$\text{f(x)}=$ ${\left(\sin \left(x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(\sin \left(x\right)\right)·\cos \left(x\right)$

= $2\sin \left(x\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\cos \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\sin \left(2x\right)·2$

= $2\cdot \sin \left(2x\right)$

= ${\left[\cos \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)-\cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$

= $0-0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{1}{3}\pi$ ≈ $\frac{1}{3}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|0) und einen bei ( $\frac{1}{3}\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{8}\pi$ ≈ $\frac{1}{8}\pi$. und bei x₂= $\frac{3}{8}\pi$ ≈ $\frac{3}{8}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{8}\pi$|3) und einen bei ( $\frac{3}{8}\pi$|3)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{3}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{3}\pi$|2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-\frac{1}{3}\pi$|0) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{3}\pi$ + $\frac{3}{4}\pi$ ≈ $\frac{5}{12}\pi$. und bei x₂= $-\frac{1}{3}\pi$ + $\frac{9}{4}\pi$ ≈ $\frac{23}{12}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{5}{12}\pi$|1) und bei ( $\frac{23}{12}\pi$|1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{1}{2}x\right)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2}\pi$
bzw. bei - $\frac{1}{2}\pi$+2π= $\frac{3}{2}\pi$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\pi$; $3\pi$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $4\pi$) sind also
bei x₁ = $\pi$ und x₂ = $3\pi$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{50}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 100

2. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 75 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 30 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 30 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 75 + 30 s = 105 s. Weil aber 105 nicht im gesuchten Intervall [0;100] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 105 - 100 = 5 s. Die Lösung ist also: 5 s.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 24.6

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 24.6 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 24.6 gleich:

   $12\cdot \sin \left(\frac{1}{50}\pi \left(t-30\right)\right)+15$ = 24.6

   $12\cdot \sin \left(\mathrm{0,0628}t-\mathrm{1,885}\right)+15$ = $\mathrm{24,6}$ | $-15$

   $12\cdot \sin \left(\mathrm{0,0628}t-\mathrm{1,885}\right)$

   =

   $\mathrm{9,6}$

   |:$12$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0628}t-\mathrm{1,885}\right)$

   =

   $\mathrm{0,8}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0628}x-\mathrm{1,885}$	=	$\mathrm{0,927}$	| $+\mathrm{1,885}$
   $\mathrm{0,0628}x$	=	$\mathrm{2,812}$	|:$\mathrm{0,0628}$
   x1	=	$\mathrm{44,7771}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0628}t-\mathrm{1,885}\right)$ = $\mathrm{0,8}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,927}$= $\mathrm{2,214}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0628}x-\mathrm{1,885}$	=	$\mathrm{2,214}$	| $+\mathrm{1,885}$
   $\mathrm{0,0628}x$	=	$\mathrm{4,099}$	|:$\mathrm{0,0628}$
   x2	=	$\mathrm{65,2707}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 30 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 30 s nach oben und erreicht erstmals nach 44.78 s den Wert 24.6. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 65.27 s zum zweiten mal den Wert 24.6 erreicht. Während dieser 65.27 - 44.78 = 20.49 s ist der Wert der Funktion also höher als 24.6.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $\frac{1}{4}\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $\frac{1}{4}\pi$ = $\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $-\cos \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $2$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $-\cos (2·x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $\frac{1}{4}\pi$|0) hat.