Als erstes schauen wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ an (im Schaubind in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Wir erkennen, dass der schwarze Graph einfach an der y-Achse gespiegelt wurde. Das heißt die Funktionswerte bei x im schwarzen Graph sind die gleichen wie die Funktionswerte bei -x im roten Graph. Wir müssen also im Funktionterm einfach x durch -x ersetzen und erhalten somit als Funktionsterm für den gesuchten roten Graph f(x)= $e^{-x}$.

Als erstes schauen wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ an (im Schaubind in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Man erkennt nun (v.a. wieder am fast waagrecht verlaufenden Teil), dass der gesuchte rote Graph um 1 nach oben verschoben ist. Wir nähern uns somit mit dem orangen Graphen der Funktion f₃(x)= $e^x+1$ dem roten Graphen auf der richtige 'Höhe' an.

Zum Schluss versuchen wir noch die Verschiebung in x-Richtung zu erkennen. Dazu nutzen wir die Kenntnis, dass die Original-e-Funktion die y-Achse bei y=e⁰=1 schneidet. Beim orangen Graph ist dieser Punkt S*(0|2) gerade genau 1 über der waagrechten Asymptote (der fast waagrechte Teil). Beim gesuchten roten Graph ist dieser Punkt S**(2|2) gerade 1 über der waagrechten Asymptote. Der Graph wurde also um 2 nach rechts verschoben.
Im Funktionsterm müssen wir also jedes x durch x - 2 ersetzen:

Dadurch erhalten wir als gesuchten Funktionsterm:
f(x)= $e^{x-2}+1$.

Wenn man sich die Originalfunktion f mit $\text{f(x)}=$ $e^x$ (in schwarz eingezeichnet) einigermaßen vorstellen kann, erkennt man schnell, dass der rote Graph in y-Richtung verschoben wurde, und zwar um 4 nach unten, bzw. -4 nach oben. Der gesuchte Funktionsterm ist also g(x)= $e^x-4$

Als erstes untersuchen wir, ob der zweite (rot eingezeichnete) Graph an einer Koordinatenachse gespiegelt wurde oder nur verschoben:
Wir erkennen, dass der zweite Graph nirgends gespiegelt, sondern nur verschoben wurde.

Wenn wir jetzt den markanten Scheitel betrachten, so erkennen wir dass dieser von (0|0) in der Originalfunktion nach (-3|2) verschoben wurde, wir erkennen also eine Verschiebung um -3 in x-Richtung und um 2 in y-Richtung.

Der neue Funktionsterm ist folglich: g(x)=f(x +3) + 2 = $\frac{1}{8}{\left(x+3\right)}^3+2$

Hinter dem Hauptterm steht noch eine 1. Das bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch 1 dazu addiert wird. Also wird der Graph von g um 1 nach oben verschoben.

Die 3 als Koeffizient vor dem Hauptterm bewirkt, dass die Funktionswerte mit dem Faktor 3 multipliziert werden. Dadurch wird der Graph um 3 gestreckt.

Die Streckung um den Faktor 3 in y-Richtung erreicht man durch den Koeffizienten 3 vor der Potenz.

Bei der Verschiebung um 5 nach oben wird zu jedem Funktionswert noch 5 dazu addiert, also ein 5 an den Funktionsterm hinten angehängt.

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $\text{g(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)+5$

Man kann erkennen, dass der Graph von f mit $\text{f(x)}=$ $5{\left(x+2\right)}^4+1$ durch Verschieben und Strecken aus dem Graph von g mit $\text{g(x)}=$ $x^4$ hervorgeht.

Da das 'x' aus g(x) in f(x) durch (x +2) ersetzt wurde, werden in f die Funktionswerte von g von den um 2 größeren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei f um 2 kleiner als bei g) Für den Graph bedeutet das, dass er um 2 nach links, bzw. -2 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Das 1 hinter dem Potenzterm bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch 1 dazu addiert wird. Also wird der Graph von f um 1 nach oben verschoben.

Der Graph der Grundfunktion g mit $\text{g(x)}=$ $x^4$ hat ja genau einen Tiefpunkt, und zwar im Ursprung O(0|0). Dieser wird natürlich mit verschoben und ist somit beim Graph von f bei (-2|1).

