$4x^2+16x+16$ = 0 |:4

$x^2+4x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·4}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$}

$-2$ ist 2-fache Lösung!

$16x^2-16x+4$ = 0 |:4

$4x^2-4x+1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·4·1}}{2\cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{16-16}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{8}$ = $\frac{1}{2}$

L={ $\frac{1}{2}$}

$\frac{1}{2}$ ist 2-fache Lösung!

$x^2-7x+\frac{49}{4}$	=	0	|⋅ 4
$4\left(x^2-7x+\frac{49}{4}\right)$	=	0

$4x^2-28x+49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+28\pm \sqrt{{\left(-28\right)}^2-4·4·49}}{2\cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+28\pm \sqrt{784-784}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+28\pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{28}{8}$ = $\frac{7}{2}$

L={ $\frac{7}{2}$}

$\frac{7}{2}$ ist 2-fache Lösung!

$-7x-3$	=	$\left(-x-9\right)\left(x-6\right)-6x-57$
$-7x-3$	=	$-x^2-3x+54-6x-57$
$-7x-3$	=	$-x^2-9x-3$	| $+3$
$-7x$	=	$-x^2-9x$	| $-\left(-x^2-9x\right)$
$x^2-7x+9x$	=	0
$x^2+2x$	=	0
$x\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-2$; 0}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^2-12x+27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+12\pm \sqrt{{\left(-12\right)}^2-4·1·27}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+12\pm \sqrt{144-108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+12\pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{12+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>12</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{12-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>12</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$; $9$}

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $3$|0) und N₂( $9$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$2x^2+x-4$

=

$x^2-x-5$

| $-x^2$ $+x$ $+5$

$x^2+2x+1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·1}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4-4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$}

$-1$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-1$) = ${\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)-5$ = $1+1-5$ = $-3$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $-1$| $-3$).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=$-\frac{3}{4}$.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $-\frac{3}{4}x+2$ oder $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{4}x+2$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$-\frac{3}{4}x+2$	=	$-x^2+\frac{29}{4}x-14$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{3}{4}x+2\right)$	=	$4\left(-x^2+\frac{29}{4}x-14\right)$
$-3x+8$	=	$-4x^2+29x-56$	| $+4x^2$ $-29x$ $+56$

$4x^2-32x+64$ = 0 |:4

$x^2-8x+16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{{\left(-8\right)}^2-4·1·16}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{64-64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$}

$4$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $4$) = $-4^2+\frac{29}{4}\cdot 4-14$ = $-16+29-14$ = $-1$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $4$| $-1$).