Aufgabenbeispiele von Trigonometrie
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Ableiten von trigonometrischen Funktionen
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)
Beispiel:
Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).
Mit Hilfe von b= und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x1=
Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 0, also bei y=2.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei (
Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF
Beispiel:
Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).
Mit Hilfe von b=
p=
Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1=
Weil das gesuchte Interval [0;
Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei (
Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)
Beispiel:
Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in
y-Richtung und um c=
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(
Mit Hilfe von b=
p=
Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x1=
Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -3, also bei y=-2.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei (
Nullstellen mit dem WTR
Beispiel:
Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit
Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
|
= | |: |
|
= | |sin-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert -0.10016742116156
Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen,
addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so
1. Fall:
|
= |
|
|⋅ 3 |
x1 | = |
|
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt,
also π -
2. Fall:
|
= |
|
|⋅ 3 |
x2 | = |
|
L={
Die Nullstellen in der Periode [0;
bei x1 =
trigon. Anwendungsaufgabe 2
Beispiel:
In einem Wellenbad kann man an einer bestimmten Stelle die Wasserhöhe zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit
- Bestimme die Periode dieses Vorgangs.
- Bestimme die maximale Wasserhöhe.
- Periodenlänge
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b =
1 2 π Somit gilt für die Periodenlänge: p =
2 π b 2 π 1 2 π - y-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 70 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 70. Somit ist der höchste Wert bei 70 cm + 15 cm = 85 cm.
Parameter für best. Periode finden
Beispiel:
Für welchen Wert von a hat der Graph fa mit
Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer
Demnach muss also die Periode p =
Jetzt können wir die Periodenformel p =
b =
Da bei
damit der Graph von