$\text{f(x)}=$ $-5x^2·\sin \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-5·2x·\sin \left(3x\right)-5x^2·\cos \left(3x\right)·3$

= $-10x·\sin \left(3x\right)-5x^2·3\cdot \cos \left(3x\right)$

= $-10x·\sin \left(3x\right)-15x^2·\cos \left(3x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \sin \left(-x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(-x\right)·\left(-1\right)$

= $4\cdot \cos \left(-x\right)$

= ${\left[\cos \left(-4x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $\cos \left(-4\cdot \pi \right)-\cos \left(-4\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $1-1$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\pi$ ≈ $\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über 1, also bei y=4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\pi$|4)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|3) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-2\cdot \cos \left(\frac{3}{4}\left(x+0\right)\right)+3$ aber zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{16}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\frac{8}{3}\pi$ = $\frac{8}{3}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 3, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $0$|1) und einen bei ( $\frac{8}{3}\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $-\frac{2}{3}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{2}{3}\pi$|1).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{2}{3}\pi$ + $\pi$ ≈ $\frac{1}{3}\pi$. und bei x₂= $-\frac{2}{3}\pi$ + $3\pi$ ≈ $\frac{7}{3}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $8\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{3}\pi +4\pi$ = $\frac{13}{3}\pi$ und $\frac{7}{3}\pi +4\pi$ = $\frac{19}{3}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{3}\pi$|-2) und bei ( $\frac{7}{3}\pi$|-2) und bei ( $\frac{13}{3}\pi$|-2) und bei ( $\frac{19}{3}\pi$|-2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.1197695149986

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\frac{1}{4}x\right)$ = $\mathrm{0,9}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{1,12}$= $\mathrm{2,022}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{4,48}$; $\mathrm{8,088}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $8\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{4,48}$ und x₂ = $\mathrm{8,088}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{100}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 200

2. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 150 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 20 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 20 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 150 + 20 s = 170 s. Die Lösung ist also: 170 s.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 22

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 22 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 22 gleich:

   $10\cdot \sin \left(\frac{1}{100}\pi \left(t-20\right)\right)+13$ = 22

   $10\cdot \sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,6283}\right)+13$ = $22$ | $-13$

   $10\cdot \sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,6283}\right)$

   =

   $9$

   |:$10$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,6283}\right)$

   =

   $\mathrm{0,9}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 1.1197695149986

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0314}x-\mathrm{0,6283}$	=	$\mathrm{1,12}$	| $+\mathrm{0,6283}$
   $\mathrm{0,0314}x$	=	$\mathrm{1,7483}$	|:$\mathrm{0,0314}$
   x1	=	$\mathrm{55,6783}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,6283}\right)$ = $\mathrm{0,9}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{1,12}$= $\mathrm{2,022}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0314}x-\mathrm{0,6283}$	=	$\mathrm{2,022}$	| $+\mathrm{0,6283}$
   $\mathrm{0,0314}x$	=	$\mathrm{2,6503}$	|:$\mathrm{0,0314}$
   x2	=	$\mathrm{84,4045}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 20 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 20 s nach oben und erreicht erstmals nach 55.68 s den Wert 22. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 84.4 s zum zweiten mal den Wert 22 erreicht. Während dieser 84.4 - 55.68 = 28.72 s ist der Wert der Funktion also höher als 22.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $1$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $1$ = $4$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $4$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\sin \left(a\pi x\right)$ das b ja $a\pi$ ist, muss also a = $\frac{1}{2}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\sin (\frac{1}{2}·\pi x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $1$|1) hat.