Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Klasse bastelt für ihr Klassenfest ein Glückrad. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Sektoren.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wir können am Glücksrad entweder die Winkelweite abschätzen und diese dann durch 360° teilen oder direkt den Winkel-Anteil (als Vielfache von Halb-, Viertel- oder Achtels-Kreisen) ablesen:

blau: p= 5 8

grün: Man erkennt einen Viertelkreis => p= 1 4

gelb: Man erkennt einen halben Viertelkreis, also einen Achtelskreis => p= 1 8

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine 6 zu würfeln?

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EreignisP
6er -> 6er 1 36
6er -> keine_6 5 36
keine_6 -> 6er 5 36
keine_6 -> keine_6 25 36

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 6er: 1 6 ; keine_6: 5 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '6er'-'keine_6' (P= 5 36 )
  • 'keine_6'-'6er' (P= 5 36 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

5 36 + 5 36 = 5 18


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": 2 3 ; "nicht rot": 1 3 ;

EreignisP
rot -> rot -> rot 8 27
rot -> rot -> nicht rot 4 27
rot -> nicht rot -> rot 4 27
rot -> nicht rot -> nicht rot 2 27
nicht rot -> rot -> rot 4 27
nicht rot -> rot -> nicht rot 2 27
nicht rot -> nicht rot -> rot 2 27
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot 1 27

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 2 3 ; nicht rot: 1 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'rot'-'rot'-'nicht rot' (P= 4 27 )
  • 'rot'-'nicht rot'-'rot' (P= 4 27 )
  • 'nicht rot'-'rot'-'rot' (P= 4 27 )
  • 'rot'-'rot'-'rot' (P= 8 27 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

4 27 + 4 27 + 4 27 + 8 27 = 20 27


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal blau"?

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EreignisP
rot -> rot 7 15
rot -> blau 7 30
blau -> rot 7 30
blau -> blau 1 15

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 7 10 ; blau: 3 10 ;

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'rot'-'blau' (P= 7 30 )
'blau'-'rot' (P= 7 30 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

7 30 + 7 30 = 7 15


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 10 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

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EreignisP
1 -> 1 3 38
1 -> 2 3 19
1 -> 3 6 95
2 -> 1 3 19
2 -> 2 9 38
2 -> 3 2 19
3 -> 1 6 95
3 -> 2 2 19
3 -> 3 3 95

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 3 10 ; 2: 1 2 ; 3: 1 5 ;

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'1'-'2' (P= 3 19 )
'2'-'1' (P= 3 19 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 19 + 3 19 = 6 19


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 2 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 2 6 4 5
= 2 3 2 5
= 4 15

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nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 29 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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EreignisP
13 -> 13 15 77
13 -> 14 50 231
13 -> 15 10 231
14 -> 13 50 231
14 -> 14 15 77
14 -> 15 10 231
15 -> 13 10 231
15 -> 14 10 231
15 -> 15 1 231

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 13: 5 11 ; 14: 5 11 ; 15: 1 11 ;

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'14'-'15' (P= 10 231 )
'15'-'14' (P= 10 231 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

10 231 + 10 231 = 20 231


mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine Primzahl zu würfeln?

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EreignisP
prim -> prim 1 4
prim -> nicht prim 1 4
nicht prim -> prim 1 4
nicht prim -> nicht prim 1 4

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: prim: 1 2 ; nicht prim: 1 2 ;

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  • 'nicht prim'-'nicht prim' (P= 1 4 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 4 = 1 4


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine bestimmte Variable soll im Computer mit 8 Bit abgespeichert werden. Ein Bit kann immer nur die Werte 0 und 1 annehmen. Wie viele Möglichkeiten gibt es die Variable mit verschiedenen Werten zu belegen?

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Bei jedem der 8 'Zufallsversuche' gibt es 2 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 8 Ebenen immer 2-fach verzweigt.

Es entstehen so also 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 28 = 256 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Eine Mathelehrerin war bei 4 SchülerInnen ihrer Klasse mit den Ergebnissen der letzten Klassenarbeit nicht zufrieden. Deswegen möchte sie jetzt diese Schüler immer in kleinen Abfragen erneut überprüfen. Als sie sich eine Reihenfolge überlegen wollte, bemerkt sie, dass es dafür ja ziemlich viele Möglichkeiten gibt. Wie viele genau?

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Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 Möglichkeiten.