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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(2 r - s)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

anwenden kann.

also ${(2 r - s)}^{2}$ = ${(2 r)}^{2} - 2 \cdot 2 r \cdot s + {(s)}^{2}$ = $4 r^{2} - 4 r s + s^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $4 u^{2} - 49$

Schon alleine an der Anzahl der Summanden (nämlich nur 2) erkennt, dass hier nur die
3. Binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²
möglich ist.

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $4 u^{2}$ ) als auch der letzte ( $49$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $2 u$ und für b dann $7$ einsetzen

Und tatsächlich passen auch die Vorzeichen

Das Ergbenis wäre dann also: $(2 u + 7) \cdot (2 u - 7)$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also $(2 u + 7) \cdot (2 u - 7)$ = $2 u \cdot 2 u + 2 u \cdot (- 7) + 7 \cdot 2 u + 7 \cdot (- 7)$ = $4 u^{2} - 49$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- x^{2} - 2 x - 1$

$- x^{2} - 2 x - 1$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 1$ aus.

$- (x^{2} + 2 x + 1)$

Durch Anwendung der 1. binomischen Formel erhalten wir:

$- {(x + 1)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} - 6 x + ☐$

Der gemischte Term $- 6 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$- 6 x$ = 2⋅x⋅◇

also $- 3$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $- 3$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $(- 3)$ ²

somit gilt: ☐= $9$