Aufgabenbeispiele von Trigonometrie

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Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -4 cos( 3x ) und vereinfache:

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f(x)= -4 cos( 3x )

f'(x)= 4 sin( 3x ) · 3

= 12 sin( 3x )

Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - sin( -4x -2 ) +3 und vereinfache:

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f(x)= - sin( -4x -2 ) +3

f'(x)= - cos( -4x -2 ) · ( -4 +0 )+0

= - cos( -4x -2 ) · ( -4 )

= 4 cos( -4x -2 )

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 1 2 π -3 cos( x ) x .

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0 1 2 π -3 cos( x ) x

= [ -3 sin( x ) ] 0 1 2 π

= -3 sin( 1 2 π ) +3 sin( 0 )

= -31 +30

= -3 +0

= -3

Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= 2 sin( 1 4 x ) +2 im Intervall [0; 16π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b= 1 4 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 4 = 8π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= 6π 6π . .

Weil das gesuchte Interval [0; 16π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 6π+8π = 14π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 2, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( 6π |0) und einen bei ( 14π |0)

Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= - cos( 3x ) +1 im Intervall [0; 2 3 π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|1) wird.

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 3 = 2 3 π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion - cos(3( x +0)) +1 aber zu Beginn der Periode,
also bei x1= 0 0 . .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 1, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( 0 |0)

Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= -2 sin( 1 4 ( x + π)) -3 im Intervall [0; 8π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung und um c= -π nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( -π |-3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( -π |-3) wird.

Mit Hilfe von b= 1 4 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 4 = 8π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion -2 sin( 1 4 ( x + π)) -3 aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x1= -π + 2π π . .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter -3, also bei y=-5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( π |-5)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= -4 cos( 1 2 x ) +2 innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; 4π [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

-4 cos( 1 2 x ) +2 = 0 | -2
-4 cos( 1 2 x ) = -2 |:-4
canvas
cos( 1 2 x ) = 0,5 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966

1. Fall:

1 2 x = 1 3 π |⋅ 2
x1 = 2 3 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 1 2 x ) = 0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 3 π
bzw. bei - 1 3 π +2π= 5 3 π liegen muss.

2. Fall:

1 2 x = 5 3 π |⋅ 2
x2 = 10 3 π

L={ 2 3 π ; 10 3 π }

Die Nullstellen in der Periode [0; 4π ) sind also
bei x1 = 2 3 π und x2 = 10 3 π .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

Bei einem Riesenrad kann man die Höhe einer Gondel (in m) über dem Erdboden zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 17 sin( 1 70 π ( t -10 )) +20 (0 < t ≤ 140) angeben.

  1. Bestimme die Zeit (in s), die eine Gondel für eine Umdrehung braucht.
  2. Wie lange (in Sekunden) hat das Riesenrad eine Höhe von mindestens 28,5 m?

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  1. Periodenlänge

    Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = 1 70 π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

    Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π 1 70 π = 140

  2. t-Werte mit f(t) ≥ 28.5

    Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 28.5 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 28.5 gleich:

    17 sin( 1 70 π ( t -10 )) +20 = 28.5

    17 sin( 0,0449t -0,4488 ) +20 = 28,5 | -20
    17 sin( 0,0449t -0,4488 ) = 8,5 |:17
    canvas
    sin( 0,0449t -0,4488 ) = 0,5 |sin-1(⋅)

    Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

    1. Fall:

    0,0449x -0,4488 = 5 6 π | +0,4488
    0,0449x = 0,4488 + 5 6 π
    0,0449x = 3,0668 |:0,0449
    x1 = 68,3029

    Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 0,0449t -0,4488 ) = 0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

    Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5 6 π = 1 6 π liegen muss.

    2. Fall:

    0,0449x -0,4488 = 1 6 π | +0,4488
    0,0449x = 0,4488 + 1 6 π
    0,0449x = 0,9724 |:0,0449
    x2 = 21,657

    Da die Sinus-Funktion ja um 10 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 10 s nach oben und erreicht erstmals nach 21.66 s den Wert 28.5. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 68.3 s zum zweiten mal den Wert 28.5 erreicht. Während dieser 68.3 - 21.66 = 46.64 s ist der Wert der Funktion also höher als 28.5.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph fa mit fa(x)= - sin( a π x ) seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( 6 |1), (also den Hochpunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer 3 4 Periode.
Wegen des Minus vor dem Sinus wird ja aber der Graph an der x-Achse gespiegelt, so dass der Tiefpunkt zum Hochpunkt wird. Also ist hier der erste Hochpunkt nach einer 3 4 Periode. Es gilt somit 3 4 ⋅p = 6 |⋅ 4 3

Demnach muss also die Periode p = 4 3 6 = 8 lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = b also 8 = b nach b auflösen:

8 = b |⋅b : 8

b = 2π 8 = 1 4 π

Da bei - sin( a π x ) das b ja a π ist, muss also a = 1 4 sein,
damit der Graph von f 1 4 (x)= - sin( 1 4 · π x ) seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( 6 |1) hat.