$\text{f(x)}=$ $\sin \left(\frac{3}{4}\left(x-1\right)\right)+2$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(\frac{3}{4}\left(x-1\right)\right)·\left(\frac{3}{4}\left(1+0\right)\right)+0$

= $\cos \left(\frac{3}{4}\left(x-1\right)\right)·\left(\frac{3}{4}\left(1\right)\right)$

= $\frac{3}{4}\cdot \cos \left(\frac{3}{4}\left(x-1\right)\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(\frac{2}{3}\left(x+\frac{1}{3}\pi \right)\right)+2$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(\frac{2}{3}\left(x+\frac{1}{3}\pi \right)\right)·\left(\frac{2}{3}\left(1+0\right)\right)+0$

= $\cos \left(\frac{2}{3}\left(x+\frac{1}{3}\pi \right)\right)·\frac{2}{3}$

= $\frac{2}{3}\cdot \cos \left(\frac{2}{3}\left(x+\frac{1}{3}\pi \right)\right)$

= ${\left[-2\cdot \sin \left(x\right)\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $-2\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)+2\cdot \sin \left(0\right)$

= $-2\cdot 1+2\cdot 0$

= $-2+0$

= $-2$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $6\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+3\pi$ = $3\pi$ und $\frac{3}{2}\pi +3\pi$ = $\frac{9}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|1) und einen bei ( $\frac{3}{2}\pi$|1) und einen bei ( $3\pi$|1) und einen bei ( $\frac{9}{2}\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. und bei x₂= $\frac{3}{4}\pi$ ≈ $\frac{3}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{4}\pi$|2) und einen bei ( $\frac{3}{4}\pi$|2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $-\frac{2}{3}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{2}{3}\pi$|-1).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-\frac{2}{3}\pi$ + $\pi$ ≈ $\frac{1}{3}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -2, also bei y=-3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{1}{3}\pi$|-3)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 2.0943951023932

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(4x\right)$ = $-\mathrm{0,5}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{2}{3}\pi$
bzw. bei - $\frac{2}{3}\pi$+2π= $\frac{4}{3}\pi$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\frac{1}{6}\pi$; $\frac{1}{3}\pi$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{1}{2}\pi$) sind also
bei x₁ = $\frac{1}{6}\pi$ und x₂ = $\frac{1}{3}\pi$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{2}{3}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 3

2. t-Werte mit f(t) ≥ 102

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 102 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 102 gleich:

   $30\cdot \sin \left(\frac{2}{3}\pi t\right)+90$ = 102

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{2,0944}t\right)+90$ = $102$ | $-90$

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{2,0944}t\right)$

   =

   $12$

   |:$30$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{2,0944}t\right)$

   =

   $\mathrm{0,4}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.41151684606749

   1. Fall:

   $\mathrm{2,0944}x$	=	$\mathrm{0,412}$	|:$\mathrm{2,0944}$
   x1	=	$\mathrm{0,1967}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{2,0944}t\right)$ = $\mathrm{0,4}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,412}$= $\mathrm{2,73}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{2,0944}x$	=	$\mathrm{2,73}$	|:$\mathrm{2,0944}$
   x2	=	$\mathrm{1,3035}$

   Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.2 s den Wert 102. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 1.3 s zum zweiten mal den Wert 102 erreicht. Während dieser 1.3 - 0.2 = 1.1 s ist der Wert der Funktion also höher als 102.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(\frac{1}{a^2+2a+5}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2+2a+5\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+2a+5$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2+2a+5$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+2a+5$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+2a+5$)' = $2a+2$ = 0 ⇔ a = -1

Für dieses a = -1 wird also $a^2+2a+5$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2+2a+5\right)$ minimal .

Für a = -1 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left({\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)+5\right)$ = $2\pi ·\left(1-2+5\right)$ = $8\pi$.