Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$4\cdot 3-5y$ = $42$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4\cdot 3-5y$	=	$42$
$12-5y$	=	$42$
$-5y+12$	=	$42$	| $-12$
$-5y$	=	$30$	|:($-5$)
$y$	=	$-6$

Die Lösung ist somit: (3|-6)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|3)
denn 4⋅0 +4⋅3 = 0 +12 = $12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-1)
denn 4⋅4 +4⋅( - 1 ) = 16 -4 = $12$

Oder : (-4|7)
denn 4⋅( - 4 ) +4⋅7 = -16 +28 = $12$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·1+4y$	=	$25$
$1+4y$	=	$25$
$4y+1$	=	$25$	| $-1$
$4y$	=	$24$	|:$4$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-4-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+1·\left(-4-2x\right)$	=	$-8$
$3x-4-2x$	=	$-8$
$x-4$	=	$-8$	| $+4$
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-4-2\cdot \left(-4\right)$

= $-4+8$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $1+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(1+3y\right)-y$	=	$7$
$2+6y-y$	=	$7$
$5y+2$	=	$7$	| $-2$
$5y$	=	$5$	|:$5$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $1+3\cdot 1$

= $1+3$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $7+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-2·\left(7+3x\right)$	=	$6$
$-4x-14-6x$	=	$6$
$-10x-14$	=	$6$	| $+14$
$-10x$	=	$20$	|:($-10$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $7+3\cdot \left(-2\right)$

= $7-6$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -2y = ?

3x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

4x -2y = -4 +6 = 2

3x +1y = -3 -3 = -6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -2y = 2

3x +1y = -6

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-1-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-1-2y\right)-6y$	=	$5$
$3+6y-6y$	=	$5$
$3$	=	$5$	| $-3$
0	=	$2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $9-6y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(9-6y\right)-2y$	=	$7$
$27-18y-2y$	=	$7$
$-20y+27$	=	$7$	| $-27$
$-20y$	=	$-20$	|:($-20$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $9-6\cdot 1$

= $9-6$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 1