$\text{f(x)}=$ ${\left(\sin \left(x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(\sin \left(x\right)\right)·\cos \left(x\right)$

= $2\sin \left(x\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(5x+2\right)-2x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(5x+2\right)·\left(5+0\right)-4x$

= $-2\cdot \cos \left(5x+2\right)·\left(5\right)-4x$

= $-10\cdot \cos \left(5x+2\right)-4x$

= ${\left[-4\cdot \sin \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-4\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)+4\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$

= $-4\cdot \left(-1\right)+4\cdot 1$

= $4+4$

= $8$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{8}\pi$ ≈ $\frac{3}{8}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{3}{8}\pi +\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{7}{8}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 2, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{8}\pi$|0) und einen bei ( $\frac{7}{8}\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|2) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-2\cdot \sin \left(\frac{1}{4}\left(x+0\right)\right)+2$ aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $2\pi$ ≈ $2\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $16\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $2\pi +8\pi$ = $10\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 2, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $2\pi$|0) und einen bei ( $10\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{3}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{3}\pi$|0).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{3}\pi$ + $0$ ≈ $-\frac{1}{3}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{1}{2}\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{1}{3}\pi +\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{6}\pi$ und bei x₂= $-\frac{1}{3}\pi$ + $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $-\frac{1}{12}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{1}{2}\pi$) liegt,
also x₂= $-\frac{1}{12}\pi +\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{5}{12}\pi$.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{6}\pi$|0) und bei ( $\frac{5}{12}\pi$|0)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

L={ $\frac{2}{3}\pi$}

Die einzige Nullstelle in der Periode [0; $\frac{8}{3}\pi$) ist also bei x = $\frac{2}{3}\pi$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{2}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 4

2. t-Werte mit f(t) ≥ 94

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 94 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 94 gleich:

   $30\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi t\right)+70$ = 94

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{1,5708}t\right)+70$ = $94$ | $-70$

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{1,5708}t\right)$

   =

   $24$

   |:$30$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{1,5708}t\right)$

   =

   $\mathrm{0,8}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

   1. Fall:

   $\mathrm{1,5708}x$	=	$\mathrm{0,927}$	|:$\mathrm{1,5708}$
   x1	=	$\mathrm{0,5901}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{1,5708}t\right)$ = $\mathrm{0,8}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,927}$= $\mathrm{2,214}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{1,5708}x$	=	$\mathrm{2,214}$	|:$\mathrm{1,5708}$
   x2	=	$\mathrm{1,4095}$

   Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.59 s den Wert 94. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 1.41 s zum zweiten mal den Wert 94 erreicht. Während dieser 1.41 - 0.59 = 0.82 s ist der Wert der Funktion also höher als 94.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer $\frac{3}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{3}{4}$⋅p = $6\pi$ |⋅$\frac{4}{3}$

Demnach muss also die Periode p =$\frac{4}{3}$ ⋅ $6\pi$ = $8\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $8\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\sin \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $\frac{1}{4}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\sin (\frac{1}{4}·x)$ seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( $6\pi$|-1) hat.