$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $-6\cdot \cos \left(-3x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(-4x+5\right)-4x^2$

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \sin \left(-4x+5\right)·\left(-4+0\right)-8x$

= $4\cdot \sin \left(-4x+5\right)·\left(-4\right)-8x$

= $-16\cdot \sin \left(-4x+5\right)-8x$

= ${\left[-\cos \left(x\right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $-\cos \left(\pi \right)+\cos \left(0\right)$

= $-\left(-1\right)+1$

= $1+1$

= $2$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|0) und einen bei ( $\frac{1}{4}\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über 1, also bei y=4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{2}\pi$|4)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung und um c= $-\frac{2}{3}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{2}{3}\pi$|-3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $-\frac{2}{3}\pi$|-3) wird.

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-\frac{2}{3}\pi$ + $0$ ≈ $-\frac{2}{3}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $2\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{2}{3}\pi +2\pi$ ≈ $\frac{4}{3}\pi$ und bei x₂= $-\frac{2}{3}\pi$ + $\pi$ ≈ $\frac{1}{3}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{4}{3}\pi$|-3) und bei ( $\frac{1}{3}\pi$|-3)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

L={ $\frac{4}{3}\pi$}

Die einzige Nullstelle in der Periode [0; $\frac{8}{3}\pi$) ist also bei x = $\frac{4}{3}\pi$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{90}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 180

2. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 135 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 40 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 40 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 135 + 40 s = 175 s. Die Lösung ist also: 175 s.

3. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 13 nach oben und eine Amplitude von a = 11 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 11 um 13. Somit ist der tiefste Wert bei 13 m - 11 m = 2 m.

4. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 45 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 40 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 40 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 45 + 40 s = 85 s. Die Lösung ist also: 85 s.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(\frac{1}{a^2-6a+12}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2-6a+12\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-6a+12$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2-6a+12$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-6a+12$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-6a+12$)' = $2a-6$ = 0 ⇔ a = 3

Für dieses a = 3 wird also $a^2-6a+12$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2-6a+12\right)$ minimal .

Für a = 3 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left(3^2-6\cdot 3+12\right)$ = $2\pi ·\left(9-18+12\right)$ = $6\pi$.