Aufgabenbeispiele von Trigonometrie

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Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4 x 2 · cos( -4x ) und vereinfache:

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f(x)= 4 x 2 · cos( -4x )

f'(x)= 4 · 2x · cos( -4x ) +4 x 2 · ( - sin( -4x ) · ( -4 ) )

= 8 x · cos( -4x ) +4 x 2 · 4 sin( -4x )

= 8 x · cos( -4x ) +16 x 2 · sin( -4x )

Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 sin( -5x ) und vereinfache:

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f(x)= 2 sin( -5x )

f'(x)= 2 cos( -5x ) · ( -5 )

= -10 cos( -5x )

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π 3 2 π 5 sin( x - 3 2 π) x .

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1 2 π 3 2 π 5 sin( x - 3 2 π) x

= [ -5 cos( x - 3 2 π) ] 1 2 π 3 2 π

= -5 cos( 3 2 π - 3 2 π) +5 cos( 1 2 π - 3 2 π)

= -5 cos(0) +5 cos(-π)

= -51 +5( -1 )

= -5 -5

= -10

Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= 3 sin( 2x ) +1 im Intervall [0; π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 2 = π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= 3 4 π 3 4 π . .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 1, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( 3 4 π |-2)

Extrempunkte bei trigonometr. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= - sin( x ) -2 im Intervall [0; 2π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|-2) wird.

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 = 2π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion - sin( x +0) -2 aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x1= 1 2 π 1 2 π . .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -2, also bei y=-3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( 1 2 π |-3)

Extremstellen bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= -2 sin( 1 2 ( x + 1 2 π)) +3 im Intervall [0; 4π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung und um c= - 1 2 π nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( - 1 2 π |3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( - 1 2 π |3) wird.

Mit Hilfe von b= 1 2 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 2 = 4π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1= - 1 2 π + 0 - 1 2 π .
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; 4π ) liegt,
also x1= - 1 2 π+4π 7 2 π und bei x2= - 1 2 π + 2π 3 2 π . .

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( 7 2 π |3) und bei ( 3 2 π |3)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= -3 sin( 1 4 x ) -0,6 innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; 8π [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

-3 sin( 1 4 x ) -0,6 = 0 | +0,6
-3 sin( 1 4 x ) = 0,6 |:-3
canvas
sin( 1 4 x ) = -0,2 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.20135792079033

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 6,082

1. Fall:

1 4 x = 6,082 |⋅ 4
x1 = 24,328

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 1 4 x ) = -0,2 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 6,082 =-2.9404 bzw. bei -2.9404+2π= 3,343 liegen muss.

2. Fall:

1 4 x = 3,343 |⋅ 4
x2 = 13,372

L={ 13,372 ; 24,328 }

Die Nullstellen in der Periode [0; 8π ) sind also
bei x1 = 13,372 und x2 = 24,328 .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

An einem bestimmten Ort kann man die Durchschnittstemperatur zur Uhrzeit t (in h) durch die Funktion f mit f(t)= 7 sin( 1 12 π ( t -8 )) +15 (0 < t ≤ 24) näherungsweise angeben.

  1. Wie groß ist die tiefste Temperatur?
  2. Wie lange (in Stunden) ist es wärmer als 15,7°C?
  3. Wie groß ist die höchste Temperatur?

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Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = 1 12 π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π 1 12 π = 24

  1. y-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 15 nach oben und eine Amplitude von a = 7 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 7 um 15. Somit ist der tiefste Wert bei 15 ° C - 7 ° C = 8 ° C.

  2. t-Werte mit f(t) ≥ 15.7

    Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 15.7 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 15.7 gleich:

    7 sin( 1 12 π ( t -8 )) +15 = 15.7

    7 sin( 0,2618t -2,0944 ) +15 = 15,7 | -15
    7 sin( 0,2618t -2,0944 ) = 0,7 |:7
    canvas
    sin( 0,2618t -2,0944 ) = 0,1 |sin-1(⋅)

    Der WTR liefert nun als Wert 0.10016742116156

    1. Fall:

    0,2618x -2,0944 = 0,1 | +2,0944
    0,2618x = 2,1944 |:0,2618
    x1 = 8,382

    Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 0,2618t -2,0944 ) = 0,1 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

    Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0,1 = 3,041 liegen muss.

    2. Fall:

    0,2618x -2,0944 = 3,041 | +2,0944
    0,2618x = 5,1354 |:0,2618
    x2 = 19,6157

    Da die Sinus-Funktion ja um 8 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 8 h nach oben und erreicht erstmals nach 8.38 h den Wert 15.7. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 19.62 h zum zweiten mal den Wert 15.7 erreicht. Während dieser 19.62 - 8.38 = 11.24 h ist der Wert der Funktion also höher als 15.7.

  3. y-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 15 nach oben und eine Amplitude von a = 7 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 7 um 15. Somit ist der höchste Wert bei 15 ° C + 7 ° C = 22 ° C.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph fa mit fa(x)= cos( a x ) seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( 2 3 π |-1), (also den Tiefpunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer 1 2 Periode. Es gilt somit 1 2 ⋅p = 2 3 π |⋅2

Demnach muss also die Periode p =2 2 3 π = 4 3 π lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = b also 4 3 π = b nach b auflösen:

4 3 π = b |⋅b : 4 3 π

b = 2π 4 3 π = 3 2

Da bei cos( a x ) das b ja a ist, muss also a = 3 2 sein,
damit der Graph von f 3 2 (x)= cos( 3 2 · x ) seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( 2 3 π |-1) hat.