Aufgabenbeispiele von Trigonometrie

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Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= sin(2( x +2 )) -3 und vereinfache:

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f(x)= sin(2( x +2 )) -3

f'(x)= cos(2( x +2 )) · ( 2( 1 +0) )+0

= cos(2( x +2 )) · ( 2( 1 ) )

= 2 cos(2( x +2 ))

Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 sin(4( x +2 )) +1 und vereinfache:

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f(x)= 2 sin(4( x +2 )) +1

f'(x)= 2 cos(4( x +2 )) · ( 4( 1 +0) )+0

= 2 cos(4( x +2 )) · ( 4( 1 ) )

= 8 cos(4( x +2 ))

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π 3 2 π -2 sin( 3x ) x .

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1 2 π 3 2 π -2 sin( 3x ) x

= [ 2 3 cos( 3x ) ] 1 2 π 3 2 π

= 2 3 cos( 3( 3 2 π ) ) - 2 3 cos( 3( 1 2 π ) )

= 2 3 0 - 2 3 0

= 0+0

= 0

Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= 2 sin( 4x ) -1 im Intervall [0; π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 4 = 1 2 π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1= 0 0 . und bei x2= 1 4 π 1 4 π . .

Weil das gesuchte Interval [0; π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 0 + 1 2 π = 1 2 π und 1 4 π + 1 2 π = 3 4 π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( 0 |-1) und einen bei ( 1 4 π |-1) und einen bei ( 1 2 π |-1) und einen bei ( 3 4 π |-1)

Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit f(x)= -3 cos( 2 3 x ) +3 im Intervall [0; 6π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|3) wird.

Mit Hilfe von b= 2 3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 2 3 = 3π

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion -3 cos( 2 3 ( x +0)) +3 aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x1= 3 2 π 3 2 π . .

Weil das gesuchte Interval [0; 6π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 3 2 π+3π = 9 2 π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über 3, also bei y=6.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( 3 2 π |6) und einen bei ( 9 2 π |6)

Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= -2 cos(2( x + 1 2 π)) +3 im Intervall [0; 2π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in y-Richtung und um c= - 1 2 π nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( - 1 2 π |5).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( - 1 2 π |1) wird.

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 2 = π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion -2 cos(2( x + 1 2 π)) +3 aber zu Beginn der Periode,
also bei x1= - 1 2 π + 0 - 1 2 π .
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; 2π ) liegt,
also x1= - 1 2 π + π 1 2 π .

Weil das gesuchte Interval [0; 2π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 1 2 π + π = 3 2 π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 3, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( 1 2 π |1) und bei ( 3 2 π |1)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= - cos( 1 2 x ) -0,2 innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; 4π [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

- cos( 1 2 x ) -0,2 = 0 | +0,2
- cos( 1 2 x ) = 0,2 |:-1
canvas
cos( 1 2 x ) = -0,2 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.7721542475852

1. Fall:

1 2 x = 1,772 |⋅ 2
x1 = 3,544

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 1 2 x ) = -0,2 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1,772
bzw. bei - 1,772 +2π= 4,511 liegen muss.

2. Fall:

1 2 x = 4,511 |⋅ 2
x2 = 9,022

L={ 3,544 ; 9,022 }

Die Nullstellen in der Periode [0; 4π ) sind also
bei x1 = 3,544 und x2 = 9,022 .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

Bei einem Riesenrad kann man die Höhe einer Gondel (in m) über dem Erdboden zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 20 sin( 1 70 π ( t -20 )) +23 (0 < t ≤ 140) angeben.

  1. Bestimme die Zeit (in s), die eine Gondel für eine Umdrehung braucht.
  2. Zu welcher Zeit (in s) ist die Gondel am höchsten?

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  1. Periodenlänge

    Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = 1 70 π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

    Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π 1 70 π = 140

  2. t-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 35 s.

    Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 20 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 20 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 35 + 20 s = 55 s. Die Lösung ist also: 55 s.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph fa mit fa(x)= - cos( a x ) seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( 3π |1), (also den Hochpunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer 1 2 Periode.
Wegen des Minus vor dem Kosinius wird ja aber der Graph an der x-Achse gespiegelt, so dass der Tiefpunkt zum Hochpunkt wird. Also ist hier der erste Hochpunkt nach einer 1 2 Periode. Es gilt somit 1 2 ⋅p = 3π |⋅2

Demnach muss also die Periode p =23π = 6π lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = b also 6π = b nach b auflösen:

6π = b |⋅b : 6π

b = 2π 6π = 1 3

Da bei - cos( a x ) das b ja a ist, muss also a = 1 3 sein,
damit der Graph von f 1 3 (x)= - cos( 1 3 · x ) seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( 3π |1) hat.