$\text{f(x)}=$ ${\left(\sin \left(x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(\sin \left(x\right)\right)·\cos \left(x\right)$

= $2\sin \left(x\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\cdot \cos \left(-x+4\right)-5x$

$\text{f'(x)}=$ $-4\cdot \sin \left(-x+4\right)·\left(-1+0\right)-5$

= $-4\cdot \sin \left(-x+4\right)·\left(-1\right)-5$

= $4\cdot \sin \left(-x+4\right)-5$

= ${\left[-5\cdot \cos \left(x-\frac{1}{2}\pi \right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-5\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi -\frac{1}{2}\pi \right)+5\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi -\frac{1}{2}\pi \right)$

= $-5\cdot \cos \left(\pi \right)+5\cdot \cos \left(0\right)$

= $-5\cdot \left(-1\right)+5\cdot 1$

= $5+5$

= $10$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $12\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{3}{2}\pi +6\pi$ = $\frac{15}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über 3, also bei y=6.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{3}{2}\pi$|6) und einen bei ( $\frac{15}{2}\pi$|6)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|-1) wird.

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. und bei x₂= $\frac{3}{4}\pi$ ≈ $\frac{3}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $2\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{4}\pi +\pi$ = $\frac{5}{4}\pi$ und $\frac{3}{4}\pi +\pi$ = $\frac{7}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{4}\pi$|-1) und einen bei ( $\frac{3}{4}\pi$|-1) und einen bei ( $\frac{5}{4}\pi$|-1) und einen bei ( $\frac{7}{4}\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung und um c= $-2$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-2$|4).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-2$|-2) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-3\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\left(x+2\right)\right)+1$ aber zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $-2$ + $0$ ≈ $-2$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $16\pi$) liegt,
also x₁= $-2+8\pi$ ≈ $\mathrm{23,133}$.

Weil das gesuchte Interval [0; $16\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{23,133}+8\pi$ ≈ 48.266 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 1, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\mathrm{23,133}$|-2) und bei (48.266|-2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.1197695149986

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\frac{1}{2}x\right)$ = $\mathrm{0,9}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{1,12}$= $\mathrm{2,022}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{2,24}$; $\mathrm{4,044}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $4\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{2,24}$ und x₂ = $\mathrm{4,044}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 24

1. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 10 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 10 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 10 h = 28 h. Weil aber 28 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 28 - 24 = 4 h. Die Lösung ist also: 4 Uhr.

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 13 nach oben und eine Amplitude von a = 5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 5 um 13. Somit ist der tiefste Wert bei 13 ° C - 5 ° C = 8 ° C.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 13.5

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 13.5 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 13.5 gleich:

   $5\cdot \sin \left(\frac{1}{12}\pi \left(t-10\right)\right)+13$ = 13.5

   $5\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,618}\right)+13$ = $\mathrm{13,5}$ | $-13$

   $5\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,618}\right)$

   =

   $\mathrm{0,5}$

   |:$5$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,618}\right)$

   =

   $\mathrm{0,1}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.10016742116156

   1. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,618}$	=	$\mathrm{0,1}$	| $+\mathrm{2,618}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{2,718}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x1	=	$\mathrm{10,382}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,618}\right)$ = $\mathrm{0,1}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,1}$= $\mathrm{3,041}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,618}$	=	$\mathrm{3,041}$	| $+\mathrm{2,618}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{5,659}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x2	=	$\mathrm{21,6157}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 10 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 10 h nach oben und erreicht erstmals nach 10.38 h den Wert 13.5. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 21.62 h zum zweiten mal den Wert 13.5 erreicht. Während dieser 21.62 - 10.38 = 11.24 h ist der Wert der Funktion also höher als 13.5.

4. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 6 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 10 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 10 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 6 + 10 h = 16 h. Die Lösung ist also: 16 Uhr.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $3\cdot \cos \left(\frac{1}{a^2+4}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2+4\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+4$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2+4$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+4$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+4$)' = $2a$ = 0 ⇔ a = 0

Für dieses a = 0 wird also $a^2+4$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2+4\right)$ minimal .

Für a = 0 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left(0^2+4\right)$ = $2\pi ·\left(0+4\right)$ = $8\pi$.