$x^2-2x+2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·2}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4-8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

$16x^2-72x+81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+72\pm \sqrt{{\left(-72\right)}^2-4·16·81}}{2\cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{+72\pm \sqrt{5184-5184}}{32}$

x_1,2 = $\frac{+72\pm \sqrt{0}}{32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{72}{32}$ = $\frac{9}{4}$

L={ $\frac{9}{4}$}

$\frac{9}{4}$ ist 2-fache Lösung!

$x^2-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}$	=	0	|⋅ 25
$25\left(x^2-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}\right)$	=	0

$25x^2-30x+9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+30\pm \sqrt{{\left(-30\right)}^2-4·25·9}}{2\cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{+30\pm \sqrt{900-900}}{50}$

x_1,2 = $\frac{+30\pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{30}{50}$ = $\frac{3}{5}$

L={ $\frac{3}{5}$}

$\frac{3}{5}$ ist 2-fache Lösung!

$3x^2-7x+9$	=	$\left(2x-3\right)\left(x-9\right)+18x-13$
$3x^2-7x+9$	=	$2x^2-21x+27+18x-13$
$3x^2-7x+9$	=	$2x^2-3x+14$	| $-2x^2$ $+3x$ $-14$

$x^2-4x-5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·\left(-5\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{16+20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$; $5$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$-x^2-8x-16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{{\left(-8\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-16\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{64-64}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{0}}{-2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{-2}$ = $-4$

L={ $-4$}

$-4$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $-4$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$3x^2-5x+22$

=

$2x^2+3x+5$

| $-2x^2$ $-3x$ $-5$

$x^2-8x+17$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{{\left(-8\right)}^2-4·1·17}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{64-68}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

Es gibt also keine Schnittpunkte.

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=$-\frac{3}{2}$.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $-\frac{3}{2}x+3$ oder $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}x+3$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$-\frac{3}{2}x+3$	=	$-x^2-\frac{19}{2}x-12$	|⋅ 2
$2\left(-\frac{3}{2}x+3\right)$	=	$2\left(-x^2-\frac{19}{2}x-12\right)$
$-3x+6$	=	$-2x^2-19x-24$	| $+2x^2$ $+19x$ $+24$

$2x^2+16x+30$ = 0 |:2

$x^2+8x+15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4·1·15}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{64-60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{-8+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

x₂ = $\frac{-8-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

L={ $-5$; $-3$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-5$) = $-{\left(-5\right)}^2-\frac{19}{2}\cdot \left(-5\right)-12$ = $-25+\frac{95}{2}-12$ = $\frac{21}{2}$

g( $-3$) = $-{\left(-3\right)}^2-\frac{19}{2}\cdot \left(-3\right)-12$ = $-9+\frac{57}{2}-12$ = $\frac{15}{2}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-5$| $\frac{21}{2}$) und S₂( $-3$| $\frac{15}{2}$).