$\text{f(x)}=$ $2{\left(3x+9\right)}^3-648x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $6{\left(3x+9\right)}^2·\left(3+0\right)-648$

= $18{\left(3x+9\right)}^2-648$

$\text{f''(x)}=$ $36\left(3x+9\right)·\left(3+0\right)+0$

= $324x+972$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$18{\left(3x+9\right)}^2-648$	=	0	| $+648$
$18{\left(3x+9\right)}^2$	=	$648$	|:$18$
${\left(3x+9\right)}^2$	=	$36$	|

1. Fall

2. Fall

Die Lösungen $-5$, $-1$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$-5$

f''($-5$) = $324\cdot \left(-5\right)+972$= $-1620+972$= $-648$ <0

Das heißt bei x = $-5$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-5$) = $2\cdot {\left(3\cdot \left(-5\right)+9\right)}^3-648\cdot \left(-5\right)$ = $2808$
Man erhält so den Hochpunkt H:($-5$| $2808$)

2.: x=$-1$

f''($-1$) = $324\cdot \left(-1\right)+972$= $-324+972$= $648$ >0

Das heißt bei x = $-1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-1$) = $2\cdot {\left(3\cdot \left(-1\right)+9\right)}^3-648\cdot \left(-1\right)$ = $1080$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-1$| $1080$)

$\text{f(x)}=$ $x^3-48x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2-48$

$\text{f''(x)}=$ $6x+0$

= $6x$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$3x^2-48$	=	0	| $+48$
$3x^2$	=	$48$	|:$3$
$x^2$	=	$16$	|
x1	=	$-\sqrt{16}$	= $-4$
x2	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Die Lösungen $-4$, $4$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$-4$

f''($-4$) = $6\cdot \left(-4\right)$= $-24$= $-24$ <0

Das heißt bei x = $-4$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-4$) = ${\left(-4\right)}^3-48\cdot \left(-4\right)$ = $128$
Man erhält so den Hochpunkt H:($-4$| $128$)

2.: x=$4$

f''($4$) = $6\cdot 4$= $24$= $24$ >0

Das heißt bei x = $4$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($4$) = $4^3-48\cdot 4$ = $-128$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($4$| $-128$)

Wir sehen am positiven Vorzeichen vor der höchsten Potenz ( $\frac{3}{4}{x}^4$), dass für sehr große und sehr kleine x-Werte die y-Werte immer positiv sind. Um nachzuweisen, dass es keinen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen wir also zeigen, dass alle Punkte positiv sind. Dies geht am einfachsten, wenn man sich alle Tiefpunkte anschaut. Wir berechnen also erstmal die Extrempunkte:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4+x^3-3x^2+11$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^3+3x^2-6x+0$

= $3x^3+3x^2-6x$

$\text{f''(x)}=$ $9x^2+6x-6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$3x^3+3x^2-6x$	=	0
$3x\left(x^2+x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösungen $-2$, 0, $1$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$-2$

f''($-2$) = $9\cdot {\left(-2\right)}^2+6\cdot \left(-2\right)-6$= $9\cdot 4-12-6$= $18$ >0

Das heißt bei x = $-2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-2$) = $\frac{3}{4}\cdot {\left(-2\right)}^4+{\left(-2\right)}^3-3\cdot {\left(-2\right)}^2+11$ = $3$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-2$| $3$)

2.: x=$0$

f''($0$) = $9\cdot 0^2+6\cdot 0-6$= $9\cdot 0+0-6$= $-6$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($0$) = $\frac{3}{4}\cdot 0^4+0^3-3\cdot 0^2+11$ = $11$
Man erhält so den Hochpunkt H:($0$| $11$)

3.: x=$1$

f''($1$) = $9\cdot 1^2+6\cdot 1-6$= $9\cdot 1+6-6$= $9$ >0

Das heißt bei x = $1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($1$) = $\frac{3}{4}\cdot 1^4+1^3-3\cdot 1^2+11$ = $\frac{39}{4}$ ≈ 9.75
Man erhält so den Tiefpunkt T:($1$| $\frac{39}{4}$)

≈ T:(1|9.75)

Eigentlich hätte es gereicht nur die Tiefpunkte zu untersuchen.

