Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Wie groß sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln dass die gewürfelte Zahl einen, zwei, drei oder vier Teiler hat?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 1=6

Hieraus ergibt sich für ...

1: p= 1 6

2: p= 3 6 = 1 2

3: p= 1 6

4: p= 1 6

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine Primzahl zu würfeln?

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EreignisP
prim -> prim -> prim 1 8
prim -> prim -> nicht prim 1 8
prim -> nicht prim -> prim 1 8
prim -> nicht prim -> nicht prim 1 8
nicht prim -> prim -> prim 1 8
nicht prim -> prim -> nicht prim 1 8
nicht prim -> nicht prim -> prim 1 8
nicht prim -> nicht prim -> nicht prim 1 8

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: prim: 1 2 ; nicht prim: 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'nicht prim'-'nicht prim'-'nicht prim' (P= 1 8 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 8 = 1 8


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": 3 4 ; "nicht rot": 1 4 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- 1 64 = 63 64

EreignisP
rot -> rot -> rot 27 64
rot -> rot -> nicht rot 9 64
rot -> nicht rot -> rot 9 64
rot -> nicht rot -> nicht rot 3 64
nicht rot -> rot -> rot 9 64
nicht rot -> rot -> nicht rot 3 64
nicht rot -> nicht rot -> rot 3 64
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot 1 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 3 4 ; nicht rot: 1 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'rot'-'nicht rot'-'nicht rot' (P= 3 64 )
  • 'nicht rot'-'rot'-'nicht rot' (P= 3 64 )
  • 'nicht rot'-'nicht rot'-'rot' (P= 3 64 )
  • 'rot'-'rot'-'nicht rot' (P= 9 64 )
  • 'rot'-'nicht rot'-'rot' (P= 9 64 )
  • 'nicht rot'-'rot'-'rot' (P= 9 64 )
  • 'rot'-'rot'-'rot' (P= 27 64 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 64 + 3 64 + 3 64 + 9 64 + 9 64 + 9 64 + 27 64 = 63 64


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 7 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": 7 10 ; "nicht blau": 3 10 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'blau' bzw. 0 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'blau')=1- 1 15 = 14 15

EreignisP
blau -> blau 7 15
blau -> nicht blau 7 30
nicht blau -> blau 7 30
nicht blau -> nicht blau 1 15

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: blau: 7 10 ; nicht blau: 3 10 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'blau'-'nicht blau' (P= 7 30 )
'nicht blau'-'blau' (P= 7 30 )
'blau'-'blau' (P= 7 15 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

7 30 + 7 30 + 7 15 = 14 15


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 5 Karten der Farbe Kreuz, 2 der Farbe Pik, 2 der Farbe Herz und 3 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal Kreuz"?

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Da ja ausschließlich nach 'Kreuz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Kreuz' und 'nicht Kreuz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Kreuz": 5 12 ; "nicht Kreuz": 7 12 ;

EreignisP
Kreuz -> Kreuz 5 33
Kreuz -> nicht Kreuz 35 132
nicht Kreuz -> Kreuz 35 132
nicht Kreuz -> nicht Kreuz 7 22

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: 5 12 ; nicht Kreuz: 7 12 ;

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'Kreuz'-'Kreuz' (P= 5 33 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

5 33 = 5 33


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 24 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 2. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 27 24 26
= 3 9 8 26
= 4 39

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nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 4 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 27 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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EreignisP
13 -> 13 5 19
13 -> 14 25 171
13 -> 15 20 171
14 -> 13 25 171
14 -> 14 10 171
14 -> 15 10 171
15 -> 13 20 171
15 -> 14 10 171
15 -> 15 2 57

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 13: 10 19 ; 14: 5 19 ; 15: 4 19 ;

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'13'-'14' (P= 25 171 )
'14'-'13' (P= 25 171 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

25 171 + 25 171 = 50 171


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und 8 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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EreignisP
rot -> rot 1 45
rot -> blau 8 45
blau -> rot 8 45
blau -> blau 28 45

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 1 5 ; blau: 4 5 ;

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'rot'-'rot' (P= 1 45 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 45 = 1 45


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Ein Vater möchte seinen 3 Kindern Schokolade mitbringen. Für Markus sucht er dessen Lieblingssorte Vollmilch. Davon findet er im Supermarkt 5 verschiedene Marken. Für Torsten möchte er Nußschokolade kaufen. Dafür muss er sich zwischen 5 Marken entscheiden. Maries Lieblingssorte "weiße Schokolade" hat der Supermarkt von 6 Marken. Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt wie der Papa seine 3 Schokoladentafeln zusammenstellen kann.

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Für die Kategorie 'Vollmilch' gibt es 5 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 5 Möglichkeiten der Kategorie 'Nuss' kombinieren. Dies ergibt also 5 ⋅ 5 = 25 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 6 Möglichkeiten der Kategorie 'weiß' kombinieren, so dass sich insgesamt 5 ⋅ 5 ⋅ 6 = 150 Möglichkeiten ergeben.

Kombinatorik

Beispiel:

Es findet ein Staffellauf im Biathlon der Herren statt. Der Trainer muss 4 Starter und auch die Reihenfolge der Starter nennen. In seinem Team sind 9 geeignete Kandidaten.Wie viele Startmöglichkeiten gibt es?

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Für die erste Stelle ist jede(r) Kandidat möglich. Es gibt also 9 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende Kandidat nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 8 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 7 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 3024 Möglichkeiten.