Aufgabenbeispiele von Tests
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Hypothesen-Test linksseitig
Beispiel:
Durch einen Test soll statistisch belegt werden, dass eine bestimmte Wahrscheinlichkeit p< 0,5 ist. Dazu soll die Nullhypothese H0: p=0,5 mit einer zufälligen Stichprobe (praktisch als Zufallsexperiment) der Größe n=75 verworfen werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 1% betragen.In welchem Bereich muss die Anzahl der Treffer bei der Stichprobe liegen, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten? Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?
k | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
21 | 0.0001 |
22 | 0.0002 |
23 | 0.0005 |
24 | 0.0012 |
25 | 0.0026 |
26 | 0.0053 |
27 | 0.0101 |
28 | 0.0185 |
29 | 0.032 |
30 | 0.0527 |
... | ... |
Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.5 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.5 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 1% ist.
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(75,0.5,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 26 weniger als 1% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.5 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.5 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0053 =0.53% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)
Ablehnungsbereich von H0: [0;26]
Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [27;75]
Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;26], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [27;75], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
Hypothesen-Test rechtseitig
Beispiel:
Die Kursstufenschüler Maxi und Noah verbringen ihr Pausen leidenschaftlich gerne mit einem Bäckertüten-Mülleimer-Contest. Dabei geht es darum, eine zusammengeknüllte Bäckertüte in den an der entferntesten Ecke stehenden Mülleimer zu treffen. Der interessiert zuschauende Mathelehrer rät ihnen doch etwas näher an den Mülleimer ran zu gehen, weil sie eh höchstens jedes zehnte mal treffen. Empfindlich in ihre Macho-Ehre verletzt, beschließen sie darauf hin ein Test mit 87 Würfen durchzuführen, der die absurd niedrige vom Lehrer behauptete Trefferquote auf einem Signifikanzniveau von 5% widerlegen soll. In welchem Bereich müsste die Trefferzahl liegen, um über den Mathelehrer zu triumphieren zu können?
k | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
9 | 0.6291 |
10 | 0.749 |
11 | 0.8423 |
12 | 0.9079 |
13 | 0.95 |
14 | 0.9747 |
15 | 0.988 |
16 | 0.9947 |
17 | 0.9978 |
18 | 0.9991 |
... | ... |
Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.1 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.1 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.
Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(87,0.1,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 14 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.
Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;14]
Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 15 Treffern beginnt.
Ablehnungsbereich von H0: [15;87]
Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.1 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.1 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0253 =2.53% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)
Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [15;87], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;14], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
Hypothesen-Test linksseitig
Beispiel:
Ein Großhändler beklagt sich, dass gelieferte LED-Leuchtmittel mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,09 bereits nach wenigen Stunden defekt werden. Die herstellende Firma glaubt das nicht und hält die Ausschussquote für viel geringer. Deswegen führt sie einen Test mit 53 Leuchtmitteln durch. Als Signifikanzniveau für diesen Test wird 5% festgelegt. In welchem Bereich muss die Anzahl der defekten LED-Leuchtmittel liegen, damit die Firma die Aussage des Großhändlers widerlegt? Wie hoch bleibt die Irrtumswahrscheinlichkeit?
k | P(X≤k) |
---|---|
0 | 0.0067 |
1 | 0.0421 |
2 | 0.1331 |
3 | 0.286 |
4 | 0.4751 |
5 | 0.6583 |
... | ... |
Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.09 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.09 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(53,0.09,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 1 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.09 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.09 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0421 =4.21% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)
Ablehnungsbereich von H0: [0;1]
Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [2;53]
Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;1], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [2;53], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
Fehler 2. Art
Beispiel:
Ein Großhändler beklagt sich, dass gelieferte LED-Leuchtmittel mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,35 bereits nach wenigen Stunden defekt werden. Die herstellende Firma glaubt das nicht und hält die Ausschussquote für viel geringer. Deswegen führt sie einen Test mit 74 Leuchtmitteln durch. Als Signifikanzniveau für diesen Test wird 5% festgelegt. a) In welchem Bereich muss die Anzahl der defekten LED-Leuchtmittel liegen, damit die Firma die Aussage des Großhändlers widerlegt? b) In Wirklichkeit liegt die Ausfallwahrscheinlickeit der Leuchtmittel nur bei p=0,14. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der defekten Leuchtmittel nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?
k | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
13 | 0.0008 |
14 | 0.0019 |
15 | 0.0043 |
16 | 0.0091 |
17 | 0.0179 |
18 | 0.033 |
19 | 0.0569 |
20 | 0.0923 |
21 | 0.1413 |
22 | 0.2048 |
... | ... |
Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.35 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.35 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(74,0.35,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 18 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.35 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.35 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.033 =3.3% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)
Ablehnungsbereich von H0: [0;18]
Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [19;74]
Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;18], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [19;74], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
In dieser Aufgabe ist ja aber H0:p=0.35 falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.14 ist.
Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 19 bis 74, so dass H0 (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.
Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.14) beträgt nun: =1- ≈ 1-0.9944 ≈ 0.0056
Mit 0.56% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.
Fehler 1. Art beurteilen
Beispiel:
Ein Casino hat ein Glücksrad, bei dem die Gewinnwahrscheinlichkeit für den Hauptgewinn mit 3% angegeben wird. Spielgäste haben sich beschwert, weil sie glauben, dass diese Gewinnwahrscheinlichkeit in Wirklichkeit kleiner wäre. Deswegen führt das Casino einen Hypothesentest mit 200 Drehungen dieses Glücksrads durch. Dabei soll das Risiko auf 4% begrenzt werden, dass aufgrund des Tests das Glückrad unnötigerweise ausgetauscht wird, obwohl die Gewinnwahrscheinlichkeit nicht kleiner als 3% ist.
Entscheide dich, welche der angebotenen Nullhypothesen für diesen Test verwendet werden muss.
Wir betrachten jede der 4 möglichen Nullhypothesen im Detail:
1. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt mindestens 3%

