Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 8 x - 90$ = 0

2 x^{2} + 8 x - 90

= 0 |:2

$x^{2} + 4 x - 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 4+14}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 4-14}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 80 x + 16 x^{2}$ = $- 101$

Lösung einblenden

16 x^{2} - 80 x

=

- 101

|

+ 101

$16 x^{2} - 80 x + 101$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 80 \pm \sqrt{{(- 80)}^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 101}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 80 \pm \sqrt{6 400 - 6 464}}{32}$

x_1,2 = $\frac{+ 80 \pm \sqrt{(- 64)}}{32}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 5 x + \frac{29}{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 5 x + \frac{29}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + 5 x + \frac{29}{4})$	=	0

$4 x^{2} + 20 x + 29$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 29}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 464}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{(- 64)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} + 3 x - 5$ = $(- 2 x - 7) (x + 1) + 14 x + 17$

Lösung einblenden

$- x^{2} + 3 x - 5$	=	$(- 2 x - 7) (x + 1) + 14 x + 17$
$- x^{2} + 3 x - 5$	=	$- 2 x^{2} - 9 x - 7 + 14 x + 17$
$- x^{2} + 3 x - 5$	=	$- 2 x^{2} + 5 x + 10$	\| $+ 2 x^{2}$ $- 5 x$ $- 10$

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{15}{2} x + 14$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{15}{2} x + 14$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{15}{2} x + 14)$	=	0

$2 x^{2} + 15 x + 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 28}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 224}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 15+1}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 15-1}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 3,5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 4$ |0) und N₂( $- 3,5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $6 x^{2} - 4 x + 15$
und
$g(x) =$ $5 x^{2} + 4 x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

6 x^{2} - 4 x + 15

=

5 x^{2} + 4 x - 1

|

- 5 x^{2}

- 4 x

+ 1

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $4$ ) = $5 \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 - 1$ = $5 \cdot 16 + 16 - 1$ = $80 + 16 - 1$ = $95$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $4$ | $95$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 4 x - 5$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $x - 3$ oder $f(x) =$ $x - 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x - 3

=

- x^{2} + 4 x - 5

|

+ x^{2}

- 4 x

+ 5

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 1^{2} + 4 \cdot 1 - 5$ = $- 1 + 4 - 5$ = $- 2$

g( $2$ ) = $- 2^{2} + 4 \cdot 2 - 5$ = $- 4 + 8 - 5$ = $- 1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $- 2$ ) und S₂( $2$ | $- 1$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)