Man setzt einfach x = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$4-y$ = $3$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4-y$	=	$3$
$4-y$	=	$3$
$-y+4$	=	$3$	| $-4$
$-y$	=	$-1$	|:($-1$)
$y$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (4|1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-1)
denn -3⋅( - 2 ) -2⋅( - 1 ) = 6 +2 = $8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|2)
denn -3⋅( - 4 ) -2⋅2 = 12 -4 = $8$

Oder : (0|-4)
denn -3⋅0 -2⋅( - 4 ) = 0 +8 = $8$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-6\right)-2y$	=	$-30$
$-18-2y$	=	$-30$
$-2y-18$	=	$-30$	| $+18$
$-2y$	=	$-12$	|:($-2$)
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $14-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(14-2y\right)-3y$	=	$-6$
$14-2y-3y$	=	$-6$
$-5y+14$	=	$-6$	| $-14$
$-5y$	=	$-20$	|:($-5$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $14-2\cdot 4$

= $14-8$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1+\frac{5}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+5·\left(1+\frac{5}{4}x\right)$	=	$5$
$-3x+5+\frac{25}{4}x$	=	$5$
$\frac{13}{4}x+5$	=	$5$	|⋅ 4
$4\left(\frac{13}{4}x+5\right)$	=	$20$
$13x+20$	=	$20$	| $-20$
$13x$	=	0	|:$13$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1+\frac{5}{4}\cdot 0$

= $1+0$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (0|1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $\frac{15}{4}+\frac{1}{4}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-\frac{3}{2}·\left(\frac{15}{4}+\frac{1}{4}y\right)-y$	=	$-7$
$-\frac{45}{8}-\frac{3}{8}y-y$	=	$-7$
$-\frac{11}{8}y-\frac{45}{8}$	=	$-7$	|⋅ 8
$8\left(-\frac{11}{8}y-\frac{45}{8}\right)$	=	$-56$
$-11y-45$	=	$-56$	| $+45$
$-11y$	=	$-11$	|:($-11$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $\frac{15}{4}+\frac{1}{4}\cdot 1$

= $\frac{15}{4}+\frac{1}{4}$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +3y = ?

6x +8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

4x +3y = 20 -15 = 5

6x +8y = 30 -40 = -10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +3y = 5

6x +8y = -10

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+4·\left(-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}x\right)$	=	$-3$
$-2x-3+2x$	=	$-3$
$-3$	=	$-3$	| $+3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{275}{2}+\frac{5}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-5·\left(-\frac{275}{2}+\frac{5}{4}x\right)$	=	$50$
$2x+\frac{1375}{2}-\frac{25}{4}x$	=	$50$
$-\frac{17}{4}x+\frac{1375}{2}$	=	$50$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{17}{4}x+\frac{1375}{2}\right)$	=	$200$
$-17x+2750$	=	$200$	| $-2750$
$-17x$	=	$-2550$	|:($-17$)
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{275}{2}+\frac{5}{4}\cdot 150$

= $-\frac{275}{2}+\frac{375}{2}$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (150|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50