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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
$(2 y + 3) \cdot (2 y - 3)$

Man erkennt sofort, dass in beiden Klammern jeweils die gleichen Summanden drin stecken und man somit die

3. binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²

anwenden kann.

also $(2 y + 3) \cdot (2 y - 3)$ = ${(2 y)}^{2} - 3^{2}$ = $4 y^{2} - 9$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $25 t^{2} + 90 t + 81$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $90 t$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( $90 t$ ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $25 t^{2}$ ) als auch der letzte ( $81$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $5 t$ und für b dann $9$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $90 t$ = 2⋅ $5 t$ ⋅ $9$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(5 t + 9)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(5 t + 9)}^{2}$ = $5 t \cdot 5 t + 5 t \cdot 9 + 9 \cdot 5 t + 9 \cdot 9$ = $25 t^{2} + 90 t + 81$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $y^{2} - 10 y + 25$

$y^{2} - 10 y + 25$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

${(y - 5)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} - 2 x + ☐$

Der gemischte Term $- 2 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$- 2 x$ = 2⋅x⋅◇

also $- 1$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $- 1$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $(- 1)$ ²

somit gilt: ☐= $1$