Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 7 Schülerinnen und Schüler den katholischen Religionsunterricht, 10 den evangelischen, und 3 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 7 + 10 + 3=20

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= $\frac{7}{20}$

ev: p= $\frac{10}{20}$ = $\frac{1}{2}$

Eth: p= $\frac{3}{20}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote, 4 gelbe, 4 blaue und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{4}{25}$
rot -> blau	$\frac{2}{25}$
rot -> gelb	$\frac{2}{25}$
rot -> schwarz	$\frac{2}{25}$
blau -> rot	$\frac{2}{25}$
blau -> blau	$\frac{1}{25}$
blau -> gelb	$\frac{1}{25}$
blau -> schwarz	$\frac{1}{25}$
gelb -> rot	$\frac{2}{25}$
gelb -> blau	$\frac{1}{25}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{25}$
gelb -> schwarz	$\frac{1}{25}$
schwarz -> rot	$\frac{2}{25}$
schwarz -> blau	$\frac{1}{25}$
schwarz -> gelb	$\frac{1}{25}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{2}{5}$ ; blau: $\frac{1}{5}$ ; gelb: $\frac{1}{5}$ ; schwarz: $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{2}{25}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{2}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{25}$ + $\frac{2}{25}$ = $\frac{4}{25}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette gibt es 18 rote, 18 scharze und ein grünes Feld (für die Null). Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal schwarz"?

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Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": $\frac{18}{37}$ ; "nicht schwarz": $\frac{19}{37}$ ;

Ereignis	P
schwarz -> schwarz	$\frac{324}{1369}$
schwarz -> nicht schwarz	$\frac{342}{1369}$
nicht schwarz -> schwarz	$\frac{342}{1369}$
nicht schwarz -> nicht schwarz	$\frac{361}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: schwarz: $\frac{18}{37}$ ; nicht schwarz: $\frac{19}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{324}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{324}{1369}$ = $\frac{324}{1369}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 7 vom Typ Kreuz, 3 vom Typ Herz, 4 vom Typ Pik und 6 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{21}{190}$
Kreuz -> Herz	$\frac{21}{380}$
Kreuz -> Pik	$\frac{7}{95}$
Kreuz -> Karo	$\frac{21}{190}$
Herz -> Kreuz	$\frac{21}{380}$
Herz -> Herz	$\frac{3}{190}$
Herz -> Pik	$\frac{3}{95}$
Herz -> Karo	$\frac{9}{190}$
Pik -> Kreuz	$\frac{7}{95}$
Pik -> Herz	$\frac{3}{95}$
Pik -> Pik	$\frac{3}{95}$
Pik -> Karo	$\frac{6}{95}$
Karo -> Kreuz	$\frac{21}{190}$
Karo -> Herz	$\frac{9}{190}$
Karo -> Pik	$\frac{6}{95}$
Karo -> Karo	$\frac{3}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: $\frac{7}{20}$ ; Herz: $\frac{3}{20}$ ; Pik: $\frac{1}{5}$ ; Karo: $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{21}{190}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{3}{190}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{3}{95}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{3}{38}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{190}$ + $\frac{3}{190}$ + $\frac{3}{95}$ + $\frac{3}{38}$ = $\frac{9}{38}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 5 vom Typ Kreuz, 5 vom Typ Herz, 2 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{2}{21}$
Kreuz -> Herz	$\frac{5}{42}$
Kreuz -> Pik	$\frac{1}{21}$
Kreuz -> Karo	$\frac{1}{14}$
Herz -> Kreuz	$\frac{5}{42}$
Herz -> Herz	$\frac{2}{21}$
Herz -> Pik	$\frac{1}{21}$
Herz -> Karo	$\frac{1}{14}$
Pik -> Kreuz	$\frac{1}{21}$
Pik -> Herz	$\frac{1}{21}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{105}$
Pik -> Karo	$\frac{1}{35}$
Karo -> Kreuz	$\frac{1}{14}$
Karo -> Herz	$\frac{1}{14}$
Karo -> Pik	$\frac{1}{35}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: $\frac{1}{3}$ ; Herz: $\frac{1}{3}$ ; Pik: $\frac{2}{15}$ ; Karo: $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{2}{21}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{2}{21}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{105}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{35}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{21}$ + $\frac{2}{21}$ + $\frac{1}{105}$ + $\frac{1}{35}$ = $\frac{8}{35}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 10 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{12}$ ⋅ $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{10}{10}$
= $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{5}{5}$
= $\frac{1}{66}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 17 ist?

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Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{2}{15}$
7 -> 8	$\frac{8}{45}$
7 -> 9	$\frac{4}{45}$
8 -> 7	$\frac{8}{45}$
8 -> 8	$\frac{2}{15}$
8 -> 9	$\frac{4}{45}$
9 -> 7	$\frac{4}{45}$
9 -> 8	$\frac{4}{45}$
9 -> 9	$\frac{1}{45}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 7: $\frac{2}{5}$ ; 8: $\frac{2}{5}$ ; 9: $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'8'-'9' (P= $\frac{4}{45}$ )
'9'-'8' (P= $\frac{4}{45}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{45}$ + $\frac{4}{45}$ = $\frac{8}{45}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Sandy möchte sich ein Outfit zusammenstellen. Dabei kann sie beim Oberteil zwischen einer Bluse, einem T-Shirt und einem Pullover wählen. Außerdem muss sie sich für eine ihrer 3 Hosen entscheiden. Für die Füße stehen ihr 6 Paar Schuhe zur Verfügung. Wie viele verschiedene Outfits kann sie sich mit diesen Kleidungsstücken zusammenkombinieren?

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Für die Kategorie 'Oberteile' gibt es 3 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 3 Möglichkeiten der Kategorie 'Hosen' kombinieren. Dies ergibt also 3 ⋅ 3 = 9 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 6 Möglichkeiten der Kategorie 'Schuhe' kombinieren, so dass sich insgesamt 3 ⋅ 3 ⋅ 6 = 54 Möglichkeiten ergeben.

Kombinatorik

Beispiel:

Eine bestimmte Variable soll im Computer mit 8 Bit abgespeichert werden. Ein Bit kann immer nur die Werte 0 und 1 annehmen. Wie viele Möglichkeiten gibt es die Variable mit verschiedenen Werten zu belegen?

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Bei jedem der 8 'Zufallsversuche' gibt es 2 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 8 Ebenen immer 2-fach verzweigt.

Es entstehen so also 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2⁸ = 256 Möglichkeiten.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik