$\text{f(x)}=$ $-x·\cos \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-1·\cos \left(5x\right)-x·(-\sin \left(5x\right)·5)$

= $-\cos \left(5x\right)-x·\left(-5\cdot \sin \left(5x\right)\right)$

= $-\cos \left(5x\right)+5x·\sin \left(5x\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(3\left(x+2\pi \right)\right)+3$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(3\left(x+2\pi \right)\right)·\left(3\left(1+0\right)\right)+0$

= $2\cdot \cos \left(3\left(x+2\pi \right)\right)·3$

= $6\cdot \cos \left(3\left(x+2\pi \right)\right)$

= ${\left[-4\cdot \cos \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $-4\cdot \cos \left(\pi \right)+4\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$

= $-4\cdot \left(-1\right)+4\cdot 0$

= $4+0$

= $4$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{8}\pi$ ≈ $\frac{3}{8}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 3, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{8}\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|-3) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\pi$ ≈ $\pi$. und bei x₂= $3\pi$ ≈ $3\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $8\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\pi +4\pi$ = $5\pi$ und $3\pi +4\pi$ = $7\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\pi$|-3) und einen bei ( $3\pi$|-3) und einen bei ( $5\pi$|-3) und einen bei ( $7\pi$|-3)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $-3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-3$|-1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-3$|-3) wird.

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\cos \left(x+3\right)-2$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-3$ + $\pi$ ≈ $\mathrm{0,142}$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -2, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\mathrm{0,142}$|-1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

L={ $6\pi$}

Die einzige Nullstelle in der Periode [0; $8\pi$) ist also bei x = $6\pi$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 2

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 85 nach oben und eine Amplitude von a = 30 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 30 um 85. Somit ist der tiefste Wert bei 85 cm - 30 cm = 55 cm.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 97

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 97 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 97 gleich:

   $30\cdot \sin \left(\pi t\right)+85$ = 97

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{3,1416}t\right)+85$ = $97$ | $-85$

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{3,1416}t\right)$

   =

   $12$

   |:$30$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{3,1416}t\right)$

   =

   $\mathrm{0,4}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.41151684606749

   1. Fall:

   $\mathrm{3,1416}x$	=	$\mathrm{0,412}$	|:$\mathrm{3,1416}$
   x1	=	$\mathrm{0,1311}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{3,1416}t\right)$ = $\mathrm{0,4}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,412}$= $\mathrm{2,73}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{3,1416}x$	=	$\mathrm{2,73}$	|:$\mathrm{3,1416}$
   x2	=	$\mathrm{0,869}$

   Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.13 s den Wert 97. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 0.87 s zum zweiten mal den Wert 97 erreicht. Während dieser 0.87 - 0.13 = 0.74 s ist der Wert der Funktion also höher als 97.

4. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 85 nach oben und eine Amplitude von a = 30 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 30 um 85. Somit ist der höchste Wert bei 85 cm + 30 cm = 115 cm.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(\left(a^2-2a+4\right)x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ =

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-2a+4$ wird, desto kleiner wird die Periode.

$a^2-2a+4$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-2a+4$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-2a+4$)' = $2a-2$ = 0 ⇔ a = 1

Für dieses a = 1 wird also $a^2-2a+4$ minimal und somit die Periode $\frac{2\pi }{a^2-2a+4}$ maximal .

Für a = 1 ist dann die maximale Periode p_max = $\frac{2\pi }{1^2-2\cdot 1+4}$ = $\frac{2\pi }{1-2+4}$ = $\frac{2}{3}\pi$.