$\text{f(x)}=$ $-3x·\cos \left(-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3·1·\cos \left(-5x\right)-3x·(-\sin \left(-5x\right)·\left(-5\right))$

= $-3\cdot \cos \left(-5x\right)-3x·5\cdot \sin \left(-5x\right)$

= $-3\cdot \cos \left(-5x\right)-15x·\sin \left(-5x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-x^2·\cos \left(-4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2x·\cos \left(-4x\right)-x^2·(-\sin \left(-4x\right)·\left(-4\right))$

= $-2x·\cos \left(-4x\right)-x^2·4\cdot \sin \left(-4x\right)$

= $-2x·\cos \left(-4x\right)-4x^2·\sin \left(-4x\right)$

= ${\left[\frac{1}{5}\cdot \sin \left(-5x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $\frac{1}{5}\cdot \sin \left(-5\cdot \pi \right)-\frac{1}{5}\cdot \sin \left(-5\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{1}{5}\cdot 0-\frac{1}{5}\cdot \left(-1\right)$

= $0+\frac{1}{5}$

= $0+\frac{1}{5}$

= $\frac{1}{5}$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $2\pi$ ≈ $2\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -3, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $2\pi$|-2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$. und bei x₂= $\frac{9}{2}\pi$ ≈ $\frac{9}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $12\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{3}{2}\pi +6\pi$ = $\frac{15}{2}\pi$ und $\frac{9}{2}\pi +6\pi$ = $\frac{21}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{3}{2}\pi$|-1) und einen bei ( $\frac{9}{2}\pi$|-1) und einen bei ( $\frac{15}{2}\pi$|-1) und einen bei ( $\frac{21}{2}\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung und um c= $-1$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-1$|2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-1$|0) wird.

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\cos \left(2\left(x+1\right)\right)+1$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-1$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{0,571}$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $2\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{0,571}+\pi$ ≈ 3.713 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 1, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\mathrm{0,571}$|2) und bei (3.713|2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert -0.3046926540154

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\mathrm{5,978}$

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\frac{2}{3}x\right)$ = $-\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{5,978}$=-2.8364 bzw. bei -2.8364+2π= $\mathrm{3,446}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{5,169}$; $\mathrm{8,967}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $3\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{5,169}$ und x₂ = $\mathrm{8,967}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 366

1. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 4 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4 um 12. Somit ist der höchste Wert bei 12 h + 4 h = 16 h.

2. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 91.5 d.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 10 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 10 d mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 91.5 + 10 d = 101.5 d. Die Lösung ist also: 101.5 d.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(\left(a^2-2a+6\right)x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ =

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-2a+6$ wird, desto kleiner wird die Periode.

$a^2-2a+6$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-2a+6$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-2a+6$)' = $2a-2$ = 0 ⇔ a = 1

Für dieses a = 1 wird also $a^2-2a+6$ minimal und somit die Periode $\frac{2\pi }{a^2-2a+6}$ maximal .

Für a = 1 ist dann die maximale Periode p_max = $\frac{2\pi }{1^2-2\cdot 1+6}$ = $\frac{2\pi }{1-2+6}$ = $\frac{2}{5}\pi$.