Aufgabenbeispiele von LGS

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: 5x -2y = 18 .

Bestimme y so, dass (4|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 4 in die Gleichung ein und erhält:

54 -2y = 18

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

54 -2y = 18
20 -2y = 18
-2y +20 = 18 | -20
-2y = -2 |:(-2 )
y = 1

Die Lösung ist somit: (4|1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -x + y = 1 .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|-5)
denn -1⋅( - 6 ) +1( - 5 ) = 6 -5 = 1

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|-4)
denn -1⋅( - 5 ) +1( - 4 ) = 5 -4 = 1

Oder : (-7|-6)
denn -1⋅( - 7 ) +1( - 6 ) = 7 -6 = 1

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

+3y = -9 (I) -2x +4y = -8 (II)

Lösung einblenden
+3y = -9 (I) -2x +4y = -8 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

3y = -9 |:3
y = -3

Als neues LGS erhält man so:

+y = -3 (I) -2x +4y = -8 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch -3 ersetzen und dann nach x auflösen:

-2x + 4 · ( -3 ) = -8
-2x -12 = -8 | +12
-2x = 4 |:(-2 )
x = -2

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-3x +y = 16 (I) -2x +4y = 24 (II)

Lösung einblenden
-3x +y = 16 (I) -2x +4y = 24 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

-3x + y = 16
y -3x = 16 | +3x
y = 16 +3x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 16 +3x ) (I) -2x +4y = 24 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 16 +3x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

-2x + 4 · ( 16 +3x ) = 24
-2x +64 +12x = 24
10x +64 = 24 | -64
10x = -40 |:10
x = -4

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 16 +3( -4 )

= 16 -12

= 4

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

3x -3y = -21 (I) x -4y = -22 (II)

Lösung einblenden
3x -3y = -21 (I) x -4y = -22 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x -4y = -22 | +4y
x = -22 +4y

Als neues LGS erhält man so:

3x -3y = -21 (I) x = ( -22 +4y ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( -22 +4y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

3 · ( -22 +4y ) -3y = -21
-66 +12y -3y = -21
9y -66 = -21 | +66
9y = 45 |:9
y = 5

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = -22 +45

= -22 +20

= -2

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

3 2 x -y = -5 (I) 3x + 3 4 y = -21 (II)

Lösung einblenden
3 2 x -y = -5 (I) 3x + 3 4 y = -21 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

3 2 x - y = -5
-y + 3 2 x = -5 |⋅ 2
2( -y + 3 2 x) = -10
-2y +3x = -10 | -3x
-2y = -10 -3x |:(-2 )
y = 5 + 3 2 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 5 + 3 2 x ) (I) 3x + 3 4 y = -21 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 5 + 3 2 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

3x + 3 4 · ( 5 + 3 2 x ) = -21
3x + 15 4 + 9 8 x = -21
33 8 x + 15 4 = -21 |⋅ 8
8( 33 8 x + 15 4 ) = -168
33x +30 = -168 | -30
33x = -198 |:33
x = -6

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 5 + 3 2 ( -6 )

= 5 -9

= -4

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x -2y = ?

2x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

3x -2y = 3 -2 = 1

2x -2y = 2 -2 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x -2y = 1

2x -2y = 0

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

5x -3y = -23 (I) -5x -5y = 15 (II)

Lösung einblenden
5x -3y = -23 (I) -5x -5y = 15 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

5x -3y = -23
-3y +5x = -23 | -5x
-3y = -23 -5x |:(-3 )
y = 23 3 + 5 3 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 23 3 + 5 3 x ) (I) -5x -5y = 15 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 23 3 + 5 3 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

-5x -5 · ( 23 3 + 5 3 x ) = 15
-5x - 115 3 - 25 3 x = 15
- 40 3 x - 115 3 = 15 |⋅ 3
3( - 40 3 x - 115 3 ) = 45
-40x -115 = 45 | +115
-40x = 160 |:(-40 )
x = -4

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 23 3 + 5 3 ( -4 )

= 23 3 - 20 3

= 1

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 3 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 700 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 5 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1250 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

3x -4y = 700 (I) 5x -5y = 1250 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

3x -4y = 700
-4y +3x = 700 | -3x
-4y = 700 -3x |:(-4 )
y = -175 + 3 4 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( -175 + 3 4 x ) (I) 5x -5y = 1250 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( -175 + 3 4 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

5x -5 · ( -175 + 3 4 x ) = 1250
5x +875 - 15 4 x = 1250
5 4 x +875 = 1250 |⋅ 4
4( 5 4 x +875 ) = 5000
5x +3500 = 5000 | -3500
5x = 1500 |:5
x = 300

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = -175 + 3 4 300

= -175 +225

= 50

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (300|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50