Man setzt einfach x = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$4\cdot 5+5y$ = $-15$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4\cdot 5+5y$	=	$-15$
$20+5y$	=	$-15$
$5y+20$	=	$-15$	| $-20$
$5y$	=	$-35$	|:$5$
$y$	=	$-7$

Die Lösung ist somit: (5|-7)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|0)
denn 3⋅7 -1⋅0 = 21 +0 = $21$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (6|-3)
denn 3⋅6 -1⋅( - 3 ) = 18 +3 = $21$

Oder : (8|3)
denn 3⋅8 -1⋅3 = 24 -3 = $21$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-3·1$	=	$-8$
$x-3$	=	$-8$	| $+3$
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|1)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $13+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-2·\left(13+3x\right)$	=	$24$
$-4x-26-6x$	=	$24$
$-10x-26$	=	$24$	| $+26$
$-10x$	=	$50$	|:($-10$)
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $13+3\cdot \left(-5\right)$

= $13-15$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-2)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{5}{3}-\frac{5}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-3·\left(\frac{5}{3}-\frac{5}{3}x\right)$	=	$4$
$4x-5+5x$	=	$4$
$9x-5$	=	$4$	| $+5$
$9x$	=	$9$	|:$9$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{5}{3}-\frac{5}{3}\cdot 1$

= $\frac{5}{3}-\frac{5}{3}$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (1|0)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1-\frac{4}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}·\left(1-\frac{4}{5}x\right)$	=	$-\frac{2}{3}$
$-\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}+\frac{8}{15}x$	=	$-\frac{2}{3}$
$\frac{1}{30}x-\frac{2}{3}$	=	$-\frac{2}{3}$	|⋅ 30
$30\left(\frac{1}{30}x-\frac{2}{3}\right)$	=	$-20$
$x-20$	=	$-20$	| $+20$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1-\frac{4}{5}\cdot 0$

= $1+0$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (0|1)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +2y = ?

-2x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-1x +2y = 1 +10 = 11

-2x +6y = 2 +30 = 32

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +2y = 11

-2x +6y = 32

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $3-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(3-4y\right)-12y$	=	$-8$
$-9+12y-12y$	=	$-8$
$-9$	=	$-8$	| $+9$
0	=	$1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-1000+\frac{7}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x-5·\left(-1000+\frac{7}{2}x\right)$	=	$1550$
$6x+5000-\frac{35}{2}x$	=	$1550$
$-\frac{23}{2}x+5000$	=	$1550$	|⋅ 2
$2\left(-\frac{23}{2}x+5000\right)$	=	$3100$
$-23x+10000$	=	$3100$	| $-10000$
$-23x$	=	$-6900$	|:($-23$)
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-1000+\frac{7}{2}\cdot 300$

= $-1000+1050$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (300|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50