Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 10 x + 26$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 10 x + 26$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 35$ = $- 12 x$

Lösung einblenden

x^{2} + 35

=

- 12 x

|

+ 12 x

$x^{2} + 12 x + 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 12+2}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 12-2}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $- 5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{5}{2} x - 21$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{5}{2} x - 21$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{5}{2} x - 21)$	=	0

$2 x^{2} + 5 x - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 336}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 5+19}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 5-19}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $3,5$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} + 2 x + 2$ = $(- 5 x + 9) (x + 5) + 10 x - 58$

Lösung einblenden

$- 4 x^{2} + 2 x + 2$	=	$(- 5 x + 9) (x + 5) + 10 x - 58$
$- 4 x^{2} + 2 x + 2$	=	$- 5 x^{2} - 16 x + 45 + 10 x - 58$
$- 4 x^{2} + 2 x + 2$	=	$- 5 x^{2} - 6 x - 13$	\| $+ 5 x^{2}$ $+ 6 x$ $+ 13$

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8+2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8-2}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 4 x + 96$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

- 2 x^{2} - 4 x + 96

= 0 |:2

$- x^{2} - 2 x + 48$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 48}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 192}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{196}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{196}}{- 2}$ = $\frac{2+14}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{196}}{- 2}$ = $\frac{2-14}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

L={ $- 8$ ; $6$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 8$ |0) und N₂( $6$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 4 x^{2} + 6 x - 3$
und
$g(x) =$ $- 5 x^{2} + 4 x + 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 4 x^{2} + 6 x - 3

=

- 5 x^{2} + 4 x + 5

|

+ 5 x^{2}

- 4 x

- 5

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 5 \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot (- 4) + 5$ = $- 5 \cdot 16 - 16 + 5$ = $- 80 - 16 + 5$ = $- 91$

g( $2$ ) = $- 5 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 5$ = $- 5 \cdot 4 + 8 + 5$ = $- 20 + 8 + 5$ = $- 7$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 91$ ) und S₂( $2$ | $- 7$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{1}{4} x$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{1}{4}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{1}{4} x - 1$ oder $f(x) =$ $\frac{1}{4} x - 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{1}{4} x - 1$	=	$- x^{2} + \frac{1}{4} x$	\| $+ 1$ $+ x^{2}$ $- \frac{1}{4} x$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2} + \frac{1}{4} \cdot (- 1)$ = $- 1 - \frac{1}{4}$ = $- \frac{5}{4}$

g( $1$ ) = $- 1^{2} + \frac{1}{4} \cdot 1$ = $- 1 + \frac{1}{4}$ = $- \frac{3}{4}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $- \frac{5}{4}$ ) und S₂( $1$ | $- \frac{3}{4}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)