Aufgabenbeispiele von Trigonometrie
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Ableiten von trigonometrischen Funktionen
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)
Beispiel:
Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).
Mit Hilfe von b= und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x1=
Weil das gesuchte Interval [0;
Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -2, also bei y=-1.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei (
Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF
Beispiel:
Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|1).
Mit Hilfe von b=
p=
Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x1=
Weil das gesuchte Interval [0;
Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 1, also bei y=3.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei (
Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)
Beispiel:
Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in
y-Richtung und um c=
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(
Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x)
nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P
ein fallender Wendepunkt in P(
Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=
p=
Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1=
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren,
damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0;
also x1=
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren,
damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0;
also x2=
Weil das gesuchte Interval [0;
Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei (
Nullstellen mit dem WTR
Beispiel:
Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit
Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
|
|
= | |cos-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert 2.3461938234056
1. Fall:
|
|
= |
|
|⋅ 4 |
|
|
= |
|
|: |
| x1 | = |
|
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt)
bei -
bzw. bei -
2. Fall:
|
|
= |
|
|⋅ 4 |
|
|
= |
|
|: |
| x2 | = |
|
L={
Die Nullstellen in der Periode [0;
bei x1 =
trigon. Anwendungsaufgabe 2
Beispiel:
An einem bestimmten Ort kann die Zeit (in h) zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang t Tage nach Beobachtungsbeginn näherungsweise durch die Funktion f mit
- Wie lange (in Tagen) haben die Tage eine Länge von mindestens 13,4 h?
- Wie viele Tage nach Beobachtungsbeginn ist der Tag am längsten?
- Bestimme die maximale Zeit zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang (in h).
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b =
Somit gilt für die Periodenlänge: p =
- t-Werte mit f(t) ≥ 13.4
Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 13.4 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 13.4 gleich:
= 13.43,5 ⋅ sin ( 1 183 π ( t - 60 ) ) + 12 3,5 ⋅ sin ( 0,0172 t - 1,03 ) + 12 = 13,4 | - 12 3,5 ⋅ sin ( 0,0172 t - 1,03 ) = 1,4 |: 3,5 sin ( 0,0172 t - 1,03 ) = 0,4 |sin-1(⋅) Der WTR liefert nun als Wert 0.41151684606749
1. Fall:
0,0172 x - 1,03 = 0,412 | + 1,03 0,0172 x = 1,442 |: 0,0172 x1 = 83,8372 Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
=sin ( 0,0172 t - 1,03 ) noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).0,4 Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π -
=0,412 liegen muss.2,73 2. Fall:
0,0172 x - 1,03 = 2,73 | + 1,03 0,0172 x = 3,76 |: 0,0172 x2 = 218,6047 Da die Sinus-Funktion ja um 60 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 60 d nach oben und erreicht erstmals nach 83.84 d den Wert 13.4. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 218.6 d zum zweiten mal den Wert 13.4 erreicht. Während dieser 218.6 - 83.84 = 134.76 d ist der Wert der Funktion also höher als 13.4.
- t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 91.5 d.
Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 60 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 60 d mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 91.5 + 60 d = 151.5 d. Die Lösung ist also: 151.5 d.
- y-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 3.5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 3.5 um 12. Somit ist der höchste Wert bei 12 h + 3.5 h = 15.5 h.
Parameter für best. Periode finden
Beispiel:
Untersuche, ob es einen maximalen oder minimalen Wert für die Periode von fa mit
Bestimme das zugehörige a und die extremale Periode.
Wir berechnen zuerst die Periode von fa mit
p =
Man erkennt jetzt gut, dass je größer
Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:
(
Für dieses a = 0 wird also
Für a = 0 ist dann die maximale Periode pmax
=
