$\text{f(x)}=$ $-\cos \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\sin \left(2x\right)·2$

= $2\cdot \sin \left(2x\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(\frac{1}{3}\left(x-2\right)\right)+3$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(\frac{1}{3}\left(x-2\right)\right)·\left(\frac{1}{3}\left(1+0\right)\right)+0$

= $2\cdot \cos \left(\frac{1}{3}\left(x-2\right)\right)·\left(\frac{1}{3}\left(1\right)\right)$

= $\frac{2}{3}\cdot \cos \left(\frac{1}{3}\left(x-2\right)\right)$

= ${\left[\sin \left(-4x\right)\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $\sin \left(-4\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)-\sin \left(-4\cdot \left(0\right)\right)$

= $0-0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{4}{3}\pi$ ≈ $\frac{4}{3}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{16}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\frac{8}{3}\pi$ = $\frac{8}{3}\pi$ und $\frac{4}{3}\pi +\frac{8}{3}\pi$ = $4\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|1) und einen bei ( $\frac{4}{3}\pi$|1) und einen bei ( $\frac{8}{3}\pi$|1) und einen bei ( $4\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|0) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\sin \left(\frac{1}{3}\left(x+0\right)\right)+0$ aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $12\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{3}{2}\pi +6\pi$ = $\frac{15}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 0, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{2}\pi$|-1) und einen bei ( $\frac{15}{2}\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-3 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{3}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{3}\pi$|-2).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{3}\pi$ + $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $-\frac{1}{12}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{1}{12}\pi +\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{5}{12}\pi$.

Weil das gesuchte Interval [0; $\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{5}{12}\pi +\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{11}{12}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -3, also bei y=-4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{5}{12}\pi$|-4) und bei ( $\frac{11}{12}\pi$|-4)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\frac{3}{4}x\right)$ = $\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,305}$= $\mathrm{2,837}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,4067}$; $\mathrm{3,7827}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{8}{3}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,4067}$ und x₂ = $\mathrm{3,7827}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{40}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 80

2. t-Werte mit f(t) ≥ 27.6

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 27.6 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 27.6 gleich:

   $14\cdot \sin \left(\frac{1}{40}\pi \left(t-20\right)\right)+15$ = 27.6

   $14\cdot \sin \left(\mathrm{0,0785}t-\mathrm{1,5708}\right)+15$ = $\mathrm{27,6}$ | $-15$

   $14\cdot \sin \left(\mathrm{0,0785}t-\mathrm{1,5708}\right)$

   =

   $\mathrm{12,6}$

   |:$14$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0785}t-\mathrm{1,5708}\right)$

   =

   $\mathrm{0,9}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 1.1197695149986

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0785}x-\mathrm{1,5708}$	=	$\mathrm{1,12}$	| $+\mathrm{1,5708}$
   $\mathrm{0,0785}x$	=	$\mathrm{2,6908}$	|:$\mathrm{0,0785}$
   x1	=	$\mathrm{34,2777}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0785}t-\mathrm{1,5708}\right)$ = $\mathrm{0,9}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{1,12}$= $\mathrm{2,022}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0785}x-\mathrm{1,5708}$	=	$\mathrm{2,022}$	| $+\mathrm{1,5708}$
   $\mathrm{0,0785}x$	=	$\mathrm{3,5928}$	|:$\mathrm{0,0785}$
   x2	=	$\mathrm{45,7682}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 20 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 20 s nach oben und erreicht erstmals nach 34.28 s den Wert 27.6. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 45.77 s zum zweiten mal den Wert 27.6 erreicht. Während dieser 45.77 - 34.28 = 11.49 s ist der Wert der Funktion also höher als 27.6.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode.
Wegen des Minus vor dem Sinus wird ja aber der Graph an der x-Achse gespiegelt, so dass der Hochpunkt zum Tiefpunkt wird. Also ist hier der erste Tiefpunkt nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $4$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $4$ = $16$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $16$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $-\sin \left(a\pi x\right)$ das b ja $a\pi$ ist, muss also a = $\frac{1}{8}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>8</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $-\sin (\frac{1}{8}·\pi x)$ seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( $4$|-1) hat.