Man setzt einfach x = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$5\cdot \left(-3\right)+y$ = $-22$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5\cdot \left(-3\right)+y$	=	$-22$
$-15+y$	=	$-22$
$y-15$	=	$-22$	| $+15$
$y$	=	$-7$

Die Lösung ist somit: (-3|-7)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|7)
denn 4⋅( - 4 ) +2⋅7 = -16 +14 = $-2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|3)
denn 4⋅( - 2 ) +2⋅3 = -8 +6 = $-2$

Oder : (-6|11)
denn 4⋅( - 6 ) +2⋅11 = -24 +22 = $-2$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+1·5$	=	$21$
$-4x+5$	=	$21$	| $-5$
$-4x$	=	$16$	|:($-4$)
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $18-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-2·\left(18-4x\right)$	=	$8$
$3x-36+8x$	=	$8$
$11x-36$	=	$8$	| $+36$
$11x$	=	$44$	|:$11$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $18-4\cdot 4$

= $18-16$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{29}{4}+\frac{5}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+3·\left(-\frac{29}{4}+\frac{5}{4}x\right)$	=	$-23$
$-4x-\frac{87}{4}+\frac{15}{4}x$	=	$-23$
$-\frac{1}{4}x-\frac{87}{4}$	=	$-23$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{1}{4}x-\frac{87}{4}\right)$	=	$-92$
$-x-87$	=	$-92$	| $+87$
$-x$	=	$-5$	|:($-1$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{29}{4}+\frac{5}{4}\cdot 5$

= $-\frac{29}{4}+\frac{25}{4}$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-1)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-20+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{1}{5}x-\frac{1}{4}·\left(-20+4x\right)$	=	$-\frac{11}{5}$
$-\frac{1}{5}x+5-x$	=	$-\frac{11}{5}$
$-\frac{6}{5}x+5$	=	$-\frac{11}{5}$	|⋅ 5
$5\left(-\frac{6}{5}x+5\right)$	=	$-11$
$-6x+25$	=	$-11$	| $-25$
$-6x$	=	$-36$	|:($-6$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-20+4\cdot 6$

= $-20+24$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -1y = ?

-3x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

1x -1y = 4 +3 = 7

-3x +2y = -12 -6 = -18

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -1y = 7

-3x +2y = -18

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-12x-6·\left(1-2x\right)$	=	$-6$
$-12x-6+12x$	=	$-6$
$-6$	=	$-6$	| $+6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-185+\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x-3·\left(-185+\frac{3}{2}x\right)$	=	$630$
$5x+555-\frac{9}{2}x$	=	$630$
$\frac{1}{2}x+555$	=	$630$	|⋅ 2
$2\left(\frac{1}{2}x+555\right)$	=	$1260$
$x+1110$	=	$1260$	| $-1110$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-185+\frac{3}{2}\cdot 150$

= $-185+225$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (150|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40