$\text{f(x)}=$ $-4x·\sin \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-4·1·\sin \left(5x\right)-4x·\cos \left(5x\right)·5$

= $-4\cdot \sin \left(5x\right)-4x·5\cdot \cos \left(5x\right)$

= $-4\cdot \sin \left(5x\right)-20x·\cos \left(5x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2x·\cos \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2·1·\cos \left(5x\right)-2x·(-\sin \left(5x\right)·5)$

= $-2\cdot \cos \left(5x\right)-2x·\left(-5\cdot \sin \left(5x\right)\right)$

= $-2\cdot \cos \left(5x\right)+10x·\sin \left(5x\right)$

= ${\left[-\frac{5}{2}\cdot \cos \left(-2x\right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $-\frac{5}{2}\cdot \cos \left(-2\cdot \pi \right)+\frac{5}{2}\cdot \cos \left(-2\cdot \left(0\right)\right)$

= $-\frac{5}{2}\cdot 1+\frac{5}{2}\cdot 1$

= $-\frac{5}{2}+\frac{5}{2}$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{4}\pi$ ≈ $\frac{3}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter -2, also bei y=-4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{4}\pi$|-4)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter -1, also bei y=-3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{1}{4}\pi$|-3)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{3}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{3}\pi$|3).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{3}\pi$ + $\pi$ ≈ $\frac{2}{3}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 3, also bei y=4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{2}{3}\pi$|4)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.9823131728624

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(4x\right)$ = $-\mathrm{0,4}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{1,982}$
bzw. bei - $\mathrm{1,982}$+2π= $\mathrm{4,301}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,4955}$; $\mathrm{1,0753}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{1}{2}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,4955}$ und x₂ = $\mathrm{1,0753}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{40}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 80

2. t-Werte mit f(t) ≥ 19.5

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 19.5 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 19.5 gleich:

   $15\cdot \sin \left(\frac{1}{40}\pi \left(t-10\right)\right)+18$ = 19.5

   $15\cdot \sin \left(\mathrm{0,0785}t-\mathrm{0,7854}\right)+18$ = $\mathrm{19,5}$ | $-18$

   $15\cdot \sin \left(\mathrm{0,0785}t-\mathrm{0,7854}\right)$

   =

   $\mathrm{1,5}$

   |:$15$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0785}t-\mathrm{0,7854}\right)$

   =

   $\mathrm{0,1}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.10016742116156

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0785}x-\mathrm{0,7854}$	=	$\mathrm{0,1}$	| $+\mathrm{0,7854}$
   $\mathrm{0,0785}x$	=	$\mathrm{0,8854}$	|:$\mathrm{0,0785}$
   x1	=	$\mathrm{11,279}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0785}t-\mathrm{0,7854}\right)$ = $\mathrm{0,1}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,1}$= $\mathrm{3,041}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0785}x-\mathrm{0,7854}$	=	$\mathrm{3,041}$	| $+\mathrm{0,7854}$
   $\mathrm{0,0785}x$	=	$\mathrm{3,8264}$	|:$\mathrm{0,0785}$
   x2	=	$\mathrm{48,7439}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 10 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 10 s nach oben und erreicht erstmals nach 11.28 s den Wert 19.5. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 48.74 s zum zweiten mal den Wert 19.5 erreicht. Während dieser 48.74 - 11.28 = 37.46 s ist der Wert der Funktion also höher als 19.5.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode.
Wegen des Minus vor dem Sinus wird ja aber der Graph an der x-Achse gespiegelt, so dass der Hochpunkt zum Tiefpunkt wird. Also ist hier der erste Tiefpunkt nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $\frac{4}{3}\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $\frac{4}{3}\pi$ = $\frac{16}{3}\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $\frac{16}{3}\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $-\sin \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $\frac{3}{8}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>8</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $-\sin (\frac{3}{8}·x)$ seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( $\frac{4}{3}\pi$|-1) hat.