Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$3x-5\cdot 5$ = $-43$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3x-5\cdot 5$	=	$-43$
$3x-25$	=	$-43$	| $+25$
$3x$	=	$-18$	|:$3$
$x$	=	$-6$

Die Lösung ist somit: (-6|5)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|4)
denn -2⋅6 +3⋅4 = -12 +12 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (9|6)
denn -2⋅9 +3⋅6 = -18 +18 = 0

Oder : (3|2)
denn -2⋅3 +3⋅2 = -6 +6 = 0

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-2·5$	=	$-13$
$3x-10$	=	$-13$	| $+10$
$3x$	=	$-3$	|:$3$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $17-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+1·\left(17-3x\right)$	=	$-8$
$-2x+17-3x$	=	$-8$
$-5x+17$	=	$-8$	| $-17$
$-5x$	=	$-25$	|:($-5$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $17-3\cdot 5$

= $17-15$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $16+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(16+2y\right)-2y$	=	$40$
$80+10y-2y$	=	$40$
$8y+80$	=	$40$	| $-80$
$8y$	=	$-40$	|:$8$
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $16+2\cdot \left(-5\right)$

= $16-10$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-5)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{54}{5}-\frac{4}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}·\left(-\frac{54}{5}-\frac{4}{5}x\right)$	=	$1$
$\frac{1}{3}x+\frac{27}{5}+\frac{2}{5}x$	=	$1$
$\frac{11}{15}x+\frac{27}{5}$	=	$1$	|⋅ 15
$15\left(\frac{11}{15}x+\frac{27}{5}\right)$	=	$15$
$11x+81$	=	$15$	| $-81$
$11x$	=	$-66$	|:$11$
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{54}{5}-\frac{4}{5}\cdot \left(-6\right)$

= $-\frac{54}{5}+\frac{24}{5}$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-6)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +2y = ?

-6x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-4x +2y = -12 +6 = -6

-6x +6y = -18 +18 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +2y = -6

-6x +6y = 0

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-1-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$12x+12·\left(-1-x\right)$	=	$-12$
$12x-12-12x$	=	$-12$
$-12$	=	$-12$	| $+12$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-120+\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-5·\left(-120+\frac{1}{2}x\right)$	=	$750$
$3x+600-\frac{5}{2}x$	=	$750$
$\frac{1}{2}x+600$	=	$750$	|⋅ 2
$2\left(\frac{1}{2}x+600\right)$	=	$1500$
$x+1200$	=	$1500$	| $-1200$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-120+\frac{1}{2}\cdot 300$

= $-120+150$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (300|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30