$\text{f(x)}=$ $-3x·\cos \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3·1·\cos \left(-2x\right)-3x·(-\sin \left(-2x\right)·\left(-2\right))$

= $-3\cdot \cos \left(-2x\right)-3x·2\cdot \sin \left(-2x\right)$

= $-3\cdot \cos \left(-2x\right)-6x·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\cdot \sin \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-5\cdot \cos \left(5x\right)·5$

= $-25\cdot \cos \left(5x\right)$

= ${\left[-\frac{4}{3}\cdot \cos \left(-3x\right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\frac{4}{3}\cdot \cos \left(-3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)+\frac{4}{3}\cdot \cos \left(-3\cdot \left(0\right)\right)$

= $-\frac{4}{3}\cdot 0+\frac{4}{3}\cdot 1$

= $0+\frac{4}{3}$

= $0+\frac{4}{3}$

= $\frac{4}{3}$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $6\pi$ ≈ $6\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 1, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $6\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|1) wird.

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-2\cdot \sin \left(3\left(x+0\right)\right)+1$ aber nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{2}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{7}{6}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 1, also bei y=3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{2}\pi$|3) und einen bei ( $\frac{7}{6}\pi$|3)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in y-Richtung und um c= $1$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $1$|4).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $1$|2) wird.

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $1$ + $\frac{1}{6}\pi$ ≈ $\mathrm{1,524}$. und bei x₂= $1$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{2,571}$.
Weil diese Stelle aber größer als die Periode ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode davon abziehen, damit der x-Wert in der ersten Periode liegt, also x₂= $\mathrm{2,571}-\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\mathrm{0,477}$.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\mathrm{1,524}$|3) und bei ( $\mathrm{0,477}$|3)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert -0.92729521800161

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\mathrm{5,356}$

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(2x\right)$ = $-\mathrm{0,8}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{5,356}$=-2.2144 bzw. bei -2.2144+2π= $\mathrm{4,069}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{2,0345}$; $\mathrm{2,678}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{2,0345}$ und x₂ = $\mathrm{2,678}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{60}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 120

2. t-Werte mit f(t) ≥ 24.4

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 24.4 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 24.4 gleich:

   $18\cdot \sin \left(\frac{1}{60}\pi \left(t-20\right)\right)+19$ = 24.4

   $18\cdot \sin \left(\mathrm{0,0524}t-\mathrm{1,0472}\right)+19$ = $\mathrm{24,4}$ | $-19$

   $18\cdot \sin \left(\mathrm{0,0524}t-\mathrm{1,0472}\right)$

   =

   $\mathrm{5,4}$

   |:$18$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0524}t-\mathrm{1,0472}\right)$

   =

   $\mathrm{0,3}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0524}x-\mathrm{1,0472}$	=	$\mathrm{0,305}$	| $+\mathrm{1,0472}$
   $\mathrm{0,0524}x$	=	$\mathrm{1,3522}$	|:$\mathrm{0,0524}$
   x1	=	$\mathrm{25,8053}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0524}t-\mathrm{1,0472}\right)$ = $\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,305}$= $\mathrm{2,837}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0524}x-\mathrm{1,0472}$	=	$\mathrm{2,837}$	| $+\mathrm{1,0472}$
   $\mathrm{0,0524}x$	=	$\mathrm{3,8842}$	|:$\mathrm{0,0524}$
   x2	=	$\mathrm{74,126}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 20 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 20 s nach oben und erreicht erstmals nach 25.81 s den Wert 24.4. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 74.13 s zum zweiten mal den Wert 24.4 erreicht. Während dieser 74.13 - 25.81 = 48.32 s ist der Wert der Funktion also höher als 24.4.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-\sin \left(\left(a^2-4a+6\right)x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ =

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-4a+6$ wird, desto kleiner wird die Periode.

$a^2-4a+6$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-4a+6$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-4a+6$)' = $2a-4$ = 0 ⇔ a = 2

Für dieses a = 2 wird also $a^2-4a+6$ minimal und somit die Periode $\frac{2\pi }{a^2-4a+6}$ maximal .

Für a = 2 ist dann die maximale Periode p_max = $\frac{2\pi }{2^2-4\cdot 2+6}$ = $\frac{2\pi }{4-8+6}$ = $\pi$.