$\text{f(x)}=$ $\sin \left(\frac{1}{4}\left(x-1\right)\right)-1$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(\frac{1}{4}\left(x-1\right)\right)·\left(\frac{1}{4}\left(1+0\right)\right)+0$

= $\cos \left(\frac{1}{4}\left(x-1\right)\right)·\left(\frac{1}{4}\left(1\right)\right)$

= $\frac{1}{4}\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\left(x-1\right)\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \sin \left(-4x-2\right)-2$

$\text{f'(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(-4x-2\right)·\left(-4+0\right)+0$

= $-4\cdot \cos \left(-4x-2\right)·\left(-4\right)$

= $16\cdot \cos \left(-4x-2\right)$

= ${\left[\frac{1}{2}\cdot \sin \left(2x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $\frac{1}{2}\cdot \sin \left(2\cdot \pi \right)-\frac{1}{2}\cdot \sin \left(2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{1}{2}\cdot 0-\frac{1}{2}\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $4\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{2}\pi +2\pi$ = $\frac{5}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 1, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{2}\pi$|2) und einen bei ( $\frac{5}{2}\pi$|2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -2, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $0$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung und um c= $-\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\pi$|0).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-\pi$ + $0$ ≈ $-\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $8\pi$) liegt,
also x₁= $-\pi +8\pi$ ≈ $7\pi$ und bei x₂= $-\pi$ + $4\pi$ ≈ $3\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $7\pi$|0) und bei ( $3\pi$|0)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.7721542475852

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(x\right)$ = $-\mathrm{0,2}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{1,772}$
bzw. bei - $\mathrm{1,772}$+2π= $\mathrm{4,511}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{1,772}$; $\mathrm{4,511}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $2\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{1,772}$ und x₂ = $\mathrm{4,511}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 24

1. t-Werte mit f(t) ≥ 14.6

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 14.6 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 14.6 gleich:

   $6\cdot \sin \left(\frac{1}{12}\pi \left(t-8\right)\right)+14$ = 14.6

   $6\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,0944}\right)+14$ = $\mathrm{14,6}$ | $-14$

   $6\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,0944}\right)$

   =

   $\mathrm{0,6}$

   |:$6$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,0944}\right)$

   =

   $\mathrm{0,1}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.10016742116156

   1. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,0944}$	=	$\mathrm{0,1}$	| $+\mathrm{2,0944}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{2,1944}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x1	=	$\mathrm{8,382}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,0944}\right)$ = $\mathrm{0,1}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,1}$= $\mathrm{3,041}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,0944}$	=	$\mathrm{3,041}$	| $+\mathrm{2,0944}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{5,1354}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x2	=	$\mathrm{19,6157}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 8 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 8 h nach oben und erreicht erstmals nach 8.38 h den Wert 14.6. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 19.62 h zum zweiten mal den Wert 14.6 erreicht. Während dieser 19.62 - 8.38 = 11.24 h ist der Wert der Funktion also höher als 14.6.

2. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 6 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 8 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 8 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 6 + 8 h = 14 h. Die Lösung ist also: 14 Uhr.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(\frac{1}{a^2+5}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2+5\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+5$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2+5$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+5$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+5$)' = $2a$ = 0 ⇔ a = 0

Für dieses a = 0 wird also $a^2+5$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2+5\right)$ minimal .

Für a = 0 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left(0^2+5\right)$ = $2\pi ·\left(0+5\right)$ = $10\pi$.