Aufgabenbeispiele von In- und Umkreis
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Inkreis konstruieren
Beispiel:
Gegeben ist ein Dreieck mit den Punkten A(1|2), B(9|1) und C(4|5). Konstruiere den Inkreis.
Lies dann den Inkreismittelpunkt und den Radius ab.
Lösung einblenden
- Der Inkreismittelpunkt ist der Punkt, der zu allen drei Dreiecksseiten den gleichen Abstand hat. Insbesondere müssen die Abstände von
der Seite c (AB) zum Inkreismittelpunkt und von der Seite b (AC) zum Inkreismittelpunkt gleich sein.
Die Ortslinie aller Punkte mit gleichem Abstand zu c und b ist die Winkelhalbierende in A (blau), auf dieser Linie muss also unser Inkreismittelpunkt liegen.
Zur Konstruktion der Winkelhalbierenden tragen wir auf den Seiten c und b zwei Punkte mit gleichem Abstand zu A ab.
Die Mittelsenkrechte dieser zwei Punkte ergibt die Winkelhalbierende. - Genau das gleiche gilt für alle Punkte, die von c (AB) und a (BC) den gleichen Abstand haben. Diese liegen auf der Winkelhalbierenden in B (grün), auch auf dieser Linie muss also unser Inkreismittelpunkt liegen.
- Wenn der Inkreismittelpunkt nun aber sowohl auf der blauen Winkelhalbierenden von b und c als auch auf der
grünen Winkelhalbierenden von c und a liegen muss, kann er ja nur der Schnittpunkt der beiden Winkelhalbierenden sein.
Wir können jetzt also die Koordinaten des Umkreismittelpunkts ablesen: M(4.1|3.1).
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Um noch den richtigen Radius zu erhalten, müssen wir das Lot (eine senkrechte Linie) auf eine der drei Seiten fällen. Der Lotfußpunkt
(Schnittpunkt der senkrechten Linie mit der Dreiecksseite) muss nun auf dem Inkreis liegen.
Hier können wir den Inkreisradius r=1.4 ablesen.
Umkreis konstruieren
Beispiel:
Gegeben ist ein Dreieck mit den Punkten A(0|0), B(10|1) und C(4|5). Konstruiere den Umkreismittelpunkt.
Lösung einblenden
- Der Umkreismittelpunkt ist der Punkt, der zu A, B und C den gleichen Abstand hat. Insbesondere müssen die Abstände von A zum Umkreismittelpunkt und von B zum Umkreismittelpunkt gleich sein. Die Ortslinie aller Punkte mit gleichem Abstand zu A und B ist die Mittelsenkrechte von AB (blau), auf dieser Linie muss also unser Umkreismittelpunkt liegen.
- Genau das gleiche gilt für alle Punkte, die von B und C den gleichen Abstand haben. Diese liegen auf der Mittelsenkrechte von BC (grün), auch auf dieser Linie muss also unser Umkreismittelpunkt liegen.
- Wenn der Umkreismittelpunkt nun aber sowohl auf der blauen Mittelsenkrechten von A und B als auch auf der
grünen Mittelsenkrechten von B und C liegen muss, kann er ja nur der Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten sein.
Wir können jetzt also die Koordinaten des Umkreismittelpunkts ablesen: M(5|0.1).
