$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\left(x-2\right)\right)-3$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\left(x-2\right)\right)·\left(\frac{1}{2}\left(1+0\right)\right)+0$

= $3\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\left(x-2\right)\right)·\left(\frac{1}{2}\left(1\right)\right)$

= $\frac{3}{2}\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\left(x-2\right)\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(\frac{1}{4}\left(x+\frac{1}{3}\pi \right)\right)-1$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(\frac{1}{4}\left(x+\frac{1}{3}\pi \right)\right)·\left(\frac{1}{4}\left(1+0\right)\right)+0$

= $\cos \left(\frac{1}{4}\left(x+\frac{1}{3}\pi \right)\right)·\frac{1}{4}$

= $\frac{1}{4}\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\left(x+\frac{1}{3}\pi \right)\right)$

= ${\left[-\cos \left(4x\right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\cos \left(4\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)+\cos \left(4\cdot \left(0\right)\right)$

= $-1+1$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $3\pi$ ≈ $3\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 3, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $3\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|2) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $2\pi$ ≈ $2\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $8\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+4\pi$ = $4\pi$ und $2\pi +4\pi$ = $6\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|2) und einen bei ( $2\pi$|2) und einen bei ( $4\pi$|2) und einen bei ( $6\pi$|2)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung und um c= $3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $3$|2).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $3$ + $0$ ≈ $3$.
Weil diese Stelle aber größer als die Periode ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode davon abziehen, damit der x-Wert in der ersten Periode liegt, also x₁= $3-\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\mathrm{0,906}$ und bei x₂= $3$ + $\frac{1}{3}\pi$ ≈ $\mathrm{4,047}$.
Weil diese Stelle aber größer als die Periode ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode davon abziehen, damit der x-Wert in der ersten Periode liegt, also x₂= $\mathrm{4,047}-\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\mathrm{1,953}$.

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{0,906}+\frac{2}{3}\pi$ ≈ 3 und $\mathrm{1,953}+\frac{2}{3}\pi$ ≈ 4.047 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\mathrm{0,906}$|2) und bei ( $\mathrm{1,953}$|2) und bei (3|2) und bei (4.047|2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.3694384060046

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{2}{3}x\right)$ = $\mathrm{0,2}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{1,369}$
bzw. bei - $\mathrm{1,369}$+2π= $\mathrm{4,914}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{2,0535}$; $\mathrm{7,371}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $3\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{2,0535}$ und x₂ = $\mathrm{7,371}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{60}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 120

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 21 nach oben und eine Amplitude von a = 20 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 20 um 21. Somit ist der tiefste Wert bei 21 m - 20 m = 1 m.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 29

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 29 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 29 gleich:

   $20\cdot \sin \left(\frac{1}{60}\pi \left(t-20\right)\right)+21$ = 29

   $20\cdot \sin \left(\mathrm{0,0524}t-\mathrm{1,0472}\right)+21$ = $29$ | $-21$

   $20\cdot \sin \left(\mathrm{0,0524}t-\mathrm{1,0472}\right)$

   =

   $8$

   |:$20$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0524}t-\mathrm{1,0472}\right)$

   =

   $\mathrm{0,4}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.41151684606749

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0524}x-\mathrm{1,0472}$	=	$\mathrm{0,412}$	| $+\mathrm{1,0472}$
   $\mathrm{0,0524}x$	=	$\mathrm{1,4592}$	|:$\mathrm{0,0524}$
   x1	=	$\mathrm{27,8473}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0524}t-\mathrm{1,0472}\right)$ = $\mathrm{0,4}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,412}$= $\mathrm{2,73}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0524}x-\mathrm{1,0472}$	=	$\mathrm{2,73}$	| $+\mathrm{1,0472}$
   $\mathrm{0,0524}x$	=	$\mathrm{3,7772}$	|:$\mathrm{0,0524}$
   x2	=	$\mathrm{72,084}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 20 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 20 s nach oben und erreicht erstmals nach 27.85 s den Wert 29. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 72.08 s zum zweiten mal den Wert 29 erreicht. Während dieser 72.08 - 27.85 = 44.23 s ist der Wert der Funktion also höher als 29.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $2\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $2\pi$ = $8\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $8\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $-\cos \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $\frac{1}{4}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $-\cos (\frac{1}{4}·x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $2\pi$|0) hat.