$5x^2+x-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·5·\left(-6\right)}}{2\cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+120}}{10}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{121}}{10}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{121}}{10}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>11</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{121}}{10}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>11</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-12}{10}$ = $-\mathrm{1,2}$

L={ $-\mathrm{1,2}$; $1$}

$4x^2-24x+37$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+24\pm \sqrt{{\left(-24\right)}^2-4·4·37}}{2\cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+24\pm \sqrt{576-592}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+24\pm \sqrt{\left(-16\right)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

$x^2-\frac{11}{2}x+\frac{15}{2}$	=	0	|⋅ 2
$2\left(x^2-\frac{11}{2}x+\frac{15}{2}\right)$	=	0

$2x^2-11x+15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+11\pm \sqrt{{\left(-11\right)}^2-4·2·15}}{2\cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+11\pm \sqrt{121-120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+11\pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{11+\sqrt{1}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>11</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{11-\sqrt{1}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>11</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{4}$ = $\mathrm{2,5}$

L={ $\mathrm{2,5}$; $3$}

$-6x^2+4x+9$	=	$\left(-7x-9\right)\left(x+6\right)+51x+63$
$-6x^2+4x+9$	=	$-7x^2-51x-54+51x+63$
$-6x^2+4x+9$	=	$-7x^2+9$	| $-9$
$-6x^2+4x$	=	$-7x^2$	| $+7x^2$
$-6x^2+7x^2+4x$	=	0
$x^2+4x$	=	0
$x\left(x+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-4$; 0}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$-3x^2-30x-75$ = 0 |:3

$-x^2-10x-25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{{\left(-10\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-25\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{100-100}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{0}}{-2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{-2}$ = $-5$

L={ $-5$}

$-5$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $-5$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$3x-14$

=

$-x^2+5x+1$

| $+x^2$ $-5x$ $-1$

$x^2-2x-15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-15\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{64}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{64}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $5$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-3$) = $-{\left(-3\right)}^2+5\cdot \left(-3\right)+1$ = $-9-15+1$ = $-23$

g( $5$) = $-5^2+5\cdot 5+1$ = $-25+25+1$ = $1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-3$| $-23$) und S₂( $5$| $1$).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $-3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=$-\frac{1}{2}$.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $-\frac{1}{2}x-3$ oder $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}x-3$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$-\frac{1}{2}x-3$	=	$-x^2+\frac{3}{2}x+12$	|⋅ 2
$2\left(-\frac{1}{2}x-3\right)$	=	$2\left(-x^2+\frac{3}{2}x+12\right)$
$-x-6$	=	$-2x^2+3x+24$	| $+2x^2$ $-3x$ $-24$

$2x^2-4x-30$ = 0 |:2

$x^2-2x-15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-15\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{64}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{64}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $5$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-3$) = $-{\left(-3\right)}^2+\frac{3}{2}\cdot \left(-3\right)+12$ = $-9-\frac{9}{2}+12$ = $-\frac{3}{2}$

g( $5$) = $-5^2+\frac{3}{2}\cdot 5+12$ = $-25+\frac{15}{2}+12$ = $-\frac{11}{2}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-3$| $-\frac{3}{2}$) und S₂( $5$| $-\frac{11}{2}$).