$\text{f(x)}=$ ${\left(\sin \left(2x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(\sin \left(2x\right)\right)·\cos \left(2x\right)·2$

= $2\left(\sin \left(2x\right)\right)·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $4\sin \left(2x\right)·\cos \left(2x\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(\frac{2}{3}(x+\pi )\right)-3$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(\frac{2}{3}(x+\pi )\right)·\left(\frac{2}{3}\left(1+0\right)\right)+0$

= $3\cdot \cos \left(\frac{2}{3}(x+\pi )\right)·\frac{2}{3}$

= $2\cdot \cos \left(\frac{2}{3}(x+\pi )\right)$

= ${\left[\frac{3}{5}\cdot \cos \left(-5x\right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{3}{5}\cdot \cos \left(-5\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)-\frac{3}{5}\cdot \cos \left(-5\cdot \left(0\right)\right)$

= $\frac{3}{5}\cdot 0-\frac{3}{5}\cdot 1$

= $0-\frac{3}{5}$

= $0-\frac{3}{5}$

= $-\frac{3}{5}$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $3\pi$ ≈ $3\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $8\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $3\pi +4\pi$ = $7\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 1, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $3\pi$|0) und einen bei ( $7\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{4}\pi$ ≈ $\frac{3}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter -1, also bei y=-3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{4}\pi$|-3)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=0 in y-Richtung und um c= $-1$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-1$|2).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $-1$ + $0$ ≈ $-1$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{1}{2}\pi$) liegt,
also x₁= $-1+\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{0,571}$.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 0, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\mathrm{0,571}$|2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(4x\right)$ = $\mathrm{0,8}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{0,644}$
bzw. bei - $\mathrm{0,644}$+2π= $\mathrm{5,64}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,161}$; $\mathrm{1,41}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{1}{2}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,161}$ und x₂ = $\mathrm{1,41}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{90}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 180

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 21 nach oben und eine Amplitude von a = 19 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 19 um 21. Somit ist der tiefste Wert bei 21 m - 19 m = 2 m.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 22.9

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 22.9 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 22.9 gleich:

   $19\cdot \sin \left(\frac{1}{90}\pi \left(t-40\right)\right)+21$ = 22.9

   $19\cdot \sin \left(\mathrm{0,0349}t-\mathrm{1,3963}\right)+21$ = $\mathrm{22,9}$ | $-21$

   $19\cdot \sin \left(\mathrm{0,0349}t-\mathrm{1,3963}\right)$

   =

   $\mathrm{1,9}$

   |:$19$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0349}t-\mathrm{1,3963}\right)$

   =

   $\mathrm{0,1}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.10016742116156

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0349}x-\mathrm{1,3963}$	=	$\mathrm{0,1}$	| $+\mathrm{1,3963}$
   $\mathrm{0,0349}x$	=	$\mathrm{1,4963}$	|:$\mathrm{0,0349}$
   x1	=	$\mathrm{42,8739}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0349}t-\mathrm{1,3963}\right)$ = $\mathrm{0,1}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,1}$= $\mathrm{3,041}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0349}x-\mathrm{1,3963}$	=	$\mathrm{3,041}$	| $+\mathrm{1,3963}$
   $\mathrm{0,0349}x$	=	$\mathrm{4,4373}$	|:$\mathrm{0,0349}$
   x2	=	$\mathrm{127,1433}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 40 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 40 s nach oben und erreicht erstmals nach 42.87 s den Wert 22.9. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 127.14 s zum zweiten mal den Wert 22.9 erreicht. Während dieser 127.14 - 42.87 = 84.27 s ist der Wert der Funktion also höher als 22.9.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(\frac{1}{a^2+6a+10}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2+6a+10\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+6a+10$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2+6a+10$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+6a+10$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+6a+10$)' = $2a+6$ = 0 ⇔ a = -3

Für dieses a = -3 wird also $a^2+6a+10$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2+6a+10\right)$ minimal .

Für a = -3 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left({\left(-3\right)}^2+6\cdot \left(-3\right)+10\right)$ = $2\pi ·\left(9-18+10\right)$ = $2\pi$.