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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 x^{2} + 64 x + 64$ = 0

16 x^{2} + 64 x + 64

= 0 |:16

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 x + 60 + x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 16 x + 60$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 240}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 16+4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 16-4}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $- 6$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} - 30 x - 72$ = 0

Lösung einblenden

- 3 x^{2} - 30 x - 72

= 0 |:3

$- x^{2} - 10 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{10+2}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{10-2}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

L={ $- 6$ ; $- 4$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} - 4 x + 2$ = $(- 4 x + 4) (x - 9) - 51 x + 28$

Lösung einblenden

$- 3 x^{2} - 4 x + 2$	=	$(- 4 x + 4) (x - 9) - 51 x + 28$
$- 3 x^{2} - 4 x + 2$	=	$- 4 x^{2} + 40 x - 36 - 51 x + 28$
$- 3 x^{2} - 4 x + 2$	=	$- 4 x^{2} - 11 x - 8$	\| $+ 4 x^{2}$ $+ 11 x$ $+ 8$

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 16$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $4$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 4$ |0) und N₂( $4$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} + 2 x + 13$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} - 4 x + 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} + 2 x + 13

=

- 3 x^{2} - 4 x + 5

|

+ 3 x^{2}

+ 4 x

- 5

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 3 \cdot {(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 4) + 5$ = $- 3 \cdot 16 + 16 + 5$ = $- 48 + 16 + 5$ = $- 27$

g( $- 2$ ) = $- 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 5$ = $- 3 \cdot 4 + 8 + 5$ = $- 12 + 8 + 5$ = $1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 27$ ) und S₂( $- 2$ | $1$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 3 x + 6$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- x + 1$ oder $f(x) =$ $- x + 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x + 1

=

- x^{2} + 3 x + 6

|

+ x^{2}

- 3 x

- 6

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1) + 6$ = $- 1 - 3 + 6$ = $2$

g( $5$ ) = $- 5^{2} + 3 \cdot 5 + 6$ = $- 25 + 15 + 6$ = $- 4$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $2$ ) und S₂( $5$ | $- 4$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)