Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Da der Graph von f ' bei x = -4 die x-Achse berührt und f ' somit keinen VZW aufweist, kann der Graph der Originalfunktion f bei x = -4 auch keinen Extrempunkt haben (Er hat dort einen Sattelpunkt).

Wir erkennen bei x = 3 einen VZW in der Funktion f ' von - nach +. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = 3 einen Tiefpunkt haben.

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 0.

Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion f ', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;-2] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [-2;6] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Man erkennt am Graph von f', dass bei x = 0 ein maximales Gefälle (m ≈ -4) ist. Dort hat also f'', die Ableitungsfunktion von f', einen Tiefpunkt.

Man erkennt am Graph von f '' 2 Extrempunkte, also muss f ''' ( - die Ableitung von f '' - ) mindestens 2 Nullstellen und somit auch mindestens Grad 2 haben.

Weil bei ganzrationalen Funktionen mit jedem Ableiten der Grad um 1 verringert wird, muss der Grad der Originalfunktion f um 3 höher, also f vom Grad 5 sein.

Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung -2 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -2 haben. Es muss also f '(x) = -2 gelten.

Am Schaubild kann man f '(-2) = -2 und f '(0) = -2 ablesen.

Die gesuchten Stellen sind also x₁ = -2 und x₂ = 0.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(1) = $1$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(1) = -1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(1) + f '(1) = -1 + 1 = $0$.

Wir können der Zeichnung rechts f(-3) = 3 entnehmen.

Also gilt h(-3) = g(f(-3)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = g(f(-3)) = g(3) = -1.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-3|-2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-2 = g(-3)
Wegen -2 = h(x)= g(f(x))= g(-3) gilt also f(x) = -3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|-3) und Q₂(-1|-3), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -1

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($0$) = $-3$.

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = -3 und g(0) = -3 entnehmen.

Also gilt h(0)= f(0)⋅g(0) = ( - 3 )⋅( - 3 ) = 9

Für die Ableitung h'(x) gilt nach der Produktregel h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x)

Also h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0)

Da ja g (in blau gezeichnet) die Tangente an f in x=0 ist, können wir am Graph von g sowohl f'(0) als auch g'(0) als Steigung m=$2$ der Geraden ablesen, also gilt f'(0) = g'(0) = $2$.

Somit gilt:
h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0)
= $2$⋅( - 3 ) + ( - 3 )⋅$2$
= $-12$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-3) = $-2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-3)) = f($-2$).

f($-2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-3)) = f($-2$) = $-\frac{3}{2}$.