Aufgabenbeispiele von LGS
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Wert zum Einsetzen finden
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: = .
Bestimme x so, dass (x|6) eine Lösung dieser Gleichung ist.
Man setzt einfach y = 6 in die Gleichung ein und erhält:
=
Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:
| = | |||
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Die Lösung ist somit: (-3|6)
Wert zum Einsetzen finden (offen)
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: = .
Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.
Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|-5)
denn
1⋅
Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|-6)
denn 1⋅
Oder : (-5|-4)
denn 1⋅
LGS (1 Var. schon aufgelöst)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:
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= |
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|:( |
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= |
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Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y
durch
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= |
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= |
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= |
|
|:( |
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|
= |
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Somit haben wir eine Lösung für x.
Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y =
Die Lösung des LGS ist damit: (-5|6)
LGS (1 Var. ohne Koeff.)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:
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= |
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= |
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Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x
durch (
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= |
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= |
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= |
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= |
|
|:( |
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= |
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Somit haben wir eine Lösung für y.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
x =
=
=
also
x = 4
Die Lösung des LGS ist damit: (4|6)
LGS (Standard)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:
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= |
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= |
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= |
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Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y
durch (
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= |
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= |
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= |
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= |
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|: |
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= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = 3
Die Lösung des LGS ist damit: (-4|3)
LGS (vorher umformen)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:
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= |
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= |
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|⋅ 2 |
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= |
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= |
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= |
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|: |
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= |
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Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y
durch (
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= |
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= |
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= |
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|⋅ 3 |
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= |
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= |
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= |
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|: |
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= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = -1
Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)
LGS zu Lösungen finden
Beispiel:
Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.
Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:
5x
6x
Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:
5x
6x
So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:
5x
6x
LGS Lösungsvielfalt erkennen
Beispiel:
Bestimme die Lösungsmenge:
Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:
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= |
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= |
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= |
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Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y
durch (
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= |
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= |
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= |
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| = |
|
Diese Gleichung hat keine Lösung!
Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.
LGS Anwendungen
Beispiel:
Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 9. Wenn man aber vom 5-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 1. Bestimme x und y.
Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:
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= |
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= |
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Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x
durch (
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= |
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= |
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= |
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|
= |
|
|:( |
|
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= |
|
Somit haben wir eine Lösung für y.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
x =
=
=
also
x = 1
Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)
Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:
x (x-Wert): 1
y (y-Wert): 2
