$\text{f(x)}=$ ${\left(-x-1\right)}^2+2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $2\left(-x-1\right)·\left(-1+0\right)+0$

= $2x+2$

$\text{f''(x)}=$ $2+0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2x+2$	=	0	| $-2$
$2x$	=	$-2$	|:$2$
$x$	=	$-1$

Die Lösung x= $-1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''($-1$) = $2$= $2$= $2$ >0

Das heißt bei x = $-1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-1$) = ${\left(-\left(-1\right)-1\right)}^2+2$ = $2$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-1$| $2$)

$\text{f(x)}=$ $-2x^4-16x^3-20x^2+3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $-8x^3-48x^2-40x+0$

= $-8x^3-48x^2-40x$

$\text{f''(x)}=$ $-24x^2-96x-40$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$-8x^3-48x^2-40x$	=	0
$-8x\left(x^2+6x+5\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösungen $-5$, $-1$, 0 sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$-5$

f''($-5$) = $-24\cdot {\left(-5\right)}^2-96\cdot \left(-5\right)-40$= $-24\cdot 25+480-40$= $-160$ <0

Das heißt bei x = $-5$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-5$) = $-2\cdot {\left(-5\right)}^4-16\cdot {\left(-5\right)}^3-20\cdot {\left(-5\right)}^2+3$ = $253$
Man erhält so den Hochpunkt H:($-5$| $253$)

2.: x=$-1$

f''($-1$) = $-24\cdot {\left(-1\right)}^2-96\cdot \left(-1\right)-40$= $-24\cdot 1+96-40$= $32$ >0

Das heißt bei x = $-1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-1$) = $-2\cdot {\left(-1\right)}^4-16\cdot {\left(-1\right)}^3-20\cdot {\left(-1\right)}^2+3$ = $-3$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-1$| $-3$)

3.: x=$0$

f''($0$) = $-24\cdot 0^2-96\cdot 0-40$= $-24\cdot 0+0-40$= $-40$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($0$) = $-2\cdot 0^4-16\cdot 0^3-20\cdot 0^2+3$ = $3$
Man erhält so den Hochpunkt H:($0$| $3$)

Wir sehen am positiven Vorzeichen vor der höchsten Potenz ( $\frac{3}{4}{x}^4$), dass für sehr große und sehr kleine x-Werte die y-Werte immer positiv sind. Um nachzuweisen, dass es keinen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen wir also zeigen, dass alle Punkte positiv sind. Dies geht am einfachsten, wenn man sich alle Tiefpunkte anschaut. Wir berechnen also erstmal die Extrempunkte:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4+2x^3-\frac{9}{2}{x}^2+35$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^3+6x^2-9x+0$

= $3x^3+6x^2-9x$

$\text{f''(x)}=$ $9x^2+12x-9$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$3x^3+6x^2-9x$	=	0
$3x\left(x^2+2x-3\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösungen $-3$, 0, $1$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$-3$

f''($-3$) = $9\cdot {\left(-3\right)}^2+12\cdot \left(-3\right)-9$= $9\cdot 9-36-9$= $36$ >0

Das heißt bei x = $-3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-3$) = $\frac{3}{4}\cdot {\left(-3\right)}^4+2\cdot {\left(-3\right)}^3-\frac{9}{2}\cdot {\left(-3\right)}^2+35$ = $\frac{5}{4}$ ≈ 1.25
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-3$| $\frac{5}{4}$)

≈ T:(-3|1.25)

2.: x=$0$

f''($0$) = $9\cdot 0^2+12\cdot 0-9$= $9\cdot 0+0-9$= $-9$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($0$) = $\frac{3}{4}\cdot 0^4+2\cdot 0^3-\frac{9}{2}\cdot 0^2+35$ = $35$
Man erhält so den Hochpunkt H:($0$| $35$)

3.: x=$1$

f''($1$) = $9\cdot 1^2+12\cdot 1-9$= $9\cdot 1+12-9$= $12$ >0

Das heißt bei x = $1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($1$) = $\frac{3}{4}\cdot 1^4+2\cdot 1^3-\frac{9}{2}\cdot 1^2+35$ = $\frac{133}{4}$ ≈ 33.25
Man erhält so den Tiefpunkt T:($1$| $\frac{133}{4}$)

≈ T:(1|33.25)

Eigentlich hätte es gereicht nur die Tiefpunkte zu untersuchen.

