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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 13 x + 3$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 13 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{121}}{8}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{121}}{8}$ = $\frac{13+11}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = $3$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{121}}{8}$ = $\frac{13-11}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = $0,25$

L={ $0,25$ ; $3$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$26 x + 2 x^{2}$ = $- 60$

Lösung einblenden

2 x^{2} + 26 x

=

- 60

|

+ 60

2 x^{2} + 26 x + 60

= 0 |:2

$x^{2} + 13 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 13+7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 13-7}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $- 3$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{53}{5} x + 6$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{53}{5} x + 6$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{53}{5} x + 6)$	=	0

$5 x^{2} - 53 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 53 \pm \sqrt{{(- 53)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 30}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 53 \pm \sqrt{2 809 - 600}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 53 \pm \sqrt{2 209}}{10}$

x₁ = $\frac{53 + \sqrt{2 209}}{10}$ = $\frac{53+47}{10}$ = $\frac{100}{10}$ = $10$

x₂ = $\frac{53 - \sqrt{2 209}}{10}$ = $\frac{53-47}{10}$ = $\frac{6}{10}$ = $0,6$

L={ $0,6$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} + 8 x + 8$ = $(- 6 x + 9) (x + 1) + 9 x - 4$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} + 8 x + 8$	=	$(- 6 x + 9) (x + 1) + 9 x - 4$
$- 5 x^{2} + 8 x + 8$	=	$- 6 x^{2} + 3 x + 9 + 9 x - 4$
$- 5 x^{2} + 8 x + 8$	=	$- 6 x^{2} + 12 x + 5$	\| $+ 6 x^{2}$ $- 12 x$ $- 5$

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 25$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - 25$	=	0	\| $+ 25$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $- 5$ ; $5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 5$ |0) und N₂( $5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $6 x^{2} + 7 x + 4$
und
$g(x) =$ $5 x^{2} + x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

6 x^{2} + 7 x + 4

=

5 x^{2} + x - 1

|

- 5 x^{2}

- x

+ 1

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6+4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6-4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $5 \cdot {(- 5)}^{2} - 5 - 1$ = $5 \cdot 25 - 5 - 1$ = $125 - 5 - 1$ = $119$

g( $- 1$ ) = $5 \cdot {(- 1)}^{2} - 1 - 1$ = $5 \cdot 1 - 1 - 1$ = $5 - 1 - 1$ = $3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $119$ ) und S₂( $- 1$ | $3$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{19}{3} x - 4$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{1}{3}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{1}{3} x + 1$ oder $f(x) =$ $- \frac{1}{3} x + 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{1}{3} x + 1$	=	$- x^{2} - \frac{19}{3} x - 4$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{1}{3} x + 1)$	=	$3 (- x^{2} - \frac{19}{3} x - 4)$
$- x + 3$	=	$- 3 x^{2} - 19 x - 12$	\| $+ 3 x^{2}$ $+ 19 x$ $+ 12$

3 x^{2} + 18 x + 15

= 0 |:3

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6+4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6-4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - \frac{19}{3} \cdot (- 5) - 4$ = $- 25 + \frac{95}{3} - 4$ = $\frac{8}{3}$

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2} - \frac{19}{3} \cdot (- 1) - 4$ = $- 1 + \frac{19}{3} - 4$ = $\frac{4}{3}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $\frac{8}{3}$ ) und S₂( $- 1$ | $\frac{4}{3}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)