Aufgabenbeispiele von Trigonometrie

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Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 ( sin( 3x ) ) 2 und vereinfache:

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f(x)= 2 ( sin( 3x ) ) 2

f'(x)= 4( sin( 3x ) ) · cos( 3x ) · 3

= 4( sin( 3x ) ) · 3 cos( 3x )

= 12 sin( 3x ) · cos( 3x )

Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 sin( -2x -1 ) -3 und vereinfache:

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f(x)= 5 sin( -2x -1 ) -3

f'(x)= 5 cos( -2x -1 ) · ( -2 +0 )+0

= 5 cos( -2x -1 ) · ( -2 )

= -10 cos( -2x -1 )

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π 3 2 π 4 sin( x + 1 2 π) x .

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1 2 π 3 2 π 4 sin( x + 1 2 π) x

= [ -4 cos( x + 1 2 π) ] 1 2 π 3 2 π

= -4 cos( 3 2 π + 1 2 π) +4 cos( 1 2 π + 1 2 π)

= -4 cos(2π) +4 cos(π)

= -41 +4( -1 )

= -4 -4

= -8

Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= 3 sin( 3x ) +3 im Intervall [0; 4 3 π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 3 = 2 3 π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1= 0 0 . und bei x2= 1 3 π 1 3 π . .

Weil das gesuchte Interval [0; 4 3 π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 0 + 2 3 π = 2 3 π und 1 3 π + 2 3 π = π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( 0 |3) und einen bei ( 1 3 π |3) und einen bei ( 2 3 π |3) und einen bei ( π |3)

Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= 2 cos( 1 2 x ) -3 im Intervall [0; 8π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b= 1 2 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 2 = 4π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode,
also bei x1= 2π 2π . .

Weil das gesuchte Interval [0; 8π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 2π+4π = 6π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter -3, also bei y=-5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( 2π |-5) und einen bei ( 6π |-5)

Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= 2 sin(3( x +2 )) -3 im Intervall [0; 4 3 π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung und um c= -2 nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( -2 |-3).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 3 = 2 3 π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= -2 + 1 2 π -0,429 .
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; 4 3 π ) liegt,
also x1= -0,429 + 2 3 π 1,665 .

Weil das gesuchte Interval [0; 4 3 π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 1,665 + 2 3 π ≈ 3.759 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter -3, also bei y=-5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( 1,665 |-5) und bei (3.759|-5)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= 2 sin( 1 2 x ) -0,8 innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; 4π [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

2 sin( 1 2 x ) -0,8 = 0 | +0,8
2 sin( 1 2 x ) = 0,8 |:2
canvas
sin( 1 2 x ) = 0,4 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.41151684606749

1. Fall:

1 2 x = 0,412 |⋅ 2
x1 = 0,824

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 1 2 x ) = 0,4 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0,412 = 2,73 liegen muss.

2. Fall:

1 2 x = 2,73 |⋅ 2
x2 = 5,46

L={ 0,824 ; 5,46 }

Die Nullstellen in der Periode [0; 4π ) sind also
bei x1 = 0,824 und x2 = 5,46 .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

An einem bestimmten Ort kann man die Durchschnittstemperatur zur Uhrzeit t (in h) durch die Funktion f mit f(t)= 7 sin( 1 12 π ( t -7 )) +18 (0 < t ≤ 24) näherungsweise angeben.

  1. Zu welcher Uhrzeit ist es am kältesten?
  2. Wie lange (in Stunden) ist es wärmer als 19,4°C?
  3. Zu welcher Uhrzeit nimmt die Temperatur am stärksten ab?

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Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = 1 12 π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π 1 12 π = 24

  1. t-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.

    Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 7 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 7 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 7 h = 25 h. Weil aber 25 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 25 - 24 = 1 h. Die Lösung ist also: 1 Uhr.

  2. t-Werte mit f(t) ≥ 19.4

    Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 19.4 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 19.4 gleich:

    7 sin( 1 12 π ( t -7 )) +18 = 19.4

    7 sin( 0,2618t -1,8326 ) +18 = 19,4 | -18
    7 sin( 0,2618t -1,8326 ) = 1,4 |:7
    canvas
    sin( 0,2618t -1,8326 ) = 0,2 |sin-1(⋅)

    Der WTR liefert nun als Wert 0.20135792079033

    1. Fall:

    0,2618x -1,8326 = 0,201 | +1,8326
    0,2618x = 2,0336 |:0,2618
    x1 = 7,7678

    Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 0,2618t -1,8326 ) = 0,2 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

    Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0,201 = 2,94 liegen muss.

    2. Fall:

    0,2618x -1,8326 = 2,94 | +1,8326
    0,2618x = 4,7726 |:0,2618
    x2 = 18,2299

    Da die Sinus-Funktion ja um 7 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 7 h nach oben und erreicht erstmals nach 7.77 h den Wert 19.4. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 18.23 h zum zweiten mal den Wert 19.4 erreicht. Während dieser 18.23 - 7.77 = 10.46 h ist der Wert der Funktion also höher als 19.4.

  3. t-Wert bei der stärksten Abnahme

    Gesucht ist die Stelle mit der größten Abnahme, also der minimalen Steigung. Die maximale und minimale Tangentensteigungen befinden sich immer in den Wendepunkten. Hier ist der Wendepunkt mit der negativen Steigung gesucht. Dieser ist bei einer Sinus-Funktion aber immer genau nach einer halben Periode, also nach 12 h.

    Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 7 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 7 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren fallenenden Wendepunkt nach 12 + 7 h = 19 h. Die Lösung ist also: 19 Uhr.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph fa mit fa(x)= - sin( a π x ) seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( 6 |1), (also den Hochpunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer 3 4 Periode.
Wegen des Minus vor dem Sinus wird ja aber der Graph an der x-Achse gespiegelt, so dass der Tiefpunkt zum Hochpunkt wird. Also ist hier der erste Hochpunkt nach einer 3 4 Periode. Es gilt somit 3 4 ⋅p = 6 |⋅ 4 3

Demnach muss also die Periode p = 4 3 6 = 8 lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = b also 8 = b nach b auflösen:

8 = b |⋅b : 8

b = 2π 8 = 1 4 π

Da bei - sin( a π x ) das b ja a π ist, muss also a = 1 4 sein,
damit der Graph von f 1 4 (x)= - sin( 1 4 · π x ) seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( 6 |1) hat.