$\text{f(x)}=$ ${\left(\sin \left(x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(\sin \left(x\right)\right)·\cos \left(x\right)$

= $2\sin \left(x\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4x^2·\cos \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-4·2x·\cos \left(-2x\right)-4x^2·(-\sin \left(-2x\right)·\left(-2\right))$

= $-8x·\cos \left(-2x\right)-4x^2·2\cdot \sin \left(-2x\right)$

= $-8x·\cos \left(-2x\right)-8x^2·\sin \left(-2x\right)$

= ${\left[-\frac{5}{3}\cdot \cos \left(-3x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\frac{5}{3}\cdot \cos \left(-3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)+\frac{5}{3}\cdot \cos \left(-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-\frac{5}{3}\cdot 0+\frac{5}{3}\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{4}{3}\pi$ ≈ $\frac{4}{3}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{16}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\frac{8}{3}\pi$ = $\frac{8}{3}\pi$ und $\frac{4}{3}\pi +\frac{8}{3}\pi$ = $4\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|3) und einen bei ( $\frac{4}{3}\pi$|3) und einen bei ( $\frac{8}{3}\pi$|3) und einen bei ( $4\pi$|3)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|0) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $2\pi$ ≈ $2\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|0) und einen bei ( $2\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in y-Richtung und um c= $-\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\pi$|4).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-\pi$ + $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. und bei x₂= $-\pi$ + $\frac{9}{2}\pi$ ≈ $\frac{7}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $12\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{2}\pi +6\pi$ = $\frac{13}{2}\pi$ und $\frac{7}{2}\pi +6\pi$ = $\frac{19}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{2}\pi$|3) und bei ( $\frac{7}{2}\pi$|3) und bei ( $\frac{13}{2}\pi$|3) und bei ( $\frac{19}{2}\pi$|3)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert -0.5235987755983

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\frac{11}{6}\pi$

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\frac{1}{3}x\right)$ = $-\mathrm{0,5}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{11}{6}\pi$=-2.618 bzw. bei -2.618+2π= $\frac{7}{6}\pi$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\frac{7}{2}\pi$; $\frac{11}{2}\pi$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $6\pi$) sind also
bei x₁ = $\frac{7}{2}\pi$ und x₂ = $\frac{11}{2}\pi$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{50}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 100

2. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 75 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 20 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 20 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 75 + 20 s = 95 s. Die Lösung ist also: 95 s.

3. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 22 nach oben und eine Amplitude von a = 20 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 20 um 22. Somit ist der tiefste Wert bei 22 m - 20 m = 2 m.

4. t-Werte mit f(t) ≥ 34

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 34 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 34 gleich:

   $20\cdot \sin \left(\frac{1}{50}\pi \left(t-20\right)\right)+22$ = 34

   $20\cdot \sin \left(\mathrm{0,0628}t-\mathrm{1,2566}\right)+22$ = $34$ | $-22$

   $20\cdot \sin \left(\mathrm{0,0628}t-\mathrm{1,2566}\right)$

   =

   $12$

   |:$20$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0628}t-\mathrm{1,2566}\right)$

   =

   $\mathrm{0,6}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0628}x-\mathrm{1,2566}$	=	$\mathrm{0,644}$	| $+\mathrm{1,2566}$
   $\mathrm{0,0628}x$	=	$\mathrm{1,9006}$	|:$\mathrm{0,0628}$
   x1	=	$\mathrm{30,2643}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0628}t-\mathrm{1,2566}\right)$ = $\mathrm{0,6}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,644}$= $\mathrm{2,498}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0628}x-\mathrm{1,2566}$	=	$\mathrm{2,498}$	| $+\mathrm{1,2566}$
   $\mathrm{0,0628}x$	=	$\mathrm{3,7546}$	|:$\mathrm{0,0628}$
   x2	=	$\mathrm{59,7866}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 20 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 20 s nach oben und erreicht erstmals nach 30.26 s den Wert 34. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 59.79 s zum zweiten mal den Wert 34 erreicht. Während dieser 59.79 - 30.26 = 29.53 s ist der Wert der Funktion also höher als 34.

5. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 25 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 20 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 20 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 25 + 20 s = 45 s. Die Lösung ist also: 45 s.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $2\cdot \sin \left(\frac{1}{a^2+4a+7}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2+4a+7\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+4a+7$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2+4a+7$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+4a+7$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+4a+7$)' = $2a+4$ = 0 ⇔ a = -2

Für dieses a = -2 wird also $a^2+4a+7$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2+4a+7\right)$ minimal .

Für a = -2 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left({\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)+7\right)$ = $2\pi ·\left(4-8+7\right)$ = $6\pi$.