Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 12 x - 32$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 12 x - 32$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 + 640}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{784}}{10}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{784}}{10}$ = $\frac{12+28}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = $4$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{784}}{10}$ = $\frac{12-28}{10}$ = $\frac{- 16}{10}$ = $- 1,6$

L={ $- 1,6$ ; $4$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 7 x - 4$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 7 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 7+9}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 7-9}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $0,5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{19}{2} x + \frac{45}{2}$ = 0

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$x^{2} + \frac{19}{2} x + \frac{45}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{19}{2} x + \frac{45}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 19 x + 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 45}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 360}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 19+1}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 19-1}{4}$ = $\frac{- 20}{4}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 4,5$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} - 3 x - 4$ = $(- 2 x - 3) (x - 1) - 5 x + 3$

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$- x^{2} - 3 x - 4$	=	$(- 2 x - 3) (x - 1) - 5 x + 3$
$- x^{2} - 3 x - 4$	=	$- 2 x^{2} - x + 3 - 5 x + 3$
$- x^{2} - 3 x - 4$	=	$- 2 x^{2} - 6 x + 6$	\| $+ 2 x^{2}$ $+ 6 x$ $- 6$

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 200$ .

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Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$- 2 x^{2} + 200$	=	0	\| $- 200$
$- 2 x^{2}$	=	$- 200$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$100$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{100}$	= $- 10$
x₂	=	$\sqrt{100}$	= $10$

L={ $- 10$ ; $10$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 10$ |0) und N₂( $10$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 3 x^{2} - x + 3$
und
$g(x) =$ $- 4 x^{2} + 3 x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 3 x^{2} - x + 3

=

- 4 x^{2} + 3 x - 1

|

+ 4 x^{2}

- 3 x

+ 1

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $- 4 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - 1$ = $- 4 \cdot 4 + 6 - 1$ = $- 16 + 6 - 1$ = $- 11$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $2$ | $- 11$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{17}{2} x - 15$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $0$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{1}{2}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{1}{2} x$ oder $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{1}{2} x$	=	$- x^{2} - \frac{17}{2} x - 15$	\|⋅ 2
$- x$	=	$2 (- x^{2} - \frac{17}{2} x - 15)$
$- x$	=	$- 2 x^{2} - 17 x - 30$	\| $+ 2 x^{2}$ $+ 17 x$ $+ 30$

2 x^{2} + 16 x + 30

= 0 |:2

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8+2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8-2}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - \frac{17}{2} \cdot (- 5) - 15$ = $- 25 + \frac{85}{2} - 15$ = $\frac{5}{2}$

g( $- 3$ ) = $- {(- 3)}^{2} - \frac{17}{2} \cdot (- 3) - 15$ = $- 9 + \frac{51}{2} - 15$ = $\frac{3}{2}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $\frac{5}{2}$ ) und S₂( $- 3$ | $\frac{3}{2}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)