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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(7 - 3 b)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

anwenden kann.

also ${(7 - 3 b)}^{2}$ = $7^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 3 b + {(3 b)}^{2}$ = $49 - 42 b + 9 b^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $16 + 64 x + 64 x^{2}$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $64 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( $64 x$ ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $16$ ) als auch der letzte ( $64 x^{2}$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $4$ und für b dann $8 x$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $64 x$ = 2⋅ $4$ ⋅ $8 x$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(4 + 8 x)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(4 + 8 x)}^{2}$ = $4 \cdot 4 + 4 \cdot 8 x + 8 x \cdot 4 + 8 x \cdot 8 x$ = $16 + 64 x + 64 x^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $3 t^{2} - 27$

$3 t^{2} - 27$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $3$ aus.

$3 (t^{2} - 9)$

Durch Anwendung der 3. binomischen Formel erhalten wir:

$3 (t + 3) \cdot (t - 3)$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 25$

Der hintere Term $25$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $25$ = 5⋅5 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=5

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅5

somit gilt: ☐= $10 x$