Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 25 x + 63$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 25 x + 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 63}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 504}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 25+11}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 25-11}{4}$ = $\frac{- 36}{4}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $- 3,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$8 x - 21 + 5 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 8 x - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 420}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{484}}{10}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{484}}{10}$ = $\frac{- 8+22}{10}$ = $\frac{14}{10}$ = $1,4$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{484}}{10}$ = $\frac{- 8-22}{10}$ = $\frac{- 30}{10}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $1,4$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + 16 x - 32$ = 0

Lösung einblenden

- 2 x^{2} + 16 x - 32

= 0 |:2

$- x^{2} + 8 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

L={ $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} + 3 x - 7$ = $(- 5 x + 4) (x - 2) - 7 x + 6$

Lösung einblenden

$- 4 x^{2} + 3 x - 7$	=	$(- 5 x + 4) (x - 2) - 7 x + 6$
$- 4 x^{2} + 3 x - 7$	=	$- 5 x^{2} + 14 x - 8 - 7 x + 6$
$- 4 x^{2} + 3 x - 7$	=	$- 5 x^{2} + 7 x - 2$	\| $+ 5 x^{2}$ $- 7 x$ $+ 2$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{17}{4} x - \frac{21}{2}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{17}{4} x - \frac{21}{2}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + \frac{17}{4} x - \frac{21}{2})$	=	0

$4 x^{2} + 17 x - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 672}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{961}}{8}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{961}}{8}$ = $\frac{- 17+31}{8}$ = $\frac{14}{8}$ = $1,75$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{961}}{8}$ = $\frac{- 17-31}{8}$ = $\frac{- 48}{8}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $1,75$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 6$ |0) und N₂( $1,75$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} + 7 x + 11$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} + x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x^{2} + 7 x + 11

=

2 x^{2} + x + 1

|

- 2 x^{2}

- x

- 1

$x^{2} + 6 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

Es gibt also keine Schnittpunkte.

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{19}{2} x - 22$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{1}{2}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{1}{2} x - 2$ oder $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x - 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{1}{2} x - 2$	=	$- x^{2} - \frac{19}{2} x - 22$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x - 2)$	=	$2 (- x^{2} - \frac{19}{2} x - 22)$
$- x - 4$	=	$- 2 x^{2} - 19 x - 44$	\| $+ 2 x^{2}$ $+ 19 x$ $+ 44$

2 x^{2} + 18 x + 40

= 0 |:2

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9+1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9-1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - \frac{19}{2} \cdot (- 5) - 22$ = $- 25 + \frac{95}{2} - 22$ = $\frac{1}{2}$

g( $- 4$ ) = $- {(- 4)}^{2} - \frac{19}{2} \cdot (- 4) - 22$ = $- 16 + 38 - 22$ = 0

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $\frac{1}{2}$ ) und S₂( $- 4$ |0).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)