Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 +12x +36 = 0

Lösung einblenden

x 2 +12x +36 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -12 ± 12 2 -4 · 1 · 36 21

x1,2 = -12 ± 144 -144 2

x1,2 = -12 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -12 2 = -6

L={ -6 }

-6 ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

55x +5 x 2 +90 = 0

Lösung einblenden
5 x 2 +55x +90 = 0 |:5

x 2 +11x +18 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -11 ± 11 2 -4 · 1 · 18 21

x1,2 = -11 ± 121 -72 2

x1,2 = -11 ± 49 2

x1 = -11 + 49 2 = -11 +7 2 = -4 2 = -2

x2 = -11 - 49 2 = -11 -7 2 = -18 2 = -9

L={ -9 ; -2 }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-3 x 2 +24x -51 = 0

Lösung einblenden
-3 x 2 +24x -51 = 0 |:3

- x 2 +8x -17 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -8 ± 8 2 -4 · ( -1 ) · ( -17 ) 2( -1 )

x1,2 = -8 ± 64 -68 -2

x1,2 = -8 ± ( -4 ) -2

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 x 2 +3x -4 = ( x +6 ) ( x +1 ) -10

Lösung einblenden
2 x 2 +3x -4 = ( x +6 ) ( x +1 ) -10
2 x 2 +3x -4 = x 2 +7x +6 -10
2 x 2 +3x -4 = x 2 +7x -4 | +4
2 x 2 +3x = x 2 +7x | - ( x 2 +7x )
2 x 2 - x 2 +3x -7x = 0
x 2 -4x = 0
x ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -4 = 0 | +4
x2 = 4

L={0; 4 }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit f(x)= - x 2 -12x -35 .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

- x 2 -12x -35 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +12 ± ( -12 ) 2 -4 · ( -1 ) · ( -35 ) 2( -1 )

x1,2 = +12 ± 144 -140 -2

x1,2 = +12 ± 4 -2

x1 = 12 + 4 -2 = 12 +2 -2 = 14 -2 = -7

x2 = 12 - 4 -2 = 12 -2 -2 = 10 -2 = -5

L={ -7 ; -5 }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N1( -7 |0) und N2( -5 |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
f(x)= -3 x 2 +13x +25
und
g(x)= -4 x 2 +4x +5 .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

-3 x 2 +13x +25 = -4 x 2 +4x +5 | +4 x 2 -4x -5

x 2 +9x +20 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -9 ± 9 2 -4 · 1 · 20 21

x1,2 = -9 ± 81 -80 2

x1,2 = -9 ± 1 2

x1 = -9 + 1 2 = -9 +1 2 = -8 2 = -4

x2 = -9 - 1 2 = -9 -1 2 = -10 2 = -5

L={ -5 ; -4 }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( -5 ) = -4 ( -5 ) 2 +4( -5 ) +5 = -425 -20 +5 = -100 -20 +5 = -115

g( -4 ) = -4 ( -4 ) 2 +4( -4 ) +5 = -416 -16 +5 = -64 -16 +5 = -75

Die Schnittpunkte sind also S1( -5 | -115 ) und S2( -4 | -75 ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit g(x)= - x 2 + 14 3 x -6 .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = -2 kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= - 1 3 .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= - 1 3 x -2 oder f(x)= - 1 3 x -2 .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 1 3 x -2 = - x 2 + 14 3 x -6 |⋅ 3
3( - 1 3 x -2 ) = 3( - x 2 + 14 3 x -6 )
-x -6 = -3 x 2 +14x -18 | +3 x 2 -14x +18
3 x 2 -15x +12 = 0 |:3

x 2 -5x +4 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · 4 21

x1,2 = +5 ± 25 -16 2

x1,2 = +5 ± 9 2

x1 = 5 + 9 2 = 5 +3 2 = 8 2 = 4

x2 = 5 - 9 2 = 5 -3 2 = 2 2 = 1

L={ 1 ; 4 }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( 1 ) = - 1 2 + 14 3 1 -6 = -1 + 14 3 -6 = - 7 3

g( 4 ) = - 4 2 + 14 3 4 -6 = -16 + 56 3 -6 = - 10 3

Die Schnittpunkte sind also S1( 1 | - 7 3 ) und S2( 4 | - 10 3 ).