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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 20 x + 25$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 20 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 25}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 - 400}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{20}{8}$ = $\frac{5}{2}$

L={ $\frac{5}{2}$ }

$\frac{5}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 100 - 40 x$ = $- 5 x^{2}$

Lösung einblenden

- 40 x - 100

=

- 5 x^{2}

|

+ 5 x^{2}

5 x^{2} - 40 x - 100

= 0 |:5

$x^{2} - 8 x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{8+12}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{8-12}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + 6 x + 108$ = 0

Lösung einblenden

- 2 x^{2} + 6 x + 108

= 0 |:2

$- x^{2} + 3 x + 54$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 54}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 216}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{225}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{225}}{- 2}$ = $\frac{- 3+15}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{225}}{- 2}$ = $\frac{- 3-15}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

L={ $- 6$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 x^{2} - x + 8$ = $(8 x + 4) (x - 3) + 14 x + 20$

Lösung einblenden

$9 x^{2} - x + 8$	=	$(8 x + 4) (x - 3) + 14 x + 20$
$9 x^{2} - x + 8$	=	$8 x^{2} - 20 x - 12 + 14 x + 20$
$9 x^{2} - x + 8$	=	$8 x^{2} - 6 x + 8$	\| $- 8$
$9 x^{2} - x$	=	$8 x^{2} - 6 x$	\| $- (8 x^{2} - 6 x)$
$9 x^{2} - 8 x^{2} - x + 6 x$	=	0
$x^{2} + 5 x$	=	0
$x (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

L={ $- 5$ ; 0}

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 4 x + 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 4 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $6 x^{2} + 7 x + 19$
und
$g(x) =$ $5 x^{2} - 2 x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

6 x^{2} + 7 x + 19

=

5 x^{2} - 2 x - 1

|

- 5 x^{2}

+ 2 x

+ 1

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9+1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9-1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $5 \cdot {(- 5)}^{2} - 2 \cdot (- 5) - 1$ = $5 \cdot 25 + 10 - 1$ = $125 + 10 - 1$ = $134$

g( $- 4$ ) = $5 \cdot {(- 4)}^{2} - 2 \cdot (- 4) - 1$ = $5 \cdot 16 + 8 - 1$ = $80 + 8 - 1$ = $87$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $134$ ) und S₂( $- 4$ | $87$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - 6 x - 7$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- x - 3$ oder $f(x) =$ $- x - 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x - 3

=

- x^{2} - 6 x - 7

|

+ x^{2}

+ 6 x

+ 7

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- {(- 4)}^{2} - 6 \cdot (- 4) - 7$ = $- 16 + 24 - 7$ = $1$

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2} - 6 \cdot (- 1) - 7$ = $- 1 + 6 - 7$ = $- 2$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $1$ ) und S₂( $- 1$ | $- 2$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)