$\text{f(x)}=$ $5x·\sin \left(-x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5·1·\sin \left(-x\right)+5x·\cos \left(-x\right)·\left(-1\right)$

= $5\cdot \sin \left(-x\right)+5x·\left(-\cos \left(-x\right)\right)$

= $5\cdot \sin \left(-x\right)-5x·\cos \left(-x\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\cdot \cos \left(2x+3\right)-1$

$\text{f'(x)}=$ $-4\cdot \sin \left(2x+3\right)·\left(2+0\right)+0$

= $-4\cdot \sin \left(2x+3\right)·\left(2\right)$

= $-8\cdot \sin \left(2x+3\right)$

= ${\left[-\frac{5}{4}\cdot \sin \left(-4x\right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\frac{5}{4}\cdot \sin \left(-4\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)+\frac{5}{4}\cdot \sin \left(-4\cdot \left(0\right)\right)$

= $-\frac{5}{4}\cdot 0+\frac{5}{4}\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 2, also bei y=4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{4}\pi$|4)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $6\pi$ ≈ $6\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $16\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $6\pi +8\pi$ = $14\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 3, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $6\pi$|1) und einen bei ( $14\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{4}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{4}\pi$|1).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{4}\pi$ + $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\frac{5}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 1, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{5}{4}\pi$|-2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

L={ $\frac{3}{4}\pi$}

Die einzige Nullstelle in der Periode [0; $\pi$) ist also bei x = $\frac{3}{4}\pi$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 366

1. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 4 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4 um 12. Somit ist der tiefste Wert bei 12 h - 4 h = 8 h.

2. t-Werte mit f(t) ≥ 14.4

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 14.4 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 14.4 gleich:

   $4\cdot \sin \left(\frac{1}{183}\pi \left(t-10\right)\right)+12$ = 14.4

   $4\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,1717}\right)+12$ = $\mathrm{14,4}$ | $-12$

   $4\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,1717}\right)$

   =

   $\mathrm{2,4}$

   |:$4$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,1717}\right)$

   =

   $\mathrm{0,6}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,1717}$	=	$\mathrm{0,644}$	| $+\mathrm{0,1717}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{0,8157}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x1	=	$\mathrm{47,4244}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,1717}\right)$ = $\mathrm{0,6}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,644}$= $\mathrm{2,498}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,1717}$	=	$\mathrm{2,498}$	| $+\mathrm{0,1717}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{2,6697}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x2	=	$\mathrm{155,2151}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 10 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 10 d nach oben und erreicht erstmals nach 47.42 d den Wert 14.4. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 155.22 d zum zweiten mal den Wert 14.4 erreicht. Während dieser 155.22 - 47.42 = 107.8 d ist der Wert der Funktion also höher als 14.4.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer $\frac{3}{4}$ Periode.
Wegen des Minus vor dem Sinus wird ja aber der Graph an der x-Achse gespiegelt, so dass der Tiefpunkt zum Hochpunkt wird. Also ist hier der erste Hochpunkt nach einer $\frac{3}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{3}{4}$⋅p = $6$ |⋅$\frac{4}{3}$

Demnach muss also die Periode p =$\frac{4}{3}$ ⋅ $6$ = $8$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $8$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $-\sin \left(a\pi x\right)$ das b ja $a\pi$ ist, muss also a = $\frac{1}{4}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $-\sin (\frac{1}{4}·\pi x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $6$|1) hat.