Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p=$\frac{\mathrm{Anzahl\; gesuchter\; Möglichkeiten}}{\mathrm{Anzahl\; aller\; Möglichkeiten}}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 4 + 6 + 2 + 3=15

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p=$\frac{4}{15}$

König: p=$\frac{6}{15}$ =$\frac{2}{5}$

Dame: p=$\frac{2}{15}$

Bube: p=$\frac{3}{15}$ =$\frac{1}{5}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: prim: $\frac{1}{2}$; nicht prim: $\frac{1}{2}$;

• 'prim'-'nicht prim'-'nicht prim' (P=$\frac{1}{8}$)
• 'nicht prim'-'prim'-'nicht prim' (P=$\frac{1}{8}$)
• 'nicht prim'-'nicht prim'-'prim' (P=$\frac{1}{8}$)

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{3}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{3}{5}$; blau: $\frac{2}{5}$;

• 'rot'-'rot'-'rot' (P=$\frac{27}{125}$)
• 'blau'-'blau'-'blau' (P=$\frac{8}{125}$)

$\frac{27}{125}$ + $\frac{8}{125}$ = $\frac{7}{25}$

Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": $\frac{1}{5}$; "nicht schwarz": $\frac{4}{5}$;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'schwarz' bzw. 0 mal 'schwarz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'schwarz')=1- $\frac{92}{145}$ = $\frac{53}{145}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: schwarz: $\frac{1}{5}$; nicht schwarz: $\frac{4}{5}$;

'schwarz'-'nicht schwarz' (P=$\frac{24}{145}$)
'nicht schwarz'-'schwarz' (P=$\frac{24}{145}$)
'schwarz'-'schwarz' (P=$\frac{1}{29}$)

$\frac{24}{145}$ + $\frac{24}{145}$ + $\frac{1}{29}$ = $\frac{53}{145}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: $\frac{1}{4}$; Herz: $\frac{1}{4}$; Pik: $\frac{1}{6}$; Karo: $\frac{1}{3}$;

'Kreuz'-'Kreuz' (P=$\frac{1}{22}$)
'Herz'-'Herz' (P=$\frac{1}{22}$)
'Pik'-'Pik' (P=$\frac{1}{66}$)
'Karo'-'Karo' (P=$\frac{1}{11}$)

$\frac{1}{22}$ + $\frac{1}{22}$ + $\frac{1}{66}$ + $\frac{1}{11}$ = $\frac{13}{66}$

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P=$\frac{3}{24}$ ⋅ $\frac{21}{23}$
= $\frac{3}{8}$ ⋅ $\frac{7}{23}$
= $\frac{21}{184}$

Da ja ausschließlich nach '9' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '9' und 'nicht 9'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"9": $\frac{2}{5}$; "nicht 9": $\frac{3}{5}$;

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 9: $\frac{2}{5}$; nicht 9: $\frac{3}{5}$;

'9'-'9' (P=$\frac{2}{15}$)

$\frac{2}{15}$ = $\frac{2}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Ass: $\frac{2}{5}$; König: $\frac{1}{5}$; Dame: $\frac{2}{5}$;

'König'-'Dame' (P=$\frac{4}{45}$)
'Dame'-'König' (P=$\frac{4}{45}$)

$\frac{4}{45}$ + $\frac{4}{45}$ = $\frac{8}{45}$

Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 40320 Möglichkeiten.

Für die erste Stelle ist jede(r) Kandidat möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende Kandidat nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 336 Möglichkeiten.