Wir sehen also, dass selbst der niedrigste Tiefpunkt einen positiven y-Wert hat. Also müssen alle Punkte über der x-Achse liegen.

Der niedrigste Punkt muss ja ein Tiefpunkt sein, daher sehen wir dass der Tiefpunkt (-3|$\frac{5}{4}$) der niedrigste Punkt, also der Punkt mit dem geringsten Abstand zur x-Achse ist.

Dieser geringste Abstand ist also |$\frac{5}{4}$| = 1.25.

$\text{f(x)}=$ $x+e^x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $1+e^x$

= $e^x+1$

$\text{f''(x)}=$ $e^x+0$

= $e^x$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$e^x+1$	=	0	| $-1$
$e^x$	=	$-1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da die notwendige Bedingung keine Lösung hat, kann es also keine Extremstelle geben.

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x+4\right)·e^x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $\left(-3+0\right)·e^x+\left(-3x+4\right)·e^x$

= $e^x·\left(-3x+4-3\right)$

= $\left(-3x+1\right)e^x$

$\text{f''(x)}=$ $\left(-3+0\right)·e^x+\left(-3x+1\right)·e^x$

= $e^x·\left(-3x+1-3\right)$

= $\left(-3x-2\right)e^x$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$\left(-3x+1\right)·e^x$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösung x= $\frac{1}{3}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''($\frac{1}{3}$) = $e^{\frac{1}{3}}·\left(-3\cdot \left(\frac{1}{3}\right)+1-3\right)$= $e^{\frac{1}{3}}·\left(-1+1-3\right)$= $-3e^{\frac{1}{3}}$ <0

Das heißt bei x = $\frac{1}{3}$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($\frac{1}{3}$) = $\left(-3\cdot \left(\frac{1}{3}\right)+4\right)·e^{\frac{1}{3}}$ = $3e^{\frac{1}{3}}$ ≈ 4.187
Man erhält so den Hochpunkt H:($\frac{1}{3}$| $3e^{\frac{1}{3}}$)

≈ H:(0.333|4.187)

$\text{f(x)}=$ $x^2·\left(-x+9\right)$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $2x·\left(-x+9\right)+x^2·\left(-1+0\right)$

= $2x\left(-x+9\right)+x^2·\left(-1\right)$

= $2x\left(-x+9\right)-x^2$

$\text{f''(x)}=$ $-2x+(2·1·\left(-x+9\right)+2x·\left(-1+0\right))$

= $-2x+(2\left(-x+9\right)+2x·\left(-1\right))$

= $-2x+\left(2\left(-x+9\right)-2x\right)$

= $-2x+\left(-2x+18-2x\right)$

= $-2x+\left(-4x+18\right)$

= $-4x-2x+18$

= $-6x+18$

$\text{f'''(x)}=$ $-6+0$

= $-6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$-6x+18$	=	0	| $-18$
$-6x$	=	$-18$	|:($-6$)
$x$	=	$3$

Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $3$:

f'''($3$) = $-6+0$= $-6$

Da f'''($3$)≠0, haben wir bei x = $3$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($3$) = $3^2·\left(-3+9\right)$ = $54$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($3$| $54$)

Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$\text{f(x)}=$ $-x^3-12x^2-6x+1$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2-24x-6+0$

= $-3x^2-24x-6$

$\text{f''(x)}=$ $-6x-24+0$

= $-6x-24$

$\text{f'''(x)}=$ $-6+0$

= $-6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$-6x-24$	=	0	| $+24$
$-6x$	=	$24$	|:($-6$)
$x$	=	$-4$

Die Lösung x= $-4$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $-4$:

f'''($-4$) = $-6+0$= $-6$

Da f'''($-4$)≠0, haben wir bei x = $-4$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($-4$) = $-{\left(-4\right)}^3-12\cdot {\left(-4\right)}^2-6\cdot \left(-4\right)+1$ = $-103$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($-4$| $-103$)

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(-4)}=$ $-3\cdot {\left(-4\right)}^2-24\cdot \left(-4\right)-6$

= $-3\cdot 16+96-6$

= $-48+96-6$

= $42$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $42$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(-4)}=$ $-{\left(-4\right)}^3-12\cdot {\left(-4\right)}^2-6\cdot \left(-4\right)+1$ = $-\left(-64\right)-12\cdot 16+24+1$ = $64-192+24+1$ = $-103$

Wir erhalten so also den Punkt B(-4| $-103$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-103$ = $42$⋅(-4) + c

