$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(2x\right)·2$

= $-6\cdot \cos \left(2x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5x·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-5·1·\sin \left(-2x\right)-5x·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $-5\cdot \sin \left(-2x\right)-5x·\left(-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right)$

= $-5\cdot \sin \left(-2x\right)+10x·\cos \left(-2x\right)$

= ${\left[-\frac{1}{5}\cdot \cos \left(5x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $-\frac{1}{5}\cdot \cos \left(5\cdot \pi \right)+\frac{1}{5}\cdot \cos \left(5\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-\frac{1}{5}\cdot \left(-1\right)+\frac{1}{5}\cdot 0$

= $\frac{1}{5}+0$

= $\frac{1}{5}+0$

= $\frac{1}{5}$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $2\pi$ ≈ $2\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -1, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $2\pi$|-2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|0) wird.

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{6}\pi$ ≈ $\frac{1}{6}\pi$. und bei x₂= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{6}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{5}{6}\pi$ und $\frac{1}{2}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{7}{6}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{6}\pi$|0) und einen bei ( $\frac{1}{2}\pi$|0) und einen bei ( $\frac{5}{6}\pi$|0) und einen bei ( $\frac{7}{6}\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{2}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{2}\pi$|0).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{2}\pi$ + $0$ ≈ $-\frac{1}{2}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $8\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{1}{2}\pi +8\pi$ ≈ $\frac{15}{2}\pi$.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über -2, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{15}{2}\pi$|0)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{2}{3}x\right)$ = $\mathrm{0,8}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{0,644}$
bzw. bei - $\mathrm{0,644}$+2π= $\mathrm{5,64}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,966}$; $\mathrm{8,46}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $3\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,966}$ und x₂ = $\mathrm{8,46}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{2}{3}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 3

2. t-Werte mit f(t) ≥ 107

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 107 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 107 gleich:

   $30\cdot \sin \left(\frac{2}{3}\pi t\right)+80$ = 107

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{2,0944}t\right)+80$ = $107$ | $-80$

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{2,0944}t\right)$

   =

   $27$

   |:$30$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{2,0944}t\right)$

   =

   $\mathrm{0,9}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 1.1197695149986

   1. Fall:

   $\mathrm{2,0944}x$	=	$\mathrm{1,12}$	|:$\mathrm{2,0944}$
   x1	=	$\mathrm{0,5348}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{2,0944}t\right)$ = $\mathrm{0,9}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{1,12}$= $\mathrm{2,022}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{2,0944}x$	=	$\mathrm{2,022}$	|:$\mathrm{2,0944}$
   x2	=	$\mathrm{0,9654}$

   Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.53 s den Wert 107. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 0.97 s zum zweiten mal den Wert 107 erreicht. Während dieser 0.97 - 0.53 = 0.44 s ist der Wert der Funktion also höher als 107.

3. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 80 nach oben und eine Amplitude von a = 30 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 30 um 80. Somit ist der höchste Wert bei 80 cm + 30 cm = 110 cm.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-\cos \left(\frac{1}{a^2+6a+13}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2+6a+13\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+6a+13$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2+6a+13$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+6a+13$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+6a+13$)' = $2a+6$ = 0 ⇔ a = -3

Für dieses a = -3 wird also $a^2+6a+13$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2+6a+13\right)$ minimal .

Für a = -3 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left({\left(-3\right)}^2+6\cdot \left(-3\right)+13\right)$ = $2\pi ·\left(9-18+13\right)$ = $8\pi$.