Aufgabenbeispiele von Trigonometrie
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Ableiten von trigonometrischen Funktionen
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)
Beispiel:
Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).
Mit Hilfe von b= und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1=
Weil das gesuchte Interval [0;
Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei (
Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF
Beispiel:
Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).
Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|0) wird.
Mit Hilfe von b=
p=
Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion
also bei x1=
Weil das gesuchte Interval [0;
Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 0, also bei y=-1.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei (
Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)
Beispiel:
Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-3 in
y-Richtung und um c=
Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(
Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=
p=
Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode,
also bei x1=
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren,
damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0;
also x1=
Weil das gesuchte Interval [0;
Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -3, also bei y=-4.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei (
Nullstellen mit dem WTR
Beispiel:
Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit
Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
|
|
= | |sin-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154
1. Fall:
|
|
= |
|
|⋅ 4 |
|
|
= |
|
|: |
| x1 | = |
|
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt,
also π -
2. Fall:
|
|
= |
|
|⋅ 4 |
|
|
= |
|
|: |
| x2 | = |
|
L={
Die Nullstellen in der Periode [0;
bei x1 =
trigon. Anwendungsaufgabe 2
Beispiel:
Bei einem Riesenrad kann man die Höhe einer Gondel (in m) über dem Erdboden zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit
- Bestimme die Zeit (in s), die eine Gondel für eine Umdrehung braucht.
- Wie lange (in Sekunden) hat das Riesenrad eine Höhe von mindestens 27,6 m?
- Periodenlänge
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b =
herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:1 40 π Somit gilt für die Periodenlänge: p =
=2 π b = 802 π 1 40 π - t-Werte mit f(t) ≥ 27.6
Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 27.6 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 27.6 gleich:
= 27.614 ⋅ sin ( 1 40 π ( t - 20 ) ) + 15 14 ⋅ sin ( 0,0785 t - 1,5708 ) + 15 = 27,6 | - 15 14 ⋅ sin ( 0,0785 t - 1,5708 ) = 12,6 |: 14 sin ( 0,0785 t - 1,5708 ) = 0,9 |sin-1(⋅) Der WTR liefert nun als Wert 1.1197695149986
1. Fall:
0,0785 x - 1,5708 = 1,12 | + 1,5708 0,0785 x = 2,6908 |: 0,0785 x1 = 34,2777 Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
=sin ( 0,0785 t - 1,5708 ) noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).0,9 Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π -
=1,12 liegen muss.2,022 2. Fall:
0,0785 x - 1,5708 = 2,022 | + 1,5708 0,0785 x = 3,5928 |: 0,0785 x2 = 45,7682 Da die Sinus-Funktion ja um 20 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 20 s nach oben und erreicht erstmals nach 34.28 s den Wert 27.6. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 45.77 s zum zweiten mal den Wert 27.6 erreicht. Während dieser 45.77 - 34.28 = 11.49 s ist der Wert der Funktion also höher als 27.6.
Parameter für best. Periode finden
Beispiel:
Für welchen Wert von a hat der Graph fa mit
Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer
Wegen des Minus vor dem Sinus wird ja aber der Graph an der x-Achse gespiegelt, so dass der Hochpunkt zum
Tiefpunkt wird. Also ist hier der erste Tiefpunkt nach einer
Demnach muss also die Periode p =
Jetzt können wir die Periodenformel p =
b =
Da bei
damit der Graph von
