$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(2\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(2\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)·\left(2\left(1+0\right)\right)$

= $3\cdot \cos \left(2\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)·2$

= $6\cdot \cos \left(2\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\left(x+1\right)\right)-2$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\left(x+1\right)\right)·\left(\frac{1}{2}\left(1+0\right)\right)+0$

= $2\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\left(x+1\right)\right)·\left(\frac{1}{2}\left(1\right)\right)$

= $\cos \left(\frac{1}{2}\left(x+1\right)\right)$

= ${\left[-2\cdot \cos (x+\pi )\right]}_0^{\pi }$

$=$ $-2\cdot \cos (\pi +\pi )+2\cdot \cos (0+\pi )$

= $-2\cdot \cos \left(2\pi \right)+2\cdot \cos \left(\pi \right)$

= $-2\cdot 1+2\cdot \left(-1\right)$

= $-2-2$

= $-4$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\frac{2}{3}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 1, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{2}{3}\pi$|2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $6\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+3\pi$ = $3\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -2, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $0$|1) und einen bei ( $3\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $-2\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-2\pi$|-1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-2\pi$|-3) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-2\pi$ + $\frac{2}{3}\pi$ ≈ $-\frac{4}{3}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{16}{3}\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{4}{3}\pi +\frac{8}{3}\pi$ ≈ $\frac{4}{3}\pi$ und bei x₂= $-2\pi$ + $2\pi$ ≈ 0. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{16}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{4}{3}\pi +\frac{8}{3}\pi$ = $4\pi$ und $0+\frac{8}{3}\pi$ = $\frac{8}{3}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{4}{3}\pi$|-2) und bei (0|-2) und bei ( $4\pi$|-2) und bei ( $\frac{8}{3}\pi$|-2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.79539883018414

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{1}{4}x\right)$ = $\mathrm{0,7}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{0,795}$
bzw. bei - $\mathrm{0,795}$+2π= $\mathrm{5,488}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{3,18}$; $\mathrm{21,952}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $8\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{3,18}$ und x₂ = $\mathrm{21,952}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 24

1. t-Werte mit f(t) ≥ 21.6

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 21.6 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 21.6 gleich:

   $6\cdot \sin \left(\frac{1}{12}\pi \left(t-7\right)\right)+18$ = 21.6

   $6\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{1,8326}\right)+18$ = $\mathrm{21,6}$ | $-18$

   $6\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{1,8326}\right)$

   =

   $\mathrm{3,6}$

   |:$6$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{1,8326}\right)$

   =

   $\mathrm{0,6}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

   1. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{1,8326}$	=	$\mathrm{0,644}$	| $+\mathrm{1,8326}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{2,4766}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x1	=	$\mathrm{9,4599}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{1,8326}\right)$ = $\mathrm{0,6}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,644}$= $\mathrm{2,498}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{1,8326}$	=	$\mathrm{2,498}$	| $+\mathrm{1,8326}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{4,3306}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x2	=	$\mathrm{16,5416}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 7 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 7 h nach oben und erreicht erstmals nach 9.46 h den Wert 21.6. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 16.54 h zum zweiten mal den Wert 21.6 erreicht. Während dieser 16.54 - 9.46 = 7.08 h ist der Wert der Funktion also höher als 21.6.

2. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 7 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 7 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 7 h = 25 h. Weil aber 25 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 25 - 24 = 1 h. Die Lösung ist also: 1 Uhr.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $\frac{1}{2}\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $\frac{1}{2}\pi$ = $2\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $2\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\cos \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $1$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\cos (1·x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $\frac{1}{2}\pi$|0) hat.