$\text{f(x)}=$ $x·\cos \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $1·\cos \left(4x\right)+x·(-\sin \left(4x\right)·4)$

= $\cos \left(4x\right)+x·\left(-4\cdot \sin \left(4x\right)\right)$

= $\cos \left(4x\right)-4x·\sin \left(4x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\cos \left(3x-3\right)-5$

$\text{f'(x)}=$ $\sin \left(3x-3\right)·\left(3+0\right)+0$

= $\sin \left(3x-3\right)·\left(3\right)$

= $3\cdot \sin \left(3x-3\right)$

= ${\left[-\frac{4}{3}\cdot \cos \left(-3x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\frac{4}{3}\cdot \cos \left(-3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)+\frac{4}{3}\cdot \cos \left(-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-\frac{4}{3}\cdot 0+\frac{4}{3}\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{1}{2}\pi$ und $\frac{1}{4}\pi +\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{3}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-2) und einen bei ( $\frac{1}{4}\pi$|-2) und einen bei ( $\frac{1}{2}\pi$|-2) und einen bei ( $\frac{3}{4}\pi$|-2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\frac{2}{3}\pi$. und bei x₂= $2\pi$ ≈ $2\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{2}{3}\pi$|1) und einen bei ( $2\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung und um c= $3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $3$|2).

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $3$ + $\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\mathrm{5,094}$. .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über 2, also bei y=5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\mathrm{5,094}$|5)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

L={ $\frac{3}{2}\pi$}

Die einzige Nullstelle in der Periode [0; $6\pi$) ist also bei x = $\frac{3}{2}\pi$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 366

1. t-Werte mit f(t) ≥ 14.4

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 14.4 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 14.4 gleich:

   $4\cdot \sin \left(\frac{1}{183}\pi \left(t-10\right)\right)+12$ = 14.4

   $4\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,1717}\right)+12$ = $\mathrm{14,4}$ | $-12$

   $4\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,1717}\right)$

   =

   $\mathrm{2,4}$

   |:$4$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,1717}\right)$

   =

   $\mathrm{0,6}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,1717}$	=	$\mathrm{0,644}$	| $+\mathrm{0,1717}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{0,8157}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x1	=	$\mathrm{47,4244}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,1717}\right)$ = $\mathrm{0,6}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,644}$= $\mathrm{2,498}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,1717}$	=	$\mathrm{2,498}$	| $+\mathrm{0,1717}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{2,6697}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x2	=	$\mathrm{155,2151}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 10 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 10 d nach oben und erreicht erstmals nach 47.42 d den Wert 14.4. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 155.22 d zum zweiten mal den Wert 14.4 erreicht. Während dieser 155.22 - 47.42 = 107.8 d ist der Wert der Funktion also höher als 14.4.

2. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 91.5 d.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 10 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 10 d mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 91.5 + 10 d = 101.5 d. Die Lösung ist also: 101.5 d.

3. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 4 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4 um 12. Somit ist der höchste Wert bei 12 h + 4 h = 16 h.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(\frac{1}{a^2+2a+4}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2+2a+4\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+2a+4$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2+2a+4$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+2a+4$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+2a+4$)' = $2a+2$ = 0 ⇔ a = -1

Für dieses a = -1 wird also $a^2+2a+4$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2+2a+4\right)$ minimal .

Für a = -1 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left({\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)+4\right)$ = $2\pi ·\left(1-2+4\right)$ = $6\pi$.