$25x^2+70x+49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-70\pm \sqrt{{70}^2-4·25·49}}{2\cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{-70\pm \sqrt{4900-4900}}{50}$

x_1,2 = $\frac{-70\pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-70}{50}$ = $-\frac{7}{5}$

L={ $-\frac{7}{5}$}

$-\frac{7}{5}$ ist 2-fache Lösung!

$4x^2-17x+15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+17\pm \sqrt{{\left(-17\right)}^2-4·4·15}}{2\cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+17\pm \sqrt{289-240}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+17\pm \sqrt{49}}{8}$

x₁ = $\frac{17+\sqrt{49}}{8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>17</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{24}{8}$ = $3$

x₂ = $\frac{17-\sqrt{49}}{8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>17</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{8}$ = $\mathrm{1,25}$

L={ $\mathrm{1,25}$; $3$}

$x^2-\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}$	=	0	|⋅ 2
$2\left(x^2-\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}\right)$	=	0

$2x^2-3x-27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·2·\left(-27\right)}}{2\cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{9+216}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{3+\sqrt{225}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>15</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{18}{4}$ = $\mathrm{4,5}$

x₂ = $\frac{3-\sqrt{225}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>15</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-12}{4}$ = $-3$

L={ $-3$; $\mathrm{4,5}$}

$9x^2-9x-9$	=	$\left(8x-2\right)\left(x+4\right)-37x+7$
$9x^2-9x-9$	=	$8x^2+30x-8-37x+7$
$9x^2-9x-9$	=	$8x^2-7x-1$	| $-8x^2$ $+7x$ $+1$

$x^2-2x-8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-8\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$; $4$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^2+20x+100$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-20\pm \sqrt{{20}^2-4·1·100}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-20\pm \sqrt{400-400}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-20\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-20}{2}$ = $-10$

L={ $-10$}

$-10$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $-10$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$-x^2-15x+29$

=

$-2x^2-5x+4$

| $+2x^2$ $+5x$ $-4$

$x^2-10x+25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{{\left(-10\right)}^2-4·1·25}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{100-100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

L={ $5$}

$5$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $5$) = $-2\cdot 5^2-5\cdot 5+4$ = $-2\cdot 25-25+4$ = $-50-25+4$ = $-71$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $5$| $-71$).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=$\frac{3}{2}$.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{3}{2}x+3$ oder $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}x+3$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{3}{2}x+3$	=	$-x^2+\frac{5}{2}x+15$	|⋅ 2
$2\left(\frac{3}{2}x+3\right)$	=	$2\left(-x^2+\frac{5}{2}x+15\right)$
$3x+6$	=	$-2x^2+5x+30$	| $+2x^2$ $-5x$ $-30$

$2x^2-2x-24$ = 0 |:2

$x^2-x-12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-12\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $4$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-3$) = $-{\left(-3\right)}^2+\frac{5}{2}\cdot \left(-3\right)+15$ = $-9-\frac{15}{2}+15$ = $-\frac{3}{2}$

g( $4$) = $-4^2+\frac{5}{2}\cdot 4+15$ = $-16+10+15$ = $9$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-3$| $-\frac{3}{2}$) und S₂( $4$| $9$).