$\text{f(x)}=$ $3x·\cos \left(-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3·1·\cos \left(-5x\right)+3x·(-\sin \left(-5x\right)·\left(-5\right))$

= $3\cdot \cos \left(-5x\right)+3x·5\cdot \sin \left(-5x\right)$

= $3\cdot \cos \left(-5x\right)+15x·\sin \left(-5x\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\cdot \cos \left(-3x-5\right)-x$

$\text{f'(x)}=$ $-4\cdot \sin \left(-3x-5\right)·\left(-3+0\right)-1$

= $-4\cdot \sin \left(-3x-5\right)·\left(-3\right)-1$

= $12\cdot \sin \left(-3x-5\right)-1$

= ${\left[-\frac{1}{3}\cdot \sin \left(-3x\right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $-\frac{1}{3}\cdot \sin \left(-3\cdot \pi \right)+\frac{1}{3}\cdot \sin \left(-3\cdot \left(0\right)\right)$

= $-\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{1}{3}\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{1}{2}\pi$ und $\frac{1}{4}\pi +\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{3}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|1) und einen bei ( $\frac{1}{4}\pi$|1) und einen bei ( $\frac{1}{2}\pi$|1) und einen bei ( $\frac{3}{4}\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $\frac{4}{3}\pi$ ≈ $\frac{4}{3}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -1, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{4}{3}\pi$|-2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{2}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{2}\pi$|1).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{2}\pi$ + $0$ ≈ $-\frac{1}{2}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $4\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{1}{2}\pi +4\pi$ ≈ $\frac{7}{2}\pi$.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über -1, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{7}{2}\pi$|1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

L={ $2\pi$}

Die einzige Nullstelle in der Periode [0; $\frac{8}{3}\pi$) ist also bei x = $2\pi$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 366

1. t-Werte mit f(t) ≥ 14.5

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 14.5 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 14.5 gleich:

   $5\cdot \sin \left(\frac{1}{183}\pi \left(t-50\right)\right)+12$ = 14.5

   $5\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,8584}\right)+12$ = $\mathrm{14,5}$ | $-12$

   $5\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,8584}\right)$

   =

   $\mathrm{2,5}$

   |:$5$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,8584}\right)$

   =

   $\mathrm{0,5}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,8584}$	=	$\frac{5}{6}\pi$	| $+\mathrm{0,8584}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{0,8584}+\frac{5}{6}\pi$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{3,4764}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x1	=	$\mathrm{202,1163}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,8584}\right)$ = $\mathrm{0,5}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{5}{6}\pi$= $\frac{1}{6}\pi$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,8584}$	=	$\frac{1}{6}\pi$	| $+\mathrm{0,8584}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{0,8584}+\frac{1}{6}\pi$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{1,382}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x2	=	$\mathrm{80,3488}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 50 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 50 d nach oben und erreicht erstmals nach 80.35 d den Wert 14.5. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 202.12 d zum zweiten mal den Wert 14.5 erreicht. Während dieser 202.12 - 80.35 = 121.77 d ist der Wert der Funktion also höher als 14.5.

2. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 91.5 d.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 50 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 50 d mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 91.5 + 50 d = 141.5 d. Die Lösung ist also: 141.5 d.

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer $\frac{3}{4}$ Periode.
Wegen des Minus vor dem Sinus wird ja aber der Graph an der x-Achse gespiegelt, so dass der Tiefpunkt zum Hochpunkt wird. Also ist hier der erste Hochpunkt nach einer $\frac{3}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{3}{4}$⋅p = $9$ |⋅$\frac{4}{3}$

Demnach muss also die Periode p =$\frac{4}{3}$ ⋅ $9$ = $12$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $12$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $-\sin \left(a\pi x\right)$ das b ja $a\pi$ ist, muss also a = $\frac{1}{6}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $-\sin (\frac{1}{6}·\pi x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $9$|1) hat.