Aufgabenbeispiele von umwandeln in Scheitelform

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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 +3x

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Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 +3x = 0
x ( x +3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +3 = 0 | -3
x2 = -3

L={ -3 ; 0}

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 4 x 2 -12x

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Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

4 x 2 -12x = 0
4 x ( x -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -3 = 0 | +3
x2 = 3

L={0; 3 }

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen 0+3 2 = 1.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(1.5|f(1.5)) mit f(1.5) = 4 1,5 2 -121,5 = 9 -18 = -9.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=0 und x2=3 , Scheitel: S(1.5|-9).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 -6x +2 .

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1. Weg

x 2 -6x +2

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -6x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -6x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -6x +9 -9 +2

= ( x -3 ) 2 -9 +2

= ( x -3 ) 2 -7

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-7).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -6x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -6x +2 nur um 2 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -6x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -6x = 0
x ( x -6 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -6 = 0 | +6
x2 = 6

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|f(3)).

f(3) = 3 2 -63 +2 = 9 -18 +2 = -7

also: S(3|-7).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 2 x 2 +20x +1 .

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1. Weg

2 x 2 +20x +1

= 2( x 2 +10x ) +1

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +10x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 10x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 2( x 2 +10x +25 -25 ) +1

= 2( x 2 +10x +25 ) + 2 · ( -25 ) +1

= 2 ( x +5 ) 2 -50 +1

= 2 ( x +5 ) 2 -49

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-49).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 2 x 2 +20x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 2 x 2 +20x +1 nur um 1 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 2 x 2 +20x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

2 x 2 +20x = 0
2 x ( x +10 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +10 = 0 | -10
x2 = -10

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|f(-5)).

f(-5) = 2 ( -5 ) 2 +20( -5 ) +1 = 50 -100 +1 = -49

also: S(-5|-49).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Ein Rechteck hat den Umfang 280 cm. Wie breit muss es sein, damit der Flächeninhalt des Rechtecks am größten wird.

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1. Weg

- x 2 +140x

= -( x 2 -140x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -140x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -140x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -70 zu 4900. Diese 4900 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4900, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -140x +4900 -4900 )

= -( x 2 -140x +4900 ) -1 · ( -4900 )

= - ( x -70 ) 2 +4900

= - ( x -70 ) 2 +4900

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(70|4900).


2. Weg

Von - x 2 +140x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +140x = 0
x ( -x +140 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +140 = 0 | -140
-x = -140 |:(-1 )
x2 = 140

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(70|f(70)).

f(70) = - 70 2 +14070 = -4900 +9800 = 4900

also: S(70|4900).


Für x=70 bekommen wir also mit 4900 einen extremalen Wert von - x 2 +140x