$\text{f(x)}=$ $3{\left(\cos \left(x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $6\left(\cos \left(x\right)\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-6\cos \left(x\right)·\sin \left(x\right)$

= $-6\sin \left(x\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\cdot \sin \left(5x+2\right)-5$

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \cos \left(5x+2\right)·\left(5+0\right)+0$

= $4\cdot \cos \left(5x+2\right)·\left(5\right)$

= $20\cdot \cos \left(5x+2\right)$

= ${\left[4\cdot \sin \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $4\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)-4\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$

= $4\cdot \left(-1\right)-4\cdot 1$

= $-4-4$

= $-8$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $2\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\pi$ = $\pi$ und $\frac{1}{2}\pi +\pi$ = $\frac{3}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-3) und einen bei ( $\frac{1}{2}\pi$|-3) und einen bei ( $\pi$|-3) und einen bei ( $\frac{3}{2}\pi$|-3)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|0) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-3\cdot \sin \left(\frac{1}{4}\left(x+0\right)\right)+0$ aber nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $6\pi$ ≈ $6\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $16\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $6\pi +8\pi$ = $14\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über 0, also bei y=3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $6\pi$|3) und einen bei ( $14\pi$|3)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung und um c= $-1$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-1$|-3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $-1$|-3) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-2\cdot \sin \left(\frac{3}{4}\left(x+1\right)\right)-3$ aber nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-1$ + $2\pi$ ≈ $\mathrm{5,283}$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über -3, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\mathrm{5,283}$|-1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 2.0943951023932

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(4x\right)$ = $-\mathrm{0,5}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{2}{3}\pi$
bzw. bei - $\frac{2}{3}\pi$+2π= $\frac{4}{3}\pi$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\frac{1}{6}\pi$; $\frac{1}{3}\pi$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{1}{2}\pi$) sind also
bei x₁ = $\frac{1}{6}\pi$ und x₂ = $\frac{1}{3}\pi$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 366

1. t-Werte mit f(t) ≥ 12.9

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 12.9 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 12.9 gleich:

   $\mathrm{4,5}\cdot \sin \left(\frac{1}{183}\pi \left(t-50\right)\right)+12$ = 12.9

   $\mathrm{4,5}\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,8584}\right)+12$ = $\mathrm{12,9}$ | $-12$

   $\mathrm{4,5}\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,8584}\right)$

   =

   $\mathrm{0,9}$

   |:$\mathrm{4,5}$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,8584}\right)$

   =

   $\mathrm{0,2}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.20135792079033

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,8584}$	=	$\mathrm{0,201}$	| $+\mathrm{0,8584}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{1,0594}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x1	=	$\mathrm{61,593}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,8584}\right)$ = $\mathrm{0,2}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,201}$= $\mathrm{2,94}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,8584}$	=	$\mathrm{2,94}$	| $+\mathrm{0,8584}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{3,7984}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x2	=	$\mathrm{220,8372}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 50 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 50 d nach oben und erreicht erstmals nach 61.59 d den Wert 12.9. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 220.84 d zum zweiten mal den Wert 12.9 erreicht. Während dieser 220.84 - 61.59 = 159.25 d ist der Wert der Funktion also höher als 12.9.

2. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 4.5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4.5 um 12. Somit ist der höchste Wert bei 12 h + 4.5 h = 16.5 h.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $\frac{1}{4}\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $\frac{1}{4}\pi$ = $\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\cos \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $2$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\cos (2·x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $\frac{1}{4}\pi$|0) hat.