Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$3\cdot 2-4y$ = $22$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3\cdot 2-4y$	=	$22$
$6-4y$	=	$22$
$-4y+6$	=	$22$	| $-6$
$-4y$	=	$16$	|:($-4$)
$y$	=	$-4$

Die Lösung ist somit: (2|-4)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|5)
denn -5⋅4 -4⋅5 = -20 -20 = $-40$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|10)
denn -5⋅0 -4⋅10 = 0 -40 = $-40$

Oder : (8|0)
denn -5⋅8 -4⋅0 = -40 +0 = $-40$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·4-2y$	=	$-24$
$-16-2y$	=	$-24$
$-2y-16$	=	$-24$	| $+16$
$-2y$	=	$-8$	|:($-2$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-19+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+1·\left(-19+3x\right)$	=	$17$
$3x-19+3x$	=	$17$
$6x-19$	=	$17$	| $+19$
$6x$	=	$36$	|:$6$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-19+3\cdot 6$

= $-19+18$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{21}{5}+\frac{4}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-3·\left(-\frac{21}{5}+\frac{4}{5}x\right)$	=	$17$
$-2x+\frac{63}{5}-\frac{12}{5}x$	=	$17$
$-\frac{22}{5}x+\frac{63}{5}$	=	$17$	|⋅ 5
$5\left(-\frac{22}{5}x+\frac{63}{5}\right)$	=	$85$
$-22x+63$	=	$85$	| $-63$
$-22x$	=	$22$	|:($-22$)
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{21}{5}+\frac{4}{5}\cdot \left(-1\right)$

= $-\frac{21}{5}-\frac{4}{5}$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $\frac{13}{5}-\frac{2}{5}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-\frac{3}{2}·\left(\frac{13}{5}-\frac{2}{5}y\right)+3y$	=	$\frac{21}{2}$
$-\frac{39}{10}+\frac{3}{5}y+3y$	=	$\frac{21}{2}$
$\frac{18}{5}y-\frac{39}{10}$	=	$\frac{21}{2}$	|⋅ 10
$10\left(\frac{18}{5}y-\frac{39}{10}\right)$	=	$105$
$36y-39$	=	$105$	| $+39$
$36y$	=	$144$	|:$36$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $\frac{13}{5}-\frac{2}{5}\cdot 4$

= $\frac{13}{5}-\frac{8}{5}$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -5y = ?

4x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

5x -5y = 5 +20 = 25

4x -7y = 4 +28 = 32

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -5y = 25

4x -7y = 32

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{2}{3}+\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+3·\left(-\frac{2}{3}+\frac{4}{3}x\right)$	=	$-2$
$-4x-2+4x$	=	$-2$
$-2$	=	$-2$	| $+2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $12-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(12-4y\right)-2y$	=	$16$
$60-20y-2y$	=	$16$
$-22y+60$	=	$16$	| $-60$
$-22y$	=	$-44$	|:($-22$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $12-4\cdot 2$

= $12-8$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 2