$\text{f(x)}=$ $-5x·\cos \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-5·1·\cos \left(3x\right)-5x·(-\sin \left(3x\right)·3)$

= $-5\cdot \cos \left(3x\right)-5x·\left(-3\cdot \sin \left(3x\right)\right)$

= $-5\cdot \cos \left(3x\right)+15x·\sin \left(3x\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{3}\pi \right)\right)+1$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{3}\pi \right)\right)·\left(\frac{1}{2}\left(1+0\right)\right)+0$

= $3\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{3}\pi \right)\right)·\frac{1}{2}$

= $\frac{3}{2}\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{3}\pi \right)\right)$

= ${\left[-\frac{2}{3}\cdot \cos \left(-3x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\frac{2}{3}\cdot \cos \left(-3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)+\frac{2}{3}\cdot \cos \left(-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-\frac{2}{3}\cdot 0+\frac{2}{3}\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{4}\pi$ ≈ $\frac{3}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $2\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{3}{4}\pi +\pi$ = $\frac{7}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 3, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{4}\pi$|2) und einen bei ( $\frac{7}{4}\pi$|2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $2\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\pi$ = $\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über 0, also bei y=3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $0$|3) und einen bei ( $\pi$|3)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $-\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\pi$|1).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $-\pi$ + $0$ ≈ $-\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\pi$) liegt,
also x₁= $-\pi +\pi$ ≈ 0.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -2, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei (0|1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert -0.10016742116156

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\mathrm{6,183}$

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\frac{1}{3}x\right)$ = $-\mathrm{0,1}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{6,183}$=-3.0414 bzw. bei -3.0414+2π= $\mathrm{3,242}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{9,726}$; $\mathrm{18,549}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $6\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{9,726}$ und x₂ = $\mathrm{18,549}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 24

1. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 7 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 7 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 7 h = 25 h. Weil aber 25 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 25 - 24 = 1 h. Die Lösung ist also: 1 Uhr.

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 8 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 8 um 12. Somit ist der tiefste Wert bei 12 ° C - 8 ° C = 4 ° C.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(\frac{1}{a^2-6a+13}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2-6a+13\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-6a+13$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2-6a+13$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-6a+13$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-6a+13$)' = $2a-6$ = 0 ⇔ a = 3

Für dieses a = 3 wird also $a^2-6a+13$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2-6a+13\right)$ minimal .

Für a = 3 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left(3^2-6\cdot 3+13\right)$ = $2\pi ·\left(9-18+13\right)$ = $8\pi$.