Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Wir erkennen bei x = 4 einen VZW in der Funktion f ' von - nach +. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = 4 einen Tiefpunkt haben.

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = -2.

Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion f ', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;-4] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [-4;6] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.

Man erkennt am Graph von f', dass bei x = 1 ein maximales Gefälle (m ≈ -2) ist. Dort hat also f'', die Ableitungsfunktion von f', einen Tiefpunkt.

Man erkennt am Graph von f einen Wendepunkt bei x=-1, also muss f'' ( - die 2. Ableitung von f - ) mindestens eine Nullstelle haben und somit auch mindestens vom Grad 1 sein.

Weil bei ganzrationalen Funktionen mit jedem Ableiten der Grad um 1 verringert wird, muss der Grad der Originalfunktion f um 2 höher, also f vom Grad 3 sein.

Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung -3 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -3 haben. Es muss also f '(x) = -3 gelten.

Am Schaubild kann man f '(-2) = -3 und f '(0) = -3 ablesen.

Die gesuchten Stellen sind also x₁ = -2 und x₂ = 0.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(1) = $2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(1) = 1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(1) + f '(1) = 1 + 2 = $3$.

Wir können der Zeichnung rechts f(-3) = 3 entnehmen.

Also gilt h(-3) = g(f(-3)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = g(f(-3)) = g(3) = 0.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
2 = g(0)
Wegen 2 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|0) und Q₂(0|0), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 0

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(3) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(3)) = f($2$).

f($2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(3)) = f($2$) = $-\frac{5}{2}$.

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = -2 und g(-1) = -2 entnehmen.

Also gilt h(-1)= f(-1)⋅g(-1) = ( - 2 )⋅( - 2 ) = 4

Für die Ableitung h'(x) gilt nach der Produktregel h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x)

Also h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1)

Da ja g (in blau gezeichnet) die Tangente an f in x=-1 ist, können wir am Graph von g sowohl f'(-1) als auch g'(-1) als Steigung m=$-2$ der Geraden ablesen, also gilt f'(-1) = g'(-1) = $-2$.

Somit gilt:
h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1)
= $-2$⋅( - 2 ) + ( - 2 )⋅ $\left(-2\right)$
= $8$.

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 1 und x = 3.