$\text{f(x)}=$ $4x^2·\cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4·2x·\cos \left(-3x\right)+4x^2·(-\sin \left(-3x\right)·\left(-3\right))$

= $8x·\cos \left(-3x\right)+4x^2·3\cdot \sin \left(-3x\right)$

= $8x·\cos \left(-3x\right)+12x^2·\sin \left(-3x\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\cdot \cos \left(-x-5\right)-4x$

$\text{f'(x)}=$ $-4\cdot \sin \left(-x-5\right)·\left(-1+0\right)-4$

= $-4\cdot \sin \left(-x-5\right)·\left(-1\right)-4$

= $4\cdot \sin \left(-x-5\right)-4$

= ${\left[\sin \left(x\right)\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $\sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)-\sin \left(0\right)$

= $1-0$

= $1$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{9}{2}\pi$ ≈ $\frac{9}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $12\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{9}{2}\pi +6\pi$ = $\frac{21}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter -2, also bei y=-5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{9}{2}\pi$|-5) und einen bei ( $\frac{21}{2}\pi$|-5)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\pi$ ≈ $\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $4\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+2\pi$ = $2\pi$ und $\pi +2\pi$ = $3\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|1) und einen bei ( $\pi$|1) und einen bei ( $2\pi$|1) und einen bei ( $3\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in y-Richtung und um c= $-\frac{2}{3}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{2}{3}\pi$|3).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{2}{3}\pi$ + $\frac{1}{8}\pi$ ≈ $-\frac{13}{24}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{1}{2}\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{13}{24}\pi +\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{11}{24}\pi$ und bei x₂= $-\frac{2}{3}\pi$ + $\frac{3}{8}\pi$ ≈ $-\frac{7}{24}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{1}{2}\pi$) liegt,
also x₂= $-\frac{7}{24}\pi +\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{5}{24}\pi$.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{11}{24}\pi$|2) und bei ( $\frac{5}{24}\pi$|2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 2.3461938234056

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(x\right)$ = $-\mathrm{0,7}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{2,346}$
bzw. bei - $\mathrm{2,346}$+2π= $\mathrm{3,937}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{2,346}$; $\mathrm{3,937}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $2\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{2,346}$ und x₂ = $\mathrm{3,937}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 366

1. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 5 um 12. Somit ist der tiefste Wert bei 12 h - 5 h = 7 h.

2. t-Werte mit f(t) ≥ 15

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 15 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 15 gleich:

   $5\cdot \sin \left(\frac{1}{183}\pi \left(t-30\right)\right)+12$ = 15

   $5\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,515}\right)+12$ = $15$ | $-12$

   $5\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,515}\right)$

   =

   $3$

   |:$5$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,515}\right)$

   =

   $\mathrm{0,6}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,515}$	=	$\mathrm{0,644}$	| $+\mathrm{0,515}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{1,159}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x1	=	$\mathrm{67,3837}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,515}\right)$ = $\mathrm{0,6}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,644}$= $\mathrm{2,498}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,515}$	=	$\mathrm{2,498}$	| $+\mathrm{0,515}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{3,013}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x2	=	$\mathrm{175,1744}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 30 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 30 d nach oben und erreicht erstmals nach 67.38 d den Wert 15. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 175.17 d zum zweiten mal den Wert 15 erreicht. Während dieser 175.17 - 67.38 = 107.79 d ist der Wert der Funktion also höher als 15.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-\sin \left(\frac{1}{a^2-6a+11}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2-6a+11\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-6a+11$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2-6a+11$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-6a+11$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-6a+11$)' = $2a-6$ = 0 ⇔ a = 3

Für dieses a = 3 wird also $a^2-6a+11$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2-6a+11\right)$ minimal .

Für a = 3 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left(3^2-6\cdot 3+11\right)$ = $2\pi ·\left(9-18+11\right)$ = $4\pi$.