Aufgabenbeispiele von Trigonometrie

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Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 ( cos( 2x ) ) 2 und vereinfache:

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f(x)= 3 ( cos( 2x ) ) 2

f'(x)= 6( cos( 2x ) ) · ( - sin( 2x ) · 2 )

= 6( cos( 2x ) ) · ( -2 sin( 2x ) )

= -12 cos( 2x ) · sin( 2x )

= -12 sin( 2x ) · cos( 2x )

Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 x 2 · cos( -3x ) und vereinfache:

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f(x)= 3 x 2 · cos( -3x )

f'(x)= 3 · 2x · cos( -3x ) +3 x 2 · ( - sin( -3x ) · ( -3 ) )

= 6 x · cos( -3x ) +3 x 2 · 3 sin( -3x )

= 6 x · cos( -3x ) +9 x 2 · sin( -3x )

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 π cos( -4x ) x .

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0 π cos( -4x ) x

= [ - 1 4 sin( -4x ) ] 0 π

= - 1 4 sin( -4π ) + 1 4 sin( -4( 0 ) )

= - 1 4 0 + 1 4 0

= 0+0

= 0

Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= 2 sin( x ) +2 im Intervall [0; 2π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 = 2π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= 3 2 π 3 2 π . .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 2, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( 3 2 π |0)

Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= -3 cos( 1 3 x ) -1 im Intervall [0; 6π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|-1) wird.

Mit Hilfe von b= 1 3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 3 = 6π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= 3 2 π 3 2 π . und bei x2= 9 2 π 9 2 π . .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( 3 2 π |-1) und einen bei ( 9 2 π |-1)

Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= -2 cos( 3 4 ( x -2 )) -2 im Intervall [0; 8 3 π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= 2 nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( 2 |0).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( 2 |-4) wird.

Mit Hilfe von b= 3 4 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 3 4 = 8 3 π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion -2 cos( 3 4 ( x -2 )) -2 aber zu Beginn der Periode,
also bei x1= 2 + 0 2 . .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter -2, also bei y=-4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( 2 |-4)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= cos( 3x ) +0,1 innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; 2 3 π [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

cos( 3x ) +0,1 = 0 | -0,1 canvas
cos( 3x ) = -0,1 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.6709637479565

1. Fall:

3x = 1,671 |:3
x1 = 0,557

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 3x ) = -0,1 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1,671
bzw. bei - 1,671 +2π= 4,612 liegen muss.

2. Fall:

3x = 4,612 |:3
x2 = 1,5373

L={ 0,557 ; 1,5373 }

Die Nullstellen in der Periode [0; 2 3 π ) sind also
bei x1 = 0,557 und x2 = 1,5373 .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

Bei einem Riesenrad kann man die Höhe einer Gondel (in m) über dem Erdboden zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 20 sin( 1 60 π ( t -40 )) +21 (0 < t ≤ 120) angeben.

  1. Bestimme die Zeit (in s), die eine Gondel für eine Umdrehung braucht.
  2. Wie hoch ist die Gondel an ihrem tiefsten Punkt über dem Erdboden?

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  1. Periodenlänge

    Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = 1 60 π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

    Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π 1 60 π = 120

  2. y-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 21 nach oben und eine Amplitude von a = 20 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 20 um 21. Somit ist der tiefste Wert bei 21 m - 20 m = 1 m.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Untersuche, ob es einen maximalen oder minimalen Wert für die Periode von fa mit fa(x)= 2 sin( ( a 2 +5 )x ) gibt.

Bestimme das zugehörige a und die extremale Periode.

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Wir berechnen zuerst die Periode von fa mit fa(x)= 2 sin( ( a 2 +5 )x ) :

p = b = a 2 +5

Man erkennt jetzt gut, dass je größer a 2 +5 wird, desto kleiner wird die Periode.

a 2 +5 ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat a 2 +5 also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( a 2 +5 )' = 2a = 0 ⇔ a = 0

Für dieses a = 0 wird also a 2 +5 minimal und somit die Periode 2π a 2 +5 maximal .

Für a = 0 ist dann die maximale Periode pmax = 2π 0 2 +5 = 2π 0 +5 = 2 5 π .