Man setzt einfach x = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$-4\cdot \left(-4\right)+5y$ = $-14$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-4\cdot \left(-4\right)+5y$	=	$-14$
$16+5y$	=	$-14$
$5y+16$	=	$-14$	| $-16$
$5y$	=	$-30$	|:$5$
$y$	=	$-6$

Die Lösung ist somit: (-4|-6)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-7)
denn 5⋅( - 1 ) +1⋅( - 7 ) = -5 -7 = $-12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|-12)
denn 5⋅0 +1⋅( - 12 ) = 0 -12 = $-12$

Oder : (-2|-2)
denn 5⋅( - 2 ) +1⋅( - 2 ) = -10 -2 = $-12$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+4·\left(-6\right)$	=	$-28$
$-2x-24$	=	$-28$	| $+24$
$-2x$	=	$-4$	|:($-2$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-6$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·3+y$	=	$-6$
$-12+y$	=	$-6$
$y-12$	=	$-6$	| $+12$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|6)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{25}{4}+\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+4·\left(-\frac{25}{4}+\frac{3}{4}x\right)$	=	$-4$
$4x-25+3x$	=	$-4$
$7x-25$	=	$-4$	| $+25$
$7x$	=	$21$	|:$7$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{25}{4}+\frac{3}{4}\cdot 3$

= $-\frac{25}{4}+\frac{9}{4}$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-4)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{32}{5}-\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}·\left(\frac{32}{5}-\frac{2}{5}x\right)$	=	$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{4}x-\frac{8}{5}+\frac{1}{10}x$	=	$\frac{1}{2}$
$\frac{7}{20}x-\frac{8}{5}$	=	$\frac{1}{2}$	|⋅ 20
$20\left(\frac{7}{20}x-\frac{8}{5}\right)$	=	$10$
$7x-32$	=	$10$	| $+32$
$7x$	=	$42$	|:$7$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{32}{5}-\frac{2}{5}\cdot 6$

= $\frac{32}{5}-\frac{12}{5}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +5y = ?

2x +13y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

1x +5y = -4 +5 = 1

2x +13y = -8 +13 = 5

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +5y = 1

2x +13y = 5

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-2-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-2-3y\right)-9y$	=	$6$
$6+9y-9y$	=	$6$
$6$	=	$6$	| $-6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kg-Preis der Äpfel und y als kg-Preis der Birnen und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{24}{5}-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+4·\left(\frac{24}{5}-x\right)$	=	$\mathrm{22,1}$
$5x+\frac{96}{5}-4x$	=	$\mathrm{22,1}$
$x+\frac{96}{5}$	=	$\mathrm{22,1}$	|⋅ 5
$5\left(x+\frac{96}{5}\right)$	=	$\mathrm{110,5}$
$5x+96$	=	$\mathrm{110,5}$	| $-96$
$5x$	=	$\mathrm{14,5}$	|:$5$
$x$	=	$\mathrm{2,9}$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{24}{5}-\mathrm{2,9}$

= $\frac{24}{5}-\frac{29}{10}$

also

y = 1.9

Die Lösung des LGS ist damit: (2.9|1.9)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kg-Preis der Äpfel (x-Wert): 2.9

kg-Preis der Birnen (y-Wert): 1.9