Als erstes schauen wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ an (im Schaubind in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Wir erkennen, dass der schwarze Graph einfach an der y-Achse gespiegelt wurde. Das heißt die Funktionswerte bei x im schwarzen Graph sind die gleichen wie die Funktionswerte bei -x im roten Graph. Wir müssen also im Funktionterm einfach x durch -x ersetzen und erhalten somit als Funktionsterm für den gesuchten roten Graph f(x)= $e^{-x}$.

Als erstes schauen wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ an (im Schaubind in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Zum Schluss versuchen wir noch die Verschiebung in x-Richtung zu erkennen. Dazu nutzen wir die Kenntnis, dass die Original-e-Funktion die y-Achse bei y=e⁰=1 schneidet. Beim schwarzen Graph ist dieser Punkt S*(0|1) gerade genau 1 über der waagrechten Asymptote (der fast waagrechte Teil). Beim gesuchten roten Graph ist dieser Punkt S**(-3|1) gerade 1 über der waagrechten Asymptote. Der Graph wurde also um 3 nach links, bzw. um -3 nach rechts verschoben.
Im Funktionsterm müssen wir also jedes x durch x - ( - 3 ) ersetzen:

Dadurch erhalten wir als gesuchten Funktionsterm:
f(x)= $e^{x+3}$.

Wenn man sich die Originalfunktion f mit $\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}$ (in schwarz eingezeichnet) einigermaßen vorstellen kann, erkennt man schnell, dass der rote Graph in x-Richtung verschoben wurde, und zwar um 4 nach rechts. Somit muss man also x durch (x - 4) ersetzen. Der gesuchte Funktionsterm ist also g(x)= $\sqrt{x-4}$

Als erstes untersuchen wir, ob der zweite (rot eingezeichnete) Graph an einer Koordinatenachse gespiegelt wurde oder nur verschoben:
Wir erkennen, dass der zweite Graph nirgends gespiegelt, sondern nur verschoben wurde.

Wenn wir jetzt den markanten Scheitel betrachten, so erkennen wir dass dieser von (0|0) in der Originalfunktion nach (2|0) verschoben wurde, wir erkennen also eine Verschiebung um 2 in x-Richtung und um 0 in y-Richtung.

Der neue Funktionsterm ist folglich: g(x)=f(x -2) + 0 = $\frac{1}{5}{\left(x-2\right)}^2+0$

Man erkennt sofort, dass das 'x' in g(x) in f(x) durch (x -4) ersetzt wurde. Das bedeutet, dass in g die Funktionswerte von f von den um 4 kleineren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei g um 4 größer als bei f) Für den Graph bedeutet das, dass er um 4 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Die $-\frac{1}{2}$ als Koeffizient vor dem Hauptterm bewirkt, dass die Funktionswerte mit dem Faktor $-\frac{1}{2}$ multipliziert werden. Dadurch wird der Graph um $-\frac{1}{2}$ gestreckt. (das negative Vorzeichen von $-\frac{1}{2}$ ändert das Vorzeichen der Funktionswerte und bewirkt somit noch zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse.)

Die Streckung um den Faktor 4 in y-Richtung erreicht man durch den Koeffizienten 4 vor der Potenz.

Bei der Verschiebung um 1 nach oben wird zu jedem Funktionswert noch 1 dazu addiert, also ein 1 an den Funktionsterm hinten angehängt.

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $\text{g(x)}=$ $4\sqrt{x}+1$

Man kann erkennen, dass der Graph von f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{\left(x-5\right)}^3-4$ durch Verschieben und Strecken aus dem Graph von g mit $\text{g(x)}=$ $x^3$ hervorgeht.

Da das 'x' aus g(x) in f(x) durch (x -5) ersetzt wurde, werden in f die Funktionswerte von g von den um 5 kleineren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei f um 5 größer als bei g) Für den Graph bedeutet das, dass er um 5 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Das -4 hinter dem Potenzterm bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch -4 dazu addiert wird. Also wird der Graph von f um 4 nach unten, bzw. -4 nach oben verschoben.

Der Graph der Grundfunktion g mit $\text{g(x)}=$ $x^3$ hat ja genau einen Sattelpunkt, und zwar im Ursprung O(0|0). Dieser wird natürlich mit verschoben und ist somit beim Graph von f bei (5|-4).

