$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\left(x+2\right)\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\left(x+2\right)\right)·\left(\frac{1}{2}\left(1+0\right)\right)$

= $2\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\left(x+2\right)\right)·\left(\frac{1}{2}\left(1\right)\right)$

= $\cos \left(\frac{1}{2}\left(x+2\right)\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\sin \left(3x-5\right)+x$

$\text{f'(x)}=$ $-\cos \left(3x-5\right)·\left(3+0\right)+1$

= $-\cos \left(3x-5\right)·\left(3\right)+1$

= $-3\cdot \cos \left(3x-5\right)+1$

= ${\left[4\cdot \cos \left(x-\frac{3}{2}\pi \right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $4\cdot \cos \left(\pi -\frac{3}{2}\pi \right)-4\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi -\frac{3}{2}\pi \right)$

= $4\cdot \cos \left(-\frac{1}{2}\pi \right)-4\cdot \cos (-\pi )$

= $4\cdot 0-4\cdot \left(-1\right)$

= $0+4$

= $4$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über 0, also bei y=3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{4}\pi$|3)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|3) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\sin \left(\frac{1}{2}\left(x+0\right)\right)+3$ aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\pi$ ≈ $\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 3, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\pi$|2)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $-\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\pi$|-2).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $-\pi$ + $\frac{1}{8}\pi$ ≈ $-\frac{7}{8}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{1}{2}\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{7}{8}\pi +\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{8}\pi$.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -2, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{8}\pi$|-1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.20135792079033

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\frac{3}{4}x\right)$ = $\mathrm{0,2}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,201}$= $\mathrm{2,94}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,268}$; $\mathrm{3,92}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{8}{3}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,268}$ und x₂ = $\mathrm{3,92}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 24

1. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 8 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 8 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 8 h = 26 h. Weil aber 26 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 26 - 24 = 2 h. Die Lösung ist also: 2 Uhr.

2. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 6 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 8 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 8 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 6 + 8 h = 14 h. Die Lösung ist also: 14 Uhr.

3. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 19 nach oben und eine Amplitude von a = 8 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 8 um 19. Somit ist der höchste Wert bei 19 ° C + 8 ° C = 27 ° C.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $\cos \left(\frac{1}{a^2+2a+6}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2+2a+6\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+2a+6$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2+2a+6$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+2a+6$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+2a+6$)' = $2a+2$ = 0 ⇔ a = -1

Für dieses a = -1 wird also $a^2+2a+6$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2+2a+6\right)$ minimal .

Für a = -1 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left({\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)+6\right)$ = $2\pi ·\left(1-2+6\right)$ = $10\pi$.