Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Extrempunkte (schwerer) BF

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- {(3 x + 6)}^{2} + 18 x$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(3 x + 6)}^{2} + 18 x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- 2 (3 x + 6) \cdot (3 + 0) + 18$

= $- 18 x - 18$

$f''(x) =$ $- 18 + 0$

= $- 18$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- 18 x - 18$	=	0	\| $+ 18$
$- 18 x$	=	$18$	\|:( $- 18$ )
$x$	=	$- 1$

Die Lösung x= $- 1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''( $- 1$ ) = $- 18$ = $- 18$ = $- 18$ <0

Das heißt bei x = $- 1$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 1$ ) = $- {(3 \cdot (- 1) + 6)}^{2} + 18 \cdot (- 1)$ = $- 27$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 1$ | $- 27$ )

Extrempunkte (schwerer)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{2} - 4 x + 3$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{2} - 4 x + 3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- 2 x - 4 + 0$

= $- 2 x - 4$

$f''(x) =$ $- 2 + 0$

= $- 2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- 2 x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 2$

Die Lösung x= $- 2$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''( $- 2$ ) = $- 2$ = $- 2$ = $- 2$ <0

Das heißt bei x = $- 2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 3$ = $7$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 2$ | $7$ )

Minimaler Abstand zur x-Achse

Beispiel:

Zeige, dass der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{4} x^{4} + \frac{3}{2} x^{2} - 3$ die x-Achse nicht schneidet. Welcher Punkt hat den kleinsten Abstand zur x-Achse?

Bestimme diesen kleinsten Abstand.

Lösung einblenden

Wir sehen am negativen Vorzeichen vor der höchsten Potenz ( $- \frac{3}{4} x^{4}$ ), dass für sehr große und sehr kleine x-Werte die y-Werte immer negativ sind. Um nachzuweisen, dass es keinen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen wir also zeigen, dass alle Punkte negativ sind. Dies geht am einfachsten, wenn man sich alle Hochpunkte anschaut. Wir berechnen also erstmal die Extrempunkte:

$f(x) =$ $- \frac{3}{4} x^{4} + \frac{3}{2} x^{2} - 3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- 3 x^{3} + 3 x + 0$

= $- 3 x^{3} + 3 x$

$f''(x) =$ $- 9 x^{2} + 3$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- 3 x^{3} + 3 x$	=	0
$3 x (- x^{2} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Die Lösungen $- 1$ , 0, $1$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x= $- 1$

f''( $- 1$ ) = $- 9 \cdot {(- 1)}^{2} + 3$ = $- 9 \cdot 1 + 3$ = $- 6$ <0

Das heißt bei x = $- 1$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 1$ ) = $- \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 3$ = $- \frac{9}{4}$ ≈ -2.25
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 1$ | $- \frac{9}{4}$ )

≈ H:(-1|-2.25)

2.: x= $0$

f''( $0$ ) = $- 9 \cdot 0^{2} + 3$ = $- 9 \cdot 0 + 3$ = $3$ >0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $- \frac{3}{4} \cdot 0^{4} + \frac{3}{2} \cdot 0^{2} - 3$ = $- 3$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ | $- 3$ )

3.: x= $1$

f''( $1$ ) = $- 9 \cdot 1^{2} + 3$ = $- 9 \cdot 1 + 3$ = $- 6$ <0

Das heißt bei x = $1$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $1$ ) = $- \frac{3}{4} \cdot 1^{4} + \frac{3}{2} \cdot 1^{2} - 3$ = $- \frac{9}{4}$ ≈ -2.25
Man erhält so den Hochpunkt H:( $1$ | $- \frac{9}{4}$ )

≈ H:(1|-2.25)

Eigentlich hätte es gereicht nur die Hochpunkte zu untersuchen.

Wir sehen also, dass selbst der höchste Hochpunkt einen negativen y-Wert hat. Also müssen alle Punkte unter der x-Achse liegen.

Der höchste Punkt muss ja ein Hochpunkt sein, daher sehen wir dass der Hochpunkt (-1| $- \frac{9}{4}$ ) der höchste Punkt, also der Punkt mit dem geringsten Abstand zur x-Achse ist.

Dieser geringste Abstand ist also | $- \frac{9}{4}$ | = 2.25.

