Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente
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Zufallsexperiment (einstufig)
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wir können am Glücksrad entweder die Winkelweite abschätzen und diese dann durch 360° teilen oder direkt den Winkel-Anteil (als Vielfache von Halb-, Viertel- oder Achtels-Kreisen) ablesen:
blau: Man erkennt einen Kreisausschnitt, der so groß ist wie ein Viertelskreis zusammen mit einem Achtelskreis => p=
grün: Man erkennt einen Kreisausschnitt, der so groß ist wie ein Viertelskreis zusammen mit einem Achtelskreis => p=
gelb: Man erkennt einen Viertelkreis => p=
mit Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "2 mal Zahl und 1 mal Wappen"?
| Ereignis | P |
|---|---|
| Zahl -> Zahl -> Zahl | |
| Zahl -> Zahl -> Wappen | |
| Zahl -> Wappen -> Zahl | |
| Zahl -> Wappen -> Wappen | |
| Wappen -> Zahl -> Zahl | |
| Wappen -> Zahl -> Wappen | |
| Wappen -> Wappen -> Zahl | |
| Wappen -> Wappen -> Wappen |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Zahl: ; Wappen: ;
Die relevanten Pfade sind:- 'Zahl'-'Zahl'-'Wappen' (P=)
- 'Zahl'-'Wappen'-'Zahl' (P=)
- 'Wappen'-'Zahl'-'Zahl' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine Primzahl zu würfeln?
Da ja ausschließlich nach 'prim' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'prim' und 'nicht prim'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"prim": ; "nicht prim": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal prim' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'prim' bzw. 0 mal 'prim'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(0 mal 'prim')=1- =
| Ereignis | P |
|---|---|
| prim -> prim | |
| prim -> nicht prim | |
| nicht prim -> prim | |
| nicht prim -> nicht prim |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: prim: ; nicht prim: ;
Die relevanten Pfade sind:- 'prim'-'nicht prim' (P=)
- 'nicht prim'-'prim' (P=)
- 'prim'-'prim' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
ohne Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
In einer Urne sind 10 rote und 5 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?
Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": ; "nicht rot": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(0 mal 'rot')=1- =
| Ereignis | P |
|---|---|
| rot -> rot | |
| rot -> nicht rot | |
| nicht rot -> rot | |
| nicht rot -> nicht rot |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: ; nicht rot: ;
Die relevanten Pfade sind:
'rot'-'nicht rot' (P=)
'nicht rot'-'rot' (P=)
'rot'-'rot' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
In einem Kartenstapel sind 3 Karten der Farbe Kreuz, 10 der Farbe Pik, 8 der Farbe Herz und 3 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal Kreuz und 1 mal Pik"?
| Ereignis | P |
|---|---|
| Kreuz -> Kreuz | |
| Kreuz -> Pik | |
| Kreuz -> Herz | |
| Kreuz -> Karo | |
| Pik -> Kreuz | |
| Pik -> Pik | |
| Pik -> Herz | |
| Pik -> Karo | |
| Herz -> Kreuz | |
| Herz -> Pik | |
| Herz -> Herz | |
| Herz -> Karo | |
| Karo -> Kreuz | |
| Karo -> Pik | |
| Karo -> Herz | |
| Karo -> Karo |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: ; Pik: ; Herz: ; Karo: ;
Die relevanten Pfade sind:
'Kreuz'-'Pik' (P=)
'Pik'-'Kreuz' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ =
Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
Aus einem Kartenstapel mit 8 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅
= ⋅
=
nur Summen
Beispiel:
In einer Urne sind 8 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 3 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 5 ist?
| Ereignis | P |
|---|---|
| 1 -> 1 | |
| 1 -> 2 | |
| 1 -> 3 | |
| 2 -> 1 | |
| 2 -> 2 | |
| 2 -> 3 | |
| 3 -> 1 | |
| 3 -> 2 | |
| 3 -> 3 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: ; 2: ; 3: ;
Die relevanten Pfade sind:- '2'-'3' (P=)
- '3'-'2' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ =
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
In einem Lostopf sind 4 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 10 Kugeln mit einer Zwei, 7 mit Drei und 3 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 3 ergeben?
| Ereignis | P |
|---|---|
| 1 -> 1 | |
| 1 -> 2 | |
| 1 -> 3 | |
| 1 -> 4 | |
| 2 -> 1 | |
| 2 -> 2 | |
| 2 -> 3 | |
| 2 -> 4 | |
| 3 -> 1 | |
| 3 -> 2 | |
| 3 -> 3 | |
| 3 -> 4 | |
| 4 -> 1 | |
| 4 -> 2 | |
| 4 -> 3 | |
| 4 -> 4 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: ; 2: ; 3: ; 4: ;
Die relevanten Pfade sind:
'1'-'2' (P=)
'2'-'1' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ =
Kombinatorik (ohne Binom.)
Beispiel:
Sandy möchte sich ein Outfit zusammenstellen. Dabei kann sie beim Oberteil zwischen einer Bluse, einem T-Shirt und einem Pullover wählen. Außerdem muss sie sich für eine ihrer 2 Hosen entscheiden. Für die Füße stehen ihr 7 Paar Schuhe zur Verfügung. Wie viele verschiedene Outfits kann sie sich mit diesen Kleidungsstücken zusammenkombinieren?
Für die Kategorie 'Oberteile' gibt es 3 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 2 Möglichkeiten der Kategorie 'Hosen' kombinieren. Dies ergibt also 3 ⋅ 2 = 6 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 7 Möglichkeiten der Kategorie 'Schuhe' kombinieren, so dass sich insgesamt 3 ⋅ 2 ⋅ 7 = 42 Möglichkeiten ergeben.
Kombinatorik
Beispiel:
In einer Schule gibt es 3 achte Klassen. Für ein Projekt wird aus jeder Klasse je 1 Schüler ausgelost. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für solche Trios sind möglich, wenn in der 8a 27 Schüler, in der 8b 21 Schüler und in der in der 8c 21 Schüler hat.
Für die Kategorie '8a' gibt es 27 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 21 Möglichkeiten der Kategorie '8b' kombinieren. Dies ergibt also 27 ⋅ 21 = 567 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 21 Möglichkeiten der Kategorie '8c' kombinieren, so dass sich insgesamt 27 ⋅ 21 ⋅ 21 = 11907 Möglichkeiten ergeben.
