$\text{f(x)}=$ $-2x^2·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2·2x·\sin \left(-2x\right)-2x^2·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $-4x·\sin \left(-2x\right)-2x^2·\left(-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right)$

= $-4x·\sin \left(-2x\right)+4x^2·\cos \left(-2x\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(3\left(x+1\right)\right)+2$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(3\left(x+1\right)\right)·\left(3\left(1+0\right)\right)+0$

= $3\cdot \cos \left(3\left(x+1\right)\right)·\left(3\left(1\right)\right)$

= $9\cdot \cos \left(3\left(x+1\right)\right)$

= ${\left[\frac{1}{2}\cdot \sin \left(2x\right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{1}{2}\cdot \sin \left(2\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)-\frac{1}{2}\cdot \sin \left(2\cdot \left(0\right)\right)$

= $\frac{1}{2}\cdot 0-\frac{1}{2}\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{8}\pi$ ≈ $\frac{1}{8}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{8}\pi +\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{5}{8}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 1, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{8}\pi$|2) und einen bei ( $\frac{5}{8}\pi$|2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{16}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\frac{8}{3}\pi$ = $\frac{8}{3}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -3, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $0$|-2) und einen bei ( $\frac{8}{3}\pi$|-2)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $-1$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-1$|-2).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $-1$ + $\frac{1}{8}\pi$ ≈ $-\mathrm{0,607}$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\pi$) liegt,
also x₁= $-\mathrm{0,607}+\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{0,964}$.

Weil das gesuchte Interval [0; $\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{0,964}+\frac{1}{2}\pi$ ≈ 2.535 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über -2, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\mathrm{0,964}$|0) und bei (2.535|0)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.1592794807274

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{1}{3}x\right)$ = $\mathrm{0,4}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{1,159}$
bzw. bei - $\mathrm{1,159}$+2π= $\mathrm{5,124}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{3,477}$; $\mathrm{15,372}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $6\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{3,477}$ und x₂ = $\mathrm{15,372}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 24

1. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 18 nach oben und eine Amplitude von a = 4 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4 um 18. Somit ist der tiefste Wert bei 18 ° C - 4 ° C = 14 ° C.

2. t-Werte mit f(t) ≥ 20

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 20 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 20 gleich:

   $4\cdot \sin \left(\frac{1}{12}\pi \left(t-11\right)\right)+18$ = 20

   $4\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,8798}\right)+18$ = $20$ | $-18$

   $4\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,8798}\right)$

   =

   $2$

   |:$4$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,8798}\right)$

   =

   $\mathrm{0,5}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

   1. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,8798}$	=	$\frac{5}{6}\pi$	| $+\mathrm{2,8798}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{2,8798}+\frac{5}{6}\pi$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{5,4978}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x1	=	$21$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,8798}\right)$ = $\mathrm{0,5}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{5}{6}\pi$= $\frac{1}{6}\pi$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,8798}$	=	$\frac{1}{6}\pi$	| $+\mathrm{2,8798}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{2,8798}+\frac{1}{6}\pi$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{3,4034}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x2	=	$13$

   Da die Sinus-Funktion ja um 11 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 11 h nach oben und erreicht erstmals nach 13 h den Wert 20. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 21 h zum zweiten mal den Wert 20 erreicht. Während dieser 21 - 13 = 8 h ist der Wert der Funktion also höher als 20.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $2$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $2$ = $8$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $8$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\cos \left(a\pi x\right)$ das b ja $a\pi$ ist, muss also a = $\frac{1}{4}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\cos (\frac{1}{4}·\pi x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $2$|0) hat.