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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 11 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 11 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11+1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11-1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

L={ $5$ ; $6$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 20 x + 4 x^{2}$ = $- 26$

Lösung einblenden

4 x^{2} - 20 x

=

- 26

|

+ 26

4 x^{2} - 20 x + 26

= 0 |:2

$2 x^{2} - 10 x + 13$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 13}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 104}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{(- 4)}}{4}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{23}{2} x + 28$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{23}{2} x + 28$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{23}{2} x + 28)$	=	0

$2 x^{2} - 23 x + 56$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 56}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 448}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{23+9}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = $8$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{23-9}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

L={ $3,5$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$8 x^{2} + x - 9$ = $(7 x - 5) (x + 4) - 23 x + 11$

Lösung einblenden

$8 x^{2} + x - 9$	=	$(7 x - 5) (x + 4) - 23 x + 11$
$8 x^{2} + x - 9$	=	$7 x^{2} + 23 x - 20 - 23 x + 11$
$8 x^{2} + x - 9$	=	$7 x^{2} - 9$	\| $+ 9$
$8 x^{2} + x$	=	$7 x^{2}$	\| $- 7 x^{2}$
$8 x^{2} - 7 x^{2} + x$	=	0
$x^{2} + x$	=	0
$x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{37}{4} x + \frac{9}{4}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{37}{4} x + \frac{9}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + \frac{37}{4} x + \frac{9}{4})$	=	0

$4 x^{2} + 37 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{37^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 369 - 144}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 225}}{8}$

x₁ = $\frac{- 37 + \sqrt{1 225}}{8}$ = $\frac{- 37+35}{8}$ = $\frac{- 2}{8}$ = $- 0,25$

x₂ = $\frac{- 37 - \sqrt{1 225}}{8}$ = $\frac{- 37-35}{8}$ = $\frac{- 72}{8}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $- 0,25$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 9$ |0) und N₂( $- 0,25$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} + 6 x + 26$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} - 4 x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} + 6 x + 26

=

- 3 x^{2} - 4 x + 1

|

+ 3 x^{2}

+ 4 x

- 1

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- 3 \cdot {(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 5) + 1$ = $- 3 \cdot 25 + 20 + 1$ = $- 75 + 20 + 1$ = $- 54$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 5$ | $- 54$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - 7 x - 7$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- x + 1$ oder $f(x) =$ $- x + 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x + 1

=

- x^{2} - 7 x - 7

|

+ x^{2}

+ 7 x

+ 7

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- {(- 4)}^{2} - 7 \cdot (- 4) - 7$ = $- 16 + 28 - 7$ = $5$

g( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{2} - 7 \cdot (- 2) - 7$ = $- 4 + 14 - 7$ = $3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $5$ ) und S₂( $- 2$ | $3$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)