Aufgabenbeispiele von Trigonometrie
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Ableiten von trigonometrischen Funktionen
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)
Beispiel:
Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).
Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1=
≈
. .
Weil das gesuchte Interval [0; ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch = eine Lösung.
Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -1, also bei y=-2.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( |-2) und einen bei ( |-2)
Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF
Beispiel:
Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).
Mit Hilfe von b= und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1=
Weil das gesuchte Interval [0;
Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -3.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei (
Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)
Beispiel:
Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in
y-Richtung und um c=
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(
Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=
p=
Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1=
Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 3, also bei y=0.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei (
Nullstellen mit dem WTR
Beispiel:
Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit
Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
|
= | |: |
|
= | |sin-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert -0.20135792079033
Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen,
addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so
1. Fall:
|
= |
|
|: |
x1 | = |
|
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt,
also π -
2. Fall:
|
= |
|
|: |
x2 | = |
|
L={
Die Nullstellen in der Periode [0;
bei x1 =
trigon. Anwendungsaufgabe 2
Beispiel:
An einem bestimmten Ort kann die Zeit (in h) zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang t Tage nach Beobachtungsbeginn näherungsweise durch die Funktion f mit
- Bestimme die kürzeste Zeit zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang (in h)
- Wie viele Tage nach Beobachtungsbeginn ist der Tag am längsten?
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b =
Somit gilt für die Periodenlänge: p =
- y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 4 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4 um 12. Somit ist der tiefste Wert bei 12 h - 4 h = 8 h.
- t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 91.5 d.
Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 40 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 40 d mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 91.5 + 40 d = 131.5 d. Die Lösung ist also: 131.5 d.
Parameter für best. Periode finden
Beispiel:
Untersuche, ob es einen maximalen oder minimalen Wert für die Periode von fa mit
Bestimme das zugehörige a und die extremale Periode.
Wir berechnen zuerst die Periode von fa mit
p =
Man erkennt jetzt gut, dass je größer
Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:
(
Für dieses a = 0 wird also
Für a = 0 ist dann die minimale Periode pmin
=