$\text{f(x)}=$ ${\left(\sin \left(x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(\sin \left(x\right)\right)·\cos \left(x\right)$

= $2\sin \left(x\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(2x-4\right)+x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(2x-4\right)·\left(2+0\right)+2x$

= $-3\cdot \cos \left(2x-4\right)·\left(2\right)+2x$

= $-6\cdot \cos \left(2x-4\right)+2x$

= ${\left[\frac{1}{2}\cdot \cos \left(4x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{1}{2}\cdot \cos \left(4\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)-\frac{1}{2}\cdot \cos \left(4\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{1}{2}\cdot 1-\frac{1}{2}\cdot 1$

= $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{2}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{7}{6}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter -1, also bei y=-4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{1}{2}\pi$|-4) und einen bei ( $\frac{7}{6}\pi$|-4)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|-2) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\sin \left(\frac{1}{4}\left(x+0\right)\right)-2$ aber nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $6\pi$ ≈ $6\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -2, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $6\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{2}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{2}\pi$|2).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{2}\pi$ + $0$ ≈ $-\frac{1}{2}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $2\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{1}{2}\pi +\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$ und bei x₂= $-\frac{1}{2}\pi$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ 0. .

Weil das gesuchte Interval [0; $2\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{2}\pi +\pi$ = $\frac{3}{2}\pi$ und $0+\pi$ = $\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{2}\pi$|2) und bei (0|2) und bei ( $\frac{3}{2}\pi$|2) und bei ( $\pi$|2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert -0.64350110879328

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\mathrm{5,64}$

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\frac{1}{2}x\right)$ = $-\mathrm{0,6}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{5,64}$=-2.4984 bzw. bei -2.4984+2π= $\mathrm{3,785}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{7,57}$; $\mathrm{11,28}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $4\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{7,57}$ und x₂ = $\mathrm{11,28}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{70}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 140

2. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 105 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 20 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 20 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 105 + 20 s = 125 s. Die Lösung ist also: 125 s.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 25.4

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 25.4 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 25.4 gleich:

   $18\cdot \sin \left(\frac{1}{70}\pi \left(t-20\right)\right)+20$ = 25.4

   $18\cdot \sin \left(\mathrm{0,0449}t-\mathrm{0,8976}\right)+20$ = $\mathrm{25,4}$ | $-20$

   $18\cdot \sin \left(\mathrm{0,0449}t-\mathrm{0,8976}\right)$

   =

   $\mathrm{5,4}$

   |:$18$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0449}t-\mathrm{0,8976}\right)$

   =

   $\mathrm{0,3}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0449}x-\mathrm{0,8976}$	=	$\mathrm{0,305}$	| $+\mathrm{0,8976}$
   $\mathrm{0,0449}x$	=	$\mathrm{1,2026}$	|:$\mathrm{0,0449}$
   x1	=	$\mathrm{26,784}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0449}t-\mathrm{0,8976}\right)$ = $\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,305}$= $\mathrm{2,837}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0449}x-\mathrm{0,8976}$	=	$\mathrm{2,837}$	| $+\mathrm{0,8976}$
   $\mathrm{0,0449}x$	=	$\mathrm{3,7346}$	|:$\mathrm{0,0449}$
   x2	=	$\mathrm{83,1759}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 20 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 20 s nach oben und erreicht erstmals nach 26.78 s den Wert 25.4. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 83.18 s zum zweiten mal den Wert 25.4 erreicht. Während dieser 83.18 - 26.78 = 56.4 s ist der Wert der Funktion also höher als 25.4.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(\left(a^2-4a+6\right)x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ =

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-4a+6$ wird, desto kleiner wird die Periode.

$a^2-4a+6$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-4a+6$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-4a+6$)' = $2a-4$ = 0 ⇔ a = 2

Für dieses a = 2 wird also $a^2-4a+6$ minimal und somit die Periode $\frac{2\pi }{a^2-4a+6}$ maximal .

Für a = 2 ist dann die maximale Periode p_max = $\frac{2\pi }{2^2-4\cdot 2+6}$ = $\frac{2\pi }{4-8+6}$ = $\pi$.