$\text{f(x)}=$ $-5\cdot \sin \left(-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-5\cdot \cos \left(-5x\right)·\left(-5\right)$

= $25\cdot \cos \left(-5x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(-5x+4\right)+4x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(-5x+4\right)·\left(-5+0\right)+8x$

= $-3\cdot \cos \left(-5x+4\right)·\left(-5\right)+8x$

= $15\cdot \cos \left(-5x+4\right)+8x$

= ${\left[-4\cdot \cos \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $-4\cdot \cos \left(\pi \right)+4\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$

= $-4\cdot \left(-1\right)+4\cdot 0$

= $4+0$

= $4$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $2\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{4}\pi +\pi$ = $\frac{5}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -2, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{4}\pi$|1) und einen bei ( $\frac{5}{4}\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-1) und einen bei ( $\frac{1}{4}\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $-1$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-1$|-1).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-1$ + $0$ ≈ $-1$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\pi$) liegt,
also x₁= $-1+\pi$ ≈ $\mathrm{2,142}$ und bei x₂= $-1$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{0,571}$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\mathrm{2,142}$|-1) und bei ( $\mathrm{0,571}$|-1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

L={ $2\pi$}

Die einzige Nullstelle in der Periode [0; $\frac{8}{3}\pi$) ist also bei x = $2\pi$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{60}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 120

2. t-Werte mit f(t) ≥ 19

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 19 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 19 gleich:

   $15\cdot \sin \left(\frac{1}{60}\pi \left(t-20\right)\right)+16$ = 19

   $15\cdot \sin \left(\mathrm{0,0524}t-\mathrm{1,0472}\right)+16$ = $19$ | $-16$

   $15\cdot \sin \left(\mathrm{0,0524}t-\mathrm{1,0472}\right)$

   =

   $3$

   |:$15$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0524}t-\mathrm{1,0472}\right)$

   =

   $\mathrm{0,2}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.20135792079033

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0524}x-\mathrm{1,0472}$	=	$\mathrm{0,201}$	| $+\mathrm{1,0472}$
   $\mathrm{0,0524}x$	=	$\mathrm{1,2482}$	|:$\mathrm{0,0524}$
   x1	=	$\mathrm{23,8206}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0524}t-\mathrm{1,0472}\right)$ = $\mathrm{0,2}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,201}$= $\mathrm{2,94}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0524}x-\mathrm{1,0472}$	=	$\mathrm{2,94}$	| $+\mathrm{1,0472}$
   $\mathrm{0,0524}x$	=	$\mathrm{3,9872}$	|:$\mathrm{0,0524}$
   x2	=	$\mathrm{76,0916}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 20 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 20 s nach oben und erreicht erstmals nach 23.82 s den Wert 19. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 76.09 s zum zweiten mal den Wert 19 erreicht. Während dieser 76.09 - 23.82 = 52.27 s ist der Wert der Funktion also höher als 19.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode.
Wegen des Minus vor dem Sinus wird ja aber der Graph an der x-Achse gespiegelt, so dass der Hochpunkt zum Tiefpunkt wird. Also ist hier der erste Tiefpunkt nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $\frac{3}{4}\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $\frac{3}{4}\pi$ = $3\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $3\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $-\sin \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $\frac{2}{3}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $-\sin (\frac{2}{3}·x)$ seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( $\frac{3}{4}\pi$|-1) hat.