Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^2-x$	=	0
$x\left(x-1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $1$}

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^2-4x$	=	0
$x\left(x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $4$}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{\mathrm{0+4}}{2}$ = 2 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(2|f(2)) mit f(2) = $2^2-4\cdot 2$ = $4-8$ = -4.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=0 und x₂=4 , Scheitel: S(2|-4).

1. Weg

$x^2-10x+4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-10x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-10x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-10x+25-25+4$

= ${\left(x-5\right)}^2-25+4$

= ${\left(x-5\right)}^2-21$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-21).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-10x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-10x+4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-10x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-10x$	=	0
$x\left(x-10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|f(5)).

f(5) = $5^2-10\cdot 5+4$ = $25-50+4$ = -21

also: S(5|-21).

1. Weg

$2x^2+16x-1$

= $2\left(x^2+8x\right)-1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $2\left(x^2+8x+16-16\right)-1$

= $2\left(x^2+8x+16\right)+2·\left(-16\right)-1$

= $2{\left(x+4\right)}^2-32-1$

= $2{\left(x+4\right)}^2-33$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-33).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $2x^2+16x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $2x^2+16x-1$ nur um $-1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $2x^2+16x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$2x^2+16x$	=	0
$2x\left(x+8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|f(-4)).

f(-4) = $2\cdot {\left(-4\right)}^2+16\cdot \left(-4\right)-1$ = $32-64-1$ = -33

also: S(-4|-33).

1. Weg

$-x^2+170x$

= $-\left(x^2-170x\right)$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-170x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-170x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -85 zu 7225. Diese 7225 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 7225, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $-\left(x^2-170x+7225-7225\right)$

= $-\left(x^2-170x+7225\right)-1·\left(-7225\right)$

= $-{\left(x-85\right)}^2+7225$

= $-{\left(x-85\right)}^2+7225$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(85|7225).

2. Weg

Von $-x^2+170x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$-x^2+170x$	=	0
$x\left(-x+170\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(85|f(85)).

f(85) = $-{85}^2+170\cdot 85$ = $-7225+14450$ = 7225

also: S(85|7225).

Für x=85 bekommen wir also mit 7225 einen extremalen Wert von $-x^2+170x$