Extrempunkte e-Funktion BF

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x \cdot e^{x}$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x \cdot e^{x}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $2 \cdot 1 \cdot e^{x} + 2 x \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (2 x + 2)$

$f''(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{x} + (2 x + 2) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (2 x + 2 + 2)$

= $(2 x + 4) e^{x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

(2 x + 2) \cdot e^{x}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösung x= $- 1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''( $- 1$ ) = $e^{- 1} \cdot (2 \cdot (- 1) + 2 + 2)$ = $e^{- 1} \cdot (- 2 + 2 + 2)$ = $2 e^{- 1}$ >0

Das heißt bei x = $- 1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 1$ ) = $2 \cdot (- 1) \cdot e^{- 1}$ = $- 2 e^{- 1}$ ≈ -0.736
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 1$ | $- 2 e^{- 1}$ )

≈ T:(-1|-0.736)

Extrempunkte (e-Funktionen)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x}$ :

Bitte alle Werte (mit dem WTR) fertig rechnen und als als Dezimalzahlen angeben.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (2 x + x^{2})$

= $(x^{2} + 2 x) e^{x}$

$f''(x) =$ $(2 x + 2) \cdot e^{x} + (x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (2 x + 2 + (x^{2} + 2 x))$

= $(x^{2} + 4 x + 2) e^{x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösungen $- 2$ , 0 sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x= $- 2$

f''( $- 2$ ) = $e^{- 2} \cdot (2 \cdot (- 2) + 2 + ({(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2)))$ = $e^{- 2} \cdot (- 4 + 2 + (4 - 4))$ = $- 2 e^{- 2}$ <0

Das heißt bei x = $- 2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} \cdot e^{- 2}$ = $4 e^{- 2}$ ≈ 0.541
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 2$ | $4 e^{- 2}$ )

≈ H:(-2|0.541)

2.: x= $0$

f''( $0$ ) = $e^{0} \cdot (2 \cdot 0 + 2 + (0^{2} + 2 \cdot 0))$ = $1 \cdot (0 + 2 + (0 + 0))$ = $2$ >0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $0^{2} \cdot e^{0}$ = 0
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ |0)

Wendepunkte (schwerer) BF

Beispiel:

Berechne alle Wendepunkte von f mit $f(x) =$ $x \cdot {(x - 3)}^{2}$ :

Lösung einblenden

Zuerst multiplizieren wir den Term aus

$x \cdot {(x - 3)}^{2}$

$f(x) =$ $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 12 x + 9$

$f''(x) =$ $6 x - 12 + 0$

= $6 x - 12$

$f'''(x) =$ $6 + 0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 12$	=	0	\| $+ 12$
$6 x$	=	$12$	\|: $6$
$x$	=	$2$

Die Lösung x= $2$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $2$ :

f'''( $2$ ) = $6 + 0$ = $6$

Da f'''( $2$ )≠0, haben wir bei x = $2$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $2$ ) = $2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2$ = $2$
Man erhält so den Wendepunkt: WP( $2$ | $2$ )

Wendetangente

Beispiel:

Bestimme eine Gleichung der Tangente im Wendepunkte des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 2$ :

Lösung einblenden

Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$f(x) =$ $x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 2$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} + 6 x - 9 + 0$

= $3 x^{2} + 6 x - 9$

$f''(x) =$ $6 x + 6 + 0$

= $6 x + 6$

$f'''(x) =$ $6 + 0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$6 x$	=	$- 6$	\|: $6$
$x$	=	$- 1$

Die Lösung x= $- 1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $- 1$ :

f'''( $- 1$ ) = $6 + 0$ = $6$

Da f'''( $- 1$ )≠0, haben wir bei x = $- 1$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{3} + 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 9 \cdot (- 1) - 2$ = $9$
Man erhält so den Wendepunkt: WP( $- 1$ | $9$ )

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(-1) =$ $3 \cdot {(- 1)}^{2} + 6 \cdot (- 1) - 9$

= $3 \cdot 1 - 6 - 9$

= $3 - 6 - 9$

= $- 12$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 12$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(-1) =$ ${(- 1)}^{3} + 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 9 \cdot (- 1) - 2$ = $(- 1) + 3 \cdot 1 + 9 - 2$ = $- 1 + 3 + 9 - 2$ = $9$

Wir erhalten so also den Punkt B(-1| $9$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$9$ = $- 12$ ⋅(-1) + c

$9$ = $12$ + c | $- 12$

$- 3$ = c

also c= $- 3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 12$ ⋅x $- 3$

bestimmter x-Wert eines WP (ohne e)

Beispiel:

Die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $t x^{3} - 6 x^{2} - 4 x + 5 t$ besitzt genau einen Wendepunkt. Für welchen Wert von t ist der Wendepunkt auf der Geraden x= $- 2$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{3} - 6 x^{2} - 4 x + 5 t$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$f'(x) =$ $3 t x^{2} - 12 x - 4 + 0$

