$\text{f(x)}=$ ${\left(\sin \left(x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(\sin \left(x\right)\right)·\cos \left(x\right)$

= $2\sin \left(x\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2x·\cos \left(-4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2·1·\cos \left(-4x\right)-2x·(-\sin \left(-4x\right)·\left(-4\right))$

= $-2\cdot \cos \left(-4x\right)-2x·4\cdot \sin \left(-4x\right)$

= $-2\cdot \cos \left(-4x\right)-8x·\sin \left(-4x\right)$

= ${\left[\frac{1}{2}\cdot \sin \left(-4x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $\frac{1}{2}\cdot \sin \left(-4\cdot \pi \right)-\frac{1}{2}\cdot \sin \left(-4\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{1}{2}\cdot 0-\frac{1}{2}\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $2\pi$ ≈ $2\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{16}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $2\pi +\frac{8}{3}\pi$ = $\frac{14}{3}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 2, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $2\pi$|0) und einen bei ( $\frac{14}{3}\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|0) wird.

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-2\cdot \cos \left(3\left(x+0\right)\right)+0$ aber zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{2}{3}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 0, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $0$|-2) und einen bei ( $\frac{2}{3}\pi$|-2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in y-Richtung und um c= $1$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $1$|5).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $1$|1) wird.

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $1$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{2,571}$. und bei x₂= $1$ + $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{5,712}$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $4\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{2,571}+2\pi$ ≈ 8.854 und $\mathrm{5,712}+2\pi$ ≈ 11.995 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\mathrm{2,571}$|3) und bei ( $\mathrm{5,712}$|3) und bei (8.854|3) und bei (11.995|3)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 2.6905658417935

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(3x\right)$ = $-\mathrm{0,9}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{2,691}$
bzw. bei - $\mathrm{2,691}$+2π= $\mathrm{3,593}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,897}$; $\mathrm{1,1977}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{2}{3}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,897}$ und x₂ = $\mathrm{1,1977}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 366

1. t-Werte mit f(t) ≥ 12.8

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 12.8 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 12.8 gleich:

   $4\cdot \sin \left(\frac{1}{183}\pi \left(t-30\right)\right)+12$ = 12.8

   $4\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,515}\right)+12$ = $\mathrm{12,8}$ | $-12$

   $4\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,515}\right)$

   =

   $\mathrm{0,8}$

   |:$4$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,515}\right)$

   =

   $\mathrm{0,2}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.20135792079033

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,515}$	=	$\mathrm{0,201}$	| $+\mathrm{0,515}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{0,716}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x1	=	$\mathrm{41,6279}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,515}\right)$ = $\mathrm{0,2}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,201}$= $\mathrm{2,94}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,515}$	=	$\mathrm{2,94}$	| $+\mathrm{0,515}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{3,455}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x2	=	$\mathrm{200,8721}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 30 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 30 d nach oben und erreicht erstmals nach 41.63 d den Wert 12.8. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 200.87 d zum zweiten mal den Wert 12.8 erreicht. Während dieser 200.87 - 41.63 = 159.24 d ist der Wert der Funktion also höher als 12.8.

2. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 91.5 d.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 30 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 30 d mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 91.5 + 30 d = 121.5 d. Die Lösung ist also: 121.5 d.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $2\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $2\pi$ = $8\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $8\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\cos \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $\frac{1}{4}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\cos (\frac{1}{4}·x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $2\pi$|0) hat.