Aufgabenbeispiele von Trigonometrie

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Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -3 x 2 · sin( 2x ) und vereinfache:

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f(x)= -3 x 2 · sin( 2x )

f'(x)= -3 · 2x · sin( 2x ) -3 x 2 · cos( 2x ) · 2

= -6 x · sin( 2x ) -3 x 2 · 2 cos( 2x )

= -6 x · sin( 2x ) -6 x 2 · cos( 2x )

Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 cos( 4x +1 ) +4 x 2 und vereinfache:

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f(x)= 3 cos( 4x +1 ) +4 x 2

f'(x)= -3 sin( 4x +1 ) · ( 4 +0 ) +8x

= -3 sin( 4x +1 ) · ( 4 ) +8x

= -12 sin( 4x +1 ) +8x

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 π - cos( -3x ) x .

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0 π - cos( -3x ) x

= [ 1 3 sin( -3x ) ] 0 π

= 1 3 sin( -3π ) - 1 3 sin( -3( 0 ) )

= 1 3 0 - 1 3 0

= 0+0

= 0

Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= 2 sin( x ) -2 im Intervall [0; 2π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 = 2π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1= 0 0 . und bei x2= π π . .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( 0 |-2) und einen bei ( π |-2)

Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= cos( 4x ) -1 im Intervall [0; π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 4 = 1 2 π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= 1 8 π 1 8 π . und bei x2= 3 8 π 3 8 π . .

Weil das gesuchte Interval [0; π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 1 8 π + 1 2 π = 5 8 π und 3 8 π + 1 2 π = 7 8 π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( 1 8 π |-1) und einen bei ( 3 8 π |-1) und einen bei ( 5 8 π |-1) und einen bei ( 7 8 π |-1)

Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit f(x)= 3 sin( x + 1 4 π) -1 im Intervall [0; 4π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= - 1 4 π nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( - 1 4 π |-1).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 = 2π

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x1= - 1 4 π + 1 2 π 1 4 π . .

Weil das gesuchte Interval [0; 4π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 1 4 π+2π = 9 4 π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -1, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( 1 4 π |2) und bei ( 9 4 π |2)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= sin( 1 3 x ) +0,1 innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; 6π [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

sin( 1 3 x ) +0,1 = 0 | -0,1 canvas
sin( 1 3 x ) = -0,1 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.10016742116156

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 6,183

1. Fall:

1 3 x = 6,183 |⋅ 3
x1 = 18,549

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 1 3 x ) = -0,1 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 6,183 =-3.0414 bzw. bei -3.0414+2π= 3,242 liegen muss.

2. Fall:

1 3 x = 3,242 |⋅ 3
x2 = 9,726

L={ 9,726 ; 18,549 }

Die Nullstellen in der Periode [0; 6π ) sind also
bei x1 = 9,726 und x2 = 18,549 .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

In einem Wellenbad kann man an einer bestimmten Stelle die Wasserhöhe zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 15 sin(π t ) +85 (0 < t ≤ 2) angeben.

  1. Bestimme die Periode dieses Vorgangs.
  2. Bestimme die kleinste Wasserhöhe.
  3. Wie lange (in Sekunden) ist die Wasserhöhe höher als 89,5cm?
  4. Zu welcher Zeit (in s) ist die Wasserhöhe am höchsten?

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  1. Periodenlänge

    Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

    Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π π = 2

  2. y-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 85 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 85. Somit ist der tiefste Wert bei 85 cm - 15 cm = 70 cm.

  3. t-Werte mit f(t) ≥ 89.5

    Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 89.5 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 89.5 gleich:

    15 sin(π t ) +85 = 89.5

    15 sin( 3,1416t ) +85 = 89,5 | -85
    15 sin( 3,1416t ) = 4,5 |:15
    canvas
    sin( 3,1416t ) = 0,3 |sin-1(⋅)

    Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

    1. Fall:

    3,1416x = 0,305 |:3,1416
    x1 = 0,0971

    Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 3,1416t ) = 0,3 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

    Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0,305 = 2,837 liegen muss.

    2. Fall:

    3,1416x = 2,837 |:3,1416
    x2 = 0,903

    Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.1 s den Wert 89.5. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 0.9 s zum zweiten mal den Wert 89.5 erreicht. Während dieser 0.9 - 0.1 = 0.8 s ist der Wert der Funktion also höher als 89.5.

  4. t-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 0.5 s.

    Die Lösung ist also: 0.5 s.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph fa mit fa(x)= - cos( a x ) seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( 4π |0), (also den Wendepunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer 1 4 Periode. Es gilt somit 1 4 ⋅p = 4π |⋅4

Demnach muss also die Periode p =44π = 16π lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = b also 16π = b nach b auflösen:

16π = b |⋅b : 16π

b = 2π 16π = 1 8

Da bei - cos( a x ) das b ja a ist, muss also a = 1 8 sein,
damit der Graph von f 1 8 (x)= - cos( 1 8 · x ) seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( 4π |0) hat.