$\text{f(x)}=$ $4x^2·\cos \left(-4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4·2x·\cos \left(-4x\right)+4x^2·(-\sin \left(-4x\right)·\left(-4\right))$

= $8x·\cos \left(-4x\right)+4x^2·4\cdot \sin \left(-4x\right)$

= $8x·\cos \left(-4x\right)+16x^2·\sin \left(-4x\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(-5x\right)·\left(-5\right)$

= $-10\cdot \cos \left(-5x\right)$

= ${\left[-5\cdot \cos \left(x-\frac{3}{2}\pi \right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-5\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi -\frac{3}{2}\pi \right)+5\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi -\frac{3}{2}\pi \right)$

= $-5\cdot \cos \left(0\right)+5\cdot \cos (-\pi )$

= $-5\cdot 1+5\cdot \left(-1\right)$

= $-5-5$

= $-10$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{4}\pi$ ≈ $\frac{3}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 1, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{4}\pi$|-2)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|-2) wird.

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\sin \left(x+0\right)-2$ aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -2, also bei y=-3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{1}{2}\pi$|-3)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{2}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{2}\pi$|3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $-\frac{1}{2}\pi$|3) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{2}\pi$ + $0$ ≈ $-\frac{1}{2}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $4\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{1}{2}\pi +4\pi$ ≈ $\frac{7}{2}\pi$ und bei x₂= $-\frac{1}{2}\pi$ + $2\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{7}{2}\pi$|3) und bei ( $\frac{3}{2}\pi$|3)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert -0.20135792079033

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\mathrm{6,082}$

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\frac{1}{4}x\right)$ = $-\mathrm{0,2}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{6,082}$=-2.9404 bzw. bei -2.9404+2π= $\mathrm{3,343}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{13,372}$; $\mathrm{24,328}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $8\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{13,372}$ und x₂ = $\mathrm{24,328}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 24

1. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 15 nach oben und eine Amplitude von a = 7 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 7 um 15. Somit ist der tiefste Wert bei 15 ° C - 7 ° C = 8 ° C.

2. t-Werte mit f(t) ≥ 15.7

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 15.7 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 15.7 gleich:

   $7\cdot \sin \left(\frac{1}{12}\pi \left(t-8\right)\right)+15$ = 15.7

   $7\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,0944}\right)+15$ = $\mathrm{15,7}$ | $-15$

   $7\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,0944}\right)$

   =

   $\mathrm{0,7}$

   |:$7$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,0944}\right)$

   =

   $\mathrm{0,1}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.10016742116156

   1. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,0944}$	=	$\mathrm{0,1}$	| $+\mathrm{2,0944}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{2,1944}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x1	=	$\mathrm{8,382}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,0944}\right)$ = $\mathrm{0,1}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,1}$= $\mathrm{3,041}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,0944}$	=	$\mathrm{3,041}$	| $+\mathrm{2,0944}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{5,1354}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x2	=	$\mathrm{19,6157}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 8 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 8 h nach oben und erreicht erstmals nach 8.38 h den Wert 15.7. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 19.62 h zum zweiten mal den Wert 15.7 erreicht. Während dieser 19.62 - 8.38 = 11.24 h ist der Wert der Funktion also höher als 15.7.

3. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 15 nach oben und eine Amplitude von a = 7 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 7 um 15. Somit ist der höchste Wert bei 15 ° C + 7 ° C = 22 ° C.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer $\frac{1}{2}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{2}$⋅p = $\frac{2}{3}\pi$ |⋅$2$

Demnach muss also die Periode p =$2$ ⋅ $\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{4}{3}\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $\frac{4}{3}\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\cos \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $\frac{3}{2}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\cos (\frac{3}{2}·x)$ seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( $\frac{2}{3}\pi$|-1) hat.