Aufgabenbeispiele von LGS
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Wert zum Einsetzen finden
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: = .
Bestimme x so, dass (x|-2) eine Lösung dieser Gleichung ist.
Man setzt einfach y = -2 in die Gleichung ein und erhält:
=
Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:
= | | | ||
= | |:() | ||
= |
Die Lösung ist somit: (3|-2)
Wert zum Einsetzen finden (offen)
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: = .
Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.
Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|7)
denn
2⋅
Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|5)
denn 2⋅
Oder : (3|9)
denn 2⋅
LGS (1 Var. schon aufgelöst)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y
durch
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y =
Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-4)
LGS (1 Var. ohne Koeff.)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y
durch (
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = -2
Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)
LGS (Standard)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:
|
= | ||
|
= | |
|
|
|
= |
|
|: |
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y
durch
|
= |
|
|
|
= |
|
|⋅ 3 |
|
= |
|
|: |
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
also
y = 5
Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)
LGS (vorher umformen)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:
|
= |
|
|
|
= |
|
|⋅ 2 |
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y
durch (
|
= |
|
|
|
= |
|
|⋅ 20 |
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = -5
Die Lösung des LGS ist damit: (1|-5)
LGS zu Lösungen finden
Beispiel:
Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.
Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:
3x
5x
Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:
3x
5x
So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:
3x
5x
LGS Lösungsvielfalt erkennen
Beispiel:
Bestimme die Lösungsmenge:
Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y
durch (
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
also
y = 6
Die Lösung des LGS ist damit: (5|6)
LGS Anwendungen
Beispiel:
In einem Raum brennen 3 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 288 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 2 Halogenleuchten zusammen 84 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?
Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und
Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:
Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y
durch (
|
= |
|
|
|
= |
|
|⋅ 3 |
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = 30
Die Lösung des LGS ist damit: (6|30)
Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:
Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6
Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30