Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 6 blaue, 2 grüne, 7 gelbe und 5 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 6 + 2 + 7 + 5=20

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= 6 20 = 3 10

grün: p= 2 20 = 1 10

gelb: p= 7 20

rot: p= 5 20 = 1 4

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal Wappen"?

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EreignisP
Zahl -> Zahl -> Zahl 1 8
Zahl -> Zahl -> Wappen 1 8
Zahl -> Wappen -> Zahl 1 8
Zahl -> Wappen -> Wappen 1 8
Wappen -> Zahl -> Zahl 1 8
Wappen -> Zahl -> Wappen 1 8
Wappen -> Wappen -> Zahl 1 8
Wappen -> Wappen -> Wappen 1 8

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Zahl: 1 2 ; Wappen: 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'Zahl'-'Zahl'-'Wappen' (P= 1 8 )
  • 'Zahl'-'Wappen'-'Zahl' (P= 1 8 )
  • 'Wappen'-'Zahl'-'Zahl' (P= 1 8 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 8 + 1 8 + 1 8 = 3 8


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 7 vom Typ rot und 3 vom Typ blau. Es wird 3 mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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EreignisP
rot -> rot -> rot 343 1000
rot -> rot -> blau 147 1000
rot -> blau -> rot 147 1000
rot -> blau -> blau 63 1000
blau -> rot -> rot 147 1000
blau -> rot -> blau 63 1000
blau -> blau -> rot 63 1000
blau -> blau -> blau 27 1000

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 7 10 ; blau: 3 10 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'rot'-'rot'-'rot' (P= 343 1000 )
  • 'blau'-'blau'-'blau' (P= 27 1000 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

343 1000 + 27 1000 = 37 100


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 3 vom Typ Kreuz, 4 vom Typ Herz, 2 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

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EreignisP
Kreuz -> Kreuz 1 22
Kreuz -> Herz 1 11
Kreuz -> Pik 1 22
Kreuz -> Karo 3 44
Herz -> Kreuz 1 11
Herz -> Herz 1 11
Herz -> Pik 2 33
Herz -> Karo 1 11
Pik -> Kreuz 1 22
Pik -> Herz 2 33
Pik -> Pik 1 66
Pik -> Karo 1 22
Karo -> Kreuz 3 44
Karo -> Herz 1 11
Karo -> Pik 1 22
Karo -> Karo 1 22

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: 1 4 ; Herz: 1 3 ; Pik: 1 6 ; Karo: 1 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Kreuz'-'Kreuz' (P= 1 22 )
'Herz'-'Herz' (P= 1 11 )
'Pik'-'Pik' (P= 1 66 )
'Karo'-'Karo' (P= 1 22 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 22 + 1 11 + 1 66 + 1 22 = 13 66


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften genau 2 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

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EreignisP
deutsch -> deutsch -> deutsch 1 140
deutsch -> deutsch -> andere 3 70
deutsch -> andere -> deutsch 3 70
deutsch -> andere -> andere 11 70
andere -> deutsch -> deutsch 3 70
andere -> deutsch -> andere 11 70
andere -> andere -> deutsch 11 70
andere -> andere -> andere 11 28

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: deutsch: 1 4 ; andere: 3 4 ;

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'deutsch'-'deutsch'-'andere' (P= 3 70 )
'deutsch'-'andere'-'deutsch' (P= 3 70 )
'andere'-'deutsch'-'deutsch' (P= 3 70 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 70 + 3 70 + 3 70 = 9 70


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 6 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 2 8 1 7 6 6
= 1 4 1 7 3 3
= 1 28

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nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 18 ist?

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Da ja ausschließlich nach '9' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '9' und 'nicht 9'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"9": 1 2 ; "nicht 9": 1 2 ;

EreignisP
9 -> 9 3 14
9 -> nicht 9 2 7
nicht 9 -> 9 2 7
nicht 9 -> nicht 9 3 14

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 9: 1 2 ; nicht 9: 1 2 ;

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'9'-'9' (P= 3 14 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 14 = 3 14


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 5 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 8 2 7 5 6
= 1 4 1 7 5 2
= 5 56

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Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

In einer Schule gibt es 3 achte Klassen. Für ein Projekt wird aus jeder Klasse je 1 Schüler ausgelost. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für solche Trios sind möglich, wenn in der 8a 21 Schüler, in der 8b 27 Schüler und in der in der 8c 24 Schüler hat.

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Für die Kategorie '8a' gibt es 21 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 27 Möglichkeiten der Kategorie '8b' kombinieren. Dies ergibt also 21 ⋅ 27 = 567 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 24 Möglichkeiten der Kategorie '8c' kombinieren, so dass sich insgesamt 21 ⋅ 27 ⋅ 24 = 13608 Möglichkeiten ergeben.

Kombinatorik

Beispiel:

Sandy möchte sich ein Outfit zusammenstellen. Dabei kann sie beim Oberteil zwischen einer Bluse, einem T-Shirt und einem Pullover wählen. Außerdem muss sie sich für eine ihrer 3 Hosen entscheiden. Für die Füße stehen ihr 8 Paar Schuhe zur Verfügung. Wie viele verschiedene Outfits kann sie sich mit diesen Kleidungsstücken zusammenkombinieren?

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Für die Kategorie 'Oberteile' gibt es 3 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 3 Möglichkeiten der Kategorie 'Hosen' kombinieren. Dies ergibt also 3 ⋅ 3 = 9 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 8 Möglichkeiten der Kategorie 'Schuhe' kombinieren, so dass sich insgesamt 3 ⋅ 3 ⋅ 8 = 72 Möglichkeiten ergeben.