Man setzt einfach y = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$4x+4$ = $-24$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4x+4$	=	$-24$
$4x+4$	=	$-24$	| $-4$
$4x$	=	$-28$	|:$4$
$x$	=	$-7$

Die Lösung ist somit: (-7|4)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|7)
denn 3⋅3 +5⋅7 = 9 +35 = $44$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (8|4)
denn 3⋅8 +5⋅4 = 24 +20 = $44$

Oder : (-2|10)
denn 3⋅( - 2 ) +5⋅10 = -6 +50 = $44$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-2·\left(-4\right)$	=	$12$
$-2x+8$	=	$12$	| $-8$
$-2x$	=	$4$	|:($-2$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $8+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(8+3y\right)+y$	=	$-16$
$-24-9y+y$	=	$-16$
$-8y-24$	=	$-16$	| $+24$
$-8y$	=	$8$	|:($-8$)
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $8+3\cdot \left(-1\right)$

= $8-3$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-1)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{22}{5}-\frac{4}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-2·\left(\frac{22}{5}-\frac{4}{5}x\right)$	=	$2$
$2x-\frac{44}{5}+\frac{8}{5}x$	=	$2$
$\frac{18}{5}x-\frac{44}{5}$	=	$2$	|⋅ 5
$5\left(\frac{18}{5}x-\frac{44}{5}\right)$	=	$10$
$18x-44$	=	$10$	| $+44$
$18x$	=	$54$	|:$18$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{22}{5}-\frac{4}{5}\cdot 3$

= $\frac{22}{5}-\frac{12}{5}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (3|2)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-5+\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-\frac{1}{2}·\left(-5+\frac{1}{2}x\right)$	=	$\frac{5}{2}$
$2x+\frac{5}{2}-\frac{1}{4}x$	=	$\frac{5}{2}$
$\frac{7}{4}x+\frac{5}{2}$	=	$\frac{5}{2}$	|⋅ 4
$4\left(\frac{7}{4}x+\frac{5}{2}\right)$	=	$10$
$7x+10$	=	$10$	| $-10$
$7x$	=	0	|:$7$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-5+\frac{1}{2}\cdot 0$

= $-5+0$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -1y = ?

6x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

5x -1y = 15 -3 = 12

6x -2y = 18 -6 = 12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -1y = 12

6x -2y = 12

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-6x-2·\left(2-3x\right)$	=	$-4$
$-6x-4+6x$	=	$-4$
$-4$	=	$-4$	| $+4$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-85+\frac{4}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x-2·\left(-85+\frac{4}{5}x\right)$	=	$680$
$5x+170-\frac{8}{5}x$	=	$680$
$\frac{17}{5}x+170$	=	$680$	|⋅ 5
$5\left(\frac{17}{5}x+170\right)$	=	$3400$
$17x+850$	=	$3400$	| $-850$
$17x$	=	$2550$	|:$17$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-85+\frac{4}{5}\cdot 150$

= $-85+120$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (150|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35