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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 14 x - 3$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 14 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 + 60}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{256}}{10}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{256}}{10}$ = $\frac{14+16}{10}$ = $\frac{30}{10}$ = $3$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{256}}{10}$ = $\frac{14-16}{10}$ = $\frac{- 2}{10}$ = $- 0,2$

L={ $- 0,2$ ; $3$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 30 + 5 x^{2} + 47 x$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 47 x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 47 \pm \sqrt{47^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 47 \pm \sqrt{2 209 + 600}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 47 \pm \sqrt{2 809}}{10}$

x₁ = $\frac{- 47 + \sqrt{2 809}}{10}$ = $\frac{- 47+53}{10}$ = $\frac{6}{10}$ = $0,6$

x₂ = $\frac{- 47 - \sqrt{2 809}}{10}$ = $\frac{- 47-53}{10}$ = $\frac{- 100}{10}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $0,6$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} - 16 x - 65$ = 0

Lösung einblenden

$- x^{2} - 16 x - 65$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 65)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 260}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{(- 4)}}{- 2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 x^{2} - 4 x + 4$ = $(8 x - 3) (x - 6) + 47 x - 10$

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$9 x^{2} - 4 x + 4$	=	$(8 x - 3) (x - 6) + 47 x - 10$
$9 x^{2} - 4 x + 4$	=	$8 x^{2} - 51 x + 18 + 47 x - 10$
$9 x^{2} - 4 x + 4$	=	$8 x^{2} - 4 x + 8$	\| $- 4$
$9 x^{2} - 4 x$	=	$8 x^{2} - 4 x + 4$	\| $- 8 x^{2}$ $+ 4 x$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{27}{2} x + \frac{81}{2}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{27}{2} x + \frac{81}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{27}{2} x + \frac{81}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 27 x + 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{27^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 81}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{729 - 648}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 27 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 27+9}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

x₂ = $\frac{- 27 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 27-9}{4}$ = $\frac{- 36}{4}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $- 4,5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 9$ |0) und N₂( $- 4,5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 3 x^{2} - 9 x + 24$
und
$g(x) =$ $- 4 x^{2} + x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 3 x^{2} - 9 x + 24

=

- 4 x^{2} + x - 1

|

+ 4 x^{2}

- x

+ 1

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

L={ $5$ }

$5$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $5$ ) = $- 4 \cdot 5^{2} + 5 - 1$ = $- 4 \cdot 25 + 5 - 1$ = $- 100 + 5 - 1$ = $- 96$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $5$ | $- 96$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + \frac{5}{4} x + 11$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{1}{4}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{1}{4} x - 1$ oder $f(x) =$ $\frac{1}{4} x - 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{1}{4} x - 1$	=	$- x^{2} + \frac{5}{4} x + 11$	\|⋅ 4
$4 (\frac{1}{4} x - 1)$	=	$4 (- x^{2} + \frac{5}{4} x + 11)$
$x - 4$	=	$- 4 x^{2} + 5 x + 44$	\| $+ 4 x^{2}$ $- 5 x$ $- 44$

4 x^{2} - 4 x - 48

= 0 |:4

$x^{2} - x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- {(- 3)}^{2} + \frac{5}{4} \cdot (- 3) + 11$ = $- 9 - \frac{15}{4} + 11$ = $- \frac{7}{4}$

g( $4$ ) = $- 4^{2} + \frac{5}{4} \cdot 4 + 11$ = $- 16 + 5 + 11$ = 0

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $- \frac{7}{4}$ ) und S₂( $4$ |0).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)