Man setzt einfach y = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$3x+3\cdot 1$ = $12$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3x+3\cdot 1$	=	$12$
$3x+3$	=	$12$	| $-3$
$3x$	=	$9$	|:$3$
$x$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (3|1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|-5)
denn -4⋅2 -5⋅( - 5 ) = -8 +25 = $17$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|-1)
denn -4⋅( - 3 ) -5⋅( - 1 ) = 12 +5 = $17$

Oder : (7|-9)
denn -4⋅7 -5⋅( - 9 ) = -28 +45 = $17$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-4\right)+2y$	=	$-18$
$-12+2y$	=	$-18$
$2y-12$	=	$-18$	| $+12$
$2y$	=	$-6$	|:$2$
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $13+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(13+3y\right)+4y$	=	$-19$
$-39-9y+4y$	=	$-19$
$-5y-39$	=	$-19$	| $+39$
$-5y$	=	$20$	|:($-5$)
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $13+3\cdot \left(-4\right)$

= $13-12$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-4)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $19+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+5·\left(19+4x\right)$	=	$-49$
$4x+95+20x$	=	$-49$
$24x+95$	=	$-49$	| $-95$
$24x$	=	$-144$	|:$24$
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $19+4\cdot \left(-6\right)$

= $19-24$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+\frac{3}{2}·\left(4-\frac{1}{2}x\right)$	=	$\frac{27}{2}$
$-3x+6-\frac{3}{4}x$	=	$\frac{27}{2}$
$-\frac{15}{4}x+6$	=	$\frac{27}{2}$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{15}{4}x+6\right)$	=	$54$
$-15x+24$	=	$54$	| $-24$
$-15x$	=	$30$	|:($-15$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4-\frac{1}{2}\cdot \left(-2\right)$

= $4+1$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +4y = ?

-6x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-3x +4y = 15 +12 = 27

-6x +6y = 30 +18 = 48

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +4y = 27

-6x +6y = 48

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $1+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(1+2y\right)+8y$	=	$-4$
$-4-8y+8y$	=	$-4$
$-4$	=	$-4$	| $+4$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-390+\frac{7}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-3·\left(-390+\frac{7}{5}x\right)$	=	$810$
$3x+1170-\frac{21}{5}x$	=	$810$
$-\frac{6}{5}x+1170$	=	$810$	|⋅ 5
$5\left(-\frac{6}{5}x+1170\right)$	=	$4050$
$-6x+5850$	=	$4050$	| $-5850$
$-6x$	=	$-1800$	|:($-6$)
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-390+\frac{7}{5}\cdot 300$

= $-390+420$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (300|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30