$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(\frac{1}{3}\left(x-2\right)\right)+3$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(\frac{1}{3}\left(x-2\right)\right)·\left(\frac{1}{3}\left(1+0\right)\right)+0$

= $2\cdot \cos \left(\frac{1}{3}\left(x-2\right)\right)·\left(\frac{1}{3}\left(1\right)\right)$

= $\frac{2}{3}\cdot \cos \left(\frac{1}{3}\left(x-2\right)\right)$

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(-4x-5\right)-2$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(-4x-5\right)·\left(-4+0\right)+0$

= $-\sin \left(-4x-5\right)·\left(-4\right)$

= $4\cdot \sin \left(-4x-5\right)$

= ${\left[\frac{1}{4}\cdot \sin \left(4x\right)\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $\frac{1}{4}\cdot \sin \left(4\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)-\frac{1}{4}\cdot \sin \left(4\cdot \left(0\right)\right)$

= $\frac{1}{4}\cdot 0-\frac{1}{4}\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\pi$ ≈ $\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über -2, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|-2) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-3\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\left(x+0\right)\right)-2$ aber zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter -2, also bei y=-5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $0$|-5)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung und um c= $-1$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-1$|3).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $-1$ + $2\pi$ ≈ $\mathrm{5,283}$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $16\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{5,283}+8\pi$ ≈ 30.416 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 3, also bei y=5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\mathrm{5,283}$|5) und bei (30.416|5)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert -0.3046926540154

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\mathrm{5,978}$

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(4x\right)$ = $-\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{5,978}$=-2.8364 bzw. bei -2.8364+2π= $\mathrm{3,446}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,8615}$; $\mathrm{1,4945}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{1}{2}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,8615}$ und x₂ = $\mathrm{1,4945}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $2\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 1

2. t-Werte mit f(t) ≥ 94.5

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 94.5 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 94.5 gleich:

   $15\cdot \sin \left(2\pi t\right)+90$ = 94.5

   $15\cdot \sin \left(\mathrm{6,2832}t\right)+90$ = $\mathrm{94,5}$ | $-90$

   $15\cdot \sin \left(\mathrm{6,2832}t\right)$

   =

   $\mathrm{4,5}$

   |:$15$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{6,2832}t\right)$

   =

   $\mathrm{0,3}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

   1. Fall:

   $\mathrm{6,2832}x$	=	$\mathrm{0,305}$	|:$\mathrm{6,2832}$
   x1	=	$\mathrm{0,0485}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{6,2832}t\right)$ = $\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,305}$= $\mathrm{2,837}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{6,2832}x$	=	$\mathrm{2,837}$	|:$\mathrm{6,2832}$
   x2	=	$\mathrm{0,4515}$

   Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.05 s den Wert 94.5. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 0.45 s zum zweiten mal den Wert 94.5 erreicht. Während dieser 0.45 - 0.05 = 0.4 s ist der Wert der Funktion also höher als 94.5.

3. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 90 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 90. Somit ist der höchste Wert bei 90 cm + 15 cm = 105 cm.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $2\cdot \cos \left(\frac{1}{a^2-4a+8}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2-4a+8\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-4a+8$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2-4a+8$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-4a+8$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-4a+8$)' = $2a-4$ = 0 ⇔ a = 2

Für dieses a = 2 wird also $a^2-4a+8$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2-4a+8\right)$ minimal .

Für a = 2 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left(2^2-4\cdot 2+8\right)$ = $2\pi ·\left(4-8+8\right)$ = $8\pi$.