Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal Zahl und 2 mal Wappen"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Zahl")= $\frac{1}{2}$ ; P("Wappen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Zahl'-'Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Zahl'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Wappen'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{3}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine Zahl zu würfeln, die ein Teiler von 6 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Teiler -> Teiler	$\frac{4}{9}$
Teiler -> kein Teiler	$\frac{2}{9}$
kein Teiler -> Teiler	$\frac{2}{9}$
kein Teiler -> kein Teiler	$\frac{1}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Teiler")= $\frac{2}{3}$ ; P("kein Teiler")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Teiler'-'kein Teiler' (P= $\frac{2}{9}$ )
'kein Teiler'-'Teiler' (P= $\frac{2}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{9}$ + $\frac{2}{9}$ = $\frac{4}{9}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote, 7 blaue , 9 gelbe und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{92}$
rot -> blau	$\frac{7}{184}$
rot -> gelb	$\frac{9}{184}$
rot -> schwarz	$\frac{5}{184}$
blau -> rot	$\frac{7}{184}$
blau -> blau	$\frac{7}{92}$
blau -> gelb	$\frac{21}{184}$
blau -> schwarz	$\frac{35}{552}$
gelb -> rot	$\frac{9}{184}$
gelb -> blau	$\frac{21}{184}$
gelb -> gelb	$\frac{3}{23}$
gelb -> schwarz	$\frac{15}{184}$
schwarz -> rot	$\frac{5}{184}$
schwarz -> blau	$\frac{35}{552}$
schwarz -> gelb	$\frac{15}{184}$
schwarz -> schwarz	$\frac{5}{138}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{8}$ ; P("blau")= $\frac{7}{24}$ ; P("gelb")= $\frac{3}{8}$ ; P("schwarz")= $\frac{5}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{7}{184}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{7}{184}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{184}$ + $\frac{7}{184}$ = $\frac{7}{92}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 9 vom Typ Kreuz, 10 vom Typ Herz, 4 vom Typ Pik und 7 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{12}{145}$
Kreuz -> Herz	$\frac{3}{29}$
Kreuz -> Pik	$\frac{6}{145}$
Kreuz -> Karo	$\frac{21}{290}$
Herz -> Kreuz	$\frac{3}{29}$
Herz -> Herz	$\frac{3}{29}$
Herz -> Pik	$\frac{4}{87}$
Herz -> Karo	$\frac{7}{87}$
Pik -> Kreuz	$\frac{6}{145}$
Pik -> Herz	$\frac{4}{87}$
Pik -> Pik	$\frac{2}{145}$
Pik -> Karo	$\frac{14}{435}$
Karo -> Kreuz	$\frac{21}{290}$
Karo -> Herz	$\frac{7}{87}$
Karo -> Pik	$\frac{14}{435}$
Karo -> Karo	$\frac{7}{145}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{3}{10}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{3}$ ; P("Pik")= $\frac{2}{15}$ ; P("Karo")= $\frac{7}{30}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{12}{145}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{3}{29}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{2}{145}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{7}{145}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{12}{145}$ + $\frac{3}{29}$ + $\frac{2}{145}$ + $\frac{7}{145}$ = $\frac{36}{145}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

nur Summen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 6 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("4")= $\frac{1}{6}$ ; P("5")= $\frac{1}{6}$ ; P("6")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'5' (P= $\frac{1}{36}$ )
'5'-'1' (P= $\frac{1}{36}$ )
'2'-'4' (P= $\frac{1}{36}$ )
'4'-'2' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{5}{36}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine Primzahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Ereignis	P
prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht prim")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'nicht prim'-'nicht prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{8}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

mit Zurücklegen (einfach)