$\text{f(x)}=$ ${\left(-3x-3\right)}^2+36$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $2\left(-3x-3\right)·\left(-3+0\right)+0$

= $18x+18$

$\text{f''(x)}=$ $18+0$

= $18$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$18x+18$	=	0	| $-18$
$18x$	=	$-18$	|:$18$
$x$	=	$-1$

Die Lösung x= $-1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''($-1$) = $18$= $18$= $18$ >0

Das heißt bei x = $-1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-1$) = ${\left(-3\cdot \left(-1\right)-3\right)}^2+36$ = $36$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-1$| $36$)

$\text{f(x)}=$ $x^2-6x-1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $2x-6+0$

= $2x-6$

$\text{f''(x)}=$ $2+0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2x-6$	=	0	| $+6$
$2x$	=	$6$	|:$2$
$x$	=	$3$

Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''($3$) = $2$= $2$= $2$ >0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($3$) = $3^2-6\cdot 3-1$ = $-10$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($3$| $-10$)

Wir sehen am negativen Vorzeichen vor der höchsten Potenz ( $-\frac{3}{4}{x}^4$), dass für sehr große und sehr kleine x-Werte die y-Werte immer negativ sind. Um nachzuweisen, dass es keinen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen wir also zeigen, dass alle Punkte negativ sind. Dies geht am einfachsten, wenn man sich alle Hochpunkte anschaut. Wir berechnen also erstmal die Extrempunkte:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^4-x^3+9x^2-50$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^3-3x^2+18x+0$

= $-3x^3-3x^2+18x$

$\text{f''(x)}=$ $-9x^2-6x+18$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$-3x^3-3x^2+18x$	=	0
$-3x\left(x^2+x-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösungen $-3$, 0, $2$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$-3$

f''($-3$) = $-9\cdot {\left(-3\right)}^2-6\cdot \left(-3\right)+18$= $-9\cdot 9+18+18$= $-45$ <0

Das heißt bei x = $-3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-3$) = $-\frac{3}{4}\cdot {\left(-3\right)}^4-{\left(-3\right)}^3+9\cdot {\left(-3\right)}^2-50$ = $-\frac{11}{4}$ ≈ -2.75
Man erhält so den Hochpunkt H:($-3$| $-\frac{11}{4}$)

≈ H:(-3|-2.75)

2.: x=$0$

f''($0$) = $-9\cdot 0^2-6\cdot 0+18$= $-9\cdot 0+0+18$= $18$ >0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($0$) = $-\frac{3}{4}\cdot 0^4-0^3+9\cdot 0^2-50$ = $-50$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($0$| $-50$)

3.: x=$2$

f''($2$) = $-9\cdot 2^2-6\cdot 2+18$= $-9\cdot 4-12+18$= $-30$ <0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($2$) = $-\frac{3}{4}\cdot 2^4-2^3+9\cdot 2^2-50$ = $-34$
Man erhält so den Hochpunkt H:($2$| $-34$)

Eigentlich hätte es gereicht nur die Hochpunkte zu untersuchen.

Wir sehen also, dass selbst der höchste Hochpunkt einen negativen y-Wert hat. Also müssen alle Punkte unter der x-Achse liegen.

Der höchste Punkt muss ja ein Hochpunkt sein, daher sehen wir dass der Hochpunkt (-3|$-\frac{11}{4}$) der höchste Punkt, also der Punkt mit dem geringsten Abstand zur x-Achse ist.

Dieser geringste Abstand ist also |$-\frac{11}{4}$| = 2.75.

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^x-5$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $2x·e^x+x^2·e^x+0$

= $e^x·\left(2x+x^2\right)$

= $\left(x^2+2x\right)e^x$

$\text{f''(x)}=$ $\left(2x+2\right)·e^x+\left(x^2+2x\right)·e^x$

= $e^x·(2x+2+\left(x^2+2x\right))$

= $\left(x^2+4x+2\right)e^x$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$\left(x^2+2x\right)·e^x$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösungen $-2$, 0 sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$-2$

f''($-2$) = $e^{-2}·(2\cdot \left(-2\right)+2+\left({\left(-2\right)}^2+2\cdot \left(-2\right)\right))$= $e^{-2}·(-4+2+\left(4-4\right))$= $-2e^{-2}$ <0

