$\text{f(x)}=$ $-4x·\sin \left(-x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-4·1·\sin \left(-x\right)-4x·\cos \left(-x\right)·\left(-1\right)$

= $-4\cdot \sin \left(-x\right)-4x·\left(-\cos \left(-x\right)\right)$

= $-4\cdot \sin \left(-x\right)+4x·\cos \left(-x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-x·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-1·\sin \left(-2x\right)-x·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $-\sin \left(-2x\right)-x·\left(-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right)$

= $-\sin \left(-2x\right)+2x·\cos \left(-2x\right)$

= ${\left[\frac{5}{3}\cdot \cos \left(-3x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{5}{3}\cdot \cos \left(-3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)-\frac{5}{3}\cdot \cos \left(-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{5}{3}\cdot 0-\frac{5}{3}\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $2\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\pi$ = $\pi$ und $\frac{1}{2}\pi +\pi$ = $\frac{3}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|2) und einen bei ( $\frac{1}{2}\pi$|2) und einen bei ( $\pi$|2) und einen bei ( $\frac{3}{2}\pi$|2)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{9}{4}\pi$ ≈ $\frac{9}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter -2, also bei y=-5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{9}{4}\pi$|-5)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{4}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{4}\pi$|0).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{4}\pi$ + $0$ ≈ $-\frac{1}{4}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $4\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{1}{4}\pi +2\pi$ ≈ $\frac{7}{4}\pi$ und bei x₂= $-\frac{1}{4}\pi$ + $\pi$ ≈ $\frac{3}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $4\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{7}{4}\pi +2\pi$ = $\frac{15}{4}\pi$ und $\frac{3}{4}\pi +2\pi$ = $\frac{11}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{7}{4}\pi$|0) und bei ( $\frac{3}{4}\pi$|0) und bei ( $\frac{15}{4}\pi$|0) und bei ( $\frac{11}{4}\pi$|0)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{1}{2}x\right)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2}\pi$
bzw. bei - $\frac{1}{2}\pi$+2π= $\frac{3}{2}\pi$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\pi$; $3\pi$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $4\pi$) sind also
bei x₁ = $\pi$ und x₂ = $3\pi$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 24

1. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 11 nach oben und eine Amplitude von a = 4 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4 um 11. Somit ist der tiefste Wert bei 11 ° C - 4 ° C = 7 ° C.

2. t-Werte mit f(t) ≥ 12.2

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 12.2 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 12.2 gleich:

   $4\cdot \sin \left(\frac{1}{12}\pi \left(t-11\right)\right)+11$ = 12.2

   $4\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,8798}\right)+11$ = $\mathrm{12,2}$ | $-11$

   $4\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,8798}\right)$

   =

   $\mathrm{1,2}$

   |:$4$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,8798}\right)$

   =

   $\mathrm{0,3}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

   1. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,8798}$	=	$\mathrm{0,305}$	| $+\mathrm{2,8798}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{3,1848}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x1	=	$\mathrm{12,165}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,8798}\right)$ = $\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,305}$= $\mathrm{2,837}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,8798}$	=	$\mathrm{2,837}$	| $+\mathrm{2,8798}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{5,7168}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x2	=	$\mathrm{21,8365}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 11 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 11 h nach oben und erreicht erstmals nach 12.17 h den Wert 12.2. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 21.84 h zum zweiten mal den Wert 12.2 erreicht. Während dieser 21.84 - 12.17 = 9.67 h ist der Wert der Funktion also höher als 12.2.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(\frac{1}{a^2+2a+3}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2+2a+3\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+2a+3$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2+2a+3$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+2a+3$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+2a+3$)' = $2a+2$ = 0 ⇔ a = -1

Für dieses a = -1 wird also $a^2+2a+3$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2+2a+3\right)$ minimal .

Für a = -1 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left({\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)+3\right)$ = $2\pi ·\left(1-2+3\right)$ = $4\pi$.