Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue, 4 grüne, 5 gelbe und 4 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 7 + 4 + 5 + 4=20

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= 7 20

grün: p= 4 20 = 1 5

gelb: p= 5 20 = 1 4

rot: p= 4 20 = 1 5

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": 1 8 ; "nicht blau": 7 8 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'blau' bzw. 0 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'blau')=1- 49 64 = 15 64

EreignisP
blau -> blau 1 64
blau -> nicht blau 7 64
nicht blau -> blau 7 64
nicht blau -> nicht blau 49 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: blau: 1 8 ; nicht blau: 7 8 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'blau'-'nicht blau' (P= 7 64 )
  • 'nicht blau'-'blau' (P= 7 64 )
  • 'blau'-'blau' (P= 1 64 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

7 64 + 7 64 + 1 64 = 15 64


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Würfelspiel Mäxle würfelt man mit zwei Würfeln. Die größere Augenzahl nimmt man als Zehner, die kleinere als Einer (z.B. 3 und 5 ergibt 53). Ein Pasch (gleiche Zahlen bei beiden Würfeln) zählt mehr als alle anderen Ergebnisse. Lediglich ein Mäxle (eine 1 und ein 2) schlägt auch einen Pasch. Die beiden schlechtesten Ergebnisse sind also 31 und 32. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür?

Lösung einblenden
EreignisP
1 -> 1 1 36
1 -> 2 1 36
1 -> 3 1 36
1 -> höher 1 12
2 -> 1 1 36
2 -> 2 1 36
2 -> 3 1 36
2 -> höher 1 12
3 -> 1 1 36
3 -> 2 1 36
3 -> 3 1 36
3 -> höher 1 12
höher -> 1 1 12
höher -> 2 1 12
höher -> 3 1 12
höher -> höher 1 4

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 6 ; 2: 1 6 ; 3: 1 6 ; höher: 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '1'-'3' (P= 1 36 )
  • '3'-'1' (P= 1 36 )
  • '2'-'3' (P= 1 36 )
  • '3'-'2' (P= 1 36 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 = 1 9


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 9 vom Typ Kreuz, 7 vom Typ Herz, 7 vom Typ Pik und 7 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

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EreignisP
Kreuz -> Kreuz 12 145
Kreuz -> Herz 21 290
Kreuz -> Pik 21 290
Kreuz -> Karo 21 290
Herz -> Kreuz 21 290
Herz -> Herz 7 145
Herz -> Pik 49 870
Herz -> Karo 49 870
Pik -> Kreuz 21 290
Pik -> Herz 49 870
Pik -> Pik 7 145
Pik -> Karo 49 870
Karo -> Kreuz 21 290
Karo -> Herz 49 870
Karo -> Pik 49 870
Karo -> Karo 7 145

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: 3 10 ; Herz: 7 30 ; Pik: 7 30 ; Karo: 7 30 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Kreuz'-'Kreuz' (P= 12 145 )
'Herz'-'Herz' (P= 7 145 )
'Pik'-'Pik' (P= 7 145 )
'Karo'-'Karo' (P= 7 145 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

12 145 + 7 145 + 7 145 + 7 145 = 33 145


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 4 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 1 mal Dame"?

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Da ja ausschließlich nach 'Dame' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Dame' und 'nicht Dame'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Dame": 1 3 ; "nicht Dame": 2 3 ;

EreignisP
Dame -> Dame 1 11
Dame -> nicht Dame 8 33
nicht Dame -> Dame 8 33
nicht Dame -> nicht Dame 14 33

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Dame: 1 3 ; nicht Dame: 2 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Dame'-'nicht Dame' (P= 8 33 )
'nicht Dame'-'Dame' (P= 8 33 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

8 33 + 8 33 = 16 33


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 1 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 4 2 3 1 2
= 1 2 1 1 2
= 1 4

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nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 18 ist?

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Da ja ausschließlich nach '9' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '9' und 'nicht 9'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"9": 1 2 ; "nicht 9": 1 2 ;

EreignisP
9 -> 9 3 14
9 -> nicht 9 2 7
nicht 9 -> 9 2 7
nicht 9 -> nicht 9 3 14

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 9: 1 2 ; nicht 9: 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'9'-'9' (P= 3 14 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 14 = 3 14


mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine 6 zu würfeln?

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EreignisP
6er -> 6er 1 36
6er -> keine_6 5 36
keine_6 -> 6er 5 36
keine_6 -> keine_6 25 36

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 6er: 1 6 ; keine_6: 5 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '6er'-'keine_6' (P= 5 36 )
  • 'keine_6'-'6er' (P= 5 36 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

5 36 + 5 36 = 5 18


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Sandy möchte sich ein Outfit zusammenstellen. Dabei kann sie beim Oberteil zwischen einer Bluse, einem T-Shirt und einem Pullover wählen. Außerdem muss sie sich für eine ihrer 5 Hosen entscheiden. Für die Füße stehen ihr 6 Paar Schuhe zur Verfügung. Wie viele verschiedene Outfits kann sie sich mit diesen Kleidungsstücken zusammenkombinieren?

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Für die Kategorie 'Oberteile' gibt es 3 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 5 Möglichkeiten der Kategorie 'Hosen' kombinieren. Dies ergibt also 3 ⋅ 5 = 15 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 6 Möglichkeiten der Kategorie 'Schuhe' kombinieren, so dass sich insgesamt 3 ⋅ 5 ⋅ 6 = 90 Möglichkeiten ergeben.

Kombinatorik

Beispiel:

In einer Schule gibt es 3 achte Klassen. Für ein Projekt wird aus jeder Klasse je 1 Schüler ausgelost. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für solche Trios sind möglich, wenn in der 8a 30 Schüler, in der 8b 21 Schüler und in der in der 8c 24 Schüler hat.

Lösung einblenden

Für die Kategorie '8a' gibt es 30 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 21 Möglichkeiten der Kategorie '8b' kombinieren. Dies ergibt also 30 ⋅ 21 = 630 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 24 Möglichkeiten der Kategorie '8c' kombinieren, so dass sich insgesamt 30 ⋅ 21 ⋅ 24 = 15120 Möglichkeiten ergeben.