$\text{f(x)}=$ $2x·\sin \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2·1·\sin \left(4x\right)+2x·\cos \left(4x\right)·4$

= $2\cdot \sin \left(4x\right)+2x·4\cdot \cos \left(4x\right)$

= $2\cdot \sin \left(4x\right)+8x·\cos \left(4x\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)+1$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)·\left(\frac{1}{2}\left(1+0\right)\right)+0$

= $2\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)·\frac{1}{2}$

= $\cos \left(\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= ${\left[-\frac{3}{5}\cdot \cos \left(5x\right)\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $-\frac{3}{5}\cdot \cos \left(5\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)+\frac{3}{5}\cdot \cos \left(5\cdot \left(0\right)\right)$

= $-\frac{3}{5}\cdot 0+\frac{3}{5}\cdot 1$

= $0+\frac{3}{5}$

= $0+\frac{3}{5}$

= $\frac{3}{5}$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{1}{3}\pi$ ≈ $\frac{1}{3}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-1) und einen bei ( $\frac{1}{3}\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|1) wird.

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-2\cdot \cos \left(4\left(x+0\right)\right)+1$ aber zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 1, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $0$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $-2$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-2$|0).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-2$|-4) wird.

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-2\cdot \cos \left(4\left(x+2\right)\right)-2$ aber zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $-2$ + $0$ ≈ $-2$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{1}{2}\pi$) liegt,
also x₁= $-2+\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{1,142}$.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter -2, also bei y=-4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\mathrm{1,142}$|-4)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert -0.5235987755983

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\frac{11}{6}\pi$

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\frac{3}{4}x\right)$ = $-\mathrm{0,5}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{11}{6}\pi$=-2.618 bzw. bei -2.618+2π= $\frac{7}{6}\pi$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\frac{14}{9}\pi$; $\frac{22}{9}\pi$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{8}{3}\pi$) sind also
bei x₁ = $\frac{14}{9}\pi$ und x₂ = $\frac{22}{9}\pi$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 2

2. t-Werte mit f(t) ≥ 119

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 119 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 119 gleich:

   $30\cdot \sin \left(\pi t\right)+95$ = 119

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{3,1416}t\right)+95$ = $119$ | $-95$

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{3,1416}t\right)$

   =

   $24$

   |:$30$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{3,1416}t\right)$

   =

   $\mathrm{0,8}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

   1. Fall:

   $\mathrm{3,1416}x$	=	$\mathrm{0,927}$	|:$\mathrm{3,1416}$
   x1	=	$\mathrm{0,2951}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{3,1416}t\right)$ = $\mathrm{0,8}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,927}$= $\mathrm{2,214}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{3,1416}x$	=	$\mathrm{2,214}$	|:$\mathrm{3,1416}$
   x2	=	$\mathrm{0,7047}$

   Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.3 s den Wert 119. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 0.7 s zum zweiten mal den Wert 119 erreicht. Während dieser 0.7 - 0.3 = 0.4 s ist der Wert der Funktion also höher als 119.

3. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 0.5 s.

   Die Lösung ist also: 0.5 s.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(\left(a^2+4a+5\right)x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ =

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+4a+5$ wird, desto kleiner wird die Periode.

$a^2+4a+5$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+4a+5$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+4a+5$)' = $2a+4$ = 0 ⇔ a = -2

Für dieses a = -2 wird also $a^2+4a+5$ minimal und somit die Periode $\frac{2\pi }{a^2+4a+5}$ maximal .

Für a = -2 ist dann die maximale Periode p_max = $\frac{2\pi }{{\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)+5}$ = $\frac{2\pi }{4-8+5}$ = $2\pi$.