Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$3\cdot 3+y$ = $2$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3\cdot 3+y$	=	$2$
$9+y$	=	$2$
$y+9$	=	$2$	| $-9$
$y$	=	$-7$

Die Lösung ist somit: (3|-7)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-3)
denn 3⋅( - 1 ) -5⋅( - 3 ) = -3 +15 = $12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|-6)
denn 3⋅( - 6 ) -5⋅( - 6 ) = -18 +30 = $12$

Oder : (4|0)
denn 3⋅4 -5⋅0 = 12 +0 = $12$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-2·\left(-2\right)$	=	$-16$
$-4x+4$	=	$-16$	| $-4$
$-4x$	=	$-20$	|:($-4$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-24-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+1·\left(-24-3x\right)$	=	$12$
$-3x-24-3x$	=	$12$
$-6x-24$	=	$12$	| $+24$
$-6x$	=	$36$	|:($-6$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-24-3\cdot \left(-6\right)$

= $-24+18$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-6)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{16}{3}-\frac{5}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-4·\left(-\frac{16}{3}-\frac{5}{3}x\right)$	=	$14$
$-3x+\frac{64}{3}+\frac{20}{3}x$	=	$14$
$\frac{11}{3}x+\frac{64}{3}$	=	$14$	|⋅ 3
$3\left(\frac{11}{3}x+\frac{64}{3}\right)$	=	$42$
$11x+64$	=	$42$	| $-64$
$11x$	=	$-22$	|:$11$
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{16}{3}-\frac{5}{3}\cdot \left(-2\right)$

= $-\frac{16}{3}+\frac{10}{3}$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-2)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-1-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{2}{5}x-2·\left(-1-\frac{1}{2}x\right)$	=	$\frac{38}{5}$
$\frac{2}{5}x+2+x$	=	$\frac{38}{5}$
$\frac{7}{5}x+2$	=	$\frac{38}{5}$	|⋅ 5
$5\left(\frac{7}{5}x+2\right)$	=	$38$
$7x+10$	=	$38$	| $-10$
$7x$	=	$28$	|:$7$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-1-\frac{1}{2}\cdot 4$

= $-1-2$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +2y = ?

-7x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-4x +2y = 20 -10 = 10

-7x +5y = 35 -25 = 10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +2y = 10

-7x +5y = 10

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{4}+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8x-8·\left(\frac{1}{4}+x\right)$	=	$-5$
$8x-2-8x$	=	$-5$
$-2$	=	$-5$	| $+2$
0	=	$-3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-670+\frac{7}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x-5·\left(-670+\frac{7}{3}x\right)$	=	$1650$
$6x+3350-\frac{35}{3}x$	=	$1650$
$-\frac{17}{3}x+3350$	=	$1650$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{17}{3}x+3350\right)$	=	$4950$
$-17x+10050$	=	$4950$	| $-10050$
$-17x$	=	$-5100$	|:($-17$)
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-670+\frac{7}{3}\cdot 300$

= $-670+700$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (300|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30