Man setzt einfach y = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$-2x+1$ = $-5$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-2x+1$	=	$-5$
$-2x+1$	=	$-5$	| $-1$
$-2x$	=	$-6$	|:($-2$)
$x$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (3|1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|7)
denn 1⋅( - 5 ) +3⋅7 = -5 +21 = $16$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|6)
denn 1⋅( - 2 ) +3⋅6 = -2 +18 = $16$

Oder : (-8|8)
denn 1⋅( - 8 ) +3⋅8 = -8 +24 = $16$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-3·\left(-2\right)$	=	$24$
$-3x+6$	=	$24$	| $-6$
$-3x$	=	$18$	|:($-3$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $7-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(7-3y\right)+4y$	=	$8$
$7-3y+4y$	=	$8$
$y+7$	=	$8$	| $-7$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $7-3\cdot 1$

= $7-3$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+2·\left(4-3x\right)$	=	$-19$
$-3x+8-6x$	=	$-19$
$-9x+8$	=	$-19$	| $-8$
$-9x$	=	$-27$	|:($-9$)
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4-3\cdot 3$

= $4-9$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-5)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $\frac{10}{3}-\frac{2}{3}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(\frac{10}{3}-\frac{2}{3}y\right)-3y$	=	$30$
$10-2y-3y$	=	$30$
$-5y+10$	=	$30$	| $-10$
$-5y$	=	$20$	|:($-5$)
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $\frac{10}{3}-\frac{2}{3}\cdot \left(-4\right)$

= $\frac{10}{3}+\frac{8}{3}$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +3y = ?

-1x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

2x +3y = -10 +9 = -1

-1x -4y = 5 -12 = -7

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +3y = -1

-1x -4y = -7

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+4·\left(1+x\right)$	=	$4$
$-4x+4+4x$	=	$4$
$4$	=	$4$	| $-4$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-255+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x-2·\left(-255+x\right)$	=	$2010$
$7x+510-2x$	=	$2010$
$5x+510$	=	$2010$	| $-510$
$5x$	=	$1500$	|:$5$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-255+300$

= $45$

also

y = 45

Die Lösung des LGS ist damit: (300|45)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 45