$\text{f(x)}=$ $x·\cos \left(-4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $1·\cos \left(-4x\right)+x·(-\sin \left(-4x\right)·\left(-4\right))$

= $\cos \left(-4x\right)+x·4\cdot \sin \left(-4x\right)$

= $\cos \left(-4x\right)+4x·\sin \left(-4x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(-3x+5\right)+x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(-3x+5\right)·\left(-3+0\right)+2x$

= $-3\cdot \cos \left(-3x+5\right)·\left(-3\right)+2x$

= $9\cdot \cos \left(-3x+5\right)+2x$

= ${\left[-2\cdot \cos \left(-x\right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $-2\cdot \cos \left(-\pi \right)+2\cdot \cos \left(-\left(0\right)\right)$

= $-2\cdot \left(-1\right)+2\cdot 1$

= $2+2$

= $4$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $2\pi$ ≈ $2\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{16}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $2\pi +\frac{8}{3}\pi$ = $\frac{14}{3}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -1, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $2\pi$|-2) und einen bei ( $\frac{14}{3}\pi$|-2)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $2\pi$ ≈ $2\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-2) und einen bei ( $2\pi$|-2)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung und um c= $3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $3$|3).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $3$ + $\pi$ ≈ $\mathrm{6,142}$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $8\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{6,142}+4\pi$ ≈ 18.708 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 3, also bei y=4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\mathrm{6,142}$|4) und bei (18.708|4)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

L={0}

Die einzige Nullstelle in der Periode [0; $\frac{8}{3}\pi$) ist also bei x = 0.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{30}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 60

2. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 45 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 40 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 40 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 45 + 40 s = 85 s. Weil aber 85 nicht im gesuchten Intervall [0;60] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 85 - 60 = 25 s. Die Lösung ist also: 25 s.

3. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 19 nach oben und eine Amplitude von a = 18 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 18 um 19. Somit ist der tiefste Wert bei 19 m - 18 m = 1 m.

4. t-Werte mit f(t) ≥ 24.4

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 24.4 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 24.4 gleich:

   $18\cdot \sin \left(\frac{1}{30}\pi \left(t-40\right)\right)+19$ = 24.4

   $18\cdot \sin \left(\mathrm{0,1047}t-\mathrm{4,1888}\right)+19$ = $\mathrm{24,4}$ | $-19$

   $18\cdot \sin \left(\mathrm{0,1047}t-\mathrm{4,1888}\right)$

   =

   $\mathrm{5,4}$

   |:$18$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,1047}t-\mathrm{4,1888}\right)$

   =

   $\mathrm{0,3}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

   1. Fall:

   $\mathrm{0,1047}x-\mathrm{4,1888}$	=	$\mathrm{0,305}$	| $+\mathrm{4,1888}$
   $\mathrm{0,1047}x$	=	$\mathrm{4,4938}$	|:$\mathrm{0,1047}$
   x1	=	$\mathrm{42,9207}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,1047}t-\mathrm{4,1888}\right)$ = $\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,305}$= $\mathrm{2,837}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,1047}t-\mathrm{4,1888}$

   =

   $\mathrm{2,837}$

   oder

   $\mathrm{0,1047}x-\mathrm{4,1888}$	=	$\mathrm{2,837}-2\pi$	| $+\mathrm{4,1888}$
   $\mathrm{0,1047}x$	=	$\mathrm{7,0258}-2\pi$
   $\mathrm{0,1047}x$	=	$\mathrm{0,7426}$	|:$\mathrm{0,1047}$
   x2	=	$\mathrm{7,0926}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 40 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 40 s nach oben und erreicht erstmals nach 7.09 s den Wert 24.4. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 42.92 s zum zweiten mal den Wert 24.4 erreicht. Während dieser 42.92 - 7.09 = 35.83 s ist der Wert der Funktion also höher als 24.4.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $2\cdot \cos \left(\frac{1}{a^2-6a+13}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2-6a+13\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-6a+13$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2-6a+13$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-6a+13$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-6a+13$)' = $2a-6$ = 0 ⇔ a = 3

Für dieses a = 3 wird also $a^2-6a+13$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2-6a+13\right)$ minimal .

Für a = 3 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left(3^2-6\cdot 3+13\right)$ = $2\pi ·\left(9-18+13\right)$ = $8\pi$.