Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 10 x + 26$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 10 x + 26$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 1 + 4 x + 5 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 4 x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{10}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{10}$ = $\frac{- 4+6}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = $0,2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{10}$ = $\frac{- 4-6}{10}$ = $\frac{- 10}{10}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $0,2$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} + 9 x - 84$ = 0

Lösung einblenden

3 x^{2} + 9 x - 84

= 0 |:3

$x^{2} + 3 x - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $4$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x^{2} - 8 x + 9$ = $(- 9 x + 7) (x + 6) + 40 x - 27$

Lösung einblenden

$- 8 x^{2} - 8 x + 9$	=	$(- 9 x + 7) (x + 6) + 40 x - 27$
$- 8 x^{2} - 8 x + 9$	=	$- 9 x^{2} - 47 x + 42 + 40 x - 27$
$- 8 x^{2} - 8 x + 9$	=	$- 9 x^{2} - 7 x + 15$	\| $+ 9 x^{2}$ $+ 7 x$ $- 15$

$x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{16}{5} x + \frac{12}{5}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{16}{5} x + \frac{12}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} + \frac{16}{5} x + \frac{12}{5})$	=	0

$5 x^{2} + 16 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 12}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 240}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16}}{10}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{- 16+4}{10}$ = $\frac{- 12}{10}$ = $- 1,2$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{- 16-4}{10}$ = $\frac{- 20}{10}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1,2$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 2$ |0) und N₂( $- 1,2$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} - 3 x + 17$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} + 5 x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x^{2} - 3 x + 17

=

2 x^{2} + 5 x + 1

|

- 2 x^{2}

- 5 x

- 1

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $4$ ) = $2 \cdot 4^{2} + 5 \cdot 4 + 1$ = $2 \cdot 16 + 20 + 1$ = $32 + 20 + 1$ = $53$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $4$ | $53$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - 2 x + 9$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 4 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 4$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- 4 x + 1$ oder $f(x) =$ $- 4 x + 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 4 x + 1

=

- x^{2} - 2 x + 9

|

+ x^{2}

+ 2 x

- 9

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2) + 9$ = $- 4 + 4 + 9$ = $9$

g( $4$ ) = $- 4^{2} - 2 \cdot 4 + 9$ = $- 16 - 8 + 9$ = $- 15$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $9$ ) und S₂( $4$ | $- 15$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)