Man setzt einfach x = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$-1+2y$ = $5$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-1+2y$	=	$5$
$-1+2y$	=	$5$
$2y-1$	=	$5$	| $+1$
$2y$	=	$6$	|:$2$
$y$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (1|3)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|4)
denn -2⋅( - 3 ) -1⋅4 = 6 -4 = $2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|6)
denn -2⋅( - 4 ) -1⋅6 = 8 -6 = $2$

Oder : (-2|2)
denn -2⋅( - 2 ) -1⋅2 = 4 -2 = $2$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-3\right)-3y$	=	$-18$
$-6-3y$	=	$-18$
$-3y-6$	=	$-18$	| $+6$
$-3y$	=	$-12$	|:($-3$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|4)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $16+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-3·\left(16+3x\right)$	=	$-18$
$3x-48-9x$	=	$-18$
$-6x-48$	=	$-18$	| $+48$
$-6x$	=	$30$	|:($-6$)
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $16+3\cdot \left(-5\right)$

= $16-15$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|1)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{23}{5}+\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+2·\left(-\frac{23}{5}+\frac{2}{5}x\right)$	=	$-13$
$3x-\frac{46}{5}+\frac{4}{5}x$	=	$-13$
$\frac{19}{5}x-\frac{46}{5}$	=	$-13$	|⋅ 5
$5\left(\frac{19}{5}x-\frac{46}{5}\right)$	=	$-65$
$19x-46$	=	$-65$	| $+46$
$19x$	=	$-19$	|:$19$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{23}{5}+\frac{2}{5}\cdot \left(-1\right)$

= $-\frac{23}{5}-\frac{2}{5}$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-5)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{38}{5}+\frac{4}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-6·\left(-\frac{38}{5}+\frac{4}{5}x\right)$	=	$44$
$4x+\frac{228}{5}-\frac{24}{5}x$	=	$44$
$-\frac{4}{5}x+\frac{228}{5}$	=	$44$	|⋅ 5
$5\left(-\frac{4}{5}x+\frac{228}{5}\right)$	=	$220$
$-4x+228$	=	$220$	| $-228$
$-4x$	=	$-8$	|:($-4$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{38}{5}+\frac{4}{5}\cdot 2$

= $-\frac{38}{5}+\frac{8}{5}$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-6)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -2y = ?

6x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

5x -2y = 5 -2 = 3

6x -1y = 6 -1 = 5

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -2y = 3

6x -1y = 5

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-1-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8x+4·\left(-1-2x\right)$	=	$-4$
$8x-4-8x$	=	$-4$
$-4$	=	$-4$	| $+4$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-870+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-3·\left(-870+3x\right)$	=	$1110$
$4x+2610-9x$	=	$1110$
$-5x+2610$	=	$1110$	| $-2610$
$-5x$	=	$-1500$	|:($-5$)
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-870+3\cdot 300$

= $-870+900$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (300|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30