Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Klasse bastelt für ihr Klassenfest ein Glückrad. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Sektoren.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wir können am Glücksrad entweder die Winkelweite abschätzen und diese dann durch 360° teilen oder direkt den Winkel-Anteil (als Vielfache von Halb-, Viertel- oder Achtels-Kreisen) ablesen:

blau: Man erkennt einen Kreisausschnitt, der so groß ist wie ein Viertelskreis zusammen mit einem Achtelskreis => p= 3 8

grün: Man erkennt einen Kreisausschnitt, der so groß ist wie ein Viertelskreis zusammen mit einem Achtelskreis => p= 3 8

gelb: Man erkennt einen Viertelkreis => p= 1 4

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote, 7 gelbe, 3 blaue und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": 7 24 ; "nicht gelb": 17 24 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal gelb' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'gelb'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'gelb')=1- 49 576 = 527 576

EreignisP
gelb -> gelb 49 576
gelb -> nicht gelb 119 576
nicht gelb -> gelb 119 576
nicht gelb -> nicht gelb 289 576

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: gelb: 7 24 ; nicht gelb: 17 24 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'gelb'-'nicht gelb' (P= 119 576 )
  • 'nicht gelb'-'gelb' (P= 119 576 )
  • 'nicht gelb'-'nicht gelb' (P= 289 576 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

119 576 + 119 576 + 289 576 = 527 576


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine Zahl zu würfeln, die ein Teiler von 6 ist?

Lösung einblenden
EreignisP
Teiler -> Teiler -> Teiler 8 27
Teiler -> Teiler -> kein Teiler 4 27
Teiler -> kein Teiler -> Teiler 4 27
Teiler -> kein Teiler -> kein Teiler 2 27
kein Teiler -> Teiler -> Teiler 4 27
kein Teiler -> Teiler -> kein Teiler 2 27
kein Teiler -> kein Teiler -> Teiler 2 27
kein Teiler -> kein Teiler -> kein Teiler 1 27

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Teiler: 2 3 ; kein Teiler: 1 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'Teiler'-'Teiler'-'kein Teiler' (P= 4 27 )
  • 'Teiler'-'kein Teiler'-'Teiler' (P= 4 27 )
  • 'kein Teiler'-'Teiler'-'Teiler' (P= 4 27 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

4 27 + 4 27 + 4 27 = 4 9


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 4 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "1 mal Ass und 1 mal Dame"?

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EreignisP
Ass -> Ass 1 45
Ass -> König 4 45
Ass -> Dame 4 45
König -> Ass 4 45
König -> König 2 15
König -> Dame 8 45
Dame -> Ass 4 45
Dame -> König 8 45
Dame -> Dame 2 15

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Ass: 1 5 ; König: 2 5 ; Dame: 2 5 ;

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'Ass'-'Dame' (P= 4 45 )
'Dame'-'Ass' (P= 4 45 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

4 45 + 4 45 = 8 45


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 5 vom Typ Kreuz, 7 vom Typ Herz, 4 vom Typ Pik und 4 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

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EreignisP
Kreuz -> Kreuz 1 19
Kreuz -> Herz 7 76
Kreuz -> Pik 1 19
Kreuz -> Karo 1 19
Herz -> Kreuz 7 76
Herz -> Herz 21 190
Herz -> Pik 7 95
Herz -> Karo 7 95
Pik -> Kreuz 1 19
Pik -> Herz 7 95
Pik -> Pik 3 95
Pik -> Karo 4 95
Karo -> Kreuz 1 19
Karo -> Herz 7 95
Karo -> Pik 4 95
Karo -> Karo 3 95

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: 1 4 ; Herz: 7 20 ; Pik: 1 5 ; Karo: 1 5 ;

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'Kreuz'-'Kreuz' (P= 1 19 )
'Herz'-'Herz' (P= 21 190 )
'Pik'-'Pik' (P= 3 95 )
'Karo'-'Karo' (P= 3 95 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 19 + 21 190 + 3 95 + 3 95 = 43 190


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 3 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 6 2 5 3 4
= 3 1 5 1 4
= 3 20

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nur Summen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 11 ist?

