$\sqrt{10}·\sqrt{40}$
= $\sqrt{10}·\sqrt{10·4}$
= $\sqrt{10}·\sqrt{10}·\sqrt{4}$
= $10·2$
= $20$

$\sqrt{\mathrm{0,5}}·\sqrt{\mathrm{0,125}}$
= $\sqrt{\mathrm{0,5}·\mathrm{0,125}}$
= $\sqrt{\mathrm{0,0625}}$
= 0.25

$\sqrt{3}·\left(\sqrt{108}+\sqrt{3}\right)$
= $\sqrt{3}·\sqrt{108}+\sqrt{3}·\sqrt{3}$
= $\sqrt{3}·\sqrt{3·36}+3$
= $\sqrt{3}·\sqrt{3}·\sqrt{36}+3$
= $3·6+3$
= $18+3$
= $21$

Nach der 2. binomischen Formel ((a-b)²=a²-2ab+b²) gilt:

${\left(\sqrt{5}-\sqrt{20}\right)}^2$ = ${\left(\sqrt{5}\right)}^2-2·\sqrt{5}·\sqrt{20}+{\left(\sqrt{20}\right)}^2$
= $5-2·\sqrt{5}·\sqrt{5·4}+20$
= $5-2·\sqrt{5}·\sqrt{5}·\sqrt{4}+20$
= $5-2·5·2+20$
= $5-20+20$
= $5$

$\frac{\sqrt{40x}}{\sqrt{10x}}$
= $\frac{\sqrt{40}·\sqrt{x}}{\sqrt{10}·\sqrt{x}}$
= $\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{10}}$
= $\sqrt{\frac{40}{10}}$
= $\sqrt{4}$
= $2$

$\sqrt{36+49+36}$
= $\sqrt{121}$
= $11$

Man kann hier gut erkennen, dass man aus Summen nicht die Wurzeln aus den Summanden ziehen darf,
denn $\sqrt{36}$ + $\sqrt{49}$ + $\sqrt{36}$ = $6$ + $7$ + $6$ = 19 ist ja deutlich mehr als das richtige Ergebnis $11$.