Aufgabenbeispiele von Trigonometrie

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( sin( x ) ) 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ( sin( x ) ) 2

f'(x)= 2( sin( x ) ) · cos( x )

= 2 sin( x ) · cos( x )

Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -4 x 2 · sin( x ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -4 x 2 · sin( x )

f'(x)= -4 · 2x · sin( x ) -4 x 2 · cos( x )

= -8 x · sin( x ) -4 x 2 · cos( x )

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π π 3 cos( x + 1 2 π) x .

Lösung einblenden
1 2 π π 3 cos( x + 1 2 π) x

= [ 3 sin( x + 1 2 π) ] 1 2 π π

= 3 sin( π + 1 2 π) -3 sin( 1 2 π + 1 2 π)

= 3 sin( 3 2 π) -3 sin(π)

= 3( -1 ) -30

= -3 +0

= -3

Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= 2 sin( 2 3 x ) +3 im Intervall [0; 6π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b= 2 3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 2 3 = 3π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= 9 4 π 9 4 π . .

Weil das gesuchte Interval [0; 6π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 9 4 π+3π = 21 4 π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 3, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( 9 4 π |1) und einen bei ( 21 4 π |1)

Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= 3 cos( 3x ) +3 im Intervall [0; 2 3 π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 3 = 2 3 π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode,
also bei x1= 1 3 π 1 3 π . .

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 3, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( 1 3 π |0)

Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= 2 sin(4( x + 1 4 π)) im Intervall [0; 1 2 π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung und um c= - 1 4 π nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( - 1 4 π |0).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 4 = 1 2 π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1= - 1 4 π + 0 - 1 4 π .
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; 1 2 π ) liegt,
also x1= - 1 4 π + 1 2 π 1 4 π und bei x2= - 1 4 π + 1 4 π 0. .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( 1 4 π |0) und bei (0|0)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= - cos( 2 3 x ) +0,7 innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; 3π [.

Lösung einblenden

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

- cos( 2 3 x ) +0,7 = 0 | -0,7
- cos( 2 3 x ) = -0,7 |:-1
canvas
cos( 2 3 x ) = 0,7 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.79539883018414

1. Fall:

2 3 x = 0,795 |⋅ 3
2x = 2,385 |:2
x1 = 1,1925

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 2 3 x ) = 0,7 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 0,795
bzw. bei - 0,795 +2π= 5,488 liegen muss.

2. Fall:

2 3 x = 5,488 |⋅ 3
2x = 16,464 |:2
x2 = 8,232

L={ 1,1925 ; 8,232 }

Die Nullstellen in der Periode [0; 3π ) sind also
bei x1 = 1,1925 und x2 = 8,232 .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

Bei einem Riesenrad kann man die Höhe einer Gondel (in m) über dem Erdboden zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 14 sin( 1 70 π ( t -20 )) +15 (0 < t ≤ 140) angeben.

  1. Bestimme die Zeit (in s), die eine Gondel für eine Umdrehung braucht.
  2. Zu welcher Zeit (in s) ist die Gondel am tiefsten Punkt?
  3. Wie lange (in Sekunden) hat das Riesenrad eine Höhe von mindestens 16,4 m?
  4. Zu welcher Zeit (in s) ist die Gondel am höchsten?

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
  1. Periodenlänge

    Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = 1 70 π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

    Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π 1 70 π = 140

  2. t-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 105 s.

    Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 20 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 20 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 105 + 20 s = 125 s. Die Lösung ist also: 125 s.

  3. t-Werte mit f(t) ≥ 16.4

    Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 16.4 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 16.4 gleich:

    14 sin( 1 70 π ( t -20 )) +15 = 16.4

    14 sin( 0,0449t -0,8976 ) +15 = 16,4 | -15
    14 sin( 0,0449t -0,8976 ) = 1,4 |:14
    canvas
    sin( 0,0449t -0,8976 ) = 0,1 |sin-1(⋅)

    Der WTR liefert nun als Wert 0.10016742116156

    1. Fall:

    0,0449x -0,8976 = 0,1 | +0,8976
    0,0449x = 0,9976 |:0,0449
    x1 = 22,2183

    Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 0,0449t -0,8976 ) = 0,1 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

    Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0,1 = 3,041 liegen muss.

    2. Fall:

    0,0449x -0,8976 = 3,041 | +0,8976
    0,0449x = 3,9386 |:0,0449
    x2 = 87,7194

    Da die Sinus-Funktion ja um 20 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 20 s nach oben und erreicht erstmals nach 22.22 s den Wert 16.4. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 87.72 s zum zweiten mal den Wert 16.4 erreicht. Während dieser 87.72 - 22.22 = 65.5 s ist der Wert der Funktion also höher als 16.4.

  4. t-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 35 s.

    Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 20 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 20 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 35 + 20 s = 55 s. Die Lösung ist also: 55 s.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph fa mit fa(x)= sin( a π x ) seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( 3 |-1), (also den Tiefpunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer 3 4 Periode. Es gilt somit 3 4 ⋅p = 3 |⋅ 4 3

Demnach muss also die Periode p = 4 3 3 = 4 lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = b also 4 = b nach b auflösen:

4 = b |⋅b : 4

b = 2π 4 = 1 2 π

Da bei sin( a π x ) das b ja a π ist, muss also a = 1 2 sein,
damit der Graph von f 1 2 (x)= sin( 1 2 · π x ) seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( 3 |-1) hat.