$\text{f(x)}=$ $2{\left(\sin \left(x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $4\left(\sin \left(x\right)\right)·\cos \left(x\right)$

= $4\sin \left(x\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(-4x-4\right)-4x$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(-4x-4\right)·\left(-4+0\right)-4$

= $3\cdot \cos \left(-4x-4\right)·\left(-4\right)-4$

= $-12\cdot \cos \left(-4x-4\right)-4$

= ${\left[\frac{3}{4}\cdot \cos \left(-4x\right)\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $\frac{3}{4}\cdot \cos \left(-4\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)-\frac{3}{4}\cdot \cos \left(-4\cdot \left(0\right)\right)$

= $\frac{3}{4}\cdot 1-\frac{3}{4}\cdot 1$

= $\frac{3}{4}-\frac{3}{4}$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{4}\pi$ ≈ $\frac{3}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $6\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{3}{4}\pi +3\pi$ = $\frac{15}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 3, also bei y=4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{3}{4}\pi$|4) und einen bei ( $\frac{15}{4}\pi$|4)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|2) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-3\cdot \sin \left(\frac{1}{4}\left(x+0\right)\right)+2$ aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $2\pi$ ≈ $2\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $16\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $2\pi +8\pi$ = $10\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 2, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $2\pi$|-1) und einen bei ( $10\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{3}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{3}\pi$|0).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{3}\pi$ + $\pi$ ≈ $\frac{2}{3}\pi$. und bei x₂= $-\frac{1}{3}\pi$ + $3\pi$ ≈ $\frac{8}{3}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $8\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{2}{3}\pi +4\pi$ = $\frac{14}{3}\pi$ und $\frac{8}{3}\pi +4\pi$ = $\frac{20}{3}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{2}{3}\pi$|-2) und bei ( $\frac{8}{3}\pi$|-2) und bei ( $\frac{14}{3}\pi$|-2) und bei ( $\frac{20}{3}\pi$|-2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert -0.41151684606749

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\mathrm{5,872}$

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(4x\right)$ = $-\mathrm{0,4}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{5,872}$=-2.7304 bzw. bei -2.7304+2π= $\mathrm{3,553}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,8883}$; $\mathrm{1,468}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{1}{2}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,8883}$ und x₂ = $\mathrm{1,468}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $2\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 1

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 75 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 75. Somit ist der tiefste Wert bei 75 cm - 15 cm = 60 cm.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 81

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 81 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 81 gleich:

   $15\cdot \sin \left(2\pi t\right)+75$ = 81

   $15\cdot \sin \left(\mathrm{6,2832}t\right)+75$ = $81$ | $-75$

   $15\cdot \sin \left(\mathrm{6,2832}t\right)$

   =

   $6$

   |:$15$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{6,2832}t\right)$

   =

   $\mathrm{0,4}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.41151684606749

   1. Fall:

   $\mathrm{6,2832}x$	=	$\mathrm{0,412}$	|:$\mathrm{6,2832}$
   x1	=	$\mathrm{0,0656}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{6,2832}t\right)$ = $\mathrm{0,4}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,412}$= $\mathrm{2,73}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{6,2832}x$	=	$\mathrm{2,73}$	|:$\mathrm{6,2832}$
   x2	=	$\mathrm{0,4345}$

   Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.07 s den Wert 81. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 0.43 s zum zweiten mal den Wert 81 erreicht. Während dieser 0.43 - 0.07 = 0.36 s ist der Wert der Funktion also höher als 81.

4. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 0.25 s.

   Die Lösung ist also: 0.25 s.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $4\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $4\pi$ = $16\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $16\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\sin \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $\frac{1}{8}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>8</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\sin (\frac{1}{8}·x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $4\pi$|1) hat.