$\text{f(x)}=$ $-2x·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2·1·\cos \left(x\right)-2x·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-2\cdot \cos \left(x\right)+2x·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(2\left(x+1\right)\right)-1$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(2\left(x+1\right)\right)·\left(2\left(1+0\right)\right)+0$

= $3\cdot \cos \left(2\left(x+1\right)\right)·\left(2\left(1\right)\right)$

= $6\cdot \cos \left(2\left(x+1\right)\right)$

= ${\left[-4\cdot \sin (x-\pi )\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $-4\cdot \sin (\pi -\pi )+4\cdot \sin (\frac{1}{2}\pi -\pi )$

= $-4\cdot \sin \left(0\right)+4\cdot \sin \left(-\frac{1}{2}\pi \right)$

= $-4\cdot 0+4\cdot \left(-1\right)$

= $0-4$

= $-4$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{1}{2}\pi$ und $\frac{1}{4}\pi +\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{3}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|1) und einen bei ( $\frac{1}{4}\pi$|1) und einen bei ( $\frac{1}{2}\pi$|1) und einen bei ( $\frac{3}{4}\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|0) wird.

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-2\cdot \sin \left(2\left(x+0\right)\right)+0$ aber nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{4}\pi$ ≈ $\frac{3}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 0, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{3}{4}\pi$|2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $-2\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-2\pi$|1).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-2\pi$ + $\frac{1}{6}\pi$ ≈ $-\frac{11}{6}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{4}{3}\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{11}{6}\pi +\frac{2}{3}\pi +\frac{2}{3}\pi +\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\frac{1}{6}\pi$ und bei x₂= $-2\pi$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $-\frac{3}{2}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{4}{3}\pi$) liegt,
also x₂= $-\frac{3}{2}\pi +\frac{2}{3}\pi +\frac{2}{3}\pi +\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$.

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{6}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{5}{6}\pi$ und $\frac{1}{2}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{7}{6}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{6}\pi$|-2) und bei ( $\frac{1}{2}\pi$|-2) und bei ( $\frac{5}{6}\pi$|-2) und bei ( $\frac{7}{6}\pi$|-2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

L={ $\frac{9}{2}\pi$}

Die einzige Nullstelle in der Periode [0; $6\pi$) ist also bei x = $\frac{9}{2}\pi$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{2}{3}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 3

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 90 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 90. Somit ist der tiefste Wert bei 90 cm - 15 cm = 75 cm.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 94.5

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 94.5 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 94.5 gleich:

   $15\cdot \sin \left(\frac{2}{3}\pi t\right)+90$ = 94.5

   $15\cdot \sin \left(\mathrm{2,0944}t\right)+90$ = $\mathrm{94,5}$ | $-90$

   $15\cdot \sin \left(\mathrm{2,0944}t\right)$

   =

   $\mathrm{4,5}$

   |:$15$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{2,0944}t\right)$

   =

   $\mathrm{0,3}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

   1. Fall:

   $\mathrm{2,0944}x$	=	$\mathrm{0,305}$	|:$\mathrm{2,0944}$
   x1	=	$\mathrm{0,1456}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{2,0944}t\right)$ = $\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,305}$= $\mathrm{2,837}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{2,0944}x$	=	$\mathrm{2,837}$	|:$\mathrm{2,0944}$
   x2	=	$\mathrm{1,3546}$

   Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.15 s den Wert 94.5. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 1.35 s zum zweiten mal den Wert 94.5 erreicht. Während dieser 1.35 - 0.15 = 1.2 s ist der Wert der Funktion also höher als 94.5.

4. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 0.75 s.

   Die Lösung ist also: 0.75 s.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer $\frac{1}{2}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{2}$⋅p = $1$ |⋅$2$

Demnach muss also die Periode p =$2$ ⋅ $1$ = $2$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $2$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\cos \left(a\pi x\right)$ das b ja $a\pi$ ist, muss also a = $1$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\cos (1·\pi x)$ seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( $1$|-1) hat.