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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 4 x - 70$ = 0

2 x^{2} - 4 x - 70

= 0 |:2

$x^{2} - 2 x - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2+12}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2-12}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $7$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$15 x + x^{2} + 54$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 15 x + 54$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 54}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 15+3}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 15-3}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $- 6$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $2$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 3 x - 8$ = $(3 x - 3) (x - 2) + 7 x - 18$

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 3 x - 8$	=	$(3 x - 3) (x - 2) + 7 x - 18$
$4 x^{2} + 3 x - 8$	=	$3 x^{2} - 9 x + 6 + 7 x - 18$
$4 x^{2} + 3 x - 8$	=	$3 x^{2} - 2 x - 12$	\| $- 3 x^{2}$ $+ 2 x$ $+ 12$

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{9}{4} x + \frac{5}{4}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{9}{4} x + \frac{5}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - \frac{9}{4} x + \frac{5}{4})$	=	0

$4 x^{2} - 9 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{8}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{8}$ = $\frac{9+1}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = $1,25$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{8}$ = $\frac{9-1}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = $1$

L={ $1$ ; $1,25$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $1$ |0) und N₂( $1,25$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 3 x^{2} - 5 x + 16$
und
$g(x) =$ $- 4 x^{2} + 2 x + 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 3 x^{2} - 5 x + 16

=

- 4 x^{2} + 2 x + 4

|

+ 4 x^{2}

- 2 x

- 4

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $3$ ) = $- 4 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 + 4$ = $- 4 \cdot 9 + 6 + 4$ = $- 36 + 6 + 4$ = $- 26$

g( $4$ ) = $- 4 \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4 + 4$ = $- 4 \cdot 16 + 8 + 4$ = $- 64 + 8 + 4$ = $- 52$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $3$ | $- 26$ ) und S₂( $4$ | $- 52$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - x - 5$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $3$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $3 x - 2$ oder $f(x) =$ $3 x - 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x - 2

=

- x^{2} - x - 5

|

+ x^{2}

+ x

+ 5

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- {(- 3)}^{2} - (- 3) - 5$ = $- 9 + 3 - 5$ = $- 11$

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2} - (- 1) - 5$ = $- 1 + 1 - 5$ = $- 5$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $- 11$ ) und S₂( $- 1$ | $- 5$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)