$\text{f(x)}=$ $4\cdot \cos \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-4\cdot \sin \left(5x\right)·5$

= $-20\cdot \sin \left(5x\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\left(x+1\right)\right)+2$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\left(x+1\right)\right)·\left(\frac{1}{2}\left(1+0\right)\right)+0$

= $2\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\left(x+1\right)\right)·\left(\frac{1}{2}\left(1\right)\right)$

= $\cos \left(\frac{1}{2}\left(x+1\right)\right)$

= ${\left[\frac{4}{3}\cdot \cos \left(-3x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{4}{3}\cdot \cos \left(-3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)-\frac{4}{3}\cdot \cos \left(-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{4}{3}\cdot 0-\frac{4}{3}\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|0) und einen bei ( $\frac{1}{2}\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|-1) wird.

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-2\cdot \cos \left(3\left(x+0\right)\right)-1$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{3}\pi$ ≈ $\frac{1}{3}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{3}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über -1, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{3}\pi$|1) und einen bei ( $\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in y-Richtung und um c= $-\frac{2}{3}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{2}{3}\pi$|5).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{2}{3}\pi$ + $\pi$ ≈ $\frac{1}{3}\pi$. und bei x₂= $-\frac{2}{3}\pi$ + $3\pi$ ≈ $\frac{7}{3}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $8\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{3}\pi +4\pi$ = $\frac{13}{3}\pi$ und $\frac{7}{3}\pi +4\pi$ = $\frac{19}{3}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{3}\pi$|3) und bei ( $\frac{7}{3}\pi$|3) und bei ( $\frac{13}{3}\pi$|3) und bei ( $\frac{19}{3}\pi$|3)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

L={0}

Die einzige Nullstelle in der Periode [0; $6\pi$) ist also bei x = 0.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{2}{3}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 3

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 85 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 85. Somit ist der tiefste Wert bei 85 cm - 15 cm = 70 cm.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer $\frac{1}{2}$ Periode.
Wegen des Minus vor dem Kosinius wird ja aber der Graph an der x-Achse gespiegelt, so dass der Tiefpunkt zum Hochpunkt wird. Also ist hier der erste Hochpunkt nach einer $\frac{1}{2}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{2}$⋅p = $6\pi$ |⋅$2$

Demnach muss also die Periode p =$2$ ⋅ $6\pi$ = $12\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $12\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $-\cos \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $\frac{1}{6}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $-\cos (\frac{1}{6}·x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $6\pi$|1) hat.