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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 - 30 x + 25 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$25 x^{2} - 30 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 30 \pm \sqrt{{(- 30)}^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 9}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{+ 30 \pm \sqrt{900 - 900}}{50}$

x_1,2 = $\frac{+ 30 \pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{30}{50}$ = $\frac{3}{5}$

L={ $\frac{3}{5}$ }

$\frac{3}{5}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 12 x + 27$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 12 x + 27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{12+6}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{12-6}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} + 3 x + 3$ = $(2 x + 9) (x + 4) - 14 x - 32$

Lösung einblenden

$3 x^{2} + 3 x + 3$	=	$(2 x + 9) (x + 4) - 14 x - 32$
$3 x^{2} + 3 x + 3$	=	$2 x^{2} + 17 x + 36 - 14 x - 32$
$3 x^{2} + 3 x + 3$	=	$2 x^{2} + 3 x + 4$	\| $- 3$
$3 x^{2} + 3 x$	=	$2 x^{2} + 3 x + 1$	\| $- 2 x^{2}$ $- 3 x$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{17}{2} x - \frac{9}{2}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{17}{2} x - \frac{9}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{17}{2} x - \frac{9}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 17 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{17+19}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = $9$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{17-19}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

L={ $- 0,5$ ; $9$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 0,5$ |0) und N₂( $9$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} - 12 x + 13$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} - 4 x - 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} - 12 x + 13

=

- 3 x^{2} - 4 x - 3

|

+ 3 x^{2}

+ 4 x

+ 3

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $4$ ) = $- 3 \cdot 4^{2} - 4 \cdot 4 - 3$ = $- 3 \cdot 16 - 16 - 3$ = $- 48 - 16 - 3$ = $- 67$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $4$ | $- 67$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{17}{4} x - 3$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $1$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{3}{4}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{3}{4} x + 1$ oder $f(x) =$ $\frac{3}{4} x + 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{3}{4} x + 1$	=	$- x^{2} - \frac{17}{4} x - 3$	\|⋅ 4
$4 (\frac{3}{4} x + 1)$	=	$4 (- x^{2} - \frac{17}{4} x - 3)$
$3 x + 4$	=	$- 4 x^{2} - 17 x - 12$	\| $+ 4 x^{2}$ $+ 17 x$ $+ 12$

4 x^{2} + 20 x + 16

= 0 |:4

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- {(- 4)}^{2} - \frac{17}{4} \cdot (- 4) - 3$ = $- 16 + 17 - 3$ = $- 2$

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2} - \frac{17}{4} \cdot (- 1) - 3$ = $- 1 + \frac{17}{4} - 3$ = $\frac{1}{4}$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 2$ ) und S₂( $- 1$ | $\frac{1}{4}$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)