Der gesuchte Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{6}{\left(x+1\right)}^2+6$ ist ein Spezialfall von $a·{(x-d)}^2+e$. Der Scheitel liegt dabei bei S(d|e), denn der kleinste Wert wird hier bei x=-1 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann f(-1)=6. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(-1|6).

Da das a=$\frac{1}{6}$>0 ist, ist die Parabel nach nach oben geöffnet.

Und weil |a|=|$\frac{1}{6}$|<1 ist, ist die Parabel weiter als die Normalparabel.

Weil der Scheitel der Parabel im Ursprung liegt, muss der Funktionsterm y=ax² sein.

Und weil die Parabel nach unten geöffnet ist, muss das Vorzeichen von a negativ sein.

An der Stelle x=1 ist der y-Wert gerade y=f(1)=a⋅1²=a. Hier können wir also das a ablesen.

An der Stelle x=1 kann man das -0,25 zwar nicht so gut ablesen, man kann aber auch f(2)=a⋅2²=4a einsetzen. Hier erkennt man nun sehr deutlich, f(2)=a⋅2²=4a=-1 ist, also muss a= -0,25 sein.

So erhält man als Funktionsterm: $-\mathrm{0,25}{x}^2$.

Man erkennt leicht, dass der Scheitel der abgebildeten Parabel in S(-1|3) liegt, so dass der Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a·{(x-d)}^2+e$ mit d = -1 und e = 3, also $\text{f(x)}=$ $a·{\left(x+1\right)}^2+3$ sein muss.

Und weil die Parabel nach unten geöffnet ist, muss das Vorzeichen von a negativ sein.

Um das a genau zu bestimmen, schauen wir uns einen Punkt an, dessen x-Wert 1 neben dem Scheitel liegt. An der Stelle x = 0 ist der y-Wert gerade y = f(0) = $a·{\left(0+1\right)}^2+3$ = 1a +3. Hier können wir am Schaubild ablesen, dass f(0) = 1a +3 = 2.5 ist.

1a +3 = 2.5 | -3

a = -0.5

An der Stelle x=0 kann man das f(0) = 2.5 zwar nicht so gut ablesen, man kann aber auch f(1) = $a·{\left(1+1\right)}^2+3$ = 1 einsetzen,
also f(1) = a⋅2² +3 = 4a +3 = 1 | -3
4a = -2 |:4
a = $-\frac{2}{4}$ = -0.5

So erhält man als Funktionsterm: $-\mathrm{0,5}{\left(x+1\right)}^2+3$.

Weil der Scheitel der Parabel im Ursprung liegt, muss der Funktionsterm y=ax² sein.

Wenn der Punkt P(-7|2) auf der Parabel liegt, muss f(-7) = a⋅-7² = 49a = 2 gelten.

49a = 2 |:49

a = $\frac{2}{49}$

So erhält man als Funktionsterm: $\frac{2}{49}{x}^2$.