Man setzt einfach y = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$-5x+3\cdot 6$ = $33$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-5x+3\cdot 6$	=	$33$
$-5x+18$	=	$33$	| $-18$
$-5x$	=	$15$	|:($-5$)
$x$	=	$-3$

Die Lösung ist somit: (-3|6)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|-5)
denn 1⋅( - 4 ) +1⋅( - 5 ) = -4 -5 = $-9$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|-6)
denn 1⋅( - 3 ) +1⋅( - 6 ) = -3 -6 = $-9$

Oder : (-5|-4)
denn 1⋅( - 5 ) +1⋅( - 4 ) = -5 -4 = $-9$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-4·6$	=	$-4$
$-4x-24$	=	$-4$	| $+24$
$-4x$	=	$20$	|:($-4$)
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-8+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-8+2y\right)+4y$	=	$12$
$24-6y+4y$	=	$12$
$-2y+24$	=	$12$	| $-24$
$-2y$	=	$-12$	|:($-2$)
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-8+2\cdot 6$

= $-8+12$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|6)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-13-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-3·\left(-13-4x\right)$	=	$-21$
$3x+39+12x$	=	$-21$
$15x+39$	=	$-21$	| $-39$
$15x$	=	$-60$	|:$15$
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-13-4\cdot \left(-4\right)$

= $-13+16$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $2-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-\frac{2}{3}·\left(2-\frac{1}{2}x\right)$	=	$\frac{20}{3}$
$x-\frac{4}{3}+\frac{1}{3}x$	=	$\frac{20}{3}$
$\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}$	=	$\frac{20}{3}$	|⋅ 3
$3\left(\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}\right)$	=	$20$
$4x-4$	=	$20$	| $+4$
$4x$	=	$24$	|:$4$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $2-\frac{1}{2}\cdot 6$

= $2-3$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +4y = ?

6x +7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

5x +4y = 15 -20 = -5

6x +7y = 18 -35 = -17

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +4y = -5

6x +7y = -17

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-3+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9x-3·\left(-3+3x\right)$	=	$7$
$9x+9-9x$	=	$7$
$9$	=	$7$	| $-9$
0	=	$-2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $9-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(9-4y\right)-2y$	=	$1$
$45-20y-2y$	=	$1$
$-22y+45$	=	$1$	| $-45$
$-22y$	=	$-44$	|:($-22$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $9-4\cdot 2$

= $9-8$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 2