$\text{f(x)}=$ $2{\left(\cos \left(x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $4\left(\cos \left(x\right)\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-4\cos \left(x\right)·\sin \left(x\right)$

= $-4\sin \left(x\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(-4x+3\right)+4$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(-4x+3\right)·\left(-4+0\right)+0$

= $\cos \left(-4x+3\right)·\left(-4\right)$

= $-4\cdot \cos \left(-4x+3\right)$

= ${\left[-\frac{4}{5}\cdot \sin \left(5x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\frac{4}{5}\cdot \sin \left(5\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)+\frac{4}{5}\cdot \sin \left(5\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-\frac{4}{5}\cdot \left(-1\right)+\frac{4}{5}\cdot 1$

= $\frac{4}{5}+\frac{4}{5}$

= $\frac{8}{5}$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $2\pi$ ≈ $2\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $16\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $2\pi +8\pi$ = $10\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 2, also bei y=4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $2\pi$|4) und einen bei ( $10\pi$|4)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|0) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\cos \left(\frac{3}{4}\left(x+0\right)\right)+0$ aber zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 0, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $0$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung und um c= $-2$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-2$|3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-2$|-1) wird.

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-2$ + $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $-\mathrm{1,215}$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $2\pi$) liegt,
also x₁= $-\mathrm{1,215}+\pi$ ≈ $\mathrm{1,927}$ und bei x₂= $-2$ + $\frac{3}{4}\pi$ ≈ $\mathrm{0,356}$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $2\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{1,927}+\pi$ ≈ 5.069 und $\mathrm{0,356}+\pi$ ≈ 3.498 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\mathrm{1,927}$|1) und bei ( $\mathrm{0,356}$|1) und bei (5.069|1) und bei (3.498|1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 2.0943951023932

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(x\right)$ = $-\mathrm{0,5}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{2}{3}\pi$
bzw. bei - $\frac{2}{3}\pi$+2π= $\frac{4}{3}\pi$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\frac{2}{3}\pi$; $\frac{4}{3}\pi$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $2\pi$) sind also
bei x₁ = $\frac{2}{3}\pi$ und x₂ = $\frac{4}{3}\pi$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{2}{3}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 3

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 95 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 95. Somit ist der tiefste Wert bei 95 cm - 15 cm = 80 cm.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 101

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 101 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 101 gleich:

   $15\cdot \sin \left(\frac{2}{3}\pi t\right)+95$ = 101

   $15\cdot \sin \left(\mathrm{2,0944}t\right)+95$ = $101$ | $-95$

   $15\cdot \sin \left(\mathrm{2,0944}t\right)$

   =

   $6$

   |:$15$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{2,0944}t\right)$

   =

   $\mathrm{0,4}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.41151684606749

   1. Fall:

   $\mathrm{2,0944}x$	=	$\mathrm{0,412}$	|:$\mathrm{2,0944}$
   x1	=	$\mathrm{0,1967}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{2,0944}t\right)$ = $\mathrm{0,4}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,412}$= $\mathrm{2,73}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{2,0944}x$	=	$\mathrm{2,73}$	|:$\mathrm{2,0944}$
   x2	=	$\mathrm{1,3035}$

   Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.2 s den Wert 101. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 1.3 s zum zweiten mal den Wert 101 erreicht. Während dieser 1.3 - 0.2 = 1.1 s ist der Wert der Funktion also höher als 101.

4. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 95 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 95. Somit ist der höchste Wert bei 95 cm + 15 cm = 110 cm.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $\pi$ = $4\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $4\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $-\cos \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $\frac{1}{2}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $-\cos (\frac{1}{2}·x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $\pi$|0) hat.