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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 17 x + 21$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 17 x + 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 21}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 168}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 17+11}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 17-11}{4}$ = $\frac{- 28}{4}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $- 1,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 24 + x^{2}$ = $- 5 x$

Lösung einblenden

x^{2} - 24

=

- 5 x

|

+ 5 x

$x^{2} + 5 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5+11}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5-11}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $3$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} - 12 x - 37$ = 0

Lösung einblenden

$- x^{2} - 12 x - 37$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 37)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 148}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{(- 4)}}{- 2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} + 2 x - 7$ = $(- 5 x - 1) (x + 3) + 24 x - 12$

Lösung einblenden

$- 4 x^{2} + 2 x - 7$	=	$(- 5 x - 1) (x + 3) + 24 x - 12$
$- 4 x^{2} + 2 x - 7$	=	$- 5 x^{2} - 16 x - 3 + 24 x - 12$
$- 4 x^{2} + 2 x - 7$	=	$- 5 x^{2} + 8 x - 15$	\| $+ 5 x^{2}$ $- 8 x$ $+ 15$

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{19}{2} x + \frac{35}{2}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{19}{2} x + \frac{35}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{19}{2} x + \frac{35}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 19 x + 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 35}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 280}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{19+9}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = $7$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{19-9}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

L={ $2,5$ ; $7$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $2,5$ |0) und N₂( $7$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} - 12 x + 23$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} - 2 x - 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} - 12 x + 23

=

- 3 x^{2} - 2 x - 2

|

+ 3 x^{2}

+ 2 x

+ 2

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

L={ $5$ }

$5$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $5$ ) = $- 3 \cdot 5^{2} - 2 \cdot 5 - 2$ = $- 3 \cdot 25 - 10 - 2$ = $- 75 - 10 - 2$ = $- 87$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $5$ | $- 87$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{3}{4} x + 1$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $0$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{3}{4}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{3}{4} x$ oder $f(x) =$ $\frac{3}{4} x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{3}{4} x$	=	$- x^{2} + \frac{3}{4} x + 1$	\| $+ x^{2}$ $- \frac{3}{4} x$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2} + \frac{3}{4} \cdot (- 1) + 1$ = $- 1 - \frac{3}{4} + 1$ = $- \frac{3}{4}$

g( $1$ ) = $- 1^{2} + \frac{3}{4} \cdot 1 + 1$ = $- 1 + \frac{3}{4} + 1$ = $\frac{3}{4}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $- \frac{3}{4}$ ) und S₂( $1$ | $\frac{3}{4}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)