Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 7 x - 4$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 7 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 7+9}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 7-9}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $0,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$32 + 12 x + x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 12 x + 32$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 12+4}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 12-4}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $- 4$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 34 x + 144$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} + 34 x + 144

= 0 |:2

$x^{2} + 17 x + 72$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 72}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 288}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 17+1}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 17-1}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $- 8$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 3 x - 3$ = $(x + 9) (x + 1) - 12 x - 6$

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 3 x - 3$	=	$(x + 9) (x + 1) - 12 x - 6$
$2 x^{2} - 3 x - 3$	=	$x^{2} + 10 x + 9 - 12 x - 6$
$2 x^{2} - 3 x - 3$	=	$x^{2} - 2 x + 3$	\| $- x^{2}$ $+ 2 x$ $- 3$

$x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + x - 6$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $2$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 3$ |0) und N₂( $2$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- x^{2} + 13 x + 18$
und
$g(x) =$ $- 2 x^{2} + 5 x + 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 13 x + 18

=

- 2 x^{2} + 5 x + 3

|

+ 2 x^{2}

- 5 x

- 3

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8+2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8-2}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- 2 \cdot {(- 5)}^{2} + 5 \cdot (- 5) + 3$ = $- 2 \cdot 25 - 25 + 3$ = $- 50 - 25 + 3$ = $- 72$

g( $- 3$ ) = $- 2 \cdot {(- 3)}^{2} + 5 \cdot (- 3) + 3$ = $- 2 \cdot 9 - 15 + 3$ = $- 18 - 15 + 3$ = $- 30$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $- 72$ ) und S₂( $- 3$ | $- 30$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - x + 5$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $x - 3$ oder $f(x) =$ $x - 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x - 3

=

- x^{2} - x + 5

|

+ x^{2}

+ x

- 5

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- {(- 4)}^{2} - (- 4) + 5$ = $- 16 + 4 + 5$ = $- 7$

g( $2$ ) = $- 2^{2} - 2 + 5$ = $- 4 - 2 + 5$ = $- 1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 7$ ) und S₂( $2$ | $- 1$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)