Wir sehen also, dass selbst der niedrigste Tiefpunkt einen positiven y-Wert hat. Also müssen alle Punkte über der x-Achse liegen.

Der niedrigste Punkt muss ja ein Tiefpunkt sein, daher sehen wir dass der Tiefpunkt (-2|$3$) der niedrigste Punkt, also der Punkt mit dem geringsten Abstand zur x-Achse ist.

Dieser geringste Abstand ist also |$3$| = 3.

$\text{f(x)}=$ $2x·e^{-2x}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $2·1·e^{-2x}+2x·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $e^{-2x}·\left(-4x+2\right)$

$\text{f''(x)}=$ $\left(-4+0\right)·e^{-2x}+\left(-4x+2\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $e^{-2x}·\left(8x-4-4\right)$

= $\left(8x-8\right)e^{-2x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$\left(-4x+2\right)·e^{-2x}$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösung x= $\frac{1}{2}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''($\frac{1}{2}$) = $e^{-2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)}·\left(8\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-4-4\right)$= $e^{-1}·\left(4-4-4\right)$= $-4e^{-1}$ <0

Das heißt bei x = $\frac{1}{2}$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($\frac{1}{2}$) = $2·\frac{1}{2}·e^{-2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)}$ = $e^{-1}$ ≈ 0.368
Man erhält so den Hochpunkt H:($\frac{1}{2}$| $e^{-1}$)

≈ H:(0.5|0.368)

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x-3\right)·e^{\frac{1}{2}x}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $\left(-2+0\right)·e^{\frac{1}{2}x}+\left(-2x-3\right)·e^{\frac{1}{2}x}·\frac{1}{2}$

= $e^{\frac{1}{2}x}·\left(-x-\frac{3}{2}-2\right)$

= $\left(-x-\frac{7}{2}\right)e^{\frac{1}{2}x}$

$\text{f''(x)}=$ $\left(-1+0\right)·e^{\frac{1}{2}x}+\left(-x-\frac{7}{2}\right)·e^{\frac{1}{2}x}·\frac{1}{2}$

= $e^{\frac{1}{2}x}·\left(-\frac{1}{2}x-\frac{7}{4}-1\right)$

= $\left(-\frac{1}{2}x-\frac{11}{4}\right)e^{\frac{1}{2}x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$\left(-x-\frac{7}{2}\right)·e^{\frac{1}{2}x}$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösung x= $-\frac{7}{2}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''($-\frac{7}{2}$) = $e^{\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{7}{2}\right)}·\left(-\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{7}{2}\right)-\frac{7}{4}-1\right)$= $e^{-\frac{7}{4}}·\left(\frac{7}{4}-\frac{7}{4}-1\right)$= $-e^{-\frac{7}{4}}$ <0

Das heißt bei x = $-\frac{7}{2}$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-\frac{7}{2}$) = $\left(-2\cdot \left(-\frac{7}{2}\right)-3\right)·e^{\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{7}{2}\right)}$ = $4e^{-\frac{7}{4}}$ ≈ 0.695
Man erhält so den Hochpunkt H:($-\frac{7}{2}$| $4e^{-\frac{7}{4}}$)

≈ H:(-3.5|0.695)

$\text{f(x)}=$ $x^2·\left(x-6\right)$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $2x·\left(x-6\right)+x^2·\left(1+0\right)$

= $2x\left(x-6\right)+x^2·\left(1\right)$

= $2x\left(x-6\right)+x^2$

$\text{f''(x)}=$ $2x+(2·1·\left(x-6\right)+2x·\left(1+0\right))$

= $2x+(2\left(x-6\right)+2x·\left(1\right))$

= $2x+\left(2\left(x-6\right)+2x\right)$

= $2x+\left(2x-12+2x\right)$

= $2x+\left(4x-12\right)$

= $4x+2x-12$

= $6x-12$

$\text{f'''(x)}=$ $6+0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-12$	=	0	| $+12$
$6x$	=	$12$	|:$6$
$x$	=	$2$

Die Lösung x= $2$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $2$:

f'''($2$) = $6+0$= $6$

Da f'''($2$)≠0, haben wir bei x = $2$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($2$) = $2^2·\left(2-6\right)$ = $-16$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($2$| $-16$)

Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$\text{f(x)}=$ $x^3-15x^2+9x+2$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-30x+9+0$

= $3x^2-30x+9$

$\text{f''(x)}=$ $6x-30+0$

= $6x-30$

$\text{f'''(x)}=$ $6+0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-30$	=	0	| $+30$
$6x$	=	$30$	|:$6$
$x$	=	$5$

Die Lösung x= $5$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $5$:

f'''($5$) = $6+0$= $6$

Da f'''($5$)≠0, haben wir bei x = $5$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($5$) = $5^3-15\cdot 5^2+9\cdot 5+2$ = $-203$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($5$| $-203$)

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(5)}=$ $3\cdot 5^2-30\cdot 5+9$

= $3\cdot 25-150+9$

= $75-150+9$

= $-66$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-66$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(5)}=$ $5^3-15\cdot 5^2+9\cdot 5+2$ = $125-15\cdot 25+45+2$ = $125-375+45+2$ = $-203$

Wir erhalten so also den Punkt B(5| $-203$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-203$ = $-66$⋅5 + c

$-203$ = $-330$ + c | + $330$

$127$ = c

also c= $127$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-66$⋅x + $127$

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $-t{x}^2+t^{2}x$

$\text{f'(x)}=$ $-2tx+t^2$

In diese Ableitung setzen wir x=$1$ ein:

f'($1$) = $-2t\cdot 1+t^2$ = $-2t+t^2$ = $t^2-2t$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $-\frac{8}{9}$x-8 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($1$)= $t^2-2t$ soll gleich $-\frac{8}{9}$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $t^2-2t$ = $-\frac{8}{9}$ nach t auf.

$t^2-2t$

=

$-\frac{8}{9}$

| $+\frac{8}{9}$

$t^2-2t+\frac{8}{9}$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

t_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\frac{8}{9}}}{2\cdot 1}$

t_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4-\frac{32}{9}}}{2}$

t_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{\frac{4}{9}}}{2}$

t₁ = $\frac{2+\sqrt{\frac{4}{9}}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{\frac{8}{3}}{2}$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.33

t₂ = $\frac{2-\sqrt{\frac{4}{9}}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{\frac{4}{3}}{2}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

Für t= $\frac{2}{3}$ und t= $\frac{4}{3}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}+2\right)$

= $\left(-\mathrm{0,2}x+\mathrm{2,6}\right)e^{-\mathrm{0,1}x}$

$\text{f''(x)}=$ $\left(-\mathrm{0,2}+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+\left(-\mathrm{0,2}x+\mathrm{2,6}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(\mathrm{0,02}x-\mathrm{0,26}-\mathrm{0,2}\right)$

= $\left(\mathrm{0,02}x-\mathrm{0,46}\right)e^{-\mathrm{0,1}x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$\left(-\mathrm{0,2}x+\mathrm{2,6}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösung x= $13$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''($13$) = $e^{-\mathrm{0,1}\cdot 13}·\left(\mathrm{0,02}\cdot 13-\mathrm{0,26}-\mathrm{0,2}\right)$= $e^{-\mathrm{1,3}}·\left(\mathrm{0,26}-\mathrm{0,26}-\mathrm{0,2}\right)$= $-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{1,3}}$ <0

Das heißt bei x = $13$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($13$) = $2·\left(13-3\right)·e^{-\mathrm{0,1}\cdot 13}-1$ = $20e^{-\mathrm{1,3}}-1$ ≈ 4.451
Man erhält so den Hochpunkt H:($13$| $20e^{-\mathrm{1,3}}-1$)

≈ H:(13|4.451)

Wir schreiben u für den x-Wert des Punkts P und da der Punkt P auf dem Graph von f liegt, muss der y-Wert f(u) sein, also P(u|f(u)).

An der Skizze erkennt man, dass dann die Seiten des achsenparallelen Rechteck die Längen u und f(u) haben. Folglich gilt für den Flächeninhalt dieses Rechtecks:
A = u ⋅ f(u) = $u·\left(-\frac{1}{3}{u}^2-2u+45\right)$ = $-\frac{1}{3}{u}^3-2u^2+45u$

Wir suchen also ein Maximum von

$\text{A(u)}=$ $-\frac{1}{3}{u}^3-2u^2+45u$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{A'(u)}=$ $-u^2-4u+45$

$\text{A''(u)}=$ $-2u-4+0$

= $-2u-4$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist A'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also A'(u) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von A zu bestimmen.

