$\text{f(x)}=$ $5x·\sin \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5·1·\sin \left(3x\right)+5x·\cos \left(3x\right)·3$

= $5\cdot \sin \left(3x\right)+5x·3\cdot \cos \left(3x\right)$

= $5\cdot \sin \left(3x\right)+15x·\cos \left(3x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\cdot \sin \left(-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-5\cdot \cos \left(-5x\right)·\left(-5\right)$

= $25\cdot \cos \left(-5x\right)$

= ${\left[-\frac{5}{4}\cdot \sin \left(4x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $-\frac{5}{4}\cdot \sin \left(4\cdot \pi \right)+\frac{5}{4}\cdot \sin \left(4\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-\frac{5}{4}\cdot 0+\frac{5}{4}\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{2}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{7}{6}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 1, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{1}{2}\pi$|0) und einen bei ( $\frac{7}{6}\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\frac{2}{3}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über 2, also bei y=5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{2}{3}\pi$|5)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in y-Richtung und um c= $3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $3$|5).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $3$ + $\frac{1}{6}\pi$ ≈ $\mathrm{3,524}$.
Weil diese Stelle aber größer als die Periode ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode davon abziehen, damit der x-Wert in der ersten Periode liegt, also x₁= $\mathrm{3,524}-\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\mathrm{1,43}$ und bei x₂= $3$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{4,571}$.
Weil diese Stelle aber größer als die Periode ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode davon abziehen, damit der x-Wert in der ersten Periode liegt, also x₂= $\mathrm{4,571}-\frac{2}{3}\pi -\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\mathrm{0,382}$.

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{1,43}+\frac{2}{3}\pi$ ≈ 3.524 und $\mathrm{0,382}+\frac{2}{3}\pi$ ≈ 2.476 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\mathrm{1,43}$|2) und bei ( $\mathrm{0,382}$|2) und bei (3.524|2) und bei (2.476|2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(x\right)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $\pi$ liegen muss.

2. Fall:

L={0; $\pi$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $2\pi$) sind also
bei x₁ = 0 und x₂ = $\pi$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{2}{3}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 3

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 85 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 85. Somit ist der tiefste Wert bei 85 cm - 15 cm = 70 cm.

3. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 0.75 s.

   Die Lösung ist also: 0.75 s.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(\frac{1}{a^2-2a+3}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2-2a+3\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-2a+3$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2-2a+3$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-2a+3$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-2a+3$)' = $2a-2$ = 0 ⇔ a = 1

Für dieses a = 1 wird also $a^2-2a+3$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2-2a+3\right)$ minimal .

Für a = 1 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left(1^2-2\cdot 1+3\right)$ = $2\pi ·\left(1-2+3\right)$ = $4\pi$.