$\text{f(x)}=$ $4x·\sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4·1·\sin \left(x\right)+4x·\cos \left(x\right)$

= $4\cdot \sin \left(x\right)+4x·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $2x^2·\sin \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2·2x·\sin \left(-3x\right)+2x^2·\cos \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $4x·\sin \left(-3x\right)+2x^2·\left(-3\cdot \cos \left(-3x\right)\right)$

= $4x·\sin \left(-3x\right)-6x^2·\cos \left(-3x\right)$

= ${\left[\frac{1}{2}\cdot \cos \left(2x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{1}{2}\cdot \cos \left(2\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)-\frac{1}{2}\cdot \cos \left(2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)-\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)$

= $-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{9}{4}\pi$ ≈ $\frac{9}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $6\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{9}{4}\pi +3\pi$ = $\frac{21}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 3, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{9}{4}\pi$|0) und einen bei ( $\frac{21}{4}\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|-2) wird.

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\sin \left(4\left(x+0\right)\right)-2$ aber nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{8}\pi$ ≈ $\frac{3}{8}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -2, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{3}{8}\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{3}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{3}\pi$|1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $-\frac{1}{3}\pi$|1) wird.

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-3\cdot \sin \left(2\left(x+\frac{1}{3}\pi \right)\right)+1$ aber nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{3}\pi$ + $\frac{3}{4}\pi$ ≈ $\frac{5}{12}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über 1, also bei y=4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{5}{12}\pi$|4)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.79539883018414

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{1}{2}x\right)$ = $\mathrm{0,7}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{0,795}$
bzw. bei - $\mathrm{0,795}$+2π= $\mathrm{5,488}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{1,59}$; $\mathrm{10,976}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $4\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{1,59}$ und x₂ = $\mathrm{10,976}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 24

1. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 19 nach oben und eine Amplitude von a = 4 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4 um 19. Somit ist der tiefste Wert bei 19 ° C - 4 ° C = 15 ° C.

2. t-Werte mit f(t) ≥ 19.8

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 19.8 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 19.8 gleich:

   $4\cdot \sin \left(\frac{1}{12}\pi \left(t-10\right)\right)+19$ = 19.8

   $4\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,618}\right)+19$ = $\mathrm{19,8}$ | $-19$

   $4\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,618}\right)$

   =

   $\mathrm{0,8}$

   |:$4$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,618}\right)$

   =

   $\mathrm{0,2}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.20135792079033

   1. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,618}$	=	$\mathrm{0,201}$	| $+\mathrm{2,618}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{2,819}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x1	=	$\mathrm{10,7678}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,618}\right)$ = $\mathrm{0,2}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,201}$= $\mathrm{2,94}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,618}$	=	$\mathrm{2,94}$	| $+\mathrm{2,618}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{5,558}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x2	=	$\mathrm{21,2299}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 10 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 10 h nach oben und erreicht erstmals nach 10.77 h den Wert 19.8. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 21.23 h zum zweiten mal den Wert 19.8 erreicht. Während dieser 21.23 - 10.77 = 10.46 h ist der Wert der Funktion also höher als 19.8.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $2$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $2$ = $8$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $8$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\sin \left(a\pi x\right)$ das b ja $a\pi$ ist, muss also a = $\frac{1}{4}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\sin (\frac{1}{4}·\pi x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $2$|1) hat.