$\text{f(x)}=$ ${\left(\sin \left(x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(\sin \left(x\right)\right)·\cos \left(x\right)$

= $2\sin \left(x\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3x·\sin \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3·1·\sin \left(5x\right)-3x·\cos \left(5x\right)·5$

= $-3\cdot \sin \left(5x\right)-3x·5\cdot \cos \left(5x\right)$

= $-3\cdot \sin \left(5x\right)-15x·\cos \left(5x\right)$

= ${\left[\cos \left(-3x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $\cos \left(-3\cdot \pi \right)-\cos \left(-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-1-0$

= $-1$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{8}\pi$ ≈ $\frac{3}{8}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 2, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{8}\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -2, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{4}\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung und um c= $2$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $2$|3).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $2$ + $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{6,712}$. .

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 3, also bei y=4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\mathrm{6,712}$|4)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.7721542475852

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{3}{4}x\right)$ = $-\mathrm{0,2}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{1,772}$
bzw. bei - $\mathrm{1,772}$+2π= $\mathrm{4,511}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{2,3627}$; $\mathrm{6,0147}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{8}{3}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{2,3627}$ und x₂ = $\mathrm{6,0147}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 24

1. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 10 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 10 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 10 h = 28 h. Weil aber 28 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 28 - 24 = 4 h. Die Lösung ist also: 4 Uhr.

2. t-Werte mit f(t) ≥ 16

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 16 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 16 gleich:

   $5\cdot \sin (\frac{1}{12}\pi ·\left(t-10\right))+12$ = 16

   $5\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,618}\right)+12$ = $16$ | $-12$

   $5\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,618}\right)$

   =

   $4$

   |:$5$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,618}\right)$

   =

   $\mathrm{0,8}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

   1. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,618}$	=	$\mathrm{0,927}$	| $+\mathrm{2,618}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{3,545}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x1	=	$\mathrm{13,5409}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,618}\right)$ = $\mathrm{0,8}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,927}$= $\mathrm{2,214}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,618}$	=	$\mathrm{2,214}$	| $+\mathrm{2,618}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{4,832}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x2	=	$\mathrm{18,4568}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 10 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 10 h nach oben und erreicht erstmals nach 13.54 h den Wert 16. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 18.46 h zum zweiten mal den Wert 16 erreicht. Während dieser 18.46 - 13.54 = 4.92 h ist der Wert der Funktion also höher als 16.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(\left(a^2+4a+9\right)x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ =

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+4a+9$ wird, desto kleiner wird die Periode.

$a^2+4a+9$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+4a+9$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+4a+9$)' = $2a+4$ = 0 ⇔ a = -2

Für dieses a = -2 wird also $a^2+4a+9$ minimal und somit die Periode $\frac{2\pi }{a^2+4a+9}$ maximal .

Für a = -2 ist dann die maximale Periode p_max = $\frac{2\pi }{{\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)+9}$ = $\frac{2\pi }{4-8+9}$ = $\frac{2}{5}\pi$.