Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 2 Schülerinnen und Schüler den katholischen Religionsunterricht, 5 den evangelischen, und 3 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 2 + 5 + 3=10

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= $\frac{2}{10}$ = $\frac{1}{5}$

ev: p= $\frac{5}{10}$ = $\frac{1}{2}$

Eth: p= $\frac{3}{10}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine Primzahl zu würfeln?

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Ereignis	P
prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: prim: $\frac{1}{2}$ ; nicht prim: $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'nicht prim'-'nicht prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine Zahl zu würfeln, die ein Teiler von 6 ist?

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Ereignis	P
Teiler -> Teiler	$\frac{4}{9}$
Teiler -> kein Teiler	$\frac{2}{9}$
kein Teiler -> Teiler	$\frac{2}{9}$
kein Teiler -> kein Teiler	$\frac{1}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Teiler: $\frac{2}{3}$ ; kein Teiler: $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Teiler'-'Teiler' (P= $\frac{4}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{9}$ = $\frac{4}{9}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 3 Schüler mit NWT-Profil, 6 Schüler mit sprachlichem Profil, 8 Schüler mit Musik-Profil und 3 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 2 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{3}{20}$ ; "nicht NWT": $\frac{17}{20}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{3}{190}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{51}{380}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{51}{380}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{68}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: NWT: $\frac{3}{20}$ ; nicht NWT: $\frac{17}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'NWT' (P= $\frac{3}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{190}$ = $\frac{3}{190}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 8 Karten der Farbe Kreuz, 8 der Farbe Pik, 6 der Farbe Herz und 3 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal Karo"?

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Da ja ausschließlich nach 'Karo' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Karo' und 'nicht Karo'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Karo": $\frac{3}{25}$ ; "nicht Karo": $\frac{22}{25}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Karo' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Karo' bzw. 0 mal 'Karo'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Karo')=1- $\frac{77}{100}$ = $\frac{23}{100}$

Ereignis	P
Karo -> Karo	$\frac{1}{100}$
Karo -> nicht Karo	$\frac{11}{100}$
nicht Karo -> Karo	$\frac{11}{100}$
nicht Karo -> nicht Karo	$\frac{77}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Karo: $\frac{3}{25}$ ; nicht Karo: $\frac{22}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Karo'-'nicht Karo' (P= $\frac{11}{100}$ )
'nicht Karo'-'Karo' (P= $\frac{11}{100}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{100}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{11}{100}$ + $\frac{11}{100}$ + $\frac{1}{100}$ = $\frac{23}{100}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 11 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 5. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{15}$ ⋅ $\frac{3}{14}$ ⋅ $\frac{2}{13}$ ⋅ $\frac{1}{12}$ ⋅ $\frac{11}{11}$
= $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{11}{11}$
= $\frac{1}{1365}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 3 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{25}{64}$
1 -> 2	$\frac{5}{64}$
1 -> 3	$\frac{5}{64}$
1 -> 4	$\frac{5}{64}$
2 -> 1	$\frac{5}{64}$
2 -> 2	$\frac{1}{64}$
2 -> 3	$\frac{1}{64}$
2 -> 4	$\frac{1}{64}$
3 -> 1	$\frac{5}{64}$
3 -> 2	$\frac{1}{64}$
3 -> 3	$\frac{1}{64}$
3 -> 4	$\frac{1}{64}$
4 -> 1	$\frac{5}{64}$
4 -> 2	$\frac{1}{64}$
4 -> 3	$\frac{1}{64}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{5}{8}$ ; 2: $\frac{1}{8}$ ; 3: $\frac{1}{8}$ ; 4: $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{5}{64}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{5}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{64}$ + $\frac{5}{64}$ = $\frac{5}{32}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 5 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 6 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 3 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{9}$
1 -> 2	$\frac{2}{15}$
1 -> 3	$\frac{4}{45}$
2 -> 1	$\frac{2}{15}$
2 -> 2	$\frac{4}{25}$
2 -> 3	$\frac{8}{75}$
3 -> 1	$\frac{4}{45}$
3 -> 2	$\frac{8}{75}$
3 -> 3	$\frac{16}{225}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{1}{3}$ ; 2: $\frac{2}{5}$ ; 3: $\frac{4}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{2}{15}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{2}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{15}$ + $\frac{2}{15}$ = $\frac{4}{15}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine bestimmte Variable soll im Computer mit 7 Bit abgespeichert werden. Ein Bit kann immer nur die Werte 0 und 1 annehmen. Wie viele Möglichkeiten gibt es die Variable mit verschiedenen Werten zu belegen?

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Bei jedem der 7 'Zufallsversuche' gibt es 2 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 7 Ebenen immer 2-fach verzweigt.

Es entstehen so also 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2⁷ = 128 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Ein spezielles Zahlenschloss hat 5 Ringe mit jeweils 6 verschiedenen Zahlen drauf. Wie viele verschiedene Möglichkeiten kann man bei diesem Zahlenschloss einstellen?

Lösung einblenden

Bei jedem der 5 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 5 Ebenen immer 6-fach verzweigt.

Es entstehen so also 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 6⁵ = 7776 Möglichkeiten.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen mit Zurücklegen

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik