Man setzt einfach y = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$-5x+3\cdot \left(-2\right)$ = $-41$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-5x+3\cdot \left(-2\right)$	=	$-41$
$-5x-6$	=	$-41$	| $+6$
$-5x$	=	$-35$	|:($-5$)
$x$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (7|-2)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|-7)
denn -1⋅( - 7 ) +3⋅( - 7 ) = 7 -21 = $-14$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|-6)
denn -1⋅( - 4 ) +3⋅( - 6 ) = 4 -18 = $-14$

Oder : (-10|-8)
denn -1⋅( - 10 ) +3⋅( - 8 ) = 10 -24 = $-14$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·3-y$	=	$7$
$9-y$	=	$7$
$-y+9$	=	$7$	| $-9$
$-y$	=	$-2$	|:($-1$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-28-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+3·\left(-28-4x\right)$	=	$-24$
$2x-84-12x$	=	$-24$
$-10x-84$	=	$-24$	| $+84$
$-10x$	=	$60$	|:($-10$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-28-4\cdot \left(-6\right)$

= $-28+24$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $9-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(9-3y\right)-3y$	=	$-15$
$-18+6y-3y$	=	$-15$
$3y-18$	=	$-15$	| $+18$
$3y$	=	$3$	|:$3$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $9-3\cdot 1$

= $9-3$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-8+\frac{3}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{2}{3}x+2·\left(-8+\frac{3}{5}x\right)$	=	$-\frac{20}{3}$
$\frac{2}{3}x-16+\frac{6}{5}x$	=	$-\frac{20}{3}$
$\frac{28}{15}x-16$	=	$-\frac{20}{3}$	|⋅ 15
$15\left(\frac{28}{15}x-16\right)$	=	$-100$
$28x-240$	=	$-100$	| $+240$
$28x$	=	$140$	|:$28$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-8+\frac{3}{5}\cdot 5$

= $-8+3$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +3y = ?

-5x +7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-4x +3y = -8 -15 = -23

-5x +7y = -10 -35 = -45

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +3y = -23

-5x +7y = -45

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{2}-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-2·\left(\frac{1}{2}-x\right)$	=	$-2$
$-2x-1+2x$	=	$-2$
$-1$	=	$-2$	| $+1$
0	=	$-1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-105+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-5·\left(-105+x\right)$	=	$375$
$4x+525-5x$	=	$375$
$-x+525$	=	$375$	| $-525$
$-x$	=	$-150$	|:($-1$)
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-105+150$

= $45$

also

y = 45

Die Lösung des LGS ist damit: (150|45)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 45