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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 11 x - 36$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 11 x - 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 720}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{841}}{10}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{841}}{10}$ = $\frac{11+29}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = $4$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{841}}{10}$ = $\frac{11-29}{10}$ = $\frac{- 18}{10}$ = $- 1,8$

L={ $- 1,8$ ; $4$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 6 x - 40$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} - 6 x - 40

= 0 |:2

$2 x^{2} - 3 x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{3+13}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{3-13}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

L={ $- 2,5$ ; $4$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{17}{2} x + 15$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{17}{2} x + 15$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{17}{2} x + 15)$	=	0

$2 x^{2} - 17 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 30}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 240}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{17+7}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = $6$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{17-7}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

L={ $2,5$ ; $6$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} + x - 4$ = $(- 2 x + 6) (x - 1) - 17 x - 23$

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$- x^{2} + x - 4$	=	$(- 2 x + 6) (x - 1) - 17 x - 23$
$- x^{2} + x - 4$	=	$- 2 x^{2} + 8 x - 6 - 17 x - 23$
$- x^{2} + x - 4$	=	$- 2 x^{2} - 9 x - 29$	\| $+ 2 x^{2}$ $+ 9 x$ $+ 29$

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 12$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$- 3 x^{2} + 12$	=	0	\| $- 12$
$- 3 x^{2}$	=	$- 12$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 2$ |0) und N₂( $2$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $5 x^{2}$
und
$g(x) =$ $4 x^{2} + 3 x + 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

5 x^{2}

=

4 x^{2} + 3 x + 4

|

- 4 x^{2}

- 3 x

- 4

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $4 \cdot {(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1) + 4$ = $4 \cdot 1 - 3 + 4$ = $4 - 3 + 4$ = $5$

g( $4$ ) = $4 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 4$ = $4 \cdot 16 + 12 + 4$ = $64 + 12 + 4$ = $80$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $5$ ) und S₂( $4$ | $80$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2}$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 2 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $2$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $2 x + 1$ oder $f(x) =$ $2 x + 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

2 x + 1

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2}$ = $- 1$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 1$ | $- 1$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)