$\text{f(x)}=$ $4x^2·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4·2x·\cos \left(x\right)+4x^2·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $8x·\cos \left(x\right)-4x^2·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\cdot \sin \left(5x-5\right)+4x^2$

$\text{f'(x)}=$ $5\cdot \cos \left(5x-5\right)·\left(5+0\right)+8x$

= $5\cdot \cos \left(5x-5\right)·\left(5\right)+8x$

= $25\cdot \cos \left(5x-5\right)+8x$

= ${\left[-\frac{3}{4}\cdot \cos \left(-4x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\frac{3}{4}\cdot \cos \left(-4\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)+\frac{3}{4}\cdot \cos \left(-4\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-\frac{3}{4}\cdot 1+\frac{3}{4}\cdot 1$

= $-\frac{3}{4}+\frac{3}{4}$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $2\pi$ ≈ $2\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $8\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+4\pi$ = $4\pi$ und $2\pi +4\pi$ = $6\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-1) und einen bei ( $2\pi$|-1) und einen bei ( $4\pi$|-1) und einen bei ( $6\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $6\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{3}{2}\pi +3\pi$ = $\frac{9}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 0, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{2}\pi$|-1) und einen bei ( $\frac{9}{2}\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $3$|2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $3$|-4) wird.

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $3$ + $\frac{1}{6}\pi$ ≈ $\mathrm{3,524}$.
Weil diese Stelle aber größer als die Periode ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode davon abziehen, damit der x-Wert in der ersten Periode liegt, also x₁= $\mathrm{3,524}-\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\mathrm{1,43}$ und bei x₂= $3$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{4,571}$.
Weil diese Stelle aber größer als die Periode ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode davon abziehen, damit der x-Wert in der ersten Periode liegt, also x₂= $\mathrm{4,571}-\frac{2}{3}\pi -\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\mathrm{0,382}$.

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{1,43}+\frac{2}{3}\pi$ ≈ 3.524 und $\mathrm{0,382}+\frac{2}{3}\pi$ ≈ 2.476 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\mathrm{1,43}$|-1) und bei ( $\mathrm{0,382}$|-1) und bei (3.524|-1) und bei (2.476|-1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.3694384060046

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{2}{3}x\right)$ = $\mathrm{0,2}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{1,369}$
bzw. bei - $\mathrm{1,369}$+2π= $\mathrm{4,914}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{2,0535}$; $\mathrm{7,371}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $3\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{2,0535}$ und x₂ = $\mathrm{7,371}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{2}{3}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 3

2. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 0.75 s.

   Die Lösung ist also: 0.75 s.

3. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 85 nach oben und eine Amplitude von a = 30 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 30 um 85. Somit ist der höchste Wert bei 85 cm + 30 cm = 115 cm.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-\sin \left(\frac{1}{a^2-6a+13}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2-6a+13\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-6a+13$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2-6a+13$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-6a+13$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-6a+13$)' = $2a-6$ = 0 ⇔ a = 3

Für dieses a = 3 wird also $a^2-6a+13$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2-6a+13\right)$ minimal .

Für a = 3 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left(3^2-6\cdot 3+13\right)$ = $2\pi ·\left(9-18+13\right)$ = $8\pi$.