$\text{f(x)}=$ ${\left(\cos \left(x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(\cos \left(x\right)\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-2\cos \left(x\right)·\sin \left(x\right)$

= $-2\sin \left(x\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4x·\cos \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-4·1·\cos \left(4x\right)-4x·(-\sin \left(4x\right)·4)$

= $-4\cdot \cos \left(4x\right)-4x·\left(-4\cdot \sin \left(4x\right)\right)$

= $-4\cdot \cos \left(4x\right)+16x·\sin \left(4x\right)$

= ${\left[-2\cdot \sin \left(-2x\right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $-2\cdot \sin \left(-2\cdot \pi \right)+2\cdot \sin \left(-2\cdot \left(0\right)\right)$

= $-2\cdot 0+2\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{4}\pi$ ≈ $\frac{3}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 2, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{4}\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{6}\pi$ ≈ $\frac{1}{6}\pi$. und bei x₂= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{6}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{5}{6}\pi$ und $\frac{1}{2}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{7}{6}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{6}\pi$|-3) und einen bei ( $\frac{1}{2}\pi$|-3) und einen bei ( $\frac{5}{6}\pi$|-3) und einen bei ( $\frac{7}{6}\pi$|-3)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in y-Richtung und um c= $-1$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-1$|4).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-1$|0) wird.

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-1$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{0,571}$. und bei x₂= $-1$ + $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{3,712}$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $4\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{0,571}+2\pi$ ≈ 6.854 und $\mathrm{3,712}+2\pi$ ≈ 9.995 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\mathrm{0,571}$|2) und bei ( $\mathrm{3,712}$|2) und bei (6.854|2) und bei (9.995|2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.1592794807274

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(4x\right)$ = $\mathrm{0,4}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{1,159}$
bzw. bei - $\mathrm{1,159}$+2π= $\mathrm{5,124}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,2898}$; $\mathrm{1,281}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{1}{2}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,2898}$ und x₂ = $\mathrm{1,281}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{2}{3}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 3

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 95 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 95. Somit ist der tiefste Wert bei 95 cm - 15 cm = 80 cm.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 107

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 107 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 107 gleich:

   $15\cdot \sin \left(\frac{2}{3}\pi t\right)+95$ = 107

   $15\cdot \sin \left(\mathrm{2,0944}t\right)+95$ = $107$ | $-95$

   $15\cdot \sin \left(\mathrm{2,0944}t\right)$

   =

   $12$

   |:$15$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{2,0944}t\right)$

   =

   $\mathrm{0,8}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

   1. Fall:

   $\mathrm{2,0944}x$	=	$\mathrm{0,927}$	|:$\mathrm{2,0944}$
   x1	=	$\mathrm{0,4426}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{2,0944}t\right)$ = $\mathrm{0,8}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,927}$= $\mathrm{2,214}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{2,0944}x$	=	$\mathrm{2,214}$	|:$\mathrm{2,0944}$
   x2	=	$\mathrm{1,0571}$

   Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.44 s den Wert 107. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 1.06 s zum zweiten mal den Wert 107 erreicht. Während dieser 1.06 - 0.44 = 0.62 s ist der Wert der Funktion also höher als 107.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $3\cdot \sin \left(\left(a^2-6a+12\right)x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ =

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-6a+12$ wird, desto kleiner wird die Periode.

$a^2-6a+12$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-6a+12$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-6a+12$)' = $2a-6$ = 0 ⇔ a = 3

Für dieses a = 3 wird also $a^2-6a+12$ minimal und somit die Periode $\frac{2\pi }{a^2-6a+12}$ maximal .

Für a = 3 ist dann die maximale Periode p_max = $\frac{2\pi }{3^2-6\cdot 3+12}$ = $\frac{2\pi }{9-18+12}$ = $\frac{2}{3}\pi$.