$\sqrt{2}·\sqrt{72}$
= $\sqrt{2}·\sqrt{2·36}$
= $\sqrt{2}·\sqrt{2}·\sqrt{36}$
= $2·6$
= $12$

$\sqrt{\frac{10}{3}}·\sqrt{\frac{6}{5}}$
= $\sqrt{\frac{10}{3}·\frac{6}{5}}$
= $\sqrt{2·2}$
= $\sqrt{4}$
= $2$

$\left(\sqrt{12}+\sqrt{3}\right)·\sqrt{3}$
= $\sqrt{12}·\sqrt{3}+\sqrt{3}·\sqrt{3}$
= $\sqrt{3·4}·\sqrt{3}+3$
= $\sqrt{4}·\sqrt{3}·\sqrt{3}+3$
= $2·3+3$
= $6+3$
= $9$

Nach der 3. binomischen Formel ((a+b)(a-b)=a²-b²) gilt:

$\left(\sqrt{5}+8\right)·\left(\sqrt{5}-8\right)$ = ${\left(\sqrt{5}\right)}^2-8^2$
= $5-64$
= $-59$

$\frac{\sqrt{75x}}{\sqrt{3x}}$
= $\frac{\sqrt{75}·\sqrt{x}}{\sqrt{3}·\sqrt{x}}$
= $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$
= $\sqrt{\frac{75}{3}}$
= $\sqrt{25}$
= $5$

$\sqrt{16+9+0}$
= $\sqrt{25}$
= $5$

Man kann hier gut erkennen, dass man aus Summen nicht die Wurzeln aus den Summanden ziehen darf,
denn $\sqrt{16}$ + $\sqrt{9}$ + $\sqrt{0}$ = $4$ + $3$ + 0 = 7 ist ja deutlich mehr als das richtige Ergebnis $5$.