$\text{f(x)}=$ $x·\sin \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $1·\sin \left(5x\right)+x·\cos \left(5x\right)·5$

= $\sin \left(5x\right)+x·5\cdot \cos \left(5x\right)$

= $\sin \left(5x\right)+5x·\cos \left(5x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $1·\sin \left(-2x\right)+x·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $\sin \left(-2x\right)+x·\left(-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right)$

= $\sin \left(-2x\right)-2x·\cos \left(-2x\right)$

= ${\left[5\cdot \sin \left(x\right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $5\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)-5\cdot \sin \left(0\right)$

= $5\cdot \left(-1\right)-5\cdot 0$

= $-5+0$

= $-5$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $4\pi$ ≈ $4\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|3) und einen bei ( $4\pi$|3)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|3) wird.

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-3\cdot \cos \left(3\left(x+0\right)\right)+3$ aber zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{2}{3}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 3, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $0$|0) und einen bei ( $\frac{2}{3}\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{3}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{3}\pi$|1).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{3}\pi$ + $\frac{1}{6}\pi$ ≈ $-\frac{1}{6}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{4}{3}\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{1}{6}\pi +\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$.

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{2}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{7}{6}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 1, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{2}\pi$|2) und bei ( $\frac{7}{6}\pi$|2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(3x\right)$ = $\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,305}$= $\mathrm{2,837}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,1017}$; $\mathrm{0,9457}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{2}{3}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,1017}$ und x₂ = $\mathrm{0,9457}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 2

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 75 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 75. Somit ist der tiefste Wert bei 75 cm - 15 cm = 60 cm.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $2\cdot \cos \left(\left(a^2+2a+6\right)x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ =

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+2a+6$ wird, desto kleiner wird die Periode.

$a^2+2a+6$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+2a+6$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+2a+6$)' = $2a+2$ = 0 ⇔ a = -1

Für dieses a = -1 wird also $a^2+2a+6$ minimal und somit die Periode $\frac{2\pi }{a^2+2a+6}$ maximal .

Für a = -1 ist dann die maximale Periode p_max = $\frac{2\pi }{{\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)+6}$ = $\frac{2\pi }{1-2+6}$ = $\frac{2}{5}\pi$.