Man setzt einfach x = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$-5-3y$ = $-2$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-5-3y$	=	$-2$
$-5-3y$	=	$-2$
$-3y-5$	=	$-2$	| $+5$
$-3y$	=	$3$	|:($-3$)
$y$	=	$-1$

Die Lösung ist somit: (5|-1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|-2)
denn -1⋅6 -2⋅( - 2 ) = -6 +4 = $-2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-1)
denn -1⋅4 -2⋅( - 1 ) = -4 +2 = $-2$

Oder : (8|-3)
denn -1⋅8 -2⋅( - 3 ) = -8 +6 = $-2$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-4\right)-3y$	=	$-2$
$-8-3y$	=	$-2$
$-3y-8$	=	$-2$	| $+8$
$-3y$	=	$6$	|:($-3$)
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $20-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(20-3y\right)-y$	=	$5$
$40-6y-y$	=	$5$
$-7y+40$	=	$5$	| $-40$
$-7y$	=	$-35$	|:($-7$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $20-3\cdot 5$

= $20-15$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|5)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{8}{5}-\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-2·\left(\frac{8}{5}-\frac{2}{5}x\right)$	=	$-7$
$3x-\frac{16}{5}+\frac{4}{5}x$	=	$-7$
$\frac{19}{5}x-\frac{16}{5}$	=	$-7$	|⋅ 5
$5\left(\frac{19}{5}x-\frac{16}{5}\right)$	=	$-35$
$19x-16$	=	$-35$	| $+16$
$19x$	=	$-19$	|:$19$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{8}{5}-\frac{2}{5}\cdot \left(-1\right)$

= $\frac{8}{5}+\frac{2}{5}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-\frac{3}{2}y$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$\frac{3}{2}·\left(-\frac{3}{2}y\right)+3y$	=	$-\frac{3}{2}$
$-\frac{9}{4}y+3y$	=	$-\frac{3}{2}$
$\frac{3}{4}y$	=	$-\frac{3}{2}$	|⋅ 4
$3y$	=	$-6$	|:$3$
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-\frac{3}{2}\cdot \left(-2\right)$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-2)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +5y = ?

-3x +16y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-1x +5y = -4 +10 = 6

-3x +16y = -12 +32 = 20

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +5y = 6

-3x +16y = 20

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-2+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-12x+3·\left(-2+4x\right)$	=	$-6$
$-12x-6+12x$	=	$-6$
$-6$	=	$-6$	| $+6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $40-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x+7·\left(40-4x\right)$	=	$170$
$6x+280-28x$	=	$170$
$-22x+280$	=	$170$	| $-280$
$-22x$	=	$-110$	|:($-22$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $40-4\cdot 5$

= $40-20$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (5|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20