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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 45 x + 40$ = 0

5 x^{2} - 45 x + 40

= 0 |:5

$x^{2} - 9 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 49 x$ = $- 72$

Lösung einblenden

5 x^{2} - 49 x

=

- 72

|

+ 72

$5 x^{2} - 49 x + 72$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 49 \pm \sqrt{{(- 49)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 72}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 49 \pm \sqrt{2 401 - 1 440}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 49 \pm \sqrt{961}}{10}$

x₁ = $\frac{49 + \sqrt{961}}{10}$ = $\frac{49+31}{10}$ = $\frac{80}{10}$ = $8$

x₂ = $\frac{49 - \sqrt{961}}{10}$ = $\frac{49-31}{10}$ = $\frac{18}{10}$ = $1,8$

L={ $1,8$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{43}{4} x + \frac{15}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{43}{4} x + \frac{15}{2}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + \frac{43}{4} x + \frac{15}{2})$	=	0

$4 x^{2} + 43 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{43^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 30}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{1 849 - 480}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{1 369}}{8}$

x₁ = $\frac{- 43 + \sqrt{1 369}}{8}$ = $\frac{- 43+37}{8}$ = $\frac{- 6}{8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 43 - \sqrt{1 369}}{8}$ = $\frac{- 43-37}{8}$ = $\frac{- 80}{8}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $- 0,75$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 3 x + 1$ = $(4 x - 9) (x - 8) + 49 x - 77$

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 3 x + 1$	=	$(4 x - 9) (x - 8) + 49 x - 77$
$5 x^{2} + 3 x + 1$	=	$4 x^{2} - 41 x + 72 + 49 x - 77$
$5 x^{2} + 3 x + 1$	=	$4 x^{2} + 8 x - 5$	\| $- 4 x^{2}$ $- 8 x$ $+ 5$

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 16 x + 64$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - 16 x + 64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{16}{2}$ = $8$

L={ $8$ }

$8$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $8$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- x^{2} + 9 x + 17$
und
$g(x) =$ $- 2 x^{2} + x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 9 x + 17

=

- 2 x^{2} + x + 1

|

+ 2 x^{2}

- x

- 1

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ }

$- 4$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 2 \cdot {(- 4)}^{2} - 4 + 1$ = $- 2 \cdot 16 - 4 + 1$ = $- 32 - 4 + 1$ = $- 35$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 4$ | $- 35$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 10 x - 12$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $3$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $3 x - 2$ oder $f(x) =$ $3 x - 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x - 2

=

- x^{2} + 10 x - 12

|

+ x^{2}

- 10 x

+ 12

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $- 2^{2} + 10 \cdot 2 - 12$ = $- 4 + 20 - 12$ = $4$

g( $5$ ) = $- 5^{2} + 10 \cdot 5 - 12$ = $- 25 + 50 - 12$ = $13$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $2$ | $4$ ) und S₂( $5$ | $13$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)