Aufgabenbeispiele von mit Winkeln begründen
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Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 3
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite AB. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Da der Punkt D auf dem Thaleskreis liegt, steht die Strecke DB im rechten Winkel zur Strecke AC.
Es gilt somit:
δ +90° + 33° = 180°, oder δ = 90° - 33° =57°
(δ ist der gesamte Winkel in C).
Weil die Höhe auf C genau in der Mitte auf AB trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+33)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α + (ε+33) + δ=180°,
also 2⋅α +δ=180°,
oder 2⋅α =180°-δ =180°-57°=123°
also α = 123° : 2 = 61.5°.
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MA gleich lang sind, also ist MDA
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, also ist
auch γ=61.5°
Wegen des Dreieckswinkelsummensatzes gilt dann α + γ + β =
61.5° + 61.5° + β = 180°, also β = 180° - 123°
=57° .
Der Winkel φ liegt mit dem rechten Winkel im M und β=57° an einer Seite, also gilt
φ +90° + 57° = 180°, oder φ = 90° - 57°,somit
φ=33°.