$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(4\left(x+2\right)\right)+1$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(4\left(x+2\right)\right)·\left(4\left(1+0\right)\right)+0$

= $2\cdot \cos \left(4\left(x+2\right)\right)·\left(4\left(1\right)\right)$

= $8\cdot \cos \left(4\left(x+2\right)\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\cdot \cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5\cdot \sin \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $-15\cdot \sin \left(-3x\right)$

= ${\left[-4\cdot \sin (x-\pi )\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-4\cdot \sin (\frac{3}{2}\pi -\pi )+4\cdot \sin (0-\pi )$

= $-4\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)+4\cdot \sin (-\pi )$

= $-4\cdot 1+4\cdot 0$

= $-4+0$

= $-4$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $4\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{2}\pi +2\pi$ = $\frac{5}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über -3, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{2}\pi$|-1) und einen bei ( $\frac{5}{2}\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{6}\pi$ ≈ $\frac{1}{6}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -2, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{6}\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung und um c= $-3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-3$|-3).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-3$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $-\mathrm{1,429}$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{4}{3}\pi$) liegt,
also x₁= $-\mathrm{1,429}+\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\mathrm{0,665}$.

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{0,665}+\frac{2}{3}\pi$ ≈ 2.759 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter -3, also bei y=-6.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\mathrm{0,665}$|-6) und bei (2.759|-6)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

L={ $3\pi$}

Die einzige Nullstelle in der Periode [0; $4\pi$) ist also bei x = $3\pi$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 24

1. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 6 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 7 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 7 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 6 + 7 h = 13 h. Die Lösung ist also: 13 Uhr.

2. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 10 nach oben und eine Amplitude von a = 8 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 8 um 10. Somit ist der höchste Wert bei 10 ° C + 8 ° C = 18 ° C.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $\frac{1}{2}\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $\frac{1}{2}\pi$ = $2\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $2\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $-\cos \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $1$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $-\cos (1·x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $\frac{1}{2}\pi$|0) hat.