$-103$ = $-168$ + c | + $168$

$65$ = c

also c= $65$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $42$⋅x + $65$

$\text{f(x)}=$ $t{x}^2-4x$

Als erstes leitet man die Funktion ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $2tx-4$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2tx-4$	=	0	| $+4$
$2tx$	=	$4$	|:($2t$)
$x$	=	$2\cdot \frac{1}{t}$

Die Lösung x= $2\cdot \frac{1}{t}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Da in der Aufgabenstellung bereits angegeben ist, dass es genau einen Extrempunkt gibt, wissen wir also schon, dass unser Kandidat diese Extremstelle sein muss, und wir müssen ihn nicht weiter mit einer hinreichenden Bedingung prüfen.

Wir können also unsere mit Parameter behaftete Extremstelle mit der Vorgabe aus der Aufgabenstellung (x= $3$) gleichsetzen und nach t auflösen

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $t$ weg!

$\frac{2}{t}$	=	$3$	|⋅( $t$)
$\frac{2}{t}·t$	=	$3·t$
$2$	=	$3t$

$2$	=	$3t$	| $-2$ $-3t$
$-3t$	=	$-2$	|:($-3$)
$t$	=	$\frac{2}{3}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Für t= $\frac{2}{3}$ liegt die Extremstelle auf der Geraden x= $3$.

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,8}x+\mathrm{5,6}+4\right)$

= $\left(-\mathrm{0,8}x+\mathrm{9,6}\right)e^{-\mathrm{0,2}x}$

$\text{f''(x)}=$ $\left(-\mathrm{0,8}+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+\left(-\mathrm{0,8}x+\mathrm{9,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,16}x-\mathrm{1,92}-\mathrm{0,8}\right)$

= $\left(\mathrm{0,16}x-\mathrm{2,72}\right)e^{-\mathrm{0,2}x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$\left(-\mathrm{0,8}x+\mathrm{9,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösung x= $12$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''($12$) = $e^{-\mathrm{0,2}\cdot 12}·\left(\mathrm{0,16}\cdot 12-\mathrm{1,92}-\mathrm{0,8}\right)$= $e^{-\mathrm{2,4}}·\left(\mathrm{1,92}-\mathrm{1,92}-\mathrm{0,8}\right)$= $-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{2,4}}$ <0

Das heißt bei x = $12$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($12$) = $4·\left(12-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}\cdot 12}-3$ = $20e^{-\mathrm{2,4}}-3$ ≈ -1.186
Man erhält so den Hochpunkt H:($12$| $20e^{-\mathrm{2,4}}-3$)

≈ H:(12|-1.186)

Wir schreiben u für den x-Wert des Punkts P und da der Punkt P auf dem Graph von f liegt, muss der y-Wert f(u) sein, also P(u|f(u)).

An der Skizze erkennt man, dass dann die Seiten des achsenparallelen Rechteck die Längen u und f(u) haben. Folglich gilt für den Flächeninhalt dieses Rechtecks:
A = u ⋅ f(u) = $u·\left(-2u^2+\frac{3}{2}\right)$ = $-2u^3+\frac{3}{2}u$

Wir suchen also ein Maximum von

$\text{A(u)}=$ $-2u^3+\frac{3}{2}u$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{A'(u)}=$ $-6u^2+\frac{3}{2}$

$\text{A''(u)}=$ $-12u+0$

= $-12u$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist A'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also A'(u) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von A zu bestimmen.

$-6u^2+\frac{3}{2}$	=	0	| $-\frac{3}{2}$
$-6u^2$	=	$-\frac{3}{2}$	|: $\left(-6\right)$
$u^2$	=	$\frac{1}{4}$	|
u1	=	$-\sqrt{\frac{1}{4}}$	= $-\frac{1}{2}$
u2	=	$\sqrt{\frac{1}{4}}$	= $\frac{1}{2}$

Die Lösungen $-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in A''(u):

Ist A''(u) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u₀)=0 und A''(u₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u₀)=0 und A'(u₀)>0).

A''($\frac{1}{2}$) = $-12\cdot \left(\frac{1}{2}\right)$= $-6$= $-6$ <0

Das heißt bei u = $\frac{1}{2}$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende u-Wert in A(u) eingesetzt werden.
A($\frac{1}{2}$) = $-2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3+\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5
Man erhält so den Hochpunkt H:($\frac{1}{2}$| $\frac{1}{2}$)

≈ H:(0.5|0.5)

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir also, wenn wir als x-Koordinate des gesuchten Punkts u = $\frac{1}{2}$ wählen.

