$\text{f(x)}=$ ${\left(\cos \left(3x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(\cos \left(3x\right)\right)·(-\sin \left(3x\right)·3)$

= $2\left(\cos \left(3x\right)\right)·\left(-3\cdot \sin \left(3x\right)\right)$

= $-6\cos \left(3x\right)·\sin \left(3x\right)$

= $-6\sin \left(3x\right)·\cos \left(3x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3x·\sin \left(-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3·1·\sin \left(-5x\right)-3x·\cos \left(-5x\right)·\left(-5\right)$

= $-3\cdot \sin \left(-5x\right)-3x·\left(-5\cdot \cos \left(-5x\right)\right)$

= $-3\cdot \sin \left(-5x\right)+15x·\cos \left(-5x\right)$

= ${\left[-\frac{3}{5}\cdot \sin \left(5x\right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\frac{3}{5}\cdot \sin \left(5\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)+\frac{3}{5}\cdot \sin \left(5\cdot \left(0\right)\right)$

= $-\frac{3}{5}\cdot \left(-1\right)+\frac{3}{5}\cdot 0$

= $\frac{3}{5}+0$

= $\frac{3}{5}+0$

= $\frac{3}{5}$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\pi$ ≈ $\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über 1, also bei y=4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\pi$|4)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|-2) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-3\cdot \cos \left(\frac{1}{3}\left(x+0\right)\right)-2$ aber zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter -2, also bei y=-5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $0$|-5)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=0 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{2}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{2}\pi$|2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-\frac{1}{2}\pi$|-2) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-2\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)+0$ aber zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{2}\pi$ + $0$ ≈ $-\frac{1}{2}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $8\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{1}{2}\pi +4\pi$ ≈ $\frac{7}{2}\pi$.

Weil das gesuchte Interval [0; $8\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{7}{2}\pi +4\pi$ = $\frac{15}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 0, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{7}{2}\pi$|-2) und bei ( $\frac{15}{2}\pi$|-2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

L={ $\frac{2}{3}\pi$}

Die einzige Nullstelle in der Periode [0; $\frac{8}{3}\pi$) ist also bei x = $\frac{2}{3}\pi$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{2}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 4

2. t-Werte mit f(t) ≥ 98

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 98 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 98 gleich:

   $30\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi t\right)+80$ = 98

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{1,5708}t\right)+80$ = $98$ | $-80$

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{1,5708}t\right)$

   =

   $18$

   |:$30$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{1,5708}t\right)$

   =

   $\mathrm{0,6}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

   1. Fall:

   $\mathrm{1,5708}x$	=	$\mathrm{0,644}$	|:$\mathrm{1,5708}$
   x1	=	$\mathrm{0,41}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{1,5708}t\right)$ = $\mathrm{0,6}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,644}$= $\mathrm{2,498}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{1,5708}x$	=	$\mathrm{2,498}$	|:$\mathrm{1,5708}$
   x2	=	$\mathrm{1,5903}$

   Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.41 s den Wert 98. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 1.59 s zum zweiten mal den Wert 98 erreicht. Während dieser 1.59 - 0.41 = 1.18 s ist der Wert der Funktion also höher als 98.

3. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 1 s.

   Die Lösung ist also: 1 s.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode.
Wegen des Minus vor dem Sinus wird ja aber der Graph an der x-Achse gespiegelt, so dass der Hochpunkt zum Tiefpunkt wird. Also ist hier der erste Tiefpunkt nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $2$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $2$ = $8$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $8$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $-\sin \left(a\pi x\right)$ das b ja $a\pi$ ist, muss also a = $\frac{1}{4}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $-\sin (\frac{1}{4}·\pi x)$ seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( $2$|-1) hat.