$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(5x\right)·5$

= $-15\cdot \cos \left(5x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(\frac{1}{4}\left(x+\frac{2}{3}\pi \right)\right)-3$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(\frac{1}{4}\left(x+\frac{2}{3}\pi \right)\right)·\left(\frac{1}{4}\left(1+0\right)\right)+0$

= $\cos \left(\frac{1}{4}\left(x+\frac{2}{3}\pi \right)\right)·\frac{1}{4}$

= $\frac{1}{4}\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\left(x+\frac{2}{3}\pi \right)\right)$

= ${\left[-4\cdot \sin (x+\pi )\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $-4\cdot \sin (\frac{1}{2}\pi +\pi )+4\cdot \sin (0+\pi )$

= $-4\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)+4\cdot \sin \left(\pi \right)$

= $-4\cdot \left(-1\right)+4\cdot 0$

= $4+0$

= $4$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{8}\pi$ ≈ $\frac{1}{8}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 3, also bei y=4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{8}\pi$|4)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|0) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\cos \left(\frac{1}{3}\left(x+0\right)\right)+0$ aber zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 0, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $0$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=0 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{3}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{3}\pi$|1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-\frac{1}{3}\pi$|-1) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\cos \left(\frac{1}{4}\left(x+\frac{1}{3}\pi \right)\right)+0$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{3}\pi$ + $4\pi$ ≈ $\frac{11}{3}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 0, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{11}{3}\pi$|1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.10016742116156

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\frac{1}{4}x\right)$ = $\mathrm{0,1}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,1}$= $\mathrm{3,041}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,4}$; $\mathrm{12,164}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $8\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,4}$ und x₂ = $\mathrm{12,164}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $2\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 1

2. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 0.25 s.

   Die Lösung ist also: 0.25 s.

3. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 75 nach oben und eine Amplitude von a = 30 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 30 um 75. Somit ist der höchste Wert bei 75 cm + 30 cm = 105 cm.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode.
Wegen des Minus vor dem Sinus wird ja aber der Graph an der x-Achse gespiegelt, so dass der Hochpunkt zum Tiefpunkt wird. Also ist hier der erste Tiefpunkt nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $\pi$ = $4\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $4\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $-\sin \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $\frac{1}{2}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $-\sin (\frac{1}{2}·x)$ seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( $\pi$|-1) hat.