$\text{f(x)}=$ $x·\sin \left(-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $1·\sin \left(-5x\right)+x·\cos \left(-5x\right)·\left(-5\right)$

= $\sin \left(-5x\right)+x·\left(-5\cdot \cos \left(-5x\right)\right)$

= $\sin \left(-5x\right)-5x·\cos \left(-5x\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(4\left(x-3\right)\right)+1$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(4\left(x-3\right)\right)·\left(4\left(1+0\right)\right)+0$

= $3\cdot \cos \left(4\left(x-3\right)\right)·\left(4\left(1\right)\right)$

= $12\cdot \cos \left(4\left(x-3\right)\right)$

= ${\left[2\cdot \sin \left(x-\frac{3}{2}\pi \right)\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $2\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi -\frac{3}{2}\pi \right)-2\cdot \sin \left(0-\frac{3}{2}\pi \right)$

= $2\cdot \sin (-\pi )-2\cdot \sin \left(-\frac{3}{2}\pi \right)$

= $2\cdot 0-2\cdot 1$

= $0-2$

= $-2$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{1}{3}\pi$ ≈ $\frac{1}{3}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{2}{3}\pi$ und $\frac{1}{3}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|2) und einen bei ( $\frac{1}{3}\pi$|2) und einen bei ( $\frac{2}{3}\pi$|2) und einen bei ( $\pi$|2)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|-3) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-2\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\left(x+0\right)\right)-3$ aber nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $3\pi$ ≈ $3\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über -3, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $3\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-3 in y-Richtung und um c= $-3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-3$|-1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-3$|-5) wird.

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-2\cdot \cos \left(3\left(x+3\right)\right)-3$ aber zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $-3$ + $0$ ≈ $-3$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{2}{3}\pi$) liegt,
also x₁= $-3+\frac{2}{3}\pi +\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\mathrm{1,189}$.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter -3, also bei y=-5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\mathrm{1,189}$|-5)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert -0.92729521800161

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\mathrm{5,356}$

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\frac{1}{4}x\right)$ = $-\mathrm{0,8}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{5,356}$=-2.2144 bzw. bei -2.2144+2π= $\mathrm{4,069}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{16,276}$; $\mathrm{21,424}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $8\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{16,276}$ und x₂ = $\mathrm{21,424}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{30}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 60

2. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 45 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 40 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 40 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 45 + 40 s = 85 s. Weil aber 85 nicht im gesuchten Intervall [0;60] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 85 - 60 = 25 s. Die Lösung ist also: 25 s.

3. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 10 nach oben und eine Amplitude von a = 9 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 9 um 10. Somit ist der tiefste Wert bei 10 m - 9 m = 1 m.

4. t-Werte mit f(t) ≥ 12.7

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 12.7 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 12.7 gleich:

   $9\cdot \sin \left(\frac{1}{30}\pi \left(t-40\right)\right)+10$ = 12.7

   $9\cdot \sin \left(\mathrm{0,1047}t-\mathrm{4,1888}\right)+10$ = $\mathrm{12,7}$ | $-10$

   $9\cdot \sin \left(\mathrm{0,1047}t-\mathrm{4,1888}\right)$

   =

   $\mathrm{2,7}$

   |:$9$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,1047}t-\mathrm{4,1888}\right)$

   =

   $\mathrm{0,3}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

   1. Fall:

   $\mathrm{0,1047}x-\mathrm{4,1888}$	=	$\mathrm{0,305}$	| $+\mathrm{4,1888}$
   $\mathrm{0,1047}x$	=	$\mathrm{4,4938}$	|:$\mathrm{0,1047}$
   x1	=	$\mathrm{42,9207}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,1047}t-\mathrm{4,1888}\right)$ = $\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,305}$= $\mathrm{2,837}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,1047}t-\mathrm{4,1888}$

   =

   $\mathrm{2,837}$

   oder

   $\mathrm{0,1047}x-\mathrm{4,1888}$	=	$\mathrm{2,837}-2\pi$	| $+\mathrm{4,1888}$
   $\mathrm{0,1047}x$	=	$\mathrm{7,0258}-2\pi$
   $\mathrm{0,1047}x$	=	$\mathrm{0,7426}$	|:$\mathrm{0,1047}$
   x2	=	$\mathrm{7,0926}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 40 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 40 s nach oben und erreicht erstmals nach 7.09 s den Wert 12.7. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 42.92 s zum zweiten mal den Wert 12.7 erreicht. Während dieser 42.92 - 7.09 = 35.83 s ist der Wert der Funktion also höher als 12.7.

5. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 15 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 40 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 40 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 15 + 40 s = 55 s. Die Lösung ist also: 55 s.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(\frac{1}{a^2-6a+13}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2-6a+13\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-6a+13$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2-6a+13$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-6a+13$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-6a+13$)' = $2a-6$ = 0 ⇔ a = 3

Für dieses a = 3 wird also $a^2-6a+13$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2-6a+13\right)$ minimal .

Für a = 3 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left(3^2-6\cdot 3+13\right)$ = $2\pi ·\left(9-18+13\right)$ = $8\pi$.