Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Extrempunkte (schwerer) BF

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot (- x - 3)$ :

Lösung einblenden

Zuerst multiplizieren wir den Term aus

$x^{2} \cdot (- x - 3)$

$f(x) =$ $- x^{3} - 3 x^{2}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- 3 x^{2} - 6 x$

$f''(x) =$ $- 6 x - 6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- 3 x^{2} - 6 x$	=	0
$- 3 x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Die Lösungen $- 2$ , 0 sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x= $- 2$

f''( $- 2$ ) = $- 6 \cdot (- 2) - 6$ = $12 - 6$ = $6$ >0

Das heißt bei x = $- 2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{3} - 3 \cdot {(- 2)}^{2}$ = $- 4$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 2$ | $- 4$ )

2.: x= $0$

f''( $0$ ) = $- 6 \cdot 0 - 6$ = $0 - 6$ = $- 6$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $- 0^{3} - 3 \cdot 0^{2}$ = 0
Man erhält so den Hochpunkt H:( $0$ |0)

Extrempunkte (schwerer)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 120 x - 1$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 120 x - 1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- 6 x^{2} - 6 x + 120 + 0$

= $- 6 x^{2} - 6 x + 120$

$f''(x) =$ $- 12 x - 6 + 0$

= $- 12 x - 6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

- 6 x^{2} - 6 x + 120

= 0 |:6

$- x^{2} - x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1+9}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1-9}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Die Lösungen $- 5$ , $4$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x= $- 5$

f''( $- 5$ ) = $- 12 \cdot (- 5) - 6$ = $60 - 6$ = $54$ >0

Das heißt bei x = $- 5$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 5$ ) = $- 2 \cdot {(- 5)}^{3} - 3 \cdot {(- 5)}^{2} + 120 \cdot (- 5) - 1$ = $- 426$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 5$ | $- 426$ )

2.: x= $4$

f''( $4$ ) = $- 12 \cdot 4 - 6$ = $- 48 - 6$ = $- 54$ <0

Das heißt bei x = $4$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $4$ ) = $- 2 \cdot 4^{3} - 3 \cdot 4^{2} + 120 \cdot 4 - 1$ = $303$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $4$ | $303$ )

Minimaler Abstand zur x-Achse

Beispiel:

Zeige, dass der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{4} x^{4} - x^{3} + 9 x^{2} - 48$ die x-Achse nicht schneidet. Welcher Punkt hat den kleinsten Abstand zur x-Achse?

Bestimme diesen kleinsten Abstand.

Lösung einblenden

Wir sehen am negativen Vorzeichen vor der höchsten Potenz ( $- \frac{3}{4} x^{4}$ ), dass für sehr große und sehr kleine x-Werte die y-Werte immer negativ sind. Um nachzuweisen, dass es keinen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen wir also zeigen, dass alle Punkte negativ sind. Dies geht am einfachsten, wenn man sich alle Hochpunkte anschaut. Wir berechnen also erstmal die Extrempunkte:

$f(x) =$ $- \frac{3}{4} x^{4} - x^{3} + 9 x^{2} - 48$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- 3 x^{3} - 3 x^{2} + 18 x + 0$

= $- 3 x^{3} - 3 x^{2} + 18 x$

$f''(x) =$ $- 9 x^{2} - 6 x + 18$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- 3 x^{3} - 3 x^{2} + 18 x$	=	0
$- 3 x (x^{2} + x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₂ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₃ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Die Lösungen $- 3$ , 0, $2$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x= $- 3$

f''( $- 3$ ) = $- 9 \cdot {(- 3)}^{2} - 6 \cdot (- 3) + 18$ = $- 9 \cdot 9 + 18 + 18$ = $- 45$ <0

Das heißt bei x = $- 3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 3$ ) = $- \frac{3}{4} \cdot {(- 3)}^{4} - {(- 3)}^{3} + 9 \cdot {(- 3)}^{2} - 48$ = $- \frac{3}{4}$ ≈ -0.75
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 3$ | $- \frac{3}{4}$ )

≈ H:(-3|-0.75)

2.: x= $0$

f''( $0$ ) = $- 9 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + 18$ = $- 9 \cdot 0 + 0 + 18$ = $18$ >0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $- \frac{3}{4} \cdot 0^{4} - 0^{3} + 9 \cdot 0^{2} - 48$ = $- 48$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ | $- 48$ )

3.: x= $2$

f''( $2$ ) = $- 9 \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2 + 18$ = $- 9 \cdot 4 - 12 + 18$ = $- 30$ <0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $2$ ) = $- \frac{3}{4} \cdot 2^{4} - 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 48$ = $- 32$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $2$ | $- 32$ )

Eigentlich hätte es gereicht nur die Hochpunkte zu untersuchen.

