Aufgabenbeispiele von Extrem- + Wendepkte

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Extrempunkte (schwerer) BF

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit f(x)= - 1 2 ( 2x -2 ) 2 -12 :

Lösung einblenden

f(x)= - 1 2 ( 2x -2 ) 2 -12

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>f'(x)= -( 2x -2 ) · ( 2 +0 )+0

= -4x +4

f''(x)= -4 +0

= -4

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

-4x +4 = 0 | -4
-4x = -4 |:(-4 )
x = 1

Die Lösung x= 1 ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x0)=0 und f''(x0)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x0)=0 und f'(x0)>0).

f''(1 ) = -4 = -4 = -4 <0

Das heißt bei x = 1 ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f(1 ) = - 1 2 ( 21 -2 ) 2 -12 = -12
Man erhält so den Hochpunkt H:(1 | -12 )

Extrempunkte (schwerer)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit f(x)= - 1 6 ( x 2 -1 ) 3 +3 :

Lösung einblenden

f(x)= - 1 6 ( x 2 -1 ) 3 +3

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>f'(x)= - 1 2 ( x 2 -1 ) 2 · ( 2x +0 )+0

= - ( x 2 -1 ) 2 x

f''(x)= - 1 · ( x 2 -1 ) 2 - x · 2( x 2 -1 ) · ( 2x +0 )

= - ( x 2 -1 ) 2 -4 x 2 ( x 2 -1 )

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

- x ( x 2 -1 ) 2 = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

( x 2 -1 ) 2 = 0 | 2
x 2 -1 = 0
x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | 2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

Die Lösungen -1 , 0, 1 sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x0)=0 und f''(x0)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x0)=0 und f'(x0)>0).


1.: x=-1

f''(-1 ) = - ( ( -1 ) 2 -1 ) 2 -4 · ( -1 ) 2 · ( ( -1 ) 2 -1 ) = - ( 1 -1 ) 2 -4 · 1 · ( 1 -1 ) = 0+0 =0

Leider hilft uns in diesem Fall die hinreichende Bedingung nicht weiter :(

Wir müssen also auf Vorzeichenwechsel überprüfen. Dazu betrachten wir die beiden Intervalle um x=-1 herum:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Also (-∞ ; -1) und (-1 ; 0). Da f' auf diesen Intervallen stetig ist, keine Definitionslücken und vor allem keine weiteren Nullstellen hat, muss das Vorzeichen von f' jeweils auf diesen gesamten Intervallen gleich sein. Es genügt also an einer Stelle des Intervalls, das Vorzeichen zu untersuchen:

(-∞ ; -1): Wir wählen x=-2∈(-∞ ; -1): f'(-2)= - ( ( -2 ) 2 -1 ) 2 · ( -2 ) = 18 also > 0

(-1 ; 0): Wir wählen x=-0.5∈(-1 ; 0): f'(-0.5)= - ( ( -0,5 ) 2 -1 ) 2 · ( -0,5 ) = 0.28125 also > 0

Es liegt also kein Vorzeichenwechsel in f' vor, also haben wir bei x= -1 keinen Extrempunkt (sondern einen Sattelpunkt).


2.: x=0

f''(0 ) = - ( 0 2 -1 ) 2 -4 · 0 2 · ( 0 2 -1 ) = - ( 0 -1 ) 2 -4 · 0 · ( 0 -1 ) = -1 <0

Das heißt bei x = 0 ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f(0 ) = - 1 6 ( 0 2 -1 ) 3 +3 = 19 6 ≈ 3.167
Man erhält so den Hochpunkt H:(0 | 19 6 )

≈ H:(0|3.167)


3.: x=1

f''(1 ) = - ( 1 2 -1 ) 2 -4 · 1 2 · ( 1 2 -1 ) = - ( 1 -1 ) 2 -4 · 1 · ( 1 -1 ) = 0+0 =0

Leider hilft uns in diesem Fall die hinreichende Bedingung nicht weiter :(

Wir müssen also auf Vorzeichenwechsel überprüfen. Dazu betrachten wir die beiden Intervalle um x=1 herum:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Also (0 ; 1) und (1; ∞). Da f' auf diesen Intervallen stetig ist, keine Definitionslücken und vor allem keine weiteren Nullstellen hat, muss das Vorzeichen von f' jeweils auf diesen gesamten Intervallen gleich sein. Es genügt also an einer Stelle des Intervalls, das Vorzeichen zu untersuchen:

