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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(8 c + 3)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ${(8 c + 3)}^{2}$ = ${(8 c)}^{2} + 2 \cdot 8 c \cdot 3 + 3^{2}$ = $64 c^{2} + 48 c + 9$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $4 - 36 t^{2}$

Schon alleine an der Anzahl der Summanden (nämlich nur 2) erkennt, dass hier nur die
3. Binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²
möglich ist.

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $4$ ) als auch der letzte ( $36 t^{2}$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $2$ und für b dann $6 t$ einsetzen

Und tatsächlich passen auch die Vorzeichen

Das Ergbenis wäre dann also: $(2 + 6 t) \cdot (2 - 6 t)$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also $(2 + 6 t) \cdot (2 - 6 t)$ = $2 \cdot 2 + 2 \cdot (- 6 t) + 6 t \cdot 2 + 6 t \cdot (- 6 t)$ = $4 - 36 t^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- y^{2} + 2 y - 1$

$- y^{2} + 2 y - 1$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 1$ aus.

$- (y^{2} - 2 y + 1)$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

$- {(y - 1)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 49$

Der hintere Term $49$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $49$ = 7⋅7 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=7

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅7

somit gilt: ☐= $14 x$