$\text{f(x)}=$ $\sin \left(\frac{1}{3}\left(x+2\pi \right)\right)-1$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(\frac{1}{3}\left(x+2\pi \right)\right)·\left(\frac{1}{3}\left(1+0\right)\right)+0$

= $\cos \left(\frac{1}{3}\left(x+2\pi \right)\right)·\frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3}\cdot \cos \left(\frac{1}{3}\left(x+2\pi \right)\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(\frac{1}{4}\left(x+1\right)\right)-3$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\left(x+1\right)\right)·\left(\frac{1}{4}\left(1+0\right)\right)+0$

= $3\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\left(x+1\right)\right)·\left(\frac{1}{4}\left(1\right)\right)$

= $\frac{3}{4}\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\left(x+1\right)\right)$

= ${\left[-5\cdot \sin \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $-5\cdot \sin \left(\pi \right)+5\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$

= $-5\cdot 0+5\cdot 1$

= $0+5$

= $5$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -3, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{4}\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{6}\pi$ ≈ $\frac{1}{6}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{6}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{5}{6}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 3, also bei y=5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{6}\pi$|5) und einen bei ( $\frac{5}{6}\pi$|5)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{3}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{3}\pi$|4).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-\frac{1}{3}\pi$|0) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{3}\pi$ + $\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\frac{1}{3}\pi$. und bei x₂= $-\frac{1}{3}\pi$ + $2\pi$ ≈ $\frac{5}{3}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{16}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{3}\pi +\frac{8}{3}\pi$ = $3\pi$ und $\frac{5}{3}\pi +\frac{8}{3}\pi$ = $\frac{13}{3}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{3}\pi$|2) und bei ( $\frac{5}{3}\pi$|2) und bei ( $3\pi$|2) und bei ( $\frac{13}{3}\pi$|2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 2.2142974355882

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{1}{3}x\right)$ = $-\mathrm{0,6}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{2,214}$
bzw. bei - $\mathrm{2,214}$+2π= $\mathrm{4,069}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{6,642}$; $\mathrm{12,207}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $6\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{6,642}$ und x₂ = $\mathrm{12,207}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{2}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 4

2. t-Werte mit f(t) ≥ 78

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 78 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 78 gleich:

   $30\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi t\right)+75$ = 78

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{1,5708}t\right)+75$ = $78$ | $-75$

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{1,5708}t\right)$

   =

   $3$

   |:$30$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{1,5708}t\right)$

   =

   $\mathrm{0,1}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.10016742116156

   1. Fall:

   $\mathrm{1,5708}x$	=	$\mathrm{0,1}$	|:$\mathrm{1,5708}$
   x1	=	$\mathrm{0,0637}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{1,5708}t\right)$ = $\mathrm{0,1}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,1}$= $\mathrm{3,041}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{1,5708}x$	=	$\mathrm{3,041}$	|:$\mathrm{1,5708}$
   x2	=	$\mathrm{1,936}$

   Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.06 s den Wert 78. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 1.94 s zum zweiten mal den Wert 78 erreicht. Während dieser 1.94 - 0.06 = 1.88 s ist der Wert der Funktion also höher als 78.

3. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 75 nach oben und eine Amplitude von a = 30 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 30 um 75. Somit ist der höchste Wert bei 75 cm + 30 cm = 105 cm.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $2\cdot \cos \left(\frac{1}{a^2-6a+14}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2-6a+14\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-6a+14$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2-6a+14$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-6a+14$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-6a+14$)' = $2a-6$ = 0 ⇔ a = 3

Für dieses a = 3 wird also $a^2-6a+14$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2-6a+14\right)$ minimal .

Für a = 3 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left(3^2-6\cdot 3+14\right)$ = $2\pi ·\left(9-18+14\right)$ = $10\pi$.