Aufgabenbeispiele von Trigonometrie

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Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4 x 2 · sin( -4x ) und vereinfache:

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f(x)= 4 x 2 · sin( -4x )

f'(x)= 4 · 2x · sin( -4x ) +4 x 2 · cos( -4x ) · ( -4 )

= 8 x · sin( -4x ) +4 x 2 · ( -4 cos( -4x ) )

= 8 x · sin( -4x ) -16 x 2 · cos( -4x )

Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 sin( 1 2 ( x + π)) -2 und vereinfache:

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f(x)= 3 sin( 1 2 ( x + π)) -2

f'(x)= 3 cos( 1 2 ( x + π)) · ( 1 2 ( 1 +0) )+0

= 3 cos( 1 2 ( x + π)) · 1 2

= 3 2 cos( 1 2 ( x + π))

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 3 2 π -2 cos( 5x ) x .

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0 3 2 π -2 cos( 5x ) x

= [ - 2 5 sin( 5x ) ] 0 3 2 π

= - 2 5 sin( 5( 3 2 π ) ) + 2 5 sin( 5( 0 ) )

= - 2 5 ( -1 ) + 2 5 0

= 2 5 +0

= 2 5 +0

= 2 5


= 0,4

Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit f(x)= 2 sin( 2 3 x ) im Intervall [0; 3π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b= 2 3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 2 3 = 3π

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x1= 3 4 π 3 4 π . .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 0, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( 3 4 π |2)

Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= 2 sin( 1 2 x ) -1 im Intervall [0; 8π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b= 1 2 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 2 = 4π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1= 0 0 . und bei x2= 2π 2π . .

Weil das gesuchte Interval [0; 8π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 0+4π = 4π und 2π+4π = 6π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( 0 |-1) und einen bei ( 2π |-1) und einen bei ( 4π |-1) und einen bei ( 6π |-1)

Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit f(x)= sin( 1 3 ( x + 1 3 π)) -3 im Intervall [0; 6π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung und um c= - 1 3 π nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( - 1 3 π |-3).

Mit Hilfe von b= 1 3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 3 = 6π

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x1= - 1 3 π + 3 2 π 7 6 π . .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -3, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( 7 6 π |-2)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= 3 sin( 1 3 x ) +0,3 innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; 6π [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

3 sin( 1 3 x ) +0,3 = 0 | -0,3
3 sin( 1 3 x ) = -0,3 |:3
canvas
sin( 1 3 x ) = -0,1 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.10016742116156

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 6,183

1. Fall:

1 3 x = 6,183 |⋅ 3
x1 = 18,549

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 1 3 x ) = -0,1 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 6,183 =-3.0414 bzw. bei -3.0414+2π= 3,242 liegen muss.

2. Fall:

1 3 x = 3,242 |⋅ 3
x2 = 9,726

L={ 9,726 ; 18,549 }

Die Nullstellen in der Periode [0; 6π ) sind also
bei x1 = 9,726 und x2 = 18,549 .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

In einem Wellenbad kann man an einer bestimmten Stelle die Wasserhöhe zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 15 sin( 1 2 π t ) +70 (0 < t ≤ 4) angeben.

  1. Bestimme die Periode dieses Vorgangs.
  2. Bestimme die maximale Wasserhöhe.

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  1. Periodenlänge

    Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = 1 2 π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

    Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π 1 2 π = 4

  2. y-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 70 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 70. Somit ist der höchste Wert bei 70 cm + 15 cm = 85 cm.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph fa mit fa(x)= sin( a x ) seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( 3 2 π |-1), (also den Tiefpunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer 3 4 Periode. Es gilt somit 3 4 ⋅p = 3 2 π |⋅ 4 3

Demnach muss also die Periode p = 4 3 3 2 π = 2π lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = b also 2π = b nach b auflösen:

2π = b |⋅b : 2π

b = 2π 2π = 1 1

Da bei sin( a x ) das b ja a ist, muss also a = 1 sein,
damit der Graph von f1 (x)= sin( 1 · x ) seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( 3 2 π |-1) hat.