$\text{f(x)}=$ $4\cdot \sin \left(-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \cos \left(-5x\right)·\left(-5\right)$

= $-20\cdot \cos \left(-5x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \sin \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(3x\right)·3$

= $-12\cdot \cos \left(3x\right)$

= ${\left[-\frac{5}{2}\cdot \cos \left(-2x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\frac{5}{2}\cdot \cos \left(-2\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)+\frac{5}{2}\cdot \cos \left(-2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-\frac{5}{2}\cdot \left(-1\right)+\frac{5}{2}\cdot \left(-1\right)$

= $\frac{5}{2}-\frac{5}{2}$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{4}\pi$ ≈ $\frac{3}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 0, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{4}\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|0) wird.

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\sin \left(4\left(x+0\right)\right)+0$ aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{8}\pi$ ≈ $\frac{1}{8}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 0, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{1}{8}\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung und um c= $-2$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-2$|2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-2$|0) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\cos \left(\frac{1}{3}\left(x+2\right)\right)+1$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-2$ + $3\pi$ ≈ $\mathrm{7,425}$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $12\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{7,425}+6\pi$ ≈ 26.275 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 1, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\mathrm{7,425}$|2) und bei (26.275|2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.10016742116156

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(x\right)$ = $\mathrm{0,1}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,1}$= $\mathrm{3,041}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,1}$; $\mathrm{3,041}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $2\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,1}$ und x₂ = $\mathrm{3,041}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 24

1. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 15 nach oben und eine Amplitude von a = 7 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 7 um 15. Somit ist der tiefste Wert bei 15 ° C - 7 ° C = 8 ° C.

2. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 6 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 11 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 11 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 6 + 11 h = 17 h. Die Lösung ist also: 17 Uhr.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-\cos \left(\frac{1}{a^2-4a+6}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2-4a+6\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-4a+6$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2-4a+6$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-4a+6$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-4a+6$)' = $2a-4$ = 0 ⇔ a = 2

Für dieses a = 2 wird also $a^2-4a+6$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2-4a+6\right)$ minimal .

Für a = 2 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left(2^2-4\cdot 2+6\right)$ = $2\pi ·\left(4-8+6\right)$ = $4\pi$.