Das heißt bei x = $-2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-2$) = ${\left(-2\right)}^2·e^{-2}-5$ = $4e^{-2}-5$ ≈ -4.459
Man erhält so den Hochpunkt H:($-2$| $4e^{-2}-5$)

≈ H:(-2|-4.459)

2.: x=$0$

f''($0$) = $e^0·(2\cdot 0+2+\left(0^2+2\cdot 0\right))$= $1·(0+2+\left(0+0\right))$= $2$ >0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($0$) = $0^2·e^0-5$ = $-5$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($0$| $-5$)

$\text{f(x)}=$ $\left(-x+4\right)·e^{-\frac{1}{3}x}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $\left(-1+0\right)·e^{-\frac{1}{3}x}+\left(-x+4\right)·e^{-\frac{1}{3}x}·\left(-\frac{1}{3}\right)$

= $e^{-\frac{1}{3}x}·\left(\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}-1\right)$

= $\left(\frac{1}{3}x-\frac{7}{3}\right)e^{-\frac{1}{3}x}$

$\text{f''(x)}=$ $\left(\frac{1}{3}+0\right)·e^{-\frac{1}{3}x}+\left(\frac{1}{3}x-\frac{7}{3}\right)·e^{-\frac{1}{3}x}·\left(-\frac{1}{3}\right)$

= $e^{-\frac{1}{3}x}·\left(-\frac{1}{9}x+\frac{7}{9}+\frac{1}{3}\right)$

= $\left(-\frac{1}{9}x+\frac{10}{9}\right)e^{-\frac{1}{3}x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$\left(\frac{1}{3}x-\frac{7}{3}\right)·e^{-\frac{1}{3}x}$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösung x= $7$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''($7$) = $e^{-\frac{1}{3}\cdot 7}·\left(-\frac{1}{9}\cdot 7+\frac{7}{9}+\frac{1}{3}\right)$= $e^{-\frac{7}{3}}·\left(-\frac{7}{9}+\frac{7}{9}+\frac{1}{3}\right)$= $\frac{1}{3}{e}^{-\frac{7}{3}}$ >0

Das heißt bei x = $7$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($7$) = $\left(-7+4\right)·e^{-\frac{1}{3}\cdot 7}$ = $-3e^{-\frac{7}{3}}$ ≈ -0.291
Man erhält so den Tiefpunkt T:($7$| $-3e^{-\frac{7}{3}}$)

≈ T:(7|-0.291)

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(3x+6\right)}^3+324x^2$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $-6{\left(3x+6\right)}^2·\left(3+0\right)+648x$

= $-6{\left(3x+6\right)}^2·\left(3\right)+648x$

= $-18{\left(3x+6\right)}^2+648x$

$\text{f''(x)}=$ $-36\left(3x+6\right)·\left(3+0\right)+648$

= $-36\left(3x+6\right)·\left(3\right)+648$

= $-108\left(3x+6\right)+648$

= $-108·3x-108·6+648$

= $-324x-648+648$

= $-324x+0$

$\text{f'''(x)}=$ $-324$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$-324x$	=	0	|:($-324$)
$x$	=	0

Die Lösung x=0 ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $0$:

f'''($0$) = $-324$= $-324$

Da f'''($0$)≠0, haben wir bei x = $0$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($0$) = $-2\cdot {\left(3\cdot \left(0\right)+6\right)}^3+324\cdot {\left(0\right)}^2$ = $-432$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($0$| $-432$)

Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$\text{f(x)}=$ $x^3-9x^2-3x+2$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-18x-3+0$

= $3x^2-18x-3$

$\text{f''(x)}=$ $6x-18+0$

= $6x-18$

$\text{f'''(x)}=$ $6+0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-18$	=	0	| $+18$
$6x$	=	$18$	|:$6$
$x$	=	$3$

Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $3$:

f'''($3$) = $6+0$= $6$

Da f'''($3$)≠0, haben wir bei x = $3$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($3$) = $3^3-9\cdot 3^2-3\cdot 3+2$ = $-61$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($3$| $-61$)