Lösung einblenden
EreignisP
1 -> 1 1 36
1 -> 2 1 36
1 -> 3 1 36
1 -> 4 1 36
1 -> 5 1 36
1 -> 6 1 36
2 -> 1 1 36
2 -> 2 1 36
2 -> 3 1 36
2 -> 4 1 36
2 -> 5 1 36
2 -> 6 1 36
3 -> 1 1 36
3 -> 2 1 36
3 -> 3 1 36
3 -> 4 1 36
3 -> 5 1 36
3 -> 6 1 36
4 -> 1 1 36
4 -> 2 1 36
4 -> 3 1 36
4 -> 4 1 36
4 -> 5 1 36
4 -> 6 1 36
5 -> 1 1 36
5 -> 2 1 36
5 -> 3 1 36
5 -> 4 1 36
5 -> 5 1 36
5 -> 6 1 36
6 -> 1 1 36
6 -> 2 1 36
6 -> 3 1 36
6 -> 4 1 36
6 -> 5 1 36
6 -> 6 1 36

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 6 ; 2: 1 6 ; 3: 1 6 ; 4: 1 6 ; 5: 1 6 ; 6: 1 6 ;

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  • '5'-'6' (P= 1 36 )
  • '6'-'5' (P= 1 36 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 36 + 1 36 = 1 18


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 9 vom Typ Kreuz, 10 vom Typ Herz, 8 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden
EreignisP
Kreuz -> Kreuz 12 145
Kreuz -> Herz 3 29
Kreuz -> Pik 12 145
Kreuz -> Karo 9 290
Herz -> Kreuz 3 29
Herz -> Herz 3 29
Herz -> Pik 8 87
Herz -> Karo 1 29
Pik -> Kreuz 12 145
Pik -> Herz 8 87
Pik -> Pik 28 435
Pik -> Karo 4 145
Karo -> Kreuz 9 290
Karo -> Herz 1 29
Karo -> Pik 4 145
Karo -> Karo 1 145

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: 3 10 ; Herz: 1 3 ; Pik: 4 15 ; Karo: 1 10 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Kreuz'-'Kreuz' (P= 12 145 )
'Herz'-'Herz' (P= 3 29 )
'Pik'-'Pik' (P= 28 435 )
'Karo'-'Karo' (P= 1 145 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

12 145 + 3 29 + 28 435 + 1 145 = 112 435


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Ein Vater möchte seinen 3 Kindern Schokolade mitbringen. Für Markus sucht er dessen Lieblingssorte Vollmilch. Davon findet er im Supermarkt 9 verschiedene Marken. Für Torsten möchte er Nußschokolade kaufen. Dafür muss er sich zwischen 4 Marken entscheiden. Maries Lieblingssorte "weiße Schokolade" hat der Supermarkt von 5 Marken. Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt wie der Papa seine 3 Schokoladentafeln zusammenstellen kann.

Lösung einblenden

Für die Kategorie 'Vollmilch' gibt es 9 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 4 Möglichkeiten der Kategorie 'Nuss' kombinieren. Dies ergibt also 9 ⋅ 4 = 36 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 5 Möglichkeiten der Kategorie 'weiß' kombinieren, so dass sich insgesamt 9 ⋅ 4 ⋅ 5 = 180 Möglichkeiten ergeben.

Kombinatorik

Beispiel:

Es findet ein Staffellauf im Biathlon der Herren statt. Der Trainer muss 3 Starter und auch die Reihenfolge der Starter nennen. In seinem Team sind 9 geeignete Kandidaten.Wie viele Startmöglichkeiten gibt es?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede(r) Kandidat möglich. Es gibt also 9 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende Kandidat nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 8 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 7 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 504 Möglichkeiten.