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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - x - 4$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{10}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{10}$ = $\frac{1+9}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{10}$ = $\frac{1-9}{10}$ = $\frac{- 8}{10}$ = $- 0,8$

L={ $- 0,8$ ; $1$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 4 - 9 x$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 9 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{9+7}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{9-7}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

L={ $0,5$ ; $4$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 18 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

- 3 x^{2} + 18 x - 30

= 0 |:3

$- x^{2} + 6 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{(- 4)}}{- 2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 x + 1$ = $(- x - 3) (x + 3) + 21 x - 10$

Lösung einblenden

$6 x + 1$	=	$(- x - 3) (x + 3) + 21 x - 10$
$6 x + 1$	=	$- x^{2} - 6 x - 9 + 21 x - 10$
$6 x + 1$	=	$- x^{2} + 15 x - 19$	\| $+ x^{2}$ $- 15 x$ $+ 19$

$x^{2} - 9 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 8 x + 16$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ }

$- 4$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $- 4$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $5 x^{2} - 9 x + 7$
und
$g(x) =$ $4 x^{2} - 4 x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

5 x^{2} - 9 x + 7

=

4 x^{2} - 4 x + 1

|

- 4 x^{2}

+ 4 x

- 1

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 1$ = $4 \cdot 4 - 8 + 1$ = $16 - 8 + 1$ = $9$

g( $3$ ) = $4 \cdot 3^{2} - 4 \cdot 3 + 1$ = $4 \cdot 9 - 12 + 1$ = $36 - 12 + 1$ = $25$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $2$ | $9$ ) und S₂( $3$ | $25$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{13}{2} x - 4$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{1}{2}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{1}{2} x + 1$ oder $f(x) =$ $\frac{1}{2} x + 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{1}{2} x + 1$	=	$- x^{2} + \frac{13}{2} x - 4$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} x + 1)$	=	$2 (- x^{2} + \frac{13}{2} x - 4)$
$x + 2$	=	$- 2 x^{2} + 13 x - 8$	\| $+ 2 x^{2}$ $- 13 x$ $+ 8$

2 x^{2} - 12 x + 10

= 0 |:2

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 1^{2} + \frac{13}{2} \cdot 1 - 4$ = $- 1 + \frac{13}{2} - 4$ = $\frac{3}{2}$

g( $5$ ) = $- 5^{2} + \frac{13}{2} \cdot 5 - 4$ = $- 25 + \frac{65}{2} - 4$ = $\frac{7}{2}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $\frac{3}{2}$ ) und S₂( $5$ | $\frac{7}{2}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)