$\text{f(x)}=$ ${\left(\sin \left(2x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(\sin \left(2x\right)\right)·\cos \left(2x\right)·2$

= $2\left(\sin \left(2x\right)\right)·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $4\sin \left(2x\right)·\cos \left(2x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(\frac{1}{3}\left(x-3\right)\right)+2$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(\frac{1}{3}\left(x-3\right)\right)·\left(\frac{1}{3}\left(1+0\right)\right)+0$

= $\cos \left(\frac{1}{3}\left(x-3\right)\right)·\left(\frac{1}{3}\left(1\right)\right)$

= $\frac{1}{3}\cdot \cos \left(\frac{1}{3}\left(x-3\right)\right)$

= ${\left[\frac{1}{4}\cdot \sin \left(-4x\right)\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $\frac{1}{4}\cdot \sin \left(-4\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)-\frac{1}{4}\cdot \sin \left(-4\cdot \left(0\right)\right)$

= $\frac{1}{4}\cdot 0-\frac{1}{4}\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $3\pi$ ≈ $3\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter -1, also bei y=-4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $3\pi$|-4)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $8\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+4\pi$ = $4\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 3, also bei y=5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $0$|5) und einen bei ( $4\pi$|5)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $2$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $2$|-2).

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $2$ + $0$ ≈ $2$. und bei x₂= $2$ + $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{6,712}$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $6\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $2+3\pi$ ≈ 11.425 und $\mathrm{6,712}+3\pi$ ≈ 16.137 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $2$|-2) und bei ( $\mathrm{6,712}$|-2) und bei (11.425|-2) und bei (16.137|-2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert -0.92729521800161

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\mathrm{5,356}$

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(3x\right)$ = $-\mathrm{0,8}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{5,356}$=-2.2144 bzw. bei -2.2144+2π= $\mathrm{4,069}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{1,3563}$; $\mathrm{1,7853}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{2}{3}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{1,3563}$ und x₂ = $\mathrm{1,7853}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 366

1. t-Werte mit f(t) ≥ 16.05

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 16.05 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 16.05 gleich:

   $\mathrm{4,5}\cdot \sin \left(\frac{1}{183}\pi \left(t-30\right)\right)+12$ = 16.05

   $\mathrm{4,5}\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,515}\right)+12$ = $\mathrm{16,05}$ | $-12$

   $\mathrm{4,5}\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,515}\right)$

   =

   $\mathrm{4,05}$

   |:$\mathrm{4,5}$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,515}\right)$

   =

   $\mathrm{0,9}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 1.1197695149986

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,515}$	=	$\mathrm{1,12}$	| $+\mathrm{0,515}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{1,635}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x1	=	$\mathrm{95,0581}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,515}\right)$ = $\mathrm{0,9}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{1,12}$= $\mathrm{2,022}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,515}$	=	$\mathrm{2,022}$	| $+\mathrm{0,515}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{2,537}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x2	=	$\mathrm{147,5}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 30 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 30 d nach oben und erreicht erstmals nach 95.06 d den Wert 16.05. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 147.5 d zum zweiten mal den Wert 16.05 erreicht. Während dieser 147.5 - 95.06 = 52.44 d ist der Wert der Funktion also höher als 16.05.

2. t-Wert bei der stärksten Abnahme

   Gesucht ist die Stelle mit der größten Abnahme, also der minimalen Steigung. Die maximale und minimale Tangentensteigungen befinden sich immer in den Wendepunkten. Hier ist der Wendepunkt mit der negativen Steigung gesucht. Dieser ist bei einer Sinus-Funktion aber immer genau nach einer halben Periode, also nach 183 d.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 30 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 30 d mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren fallenenden Wendepunkt nach 183 + 30 d = 213 d. Die Lösung ist also: 213 d.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $3\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $3\pi$ = $12\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $12\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\cos \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $\frac{1}{6}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\cos (\frac{1}{6}·x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $3\pi$|0) hat.