Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$4x-4\cdot \left(-5\right)$ = $32$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4x-4\cdot \left(-5\right)$	=	$32$
$4x+20$	=	$32$	| $-20$
$4x$	=	$12$	|:$4$
$x$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (3|-5)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|-5)
denn -4⋅0 -4⋅( - 5 ) = 0 +20 = $20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|-1)
denn -4⋅( - 4 ) -4⋅( - 1 ) = 16 +4 = $20$

Oder : (4|-9)
denn -4⋅4 -4⋅( - 9 ) = -16 +36 = $20$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-3\right)+2y$	=	$16$
$12+2y$	=	$16$
$2y+12$	=	$16$	| $-12$
$2y$	=	$4$	|:$2$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-9-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-4·\left(-9-3x\right)$	=	$4$
$4x+36+12x$	=	$4$
$16x+36$	=	$4$	| $-36$
$16x$	=	$-32$	|:$16$
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-9-3\cdot \left(-2\right)$

= $-9+6$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+5·\left(-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}x\right)$	=	$2$
$-3x-\frac{5}{2}+\frac{15}{4}x$	=	$2$
$\frac{3}{4}x-\frac{5}{2}$	=	$2$	|⋅ 4
$4\left(\frac{3}{4}x-\frac{5}{2}\right)$	=	$8$
$3x-10$	=	$8$	| $+10$
$3x$	=	$18$	|:$3$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\cdot 6$

= $-\frac{1}{2}+\frac{9}{2}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{7}{4}-\frac{5}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}·\left(\frac{7}{4}-\frac{5}{4}x\right)$	=	$-6$
$\frac{3}{2}x-\frac{21}{8}+\frac{15}{8}x$	=	$-6$
$\frac{27}{8}x-\frac{21}{8}$	=	$-6$	|⋅ 8
$8\left(\frac{27}{8}x-\frac{21}{8}\right)$	=	$-48$
$27x-21$	=	$-48$	| $+21$
$27x$	=	$-27$	|:$27$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{7}{4}-\frac{5}{4}\cdot \left(-1\right)$

= $\frac{7}{4}+\frac{5}{4}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|3)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -4y = ?

-5x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-4x -4y = -16 -12 = -28

-5x -7y = -20 -21 = -41

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -4y = -28

-5x -7y = -41

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-12x-3·\left(1-4x\right)$	=	$-3$
$-12x-3+12x$	=	$-3$
$-3$	=	$-3$	| $+3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{205}{8}-\frac{5}{8}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+3·\left(\frac{205}{8}-\frac{5}{8}x\right)$	=	$79$
$4x+\frac{615}{8}-\frac{15}{8}x$	=	$79$
$\frac{17}{8}x+\frac{615}{8}$	=	$79$	|⋅ 8
$8\left(\frac{17}{8}x+\frac{615}{8}\right)$	=	$632$
$17x+615$	=	$632$	| $-615$
$17x$	=	$17$	|:$17$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{205}{8}-\frac{5}{8}\cdot 1$

= $\frac{205}{8}-\frac{5}{8}$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (1|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25