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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 15 x - 4$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 15 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 + 64}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{289}}{8}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{289}}{8}$ = $\frac{- 15+17}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{289}}{8}$ = $\frac{- 15-17}{8}$ = $\frac{- 32}{8}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 15 x - 4$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{15}{4} x - 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{8})}^{2} - (- 1)$ = $\frac{225}{64}$ $+$ $1$ = $\frac{225}{64}$ $+$ $\frac{64}{64}$ = $\frac{289}{64}$

x_1,2 = $- \frac{15}{8}$ ± $\sqrt{\frac{289}{64}}$

x₁ = $- \frac{15}{8}$ - $\frac{17}{8}$ = $- \frac{32}{8}$ = -4

x₂ = $- \frac{15}{8}$ + $\frac{17}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

L={ $- 4$ ; $0,25$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 34 x + 24 + 5 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 34 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 34 \pm \sqrt{{(- 34)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 24}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 34 \pm \sqrt{1 156 - 480}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 34 \pm \sqrt{676}}{10}$

x₁ = $\frac{34 + \sqrt{676}}{10}$ = $\frac{34+26}{10}$ = $\frac{60}{10}$ = $6$

x₂ = $\frac{34 - \sqrt{676}}{10}$ = $\frac{34-26}{10}$ = $\frac{8}{10}$ = $0,8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 34 x + 24$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{34}{5} x + \frac{24}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{5})}^{2} - (\frac{24}{5})$ = $\frac{289}{25}$ $-$ $\frac{24}{5}$ = $\frac{289}{25}$ $-$ $\frac{120}{25}$ = $\frac{169}{25}$

x_1,2 = $\frac{17}{5}$ ± $\sqrt{\frac{169}{25}}$

x₁ = $\frac{17}{5}$ - $\frac{13}{5}$ = $\frac{4}{5}$ = 0.8

x₂ = $\frac{17}{5}$ + $\frac{13}{5}$ = $\frac{30}{5}$ = 6

L={ $0,8$ ; $6$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{56}{5} x + 12$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{56}{5} x + 12$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} + \frac{56}{5} x + 12)$	=	0

$5 x^{2} + 56 x + 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 56 \pm \sqrt{56^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 60}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 56 \pm \sqrt{3 136 - 1 200}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 56 \pm \sqrt{1 936}}{10}$

x₁ = $\frac{- 56 + \sqrt{1 936}}{10}$ = $\frac{- 56+44}{10}$ = $\frac{- 12}{10}$ = $- 1,2$

x₂ = $\frac{- 56 - \sqrt{1 936}}{10}$ = $\frac{- 56-44}{10}$ = $\frac{- 100}{10}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 56 x + 60$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{56}{5} x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{28}{5})}^{2} - 12$ = $\frac{784}{25}$ $-$ $12$ = $\frac{784}{25}$ $-$ $\frac{300}{25}$ = $\frac{484}{25}$

x_1,2 = $- \frac{28}{5}$ ± $\sqrt{\frac{484}{25}}$

x₁ = $- \frac{28}{5}$ - $\frac{22}{5}$ = $- \frac{50}{5}$ = -10

x₂ = $- \frac{28}{5}$ + $\frac{22}{5}$ = $- \frac{6}{5}$ = -1.2

L={ $- 10$ ; $- 1,2$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 x^{2} - 5 x + 7$ = $(- 8 x - 8) \cdot (x - 3) - 21 x + 8$

Lösung einblenden

$- 7 x^{2} - 5 x + 7$	=	$(- 8 x - 8) \cdot (x - 3) - 21 x + 8$
$- 7 x^{2} - 5 x + 7$	=	$- 8 x^{2} + 16 x + 24 - 21 x + 8$
$- 7 x^{2} - 5 x + 7$	=	$- 8 x^{2} - 5 x + 32$	\| $- 7$
$- 7 x^{2} - 5 x$	=	$- 8 x^{2} - 5 x + 25$	\| $+ 8 x^{2}$ $+ 5 x$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $- 5$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{14}{5} x + \frac{49}{25}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{14}{5} x + \frac{49}{25}$	=	0	\|⋅ 25
$25 (x^{2} - \frac{14}{5} x + \frac{49}{25})$	=	0

$25 x^{2} - 70 x + 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 70 \pm \sqrt{{(- 70)}^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 49}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{+ 70 \pm \sqrt{4 900 - 4 900}}{50}$

x_1,2 = $\frac{+ 70 \pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{70}{50}$ = $\frac{7}{5}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $25$ " teilen:

$25 x^{2} - 70 x + 49$ = 0 |: $25$

$x^{2} - \frac{14}{5} x + \frac{49}{25}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{5})}^{2} - (\frac{49}{25})$ = $\frac{49}{25}$ $-$ $\frac{49}{25}$ = $\frac{0}{25}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $\frac{7}{5}$ ± 0 = $\frac{7}{5}$

L={ $\frac{7}{5}$ }

$\frac{7}{5}$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $\frac{7}{5}$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $2 x^{2} + 5 x + 7$
und
$g(x) =$ $x^{2} + 2 x + 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

2 x^{2} + 5 x + 7

=

x^{2} + 2 x + 5

|

- x^{2}

- 2 x

- 5

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2) + 5$ = $4 - 4 + 5$ = $5$

g( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 5$ = $1 - 2 + 5$ = $4$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $5$ ) und S₂( $- 1$ | $4$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{15}{2} x - 14$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{1}{2}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{1}{2} x + 1$ oder $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x + 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{1}{2} x + 1$	=	$- x^{2} + \frac{15}{2} x - 14$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x + 1)$	=	$2 (- x^{2} + \frac{15}{2} x - 14)$
$- x + 2$	=	$- 2 x^{2} + 15 x - 28$	\| $+ 2 x^{2}$ $- 15 x$ $+ 28$

2 x^{2} - 16 x + 30

= 0 |:2

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

L={ $3$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $3$ ) = $- 3^{2} + \frac{15}{2} \cdot 3 - 14$ = $- 9 + \frac{45}{2} - 14$ = $- \frac{1}{2}$

g( $5$ ) = $- 5^{2} + \frac{15}{2} \cdot 5 - 14$ = $- 25 + \frac{75}{2} - 14$ = $- \frac{3}{2}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $3$ | $- \frac{1}{2}$ ) und S₂( $5$ | $- \frac{3}{2}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte mit MNF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):