$\text{f(x)}=$ ${\left(\cos \left(2x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(\cos \left(2x\right)\right)·(-\sin \left(2x\right)·2)$

= $2\left(\cos \left(2x\right)\right)·\left(-2\cdot \sin \left(2x\right)\right)$

= $-4\cos \left(2x\right)·\sin \left(2x\right)$

= $-4\sin \left(2x\right)·\cos \left(2x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2x·\cos \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2·1·\cos \left(5x\right)-2x·(-\sin \left(5x\right)·5)$

= $-2\cdot \cos \left(5x\right)-2x·\left(-5\cdot \sin \left(5x\right)\right)$

= $-2\cdot \cos \left(5x\right)+10x·\sin \left(5x\right)$

= ${\left[\frac{3}{5}\cdot \cos \left(-5x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $\frac{3}{5}\cdot \cos \left(-5\cdot \pi \right)-\frac{3}{5}\cdot \cos \left(-5\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{3}{5}\cdot \left(-1\right)-\frac{3}{5}\cdot 0$

= $-\frac{3}{5}+0$

= $-\frac{3}{5}+0$

= $-\frac{3}{5}$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\pi$ ≈ $\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über 2, also bei y=5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\pi$|5)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|-2) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\cos \left(\frac{1}{4}\left(x+0\right)\right)-2$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $4\pi$ ≈ $4\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $16\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $4\pi +8\pi$ = $12\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -2, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $4\pi$|-1) und einen bei ( $12\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $-2\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-2\pi$|0).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-2\pi$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $-\frac{3}{2}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $2\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{3}{2}\pi +2\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$ und bei x₂= $-2\pi$ + $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $-\frac{1}{2}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $2\pi$) liegt,
also x₂= $-\frac{1}{2}\pi +2\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{2}\pi$|-2) und bei ( $\frac{3}{2}\pi$|-2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

L={ $\pi$}

Die einzige Nullstelle in der Periode [0; $2\pi$) ist also bei x = $\pi$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $2\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 1

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 75 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 75. Somit ist der tiefste Wert bei 75 cm - 15 cm = 60 cm.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 88.5

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 88.5 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 88.5 gleich:

   $15\cdot \sin \left(2\pi t\right)+75$ = 88.5

   $15\cdot \sin \left(\mathrm{6,2832}t\right)+75$ = $\mathrm{88,5}$ | $-75$

   $15\cdot \sin \left(\mathrm{6,2832}t\right)$

   =

   $\mathrm{13,5}$

   |:$15$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{6,2832}t\right)$

   =

   $\mathrm{0,9}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 1.1197695149986

   1. Fall:

   $\mathrm{6,2832}x$	=	$\mathrm{1,12}$	|:$\mathrm{6,2832}$
   x1	=	$\mathrm{0,1783}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{6,2832}t\right)$ = $\mathrm{0,9}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{1,12}$= $\mathrm{2,022}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{6,2832}x$	=	$\mathrm{2,022}$	|:$\mathrm{6,2832}$
   x2	=	$\mathrm{0,3218}$

   Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.18 s den Wert 88.5. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 0.32 s zum zweiten mal den Wert 88.5 erreicht. Während dieser 0.32 - 0.18 = 0.14 s ist der Wert der Funktion also höher als 88.5.

4. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 0.25 s.

   Die Lösung ist also: 0.25 s.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode.
Wegen des Minus vor dem Sinus wird ja aber der Graph an der x-Achse gespiegelt, so dass der Hochpunkt zum Tiefpunkt wird. Also ist hier der erste Tiefpunkt nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $2\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $2\pi$ = $8\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $8\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $-\sin \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $\frac{1}{4}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $-\sin (\frac{1}{4}·x)$ seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( $2\pi$|-1) hat.