Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 8 Asse, 3 Könige, 7 Damen, und 6 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 8 + 3 + 7 + 6=24

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= $\frac{8}{24}$ = $\frac{1}{3}$

König: p= $\frac{3}{24}$ = $\frac{1}{8}$

Dame: p= $\frac{7}{24}$

Bube: p= $\frac{6}{24}$ = $\frac{1}{4}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal Zahl"?

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Ereignis	P
Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Zahl: $\frac{1}{2}$ ; Wappen: $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Zahl'-'Zahl'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Zahl'-'Wappen'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{3}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote und 5 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{2}{3}$ ; "nicht rot": $\frac{1}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- $\frac{1}{27}$ = $\frac{26}{27}$

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{8}{27}$
rot -> rot -> nicht rot	$\frac{4}{27}$
rot -> nicht rot -> rot	$\frac{4}{27}$
rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{2}{27}$
nicht rot -> rot -> rot	$\frac{4}{27}$
nicht rot -> rot -> nicht rot	$\frac{2}{27}$
nicht rot -> nicht rot -> rot	$\frac{2}{27}$
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{1}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{2}{3}$ ; nicht rot: $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot'-'nicht rot' (P= $\frac{2}{27}$ )
'nicht rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{2}{27}$ )
'nicht rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{2}{27}$ )
'rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{4}{27}$ )
'rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{4}{27}$ )
'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{8}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{8}{27}$ = $\frac{26}{27}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{4}$ ; "nicht blau": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'blau')=1- $\frac{1}{22}$ = $\frac{21}{22}$

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{1}{22}$
blau -> nicht blau	$\frac{9}{44}$
nicht blau -> blau	$\frac{9}{44}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{6}{11}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: blau: $\frac{1}{4}$ ; nicht blau: $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{9}{44}$ )
'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{9}{44}$ )
'nicht blau'-'nicht blau' (P= $\frac{6}{11}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{44}$ + $\frac{9}{44}$ + $\frac{6}{11}$ = $\frac{21}{22}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 6 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 7 Kugeln mit einer Zwei, 2 mit Drei und 5 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 7 ergeben?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{3}{38}$
1 -> 2	$\frac{21}{190}$
1 -> 3	$\frac{3}{95}$
1 -> 4	$\frac{3}{38}$
2 -> 1	$\frac{21}{190}$
2 -> 2	$\frac{21}{190}$
2 -> 3	$\frac{7}{190}$
2 -> 4	$\frac{7}{76}$
3 -> 1	$\frac{3}{95}$
3 -> 2	$\frac{7}{190}$
3 -> 3	$\frac{1}{190}$
3 -> 4	$\frac{1}{38}$
4 -> 1	$\frac{3}{38}$
4 -> 2	$\frac{7}{76}$
4 -> 3	$\frac{1}{38}$
4 -> 4	$\frac{1}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{3}{10}$ ; 2: $\frac{7}{20}$ ; 3: $\frac{1}{10}$ ; 4: $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'4' (P= $\frac{1}{38}$ )
'4'-'3' (P= $\frac{1}{38}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{38}$ + $\frac{1}{38}$ = $\frac{1}{19}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 7 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{9}$ ⋅ $\frac{1}{8}$ ⋅ $\frac{7}{7}$
= $\frac{1}{9}$ ⋅ $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{7}{7}$
= $\frac{1}{36}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 3 2er und 3 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 6 ist?

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Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{1}{4}$ ; "nicht 3": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{1}{16}$
3 -> nicht 3	$\frac{3}{16}$
nicht 3 -> 3	$\frac{3}{16}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{9}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3: $\frac{1}{4}$ ; nicht 3: $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{16}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 5 vom Typ Kreuz, 8 vom Typ Herz, 8 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{5}{138}$
Kreuz -> Herz	$\frac{5}{69}$
Kreuz -> Pik	$\frac{5}{69}$
Kreuz -> Karo	$\frac{5}{184}$
Herz -> Kreuz	$\frac{5}{69}$
Herz -> Herz	$\frac{7}{69}$
Herz -> Pik	$\frac{8}{69}$
Herz -> Karo	$\frac{1}{23}$
Pik -> Kreuz	$\frac{5}{69}$
Pik -> Herz	$\frac{8}{69}$
Pik -> Pik	$\frac{7}{69}$
Pik -> Karo	$\frac{1}{23}$
Karo -> Kreuz	$\frac{5}{184}$
Karo -> Herz	$\frac{1}{23}$
Karo -> Pik	$\frac{1}{23}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: $\frac{5}{24}$ ; Herz: $\frac{1}{3}$ ; Pik: $\frac{1}{3}$ ; Karo: $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{5}{138}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{7}{69}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{7}{69}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{138}$ + $\frac{7}{69}$ + $\frac{7}{69}$ + $\frac{1}{92}$ = $\frac{1}{4}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine 3-stellige Zahl soll gewürfelt werden. Dabei wird einfach 3 mal mit einem normalen Würfel gewürfelt und die erwürfelten Zahlen hintereinander geschrieben. Wie viele verschiedene Zahlen können so gewürfelt werden

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Bei jedem der 3 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 3 Ebenen immer 6-fach verzweigt.

Es entstehen so also 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 6³ = 216 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Eine 3-stellige Zahl soll gewürfelt werden. Dabei wird einfach 3 mal mit einem normalen Würfel gewürfelt und die erwürfelten Zahlen hintereinander geschrieben. Wie viele verschiedene Zahlen können so gewürfelt werden.

Lösung einblenden

Bei jedem der 3 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 3 Ebenen immer 6-fach verzweigt.

Es entstehen so also 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 6³ = 216 Möglichkeiten.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'blau')=1- 1 22 = 21 22

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

ohne Zurücklegen (einfach)

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik

P=1-P(2 mal 'blau')=1- $\frac{1}{22}$ = $\frac{21}{22}$