Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 blaue, 2 grüne, 10 gelbe und 3 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 9 + 2 + 10 + 3=24

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= 9 24 = 3 8

grün: p= 2 24 = 1 12

gelb: p= 10 24 = 5 12

rot: p= 3 24 = 1 8

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3er-Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3er-Zahl' und 'nicht 3er-Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3er-Zahl": 1 3 ; "nicht 3er-Zahl": 2 3 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal 3er-Zahl' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein '3er-Zahl' bzw. 0 mal '3er-Zahl'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal '3er-Zahl')=1- 4 9 = 5 9

EreignisP
3er-Zahl -> 3er-Zahl 1 9
3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl 2 9
nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl 2 9
nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl 4 9

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3er-Zahl: 1 3 ; nicht 3er-Zahl: 2 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= 2 9 )
  • 'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= 2 9 )
  • '3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= 1 9 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 9 + 2 9 + 1 9 = 5 9


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine Zahl zu würfeln, die ein Teiler von 6 ist?

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EreignisP
Teiler -> Teiler 4 9
Teiler -> kein Teiler 2 9
kein Teiler -> Teiler 2 9
kein Teiler -> kein Teiler 1 9

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Teiler: 2 3 ; kein Teiler: 1 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'Teiler'-'Teiler' (P= 4 9 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

4 9 = 4 9


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 10 vom Typ Kreuz, 7 vom Typ Herz, 2 vom Typ Pik und 5 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden
EreignisP
Kreuz -> Kreuz 15 92
Kreuz -> Herz 35 276
Kreuz -> Pik 5 138
Kreuz -> Karo 25 276
Herz -> Kreuz 35 276
Herz -> Herz 7 92
Herz -> Pik 7 276
Herz -> Karo 35 552
Pik -> Kreuz 5 138
Pik -> Herz 7 276
Pik -> Pik 1 276
Pik -> Karo 5 276
Karo -> Kreuz 25 276
Karo -> Herz 35 552
Karo -> Pik 5 276
Karo -> Karo 5 138

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: 5 12 ; Herz: 7 24 ; Pik: 1 12 ; Karo: 5 24 ;

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'Kreuz'-'Kreuz' (P= 15 92 )
'Herz'-'Herz' (P= 7 92 )
'Pik'-'Pik' (P= 1 276 )
'Karo'-'Karo' (P= 5 138 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

15 92 + 7 92 + 1 276 + 5 138 = 77 276


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 18 ist?

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Da ja ausschließlich nach '9' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '9' und 'nicht 9'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"9": 1 5 ; "nicht 9": 4 5 ;

EreignisP
9 -> 9 1 45
9 -> nicht 9 8 45
nicht 9 -> 9 8 45
nicht 9 -> nicht 9 28 45

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 9: 1 5 ; nicht 9: 4 5 ;

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'9'-'9' (P= 1 45 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 45 = 1 45


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 3 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 7 2 6 4 5
= 1 7 2 2 5
= 4 35

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nur Summen

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 4 ist?

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EreignisP
1 -> 1 9 64
1 -> 2 3 32
1 -> 3 3 32
1 -> 4 3 64
2 -> 1 3 32
2 -> 2 1 16
2 -> 3 1 16
2 -> 4 1 32
3 -> 1 3 32
3 -> 2 1 16
3 -> 3 1 16
3 -> 4 1 32
4 -> 1 3 64
4 -> 2 1 32
4 -> 3 1 32
4 -> 4 1 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 3 8 ; 2: 1 4 ; 3: 1 4 ; 4: 1 8 ;

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  • '1'-'3' (P= 3 32 )
  • '3'-'1' (P= 3 32 )
  • '2'-'2' (P= 1 16 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 32 + 3 32 + 1 16 = 1 4


nur Summen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 10 ist?

Lösung einblenden
EreignisP
1 -> 1 1 36
1 -> 2 1 36
1 -> 3 1 36
1 -> 4 1 36
1 -> 5 1 36
1 -> 6 1 36
2 -> 1 1 36
2 -> 2 1 36
2 -> 3 1 36
2 -> 4 1 36
2 -> 5 1 36
2 -> 6 1 36
3 -> 1 1 36
3 -> 2 1 36
3 -> 3 1 36
3 -> 4 1 36
3 -> 5 1 36
3 -> 6 1 36
4 -> 1 1 36
4 -> 2 1 36
4 -> 3 1 36
4 -> 4 1 36
4 -> 5 1 36
4 -> 6 1 36
5 -> 1 1 36
5 -> 2 1 36
5 -> 3 1 36
5 -> 4 1 36
5 -> 5 1 36
5 -> 6 1 36
6 -> 1 1 36
6 -> 2 1 36
6 -> 3 1 36
6 -> 4 1 36
6 -> 5 1 36
6 -> 6 1 36

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 6 ; 2: 1 6 ; 3: 1 6 ; 4: 1 6 ; 5: 1 6 ; 6: 1 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '4'-'6' (P= 1 36 )
  • '6'-'4' (P= 1 36 )
  • '5'-'5' (P= 1 36 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 36 + 1 36 + 1 36 = 1 12


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

In einer Schule gibt es 3 achte Klassen. Für ein Projekt wird aus jeder Klasse je 1 Schüler ausgelost. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für solche Trios sind möglich, wenn in der 8a 27 Schüler, in der 8b 21 Schüler und in der in der 8c 24 Schüler hat.

Lösung einblenden

Für die Kategorie '8a' gibt es 27 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 21 Möglichkeiten der Kategorie '8b' kombinieren. Dies ergibt also 27 ⋅ 21 = 567 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 24 Möglichkeiten der Kategorie '8c' kombinieren, so dass sich insgesamt 27 ⋅ 21 ⋅ 24 = 13608 Möglichkeiten ergeben.

Kombinatorik

Beispiel:

Ein spezielles Zahlenschloss hat 4 Ringe mit jeweils 10 verschiedenen Zahlen drauf. Wie viele verschiedene Möglichkeiten kann man bei diesem Zahlenschloss einstellen?

Lösung einblenden

Bei jedem der 4 'Zufallsversuche' gibt es 10 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 4 Ebenen immer 10-fach verzweigt.

Es entstehen so also 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 104 = 10000 Möglichkeiten.