$x^2-18x+82$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+18\pm \sqrt{{\left(-18\right)}^2-4·1·82}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+18\pm \sqrt{324-328}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+18\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

$2x^2+13x-24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-13\pm \sqrt{{13}^2-4·2·\left(-24\right)}}{2\cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{-13\pm \sqrt{169+192}}{4}$

x_1,2 = $\frac{-13\pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{-13+\sqrt{361}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>13</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>19</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{4}$ = $\mathrm{1,5}$

x₂ = $\frac{-13-\sqrt{361}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>13</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>19</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-32}{4}$ = $-8$

L={ $-8$; $\mathrm{1,5}$}

$-2x^2+22x-20$ = 0 |:2

$-x^2+11x-10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-11\pm \sqrt{{11}^2-4·\left(-1\right)·\left(-10\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-11\pm \sqrt{121-40}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-11\pm \sqrt{81}}{-2}$

x₁ = $\frac{-11+\sqrt{81}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>11</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{-2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-11-\sqrt{81}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>11</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-20}{-2}$ = $10$

L={ $1$; $10$}

$-x^2+6x+4$	=	$\left(-2x+1\right)\left(x+9\right)+19x-5$
$-x^2+6x+4$	=	$-2x^2-17x+9+19x-5$
$-x^2+6x+4$	=	$-2x^2+2x+4$	| $-4$
$-x^2+6x$	=	$-2x^2+2x$	| $-\left(-2x^2+2x\right)$
$-x^2+2x^2+6x-2x$	=	0
$x^2+4x$	=	0
$x\left(x+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-4$; 0}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}$	=	0	|⋅ 16
$16\left(x^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}\right)$	=	0

$16x^2+24x+9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-24\pm \sqrt{{24}^2-4·16·9}}{2\cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{-24\pm \sqrt{576-576}}{32}$

x_1,2 = $\frac{-24\pm \sqrt{0}}{32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-24}{32}$ = $-\frac{3}{4}$

L={ $-\frac{3}{4}$}

$-\frac{3}{4}$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $-\frac{3}{4}$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$3x^2+4x-23$

=

$2x^2+5x-3$

| $-2x^2$ $-5x$ $+3$

$x^2-x-20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-20\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{81}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{81}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $5$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-4$) = $2\cdot {\left(-4\right)}^2+5\cdot \left(-4\right)-3$ = $2\cdot 16-20-3$ = $32-20-3$ = $9$

g( $5$) = $2\cdot 5^2+5\cdot 5-3$ = $2\cdot 25+25-3$ = $50+25-3$ = $72$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-4$| $9$) und S₂( $5$| $72$).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 4 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=$\frac{4}{3}$.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{4}{3}x+1$ oder $\text{f(x)}=$ $\frac{4}{3}x+1$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{4}{3}x+1$	=	$-x^2-\frac{11}{3}x-5$	|⋅ 3
$3\left(\frac{4}{3}x+1\right)$	=	$3\left(-x^2-\frac{11}{3}x-5\right)$
$4x+3$	=	$-3x^2-11x-15$	| $+3x^2$ $+11x$ $+15$

$3x^2+15x+18$ = 0 |:3

$x^2+5x+6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{5^2-4·1·6}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{25-24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{-5+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

x₂ = $\frac{-5-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $-2$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-3$) = $-{\left(-3\right)}^2-\frac{11}{3}\cdot \left(-3\right)-5$ = $-9+11-5$ = $-3$

g( $-2$) = $-{\left(-2\right)}^2-\frac{11}{3}\cdot \left(-2\right)-5$ = $-4+\frac{22}{3}-5$ = $-\frac{5}{3}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-3$| $-3$) und S₂( $-2$| $-\frac{5}{3}$).