Aufgabenbeispiele von Trigonometrie

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 ( cos( 3x ) ) 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 2 ( cos( 3x ) ) 2

f'(x)= 4( cos( 3x ) ) · ( - sin( 3x ) · 3 )

= 4( cos( 3x ) ) · ( -3 sin( 3x ) )

= -12 cos( 3x ) · sin( 3x )

= -12 sin( 3x ) · cos( 3x )

Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -5 x 2 · sin( -3x ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -5 x 2 · sin( -3x )

f'(x)= -5 · 2x · sin( -3x ) -5 x 2 · cos( -3x ) · ( -3 )

= -10 x · sin( -3x ) -5 x 2 · ( -3 cos( -3x ) )

= -10 x · sin( -3x ) +15 x 2 · cos( -3x )

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 1 2 π -2 cos( -2x ) x .

Lösung einblenden
0 1 2 π -2 cos( -2x ) x

= [ sin( -2x ) ] 0 1 2 π

= sin( -2( 1 2 π ) ) - sin( -2( 0 ) )

= 0 - 0

= 0

Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= 3 sin( 4x ) -2 im Intervall [0; 1 2 π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 4 = 1 2 π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1= 0 0 . und bei x2= 1 4 π 1 4 π . .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( 0 |-2) und einen bei ( 1 4 π |-2)

Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= -3 sin( 1 3 x ) -2 im Intervall [0; 6π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|-2) wird.

Mit Hilfe von b= 1 3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 3 = 6π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1= 0 0 . und bei x2= 3π 3π . .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( 0 |-2) und einen bei ( 3π |-2)

Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= -3 cos(3( x -2 )) -1 im Intervall [0; 4 3 π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= 2 nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( 2 |2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( 2 |-4) wird.

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 3 = 2 3 π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= 2 + 1 6 π 2,524 .
Weil diese Stelle aber größer als die Periode ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode davon abziehen, damit der x-Wert in der ersten Periode liegt, also x1= 2,524 - 2 3 π 0,43 und bei x2= 2 + 1 2 π 3,571 .
Weil diese Stelle aber größer als die Periode ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode davon abziehen, damit der x-Wert in der ersten Periode liegt, also x2= 3,571 - 2 3 π 1,477 .

Weil das gesuchte Interval [0; 4 3 π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 0,43 + 2 3 π ≈ 2.524 und 1,477 + 2 3 π ≈ 3.571 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( 0,43 |-1) und bei ( 1,477 |-1) und bei (2.524|-1) und bei (3.571|-1)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= 4 cos( 1 3 x ) -1,2 innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; 6π [.

Lösung einblenden

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

4 cos( 1 3 x ) -1,2 = 0 | +1,2
4 cos( 1 3 x ) = 1,2 |:4
canvas
cos( 1 3 x ) = 0,3 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.2661036727795

1. Fall:

1 3 x = 1,266 |⋅ 3
x1 = 3,798

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 1 3 x ) = 0,3 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1,266
bzw. bei - 1,266 +2π= 5,017 liegen muss.

2. Fall:

1 3 x = 5,017 |⋅ 3
x2 = 15,051

L={ 3,798 ; 15,051 }

Die Nullstellen in der Periode [0; 6π ) sind also
bei x1 = 3,798 und x2 = 15,051 .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

An einem bestimmten Ort kann man die Durchschnittstemperatur zur Uhrzeit t (in h) durch die Funktion f mit f(t)= 6 sin( 1 12 π ( t -8 )) +21 (0 < t ≤ 24) näherungsweise angeben.

  1. Zu welcher Uhrzeit ist es am kältesten?
  2. Wie groß ist die tiefste Temperatur?
  3. Wie lange (in Stunden) ist es wärmer als 25,8°C?

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = 1 12 π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π 1 12 π = 24

  1. t-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.

    Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 8 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 8 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 8 h = 26 h. Weil aber 26 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 26 - 24 = 2 h. Die Lösung ist also: 2 Uhr.

  2. y-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 21 nach oben und eine Amplitude von a = 6 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 6 um 21. Somit ist der tiefste Wert bei 21 ° C - 6 ° C = 15 ° C.

  3. t-Werte mit f(t) ≥ 25.8

    Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 25.8 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 25.8 gleich:

    6 sin( 1 12 π ( t -8 )) +21 = 25.8

    6 sin( 0,2618t -2,0944 ) +21 = 25,8 | -21
    6 sin( 0,2618t -2,0944 ) = 4,8 |:6
    canvas
    sin( 0,2618t -2,0944 ) = 0,8 |sin-1(⋅)

    Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

    1. Fall:

    0,2618x -2,0944 = 0,927 | +2,0944
    0,2618x = 3,0214 |:0,2618
    x1 = 11,5409

    Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 0,2618t -2,0944 ) = 0,8 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

    Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0,927 = 2,214 liegen muss.

    2. Fall:

    0,2618x -2,0944 = 2,214 | +2,0944
    0,2618x = 4,3084 |:0,2618
    x2 = 16,4568

    Da die Sinus-Funktion ja um 8 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 8 h nach oben und erreicht erstmals nach 11.54 h den Wert 25.8. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 16.46 h zum zweiten mal den Wert 25.8 erreicht. Während dieser 16.46 - 11.54 = 4.92 h ist der Wert der Funktion also höher als 25.8.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph fa mit fa(x)= sin( a π x ) seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( 1 |1), (also den Hochpunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer 1 4 Periode. Es gilt somit 1 4 ⋅p = 1 |⋅4

Demnach muss also die Periode p =4 1 = 4 lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = b also 4 = b nach b auflösen:

4 = b |⋅b : 4

b = 2π 4 = 1 2 π

Da bei sin( a π x ) das b ja a π ist, muss also a = 1 2 sein,
damit der Graph von f 1 2 (x)= sin( 1 2 · π x ) seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( 1 |1) hat.