Aufgabenbeispiele von Trigonometrie
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Ableiten von trigonometrischen Funktionen
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)
Beispiel:
Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).
Mit Hilfe von b= und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1=
Weil das gesuchte Interval [0;
Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 1, also bei y=-2.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei (
Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF
Beispiel:
Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).
Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|-2) wird.
Mit Hilfe von b=
p=
Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion
also bei x1=
Weil das gesuchte Interval [0;
Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über -2, also bei y=0.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei (
Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)
Beispiel:
Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in
y-Richtung und um c=
Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(
Mit Hilfe von b=
p=
Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode,
also bei x1=
Weil das gesuchte Interval [0;
Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter -2, also bei y=-4.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei (
Nullstellen mit dem WTR
Beispiel:
Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit
Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
|
= | |: |
|
= | |cos-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328
1. Fall:
x1 | = |
|
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt)
bei -
bzw. bei -
2. Fall:
x2 | = |
|
L={
Die Nullstellen in der Periode [0;
bei x1 =
trigon. Anwendungsaufgabe 2
Beispiel:
An einem bestimmten Ort kann die Zeit (in h) zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang t Tage nach Beobachtungsbeginn näherungsweise durch die Funktion f mit
- Bestimme die kürzeste Zeit zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang (in h)
- Wie lange (in Tagen) haben die Tage eine Länge von mindestens 13 h?
- Wie viele Tage nach Beobachtungsbeginn werden die Tage am schnellsten kürzer?
- Wie viele Tage nach Beobachtungsbeginn ist der Tag am längsten?
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b =
Somit gilt für die Periodenlänge: p =
- y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 5 um 12. Somit ist der tiefste Wert bei 12 h - 5 h = 7 h.
- t-Werte mit f(t) ≥ 13
Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 13 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 13 gleich:
5 ⋅ sin ( 1 183 π ( t - 60 ) ) + 12 5 ⋅ sin ( 0,0172 t - 1,03 ) + 12 = 13 | - 12 5 ⋅ sin ( 0,0172 t - 1,03 ) = 1 |: 5 sin ( 0,0172 t - 1,03 ) = 0,2 |sin-1(⋅) Der WTR liefert nun als Wert 0.20135792079033
1. Fall:
0,0172 x - 1,03 = 0,201 | + 1,03 0,0172 x = 1,231 |: 0,0172 x1 = 71,5698 Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
sin ( 0,0172 t - 1,03 ) noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).0,2 Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π -
0,201 2,94 2. Fall:
0,0172 x - 1,03 = 2,94 | + 1,03 0,0172 x = 3,97 |: 0,0172 x2 = 230,814 Da die Sinus-Funktion ja um 60 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 60 d nach oben und erreicht erstmals nach 71.57 d den Wert 13. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 230.81 d zum zweiten mal den Wert 13 erreicht. Während dieser 230.81 - 71.57 = 159.24 d ist der Wert der Funktion also höher als 13.
- t-Wert bei der stärksten Abnahme
Gesucht ist die Stelle mit der größten Abnahme, also der minimalen Steigung. Die maximale und minimale Tangentensteigungen befinden sich immer in den Wendepunkten. Hier ist der Wendepunkt mit der negativen Steigung gesucht. Dieser ist bei einer Sinus-Funktion aber immer genau nach einer halben Periode, also nach 183 d.
Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 60 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 60 d mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren fallenenden Wendepunkt nach 183 + 60 d = 243 d. Die Lösung ist also: 243 d.
- t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 91.5 d.
Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 60 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 60 d mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 91.5 + 60 d = 151.5 d. Die Lösung ist also: 151.5 d.
Polstellen und hebbare Def.-Lücken
Beispiel:
Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) =
Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.
|
= | |
|
|
|
= |
|
also Definitionsmenge D=R\{
Wir untersuchen das Verhalten für x →
Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x
Für x →
Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L(
Parameter für best. Periode finden
Beispiel:
Untersuche, ob es einen maximalen oder minimalen Wert für die Periode von fa mit
Bestimme das zugehörige a und die extremale Periode.
Wir berechnen zuerst die Periode von fa mit
p =
Man erkennt jetzt gut, dass je größer
Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:
(
Für dieses a = -1 wird also
Für a = -1 ist dann die maximale Periode pmax
=