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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 10 x + 21$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 10 x + 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 10+4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 10-4}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $- 3$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 18$ = $- 20 x$

Lösung einblenden

2 x^{2} + 18

=

- 20 x

|

+ 20 x

2 x^{2} + 20 x + 18

= 0 |:2

$x^{2} + 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10+8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10-8}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $- 1$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{9}{2} x - \frac{35}{2}$ = 0

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$x^{2} - \frac{9}{2} x - \frac{35}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{9}{2} x - \frac{35}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 9 x - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 280}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{9+19}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{9-19}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

L={ $- 2,5$ ; $7$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} - 4 x - 5$ = $(- 5 x - 4) (x + 1) - 4 x - 21$

Lösung einblenden

$- 4 x^{2} - 4 x - 5$	=	$(- 5 x - 4) (x + 1) - 4 x - 21$
$- 4 x^{2} - 4 x - 5$	=	$- 5 x^{2} - 9 x - 4 - 4 x - 21$
$- 4 x^{2} - 4 x - 5$	=	$- 5 x^{2} - 13 x - 25$	\| $+ 5 x^{2}$ $+ 13 x$ $+ 25$

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9+1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9-1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{11}{2} x + \frac{15}{2}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{11}{2} x + \frac{15}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{11}{2} x + \frac{15}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 11 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 11+1}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 11-1}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 2,5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 3$ |0) und N₂( $- 2,5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 4 x^{2} - 7 x - 6$
und
$g(x) =$ $- 5 x^{2} - 4 x - 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 4 x^{2} - 7 x - 6

=

- 5 x^{2} - 4 x - 2

|

+ 5 x^{2}

+ 4 x

+ 2

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $- 5 \cdot {(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) - 2$ = $- 5 \cdot 1 + 4 - 2$ = $- 5 + 4 - 2$ = $- 3$

g( $4$ ) = $- 5 \cdot 4^{2} - 4 \cdot 4 - 2$ = $- 5 \cdot 16 - 16 - 2$ = $- 80 - 16 - 2$ = $- 98$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $- 3$ ) und S₂( $4$ | $- 98$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{41}{4} x - 23$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- \frac{1}{4}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- \frac{1}{4} x + 2$ oder $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x + 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- \frac{1}{4} x + 2$	=	$- x^{2} - \frac{41}{4} x - 23$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{1}{4} x + 2)$	=	$4 (- x^{2} - \frac{41}{4} x - 23)$
$- x + 8$	=	$- 4 x^{2} - 41 x - 92$	\| $+ 4 x^{2}$ $+ 41 x$ $+ 92$

4 x^{2} + 40 x + 100

= 0 |:4

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - \frac{41}{4} \cdot (- 5) - 23$ = $- 25 + \frac{205}{4} - 23$ = $\frac{13}{4}$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 5$ | $\frac{13}{4}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)