Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der Normalparabel bei S(-1|0) liegt.

Die Parabel ist also um -1 Einheiten in x-Richtung verschoben. Der Funktionsterm ist demnach ${(x-d)}^2$, in diesem Fall mit d= -1.

Der gesuchte Funktionsterm ist also: ${\left(x+1\right)}^2$.

Der gesuchte Funktionsterm $\text{f(x)}=$ ${\left(x-6\right)}^2$ ist ein Spezialfall von ${(x-d)}^2$. Der kleinste Wert wird dabei also bei x=6 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann f(6)=0. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(6|0).

Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der Normalparabel bei S(4|2) liegt.

Eine Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm ± ${(x-d)}^2+e$.

Weil - ${(x-d)}^2$ nie größer Null werden kann, muss der größte Wert der Funktion bei x=d sein, weil hier ${(x-d)}^2$ gerade gleich Null ist. Wenn Der Scheitel nun als y-Wert e hat, so ist die Parabel um e Einheiten nach oben verschoben, also muss man zu - ${(x-d)}^2$ noch e addieren.

Wenn man nun beachtet, dass die Normalparabel nach unten geöffnet ist, und die Scheitelkoordinaten für d und e einsetzt, so erhält man als Funktionsterm: $-{\left(x-4\right)}^2+2$.

Der gesuchte Funktionsterm $\text{f(x)}=$ ${\left(x-2\right)}^2-2$ ist ein Spezialfall von ${(x-d)}^2+e$. Der Scheitel liegt dabei bei S(d|e), denn der kleinste Wert wird hier bei x=2 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann f(2)=-2. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(2|-2).

1. Weg

Eine nach oben geöffnete Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm ${(x-d)}^2+e$.

Also muss der Funktionsterm der vorliegenden Parabel $\text{f(x)}=$ ${\left(x-1\right)}^2-4$ sein.

Setzt man nun x=3 in diesen Funktionsterm ein, so erhält man y=f(3)= ${\left(3-1\right)}^2-4$ = $4-4$=0.

2. Weg

Der x-Wert von S ist genau 2 Einheiten vom x-Wert des Scheitels entfernt und weil ja eine Normalparabel die gleiche Form wie das Schaubild von y=x² hat, muss also auch hier der y-Wert um 2²=4 höher liegen als der des Scheitel. Man erhält also den y-Wert von P, in dem man zum y-Wert des Scheitels noch 4 drauf addiert, also y=-4+4=0.

Der Punkt P hat also die Koordinaten P(3|0).