$\text{f(x)}=$ $\sin \left(\frac{3}{4}\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)-3$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(\frac{3}{4}\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)·\left(\frac{3}{4}\left(1+0\right)\right)+0$

= $\cos \left(\frac{3}{4}\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)·\frac{3}{4}$

= $\frac{3}{4}\cdot \cos \left(\frac{3}{4}\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(-4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \sin \left(-4x\right)·\left(-4\right)$

= $-12\cdot \sin \left(-4x\right)$

= ${\left[\frac{5}{4}\cdot \sin \left(-4x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{5}{4}\cdot \sin \left(-4\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)-\frac{5}{4}\cdot \sin \left(-4\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{5}{4}\cdot 0-\frac{5}{4}\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{4}{3}\pi$ ≈ $\frac{4}{3}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|1) und einen bei ( $\frac{4}{3}\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{9}{4}\pi$ ≈ $\frac{9}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter -3, also bei y=-5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{9}{4}\pi$|-5)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung und um c= $-\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\pi$|2).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $-\pi$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $-\frac{1}{2}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $2\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{1}{2}\pi +2\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 2, also bei y=4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{3}{2}\pi$|4)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

L={ $4\pi$}

Die einzige Nullstelle in der Periode [0; $8\pi$) ist also bei x = $4\pi$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{90}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 180

2. t-Werte mit f(t) ≥ 21.8

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 21.8 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 21.8 gleich:

   $11\cdot \sin \left(\frac{1}{90}\pi \left(t-40\right)\right)+13$ = 21.8

   $11\cdot \sin \left(\mathrm{0,0349}t-\mathrm{1,3963}\right)+13$ = $\mathrm{21,8}$ | $-13$

   $11\cdot \sin \left(\mathrm{0,0349}t-\mathrm{1,3963}\right)$

   =

   $\mathrm{8,8}$

   |:$11$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0349}t-\mathrm{1,3963}\right)$

   =

   $\mathrm{0,8}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0349}x-\mathrm{1,3963}$	=	$\mathrm{0,927}$	| $+\mathrm{1,3963}$
   $\mathrm{0,0349}x$	=	$\mathrm{2,3233}$	|:$\mathrm{0,0349}$
   x1	=	$\mathrm{66,5702}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0349}t-\mathrm{1,3963}\right)$ = $\mathrm{0,8}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,927}$= $\mathrm{2,214}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0349}x-\mathrm{1,3963}$	=	$\mathrm{2,214}$	| $+\mathrm{1,3963}$
   $\mathrm{0,0349}x$	=	$\mathrm{3,6103}$	|:$\mathrm{0,0349}$
   x2	=	$\mathrm{103,447}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 40 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 40 s nach oben und erreicht erstmals nach 66.57 s den Wert 21.8. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 103.45 s zum zweiten mal den Wert 21.8 erreicht. Während dieser 103.45 - 66.57 = 36.88 s ist der Wert der Funktion also höher als 21.8.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $\frac{1}{3}\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $\frac{1}{3}\pi$ = $\frac{4}{3}\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $\frac{4}{3}\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\sin \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $\frac{3}{2}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\sin (\frac{3}{2}·x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $\frac{1}{3}\pi$|1) hat.