Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(3 y + 5)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ${(3 y + 5)}^{2}$ = ${(3 y)}^{2} + 2 \cdot 3 y \cdot 5 + 5^{2}$ = $9 y^{2} + 30 y + 25$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $36 x^{2} - 96 x + 64$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $- 96 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( $- 96 x$ ) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $36 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $64$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $6 x$ und für b dann $8$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $- 96 x$ = -2⋅ $6 x$ ⋅ $8$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(6 x - 8)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(6 x - 8)}^{2}$ = $6 x \cdot 6 x + 6 x \cdot (- 8) - 8 \cdot 6 x - 8 \cdot (- 8)$ = $36 x^{2} - 96 x + 64$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $4 t^{2} + 24 t + 36$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$4 t^{2} + 24 t + 36$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $4$ aus.

$4 (t^{2} + 6 t + 9)$

Durch Anwendung der 1. binomischen Formel erhalten wir:

$4 {(t + 3)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 25$

Der hintere Term $25$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $25$ = 5⋅5 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=5

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅5

somit gilt: ☐= $10 x$