (- x^{2} + \frac{15}{4} x + 8)$
$3 x - 8$	=	$- 4 x^{2} + 15 x + 32$	\| $+ 4 x^{2}$ $- 15 x$ $- 32$

4 x^{2} - 12 x - 40

= 0 |:4

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{2} + \frac{15}{4} \cdot (- 2) + 8$ = $- 4 - \frac{15}{2} + 8$ = $- \frac{7}{2}$

g( $5$ ) = $- 5^{2} + \frac{15}{4} \cdot 5 + 8$ = $- 25 + \frac{75}{4} + 8$ = $\frac{7}{4}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $- \frac{7}{2}$ ) und S₂( $5$ | $\frac{7}{4}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)