Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 27 x + 81$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 27 x + 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 81}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{729 - 648}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{27 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{27+9}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = $9$

x₂ = $\frac{27 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{27-9}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

L={ $4,5$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 20 x + 48$ = $- 2 x^{2}$

Lösung einblenden

- 20 x + 48

=

- 2 x^{2}

|

+ 2 x^{2}

2 x^{2} - 20 x + 48

= 0 |:2

$x^{2} - 10 x + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10+2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10-2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$ ; $6$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{47}{4} x + \frac{35}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{47}{4} x + \frac{35}{2}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - \frac{47}{4} x + \frac{35}{2})$	=	0

$4 x^{2} - 47 x + 70$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{{(- 47)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 70}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{2 209 - 1 120}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{1 089}}{8}$

x₁ = $\frac{47 + \sqrt{1 089}}{8}$ = $\frac{47+33}{8}$ = $\frac{80}{8}$ = $10$

x₂ = $\frac{47 - \sqrt{1 089}}{8}$ = $\frac{47-33}{8}$ = $\frac{14}{8}$ = $1,75$

L={ $1,75$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} - 4 x + 7$ = $(- 5 x - 2) (x - 5) - 32 x - 9$

Lösung einblenden

$- 4 x^{2} - 4 x + 7$	=	$(- 5 x - 2) (x - 5) - 32 x - 9$
$- 4 x^{2} - 4 x + 7$	=	$- 5 x^{2} + 23 x + 10 - 32 x - 9$
$- 4 x^{2} - 4 x + 7$	=	$- 5 x^{2} - 9 x + 1$	\| $+ 5 x^{2}$ $+ 9 x$ $- 1$

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{13}{2} x + 10$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{13}{2} x + 10$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{13}{2} x + 10)$	=	0

$2 x^{2} - 13 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 20}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{13+3}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{13-3}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

L={ $2,5$ ; $4$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $2,5$ |0) und N₂( $4$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} + 12 x + 17$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} + 4 x + 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x^{2} + 12 x + 17

=

2 x^{2} + 4 x + 2

|

- 2 x^{2}

- 4 x

- 2

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8+2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8-2}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $2 \cdot {(- 5)}^{2} + 4 \cdot (- 5) + 2$ = $2 \cdot 25 - 20 + 2$ = $50 - 20 + 2$ = $32$

g( $- 3$ ) = $2 \cdot {(- 3)}^{2} + 4 \cdot (- 3) + 2$ = $2 \cdot 9 - 12 + 2$ = $18 - 12 + 2$ = $8$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $32$ ) und S₂( $- 3$ | $8$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 9 x - 13$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $x + 2$ oder $f(x) =$ $x + 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x + 2

=

- x^{2} + 9 x - 13

|

+ x^{2}

- 9 x

+ 13

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $3$ ) = $- 3^{2} + 9 \cdot 3 - 13$ = $- 9 + 27 - 13$ = $5$

g( $5$ ) = $- 5^{2} + 9 \cdot 5 - 13$ = $- 25 + 45 - 13$ = $7$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $3$ | $5$ ) und S₂( $5$ | $7$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)