$\text{f(x)}=$ ${\left(\sin \left(3x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(\sin \left(3x\right)\right)·\cos \left(3x\right)·3$

= $2\left(\sin \left(3x\right)\right)·3\cdot \cos \left(3x\right)$

= $6\sin \left(3x\right)·\cos \left(3x\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x-3\right)+x$

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x-3\right)+1$

= ${\left[-5\cdot \sin \left(x+\frac{3}{2}\pi \right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $-5\cdot \sin \left(\pi +\frac{3}{2}\pi \right)+5\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi +\frac{3}{2}\pi \right)$

= $-5\cdot \sin \left(\frac{5}{2}\pi \right)+5\cdot \sin \left(2\pi \right)$

= $-5\cdot 1+5\cdot 0$

= $-5+0$

= $-5$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{4}\pi$ ≈ $\frac{3}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 2, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{4}\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|0) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $2\pi$ ≈ $2\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $8\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+4\pi$ = $4\pi$ und $2\pi +4\pi$ = $6\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|0) und einen bei ( $2\pi$|0) und einen bei ( $4\pi$|0) und einen bei ( $6\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $3$|0).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $3$|-2) wird.

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\cos \left(x-3\right)-1$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $3$ + $\pi$ ≈ $\mathrm{6,142}$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $4\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{6,142}+2\pi$ ≈ 12.425 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -1, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\mathrm{6,142}$|0) und bei (12.425|0)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 2.6905658417935

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{2}{3}x\right)$ = $-\mathrm{0,9}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{2,691}$
bzw. bei - $\mathrm{2,691}$+2π= $\mathrm{3,593}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{4,0365}$; $\mathrm{5,3895}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $3\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{4,0365}$ und x₂ = $\mathrm{5,3895}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 366

1. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 91.5 d.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 60 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 60 d mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 91.5 + 60 d = 151.5 d. Die Lösung ist also: 151.5 d.

2. t-Werte mit f(t) ≥ 15.15

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 15.15 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 15.15 gleich:

   $\mathrm{4,5}\cdot \sin \left(\frac{1}{183}\pi \left(t-60\right)\right)+12$ = 15.15

   $\mathrm{4,5}\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{1,03}\right)+12$ = $\mathrm{15,15}$ | $-12$

   $\mathrm{4,5}\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{1,03}\right)$

   =

   $\mathrm{3,15}$

   |:$\mathrm{4,5}$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{1,03}\right)$

   =

   $\mathrm{0,7}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.77539749661075

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{1,03}$	=	$\mathrm{0,775}$	| $+\mathrm{1,03}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{1,805}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x1	=	$\mathrm{104,9419}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{1,03}\right)$ = $\mathrm{0,7}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,775}$= $\mathrm{2,366}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{1,03}$	=	$\mathrm{2,366}$	| $+\mathrm{1,03}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{3,396}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x2	=	$\mathrm{197,4419}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 60 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 60 d nach oben und erreicht erstmals nach 104.94 d den Wert 15.15. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 197.44 d zum zweiten mal den Wert 15.15 erreicht. Während dieser 197.44 - 104.94 = 92.5 d ist der Wert der Funktion also höher als 15.15.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $2\pi$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $2\pi$ = $8\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $8\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\sin \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $\frac{1}{4}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\sin (\frac{1}{4}·x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $2\pi$|1) hat.