= $3 t x^{2} - 12 x - 4$

$f''(x) =$ $6 t x - 12 + 0$

= $6 t x - 12$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 t x - 12$	=	0	\| $+ 12$
$6 t x$	=	$12$	\|:( $6 t$ )
$x$	=	$2 \cdot \frac{1}{t}$

Die Lösung x= $2 \cdot \frac{1}{t}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Da in der Aufgabenstellung bereits angegeben ist, dass es genau einen Wendepunkt gibt, wissen wir also schon, dass unser Kandidat diese Wendestelle sein muss, und wir müssen ihn nicht weiter mit einer hinreichenden Bedingung prüfen.

Wir können also unsere mit Parameter behaftete Wendestelle mit der Vorgabe aus der Aufgabenstellung (x= $- 2$ ) gleichsetzen und nach t auflösen

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $t$ weg!

$\frac{2}{t}$	=	$- 2$	\|⋅( $t$ )
$\frac{2}{t} \cdot t$	=	$- 2 \cdot t$
$2$	=	$- 2 t$

$2$	=	$- 2 t$	\| $- 2$ $+ 2 t$
$2 t$	=	$- 2$	\|: $2$
$t$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Für t= $- 1$ liegt die Wendestelle auf der Geraden x= $- 2$ .

Extrempunkte e-Funktion Anwend.

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5 x - 2 + 1)$

= $(- 0,5 x - 1) e^{- 0,5 x}$

$f''(x) =$ $(- 0,5 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + (- 0,5 x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (0,25 x + 0,5 - 0,5)$

= $0,25 x e^{- 0,5 x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

(- 0,5 x - 1) \cdot e^{- 0,5 x}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 0,5 x - 1$	=	0	\| $+ 1$
$- 0,5 x$	=	$1$	\|:( $- 0,5$ )
x₁	=	$- 2$

2. Fall:

e^{- 0,5 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösung x= $- 2$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''( $- 2$ ) = $e^{- 0,5 \cdot (- 2)} \cdot (0,25 \cdot (- 2) + 0,5 - 0,5)$ = $e^{1} \cdot (- 0,5 + 0,5 - 0,5)$ = $- 0,5 e^{1}$ <0

Das heißt bei x = $- 2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 2$ ) = $(- 2 + 4) \cdot e^{- 0,5 \cdot (- 2)} + 6$ = $6 + 2 e$ ≈ 11.437
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 2$ | $6 + 2 e$ )

≈ H:(-2|11.437)

max. Flächeninhalt am Graph

Beispiel:

Der Punkte P liegt im 1. Quadrant auf dem Graph der Funktion f mit $- 2 x^{2} + \frac{3}{2}$ . Er bildet mit dem Ursprung ein achsenparalleles Rechteck. Bestimme die Koordinaten vom P so, dass der Inhalt dieses Rechteckes maximal wird und gib diesen maximalen Flächeninhalt an.

Lösung einblenden

Wir schreiben u für den x-Wert des Punkts P und da der Punkt P auf dem Graph von f liegt, muss der y-Wert f(u) sein, also P(u|f(u)).

An der Skizze erkennt man, dass dann die Seiten des achsenparallelen Rechteck die Längen u und f(u) haben. Folglich gilt für den Flächeninhalt dieses Rechtecks:
A = u ⋅ f(u) = $u \cdot (- 2 u^{2} + \frac{3}{2})$ = $- 2 u^{3} + \frac{3}{2} u$

Wir suchen also ein Maximum von

$A(u) =$ $- 2 u^{3} + \frac{3}{2} u$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $A'(u) =$ $- 6 u^{2} + \frac{3}{2}$

$A''(u) =$ $- 12 u + 0$

= $- 12 u$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist A'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also A'(u) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von A zu bestimmen.

$- 6 u^{2} + \frac{3}{2}$	=	0	\| $- \frac{3}{2}$
$- 6 u^{2}$	=	$- \frac{3}{2}$	\|: $(- 6)$
$u^{2}$	=	$\frac{1}{4}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{\frac{1}{4}}$	= $- \frac{1}{2}$
u₂	=	$\sqrt{\frac{1}{4}}$	= $\frac{1}{2}$

Die Lösungen $- \frac{1}{2}$ , $\frac{1}{2}$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in A''(u):

Ist A''(u) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u₀)=0 und A''(u₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u₀)=0 und A'(u₀)>0).

