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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 11 x - 6$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 11 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 11+13}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 11-13}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $0,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$30 + 4 x^{2}$ = $- 26 x$

Lösung einblenden

4 x^{2} + 30

=

- 26 x

|

+ 26 x

4 x^{2} + 26 x + 30

= 0 |:2

$2 x^{2} + 13 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 13+7}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 13-7}{4}$ = $\frac{- 20}{4}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 1,5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{33}{4} x - \frac{27}{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{33}{4} x - \frac{27}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - \frac{33}{4} x - \frac{27}{4})$	=	0

$4 x^{2} - 33 x - 27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{{(- 33)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{1 089 + 432}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{1 521}}{8}$

x₁ = $\frac{33 + \sqrt{1 521}}{8}$ = $\frac{33+39}{8}$ = $\frac{72}{8}$ = $9$

x₂ = $\frac{33 - \sqrt{1 521}}{8}$ = $\frac{33-39}{8}$ = $\frac{- 6}{8}$ = $- 0,75$

L={ $- 0,75$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} - 4 x + 9$ = $(- 3 x + 2) (x + 1) - x + 22$

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} - 4 x + 9$	=	$(- 3 x + 2) (x + 1) - x + 22$
$- 2 x^{2} - 4 x + 9$	=	$- 3 x^{2} - x + 2 - x + 22$
$- 2 x^{2} - 4 x + 9$	=	$- 3 x^{2} - 2 x + 24$	\| $+ 3 x^{2}$ $+ 2 x$ $- 24$

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} - 3 x + 60$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

- 3 x^{2} - 3 x + 60

= 0 |:3

$- x^{2} - x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1+9}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1-9}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

L={ $- 5$ ; $4$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 5$ |0) und N₂( $4$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $4 x^{2} + 12 x + 21$
und
$g(x) =$ $3 x^{2} + 2 x - 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

4 x^{2} + 12 x + 21

=

3 x^{2} + 2 x - 5

|

- 3 x^{2}

- 2 x

+ 5

$x^{2} + 10 x + 26$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

Es gibt also keine Schnittpunkte.

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{11}{4} x + 2$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{1}{4}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{1}{4} x - 2$ oder $f(x) =$ $\frac{1}{4} x - 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{1}{4} x - 2$	=	$- x^{2} - \frac{11}{4} x + 2$	\|⋅ 4
$4 (\frac{1}{4} x - 2)$	=	$4 (- x^{2} - \frac{11}{4} x + 2)$
$x - 8$	=	$- 4 x^{2} - 11 x + 8$	\| $+ 4 x^{2}$ $+ 11 x$ $- 8$

4 x^{2} + 12 x - 16

= 0 |:4

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- {(- 4)}^{2} - \frac{11}{4} \cdot (- 4) + 2$ = $- 16 + 11 + 2$ = $- 3$

g( $1$ ) = $- 1^{2} - \frac{11}{4} \cdot 1 + 2$ = $- 1 - \frac{11}{4} + 2$ = $- \frac{7}{4}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 3$ ) und S₂( $1$ | $- \frac{7}{4}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)