Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 5}{4 + x}$

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$4 + x$	=	0
$x + 4$	=	0	\| $- 4$
$x$	=	$- 4$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 5}{4 + x}$ → $\frac{-5}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 5}{4 + x}$ → $\frac{-5}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{4 x - 3}{x^{2} - 5 x + 4}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

also Definitionsmenge D=R\{ $1$ ; $4$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{4 x - 3}{x^{2} - 5 x + 4}$ = $\frac{4 x - 3}{(x - 4) \cdot (x - 1)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<1}{⟶}$ $1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4 x - 3}{(x - 4) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+1}{(-3) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+1}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>1}{⟶}$ $1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4 x - 3}{(x - 4) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+1}{(-3) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+1}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<4}{⟶}$ $4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4 x - 3}{(x - 4) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+13}{"-0" ⋅ (+3)}$ = $\frac{+13}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>4}{⟶}$ $4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4 x - 3}{(x - 4) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+13}{"+0" ⋅ (+3)}$ = $\frac{+13}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von - nach +

alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{5 x^{2} - 2 x + 4}{- x^{2} - 7 x - 12}$

Lösung einblenden

senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7+1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7-1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ ; $- 3$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{5 x^{2} - 2 x + 4}{- x^{2} - 7 x - 12}$ = $\frac{5 x^{2} - 2 x + 4}{- (x + 4) \cdot (x + 3)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} - 2 x + 4}{- (x + 4) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+92}{- 1⋅"-0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{+92}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} - 2 x + 4}{- (x + 4) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+92}{- 1⋅"+0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{+92}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 3}{⟶}$ $- 3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} - 2 x + 4}{- (x + 4) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+55}{- 1⋅(+1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+55}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 3}{⟶}$ $- 3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} - 2 x + 4}{- (x + 4) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+55}{- 1⋅(+1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+55}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 3$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{5 x^{2} - 2 x + 4}{- x^{2} - 7 x - 12}$ = $\frac{x^{2} \cdot (5 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (- 1 - \frac{7}{x} - \frac{12}{x^{2}})}$ = $\frac{5 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{- 1 - \frac{7}{x} - \frac{12}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} - 2 x + 4}{- x^{2} - 7 x - 12}$ = $\frac{5 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{- 1 - \frac{7}{x} - \frac{12}{x^{2}}}$ → $\frac{5 + 0 + 0}{- 1 + 0 + 0}$ = $\frac{5}{- 1}$ = $- 5$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $- 5$ .

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $e^{- 0,2 x} + 5$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $e^{- 0,2 x} + 5$ → $\infty + 5$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $e^{- 0,2 x} + 5$ → $0 + 5$ → $5$

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $5$ .

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = 1 und bei x₂ = 4 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(2|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=1 und x₂=4 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 1) \cdot (x - 4)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 5 x + 4}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x - 2)}{x^{2} - 5 x + 4}$

Jetzt testen wir $\frac{x - 2}{(x - 1) \cdot (x - 4)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -2 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -2. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{(x - 1) \cdot (x - 4)}$ = $\frac{- 2 x^{2} + 8 x - 8}{x^{2} - 5 x + 4}$

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x - 8}{x^{2} - 5 x + 4}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 + \frac{8}{x} - \frac{8}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}})}$ = $\frac{- 2 + \frac{8}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{1 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} + 8 x - 8}{x^{2} - 5 x + 4}$ = $\frac{- 2 + \frac{8}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{1 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$ → $\frac{- 2 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 2}{1}$ = $- 2$

Mit f(x)= $\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{(x - 1) \cdot (x - 4)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $4 e^{- 0,5 x} - 1$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $4 e^{- 0,5 x} - 1$ → $\infty - 1$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $4 e^{- 0,5 x} - 1$ → $0 - 1$ → $- 1$

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $- 1$ .

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{x + 1}{x^{2} - 1}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 1$ ; $1$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{x + 1}{x^{2} - 1}$ = $\frac{x + 1}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $- 1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{x + 1}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ = $\frac{x + 1}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ = $\frac{1}{x - 1}$

Für x → $- 1$ ⇒ f(x)= $\frac{x + 1}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ = $\frac{1}{x - 1}$ → $\frac{1}{- 1 - 1}$ = $- \frac{1}{2}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $- 1$ | $- \frac{1}{2}$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<1}{⟶}$ $1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x + 1}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+2}{(+2) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+2}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>1}{⟶}$ $1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x + 1}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+2}{(+2) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+2}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von - nach +

Aufgabenbeispiele von Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Polstellen und hebbare Def.-Lücken