$\text{f(x)}=$ $x^2·\cos \left(-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\cos \left(-5x\right)+x^2·(-\sin \left(-5x\right)·\left(-5\right))$

= $2x·\cos \left(-5x\right)+x^2·5\cdot \sin \left(-5x\right)$

= $2x·\cos \left(-5x\right)+5x^2·\sin \left(-5x\right)$

$\text{f(x)}=$ $5x·\sin \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5·1·\sin \left(4x\right)+5x·\cos \left(4x\right)·4$

= $5\cdot \sin \left(4x\right)+5x·4\cdot \cos \left(4x\right)$

= $5\cdot \sin \left(4x\right)+20x·\cos \left(4x\right)$

= ${\left[\sin (x-\pi )\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\sin (\frac{3}{2}\pi -\pi )-\sin (\frac{1}{2}\pi -\pi )$

= $\sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)-\sin \left(-\frac{1}{2}\pi \right)$

= $1-\left(-1\right)$

= $1+1$

= $2$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|0) und einen bei ( $\frac{1}{4}\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|1) wird.

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-2\cdot \cos \left(2\left(x+0\right)\right)+1$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $2\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{2}\pi +\pi$ = $\frac{3}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 1, also bei y=3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{2}\pi$|3) und einen bei ( $\frac{3}{2}\pi$|3)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung und um c= $-3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-3$|4).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-3$|-2) wird.

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-3$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $-\mathrm{1,429}$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $4\pi$) liegt,
also x₁= $-\mathrm{1,429}+2\pi$ ≈ $\mathrm{4,854}$ und bei x₂= $-3$ + $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{1,712}$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $4\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{4,854}+2\pi$ ≈ 11.137 und $\mathrm{1,712}+2\pi$ ≈ 7.995 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\mathrm{4,854}$|1) und bei ( $\mathrm{1,712}$|1) und bei (11.137|1) und bei (7.995|1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(4x\right)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $\pi$ liegen muss.

2. Fall:

L={0; $\frac{1}{4}\pi$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{1}{2}\pi$) sind also
bei x₁ = 0 und x₂ = $\frac{1}{4}\pi$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{80}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 160

2. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 120 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 30 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 30 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 120 + 30 s = 150 s. Die Lösung ist also: 150 s.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 21.8

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 21.8 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 21.8 gleich:

   $16\cdot \sin \left(\frac{1}{80}\pi \left(t-30\right)\right)+17$ = 21.8

   $16\cdot \sin \left(\mathrm{0,0393}t-\mathrm{1,1781}\right)+17$ = $\mathrm{21,8}$ | $-17$

   $16\cdot \sin \left(\mathrm{0,0393}t-\mathrm{1,1781}\right)$

   =

   $\mathrm{4,8}$

   |:$16$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0393}t-\mathrm{1,1781}\right)$

   =

   $\mathrm{0,3}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0393}x-\mathrm{1,1781}$	=	$\mathrm{0,305}$	| $+\mathrm{1,1781}$
   $\mathrm{0,0393}x$	=	$\mathrm{1,4831}$	|:$\mathrm{0,0393}$
   x1	=	$\mathrm{37,7379}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0393}t-\mathrm{1,1781}\right)$ = $\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,305}$= $\mathrm{2,837}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0393}x-\mathrm{1,1781}$	=	$\mathrm{2,837}$	| $+\mathrm{1,1781}$
   $\mathrm{0,0393}x$	=	$\mathrm{4,0151}$	|:$\mathrm{0,0393}$
   x2	=	$\mathrm{102,1654}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 30 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 30 s nach oben und erreicht erstmals nach 37.74 s den Wert 21.8. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 102.17 s zum zweiten mal den Wert 21.8 erreicht. Während dieser 102.17 - 37.74 = 64.43 s ist der Wert der Funktion also höher als 21.8.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-\cos \left(\left(a^2-2a+2\right)x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ =

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-2a+2$ wird, desto kleiner wird die Periode.

$a^2-2a+2$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-2a+2$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-2a+2$)' = $2a-2$ = 0 ⇔ a = 1

Für dieses a = 1 wird also $a^2-2a+2$ minimal und somit die Periode $\frac{2\pi }{a^2-2a+2}$ maximal .

Für a = 1 ist dann die maximale Periode p_max = $\frac{2\pi }{1^2-2\cdot 1+2}$ = $\frac{2\pi }{1-2+2}$ = $2\pi$.