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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(5 u + 7)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ${(5 u + 7)}^{2}$ = ${(5 u)}^{2} + 2 \cdot 5 u \cdot 7 + 7^{2}$ = $25 u^{2} + 70 u + 49$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $81 - 64 x^{2}$

Schon alleine an der Anzahl der Summanden (nämlich nur 2) erkennt, dass hier nur die
3. Binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²
möglich ist.

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $81$ ) als auch der letzte ( $64 x^{2}$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $9$ und für b dann $8 x$ einsetzen

Und tatsächlich passen auch die Vorzeichen

Das Ergbenis wäre dann also: $(9 + 8 x) \cdot (9 - 8 x)$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also $(9 + 8 x) \cdot (9 - 8 x)$ = $9 \cdot 9 + 9 \cdot (- 8 x) + 8 x \cdot 9 + 8 x \cdot (- 8 x)$ = $81 - 64 x^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $3 u^{2} - 24 u + 48$

$3 u^{2} - 24 u + 48$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $3$ aus.

$3 (u^{2} - 8 u + 16)$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

$3 {(u - 4)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 4$

Der hintere Term $4$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $4$ = 2⋅2 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=2

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅2

somit gilt: ☐= $4 x$