Aufgabenbeispiele von Trigonometrie
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Ableiten von trigonometrischen Funktionen
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)
Beispiel:
Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).
Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1=
≈
. .
Weil das gesuchte Interval [0; ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch = eine Lösung.
Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 3, also bei y=2.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( |2) und einen bei ( |2)
Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF
Beispiel:
Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|1).
Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1=
≈
. und bei x2=
≈
. .
Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( |1) und einen bei ( |1)
Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)
Beispiel:
Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in y-Richtung und um c= nach rechts verschoben ist.
Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( |3).
Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1=
+
≈
. und bei x2=
+
≈
. .
Weil das gesuchte Interval [0; ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch = und = eine Lösung.
Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( |2) und bei ( |2) und bei ( |2) und bei ( |2)
Nullstellen mit dem WTR
Beispiel:
Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; [.
Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
| = | |: |
| = | |cos-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert 1.1592794807274
1. Fall:
| = | |⋅ 3 | ||
| = | |: | ||
| x1 | = |
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung = noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt)
bei -
bzw. bei -
+2π=
liegen muss.
2. Fall:
| = | |⋅ 3 | ||
| = | |: | ||
| x2 | = |
L={ ; }
Die Nullstellen in der Periode [0;
) sind also
bei x1 =
und x2 =
.
trigon. Anwendungsaufgabe 2
Beispiel:
An einem bestimmten Ort kann man die Durchschnittstemperatur zur Uhrzeit t (in h) durch die Funktion f mit (0 < t ≤ 24) näherungsweise angeben.
- Zu welcher Uhrzeit ist es am kältesten?
- Wie lange (in Stunden) ist es wärmer als 19°C?
- Wie groß ist die höchste Temperatur?
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:
Somit gilt für die Periodenlänge: p = = = 24
- t-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.
Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 8 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 8 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 8 h = 26 h. Weil aber 26 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 26 - 24 = 2 h. Die Lösung ist also: 2 Uhr.
- t-Werte mit f(t) ≥ 19
Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 19 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 19 gleich:
= 195 ⋅ sin ( 1 12 π ( t - 8 ) ) + 17 5 ⋅ sin ( 0,2618 t - 2,0944 ) + 17 = 19 | - 17 5 ⋅ sin ( 0,2618 t - 2,0944 ) = 2 |: 5 sin ( 0,2618 t - 2,0944 ) = 0,4 |sin-1(⋅) Der WTR liefert nun als Wert 0.41151684606749
1. Fall:
0,2618 x - 2,0944 = 0,412 | + 2,0944 0,2618 x = 2,5064 |: 0,2618 x1 = 9,5737 Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
=sin ( 0,2618 t - 2,0944 ) noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).0,4 Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π -
=0,412 liegen muss.2,73 2. Fall:
0,2618 x - 2,0944 = 2,73 | + 2,0944 0,2618 x = 4,8244 |: 0,2618 x2 = 18,4278 Da die Sinus-Funktion ja um 8 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 8 h nach oben und erreicht erstmals nach 9.57 h den Wert 19. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 18.43 h zum zweiten mal den Wert 19 erreicht. Während dieser 18.43 - 9.57 = 8.86 h ist der Wert der Funktion also höher als 19.
- y-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 17 nach oben und eine Amplitude von a = 5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 5 um 17. Somit ist der höchste Wert bei 17 ° C + 5 ° C = 22 ° C.
Parameter für best. Periode finden
Beispiel:
Untersuche, ob es einen maximalen oder minimalen Wert für die Periode von fa mit
Bestimme das zugehörige a und die extremale Periode.
Wir berechnen zuerst die Periode von fa mit
p =
Man erkennt jetzt gut, dass je größer
Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:
(
Für dieses a = 3 wird also
Für a = 3 ist dann die maximale Periode pmax
=
