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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $3$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$49 + 25 x^{2} + 70 x$ = 0

Lösung einblenden

$25 x^{2} + 70 x + 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 70 \pm \sqrt{70^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 49}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{- 70 \pm \sqrt{4 900 - 4 900}}{50}$

x_1,2 = $\frac{- 70 \pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 70}{50}$ = $- \frac{7}{5}$

L={ $- \frac{7}{5}$ }

$- \frac{7}{5}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{35}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{35}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{35}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 3 x - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 280}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 3+17}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 3-17}{4}$ = $\frac{- 20}{4}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $3,5$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + 4 x - 7$ = $(- 3 x + 3) (x + 3) + 9 x - 14$

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} + 4 x - 7$	=	$(- 3 x + 3) (x + 3) + 9 x - 14$
$- 2 x^{2} + 4 x - 7$	=	$- 3 x^{2} - 6 x + 9 + 9 x - 14$
$- 2 x^{2} + 4 x - 7$	=	$- 3 x^{2} + 3 x - 5$	\| $+ 3 x^{2}$ $- 3 x$ $+ 5$

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 12 x + 80$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

- 2 x^{2} - 12 x + 80

= 0 |:2

$- x^{2} - 6 x + 40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 40}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 160}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{196}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{196}}{- 2}$ = $\frac{6+14}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{196}}{- 2}$ = $\frac{6-14}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

L={ $- 10$ ; $4$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 10$ |0) und N₂( $4$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} + 5$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} + 4 x + 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x^{2} + 5

=

2 x^{2} + 4 x + 2

|

- 2 x^{2}

- 4 x

- 2

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $2 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 + 2$ = $2 \cdot 1 + 4 + 2$ = $2 + 4 + 2$ = $8$

g( $3$ ) = $2 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 + 2$ = $2 \cdot 9 + 12 + 2$ = $18 + 12 + 2$ = $32$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $8$ ) und S₂( $3$ | $32$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{13}{2} x - 17$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{3}{2}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{3}{2} x - 2$ oder $f(x) =$ $\frac{3}{2} x - 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{3}{2} x - 2$	=	$- x^{2} - \frac{13}{2} x - 17$	\|⋅ 2
$2 (\frac{3}{2} x - 2)$	=	$2 (- x^{2} - \frac{13}{2} x - 17)$
$3 x - 4$	=	$- 2 x^{2} - 13 x - 34$	\| $+ 2 x^{2}$ $+ 13 x$ $+ 34$

2 x^{2} + 16 x + 30

= 0 |:2

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8+2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8-2}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - \frac{13}{2} \cdot (- 5) - 17$ = $- 25 + \frac{65}{2} - 17$ = $- \frac{19}{2}$

g( $- 3$ ) = $- {(- 3)}^{2} - \frac{13}{2} \cdot (- 3) - 17$ = $- 9 + \frac{39}{2} - 17$ = $- \frac{13}{2}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $- \frac{19}{2}$ ) und S₂( $- 3$ | $- \frac{13}{2}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)