$\text{f(x)}=$ $5x^2·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5·2x·\cos \left(x\right)+5x^2·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $10x·\cos \left(x\right)-5x^2·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(4\left(x+1\right)\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(4\left(x+1\right)\right)·\left(4\left(1+0\right)\right)$

= $\cos \left(4\left(x+1\right)\right)·\left(4\left(1\right)\right)$

= $4\cdot \cos \left(4\left(x+1\right)\right)$

= ${\left[-\frac{5}{3}\cdot \sin \left(3x\right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $-\frac{5}{3}\cdot \sin \left(3\cdot \pi \right)+\frac{5}{3}\cdot \sin \left(3\cdot \left(0\right)\right)$

= $-\frac{5}{3}\cdot 0+\frac{5}{3}\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\pi$ ≈ $\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 1, also bei y=3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\pi$|3)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $3\pi$ ≈ $3\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter -3, also bei y=-6.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $3\pi$|-6)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{2}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{2}\pi$|2).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{2}\pi$ + $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $-\frac{1}{4}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $2\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{1}{4}\pi +\pi$ ≈ $\frac{3}{4}\pi$ und bei x₂= $-\frac{1}{2}\pi$ + $\frac{3}{4}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $2\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{3}{4}\pi +\pi$ = $\frac{7}{4}\pi$ und $\frac{1}{4}\pi +\pi$ = $\frac{5}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{3}{4}\pi$|1) und bei ( $\frac{1}{4}\pi$|1) und bei ( $\frac{7}{4}\pi$|1) und bei ( $\frac{5}{4}\pi$|1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{1}{4}x\right)$ = $\mathrm{0,8}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{0,644}$
bzw. bei - $\mathrm{0,644}$+2π= $\mathrm{5,64}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{2,576}$; $\mathrm{22,56}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $8\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{2,576}$ und x₂ = $\mathrm{22,56}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 24

1. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 11 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 11 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 11 h = 29 h. Weil aber 29 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 29 - 24 = 5 h. Die Lösung ist also: 5 Uhr.

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 13 nach oben und eine Amplitude von a = 8 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 8 um 13. Somit ist der tiefste Wert bei 13 ° C - 8 ° C = 5 ° C.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 20.2

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 20.2 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 20.2 gleich:

   $8\cdot \sin \left(\frac{1}{12}\pi \left(t-11\right)\right)+13$ = 20.2

   $8\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,8798}\right)+13$ = $\mathrm{20,2}$ | $-13$

   $8\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,8798}\right)$

   =

   $\mathrm{7,2}$

   |:$8$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,8798}\right)$

   =

   $\mathrm{0,9}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 1.1197695149986

   1. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,8798}$	=	$\mathrm{1,12}$	| $+\mathrm{2,8798}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{3,9998}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x1	=	$\mathrm{15,2781}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,8798}\right)$ = $\mathrm{0,9}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{1,12}$= $\mathrm{2,022}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,8798}$	=	$\mathrm{2,022}$	| $+\mathrm{2,8798}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{4,9018}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x2	=	$\mathrm{18,7235}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 11 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 11 h nach oben und erreicht erstmals nach 15.28 h den Wert 20.2. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 18.72 h zum zweiten mal den Wert 20.2 erreicht. Während dieser 18.72 - 15.28 = 3.44 h ist der Wert der Funktion also höher als 20.2.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $1$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $1$ = $4$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $4$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\sin \left(a\pi x\right)$ das b ja $a\pi$ ist, muss also a = $\frac{1}{2}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\sin (\frac{1}{2}·\pi x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $1$|1) hat.