$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(\frac{3}{4}\left(x+1\right)\right)-1$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(\frac{3}{4}\left(x+1\right)\right)·\left(\frac{3}{4}\left(1+0\right)\right)+0$

= $3\cdot \cos \left(\frac{3}{4}\left(x+1\right)\right)·\left(\frac{3}{4}\left(1\right)\right)$

= $\frac{9}{4}\cdot \cos \left(\frac{3}{4}\left(x+1\right)\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3x·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3·1·\sin \left(-2x\right)-3x·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $-3\cdot \sin \left(-2x\right)-3x·\left(-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right)$

= $-3\cdot \sin \left(-2x\right)+6x·\cos \left(-2x\right)$

= ${\left[3\cdot \sin \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $3\cdot \sin \left(\pi \right)-3\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$

= $3\cdot 0-3\cdot 1$

= $0-3$

= $-3$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-3) und einen bei ( $\frac{1}{2}\pi$|-3)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{1}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 3, also bei y=4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $0$|4) und einen bei ( $\frac{1}{2}\pi$|4)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung und um c= $-\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\pi$|3).

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-\pi$ + $2\pi$ ≈ $\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{16}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\pi +\frac{8}{3}\pi$ = $\frac{11}{3}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 3, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\pi$|0) und bei ( $\frac{11}{3}\pi$|0)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(3x\right)$ = $\mathrm{0,6}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,644}$= $\mathrm{2,498}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,2147}$; $\mathrm{0,8327}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{2}{3}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,2147}$ und x₂ = $\mathrm{0,8327}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $2\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 1

2. t-Werte mit f(t) ≥ 93

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 93 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 93 gleich:

   $30\cdot \sin \left(2\pi t\right)+90$ = 93

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{6,2832}t\right)+90$ = $93$ | $-90$

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{6,2832}t\right)$

   =

   $3$

   |:$30$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{6,2832}t\right)$

   =

   $\mathrm{0,1}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.10016742116156

   1. Fall:

   $\mathrm{6,2832}x$	=	$\mathrm{0,1}$	|:$\mathrm{6,2832}$
   x1	=	$\mathrm{0,0159}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{6,2832}t\right)$ = $\mathrm{0,1}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,1}$= $\mathrm{3,041}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{6,2832}x$	=	$\mathrm{3,041}$	|:$\mathrm{6,2832}$
   x2	=	$\mathrm{0,484}$

   Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.02 s den Wert 93. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 0.48 s zum zweiten mal den Wert 93 erreicht. Während dieser 0.48 - 0.02 = 0.46 s ist der Wert der Funktion also höher als 93.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(\frac{1}{a^2+2}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2+2\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+2$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2+2$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+2$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+2$)' = $2a$ = 0 ⇔ a = 0

Für dieses a = 0 wird also $a^2+2$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2+2\right)$ minimal .

Für a = 0 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left(0^2+2\right)$ = $2\pi ·\left(0+2\right)$ = $4\pi$.