$\text{f(x)}=$ $2{\left(\sin \left(x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $4\left(\sin \left(x\right)\right)·\cos \left(x\right)$

= $4\sin \left(x\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x·\sin \left(-x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $1·\sin \left(-x\right)+x·\cos \left(-x\right)·\left(-1\right)$

= $\sin \left(-x\right)+x·\left(-\cos \left(-x\right)\right)$

= $\sin \left(-x\right)-x·\cos \left(-x\right)$

= ${\left[-\frac{5}{3}\cdot \sin \left(-3x\right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $-\frac{5}{3}\cdot \sin \left(-3\cdot \pi \right)+\frac{5}{3}\cdot \sin \left(-3\cdot \left(0\right)\right)$

= $-\frac{5}{3}\cdot 0+\frac{5}{3}\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $3\pi$ ≈ $3\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter -3, also bei y=-5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $3\pi$|-5)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $4\pi$ ≈ $4\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $16\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $4\pi +8\pi$ = $12\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter -1, also bei y=-4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $4\pi$|-4) und einen bei ( $12\pi$|-4)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $2$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $2$|-1).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $2$ + $6\pi$ ≈ $\mathrm{20,85}$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $16\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{20,85}+8\pi$ ≈ 45.983 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -1, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\mathrm{20,85}$|-2) und bei (45.983|-2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\frac{3}{4}x\right)$ = $\mathrm{0,6}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,644}$= $\mathrm{2,498}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,8587}$; $\mathrm{3,3307}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{8}{3}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,8587}$ und x₂ = $\mathrm{3,3307}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{2}{3}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 3

2. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 85 nach oben und eine Amplitude von a = 30 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 30 um 85. Somit ist der höchste Wert bei 85 cm + 30 cm = 115 cm.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $\frac{1}{3}\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $\frac{1}{3}\pi$ = $\frac{4}{3}\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $\frac{4}{3}\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\cos \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $\frac{3}{2}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\cos (\frac{3}{2}·x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $\frac{1}{3}\pi$|0) hat.