Man setzt einfach x = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$3\cdot 7+4y$ = $21$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3\cdot 7+4y$	=	$21$
$21+4y$	=	$21$
$4y+21$	=	$21$	| $-21$
$4y$	=	0	|:$4$
$y$	=	0

Die Lösung ist somit: (7|0)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|-7)
denn 5⋅( - 7 ) +4⋅( - 7 ) = -35 -28 = $-63$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|-12)
denn 5⋅( - 3 ) +4⋅( - 12 ) = -15 -48 = $-63$

Oder : (-11|-2)
denn 5⋅( - 11 ) +4⋅( - 2 ) = -55 -8 = $-63$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·5+3y$	=	$29$
$20+3y$	=	$29$
$3y+20$	=	$29$	| $-20$
$3y$	=	$9$	|:$3$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-11+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+1·\left(-11+2x\right)$	=	$9$
$3x-11+2x$	=	$9$
$5x-11$	=	$9$	| $+11$
$5x$	=	$20$	|:$5$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-11+2\cdot 4$

= $-11+8$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $4+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+1·\left(4+2x\right)$	=	$9$
$3x+4+2x$	=	$9$
$5x+4$	=	$9$	| $-4$
$5x$	=	$5$	|:$5$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $4+2\cdot 1$

= $4+2$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (1|6)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3-\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{2}x-\frac{3}{5}·\left(3-\frac{2}{5}x\right)$	=	$\frac{69}{10}$
$\frac{3}{2}x-\frac{9}{5}+\frac{6}{25}x$	=	$\frac{69}{10}$
$\frac{87}{50}x-\frac{9}{5}$	=	$\frac{69}{10}$	|⋅ 50
$50\left(\frac{87}{50}x-\frac{9}{5}\right)$	=	$345$
$87x-90$	=	$345$	| $+90$
$87x$	=	$435$	|:$87$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3-\frac{2}{5}\cdot 5$

= $3-2$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +1y = ?

-3x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-5x +1y = -20 +4 = -16

-3x +4y = -12 +16 = 4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +1y = -16

-3x +4y = 4

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-2+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-9x+3·\left(-2+3x\right)$	=	$-6$
$-9x-6+9x$	=	$-6$
$-6$	=	$-6$	| $+6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-365+\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-5·\left(-365+\frac{4}{3}x\right)$	=	$725$
$3x+1825-\frac{20}{3}x$	=	$725$
$-\frac{11}{3}x+1825$	=	$725$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{11}{3}x+1825\right)$	=	$2175$
$-11x+5475$	=	$2175$	| $-5475$
$-11x$	=	$-3300$	|:($-11$)
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-365+\frac{4}{3}\cdot 300$

= $-365+400$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (300|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35