Man setzt einfach y = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$3x+\left(-6\right)$ = $9$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3x+\left(-6\right)$	=	$9$
$3x-6$	=	$9$	| $+6$
$3x$	=	$15$	|:$3$
$x$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (5|-6)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|4)
denn -5⋅( - 3 ) -5⋅4 = 15 -20 = $-5$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-8|9)
denn -5⋅( - 8 ) -5⋅9 = 40 -45 = $-5$

Oder : (2|-1)
denn -5⋅2 -5⋅( - 1 ) = -10 +5 = $-5$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-1\right)+2y$	=	$15$
$3+2y$	=	$15$
$2y+3$	=	$15$	| $-3$
$2y$	=	$12$	|:$2$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-7-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-7-3y\right)+y$	=	$11$
$21+9y+y$	=	$11$
$10y+21$	=	$11$	| $-21$
$10y$	=	$-10$	|:$10$
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-7-3\cdot \left(-1\right)$

= $-7+3$

= $-4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+4·\left(4+x\right)$	=	$13$
$-3x+16+4x$	=	$13$
$x+16$	=	$13$	| $-16$
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4-3$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-1-\frac{1}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x+1·\left(-1-\frac{1}{3}x\right)$	=	$-5$
$-x-1-\frac{1}{3}x$	=	$-5$
$-\frac{4}{3}x-1$	=	$-5$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{4}{3}x-1\right)$	=	$-15$
$-4x-3$	=	$-15$	| $+3$
$-4x$	=	$-12$	|:($-4$)
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-1-\frac{1}{3}\cdot 3$

= $-1-1$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-2)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +1y = ?

-3x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-2x +1y = 10 -2 = 8

-3x -1y = 15 +2 = 17

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +1y = 8

-3x -1y = 17

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-1-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+2·\left(-1-2x\right)$	=	$-2$
$4x-2-4x$	=	$-2$
$-2$	=	$-2$	| $+2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $28-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(28-5y\right)-7y$	=	$-23$
$112-20y-7y$	=	$-23$
$-27y+112$	=	$-23$	| $-112$
$-27y$	=	$-135$	|:($-27$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $28-5\cdot 5$

= $28-25$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 5