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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(5 y + 8)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ${(5 y + 8)}^{2}$ = ${(5 y)}^{2} + 2 \cdot 5 y \cdot 8 + 8^{2}$ = $25 y^{2} + 80 y + 64$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $49 v^{2} + 126 v + 81$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $126 v$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( $126 v$ ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $49 v^{2}$ ) als auch der letzte ( $81$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $7 v$ und für b dann $9$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $126 v$ = 2⋅ $7 v$ ⋅ $9$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(7 v + 9)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(7 v + 9)}^{2}$ = $7 v \cdot 7 v + 7 v \cdot 9 + 9 \cdot 7 v + 9 \cdot 9$ = $49 v^{2} + 126 v + 81$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $x^{2} - 4$

$x^{2} - 4$

Durch Anwendung der 3. binomischen Formel erhalten wir:

$(x + 2) \cdot (x - 2)$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 9$

Der hintere Term $9$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $9$ = 3⋅3 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=3

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅3

somit gilt: ☐= $6 x$