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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 12 x + 20$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 12 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 12+8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 12-8}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $- 2$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 + 4 x^{2} - 19 x$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 19 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 80}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{441}}{8}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{441}}{8}$ = $\frac{19+21}{8}$ = $\frac{40}{8}$ = $5$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{441}}{8}$ = $\frac{19-21}{8}$ = $\frac{- 2}{8}$ = $- 0,25$

L={ $- 0,25$ ; $5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{9}{4} x - \frac{9}{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{9}{4} x - \frac{9}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + \frac{9}{4} x - \frac{9}{4})$	=	0

$4 x^{2} + 9 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{225}}{8}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{225}}{8}$ = $\frac{- 9+15}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{225}}{8}$ = $\frac{- 9-15}{8}$ = $\frac{- 24}{8}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $0,75$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 x + 7$ = $(- x - 4) (x + 7) + 22 x + 32$

Lösung einblenden

$7 x + 7$	=	$(- x - 4) (x + 7) + 22 x + 32$
$7 x + 7$	=	$- x^{2} - 11 x - 28 + 22 x + 32$
$7 x + 7$	=	$- x^{2} + 11 x + 4$	\| $+ x^{2}$ $- 11 x$ $- 4$

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x + 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 2 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} + 4 x + 4$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} - 2 x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} + 4 x + 4

=

- 3 x^{2} - 2 x - 1

|

+ 3 x^{2}

+ 2 x

+ 1

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6+4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6-4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- 3 \cdot {(- 5)}^{2} - 2 \cdot (- 5) - 1$ = $- 3 \cdot 25 + 10 - 1$ = $- 75 + 10 - 1$ = $- 66$

g( $- 1$ ) = $- 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1) - 1$ = $- 3 \cdot 1 + 2 - 1$ = $- 3 + 2 - 1$ = $- 2$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $- 66$ ) und S₂( $- 1$ | $- 2$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{15}{2} x - 11$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{1}{2}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{1}{2} x - 1$ oder $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x - 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{1}{2} x - 1$	=	$- x^{2} - \frac{15}{2} x - 11$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x - 1)$	=	$2 (- x^{2} - \frac{15}{2} x - 11)$
$- x - 2$	=	$- 2 x^{2} - 15 x - 22$	\| $+ 2 x^{2}$ $+ 15 x$ $+ 22$

2 x^{2} + 14 x + 20

= 0 |:2

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - \frac{15}{2} \cdot (- 5) - 11$ = $- 25 + \frac{75}{2} - 11$ = $\frac{3}{2}$

g( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{2} - \frac{15}{2} \cdot (- 2) - 11$ = $- 4 + 15 - 11$ = 0

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $\frac{3}{2}$ ) und S₂( $- 2$ |0).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)