$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(\frac{1}{4}\left(x-1\right)\right)-3$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\left(x-1\right)\right)·\left(\frac{1}{4}\left(1+0\right)\right)+0$

= $2\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\left(x-1\right)\right)·\left(\frac{1}{4}\left(1\right)\right)$

= $\frac{1}{2}\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\left(x-1\right)\right)$

$\text{f(x)}=$ $5x·\sin \left(-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5·1·\sin \left(-5x\right)+5x·\cos \left(-5x\right)·\left(-5\right)$

= $5\cdot \sin \left(-5x\right)+5x·\left(-5\cdot \cos \left(-5x\right)\right)$

= $5\cdot \sin \left(-5x\right)-25x·\cos \left(-5x\right)$

= ${\left[-\frac{1}{4}\cdot \sin \left(-4x\right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $-\frac{1}{4}\cdot \sin \left(-4\cdot \pi \right)+\frac{1}{4}\cdot \sin \left(-4\cdot \left(0\right)\right)$

= $-\frac{1}{4}\cdot 0+\frac{1}{4}\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $12\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{3}{2}\pi +6\pi$ = $\frac{15}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -3, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{3}{2}\pi$|0) und einen bei ( $\frac{15}{2}\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $2\pi$ ≈ $2\pi$. und bei x₂= $6\pi$ ≈ $6\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $2\pi$|-3) und einen bei ( $6\pi$|-3)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{2}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{2}\pi$|5).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-\frac{1}{2}\pi$|-1) wird.

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-3\cdot \cos \left(3\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)+2$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{2}\pi$ + $\frac{1}{3}\pi$ ≈ $-\frac{1}{6}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{4}{3}\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{1}{6}\pi +\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$.

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{2}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{7}{6}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über 2, also bei y=5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{2}\pi$|5) und bei ( $\frac{7}{6}\pi$|5)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(4x\right)$ = $\mathrm{0,6}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{0,927}$
bzw. bei - $\mathrm{0,927}$+2π= $\mathrm{5,356}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,2318}$; $\mathrm{1,339}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{1}{2}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,2318}$ und x₂ = $\mathrm{1,339}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 24

1. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 11 nach oben und eine Amplitude von a = 5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 5 um 11. Somit ist der höchste Wert bei 11 ° C + 5 ° C = 16 ° C.

2. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 9 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 9 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 9 h = 27 h. Weil aber 27 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 27 - 24 = 3 h. Die Lösung ist also: 3 Uhr.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-\sin \left(\left(a^2-4a+8\right)x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ =

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-4a+8$ wird, desto kleiner wird die Periode.

$a^2-4a+8$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-4a+8$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-4a+8$)' = $2a-4$ = 0 ⇔ a = 2

Für dieses a = 2 wird also $a^2-4a+8$ minimal und somit die Periode $\frac{2\pi }{a^2-4a+8}$ maximal .

Für a = 2 ist dann die maximale Periode p_max = $\frac{2\pi }{2^2-4\cdot 2+8}$ = $\frac{2\pi }{4-8+8}$ = $\frac{1}{2}\pi$.