Aufgabenbeispiele von Trigonometrie
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Ableiten von trigonometrischen Funktionen
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)
Beispiel:
Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).
Mit Hilfe von b= und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1=
Weil das gesuchte Interval [0;
Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei (
Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF
Beispiel:
Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).
Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|-1) wird.
Mit Hilfe von b=
p=
Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion
also bei x1=
Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -1, also bei y=0.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei (
Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)
Beispiel:
Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in
y-Richtung und um c=
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(
Mit Hilfe von b=
p=
Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1=
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren,
damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0;
also x1=
Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei (
Nullstellen mit dem WTR
Beispiel:
Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit
Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
|
|
= | |: |
|
|
= | |cos-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert 1.6709637479565
1. Fall:
|
|
= |
|
|: |
| x1 | = |
|
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt)
bei -
bzw. bei -
2. Fall:
|
|
= |
|
|: |
| x2 | = |
|
L={
Die Nullstellen in der Periode [0;
bei x1 =
trigon. Anwendungsaufgabe 2
Beispiel:
In einem Wellenbad kann man an einer bestimmten Stelle die Wasserhöhe zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit
- Bestimme die Periode dieses Vorgangs.
- Wie lange (in Sekunden) ist die Wasserhöhe höher als 79cm?
- Zu welcher Zeit (in s) ist die Wasserhöhe am höchsten?
- Periodenlänge
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b =
herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:π Somit gilt für die Periodenlänge: p =
=2 π b = 22 π π - t-Werte mit f(t) ≥ 79
Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 79 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 79 gleich:
= 7930 ⋅ sin ( π t ) + 70 30 ⋅ sin ( 3,1416 t ) + 70 = 79 | - 70 30 ⋅ sin ( 3,1416 t ) = 9 |: 30 sin ( 3,1416 t ) = 0,3 |sin-1(⋅) Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154
1. Fall:
3,1416 x = 0,305 |: 3,1416 x1 = 0,0971 Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
=sin ( 3,1416 t ) noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).0,3 Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π -
=0,305 liegen muss.2,837 2. Fall:
3,1416 x = 2,837 |: 3,1416 x2 = 0,903 Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.1 s den Wert 79. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 0.9 s zum zweiten mal den Wert 79 erreicht. Während dieser 0.9 - 0.1 = 0.8 s ist der Wert der Funktion also höher als 79.
- t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 0.5 s.
Die Lösung ist also: 0.5 s.
Parameter für best. Periode finden
Beispiel:
Für welchen Wert von a hat der Graph fa mit
Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer
Wegen des Minus vor dem Sinus wird ja aber der Graph an der x-Achse gespiegelt, so dass der Hochpunkt zum
Tiefpunkt wird. Also ist hier der erste Tiefpunkt nach einer
Demnach muss also die Periode p =
Jetzt können wir die Periodenformel p =
b =
Da bei
damit der Graph von