Wir sehen also, dass selbst der höchste Hochpunkt einen negativen y-Wert hat. Also müssen alle Punkte unter der x-Achse liegen.

Der höchste Punkt muss ja ein Hochpunkt sein, daher sehen wir dass der Hochpunkt (-3| $- \frac{3}{4}$ ) der höchste Punkt, also der Punkt mit dem geringsten Abstand zur x-Achse ist.

Dieser geringste Abstand ist also | $- \frac{3}{4}$ | = 0.75.

Extrempunkte e-Funktion BF

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x \cdot e^{x}$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x \cdot e^{x}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $2 \cdot 1 \cdot e^{x} + 2 x \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (2 + 2 x)$

= $(2 x + 2) e^{x}$

$f''(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{x} + (2 x + 2) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (2 + 2 x + 2)$

= $(2 x + 4) e^{x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

(2 x + 2) \cdot e^{x}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösung x= $- 1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''( $- 1$ ) = $e^{- 1} \cdot (2 + 2 \cdot (- 1) + 2)$ = $e^{- 1} \cdot (2 - 2 + 2)$ = $2 e^{- 1}$ >0

Das heißt bei x = $- 1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 1$ ) = $2 \cdot (- 1) \cdot e^{- 1}$ = $- 2 e^{- 1}$ ≈ -0.736
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 1$ | $- 2 e^{- 1}$ )

≈ T:(-1|-0.736)

Extrempunkte (e-Funktionen)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $(3 x + 3) \cdot e^{- x}$ :

Bitte alle Werte (mit dem WTR) fertig rechnen und als als Dezimalzahlen angeben.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 3) \cdot e^{- x}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- x} + (3 x + 3) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x} \cdot (3 - 3 x - 3)$

= $- 3 x e^{- x}$

$f''(x) =$ $- 3 \cdot 1 \cdot e^{- x} - 3 x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x} \cdot (- 3 + 3 x)$

= $(3 x - 3) e^{- x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

- 3 x \cdot e^{- x}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösung x=0 ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''( $0$ ) = $e^{- 0} \cdot (- 3 + 3 \cdot 0)$ = $e^{0} \cdot (- 3 + 0)$ = $- 3 e^{0}$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $(3 \cdot 0 + 3) \cdot e^{- 0}$ = $3$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $0$ | $3$ )

Wendepunkte (schwerer) BF

Beispiel:

Berechne alle Wendepunkte von f mit $f(x) =$ $x \cdot {(x - 9)}^{2}$ :

Lösung einblenden

Zuerst multiplizieren wir den Term aus

$x \cdot {(x - 9)}^{2}$

$f(x) =$ $x^{3} - 18 x^{2} + 81 x$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 36 x + 81$

$f''(x) =$ $6 x - 36 + 0$

= $6 x - 36$

$f'''(x) =$ $6 + 0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 36$	=	0	\| $+ 36$
$6 x$	=	$36$	\|: $6$
$x$	=	$6$

Die Lösung x= $6$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $6$ :

f'''( $6$ ) = $6 + 0$ = $6$

Da f'''( $6$ )≠0, haben wir bei x = $6$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $6$ ) = $6^{3} - 18 \cdot 6^{2} + 81 \cdot 6$ = $54$
Man erhält so den Wendepunkt: WP( $6$ | $54$ )

Wendetangente

Beispiel:

Bestimme eine Gleichung der Tangente im Wendepunkte des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{3} + 12 x^{2} + 3 x + 2$ :

Lösung einblenden

Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$f(x) =$ $- x^{3} + 12 x^{2} + 3 x + 2$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 24 x + 3 + 0$

= $- 3 x^{2} + 24 x + 3$

$f''(x) =$ $- 6 x + 24 + 0$

= $- 6 x + 24$

$f'''(x) =$ $- 6 + 0$

= $- 6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$- 6 x + 24$	=	0	\| $- 24$
$- 6 x$	=	$- 24$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$4$

Die Lösung x= $4$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $4$ :

f'''( $4$ ) = $- 6 + 0$ = $- 6$

Da f'''( $4$ )≠0, haben wir bei x = $4$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $4$ ) = $- 4^{3} + 12 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 2$ = $142$
Man erhält so den Wendepunkt: WP( $4$ | $142$ )

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(4) =$ $- 3 \cdot 4^{2} + 24 \cdot 4 + 3$

= $- 3 \cdot 16 + 96 + 3$

= $- 48 + 96 + 3$

= $51$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $51$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(4) =$ $- 4^{3} + 12 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 2$ = $- 64 + 12 \cdot 16 + 12 + 2$ = $- 64 + 192 + 12 + 2$ = $142$

