Aufgabenbeispiele von Trigonometrie
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Ableiten von trigonometrischen Funktionen
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)
Beispiel:
Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).
Mit Hilfe von b= und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1=
Weil das gesuchte Interval [0;
Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei (
Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF
Beispiel:
Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).
Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|0) wird.
Mit Hilfe von b=
p=
Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1=
Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei (
Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)
Beispiel:
Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in
y-Richtung und um c=
Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(
Mit Hilfe von b=
p=
Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1=
Weil das gesuchte Interval [0;
Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei (
Nullstellen mit dem WTR
Beispiel:
Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit
Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
|
|
= | |sin-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert -0.5235987755983
Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen,
addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so
1. Fall:
|
|
= |
|
|⋅ 3 |
| x1 | = |
|
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt,
also π -
2. Fall:
|
|
= |
|
|⋅ 3 |
| x2 | = |
|
L={
Die Nullstellen in der Periode [0;
bei x1 =
trigon. Anwendungsaufgabe 2
Beispiel:
Bei einem Riesenrad kann man die Höhe einer Gondel (in m) über dem Erdboden zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit
- Bestimme die Zeit (in s), die eine Gondel für eine Umdrehung braucht.
- Zu welcher Zeit (in s) ist die Gondel am tiefsten Punkt?
- Wie hoch ist die Gondel an ihrem tiefsten Punkt über dem Erdboden?
- Wie lange (in Sekunden) hat das Riesenrad eine Höhe von mindestens 34 m?
- Zu welcher Zeit (in s) ist die Gondel am höchsten?
- Periodenlänge
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b =
herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:1 50 π Somit gilt für die Periodenlänge: p =
=2 π b = 1002 π 1 50 π - t-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 75 s.
Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 20 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 20 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 75 + 20 s = 95 s. Die Lösung ist also: 95 s.
- y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 22 nach oben und eine Amplitude von a = 20 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 20 um 22. Somit ist der tiefste Wert bei 22 m - 20 m = 2 m.
- t-Werte mit f(t) ≥ 34
Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 34 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 34 gleich:
= 3420 ⋅ sin ( 1 50 π ( t - 20 ) ) + 22 20 ⋅ sin ( 0,0628 t - 1,2566 ) + 22 = 34 | - 22 20 ⋅ sin ( 0,0628 t - 1,2566 ) = 12 |: 20 sin ( 0,0628 t - 1,2566 ) = 0,6 |sin-1(⋅) Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328
1. Fall:
0,0628 x - 1,2566 = 0,644 | + 1,2566 0,0628 x = 1,9006 |: 0,0628 x1 = 30,2643 Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
=sin ( 0,0628 t - 1,2566 ) noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).0,6 Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π -
=0,644 liegen muss.2,498 2. Fall:
0,0628 x - 1,2566 = 2,498 | + 1,2566 0,0628 x = 3,7546 |: 0,0628 x2 = 59,7866 Da die Sinus-Funktion ja um 20 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 20 s nach oben und erreicht erstmals nach 30.26 s den Wert 34. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 59.79 s zum zweiten mal den Wert 34 erreicht. Während dieser 59.79 - 30.26 = 29.53 s ist der Wert der Funktion also höher als 34.
- t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 25 s.
Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 20 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 20 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 25 + 20 s = 45 s. Die Lösung ist also: 45 s.
Parameter für best. Periode finden
Beispiel:
Untersuche, ob es einen maximalen oder minimalen Wert für die Periode von fa mit
Bestimme das zugehörige a und die extremale Periode.
Wir berechnen zuerst die Periode von fa mit
p =
Man erkennt jetzt gut, dass je größer
Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:
(
Für dieses a = -2 wird also
Für a = -2 ist dann die minimale Periode pmin
=
