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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 12 x - 32$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 12 x - 32$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 640}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{784}}{10}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{784}}{10}$ = $\frac{- 12+28}{10}$ = $\frac{16}{10}$ = $1,6$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{784}}{10}$ = $\frac{- 12-28}{10}$ = $\frac{- 40}{10}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $1,6$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 21 + x^{2} + 4 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 4 x - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $3$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{7}{2} x - \frac{49}{2}$ = 0

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$x^{2} + \frac{7}{2} x - \frac{49}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{7}{2} x - \frac{49}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 7 x - 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 49)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 392}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{441}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{- 7+21}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{- 7-21}{4}$ = $\frac{- 28}{4}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $3,5$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 9 x + 4$ = $(x + 6) (x + 6) + 3 x - 37$

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$2 x^{2} + 9 x + 4$	=	$(x + 6) (x + 6) + 3 x - 37$
$2 x^{2} + 9 x + 4$	=	$x^{2} + 12 x + 36 + 3 x - 37$
$2 x^{2} + 9 x + 4$	=	$x^{2} + 15 x - 1$	\| $- x^{2}$ $- 15 x$ $+ 1$

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 10 x + 25$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $- 5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} + 6 x + 6$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} + 2 x + 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x^{2} + 6 x + 6

=

2 x^{2} + 2 x + 2

|

- 2 x^{2}

- 2 x

- 2

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $2 \cdot {(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2) + 2$ = $2 \cdot 4 - 4 + 2$ = $8 - 4 + 2$ = $6$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 2$ | $6$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{31}{4} x - 16$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{1}{4}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{1}{4} x - 1$ oder $f(x) =$ $\frac{1}{4} x - 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{1}{4} x - 1$	=	$- x^{2} - \frac{31}{4} x - 16$	\|⋅ 4
$4 (\frac{1}{4} x - 1)$	=	$4 (- x^{2} - \frac{31}{4} x - 16)$
$x - 4$	=	$- 4 x^{2} - 31 x - 64$	\| $+ 4 x^{2}$ $+ 31 x$ $+ 64$

4 x^{2} + 32 x + 60

= 0 |:4

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8+2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8-2}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - \frac{31}{4} \cdot (- 5) - 16$ = $- 25 + \frac{155}{4} - 16$ = $- \frac{9}{4}$

g( $- 3$ ) = $- {(- 3)}^{2} - \frac{31}{4} \cdot (- 3) - 16$ = $- 9 + \frac{93}{4} - 16$ = $- \frac{7}{4}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $- \frac{9}{4}$ ) und S₂( $- 3$ | $- \frac{7}{4}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)