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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 x^{2} + 32 x + 16$ = 0

16 x^{2} + 32 x + 16

= 0 |:16

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 18 x + x^{2}$ = $- 81$

Lösung einblenden

x^{2} - 18 x

=

- 81

|

+ 81

$x^{2} - 18 x + 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 324}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{18}{2}$ = $9$

L={ $9$ }

$9$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 10 x + 16$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 10 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10+6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10-6}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $- 2$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} + 7 x + 7$ = $(- 6 x + 1) (x - 1) + 33$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} + 7 x + 7$	=	$(- 6 x + 1) (x - 1) + 33$
$- 5 x^{2} + 7 x + 7$	=	$- 6 x^{2} + 7 x - 1 + 33$
$- 5 x^{2} + 7 x + 7$	=	$- 6 x^{2} + 7 x + 32$	\| $- 7$
$- 5 x^{2} + 7 x$	=	$- 6 x^{2} + 7 x + 25$	\| $+ 6 x^{2}$ $- 7 x$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $- 5$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 8 x + 16$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ }

$- 4$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $- 4$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} - x + 5$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} + 3 x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} - x + 5

=

- 3 x^{2} + 3 x + 1

|

+ 3 x^{2}

- 3 x

- 1

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $- 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1$ = $- 3 \cdot 4 + 6 + 1$ = $- 12 + 6 + 1$ = $- 5$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $2$ | $- 5$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 7 x + 6$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $3$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $3 x + 1$ oder $f(x) =$ $3 x + 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x + 1

=

- x^{2} + 7 x + 6

|

+ x^{2}

- 7 x

- 6

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2} + 7 \cdot (- 1) + 6$ = $- 1 - 7 + 6$ = $- 2$

g( $5$ ) = $- 5^{2} + 7 \cdot 5 + 6$ = $- 25 + 35 + 6$ = $16$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $- 2$ ) und S₂( $5$ | $16$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)