$\text{f(x)}=$ $2{\left(\sin \left(3x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $4\left(\sin \left(3x\right)\right)·\cos \left(3x\right)·3$

= $4\left(\sin \left(3x\right)\right)·3\cdot \cos \left(3x\right)$

= $12\sin \left(3x\right)·\cos \left(3x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(-4x+5\right)-4$

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \sin \left(-4x+5\right)·\left(-4+0\right)+0$

= $4\cdot \sin \left(-4x+5\right)·\left(-4\right)$

= $-16\cdot \sin \left(-4x+5\right)$

= ${\left[-\frac{5}{3}\cdot \sin \left(-3x\right)\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $-\frac{5}{3}\cdot \sin \left(-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)+\frac{5}{3}\cdot \sin \left(-3\cdot \left(0\right)\right)$

= $-\frac{5}{3}\cdot 1+\frac{5}{3}\cdot 0$

= $-\frac{5}{3}+0$

= $-\frac{5}{3}+0$

= $-\frac{5}{3}$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\pi$ ≈ $\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -1, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|1) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $4\pi$ ≈ $4\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $16\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+8\pi$ = $8\pi$ und $4\pi +8\pi$ = $12\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|1) und einen bei ( $4\pi$|1) und einen bei ( $8\pi$|1) und einen bei ( $12\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $-3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-3$|0).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-3$ + $2\pi$ ≈ $\mathrm{3,283}$. und bei x₂= $-3$ + $6\pi$ ≈ $\mathrm{15,85}$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\mathrm{3,283}$|-1) und bei ( $\mathrm{15,85}$|-1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

L={ $\frac{1}{8}\pi$}

Die einzige Nullstelle in der Periode [0; $\frac{1}{2}\pi$) ist also bei x = $\frac{1}{8}\pi$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $2\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 1

2. t-Werte mit f(t) ≥ 88.5

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 88.5 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 88.5 gleich:

   $15\cdot \sin \left(2\pi t\right)+75$ = 88.5

   $15\cdot \sin \left(\mathrm{6,2832}t\right)+75$ = $\mathrm{88,5}$ | $-75$

   $15\cdot \sin \left(\mathrm{6,2832}t\right)$

   =

   $\mathrm{13,5}$

   |:$15$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{6,2832}t\right)$

   =

   $\mathrm{0,9}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 1.1197695149986

   1. Fall:

   $\mathrm{6,2832}x$	=	$\mathrm{1,12}$	|:$\mathrm{6,2832}$
   x1	=	$\mathrm{0,1783}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{6,2832}t\right)$ = $\mathrm{0,9}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{1,12}$= $\mathrm{2,022}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{6,2832}x$	=	$\mathrm{2,022}$	|:$\mathrm{6,2832}$
   x2	=	$\mathrm{0,3218}$

   Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.18 s den Wert 88.5. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 0.32 s zum zweiten mal den Wert 88.5 erreicht. Während dieser 0.32 - 0.18 = 0.14 s ist der Wert der Funktion also höher als 88.5.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $\cos \left(\frac{1}{a^2-4a+7}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2-4a+7\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-4a+7$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2-4a+7$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-4a+7$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-4a+7$)' = $2a-4$ = 0 ⇔ a = 2

Für dieses a = 2 wird also $a^2-4a+7$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2-4a+7\right)$ minimal .

Für a = 2 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left(2^2-4\cdot 2+7\right)$ = $2\pi ·\left(4-8+7\right)$ = $6\pi$.