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $3\cdot 3^2-18\cdot 3-3$

= $3\cdot 9-54-3$

= $27-54-3$

= $-30$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-30$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $3^3-9\cdot 3^2-3\cdot 3+2$ = $27-9\cdot 9-9+2$ = $27-81-9+2$ = $-61$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $-61$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-61$ = $-30$⋅3 + c

$-61$ = $-90$ + c | + $90$

$29$ = c

also c= $29$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-30$⋅x + $29$

$\text{f(x)}=$ $x^3+\left(t-3\right)x^2+2t$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+\left(2t-6\right)x+0$

= $3x^2+\left(2t-6\right)x$

$\text{f''(x)}=$ $6x+2t-6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x+2t-6$	=	0	| - ( $2t-6$)
$6x$	=	$-2t+6$	|:$6$
$x$	=	$-\frac{1}{3}t+1$

Die Lösung x= $-\frac{1}{3}t+1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Da in der Aufgabenstellung bereits angegeben ist, dass es genau einen Wendepunkt gibt, wissen wir also schon, dass unser Kandidat diese Wendestelle sein muss, und wir müssen ihn nicht weiter mit einer hinreichenden Bedingung prüfen.

Wir können also unsere mit Parameter behaftete Wendestelle mit der Vorgabe aus der Aufgabenstellung (x= $6$) gleichsetzen und nach t auflösen

$-\frac{1}{3}t+1$	=	$6$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{1}{3}t+1\right)$	=	$18$
$-t+3$	=	$18$	| $-3$
$-t$	=	$15$	|:($-1$)
$t$	=	$-15$

Für t= $-15$ liegt die Wendestelle auf der Geraden x= $6$.

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,25}x}-9$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,25}x}+2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,25}x}·\left(-\mathrm{0,25}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,25}x}·\left(-\mathrm{0,5}x-2+2\right)$

= $-\mathrm{0,5}x{e}^{-\mathrm{0,25}x}$

$\text{f''(x)}=$ $-\mathrm{0,5}·1·e^{-\mathrm{0,25}x}-\mathrm{0,5}x·e^{-\mathrm{0,25}x}·\left(-\mathrm{0,25}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,25}x}·\left(\mathrm{0,125}x-\mathrm{0,5}\right)$

= $\left(\mathrm{0,125}x-\mathrm{0,5}\right)e^{-\mathrm{0,25}x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$-\mathrm{0,5}x·e^{-\mathrm{0,25}x}$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösung x=0 ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''($0$) = $e^{-\mathrm{0,25}\cdot 0}·\left(\mathrm{0,125}\cdot 0-\mathrm{0,5}\right)$= $e^0·\left(0-\mathrm{0,5}\right)$= $-\mathrm{0,5}{e}^0$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($0$) = $2·\left(0+4\right)·e^{-\mathrm{0,25}\cdot 0}-9$ = $-1$
Man erhält so den Hochpunkt H:($0$| $-1$)

Wir schreiben u für den x-Wert des Punkts P und da der Punkt P auf dem Graph von f liegt, muss der y-Wert f(u) sein, also P(u|f(u)).

An der Skizze erkennt man, dass dann die Seiten des achsenparallelen Rechteck die Längen u und f(u) haben. Folglich gilt für den Flächeninhalt dieses Rechtecks:
A = u ⋅ f(u) = $u·\left(-u+2\right)$ = $-u^2+2u$

Wir suchen also ein Maximum von

$\text{A(u)}=$ $-u^2+2u$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{A'(u)}=$ $-2u+2$

$\text{A''(u)}=$ $-2+0$

= $-2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist A'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also A'(u) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von A zu bestimmen.

$-2u+2$	=	0	| $-2$
$-2u$	=	$-2$	|:($-2$)
$u$	=	$1$

Die Lösung u= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in A''(u):

Ist A''(u) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u₀)=0 und A''(u₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u₀)=0 und A'(u₀)>0).

A''($1$) = $-2$= $-2$= $-2$ <0

Das heißt bei u = $1$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende u-Wert in A(u) eingesetzt werden.
A($1$) = $-1^2+2\cdot 1$ = $1$
Man erhält so den Hochpunkt H:($1$| $1$)

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir also, wenn wir als x-Koordinate des gesuchten Punkts u = $1$ wählen.

