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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 43 x + 24$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 43 x + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{43^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 24}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{1 849 - 480}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{1 369}}{10}$

x₁ = $\frac{- 43 + \sqrt{1 369}}{10}$ = $\frac{- 43+37}{10}$ = $\frac{- 6}{10}$ = $- 0,6$

x₂ = $\frac{- 43 - \sqrt{1 369}}{10}$ = $\frac{- 43-37}{10}$ = $\frac{- 80}{10}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $- 0,6$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 24$ = $35 x$

Lösung einblenden

4 x^{2} + 24

=

35 x

|

- 35 x

$4 x^{2} - 35 x + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{{(- 35)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 24}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{1 225 - 384}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{841}}{8}$

x₁ = $\frac{35 + \sqrt{841}}{8}$ = $\frac{35+29}{8}$ = $\frac{64}{8}$ = $8$

x₂ = $\frac{35 - \sqrt{841}}{8}$ = $\frac{35-29}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

L={ $0,75$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} - 48 x + 192$ = 0

Lösung einblenden

3 x^{2} - 48 x + 192

= 0 |:3

$x^{2} - 16 x + 64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{16}{2}$ = $8$

L={ $8$ }

$8$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 x^{2} - 3 x - 3$ = $(8 x + 9) (x - 1) - 2 x + 14$

Lösung einblenden

$9 x^{2} - 3 x - 3$	=	$(8 x + 9) (x - 1) - 2 x + 14$
$9 x^{2} - 3 x - 3$	=	$8 x^{2} + x - 9 - 2 x + 14$
$9 x^{2} - 3 x - 3$	=	$8 x^{2} - x + 5$	\| $- 8 x^{2}$ $+ x$ $- 5$

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 108$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$- 3 x^{2} + 108$	=	0	\| $- 108$
$- 3 x^{2}$	=	$- 108$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

L={ $- 6$ ; $6$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 6$ |0) und N₂( $6$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} + 4 x - 6$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} + 4 x - 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$3 x^{2} + 4 x - 6$	=	$2 x^{2} + 4 x - 5$	\| $+ 6$
$3 x^{2} + 4 x$	=	$2 x^{2} + 4 x + 1$	\| $- 2 x^{2}$ $- 4 x$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $2 \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1) - 5$ = $2 \cdot 1 - 4 - 5$ = $2 - 4 - 5$ = $- 7$

g( $1$ ) = $2 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 - 5$ = $2 \cdot 1 + 4 - 5$ = $2 + 4 - 5$ = $1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $- 7$ ) und S₂( $1$ | $1$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 3 x + 18$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $3$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $3 x + 2$ oder $f(x) =$ $3 x + 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$3 x + 2$	=	$- x^{2} + 3 x + 18$	\| $- 2$
$3 x$	=	$- x^{2} + 3 x + 16$	\| $+ x^{2}$ $- 3 x$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- {(- 4)}^{2} + 3 \cdot (- 4) + 18$ = $- 16 - 12 + 18$ = $- 10$

g( $4$ ) = $- 4^{2} + 3 \cdot 4 + 18$ = $- 16 + 12 + 18$ = $14$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 10$ ) und S₂( $4$ | $14$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)