$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \sin \left(4x\right)·4$

= $16\cdot \sin \left(4x\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)$

= ${\left[\sin \left(4x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $\sin \left(4\cdot \pi \right)-\sin \left(4\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $0-0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\frac{2}{3}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{16}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{2}{3}\pi +\frac{8}{3}\pi$ = $\frac{10}{3}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über -3, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{2}{3}\pi$|-1) und einen bei ( $\frac{10}{3}\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|-2) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $4\pi$ ≈ $4\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $16\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+8\pi$ = $8\pi$ und $4\pi +8\pi$ = $12\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-2) und einen bei ( $4\pi$|-2) und einen bei ( $8\pi$|-2) und einen bei ( $12\pi$|-2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{3}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{3}\pi$|0).

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{3}\pi$ + $\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\frac{1}{3}\pi$. und bei x₂= $-\frac{1}{3}\pi$ + $2\pi$ ≈ $\frac{5}{3}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{16}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{3}\pi +\frac{8}{3}\pi$ = $3\pi$ und $\frac{5}{3}\pi +\frac{8}{3}\pi$ = $\frac{13}{3}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{3}\pi$|-1) und bei ( $\frac{5}{3}\pi$|-1) und bei ( $3\pi$|-1) und bei ( $\frac{13}{3}\pi$|-1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{1}{4}x\right)$ = $\mathrm{0,8}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{0,644}$
bzw. bei - $\mathrm{0,644}$+2π= $\mathrm{5,64}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{2,576}$; $\mathrm{22,56}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $8\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{2,576}$ und x₂ = $\mathrm{22,56}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 366

1. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 3.5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 3.5 um 12. Somit ist der tiefste Wert bei 12 h - 3.5 h = 8.5 h.

2. t-Werte mit f(t) ≥ 13.05

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 13.05 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 13.05 gleich:

   $\mathrm{3,5}\cdot \sin \left(\frac{1}{183}\pi \left(t-70\right)\right)+12$ = 13.05

   $\mathrm{3,5}\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{1,2017}\right)+12$ = $\mathrm{13,05}$ | $-12$

   $\mathrm{3,5}\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{1,2017}\right)$

   =

   $\mathrm{1,05}$

   |:$\mathrm{3,5}$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{1,2017}\right)$

   =

   $\mathrm{0,3}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{1,2017}$	=	$\mathrm{0,305}$	| $+\mathrm{1,2017}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{1,5067}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x1	=	$\mathrm{87,5988}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{1,2017}\right)$ = $\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,305}$= $\mathrm{2,837}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{1,2017}$	=	$\mathrm{2,837}$	| $+\mathrm{1,2017}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{4,0387}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x2	=	$\mathrm{234,8081}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 70 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 70 d nach oben und erreicht erstmals nach 87.6 d den Wert 13.05. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 234.81 d zum zweiten mal den Wert 13.05 erreicht. Während dieser 234.81 - 87.6 = 147.21 d ist der Wert der Funktion also höher als 13.05.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $2\cdot \cos \left(\frac{1}{a^2+6a+10}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2+6a+10\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+6a+10$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2+6a+10$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+6a+10$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+6a+10$)' = $2a+6$ = 0 ⇔ a = -3

Für dieses a = -3 wird also $a^2+6a+10$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2+6a+10\right)$ minimal .

Für a = -3 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left({\left(-3\right)}^2+6\cdot \left(-3\right)+10\right)$ = $2\pi ·\left(9-18+10\right)$ = $2\pi$.