Man setzt einfach y = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$-3x-2\cdot 1$ = $19$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-3x-2\cdot 1$	=	$19$
$-3x-2$	=	$19$	| $+2$
$-3x$	=	$21$	|:($-3$)
$x$	=	$-7$

Die Lösung ist somit: (-7|1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|-3)
denn -5⋅7 -5⋅( - 3 ) = -35 +15 = $-20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|2)
denn -5⋅2 -5⋅2 = -10 -10 = $-20$

Oder : (12|-8)
denn -5⋅12 -5⋅( - 8 ) = -60 +40 = $-20$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-3·\left(-6\right)$	=	$34$
$4x+18$	=	$34$	| $-18$
$4x$	=	$16$	|:$4$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-6$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-6)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-23+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+3·\left(-23+4x\right)$	=	$6$
$3x-69+12x$	=	$6$
$15x-69$	=	$6$	| $+69$
$15x$	=	$75$	|:$15$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-23+4\cdot 5$

= $-23+20$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-3)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{2}{5}-\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+4·\left(\frac{2}{5}-\frac{2}{5}x\right)$	=	$3$
$3x+\frac{8}{5}-\frac{8}{5}x$	=	$3$
$\frac{7}{5}x+\frac{8}{5}$	=	$3$	|⋅ 5
$5\left(\frac{7}{5}x+\frac{8}{5}\right)$	=	$15$
$7x+8$	=	$15$	| $-8$
$7x$	=	$7$	|:$7$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{2}{5}-\frac{2}{5}\cdot 1$

= $\frac{2}{5}-\frac{2}{5}$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (1|0)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $5+\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+3·\left(5+\frac{4}{3}x\right)$	=	$15$
$5x+15+4x$	=	$15$
$9x+15$	=	$15$	| $-15$
$9x$	=	0	|:$9$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $5+\frac{4}{3}\cdot 0$

= $5+0$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (0|5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +5y = ?

2x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-2x +5y = -8 -15 = -23

2x -3y = 8 +9 = 17

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +5y = -23

2x -3y = 17

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{5}{8}+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-2·\left(-\frac{5}{8}+2x\right)$	=	$2$
$4x+\frac{5}{4}-4x$	=	$2$
$\frac{5}{4}$	=	$2$	| $-\frac{5}{4}$
0	=	$\frac{3}{4}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $12-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6·\left(12-5y\right)-2y$	=	$8$
$72-30y-2y$	=	$8$
$-32y+72$	=	$8$	| $-72$
$-32y$	=	$-64$	|:($-32$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $12-5\cdot 2$

= $12-10$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 2