Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$2x^2-x$	=	0
$x\left(2x-1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\frac{1}{2}$}

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$2x^2-8x$	=	0
$2x\left(x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $4$}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{\mathrm{0+4}}{2}$ = 2 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(2|f(2)) mit f(2) = $2\cdot 2^2-8\cdot 2$ = $8-16$ = -8.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=0 und x₂=4 , Scheitel: S(2|-8).

1. Weg

$x^2-2x-5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-2x+1-1-5$

= ${\left(x-1\right)}^2-1-5$

= ${\left(x-1\right)}^2-6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-2x-5$ nur um $-5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-2x$	=	0
$x\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|f(1)).

f(1) = $1^2-2\cdot 1-5$ = $1-2-5$ = -6

also: S(1|-6).

1. Weg

$2x^2+8x-2$

= $2\left(x^2+4x\right)-2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $2\left(x^2+4x+4-4\right)-2$

= $2\left(x^2+4x+4\right)+2·\left(-4\right)-2$

= $2{\left(x+2\right)}^2-8-2$

= $2{\left(x+2\right)}^2-10$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-10).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $2x^2+8x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $2x^2+8x-2$ nur um $-2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $2x^2+8x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$2x^2+8x$	=	0
$2x\left(x+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|f(-2)).

f(-2) = $2\cdot {\left(-2\right)}^2+8\cdot \left(-2\right)-2$ = $8-16-2$ = -10

also: S(-2|-10).

1. Weg

$-x^2+170x$

= $-\left(x^2-170x\right)$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-170x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-170x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -85 zu 7225. Diese 7225 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 7225, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $-\left(x^2-170x+7225-7225\right)$

= $-\left(x^2-170x+7225\right)-1·\left(-7225\right)$

= $-{\left(x-85\right)}^2+7225$

= $-{\left(x-85\right)}^2+7225$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(85|7225).

2. Weg

Von $-x^2+170x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$-x^2+170x$	=	0
$x\left(-x+170\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(85|f(85)).

f(85) = $-{85}^2+170\cdot 85$ = $-7225+14450$ = 7225

also: S(85|7225).

Für x=85 bekommen wir also mit 7225 einen extremalen Wert von $-x^2+170x$