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $142$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$142$ = $51$ ⋅4 + c

$142$ = $204$ + c | $- 204$

$- 62$ = c

also c= $- 62$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $51$ ⋅x $- 62$

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0 (ohne e)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $2 t x^{4} + 2 t x^{3}$ im Punkt B( $1$ |f( $1$ )) parallel zur Gerade y= $7 x + 6$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $2 t x^{4} + 2 t x^{3}$

$f'(x) =$ $8 t x^{3} + 6 t x^{2}$

In diese Ableitung setzen wir x= $1$ ein:

f'( $1$ ) = $8 t \cdot 1^{3} + 6 t \cdot 1^{2}$ = $8 t + 6 t$ = $14 t$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $7$ x+6 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $1$ )= $14 t$ soll gleich $7$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $14 t$ = $7$ nach t auf.

$14 t$	=	$7$	\|: $14$
$t$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Für t= $\frac{1}{2}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Extrempunkte e-Funktion Anwend.

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $4 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 7$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 7$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (4 - 0,8 x + 4)$

= $(- 0,8 x + 8) e^{- 0,2 x}$

$f''(x) =$ $(- 0,8 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + (- 0,8 x + 8) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,8 + 0,16 x - 1,6)$

= $(0,16 x - 2,4) e^{- 0,2 x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

(- 0,8 x + 8) \cdot e^{- 0,2 x}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 0,8 x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 0,8 x$	=	$- 8$	\|:( $- 0,8$ )
x₁	=	$10$

2. Fall:

e^{- 0,2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösung x= $10$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''( $10$ ) = $e^{- 0,2 \cdot 10} \cdot (- 0,8 + 0,16 \cdot 10 - 1,6)$ = $e^{- 2} \cdot (- 0,8 + 1,6 - 1,6)$ = $- 0,8 e^{- 2}$ <0

Das heißt bei x = $10$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $10$ ) = $4 \cdot (10 - 5) \cdot e^{- 0,2 \cdot 10} + 7$ = $20 e^{- 2} + 7$ ≈ 9.707
Man erhält so den Hochpunkt H:( $10$ | $20 e^{- 2} + 7$ )

≈ H:(10|9.707)

max. Flächeninhalt am Graph

Beispiel:

Der Punkte P liegt im 1. Quadrant auf dem Graph der Funktion f mit $- \frac{1}{3} x^{2} - 2 x + 45$ . Er bildet mit dem Ursprung ein achsenparalleles Rechteck. Bestimme die Koordinaten vom P so, dass der Inhalt dieses Rechteckes maximal wird und gib diesen maximalen Flächeninhalt an.

Lösung einblenden

Wir schreiben u für den x-Wert des Punkts P und da der Punkt P auf dem Graph von f liegt, muss der y-Wert f(u) sein, also P(u|f(u)).

An der Skizze erkennt man, dass dann die Seiten des achsenparallelen Rechteck die Längen u und f(u) haben. Folglich gilt für den Flächeninhalt dieses Rechtecks:
A = u ⋅ f(u) = $u \cdot (- \frac{1}{3} u^{2} - 2 u + 45)$ = $- \frac{1}{3} u^{3} - 2 u^{2} + 45 u$

Wir suchen also ein Maximum von

$A(u) =$ $- \frac{1}{3} u^{3} - 2 u^{2} + 45 u$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $A'(u) =$ $- u^{2} - 4 u + 45$

$A''(u) =$ $- 2 u - 4 + 0$

= $- 2 u - 4$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist A'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also A'(u) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von A zu bestimmen.

$- u^{2} - 4 u + 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 45}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{196}}{- 2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{196}}{- 2}$ = $\frac{4+14}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{196}}{- 2}$ = $\frac{4-14}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Die Lösungen $- 9$ , $5$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in A''(u):

Ist A''(u) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u₀)=0 und A''(u₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u₀)=0 und A'(u₀)>0).

1.: u= $- 9$

A''( $- 9$ ) = $- 2 \cdot (- 9) - 4$ = $18 - 4$ = $14$ >0

Das heißt bei u = $- 9$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende u-Wert in A(u) eingesetzt werden.
A( $- 9$ ) = $- \frac{1}{3} \cdot {(- 9)}^{3} - 2 \cdot {(- 9)}^{2} + 45 \cdot (- 9)$ = $- 324$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 9$ | $- 324$ )

2.: u= $5$

A''( $5$ ) = $- 2 \cdot 5 - 4$ = $- 10 - 4$ = $- 14$ <0

Das heißt bei u = $5$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende u-Wert in A(u) eingesetzt werden.
A( $5$ ) = $- \frac{1}{3} \cdot 5^{3} - 2 \cdot 5^{2} + 45 \cdot 5$ = $\frac{400}{3}$ ≈ 133.333
Man erhält so den Hochpunkt H:( $5$ | $\frac{400}{3}$ )

≈ H:(5|133.333)

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir also, wenn wir als x-Koordinate des gesuchten Punkts u = $5$ wählen.

