$\sqrt{90}·\sqrt{10}$
= $\sqrt{10·9}·\sqrt{10}$
= $\sqrt{9}·\sqrt{10}·\sqrt{10}$
= $3·10$
= $30$

$\sqrt{10}·\sqrt{\frac{1}{10}}$
= $\sqrt{10·\frac{1}{10}}$
= $\sqrt{1·1}$
= $\sqrt{1}$
= $1$

$\left(\sqrt{45}+\sqrt{5}\right)·\sqrt{5}$
= $\sqrt{45}·\sqrt{5}+\sqrt{5}·\sqrt{5}$
= $\sqrt{5·9}·\sqrt{5}+5$
= $\sqrt{9}·\sqrt{5}·\sqrt{5}+5$
= $3·5+5$
= $15+5$
= $20$

Nach der 3. binomischen Formel ((a+b)(a-b)=a²-b²) gilt:

$\left(\sqrt{3}+9\right)·\left(\sqrt{3}-9\right)$ = ${\left(\sqrt{3}\right)}^2-9^2$
= $3-81$
= $-78$

$\frac{\sqrt{40x}}{\sqrt{10x}}$
= $\frac{\sqrt{40}·\sqrt{x}}{\sqrt{10}·\sqrt{x}}$
= $\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{10}}$
= $\sqrt{\frac{40}{10}}$
= $\sqrt{4}$
= $2$

Wir können die $\sqrt{42}$ wie Einheiten behandeln und einfach die $\sqrt{42}$ verrechnen.

$4\sqrt{42}-2\sqrt{42}$
= $2\sqrt{42}$