Man setzt einfach y = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$5x-2\cdot 3$ = $-1$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5x-2\cdot 3$	=	$-1$
$5x-6$	=	$-1$	| $+6$
$5x$	=	$5$	|:$5$
$x$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (1|3)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-3)
denn -4⋅( - 1 ) +1⋅( - 3 ) = 4 -3 = $1$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|1)
denn -4⋅0 +1⋅1 = 0 +1 = $1$

Oder : (-2|-7)
denn -4⋅( - 2 ) +1⋅( - 7 ) = 8 -7 = $1$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·3+4y$	=	$-10$
$-6+4y$	=	$-10$
$4y-6$	=	$-10$	| $+6$
$4y$	=	$-4$	|:$4$
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $19-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-4·\left(19-3x\right)$	=	$-28$
$-4x-76+12x$	=	$-28$
$8x-76$	=	$-28$	| $+76$
$8x$	=	$48$	|:$8$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $19-3\cdot 6$

= $19-18$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-\frac{2}{5}x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-3·\left(-\frac{2}{5}x\right)$	=	0
$-2x+\frac{6}{5}x$	=	0
$-\frac{4}{5}x$	=	0	|⋅ 5
$-4x$	=	0	|:($-4$)
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{2}{5}\cdot \left(0\right)$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|0)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-6-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(-6-2y\right)+5y$	=	$-5$
$-30-10y+5y$	=	$-5$
$-5y-30$	=	$-5$	| $+30$
$-5y$	=	$25$	|:($-5$)
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-6-2\cdot \left(-5\right)$

= $-6+10$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -5y = ?

4x -21y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

1x -5y = 5 +25 = 30

4x -21y = 20 +105 = 125

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -5y = 30

4x -21y = 125

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-3·\left(-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}x\right)$	=	$2$
$-2x+2+2x$	=	$2$
$2$	=	$2$	| $-2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-200+\frac{4}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x-3·\left(-200+\frac{4}{5}x\right)$	=	$1680$
$6x+600-\frac{12}{5}x$	=	$1680$
$\frac{18}{5}x+600$	=	$1680$	|⋅ 5
$5\left(\frac{18}{5}x+600\right)$	=	$8400$
$18x+3000$	=	$8400$	| $-3000$
$18x$	=	$5400$	|:$18$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-200+\frac{4}{5}\cdot 300$

= $-200+240$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (300|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40