(0 ; 1): Wir wählen x=0.5∈(0 ; 1): f'(0.5)= - ( 0,5 2 -1 ) 2 · 0,5 = -0.28125 also < 0

(1; ∞): Wir wählen x=2∈(1; ∞): f'(2)= - ( 2 2 -1 ) 2 · 2 = -18 also < 0

Es liegt also kein Vorzeichenwechsel in f' vor, also haben wir bei x= 1 keinen Extrempunkt (sondern einen Sattelpunkt).

Minimaler Abstand zur x-Achse

Beispiel:

Zeige, dass der Graph der Funktion f mit f(x)= - 3 4 x 4 +6 x 2 -14 die x-Achse nicht schneidet. Welcher Punkt hat den kleinsten Abstand zur x-Achse?

Bestimme diesen kleinsten Abstand.

Lösung einblenden

Wir sehen am negativen Vorzeichen vor der höchsten Potenz ( - 3 4 x 4 ), dass für sehr große und sehr kleine x-Werte die y-Werte immer negativ sind. Um nachzuweisen, dass es keinen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen wir also zeigen, dass alle Punkte negativ sind. Dies geht am einfachsten, wenn man sich alle Hochpunkte anschaut. Wir berechnen also erstmal die Extrempunkte:

f(x)= - 3 4 x 4 +6 x 2 -14

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>f'(x)= -3 x 3 +12x +0

= -3 x 3 +12x

f''(x)= -9 x 2 +12

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

-3 x 3 +12x = 0
3 x ( - x 2 +4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

- x 2 +4 = 0 | -4
- x 2 = -4 |: ( -1 )
x 2 = 4 | 2
x2 = - 4 = -2
x3 = 4 = 2

Die Lösungen -2 , 0, 2 sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x0)=0 und f''(x0)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x0)=0 und f'(x0)>0).


1.: x=-2

f''(-2 ) = -9 ( -2 ) 2 +12 = -94 +12 = -24 <0

Das heißt bei x = -2 ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f(-2 ) = - 3 4 ( -2 ) 4 +6 ( -2 ) 2 -14 = -2
Man erhält so den Hochpunkt H:(-2 | -2 )


2.: x=0

f''(0 ) = -9 0 2 +12 = -90 +12 = 12 >0

Das heißt bei x = 0 ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f(0 ) = - 3 4 0 4 +6 0 2 -14 = -14
Man erhält so den Tiefpunkt T:(0 | -14 )


3.: x=2

f''(2 ) = -9 2 2 +12 = -94 +12 = -24 <0

Das heißt bei x = 2 ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f(2 ) = - 3 4 2 4 +6 2 2 -14 = -2
Man erhält so den Hochpunkt H:(2 | -2 )



Eigentlich hätte es gereicht nur die Hochpunkte zu untersuchen.

Wir sehen also, dass selbst der höchste Hochpunkt einen negativen y-Wert hat. Also müssen alle Punkte unter der x-Achse liegen.

Der höchste Punkt muss ja ein Hochpunkt sein, daher sehen wir dass der Hochpunkt (-2|-2 ) der höchste Punkt, also der Punkt mit dem geringsten Abstand zur x-Achse ist.

Dieser geringste Abstand ist also |-2 | = 2.

Extrempunkte e-Funktion BF

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit f(x)= 8x +4 e 1 4 x :

Lösung einblenden

f(x)= 8x +4 e 1 4 x

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>f'(x)= 8 + 4 e 1 4 x · 1 4

= e 1 4 x +8

f''(x)= e 1 4 x · 1 4 +0

= 1 4 e 1 4 x

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

e 1 4 x +8 = 0 | -8
e 1 4 x = -8

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da die notwendige Bedingung keine Lösung hat, kann es also keine Extremstelle geben.

Extrempunkte (e-Funktionen)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit f(x)= ( -2x +1 ) · e - 1 3 x :

Bitte alle Werte (mit dem WTR) fertig rechnen und als als Dezimalzahlen angeben.


