$\text{f(x)}=$ $4x·\sin \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4·1·\sin \left(3x\right)+4x·\cos \left(3x\right)·3$

= $4\cdot \sin \left(3x\right)+4x·3\cdot \cos \left(3x\right)$

= $4\cdot \sin \left(3x\right)+12x·\cos \left(3x\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \cos \left(3x-1\right)-5$

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(3x-1\right)·\left(3+0\right)+0$

= $-3\cdot \sin \left(3x-1\right)·\left(3\right)$

= $-9\cdot \sin \left(3x-1\right)$

= ${\left[-2\cdot \sin \left(x+\frac{3}{2}\pi \right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-2\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi +\frac{3}{2}\pi \right)+2\cdot \sin \left(0+\frac{3}{2}\pi \right)$

= $-2\cdot \sin \left(3\pi \right)+2\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)$

= $-2\cdot 0+2\cdot \left(-1\right)$

= $0-2$

= $-2$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{1}{3}\pi$ ≈ $\frac{1}{3}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{2}{3}\pi$ und $\frac{1}{3}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-1) und einen bei ( $\frac{1}{3}\pi$|-1) und einen bei ( $\frac{2}{3}\pi$|-1) und einen bei ( $\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{6}\pi$ ≈ $\frac{1}{6}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{6}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{5}{6}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 3, also bei y=5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{6}\pi$|5) und einen bei ( $\frac{5}{6}\pi$|5)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $-2$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-2$|-1).

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-2$ + $0$ ≈ $-2$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{16}{3}\pi$) liegt,
also x₁= $-2+\frac{8}{3}\pi$ ≈ $\mathrm{6,378}$ und bei x₂= $-2$ + $\frac{4}{3}\pi$ ≈ $\mathrm{2,189}$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{16}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{6,378}+\frac{8}{3}\pi$ ≈ 14.756 und $\mathrm{2,189}+\frac{8}{3}\pi$ ≈ 10.567 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\mathrm{6,378}$|-1) und bei ( $\mathrm{2,189}$|-1) und bei (14.756|-1) und bei (10.567|-1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{2}{3}x\right)$ = $\mathrm{0,6}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{0,927}$
bzw. bei - $\mathrm{0,927}$+2π= $\mathrm{5,356}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{1,3905}$; $\mathrm{8,034}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $3\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{1,3905}$ und x₂ = $\mathrm{8,034}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 24

1. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 10 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 10 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 10 h = 28 h. Weil aber 28 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 28 - 24 = 4 h. Die Lösung ist also: 4 Uhr.

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 18 nach oben und eine Amplitude von a = 5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 5 um 18. Somit ist der tiefste Wert bei 18 ° C - 5 ° C = 13 ° C.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 20.5

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 20.5 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 20.5 gleich:

   $5\cdot \sin \left(\frac{1}{12}\pi \left(t-10\right)\right)+18$ = 20.5

   $5\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,618}\right)+18$ = $\mathrm{20,5}$ | $-18$

   $5\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,618}\right)$

   =

   $\mathrm{2,5}$

   |:$5$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,618}\right)$

   =

   $\mathrm{0,5}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

   1. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,618}$	=	$\frac{5}{6}\pi$	| $+\mathrm{2,618}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{2,618}+\frac{5}{6}\pi$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{5,236}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x1	=	$20$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,618}\right)$ = $\mathrm{0,5}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{5}{6}\pi$= $\frac{1}{6}\pi$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,618}$	=	$\frac{1}{6}\pi$	| $+\mathrm{2,618}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{2,618}+\frac{1}{6}\pi$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{3,1416}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x2	=	$12$

   Da die Sinus-Funktion ja um 10 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 10 h nach oben und erreicht erstmals nach 12 h den Wert 20.5. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 20 h zum zweiten mal den Wert 20.5 erreicht. Während dieser 20 - 12 = 8 h ist der Wert der Funktion also höher als 20.5.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $3\cdot \cos \left(\left(a^2-6a+11\right)x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ =

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-6a+11$ wird, desto kleiner wird die Periode.

$a^2-6a+11$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-6a+11$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-6a+11$)' = $2a-6$ = 0 ⇔ a = 3

Für dieses a = 3 wird also $a^2-6a+11$ minimal und somit die Periode $\frac{2\pi }{a^2-6a+11}$ maximal .

Für a = 3 ist dann die maximale Periode p_max = $\frac{2\pi }{3^2-6\cdot 3+11}$ = $\frac{2\pi }{9-18+11}$ = $\pi$.