$\text{f(x)}=$ $\sin \left(4\left(x+\frac{1}{3}\pi \right)\right)+1$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(4\left(x+\frac{1}{3}\pi \right)\right)·\left(4\left(1+0\right)\right)+0$

= $\cos \left(4\left(x+\frac{1}{3}\pi \right)\right)·4$

= $4\cdot \cos \left(4\left(x+\frac{1}{3}\pi \right)\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4x^2·\cos \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-4·2x·\cos \left(3x\right)-4x^2·(-\sin \left(3x\right)·3)$

= $-8x·\cos \left(3x\right)-4x^2·\left(-3\cdot \sin \left(3x\right)\right)$

= $-8x·\cos \left(3x\right)+12x^2·\sin \left(3x\right)$

= ${\left[\frac{4}{5}\cdot \sin \left(5x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{4}{5}\cdot \sin \left(5\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)-\frac{4}{5}\cdot \sin \left(5\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{4}{5}\cdot \left(-1\right)-\frac{4}{5}\cdot 1$

= $-\frac{4}{5}-\frac{4}{5}$

= $-\frac{8}{5}$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\pi$ ≈ $\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -2, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|0) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-2\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\left(x+0\right)\right)+0$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $4\pi$ ≈ $4\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 0, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $4\pi$|2)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{2}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{2}\pi$|0).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $-\frac{1}{2}\pi$|0) wird.

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\sin \left(3\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)+0$ aber nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{2}\pi$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ 0. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{2}{3}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 0, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei (0|1) und bei ( $\frac{2}{3}\pi$|1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 2.0943951023932

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(4x\right)$ = $-\mathrm{0,5}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{2}{3}\pi$
bzw. bei - $\frac{2}{3}\pi$+2π= $\frac{4}{3}\pi$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\frac{1}{6}\pi$; $\frac{1}{3}\pi$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{1}{2}\pi$) sind also
bei x₁ = $\frac{1}{6}\pi$ und x₂ = $\frac{1}{3}\pi$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 366

1. t-Werte mit f(t) ≥ 12.4

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 12.4 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 12.4 gleich:

   $4\cdot \sin \left(\frac{1}{183}\pi \left(t-30\right)\right)+12$ = 12.4

   $4\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,515}\right)+12$ = $\mathrm{12,4}$ | $-12$

   $4\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,515}\right)$

   =

   $\mathrm{0,4}$

   |:$4$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,515}\right)$

   =

   $\mathrm{0,1}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.10016742116156

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,515}$	=	$\mathrm{0,1}$	| $+\mathrm{0,515}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{0,615}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x1	=	$\mathrm{35,7558}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,515}\right)$ = $\mathrm{0,1}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,1}$= $\mathrm{3,041}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,515}$	=	$\mathrm{3,041}$	| $+\mathrm{0,515}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{3,556}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x2	=	$\mathrm{206,7442}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 30 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 30 d nach oben und erreicht erstmals nach 35.76 d den Wert 12.4. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 206.74 d zum zweiten mal den Wert 12.4 erreicht. Während dieser 206.74 - 35.76 = 170.98 d ist der Wert der Funktion also höher als 12.4.

2. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 91.5 d.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 30 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 30 d mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 91.5 + 30 d = 121.5 d. Die Lösung ist also: 121.5 d.

3. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 4 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4 um 12. Somit ist der höchste Wert bei 12 h + 4 h = 16 h.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(\left(a^2+2a+4\right)x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ =

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+2a+4$ wird, desto kleiner wird die Periode.

$a^2+2a+4$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+2a+4$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+2a+4$)' = $2a+2$ = 0 ⇔ a = -1

Für dieses a = -1 wird also $a^2+2a+4$ minimal und somit die Periode $\frac{2\pi }{a^2+2a+4}$ maximal .

Für a = -1 ist dann die maximale Periode p_max = $\frac{2\pi }{{\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)+4}$ = $\frac{2\pi }{1-2+4}$ = $\frac{2}{3}\pi$.