$\text{f(x)}=$ $3x^2·\sin \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3·2x·\sin \left(5x\right)+3x^2·\cos \left(5x\right)·5$

= $6x·\sin \left(5x\right)+3x^2·5\cdot \cos \left(5x\right)$

= $6x·\sin \left(5x\right)+15x^2·\cos \left(5x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\cdot \cos \left(-4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5\cdot \sin \left(-4x\right)·\left(-4\right)$

= $-20\cdot \sin \left(-4x\right)$

= ${\left[3\cdot \cos \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $3\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)-3\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$

= $3\cdot 0-3\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $2\pi$ ≈ $2\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über 2, also bei y=5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $2\pi$|5)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|-2) wird.

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-3\cdot \sin \left(3\left(x+0\right)\right)-2$ aber nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{2}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{7}{6}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -2, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{2}\pi$|1) und einen bei ( $\frac{7}{6}\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $-1$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-1$|-2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $-1$|-2) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-1$ + $0$ ≈ $-1$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{16}{3}\pi$) liegt,
also x₁= $-1+\frac{8}{3}\pi$ ≈ $\mathrm{7,378}$ und bei x₂= $-1$ + $\frac{4}{3}\pi$ ≈ $\mathrm{3,189}$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{16}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{7,378}+\frac{8}{3}\pi$ ≈ 15.756 und $\mathrm{3,189}+\frac{8}{3}\pi$ ≈ 11.567 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\mathrm{7,378}$|-2) und bei ( $\mathrm{3,189}$|-2) und bei (15.756|-2) und bei (11.567|-2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

L={0}

Die einzige Nullstelle in der Periode [0; $6\pi$) ist also bei x = 0.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 366

1. t-Werte mit f(t) ≥ 13.6

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 13.6 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 13.6 gleich:

   $4\cdot \sin \left(\frac{1}{183}\pi \left(t-70\right)\right)+12$ = 13.6

   $4\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{1,2017}\right)+12$ = $\mathrm{13,6}$ | $-12$

   $4\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{1,2017}\right)$

   =

   $\mathrm{1,6}$

   |:$4$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{1,2017}\right)$

   =

   $\mathrm{0,4}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.41151684606749

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{1,2017}$	=	$\mathrm{0,412}$	| $+\mathrm{1,2017}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{1,6137}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x1	=	$\mathrm{93,8198}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{1,2017}\right)$ = $\mathrm{0,4}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,412}$= $\mathrm{2,73}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{1,2017}$	=	$\mathrm{2,73}$	| $+\mathrm{1,2017}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{3,9317}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x2	=	$\mathrm{228,5872}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 70 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 70 d nach oben und erreicht erstmals nach 93.82 d den Wert 13.6. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 228.59 d zum zweiten mal den Wert 13.6 erreicht. Während dieser 228.59 - 93.82 = 134.77 d ist der Wert der Funktion also höher als 13.6.

2. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 4 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4 um 12. Somit ist der höchste Wert bei 12 h + 4 h = 16 h.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(\frac{1}{a^2+2a+2}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2+2a+2\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+2a+2$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2+2a+2$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+2a+2$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+2a+2$)' = $2a+2$ = 0 ⇔ a = -1

Für dieses a = -1 wird also $a^2+2a+2$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2+2a+2\right)$ minimal .

Für a = -1 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left({\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)+2\right)$ = $2\pi ·\left(1-2+2\right)$ = $2\pi$.