Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$3\cdot 3-5y$ = $24$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3\cdot 3-5y$	=	$24$
$9-5y$	=	$24$
$-5y+9$	=	$24$	| $-9$
$-5y$	=	$15$	|:($-5$)
$y$	=	$-3$

Die Lösung ist somit: (3|-3)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|7)
denn 3⋅( - 4 ) -4⋅7 = -12 -28 = $-40$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-8|4)
denn 3⋅( - 8 ) -4⋅4 = -24 -16 = $-40$

Oder : (0|10)
denn 3⋅0 -4⋅10 = 0 -40 = $-40$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-6\right)-y$	=	$14$
$18-y$	=	$14$
$-y+18$	=	$14$	| $-18$
$-y$	=	$-4$	|:($-1$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-22-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x+2·\left(-22-3x\right)$	=	$-14$
$x-44-6x$	=	$-14$
$-5x-44$	=	$-14$	| $+44$
$-5x$	=	$30$	|:($-5$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-22-3\cdot \left(-6\right)$

= $-22+18$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{17}{3}-\frac{5}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+4·\left(-\frac{17}{3}-\frac{5}{3}x\right)$	=	$-14$
$-2x-\frac{68}{3}-\frac{20}{3}x$	=	$-14$
$-\frac{26}{3}x-\frac{68}{3}$	=	$-14$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{26}{3}x-\frac{68}{3}\right)$	=	$-42$
$-26x-68$	=	$-42$	| $+68$
$-26x$	=	$26$	|:($-26$)
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{17}{3}-\frac{5}{3}\cdot \left(-1\right)$

= $-\frac{17}{3}+\frac{5}{3}$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-4)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-6-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+5·\left(-6-x\right)$	=	$10$
$-3x-30-5x$	=	$10$
$-8x-30$	=	$10$	| $+30$
$-8x$	=	$40$	|:($-8$)
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-6-\left(-5\right)$

= $-6+5$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-1)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +2y = ?

-7x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-5x +2y = 15 +8 = 23

-7x +6y = 21 +24 = 45

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +2y = 23

-7x +6y = 45

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x+8·\left(-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}x\right)$	=	$-2$
$6x-2-6x$	=	$-2$
$-2$	=	$-2$	| $+2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-410+\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-4·\left(-410+\frac{3}{2}x\right)$	=	$1040$
$4x+1640-6x$	=	$1040$
$-2x+1640$	=	$1040$	| $-1640$
$-2x$	=	$-600$	|:($-2$)
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-410+\frac{3}{2}\cdot 300$

= $-410+450$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (300|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40