Man setzt einfach y = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$-x+4\cdot 3$ = $7$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-x+4\cdot 3$	=	$7$
$-x+12$	=	$7$	| $-12$
$-x$	=	$-5$	|:($-1$)
$x$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (5|3)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|7)
denn -1⋅( - 1 ) +5⋅7 = 1 +35 = $36$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|8)
denn -1⋅4 +5⋅8 = -4 +40 = $36$

Oder : (-6|6)
denn -1⋅( - 6 ) +5⋅6 = 6 +30 = $36$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·3-2y$	=	$15$
$9-2y$	=	$15$
$-2y+9$	=	$15$	| $-9$
$-2y$	=	$6$	|:($-2$)
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $8-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(8-3y\right)+2y$	=	$12$
$16-6y+2y$	=	$12$
$-4y+16$	=	$12$	| $-16$
$-4y$	=	$-4$	|:($-4$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $8-3\cdot 1$

= $8-3$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $11-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+3·\left(11-x\right)$	=	$-9$
$-4x+33-3x$	=	$-9$
$-7x+33$	=	$-9$	| $-33$
$-7x$	=	$-42$	|:($-7$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $11-6$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-1-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(-1-4y\right)-2y$	=	$5$
$-1-4y-2y$	=	$5$
$-6y-1$	=	$5$	| $+1$
$-6y$	=	$6$	|:($-6$)
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-1-4\cdot \left(-1\right)$

= $-1+4$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-1)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +4y = ?

4x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

5x +4y = -5 +4 = -1

4x +4y = -4 +4 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +4y = -1

4x +4y = 0

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{2}-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-2·\left(\frac{1}{2}-x\right)$	=	$-1$
$-2x-1+2x$	=	$-1$
$-1$	=	$-1$	| $+1$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{115}{2}+\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x-4·\left(-\frac{115}{2}+\frac{3}{4}x\right)$	=	$680$
$6x+230-3x$	=	$680$
$3x+230$	=	$680$	| $-230$
$3x$	=	$450$	|:$3$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{115}{2}+\frac{3}{4}\cdot 150$

= $-\frac{115}{2}+\frac{225}{2}$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (150|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55