$\text{f(x)}=$ $2{\left(\cos \left(2x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $4\left(\cos \left(2x\right)\right)·(-\sin \left(2x\right)·2)$

= $4\left(\cos \left(2x\right)\right)·\left(-2\cdot \sin \left(2x\right)\right)$

= $-8\cos \left(2x\right)·\sin \left(2x\right)$

= $-8\sin \left(2x\right)·\cos \left(2x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(2x+2\right)+4$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \sin \left(2x+2\right)·\left(2+0\right)+0$

= $3\cdot \sin \left(2x+2\right)·\left(2\right)$

= $6\cdot \sin \left(2x+2\right)$

= ${\left[\frac{3}{5}\cdot \cos \left(-5x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $\frac{3}{5}\cdot \cos \left(-5\cdot \pi \right)-\frac{3}{5}\cdot \cos \left(-5\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{3}{5}\cdot \left(-1\right)-\frac{3}{5}\cdot 0$

= $-\frac{3}{5}+0$

= $-\frac{3}{5}+0$

= $-\frac{3}{5}$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{2}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{7}{6}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter -1, also bei y=-3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{1}{2}\pi$|-3) und einen bei ( $\frac{7}{6}\pi$|-3)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{3}\pi$ ≈ $\frac{1}{3}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{3}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter -1, also bei y=-3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{1}{3}\pi$|-3) und einen bei ( $\pi$|-3)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in y-Richtung und um c= $-\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\pi$|6).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-\pi$|0) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-\pi$ + $\pi$ ≈ 0. und bei x₂= $-\pi$ + $3\pi$ ≈ $2\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei (0|3) und bei ( $2\pi$|3)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

L={ $\frac{3}{2}\pi$}

Die einzige Nullstelle in der Periode [0; $2\pi$) ist also bei x = $\frac{3}{2}\pi$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{100}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 200

2. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 150 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 10 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 10 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 150 + 10 s = 160 s. Die Lösung ist also: 160 s.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 15

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 15 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 15 gleich:

   $10\cdot \sin \left(\frac{1}{100}\pi \left(t-10\right)\right)+13$ = 15

   $10\cdot \sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,3142}\right)+13$ = $15$ | $-13$

   $10\cdot \sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,3142}\right)$

   =

   $2$

   |:$10$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,3142}\right)$

   =

   $\mathrm{0,2}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.20135792079033

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0314}x-\mathrm{0,3142}$	=	$\mathrm{0,201}$	| $+\mathrm{0,3142}$
   $\mathrm{0,0314}x$	=	$\mathrm{0,5152}$	|:$\mathrm{0,0314}$
   x1	=	$\mathrm{16,4076}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,3142}\right)$ = $\mathrm{0,2}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,201}$= $\mathrm{2,94}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0314}x-\mathrm{0,3142}$	=	$\mathrm{2,94}$	| $+\mathrm{0,3142}$
   $\mathrm{0,0314}x$	=	$\mathrm{3,2542}$	|:$\mathrm{0,0314}$
   x2	=	$\mathrm{103,6369}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 10 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 10 s nach oben und erreicht erstmals nach 16.41 s den Wert 15. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 103.64 s zum zweiten mal den Wert 15 erreicht. Während dieser 103.64 - 16.41 = 87.23 s ist der Wert der Funktion also höher als 15.

4. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 50 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 10 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 10 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 50 + 10 s = 60 s. Die Lösung ist also: 60 s.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $2$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $2$ = $8$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $8$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\sin \left(a\pi x\right)$ das b ja $a\pi$ ist, muss also a = $\frac{1}{4}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\sin (\frac{1}{4}·\pi x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $2$|1) hat.