$\text{f(x)}=$ $4\cdot \sin \left(-x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \cos \left(-x\right)·\left(-1\right)$

= $-4\cdot \cos \left(-x\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(\frac{1}{4}\left(x+1\right)\right)+2$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\left(x+1\right)\right)·\left(\frac{1}{4}\left(1+0\right)\right)+0$

= $2\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\left(x+1\right)\right)·\left(\frac{1}{4}\left(1\right)\right)$

= $\frac{1}{2}\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\left(x+1\right)\right)$

= ${\left[-\sin \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)+\sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$

= $-\left(-1\right)+1$

= $1+1$

= $2$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $4\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{3}{2}\pi +2\pi$ = $\frac{7}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 0, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{2}\pi$|-1) und einen bei ( $\frac{7}{2}\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{3}\pi$ ≈ $\frac{1}{3}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 2, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{1}{3}\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in y-Richtung und um c= $-\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\pi$|5).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-\pi$ + $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $-\frac{3}{4}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $2\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{3}{4}\pi +\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$ und bei x₂= $-\pi$ + $\frac{3}{4}\pi$ ≈ $-\frac{1}{4}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $2\pi$) liegt,
also x₂= $-\frac{1}{4}\pi +\pi$ ≈ $\frac{3}{4}\pi$.

Weil das gesuchte Interval [0; $2\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{4}\pi +\pi$ = $\frac{5}{4}\pi$ und $\frac{3}{4}\pi +\pi$ = $\frac{7}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{4}\pi$|2) und bei ( $\frac{3}{4}\pi$|2) und bei ( $\frac{5}{4}\pi$|2) und bei ( $\frac{7}{4}\pi$|2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.41151684606749

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\frac{2}{3}x\right)$ = $\mathrm{0,4}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,412}$= $\mathrm{2,73}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,618}$; $\mathrm{4,095}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $3\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,618}$ und x₂ = $\mathrm{4,095}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 366

1. t-Werte mit f(t) ≥ 15.2

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 15.2 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 15.2 gleich:

   $4\cdot \sin \left(\frac{1}{183}\pi \left(t-40\right)\right)+12$ = 15.2

   $4\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,6867}\right)+12$ = $\mathrm{15,2}$ | $-12$

   $4\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,6867}\right)$

   =

   $\mathrm{3,2}$

   |:$4$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,6867}\right)$

   =

   $\mathrm{0,8}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,6867}$	=	$\mathrm{0,927}$	| $+\mathrm{0,6867}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{1,6137}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x1	=	$\mathrm{93,8198}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,6867}\right)$ = $\mathrm{0,8}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,927}$= $\mathrm{2,214}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,6867}$	=	$\mathrm{2,214}$	| $+\mathrm{0,6867}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{2,9007}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x2	=	$\mathrm{168,6453}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 40 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 40 d nach oben und erreicht erstmals nach 93.82 d den Wert 15.2. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 168.65 d zum zweiten mal den Wert 15.2 erreicht. Während dieser 168.65 - 93.82 = 74.83 d ist der Wert der Funktion also höher als 15.2.

2. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 4 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4 um 12. Somit ist der höchste Wert bei 12 h + 4 h = 16 h.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-\cos \left(\left(a^2-6a+12\right)x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ =

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-6a+12$ wird, desto kleiner wird die Periode.

$a^2-6a+12$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-6a+12$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-6a+12$)' = $2a-6$ = 0 ⇔ a = 3

Für dieses a = 3 wird also $a^2-6a+12$ minimal und somit die Periode $\frac{2\pi }{a^2-6a+12}$ maximal .

Für a = 3 ist dann die maximale Periode p_max = $\frac{2\pi }{3^2-6\cdot 3+12}$ = $\frac{2\pi }{9-18+12}$ = $\frac{2}{3}\pi$.