Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$-3x+3\cdot 5$ = $3$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-3x+3\cdot 5$	=	$3$
$-3x+15$	=	$3$	| $-15$
$-3x$	=	$-12$	|:($-3$)
$x$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (4|5)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|2)
denn 3⋅1 -5⋅2 = 3 -10 = $-7$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|-1)
denn 3⋅( - 4 ) -5⋅( - 1 ) = -12 +5 = $-7$

Oder : (6|5)
denn 3⋅6 -5⋅5 = 18 -25 = $-7$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·2+y$	=	$2$
$-2+y$	=	$2$
$y-2$	=	$2$	| $+2$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-14-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·\left(-14-3y\right)+3y$	=	$-10$
$14+3y+3y$	=	$-10$
$6y+14$	=	$-10$	| $-14$
$6y$	=	$-24$	|:$6$
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-14-3\cdot \left(-4\right)$

= $-14+12$

= $-2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $5+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-5·\left(5+2y\right)-3y$	=	$14$
$-25-10y-3y$	=	$14$
$-13y-25$	=	$14$	| $+25$
$-13y$	=	$39$	|:($-13$)
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $5+2\cdot \left(-3\right)$

= $5-6$

= $-1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-3)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-5-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+5·\left(-5-2x\right)$	=	$-19$
$4x-25-10x$	=	$-19$
$-6x-25$	=	$-19$	| $+25$
$-6x$	=	$6$	|:($-6$)
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-5-2\cdot \left(-1\right)$

= $-5+2$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-3)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +3y = ?

-5x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-2x +3y = 2 -6 = -4

-5x +5y = 5 -10 = -5

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +3y = -4

-5x +5y = -5

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{3}{4}+\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-12x+16·\left(\frac{3}{4}+\frac{3}{4}x\right)$	=	$12$
$-12x+12+12x$	=	$12$
$12$	=	$12$	| $-12$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-345+\frac{5}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x-3·\left(-345+\frac{5}{4}x\right)$	=	$2010$
$7x+1035-\frac{15}{4}x$	=	$2010$
$\frac{13}{4}x+1035$	=	$2010$	|⋅ 4
$4\left(\frac{13}{4}x+1035\right)$	=	$8040$
$13x+4140$	=	$8040$	| $-4140$
$13x$	=	$3900$	|:$13$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-345+\frac{5}{4}\cdot 300$

= $-345+375$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (300|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30