$\text{f(x)}=$ ${\left(\sin \left(3x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(\sin \left(3x\right)\right)·\cos \left(3x\right)·3$

= $2\left(\sin \left(3x\right)\right)·3\cdot \cos \left(3x\right)$

= $6\sin \left(3x\right)·\cos \left(3x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\cdot \cos \left(-4x-2\right)+3$

$\text{f'(x)}=$ $5\cdot \sin \left(-4x-2\right)·\left(-4+0\right)+0$

= $5\cdot \sin \left(-4x-2\right)·\left(-4\right)$

= $-20\cdot \sin \left(-4x-2\right)$

= ${\left[-2\cdot \sin \left(-2x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-2\cdot \sin \left(-2\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)+2\cdot \sin \left(-2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-2\cdot 0+2\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\frac{2}{3}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{16}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{2}{3}\pi +\frac{8}{3}\pi$ = $\frac{10}{3}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -2, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{2}{3}\pi$|-1) und einen bei ( $\frac{10}{3}\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $16\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+8\pi$ = $8\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 1, also bei y=3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $0$|3) und einen bei ( $8\pi$|3)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung und um c= $-\frac{2}{3}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{2}{3}\pi$|1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $-\frac{2}{3}\pi$|1) wird.

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-\frac{2}{3}\pi$ + $0$ ≈ $-\frac{2}{3}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{2}{3}\pi +\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{3}\pi$ und bei x₂= $-\frac{2}{3}\pi$ + $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $-\frac{5}{12}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\pi$) liegt,
also x₂= $-\frac{5}{12}\pi +\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{12}\pi$.

Weil das gesuchte Interval [0; $\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{3}\pi +\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{5}{6}\pi$ und $\frac{1}{12}\pi +\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{7}{12}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{3}\pi$|1) und bei ( $\frac{1}{12}\pi$|1) und bei ( $\frac{5}{6}\pi$|1) und bei ( $\frac{7}{12}\pi$|1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 2.3461938234056

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{3}{4}x\right)$ = $-\mathrm{0,7}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{2,346}$
bzw. bei - $\mathrm{2,346}$+2π= $\mathrm{3,937}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{3,128}$; $\mathrm{5,2493}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{8}{3}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{3,128}$ und x₂ = $\mathrm{5,2493}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 366

1. t-Werte mit f(t) ≥ 13.4

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 13.4 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 13.4 gleich:

   $\mathrm{3,5}\cdot \sin \left(\frac{1}{183}\pi \left(t-60\right)\right)+12$ = 13.4

   $\mathrm{3,5}\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{1,03}\right)+12$ = $\mathrm{13,4}$ | $-12$

   $\mathrm{3,5}\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{1,03}\right)$

   =

   $\mathrm{1,4}$

   |:$\mathrm{3,5}$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{1,03}\right)$

   =

   $\mathrm{0,4}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.41151684606749

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{1,03}$	=	$\mathrm{0,412}$	| $+\mathrm{1,03}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{1,442}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x1	=	$\mathrm{83,8372}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{1,03}\right)$ = $\mathrm{0,4}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,412}$= $\mathrm{2,73}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{1,03}$	=	$\mathrm{2,73}$	| $+\mathrm{1,03}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{3,76}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x2	=	$\mathrm{218,6047}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 60 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 60 d nach oben und erreicht erstmals nach 83.84 d den Wert 13.4. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 218.6 d zum zweiten mal den Wert 13.4 erreicht. Während dieser 218.6 - 83.84 = 134.76 d ist der Wert der Funktion also höher als 13.4.

2. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 91.5 d.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 60 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 60 d mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 91.5 + 60 d = 151.5 d. Die Lösung ist also: 151.5 d.

3. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 3.5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 3.5 um 12. Somit ist der höchste Wert bei 12 h + 3.5 h = 15.5 h.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $2\cdot \sin \left(\left(a^2+3\right)x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ =

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+3$ wird, desto kleiner wird die Periode.

$a^2+3$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+3$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+3$)' = $2a$ = 0 ⇔ a = 0

Für dieses a = 0 wird also $a^2+3$ minimal und somit die Periode $\frac{2\pi }{a^2+3}$ maximal .

Für a = 0 ist dann die maximale Periode p_max = $\frac{2\pi }{0^2+3}$ = $\frac{2\pi }{0+3}$ = $\frac{2}{3}\pi$.