Aufgabenbeispiele von Trigonometrie

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -4 cos( -3x ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -4 cos( -3x )

f'(x)= 4 sin( -3x ) · ( -3 )

= -12 sin( -3x )

Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 sin( 1 4 ( x + 2 3 π)) -2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 3 sin( 1 4 ( x + 2 3 π)) -2

f'(x)= 3 cos( 1 4 ( x + 2 3 π)) · ( 1 4 ( 1 +0) )+0

= 3 cos( 1 4 ( x + 2 3 π)) · 1 4

= 3 4 cos( 1 4 ( x + 2 3 π))

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 3 2 π 2 cos( -2x ) x .

Lösung einblenden
0 3 2 π 2 cos( -2x ) x

= [ - sin( -2x ) ] 0 3 2 π

= - sin( -2( 3 2 π ) ) + sin( -2( 0 ) )

= -0 +0

= 0

Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit f(x)= 3 sin( x ) -2 im Intervall [0; 4π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 = 2π

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x1= 1 2 π 1 2 π . .

Weil das gesuchte Interval [0; 4π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 1 2 π+2π = 5 2 π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -2, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( 1 2 π |1) und einen bei ( 5 2 π |1)

Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= cos( x ) -3 im Intervall [0; 4π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 = 2π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode,
also bei x1= π π . .

Weil das gesuchte Interval [0; 4π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch π+2π = 3π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -3, also bei y=-4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( π |-4) und einen bei ( 3π |-4)

Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= -3 sin(3( x -1 )) +3 im Intervall [0; 4 3 π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung und um c= 1 nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( 1 |3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( 1 |3) wird.

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 3 = 2 3 π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1= 1 + 0 1 . und bei x2= 1 + 1 3 π 2,047 . .

Weil das gesuchte Interval [0; 4 3 π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 1 + 2 3 π ≈ 3.094 und 2,047 + 2 3 π ≈ 4.141 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( 1 |3) und bei ( 2,047 |3) und bei (3.094|3) und bei (4.141|3)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= -2 cos( 2x ) -1,2 innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; π [.

Lösung einblenden

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

-2 cos( 2x ) -1,2 = 0 | +1,2
-2 cos( 2x ) = 1,2 |:-2
canvas
cos( 2x ) = -0,6 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.2142974355882

1. Fall:

2x = 2,214 |:2
x1 = 1,107

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 2x ) = -0,6 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 2,214
bzw. bei - 2,214 +2π= 4,069 liegen muss.

2. Fall:

2x = 4,069 |:2
x2 = 2,0345

L={ 1,107 ; 2,0345 }

Die Nullstellen in der Periode [0; π ) sind also
bei x1 = 1,107 und x2 = 2,0345 .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

In einem Wellenbad kann man an einer bestimmten Stelle die Wasserhöhe zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 15 sin( 2 3 π t ) +80 (0 < t ≤ 3) angeben.

  1. Bestimme die Periode dieses Vorgangs.
  2. Bestimme die kleinste Wasserhöhe.
  3. Bestimme die maximale Wasserhöhe.

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
  1. Periodenlänge

    Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = 2 3 π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

    Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π 2 3 π = 3

  2. y-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 80 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 80. Somit ist der tiefste Wert bei 80 cm - 15 cm = 65 cm.

  3. y-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 80 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 80. Somit ist der höchste Wert bei 80 cm + 15 cm = 95 cm.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph fa mit fa(x)= - cos( a π x ) seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( 1 |0), (also den Wendepunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer 1 4 Periode. Es gilt somit 1 4 ⋅p = 1 |⋅4

Demnach muss also die Periode p =4 1 = 4 lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = b also 4 = b nach b auflösen:

4 = b |⋅b : 4

b = 2π 4 = 1 2 π

Da bei - cos( a π x ) das b ja a π ist, muss also a = 1 2 sein,
damit der Graph von f 1 2 (x)= - cos( 1 2 · π x ) seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( 1 |0) hat.