$\text{f(x)}=$ $-x^2·\sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2x·\sin \left(x\right)-x^2·\cos \left(x\right)$

= $-2x·\sin \left(x\right)-x^2·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(x-4\right)-3x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(x-4\right)-6x$

= ${\left[-4\cdot \sin \left(x-\frac{1}{2}\pi \right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $-4\cdot \sin \left(\pi -\frac{1}{2}\pi \right)+4\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi -\frac{1}{2}\pi \right)$

= $-4\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)+4\cdot \sin \left(0\right)$

= $-4\cdot 1+4\cdot 0$

= $-4+0$

= $-4$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $3\pi$ ≈ $3\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|2) und einen bei ( $3\pi$|2)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{9}{2}\pi$ ≈ $\frac{9}{2}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter -3, also bei y=-5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{9}{2}\pi$|-5)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung und um c= $-1$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-1$|3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-1$|-1) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-2\cdot \cos \left(\frac{2}{3}\left(x+1\right)\right)+1$ aber zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $-1$ + $0$ ≈ $-1$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $3\pi$) liegt,
also x₁= $-1+3\pi$ ≈ $\mathrm{8,425}$.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 1, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\mathrm{8,425}$|-1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.45102681179626

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(4x\right)$ = $\mathrm{0,9}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{0,451}$
bzw. bei - $\mathrm{0,451}$+2π= $\mathrm{5,832}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,1128}$; $\mathrm{1,458}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{1}{2}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,1128}$ und x₂ = $\mathrm{1,458}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{2}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 4

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 80 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 80. Somit ist der tiefste Wert bei 80 cm - 15 cm = 65 cm.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $\cos \left(\frac{1}{a^2+4a+5}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2+4a+5\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+4a+5$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2+4a+5$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+4a+5$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+4a+5$)' = $2a+4$ = 0 ⇔ a = -2

Für dieses a = -2 wird also $a^2+4a+5$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2+4a+5\right)$ minimal .

Für a = -2 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left({\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)+5\right)$ = $2\pi ·\left(4-8+5\right)$ = $2\pi$.