Lösung einblenden

f(x)= ( -2x +1 ) · e - 1 3 x

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>f'(x)= ( -2 +0 ) · e - 1 3 x + ( -2x +1 ) · e - 1 3 x · ( - 1 3 )

= e - 1 3 x · ( 2 3 x - 1 3 -2 )

= ( 2 3 x - 7 3 ) e - 1 3 x

f''(x)= ( 2 3 +0 ) · e - 1 3 x + ( 2 3 x - 7 3 ) · e - 1 3 x · ( - 1 3 )

= e - 1 3 x · ( - 2 9 x + 7 9 + 2 3 )

= ( - 2 9 x + 13 9 ) e - 1 3 x

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

( 2 3 x - 7 3 ) · e - 1 3 x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 3 x - 7 3 = 0 |⋅ 3
3( 2 3 x - 7 3 ) = 0
2x -7 = 0 | +7
2x = 7 |:2
x1 = 7 2 = 3.5

2. Fall:

e - 1 3 x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösung x= 7 2 ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x0)=0 und f''(x0)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x0)=0 und f'(x0)>0).

f''( 7 2 ) = e - 1 3 ( 7 2 ) · ( - 2 9 ( 7 2 ) + 7 9 + 2 3 ) = e - 7 6 · ( - 7 9 + 7 9 + 2 3 ) = 2 3 e - 7 6 >0

Das heißt bei x = 7 2 ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( 7 2 ) = ( -2( 7 2 ) +1 ) · e - 1 3 ( 7 2 ) = -6 e - 7 6 ≈ -1.868
Man erhält so den Tiefpunkt T:( 7 2 | -6 e - 7 6 )

≈ T:(3.5|-1.868)

Wendepunkte (schwerer) BF

Beispiel:

Berechne alle Wendepunkte von f mit f(x)= x · ( x +9 ) 2 :

Lösung einblenden

Zuerst multiplizieren wir den Term aus

x · ( x +9 ) 2

f(x)= x 3 +18 x 2 +81x

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

f'(x)= 3 x 2 +36x +81


f''(x)= 6x +36 +0

= 6x +36


f'''(x)= 6 +0

= 6

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

6x +36 = 0 | -36
6x = -36 |:6
x = -6

Die Lösung x= -6 ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x0)=0 und f'''(x0)≠0).

Überprüfung bei x = -6 :

f'''(-6 ) = 6 +0 = 6

Da f'''(-6 )≠0, haben wir bei x = -6 einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f(-6 ) = ( -6 ) 3 +18 ( -6 ) 2 +81( -6 ) = -54
Man erhält so den Wendepunkt: WP(-6 | -54 )

Wendetangente

Beispiel:

Bestimme eine Gleichung der Tangente im Wendepunkte des Graphen der Funktion f mit f(x)= - x 3 -15 x 2 +3x +3 :

Lösung einblenden

Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

f(x)= - x 3 -15 x 2 +3x +3

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

f'(x)= -3 x 2 -30x +3 +0

= -3 x 2 -30x +3


f''(x)= -6x -30 +0

= -6x -30


f'''(x)= -6 +0

= -6

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

-6x -30 = 0 | +30
-6x = 30 |:(-6 )
x = -5

Die Lösung x= -5 ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x0)=0 und f'''(x0)≠0).

Überprüfung bei x = -5 :

f'''(-5 ) = -6 +0 = -6

Da f'''(-5 )≠0, haben wir bei x = -5 einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f(-5 ) = - ( -5 ) 3 -15 ( -5 ) 2 +3( -5 ) +3 = -262
Man erhält so den Wendepunkt: WP(-5 | -262 )

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'(-5)= -3 ( -5 ) 2 -30( -5 ) +3

= -325 +150 +3

= -75 +150 +3

= 78

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= 78 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f(-5)= - ( -5 ) 3 -15 ( -5 ) 2 +3( -5 ) +3 = -( -125 ) -1525 -15 +3 = 125 -375 -15 +3 = -262

Wir erhalten so also den Punkt B(-5| -262 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-262 = 78 ⋅(-5) + c

-262 = -390 + c | + 390

128 = c

also c= 128

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= 78 ⋅x + 128

bestimmter y-Wert eines EP (ohne e)

Beispiel:

Die Funktion ft mit ft(x)= t 3 x 4 +32x besitzt genau einen Extrempunkt. Für welche Werte von t liegt der Extrempunkt auf der Geraden y= -24 ?

