Aufgabenbeispiele von Trigonometrie
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Ableiten von trigonometrischen Funktionen
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)
Beispiel:
Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).
Mit Hilfe von b= und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1=
Weil das gesuchte Interval [0;
Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei (
Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF
Beispiel:
Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).
Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=
p=
Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x1=
Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 2, also bei y=3.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei (
Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)
Beispiel:
Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in
y-Richtung und um c=
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(
Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x)
nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P
ein fallender Wendepunkt in P(
Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=
p=
Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion
also bei x1=
Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -3, also bei y=0.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei (
Nullstellen mit dem WTR
Beispiel:
Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit
Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
|
= | |: |
|
= | |cos-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert 2.6905658417935
1. Fall:
|
= |
|
|⋅ 4 |
x1 | = |
|
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt)
bei -
bzw. bei -
2. Fall:
|
= |
|
|⋅ 4 |
x2 | = |
|
L={
Die Nullstellen in der Periode [0;
bei x1 =
trigon. Anwendungsaufgabe 2
Beispiel:
Bei einem Riesenrad kann man die Höhe einer Gondel (in m) über dem Erdboden zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit
- Bestimme die Zeit (in s), die eine Gondel für eine Umdrehung braucht.
- Zu welcher Zeit (in s) ist die Gondel am tiefsten Punkt?
- Wie lange (in Sekunden) hat das Riesenrad eine Höhe von mindestens 21 m?
- Zu welcher Zeit (in s) gewinnt die Gondel am stärksten an Höhe?
- Zu welcher Zeit (in s) ist die Gondel am höchsten?
- Periodenlänge
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b =
1 70 π Somit gilt für die Periodenlänge: p =
2 π b 2 π 1 70 π - t-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 105 s.
Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 20 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 20 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 105 + 20 s = 125 s. Die Lösung ist also: 125 s.
- t-Werte mit f(t) ≥ 21
Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 21 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 21 gleich:
10 ⋅ sin ( 1 70 π ( t - 20 ) ) + 13 10 ⋅ sin ( 0,0449 t - 0,8976 ) + 13 = 21 | - 13 10 ⋅ sin ( 0,0449 t - 0,8976 ) = 8 |: 10 sin ( 0,0449 t - 0,8976 ) = 0,8 |sin-1(⋅) Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161
1. Fall:
0,0449 x - 0,8976 = 0,927 | + 0,8976 0,0449 x = 1,8246 |: 0,0449 x1 = 40,637 Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
sin ( 0,0449 t - 0,8976 ) noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).0,8 Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π -
0,927 2,214 2. Fall:
0,0449 x - 0,8976 = 2,214 | + 0,8976 0,0449 x = 3,1116 |: 0,0449 x2 = 69,3007 Da die Sinus-Funktion ja um 20 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 20 s nach oben und erreicht erstmals nach 40.64 s den Wert 21. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 69.3 s zum zweiten mal den Wert 21 erreicht. Während dieser 69.3 - 40.64 = 28.66 s ist der Wert der Funktion also höher als 21.
- t-Wert beim stärksten Zuwachs
Gesucht ist die Stelle mit der größten Zunahme, also der maximalen Steigung. Die maximale und minimale Tangentensteigungen befinden sich immer in den Wendepunkten. Hier ist der Wendepunkt mit der positiven Steigung gesucht. Dieser ist bei einer Sinus-Funktion aber immer zu Beginn der Periode, also nach 0 s.
Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 20 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 20 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren steigenden Wendepunkt nach 20 s. Die Lösung ist also: 20 s.
- t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 35 s.
Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 20 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 20 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 35 + 20 s = 55 s. Die Lösung ist also: 55 s.
Parameter für best. Periode finden
Beispiel:
Untersuche, ob es einen maximalen oder minimalen Wert für die Periode von fa mit
Bestimme das zugehörige a und die extremale Periode.
Wir berechnen zuerst die Periode von fa mit
p =
Man erkennt jetzt gut, dass je größer
Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:
(
Für dieses a = 1 wird also
Für a = 1 ist dann die maximale Periode pmax
=