Den zugehörigen y-Wert erhalten wir, wenn wir x = $\frac{1}{2}$ in f(x) einsetzen:

f($\frac{1}{2}$) = $-2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{2}$ = $1$

Somit sind die Koordinaten des gesuchten Punkts P($\frac{1}{2}$| $1$)

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir ja, wenn wir u = $\frac{1}{2}$ in die zu maximierende Flächeninhaltsfunktion A(u) einsetzen. Dies wurde ja bereits oben bei der hinreichenden Bedingung gemacht, somit ist der maximale Flächeninhalt A($\frac{1}{2}$) = $\frac{1}{2}$.

Es muss gelten: 660 = $\pi ·x^2·h$

Wenn wir diese Gleichung nach h auflösen, erhalten wir:

h = $\frac{660}{\pi ·x^2}$

Dies können wir in die Oberflächenformel einsetzen:

O = $2\pi ·x^2+2\pi ·x·\frac{660}{\pi ·x^2}$

Als Zielfunktion für die Oberfläche ergibt sich somit O(x) = $2\pi ·x^2+2\pi ·x·\frac{660}{\pi ·x^2}$

= $2\pi x^2+2\pi ·\frac{660}{\pi x}$

= $2\pi x^2+\frac{1320}{x}$

= $\frac{1320}{x}+2\pi x^2$.

Da diese Zielfunktion für die Oberfläche minimal werden soll, suchen wir deren Minimum:

$\text{O(x)}=$ $\frac{1320}{x}+2\pi x^2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{O'(x)}=$ $-\frac{1320}{x^2}+(2·0·x^2+2\pi ·2x)$

= $-\frac{1320}{x^2}+4\pi x$

$\text{O''(x)}=$ $\frac{2640}{x^3}+(4·0·x+4\pi ·1)$

= $\frac{2640}{x^3}+4\pi$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist O'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also O'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von O zu bestimmen.

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^2$ weg!

$-\frac{1320}{x^2}+4\pi x$	=	0	|⋅( $x^2$)
$-\frac{1320}{x^2}·x^2+4\pi x·x^2$	=	0
$-1320+4\pi x·x^2$	=	0
$-1320+4\pi x^3$	=	0

$-1320+4\pi x^3$	=	0	| $+1320$
$4\pi x^3$	=	$1320$	|: $4\pi$
$x^3$	=	$\frac{1320}{4\pi }$
$x^3$	=	$\mathrm{105,04226}$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{\mathrm{105,04226}}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Die Lösung x= $\sqrt[3]{\mathrm{105,04226}}$ ≈ 4.7183 ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in O''(x):

Ist O''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: O'(x₀)=0 und O''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: O'(x₀)=0 und O'(x₀)>0).

O''($\mathrm{4,7183}$) = $\frac{2640}{{\mathrm{4,7183}}^3}+4\pi$= $2640\cdot \left(\frac{1}{\mathrm{105,0405}}\right)+4\pi$= $\mathrm{25,1332}+4\pi$ >0

Das heißt bei x = $\mathrm{4,7183}$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in O(x) eingesetzt werden.
O($\mathrm{4,7183}$) = $\frac{1320}{\mathrm{4,7183}}+2\pi ·{\mathrm{4,7183}}^2$ = $\frac{1320}{\mathrm{4,7183}}+\mathrm{44,5247}\pi$ ≈ 419.64
Man erhält so den Tiefpunkt T:($\mathrm{4,7183}$| $\frac{1320}{\mathrm{4,7183}}+\mathrm{44,5247}\pi$)

≈ T:(4.718|419.64)

Die minimale Oberfläche erhalten wir also, wenn wir x = $\mathrm{4,7183}$ (, also $\mathrm{4,7183}$ cm Radius des Dosenzylinder) wählen.

Die zugehörige Höhe erhalten wir, wenn wir $\mathrm{4,7183}$ in h = $\frac{660}{\pi ·x^2}$ einsetzen, h = $\frac{660}{\pi ·{\mathrm{4,7183}}^2}$ ≈ 9.437.

Als minimale Oberfläche erhalten wir:
O($\mathrm{4,7183}$) = $2\pi ·{\mathrm{4,7183}}^2+2\pi ·\mathrm{4,7183}·\frac{660}{\pi ·{\mathrm{4,7183}}^2}$
≈ 419.64.