Den zugehörigen y-Wert erhalten wir, wenn wir x = $1$ in f(x) einsetzen:

f($1$) = $-1+2$ = $1$

Somit sind die Koordinaten des gesuchten Punkts P($1$| $1$)

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir ja, wenn wir u = $1$ in die zu maximierende Flächeninhaltsfunktion A(u) einsetzen. Dies wurde ja bereits oben bei der hinreichenden Bedingung gemacht, somit ist der maximale Flächeninhalt A($1$) = $1$.

Es muss gelten: 1100 = $\pi ·x^2·h$

Wenn wir diese Gleichung nach h auflösen, erhalten wir:

h = $\frac{1100}{\pi ·x^2}$

Dies können wir in die Oberflächenformel einsetzen:

O = $2\pi ·x^2+2\pi ·x·\frac{1100}{\pi ·x^2}$

Als Zielfunktion für die Oberfläche ergibt sich somit O(x) = $2\pi ·x^2+2\pi ·x·\frac{1100}{\pi ·x^2}$

= $2\pi x^2+2\pi ·\frac{1100}{\pi x}$

= $2\pi x^2+\frac{2200}{x}$

= $\frac{2200}{x}+2\pi x^2$.

Da diese Zielfunktion für die Oberfläche minimal werden soll, suchen wir deren Minimum:

$\text{O(x)}=$ $\frac{2200}{x}+2\pi x^2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{O'(x)}=$ $-\frac{2200}{x^2}+(2·0·x^2+2\pi ·2x)$

= $-\frac{2200}{x^2}+4\pi x$

$\text{O''(x)}=$ $\frac{4400}{x^3}+(4·0·x+4\pi ·1)$

= $\frac{4400}{x^3}+4\pi$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist O'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also O'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von O zu bestimmen.

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^2$ weg!

$-\frac{2200}{x^2}+4\pi x$	=	0	|⋅( $x^2$)
$-\frac{2200}{x^2}·x^2+4\pi x·x^2$	=	0
$-2200+4\pi x·x^2$	=	0
$-2200+4\pi x^3$	=	0

$-2200+4\pi x^3$	=	0	| $+2200$
$4\pi x^3$	=	$2200$	|: $4\pi$
$x^3$	=	$\frac{2200}{4\pi }$
$x^3$	=	$\mathrm{175,07044}$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{\mathrm{175,07044}}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Die Lösung x= $\sqrt[3]{\mathrm{175,07044}}$ ≈ 5.5942 ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in O''(x):

Ist O''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: O'(x₀)=0 und O''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: O'(x₀)=0 und O'(x₀)>0).

O''($\mathrm{5,5942}$) = $\frac{4400}{{\mathrm{5,5942}}^3}+4\pi$= $4400\cdot \left(\frac{1}{\mathrm{175,0709}}\right)+4\pi$= $\mathrm{25,1327}+4\pi$ >0

Das heißt bei x = $\mathrm{5,5942}$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in O(x) eingesetzt werden.
O($\mathrm{5,5942}$) = $\frac{2200}{\mathrm{5,5942}}+2\pi ·{\mathrm{5,5942}}^2$ = $\frac{2200}{\mathrm{5,5942}}+\mathrm{62,5901}\pi$ ≈ 589.897
Man erhält so den Tiefpunkt T:($\mathrm{5,5942}$| $\frac{2200}{\mathrm{5,5942}}+\mathrm{62,5901}\pi$)

≈ T:(5.594|589.897)

Die minimale Oberfläche erhalten wir also, wenn wir x = $\mathrm{5,5942}$ (, also $\mathrm{5,5942}$ cm Radius des Dosenzylinder) wählen.

Die zugehörige Höhe erhalten wir, wenn wir $\mathrm{5,5942}$ in h = $\frac{1100}{\pi ·x^2}$ einsetzen, h = $\frac{1100}{\pi ·{\mathrm{5,5942}}^2}$ ≈ 11.188.

Als minimale Oberfläche erhalten wir:
O($\mathrm{5,5942}$) = $2\pi ·{\mathrm{5,5942}}^2+2\pi ·\mathrm{5,5942}·\frac{1100}{\pi ·{\mathrm{5,5942}}^2}$
≈ 589.897.