$-u^2-4u+45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·\left(-1\right)·45}}{2\cdot \left(-1\right)}$

u_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{16+180}}{-2}$

u_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{196}}{-2}$

u₁ = $\frac{4+\sqrt{196}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>14</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{18}{-2}$ = $-9$

u₂ = $\frac{4-\sqrt{196}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>14</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{-2}$ = $5$

Die Lösungen $-9$, $5$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in A''(u):

Ist A''(u) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u₀)=0 und A''(u₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u₀)=0 und A'(u₀)>0).

1.: u=$-9$

A''($-9$) = $-2\cdot \left(-9\right)-4$= $18-4$= $14$ >0

Das heißt bei u = $-9$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende u-Wert in A(u) eingesetzt werden.
A($-9$) = $-\frac{1}{3}\cdot {\left(-9\right)}^3-2\cdot {\left(-9\right)}^2+45\cdot \left(-9\right)$ = $-324$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-9$| $-324$)

2.: u=$5$

A''($5$) = $-2\cdot 5-4$= $-10-4$= $-14$ <0

Das heißt bei u = $5$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende u-Wert in A(u) eingesetzt werden.
A($5$) = $-\frac{1}{3}\cdot 5^3-2\cdot 5^2+45\cdot 5$ = $\frac{400}{3}$ ≈ 133.333
Man erhält so den Hochpunkt H:($5$| $\frac{400}{3}$)

≈ H:(5|133.333)

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir also, wenn wir als x-Koordinate des gesuchten Punkts u = $5$ wählen.

Den zugehörigen y-Wert erhalten wir, wenn wir x = $5$ in f(x) einsetzen:

f($5$) = $-\frac{1}{3}\cdot 5^2-2\cdot 5+45$ = $\frac{80}{3}$

Somit sind die Koordinaten des gesuchten Punkts P($5$| $\frac{80}{3}$)

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir ja, wenn wir u = $5$ in die zu maximierende Flächeninhaltsfunktion A(u) einsetzen. Dies wurde ja bereits oben bei der hinreichenden Bedingung gemacht, somit ist der maximale Flächeninhalt A($5$) = $\frac{400}{3}$.

Als Zielfunktion für die Spielstärke ergibt sich somit S(x) = $x·\left(\frac{1}{9}\left(36-18x\right)\right)$

= $\frac{1}{9}x\left(36-18x\right)$

= $\frac{1}{9}x·36+\frac{1}{9}x·\left(-18x\right)$

= $-2x^2+4x$.

Da diese Zielfunktion für die Spielstärke maximal werden soll, suchen wir deren Maximum:

$\text{S(x)}=$ $-2x^2+4x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{S'(x)}=$ $-4x+4$

$\text{S''(x)}=$ $-4+0$

= $-4$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist S'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also S'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von S zu bestimmen.

$-4x+4$	=	0	| $-4$
$-4x$	=	$-4$	|:($-4$)
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in S''(x):

Ist S''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: S'(x₀)=0 und S''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: S'(x₀)=0 und S'(x₀)>0).

S''($1$) = $-4$= $-4$= $-4$ <0

Das heißt bei x = $1$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in S(x) eingesetzt werden.
S($1$) = $-2\cdot 1^2+4\cdot 1$ = $2$
Man erhält so den Hochpunkt H:($1$| $2$)

Die maximale Spielstärke erhalten wir also, wenn wir x = $1$ (, also $1$ Booster) wählen.

Die zugehörige Anzahl an Weisheitspillen erhalten wir, wenn wir $1$ in y = $\frac{1}{9}\left(36-18x\right)$ einsetzen, y = $\frac{1}{9}\left(36-18\cdot 1\right)$ ≈ 2.

Als maximale Spielstärke der Figur erhalten wir:
S($1$) = $1·\left(\frac{1}{9}\left(36-18\cdot 1\right)\right)$
= $1·\left(\frac{1}{9}\left(36-18\right)\right)$
= $1·\frac{1}{9}·18$
= $2$.