Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente
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Zufallsexperiment (einstufig)
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wir können am Glücksrad entweder die Winkelweite abschätzen und diese dann durch 360° teilen oder direkt den Winkel-Anteil (als Vielfache von Halb-, Viertel- oder Achtels-Kreisen) ablesen:
blau: Man erkennt einen Halbkreis => p=
grün: Man erkennt einen Kreisausschnitt, der so groß ist wie ein Viertelskreis zusammen mit einem Achtelskreis => p=
gelb: Man erkennt einen halben Viertelkreis, also einen Achtelskreis => p=
mit Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
In einer Urne sind 10 rote, 6 gelbe, 2 blaue und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal schwarz"?
Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": ; "nicht schwarz": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'schwarz'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(2 mal 'schwarz')=1- =
| Ereignis | P |
|---|---|
| schwarz -> schwarz | |
| schwarz -> nicht schwarz | |
| nicht schwarz -> schwarz | |
| nicht schwarz -> nicht schwarz |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: schwarz: ; nicht schwarz: ;
Die relevanten Pfade sind:- 'schwarz'-'nicht schwarz' (P=)
- 'nicht schwarz'-'schwarz' (P=)
- 'nicht schwarz'-'nicht schwarz' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
Beim Roulette gibt es 18 rote, 18 scharze und ein grünes Feld (für die Null). Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal grün"?
Da ja ausschließlich nach 'grün' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'grün' und 'nicht grün'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"grün": ; "nicht grün": ;
| Ereignis | P |
|---|---|
| grün -> grün | |
| grün -> nicht grün | |
| nicht grün -> grün | |
| nicht grün -> nicht grün |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: grün: ; nicht grün: ;
Die relevanten Pfade sind:- 'grün'-'grün' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
ohne Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 4 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "mindestens 1 mal Dame"?
Da ja ausschließlich nach 'Dame' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Dame' und 'nicht Dame'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Dame": ; "nicht Dame": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Dame' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Dame' bzw. 0 mal 'Dame'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(0 mal 'Dame')=1- =
| Ereignis | P |
|---|---|
| Dame -> Dame | |
| Dame -> nicht Dame | |
| nicht Dame -> Dame | |
| nicht Dame -> nicht Dame |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Dame: ; nicht Dame: ;
Die relevanten Pfade sind:
'Dame'-'nicht Dame' (P=)
'nicht Dame'-'Dame' (P=)
'Dame'-'Dame' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 6 vom Typ Kreuz, 10 vom Typ Herz, 10 vom Typ Pik und 4 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?
| Ereignis | P |
|---|---|
| Kreuz -> Kreuz | |
| Kreuz -> Herz | |
| Kreuz -> Pik | |
| Kreuz -> Karo | |
| Herz -> Kreuz | |
| Herz -> Herz | |
| Herz -> Pik | |
| Herz -> Karo | |
| Pik -> Kreuz | |
| Pik -> Herz | |
| Pik -> Pik | |
| Pik -> Karo | |
| Karo -> Kreuz | |
| Karo -> Herz | |
| Karo -> Pik | |
| Karo -> Karo |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: ; Herz: ; Pik: ; Karo: ;
Die relevanten Pfade sind:
'Kreuz'-'Kreuz' (P=)
'Herz'-'Herz' (P=)
'Pik'-'Pik' (P=)
'Karo'-'Karo' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + =
Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
Aus einem Kartenstapel mit 10 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
nur Summen
Beispiel:
In einer Urne sind 6 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 7 kugel mit einer 2 und 7 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 6 ist?
Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": ; "nicht 3": ;
| Ereignis | P |
|---|---|
| 3 -> 3 | |
| 3 -> nicht 3 | |
| nicht 3 -> 3 | |
| nicht 3 -> nicht 3 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3: ; nicht 3: ;
Die relevanten Pfade sind:
'3'-'3' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 8 vom Typ rot und 4 vom Typ blau. Es wird 3 mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?
| Ereignis | P |
|---|---|
| rot -> rot -> rot | |
| rot -> rot -> blau | |
| rot -> blau -> rot | |
| rot -> blau -> blau | |
| blau -> rot -> rot | |
| blau -> rot -> blau | |
| blau -> blau -> rot | |
| blau -> blau -> blau |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: ; blau: ;
Die relevanten Pfade sind:- 'rot'-'rot'-'rot' (P=)
- 'blau'-'blau'-'blau' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ =
Kombinatorik (ohne Binom.)
Beispiel:
Ein Vater möchte seinen 3 Kindern Schokolade mitbringen. Für Markus sucht er dessen Lieblingssorte Vollmilch. Davon findet er im Supermarkt 5 verschiedene Marken. Für Torsten möchte er Nußschokolade kaufen. Dafür muss er sich zwischen 3 Marken entscheiden. Maries Lieblingssorte "weiße Schokolade" hat der Supermarkt von 7 Marken. Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt wie der Papa seine 3 Schokoladentafeln zusammenstellen kann.
Für die Kategorie 'Vollmilch' gibt es 5 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 3 Möglichkeiten der Kategorie 'Nuss' kombinieren. Dies ergibt also 5 ⋅ 3 = 15 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 7 Möglichkeiten der Kategorie 'weiß' kombinieren, so dass sich insgesamt 5 ⋅ 3 ⋅ 7 = 105 Möglichkeiten ergeben.
Kombinatorik
Beispiel:
Petra hat sich ein 8-stelliges Passwort erstellt. Als sie eine Woche später das Passwort wieder braucht, erinnert sie sich nur noch, dass jede der Zahlen zwischen 1 und 8 genau einmal vorkam. Wie viele verschiedene Passwörter können es dann noch sein?
Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:
also 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 40320 Möglichkeiten.
