$\text{f(x)}=$ $2{\left(\cos \left(3x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $4\left(\cos \left(3x\right)\right)·(-\sin \left(3x\right)·3)$

= $4\left(\cos \left(3x\right)\right)·\left(-3\cdot \sin \left(3x\right)\right)$

= $-12\cos \left(3x\right)·\sin \left(3x\right)$

= $-12\sin \left(3x\right)·\cos \left(3x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5x^2·\sin \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-5·2x·\sin \left(-3x\right)-5x^2·\cos \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $-10x·\sin \left(-3x\right)-5x^2·\left(-3\cdot \cos \left(-3x\right)\right)$

= $-10x·\sin \left(-3x\right)+15x^2·\cos \left(-3x\right)$

= ${\left[\sin \left(-2x\right)\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $\sin \left(-2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)-\sin \left(-2\cdot \left(0\right)\right)$

= $0-0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-2) und einen bei ( $\frac{1}{4}\pi$|-2)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|-2) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $3\pi$ ≈ $3\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-2) und einen bei ( $3\pi$|-2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $2$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $2$|2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $2$|-4) wird.

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $2$ + $\frac{1}{6}\pi$ ≈ $\mathrm{2,524}$.
Weil diese Stelle aber größer als die Periode ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode davon abziehen, damit der x-Wert in der ersten Periode liegt, also x₁= $\mathrm{2,524}-\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\mathrm{0,43}$ und bei x₂= $2$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{3,571}$.
Weil diese Stelle aber größer als die Periode ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode davon abziehen, damit der x-Wert in der ersten Periode liegt, also x₂= $\mathrm{3,571}-\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\mathrm{1,477}$.

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{0,43}+\frac{2}{3}\pi$ ≈ 2.524 und $\mathrm{1,477}+\frac{2}{3}\pi$ ≈ 3.571 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\mathrm{0,43}$|-1) und bei ( $\mathrm{1,477}$|-1) und bei (2.524|-1) und bei (3.571|-1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.2661036727795

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{1}{3}x\right)$ = $\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{1,266}$
bzw. bei - $\mathrm{1,266}$+2π= $\mathrm{5,017}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{3,798}$; $\mathrm{15,051}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $6\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{3,798}$ und x₂ = $\mathrm{15,051}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 24

1. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 8 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 8 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 8 h = 26 h. Weil aber 26 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 26 - 24 = 2 h. Die Lösung ist also: 2 Uhr.

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 21 nach oben und eine Amplitude von a = 6 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 6 um 21. Somit ist der tiefste Wert bei 21 ° C - 6 ° C = 15 ° C.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 25.8

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 25.8 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 25.8 gleich:

   $6\cdot \sin \left(\frac{1}{12}\pi \left(t-8\right)\right)+21$ = 25.8

   $6\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,0944}\right)+21$ = $\mathrm{25,8}$ | $-21$

   $6\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,0944}\right)$

   =

   $\mathrm{4,8}$

   |:$6$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,0944}\right)$

   =

   $\mathrm{0,8}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

   1. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,0944}$	=	$\mathrm{0,927}$	| $+\mathrm{2,0944}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{3,0214}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x1	=	$\mathrm{11,5409}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,0944}\right)$ = $\mathrm{0,8}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,927}$= $\mathrm{2,214}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,0944}$	=	$\mathrm{2,214}$	| $+\mathrm{2,0944}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{4,3084}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x2	=	$\mathrm{16,4568}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 8 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 8 h nach oben und erreicht erstmals nach 11.54 h den Wert 25.8. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 16.46 h zum zweiten mal den Wert 25.8 erreicht. Während dieser 16.46 - 11.54 = 4.92 h ist der Wert der Funktion also höher als 25.8.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $1$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $1$ = $4$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $4$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\sin \left(a\pi x\right)$ das b ja $a\pi$ ist, muss also a = $\frac{1}{2}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\sin (\frac{1}{2}·\pi x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $1$|1) hat.