(Die Streckung (bzw. Stauchung) des Graphen durch den Koeffizienten 5 vor der Potenz ändert an der Art und Lage des Tiefpunkt nichts.)

Der Graph der Funktion f mit $\text{f(x)}=$ $5{\left(x+2\right)}^4+1$ besitzt somit einen Tiefpunkt T(-2|1).

Man kann erkennen, dass der Graph von f mit $\text{f(x)}=$ $-3{\left(x+2\right)}^4+2{\left(x+2\right)}^2+5$ durch Verschieben aus dem Graph von g mit $\text{g(x)}=$ $-3x^4+2x^2$ hervorgeht.

Da das 'x' aus g(x) in f(x) durch (x +2) ersetzt wurde, werden in f die Funktionswerte von g von den um 2 größeren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei f um 2 kleiner als bei g) Für den Graph bedeutet das, dass er um 2 nach links, bzw. -2 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Das 5 hinter dem Potenzterm bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch 5 dazu addiert wird. Also wird der Graph von f um 5 nach oben verschoben.

Da bei der Grundfunktion g mit $\text{g(x)}=$ $-3x^4+2x^2$ nur gerade Potenzen vorkommen, ist ihr Graph achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse (x=0). Diese Symmetrieachse wird natürlich mit verschoben und ist somit beim Graph von f bei x = -2.

Der Graph der Funktion f mit $\text{f(x)}=$ $-3{\left(x+2\right)}^4+2{\left(x+2\right)}^2+5$ ist somit achsensymmetrisch bezüglich der Geraden x = -2.

Der Graph der Originalfunktion $\text{f(x)}=$ $x^3-2x-2$ soll an der Geraden y = -3 (rot) gespiegelt werden.

Dazu verschieben wir die Funktion als erstes um +3 in y-Richtung und erhalten somit f₁(x)= $x^3-2x-2+3$ = $x^3-2x+1$ (grün).

Dabei erkennen wir, dass die Lage von der (schwarzen) Orginalfunktion zur Geraden y = -3 (rot) genau gleich ist wie die Lage der neuen verschobenen Funktion f₁(x) (grün) zur x-Achse.

Diese verschobene (grüne) Funktion spiegeln wir nun an der x-Achse. Dabei drehen wir einfach das Vorzeichen des gesamten Funktionsterm um und erhalten so den orangen Graph von f₂(x)= $-\left(x^3-2x+1\right)$ = $-x^3+2x-1$.

Zum Schluss müssen wir die Verschiebung vom ersten Schritt wieder Rückgängig machen und den gespiegelten orangen Graph von f₂(x) wieder um -3 in y-Richtung verschieben. Dabei erhalten wir den gesuchten Graph mit dem Funktionsterm
g(x)= $-x^3+2x-1-3$ = $-x^3+2x-4$ (blau).

Man erkennt am Schaubild, dass der Graph von g tatsächlich das Spiegelbild des Graphen von f an der Geraden y=-3 ist.

Der Graph der Originalfunktion $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^2-1$ soll an der Geraden x = -2 (rot) gespiegelt werden.

Dazu spiegeln wir die Funktion erst mal an der y-Achse, indem wir im gesamten Funktionsterm -x statt x einsetzen. So erhalten wir den Funktionsterm
f₁(x)= $\frac{1}{3}{\left(-x\right)}^2-1$ = $\frac{1}{3}{x}^2-1$
dessen Graph im Schubild rechts in grün eingezeichnet ist.

Hier erkennt man jetzt, dass der Abstand des aktuell gespiegelten Graphs von f₁(x) von der gesuchten Spiegelung an x = -2 gerade der doppelte Abstand ist wie der zwischen Spiegelachse und y-Achse.

Wir müssen also den an der y-Achse gespiegelten Graph von f₁(x) um 4 Einheiten nach links verschieben. Dazu müssen wir überall im Term von f₁(x)= $\frac{1}{3}{x}^2-1$ das x durch (x +4) ersetzen und erhalten so den Term :
Graph von g(x)= $\frac{1}{3}{(-\left(x+4\right))}^2-1$ = $\frac{1}{3}{\left(x+4\right)}^2-1$.

Man erkennt am Schaubild, dass der Graph von g tatsächlich das Spiegelbild des Graphen von f an der Geraden x=-2 ist.