Aufgabenbeispiele von Trigonometrie
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Ableiten von trigonometrischen Funktionen
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)
Beispiel:
Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).
Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x1=
≈
. .
Weil das gesuchte Interval [0; ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch = eine Lösung.
Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -2, also bei y=1.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( |1) und einen bei ( |1)
Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF
Beispiel:
Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).
Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|3) wird.
Mit Hilfe von b= und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1=
Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei (
Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)
Beispiel:
Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=0 in
y-Richtung und um c=
Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(
Mit Hilfe von b=
p=
Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode,
also bei x1=
Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 0, also bei y=-3.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei (
Nullstellen mit dem WTR
Beispiel:
Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit
Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
|
|
= | |cos-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
1. Fall:
|
|
= |
|
|⋅ 4 |
|
|
= |
|
|: |
| x1 | = |
|
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt)
bei -
bzw. bei -
2. Fall:
|
|
= |
|
|⋅ 4 |
|
|
= |
|
|: |
| x2 | = |
|
L={
Die Nullstellen in der Periode [0;
bei x1 =
trigon. Anwendungsaufgabe 2
Beispiel:
An einem bestimmten Ort kann man die Durchschnittstemperatur zur Uhrzeit t (in h) durch die Funktion f mit
- Zu welcher Uhrzeit ist es am kältesten?
- Wie lange (in Stunden) ist es wärmer als 23,6°C?
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b =
Somit gilt für die Periodenlänge: p =
- t-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.
Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 7 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 7 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 7 h = 25 h. Weil aber 25 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 25 - 24 = 1 h. Die Lösung ist also: 1 Uhr.
- t-Werte mit f(t) ≥ 23.6
Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 23.6 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 23.6 gleich:
= 23.67 ⋅ sin ( 1 12 π ( t - 7 ) ) + 18 7 ⋅ sin ( 0,2618 t - 1,8326 ) + 18 = 23,6 | - 18 7 ⋅ sin ( 0,2618 t - 1,8326 ) = 5,6 |: 7 sin ( 0,2618 t - 1,8326 ) = 0,8 |sin-1(⋅) Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161
1. Fall:
0,2618 x - 1,8326 = 0,927 | + 1,8326 0,2618 x = 2,7596 |: 0,2618 x1 = 10,5409 Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
=sin ( 0,2618 t - 1,8326 ) noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).0,8 Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π -
=0,927 liegen muss.2,214 2. Fall:
0,2618 x - 1,8326 = 2,214 | + 1,8326 0,2618 x = 4,0466 |: 0,2618 x2 = 15,4568 Da die Sinus-Funktion ja um 7 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 7 h nach oben und erreicht erstmals nach 10.54 h den Wert 23.6. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 15.46 h zum zweiten mal den Wert 23.6 erreicht. Während dieser 15.46 - 10.54 = 4.92 h ist der Wert der Funktion also höher als 23.6.
Parameter für best. Periode finden
Beispiel:
Für welchen Wert von a hat der Graph fa mit
Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer
Demnach muss also die Periode p =
Jetzt können wir die Periodenformel p =
b =
Da bei
damit der Graph von
