$\text{f(x)}=$ $2{\left(\sin \left(x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $4\left(\sin \left(x\right)\right)·\cos \left(x\right)$

= $4\sin \left(x\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $2x^2·\sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2·2x·\sin \left(x\right)+2x^2·\cos \left(x\right)$

= $4x·\sin \left(x\right)+2x^2·\cos \left(x\right)$

= ${\left[5\cdot \cos \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $5\cdot \cos \left(\pi \right)-5\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$

= $5\cdot \left(-1\right)-5\cdot 0$

= $-5+0$

= $-5$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\pi$ ≈ $\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $4\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+2\pi$ = $2\pi$ und $\pi +2\pi$ = $3\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-1) und einen bei ( $\pi$|-1) und einen bei ( $2\pi$|-1) und einen bei ( $3\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $4\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{3}{2}\pi +2\pi$ = $\frac{7}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 0, also bei y=-3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{2}\pi$|-3) und einen bei ( $\frac{7}{2}\pi$|-3)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in y-Richtung und um c= $-3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-3$|5).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-3$|1) wird.

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-3$ + $\frac{1}{8}\pi$ ≈ $-\mathrm{2,607}$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\pi$) liegt,
also x₁= $-\mathrm{2,607}+\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{0,535}$ und bei x₂= $-3$ + $\frac{3}{8}\pi$ ≈ $-\mathrm{1,822}$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\pi$) liegt,
also x₂= $-\mathrm{1,822}+\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{1,32}$.

Weil das gesuchte Interval [0; $\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{0,535}+\frac{1}{2}\pi$ ≈ 2.106 und $\mathrm{1,32}+\frac{1}{2}\pi$ ≈ 2.891 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\mathrm{0,535}$|3) und bei ( $\mathrm{1,32}$|3) und bei (2.106|3) und bei (2.891|3)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(2x\right)$ = $\mathrm{0,6}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{0,927}$
bzw. bei - $\mathrm{0,927}$+2π= $\mathrm{5,356}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,4635}$; $\mathrm{2,678}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,4635}$ und x₂ = $\mathrm{2,678}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 24

1. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 16 nach oben und eine Amplitude von a = 4 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4 um 16. Somit ist der tiefste Wert bei 16 ° C - 4 ° C = 12 ° C.

2. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 6 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 9 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 9 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 6 + 9 h = 15 h. Die Lösung ist also: 15 Uhr.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-\sin \left(\left(a^2-4a+9\right)x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ =

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-4a+9$ wird, desto kleiner wird die Periode.

$a^2-4a+9$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-4a+9$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-4a+9$)' = $2a-4$ = 0 ⇔ a = 2

Für dieses a = 2 wird also $a^2-4a+9$ minimal und somit die Periode $\frac{2\pi }{a^2-4a+9}$ maximal .

Für a = 2 ist dann die maximale Periode p_max = $\frac{2\pi }{2^2-4\cdot 2+9}$ = $\frac{2\pi }{4-8+9}$ = $\frac{2}{5}\pi$.