A''( $\frac{1}{2}$ ) = $- 12 \cdot (\frac{1}{2})$ = $- 6$ = $- 6$ <0

Das heißt bei u = $\frac{1}{2}$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende u-Wert in A(u) eingesetzt werden.
A( $\frac{1}{2}$ ) = $- 2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2})$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5
Man erhält so den Hochpunkt H:( $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ )

≈ H:(0.5|0.5)

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir also, wenn wir als x-Koordinate des gesuchten Punkts u = $\frac{1}{2}$ wählen.

Den zugehörigen y-Wert erhalten wir, wenn wir x = $\frac{1}{2}$ in f(x) einsetzen:

f( $\frac{1}{2}$ ) = $- 2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{2}$ = $1$

Somit sind die Koordinaten des gesuchten Punkts P( $\frac{1}{2}$ | $1$ )

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir ja, wenn wir u = $\frac{1}{2}$ in die zu maximierende Flächeninhaltsfunktion A(u) einsetzen. Dies wurde ja bereits oben bei der hinreichenden Bedingung gemacht, somit ist der maximale Flächeninhalt A( $\frac{1}{2}$ ) = $\frac{1}{2}$ .

Extremwertaufgabe (+Nebenbed.)

Beispiel:

Eine Firma, die Elektroautos herstellt, verkauft in einem Land 40000 Autos im Jahr. Dabei verdient sie an jedem Auto im Schnitt 4000 €. Marktforschungen haben nun ergeben, dass Preisreduzierungen von 100€ pro Auto jeweils eine Steigerung der Anzahl der verkauften Autos um 10% zur Folge hätten. Bei welcher Preisreduzierung würde das Unternehmen den größten Gewinn erwirtschaften?

Lösung einblenden

Als Zielfunktion für den Gewinn ergibt sich somit G(x) = $(4 000 - 100 x) \cdot (40 000 + 0,1 x \cdot 40 000)$

= $(- 100 x + 4 000) \cdot (40 000 + 4 000 x)$

= $- 100 x \cdot 40 000 - 100 x \cdot 4 000 x + 4 000 \cdot 40 000 + 4 000 \cdot 4 000 x$

= $- 400 000 x^{2} + 12 000 000 x + 160 000 000$ .

Da diese Zielfunktion für den Gewinn maximal werden soll, suchen wir deren Maximum:

$G(x) =$ $- 400 000 x^{2} + 12 000 000 x + 160 000 000$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $G'(x) =$ $- 800 000 x + 12 000 000 + 0$

= $- 800 000 x + 12 000 000$

$G''(x) =$ $- 800 000 + 0$

= $- 800 000$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist G'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also G'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von G zu bestimmen.

$- 800 000 x + 12 000 000$	=	0	\| $- 12 000 000$
$- 800 000 x$	=	$- 12 000 000$	\|:( $- 800 000$ )
$x$	=	$15$

Die Lösung x= $15$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in G''(x):

Ist G''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: G'(x₀)=0 und G''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: G'(x₀)=0 und G'(x₀)>0).

G''( $15$ ) = $- 800 000$ = $- 800 000$ = $- 800 000$ <0

Das heißt bei x = $15$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in G(x) eingesetzt werden.
G( $15$ ) = $- 400 000 \cdot 15^{2} + 12 000 000 \cdot 15 + 160 000 000$ = $250 000 000$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $15$ | $250 000 000$ )

Den maximalen Gewinn erhalten wir also, wenn wir x = $15$ (, also $15$ 100€-Schritte in der Preisreduzierung) wählen.

Als maximaler Gesamtgewinn erhalten wir:
G( $15$ ) = $(4 000 - 100 \cdot 15) \cdot (40 000 + 0,1 \cdot 15 \cdot 40 000)$
= $(4 000 - 1 500) \cdot (40 000 + 60 000)$
= $2 500 \cdot (40 000 + 60 000)$
= $250 000 000$ .

Aufgabenbeispiele von Extrem- + Wendepkte

Extrempunkte (schwerer) BF

Extrempunkte (schwerer)

Minimaler Abstand zur x-Achse

1.: x=-1

2.: x=0

3.: x=1

Extrempunkte e-Funktion BF

Extrempunkte (e-Funktionen)

1.: x=-2

2.: x=0

Wendepunkte (schwerer) BF

Wendetangente

bestimmter x-Wert eines WP (ohne e)

Extrempunkte e-Funktion Anwend.

max. Flächeninhalt am Graph

Extremwertaufgabe (+Nebenbed.)

1.: x= $- 1$

2.: x= $0$

3.: x= $1$

1.: x= $- 2$

2.: x= $0$