$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \sin \left(3x\right)·3$

= $12\cdot \sin \left(3x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\sin \left(-4x-2\right)+3$

$\text{f'(x)}=$ $-\cos \left(-4x-2\right)·\left(-4+0\right)+0$

= $-\cos \left(-4x-2\right)·\left(-4\right)$

= $4\cdot \cos \left(-4x-2\right)$

= ${\left[-3\cdot \sin \left(x\right)\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $-3\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)+3\cdot \sin \left(0\right)$

= $-3\cdot 1+3\cdot 0$

= $-3+0$

= $-3$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $6\pi$ ≈ $6\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $16\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $6\pi +8\pi$ = $14\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 2, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $6\pi$|0) und einen bei ( $14\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|1) wird.

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\cos \left(3\left(x+0\right)\right)+1$ aber zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 1, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $0$|0)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung und um c= $-\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\pi$|-3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $-\pi$|-3) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-2\cdot \sin \left(\frac{1}{4}(x+\pi )\right)-3$ aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $-\pi$ + $2\pi$ ≈ $\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter -3, also bei y=-5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\pi$|-5)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{1}{2}x\right)$ = $\mathrm{0,5}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{3}\pi$
bzw. bei - $\frac{1}{3}\pi$+2π= $\frac{5}{3}\pi$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\frac{2}{3}\pi$; $\frac{10}{3}\pi$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $4\pi$) sind also
bei x₁ = $\frac{2}{3}\pi$ und x₂ = $\frac{10}{3}\pi$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{70}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 140

2. t-Werte mit f(t) ≥ 28.5

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 28.5 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 28.5 gleich:

   $17\cdot \sin \left(\frac{1}{70}\pi \left(t-10\right)\right)+20$ = 28.5

   $17\cdot \sin \left(\mathrm{0,0449}t-\mathrm{0,4488}\right)+20$ = $\mathrm{28,5}$ | $-20$

   $17\cdot \sin \left(\mathrm{0,0449}t-\mathrm{0,4488}\right)$

   =

   $\mathrm{8,5}$

   |:$17$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0449}t-\mathrm{0,4488}\right)$

   =

   $\mathrm{0,5}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0449}x-\mathrm{0,4488}$	=	$\frac{5}{6}\pi$	| $+\mathrm{0,4488}$
   $\mathrm{0,0449}x$	=	$\mathrm{0,4488}+\frac{5}{6}\pi$
   $\mathrm{0,0449}x$	=	$\mathrm{3,0668}$	|:$\mathrm{0,0449}$
   x1	=	$\mathrm{68,3029}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0449}t-\mathrm{0,4488}\right)$ = $\mathrm{0,5}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{5}{6}\pi$= $\frac{1}{6}\pi$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0449}x-\mathrm{0,4488}$	=	$\frac{1}{6}\pi$	| $+\mathrm{0,4488}$
   $\mathrm{0,0449}x$	=	$\mathrm{0,4488}+\frac{1}{6}\pi$
   $\mathrm{0,0449}x$	=	$\mathrm{0,9724}$	|:$\mathrm{0,0449}$
   x2	=	$\mathrm{21,657}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 10 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 10 s nach oben und erreicht erstmals nach 21.66 s den Wert 28.5. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 68.3 s zum zweiten mal den Wert 28.5 erreicht. Während dieser 68.3 - 21.66 = 46.64 s ist der Wert der Funktion also höher als 28.5.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer $\frac{3}{4}$ Periode.
Wegen des Minus vor dem Sinus wird ja aber der Graph an der x-Achse gespiegelt, so dass der Tiefpunkt zum Hochpunkt wird. Also ist hier der erste Hochpunkt nach einer $\frac{3}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{3}{4}$⋅p = $6$ |⋅$\frac{4}{3}$

Demnach muss also die Periode p =$\frac{4}{3}$ ⋅ $6$ = $8$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $8$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $-\sin \left(a\pi x\right)$ das b ja $a\pi$ ist, muss also a = $\frac{1}{4}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $-\sin (\frac{1}{4}·\pi x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $6$|1) hat.