Wenn die Nullhypothese H0: " ... mindestens 3%", also p ≥ 0.03 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p < 0.03 ist - also ist es ein linksseitiger Hypothesentest.
Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im linken (orangen) Ablehnungesbreich kleiner als das Signifikanzniveau α = 4% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≥ 0.03 doch stimmen sollte.
Die Wahrscheinlichkeit, p ≥ 0.03 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 4%.
In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≥ 0.03 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p < 0.03 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit das Glücksrad unnötigerweise auszutauschen, auf unter 4% begrenzt werden könnte.
Mit dieser Nullhypothese kann also ein Test die gegebenen Vorgaben erfüllen.
2. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt mindestens 4%

Die Nullhypothese H0: " ... mindestens 4%", also p ≥ 0.04 macht keinen Sinn, weil die 4%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.
In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=3% gehen, also die Gewinnwahrscheinlichkeit dieses Glücksrad.
3. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt höchstens 3%

Wenn die Nullhypothese H0: " ... höchstens 3%", also p ≤ 0.03 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p > 0.03 ist - also ist es ein rechtseitiger Hypothesentest.
Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im rechten (orangen) Ablehnungesbreich kleiner als das Signifikanzniveau α = 4% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≤ 0.03 doch stimmen sollte.
Die Wahrscheinlichkeit, p ≤ 0.03 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 4%
In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≤ 0.03 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p > 0.03 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit das Glücksrad nicht auszutauschen und Ärger mit der Glückspielbehörde zu riskieren, auf unter 4% begrenzt werden könnte.
Mit dieser Nullhypothese würde man also ein anderes Risiko absichern, als das im Aufgabentext geforderte.
4. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Glücksrad beträgt höchstens 4%

Die Nullhypothese H0: " ... höchstens 4%", also p ≤ 0.04 macht keinen Sinn, weil die 4%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.
In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=3% gehen, also die Gewinnwahrscheinlichkeit dieses Glücksrad.
zweiseitiger Test
Beispiel:
Ein Roulettetisch scheint ungleichmäßig zu laufen. Ein Spieler bezweifelt deswegen, dass die vorgegebene Wahrscheinlichkeit der grünen Null von p= wirklich stimmt. Diese Vermutung soll durch einen zweiseitigen Test mit 160 Drehungen des Roulettes untermauert werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 5% betragen.
In welchen Bereichen muss die Häufigkeit der grünen Null bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese p= statistisch untermauert ablehnen zu können? Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?
k | P(X≤k) |
---|---|
0 | 0.0125 |
1 | 0.0679 |
2 | 0.1904 |
3 | 0.3696 |
... | ... |
Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p = zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< oder p> ist, es ist ein zweiseitiger Hypothesentest.
Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken und auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieser beiden Bereiche gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.
Dazu teilen wir das Signifikanzniveau 5% gerecht auf 2.5% auf der linken und 2.5% auf der rechten Seite.
Linke Seite:
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: binomcdf mit n=160 und p=), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 0 gerade noch weniger als 2.5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Damit haben wir den linken Teil des Ablehnungsbereichs
k | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
7 | 0.9299 |
8 | 0.9693 |
9 | 0.9878 |
10 | 0.9956 |
11 | 0.9985 |
... | ... |
Rechte Seite:
Auch am rechten Rand darf der Ablehnungsbereich höchstens 2.5% Gesamtwahrscheinlikeit auf sich vereinen, das bedeutet, dass der gesamte Bereich links vom rechten Ablehnungsbereich mindestens 1 - 0.025 = 0.975 als Wahrscheinlichkeit haben muss.
In der Tabelle links erkennt man, dass bei k=9 erstmals ≥ 0.975 ist (links in der Tabelle in blau dargestellt). Das bedeutet, dass das Intervall von 10 bis 160 das größte ist, das am rechten Rand eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unter 2.5% hat.
Der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite ist somit von 10 bis 160.
Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in eines dieser beiden Intervalle, so wäre das bei Gültigkeit der Nullhypothese H0: p= so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p≠ als statistisch abgesichert betrachten darf.
Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von
=
0.0125 auf der linken Seite und
= 1-0.9878
= 0.0122 auf der rechten Seite.
Insgesamt ist somit die Irrtumswahrscheinlichkeit
PIrr = 0.0125 + 0.0122 = 0.0246
=2.46% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)
Ablehnungsbereich von H0: [0;0] und [10;160]
Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [1;9]
Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in einen der Ablehnungsbereiche von H0: [0;0] oder [10;160], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [1;9], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)