Man setzt einfach y = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$2x+4\cdot \left(-1\right)$ = $-12$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2x+4\cdot \left(-1\right)$	=	$-12$
$2x-4$	=	$-12$	| $+4$
$2x$	=	$-8$	|:$2$
$x$	=	$-4$

Die Lösung ist somit: (-4|-1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|-4)
denn -5⋅( - 5 ) -2⋅( - 4 ) = 25 +8 = $33$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-7|1)
denn -5⋅( - 7 ) -2⋅1 = 35 -2 = $33$

Oder : (-3|-9)
denn -5⋅( - 3 ) -2⋅( - 9 ) = 15 +18 = $33$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-3\right)+4y$	=	$11$
$-9+4y$	=	$11$
$4y-9$	=	$11$	| $+9$
$4y$	=	$20$	|:$4$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $6+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(6+3y\right)-4y$	=	$7$
$6+3y-4y$	=	$7$
$-y+6$	=	$7$	| $-6$
$-y$	=	$1$	|:($-1$)
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $6+3\cdot \left(-1\right)$

= $6-3$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $24-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-5·\left(24-3y\right)+4y$	=	$-6$
$-120+15y+4y$	=	$-6$
$19y-120$	=	$-6$	| $+120$
$19y$	=	$114$	|:$19$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $24-3\cdot 6$

= $24-18$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|6)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-13+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{2}{3}x-\frac{2}{5}·\left(-13+2x\right)$	=	$-\frac{2}{3}$
$-\frac{2}{3}x+\frac{26}{5}-\frac{4}{5}x$	=	$-\frac{2}{3}$
$-\frac{22}{15}x+\frac{26}{5}$	=	$-\frac{2}{3}$	|⋅ 15
$15\left(-\frac{22}{15}x+\frac{26}{5}\right)$	=	$-10$
$-22x+78$	=	$-10$	| $-78$
$-22x$	=	$-88$	|:($-22$)
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-13+2\cdot 4$

= $-13+8$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -3y = ?

-2x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

2x -3y = 4 -6 = -2

-2x +6y = -4 +12 = 8

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -3y = -2

-2x +6y = 8

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{2}{3}+\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$12x-9·\left(\frac{2}{3}+\frac{4}{3}x\right)$	=	$-6$
$12x-6-12x$	=	$-6$
$-6$	=	$-6$	| $+6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{79}{3}-\frac{1}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+4·\left(\frac{79}{3}-\frac{1}{3}x\right)$	=	$112$
$3x+\frac{316}{3}-\frac{4}{3}x$	=	$112$
$\frac{5}{3}x+\frac{316}{3}$	=	$112$	|⋅ 3
$3\left(\frac{5}{3}x+\frac{316}{3}\right)$	=	$336$
$5x+316$	=	$336$	| $-316$
$5x$	=	$20$	|:$5$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{79}{3}-\frac{1}{3}\cdot 4$

= $\frac{79}{3}-\frac{4}{3}$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (4|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25