$\text{f(x)}=$ ${\left(\cos \left(x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(\cos \left(x\right)\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-2\cos \left(x\right)·\sin \left(x\right)$

= $-2\sin \left(x\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(-x-2\right)-x^2$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(-x-2\right)·\left(-1+0\right)-2x$

= $\cos \left(-x-2\right)·\left(-1\right)-2x$

= $-\cos \left(-x-2\right)-2x$

= ${\left[-\frac{1}{3}\cdot \cos \left(3x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $-\frac{1}{3}\cdot \cos \left(3\cdot \pi \right)+\frac{1}{3}\cdot \cos \left(3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-\frac{1}{3}\cdot \left(-1\right)+\frac{1}{3}\cdot 0$

= $\frac{1}{3}+0$

= $\frac{1}{3}+0$

= $\frac{1}{3}$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\pi$ ≈ $\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $4\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+2\pi$ = $2\pi$ und $\pi +2\pi$ = $3\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|0) und einen bei ( $\pi$|0) und einen bei ( $2\pi$|0) und einen bei ( $3\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $4\pi$ ≈ $4\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $16\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+8\pi$ = $8\pi$ und $4\pi +8\pi$ = $12\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-1) und einen bei ( $4\pi$|-1) und einen bei ( $8\pi$|-1) und einen bei ( $12\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{2}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{2}\pi$|0).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $-\frac{1}{2}\pi$|0) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-3\cdot \sin \left(\frac{1}{4}\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)+0$ aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{2}\pi$ + $2\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $16\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{3}{2}\pi +8\pi$ = $\frac{19}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 0, also bei y=-3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{2}\pi$|-3) und bei ( $\frac{19}{2}\pi$|-3)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.20135792079033

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\frac{1}{3}x\right)$ = $\mathrm{0,2}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,201}$= $\mathrm{2,94}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,603}$; $\mathrm{8,82}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $6\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,603}$ und x₂ = $\mathrm{8,82}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{2}{3}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 3

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 85 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 85. Somit ist der tiefste Wert bei 85 cm - 15 cm = 70 cm.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $3\cdot \cos \left(\frac{1}{a^2-6a+14}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2-6a+14\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-6a+14$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2-6a+14$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-6a+14$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-6a+14$)' = $2a-6$ = 0 ⇔ a = 3

Für dieses a = 3 wird also $a^2-6a+14$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2-6a+14\right)$ minimal .

Für a = 3 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left(3^2-6\cdot 3+14\right)$ = $2\pi ·\left(9-18+14\right)$ = $10\pi$.