$2x^2-x-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·2·\left(-3\right)}}{2\cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{25}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{4}$ = $\mathrm{1,5}$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{25}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{4}$ = $-1$

L={ $-1$; $\mathrm{1,5}$}

$4x^2-24x$

=

$-36$

| $+36$

$4x^2-24x+36$ = 0 |:4

$x^2-6x+9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{{\left(-6\right)}^2-4·1·9}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{36-36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$}

$3$ ist 2-fache Lösung!

$x^2-\frac{21}{5}x+\frac{4}{5}$	=	0	|⋅ 5
$5\left(x^2-\frac{21}{5}x+\frac{4}{5}\right)$	=	0

$5x^2-21x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+21\pm \sqrt{{\left(-21\right)}^2-4·5·4}}{2\cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+21\pm \sqrt{441-80}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+21\pm \sqrt{361}}{10}$

x₁ = $\frac{21+\sqrt{361}}{10}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>21</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>19</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{40}{10}$ = $4$

x₂ = $\frac{21-\sqrt{361}}{10}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>21</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>19</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{10}$ = $\mathrm{0,2}$

L={ $\mathrm{0,2}$; $4$}

$3x^2+4x-3$	=	$\left(2x+7\right)\left(x+8\right)-9x-84$
$3x^2+4x-3$	=	$2x^2+23x+56-9x-84$
$3x^2+4x-3$	=	$2x^2+14x-28$	| $-2x^2$ $-14x$ $+28$

$x^2-10x+25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{{\left(-10\right)}^2-4·1·25}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{100-100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

L={ $5$}

$5$ ist 2-fache Lösung!

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^2-\frac{3}{5}x-\frac{14}{5}$	=	0	|⋅ 5
$5\left(x^2-\frac{3}{5}x-\frac{14}{5}\right)$	=	0

$5x^2-3x-14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·5·\left(-14\right)}}{2\cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{9+280}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{289}}{10}$

x₁ = $\frac{3+\sqrt{289}}{10}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>17</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{20}{10}$ = $2$

x₂ = $\frac{3-\sqrt{289}}{10}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>17</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-14}{10}$ = $-\mathrm{1,4}$

L={ $-\mathrm{1,4}$; $2$}

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $-\mathrm{1,4}$|0) und N₂( $2$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$-3x^2+7x+8$

=

$-4x^2+x-1$

| $+4x^2$ $-x$ $+1$

$x^2+6x+9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·1·9}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{36-36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$}

$-3$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-3$) = $-4\cdot {\left(-3\right)}^2-3-1$ = $-4\cdot 9-3-1$ = $-36-3-1$ = $-40$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $-3$| $-40$).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $0$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 2 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=$-\frac{1}{2}$.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $-\frac{1}{2}x$ oder $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}x$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$-\frac{1}{2}x$	=	$-x^2-\frac{3}{2}x+6$	|⋅ 2
$-x$	=	$2\left(-x^2-\frac{3}{2}x+6\right)$
$-x$	=	$-2x^2-3x+12$	| $+2x^2$ $+3x$ $-12$

$2x^2+2x-12$ = 0 |:2

$x^2+x-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-6\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $2$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-3$) = $-{\left(-3\right)}^2-\frac{3}{2}\cdot \left(-3\right)+6$ = $-9+\frac{9}{2}+6$ = $\frac{3}{2}$

g( $2$) = $-2^2-\frac{3}{2}\cdot 2+6$ = $-4-3+6$ = $-1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-3$| $\frac{3}{2}$) und S₂( $2$| $-1$).