Lösung einblenden

f(x)= t 3 x 4 +32x

Als erstes leitet man die Funktion ab.

=>f'(x)= 4 t 3 x 3 +32

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

4 t 3 x 3 +32 = 0 | -32
4 t 3 x 3 = -32 |:4 t 3
x 3 = -8 1 t 3 | 3
x = - ( 8 1 t 3 ) 3 = -2 1 t

Die Lösung x= -2 1 t ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Da in der Aufgabenstellung bereits angegeben ist, dass es genau einen Extrempunkt gibt, wissen wir also schon, dass unser Kandidat diese Extremstelle sein muss, und wir müssen ihn nicht weiter mit einer hinreichenden Bedingung prüfen.

Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f(-2 1 t ) = t 3 ( -2 1 t ) 4 +32( -2 1 t ) = -48 1 t
Man erhält so den Extrempunkt EP:(-2 1 t | -48 1 t )

Wir können also den y-Wert unseres mit Parameter behafteten Extrempunktes mit der Vorgabe aus der Aufgabenstellung (y= -24 ) gleichsetzen und nach t auflösen

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner t weg!

- 48 t = -24 |⋅( t )
- 48 t · t = -24 · t
-48 = -24t
-48 = -24t | +48 +24t
24t = 48 |:24
t = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Für t= 2 liegt der Extrempunkt auf der Geraden y= -24 .

Extrempunkte e-Funktion Anwend.

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit f(x)= ( x -4 ) · e -0,125x -9 :

Lösung einblenden

f(x)= ( x -4 ) · e -0,125x -9

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>f'(x)= ( 1 +0 ) · e -0,125x + ( x -4 ) · e -0,125x · ( -0,125 )+0

= e -0,125x · ( -0,125x +0,5 +1 )

= ( -0,125x +1,5 ) e -0,125x

f''(x)= ( -0,125 +0 ) · e -0,125x + ( -0,125x +1,5 ) · e -0,125x · ( -0,125 )

= e -0,125x · ( 0,0156x -0,1875 -0,125 )

= ( 0,0156x -0,3125 ) e -0,125x

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

( -0,125x +1,5 ) · e -0,125x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

-0,125x +1,5 = 0 | -1,5
-0,125x = -1,5 |:(-0,125 )
x1 = 12

2. Fall:

e -0,125x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösung x= 12 ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x0)=0 und f''(x0)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x0)=0 und f'(x0)>0).

f''(12 ) = e -0,12512 · ( 0,015612 -0,1875 -0,125 ) = e -1,5 · ( 0,1875 -0,1875 -0,125 ) = -0,125 e -1,5 <0

Das heißt bei x = 12 ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f(12 ) = ( 12 -4 ) · e -0,12512 -9 = 8 e -1,5 -9 ≈ -7.215
Man erhält so den Hochpunkt H:(12 | 8 e -1,5 -9 )

≈ H:(12|-7.215)

max. Flächeninhalt am Graph

Beispiel:

Der Punkte P liegt im 1. Quadrant auf dem Graph der Funktion f mit - x 2 + 75 4 . Er bildet mit dem Ursprung ein achsenparalleles Rechteck. Bestimme die Koordinaten vom P so, dass der Inhalt dieses Rechteckes maximal wird und gib diesen maximalen Flächeninhalt an.


Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben u für den x-Wert des Punkts P und da der Punkt P auf dem Graph von f liegt, muss der y-Wert f(u) sein, also P(u|f(u)).

An der Skizze erkennt man, dass dann die Seiten des achsenparallelen Rechteck die Längen u und f(u) haben. Folglich gilt für den Flächeninhalt dieses Rechtecks:
A = u ⋅ f(u) = u · ( - u 2 + 75 4 ) = - u 3 + 75 4 u

Wir suchen also ein Maximum von

A(u)= - u 3 + 75 4 u

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>A'(u)= -3 u 2 + 75 4

A''(u)= -6u +0

= -6u

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist A'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also A'(u) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von A zu bestimmen.

