Man setzt einfach x = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$-5\cdot \left(-6\right)+5y$ = $30$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-5\cdot \left(-6\right)+5y$	=	$30$
$30+5y$	=	$30$
$5y+30$	=	$30$	| $-30$
$5y$	=	0	|:$5$
$y$	=	0

Die Lösung ist somit: (-6|0)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|-4)
denn -4⋅1 +4⋅( - 4 ) = -4 -16 = $-20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|0)
denn -4⋅5 +4⋅0 = -20 +0 = $-20$

Oder : (-3|-8)
denn -4⋅( - 3 ) +4⋅( - 8 ) = 12 -32 = $-20$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·5-3y$	=	$-18$
$-15-3y$	=	$-18$
$-3y-15$	=	$-18$	| $+15$
$-3y$	=	$-3$	|:($-3$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $17+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-2·\left(17+3x\right)$	=	$16$
$-4x-34-6x$	=	$16$
$-10x-34$	=	$16$	| $+34$
$-10x$	=	$50$	|:($-10$)
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $17+3\cdot \left(-5\right)$

= $17-15$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|2)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{45}{4}+\frac{5}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-4·\left(\frac{45}{4}+\frac{5}{4}x\right)$	=	0
$-4x-45-5x$	=	0
$-9x-45$	=	0	| $+45$
$-9x$	=	$45$	|:($-9$)
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{45}{4}+\frac{5}{4}\cdot \left(-5\right)$

= $\frac{45}{4}-\frac{25}{4}$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|5)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{48}{5}-\frac{3}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{3}{2}x-3·\left(-\frac{48}{5}-\frac{3}{5}x\right)$	=	$27$
$-\frac{3}{2}x+\frac{144}{5}+\frac{9}{5}x$	=	$27$
$\frac{3}{10}x+\frac{144}{5}$	=	$27$	|⋅ 10
$10\left(\frac{3}{10}x+\frac{144}{5}\right)$	=	$270$
$3x+288$	=	$270$	| $-288$
$3x$	=	$-18$	|:$3$
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{48}{5}-\frac{3}{5}\cdot \left(-6\right)$

= $-\frac{48}{5}+\frac{18}{5}$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-6)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -4y = ?

-5x -8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-4x -4y = 8 -8 = 0

-5x -8y = 10 -16 = -6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -4y = 0

-5x -8y = -6

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $3+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(3+2y\right)-8y$	=	$12$
$12+8y-8y$	=	$12$
$12$	=	$12$	| $-12$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $15-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(15-2y\right)-4y$	=	0
$60-8y-4y$	=	0
$-12y+60$	=	0	| $-60$
$-12y$	=	$-60$	|:($-12$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $15-2\cdot 5$

= $15-10$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 5