Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Wie groß sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln dass die gewürfelte Zahl einen, zwei, drei oder vier Teiler hat?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 1=6

Hieraus ergibt sich für ...

1: p= 1 6

2: p= 3 6 = 1 2

3: p= 1 6

4: p= 1 6

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal Wappen"?

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EreignisP
Zahl -> Zahl -> Zahl 1 8
Zahl -> Zahl -> Wappen 1 8
Zahl -> Wappen -> Zahl 1 8
Zahl -> Wappen -> Wappen 1 8
Wappen -> Zahl -> Zahl 1 8
Wappen -> Zahl -> Wappen 1 8
Wappen -> Wappen -> Zahl 1 8
Wappen -> Wappen -> Wappen 1 8

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Zahl: 1 2 ; Wappen: 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'Zahl'-'Zahl'-'Wappen' (P= 1 8 )
  • 'Zahl'-'Wappen'-'Zahl' (P= 1 8 )
  • 'Wappen'-'Zahl'-'Zahl' (P= 1 8 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 8 + 1 8 + 1 8 = 3 8


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette gibt es 18 rote, 18 scharze und ein grünes Feld (für die Null). Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": 18 37 ; "nicht rot": 19 37 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'rot')=1- 324 1369 = 1045 1369

EreignisP
rot -> rot 324 1369
rot -> nicht rot 342 1369
nicht rot -> rot 342 1369
nicht rot -> nicht rot 361 1369

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 18 37 ; nicht rot: 19 37 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'rot'-'nicht rot' (P= 342 1369 )
  • 'nicht rot'-'rot' (P= 342 1369 )
  • 'nicht rot'-'nicht rot' (P= 361 1369 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

342 1369 + 342 1369 + 361 1369 = 1045 1369


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und 5 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": 1 2 ; "nicht rot": 1 2 ;

EreignisP
rot -> rot -> rot 1 12
rot -> rot -> nicht rot 5 36
rot -> nicht rot -> rot 5 36
rot -> nicht rot -> nicht rot 5 36
nicht rot -> rot -> rot 5 36
nicht rot -> rot -> nicht rot 5 36
nicht rot -> nicht rot -> rot 5 36
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot 1 12

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 1 2 ; nicht rot: 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'rot'-'nicht rot'-'nicht rot' (P= 5 36 )
'nicht rot'-'rot'-'nicht rot' (P= 5 36 )
'nicht rot'-'nicht rot'-'rot' (P= 5 36 )
'nicht rot'-'nicht rot'-'nicht rot' (P= 1 12 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

5 36 + 5 36 + 5 36 + 1 12 = 1 2


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 5 Karten der Farbe Kreuz, 6 der Farbe Pik, 6 der Farbe Herz und 3 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal Kreuz"?

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Da ja ausschließlich nach 'Kreuz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Kreuz' und 'nicht Kreuz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Kreuz": 1 4 ; "nicht Kreuz": 3 4 ;

EreignisP
Kreuz -> Kreuz 1 19
Kreuz -> nicht Kreuz 15 76
nicht Kreuz -> Kreuz 15 76
nicht Kreuz -> nicht Kreuz 21 38

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: 1 4 ; nicht Kreuz: 3 4 ;

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'Kreuz'-'Kreuz' (P= 1 19 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 19 = 1 19


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 3 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 4. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 6 2 5 1 4 3 3
= 1 1 5 1 4 1
= 1 20

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nur Summen

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 6 ist?

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EreignisP
1 -> 1 9 64
1 -> 2 3 32
1 -> 3 3 32
1 -> 4 3 64
2 -> 1 3 32
2 -> 2 1 16
2 -> 3 1 16
2 -> 4 1 32
3 -> 1 3 32
3 -> 2 1 16
3 -> 3 1 16
3 -> 4 1 32
4 -> 1 3 64
4 -> 2 1 32
4 -> 3 1 32
4 -> 4 1 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 3 8 ; 2: 1 4 ; 3: 1 4 ; 4: 1 8 ;

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  • '2'-'4' (P= 1 32 )
  • '4'-'2' (P= 1 32 )
  • '3'-'3' (P= 1 16 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 32 + 1 32 + 1 16 = 1 8


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal 1-12 und 1 mal 13-24"?

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EreignisP
1-12 -> 1-12 144 1369
1-12 -> 13-24 144 1369
1-12 -> 25-36 144 1369
1-12 -> grüne 0 12 1369
13-24 -> 1-12 144 1369
13-24 -> 13-24 144 1369
13-24 -> 25-36 144 1369
13-24 -> grüne 0 12 1369
25-36 -> 1-12 144 1369
25-36 -> 13-24 144 1369
25-36 -> 25-36 144 1369
25-36 -> grüne 0 12 1369
grüne 0 -> 1-12 12 1369
grüne 0 -> 13-24 12 1369
grüne 0 -> 25-36 12 1369
grüne 0 -> grüne 0 1 1369

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1-12: 12 37 ; 13-24: 12 37 ; 25-36: 12 37 ; grüne 0: 1 37 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '1-12'-'13-24' (P= 144 1369 )
  • '13-24'-'1-12' (P= 144 1369 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

144 1369 + 144 1369 = 288 1369


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

In einer Schule gibt es 3 achte Klassen. Für ein Projekt wird aus jeder Klasse je 1 Schüler ausgelost. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für solche Trios sind möglich, wenn in der 8a 30 Schüler, in der 8b 27 Schüler und in der in der 8c 27 Schüler hat.

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Für die Kategorie '8a' gibt es 30 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 27 Möglichkeiten der Kategorie '8b' kombinieren. Dies ergibt also 30 ⋅ 27 = 810 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 27 Möglichkeiten der Kategorie '8c' kombinieren, so dass sich insgesamt 30 ⋅ 27 ⋅ 27 = 21870 Möglichkeiten ergeben.

Kombinatorik

Beispiel:

Es findet ein Staffellauf im Biathlon der Herren statt. Der Trainer muss 3 Starter und auch die Reihenfolge der Starter nennen. In seinem Team sind 6 geeignete Kandidaten.Wie viele Startmöglichkeiten gibt es?

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Für die erste Stelle ist jede(r) Kandidat möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende Kandidat nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 4 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120 Möglichkeiten.