(Die Streckung (bzw. Stauchung) des Graphen durch den Koeffizienten $\frac{1}{2}$ vor der Potenz ändert an der Art und Lage des Sattelpunkt nichts.)

Der Graph der Funktion f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{\left(x-5\right)}^3-4$ besitzt somit einen Sattelpunkt SP(5|-4).

Man kann erkennen, dass der Graph von f mit $\text{f(x)}=$ ${\left(x-1\right)}^4+3$ durch Verschieben aus dem Graph von g mit $\text{g(x)}=$ $x^4$ hervorgeht.

Da das 'x' aus g(x) in f(x) durch (x -1) ersetzt wurde, werden in f die Funktionswerte von g von den um 1 kleineren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei f um 1 größer als bei g) Für den Graph bedeutet das, dass er um 1 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Das 3 hinter dem Potenzterm bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch 3 dazu addiert wird. Also wird der Graph von f um 3 nach oben verschoben.

Da bei der Grundfunktion g mit $\text{g(x)}=$ $x^4$ nur gerade Potenzen vorkommen, ist ihr Graph achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse (x=0). Diese Symmetrieachse wird natürlich mit verschoben und ist somit beim Graph von f bei x = 1.

Der Graph der Funktion f mit $\text{f(x)}=$ ${\left(x-1\right)}^4+3$ ist somit achsensymmetrisch bezüglich der Geraden x = 1.

Der Graph der Originalfunktion $\text{f(x)}=$ $x^3-x-1$ soll an der Geraden y = -2 (rot) gespiegelt werden.

Dazu verschieben wir die Funktion als erstes um +2 in y-Richtung und erhalten somit f₁(x)= $x^3-x-1+2$ = $x^3-x+1$ (grün).

Dabei erkennen wir, dass die Lage von der (schwarzen) Orginalfunktion zur Geraden y = -2 (rot) genau gleich ist wie die Lage der neuen verschobenen Funktion f₁(x) (grün) zur x-Achse.

Diese verschobene (grüne) Funktion spiegeln wir nun an der x-Achse. Dabei drehen wir einfach das Vorzeichen des gesamten Funktionsterm um und erhalten so den orangen Graph von f₂(x)= $-\left(x^3-x+1\right)$ = $-x^3+x-1$.

Zum Schluss müssen wir die Verschiebung vom ersten Schritt wieder Rückgängig machen und den gespiegelten orangen Graph von f₂(x) wieder um -2 in y-Richtung verschieben. Dabei erhalten wir den gesuchten Graph mit dem Funktionsterm
g(x)= $-x^3+x-1-2$ = $-x^3+x-3$ (blau).

Man erkennt am Schaubild, dass der Graph von g tatsächlich das Spiegelbild des Graphen von f an der Geraden y=-2 ist.

Der Graph der Originalfunktion $\text{f(x)}=$ $2+x·e^x$ soll an der Geraden x = -2 (rot) gespiegelt werden.

Dazu spiegeln wir die Funktion erst mal an der y-Achse, indem wir im gesamten Funktionsterm -x statt x einsetzen. So erhalten wir den Funktionsterm
f₁(x)= $\left(-x\right)·e^{-x}+2$ = $2-x·e^{-x}$
dessen Graph im Schubild rechts in grün eingezeichnet ist.

Hier erkennt man jetzt, dass der Abstand des aktuell gespiegelten Graphs von f₁(x) von der gesuchten Spiegelung an x = -2 gerade der doppelte Abstand ist wie der zwischen Spiegelachse und y-Achse.

Wir müssen also den an der y-Achse gespiegelten Graph von f₁(x) um 4 Einheiten nach links verschieben. Dazu müssen wir überall im Term von f₁(x)= $2-x·e^{-x}$ das x durch (x +4) ersetzen und erhalten so den Term :
Graph von g(x)= $\left((-\left(x+4\right))\right)·e^{-\left(x+4\right)}+2$ = $2-\left(x+4\right)·e^{-x-4}$.

Man erkennt am Schaubild, dass der Graph von g tatsächlich das Spiegelbild des Graphen von f an der Geraden x=-2 ist.