Man setzt einfach x = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$-5\cdot 6-5y$ = $5$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-5\cdot 6-5y$	=	$5$
$-30-5y$	=	$5$
$-5y-30$	=	$5$	| $+30$
$-5y$	=	$35$	|:($-5$)
$y$	=	$-7$

Die Lösung ist somit: (6|-7)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|3)
denn -5⋅( - 2 ) +2⋅3 = 10 +6 = $16$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|8)
denn -5⋅0 +2⋅8 = 0 +16 = $16$

Oder : (-4|-2)
denn -5⋅( - 4 ) +2⋅( - 2 ) = 20 -4 = $16$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-4·2$	=	$-32$
$4x-8$	=	$-32$	| $+8$
$4x$	=	$-24$	|:$4$
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-2x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+3·\left(-2x\right)$	=	$-4$
$2x-6x$	=	$-4$
$-4x$	=	$-4$	|:($-4$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-2\cdot 1$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $16-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(16-4y\right)+4y$	=	$16$
$-64+16y+4y$	=	$16$
$20y-64$	=	$16$	| $+64$
$20y$	=	$80$	|:$20$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $16-4\cdot 4$

= $16-16$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-\frac{33}{5}-\frac{1}{5}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-\frac{1}{2}·\left(-\frac{33}{5}-\frac{1}{5}y\right)+\frac{1}{3}y$	=	$2$
$\frac{33}{10}+\frac{1}{10}y+\frac{1}{3}y$	=	$2$
$\frac{13}{30}y+\frac{33}{10}$	=	$2$	|⋅ 30
$30\left(\frac{13}{30}y+\frac{33}{10}\right)$	=	$60$
$13y+99$	=	$60$	| $-99$
$13y$	=	$-39$	|:$13$
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-\frac{33}{5}-\frac{1}{5}\cdot \left(-3\right)$

= $-\frac{33}{5}+\frac{3}{5}$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -3y = ?

-7x -6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-5x -3y = -25 -6 = -31

-7x -6y = -35 -12 = -47

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -3y = -31

-7x -6y = -47

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $2+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(2+3y\right)+9y$	=	$-6$
$-6-9y+9y$	=	$-6$
$-6$	=	$-6$	| $+6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-115+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-5·\left(-115+x\right)$	=	$125$
$2x+575-5x$	=	$125$
$-3x+575$	=	$125$	| $-575$
$-3x$	=	$-450$	|:($-3$)
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-115+150$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (150|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35