$\text{f(x)}=$ $5x·\cos \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5·1·\cos \left(-2x\right)+5x·(-\sin \left(-2x\right)·\left(-2\right))$

= $5\cdot \cos \left(-2x\right)+5x·2\cdot \sin \left(-2x\right)$

= $5\cdot \cos \left(-2x\right)+10x·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(4x+1\right)-2$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \sin \left(4x+1\right)·\left(4+0\right)+0$

= $3\cdot \sin \left(4x+1\right)·\left(4\right)$

= $12\cdot \sin \left(4x+1\right)$

= ${\left[5\cdot \sin \left(-x\right)\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $5\cdot \sin \left(-\left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)-5\cdot \sin \left(-\left(0\right)\right)$

= $5\cdot \left(-1\right)-5\cdot 0$

= $-5+0$

= $-5$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{4}\pi$ ≈ $\frac{3}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $6\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{3}{4}\pi +3\pi$ = $\frac{15}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über 0, also bei y=3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{3}{4}\pi$|3) und einen bei ( $\frac{15}{4}\pi$|3)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|-3) wird.

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-3\cdot \cos \left(3\left(x+0\right)\right)-3$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{3}\pi$ ≈ $\frac{1}{3}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -3, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{3}\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung und um c= $-2$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-2$|0).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-2$ + $0$ ≈ $-2$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{2}{3}\pi$) liegt,
also x₁= $-2+\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\mathrm{0,094}$ und bei x₂= $-2$ + $\frac{1}{3}\pi$ ≈ $-\mathrm{0,953}$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{2}{3}\pi$) liegt,
also x₂= $-\mathrm{0,953}+\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\mathrm{1,141}$.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\mathrm{0,094}$|0) und bei ( $\mathrm{1,141}$|0)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.45102681179626

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{1}{3}x\right)$ = $\mathrm{0,9}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{0,451}$
bzw. bei - $\mathrm{0,451}$+2π= $\mathrm{5,832}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{1,353}$; $\mathrm{17,496}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $6\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{1,353}$ und x₂ = $\mathrm{17,496}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{100}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 200

2. t-Werte mit f(t) ≥ 27.2

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 27.2 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 27.2 gleich:

   $18\cdot \sin \left(\frac{1}{100}\pi \left(t-30\right)\right)+20$ = 27.2

   $18\cdot \sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,9425}\right)+20$ = $\mathrm{27,2}$ | $-20$

   $18\cdot \sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,9425}\right)$

   =

   $\mathrm{7,2}$

   |:$18$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,9425}\right)$

   =

   $\mathrm{0,4}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.41151684606749

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0314}x-\mathrm{0,9425}$	=	$\mathrm{0,412}$	| $+\mathrm{0,9425}$
   $\mathrm{0,0314}x$	=	$\mathrm{1,3545}$	|:$\mathrm{0,0314}$
   x1	=	$\mathrm{43,1369}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,9425}\right)$ = $\mathrm{0,4}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,412}$= $\mathrm{2,73}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0314}x-\mathrm{0,9425}$	=	$\mathrm{2,73}$	| $+\mathrm{0,9425}$
   $\mathrm{0,0314}x$	=	$\mathrm{3,6725}$	|:$\mathrm{0,0314}$
   x2	=	$\mathrm{116,9586}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 30 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 30 s nach oben und erreicht erstmals nach 43.14 s den Wert 27.2. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 116.96 s zum zweiten mal den Wert 27.2 erreicht. Während dieser 116.96 - 43.14 = 73.82 s ist der Wert der Funktion also höher als 27.2.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $\frac{1}{8}\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $\frac{1}{8}\pi$ = $\frac{1}{2}\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\cos \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $4$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\cos (4·x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $\frac{1}{8}\pi$|0) hat.