Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Wir erkennen bei x = -4 einen VZW in der Funktion f ' von - nach +. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = -4 einen Tiefpunkt haben.

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 0.

Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion f ', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;-3] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [-3;6] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Man erkennt am Graph von f', dass bei x = -1 das geringste Gefälle (m ≈ 0) ist. Dort hat also f'', die Ableitungsfunktion von f', einen Hochpunkt.

Man erkennt am Graph von f ' 2 Extrempunkte, also muss f '' ( - die Ableitung von f ' - ) mindestens 2 Nullstellen und somit auch mindestens Grad 2 haben.

Weil bei ganzrationalen Funktionen mit jedem Ableiten der Grad um 1 verringert wird, muss der Grad der Originalfunktion f um 2 höher, also f vom Grad 4 sein.

Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung -2 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -2 haben. Es muss also f '(x) = -2 gelten.

Am Schaubild kann man f '(-2) = -2 ablesen.

Die gesuchte Stelle ist also x = -2.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-1) = $-2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-1) = -1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-1) + f '(-1) = -1 + ( - 2 ) = $-3$.

Wir können der Zeichnung rechts f(2) = -3 entnehmen.

Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(-3) = -2.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 4 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(1|4), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
4 = g(1)
Wegen 4 = h(x)= g(f(x))= g(1) gilt also f(x) = 1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|1) und Q₂(2|1), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f($2$).

f($2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f($2$) = $1$.

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 2 und g(-2) = 2 entnehmen.

Also gilt h(-2)= f(-2)⋅g(-2) = 2⋅2 = 4

Für die Ableitung h'(x) gilt nach der Produktregel h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x)

Also h'(-2) = f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2)

Da ja g (in blau gezeichnet) die Tangente an f in x=-2 ist, können wir am Graph von g sowohl f'(-2) als auch g'(-2) als Steigung m=$-2$ der Geraden ablesen, also gilt f'(-2) = g'(-2) = $-2$.

Somit gilt:
h'(-2) = f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2)
= $-2$⋅2 + 2⋅ $\left(-2\right)$
= $-8$.

Man erkennt am Graph von f', dass bei x = -3 ein maximales Gefälle (m ≈ -4) ist. Dort hat also f'', die Ableitungsfunktion von f', einen Tiefpunkt.

Bei x = -1 ist dagegen eine maximale Steigung (m ≈ 4) in f', also ein Hochpunkt in f'' zu erkennnen.