Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 10 Schülerinnen und Schüler den katholischen Religionsunterricht, 3 den evangelischen, und 7 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 10 + 3 + 7=20

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= $\frac{10}{20}$ = $\frac{1}{2}$

ev: p= $\frac{3}{20}$

Eth: p= $\frac{7}{20}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote, 5 gelbe, 7 blaue und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{7}{24}$ ; "nicht blau": $\frac{17}{24}$ ;

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{49}{576}$
blau -> nicht blau	$\frac{119}{576}$
nicht blau -> blau	$\frac{119}{576}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{289}{576}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: blau: $\frac{7}{24}$ ; nicht blau: $\frac{17}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'blau' (P= $\frac{49}{576}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{49}{576}$ = $\frac{49}{576}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{3}{5}$ ; "nicht rot": $\frac{2}{5}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{27}{125}$
rot -> rot -> nicht rot	$\frac{18}{125}$
rot -> nicht rot -> rot	$\frac{18}{125}$
rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{12}{125}$
nicht rot -> rot -> rot	$\frac{18}{125}$
nicht rot -> rot -> nicht rot	$\frac{12}{125}$
nicht rot -> nicht rot -> rot	$\frac{12}{125}$
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{8}{125}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{3}{5}$ ; nicht rot: $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{18}{125}$ )
'rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{18}{125}$ )
'nicht rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{18}{125}$ )
'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{27}{125}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{18}{125}$ + $\frac{18}{125}$ + $\frac{18}{125}$ + $\frac{27}{125}$ = $\frac{81}{125}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 4 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 2 mal Ass"?

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Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": $\frac{1}{4}$ ; "nicht Ass": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{1}{28}$
Ass -> nicht Ass	$\frac{3}{14}$
nicht Ass -> Ass	$\frac{3}{14}$
nicht Ass -> nicht Ass	$\frac{15}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Ass: $\frac{1}{4}$ ; nicht Ass: $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'Ass' (P= $\frac{1}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{28}$ = $\frac{1}{28}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 5 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 4 Kugeln mit einer Zwei, 10 mit Drei und 5 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 5 ergeben?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{5}{138}$
1 -> 2	$\frac{5}{138}$
1 -> 3	$\frac{25}{276}$
1 -> 4	$\frac{25}{552}$
2 -> 1	$\frac{5}{138}$
2 -> 2	$\frac{1}{46}$
2 -> 3	$\frac{5}{69}$
2 -> 4	$\frac{5}{138}$
3 -> 1	$\frac{25}{276}$
3 -> 2	$\frac{5}{69}$
3 -> 3	$\frac{15}{92}$
3 -> 4	$\frac{25}{276}$
4 -> 1	$\frac{25}{552}$
4 -> 2	$\frac{5}{138}$
4 -> 3	$\frac{25}{276}$
4 -> 4	$\frac{5}{138}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{5}{24}$ ; 2: $\frac{1}{6}$ ; 3: $\frac{5}{12}$ ; 4: $\frac{5}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'4' (P= $\frac{25}{552}$ )
'4'-'1' (P= $\frac{25}{552}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{5}{69}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{5}{69}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{25}{552}$ + $\frac{25}{552}$ + $\frac{5}{69}$ + $\frac{5}{69}$ = $\frac{65}{276}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 4. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{11}$ ⋅ $\frac{3}{10}$ ⋅ $\frac{2}{9}$ ⋅ $\frac{7}{8}$
= $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{7}{2}$
= $\frac{7}{330}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 5 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 5 kugel mit einer 2 und 5 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{2}{21}$
1 -> 2	$\frac{5}{42}$
1 -> 3	$\frac{5}{42}$
2 -> 1	$\frac{5}{42}$
2 -> 2	$\frac{2}{21}$
2 -> 3	$\frac{5}{42}$
3 -> 1	$\frac{5}{42}$
3 -> 2	$\frac{5}{42}$
3 -> 3	$\frac{2}{21}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{1}{3}$ ; 2: $\frac{1}{3}$ ; 3: $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{5}{42}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{5}{42}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{42}$ + $\frac{5}{42}$ = $\frac{5}{21}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 5 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 4.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{9}$ ⋅ $\frac{3}{8}$ ⋅ $\frac{2}{7}$ ⋅ $\frac{5}{6}$
= $\frac{1}{3}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{5}{6}$
= $\frac{5}{126}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

In einer Schule gibt es 3 achte Klassen. Für ein Projekt wird aus jeder Klasse je 1 Schüler ausgelost. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für solche Trios sind möglich, wenn in der 8a 24 Schüler, in der 8b 27 Schüler und in der in der 8c 27 Schüler hat.

Lösung einblenden

Für die Kategorie '8a' gibt es 24 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 27 Möglichkeiten der Kategorie '8b' kombinieren. Dies ergibt also 24 ⋅ 27 = 648 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 27 Möglichkeiten der Kategorie '8c' kombinieren, so dass sich insgesamt 24 ⋅ 27 ⋅ 27 = 17496 Möglichkeiten ergeben.

Kombinatorik

Beispiel:

Petra hat sich ein 7-stelliges Passwort erstellt. Als sie eine Woche später das Passwort wieder braucht, erinnert sie sich nur noch, dass jede der Zahlen zwischen 1 und 7 genau einmal vorkam. Wie viele verschiedene Passwörter können es dann noch sein?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 7 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 6 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 5 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 5040 Möglichkeiten.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik