$\text{f(x)}=$ $4x·\cos \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4·1·\cos \left(5x\right)+4x·(-\sin \left(5x\right)·5)$

= $4\cdot \cos \left(5x\right)+4x·\left(-5\cdot \sin \left(5x\right)\right)$

= $4\cdot \cos \left(5x\right)-20x·\sin \left(5x\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\cdot \cos \left(5x-2\right)+4x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-5\cdot \sin \left(5x-2\right)·\left(5+0\right)+8x$

= $-5\cdot \sin \left(5x-2\right)·\left(5\right)+8x$

= $-25\cdot \sin \left(5x-2\right)+8x$

= ${\left[5\cdot \cos (x-\pi )\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $5\cdot \cos (\pi -\pi )-5\cdot \cos (\frac{1}{2}\pi -\pi )$

= $5\cdot \cos \left(0\right)-5\cdot \cos \left(-\frac{1}{2}\pi \right)$

= $5\cdot 1-5\cdot 0$

= $5+0$

= $5$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $4\pi$ ≈ $4\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-2) und einen bei ( $4\pi$|-2)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|-2) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $4\pi$ ≈ $4\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-2) und einen bei ( $4\pi$|-2)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung und um c= $2$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $2$|3).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $2$ + $3\pi$ ≈ $\mathrm{11,425}$. .

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 3, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\mathrm{11,425}$|1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert -0.20135792079033

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\mathrm{6,082}$

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\frac{1}{4}x\right)$ = $-\mathrm{0,2}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{6,082}$=-2.9404 bzw. bei -2.9404+2π= $\mathrm{3,343}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{13,372}$; $\mathrm{24,328}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $8\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{13,372}$ und x₂ = $\mathrm{24,328}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{70}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 140

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 21 nach oben und eine Amplitude von a = 19 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 19 um 21. Somit ist der tiefste Wert bei 21 m - 19 m = 2 m.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 22.9

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 22.9 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 22.9 gleich:

   $19\cdot \sin \left(\frac{1}{70}\pi \left(t-30\right)\right)+21$ = 22.9

   $19\cdot \sin \left(\mathrm{0,0449}t-\mathrm{1,3464}\right)+21$ = $\mathrm{22,9}$ | $-21$

   $19\cdot \sin \left(\mathrm{0,0449}t-\mathrm{1,3464}\right)$

   =

   $\mathrm{1,9}$

   |:$19$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0449}t-\mathrm{1,3464}\right)$

   =

   $\mathrm{0,1}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.10016742116156

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0449}x-\mathrm{1,3464}$	=	$\mathrm{0,1}$	| $+\mathrm{1,3464}$
   $\mathrm{0,0449}x$	=	$\mathrm{1,4464}$	|:$\mathrm{0,0449}$
   x1	=	$\mathrm{32,2138}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0449}t-\mathrm{1,3464}\right)$ = $\mathrm{0,1}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,1}$= $\mathrm{3,041}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0449}x-\mathrm{1,3464}$	=	$\mathrm{3,041}$	| $+\mathrm{1,3464}$
   $\mathrm{0,0449}x$	=	$\mathrm{4,3874}$	|:$\mathrm{0,0449}$
   x2	=	$\mathrm{97,7149}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 30 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 30 s nach oben und erreicht erstmals nach 32.21 s den Wert 22.9. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 97.71 s zum zweiten mal den Wert 22.9 erreicht. Während dieser 97.71 - 32.21 = 65.5 s ist der Wert der Funktion also höher als 22.9.

4. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 35 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 30 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 30 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 35 + 30 s = 65 s. Die Lösung ist also: 65 s.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $2\cdot \sin \left(\frac{1}{a^2+6a+10}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2+6a+10\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+6a+10$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2+6a+10$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+6a+10$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+6a+10$)' = $2a+6$ = 0 ⇔ a = -3

Für dieses a = -3 wird also $a^2+6a+10$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2+6a+10\right)$ minimal .

Für a = -3 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left({\left(-3\right)}^2+6\cdot \left(-3\right)+10\right)$ = $2\pi ·\left(9-18+10\right)$ = $2\pi$.