Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 27 x + 10$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 27 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 10}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{729 - 200}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{529}}{10}$

x₁ = $\frac{27 + \sqrt{529}}{10}$ = $\frac{27+23}{10}$ = $\frac{50}{10}$ = $5$

x₂ = $\frac{27 - \sqrt{529}}{10}$ = $\frac{27-23}{10}$ = $\frac{4}{10}$ = $0,4$

L={ $0,4$ ; $5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 15 - 28 x$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 28 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 15}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{784 - 300}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{484}}{10}$

x₁ = $\frac{28 + \sqrt{484}}{10}$ = $\frac{28+22}{10}$ = $\frac{50}{10}$ = $5$

x₂ = $\frac{28 - \sqrt{484}}{10}$ = $\frac{28-22}{10}$ = $\frac{6}{10}$ = $0,6$

L={ $0,6$ ; $5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 14 x + 40$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 14 x + 40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 14+6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 14-6}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $- 4$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} - x + 9$ = $(- 2 x + 6) (x + 9) + 16 x - 51$

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$- x^{2} - x + 9$	=	$(- 2 x + 6) (x + 9) + 16 x - 51$
$- x^{2} - x + 9$	=	$- 2 x^{2} - 12 x + 54 + 16 x - 51$
$- x^{2} - x + 9$	=	$- 2 x^{2} + 4 x + 3$	\| $+ 2 x^{2}$ $- 4 x$ $- 3$

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{27}{5} x + \frac{28}{5}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{27}{5} x + \frac{28}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{27}{5} x + \frac{28}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 27 x + 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 28}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{729 - 560}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{169}}{10}$

x₁ = $\frac{27 + \sqrt{169}}{10}$ = $\frac{27+13}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = $4$

x₂ = $\frac{27 - \sqrt{169}}{10}$ = $\frac{27-13}{10}$ = $\frac{14}{10}$ = $1,4$

L={ $1,4$ ; $4$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $1,4$ |0) und N₂( $4$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} + 4 x - 15$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} + 3 x - 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} + 4 x - 15

=

- 3 x^{2} + 3 x - 3

|

+ 3 x^{2}

- 3 x

+ 3

$x^{2} + x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 3 \cdot {(- 4)}^{2} + 3 \cdot (- 4) - 3$ = $- 3 \cdot 16 - 12 - 3$ = $- 48 - 12 - 3$ = $- 63$

g( $3$ ) = $- 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 - 3$ = $- 3 \cdot 9 + 9 - 3$ = $- 27 + 9 - 3$ = $- 21$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 63$ ) und S₂( $3$ | $- 21$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - x + 6$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $0$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 2$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- 2 x$ oder $f(x) =$ $- 2 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x

=

- x^{2} - x + 6

|

+ x^{2}

+ x

- 6

$x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{2} - (- 2) + 6$ = $- 4 + 2 + 6$ = $4$

g( $3$ ) = $- 3^{2} - 3 + 6$ = $- 9 - 3 + 6$ = $- 6$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $4$ ) und S₂( $3$ | $- 6$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)