$\text{f(x)}=$ $\sin \left(3\left(x+2\right)\right)+2$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(3\left(x+2\right)\right)·\left(3\left(1+0\right)\right)+0$

= $\cos \left(3\left(x+2\right)\right)·\left(3\left(1\right)\right)$

= $3\cdot \cos \left(3\left(x+2\right)\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)+1$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)·\left(\frac{1}{2}\left(1+0\right)\right)+0$

= $2\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)·\frac{1}{2}$

= $\cos \left(\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= ${\left[-4\cdot \sin \left(x\right)\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $-4\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)+4\cdot \sin \left(0\right)$

= $-4\cdot 1+4\cdot 0$

= $-4+0$

= $-4$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $2\pi$ ≈ $2\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 2, also bei y=3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $2\pi$|3)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|2) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-3\cdot \cos \left(\frac{2}{3}\left(x+0\right)\right)+2$ aber zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 2, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $0$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in y-Richtung und um c= $-2$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-2$|3).

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-2$ + $\frac{3}{4}\pi$ ≈ $\mathrm{0,356}$. und bei x₂= $-2$ + $\frac{9}{4}\pi$ ≈ $\mathrm{5,069}$. .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\mathrm{0,356}$|2) und bei ( $\mathrm{5,069}$|2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\frac{1}{2}x\right)$ = $\mathrm{0,5}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{5}{6}\pi$= $\frac{1}{6}\pi$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\frac{1}{3}\pi$; $\frac{5}{3}\pi$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $4\pi$) sind also
bei x₁ = $\frac{1}{3}\pi$ und x₂ = $\frac{5}{3}\pi$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 24

1. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 11 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 11 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 11 h = 29 h. Weil aber 29 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 29 - 24 = 5 h. Die Lösung ist also: 5 Uhr.

2. t-Werte mit f(t) ≥ 16.7

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 16.7 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 16.7 gleich:

   $3\cdot \sin \left(\frac{1}{12}\pi \left(t-11\right)\right)+14$ = 16.7

   $3\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,8798}\right)+14$ = $\mathrm{16,7}$ | $-14$

   $3\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,8798}\right)$

   =

   $\mathrm{2,7}$

   |:$3$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,8798}\right)$

   =

   $\mathrm{0,9}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 1.1197695149986

   1. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,8798}$	=	$\mathrm{1,12}$	| $+\mathrm{2,8798}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{3,9998}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x1	=	$\mathrm{15,2781}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,8798}\right)$ = $\mathrm{0,9}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{1,12}$= $\mathrm{2,022}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,8798}$	=	$\mathrm{2,022}$	| $+\mathrm{2,8798}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{4,9018}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x2	=	$\mathrm{18,7235}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 11 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 11 h nach oben und erreicht erstmals nach 15.28 h den Wert 16.7. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 18.72 h zum zweiten mal den Wert 16.7 erreicht. Während dieser 18.72 - 15.28 = 3.44 h ist der Wert der Funktion also höher als 16.7.

3. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 6 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 11 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 11 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 6 + 11 h = 17 h. Die Lösung ist also: 17 Uhr.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $\frac{1}{4}$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $\frac{1}{4}$ = $1$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $1$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\sin \left(a\pi x\right)$ das b ja $a\pi$ ist, muss also a = $2$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\sin (2·\pi x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $\frac{1}{4}$|1) hat.