Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 5 Schülerinnen und Schüler den katholischen Religionsunterricht, 7 den evangelischen, und 3 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 5 + 7 + 3=15

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= $\frac{5}{15}$ = $\frac{1}{3}$

ev: p= $\frac{7}{15}$

Eth: p= $\frac{3}{15}$ = $\frac{1}{5}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine 6 zu würfeln?

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Ereignis	P
6er -> 6er	$\frac{1}{36}$
6er -> keine_6	$\frac{5}{36}$
keine_6 -> 6er	$\frac{5}{36}$
keine_6 -> keine_6	$\frac{25}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 6er: $\frac{1}{6}$ ; keine_6: $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'keine_6'-'keine_6' (P= $\frac{25}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{25}{36}$ = $\frac{25}{36}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Würfelspiel Mäxle würfelt man mit zwei Würfeln. Die größere Augenzahl nimmt man als Zehner, die kleinere als Einer (z.B. 3 und 5 ergibt 53). Ein Pasch (gleiche Zahlen bei beiden Würfeln) zählt mehr als alle anderen Ergebnisse. Lediglich ein Mäxle (eine 1 und ein 2) schlägt auch einen Pasch. Die beiden schlechtesten Ergebnisse sind also 31 und 32. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> höher	$\frac{1}{12}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> höher	$\frac{1}{12}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> höher	$\frac{1}{12}$
höher -> 1	$\frac{1}{12}$
höher -> 2	$\frac{1}{12}$
höher -> 3	$\frac{1}{12}$
höher -> höher	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{1}{6}$ ; 2: $\frac{1}{6}$ ; 3: $\frac{1}{6}$ ; höher: $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{36}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{9}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 8 Schüler mit NWT-Profil, 5 Schüler mit sprachlichem Profil, 6 Schüler mit Musik-Profil und 5 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{3}$ ; "nicht NWT": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{7}{69}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{16}{69}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{16}{69}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{10}{23}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: NWT: $\frac{1}{3}$ ; nicht NWT: $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{16}{69}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{16}{69}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{16}{69}$ + $\frac{16}{69}$ = $\frac{32}{69}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 8 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 9 Kugeln mit einer Zwei, 7 mit Drei und 6 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 5 ergeben?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{28}{435}$
1 -> 2	$\frac{12}{145}$
1 -> 3	$\frac{28}{435}$
1 -> 4	$\frac{8}{145}$
2 -> 1	$\frac{12}{145}$
2 -> 2	$\frac{12}{145}$
2 -> 3	$\frac{21}{290}$
2 -> 4	$\frac{9}{145}$
3 -> 1	$\frac{28}{435}$
3 -> 2	$\frac{21}{290}$
3 -> 3	$\frac{7}{145}$
3 -> 4	$\frac{7}{145}$
4 -> 1	$\frac{8}{145}$
4 -> 2	$\frac{9}{145}$
4 -> 3	$\frac{7}{145}$
4 -> 4	$\frac{1}{29}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{4}{15}$ ; 2: $\frac{3}{10}$ ; 3: $\frac{7}{30}$ ; 4: $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'4' (P= $\frac{8}{145}$ )
'4'-'1' (P= $\frac{8}{145}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{21}{290}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{21}{290}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{145}$ + $\frac{8}{145}$ + $\frac{21}{290}$ + $\frac{21}{290}$ = $\frac{37}{145}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 18 ist?

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Da ja ausschließlich nach '9' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '9' und 'nicht 9'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"9": $\frac{1}{3}$ ; "nicht 9": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
9 -> 9	$\frac{1}{11}$
9 -> nicht 9	$\frac{8}{33}$
nicht 9 -> 9	$\frac{8}{33}$
nicht 9 -> nicht 9	$\frac{14}{33}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 9: $\frac{1}{3}$ ; nicht 9: $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'9'-'9' (P= $\frac{1}{11}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{11}$ = $\frac{1}{11}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote, 2 gelbe, 2 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{5}$ ; "nicht blau": $\frac{4}{5}$ ;

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{1}{25}$
blau -> nicht blau	$\frac{4}{25}$
nicht blau -> blau	$\frac{4}{25}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{16}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: blau: $\frac{1}{5}$ ; nicht blau: $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{25}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

In einer Schule gibt es 3 achte Klassen. Für ein Projekt wird aus jeder Klasse je 1 Schüler ausgelost. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für solche Trios sind möglich, wenn in der 8a 27 Schüler, in der 8b 21 Schüler und in der in der 8c 27 Schüler hat.

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Für die Kategorie '8a' gibt es 27 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 21 Möglichkeiten der Kategorie '8b' kombinieren. Dies ergibt also 27 ⋅ 21 = 567 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 27 Möglichkeiten der Kategorie '8c' kombinieren, so dass sich insgesamt 27 ⋅ 21 ⋅ 27 = 15309 Möglichkeiten ergeben.

Kombinatorik

Beispiel:

Es findet ein Staffellauf im Biathlon der Herren statt. Der Trainer muss 4 Starter und auch die Reihenfolge der Starter nennen. In seinem Team sind 5 geeignete Kandidaten.Wie viele Startmöglichkeiten gibt es?

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Für die erste Stelle ist jede(r) Kandidat möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende Kandidat nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 120 Möglichkeiten.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen mit Zurücklegen

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik