$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(2\left(x+\frac{1}{4}\pi \right)\right)-2$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(2\left(x+\frac{1}{4}\pi \right)\right)·\left(2\left(1+0\right)\right)+0$

= $2\cdot \cos \left(2\left(x+\frac{1}{4}\pi \right)\right)·2$

= $4\cdot \cos \left(2\left(x+\frac{1}{4}\pi \right)\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(3\left(x+\frac{1}{3}\pi \right)\right)-1$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(3\left(x+\frac{1}{3}\pi \right)\right)·\left(3\left(1+0\right)\right)+0$

= $3\cdot \cos \left(3\left(x+\frac{1}{3}\pi \right)\right)·3$

= $9\cdot \cos \left(3\left(x+\frac{1}{3}\pi \right)\right)$

= ${\left[\frac{5}{2}\cdot \cos \left(2x\right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{5}{2}\cdot \cos \left(2\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)-\frac{5}{2}\cdot \cos \left(2\cdot \left(0\right)\right)$

= $\frac{5}{2}\cdot \left(-1\right)-\frac{5}{2}\cdot 1$

= $-\frac{5}{2}-\frac{5}{2}$

= $-5$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{1}{2}\pi$ und $\frac{1}{4}\pi +\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{3}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|2) und einen bei ( $\frac{1}{4}\pi$|2) und einen bei ( $\frac{1}{2}\pi$|2) und einen bei ( $\frac{3}{4}\pi$|2)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{2}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{7}{6}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter -1, also bei y=-3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{1}{2}\pi$|-3) und einen bei ( $\frac{7}{6}\pi$|-3)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{4}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{4}\pi$|-2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $-\frac{1}{4}\pi$|-2) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-3\cdot \sin \left(\frac{3}{4}\left(x+\frac{1}{4}\pi \right)\right)-2$ aber nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{4}\pi$ + $2\pi$ ≈ $\frac{7}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -2, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{7}{4}\pi$|1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.1592794807274

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{1}{2}x\right)$ = $\mathrm{0,4}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{1,159}$
bzw. bei - $\mathrm{1,159}$+2π= $\mathrm{5,124}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{2,318}$; $\mathrm{10,248}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $4\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{2,318}$ und x₂ = $\mathrm{10,248}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 24

1. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 18 nach oben und eine Amplitude von a = 7 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 7 um 18. Somit ist der tiefste Wert bei 18 ° C - 7 ° C = 11 ° C.

2. t-Werte mit f(t) ≥ 22.2

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 22.2 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 22.2 gleich:

   $7\cdot \sin \left(\frac{1}{12}\pi \left(t-9\right)\right)+18$ = 22.2

   $7\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,3562}\right)+18$ = $\mathrm{22,2}$ | $-18$

   $7\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,3562}\right)$

   =

   $\mathrm{4,2}$

   |:$7$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,3562}\right)$

   =

   $\mathrm{0,6}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

   1. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,3562}$	=	$\mathrm{0,644}$	| $+\mathrm{2,3562}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{3,0002}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x1	=	$\mathrm{11,4599}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,3562}\right)$ = $\mathrm{0,6}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,644}$= $\mathrm{2,498}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,3562}$	=	$\mathrm{2,498}$	| $+\mathrm{2,3562}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{4,8542}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x2	=	$\mathrm{18,5416}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 9 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 9 h nach oben und erreicht erstmals nach 11.46 h den Wert 22.2. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 18.54 h zum zweiten mal den Wert 22.2 erreicht. Während dieser 18.54 - 11.46 = 7.08 h ist der Wert der Funktion also höher als 22.2.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer $\frac{1}{2}$ Periode.
Wegen des Minus vor dem Kosinius wird ja aber der Graph an der x-Achse gespiegelt, so dass der Tiefpunkt zum Hochpunkt wird. Also ist hier der erste Hochpunkt nach einer $\frac{1}{2}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{2}$⋅p = $4\pi$ |⋅$2$

Demnach muss also die Periode p =$2$ ⋅ $4\pi$ = $8\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $8\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $-\cos \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $\frac{1}{4}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $-\cos (\frac{1}{4}·x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $4\pi$|1) hat.