-3 u 2 + 75 4 = 0 | - 75 4
-3 u 2 = - 75 4 |: ( -3 )
u 2 = 25 4 | 2
u1 = - 25 4 = - 5 2
u2 = 25 4 = 5 2

Die Lösungen - 5 2 , 5 2 sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in A''(u):

Ist A''(u) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u0)=0 und A''(u0)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u0)=0 und A'(u0)>0).


1.: u= - 5 2

A''( - 5 2 ) = -6( - 5 2 ) = 15 = 15 >0

Das heißt bei u = - 5 2 ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende u-Wert in A(u) eingesetzt werden.
A( - 5 2 ) = - ( - 5 2 ) 3 + 75 4 ( - 5 2 ) = - 125 4 ≈ -31.25
Man erhält so den Tiefpunkt T:( - 5 2 | - 125 4 )

≈ T:(-2.5|-31.25)


2.: u= 5 2

A''( 5 2 ) = -6( 5 2 ) = -15 = -15 <0

Das heißt bei u = 5 2 ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende u-Wert in A(u) eingesetzt werden.
A( 5 2 ) = - ( 5 2 ) 3 + 75 4 ( 5 2 ) = 125 4 ≈ 31.25
Man erhält so den Hochpunkt H:( 5 2 | 125 4 )

≈ H:(2.5|31.25)

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir also, wenn wir als x-Koordinate des gesuchten Punkts u = 5 2 wählen.

Den zugehörigen y-Wert erhalten wir, wenn wir x = 5 2 in f(x) einsetzen:

f( 5 2 ) = - ( 5 2 ) 2 + 75 4 = 25 2

Somit sind die Koordinaten des gesuchten Punkts P( 5 2 | 25 2 )

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir ja, wenn wir u = 5 2 in die zu maximierende Flächeninhaltsfunktion A(u) einsetzen. Dies wurde ja bereits oben bei der hinreichenden Bedingung gemacht, somit ist der maximale Flächeninhalt A( 5 2 ) = 125 4 .

Extremwertaufgabe (+Nebenbed.)

Beispiel:

Bei einem Computerspiel kann man Spielpunkte gegen Booster und gegen Weisheitspillen eintauschen. Dabei kostet ein Booster 20 Punkte und eine Weisheitspille 5 Punkte. Die Spielstärke einer Figur berechnet sich aus dem Produkt von Boosterwert und Weisheitsscore.
Heinz möchte 120 Punkte in seine Figur investieren. Wie viele Booster (und wie viele Weisheitspillen) muss er dafür eintauschen, um seiner Spielfigur die maximale Spielstärke zukommen zu lassen?

Lösung einblenden

Als Zielfunktion für die Spielstärke ergibt sich somit S(x) = x · ( 1 5 ( 120 -20x ) )

= 1 5 x ( 120 -20x )

= 1 5 x · 120 + 1 5 x · ( -20x )

= -4 x 2 +24x .

Da diese Zielfunktion für die Spielstärke maximal werden soll, suchen wir deren Maximum:

S(x)= -4 x 2 +24x

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>S'(x)= -8x +24

S''(x)= -8 +0

= -8

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist S'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also S'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von S zu bestimmen.

-8x +24 = 0 | -24
-8x = -24 |:(-8 )
x = 3

Die Lösung x= 3 ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in S''(x):

Ist S''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: S'(x0)=0 und S''(x0)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: S'(x0)=0 und S'(x0)>0).

S''(3 ) = -8 = -8 = -8 <0

Das heißt bei x = 3 ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in S(x) eingesetzt werden.
S(3 ) = -4 3 2 +243 = 36
Man erhält so den Hochpunkt H:(3 | 36 )

Die maximale Spielstärke erhalten wir also, wenn wir x = 3 (, also 3 Booster) wählen.

Die zugehörige Anzahl an Weisheitspillen erhalten wir, wenn wir 3 in y = 1 5 ( 120 -20x ) einsetzen, y = 1 5 ( 120 -203 ) ≈ 12.

Als maximale Spielstärke der Figur erhalten wir:
S(3 ) = 3 · ( 1 5 ( 120 -203 ) )
= 3 · ( 1 5 ( 120 -60 ) )
= 3 · 1 5 · 60
= 36 .