$x^2-9x-10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+9\pm \sqrt{{\left(-9\right)}^2-4·1·\left(-10\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+9\pm \sqrt{81+40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+9\pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{9+\sqrt{121}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>11</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{9-\sqrt{121}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>11</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$; $10$}

$x^2+4x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·4}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$}

$-2$ ist 2-fache Lösung!

$2x^2-28x+100$ = 0 |:2

$x^2-14x+50$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+14\pm \sqrt{{\left(-14\right)}^2-4·1·50}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+14\pm \sqrt{196-200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+14\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

$-2x^2-8x+7$	=	$\left(-3x+5\right)\left(x-7\right)-32x+50$
$-2x^2-8x+7$	=	$-3x^2+26x-35-32x+50$
$-2x^2-8x+7$	=	$-3x^2-6x+15$	| $+3x^2$ $+6x$ $-15$

$x^2-2x-8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-8\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$; $4$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^2+13x+40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-13\pm \sqrt{{13}^2-4·1·40}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-13\pm \sqrt{169-160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-13\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{-13+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>13</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

x₂ = $\frac{-13-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>13</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-16}{2}$ = $-8$

L={ $-8$; $-5$}

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $-8$|0) und N₂( $-5$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$2x^2+7x+19$

=

$x^2-x+2$

| $-x^2$ $+x$ $-2$

$x^2+8x+17$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4·1·17}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{64-68}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

Es gibt also keine Schnittpunkte.

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $-3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=$-\frac{1}{4}$.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $-\frac{1}{4}x-3$ oder $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}x-3$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$-\frac{1}{4}x-3$	=	$-x^2-\frac{13}{4}x+1$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{1}{4}x-3\right)$	=	$4\left(-x^2-\frac{13}{4}x+1\right)$
$-x-12$	=	$-4x^2-13x+4$	| $+4x^2$ $+13x$ $-4$

$4x^2+12x-16$ = 0 |:4

$x^2+3x-4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4·1·\left(-4\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{9+16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{-3+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-3-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $1$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-4$) = $-{\left(-4\right)}^2-\frac{13}{4}\cdot \left(-4\right)+1$ = $-16+13+1$ = $-2$

g( $1$) = $-1^2-\frac{13}{4}\cdot 1+1$ = $-1-\frac{13}{4}+1$ = $-\frac{13}{4}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-4$| $-2$) und S₂( $1$| $-\frac{13}{4}$).