Aufgabenbeispiele von Trigonometrie

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -2 cos( 5x ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -2 cos( 5x )

f'(x)= 2 sin( 5x ) · 5

= 10 sin( 5x )

Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 sin( 3x -2 ) -4 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 2 sin( 3x -2 ) -4

f'(x)= 2 cos( 3x -2 ) · ( 3 +0 )+0

= 2 cos( 3x -2 ) · ( 3 )

= 6 cos( 3x -2 )

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π 3 2 π -5 cos( -3x ) x .

Lösung einblenden
1 2 π 3 2 π -5 cos( -3x ) x

= [ 5 3 sin( -3x ) ] 1 2 π 3 2 π

= 5 3 sin( -3( 3 2 π ) ) - 5 3 sin( -3( 1 2 π ) )

= 5 3 ( -1 ) - 5 3 1

= - 5 3 - 5 3

= - 10 3


≈ -3,333

Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= sin( 1 3 x ) -3 im Intervall [0; 12π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b= 1 3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 3 = 6π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= 9 2 π 9 2 π . .

Weil das gesuchte Interval [0; 12π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 9 2 π+6π = 21 2 π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -3, also bei y=-4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( 9 2 π |-4) und einen bei ( 21 2 π |-4)

Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit f(x)= 2 cos( 3 4 x ) +1 im Intervall [0; 16 3 π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b= 3 4 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 3 4 = 8 3 π

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x1= 0 0 . .

Weil das gesuchte Interval [0; 16 3 π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 0 + 8 3 π = 8 3 π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 1, also bei y=3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( 0 |3) und einen bei ( 8 3 π |3)

Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit f(x)= 3 sin(3( x + π)) -2 im Intervall [0; 2 3 π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= -π nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( -π |-2).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 3 = 2 3 π

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x1= -π + 1 6 π - 5 6 π .
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; 2 3 π ) liegt,
also x1= - 5 6 π + 2 3 π + 2 3 π 1 2 π .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -2, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( 1 2 π |1)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= - sin( 1 4 x ) -0,7 innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; 8π [.

Lösung einblenden

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

- sin( 1 4 x ) -0,7 = 0 | +0,7
- sin( 1 4 x ) = 0,7 |:-1
canvas
sin( 1 4 x ) = -0,7 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.77539749661075

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 5,508

1. Fall:

1 4 x = 5,508 |⋅ 4
x1 = 22,032

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 1 4 x ) = -0,7 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5,508 =-2.3664 bzw. bei -2.3664+2π= 3,917 liegen muss.

2. Fall:

1 4 x = 3,917 |⋅ 4
x2 = 15,668

L={ 15,668 ; 22,032 }

Die Nullstellen in der Periode [0; 8π ) sind also
bei x1 = 15,668 und x2 = 22,032 .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

Bei einem Riesenrad kann man die Höhe einer Gondel (in m) über dem Erdboden zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 15 sin( 1 60 π ( t -40 )) +16 (0 < t ≤ 120) angeben.

  1. Bestimme die Zeit (in s), die eine Gondel für eine Umdrehung braucht.
  2. Wie hoch ist die Gondel an ihrem tiefsten Punkt über dem Erdboden?
  3. Wie lange (in Sekunden) hat das Riesenrad eine Höhe von mindestens 20,5 m?
  4. Zu welcher Zeit (in s) gewinnt die Gondel am stärksten an Höhe?

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
  1. Periodenlänge

    Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = 1 60 π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

    Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π 1 60 π = 120

  2. y-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 16 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 16. Somit ist der tiefste Wert bei 16 m - 15 m = 1 m.

  3. t-Werte mit f(t) ≥ 20.5

    Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 20.5 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 20.5 gleich:

    15 sin( 1 60 π ( t -40 )) +16 = 20.5

    15 sin( 0,0524t -2,0944 ) +16 = 20,5 | -16
    15 sin( 0,0524t -2,0944 ) = 4,5 |:15
    canvas
    sin( 0,0524t -2,0944 ) = 0,3 |sin-1(⋅)

    Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

    1. Fall:

    0,0524x -2,0944 = 0,305 | +2,0944
    0,0524x = 2,3994 |:0,0524
    x1 = 45,7901

    Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 0,0524t -2,0944 ) = 0,3 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

    Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0,305 = 2,837 liegen muss.

    2. Fall:

    0,0524x -2,0944 = 2,837 | +2,0944
    0,0524x = 4,9314 |:0,0524
    x2 = 94,1107

    Da die Sinus-Funktion ja um 40 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 40 s nach oben und erreicht erstmals nach 45.79 s den Wert 20.5. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 94.11 s zum zweiten mal den Wert 20.5 erreicht. Während dieser 94.11 - 45.79 = 48.32 s ist der Wert der Funktion also höher als 20.5.

  4. t-Wert beim stärksten Zuwachs

    Gesucht ist die Stelle mit der größten Zunahme, also der maximalen Steigung. Die maximale und minimale Tangentensteigungen befinden sich immer in den Wendepunkten. Hier ist der Wendepunkt mit der positiven Steigung gesucht. Dieser ist bei einer Sinus-Funktion aber immer zu Beginn der Periode, also nach 0 s.

    Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 40 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 40 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren steigenden Wendepunkt nach 40 s. Die Lösung ist also: 40 s.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Untersuche, ob es einen maximalen oder minimalen Wert für die Periode von fa mit fa(x)= sin( 1 a 2 +3 x ) gibt.

Bestimme das zugehörige a und die extremale Periode.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst die Periode von fa mit fa(x)= sin( 1 a 2 +3 x ) :

p = b = 1 a 2 +3 = 2π · ( a 2 +3 )

Man erkennt jetzt gut, dass je größer a 2 +3 wird, desto größer wird auch die Periode.

a 2 +3 ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat a 2 +3 also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( a 2 +3 )' = 2a = 0 ⇔ a = 0

Für dieses a = 0 wird also a 2 +3 minimal und somit auch die Periode 2π · ( a 2 +3 ) minimal .

Für a = 0 ist dann die minimale Periode pmin = 2π · ( 0 2 +3 ) = 2π · ( 0 +3 ) = 6π .