$\text{f(x)}=$ $5\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-5\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4x·\cos \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-4·1·\cos \left(2x\right)-4x·(-\sin \left(2x\right)·2)$

= $-4\cdot \cos \left(2x\right)-4x·\left(-2\cdot \sin \left(2x\right)\right)$

= $-4\cdot \cos \left(2x\right)+8x·\sin \left(2x\right)$

= ${\left[-\frac{1}{5}\cdot \cos \left(5x\right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $-\frac{1}{5}\cdot \cos \left(5\cdot \pi \right)+\frac{1}{5}\cdot \cos \left(5\cdot \left(0\right)\right)$

= $-\frac{1}{5}\cdot \left(-1\right)+\frac{1}{5}\cdot 1$

= $\frac{1}{5}+\frac{1}{5}$

= $\frac{2}{5}$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -2, also bei y=-3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{2}\pi$|-3)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|3) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\sin \left(\frac{1}{2}\left(x+0\right)\right)+3$ aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\pi$ ≈ $\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $8\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\pi +4\pi$ = $5\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 3, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\pi$|2) und einen bei ( $5\pi$|2)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $-3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-3$|-2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $-3$|-2) wird.

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-3\cdot \sin \left(x+3\right)-2$ aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $-3$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $-\mathrm{1,429}$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $4\pi$) liegt,
also x₁= $-\mathrm{1,429}+2\pi$ ≈ $\mathrm{4,854}$.

Weil das gesuchte Interval [0; $4\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{4,854}+2\pi$ ≈ 11.137 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter -2, also bei y=-5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\mathrm{4,854}$|-5) und bei (11.137|-5)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.20135792079033

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(2x\right)$ = $\mathrm{0,2}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,201}$= $\mathrm{2,94}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,1005}$; $\mathrm{1,47}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,1005}$ und x₂ = $\mathrm{1,47}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $2\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 1

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 70 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 70. Somit ist der tiefste Wert bei 70 cm - 15 cm = 55 cm.

3. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 0.25 s.

   Die Lösung ist also: 0.25 s.

4. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 70 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 70. Somit ist der höchste Wert bei 70 cm + 15 cm = 85 cm.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer $\frac{3}{4}$ Periode.
Wegen des Minus vor dem Sinus wird ja aber der Graph an der x-Achse gespiegelt, so dass der Tiefpunkt zum Hochpunkt wird. Also ist hier der erste Hochpunkt nach einer $\frac{3}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{3}{4}$⋅p = $3$ |⋅$\frac{4}{3}$

Demnach muss also die Periode p =$\frac{4}{3}$ ⋅ $3$ = $4$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $4$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $-\sin \left(a\pi x\right)$ das b ja $a\pi$ ist, muss also a = $\frac{1}{2}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $-\sin (\frac{1}{2}·\pi x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $3$|1) hat.