$\text{f(x)}=$ $3{\left(\cos \left(x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $6\left(\cos \left(x\right)\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-6\cos \left(x\right)·\sin \left(x\right)$

= $-6\sin \left(x\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(-x-1\right)-2x^2$

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \sin \left(-x-1\right)·\left(-1+0\right)-4x$

= $4\cdot \sin \left(-x-1\right)·\left(-1\right)-4x$

= $-4\cdot \sin \left(-x-1\right)-4x$

= ${\left[\frac{2}{3}\cdot \cos \left(-3x\right)\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $\frac{2}{3}\cdot \cos \left(-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)-\frac{2}{3}\cdot \cos \left(-3\cdot \left(0\right)\right)$

= $\frac{2}{3}\cdot 0-\frac{2}{3}\cdot 1$

= $0-\frac{2}{3}$

= $0-\frac{2}{3}$

= $-\frac{2}{3}$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\pi$ ≈ $\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|2) und einen bei ( $\pi$|2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|0) wird.

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. und bei x₂= $\frac{3}{4}\pi$ ≈ $\frac{3}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{4}\pi$|0) und einen bei ( $\frac{3}{4}\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{2}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{2}\pi$|-1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $-\frac{1}{2}\pi$|-1) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{2}\pi$ + $0$ ≈ $-\frac{1}{2}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $8\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{1}{2}\pi +4\pi$ ≈ $\frac{7}{2}\pi$ und bei x₂= $-\frac{1}{2}\pi$ + $2\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $8\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{7}{2}\pi +4\pi$ = $\frac{15}{2}\pi$ und $\frac{3}{2}\pi +4\pi$ = $\frac{11}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{7}{2}\pi$|-1) und bei ( $\frac{3}{2}\pi$|-1) und bei ( $\frac{15}{2}\pi$|-1) und bei ( $\frac{11}{2}\pi$|-1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.20135792079033

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\frac{1}{4}x\right)$ = $\mathrm{0,2}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,201}$= $\mathrm{2,94}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,804}$; $\mathrm{11,76}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $8\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,804}$ und x₂ = $\mathrm{11,76}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{70}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 140

2. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 105 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 40 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 40 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 105 + 40 s = 145 s. Weil aber 145 nicht im gesuchten Intervall [0;140] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 145 - 140 = 5 s. Die Lösung ist also: 5 s.

3. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 18 nach oben und eine Amplitude von a = 16 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 16 um 18. Somit ist der tiefste Wert bei 18 m - 16 m = 2 m.

4. t-Werte mit f(t) ≥ 29.2

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 29.2 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 29.2 gleich:

   $16\cdot \sin \left(\frac{1}{70}\pi \left(t-40\right)\right)+18$ = 29.2

   $16\cdot \sin \left(\mathrm{0,0449}t-\mathrm{1,7952}\right)+18$ = $\mathrm{29,2}$ | $-18$

   $16\cdot \sin \left(\mathrm{0,0449}t-\mathrm{1,7952}\right)$

   =

   $\mathrm{11,2}$

   |:$16$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0449}t-\mathrm{1,7952}\right)$

   =

   $\mathrm{0,7}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.77539749661075

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0449}x-\mathrm{1,7952}$	=	$\mathrm{0,775}$	| $+\mathrm{1,7952}$
   $\mathrm{0,0449}x$	=	$\mathrm{2,5702}$	|:$\mathrm{0,0449}$
   x1	=	$\mathrm{57,2428}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0449}t-\mathrm{1,7952}\right)$ = $\mathrm{0,7}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,775}$= $\mathrm{2,366}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0449}x-\mathrm{1,7952}$	=	$\mathrm{2,366}$	| $+\mathrm{1,7952}$
   $\mathrm{0,0449}x$	=	$\mathrm{4,1612}$	|:$\mathrm{0,0449}$
   x2	=	$\mathrm{92,6771}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 40 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 40 s nach oben und erreicht erstmals nach 57.24 s den Wert 29.2. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 92.68 s zum zweiten mal den Wert 29.2 erreicht. Während dieser 92.68 - 57.24 = 35.44 s ist der Wert der Funktion also höher als 29.2.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $1$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $1$ = $4$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $4$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\sin \left(a\pi x\right)$ das b ja $a\pi$ ist, muss also a = $\frac{1}{2}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\sin (\frac{1}{2}·\pi x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $1$|1) hat.