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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(9 u + 8)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ${(9 u + 8)}^{2}$ = ${(9 u)}^{2} + 2 \cdot 9 u \cdot 8 + 8^{2}$ = $81 u^{2} + 144 u + 64$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $4 x^{2} + 8 x + 4$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $8 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( $8 x$ ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $4 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $4$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $2 x$ und für b dann $2$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $8 x$ = 2⋅ $2 x$ ⋅ $2$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(2 x + 2)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(2 x + 2)}^{2}$ = $2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot 2 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot 2$ = $4 x^{2} + 8 x + 4$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $3 v^{2} + 12 v + 12$

$3 v^{2} + 12 v + 12$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $3$ aus.

$3 (v^{2} + 4 v + 4)$

Durch Anwendung der 1. binomischen Formel erhalten wir:

$3 {(v + 2)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 1$

Der hintere Term $1$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $1$ = 1⋅1 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=1

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅1

somit gilt: ☐= $2 x$