$\text{f(x)}=$ $4x^2·\cos \left(-4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4·2x·\cos \left(-4x\right)+4x^2·(-\sin \left(-4x\right)·\left(-4\right))$

= $8x·\cos \left(-4x\right)+4x^2·4\cdot \sin \left(-4x\right)$

= $8x·\cos \left(-4x\right)+16x^2·\sin \left(-4x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3x·\sin \left(-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3·1·\sin \left(-5x\right)-3x·\cos \left(-5x\right)·\left(-5\right)$

= $-3\cdot \sin \left(-5x\right)-3x·\left(-5\cdot \cos \left(-5x\right)\right)$

= $-3\cdot \sin \left(-5x\right)+15x·\cos \left(-5x\right)$

= ${\left[4\cdot \cos \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $4\cdot \cos \left(\pi \right)-4\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$

= $4\cdot \left(-1\right)-4\cdot 0$

= $-4+0$

= $-4$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{6}\pi$ ≈ $\frac{1}{6}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{6}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{5}{6}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -1, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{6}\pi$|2) und einen bei ( $\frac{5}{6}\pi$|2)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|3) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-2\cdot \sin \left(\frac{1}{4}\left(x+0\right)\right)+3$ aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $2\pi$ ≈ $2\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $16\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $2\pi +8\pi$ = $10\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 3, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $2\pi$|1) und einen bei ( $10\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung und um c= $3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $3$|0).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $3$|0) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-2\cdot \sin \left(\frac{2}{3}\left(x-3\right)\right)+0$ aber nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $3$ + $\frac{9}{4}\pi$ ≈ $\mathrm{10,069}$.
Weil diese Stelle aber größer als die Periode ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode davon abziehen, damit der x-Wert in der ersten Periode liegt, also x₁= $\mathrm{10,069}-3\pi$ ≈ $\mathrm{0,644}$.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 0, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\mathrm{0,644}$|2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.9823131728624

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(4x\right)$ = $-\mathrm{0,4}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{1,982}$
bzw. bei - $\mathrm{1,982}$+2π= $\mathrm{4,301}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,4955}$; $\mathrm{1,0753}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{1}{2}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,4955}$ und x₂ = $\mathrm{1,0753}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 24

1. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 8 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 8 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 8 h = 26 h. Weil aber 26 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 26 - 24 = 2 h. Die Lösung ist also: 2 Uhr.

2. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 6 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 8 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 8 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 6 + 8 h = 14 h. Die Lösung ist also: 14 Uhr.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(\frac{1}{a^2+4a+7}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2+4a+7\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+4a+7$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2+4a+7$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+4a+7$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+4a+7$)' = $2a+4$ = 0 ⇔ a = -2

Für dieses a = -2 wird also $a^2+4a+7$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2+4a+7\right)$ minimal .

Für a = -2 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left({\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)+7\right)$ = $2\pi ·\left(4-8+7\right)$ = $6\pi$.