Aufgabenbeispiele von Trigonometrie

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Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( cos( x ) ) 2 und vereinfache:

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f(x)= ( cos( x ) ) 2

f'(x)= 2( cos( x ) ) · ( - sin( x ) )

= -2 cos( x ) · sin( x )

= -2 sin( x ) · cos( x )

Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 x · sin( 3x ) und vereinfache:

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f(x)= 5 x · sin( 3x )

f'(x)= 5 · 1 · sin( 3x ) +5 x · cos( 3x ) · 3

= 5 sin( 3x ) +5 x · 3 cos( 3x )

= 5 sin( 3x ) +15 x · cos( 3x )

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 1 2 π -2 sin( x ) x .

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0 1 2 π -2 sin( x ) x

= [ 2 cos( x ) ] 0 1 2 π

= 2 cos( 1 2 π ) -2 cos( 0 )

= 20 -21

= 0 -2

= -2

Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit f(x)= sin( 3 4 x ) -3 im Intervall [0; 16 3 π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b= 3 4 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 3 4 = 8 3 π

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x1= 2 3 π 2 3 π . .

Weil das gesuchte Interval [0; 16 3 π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 2 3 π + 8 3 π = 10 3 π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -3, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( 2 3 π |-2) und einen bei ( 10 3 π |-2)

Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit f(x)= 3 cos( 1 3 x ) -2 im Intervall [0; 6π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b= 1 3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 3 = 6π

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x1= 0 0 . .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -2, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( 0 |1)

Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit f(x)= 2 sin( x + 1 4 π) im Intervall [0; 2π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung und um c= - 1 4 π nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( - 1 4 π |0).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 = 2π

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x1= - 1 4 π + 1 2 π 1 4 π . .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 0, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( 1 4 π |2)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= 3 cos( 1 4 x ) +1,8 innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; 8π [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

3 cos( 1 4 x ) +1,8 = 0 | -1,8
3 cos( 1 4 x ) = -1,8 |:3
canvas
cos( 1 4 x ) = -0,6 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.2142974355882

1. Fall:

1 4 x = 2,214 |⋅ 4
x1 = 8,856

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 1 4 x ) = -0,6 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 2,214
bzw. bei - 2,214 +2π= 4,069 liegen muss.

2. Fall:

1 4 x = 4,069 |⋅ 4
x2 = 16,276

L={ 8,856 ; 16,276 }

Die Nullstellen in der Periode [0; 8π ) sind also
bei x1 = 8,856 und x2 = 16,276 .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

Bei einem Riesenrad kann man die Höhe einer Gondel (in m) über dem Erdboden zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 10 sin( 1 60 π ( t -10 )) +13 (0 < t ≤ 120) angeben.

  1. Bestimme die Zeit (in s), die eine Gondel für eine Umdrehung braucht.
  2. Zu welcher Zeit (in s) ist die Gondel am tiefsten Punkt?
  3. Wie hoch ist die Gondel an ihrem tiefsten Punkt über dem Erdboden?
  4. Wie lange (in Sekunden) hat das Riesenrad eine Höhe von mindestens 21 m?

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  1. Periodenlänge

    Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = 1 60 π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

    Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π 1 60 π = 120

  2. t-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 90 s.

    Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 10 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 10 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 90 + 10 s = 100 s. Die Lösung ist also: 100 s.

  3. y-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 13 nach oben und eine Amplitude von a = 10 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 10 um 13. Somit ist der tiefste Wert bei 13 m - 10 m = 3 m.

  4. t-Werte mit f(t) ≥ 21

    Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 21 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 21 gleich:

    10 sin( 1 60 π ( t -10 )) +13 = 21

    10 sin( 0,0524t -0,5236 ) +13 = 21 | -13
    10 sin( 0,0524t -0,5236 ) = 8 |:10
    canvas
    sin( 0,0524t -0,5236 ) = 0,8 |sin-1(⋅)

    Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

    1. Fall:

    0,0524x -0,5236 = 0,927 | +0,5236
    0,0524x = 1,4506 |:0,0524
    x1 = 27,6832

    Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 0,0524t -0,5236 ) = 0,8 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

    Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0,927 = 2,214 liegen muss.

    2. Fall:

    0,0524x -0,5236 = 2,214 | +0,5236
    0,0524x = 2,7376 |:0,0524
    x2 = 52,2443

    Da die Sinus-Funktion ja um 10 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 10 s nach oben und erreicht erstmals nach 27.68 s den Wert 21. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 52.24 s zum zweiten mal den Wert 21 erreicht. Während dieser 52.24 - 27.68 = 24.56 s ist der Wert der Funktion also höher als 21.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph fa mit fa(x)= sin( a x ) seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( 1 3 π |1), (also den Hochpunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer 1 4 Periode. Es gilt somit 1 4 ⋅p = 1 3 π |⋅4

Demnach muss also die Periode p =4 1 3 π = 4 3 π lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = b also 4 3 π = b nach b auflösen:

4 3 π = b |⋅b : 4 3 π

b = 2π 4 3 π = 3 2

Da bei sin( a x ) das b ja a ist, muss also a = 3 2 sein,
damit der Graph von f 3 2 (x)= sin( 3 2 · x ) seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( 1 3 π |1) hat.