$\text{f(x)}=$ $-5x^2·\cos \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-5·2x·\cos \left(5x\right)-5x^2·(-\sin \left(5x\right)·5)$

= $-10x·\cos \left(5x\right)-5x^2·\left(-5\cdot \sin \left(5x\right)\right)$

= $-10x·\cos \left(5x\right)+25x^2·\sin \left(5x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(\frac{1}{4}(x+\pi )\right)+1$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(\frac{1}{4}(x+\pi )\right)·\left(\frac{1}{4}\left(1+0\right)\right)+0$

= $\cos \left(\frac{1}{4}(x+\pi )\right)·\frac{1}{4}$

= $\frac{1}{4}\cdot \cos \left(\frac{1}{4}(x+\pi )\right)$

= ${\left[-\frac{4}{5}\cdot \cos \left(-5x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\frac{4}{5}\cdot \cos \left(-5\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)+\frac{4}{5}\cdot \cos \left(-5\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-\frac{4}{5}\cdot 0+\frac{4}{5}\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $6\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+3\pi$ = $3\pi$ und $\frac{3}{2}\pi +3\pi$ = $\frac{9}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-2) und einen bei ( $\frac{3}{2}\pi$|-2) und einen bei ( $3\pi$|-2) und einen bei ( $\frac{9}{2}\pi$|-2)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|-1) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\sin \left(\frac{1}{4}\left(x+0\right)\right)-1$ aber nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $6\pi$ ≈ $6\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -1, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $6\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $-2$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-2$|-2).

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-2$ + $0$ ≈ $-2$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $3\pi$) liegt,
also x₁= $-2+3\pi$ ≈ $\mathrm{7,425}$ und bei x₂= $-2$ + $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{2,712}$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\mathrm{7,425}$|-2) und bei ( $\mathrm{2,712}$|-2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.6709637479565

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(3x\right)$ = $-\mathrm{0,1}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{1,671}$
bzw. bei - $\mathrm{1,671}$+2π= $\mathrm{4,612}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,557}$; $\mathrm{1,5373}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{2}{3}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,557}$ und x₂ = $\mathrm{1,5373}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 2

2. t-Werte mit f(t) ≥ 79

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 79 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 79 gleich:

   $30\cdot \sin \left(\pi t\right)+70$ = 79

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{3,1416}t\right)+70$ = $79$ | $-70$

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{3,1416}t\right)$

   =

   $9$

   |:$30$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{3,1416}t\right)$

   =

   $\mathrm{0,3}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

   1. Fall:

   $\mathrm{3,1416}x$	=	$\mathrm{0,305}$	|:$\mathrm{3,1416}$
   x1	=	$\mathrm{0,0971}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{3,1416}t\right)$ = $\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,305}$= $\mathrm{2,837}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{3,1416}x$	=	$\mathrm{2,837}$	|:$\mathrm{3,1416}$
   x2	=	$\mathrm{0,903}$

   Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.1 s den Wert 79. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 0.9 s zum zweiten mal den Wert 79 erreicht. Während dieser 0.9 - 0.1 = 0.8 s ist der Wert der Funktion also höher als 79.

3. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 0.5 s.

   Die Lösung ist also: 0.5 s.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode.
Wegen des Minus vor dem Sinus wird ja aber der Graph an der x-Achse gespiegelt, so dass der Hochpunkt zum Tiefpunkt wird. Also ist hier der erste Tiefpunkt nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $3$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $3$ = $12$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $12$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $-\sin \left(a\pi x\right)$ das b ja $a\pi$ ist, muss also a = $\frac{1}{6}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $-\sin (\frac{1}{6}·\pi x)$ seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( $3$|-1) hat.