Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 6 Schülerinnen und Schüler den katholischen Religionsunterricht, 10 den evangelischen, und 4 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 6 + 10 + 4=20

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= $\frac{6}{20}$ = $\frac{3}{10}$

ev: p= $\frac{10}{20}$ = $\frac{1}{2}$

Eth: p= $\frac{4}{20}$ = $\frac{1}{5}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 3 mal eine Primzahl zu würfeln?

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Ereignis	P
prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: prim: $\frac{1}{2}$ ; nicht prim: $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'prim'-'prim'-'prim' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine Zahl zu würfeln, die ein Teiler von 6 ist?

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Ereignis	P
Teiler -> Teiler	$\frac{4}{9}$
Teiler -> kein Teiler	$\frac{2}{9}$
kein Teiler -> Teiler	$\frac{2}{9}$
kein Teiler -> kein Teiler	$\frac{1}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Teiler: $\frac{2}{3}$ ; kein Teiler: $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'kein Teiler'-'kein Teiler' (P= $\frac{1}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{9}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 10 vom Typ Kreuz, 6 vom Typ Herz, 4 vom Typ Pik und 4 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{15}{92}$
Kreuz -> Herz	$\frac{5}{46}$
Kreuz -> Pik	$\frac{5}{69}$
Kreuz -> Karo	$\frac{5}{69}$
Herz -> Kreuz	$\frac{5}{46}$
Herz -> Herz	$\frac{5}{92}$
Herz -> Pik	$\frac{1}{23}$
Herz -> Karo	$\frac{1}{23}$
Pik -> Kreuz	$\frac{5}{69}$
Pik -> Herz	$\frac{1}{23}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{46}$
Pik -> Karo	$\frac{2}{69}$
Karo -> Kreuz	$\frac{5}{69}$
Karo -> Herz	$\frac{1}{23}$
Karo -> Pik	$\frac{2}{69}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{46}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: $\frac{5}{12}$ ; Herz: $\frac{1}{4}$ ; Pik: $\frac{1}{6}$ ; Karo: $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{15}{92}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{5}{92}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{46}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{46}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{92}$ + $\frac{5}{92}$ + $\frac{1}{46}$ + $\frac{1}{46}$ = $\frac{6}{23}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 9 Karten der Farbe Kreuz, 7 der Farbe Pik, 3 der Farbe Herz und 5 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal Kreuz und 1 mal Pik"?

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{3}{23}$
Kreuz -> Pik	$\frac{21}{184}$
Kreuz -> Herz	$\frac{9}{184}$
Kreuz -> Karo	$\frac{15}{184}$
Pik -> Kreuz	$\frac{21}{184}$
Pik -> Pik	$\frac{7}{92}$
Pik -> Herz	$\frac{7}{184}$
Pik -> Karo	$\frac{35}{552}$
Herz -> Kreuz	$\frac{9}{184}$
Herz -> Pik	$\frac{7}{184}$
Herz -> Herz	$\frac{1}{92}$
Herz -> Karo	$\frac{5}{184}$
Karo -> Kreuz	$\frac{15}{184}$
Karo -> Pik	$\frac{35}{552}$
Karo -> Herz	$\frac{5}{184}$
Karo -> Karo	$\frac{5}{138}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: $\frac{3}{8}$ ; Pik: $\frac{7}{24}$ ; Herz: $\frac{1}{8}$ ; Karo: $\frac{5}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Pik' (P= $\frac{21}{184}$ )
'Pik'-'Kreuz' (P= $\frac{21}{184}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{184}$ + $\frac{21}{184}$ = $\frac{21}{92}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 3 2er und 3 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 5 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{4}{25}$
1 -> 2	$\frac{3}{25}$
1 -> 3	$\frac{3}{25}$
2 -> 1	$\frac{3}{25}$
2 -> 2	$\frac{9}{100}$
2 -> 3	$\frac{9}{100}$
3 -> 1	$\frac{3}{25}$
3 -> 2	$\frac{9}{100}$
3 -> 3	$\frac{9}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{2}{5}$ ; 2: $\frac{3}{10}$ ; 3: $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{9}{100}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{9}{100}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{100}$ + $\frac{9}{100}$ = $\frac{9}{50}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 21 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{24}$ ⋅ $\frac{2}{23}$ ⋅ $\frac{21}{22}$
= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{23}$ ⋅ $\frac{7}{22}$
= $\frac{21}{2024}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine Mathelehrerin war bei 4 SchülerInnen ihrer Klasse mit den Ergebnissen der letzten Klassenarbeit nicht zufrieden. Deswegen möchte sie jetzt diese Schüler immer in kleinen Abfragen erneut überprüfen. Als sie sich eine Reihenfolge überlegen wollte, bemerkt sie, dass es dafür ja ziemlich viele Möglichkeiten gibt. Wie viele genau?

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Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Eine Mathelehrerin verlost unter den 6 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, 3 Matherätsel-Knobelbücher. Natürlich kann jeder höchstens eins bekommen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die 3er-Gruppe der glücklichen Gewinner?

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Für die erste Stelle ist jede(r/s) SchülerIn möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die/das an erster Stelle stehende SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 4 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120 Möglichkeiten, die 6 Möglichkeiten (SchülerIn) auf die 3 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen wurde. Also wären zum Beispiel Anton-Berta-Caesar und Berta-Caesar-Anton zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welche Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 120 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{120}{6}$ = 20 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 6 Elementen (SchülerIn) gebildet werden.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik