$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(\frac{3}{4}\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)-2$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(\frac{3}{4}\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)·\left(\frac{3}{4}\left(1+0\right)\right)+0$

= $3\cdot \cos \left(\frac{3}{4}\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)·\frac{3}{4}$

= $\frac{9}{4}\cdot \cos \left(\frac{3}{4}\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(-3x-5\right)+5x^2$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \sin \left(-3x-5\right)·\left(-3+0\right)+10x$

= $3\cdot \sin \left(-3x-5\right)·\left(-3\right)+10x$

= $-9\cdot \sin \left(-3x-5\right)+10x$

= ${\left[-\sin \left(4x\right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $-\sin \left(4\cdot \pi \right)+\sin \left(4\cdot \left(0\right)\right)$

= $-0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\pi$ ≈ $\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $8\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\pi +4\pi$ = $5\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 0, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\pi$|1) und einen bei ( $5\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über -2, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $0$|0)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung und um c= $-\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\pi$|1).

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-\pi$ + $\frac{9}{4}\pi$ ≈ $\frac{5}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $6\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{5}{4}\pi +3\pi$ = $\frac{17}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 1, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{5}{4}\pi$|-2) und bei ( $\frac{17}{4}\pi$|-2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.7721542475852

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(x\right)$ = $-\mathrm{0,2}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{1,772}$
bzw. bei - $\mathrm{1,772}$+2π= $\mathrm{4,511}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{1,772}$; $\mathrm{4,511}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $2\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{1,772}$ und x₂ = $\mathrm{4,511}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{100}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 200

2. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 150 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 30 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 30 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 150 + 30 s = 180 s. Die Lösung ist also: 180 s.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 29.6

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 29.6 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 29.6 gleich:

   $14\cdot \sin \left(\frac{1}{100}\pi \left(t-30\right)\right)+17$ = 29.6

   $14\cdot \sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,9425}\right)+17$ = $\mathrm{29,6}$ | $-17$

   $14\cdot \sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,9425}\right)$

   =

   $\mathrm{12,6}$

   |:$14$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,9425}\right)$

   =

   $\mathrm{0,9}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 1.1197695149986

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0314}x-\mathrm{0,9425}$	=	$\mathrm{1,12}$	| $+\mathrm{0,9425}$
   $\mathrm{0,0314}x$	=	$\mathrm{2,0625}$	|:$\mathrm{0,0314}$
   x1	=	$\mathrm{65,6847}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,9425}\right)$ = $\mathrm{0,9}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{1,12}$= $\mathrm{2,022}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0314}x-\mathrm{0,9425}$	=	$\mathrm{2,022}$	| $+\mathrm{0,9425}$
   $\mathrm{0,0314}x$	=	$\mathrm{2,9645}$	|:$\mathrm{0,0314}$
   x2	=	$\mathrm{94,4108}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 30 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 30 s nach oben und erreicht erstmals nach 65.68 s den Wert 29.6. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 94.41 s zum zweiten mal den Wert 29.6 erreicht. Während dieser 94.41 - 65.68 = 28.73 s ist der Wert der Funktion also höher als 29.6.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $2$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $2$ = $8$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $8$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $-\cos \left(a\pi x\right)$ das b ja $a\pi$ ist, muss also a = $\frac{1}{4}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $-\cos (\frac{1}{4}·\pi x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $2$|0) hat.