$\text{f(x)}=$ ${\left(\sin \left(x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(\sin \left(x\right)\right)·\cos \left(x\right)$

= $2\sin \left(x\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $5x·\sin \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5·1·\sin \left(-3x\right)+5x·\cos \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $5\cdot \sin \left(-3x\right)+5x·\left(-3\cdot \cos \left(-3x\right)\right)$

= $5\cdot \sin \left(-3x\right)-15x·\cos \left(-3x\right)$

= ${\left[\frac{5}{4}\cdot \cos \left(4x\right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $\frac{5}{4}\cdot \cos \left(4\cdot \pi \right)-\frac{5}{4}\cdot \cos \left(4\cdot \left(0\right)\right)$

= $\frac{5}{4}\cdot 1-\frac{5}{4}\cdot 1$

= $\frac{5}{4}-\frac{5}{4}$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{1}{2}\pi$ und $\frac{1}{4}\pi +\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{3}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-1) und einen bei ( $\frac{1}{4}\pi$|-1) und einen bei ( $\frac{1}{2}\pi$|-1) und einen bei ( $\frac{3}{4}\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|-1) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\sin \left(\frac{2}{3}\left(x+0\right)\right)-1$ aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{4}\pi$ ≈ $\frac{3}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $6\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{3}{4}\pi +3\pi$ = $\frac{15}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -1, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{4}\pi$|-2) und einen bei ( $\frac{15}{4}\pi$|-2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in y-Richtung und um c= $-3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-3$|6).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-3$ + $\frac{1}{8}\pi$ ≈ $-\mathrm{2,607}$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{1}{2}\pi$) liegt,
also x₁= $-\mathrm{2,607}+\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{0,535}$ und bei x₂= $-3$ + $\frac{3}{8}\pi$ ≈ $-\mathrm{1,822}$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{1}{2}\pi$) liegt,
also x₂= $-\mathrm{1,822}+\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{1,32}$.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\mathrm{0,535}$|3) und bei ( $\mathrm{1,32}$|3)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.8754889808103

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(x\right)$ = $-\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{1,875}$
bzw. bei - $\mathrm{1,875}$+2π= $\mathrm{4,408}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{1,875}$; $\mathrm{4,408}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $2\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{1,875}$ und x₂ = $\mathrm{4,408}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{100}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 200

2. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 150 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 10 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 10 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 150 + 10 s = 160 s. Die Lösung ist also: 160 s.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 17

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 17 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 17 gleich:

   $10\cdot \sin \left(\frac{1}{100}\pi \left(t-10\right)\right)+11$ = 17

   $10\cdot \sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,3142}\right)+11$ = $17$ | $-11$

   $10\cdot \sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,3142}\right)$

   =

   $6$

   |:$10$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,3142}\right)$

   =

   $\mathrm{0,6}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0314}x-\mathrm{0,3142}$	=	$\mathrm{0,644}$	| $+\mathrm{0,3142}$
   $\mathrm{0,0314}x$	=	$\mathrm{0,9582}$	|:$\mathrm{0,0314}$
   x1	=	$\mathrm{30,5159}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,3142}\right)$ = $\mathrm{0,6}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,644}$= $\mathrm{2,498}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0314}x-\mathrm{0,3142}$	=	$\mathrm{2,498}$	| $+\mathrm{0,3142}$
   $\mathrm{0,0314}x$	=	$\mathrm{2,8122}$	|:$\mathrm{0,0314}$
   x2	=	$\mathrm{89,5605}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 10 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 10 s nach oben und erreicht erstmals nach 30.52 s den Wert 17. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 89.56 s zum zweiten mal den Wert 17 erreicht. Während dieser 89.56 - 30.52 = 59.04 s ist der Wert der Funktion also höher als 17.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $2\cdot \sin \left(\left(a^2+4a+9\right)x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ =

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+4a+9$ wird, desto kleiner wird die Periode.

$a^2+4a+9$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+4a+9$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+4a+9$)' = $2a+4$ = 0 ⇔ a = -2

Für dieses a = -2 wird also $a^2+4a+9$ minimal und somit die Periode $\frac{2\pi }{a^2+4a+9}$ maximal .

Für a = -2 ist dann die maximale Periode p_max = $\frac{2\pi }{{\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)+9}$ = $\frac{2\pi }{4-8+9}$ = $\frac{2}{5}\pi$.