$\text{f(x)}=$ $-4x·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-4·1·\cos \left(x\right)-4x·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-4\cdot \cos \left(x\right)+4x·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \cos \left(-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(-5x\right)·\left(-5\right)$

= $10\cdot \sin \left(-5x\right)$

= ${\left[3\cdot \cos \left(x+\frac{3}{2}\pi \right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $3\cdot \cos \left(\pi +\frac{3}{2}\pi \right)-3\cdot \cos \left(0+\frac{3}{2}\pi \right)$

= $3\cdot \cos \left(\frac{5}{2}\pi \right)-3\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)$

= $3\cdot 0-3\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{2}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{7}{6}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 1, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{1}{2}\pi$|0) und einen bei ( $\frac{7}{6}\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|-1) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $4\pi$ ≈ $4\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-1) und einen bei ( $4\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung und um c= $-2\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-2\pi$|-3).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $-2\pi$ + $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $-\frac{1}{2}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $12\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{1}{2}\pi +6\pi$ ≈ $\frac{11}{2}\pi$.

Weil das gesuchte Interval [0; $12\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{11}{2}\pi +6\pi$ = $\frac{23}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -3, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{11}{2}\pi$|0) und bei ( $\frac{23}{2}\pi$|0)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert -0.64350110879328

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\mathrm{5,64}$

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\frac{3}{4}x\right)$ = $-\mathrm{0,6}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{5,64}$=-2.4984 bzw. bei -2.4984+2π= $\mathrm{3,785}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{5,0467}$; $\mathrm{7,52}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{8}{3}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{5,0467}$ und x₂ = $\mathrm{7,52}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 366

1. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 4 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4 um 12. Somit ist der tiefste Wert bei 12 h - 4 h = 8 h.

2. t-Werte mit f(t) ≥ 15.2

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 15.2 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 15.2 gleich:

   $4\cdot \sin \left(\frac{1}{183}\pi \left(t-70\right)\right)+12$ = 15.2

   $4\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{1,2017}\right)+12$ = $\mathrm{15,2}$ | $-12$

   $4\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{1,2017}\right)$

   =

   $\mathrm{3,2}$

   |:$4$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{1,2017}\right)$

   =

   $\mathrm{0,8}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{1,2017}$	=	$\mathrm{0,927}$	| $+\mathrm{1,2017}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{2,1287}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x1	=	$\mathrm{123,7616}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{1,2017}\right)$ = $\mathrm{0,8}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,927}$= $\mathrm{2,214}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{1,2017}$	=	$\mathrm{2,214}$	| $+\mathrm{1,2017}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{3,4157}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x2	=	$\mathrm{198,5872}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 70 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 70 d nach oben und erreicht erstmals nach 123.76 d den Wert 15.2. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 198.59 d zum zweiten mal den Wert 15.2 erreicht. Während dieser 198.59 - 123.76 = 74.83 d ist der Wert der Funktion also höher als 15.2.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $\frac{1}{6}\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $\frac{1}{6}\pi$ = $\frac{2}{3}\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $-\cos \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $3$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $-\cos (3·x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $\frac{1}{6}\pi$|0) hat.