$\text{f(x)}=$ $2x·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2·1·\cos \left(x\right)+2x·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $2\cdot \cos \left(x\right)-2x·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\cdot \sin \left(-x-2\right)+2x$

$\text{f'(x)}=$ $-5\cdot \cos \left(-x-2\right)·\left(-1+0\right)+2$

= $-5\cdot \cos \left(-x-2\right)·\left(-1\right)+2$

= $5\cdot \cos \left(-x-2\right)+2$

= ${\left[2\cdot \sin \left(-2x\right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $2\cdot \sin \left(-2\cdot \pi \right)-2\cdot \sin \left(-2\cdot \left(0\right)\right)$

= $2\cdot 0-2\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{9}{4}\pi$ ≈ $\frac{9}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $6\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{9}{4}\pi +3\pi$ = $\frac{21}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 3, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{9}{4}\pi$|0) und einen bei ( $\frac{21}{4}\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|2) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\cos \left(\frac{1}{3}\left(x+0\right)\right)+2$ aber zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 2, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $0$|1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $3$|-1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $3$|-1) wird.

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $3$ + $0$ ≈ $3$. und bei x₂= $3$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{4,571}$.
Weil diese Stelle aber größer als die Periode ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode davon abziehen, damit der x-Wert in der ersten Periode liegt, also x₂= $\mathrm{4,571}-\pi$ ≈ $\mathrm{1,429}$.

Weil das gesuchte Interval [0; $2\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $3+\pi$ ≈ 6.142 und $\mathrm{1,429}+\pi$ ≈ 4.571 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $3$|-1) und bei ( $\mathrm{1,429}$|-1) und bei (6.142|-1) und bei (4.571|-1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.7721542475852

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{2}{3}x\right)$ = $-\mathrm{0,2}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{1,772}$
bzw. bei - $\mathrm{1,772}$+2π= $\mathrm{4,511}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{2,658}$; $\mathrm{6,7665}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $3\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{2,658}$ und x₂ = $\mathrm{6,7665}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 2

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 95 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 95. Somit ist der tiefste Wert bei 95 cm - 15 cm = 80 cm.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $\frac{1}{6}\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $\frac{1}{6}\pi$ = $\frac{2}{3}\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\cos \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $3$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\cos (3·x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $\frac{1}{6}\pi$|0) hat.