$\text{f(x)}=$ $-4x·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-4·1·\cos \left(x\right)-4x·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-4\cdot \cos \left(x\right)+4x·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5x^2·\cos \left(-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-5·2x·\cos \left(-5x\right)-5x^2·(-\sin \left(-5x\right)·\left(-5\right))$

= $-10x·\cos \left(-5x\right)-5x^2·5\cdot \sin \left(-5x\right)$

= $-10x·\cos \left(-5x\right)-25x^2·\sin \left(-5x\right)$

= ${\left[\frac{3}{2}\cdot \sin \left(-2x\right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{3}{2}\cdot \sin \left(-2\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)-\frac{3}{2}\cdot \sin \left(-2\cdot \left(0\right)\right)$

= $\frac{3}{2}\cdot 0-\frac{3}{2}\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{8}\pi$ ≈ $\frac{3}{8}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 2, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{8}\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|1) wird.

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-3\cdot \cos \left(3\left(x+0\right)\right)+1$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{3}\pi$ ≈ $\frac{1}{3}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{3}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über 1, also bei y=4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{3}\pi$|4) und einen bei ( $\pi$|4)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{3}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{3}\pi$|-1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $-\frac{1}{3}\pi$|-1) wird.

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-3\cdot \sin \left(x+\frac{1}{3}\pi \right)-1$ aber nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{3}\pi$ + $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\frac{7}{6}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $4\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{7}{6}\pi +2\pi$ = $\frac{19}{6}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -1, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{7}{6}\pi$|2) und bei ( $\frac{19}{6}\pi$|2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.77539749661075

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\frac{3}{4}x\right)$ = $\mathrm{0,7}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,775}$= $\mathrm{2,366}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{1,0333}$; $\mathrm{3,1547}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{8}{3}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{1,0333}$ und x₂ = $\mathrm{3,1547}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{30}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 60

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 20 nach oben und eine Amplitude von a = 18 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 18 um 20. Somit ist der tiefste Wert bei 20 m - 18 m = 2 m.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 25.4

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 25.4 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 25.4 gleich:

   $18\cdot \sin \left(\frac{1}{30}\pi \left(t-20\right)\right)+20$ = 25.4

   $18\cdot \sin \left(\mathrm{0,1047}t-\mathrm{2,0944}\right)+20$ = $\mathrm{25,4}$ | $-20$

   $18\cdot \sin \left(\mathrm{0,1047}t-\mathrm{2,0944}\right)$

   =

   $\mathrm{5,4}$

   |:$18$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,1047}t-\mathrm{2,0944}\right)$

   =

   $\mathrm{0,3}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

   1. Fall:

   $\mathrm{0,1047}x-\mathrm{2,0944}$	=	$\mathrm{0,305}$	| $+\mathrm{2,0944}$
   $\mathrm{0,1047}x$	=	$\mathrm{2,3994}$	|:$\mathrm{0,1047}$
   x1	=	$\mathrm{22,9169}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,1047}t-\mathrm{2,0944}\right)$ = $\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,305}$= $\mathrm{2,837}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,1047}x-\mathrm{2,0944}$	=	$\mathrm{2,837}$	| $+\mathrm{2,0944}$
   $\mathrm{0,1047}x$	=	$\mathrm{4,9314}$	|:$\mathrm{0,1047}$
   x2	=	$\mathrm{47,1003}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 20 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 20 s nach oben und erreicht erstmals nach 22.92 s den Wert 25.4. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 47.1 s zum zweiten mal den Wert 25.4 erreicht. Während dieser 47.1 - 22.92 = 24.18 s ist der Wert der Funktion also höher als 25.4.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-\sin \left(\frac{1}{a^2-2a+4}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2-2a+4\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-2a+4$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2-2a+4$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-2a+4$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-2a+4$)' = $2a-2$ = 0 ⇔ a = 1

Für dieses a = 1 wird also $a^2-2a+4$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2-2a+4\right)$ minimal .

Für a = 1 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left(1^2-2\cdot 1+4\right)$ = $2\pi ·\left(1-2+4\right)$ = $6\pi$.