$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \sin \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $-12\cdot \sin \left(-3x\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(\frac{1}{4}\left(x+\frac{2}{3}\pi \right)\right)-2$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\left(x+\frac{2}{3}\pi \right)\right)·\left(\frac{1}{4}\left(1+0\right)\right)+0$

= $3\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\left(x+\frac{2}{3}\pi \right)\right)·\frac{1}{4}$

= $\frac{3}{4}\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\left(x+\frac{2}{3}\pi \right)\right)$

= ${\left[-\sin \left(-2x\right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\sin \left(-2\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)+\sin \left(-2\cdot \left(0\right)\right)$

= $-0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $4\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{2}\pi +2\pi$ = $\frac{5}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -2, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{2}\pi$|1) und einen bei ( $\frac{5}{2}\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $\pi$ ≈ $\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $4\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\pi +2\pi$ = $3\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -3, also bei y=-4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\pi$|-4) und einen bei ( $3\pi$|-4)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung und um c= $1$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $1$|3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $1$|3) wird.

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $1$ + $0$ ≈ $1$. und bei x₂= $1$ + $\frac{1}{3}\pi$ ≈ $\mathrm{2,047}$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $1+\frac{2}{3}\pi$ ≈ 3.094 und $\mathrm{2,047}+\frac{2}{3}\pi$ ≈ 4.141 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $1$|3) und bei ( $\mathrm{2,047}$|3) und bei (3.094|3) und bei (4.141|3)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 2.2142974355882

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(2x\right)$ = $-\mathrm{0,6}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{2,214}$
bzw. bei - $\mathrm{2,214}$+2π= $\mathrm{4,069}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{1,107}$; $\mathrm{2,0345}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{1,107}$ und x₂ = $\mathrm{2,0345}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{2}{3}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 3

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 80 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 80. Somit ist der tiefste Wert bei 80 cm - 15 cm = 65 cm.

3. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 80 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 80. Somit ist der höchste Wert bei 80 cm + 15 cm = 95 cm.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $1$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $1$ = $4$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $4$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $-\cos \left(a\pi x\right)$ das b ja $a\pi$ ist, muss also a = $\frac{1}{2}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $-\cos (\frac{1}{2}·\pi x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $1$|0) hat.