$\text{f(x)}=$ $\sin \left(\frac{3}{4}\left(x+3\right)\right)-3$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(\frac{3}{4}\left(x+3\right)\right)·\left(\frac{3}{4}\left(1+0\right)\right)+0$

= $\cos \left(\frac{3}{4}\left(x+3\right)\right)·\left(\frac{3}{4}\left(1\right)\right)$

= $\frac{3}{4}\cdot \cos \left(\frac{3}{4}\left(x+3\right)\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(\frac{3}{4}\left(x+1\right)\right)-3$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(\frac{3}{4}\left(x+1\right)\right)·\left(\frac{3}{4}\left(1+0\right)\right)+0$

= $\cos \left(\frac{3}{4}\left(x+1\right)\right)·\left(\frac{3}{4}\left(1\right)\right)$

= $\frac{3}{4}\cdot \cos \left(\frac{3}{4}\left(x+1\right)\right)$

= ${\left[\frac{2}{3}\cdot \cos \left(3x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $\frac{2}{3}\cdot \cos \left(3\cdot \pi \right)-\frac{2}{3}\cdot \cos \left(3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{2}{3}\cdot \left(-1\right)-\frac{2}{3}\cdot 0$

= $-\frac{2}{3}+0$

= $-\frac{2}{3}+0$

= $-\frac{2}{3}$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $12\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{3}{2}\pi +6\pi$ = $\frac{15}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 3, also bei y=4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{3}{2}\pi$|4) und einen bei ( $\frac{15}{2}\pi$|4)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|0) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-2\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\left(x+0\right)\right)+0$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $2\pi$ ≈ $2\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 0, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $2\pi$|2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in y-Richtung und um c= $-\frac{2}{3}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{2}{3}\pi$|5).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-\frac{2}{3}\pi$|1) wird.

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{2}{3}\pi$ + $\frac{1}{8}\pi$ ≈ $-\frac{13}{24}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{1}{2}\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{13}{24}\pi +\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{11}{24}\pi$ und bei x₂= $-\frac{2}{3}\pi$ + $\frac{3}{8}\pi$ ≈ $-\frac{7}{24}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{1}{2}\pi$) liegt,
also x₂= $-\frac{7}{24}\pi +\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{5}{24}\pi$.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{11}{24}\pi$|3) und bei ( $\frac{5}{24}\pi$|3)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(3x\right)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $\pi$ liegen muss.

2. Fall:

L={0; $\frac{1}{3}\pi$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{2}{3}\pi$) sind also
bei x₁ = 0 und x₂ = $\frac{1}{3}\pi$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{2}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 4

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 80 nach oben und eine Amplitude von a = 30 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 30 um 80. Somit ist der tiefste Wert bei 80 cm - 30 cm = 50 cm.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(\frac{1}{a^2-2a+5}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2-2a+5\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-2a+5$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2-2a+5$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-2a+5$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-2a+5$)' = $2a-2$ = 0 ⇔ a = 1

Für dieses a = 1 wird also $a^2-2a+5$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2-2a+5\right)$ minimal .

Für a = 1 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left(1^2-2\cdot 1+5\right)$ = $2\pi ·\left(1-2+5\right)$ = $8\pi$.