$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \sin \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $-12\cdot \sin \left(-3x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \sin \left(3x-5\right)+1$

$\text{f'(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(3x-5\right)·\left(3+0\right)+0$

= $-4\cdot \cos \left(3x-5\right)·\left(3\right)$

= $-12\cdot \cos \left(3x-5\right)$

= ${\left[-\frac{3}{4}\cdot \sin \left(4x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $-\frac{3}{4}\cdot \sin \left(4\cdot \pi \right)+\frac{3}{4}\cdot \sin \left(4\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-\frac{3}{4}\cdot 0+\frac{3}{4}\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $2\pi$ ≈ $2\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 3, also bei y=4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $2\pi$|4)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $8\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+4\pi$ = $4\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über 3, also bei y=6.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $0$|6) und einen bei ( $4\pi$|6)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{2}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{2}\pi$|2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-\frac{1}{2}\pi$|-4) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-3\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)-1$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{2}\pi$ + $2\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -1, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{3}{2}\pi$|2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

L={ $3\pi$}

Die einzige Nullstelle in der Periode [0; $4\pi$) ist also bei x = $3\pi$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{100}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 200

2. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 150 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 30 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 30 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 150 + 30 s = 180 s. Die Lösung ist also: 180 s.

3. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 14 nach oben und eine Amplitude von a = 12 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 12 um 14. Somit ist der tiefste Wert bei 14 m - 12 m = 2 m.

4. t-Werte mit f(t) ≥ 18.8

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 18.8 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 18.8 gleich:

   $12\cdot \sin \left(\frac{1}{100}\pi \left(t-30\right)\right)+14$ = 18.8

   $12\cdot \sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,9425}\right)+14$ = $\mathrm{18,8}$ | $-14$

   $12\cdot \sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,9425}\right)$

   =

   $\mathrm{4,8}$

   |:$12$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,9425}\right)$

   =

   $\mathrm{0,4}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.41151684606749

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0314}x-\mathrm{0,9425}$	=	$\mathrm{0,412}$	| $+\mathrm{0,9425}$
   $\mathrm{0,0314}x$	=	$\mathrm{1,3545}$	|:$\mathrm{0,0314}$
   x1	=	$\mathrm{43,1369}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,9425}\right)$ = $\mathrm{0,4}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,412}$= $\mathrm{2,73}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0314}x-\mathrm{0,9425}$	=	$\mathrm{2,73}$	| $+\mathrm{0,9425}$
   $\mathrm{0,0314}x$	=	$\mathrm{3,6725}$	|:$\mathrm{0,0314}$
   x2	=	$\mathrm{116,9586}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 30 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 30 s nach oben und erreicht erstmals nach 43.14 s den Wert 18.8. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 116.96 s zum zweiten mal den Wert 18.8 erreicht. Während dieser 116.96 - 43.14 = 73.82 s ist der Wert der Funktion also höher als 18.8.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer $\frac{3}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{3}{4}$⋅p = $9$ |⋅$\frac{4}{3}$

Demnach muss also die Periode p =$\frac{4}{3}$ ⋅ $9$ = $12$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $12$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\sin \left(a\pi x\right)$ das b ja $a\pi$ ist, muss also a = $\frac{1}{6}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\sin (\frac{1}{6}·\pi x)$ seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( $9$|-1) hat.