Aufgabenbeispiele von Trigonometrie
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Ableiten von trigonometrischen Funktionen
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)
Beispiel:
Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).
Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1=
≈
. und bei x2=
≈
. .
Weil das gesuchte Interval [0; ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch = und = eine Lösung.
Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( |-1) und einen bei ( |-1) und einen bei ( |-1) und einen bei ( |-1)
Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF
Beispiel:
Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).
Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x1=
≈
. .
Weil das gesuchte Interval [0; ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch = eine Lösung.
Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 3, also bei y=5.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( |5) und einen bei ( |5)
Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)
Beispiel:
Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= nach rechts verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( |-1).
Mit Hilfe von b= und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1=
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren,
damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0;
also x1=
Weil das gesuchte Interval [0;
Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei (
Nullstellen mit dem WTR
Beispiel:
Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit
Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
|
|
= | |: |
|
|
= | |cos-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161
1. Fall:
|
|
= |
|
|⋅ 3 |
|
|
= |
|
|: |
| x1 | = |
|
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt)
bei -
bzw. bei -
2. Fall:
|
|
= |
|
|⋅ 3 |
|
|
= |
|
|: |
| x2 | = |
|
L={
Die Nullstellen in der Periode [0;
bei x1 =
trigon. Anwendungsaufgabe 2
Beispiel:
An einem bestimmten Ort kann man die Durchschnittstemperatur zur Uhrzeit t (in h) durch die Funktion f mit
- Zu welcher Uhrzeit ist es am kältesten?
- Wie groß ist die tiefste Temperatur?
- Wie lange (in Stunden) ist es wärmer als 20,5°C?
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b =
Somit gilt für die Periodenlänge: p =
- t-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.
Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 10 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 10 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 10 h = 28 h. Weil aber 28 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 28 - 24 = 4 h. Die Lösung ist also: 4 Uhr.
- y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 18 nach oben und eine Amplitude von a = 5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 5 um 18. Somit ist der tiefste Wert bei 18 ° C - 5 ° C = 13 ° C.
- t-Werte mit f(t) ≥ 20.5
Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 20.5 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 20.5 gleich:
= 20.55 ⋅ sin ( 1 12 π ( t - 10 ) ) + 18 5 ⋅ sin ( 0,2618 t - 2,618 ) + 18 = 20,5 | - 18 5 ⋅ sin ( 0,2618 t - 2,618 ) = 2,5 |: 5 sin ( 0,2618 t - 2,618 ) = 0,5 |sin-1(⋅) Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983
1. Fall:
0,2618 x - 2,618 = 5 6 π | + 2,618 0,2618 x = 2,618 + 5 6 π 0,2618 x = 5,236 |: 0,2618 x1 = 20 Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
=sin ( 0,2618 t - 2,618 ) noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).0,5 Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π -
=5 6 π liegen muss.1 6 π 2. Fall:
0,2618 x - 2,618 = 1 6 π | + 2,618 0,2618 x = 2,618 + 1 6 π 0,2618 x = 3,1416 |: 0,2618 x2 = 12 Da die Sinus-Funktion ja um 10 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 10 h nach oben und erreicht erstmals nach 12 h den Wert 20.5. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 20 h zum zweiten mal den Wert 20.5 erreicht. Während dieser 20 - 12 = 8 h ist der Wert der Funktion also höher als 20.5.
Parameter für best. Periode finden
Beispiel:
Untersuche, ob es einen maximalen oder minimalen Wert für die Periode von fa mit
Bestimme das zugehörige a und die extremale Periode.
Wir berechnen zuerst die Periode von fa mit
p =
Man erkennt jetzt gut, dass je größer
Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:
(
Für dieses a = 3 wird also
Für a = 3 ist dann die maximale Periode pmax
=
