Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Da der Graph von f ' bei x = -2 die x-Achse berührt und f ' somit keinen VZW aufweist, kann der Graph der Originalfunktion f bei x = -2 auch keinen Extrempunkt haben (Er hat dort einen Sattelpunkt).

Wir erkennen bei x = 3 einen VZW in der Funktion f ' von + nach -. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = 3 einen Hochpunkt haben.

Wir erkennen bei x = 4 einen VZW in der Funktion f ' von - nach +. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = 4 einen Tiefpunkt haben.

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = -1 und x = 1.

Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion f ', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;-1] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [-1;6] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Man erkennt am Graph von f', dass bei x = -2 eine maximale Steigung (m ≈ 3) ist. Dort hat also f'', die Ableitungsfunktion von f', einen Hochpunkt.

Man erkennt am Graph von f '' 3 Extrempunkte, also muss f ''' ( - die Ableitung von f '' - ) mindestens 3 Nullstellen und somit auch mindestens Grad 3 haben.

Weil bei ganzrationalen Funktionen mit jedem Ableiten der Grad um 1 verringert wird, muss der Grad der Originalfunktion f um 3 höher, also f vom Grad 6 sein.

Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung -2 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -2 haben. Es muss also f '(x) = -2 gelten.

Am Schaubild kann man f '(1) = -2 und f '(-1) = -2 ablesen.

Die gesuchten Stellen sind also x₁ = 1 und x₂ = -1.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(0) = $0$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(0) = -1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(0) + f '(0) = -1 + 0 = $-1$.

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = -3 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(-3) = 1.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(-2)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|-2) und Q₂(0|-2), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 0

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $-1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f($-1$).

f($-1$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f($-1$) = $-4$.

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = -2 und g(-2) = -2 entnehmen.

Also gilt h(-2)= f(-2)⋅g(-2) = ( - 2 )⋅( - 2 ) = 4

Für die Ableitung h'(x) gilt nach der Produktregel h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x)

Also h'(-2) = f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2)

Da ja g (in blau gezeichnet) die Tangente an f in x=-2 ist, können wir am Graph von g sowohl f'(-2) als auch g'(-2) als Steigung m=$-2$ der Geraden ablesen, also gilt f'(-2) = g'(-2) = $-2$.

Somit gilt:
h'(-2) = f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2)
= $-2$⋅( - 2 ) + ( - 2 )⋅ $\left(-2\right)$
= $8$.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 4 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(2|4), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
4 = g(2)
Wegen 4 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-1|2) und Q₂(3|2), also bei
x₁ = -1 und x₂ = 3