Man setzt einfach y = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$4x-3\cdot 4$ = $12$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4x-3\cdot 4$	=	$12$
$4x-12$	=	$12$	| $+12$
$4x$	=	$24$	|:$4$
$x$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (6|4)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|-2)
denn 4⋅0 +3⋅( - 2 ) = 0 -6 = $-6$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|-6)
denn 4⋅3 +3⋅( - 6 ) = 12 -18 = $-6$

Oder : (-3|2)
denn 4⋅( - 3 ) +3⋅2 = -12 +6 = $-6$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $4$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x-1·4$	=	$-9$
$-x-4$	=	$-9$	| $+4$
$-x$	=	$-5$	|:($-1$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $4+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(4+2y\right)+4y$	=	0
$-16-8y+4y$	=	0
$-4y-16$	=	0	| $+16$
$-4y$	=	$16$	|:($-4$)
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $4+2\cdot \left(-4\right)$

= $4-8$

= $-4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-4-5x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x+2·\left(-4-5x\right)$	=	$3$
$-x-8-10x$	=	$3$
$-11x-8$	=	$3$	| $+8$
$-11x$	=	$11$	|:($-11$)
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-4-5\cdot \left(-1\right)$

= $-4+5$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|1)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $\frac{11}{2}-\frac{1}{2}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-\frac{1}{5}·\left(\frac{11}{2}-\frac{1}{2}y\right)-\frac{1}{4}y$	=	$-\frac{37}{20}$
$-\frac{11}{10}+\frac{1}{10}y-\frac{1}{4}y$	=	$-\frac{37}{20}$
$-\frac{3}{20}y-\frac{11}{10}$	=	$-\frac{37}{20}$	|⋅ 20
$20\left(-\frac{3}{20}y-\frac{11}{10}\right)$	=	$-37$
$-3y-22$	=	$-37$	| $+22$
$-3y$	=	$-15$	|:($-3$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $\frac{11}{2}-\frac{1}{2}\cdot 5$

= $\frac{11}{2}-\frac{5}{2}$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +1y = ?

-5x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-3x +1y = -15 +1 = -14

-5x +3y = -25 +3 = -22

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +1y = -14

-5x +3y = -22

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1-\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9x+6·\left(1-\frac{3}{2}x\right)$	=	$8$
$9x+6-9x$	=	$8$
$6$	=	$8$	| $-6$
0	=	$2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-365+\frac{7}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x-4·\left(-365+\frac{7}{5}x\right)$	=	$1580$
$6x+1460-\frac{28}{5}x$	=	$1580$
$\frac{2}{5}x+1460$	=	$1580$	|⋅ 5
$5\left(\frac{2}{5}x+1460\right)$	=	$7900$
$2x+7300$	=	$7900$	| $-7300$
$2x$	=	$600$	|:$2$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-365+\frac{7}{5}\cdot 300$

= $-365+420$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (300|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55