$\text{f(x)}=$ $\sin \left(x-1\right)-3$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x-1\right)+0$

= $\cos \left(x-1\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(3(x+\pi )\right)-3$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(3(x+\pi )\right)·\left(3\left(1+0\right)\right)+0$

= $\cos \left(3(x+\pi )\right)·3$

= $3\cdot \cos \left(3(x+\pi )\right)$

= ${\left[5\cdot \sin \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $5\cdot \sin \left(\pi \right)-5\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$

= $5\cdot 0-5\cdot 1$

= $0-5$

= $-5$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über -1, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{2}\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|3) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\pi$ ≈ $\pi$. und bei x₂= $3\pi$ ≈ $3\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\pi$|3) und einen bei ( $3\pi$|3)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{4}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{4}\pi$|-2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $-\frac{1}{4}\pi$|-2) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-2\cdot \sin \left(\frac{1}{3}\left(x+\frac{1}{4}\pi \right)\right)-2$ aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{4}\pi$ + $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\frac{5}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $12\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{5}{4}\pi +6\pi$ = $\frac{29}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter -2, also bei y=-4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{5}{4}\pi$|-4) und bei ( $\frac{29}{4}\pi$|-4)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert -0.64350110879328

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\mathrm{5,64}$

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(x\right)$ = $-\mathrm{0,6}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{5,64}$=-2.4984 bzw. bei -2.4984+2π= $\mathrm{3,785}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{3,785}$; $\mathrm{5,64}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $2\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{3,785}$ und x₂ = $\mathrm{5,64}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{70}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 140

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 17 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 17. Somit ist der tiefste Wert bei 17 m - 15 m = 2 m.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 27.5

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 27.5 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 27.5 gleich:

   $15\cdot \sin \left(\frac{1}{70}\pi \left(t-10\right)\right)+17$ = 27.5

   $15\cdot \sin \left(\mathrm{0,0449}t-\mathrm{0,4488}\right)+17$ = $\mathrm{27,5}$ | $-17$

   $15\cdot \sin \left(\mathrm{0,0449}t-\mathrm{0,4488}\right)$

   =

   $\mathrm{10,5}$

   |:$15$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0449}t-\mathrm{0,4488}\right)$

   =

   $\mathrm{0,7}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.77539749661075

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0449}x-\mathrm{0,4488}$	=	$\mathrm{0,775}$	| $+\mathrm{0,4488}$
   $\mathrm{0,0449}x$	=	$\mathrm{1,2238}$	|:$\mathrm{0,0449}$
   x1	=	$\mathrm{27,2561}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0449}t-\mathrm{0,4488}\right)$ = $\mathrm{0,7}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,775}$= $\mathrm{2,366}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0449}x-\mathrm{0,4488}$	=	$\mathrm{2,366}$	| $+\mathrm{0,4488}$
   $\mathrm{0,0449}x$	=	$\mathrm{2,8148}$	|:$\mathrm{0,0449}$
   x2	=	$\mathrm{62,6904}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 10 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 10 s nach oben und erreicht erstmals nach 27.26 s den Wert 27.5. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 62.69 s zum zweiten mal den Wert 27.5 erreicht. Während dieser 62.69 - 27.26 = 35.43 s ist der Wert der Funktion also höher als 27.5.

4. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 35 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 10 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 10 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 35 + 10 s = 45 s. Die Lösung ist also: 45 s.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(\frac{1}{a^2+2a+6}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2+2a+6\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+2a+6$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2+2a+6$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+2a+6$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+2a+6$)' = $2a+2$ = 0 ⇔ a = -1

Für dieses a = -1 wird also $a^2+2a+6$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2+2a+6\right)$ minimal .

Für a = -1 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left({\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)+6\right)$ = $2\pi ·\left(1-2+6\right)$ = $10\pi$.