$\text{f(x)}=$ $-5\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-5\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(\frac{1}{3}\left(x+\frac{1}{4}\pi \right)\right)+3$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(\frac{1}{3}\left(x+\frac{1}{4}\pi \right)\right)·\left(\frac{1}{3}\left(1+0\right)\right)+0$

= $\cos \left(\frac{1}{3}\left(x+\frac{1}{4}\pi \right)\right)·\frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3}\cdot \cos \left(\frac{1}{3}\left(x+\frac{1}{4}\pi \right)\right)$

= ${\left[\frac{1}{2}\cdot \cos \left(2x\right)\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $\frac{1}{2}\cdot \cos \left(2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)-\frac{1}{2}\cdot \cos \left(2\cdot \left(0\right)\right)$

= $\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)-\frac{1}{2}\cdot 1$

= $-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$

= $-1$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $2\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\pi$ = $\pi$ und $\frac{1}{2}\pi +\pi$ = $\frac{3}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-1) und einen bei ( $\frac{1}{2}\pi$|-1) und einen bei ( $\pi$|-1) und einen bei ( $\frac{3}{2}\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|3) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\frac{2}{3}\pi$. und bei x₂= $2\pi$ ≈ $2\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{2}{3}\pi$|3) und einen bei ( $2\pi$|3)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $-\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\pi$|0).

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $-\pi$ + $0$ ≈ $-\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{8}{3}\pi$) liegt,
also x₁= $-\pi +\frac{8}{3}\pi$ ≈ $\frac{5}{3}\pi$.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -1, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{5}{3}\pi$|0)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.3694384060046

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(3x\right)$ = $\mathrm{0,2}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{1,369}$
bzw. bei - $\mathrm{1,369}$+2π= $\mathrm{4,914}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,4563}$; $\mathrm{1,638}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{2}{3}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,4563}$ und x₂ = $\mathrm{1,638}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 366

1. t-Werte mit f(t) ≥ 13.4

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 13.4 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 13.4 gleich:

   $\mathrm{3,5}\cdot \sin \left(\frac{1}{183}\pi \left(t-50\right)\right)+12$ = 13.4

   $\mathrm{3,5}\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,8584}\right)+12$ = $\mathrm{13,4}$ | $-12$

   $\mathrm{3,5}\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,8584}\right)$

   =

   $\mathrm{1,4}$

   |:$\mathrm{3,5}$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,8584}\right)$

   =

   $\mathrm{0,4}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.41151684606749

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,8584}$	=	$\mathrm{0,412}$	| $+\mathrm{0,8584}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{1,2704}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x1	=	$\mathrm{73,8605}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,8584}\right)$ = $\mathrm{0,4}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,412}$= $\mathrm{2,73}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,8584}$	=	$\mathrm{2,73}$	| $+\mathrm{0,8584}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{3,5884}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x2	=	$\mathrm{208,6279}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 50 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 50 d nach oben und erreicht erstmals nach 73.86 d den Wert 13.4. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 208.63 d zum zweiten mal den Wert 13.4 erreicht. Während dieser 208.63 - 73.86 = 134.77 d ist der Wert der Funktion also höher als 13.4.

2. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 91.5 d.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 50 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 50 d mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 91.5 + 50 d = 141.5 d. Die Lösung ist also: 141.5 d.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $2$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $2$ = $8$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $8$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $-\cos \left(a\pi x\right)$ das b ja $a\pi$ ist, muss also a = $\frac{1}{4}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $-\cos (\frac{1}{4}·\pi x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $2$|0) hat.