Aufgabenbeispiele von Trigonometrie

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Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 x · sin( -5x ) und vereinfache:

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f(x)= 2 x · sin( -5x )

f'(x)= 2 · 1 · sin( -5x ) +2 x · cos( -5x ) · ( -5 )

= 2 sin( -5x ) +2 x · ( -5 cos( -5x ) )

= 2 sin( -5x ) -10 x · cos( -5x )

Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 cos( -x +3 ) -2x und vereinfache:

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f(x)= 5 cos( -x +3 ) -2x

f'(x)= -5 sin( -x +3 ) · ( -1 +0 ) -2

= -5 sin( -x +3 ) · ( -1 ) -2

= 5 sin( -x +3 ) -2

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 3 2 π -2 cos( x ) x .

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0 3 2 π -2 cos( x ) x

= [ -2 sin( x ) ] 0 3 2 π

= -2 sin( 3 2 π ) +2 sin( 0 )

= -2( -1 ) +20

= 2 +0

= 2

Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= sin( 4x ) -1 im Intervall [0; π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 4 = 1 2 π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= 3 8 π 3 8 π . .

Weil das gesuchte Interval [0; π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 3 8 π + 1 2 π = 7 8 π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -1, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( 3 8 π |-2) und einen bei ( 7 8 π |-2)

Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= 2 sin( 1 2 x ) -3 im Intervall [0; 8π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b= 1 2 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 2 = 4π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1= 0 0 . und bei x2= 2π 2π . .

Weil das gesuchte Interval [0; 8π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 0+4π = 4π und 2π+4π = 6π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( 0 |-3) und einen bei ( 2π |-3) und einen bei ( 4π |-3) und einen bei ( 6π |-3)

Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= 3 sin(2( x + 1 4 π)) +3 im Intervall [0; π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung und um c= - 1 4 π nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( - 1 4 π |3).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 2 = π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= - 1 4 π + 3 4 π 1 2 π . .

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 3, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( 1 2 π |0)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= -3 sin( 3x ) -0,6 innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; 2 3 π [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

-3 sin( 3x ) -0,6 = 0 | +0,6
-3 sin( 3x ) = 0,6 |:-3
canvas
sin( 3x ) = -0,2 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.20135792079033

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 6,082

1. Fall:

3x = 6,082 |:3
x1 = 2,0273

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 3x ) = -0,2 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 6,082 =-2.9404 bzw. bei -2.9404+2π= 3,343 liegen muss.

2. Fall:

3x = 3,343 |:3
x2 = 1,1143

L={ 1,1143 ; 2,0273 }

Die Nullstellen in der Periode [0; 2 3 π ) sind also
bei x1 = 1,1143 und x2 = 2,0273 .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

An einem bestimmten Ort kann die Zeit (in h) zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang t Tage nach Beobachtungsbeginn näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 4 sin( 1 183 π ( t -40 )) +12 (0 < t ≤ 366) angeben.

  1. Bestimme die kürzeste Zeit zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang (in h)
  2. Wie viele Tage nach Beobachtungsbeginn ist der Tag am längsten?

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Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = 1 183 π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π 1 183 π = 366

  1. y-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 4 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4 um 12. Somit ist der tiefste Wert bei 12 h - 4 h = 8 h.

  2. t-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 91.5 d.

    Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 40 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 40 d mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 91.5 + 40 d = 131.5 d. Die Lösung ist also: 131.5 d.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Untersuche, ob es einen maximalen oder minimalen Wert für die Periode von fa mit fa(x)= -2 cos( 1 a 2 +1 x ) gibt.

Bestimme das zugehörige a und die extremale Periode.

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Wir berechnen zuerst die Periode von fa mit fa(x)= -2 cos( 1 a 2 +1 x ) :

p = b = 1 a 2 +1 = 2π · ( a 2 +1 )

Man erkennt jetzt gut, dass je größer a 2 +1 wird, desto größer wird auch die Periode.

a 2 +1 ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat a 2 +1 also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( a 2 +1 )' = 2a = 0 ⇔ a = 0

Für dieses a = 0 wird also a 2 +1 minimal und somit auch die Periode 2π · ( a 2 +1 ) minimal .

Für a = 0 ist dann die minimale Periode pmin = 2π · ( 0 2 +1 ) = 2π · ( 0 +1 ) = 2π .