$\text{f(x)}=$ $3x^2·\cos \left(-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3·2x·\cos \left(-5x\right)+3x^2·(-\sin \left(-5x\right)·\left(-5\right))$

= $6x·\cos \left(-5x\right)+3x^2·5\cdot \sin \left(-5x\right)$

= $6x·\cos \left(-5x\right)+15x^2·\sin \left(-5x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \sin \left(3x+5\right)+x$

$\text{f'(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(3x+5\right)·\left(3+0\right)+1$

= $-4\cdot \cos \left(3x+5\right)·\left(3\right)+1$

= $-12\cdot \cos \left(3x+5\right)+1$

= ${\left[-\cos \left(5x\right)\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $-\cos \left(5\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)+\cos \left(5\cdot \left(0\right)\right)$

= $-0+1$

= $1$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{8}\pi$ ≈ $\frac{1}{8}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 1, also bei y=3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{8}\pi$|3)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{1}{3}\pi$ ≈ $\frac{1}{3}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-1) und einen bei ( $\frac{1}{3}\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung und um c= $3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $3$|0).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $3$|0) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-3\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\left(x-3\right)\right)+0$ aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $3$ + $\pi$ ≈ $\mathrm{6,142}$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $8\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{6,142}+4\pi$ ≈ 18.708 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 0, also bei y=-3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\mathrm{6,142}$|-3) und bei (18.708|-3)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

L={ $2\pi$}

Die einzige Nullstelle in der Periode [0; $8\pi$) ist also bei x = $2\pi$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{60}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 120

2. t-Werte mit f(t) ≥ 23.4

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 23.4 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 23.4 gleich:

   $12\cdot \sin \left(\frac{1}{60}\pi \left(t-40\right)\right)+15$ = 23.4

   $12\cdot \sin \left(\mathrm{0,0524}t-\mathrm{2,0944}\right)+15$ = $\mathrm{23,4}$ | $-15$

   $12\cdot \sin \left(\mathrm{0,0524}t-\mathrm{2,0944}\right)$

   =

   $\mathrm{8,4}$

   |:$12$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0524}t-\mathrm{2,0944}\right)$

   =

   $\mathrm{0,7}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.77539749661075

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0524}x-\mathrm{2,0944}$	=	$\mathrm{0,775}$	| $+\mathrm{2,0944}$
   $\mathrm{0,0524}x$	=	$\mathrm{2,8694}$	|:$\mathrm{0,0524}$
   x1	=	$\mathrm{54,7595}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0524}t-\mathrm{2,0944}\right)$ = $\mathrm{0,7}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,775}$= $\mathrm{2,366}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0524}x-\mathrm{2,0944}$	=	$\mathrm{2,366}$	| $+\mathrm{2,0944}$
   $\mathrm{0,0524}x$	=	$\mathrm{4,4604}$	|:$\mathrm{0,0524}$
   x2	=	$\mathrm{85,1221}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 40 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 40 s nach oben und erreicht erstmals nach 54.76 s den Wert 23.4. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 85.12 s zum zweiten mal den Wert 23.4 erreicht. Während dieser 85.12 - 54.76 = 30.36 s ist der Wert der Funktion also höher als 23.4.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(\frac{1}{a^2+6a+14}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2+6a+14\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+6a+14$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2+6a+14$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+6a+14$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+6a+14$)' = $2a+6$ = 0 ⇔ a = -3

Für dieses a = -3 wird also $a^2+6a+14$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2+6a+14\right)$ minimal .

Für a = -3 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left({\left(-3\right)}^2+6\cdot \left(-3\right)+14\right)$ = $2\pi ·\left(9-18+14\right)$ = $10\pi$.