$\text{f(x)}=$ $-5\cdot \cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5\cdot \sin \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $-15\cdot \sin \left(-3x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\cos \left(-3x+4\right)-4x$

$\text{f'(x)}=$ $\sin \left(-3x+4\right)·\left(-3+0\right)-4$

= $\sin \left(-3x+4\right)·\left(-3\right)-4$

= $-3\cdot \sin \left(-3x+4\right)-4$

= ${\left[-\frac{4}{5}\cdot \cos \left(5x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $-\frac{4}{5}\cdot \cos \left(5\cdot \pi \right)+\frac{4}{5}\cdot \cos \left(5\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-\frac{4}{5}\cdot \left(-1\right)+\frac{4}{5}\cdot 0$

= $\frac{4}{5}+0$

= $\frac{4}{5}+0$

= $\frac{4}{5}$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 0, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{2}\pi$|-2)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $3\pi$ ≈ $3\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 3, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $3\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=0 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{2}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{2}\pi$|1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-\frac{1}{2}\pi$|-1) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\cos \left(\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)+0$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{2}\pi$ + $2\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 0, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{3}{2}\pi$|1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

L={ $\frac{3}{2}\pi$}

Die einzige Nullstelle in der Periode [0; $6\pi$) ist also bei x = $\frac{3}{2}\pi$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{70}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 140

2. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 105 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 10 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 10 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 105 + 10 s = 115 s. Die Lösung ist also: 115 s.

3. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 11 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 11 um 12. Somit ist der tiefste Wert bei 12 m - 11 m = 1 m.

4. t-Werte mit f(t) ≥ 20.8

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 20.8 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 20.8 gleich:

   $11\cdot \sin \left(\frac{1}{70}\pi \left(t-10\right)\right)+12$ = 20.8

   $11\cdot \sin \left(\mathrm{0,0449}t-\mathrm{0,4488}\right)+12$ = $\mathrm{20,8}$ | $-12$

   $11\cdot \sin \left(\mathrm{0,0449}t-\mathrm{0,4488}\right)$

   =

   $\mathrm{8,8}$

   |:$11$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0449}t-\mathrm{0,4488}\right)$

   =

   $\mathrm{0,8}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0449}x-\mathrm{0,4488}$	=	$\mathrm{0,927}$	| $+\mathrm{0,4488}$
   $\mathrm{0,0449}x$	=	$\mathrm{1,3758}$	|:$\mathrm{0,0449}$
   x1	=	$\mathrm{30,6414}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0449}t-\mathrm{0,4488}\right)$ = $\mathrm{0,8}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,927}$= $\mathrm{2,214}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0449}x-\mathrm{0,4488}$	=	$\mathrm{2,214}$	| $+\mathrm{0,4488}$
   $\mathrm{0,0449}x$	=	$\mathrm{2,6628}$	|:$\mathrm{0,0449}$
   x2	=	$\mathrm{59,3051}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 10 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 10 s nach oben und erreicht erstmals nach 30.64 s den Wert 20.8. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 59.31 s zum zweiten mal den Wert 20.8 erreicht. Während dieser 59.31 - 30.64 = 28.67 s ist der Wert der Funktion also höher als 20.8.

5. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 35 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 10 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 10 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 35 + 10 s = 45 s. Die Lösung ist also: 45 s.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer $\frac{3}{4}$ Periode.
Wegen des Minus vor dem Sinus wird ja aber der Graph an der x-Achse gespiegelt, so dass der Tiefpunkt zum Hochpunkt wird. Also ist hier der erste Hochpunkt nach einer $\frac{3}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{3}{4}$⋅p = $3$ |⋅$\frac{4}{3}$

Demnach muss also die Periode p =$\frac{4}{3}$ ⋅ $3$ = $4$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $4$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $-\sin \left(a\pi x\right)$ das b ja $a\pi$ ist, muss also a = $\frac{1}{2}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $-\sin (\frac{1}{2}·\pi x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $3$|1) hat.