Den zugehörigen y-Wert erhalten wir, wenn wir x = $5$ in f(x) einsetzen:

f( $5$ ) = $- \frac{1}{3} \cdot 5^{2} - 2 \cdot 5 + 45$ = $\frac{80}{3}$

Somit sind die Koordinaten des gesuchten Punkts P( $5$ | $\frac{80}{3}$ )

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir ja, wenn wir u = $5$ in die zu maximierende Flächeninhaltsfunktion A(u) einsetzen. Dies wurde ja bereits oben bei der hinreichenden Bedingung gemacht, somit ist der maximale Flächeninhalt A( $5$ ) = $\frac{400}{3}$ .

Extremwertaufgabe (+Nebenbed.)

Beispiel:

Eine Firma, die Elektroautos herstellt, verkauft in einem Land 100000 Autos im Jahr. Dabei verdient sie an jedem Auto im Schnitt 4100 €. Marktforschungen haben nun ergeben, dass Preisreduzierungen von 100€ pro Auto jeweils eine Steigerung der Anzahl der verkauften Autos um 4% zur Folge hätten. Bei welcher Preisreduzierung würde das Unternehmen den größten Gewinn erwirtschaften?

Lösung einblenden

Als Zielfunktion für den Gewinn ergibt sich somit G(x) = $(4 100 - 100 x) \cdot (100 000 + 0,04 x \cdot 100 000)$

= $(- 100 x + 4 100) \cdot (100 000 + 4 000 x)$

= $- 100 x \cdot 100 000 - 100 x \cdot 4 000 x + 4 100 \cdot 100 000 + 4 100 \cdot 4 000 x$

= $- 400 000 x^{2} + 6 400 000 x + 410 000 000$ .

Da diese Zielfunktion für den Gewinn maximal werden soll, suchen wir deren Maximum:

$G(x) =$ $- 400 000 x^{2} + 6 400 000 x + 410 000 000$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $G'(x) =$ $- 800 000 x + 6 400 000 + 0$

= $- 800 000 x + 6 400 000$

$G''(x) =$ $- 800 000 + 0$

= $- 800 000$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist G'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also G'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von G zu bestimmen.

$- 800 000 x + 6 400 000$	=	0	\| $- 6 400 000$
$- 800 000 x$	=	$- 6 400 000$	\|:( $- 800 000$ )
$x$	=	$8$

Die Lösung x= $8$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in G''(x):

Ist G''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: G'(x₀)=0 und G''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: G'(x₀)=0 und G'(x₀)>0).

G''( $8$ ) = $- 800 000$ = $- 800 000$ = $- 800 000$ <0

Das heißt bei x = $8$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in G(x) eingesetzt werden.
G( $8$ ) = $- 400 000 \cdot 8^{2} + 6 400 000 \cdot 8 + 410 000 000$ = $435 600 000$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $8$ | $435 600 000$ )

Den maximalen Gewinn erhalten wir also, wenn wir x = $8$ (, also $8$ 100€-Schritte in der Preisreduzierung) wählen.

Als maximaler Gesamtgewinn erhalten wir:
G( $8$ ) = $(4 100 - 100 \cdot 8) \cdot (100 000 + 0,04 \cdot 8 \cdot 100 000)$
= $(4 100 - 800) \cdot (100 000 + 32 000)$
= $3 300 \cdot (100 000 + 32 000)$
= $435 600 000$ .

Aufgabenbeispiele von Extrem- + Wendepkte

Extrempunkte (schwerer) BF

1.: x=-2

2.: x=0

Extrempunkte (schwerer)

1.: x=-5

2.: x=4

Minimaler Abstand zur x-Achse

1.: x=-3

2.: x=0

3.: x=2

Extrempunkte e-Funktion BF

Extrempunkte (e-Funktionen)

Wendepunkte (schwerer) BF

Wendetangente

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0 (ohne e)

Extrempunkte e-Funktion Anwend.

max. Flächeninhalt am Graph

1.: u=-9

2.: u=5

Extremwertaufgabe (+Nebenbed.)

1.: x= $- 2$

2.: x= $0$

1.: x= $- 5$

2.: x= $4$

1.: x= $- 3$

2.: x= $0$

3.: x= $2$

1.: u= $- 9$

2.: u= $5$