Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 10 blaue, 10 grüne, 2 gelbe und 3 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 10 + 10 + 2 + 3=25

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= $\frac{10}{25}$ = $\frac{2}{5}$

grün: p= $\frac{10}{25}$ = $\frac{2}{5}$

gelb: p= $\frac{2}{25}$

rot: p= $\frac{3}{25}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote, 5 gelbe, 3 blaue und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": $\frac{1}{5}$ ; "nicht schwarz": $\frac{4}{5}$ ;

Ereignis	P
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{25}$
schwarz -> nicht schwarz	$\frac{4}{25}$
nicht schwarz -> schwarz	$\frac{4}{25}$
nicht schwarz -> nicht schwarz	$\frac{16}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: schwarz: $\frac{1}{5}$ ; nicht schwarz: $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{1}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{25}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 2 mal eine 6 zu würfeln?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '6er' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '6er' und 'nicht 6er'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"6er": $\frac{1}{6}$ ; "nicht 6er": $\frac{5}{6}$ ;

Ereignis	P
6er -> 6er -> 6er	$\frac{1}{216}$
6er -> 6er -> nicht 6er	$\frac{5}{216}$
6er -> nicht 6er -> 6er	$\frac{5}{216}$
6er -> nicht 6er -> nicht 6er	$\frac{25}{216}$
nicht 6er -> 6er -> 6er	$\frac{5}{216}$
nicht 6er -> 6er -> nicht 6er	$\frac{25}{216}$
nicht 6er -> nicht 6er -> 6er	$\frac{25}{216}$
nicht 6er -> nicht 6er -> nicht 6er	$\frac{125}{216}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 6er: $\frac{1}{6}$ ; nicht 6er: $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'6er'-'6er'-'nicht 6er' (P= $\frac{5}{216}$ )
'6er'-'nicht 6er'-'6er' (P= $\frac{5}{216}$ )
'nicht 6er'-'6er'-'6er' (P= $\frac{5}{216}$ )
'6er'-'6er'-'6er' (P= $\frac{1}{216}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{216}$ + $\frac{5}{216}$ + $\frac{5}{216}$ + $\frac{1}{216}$ = $\frac{2}{27}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 6 Schüler mit NWT-Profil, 7 Schüler mit sprachlichem Profil, 7 Schüler mit Musik-Profil und 4 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 2 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{4}$ ; "nicht NWT": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{5}{92}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{9}{46}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{9}{46}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{51}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: NWT: $\frac{1}{4}$ ; nicht NWT: $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'NWT' (P= $\frac{5}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{92}$ = $\frac{5}{92}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 6 vom Typ Kreuz, 5 vom Typ Herz, 5 vom Typ Pik und 4 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{3}{38}$
Kreuz -> Herz	$\frac{3}{38}$
Kreuz -> Pik	$\frac{3}{38}$
Kreuz -> Karo	$\frac{6}{95}$
Herz -> Kreuz	$\frac{3}{38}$
Herz -> Herz	$\frac{1}{19}$
Herz -> Pik	$\frac{5}{76}$
Herz -> Karo	$\frac{1}{19}$
Pik -> Kreuz	$\frac{3}{38}$
Pik -> Herz	$\frac{5}{76}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{19}$
Pik -> Karo	$\frac{1}{19}$
Karo -> Kreuz	$\frac{6}{95}$
Karo -> Herz	$\frac{1}{19}$
Karo -> Pik	$\frac{1}{19}$
Karo -> Karo	$\frac{3}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: $\frac{3}{10}$ ; Herz: $\frac{1}{4}$ ; Pik: $\frac{1}{4}$ ; Karo: $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{3}{38}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{1}{19}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{19}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{3}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{38}$ + $\frac{1}{19}$ + $\frac{1}{19}$ + $\frac{3}{95}$ = $\frac{41}{190}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 1 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{5}$ ⋅ $1$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{5}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 27 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{45}{136}$
13 -> 14	$\frac{25}{136}$
13 -> 15	$\frac{5}{68}$
14 -> 13	$\frac{25}{136}$
14 -> 14	$\frac{5}{68}$
14 -> 15	$\frac{5}{136}$
15 -> 13	$\frac{5}{68}$
15 -> 14	$\frac{5}{136}$
15 -> 15	$\frac{1}{136}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 13: $\frac{10}{17}$ ; 14: $\frac{5}{17}$ ; 15: $\frac{2}{17}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'14' (P= $\frac{25}{136}$ )
'14'-'13' (P= $\frac{25}{136}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{25}{136}$ + $\frac{25}{136}$ = $\frac{25}{68}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 7 vom Typ Kreuz, 5 vom Typ Herz, 8 vom Typ Pik und 4 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{7}{92}$
Kreuz -> Herz	$\frac{35}{552}$
Kreuz -> Pik	$\frac{7}{69}$
Kreuz -> Karo	$\frac{7}{138}$
Herz -> Kreuz	$\frac{35}{552}$
Herz -> Herz	$\frac{5}{138}$
Herz -> Pik	$\frac{5}{69}$
Herz -> Karo	$\frac{5}{138}$
Pik -> Kreuz	$\frac{7}{69}$
Pik -> Herz	$\frac{5}{69}$
Pik -> Pik	$\frac{7}{69}$
Pik -> Karo	$\frac{4}{69}$
Karo -> Kreuz	$\frac{7}{138}$
Karo -> Herz	$\frac{5}{138}$
Karo -> Pik	$\frac{4}{69}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{46}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: $\frac{7}{24}$ ; Herz: $\frac{5}{24}$ ; Pik: $\frac{1}{3}$ ; Karo: $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{7}{92}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{5}{138}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{7}{69}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{46}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{92}$ + $\frac{5}{138}$ + $\frac{7}{69}$ + $\frac{1}{46}$ = $\frac{65}{276}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine 5-stellige Zahl soll gewürfelt werden. Dabei wird einfach 5 mal mit einem normalen Würfel gewürfelt und die erwürfelten Zahlen hintereinander geschrieben. Wie viele verschiedene Zahlen können so gewürfelt werden

Lösung einblenden

Bei jedem der 5 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 5 Ebenen immer 6-fach verzweigt.

Es entstehen so also 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 6⁵ = 7776 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Eine 5-stellige Zahl soll gewürfelt werden. Dabei wird einfach 5 mal mit einem normalen Würfel gewürfelt und die erwürfelten Zahlen hintereinander geschrieben. Wie viele verschiedene Zahlen können so gewürfelt werden.

Lösung einblenden

Bei jedem der 5 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 5 Ebenen immer 6-fach verzweigt.

Es entstehen so also 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 6⁵ = 7776 Möglichkeiten.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen ohne Zurücklegen

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik