Aufgabenbeispiele von Trigonometrie
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Ableiten von trigonometrischen Funktionen
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)
Beispiel:
Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).
Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x1=
≈
. .
Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über -3, also bei y=-1.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( |-1)
Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF
Beispiel:
Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-2).
Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|-2) wird.
Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion
aber zu Beginn der Periode,
also bei x1=
≈
. .
Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter -2, also bei y=-5.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( |-5)
Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)
Beispiel:
Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= nach rechts verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( |-2).
Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( |-2) wird.
Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion
aber nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1=
+
≈
.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren,
damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0;
) liegt,
also x1=
≈
.
Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über -2, also bei y=0.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( |0)
Nullstellen mit dem WTR
Beispiel:
Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; [.
Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
| = | |sin-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert -0.92729521800161
Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so
1. Fall:
| = | |: | ||
| x1 | = |
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung = noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - =-2.2144 bzw. bei -2.2144+2π= liegen muss.
2. Fall:
| = | |: | ||
| x2 | = |
L={ ; }
Die Nullstellen in der Periode [0;
) sind also
bei x1 =
und x2 =
.
trigon. Anwendungsaufgabe 2
Beispiel:
In einem Wellenbad kann man an einer bestimmten Stelle die Wasserhöhe zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit (0 < t ≤ 3) angeben.
- Bestimme die Periode dieses Vorgangs.
- Zu welcher Zeit (in s) ist die Wasserhöhe am höchsten?
- Periodenlänge
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:
Somit gilt für die Periodenlänge: p = = = 3
- t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 0.75 s.
Die Lösung ist also: 0.75 s.
Parameter für best. Periode finden
Beispiel:
Für welchen Wert von a hat der Graph fa mit
Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer
Demnach muss also die Periode p =
Jetzt können wir die Periodenformel p =
b =
Da bei
damit der Graph von
