$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(\frac{1}{4}\left(x-3\right)\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\left(x-3\right)\right)·\left(\frac{1}{4}\left(1+0\right)\right)$

= $2\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\left(x-3\right)\right)·\left(\frac{1}{4}\left(1\right)\right)$

= $\frac{1}{2}\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\left(x-3\right)\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\cdot \sin \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5\cdot \cos \left(5x\right)·5$

= $25\cdot \cos \left(5x\right)$

= ${\left[-\sin \left(5x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\sin \left(5\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)+\sin \left(5\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-\left(-1\right)+1$

= $1+1$

= $2$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{6}\pi$ ≈ $\frac{1}{6}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{6}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{5}{6}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 2, also bei y=4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{6}\pi$|4) und einen bei ( $\frac{5}{6}\pi$|4)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|-1) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-3\cdot \sin \left(\frac{2}{3}\left(x+0\right)\right)-1$ aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{4}\pi$ ≈ $\frac{3}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $6\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{3}{4}\pi +3\pi$ = $\frac{15}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter -1, also bei y=-4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{4}\pi$|-4) und einen bei ( $\frac{15}{4}\pi$|-4)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung und um c= $2$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $2$|0).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $2$ + $0$ ≈ $2$. und bei x₂= $2$ + $4\pi$ ≈ $\mathrm{14,566}$. .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $2$|0) und bei ( $\mathrm{14,566}$|0)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.79539883018414

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{1}{3}x\right)$ = $\mathrm{0,7}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{0,795}$
bzw. bei - $\mathrm{0,795}$+2π= $\mathrm{5,488}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{2,385}$; $\mathrm{16,464}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $6\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{2,385}$ und x₂ = $\mathrm{16,464}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 366

1. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 5 um 12. Somit ist der tiefste Wert bei 12 h - 5 h = 7 h.

2. t-Werte mit f(t) ≥ 12.5

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 12.5 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 12.5 gleich:

   $5\cdot \sin \left(\frac{1}{183}\pi \left(t-40\right)\right)+12$ = 12.5

   $5\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,6867}\right)+12$ = $\mathrm{12,5}$ | $-12$

   $5\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,6867}\right)$

   =

   $\mathrm{0,5}$

   |:$5$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,6867}\right)$

   =

   $\mathrm{0,1}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.10016742116156

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,6867}$	=	$\mathrm{0,1}$	| $+\mathrm{0,6867}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{0,7867}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x1	=	$\mathrm{45,7384}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,6867}\right)$ = $\mathrm{0,1}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,1}$= $\mathrm{3,041}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,6867}$	=	$\mathrm{3,041}$	| $+\mathrm{0,6867}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{3,7277}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x2	=	$\mathrm{216,7267}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 40 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 40 d nach oben und erreicht erstmals nach 45.74 d den Wert 12.5. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 216.73 d zum zweiten mal den Wert 12.5 erreicht. Während dieser 216.73 - 45.74 = 170.99 d ist der Wert der Funktion also höher als 12.5.

3. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 91.5 d.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 40 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 40 d mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 91.5 + 40 d = 131.5 d. Die Lösung ist also: 131.5 d.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $3$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $3$ = $12$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $12$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\cos \left(a\pi x\right)$ das b ja $a\pi$ ist, muss also a = $\frac{1}{6}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\cos (\frac{1}{6}·\pi x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $3$|0) hat.