$\text{f(x)}=$ $4x·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4·1·\cos \left(x\right)+4x·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $4\cdot \cos \left(x\right)-4x·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3x·\cos \left(-4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3·1·\cos \left(-4x\right)-3x·(-\sin \left(-4x\right)·\left(-4\right))$

= $-3\cdot \cos \left(-4x\right)-3x·4\cdot \sin \left(-4x\right)$

= $-3\cdot \cos \left(-4x\right)-12x·\sin \left(-4x\right)$

= ${\left[-\frac{2}{3}\cdot \cos \left(3x\right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\frac{2}{3}\cdot \cos \left(3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)+\frac{2}{3}\cdot \cos \left(3\cdot \left(0\right)\right)$

= $-\frac{2}{3}\cdot 0+\frac{2}{3}\cdot 1$

= $0+\frac{2}{3}$

= $0+\frac{2}{3}$

= $\frac{2}{3}$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{1}{3}\pi$ ≈ $\frac{1}{3}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-3) und einen bei ( $\frac{1}{3}\pi$|-3)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 2, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{1}{2}\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung und um c= $-\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\pi$|3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-\pi$|-1) wird.

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-2\cdot \cos (x+\pi )+1$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-\pi$ + $\pi$ ≈ 0. .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 1, also bei y=3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei (0|3)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.20135792079033

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\frac{3}{4}x\right)$ = $\mathrm{0,2}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,201}$= $\mathrm{2,94}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,268}$; $\mathrm{3,92}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{8}{3}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,268}$ und x₂ = $\mathrm{3,92}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{80}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 160

2. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 120 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 40 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 40 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 120 + 40 s = 160 s. Die Lösung ist also: 160 s.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 33.6

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 33.6 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 33.6 gleich:

   $18\cdot \sin \left(\frac{1}{80}\pi \left(t-40\right)\right)+21$ = 33.6

   $18\cdot \sin \left(\mathrm{0,0393}t-\mathrm{1,5708}\right)+21$ = $\mathrm{33,6}$ | $-21$

   $18\cdot \sin \left(\mathrm{0,0393}t-\mathrm{1,5708}\right)$

   =

   $\mathrm{12,6}$

   |:$18$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0393}t-\mathrm{1,5708}\right)$

   =

   $\mathrm{0,7}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.77539749661075

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0393}x-\mathrm{1,5708}$	=	$\mathrm{0,775}$	| $+\mathrm{1,5708}$
   $\mathrm{0,0393}x$	=	$\mathrm{2,3458}$	|:$\mathrm{0,0393}$
   x1	=	$\mathrm{59,6896}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0393}t-\mathrm{1,5708}\right)$ = $\mathrm{0,7}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,775}$= $\mathrm{2,366}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0393}x-\mathrm{1,5708}$	=	$\mathrm{2,366}$	| $+\mathrm{1,5708}$
   $\mathrm{0,0393}x$	=	$\mathrm{3,9368}$	|:$\mathrm{0,0393}$
   x2	=	$\mathrm{100,173}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 40 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 40 s nach oben und erreicht erstmals nach 59.69 s den Wert 33.6. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 100.17 s zum zweiten mal den Wert 33.6 erreicht. Während dieser 100.17 - 59.69 = 40.48 s ist der Wert der Funktion also höher als 33.6.

4. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 40 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 40 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 40 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 40 + 40 s = 80 s. Die Lösung ist also: 80 s.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $\frac{1}{2}\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $\frac{1}{2}\pi$ = $2\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $2\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\sin \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $1$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\sin (1·x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $\frac{1}{2}\pi$|1) hat.