Aufgabenbeispiele von Trigonometrie

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Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 sin( -4x ) und vereinfache:

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f(x)= 5 sin( -4x )

f'(x)= 5 cos( -4x ) · ( -4 )

= -20 cos( -4x )

Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 sin( 1 3 ( x +1 )) -1 und vereinfache:

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f(x)= 3 sin( 1 3 ( x +1 )) -1

f'(x)= 3 cos( 1 3 ( x +1 )) · ( 1 3 ( 1 +0) )+0

= 3 cos( 1 3 ( x +1 )) · ( 1 3 ( 1 ) )

= cos( 1 3 ( x +1 ))

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π 3 2 π -2 cos( 2x ) x .

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1 2 π 3 2 π -2 cos( 2x ) x

= [ - sin( 2x ) ] 1 2 π 3 2 π

= - sin( 2( 3 2 π ) ) + sin( 2( 1 2 π ) )

= -0 +0

= 0

Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= sin( 3x ) im Intervall [0; 2 3 π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 3 = 2 3 π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1= 0 0 . und bei x2= 1 3 π 1 3 π . .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( 0 |0) und einen bei ( 1 3 π |0)

Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit f(x)= cos( 1 4 x ) +1 im Intervall [0; 8π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b= 1 4 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 4 = 8π

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x1= 0 0 . .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 1, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( 0 |2)

Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= -3 sin( 3 4 ( x + π)) +1 im Intervall [0; 16 3 π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung und um c= -π nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( -π |1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( -π |1) wird.

Mit Hilfe von b= 3 4 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 3 4 = 8 3 π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion -3 sin( 3 4 ( x + π)) +1 aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x1= -π + 2 3 π - 1 3 π .
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; 16 3 π ) liegt,
also x1= - 1 3 π + 8 3 π 7 3 π .

Weil das gesuchte Interval [0; 16 3 π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 7 3 π + 8 3 π = 5π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 1, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( 7 3 π |-2) und bei ( 5π |-2)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= - cos( 3x ) +0,3 innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; 2 3 π [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

- cos( 3x ) +0,3 = 0 | -0,3
- cos( 3x ) = -0,3 |:-1
canvas
cos( 3x ) = 0,3 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.2661036727795

1. Fall:

3x = 1,266 |:3
x1 = 0,422

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 3x ) = 0,3 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1,266
bzw. bei - 1,266 +2π= 5,017 liegen muss.

2. Fall:

3x = 5,017 |:3
x2 = 1,6723

L={ 0,422 ; 1,6723 }

Die Nullstellen in der Periode [0; 2 3 π ) sind also
bei x1 = 0,422 und x2 = 1,6723 .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

In einem Wellenbad kann man an einer bestimmten Stelle die Wasserhöhe zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 15 sin(π t ) +95 (0 < t ≤ 2) angeben.

  1. Bestimme die Periode dieses Vorgangs.
  2. Wie lange (in Sekunden) ist die Wasserhöhe höher als 107cm?

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  1. Periodenlänge

    Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

    Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π π = 2

  2. t-Werte mit f(t) ≥ 107

    Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 107 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 107 gleich:

    15 sin(π t ) +95 = 107

    15 sin( 3,1416t ) +95 = 107 | -95
    15 sin( 3,1416t ) = 12 |:15
    canvas
    sin( 3,1416t ) = 0,8 |sin-1(⋅)

    Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

    1. Fall:

    3,1416x = 0,927 |:3,1416
    x1 = 0,2951

    Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 3,1416t ) = 0,8 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

    Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0,927 = 2,214 liegen muss.

    2. Fall:

    3,1416x = 2,214 |:3,1416
    x2 = 0,7047

    Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.3 s den Wert 107. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 0.7 s zum zweiten mal den Wert 107 erreicht. Während dieser 0.7 - 0.3 = 0.4 s ist der Wert der Funktion also höher als 107.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Untersuche, ob es einen maximalen oder minimalen Wert für die Periode von fa mit fa(x)= 3 cos( 1 a 2 +4a +9 x ) gibt.

Bestimme das zugehörige a und die extremale Periode.

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Wir berechnen zuerst die Periode von fa mit fa(x)= 3 cos( 1 a 2 +4a +9 x ) :

p = b = 1 a 2 +4a +9 = 2π · ( a 2 +4a +9 )

Man erkennt jetzt gut, dass je größer a 2 +4a +9 wird, desto größer wird auch die Periode.

a 2 +4a +9 ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat a 2 +4a +9 also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( a 2 +4a +9 )' = 2a +4 = 0 ⇔ a = -2

Für dieses a = -2 wird also a 2 +4a +9 minimal und somit auch die Periode 2π · ( a 2 +4a +9 ) minimal .

Für a = -2 ist dann die minimale Periode pmin = 2π · ( ( -2 ) 2 +4( -2 ) +9 ) = 2π · ( 4 -8 +9 ) = 10π .