$\text{f(x)}=$ ${\left(\cos \left(x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(\cos \left(x\right)\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-2\cos \left(x\right)·\sin \left(x\right)$

= $-2\sin \left(x\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-x·\cos \left(-x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-1·\cos \left(-x\right)-x·(-\sin \left(-x\right)·\left(-1\right))$

= $-\cos \left(-x\right)-x·\sin \left(-x\right)$

= ${\left[-\frac{5}{3}\cdot \sin \left(3x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $-\frac{5}{3}\cdot \sin \left(3\cdot \pi \right)+\frac{5}{3}\cdot \sin \left(3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-\frac{5}{3}\cdot 0+\frac{5}{3}\cdot \left(-1\right)$

= $0-\frac{5}{3}$

= $0-\frac{5}{3}$

= $-\frac{5}{3}$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 2, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{2}\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|-2) wird.

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\sin \left(2\left(x+0\right)\right)-2$ aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $2\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{4}\pi +\pi$ = $\frac{5}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -2, also bei y=-3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{1}{4}\pi$|-3) und einen bei ( $\frac{5}{4}\pi$|-3)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{4}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{4}\pi$|5).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-\frac{1}{4}\pi$|1) wird.

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{4}\pi$ + $\frac{1}{8}\pi$ ≈ $-\frac{1}{8}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{1}{8}\pi +\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{3}{8}\pi$ und bei x₂= $-\frac{1}{4}\pi$ + $\frac{3}{8}\pi$ ≈ $\frac{1}{8}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{3}{8}\pi +\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{7}{8}\pi$ und $\frac{1}{8}\pi +\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{5}{8}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{3}{8}\pi$|3) und bei ( $\frac{1}{8}\pi$|3) und bei ( $\frac{7}{8}\pi$|3) und bei ( $\frac{5}{8}\pi$|3)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{1}{2}x\right)$ = $\mathrm{0,5}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{3}\pi$
bzw. bei - $\frac{1}{3}\pi$+2π= $\frac{5}{3}\pi$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\frac{2}{3}\pi$; $\frac{10}{3}\pi$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $4\pi$) sind also
bei x₁ = $\frac{2}{3}\pi$ und x₂ = $\frac{10}{3}\pi$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{2}{3}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 3

2. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 70 nach oben und eine Amplitude von a = 30 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 30 um 70. Somit ist der höchste Wert bei 70 cm + 30 cm = 100 cm.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-\sin \left(\frac{1}{a^2-6a+14}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2-6a+14\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-6a+14$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2-6a+14$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-6a+14$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-6a+14$)' = $2a-6$ = 0 ⇔ a = 3

Für dieses a = 3 wird also $a^2-6a+14$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2-6a+14\right)$ minimal .

Für a = 3 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left(3^2-6\cdot 3+14\right)$ = $2\pi ·\left(9-18+14\right)$ = $10\pi$.