$\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3x^2·\sin \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3·2x·\sin \left(4x\right)-3x^2·\cos \left(4x\right)·4$

= $-6x·\sin \left(4x\right)-3x^2·4\cdot \cos \left(4x\right)$

= $-6x·\sin \left(4x\right)-12x^2·\cos \left(4x\right)$

= ${\left[-3\cdot \sin \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $-3\cdot \sin \left(\pi \right)+3\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$

= $-3\cdot 0+3\cdot 1$

= $0+3$

= $3$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $4\pi$ ≈ $4\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $16\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+8\pi$ = $8\pi$ und $4\pi +8\pi$ = $12\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-2) und einen bei ( $4\pi$|-2) und einen bei ( $8\pi$|-2) und einen bei ( $12\pi$|-2)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|2) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-3\cdot \sin \left(\frac{1}{3}\left(x+0\right)\right)+2$ aber nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{9}{2}\pi$ ≈ $\frac{9}{2}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über 2, also bei y=5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{9}{2}\pi$|5)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=0 in y-Richtung und um c= $-2$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-2$|1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-2$|-1) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\cos \left(\frac{1}{2}\left(x+2\right)\right)+0$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-2$ + $2\pi$ ≈ $\mathrm{4,283}$. .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 0, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\mathrm{4,283}$|1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert -0.3046926540154

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\mathrm{5,978}$

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(2x\right)$ = $-\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{5,978}$=-2.8364 bzw. bei -2.8364+2π= $\mathrm{3,446}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{1,723}$; $\mathrm{2,989}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{1,723}$ und x₂ = $\mathrm{2,989}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 24

1. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 7 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 7 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 7 h = 25 h. Weil aber 25 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 25 - 24 = 1 h. Die Lösung ist also: 1 Uhr.

2. t-Werte mit f(t) ≥ 15.8

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 15.8 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 15.8 gleich:

   $6\cdot \sin \left(\frac{1}{12}\pi \left(t-7\right)\right)+14$ = 15.8

   $6\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{1,8326}\right)+14$ = $\mathrm{15,8}$ | $-14$

   $6\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{1,8326}\right)$

   =

   $\mathrm{1,8}$

   |:$6$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{1,8326}\right)$

   =

   $\mathrm{0,3}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

   1. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{1,8326}$	=	$\mathrm{0,305}$	| $+\mathrm{1,8326}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{2,1376}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x1	=	$\mathrm{8,165}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{1,8326}\right)$ = $\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,305}$= $\mathrm{2,837}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{1,8326}$	=	$\mathrm{2,837}$	| $+\mathrm{1,8326}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{4,6696}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x2	=	$\mathrm{17,8365}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 7 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 7 h nach oben und erreicht erstmals nach 8.17 h den Wert 15.8. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 17.84 h zum zweiten mal den Wert 15.8 erreicht. Während dieser 17.84 - 8.17 = 9.67 h ist der Wert der Funktion also höher als 15.8.

3. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 6 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 7 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 7 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 6 + 7 h = 13 h. Die Lösung ist also: 13 Uhr.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $2\cdot \sin \left(\frac{1}{a^2-6a+13}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2-6a+13\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-6a+13$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2-6a+13$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-6a+13$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-6a+13$)' = $2a-6$ = 0 ⇔ a = 3

Für dieses a = 3 wird also $a^2-6a+13$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2-6a+13\right)$ minimal .

Für a = 3 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left(3^2-6\cdot 3+13\right)$ = $2\pi ·\left(9-18+13\right)$ = $8\pi$.