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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(2 - 6 s)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

anwenden kann.

also ${(2 - 6 s)}^{2}$ = $2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 6 s + {(6 s)}^{2}$ = $4 - 24 s + 36 s^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $16 x^{2} + 32 x + 16$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $32 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( $32 x$ ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $16 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $16$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $4 x$ und für b dann $4$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $32 x$ = 2⋅ $4 x$ ⋅ $4$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(4 x + 4)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(4 x + 4)}^{2}$ = $4 x \cdot 4 x + 4 x \cdot 4 + 4 \cdot 4 x + 4 \cdot 4$ = $16 x^{2} + 32 x + 16$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $2 x^{2} - 4 x + 2$

$2 x^{2} - 4 x + 2$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $2$ aus.

$2 (x^{2} - 2 x + 1)$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

$2 {(x - 1)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} - 4 x + ☐$

Der gemischte Term $- 4 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$- 4 x$ = 2⋅x⋅◇

also $- 2$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $- 2$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $(- 2)$ ²

somit gilt: ☐= $4$