$\text{f(x)}=$ $4x^2·\sin \left(-4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4·2x·\sin \left(-4x\right)+4x^2·\cos \left(-4x\right)·\left(-4\right)$

= $8x·\sin \left(-4x\right)+4x^2·\left(-4\cdot \cos \left(-4x\right)\right)$

= $8x·\sin \left(-4x\right)-16x^2·\cos \left(-4x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4x^2·\sin \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-4·2x·\sin \left(3x\right)-4x^2·\cos \left(3x\right)·3$

= $-8x·\sin \left(3x\right)-4x^2·3\cdot \cos \left(3x\right)$

= $-8x·\sin \left(3x\right)-12x^2·\cos \left(3x\right)$

= ${\left[4\cdot \sin \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $4\cdot \sin \left(\pi \right)-4\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$

= $4\cdot 0-4\cdot 1$

= $0-4$

= $-4$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $4\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{3}{2}\pi +2\pi$ = $\frac{7}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 3, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{2}\pi$|2) und einen bei ( $\frac{7}{2}\pi$|2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{8}\pi$ ≈ $\frac{1}{8}\pi$. und bei x₂= $\frac{3}{8}\pi$ ≈ $\frac{3}{8}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{8}\pi$|1) und einen bei ( $\frac{3}{8}\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{4}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{4}\pi$|3).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{4}\pi$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. und bei x₂= $-\frac{1}{4}\pi$ + $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\frac{5}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $4\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{4}\pi +2\pi$ = $\frac{9}{4}\pi$ und $\frac{5}{4}\pi +2\pi$ = $\frac{13}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{4}\pi$|2) und bei ( $\frac{5}{4}\pi$|2) und bei ( $\frac{9}{4}\pi$|2) und bei ( $\frac{13}{4}\pi$|2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.1592794807274

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{2}{3}x\right)$ = $\mathrm{0,4}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{1,159}$
bzw. bei - $\mathrm{1,159}$+2π= $\mathrm{5,124}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{1,7385}$; $\mathrm{7,686}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $3\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{1,7385}$ und x₂ = $\mathrm{7,686}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 24

1. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 8 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 8 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 8 h = 26 h. Weil aber 26 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 26 - 24 = 2 h. Die Lösung ist also: 2 Uhr.

2. t-Werte mit f(t) ≥ 19

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 19 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 19 gleich:

   $5\cdot \sin \left(\frac{1}{12}\pi \left(t-8\right)\right)+17$ = 19

   $5\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,0944}\right)+17$ = $19$ | $-17$

   $5\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,0944}\right)$

   =

   $2$

   |:$5$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,0944}\right)$

   =

   $\mathrm{0,4}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.41151684606749

   1. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,0944}$	=	$\mathrm{0,412}$	| $+\mathrm{2,0944}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{2,5064}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x1	=	$\mathrm{9,5737}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,0944}\right)$ = $\mathrm{0,4}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,412}$= $\mathrm{2,73}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,0944}$	=	$\mathrm{2,73}$	| $+\mathrm{2,0944}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{4,8244}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x2	=	$\mathrm{18,4278}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 8 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 8 h nach oben und erreicht erstmals nach 9.57 h den Wert 19. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 18.43 h zum zweiten mal den Wert 19 erreicht. Während dieser 18.43 - 9.57 = 8.86 h ist der Wert der Funktion also höher als 19.

3. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 17 nach oben und eine Amplitude von a = 5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 5 um 17. Somit ist der höchste Wert bei 17 ° C + 5 ° C = 22 ° C.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $2\cdot \sin \left(\left(a^2-6a+10\right)x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ =

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-6a+10$ wird, desto kleiner wird die Periode.

$a^2-6a+10$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-6a+10$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-6a+10$)' = $2a-6$ = 0 ⇔ a = 3

Für dieses a = 3 wird also $a^2-6a+10$ minimal und somit die Periode $\frac{2\pi }{a^2-6a+10}$ maximal .

Für a = 3 ist dann die maximale Periode p_max = $\frac{2\pi }{3^2-6\cdot 3+10}$ = $\frac{2\pi }{9-18+10}$ = $2\pi$.