$\text{f(x)}=$ $-5x^2·\cos \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-5·2x·\cos \left(-2x\right)-5x^2·(-\sin \left(-2x\right)·\left(-2\right))$

= $-10x·\cos \left(-2x\right)-5x^2·2\cdot \sin \left(-2x\right)$

= $-10x·\cos \left(-2x\right)-10x^2·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2x·\cos \left(-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2·1·\cos \left(-5x\right)-2x·(-\sin \left(-5x\right)·\left(-5\right))$

= $-2\cdot \cos \left(-5x\right)-2x·5\cdot \sin \left(-5x\right)$

= $-2\cdot \cos \left(-5x\right)-10x·\sin \left(-5x\right)$

= ${\left[-\sin \left(-4x\right)\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $-\sin \left(-4\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)+\sin \left(-4\cdot \left(0\right)\right)$

= $-0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\pi$ ≈ $\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $4\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+2\pi$ = $2\pi$ und $\pi +2\pi$ = $3\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|2) und einen bei ( $\pi$|2) und einen bei ( $2\pi$|2) und einen bei ( $3\pi$|2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{3}\pi$ ≈ $\frac{1}{3}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 1, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{1}{3}\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{2}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{2}\pi$|2).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{2}\pi$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ 0. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{2}{3}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 2, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei (0|1) und bei ( $\frac{2}{3}\pi$|1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert -0.64350110879328

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\mathrm{5,64}$

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\frac{1}{2}x\right)$ = $-\mathrm{0,6}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{5,64}$=-2.4984 bzw. bei -2.4984+2π= $\mathrm{3,785}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{7,57}$; $\mathrm{11,28}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $4\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{7,57}$ und x₂ = $\mathrm{11,28}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{40}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 80

2. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 60 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 30 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 30 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 60 + 30 s = 90 s. Weil aber 90 nicht im gesuchten Intervall [0;80] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 90 - 80 = 10 s. Die Lösung ist also: 10 s.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 16.6

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 16.6 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 16.6 gleich:

   $13\cdot \sin \left(\frac{1}{40}\pi \left(t-30\right)\right)+14$ = 16.6

   $13\cdot \sin \left(\mathrm{0,0785}t-\mathrm{2,3562}\right)+14$ = $\mathrm{16,6}$ | $-14$

   $13\cdot \sin \left(\mathrm{0,0785}t-\mathrm{2,3562}\right)$

   =

   $\mathrm{2,6}$

   |:$13$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0785}t-\mathrm{2,3562}\right)$

   =

   $\mathrm{0,2}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.20135792079033

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0785}x-\mathrm{2,3562}$	=	$\mathrm{0,201}$	| $+\mathrm{2,3562}$
   $\mathrm{0,0785}x$	=	$\mathrm{2,5572}$	|:$\mathrm{0,0785}$
   x1	=	$\mathrm{32,5758}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0785}t-\mathrm{2,3562}\right)$ = $\mathrm{0,2}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,201}$= $\mathrm{2,94}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0785}x-\mathrm{2,3562}$	=	$\mathrm{2,94}$	| $+\mathrm{2,3562}$
   $\mathrm{0,0785}x$	=	$\mathrm{5,2962}$	|:$\mathrm{0,0785}$
   x2	=	$\mathrm{67,4675}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 30 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 30 s nach oben und erreicht erstmals nach 32.58 s den Wert 16.6. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 67.47 s zum zweiten mal den Wert 16.6 erreicht. Während dieser 67.47 - 32.58 = 34.89 s ist der Wert der Funktion also höher als 16.6.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $\frac{1}{8}\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $\frac{1}{8}\pi$ = $\frac{1}{2}\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\cos \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $4$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\cos (4·x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $\frac{1}{8}\pi$|0) hat.