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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 x^{2} + 56 x + 49$ = 0

Lösung einblenden

$16 x^{2} + 56 x + 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 56 \pm \sqrt{56^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 49}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{- 56 \pm \sqrt{3 136 - 3 136}}{32}$

x_1,2 = $\frac{- 56 \pm \sqrt{0}}{32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 56}{32}$ = $- \frac{7}{4}$

L={ $- \frac{7}{4}$ }

$- \frac{7}{4}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 16 x - 16 + 5 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 16 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 + 320}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{576}}{10}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{576}}{10}$ = $\frac{16+24}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = $4$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{576}}{10}$ = $\frac{16-24}{10}$ = $\frac{- 8}{10}$ = $- 0,8$

L={ $- 0,8$ ; $4$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{81}{16}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{81}{16}$	=	0	\|⋅ 16
$16 (x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{81}{16})$	=	0

$16 x^{2} + 72 x + 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 72 \pm \sqrt{72^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 81}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{- 72 \pm \sqrt{5 184 - 5 184}}{32}$

x_1,2 = $\frac{- 72 \pm \sqrt{0}}{32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 72}{32}$ = $- \frac{9}{4}$

L={ $- \frac{9}{4}$ }

$- \frac{9}{4}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 2 x + 2$ = $(3 x - 5) (x + 3) - 7 x + 29$

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 2 x + 2$	=	$(3 x - 5) (x + 3) - 7 x + 29$
$4 x^{2} - 2 x + 2$	=	$3 x^{2} + 4 x - 15 - 7 x + 29$
$4 x^{2} - 2 x + 2$	=	$3 x^{2} - 3 x + 14$	\| $- 3 x^{2}$ $+ 3 x$ $- 14$

$x^{2} + x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 36 x - 108$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

- 3 x^{2} + 36 x - 108

= 0 |:3

$- x^{2} + 12 x - 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 36)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

L={ $6$ }

$6$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $6$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- x^{2} + 1$
und
$g(x) =$ $- 2 x^{2} + 4 x - 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 1

=

- 2 x^{2} + 4 x - 2

|

+ 2 x^{2}

- 4 x

+ 2

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 2 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 - 2$ = $- 2 \cdot 1 + 4 - 2$ = $- 2 + 4 - 2$ = 0

g( $3$ ) = $- 2 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 2$ = $- 2 \cdot 9 + 12 - 2$ = $- 18 + 12 - 2$ = $- 8$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ |0) und S₂( $3$ | $- 8$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{8}{3} x + 5$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $0$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 4 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{4}{3}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{4}{3} x$ oder $f(x) =$ $\frac{4}{3} x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{4}{3} x$	=	$- x^{2} - \frac{8}{3} x + 5$	\|⋅ 3
$4 x$	=	$3 (- x^{2} - \frac{8}{3} x + 5)$
$4 x$	=	$- 3 x^{2} - 8 x + 15$	\| $+ 3 x^{2}$ $+ 8 x$ $- 15$

3 x^{2} + 12 x - 15

= 0 |:3

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - \frac{8}{3} \cdot (- 5) + 5$ = $- 25 + \frac{40}{3} + 5$ = $- \frac{20}{3}$

g( $1$ ) = $- 1^{2} - \frac{8}{3} \cdot 1 + 5$ = $- 1 - \frac{8}{3} + 5$ = $\frac{4}{3}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $- \frac{20}{3}$ ) und S₂( $1$ | $\frac{4}{3}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)