$\text{f(x)}=$ ${\left(\cos \left(x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(\cos \left(x\right)\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-2\cos \left(x\right)·\sin \left(x\right)$

= $-2\sin \left(x\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2x·\cos \left(-4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2·1·\cos \left(-4x\right)-2x·(-\sin \left(-4x\right)·\left(-4\right))$

= $-2\cdot \cos \left(-4x\right)-2x·4\cdot \sin \left(-4x\right)$

= $-2\cdot \cos \left(-4x\right)-8x·\sin \left(-4x\right)$

= ${\left[5\cdot \cos \left(x\right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $5\cdot \cos \left(\pi \right)-5\cdot \cos \left(0\right)$

= $5\cdot \left(-1\right)-5\cdot 1$

= $-5-5$

= $-10$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $12\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{3}{2}\pi +6\pi$ = $\frac{15}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über -2, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{3}{2}\pi$|0) und einen bei ( $\frac{15}{2}\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|1) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $2\pi$ ≈ $2\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $8\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+4\pi$ = $4\pi$ und $2\pi +4\pi$ = $6\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|1) und einen bei ( $2\pi$|1) und einen bei ( $4\pi$|1) und einen bei ( $6\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung und um c= $1$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $1$|-3).

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $1$ + $0$ ≈ $1$. und bei x₂= $1$ + $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{5,712}$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $6\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $1+3\pi$ ≈ 10.425 und $\mathrm{5,712}+3\pi$ ≈ 15.137 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $1$|-3) und bei ( $\mathrm{5,712}$|-3) und bei (10.425|-3) und bei (15.137|-3)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{1}{4}x\right)$ = $\mathrm{0,5}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{3}\pi$
bzw. bei - $\frac{1}{3}\pi$+2π= $\frac{5}{3}\pi$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\frac{4}{3}\pi$; $\frac{20}{3}\pi$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $8\pi$) sind also
bei x₁ = $\frac{4}{3}\pi$ und x₂ = $\frac{20}{3}\pi$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{80}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 160

2. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 120 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 20 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 20 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 120 + 20 s = 140 s. Die Lösung ist also: 140 s.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(\left(a^2+2a+6\right)x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ =

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+2a+6$ wird, desto kleiner wird die Periode.

$a^2+2a+6$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+2a+6$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+2a+6$)' = $2a+2$ = 0 ⇔ a = -1

Für dieses a = -1 wird also $a^2+2a+6$ minimal und somit die Periode $\frac{2\pi }{a^2+2a+6}$ maximal .

Für a = -1 ist dann die maximale Periode p_max = $\frac{2\pi }{{\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)+6}$ = $\frac{2\pi }{1-2+6}$ = $\frac{2}{5}\pi$.