$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \sin \left(5x\right)·5$

= $20\cdot \sin \left(5x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\sin \left(x\right)+x^2·\cos \left(x\right)$

= $2x·\sin \left(x\right)+x^2·\cos \left(x\right)$

= ${\left[\cos \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $\cos \left(\pi \right)-\cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$

= $-1-0$

= $-1$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $4\pi$ ≈ $4\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-1) und einen bei ( $4\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|-2) wird.

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\sin \left(2\left(x+0\right)\right)-2$ aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -2, also bei y=-3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{1}{4}\pi$|-3)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{2}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{2}\pi$|-2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $-\frac{1}{2}\pi$|-2) wird.

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-2\cdot \sin \left(4\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)-2$ aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{2}\pi$ + $\frac{1}{8}\pi$ ≈ $-\frac{3}{8}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{3}{8}\pi +\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{8}\pi$.

Weil das gesuchte Interval [0; $\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{8}\pi +\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{5}{8}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter -2, also bei y=-4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{1}{8}\pi$|-4) und bei ( $\frac{5}{8}\pi$|-4)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

L={ $\frac{1}{2}\pi$}

Die einzige Nullstelle in der Periode [0; $\frac{2}{3}\pi$) ist also bei x = $\frac{1}{2}\pi$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 366

1. t-Werte mit f(t) ≥ 16.5

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 16.5 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 16.5 gleich:

   $5\cdot \sin \left(\frac{1}{183}\pi \left(t-70\right)\right)+12$ = 16.5

   $5\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{1,2017}\right)+12$ = $\mathrm{16,5}$ | $-12$

   $5\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{1,2017}\right)$

   =

   $\mathrm{4,5}$

   |:$5$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{1,2017}\right)$

   =

   $\mathrm{0,9}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 1.1197695149986

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{1,2017}$	=	$\mathrm{1,12}$	| $+\mathrm{1,2017}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{2,3217}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x1	=	$\mathrm{134,9826}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{1,2017}\right)$ = $\mathrm{0,9}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{1,12}$= $\mathrm{2,022}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{1,2017}$	=	$\mathrm{2,022}$	| $+\mathrm{1,2017}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{3,2237}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x2	=	$\mathrm{187,4244}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 70 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 70 d nach oben und erreicht erstmals nach 134.98 d den Wert 16.5. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 187.42 d zum zweiten mal den Wert 16.5 erreicht. Während dieser 187.42 - 134.98 = 52.44 d ist der Wert der Funktion also höher als 16.5.

2. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 5 um 12. Somit ist der höchste Wert bei 12 h + 5 h = 17 h.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $1$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $1$ = $4$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $4$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\sin \left(a\pi x\right)$ das b ja $a\pi$ ist, muss also a = $\frac{1}{2}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\sin (\frac{1}{2}·\pi x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $1$|1) hat.