Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Wir erkennen bei x = -3 einen VZW in der Funktion f ' von - nach +. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = -3 einen Tiefpunkt haben.

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 0.

Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion f ', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;-4] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [-4;-2] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [-2;6] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Man erkennt am Graph von f', dass bei x = 2 ein maximales Gefälle (m ≈ -2) ist. Dort hat also f'', die Ableitungsfunktion von f', einen Tiefpunkt.

Man erkennt am Graph von f ' 3 Extrempunkte, also muss f '' ( - die Ableitung von f ' - ) mindestens 3 Nullstellen und somit auch mindestens Grad 3 haben.

Weil bei ganzrationalen Funktionen mit jedem Ableiten der Grad um 1 verringert wird, muss der Grad der Originalfunktion f um 2 höher, also f vom Grad 5 sein.

Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung -3 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -3 haben. Es muss also f '(x) = -3 gelten.

Am Schaubild kann man f '(1) = -3 ablesen.

Die gesuchte Stelle ist also x = 1.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(1) = 0 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(1) + f '(1) = 0 + 0 = $0$.

Wir können der Zeichnung rechts f(2) = 1 entnehmen.

Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(1) = -1.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(1|2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
2 = g(1)
Wegen 2 = h(x)= g(f(x))= g(1) gilt also f(x) = 1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-1|1) und Q₂(3|1), also bei
x₁ = -1 und x₂ = 3

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($0$) = $-\frac{5}{2}$.

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 3 und g(-2) = 3 entnehmen.

Also gilt h(-2)= f(-2)⋅g(-2) = 3⋅3 = 9

Für die Ableitung h'(x) gilt nach der Produktregel h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x)

Also h'(-2) = f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2)

Da ja g (in blau gezeichnet) die Tangente an f in x=-2 ist, können wir am Graph von g sowohl f'(-2) als auch g'(-2) als Steigung m=$-2$ der Geraden ablesen, also gilt f'(-2) = g'(-2) = $-2$.

Somit gilt:
h'(-2) = f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2)
= $-2$⋅3 + 3⋅ $\left(-2\right)$
= $-12$.

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 0.