$\text{f(x)}=$ $-x^2·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2x·\cos \left(x\right)-x^2·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-2x·\cos \left(x\right)+x^2·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\sin \left(-4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\cos \left(-4x\right)·\left(-4\right)$

= $4\cdot \cos \left(-4x\right)$

= ${\left[3\cdot \sin \left(x-\frac{3}{2}\pi \right)\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $3\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi -\frac{3}{2}\pi \right)-3\cdot \sin \left(0-\frac{3}{2}\pi \right)$

= $3\cdot \sin (-\pi )-3\cdot \sin \left(-\frac{3}{2}\pi \right)$

= $3\cdot 0-3\cdot 1$

= $0-3$

= $-3$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $2\pi$ ≈ $2\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -1, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $2\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|-3) wird.

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-3\cdot \sin \left(3\left(x+0\right)\right)-3$ aber nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{2}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{7}{6}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -3, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{2}\pi$|0) und einen bei ( $\frac{7}{6}\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in y-Richtung und um c= $1$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $1$|5).

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $1$ + $0$ ≈ $1$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $6\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $1+3\pi$ ≈ 10.425 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über 2, also bei y=5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $1$|5) und bei (10.425|5)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{3}{4}x\right)$ = $\mathrm{0,8}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{0,644}$
bzw. bei - $\mathrm{0,644}$+2π= $\mathrm{5,64}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,8587}$; $\mathrm{7,52}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{8}{3}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,8587}$ und x₂ = $\mathrm{7,52}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 366

1. t-Werte mit f(t) ≥ 14

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 14 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 14 gleich:

   $4\cdot \sin \left(\frac{1}{183}\pi \left(t-30\right)\right)+12$ = 14

   $4\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,515}\right)+12$ = $14$ | $-12$

   $4\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,515}\right)$

   =

   $2$

   |:$4$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,515}\right)$

   =

   $\mathrm{0,5}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,515}$	=	$\frac{5}{6}\pi$	| $+\mathrm{0,515}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{0,515}+\frac{5}{6}\pi$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{3,133}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x1	=	$\mathrm{182,1512}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,515}\right)$ = $\mathrm{0,5}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{5}{6}\pi$= $\frac{1}{6}\pi$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,515}$	=	$\frac{1}{6}\pi$	| $+\mathrm{0,515}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{0,515}+\frac{1}{6}\pi$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{1,0386}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x2	=	$\mathrm{60,3837}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 30 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 30 d nach oben und erreicht erstmals nach 60.38 d den Wert 14. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 182.15 d zum zweiten mal den Wert 14 erreicht. Während dieser 182.15 - 60.38 = 121.77 d ist der Wert der Funktion also höher als 14.

2. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 91.5 d.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 30 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 30 d mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 91.5 + 30 d = 121.5 d. Die Lösung ist also: 121.5 d.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $\cos \left(\frac{1}{a^2-4a+8}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2-4a+8\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-4a+8$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2-4a+8$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-4a+8$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-4a+8$)' = $2a-4$ = 0 ⇔ a = 2

Für dieses a = 2 wird also $a^2-4a+8$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2-4a+8\right)$ minimal .

Für a = 2 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left(2^2-4\cdot 2+8\right)$ = $2\pi ·\left(4-8+8\right)$ = $8\pi$.