$\text{f(x)}=$ $3{\left(\cos \left(3x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $6\left(\cos \left(3x\right)\right)·(-\sin \left(3x\right)·3)$

= $6\left(\cos \left(3x\right)\right)·\left(-3\cdot \sin \left(3x\right)\right)$

= $-18\cos \left(3x\right)·\sin \left(3x\right)$

= $-18\sin \left(3x\right)·\cos \left(3x\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(-2x+4\right)+3$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(-2x+4\right)·\left(-2+0\right)+0$

= $2\cdot \cos \left(-2x+4\right)·\left(-2\right)$

= $-4\cdot \cos \left(-2x+4\right)$

= ${\left[-5\cdot \sin \left(x\right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-5\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)+5\cdot \sin \left(0\right)$

= $-5\cdot \left(-1\right)+5\cdot 0$

= $5+0$

= $5$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{9}{4}\pi$ ≈ $\frac{9}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $6\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{9}{4}\pi +3\pi$ = $\frac{21}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter -2, also bei y=-4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{9}{4}\pi$|-4) und einen bei ( $\frac{21}{4}\pi$|-4)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über 2, also bei y=5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{3}{2}\pi$|5)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung und um c= $3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $3$|1).

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $3$ + $\frac{3}{4}\pi$ ≈ $\mathrm{5,356}$. .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 1, also bei y=3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\mathrm{5,356}$|3)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

L={ $\frac{3}{4}\pi$}

Die einzige Nullstelle in der Periode [0; $\pi$) ist also bei x = $\frac{3}{4}\pi$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 24

1. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 9 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 9 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 9 h = 27 h. Weil aber 27 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 27 - 24 = 3 h. Die Lösung ist also: 3 Uhr.

2. t-Werte mit f(t) ≥ 13.5

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 13.5 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 13.5 gleich:

   $5\cdot \sin \left(\frac{1}{12}\pi \left(t-9\right)\right)+12$ = 13.5

   $5\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,3562}\right)+12$ = $\mathrm{13,5}$ | $-12$

   $5\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,3562}\right)$

   =

   $\mathrm{1,5}$

   |:$5$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,3562}\right)$

   =

   $\mathrm{0,3}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

   1. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,3562}$	=	$\mathrm{0,305}$	| $+\mathrm{2,3562}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{2,6612}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x1	=	$\mathrm{10,165}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,3562}\right)$ = $\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,305}$= $\mathrm{2,837}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,3562}$	=	$\mathrm{2,837}$	| $+\mathrm{2,3562}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{5,1932}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x2	=	$\mathrm{19,8365}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 9 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 9 h nach oben und erreicht erstmals nach 10.17 h den Wert 13.5. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 19.84 h zum zweiten mal den Wert 13.5 erreicht. Während dieser 19.84 - 10.17 = 9.67 h ist der Wert der Funktion also höher als 13.5.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $\frac{1}{2}\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $\frac{1}{2}\pi$ = $2\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $2\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\cos \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $1$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\cos (1·x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $\frac{1}{2}\pi$|0) hat.