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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$64 - 32 x + 4 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} - 32 x + 64

= 0 |:4

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{23}{5} x + \frac{24}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{23}{5} x + \frac{24}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} + \frac{23}{5} x + \frac{24}{5})$	=	0

$5 x^{2} + 23 x + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 24}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 480}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{49}}{10}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{49}}{10}$ = $\frac{- 23+7}{10}$ = $\frac{- 16}{10}$ = $- 1,6$

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{49}}{10}$ = $\frac{- 23-7}{10}$ = $\frac{- 30}{10}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 1,6$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 x^{2} + 3 x - 1$ = $(8 x + 3) (x - 3) + 23 x + 8$

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$9 x^{2} + 3 x - 1$	=	$(8 x + 3) (x - 3) + 23 x + 8$
$9 x^{2} + 3 x - 1$	=	$8 x^{2} - 21 x - 9 + 23 x + 8$
$9 x^{2} + 3 x - 1$	=	$8 x^{2} + 2 x - 1$	\| $+ 1$
$9 x^{2} + 3 x$	=	$8 x^{2} + 2 x$	\| $- (8 x^{2} + 2 x)$
$9 x^{2} - 8 x^{2} + 3 x - 2 x$	=	0
$x^{2} + x$	=	0
$x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 22 x - 56$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

- 2 x^{2} - 22 x - 56

= 0 |:2

$- x^{2} - 11 x - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 28)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{11+3}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{11-3}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

L={ $- 7$ ; $- 4$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 7$ |0) und N₂( $- 4$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} - 6 x - 7$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} - 5 x - 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x^{2} - 6 x - 7

=

2 x^{2} - 5 x - 5

|

- 2 x^{2}

+ 5 x

+ 5

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $2 \cdot {(- 1)}^{2} - 5 \cdot (- 1) - 5$ = $2 \cdot 1 + 5 - 5$ = $2 + 5 - 5$ = $2$

g( $2$ ) = $2 \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 - 5$ = $2 \cdot 4 - 10 - 5$ = $8 - 10 - 5$ = $- 7$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $2$ ) und S₂( $2$ | $- 7$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{17}{3} x - 8$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{1}{3}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{1}{3} x - 3$ oder $f(x) =$ $\frac{1}{3} x - 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{1}{3} x - 3$	=	$- x^{2} - \frac{17}{3} x - 8$	\|⋅ 3
$3 (\frac{1}{3} x - 3)$	=	$3 (- x^{2} - \frac{17}{3} x - 8)$
$x - 9$	=	$- 3 x^{2} - 17 x - 24$	\| $+ 3 x^{2}$ $+ 17 x$ $+ 24$

3 x^{2} + 18 x + 15

= 0 |:3

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6+4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6-4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - \frac{17}{3} \cdot (- 5) - 8$ = $- 25 + \frac{85}{3} - 8$ = $- \frac{14}{3}$

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2} - \frac{17}{3} \cdot (- 1) - 8$ = $- 1 + \frac{17}{3} - 8$ = $- \frac{10}{3}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $- \frac{14}{3}$ ) und S₂( $- 1$ | $- \frac{10}{3}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)