Aufgabenbeispiele von Trigonometrie

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Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 x · cos( 2x ) und vereinfache:

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f(x)= 5 x · cos( 2x )

f'(x)= 5 · 1 · cos( 2x ) +5 x · ( - sin( 2x ) · 2 )

= 5 cos( 2x ) +5 x · ( -2 sin( 2x ) )

= 5 cos( 2x ) -10 x · sin( 2x )

Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= cos( 4x ) und vereinfache:

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f(x)= cos( 4x )

f'(x)= - sin( 4x ) · 4

= -4 sin( 4x )

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π π 5 cos( x - 1 2 π) x .

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1 2 π π 5 cos( x - 1 2 π) x

= [ 5 sin( x - 1 2 π) ] 1 2 π π

= 5 sin( π - 1 2 π) -5 sin( 1 2 π - 1 2 π)

= 5 sin( 1 2 π) -5 sin(0)

= 51 -50

= 5 +0

= 5

Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= 3 sin( 1 3 x ) -1 im Intervall [0; 6π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b= 1 3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 3 = 6π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= 9 2 π 9 2 π . .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter -1, also bei y=-4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( 9 2 π |-4)

Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= 3 sin( 2 3 x ) -3 im Intervall [0; 3π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b= 2 3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 2 3 = 3π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= 9 4 π 9 4 π . .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter -3, also bei y=-6.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( 9 4 π |-6)

Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit f(x)= -2 cos( x -3 ) -2 im Intervall [0; 4π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= 3 nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( 3 |0).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( 3 |-4) wird.

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 = 2π

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion -2 cos( x -3 ) -2 aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x1= 3 + π 6,142 . .

Weil das gesuchte Interval [0; 4π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 6,142 +2π ≈ 12.425 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über -2, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( 6,142 |0) und bei (12.425|0)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= -2 sin( 4x ) -1,8 innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; 1 2 π [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

-2 sin( 4x ) -1,8 = 0 | +1,8
-2 sin( 4x ) = 1,8 |:-2
canvas
sin( 4x ) = -0,9 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -1.1197695149986

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 5,163

1. Fall:

4x = 5,163 |:4
x1 = 1,2908

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 4x ) = -0,9 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5,163 =-2.0214 bzw. bei -2.0214+2π= 4,261 liegen muss.

2. Fall:

4x = 4,261 |:4
x2 = 1,0653

L={ 1,0653 ; 1,2908 }

Die Nullstellen in der Periode [0; 1 2 π ) sind also
bei x1 = 1,0653 und x2 = 1,2908 .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

Bei einem Riesenrad kann man die Höhe einer Gondel (in m) über dem Erdboden zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 10 sin( 1 80 π ( t -40 )) +13 (0 < t ≤ 160) angeben.

  1. Bestimme die Zeit (in s), die eine Gondel für eine Umdrehung braucht.
  2. Wie lange (in Sekunden) hat das Riesenrad eine Höhe von mindestens 17 m?
  3. Zu welcher Zeit (in s) ist die Gondel am höchsten?

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  1. Periodenlänge

    Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = 1 80 π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

    Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π 1 80 π = 160

  2. t-Werte mit f(t) ≥ 17

    Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 17 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 17 gleich:

    10 sin( 1 80 π ( t -40 )) +13 = 17

    10 sin( 0,0393t -1,5708 ) +13 = 17 | -13
    10 sin( 0,0393t -1,5708 ) = 4 |:10
    canvas
    sin( 0,0393t -1,5708 ) = 0,4 |sin-1(⋅)

    Der WTR liefert nun als Wert 0.41151684606749

    1. Fall:

    0,0393x -1,5708 = 0,412 | +1,5708
    0,0393x = 1,9828 |:0,0393
    x1 = 50,4529

    Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 0,0393t -1,5708 ) = 0,4 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

    Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0,412 = 2,73 liegen muss.

    2. Fall:

    0,0393x -1,5708 = 2,73 | +1,5708
    0,0393x = 4,3008 |:0,0393
    x2 = 109,4351

    Da die Sinus-Funktion ja um 40 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 40 s nach oben und erreicht erstmals nach 50.45 s den Wert 17. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 109.44 s zum zweiten mal den Wert 17 erreicht. Während dieser 109.44 - 50.45 = 58.99 s ist der Wert der Funktion also höher als 17.

  3. t-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 40 s.

    Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 40 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 40 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 40 + 40 s = 80 s. Die Lösung ist also: 80 s.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph fa mit fa(x)= sin( a π x ) seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( 9 2 |-1), (also den Tiefpunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer 3 4 Periode. Es gilt somit 3 4 ⋅p = 9 2 |⋅ 4 3

Demnach muss also die Periode p = 4 3 9 2 = 6 lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = b also 6 = b nach b auflösen:

6 = b |⋅b : 6

b = 2π 6 = 1 3 π

Da bei sin( a π x ) das b ja a π ist, muss also a = 1 3 sein,
damit der Graph von f 1 3 (x)= sin( 1 3 · π x ) seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( 9 2 |-1) hat.