$\text{f(x)}=$ $\sin \left(\frac{1}{2}\left(x-2\right)\right)+1$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(\frac{1}{2}\left(x-2\right)\right)·\left(\frac{1}{2}\left(1+0\right)\right)+0$

= $\cos \left(\frac{1}{2}\left(x-2\right)\right)·\left(\frac{1}{2}\left(1\right)\right)$

= $\frac{1}{2}\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\left(x-2\right)\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\cdot \cos \left(-4x+5\right)+5x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-4\cdot \sin \left(-4x+5\right)·\left(-4+0\right)+10x$

= $-4\cdot \sin \left(-4x+5\right)·\left(-4\right)+10x$

= $16\cdot \sin \left(-4x+5\right)+10x$

= ${\left[-\frac{1}{4}\cdot \cos \left(4x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $-\frac{1}{4}\cdot \cos \left(4\cdot \pi \right)+\frac{1}{4}\cdot \cos \left(4\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-\frac{1}{4}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 1$

= $-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $2\pi$ ≈ $2\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 0, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $2\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|2) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-3\cdot \cos \left(\frac{1}{3}\left(x+0\right)\right)+2$ aber zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 2, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $0$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{4}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{4}\pi$|-3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $-\frac{1}{4}\pi$|-3) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{4}\pi$ + $0$ ≈ $-\frac{1}{4}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{8}{3}\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{1}{4}\pi +\frac{8}{3}\pi$ ≈ $\frac{29}{12}\pi$ und bei x₂= $-\frac{1}{4}\pi$ + $\frac{4}{3}\pi$ ≈ $\frac{13}{12}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{29}{12}\pi$|-3) und bei ( $\frac{13}{12}\pi$|-3)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.4706289056333

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{1}{2}x\right)$ = $\mathrm{0,1}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{1,471}$
bzw. bei - $\mathrm{1,471}$+2π= $\mathrm{4,813}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{2,942}$; $\mathrm{9,626}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $4\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{2,942}$ und x₂ = $\mathrm{9,626}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{100}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 200

2. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 150 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 30 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 30 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 150 + 30 s = 180 s. Die Lösung ist also: 180 s.

3. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 20 nach oben und eine Amplitude von a = 17 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 17 um 20. Somit ist der tiefste Wert bei 20 m - 17 m = 3 m.

4. t-Werte mit f(t) ≥ 25.1

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 25.1 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 25.1 gleich:

   $17\cdot \sin \left(\frac{1}{100}\pi \left(t-30\right)\right)+20$ = 25.1

   $17\cdot \sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,9425}\right)+20$ = $\mathrm{25,1}$ | $-20$

   $17\cdot \sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,9425}\right)$

   =

   $\mathrm{5,1}$

   |:$17$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,9425}\right)$

   =

   $\mathrm{0,3}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0314}x-\mathrm{0,9425}$	=	$\mathrm{0,305}$	| $+\mathrm{0,9425}$
   $\mathrm{0,0314}x$	=	$\mathrm{1,2475}$	|:$\mathrm{0,0314}$
   x1	=	$\mathrm{39,7293}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,9425}\right)$ = $\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,305}$= $\mathrm{2,837}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0314}x-\mathrm{0,9425}$	=	$\mathrm{2,837}$	| $+\mathrm{0,9425}$
   $\mathrm{0,0314}x$	=	$\mathrm{3,7795}$	|:$\mathrm{0,0314}$
   x2	=	$\mathrm{120,3662}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 30 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 30 s nach oben und erreicht erstmals nach 39.73 s den Wert 25.1. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 120.37 s zum zweiten mal den Wert 25.1 erreicht. Während dieser 120.37 - 39.73 = 80.64 s ist der Wert der Funktion also höher als 25.1.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $3\cdot \sin \left(\left(a^2+1\right)x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ =

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+1$ wird, desto kleiner wird die Periode.

$a^2+1$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+1$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+1$)' = $2a$ = 0 ⇔ a = 0

Für dieses a = 0 wird also $a^2+1$ minimal und somit die Periode $\frac{2\pi }{a^2+1}$ maximal .

Für a = 0 ist dann die maximale Periode p_max = $\frac{2\pi }{0^2+1}$ = $\frac{2\pi }{0+1}$ = $2\pi$.