Aufgabenbeispiele von Trigonometrie

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Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -4 x · cos( x ) und vereinfache:

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f(x)= -4 x · cos( x )

f'(x)= -4 · 1 · cos( x ) -4 x · ( - sin( x ) )

= -4 cos( x ) +4 x · sin( x )

Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4 cos( 5x ) und vereinfache:

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f(x)= 4 cos( 5x )

f'(x)= -4 sin( 5x ) · 5

= -20 sin( 5x )

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π 3 2 π -3 cos( -2x ) x .

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1 2 π 3 2 π -3 cos( -2x ) x

= [ 3 2 sin( -2x ) ] 1 2 π 3 2 π

= 3 2 sin( -2( 3 2 π ) ) - 3 2 sin( -2( 1 2 π ) )

= 3 2 0 - 3 2 0

= 0+0

= 0

Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= sin( 2x ) im Intervall [0; 2π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 2 = π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= 3 4 π 3 4 π . .

Weil das gesuchte Interval [0; 2π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 3 4 π + π = 7 4 π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 0, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( 3 4 π |-1) und einen bei ( 7 4 π |-1)

Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= cos( 2x ) im Intervall [0; 2π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 2 = π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= 1 4 π 1 4 π . und bei x2= 3 4 π 3 4 π . .

Weil das gesuchte Interval [0; 2π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 1 4 π + π = 5 4 π und 3 4 π + π = 7 4 π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( 1 4 π |0) und einen bei ( 3 4 π |0) und einen bei ( 5 4 π |0) und einen bei ( 7 4 π |0)

Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= -3 cos(2( x -3 )) +2 im Intervall [0; π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in y-Richtung und um c= 3 nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( 3 |5).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( 3 |-1) wird.

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 2 = π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= 3 + 1 4 π 3,785 .
Weil diese Stelle aber größer als die Periode ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode davon abziehen, damit der x-Wert in der ersten Periode liegt, also x1= 3,785 - π 0,643 und bei x2= 3 + 3 4 π 5,356 .
Weil diese Stelle aber größer als die Periode ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode davon abziehen, damit der x-Wert in der ersten Periode liegt, also x2= 5,356 - π 2,214 .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( 0,643 |2) und bei ( 2,214 |2)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= 3 cos( 3 4 x ) -3 innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; 8 3 π [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

3 cos( 3 4 x ) -3 = 0 | +3
3 cos( 3 4 x ) = 3 |:3
canvas
cos( 3 4 x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3 4 x = 0 |⋅ 4
3x = 0 |:3
x = 0

L={0}

Die einzige Nullstelle in der Periode [0; 8 3 π ) ist also bei x = 0.

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

In einem Wellenbad kann man an einer bestimmten Stelle die Wasserhöhe zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 30 sin( 1 2 π t ) +95 (0 < t ≤ 4) angeben.

  1. Bestimme die Periode dieses Vorgangs.
  2. Zu welcher Zeit (in s) ist die Wasserhöhe am höchsten?
  3. Bestimme die maximale Wasserhöhe.

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  1. Periodenlänge

    Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = 1 2 π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

    Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π 1 2 π = 4

  2. t-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 1 s.

    Die Lösung ist also: 1 s.

  3. y-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 95 nach oben und eine Amplitude von a = 30 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 30 um 95. Somit ist der höchste Wert bei 95 cm + 30 cm = 125 cm.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Untersuche, ob es einen maximalen oder minimalen Wert für die Periode von fa mit fa(x)= -2 sin( ( a 2 -2a +2 )x ) gibt.

Bestimme das zugehörige a und die extremale Periode.

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Wir berechnen zuerst die Periode von fa mit fa(x)= -2 sin( ( a 2 -2a +2 )x ) :

p = b = a 2 -2a +2

Man erkennt jetzt gut, dass je größer a 2 -2a +2 wird, desto kleiner wird die Periode.

a 2 -2a +2 ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat a 2 -2a +2 also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( a 2 -2a +2 )' = 2a -2 = 0 ⇔ a = 1

Für dieses a = 1 wird also a 2 -2a +2 minimal und somit die Periode 2π a 2 -2a +2 maximal .

Für a = 1 ist dann die maximale Periode pmax = 2π 1 2 -21 +2 = 2π 1 -2 +2 = 2π .