Aufgabenbeispiele von umwandeln in Scheitelform

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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 2 x 2 -2x

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Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

2 x 2 -2x = 0
2 x ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

L={0; 1 }

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 3 x 2 -15x

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Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

3 x 2 -15x = 0
3 x ( x -5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -5 = 0 | +5
x2 = 5

L={0; 5 }

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen 0+5 2 = 2.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(2.5|f(2.5)) mit f(2.5) = 3 2,5 2 -152,5 = 18,75 -37,5 = -18.75.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=0 und x2=5 , Scheitel: S(2.5|-18.75).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 +6x -5 .

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1. Weg

x 2 +6x -5

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +6x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 6x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 +6x +9 -9 -5

= ( x +3 ) 2 -9 -5

= ( x +3 ) 2 -14

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-14).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 +6x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 +6x -5 nur um -5 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 +6x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 +6x = 0
x ( x +6 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +6 = 0 | -6
x2 = -6

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|f(-3)).

f(-3) = ( -3 ) 2 +6( -3 ) -5 = 9 -18 -5 = -14

also: S(-3|-14).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 -8x -2 .

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1. Weg

x 2 -8x -2

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -8x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -8x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -8x +16 -16 -2

= x 2 -8x +16 + 1 · ( -16 ) -2

= ( x -4 ) 2 -16 -2

= ( x -4 ) 2 -18

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-18).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -8x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -8x -2 nur um -2 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -8x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -8x = 0
x ( x -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -8 = 0 | +8
x2 = 8

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|f(4)).

f(4) = 4 2 -84 -2 = 16 -32 -2 = -18

also: S(4|-18).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Ein Rechteck hat den Umfang 120 cm. Wie breit muss es sein, damit der Flächeninhalt des Rechtecks am größten wird.

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1. Weg

- x 2 +60x

= -( x 2 -60x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -60x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -60x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -30 zu 900. Diese 900 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 900, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -60x +900 -900 )

= -( x 2 -60x +900 ) -1 · ( -900 )

= - ( x -30 ) 2 +900

= - ( x -30 ) 2 +900

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(30|900).


2. Weg

Von - x 2 +60x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +60x = 0
x ( -x +60 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +60 = 0 | -60
-x = -60 |:(-1 )
x2 = 60

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(30|f(30)).

f(30) = - 30 2 +6030 = -900 +1800 = 900

also: S(30|900).


Für x=30 bekommen wir also mit 900 einen extremalen Wert von - x 2 +60x