$\text{f(x)}=$ $3x^2·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3·2x·\cos \left(x\right)+3x^2·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $6x·\cos \left(x\right)-3x^2·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\cdot \sin \left(-2x-5\right)-4x^2$

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \cos \left(-2x-5\right)·\left(-2+0\right)-8x$

= $4\cdot \cos \left(-2x-5\right)·\left(-2\right)-8x$

= $-8\cdot \cos \left(-2x-5\right)-8x$

= ${\left[2\cdot \cos \left(x-\frac{3}{2}\pi \right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $2\cdot \cos \left(\pi -\frac{3}{2}\pi \right)-2\cdot \cos \left(0-\frac{3}{2}\pi \right)$

= $2\cdot \cos \left(-\frac{1}{2}\pi \right)-2\cdot \cos \left(-\frac{3}{2}\pi \right)$

= $2\cdot 0-2\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $3\pi$ ≈ $3\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 2, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $3\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|3) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $6\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+3\pi$ = $3\pi$ und $\frac{3}{2}\pi +3\pi$ = $\frac{9}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|3) und einen bei ( $\frac{3}{2}\pi$|3) und einen bei ( $3\pi$|3) und einen bei ( $\frac{9}{2}\pi$|3)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{2}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{2}\pi$|-1).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{2}\pi$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ 0. .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -1, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei (0|0)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(3x\right)$ = $\mathrm{0,5}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{5}{6}\pi$= $\frac{1}{6}\pi$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\frac{1}{18}\pi$; $\frac{5}{18}\pi$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{2}{3}\pi$) sind also
bei x₁ = $\frac{1}{18}\pi$ und x₂ = $\frac{5}{18}\pi$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{80}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 160

2. t-Werte mit f(t) ≥ 16

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 16 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 16 gleich:

   $10\cdot \sin \left(\frac{1}{80}\pi \left(t-10\right)\right)+12$ = 16

   $10\cdot \sin \left(\mathrm{0,0393}t-\mathrm{0,3927}\right)+12$ = $16$ | $-12$

   $10\cdot \sin \left(\mathrm{0,0393}t-\mathrm{0,3927}\right)$

   =

   $4$

   |:$10$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0393}t-\mathrm{0,3927}\right)$

   =

   $\mathrm{0,4}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.41151684606749

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0393}x-\mathrm{0,3927}$	=	$\mathrm{0,412}$	| $+\mathrm{0,3927}$
   $\mathrm{0,0393}x$	=	$\mathrm{0,8047}$	|:$\mathrm{0,0393}$
   x1	=	$\mathrm{20,4758}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0393}t-\mathrm{0,3927}\right)$ = $\mathrm{0,4}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,412}$= $\mathrm{2,73}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0393}x-\mathrm{0,3927}$	=	$\mathrm{2,73}$	| $+\mathrm{0,3927}$
   $\mathrm{0,0393}x$	=	$\mathrm{3,1227}$	|:$\mathrm{0,0393}$
   x2	=	$\mathrm{79,458}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 10 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 10 s nach oben und erreicht erstmals nach 20.48 s den Wert 16. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 79.46 s zum zweiten mal den Wert 16 erreicht. Während dieser 79.46 - 20.48 = 58.98 s ist der Wert der Funktion also höher als 16.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(\frac{1}{a^2+4a+8}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2+4a+8\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+4a+8$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2+4a+8$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+4a+8$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+4a+8$)' = $2a+4$ = 0 ⇔ a = -2

Für dieses a = -2 wird also $a^2+4a+8$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2+4a+8\right)$ minimal .

Für a = -2 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left({\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)+8\right)$ = $2\pi ·\left(4-8+8\right)$ = $8\pi$.