$\text{f(x)}=$ $5x·\cos \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5·1·\cos \left(2x\right)+5x·(-\sin \left(2x\right)·2)$

= $5\cdot \cos \left(2x\right)+5x·\left(-2\cdot \sin \left(2x\right)\right)$

= $5\cdot \cos \left(2x\right)-10x·\sin \left(2x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(4x\right)·4$

= $-4\cdot \sin \left(4x\right)$

= ${\left[5\cdot \sin \left(x-\frac{1}{2}\pi \right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $5\cdot \sin \left(\pi -\frac{1}{2}\pi \right)-5\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi -\frac{1}{2}\pi \right)$

= $5\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)-5\cdot \sin \left(0\right)$

= $5\cdot 1-5\cdot 0$

= $5+0$

= $5$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{9}{2}\pi$ ≈ $\frac{9}{2}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter -1, also bei y=-4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{9}{2}\pi$|-4)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{9}{4}\pi$ ≈ $\frac{9}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter -3, also bei y=-6.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{9}{4}\pi$|-6)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $3$|0).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $3$|-4) wird.

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-2\cdot \cos \left(x-3\right)-2$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $3$ + $\pi$ ≈ $\mathrm{6,142}$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $4\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{6,142}+2\pi$ ≈ 12.425 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über -2, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\mathrm{6,142}$|0) und bei (12.425|0)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert -1.1197695149986

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\mathrm{5,163}$

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(4x\right)$ = $-\mathrm{0,9}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{5,163}$=-2.0214 bzw. bei -2.0214+2π= $\mathrm{4,261}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{1,0653}$; $\mathrm{1,2908}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{1}{2}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{1,0653}$ und x₂ = $\mathrm{1,2908}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{80}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 160

2. t-Werte mit f(t) ≥ 17

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 17 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 17 gleich:

   $10\cdot \sin \left(\frac{1}{80}\pi \left(t-40\right)\right)+13$ = 17

   $10\cdot \sin \left(\mathrm{0,0393}t-\mathrm{1,5708}\right)+13$ = $17$ | $-13$

   $10\cdot \sin \left(\mathrm{0,0393}t-\mathrm{1,5708}\right)$

   =

   $4$

   |:$10$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0393}t-\mathrm{1,5708}\right)$

   =

   $\mathrm{0,4}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.41151684606749

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0393}x-\mathrm{1,5708}$	=	$\mathrm{0,412}$	| $+\mathrm{1,5708}$
   $\mathrm{0,0393}x$	=	$\mathrm{1,9828}$	|:$\mathrm{0,0393}$
   x1	=	$\mathrm{50,4529}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0393}t-\mathrm{1,5708}\right)$ = $\mathrm{0,4}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,412}$= $\mathrm{2,73}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0393}x-\mathrm{1,5708}$	=	$\mathrm{2,73}$	| $+\mathrm{1,5708}$
   $\mathrm{0,0393}x$	=	$\mathrm{4,3008}$	|:$\mathrm{0,0393}$
   x2	=	$\mathrm{109,4351}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 40 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 40 s nach oben und erreicht erstmals nach 50.45 s den Wert 17. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 109.44 s zum zweiten mal den Wert 17 erreicht. Während dieser 109.44 - 50.45 = 58.99 s ist der Wert der Funktion also höher als 17.

3. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 40 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 40 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 40 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 40 + 40 s = 80 s. Die Lösung ist also: 80 s.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer $\frac{3}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{3}{4}$⋅p = $\frac{9}{2}$ |⋅$\frac{4}{3}$

Demnach muss also die Periode p =$\frac{4}{3}$ ⋅ $\frac{9}{2}$ = $6$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $6$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\sin \left(a\pi x\right)$ das b ja $a\pi$ ist, muss also a = $\frac{1}{3}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\sin (\frac{1}{3}·\pi x)$ seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( $\frac{9}{2}$|-1) hat.