$\text{f(x)}=$ $\sin \left(4\left(x+3\right)\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(4\left(x+3\right)\right)·\left(4\left(1+0\right)\right)$

= $\cos \left(4\left(x+3\right)\right)·\left(4\left(1\right)\right)$

= $4\cdot \cos \left(4\left(x+3\right)\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(\frac{1}{3}\left(x+\frac{2}{3}\pi \right)\right)+3$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(\frac{1}{3}\left(x+\frac{2}{3}\pi \right)\right)·\left(\frac{1}{3}\left(1+0\right)\right)+0$

= $\cos \left(\frac{1}{3}\left(x+\frac{2}{3}\pi \right)\right)·\frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3}\cdot \cos \left(\frac{1}{3}\left(x+\frac{2}{3}\pi \right)\right)$

= ${\left[-3\cdot \sin \left(x-\frac{3}{2}\pi \right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $-3\cdot \sin \left(\pi -\frac{3}{2}\pi \right)+3\cdot \sin \left(0-\frac{3}{2}\pi \right)$

= $-3\cdot \sin \left(-\frac{1}{2}\pi \right)+3\cdot \sin \left(-\frac{3}{2}\pi \right)$

= $-3\cdot \left(-1\right)+3\cdot 1$

= $3+3$

= $6$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $4\pi$ ≈ $4\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $16\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+8\pi$ = $8\pi$ und $4\pi +8\pi$ = $12\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-1) und einen bei ( $4\pi$|-1) und einen bei ( $8\pi$|-1) und einen bei ( $12\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|-2) wird.

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{1}{2}\pi$ und $\frac{1}{4}\pi +\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{3}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-2) und einen bei ( $\frac{1}{4}\pi$|-2) und einen bei ( $\frac{1}{2}\pi$|-2) und einen bei ( $\frac{3}{4}\pi$|-2)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $3$|-1).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $3$ + $0$ ≈ $3$. und bei x₂= $3$ + $4\pi$ ≈ $\mathrm{15,566}$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $16\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $3+8\pi$ ≈ 28.133 und $\mathrm{15,566}+8\pi$ ≈ 40.699 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $3$|-1) und bei ( $\mathrm{15,566}$|-1) und bei (28.133|-1) und bei (40.699|-1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\frac{1}{2}x\right)$ = $\mathrm{0,5}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{5}{6}\pi$= $\frac{1}{6}\pi$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\frac{1}{3}\pi$; $\frac{5}{3}\pi$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $4\pi$) sind also
bei x₁ = $\frac{1}{3}\pi$ und x₂ = $\frac{5}{3}\pi$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 366

1. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 3.5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 3.5 um 12. Somit ist der tiefste Wert bei 12 h - 3.5 h = 8.5 h.

2. t-Werte mit f(t) ≥ 14.8

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 14.8 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 14.8 gleich:

   $\mathrm{3,5}\cdot \sin \left(\frac{1}{183}\pi \left(t-60\right)\right)+12$ = 14.8

   $\mathrm{3,5}\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{1,03}\right)+12$ = $\mathrm{14,8}$ | $-12$

   $\mathrm{3,5}\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{1,03}\right)$

   =

   $\mathrm{2,8}$

   |:$\mathrm{3,5}$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{1,03}\right)$

   =

   $\mathrm{0,8}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{1,03}$	=	$\mathrm{0,927}$	| $+\mathrm{1,03}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{1,957}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x1	=	$\mathrm{113,7791}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{1,03}\right)$ = $\mathrm{0,8}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,927}$= $\mathrm{2,214}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{1,03}$	=	$\mathrm{2,214}$	| $+\mathrm{1,03}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{3,244}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x2	=	$\mathrm{188,6047}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 60 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 60 d nach oben und erreicht erstmals nach 113.78 d den Wert 14.8. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 188.6 d zum zweiten mal den Wert 14.8 erreicht. Während dieser 188.6 - 113.78 = 74.82 d ist der Wert der Funktion also höher als 14.8.

3. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 91.5 d.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 60 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 60 d mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 91.5 + 60 d = 151.5 d. Die Lösung ist also: 151.5 d.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $\sin \left(\left(a^2+2a+5\right)x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ =

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+2a+5$ wird, desto kleiner wird die Periode.

$a^2+2a+5$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+2a+5$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+2a+5$)' = $2a+2$ = 0 ⇔ a = -1

Für dieses a = -1 wird also $a^2+2a+5$ minimal und somit die Periode $\frac{2\pi }{a^2+2a+5}$ maximal .

Für a = -1 ist dann die maximale Periode p_max = $\frac{2\pi }{{\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)+5}$ = $\frac{2\pi }{1-2+5}$ = $\frac{1}{2}\pi$.