Aufgabenbeispiele von Trigonometrie
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Ableiten von trigonometrischen Funktionen
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)
Beispiel:
Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).
Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x1=
≈
. .
Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 2, also bei y=4.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( |4)
Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF
Beispiel:
Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).
Mit Hilfe von b= und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1=
Weil das gesuchte Interval [0;
Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 3, also bei y=1.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei (
Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)
Beispiel:
Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in
y-Richtung und um c=
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(
Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=
p=
Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1=
Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 1, also bei y=-2.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei (
Nullstellen mit dem WTR
Beispiel:
Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit
Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
|
|
= | |: |
|
|
= | |sin-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
L={
Die einzige Nullstelle in der Periode [0;
trigon. Anwendungsaufgabe 2
Beispiel:
An einem bestimmten Ort kann die Zeit (in h) zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang t Tage nach Beobachtungsbeginn näherungsweise durch die Funktion f mit
- Bestimme die kürzeste Zeit zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang (in h)
- Wie lange (in Tagen) haben die Tage eine Länge von mindestens 14,4 h?
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b =
Somit gilt für die Periodenlänge: p =
- y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 4 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4 um 12. Somit ist der tiefste Wert bei 12 h - 4 h = 8 h.
- t-Werte mit f(t) ≥ 14.4
Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 14.4 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 14.4 gleich:
= 14.44 ⋅ sin ( 1 183 π ( t - 10 ) ) + 12 4 ⋅ sin ( 0,0172 t - 0,1717 ) + 12 = 14,4 | - 12 4 ⋅ sin ( 0,0172 t - 0,1717 ) = 2,4 |: 4 sin ( 0,0172 t - 0,1717 ) = 0,6 |sin-1(⋅) Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328
1. Fall:
0,0172 x - 0,1717 = 0,644 | + 0,1717 0,0172 x = 0,8157 |: 0,0172 x1 = 47,4244 Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
=sin ( 0,0172 t - 0,1717 ) noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).0,6 Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π -
=0,644 liegen muss.2,498 2. Fall:
0,0172 x - 0,1717 = 2,498 | + 0,1717 0,0172 x = 2,6697 |: 0,0172 x2 = 155,2151 Da die Sinus-Funktion ja um 10 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 10 d nach oben und erreicht erstmals nach 47.42 d den Wert 14.4. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 155.22 d zum zweiten mal den Wert 14.4 erreicht. Während dieser 155.22 - 47.42 = 107.8 d ist der Wert der Funktion also höher als 14.4.
Parameter für best. Periode finden
Beispiel:
Für welchen Wert von a hat der Graph fa mit
Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer
Wegen des Minus vor dem Sinus wird ja aber der Graph an der x-Achse gespiegelt, so dass der Tiefpunkt zum
Hochpunkt wird. Also ist hier der erste Hochpunkt nach einer
Demnach muss also die Periode p =
Jetzt können wir die Periodenformel p =
b =
Da bei
damit der Graph von
