Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Wie groß sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln dass die gewürfelte Zahl einen, zwei, drei oder vier Teiler hat?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 1=6

Hieraus ergibt sich für ...

1: p= $\frac{1}{6}$

2: p= $\frac{3}{6}$ = $\frac{1}{2}$

3: p= $\frac{1}{6}$

4: p= $\frac{1}{6}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote, 3 gelbe, 2 blaue und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{1}{4}$ ; "nicht rot": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{16}$
rot -> nicht rot	$\frac{3}{16}$
nicht rot -> rot	$\frac{3}{16}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{9}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{1}{4}$ ; nicht rot: $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{16}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 4 vom Typ rot, 10 vom Typ blau, 4 vom Typ gelb und 6 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{36}$
rot -> blau	$\frac{5}{72}$
rot -> gelb	$\frac{1}{36}$
rot -> schwarz	$\frac{1}{24}$
blau -> rot	$\frac{5}{72}$
blau -> blau	$\frac{25}{144}$
blau -> gelb	$\frac{5}{72}$
blau -> schwarz	$\frac{5}{48}$
gelb -> rot	$\frac{1}{36}$
gelb -> blau	$\frac{5}{72}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{36}$
gelb -> schwarz	$\frac{1}{24}$
schwarz -> rot	$\frac{1}{24}$
schwarz -> blau	$\frac{5}{48}$
schwarz -> gelb	$\frac{1}{24}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{1}{6}$ ; blau: $\frac{5}{12}$ ; gelb: $\frac{1}{6}$ ; schwarz: $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{36}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{25}{144}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{1}{36}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{25}{144}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{7}{24}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 10 Schüler mit NWT-Profil, 10 Schüler mit sprachlichem Profil, 5 Schüler mit Musik-Profil und 5 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{3}$ ; "nicht NWT": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{3}{29}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{20}{87}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{20}{87}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{38}{87}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: NWT: $\frac{1}{3}$ ; nicht NWT: $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{20}{87}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{20}{87}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{20}{87}$ + $\frac{20}{87}$ = $\frac{40}{87}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 9 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 10 Kugeln mit einer Zwei, 6 mit Drei und 5 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 4 ergeben?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{12}{145}$
1 -> 2	$\frac{3}{29}$
1 -> 3	$\frac{9}{145}$
1 -> 4	$\frac{3}{58}$
2 -> 1	$\frac{3}{29}$
2 -> 2	$\frac{3}{29}$
2 -> 3	$\frac{2}{29}$
2 -> 4	$\frac{5}{87}$
3 -> 1	$\frac{9}{145}$
3 -> 2	$\frac{2}{29}$
3 -> 3	$\frac{1}{29}$
3 -> 4	$\frac{1}{29}$
4 -> 1	$\frac{3}{58}$
4 -> 2	$\frac{5}{87}$
4 -> 3	$\frac{1}{29}$
4 -> 4	$\frac{2}{87}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{3}{10}$ ; 2: $\frac{1}{3}$ ; 3: $\frac{1}{5}$ ; 4: $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{9}{145}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{9}{145}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{3}{29}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{145}$ + $\frac{9}{145}$ + $\frac{3}{29}$ = $\frac{33}{145}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und 12 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{14}$ ⋅ $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{12}{12}$
= $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{6}{6}$
= $\frac{1}{91}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 10 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{105}$
1 -> 2	$\frac{2}{21}$
1 -> 3	$\frac{1}{35}$
2 -> 1	$\frac{2}{21}$
2 -> 2	$\frac{3}{7}$
2 -> 3	$\frac{1}{7}$
3 -> 1	$\frac{1}{35}$
3 -> 2	$\frac{1}{7}$
3 -> 3	$\frac{1}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{2}{15}$ ; 2: $\frac{2}{3}$ ; 3: $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{2}{21}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{2}{21}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{21}$ + $\frac{2}{21}$ = $\frac{4}{21}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{4}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine 3-stellige Zahl soll gewürfelt werden. Dabei wird einfach 3 mal mit einem normalen Würfel gewürfelt und die erwürfelten Zahlen hintereinander geschrieben. Wie viele verschiedene Zahlen können so gewürfelt werden

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Bei jedem der 3 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 3 Ebenen immer 6-fach verzweigt.

Es entstehen so also 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 6³ = 216 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Ein spezielles Zahlenschloss hat 3 Ringe mit jeweils 4 verschiedenen Zahlen drauf. Wie viele verschiedene Möglichkeiten kann man bei diesem Zahlenschloss einstellen?

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Bei jedem der 3 'Zufallsversuche' gibt es 4 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 3 Ebenen immer 4-fach verzweigt.

Es entstehen so also 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 4³ = 64 Möglichkeiten.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik