$\text{f(x)}=$ $5x^2·\sin \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5·2x·\sin \left(-3x\right)+5x^2·\cos \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $10x·\sin \left(-3x\right)+5x^2·\left(-3\cdot \cos \left(-3x\right)\right)$

= $10x·\sin \left(-3x\right)-15x^2·\cos \left(-3x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2x·\cos \left(-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2·1·\cos \left(-5x\right)-2x·(-\sin \left(-5x\right)·\left(-5\right))$

= $-2\cdot \cos \left(-5x\right)-2x·5\cdot \sin \left(-5x\right)$

= $-2\cdot \cos \left(-5x\right)-10x·\sin \left(-5x\right)$

= ${\left[\frac{4}{3}\cdot \cos \left(-3x\right)\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $\frac{4}{3}\cdot \cos \left(-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)-\frac{4}{3}\cdot \cos \left(-3\cdot \left(0\right)\right)$

= $\frac{4}{3}\cdot 0-\frac{4}{3}\cdot 1$

= $0-\frac{4}{3}$

= $0-\frac{4}{3}$

= $-\frac{4}{3}$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{4}{3}\pi$ ≈ $\frac{4}{3}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{16}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\frac{8}{3}\pi$ = $\frac{8}{3}\pi$ und $\frac{4}{3}\pi +\frac{8}{3}\pi$ = $4\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-3) und einen bei ( $\frac{4}{3}\pi$|-3) und einen bei ( $\frac{8}{3}\pi$|-3) und einen bei ( $4\pi$|-3)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{4}\pi$ ≈ $\frac{3}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $2\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{3}{4}\pi +\pi$ = $\frac{7}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 1, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{4}\pi$|-1) und einen bei ( $\frac{7}{4}\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $3$|1).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $3$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{4,571}$. und bei x₂= $3$ + $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{7,712}$.
Weil diese Stelle aber größer als die Periode ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode davon abziehen, damit der x-Wert in der ersten Periode liegt, also x₂= $\mathrm{7,712}-2\pi$ ≈ $\mathrm{1,429}$.

Weil das gesuchte Interval [0; $4\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{4,571}+2\pi$ ≈ 10.854 und $\mathrm{1,429}+2\pi$ ≈ 7.712 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\mathrm{4,571}$|-2) und bei ( $\mathrm{1,429}$|-2) und bei (10.854|-2) und bei (7.712|-2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(x\right)$ = $\mathrm{0,6}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{0,927}$
bzw. bei - $\mathrm{0,927}$+2π= $\mathrm{5,356}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,927}$; $\mathrm{5,356}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $2\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,927}$ und x₂ = $\mathrm{5,356}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{2}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 4

2. t-Werte mit f(t) ≥ 85

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 85 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 85 gleich:

   $30\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi t\right)+70$ = 85

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{1,5708}t\right)+70$ = $85$ | $-70$

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{1,5708}t\right)$

   =

   $15$

   |:$30$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{1,5708}t\right)$

   =

   $\mathrm{0,5}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

   1. Fall:

   $\mathrm{1,5708}x$	=	$\frac{5}{6}\pi$	|:$\mathrm{1,5708}$
   x1	=	$\mathrm{0,5305}\pi$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{1,5708}t\right)$ = $\mathrm{0,5}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{5}{6}\pi$= $\frac{1}{6}\pi$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{1,5708}x$	=	$\frac{1}{6}\pi$	|:$\mathrm{1,5708}$
   x2	=	$\mathrm{0,1061}\pi$

   Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.33 s den Wert 85. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 1.67 s zum zweiten mal den Wert 85 erreicht. Während dieser 1.67 - 0.33 = 1.34 s ist der Wert der Funktion also höher als 85.

3. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 1 s.

   Die Lösung ist also: 1 s.

4. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 70 nach oben und eine Amplitude von a = 30 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 30 um 70. Somit ist der höchste Wert bei 70 cm + 30 cm = 100 cm.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $\sin \left(\frac{1}{a^2-4a+5}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2-4a+5\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-4a+5$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2-4a+5$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-4a+5$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-4a+5$)' = $2a-4$ = 0 ⇔ a = 2

Für dieses a = 2 wird also $a^2-4a+5$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2-4a+5\right)$ minimal .

Für a = 2 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left(2^2-4\cdot 2+5\right)$ = $2\pi ·\left(4-8+5\right)$ = $2\pi$.