Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$-x-4\cdot 5$ = $-23$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-x-4\cdot 5$	=	$-23$
$-x-20$	=	$-23$	| $+20$
$-x$	=	$-3$	|:($-1$)
$x$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (3|5)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|-1)
denn 1⋅5 -5⋅( - 1 ) = 5 +5 = $10$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|-2)
denn 1⋅0 -5⋅( - 2 ) = 0 +10 = $10$

Oder : (10|0)
denn 1⋅10 -5⋅0 = 10 +0 = $10$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-1·4$	=	$-16$
$3x-4$	=	$-16$	| $+4$
$3x$	=	$-12$	|:$3$
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $8+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(8+2y\right)-2y$	=	$4$
$16+4y-2y$	=	$4$
$2y+16$	=	$4$	| $-16$
$2y$	=	$-12$	|:$2$
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $8+2\cdot \left(-6\right)$

= $8-12$

= $-4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-6)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-6+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-6+3y\right)-2y$	=	$3$
$-18+9y-2y$	=	$3$
$7y-18$	=	$3$	| $+18$
$7y$	=	$21$	|:$7$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-6+3\cdot 3$

= $-6+9$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $\frac{17}{5}-\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{2}x+1·\left(\frac{17}{5}-\frac{2}{5}x\right)$	=	$\frac{7}{2}$
$\frac{1}{2}x+\frac{17}{5}-\frac{2}{5}x$	=	$\frac{7}{2}$
$\frac{1}{10}x+\frac{17}{5}$	=	$\frac{7}{2}$	|⋅ 10
$10\left(\frac{1}{10}x+\frac{17}{5}\right)$	=	$35$
$x+34$	=	$35$	| $-34$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $\frac{17}{5}-\frac{2}{5}\cdot 1$

= $\frac{17}{5}-\frac{2}{5}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -1y = ?

4x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

5x -1y = -20 +3 = -17

4x -2y = -16 +6 = -10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -1y = -17

4x -2y = -10

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{3}{4}-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-4·\left(\frac{3}{4}-x\right)$	=	$-3$
$-4x-3+4x$	=	$-3$
$-3$	=	$-3$	| $+3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-115+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x-2·\left(-115+x\right)$	=	$980$
$7x+230-2x$	=	$980$
$5x+230$	=	$980$	| $-230$
$5x$	=	$750$	|:$5$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-115+150$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (150|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35