$\text{f(x)}=$ $5x^2·\sin \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5·2x·\sin \left(-3x\right)+5x^2·\cos \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $10x·\sin \left(-3x\right)+5x^2·\left(-3\cdot \cos \left(-3x\right)\right)$

= $10x·\sin \left(-3x\right)-15x^2·\cos \left(-3x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(2x+5\right)+4x^2$

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \sin \left(2x+5\right)·\left(2+0\right)+8x$

= $4\cdot \sin \left(2x+5\right)·\left(2\right)+8x$

= $8\cdot \sin \left(2x+5\right)+8x$

= ${\left[-5\cdot \sin \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-5\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)+5\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$

= $-5\cdot \left(-1\right)+5\cdot 1$

= $5+5$

= $10$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{6}\pi$ ≈ $\frac{1}{6}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -1, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{6}\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $2\pi$ ≈ $2\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|2) und einen bei ( $2\pi$|2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=0 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{4}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{4}\pi$|2).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{4}\pi$ + $0$ ≈ $-\frac{1}{4}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $12\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{1}{4}\pi +6\pi$ ≈ $\frac{23}{4}\pi$.

Weil das gesuchte Interval [0; $12\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{23}{4}\pi +6\pi$ = $\frac{47}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 0, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{23}{4}\pi$|2) und bei ( $\frac{47}{4}\pi$|2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert -0.10016742116156

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\mathrm{6,183}$

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(3x\right)$ = $-\mathrm{0,1}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{6,183}$=-3.0414 bzw. bei -3.0414+2π= $\mathrm{3,242}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{1,0807}$; $\mathrm{2,061}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{2}{3}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{1,0807}$ und x₂ = $\mathrm{2,061}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 2

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 75 nach oben und eine Amplitude von a = 30 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 30 um 75. Somit ist der tiefste Wert bei 75 cm - 30 cm = 45 cm.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode.
Wegen des Minus vor dem Sinus wird ja aber der Graph an der x-Achse gespiegelt, so dass der Hochpunkt zum Tiefpunkt wird. Also ist hier der erste Tiefpunkt nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $\frac{1}{2}\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $\frac{1}{2}\pi$ = $2\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $2\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $-\sin \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $1$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $-\sin (1·x)$ seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( $\frac{1}{2}\pi$|-1) hat.