Aufgabenbeispiele von Trigonometrie

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Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -4 sin( x ) und vereinfache:

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f(x)= -4 sin( x )

f'(x)= -4 cos( x )

Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 sin(2( x +1 )) -3 und vereinfache:

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f(x)= 2 sin(2( x +1 )) -3

f'(x)= 2 cos(2( x +1 )) · ( 2( 1 +0) )+0

= 2 cos(2( x +1 )) · ( 2( 1 ) )

= 4 cos(2( x +1 ))

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π π 4 sin( -3x ) x .

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1 2 π π 4 sin( -3x ) x

= [ 4 3 cos( -3x ) ] 1 2 π π

= 4 3 cos( -3π ) - 4 3 cos( -3( 1 2 π ) )

= 4 3 ( -1 ) - 4 3 0

= - 4 3 +0

= - 4 3 +0

= - 4 3


≈ -1,333

Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit f(x)= sin( x ) +1 im Intervall [0; 2π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 = 2π

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x1= 1 2 π 1 2 π . .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 1, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( 1 2 π |2)

Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit f(x)= 2 cos( 3 4 x ) -1 im Intervall [0; 8 3 π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b= 3 4 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 3 4 = 8 3 π

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x1= 0 0 . .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über -1, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( 0 |1)

Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit f(x)= sin( 1 2 ( x -3 )) im Intervall [0; 8π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung und um c= 3 nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( 3 |0).

Mit Hilfe von b= 1 2 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 2 = 4π

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x1= 3 + π 6,142 . .

Weil das gesuchte Interval [0; 8π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 6,142 +4π ≈ 18.708 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 0, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( 6,142 |1) und bei (18.708|1)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= -4 cos( 1 2 x ) +2 innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; 4π [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

-4 cos( 1 2 x ) +2 = 0 | -2
-4 cos( 1 2 x ) = -2 |:-4
canvas
cos( 1 2 x ) = 0,5 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966

1. Fall:

1 2 x = 1 3 π |⋅ 2
x1 = 2 3 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 1 2 x ) = 0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 3 π
bzw. bei - 1 3 π +2π= 5 3 π liegen muss.

2. Fall:

1 2 x = 5 3 π |⋅ 2
x2 = 10 3 π

L={ 2 3 π ; 10 3 π }

Die Nullstellen in der Periode [0; 4π ) sind also
bei x1 = 2 3 π und x2 = 10 3 π .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

An einem bestimmten Ort kann die Zeit (in h) zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang t Tage nach Beobachtungsbeginn näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 4 sin( 1 183 π ( t -70 )) +12 (0 < t ≤ 366) angeben.

  1. Bestimme die maximale Zeit zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang (in h).
  2. Wie lange (in Tagen) haben die Tage eine Länge von mindestens 15,2 h?

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Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = 1 183 π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π 1 183 π = 366

  1. y-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 4 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4 um 12. Somit ist der höchste Wert bei 12 h + 4 h = 16 h.

  2. t-Werte mit f(t) ≥ 15.2

    Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 15.2 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 15.2 gleich:

    4 sin( 1 183 π ( t -70 )) +12 = 15.2

    4 sin( 0,0172t -1,2017 ) +12 = 15,2 | -12
    4 sin( 0,0172t -1,2017 ) = 3,2 |:4
    canvas
    sin( 0,0172t -1,2017 ) = 0,8 |sin-1(⋅)

    Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

    1. Fall:

    0,0172x -1,2017 = 0,927 | +1,2017
    0,0172x = 2,1287 |:0,0172
    x1 = 123,7616

    Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 0,0172t -1,2017 ) = 0,8 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

    Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0,927 = 2,214 liegen muss.

    2. Fall:

    0,0172x -1,2017 = 2,214 | +1,2017
    0,0172x = 3,4157 |:0,0172
    x2 = 198,5872

    Da die Sinus-Funktion ja um 70 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 70 d nach oben und erreicht erstmals nach 123.76 d den Wert 15.2. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 198.59 d zum zweiten mal den Wert 15.2 erreicht. Während dieser 198.59 - 123.76 = 74.83 d ist der Wert der Funktion also höher als 15.2.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph fa mit fa(x)= cos( a x ) seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( 1 4 π |0), (also den Wendepunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer 1 4 Periode. Es gilt somit 1 4 ⋅p = 1 4 π |⋅4

Demnach muss also die Periode p =4 1 4 π = π lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = b also π = b nach b auflösen:

π = b |⋅b : π

b = 2π π = 2 1

Da bei cos( a x ) das b ja a ist, muss also a = 2 sein,
damit der Graph von f2 (x)= cos( 2 · x ) seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( 1 4 π |0) hat.