$\text{f(x)}=$ $-3x^2·\sin \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3·2x·\sin \left(2x\right)-3x^2·\cos \left(2x\right)·2$

= $-6x·\sin \left(2x\right)-3x^2·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $-6x·\sin \left(2x\right)-6x^2·\cos \left(2x\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \cos \left(4x+1\right)+4x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(4x+1\right)·\left(4+0\right)+8x$

= $-3\cdot \sin \left(4x+1\right)·\left(4\right)+8x$

= $-12\cdot \sin \left(4x+1\right)+8x$

= ${\left[\frac{1}{3}\cdot \sin \left(-3x\right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $\frac{1}{3}\cdot \sin \left(-3\cdot \pi \right)-\frac{1}{3}\cdot \sin \left(-3\cdot \left(0\right)\right)$

= $\frac{1}{3}\cdot 0-\frac{1}{3}\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\pi$ ≈ $\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-2) und einen bei ( $\pi$|-2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{8}\pi$ ≈ $\frac{1}{8}\pi$. und bei x₂= $\frac{3}{8}\pi$ ≈ $\frac{3}{8}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{8}\pi +\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{5}{8}\pi$ und $\frac{3}{8}\pi +\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{7}{8}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{8}\pi$|-1) und einen bei ( $\frac{3}{8}\pi$|-1) und einen bei ( $\frac{5}{8}\pi$|-1) und einen bei ( $\frac{7}{8}\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{4}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{4}\pi$|-1).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{4}\pi$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $4\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{4}\pi +2\pi$ = $\frac{9}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -1, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{4}\pi$|2) und bei ( $\frac{9}{4}\pi$|2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert -0.10016742116156

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\mathrm{6,183}$

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\frac{1}{3}x\right)$ = $-\mathrm{0,1}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{6,183}$=-3.0414 bzw. bei -3.0414+2π= $\mathrm{3,242}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{9,726}$; $\mathrm{18,549}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $6\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{9,726}$ und x₂ = $\mathrm{18,549}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 2

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 85 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 85. Somit ist der tiefste Wert bei 85 cm - 15 cm = 70 cm.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 89.5

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 89.5 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 89.5 gleich:

   $15\cdot \sin \left(\pi t\right)+85$ = 89.5

   $15\cdot \sin \left(\mathrm{3,1416}t\right)+85$ = $\mathrm{89,5}$ | $-85$

   $15\cdot \sin \left(\mathrm{3,1416}t\right)$

   =

   $\mathrm{4,5}$

   |:$15$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{3,1416}t\right)$

   =

   $\mathrm{0,3}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

   1. Fall:

   $\mathrm{3,1416}x$	=	$\mathrm{0,305}$	|:$\mathrm{3,1416}$
   x1	=	$\mathrm{0,0971}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{3,1416}t\right)$ = $\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,305}$= $\mathrm{2,837}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{3,1416}x$	=	$\mathrm{2,837}$	|:$\mathrm{3,1416}$
   x2	=	$\mathrm{0,903}$

   Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.1 s den Wert 89.5. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 0.9 s zum zweiten mal den Wert 89.5 erreicht. Während dieser 0.9 - 0.1 = 0.8 s ist der Wert der Funktion also höher als 89.5.

4. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 0.5 s.

   Die Lösung ist also: 0.5 s.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $4\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $4\pi$ = $16\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $16\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $-\cos \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $\frac{1}{8}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>8</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $-\cos (\frac{1}{8}·x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $4\pi$|0) hat.