$\text{f(x)}=$ ${\left(\cos \left(x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(\cos \left(x\right)\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-2\cos \left(x\right)·\sin \left(x\right)$

= $-2\sin \left(x\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2x^2·\cos \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2·2x·\cos \left(4x\right)-2x^2·(-\sin \left(4x\right)·4)$

= $-4x·\cos \left(4x\right)-2x^2·\left(-4\cdot \sin \left(4x\right)\right)$

= $-4x·\cos \left(4x\right)+8x^2·\sin \left(4x\right)$

= ${\left[\frac{3}{2}\cdot \cos \left(2x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{3}{2}\cdot \cos \left(2\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)-\frac{3}{2}\cdot \cos \left(2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{3}{2}\cdot \left(-1\right)-\frac{3}{2}\cdot \left(-1\right)$

= $-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\pi$ ≈ $\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $8\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\pi +4\pi$ = $5\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über -2, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\pi$|0) und einen bei ( $5\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|3) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $6\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+3\pi$ = $3\pi$ und $\frac{3}{2}\pi +3\pi$ = $\frac{9}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|3) und einen bei ( $\frac{3}{2}\pi$|3) und einen bei ( $3\pi$|3) und einen bei ( $\frac{9}{2}\pi$|3)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $-\frac{2}{3}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{2}{3}\pi$|-2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $-\frac{2}{3}\pi$|-2) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\sin \left(\frac{3}{4}\left(x+\frac{2}{3}\pi \right)\right)-2$ aber nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{2}{3}\pi$ + $2\pi$ ≈ $\frac{4}{3}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{16}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{4}{3}\pi +\frac{8}{3}\pi$ = $4\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -2, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{4}{3}\pi$|-1) und bei ( $4\pi$|-1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 2.0943951023932

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(x\right)$ = $-\mathrm{0,5}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{2}{3}\pi$
bzw. bei - $\frac{2}{3}\pi$+2π= $\frac{4}{3}\pi$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\frac{2}{3}\pi$; $\frac{4}{3}\pi$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $2\pi$) sind also
bei x₁ = $\frac{2}{3}\pi$ und x₂ = $\frac{4}{3}\pi$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{2}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 4

2. t-Werte mit f(t) ≥ 76

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 76 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 76 gleich:

   $30\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi t\right)+70$ = 76

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{1,5708}t\right)+70$ = $76$ | $-70$

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{1,5708}t\right)$

   =

   $6$

   |:$30$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{1,5708}t\right)$

   =

   $\mathrm{0,2}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.20135792079033

   1. Fall:

   $\mathrm{1,5708}x$	=	$\mathrm{0,201}$	|:$\mathrm{1,5708}$
   x1	=	$\mathrm{0,128}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{1,5708}t\right)$ = $\mathrm{0,2}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,201}$= $\mathrm{2,94}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{1,5708}x$	=	$\mathrm{2,94}$	|:$\mathrm{1,5708}$
   x2	=	$\mathrm{1,8717}$

   Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.13 s den Wert 76. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 1.87 s zum zweiten mal den Wert 76 erreicht. Während dieser 1.87 - 0.13 = 1.74 s ist der Wert der Funktion also höher als 76.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $3\cdot \sin \left(\frac{1}{a^2-4a+8}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2-4a+8\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-4a+8$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2-4a+8$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-4a+8$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-4a+8$)' = $2a-4$ = 0 ⇔ a = 2

Für dieses a = 2 wird also $a^2-4a+8$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2-4a+8\right)$ minimal .

Für a = 2 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left(2^2-4\cdot 2+8\right)$ = $2\pi ·\left(4-8+8\right)$ = $8\pi$.