$\text{f(x)}=$ $x^2·\sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\sin \left(x\right)+x^2·\cos \left(x\right)$

= $2x·\sin \left(x\right)+x^2·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(\frac{1}{2}\left(x+2\right)\right)-1$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(\frac{1}{2}\left(x+2\right)\right)·\left(\frac{1}{2}\left(1+0\right)\right)+0$

= $\cos \left(\frac{1}{2}\left(x+2\right)\right)·\left(\frac{1}{2}\left(1\right)\right)$

= $\frac{1}{2}\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\left(x+2\right)\right)$

= ${\left[-2\cdot \cos \left(2x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $-2\cdot \cos \left(2\cdot \pi \right)+2\cdot \cos \left(2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-2\cdot 1+2\cdot \left(-1\right)$

= $-2-2$

= $-4$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{1}{3}\pi$ ≈ $\frac{1}{3}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|2) und einen bei ( $\frac{1}{3}\pi$|2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|-2) wird.

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\cos \left(4\left(x+0\right)\right)-2$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -2, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{4}\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung und um c= $-1$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-1$|3).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $-1$ + $0$ ≈ $-1$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $2\pi$) liegt,
also x₁= $-1+\pi$ ≈ $\mathrm{2,142}$.

Weil das gesuchte Interval [0; $2\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{2,142}+\pi$ ≈ 5.284 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 1, also bei y=3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\mathrm{2,142}$|3) und bei (5.284|3)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(4x\right)$ = $\mathrm{0,5}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{3}\pi$
bzw. bei - $\frac{1}{3}\pi$+2π= $\frac{5}{3}\pi$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\frac{1}{12}\pi$; $\frac{5}{12}\pi$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{1}{2}\pi$) sind also
bei x₁ = $\frac{1}{12}\pi$ und x₂ = $\frac{5}{12}\pi$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 366

1. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 4.5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4.5 um 12. Somit ist der tiefste Wert bei 12 h - 4.5 h = 7.5 h.

2. t-Werte mit f(t) ≥ 14.7

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 14.7 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 14.7 gleich:

   $\mathrm{4,5}\cdot \sin \left(\frac{1}{183}\pi \left(t-20\right)\right)+12$ = 14.7

   $\mathrm{4,5}\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,3433}\right)+12$ = $\mathrm{14,7}$ | $-12$

   $\mathrm{4,5}\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,3433}\right)$

   =

   $\mathrm{2,7}$

   |:$\mathrm{4,5}$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,3433}\right)$

   =

   $\mathrm{0,6}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,3433}$	=	$\mathrm{0,644}$	| $+\mathrm{0,3433}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{0,9873}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x1	=	$\mathrm{57,4012}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,3433}\right)$ = $\mathrm{0,6}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,644}$= $\mathrm{2,498}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,3433}$	=	$\mathrm{2,498}$	| $+\mathrm{0,3433}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{2,8413}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x2	=	$\mathrm{165,1919}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 20 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 20 d nach oben und erreicht erstmals nach 57.4 d den Wert 14.7. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 165.19 d zum zweiten mal den Wert 14.7 erreicht. Während dieser 165.19 - 57.4 = 107.79 d ist der Wert der Funktion also höher als 14.7.

3. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 91.5 d.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 20 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 20 d mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 91.5 + 20 d = 111.5 d. Die Lösung ist also: 111.5 d.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $\frac{1}{6}\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $\frac{1}{6}\pi$ = $\frac{2}{3}\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\cos \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $3$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\cos (3·x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $\frac{1}{6}\pi$|0) hat.