$\text{f(x)}=$ $2\cdot \cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $6\cdot \sin \left(-3x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(4x+2\right)+4x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(4x+2\right)·\left(4+0\right)+8x$

= $-2\cdot \cos \left(4x+2\right)·\left(4\right)+8x$

= $-8\cdot \cos \left(4x+2\right)+8x$

= ${\left[-2\cdot \cos \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-2\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)+2\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$

= $-2\cdot 0+2\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\pi$ ≈ $\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $4\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+2\pi$ = $2\pi$ und $\pi +2\pi$ = $3\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|2) und einen bei ( $\pi$|2) und einen bei ( $2\pi$|2) und einen bei ( $3\pi$|2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $\pi$ ≈ $\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $4\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\pi +2\pi$ = $3\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter -3, also bei y=-5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\pi$|-5) und einen bei ( $3\pi$|-5)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in y-Richtung und um c= $-3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-3$|4).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-3$|0) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-2\cdot \cos \left(\frac{3}{4}\left(x+3\right)\right)+2$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-3$ + $\frac{4}{3}\pi$ ≈ $\mathrm{1,189}$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{16}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{1,189}+\frac{8}{3}\pi$ ≈ 9.567 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 2, also bei y=4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\mathrm{1,189}$|4) und bei (9.567|4)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

L={ $\frac{3}{4}\pi$}

Die einzige Nullstelle in der Periode [0; $3\pi$) ist also bei x = $\frac{3}{4}\pi$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{90}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 180

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 18 nach oben und eine Amplitude von a = 17 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 17 um 18. Somit ist der tiefste Wert bei 18 m - 17 m = 1 m.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 21.4

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 21.4 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 21.4 gleich:

   $17\cdot \sin \left(\frac{1}{90}\pi \left(t-10\right)\right)+18$ = 21.4

   $17\cdot \sin \left(\mathrm{0,0349}t-\mathrm{0,3491}\right)+18$ = $\mathrm{21,4}$ | $-18$

   $17\cdot \sin \left(\mathrm{0,0349}t-\mathrm{0,3491}\right)$

   =

   $\mathrm{3,4}$

   |:$17$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0349}t-\mathrm{0,3491}\right)$

   =

   $\mathrm{0,2}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.20135792079033

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0349}x-\mathrm{0,3491}$	=	$\mathrm{0,201}$	| $+\mathrm{0,3491}$
   $\mathrm{0,0349}x$	=	$\mathrm{0,5501}$	|:$\mathrm{0,0349}$
   x1	=	$\mathrm{15,7622}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0349}t-\mathrm{0,3491}\right)$ = $\mathrm{0,2}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,201}$= $\mathrm{2,94}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0349}x-\mathrm{0,3491}$	=	$\mathrm{2,94}$	| $+\mathrm{0,3491}$
   $\mathrm{0,0349}x$	=	$\mathrm{3,2891}$	|:$\mathrm{0,0349}$
   x2	=	$\mathrm{94,2436}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 10 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 10 s nach oben und erreicht erstmals nach 15.76 s den Wert 21.4. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 94.24 s zum zweiten mal den Wert 21.4 erreicht. Während dieser 94.24 - 15.76 = 78.48 s ist der Wert der Funktion also höher als 21.4.

4. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 45 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 10 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 10 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 45 + 10 s = 55 s. Die Lösung ist also: 55 s.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-\sin \left(\frac{1}{a^2+2a+6}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2+2a+6\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+2a+6$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2+2a+6$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+2a+6$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+2a+6$)' = $2a+2$ = 0 ⇔ a = -1

Für dieses a = -1 wird also $a^2+2a+6$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2+2a+6\right)$ minimal .

Für a = -1 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left({\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)+6\right)$ = $2\pi ·\left(1-2+6\right)$ = $10\pi$.