$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(3\left(x+2\right)\right)-1$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(3\left(x+2\right)\right)·\left(3\left(1+0\right)\right)+0$

= $2\cdot \cos \left(3\left(x+2\right)\right)·\left(3\left(1\right)\right)$

= $6\cdot \cos \left(3\left(x+2\right)\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\cos \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\cos \left(3x\right)+x^2·(-\sin \left(3x\right)·3)$

= $2x·\cos \left(3x\right)+x^2·\left(-3\cdot \sin \left(3x\right)\right)$

= $2x·\cos \left(3x\right)-3x^2·\sin \left(3x\right)$

= ${\left[4\cdot \cos \left(-x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $4\cdot \cos \left(-\pi \right)-4\cdot \cos \left(-\left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $4\cdot \left(-1\right)-4\cdot 0$

= $-4+0$

= $-4$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $4\pi$ ≈ $4\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $16\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+8\pi$ = $8\pi$ und $4\pi +8\pi$ = $12\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|0) und einen bei ( $4\pi$|0) und einen bei ( $8\pi$|0) und einen bei ( $12\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|2) wird.

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-3\cdot \cos \left(4\left(x+0\right)\right)+2$ aber zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{1}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 2, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $0$|-1) und einen bei ( $\frac{1}{2}\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $-3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-3$|2).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-3$ + $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $-\mathrm{2,215}$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\pi$) liegt,
also x₁= $-\mathrm{2,215}+\pi$ ≈ $\mathrm{0,927}$ und bei x₂= $-3$ + $\frac{3}{4}\pi$ ≈ $-\mathrm{0,644}$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\pi$) liegt,
also x₂= $-\mathrm{0,644}+\pi$ ≈ $\mathrm{2,498}$.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\mathrm{0,927}$|-1) und bei ( $\mathrm{2,498}$|-1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

L={ $2\pi$}

Die einzige Nullstelle in der Periode [0; $8\pi$) ist also bei x = $2\pi$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 366

1. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 91.5 d.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 10 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 10 d mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 91.5 + 10 d = 101.5 d. Die Lösung ist also: 101.5 d.

2. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 4.5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4.5 um 12. Somit ist der höchste Wert bei 12 h + 4.5 h = 16.5 h.

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

also Definitionsmenge D=R\{ $-3$}

Wir untersuchen das Verhalten für x → $-3$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +3) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}{-2x-6}$ = $\frac{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}{-2x-6}$ = $-\frac{1}{2}\left(x+4\right)$

Für x → $-3$ ⇒ f(x)= $\frac{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}{-2x-6}$ = $-\frac{1}{2}\left(x+4\right)$ → $-\frac{1}{2}\left(-3+4\right)$ = $-\frac{1}{2}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($-3$| $-\frac{1}{2}$)

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $\frac{1}{3}\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $\frac{1}{3}\pi$ = $\frac{4}{3}\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $\frac{4}{3}\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\sin \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $\frac{3}{2}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\sin (\frac{3}{2}·x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $\frac{1}{3}\pi$|1) hat.